авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

М Г

 Н. Э. Б

Н. С. Гусев, В. Л. Чернышев

П Л,

Ф,

Учебное пособие по дисциплине

«Управление движением»

Электронное учебное издание

© Московский Государственный технический университет

имени Н. Э. Баумана, 2011

Москва, 2011

УДК 514.7

Рецензенты:

Иванов Александр Олегович, д.ф.-м.н., механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, профессор кафедры дифференциальной геометрии и приложений;

Хорькова Нина Григорьевна, к.ф.-м.н., факультет фундаментальных наук МГТУ имени Н. Э. Баумана, доцент кафедры прикладной математики (ФН-2) Авторы: Гусев Никита Сергеевич, Чернышев Всеволод Леонидович Производная Ли, теорема Фробениуса, дифференциальные формы / Н. С. Гусев, В. Л. Чернышев.— М. : МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2011.— 65 с.

В данном учебном пособии по дифференциальной геометрии и тензорному анализу даны определения и приведен ряд основных свойств производной Ли векторных полей и гладких дифференциальных форм. Доказаны инфинитезимальная формула Стокса и теорема Фробениуса.

По каждой из этих тем разобраны примеры и даны задачи для самостоятельной работы.

Предназначается студентам МГТУ имени Н. Э. Баумана, изучающим курс дифференциальной геометрии и тензорного анализа, нелинейные динамические системы с управлением, а также широкому кругу читателей.

Рекомендуется НМС МГТУ имени Н. Э. Баумана в качестве учебного пособия © Гусев Н. С., Чернышев В. Л., Содержание Предисловие 1 Предварительные сведения и обозначения 1 § Тензорные операции.............................................................................. 2 § Многообразия...................................................................................... 3 § Тензоры на многообразиях.......................

................................................ 4 § Дифференциалы отображений и переносы ими тензоров.................................. 5 § Поток векторного поля......................................................................... 6 § Дифференцирование дифференциальных форм................................................ 2 Построение производной Ли 7 § Переносы векторным полем и построение производной Ли................................ 8 § Координатное представление................................................................... 9 § Бескоординатные свойства...................................................................... 10 § Инфинитезимальная формула Стокса....................................................... 3 Теорема Фробениуса 11 § Леммы............................................................................................. 12 § Распределения и теорема Фробениуса........................................................ 13 § Инволютивность распределения и дифференциальные формы............................ 4 Разбор примеров 4.1 Дифференциальные формы.............................. 14 § Вычисление значений............................................................................ 15 § Внешнее умножение............................................................................. 16 § Дифференцирование............................................................................. 4.2 Производная Ли..................................... 17 § Вычисление производной Ли.................................................................... 18 § Инфинитезимальная формула Стокса....................................................... 4.3 Теорема Фробениуса.................................. 19 § Одномерное распределение в трехмерном пространстве.................................. 20 § Двумерное распределение в трехмерном пространстве.................................... 5 Задачи для самостоятельного решения 5.1 Дифференциальные формы.............................. 21 § Вычисление значений............................................................................ 22 § Внешнее умножение............................................................................. 23 § Дифференцирование............................................................................. 5.2 Производная Ли..................................... 24 § Вычисление производной Ли.................................................................... 25 § Инфинитезимальная формула Стокса....................................................... 5.3 Теория Фробениуса................................... 26 § Одномерное распределение в трехмерном пространстве.................................. 27 § Двумерное распределение в трехмерном пространстве.................................... Список обозначений Предметный указатель Список литературы П Данное учебное пособие охватывает элементарные понятия теории дифференци альных форм;

в нем дается определение и алгебраические свойства производной Ли, ее связь с дифференцированием форм и внутренним дифференцировани ем (инфинитезимальная формула Стокса);

а также определяется понятие век торного распределения и обсуждается теорема Фробениуса о критерии вполне интегрируемости в двух видах: с позиции инволютивности локального бази са распределения и с позиции свойств сопряженного с распределением набора дифференциальных форм.

Пособие адресовано студентам МГТУ имени Н. Э. Баумана, углубленно изу чающим курс дифференциальной геометрии и тензорного анализа, а также сту дентам и аспирантам, приступающим к изучению дифференциально-геометриче ского метода в задачах управления. Этот подход широко применяется в учебных курсах (см., например, программу курса «Управление движением») и научных исследованиях на кафедре «Математического моделирования» под руководством ее заведующего профессора А. П. Крищенко (см., например, книгу [1]).

Углубленное изучение теории дифференциальных форм способствует повы шению общематематической культуры будущих инженеров и специалистов по прикладной математике и развитию у них современного взгляда на задачи ме ханики и физики (см., например, известный учебник [2]). Для более глубокого изучения вопросов, связанных с теоремой Фробениуса и инфинитезимальной формулой Стокса, студентам и аспирантам кафедры рекомендуется к прочтению англоязычная монография [3]. Студентам, знакомящимся с дифференциально геометрическим подходом к задачам управления, рекомендуем обратить внима ние на последние главы в книге [4].

Настоящее учебное пособие дополняет имеющиеся учебные материалы по этой тематике, причем особое внимание уделено разбору примеров.

Предполагается, что читатель знаком с аналитической геометрией, алгеброй, математическим анализом, теорией обыкновенных дифференциальных уравне ний. Доказательства базовых свойств соответствующих объектов и операций не приводятся. Читатель легко может найти их в указанных в списке литературы учебниках, монографиях и методических пособиях: [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13]. При этом основные утверждения и теоремы доказаны полностью и с высоким уровнем строгости.

Снабженное предметным указателем и списком используемых обозначений пособие состоит из пяти частей. В первой вводятся понятия гладкого многооб разия, тензорного поля на нем, кососимметрического тензорного поля, диффе ренциала отображения, потока векторного поля, скобки Пуассона. Доказывается формула Картана. Во второй части вводится понятие переноса векторным по лем и определяется производная Ли. Доказывается инфинитезимальная формула Стокса. В третьей части обсуждаются распределения и доказывается теорема Фробениуса.

Четвертая и пятая части могут рассматриваться отдельно от остальных, как небольшой задачник с подробными решениями по дифференциальным формам, производной Ли, применению теоремы Фробениуса. Отметим, что в этом данное пособие дополняет известный сборник задач по дифференциальной геометрии [14]. Приведенный в пятом разделе список задач для самостоятельного решения может быть использован для контроля усвоения материала.

Данное учебное пособие подготовлено при частичной финансовой поддержке грантов РНП 2.1.1/227 и МК-943.2010.1.

6 Предварительные сведения и обозначения 1. Предварительные сведения и обозначения §1 Т В этом разделе предполагается, что задано линейное вещественное про странство  V.

Определение. Для целого числа 0 инъективное отображение  из мно жества {1,..., } в него же называется перестановкой на множестве  {1,..., }.

Определение. Пусть — перестановка на множестве  {1,..., } ;

тогда ее знаком называется число sign = (1), где — количество инверсий в перестанов ке , то есть пар , таких, что 1 и.

Определение. Пусть  p — ковариантный тензор на  V валентности  (то есть -линейное отображение из  V... V в R ), а  — перестановка на множест раз ве  {1,..., } ;

тогда обозначим действие перестановки на тензор:

( p)v1,..., v = pv1,..., v, где v1,..., v V.

Определение. Ковариантный тензор  p валентности  на  V кососимметричен (или антисимметричен), если p = (sign ) p для всякой перестановки на множестве  {1,..., }.

Определение. Пусть  p — ковариантный тензор на  V валентности  ;

тогда обо значим альтернацию тензора  p :

alt p = (sign ) ( p), ! где сумма распространяется на все перестановки  на множестве  {1,..., }.

Утверждение. Пусть  p — ковариантный тензор на  V ;

тогда тензор alt p ко сосимметричен. Если же сам тензор  p кососимметричен, то  alt p = p ;

поэто му  alt alt p = alt p для всякого ковариантного тензора  p на  V.

Определение. Пусть  p1, p2 — ковариантные тензоры на  V валентности  1 и 2 ;

тогда их тензорное произведение есть ковариантный тензор p1 p2 на  V валентности  1 + 2, действующий на векторах v1,..., v1 +2 V по формуле (p1 p2 )v1,..., v1 +2 = p1v1,..., v1 p2v1 +1,..., v1 +2.

Н. С. Г, В. Л. Ч Предварительные сведения и обозначения Определение. Пусть  p1, p2 — ковариантные тензоры на  V валентности  1 и 2 ;

тогда обозначим их внешнее произведение: p1 p2 = altp1 p2.

Утверждение. Операция ассоциативна и линейна по обоим аргументам.

Определение. Пусть на пространстве  V задан ковариантный тензор  p ва лентности  0 ;

тогда при произвольных векторах  v1,..., v V обозначим ковариантный тензор  p v на  V валентности  ( 1) по формуле без v (p v )v1,..., v = pv1,..., v ;

а если 1 1..., то это определение индуктивно продолжим:

+ 1,..., 1,..., (p v1,..., v ) = (p v1,..., v1 ) v.

Пример. В пояснение последнего определения положим = 3 и поэтапно вы числим:

1,..., 1,2, (p v1,..., v ) = (p v1, v2, v3 ) = 3 3+1 3 3+ 2 2+ 1,2 = ((p v3 ) = (((p v1 ) v2 ) v1, v2 ) v3 );

если, например, = 6, 1 = 2, 2 = 4, 3 = 6, то последовательно («изнутри наружу») будет (p v1 ) = p, v1,,,,, здесь (p v1 ) уже пятивалентен, и его третий аргумент соответствует четвертому в p;

2 2+ v2 ) = p, v1,, v2,,, 2 2 42+ ((p v1 ) v2 ) = ((p v1 ) здесь валентность стала четыре, и четвертый аргумент соответствует шестому в p;

3 3+ 2 2+ 1 2 42+1 63+ v2 ) v2 ) (((p v1 ) v3 ) = (((p v1 ) v3 ) = = p, v1,, v2,, v3.

Определение. Пусть на пространстве  V задан ковариантный тензор  p ва лентности  0, и v1,..., v V ;

тогда обозначим внутреннюю производную (v1...v )p контравариантным тензором v1...v тензора p по формуле !

1,..., ()! (p v,..., v1 ), если (v1... v ) p = 0, если ;

П Л, Ф, 8 Предварительные сведения и обозначения а на все контравариантные тензоры распространим по линейности (то есть ес ли контравариантный тензор есть конечная сумма указанных тензорных про изведений, то производная им есть сумма производных его слагаемыми). Здесь (v1... v ) p — ковариантный тензор на  V валентности  max{0, }.

Утверждение. Пусть  p — ковариантный тензор на  V, и v1, v2 — контравариант ные тензоры на V ;

тогда v1 (v2 p) = (v1 v2 ) p.

Утверждение. Пусть  p — кососимметричный ковариантный тензор на  V, и v — контравариантный тензор на V ;

тогда v p = (alt v) p.

Утверждение. Пусть  p1, p2 — кососимметричные ковариантные тензоры на  V, причем p1 имеет валентность, и v V ;

тогда v (p1 p2 ) = (v p1 ) p2 +(1)+1 p1 (v p2 ).

Везде далее применяется тензорное правило Эйнштейна:

если в некоторой формуле есть произведение величин с верхними и нижними индексами, и какой-то переменный индекс встречается в этом произведении только однажды как верхний и как нижний, то в формуле по этому индексу производится суммирование слагаемых вида этого произведения, причем диапазон изменения этого индекса в сумме определяется контекстом формулы.

§2 М Определение. Пусть задано некоторое множество  M ;

скажем тогда, что инъективное отображение  c R M — карта размерности  на множест ве  M. При этом для точки  x из образа отображения c вещественные числа x 1,..., x называются ее локальными координатами (относительно карты  c ), если только  x = cx 1,..., x.

Определение. Пусть заданы две карты c1, c2 одной размерности  на од ном множестве;

тогда • они непрерывно согласованы, если только отображение  c1 1 c2 непрерыв но, и его образ открыт (здесь c1 1 обозначает обратное к c1 отображе ние);

Н. С. Г, В. Л. Ч Предварительные сведения и обозначения • они гладко согласованы, если только отображение  c1 1 c2 бесконечно дифференцируемо, и его образ открыт.

Определение. Пусть на множестве M задано конечное множество A карт од ной размерности  ;

тогда скажем, что это множество A — атлас (или гладкий атлас) размерности , если • объединение образов всех карт из множества A есть множество M ;

• для всяких двух разных точек x1 и x2 множества M найдутся два непе ресекающиеся подмножества U1 и U2 множества M и две карты c1 и c2 из A такие, что x1 U1 im c1, x2 U2 im c2, прообразы множеств U1 и U2 соответственно картами c1 и c2 открыты;

• всякие две карты из множества A непрерывно согласованы (или гладко согласованы).

Определение. Множество M с атласом размерности  (или гладким атласом размерности  ) на нем называется многообразием (или гладким многообразием) размерности .

Определение. Пусть задано гладкое многообразие M размерности ;

тогда • отображение f M R называется гладким (кратко обозначим  f C (M) ), если для всякой карты  c заданного атласа бесконечно диффе ренцируема функция  f c R R ;

• если даны разные числа a, b R, то отображение k (a, b) M на зывается гладким (оно задает гладкую кривую на многообразии  M ), если для всякой карты  c заданного атласа бесконечно дифференцируема функ ция  c1 k ;

• если же также задано гладкое мноообразие N, то отображение m M N называется гладким (кратко обозначим  m C (M, N) ), если для всякой карты  c1 атласа на многообразии M и карты  c2 атласа на много образии N бесконечно дифференцируема функция  c2 1 f c1.

§3 Т В этом разделе предполагается, что задано гладкое многообразие  M размер ности . Также здесь и в дальнейшем применяется обозначение производ ной по аргументу с номером.

П Л, Ф, 10 Предварительные сведения и обозначения Определение 1. Пусть x M ;

тогда отображение v C (M) R называ ется касательным вектором в точке x ко многообразию M, если только • для всяких a, b R и f, g C (M) выполнено равенство va f +b g = a vf + b vg;

• если f, g C (M), то vf g = vf gx + fx vg;

касательное пространство  Tx M в точке x ко многообразию M — совокуп ность всех касательных векторов в точке x ко многообразию M.

Определение. Удобно обозначить T M = Tx M ;

а для каждого вектора v из xM T M обозначим его проекцию tpr v = x в «точку его приложения», где точка  x  — единственная точка многообразия M такая, что v Tx M.

Замечание. Из Определения 1 очевидно, что Tx M — линейное вещественное пространство.

Определение. Для гладкой кривой k (a b, a + b) M, где a R и b 0, вводится ее производная 1 ka = v в точке (числе) a как касательный вектор a по формуле в точке k d vf = 1 (f k)a = (f k)t, f C (M);

dt t=a этот вектор называется касательным к этой кривой в точке (числе) a.

Определение. Если на многообразии M задана карта c, то обозначим частную производную по координате с номерами = 1,..., :

x f = ( f)x = ( (f c))x 1,..., x, f C (M).

Замечание. Ясно, что x Tx M.

Утверждение. Векторы 1 x,..., x образуют базис (называемый каноничес ким) в линейном пространстве Tx M ;

причем координаты вектора v Tx M обозначаем v 1,..., v :

v = v x.

Определение. Отображение u D T M, где D — открытое подмноже ство многообразия M, называется векторным полем на множестве D, если только • для всякой точки x множества D верно tprux = x ;

Н. С. Г, В. Л. Ч Предварительные сведения и обозначения • для произвольной карты с образом (обозначим его U ) во множестве D отображение ux = u x — гладкая функция от x U при = 1,...,.

Определение. Если u — векторное поле на множестве D, а f — гладкая функция, то для x D обозначим (u f)x = ux f,— дифференцирование D функции векторным полем.

Определение. Обозначим x = x,— координатное векторное поле при = 1,..., и точке x из образа координатной карты.

Пример. Вычислим, например, производную векторным полем u с координат ным выражением 1 x 2 x функции f с координатным выражением x = x 1 x 2 :

f (u f)x = ux f = D = ( 1 x 2 x)x 1 x 2 = ( 1 x 2 x )x 1 x 2 = = 1 x x x 2 x x x = 2 1 = 1 x x 1 1 x x 2 2 x x 1 + 2 x x 2 = = 1 0 0 + 1 = 2.

Утверждение. Пусть на подмножестве D многообразия M заданы векторные поля u1 и u2 ;

тогда отображение, сопоставляющее гладкой функции f гладкую D D D D функцию u1 (u2 f) u2 (u1 f) является векторным полем на множестве D ;

D D D D D оно обозначается u1, u2 (то есть u1, u2 f = u1 (u2 f) u2 (u1 f) ) и называется коммутатором векторных полей (также называется скобка Пуассона или скобка Ли);

в локальных координатах коммутатор вычисляется по формуле = u1 u2 u2 u1.

u1, u2 Определение. Пусть x M ;

тогда ковариантный тензор над Tx M валентно сти называется ковариантным тензором валентности в точке x ;

множество всех таких тензоров обозначается T x M ;

при = 1 такие тензоры называют ся кокасательными векторами в точке x ;

совокупность всех кокасательных векторов в точке x обозначается T x M.

Определение. Удобно обозначить T M = T x M и T M = T x M ;

и xM xM обозначим проекцию тензора p из T M в «точку его приложения»: tpr p = x, где точка x — единственная точка многообразия M такая, что p T x M.

П Л, Ф, 12 Предварительные сведения и обозначения Определение. Пусть x M и задана карта на многообразии M, в образе которой лежит точка x ;

тогда, поскольку координатные функции на простран стве Tx M суть одновалентные ковариантные тензоры в точке x, -тую из них обозначим d x по формуле d x v = v, где v Tx M и = 1,...,.

Замечание. Легко видеть, что d 1 x,..., d x образуют базис линейного про странства T x M, двойственный к базису 1 x,..., x пространства Tx M.

Утверждение. Всякий ковариантный тензор p валентности в точке x многообразия M имеет однозначное координатное представление в базисе d 1 x,..., d x :

1 p=p 1,..., x... d x.

d Определение. Отображение q D T M, где D — открытое подмноже ство многообразия M, называется ковариантным тензорным полем валентнос ти на множестве D, если только • для всякой точки x множества D верно tprqx = x ;

• для произвольной карты с образом (обозначим его U ) во множестве D при x U и 1,..., = 1,..., функция qx 1,..., = q 1,..., x гладкая.

Определение. Обозначим d x = d x,— координатное ковекторное поле при = 1,..., и точке x из образа координатной карты.

Определение. Пусть q — ковариантное тензорное поле валентности на некотором подмножестве многообразия M, и u1, …, u — векторные поля на том же множестве;

тогда обозначим (q u1,..., u )x = qx u1 x,..., u x, где точка x из того же множества.

§4 Д В этом разделе предполагается, что задано гладкое многообразие  M размер ности .

Н. С. Г, В. Л. Ч Предварительные сведения и обозначения Определение. Пусть f C (M) и x M ;

тогда обозначим дифференциал функции f в точке x по формуле dfx v = vf, где v Tx M и x M,— отображение, действующее на множестве Tx M.

Замечание. Дифференциал отображения в точке линеен по умножению отобра жения на число:

d(a f +b g)x v = va f +b g = = a vf + b vg = a dfx v + b dgx v, где a, b R, f, g C (M), v Tx M ;

а также он обладает свойством Лейбница:

d(f g)x v = vf g = = vf gx + fx vg = dfx v gx + fx dgx v.

Замечание. Если fx = x — -тая координатная функция, то dfx v = vf = v x = d x v = d x v, = v kron = v = d x.

где v Tx M и x M ;

то есть dx Замечание. Поэтому вычислим для произвольной гладкой функции f, предпо лагая v Tx M и x M :

dfx v = vf = v fx = fx dx v, то есть dfx = fx dx. Определение. Пусть задано также гладкое многообразие N размерности, а также гладкое отображение m C (M, N) ;

обозначим тогда дифференциал этого отображения в точке x M по формуле dmx v f = vf m, f C (N), v Tx M.

dmx v называют переносом по отображению m в Часто переход v точке  x.

Замечание. Нетрудно установить, что dmx — линейный оператор из Tx M в T m x N.

П Л, Ф, 14 Предварительные сведения и обозначения Замечание. Если задана точка x M и отображение m C (M, N), то вычис лим в локальных координатах, предполагая f C (N) и v Tx M :

dmx v f = vf m = v (f m)x = = v fmx (m )x = (v (m )x) fmx, то есть dmx v = (m )x v.

Определение. Пусть x M, m C (M, N), p T mx N ;

тогда, предполагая v1,..., v Tx M, обозначим q T x M по формуле qv1,..., v = pdmx v1,..., dmx v, и обозначим этот тензор (m p) = q, x часто называемый переносом ковариантного тензора против отображения m в точку x.

Определение. Пусть m C (M, N), r — ковариантное тензорное поле валент ности на многообразии N ;

тогда при x M обозначим новое тензорное поле (m r)x = (m rx), x называемое переносом ковариантного тензорного поля против отображения m.

Замечание. Очевидно, что при переносе против отображения сохраняется ан тисимметричность.

§5 П В этом разделе предполагается, что задано гладкое многообразие  M размер ности .

Определение 2. Пусть на гладком многообразии  M задано векторное поле  v ;

тогда потоком этого поля называется гладкое по совокупности аргументов от ображение  ft, x со значениями во многообразии  M, определенное для всех точек x многообразия  M и чисел  t 0 локально на  M, являющееся решением уравнения 0 f t, x = v ft, x при = 1,..., (1) f 0, x = x, в котором  0 обозначает производную по аргументу  t.

Н. С. Г, В. Л. Ч Предварительные сведения и обозначения Утверждение 3. У всякого векторного поля  v на многообразии  M существует его поток  f, причем он при x M и t1, t2 0 обладает следующими свой ствами относительно параметра:

1. ft1, ft2, x = ft1 + t2, x;

2. ft1, ft1, x = x, то есть ft1, x = ft1, x (это известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений).

Далее будут полезны следующие координатно-дифференциальные свойства потока  f векторного поля  v на многообразии  M : Замечание 4, Теорема 5, Тео рема 6.

Замечание 4. Если на многообразии  M задано векторное поле v с потоком f, то по определению потока верно координатное равенство  f 0, x = x, и = x = kron.

потому f 0, x Теорема 5. Пусть на многообразии  M задано векторное поле v с потоком  f ;

тогда (в обозначениях из Определения 2) 1. 0 f t, x = v ft, x f t, x;

2. а при t = 0 получаем 0 f 0, x = v x.

Доказательство. Продифференцируем с помощью определяющего уравнения (1):

0 f t, x = 0 f t, x = = (v ft, x) = v ft, x f t, x.

Откуда при t = 0 по Замечанию 4 получим 0 f 0, x = v f0, x f 0, x = = v x kron = v x.

Теорема 6. Пусть на многообразии  M задано векторное поле v с потоком  f ;

тогда 1. 0 ( f t, ft, x) = f t, ft, x v ft, x;

2. 0 ( f t, ft, x) = v x.

t=0 П Л, Ф, 16 Предварительные сведения и обозначения Доказательство. Продифференцируем для начала по координате левую и правую части выражения  ft, ft, x = x (из второго свойства Теоремы 3) в коорди натном виде:

(f t, ft, x) = f t + t, x = kron.

Из этого по теореме о дифференцировании композиции получим f t, ft, x f t, x = kron.

(2) И теперь полученное продифференцируем по аргументу  t :

0 ( f t, ft, x f t, x) = = 0 ( f t, ft, x) f t, x+ + f t, ft, x 0 f t, x = 0, так как в формуле (2) справа стоит постоянная.

Заменив здесь во втором слагаемом второй множитель по первой формуле Теоремы 5, получим 0 ( f t, ft, x) f t, x+ + f t, ft, x v ft, x f t, x = 0, и переменим индексы суммирования:

0 ( f t, ft, x) f t, x+ + f t, ft, x v ft, x f t, x = 0.

=1,..., Поскольку матрица ( f t, x)=1,..., невырождена при t 0, сократим на этот общий множитель:

0 ( f t, ft, x) + f t, ft, x v ft, x = 0.

Выразив здесь первое слагаемое, получим 0 ( f t, ft, x) = f t, ft, x v ft, x.

Полагая t = 0, по Замечанию 4 получим 0 ( f t, ft, x) = t= =x =x = f 0, f0, x v f0, x = f 0, x v x = = kron v x = v x.

Н. С. Г, В. Л. Ч Предварительные сведения и обозначения §6 Д В этом разделе предполагается, что задано гладкое многообразие M раз мерности.

Определение. У дифференциальных форм валентности = 0,... на много образии M определяется внешний дифференциал — дифференциальная форма валентности ( + 1) — следующим индуктивным по валентности способом:

• если = 0, то dp = df, где px = fx, x M ;

• d(dx ) = 0, = 1,..., ;

• дифференциал формы вида p1 p2 определяется по формуле d(p1 p2 ) = (dp1 ) p2 +(1) p1 (dp2 ), где — валентность формы p1 ;

• на дифференциальные формы — конечные суммы вышеприведенных — дифференциал продолжается по линейности.

Теорема. Пусть p — дифференциальная форма валентности на многообра зии  M ;

тогда в локальных координатах дифференциал этой формы может быть выражен по формуле = (1) (dp) = p 0.... (3) 0...

+1 =0 без Доказательство. Запишем dp через координатное представление формы p (в этих вычислениях для краткости не пишем аргумент поля, подразумевая его наличие):

1 dp = d(p 1... dx... dx )= по Определению дифференциала формы = 1 1 = dp 1... dx... dx +p 1... d(dx... dx )= )= 1 = alt(dp 1... dx... dx (sign ) ( (dp )) = 1 = 1... dx... dx ( + 1)!

(здесь и далее сумма по всем перестановкам на {1,..., + 1} );

П Л, Ф, 18 Предварительные сведения и обозначения записав дифференциал координатно, перенумеруем индексы суммирования:

(sign ) ( ( )) = +1 1 = +1 p 1... dx dx... dx ( + 1)! (sign ) ( ( )).

1 2 + = 1 p 2...+1 dx dx... dx ( + 1)! Поэтому значение дифференциала на векторных полях имеет следующий коор динатный вид:

dp v1,..., v+1 = (sign ) ( + 1)! ( ( )) (v1,..., v+1 ) = 1 2 + 1 p 2...+1 dx dx... dx = (sign ) ( + 1)! ( ) (v1,..., v+1) = 1 2 + 1 p 2...+1 dx dx... dx 1 + = (sign ) 1 p 2...+1 v1... v+1 =;

( + 1)! переобозначив нумерацию индексов, выделим затем первый:

1 + = (sign ) 1 p 2...+1 v1... v+1 = ( + 1)! без v =+ 1 + = v (sign ) p 2...+1 v1... v+1 =.

( + 1)! 1= =1 По кососимметричности формы заменив порядок нумерации индексов в ней на возрастающий, и потом домножив на число (sign ) (1)1 по количеству инверсий, получим =+ 1 (sign ) (sign ) (1) = v ( + 1)! 1= =1 без v + p 1...1 +1...+1 v1... v+1 =, и после упрощения множителей знака будет без v =+ 1 +1 v (1) = p 1...1 +1...+1 v1... v+1 =. ( + 1)!

1= =1 Н. С. Г, В. Л. Ч Предварительные сведения и обозначения Поскольку во внутренней сумме все слагаемые (в количестве (!) ) одинаковы, преобразуем:

без v =+ ! + v (1) = p 1...1 +1...+1 v1... v+1 = ( + 1)! = =+ 1 + (1) = p 1...1 +1...+1 v1... v+1.

+1 = Теорема 7. Пусть на многообразии M задана -валентная дифференциаль ная форма  p и векторные поля  v0,..., v ;

тогда значение внешнего диффе ренциала этой формы на этих векторных полях выражается по следующей бескоординатной формуле Картана:

= без v D ( + 1) dp (v0,..., v ) = (1) v (p (v0,..., v ))+ = без v, v p (v, v, v0,..., v ).

+ + (1) Доказательство. Применив координатную формулу (3) внешнего дифференци ала формы  p, запишем (в этих вычислениях также для краткости не пишем аргумент поля, подразумевая его наличие) = 0 ( + 1) dp (v0,..., v ) = (1) p 0... v0... v = ().

=0 без Преобразуем обособленно слагаемое суммы () с номером, внося произ 1 + ведение  v00... v1 v+1... v в производную :

= (1) v 0 (1) p 0... v0... v p 0... v0... v = без v без без v00... v = (1) v p 0...

без v без (1) v p 0... v0 0... v v =, 0 без v, v без выразив здесь первое слагаемое через бескоординатные операции, получим D = (1) v p (v0,..., v ) (1) v p 0... v0 0... v v.

без v без v, v без П Л, Ф, 20 Предварительные сведения и обозначения Подставив полученное выражение в сумму (), запишем = D () = (1) v (p (v0,..., v )) =0 без v = (1) v p 0... v0 0... v v = ().

=0 0 без v, v без Преобразуем вторую сумму в () к одной общей:

= (1) v p 0... v0 0... v v = =0 0 без v, v без 0 = (1) v v p 0... v0... v =;

0, без v, v без разделив эту сумму на две отдельные при и, изменим при этом индексы и во втором случае местами:

0 (1) v v p = 0... v0... v + 0 без v, v без + (1) v v p 0 0... v0... v =, 0 без v, v без и перейдем к одной сумме с выделением общего множителя:

= v0 0... v 0 без v, v v v p ((1) v v p 0... ) 0... +(1) = ( ).

без без Отдельно преобразуем стоящий в скобках множитель из ( ), изменяя знаки по кососимметричности формы  p (с учетом  ):

v v p (1) v v p 0... +(1) = 0...

без без = (1) v v (1) p v v (1)1 p 0... +(1) = 0...

без, без, = (1)+ p 0... (v v v v ) = без, 0... v, v.

= (1)+ p без, Н. С. Г, В. Л. Ч Предварительные сведения и обозначения Подставив ( ) в () с учетом последней формулы, преобразуем к бескоординатному виду:

= D () = (1) v (p (v0,..., v )) =0 без v v00... v (1)+ p 0... v, v = 0 без v, v без, = D = (1) v (p (v0,..., v ))+ =0 без v + (1)+ p (v, v, v00... v ).

0 без v, v П Л, Ф, 22 Построение производной Ли 2. Построение производной Ли §7 П Л Рассмотримгладкое многообразие  M размерности и векторное поле  j на нем;

поток этого поля обозначим  kt, x, где  x M, а  t — параметр на траектории решения системы 0 k t, x = j kt, x при = 1,..., (4) k0, x = x, в котором  0 обозначает производную по аргументу  t.

Определение. Пусть задана гладкая функция  f на многообразии  M ;

обозна чим тогда ее перенос  j f = g векторным полем  j по формуле f)t, y = gt, y = fkt, y.

(j В этой формуле задается «перенос» значения функции  f из точки  x = kt, y в t, x (см. рис. {1}).

точку  y = k Определение. Пусть теперь задано векторное поле  u на многообразии  M ;

обо значим тогда его перенос  j u = v векторным полем  j по формуле u)t, y = vt, y = dkt, kt, y ukt, y.

(j В локальных координатах эта формула имеет вид v t, y = k t, kt, y u kt, y.

(5) Как и при переносе числовой функции, здесь задается «перенос» значения векторного поля  u из точки  x = kt, y в точку  y = kt, x (см. рис. {1}).

Определение. Наконец, пусть на многообразии  M задано -валентное ковари антное тензорное поле  p (в частности, дифференциальная -форма);

обозначим тогда его перенос  j p = q векторным полем  j по формуле p)t, y = qt, y = (kt, p)y = kt, pkt, y.

(j y В локальных координатах эта формула имеет вид = 1 t, y... t, y p 1,..., t, y 1 k k 1,..., kt, y.

q (6) Н. С. Г, В. Л. Ч Построение производной Ли gt, y g fx f y x vt, y ux Рис. 1: Переносы векторным полем функции и векторного поля.

Здесь также задан «перенос» значения тензорного поля  p из точки  x = kt, y в точку  y = kt, x.

Отметим дополнительно, что непосредственным расчетом устанавливается со гласованность всех трех вышеопределенных переносов друг с другом в смысле коммутирования переноса и операции вычисления значения ковариантного тензорного поля на векторных полях;

это значит, что для векторных полей u1,..., u и ковариантного тензорного поля p валентности выполнена фор мула f)t, y = (j p)t, y (j u1 )t, y,..., (j u )t, y, (j где обозначено  fx = px u1 x,..., u x.

Далее заметим, что перенос векторным полем вводит внешний параметр, и может быть определена скорость переноса относительно этого параметра в начальный момент (при t = 0 ). Ясно при этом, что скорость переноса есть поле того же типа, что и подвергнутое переносу. А поскольку скорость есть производная, ее так и называют — производная Ли (по имени математика Софуса Ли). Ниже определим эту производную более формально.

Определение. Для гладкой функции  f на многообразии  M, обозначив  gt, y = = (j f)t, y, определим также гладкую функцию  Lj f = h — производную Ли П Л, Ф, 24 Построение производной Ли гладкой функции  f векторным полем  j по формуле gt, y g0, y gt, y fy hy = 0 g0, y = lim = lim. (7) t 0 t t t Определение. Для векторного поля  u на многообразии  M, обозначив vt, y = t, y, определим также векторное поле  Lj u = w — производную Ли (j u) векторного поля  u векторным полем  j по формуле y = 0 v0, y = lim vt, y v0, y = lim vt, y uy.

w (8) t 0 t t t Предел здесь понимается в смысле обычной сходимости в конечномерном пространстве — касательной плоскости к точке y.

Определение 8. Наконец, для -валентного ковариантного тензорного поля  p на многообразии  M, обозначив  qt, y = (j p)t, y, определим -валентное ковариантное тензорное поле  Lj p = r — производную Ли -валентного ковари антного тензорного поля  p векторным полем  j по формуле qt, y q0, y qt, y py ry = 0 q0, y = lim = lim. (9) t 0 t t t И здесь предел понимается в смысле обычной сходимости в конечномерном пространстве соответствующих тензоров в точке.

Еще раз укажем, что по этим определениям все пределы дают тензоры того же типа, что и исходные;

а гладкость сохранится по причине гладкости (бесконеч ной непрерывной дифференцируемости) исходных зависимостей.

§8 К При решении задач с вовлечением производной Ли полезно иметь ее ко ординатное выражение;

установим здесь его, предполагая как и в разделе определения производной Ли, что заданы гладкое многообразие  M размерности и векторное поле  j на нем, поток которого обозначен  kt, x.

Теорема. Пусть задана гладкая функция  f на многообразии  M ;

тогда ее производная Ли векторным полем  j — гладкая функция  Lj f = h, вычисляемая в локальных координатах по формуле hy = j y fy.

(10) Доказательство. Вычислим из формул (4) и (7), дифференцируя сложную функ Н. С. Г, В. Л. Ч Построение производной Ли цию:

hy = 0 g0, y = 0 (fkt, y)t=0 = = fkt, yt=0 0 k t, yt=0 = = j y fy, поскольку k0, y = y и 0 k t, y = j kt, y.

Теорема. Пусть задано векторное поле  u на многообразии  M ;

тогда его про изводная Ли векторным полем  j — векторное поле  Lj u = w, вычисляемое в локальных координатах по формуле w y = j y u y u y j y.

(11) Доказательство. Продифференцируем по формулам (8) и (5):

w y = 0 v 0, y = 0 ( k t, kt, y u kt, y)t=0 = = 0 ( k t, kt, y)t=0 u k0, y+ + k 0, k0, y 0 (u kt, y)t=0 =, применив здесь второее свойство из Теоремы 6 к первому сомножителю пер вого слагаемого, а ко второму сомножителю второго слагаемого — теорему о производной композиции, получим = kron = j y =y = j y u y + k 0, y u k0, y 0 k 0, y = = j y u y + kron u y j y = = j y u y u y j y.

Теорема. Пусть задано -валентное ковариантное тензорное поле  p на мно гообразии  M ;

тогда его производная Ли векторным полем  j — -валентное ковариантное тензорное поле  Lj p = r, вычисляемое в локальных координатах по формуле j y p 1,..., y = 1,..., y+ r = +p 1,...,1,,+1,..., y j y. (12) = Доказательство. Продифференцируем по формулам (9) и (6):

1,..., y = 0 q 1,..., 0, y = r = 0 ( 1 k 1 t, y... k t, y p,..., kt, y) = t= П Л, Ф, 26 Построение производной Ли как производная произведения 1 = 0, y... 0, y 0 (p 1,..., kt, y)t=0 + 1 k k = 1 1 +p 1,..., y 1 k 0, y... 0, y 1 k = +1 0 0, y 0, y... 0, y =, k +1 k k применим здесь Замечание 4 и второе свойства из Теоремы 5 и, упростив, получим = kron1... kron p 1,..., y 0 k 0, y+ 1 = 1 + 1 +p 1,..., y kron1... kron1 j y kron+1... kron = = = = j y p 1,..., y + p 1,...,1,,+1,..., y j y.

= §9 Б Установим в этом разделе бескоординатное представление производной Ли, а также правило Лейбница, предполагая как и в разделе определения производ ной Ли, что заданы гладкое многообразие  M размерности и векторное поле  j на нем.

Замечание 9. Из определения 8 очевидно следует, что для ковариантного тензорного поля • коммутируют его производная Ли и перестановка его аргументов — векторных полей;

• а если это поле есть дифференциальная форма, то по перестановочности внешнего дифференцирования и переноса формы против отображения ее производная Ли и внешнее дифференцирование также перестановочны.

Теорема. Пусть на многообразии  M заданы гладкая функция  f и векторное поле  u ;

тогда их производные Ли векторным полем  j имеют вид D Lj f = h = j f, Lj u = w = j, u ;

Н. С. Г, В. Л. Ч Построение производной Ли а если на многообразии  M задано -валентное ковариантное тензорное поле  p и u1,..., u — векторные поля, то значение на них тензорного поля  Lj p = r вычисляется по следующей бескоординатной формуле:

D r (u1,..., u ) = (Lj p) (u1,..., u ) = j (p (u1,..., u )) = p (u1,..., u1, j, u, u+1,..., u ). (13) = Доказательство. Вид производных гладкой функции и векторного поля следуют из формул (10) и (11).

В случае же ковариантного поля  p проведем расчет значения в локальных коор динатах, применив формулу (12) (для краткости не будем писать аргумент y отображений, подразумевая при этом его наличие):

(r (u1,..., u ))y = j p 1,..., u1... u + = u11... u = +p 1,...,1,,+1,..., j = добавим и вычтем слагаемые, чтобы сформировать производную векторным полем  j функции  p (u1,..., u ) :

= j p 1,..., u1... u + = 1 + +j p 1,...,1,,+1,..., u1... u1 u u+1... u = = 1 + j p 1,...,1,,+1,..., u1... u1 u u+1... u + = = u11... u = +p 1,...,1,,+1,..., j = из слагаемых двух первых строк формируем производную векторным полем  j функции  p (u1,..., u ), а последние две суммы запишем в одной сумме:

= D = j (p (u1,..., u )) + p 1,...,1,,+1,..., = + u11... u ( j u u+1... u + j u1... u ) = 1 П Л, Ф, 28 Построение производной Ли в сумме обособим общие сомножители и перейдем к коммутатору:

= D = j (p (u1,..., u )) + p 1,...,1,,+1,..., = u11... u1 u+1... u ( j u + j u ) = 1 + = D = j (p (u1,..., u )) (p (u1,..., u1, j, u, u+1,..., u )).

= Следствие. Если u — векторное поле, то производная Ли тензорного поля  p u вычисляется по аналогу правила Лейбница:

Lj (p u) = ((Lj p) u) + (p (Lj u)) = ((Lj p) u) + (p j, u) ;

(14) также при = 1 это может быть выражено через внутреннее дифференцирова ние:

Lj (u p) = ((Lj u) p) + (u (Lj p)) = (j, u p) + (u (Lj p)). (15) Доказательство. Вычислим значение левого тензорного поля из формулы (14) на векторных полях  u1,..., u1, u+1,..., u :

(Lj (p u)) (u1,..., u1, u+1,..., u ) = D = j ((p u) (u1,..., u1, u+1,..., u )) = (p u) (u1,..., u1, j, u, u+1,..., u1, u+1,..., u ) = = (p u) (u1,..., u1, u+1,..., u1, j, u, u+1,..., u ) = =+ внесем поле  u в ряд аргументов поля  p :

D = j (p (u1,..., u1, u, u+1,..., u )) = p (u1,..., u1, j, u, u+1,..., u1, u, u+1,..., u ) = = p (u1,..., u1, u, u+1,..., u1, j, u, u+1,..., u ) =, =+ обозначив u = u для единообразия слагаемых с нумерованными полями, Н. С. Г, В. Л. Ч Построение производной Ли вычтем и добавим слагаемое  p (u1,..., u1, j, u, u+1,..., u ) :

D = j (p (u1,..., u1, u, u+1,..., u )) = p (u1,..., u1, j, u, u+1,..., u1, u, u+1,..., u ) = p (u1,..., u1, j, u, u+1,..., u ) = p (u1,..., u1, u, u+1,..., u1, j, u, u+1,..., u )+ =+ + p (u1,..., u1, j, u, u+1,..., u ) = заметив, что в первых четырех строках этой формулы стоит производная Ли поля  p, и оба полученных слагаемых выражаются через подстановку -того аргумента, запишем итоговое выражение:

= (Lj p) (u1,..., u1, u, u+1,..., u )+ + p (u1,..., u1, j, u, u+1,..., u ) = = ((Lj p) u) (u1,..., u1, u+1,..., u )+ + (p j, u) (u1,..., u1, u+1,..., u ).

Следствие. Пусть на многообразии  M заданы 1 -валентное ковариантное тензорное поле  p1 и 2 -валентное ковариантное тензорное поле  p2 ;

тогда Lj (p1 p2 ) = (Lj p1 ) p2 + p1 (Lj p2 ). (16) Доказательство. Предположив, что на многообразии  M заданы векторные по ля  u1,..., u1 +2, запишем по формуле (13):

(Lj (p1 p2 )) (u1,..., u1 +2 ) = D = j ((p1 p2 ) (u1,..., u1 +2 )) =1 + (p1 p2 ) (u1,..., u1, j, u, u+1,..., u1 +2 ) =, = распределив слагаемые суммы по номерам в диапазонах валентностей тензоров, и представив значение тензорного произведения как произведение значений, П Л, Ф, 30 Построение производной Ли получим D = j ((p1 (u1,..., u1 )) (p2 (u1 +1,..., u1 +2 ))) = (p1 (u1,..., u1, j, u, u+1,..., u1 )) (p2 (u1 +1,..., u1 +2 )) = =1 + (p1 (u1,..., u1 )) (p1 (u1 +1,..., u1, j, u, u+1,..., u1 +2 )) =, =1+ применив правило Лейбница к первому выражению и переменив места слагае мых, получим D = (j (p1 (u1,..., u1 ))) (p2 (u1 +1,..., u1 +2 )) = (p1 (u1,..., u1, j, u, u+1,..., u1 )) (p2 (u1 +1,..., u1 +2 )) + = D + (p1 (u1,..., u1 )) (j (p2 (u1 +1,..., u1 +2 ))) =1 + (p1 (u1,..., u1 )) (p1 (u1 +1,..., u1, j, u, u+1,..., u1 +2 )) =, =1+ выделив общие множители в первых двух и последних двух слагаемых, получим по формуле (13) = ((Lj p1 ) (u1,..., u1 )) (p2 (u1 +1,..., u1 +2 )) + + (p1 (u1,..., u1 )) ((Lj p2 ) p2 (u1 +1,..., u1 +2 )) = = ((Lj p1 ) p2 ) (u1,..., u1 +2 ) + (p1 (Lj p2 )) (u1,..., u1 +2 ) = = ((Lj p1 ) p2 + p1 (Lj p2 )) (u1,..., u1 +2 ).

Следствие. Из Замечания 9 и формулы (16) по линейности следует, что если на многообразии  M заданы 1 -валентная дифференциальная форма  p1 и 2 валентная дифференциальная форма  p2, то Lj (p1 p2 ) = (Lj p1 ) p2 + p1 (Lj p2 ).

§ 10 И С Вэтом разделе покажем связь производной Ли дифференциальной формы с внешним и внутренним дифференцированиями, предполагая как и в разделе определения производной Ли, что заданы гладкое многообразие  M размерности и векторное поле  v на нем.

Н. С. Г, В. Л. Ч Построение производной Ли Теорема. Пусть на многообразии  M задана дифференциальная форма  p ва лентности  ;

тогда выполняется инфинитезимальная формула Стокса:

Lv p = v dp + d(v p). (17) Доказательство. Предположив, что на многообразии  M заданы векторные по ля  w1,..., w, запишем по формуле Картана (см. Теорему 7) значение фор мы  v dp на них (поле  v соответствует в ней полю  w0 ):

(v dp) (w1,..., w ) = ( + 1) dp (v, w1,..., w ) = = без w D D = (1) v (p (w1,..., w )) + (1) w (p (v, w1,..., w )) + = = + (1)0+ p (v, w, w1,..., w )+ =1 без w без w, w p (w, w, v, w1,..., w ) =, + + (1) переставив в третьем слагаемом коммутатор с первой позиции на -тую (и потому домножив по кососимметричности формы на число (1)1 по числу транспозиций при этой перестановке), переставив затем третье слагаемое со вторым, и в последнем слагаемом переставив w, w и v (и потому изменив знак этого слагаемого), получим D = v (p (w1,..., w )) + = + (1)0+ (1)1 p (w1,..., w1, v, w, w+1,..., w )+ = = D + (1) w (p (v, w1,..., w )) + =1 без w без w, w (1) p (v, w, w, w1,..., w ) =, + + (1) поскольку первое и второе слагаемые образуют производную Ли формы p, а в третьем и четвертом слагаемых поле v стоит на первых позициях, соответствуя внутреннему дифференциалу той же формы, перепишем =1 без w+ 1 D (1) w+1 ((v p) (w1,..., w )) = (Lv p) (w1,..., w ) = без w+1, w+ (v p) (w+1, w+1, w1,..., w ) = ++ (1) П Л, Ф, 32 Построение производной Ли заметив наконец, что последние две суммы образуют внешний дифференциал формы v p, перепишем = (Lv p) (w1,..., w ) d(v p) (w1,..., w ).

Следствие. Пусть на многообразии  M задана дифференциальная форма  p валентности , а также векторное поле  w ;

тогда выполняется формула w (v dp) = (w v) dp = Lv (w p) w d(v p) + w, v p.

Доказательство. Применим формулу (15):

Lv (w p) = v, w p + w (Lv p) = применим инфинитезимальную формулу Стокса (17):

= v, w p + w (v dp + d(v p)) = = v, w p + w (v dp) + w d(v p).

Выразив же здесь w (v dp), получим заявленное.

Следствие. В частности, в случае валентности 1 получим формулу D 2 dp (v, w) = v (p w) d(p v) w + p w, v = = d(p w) v d(p v) w + p w, v = D D = v (p w) w (p v) + p w, v. (18) Н. С. Г, В. Л. Ч Теорема Фробениуса 3. Теорема Фробениуса § 11 Л В этом разделе предполагается, что задано гладкое многообразие M раз мерности.

Лемма. Пусть на многообразии задано векторное поле v с его потоком k (см. обозначения в Определении 2);

тогда если u — векторное поле на многообразии, а 0 — обозначение производной по t в точке x M, то при t 0 верно 0 (dkt, kt, x ukt, x) = dkt, kt, x v, ukt, x, что в координатах соответствует формуле 0 ( k t, kt, x u kt, x) = = k t, kt, x v, u kt, x.

Доказательство. Продифференцируем левую часть координатного равенства:

0 ( k t, kt, x u kt, x) = = 0 ( k t, kt, x) u kt, x+ + k t, kt, x 0 (u kt, x) =, применив теорему о производной композиции ко второму сомножителю второго слагаемого, получим = 0 ( k t, kt, x) u kt, x+ = v kt, x + k t, kt, x u kt, x 0 k kt, x(1) =;

после применения к первому сомножителю первого слагаемого первого равен ства Теоремы 6 будет = k t, kt, x v kt, x u kt, x+ + k t, kt, x u kt, x v kt, x (1) =.

С помощью замены индексов и выделения общего множителя формула преоб разуется к = k t, kt, x ( v kt, x u kt, x+ + u kt, x v kt, x (1)) =, П Л, Ф, 34 Теорема Фробениуса и после замены выражения в скобках по формуле коммутатора получим = k t, kt, x v, u kt, x.

Лемма 10. Пусть на многообразии задано векторное поле v с его потоком k ;

тогда если u1,..., u — векторные поля на многообразии такие, что коммутатор каждого из них с полем v есть линейная комбинация полей u1,..., u с зависящимим от точки коэффициентами, то при x M, t 0, = 1,..., параметрические векторные поля w t, x = dkt, kt, x u kt, x также суть линейные комбинации полей u1,..., u, но с коэффициентами, зависящими от точки и параметра.

Доказательство. Вычислим производную этих полей по t, применяя предыду щую Лемму:

0 w t, x = k t, kt, x v, u kt, x =;

заменив коммутаторы на их линейные выражения через поля u1,..., u с коэффициентами f x, получим = k t, kt, x f kt, x u kt, x = = f kt, x ( k t, kt, x u kt, x) = = f kt, x w t, x.

Заметим, что эта совокупность уравнений есть система линейных одно родных дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций w1, x,..., w, x при постоянной точке x.


По теореме Коши о существовании решения дифференциального уравнения первого порядка найдется решение этой системы в линейной оболочке векторов w1 0, x = u1 x,..., w 0, x = u x (линейном подпространстве пространства Tx M );

и по той же теореме решение это единственно и во всем пространстве Tx M.

Итак, векторы w t, x суть линейные комбинации векторов u1 x,..., u x с коэффициентами, зависящими от t.

Н. С. Г, В. Л. Ч Теорема Фробениуса Лемма 11. Пусть на многообразии заданы векторные поля u1,..., u с ли нейно независимыми значениями в каждой точке, а также выбраны потоки k1,..., k этих полей;

тогда если x M, то отображение mt1,..., t = (k1 t1,... k t, )x есть биекция некоторой окрестности нуля в R и некоторой окрестности точки x = m0,..., 0;

при этом набор частных производных этого отображения по его переменным имеет ранг в точках окрестности.

Доказательство. Обозначим индуктивно точки:

y = x y 1 = k t, y, =,..., 1.

Вычислим производную:

1 mt1,..., t = 0 k1 t1, y1, и если 1, то (19) mt1,..., t = 1 2 t, y 2 k1 t, y1 3 k, y1 0 k t, y.

k1 t... Подставив t1 =... = t = 0 в эти выражения, по Замечанию 4 и определяющему уравнению потока (1) получим y0 =... = y = x и m0,..., 0 = k 0, x 0 1 при = = 2 k1 0, x 3 k22 0, x =... k1 0, x 0 k 0, x при 1.

1 = u x.

Поэтому из условия Леммы следует, что векторы 0 m0,..., 0,..., m0,..., линейно независимы;

и тем самым отображение m биективно на некоторой окрестности нуля в R, а векторы его частных производных линейно незави симы на этой окрестности.

П Л, Ф, 36 Теорема Фробениуса Лемма 12. Пусть на многообразии заданы векторные поля u1,..., u с ли нейно независимыми значениями в каждой точке, а коммутатор всяких двух по лей из u1,..., u (при ) есть линейная комбинация этих полей u1,..., u с зависящимим от точки коэффициентами;

тогда если выбраны потоки k1,..., k этих полей, x M и отображение m построено по формуле из предыдущей Леммы, то векторные поля w y = mg1 y,..., g y при = 1,..., суть также линейные комбинации полей u1,..., u с зависящимим от точки коэффициентами, где функции g такие, что gmt1,..., t = t при = 1,...,, существуют по предыдущей Лемме и теореме о неявном отображении.

Доказательство. Пусть точка y = y0 из окрестности точки x ;

и определим тогда параметры t = g y, и точки y = k t, y1 при 0.

Подставив эти значения в формулу (19), получим выражение полей w y:

w1 y = u1 y, и если 1, то w y = (dk1 t1, y1... dk1 t1, y1 )u y1.

По Лемме 10 при 1 векторное поле dk1 t1, y1 u y1 = = dk1 t1, k1 t1, y2 u k1 t1, y есть линейная комбинация полей u1,..., u.

Таким образом последовательно применяя ту же Лемму с учетом линейности дифференциала, получим заявленное в утверждении.

§ 12 Р Ф В этом разделе предполагается, что задано гладкое многообразие M раз мерности.

Рассмотрим на многообразии некоторые векторные поля с линейно незави симыми значениями в каждой точке;

выберем также некоторую точку многооб разия.

Н. С. Г, В. Л. Ч Теорема Фробениуса Составим в некоторых локальных координатах вокруг выбранной точки матри цу координат значений этих полей. Заметив, что по линейной независимости значений векторных полей ее ранг максимален, дополним затем ее до квадрат ной невырожденной в окрестности выбранной точки.

Ясно, что дополняющие столбцы можно считать координатами дополнительных векторных полей;

и тем самым исходные поля можно дополнить в окрестно сти выбранной точки до набора векторных полей с линейно независимыми значениями в каждой точке в числе размерности многообразия.

Замечание 13. Итак, если на многообразии заданы векторные поля u1,..., u с линейно независимыми значениями в каждой точке, и выбрана также некоторая точка многообразия, то найдется окрестность выбранной точки и векторные поля u+1,..., u на этой окрестности такие, что векторные поля u1,..., u также с линейно независимыми значениями в каждой точке этой окрестности.

Определение. Отображение Z, действующее на некотором открытом под множестве D многообразия M, и сопоставляющее каждой точке x этого множества некоторое линейное подпространство Zx касательного простран ства Tx M, называется распределением размерности на множестве D, если для каждой точки x D найдется окрестность ее во множестве D и набор векторных полей u1,..., u на той окрестности такие, что для всякой точки y из той окрестности пространство Zy есть линейная оболочка векторов y,..., u y и эти векторы линейно независимы;

поля же эти векторные u1 называются локальным базисом распределения.

Определение. Пусть на открытом подмножестве D многообразия задано распределение Z ;

тогда векторное поле v на этом множестве D называется сечением распределения Z, если для каждой точки x D вектор vx принад x.

лежит пространству Z Определение. Распределение Z размерности на открытом подмноже стве D многообразия называется вполне интегрируемым, если для всякой точ ки x из множества D найдется окрестность этой точки во множестве D и гладкие функции g1,..., g на той окрестности такие, что для всякой точки y из той окрестности и всякого вектора w из пространства Zy y w = 0 при = 1,...,, а кокасательные векторы выполнено dg 1 y..., dg y линейно независимы.

dg, Определение. Распределение называется инволютивным, если только комму татор всяких его двух сечений есть его же сечение.

П Л, Ф, 38 Теорема Фробениуса Лемма 14. Распределение инволютивно, если и только если для всякой точки найдется локальный базис распределения на окрестности этой точки такой, что коммутатор всяких двух полей из этого базиса есть линейная комбинация его полей с коэффициентами, зависящими от точки.

Доказательство. Из инволютивности распределения следует заявленное свой ство базиса.

Если же u1,..., u — локальный базис распределения, а f x u x и x — локальное разложение сечений распределения, то вычислим их h x u коммутатор:

f u, h u = f u (h u ) h u (f u ) = по правилу Лейбница = f u ( h u + h u ) h u ( f u + f u ) =.

Раскрыв скобки, получим = f u h u + f u h u h u f u h u f u = после перемещения слагаемых и группировки = f u h u h u f u + f h (u u u u ) =, переменив индексы и выделив общий множитель, получим = u u (f h h f ) + f h u, u.

Обе части последнего выражения суть линейные комбинации полей из локаль ного базиса распределения.

Лемма. Пусть на множестве D задано распределение Z размерности ;

тогда если оно вполне интегрируемо, то оно инволютивно.

Доказательство. Возьмем два сечения u и v распределения Z ;

рассмотрим некоторую точку x из D с ее окрестностью в этом множестве, и гладкие функции g1,..., g такие, что для всякой точки y из той окрестности и всякого вектора w из пространства Zy выполнено dg y w = 0 при 1 y..., dg y линейно неза = 1,...,, и кокасательные векторы dg, висимы.

Н. С. Г, В. Л. Ч Теорема Фробениуса Вычислим:

D u g = dg u = 0, D v g = dg v = 0, по выбору функций g1,..., g.

И поэтому D D D D D dg u, v = u, v g = u (v g ) v (u g ) = 0.

Из этого и соотношения + ( ) = размерностей следует u, vx x.

Z Лемма. Пусть на множестве D задано распределение Z размерности ;

тогда если оно инволютивно, то оно вполне интегрируемо.

Доказательство. Выберем некоторый локальный базис u1,..., u распределения Z на некоторой окрестности некоторой точки x.

По Замечанию 13 дополним на некоторой подокрестности точки x эти вектор ные поля до набора u1,..., u с линейно независимыми значениями в точках.

Выбрав некоторые потоки этих векторных полей, построим из них отображение m по формуле из Леммы 11 для точки x.

По Лемме 11 найдутся функции g1,..., g на окрестности точки x такие, что g mt1,..., t = t при = 1,...,.

Обозначим векторные поля w y = mg1 y,..., g y при = 1,...,.

При, = 1,..., вычислим:

dg y w y = w y g = mg1 y,..., g y g = = (g m)g1 y,..., g y = t t =gy = kron.

В частности, dg w = 0 при = + 1,..., и = 1,...,.

Поскольку по Леммам 11 и 12 векторы w1 y,..., w y линейно независимы y,..., u y, эти векторные поля и выражаются линейно через векторы u1 w1,..., w суть локальный базис распределения Z.

Поэтому dg y w = 0 для всякого вектора w Zy.

П Л, Ф, 40 Теорема Фробениуса По Лемме 11 ковекторы dg+1 y,..., dg y линейно независимы.

Итак, распределение Z вполне интегрируемо.

Из последних двух Лемм следует критерий вполне интегрируемости.

Теорема Фробениуса. Пусть на множестве D задано распределение Z ;

тогда оно вполне интегрируемо, если только оно инволютивно.

§ 13 И В этом разделе предполагается, что задано гладкое многообразие M раз мерности.

Определение. Пусть на некотором открытом множестве заданы одновалент ные дифференциальные формы p1,..., p, а также некоторое распределение Z размерности ;

тогда набор p1,..., p сопряжен с распределением Z, если только • + = ;

• формы p1,..., p линейно независимы в каждой точке того открытого множества;

• для всякого сечения v распределения Z верно p v = 0 при = 1,...,.

Определение. Пусть на некотором открытом множестве заданы одновалент ные дифференциальные формы p1,..., p ;

тогда набор p1,..., p дифференци ально линейно зависим, если только найдутся одновалентные дифференциальные формы q при, = 1,..., такие, что dp = q p при = 1,...,.

Лемма. Пусть на некоторой окрестности некоторой точки многообразия M задано распределение Z, а также задан сопряженный с ним набор p1,..., p одновалентных дифференциальных форм;


тогда если распределение Z инволю тивно, то набор p1,..., p дифференциально линейно зависим.

Доказательство. По теореме Фробениуса на некоторой окрестности той же точки существуют гладкие функции g1,..., g такие, что набор dg1,..., dg сопряжен с распределением Z.

Поэтому на некоторой окрестности той же точки найдутся гладкие функции f при, = 1,..., такие, что p = f dg при = 1,..., ;

и аналогично найдутся гладкие функции h при, = 1,..., такие, что dg = h p при = 1,...,.

Н. С. Г, В. Л. Ч Теорема Фробениуса Следовательно dp = df dg = df h p = (h df ) p.

Лемма. Пусть на некоторой окрестности некоторой точки многообразия M задано распределение Z, а также задан сопряженный с ним набор p1,..., p одновалентных дифференциальных форм;

тогда если набор p1,..., p диффе ренциально линейно зависим, то распределение Z инволютивно.

Доказательство. По определению дифференциальной линейной зависимости найдутся одновалентные дифференциальные формы q при, = 1,..., = q p при = 1,...,.

такие, что dp Выбрав два сечения v и w распределения Z, вычислим:

dp (v, w) = (q p ) (v, w) = ((q v) ( p w) (q w) ( p v)) = = при = 1,...,.

С другой стороны по формуле (18) =0 = D 2 dp (v, w) = v (p w) d(p v) w + p w, v = p w, v при = 1,...,.

Следовательно p w, v = 0 при = 1,..., ;

откуда w, v есть сечение распределения Z.

Лемма. Пусть на некоторой окрестности некоторой точки многообразия M задан набор p1,..., p одновалентных дифференциальных форм;

тогда если набор p1,..., p дифференциально линейно зависим, то dp p1... p = при = 1,...,.

Доказательство. По определению дифференциальной линейной зависимости найдутся одновалентные дифференциальные формы q при, = 1,..., = q p при = 1,...,.

такие, что dp Вычислим:

dp p1... p = q p p1... p = при = 1,...,, ибо каждое слагаемое содержит два одинаковых сомножителя.

Лемма. Пусть на некоторой окрестности некоторой точки многообразия M задан набор p1,..., p поточечно линейно независимых одновалентных П Л, Ф, 42 Теорема Фробениуса дифференциальных форм;

тогда если dp p1... p = 0 при = 1,...,, то набор p1,..., p дифференциально линейно зависим.

Доказательство. Дополним набор p1,..., p до базисного (то есть до размер ности ) формами p+1,..., p.

Ясно, что форма dp есть линейная комбинация произведений p p ;

и если бы при, коэффициенты были ненулевые, то и произведение dp p1... p было бы ненулевое, что не верно.

Из последних четырех Лемм следует критерий инволютивности (и вполне интегрируемости).

Теорема. Пусть на некоторой окрестности некоторой точки многообразия M задано распределение Z, а также задан сопряженный с ним набор p1,..., p одновалентных дифференциальных форм;

тогда распределение Z инволютивно, если только dp p1... p = 0 при = 1,...,.

Н. С. Г, В. Л. Ч Разбор примеров / Дифференциальные формы 4. Разбор примеров 4.1. Дифференциальные формы § 14 В Задание 1. Пусть на некотором двумерном многообразии задана дифферен циальная форма p валентности 1, выраженная в локальных координатах по формуле px = x 1 dx 2 + 2 x 2 dx 1, а в точке y с координатами y 1 = 1 и y 2 = 2 задан вектор v с координатами v 1 = 3 и v 2 = 4 ;

вычислить значение py v дифференциальной формы p в точке y на касательном векторе v в той же точке.

Решение. Напомним, что дифференциальная форма есть отображение, сопо ставляющее каждой точке некоторого открытого подмножества многообразия кокасательный вектор в той точке (то есть вещественнозначное линейное отоб ражение на касательном пространстве к этой точке), причем в координатном выражении этой зависимости коэффициенты бесконечно дифференцируемы.

Для вычисления искомого значения следует определить координатное выраже ние кокасательного вектора py — значения дифференциальной формы p в точке y — путем подстановки значений координат точки y в выражение формы p. А затем вычислить сумму призведений координат этого кокасательного вектора py и вектора v с одинаковыми номерами.

Итак, следуя указанному плану, вычислим вначале форму p в точке y :

py = y 1 dy 2 + 2 y 2 dy 1 = 1 dy 2 + 2 2 dy 1.

И теперь вычислим искомое:

py v = 1 dy 2v + 2 2 dy 1v = = 1 v 2 +2 2 v 1 = 1 4 + 2 2 3 = 16.

Ответ. Итак, py v = 16.

Задание 2. Пусть на некотором двумерном многообразии задана дифферен циальная форма p валентности 1, выраженная в локальных координатах по формуле px = x 1 dx 2 + 2 x 2 dx 1, П Л, Ф, 44 Разбор примеров / Дифференциальные формы а также задано векторное поле u с координатным выражением u 1 x = x 1 + x 2, u 2 x = x 1 x 2 ;

вычислить координатное выражение гладкой функции p u — значения формы p на векторном поле u.

Решение. Вычисление сводится к определению значения кокасательного вектора px на касательном векторе ux при произвольной точке x.

Вычислим:

(p u)x = px ux = = p 1 x dx 1ux + p 2 x dx 2ux = = p 1 x u 1 x + p 2 x u 2 x =;

подставим координатные выражения формы p и векторного поля u :

= 2 x 2 (x 1 + x 2 ) + x 1 (x 1 x 2 ) = (x 1 )2 + x 1 x 2 + 2 (x 2 )2.

Ответ. Итак, (p u)x = (x 1 )2 + x 1 x 2 + 2 (x 2 )2.

Задание 3. Пусть теперь задана дифференциальная форма q валентности с координатным выражением qx = x 1 dx 2 dx 1, и в точке y с координатами y 1 = 1 и y 2 = 2 заданы вектор v с координатами v 1 = 3, v 2 = 4 и вектор w с координатами w 1 = 2, w 2 = 3 ;

вычислить значение qy v, w формы q в точке y на векторах v, w.

Решение. По указанному ранее плану вычислим вначале форму q в точке y :

qy = y 1 dx 2 dx 1 = 1 dx 2 dx 1 = (dx 2 dx 1 dx 1 dx 2 ) ;

= и по определению тензорного произведения вычислим искомое значение, под ставив координаты векторов:

qy v, w = (dx 2 dx 1 dx 1 dx 2 )v, w = 2 1 1 1 = (v 2 w 1 v 1 w 2 ) = (4 2 3 3) = (1) =.

2 2 2 Н. С. Г, В. Л. Ч Разбор примеров / Дифференциальные формы Ответ. Итак, qy v, w = 2.

Задание 4. Вычислить значение u q внутренней производной формы q валентности 2 с координатным выражением qx = x 1 dx 2 dx определенным выше векторным полем u с координатным выражением u 1 x = x 1 + x 2, u 2 x = x 1 x 2.

Решение. Вычислим по линейности внутренней производной, подставляя коор динатное выражение формы q :

(u q)x = ux (x 1 dx 2 dx 1 ) = x 1 ux (dx 2 dx 1 dx 1 dx 2 ) = = = x 1 (ux (dx 2 dx 1 ) ux (dx 1 dx 2 )) =, по определению внутренней производной и тензорного произведения x 1 ((dx 2ux dx 1 ) (dx 1ux dx 2 )) = = = x 1 ((u 2 x dx 1 ) (u 1 x dx 2 )) =, подставив координатное выражение векторного поля u, упростим:

x 1 (((x 1 + x 2 ) dx 1 ) ((x 1 x 2 ) dx 2 )) = = 1 = ((x 1 )2 + x 1 x 2 ) dx 1 + (x 1 x 2 (x 1 )2 ) dx 2.

2 Ответ. Итак, 1 (u q)x = ((x 1 )2 + x 1 x 2 ) dx 1 + (x 1 x 2 (x 1 )2 ) dx 2.

2 § 15 В Задание 5. Пусть на некотором гладком многообразии заданы две диффе ренциальные формы px = x 1 dx 2 + x 2 dx 1, qx = dx 1 + dx 2 ;

П Л, Ф, 46 Разбор примеров / Дифференциальные формы вычислить их внешнее произведение.

Решение. Напомним, что внешнее произведение имеет следующие вычислитель но полезные свойства:

• линейность, то есть (a p +b q) r = a (p r) + b (q r), где a, b — числа;

• кососимметричность, то есть при перестановке двух сомножителей про изведение меняет знак.

Вычислим по указанным свойствам:

(p q)x = (x 1 dx 2 + x 2 dx 1 ) (dx 1 + dx 2 ) = = dx 1 dx 2 = = x dx dx +x dx dx 1 + 1 2 1 2 = + x dx dx 2 +x 2 dx 1 dx 2 = 1 = (x 1 + x 2 ) dx 1 dx 2.

Ответ. Итак, (p q)x = (x 1 + x 2 ) dx 1 dx 2.

Пусть заданы две дифференциальные формы Задание 6.

px = x 1 dx 2 + x 2 dx 1, rx = dx 1 dx 2 + dx 1 dx 3 ;

вычислить внешнее произведение p r.

Решение. Вычислим по тем же свойствам:

(p r)x = (x 1 dx 2 + x 2 dx 1 ) (dx 1 dx 2 + dx 1 dx 3 ) = =0 = = x dx dx dx +x dx dx 1 dx 2 + 1 2 1 2 2 = + x dx dx dx + x dx dx 1 dx 3 = 1 2 1 3 2 = x 1 dx 1 dx 2 dx 3.

Ответ. Итак, (p r)x = x 1 dx 1 dx 2 dx 3.

Пусть заданы две дифференциальные формы Задание 7.

rx = dx 1 dx 2 + dx 1 dx 3, sx = dx 4 dx 2 + dx 1 dx 3 ;

вычислить внешнее произведение r s.

Н. С. Г, В. Л. Ч Разбор примеров / Дифференциальные формы Решение. Вычислим:

(r s)x = (dx 1 dx 2 + dx 1 dx 3 ) (dx 4 dx 2 + dx 1 dx 3 ) = = dx 1 dx 2 dx 4 dx 2 + dx 1 dx 3 dx 4 dx 2 + + dx 1 dx 2 dx 1 dx 3 + dx 1 dx 3 dx 1 dx 3 = = dx 1 dx 2 dx 3 dx 4.

Ответ. Итак, (r s)x = dx 1 dx 2 dx 3 dx 4. § 16 Д Задание 8. Пусть на некотором гладком многообразии в локальных коорди натах задана дифференциальная форма px = x 1 dx 2 + x 2 dx 1 ;

вычислить дифференциал dp этой формы.

Решение. Напомним, что дифференциал линеен относительно умножения на число, подчиняется правилу Лейбница при умножении на числовую функцию (то есть d(f p) = df p + f dp ), а дифференциал внешнего произведения диф ференциалов координат равен нулю.

Вычислим по указанным свойствам:

dpx = d(x 1 dx 2 + x 2 dx 1 ) = = dx 1 dx =0 = = dx dx + x ddx + dx dx +x ddx 1 = 0.

1 2 1 2 2 1 Ответ. Итак, dpx = 0.

Пусть Задание 9. в локальных координатах задана дифференциальная фор ма qx = (x 1 )2 dx 2 + x 2 dx 1 ;

вычислить ее дифференциал dq.

Решение. Вычислим по тем же правилам:

dqx = d((x 1 )2 dx 2 + x 2 dx 1 ) = = dx 1 dx =0 = = 2 x dx dx + (x ) ddx + dx dx +x ddx 1 = 1 1 2 12 2 2 1 = (2 x 1 1) dx 1 dx 2.

П Л, Ф, 48 Разбор примеров / Производная Ли Ответ. Итак, dqx = (2 x 1 1) dx 1 dx 2.

Пусть в локальных координатах задана дифференциальная фор Задание 10.

ма rx = x 1 dx 1 dx 2 + x 2 dx 1 dx 3 ;

вычислить ее дифференциал dr.

Решение. Вычислим:

drx = d(x 1 dx 1 dx 2 + x 2 dx 1 dx 3 ) = =0 = = dx dx dx +x d(dx dx 2 ) + 1 1 2 1 = + dx dx dx + x d(dx dx 3 ) = 2 1 3 2 = dx 1 dx 2 dx 3.

Ответ. Итак, drx = dx 1 dx 2 dx 3.

4.2. Производная Ли § 17 В Л В этом разделе предполагается, что на некотором трехмерном многообразии задано векторное поле j с координатным выражением j 1 x = x 2 + x 3, j 2 x = x 1 + x 3, j x = x 1 + x 2.

Задание 11. Пусть задана функция f x = x 1 x 2 + x 3 ;

вычислить ее производную Ли полем j.

Решение. Напомним, что производная Ли гладкой функции векторным полем есть ее производная этим полем, и вычисляется в локальных координатах она как сумма по всем номерам координат произведений значения координаты поля и значения частной производной этой функции.

Н. С. Г, В. Л. Ч Разбор примеров / Производная Ли Вычислим по указанному правилу:

(Lj f)x = (j f)x = j x fx = D = (x 2 + x 3 ) 1 (x 1 x 2 + x 3 )+ + (x 1 + x 3 ) 2 (x 1 x 2 + x 3 )+ + (x 1 + x 2 ) 3 (x 1 x 2 + x 3 ) = = (x 2 + x 3 ) (x 2 ) + (x 1 + x 3 ) (x 1 ) + (x 1 + x 2 ) (1) = = x 1 + x 2 + (x 1 )2 + (x 2 )2 + x 1 x 3 + x 2 x 3.

Ответ. Итак, (Lj f)x = x 1 + x 2 + (x 1 )2 + (x 2 )2 + x 1 x 3 + x 2 x 3.

Задание 12. Пусть задано векторное поле v с координатами v 1 x = x 2, v 2 x = x 3, v 3 x = x 1 ;

вычислить его производную Ли полем j.

Решение. Напомним, что производная Ли векторного поля другим векторным полем есть их коммутатор (скобка Ли или скобка Пуассона);

а вычисляется он в локальных координатах по формуле j, v x = j x v x v x j x.

Вычислим первую координату:

(Lj v) 1x = j, v x = j x v 1 x v x j 1 x = 1 = (x 2 + x 3 ) 1 (x 2 ) + (x 1 + x 3 ) 2 (x 2 ) + (x 1 + x 2 ) 3 (x 2 ) (x 2 ) 1 (x 2 + x 3 ) (x 3 ) 2 (x 2 + x 3 ) (x 1 ) 3 (x 2 + x 3 ) = = (x 2 + x 3 ) 0 + (x 1 + x 3 ) 1 + (x 1 + x 2 ) (x 2 ) 0 (x 3 ) 1 (x 1 ) 1 = 0.

Аналогичные вычисления второй и третьей координат искомой производной показывают, что они также нулевые.

Ответ. Итак, Lj v = 0.

Задание 13. Пусть задана дифференциальная форма p с координатным вы ражением px = x 2 dx 3 ;

вычислить ее производную Ли полем j.

П Л, Ф, 50 Разбор примеров / Производная Ли Решение. Напомним, что производная Ли дифференциальной формы p вектор ным полем j в локальных координатах вычисляется по формуле (Lj p) x = j x p x + p x j x.

Вычислим первую координату искомой производной, заметив, что p 1 x = 0, x = 0, p x = x 2 :

p 2 (Lj p) 1x = j x p 1 x + p x 1 j x = = 0 + p 1 x 1 j 1 x + p 2 x 1 j 2 x + p 3 x 1 j 3 x = = p 3 x 1 j x = x 1 (x 1 + x 2 ) = x 2.

3 Аналогичные вычисления второй и третьей координат искомой производной показывают, что (Lj p) 2x = x 2, (Lj p) 3x = x 1 + x 3. Ответ. Итак, Lj p = x 2 dx 1 + x 2 dx 2 + (x 1 + x 3 ) dx 3.

Задание 14. Пусть задана дифференциальная форма q с координатным вы ражением qx = x 1 dx 2 dx 3 ;

вычислить ее производную Ли полем j.

Решение. Напомним, что производная Ли подпадает под действие правила Лейбница относительно тензорного умножения, а значит и относительно внеш него умножения и умножения на гладкую функцию;

а также она перестановочна с внешним дифференцированием форм.

Вычислим по этим свойствам:

(Lj q)x = Lj (x 1 dx 2 dx 3 ) =, по правилу Лейбница для тензорного произведения:

= (Lj x 1 ) dx 2 dx 3 + x 1 Lj (dx 2 dx 3 ) = по правилу Лейбница для внешнего произведения:

= (x 2 + x 3 ) dx 2 dx 3 + x 1 (Lj dx 2 ) dx 3 + x 1 dx 2 (Lj dx 3 ) = по перестановочности внешнего дифференцирования и производной Ли:

= (x 2 + x 3 ) dx 2 dx 3 + x 1 d(Lj x 2 ) dx 3 + x 1 dx 2 d(Lj x 3 ) =, Н. С. Г, В. Л. Ч Разбор примеров / Производная Ли вычислив производные Ли, получим = (x 2 + x 3 ) dx 2 dx 3 + x 1 (dx 1 + dx 3 ) dx 3 + x 1 dx 2 (dx 1 + dx 2 ) = по кососимметричности внешнего произведения (после раскрытия скобок):

= (x 2 + x 3 ) dx 2 dx 3 + x 1 dx 1 dx 3 + x 1 dx 2 dx 1 =, упорядочив, получим = (x 2 + x 3 ) dx 2 dx 3 x 1 dx 3 dx 1 x 1 dx 1 dx 2.

Ответ. Итак, (Lj q)x = (x 2 + x 3 ) dx 2 dx 3 x 1 dx 3 dx 1 x 1 dx 1 dx 2.

§ 18 И С Задание 15. Пусть на некотором двумерном гладком многообразии в ло кальных координатах задана дифференциальная форма qx = (x 1 )2 dx 2 + x 2 dx 1, и векторные поля u 1 x = x 1, u 2 x = x 1 + x 2, v 1 x = x 2, v 2 x = x 1 + x 2 ;

вычислить значение dq (u, v) формы dq на векторных полях u и v непосред ственно и по инфинитезимальной формуле Стокса, сравнив после результаты.

Решение. Вычислим вначале непосредственно, воспользовашись вычисленным дифференциалом этой формы ( dqx = (2 x 1 1) dx 1 dx 2, см. Задание 9): (dq (u, v))x = ((2 x 1 1) dx 1 dx 2 )ux, vx = = (2 x 1 1) (dx 1 dx 2 dx 2 dx 1 )ux, vx = (2 x 1 1) (dx 1ux dx 2vx dx 2ux dx 1vx) = = = (2 x 1 1) (u 1 x v 2 x u 2 x v 1 x) = = (2 x 1 1) (x 1 (x 1 + x 2 ) (x 1 + x 2 ) x 2 ) = = (2 x 1 1) ((x 1 )2 (x 2 )2 ). П Л, Ф, 52 Разбор примеров / Производная Ли Теперь же вычислим значение q v формы q на векторном поле v :

(q v)x = ((x 1 )2 dx 2 + x 2 dx 1 )vx = = (x ) dx vx + x 2 dx 1vx = 2 = (x 1 )2 v 2 x + x 2 v 1 x = = (x 1 )2 (x 1 + x 2 ) + x 2 x 2 ;

D из чего вычислим производную u (q v) полученной функции полем u :

u (dq v)x = u 1 x 1 (q v)x + u 2 x 2 (q v)x = D = x 1 1 ((x 1 )3 + (x 1 )2 x 2 + (x 2 )2 )+ + (x 1 + x 2 ) 2 ((x 1 )3 + (x 1 )2 x 2 + (x 2 )2 ) = = x 1 (3 (x 1 )2 + 2 x 1 x 2 ) + (x 1 + x 2 ) ((x 1 )2 + 2 x 2 ) = = 2 x 1 x 2 + 2 (x 2 )2 + 4 (x 1 )3 + 3 (x 1 )2 x 2.

Затем вычислим q u :

(q u)x = ((x 1 )2 dx 2 + x 2 dx 1 )ux = = (x ) dx ux + x 2 dx 1ux = 2 = (x 1 )2 u 2 x + x 2 u 1 x = = (x 1 )3 + (x 1 )2 x 2 + x 1 x 2 ;

из чего вычислим d(q u) :

d(q u)x = d((x 1 )3 + (x 1 )2 x 2 + x 1 x 2 ) = = 3 (x 1 )2 dx 1 + x 1 dx 2 + x 2 dx 1 + 2 x 1 x 2 dx 1 + (x 1 )2 dx 2 ;

и отсюда вычислим d(q u) v :

(d(q u) v)x = (3 (x 1 )2 dx 1 + x 1 dx 2 + + x 2 dx 1 + 2 x 1 x 2 dx 1 + (x 1 )2 dx 2 )vx = = (x 1 )2 + x 1 x 2 + (x 2 )2 + (x 1 )3 + 4 (x 1 )2 x 2 + 2 x 1 (x 2 )2.

Далее нетрудно установить, что u, v x = x 1, u, v x = x 1 x 2 ;

1 Н. С. Г, В. Л. Ч Разбор примеров / Теорема Фробениуса из чего следует (q u, v)x = (x 1 )3 (x 1 )2 x 2 + x 1 x 2.

Ответ. Итак, сложив полученные выражения по формуле:

D u (q v) d(q u) v q u, v, получим 2 dq (u, v).

4.3. Теорема Фробениуса § 19 О Задание 16. Пусть в трехмерном многообразии на окрестности его точки y с координатами y 1 = y 2 = y 3 = 0 задано распределение с базисом из одного векторного поля v1, координатное выражение которого есть v11 x = x 1, v12 x = x 2, v13 x = x 3 + 1;

используя метод доказательства Теоремы Фробениуса к заданному распределе нию построить функции из определения вполне интегрируемости.

Решение. Заметив, что коммутатор векторного поля v1 с ним самим есть нуль, заключим по Лемме 14, что распределение инволютивно;

поэтому искомые функции существуют.

Дополним систему {v1 } до размерности 3 векторными полями v2 и v3 с координатными выражениями v21 x = 1, v22 x = 0, v23 x = 0;

v31 x = 0, v32 x = 1, v33 x = 0;

и заметим, что в окрестности точки y эти три поля линейно независимы.

Решив для этих полей определяющие уравнения (1), запишем координатные выражения их потоков k1, k2, k3 :

x 1 et k1 t, x, x 2 et (x 3 + 1) et 1 t+x x1 k2 t, x x 2 k3 t, x t + x,.

x3 x3 П Л, Ф, 54 Разбор примеров / Теорема Фробениуса Для начальной точки y и параметров t1, t2, t3 0 построим отображение mt1, t2, t3 = k1 t1, k2 t2, k3 t3, y (то есть по формуле Леммы 11) с координатным выражением t2 e t m t 1, t 2, t 3 t 3 e t ;

et 1 0 от значений mt1, t2, t3 = x и выразим зависимость параметров t1, t2, t3 отображения  m :

x x 1 t = g x = ln1 + x 1, t = g x = t = g x = 1 2 1 + x 3, 1 + x 3.

Проверим, что дифференциал dg2 обнулится на поле v1 :

dg2 x = ((1 + x 3 ) dx 1 x 1 dx 3 ), следовательно (1 + x 3 ) dg2 x v1 x = ((1 + x 3 ) v11 x x 1 v13 x) = (1 + x 3 ) ((1 + x 3 ) x 1 x 1 (x 3 + 1)) = 0, = (1 + x 3 )2 а дифференциал dg3 ведет себя так же.

Наконец заметим, что дифференциалы dg2 и dg3 линейно независимы, ибо различаются номера координат, дифференциалы которых участвуют в них;

за ключим из этого, что функция g3 соответствует условиям Задания.

Ответ. В качестве искомых функций могут быть избраны построенные функции x x 1 g x = g x = 1 + x 3.

1 + x 3, § 20 Д Задание 17. Пусть в трехмерном многообразии на окрестности его точки y с координатами y 1 = y 2 = y 3 = 0 задано распределение с базисом из двух векторных полей v1 и v2, координатное выражение которых есть 2x 32 x 1, 2 x 2 ;

v1 v2 x 31 Н. С. Г, В. Л. Ч Разбор примеров / Теорема Фробениуса используя метод доказательства Теоремы Фробениуса к заданному распределе нию построить функцию из определения вполне интегрируемости.

Решение. Установим инволютивность распределения, вычислив коммутатор по лей его базиса (матрично запишем формулу v1, v2 = v1 v2 v2 v1 ): v1, v2 1 v21 2 v21 3 v21 v11 1 2 v1, v2 x = 1 v22 2 v22 3 v22 x v 1 x 2 v1, v2 1 v23 2 v23 3 v23 v13 3 1 v11 2 v11 3 v11 v21 2 1 v12 2 v12 3 v12 x v 2 x = 1 v13 2 v13 3 v13 v23 1 0 0 2x 32 0 0 2 x 1 = 0 2 0 0 0 0 2 x 2 = 1 0 0 1 0 0 0 x 31 2 x 3 + 2 2x 32 4 x 3 + 4 = = ;

2 0 0 0 ясно, что v1, v2 = 2 v1 ;

тем самым распределение инволютивно.

Дополним систему {v1, v2 } векторным полем v3 с координатным выражени ем 1 ;

и заметим, что в окрестности точки y эти три поля линейно независимы.

Решив для этих полей определяющие уравнения (1), запишем координатные выражения их потоков k1, k2, k3 :

2 (x 3 1) t + x k1 t, x, t + x 2 x3 x1 x 1 et k2 t, x k3 t, x t + x,.



Pages:   || 2 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.