авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

В.Е. ГОЗБЕНКО, Е.М. ЛЫТКИНА

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКВИДИСТАНТ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ

ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

ИРКУТСК 2010

В.Е. Гозбенко, Е.М. Лыткина

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКВИДИСТАНТ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ

ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

Иркутск

2010

УДК 621-531

ББК 34.41

Г 57

Научный редактор: А.В. Крюков, доктор технических наук, профессор

Рецензенты: С.К. Каргапольцев, доктор технических наук, профессор;

О.В. Кузьмин, доктор физико-математических наук, профес сор Гозбенко В.Е., Лыткина Е.М.

Г 57 Использование эквидистант для решения прикладных задач управления техническими системами. – Иркутск : ИрГУПС, 2010. – 188 с.: ил.

ISBN 978-5-98710-106-3 В монографии изложены основы теории использования аппарата эквиди стант для моделирования сложных технических систем. Несмотря на сложность и тонкость проблемы, материал подан в форме, доступной для широкого круга читателей. Практически все окончательные формулы и зависимости пригодны для практического использования.

Длительный опыт работы в области вибрационной техники и чтение курсов теории колебаний и динамики машин научным работникам, инженерам и аспи рантам ряда институтов и предприятий определили основное содержание и план построения монографии.

В первой главе рассматриваются вопросы моделирования технических сис тем с использованием теории автоматического регулирования и ведется иссле дование последних с помощью типовых колебательных звеньев. В конце главы рассмотрены важнейшие свойства и возможности применения эквидистант. Во второй главе рассмотрены вопросы построения эквидистант для различных ма тематических кривых, используемых для моделирования задач управления. Третья глава посвящена построению эквидистантных частотных характеристик для моделей в виде колебательных систем.

В четвертой и пятой главах рассматриваются прикладные вопросы приме нения эквидистант и вопросы оценки точности их применения.

Некоторые вопросы теории не освещены из-за ограниченного объема моно графии и вынужденной детализации с целью изложения в доступной форме сложных, но совершенно необходимых задач.

В оформлении рукописи и рисунков участвовала А.С. Разуваева.

Для научных и инженерно-технических работников, аспирантов, связанных с исследованием, проектированием и разработкой систем виброзащиты и виб роизоляции сложных механических систем.

УДК 621- ББК 34. © В.Е. Гозбенко, Е.М. Лыткина, ISBN 978-5-98710-106- © Иркутский государственный университет путей сообщения, СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………..…………………………………….…..… ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ………...……..... 1.1. Некоторые сведения из теории автоматического регулирования, используемой как основа моделирования технических систем……….

.. 1.2. Моделирование технических систем на основе типовых колебательных звеньев……………………………………………………….……………….... 1.3. Динамические свойства колебательных систем, динамические связи………………………………...………………………………………………. 1.4. Свойства и возможности эквидистант………………………………………….…..… 1.5. Выводы…………………………………………………………………………..………………………… ГЛАВА 2. ЭКВИДИСТАНТЫ К НЕКОТОРЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ КРИВЫМ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ……..……………….. 2.1. Общие сведения…………...…………………………………………………………………………. 2.2. Однопараметрические кривые………………………………………………………….….. 2.3. Особенности эквидистант к кривым, уравнения которых зависят от двух параметров………………..………………………………………….…….. 2.4. Частный случай гиперболы, функция y = ……………………………………... x ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ ЭКВИДИСТАНТНЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ МОДЕЛЕЙ В ВИДЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ………………………………………………… 3.1. Уравнения эквидистанты в координатной форме….………………. 3.2. Исследование возможностей применения эквидистанты к характеристикам колебательных систем с одной степенью свободы………………………………………………………………………………….…...………….… 3.2.1. Случай недемпфированных колебаний (D=0)…………………………... 3.2.2. Демпфированные колебания системы с одной степенью свободы………………………………………………………...… 3.2.3. Оценка величины условного «демпфирования», вносимого эквидистантой…………………………………………………..……… 3.3. Нелинейная система с дополнительной динамической связью….….. 3.3.1. Свободные колебания системы…………………………………………….….... 3.3.2. Вынужденные колебания……………………………………………………………. 3.3.3. Единичное ступенчатое вынуждающее воздействие……………... 3.3.4. Кинематическое воздействие гармонического типа………………. 3.4. Моделирование в колебательных системах с двумя степенями свободы…………………………………………………………………………….…. 3.4.1. Недемпфированные вынужденные колебания.

Особенности построения эквидистант…………………………………...… 3.4.2. Учет демпфирования………………………………………………………………..….. ГЛАВА 4. ЭКВИДИСТАНТА В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ….... 4.1. Методические подходы в использовании эквидистанты для определения параметров процессов……………………………………………. 4.2. Построение переходного процесса………………………………………..….….….….. ГЛАВА 5. МЕТОДИКА ВЫБОРА ПАРАМЕТРОВ ЭКВИДИСТАНТЫ……………………………………………………………………... 5.1. Зависимость параметра эквидистанты от ошибки вычислений…….. 5.2. Особенности применения эквидистант к частотным характеристикам…………………………………………………………………………………… ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………………………..….…….. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………………………….….…..…. ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Эквидистанты к математическим кривым, параметрические уравнения которых зависят от одного параметра ……………….………………………................… ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Эквидистанты к математическим кривым, параметрические уравнения которых зависят от двух параметров……………….………………………………..…….. ПРЕДИСЛОВИЕ Современные технические системы являются достаточно сложными объектами для теоретического и экспериментального изучения. Это связа но, в первую очередь, с необходимостью исследования и оценки динами ческих свойств систем, анализа влияния взаимозависимых и влияющих друг на друга возмущений и управляющих воздействий. Известные в спе циальной литературе методы позволяют во многих случаях реализовать достаточно формализованные процедуры составления математических мо делей, чаще всего они бывают представлены различными дифференциаль ными уравнениями и их системами, с последующей реализацией на полу ченных моделях прямых и косвенных методов оценки решений. По вполне понятным причинам методы аппроксимации, упрощения моделей, пони жения их порядка, линеаризация являются основными направлениями, по зволяющими исследователю оценить возможные динамические свойства технических систем, эффективность управления состоянием, разработать специальные средства, позволяющие изменять в нужном направлении ди намические характеристики.

Изучение достаточно сложной технической системы, как правило, со провождается экспериментом, результаты которого важны для корректи ровки исходных положений при формировании математической модели, а также для определения достоверности полученной при анализе информа ции. Экспериментальные исследования предполагают подтверждение и качественных, и количественных характеристик объекта и основаны на широком применении различного рода приборов. Заметим, что любые приборы, регистрирующие изменение наблюдаемых параметров, обладают избирательностью, для них характерны зоны нечувствительности, загруб ление и определенный «размыв» результатов, что хорошо известно в тео рии измерений. В связи с этим неоднократно появлялись высказывания, направленные на необходимость понимания и учета того, что параметры реальных объектов по отношению к данным аналитического исследования, находятся в некоторой зоне «размыва», часто называемого «трубкой» [44, 52]. Такие соображения не могли не привести к предложениям о введении эквидистанты как некоторого образа зависимости, полученной аналитиче ски, но содержащей вполне определенную информацию, учитывающую реальную природу объекта. В свою очередь, построение для исходных за висимостей эквидистант можно рассматривать как один из приемов ап проксимации, упрощения моделей, сокращая тем самым объем последую щих экспериментальных исследований, часто требующих больших мате риальных затрат.

Методологическая ценность введения такого специфического приема аппроксимации заключается и в том, что свойственные для аналитических моделей разрывные характеристики сглаживаются. Именно с такими ре альными процессами чаще всего приходится сталкиваться в практике.

Динамические характеристики технических систем, возможности управления, целенаправленного изменения параметров и спектра возмож ных свойств чаще всего рассматриваются на моделях в виде колебатель ных систем, что предполагает соответствующее внимание к методам ис следований и подходам в интерпретации результатов.

Теория автоматического управления (ТАУ), которая часто выступает основой для решения задач управления в технических системах, распола гает достаточно развитым аналитическим аппаратом, позволяющим ввести в рассмотрение ряд частотных характеристик, отражающих динамические свойства объектов. Авторы в своей работе в дальнейшем используют ме тоды и приемы ТАУ, представление о структурных схемах и передаточных функциях, что не исключает, впрочем, использования других подходов.

ГЛАВА МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Технические системы, как правило, многокомпонентны, и их рассмот рение может быть произведено с различных точек зрения. Одной из основ ных компонент, безусловно, является механическая часть, основа техниче ской системы. Именно в этом аспекте чаще всего представлена динамика и управление техническими системами, точнее, на уровне динамики и управ ления механическими системами.

Это направление имеет развитую аналитическую базу, опирающуюся на методологию и научно-методические разработки теории автоматическо го управления и регулирования.

В дальнейшем изложении материалов исследований, в связи с выше приведенным, мы будет ограничиваться термином механические системы.

В достаточно большом числе случаев механические системы могут быть сведены к колебательным системам, модели которых в простейших случаях имеют вид структурных схем, передаточных функций или систем дифференциальных уравнений.

Динамические свойства таких систем с достаточной полнотой описы ваются частотными характеристиками. На их основе могут быть построе ны различные управления, оценены возможности введения структурных изменений, оценены предельные свойства, обеспечен динамический синтез параметров. Характеристики таких систем обладают и рядом особенно стей, связанных с существованием разрывов, асимптотических приближе ний. Вместе с тем, определение свойств систем связано с определением ре акций на единичные и периодические воздействия, что связано с вычисле нием некоторых интегральных оценок, например, площадей фигур. В спе циальной литературе, посвященной проблемам автоматического управле ния, представлены достаточно разработанные методы получения необхо димых параметров. Однако общая методологическая проблема не снята.

Существует вполне определенная необходимость в подходах, ориентиро ванных на аппроксимации характеристик, учитывающих физическую при роду процедур получения экспериментальных данных. Эквидистанты, как об этом упоминалось выше, вполне могут быть использованы как специ фичный и универсальный прием.

1.1. Некоторые сведения из теории автоматического управления, используемой как основа моделирования технических систем Основная задача автоматического регулирования – сравнение двух величин, установление разности между ними и доведение этой разности до «практического нуля» [12, 50]. И эту задачу можно разбить на две:

1. Как, исходя из заданного дифференциального уравнения с из вестными коэффициентами, получить кривую переходного про цесса y (t ) (прямая задача);

2. Как из заданной кривой переходного процесса получить коэф фициенты правой и левой части того уравнения, решением ко торого является заданный переходный процесс (обратная зада ча).

Рассмотрим более подробно прямую задачу автоматического регули рования для простой цепи регулирования, структурная схема которой должна быть замкнутой и состоять не меньше, чем из 4-х звеньев (рис. 1.1).

Здесь можно выделить:

1) объект регулирования (на входе величина x);

2) измерительный или чувствительный элемент (на выходе преоб разованная величина m, на входе – y );

3) распорядительное или командное звено (на входе – m, на выхо де величина r );

4) исполнительное звено (на входе – r, на выходе – z, которое вы зывает определенное изменение регулируемой величины y ).

Поведение всей системы в целом должно зависеть от поведения и свойств каждого отдельного звена и взаимного влияния их друг на друга.

Предположим, что для каждого звена от входной величины зависят сама величина на выходе и ее первая и вторая производная по времени. Значит, каждое звено будет описываться дифференциальным уравнением второго порядка. В более сложных случаях всегда можно представить звено, на пример, четвертого порядка в виде комбинации двух звеньев второго по рядка. Для данной системы получим систему уравнений:

d2y dy для 1-го звена: x + z = 1 ( y ) + a1 + b1 2 ;

dt dt d 2m dm для 2-го звена: y = 2 (m) + a 2 + b2 (1.1) ;

dt dt d 2r dr для 3-го звена: m = 3 (r ) + a3 + b3 2 ;

dt dt d 2z dz для 4-го звена: r = 4 ( z ) + a4 + b4 2.

dt dt x1 x 2 x x x4 x5 x y m=f(y) y m r=f(m) m r Рис. 1. Структурнаясхема цепи регулирования Рис. 1. Структурная схема цепи регулирования Все коэффициенты при производных и вид зависимостей 1,, должны быть известны.

Исключив каким-либо образом в уравнениях (1.1) все внутренние пе ременные m, r, z, получим уравнение замкнутой системы регулирования y = F ( x), показывающее, как выходная величина y зависит от внешнего возмущения x.

В общем случае будем иметь уравнение n-го порядка линейное, но не однородное, с правой частью:

a 0 x ( n ) (t ) + a1 x ( n 1) (t ) + … + a n 1 x (t ) + a n x(t ) = (1.2) = b0 y ( m ) (t ) + b1 y ( m 1) (t ) + … + bm1 y (t ) + bm y (t ), где x – управляющий (входной) сигнал, y – выходная (регулируемая) величина.

При проектировании САР наряду с методами, основанными на иссле довании уравнений состояния, часто применяют способы, базирующиеся на представлении объектов в виде передаточных функций. Такой под ход часто применяют при проектировании многомерных систем регу лирования.

Для описания свойств линейных механических систем используют операторные и комплексные передаточные функции (ПФ) [109], [113].

Термин «операторные ПФ» связан с операционным исчислением, исполь зующим преобразования Лапласа. Термин «комплексные ПФ» связан с комплексным представлением гармонических функций и преобразованием Фурье. Операторные ПФ, характеризующие свойства системы при воздей ствии произвольного вида, используются для математического описания поставленных задач.

Комплексные ПФ характеризуют свойства системы при гармониче ском воздействии на нее, то есть они являются размерными и безразмер ными частотными характеристиками системы.

Поведение линейной стационарной системы в частотной области ( p -область) описывают с помощью передаточных функций, связывающих реакцию системы с ее возбуждением. Так, если во временной области (t -область) r (t ) – возбуждение системы в некотором месте (на входе), а e(t ) – ее реакция в некотором месте (на выходе), то связывающая эти ве личины передаточная функция ( p) задается выражением r (t ) ( p) =, e (t ) н.н.у.

где r (t ) и e (t ) – преобразование Лапласа соответственно от r (t ) и e(t ) при нулевых начальных условиях (н.н.у.) для системы. Нулевые начальные условия необходимы для того, чтобы функция ( p) характеризовалась только параметрами системы. Для систем с сосредоточенными параметра ми ПФ являются рациональными функциями, представляющими собой от ношение двух конечных полиномов от p с целыми степенями. Передаточ ные функции ( p) от аргумента p называют операторными, а от аргу мента j – комплексными и динамическими. Комплексные ПФ называют также частотными характеристиками. Таким образом, с помощью преобра зований Лапласа можно получить передаточные функции по линейным дифференциальным уравнениям, описывающим динамические процессы в стационарных и нестационарных объектах. В стационарных объектах ко эффициенты являются постоянными, поэтому передаточная функция по стоянна и ее параметры не зависят от времени. В нестационарных объектах коэффициенты меняются от времени, и передаточная функция представля ет собой сумму членов ряда, каждый из которых определяется характером изменения как самого параметра от времени, так и его производной.

Комплексная (амплитудно-фазовая) частотная характеристика (АФЧХ) или комплексная ПФ получается при замене в функции ( p) па раметра преобразования Лапласа p на j :

( j) = 1 () + j 2 () = 0 ()e j( ). (1.3) Функция 0 () называется модулем частотной характеристики или амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). Функция () – сдвиг по фазе или фазо-частотная характеристика (ФЧХ). Функция 1 () = 0 () cos () называется действительной ЧХ, а 2 () = 0 () sin () – мнимой ЧХ.

Большинство задач [110, 111], возникающих в теории автоматическо го регулирования, достаточно хорошо решается при использовании в качестве L -преобразования Лапласа, определяемого формулами прямо го (1.4-а) и обратного (1.4 б) преобразований:

X ( s ) = e st x[t )dt ;

(а) (1.4) c + j e X (s)ds.

st x(t ) = (б ) 2j c j В этих формулах s является комплексным числом s = + j, у кото рого вещественная часть положительна и обеспечивает сходимость инте грала (1.4 а): c 0.

В этом случае, как нетрудно видеть, после выполнения операции ин тегрирования (1.4-а) результат будет зависеть только от s, что дает право называть функцию X (s ) изображением функции x(t ) x[t ) = L1 { X ( s )} X ( s ) = L{x[t )};

(а) X ( s ) x[t );

x[t ) X ( s ).

или (б) (1.5) Пусть решение уравнения (1.2) охватывает все точки выходного про цесса от t = 0 до t =, для чего пределы интегрирования примем полубес конечными:

y (t ) = [t 0 ) x[t t 0 )dt 0, (1.6) где t 0 = t – замена аргумента на интервале 0 при рабочем участке 0 t, то есть (t 0 ) = [t ) t =t ;

x[t t 0 ) – смещенная функция, не равная нулю только в области зна чений времени, больших t 0, то есть x[t t 0 ) = 0, t t 0 ;

x[t t 0 ) = x[t t 0 ), t t 0 ;

(t 0 ) – весовая функция при сложной правой части.

При этом для каждой конкретной точки процесса интегрирования по аргу менту t 0 протекает по прежнему в пределах 0 t, обусловленных шири ной рабочей зоны смещенной функции x[t t 0 ).

Осуществим прямое преобразование Лапласа (1.4 а) над обеими час тями уравнения. Поскольку в (1.6) интегрирование ведется по t 0, а в (1.4 а) – по t, операцию прямого преобразования можно внести под знак интегра ла (1.6), что дает:

Y ( s ) = (t 0 ) L{x[t t 0 )}dt 0 = [t 0 )e st0 X ( s )dt 0 = 0 = X ( s ) [t 0 )e st0 dt 0 = X ( s )W ( s ).

Окончательно имеем:

Y ( s ) = W ( s ) X ( s ), (а) где W ( s ) = L{[t )}. (б) (1.7) Изображение весовой функции звена (1.7-б) называется операторной функцией передачи (ОФП), или передаточной функцией звена. На основе элементарного преобразования (1.7 а):

Y ( s) W (s) = (1.8) X (s) видно, что ОФП равна отношению изображений выходного и входного сигналов. Условия преобразования изображений сигналов звеном иллюст рируется рис. 1.2.

t x[ t ) X ( s) Y (s ) L W ( s ) L y[t ) = (t0 ) x[t t0 ) dt0.

Рис. 1.2. Условия преобразования изображений звеном Для уравнений связи типа (1.2) характерно описание входного и вы ходного процессов начальными или смещенными функциями, так как ис следуется реакция звена на данное конкретное возмущение без учета его предыстории. В этом случае, преобразуя по Лапласу обе части уравнения (1.2), достаточно в силу свойств преобразований Лапласа просто осущест вить замену d (i ) = s i. Тогда получим:

m bjs j M ( s) j = W (s) = =. (1.9) n D( s ) ai s i i = Итак, ОФП равна отношению операторных полиномов правой и левой частей уравнения связи. По формуле (1.9) ОФП определяется обычно про ще, чем на основе применения прямого преобразования непосредственно к весовой функции (1.7– б).

Математические модели САР составляют в виде алгебраических, диф ференциальных, интегро-дифференциальных и конечно-разностных нели нейных уравнений. Описание динамических процессов в элементах с со средоточенными параметрами производят с помощью обыкновенных диф ференциальных уравнений, а с распределенными параметрами – уравнений в частных производных. При проектировании систем автоматического ре гулирования нелинейные уравнения обычно линеаризуют, что приводит к векторно-матричной форме их представления или к частотным функциям.

В случаях, когда рассматриваемые процессы в объектах не удается описать указанными методами, используют таблицы с числовыми значе ниями, характеризующими входные и выходные переменные. Применяя к ним методы регрессионного анализа, можно получить нелинейные алгеб раические или дифференциальные уравнения.

Математическое описание объектов удобно выполнять через пере менные состояния, которые аналогичны обобщенным координатам, а про странство их изменений является фазовым.

При описании объектов непрерывного действия используют перемен ные состояния y (t ), связанные с выходными x(t ) и входными u (t ) сигна лами с помощью уравнений:

y (t ) = f ( y (t ), u (t ), t ), (1.10) x(t ) = g ( y (t ), u (t ), t ), где вид матриц y (t ), u (t ), x(t ), f ( y (t ), u (t ), t ), g ( y (t ), u (t ), t ) представлен в приложении 3. Эти уравнения справедливы на отрезке [t 0 ;

t ] при заданных начальных условиях y (t 0 ), u (t 0 ). Для линеаризации уравнений (1.10) суще ствует ряд методов линеаризации.

Внутренне строение объектов САР наиболее просто определяется с помощью структурных схем и графов. Последние могут составляться по дифференциальным и разностным уравнениям или с помощью передаточ ных функций. При этом удается оценить влияние параметров уравнений или типовых звеньев и связей между ними на динамические характеристи ки элементов. В результате имеется возможность упрощать структуру ис следуемого объекта и находить в нем сильные и слабые связи. Исключая из структурных схем и графов слабые связи, можно выполнить операцию декомпозиции.

На структурных схемах, полученных с помощью дифференциальных и разностных уравнений, динамические элементы выделяют прямоуголь никами, а взаимные связи между ними – прямыми линиями. Каждая вза имная связь представляет собой переменную уравнений. При составлении структурных схем с помощью передаточных функций типовые звенья так же изображаются прямоугольниками, а связи – прямыми линиями. В гра фах переменные указываются в виде вершин, а дуги обозначают или пара метры, или передаточные функции типовых звеньев. На дугах ставят стрелки, указывающие направление передачи сигнала. Заметим, что между структурными схемами и графами существует однозначное соответствие.

С помощью таблиц соответствия структурную схему (граф) сложного объ екта можно привести к более простому виду, что позволит в дальнейшем перейти к определению передаточных функций линейных САР.

Метод регрессионного анализа для составления математических мо делей объектов используют в двух основных случаях:

- после проведения экспериментов имеются кривые или таблицы с числовыми значениями, характеризующими изменение регистри руемых признаков;

- непосредственно в ходе эксплуатации САР снимаемые с объекта сигналы поступают с определенным тактом квантования на управ ляющую ЭВМ, где также производится их обработка.

Для обработки информации применяют метод наименьших квадратов, позволяющий построить математическую модель элемента, описывающую с высокой достоверностью его реальное поведение. В результате этого по лучают линейные и нелинейные регрессионные модели [8], [50]. Основная особенность регрессионного анализа заключается в том, что независимые переменные являются детерминированными, а зависимые – случайными.

Нестационарные объекты удобно представить в виде импульсной пе реходной функции K (t, ), где – момент времени приложения входного импульса;

t – момент времени наблюдения динамического процесса.

Функция K (t, ) определяется как решение уравнения D( p, t ) K (t, ) = M ( p, t )(t ) (1.11) при нулевых начальных условиях, входного условия u (t ) в виде функции и K (t, ) =0, если t.

Передаточную функцию находят с помощью преобразования Фурье W0 ( j, t ) = K (t, t )e j dt. (1.12) Чтобы найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет передаточная функция (1.12), к левой и правой части равенства (1.11) при меняют преобразование Фурье по переменной, и обозначив 1 i D( j, ) i =, i = 0, 1, 2, …, n, n! ( j) получим уравнение d n1W0 ( j, t ) d nW0 ( j, t ) dW0 ( j, t ) 0 (t ) + 1 (t ) + + n1 (t ) + dt n dt n dt + n (t )W0 ( j, t ) = M ( j, t ).

Это уравнение позволяет находить реакцию объекта на любое входное воздействие с помощью однократного решения. Как показано в работах [64, 118], приближенный метод решения этого уравнения с помощью по следовательных приближений приводит к быстросходящемуся ряду лишь при относительно небольшом диапазоне изменения коэффициентов на рас смотренном промежутке времени.

Все рассмотренные выше способы построения математических моде лей объектов были основаны на системах линейных дифференциальных уравнений, записанных в формах передаточных функций, структурных схемах (графах), частотных характеристиках и импульсных передаточных функциях. Но при высоких порядках моделей такие процедуры требуют значительных затрат и не обеспечивают необходимую точность решения задач анализа и синтеза систем. Поэтому пользуются уравнениями, состав ленными во временной области и записанными в векторно-матричной форме.

Для описания систем с существенными нелинейностями, которые описываются ступенчатыми, кусочно-линейными и многозначными функ циями с точками разрыва первого рода, а также степенными и трансцен дентными функциями, применяют эквивалентные передаточные функции, зависящие от коэффициентов линеаризации. Метод линеаризации таких систем называется гармоническим, если на вход нелинейности поступает синусоидальный сигнал, и статистическим, если действует случайный входной сигнал [7, 18, 50]. Если входной сигнал представляет собой сумму гармонических и случайных сигналов, то имеет место совместная гармо нико-статистическая линеаризация [110, 121].

Управление сложными производственными процессами в промыш ленности осуществляется с помощью автоматизированных систем, частью которых являются следящие системы или регуляторы. Для сбора и обра ботки информации и выработки команд управления применяют ЭВМ, ко торая реализует алгоритм, с помощью которого по собранной информации вырабатываются команды управления, например, расходом сырья, и осу ществляется перестройка настроек соответствующих регуляторов. В ре зультате этого САР обеспечивает установленный режим работы производ ства. Если в процессе производства происходит изменение какой-либо входной величины, то по новым данным о входной величине заменяют ал горитм управления, и по нему ЭВМ вырабатывает новые команды управ ления по данной величине и перемене настроек регуляторов. В результате этого сохраняется требуемое значение выходных величин.

Передаточная функция системы является исходной для последующих расчетов в тех случаях, когда свойства всех элементов системы заданы уравнениями движения.

Часто процессы, происходящие в отдельных элементах, изучены сла бо, и вывод исходных уравнений для таких элементов затруднен. В таких случаях в основу расчета кладут не уравнения движения, а частотные ха рактеристики системы. Особенность частотных характеристик состоит в том, что их можно не только построить по линеаризованным уравнениям отдельных элементов, но и найти экспериментально для тех элементов, уравнения которых неизвестны. Необходимо лишь следить за тем, чтобы элементы, у которых частотные характеристики определяются экспери ментально, были линейными или близки к таковым.

Для исследования свойств систем автоматического управления (САУ) и, в частности, показателей качества регулирования применяются извест ные методы перехода из частотной области во временную с помощью пре образования Лапласа [111].

При воздействии на систему единичной ступенчатой функции x(t ) = 1(t ) выходная величина, являющаяся переходной характеристикой системы h(t ), определяется через вещественную частотную или мнимую частотную характеристики замкнутой системы:

2 U ( ) sin td, y (t ) = h(t ) = (1.13) здесь U () – вещественная частотная характеристика (ВЧХ) замкнутой САУ;

2 V () y (t ) = h(t ) = cos td + U (0), (1.14) а V () – мнимая частотная характеристика (МЧХ) замкнутой системы.

Определение переходной характеристики по формулам (1.13) или (1.14) возможно лишь численными методами. Но возможен другой путь, связанный с аппроксимацией ВЧХ или МЧХ линейно-кусочными функ циями.

Если на систему действует произвольное возмущение, то переходный процесс определяется по обобщенным вещественной или мнимой характе ристикам:

[ ] U () = Re Wgx ( j) X ( j), [ ] V () = Im Wgx ( j) X ( j) где X ( j) = x(t )e jt dt – изображение входного воздействия x(t ) по Фу рье. При этом необходимо, чтобы полюсы функции W ( s ) X ( s ) располага лись слева от мнимой оси.

Наиболее распространенными приближенными методами построения графиков переходных процессов в системе по ВЧХ являются метод разло жения частотой характеристики на сумму трапеций, предложенный В. В.

Солодовниковым, и метод треугольников, предложенный А. А. Вороно вым. Оба эти метода являются графическими методами построения пере ходных процессов и подробно описаны в [17].

1.2. Моделирование технических систем на основе типовых колебательных звеньев Рассмотрим колебательную систему, показанную на рис.1.3.

F(t) c m d Рис. 1.3. Схема колебательнойсистемы Рис. 1.3. Схема колебательной системы Движение этой системы описывается дифференциальным уравне нием:

a0 y + a1 y + a 2 y = F ( x, x ), которому соответствует характеристическое уравнение a0 2 + a1 + a2 = 0. (1.15) В зависимости от корней (1.15) возможны 3 случая:

1. Случай вещественных различных корней 1 2, тогда Y = C1e 1t + C 2 e 2t ;

a 2. Случай вещественных равных корней 1 = 2 =, 2a Y = (C1t + C 2 )e t ;

1, 2 = ± j 3. Случай комплексно-сопряженных корней и Y = e t (C1e jt + C 2 e jt ) = e t ( A cos t + B sin t ), который показывает наличие колебательных явлений в процессе. Здесь Y – решение диффе ренциального уравнения с правой частью равной нулю.

В реальных проблемах автоматического регулирования недопустимо неограниченное возрастание отклонения Y от начального значения Y0. А так как функция y = e t при 0 и t неограниченно возрастает, при чем быстрее любой другой алгебраической непрерывной функции, то зна чения 0 недопустимы. Поэтому необходимо для целей регулирования брать отрицательные значения вещественных корней и вещественной час ти комплексных корней, то есть брать корни, которые изображаются точ ками, лежащими в левой комплексной полуплоскости. Это накладывает жесткое ограничение на знаки корней и на знаки коэффициентов характе ристического уравнения. Коэффициенты характеристического уравнения должны быть одного знака – либо положительные, либо отрицательные.

Очевидно, что и коэффициенты дифференциального уравнения должны обладать этим же свойством. Тогда, если все они не равны 0, то будем иметь затухающий процесс. Если при сохранении этого условия коэффи циент при первой производной в дифференциальном уравнении будет равен нулю, то будем иметь два чисто мнимых сопряженных корня, что обеспечива ет устойчивый колебательный характер процесса [10, 12, 54, 82].

Известно, что частота затухающего процесса меньше, а период боль ше соответственно частоты и периода незатухающих колебаний при d = 0, где d – коэффициент демпфирования. При d = 0 имеем устойчивые неза c m тухающие колебания с частотой 0 = или периодом T = 2, кото m c рые при увеличении d затухают тем сильнее, чем d больше.

Вид функции t Y (t ) = e ( A cos t + B sin t ), = будет зависеть от соотношения между T и (T – период вынужденных колебаний). При T может и вовсе не проявиться «колебательность»

процесса. Если близко к T или больше периода ( T ), то картина про цесса будет иметь обратный характер (рис. 1.4).

При увеличении до его критического значения корни становятся вещественными и равными, а процесс – чисто апериодическим. Такой ха рактер сохраняется и при наличии пары вещественных корней на отрица тельной части оси:

-j, 0.

y y T T t 0 t Рис. 1.4. Вид колебательного процесса припри различных соотношенияхT и Рис. 1.4. Вид колебательного процесса различных соотношениях T и При заданных значениях корней вся количественная и качественная сторона протекания процесса свободных колебаний зависит от начальных условий.

Рассмотрим два вида начальных условий:

y (t 0 ) = 1 при t 0 = 0, y (t 0 ) = 0, 1.

y (t 0 ) = 0 при t 0 = 0.

y (t 0 ) = 1, 2.

Тогда три рассматриваемых случая корней характеристического урав нения для данных начальных условий примут вид:

1. Первый случай начальных условий:

{ } e 2t e 1t, y= 1 y = te t, y = e t sin t.

2. Для второго случая начальных условий:

1 e 1t e 2t, y= 1 2 1 y = (1 + t )e t, a y = e t sin t + cos t.

Переходные процессы для этих случаев описываются выражениями sin t t y = te t y= и e.

Откуда видно, что при x sin x оба выражения идентичны, и колебания в величине и характере корней характеристического уравнения в области, близкой к критической точке кратности (корней), не существенно сказы ваются на виде кривой y (t ). Но если корни расположены близко к мнимой оси (то есть к точке О) на комплексной полуплоскости, то те же самые от клонения или погрешность в величине корней, которые незаметны при относительно малом, приводят уже к ощутимым изменениям в характере процесса [8, 50, 107, 110].

Все вышесказанное можно распространить и на более широкий круг задач.

Очевидно, что в общем случае необходимо иметь k уравнений вида:

Fi ( x1, y1, y1, …, y1 m1 ) ;

y2, y2,…, y 2m2 ) ;

…, yk, y,…, ykmk ) ) = 0, (1.16) ( ( ( k где i=1, 2, 3, …., k. Эти уравнения связывают независимое переменное x, k искомых функций и их производные до порядков y1, y 2, yk mk, причем число уравнений равно числу неизвестных функций m1, m2, y. Эта система уравнений должна быть канонической. Тогда она эквива лентна одному дифференциальному уравнению порядка n, но для одной неизвестной функции. Это уравнение n -го порядка, линейное, но неод нородное, имеет вид:

d n d n d + a1 n1 + + an1 + an = a dt n dt dt d m1 x d mx dx = b0 m + b1 m1 + + bm1 + bm x. (1.17) dt dt dt В операторном виде:

(a s )( )x, + a1s n1 + + an1s + an = b0 s m + b1 s m1 + n + bm1s + bm или в матричной форме A( s) = B( s) x.

Характеристический полином этого дифференциального уравнения должен обладать следующими свойствами:

1. Все коэффициенты уравнения вещественны (значит, комплексные корни – сопряженные).

2. Все коэффициенты имеют одинаковые знаки.

В общем виде передаточную функцию W (s ) разомкнутой системы можно представить в виде:

n W (s), W (s) = i i = где Wi (s ) – передаточные функции отдельных элементов. Тогда модули и аргументы частотных передаточных функций системы и элементов R() = W ( j), Ri () = Wi ( j), () = arg W ( j), i () = arg Wi ( j) в соответствии с правилом модулей и аргументов комплексных чисел свя заны между собой соотношениями n n R() = Ri (), () = i ().

i = i = Для многомерных систем удобна матричная форма записи уравнений.

Если введем матрицы:

x y1 a11 a1k, x =, y =, A= xg yk ak1 akk b11 b1g f1 c11 c1l, C =, B= f=, bg1 bgg f ll c k 1 ckl где f – матрица возмущающих воздействий, то уравнение (1.17) примет вид:

Ay = Bx + Cf. (1.18) Или в изображениях Лапласа в матричной форме:

AY ( s ) = BX ( s) + CF ( s), где матрицы A, Y(s), B, X(s), C, F(s) приведены в приложении 3.

В уравнении (1.18) после выполнения операций над матрицами в обе их частях получим матрицы-столбцы. Приравняв их соответсвующие эле менты, получим систему уравнений (1.16). Аналогично одномерным сис темам, передаточной функцией Wijx (s) по j-му параметру y и i-му пара метру x называют отношение изображений Лапласа выходной величины yi к изображению входной величины x j при нулевых начальных услови ях:

Yi ( s ) Wijx ( s) =.

X j ( s) Аналогично определяется передаточная функция Wijf (s ) по j-му воз мущающему воздействию и i-му входу:

Yi ( s) Wijf ( s ) =.

F j ( s) Эти функции в матричной форме имеют вид:

W11 ( s ) W1x ( s ) W11 ( s ) W1lf ( s) x f g W x (s) =, W f (s) =.

Wkx ( s ) Wkg ( s ) Wk1 ( s ) Wkl ( s) x f f 1 С их помощью уравнение (1.18) можно записать в виде:

Y (s) = W x (s) X ( s) + W f (s) F (s). (1.19) Каждое уравнение с численными коэффициентами можно разделить на любое число без изменения его корней. Эта операция не меняет ни ха рактера, ни численного значения корней, потому что отношение коэффи циентов между собой остаются без изменения. Если сделать замену пере менных x = k, где k – некоторое известное постоянное, то соотношения между любыми новыми коэффициентами будут отличны от соотношения коэффициентов исходного уравнения, так как корни нового преобразо ванного уравнения в k раз изменены относительно соответствующих кор ней x исходного уравнения F ( x) = 0.

При нормировании [110] по последнему члену уравнения масштабы времени в полученном уравнении и в исходном отличаются в k раз, где k = a n. Например, если рассмотрим дифференциальное уравнение второ го порядка d2y dy dx + a1 + a 2 y = b0 + b1 x, dt dt dt нормированное по старшему коэффициенту, то характеристическое урав нение имеет вид:

p 2 + a1 p + a = 0.

И при замене p = ks, k = a 2 получим s 2 + a1 s + 1 = 0, b b а коэффициенты правой части примут вид: b0 =, b1 = 1. Тогда, если k k нарисуем на одном рисунке переходный процесс для ненормированной системы ( k =1) и нормированной системы (k = a 1), то увидим, что шкалы аргумента t будут в k раз сжаты или растянуты (в зависимости от k 1). Ординаты же кривых останутся теми же самыми (рис. 1.5).

y k=0. t Рис. 1.5. Переходный процесс для системы с различными Рис. 1.5. Переходный процесс для системы с различными коэффициента нормирования k значениямизначениями коэффициента нормирования k Пусть колебания системы описываются уравнением y + 2dy + 2 y = f (t ), где f (t ) = H sin t – гармоническое возмущающее воздействие. Вынуж денные колебания системы описываются уравнением:

y = A sin(t ).

Откуда видно, что вынужденные колебания происходят с частотой возму щающего воздействия, и только на амплитуде сказывается влияние собст венных свойств системы.

При наличии демпфирующих свойств системы амплитуда вынужден ных колебаний при резонансе, во-первых, остается конечной, а во-вторых, не будет самой большой. Так как амплитуда H A= ( ) 2 + 4d 2 принимает наибольшее значение при 2 = 2 2d 2, то есть когда, то наличие диссипативных свойств системы мешает непрерывному и без граничному нарастанию размахов. В этом случае всегда имеет место сдвиг фазы колебаний на выходе относительно фазы возмущающего воздействия на входе и он равен 2d = arctg.

Коэффициент динамичности в этом случае будет иметь вид:

R=, (1 q ) 22 2 +D q 2d где q =, D=.

Графики этих кривых показаны на рис. 1.6. Очевидно, что влияние значения D на R всего сильнее сказываются в области, близкой к значе нию T0 = Tb, где q = 1, то есть в области резонанса ( T0 – период свободных колебаний, Tb – период возмущающего воздействия). В областях, доста точно удаленных от q = 1, кривые для разных значений D сливаются в од T ну, приближаясь для очень малых q = к единице, а для очень больших Tb q 2,5 – к нулю. Также, в областях, достаточно далеких от резонанса, ам плитуды при относительно малых значениях D почти не отличаются от соответствующих амплитуд вынужденных колебаний без сопротивления, которые равны H A0 =.

Пусть теперь на систему действует совокупность различных периоди ческих воздействий. Тогда уравнение движения примет вид:

y + 2dy + 2 y = H i sin(i t + i ).

График этого движения (рис. 1.7) будет иметь несколько экстремумов, соответствующим значениям периода T0, близким к периоду каждой из частот.

r y 0 p i 1 2 t q Рис. 1.6. График функции R(q) Рис. 1.7. Вид колебательного процесса при Рис. 1.6. График функции R(q ) Рис. 1.7. Вид колебательного процесса при совокупности периодических воздействий совокупности периодических воздействий 1.3. Динамические свойства колебательных систем.

Динамические связи Необходимые изменения динамических свойств чаще всего достига ются путем оптимизации параметров жесткости и демпфирования, вклю чением в систему упругих нелинейных и демпфирующих элементов.

В ряде работ, например [37, 39], задача управления колебаниями рас сматривается в классе систем автоматического управления, эквивалентных в динамическом отношении механическим колебательным системам. Если элементы структуры и связи между ними в обычной механической системе считать естественными или основными, то включение в ее структуру лю бых других звеньев может рассматриваться как эффект наложения допол нительных связей с целью изменения динамических свойств всей системы или ее отдельных звеньев.

При использовании соответствующих механических устройств появ ляется возможность ввести в систему связь, которая определяется ускоре нием движения. В этом случае взаимодействие между подвижными эле ментами устройства возникает лишь при относительном движении элемен тов устройств с некоторым ускорением (рис. 1.8).

m x1(t) c0 d l(p) x(t) Рис. 1.8. Механическая система с динамической связью Рис. 1.8. Механическая система с динамической связью Передаточная функция системы в целом принимает вид:

Lp 2 + d 0 p + c W ( p) =.

(m + L) p 2 + d 0 p + c Введение связи по ускорению существенно изменяет динамические свой ства системы: снижается частота собственных колебаний, возникает режим динамического гашения при кинематическом возмущении. На рис. 1.9 пред ставлена амплитудно-частотная характеристика системы (кривая 1 – без учета, L кривая 2 – с учетом сил сопротивления, = ).

m При кинематическом возмущении для простейшего фильтра вибраций амплитудно-частотная характеристика имеет вид:

( ) c L + d 2 2 A() =, [ ] c (L + m )2 + d 2 где m – масса объекта защиты;

L – приведенная масса инерционного элемен та;

c, d – коэффициенты жесткости и демпфирования упругого элемента.

После резонансного режима наблюдается минимум выражения d Amin () = 2.

( ) d + m ( ) 1+ 0 1+ Рис. 1.9. АЧХ системы с динамической связью Рис. 1.9. АЧХ системы с динамаческой связью c При этом частота динамического гашения г = оказывается независи L мой от величины массы объекта (без учета трения).

В динамическом гасителе колебаний при d = 0 между частотой дина мического гашения г и частотой резонанса р всегда существует зави симость г р, а интервал между ними равен cm I = г р =.

L ( L + m) Увеличение приведенной массы L приведет к уменьшению интервала I и смещению его в область более низких частот. Если L =0, происходит изменение динамических свойств системы, исчезает режим динамического гашения и последнее уравнение теряет смысл.

1.4. Свойства и возможности эквидистант Корме теоретических подходов, описанных выше, широкое распро странение имеют экспериментальные методы: теория эксперимента, тео рия измерений, теория ошибок. Эти методы создают методологические и научно-методические основы опытного изучения свойств с применением современного приборного оборудования и автоматизированных систем.

Обработка результатов эксперимента связана с анализом ошибок измере ний, погрешностей, учете размыва наблюдаемых на приборах графиков, кривых, фазовых картин, что создает предпосылки для осмысления необ ходимости введения адекватного процессу инструментария. В частности, предлагается использовать эквидистанту, которая по отношению к исход ной кривой является своеобразным «размывом». В аналитическом плане – построение эквидистанты может быть отнесено к интегро дифференциальным преобразованиям исходных кривых. Эквидистанта об ладает определенным свойством сглаживания исходных кривых, изменяет их свойства, и, в свою очередь, может рассматриваться как реализация не которой процедуры аппроксимации над исходной аналитической зависи мостью, сглаживая, таким образом, переход к тем результатам, которые могут быть получены на приборной основе в эксперименте. Существен ным параметром в таких преобразованиях является высота эквидистанци рования p, определяющая точность аппроксимации, в дальнейшем – сте пень близости результатов к данным эксперимента.

Можно видеть, что для колебательных систем АЧХ имеет разрыв справа при (рис. 1.6), а в случае недемпфированных колебаний, то есть, когда d = 0, АЧХ систем имеет разрыв и на резонансных частотах.

Но площадь фигуры, ограниченной АЧХ колебательной системы и осями координат, имеет практическое значение. Например, как было показано выше, в теории автоматического управления она используется для по строения переходных процессов и оценки качества регулирования систе мы. Академик В.А. Трапезников [115] и его ученики использовали эту площадь для оценки энергоемкости системы. Но так как фигура, ограни ченная АЧХ и осями координат, незамкнута и ее площадь S =, а в случае d = 0 функция АЧХ еще и разрывна, то эту площадь точно вычислить нельзя. Существует много приближенных и инженерных методов ее вычисления.

Если замкнуть эту фигуру каким-либо образом в точках разрыва, то необходимую площадь можно будет вычислить точно. В данной работе предлагается замкнуть АЧХ с помощью эквидистанты.

Понятие эквидистанты ввел Н.И. Лобачевский, в его планиметрии существует три основных вида движений. Для одного из них и вводится понятие эквидистанты [68–71].

Линии, инвариантные (то есть сохраняющие свое положение) относи тельно всех сдвигов по одной прямой u, в планиметрии Лобачевского не являются прямыми, как в случае Евклида, а представляют собой особые кривые, называемые эквидистантами. Н.И. Лобачевский определял эту кривую следующим образом: если имеем пучок параллельных прямых и есть прямая, перпендикулярная всем прямым пучка, тогда кривая, лежащая на одном расстоянии от этой прямой и пересекающая каждую прямую пучка, называется эквидистантой. Или: «эквидистанта есть геометрическое место точек по одну сторону от прямой u на одинаковых расстояниях от нее» [43]. При этом прямая u называется базой эквидистанты, а величина расстояния p – высотой. Очевидно, что каждую прямую можно рассматри вать как эквидистанту с высотой p = 0. Заметим, что эквидистанта – кривая линия, так как справедлива теорема: «Каждая прямая имеет с эквидистан той не более двух общих точек». Доказательство ее приведены в [43, 114].

Справедливо также утверждение, что «высота эквидистанты есть ее нор маль» [43], [69–71]. Важно, что эквидистанта симметрична относительно любой ее нормали и все ее нормали перпендикулярны к одной прямой и, значит, расходятся.

Исходя из всего вышесказанного, эквидистанту к произвольной кри вой можно построить следующим образом: если в каждой точке исходной кривой (базе) мы построим нормаль, на этой нормали отложим отрезки длиной p, то, соединив концы этих отрезков, мы и получим эквидистанту, причем нормали исходной кривой должны являться нормалями эквиди станты (рис. 1.10).

эквидистанта p база Рис. 1.11. Эквидистанта к произвольной кривой Рис. 1.10. Эквидистанта к произвольной кривой 1.5. Выводы Анализируя публикации, связанные с АЧХ различных колебательных систем, видно, что в литературе достаточно подробно описаны прибли женные и инженерные методы вычисления площади фигуры, ограничен ной АЧХ системы и осями координат, но нет аналитических методов, при годных для анализа и вычисления интегральных характеристик. Поэтому и задачи данного исследования можно определить следующим образом:

1. Разработать алгоритмы и аналитические подходы для построения эквидистантных кривых в наиболее распространенных для научно технической практики ситуациях.

2. Развить методические подходы определения основных параметров эквидистантных кривых (площади фигуры, ограниченной эквиди стантной кривой и осями координат;

анализ особых точек;

опреде ление влияния различных параметров кривой).

3. Разработать и обосновать принципы построения программного комплекса для построения эквидистантных кривых к частотным характеристикам колебательных систем.

ГЛАВА ЭКВИДИСТАНТЫ К НЕКОТОРЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ КРИВЫМ, ИСПОЛЬЗУЕМЫМ ДЛЯ МОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ 2.1. Общие сведения Как отмечалось в главе 1, высота эквидистанты (расстояние до базы) всегда постоянна по всей длине кривой, значит, ее можно считать толщи ной этой эквидистантной кривой или ее параметром. По сути дела, строя эквидистанту, мы производим некоторое преобразование кривой. И это преобразование является интегрально-дифференциальным, так как для по строения эквидистанты нам необходимо знать производную исходной функции, чтобы построить нормаль, а затем через точки, отложенные на нормали, провести огибающую, что делает это преобразование интеграль ным.

Отметим на проективной плоскости произвольную прямую: условим ся называть ее бесконечно удаленной и обозначать символом. Совокуп ность проективных преобразований, автоморфных относительно прямой, является подгруппой проективной группы и называется аффинной группой.


Заметим, что преобразование группы преобразований G, преоб разующие в самое себя некоторое точечное множество U пространства M, называется автоморфным преобразованием. Автоморфизмы могут пе ремещать точки множества U, но только так, что каждая точка множества U перемещается в точку этого же множества. Аффинное преобразование переводит конечные точки проективной плоскости (не принадлежащие прямой ) в конечные же точки. В аффинной геометрии имеет место евк лидов постулат о параллельных и линейный порядок точек. Любые преоб разования вида x = a1 x + b1 y + c1, y = a 2 x + b2 y + c a1 b являются аффинными, если = 0. Аффинное преобразование a2 b является унимодулярным, если = ±1. Из [24] и [76] следует, что уравне ния эквидистант имеют вид:

xэ = x ± p cos ;

± (2.1.) ± y э = y ± p sin, где p – параметр эквидистанты, значение угла зависит от вогнутости исходной кривой и от ее расположения на координатной плоскости. Тогда определитель этого преобразования = = 1, значит, его можно отнести к аффинным унимодулярным преобразованиям.

Класс инвариантов аффинной унимодулярной группы шире класса инва риантов общей аффинной группы, и это инвариант трех произвольно рас положенных точек и унимодулярная геометрия имеет в числе своих объек тов площади фигур. Эквидистантное преобразование можно отнести к ор тогональным, так как оно удовлетворяет условиям ортогональности a12 + b12 = 1 + 0 = 1;

2 a 2 + b2 = 0 + 1 = 1;

a a + b b = 1 0 + 0 1 = 0, 12 где a1 = 1, b1 = 0, a 2 = 0, b2 = 1.

Ортогональная группа является подгруппой унимодулярной группы и имеет инвариант двух точек. Расстояние представляет собой основной ин вариант ортогональной геометрии, следовательно, геометрия ортогональ ной группы есть элементарная (евклидова) геометрия.

Можно провести следующую интерпретацию эквидистанты [43].

Пусть K 1 – овальная линия второго порядка, расположенная во внутрен ней области абсолюта K и касающаяся абсолюта в точках его пересечения с прямой l (рис. 2.1). Очевидно, что при гиперболическом зеркальном ото бражении относительно любой прямой, проходящей через точку L, яв ляющейся полюсом прямой l относительно абсолюта K, линия K 1 отра жается на себя. Значит, все хорды линии K 1, направленные в точку L, яв ляются гиперболически конгруэнтными отрезками;

кроме того, прямая l перпендикулярна к этим хордам и делит их пополам. Поэтому линия K 1 с точки зрения гиперболической геометрии представляет собой эквидистан ту с осью l.

L l K K Рис. 2.1. Интерпретация эквидистанты на евклидовой плоскости Рис. 2.1. Интерпретация эквидистанты на евклидовой плоскости С точностью до обозначений, эквидистантное преобразование можно отнести к преобразованиям группы Клейна, которая определяется соотно шениями x = r ( x cos y sin ) + u;

y = r (± x sin ± y cos ) + v.

Если = 0 + k, k = 0, 1, 2…, u = ± cos, v = ± sin, то получим равенства (2.1), которые определяют экв и экв +. Группа Клейна совпа дает с совокупностью таких преобразований евклидовой плоскости, кото рые получаются путем сочетания движений зеркальных отображений и изменения расстояния между всеми точками в r раз. Это преобразование подобия. Справедливо, что если подобные фигуры евклидовой плоскости считать эквивалентными, то евклидову геометрию можно рассматривать как геометрию группы Клейна.

Заметим, что эти рассуждения относительно эквидистантных преобра зований могут быть справедливы лишь при достаточно малых значениях параметра p, так как по мере роста p, то есть по мере удаления эквиди станты от исходной кривой, у нее появляются особенности – эквидистанты могут стать неоднозначными или разрывными кривыми (смотри приложе ния 1, 2).

Получим уравнения эквидистанты в векторном виде. Как видно из рис. 1 (приложение 1), на плоскости к произвольной кривой можно по строить две эквидистанты – внешнюю экв + и внутреннюю экв. Выведем векторное уравнение для экв, так как для экв + они получаются анало гично.

Очевидно, что ny n rэ = rx p x ;

ry p.

n n А так как r = r ( x;

y ), = r ( x;

y ), n = n ( y ;

x) и ( y )2 + ( x )2 ( x ) 2 + ( y ) 2, n= = то y y rэ x = x p =x+ p ;

( x ) 2 + ( y ) 2 ( x ) 2 + ( y ) x rэ y = y p.

( x ) 2 + ( y ) Или py px rэ = x +.

;

y ( x ) 2 + ( y ) 2 ( x ) 2 + ( y ) Аналогично получаем, что ny n rэ+ = rx+ + p x ;

r y+ + p n n и py px =x.

rэ+ ;

y+ ( x ) + ( y ) ( x ) 2 + ( y ) 2 Окончательно py (t ) px (t ) rэ (t ) = x(t ) +, ;

y (t ) (2.2) ( x ) + ( y ) ( x ) + ( y ) 2 2 2 py (t ) px (t ) = x(t ), rэ+ (t ) ;

y (t ) + (2.3) ( x ) 2 + ( y ) 2 ( x ) 2 + ( y ) где rэ± (t ) – радиус-векторы эквидистант (внутренней – экв, и внешней – экв + ), r = r ( x(t ), y (t )) – радиус-вектор исходной кривой, заданной в пара метрическом виде, p – параметр эквидистанты.

Для последующего использования рассмотрим кривые, параметриче ские уравнения которых зависят от одного параметра. К ним относятся та кие кривые как астроида, кардиоида, циссоида, декартов лист, логарифми ческая спираль и эвольвента. Рассмотрим каждую кривую и эквидистан ту к ней. Заметим, что в приложениях 1 и 2 внутренняя эквидистанта – экв изображена штриховой линией, а внешняя – экв + – штрихпунк тирной линией.

2.2. Однопараметрические кривые 1. Астроида Выражение для радиус-вектора кривой и радиус-вектора эквидистант имеют вид:

r = ( a cos 3 t ;

a sin 3 t ), rэ = ( a cos 3 t + p sin t ;

a sin 3 t + p cos t ), rэ+ = ( a cos 3 t p sin t ;

a sin 3 t p cos t ).

Исследуем эти уравнения. Для этого введем безразмерную величину µ – p относительный параметр эквидистанты. Положим, µ =, где p – пара a метр эквидистанты, a – параметр астроиды. Тогда r = a (cos 3 t, sin 3 t ) ;

rэ = a (cos 3 t + µ sin t ;

sin 3 t + µ cos t ) ;

rэ+ = a (cos 3 t µ sin t ;

sin 3 t µ cos t ).

Рассмотрим внутреннюю эквидистанту – экв.

Так как rэ = a(rx ;

ryэ ), то э rx = cos3 t + µ sin t ;

э ryэ = sin t + µ cos t.

Исследуем уравнения эквидистанты. Рассмотрим точки, когда rx или r y исходной кривой равны нулю. Возможны два случая:

1) cos t = 0, t =, t =.

2 Тогда rx = µ sin t, ryэ = sin 3 t, э а rx = µ, ryэ = 1;

t= при :

2 э rx = µ, ryэ = 1.

t= :

при 2 э Получили две точки (µ;

1) и (µ;

1), которые не лежат на осях координат, тогда как сама астроида пересекает ось ординат.

2) sin t = 0, t = 0, t =.

rx = cos 3 t, ryэ = µ cos t, Тогда э rx = 1, ryэ = µ;

t = 0:

а при э t = : rx = 1, ryэ = µ.

при э Получили две точки, не лежащие на осях координат – (1;

µ) и (1;

µ), хо тя астроида пересекает ось абсцисс.

Рассмотрим внешнюю эквидистанту – экв + :

rx+ = cos 3 t µ sin t ;

э + ryэ = sin t µ cos t.

Аналогично предыдущему возможны два случая:

1) cos t = 0, t =, t =.

2 rx+ = µ sin t, ry+э = sin 3 t, Тогда э rx+ = µ, ry+э = 1;

t= а при :

2 э rx+ = µ, ry+э = 1.

t= :

при 2 э Эти точки – (µ;

1) и (µ;

1) лежат во втором и четвертом квадранте, сим метрично аналогичным точкам для экв.

2) sin t = 0, t = 0, t =.

Тогда rx+ = cos 3 t, ry+э = µ cos t, э rx+ = 1, ry+э = µ;

t = 0:

а при э rx+ = 1, ry+э = µ.

t = :

при э Полученные точки (1;

µ) и ( 1;

µ) также лежат во втором и четвертом квадрантах, симметрично аналогичным точкам экв.

Очевидно, что величина µ может быть меньше, равна и больше еди ницы, и в зависимости от этого значения у данной кривой и внутренняя, и внешняя эквидистанты имеют особенности, но обе разрывны. И при одном значении параметра p ветви внутренней и внешней эквидистант пересе каются, образуя замкнутую линию (прилож. 1, рис. 2 д), то есть µ = µ + э э (рис. 2, приложение 1).

2. Кардиоида Уравнения имеют вид:

r = (a (2 cos t cos 2t );

a (2 sin t sin 2t )), rэ = 2a cos t a cos 2t + p sin t ;

a (2 sin t sin 2t ) p cos t, rэ+ = a (2 cos t cos 2t ) p sin t ;

a (2 sin t sin 2t ) + p cos t.

p Введем безразмерную величину µ =, где a – параметр кардиоиды, a тогда уравнения экв и экв + примут вид:

3 rэ = a(2 cos t cos 2t + µ sin t ;

2 sin t sin 2t µ cos t ) ;

2 3 rэ+ = a(2 cos t cos 2t µ sin t ;

2 sin t sin 2t + µ cos t ).

2 Рассмотрим экв. Пусть 1) cos t = 0, t =, t =.

2 rэ = cos 2t + µ sin t ;

Тогда rэ = 2 sin t sin 2t µ cos t.

rxэ = 1 + µ ;

Если t =, то 2 r = 2 + µ, yэ rxэ = 1 + µ ;

3 t= если, то 2 r = 2 µ 2.

yэ sin t = 0, t = 0, t =.

2) Пусть rxэ = 2 cos t cos 2t + µ sin 2 t ;

Тогда ryэ = 2 sin t sin 2t µ cos t.

rx = 1;

э Если t = 0, то ryэ = µ, rx = 3 µ;

э если t =, то ryэ = 0.

Возьмем теперь экв +.

В этом случае + rxэ = 2 cos t cos 2t µ sin t ;

ry+э = 2 sin t sin 2t + µ cos t.

Если:

1) cos t = 0, t =, t =, 2 + rxэ = cos 2t µ sin t ;

а ry+э = 2 sin t sin 2t + µ cos t.

+ rxэ = 1 µ ;

Если t =, то 2 r + = 2 µ, yэ + rxэ = 1 µ ;

3 t= если, то 2 r + = 2 + µ 2.

yэ 2) sin t = 0, t = 0, t =, + rxэ = 2 cos t cos 2t µ sin 2 t ;

тогда ry+э = sin 2t + µ cos t.

rx+ = 1;

э Если t = 0, то + ryэ = µ, rx+ = 3 + µ;

э если t =, то + ryэ = 0.

Случаи, когда другие члены уравнений rэ и rэ+ равны нулю, рассмотрены в приложении 3.

У данной кривой внешняя и внутренняя эквидистанты зависят от зна чения µ. Некоторые особенности эквидистант для кардиоиды представле ны на рис. 3 (прилож. 1).


3. Циссоида Из уравнений (2.2) и (2.3) получаем 2a 2a r = 2 t + 1` t (t + 1), ;

2a p (3t 2 + 1) 2 pt 2a rэ = 2, + ;

t +1 t (t + 1) 4 2 4 9t + 10t + 1 9t + 10t + 2a p (3t 2 + 1) 2 pt 2a.

rэ+ = 2 + ;

2 t +1 9t + 10t + 1 t (t + 1) 4 2 4 9t + 10t + У этой кривой внутренняя эквидистанта строится справа, а внешняя – слева. Это связано с направлением нормали к исходной кривой. Для обеих ветвей кривой эквидистанты строятся симметрично.

Введем аналогично предыдущим кривым безразмерную величину p µ=, где p – параметр эквидистанты, a – параметр кривой. Тогда a 2 µ(3t 2 + 1) 2µt = a 2, rэ + ;

t +1 t (t + 1) 4 2 4 9t + 10t + 1 9t + 10t + 2 µ(3t 2 + 1) 2µt rэ+ = a 2.

+ ;

t +1 t (t + 1) 4 2 4 9t + 10t + 1 9t + 10t + Рассмотрим случаи, когда знаменатели дробей равны нулю.

1) t 2 + 1 = 0 t 2 = 1 – действительных решений нет.

2) t (t 2 + 1) = 0 t = 0.

Тогда rx = 2 µ;

rx+ = 2 + µ;

э э + ryэ = 0, ryэ = 0.

3) 9t 4 + 10t 2 + 1 = 0 t1, 2 = 5 ± 25 36 – нет действительных кор ней.

Значит, экв и экв + могут иметь разрыв только при t = 0. Обе кривые изображены на рис. 4 (прилож. 1).

4. Декартов лист Уравнения имеют вид:

3at 3at r = 1 + t 3 ;

1 + t 3, 3at pt (2 t 3 ) p (1 2t 3 ) 3at, rэ = + ;

1 + t 3 3 1+ t (1 2t 3 ) 2 + t 2 (2 t 3 ) 2 32 (1 2t ) + t (2 t ) 3at pt (2 t 3 ) p (1 2t 3 ) 3at.

+ rэ = + ;

1 + t 3 3 1+ t (1 2t 3 ) 2 + t 2 (2 t 3 ) 2 32 (1 2t ) + t (2 t ) p Введем величину µ =. Тогда уравнения примут вид:

a 3t µt ( 2 t 3 ) µ (1 2t 3 ) 3t, rэ =a + ;

1 + t 3 (1 2t 3 ) 2 + t 2 (2 t 3 ) 2 1 + t (1 2t 3 ) 2 + t 2 (2 t 3 ) 3t µt ( 2 t 3 ) µ (1 2t 3 ) 3t rэ+ = a.

+ ;

1 + t 3 (1 2t 3 ) 2 + t 2 (2 t 3 ) 2 1 + t (1 2t 3 ) 2 + t 2 (2 t 3 ) Рассмотрим случаи, когда знаменатели дробей равны нулю.

1) 1 + t 3 = 0 t = 1.

+ 2 rxэ = µ rx э = µ ;

;

2и Тогда 2 r + = µ 2.

r = µ, yэ yэ 2) (1 2t 3 ) 2 + t 2 ( 2 t 3 ) = 0 или 4t 6 t 5 4t 3 + 2t 2 1 = 0.

Аналитическое решение этого уравнения найти затруднительно.

Внутренняя и внешняя эквидистанты для различных значений µ изо бражены на рис. 5 (прилож. 1).

5. Логарифмическая спираль и эвольвента Уравнения для спирали имеют вид:

( ), r = a t cos t ;

a t sin t p(ln a sin t + cos t ) t p(ln a cos t sin t ) rэ = a t cos t +, ;

a sin t 2 ln a + 1 ln a + p(ln a sin t + cos t ) t p(ln a cos t sin t ) rэ+ = a t cos t.

;

a sin t + 2 ln a + 1 ln a + p Введем величину µ =, получим a µ(ln a sin t + cos t ) t 1 µ(ln a cos t sin t ) rэ = a a t 1 cos t +, ;

a sin t ln 2 a + 1 ln 2 a + µ(ln a sin t + cos t ) t 1 µ(ln a cos t sin t ) rэ+ = a a t 1 cos t.

;

a sin t + 2 ln a + 1 ln a + Рассмотрим экв :

1) cos t = 0 t =, t =.

2 ln a sin t rxэ = µ ;

ln a + Тогда µ sin t ryэ = a t 1 sin t +.

ln a + ln a rxэ = µ ;

ln 2 a + Если t =, то µ 2 ry = a 2 sin t +.

э ln a + ln a rxэ = µ ;

ln a + Если t =, то µ 2 ry = (a 2 sin t + ).

э ln 2 a + 2) sin t = 0 t = 0, t =.

cos t t rxэ = a cos t + µ ;

ln 2 a + В этом случае µ ln a cos t ryэ =.

ln 2 a + 1 rxэ = + µ ;

a ln 2 a + Если t = 0, то µ ln a ryэ =, ln 2 a + rxэ = (a 1 cos t + µ );

ln a + если t =, то µ ln a ry =.

э ln 2 a + ln 2 a + 1 0, так как ln a 0 всегда и a t 1 0.

3) Рассмотрим экв +.

Если 1) cos t = 0 t =, t = и 2 + ln a sin t rxэ = µ ;

ln a + µ sin t ryэ = a t 1 sin t.

ln 2 a + + ln a rxэ = µ ;

ln a + Тогда при t = µ 2 ry+ = a 2, э ln a + + ln a rxэ = µ ;

ln a + t= а если, то µ 2 3 ry+ = (a 2.

э ln 2 a + 2) sin t = 0 t = 0, t =.

+ cos t t rxэ = a cos t µ ;

ln 2 a + Тогда µ ln a cos t ry+э =.

ln 2 a + + 1 rxэ = µ ;

a ln 2 a + Если t = 0, то µ ln a ry+э =, ln 2 a + + rxэ = a 1 cos t + µ ;

ln a + если t =, то µ ln a ry+э =.

ln a + Для эвольвенты уравнения имеют вид:

r = (a(cos t + t sin t );

a (sin t t cos t )), rэ = ( a (cos t + t sin t ) + p sin t ;

a (sin t t cos t ) p cos t ), rэ+ = ( a (cos t + t sin t ) p sin t ;

a (sin t t cos t ) + p cos t ).

p Введем величину µ =. Тогда a rэ = a (cos t + t sin t + µ sin t ;

sin t t cos t µ cos t ), rэ+ = a (cos t + t sin t µ sin t ;

sin t t cos t + µ cos t ).

Будем рассматривать внутреннюю и внешнюю эквидистанты одновремен но.

1) cos t = 0 t =, t =. Тогда 2 + rxэ = t sin t + µ sin t ;

rxэ = t sin t µ sin t ;

ryэ = sin t, ryэ = sin t.

+ rxэ = + µ;

rxэ = µ;

Если t =, то и 2 2 ryэ = 1;

ryэ = 1.

3 + rxэ = ( + µ);

rxэ = µ;

Если t =, то 2 2 ryэ = 1, ryэ = 1.

2) sin t = 0 t = 0, t =.

rx = cos t ;

rx+ = cos t ;

э э Тогда ryэ = (t cos t + µ cos t ), ryэ = t cos t + µ cos t.

rx = 1;

rx+ = ;

э э Если t = 0, то ryэ = µ, ryэ = µ, rx = 1;

rx+ = 1;

э э если t =, то ryэ = + µ, ryэ = µ.

Графики эвольвенты и логарифмической спирали похожи, хотя урав нения кривых различны, но эквидистанты для них имеют общие особенно сти (рис. 6, 7, прилож. 1).

В заключение можно сказать, что практически для всех рассмотрен ных кривых внешние эквидистанты не имеют особенностей. Наиболее ин тересные для дальнейшего изучения особенности встречаются у внутрен них эквидистант. Для некоторых непрерывных кривых (астроида, кардио ида) эквидистанты являются разрывными кривыми.

2.3. Особенности эквидистанты к кривым, уравнения которых зависят от двух параметров Рассмотрим некоторые математические кривые, параметрические уравнения которых зависят от двух параметров. К ним можно отнести эл липс, параболу, гиперболу, улитку Паскаля и другие. Найдем общие зако номерности эквидистант для этих кривых.

Рассмотрим каждую кривую отдельно.

1. Эллипс Уравнения для радиус-вектора кривой и радиус-вектора эквидистант имеют вид:

r = (a cos t ;

b sin t ), pb pa rэ = cos t a, ;

sin t b 2 2 2 2 2 2 a sin t + b cos t a sin t + b cos t pb pa rэ+ = cos t a +.

;

sin t b + 2 2 2 2 2 2 a sin t + b cos t a sin t + b cos t p Для этой кривой введем безразмерную величину µ =. Тогда уравнения a примут вид:

µb µa b rэ = a cos t 1 ;

a sin t a, b2 b sin 2 t + 2 cos 2 t sin 2 t + 2 cos 2 t a a µb b a rэ+ = a cos t 1 + ;

a sin t +.

a 2 b b sin 2 t + 2 cos 2 t sin 2 t + 2 cos 2 t a a Возьмем экв +.

1) cos t = 0 t =, t =.

2 rx+ = 0;

э Тогда + ryэ = b sin t + µa.

rx+ = 0;

э Если t =, то + ryэ = b + µa, 2 rx+ = 0;

э если t =, то + ryэ = b + µa.

2 2) sin t = 0 t =, t = 0.

rx+ = a cos t + µa 2 ;

э Тогда + ryэ = 0.

rx+ = a(1 + µa);

э Если t = 0, то + ryэ = 0, rx+ = a(1 + µa);

э если t =, то + ryэ = 0.

Получили точки, лежащие на осях координат, то есть точки пересечения экв + с осями координат.

Аналогично рассмотрим экв.

1) cos t = 0 t =, t = 2 rx = 0;

э и ryэ = b sin t µa.

rxэ = 0;

Если t =, то ryэ = b µa, 2 rx = 0;

э если t =, то ryэ = b µa.

2 2) sin t = 0 t =, t = rx = a cos t µa 2 ;

э и ryэ = 0.

rx = a(1 µa);

э Если t = 0, то ryэ = 0, rxэ = a(1 µa);

если t =, то ryэ = 0.

Получили точки пересечения экв с осями координат.

µa b + = 0.

3) a b sin 2 t + 2 cos 2 t a µa b – это равенство невозможно, так как µ 0 по оп = a b sin 2 t + 2 cos 2 t a b ределению, a, b 0 и a 0, b 0, а sin 2 t + cos 2 t 0 всегда.

a µb Аналогично 1 + 0.

b sin 2 t + 2 cos 2 t a µb 4) Если 1 = 0, то b sin 2 t + 2 cos 2 t a b sin 2 t + cos 2 t a µ= b rxэ = 0;

и ba ry э = a sin t ( ).

ab µa b = 0, то 5) Аналогично, если a b sin t + 2 cos 2 t a b2 b b sin t + 2 cos 2 t rxэ = a cos t 1 2 ;

a a µ=, получим a r = 0.

yэ Эквидистанты для эллипса изображены на рис. 1 (прилож. 2).

2. Улитка Паскаля Здесь возможны два варианта: a L и a L, где a и L – параметры кривой.

Рассмотрим первый случай ( a L ). Уравнения для кривой и эквиди стант имеют вид:

r = (cos t ( a cos t + L );

sin t ( a cos t + L ) ), p(a cos 2t + L cos t ) cos t (a cos t + L) + ;

2 a + L + 2aL cos t rэ+ = p(a sin 2t + L sin t ) sin t (a cos t + L) +, 2 a + L + 2aL cos t p (a cos 2t + L cos t ) cos t (a cos t + L) ;

2 a + L + 2aL cos t rэ = p (a sin 2t + L sin t sin t (a cos t + L).

a 2 + L2 + 2aL cos t p Введем безразмерную величину µ =. Тогда при условии a L урав a нения примут вид:

L µ(cos 2t + cos t ) L a cos t (cos t + ) + ;

a L2 L 1 + 2 + 2 cos t a a rэ+ = a L µ(sin 2t + sin t ) sin t (cos t + L ) + a, a L L 1 + 2 + 2 cos t a a L µ(cos 2t + cos t ) L a cos t (cos t + ) ;

a L L 1 + + 2 cos t a a rэ = a L µ(sin 2t + sin t ) L a sin t (cos t + ).

a L L 1 + 2 + 2 cos t a a Рассмотрим экв + :

1) cos t = 0 t =, t =.

2 µ cos 2t + rxэ = a ;

L 1+ a Тогда L µ(sin 2t + sin t ) + L a ryэ = a ( a sin t + ).

L 1+ a µ + rxэ = a ;

L 1+ a Если t =, то µL 2 ry+э = L +.

L 1+ a L Заметим, что 1 + 0 всегда.

a µ + rxэ = a ;

L 1+ 3 a Если t =, то µL 2 ry+э = ( L + ).

L 1+ a 2) sin t = 0 t = 0, t =.

L µ(cos 2t + cos t ) + L a rxэ = a[cos t (cos t + ) + ;

a L2 L 1 + 2 + 2 cos t Тогда a a + µa sin 2t ryэ =.

L L 1 + 2 + 2 cos t a a rx+ = a + L + µa;

э Если t = 0, то + ryэ = 0, rx+ = a L + µa;

э если t =, то + ryэ = 0.

Это две симметричные точки на оси абсцисс, соответствующие точкам пе ресечения исходной кривой с этой осью.

3) cos 2t = 0 t =, t =.

4 µL cos t + L rxэ = a[cos t (cos t + ) + ];

a 2 a + L + 2aL cos t L µ(sin 2t + sin t ) Тогда + L a ryэ = a[sin t (cos t + ) +.

a L L 1 + 2 + 2 cos t a a µL r + = a[ 1 + 21 + ];

xэ 2 2a 2 a + L + aL L Если t =, то µ(1 + ) 4 2a r + = a[ 1 + + ], yэ 2 2a L L 1+ 2 + a a µL r + = a[ 1 21 ];

xэ 2 2a a 2 + L2 aL 3 L если t =, то µ ( 1 + ) 4 2a r + = a[ 1 + + ].

yэ 2 2a L 1 + 2 aL a 4) sin 2t = 0 t = 0, t =.

L µ(cos 2t + cos t ) + L a rxэ = a[cos t (cos t + ) + ];

a L L 1 + 2 + 2 cos t Тогда a a µL sin t r + = a[sin t (cos t + L ) +.

yэ a a 2 + L2 + 2aL cos t rx+ = a + L + µa;

э Если t = 0, то + ryэ = 0, µa + rxэ = ;

L 1+ если t =, то a 2 + µaL ryэ = L +.

a 2 + L 5) a, L 0 и a, L 0 как параметры кривой, значит выражение a 2 + L2 + 2aL cos t 0 и положительно.

Рассмотрим экв.

1) cos t = 0 t =, t =.

2 µa cos 2t rxэ = ;

L 1+ a Тогда µ(a sin 2t + L sin t ) ryэ = L sin t.

L 1+ a µa rxэ = ;

L 1+ a Если t =, то µL 2 ryэ = L, L 1+ a µa rxэ = ;

L 1+ 3 a Если t =, то µL 2 ryэ = L +.

L 1+ a 2) sin t = 0 t = 0, t =.

L µ(cos 2t + cos t ) L a rxэ = a[cos t (cos t + ) ];

a L2 L 1 + 2 + 2 cos t Тогда a a µa sin 2t ryэ =.

L L 1 + 2 + 2 cos t a a rx = a + L µa;

э Если t = 0, то ryэ = 0, rx = a L µa;

э если t =, то ryэ = 0.

3) cos 2t = 0 t =, t =.

4 µL cos t ) L rxэ = a[cos t (cos t + a ) ];

a 2 + L2 + 2aL cos t L µ(sin 2t + sin t ) Тогда L a ryэ = a[sin t (cos t + ).

a L L 1 + 2 + 2 cos t a a µL 1 rxэ = a[ + ];

2 2 a 2 a 2 + L2 + aL L µ(1 + Если t =, то ) 2a 1 4 ryэ = a[ + ], 2 2a L2 L 1+ 2 + a a µL r = a[ 1 2 1 + 2 ];

xэ 2 2a 2 a + L + aL 3 L если t =, то µ(1 + ) 4 2a r = a[ 1 + 2 1 ].

yэ 2 2a L2 L 1+ 2 + a a 4) sin 2t = 0 t = 0, t =.

L µ(cos 2t + cos t ) L a rxэ = a[cos t (cos t + ) ];

a L L 1 + 2 + 2 cos t a a Тогда L µ sin t r = a[sin t (cos t + L ) a.

yэ a L2 L 1 + 2 + 2 cos t a a rx = a + L µa;

э Если t = 0, то ryэ = 0, µ rxэ = a ;

L 1+ a если t =, то µL 2 ryэ = L.

L 1+ a p Второй случай ( a L ). Примем величину µ равной µ =. Тогда по L лучим уравнения для внешней и внутренней эквидистант:

a µ( cos 2t + cos t ) a L cos t ( cos t + 1) + ;

L a a 1 + 2 + 2 cos t L L rэ+ = L a µ( sin 2t + sin t ) sin t ( a cos t + 1) + L, L a2 a 1 + 2 + 2 cos t L L a µ( cos 2t + cos t ) a L cos t ( cos t + 1) ;

L a a 1 + 2 + 2 cos t L L rэ = L a µ( sin 2t + sin t ) sin t ( a cos t + 1) L.

L a a 1 + 2 + 2 cos t L L Рассмотрим экв + ;

при cos t = 0 имеем:

µ cos 2t + rxэ = a ;

a 1+ L a µ( sin 2t + sin t ) + L ryэ = L(sin t + );

a 1+ L µa + rxэ = ;

a 1+ L и при t = получим µL 2 ry+э = L +.

a 1+ L Значение rx+э, ry+э при a L, cos t = 0 и t = отличаются от аналогич ных значений rx+э, ry+э для случае a L выражением в знаменателе. Значе ния знаменателей при a = L1, L = a1 и a L1, a1 L, равны, то есть a2 L 1+ 2 = 1+ 2.

L a Следовательно, при введении безразмерной величины µ необходимо брать наибольший из параметров исходной кривой a и L. Эквидистанты к улитке Паскаля для рассмотренных случаев приведены на рис. 2, 3 (при ложение 2).

3. Гипербола Уравнения имеют вид:

a r = ;

b tgt, cos t a pb pa sin t rэ+ =, + ;

b tgt cos t a 2 sin 2 t + b 2 a 2 sin 2 t + b a pb pa sin t rэ =.

;

b tgt + cos t a 2 sin 2 t + b 2 a 2 sin 2 t + b p. Уравнения экв и экв + по Введем безразмерную величину µ = a сле преобразований примут вид:

b µ µ sin t 1 b a rэ+ = a + ;

tgt, cos t b2 a b 2 sin t + 2 sin t + a a b µ µ sin t 1 b a rэ = a ;

tgt +.

cos t b2 a b 2 sin t + 2 sin t + a a Исследуем эти уравнения. Рассмотрим экв +.

1) cos t = 0 t =, t = – вертикальные асимптоты исходной кри 2 вой.

2) sin t = 0 t = 0, t =.

+ 1 rxэ = a cos t + µ ;

Тогда ry = b tgt.

э a rx+ = a(1 + µ );

э Если t = 0, то ryэ = 0, rx+ = a( 1 + µ );

э если t =, то ryэ = 0.

3) tgt = 0 t = 0, t =.

Очевидно, что значения rx+э и ry+э при равных значениях t равны. Действи тельно, b r + = a 1 + µ a ;

cos t xэ b sin t + a µ sin t ryэ = ;

b sin 2 t + a rxэ = a(1 + µ );

+ t = 0 имеем и при ryэ = 0.

rxэ = a( 1 + µ );

+ Аналогично, при t = ryэ = 0.

Найдены значения t, при которых ry+э = 0.

µb 1 a + = 0.

cos t sin 2 t + b a b2 b2 b cos t sin 2 t + sin 2 t + 0, + µ = 0.

Так как то a2 a a После несложных преобразований получаем b2 t sin + a.

µ=± b cos t a Но по определению µ 0, значит, в этой формуле надо брать знак плюс.

Рассмотрим экв.

b r = 1 µ a ;

cos t xэ b sin t + a µ sin t ryэ = tgt +.

a b sin 2 t + a 1) cos t 2) sin t = 0 t = 0, t =.

rxэ = cos t µ;

Тогда b ryэ = tgt.

a rxэ = 1 µ;

Если t = 0, то ryэ = 0, rxэ = (1 + µ);

если t =, то ryэ = 0.

3) tgt = 0 t = 0, t =.

Как и в случае с экв +, значения rxэ и ryэ при t = 0 и t = будут те же.

µb 1 a rxэ = 0.

4) Если =0, то cos t sin 2 t + b a b sin t + a 2. Для этой кривой Отсюда с учетом условия µ 0 получаем µ = b cos t a внешняя эквидистанта строится справа для обеих ветвей, а внутренняя – слева. Это связано с направлением нормали к исходной кривой. Эквиди станта для некоторых значений µ представлена на рис. 4. (приложение 2).

4. Парабола Уравнения кривой и эквидистанты имеют вид:

r = (t ;

2a(t b) ), p 2(t b) pa rэ = t +, ;

2a (t b) 2(t b) + a 2a (t b) + a p 2(t b) pa rэ+ = t.

;

2a (t b) + 2(t b) + a 2a (t b) + a p Введем величину µ =. Тогда a µa µ rэ = t + ), ;

2a (t b) ( 2(t b) 2(t b) +1 1+ a a µa µ rэ+ = t ).

;

2a (t b) (1 + 2(t b) 2(t b) 1+ 1+ a a Рассмотрим экв.

µa rxэ = t + ;

2(t b) 1+ a µ ryэ = 2a (t b) (1.

2(t b) 1+ a 2(t b) 0. Так как a 0, то a + 2(t b) 0, но a 0 как 1+ 1) a параметр кривой, значит, разность (t b) должна быть положительной.

2a(t b) = 0 или t = b, так как a 0.

2) µa 3) rx = 0 t + = 0, 2(t b) э 1+ a 2(t b) что невозможно, так как по определению µ, a, t 0 и 1 + 0.

a µ = 0 2a(t b) = 0 и 1 = 0.

4) ryэ 2(t b) 1+ a 2(t b) t =b µ = 1+ Тогда и.

a Рассмотрим экв +.

µa + rxэ = t ;

2(t b) 1+ a µ ry+э = 2a (t b) (1 +.

2(t b) 1+ a µa 1) rx+ = 0 t =0.

2(t b) э 1+ a 2(t b) t Отсюда получаем µ = 1+.

a a 2(t b) 2) ry+э = 0 получаем t = b или µ + 1 + = 0, что невозможно.

a Эквидистанта к параболе при некоторых значениях µ изображена на рис. 5 (приложение 2).

В результате исследований получили, что внешняя эквидистанта для рассмотренных кривых, параметрические уравнения которых зависят от двух параметров, не имеет особенностей. Только улитка Паскаля в случае a L имеет особенности у внешней эквидистанты.

Из всего вышесказанного можно сделать следующие обобщения.

1) Замкнутые кривые: астроида, эллипс.

Внутренняя эквидистанта, а у астроиды и внешняя, проходит ряд из менений в процессе неограниченного роста параметра эквидистанты p. И при p кривые зеркально отображаются относительно координатной оси, а у эллипса меняются местами большая и малая полуоси.

Внешняя эквидистанта эллипса не имеет особенностей при p и стремится к окружности.

2) Замкнутые кривые с особенностями: кардиоида, улитка Паскаля.

Внешние эквидистанты у этих кривых не имеют особенностей, повто ряя кривую. Внутренняя эквидистанта у улитки Паскаля при любом соче тании параметров a и L проходит ряд этапов и при p кривая снова зеркально отображается. У кардиоиды внутренняя эквидистанта является разрывной.

3) Разрывные кривые: циссоида, декартов лист, эвольвента, логариф мическая спираль, гипербола, парабола.

Эквидистанта, которая строится с внешней стороны кривой или ветви кривой (гипербола), не имеет особенностей и сохраняет форму кривой, удаляясь от нее.

У эквидистанты, которая строится внутри кривой, появляются осо бенности по мере роста параметра p и при p исходная кривая стре мится отобразиться зеркально.

Отметим также, что для кривых, уравнения которых зависят от двух параметров, найдена общая зависимость между параметром эквидистанты p и параметрами кривой и :

p = ± ( ), 0 1.

Для кривых, уравнения которых зависят от одного параметра, найде ны локальные зависимости между параметрами исходной кривой и пара метром эквидистанты.

Таким образом, данный подход требует определенных навыков при работе с экспериментальными данными. Введение эквидистант позволяет строить некоторые интегральные характеристики, и они сильно зависят от параметра эквидистанты, то есть от ее высоты. Практическая рекоменда ция: выбирать этот параметр необходимо не произвольно, а методом, схо жим с общими оценками погрешности процентных значений по отноше нию к базовым параметрам исходных динамических моделей.

2.4. Частный случай гиперболы, функция y = x Рассмотрим частный случай гиперболы y =. Будем изучать только x правую ветвь, так как левая идентична. Построим внутреннюю эквиди станту – экв, так как она пересечется с осями координат OX и OY, обра зуя замкнутую фигуру (рис. 2.2).

Площадь фигуры, ограниченной кривой y = и осями координат OX x и OY, является бесконечной, то есть S= dx = +.

x Если построим эквидистанту, то фигура, ограниченная экв, осями OX и OY, уже будет иметь конечную площадь. И очевидно, что величина пло щади S будет зависеть от параметра p.

y a y= x O a1 x экв Рис. 2.2 Функция y = 1 и ее эквидистанта Рис. 2.2. Функция y = x и ее эквидистанта x Известно, что кривая y = симметрична относительно прямой y = x.

x Так как эквидистанта строится на одном расстоянии в каждой точке, то значение т.т. a1 и a 2 – т.т. пересечения экв с осями координат OX и OY – совпадут, то есть a1 = a 2 = a (рис. 2.2).



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.