авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 ||

«М Г  Н. Э. Б Н. С. Гусев, В. Л. Чернышев П Л, Ф, ...»

-- [ Страница 2 ] --

x 2 e2t (x 3 1) et + 1 x3 Для начальной точки y и параметров t1, t2, t3 0 по формуле Леммы П Л, Ф, 56 Разбор примеров / Теорема Фробениуса построим отображение m с координатным выражением 2 t1 et mt1, t2, t3 t1 + t3 e2t ;

1 et 0 от значений mt1, t2, t3 = x и выразим зависимость параметров t1, t2, t3 отображения  m :

x1 t = g x = t2 = g2 x = ln(1 x 3 ), 1 2 (x 3 1), t3 = g3 x = x 2 (x 3 1)2 + x 1 (x 3 1).

Запишем дифференциал dg3 :

dg3 x = (x 3 1) dx 1 + (x 3 1)2 dx 2 + 2 + (2 (x 3 1) x 2 + x 1 ) dx 3.

Вычислим значение этого дифференциала на поле v1 :

dg3 x v1 x = (x 3 1) (2 x 3 2) + (x 3 1)2 (1)+ + (2 (x 3 1) x 2 + x 1 ) 0 = 0;

и аналогично на поле v2.

Из неравенства dg3 y 0 следует, что функция g3 соответствует условиям Задания.

Ответ. В качестве искомой функции может быть избрана построенная функция g3 x = x 2 (x 3 1)2 + x 1 (x 3 1).

Н. С. Г, В. Л. Ч Задачи для самостоятельного решения / Дифференциальные формы 5. Задачи для самостоятельного решения 5.1. Дифференциальные формы § 21 В Задание 18. Пусть на некотором двумерном многообразии задана диффе ренциальная форма p валентности 1, выраженная в локальных координатах по формуле px = (x 2 )2 dx 2 x 2 dx 1, а в точке y с координатами y 1 = 4 и y 2 = 4 задан вектор v с координатами v 1 = 10 и v 2 = 1 ;

вычислить значение py v дифференциальной формы p в точке y на касательном векторе v в той же точке.

Задание 19. Пусть на некотором двумерном многообразии задана диффе ренциальная форма p валентности 1, выраженная в локальных координатах по формуле px = x 2 dx 2 x 1 dx 1, а также задано векторное поле u с координатным выражением u 1 x = x 1 + 5 x 2, u 2 x = 5 x 1 x 2 ;

вычислить координатное выражение гладкой функции p u — значения формы p на векторном поле u.

Задание 20. Пусть теперь задана дифференциальная форма q валентности 2 с координатным выражением qx = x 2 dx 2 dx 1, и в точке y с координатами y 1 = 1 и y 2 = 1 заданы вектор v с координатами v 1 = 1, v 2 = 1 и вектор w с координатами w 1 = 1, w 2 = 1 ;

вычислить значение qy v, w формы q в точке y на векторах v, w.

Задание 21. Вычислить значение u q внутренней производной формы q валентности 2 с координатным выражением qx = x 2 dx 2 dx определенным выше векторным полем u с координатным выражением u 1 x = 5 x 1 + x 2, u 2 x = x 1 5 x 2.

П Л, Ф, 58 Задачи для самостоятельного решения / Производная Ли § 22 В Задание 22. Пусть на некотором гладком многообразии заданы две диффе ренциальные формы px = dx 2 + x 1 dx 1, qx = x 1 dx 1 + dx 2 ;

вычислить их внешнее произведение.

Пусть заданы две дифференциальные формы Задание 23.

px = dx 2 + dx 1, rx = x 3 dx 1 dx 2 + x 2 dx 1 dx 3 ;

вычислить внешнее произведение p r.

Пусть заданы две дифференциальные формы Задание 24.

rx = dx 1 dx 2 + dx 2 dx 3, sx = dx 3 dx 2 + dx 4 dx 1 ;

вычислить внешнее произведение r s.

§ 23 Д Задание 25. Пусть на некотором гладком многообразии в локальных коор динатах задана дифференциальная форма px = x 2 dx 2 x 2 dx 1 ;

вычислить дифференциал dp этой формы.

Пусть в локальных координатах задана дифференциальная фор Задание 26.

ма qx = (x 1 )2 dx 2 + (x 2 )2 dx 1 ;

вычислить ее дифференциал dq.

Пусть в локальных координатах задана дифференциальная фор Задание 27.

ма rx = x 2 dx 1 dx 2 + x 3 dx 1 dx 3 ;

вычислить ее дифференциал dr.

Н. С. Г, В. Л. Ч Задачи для самостоятельного решения / Производная Ли 5.2. Производная Ли § 24 В Л В этом разделе предполагается, что на некотором трехмерном многообразии задано векторное поле j с координатным выражением j 1 x = x 2 + x 3, j x = x 1 + x 3, j 3 x = x 1 + x 2.

Задание 28. Пусть задана функция f x = x 2 x 1 + x 3 ;

вычислить ее производную Ли полем j.

Задание 29. Пусть задано векторное поле v с координатами v 1 x = 2 x 2, v 2 x = 3 x 3, v 3 x = 4 x 1 ;

вычислить его производную Ли полем j.

Задание 30. Пусть задана дифференциальная форма p с координатным вы ражением px = x 1 dx 3 ;

вычислить ее производную Ли полем j.

Задание 31. Пусть задана дифференциальная форма q с координатным вы ражением qx = x 3 dx 1 dx 2 ;

вычислить ее производную Ли полем j.

§ 25 И С Задание 32. Пусть на некотором двумерном гладком многообразии в ло кальных координатах задана дифференциальная форма qx = x 1 dx 1 x 2 dx 2, и векторные поля u 1 x = x 2, u 2 x = x 1 x 2, v 1 x = x 1, v 2 x = x 1 x 2 ;

П Л, Ф, 60 Задачи для самостоятельного решения / Теория Фробениуса вычислить значение dq (u, v) формы dq на векторных полях u и v непосред ственно и по инфинитезимальной формуле Стокса, сравнив после результаты.

5.3. Теория Фробениуса § 26 О Задание 33. Пусть в трехмерном многообразии на окрестности его точки y с координатами y 1 = y 2 = y 3 = 0 задано распределение с базисом из одного векторного поля v1, координатное выражение которого есть v11 x x 1 2 v 1 x = x 2 ;

v13 x x 3 + 2 используя метод доказательства Теоремы Фробениуса к заданному распределе нию построить функции из определения вполне интегрируемости.

§ 27 Д Задание 34. Пусть в трехмерном многообразии на окрестности его точки y с координатами y 1 = y 2 = y 3 = 0 задано распределение с базисом из двух векторных полей v1 и v2, координатное выражение которых есть x 31 x 1 1/2, 2 x 2 ;

v1 v2 0 x 31 используя метод доказательства Теоремы Фробениуса к заданному распределе нию построить функцию из определения вполне интегрируемости.

Н. С. Г, В. Л. Ч Список обозначений Везде применяется тензорное правило Эйнштейна:

если в некоторой формуле есть произведение величин с верхними и нижними индексами, и какой-то индекс встречается в этом произведении только однажды как верхний и как нижний, то в формуле по этому индексу производится суммирование слагаемых вида этого произведения, причем диапазон изменения этого индекса в сумме следует из контекста формулы.

Переменные вид формулы — обозначаемое,,,... — числа нумерации объектов или координат.

— перестановка на некотором множестве {1,..., }.

a, b, t — вещественные числа (параметры).

f, g, h, k — параметризованное число, отображение.

x, y — точки многообразия.

M, N — многообразия.

D, U — открытые подмножества многообразия.

c — карта на многообразии.

k — поток векторного поля.

m — параметризованная точка многообразия, отображение.

u, v, w — вектор, касательный вектор.

j, u, v, w — вектор параметризованный, векторное поле.

p, q, r — кокасательный тензор, ковариантный тензор.

p, q, r, s — ковариантное тензорное поле, дифференциальная форма.

— распределение (касательных подпространств).

Z Специальные обозначения вид формулы — обозначаемое R — множество всех вещественных чисел.

im f — образ (совокупность всех значений) отображения f.

c — обратное отображение к инъективному c.

при =, kron — символ (функция) Кронекера: kron = { при.

sign — знак перестановки.

alt p — альтернация ковариантного тензора p.

x — координата с номером точки x.

v — координата с номером вектора v.

p — координата с номерами,..., ковариантного тензора p.

,..., C (M) — линейная алгебра гладких функций на многообразии M.

Tx M — касательное пространство в точке x ко многообразию M.

xM — кокасательное пространство в точке x ко многообразию M.

T tpr v — проекция касательного вектора v в точку, к которой является касательным пространство этого вектора.

tpr p — проекция ковариантного тензора p в точку, к которой является касательным пространство этого тензора.

f — частная производная числового отображения f по аргументу с номером.

f — производная гладкой функции f по координате с номером.

0 k — производная потока k по параметру траектории.

m — производная отображения m по координате с номером.

— дифференциал гладкой функции f.

df — дифференциал отображения m.

dm — дифференциал дифференциальной формы p.

dp Операции вид формулы — обозначаемое p — действие перестановки на ковариантном тензоре p.

pq — тензорное произведение ковариантных тензоров p и q.

uv — внешнее произведение векторов u и v.

pq — внешнее произведение ковариантных тензоров p и q.

D vf — производная векторным полем v гладкого числового отображения f.

u, v — коммутатор векторных полей u и v.

Lj f — производная Ли гладкой функции f векторным полем j.

Lj v — производная Ли векторного поля v векторным полем j.

Lj p — производная Ли ковариантного тензорного поля p векторным полем j.

vp — внутренняя производная вектором v ковариантного тензора p.

p v — подстановка вектора v как -того аргумента ковариантного тензора p.

p v1,..., v — функциональное значение ковариантного тензорного поля p валентности на векторных полях v1,..., v.

mp — перенос ковариантного тензора p против отображения m в точку x.

x mp — перенос ковариантного тензорного поля p против отображения m.

j — перенос функции f потоком векторного поля j.

f j v — перенос векторного поля v потоком векторного поля j.

j p — перенос ковариантного тензорного поля p потоком векторного поля j.

Предметный указатель атлас (многообразия), 9 тензор ковариантный кососимметричный, тензора ковариантного альтернация, атлас гладкий (многообразия), тензоров кососимметричных произведение базис касательный канонический, внешнее, вектор касательный, тензоров произведение тензорное, вектор касательный ко кривой, формула Картана, вектор кокасательный, функция гладкая, вектора координаты локальные, векторного поля перенос векторным полем, векторного поля производная Ли, гладкого отображения дифференциал, гладкой функции дифференциал, гладкой функции перенос векторным по лем, гладкой функции производная Ли, дифференциал внешний, дифференцирование функции векторным полем, знак перестановки, инверсия в перестановке, инфинитезимальная формула Стокса, карт согласованность гладкая, карт согласованность непрерывная, карта (многообразия), касательное пространство, ковариантного тензора внутренняя произ водная, ковариантного тензорного поля перенос векторным полем, ковариантного тензорного поля производ ная Ли, коммутатор, координатное ковекторное поле, координаты локальные, кривая гладкая, многообразие, многообразие гладкое, отображение многообразий гладкое, перестановка, поле векторное, поле касательное координатное, поле тензорное ковариантное, поля векторного поток, проекция вектора, проекция тензора, производная по координате, распределение, распределение вполне интегрируемое, распределение инволютивное, распределения локальный базис, распределения сечение, скобка Ли, скобка Пуассона, тензор ковариантный антисимметричный, тензор ковариантный в точке, Список литературы [1] Краснощёченко В. И., Крищенко А. П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. — М. : Издательство МГТУ имени Н. Э.

Баумана, 2005. — 520 с.

[2] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М. :

Наука, 1979. — 432 с.

[3] Isidori A. Nonlinear control systems. — London : Springer-Verlag, 1995. — xv + 549 с.

[4] Канатников А. Н., Крищенко А. П., Четвериков В. Н. Дифференциальное исчисление функций многих переменных. — М. : Издательство МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2000. — 456 с. — (Серия «Математика в техническом университете», выпуск V).

[5] Иванов А. О., Тужилин А. А. Лекции по классической дифференциальной геометрии. — М. : Университетская книга;

Логос, 2009. — 224 с.

[6] Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — М. : Эдиториал УРСС, 2003. — 429 с.

[7] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М. : Издательство «Факториал Пресс», 2000. — 448 с.

[8] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. В 3-х т. Т. 1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. — М.

: Эдиториал УРСС, 1998. — 336 с.

[9] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. В 3-х т. Т. 2. Геометрия и топология многообразий. — М. : Эдиториал УРСС, 1998. — 280 с.

[10] Хорькова Н. Г., Чередниченко А. В. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Кривые в пространстве. — М. : Издательство МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2007. — 48 с.

[11] Хорькова Н. Г. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Ри манова геометрия и тензорный анализ. — М. : Издательство МГТУ имени Н. Э. Баумана, 2005. — 84 с.

[12] Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М. : Эдито риал УРСС, 2003. — 664 с.

[13] Хорькова Н. Г., Четвериков В. Н. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Векторные поля на многообразиях. Учебное пособие. — М. :

Издательство МГТУ имени Н. Э. Баумана, 1996. — 48 с.

[14] Мищенко А. С., Соловьев Ю. П., Фоменко А. Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. — М. : Издательство физико математической литературы, 2001. — 351 с.



Pages:     | 1 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.