авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||

«Институт проблем управления Университетский Центр им. В.А.Трапезникова РАН Самарии (Москва, Россия) (Ариэль, Израиль) Д.И. ...»

-- [ Страница 8 ] --

Y Y Глава 7. Исследование однородных неуправляемых альтернативных сетей 4) Каждую исходящую из вершин a Y дугу вида (a Y,a k ) записываем j j столько раз, на сколько вершин была разбита a j ;

при этом конечным вер- Y шинам новых ветвей a k присваивается индекс p (a k ), равный соответст вующему индексу начальной вершины - p (a Y ). Таким образом, получаем j множества дуг:

V (a k ) = {[a Y, p (a Y )], [a k, p (a k ) = p (a Y )]} k = 1, K, ;

j j j где K = Va+ - число исходящих из a Y ветвей u V графа D, причем харак Y j i теристики дуг множества V (a k ) одинаковы и соответствуют характеристи кам ветви (a j,a k ). Находим величины p max (a k ) = max [p (a k )] для всех a k Гa jY.

ak ~ ~ 5) Проверяем, имеется ли в графе D вершина вида a Y B Г. Если такая вершина имеется, то определяем ее номер a Y и возвращаемся к опе j рации 3). В противном случае переходим к рассмотрению a -вершин мно жества AY +1.

Здесь выполняется проверка на конец работы I-го этапа процедуры:

сравниваются номера (Y + 1) и Y*. Если (Y + 1) = Y *, то мы считаем, что I-й этап преобразования графа D закончен, получено дерево исходов D1 = (A1,V 1 ) с разъединительными путями и можно переходить ко II-му эта пу. При (Y + 1) Y *, переходим к следующей операции.

6) Полагаем Y = Y + 1 и возвращаемся к операции 5).

В результате работы I-го этапа рассматриваемой процедуры преобра зования графа D = ( A,V ), изображенного на рис. 7.4, получаем граф D1 = (A1,V 1 ), показанный на рис. 7.5, где значения p (a ) показаны верхними индексами номеров вершин.

Этап II заключается в перестройке графа D1 = (A1,V 1 ) таким образом, что новый граф D 2 = (A2,V 2 ) отражает только ветвления моделируемого процесса, т.е. исключаем a -вершины, не отражающие ситуаций принятия решений (по выбору вариантов). Результатом работы данного этапа явля ется получение искомого дерева исходов, т.е. D 2 = (A2,V 2 ) D = (A,V ).

~ ~~ Приведем следующий алгоритм обхода графа D1 и получения графа D2.

1) Рассмотрение графа D1 = (A1,V 1 ) начнем с a -вершины первого по коления: a i := a Y =1. Ветвь (a 0,a ) оставляем без изменения. Переходим далее ~ к выявлению a -вершин 2-ого поколения графа D 2 = D.

2) Находим вершину вида a j Гa iY и проверяем, является ли a j вет вящей или конечной вершиной.

~~ Если a j A Г A', где A' - множество конечных вершин графа D1, то дугу (a i,a j ) записываем без изменения, указав лишь номер поколения (Y + 1) вершины a j, и переходим к рассмотрению следующей вершины Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками ~ a Гa jY ;

при a j B / A' выполняем следующую операцию.

Рис. 7.5 Преобразованное дерево исходов D1 = (A1,V 1 ) 3) Выбираем a Гa jY и выясняем, к какому типу относится a j. При Глава 7. Исследование однородных неуправляемых альтернативных сетей ~ a j1 B выбираем следующую вершину a j 2 Гa j1 и т.д., пока a j 2 не окажет ся ветвящей или конечной вершиной.

~~ 4) Мы определили вершину a j A Г A '. Заменим в выявленный в графе D1 путь (a i,a j,a j, K,a j ) одной дугой (a i,a j ) с характеристиками, h равными соответствующим характеристикам комплекса дуг пути (a i,...,a j ).

h h h Вершине a j присваиваем номер поколения (Y + 1) и переходим к рассмот h рению следующей вершины, принадлежащей Y -му поколению - операция 2).

Заметим, что пройденные алгоритмом дуги помечаются специальным признаком.

Если все исходящие из вершин {a iY } дуги рассмотрены, то, полагая Y = Y + 1, переходим к рассмотрению ветвей, исходящих из следующего поколения вершин, до тех пор, пока не дойдем до конечных вершин самого младшего поколения графа D 2 = (A2,V 2 ).

Окончательный вид дерева исходов D = (A,V ) для нашего иллюстри ~ ~~ рующего примера показан на рис. 7.6, где a -вершины размещены по поко лениям, а число финальных исходов, равное 29, подтверждает формулу 7.2.8.

Рассмотренные алгоритмы выявления и преобразования дерева исхо дов с соединительными путями могут использоваться для моделей с лю быми типами вариантных путей (т.е. для всех групп моделей - А, Б, В) при условии принадлежности этих моделей к одноцелевым и вполне раздели мым сетям.

Как будет показано в гл. 8, модели А, Б и В различаются только при последующем математическом анализе структуры графа D = (A,V ).

~ ~~ § 7.3 Альтернативные сети с пересекающимися I/J-фрагментами Пересекающимися I/J-фрагментами назовем такие подграфы Gij (либо GijS ) в сетях с соединительными путями) альтернативной сети G = (Y,U ), для ( которых начальные вершины a i совпадают и множества вершин (Yij ) и дуг (U ij ) взаимно пересекаются (другими словами, альтернативная сеть G яв ляется не вполне разделимой [7.3]).

Пересекающиеся I/J-фрагменты отражают локальные варианты разви тия моделируемого процесса, исходящие из одной и той же альтернатив ной ситуации и имеющие общие (принадлежащие всем им) комплексы элементарных операций.

Допущение в альтернативных сетях логических структур типа «пере секающиеся I/J-фрагменты» предполагает более свободную интерпрета ~ ~ цию выходов альтернативных событий (вида a и g ), при которой между выходящими из альтернативных событий дугами может существовать не Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Рис. 7.6 Окончательный вид дерева исходов D = ( A,V ) только логическая возможность «исключающее ИЛИ», но и возможность «И»;

последняя реализуется, например, между дугой, принадлежащей не скольким I/J-фрагментам, и дугой, входящей только в один из I/J Глава 7. Исследование однородных неуправляемых альтернативных сетей фрагментов. На рис.7.7 изображены два локальных варианта, включающих общую операцию, которой соответствует дуга (1,5) ;

между дугами (1,2 ) и (1,5), а также дугами (1,3) и (1,5) реализуется логическое отношение «И».

Рис.7.7 Пример пересекающихся I/J-фрагментов Рассмотрим виды пересекающихся I/J-фрагментов для различных структур одноцелевого проекта.

1. Альтернативная сеть с разъединительными путями может иметь исходящие из вершин a (a i A Г ) пересекающиеся I/J-фрагменты ~~ Gij = (Yij,U ij ),...,Gij = (Yij,U ij ), характеризующиеся следующими свойствами:

d d d 1 d d.

I Yijt \ {a i } ;

IU ijt t =1 t = 2. В альтернативных сетях с соединительными путями могут встре титься следующие случаи пересечения I/J-фрагментов:

а) пересечение подграфов, отражающих элементарные соединитель ные пути типа n ;

б) пересечение обходного соединительного пути и исходящего из той же a -вершины I/J-фрагмента.

Рассмотрим один из алгоритмов анализа на ЭВМ альтернативной мо дели довольно общего вида с пересекающимися I/J-фрагментами. На рис.7.8 приведена блок-схема участка данного алгоритма, характеризую щего процедуру выявления структуры дерева исходов D = ( A,V ), основан ную на последовательном использовании метода перемешивания дуг сети.

Идея метода заключается в многократном обходе сетевого графа по пер вым встретившимся дугам и фиксации наличия путей между a вершинами, причем перед каждым новым этапом обхода содержимое таб лицы исходной информации (где строки характеризуют коды и параметры отдельных дуг) случайным образом перемешивается. Дерево исходов счи тается построенным, когда на определенном этапе работы данной проце дуры не выявлено ни одной новой ветви.

Перед началом работы рассматриваемого алгоритма выполняются в общем случае следующие этапы исследования сетевой модели на ЭВМ: а) проверка сети на наличие контуров;

б) исправление ошибок и замена кон Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками туров (если они допускаются в сетевой структуре) эквивалентными дуга ми;

в) пометка a -вершин, т. е. начальной, конечных, а также вершин типов ~~~ a, b, g.

После работы алгоритма построение дерева исходов D и состав даль нейших этапов расчета сетевой модели зависит от ее конкретного вида.

Перейдем к описанию алгоритма.

1) Исходная информация о сети G = (Y,U ) задана в таблице T 1 = i n, j n, h(i n ), g ( j n ), t n, C n, p n ;

n = 1, n *.

2) Рабочая таблица имеет вид T 2 = in, j n, h(in ), g ( j n ), t n, C n, p n, D 1, D 2, n, O1, где D1 - признак a -вершины для in, D1 {0,1} ;

D 2 - признак a -вершины для jn, D 2 {0,1};

n - порядковый номер дуги;

O1 - столбец для записи l* {0,1, 2}.

Рис.7.8 Блок-схема алгоритма выявления структуры дерева исходов D = ( A,V ) для не вполне разделимой сети Глава 7. Исследование однородных неуправляемых альтернативных сетей 3) Искомая таблица дерева исходов имеет вид T 3 = ir, j r, O1, O2, O3, On, где ir, j r - коды начала и конца r -й ветви;

O1, O2, O3, On - столбцы для записи меры предпочтительности pr, вре мени tr стоимости Cr и признака q * {0,1}, соответственно.

Алгоритм включает в себя следующие блоки (рис. 7.8):

Блок 1. Изменение ориентации дуг в сети G = (Y,U ), т.е. получение графа G = (Y,U ). Положить: L := 0.

~ ~ ~ Блок 2. Выбор конечной вершины сети G : y1 y0 (начальная вершина графа G );

y = ;

запись: yi := y1.

Блок 3. Выбор дуги, не пройденной шагом влево (с l* = 0 ), т.е. дуги (y j, yi ) l0 ;

запись: l* (y j, yi ) := 1.

Блок 4. Выясняет, является ли вершина y j a -вершиной. В случае по ложительного ответа вырабатывается признак w4 = 1, по которому осуще ствляется переход к блоку 6. При отрицательном ответе w4 = 0, и переход производится к блоку 5.

Блок 5. Запомнить: yi := y j и возвратиться к блоку 3.

Блок 6. Проверка: имеется ли в ТЗ строка вида (yi, y j ). Если да, то пе реход к блоку 8;

в противном случае - к блоку 7.

Блок 7. Запись дуги (yi, y j ) в таблицу TЗ и подсчет числа найденных алгоритмом ветвей - L := L + 1.

Блок 8. Проверка: является ли y j начальной вершиной графа G = (Y,U ) ~ ~ (т.е. одним из финальных исходов сети G )? Если да, то перейти к блоку 10, в противном случае - к блоку 9.

Блок 9. Положить: y1 := y j, yi := y j ;

и возвратиться к блоку 3.

Блок 10. Выбор дуги, пройденной шагом влево, (y j, yi ) l1 - и выпол нение шага вправо по этой дуге, т.е. запись: l* (y j, yi ) := 2.

Блок 11. Проверка: является ли вершина yi a -вершиной? Если да перейти к блоку 13, если нет - к блоку 12.

Блок 12. Записать: y j := yi и возвратиться к блоку 10.

Блок 13. Проверка: является ли вершина yi конечной вершиной графа G ? Если да - перейти к блоку 17, если нет - к блоку 14.

~ Блок 14. Выясняет, имеются ли в сети G дуги вида ( y1, yi ) l0 - не пройденные шагом влево. Если имеются - перейти к блоку 15, если нет - к блоку 16.

Блок 15. Положить: y1 := yi и возвратиться к блоку 3.

Блок 16. Положить: y j := yi и возвратиться к блоку 10.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Блок 17. Определяет, были ли найдены алгоритмом на данном этапе его работы новые ветви дерева исходов (L 0). Если да, то перейти к пере мешиванию дуг (блок 18);

в противном случае рассматриваемый алгоритм заканчивает свою работу и передает управление следующему этапу расче та сетевой модели.

Блок 18. Засылка исходных характеристик цикла по перемешиванию ~ дуг сети G : количество неперемешанных дуг сети N := n* ;

шаг перемеши вания H := 1/N ;

номер рассматриваемой строки T 2 - k := 1.

Блок 19. Нумерация числами от 1 до N дуг сети, расположенных в строках Т2, начиная от k -й и кончая n* -й.

Блок 20. Выработка значения x случайной величины x, равномерно распределенной на интервале [0,1].

Блок 21. Нахождение номера i -гo интервала, в который попадает x k :

iH x k (i + 1)H.

Блок 22. Запись строки с номером i на место k -й строки Т2 и пере мещение содержимого R -й строки на место освободившейся строки (с но мером i ).

Блок 23. Проверка на окончание перемешивания: k = n* - 1. Если да, то осуществляется переход к блоку 25, если нет - к блоку 24.

Блок 24. Положить: N := N - 1 ;

k = k + 1 ;

H := 1/N, и перейти к обработке следующей строки (блок 19).

~ Блок 25. Чистка столбца Т2 для признака l* : l0 = U. Запись L := 0 и возврат к блоку 2.

Отметим в заключение, что использование метода перемешивания дуг позволяет сокращать обход сети, что дает по сравнению с детерминиро ванным обходом значительный выигрыш во времени при расчете сложных сетей. Недостаток метода перемешивания - неполное выявление структуры дерева исходов, а также недопущение в обрабатываемых альтернативных сетях элементарных соединительных путей (см. § 7.2).

Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели § 8.1 Смешанные вполне разделимые управляющие АСМ класса CAAN.

В настоящем параграфе рассмотрены смешанные вполне разделимые сети, содержащие как соединительные, так и разъединительные пути. Бо лее строго можно сказать, что рассматриваемая модель обладает следую щими свойствами:

1. Является конечным, связным, ориентированным графом;

2. Содержит одну корневую вершину и не менее двух висячих вер шин;

3. Описывает одноцелевой проект;

~ 4. Дерево исходов содержит только вершины типа g (сеть вполне раз делимая);

5. Дерево исходов может содержать как управляемые альтернативные вершины (множество А ), так и неуправляемые (множество А );

6. В дереве исходов допускается наличие как разъединительных, так и соединительных путей;

7. Оценки для работ сети имеют детерминированный характер.

В предыдущих параграфах глав VI и VII были рассмотрены основные понятия и определения частичного, полного и совокупного вариантов для смешанной стохастической сетевой модели. Нетрудно показать, что сово купный вариант может быть выделен из исходного графа путем «закрепле ния» определенных направлений в управляемых взаимосвязанных верши нах a и отсечения незакрепленных направлений. Иначе говоря, каждый совокупный вариант может рассматриваться как один из управляемых ва риантов реализации проекта, представляющий из себя однородную стохас тическую сетевую модель и имеющий ряд возможных стохастических ко нечных состояний. Предположим, что для каждой a -вершины задано не сколько направлений. Будем считать, что они пронумерованы по часовой стрелке последовательными натуральными числами. Направление соответ ствует реализации одного из возможных вариантов события. Каждой дуге, выходящей из a -вершины, соответствует некоторое направление h, при чем несколько дуг, выходящих из одной вершины, могут иметь одно на правление.

Как и для любой альтернативной сети, дерево исходов D ( A,V ) модели CAAN [6.1-6.3, 6.14] содержит в своем составе корневую вершину a 0, все висячие вершины a и все ветвящиеся вершины a. Каждая работа u ij де рева исходов, (i, j ) A, эквивалентна определенному фрагменту Gij исход ной модели G (Y,U ). Поскольку модель CAAN является вполне разделимой Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками сетью, различные фрагменты Gij не пересекаются. Сеть CAAN содержит все четыре логических типа вершин (см. табл. 6.1), хотя дерево исходов ~ содержит только вершины g. Пример дерева исходов, которым мы будем использовать на протяжении всего раздела, представлен на рис. 8.1.

На рис. 8.1 все дуги дерева исходов (i, j ), выходящие из вершин a i или a i, нумеруются по часовой стрелке индексами hij = 1, 2, K, ni, где ni есть число ветвлений (выходов) вершины a i. Направление дуги vij приравнива ется соответствующему индексу hij. В качестве примера, дуги, выходящие из вершины 1, имеют следующие направления:

h12 = 1, h19 = 2, h13 = 3 ;

дуги, выходящие из вершины 3 :

h35 = 1, h38 = 3, h3,16 = 4, и т.д.

Следует отметить, что в дереве исходов дуга vij соответствует частно му варианту;

путь, соединяющий корневую вершину a 0 с одной из висячих вершин a ', соответствует полному варианту.

Определение.

Набор a -вершин и направлений выходящих из них дуг, который од нозначно определяет совокупный вариант, мы будем называть допусти мым планом [8.5-8.9].

Рис. 8.1 Пример дерева исходов Пусть A = {a 1, a 2,... a n } - множество a - вершин дерева исходов D ( A,V ).

Каждый совокупный вариант S характеризуется выбором определенных направлений в некоторых из этих вершин, то есть некоторым набором (a i, hi ;

... : a i, hi ). (8.1.1) 1 1 r r Такой набор (8.1.1) называется допустимым планом. В нашем примере для получения допустимого плана надо выбрать непротиворечивые на правления в выбранных взаимосвязанных вершинах дерева исходов, на пример, 1 ® 2, 2 ® 4, 6 ® 10, 7 ® 12, представляют собой непротиворечи вые направления в вершинах 1, 2, 6, 7. Такой совокупный вариант изо бражен на рис. 8.2.А, а соответствующий ему допустимый план имеет вид:

{1,1;

2,1;

6,1;

7,1}.

Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели а) б) Рис. 8.2 Совокупный вариант (а) и подсеть (б) Оптимальная задача на модели CAAN.

Выше мы уже отмечали, что контроль проекта с помощью управляю щей модели сводится к последовательному принятию решений в узловых точках реализации проекта. Эти решения должны носить оптимальный ха рактер с наличием целевой функции и ограничений. В модели CAAN целе вой функцией является время выполнения проекта, а ограничением - его стоимость, либо наоборот. Принятие решений сводится к выбору направ ления хода работ по проекту в каждой из последовательно достигаемых вершин типа a, поскольку вершины a носят неконтролируемый характер.

Последнее означает, что в каждой из достигаемых в процессе реализации проекта точке a i выбирается совокупный вариант, оптимизирующий зна чение целевой функции при заданных ограничениях.

Таким образом, оптимальная задача решается на следующих трех эта пах:

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Этап 1. Выделить из дерева исходов все совокупные варианты и до пустимые планы. Процесс начинается при t = 0, то есть до начала реализа ции проекта.

Этап 2. Определить для каждого из совокупных вариантов значения целевой функции и ограничений (обычно в виде математических ожида ний).

Этап 3. Определить оптимальный совокупный вариант и управлять проектом по оптимальной траектории (то есть, по оптимальному направ лению) до следующей ветвящейся вершины детерминированного типа. В этой вершине вновь решить оптимальную задачу для усеченной (обнов ленной) модели дерева исходов, начиная с этапа 1. Процесс управления повторяется до окончания реализации проекта.

Пусть, например, при t = 0 для дерева исходов на рис. 8.1 в качестве оптимального совокупного варианта выбрана сеть, представленная на рис.

8.2а. В момент t = 0 следует направить проект по направлению 1 ® 2 и ис ключить все альтернативные направления, а именно 1 ® 3 и 1 ® 9 со всеми следующими дугами (3,5), (3,9), (3,8), (3,16 ), (9,16), (9,17 ), Когда проект достигнет вершины 2, необходимо повторить процесс оптимизации, но уже для сокращенной, оставшейся части сети, изобра женной на рис. 8.2б. Заметим, что в процессе реализации проекта возмож ны изменения в параметрах модели, например значений tij, cij, pij и т.д., поскольку для долговременного проекта могут иметь место случаи изме нения рыночной конъюнктуры, и др. Например, не исключено, что в точке 2 мы выберем направление 2 ® 5 в качестве оптимального направления, а не ранее выбранное в момент t = 0 направление 2 ® 4. Таким образом, управление носит динамический характер.

Математическая формулировка задачи оптимизации [8.7].

Определить совокупный вариант S *, оптимизирующей математиче ское ожидание значения целевой функции M [ F ( S *)] = min (max) pis, (8.1.2) s G ( A,V ) p is W s с ограничениями p H (p is * ) H, (8.1.3) M [ H (S *)] = is * p is* W s* где: W - набор полных вариантов, входящих в S -й совокупный вариант;

- набор совокупных вариантов, входящих в сеть CAAN;

pis - вероятность осуществления i -го полного варианта в S -м сово купном варианте;

F (p is ) - значение целевой функции для i -го полного варианта в S -м совокупном варианте;

Н (p is ) - значение ограничения для i -го полного варианта p is в S * -м * совокупном варианте;

Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели H - заранее заданный уровень ограничения целевой функции.

Ниже будет рассмотрен комплексный алгоритм построения и анализа совокупных вариантов для смешанной альтернативной сетевой модели с соединительными и разъединительными путями.

Входная и выходная информация для алгоритма. Входной инфор мацией для работы алгоритма является граф G, описывающий исходную альтернативную сетевую модель. Граф задается в виде массива G, состоя щего из записей одинаковой структуры. Каждая запись описывает одну ду гу графа (vi v j ) и содержит номер начальной вершины i, направление hi из начальной вершины, номер конечной вершины j, вероятность Pij реализа ции дуги, вектор Wij характеристик дуги. Тип начальной вершины опреде ляется значением hi : если hi 0, то вершина является альтернативной, если hi = 0 - не является.

Структура одной записи исходного массива представлена так:

i hi j Pij Wij. (8.1.4) Вершины и дуги различного типа можно различать в исходном масси ве по следующим признакам:

1) для всех дуг, выходящих из какой-либо a -вершины i, значение hi не равно 0 ;

2) a -вершины i принадлежат множеству А тогда и только тогда, ко гда все Pij равны 1.

Выходной информацией, получаемой в результате работы алгоритма, являются оптимальный совокупный вариант, соответствующее ему значе ние критерия оптимальности и управление, приводящее к этому совокуп ному варианту. Оптимальный совокупный вариант задается в виде массива дуг, идентичных (8.1.4). Оптимальное управление задается в виде массива пар ( a i, hi ), указывающих последовательность управляемых a -вершин a i A, и выбираемые в них направления. В процессе расчета допускается выдача всех совокупных вариантов и соответствующих управлений, а так же значения критерия оптимальности. Детализированный алгоритм описан в [8.5, 8.7].

Укрупненный алгоритм расчета. На рис. 8.3 приводится укрупнен ная блок-схема алгоритма расчета, в которой описываются основные про цедуры реализации алгоритма.

Блок 1. Осуществляется ввод информации от исходной сетевой моде ли. Входная информация содержит описок всех дуг, их характеристики и коды вершин.

Блок 2. Построение дерева исходов. Исходная сетевая модель преоб разуется в укрупненный граф, дуги которого соответствуют максимальным подграфам, не содержащим a -вершин (дерево исходов). Переход к дереву исходов позволяет осуществить перебор всех совокупных вариантов сети и Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками упростить их расчет.

Блок 3. Построение a -остова дерева исходов. По построенному дере ву исходов определяется a -остов - граф, вершинами которого являются a вершины исходной модели. Роль этого графа состоит в том, что между его максимальными путями и совокупными вариантами существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому для перебора всех совокупных вари антов, достаточно перебрать все максимальные пути a -остова и затем вос становить соответствующие совокупные варианты.

Рис. 8.3 Укрупненная блок-схема алгоритма Блок 4. Построение очередного максимального пути. Выбирается оче редной в лексикографическом порядке максимальный путь в a -остове.

Блок 5. Построение совокупного варианта. Выбранный максимальный путь в a -остове порождает совокупный вариант. Для его нахождения строится подграф дерева исходов, содержащий все пути, ведущие из a вершин в заданных направлениях.

Блок 6. Расчет совокупного варианта. Для построенного совокупного варианта вычисляется значение целевой функции по формуле (8.1.2).

Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели Блок 7. Запоминание лучшего варианта. Значение целевой функции для последнего построенного варианта сравнивается с результатами пре дыдущих расчетов, и запоминается наилучший вариант.

Блок 8. Анализ максимального пути. Последний построенный макси мальный путь анализируется на возможность его преобразования в оче редной максимальный путь. Если это возможно, осуществляется переход к блоку 4 для продолжения перебора, если нет - к блоку 9.

Блок 9. Печать результатов. Выдается информация о построенном оп тимальном совокупном варианте и его характеристиках.

Блок 10. Конец реализации алгоритма.

Процедуры реализации блоков 1, 6-10 носят тривиальный характер и не встречают принципиальных трудностей. Гораздо более сложными яв ляются алгоритмы блоков 2-5. Детализированная блок-схема программы блока 2 - построения дерева исходов – представлена в [8.5, 8.7].

Процедура блоков 3-5, особенно в случае моделей CAAN большого объема, требуют нетривиальных решений. Опишем три подалгоритма - по далгоритм I расчета a -остова, подалгоритм II построения максимальных путей и подалгоритм III определения совокупных вариантов и допустимых планов. Все три подалгоритма организованы так, что выходная информа ция каждого подалгоритма является входной для последующего. Для по далгоритма I входной информацией является описанное выше дерево ис ходов [8.4-8.7].

Под a -остовом мы будем впредь понимать набор всех возможных четверок a i, hik, a j, Pijk. Здесь a i и a j - a -вершины дерева исходов, hik - на правление ветвления, а Pijk - означает вероятность реализации пути из a i в d j в направлении hik, причем в этом пути между вершинами a i и a j име ются только вершины a со стохастическим ветвлением. Такого рода путь называется a -простым [8.7]. На рис. 8.1 имеются, например, два a простых пути из вершины 2 в вершину 7 : ( 2, h24 = 1, 7, 0.2 ) и ( 2, h25 = 2, 7, 0.52 ), два a -простых пути между вершинами 1 и 16, и т.д. Идея подалгоритма I [8.7] состоит в сортировке всех a -вершин (включая вися чие вершины) и из каждой их них a j осуществляется движение назад (в обратном направлении) до тех пор, пока не встретиться либо корень a 0, либо какая-либо из a -вершин. Строятся триады a i, hik, a j, оцениваются вероятности Pijk и, в случае наличия мультиграфа (в случае нескольких одинаковых триад a i, hik, a j с различными Pijk ) последние суммируются.

Например, есть два a -простых пути ( 1, h13 = 3, 8, 0.05 ) и ( 1, h13 = 3, 8, 0.40 ), со ответственно, через вершины ( 1, 3, 5, 8 ) и ( 1, 3, 8 ). В данном случае четверка ( a 1, h13 = 3, 8, 0.45 ) имеет место. a -остов для сети на рис. 8.1 представим в табл. 8.1.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Идея подалгоритма II состоит в том, что все триады a -остова «дост раиваются» до максимальных путей, которые в дальнейшем сортируются в лексикографическом порядке. Два различных максимальных пути X 1 = (a a, hab,a c,...,a e ) X 2 = (a m, hmn,a p,...,a z ) сравниваются между собой. Если несколько пар в обоих путях a a и a m, hab и hmn, и т.д. совпадают, а в паре различных элементов значение элемента в X 1 меньше соответствующего значения в X 2, то X 1 предшествует X 2 лек сикографически. В табл. 8.2 представлены значения максимальных путей в дереве исходов (см. рис. 8.1). Подалгоритм II построения максимальных путей описан в [8.7].

Подалгоритм III построения совокупных вариантов и допустимых планов реализуется на трех различных стадиях [8.7].

Стадия III А имеет следующую блок-схему:

Таблица 8.1 a -остов ~ hik j i P ijk 1 1 2 1 2 16 0. 1 2 17 0. 1 3 7 0. 1 3 8 0. 1 3 16 0. 1 3 17 0. 2 1 6 0. 2 1 7 0. 2 2 7 0. 2 2 8 0. 6 1 10 6 1 11 7 1 12 7 2 13 8 1 14 8 2 15 Таблица 8.2 Максимальные пути в дереве исходов X1 = (1, { },2, { },6, { },10 ) X 9 = (1, {2},16 ) 1 1 X 2 = (1, { },2, { },6, {2},11) X 10 = (1, {2},17 ) 1 X 3 = (1, { }, 2, { },7, { },12) X 11 = (1, {3},7, { },12 ) 1 1 1 X 4 = (1, { },2, { },7, {2},13) X 12 = (1, {3},7, {2},13) 1 X 5 = (1, { }, 2, {2},7, { },12) X 13 = (1, {3},8, { },14) 1 1 X 6 = (1, { },2, {2},7, {2},13) X 14 = (1, {3},8, {2},15) X 7 = (1, { },2, {2},8, { },14 ) X 15 = (1, {3},16) 1 X 8 = (1, { },2, {2},8, {2},15) X 16 = (1, {3},17 ) Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели Блок 1. Из списка максимальных путей исключить все висячие вер шины.

Блок 2. Исключить все «укороченные» пути, которые являются ча стью «укороченных» максимальных путей. Например, пути X 15 и X 16 после исключения висячих вершин являются частью пути X 14 (см. табл. 8.2).

Блок 3. Если несколько «укороченных» путей после блока 1 совпада ют, оставить только один из них (пути X 9 и X 10 в табл. 8.2).

Стадия III Б. Основана на лексикографическом сравнении и близка по идее к подалгоритму II. Она состоит из двух блоков:

Блок 1 реализует процедуру построения первого непротиворечивого «укороченного» максимального пути (то есть, первого допустимого пла на);

Блок 2 реализует процедуру перехода к очередному непротиворечи вому «укороченному» максимальному пути (то есть, к очередному допус тимому плану).

Два «укороченных» различных максимальных плана a i1, hi1 p1, a i2, hi2 p2,...,a ir, hir pr (8.1.5) a j1, h j1q1, a j2, h j2q2,...,a j s qs, h js qs носят название противоречивых, если они содержат общую альтернатив ную вершину a f c взаимоисключающими направлениями h fp и h fq.

Блок 1 работает следующим образом. Выбирается первый укорочен ный максимальный путь {, h12 = 1, 2, h24 = 1, 6, h6,10 = 1}. Второй укороченный путь {, h12 = 1,2, h24 = 1,6, h6,11 = 2} противоречит первому ( h6,10 = 1, h6,11 = 2 ), в от личие от третьего {, h12 = 1,2, h24 = 1,7, h7,12 = 1} максимального укороченного пути. Выбираем из третьего пути «непротиворечивое» звено ( 7, h7,12 = 1 ) и добавляем его к первому пути. Получаем «наращенный» допустимый план 1, h12 = 1,2, h24 = 1,6, h6,10 = 1,7, h7,12 = 1. (8.1.6) В дальнейшем просматриваем все остальные укороченные макси мальные пути и проверяем, можно ли добавить какое-либо новое звено (a v, hv, w ) к «наращенному» допустимому плану (8.1.6), не нарушая его не противоречивости.

Блок 2 анализирует очередной «наращенный» допустимый план, к ко торому никакое новое звено добавлено быть не может. Исключаем его по следнее звено (a i, hi q ) и проверяем, можно ли «нарастить» оставшийся r rr допустимый план до максимального, с тем, однако, чтобы этот план не совпадал ни с каким из ранее полученных. Если да, то управление переда ется блоку 1. В противном случае исключаем еще одно звено слева a i, hi q, q, и снова пытаемся этот оставшийся план «нарастить» до нового r -1 r -1 r - максимального, и т.д. Работа стадии III Б прекращается, когда очередной Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками последовательно «укорачиваемый» допустимый план делается пустым.

Список допустимых планов для нашего примера представлен в табл. 8.3.

Таблица 8.3 Список допустимых планов {W } W1 = 1, { },2, { },6, { },7, { } W8 = 1, { },2, {2},7, {2},8, {2} 1 11 1 W2 = 1, { },2, { },6, { },7, {2} W9 = 1, {2} 1 1 W3 = 1, { },2, { },6, {2},7, { } W10 = 1, {3},7, { },8, { } 1 1 1 W4 = 1, { }, 2, { },6, {2},7, {2} W11 = 1, {3},7, { },8, {2} 1 1 W5 = 1, { },2, {2},7, { },8, { } W12 = 1, {3},7, {2},8, { } 1 11 W6 = 1, { },2, {2},7, { },8, {2} W13 = 1, {3},7, {2},8, {2} 1 W7 = 1, { },2, {2},7, {2},8, { } 1 Стадия III В подалгоритма III осуществляет построение совокупных вариантов дерева исходов. Входной информацией при этом является спи сок допустимых планов {W } и дерево исходов D ( A,V ). Учитывая, что сово купный вариант S, соответствующий очередному допустимому плану W, должен быть:

1. Подграфом дерева исходов D ( A,V ).

2. Содержать все вершины, входящие в W, но не содержать никаких других вершин.

3. Содержать висячие вершины a, которые являются висячими вер шинами дерева исходов D ( A,V ).

Делается вывод, что S должен быть максимальным подграфом, отве чающим условиям 1-3.

Отсюда вытекает алгоритмизация стадии III В [8.7], основанная на следующем: для каждого a i W строится подграф D ( A,V ), содержащий все максимальные a -простые пути, выходящие из вершины a i в направлении hik W. Комбинация объединения всех этих подграфов содержит в своем составе и совокупный вариант S. Построение совокупного варианта осу ществляется отсечением части дуг таким образом, чтобы любой макси мальный путь в оставшемся подграфе окончился либо вершиной, принад лежащей W, либо висячей вершиной a.

Решим оптимизационную задачу (8.1.2-8.1.3) на примере дерева исхо дов, представленной на рис. 8.1. Информация о дереве исходов представ лена в табл. 8.4.

Продолжительность работы (i, j ) - t ij - дается в месяцах, а стоимость работы Cij - в тысячах условных единиц. Необходимо минимизировать ма тематическое ожидание продолжительности выполнения проекта при ус ловии, что средняя стоимость проекта не должна превышать 23000 у.е. Не обходимо разработать для менеджера проекта оптимальное управление, т.е. выбрать оптимальное направление разработки проекта для всех точек ветвления a i, которые будут достигнуты в процессе выполнения проекта.

Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели В таблице 8.5 представлены результаты расчета средних значений продол жительности проекта Т s и среднего значения стоимости проекта Cs для всех входящих в дерево исходов совокупных вариантов.

Таблица 8.4 Информация о дереве исходов (i, j ) (i, j ) t ij C ij t ij C ij (1,2) 1 5 (5,7) 1 (1,3) 1 6 (5,8) 2 (1,9) 4 16 (6,10) 2 (2,4) 2 7 (6,11) 2 (2,5) 1 6 (7,12) 1 (3,5) 1 7 (7,13) 2 (3,8) 2 8 (8,14) 2 (3,9) 2 10 (8,15) 3 (3,16) 4 15 (9,16) 3 (4,6) 1 6 (9,17) 2 (4,7) 1 Таблица 8.5 Характеристика совокупных вариантов Допустимость S Ts Cs 1 5.8 26.6 нет 2 6 27.2 нет 3 5.8 25 нет 4 6 25.6 нет 5 5 24 нет 6 5.5 26.5 нет 7 5.5 25.5 нет 8 6 28 нет 9 6.4 23.4 нет 10 5.12 22.22 да* 11 5.57 24.47 нет 12 5.17 22.37 да 13 5.62 24.62 нет Примечание: * - оптимальный вариант Число последних равно 13, причем лишь два из них, S12 и S10, удовле творяют ограничениям (8.1.3). Для обоих из них C s 23000. Выбрав из до пустимых вариантов совокупный вариант с наименьшим Т s, получаем оп тимальное решение для S = 10, Т 10 = 5,12 и C10 = 22,22. Совокупный вариант S10 представлен на рис. 8.4:

Таким образом, менеджеру проекта предлагается осуществить опти мальное управление проектом следующим образом:

А. В начале реализации проекта ( t = 0 ) в вершине 1 надо выбрать опе рацию ( 1,3 ).

Б. Если в результате хода работ по проекту будет достигнута вершина 7, а сеть не претерпит изменений своих параметров, следует выбрать на Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками правление ( 7 ® 12 ), то есть реализовать операцию ( 7,12 ).

В. Если в результате хода работ по проекту будет достигнута вершина 8, следует реализовать операцию ( 8,14 ).

Г. Вершины 3, 5 и 9 совокупного варианта не носят управляющего характера.

Рис. 8.4 Оптимальный совокупный вариант S В заключение отметим, что вся изложенная выше методика может быть использована и для случайных величин tij и Cij. При этом на этапе алгоритма решения задачи (8.1.2-8.1.3) следует, в целях оценки Т s и Cs, использовать аппарат статистического моделирования.

§ 8.2 Универсальная смешанная управляющая альтернативная модель GAAN [8.8] В предыдущем параграфе главы нами была описана вполне раздели мая смешанная АСМ, которая позволяет осуществлять оптимальное управление в детерминированных точках ветвления. В настоящем разделе мы опишем смешанную АСМ более общего вида, в частности, допускаю щую наличие вершин, из которых могут одновременно выходить несколь ко операций различных типов. Напомним, что все вершины, входящие в ~ CAAN, могут относиться либо к классу ~, либо к детерминированному a х ~ ~ ~ ~ ~ или g, либо к стохастическому a или g, но никогда не к нескольким клас сам одновременно. Именно последнее имеет место в модели GAAN, что делает эту модель не вполне разделимой АСМ.

Модель GAAN есть конечный, ориентированный, сетевой граф со следующими свойствами:

Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели 1. GAAN имеет одну корневую вершину и не менее двух висячих вершин.

2. Каждая операция АСМ класса GAAN (i, j ) относится к одному из трех типов, а именно:

Тип I. Операция (i, j ) есть операция сети PERT, то есть реализует ло гическую операцию «И» на выходе вершины i и на входе вершины j.

Обозначим эту операцию индексом «РА».

Тип II. Операция (i, j ) есть альтернативная стохастическая реализация, то есть реализует «исключающее или» на выходе точки i. Эту операцию обозначим индексом ASA [8.8-8.9]. Каждой операции (i, j ) класса ASA со относится вероятность 0 pij 1, причем из вершины i выходит не менее двух операций ASA, c pij = 1.

J Тип III. Операция (i, j ) есть детерминированная альтернативная реа лизация с «исключающим или» в точке i. Эту операцию обозначим ADA.

При этом точка i есть вершина, в которой осуществляется принятие реше ний. Все выходные вероятности рij при этом равны единице, а количество операций ADA в точке i не менее двух.

3. Операции всех трех типов могут выходить из одной и той же вер шины. Именно это делает сеть GAAN не вполне разделимой.

AСM типа GAAN представлена на рис. 8.5. В сети операции (1,2 ) и (1,3 ), ( 2,7 ) и ( 2,8 ), ( 4,9 ) и ( 4,10 ) относятся к классу ADA. Операции ( 1,4 ) и (1,5 ), ( 3,7 ) и ( 3,8 ) относятся к классу стохастических ветвлений ASA, в то время как операции ( 1,9 ), ( 2,6 ), ( 3,9 ), ( 5,10 ) и ( 5,11 ) принадлежат к типу PERT, то есть к классу РА.

Назовем совокупным вариантом модели GAAN G ( A,V ) подсеть G * (A*,V * ) со следующими свойствами [8.8]:

1. G * (A*,V * ) имеет одну корневую вершину.

2. Если G * (A*,V * ) включает определенную вершину i, то есть i A *, тогда G * (A*,V * ) включает все операции (i, j ) классов РА и ASA, выходящие из вершины i.

3. Если G * (A*,V * ) включает определенную вершину i, которая в моде ли GAAN, G ( A,V ), имеет на выходе альтернативные ветвящиеся направле ния типа ADA, тогда G * (A*,V * ) содержит только одну выходную операцию класса ADA, выходящую из точки i.

4. G * (A*,V * ) есть максимальный подграф, удовлетворяющий свойст вам 1-3.

Назовем полным вариантом совокупного варианта G * (A*,V * ) подсеть типа PERT G ** (A**,V ** ) G * (A*,V * ) которая может быть получена из послед него путем моделирования выходных направлений типа ASA во внутрен них связанных точках и исключения альтернативных не вошедших в моде лирование выходных направлений.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками Рис. 8.5 Сетевая модель GAAN Рис. 8.6 Оптимальный совокупный вариант Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели Вероятность реализации полного варианта G ** есть произведение всех значений pij для всех входящих в полный вариант операций типа ASA.

Принятие решений в модели GAAN.

Подобно случаю модели CAAN, процесс принятия решений сводится к выбору в каждой точке (вершине) i ветвления детерминированного ха рактера с несколькими выходами типа ADA, одного из них. Процесс при нятия решений осуществляется в момент свершения события i, из которо го выходят альтернативные операции ADA, то есть в момент прихода про цесса реализации проекта в точку i. Подобно моделям CAAN, задача оп тимизации состоит из двух шагов:

Шаг 1. В каждой точке принятия решений i (в момент t свершения события i ) необходимо определить и выделить все совокупные варианты из оставшейся к моменту t сети Gt класса GAAN, и вычислить для каждо го из вариантов значения целевой функции F и ограничений H.

Шаг 2. Определить оптимальный совокупный вариант и направить процесс реализации проекта в оптимальном направлении, соответствую щем выходящей из вершины i операции типа ADA в этой вершине. Задача повторно решается в каждой из последовательно достигаемых точек (со бытий) принятия решений (с учетом возможного обновления параметров сетевой модели), из которых выходят несколько операций ADA.

Математическая формулировка оптимизационной задачи, решаемой в точках детерминированного ветвления, практически не отличается от по становки аналогичной задачи (8.1.2-8.1.3) для модели CAAN. Принципи альная разница состоит в алгоритме решения. В случае модели CAAN идея пере-нумерации совокупных вариантов основана на лексикографическом упорядочении максимальных путей в графе. В случае модели GAAN упо рядочение множества путей должно быть заменено упорядочением множе ства подграфов [8.8]. В целях разработки подалгоритма перенумерации была использована идея упорядочения так называемых траекторий для за дачи о назначениях [6.23, 8.8]. Заметим, что определение максимальной траектории для задачи о назначениях соответствует определению совокуп ного варианта с максимальным значением целевой функции. Поскольку траектория может рассматриваться как вектор, а последнему, в свою оче редь, соответствует множество целых чисел, все траектории могут быть перенумерованы. Аналогичные идеи положены в основу подалгоритма для перенумерации и выделения всех совокупных вариантов. В таблице 8. представлены параметры модели GAAN, изображенной на рис. 8.5. Под лежащая минимизации целевая функция есть средняя продолжительность реализации проекта, а среднее значение стоимости реализации не должно превышать 55000 у.е. Требуется разработать модель оптимального управ ления, то есть определить оптимальный совокупный вариант вместе с оп тимальными направлениями развития проекта в каждой из вершин (с вы ходами типа ADA), которые будут достигнуты в процессе выполнения Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками проекта.

В составе модели GAAN можно выделить шесть совокупных вариан тов G1 - G6, три из которых удовлетворяют ограничениям по стоимости.

Выбирая из последних совокупный вариант с минимальной средней про должительностью, получаем оптимальный совокупный вариант G4, пред- * ставленный на рис. 8.6, с параметрами T = 18,3 месяцев и C = 54000 у.е.

Таблица 8.6 Информация о модели GAAN ASA t ij cij № (i, j ) (i, j ) ADA PA ( pij ) (в месяцах) (в 1000 у.е.) 1 (1,2) — 1 — 4 2 (1,3) — 1 — 2 3 (1,4) 0.3 — — 8 4 (1,5) 0.7 — — 6 5 (1,9) — — 1 4 6 (2,6) — — 1 11 7 (2,7) — 1 — 15 8 (2,8) — 1 — 4 9 (3,7) 0.6 — — 3 10 (3,8) 0.4 — — 6 11 (3,9) — — 1 8 12 (4,9) — 1 — 16 13 (4,10) — 1 — 18 14 (5,10) — — 1 1 15 (5,11) — — 1 7 Оптимальное управление имеет следующий вид:

А. В момент t = 0 (вершина 1) выбираем направление 1 ® 2 из двух альтернативных видов типа: ( 1,2 ) и ( 1,3 ).

Б. Если в процессе реализации проекта будет достигнута вершина 4, должно быть выбрано направление 4 ® 10.

В. При достижении вершины 2 выбираем направление 2 ® 8.

Отметим, в заключение, что модель GAAN носит более сложный ха рактер, нежели CAAN. Эту модель следует использовать в исключитель ных случаях, например, при наличии высоких технологий. В работе [8.8] модель GAAN была использована при разработке аппаратуры искусствен ного сердца.

§8.3 Гибридные альтернативные сетевые модели В последние годы рядом авторов [8.1-8.3, 8.10-8.12] были рассмотре ны альтернативные сетевые модели (АСМ), не укладывающиеся в класси ческую классификацию АСМ, представленную нами в §6.2. Речь идет, главным образом, о введении дополнительных ограничений (усложнение логических связей между работами, наличие циклов и контуров, и др.) в состав и структуру сетевых моделей. Среди отмеченных выше моделей не Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели обходимо выделить следующие:

I. Циклическая альтернативная сетевая модель ЦАСМ [8.3], представ ляющая собой объединение моделей GERT и OCM [8.1-8.2]. Речь идет об АСМ неуправляемого типа, в которую включены ряд сложных логических связей, а также точечные циклы и фрагментарные контуры. Модель ЦАСМ не осуществляет принятие оптимальных решений в процессе реализации проекта и не содержит детерминированных точек ветвления. Речь идет об информационно-советующей системе, позволяющей определить возмож ность реализации проекта вообще (в случае необходимости), то есть опре деления меры непротиворечивости сети. Представлены ряд алгоритмов ре сурсно-временного анализа для решения классических сетей календарного планирования в СПУ с ограничениями на ресурсы.

II. Циклическая альтернативная управляемая сетевая модель ЦАУСМ [8.12], являющаяся комбинацией ациклической АСМ CAAN, описанной в §8.1, и моделей ОСМ. Речь идет об управляемой АСМ, в которую включе ны циклы и контуры, а также ряд сложных вероятностных и детерминист ских связей между работами. Короче говоря, речь идет о гибриде АСМ CAAN и АСМ ЦАСМ.

Авторы [8.12], включая автора настоящей монографии, предприняли ряд попыток создать математический аппарат построения допустимых планов непротиворечивого характера, но потерпели неудачу. Удалось лишь показать (на примере модели CAAN, приведенной в [6.4] и [8.10]), что включение в модель CAAN циклов, содержащих одну вершину (но не фрагмент!) позволяет применить аппарат лексикографического анализа АСМ. Что касается контуров, содержащих несколько вершин, использова ние лексикографических методов не обеспечивает получение оптимально го решения. Включение в АСМ сложных логических связей, например T j - Ti jij, где T j и Ti - самые ранние сроки свершения событий j и i, а jij - случай ная или детерминированная величина, делает операцию вычисления опти мального совокупного варианта практически невозможной.

III. Циклическая альтернативная управляющая сетевая модель SATM, примеры которой представлены в ряде публикаций [8.11-8.


13], объединяет воедино всю палитру классификации АСМ, представленную в §6.3. SATM, которую в шутку иногда называют «АСМ, в которой все позволено», объе диняет воедино модели GERT, CAAN, GAAN и неальтернативную модель ОСМ [8.2]. Это модель исключительной сложности, для которой пока не существует модели построения хотя бы одного допустимого решения, не говоря уже о моделях алгоритмизации принятия решений. Дело в том, что поиск кластера событий с непротиворечивыми решениями (направления ми) нельзя осуществлять с помощью какого-либо аппарата статистическо го моделирования, не говоря уже об использовании лексикографического Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками подхода: модель SATM намного сложнее АСМ GAAN (см. §8.2), и для SATMа нельзя построить корректную метрику с направленным поиском.

Необходимо искать и найти новые пути, но это – проблема не близкого бу дущего.

В заключение отметим, что все описанные выше АСМ объединяет од но общее свойство: наличие сложных логических связей, типичных для ОСМ [8.2]. Подобные модели практически не встречаются в управлении разработками, зато очень часто встречаются в АСУ строительством. Имен но поэтому гибридные АСМ в основном принадлежат к научной школе профессора В.И. Воропаева, который начинал свою «сетевую» карьеру со строительных сетевых моделей. Действительно, один только процесс твер дения бетона приводит к нескольким сложным логическим связям, кото рых так много в строительстве! Что касается АСМ управления разработ ками, то, на мой взгляд, АСМ класса GAAN (§8.2) на много лет вперед бу дет достаточна для современных передовых технологий.

§ 8.4 Построение оптимальных планов на основе анализа сово купных вариантов [8.5] В §§8.1-8.2 настоящей главы рассматривались задачи построения оп тимального совокупного варианта для стохастической сетевой модели смешанного типа. Поскольку любой совокупный вариант, в том числе и оптимальный, связан с выбором определенных направлений в управляе мых альтернативных вершинах, задачу оптимального планирования и управления для настоящей модели можно рассматривать как задачу нахо ждения такого допустимого плана, для которого соответствующий сово купный вариант S оптимизирует функционал F( S ) = Pi b(wi ).

w i W S Отсюда вытекает методология построения управляющих воздействий в процессе реализации альтернативного сетевого планирования. По мере свершения альтернативных событий типа a для динамической альтерна тивной сетевой модели строится оптимальный совокупный вариант, и в управляемой вершине выбирается направление, соответствующее этому оптимальному варианту. Разумеется, можно не пересчитывать оптималь ный план по мере свершения очередного события. Однако в этом случае по мере реализации проекта первоначально построенный план может стать не оптимальным. Последнее будет иметь место вследствие того, что в одной или нескольких альтернативных вершинах стохастического типа будут реализованы либо маловероятные, либо нежелательные по критерию F(S ) направления. Поэтому целесообразно периодически, по мере реализации очередной управляемой вершины, принимать последнюю за корень нового дерева исходов и строить новый оптимальный план согласно методике, описанной в §§8.1-8.2.

Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели При исследовании альтернативных сетей, отражающих многовари антные либо целые научно-технические разработки, нередко необходимо выбрать оптимальный из совокупных вариантов с точки зрения какого либо из нескольких принятых критериев. Вариант, оптимальный в смысле одного критерия, может быть неоптимальным в смысле другого. В связи с этим приведем изложение рассматриваемых задач в более удобной системе обозначений, докажем некоторые важные неравенства и сделаем замеча ния о вариантах, оптимальных в смысле нескольких критериев.

I. Пусть в нашем распоряжении имеется R совокупных вариантов, для удобства занумерованных натуральными числами r = 1,2,..., R. В каждом r ом варианте возможно lr исходов, которые мы также занумеруем нату ральными числами j = 1,2,..., l r. Обозначим через Prj - вероятность осущест вления j -го исхода в r -м варианте, и через Frj - соответствующее значение функции качества ( r = 1,2,..., R ;

j = 1,2,..., l r ). Ценность r -ого варианта мы бу дем характеризовать величинами Fr, являющимися в общем случае неко торыми функциями от Prj и Frj при фиксированном r, причем индекс свер ху обозначает номер используемого критерия оптимальности. Не ограни чивая общности, можно считать, что задачей активной стороны (коллекти ва, разрабатывающего многовариантную программу) является максимиза ция величины Fr, ибо в противном случае функцию качества можно взять в виде ( - Frj ).

Таким образом, номер r * оптимального варианта определяется соот ношением Fr = max Fr.

* r =1, R Рассмотрим различные критерии качества.

1) Fr(1) = min Frj.

j =1, l r В этом случае активная сторона рассчитывает на самый худший для себя исход в каждом совокупном варианте.

Поэтому величина F (1) = max min Frj j =1,l r r =1, R является гарантированным значением активной стороны.

2) Пусть j1,... jS - такие натуральные числа из совокупности 1,... lr, что r Prj = max Prj, i = 1,... S r.

i j =1,l r Тогда рассмотрим критерий оптимальности вида Sr F.

Fr( 2) = rj i Sr i = и обозначим через F ( 2) = max Fr( 2 ).

r =1, R Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками 3) Пусть критерием оптимальности является математическое ожида ние lr Fr(3) = Prj Frj.

j = Обозначим через F (3) = max Fr(3).

r =1, R 4) Критерием оптимальности может служить показатель энтропии lr = Prj log Prj.

( 4) F r j = Обозначим через F ( 4) = max Fr( 4 ).

r =1, R 5) В качестве критерия оптимальности можно взять показатель отно сительной энтропии lr P log Prj rj j =.

= (5) F r log l r Обозначим через F (5) = max Fr( 5).

r =1, R 6) В некоторых случаях (в частности, когда решение о выборе опти мального варианта принимается большее число раз) имеет смысл следую щая величина, характеризующая выигрыш активной стороны:

R F ( 6) = max a r Fr(3 ), r = где max берется по всем совокупностям a1,a 2,..., a R, обладающим свойст вом a r 0, r = 1,..., R, R a = 1.

r r = В этом случае, в отличие от случаев 1)-5), стратегией активной сторо ны является выбор совокупности вероятностей a r, с которыми она (актив ная сторона) принимает решение о выборе варианта с номером r.

Это естественное обобщение понятия смешанной стратегии в матрич ных играх. (Рассматриваемая ситуация укладывается в рамки теории мат ричных игр лишь в случае, когда все lr равны между собой.) II. Докажем некоторые неравенства, связывающие величины F (1), F ( 2), F (3), F ( 4), F (5) и F ( 6).

1) F (1) F ( 2 ).

Действительно, Sr Sr 1 Frji min F = min Frj.

Fr( 2 ) = rj Sr Sr j =1,l r j =1,l r i =1 i = Следовательно Глава 8. Управляемые альтернативные сетевые модели min Frj Fr( 2 ) max Fr( 2 ) = F ( 2 ).

j =1, l r r =1, R Так как полученное неравенство справедливо для всех r, то F ( 2) max min Frj = F (1), j =1,l r r =1, R что и требовалось доказать.

2) F (1) F (3).

Действительно, lr lr lr Fr(3) = Prj Frj Prj min Frj = min Frj Prj = min Frj.

j =1,l r j =1,l r j =1,l r j =1 j =1 j = Следовательно min Frj Fr(3 ) max Fr(3) = F (3 ).

j =1,l r r =1, R Так как полученное неравенство справедливо для всех r, то F (1) max min Frj F (3).

r =1, R j =1,l r 3) F F ( 6).

( 3) Действительно, пусть r * таково, что F (3) = Fr(*3). Рассмотрим совокуп ность чисел ( a1,..., a R ), определяемую следующим образом:

a j = 0, если j r *, a r * = 1.

Тогда ясно, что R a Fr(*3 ) Fr(*3 ) = F (3).

F ( 6) = max r a r = Неравенство доказано. Таким образом, F (1) F (3) F (6 ).

4) При достаточно больших lr F ( 4 ) F (5).

Действительно, так как при достаточно больших lr log lr 1 и Fr( 4) = 0, то для всех r Fr( 4) Fr(5 ).

Отсюда Fr( 4) max Fr( 5) = F (5 ).

r =1, R и max Fr( 4 ) = F ( 4 ) F (5 ).

r =1, R III. Имеются в основном три пути учета нескольких критериев (будем для простоты предполагать, что их всего два, например F (3) и Fr( 4 ) ). Рас смотрим каждый из этих подходов в отдельности.

1) Изучение проводится в рамках теории векторной оптимизации. Оп ределяется отношение предпочтения p между (некоторыми) парами век торов Fr1(3) Fr(23 ) p, Fr( 4) Fr( 4 ) 1 Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками где r1 и r2 - целые числа из совокупности 1,..., R.

Вариант r0 называется оптимальным в смысле векторного критерия Fr0(3) Fr(3) Fr( 3) F ( 4 ), если предпочтение F ( 4) p F ( 4) влечет за собой предпочтение r0 r r Fr(3) Fr (3) p F ( 4) F ( 4).

r r 2) Рассматривается критерий Fr = aFr( 3) + b Fr( 4 ), где a и b - неотрицательные весовые коэффициенты, характеризующие относительную важность критериев Fr(3) и Fr( 4), соответственно, и опреде ляемые активной стороной на основании опыта, интуиции и т.д. В этом случае получается обычная задача оптимизации, весь вопрос в том, какие числа a и b выбрать для построения Fr.


3) Наконец, третья возможность учесть оба критерия открывается в том случае, когда существует несколько вариантов, оптимальных в смысле одного критерия.

Пусть, например, r1,..., rk - номера вариантов, оптимальных в смысле критерия Fr(3), т.е. F (3) = Fr(3), i = 1,2,..., k. Рассматривая далее критерий Fr(4 ) i для r = ri, r = 1,..., k, можно поставить вопрос о нахождении max Fr(4 ) = F (4 ),i i =1, R (4 ) однако в общем случае величина F может быть меньше F. В заключение отметим, что желательно использовать экспертные оценки на всех стадиях анализа и выбора оптимальных критериев управ ления разработками.

Указатель литературы Указатель литературы Литература к Главе 1.1 Бек Н.Н., Голенко Д.И., Статистические методы оптимизации в экономических исследованиях, М, Статистика, 1971, 136 с.

1.2 Виленкин С.Я., Определение закона распределения максимального времени, ”Автоматика и Телемеханика”, 26(7), 1247-1252, 1965.

1.3 Голенко Д.И., Статистические методы сетевого планирования и управления, М., Наука, 1968, 400 с.

1.4 Голенко Д.И., Левин Н.А., Михельсон В.С., Найдов-Железов Ч.Г., Автоматиза ция планирования и управления новыми разработками, Рига, Звайгзне, 1966, 192 с.

1.5 Голенко Д.И., Лившиц С.Е., Кеслер С.Ш., Статистическое моделирование в технико-экономических системах (управление разработками), изд. Ленинград ского Университета, Ленинград, 1977, 264 с.

1.6 Голенко Д.И., Статистические методы в экономических системах, М., Стати стика, 1970, 202 с.

1.7 Голенко Д.И., Моделирование и статистический анализ псевдослучайных ве личин на электронных вычислительных машинах, М., Наука,1965, 228 с.

1.8 Кривенков Ю.П., Некоторые вопросы теории сетевых методов планирования, Кибернетика, 4, 1967.

1.9 Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, М., Мир, 1966, 276 с.

1.10 Clark C.E., The PERT model for the distribution of an activity, Opns. Res., 10(3), 405-406, 1962.

1.11 Clark C.E., The greatest of the finite set of random variables, Opns. Res., 13(1), 214 218, 1965.

1.12 Clingen G.T., A modification of the Fulkerson’s PERT algorithm, Opns. Res., 12(4), 354-358, 1964.

1.13 Donaldson W.A., The estimation of the mean and variance of a PERT activity time, Opns. Res., 13(3), 382-385, 1965.

1.14 Fulkerson D.R., Expected critical path lengths in PERT networks, Opns. Res., 10(6), 118-124, 1962.

1.15 Elmaghraby S., Activity Networks: Project Planning by Network Models, Wiley, New York, 1977.

1.16 Golenko-Ginzburg D., On the distribution of activity time in PERT, J. Oper. Res.

Soc., 39(8), 767-771, 1988.

1.17 Golenko-Ginzburg D., A new approach to the activity – time distribution in PERT, J.

Oper. Res. Soc., 40(4), 389-393, 1989.

1.18 Grubbs F.E., Attempts to validate certain PERT statistics or “picking on PERT”, Opns. Res., 10(6), 912-915, 1962.

1.19 Hartley H.O., Wortham A.W., A statistical theory for PERT critical path analysis, Mngm. Sci., 12(10), 1012-1024, 1966.

1.20 Healy T.L., Activity subdivision and PERT probability statements, Opns. Res., 9(3), 104-108, 1961.

1.21 Malcolm D.G., Roseboom J.H., Clarc C.E., Faser W., Application techniques for re search and development program evaluation, Opns. Res., 7(5), 415-432, 1959.

1.22 Martin J.J., Distribution of the time through a directed acyclic network, Opns. Res., 13(1), 65-72, 1965.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками 1.23 McCrimmon K.R. and Ryavec Ch. A., An analytic study of the PERT assumptions, Opns. Res., 12(1), 16-37, 1964.

1.24 Ringer L.J., A statistical theory for PERT in which completion time activities are in depen-dent, Mngm. Sci., 17(11), 1275-1292, 1971.

1.25 Ringer L.J., Numerical operators for statistical PERT critical path analysis, Mngm.

Sci., 16(2), 114-119, 1969.

1.26 Welsh D.J., Errors introduced by a PERT assumption, Opns. Res., 13(1), 141-143, 1965.

1.27 Williams T.M., Practical use of distributions in network analysis, J. Oper. Res. Soc., 43(3), 265-270, 1992.

1.28 Williams T.M., What are PERT estimates?, J. Oper. Res. Soc., 1498-1504, 1995.

Литература к Главе 2.1 Бек Н.Н., Голенко Д.И., Статистические методы оптимизации в экономических исследованиях, М, Статистика, 1971, 136 с.

2.2 Голенко Д.И., Статистические методы сетевого планирования и управления, М., Наука, 1968, 400 с.

2.3 Голенко Д.И., Статистические модели в управлении производством, М., Стати стика, 1973, 368 с.

2.4 Голенко Д.И., Статистические методы в экономических системах, М., Стати стика, 1970, 202 с.

2.5 Голенко Д.И., Лившиц С.Е., Кеслер С.Ш., Статистическое моделирование в тех-нико-экономических системах (управление разработками), изд. Ленинград ского Университета, Ленинград, 1977, 264 с.

2.6 Зуховицкий С.И., Радчик И.А., Математические методы сетевого планирова ния, М, Наука, 1965, 372 с.

2.7 Растригин Л.Н., Случайный поиск, Рига, Зинатне,1965.

Литература к Главе 3.1 Голенко Д.И., Статистические методы сетевого планирования и управления, М., Наука, 1968, 400 с.

3.2 Голенко Д.И., Статистические модели в управлении производством, М., Стати стика, 1973, 368 с.

3.3 Голенко Д.И., Лившиц С.Е., Кеслер С.Ш., Статистическое моделирование в технико-экономических системах (управление разработками), изд. Ленинград ского Университета, Ленинград, 1977, 264 с.

3.4 Голенко Д.И., Лившиц С.Е., Статистическое моделирование сетей большого объема, ”Кибернетика”, 6, 87-89, 1967.

3.5 Хедли Д. Нелинейное и динамическое программирование, М., Мир,1967,506 с.

3.6 Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях, М., Мир,1974,519 с.

3.7 Golenko-Ginzburg D., Gonik A., Malisheva (Baron) A., Decision-making simulation model for controlling several stochastic projects, Comm. in DQM, 8(1), 33-42, 2005.

3.8 Golenko-Ginzburg D., Gonik A., Malisheva A., Resource constrained scheduling for several stochastic network projects, Comm. in DQM, 6(1), 66-71, 2003.

3.9 Gonik A., A generalized resource constrained scheduling model for stochastic net work projects, Comm. in DQM, 6(1), 74-89, 2000.

3.10 Industrial Scheduling (Muth T. and Thompson G. eds.), Prentice Hall, Englewood Cliffs, New-Jersey, 1963.

Указатель литературы 3.11 Luenberger D., Introduction to Linear and Non-Linear Programming, Addison Wesley Co., Massachusetts, 1973.

3.12 Malisheva A., Control and Planning Models for Aggregated Projects in a Project Of fice, Ph.D. Thesis, Ben-Gurion University of the Negev, Beer-Sheva, Israel, 2005.

Литература к Главе 4.1 Воропаев В.И., Модели и методы календарного планирования в АСУ строи тельством, М., Стройиздат, 1975, 232 с.

4.2 Бурков В.Н. (ред.), Математические основы управления проектами, М., Выс шая Школа, 2005, 423 с.

4.3 Голенко Д.И., Статистические методы сетевого планирования и управления, М., Наука, 1968, 400 с.

4.4 Голенко Д.И., Статистические модели в управлении производством, М., Стати стика, 1973, 368 с.

4.5 Голенко Д.И., Лившиц С.Е., Кеслер С.Ш., Статистическое моделирование в технико-экономических системах (управление разработками), изд. Ленинград ского Университета, Ленинград, 1977, 264 с.

4.6 Ben-Yair A., Harmonization Models in Strategic Management and Safety Engineer ing, Ph.D. Thesis, Ben-Gurion University of the Negev, Beer-Sheva, Israel, 2004.

4.7 Golenko-Ginzburg D., A two-level decision-making model for controlling stochastic projects, Int. J. Prod. Econ., 32, 117-127, 1993.

4.8 Golenko-Ginzburg D., Gonik A., On-line control model for cost-simulation projects, J. Oper. Res. Soc., 47, 266-283, 1996.

4.9 Golenko-Ginzburg D., Sinuany-Stern Z., Katz V., Hierarchical decision-making model for planning and controlling stochastic projects, Int. J. Prod. Econ., 46-47, 55 63, 1996.

4.10 Golenko-Ginzburg D., Gonik A., On-line control model for network construction projects, J. Oper. Res. Soc., 48, 175-183, 1997.

4.11 Golenko-Ginzburg D., Gonik A., Project planning and controlling by stochastic net work models, in: “Managing and Modeling Complex Projects” (T. Williams ed.) NATO ASI Series, Kluwer Academic Publications, 21-43, The Netherlands, 1997.

4.12 Golenko-Ginzburg D., Ljubkin S., Malisheva A., Upon aggregating network models, Comm. in DQM, 5(2), 54-60, 2002.

4.13 Gonik A., Golenko-Ginzburg D., Hierarchical control model for several stochastic net-work projects, Comm. in DQM, 7(1), 19-26, 2004.

4.14 Gonik A., Planning and Controlling Multilevel Stochastic Projects, Ph.D. Thesis, Ben-Gurion University of the Negev, Beer-Sheva, Israel, 1995.

4.15 Malisheva A., Control and Planning Models for Aggregated Projects in a Project Of fice, Ph.D. Thesis, Ben-Gurion University of the Negev, Beer-Sheva, Israel, 2005.

4.16 Sitniakovski Sh., Control and Scheduling Models in Stochastic Project Management, Ph.D. Thesis, Ben-Gurion University of the Negev, Beer-Sheva, Israel, 2002.

4.17 Taha H.A., Operations Research, Collier Macmillan,1999.

4.18 Voropaev V.I., Ljubkin S.M., Titarenko B.P., Golenko-Ginzburg D., Structural clas sification of network models, Int. J. of Project Management, 18, 361-368, 2000.

Литература к Главе 5.1 Голенко Д.И., Статистические методы сетевого планирования и управления, М., Наука, 1968, 400 с.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками 5.2 Голенко-Гинзбург Д.И. и др., Алгоритмы оптимальной поставки ресурсов для группы проектов (стохастические сети), ”Автоматика и Телемеханика”, 8, 157 167, 2001.

5.3 Golenko-Ginzburg D., Gonik A., Resource constrained project scheduling with non consumable limited resources, Int. J. Prod. Econ., 48, 29-37, 1997.

5.4 Golenko-Ginzburg D., Gonik A., Sitniakovski Sh., Managing resource reallocation among several projects under random disturbances, Comm. in DQM, 2(1), 137-149, 1999.

5.5 Golenko-Ginzburg D., Gonik A., Sitniakovski Sh., Resource supportability model for stochastic network projects under a chance constraint, Comm. in DQM, 3(1), 89-102, 2000.

5.6 Golenko-Ginzburg D., Gonik A., Sitniakovski Sh., Resource constrained project scheduling for several stochastic network projects, Comm. in DQM, 3(1), 63-73, 2000.

5.7 Golenko-Ginzburg D., Sitniakovski Sh. et al, Algoritms of optimal supply of re sources to a group of projects, Int. J. Automation and Remote Control, 62(6), 1366 1375, 2001.

5.8 Golenko-Ginzburg D., Gonik A., Malisheva A., Resource constrained project sched uling models under random disturbances, in book “Perspectives in Modern Project Scheduling”, pp. 53-78 (Chapter 3), Springer Verlag (I. Iozefowska and J. Weglarz eds.), 2006.

5.9 Golenko-Ginzburg D., Sitniakovski Sh., Papic L., Resource supportability simulation model for a man-machine production system, Mathematics and Computers in simula tion, 53, 105-112, 2000.

5.10 Sitniakovski Sh., Control and Scheduling Models in Stochastic Project Management, Ph.D. Thesis, Ben-Gurion University of the Negev, Beer-Sheva, Israel, 2002.

Литература к Главе 6.1 Голенко Д.И., Статистические методы сетевого планирования и управления, М., Наука, 1968, 400 с.

6.2 Голенко Д.И., Статистические модели в управлении производством, М., Стати стика, 1973, 368 с.

6.3 Голенко Д.И., Лившиц С.Е., Кеслер С.Ш., Статистическое моделирование в технико-экономических системах (управление разработками), изд. Ленинград ского Университета, Ленинград, 1977, 264 с.

6.4 Красовский В.П. (ред.), Долгосрочные программы капитальных вложений, М., Экономика, 1974, 208 с.

6.5 Поспелов Г.С. и Баришполец В.А., О стохастическом сетевом планировании, 1, 2, Известия АН СССР “Техническая кибернетика”, 6, 17-27, 1966;

6, 14-23, 1967.

6.6 Янч. Э., Прогнозирование научно-технического прогресса, М., Прогресс, 1970, 418 с.

6.7 Crowston W.B., Thompson G.L., Decision – CPM: A method of simultaneous plan ning, scheduling and control of projects, Opns. Res., 15, 407-426, 1967.

6.8 Crowston W.B., Decision – CPM: Network reduction and solution, Opns. Res.

Quart., 21 (4), 435-445, 1970.

6.9 Eisner H., A generalized network approach to the planning and scheduling of a re search project, Opns. Res., 1091, 115-125, 1962.

Указатель литературы 6.10 Elmaghraby S., An algebra for the analysis of generalized activity network, Mgmt.

Sci., 10, 494-514, 1964.

6.11 Elmaghraby S., On generalized activity networks, J. Ind. Engnr., 17(11), 621-631, 1966.

6.12 Elmaghraby S., The theory of networks and management science, I, II, Mngm. Sci., 17(1, 2), 1970.

6.13 Elmaghraby S., Activity Network: Project Planning and Control by Network Models, Wiley, New-York, 1977.

6.14 Golenko-Ginzburg D., Controlled alternative activity networks in project manage ment, Eur. J. Oper. Res., 7, 336-346, 1988.

6.15 Golenko-Ginzburg D., Blokh D., A generalized activity network model, J. Oper. Res.

Soc., 48, 391-400, 1997.

6.16 Golenko-Ginzburg D., Gonik A., Project planning and controlling by stochastic net work models, in: “Managing and Modeling Complex Projects” (T. Williams ed.) NATO ASI Series, Kluwer Academic Publications, 21-43, The Netherlands, 1997.

6.17 Hasting M.A., Mello J.M., Decision Networks, Wiley, New-York, 1979.

6.18 Kidd J., A comparison between the VERT program and other methods of project du ration estimates, Omega, 15(2), 124-134, 1987.

6.19 Lee S.M., Moeller G.L., Digman L.D., Network Analysis for Management Deci sions, Kluwer-Nijkoff, Boston, 1981.

6.20 Pritsker A.A.B., Happ W.W., GERT: Graphical evaluation and review techniques, Part 1 (Fundamentals), J. Ind. Engn., 17(5), 267-274, 1966.

6.21 Pritsker A.A.B., Whitehouse G.E., GERT: Graphical evaluation and review tech niques, Part 2 (Probabilistic and industrial engineering applications), J. Ind. Engn., 17(6), 293-301, 1966.

6.22 Pritsker A.A.B., Modeling and Analysis Using Q – GERT Network, Wiley, New York, 1977.

6.23 Taha H.A., Operations Research: An Introduction, Wiley, New-York, 1989.

6.24 Voropaev V., Ljubkin S., Titorenko D., Golenko-Ginzburg D., Structural classifica tion of network models, Int. J. of Project Management, 18, 361-368, 2000.

6.25 Xespos R.F., Strassman P.A., Stochastic decision trees for the analysis of investment decisions, Mgmt. Sci., B11, 244-259, 1965.

Литература к Главе 7.1 Голенко Д.И., Статистические методы сетевого планирования и управления, М., Наука, 1968, 400 с.

7.2 Голенко Д.И., Статистические модели в управлении производством, М., Стати стика, 1973, 368 с.

7.3 Голенко Д.И., Лившиц С.Е., Кеслер С.Ш., Статистическое моделирование в технико-экономических системах (управление разработками), изд. Ленинград ского Университета, Ленинград, 1977, 264 с.

7.4 Elmaghraby S., Activity Network: Project Planning and Control by Network Models, Wiley, New-York, 1977.

7.5 Pritsker A.A.B., Happ W.W., GERT: Graphical evaluation and review techniques, Part 1 (Fundamentals), J. Ind. Engn., 17(5), 267-274, 1966.

7.6 Pritsker A.A.B., Whitehouse G.E., GERT: Graphical evaluation and review tech niques, Part 2 (Probabilistic and industrial engineering applications), J. Ind. Engn., 17(6), 293-301, 1966.

Стохастические Сетевые Модели Планирования и Управления Разработками 7.7 Pritsker A.A.B., Modeling and Analysis Using Q – GERT Network, Wiley, New York, 1977.

Литература к Главе 8.1 Бурков В.Н. (ред.), Математические основы управления проектами (Глава 7), М., Высшая Школа, 2005, 423 с.

8.2 Воропаев В.И., Лебедев Б.Я., Орел Т.Я., Обобщенные сетевые модели в задачах теории расписаний, М., ЦНИИЭУС, 1989.

8.3 Воропаев В.И. и Гельруд Я.Д., Обобщенные стохастические сетевые модели для управления комплексными проектами (часть 1 и 2), Управление проектами и программами, 13-14, с. 2-13, 92-104, 2008.

8.4 Голенко Д.И., Статистические методы сетевого планирования и управления, М., Наука, 1968, 400 с.

8.5 Голенко Д.И., Лившиц С.Е., Кеслер С.Ш., Статистическое моделирование в технико-экономических системах (управление разработками), изд. Ленинград ского Университета, Ленинград, 1977, 264 с.

8.6 Голенко Д.И., Статистические модели в управлении производством, М., Стати стика, 1973, 368 с.

8.7 Golenko-Ginzburg D., Controlled alternative activity networks in project manage ment, Eur. J. Oper. Res., 7, 336-346, 1988.

8.8 Golenko-Ginzburg D., Blokh D., A generalized activity network model, J. Oper. Res.

Soc., 48, 391-400, 1997.

8.9 Golenko-Ginzburg D., Gonik A., Project planning and controlling by stochastic net work models, in: “Managing and Modeling Complex Projects” (T. Williams ed.) NATO ASI Series, Kluwer Academic Publications, 21-43, The Netherlands, 1997.

8.10 Golenko-Ginzburg D. et al, Managing alternative stochastic network projects, Pro ceedings of the 22nd IPMA World Congress, Rome, November 9-11, 2, 804-809, 2008.

8.11 Voropaev V. et al, Structural classification of network models, Int. J. of Project Manage-ment, 18, 361-368, 2000.

8.12 Voropaev V. et al, Decision making in controlled cyclic alternative network projects with deterministic branching outcomes, Proceedings of the 23rd IPMA World Con gress, Helsinki, June 15-16, 2009.

8.13 Voropaev V. et al, Network models in project management (Theory and practice:

Successes, disappointments, future perspectives), Proceedings of the 22nd IPMA World Congress, Rome, November 9-11, 1, 645-650, 2008.

Указатель литературы Научное издание Дмитрий Исаакович Голенко-Гинзбург Стохастические сетевые модели планирования и управления разработками Монография Издание публикуется в авторской редакции Дизайн обложки С.А.Кравец Подписано в печать 01.07.2010. Формат 60x84x1/16.

Усл. печ. л. 17,7. Уч.-изд.л. 17,5.

Заказ 194. Тираж 500.

ООО Издательство «Научная книга»

394077, Россия, г. Воронеж, ул. Маршала Жукова, 3- http:// www.sbook.ru/ Отпечатано ООО ИПЦ «Научная книга»

394026, Россия, г. Воронеж, ул. 303-й Стрелковой дивизии, 1а (4732)

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.