авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |

«Институт проблем управления Университетский Центр им. В.А.Трапезникова РАН Самарии (Москва, Россия) (Ариэль, Израиль) Д.И. ...»

-- [ Страница 5 ] --

Этап 1 носит укрупнённый характер и представляет собой решение прямой оптимизационной задачи минимизации общей продолжительности выполнения проектов, описанной в разделе 4. Формализованное описание задачи: определить оптимальные значения {R k } и случайное расписание {S ic }, обеспечивающие ( ) d J 3 = Min Max E S k Rk Max Fi, (3.4.19) {R k } {Sci } k =1 i с ограничениями (3.4.20) Rk min Rk Rk max, Wk {S ci, t} Rk "t : t 0. (3.4.21) Если оптимальное значение целевой функции J opt в задаче (3.4.19 3.4.21) превысит величину C, входящую в ограничение (3.4.18) глобальной задачи (3.4.3, 3.4.5, 3.4.17-3.4.18), то это означает, что обратная задача не имеет решения и недостаточный объём финансирования C не позволяет определить допустимую начальную точку поиска в пространстве {Rk }. Вы ходом из положения может явиться повышение величины C до уровня J opt, либо ряд других мероприятий. В случае C J opt переходим к реализа ции следующего этапа.

Этап 2. Полученный на этапе 1 оптимальный вектор ресурсов R k на основе решения задачи (3.4.19-3.4.21) принимается в качестве допустимого решения задачи (3.4.3, 3.4.5, 3.4.17-3.4.18).

Алгоритм поиска решения имеет двухуровневую структуру и включа ет модель покоординатной оптимизации процесса поиска, описанную в разделе 3.4.7 (верхний иерархический уровень), и имитационную модель Б с приоритетами (нижний уровень иерархии).

На вход модели Б подается вектор R k, который в процессе реализации прогона не претерпевает изменений. Все выполняемые проекты P i имеют различные степени важности h i.

Введем в имитационную модель решающее правило распределения разработчиков между проектами, обеспечивающее построение расписания {S ic } на основе Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии [ }] { n I 3 = Max hi pi R k, Di (3.4.22) {S ic } i = и с ограничениями (3.4.5).

Для обеспечения (3.4.22) в каждый момент принятия решения по обеспечению ресурсами готовых к реализации проектов разработчики рас пределяются по операциям в порядке уменьшения значения g i = Pr{Fi Di }h i. (3.4.23) Значения Pr{Fi Di } определяются на основе многократной реализа ции модели Б. Таким образом, проекты P i с наиболее высокими значения ми g i обеспечиваются ресурсами в первую очередь.

Этап 3 осуществляет покоординатную оптимизацию (раздел 3.4.7). На каждом шаге поиска, с целью оценки очередной точки {Rk }, она передаётся на вход имитационной модели Б, с последующей реализацией M прого нов. Этап 3 обеспечивает соблюдение ограничений (3.4.3).

Этап 4 состоит в осуществлении M имитационных прогонов с после дующим анализом целевой функции следующего вида: максимизировать J 3 = Max {S1 + S 2}, (3.4.24) * {S ic } M h a (F ( ) n 1 m) где S1 = - Di, i i M i =1 m = [ ] 1dM S 2 = Zb C - s k Rk Max Fi ( m ), M k =1 m = i 1, x 0, a {x} = 0, в противном случае, 1, x 0, b {x} = 0, в противном случае, Z - большее по абсолютной величине отрицательное значение (по рядка - 1017 ), исключающее возможность превышения ограничения сверху C для очередной вектор-точки {Rk } математического ожидания расходов по содержанию разработчиков.

Таким образом, если в процессе многократной реализации имитаци онной модели Б новая точка поиска повышает значение целевой функции (3.4.24), то эта новая точка поиска становится исходной точкой.

При этом процесс поиска осуществляется из новой точки, а предыду щая точка поиска стирается в памяти алгоритма. Если же значение целевой функции (3.4.24) не увеличивается, дальнейший процесс поиска осуществ ляется в новом направлении из предыдущей точки поиска (например, про исходит переход к новой координате, и др.).

Остальные этапы практически совпадают с аналогичными этапами решения задачи (3.4.3-3.4.6).

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками 3.4.10 Численный пример В качестве упрощенного примера рассмотрим управление двумя од новременно реализуемыми аванпроектами, использующих разработчиков одного и того же типа. Первый из аванпроектов состоит из двух последо вательных операций, а второй - из трех. Таким образом, имеем n = 2, k = 1, m1 = 2 и m2 = 3. Случайные продолжительности выполнения операций под чинены равномерному закону распределения U (a, b ) с параметрами:

O11 - U (31, 40 ) ;

O12 - U (48, 55) ;

O21 - U (30, 38) ;

O22 - U (18, 30 ) ;

O23 - U (28, 39) ;

r111 = 15 ;

r121 = 17 ;

r211 = 15 ;

r221 = 20 ;

r231 = 27.

Общее количество разработчиков (ресурсов) R1 = 30.

Требуется реализовать один имитационный прогон для задачи В (ми нимизации общего срока реализации аванпроектов) с использованием пра вила LRT в качестве решающего правила при распределении ресурсов по операциям.

Рассмотрим существенные моменты (моменты принятия решений) в процессе реализации имитационного прогона.

I. t1 = 0, и ресурсы (разработчики) должны быть распределены меж ду двумя готовыми к выполнению операциями O11 и O12. Использование правила LRT дает предпочтение операции O21, поскольку, в соответствии с (3.4.13) имеет место неравенство 3 g 2 = t 2c = 91,5 g 1 = t1c = 87.

c =1 c = Однако наличие свободных ресурсов в момент t1 = 0 обеспечивает од новременное выполнение обеих операций ( R1 (0 ) = 30 = r111 + r211 );

Отсюда S11 = 0, S 21 = 0.

Имитация случайных величин t11 и t 21 методом Монте-Карло приводит к t11 = 34,7 и t 21 = 36,2.

Отсюда F11 = 0 + 34,7 = 34,7 ;

F21 = 36,2.

II. Следующий существенный момент t 2 = min {34,7;

36,2} = 34,7. Опе рация O11 завершается, и R1 (34,7 ) = 15. Однако, ввиду r121 = 17 15, операции O12 должна ожидать дополнительных ресурсов и не может начаться.

III. Следующий существенный момент t 3 = 36,2. Завершается опера ция O21, R1 (36,2 ) = 15 + 15 = 30. К выполнению готовы две конкурирующие операции O12 и O22, причем имеет место r121 + r221 = 37 30. Необходимо ис пользовать решающее правило LRT для выбора подлежащих снабжению ресурсами операций.

Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии Поскольку имеет место неравенство 3 g 2 = t 2 c = 57,5 g 1 = t1c = 51,5, c =1 c = выбирается операция O22. Имитация t 22 приводит к t 22 = 24,3. Отсюда получаем S 22 = 36,2 и F22 = 36,2 + 24,3 = 60,5. Операция O12 ожидает после дующего снабжения ресурсами.

IV. В следующий существенный момент t 4 = 60,5 операция O22 за вершается, а r221 = 20 единиц ресурсов высвобождается. Легко заметить, что обе операции O12 и O23 готовы к выполнению и ожидают снабжения ресур сами. Следует осуществить принятие решения по выбору операции (одно временная их реализация требует r231 + r121 = 27 + 17 = 44 30 = R1, что превы шает наличные свободные ресурсы) на основе правила LRT. Поскольку имеет место неравенство g 2 = t 23 = 33,5 g 1 = t12 = 51,5, выбирается операция O12 с S 22 = 60,5. Имитация случайной величины t12 = 52,8. В результате получаем F12 = 60,5 + 52,8 = 113,3.

V. В момент t 5 = 113,3 операция O12 завершается. Нереализованной остается лишь операция O23, потребляющая r231 = 27 единиц ресурсов при наличии 30 свободных разработчиков. Таким образом, S 23 = 113,3, а имита ция случайной величины t 23 дает t 23 = 34,7. В результате получаем F2 = 113,3 + 34,7 = 148. Таким образом, оба проекта выполнены к моменту F = 148.

Усложним приведенный выше численный пример. Введем два вида возобновляемых ресурсов со следующим заданным мощностями потреб ления: r111 = 15 ;

r121 = 17 ;

r211 = 15 ;

r221 = 20 ;

r231 = 27 ;

r112 = 60 ;

r122 = 51 ;

r212 = 73 ;

r222 = 88 ;

r232 = 85.

Стоимость аренды и содержания единицы ресурса первого типа за единицу времени составляет 50$, а величина стоимости для единицы ре сурса второго типа - 30$.

Значения R1 min, R1 max, R2 min, и R2 max задаются заранее и составляют, со ответственно, R1 min = 27 ;

R1 max = 44 ;

R2 min = 88 ;

R2 max = 148.

Требуется решить прямую оптимизационную задачу (3.4.3-3.4.6) с включенным в имитационную модель решающим правилом LRT [3.10].

При этом реализуется дополнительное требование по минимизации общего времени выполнения обоих проектов.

В разработанной модели [3.12] на каждом шаге поиска реализуется 500 прогонов. В процессе осуществления покоординатной циклической оптимизации было реализовано 12 шагов поиска.

В качестве исходной точки поиска была принята двумерная точка {R12 } = {44,148}, соответствующая значениям R1 max и R2 max. В качестве вели Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками чины шага поиска для обоих типов ресурсов было принято значение DR1 = DR2 = 1. Результаты поиска представлены в табл. 3.2.

Таблица 3. Поиск решения методом покоординатной оптимизации R2 Усредненное (500 прогонов) значение F Значение функции J 1 ($) R 44 148 93,6 43 148 120 44 147 93,6 44 146 93,6 44 145 93,6 6130S 44 144 93,6 44 143 93,6 44 142 93,6 44 141 93,6 599040*) 44 140 93, 44 139 121 43 140 120 ) * - оптимальное решение Таким образом, выбор суммарных значений ресурсов R1 = 44 и R2 = приводит к оптимальному решению с минимизацией общей стоимости разработчиков. Оптимальное решение задачи было получено за 12 шагов поиска в одной итерации.

§3.5 Двухуровневые задачи планирования и управления на разра батывающем предприятия (РП) 3.5.1 Введение Выше мы уже отмечали, что на современном РП все виды ресурсов по характеру их использования могут быть подразделены на два класса:

1) ресурсы, количество которых изменяется в зависимости от времени их использования. Как правило, величины этих ресурсов уменьшаются пропорционально объёму выполняемой работы. К ним можно отнести все стоимостные ресурсы, материалы, сырьё, готовые изделия и др.;

2) ресурсы второго рода, которые практически не изменяются в про цессе их использования. К ним можно отнести людские ресурсы, оборудо вание (если пренебречь амортизацией) и др.

В условиях крупного разрабатывающего предприятия (например, про ектного института отраслевого министерства) в точение одного-двух лет число одновременно выполняемых разработок насчитывает несколько де сятков, иногда и сотен, причём многие из них отображаются сетевыми мо делями большого объёма. В этом случае решение задачи управления ком плексом разработок при использовании ресурсов второго рода может быть осуществлено на основе принципа многоуровневой оптимизации [3.1-3.4].

Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии Предполагаемая идея такого рода оптимизации состоит в следующем.

В качестве низшего уровня принимается отдельная разработка объекта но вой техники, математической моделью которой является сетевая модель.

Второй уровень представлен моделью с несвязанными объектами, т. е. с объектами, очерёдность выполнения которых не регламентируется направ ленным графом, подобно сетевой модели, либо иными логическими усло виями. В качестве единичного элемента такой модели рассматривается от дельная разработка. Такого рода двухуровневая модель является достаточ но адекватной, поскольку результаты выполнения одних разработок, как правило, не влияют на ход выполнения других. Модель может быть эф фективно использована для управления научно-исследовательским инсти тутом, конструкторским бюро и т.д. На каждом из уровней системы управ ления разрабатывающим предприятием следует реализовать две оптималь ные задачи. Первая из них состоит в том, что определяется набор интен сивностей ресурсов, минимизирующий общее время выполнения одной или нескольких разработок. Второй оптимальной задачей служит нахож дение минимального набора ресурсов, позволяющего реализовать процесс выполнения разработки при заданном директивном времени. Представля ется, что вторая задача в условиях реально функционирующего разрабаты вающего предприятия имеет более важное значение ввиду возможного де фицита ресурсов. Дело в том, что нередко один-два остродефицитных ре сурса лимитируют разработку не только отдельного проекта, но и всей те матики разрабатывающего предприятия в целом. В случае детерминиро ванного описания объекта управления процедура управления на этапе вы полнения разработки будет определяться в основном периодической кор ректировкой календарного плана-графика. Процедура принятия решения, возникающая в случае отклонения фактического хода разработки от пла нового, должна формироваться с учётом фактического хода выполнения остальных разработок, главным образом на основе перераспределения ре сурсов. В случае невозможности реализации управляющего воздействия в виде перераспределения ресурсов между операциями одной разработки либо между разработками осуществление принятия решений должно про исходить за счёт изменения сроков выполнения отдельных разработок, ли бо привлечения дополнительных ресурсов, либо сокращения объёмов ра бот.

Специфика управления разрабатывающим предприятием наиболее полно отражается в случае, когда информация об объекте управления но сит вероятностный характер. Действительно, характер большинства разра боток на разрабатывающих предприятиях в силу их новизны, сложности теоретических исследований и технического воплощения, отсутствия ана лога в прошлом и т. д. затрудняет получение достоверных значений оценок времени выполнения как разработки в целом, так и составляющих её от дельных операций. Это заставляет прибегать к экспертным оценкам, что Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками снижает достоверность информации и придаёт задаче управления разра ботками вероятностный характер.

3.5.2 Оптимальные задачи на разрабатывающем предприятии [3.2] На низшем уровне системы управления разрабатывающим предпри ятием производится одновременное решение следующих оптимальных за дач. Сначала решается задача минимизации времени выполнения разра ботки при ограничениях на интенсивность потребления ресурсов, в резуль тате которой получается минимальное время Tmin. Последующая оптималь ная задача имеет целью минимизацию специальным образом выбранного функционала от интенсивностей ресурсов при ограничении общего време ни разработки значением, равным Tmin. В результате высвобождаются не нужные ресурсы и остаются лишь те из них, которые наиболее остро ли митируют выполнение проекта в целом. Практика решения ряда конкрет ных производственных задач, связанных с оптимизацией сетевых моделей, убеждает в разумности такого рода подхода.

На верхнем уровне системы управления разрабатывающим предпри ятием предлагается использовать следующую методику. Всё множество разработок разбивается на различные классы, причём к одному и тому же классу относятся разработки, характеризующиеся общностью объектов проектирования, использованием одинаковых ресурсов в одинаковом объ ёме, имеющих конструктивное и технологическое единство. Практика ана лиза крупных разрабатывающих предприятий показывает, что такого рода классифицирование может быть реализовано. Предположим, что разработ ки, относящиеся к одному и тому же классу, реализуются за одно и то же время, определённое в результате решения оптимальной задачи предыду щего этапа, и в каждой из разработок участвует набор ресурсов одинаково го наименования и одинаковой интенсивности.

После создания такого классификатора и распределения разработок по классам необходимо построить для каждого из классов ступенчатую кривую потребных интенсивностей по каждому из видов ресурсов. Разуме ется, число временных интервалов, которые формируют ступенчатую кри вую, не должно быть значительным (на практике - порядка 5-10 интерва лов). Таким образом, производится замена сетевой модели несвязанным элементом графика Ганта, имеющим определённую продолжительность и набор ступенчатых кривых интенсивностей ресурсов, участвующих в реа лизации проекта в течение хода разработки. Возникает возможность рас смотрения системы с несвязанными элементами, "свободно плавающими'' внутри планового интервала реализации всего комплекса разработок. Учи тывая, что число такого рода несвязанных объектов равно числу отдель ных разработок, т.е. не превышает нескольких сотен, можно осуществить реализацию комплекса оптимальных задач на втором уровне.

Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии 3.5.3 Формализация задач управления [3.2] Дадим формализованную постановку задачи. Рассмотрим сложный проектно-конструкторский комплекс, состоящий из N объектов, логиче ски не связанных между собой. Для выполнения этих работ имеются ре сурсы s видов, причём для каждого r -го вида ресурсов ( 1 r s ) известна Br - суммарная наличная интенсивность этого ресурса (максимальный производительный фронт работ по разрабатывающему предприятию). По скольку не все ресурсы на разрабатывающем предприятии имеют одинако вую ценность, считаем, что нам известны p r - приоритетные коэффициен ты, указывающие на ценность ресурсов r -го вида, потребляемых на дан ном предприятии. Выше уже отмечалось, что хотя на разрабатывающем предприятии, как правило, не встречается двух совершенно одинаковых работ, тем не менее обычно удаётся разбить все работы на классы, причём к одному классу относятся все разработки, потребляющие в каждый мо мент времени ресурсы одного и того же вида и в одном и том же объёме.

Заметим, что формально такая классификация всегда возможна, поскольку в том случае, если для некоторых разработок на данном разрабатывающем предприятии не найдётся идентичных (в смысле изложенного принципа), то каждая такая разработка представляет собой класс, состоящий из одного элемента.

Поэтому можно считать, что все работы (элементы) системы разбиты на n классов, причём каждый j -й класс содержит фиксированное число элементов. Объекты потребляют ресурсы различных видов, общее число которых равно s. Для каждого из n классов и для каждого из s видов ре сурсов существует ступенчатая функция интенсивности потребления этих ресурсов. Так, для r -го вида ресурсов ( 1 r s ) эпюра потребления ресур сов имеет следующий вид для j -го класса:

[ ] gir1 для t 0, t ir1, [ ] gir2 для t 0, tir2, …………………….

[ ] girh для t 0, tirh, Здесь h - число "ступенек" - есть функция от класса объекта j и ре сурса r. Обозначим символом t j время функционирования элемента j -oгo класса, t ij (нач) - подлежащее определению время начала функционирова ния i -гo объекта в j -м классе ( 1 j n ), а t ij (кон) - время окончания функ ционирования этого объекта, t ij (кон) = t ij (нач) + t j.

Процесс оптимизации проходит две последовательные стадии. На первой стадии задача состоит в том, чтобы на основе ограниченных значе ний Br определить минимальное время функционирования системы (при Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками нимая, что система начинает функционировать в нулевой момент времени, время функционирования системы совпадает с моментом окончания рабо ты системы, который впредь будем обозначать символом T0 ). Помимо это го, необходимо определить набор составляющих календарный план график значений t ij (нач) и t ij (кон) для всех элементов системы. Отметим, что таких наборов может существовать более одного, более того, их может существовать бесконечное множество.

На второй стадии задача заключается в том, чтобы, зафиксировав по лученное на предыдущей стадии минимальное значение T0 в качестве ог раничения по времени, выбрать из множества наборов t ij (нач) и t ij (кон), со ответствующих T0, такой, при котором используется минимальное сум марное количество ресурсов с учётом их приоритетных коэффициентов.

Помимо этого, необходимо определить набор интенсивностей ресур сов, соответствующих такому плану-графику. Иными словами, на второй стадии необходимо произвести оптимизацию по ресурсам при ограниче нии во времени. Поскольку мы не можем оптимизировать одновременно интенсивность многих ресурсов (как известно, оптимальная задача может решаться лишь при условии оптимизации по одному параметру), целесо образно минимизировать функционал от интенсивностей ресурсов. При мером такого функционала может служить функционал следующего вида:

s I = pr Lr, r = в котором p1, p 2,..., p s - соответствующие приоритетные коэффициенты для ресурсов 1,2,..., s -гo вида, Lr - неизвестные суммарные интенсивности ре сурсов, подлежащие оценке в процессе оптимизации. Заметим, что для Lr существуют естественные ограничения Ar Lr Br, где Ar и Br - соответственно, минимальный и максимальный производи тельные фронты работ по всему предприятию. Эти ограничения являются естественными, поскольку неравенство Lr Ar - означает, что ресурсов r го вида недостаточно для выполнения имеющегося объёма работ, а нера венство Lr Br - означает, что заведомо не все ресурсы будут использова ны производительно.

Таким образом, выход значения Lr за пределы интервала [Ar, Br ] заве домо означает, что это значение лежит вне области возможных решений.

Учитывая, что на каждом разрабатывающем предприятии, вообще го воря, число имеющихся специалистов по каждой специальности неизмен но, считаем, что в процессе функционирования объекта комплекса в ин тервале [0, T0 ] суммарная наличная интенсивность ресурса каждого вида Br должна быть постоянной. Аналогичные требования мы будем предъявлять Глава 3. Оптимальные задачи на современном разрабатывающем предприятии и к величинам Lr.

При решении поставленной задачи, как на первой, так и на второй стадии мы используем в качестве метода оптимизации комбинацию двух статистических методов - метода Монте-Карло, служащего для нахожде ния начальной точки поиска, и локального шагового случайного поиска.

Подобного рода комбинированный метод с успехом применяется при оп тимизации сетевых моделей и на наш взгляд, с учётом нелинейности и многопараметричности задачи является единственным практически эф фективным вычислительным методом [3.1-3.4].

Идея решения первой из оптимальных задач - минимизации времени функционирования комплекса разработок, состоит в следующем. Выбира ется срок окончания T0 таким образом, чтобы априори было ясно, что вы полнение всех работ в интервале [0, T0 ] было невозможно. Этот срок при нимается в качестве исходной точки интервала и уточняется в процессе решения задачи. Интервал [0, T0 ] разбивается на частные календарные пе риоды, после чего '"разыгрываются" методом Монте-Карло сроки начала и окончания всех работ. В результате "розыгрыша" для каждого k -oгo част ного календарного периода по каждому r -му виду ресурсов определяется суммарная потребная интенсивность ресурсов Ф kr. Степень близости по требных и наличных ресурсов определяется функционалом I :

I= Q 2 kr, k r где если Br Ф kr 0, Qkr = Ф kr - Br, если Br Ф kr.

Далее задача состоит в минимизации функционала I методом стати стической оптимизации. В случае, если I 0, увеличиваем значение T0 на шаг b, после чего повторяем процесс минимизации I. Процедура T0 + b ® T0 происходит до тех пор, пока I не станет равным нулю. Идея реализации второй оптимальной задачи (оптимизация по ресурсам) состо ит в следующем. Производится случайный поиск в пространстве Lr, мини s мизирующий значение I = p r Lr. Для каждого шага поиска проверяется r = возможность функционирования комплекса за время T0, полученное в про цессе решения предыдущей оптимальной задачи. Если время превышает T или если значение функционала I не уменьшилось, шаг поиска считается неудачным.

В результате решения двух оптимальных задач строится календарный план-график начала и окончания каждой из разработок, минимизирующий общее время комплекса разработок и высвобождающий (по отношению к этому минимальному времени) условно максимальный объём ресурсов.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Заметим, что такого рода двухуровневая оптимизация позволяет построить оптимальный план-график также для каждой работы сетевой модели по каждой из разработок, ввиду того, что время выполнения разработок на втором уровне не меняется, а календарный план-график для каждой из ра бот сетевой модели был построен нами на первом уровне оптимизации (отдельных сетевых моделей). Разница состоит лишь в том, что времена функционирования работ сдвигаются на одинаковый отрезок времени, со ответствующий началу выполнения разработок относительно нулевой точ ки отсчёта.

Процесс двухуровневой оптимизации завершается, таким образом, построением календарного плана-графика работы всех элементов системы, причём каждый элемент имеет в своем распоряжении необходимое коли чество ресурсов. Под термином «элемент системы» мы подразумеваем ис полнителя или коллектив исполнителей, выполняющих отдельную работу, входящую в сетевой проект. Разработка календарного плана-графика за вершает стадию годового планирования, после чего начинают свою работу подсистемы сбора и обработки информации и оперативного управления.

Процесс функционирования последней также основан на применении двухуровневой оптимизации. Если рассогласование между плановым и фактическим состоянием системы может быть признано существенным, а первичные управляющие воздействия (без перераспределения ресурсов) недостаточны, начинает работать комплекс оптимальных задач. При этом вместо реализации трёх оптимальных задач (по объёму, времени и ресур сам) целесообразно променять двухуровневую (или многоуровневую) оп тимизацию. Тогда все алгоритмы оптимизации, используемые на стадии годового планирования, могут применяться и на стадии оперативного пла нирования.

Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST §4.1 Цели и объект исследования В настоящей главе исследованию подлежит трёхуровневая цепочка объектов класса PERT-COST: компания, осуществляющая одновременную реализацию нескольких проектов сетевой проект процедура контро ля и опроса о состоянии проекта управляющие воздействия. Под по следними мы будем впредь понимать повторные оптимальные перераспре деления стоимостных ресурсов между проектами и оптимальные перерас пределения оставшихся ресурсов внутри каждого из проектов между вхо дящими в соответствующий проект работами. Модель PERT-COST по сво ей структуре, составу и альтернативности совпадает с моделью PERT [4.2, 4.18]. Продолжительность t ij выполнения каждой работы (i, j ) сетевой мо дели G (N, A) есть случайная величина, в плотность распределения которой параметром входит выделенный для выполнения этой работы бюджет cij.

Иными словами, имеет место f ij (t / cij ), где в качестве закона распределения обычно используют бета-распределение (см. Главу 1) с двумя параметрами aij и bij, как и в модели PERT. На основе ряда публикаций [4.2-4.14, 4.18] можно прийти к заключению, что средняя продолжительность работы tij близка к обратно пропорциональной выделенному бюджету cij. Учитывая допущение о распределении случайного времени выполнения работы (i, j ) согласно бета-распределению, мы вправе считать кривую зависимости «время-стоимость» близкой к изображённой на рис 4.1. Отметим что в сис темах PERT-COST для любой работы (i, j ) G (N, A) оптимистические и пес симистические кривые «время-стоимость» должны быть заданы заранее.

Примем в целях упрощения, что для всех работ (i, j ) G (N, A) значения Aij Bij и t ij* = с заданными константами Aij и Bij формируют оптими * * t ij = c ij cij стические и пессимистические кривые «время-стоимость». При этом плот ность бета-распределения случайной продолжительности t ij может быть аппроксимирована кривой [4.6-4.14] (x - t )(t ) Pij ( x ) = -x. (4.1.1) * ** (t ) ij ij * ** -t ij ij Для такого рода упрощения соотношение [4.6-4.14] * * 3t ij + 2t ij 3 Aij + 2 Bij (4.1.2) t ij = = 5 5cij есть усреднённая кривая «время-стоимость».

В дальнейшем мы будем пользоваться такого рода допущением. От Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками метим, что в ряде практических приложений могут быть рекомендованы более обобщённые соотношения, а именно:

Aij Bij и t ij* =, (4.1.3) * t ij = (c ) * (c ) p p ij ij где 0,5 p 1. Однако с общей точки зрения введение соотношений (4.1.3) не меняет принципиального значения модели PERT-COST: необходимо лишь установить в плотности распределения (4.1.1) количественную связь между временем и стоимостью. В дальнейшем, после отработки модели (4.1.1), дальнейшие рассуждения не претерпевают изменений.

Входной информацией для функционирования иерархической систе мы моделей планирования, оперативного контроля и управления несколь ких одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST служат следующие данные:

- выделенный системе бюджет для выполнения всех проектов;

- директивные сроки реализации проектов;

- бюджетные ограничения для выполнения каждой из работ для каж дого из проектов;

- допустимые вероятности выполнения каждого из проектов в соот ветствующий директивный срок.

Система призвана в каждый момент мониторинга проектов t 0 опре делить:

- оптимальный бюджет, выделенный для каждого из проектов;

- оптимальное распределение выделенного проекту бюджета между оставшимися невыполненными работами проекта;

- момент опроса о состоянии каждого из проектов (речь идёт о буду щих моментах контроля, начиная с t 0 ).

Целью работы системы является:

- минимизация суммарного количества моментов контроля (опроса) для всех проектов, входящих в систему;

- обеспечение получения помощи слабейшему из проектов за счёт «лидеров» - проектов, наиболее полно соответствующих директивным ха рактеристикам.

На высшем иерархическом уровне-уровне компании - осуществляется оптимальное распределение общего объёма финансирования (для систем СПУ типа PERT-COST) между реализуемыми проектами. При этом рас сматриваются два различных случая, приводящих к различным распреде лительным моделям:

а) проекты имеют одинаковую степень важности;

б) проекты отличаются различными приоритетными показателями.

В результате использования моделей распределения финансирования между проектами каждому из последних выделяется объём финансирова ния. В дальнейшем каждый из проектов приступает к реализации индиви дуально, независимо друг от друга.

Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST На уровне отдельного проекта осуществляется оптимальное распреде ление выделенного объёма финансирования между работами проекта. Це левой функцией модели является максимизация вероятности завершения хода проектирования в заранее заданный директивный срок. Ограниче ниями задачи служат общий объём финансирования и заранее заданная минимально допустимая вероятность реализации проекта в срок.

Рис. 4.1 Кривые «время-стоимость» для бета-распределения Если оптимизация модели на уровне проекта может быть осуществле на с принятыми ограничениями, переходим на третий иерархический уро вень системы – уровень управления. При этом строятся траектории плано вого хода работ по проекту и осуществляется периодическое сравнение фактического состояния проекта с плановым.

В процессе контроля хода проектирования (для каждого проекта в от дельности) после очередного опроса о состоянии проекта осуществляется проверка вероятности завершения проекта в директивный срок. В положи тельном случае контроль хода выполнения проекта продолжается без вне сения управляющих воздействий. Если же вероятность достижения проек том цели в срок ниже минимального допустимого уровня, осуществляется перераспределение оставшихся наличных финансовых ресурсов между проектами, с тем, чтобы осуществить помощь слабейшим из проектов за счёт более сильных (имеющих резерв времени) проектов. При наличии различных случайных воздействий, обстоятельств и помех (заложенных изначально в случайные продолжительности выполнения входящих в про Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками ект работ) такие ситуации нередко имеют место.

§4.2 Терминология Введём следующие обозначения [4.6, 4.11, 4.14] G k ( N, A) - сетевой проект типа PERT-COST, 1 k n ;

n - количество проектов;

Dk - директивный срок для k -го проекта (задаётся);

Pk** - доверительная вероятность, которая практически гарантирует за вершение k -го проекта в срок (задаётся);

Pk** Pk** - минимально допустимая вероятность завершения k -го про екта в срок;

h k - приоритетный коэффициент (степень важности) проекта (задаёт ся);

C kt - бюджет, выделяемый компанией k -му проекту в момент t 0 ;

Ck 0 = Ck (оптимизируемая переменная);

n C C k - начальный бюджет компании для реализации всех n проек k = тов;

Tk [C kt ] - случайная продолжительность выполнения k -го проекта на основе выделенного ему бюджета C kt ;

Pk [C kt ] = Pr{t + Tk [C kt ] C k }- вероятность завершения k -го проекта в срок Dk с выделенным ему бюджетом С kt ;

C kt - объём бюджета, соответствующего Pk [C kt ] = Pk* ;

t 0 ;

t * * C kt* - объём бюджета, соответствующего Pk [C kt* ] = Pk**, t 0, t 0;

отме * * тим, что в случае C kt C kt* объём C kt - C kt* является излишним;

* * G k (t ) - оставшаяся часть k -го проекта в момент t 0, Gk (0 ) = G k ( N, A) (получена на основе обследования в момент t );

C k (t ) - оставшийся неиспользованным бюджет для проекта G k (t ) (по лучен на основе обследования в точке контроля t );

Tk (C k (t )) - случайная продолжительность проекта G k (t ) на основе ос тавшегося бюджета C k (t ) ;

(i, j )k G k (N, A) - работа (i, j ), входящая в k -й проект;

t ijk - случайная продолжительность работы (i, j )k ;

cijk - бюджет, выделенный для работы (i, j )k ;

Aijk - заданная величина, позволяющая приближённо определить ниж Bijk ний предел aijk случайной величины t ijk по формуле aijk = ;

c ijk Bijk - заранее заданная величина, позволяющая определить верхний Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST Bijk предел bijk случайной величины t ijk по формуле bijk = ;

cijk cijk min - минимальное значение бюджета, позволяющее выполнить ра боту (i, j )k (заранее задаётся);

cijk max - максимальное значение бюджета, позволяющее выполнить ра боту (i, j )k (заранее задаётся);

T k C kt / c ijk - случайная продолжительность проекта G k (t ) на основе выделенного бюджета C kt, распределённого между работами проекта со гласно cijk ;

Pkt = Pr{t + Tk [C k (t )] Dk } - вероятность завершения k -го оставшегося проекта G k (t ) в срок с бюджетом C k (t ) ;

D k - минимальное расстояние в днях между двумя последовательными точками контроля для k -го проекта (исходя из практических соображений и в целях ускорения сходимости). Величины D k задаются заранее, 1 k n ;

N k (t ) - количество точек контроля для k -го проекта, начиная с момен та t 0 ;

N k (0) = N k (общее количество точек контроля);

t kg - g -я точка контроля для k -го проекта, 1 g N k, 1 k n ;

Vkpl (t ) - плановая траектория хода выполнения работ по k -му проекту, 0 t Dk, (определяется и корректируется по мере реализации проекта);

dP - величина единицы прироста надёжности проекта (задаётся зара нее);

dC - величина единицы бюджета, которую нельзя подвергнуть дроб лению.

Приведённая терминология будет использована в последующих раз делах главы.

§4.3 Вспомогательные задачи I и II Выше уже отмечалось, что в рассматриваемой нами многоуровневой модели планирования, контроля и управления сетевыми проектами PERT COST на верхнем уровне иерархии - уровне компании - происходит рас пределение бюджета компании между несколькими стохастическими сете выми проектами, выполняемыми практически одновременно. В свою оче редь, проекты распределяют в дальнейшем полученный бюджет между ра ботами проекта, после чего проекты реализуются независимо друг от дру га. Каждый из проектов осуществляет оперативный контроль скорости движения к намеченной цели и отклонения от соответствующей траекто рии движения с обследованием состояния проекта в точках контроля. При этом каждый из проектов имеет директивный срок своего окончания, а также минимально допустимую вероятность завершения проекта в этот Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками срок. Если в результате обследования какого-либо из проектов в одной из точек контроля делается вывод о невозможности завершения этого проекта в срок с принятой вероятностью, компания осуществляет перераспределе ние всех оставшихся наличных финансовых ресурсов между проектами.

Для построения оптимальных распределительных моделей нам потре буется математический аппарат определения значений С kt и C kt*, удовле * * творяющих соотношениям Pk [C kt ] = Pk* и Pk [C kt* ] = Pk** для всех проектов G k (t ) * * в любой точке контроля t 0. Опустим индекс k и определим значения Ct* и Ct**, соответствующие вероятностям Pt * и Pt ** для одного проекта G (t ).

Легко заметить, что эта задача сводится к следующему виду:

Задача I Задан сетевой проект G (N, A) в составе работ (i, j ) с директивным сро ком D и случайными продолжительностями работ t ij. Каждой из работ (i, j ) выделяется бюджет cij, который входит параметром в функцию распреде ления случайной величины t ij. Каждая из работ (i, j ) не может потреблять бюджет, меньший cij min и превышающий cij min (обе величины задаются за ранее). В соответствии с результатами ряда работ [4.2, 4.6-4.14, 4.16] при мем, что продолжительность выполнения работы (i, j ) G (N, A) зависит от выделенного бюджета cij и распределена по закону -распределения с плотностью (4.1.1-4.1.2), (t - aij )(bij - t )2, Pij (t ) = (4.3.1) (bij - aij ) B A где bij = ij, а aij = ij. Значения Bij и Aij определены и заранее заданы для cij cij всех работ (i, j ).

Таким образом, входной информацией задачи I служит: i, j, cij min, cij max, Aij, Bij для всех (i, j ) G ( N, A), а также директивный срок D и выде ленный бюджет C.

Задача I имеет следующий вид:

Определить значение cij, максимизирующие надёжность проекта G ( N, A), то есть (4.3.2) Max Pr T C / c ij D с ограничениями cij = C ;

(4.3.3) {i, j } cij min cij cij max. (4.3.4) Приводим пошаговую процедуру решения задачи I [4.6, 4.8, 4.14]:

Шаг 1. Распределим (хотя бы и не оптимально) бюджет C между ра Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST ботами (i, j ) G (N, A) с учётом (4.3.3-4.3.4) в целях получения допустимого решения. Мы предлагаем осуществить шаг 1 на основе метода половинно го деления [4.17] следующим образом:

1.1. Положить a = 0, b = 1.

1.2. Определяем значения 1 = cij min = [(1 - a )cij min + acij max ], (i, j ) G ( N, A ) (i, j ) [ ] = (1 - b )cij min + b cij max.

c = 2 ij max (i, j ) G ( N, A ) (i, j ) 1.3. Вычисляем:

( 1 + 2 ) = 1 - a + b a +b cij max.

= cij min + 2 (i, j ) 1.4. Сравниваем значения S1 и S 2. Если S 2 - S1 dC, переходим к 1.8.

В противном случае переход к 1.5. Отметим, что значение dC задаётся за ранее.

1.5. Проверка: S1 С S 3 ? Если неравенство имеет место, переходим к 1.6. В противном случае переходим к 1.7.

a +b a +b 1.6. Полагаем S 3 S 2, 1 - 1- b ;

b. Переходим к 1.3.

2 1.7. Переход к 1.7 означает, что имеет место S 3 C S 2. Полагаем a +b a +b S 3 S1, 1 - 1- a, a, после чего переход к 1.3.

2 1.8. Величина S 3 @ С с набором cij = 0,5(2 - a - b )cij min + 0,5(a + b )cij max есть искомое допустимое неоптимальное распределение стоимостных ресурсов на шаге 1.

Aij Bij для всех (i, j ) G (N, A).

Шаг 2. Определяем значения aij = и bij = cij cij Шаг 3. Смоделируем значения t ij по закону бета-распределения (4.3.1).

Методика имитации случайных величин изложена в [1.7].

Шаг 4. Определим длину критического пути Lcr [t ij ] на основе шага 3 и определим все работы (i, j ) G (N, A), лежащие на критическом пути.

Шаг 5. Сравниваем значения D и Lcr [t ij ]. При D Lcr [t ij ] работает счёт чик W W + 1, после чего переходим к шагу 6. При D Lcr [t ij ] переходим к шагу 6 без работы счётчика W.

Шаг 6. Если работа (i, j ) принадлежит критическому пути (см. шаг 4), работает счётчик Wij Wij + 1 (для всех (i, j ) G (N, A) ) Шаг 7. Повторяем шаги 2-6 M раз для получения представительной статистики.

Шаг 8. Определяем среднее значение частоты W на шаге { } c W = R ( q ) (C ) = R ( q ) (G )ij = Pr (q ) T (G )cij D, = C, где q есть порядковый ij M () i, j Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками номер итерации.

Шаг 9. Сравнить два соседних значения R (q ) (C ) и R (q -1) (C ). Если имеет место R (q -1) (C ) R (q ) (C ), переходим к следующему шагу. В противном слу чае переходим к шагу 16.

Шаг 10. На основе M имитаций для всех работ проекта вычислить частоты нахождения на критическом пути. Обозначим их Wij P(i, j / Lcr ) =, (i, j ) G (N, A).

M Шаг 11. Перераспределить все работы (i, j ) следующим образом: Для работ (i, j ) с P(i, j / Lcr ) 0 распределяем их в порядке уменьшения произве 3 Aij + 2 Bij дения P(i, j / Lcr ) Jij, где Jij = для плотности (4.3.1).

5cij min cij max Реализация шага 11 осуществляется потому, что при перераспреде лении бюджета важны не только математические ожидания Jij, но и веро ятности их появления P(i, j / Lcr ). Работы (i, j ) с P(i, j / Lcr ) = 0 должны быть помещены в нижнем конце таблицы (ряда), в порядке уменьшения их зна чений Jij.

Шаг 12. Определяем работу (ix, jx ) с наивысшим порядком, для кото рой имеет место Z1 = ci j - ci j 0. Работа (ix, jx ) находится вверху табли x max x x x цы и входит в критическую зону.

Шаг 13. Определим работу (ih, jh ) с самым низким порядком, для ко торой имеет место Z 2 = ci j - ci j 0. Заметим, что работа (ih, jh ) не явля hh h h min ется критической и практически не влияет на продолжительность работы проекта.

Шаг 14. Перевести бюджет Z = min (Z 1, Z 2 ) от работы (ih, jh ) к работе (ix, jx ).

Шаг 15. Очистка счётчика W и переход к шагу 2.

Шаг 16. Произвести модификации в процедуре алгоритма:

a) Для шага 9 для случая R (q ) (C ) R (q -1) (C ) идти на шаг 18, а не на шаг 16;

b) На шаге 14 бюджет Z, который надо передать от работы (ih, jh ) к работе (ix, jx ), должен быть приравнен С. Переход к шагу 17.

Шаг 17. Порядок работ (i, j ), полученный на шаге 11, принять в каче стве результат (q-1)-й итерации. Идти к шагу 12.

Шаг 18. Окончание алгоритма.

Значения cij, полученные в результате ( q - 1 )-й итерации, принимают ся в качестве квазиоптимальных, ибо задача не позволяет получить строго го аналитического решения. Квазиоптимальное значение целевой функции, Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST то есть Max Pr{ (C / cij )} D при = C, есть величина R ( q -1) (C ), опреде c T ij лённая на шаге 8.

Задача II является обратной задачей для задачи I и формулируется следующим образом: для заданной надёжности p проекта G (N, A), 0 p 1, найти минимальное значение выделяемого бюджета C и значения cij, удовлетворяющие MinC = Min cij (4.3.7) {i, j } c ограничениями Pr{ (C / cij ) D} = p, (4.3.8) T cij min cij cij max.

Задача II является достаточно простой модификацией задачи I и её решение основано на следующей поэтапной процедуре:

Этап 1. Для заданных величин p и D и структуры (i, j ) G (N, A), фик сируем значение C заведомо меньшее предполагаемой искомой целевой функции (например, С = cij min ).

i, j Этап 2. Для определённой в процессе этапа 1 (позднее этапа 3) вели чины С решается задача I. Полученное значение R (q -1) (C ) сравнивается с величиной p. Если R (q -1) (C ) p, управление передаётся на этап 3. В про тивном случае обращаемся к этапу 4.

Этап 3. Увеличиваем значение бюджета C на принятую заранее по грешность задачи II - DC. Обычно имеет место DC dC. Иными словами, C + DC C, после чего уравнение передаётся на этап 2.

Этап 4. Этот этап фиксирует минимальное значение C, гарантирую щее надёжность проекта с вероятностью p. Этап 4, таким образом, завер шает работу алгоритма и позволяет получить решение задачи II.

Таким образом, входными параметрами в задаче I являются значения C и D, а выходными - надёжность p. Что касается задачи II, то её вход ными параметрами являются величины p и D, а выходным - бюджет C.

В случае, когда заранее заданное значение DC мало по сравнению с первоначальным значением C, определённым на этапе 1, число обращений к этапу 2 может стать весьма большим. Последнее обстоятельство приво дит к увеличению времени работы алгоритма. Скорость работы последнего можно существенно увеличить за счёт введения процедуры половинного деления [4.17]. Поэтапная процедура алгоритма при этом приобретает сле дующий вид:

Шаг 1. Определяем значение бюджета C1 = cij min.

(i, j ) Шаг 2. Определяем значение бюджета C 2 = cij max.

(i, j ) Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Шаг 3. Определяем значение бюджета [ ] C 3 = 0,5(C1 + C 2 ) = 0,5 cij min + cij max.

( i, j ) Шаг 4. Решаем задачу I для C = C1, C = C 2 и C = C3. Обозначим полу ченные значения надёжности проекта p1, p 2 и p3.

Шаг 5. Сравниваем значения p1 и p 2. Если p1 - p 2 dp, переходим к 9.

В противном случае переходим к последующему шагу. Здесь dp - заранее заданная единица измерения надёжности проекта.

Шаг 6. Проанализируем соотношение p1 p p3. Если соотношение справедливо, идём к 7. В противном случае переходим к шагу 8. Заметим, что неравенство p1 p p 2 очевидно, ибо p1 и p 2 есть минимальная и мак симальная надёжности проекта.

Шаг 7. Положим:

1. C3 C 2.

2. 0,5[cij min + cij max ] c ij max.

Переходим к шагу 3.

Шаг 8. Положим:

1. C3 C1.

2. 0,5[cij min + cij max ] cij min.

Переходим к шагу 3.

Шаг 9. Значение C = C3 есть минимальный объём бюджета, обеспечи вающий надёжность проекта p, а значения cij, полученные на этапе 4 при решении задачи I для C = C3, являются оптимальным распределением бюджета между работами проекта.

§4.4 Модели оптимального распределения бюджета между не сколькими сетевыми проектами При построении оптимальной распределительной модели будут рас смотрены два различных случая:

а) все проекты характеризуются одинаковой степенью важности и не делятся на «первостепенные» и «второстепенные»;

б) проекты имеют различную важность и значимость;

каждому из про ектов присваивается соответствующий уровень (степень) приоритета.

В основу распределительной модели (модель IA) для проектов с оди наковой степенью важности положен минимаксный принцип максимиза ции надёжности наиболее отстающего от своего директивного срока про екта за счёт тех проектов, прогресс которых превышает намеченные для них плановые графики движения к цели. Иными словами, максимизирует ся вероятность достижения цели для «слабейших» из проектов за счёт бо Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST лее успешных и «сильных» проектов. Такого рода минимаксные модели за счёт известных допущений сводятся к моделям линейного программиро вания.

В случае проектов с различными приоритетами в распределительную оптимальную модель (модель IB) положена идея всемерного повышения вероятностей завершения проектов в соответствующие сроки для важных, приоритетных проектов. В свою очередь, второстепенным проектам уде ляются меньшее внимание, хотя и для таких проектов соблюдение приня тых ограничений по вероятности является обязательным. В качестве целе вой функции используется сумма произведений приоритетных коэффици ентов проектов и вероятностей завершения этих проектов в соответствую щие директивные сроки. При некоторых ограничениях модель IB позволя ет получить точное решение.

4.4.1 Оптимальная модель распределения бюджета между проек тами с одинаковыми приоритетами (модель IA) [4.8, 4.14] Введём термин «надёжность k -го проекта в момент t » для вероят ности Pkt. Надёжность проекта может быть определена в любой точке кон троля t, а также в начальный момент выполнения проекта t = 0. Заметим, что проект с самой низкой надёжностью фактически определяет надёж ность для всей группы проектов быть завершёнными в соответствующие директивные сроки. Отсюда вытекает формализация оптимальной задачи (Модель I): В любой точке контроля t 0 определить оптимальные значе ния C kt, выделенные для каждого из проектов G kt, 1 k n, с целью макси мизации надёжности выполнения для самого отстающего проекта.

[ ] { } Max Min Pr{t + Tk [Ckt ] Dk } = Max Min Pk [Ckt ] (4.4.1) C kt k C kt k при ограничениях Pk** Pk [C kt ] = Pr{t + Tk [C kt ] Dk } Pk*, 1 k n, (4.4.2) n n = C k (t ).

C (4.4.3) kt k =1 k = Задача (4.4.1-4.4.3) является стохастической оптимизационной зада чей с большим количеством ограничений и не может быть решена в общем случае. Её решение требует введения эвристических подходов и допуще ний и может быть решена следующим образом. Для всех проектов G kt, t 0, 1 k n, решим вспомогательную задачу II с p = Pk* и p = Pk** и определим значения бюджета C kt и C kt*. Примем допущение [4.8], * * что Pk [C kt ] находится в линейной зависимости от C kt. Используя Pk [C kt ] - Pk* C kt - C kt * (4.4.4) = ** Pk** - Pk* * C kt - C kt и осуществляя замену Pk [C kt ] в (4.4.1), получаем Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Ckt - Ckt ( ) *. (4.4.5) J = MaxMin Pk* + Pk** - Pk* ** * Ckt - Ckt C kt k Обозначая Pk** - Pk* Pk* Ckt* - Pk** Ckt * * (4.4.6) = ak, = bk, Ckt* - Ckt Ckt* - Ckt * * * * получаем следующую оптимальную задачу:


Максимизировать { } J = Max Min[a k C kt + b k ] (4.4.7) Ckt k с ограничениями n n = Ck (t ),, C (4.4.8) kt k =1 k = C Ckt Ckt*. (4.4.9) * * kt Заметим, что C k (0 ) = C k = C k. Замена Min[a k + C kt + b k ] = Z (4.4.10) k преобразует задачу (4.4.7-4.4.9) в другую:

(4.4.11) Max Z C kt с ограничениями (4.4.8-4.4.9) и Z a k C kt + b k, 1 k n. (4.4.12) Задача (4.4.8-4.4.12) может быть решена методом линейного програм мирования.

n Легко заметить, что в случае C C k*0 задача не имеет решения. В k = n случае же C C k** получаем тривиальное решение C k 0 = C k**, 1 k n, то 0 k = n гда как избыточный бюджет C - C k** должен быть использован для дру k = гих проектов.

4.4.2 Оптимальная модель распределения бюджетных ресурсов для проектов с различными приоритетами (модель IB) [4.8, 4.14] Задача, подобно оптимальной задаче (4.4.1-4.4.3), состоит в определе нии значений Сkt с целью максимизации целевой функции n J = Max { k Pk [Ckt ]} (4.4.13) h C kt k = с ограничениями (4.4.2-4.4.3).

Примем, подобно случаю модели IA, допущение, что Pk [Ckt ] находится в линейной зависимости от Ckt. Используя (4.4.4) и ( ), Ckt - Ckt ** * Pk [Ckt ] = Pk* + Pk - Pk* Ckt - Ckt ** * Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST преобразуем целевую функцию (4.4.13) к следующему виду Pk** - Pk* Pk* C kt* - Pk** C kt * * n J = Max C kt **. (4.4.14) hk + C kt - C k C kt - C kt * ** * k =1 C kt Обозначая Pk** - Pk* (4.4.15) hk = a k, Ckt* - Ckt * * Pk* Ckt* - Pk** Ckt * * (4.4.16) h k = bk, Ckt* - Ckt * * и фиксируя t в качестве постоянной величины, преобразуем модель (4.4.2 4.4.3, 4.4.13) в n J = Max (a k Ckt + bk ) (4.4.17) C kt k = с ограничениями (4.4.8-4.4.9).

Поскольку bk не зависит от Ckt, целевая функция (4.4.17) может быть упрощена n J = Max (a k Ckt ) (4.4.18) C kt k = с ограничениями (4.4.8-4.4.9).

Задача (4.4.8-4.4.9, 4.4.18) имеет точное решение, которое реализуется на основе приведённого ниже пошагового алгоритма.

Шаг 1. Выделить для всех оставшихся проектов Gk (t ), 1 k n, соот ветствующие минимальные бюджетные объёмы Ckt. Обозначим оставший * n n C - C ся бюджет символом DCt.

* kt kt k =1 k = Шаг 2. Упорядочим последовательность {a k } в порядке убывания.

Обозначим новые порядковые номера (индексы) этой последовательности символами f1, f 2,L, f n.

Шаг 3. Полагаем j = 1.

Шаг 4. Определяем g j = min {(C **t - C *f t ), DCt }..

f j j Шаг 5. Определяем для проекта C f (t ) его окончательный бюджет j +g j.

C f jt = C * f jt Шаг 6. Осуществляем коррекцию оставшегося бюджета DCt - g j DCt.

Если DCt = 0, переходим к шагу 9. В противном случае переходим к следующему шагу.

Шаг 7. Работает счётчик j +1 j.

Шаг 8. Если j n, переходим к шагу 4. В противном случае перехо дим к следующему шагу.

Шаг 9. Окончание работы алгоритма.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Оптимальность алгоритма вытекает из наличия монотонно умень шающейся последовательности { f }, а также из выделения каждому оче a j рёдному проекту G f (t ) на шаге 4 максимально возможного дополнитель j ного бюджета g j из оставшегося в распоряжении компании бюджета DCt.

Можно показать [4.8, 4.14], что не существует более одного проекта G f (t ), j который в результате работы алгоритма получит объём бюджета C f (t ), j * ** удовлетворяющий C C f jt C.

f jt f jt Иными словами, все остальные проекты получат либо C * t, либо C **t f f j j единиц бюджета.

4.4.3 Численный пример (Модель IA) [4.8] В одной из компаний одновременно реализуются три сетевых проекта типа PERT-COST среднего объёма (по 36 работ в каждом), с одинаковыми приоритетами и следующими параметрами:

D1 = 80 ;

P* = 0,55 ;

P** = 0,70.

1 D2 = 130 ;

P2 = 0,55 ;

P2* = 0,70 ;

P2** = 0,90.

* D3 = 150 ;

P3* = 0,60 ;

P3** = 0,80.

Общий бюджет компании C составляет 835.000. Исходная информа ция для проектов представлена на стр. 278-280 работы [4.8]. Решение вспомогательной задачи II для p = Pk* и p = Pk**, k = 1,2,3, приводит к сле дующим результатам:

C10 = 271,55 ;

C10* = 276,70.

* * C20 = 266,18 ;

C20 = 276,44.

* ** C30 = 279, 47 ;

C30 = 286,22.

* ** Решение общей задачи (4.3.2-4.3.4) при t = 0 следующее:

Проект 1. С10 = 276,70. Решение вспомогательной задачи I (4.3.2-4.3.4) с подстановкой C = C10 приводит к P1[C10 ] = 0,70 P1* = 0,55.

Проект 2. C20 = 273,32 с соответствующим значением P2 [C 20 ] = 0, P2 = 0,70.

* Проект 3. C30 = 285,00. Решение задачи (4.3.2-4.3.4) приводит к P3 [C30 ] = 0,69 P3* = 0,60.

Таким образом, проекты получили выделенные им бюджеты и могут впредь продолжать свою работу независимо друг от друга.

§4.5 Модели IIA и IIB оптимального распределения выделенных проектам бюджетных средств между работами проектов Раздел посвящен построению моделей оптимального распределения выделенных проектам бюджетных ресурсов между работами проектов. Та ким образом, результаты решения оптимальных задач IA или IB являются Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST входной информацией для моделей распределения ресурсов на уровне проекта.

Для каждого из проектов, независимо друг от друга, в момент времени t 0, решаются две оптимизационные задачи [4.6-4.8, 4.14]:

Модель IIА призвана максимизировать вероятность завершения каж дого из проектов G k (t ), 1 k n, в заранее заданный директивный срок Dk и имеет следующий вид:

необходимо в момент t 0 определить значения cijk с целью максими зации целевой функции [ ] J k = Max Pr{ (C kt / cijk ) D} (4.5.1) T Cijk с ограничениями, (4.5.2) cijk min cijk cijk max c = C kt, 1 k n. (4.5.3) ijk (i, j )k Модель IIB является обратной модели IIА и призвана минимизировать (в момент времени t 0 ) значение Ckt.

(4.5.4) Min C kt cijk с ограничениями (4.5.2) и J k Pk*. (4.5.5) Оптимальная задача (4.5.1-4.5.3) решается на основе пошагового ал горитма вспомогательной задачи I (4.3.2-4.3.4), изложенной в разделе 4.3.

Обратная задача (4.5.2, 4.5.4, 4.5.5) реализуется на основе алгоритма вспомогательной задачи II (4.3.7-4.3.9), описанной в разделе 4.3.

После оптимального распределения ресурсов между работами проек ты Gk (N, A), 1 k n, приступают к реализации независимо друг от друга.

§4.6 Модели оперативного контроля для группы стохастических сетевых проектов PERT-COST После распределения бюджета между работами проекта (для каждого из проектов отдельно и независимо друг от друга) осуществляется реали зация проекта с использованием модели оперативного контроля. Модель призвана определить точки контроля (инспекции) проекта, число которых, с одной стороны, подлежит минимизации, а, с другой стороны, должно быть достаточным для предотвращения существенного отклонения со стояния проекта от его плановой траектории. Последнее обеспечивается введением контроля по вероятности - требования превышения в каждой точке контроля фактической вероятности выполнения проекта в срок за данной минимально допустимой доверительной вероятности. Если факти ческая вероятность становится ниже допустимой, управление передаётся на верхний уровень иерархии с перераспределением всех оставшихся Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками бюджетных средств между оставшимися проектами. Разработанная мате матическая модель предусматривает минимизацию количества точек кон троля с одновременным обеспечением превышения план-графика хода ра бот по проекту соответствующей плановой траектории проекта.

4.6.1 Модель оперативного контроля (модель IIIA) [4.7-4.11, 4.13 4.14] После получения от компании в момент t = 0 соответствующего бюд жета C k, 1 k n, каждый из проектов осуществляет сначала оптимальное распределение этого бюджета между работами проекта (i, j )k. Модель оп тимального распределения изложена в разделе 4.5 и призвана максимизи ровать фактическую вероятность завершения k -ого проекта в соответст вующий директивный срок Dk. Напомним, что необходимо максимизиро вать целевую функцию [ ] p kf = J k = Max Pr{ (C k / cijk ) Dk } (4.6.1) T cijk с ограничениями (4.6.2) cijk cijk cijk min max и c (4.6.3) = Ck, ijk (i, j ) л где символ T (C k cijk ) означает случайную продолжительность k -ого проек та при условии, что проекту выделен бюджет C k, каждой работе (i, j )k вы деляется бюджет cijk, а каждая работа (i, j )k имеет случайную продолжи тельность t ijk, подчинённую закону бета-распределения (4.1.1) в пределах Aijk Bijk.

, cijk cijk Если полученное в результате решения задачи (4.6.1-4.6.3) значение J k не меньше pk, проект G k ( N, A) приступает к своей реализации с исполь * зованием модели оперативного контроля. Аналогичная процедура незави симо друг от друга происходит и с другими проектами.

Задача (4.6.1-4.6.3) детально изложена в предыдущем разделе главы.

В целях упрощения изложения опустим индекс k и изложим методо логию и процедуру оперативного контроля для проекта типа PERT-COST общего вида G (N, A) с выделенным ему бюджетом C в момент t = 1 и с ди рективным сроком D. В качестве минимально допустимой вероятности * выполнения проекта в срок зададим p, а минимально допустимое рас стояние между двумя соседними точками контроля t g +1 и t g полагаем рав ным D, 1 g N. Обозначим плановую траекторию хода выполнения про Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST екта символом V pl (t ), причём плановая траектория в процессе реализации проекта может корректироваться.


Подобно любому оперативному контролю, нам необходимо в точках контроля t g осуществлять периодическое сравнение состояния проекта с соответствующими значениями плановой траектории V pl (t g ). Под терми ном «состояние проекта в точке контроля t g мы будем впредь понимать оставшийся неизрасходованным бюджет C (t g ) для проекта G ( N, A) (см.

§4.2). Заметим, что чем меньше оставшийся неизрасходованным бюджет, тем быстрее осуществляется реализация проекта.

Математическая модель оперативного контроля имеет вид: в любой точке контроля t g минимизировать количество точек контроля Min N (t g ) (4.6.4) (t g +1 t g ) с ограничениями tN = D, (4.6.5) t g +1 - t g D, (4.6.6) Pr{ (t ) = V (t )} p, "t : t g t t g +1 (4.6.7) * pl C Отметим, что выполнение условия (4.6.7) обеспечивает выполнение требования контроля по вероятности в директивный срок Pr{ (D ) = V (D )} p. Эта модель работает на уровне проекта.

pl * V 4.6.2 Модель плановых траекторий (модель IIIB) [4.8, 4.14] Модель построения плановых траекторий V pl (t ) основана на следую щем подходе. В каждой точке контроля t g осуществляется обследование хода выполнения проекта с целью оценки оставшегося неиспользованным бюджета С (t g ). Значение С (t g ) определяет фактическое состояние проекта V f (t g ), которое должно быть сопоставлено с плановым состоянием V pl (t g ).

В момент t = 0 имеет место C (0) = C и, поскольку в соответствии с планом проект должен быть завершён не позднее, чем в момент t = D, в этот мо мент бюджет C (D ) должен быть израсходован полностью, то есть равен нулю. Поэтому мы вправе определить первую итерацию плановой траек тории V pl (t )1 в виде прямой, соединяющей две точки с координатами (0, C ) и (D,0 ). Иными словами, C V pl (t ) = C - t (4.6.8), D причем эта траектория используется в интервале (0, t1 ), то есть до первой точки контроля.

Если в очередной точке контроля t g 0 результаты обследования по казали, что С (t g ) V pl (t g )q ( q -я итерация, q g ), нет необходимости введения Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками управляющих воздействий в процесс реализации проекта, поскольку со стояние проекта при использовании траектории V pl (t g )q обеспечивает более эффективный контроль по вероятности.

В этом случае плановая траектория V pl (t g )q не меняется, и процесс реа лизации проекта продолжается до последующей точки контроля (обследо вания) проекта t g +1. В случае С (t g ) V pl (t g )q необходимо проанализировать состояние проекта более детально. Решается оптимальная задача (4.6.1 4.6.3) при C = C (t g ), G (N, A) = G (t g ), после чего максимальное значение веро ятности выполнения проекта в срок p f сравнивается с минимальным пре делом p *. Если p f p *, необходимо, во-первых, распределить между ос тавшимися работами наличный объём бюджета C (t g ) и получить новые ве личины бюджета cij, а, во-вторых, построить новую плановую траекторию V pl (t ) q + ( q + 1 -ю итерацию), соединяющую прямой линией две точки с ко ординатами (t g, C (t g )) и (D,0 ). Траектория имеет следующий вид D C (t g ) C (t g ) V pl (t ) q + (4.6.9) = -t.

D - tg D - tg В случае p f p* проект не в состоянии своими силами завершить своё выполнение к моменту D с вероятностью p*, и управление передаётся на верхний иерархический уровень компании для очередного перераспреде ления всех оставшихся бюджетных ресурсов между проектами. После по лучения от компании нового бюджета Ct вновь решается оптимизационная задача (4.6.1-4.6.3), строится (в случае p f p* ) новая ( q + 1 )-ая итерация плановой траектории (4.6.9), после чего процесс реализации проекта про должается вновь, до очередной точки поиска t g +1. Необходимо лишь в (4.6.9) осуществить замену наличного бюджета C (t g ) на выделенный ком панией бюджет Ct. Модель плановых траекторий обозначим как IIIB.

g 4.6.3 Модель определения очередной точки контроля (модель IIIC) [4.8-4.11, 4.13-4.14] Поскольку минимизация количества точек контроля N приводит, в свою очередь, к минимизации расстояния между двумя смежными точками t g и t g +1, задача (4.6.4-4.6.7) сводится к другой, практически эквивалент ной, задаче:

максимизировать величину (4.6.10) d g = t g +1 - t g с ограничениями (4.6.5-4.6.7) Обозначив V pl (t ) - V f (t ) = H (t ), мы окончательно получаем:

(4.6.11) Maxd g {} Ckt g Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST с ограничениями (4.6.4-4.6.6) и Pr{H (t ) 0} p*. (4.6.12) Проанализируем случайную величину H (t ), t t g, более детально.

Поскольку каждая продолжительность tij G (t ) есть случайная величина, плотность распределения которой зависит от величины бюджета cij, слу чайная величина H (t ) есть результат большого количества случайных воз действий. Есть основания считать, в соответствии с центральной теоремой теории вероятностей, что H (t ) имеет нормальное распределение с матема тическим ожиданием E{H (t )} и дисперсией V {H (t )}. Оба эти значения могут быть в любой точке t без труда смоделированы с целью получения соот ветствующих несмещённых и состоятельных статистических оценок M H (t ) = H ( ) (t ), (4.6.13) r M r = [ ] 1M S 2 {H (t )} = H (r ) (t ) - H (t ), (4.6.14) M - 1 r = где M есть количество имитационных прогонов, а H (r ) (t ) есть значение H (t ), полученное на r -м прогоне.

Отметим, что ограничение по вероятности (4.6.12) может быть запи сано другим образом:

Ф(q ) p, (4.6.15) где H (t ) u 1, Ф (x ) = e du. (4.6.16) qt = - S {H (t )} 2p В соответствии с (4.6.11) и (4.6.12) максимальное значение p*, удов летворяющее t * = Max { : [Ф(q t ) p * ]} t - t g D, (4.6.17) t, t g t D может быть принято в качестве следующей точки контроля t g +1.

На практике t * может быть определено путём имитационного модели рования с постоянным шагом длины D. Необходимо лишь для каждого t (w ), w = 1,2,..., где t (1) = t g + D, t (2 ) = t g + 2D,..., t ( w ) = t g + wD,..., смоделировать (и по вторить достаточно большое количество раз M с целью получения пред ставительной статистики) процесс реализации проекта G (t g ) в точках G (t ( w ) ), определить для каждой реализации неиспользованный бюджет C (t ( w ) ) и, соответственно, оценку H (t ( w ) ) = V pl (t ( w ) )- C (t ( w ) ), после чего опреде лить статистические оценки H (t (w ) ) и S 2 {H (t (w) )} и, как следствие, функцию F (q ) каждой из точек t ( w ). Если t ( w ) = t g + w Dt является первой из точек, для которых F(qt ) p *, в качестве значения t g +1 принимается значение t g + (w - 1) Dt.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Сделаем два весьма важных замечания:

I. В процессе имитации реализации проекта в точке t (w ) мы можем ис пользовать всю ранее полученную информацию о результатах моделиро вания в точке t (w-1). Необходимо лишь добавить результаты имитации хода работ по проекту за период t (w-1), t (w ).

(w ) II. Точки t используются лишь в целях прогнозирования последую щей точки контроля t g +1 и не являются точками инспекции проекта, хотя значения C (t (w ) ) и имитируются многократно. После определения точки контроля t g +1 необходимо однократно обследовать состояние проекта в этой точке (либо на реальном проекте, либо путём однократной имитации обследования на ЭВМ) с целью выработки конкретных управляющих воз действий.

Полученный в работе набор моделей I I ( A, B ) ® II ( A, B ) ® III ( A, B, C ) по зволяет сначала, при t = 0, оптимизировать работу системы «сверху вниз».

В случае наличия аварийного сигнала, то есть в случае pkt pk хотя бы для * одного из проектов, последовательность аварийных сигналов работает в обратном направлении, то есть «снизу вверх», и весь комплекс моделей реализуется заново. Работа обобщённой модели схематично отображена на рис. 4.2.

4.6.4 Численный пример [4.8, 4.14] Рассматривается сетевой проект типа PERT-COST, исходная инфор мация для которого представлена в Таб. 4.1. Параметры проекта D = 150, p* = 0,60, D = 10. Исходный проект получил в момент t = 0 бюджет от компании в размере 285,000 у.е. Поскольку в результате решения задачи (4.6.1-4.6.3) было получено значение p f = 0,69 p* = 0,60, было приступлено к реализации проекта в момент t = 0 с плановой траекторией (4.6.8):

V pe (t ) = 2,85 - 1,9t.

На основе решения задачи (6.4.5-6.4.6, 6.4.11-6.4.12, 6.4.17) была по лучена первая точка контроля t1 = 10. Обследование проекта при t1 = 10 при водит к С (10) = 270 V pe (10 )1 = 266. В результате решения задачи (4.6.1-4.6.3) было получено значение p f = 0,77 p* = 0,60. Вторая итерация плановой траектории V pe (t )2 имеет следующий вид: V pe (t )2 = 289 - 1,93t. После перерас пределения величина бюджета C (10) между оставшимися работами проекта реализация последнего была продолжена до новой точки контроля t2 = 20, полученной на основе модели (6.4.5-6.4.6, 6.4.11-6.4.12, 6.4.17). Обследо вание проекта в точке t2 = 20 привело к C (20 ) = 257 V pe (20)2 = 250,4. Решение за дачи (4.6.1-4.6.3) позволило получить p f = 0,79 0,60. Следующая, третья итерация, для плановой траектории имеет вид: V pe (t )3 = 269,4 - 1,98t. После Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST перераспределения оставшегося бюджета C (20 ) реализация проекта была продолжена до последующей точки контроля t = 30, полученной с помо щью модели (6.4.5-6.4.6, 6.4.11-6.4.12, 6.4.17). В результате обследования проекта было получено значение C (30) = 245 V pe (t )3 = 237.

Рис. 4.2 Многоуровневая модель контроля и управления группой про ектов Решение задачи (4.6.1-4.6.3) приводит к p f = 0,77 p * = 0,60. Вновь бы ла построена плановая траектория (четвёртая итерация) вида V pl (t ) » 306,5 - 2,04t, и, после соответствующего перераспределения остав (4 ) шегося бюджета C (30) между оставшимися работами проекта, реализация последнего была продолжена. Последующая точка контроля t 4 = 140 была Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками определена на основе модели (6.4.5-6.4.6, 6.4.11-6.4.12, 6.4.17). Обследова ние проекта в этой точке приводит к C (140) = 1,3 V pl (140)4 = 20,9. Процесс реализации проекта был продолжен без перераспределения бюджета меж ду работами и в соответствии с траекторией V pl (t )4.

Таблица 4. Исходная информация о проекте j cij min cij max Aij Bij № i 1 1 2 3 6 162 2 1 4 1 6 111 3 1 5 7 15 207 4 1 6 3 5 117 5 1 15 2 10 160 6 2 14 4 20 102 7 2 15 3 6 158 8 3 9 10 15 110 9 3 14 4 8 90 10 4 13 5 10 200 11 4 9 7 12 150 12 5 8 6 10 205 13 6 11 4 8 173 14 7 12 2 10 202 15 8 10 3 8 160 16 8 12 6 10 180 17 9 10 2 4 90 18 9 11 4 8 142 19 10 21 4 10 205 20 11 19 4 15 120 21 11 20 4 10 63 22 11 21 8 14 150 23 12 19 4 10 190 24 13 17 4 10 160 25 13 18 5 10 148 26 14 16 2 6 58 27 15 16 4 8 85 28 15 17 3 7 60 29 16 22 3 10 70 30 17 22 5 10 182 31 17 23 6 9 274 32 18 20 3 5 80 33 19 23 3 6 90 34 20 22 1 10 32 35 21 23 2 10 143 36 22 23 6 10 87 Работа по выполнению проекта имитировалась до момента после дующего контроля t 5, совпадающего с директивным сроком t 5 = D = 150.

Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST Обследование проекта в точке t = 150 показало, что проект завершён. Та ким образом, имитация работы проекта с применением оперативного кон троля потребовала пять точек контроля и три перераспределения оставше гося бюджета между работами. Были использованы 4 итерации для модели плановой траектории. Проект был выполнен в срок.

§4.7 Обобщённая иерархическая модель контроля и управления группой сетевых проектов PERT-COST [4.9-4.11, 4.13-4.14] Описываемая модель обобщает и позволяет алгоритмизировать опи санные выше локальные модели IA, IB, IIA, IIB, IIIA-C.

Цели и задачи модели: в любой точке контроля группы проектов t необходимо определить:

- оптимальные объёмы бюджетных средств Сkt, выделенные для каж дого из проектов Ckt, 1 k n ;

- оптимальные значения cijk, выделенные для каждой из работ (i, j )k Gkt ;

- оптимальные точки контроля (опроса) tkg t для обследования каж дого из проектов Gkt в целях - минимизации общего количества будущих точек опроса N k (t ) для всех проектов Gkt n N (t ) (4.7.1) Min {Ckt },{tkg t }{Cijk } k =1 k, и максимизации надёжности слабейшего из проектов Min Pr t + Tk [C kt ] Dk (4.7.2) Max {Ckt },{tkg t }{Cijk }, k с ограничениями { } Pk** Pk [C kt ] = Pr t + Tk [Ckt ] Dk Pk*, (4.7.3) n n C = C (t ), (4.7.4) kt kt k =1 k = c = Ckt, (4.7.5) ijk ( i, j ) k G kt, (4.7.6) cijk cijk cijk min max tk, g +1 - tkg D k, 1 k n, (4.7.7) tk 0 = 0, (4.7.8) tkN = Dk. (4.7.9) k Модель (4.7.1-4.7.9) является задачей стохастической оптимизации с двумя конфликтными целевыми функциями и большим количеством огра ничений. В общем случае модель не имеет точного решения и может быть квазиоптимизирована лишь эвристическими методами.

Целевая функция (4.7.2) обеспечивает получение помощи более сла Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками бым проектам за счёт более сильных в процессе выполнения всего ком плекса проектов. Целевая функция (4.7.1) очевидна, поскольку опрос о со стоянии проекта является дорогостоящей операцией.

Как уже отмечалось выше, иерархическая сетевая модель осуществля ет решение оптимизационных задач на каждом из уровней иерархии. Зада ча I(A,B) на уровне компании - осуществлять оптимальное распределение бюджета между проектами.

Решение задачи I, то есть бюджет, выделенный для каждого из проек тов, служит входной информацией для задачи II (на уровне проекта). Це лью последней является оптимальное распределение бюджета проекта ме жду входящими в проект работами, обеспечивающее максимизацию веро ятности реализации проекта в директивный срок. Решение задачи II, в свою очередь, служит входной информацией для задачи III, осуществляю щей оперативный контроль хода работ по реализации проекта. Это дости гается введением плановых траекторий, подлежащих периодической кор рекции в процессе выполнения проекта. Вероятность выполнения проекта в срок Pk* при этом заменяется более строгим ограничением, а именно ве роятностью не отклониться от плановой траектории в любой момент вре мени t [t kg, Dk ], не меньшей Pk*.

Если в любой точке контроля t = tkg, 1 k n, 1 g N k, выявляется от клонение проекта Gkt от его плановой траектории, подаётся аварийный сигнал. Последний осуществляет (путём решения задачи II на уровне про екта Gkt ) перераспределение оставшегося бюджета Gk (t ) между оставши мися работами проекта с целью максимизировать вероятность pkt, то есть надёжность проекта Gk (N, A). Имеет место оценка pkt = Pr{t + Tk [Ck (t )] Dk } вероятность завершить проект Gkt в срок Dk при наличном бюджете Ck (t ).

Если pkt pk, то есть проект Gkt может быть выполнен в срок путём ис * пользования своих внутренних резервов, строится скорректированная пла новая траектория и решается задача III определения последующей точки контроля tk, g +1.

В случае Pkt Pk* вырабатывается сигнал общеаварийной тревоги, и управление передаётся на высший иерархический уровень - уровень ком пании - в целях перераспределения оставшегося суммарного бюджета компании между неоконченными проектами. Таким образом, в начале мо ниторинга группы проектов ( t = 0 ), осуществляется оптимизация «сверху вниз». В случае локальных либо глобальных аварийных сигналов управ ляющие воздействия реализуются «снизу-вверх», с целью обеспечить вы полнение системой проектов соответствующих директивных сроков с мак симальной вероятностью.

В заключение раздела отметим, что опрос о состоянии проекта может Глава 4. Многоуровневая система планирования, контроля и управления комплексом одновременно реализуемых сетевых проектов класса PERT-COST быть осуществлён лишь при наличии календарных планов выполнения ка ждой из работ проекта. Учитывая случайный характер продолжительности выполнения последних и необходимость построения детерминированных календарных планов, мы предлагаем разрешить это несоответствие сле дующим образом [4.3]. Поскольку в системах PERT-COST присутствуют не детализированные, а финансовые ресурсы, можно принять допущение, что в условиях рыночной экономики при наличии выделенных бюджетных средств все работы проекта могут быть реализованы немедленно по мере возникновения необходимости. Мы предлагаем строить календарные пла ны выполнения работ между двумя соседними точками контроля на основе усреднённых оценок (4.1.2). Разумеется, замена случайных величин их ма тематическими ожиданиями приводит к снижению точности контроля.

Однако последнее нивелируется за счёт периодических коррекций плано вых траекторий, осуществляемых на основе управления по вероятности, включённого в задачи I-III модели.

Модели построения календарных планов на основе детерминирован ных оценок являются классическими задачами. Они изложены в ряде учебных пособий по управлению проектами (например, в [4.1, 2.6]). Мы поэтому не будем затрагивать эти вопросы в нашей монографии.

§4.8 Планирование и управление системой сетевых проектов PERT-COST большого объёма Ряд проведённых модельных расчётов показывают [3.4, 4.6-4.15], что описанные в предыдущих разделах главы модели I(A,B), II(A,B), III(A,B,С) особенно эффективны для проектов среднего объёма, при наличии в сети нескольких десятков ( » 40 - 50) работ. Если хотя бы один из одновременно выполняемых проектов имеет в своём составе несколько сотен (не говоря уже о нескольких тысячах) работ, объём вычислений при решении оптими зационных задач I - III существенно затрудняет их применение. В этом случае мы предлагаем использовать принцип агрегирования сетей [4.2, 4.12, 4.15] с применением следующей поэтапной процедуры:

Этап 1. Каждый из проектов Gk ( N k, Ak ) большого объёма (например, с Ak 100 ) подразделяется на непересекающиеся фрагменты FGijk (N ijk, Aijk ) среднего объёма ( Aijk 100 ), которые представляют собой подсети с одним входом и одним выходом. В дальнейшем каждый фрагмент FGijk заменяет ся укрупнённой работой (i, j ) k в соответствии с используемой нами терми нологией § 4.2.

Этап 2. Для каждого фрагмента FGijk определяются минимальные и максимальные объёмы бюджетных средств, необходимых для реализации фрагмента. Обозначим их FRijk min и FRijk max. Примем, что поскольку для ка ждой из элементарных работ (i, j ) k, 1 k n, (i, j ) Gk (N, A), заданы значения Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками cijk min и cijk max, можно определить FCijk min и FC ijk max по формулам FCijk min = crsk jmin (i, ) ( r, s )FR ijk. (4.8.1) FCijk max = crsk max (i, j ) ( r, s )FR ijk Этап 3. Реализуются модели I(A,B) и II(A,B) для системы проектов, в которую, наряду со всеми проектами среднего объёма, входят и фрагмен тарные проекты FRk. Заметим, что для всех фрагментарных проектов FRijk, входящих в один и тот же проект Gk (N, A), мы полагаем одинаковые веро ятностные ограничения Pk*, Pk** и директивные сроки Dk. Однако для задач I и II распределение бюджетных средств для проектов большого объёма происходит с учётом количества фрагментов. Иными словами, каждый фрагмент с распределительной точки зрения представляет собой «малый»

самостоятельный проект. Отметим, что в результате оптимизации на моде ли IIA для каждого фрагмента FRijk определено финансирование CFRijk.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 8 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.