авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
-- [ Страница 1 ] --

Институт проблем управления Университетский Центр

им. В.А.Трапезникова РАН Самарии

(Москва, Россия) (Ариэль, Израиль)

Д.И.

Голенко-Гинзбург

СТОХАСТИЧЕСКИЕ СЕТЕВЫЕ

МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ И

УПРАВЛЕНИЯ РАЗРАБОТКАМИ

Воронеж

«Научная книга»

2010

УДК 621.39:519.2

ББК 65.291.217

Г 60

Рецензенты:

д.т.н., профессор А.К.Погодаев (Липецкий государственный технический университет);

д.т.н., профессор В.А.Ириков (Московский физико-технический институт (университет)) Научный редактор: д.т.н., профессор В.Н. Бурков Г 60 Голенко-Гинзбург Д.И. Стохастические сетевые модели планирова ния и управления разработками: Монография. – Воронеж: «Научная книга», 2010. – 284 с.

ISBN 978-5-98222-646- Монография посвящена описанию моделей стохастического се тевого планирования на различных стадиях осуществления процесса разработки и является логическим продолжением описания методо логических основ планирования, контроля и управления разработка ми и, одновременно, продолжением опубликованных автором и его научной школой серии монографий в этой области. Особое внимание уделено проблемам оптимального распределения ресурсов как меж ду проектами, так и внутри проекта.

УДК 621.39:519. ББК 65.291. Г ISBN 978-5-98222-646-4 © Д.И. Голенко-Гинзбург, Оглавление Предисловие научного редактора................................................................ Введение........................................................................................................... Часть I. Стохастические сетевые модели с детерминированной структурой.......................................................................................... Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой.......................................................................................... §1.1. Обоснование закона распределения продолжительности выполнения работ в сетевых моделях................................................ §1.2. Оценка параметров закона распределения в системе PERT........... §1.3. Вероятностная сетевая модель на основе двух оценок................... §1.4. Аналитические методы расчета параметров сетей со случайными продолжительностями операций...................................................... §1.5. Вероятностные параметры сетевых моделей на основе имитационного моделирования........................................................ §1.6. Вопросы управления в вероятностных сетевых моделях с детерминированной структурой....................................................... Глава 2. Статистические методы оптимизации комплекса сетевых моделей.............................................................................................. §2.1. Статистические методы оптимизации сетевых моделей с детерминированными параметрами................................................. §2.2. Оптимизация разработок со случайными оценками продолжительности операций для случая детализированных ресурсов.............................................................................................. §2.3. Оптимизация комплекса сетевых моделей по стоимости............... §2.4. Имитационная модель разработки................................................... Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии................................................................................... §3.1. Технико-экономическая постановка задач..................................... §3.2. Вопросы оптимального распределения затрат между проектами §3.3. Модель оптимального распределения ресурсов внутри проекта. §3.4. Модели оптимизации комплекса линейных аванпроектов разрабатывающего предприятия с детализированными ресурсами......................................................................................... §3.5. Двухуровневые задачи планирования и управления на разрабатывающем предприятии (РП)............................................. Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов типа PERT-COST......................................................... §4.1. Цели и объект исследования........................................................... §4.2. Терминология.................................................................................. §4.3. Вспомогательные задачи 1 и 2........................................................ §4.4. Модели оптимального распределения бюджета между несколькими сетевыми проектами................................................. §4.5. Модели оптимального распределения выделенных проектам бюджетных средств между работами проектов............................. §4.6. Модели оперативного контроля для группы стохастических сетевых проектов PERT-COST....................................................... §4.7. Обобщенная иерархическая модель контроля и управления группой сетевых проектов PERT-COST......................................... §4.8. Планирование и управление системой сетевых проектов PERT COST большого объема.................................................................. Глава 5. Модели календарного планирования для стохастических сетевых проектов с детализированными ресурсами................ §5.1. Введение........................................................................................... §5.2. Модель календарного планирования для группы линейных проектов........................................................................................... §5.3. Обобщенная модель календарного планирования для группы проектов типа PERT........................................................................ Часть II. Альтернативные стохастические сетевые модели управления разработками.................................................................................. Глава 6. Альтернативные стохастические сетевые модели................ §6.1. Основные задачи управления процессами создания сложных комплексов в обстановке неопределенности................................. §6.2. Обзор существующих моделей и методов альтернативного сетевого планирования (АСМ)....................................................................... §6.3. Состав, структура, и классификация альтернативных сетевых моделей............................................................................................ §6.4. Математическая модель альтернативной сети............................... Глава 7. Исследование однородных неуправляемых альтернативных сетей................................................................................................. §7.1. Простейшие альтернативные сети с разъединительными путями.............................................................................................. §7.2. Анализ альтернативных сетей с соединительными путями.......... §7.3. Альтернативные сети с пересекающимися I/J – фрагментами.... Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели.................... §8.1. Смешанные вполне разделимые управляющие АСМ класса CAAN............................................................................................... §8.2. Универсальная смешанная управляющая альтернативная модель GAAN............................................................................................... §8.3. Гибридные альтернативные сетевые модели................................. §8.4. Построение оптимальных планов на основе анализа совокупных вариантов......................................................................................... Указатель литературы.............................................................................. Предисловие научного редактора Настоящая монография выходит в важный период развития экономи ки Российской Федерации, когда впервые широким фронтом идет развитие новых, не имеющих близкого прототипа, научно–технических идей (инно ваций) либо технологических принципов. Если вопросы генерирования но вых научных идей встречаются в современной литературе, то практически отсутствуют публикации о методологии доведения этих идей до новых, уникальных продуктов. Процессы создания последних не только реализу ются в условиях неопределенности, но и характеризуются многовариант ностью и стохастичностью достижения конечных или промежуточных ре зультатов. Важность и принципиальная новизна задач управления вероят ностными процессами проектирования новых наукоемких продуктов тре бует их отдельного и детального исследования. Именно такого рода про блемам посвящена монография профессора Д.И. Голенко-Гинзбурга, осо бенно носящий пионерный характер раздел II, посвященный выбору опти мального пути достижения конечной цели для новых проблем научно – технического прогресса, отличающихся высоким уровнем неопределенно сти. На наш взгляд, разработанный в монографии теоретический аппарат, основанный на использовании альтернативных стохастических сетевых моделей, может быть использован при «прокладывании путей» к конечно му продукту для широкого класса новых идей и подходов. В частности, описанный автором метод выбора оптимального варианта процесса пере хода от идеи к конечной цели особенно эффективен в случае проведения исследований по параллельным альтернативным направлениям, основан ным на конкурирующих научно-технических принципах. Это, как правило, требует выполнения повторных испытаний и, в ряде случаев, даже повто рения крупных стадий программ НИР и ОКР при недостаточно высокой эффективности выбранного ранее направления. Описанные модели стохас тического альтернативного сетевого планирования доведены до алгорит мов и программ.

На наш взгляд, отдельные разделы монографии могут быть уже сего дня эффективно использованы при планировании, контроле и мониторинге процесса реализации инноваций при модернизации научно-технического прогресса.

Научный редактор академик РАЕН, д.т.н., профессор В.Н. Бурков Посвящаю книгу памяти моих дорогих учителей – Николая Пантелеймоновича Бусленко и Александра Яковлевича Лернера Введение Отличительной особенностью современности является резкое возрас тание масштабов и сложности научных и технических исследований и раз работок. В этих условиях эффективный мониторинг разработками обу славливает совершенствование моделей и методов управления последними на основе новейших достижений прикладной математики. Учитывая, что практически большинство научно-исследовательских работ и опытно конструкторских разработок реализуются, в настоящее время, в обстановке случайных воздействий, обстоятельств и помех на основе аппарата сете вых моделей, автор сосредоточил основное внимание на описании моделей стохастического сетевого планирования на различных стадиях осуществ ления процесса разработки.

Настоящая монография является логическим продолжением описания методологических основ планирования, контроля и управления разработ ками и, одновременно, продолжением опубликованных автором и его на учной школой (см. [1.1, 1.3–1.7]) серии монографий в этой области. В на стоящее время эти монографии являются библиографической редкостью и практически недоступны широкому кругу читателей. В предлагаемую мо нографию включен ряд новых результатов в области альтернативных сто хастических сетевых проектов, включая разработку моделей оперативного контроля и регулирования проектами. Особое внимание уделено пробле мам оптимального распределения ресурсов как между проектами, так и внутри проекта. Разработанные и описанные в монографии многоуровне вые системы управления типа: компания проект модели опроса о хо де реализации проекта модели оперативного контроля по вероятности календарные планы выполнения отдельных, входящих в состав проекта, операций – основаны на широком использовании моделей принятия реше ний в обстановке неопределенности и моделей выработки управляющих воздействий для каждого из иерархических уровней.

Автор сознательно исключил из рассмотрения использование моделей сетевого планирования и управления в некоторых других областях эконо мического прогресса, например, моделей мониторинга сложных инвести ционно-строительных проектов. На наш взгляд, последние, по сравнению с научно-исследовательскими и опытно-конструкторскими разработками, характеризуются как существенным ростом уровня детерминизма, так и изменениями логической структуры сетевого графа проекта. Для ряда строительных процессов сетевые модели представлены циклическими графами, тогда как сетевые проекты мониторинга разработками всегда но сят ациклический характер.

Входящие в состав представляемой монографии модели носят много уровневый характер и основаны на комбинации методов имитационного моделирования и приближенных эвристических методов и моделей опти мизации сложных нелинейных систем.

В частности, нами широко используется покоординатный метод крат чайшего спуска [3.11] и ряд других приближенных методов оптимизации.

Монография предназначена для инженеров и математиков, работаю щих в научно-исследовательских и опытно-конструкторских организациях, а также для студентов и аспирантов по специальностям «Управление в со циальных и экономических системах» и «Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами».

В описании отдельных моделей, методов и алгоритмов принимали участие мои ученики А. Бен-Яир, А. Гоник, А. Малышева, Ш. Ситняков ский, Е. Сидоренко, Г. Манухов и О. Будков, которым автор выражает глу бокую признательность.

Неоценимую помощь в процессе подготовки рукописи к печати ока зали научный редактор монографии профессор Владимир Николаевич Бурков и заведующий кафедрой управления строительством ВГАСУ про фессор Сергей Алексеевич Баркалов.

Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой ЧАСТЬ I СТОХАСТИЧЕСКИЕ СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ С ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ СТРУКТУРОЙ Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой §1.1 Обоснование закона распределения продолжительности вы полнения работ в сетевых моделях Во всех системах сетевого планирования и управления (СПУ), в кото рых работы (операции) подвержены влиянию случайных воздействий [1.3 1.7, 1.15-1.16, 1.27-1.28, 4.13, 4.6, 4.15] принимается, что продолжительность работ сетевой модели является случайной величиной. Предполагается, что случайные величины продолжительности работ подчинены принятому для данной системы СПУ закону распределения, причем тип распределения при нимается одинаковым для всех работ. Что касается параметров распреде ления, то последние задаются для каждой работы их ответственными испол нителями на основе либо нормативных данных, либо априорных соображе ний, либо своего производственного опыта.

В системах СПУ типа PERT, например, задаются три параметра: нижняя грань а области определения (оптимистическое время), верхняя грань b (пес симистическое время) и мода распределения m (наиболее вероятное время).

В других системах СПУ (например, в некоторых отечественных) задаются всего два параметра - оценки а и b. Практически во всех системах СПУ априор но принимается, что плотность распределения временных оценок продолжи тельности работ обладает тремя свойствами: а) непрерывностью, б) унимо дальностью, в) двумя неотрицательными точками пересечения этой плотности с осью абсцисс. Простейшим распределением с подобными свойствами явля ется бета-распределение, которое обычно постулируется на практике. Общий вид бета-распределения характеризуется, помимо наличия большого коли чества случайных факторов, каждый из которых в отдельности оказывает незначительное, несущественное влияние, наличием нескольких, также случайных, факторов, число которых невелико, а влияние существенно. В результате воздействия существенных факторов распределение вероятно стей обычно делается асимметричным. Именно такого рода обстоятельство имеет место при реализации подавляющего большинства входящих в сете вой проект работ. Отсюда вытекает возможность выбора бета распределения в качестве априорного типового [1.3-1.7, 1.15-1.16, 1.26 1.28].

Анализ большого количества статистических данных (хронометражи Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками времен реализации отдельных работ, нормативные данные и т. д.) также подтверждает возможность использования бета-распределения в качестве априорного.

Формула плотности бета-распределения имеет следующий вид:

x p -1 (1 - x ) при 0 x 1, q - В ( p, q ) B ( p, q, x ) = (1.1.1) 0 при x 0, x 1, где B( p, q ) - бета-функция, причем Г(p )Г(q ) B( p, q ) = x p-1 (1 - x ) q - (1.1.2) dx =, Г(p + q ) а гамма-функция Г(z) определяется по формуле Г ( z ) = e - t t z -1dt, причем для целых z функция G(z ) = 1 2... (z - 1) = (z - 1)! Начальный момент r -го порядка определяется формулой B( p + r, q ) x (1 - x ) dx = B( p, q ).

q - (1.1.3) r + p - B ( p, q ) При r = 1 получаем математическое ожидание B( p + 1, q ) Г(p + 1)Г(q )Г(p + q ) p. (1.1.4) Mx = = = B ( p, q ) Г(p + q + 1)Г(p )Г(q ) p + q Для дисперсии ( r = 2 ) имеем B( p + 2, q ) p p ( p + 1) p2 pq (1.1.5) Dx = - = - =.

p+q B ( p, q ) ( p + q )( p + q + 1) ( p + q ) ( p + q ) ( p + q + 1) 2 Вид функции (1.1.1) зависит от показателей p и q, причем для p (и, соответственно, для q 2 ) функция распределения обращается в 0 в ле вой (или правой) конечной точке вместе с ее первой производной. Для 1 p 2 (и, соответственно, 1 q 2 ) кривая имеет вертикальную касатель ную в левой (правой) конечной точке. Для 0 p 1 (и, соответственно, 0 q 1 ) функция уходит в бесконечность, если значения x соответствуют левой (правой) конечной точке, причем вертикальная прямая, проведенная из левой крайней точки, будет ее асимптотой. Для p 0 (и, соответственно, q 0 ) интеграл равен бесконечности, так что функция распределения перестает существовать.

Рассмотрим одно из обоснований целесообразности принятия закона бета-распределения, [1.3, 1.8], основанное на построении модели случайной величины времени окончания работы в сетевом проекте.

Пусть начало выполнения работы относится к моменту T0, а ее оконча ние представляет собой случайную величину, изменяющуюся в интервале (T1,T2 ).

Величина T1 представляет собой время окончания работы, которое оп Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой ределяется причинами, лежащими в существе данной работы, и называется [1.3] 1-м технологическим временем для данной работы. Аналогично, величи на T2 носит название 2-го технологического времени для работы.

Плотность распределения случайной величины окончания работы опреде лим, исходя из следующих предположений:

1. Весь интервал времени выполнения работы (T0,t ) состоит из интер валов, относящихся, собственно, к работе, и интервалов, относящихся к за держкам.

2. Длительность времени, равная T1 - T0, относится, собственно, к ра боте, а длительность t - T1 относится к задержкам.

3. Отрезок времени T1 - T0 разбит на n одинаковых частей длительно T -T стью (T1 - T0 ) n. Если на первом интервале T0,T0 + 1 0 возникает задерж n T1 - T ка, то после момента t1 = T0 + работа прекращается, и в последующий n интервал времени от t1 до t1 = t1 + D, где D = (Т 2 - Т1 ) n, происходит устране ние возникшей задержки и работа снова возобновляется только с момента t1. Если на интервале (T0,t1 ) не возникает задержек, то после t1 работа про должается. Затем учитывается возможность затруднений на следующем T1 - T0 T -T этапе работы t1, t1 + в первом случае и (t1,t 2 ), где t2 = t1 + 1 0 - во n n втором, и т.д. Очевидно, что если на каждом этапе задержек не возникнет, то работа закончится в момент T1, а если задержки возникнут на каждом этапе, то работа окончится в момент T2. Если в общей сложности возника T2 - T ет m затруднений, то работа окончится в момент t = T + mD = T1 + m.

n 4. Событие, заключающееся в том, что на i -м этапе возникло затруд нение, определяется i -й выборкой из некоторой генеральной совокупно сти.

5. Единичный элемент генеральной совокупности содержит долю p «благоприятствия затруднениям».

6. С каждым этапом генеральная совокупность увеличивается на ве личину J, причем, если на предыдущем этапе возникли задержки, то J благоприятствовало задержкам и не благоприятствовало в противном слу чае. Если через Aik обозначить событие, заключающееся в том, что на (i + 1) -м этапе возникла задержка при условии, что на предыдущих i этапах возникло k задержек, то вероятность события Aik будет иметь вид p + kJ () (1 k i n ). (1.1.6) P Aik = 1 + iJ 7. Составляется разность вероятностей задержек на i -м этапе при на Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками личии k + 1 и k задержек на предыдущих этапах и относится к вероятности задержек на i -м этапе при полном отсутствии задержек на предыдущих этапах. В результате получается соотношение ( ) () P Aik +1 - P Aik J =.

() P Ai p Из этой формулы видно, что в работах [1.3, 1.8] рассматривается та кой закон задержек, для которого относительная величина задержек посто янна. При этом можно показать, что распределение вероятностей для слу чайной величины m имеет вид m -1 n - m - ( p + iv ) (1 - p + iv ) (1.1.7) Pm, n = Cn m i=0 i =.

n - (1 + iv ) i = Действительно, число последовательностей из n этапов, на которых возникло m задержек, равно числу сочетаний C nm. Каждая последователь ность имеет одну и ту же вероятность m -1 n - m - ( p + iv ) (1 - p + iv ), i =0 i = n - (1 + iv ) i = ибо после того, как на h этапах затруднения возникли, а на k этапах не возникли, вероятность задержек и вероятность отсутствия задержек на следующем этапе выражаются, соответственно, числами p + hv 1 - p + kv и.

1 + (k + h )v 1 + (k + h )v Отсюда вытекает утверждение (1.1.7). Отметим, что отсутствие зави симости вероятности задержек от предыдущего этапа является частным случаем (n = 0 ) написанного выражения для p m,n и представляет собой из вестное биномиальное распределение. В дальнейшем находится предель ное выражение для вероятности pm, n при условии, что n неограниченно возрастает. Из формулы (1.1.7) имеем pm+1,n n - m p + mv (1.1.8) =, m + 1 1 - p + (n - m - 1) p m,n p p откуда, обозначая = a, - 1 = b, будем иметь p v v (a - 1) + (2 - a - b ) m + 1 - b (a - 1)n + (2 - a - b )m - b + 1 = p m +1, n - p m,n n n.

= (m + 1)(b + n - m - 1) m m +1 b p m,n 1 + + n n n n m / n = x, (m + 1) / n = x + Dx, p m, n Полагая = y, p m +1, n = y + Dy, устремляя n ® или Dx ® 0 и, интегрируя, получим Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой y = C x n -1 (1 - x ) b - (1.1.9), m откуда видно, что плотность вероятности случайной величины x = lim n® n выражается формулой px ( x ) = x n -1 (1 - x ).

b - (1.1.10) B(a, b ) в которой B(a, b ) есть функция Эйлера и которая совпадает с (1.1.1).

Таким образом, x является случайной величиной, распределенной по закону бета-распределения (1.1.1). Замена переменных x = (t - a )a -1 (b - a ) приводит к хорошо известной формуле бета-распределения с плотностью (t - a )a -1 (b - t )b -1 при a t b f (t ) = (b - a ) B(a, b ) a + b - (1.1.11) 0 в противном случае.

§1.2 Оценка параметров закона распределения в системе PERT Информацией, которая служит основой для построения теоретико вероятностного аппарата системы PERT, является задаваемая сетевая мо дель процесса выполнения проекта, а также оценки некоторых параметров распределения продолжительности работ t (i, j ) в сетевой модели [1.3-1.6].

В настоящем параграфе мы опишем, главным образом, методологиче ские основы системы PERT. В основу исследования и построения теорети ко-вероятностного аппарата сетевой модели положены следующие допу щения [1.18-1.21].

1. Продолжительность произвольной работы t (i, j ) есть случайная ве личина, распределенная по закону бета-распределения на отрезке [a, b] с плотностью j (t ) = C (t - a ) (b - 1).

p -1 q - (1.2.1) 2. Параметры закона распределения j (t ) - математическое ожидание M (i, j ) и дисперсия s 2 (i, j ) - определяются по формулам aij + 4mij + bij M (i, j ) = (1.2.2), (bij - aij )2, s (i, j ) = (1.2.3) где aij, bij и mij - соответственно, оптимистическая, пессимистическая и наиболее вероятная (мода) оценки, задаваемые ответственными исполни телями работы (i, j ).

Ряд других допущений относится к методике расчета параметров сети в целом и будет рассмотрен в следующей главе. Как будет показано ниже, формулы (1.2.2-1.2.3) носят полуэмпирический характер.

Рассмотрим функцию плотности j (t ) при значениях p -1 = a, q -1 = g, a = 0, b = 1. При этом Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками j (t ) = Ct a (1 - t ), g (1.2.4) где Г(a + g + 2) C=.

Г(a + 1)Г(g + 1) Параметры M, m ', s 2, в этом случае, примут значения a + (1.2.5) M=, a +g + a (1.2.6) m' =, a +g (a + 1)(g + 1) (1.2.7) s2 =, (a + g + 2 )2 (a + g + 3) причем мода m' связана с оценками продолжительности работы a, bиm m-a соотношением m' =.

b-a Значение m (и, соответственно, m' ) задается ответственными испол нителями и является фиксированной величиной, а из уравнения (1.2.6.) следует, что параметры a и g распределения связаны между собой соот ношением 1 - m' (1.2.8) g =a.

m' 1 - m' Поскольку для конкретной работы (i, j ) величина постоянна, то m' удобно записать следующую формулу:

1 j (t ) = Ct a (1 - t ) a ' - (1.2.9), m в которой свободный параметр a определяет семейство кривых этой плот ности. При уменьшении a кривая плотности становится более пологой и стремится к равномерному закону распределения с дисперсией s 2 = и M = 0,5. При больших значениях a кривая плотности характеризуется уменьшением асимметрии и стремится к форме кривой плотности нор мального распределения.

При m' ® 1 распределение (1.2.9) стремится к степенной функции Ct a, при m' ® 0 j (t ) стремится к d -функции Дирака. Резкие колебания m' ведут к существенным изменениям величины коэффициента асимметрии. Таким образом, кривая плотности (1.2.9) обладает свойством унимодальности, непрерывности и имеет две неотрицательные точки пересечения с абсцис сой, то есть удовлетворяет постулированным свойствам закона распреде ления продолжительности работ в сети, описанных в предыдущем пара графе.

Положим t = (x - a ) (b - a ) и перейдем к ненормированному распреде лению Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой f ( x ) = N ( x - a ) (b - x ) a a ' - (1.2.10), m где N [(b - a )a +g +1 B(a + 1, g + 1)]. Здесь g = a - - 1. Мода m легко определяет ' m ся из уравнения a (b - m ) = g (m - a ). (1.2.11) Нетрудно установить, что для первого и второго моментов – матема тического ожидания M и дисперсии D (обозначаемых K1 и K 2 ) – сущест вуют следующие соотношения:

(a + g + 2)K1 = (a + g + 2 )m + (a + b ) - 2m, (a + g + 3)K 2 = (a + b )K1 - ab - K12.

Центральные моменты высшего порядка определяются по следующей формуле:

(a + g + 2 + n )K n +1 = n(a + b )K n - n[K1K n + (n - 1)K 2 K n -1 +... + K n K1 ]. (1.2.12) Эта формула действительна при n = 2, 3,...

Формулу для K1 можно написать в виде a+b K1 - m = - m.

a +g + 2 2 Отсюда получаем (a + g )m + (a + b ). (1.2.13) M = K1 = a +g + На основе детального статистического анализа, проведенного эмпи рико-экспериментальным путем, разработчиками математического аппара та системы PERT было установлено, что a + g » 4. Отсюда немедленно вы текает следующая модификация формулы (1.2.12):

6 K1 = (a + b ) + 4m, 7 K 2 = (a + b )K1 - ab - K12, (1.2.14) 4 K 3 = (a + b )K 2 - 2 K1 K 2, ( ) 3K 4 = (a + b )K 3 - 2 K 1 K 3 + K и т.д.

Дисперсия D при a + g = 4 определяется, исходя из формулы (1.2.14) следующим образом:

(b - a )2 - 4 a + b (1.2.15) D= 2 - m.

28 63 Если мода соответствует средней арифметической (a + b / 2 ) значение b-a ;

если мода лежит возле a, дисперсия s 2 = 5(b - a ) / 252. Мы видим, s= таким образом, что в зависимости от положения моды среднее квадратиче ское отклонение колеблется в интервале (b - a ), (b - a ). Это и позволило 1 7 разработчикам системы PERT вместо громоздкой, хотя и более точной Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками формулы (1.2.15), принять приближенное равенство s » (b - a ) / 6. (1.2.16) Что касается математического ожидания M, то первая из формул (1.2.14) приводит к известному в литературе о системе PERT соотношению M = (a + b + 4m ) / 6. (1.2.17) В ряде зарубежных источников (например, в [1.18-1.21] приводится несколько другое обоснование вывода формул (1.2.16-1.2.17). На основа нии полученных Э.С.Пирсоном соотношений a = 2 + 2, g = 2 - 2 или a = 2 - 2, g = 2 + 2, можно получить формулы (1.2.16), (1.2.17), исходя из ранее полученных соотношений (1.2.11) и (1.2.12).

Однако, в этом случае, мы жестко закрепляем значение оценки m' (или величины m, поскольку m = m' (b - a) + a ), что противоречит принципу задания оценки m ответственным исполнителем на основании его субъек тивного опыта.

Мы видим, таким образом, что теоретико-вероятностный аппарат сис темы PERT содержит ряд неустранимых противоречий, критика которых будет рассмотрена ниже. Их причина, в основном, кроется в невозможно сти точного вывода формул (1.2.16) и (1.2.17) на основе уравнения (1.2.10), поскольку три параметра из четырех в этом уравнении определены задани ем ответственными исполнителями оценок a, b, и m, а какие-либо допол нительные допущения немедленно влекут за собой противоречия в мето дике задания этих трех оценок.

§1.3 Вероятностная сетевая модель на основе двух оценок В предыдущем параграфе главы нами было установлено, что приня тые в системе PERT допущения относительно закона распределения вре менных оценок в сетевых моделях приводят к неустранимым противоре чиям. Что касается требования к исполнителям работ в системе PERT от носительно задания трех временных оценок a, b, и m, то оно является, не редко, весьма затруднительным. Особенные трудности вызывает необхо димость задания моды распределения, особенно, в случае работ, по кото рым не накоплена достаточная статистика. Между тем, в современных НИОКР процент таких работ велик.

В работах [1.3-1.6, 1.16] нами построен теоретико-вероятностный ап парат, использующий меньшее число задаваемых оценок, и разработаны формулы расчета параметров распределения продолжительностей выпол нения работ. В основу проведенного исследования было положено требо вание построения для любой конкретной сетевой модели такого обобщен ного распределения времени выполнения входящих в нее работ, которое требовало бы задания меньшего количества оценок, нежели система PERT, и которое, в принятом нами смысле, было бы оптимальным по отношению к заданной, с помощью трех оценок ответственными исполнителями работ, Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой информации.

Будем считать, что сетевая модель состоит из N работ Ri (1 i N ), для каждой из которых ответственными исполнителями задаются три оценки ai, bi, и mi.

Искомое оптимальное распределение мы будем искать среди класса бета-распределений, задаваемых, в общем виде, по известной формуле плотности (1.2.1), где a и g - неизвестные и подлежащие оценке показате ли, на которые накладывается весьма существенное ограничение: они не должны меняться от работы к работе.

Поскольку распределение pi (x ) должно, в некотором смысле, опти мально аппроксимировать заданную числовую информацию ai, bi, mi (1 i N ), необходимо установить критерии этой оптимальности, на осно вании которых можно оценить степенные показатели a и g. Разумеется, такого рода критерии будут установлены априорно.

Во-первых, распределение pi (x ) для каждой из работ Ri формирует соответствующую моду Li. Необходимо таким образом оценить параметры распределения pi (x ), чтобы множество значений {Li } оптимально аппрок симировало множество заданных значений {mi }, полученных от ответст венных исполнителей. Такого рода аппроксимация может быть построена аналитическим путем, в частности, с помощью известного метода наи меньших квадратов. Необходимо подобрать такие значения показателей a и g, чтобы сумма квадратов отклонений ab1 + ga N N V = ( Li - mi ) 2 = ( (1.3.1) - mi ) a +g i =1 i = была минимальной. Таким образом, a a N [(1 - a + g )a bi - mi ] = min.

(1.3.2) + a +g i = a Обозначим отношение через k. Тогда a +g N [kb + (1 - k )a - mi ] = min.

i i i = V Значение k может быть получено из соотношения = 0. Получаем k N 2 [kbi + (1 - k )ai - mi ](bi - ai ) = 0.

i = Отсюда N (b - ai )(mi - a i ) i. (1.3.3) k= i = N (b - ai ) i i = Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Соотношение (1.3.3), как легко видеть, не определяет однозначно сте пенные показатели a и g. Необходимо ввести второй критерий соответст вия распределения pi (x ) эмпирическим значениям.

Как известно [1.10-1.16, 1.18-1.21], методика системы PERT преду сматривает так называемую усредненную модель. Для всех входящих в се тевой проект работ определяется математическое ожидание Mx времени выполнения соответствующей работы по формуле (1.2.2), после чего все параметры сети оцениваются исходя из средних значений. Ниже будет по казано, что для достаточно широкого класса сетевых проектов такого рода методика не является обоснованной. Однако, в случае, когда разброс зна чений параметров работ невелик (диапазон изменений незначителен), или, иными словами, уровень неопределенности случайных величин продолжи тельности работ сетевой модели близок к детерминированному, такого ро да алгоритмы могут применяться. Необходима разработка такой универ сальной методики, которая, в зависимости от характеристики сетевой мо дели, могла бы быть использована как для расчета с помощью усредненно го метода, так и для оценки параметров сети другими методами (например, методом статистического моделирования). Отсюда вытекает второе, нала гаемое на параметры распределения pi (x ), требование: вычисленное на ос нове закона pi (x ) множество теоретических значений {Mxi } должно опти мальным образом (в смысле метода наименьших квадратов) совпадать с множеством средних {x i }, оцениваемых по формуле (1.2.2). Выполнение этого требования дает возможность однозначно оценить значения степен ных показателей a и g таким образом, чтобы заменить трехоценочную методику на двухоценочную и, одновременно, сохранить полноту объема информации, полученной с помощью трехоценочной методики.

Задаем второе условие:

b (a + 1) + ai (g + 1) a i +bi + 4mi N W = i = min. (1.3.4) a +g +2 6 i = Отсюда получаем a +1 a +1 a +b + 4mi N W = = min. (1.3.5) bi + (1 - )ai - i i i =1 a + g + 2 a +g +2 6 a + Обозначим = q, тогда a +g + ab N W = [qbi + (1 - q )ai - i - i - mi = min.

i = W Из соотношения = 0 значение q можно легко определить:

q W ab N = 2 [qbi + (1 - q)ai - i - i - mi (bi - ai ) = 0.

q i = Отсюда Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой 1N (bi - ai )(bi + 4mi - 5ai ) 6 i =. (1.3.6) q= N (b - a ) i i i = Полученные соотношения (1.2.3) и (1.3.6) однозначно определяют значения a и g и, тем самым, однозначно формируют закон распределе ния pi (x ) для любой работы, входящей в данный сетевой проект.

Таким образом, в формулу pi (x ) параметрами входят области опреде ления времени выполнения работ ai и bi, задаваемые ответственными ис полнителями, и, вычисляемые на основании соотношений (1.3.3) и (1.3.6), степенные показатели a и g. В отличие от параметров ai и bi значения a и g неизменны для всех работ, входящих в данный сетевой проект. Мы, таким образом, переводим информацию о сетевой модели, задаваемую тремя оценками, в эквивалентную информацию об этой же модели, зада ваемую лишь двумя оценками.

Аналогичные законы распределения были построены для большого количества сетевых проектов, после чего была поставлена задача выбора такого обобщенного распределения, которое зависело бы только от двух параметров a и b и было бы справедливо практически для любого сетево го проекта. Многочисленные эмпирические исследования показали, что величины a и g, определенные для большого количества сетевых проек тов, концентрируются около постоянных значений a » 1, g » 2. Последние были приняты в качестве стандартных степенных показателей, и, тем са мым, был построен закон распределения с плотностью, зависящей лишь от двух параметров:

p( x) = C ( x - a )(b - x )2.

Здесь C – константа, которая легко определяется из условия b p( x)dx = 1.

ax Получаем плотность распределения в интервале от a до b :

( x - a)(b - x) 2. (1.3.7) p( x) = (b - a) Распределение (1.3.7) относится к классу бета-распределений и имеет следующие параметры:

1) математическое ожидание b 3a + 2b Mx = xp( x)dx = ;

(1.3.8) ax 2) моду 2a + b, (1.3.9) m= причем можно показать, что всегда m x ;

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками 3) дисперсию b 3a + 2b Dx = x p( x )dx - = 0,04(b - a )2. (1.3.10) ax Подставив в формулу плотности распределения (1.2.10) определенное по формуле (1.3.9) значение m' = (m - a) /(b - a) = 1 / 3 и значение a = 1, полу чим плотность (1.3.7) как частный случай плотности (1.2.10). Следователь но, плотность распределения (1.3.7) отвечает всем требованиям: унимо дальности, непрерывности и наличию двух неотрицательных точек пересе чения с осью абсцисс.

Таким образом, изложенная выше методика оценки параметров рас пределения на основании двух задаваемых временных оценок отличается рядом преимуществ по сравнению с методикой системы PERT. Сущест венно уменьшается объем информации, который требуется от исполнителя работы: он должен задавать только два параметра – оптимистическую и пессимистическую оценку продолжительности выполнения этой работы.

Важно отметить, что применение двухоценочной методики носит универсальный характер. Эту методику можно, с одинаковым успехом, ис пользовать как при расчете детерминированных (или близких к ним) сетей, так и при моделировании стохастических сетевых проектов (используя за ложенный в этой методике закон распределения).

К недостатку двухоценочной методики следует отнести сужение клас са бета-распределений по сравнению с используемым в системе PERT. От каз от использования наиболее вероятной оценки (моды m ) для некоторых видов работ может деформировать закон распределения в сторону больше го отклонения от действительного. Однако, статистические свойства п р о е к та в ц е л о м, как это показывают результаты статистического анализа, не претерпевают существенных изменений.

Рассмотрим более подробно методику статистического анализа соот ветствия эмпирического распределения времени выполнения входящих в сетевую модель работ, задаваемых ответственными исполнителями этих работ, распределению (1.3.7). При этом используем следующую методику сопоставления. Для каждой из входящих в сетевую модель работ, на осно вании оптимистического и пессимистического времени a и b по формуле (1.3.9), определим значение моды m. Одновременно, исполнители работ задают значение m, исходя из PERT. Заметим, что исполнители работ не должны быть знакомы с применяемой методикой, основанной на двух оценках, и, таким образом, на их решение ничего не влияет. По каждой ра боте, следовательно, имеются две оценки значения m – вычисляемая по формуле (1.3.9) и задаваемая исполнителем работ. Объединив полученные данные по всем входящим в сеть работам, мы получаем две эмпирические совокупности. Предстоит определить, принадлежат ли обе сравниваемые эмпирические совокупности к одной генеральной или расхождения на Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой столько существенны, что эту гипотезу следует отбросить. В последнем случае необходимо сделать вывод, что формула (1.3.7) недостаточно точно аппроксимирует распределение вероятностей временных оценок для работ.

Для проверки указанной гипотезы на практике использовался [1.3] критерий Вилкоксона, основанный на числе инверсий, причем исследова нию подвергалось несколько сетевых моделей различных объемов. Случа ев существенности расхождения эмпирических совокупностей, по данным критерия, не наблюдалось ни разу.

Аналогичный статистический анализ двух эмпирических совокупно стей проводился для средних значений (оцениваемых, соответственно, по формулам (1.3.8) и (1.2.2)). Результаты сопоставления также подтвердили несущественность расхождения.

Помимо изложенного выше статистического анализа, для ряда сете вых проектов производилось сравнение эмпирического распределения ре альных продолжительностей выполнения входящих в сетевой проект работ с распределением (1.3.7). Для каждой из уже завершенных работ ее факти ческая продолжительность нормировалась относительно установленных для этой работы оптимистического и пессимистического времени, после чего эмпирическое распределение нормированной продолжительности со поставлялось по аналогичной методике с распределением (1.3.7), для кото рого области определения были, соответственно, равны нулю и единице.

Заметим, что такого рода сопоставление производилось на основе сис темы статистических критериев согласия – критериев 2, А.Н.Колмогорова и 2. Результаты сопоставления также оказались вполне удовлетворитель ными.

В заключении отметим, что двухоценочная методика (1.3.7-1.3.10) весьма эффективна для статистического моделирования сетевых проектов.

С помощью метода Неймана [1.2] имитация (розыгрыш) закона распре деления (1.3.7) проста в применении и, как показывает анализ [1.3-1.4], превосходит по эффективности ряд классических способов генерирования случайных величин. Следует сначала смоделировать значение закона рас пределения при a = 0, b = (1.3.11) рh ( x) = 12 x(1 - x) 2, а в дальнейшем перейти к имитации закона распределения по формуле x = a + (b - a ) h. (1.3.12) §1.4 Аналитические методы расчета параметров сетей со случай ными продолжительностями операций В настоящем параграфе главы приведем классификацию аналитиче ских методов расчета параметров (в основном, продолжительности выпол нения проекта) вероятностных сетей.

Вероятностной сетью, в данной классификации, будем называть сеть с детерминированной структурой, допускающей правильную [1.4, 1.15] ну Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками мерацию событий (вершин), и случайными длительностями работ (длина ми направленных дуг).

Процессы выполнения современных проектов характеризуются боль шой сложностью структуры и состава операций, отображаются вероятно стными сетевыми моделями, содержащими до нескольких десятков тысяч работ.

Поэтому алгоритмы расчета вероятностных сетей должны быть ори ентированы на машинную реализацию, что обусловливает использование численных методов. Наиболее точные численные результаты могут быть получены с помощью статистического моделирования вероятностных се тей. Однако непосредственное моделирование сетей большой размерности требует больших затрат машинного времени и машинной памяти, в силу чего становится неэффективным либо приводит к снижению требуемой точности из-за сокращения числа реализации.

Указанные обстоятельства существенно повышают роль статистиче ских методов расчета вероятностных сетей. При этом наиболее перспек тивным представляется использование аналитических методов в комбина ции со статистическим моделированием.

Правильная нумерация вершин сети означает, что i j для любой ду ги (i, j ), где i – начальная вершина дуги, j – конечная вершина этой дуги.

Условиями осуществления правильной нумерации являются:

а) наличие в сети только одной исходной вершины, в которую не вхо дит ни одна дуга;

б) наличие в сети только одной завершающей вершины, из которой не выходит ни одной дуги;

в) отсутствие в сети замкнутых контуров;

г) соединение любых двух смежных вершин только одной дугой.

Под аналитическими методами расчета понимаются алгоритмы, ори ентированные на машинную реализацию и допускающие аналитическую запись в виде метода временного расчета вероятностной сети.

Таким образом, из рассмотрения исключаются методы, основанные на использовании статистического моделирования.

Для классификации приняты следующие характеристики:

1. Тип структуры (ограничения, накладываемые на структуру) веро ятностной сети.

2. Законы распределения вероятностей длительностей работ (р. в.).

3. Предположения о независимости длительности работ или о типе зависимости.

4. Априорные предположения о законе распределения вероятностей сроков свершения событий сети.

5. Расчетные параметры.

6. Метод расчета.

7. Особенности вычислительной реализации.

Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой Все методы расчета вероятностных сетей можно, условно, разделить на два класса. К первому классу относятся методы (ниже пронумерован ные как I-IV, VII), основанные на вычислении оценок моментов или пара метров распределения вероятностей длины критического пути. Ко второму классу отнесем методы (V, VI, VIII, IX) вычисления аппроксимаций функ ции или плотности распределения вероятностей длины критического пути.

Предварительно, введем следующие обозначения:

B j – множество работ (i, j ), непосредственно предшествующих собы тию j (событие j является конечным для этих работ);

D j – множество номеров начальных вершин всех работ множества B j ;

l Al = U Bm – множество работ, предшествующих событию l ;

m = t B j – вектор, координатами которого являются случайные длительно сти работ множества B j.

I. Методы, применяемые в системе PERT [1.2, 1.10-1.16].

1. Вероятностная сеть произвольной структуры.

2. Бета-распределение на отрезке [a, b].

3. Независимые случайные величины.

4. Нормальный закон распределения.

5. Основным расчетным параметром является оценка (нижняя) мате матического ожидания (м.о.) длины максимального пути до любого собы тия от исходного или от завершающего события и, в частности, длины критического пути.

Кроме того, вычисляются оценки дисперсий и, при использовании предположения п. 4, получают распределения вероятностей сроков совер шения событий, по которым могут быть вычислены вероятностные харак теристики сети: p -квантили сроков свершения событий и работ, резервов времени;

вероятности свершения событий и работ в заданные сроки, веро ятностные коэффициенты напряженности и т. д.

6. Расчет вероятностной сети сводится к временному расчету полно стью детерминированной сети, где в качестве длительностей работ взяты математические ожидания их длительностей (или «ожидаемые» длитель ности).

Таким способом вычисляются нижние оценки математических ожи даний сроков свершения событий, которые используются в качестве соот ветствующего параметра нормального закона (см. п. 4). Другой параметр нормального закона – дисперсия ( s 2 ) – оценивается как сумма дисперсий работ, лежащих на максимальном (по математическому ожиданию) пути к соответствующему событию.

6. Основным недостатком метода является использование, в качестве математического ожидания, времени свершения события нижней оценки этого математического ожидания. Кроме того, несправедливо предполо Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками жение о нормальном законе распределения времени свершения события.

Однако, эти недостатки компенсируются простотой алгоритмов расчета и возможностью получения большого числа различных характеристик работ и событий сети ( p -квантилей сроков свершения и резервов времени, веро ятностей свершения в заданные сроки, вероятностных коэффициентов на пряженности и др.). Поэтому методы PERT получили значительное рас пространение и обусловили разработку различных модификаций этих ме тодов.

II. Метод Фалкерсона [1.14] 1. Произвольный.

2. Любое ограниченное дискретное распределение.

3. Задается совместное распределение длительностей работ каждого множества Bm (m = 1, n ) и предполагается независимость между собой слу чайных векторов t B, т.е. предполагается, что m L P(t AL ) = P(t Bm ), (1.4.1) m = где P(t L ) - многомерное дискретное распределение вероятностей вектора t L длительностей работ множества L;

L Al = U Bm, m = 4. Отсутствуют.

5. Рассчитывается улучшенная (по сравнению с оценкой g, получае мой методом PERT) нижняя оценка f i ;

математическое ожидание m j вре мени свершения события j и, в частности, завершающего события сети (полный расчет сети). Для этой оценки справедливы неравенства gj fj mj. (1.4.2) В случае несправедливости предположения п. 3 может не выполнять ся неравенство fj mj.

6. Основной идеей метода является вычисление оценок f i рекуррент но (в порядке правильной нумерации событий) как результата воздействия оператора математического ожидания на формулу для расчета детермини рованных сетей:

f j = M max [ fi + t (i, j )], (1.4.3) iD j где M – оператор математического ожидания;

i j, так как сеть правильно занумерована.

В формуле (1.4.3) в качестве случайных рассматриваются лишь вели чины t (i, j ), а оценка f i, вычисленная на предыдущем этапе, рассматрива ется как численная величина.

Рекуррентная формула для вычисления оценки f i записывается сле Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой дующим образом:

f j = P(t B j ) max [ f i + t (i, j )], (1.4.4) i D j tBj где сумма берется по всем значениям вектора t B и t (i, j ) является значени j ем его i -й координаты.

Улучшение оценки достигается за счет роста объема вычислений, так как в процессе расчета f i приходится перебирать все возможные сочетания значений длительностей работ из множества B j (непосредственно предше ствующих событию j ).


III. Метод Клингена [1.12] (обобщение метода Фалкерсона на непре рывные распределения).

1. Любой (ограничения отсутствуют).

2. Любые ограниченные законы р. в.

3. Дополнительно (по сравнению с предыдущим методом) предпола гается независимость длительностей работ внутри каждого множества B j ( j = 1, 2,..., n ). Это допущение является не более сильным, чем обычно при нимаемое допущение о независимости всех работ сети.

4. Отсутствуют.

5. Улучшенная (по сравнению с PERT) оценка C j математического ожидания времени свершения события j.

6. Допущение п. 3 позволяет избавиться от вычисления многомерного интеграла от многомерной плотности распределения вектора t B, и, в ре j зультате, интегральное распределение F j (z ) случайной величины h j полу чаем в виде произведения сдвинутых на величины C j функций Fj ( z ) = Fij ( z - Ci ), (1.4.5) Bj где Fij (z ) – интегральное распределение длительности работы (i, j ) ;

Ci – вычисленная на предыдущем этапе оценка Клингена математического ожидания времени свершения начального события работы (i, j ) из множе ства B j ;

h j = max [Ci + t (i, j )].

iD j Обобщение метода Фалкерсона на непрерывные распределения дос тигается с помощью записи оператора математического ожидания в виде интеграла Стилтьеса:

bj С j = M {h j } = zdF j ( z ). (1.4.6) aj Эта рекуррентная (т.к. сдвиг функций Fij (z ) в формуле (1.4.6) зависят от величины Ci ) формула пригодна как для непрерывных, так и для дис Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками кретных распределений. Здесь нижний и верхний пределы a j и b j распре деления времени свершения события j вычисляются следующим образом:

a j = max (Ci + aij ), iD j b j = max (Ci + bij ).

iD j где aij, bij - соответственно, нижний и верхний пределы длительности рабо ты (i, j ).

В случае непрерывных распределений интеграл (1.4.6), с помощью интегрирования по частям, приводится к виду bj Ci = b j - Fj ( z )dz. (1.4.7) aj В случае дискретных распределений интеграл (1.4.6) может быть под считан по формуле () C j = z k F j z k+ - F j ( z k ), a j z k b j, (1.4.8) k где zk = zk + d для малых d 0.

+ Причем, значения Fj (zk+ ) и Fj (z ) подсчитываются по формуле (1.4.5) как произведения значений ступенчатых функций Fij (zk+ - Ci ) и Fij (zk - Ci ), соответственно.

Значения последних функций в точках zk и zk+ определяются следую щим образом:

( ) P (z ), * Fij zk - Ci = ij m z m z k -Ci ( ) P (z ), Fij zk - Ci = ij m z m zk -Ci где Pij (zm ) - вероятность дискретного значения z m.

7. При машинной реализации, в случае непрерывных распределений, значительные трудности могут вызывать перемножение сдвинутых функ ций интегральных распределений по формуле (1.4.5) и последующее ин тегрирование.

IV. Метод Кларка [1.5, 1.11] 1. Любой (ограничения отсутствуют).

2. Нормальный закон.

3. Предполагается независимость.

4. Нормальный закон.

5. Рассчитываются оценки начальных моментов порядка с первого по четвертый.

6. Оператор вычисления соответствующего момента применяется к формуле Форда-Фалкерсона (1.4.3), где все величины рассматриваются как случайные. В силу того, что сроки свершения непосредственно предшест вующих событий (в общем случае) являются зависимыми, предварительно Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой вычисляются соответствующие коэффициенты корреляции. Основой мето да являются формулы для вычисления начальных моментов 1-го и 2-го по рядков n 1 и n 2 р.в. максимума двух коррелированных случайных величин xi и x j с математическими ожиданиями mi, m j и дисперсиями s i2, s 2 : j v1 = mi F (a ) + m j F (- a ) + aj (a ), (1.4.9) v 2 = (mi2 + s i2 ) F (a ) + (m 2 + s 2 ) F (- a ) + (mi + m j )aj (a ). (1.4.10) j j Моменты распределения максимума нескольких случайных величин вычисляются рекуррентно с помощью формул (1.4.9), (1.4.10) и формулы для вычисления коэффициента корреляции r (xk, y ) полученной случайной величины y = max (xi, x j ) с третьей случайной величиной x k :

s i r ik Ф(a ) + s j r jk Ф(- a ) r (xk, y ) = (1.4.11).

v 2 - v Формулы (1.4.9-1.4.11), так же как и формулы для вычисления момен тов 3-го и 4-го порядков, выведены Кларком в предположении, что на каж дом этапе вычисления максимума вновь получается нормальное распреде ление. В этих формулах использованы следующие обозначения:

mi - m j, а = s i2 + s 2 - 2s is j r ij, a= j а x r mr = r ( xm, xr ), j ( x ) = exp -, 2p y Ф( y ) = j ( x)dx.

7. Источником погрешностей данного метода является лишь предпо ложение о сохранении на каждом этапе действия нормального закона. Од нако, значительные трудности при реализации на ЭВМ вызывает расчет попарных коэффициентов корреляции между длинами путей, ведущих к каждому событию. Причем, в работе [1.11] нет формализованного алго ритма для расчета этих коэффициентов.

Объем вычислений и их сложность резко возрастают с увеличением числа работ в сети.

V. Метод С.Я. Виленкина [1.2].

1. Любой (ограничения отсутствуют).

2. Ограниченное распределение, например, бета-распределение.

3. Предполагается независимость.

4. Длина h k любого пути от исходного до завершающего события предполагается распределенной нормально, т.е. предполагается m -мерный нормальный закон ( m – число путей) для совместной плотности распреде ления величин h k.

5. Аппроксимация интегральной функции распределения длины кри тического пути.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками 6. Длина критического пути h max рассматривается как максимум слу чайных длин всех путей h k (k = 1, 2,..., m ).

Для упрощения вычисления m -мерного интеграла, дающего выраже ние для интегральной функции распределения длины критического пути, подынтегральная функция плотности f (x1, x2,..., xm ) раскладывается в m мерный ряд Грамма-Шарлье типа А (по полиномам Эрмита), порожденным функцией 1n n j (x1, x2,..., xm ) = (2p ) 2 exp - x j.

При этом, можно ограничиться лишь несколькими членами ряда. По сле интегрирования ряда аппроксимация интегральной функции длины критического пути выражается через табулированную функцию интеграла вероятности F ( y ) и полиномы Эрмита H k (x) :

( x - a i ) exp - 2s i x-a x - ai c n1,..., nm m m F ( x ) = F s + n !...n ! H ni -1 ( x ) F s i (1.4.12), 2p i =1 m i =1 j = n1,..., nm i j n j = где сn,...,n - коэффициенты разложения в m -мерный ряд, выражающиеся 1 m через моменты плотности f ( x1, x2,..., xm ).

В силу предположения п. 3 математическое ожидание и дисперсия длины пути подсчитываются суммированием математических ожиданий и дисперсий работ, лежащих на этом пути. Коэффициенты корреляции мат рицы r jk подсчитывают по формуле s t jk (1.4.13) r jk =, t s js k где s tjk - дисперсия работ, принадлежащих обоим путям j и k.

7. Для случаев сетевых моделей большого объема метод приводит к существенным вычислительным трудностям.

VI. Метод Мартина [1.22].

1. Последовательно-параллельные сети.

2. Плотности распределений описываются полиномами ограниченной степени.

3. Предполагается независимость.

4. Отсутствуют.

5. Функция распределения длины критического пути.

6. Используются алгоритмы приведения последовательных и парал лельных подсетей к одной эквивалентной дуге.

Эквивалентная интегральная функция G m (t ) p. в. времени выполнения последовательной подсети, состоящей из m работ, определяется с помо Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой щью рекуррентной свертки плотностей f k длительностей работ (t ) Gk -1 (t - t ) d t, (k = 1, 2,..., m ).

f (1.4.14) Gk (t ) = k Интегральная функция р. в. длины эквивалентной дуги для парал лельной подсети из n дуг определяется следующим образом:

n Gn (t ) = Fi (t ), (1.4.15) i = t где Fi (t ) = f (x )dx.

i 7. Алгоритмы приведения реализуются на ЭВМ достаточно просто в случае использования полиномов (см. п. 2) и последовательно параллельных сетей.

Следует отметить, что в работе [1.22] рассматривается также случай отказа от ограничения п. 1. Вероятностную сеть произвольной структуры можно преобразовать в последовательно-параллельную форму, в которой уже не все пути являются взаимно независимыми, так как могут содержать общие работы. Это преобразование достигается с помощью представления сети в виде дерева путей. Для этого случая предлагаются модифицирован ные алгоритмы приведения.

Модификация алгоритмов заключается в том, что сначала фиксиру ются некоторые значения длин xi вектора X = {xi } всех дуг, входящих бо лее чем в один путь. При фиксированном значении вектора X справедли вы формулы (1.4.14) и (1.4.15) параллельного и последовательного приве дения для условных распределений.

Формула (1.4.14) для алгоритма последовательного приведения изме няется лишь в случае, когда очередная дуга xk X. В этом случае свертка заменяется сдвигом на значение xk :

Сk (t / X ) = Gk -1 (t - xk / X ), k = 1, 2,..., r j.

С помощью формул последовательного приведения определяется ус ловная интегральная функция р.в. длины пути y i I j (t / X ) = Gr (t / X ). j Условная интегральная функция FT (t X ) р.в. длины критического пути T определяется из соотношения T = max{ y j }, j = 1, 2,..., n.

j Учитывая, что при фиксированном значении вектора X длины путей являются независимыми, то аналогично (1.4.15) получаем n FT (t / X ) = I j (t / X ).

j - В силу предположения п. 3 совместная плотность f ( X ) р.в. координат вектора X Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками n f ( X ) = f i ( xi ), j - где f i (xi ) – плотность р.в. длины пути xi.

Интегрируя функцию FT (t X ) по всем значениям вектора X, находим функцию n m FT (t ) =... I j (t / X ) f i ( xi )dx1... dx m. (1.4.16) j =1 i = X Вычисление интеграла (1.4.16) связано с большими трудностями даже при умеренной размерности m.


VII. Метод А. А. Мешкова [1.3, 1.5].

1. Любой (ограничения отсутствуют).

2. Задаются математические ожидания и дисперсии длительностей работ.

3. Предполагается независимость.

4. Нормальный закон.

5. Математическое ожидание и дисперсия длины критического пути.

6. Разработаны алгоритмы для отбора нескольких (порядка 15–20) существенных путей - наиболее длительных по математическому ожида нию и наименее коррелированных с остальными путями.

Математическое ожидание m x и дисперсия с s s2 длины i -го пути оп ределяются (в силу предположения п. 3) суммированием cсоответствую щих параметров работ, лежащих на этом пути. Коэффициент корреляции r ij путей i и j определяется по формуле (1.4.13).

После проведения отбора длина критического пути T рассматривается как максимум случайных длин xi существенных путей. Математическое ожидание M T и дисперсия DT длины критического пути вычисляются ре куррентно с помощью формул (1.4.9) и (1.4.10), где M T = n 1 и DT = n 2 - n 12.

При выполнении рекуррентных вычислений по этим формулам, необ ходимо знать, на каждом этапе, значение коэффициента корреляции слу чайных величин xk +1 и y = max{xi }. Этот коэффициент оценивается с помо i =1, k щью множественного коэффициента корреляции D*, (1.4.17) r ( xk +1, y ) = D где D - модуль определителя корреляционной матрицы rij существенных путей (i, j = 1, 2,..., k ) ;

D* - модуль определителя корреляционной матрицы (i, j = 1, 2,..., k + 1) при r ( k +1)( k +1) = 0.

r ij 7. Метод позволяет резко уменьшить количество рассматриваемых путей и, следовательно, сократить объем вычислений (при сохранении достаточной точности результатов).

Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой VIII. Метод упрощения сетей [1.5] и его расширение [1.24-1.25].

1. Мультипересеченные сети, содержащие типовые параллельные, последовательные и «пересеченные» подсети определенных видов («мост Винстона» и «двойной мост», «крест накрест»).

2. Любые ограниченные распределения.

3. Предполагаются независимость и расширение [1.5] зависимости специального вида в простейших исходных последовательных и парал лельных подсетях.

4. Отсутствуют.

5. Функция р. в. длины эквивалентной дуги.

6. В результате последовательного многократного применения инте гральных операторов свертывания типовых параллельных, последователь ных и затем пересеченных подсетей, алгоритм приводит исходную сеть к одной эквивалентной дуге, если сеть является мультипересеченной. В про тивном случае, исходная сеть упрощается до тех пор, пока она не будет со держать типовых подсетей, после чего предлагается использовать методы статистического моделирования.

Для свертывания параллельных и последовательных подсетей исполь зуются формулы (1.4.14) и (1.4.15).

С целью возможности использования, как для непрерывных, так и для дискретных распределений, формула (1.4.14) записывается в виде интегра ла Стилтьеса:

t Gk (t ) = Gk -1 (t - t )dFk (t ), (1.4.18) где распределения предполагаются определенными на положительной по луоси.

Для получения интегрального оператора функции р.в. длины дуги, эк вивалентной пересеченной подсети, используется модифицированный ал горитм Мартина (см. метод VI). В отличие от этого алгоритма, для исклю чения операции свертки, фиксируются длительности общих для несколь ких путей работ таким образом, что в каждом пути остается только одна работа нефиксированной длительности. Ее интегральная функция и опре деляет условное р.в. длины пути после сдвига вправо на фиксированную величину остальной длины пути. В [1.22] дан общий метод выбора набора работ, длительности которых остаются нефиксированными. Если не фик сируется длительность работы, входящей в несколько путей, то у функции ее р.в., входящей в оператор приведения, появляется сложный аргумент вида t - max xij, (1.4.19) i j где j принимает значения номеров путей, в которые входит данная нефик сированная работа;

xij – длина i -й фиксированной работы, входящей в j -й Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками путь;

t – аргумент результирующей функции р.в. длины критического пу ти.

Вид полученных интегральных операторов приведения аналогичен формуле (1.4.16), которая также может быть записана в виде интеграла Стилтьеса:

n FT (t ) =... F j (t / X )dF1 ( x1 )...dFm ( x m ). (1.4.20) j = X Таким образом, метод, в основном, является детализацией модифици рованного алгоритма Мартина для типовых пересеченных подсетей.

7. Реализация на ЭВМ метода достаточно сложна даже для сетей не больших размеров, так как требуется многократно распознавать подсети каждой типовой конфигурации. При свертывании типовой подсети требу ются вычисление многомерного интеграла и предварительное перемноже ние условных интегральных распределений. Интегрирование еще более за трудняется, если в формулу входят функции со сложными аргументами вида (1.4.19).

Алгоритм упрощения предлагается для сокращения объема или пол ного исключения (в случае мультипересеченных сетей) статистического моделирования сетей. Однако наилучшим методом вычисления указанных интегралов представляется метод статистических испытаний.

IX. Метод определения функции распределения времени выпол нения комплекса работ [1.24-1.25].

1. Последовательно-параллельные структуры в каждом уровне ие рархии сети.

2. Любые функции плотностей, допускающие разложение в обоб щенный ряд Грамма-Шарлье типа А (по полиномам Эрмита), т.е. квадра тично-суммируемые с весовой функцией [j0 (x;

a,s )]-1, где j 0 (x;

a, s ) - плот ность нормального распределения с математическим ожиданием и диспер сией a и s 2, соответственно. Этому условию, в частности, удовлетворяют любые распределения, определенные на конечном интервале.

3. Предполагается независимость.

4. Отсутствуют.

5. Функция распределения длины критического пути.

6. Каждая плотность f ( x ) длины дуги аппроксимируется отрезком ее разложения в обобщенный ряд Грамма-Шарлье по функциям (- 1)k sk (x;

a,s ) = j0k ) (x;

a,s ), ( jk k!

где параметры a и s 2 выбираются равными математическому ожиданию и дисперсии f ( x ). Поэтому ряд называется обобщенным в отличие от случая a = 0 и a = 1. Соответствующие коэффициенты ряда (k = 0,1,2,..., ) являются линейными комбинациями моментов f ( x ) и вычисляются по формуле Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой - f (x )j (x;

a,s ) [j (x;

a,s )] (1.4.21) ak = dx, k где момент f ( x ) интегрируется с весовой функцией, являющейся полино мом Эрмита. Число членов ряда определяется требуемой точностью ап проксимации.

Операции композиции соответствует операция перемножения рядов, являющихся преобразованиями Фурье разложений плотностей, участвую щих в композиции. После перемножения получаем ряд того же типа, что и исходные.

В результате упрощается операция f1 и f 2 последовательных дуг, так как она сводится к алгебраическим операциям над конечным числом пер вых коэффициентов a i, b j их разложений:

n n!

gn = a k bn -k, k!(n - k )!

k = где g n - коэффициент разложения плотности f 3 = f1 * f 2 в ряд того же типа.

Параметры a 3 и s 32 разложения f 3 получаются сложением соответст вующих параметров:

a 3 = a1 + a 2 и s 3 = s 12 + s 2.

2 В случае параллельных подсетей вычисляются и перемножаются зна чения интегральных функций р.в. длин дуг после интегрирования разло жений их плотностей. Затем, с помощью численного интегрирования, вы числяются по формуле (1.4.21) коэффициенты разложения полученных функций в ряд.

Алгоритм свертывает последовательные и параллельные подсети на каждом уровне иерархии, начиная с низшего.

7. Как указывается в [1.24-1.25], класс функций Эрмита является, по видимому, более естественным для представления функций распределе ния, чем предложенный в [1.23] класс полиномов. Использование же обобщенных, а не обычных разложений Грамма-Шарлье, позволяет еще более точно аппроксимировать плотности распределений. Достоинствами метода являются: уменьшение количества членов аппроксимации, при той же точности, и упрощение операции свертки.

Однако, недостатком является усложнение алгоритма свертывания параллельных подсетей из-за необходимости перехода от разложений плотностей к таблицам значений интегральных распределений и обратно к разложениям плотностей в ряд Грамма-Шарлье.

Существенным для сокращения количества вычислений и требуемого объема памяти машины, при реализации метода, является то, что в нем предусмотрена оценка количества членов аппроксимации для получения требуемой точности.

Из рассмотрения аналитических методов расчета вероятностных сетей Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками можно заключить, что они являются все же довольно громоздкими, что ог раничивает их применение. Аналитические методы, видимо, целесообраз но использовать для упрощения фрагментов реальных сетей.

Основные трудности, при вычислении оценок математического ожи дания и дисперсии длины критического пути, вызывает операция получе ния максимума случайных величин (операция максимизации). При вычис лении функций р. в. длины критического пути трудности вызывают пере множение интегральных функций р. в. (операция максимизации) и, еще в большей степени, операция композиции. Эти трудности значительно воз растают, если сети не являются последовательно-параллельными или при отказе от предположения о независимости длин дуг. Для преодоления ука занных трудностей обычно используют нормальный закон. Поэтому харак терной чертой многих методов расчета является использование предполо жения о нормальности совместной многомерной плотности распределения длин путей и т. д., что обосновывается ссылкой на центральную предель ную теорему. При этом, длина критического пути рассматривается как сумма большого числа случайных величин. Тогда, в качестве предельных, могут выступать совсем иные законы. В частности, такими законами могут быть предельные законы для максимального члена вариационного ряда.

X. Использование устойчивых законов распределения [1.5, 1.17].

1. Вероятностная сеть произвольной структуры.

2. Закон Фреше [1.5, 1.17].

3. Независимые случайные величины.

4. Отсутствуют.

На основании исследования, выполненного в работе [1.5], можно сде лать вывод о том, что операция максимизации случайных величин имеет в вероятностных сетях не меньшее значение, чем операция композиции слу чайных величин. Основная временная характеристика – длина критическо го пути до события i – может быть представлена как максимум случайных величин – длин всех путей от начального события сети до данного события i. Эти случайные величины, в общем случае, являются зависимыми, что создает основные трудности.

Для целей приближенного расчета временных характеристик вероят ностных сетей можно предположить, что случайные сроки свершения со бытий подчиняются закону Фv и прибавление к ним случайных длительно стей работ не изменяет типа закона распределения. Если возможны значе ния длительностей забот одного порядка, то, при большом числе ра бот в сети, форму кривой распределения длительности отдельной рабо ты можно считать не имеющей существенного значения и, естественно, принять для каждой работы (i, j ), априорно, распределение по тому же закону с параметром Q ij.

Таким образом, на основании выполненных исследований, можно Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой принять, что продолжительность любой работы (i, j ) подчиняется закону распределения Фреше с интегральной функцией Q ij y Фij (t ) = exp -, 0 t.

t Максимальную и минимальную оценки продолжительности работы будем рассматривать как соответствующие квантили близкой к единице и очень малой вероятности.

Показатель n выбирается одинаковым для всей сети и характеризует уровень неопределенности разработки, поскольку для данного закона распределения конечные моменты степени l существуют лишь для f n.

Будем считать, что n 1. Тогда математическое ожидание продолжи тельности работы (i, j ) равно n - (1.4.23) mij = Qij Г, n где Г (a ) = x a -1e - x dx.

Значение Q ij можно определить из формулы (1.4.23) по известным значениям mij и n либо по известному значению моды m ij из формулы 1/ g g (1.4.24) m ij = g + 1 Q ij.

Итак, в результате проведенных исследований [1.5] получен эффек тивный метод расчета характеристик законов распределения длительностей реализации сетевых фрагментов последовательно-параллельного типа.

1. Последовательную подсеть h можно заменить одной дугой с па раметром Q :

Q Q = ij (i, j )h. (1.4.25) Последовательной подсетью называется путь, который проходит че рез вершины, имеющие в точности одну входящую и одну выходящую из нее дуги, кроме начальной и конечной вершин этой подсети.

Правило сложения параметров Q ij следует из свойства сложения мате матических ожиданий и пропорциональности математического ожидания параметру Q :

n - 1 n - m Q ij = Г m = = Г Q.

ij n (ij )h n () ij h 2. Параллельную подсеть g можно заменить одной дугой с пара метром Q max :

1 /n Qmax (i, j ) = Qn (i, j )к.

(i, j )g Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Здесь параллельной подсетью называется множество дуг (i, j )к, имеющих одинаковые граничные вершины.

Правило расчета параметра Q max эквивалентной дуги для парал лельной подсети, следует из правила сложения параметров Qn (i, j )к, ко гда над независимыми случайными величинами производится операция максимизации:

t (i, j ) = max к {t (i, j )к }.

Для выделения последовательных и параллельных подсетей может быть использован алгоритм Мартина [1.22], но формулы последователь ного и параллельного приведения значительно упрощаются, так как здесь используется лишь один параметр Q. Поэтому становится реаль ным построение алгоритма представления сетей, не являющихся последо вательно-параллельными, в виде иерархического дерева и последую щего их расчета.

Другой возможностью для расчета вероятностной сети с помощью оценки параметра Q является использование выражения для времени наступления события в детерминированной упорядоченной сети t j = max i {ti + t (i, j )}, i j, Здесь t j - время свершения события i и t (i, j ) - длительность работы (i, j ) - случайные величины. Предполагая, что случайные величины [t i + t (i, j )] независимы, получим 1 /n Q j = (Q i + Q ij ) i (1.4.27) Этот метод аналогичен методу Фалкерсона-Клингена, так как факти чески вычисляется оценка для математического ожидания случайной ве личины n -, ti m j = Q j Г n однако допускает реализацию на ЭВМ (не требует перемножения инте гральных функций распределения Fij (x - C i ) в отличии от метода Клин гера [1.12]).

Таким образом, окончательный результат следующий: для группы па раллельно выполняемых работ можно пользоваться законом Фреше Фn.

Для случая последовательных работ устойчивым к композиции является закон X a (0 a 2 ), причем показатели этих законов сохраняют свое значе ние и одинаковы для граничных законов (a = n ). Оба закона могут быть в пределе аппроксимированы достаточно близкими функциями. Более удоб ным является закон Фреше [1.5].

Использование (1.4.27) позволяет исследовать возможность аппрок симации законами Фреше до сетевых моделей весьма общего вида. Можно Глава 1. Вероятностные сетевые модели с детерминированной структурой показать, что закон Фреше при n = 2 может быть аппроксимирован опи санным в §1.3 двухоценочным законом бета-распределения [1.3-1.6]. По следнее позволяет использовать двухоценочную методику (1.3.7-1.3.10) для задания закона распределения Фреше, устойчивого к операциям ком позиции и максимизации.

§1.5 Вероятностные параметры сетевых моделей на основе ими тационного моделирования.

В ряде работ описаны алгоритмы оценки длины критического пути до сетевых моделей со случайными продолжительностями работ с помощью статистического моделирования [1.3-1.6, 1.9, и др.].

Применение метода статистических испытаний для оценки парамет ров сетевых моделей позволяет распространить вероятностный подход и на некоторые параметры, характеризующие напряженность работ, входя щих в сеть работ и составляющих ее путей.

В работе [1.3, Гл.4, §2] введено понятие p – квантильного коэффици ента напряженности пути L, определяемого по следующей формуле:

k P, H (L ) = W P {k H (L )}, (1.5.1) где k H (L ) - коэффициент напряженности пути L в детерминированной се ти, определяемый по формуле:

k Н (L ) = (t ( L ) - t кр (L ))[t кр - t кр (L )].

- Здесь t кр (L ) обозначает продолжительность участка критического пу ти, совпадающего с путем L, t (L ) – длина пути L, а t кр - длина критическо го пути в сети.

Для получения значения W р {k Н (L )} необходимо многократно «разы грать» методом статистических испытаний продолжительности исполне ния работ в сетевой модели, каждый раз после «розыгрыша» фиксируя значение исследуемого коэффициента напряженности пути L. Произведя достаточно большое количество «розыгрышей» N, фиксируем p – про центный верхний доверительный предел эмпирического распределения, состоящего из N значений k H (L ). Значение p – квантильного коэффициента напряженности для работы (i, j ) введено Ч.Г. Найдов-Железовым в работе [1.4] и оценивается по следующей формуле:

k p, H (i, j ) = W p {k H (i, j )}, (1.5.2) где значение k H (i, j ) вводится в работах [1.3] и [1.4]. Аналогичным образом определяется p -квантильный коэффициент свободы k p, c (i, j ).

k p, c (i, j ) = W p {kc (i, j )}, (1.5.3) t p ( j ) - tn (i ) где kc (i, j ) =.

t (i, j ) Применение p -квантильных коэффициентов напряженности позволя Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками ет с помощью метода статистических испытаний осуществить разбиение входящих в сетевую модель работ на критическую, промежуточную и ре зервную зоны. Так, например, можно отнести к критической зоне все те работы, p -квантильный коэффициент напряженности которых больше фиксированного предела 1 - h (h 0). Заметим, что с ростом коэффициента доверия объем критической зоны увеличивается. Это вполне согласуется с технико-экономическим смыслом, вкладываемым в понятия коэффициента доверия p критической и резервной зон. Чем больше процент (вероят ность) гарантии свершения всего или части сетевого проекта в установ ленный планом срок, тем больше внимания следует уделить таким рабо там, которые лежат на грани критической и резервной зон, то есть входят в промежуточную зону. Вследствие этого рост коэффициента доверия p приводит к последовательному включению части промежуточной зоны в критическую зону.

Таким образом, задание фиксированного значения коэффициента до верия p приводит к формированию новых технико-экономических харак теристик и понятий в системах сетевого планирования и управления. Для сетевых моделей со случайными оценками работ вводится [1.3] понятие p квантильных зон. Иными словами, все работы по созданию нового ком плекса должны быть разбиты на:

а) p -квантильную критическую зону, к которой должны относиться все работы с Wp {k H (i, j )} p1,где значение p1 близко к единице ( p1 » 0,8 0,9 );

б) р-квантильную зону резервов, которая объединяет работы со значе ниями Wp {k H (i, j )} p2, где p 2 близко к нулю ( p 2 » 0,2 );

в) p -квантильную промежуточную зону, объединяющую работы со средними значениями p -квантильных коэффициентов:

p2 W p {k H (i, j )} p1.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.