авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» В. Н. ...»

-- [ Страница 2 ] --

Доказательство. Если = 0, то w : z 0, z C, является решением уравнения (9), а при = = = = 0 решением будет w : z C, z C, где C — произвольная постоянная.

Это — тривиальное и тривиальное полиномиальное решения.

Для отыскания нетривиальных полиномиальных решений определим характеристики членов уравнения (9):

0 = 2, b0 = 4, 0 = 4, m0 = 2, n0 = 2, l0 = 2;

1 = 2, b1 = 5, 1 = 3, m1 = 2, n1 = 3, l1 = 2;

2 = 2, b2 = 5, 2 = 2, m2 = 2, n2 = 3, l2 = 2;

3 = 3, b3 = 4, 3 = 4, m3 = 2, n3 = 2, l3 = 1;

4 = 2, b4 = 5, 4 = 3, m4 = 2, n4 = 3, l4 = 1;

5 = 1, b5 = 5, 5 = 2, m5 = 2, n5 = 3, l5 = 1;

6 = 4, b6 = 4, 6 = 4, m6 = 1, n6 = 3, l6 = 1;

7 = 2, b7 = 4, 7 = 3, m7 = 1, n7 = 3, l7 = 1;

8 = 2, b8 = 4, 8 = 2, m8 = 1, n8 = 3, l8 = 1;

9 = 2, b9 = 0, 9 = 6, m9 = 0, n9 = 0, l9 = 0;

10 = 4, b10 = 1, 10 = 5, m10 = 0, n10 = 1, l10 = 0;

2( + ) при + = 0, 11 = 2(4 + + ) при + = 0, 4 + + = 0, 2( ) при + = 0, 4 + + = 0, П.0, § 4, гл. I Полиномиальные решения уравнений P -типа В.Н. Горбузов 2 при + = 0, = 1 при + = 0, 4 + + = 0, b 0 при + = 0, 4 + + = 0, 11 = 4, m11 = 0, n11 = b11, l11 = 0;

4( + + + ) при + + + = 0, 12 = 4( + ) при + + + = 0, 2 при + + + = 0, b12 = 1 при + + + = 0, 12 = 3, m12 = 0, n12 = b12, l12 = 0;

2( + ) при + = 0, = 2( + 4 + ) при + = 0, + 4 + = 0, 2( ) при + = 0, + 4 + = 0, 3 при + = 0, = 2 при + = 0, + 4 + = 0, b 1 при + = 0, + 4 + = 0, 13 = 2, m13 = 0, n13 = b13, l13 = 0;

14 = 4, b14 = 3, 14 = 1, m14 = 0, n14 = 3, l14 = 0;

15 = 2, b15 = 3, 15 = 0, m15 = 0, n15 = 3, l15 = 0.

Поскольку при = 0 размерности 9 = 6 10 = 5 0 = 3 = 6 = 11 = 4 1 = 4 = = 7 = 12 = 3 2 = 5 = 8 = 13 = 2 14 = 1 15 = 0, В.Н. Горбузов Полиномиальные решения уравнений P -типа П.0, § 4, гл. I то, по следствию 1.2.2, если число m l = 2 является степенью полиномиального решения уравнения (9), то mi : i = 0, 15, i = 9 = 1.

m max Стало быть, полиномиальных решений (1.2.1) степени m у дифференциального уравнения (9) при = 0 нет.

При = 0 размерности 0 = 3 = 6 = 11 = 4 1 = 4 = 7 = 12 = 3, 3 2 = 5 = 8 = 13 = 2 14 = 1 15 = и mi : i = 1, 15, i {3, 6, 9, 10, 11} = 1.

max / По утверждению б) теоремы 2.2.2, если число m l = 2 яв ляется степенью полиномиального решения уравнения (9), то оно будет корнем уравнения m2 2m + 2 = 0.

При m = 1 рассмотрим укороченное уравнение, которое по лучаем из (9) отбрасыванием первых трёх членов.

Поскольку S3 (1) = S4 (1) = S6 (1) = S7 (1) = 6 Si (1), где i = 5, 15, i = 6, i = 7, то, по лемме 1.2.1, число m = 1 будет степенью полиномов-решений уравнения (9).

При m = 0 рассматрим укороченное уравнение, которое по лучаем из (9) отбрасыванием первых девяти членов.

Если = 0, то S14 (0) = S15 (0) = 3 Si (0), i = 9, 13.

По лемме 1.2.1, число m = 0 будет степенью полиномиаль ного решения уравнения (9).

Если = 0, || + || + || = 0, то в силу утверждения в) теоремы 1.2.2, если число m = 0 является степенью полиноми ального решения уравнения (9), то mi : i = 9, 12.

m min П.0, § 4, гл. I Полиномиальные решения уравнений P -типа В.Н. Горбузов Это возможно в двух случаях, когда = 0, + = 0 и когда = 0, + = 0, = 0.

Например, если = 0, = 0, или = = 0, + = 0, или = = 0, + = 0, = 0, то уравнение Пенлеве (9) имеет решение w : z 1, z C;

если = 0, =, то — решение w : z z, z C;

если = 0, = =, = 2, то — решение w : z 2z, z C, [96;

100].

Теорема 7. Алгебраическое дифференциальное уравнение w2 w w w4 w 1 w (w ) a1 w(w )2 w + 4 1 a + a1 w 3 w w + (10) + aw5 w )4 w2 (w ) b1 (w + b1 b + w4 (w )2 + (c d)w6 w + dw8 = 0, + bc4 где — целое число отличное от нуля;

a, b, c, d, a 1 и b суть некоторые постоянные, может иметь полиномиаль ные решения:

а) степени m = 2 при a = c = d = 0, b = 4 1 = a1 + 2b1, a1 + b1 = 0, или при a = 0, c + d = 0, a + 2b = 8 1 ;

б) степени m 3 при выполнении хотя бы одного из условий:

В.Н. Горбузов Полиномиальные решения уравнений P -типа П.0, § 4, гл. I (11) a = c = d = 0, b = 4 1, (b + a1 )(b1 b) = 0;

(12) a = c = d = 0, b = b1 = 4 1 = a1 ;

(13) a = c = d = 0, b = a1 = 4 1 = b1 ;

(14) c = d = 0, a b 4 1 = 0;

причём при выполнении условий (11), (12), (13) число m долж но быть корнем уравнения (a1 + b1 1)m2 (b + a1 3)m 2 = 0, (15) а при выполнении условий (14) — корнем уравнения (16) a+b4 1 m a = 0.

Также существуют тривиальное решение, тривиальные полиномиальные решения нулевой степени при d = 0, первой степени при b = b1 = c = d = 1 = 0 и второй степени при a = a1 = b = b1 = c = d = 1 = 0.

Доказательство. В наличии тривиального и тривиальных по линомиальных решений у дифференциального уравнения (10) убеждаемся непосредственно подстановкой.

Для отыскания нетривиальных полиномиальных решений (1.2.1) определяем характеристики членов уравнения (10):

0 = 1, b0 = 0, 0 = 4, m0 = 4, n0 = 4, l0 = 3;

1 = 1, b1 = 0, 1 = 5, m1 = 3, n1 = 3, l1 = 3;

П.0, § 4, гл. I Полиномиальные решения уравнений P -типа В.Н. Горбузов 2 = 1, b2 = 0, 2 = 4, m2 = 4, n2 = 4, l2 = 2;

3 = a1, b3 = 0, 3 = 4, m3 = 4, n3 = 4, l3 = 2;

4 = 4 1 a+a1, b4 = 0, 4 = 5, m4 = 3, n4 = 3, l4 = 2;

5 = a, b5 = 0, 5 = 6, m5 = 2, n5 = 2, l5 = 2;

6 = b1, b6 = 0, 6 = 4, m6 = 4, n6 = 4, l6 = 1;

7 = b1 b, b7 = 0, 7 = 5, m7 = 3, n7 = 3, l7 = 1;

8 = b c 4 1, b8 = 0, 8 = 6, m8 = 2, n8 = 2, l8 = 1;

9 = c d, b9 = 0, 9 = 7 m9 = 1, n9 = 1, l9 = 1;

10 = d, b10 = 0, 10 = 8, m10 = 0, n10 = 0, l10 = 0.

В силу следствия 1.2.2 при выполнении одного из условий:

1) d = 0;

2) d = 0, c = 0;

3) a = c = d = 0, b = 4 1 ;

4) a = 0, c = d = b 4 1 = 0;

5) a = c = d = b 4 1 = b + a 1 = b1 b = дифференциальное уравнение (10) не имеет полиномиальных ре шений степени m 3.

Пусть c = d = 0, a b 4 1 = 0. Тогда В.Н. Горбузов Полиномиальные решения уравнений P -типа П.0, § 4, гл. I 5 = 8 = 6 1 = 4 = 7 = 5, 5 0 = 2 = 3 = 6 = 4, n5 = n8 = 2.

По утверждению б) теоремы 2.2.2, если уравнение (10) имеет полиномиальное решение степени m 3, то m является корнем уравнения (16).

Пусть a=c =d =b4 1 = 0, (b + a1 ) b1 b = 0.

Тогда 1 = 4 = 7 = 5 0 = 2 = 3 = 6 = 4, n1 = n4 = n7 = 3.

По утверждению б) теоремы 2.2.2, если уравнение (10) имеет полиномиальное решение степени m 3, то m является корнем уравнения (15).

Пусть a=c =d=b4 1 = b + a1 = 0, b1 b = 0.

Тогда 1 = 7 = 5 0 = 2 = 3 = 6 = 4, n1 = n7 = 3.

По утверждению б) теоремы 2.2.2, если уравнение (10) имеет полиномиальное решение степени m 3, то m является корнем уравнения (15).

Пусть a=c =d =b4 1 = b1 b = 0, b + a1 = 0.

Тогда 1 = 4 = 5 0 = 2 = 3 = 6 = 4, n1 = n4 = 3.

По утверждению б) теоремы 2.2.2, если уравнение (10) имеет полиномиальное решение степени m 3, то m является корнем уравнения (15).

П.0, § 4, гл. I Полиномиальные решения уравнений P -типа В.Н. Горбузов При m = 2 рассматрим укороченное уравнение, которое по лучаем из уравнения (10) отбрасыванием первых двух членов.

На основании следствия 1.2.2 устанавливаем, что при выпол нении хотя бы одного из условий 1) d = 0;

2) d = 0, c = 0;

3)a = c = d = 0, b 4 1 = 0;

4) c = d = b 4 1 = 0, a = 0;

5) a = c = d = b 4 1 = b + a1 = 0, b1 b = 0;

6) a = c = d = b 4 1 = b1 b = 0, b + a1 = дифференциальное уравнение (10) полиномиальных решений сте пени m = 2 не имеет.

Если c = d = 0, a + 2b = 8 1,a= или a = c = d = 0, b = 4 1 = a1 + 2b1, a1 + b1 = 0, то в силу утверждения б) теоремы 2.2.2 уравнение (10) имеет по линомиальные решения степени m = 2.

На основании утверждения а) теоремы 2.2.2 при a =c=d =b 1 = b1 b = b + a1 = 0, b = дифференциальное уравнение (10) полиномиальных решений сте пени m = 2 не имеет.

Итак, при m = 2 все логические возможности рассмотрены.

В.Н. Горбузов Полиномиальные решения уравнений P -типа П.0, § 4, гл. I При m = 1 рассмотрим укороченное уравнение b1 (w )4 + b b1 w2 (w )3 b c 4 1 w4 (w )2 + + (d c)w6 w + dw8 = 0, у которого (а значит, и у уравнения (10)) в силу следствия 1.2. полиномиальных решений (отличных от тривиальных) первой сте пени нет.

Уравнение (10) нетривиальных полиномиальных решений ну левой степени не имеет.

Заметим, что уравнение (10) выделено в работах [104;

107;

108;

109] как уравнение третьего порядка, доставляющее уравне ния, решения которых свободны от подвижных критических осо бых точек. Это уравнение P -типа третьего порядка.

Например, при a = b = c = a1 + 2b1 = 0, = 1, a1 + b1 = уравнение (10) имеет решение w : z C1 z 2 + C2 z + C3, z C, где 4C1 C3 C2 = 0.

При a1 = b1 = c = d = a + 2b = 0, = 1, a = 0 уравнение (10) имеет решение w : z Cz 2, z C.

При a = b = c = d = b1 = 0, = 1, a = уравнение (10) имеет решение w : z Cz 3, z C.

При a = b = c = d = a1 = 0, = 1 уравнение (10) имеет решение w : z Cz 4,, z C.

Здесь, как и ранее, C — произвольная постоянная.

Г л а в а II ПОСТРОЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В ЦЕЛОМ Для алгебраических дифференциальных уравнений специаль ных видов, начиная с исследований E.D. Rainville [189], значитель ное распространение получил метод построения в целом полино миальных решений конкретной структуры. В работах M. Bhargava, H. Kaufman [152;

153] впервые была сделана попытка увязать на личие полиномиального решения выбранной структуры со свой ствами его степени, дальнейшее распространение данная теория нашла в [74;

82;

129;

130] с последующим обощением П.Р. Лазо вым и Д. Димитровски на более общий класс в [76]. Однако все эти исследования не были объеденены одним подходом.

Укажем одно свойство степени полинома, определённого спе циальным образом.

Пусть полиномы A : C C и B : C C такие, что deg A(z) deg B(z).

Полином A(z) (1) (z) =, B(z) где — некотоpое натуpальное число, символ [ ] означает поли номиальную часть pазложения по убывающим степеням z. Поли ном Q : C C найдём из тождества (2) A(z) = B(z) · (z) Q(z), z C.

Лемма 1. Степень полинома Q, опpеделяемого тожде ством (2), такая, что В.Н. Горбузов Построение полиномиальных решений в целом П 0, §0, гл. II (3) deg Q(z) deg B(z) + ( 1) deg (z).

Доказательство. Из (1) с учётом тождества (2) получаем:

Q(z) Q(z) = (z) 1 + (z) + (z) = = B(z) (z) B(z) Q2 (z) 1 Q(z) = (z) 1 + · + · +... = 2! 2 B 2 (z) 2 (z) B(z) (z) = (z) + R(z), где полином Q2 (z) 1 Q(z) R(z) = · + · +....

2! 2 B 2 (z) 21 (z) B(z) 1 (z) Если deg Q(z) deg B(z) + ( 1) deg (z), то R — полином, не pавный тождественно нулю, и получаем пpо тивоpечие (z) = (z) + R(z), доказывающее утвеpждение леммы 1.

В некотоpых случаях можно указать достаточные условия на личия максимального числа полиномиальных pешений опpеделён ной стpуктуpы. Для этих исследований необходима Лемма 2. Пусть 2 = cos + 1 sin.

Тогда П 0, §0, гл. II Построение полиномиальных решений в целом В.Н. Горбузов j = 0, (4) j= если — целое число, отличное от нуля и не кpатное ;

j =, (5) j= если — целое число, кpатное.

Доказательство1. Вычислим сумму 2 2 j j = cos + 1 sin = j=1 j= 2 = cos j + 1 sin j.

j=1 j= Пусть не кpатно, т.е. не является целым числом. Тогда 2 cos j = 2 sin · 2 sin cos j.

j=1 j= Так как t 1 2 sin cos(tj) = sin j + t sin j t= 2 2 j=1 j= 1 1 +1 = sin t + sin + t = 2 cos t sin t, 2 2 2 В [128;

103, c. 41 – 42] иное доказательство.

В.Н. Горбузов Построение полиномиальных решений в целом П 0, §0, гл. II а sin t = sin = 0, то cos j = 0.

j= Аналогично, 2 sin j = 2 sin · 2 sin sin j.

j=1 j= Так как t 1 2 sin sin tj = cos j t cos j + t= 2 2 j=1 j= 1 1 +1 = cos t cos + t = 2 sin t sin t, 2 2 2 а sin t = sin = 0, то sin j = 0.

j= Равенство (4) доказано.

Пусть кратно, т.е. существует такое натуральное число S, что = S. Тогда cos j = cos 2Sj =, j=1 j= sin j= sin 2Sj = 0.

j=1 j= П.0, § 1, гл. II Структурный метод построения полиномиальных решений В.Н. Горбузов Равенство (5) доказано.

Комплексное число является одним из значений 1, ибо = cos 2 + 1 sin 2. Остальные 1 значений корня можно получить, возводя в степень с показателями 2, 3,...,.

Обозначим t корни уравнения = 1 и будем считать, что 1 =, 2 = 2,..., =. (6) § 1. Структурный метод построения полиномиальных решений Рассмотрим алгебpаическое диффеpенциальное уpавнение T Ai (z)i z, w, w, w,..., w(i ) = 0, (1) i= где Ai и i (i = 0, T ) — полиномы своих аpгументов.

Лемма 1. Если число m является степенью полиномиаль ного pешения (1.2.1.1) алгебpаического диффеpенциального уpавнения (1.1.1.1), то это уpавнение пpиводится к виду (1), для котоpого спpаведливы соотношения a + (m) aj + j (m) = ar + r (m), (2) = 0, T, = j, = r, r = j, r, j {0, 1,..., T }, где w — полином (1.2.1.1), i (m) = deg i (z, w(z), w (z),..., w (i ) (z)), ai = deg Ai (z), i = 0, T.

Доказательство. Если подставить полином w степени m в уpавнение (1.1.1.1), то получим тождество, у котоpого должно быть, в силу леммы 1.2.1.1, не менее двух членов с одинаковыми наибольшими степенями.

В.Н. Горбузов Структурный метод построения полиномиальных решений П.0, § 1, гл. II Если таких членов два, то лемма доказана.

Если же таких членов больше двух, то их сгpуппиpуем.

Поскольку пpи сложении полиномов одинаковой степени сте пень суммы не возpастает, то m является степенью полиномиаль ного pешения (1.2.1.1) при условии (2).

Без огpаничения общности pассуждений будем считать, что в уpавнении (1) два члена с номеpами r и j имеют вид k z, w, w, w,..., w(k ) = (3) = Cl z, w, w,..., w() D z, w, w,..., w(k ), k = r, k = j, k где C и Dk — полиномы своих аpгументов;

l, и k — целые неотpицательные числа, k = max{, k }, N, k = r, k = j.

Будем считать, что deg Ar (z) = ar deg Aj (z) = aj.

Полином Ar (z) (4) (z) =, Aj (z) где — натуpальное число из (3), а символ [ ] означает полино миальную часть pазложения по убывающим степеням z.

Полином Q опpеделим по пpавилу (2.0.0) из тождества (5) Ar (z) = Aj (z) (z) Q(z), z C.

Заменяя в дифференциальном уpавнении (1) коэффициент Ar, используя его выражение через полиномы A j, и Q по фор муле (5), получаем A z, w, w,..., w() = Aj (z)Cl z, w, w, w,..., w() · (6),..., w(j ),..., w(r ) D (z)D · z, w, w z, w, w, r j где выражение П.0, § 1, гл. II Структурный метод построения полиномиальных решений В.Н. Горбузов () A(z, w, w,..., w )= = Q(z)r z, w, w,..., w(r ) B z, w, w,..., w() при B z, w, w,..., w() = T A (z) z, w, w,..., w( ).

= = 0, = r, = j Введём условные обозначения:

A(z;

w(z)) = A z, w(z), w (z),..., w () (z), C(z;

w(z)) = C z, w(z), w (z),..., w () (z), Dk (z;

w(z)) = Dk z, w(z), w (z),..., w (k ) (z), k = r, k = j, где w — полином степени m, а также:

A(m) = deg A(z;

w(z)), C(m) = deg C(z;

w(z)), Dk (m) = deg Dk (z;

w(z)), k = r, k = j, = deg (z).

При этом в силу (4) ar a j =.

Теорема 1. Если полином w степени m, удовлетворяю щей соотношениям (2), является полиномиальным решением алгебраического дифференциального уравнения (1) при (3), то полином w является решением уравнения C z, w, w,..., w() = 0 (7) или решением хотя бы одного из уравнений В.Н. Горбузов Структурный метод построения полиномиальных решений П.0, § 1, гл. II,..., w(j ) Dj z, w, w (8) t (z)Dr z, w, w,..., w(r ) = t P(z), t = 1,, где t — коpни уpавнения = 1, P — некотоpый полином степени f, опpеделяемой соотношением (9) f = A(m) aj lC(m) ( 1)( Dr (m)), причём, если f 0, то P(z) 0.

Полином w, являющийся решением уравнения (7), будет решением уравнения (1) при (3), если и только если (10) B(z;

w(z)) = 0, z C.

При f 0 полином w, являющийся решением хотя бы одного из уравнений (8), будет решением уравнения (1) при (3) тогда и только тогда, когда (11) A(z;

w(z)) = 0, z C.

Доказательство. Поскольку ar + r (m) = aj + j (m), то, учитывая задание (3), ar + lC(m) + Dr (m) = aj + lC(m) + Dj (m) или (12) Dj (m) = Dr (m) +.

Из соотношений (2) следует, что deg B(z;

w(z)) aj + j (m) = aj + lC(m) + Dj (m).

По лемме 1.0.0, для полиномов, связанных соотношениями (4) и (5), выполняется неравенство (3.0.0), которое в принятых обо значениях имеет вид deg Q(z) aj + ( 1).

П.0, § 1, гл. II Структурный метод построения полиномиальных решений В.Н. Горбузов Тогда с учётом равенства (12) степень deg(Q(z)r (z;

w(z))) aj + ( 1) + lC(m) + Dr (m) = = aj + lC(m) + ( + Dr (m)) = = (aj + lC(m) + Dj (m)) aj + lC(m) + Dj (m).

Следовательно, (13) A(m) aj + lC(m) + Dj (m).

Полином w степени m, удовлетворяющий условиям (2), бу дет решением уравнения (1) при (3) тогда и только тогда, когда A(z;

w(z)) Aj (z)Cl (z;

w(z))· (14) · D (z;

w(z)) (z)D (z;

w(z)) = 0, z C.

r j Относительно C(z;

w(z)) представляются возможности:

(15) C(z;

w(z)) или (16) C(z;

w(z)) 0.

При (15) для выполнения тождества (14) необходимо и доста точно, чтобы выполнялось (10).

Пусть имеет место соотношение (16). Тогда почленно разде лим тождество (14) на полином Aj (z)Cl (z;

w(z)) и будем иметь (17) G(z;

w(z)) = D (z;

w(z)) (z) D (z;

w(z)), z C, j r где A(z;

w(z)) G(z;

w(z)) = Aj (z)Cl (z;

w(z)) и является полиномом комплексного переменного z, так как в правой части тождества (17) расположен некоторый полином.

В.Н. Горбузов Структурный метод построения полиномиальных решений П.0, § 1, гл. II Кроме того, степень G(m) = deg G(z;

w(z)) определяется по формуле (18) G(m) = A(m) aj lC(m).

Разрешая (17) относительно Dj (z;

w(z)), получаем (z)D (z;

w(z)) + G(z;

w(z)) Dj (z;

w(z)) = = r G(z;

w(z)) = (z)Dr (z;

w(z)) 1 + = (z)D (z;

w(z)) r 1 G(z;

w(z)) = (z)Dr (z;

w(z)) + · 1 + (z)Dr (z;

w(z)) G2 (z;

w(z)) + · +... = (z)Dr (z;

w(z))+P(z), 2 21 (z)D21 (z;

w(z)) 2! r где (1)k Gk (z;

w(z)) (19) P(z) = · ((z)Dr (z;

w(z)))k k! k k= и является полиномом степени f = deg P(z);

(a) k — символ Похгаммера.

Определим f. Степень полиномиальной части k-го члена ряда из (19) определяется по формуле (20) kG(m) (k 1)( + Dr (m)).

Учитывая (18), находим, что kG(m) (k 1)( + Dr (m)) = = k(G(m) aj lC(m) ( + Dr (m))) + + Dr (m).

П.0, § 1, гл. II Структурный метод построения полиномиальных решений В.Н. Горбузов Поскольку уравнение (1) рассматривается при условии (2), то есть, когда выполняются соотношения (12) и (13), то на основании последнего равенства получаем, что с ростом номера число (20) убывает.

Стало быть, степень f полинома P(z) определяется соотно шением (9).

Из задания (19) следует, что при f 0 полином P(z) 0.

Таким образом, доказано, что, для того чтобы полином w степени m, удовлетворяющей соотношениям (2), был решением уравнения (1) при (3) и условии (16), необходимо, чтобы он был решением хотя бы одного из уравнений (8).

В случае P(z) 0 из тождества (14) и равенств (8) получаем, что выполнение тождества (11) является необходимым и достаточ ным условием наличия полиномиального решения w степени m, удовлетворяющей условиям (2), у дифференциального уравнения (1) при (3).

Обратим внимание на то, что доказательство теоремы 1 ве лось при условии (2), а утверждения второго и третьего абзаца теоремы сформулированы без учёта таких условий. На основании аналогичных рассуждений без учёта (2) можно убедиться в спра ведливости утверждений в общем случае, как это и было сформу лировано.

Таким образом, полиномиальные решения (1.2.1.1) алгебраи ческого дифференциального уравнения (1.1.1.1) могут быть най дены последовательным выполнением следующих шагов.

1. Приведение уравнения (1.1.1.1) к виду (1), для которого справедливы соотношения (2), то есть, к уравнению, у которого ровно две составляющие имеют одинаковые наибольшие степени при подстановке полинома w : z w(z), z C.

2. Нахождение семейства (структуры) полиномов степени m, удовлетворяющей соотношениям (2), на основании уравнений (7) и (8) теоремы 1.

3. Выделение из всего множества полиномов полученной структуры тех, которые являются решениями уравнения (1.1.1.1).

Приведение уравнения (1.1.1.1) к виду (1) при (2) может быть осуществлено произвольной группировкой членов уравнения (1.1.1.1), лишь бы только в результате выполнялось условие (2).

В некоторых случаях целесообразно приводить дифференци альное уравнение (1.1.1.1) к специальным видам, для которых тео В.Н. Горбузов Структурный метод построения полиномиальных решений П.0, § 1, гл. II рема 1 позволяет получить достаточно полную информацию о по линомиальных решениях. Укажем некоторые классы таких диф ференциальных уравнений.

Если C z, w, w,..., w() = 1, то уравнение (1) может быть записано в виде B z, w, w,..., w() + Ar (z)D z, w, w,..., w(r ) + r (21) + Aj (z)D z, w, w,..., w(j ) = 0.

j Тогда, как следствие теоремы 1, справедлива Теорема 2. Если полином w степени m такой, что (22) f (m) ar + Dr (m) = aj + Dj (m), где f (m) = deg B(z;

w(z)), является решением уравнения (21), то этот полином будет решением хотя бы одного из уравнений (8), где P — некоторый полином степени (23) f = A(m) aj ( 1)Dj (m), причём, если f 0, то P(z) 0.

Если f 0, то полином w, являющийся решением хотя бы одного из уравнений (8), будет решением уравнения (21) тогда и только тогда, когда имеет место тождество (11).

Пример 1. Рассмотрим уравнение 2zw3 w + zw4 w (w )3 + 3w2 (w )2 3w4 w + (24) + w6 z 12 w3 + w + 64z 9 z 4 = 0.

Поскольку S0 (m) = 4m2, D(S0 ) = N\{1, 2};

S1 (m) = 5m1, D(S1 ) = N\{1};

S2 (m) = 3m 3, D(S2 ) = N;

S3 (m) = 4m 2, D(S3 ) = N;

Условие C(z, w, w,..., w() ) = 1 соответствует тому, что l = 0.

П.0, § 1, гл. II Структурный метод построения полиномиальных решений В.Н. Горбузов S4 (m) = 5m 1, D(S4 ) = N;

S5 (m) = 6m, D(S5 ) = N0 ;

S6 (m) = 3m + 12, D(S6 ) = N0 ;

S7 (m) = m, D(S7 ) = N0 ;

S8 (m) = 9, D(S8 ) = N0, то в силу леммы 1.2.1.1 только число m = 4 может быть степенью по линомиальных решений уравнения (24).

Группировкой членов уравнение (24) приводим к виду 2zw3 w + zw4 w + w + 64z 9 z 4 z 12 w3 + (w2 w )3 = 0, (24А) соответствующему (21) при Ar : z z 12, Aj : z 1, z C, = 3.

Так как f (4) = 19, ar = 12, aj = 0, Dr (4) = 4, Dj (4) = 8, то для уравнения (24А) выполняется условие (22), а значит, можно ис пользовать теорему 2.

По формулам (4) и (5) находим полиномы : z z 4, z C, и Q : z 0, z C.

Тогда A(4) = f (4) = 19, и по формуле (23) находим, что f = 3.

Уравнения (8) имеют вид w2 w t z 4 w = t P3 (z), t = 1, 3, полиномиальными решениями четвёртой степени которых являются w : z t z 4, z C, t = 1, 3.

Непосредственно подстановкой устанавливаем, что только w : z z 4, z C, является полиномиальным решением уравнения (24).

Если Dr z, w, w,..., w(r ) = 1, то уравнение (3) может быть записано в виде В.Н. Горбузов Структурный метод построения полиномиальных решений П.0, § 1, гл. II,..., w(r ),..., w() + Cl B z, w, w z, w, w Ar (z) + (25),..., w(j ) + Aj (z)D z, w, w = 0.

j Тогда, как следствие теоремы 1, справедлива Теорема 3. Если полином w степени m такой, что (26) f (m) ar + lC(m), aj = ar Dj (m), является решением уравнения (25), то этот полином бу дет решением уравнения (7) или решением хотя бы одного из уравнений Dj z, w, w,..., w(j ) = t (z) + t P(z), t = 1,, (27) где P — некоторый полином степени (28) f = A(m) aj lC(m) ( 1)Dj (m), причём, если f 0, то P(z) 0.

Полином w, являющийся решением уравнения (7), будет решением уравнения (25), если и только если выполняется тождество (10).

Если f 0, то полином w, являющийся решением хотя бы одного из уравнений (27), будет решением уравнения (25) тогда и только тогда, когда имеет место тождество (11).

Пример 2. Группировкой членов уравнение (24) приводим к виду zw4 w (w )3 + 3w2 (w )2 + w + 64z 9 z 4 + (24Б) + w3 (z 12 + ( 2zw 3ww + w3 )) = 0, соответствующему (25) при Ar : z z 12, Aj : z 1, z C, l = 3, = 1.

Поскольку f (4) = 19, ar = 12, aj = 0, C(4) = 4, Dj (4) = 12, то для уравнения (24Б) выполняются условия (26), а значит, можно ис пользовать теорему 3.

Прежде всего заметим, что f = 7.

П.0, § 1, гл. II Структурный метод построения полиномиальных решений В.Н. Горбузов Уравнение (7) имеет вид w = 0 и у него нет полиномиальных реше ний четвёртой степени.

Уравнения (27) для (24Б) имеют вид 2zw 3ww + w3 = z 12 + P7 (z), полиномиальными решениями степени m = 4 которого являются w : z t z 4, z C, t = 1, 3.

Непосредственно подстановкой устанавливаем, что только полином w : z z 4, z C, является решением уравнения (24Б).

Пример 3. Уравнение z 26 (w(IV ) )5 + 10zw6 (w )4 40z 7(w )2 + 20zw (29) 80zw9 2z 2 + 64z + w ( z(z 29 1) + (w3 )5 w ) = относиться к классу уравнений (25), где Ar : z z(z 29 1), Aj : z 1, z C, l = 1, = 5.

В силу леммы 1.2.1.1 только число m = 2 может быть степенью полиномиальных решений дифференциального уравнения (29).

Поскольку f (2) = 25, ar = 30, aj = 0, C(2) = 1, Dj (2) = 6, то для уравнения (29) выполняются соотношения (26), и, стало быть, мо жем использовать теорему 3.

По формуле (28) находим, что f = 0, так как : z z 6, Q : z z, z C, A(2) = 25.

Уравнение (7) имеет вид w = 0 и у него нет полиномиальных ре шений второй степени.

Уравнения (27) для (29) имеют вид w3 w = t z 6 + t P0 (z), t = 1, 5, В.Н. Горбузов Структурный метод построения полиномиальных решений П.0, § 1, гл. II полиномиальными решениями степени m = 2 которых являются w : z z 2, z C, = 1, 5.

Непосредственно подстановкой устанавливаем, что только w : z z 2, z C, является полиномиальным решением уравнения (29).

Если Dr z, w, w,..., w(r ) = 1, C z, w, w,..., w() = Dj z, w, w,..., w(j ), то уравнение (1) при (3) запишем в виде B z, w, w,..., w() + Ar (z)Cl z, w, w,..., w() + (30) l+,..., w() + Aj (z)C z, w, w = 0.

Как следствие теоремы 1 справедлива Теорема 4. Полиномильное решение w степени m, удо влетворяющей условиям (31) f (m) ar + lC(m), aj = ar C(m), уравнения (30), будет решением уравнения (7) или решением хотя бы одного из уравнений C(z, w, w,..., w() ) = t (z) + t P(z), t = 1,, (32) где P — некоторый полином степени (33) f = A(m) aj (l + 1)C(m), причём, если f 0, то P(z) 0.

Полином w, являющийся решением уравнения (7), будет решением уравнения (30), если и только если выполняется тождество (10).

Уравнение (30) является частным видом уравнения (25).

П.0, § 1, гл. II Структурный метод построения полиномиальных решений В.Н. Горбузов Если f 0, то полином w, являющийся решением хотя бы одного из уравнений (32), будет решением уравнения (30) тогда и только тогда, когда имеет место тождество (11).

Пример 4. Уравнение zw(V I) w(V ) + zw + (w )4 + z 4 (w )2 5w (34) 1296z 20 z 2 (z 22 + 36)(w 2)2 + (w 2)6 = 0, относится к классу (30), где Ar : z z 2 (z 22 + 36), Aj : z 1, z C, l = 2, = 4.

На основании леммы 1.2.1.1 устанавливаем, что степенью полино миального решения уравнения (34) может быть только число m = 6.

Теорема 4 применима к уравнению (34), так как f (6) 20, ar = 24, aj = 0, C(6) = 6.

По формуле (33) устанавливаем, что f 10, так как : z z 6, Q : z 36z 2, z C, A 20.

Уравнение (7) имеет вид w 2 = 0, и у него нет полиномиальных решений шестой степени.

Уравнения (32) имеют вид w 2 = t z 6 + 2, t = 1, 4, для которых справедливы тождества (11), а значит, полиномиальными решениями уравнения (34) являются w1 : z z 6 + 2, z C;

w2 : z z 6 + 2, z C;

1 z 6 + 2, z C;

1 z 6 + 2, z C.

w3 : z w4 : z Если Dr (z, w, w,..., w(r ) ) = 1, Dj (z, w, w,..., w(j ) ) = w(), В.Н. Горбузов Структурный метод построения полиномиальных решений П.0, § 1, гл. II виде то уравнение (1) при (3) может быть записано в B z, w, w,..., w() + (35) Cl z, w, w,..., w() Ar (z) + Aj (z) w() = 0.

Как следствие теоремы 1 справедлива Теорема 5. Полиномиальное решение w степени m, удо влетворяющей условиям (36) f (m) ar + lC(m), aj = ar (m ), уравнения (35) будет решением уравнения (7) или имеет структуру (37) w = t J (z) + J(z), t = 1,, где J — оператор такой, что z k+ J zk =, (k + 1) (k + 1) есть символ Похгаммера, J — некоторый полином степени s, определяемой соотношением (38) s = f +, при f 0, s 1 при f 0, число f находится по формуле (39) f = A(m) aj lC(m) ( 1).

Полином w, являющийся решением уравнения (7), будет решением уравнения (35), если и только если выполняется тождество (10).

Если f 0, то полином w вида (37), где J(z) — неко торый полином степени s 1, будет решением диффе ренциального уравнения (35) тогда и только тогда, когда имеет место тождество (11).

Уравнение (35) является частным случаем уравнения (25).

П.0, § 1, гл. II Структурный метод построения полиномиальных решений В.Н. Горбузов Пример 5. Уравнение (40) w (z + 2)w + ww + (w )s wk ( (z + 2)4 + w4 ) = при целых неотрицательных числах s и k принадлежит классу (35), где Ar : z (z + 2)4, Aj : z 1, z C, l = 1, = 0, = 4.

На основании леммы 1.2.1.1 устанавливаем, что уравнение (40) мо жет иметь полиномиальные решения только первой степени.

Поскольку f (1) = 1, ar = 4, aj = 0, C(1) = k, то можно использовать теорему 5 при f (k + 2), так как : z z + 2, Q : z 0, z C, A(1) 1.

Уравнение (7) имеет вид wk (w )s = 0.

У него нет полиномиальных решений степени m = 1.

Структура (37) для уравнения (40) имеет вид (41) w : z t (z + 2), z C, t = 1, 4.

Тождества (11) имеют место для (41) лишь при t = 1, а значит, w : z z + 2, z C, является единственным нетривиальным полиномиальным решением уравнения (40).

Если C z, w, w,..., w() = w(), то уравнение (35) может быть записано в виде l+ l B z, w, w,..., w() + Ar (z) w() + Aj (z) w() = 0. (42) В.Н. Горбузов Структурный метод построения полиномиальных решений П.0, § 1, гл. II Как следствие теоремы 5 справедлива Теорема 6. Полиномиальные решения w степени m та кой, что (43) f (m) ar + l(m ), aj = ar (m ), алгебраического дифференциального уравнения (42) име ют структуру (37), где J — некоторый полином степени f, опредляемой соотношением (38), число f находится по формуле (44) f = A( + ) aj (l + 1).

Если f 0, то полином w вида (37), где J — некоторый 1, будет решением дифференци полином степени s ального уравнения (42) тогда и только тогда, когда имеет место тождество (11).

Пример 6. Группировкой членов уравнение (24) приводим к виду 2zw3 w + zw4 w (w )3 + 3w2 (w ) (24В) 3w4 w + w + 64z 9 z 4 z 12 w3 + w6 = 0, соответствующему (42) при Ar : z z 12, Aj : z 1, z C, l = 1, = 0, = 3.

Поскольку f (4) 19, ar = 12, aj = 0, то для уравнения (24В) при m = 4 выполняется соотношение (43), а значит, можно использовать теорему 6.

По формуле (44) находим, что f 1, так как : z z 4, Q : z 0, z C, A(4) = f (4) 19.

Структура (37) имеет вид (45) w : z t z 4, z C, t = 1, 3.

Поскольку тождество (11), построенное на основании уравнения (24В), выполняется при t = 1 в (45), то w : z z 4, z C, явля ется единственным полиномиальным решением уравнения (24).

П.0, § 2, гл. II Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры В.Н. Горбузов § 2. Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры Пусть полиномы wt имеют структуру (1) wt : z t (z), z C, t = 1,, где — полином комплексного переменного z, t — корни урав нения = 1, удовлетворяющие соотношению (6.0.0), — нату ральное число.

Укажем необходимые и достаточные условия того, чтобы все полиномы семейства (1) были решениями уравнения (1.1.1.1). С этой целью члены уравнения (1.1.1.1) в зависимости от их размер ности расположим так, что 0 = p + p, p0 = 0, 1, 0 1 N, 0 = p1 + p1, p1 = 1 + 1, 2, 1 + 1 2 N, 1 + (2)................................................

= ph1 + ph1, ph1 = h1 + 1, h, h = N, h1 + где pj (j = 0, h 1 ) — целые числа, h.

Все полиномы семейства (1) являются pешениями уpавнения (1.1.1.1) (пpи pасположении в нём членов по пpавилу (2)) тогда и только тогда, когда имеет место система тождеств h s k l k 0, t = 1,, (3) t Bµ (z) (z) =1 =1 +1 k= где 0 = 1.

В.Н. Горбузов Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры П.0, § 2, гл. II µt Умножим каждое из тождеств (3) на, t = 1,, соответ ственно. В pезультате последующего суммиpования получим h s µ t (l ) k k 0. (4) Bµ (z) (z) =1 t=1 =1 +1 k= Пусть µ =. Тогда в силу леммы 2.0.0 суммы t = 0, = 2, h, t= и непосpедственно из тождества (4) имеем 1 s (l ) k k Bµ (z) (z) 0.

=0 k= Последовательно полагая µ =, j = 2, h, всякий pаз бу j дем получать тождества, аналогичные последнему.

Таким обpазом, доказана Теорема 1. Для того чтобы все полиномы семейства (1) были pешениями уpавнения (1.1.1.1), необходимо и доста точно, чтобы полином был pешением системы уpавнений s (l ) k k (5) Bµ (z) w = 0, = 1, h, =1 +1 k= где и h опpеделяются из (2).

Заметим, что достаточность утвеpждения теоpемы в силу пpедставления (3) является вполне очевидным фактом.

Рассмотpим уpавнение Частный вид уравнения (6), исследованный в [77;

128].

П.0, § 2, гл. II Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры В.Н. Горбузов si H n (l ) () l ki ki (6) Ari (z) w = Bµl (z) w, i=0 k=1 l= где Ari и Bµ — полиномы комплексного пеpеменного z;

l k, i l k, и l — целые неотpицательные числа и i 0 0 1... n, n 2.

Решения уравнения (6) будем искать в виде wt : z t J S(z), z C, t = 1,, (7) где полином Bµr (z) (8) S(z) = Bµj (z) при = j r, r {0, 1,..., n 1}, j {1, 2,..., n}, j r.

Полином Q опpеделим по пpавилу (2.0.0) из тождества Bµr (z) = Bµ (z)S (z) Q(z), z C. (9) j Кpоме того, пpедположим, что pазмеpности членов, pасполо женных в левой части pавенства (6), связаны соотношениями (10) i = 0 + i, i = 0, H, где i — целые числа, т.е. pазность pазмеpностей кpатна.

Все полиномы семейства (7) являются pешениями уpавнения (6) тогда и только тогда, когда они обpащают это уpавнение в тож дества, котоpые в силу (9) и (10) имеют вид Вид (7) обоснован теоремами 5.0.1 и 6.0.1.

В [77;

128] для частных видов (6) требуется более сильное условие, чтобы 0 = 1 =... = H = 0.

В.Н. Горбузов Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры П.0, § 2, гл. II si H (l ) ki ki (J S(z)) t 0 Ari (z) i=0 k= (11) n l r r t l Bµ (z)S (z) t Q(z)S (z), t = 1,.

l l = 0, l = r, j µt Умножим каждое из тождеств (11) на, t = 1,, соответ ственно. В pезультате последующего суммиpования получаем si H (l ) (0 µ)t ki ki (J S(z)) Ari (z) t=1 i=0 k= (12) n (l µ)t (l µ)t r Bµl (z)S l (z) Q(z)S (z).

t=1 t= l = 0, l = r, j Рассмотpим в отдельности тpи логические возможности:

1) 0 = +, {0, 1,..., n}, = r, = j, = 1,, 1 n 2;

2) 0 = r + r ;

3) 0 = l + l, l = 0, n, где, r, l — целые числа.

Пусть 0 = +, {0, 1,..., n}, = r, r = j, = 1,, 1 n 2, Z.

Следуя правилу составления системы дифференциальных уравнений (5), будем последовательно полагать: µ = 0 ;

µ = l, l = 0, n, l = r, l = j, l =, = 1, ;

µ = r.

П.0, § 2, гл. II Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры В.Н. Горбузов Пусть µ = 0. Потребуем, чтобы (l 0 )t (r 0 )t = 0, = 0, t=1 t= где l = 0, n, l = r, l = j, l =, = 1,, 1 n 2, то есть, в силу леммы 2.0.0, чтобы 0 = p +, p = 0, n, p = j, p =, (13) = 1,, 1 n 2, где — целое, отличное от нуля число.

Тогда из тождества (12) получаем si H (l ) ki ki (14) Ari (z) (J S(z)) Bµ (z)S (z).

i=0 k=1 = Положим µ = l, l = 0, n, l = r, l = j, l =, = 1,, 1 n 2, и потребуем, чтобы (0 l )t (h l )t (r l )t = 0, = 0, = 0, t=1 t=1 t= где l = 0, n, l = r, l = j, l =, h = 0, n, h = r, h = j, n 2, то есть, в силу леммы h =, h = l, = 1,, 2.0.0, чтобы 0 = l + 1, h l = 2, r l = 3, l = 0, n, (15) l {r, j, }, h = 0, n, h {r, j,, l}, = 1,, / / n 2, В.Н. Горбузов Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры П.0, § 2, гл. II где 1, 2, 3 — целые, отличные от нуля числа.

Тогда из тождества (12) получаем Bµ (z) 0, l = 0, n, l = r, l = j, l =, l = 1,, 1 n 2.

Положим µ = r и потребуем, чтобы (0 r )t (l r )t = 0, = 0, t=1 t= где l = 0, n, l = r, l = j, l =, = 1,, 1 n 2, то есть, в силу леммы 2.0.0, чтобы 0 = r + 1, l r = 2, (16) l = 0, n, l = r, l = j, l =, = 1,, 1 n 2, где 1, 2 — целые, отличные от нуля числа.

Тогда из тождества (12) получаем, что Q(z) 0.

Объединим соотношения (13), (15) и (16):

0 = +, 0 = p + 1, h l = 2, = j r, {0, 1,..., n}, = r, = j, = 1,, 1 n 2, (17) l = 0, n, l = r, l = j, l =, h = 0, n, h = j, h = l, h =, p = 0, n, p = j, p =, где 1, 2, — целые числа.

Таким образом, доказана Теорема 2. Для того чтобы все полиномы семейства (7) являлись решениями уравнения (6), достаточно, а при огра ничениях (17) и необходимо, чтобы уравнение (6) имело вид П.0, § 2, гл. II Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры В.Н. Горбузов si H (l ) ki ki Bµ (z) w() Ari (z) w = + i=0 k=1 = (18) r j w() w() +Bµr (z) + Bµj (z), где полиномы Bµr и Bµj связаны тождеством (19) Bµr (z) = Bµj (z)S (z), z C, в котором полином S такой, что J S является решением дифференциального уравнения si H (l ) ki ki Bµ (z) w() (20) Ari (z) w =.

i=0 k=1 = Достаточные условия теоремы 2 не требуют выполнения огра ничений (17).

Действительно, то, что выполняется соотношение (19), озна чает,что полиномы (7) являются решениями уравнения r j Bµr (z) w() + Bµj (z) w() (21) = 0.

Из (20) следует тождество (14), умножив которое на t 0, по лучим, что полиномы (7) — решения уравнения (20).

Сложив равенства (20) и (21), получим, что все полиномы се мейства (7) являются решениями уравнения (18).

Пример 1. Рассмотрим уравнение (22) z 2 ww w4 (w )4 + z 6 (w )2 = z 4 w + 2w2 w3 + 4w4 16w6, которое принадлежит классу уравнений (18), где = 0, r = 1, j = 3.

При этом = 2, S : z z 2, Q : z 0, z C, 0 = 2.

В.Н. Горбузов Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры П.0, § 2, гл. II Полиномы Bµr : z z 4, z C, и Bµj : z 1, z C, связаны тождеством (19).

Уравнение (20) в данном случае имеет вид z 2 ww w4 (w )4 + z 6 (w )2 = 2w2 + 4w4 16w6, решением которого является полином w : z z 2, z C.

В силу теоремы 2 полиномы w1 : z z 2, z C, и w2 : z z 2, z C, являются решениями уравнения (22).

Пусть 0 = r + r, где r — целое число.

Следуя правилу составления системы дифференциальных уравнений (5), будем последовательно полагать, что µ = 0 ;

µ = l, l = 0, n, l = r, l = j.

На основании рассуждений, аналогичных приведённым при доказательстве теоремы 2, заключаем, что имеет место Теорема 3. Для того чтобы все полиномы семейства (7) являлись решениями уравнения (6), достаточно, а при огра ничениях 0 = r + r, 0 = l + 1, h l = 2, = j r, l, h = 0, n, l = r, l = j, h = j, h = l, r Z, 1, 2 Z\{0}, и необходимо, чтобы это уравнение имело вид si H (l ) ki ki Ari (z) w = i=0 k= (23) r w() w() j, = Bµr (z) + Bµj (z) где полиномы Bµr и Bµj связаны тождеством (9), в кото П.0, § 2, гл. II Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры В.Н. Горбузов J S ром полином S такой, что является решением диффе ренциального уравнения si H (l ) ki r ki = Q(z) w() (24) Ari (z) w.

i=0 k= Пример 2. Уравнение 2w(w )5 zw 60w = 2(32z 5 + 80z 4 + 80z 3 + (25) + 40z 2 + 11z + 1)w 2(w ) принадлежит классу уравнений (23), где = 1, r = 1, j = 6.

При этом = 5, S : z 2z + 1, Q : z 2z, z C, 0 = 6.

Полиномы Bµr : z 2(32z 5 + 80z 4 + 80z 3 + 40z 2 + 11z + 1), z C, и Bµj : z 2, z C, связаны тождеством (9).

Уравнение (24) в данном случае имеет вид 2w(w )5 zw 60w = 2zw, решением которого является полином w : z z(z + 1), z C.

В силу теоремы 3 полиномы wt : z t z(z + 1), z C, t = 1, 5, являются решениями уравнения (25).

Пусть 0 = l + l, l = 0, n, где l — целое число.

Следуя правилу составления системы (5), будем последова тельно полагать, что µ = 0 ;

µ = l, l = 0, n, l = r, l = j;

µ = r.

В.Н. Горбузов Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры П.0, § 2, гл. II Затем, на основании рассуждений, аналогичных приведённым при доказательстве теоремы 2, устанавливаем, что имеет место Теорема 4. Для того чтобы все полиномы семейства (7) являлись решениями дифференциального уравнения (6), до статочно, а при условиях 0 = l + l, p h =, l, h, p = 0, n, h = r, h = j, p = j, p = h, = j r, l Z, Z \ {0}, и необходимо, чтобы это уравнение имело вид (23), где поли номы Bµr и Bµj связаны тождеством (19), в котором поли ном S такой, что J S является решением уравнения si H (l ) ki ki (26) Ari (z) w = 0.

i=0 k= Пример 3. Уравнение (27) w (w )2 w z 3 w w z 6 (w )2 = 36z 9w z 7 (w ) принадлежит классу уравнений (23), где = 2, r = 1, j = 3.

При этом = 2, S : z 6z, Q : z 0, z C, 0 = 4.

Полиномы Bµr : z 36z 9, Bµj : z z 7, z C, связаны тождеством (19).

Уравнение (26) в данном случае имеет вид w (w )2 w z 3 w w z 6 (w )2 = 0, решением которого является полином w : z z 3, z C.

В силу теоремы 4 полиномы w : z z 3, z C, и w : z z 3, z C, являются решениями уравнения (27).

П.0, § 2, гл. II Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры В.Н. Горбузов Пусть полиномы wt имеют структуру (28) wt : z t (z) + J(z), z C, t = 1,, где, J — полиномы комплексного переменного z, t — кор ни уравнения = 1, удовлетворяющие соотношениям (6.0.0), — натуральное число.

Укажем необходимые и достаточные условия, когда все поли номы семейства (28) будут решениями уравнения (1.1.1.1).

Все полиномы семейства (28) будут решениями уравнения (1.1.1.1) тогда и только тогда, когда при всех t = 1, имеют место тождества si ki N jk jk (l ) (l ) k ki ki ki Bµi(z) (z) t (z) 0, J i jk jk = i=0 k= которые элементарными преобразованиями приводим к виду si 1i 2i si N i k j1 +j2 +...+jsi Bµi (z)... · i jk j1 =0 j2 =0 jsi = i=0 k= (29) jk jk (l ) (l ) ki ki ki ·J (z) (z) 0, t = 1,.

Перегруппируем тождества (29) с учётом того, что члены каж дого из этих тождеств связаны одним из условий si si si (30) jk =, jk = 1 +,..., jk = ( 1) +, k=1 k=1 k= где — целое неотрицательное число.

Тогда тождества (29) будут иметь вид В.Н. Горбузов Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры П.0, § 2, гл. II si () si 1 () 2 () 1 N k Bµi (z)... · i t k 1 =0 2 =0 si =0 k= i= =0 k (31) k (l ) (l ) k ki k k ki ki ·J (z) (z) 0, t = 1,, где через обозначены те jk 0, 1,... k, для которых k i k si jk = +, числа k () {0, 1,..., ki } и определяются в k= зависимости от группировки по (30).

µt Умножив каждое из тождеств (31) на, t = 1,, соответ ственно, с учётом (6.0.0) и выполнив почленное сложение, получим si () si 1 () 2 () 1 N k (µ)t Bµi (z)... · i k 1 =0 2 =0 si =0 k= t=1 i= =0 k (32) k k (l ) (l ) ki k ki ki k ·J (z) (z) 0, Пусть µ = 0. Тогда на основании леммы 2.0. t = 0, = 1, 1.

t= Непосредственно из тождества (32) получаем, что si (0) si 1 (0) 2 (0) N k Bµi (z)... · i 0 k 1 =0 2 =0 si =0 k= i=0 k П.0, § 2, гл. II Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры В.Н. Горбузов 0 k 0 k (l ) (l ) ki k k ki ki ·J (z) (z) 0.

Полагая µ = 1, µ = 2,..., µ = 1, будем получать тожде ства, аналогичные последнему при = 1, = 2,..., = 1, соответственно.

Тем самым доказана Теорема 5. Для того чтобы все полиномы семейства (28) являлись решениями уравнения (1.1.1.1), необходимо и до статочно выполнения системы тождеств si () si 1 () 2 () N k Bµi (z)... · i k 1 =0 2 =0 si =0 k= i=0 k (33) k (l ) (l ) k ki k k ki ki ·J (z) (z) 0, = 0, 1, где числа k () и k определяются в зависимости от k группировки по на основании (30), как это показано в тождествах (31).

Заметим, что достаточность утверждения теоремы 5 в силу представления (31) является вполне очевидным фактом.

Теорема 5 носит общий характер, однако представления (33) весьма грамоздки. В частнных же случаях данная сложность упрощается и чётко прослеживается эффективность теоремы.

Рассмотрим уравнение H n l (si ) Bµ (z) w() (34) Ari (z)w + = 0, l i=0 l= где Ari и Bµ — полиномы комплексного переменного z;

s i, µl, l ri, — целые неотрицательные числа и Частные виды уравнения (34) исследованы в [78;

88].

В.Н. Горбузов Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры П.0, § 2, гл. II 0 s0 s1... sH, si =, i = 0, H.

Пусть решения уравнения (34) имеют структуру (35) wt : z t J S(z) + J(z), z C, t = 1,, где S — полином, определяемый из соотношения (8), J — поли ном степени deg J = f.

Полином Q определяется по правилу (2.0.0) из равенства (9).

Во множестве {0, 1,..., 1} всегда содержится число p та кое, что (36) r = p +, где — целое число. В соответствии с 0 q 0 q1... q H показатели степени l, l = 0, n, l = r, l = j, расположим так, чтобы l + = q + l +, = 0,, 0, = 0, h, (37) h ( + 1) = n 1, = где l + — целые числа.

Тогда множество l, l,...l, l, l,..., l,..., l, l,..., l 0 +1 0 +0 1 +1 1 +1 h +1 h +h h 0 является перестановкой множества { 0, 1,..., n }\{r, j } та кой, что если = qk +, то либо +1 = qk + +1, либо +1 = qk+1 + k+1 при qk qk+1, для любого из множества {0, 1,..., n}\{r, j}.

Структура (35) обоснована теоремой 6.

П.0, § 2, гл. II Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры В.Н. Горбузов Все полиномы семейства (35) будут решениями уравнения (34) тогда и только тогда, когда они обращают это уравнение в тождества, которые в силу (9), (36) и (37) будут иметь вид H H (si ) (si ) t Ari (z) J S(z) + Ari (z)J (z) + i=0 i= (38) h l + qh p r + t Bµ (z)S (z) t Q(z)S (z) 0, t = 1,.

l + = = µt Умножим каждое из тождеств (38) на, t = 1,, соответ ственно. В результате последующего суммирования получим H (si ) (1µ)t Ari (z) J S(z) + t=1 i= H h (q µ)t µt (si ) (39) + Ari (z)J (z) + · t=1 =0 t= i= l + (pµ)t r · Bµ (z)S (z) Q(z)S (z) 0.

l + =0 t= Рассмотрим в отдельности четыре логические возможности:

1) p = 0;

2) p = 1;

3) p = q, p 1, {0, 1..., h};

4) p 1, p = q, = 0, h.

Пусть p = 0. Следуя правилу составления системы тождеств (33), будем последовательно полагать, что В.Н. Горбузов Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры П.0, § 2, гл. II µ = 0;

µ = 1;

µ = q, q = 0, q = 1, = 0, h.

Пусть µ = 0. Тогда из тождества (39) следует, что H (si ) Ari (z)J (z) + i= (40) 0 l0 + r + q0 Bµ (z)S (z) Q(z)S (z) = 0, z C, l0 + = где q — символ Кронекера.

Пусть µ = 1. Тогда из тождества (39) следует, что H (si ) Ari (z) J S(z) + i= (41) k 1 lk + + qk Bµ (z)S (z) = 0, z C.

lk + = k= Пусть µ = q, q = 0, q = 1, = 0, h. Тогда из тождества (39) следует, что при всех = 0, h l + 0 (42) (1 q )(1 q ) Bµ (z)S (z) = 0, z C.

l + = Тем самым доказана Теорема 6. Для того чтобы все полиномы семейства (35) являлись решениями алгебраического дифференциально го уравнения (34), достаточно, а при p = 0 и необходимо, чтобы полиномы Bµr и Bµj были связаны тождеством (9), в котором полином S такой, что J S является решением системы уравнений П.0, § 2, гл. II Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры В.Н. Горбузов k H lk + (si ) 1 () Ari (z)w + qk Bµ (z) w = 0, lk + = i=0 k= (43) l + 0 (z) w() (1 q )(1 q ) Bµ = 0, = 0, h, l + = а полином J — решением уравнения H l0 + (si ) Ari (z)w + q Bµ (z)S (z) l0 + = i= (44) r Q(z)S (z) = 0, i где j — символ Кронекера.

Достаточное условие теоремы 6 не требует выполнения огра ничения p = 0.

Действительно, то, что выполняется соотношение (9), означа ет, что полиномы (35) являются решениями дифференциального уравнения j r r Bµr (z) w() + Bµj (z) w() + Q(z) w() (45) = 0.

Из (44) и (45) следуют тождества (40) – (42), сложив которые, получим тождество, равносильное тому, что полиномы (35) явля ются решениями уравнения H H l r (si ) Bµl (z) w() Q(z) w() (46) Ari (z)w + = 0.

i=0 l = 0, l = r, l = j Сложив равенства (45) и (46), получим, что все полиномы се мейства (35) являются решениями уравнения (34).

В.Н. Горбузов Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры П.0, § 2, гл. II Пример 4. Рассмотрим уравнение z(z 4 + 2z 2 + z + 3)w + 6(z 2 + 1)w + 6(z 3 z + 1)w 6z 4 + 6z 3 12z 616 + 64 (z 1)w + 64 (w ) (47) 6(z 1)(w )4 + 64 z(62 z + 1)(w )5 6(w ) 6z(62z + 1)(w )8 + 64 (z + 1)(w )12 6z(w )15 = 0, принадлежащее классу уравнений (34), где = 3, r = 12, j = 15.

При этом = 3, S : z 6, Q : z 64, z C.

Полиномы Bµr : z 64 (z + 1), z C, и Bµj : z 6z, z C, связаны тождеством (9).

Полином J S : z z 3, z C, является решением системы дифференциальных уравнений z(z 4 + 2z 2 + z + 3)w + 6(z 2 + 1)w + 6(z 3 z + 1)w 64 (z + 1)w 6(z 1)(w )4 = 0, 64 z(62 z + 1)(w )5 6z(62 z + 1)(w )8 = 0, которая принадлежит классу систем вида (43).


Полином J : z z 1, z C, является решением уравнения z(z 4 +2z 2 +z +3)w +6(z 2 +1)w +6(z 3 z +1)w 6z(z 3 z 2 +2) = вида (44).

В силу теоремы 6 полиномы wt : z t z 3 + z + 1, z C, t = 1, 3, являются решениями уравнения (47).

П.0, § 2, гл. II Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры В.Н. Горбузов Пусть p = 1. Следуя правилу составления системы тождеств (33), будем последовательно полагать, что µ = 0;

µ = 1;

µ = q, q = 0, q = 1, = 0, h.

На основании рассуждений, аналогичных приведённым при доказательстве теоремы 6, устанавливаем, что имеет место Теорема 7. Для того чтобы все полиномы семейства (35) являлись решениями уравнения (34), достаточно, а при p = 1 и необходимо, чтобы полиномы Bµr и Bµj были свя заны тождеством (9), где полином S такой, что J S явля ется решением системы уравнений k H lk + (si ) (z) w() Ari (z)w + qk B µl + k = i=0 k= r Q(z) w() (48) = 0, l + 0 Bµl + (z) w() 1 q 1 q (z) = 0, = 0, h.

= а полином J — решением уравнения H l (si ) 0 + (49) Ari (z)w + q B µl (z)S (z) = 0.

+ 0 = i= Пример 5. Рассмотрим уравнение 4(2z + 1)w (2z 2 + z 6)w 2(z + 3)w + + z(3z + 2)w (IV ) (24z 3 6z 2 + 55z 82) + (243 z 3 2)w + (50) + 243z 5 (w )2 + 243 z 7 (w )3 (w )4 z 2 (w ) z 4 (w )6 + 243 z 5 (w )7 243 z 3 (w )8 + z 2 (243 z 2 1)(w )10 + +(243 z 3 + 1)(w )11 z(w )13 (w )14 = 0, В.Н. Горбузов Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры П.0, § 2, гл. II которое принадлежит классу (34), где = 3, r = 10, j = 13.

При этом = 3, S : z 24z, Q : z z 2, z C.

Полиномы Bµr : z z 2 (243 z 2 1), z C, и Bµj : z z, z C, связаны тождеством (9).

Полином J S : z z 4, z C, является решением системы дифференциальных уравнений 4(2z + 1)w (2z 2 + z 6)w 2(z + 3)w + z(3z + 2)w (IV ) + + (243 z 3 2)w (w )4 + 243 z 5 (w )7 z 2 (w )10 = 0, 243 z 5 (w )2 z 2 (w )5 243 z 3 (w )8 +(243 z 3 +1)(w )11 (w )14 = 0, соответствующей системе (48).

Полином J : z 6z 2 3z + 2, z C, является решением уравнения (49), которое в данном случае имеет вид 4(2z + 1)w (2z 2 + z 6)w 2(z + 3)w 24z 3 + 6z 2 55z + 82 = 0.

В силу теоремы 7 полиномы wt : z t z 4 + 6z 2 3z + 2, z C, t = 1, 3, являются решениями уравнения (50).

При p = q, p 1, {0, 1,..., h}, аналогичнными рас суждениями доказываем, что справедлива Теорема 8. Для того чтобы все полиномы семейства (35) являлись решениями уравнения (34), достаточно, а при p = q, p 1, {0, 1,..., h}, и необходимо, чтобы полино мы Bµr и Bµj были связаны тождеством (9), где полином S такой, что J S является решением системы уравнений П.0, § 2, гл. II Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры В.Н. Горбузов k H lk + (si ) (z) w() Ari (z)w + qk B µl = 0, k + = i=0 k= l + r (z) w() Q(z) w() (51) B µl = 0, + = l + 0 Bµl + (z) w() 1 q 1 q (z) = 0, = 0, h, = а полином J — решением уравнения (49).

Пример 6. Рассмотрим уравнение 120zw + 24(1 z 2 )w + 6(z 3 + z 2 + 1)w + 2(1 z 4 )w + + (2z 5 + z 4 + 3z 3 + 2z 2 + z + 1)w(V ) 4(12z 4 21z 3 + + 18z 2 51z + 1) + (1 z 4 )w(IV ) (z 2)(z 1)4 w(IV ) + 3 (52) + (z 1)7 w(IV ) + (z 1)4 + 24 w(IV ) + 5 + 2(z 1)4 w(IV ) (z 1)12 + z(z 1)8 z + 2 w(IV ) + 7 8 + (z 1)3 (z 2) w(IV ) w(IV ) 2 w(IV ) + 10 + z(z 2 + 1)(z 1)4 w(IV ) + (z 1)4 1 w(IV ) 14 15 z 3 w(IV ) w(IV ) + w(IV ) = 0, которое принадлежит классу (34), где = 4, r = 10, j = 14.

При этом = 4, S : z z 1, Q : z z(z 1)4, z C.

Полиномы Bµr : z z(z 2 + 1)(z 1)4 z C, и Bµj : z z 3, z C, связаны тождеством (9).

В.Н. Горбузов Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры П.0, § 2, гл. II Полином J S : z z (z 5), z C, является решением системы уравнений 120zw + 24(1 z 2 )w + 6(z 3 + z 2 + 1)w + 2(1 z 4 )w + + (2z 5 + z 4 + 3z 3 + 2z 2 + z + 1)w(V ) + (1 z 4 )w(IV ) + 5 + 2(z 1)4 w(IV ) 2 w(IV ) = 0, 2 (z 2)(z 1)4 w(IV ) (z 1)12 + z 2 (z 1)8 z + 2 w(IV ) + 18 + w(IV ) + z(z 2 1)4 w(IV ) = 0, 3 (z 1)7 w(IV ) + (z 2)(z 1)3 w(IV ) + 11 + (z 1)4 1 w(IV ) w(IV ) = 0, соответствующей системе (51).

Полином J : z z 3 z 1, z C, является решением уравнения (49), которое в данном случае имеет вид 120zw + 24(1 z 2 )w + 6(z 3 + z 2 + 1)w + + 2(1 z 4 )w 4(6z 4 + 3z 3 18z 2 27z 5) = 0.

В силу теоремы 8 полиномы t 4 z (z 5) + z 3 z 1, z C, t = 1, 4, wt : z 120 являются решениями уравнения (52).

Пусть p 1, p = q, = 0, h. Следуя правилу составления системы тождеств (33), будем последовательно полагать, что µ = 0;

µ = 1;

µ = p, µ = q, q = 0, q = 1, = 0, h.

П.0, § 2, гл. II Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры В.Н. Горбузов Аналогичными рассуждениями доказываем, что справедлива Теорема 9. Для того чтобы все полиномы семейства (35) являлись решениями уравнения (34), достаточно, а при p 1, p = q, = 0, h, и необходимо, чтобы полиномы B µr и Bµj были связаны тождеством (19), где полином S такой, что J S является решением системы уравнений k H lk + (si ) (z) w() Ari (z)w + qk B µl = 0, + k = i=0 k= (53) l + 0 Bµl + (z) w() 1 q 1 q = 0, = 0, h, = а полином J — решением уравнения (49).

Пример 7. Рассмотрим уравнение 120(z 2 1)w + 120z 2(z 1)w 24z 3 (z 1)w 4z 5 w z 6 w(IV ) + z 8 z 7 z 6 w(V I) 24(8z 6 8z 5 31z 4 + + 16z 3 + 20z 2 10) + z 5 w(V ) + z 3 (6z 1)5 w(V ) + 3 4 + (54) + 4(6z 1)6 w(V ) + 2(6z 1)5 w(V ) 2(6z 1)5 w(V ) 6 + 3(6z 1)5 w(V ) z 3 w(V ) + (6z 1) (6z 1) 8 (6z 1)4 4 w(V ) + (6z 1)5 2 w(V ) + 10 11 + (6z 1)5 + 2 w(V ) 3 w(V ) + w(V ) 14 15 w(V ) w(V ) w(V ) = 0, которое принадлежит классу уравнений (34), где = 5, r = 2, j = 7.

При этом = 5, S : z 6z 1, Q : z 0, z C.

В.Н. Горбузов Максимальное число полиномиальных решений определённой структуры П.0, § 2, гл. II Полиномы Bµr : z z 3 (6z 1)5, z C, и Bµj : z z 3, z C, связаны тождеством (19).

Полином J S : z z (z 1), z C, является решением системы уравнений 120(z 2 1)w + 120z 2(z 1)w 24z 3 (z 1)w 4z 5 w z 6 w(IV ) + 1 6 + z 8 z 7 z 6 w(V I) + z 5 w(V ) + 3(6z 1)5 w(V ) 3 w(V ) = 0, 3 4(6z 1)6 w(V ) + (6z 1) (6z 1)9 (6z 1)4 4 w(V ) + 13 + w(V ) w(V ) = 0, 4 9 2(6z 1)5 w(V ) + (6z 1)5 2 w(V ) w(V ) = 0, соответствующей системе (53).

Полином J : z z 4 2z 2 + 2, z C, является решением уравнения (49), которое в данном случае имеет вид 120(z 2 1)w + 120z 2(z 1)w 24z 3 (z 1)w 4z 5 w z 6 w(IV ) 24(8z 6 8z 5 31z 4 + 16z 3 + 20z 2 10) = 0.

В силу теоремы 9 полиномы t z (z 1) + z 4 2z 2 + 2, z C, t = 1, 5, wt : z являются решениями уравнения (54).

Г л а в а III КОЛИЧЕСТВО ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ РАЗЛИЧНЫХ СТЕПЕНЕЙ Основываясь на примерах предыдущих глав, можем утвер ждать, что существуют дифференциальнные уравнения, у кото рых бесконечно много полиномиальных решений. Однако, если наложить условие о том, что будем различать классы полиномов решений в зависимости от их степени, то уже на основании тео рем 1.2.1.1 и 1.3.1.1 можем заключить, что полиномиальных реше ний с различными степенями у алгебраических дифференциаль ных уравнений (1.1.1.1) конечное число.

Для простейших уравнений вида n j (l) A(z)w = Bj (z)w j= такая задача рассматривалась в работе [135]. Это первая поста новка задачи, последующее обобщение без изменения сути пред ложенного метода находим в работах [63;

129;

136;

127], а общий случай алгебраического дифференциального уравнения (1.1.1.1) рассмотрен в [26] и [72, c. 69–99].

§ 1. Вспомогательные утверждения Пусть полиномы m m h (1) w : z m h z, z C, m 0 = 0, = 0, r, h= имеют различные степени m. Без ограничения общности рас суждений будем считать, что (2) m0 m 1... m r.

В.Н. Горбузов Вспомогательные утверждения П.0, § 1, гл. III Положив r = N, построим определитель a00 a01... a0... a0N a10 a11... a1... a1N.....................

N +1 = a 0 a 1... a... a N.....................

ar0 ar1... ar... arN порядка N + 1, членами которого являются полиномы si ki (lki ) (3) a i : z w (z), z C, = 0, r, i = 0, N.

k= Определитель N +1 является полиномом комплексного пе ременного z. Используя лексикографическое представление (1) полиномов w, элементы определителя N +1 запишем в виде i m mi (4А) a i : z K i m, m 0 z +..., z C, для {0, 1,..., r}, i {0, 1,..., N } таких, что 0 l i m ;

для i {0, 1,..., N } таких, что li = 0, при любых {0, 1,..., r}, или (4Б) a i : z 0, z C, для {0, 1,..., r}, i {0, 1,..., N } таких, что l i m.

Определитель N +1, обладающий свойством (5)... N, 0 будем обозначать N +1. Определитель N +1 всегда может быть приведён к виду N +1, так как перестановкой столбцов в N + всегда может быть достигннута ситуация (5), причём эти опреде лители будут либо совпадать (N +1 = N +1 ), либо отличаться только знаком (N +1 = N +1 ).

Укажем некоторые свойства этих определителей.

П.0, § 1, гл. III Вспомогательные утверждения В.Н. Горбузов Лемма 1. Пусть полиномы (1) имеют различные степени (2) такие, что m0 l. Тогда степень полинома N +1 (N = r) равна сумме степеней полиномов, являющихся элементами главной диагонали определителя N +1, т.е.

N N (6) deg N +1 (z) = deg aii (z) = (i mi mi ), i=0 i= если для существующих среди всего множества чисел i таких, что (7) = =... =, = 0,, 0 N, s s s j 0 1 соответствующие элементы в определителе N +1 такие, что определители Ks (n ) Ks (n )... Ks (n ) 0 0 0 j 0 Ks (n ) Ks (n )... Ks (n ) 1 1 (8) j = 0, = 0,, 0..............................

K s n K s n... K s n j j jj 0 при любых натуральных числах (9) n n... n, n l, = 0,.

0 1 j Доказательство. В силу (2) неравенство m 0 l означает, что все элементы a i, i = 0, N, = 0, r, r = N, определителя N + являются полиномами с расположением членов (4А).

Используем метод математической индукции.

При N = 1 рассмотрим определитель второго порядка a00 (z) a01 (z) 2 (z) = = a10 (z) a11 (z) В.Н. Горбузов Вспомогательные утверждения П.0, § 1, гл. III 0 m0 m0 1 m0 m K 0 m0, m z +... K 1 m0, m z +...


00 =, 0 m1 m0 1 m1 m K 0 m1, m z +... K 1 m1, m z +...

10 где фигурнные скобки применены с целью выделения элементов a i определителя 2.

Оценим разность ((0 m0 m0 ) + (1 m1 m1 )) ((0 m1 m0 ) + (1 m0 m1 )) = = (m1 m0 )(1 0 ).

Если 1 0, то в силу (2) произведение (m1 m0 )(1 0 ) 0, а значит, степень полинома 2 определяется уменьшаемым рас сматриваемой разности, т.е.

deg 2 (z) = (0 m0 m0 )+(1 m1 m1 ) = deg a00 (z)+deg a11 (z), что соответствует (6).

Если 0 = 1 =, то K0 (m0 ) K1 (m0 ) (m0 m1 )(m0 +m1 ) 2 (z) = z +..., m m 0 K0 (m1 ) K1 (m1 ) и, стало быть, deg 2 (z) = (m0 m1 ) (m0 + m1 ) = deg a00 (z) + deg a11 (z), если только при любых натуральных числах n 0 и n1 таких, что l n0 n1, определитель K0 (n0 ) K1 (n0 ) = 0.

K0 (n1 ) K1 (n1 ) П.0, § 1, гл. III Вспомогательные утверждения В.Н. Горбузов Это также соответствует (6), и утверждение леммы при N = доказано.

Для случая, когда N 2, предварительно докажем следую щее утвержденние.

Если при t = 1, k 1 степени полиномов t+1 определя ются по правилу t deg t+1 (z) = deg aii (z), i= то для определителя k+1 справедливо соотношение deg a0k (z) + deg k0k (z) deg a1k (z) + deg k1k (z) (10)... deg akk (z) + deg kkk (z), где khk — определитель k-го порядка, полученный из определителя k+1 в результате вычёркивания строки с номером h и столбца с номером k, причём, если размерно сти k, где {0, 1,..., k 1}, то deg a k (z) + deg k k (z) deg a +1,k (z) + deg k, +1,k (z). (11) Действительно, в соответствии с теоремой Лапласа [10, c.30] в результате разложения определителя k+1 по столбцу с номе ром k будем иметь, что k k+h (12) k+1 = ( 1) ahk khk.

h= Пусть {0, 1,..., k 1}. Используя правило вычисления степеней полиномов t+1, t = 1, k 1, оценим разность deg a +1,k + deg k, +1,k deg a k + deg k k = В.Н. Горбузов Вспомогательные утверждения П.0, § 1, гл. III = deg a +1,k + deg a00 +... + deg a 1, 1 + deg a, + + deg a +2, +1 +... + deg ak,k1 deg a k + (deg a00 +... + + deg a 1, 1 + deg a +1, + deg a +2, +1 +... + deg ak,k1 = = deg a + deg a +1,k deg a +1, + deg a k.

Рассмотрим определитель второго порядка a (z) a k (z) 2 (z) =, a +1, (z) a +1,k (z) который является определителем 2, а значит, степень опреде ляемого им полинома 2 устанавливается следующим образом:

1) k. Тогда deg 2 = deg a + deg a +1,k и deg a + deg a +1,k deg a +1, + deg a k 0, а значит, (13) deg a +1,k + deg k, +1,k deg a k + deg k k ;

2) = k. Тогда deg 2 = deg a + deg a +1,k при условии, что для любых натуральных чисел n 0 и n1 таких, что l n0 n1, где l = max{l, lk }, определитель K (n0 ) Kk (n0 ) = 0, K (n1 ) Kk (n1 ) П.0, § 1, гл. III Вспомогательные утверждения В.Н. Горбузов и deg a + deg a +1,k deg a +1, + deg a k = 0.

Следовательно, (14) deg a +1,k + deg k, +1,k = deg a k + deg k k.

Из соотношений (13) и (14) следует цепочка неравенств (10), а если существует {0, 1,..., k 1} такое, что k, то имеет место строгое неравенство (11).

Продолжая доказательство методом математической индук ции, рассмотрим случай N = 2.

Определитель третьего порядка a00 a01 a a10 a11 a00 a 3 = a10 a11 a12 = a02 a12 + a20 a21 a20 a a20 a21 a a00 a +a22 = a02 202 a12 212 + a22 222.

a10 a Если 1 2, то в силу (11) deg a22 + deg 222 deg a12 + deg 212, и, учитывая представление (12) при k = 2, deg 3 = deg a22 + deg 222 = deg aii.

i= Это соответствует (6), причём, если 0 = 1, то K0 (n1 ) K1 (n1 ) 0 (15) = K0 (n1 ) K1 (n1 ) 1 В.Н. Горбузов Вспомогательные утверждения П.0, § 1, гл. III n1 n1 n 1 n1, при любых натуральных числах 0 и таких, что l 1 0 где l = max{l0, l1, l2 }.

Пусть 1 = 2. Тогда в силу (14) deg a22 + deg 222 = deg a12 + deg и K1 (n2 ) K2 (n2 ) 0 (16) = K1 (n2 ) K2 (n2 ) 1 при любых натуральных числах n2 и n2 таких, что l n2 n2, 0 1 0 где l = max{l0, l1, l2 }.

Степень deg 3 зависит от условий: 0 1 или 0 = 1.

Если 0 1, то в силу (11) deg a00 + deg 200 deg a22 + deg и, учитывая представление (12) при k = 2, deg 3 = deg aii i= при выполнении (16.) Если 0 = 1 = 2 =, то непосредственно находим, что K0 (m0 ) K1 (m0 ) K2 (m0 ) 2 2 mi mi i=0 i= 3 = K0 (m1 ) K1 (m1 ) K2 (m1 ) z +....

m =0 K0 (m2 ) K1 (m2 ) K2 (m2 ) Стало быть, 2 2 deg 3 = mi mi = deg aii, i=0 i=0 i= П.0, § 1, гл. III Вспомогательные утверждения В.Н. Горбузов если K0 (n3 ) K1 (n3 ) K2 (n3 ) 0 0 (17) K0 (n3 ) K1 (n3 ) K2 (n3 ) = 1 1 K0 (n3 ) K1 (n3 ) K2 (n3 ) 2 2 n3, n3, n при любых натуральных числах таких, что 0 1 n3 n3 n3, где l = max{l0, l1, l2 }.

l 0 1 Итак, при N = 2 утверждение леммы доказано.

Пусть утвержденние леммы справедливо при всяком k 1, k 3. Докажем её справедливость при N = k. Для N этого составим соотношение (12).

Если k k1, то в силу (11) k k+1 = deg akk + deg kkk = deg aii, i= что соответствует (6).

Заметим, что если среди 0, 1,..., k1 существу ют такие, что имеет место (7), то должны выполняться и неравенства (8), ибо утверждение леммы верно при всяком N k 1.

Если же k = k1 =... = ks, где 1 s k, то в силу (12) и справедливости леммы при N k 1 будем иметь, что Kks (n0 ) Kks1 (n0 )... Kk1 (n0 ) Kk (n0 ) Kks (n1 ) Kks1 (n1 )... Kk1 (n1 ) Kk (n1 ) =...........................................

Kks (ns ) Kks1 (ns )... Kk1 (ns ) Kk (ns ) В.Н. Горбузов Вспомогательные утверждения П.0, § 1, гл. III при любых натуральных числах n0, n1,..., ns таких, что n 0 n1... n s.

l Если же размерности 0 = 1 =... = k =, то непосред ственно находим k k mi K0 (m0 )... Kk (m0 ) k mi i=0 i= k+1 = i 0 z +....

m K0 (mk )... Kk (mk ) i= Стало быть, k k k deg k+1 = mi mi = deg aii, i=0 i=0 i= если K0 (n0 )... Kk (n0 ) = K0 (nk )... Kk (nk ) при любых натуральных числах n0, n1,..., nk таких, что l n0 n1... nk. Это соответствует (6).

Непосредственным следствием леммы 1 является Лемма 2. Пусть полиномы (1) имеют различные степе ни (2) такие, что m0 l. Для существующих среди все го множества чисел i, i = 0, N, N = r, таких, которые удовлетворяют соотношению (7), соответствующие эле менты определителя N +1 связаны неравенствами (8) при любых натуральных числах (9). Тогда определитель N +1, а значит, и определитель N +1 отличны от нуля.

Пусть числа li такие, что (18) l0 = l1 =... = lp lp+1 = lp+2 =... = lN, 0 p N.

П.0, § 1, гл. III Вспомогательные утверждения В.Н. Горбузов Между степенями m многочленов (1) рассмотрим следую щие соотношения относительно l0 и lN :

1) lN m0 ;

2) l0 m0, mr lN ;

3) l0 m0, ms lN ms+1, 0 s r.

Вполне очевидно, что в первом случае (l N m0 ) справедли во утверждение леммы 2.

Во втором случае составим определитель p + 1-го порядка p+1 на основании первых p + 1 членов с l0 =... = lp.

Члены определителя p+1 находятся по формуле (3) и имеют лексикографическое представление (4А).

Поэтому совершенно аналогично доказываются леммы 1 и при N = p.

Пусть l0 ms+1. Тогда определитель N +1, m0, ms lN членами которого являются полиномы a i, имеет вид a00 a01... a0p 0... a10 a11... a1p 0.......................................

N +1 = as0 as1... asp 0... 0.

as+1,0 as+1,1... as+1,p as+1,p+1... as+1,N....................................

ar0 ar1... arp ar,p+1... arN Лемма 3. Если s p, то определитель N +1 тожде ственно равен нулю.

Доказательство. В соответствии с теоремой Лапласа опреде литель N +1 порядка N + 1 равен сумме произведений всех ми норов s + 1-го порядка, содержащихся в произвольно выбранных s + 1 строках, 0 s N 1, на их алгебраические дополнения.

За s+1 строку выберем первые строки, содержащие нулевые элементы.

В.Н. Горбузов Вспомогательные утверждения П.0, § 1, гл. III Если теперь положить, что s p, то любой минор порядка s + 1, содержащийся в первых s + 1 строках определителя N +1, равен нулю как содержащий нулевой столбец.

Лемма 4. Если s p, то определитель N +1 не обраща ется в тождественный нуль при условии, что для существу ющих среди всего множества чисел i, i = 0, N, N = r, та ких, которые удовлетворяют соотношению (7), соответ ствующие элементы определителя N +1 связаны неравен ствами (8) при любых натуральных числах (19) n n... n, = 0,, 0 N, l 0 1 j где l = max ln, ln,..., ln.

0 1 j Доказательство леммы 4 основано на рассуждениях, анало гичных приведённым в лемме 1, с предварительным разложением определителя N +1 в соответствии с теоремой Лапласа по мино рам s + 1-го порядка.

Лемма 5. Если l0 m0, ms lN ms+1, 0 s N, и выполняется соотношение (18), а для существующих среди всего множества чисел i, i = 0, N, N = r, таких, которые удовлетворяют соотношению (7), соответствующие эле менты определителя N +1 связаны неравенствами (8) при любых натуральных числах (19), то определитель N +1 тогда и только тогда, когда s p.

Лемма 5 является непосредственным следствием лемм 3 и 4.

И наконец, пусть li такие, что l 0 = l 1 =... = l p0 l p =... = lp0 +p1 lp =... = 0 +p1 + 0 + (20) = lp... lp =... = lp 0 +p1 +p2 0 +p1 +p2 +...+pt1 +1 0 +...+pt где p0 +... + pt = N, 0 p0 N, 0 pj+1 N (p0 +... + pj ), j = 0, t 1.

П.0, § 1, гл. III Вспомогательные утверждения В.Н. Горбузов Между степенями m многочленов (1) рассмотрим следую щие соотношения относительно l0 и lN :

1) lN m0 ;

2) l0 m0, ms lN ms+1, 0 s r;

3) l0 m0, mr lN.

Очевидно, что в первом случае (lN m0 ) справедливо утвер ждение леммы 2.

Во втором случае определитель N +1, членами которого яв ляются полиномы a i, = 0, r, i = 0, N, r = N, составленные по формулам (3), (4А), (4Б), имеет вид A BC N +1 =, DEF где блок матрица A BC DEF состоит из (s + 1) (p0 + 1)-матрицы A = Aij, где Aij = aij, i = 0, s, j = 0, p0, (s + 1) (p1 +... + pt1 )-матрицы B = Bij, где Bij = aij, i = 0, s, j = p0 + 1, p0 +... + pt1, aij, если mi lj, aij = если mi lj, 0, нуль (s + 1) (N (p0 +... + pt1 )-матрицы C, (r s) (p0 + 1) матрицы D = Dij, Dij = aij, i = s + 1, r, j = 0, p0, (r s) (p1 +... + pt1 )-матрицы E = Eij, Eij = aij, i = s + 1, r, j = p0 + 1, p0 +... + pt1, (r s)(N (p0 +...+pt1 )-матрицы F = Fij, Fij = aij, i = s + 1, r, j = p0 +... + pt1 + 1, N.

В.Н. Горбузов Вспомогательные утверждения П.0, § 1, гл. III Степени ms, 0 s r = N, полиномов (1) связаны соотно шениями:

m 0 m 1... m s0 l p,0 s0 p0 +... + p 1, l 0 + или {0, 1,..., s0 } = ;

ms ms... ms, lp lp +1 0 +1 0 +2 0 +s1 +p + 0 0 0 s1 p0 +... + pt1 s или {s0 + 1, s0 + 2,..., s0 + s1 } = ;

и т.д.

ms ms lp +...+p +1 0 +...+st2 +1 0 +...+st2 + 0 t... ms lp = lN, 0 +...+st1 +...+p + 0 t 0 st1 p0 +... + pt1 (s0 + s1 +... + st2 ), где s0 + s1 +... + st2 + st1 = s.

Лемма 6. Если для каждого k {0, 1,..., t 1} такого, что {0, 1,..., s0 } {s0 + 1,..., s0 + s1 }... {s0 + s1 + (22) +... + sk1 + 1, s0 + s1 +... + sk1 + 2,..., s0 + s1 + +... + sk1 + sk } =, s0 + s1 +... + sk p0 + p1 +... + pk, то определитель N + 1 тождественно равен нулю.

Доказательство. Используем теорему Лапласа, в соответ k ствии с которой миноры 1 + s порядков строим на осно = П.0, § 1, гл. III Вспомогательные утверждения В.Н. Горбузов k вании первых 1 + s строк определителя N +1, начиная с = k {0, 1,..., t 1}, связанного соотношением (22).

Если теперь положить, что k k s p, =0 = k то в силу (21) любой минор 1+ s порядка обращается в тожде = ственный нуль как определитель, содержащий нулевой столбец.

Рссуждениями, аналогичными рассуждениям в случае лемм и 5, доказывается Лемма 7. Если m0, ms lN ms+1, 0 s N = r, l и справедливы соотношения (21), а для существующих среди всего множества чисел i, i = 0, N, таких, которые удо влетворяют соотношению (7), соответствующие элемен ты определителя N +1 связаны неравенствами (8) при лю бых натуральных числах (19), то определитель N +1 тож дественно равен нулю тогда и только тогда, когда для каждого k {0, 1,..., t 1}, связанного соотношением (22), справедливо неравенство k k (23) s p.

=0 = В третьем случае, то есть, когда l0 m0, mr lN, отбра сывая члены порядка lN, приходим к случаям 1) и 2), где роль l N будет играть lN 1.

Данный процесс будем продолжать вплоть до l p +p, когда 0 вступают в силу леммы 3 – 5.

В.Н. Горбузов Ограниченность количества полиномиальных решений... П.0, § 2, гл. III § 2. Ограниченность количества полиномиальных решений различных степеней числом членов алгебраического дифференциального уравнения В зависимости от порядка li членов уравнения (1.1.1.1) пере становкой слагаемых в алгебраическом дифференциальном урав нении (1.1.1.1) всегда можно добиться ситуации (20.0.1). Допу стим, что это сделано.

Полиномы (1.0.1) являются нетривиальными полиномиаль ными решениями алгебраического дифференциального уравнения (1.1.1.1) тогда и только тогда, когда имеет место система тождеств si N ki l ki (1) Bµi (z) w (z) 0, = 0, r.

i=0 k= На основании (20.0.1) последовательно рассмотрим следую щие логические возможности.

Шаг 1. Пусть нетривиальные полиномиальные решения (1.0.1) различных степеней m уравнения (1.1.1.1) такие, что (2) m0 m1... m r lp,0 p0 N, l p 0 + причём, если p0 = N, то lp будем считать равным +.

0 + Подставляя полиномы (1.0.1) при = 0, r, связанные соот ношением (2), в уравнение (1.1.1.1), получаем систему тождеств (1), где N = p0, так как если существуют в уравнении (1.1.1.1) члены с номерами t p0, то в силу (20.0.1) они обращаются в тождественный нуль при данной подстановке.

Если p0 = 0, то тождества (1) будут иметь вид B µ0 (z) 0, и полиномиальных решений степени m, = 0, r, таких, что m0 m1... m l l1, l у уравнения (1.1.1.1) нет.

П.0, § 2, гл. III Ограниченность количества полиномиальных решений... В.Н. Горбузов Если p0 0, то система тождеств (1), где N = p 0, при r = p0 имеет определитель p +1, который при выполннении условий леммы 2.0.1 отличен от нуля. Тогда из системы тождеств (1) получаем, что Bµi (z) 0, i = 0, p0. Это противоречит зада нию уравнения (1.1.1.1) при условии (20.0.1), когда p 0 0.

Итак, доказана Лемма 1. Пусть в уравнении (1.1.1.1) порядки членов свя заны соотношением (20.0.1) и для существующих среди всего множества чисел i, i = 0, p0, таких, которые удовлетво ряют соотношению (7.0.1), соответствующие члены урав нения (1.1.1.1) связаны неравенствами (8.0.1) при любых на туральных числах (19.0.1). Тогда уравнение (1.1.1.1) имеет нетривиальные полиномиальные решения (1.0.1) не более p различных степеней m, удовлетворяющих условиям (2).

Шаг 2. Пусть нетривиальные полиномиальные решения (1.0.1) различных степеней m уравнения (1.1.1.1) такие, что m 0 m 1... m s0 l p,0 p0 N, l p 0 +p (3) ms ms... m r lp, lp 0 +p1 0 +1 0 +2 0 +p1 + 0 p1 N p0, причём, если p0 = N, то lp будем считать +, если 0 +p p0 + p1 = N, то lp +p +1 будем считать + ;

s0 такое, что 0 0 s0 r или {0, 1,..., s0 } =.

Относительно количества r полиномиальных решений (1.0.1) различных степеней и s0 в случае (3) представляются следующие возможности:

(4) s0 = r;

(5) {0, 1,..., s0 } = ;

(6) 0 s0 r, каждую из которых рассмотрим в отдельности.

В.Н. Горбузов Ограниченность количества полиномиальных решений... П.0, § 2, гл. III Если выполняется условие (4), то есть, s 0 = r, то соотноше ние (3) будет иметь вид (2), так как lp +p = lp +1. Значит, имеет 0 1 место лемма 1.

Пусть выполняются условия (5), то есть, {0, 1,..., s 0 } =.

Тогда соотношение (3) имеет место лишь при 0 p 0 N, ибо, если p0 = N, то в уравнении (1.1.1.1) членов с номерами, боль шими p0, нет lp +p = +. Соотношение (3) будет иметь вид 0 N p0. (7) m0 m1... m r lp, 0 p lp 0 +p1 0 +p1 + Подставляя полиномы (1.0.1) при = 0, r, связанные соот ношением (7), в уравнение (1.1.1.1), получим систему тождеств (1), где N = p0 + p1. Так как если в уравнении (1.1.1.1) существуют члены с номерами i p0 + p1, то в силу (20.0.1) они обращаются в тождественный нуль при данной подстановке.

У системы тождеств (1) с N = p0 +p1 при r = p0 +p1 опреде литель p +p +1, когда выполняются условия леммы 1, отличен 0 от нуля.

В этом случае тождества (1) имеют вид B µi (z) = 0, z C, i = 0, p0 + p1, что противоречит заданию уравнения (1.1.1.1) при условии (20.0.1), когда 0 p0 N, 0 p1 N p0.

Итак, доказана Лемма 2А. Пусть в уравнении (1.1.1.1) порядки членов связаны соотношением (20.0.1) и для существующих среди всего множества чисел i, i = 0, p0 + p1, таких, которые удовлетворяют соотношению (7.0.1), соответствующие члены уравнения (1.1.1.1) связаны неравенствами (8.0.1) при любых натуральных числах (19.0.1). Тогда уравнение (1.1.1.1) имеет нетривиальные полиномиальные решения (1.0.1) не более p0 + p1 различных степеней m, удовлетворяющих условиям (7).

Пусть имеет место соотношение (6). Подставим полиномы (1.0.1) при = 0, r, связанные соотношением (3) при 0 p 0 r, в уравнение (1.1.1.1). Получим систему тождеств (1), у которой N = p0 + p1, так как если в уравнении (1.1.1.1) существуют чле ны с номерами i p0 + p1, то в силу (20.0.1) они обращаются в тождественный нуль при данной подстановке.

П.0, § 2, гл. III Ограниченность количества полиномиальных решений... В.Н. Горбузов Система тождеств (1), где N = p0 + p1, при r = p0 + p имеет определитель p +p +1, отличный от нуля при выполне 0 нии условий леммы 5.0.1. Тогда тождества (1) будут иметь вид Bµi (z) 0, i = 0, p0 + p1, что противоречит заданию уравнения (1.1.1.1) при условии (20.0.1), когда 0 p 0 N, 0 p1 N p0.

Итак, доказана Лемма 2Б. Пусть в уравнении (1.1.1.1) порядки членов связаны соотношением (20.0.1) и для существующих среди всего множества чисел i, i = 0, p0 + p1, таких, которые удовлетворяют соотношению (7.0.1), соответствующие члены уравнения (1.1.1.1) связаны неравенствами (8.0.1) при любых натуральных числах (19.0.1). Тогда уравнение (1.1.1.1) имеет нетривиальные полиномиальные решения (1.0.1) не более p0 + p1 различных степеней m, удовлетворяющих условиям (3) при (6).

В общем случае справедлива Лемма 2. Пусть в уравнении (1.1.1.1) порядки членов свя заны соотношением (20.0.1) и для существующих среди всего множества чисел i, i = 0, p0 + p1 +... + pk, таких, кото рые удовлетворяют соотношению (7.0.1), соответствую щие члены уравнения (1.1.1.1) связаны неравенствами (8.0.1) при любых натуральных числах (19.0.1). Тогда при k = 0 и k = 1 уравнение (1.1.1.1) имеет нетривиальные полиноми k альные решения (1.0.1) не более pj различных степеней j= m, = 0, r, таких, что mr l, l k k 1+ pj p j j=0 j= k = + при pj = N.

где l k 1+ p j j= j= Шаг 3. Пусть нетривиальные полиномиальные решения (1.0.1) различнных степенней m уравнения (1.1.1.1) такие, что В.Н. Горбузов Ограниченность количества полиномиальных решений... П.0, § 2, гл. III m 0 m 1... m p0 l p,0 p0 N, l p 0 +p mp mp... mp lp, lp 0 +p1 0 +p1 0 +p1 +p 0 +1 0 + (8) 0 p1 N p 0, lp mp mp...

0 +p1 +p2 0 +p1 1 0 +p1 + mr lp, 0 p2 N (p0 + p1 ), 0 +p1 +p2 + k причём для любого k = 0, 2, если pj = N, то l = +;

k 1+ p j=0 j j= p0 — такое, что 0 p0 r или {0, 1,..., p0 } =, а p1 — та кое, что 0 p1 r p0 или {p0 + 1,..., p0 + p1 } =.

Относительно r, p0 и p1 имеем:

(9) p0 = r;

(10) {0, 1,..., p0 } =, p1 = r;

(11) 0 p0 r, p0 + p1 = r;

(12) {0, 1,..., p0 + p1 } = ;

(13) {0, 1,..., p0 } =, 0 p1 r;

(14) 0 p0 r, {p0 + 1,..., p0 + p1 } =, (15) 0 p0 r, 0 p1 r, 0 p0 + p1 r.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.