авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Российской Федерации

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Национальный исследовательский университет

Учебно-научный и инновационный комплекс

«Физические основы информационно-телекоммуникационных систем»

Орлов И.Я.

Односевцев В.А.

Ивлев Д.Н.

Лупов С.Ю.

ОСНОВЫ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (Электронное учебное пособие) Мероприятие 1.2. Совершенствование образовательных технологий, укрепление материально-технической базы учебного процесса Учебная дисциплина: «Основы радиоэлектроники»

Специальность «010800.62 Радиофизика»

Нижний Новгород Рецензент: зав. кафедрой бионики и статистической радиофизики Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского, профессор, д.ф.-м.н. Флаксман А.Г.

Орлов И.Я., Односевцев В.А., Ивлев Д.Н., Лупов С.Ю. Основы радиоэлектроники: Электронное учебное пособие / Н.Новгород:

Нижегородский госуниверситет им. Н.И.Лобачевского, 2011. - 169 с.

В учебном пособии изложены основы теории сигналов и цепей. Приведены сведения о процессах преобразования сигналов линейными, параметрическими и нелинейными цепями. Рассмотрены принципы усиления, детектирования и преобразования сигналов. Представлены сведения о методах получения модулированных колебаний. Анализируются особенности некоторых практических радиотехнических устройств.

Пособие предназначено для студентов радиофизического факультета по специальностям: «Радиофизика и электроника», «Фундаментальная радиофизика»

и «Информационные системы в радиофизике и телекоммуникациях».

Введение Учебный курс “Основы радиоэлектроники” является одним из базовых курсов радиотехнического цикла по специальностям “Радиофизика” и “Информационные системы”.

Курс имеет целью научить студентов методам представления сигналов, методам математического описания радиотехнических цепей и основам теории преобразования сигналов в радиотехнических устройствах. Как следствие подготовить студентов к практическому применению полученных знаний при исследовании радиотехнических устройств и измерительных систем, а также при использовании радиотехнических методов исследований в экспериментальной радиофизике и в информационных системах.

Изучение курса включает освоение следующих основных направлений:

• основные положения методов представления сигналов и математического описания линейных цепей с постоянными и переменными параметрами, а также нелинейных цепей;

• вопросы преобразования сигналов линейными, параметрическими и нелинейными цепями (фильтрация, усиление, детектирование, преобразование частоты, модуляция, генерация);

• принципы действия типовых радиотехнических каскадов (усилитель, детектор, преобразователь частоты, генератор, модулятор).

Курс опирается на материалы курсов общей физики (электричество, колебания и волны, атомная физика), математики (ряды, дифференцирование, интегрирование, функции комплексного переменного, векторный анализ, дифференциальные уравнения).

В процессе изучения курса студенты должны освоить:

• временное и спектральное представление сигналов;

• математическое описание линейных, параметрических и нелинейных цепей;

• процессы преобразования сигналов в радиотехнических цепях;

• применение изученных методов и устройств при дальнейшем обучении.

В целом такая подготовка по физическим основам радиотехники необходима, т.к. в настоящее время радиоэлектроника во многом определяет технический прогресс в большинстве областей науки и техники. Так, знания радиоэлектроники необходимы для исследования сигналов и систем передачи информации.

Например, для изучения радиотехнического канала передачи информации на расстоянии (рис.1.1), а также оптического и акустического каналов.

A Передатчик Преобразо Источник Генератор Усилитель Кодер Модулятор ватель в эл.

сообщения несущей част.

сигнал A Избиратель- Преобра- Демоду Усилитель Декодер Регистр ный усилитель зователь лятор Приемник Система обработки Рис.1. Без знаний радиоэлектроники практически невозможна разработка измерительной аппаратуры, используемой в радиофизических измерениях.

На рис. 1.2 показана типовая структура прибора, предназначенного для радиофизических измерений.

Преобразователь Измерительный Датчик Усилит.

в электр. сигнал прибор Измерительный датчик Регистрирующее устройство Рис. 1. Таким образом, радиоэлектроника является базовой в таких областях, как:

экспериментальная радиофизика;

радиофизические методы в биологии, медицине и экологии;

радиофизические методы в технике;

оборонные радиотехнические системы;

системы радиосвязи и телеуправления.

I. Введение в теорию радиотехнических сигналов 1. Классификация радиотехнических сигналов a) С информационной точки зрения:

- детерминированный – сигнал, мгновенное значение которого в любой момент времени можно предсказать с вероятностью 1.

Строго говоря, таких сигналов не существует из-за неизбежного взаимодействия их с радиотехническими системами, окружающей средой, помехами, шумами и т.д.;

x x=Asin0t Рис. 1. 0 t - случайные – мгновенные значения которых заранее не известны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей (примеры: радиолокационный сигнал, радиоастрономический сигнал, акустический сигнал,...).

x Рис. 1. 0 t б) По характеру их изменений во времени;

- непрерывные во времени и произвольные по величине (аналоговые или континуальные).

x Рис. 1. 0 t Такие сигналы можно толковать как электрическую модель физической величины:

- дискретные во времени и произвольные по величине;

x 0 Рис. 1. t - непрерывные во времени и квантованные по величине;

x Рис. 1. 0 t - дискретные по времени и квантованные по величине;

x 0 Рис. 1. t в) По времени существования сигнала:

- непрерывные;

x Заполнение Рис. 1. t Огибающая - импульсные (видеоимпульсные, радиоимпульсные).

x x и Рис. 1. 0 0 t t г) По функции, описывающей сигнал:

- вещественные y=a(t);

- комплексные y=a(t)+ib(t)=z(t) e jt.

2. Спектральное представление сигналов Очень часто математическое описание даже несложных по структуре детерминированных сигналов является весьма трудной задачей. Поэтому в радиоэлектронике используется прием, при котором реальные, сложные по структуре и форме сигналы заменяют набором идеализированных математических моделей, описываемых элементарными функциями.

Подобным образом можно упростить и обратную задачу – синтез сложных сигналов из совокупности простых.

Наиболее удобным способом описания исследуемого сигнала является его аналитическое представление с помощью системы некоторых взаимосвязанных элементарных функций времени. Представление сигнала элементарными функциями существенно упрощается, если выбрана ортонормированная система базисных функций.

2.1. Ортогональные сигналы Пусть M 1 t,U 2 t,...,U n t - множество сигналов, представленных U совокупностью векторов в пространстве сигналов.

Линейное пространство сигналов M является нормированным, если каждому вектору U t M однозначно сопоставлено число U - норма этого вектора, которая равна длине вектора.

Аксиомы 1) Норма неотрицательна, т.е. U 0 или U 0, если U 0.

2) U U - для любого числа.

3) Если U1 t и U 2 t - два вектора из M пространства, то U1 U 2 U1 U 2. U1 U U U Рис. 2. Сигнал может меняться во времени по амплитуде (т.е. меняется длина вектора) и по фазе (т.е. меняется угол). Следовательно, для определения нормы надо интегрировать по времени, а так как U(t) может быть и положительным, и отрицательным, то надо интегрировать U2.

В радиотехнике для вещественного сигнала U U 2 t dt, (2.1) для комплексного U t U t dt.

U (2.2) Квадрат нормы – энергия сигнала 2 E U U 2 t dt. (2.3) Отметим, что в общем случае энергия суммы двух сигналов U и V U V 2 dt EU E EV 2 UVdt, где 2 UVdt EUV - взаимная энергия. То есть в отличие от самих сигналов их энергия не аддитивна, энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию EUV.

Два сигнала U и V называются ортогональными, если их скалярное произведение UV U t V t dt 0, (2.4) а значит и их взаимная энергия равна нулю.

Пример:

U U t t 0 V V t t Рис. 2. Отметим некоторые свойства, характерные для скалярного произведения:

- косинус угла между сигналами U,V, cos U V - неравенство Коши – Буняковского U,V U V, (2.5) т.е. косинус угла между векторами в пространстве сигналов не превышает единицы, т.к. угол между сигналами должен лежать в интервале (0,180).

2.2. Обобщенный ряд Фурье Предположим теперь, что на отрезке времени [t1, t2] в пространстве M, конечном или бесконечном, задана бесконечная система функций {l0, l1,..., ln}, ортогональных друг другу и обладающих единичной нормой, т.е. скалярное произведение:

li l j 1,, если ii jj;

.

если (2.6) 0 Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Тогда можно разложить произвольный сигнал U t M в ряд U t Ci li t, (2.7) i обобщенный ряд Фурье сигнала U(t) в выбранном базисе.

Как найти коэффициенты ряда?

Возьмем базисную функцию lk с произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (2.7) и затем проинтегрируем по времени:

t2 t U t lk t dt Ci li lk dt.

i t1 t t В виду ортогональности базиса li l k dt 1, если i=k, см. (2.6), следовательно, t t C k U t l k t dt. (2.8) t Важно то что, вместо того, чтобы изучать функцию в несчетном множестве точек, мы характеризуем ее счетной системой коэффициентов Ck.

Совокупность коэффициентов Ck называется спектром сигнала U(t) в ортогональной системе lk и полностью определяет сигнал U(t).

Важное свойство: При заданной системе функций li и фиксированном числе слагаемых ряда (2.7) он обеспечивает наилучшую аппроксимацию (в смысле минимума среднеквадратичной ошибки) данной функции U(t).

Одной из наиболее важных систем взаимно ортогональных функций является система гармонических функций на отрезке [0;

T].

l 0 l0 ;

T T l 2t 2 0 sin 1t ;

l1 sin T T T T 2t 2 cos 1t ;

l2 cos l2 T T T …............................................. (2.9) 0 T 2mt 2 sin 1mt ;

l 2 m1 sin T T T l 2mt 0 2 T cos 1mt ;

l2m cos T T T 1.

l T 0 T Рис. 2. Важность системы гармонических функций для радиотехники обусловлена рядом причин:

- инвариантность относительно преобразований линейными электрическими цепями;

- простота генерации;

- позволяет использовать символический метод анализа систем;

- собственные функции резонансных систем.

2.3. Периодические сигналы и ряды Фурье Периодическим сигналом называется любой сигнал, повторяющийся через регулярные интервалы времени (рис. 2.4) и удовлетворяющий условию (2.10).

х..............

t 0 T Рис. 2. U t U t nT, n 1,2,3,... (2.10) T T Итак, на отрезке 2 ;

2 зададим ортонормированный базис (2.9), образованный гармоническими функциями с кратными частотами.

Любая функция из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (2.10), поэтому, выполнив ортогональное разложение сигнала U(t) U t C n l n t (2.11) n в этом базисе, вычислим, в соответствии с (2.7), коэффициенты Cn T C n U, l n t l n t dt, 2U (2.12) T получим, в соответствии с (2.7), разложение U(t).

Ряд вида (2.11) с коэффициентами (2.12) называется рядом Фурье периодического сигнала.

2.3.1. Тригонометрическая форма ряда Фурье Введем основную частоту последовательности, образующей T периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.12) с учетом (2.9), получим:

1 1 T T C 0 T2 U t U t dt ;

T T dt T 2 2 T T C1 T2 U t U t sin 1tdt ;

T T sin 1tdt (2.13) T 2 T U t cos 1tdt T T C2 и т.д.

Отсюда: подставив в (2.11) коэффициенты (2.13) и (2.9), имеем:

1 2 T2 1 T U t T 2U t dt T T T 2U t sin 1tdt T sin 1t T 2 T2 U t cos 1tdt T T 2 T cos 1t...

1 T2 2 T2 U t dt U t sin 1tdt sin 1t T T 2 T T 2 2 T2 U t cos 1tdt cos 1t...

T T 2 Введем обозначения 2T a 0 T2 U t dt ;

T 2 T U t cos n1tdt ;

T T an (2.14) 2T bn T2 U t sin n1tdt.

T Из полученного выше выражения для ряда Фурье имеем a U t a n cos n1t bn sin n1t. (2.15) 2 n Итак:

1) В общем случае сложный периодический сигнал может иметь постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний с частотами i = i1. x T/ -T/2 t Рис.2. Отметим, чем больше составляющих i1, тем ближе сумма составляющих к истинному сигналу (см. рис. 2.5).

2) Четный сигнал имеет только косинусоидальные слагаемые (т.к. bn обращаются в ноль), нечетный — только синусоидальные (т.к. an обращаются в ноль).

Каждую гармоническую составляющую можно описать ее амплитудой An и начальной фазой n, т.е. спектр периодического сигнала линейчатый (см. рис. 2.6).

a n An cos n, bn An sin n, bn где An an2 bn2, n arctg.

an Тогда a U t An cosn1t n. (2.16) 2 n Фазовый спектр Амплитудный спектр An n 0 1 2 34 12 3 1 Рис. 2. 2.3.2. Комплексная форма ряда Фурье Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

ln exp jn1t, n 0, 1, 2,... (2.17) T Действительно, функции этой системы периодичны с периодом T T T ортонормированны на отрезке времени,.

2 Доказательство ортонормированности lm, ln T2 lm t ln t dt 1 T2 exp jm1t exp T T jn1t dt * T 2 1 T exp j m n 1tdt ;

T T сделаем замену переменных:

T xT x 1t x, t, то t, dt dx, так как T 1 T T при t, x, при t, x, получим 2 1 при m n lm, ln 1 e j mn x dx.

0 при m n Ряд Фурье (2.11) произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид:

U t C n l n t, или с учетом (2.17) n t 1 C n e jn1t.

U T n Найдем коэффициенты разложения Cn. Для этого левую и правую часть e jk1t T и возьмем интеграл T2. Получим домножим на T T TU t e jn1t Cn dt.

T Обычно используют несколько иную запись:

U t C n e jn t n T. (2.18) C n U t e jn1t dt TT Выражения (2.18) представляют ряд Фурье в комплексной форме. Спектр сигнала в соответствии с этими выражениями содержит компоненты на положительной и отрицательной полуоси, причем * C n C n. (2.19) Сn -2 -1 0 1 При переходе к тригонометрической форме записи получим U t C 0 2 C n cosn1t n (2.20) n Из сравнения (2.16) и (2.20) видно, что T U t cos n1t dt, T An 2 C n, a n 2C n c T T U t sin n1t dt.

T bn 2C n s T После перехода к тригонометрической форме понятие “отрицательная” частота теряет смысл, т.к. это понятие не физическое, а Im математическое, вытекающее из способа представления + комплексных чисел. Положительной частоте соответствует Re 0 вектор, вращающийся против часовой стрелки, а отрицательной частоте — вектор, вращающийся по часовой стрелке.

2.4. Спектральное представление непериодических сигналов Пусть U(t) одиночный импульс конечной длительности. Создадим периодическую последовательность с периодом T и представим ее комплексным рядом Фурье (см.2.18).

U Uпер t t 0 0 T Рис. 2. U пер t C n e jn t, (2.21) n где T TU t e 1 dt.

jn t Cn (2.22) T Для того, чтобы перейти к спектральному представлению единичного импульса, устремим T.

Из (2.22) видно, что при T получаем:

- бесконечно-малые амплитудные коэффициенты Cn (из-за наличия T в знаменателе);

- частоты соседних гармоник n1 и (n+1)1 становятся сколь угодно близкими (т.к. 1 );

T - число гармоник, входящих в ряд Фурье, становится бесконечно большим, т.к. при T, основная частота 1 0, т.е. спектр становится T сплошным.

Подставив (2.22) в (2.21), получим:

T 2 U t U x e jn1x dx e jn1t 1, n T 2 т.к. T, то 1 0, поэтому в этом выражении можно заменить T 1d;

n1;

. Таким образом, переходим к двойному интегралу Фурье:

U t e jt U x e jx dx d.

2 Здесь обозначим U x e jx dx S или S U t e jt dt (2.23).

S - спектральная плотность сигнала U t или прямое преобразование Фурье, или Фурье-образ сигнала.

Отсюда:

t 1 S e jt d.

U (2.24) Это обратное преобразование Фурье.

Физический смысл S Спектральная плотность – это отношение комплексной амплитуды малого интервала частот вблизи частоты, равной f0, к длине этого интервала. Причем вклад дают как положительные, так и отрицательные частоты, образующие окрестность f0.

Спектральная плотность — комплекснозначная функция частоты, одновременно несущая информацию об амплитуде и о фазе элементарных синусоид.

Таким образом, из (2.23) и (2.24) следует, что один и тот же сигнал допускает две совершенно равноправные математические модели — временную и частотную.

Условия существования S - это абсолютная интегрируемость сигнала, т.е.

U t dt. (2.25) Можно записать S A jB S e j, где:

A U t cos t dt ;

B U t sin t dt.

Тогда амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) сигнала – S A B 2 ;

B Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) сигнала - arctg.

A 2.4.1. Основные свойства преобразований Фурье Итак, между сигналом U t и его спектральной плотностью S существует однозначное соответствие, устанавливаемое соотношениями (2.23) и (2.24). Для практических целей важна связь между различными преобразованиями сигнала и соответствующими изменениями спектра. Рассмотрим основные из этих преобразований.

1) Сложение сигналов.

Если U t U 1 t U 2 t... U n t, то S S1 S 2... S n, (2.26) т.е. преобразование Фурье линейно.

Пример: сигнал+помеха 2) Сдвиг сигналов во времени (теорема запаздывания).

U 2 t U 1 t t 0.

U S 2 U 1 t t 0 e jt dt t обозначим t t 0, dt d 0 U 1 e j t 0 d e jt 0 S1 ;

U S 2 e jt 0 S (2.27) t 0 t Рис.2. Отсюда видно, что АЧХ сигнала остается постоянной, но меняется его фазовая характеристика.

Пример: фильтрация РЛС сигналов.

U 3) Изменение масштаба времени.

U 2 t U 1 nt, n1 – сжатие сигнала, n1 – расширение сигнала и U2 t u / n u / n S 2 U 2 t e dt U1 nt e dt.

jt jt 0 После замены переменных nt, dt d отсюда имеем t и/n n Рис.2. 1u 1 j S 2 U 1 e n d S n0 n n 1 S 2 S1, (2.28) n n т.е при сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр и уменьшается интенсивность спектральной плотности.

Из этого свойства и примеров по определению спектральных плотностей импульсов видно, что чем меньше длительность сигнала, тем шире его спектр.

Для установления количественных соотношений между указанными параметрами необходимо определиться с понятием длительности сигнала и ширины его спектра. В большинстве случаев выбор произвольный.

Например:

- для прямоугольного импульса ширина спектра принимается как основание главного лепестка f в и 1 ;

- для колоколообразного импульса ширина берется на уровне 0,606 от максимального значения;

- можно также использовать энергетический критерий (например 90% энергии и т.д.). В результате f в и const и зависит от формы импульса.

Минимальная f в и 0,5 у колоколообразного (гауссового) импульса.

Пример: спектральный анализ с временной компрессией.

4) Произведение двух сигналов.

U t f t g t, где f t F e d, j t g t Ge d.

j t Найдем прямое преобразование Фурье:

S U t e dt f t g t e jt dt f t G x e jxt dx e jt dt j t 2 x f t e j x t dt dx 1 G x F x dx, G 2 т.е.

S Gx F x dx (2.29) - свертка спектров сомножителей.

Примеры: преобразование частоты;

исследование флуктуаций;

получение спектра радиоимпульса как произведение синусоидального сигнала sin t на прямоугольный импульс.

5) Спектральная плотность производной сигнала и его интеграла.

dU f t, dt dU e jt dt.

dt F Интегрируя по частям U Vdt UV UV dt, получим F U t e jt j U t e jt dt.

Если выполняется условие lim U t 0, то t F jS, (2.30) j j e j sin j );

j e 2 (т.к.

где по формуле Эйлера cos 2 S S e j, S - амплитудный спектр и () – фазовый спектр исходного сигнала U(t), или j F S e, (2.31) т.е. изменится амплитудный спектр, а фазовый спектр меняется на на всех частотах. F S, F S Если Рис. 2. Причем дифференцирование поднимает верхние частоты и занижает низкие частоты.

Аналогично можно найти спектр интеграла g t U t dt.

dg Представив U t, следовательно, S jG, отсюда dt 1 S S e j G (2.32) j G G, S S Рис. 2. 6) Теорема Парсеваля.

Известно, что энергия колебания на единичном сопротивлении E U 2 t dt.

Найдем соотношение, позволяющее определить энергию колебания U(t) посредством использования его спектра. Для этого воспользуемся прямым преобразованием Фурье U t S e d.

j t Умножим обе части данного равенства на U(t) и проинтегрируем в бесконечных пределах U t e jt dt d, U t dt 2 S но U t e dt S *, j t 1 1 S S * d S d.

2 таким образом E Т.к. квадрат модуля есть четная функция, то, удвоив значение интеграла, можно проводить интегрирование в пределах 0 —.

1 E U t dt S d (2.33) Из этого соотношения следует, что на бесконечно малый участок частот d S приходится энергия E d dE d, S — энергетический спектр сигнала.

S — спектральная плотность энергии колебания U(t).

Величина dE Полная энергия сигнала равна сумме энергий всех его частотных составляющих.

Пример - спектральный анализатор.

7) Обобщенная формула Рэлея.

Пусть два сигнала U(t) и V(t) (в общем случае комплексные) определены своими обратными преобразованиями Фурье:

1 V t S v e d ;

V * t S e d, j t j t * v 2 U t S e d.

jt u 2 Найдем скалярное произведение U t S e U,V U t V * t dt 21 j t d dt * v * U t e jt dt d S v 2 S S d 2 S S 1 Отсюда U,V * u v u v 2 Итак, U,V 21 S S — Формула Рэлея (2.34) u v Скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента равно скалярному произведению их спектральных плотностей.

Пример - ортогональность неперекрывающихся по спектру сигналов.

2.4.2 Спектральная плотность некоторых неинтегрируемых сигналов Математические модели многих сигналов не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости (2.25) и поэтому метод преобразований Фурье в обычном виде к ним не применим. Однако можно говорить о спектральных плотностях таких сигналов, если допустить, что эти плотности описываются обобщенными функциями.

1) Спектральная плотность функции.

U U, t t U t t t 0 0, t t E=1/u t t-u/2 t0 t+u/ Рис. 2. S t t 0 e jt dt e jt 0, S 1 e jt 0, (2.35) S 1. (см. рис. 2.13) По свойству преобразования Фурье о смещенном S во времени сигнале можно представить -функцию:

1 1 j t t S e d или t j t 2 e d.

Рис. 2. Качественно можно эту формулу обосновать следующим образом:

воспользуемся формулой Эйлера e jt cos t j sin t.

Мы можем представить приведенный выше интеграл в виде суммы большого числа синусоид и косинусоид различных частот.

sin t cos t t t a) б) Рис. 2. Как видно из рисунка 2.14-б, в любой момент времени t, отличный от t=0, число положительных составляющих sin t будет равно числу отрицательных составляющих и, следовательно, их вклады могут привести к разрушительной интерференции или полной взаимной компенсации. При t=0, однако, все косинусоидальные составляющие равны +1;

их вклад суммируется, создавая в начале координат бесконечно большой пик (см. рис. 2-14-а).

2) Спектральная плотность постоянного во времени сигнала.

U t E const, S e dt 2E, j t j t Ee dt 2E S 2E.

(2.36) U S t Рис. 2. 3) Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала U t exp j0 t может быть определена следующим образом:

1 j S U t e dt 2 0, j0t jt j t dt e e dt 2 e S 2 0.

(2.37) Спектр несимметричен относительно =0.

S 0 Рис. 2. 4) Спектральную плотность гармонического сигнала U t cos 0t e j0t e j0t определим воспользовавшись линейностью преобразования Фурье и спектральной плотностью комплексной экспоненты.

S 0 0.

(2.38) Спектр симметричен относительно 0. S U(t) t -0 0 Рис. 2. 2.5. Спектральная плотность периодического сигнала Найдем спектральную плотность периодического U(t) сигнала с периодом T — U(t)=U(tT).

Экспоненциальный ряд Фурье для периодического сигнала U(t) U t C n e jn1t, где 1 — основная частота, n=0,1,2,.... Коэффициенты T n 1 T / U t e 1 dt.

jn t Cn T T / Но при этом, по определению, спектральная плотность S U t e jt dt j n1 t n C n e e jt dt 2 C n jn t e dt n C n n1, n т.е. S 2 C n n1.

(2.39) n Таким образом, спектральная плотность периодического сигнала представляется на оси частот последовательностью — функций, существующих на частотах =n1 (n=0,1,2,...), с интенсивностью (площадью) 2Сn, определяемой видом одиночного сигнала U(t).

На рис. 2.18 показан спектр S 2/u 2С 2С n периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов -1 0 1 (пунктиром – спектр одиночного видеоимпульса) Рис.2. Если сигнал – это периодическая последовательность импульсов, то 1 T /2 t e 1 dt T. Отсюда (из 2.39) спектр периодической jn t Cn T T / последовательности импульсов равен n1.

S (2.40) T n Этот спектр изображен на рис. 2.19.

S 2/T - Рис. 2. 3. Дискретизация сигнала При переходе от аналогового сигнала к цифровому осуществляются три специфических преобразования: дискретизация по времени, квантование по уровню и кодирование. Под дискретизацией понимают процесс замены непрерывного сигнала дискретной последовательностью отсчетов через интервал t.

3.1. Ортогональные сигналы с ограниченным спектром Рассмотрим идеальный низкочастотный (НЧ) сигнал, т.е. сигнал U(t), имеющий постоянную вещественную спектральную плотность в диапазоне -в, +в.

0, в, Su S u S 0, в в, (3.1) S 0,.

в -в +в Рис. 3. 1 S в U t S u e jt d 0 e jt d ;

U 2 в S0в/ в sin в t j t e d т.к., то t в S 0 в sin в t U t. (3.2) в t t -2/в -/в /в 2/в Рис. 3. S 0 в sin в t t Если НЧ сигнал запаздывает на t, то V t, (3.2’) в t t тогда по свойству преобразования Фурье задержанного сигнала имеем 0, в, S v S 0 e jt, в в, (3.1’) 0,.

в Рассмотрим эти два идеальных НЧ сигнала U t и V t. Оба имеют одинаковые параметры S0 и в, однако сигнал V t запаздывает по отношению к сигналу U t на время t, так, что его спектральная плотность S S e jt.

v u Скалярное произведение этих сигналов, полученное по обобщенной формуле 2 в S * d S 0 e jt d S 0 в sin в t.

V 1 S S, UV Рэлея (2.34), U 2 2 в Su v uv 2 в t Обозначим t=tk.

Скалярное произведение обращается в нуль, и эти сигналы оказываются ортогональными, если временной сдвиг между ними удовлетворяет условию в t k k k 1, 2,..., t t k k.

в Минимально возможный сдвиг, приводящий к ортогонализации, получается при k=1. Причем, максимум одного сигнала всегда совпадает с нулем другого.

t1. (3.3) 2 Fв в U V t 0 t t t1=/в Рис. 3. Важно — удалось не просто добиться ортогональности двух сигналов.

Указан путь построения бесконечного ортогонального базиса, который может служить координатной системой для разложения произвольного сигнала со спектром, ограниченным частотой в.

3.2. Теорема Котельникова для сигнала с ограниченным спектром Для создания ортонормированного базиса достаточно рассмотреть функцию sin в t l0 t A, создающую ортогональный базис и определить амплитуду А, в t чтобы норма была единична. По определению, энергия сигнала равна квадрату A2 A2 A 2 в t нормы E l 0 l 0 dt 2 sin 2 dt 2 в.

в t в в в Итак, функция l0(t) будет ортонормированной, т.е. (Е=1), если A.

Бесконечная совокупность функций в sin в t t k lk t, в, (3.4) в t t k где t k k k, образуют базис Котельникова в линейном пространстве НЧ 2 Fв в сигналов со спектрами, ограниченными сверху значением в. Отдельная функция lk называется отсчетной функцией базиса Котельникова.

Если U t — произвольный сигнал, спектральная плотность которого отлична от нуля лишь в полосе частот в в, то его можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису Котельникова U t C l t,.

kk в k Коэффициентами ряда служат, как известно, скалярные произведения отсчетной функции C k U t l k. По обобщенной разлагаемого сигнала и k-ой S S. Т.е.

формуле Рэлея (2.34) C k u lk Su Slk d * Ck (3.5) Коэффициенты Ck находим по аналогии с выражениями (3.2’) и (3.1’) т.к.

в sin в t t k k lk t, где t k, в t t k 2 Fв exp jt k (здесь, в то для k - ой отсчетной функции имеем S l k в соответствии с теоремой запаздывания, экспонента показывает сдвиг отсчетной функции во времени). Тогда из (3.5) имеем 1 в 1 в S u exp jt k d.

S u в exp jt k d Ck 2 в в 2 в k — k-ая отсчетная точка, то фигурная скобка есть не что иное, как U t k.

Т.к. t k в U t k. Следовательно, т.к. U t C k l k t, используя (3.4), Таким образом, C k в k имеем ряд Котельникова sin в t t k U t U. (3.6) в t t k k k Теорема: Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше Fв (Гц), может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени t=1/2 Fв (c).

3.3. Спектр дискретизированного сигнала Дискретизированный сигнал можно рассматривать как результат умножения первоначального непрерывного сигнала U(t) на сигнал i(t), состоящий из бесконечного числа единичных -импульсов i t t nTд, n где Tд – период дискретизации.

Эта операция дает дискретизированный сигнал U i t U t i t U nTд t Tд.

n Воспользовавшись теоремой о свертке S S u g S i g dg, где Su(...)– преобразование Фурье от функции U(t), Si(...)– преобразование Фурье от функции i(t).

Преобразование Фурье ряда, состоящего из -импульсов, как было показано выше (см. (2.38)), 2 2 n Si g g n g T, Tд n Tд n д отсюда 2 2 n 2 n S S u g T Su T.

g dg Tд n Tд n д д Следовательно, дискретизированный, или импульсно-модулированный сигнал Ui(t) имеет периодическое с периодом Fд преобразование Фурье S(), Tд интенсивность которого уменьшается в Tд раз. Если спектр Su() при FFв, или Fд2Fв, то S() является просто периодически обращается в ноль и Tд 2 Fв повторяемой функцией Su() (рис.3.5). Если Tд, то имеет место эффект 2 Fв наложения частот (рис. 3.6).

Su Su в 0 S S 0 д Рис. 3.5 Рис. 3. 4. Модулированные сигналы и их спектры Для передачи информации на расстояние применяются сигналы, эффективно излучаемые с помощью антенных устройств и способные распространяться в виде свободных радиоволн в среде, разделяющей источник информации от получателя информации.

Такими сигналами являются высокочастотные колебания. Передаваемая информация должна быть как-то заложена в высокочастотное колебание, называемое несущим. Частота этого колебания выбирается в зависимости от расстояния, условий распространения радиоволн и других факторов. Но в любом случае частота0 должна быть велика по сравнению с наивысшей частотой m спектра передаваемого сообщения. Любой сигнал можно, поэтому, трактовать как «узкополосный» процесс даже при передаче широкополосных сообщений.

4.1. Сигналы с амплитудной модуляцией (АМ) Физически процесс управления колебанием и называется модуляцией. Чаще всего в качестве несущего используют простое гармоническое колебание V=Ucos(t+).

Если переменной оказывается амплитуда сигнала U(t), а остальные параметры и неизменны, имеет место амплитудная модуляция несущего колебания u АМ U t cos0 t 0, (4.1) где U(t) — огибающая, cos(0t+0) — высокочастотное заполнение.

Причем при двухполосной передаче сигнал можно представить U t U 0 1 mX t, (4.2) где m — коэффициент модуляции, X(t) — передаваемое сообщение, U0 — амплитуда несущей в отсутствии модуляции.

Рассмотрим простейший случай однотональной модуляции.

Однотональная амплитудная модуляция – модуляция гармоническим колебанием частотой U АМ t U 0 1 m cost cos 0 t U 0m cos0 t U 0 cos0t 0 (4.3) U 0m cos0 t 0.

Отсюда следует, что однотональная модуляция симметрична относительно несущего колебания.

U SАМ U U U t U0m/2 U0m/ 0- 0 0+ 2/ U=mU 2/ Рис. 4.1 Рис. 4. U Из рис. 4.1 видно, что m. При неискаженной модуляции (m1) U амплитуда колебания изменяется в пределах Umin=U0(1-m) до максимальной Umax=U0(1+m).

На практике однотональные АМ сигналы используются редко. Гораздо более реален случай, когда модулирующий НЧ сигнал имеет сложный спектральный состав. Математической моделью такого НЧ сигнала может быть, например, тригонометрическая сумма N X t i cos i t i. (4.4) i Здесь частоты образуют упорядоченную возрастающую i последовательность 12...N, в то время как амплитуды i и начальные фазы i произвольны.

Подставив (4.4) в (4.1), получим N u t U 0 1 m i cos i t i cos0t.

i 1 Введем совокупность парциальных коэффициентов модуляции mi m i и запишем аналитическое выражение многотонального АМ-сигнала N u t U 0 1 mi cos i t i cos0t. (4.5) i 1 Спектральное разложение получается аналогично (4.3):

Um N u t U 0 cos0t 0 i cos0 i t i i Um N 0 i cos0 i t i. (4.6) i SАМ Sv Sx 0 n 1 Рис. 4.3 Рис. 4. Итак, спектр сложномодулированного АМ колебания помимо несущего содержит группы верхних и нижних боковых колебаний.

4.1.1. Балансная амплитудная модуляция (подавленная несущая) Значительная доля мощности обычного АМ сигнала сосредоточена в несущем колебании. Для более эффективного использования можно формировать АМ сигнал с подавленной несущей:

V БМ U 0 m cos t cos 0 t Um 0 cos0 t (4.7) Um 0 cos0 t.

VБМ SБМ t U0m/2 U0m/ 0- 0 0+ Рис. 4. Итак, здесь имеет место перемножение двух сигналов – модулирующего и несущего. Колебания вида (4.7) с физической точки зрения являются биениями двух гармонических сигналов с одинаковыми амплитудами U0m/2 и частотами, равными верхней боковой и нижней боковой.

Здесь при переходе огибающей биений через ноль, фаза высокочастотного заполнения меняется скачком на 180, поскольку функция cos(t+) имеет разные знаки слева и справа от нуля. В результате на выходе добротного контура не будет сигнала на частоте резонанса 0.

4.1.2. Однополосная амплитудная модуляция (ОБП) U 0m cos0 t.

VОБП t U 0 cos0t (4.8) SОБП 0 0+ Рис. 4. Чтобы найти огибающую сигнала, проведя преобразование, имеем:

Um VОБП t U 0 cos0t 0 cost cos0t U 0m sin t sin 0t (4.8’) Um m U 0 1 cost cos0t 0 sin t sin 0t.

2 В последнем выражении оба члена представляют собой произведение двух функций – медленной (частота ) и быстрой (частота Напомним, что b a sin t b cos t A sin t, где A a 2 b 2 ;

tg. Принимая во a внимание, что “быстрые” сомножители в выражении (4.8’) находятся между собой в квадратуре, вычисляем медленно изменяющуюся огибающую:

m m U t U 0 1 2 cost 4 sin t (4.9) m U 0 1 m cost, а в АМ колебании огибающая равна U 0 1 m cos t.

Спектр ОБП сигнала и огибающая приведены на рис. 4.7.

SОБП U/U АМ 1, m= ОБП 0, t 0 0 0+ 0+ 0+ Рис. 4. Как видно из (4.9) и рис. 4.7, амплитудное детектирование ОБП сигнала сопровождается искажениями.

Основное достоинство такого сигнала – уменьшение в два раза занимаемой полосы частот.

4.2. Сигналы с угловой модуляцией В несущем колебании V=U0cos(t+) можно изменять не только амплитуду, а также либо частоту, либо фазу, оставляя амплитуду постоянной.

Поскольку аргумент t+является полной фазой и определяет текущее значение фазового угла, такие сигналы получили название сигналов с угловой модуляцией.

4.2.1. Фазовая модуляция (ФМ) Если полная фаза процесса t 0 t kX t, где X(t) – сообщение, k – коэффициент пропорциональности, - значение частоты в отсутствии сообщения X(t), то имеем сигнал с фазовой модуляцией Vфм(t)=U0cos[t+kX(t)]. (4.10’) Если сообщение X(t)=const, то ФМ-сигнал X Xmax является простым высокочастотным сигналом.

Если X(t)=Acost, то с увеличением значений t сообщения X(t) полная фаза (t) растет во времени быстрее, чем по линейному закону. При Xmin уменьшении значений модулирующего н сообщения происходит спад скорости роста (t) VФМ Ф U во времени (см. рис. 4.8).

М В моменты времени, когда сигнал X(t) достигает t экстремальных значений, абсолютный угол между ФМ - сигналом и немодулированным U гармоническим колебанием оказывается в Немодулированное наибольшим.

колебание Рис. 4. Предельное значение этого фазового сдвига называют девиацией фазы. В общем случае, когда сообщение X(t) изменяет знак, принято различать девиацию фазы вверх в=kXmax и девиацию фазы вниз н=kXmin.

4.2.2. Частотная модуляция (ЧМ) Мгновенная частота (t) сигнала с угловой модуляцией определяется как первая производная от полной фазы по времени, т.е. мгновенная частота – это скорость изменения полной фазы:

d t - мгновенная частота. (4.11) dt Откуда, полная фаза равна:

t t d 0, (4.12) где 0 – начальная фаза в момент времени t=0.

При ЧМ - сигнале между сообщением X(t) и мгновенной частотой (t) будет связь вида t 0 kX t. (4.13) Поэтому из (4.12) и (4.13) t VЧМ t U 0 cos t U 0 cos d 0, 0 t VЧМ t U 0 cos 0 t k X d 0. (4.14) В соответствии с (4.13) параметрами ЧМ - сигнала Vн являются девиация частоты вверх в=kXmax и девиация частоты вниз н=kXmin t Рис. 4. Если X(t) - достаточно гладкая функция, то внешне осциллограммы ФМ и ЧМ - сигналов не отличаются. Однако имеет место принципиальная разница:

фазовый сдвиг между ФМ - сигналом и немодулированным пропорционален X(t), для ЧМ этот сдвиг пропорционален интегралу от X(t) (сравните (4.10’) и (4.14)).

Т.е. ЧМ и ФМ-сигналы ведут себя по-разному при изменении частоты модуляции и амплитуды модулирующего колебания.

При ЧМ девиация частоты ~ a (амплитуде НЧ - сигнала), в то же время девиация частоты не зависит от частоты модулирующего сигнала.

, m, m m= a ~a =m m= 0 0 ЧМ ФМ Рис. 4. При ФМ индекс модуляции m ~ a - амплитуде НЧ - сигнала независимо от частоты модуляции. Как следствие этого, девиация частоты при фазовой модуляции линейно увеличивается с ростом частоты модулирующего сигнала.

Таким образом, при гармоническом модулирующем сигнале различие между ЧМ и ФМ можно выявить, только изменяя частоту модуляции.

4.2.3. Общие соображения о спектре сигналов с угловой модуляцией Если колебание V(t)=U0cos[t+t получено с помощью ФМ, то tи X(t) полностью совпадают по форме и отличаются лишь постоянными коэффициентами. При этом, очевидно, с точностью до постоянного коэффициента совпадают спектры функций tи X(t).

При ЧМ функция tявляется интегралом от передаваемого сообщения X(t).

Т.к. интегрирование является линейным преобразованием, то при ЧМ спектр функции tсостоит из тех же компонент, что и спектр сообщения X(t), но с измененными амплитудами и фазами.

Отвлекаясь от способа осуществления угловой модуляции и считая заданным спектр функции tнаходим спектр модулированного колебания VtДля этого выражение (4.15) преобразуем к виду:

V t U 0 cos t cos 0 t U 0 sin t sin 0 t u c t u s t (4.16) Из этого выражения следует, что модулированное по углу колебание можно рассматривать как сумму двух квадратурных колебаний: косинусного uc и синусного us, каждое из которых модулировано только по амплитуде. Закон АМ для косинусного колебания определяется медленной функцией cost), для синусного — функцией sint). Но для определения спектра АМ колебания достаточно сдвинуть на частоту спектр огибающей амплитуд. Следовательно, для нахождения спектра колебания u(t), определяемого выражением (4.16), необходимо найти сначала спектры функций cost) и sint), т.е. спектры огибающих квадратурных колебаний.

Из приведенных рассуждений следует, что при одном и том же передаваемом сообщении спектр колебания, модулированного по углу, значительно сложнее, чем спектр модулированного по амплитуде. Действительно, т.к. cost) и sint) являются нелинейными функциями своего аргумента t), то спектры этих колебаний могут существенно отличаться от спектра функции t).

Это обстоятельство, а также наличие двух квадратурных слагаемых, показывает, что при угловой модуляции спектр модулированного колебания нельзя получить простым сдвигом спектра колебания на величину несущей частоты, как это имеет место при АМ.

4.2.4. Спектральное разложение ЧМ и ФМ сигналов при малых индексах модуляции Задачу о представлении сигналов с угловой модуляцией посредством суммы гармонических колебаний несложно решить в том случае, когда m1. Для тонально-модулированного колебания V(t)=U0cos[t+tт.к. tmsin t, имеем V(t)=U0cos[t+msint Для этого преобразуем эту формулу следующим образом:

V t U 0 cos m sin t cos 0 t U 0 sin m sin t sin 0 t, т.к. m1, то cos m sin t 1, sin m sin t m sin t.

Отсюда V t U 0 cos 0 t U 0 m sin t sin 0 t, т.е.

mU 0 mU V t U 0 cos 0 t cos0 t cos0 t (4.17) 2 Таким образом, при m1 в спектре SЧМ сигнала с угловой модуляцией U содержатся несущая и верхняя и нижняя боковые. Индекс m играет здесь такую mU0/ же роль как и в АМ - сигнале.

0- Однако колебание нижних боковых 0 0+ частот имеет сдвиг по фазе 180.

-mU0/ Рис. 4. При увеличении фазового отклонения, т.е. при возрастании m, уравнение (4.17) и спектр не дают правильного представления о действительной картине явлений при ЧМ и ФМ. Это объясняется тем, что с помощью колебаний несущей частоты и всего лишь одной пары боковых частот невозможно представить колебание, частота которого или фаза изменяется в широких пределах, а амплитуда остается строго постоянной. Для получения правильной картины необходимо учитывать боковые частоты высших порядков.

4.2.5. Спектр сигнала с угловой модуляцией при произвольном значении индекса модуляции Итак, при тональной угловой модуляции U t U 0 cos0 t m sin t U 0 Re e j0t e jm sin t. (4.18) В теории бесселевых функций доказывается, что экспонента exp{+jmsinZ}, периодическая на отрезке -Z разлагается в периодический ряд Фурье J k m e jkZ, e jm sin Z (4.19) k где m – любое вещественное число, Jk(m) – функция Бесселя k – порядка от аргумента m (рис.4.12).

J JK J 0, 0 m m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -0, Рис. 4. Сравнивая (4.18) и (4.19) и подставляя Z=t, перепишем (4.18) так:

j0t U t U 0 Re e e J k m e jkt j0t jm sin t U 0 Re e (4.20) k Отсюда получаем следующую модель ЧМ-ФМ - сигнала с любым значением индекса модуляции U t U 0 J k m cos0 kt k Напомним, что при m1 ширина спектра ЧМ, как и у АМ, равна 2. При значении m в пределах от 0,5 до 1 приобретает некоторое значение вторая пара боковых частот, ввиду чего ширина спектра приблизительно равна 4. Далее при 1m2 приходится учитывать третью и четвертую пары боковых частот и т.д.

JK/U JK/U U0 – амплитуда несущего колебания 1, 1, k=0 0, 0, 0, 0,6 k= k=- k=-1 k= 0, 0,4 k= k=-2 k= 0,2 k=-3 k=-2 k=2 0, k=3 k=-3 k= 0 m= m= Рис. 4. Фазы колебаний на этих рисунках не учитываются, однако следует иметь в виду что, при нечетных k амплитуды нижних боковых следует брать со знаком минус. Дело в том, что в теории Бесселевых функций доказано, что функции с положительными и отрицательными индексами J k m 1 J k m, k поэтому начальные фазы боковых колебаний с частотами 0 + k и 0 kсовпадают, если k четное, и отличаются на 180, если k нечетное.

Чем больше индекс k функции Бесселя, тем протяженнее область аргументов, при которых эта функция мала. Важно отметить, что с ростом индекса модуляции m расширяется полоса частот, занимаемая сигналом. Обычно полагают, что допустимо пренебречь всеми спектральными составляющими с номером k m+1.

Отсюда следует оценка практической ширины спектра с угловой модуляцией Ппр=2kили Ппр=2(m+1) Как видно, реальные ЧМ и ФМ - сигналы характеризуются условием m1, итак, Ппр2m.

Таким образом, сигнал с угловой модуляцией занимает полосу, приблизительно равную удвоенной девиации частоты.

Отметим, что для передачи АМ – сигнала требуется полоса в m раз меньшая.

Большая полоса, занимаемая ЧМ и ФМ, обусловила их большую помехозащищенность, однако в целях радиосвязи их применение целесообразно в диапазоне УКВ (метровых и более коротких волн).

Вопрос: Возможно ли отсутствие в спектре ЧМ несущего колебания на частоте 0? Ответ: Да, т.к. при перераспределении мощность Vm по частотным составляющим в соответствии с Jn(m) может быть J0(m)=0.

4.3. Дискретизация узкополосного сигнала (теорема Котельникова для узкополосного сигнала) Пусть задан сигнал U t V t cos0 t t, спектр которого заключен в узкой полосе частот от 1 до 2 так, что модуль спектральной плотности равен Su()(рис.4.14). Причем в пределах полосы спектр не обязательно симметричен относительно центральной частоты 0 1.

Su SV( -2 -0 -1 1 0 2 0 Рис. 4. Под узкополосностью сигнала понимается F 1, f где F F2 F1 - полоса частот модуляции.

Предполагается, что V(t) является простейшей огибающей. Если при дискретизации подобного сигнала исходить из теоремы Котельникова 1, где fв = f2 – наивысшая частота спектра, то это не целесообразно, t 2 fв 2 f т.к. информация о сигнале заложена не в частоту f2, а в огибающую V(t), или в фазу (t), которые изменяются медленно с относительно низкими частотами модуляции.

Перейдем к комплексному сигналу U t V t e j t V t e jt e j 0t V t e j 0t.

(4.22) Здесь комплексная огибающая V t V t e jt представляет собой НЧ - функцию, спектр которой примыкает к нулевой частоте (рис.4.15). Разложим комплексную функцию V t V t e jt по ортогональной системе V t C n ln t, (4.23) n Базисная функция системы:

sin в t nt ln t, (4.24) в t nt SV 1 где t, в 2Fв.

2 Fв F Отсюда выражение (4.22) имеет вид:

t С n l n t e j 0t.

U в n Рис. 4. U(t) Определим теперь исходные колебания как реальную часть комплексного сигнала U t Re C n ln t e j t. (4.25) n Как видим, задача дискретизации высокочастотного колебания свелась к задаче дискретизации комплексной огибающей V t, т.е. необходимо исходить из 1 наивысшей частоты в огибающей t.

F 2 Fв Используя (4.25) и (4.24), получаем по аналогии с рядом Котельникова для НЧ - сигнала:

sin в t nt cos0t nt.

U t Vn nt (4.26) в t nt n Итак, если модулирующая функция ограничена по спектру частотой Fв, то узкополосный сигнал можно дискретизировать во времени с интервалом t.

2 Fв T При заданной длительности сигнала Tс число отсчетных точек n c Tc F, t причем в каждой точке должны быть заданы в общем случае два параметра:

V(nt) и (nt).

Так как при амплитудной модуляции фаза высокочастотного заполнения постоянна, то АМ колебание определяется значениями своих амплитуд, взятыми, где Fв – верхняя частота в спектре модулирующей через интервал t 2 Fв функции (т.е. в функции передаваемого сообщения).

II. Основы теории радиотехнических цепей 5. Классификация и описание цепей Схемы, применяемые для создания, преобразования, передачи и обработки сигналов, весьма разнообразны по принципам построения, методам их математического описания и внешним характеристикам.

Радиоэлектронное устройство независимо от своего назначения и уровня представляет собой совокупность физических объектов, между которыми существуют определенные взаимодействия. В структуре устройства можно выделить вход, на который подается исходный сигнал, и выход, откуда снимается преобразованный сигнал. Если интересуются лишь связью между сигналами и не описывают внутренние процессы, то говорят, что система представляет собой “черный ящик”. Закон связи между сигналами U вх и U вых задают U вых U вх системным оператором T, т.е.

T Двх Двых U вых TU вх. (5.1) Чтобы полностью определить задачу следует указать область Двх некоторого функционального пространства – область допустимых входных воздействий и Двых – область допустимых выходных сигналов.

Математической моделью системы называют совокупности системного оператора Tи, а также двух областей допустимых сигналов Двх и Двых.

5.1. Классификация цепей 1) По зависимости реакции от времени поступления сигнала.

Система стационарна, если ее выходная реакция не зависит от того, в какой момент времени поступает входной сигнал, т.е. из (5.1) следует:

U вых t t 0 TU вх t t 0 при любом t0.

Стационарные системы называют также системами с постоянными во времени параметрами.

2) По выполнению принципа суперпозиции.

Если оператор системы такой, что справедливы равенства T U вх1 U вх 2 TU вх1 TU вх, (5.2) T U вх T U вх где - произвольное число, то система линейная.

3) По соотношению характерного размера и длины волны.

Если - система сосредоточенная, если - система распределенная.

5.2. Методы математического описания линейных цепей Линейная радиоэлектронная цепь представляет систему соединенных в разных конфигурациях линейных элементов (R, L, C), для которых выполняется принцип суперпозиции.

5.2.1. Элементы электрических цепей а) Двухполюсники Сложная цепь (или отдельный ее участок), имеющая два отдельных зажима (полюса), к которым может быть подключен источник питания или другие электрические цепи, называется двухполюсником.

Двухполюсник (или многополюсник) называется пассивным, если в нем нет источников энергии. Если же он содержит в себе источник энергии, его называют активным.

Входным импедансом пассивного двухполюсника называется сопротивление между его полюсами.

U iвх Z вх вх.

I вх Uвх Проводимость I Zвх вх.

Gвх Z вх U вх Вспомним из курса общей физики: ЭДС, индуктируемая на зажимах индуктивности:

di UL L L, dt i L U L dt, (5.3) L Z L j L, т.е. индуктивность запасает энергию в магнитном поле.

Через емкость C проходит ток смещения:

dU C iC C, dt U C iC dt, (5.4) C ZC, j C т.е. емкость запасает энергию в электрическом поле.

Закон Ома для участка цепи с активным сопротивлением, рассеивающим энергию UR iR. (5.5) R б) Четырехполюсники Четырехполюсником называется сложная цепь, имеющая четыре зажима, к которым могут подключаться источники питания или другие электрические цепи.

I1 I U1 U Рис. 5. U KU 2 – комплексный коэффициент передачи напряжения;


U I K I 2 – комплексный коэффициент передачи тока;

I U Z вх 1 – входной импеданс;

I U Z вых 2 – выходной импеданс.

I в) Источники энергии Источник напряжения - такой источник, у которого напряжение на выходных зажимах не зависит от свойства цепи, являющейся внешней по отношению к источнику (Rвн=0). Реальный источник напряжения имеет какое-то сопротивление, поэтому реальные источники напряжения изображаются в виде последовательной схемы.

eг Rг Источник тока – источник, у которого сила тока, проходящего через его внешние зажимы, не зависит от свойства цепи, внешней по отношению к источнику (Rвн=). Реальные источники тока изображаются в виде параллельной схемы.

Rг eг 5.2.2. Метод контурных токов Сложная электрическая цепь состоит из узлов и ветвей.

Рассмотрим для примера следующую схему:

R1 3 C1 i1 4 i2 L 2 C i3 R e(t) i i Рис. 5. Узлы – это такие точки схемы, в которых соединяются не менее трех двухполюсников, содержащих только последовательно соединенные элементы.

Ветвями называются пассивные или активные двухполюсники, включенные между двумя узлами и составленные из последовательно соединенных пассивных элементов и (если они есть) из источников энергии.

Используя I и II законы Кирхгофа, можно составить дифференциальные уравнения, полностью описывающие эту цепь.

По I закону Кирхгофа – алгебраическая сумма n токов, сходящихся в узле, n Ik 0. (5.6) k Первоначально направление токов можно принять произвольно. Так, можно считать, что токи, направленные к узлам,– положительные, токи, вытекающие из узлов, – отрицательные.

Если в результате расчета для каких-либо токов получатся отрицательные значения, это будет означать, что их действительное направление противоположно заданному.

При составлении системы уравнений надо помнить, что для того, чтобы уравнения были линейно независимыми, достаточно, чтобы каждое последующее уравнение содержало, по крайней мере, на одно неизвестное больше, чем предшествующее.

Второй закон Кирхгофа относится к замкнутым контурам. Согласно этому закону, M N Ik Z k en, (5.7) k 1 n где M – число импедансов, входящих в контур;

N – число ЭДС, действующих в контуре.

Направление обхода контура можно выбрать произвольно. В тех случаях, когда направление тока (падение напряжения) или ЭДС совпадают с направлением обхода, соответствующее слагаемое берется с одним (например, положительным знаком);

если не совпадает – с обратным знаком.

Надо иметь в виду: падение напряжения направлено так же, как и ток: от более высокого потенциала (плюса) к более низкому (минусу).

Что касается ЭДС, то ее, наоборот, надо считать направленной от минуса к плюсу. В том случае, когда направление ЭДС и тока через генератор совпадают, последний отдает энергию;

если же они противоположны, то данный генератор потребляет энергию (т.е. работает в “двигательном режиме”).

При выборе замкнутого контура следует руководствоваться тем, чтобы каждый последующий контур отличался от предыдущих хотя бы одной ветвью.

Тогда будет соблюдено правило о независимости уравнений, составляющих систему.

Пример: Составим систему уравнений для нашей цепи (рис. 5.2) Введем следующее понятие:

Контурные токи, это те токи, которые проходили бы в каждом из контуров, если бы эти контуры не имели общих ветвей, т.е. были бы изолированы друг от друга.

В соответствии с этим контурный ток i1 обтекает цепь e, R1, C1, C2, контурный ток i2 - C2, L, R2. Примем одинаковое направление контурных токов (например, по часовой стрелке).

При обходе всех контуров в одном направлении, совпадающем с выбранным положительным направлением контурного тока, в левой части уравнения для данного контура суммируются с положительным знаком. В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма действующих в контуре ЭДС, причем ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода, считается положительным направлением. Число необходимых для решения задачи уравнений в данном методе равно числу независимых контуров n N1 N 2 1, (5.8) где N1 – число ветвей, N2 – количество узлов.

В нашем примере N2=2, N1=3, следовательно, число независимых контуров n=3-(2-1)=2. Это же число можно определить по числу разрывов, которые можно провести в цепи, чтобы в ней не осталось замкнутых контуров.

Проверка: Порядок дифференциального уравнения определяется числом независимых элементов, запасающих энергию. Причем, емкости, включенные параллельно, считаются за один накопитель, индуктивности, через которые течет один и тот же ток - один накопитель.

По I закону Кирхгофа, i3+i1=i2, i3=i2-i1.

По II закону Кирхгофа, U U U e, контур R1 C1 C I контур U L U R U C 0.

II 2 1 i2 i1 dt e, i1 R1 i1dt C C di i2 i1 dt 0, C L 2 i2 R dt или di1 1 1 de C C i1 C i2 dt, R1 dt 2 L d i2 R di2 1 i 1 i 0.

2 2 dt 2 dt C 2 C Из второго уравнения системы имеем d 2 i2 di i1 LC 2 2 R2C 2 2 i2, подставив i1 в первое уравнение системы dt dt получили относительно i2 уравнение третьего порядка (т.е. имеем три элемента, накапливающих энергию).

5.2.3. Временной метод анализа линейных стационарных цепей Для исследования прохождения сигналов через электрические цепи целесообразно воспользоваться замечательным свойством линейных цепей – принципом суперпозиции.

а) Импульсная характеристика цепи Пусть некоторая стационарная система описывается оператором Т.

Импульсной характеристикой g(t), которая используется для описания цепи во временной области, называется функция, являющаяся откликом на импульс g(t)=Т(t). Т.к. система стационарна, то аналогично g(t-t0)=Т(t-t0).

Зная импульсную характеристику линейной стационарной системы, можно, в принципе, решить любую задачу о прохождении детерминированного сигнала через такую систему.

Известно, что сигнал можно представить в виде U вх t U вх t d, т.е. заданное колебание можно рассматривать как бесконечную последовательность смещенных импульсов, умноженных на значение заданного сигнала в моменты, соответствующие смещениям.

Uвх(t) Тогда, отвечающая сигналу выходная реакция U вых t TU вх t T U вх t d. Учитывая, что интеграл есть предельное значение суммы и, используя принцип суперпозиции, можно внести знак оператора Т под знак интеграла.

U вых t U вх T t d, но T t g t.

Т.е., так как в линейной системе работает принцип суперпозиции, то, определив реакцию на один импульс, можно установить реакцию и на воздействие Uвх(t) как сумму реакций от каждого входного воздействия в отдельности. Следовательно, U вых t U вх g t d. (5.9) Подстановкой t можно получить после изменения порядка интегрирования другую форму:

U вых t U вх t g d. (5.9’) Итак, чтобы получить сигнал на выходе, нам надо провести свертку функций Uвх(t) и g(t).

На основании соотношения (5.9) импульсной характеристике g(t) можно придать другой смысл: g() есть «весовая функция» т.е. сигнал на выходе цепи Uвых(t) в момент t получается суммированием мгновенных значений входного сигнала Uвх(t), взятых с весом g(t-) за все предыдущее время.

Интеграл Дюамеля носит нелокальный характер, т.е. для получения значения Uвых в одной точке t необходимо изучить сигнал на всем времени существования +.

U вых t U вх g t d.

Uвх t g() 0 u 0 g g(-) g(t-) g(t-) U() t 0 t-g u Рис. 5. На этом рисунке проиллюстрирован временной подход при анализе отклика системы. Видно, что отклик цепи на воздействие Uвх() не может закончиться раньше, чем функция g(t-) сместится вправо от окончания Uвх() на время, равное длительности импульсной характеристики g. Иными словами, 1. Сигнал на выходе цепи не может быть короче u+g. выхu+g 2. Сигнал на выходе не может появиться до момента его появления на входе.

Для того чтобы при прохождении через цепь сигнал не удлинялся, требуется выполнить условие g0, т.е. g() должно приближаться к - функции, а это равносильно требованию равномерности передаточной функции K j при 0, что физически не реализуемо.

б) Переходная характеристика цепи Отклик цепи с оператором Т на воздействие, имеющее вид «единичного скачка» (t), называется переходной функцией h(t) h(t)=T(t).

Т.к. такое воздействие является интегралом от - функции (t)=d/dt, то между h(t) и g(t) существует интегральное соотношение d dT dh g t T t T, (5.10) dt dt dt т.е.

t dh ht g x dx, g t. (5.11) dt Без вывода покажем форму интеграла Дюамеля, выраженную через переходную характеристику:

t dU вх U вых t U вх 0 ht ht d.

(5.12) d в) Частотный коэффициент передачи цепи Покажем, что комплексный сигнал U вх t e jt при любом значении частоты есть собственная функция линейного стационарного оператора T. Для этого воспользуемся интегралом Дюамеля вида (5.9’).

вых t e j t g d g e j d e jt.

U Для системного оператора T U вых TU вх Te jt. Отсюда имеем T K j g t e j t dt – частотный коэффициент передачи системы (5.13).

Иначе говоря, если на входе четырехполюсника действует импульс ЭДС, (спектральная плотность его равна единице для всех частот), то спектральная плотность выходного напряжение равна просто K j. Отсюда отклик на единичный импульс ( импульс), т.е. импульсную характеристику цепи получаем с помощью обратного преобразования Фурье g t K je d.

j t (5.14) Т.е. частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье.

Обозначим K j — АЧХ, — ФЧХ этой системы.

K j K j e j.

(5.13’) Приведем без вывода связь переходной характеристики с частотой:

K 0 1 K j K 0 1 K j j t ht cos t d (5.15) j e d 2 2 2 Из этих выражений видно, что всякое изменение частотных характеристик четырехполюсника K j, влечет за собой изменение временных характеристик четырехполюсника (g(t) и h(t)).

Изменение полосы пропускания связано с изменением масштаба частот, т.е.

при сжатии замена переменной на n При этом функция K 1 j переходит в функцию K 2 j K1 jn – сжатие сигнала по спектру в n раз.


K K 2 j K1 jn K 1 j Рис. 5. Пусть четырехполюсникам соответствуют импульсные характеристики g1 t K1 je d, j t 1 g 2 t K 2 je d 2 K1 jne d, j t j t 2 введя x=n, имеем:

t t 1 1 j jx g 2 t K1 jx e n dx K1 j e n d.

2n 2n Из сравнения g1 и g2 видно, что если K j K jn, то 2 1 t g 2 t g1 (5.16) n n Аналогичная зависимость существует и между переходными характеристиками. Действительно проинтегрируем (5.16) от 0 до t:

t t t t n t t t t h2 t g 2 t dt g1 n dt g1 n d n g1 d h1 n.

n0 0 0 Следовательно, сжатие частотной характеристики в раз приведет к растяжению импульсной и переходной характеристик в то же число раз. Иначе говоря, чем уже (шире) полоса частот, пропускаемых каскадом, тем медленнее (быстрее) при прочих равных условиях, протекают в ней переходные процессы.

5.2.4. Спектральный метод анализа стационарных цепей В основе этого метода лежит использование частотной передаточной функции цепи K j.

Если на входе линейного четырехполюсника действует сигнал произвольной формы U вх t, то в соответствии с прямым преобразованием Фурье его спектральная плотность S вх U вх t e jt dt.

(5.17) Умножая S вх на K j, определяется спектральная плотность сигнала на выходе четырехполюсника, т.е.

Sвых K Sвх 0 1 4 2 2 3 Рис. 5. S вых S вх K j.

Применяя обратное преобразование Фурье, имеем вых t 1 S вх K j e jt d.

U (5.18) Сравнение (5.17) и (5.18) показывает, что сигнал на выходе линейной цепи можно получить суммированием составляющих спектра S вх, взятых с весом K j.

5.2.5. Понятие комплексной частоты Спектральные методы основаны на том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слагаемых, каждое из которых периодически изменяется во времени по закону ejt.

Обобщение этого принципа заключено в том, что вместо комплексных экспоненциальных сигналов с чисто мнимыми показателями вводят в рассмотрение экспоненциальные сигналы вида et, где j - комплексная частота, и e*t, где * j.

Из двух таких комплексных сигналов можно составить вещественный сигнал e t e *t U t j t e j t t e Действительно, при этом U t e e t cos t.

В зависимости от выбора вещественной и мнимой частей комплексной частоты можно получить разнообразные вещественные сигналы (рис. 5.6). Так, при =0, но 0 получаем обычное гармоническое колебание вида cos t.

U(t) U(t) U(t) =0 0, =0 0, = t t t 0 0 Рис. 5. Если же =0, то в зависимости от знака получаем либо нарастающую (0), либо спадающую экспоненту (0).

Более сложную форму такие сигналы приобретают, когда 0. Здесь множитель et описывает огибающую которая экспоненциально меняется во времени (рис. 5.7).

U(t) U(t) 0 t 0 t Рис. 5. Понятие комплексной частоты оказывается весьма полезным прежде всего потому, что дает возможность, не прибегая к обобщенным функциям, получать спектральные представления сигналов, математические модели которых не интегрируемы.

5.2.6. Представление сигналов на плоскости комплексной частоты Анализ прохождения сигналов через линейные цепи, описываемые комплексной передаточной функцией, значительно облегчается при использовании методов контурного интегрирования на плоскости комплексной частоты j.

Переход от действительной переменной к =+j позволяет также полностью устранить ограничения, вытекающие из требования абсолютной интегрируемости функции U(t).

Представим функцию U(t), в общем случае существующую при -t, в виде суммы двух функций U t U t U t, (5.19) из которых U t задан при -t0, U t задан при 0t.

Вспомним преобразование Фурье (2.23) и (2.24) S U t e dt j t (5.20) U t S e d.

j t Совершим здесь переход от к для функции U t. Для этого домножим U t на e 1t, где 10, тогда второе уравнение системы (5.20) будет следующим:

U t e S e 1t j t d, (5.21) 2 e 1tU t, S+() – спектральная плотность функции здесь т.е.

S e 1tU t есть пара преобразований Фурье.

d Подставляем в (5.21) j 1,, тогда d, j j j 1 1 t t 1t d.

e U S e Отсюда, умножив обе части 2j 1 j j j t, имеем U t 1t S j 1 e d, равенства на e 2j 1 j j t L e d t U 2j 1 j Здесь L+() – спектральная плотность сигнала e 1tU t, т.е.

из ( 5.21) L S j S e U t e dt.

1t j t Откуда L U t e t dt.

(5.23) Это односторонние преобразования Лапласа для сигналов с положительным временем 0t.

Сравнение выражений (5.20) и (5.22), (5.23) показывает, что переход от к означает изменение пути интегрирования. В преобразовании Фурье (5.20) интегрирование ведется по действительной оси А в преобразовании Лапласа (5.22) по прямой, проходящей параллельно мнимой оси j на расстоянии вправо от этой оси. Значение 1 определяется характером подынтегральной функции в (5.22). Путь интегрирования должен проходить правее полюсов этой функции (рис. 5.8).

Добавлением к прямой 1-j, 1+j дуги j бесконечно большого радиуса можно образовать 1+j замкнутый контур. Для того чтобы добавление этой дуги не привело к изменению значения интеграла, нужно соблюдать следующее: при положительных t контур должен быть в левой полуплоскости при отрицательных t — в правой полуплоскости (рис. 5.9). Тогда, в соответствии с теоремой вычетов 1-j Рис. 5. j n 11 U t L e t d L e t d resi.

2j (5.24) 2j 1 j i Аналогичные рассуждения можно провести для функции U-(t) 2 j t L e d, t U 2j 2 j (5.25) L U t e t dt.

j Выражения (5.22), (5.23) и (5.25) можно объединить:

2+j LU L L – двустороннее 1 U t U t U t преобразование Лапласа.

2-j Рис.5. Учитывая соответствие преобразований Фурье и Лапласа, можно по аналогии получить выражение для отклика сигнала на выходе линейного четырехполюсника.

j вых t L K e d, t U 2j j где L() преобразование Лапласа от входного сигнала U t, K() – передаточная функция в виде преобразования Лапласа, j. В соответствии с ранее изложенным, при t0 замыкаем контур в левой полуплоскости,так, чтобы полюсы оказались внутри контура. Следовательно, n вых t 1 L K e t d resi 2j U, t0, (5.26) i C Представим подынтегральную функцию в виде L K e t. В данном D случае знаменатель D() образуется произведением множителей вида (-i), где C i- полюсы подынтегральной функции. Тогда вычет, имеющий в точке i D простой полюс, определяется функцией C i resi. (5.27) dD d i C имеет в точке i полюс кратности k (k – целое Если функция D положительное число), то d k 1 C i k.

resi (5.28) k 1 (k 1)! d D i 6. Линейная фильтрация Проблема приема сигналов и их обработки (особенно в условиях воздействия помех) зачастую решается достаточно эффективно методами частотной селекции (связь, радиолокация), методами накопления полезного сигнала (радиометрия), методами согласованной фильтрации и т.д.

Назначение линейного фильтра – выделение из состава сложного электромагнитного колебания, подведенного ко входу фильтра, частотных составляющих, расположенных в заданной полосе частот, и подавления тех частотных составляющих, которые расположены в других полосах частот.

По взаимному расположению полос пропускания и задерживания различают фильтр нижних частот (ФНЧ), фильтр верхних частот (ФВЧ) и полосовой фильтр (ПФ).

K K K 1 c c ФВЧ ПФ ФНЧ Идеальные АЧХ фильтров Рис. 6. K K 0 Режекторный фильтр Гребенчатый фильтр Рис. 6. Синтез фильтров базируется на теории четырехполюсников и требует выполнения условий их физической реализуемости.

6.1. Условия физической реализуемости линейных четырехполюсников При теоретическом определении импульсной характеристики g(t) или частотного коэффициента передачи K j часто возникает вопрос о возможности практического осуществления устройств с найденными характеристиками (о возможности их физической реализации).

Требование физической реализации накладывает на g(t) и K j определенные ограничения:

Для g(t):

а) g(t)=0 при t0, потому что четырехполюсник не может реагировать на импульс до его подачи.

б) lim g t 0, т.к. в любой реальной линейной системе колебания не могут t передаваться бесконечно долго.

Время, при котором g(t)0, называется памятью четырехполюсника - g выхвх+g Для K j :

Пользуясь связью K j и g(t), можно сформулировать требования физической реализуемости для K j.

в) Согласно теории интегрирования, в комплексной области для физически реализуемого четырехполюсника функция K не должна иметь полюсов в правой полуплоскости комплексного переменного и на мнимой оси j Иными словами, требуется, чтобы K была аналитической функцией комплексного переменного в области Re и на мнимой оси.

г) Простейшее ограничение связано с тем, что импульсная характеристика g(t) такой системы должна быть вещественна в силу свойств преобразования Фурье. Это означает, что должно быть K j K * j.

(6.1) д) Критерии Пэли-Винера ln K d. (6.2) По существу, это требование ограниченности сигнала U(t) по времени.

Примеры:

1) Идеальный ФНЧ не реализуем, т.к. обращение в 0 K, а значит и K, противоречит условию Пэли-Винера (6.2) (ln0).

0 c, 1, K K c.

0, 0 c Рис. 6. 2) Определить, реализуем ли четырехполюсник с коэффициентом передачи j B K j.

1 j B Операторный коэффициент передачи:

pB K.

1 pB Здесь одна особая точка =-1/B, которая при B0 лежит в левой полуплоскости. Следовательно, такой четырехполюсник реализуем.

Не ставя перед собой задачи синтеза фильтрующих цепей, рассмотрим некоторые реализации линейных фильтров в виде последовательности пассивных элементов.

6.2. Фильтры нижних и верхних частот 6.2.1. ФНЧ (фильтр нижних частот) Для создания ФНЧ требуются звенья двух видов: 1-го порядка с единственным вещественным полюсом и звено 2-го порядка, имеющее пару комплексно-сопряженных полюсов.

Последовательная ветвь фильтра должна иметь ничтожное сопротивление для постоянного тока и нижних частот;

вместе с тем, для того чтобы высшие частоты задерживались фильтром, последовательное сопротивление должно расти с частотой. Этим требованиям удовлетворяет индуктивность L, т.к. Z L jL.

.

Zпосл.

Zпарал Рис. 6. Параллельная ветвь фильтра, наоборот, должна иметь малую проводимость для низких частот, с тем, чтобы токи этих частот не шунтировались параллельным плечом. Для высоких частот параллельная ветвь должна иметь большую проводимость, тогда колебания этих частот будут шунтироваться и ток на выходе будет ослаблен. Этим условиям отвечает емкость С, т.к. Z C, т.е.

j C возможны следующие варианты:

L R L R C C Рис. 6. Последовательная RC-цепь.

По второму закону Кирхгофа, VR VC et, R VR i ~e iR idt et.

V C C C Рис. 6. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения решаем символическим методом, учитывая, что i Ie jt, et Ue jt 1 jt jt RIe jt Ie Ue, jC Разделив обе части на ejt, имеем U R RI 0 RI I U, (6.3) I jC или U R U C U.

Здесь U R и U C - комплексные амплитуды напряжений на активном сопротивлении и емкости.

UC X C I U Вектор U R совпадает с током по фазе, вектор U C отстает от тока на Дело в том, что для емкости:

Рис. 6. dVC если VC U C cos t, тогда iC C CU C sin t CU C cos t, т.е. ток dt через емкость опережает напряжение на емкости.

Из диаграммы (рис.6.7) видно, что ток I опережает по фазе приложенное напряжение U на угол который определяется выражением X tg C, (6.4) R где u i Решая (6.3) относительно I, имеем, т.к. X C, C U U U I.

1 1 Z вх R R j j C C а) Комплексное входное сопротивление U Z вх R j R j XC.

I C Итак, у RC-цепи у емкости реактивное сопротивление отрицательно.

1 R 2 2 C Z вх R 2 X C R.

2 C 2 C б) Частотные характеристики RC - цепи (ФНЧ) U I Z вых Z вых K X j вых K X e jC, U вх I Z вх Z вх R где - C вых вх - сдвиг фаз между выходным и входным IC U вых напряжением. С0, если выходное напряжение отстает от U вх входного.

Рис. 6. Im K X K x Im 2 K X Re 2 K X, C arctg Re K, X ZX 1 jRC K X j 1 jRC 1 2 R 2C RZ X c arctg RC |К| С 1 /2 KX. К 1 R C / |К| 0 гр Рис. 6. UI U U Если учесть, что PX, ток через емкость I, то 1 XC C U2 U 2 C PX WC max, 2 XC CU где WC max - максимально запасенная энергия в емкости.

P WC max Можно ввести понятие добротности цепи: Q X. Отсюда Q.

PR PR, а PT WRT, то Так как T W Q 2 C max.

WRT Добротность пропорциональна отношению максимально запасенной энергии к энергии потерь, расходуемой за период.

6.2.2. ФВЧ (фильтр верхних частот) Если в RC цепи выходным является напряжение на X сопротивлении, то будет ФВЧ. Коэффициент передачи U вых R U вх этого фильтра:

Рис. 6. j Z R 1 RC, K R j вых 1 1 Z R 1 j 1 2 2 вх j C RC RC R arctg, (6.7) RC K R j. (6.8) 1 2 2 RC Коэффициент передачи этого фильтра можно представить в следующем виде:

K R K R e j R, где R – сдвиг фаз между выходным и входным напряжениями (R0, если выходное напряжение отстает от входного).

Здесь величина RC= имеет размерность времени и называется постоянной времени RC цепи.

Чем меньше постоянная времени RCтем более пологой получается характеристика K.

|К| Рассмотренные цепи, как K 1 видно из рис. 6.10 и 6.11 могут |К| быть названы частотно 0, избирательными.

Полосой пропускания гр фильтров условно можно принять 0 область частот, в которой отклик R не становится меньше чем в 2 раз, -/ K т.е. K пр 0 0,707.

-/2 Рис. 6. Из выражений (6.6) и (6.8) видно, что частота, соответствующая границе полосы пропускания, гр=1/ (6.9) Этой частоте, соответствует фазовый угол гр=/4.

6.3. Полосовая фильтрация Простейшим полосовым фильтром является колебательный контур, образованный элементами L, C и R.

Последовательный колебательный контур C UC UX L UL e=E I RГ R UR Рис. 6. Цепь второго порядка, составленная из последовательно соединенных L, C, R называется последовательным колебательным контуром. По второму закону Кирхгофа UR+UL+UC=e.

Будем считать, что амплитуда напряжения на зажимах генератора не зависит от тока в цепи, это равносильно тому, что Ri=0 и UГ=E (генератор напряжения).

По второму уравнению Кирхгофа di Ri L idt e, (6.6) dt c где е – мгновенное значение ЭДС генератора. Продифференцируем уравнение (6.6) по времени:

d 2i di 1 de L 2 R i. (6.7) dt c dt dt Это неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Т.к. имеем дело с гармоническими колебаниями, запишем в символическом виде уравнение (6.6) i Ie jt, e Ee jt, 1 j t j t RIe jt jLIe jt Ie Ee.

j C Делим на e jt : RI jLI I E.

j C Отсюда E E I. (6.8) 1 Z вх R j L C Здесь Z вх Rвх jX вх.

На рис. 6.13 изображены векторные диаграммы для нерезонансного и резонансного режимов.

опережает XCXL UCUL U Lp XC=XL UL UR E UR I Ip 0 E UХр= UX U Cp UC отстает от тока Рис. 6. При резонансе входное сопротивление чисто активное Zвх.р=R.

Амплитуды напряжений на реактивных элементах равны ULp=UCp, URp.

Поэтому напряжение UХр=0 (при резонансе). Сдвиг между ЭДС и током в цепи =0.

Резонанс получается при определенной частоте, которую находим из равенства X LC 0;

0 L 0, 0 C - угловая резонансная частота, LC c 2c LC, c 3 108 м/с.

f0, f 2 LC В настроенном контуре XL=XC, 0 L т.к. 0, то LC 0 C L - характеристическое сопротивление – это отношение амплитуд C напряжения и тока на каждом из реактивных элементов контура при резонансе.

а) Энергетические соотношения в последовательном контуре.

Li Мгновенные значения энергии, запасенные в индуктивности - WL ;

в Cv емкости WC, причем при резонансе WLp max WCp max W зап максимально запасенные энергии равны друг другу, т.к. при резонансе XL=XC и Zвх=R.

Добротность контура W Q 2 зап, (6.9) WRT LI Pпот - энергия, расходуемая за период Т0;

Wmax где WRT PпотT0, f0 1 Pпот I 2 R. Отсюда, учитывая, что 0, имеем LC L 1 L 0 L 1 Q. (6.10) LC R R C R R 0 RC Т.к. в радиодиапазоне сотни Ом, R Омы, то Q100300.

б) Частотная характеристика входного сопротивления последовательного колебательного контура Рассмотрим частотные свойства входного сопротивления последовательного колебательного контура Z вх R j L.

C Активная составляющая R не зависит от частоты. Реактивная составляющая X вх L 0 L (см. рис. 6.14), 0 0 CL C т.к. 0 L, 0, то LC L X вх 0, (6.11) Xвх Xвх X Z вх R jX вх R1 j вх. (6.12) R 0 C Рис. 6. X вх tg. Подставим в это выражение Хвх и, учитывая, что Обозначим R Q, имеем R Q 0 - обобщенная расстройка. (6.13) Отсюда из (6.11), (6.12) и (6.13) Z вх R1 j, Z вх R 1 2, arctg (6.14) Для малых расстроек (=0+) имеем:

2 2 20 2 Q 0 Q Q 0 2Q 0 0 0 2Q.

Итак, в области малых расстроек (см. рис. 6.15) Z вх R 1 2Q, (6.15) arctg 2Q 2Q, 0 Z вх 2Q емкостная индуктивная сост. сост.

/ / R -/ 0 Рис. 6. Наклон фазовой характеристики определяется добротностью контура: чем выше добротность, тем больше крутизна.

в) Частотные характеристики токов.

Из уравнений (6.8) и (6.14) имеем E E I. Поделив это выражение на значение тока при резонансе Z вх R 1 E Iр, получим нормированную величину тока:

R I 1 n I, (см. рис. 6.16).

1 2 0 p 1 Q 0 I n Для области малых расстроек. (6.16) Iр I/Ip 0 1 2Q 0, 0, Q= Q= н 0 в Рис. 6. г) Последовательный колебательный контур как четырехполюсник.

L C U вх E U вых U C I R Рис. 6. Первоначально рассмотрим случай резонанса |XLp|=|XCp|= U Cp I Z Cp E I Z вх j X Cp X Cp U Cp K Cp j j, т.к. |XCp|=, то R=Q E Z вх p R K Cp j j jQ, R K Cp j jQ.

(6.17) Аналогично, если сигнал снимается с индуктивности K Lp j jQ, (6.18) т.е. KU K Lp K Cp Q.

Итак, при резонансе последовательный колебательный контур усиливает подведенное напряжение в Q раз. Т.е. имеет место резонанс напряжений.

При съеме сигнала с емкости в случае расстроенного контура j XC j j K C j e, (6.19) CZ вх Z вх где угол сдвига фаз между напряжением U вх и током I.

E, I p E, n I R, т.е. Z вх R, отсюда Принимая во внимание, что I n R I p Z вх Z вх jn j из (6.19) K C j e.

CR K C j Умножив и разделив выражение на 0, имеем jn j K C j e. Т.к.

0 CR C n 0 Qe 2.

1 j K Q, (6.19’) 0CR Аналогично для коэффициента передачи при съеме сигнала с индуктивности j K L j n Qe (6.20) Q 1, K L K C Qn В области малых расстроек, когда (см. рис.6.18).

0 KC по напряжению Q 1 / 0 Рис. 6. Параллельный колебательный контур Согласно первому закону Кирхгофа, U U, IC I I L I C, где I L.

i I R L j L iL iC RC j C C L U RL IK RC Рис. 6. В зависимости от соотношения индуктивного и емкостного сопротивления входное сопротивление может иметь как емкостной, так и индуктивный характер.

L Обычно RLL, RC1/C, RL, RCгде, т.е. в первом C приближении можно пренебречь потерями.

а) При резонансе ХL=ХC, т.е. когда 0, токи индуктивной ветви LC U IL и емкостной ветви I C 0CU практически не отличаются друг от 0 L друга, но сдвиг по фазе между ними близок к 180, поэтому результирующий ток I 0, а по фазе совпадает с напряжением (рис. 6.20).

U В режиме резонанса:

I U I Lp I Cp I K и противоположны по L=/ C=/2 фазе, а ток I=0, т.е. контур не потребляет тока, а Zвх=.

IC IL Рис. 6. б) Частотные характеристики входного сопротивления параллельного контура.

RL jL RC j C Z вх пар, RL RC j L C L C т.к. RLL, RC1/C, получим Z вх пар, где R=RL+RC.

R j L C L Знаменатель совпадает с величиной Z вх.посл. R1 j. Т.к. 2, имеем C Z вх пар Z вх пар, т.е..

R1 j Z вх посл Т.к. Q 0, отсюда видно, что при =0 (при резонансе) Z вх пар Rэкв - чисто активное.

R Учитывая, что L Q 0, (6.21) R R 0CR Имеем 0 L 2 Rэкв Q 2 2. (6.22) R R 0 C R Т.к. реально в радиодиапазоне Q200400, 100500 Ом, то Rэкв(20200) кОм.

Найдем АЧХ и ФЧХ входного импеданса параллельного контура, если (рис. 6.21 и 6.22) Rэкв R R экв2 j экв, Z вх.пар. (6.23) 1 j 1 1 R экв R R Rвх.пар. экв2, X вх.пар. экв, Z вх.пар.

.

1 1 1 При малых расстройках, т.к.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.