авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«В.Е. ГОЗБЕНКО, Е.М. ЛЫТКИНА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКВИДИСТАНТ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ ИРКУТСК 2010 ...»

-- [ Страница 2 ] --

Тогда построение экв будет равносильно сдвигу начала координат т. О на расстояние p вдоль оси симметрии кривой y =. Таким образом, x начало координат сдвигается в т. O'(q, q), причем q 1 и p=q (рис. 2.3). Тогда по известным формулам сдвига системы координат имеем:

x = x + q, y = y + q.

В новых координатах исходная функция примет вид:

y = q.

x + q Площадь вычисляется по формуле a 1 q dx = (ln x + q qx ) 0 = ln a + q ln q qa.

a S= x + q 0 Из этих формул видно, что S конечна и является функцией от пере менной q, то есть S = S (q). Величина a также зависит от q и a =1/ q.

Для получения абсолютных оценок разделим почленно выражение для площади S на величину a, тем самым введем безразмерную величину ~S S =. Тогда a ~1 a S = ln1 + q.

q a y y x q y= O x Oq x Рис. 2.3. Сдвиг осей координат вдоль прямой y = x xна величину q q Сдвиг осей координат вдоль прямой y= на величину Рис. 2.3.

~ ~ Найдем производные S (q ) и S (a ) как функции чувствительности функции S от параметров a и q:

1 + q(a + q ) a+q 1 ~ ~ S (a ) = S (q ) = 2 ln +,.

q(a + q) a (a + q) q a Уравнение эквидистанты в координатной форме имеет вид:

x э = x p cos, y э = y p sin, где (x;

y) – текущая точка исходной кривой, ( x э ;

y э ) – соответствующая точка экв, p – параметр экв, – угол между нормалью к исходной кривой и положительным направлением оси OX.

~ ~ Из формул производных S (a ), S (q ) и графиков функций ~ ~ ~ S (q ), S (a ), S (q ), S (a ) видно, что S (q ) 0 для любого q и при q график становится положе. Точка q =0 является критической точкой гра ~ фика S (q ) и функции S (q ). При q =0 площадь фигуры бесконечна, так как в этом случае т. О' совпадает с т. О и получаем исходную кривую. Ве личины q и p связаны соотношением:

p=q и очевидно, что при p 1 площадь S будет уменьшаться, а затем станет отрицательной. Исследования показали, что при 1,16 p 1,17 площадь меняет знак. При этом 1,13 a 1,31, а 0,763 q 0,765. При p, близком к 2 у экв, появляются особенности, которые были описаны выше.

y= Таким образом, для симметричной функции построение x экв равносильно сдвигу системы координат, который замыкает фигуру, ограниченную кривой и осями координат, функция площади S зависит от ~ параметра эквидистанты p, что видно из анализа графиков S (q ) и S (q ), p где q =.

ГЛАВА ПОСТРОЕНИЕ ЭКВИДИСТАНТНЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ МОДЕЛЕЙ В ВИДЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 3.1. Уравнения эквидистанты в координатной форме В главах 1 и 2 введено понятие эквидистанты и выведены уравнения в векторной форме. Но векторные уравнения не удобны для расчетов, так как в них используются параметрические уравнения исходной кривой.

Вывод параметрических уравнений обычно связан с громоздкими вычислениями, и если функция имеет сложное аналитическое выражение, то это бывает вообще невозможно сделать.

экв экв + Поэтому получим уравнения эквидистант – и в координатной форме.

Условимся считать внутренней ту эквидистанту, которая лежит между исходной кривой и осью абсцисс.

y A + A э экв+ B C p y=f(x) B C + x x0 б) a) э Рис. 3.1. Построение экв+ к произвольной кривой y=f(x) Рис. 3.1. Построение экв к произвольной кривой y = f ( x ) + Рассмотрим произвольную кривую y = f (x) (рис. 3.1) и построим к ней эквидистанты, как описано в главе 1. Для определенности возьмем + xэ = x0, + экв с параметром p. Из рис. 3.1, а видно, что + y э = y0 +, + + где и const и равны = x0 xэ, = y э y0.

Определим и. Для этого рассмотрим треугольник АВС (рис. 3.1 б).

Очевидно, что = 90 +, tg = y, где – угол между нормалью к кривой и положительным направлением оси OX;

– угол между касательной к кривой y = f (x) и положительным направлением оси OX.

Гипотенуза АВС равна АС= p, так как по построению эквидистанты это нормаль к кривой y = f (x) в точке x 0. Тогда, так как cos µ =, sin µ =, p p cos µ = cos = 180° µ, sin µ = sin, а то и получим, что = p cos, = p sin и, окончательно, имеем:

+ x э = x 0 + p cos, (3.1) + y э = y 0 + p sin, где = 90 +, tg = f ( x0 ).

Аналогично получаем уравнение экв (рис. 3.2 а, б). То есть по x э = x0, y э = y 0 ;

= 90, tg = y. Из построению имеем:

АВС получим = p cos, = p sin и x э = x0 p cos, (3.2) y э = y 0 p sin, где = 90, tg = f ( x0 ).

Как видим из формул (3.1) и (3.2), значение угла зависит от того, какую эквидистанту – экв или экв + мы строим. Но угол также зависит и от исходной кривой: в какой четверти она располагается, убывает или возрастает – и от направления выпуклости функции. В результате исследований были получены 4 вида зависимостей угла от угла для различных исходных кривых.

y C C y p B A э y=f(x) B A экв 0 x э- x0 x а) б) Рис. 3.2. Построение для произвольной кривой вой ( x ) Рис. 3.2. Построение эквэкв для произвольной криy = fy=f(x) В дальнейшем будем использовать формулы (3.1) и (3.2) для построения эквидистант с учетом выражения для угла.

Перейдем к построению эквидистантных частотных характеристик для различных механических систем и покажем, что эквидистанта замыкает АЧХ системы. Tакже покажем, что площадь S фигуры, ограниченной эквидистантной частотной характеристикой, можно вычислить аналитически.

Зависимости значения угла от угла для различных исходных кривых в зависимости от их монотонности, направления выпуклости и расположения относительно осей координат:

I. = 90° y y y O O xO x x 3) y 0, y 1) y 0, y 0 2) y 0, y II. = + 90°.

y y y y x x O O x x 3) y 0, y 0 4) y 0, y 2) y 0, y 1) y 0, y y y x x 5) y 0, y 4) y 0, y III. = 90°.

y y y y x x x x 2) y 0, y 0 3) y 0, y 1) y 0, y 0 4) y 0, y IV. = 270°.

y y y x x x 1) y 0, y 0 2) y 0, y 0 3) y 0, y 3.2. Исследование возможностей применения эквидистанты к характеристикам колебательных систем с одной степенью свободы Рассмотрим колебательную систему с одной степенью свободы, со стоящую из пружины, массы и демпфера. Возмущение в системе происхо дит за счет периодического движения точки подвеса пружины (рис. 3.3) по закону x A = x 0 cos t.

xa c m x d Рис. 3.3. Колебательная система с одной степенью свободы Рис. 3.3. Колебательная система с одной степенью свободы В безразмерном виде уравнение движения имеет вид:

x + 2 Dx + x = x0 cos, где безразмерная величина m = = 0 c представляет собой отношение частоты возмущения к собственной частоте недемпфированной системы. D – безразмерный коэффициент демпфиро вания и равен d D= = const, 2 cm d – коэффициент демпфирования;

где = 0t – безразмерное время.

Тогда коэффициент усиления V будет иметь вид:

V= ) ((. (3.3) ) + 4D 2 График этой функции для различных значений D показан на рис. 3.4.

Известно, что АЧХ при D =0, то есть в отсутствии трения, имеет раз рыв в двух точках: в точке резонанса р и справа – при приближении кри вой к оси O, то есть прямые = p и ось O являются асимптотами гра фика АЧХ. Это является существенным ограничением для исследования функции и соответствующей системы. При введении сопротивления ( D =const 0 ) разрыв в точке резонанса исчезает, но при остается.

Поэтому построим эквидистанты к ветвям графика АЧХ и тем самым замкнем кривую при и в точке резонанса (рис. 3.5).

V V э кв+ D= э кв 0 Рис. 3.4. Коэффициент усиления V V при Рис. 3.4. Коэффициент усиления Рис. 3.5. АЧХ и и эквидистанты к ней Рис. 3.5. АЧХ эквидистанты к ней различных значениях D D при различных значениях На плоскости к каждой кривой можно построить 2 эквидистанты с од ним параметром p. Но нас интересует только внутренняя эквидистанта – экв, так как она замыкает фигуру, ограниченную АЧХ системы и осями координат.

Для удобства вычислений переобозначим переменные. Обозначим V = y, = x, тогда уравнение (3.3) примет вид:

y= ) ((1 x ).

22 2 + 4D x Рассмотрим случай D = 0, то есть при отсутствии сопротивления, и проведем исследования полученной системы.

3.2.1. Случай недемпфированных колебаний ( D = 0 ) В этом случае уравнение (3.3') примет вид:

1 y= =.

(1 x ) 1 x Очевидно, что прямая x = 1 является асимптотой графика этой функ ции, причем т. x = 1 является точкой разрыва второго рода.

Построим для этой кривой внутреннюю эквидистанту – экв (рис. 3.6). Подставив значение y во второе уравнение системы (3.2), полу чим:

x э = x0 p cos, y э = 1 2 p sin, 1 x x э [0, u ], = + 90°;

x э [u, v], = 90°.

где Из первого уравнения x0 = x э + p cos и yэ = p sin. (3.4) ( ) 1 xэ + p cos Тогда площадь S фигуры, ограниченной экв и осями координат, будет равна:

u v S= + y э dx э, y э dx э u x э [0, u ], = + 90°;

x э [u, v], = 90°.

где y АЧХ экв x v u Рис. 3.6. Эквидистанта к АЧХ в случае D = 0 Рис.3.6. Эквидистанта к АЧХ в случае D= Здесь точка u – точка смены значения угла. Но можно не менять значе ние угла, а на отрезке [u, v] построить экв +, что будет удобнее для вы + числения интегралов. Тогда т. u будет точкой пересечения y э и y э при = + 90°.

Уравнение экв + на отрезке [u, v] при = + 90° имеет вид:

+ + p sin.

yэ = (3.5) ( ) + p cos 1 xэ + + + Так как точка u – точка пересечения y э и y э, то y э = y э и x э = x э = u.

Следовательно 1 p sin = + p sin. (3.6) 1 (u + p cos ) 1 (u p cos ) 2 Так как в знаменателе стоит модуль, то возможны 4 случая, которые необ ходимо исследовать отдельно. Отметим, что во всех случаях для отыска ния т. u необходимо решить уравнение 4-й степени.

Значение точки v найдем как точку пересечения y э с осью абсцисс.

Тогда справедливо равенство y э = 0, то есть p sin = 0.

( ) 1 + p cos xэ Отсюда, раскрывая модуль и решая квадратное уравнение, получаем, что если 1 (v + p cos )2 0, то 1 p cos v 1 p cos.

Но так как v 0, то необходимо, чтобы 1 p cos 0. Тогда p и cos необходимо, чтобы cos 0, значит ;

. Если 1 p cos 0, то 2 3, а cos 0, тогда 0;

;

2 и p cos 2 2 ( 1 + p sin ).

v1, 2 = p cos ± p sin Если 1 (v + p cos )2 0, то v 1 p cos и v 1 p cos. А так как cos 0, следовательно, p v 0, то 1 p cos 0, или и cos 3, а cos 0;

;

2. Так же в случае 1 p cos 0 : p cos 2 2 и тогда ;

и 2 ( p sin + 1).

v3, 4 = p cos ± p sin Выбрав должным образом значение vi, i = 1, 4, найдем значение абсциссы точки пересечения экв с OX.

Зная точки u и v, можем записать, что u v + + S = y э dx э + y э dx э, где = + 90°.

u + Подставляя выражения y э и y э по формулам (3.4) и (3.5), получаем v u 1 S = p sin dxэ + + + p sin dxэ = ( ) ( ) 2 + 0 1 x э + p cos u 1 x э p cos 1 (1 + u + p cos )(1 p cos )(1 + v p cos )(1 u + p cos ) = ln + 2 (1 u p cos )(1 + p cos )(1 v + p cos )(1 + u p cos ) + p (v 2u )sin.

Раскрыв скобки в числителе и знаменателе под знаком логарифма, приве дем подобные и обозначим ( ) ( ) F1 = p 4 cos 4 p 3v cos 3 p 2 2 + u 2 + v cos 2 + p u 2 (2 + v ) + v cos + ( )( + 1 u 2 1 + v ), ( ) ( ) F2 = p 4 cos 4 p 3v cos 3 p 2 2 + u 2 v cos 2 + p u 2 (2 v ) + v cos + ( )( + 1 u 2 1 v ).

Тогда площадь S равна 1F S = p(v 2u ) sin + ln 1.

2 F Исследуем зависимость площади S от параметра p. Для этого найдем dS производную. Получим:

dp 1 F1F2 F2F dS = (v 2u ) sin +, dp F1 F где ( ) ( ) F1 = 4 p 3 cos 4 3 p 2 v cos 3 2 p 2 + u 2 + v cos 2 + u 2 (2 + v ) + v cos, ( ) ( ) F2 = 4 p 3 cos 4 3 p 2 v cos 3 2 p 2 + u 2 v cos 2 + u 2 (2 v ) + v cos.

dS Найдем условия, при которых = 0.

dp (v 2u ) sin + 1 F1F2 F2 F1 = 0, (3.7) 2 F1 F где значения коэффициентов для выражений, стоящих в числителе и зна менателе дроби зависят от параметров системы. Из (3.7) видно, что урав dS = 0 является уравнением 8-й степени. Решив его, найдем значе нение dp ния p, обращающие это уравнение в тождество.

dS = const относительно Найдем условия, при которых производная dp p. Это возможно, если F1F2 F2 F = 0.

F1 F Так как F1 F2 0, то F1F2 F2 F1 = 0, то ( ) ( ) cos (4 p 5 v cos 2 p 4 v 2 + 6u 2 cos 4 + 8vp 3 2u 2 1 cos 3 + (( ) ( ) ( )) ( ) + p 2 6v 2 1 u 2 2v 2 1 + u 2 + 4u 2 u 2 + 4 cos 2 + 4 pv 1 u 4 cos + ( ( )) + 2 2u 2 v 2 + u 4 v 2 2 ) = 0.

Получим уравнение 5-й степени относительно p, которое может иметь действительные решения, дающие искомые значения p, удовлетворяющие dS = const. Найдем аналогичные условия для функции y э ( x э ), условию dp где x э [0, u ], = + 90° ;

x э [u, v], = 90°, tg = y. Для этого dy э найдем производную dp ( ) dy э 2 cos xэ + p cos [ )] = sin.

( dp 1 xэ + p cos dy э Тогда 1) Если =0, то dp ( ) sin = 0, 2 cos xэ + p cos [1 (x )] + p cos э [(x + p cos ) 2(x + p cos ) ] ( ) 4 + 1 sin 2 xэ + p cos cos = 0.

э э Или 4 p 4 + 3 p 3 + 2 p 2 + 1 p + 0 = 0, (3.8) где коэффициенты i, i = 0, 1, 2, 3, 4 приведены в приложении 3. Это урав нение 4-й степени относительно p и, решив его по известным формулам, dy э получим условия, при которых производная = 0.

dp dy э 2) Найдем условия, при которых = const.

dp Имеем 2 cos ( xэ + p cos ) = 0, (1 ( xэ + p cos ) 2 ) а так как (1 ( x э + p cos ) 2 ) 2 как знаменатель дроби, то 1 2( x э + p cos ) 2 + ( x э + p cos ) 4 0, ( ) откуда xэ ±1 p cos и получим, что 2 cos x э + p cos = 0.

xэ dy э Отсюда видно, что при p = = sin = const относи функция cos dp тельно p на отрезке [0,v], если xэ ±1 p cos.

Найдем функции чувствительности от функции y э ( x э ).

( ) dy э 2 xэ + p cos cos 1) U p = = sin.

)) ( ( dp 1 xэ + p cos Для отыскания других функций чувствительности учтем, что из уравнения эквидистанты m xэ + p cos = =.

c Тогда yэ = p sin m c и функции чувствительности являются дробно-рациональными функциями и имеют вид:

m dy э c = 2) ;

d m 1 c dy э c = 3) ;

dm m 1 c 2m dy э = 4).

dc m c 2 1 c 3.2.2. Демпфированные колебания системы с одной степенью свободы Рассмотрим более общий случай, когда D 0. В этом случае график АЧХ имеет вид, изображенный на рис. 3.7, то есть имеет место только один разрыв – справа.

Из уравнения (3.3) получим уравнение экв xэ = x p cos, y = p sin, x [0, ] ( ) э (1 x ) + 4 D x 2 и = + 90°, x э [0, u ];

= 90°, x э [u, v].

y АЧХ экв x u v Рис.3.7. Эквидистанта к АЧХ системы при D Рис. 3.7. Эквидистанта к АЧХ системы при D Выразив из первого уравнения x и подставив во второе, получим явное уравнение экв :

yэ = p sin.

)) ( ( ( ) 2 + 4 D 2 xэ + p cos 1 xэ + p cos Для нахождения площади S фигуры, ограниченной осями координат OX и OY и экв к графику АЧХ, необходимо знать точку пересечения эквиди станты с осью OX, обозначенную на рис. 3.7 через v, и значение точки u (см. рис. 3.7) – точка смены значения угла.

1) Найдем значение точки u – точки смены значений угла или как + точку пересечения y э и y э при одном значении угла = + 90°. Тогда, + + так как u – абсцисса пересечения кривых, то y э = y э и x э = x э = u.

Учтем, что уравнение эквидистанты экв + имеет вид:

+ p sin = 0, = + 90°.

(1 (u p cos ) ) + 4 D (u p cos ) Тогда + p sin = (1 (u p cos ) ) + 4 D (u p cos ) = p sin (1 (u + p cos ) ) + 4 D (u + p cos ) или (1 (u p cos ) ) + 4D (u p cos ) (1 (u + p cos ) ) + 4D (u + p cos ) = 22 2 2 (1 (u + p cos ) ) + 4 D (u + p cos ) (1 (u p cos ) ) + 4 D (u p cos ) 22 2 2 = 2 p sin.

Если ( ) 1 (u + p cos )2 + 4 D 2 (u + p cos ) 2 ( ) 1 (u p cos ) + 4 D 2 (u p cos ) 0, 2 то ( ) 1 (u p cos )2 + 4 D 2 (u p cos ) 2 ( ) 1 (u + p cos ) + 4 D 2 (u + p cos ) = 2 ( ) = 2 p sin 1 (u + p cos ) + 4 D 2 (u + p cos ) 2 ( ) 1 (u p cos ) + 4 D 2 (u p cos ).

2 (3.9) После несложных преобразований получим иррациональное уравне ние, приведенное в приложении 3. Решив его, найдем значение u – точки пересечения ветвей экв и экв +.

2) Точка v – это точка пересечения экв с осью OX, то есть в этом случае справедливо, что y э = 0 при x э = v. Значит p sin = 0.

( ) 1 (v + p cos ) + 4 D (v + p cos ) 22 Решив это уравнение, найдем v. Так как ( ) 1 (v + p cos )2 + 4 D 2 (v + p cos ) 0, 2 то есть ( (2D 1) ± 2D ) D 2 1, i = 1, 2, 3, 4, vi p cos ± то справедливо:

( ) 1 (c + p cos )2 + 4 D 2 (c + p cos ) = 2.

p sin Решая это уравнение, получаем, что ( ) vi = p cos ± 2 D 2 1 ± 4 D 2 ( D 2 1) +, i = 1, 2, 3, 4.

p sin Необходимо исследовать каждое из четырех возможных значений.

Выбрав должным образом v, мы сможем вычислить площадь S. Из всего u v + + вышесказанного будем иметь: S = y э dx э + y э dx э.

u Исследуем функцию y э. Для этого в уравнении (3.4) раскроем скобки и сгруппируем члены по степеням p.

Рассмотрим отдельно знаменатель дроби. После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим выражение, содержащее различные степени p и некоторые коэффициенты.

Тогда выражение (3.4) примет вид:

yэ ( p) = p sin. (3.10) 1 p 4 + 2 p 3 + 3 p 2 + 4 p + Обозначим Q = 1 p 4 + 2 p 3 + 3 p 2 + 4 p + 5, тогда получим yэ ( p) = p sin. (3.11) Q Продифференцируем эту функцию по параметру p. Получим:

Q dy э = sin, dp 2Q Q = 41 p 3 + 3 2 P 2 + 2 3 p + 4.

где Рассмотрим, при каких значениях p будет выполняться равенство dy э = 0. В этом случае функция y э ( p ) = const относительно p. Имеем dp Q = 0 или 2 Q 3 sin = Q, при условии, что Q 3 0.

sin 2Q Отсюда Q = 2 sin Q 3 dp.

dy э = const.

Рассмотрим, при каких значениях p возможно равенство dp Q = 0, так как sin = const относительно p. Тогда То есть 2Q Q = 0, Q3 0 как знаменатель дроби и или 41 p 3 + 3 2 p 2 + 2 3 p + 4 = 0.

Это кубическое уравнение относительно параметра p, которое с помощью замены переменных p = q приводится к каноническому виду:

q 3 + q + = 0, (3.12) 3 2 где = 3,= 2 23 + 4. И решение уравнения (3.12) 2 161 21 2 321 находится по формуле Кардано:

2 3 3 2 q= + + + +.

2 4 27 2 4 Решив уравнение (3.12), найдем значения p, при которых Q = 0, а значит dy э = const, то есть найдем условия, при которых функция y э не зави и dp сит от параметра p.

Найдем функции чувствительности y э от параметров рассматривае мой системы yэ = p sin.

)) ( ( ( ) 2 1 xэ + p cos + 4D + p cos xэ d Здесь D =, d – коэффициент демпфирования, 2 cm m, – частота возмущения, m – масса, c – xэ + p cos = = c жесткость пружины. Выражение функции y э ( x э ) примет вид:

yэ = p sin.

1 m + 4 d 2 m c 4cm c Выпишем отдельно знаменатель и упростим его:

d2 2 m d 2 m 2m 4m 1 +4 = 1 2 + 2 +. (3.13) c с 4cm c c c Группируя в этом выражении поочередно члены по переменным, m, c, d (см. приложение 3), получим функции чувствительности для yэ (xэ ) :

2 3 A1 + A U = ;

(A ) 4 + A2 + 2 B1 m + B Um = ;

( ) 2 B1 m + B 2 m + B 2 K 1c 3 K 2 c Uc = ;

( ) 2 + K 2c + 2 K 1c L1 d Ud =.

(L d ) + L Так как площадь фигуры, ограниченной АЧХ и осями координат, яв ляется важной характеристикой колебательной системы и широко исполь зуется в теории автоматического регулирования для построения переход ных процессов, то необходимо сравнить метод эквидистанты вычисления площади S и известные методы, используемые в автоматическом регули ровании, так как частотные характеристики системы автоматического управления являются главным средством для исследования показателей качества динамических систем, например, устойчивости.

Для систем без трения методы В.В. Солодовникова и А.А. Воронова неприменимы, так как в основе методов лежит предположение, что резо нансная частота системы конечна и при частота A 0 из сообра жений реальности рассматриваемых систем. И, как отмечалось ранее, эти предположения дают возможность замкнуть фигуру, ограниченную кривой ВЧХ или МЧХ и осями координат.

Фигуру можно замкнуть и не делая этих предположений, а проведя эквидистанту к исходной кривой.

Рассмотрим систему с одной степенью свободы без трения (рис. 3.3).

Уравнение движения имеет вид:

mx + cx = 0, где m – масса, c – жесткость пружины. Пусть на эту систему действует ступенчатое воздействие (рис. 3.8):

0, t 0, f (t ) = x 0, t 0.

f(t) x 0 t Рис. 3.8. График произвольного ступенчатого воздействия Рис. 3.8. График произвольного ступенчатого воздействия Уравнение движения системы в безразмерном виде примет вид:

x + x = f (t ). (3.14) Общее решение этого уравнения при нулевых начальных условиях t = 0, x = 0, x = 0 будет иметь вид:

x = x0 (1 cos ), c = 0 t, 0 = где. Переходная функция по определению имеет вид:

m x() xu = = 1 cos. (3.15) x График переходного процесса (3.15) приведен на рис. 3.9.

xu t 5 10 Рис. 3.9. График переходного процесса x u Получим теперь вид переходного процесса с помощью приближенных методов, в частности методом А.А. Воронова, и с помощью эквидистанты.

Для этого найдем выражение для ВЧХ.

Если решать уравнение (3.14) с помощью метода вариации произ вольных постоянных, то общее решение получим в виде:

x x = A cos t + B sin t +, где коэффициенты A и B находятся из начальных условий, величина V= – амплитудно-частотная характеристика исходной системы. Гра фик функции V () приведен на рис. 3.10.

V 2 () + V () Теперь по формуле P() = 2 [109] получим аналити V () + 2V () + ческое выражение для ВЧХ, которое будет иметь вид:

P() =. (3.16) 2 + График функции (3.16) изображен на рис. 3.11.

V P F E D A C B 0 O Рис. 3.10. График функции V = 1 Рис. 3.11. График ВЧХ Рис. 3. 10. График функции V = 2 Рис. 3.11. График ВЧХ Представим характеристику P () линейными отрезками (рис. 3.11), обеспечив возможно лучшее приближение к кривой;

отрезки продолжаем до пересечения с осью ординат, при этом площадь под кривой будет раз бита на три треугольника: АОВ, DCA, DEF. По методу А.А. Воронова эти треугольники заменяем другими, с основаниями, равными проекциям ос нования данного треугольника на ось абсцисс, с высотой, равной стороне, лежащей на оси P. Эти заменяющие треугольники изображены на рис.

3.13, где AOB AOB1, DCA D1C1O, DEF D1 E1O. И теперь по фор муле xk (t ) = Pk h, k где Pk – высота, k – основание замещающего треугольника, используя таблицы для функций [17, 107]:

1 cos h() = Si (), sin где Si () = d – интегральный синус, рассчитывается переходный процесс исходной системы (рис. 3.12).

Построим теперь эквидистанту к функции (3.16). Будем строить внут реннюю эквидистанту, то есть ту, которая лежит между кривой и осью абсцисс. Уравнение этой эквидистанты – экв имеет вид:

x x(t) x1(t) x2 (t) x3 (t) 0 t Рис. 3.12. График переходного процесса при k=1,2, Рис. 3.12. График переходного процесса при k=1, 2, xэ = p cos, экв :

y э = P p sin, где = 90, tg = P, p – параметр эквидистанты.

Окончательно уравнение экв примет вид:

yэ = p sin. (3.17) ( ) + p cos + xэ График функции (3.17) приведен на рис. 3.14.

P P A экв D O B E1 C Рис. 3.13. Замещающие треугольники Рис. 3.14. График экв к Рис. 3.14. График экв Рис. 3.13. Замещающие треугольники по методу А. А. Воронова функциикВЧХ по методу А.А. Воронова функции ВЧХ Как видно из рисунка, экв пересекает обе оси координат, и эти точки пересечения легко находятся:

xэ = 0, то y э = p sin, 1.

p cos 2 + y э = 0, то xэ = 1 p cos.

2.

p sin Так как экв пересекает обе оси и точки пересечения известны, то по лучили замкнутую фигуру, площадь которой вычисляется непосредствен но. Если в формулу (1.9) подставим вместо функции P () функцию y э ( x э ), то получим конечный интеграл с yэ (xэ ) x(t ) = h(t ) = sin x э tdx э, (3.18) xэ где c – точка пересечения экв с осью абсцисс. Кроме того, если будем изменять параметр эквидистанты p, то можно вычислить интеграл (3.18) с необходимой или заданной точностью.

h(t ) 0 t 40 60 РиРис. 3.15.График переходногопроцесса h(h)t ) с. 3.15. График переходного процесса t ( Эквидистанту можно строить сразу к АЧХ, не разбивая ее на ВЧХ и МЧХ, так как АЧХ = ВЧХ 2 + МЧХ 2. Это значительно ускорит процесс построения переходной функции. При вычислении интегралов (1.9) и (3.18) численными методами в результате получим большую точность, чем при использовании инженерных графических методов.

Построим переходный процесс для рассмотренной выше системы при демпфированных колебаниях.

Уравнение движения системы имеет вид:

mx + dx + cx = 0, или в безразмерном виде x + 2 Dx + x = 0.

Пусть на систему действует ступенчатое возмущающие воздействие f (t ) :

0, t f (t ) =.

x0, t Тогда общее решение уравнения имеет вид:

x = e DC cos( 1 D 2 ) + x0, где C и ищутся из нулевых начальных условий: t = 0, x = x = 0, то есть x0 D C= tg =,.

1 D 1 D Переходный процесс примет вид ) ( e D cos 1 D 2 ( 0 ) + 1.

xu = 1 D График переходного процесса изображен на рис. 3.16.

xu 0 t 5 10 - Рис. 3.16. График переходного процесса Рис. 3.16. График переходного процесса Найдем выражения для АЧХ. Для этого решим уравнение движения в размерном виде:

x + 2 nx + 0 x = x 0, d c = 2n, = 0, 1 = n 2 0.

где m m Общее решение уравнения примет вид:

x x = e nt (C1 cos 1t + C2 sin 1t ) +.

1 V=, ВЧХ – P () = Выражение для АЧХ примет вид: 0 0 + и переходный процесс строится по формуле (3.18).

3.2.3. Оценка величины условного «демпфирования», вносимого эквидистантой Возникает вопрос, а что вносит эквидистанта в систему, как влияет на ее динамические свойства. Очевидно, что когда мы строим эквидистанту к АЧХ системы без трения (например, система с одной степенью свободы, рис. 3.6), то полученная частотная характеристика совпадает на АЧХ этой системы, но с трением. Значит, возможно, строя эквидистанту, мы вносим в систему как бы некоторое демпфирование. Выясним величину этого влияния.

Рассмотрим колебательную систему, приведенную на рис. 3.3.

В случае D 0, D – коэффициент демпфирования, АЧХ системы име ет вид:

V=. (3.19) (1 ) 22 2 + 4D Если трение в системе отсутствует, то есть D=0, то АЧХ примет вид:

V=, (3.20) 1 график этих кривых изображен на рис. 3.17 штриховой и штрихпунктир ной линией.

Очевидно, что, построив эквидистанту к АЧХ колебательной системы без трения, мы замкнем кривую в точках разрыва (рис. 3.18). Тем самым мы изменяем вид АЧХ. Кривая принимает как бы вид АЧХ системы с тре нием. То есть, введя эквидистанту, мы тем самым внесли в систему неко торое эквивалентное демпфирование. Выясним величину внесенного демпфирования. Для этого сравним эквидистанту к АЧХ системы без тре ния и АЧХ системы с трением.

V D= D Рис. 3.17. АЧХ системы и эквидистанты в случае Рис. 3.17. АЧХ системы и эквидистанты в случае демпфированных и недемпфированных колебаний демпфированных и недемпфированных колебаний -АЧХ системы без трения - АЧХ системы без трением АЧХ системы с трения - АЧХ системы с трением эквидистанта эквидистанта Эквидистанта к функции (3.14) имеет уравнение:

yэ = p sin.

( ) 1 + p cos xэ V экв р * Рис. 3.18. экв к АЧХ системы Рис. 3. 18. экв к АЧХ системы Тогда ( ) ( ) 1 p 1 x + p cos 2 sin 1 2 + 4 D 2 yэ э =. (3.21) 1 (x + p cos ) V э Для удобства дальнейших исследований в (3.21) перейдем к одной пе ременной. Так как из уравнения эквидистанты = xэ + p cos, то:

( )( ) 1 p sin 1 2 1 2 + 4 D 2 yэ =.

1 V Очевидно, что эта функция имеет разрывы второго рода при = ±1, так как функция имеет бесконечный предел в этих точках, то есть yэ yэ = и =.

lim lim ±1 V ± V Рассмотрим теперь частные случаи, когда функция (3.21) равна 0,, С=const. Отдельно рассмотрим случай, когда C=1.

yэ = 0, 1) V то есть (1 p sin 1 ) (1 ) + 4 D 2 = 0, 1 1 2 0, ±1.

Значит, (1 p sin 1 ) (1 ) + 4 D 2 2 = 0, (3.22) тогда p=.

1 2 sin Разрешить равенство (3.22) относительно D нет возможности, так как ( ) получаем противоречие 1 2 = 4 D 2 2. В этом случае параметр экви дистанты p и коэффициент демпфирования D не зависят друг от друга.

yэ =.

2) V Тогда (1 p sin 1 ) (1 ) + 4 D 2 =.

Следовательно, 1 2 = 0, = ±1. Или, так как = x э + p cos, то ( ) 1 xэ + p cos = 0 или ± 1 xэ p=.

cos В этом случае величины p и D не зависят друг от друга.

yэ = С, C = const.

3) V (1 p sin 1 ) (1 ) + 4 D 2 = C.

1 Отсюда (1 ) + 4 D 2 2 C 1 p=, (3.23) ( ) 2 2 1 sin 1 + 4D 1 ( ) C 2 1 p 1 2 sin.

D= ( ) (3.24) 2 1 p 1 sin В частности, при С=1 выражения для (3.23) и (3.24) примут вид:

(1 ) + 4 D 2 2 1 p=, (3.23') ( ) 2 2 1 sin 1 + 4D 1 ( ) 1 1 p 1 2 sin.

D= ( ) (3.24') 2 1 p 1 sin Найдем предел функции (3.23) при D и D 0. Получим (1 ) + 4 D 2 2 C 1 2 =, (3.25) lim ( ) 1 2 sin D 2 2 1 sin 1 + 4D 1 C lim p( D) =.

1 2 sin D Аналогично 1 ( ) C 2 1 p 1 2 sin.

lim D( p ) = lim ( ) 2 1 p 1 2 sin p p Этот предел равен нулю.

1 C2 1.

lim D( p ) = p Видно, что функция p(D) ограничена сверху и снизу, то есть при неогра ниченном возрастании D величина p не может превысить некоторой оп ределенной величины, равной. Если построить график функ 1 2 sin ции (3.23’) при =, то получим график, изображенный на рис. 3.19.

p (D ) D 10 30 Рис. 3. 19. График функции p (D ) Рис. 3.19. График функции p(D ) Из приведенного рисунка видно, что график ограничен прямой p = 2.6. Это же значение дает и вычисление по формуле (3.25).

Отметим, что величины p(D) и D( p) безразмерны, так как мы рас сматривали уравнение движения исходной системы в безразмерном виде.

Из исследований следует, что строя эквидистанту к АЧХ системы без трения, мы вводим демпфирование, которое не может быть неограниченно большим.

D( p) 0 p Рис. 3.20. График функции D((p )) Рис. 3.20. График функции D p Рассмотрим колебательную систему с трением.

Для этой системы уравнение экв имеет вид:

yэ = p sin, )) (1 (x ( ) 22 (3.26) + 4 D 2 x э + p cos + p cos э = + 90°, [0, p ];

= 90°, [ p, * ];

tg = V.

Из рис. 3.7 видно, что график экв лежит ниже графика АЧХ для сис тем с трением. Из анализа графиков и формулы (3.26) видим, что, вводя эквидистанту, мы как бы увеличиваем величину демпфирования системы, так как этим увеличиваем знаменатель, тогда вся дробь становится меньше и график опускается ниже.

Величина p в этом случае ограничена свойствами самой эквидистан ты, так как, начиная с некоторого значения p, у эквидистантной кривой появляются особенности или неоднозначности в окрестности точки р.

Причем, с ростом p эти особенности увеличиваются.

Таким образом, введя эквидистанту к АЧХ колебательной системы с одной степенью свободы, вводим ограниченное демпфирование. Причем, в случае системы без трения это «демпфирование» ограничено значением p=, а в случае системы с трением «демпфирование» ограни 1 2 sin чено свойствами самой эквидистанты.

3.3. Нелинейная система с дополнительной динамической связью Рассмотрим нелинейную систему с одной степенью свободы с допол нительной динамической связью (рис. 3.21), где при движении вниз дина мическая связь будет включена, а при движении вверх – отключена.

F0 sint M L d c =asin t Рис. 3.28. Колебательная система с динамической связью Рис. 3.21. Колебательная система с динамической связью Рис. 3.21.

Пусть при движении вниз x 0, то есть скорость движения системы вниз положительна, а при движении вверх – отрицательна, то есть x 0.

Тогда уравнения движения запишутся в виде:

(m + L) x + cx + dx = F0 sin t, x 0, mx + cx + dx = F0 sin t, x 0, Параграфы 3.3 и 3.4 написаны Е.Ф. Сурановой и А.А. Ахмадеевой.

где m – масса системы, или момент инерции, L – приведенная масса, или момент инерции, c – жесткость, d – коэффициент инерции. Будем рас d c.

сматривать случай, когда 3.3.1. Свободные колебания системы Рассмотрим свободные колебания системы в отсутствие трения. Тогда уравнения движения примут вид:

(m + L) x + cx = 0, x mx + cx = 0, x 0.

1) для случая x 0, то есть при движении вниз, решение при началь ных условиях t = 0, x = x 0, x = x 0 будет иметь вид:

x = A1 sin(c t + 1 ), где 1 22 A1 = x0 c + x0, (3.20) c x0 c c 1 = arg tg, c =.

m+L x Найдем момент времени t1, когда x = 0, то есть момент остановки системы при движении вниз. Тогда x = A1c cos(c t + 1 ) = 0, cos(c t + 1 ) = 0.

следовательно Отсюда получаем, что t1 = 1. (3.21) c 2 А значение координаты x в момент времени t1 будет равно 1 x (t1 ) = A1 sin c 1 + 1 = A1 sin = A1.

2 c Тогда начальные условия для движения системы вверх будут t = t1, x 0 = x (t1 ) = A1, x 0 = 0 ;

(3.22) 2) уравнение движения системы вверх равно mx + cx = 0. (3.23) Решение его получим в виде:

x = C1 cos t + C2 sin t, c c c = где.

c m Найдем значения C1 и C 2, учитывая начальные условия (3.22). Тогда из уравнений A1 = C1 cos t1 + C 2 sin t1, c c 0 = C1 sin t1 + C 2 cos t c c c c получаем t1 = 1.

c c c =. Тогда t1 = 1.

Обозначим c c c 2 cos 1 = sign sin sin 1, 2 sin 1 = sign sin cos 1.

2 Из второго уравнения системы получаем C1 sin 1 = C 2 cos 1. Значит, C 2 = C1ctg 1. А из первого уравнения получаем A C1 sin 1 + C2 cos 1 =.

sign sin C1 = A1sign sin sin 1, Отсюда C 2 = A1sign sin cos 1.

тогда C Значит, амплитуда колебаний A2 = C12 + C 2, а tg 2 = = tg1, следо C вательно, 2 = 1. Тогда решение уравнения (3.23) получим в виде x = A2 sin ( t + 2 ).

c И снова найдем момент времени t 2, когда система останавливается при движении вверх. Тогда x = A2 cos( t + 2 ) = 0.

c c cos( t + 2 ) = 0, следовательно, В таком случае c t2 = 2, (3.24) 2 c и значение амплитуды колебаний в момент t 2 будет равно 1 x (t 2 ) = A2 sin 2 + 2 = A2 sin = A2, c 2 c а условия t = t 2, x (t 2 ) = A2, x (t 2 ) = 0 будут начальными для дальней шего движения системы вниз.

Как видно из исследований, свободные колебания являются незату хающими колебаниями.

Рассмотрим теперь демпфированные свободные колебания системы, то есть d 0. Тогда уравнения движения примут вид:

(m + L) x + cx + dx = 0, x 0, (3.25) mx + cx + dx = 0, x 0.

1) решение первого уравнения системы равно x = e nt (C1 cos 1t + C 2 sin 1t ), d c ;

1 = c n 2 ;

c = n= где.

m+L 2( m + L ) Произвольные постоянные C1 и C 2 найдем из условий t = 0, x 0 = x 0, x 0 = x 0.

Тогда x = e nt ( n(C1 cos 1t + C 2 sin 1t ) + ( C11 sin 1t + C 2 1 cos 1t )).

Подставляя сюда значения x и x, получим x0 + nx C1 = x0, C2 = и x0 1 + ( x0 + nx0 ) C12 A1 = + C2 =, x 0 C tg 1 = = а.

C 2 x 0 + nx x = e nt A1 sin( 1t + 1 ).

И окончательно имеем, что Найдем время переключения t1 из условия x = 0. Получим x = e nt A1 (1 cos(1t + 1 ) n sin (1t + 1 )) = 0.

Так как A1 e nt 0, то получаем уравнение 1 cos(1t + 1 ) = n sin (1t + 1 ).

Решая его, получим 1 arccos 1.

n t1 = (3.26) 1 2 1 + n 2) решение второго уравнения системы имеет вид:

x = e nt (C1 cos 1t + C 2 sin 1t ), (3.27) d c n =, c =, 1 = 2 n2.

где (3.28) c 2m m Произвольные постоянные C1 и C 2 найдем из начальных условий:

t = t1, x 0 = x (t1 ), x 0 = 0.

Подставляя начальные условия в выражения для x и x, где x = e nt (C1 ( n cos 1t 1 sin 1t ) + C 2 ( n sin 1t + 1 cos 1t )), получим формулы для C1 и C 2 в виде:

C1 = e nt1 x0 sec 1t1 sin 1t1 (x0 + x0 tg1t1 ), e nt (x cos 1t1 + x0 (n cos 1t1 + 1 sin 1t1 )).

C2 = C Тогда A1 = C1 2 + C 2 2, tg1 = и решение примет вид:

C x = e nt A1 sin (1t + 1 ).

Найдем момент времени t 2, когда произойдет второе переключение в момент x = 0.

x = e nt A1 ( n sin (1t + 1 ) + 1 cos(1t + 1 )) Так как n sin (1t + 1 ) = cos(1t + 1 ).

e nt A1 0, то и После несложных преобразований получим n cos(1t + 1 ) =.

12 + n Отсюда 1 n arccos 1.

t2 = (3.29) 1 n + 2 В момент времени t 2 происходит переключение на другой режим ра боты системы, то есть система снова будет двигаться по первому уравне нию системы (3.25), но начальные условия будут другие:

t = t 2, x 0 = x (t 2 ), x 0 = и так далее.

3.3.2. Вынужденные колебания Рассмотрим теперь вынужденные колебания системы при d 0.

Пусть на систему действует вынуждающая сила F0 sin t. Тогда уравнения движения примут вид:

( m + L) x + cx + dx = F0 sin t, x 0, mx + cx + dx = F0 sin t, x 0.

Решение уравнения в случае x 0 было найдено в [37] и имеет вид:

[ ]+ x = F0 A1e nt sin (1t + 1 ) + A sin (t + ) x0 =nt n e sin 1t + x0 e nt cos 1t sin 1t, + (3.30) 1 где коэффициенты 1, c, n, A, A1,, 1 приведены в приложении 3.

Решим теперь уравнение движения системы вверх.

d c, то а) mk 2 + dk + c = 0, так как d ± d 2 4cm = k1, 2m и ~ = e nt (C cos t + C sin t ), x 1 1 2 d c n =, =, 1 = 2 n2.

c c 2m m б) частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде x = A cos t + B sin t.

Подставив выражения x, x, x в уравнение, получим систему для на хождения коэффициентов A и B :

mA2 + dB + cA = 0, mB dA + cB = F0.

Решая ее, получим F0 d A= ;

(c m ) + d 22 2 F (c m ) B=.

(c m ) + d 22 2 Тогда d F tg = A = A2 + B 2 = ;

.

(c m ) c m + d 2 А общее решение запишется в виде:

x = e nt (C1 cos 1t + C 2 sin 1t ) + A sin (t + ).

Неизвестные произвольные постоянные C1 и C 2 найдем из условия t = t1, x 0 = x (t1 ), x 0 = 0, (3.31) где t1 – момент остановки системы при движении вниз, то есть когда x = 0 (см. (3.26)).

После подстановки этих начальных условий в выражение для x и учиты вая, что x = e nt (C1 ( n cos 1t 1 sin 1t ) + C2 ( n sin 1t + 1 cos 1t )) + + A cos(t + ), получаем для C1 и C 2 :

e nt ( x cos 1t1 + x0 (n cos 1t1 + 1 sin 1t1 )+ C2 = + A cos 1t1 ( cos(t1 + ) sin (t1 + )(n +1 tg1t ))) ;

[ ] (x0 A sin(t1 + ))e nt1 C2 sin 1t.

C1 = cos 1t Далее, после завершения движения системы вверх (это произойдет в мо мент времени t 2 когда x = 0 (см. (3.29)) для продолжения движения систе мы вниз начальные условия будут иметь вид:

t = t 2, x 0 = x (t 2 ), x 0 = 0. (3.32) В дальнейших исследованиях будем рассматривать выражения для x в следующем виде:

~ x = e nt (C1 cos 1t + C2 sin 1t ) + A sin (t + ), ~ где n и 1 определены выше, а d ~ F0 ~ ;

tg = A=.

c (m + L ) (c (m + L ) ) + d 2 Произвольные постоянные C1 и C 2 ищутся из начальных условий (3.32).

3.3.3. Единичное ступенчатое вынуждающее воздействие Пусть на систему действует ступенчатое воздействие вида (рис. 3 9):

0, t 0, f (t ) = H 0, t 0.

Тогда уравнения движения системы примут вид:

(m + L) x + cx + dx = f (t ), x 0, (3.33) mx + cx + dx = f (t ), x 0.

1) Рассмотрим сначала первое уравнение этой системы. Уравнение сво бодных колебаний останутся в том же виде, что и для случая гармониче ской возмущающей силы ~ = e nt (C cos t + C sin t ), x 1 1 2 а частное решение будем искать в виде x = H. Подставив это равенство в H уравнение, получим H = и общее решение примет вид:

c H x = e nt (C1 cos 1t + C2 sin 1t ) +.

c Произвольные постоянные C1 и C 2 найдем из начальных условий t = 0, x 0 = x 0, x 0 = x 0.

После всех преобразований получим cx 0 H 0 1 n x0 + (cx0 H 0 ).

C1 = ;

C2 = 1 c c 1 n A1 = tg1 = Если обозначим,, то от C1 и C 2 останутся c1 n (x0 + nx0 ) и общее решение получим в виде:

выражения C1 = x 0, C2 = 1 x x = H 0 + A1e nt sin (1t + 1 ) + 0 e nt sin 1t + c n + x0 e nt cos 1t + sin 1t.

2) для второго уравнения системы (3.33) уравнение свободных колебаний также имеет уже найденный вид:

~ = e nt (C cos t + C sin t ), x 1 1 2 H а частное решение: x =. Тогда общее решение c H x = e nt (C1 cos 1t + C2 sin 1t ) +.

c Но здесь произвольные постоянные C1 и C 2 ищутся из начальных условий t = t1, x 0 = x (t1 ), x 0 = 0.

Подставляя эти данные в выражения x и x, где x = e nt (C1 ( n cos 1t 1 sin 1t ) + C2 ( n sin 1t + 1 cos 1t )), получим для C1 и C 2 :

H x0 H 0 x0 + x0 0 c nt tg1t1 (n cos 1t1 + 1 sin 1t1 ), c C1 = e cos 1t1 e nt1 H x0 + x0 0 (n cos 1t1 + 1 sin 1t1 ).

C 1 c 3.3.4. Кинематическое воздействие гармонического типа Пусть к системе приложено кинематическое воздействие гармониче ского вида = asin (t + ). Тогда уравнения движения системы примут вид:

mx = L( x ) + d ( x ) + c( x ), x 0, (3.34) mx = d ( x ) + c( x ), x 0.

Решение первого уравнения системы дано в [37] и имеет вид:

[ ]+ x = a A1e nt sin (1t + 1 ) + A sin (t + ) L x L + m e =nt sin t + x L 0 A e nt sin ( t + ), + 0 2 (3.35) 1 1 1 L + m где выражения для коэффициентов c, 1, n, 0, 0, A1, A2, A, 1, 2, за висят от параметров системы, а x 0, x 0 – начальные значения обобщенной координаты и ее скорости при t = 0 ;

– начальное значение фазы кинема тического возмущения.

Найдем решение второго уравнения. Для этого перепишем его в виде:

mx + dx + cx = d + c. (3.36) Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид, найденный ранее (3.27). Частное решение будем искать в виде:

~ = A cos(t + ) + B sin (t + ).

x Взяв первую и вторую производную от ~ и подставив найденные выра x жения в уравнение (3.36) и учитывая, что = a cos(t + ), получим ( ) m2 c m adm A = ;

B = a 1 +.

( ) ( ) 22 c m + d c m + d А если введем обозначения (3.28), получим ( ) 2 2 2an A = ;

B = a 1 +.

c ( ) ( ) 2 2 2 + 4 n 2 2 2 + 4 n 2 c c 2 ~ A + B = a 1 + 2 Если теперь A = ;

c ( ) 2 + 4 n 2 c 2n ~ tg = ( ) 2 2 2 + 4n 2 c c и частное решение запишется в виде:

~ ~ = A sin (t + + ).

~ x Тогда все решение второго уравнения системы примет вид:

~ x = e nt (C1 cos 1t + C 2 sin 1t ) + A sin (t + + ).

~ Произвольные постоянные C1 и C 2 найдем при начальных условиях t = t1, x 0 = x (t1 ), x 0 = 0, где t1 – момент времени, когда x = 0.

Тогда, так как x = e nt (C1 ( n cos 1t 1 sin 1t ) + C 2 ( n sin 1t + 1 cos 1 )), получим ( ) ~ 1 sin 1t ~ C1 = e nt1 x0 A sin (t1 + + ) (n + 1tg1t1 ) cos 1t1 1 e nt1 sin 1t [ ] ~ x0 A cos(t1 + + ) ;

~ e nt1 cos 1t ( )( ~ ( x0 + x0 A sin (t1 + + ) n + 1tg1t1 ) ~ C2 = ~ A cos(t1 + + ).

~ Дальнейшее движение системы будет происходить по первому уравнению системы (3.34), но уже с другими началunToi di lang thang lan trong bong toi buot gia, ve dau khi da mat em roi? Ve dau khi bao nhieu mo mong gio da vo tan... Ve dau toi biet di ve dau? http://nhattruongquang.0catch.com ьными условиями:

Toi di lang thang lan trong bong toi buot gia, ve dau khi da mat em roi?

Ve dau khi bao nhieu mo mong gio da vo tan... Ve dau toi biet di ve dau?

http://nhattruongquang.0catch.com t = t 2, x 0 = x (t 2 ), x 0 = 0, где t 2 – момент времени, когда x (t ) = 0.

3.4. Моделирование колебательных систем с двумя степенями свободы Рассмотрев колебательные системы с одной степенью свободы, ре шим вопрос о возможности расширения данного метода вычисления пло щади S фигуры, ограниченной АЧХ системы и осями координат на меха нические системы с большим числом степеней свободы.

Исследуем систему с двумя степенями свободы и покажем, что пред ложенный метод вычисления площади S применим и для этой системы.

Рассмотрим колебательную систему с двумя степенями свободы, со стоящую из двух грузов m1 и m 2, расположенных вертикально, и соеди ненных пружинами с жесткостями c1 и c 2. На груз массой m1 действует вынуждающая сила F0 cos t (рис. 3.29).

m c F0 cos t m c Рис. 3.29. Колебательная система с двумя степенями свободы Рис. 3.29. Колебательная система с двумя степенями свободы Рассмотрим отдельно случаи демпфированных и недемпфированных вынужденных колебаний данной системы.

3.4.1. Недемпфированные вынужденные колебания.

Особенности построения эквидистант Уравнения движения недемпфированных вынужденных колебаний имеют вид:

m1q1 + c1q1 + c2 (q 2 q1 ) = F0 cos t, (3.65.) m2 q 2 + c2 (q 2 q1 ) = 0.

Так как колебания происходят в отсутствии трения, то коэффициент демп фирования d =0.

Будем искать частные решения системы (3.65) в виде q1 = A1 cos t, q 2 = A2 cos t.

Тогда амплитуды вынужденных колебаний примут вид:

( ) F0 c 2 m 2 A1 = ;

.

(c )( ) + c 2 m1 2 c 2 m 2 2 c F0 c A2 =. (3.66) (c )( ) + c 2 m1 2 c 2 m 2 2 c Амплитудно-частотная характеристика системы (3.65) массы m1 изобра жена на рис. 3.30, где 1 и 2 – резонансные частоты. Так как АЧХ сис темы с 2 степенями свободы имеет две резонансные частоты, а, следова тельно, и 2 разрыва в тт. 1 и 2 и справа при, то, чтобы вычис лить площадь S, необходимо замкнуть эту кривую в 3-х точках (рис. 3.30).

u w v 1 2 * Рис. 3.30. АЧХ системы и ее эквидистанта Рис. 3.3.0. АЧХ системы и ее эквидистанта Будем строить внутреннюю эквидистанту – экв по формулам:

x э = p cos, y э = A() p sin, = + 90°, [0, 1 ] [*, 2 ];

где = 90°, [1, * ] [2, ], tg = y.

Заметим также, что на [0;

* ] будем строить экв к функции A1 (), а на [* ;

) – к функции A2 (). Тогда, так как = x э + p cos, получим )) ( ( F0 c 2 m2 x э + p cos m (x + p cos ) )(c ) ) (c + c yэ 1 = p sin ( 2, (3.67) + p cos m2 x э c 1 2 1 э F0 c + p cos ) )(c + p cos ) ) c (c + c yэ 2 = p sin. (3.68) ( ( 2 m1 x э m2 x э 1 2 2 Так как A() = A1 () + A2 (), то и площадь S = S 1 + S 2, где S 1 – площадь фигуры, ограниченной A1 () и осями координат, а S 2 – площадь фигуры, ограниченной A2 (), прямой = * и осью O.

На рис. 3.30 изображена кривая АЧХ системы (3.65) и эквидистан та к ней (штриховая линия). Для вычисления всей площади S необхо димо найти:

u v y S1 = + y э 1 dx э э 1 dx э, 0 u = + 90°, x э [0;

u ], = 90°, x э [u;

v] ;

w y S2 = + y э 2 dx э э 2 dx э, w = + 90°, x э [;

w], = 90°, x э [ w;

] и пять точек u, v, w,,, причем точки v,, ищутся как точки пересече ния экв с осью абсцисс, а точки u, w как точки пересечения различных ветвей эквидистанты.

Для удобства вычисления значения т. u будем искать ее как точку пе + ресечения y э 1 и y э 1 при одном значении угла = + 90°, x э [u, v].

Уравнение внешней эквидистанты – экв + найдем по формулам x э = + p cos, + = + 90°, tg = A1 ().

+ y э = A() + p sin, Тогда )) ( ( + F0 c 2 m 2 x э p cos m (x p cos ) )(c ) ) (c + c + = + p sin.

yэ ( 2 + + p cos m2 x э c 1 2 1 э + + + Ищем точку пересечения y э 1 и y э 1, то y э 1 = y э 1 и x э = x э = u, что соот ветствует ( ) F0 c 2 m 2 (u + p cos ) p sin = (c )( ) + c 2 m1 (u + p cos ) c 2 m 2 (u + p cos ) c 2 ( ) F0 c 2 m 2 (u p cos ) = + p sin.

(c )( ) + c 2 m1 (u p cos ) c 2 m 2 (u p cos ) c 2 После элементарных преобразований получим уравнение ( )( )( ) F0 c2 m2 (u + p cos ) ( c1 + c2 m1 (u + p cos ) c2 m2 (u + p cos ) 2 2 ( )( ) c2 F0 c2 m2 (u p cos ) ( c1 + c2 m1 (u p cos ) 2 ( ) ( ) c2 m2 (u p cos ) c2 ) = 2 p sin ( c1 + c2 m1 (u + p cos ) 2 (3.69) (c m (u + p cos ) ) c )((c + c ) m1 (u p cos ) 2 2 2 2 1 (c m (u p cos ) ) c ), 2 2 2 при условии, что ( )( ) ( c1 + c 2 m1 (u + p cos ) c 2 m 2 (u + p cos ) c 2 ) 2 ((c m (u p cos ) )(c m (u p cos ) ) c 2 2 + c2 0. (3.70) 2) 1 1 2 Если раскрыть скобки в последнем неравенстве, то получим уравнение 8-й степени относительно u, аналитическое решение которого найти не мо жем, но само по себе оно говорит о том, что уравнение (3.69) может не иметь решения при невыполнении этого неравенства.

Рассмотрим уравнение (3.69). После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим уравнение 8-й степени b1u 8 + b2 u 6 + b3 u 4 + b4 u 2 + b5 = 0, (3.71) коэффициенты которого зависят от параметров системы.

Если существует хотя бы одно решение этого уравнения, то это решение и + есть абсцисса точки пересечения y э 1 и y э 1.

+ + Точку v найдем как точку пересечения y э 1 с осью O. Тогда y э 1 = 0, + а x э = v. Значит ( ) F0 c 2 m 2 (v p cos ) + p sin = 0.

(c )( ) + c 2 m1 (v p cos ) c 2 m 2 (v p cos ) c 2 При условии, что знаменатель не равен нулю (усл. (3.31), но вместо u сто ит v ), получим уравнение ( ) ( ) F0 c 2 m 2 (v p cos ) + p sin ( c1 + c 2 m1 (v p cos ) 2 ( ) c 2 m 2 (v p cos ) c 2 ) = 0.

2 Отсюда, после некоторых преобразований, получим квадратное уравнение:

k1 z 2 + k 2 z + k 3 = 0, (3.72) коэффициенты которого и выражение для z зависят от параметров системы.

Решая это квадратное уравнение, получаем:

k 2 ± k 2 4k1 k v=± + p cos.

2k Выбрав должным образом из этого выражения значение v (исключая от + рицательные), найдем абсциссу точки пересечения y э 1 с осью O.

Точку w будем искать аналогично т. u, то есть как точку пересечения + yэ 2 и yэ 2.

+ Внешняя эквидистанта – экв 2 будет иметь вид:

F0 c ) )(c ) ) (c + c + yэ 2 = + p sin, ( ( 2 + + p cos p cos m1 x э m2 x э c 1 2 + = + 90°, tg = A2 (), x э [ w, ).

+ + + Значит, если экв 2 и экв 2 пересекаются, то x э = x э = w, а y э 2 = y э 2. Тогда F0 c + p sin = (c m (w p cos ) )(c m (w p cos ) ) c 2 2 + c 1 1 2 2 F0 c = p sin.

(c )( ) + c 2 m1 (w + p cos ) c 2 m 2 (w + p cos ) c 2 При условии (3.31), где вместо u стоит w, получим уравнение ( )( ) F0 c 2 ( c1 + c 2 m1 (w p cos ) c 2 m 2 (w p cos ) c 2 ) 2 ( )( ) F0 c 2 ( c1 + c 2 m1 (w + p cos ) c 2 m 2 (w + p cos ) c 2 ) = 2 ( )( ) = 2 p sin ( c1 + c 2 m1 (w + p cos ) c 2 m 2 (w + p cos ) c 2 ) 2 ( )( ) ( c1 + c 2 m1 (w p cos ) c 2 m 2 (w p cos ) c 2 ).

2 После раскрытия скобок и приведения подобных получим уравнение 8й степени:

n1 w 8 + n 2 w 6 + n 3 w 4 + n 4 w 3 + n5 w 2 + n 6 w + n 7 = 0, (3.73) коэффициенты приведены в приложении 3.

Соответствующее решение этого уравнения и будет точкой пересечения + yэ 2 и yэ 2.

Для нахождения площади S фигуры, ограниченной экв и осями ко + ординат, необходимо найти точку пересечения y э 2 с осью O. Обозначим + + эту точку x э 2 = и найдем ее из условия y э 2 = 0. То есть F0 c + p sin = 0.


(c )( ) + c 2 m1 ( p cos ) c 2 m 2 ( p cos ) 2 2 c При условии, что (c )( ) + c 2 m1 ( p cos ) c 2 m 2 ( p cos ) c 2 0.

2 (3.74) Раскрыв скобки и проведя преобразования, получим условие h1 4 + h2 3 + h3 2 + h4 + h5 0. (3.75) Уравнение будет иметь вид:

[( ] )( ) F0 c 2 + p sin c1 + c 2 m1 ( p cos ) c 2 m 2 ( p cos ) c 2 = 0.

2 После всех преобразований получим уравнение 4-й степени s3 4 + s 4 3 + s5 2 + s 6 + s 7 = 0. (3.76) + Одно из решений этого уравнения является точкой пересечения y э 2 с осью O.

И последняя необходимая точка – точка пересечения y э 2 с O, то есть точка (см. рис. 3.30). Она находится из условия y э 2 =0 и x э =. То гда F0 c p sin = 0.

(c )( ) + c 2 m1 ( + p cos ) c 2 m 2 ( + p cos ) c 2 Или [( ] )( ) F0 c 2 p sin c1 + c 2 m1 ( + p cos ) c 2 m 2 ( + p cos ) c 2 = 2 (3.77) при условии, что (c )( ) + c 2 m1 ( + p cos ) c 2 m 2 ( + p cos ) c 2 0.

2 Это условие аналогично условию (3.74). Поэтому можем сказать, что по следнее неравенство равносильно неравенству h1 4 + h2 3 + h3 2 + h4 + h5 0. (3.78) А уравнение (3.77) преобразуется в уравнение r1 4 + r2 3 + r3 2 + r4 + r5 = 0. (3.79) Получили уравнение 4-й степени, решение которого и дает точку пересе чения y э 2 с O.

Теперь все границы интегрирования известны, и для вычисления площади S необходимо вычислить два интеграла в различных пределах:

)) ( ( F0 c 2 m 2 x э + p cos ) )( )) ( p sin dx э, ( ( c1 + c 2 m1 x э + p cos 2 c 2 m 2 x э + p cos c (3.80) F0 c ) )( )) ( p sin dx э.

( ( c1 + c 2 m1 x э + p cos 2 c 2 m 2 x э + p cos c (3.81) А вся площадь S будет равна u v w S = (3.34) + (3.34) + (3.35) + (3.35). (3.82) 0 u w В интегралах (3.80) и (3.81) под знаком интеграла стоят дробно рациональные функции. Для того чтобы вычислить эти интегралы анали тически, разложим знаменатель на множители. Для этого обозначим x э + p cos = z, dx э = dz и интегралы примут вид:

( ) F0 c 2 m 2 z c + c m z2 c m z2 c2 p sin dz, (3.80') ( )( ) 1 2 1 2 2 F0 c c + c m z2 c m z2 c2 p sin dz. (3.81') ( )( ) 1 2 1 2 2 В знаменателе в обоих интегралах стоит биквадратное уравнение f 1 z 4 + f 2 z 2 + f 3 = 0, где f 2 = (c 2 m1 + (c1 + c 2 )m 2 );

f 1 = m1 m 2 ;

f 3 = c1 c 2.

Решениями этого уравнения являются функции f 22 4 f1 f f2 ± zi = ±, i = 1, 2, 3, 4.

2 f Если знаменатель после разложения примет вид f 1 ( z z1 )( z z 2 )( z z 3 )( z z 4 ), то подынтегральная функция интеграла (3.80') разложится на элементар ные дроби ( ) F0 c 2 m 2 z 2 1 A D B C = + + +, f 1 ( z z1 )( z z 2 )( z z 3 )( z z 4 ) f 1 z z1 z z 2 z z 3 z z где коэффициенты A, B, C, D ищутся методом неопределенных коэффи циентов. Подынтегральная функция интеграла (3.81) разложится анало гичным образом:

1 E H F0 с 2 F G = + + +, f 1 ( z z1 )( z z 2 )( z z 3 )( z z 4 ) f 1 z z1 z z 2 z z 3 z z где коэффициенты E, F, G, H также находятся методом неопределенных коэффициентов. А сами интегралы (3.80') и (3.81') получим в виде:

( ) F0 c 2 m 2 z 2 c + c m z2 c m z2 c2 p sin dz = ( A ln z z1 + ( )( ) f 1 2 1 2 2 + B ln z z 2 + C ln z z 3 + D ln z z 4 ) pz sin + C и F0 c 2 (c p sin dz. = ( E ln z z1 + )( ) 2 2 1 + c 2 m1 z c 2 m 2 z c 2 f + F ln z z 2 + G ln z z 3 + H ln z z 4 ) pz sin + C 2.

Если эти выражения подставим в выражение (3.82) для площади S, с заме ной x э + p cos = z пределов интегрирования, получим аналитическое выражение (3.82) для площади S.

Найдем функции чувствительности функций y э 1 ( x э ) и y э 2 ( x э ) от параметра эквидистанты p и от параметров самой системы c1, c 2, m1, m 2, F0,.

Рассмотрим функцию y э 1 ( x э ) :

)) ( ( F0 c 2 m 2 x э + p cos m (x + p cos ) )(c ) ) (c + c + = p sin.

yэ ( 2 + p cos m2 x э c 1 2 1 э 1) Функция чувствительности U 1 :

p ( ) ( ) ( ) 5 1 x э + p cos + 2 x э + p cos + 3 x э + p cos dy э = ( ) ( ) ( ) 8 6 dp 1 x э + p cos + 2 x э + p cos + 3 x э + p cos + sin, (3.83) ( ) + 4 xэ + p cos + dy э 1 = 0, то есть y э 1 = const относительно Найдем условия, при которых dp p. Тогда ( ) ( ) ( ) 5 1 x э + p cos + 2 x э + p cos + 3 x э + p cos ( ) ( ) ( ) 8 6 1 x э + p cos + 2 x э + p cos + 3 x э + p cos + sin = 0.

( ) + 4 xэ + p cos + Если знаменатель ( ) ( ) ( ) 8 6 1 x э + p cos + 2 x э + p cos + 3 x э + p cos + ( ) + 4 x э + p cos + 5 0, то ( ) ( ) ( ) 5 1 x э + p cos + 2 x э + p cos + 3 x э + p cos sin ( ) ( ) ( ) 8 6 (1 x э + p cos + 2 x э + p cos + 3 x э + p cos + (x ) + 4 + p cos + 5 ) = 0.

э Это уравнение 8-й степени и в общем виде получить явное решение не удается. Но если эти решения существуют, то они и дадут значения p, при которых функция y э 1 не зависит от этого параметра. Найдем условия, при dy э которых производная = const относительно p, то есть условия, при dp dy э = sin, а дробь которых dp ( ) ( ) ( ) 5 1 x э + p cos + 2 x э + p cos + 3 x э + p cos ( ) ( ) ( ) 8 6 1 x э + p cos + 2 x э + p cos + 3 x э + p cos + = 0.

( ) + + p cos + 4 xэ Если знаменатель ( ) ( ) ( ) 8 6 1 x э + p cos + 2 x э + p cos + 3 x э + p cos + ( ) + 4 x э + p cos + 5 0, то ( ) ( ) ( ) 5 1 x э + p cos + 2 x э + p cos + 3 x э + p cos = 0, или ) )( ( (x ) ( ) 4 + p cos 1 x э + p cos + 2 x э + p cos + 3 = 0.

э Следовательно, справедливо xэ + p cos = 0, p= xэ а) ;

cos ( ) б) обозначим x э + p cos = z. Тогда 1 z 2 + 2 z + 3 = 0, 2 ± 2 4 1 z1, 2 =, 2 а x э ± z1, p=.

cos В развернутом виде функция чувствительности U 1 примет вид:

p 5 p 5 + 4 p 4 + 3 p 3 + 2 p 2 + 1 p + U1 =, (3.84) p 8 p 8 + 7 p 7 + 6 p 6 + p 5 + 4 p 4 + p 3 + 2 p 2 + 1 p + 5 3 где коэффициенты i,, i = 0, 8 приведены в приложении 3.

i 2) Чтобы найти остальные функции чувствительности функции y э 1, вспомним, что x э + p cos =, тогда ( ) F0 c 2 m 2 = p sin. (3.85) yэ (c )(c ) m2 2 c + c 2 m 1 Проведем аналогичные исследования относительно функции y э 2.

F0 c ) )(c ) ) (c + c yэ 2 = p sin.

( ( 2 + p cos + p cos m1 x э m2 x э c 1 2 Начнем с функции чувствительности по параметру p.

1) Тогда ( ) ( ) A12 xэ + p cos + A3 xэ + p cos dy э = ( ) ( ) ( ) 8 6 dp 2 2 A8 x э + p cos + A6 xэ + p cos + A4 xэ + p cos + (3.86) sin.

( ) 2 + + p cos + A2 xэ A dy э Найдем условия, при которых производная = 0, то есть условия, при dp которых y э 2 ( p) является const. Тогда ( ) ( ) A12 x э + p cos + A3 x э + p cos ( ) ( ) ( ) 8 6 2 2 A8 x э + p cos + A6 x э + p cos + A4 x э + p cos + sin = 0.

( ) 2 + + p cos + A2 xэ A При условии, что ( ) ( ) ( ) 8 6 2 2 A8 x э + p cos + A6 x э + p cos + A4 x э + p cos + ( ) 2 + A2 x э + p cos + A0 0, (3.87) получим уравнение 8-й степени относительно p и получить явное реше ние в аналитической форме нет возможности. Тогда ( ) ( ) ( ) 3 A12 x э + p cos + A3 x э + p cos sin ( A8 x э + p cos + 2 ( ) ( ) ( ) 6 4 2 2 2 + A6 x э + p cos + A4 x э + p cos + A2 x э + p cos + A0 ) = 0.

Это также уравнение 8-й степени, которое мы не можем решить в общем виде. Поэтому получить явное условие на p, при которых y э 2 ( p) = const, нельзя.

dy э Рассмотрим условия, при которых производная = const относи dp dy э = sin. Это возможно, когда дробь тельно p, то есть dp ( ) ( ) A12 x э + p cos + A3 x э + p cos ( ) ( ) ( ) 8 6 2 2 A8 x э + p cos + A6 x э + p cos + A4 x э + p cos + = 0.

( ) 2 + + p cos + A2 xэ A Так как знаменатель не может быть равен нулю (усл. 3.87), получим урав нение ( ) ( ) A12 x э + p cos + A3 x э + p cos = или 3 p 3 + 2 p 2 + 12 p + 0 = 0, 2 2 (3.88) где коэффициенты приведены в приложении 3.

Решив это уравнение по формулам Кардано (см. раздел 3.1), найдем значе dy э ния p, при которых производная = const относительно p. Теперь, dp dy э если в выражении производной раскроем скобки и приведем подоб dp ные члены, то получим 3 p 3 + 2 p 2 + 1 p + 2 2 dy э = 8 p 8 + 7 p 7 + 6 p 6 + 5 p 5 + 2 p 4 + 3 p 3 + 2 p 2 + 1 p + 2 2 2 2 2 2 dp 4 sin, (3.89) коэффициенты приведены в приложении 3.

2) Найдем функции чувствительности U 2 по всем параметрам систе мы. С учетом того, что x э + p cos =, то F0 c yэ 2 = p sin. (3.90) (c )(c ) c 2 2 + c 2 m1 m 1 2 Окончательно все функции чувствительности для обеих функций y э 1 и y э 2 имеют вид:

5 p 5 + 4 p 4 + 3 p 3 + 2 p 2 + 1 p + U1 = p 8 p 8 + 7 p 7 + 6 p 6 + p 5 + 4 p 4 + p 3 + 2 p 2 + 1 p + 5 3 sin ;

B5 5 + B3 3 + B 1 1 = U m1 ;

B8 8 + B 6 6 + B 4 4 + B 2 2 + B 1 1 1 1 F A U m2 = ;

A2 m12 + A1 m1 + A 1 1 D 2 F = U c1 ;

D 2 c12 + D1 c1 + D 1 1 E = U c2 ;

13 12 1 E1 c 2 + E 2 c 2 + E 3 c 2 + E 3 p 3 + 2 p 2 + 1 p + 2 2 U= p 8 p 8 + 7 p 7 + 6 p 6 + 5 p 5 + 2 p 4 + 3 p 3 + 2 p 2 + 1 p + 2 2 2 2 2 2 4 sin ;

B12 + B3 = U ;

B8 8 + B 6 6 + B 4 4 + B 2 2 + B 2 2 2 2 C = U m1 ;

C 2 m12 + C12 m1 + C 2 D = U m2 ;

D 2 m 2 + D12 m 2 + D 22 E U c21 = ;

E 2 c12 + E12 c1 + E 2 G U c22 =.

G 3 c 2 + G 2 c 2 + G12 c 2 + G 23 22 3.4.2. Учет демпфирования Рассмотрим колебательную систему с двумя степенями свободы, изо браженную на рис. 3.31.

Уравнения движения этой системы имеют вид:

m1 x1 + (c1 + с 2 ) x1 c 2 x 2 + ( d 1 + d 2 ) x1 d 2 x 2 = F0 cos t, (3.91) m 2 x 2 c 2 x1 + c 2 x 2 d 2 x1 + d 2 x 2 = 0.

m d F0 cos t m d c Рис. 3.31. Колебательная система ссдвумя степенями свободы Рис. 3.31. Колебательная система двумя степенями свободы.

Составим уравнение частот:

(c )( ) + c 2 m1 k 2 c 2 m 2 k 2 ( c 2 ) = 0.

Решив это уравнение, найдем частоты главных колебаний ((c1 + c 2 )m 2 + c 2 m1 ) ± (c1 + c 2 )2 m 2 + 2m1 m 2 c 2 (c 2 c1 ) + c 2 m 2 k12, 2 =.

2m1 m Известно, что в каждом из главных колебаний амплитуды находятся в по стоянном соотношении µ1 и µ 2, которые характеризуют формы главных колебаний и определяются только параметрами системы. Эти величины µ и µ 2 определяются формулами c1 + c 2 m1 k12 c1 + c 2 m1 k µ1 = µ2 = ;

.

c2 c А главные координаты примут вид:

[ )] ( m 2 c 2 x1 c1 + c 2 m1 k 2 x 1 = ;


(c1 + c 2 ) + 2c 2 m1 m 2 (c 2 c1 ) + 2 c 2 m m [( ] ) m 2 c1 + c 2 m1 k12 x1 c 2 x 2 =.

(c1 + c 2 ) + 2c 2 m1 m 2 (c 2 c1 ) + 2 c 2 m m Известно, что каждая главная координата 1 и 2 изменяется по гар моническому закону с частотой, соответствующей одной из частот глав ных колебаний рассматриваемой системы.

Тогда 1 = C1 sin (k1t + 1 ) и 2 = C 2 sin (k 2 t + 2 ), где постоянные C1, C 2, 1, 2 находятся из начальных условий t = 0, 1 = 10, 1 = 10, 2 = 20, 2 = 20.

В связи со сложностью выражений для главных координат будем ре шать систему (3.91) в обобщенных координатах.

Будем искать общее решение соответствующей однородной системы в виде q1 = G1 e xt, q 2 = G 2 e xt.

Тогда q1 = xG1 e xt, q 2 = xG 2 e xt ;

q1 = x 2 G1 e xt, q 2 = x 2 G 2 e xt.

Подставляем эти выражения в однородную систему, соответствующую системе (3.91), получим после преобразований:

( ) G1 m1 x 2 + c1 + c 2 + (d 1 + d 2 )x + G 2 ( c 2 d 2 x ) = 0, (3.92) ( ) G1 ( c 2 d 2 x ) + G 2 m 2 x 2 + c 2 + d 2 x = 0.

Характеристическое уравнение последней системы примет вид:

m1 m 2 x 4 + x 3 (m1 d 2 + m 2 (d 1 + d 2 )) + x 2 (c 2 m1 + m 2 (c1 + c 2 ) + d 1 d 2 ) + + x(c 2 d 1 + d 2 c1 ) + c1 c 2 = 0. (3.93) Согласно критерию Гурвица, для того, чтобы все корни характеристи ческого уравнения при a 0 0 имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы были положительны определители:

a1 a a1 a 3 = a 2 = 1 = a1 ;

;

a1.

a a3 a a5 a4 a Очевидно, что m1 0 ;

m 2 0 ;

c1, c 2 0 ;

d 1, d 2 0 и d 1 d 2 0, а также a 0 = m1 m 2 0.

Рассмотрим определители 1, 2, 3.

1 = m1 d 2 + m 2 (d 1 + d 2 ) 0, так как все слагаемые положительны;

m1 d 2 + m 2 (d 1 + d 2 ) m1 m 2 = = c 2 m1 + m 2 (c1 + c 2 ) + d 1 d c 2 d 1 + d 2 c = m12 d 2 c 2 + m 2 (c1 + c 2 )(d 1 + d 2 ) + 2m1 m 2 c 2 d 2 + m1 d 1 d 2 + m 2 d 12 d 2 + 2 + m 2 d 1 d 2 0, так как все слагаемые положительны.

m1 d 2 + m 2 (d1 + d 2 ) m1 m c 2 m1 + m 2 (c1 + c 2 ) + d1 d 2 m1 d 2 + m 2 (d1 + d 2 ) = 3 = c 2 d1 + d 2 c c 2 d1 + d 2 c 0 c1c ( ) = (c 2 d 1 + c1 d 2 ) m12 d 1 c 2 + m 2 (c1 + c 2 )(d 1 + d 2 ) + 2m1 m 2 c 2 d 2 + m1 d ( ( ) ) (d1 d 2 (c 2 d1 + c1 d 2 ) c1c 2 ) + m2 d1 d 2 c 2 d12 + d1 d 2 (c1 + c 2 ) c1c 2 (d1 + d 2 ) 0, так как все слагаемые положительны.

Тогда характеристическое уравнение (3.93) удовлетворяет критерию Гурвица и вещественная часть всех корней этого уравнения отрицательна.

Значит, x1 = n1 + ik1, x1 = n1 ik1 ;

x 2 = n 2 + ik 2, x 2 = n 2 ik 2, где n1, n 2 0.

Корню x1 соответствует система частных решений:

q11 = G11 e x1t, q 21 = G 21 e x1t, а сопряженному корню x1 соответствует q11 = G11 e x1t, q 21 = G 21 e x1t.

Вещественные решения примут вид:

( ) q11) = ( G11e x1t + G11e x1t ;

( ) q 21) = ( G 21e x1t + G 21e x1t.

Подставляя сюда выражения для x1 и x1, получим G + G11 G G q11) = e n1t 11 sin k1t ;

( cos k1t + i 2 G + G 21 G G q 21) = e n1t 21 sin k1t.

( cos k1t + i 2 Если величины G11, G11, G 21, G 21 представим в комплексном виде G11 = A1(1) iB1(1) ;

G 21 = A21) iB 21) ;

( ( G11 = A1(1) + iB1(1), G 2 = A21) + iB 21), ( ( то выражение для q11) и q 21) перепишутся в виде:

( ( ( ) q11) = e n1t A1(1) cos k1t + B1(1) sin k1t ;

( (A sin k t ).

q 21) = e n1t ( (1) cos k1t + B 21) ( Аналогично для второй пары корней x 2 и x 2 получим ( ) q1 2) = e n2t A1( 2) cos k 2 t + B1( 2 ) sin k 2 t ;

( (A sin k t ).

q 22) = e n2t ( ( 2) cos k 2 t + B 22 ) ( Из системы (3.92) получим выражения для G1 и G 2.

m1 x 2 + (d 1 + d 2 )x + c1 + c G 2 = G1 ;

c2 + d 2 x c2 + d 2 x G 2 = G1.

m2 x 2 + d 2 x + c Подставляя сюда выражения для x1 и x1, получим m1 x12 + (d 1 + d 2 )x1 + c1 + c = G11 ;

G c 2 + d 2 x m1 x12 + (d 1 + d 2 )x1 + c1 + c = G11.

G c 2 + d 2 x Тогда коэффициенты A21) и B 21) найдутся по формулам:

( ( m1 x12 + (d1 + d 2 )x1 + c1 + c 2 m1 x12 + (d1 + d 2 )x1 + c1 + c A21) ( = G11 + G11 ;

c 2 + d 2 x1 c 2 + d 2 x 2 m1x1 + (d1 + d 2 )x1 + c1 + c2 m1x1 + (d1 + d 2 )x1 + c1 + c 2 (1) B2 = G11.

G c2 + d 2 x1 c2 + d 2 x 2i Аналогично для A22 ) и B 22 ) получим выражения:

( ( 1 c2 + d 2 x2 c2 + d 2 x A22) = ( + G 21 ;

G 2 m2 x2 + d 2 x2 + c2 m2 x 2 + d 2 x 2 + c 1 c2 + d 2 x2 c2 + d 2 x B 22 ) = ( G 21.

G 21 2 m2 x 2 + d 2 x 2 + c2 m2 x 2 + d 2 x 2 + c 2i Если в выражениях для A21), B 21), A22 ), B 22 ) выполнить преобразования, то ( ( ( ( получим:

( ) m1 c 2 n12 k12 n1 (c1 d 2 + c 2 d 1 + 2c 2 d 2 ) + (d 2 (d 1 + d 2 ) d 2 m1 n1 ) A21) ( A1(1) = ( ) c 2 2c 2 d 2 n1 + d 2 n12 + k 2 (n ) ( ) + k12 + c 2 (c1 + c 2 ) d 2 m1 k1 n12 + k12 2m1 c 2 n1 k1 k1 (c1 d 2 c 2 d 1 ) B1(1) + ;

( ) c 2 2c 2 d 2 n1 + d 2 n12 + k 2 ( ) ( )+ 2m1 c 2 n1 k1 k1 m1 d 2 n12 + k12 k1 (d 1 c 2 c 2 d 1 ) m1 c 2 n12 k B 21) ( A1(1) B1(1) = + (n ) 2 2 + k c 2 2c 2 d 2 n1 + d 2 ) + (d 2 (d 1 + d 2 ) m1 d 2 n1 )(n12 + k12 n1 (c1 d 2 + c 2 d 1 + 2c 2 d 2 ) + c 2 (c1 + c 2 ) ;

( ) 2c 2 d 2 n1 + d 2 n12 + k c ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 c 2 m 2 n 2 k 2 2c 2 d 2 n 2 + c 2 + d 2 d 2 m 2 n 2 n 2 + k A22) ( A1( 2) = + (m )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 m 2 d 2 n 2 + d 2 n 2 + k 2 + 2c 2 m 2 n 2 k 2 2c 2 d 2 n 2 + c (n ) 2 c2 d 2 k 2 + d 2 m2 k 2 + k 2 c 2 m 2 n 2 k 2 2k 2 c 2 d B1( 2) + ;

(m )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 m 2 d 2 n 2 + d 2 n 2 + k 2 + 2 c 2 m 2 n 2 k 2 2c 2 d 2 n 2 + c (n ) 2 c2 d 2 k 2 + d 2 m2 k 2 + k 2 2c 2 m 2 n 2 k 2 k 2 c 2 d B 22 ) ( A1( 2) = + (m )( ) + 2c m (n k ) 2c d n 2 2 2 2 2 2m 2 d 2 n 2 + + + c d2 n2 k 2 2 2 2 2 22 ( ) 2c d n + (d d m n )(n + k ) 2 2 2 2 2 + c2 m2 n2 k2 c + B1( 2) 2 22 2 2 2 2 2.

(m + d )(n + k ) + 2c m (n k ) 2c d n + c 2 2 2 2 2 2m 2 d 2 n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 Тогда общее решение соответствующей однородной системы имеет вид:

( ) ( ) q1 = q11) + q1 2) = e n1t A1(1) cos k1t + B1(1) sin k1t + e n2t A1( 2) cos k 2 t + B1( 2) sin k 2 t ;

( ( ( ) ( ) q 2 = q 21) + q 22) = e n1t A21) cos k1t + B21) sin k1t + e n2t A22) cos k 2 t + B22) sin k 2 t.

( ( ( ( ( ( Найдем частные решения неоднородной системы (3.91). Для этого разделим первое уравнение системы на m1, а второе – на m 2 и обозначим c1 c2 c1 c = k11, = k12, = k 21, = k 22 ;

m1 m1 m2 m F d1 d2 d1 d = b11, = b12, = b21, = b22, =F.

m1 m1 m2 m2 m Тогда система (3.91) примет вид:

x1 + (k11 + k12 )x1 k12 x 2 + (b11 + b12 )x1 b12 x 2 = F cos t, x 2 k 22 x1 + k 22 x 2 b22 x1 + b22 x 2 = 0, и частные решения будем искать в виде:

~1 = A1b cos t + B1b sin t, x ~ x 2 = A2b cos t + B 2b sin t.

Подставив выражения x1 и x 2 в систему (3.91) и выполнив все преобразо вания, получим систему четырех уравнений для отыскания коэффициентов A1b, B1b, A2b, B 2b :

( ) A1b k11 + k12 2 + (b11 + b12 )B1b A2b k12 b12 B2b = F, ( ) (b11 + b12 )A1b + k11 + k12 B1b + b12 A2b k12 B2b = 0, ( ) k 22 A1b b22 B1b + k 22 A2b + b22 B 2b = 0, ( ) b22 A1b k 22 B1b b22 A2b + k 22 2 B2b = 0.

Решая эту систему, получим 6 + 2 4 + 2 2 + A1b = =F 8 4 ;

+ 1 6 + 1 4 + 1 2 + 6 4 2 3 5 + 3 3 + B1b = =F 8 5 ;

+ 1 6 + 1 4 + 1 2 + 6 4 2 4 4 + 4 2 + = =F 8 4 ;

A2b + 1 6 + 1 4 + 1 2 + 6 4 2 5 5 + 5 3 + = =F 8 5, B 2b + 1 6 + 1 4 + 1 2 + 6 4 2 где = 8 + 1 6 + 1 4 + 1 2 +, 6 4 1 = F ( 6 + 2 4 + 2 2 + 0 ), 4 2 = F ( 3 5 + 3 3 + 1 ), 5 3 = F ( 4 4 + 2 2 + 0 ), 4 4 4 = F ( 5 5 + 3 3 + 1 ).

5 5 Коэффициенты определителей приведены в приложении 3.

И окончательно вынужденные колебания системы (3.91) опишутся формулами:

~ = A cos(t + ), ~ = A cos(t + ), x1 x 1 1 2 где A12b + B12b = A1 = 12 + 10 10 + 8 8 + 6 6 + 2 4 + 2 2 + 2 2 2 =F 4, 16 + 1 14 + 1 12 + 1 10 + 1 8 + 1 6 + 1 4 + 1 2 + 14 12 10 8 6 4 2 3 5 + 3 3 + tg1 = 5.

6 + 2 4 + 2 2 + 4 2 A2 = A2b + B 2b = 10 10 + 8 8 + 3 6 + 3 4 + 3 2 + 3 =F 6 4 2, 16 + 1 14 + 1 12 + 1 10 + 1 8 + 1 6 + 1 4 + 1 2 + 14 12 10 8 6 4 2 коэффициенты приведены в приложении 3, B 2b 5 5 + 5 3 + tg 2 = = 5 и соответственно.

4 + 4 2 + 0 A2b Общее решение неоднородной системы (3.91) окончательно примет вид:

( ) ( )+ x1 = q1 + ~1 = e n1t A1(1) cos k1t + B1(1) sin k1t + e n2t A1( 2 ) cos k 2 t + B1( 2) sin k 2 t x + A1 cos(t + 1 ) ;

( ) ( )+ x 2 = q 2 + ~2 = e n1t A21) cos k1t + B 21) sin k1t + e n2t A22) cos k 2 t + B 22 ) sin k 2 t ( ( ( ( x + A2 cos(t + 2 ).

Очевидно, что величины A1 и A2 являются АЧХ демпфированной системы с двумя степенями свободы по координатам x1 и x 2 соответственно.

График этой АЧХ изображен на рис. 3.32.

A v w u * 1 Рис. 3.32. АЧХ демпфированной системы с двумя степенями свободы.

Рис. 3.32. АЧХ демпфированной системы с двумя степенями свободы Чтобы найти площадь S фигуры, ограниченной АЧХ системы и ося ми координат, построим внутреннюю эквидистанту – экв к кривой, при чем на отрезке [0, 1 ] = + 90°, на отрезке [1, * ] = 90°, на от резке [*, 2 ] = + 90° и на полуоткрытом отрезке [ 2, ) = 90°, tg = A, где A – АЧХ исходной системы. Как и в случае недемпфирован ных колебаний, слева от точки * будем строить экв к A1, а справа от этой точки к A2. Тогда уравнение экв будет иметь вид:

(x ) ( ) ( ) 12 10 2 + p cos + 10 x э + p cos + 8 x э + p cos + э =F y э (x + p cos ) (x + p cos ) (x + p cos ) 16 14 + 1 + 1 + э 14 э 12 э ( ) ( ) ( ) 6 4 + 6 x э + p cos + 2 x э + p cos + 2 x э + p cos + 2 4 ( ) ( ) ( ) 10 8 + 1 x э + p cos + 1 x э + p cos + 6 x э + p cos + 10 p sin, ( ) ( ) 4 + 1 + 1 + + p cos + p cos xэ xэ 4 2 ( ) ( ) 10 3 10 x э + p cos + 8 x э + p cos + y э2 = F (x + p cos ) (x + p cos ) ( ) 16 14 + 1 + 1 x э + p cos + 14 э э ( ) ( ) ( ) 6 4 + 3 x э + p cos + 3 x э + p cos + 3 x э + p cos + 6 4 2 ( ) ( ) ( ) 10 8 + 1 x э + p cos + 1 x э + p cos + 6 x э + p cos + 10 p sin.

( ) ( ) 4 + 1 + 1 + + p cos + p cos xэ xэ 4 2 Площадь S фигуры, ограниченной эквидистантой к АЧХ исходной систе мы и осями координат, будет равна:

u v S1 = + y э 1 dx э ;

S = S 1 + S 2, где y э 1 dx э 0 u w S 2 = y э 2 dx э + y э 2 dx э, (3.95) v w = + 90°, x э [0, u ], x э [v, w] ;

= 90°, x э [u, v], x э [ w, ].

Точки u и w, входящие в выражения S1 и S 2, находятся как точки смены значений угла или, для простоты вычислений, можно эти точки + + + найти как точки пересечения y э1 и y э1 (т. u ), и y э2 и y э2 (т. w ), где y э1 и + y э2 имеют вид:

(x ) ( ) ( ) 12 10 + + + 2 p cos + 10 x э p cos + 8 x э p cos + + э =F y э (x p cos ) (x p cos ) (x p cos ) 16 14 + + + + 1 + 1 + э 14 э 12 э ( ) ( ) ( ) 6 4 + + + + 6 x э p cos + 2 x э p cos + 2 x э p cos 2 + 4 ( ) ( ) ( ) 10 8 + + + + 1 x э p cos + 1 x э p cos + 6 x э p cos + 10 + p sin ;

( ) ( ) 4 + + + 1 + 1 + p cos p cos xэ xэ 4 2 ( ) ( ) 10 + + 3 10 x э p cos + 8 x э p cos + + y э2 = F (x p cos ) (x p cos ) ( ) 16 14 + + + + 1 + 1 x э p cos + э 14 э ( ) ( ) ( ) 6 4 + + + + 3 x э p cos + 3 x э p cos + 3 x э p cos + 6 4 2 ( ) ( ) ( ) 10 8 + + + + 1 x э p cos + 1 x э p cos + 6 x э p cos + 10 + p sin, ( ) ( ) 4 + + + 1 + 1 + p cos p cos xэ xэ 4 2 + + = + 90°, x э [u, v], x э [ w, ].

± ± Из-за сложности выражений для y э и y э 2, можно предложить алгоритм вычисления интегральной характеристики S. Чтобы найти т. u, необхо + + димо решить уравнение y э1 = y э1, где = + 90°, x э [0, v], а чтобы найти + + т. w, необходимо решить уравнение y э2 = y э2, где = + 90°, x э [v, ].

Нетрудно видеть, что это будет уравнение 16 й степени и решить аналити чески эти уравнения нет возможности. Но, найдя их решения любым чис ленным методом, найдем значения т. u и т. w.

+ Точку v найдем как точку пересечения y э1 и y э2 при = + 90°. Это также будет уравнение 16 й степени. Заметим, что из уравнения v( p ) = найдем значение параметра эквидистанты p, при котором эквидистанта пересечется с осью абсцисс.

+ Точку найдем из условия пересечения y э2 с осью абсцисс, то есть + из уравнения y э2 = 0 на отрезке [ w, ], = + 90°.

Таким образом, все точки, необходимые для вычисления площади S, могут быть найдены, и появляется возможность вычислить саму площадь S каким-либо численным методом, так как аналитически вычислить инте гралы (3.95) нет возможности из-за сложности подынтегральных функций.

Функции чувствительности U функций y э1 и y э2 по параметрам сис темы и параметру эквидистанты p будут иметь очень громоздкий вид, а выражения для c i, d i, m i, i = 1, 2 выражаются через коэффициенты ij и ij.

По результатам исследований была составлена программа построения эквидистантной частотной характеристики к АЧХ рассмотренных систем.

Таким образом, в данном случае оказалось возможным лишь описать алгоритм построения эквидистанты к АЧХ системы с двумя степенями свободы и отыскания площади S фигуры, ограниченной АЧХ системы и осями координат.

ГЛАВА ЭКВИДИСТАНТА В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Как отмечалось выше, площадь фигуры, ограниченной АЧХ системы и осями координат, широко используется в теории автоматического управ ления. В данной главе покажем, что имеется возможность использовать эквидистанту для построения переходных процессов в системе и проведем сравнение с методами В.В. Солодовникова и А.А. Воронова.

4.1. Методические подходы в использовании эквидистанты для определения параметров процессов Рассмотрим механическую колебательную систему, состоящую из пружины, массы и демпфера (рис. 3.3). Возмущение происходит за счет периодического движения точки подвеса пружины и подчиняется закону X a = x 0 cos t. Уравнение движения в безразмерном виде:

x + 2 Dx + x = x 0 cos, (4.1) m где = = – безразмерная величина, являющаяся отношением 0 c частоты возмущения к собственной частоте недемпфированной системы;

D – безразмерный коэффициент демпфирования, который имеет вид:

d D= = const, 2 cm c где d – параметр демпфирования;

= 0 t – безразмерное время ( 0 = ), m – частота возмущения. В этом случае коэффициент усиления V будет иметь вид:

V= ) ((. (4.2) ) + 4D 2 График функции V ( ) с демпфированием и без него и вид системы приведены на рис. 3.17.

Если на данную систему воздействует периодическое внешнее воз мущение с частотой, то вынужденное движение будет происходить с той же частотой. Действительно, можно получить частное решение урав нения движения, положив x = x 0 R cos( ).

В.В. Солодовников предложил метод трапецеидальных характеристик для построения переходного процесса по известной вещественной частот ной характеристике.

При построении переходного процесса с помощью эквидистанты не обходимо знать аналитическое выражение ВЧХ. Далее, для функции U ( ) 2 U () строится эквидистанта и вычисляется интеграл y (t ) = sin td.

Функция y (t ) описывает переходный процесс в системе.

В нашем случае неточности могут возникнуть из-за невозможности вычислить интеграл аналитически, так как подынтегральная функция име ет обычно довольно сложный вид.

Рассмотрим пример построения переходного процесса.

Пусть динамическая система описывается уравнением:

1 e sT K ( s + b1 ) x( s ) =, s 3 + a1 s 2 + a 2 s + a 3 s что соответствует более сложной передаточной функции системы.

Подставив в выражение s = j, получим амплитудно-фазовую харак теристику W ( j). Нанесем ее на номограммы для получения веществен ной U () и мнимой V () частотных характеристик. По точкам пересече ния W ( j) с кривыми номограмм найдем численные значения U () и V ( ), а по ним построим соответственно ВЧХ и МЧХ (рис. 4.1). Обоб щенная вещественная частотная характеристика равна ~ U () = U ()U f () V ()V f ().

Qf Q V 0 a) б) в) ~ U Vf x x t x5 x 0 x2 x 1 e) д) г) x ~ Рис. 4.1. Графики функций U (), V (), U f (), V f (), U (), x(t ) ~ По этой формуле и рис. 4.1, а – г построим характеристику U (). Разо бьем ее на семь трапеций и составим таблицу, содержащую составляющие переходного процесса для каждой трапеции. По данным таблицы построим результирующий переходный процесс (рис. 4.1, е).

~ Разбиение кривой U () на трапеции является весьма грубым и не точным приближением. В методе эквидистант рассматривается аналитиче ~ ское выражение для U (), которое имеет вид (рис. 4.1, д):

( ) ( ) Kb1 a3 a1 2 + K a 2 ~ (1 cos T ) U () = (a3 a1 2 ) 2 + (a 2 3 ) ( ) ( ) sin T.

K a3 a1 2 + Kb1 a 2 (a 3 a1 2 ) 2 + (a 2 3 ) Для этой кривой строим внешнюю эквидистанту экв + по формулам x э = x + p cos, + + y э = y + p sin, где = 90 + на отрезке 1, = 90° на отрезке 2, = 90° на от резке 3, = 270° на отрезке 4 (рис. 4.1, д).

экв + Тогда получим уравнение для к кривой ~ U ( ) :

) )+ K (x p cos)(a (x p cos) (x p cos) ) ( ( 2 + + + + Kb1 a3 a1 xэ p cos + = э 2 э э (a a (x p cos) ) + (a (x p cos) (x p cos) ) yэ 22 + + + 3 1 э 2 э э (1 cos T (x p cos )) + э K (x p cos )(a a (x p cos ) ) + Kb (a (x p cos ) (x p cos ) ) 2 + + + + э 3 1 э 1 2 э э (a a (x p cos ) ) + (a (x p cos ) (x p cos ) ) 22 + + + 3 1 э 2 э э sin T (x p cos ).

+ э Теперь для построения переходного процесса необходимо вычислить ин теграл + + 2 c yэ (xэ ) x (t ) = + + sin x э tdx э, + 0 xэ где c – точка пересечения экв + с осью абсцисс. Аналитически вычислить этот интеграл не представляется возможным. Но, вычислив его численно, мы получим более точный результат и за меньшее число операций.

К преимуществам эквидистанты можно отнести следующее. При вы числении с помощью трапецеидальных характеристик, как отмечалось ра нее, делается допущение, что при некотором значении аргумента max численное значение U ( max ) = 0, но в действительности U () 0 при. Случай разрыва функции U () при резонансе вообще не рассмат ривается из соображений реальности рассматриваемых динамических сис тем. В методе эквидистант эти вопросы решаются достаточно просто. В за висимости от выбора параметра эквидистанты p мы можем задавать точ ность вычислений, передвигая точку пересечения экв + с осью O влево или вправо вдоль оси. Аналогично, при резонансе ветви эквидистанты пе ресекутся в некоторой точке p, которая может не совпасть с p из за не симметричности кривой U ().

4.2. Построение переходного процесса Как отмечалось ранее, метод эквидистант позволяет строить переход ный процесс исходя из аналитического выражения.

Из [12, 17, 104, 109] и других известно, что площадь фигуры, ограни ченной графиком АЧХ и осями координат, характеризует качество пере ходных процессов системы.

В главе 3 для систем с одной степенью свободы, с дополнительной динамической связью и для систем с двумя степенями свободы с помощью эквидистанты можно показать, как вычислить эту площадь аналитически, но при этом необходимо вычислять интегралы. В данном параграфе отве тим на вопрос, насколько точнее можно вычислить несобственный инте грал с помощью эквидистанты по сравнению с другими методами.

Из математического анализа известно, что площадь плоской фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла. Но интеграл от разрывной функции – это несобственный интеграл, который далеко не все гда конечен. Значит, если вместо разрывной функции в несобственном ин теграле взять ее эквидистанту, то получим конечный результат с заданной точностью. Проиллюстрируем это примерами.

1) Рассмотрим дробно-рациональную функцию y =.

(1 x)(1 + 2 x) График этой функции показан на рис. 4.2. Вычислим несобственный инте грал от этой функции на отрезке [0;

1]. Очевидно, что 1 + 2b dx = lim ln ln 1 =.

(1 x )(1 + 2 x ) 1 b b 1 Существуют способы вычисления определенных интегралов, в том числе несобственных. Остановимся на методе разложения подынтеграль ной функции в степенной ряд и сравним точность вычислений площади S с помощью разложения в ряд и с помощью построения эквидистанты к по дынтегральной функции.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.