авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

«УСТОЙЧИВОСТЬ, АДАПТАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ В ЭКОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ В. Г. ИЛЬИЧЕВ В.Г. ИЛЬИЧЕВ УСТОЙЧИВОСТЬ, АДАПТАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ В ...»

-- [ Страница 5 ] --

3. На основе развитого подхода возможны и другие постановки проблем иерархического управления в системе ”рыбак - государство”. Так, весьма {ct }позволяет государству любопытна задача: какая последовательность цен получить максимальный многолетний доход от мягкого налогообложения.

Представляет интерес развить теорию жесткого налогообложения (2.4). В частности, можно ли в рамках жесткой схемы налогообложения заставить рыбаков – конкурентов действовать кооперативным образом?

Наряду с ценой представляется целесообразным использовать и другие финансово - экономические инструменты: акции, опционы, фьючерсы и их разновидности. Здесь следует иметь в виду, что теоретически корректные механизмы могут совсем не годиться для практического использования. Так, приведем пример практически бесполезного механизма. А именно, экологическую систему можно интерпретировать как некоторую ценную бумагу, стоимость которой определяется количеством рыбы в водоеме. При этом максимальный доход от этой ценной бумаги за бесконечное время равен B (x), если x – начальная биомасса рыбной популяции. Иными словами, с точки зрения владельца экосистемы (государства), B (x) – ее стоимость, когда биомасса рыбы равна x. В этой связи договорные взаимоотношения владельца и арендатора экосистемы («рыбака») на промежутке [t, t +1] могут основываться на следующих соображениях:

А. В момент t государство продает рыбаку всю экосистему по цене B (xt ). Как правило, B (xt ) велико и рыбак вынужден взять в банке ссуду в размере B (xt ). Через год он возвращает ссуду с процентами, т. е. B (xt )/.

В. После годичной эксплуатации государство обратно выкупает всю экосистему по цене B(xt+1 ).

С. Кроме того, рыбак еще получает доход от выловленной рыбы. Будем предполагать, что в момент t происходит вылов и продажа рыбы. Вырученные деньги p(u t) сразу кладутся в банк, поэтому в момент t+1 рыбак получит p (ut)/.

В результате трех указанных операций прибыль рыбака в момент времени t+ составляет П ( xt, u t ) = B( xt ) / + B( xt +1 ) + p(u t ) /, и ему приходится решать знакомую оптимизационную задачу:

max{ p (u ) + B( xt +1 ) B( xt )}, по всем 0uxt, где x t+1 = f(x t - u). Из уравнения Беллмана следует, что П(x,u) 0 для 0 u x, причем равенство достигается на оптимальном управлении u = u(x). Таким образом, рыбак возвращает свои деньги, только если он ведет себя оптимально по отношению к бесконечному горизонту. Разумеется, этот механизм является сугубо теоретическим, так как никакой рыбак не согласится всего лишь на нулевую прибыль.

4. Когда производится водозабор из различных точек водоема, то внутренняя цена воды может зависеть и от пространственной координаты. Так, будем считать, что река представляет собой каскад шлюзов. Рассмотрим сначала модель одного шлюза. Полагаем, что пока объем (или уровень) шлюза ( x ) меньше константы M вода из него не вытекает. А при x M возникает выходящий поток, равный w = k1 ( x M ). Здесь k1 - характеристика скорости вытекания (=пропускная способность или вязкость), 0 k1 1. Для спокойной равнинной реки k1 мало, а для горной – относительно велико. Пусть задан входящий поток воды ( ), тогда модель шлюза имеет вид:

xt +1 = xt + t k1 ( xt M ) + = F ( xt ), (О.1) ( x M ) + = max{0, x M } здесь - так называемая неотрицательная разность.

Благодаря данной операции не возникает противотока воды из нижней части реки в шлюз.

При t график xt +1 = F ( xt ) является кусочно-линейной, монотонно возрастающей и строго вогнутой функцией. В модели (1) имеется единственное положительное равновесие x * = M +, которое глобально устойчиво.

k Далее, рассмотрим модель каскада двух шлюзов ( x и y ). Удобно считать, что они составляют разбиение большого шлюза на два меньших. Тогда имеем:

xt +1 = xt + t k1 ( xt y t ) = f ( xt, y t ), (О.2) y t +1 = y t + k1 ( xt y t ) k 2 ( y t M ) + = g ( xt, y t ), где x и y - объемы верхнего и нижнего шлюзов (или уровни при равенстве их площадей). Кажется, что во избежание противотока (из нижнего шлюза в верхний) в модели (О. 2) вместо линейного члена k1 ( xt yt ) лучше взять нелинейный член k1 ( xt y t ) +. Для равнинных рек, где все k i 0.5, в модели (О.2) реализуется следующее примечательное свойство:

если x0 y 0, то и xt y t для всех t.

x 0 y 0 можно при Поэтому при задании естественного начального условия формализации перетоков использовать линейные члены.

Пусть все t, тогда в модели (О. 2) имеет место t.

xt M + + yt M + и при k1 k2 k Назовем отображение H : R M R m строго вогнутым в R M, если для любых и всякого числового параметра из [0,1] справедливо точек ( A, B ) из R M m неравенство (в смысле открытого конуса R+ ) H [(1 ) A + B ] f (1 ) H ( A) + H ( B ).

Легко видеть, что отображение (О. 2) является вогнутым в R 2.

Рассмотрим сначала водозабор из одного шлюза. Если u - величина изъятия воды, то потребуем, чтобы оставшийся объем был не меньше некоторой заданной величины N1. В дальнейшем полагаем N i = M для всех i. Поэтому управление 0 u x M. В этом случае получаем рекуррентное удовлетворяет условию соотношение Bn +1 ( x) = max[ p(u ) + Bn {F ( xt u )}] по всем допустимым u.

Здесь p - функция полезности (монотонная и строго вогнутая);

- величина дисконта, близкая к 1;

Bn (x) - функция Беллмана (= макcимально возможный доход за n лет);

F - функция (О.1).

Bn (x) - вогнутые функции при x N1.

По индукции устанавливаем, что все Разумеется, они являются и монотонно возрастающими. Последовательность {Bn ( x)} сходится к некоторой предельной функции B (x ), которая наследует основные свойства – вогнутость и монотонность.

В результате компьютерных расчетов обнаружено, что управление равно нулю при x M, а затем непрерывно возрастает. Кроме того, независимо от начальных условий переменная x в модели (О.1) с управлением стремится к M1 +.

При x M выполняется важное соотношение B / ( x) = p / (u ).

Величину B / ( x) можно считать (внутренней) ценой воды. Как зависит внутренняя цена воды от проточности ( k ) шлюза? Оказалось, что с ростом k цена воды уменьшается.

Рассмотрим теперь водозабор из двух шлюзов. Пусть u, v - водопотребление из первого и второго шлюзов, соответственно. Считаем, что выполняются ограничения 0 u x M и 0 v y M. С учетом модели (О. 2) получаем рекуррентное соотношение Беллмана Bn +1 ( x, y ) = max[ p(u ) + q(v) + Bn { f ( xt u, y t v), g ( xt u, y t v)}] по всем допустим (u, v). Здесь p, q - функции полезности (монотонные и строго вогнутые). Легко показать, что все функции Bn ( x, y ) являются монотонно возрастающими и вогнутыми. Последовательность данных функций также сходится к некоторой монотонно возрастающей и вогнутой функции, а соответствующие управления непрерывны.

Величину B x/ ( x, y ) будем назвать внутренней ценой воды верхнего шлюза, а / B y ( x, y ) - внутренней ценой воды нижнего шлюза. В результате численных экспериментов обнаружено, что во многих случаях цена воды верхнего шлюза выше цены воды нижнего шлюза. Такое соотношение внутренних цен доставляет максимум при совместном водопотреблении.

Последнее. Сторонники принципа максимума Понтрягина часто пугают остальных тем, что функция Беллмана не всегда дифференцируема. Однако во многих задачах функция Беллмана является возрастающей по каждому из своих аргументов, и тогда она имеет частные производные почти всюду….

7.6. Приложение. Обоснование основных результатов Доказательство свойства 1. 1. Удобно ввести новую функцию z с более широкой областью определения, чем функция s:

z( x,u ) = s( x,u ) при u x z( x,u ) = s( x, x ) при u x.

и Очевидно, z( x,u ) - непрерывна и S(x) = max z(x, u) по всем 0 u x.

Обозначим u* - какое – либо значение переменной u, на котором достигается i максимум z ( xi, u ) при фиксированном xi. Последовательность {u i* } может быть сильно колеблющейся и никуда не сходится. Тем не менее S ( xi ) = z ( xi, u i* ).

Пусть заданы x0, сходящаяся последовательность {xi } x0 и 0. Покажем, что при некотором из условия x0 xi следует неравенство S ( x0 ) S ( xi ). (П.1) Выберем достаточно большой компакт K = {( x,u ) : x0 / 2 x 2 xo и 0 u 2 xo }, заведомо окружающий точки ( x i, u i* ) при всех достаточно больших i. Положим Ai = ( xi,u i ) для i = 1,2 и на K определим следующую метрику A1 A2 = x1 x2 + u1 u 2.

Из непрерывности z вытекает ее равномерная непрерывность на K. Поэтому при некотором * из A1 A2 * следует z( A1 ) z( A2 ). В частности, при x0 xi * имеет место z ( x0, u 0 ) z ( xi, u 0 ). (П.2) * * С другой стороны, для промежуточного значения z ( xi, u 0 ) выполняется неравенство * z ( xi, u 0 ) z ( xi, u i* ). (П.3) * Из (П.2) и (П.3) вытекает z ( x 0, u 0 ) z ( xi, u i* ) +, что равносильно неравенству * S ( x 0 ) S ( xi ) +. (П.4) Теперь, используя другое промежуточное значение z ( x 0, u i* ), устанавливаем S ( xi ) S ( x 0 ) +. (П. 5) Последние два неравенства эквивалентны (П.1).

Доказательство свойства 1.2. Ниже используем некоторые обозначения из леммы 1. Рассмотрим произвольную сходящуюся последовательность {xi } x0. В силу строгой вогнутости функции s ( xi, u ) по переменной u, каждое значение u i* находится однозначно. Для демонстрации непрерывности u (x) достаточно показать {u i* } u 0.

* Очевидно, для всякого i выполняется строгое неравенство s ( xi, u i* ) s ( xi, u 0 ). (П. 6) * Последовательность {u i* } ограничена. Поэтому существует подпоследовательность {u k } сходящаяся к некоторому значению v, здесь индекс k пробегает некоторое * бесконечное подмножество натуральных чисел. Устремим k к бесконечности, тогда из (П. 6) получаем s ( x 0, v) s ( x 0, u 0 ). С учетом строгой выпуклости функции s по u * находим v = u 0.

* Доказательство утверждения 1.1. Зафиксируем достаточно большое число а так, чтобы из каждого неравенств 0 и х а следовало ѓ(х - и) а. На отрезке [0, a] рассмотрим полное пространство (С) всех непрерывных функций с чебышевской нормой g= maxg(x) по всем 0 x a.

Далее, определим оператор А выражением по всем 0 u x.

Ag ( x) = max{ p (u ) + gf ( x u )} Согласно свойству 1.1 A(g)( x) – непрерывная функция, поэтому А отображает С в себя.

Покажем, что оператор А является сжатием. Возьмем две функции g1 ( x), g 2 ( x) элементы пространства С. Имеют место соотношения Ag i ( x) = max{ p (u i ) + g i f ( x u i )}, где u i = u i (x) - оптимальный вылов в точке x ;

i = 1,2. В частности, устанавливаем Ag1 ( x) = p(u1 ) + g1 f ( x u1 ), Ag 2 ( x) p(u1 ) + g 2 f ( x u1 ).

После вычитания этих соотношений Ag 1 ( x ) Ag 2 ( x) [ g 1 f ( x u1 ) g 2 f ( x u1 )] g 1 g 2.

Аналогично, используя управление u 2 = u 2 ( x), получаем Ag 2 ( x) Ag 1 ( x ) g 2 g 1.

Поскольку эти неравенства годятся для любого x из [0, a ], то с учетом последних неравенств получаем условия сжатия g 2 g1.

Ag 1 Ag В силу принципа сжимающих отображений, в С существует единственная неподвижная точка оператора А, которая и совпадает с решением уравнения Беллмана на отрезке [0, a]. Поскольку а можно выбрать сколь угодно большим, то данная задача однозначно разрешима на всей полуоси [0, + ) Доказательство леммы 1.1. Предположим противное: при некотором x оптимальный вылов u( x ) = x. Поэтому B( x ) = p( x ).

u0 = x и Рассмотрим допустимую последовательность выловов:

u1 = F ( ) при малом 0 ;

ut = 0 для остальных t 2. Здесь возникает доход D ( ) = p ( x ) + p ( F ( )).

Очевидно, D( 0 ) = p( x ) и D / (0) = F / (0) p / ( x). Поскольку F / (0) 1 и D( ) B( x ) при малых 0, но это p / ( x ) 1, то D / ( 0 ) 0. Значит, противоречит оптимальности приведенной ранее стратегии.

Доказательство утверждения 1.2. 1) Зафиксируем натуральное k и обозначим через k F ( x ) композицию k штук отображений F. В точке x построим следующую допустимую последовательность управлений: u k = k F ( x ), а для [ ] остальных u m = 0. Тогда получаем B( x ) k p k F ( x ). А поскольку F (0 ) = 0, то B(0 ) = 0 = k p[ k F (0 )]. Значит, находим B( x ) B(0 ) k {p[ k F ( x )] p[ k F (0 )]}.

После деления на малое положительное x устанавливаем [ ] B' (+ 0) F / (0) p / (0).

k В силу условия p / (0) = 1 и F / (0 ) 1, поэтому правая часть неравенства больше единицы. С ростом k правая часть стремится к бесконечности.

Доказательство утверждения 2.1. Отметим, что для вогнутых функций всегда существуют производные как слева, так и справа. Поэтому следует лишь установить совпадение их значений. Пусть u - оптимальное управление в начальной точке x 0. Тогда выполняется равенство B( x ) = p(u ) + B[F ( x u )]. (П.7) Рассмотрим точку y = x +, где 0. Определим допустимую последовательность управлений {vt }, выходящую из точки y :

vt = u t для t 1.

v0 = u 0 + y x и Очевидно, yt = xt для t 1. Поэтому для y = x + выполняется оценка B(x + ) p(u + ) + B(F ( x u )) (П.8) Вычитая из неравенства (П.8) соотношение (П.7), получаем B( x + ) B( x ) p(u + ) p(u 0 ).

Разделим данное выражение на малое, тогда находим B' ( x + 0) p' (u ) (П.9) Отметим, что данная оценка является универсальной при всех допустимых u 0.

Приведем теперь специальную оценку для u 0. Тогда при достаточно 0 возникает аналогичная допустимая последовательность {vt }, малом выходящая из точки y = x x. В этом случае получаем B( x ) B( x ) p(u ) p(u ).

Следовательно, находим B' ( x 0) p' (u ) (П.10) Но для всякой вогнутой функции имеет место неравенство B' (x 0) B' (x + 0). Поэтому из оценок (П.9) и (П.10) заключаем B' (x ) = p' (u ) 1.

Обратно, пусть выполняется соотношение (2.1). В данной точке x оптимальное управление ( v ) должно быть положительным, иначе B / ( x) 1.. Тогда согласно предыдущему имеет место B' (x ) = p' (v ). Из (2.1) следует v = u.

Доказательство утверждения 2.2. Достаточно показать, что при малых x оптимальный вылов равен нулю. Обозначим через { u0,u1,...} - набор оптимальных выловов, соответствующих начальной точки x0. Если x0 - мало, то F / ( z ) 1 / для всех z из [ 0, x0 ].

Построим вторую допустимую последовательность выловов:

и vt = u t для остальных t 2.

v0 = 0, v1 = u1 + F ( x0 ) F ( x0 u0 ) Поскольку указанные выловы u0,u1,v0,v1 малы, то p( u t ) ut и p( vt ) vt для t = 0,1. Пусть H - разность доходов от первой (=оптимальной) и второй стратегий. Тогда имеем H u 0 + u1 v 0 v1 = u 0 + [ F ( x0 u 0 ) F ( x0 )].

Обсудим поведение функции H (u 0 ) при заданном x 0. Очевидно, H ( 0 ) = 0 и H / (u 0 ) = 1 F / ( x 0 u 0 ) для u0 всех из [ 0, x0 ]. Поэтому H (u 0 ) достигает максимума при u0 = 0.

Идея доказательства утверждения 2.3. Первоначальное обоснование приведено в работе (Ильичев, Рохлин, Угольницкий, 2000). Ниже изложим новое доказательство, являющееся аналогом обоснования утверждения 2.1.. Для удобства константу неприкосновенного запаса обозначим через N 0. Положим N 1 = F 1 ( N 0 ) N 0, тогда для всех x N1 имеем u1 0 (=вылов во второй год положителен). Пусть для такой точки x задана последовательность оптимальных выловов {u 0, u1,...}. Разумеется, каждый вылов u k (x) непрерывно зависит от x.

{x, F ( x u 0 ), a,...}, Выпишем первые три точки данной орбиты где a = F [ F ( x u 0 ) u1 ]. Тогда имеет место соотношение B ( x ) = p (u 0 ) + p (u1 ) + 2 B ( a ). (П. 11) Выберем малое число. Очевидно, N1 ( x + ). В точке ( x + ) построим допустимую последовательность выловов {u 0, u1,...}, которая отличается от предыдущей только на элементе u1 = u1 +. Соответствующая траектория имеет вид {x +, F ( x + u 0 ), F ( F ( x + u 0 ) u1 ),...}. Выберем так, чтобы новая траектория также оказалась в точке a через два шага. Это возможно при = F ( x + u 0 ) F ( x u 0 ) F / ( x u 0 ).

Далее, имеет место неравенство B ( x + ) p (u 0 ) + p (u1 + ) + 2 B ( a ). (П. 12) Вычитая из соотношения (П. 12) равенство (П.11), получаем B ( x + ) B ( x ) [ p (u1 + ) p (u1 )] p / (u1 ) F / ( x u 0 ). (П. 13) Устремим положительное число к нулю, тогда из (П. 13) находим B / ( x + 0) K, где здесь и ниже K = p / (u1 ) F / ( x u 0 ).

А теперь устремим отрицательное число к нулю, тогда из (П. 13) находим B / ( x 0) K, Но для всякой вогнутой функции B выполняется неравенство B / ( x 0) B / ( x + 0).

Поэтому имеет место B / ( x 0) = B / ( x + 0) = K. Итак, если u 0,u1 - элементы оптимальной последовательности выловов в точке x, то справедливо равенство B / ( x) = p / (u1 ) F / ( x u 0 ). (П.14) Поскольку выражение справа – непрерывная функция, то непрерывно B дифференцируема для x N1.

Данная процедура расширения области дифференцируемости B может быть продолжена. Так, положим N k = F 1 ( N k 1 ), тогда при x N k оптимальный элемент u k положителен. В результате “шевеления” x и u k получаем формулу, в которой B / ( x) выражается через произведение непрерывных функций p / и F /.

Последнее, набор {N k } сходится к нулю, значит B (x ) - непрерывно дифференцируемая функция для всех x 0.

x N данная теорема, Идея доказательства утверждения 2.4. Для очевидно, справедлива. Пусть теперь x N, тогда для оптимального вылова в точке x имеет место 0 u x. Кроме того, выполняется соотношение B(x ) = p(u ) + B[F (x u )].

Данный вылов является допустимым и для точки x +, когда достаточно мало. Поэтому имеет место неравенство B( x + ) p(u ) + B[F ( x + u )].

Далее, действуя как в обосновании утверждения 2.1, получаем соотношение B / ( x ) = F / ( w) B / ( F ( w)), где w = x u. В последнем равенстве слева находится убывающая функция x, а справа – убывающая функция w. Отсюда получаем: w возрастает по x, что и требовалось доказать.

Идея доказательство утверждения 2.5. Ниже понадобится Свойство П.1. Для всех х0 имеет место p ' ( x ) B ' ( x ).

Обоснование свойства П.1. При 0 x N имеет место B ' ( x ) 1 и при всех x 0 имеет место p ' ( x ) 1. Значит, p ' ( x ) B ' ( x ).

Пусть теперь x N. Согласно лемме 1.1 при всех x 0 имеем u x. С учетом (2.1) и строгого убывания p ' получаем B ' ( x ) = p ' (u ) p ' (x ). Свойство П. доказано.

Далее, обозначим (u ) = p (u ) uB ' ( x ). Очевидно, (u ) - вогнута. При анализе оптимизационной задачи (2.2) возможны три варианта:

1) при B ' ( x ) 1 устанавливаем ' (u ) 0, то есть строго убывает. Значит, максимум в (2.2) достигается при u = 0. Иными словами, при x N получаем u(x ) = 0 ;

2) при B ' ( x ) = 1 (т.е. x = N ) получаем ' (0 ) = 0 и ' (u ) 0. Аналогично предыдущему случаю устанавливаем, что максимум в (2.2) достигается при u = 0.

Значит, и при x = N получаем u ( x ) = 0 ;

3) при B ' ( x ) 1 находим ' (0 ) 0 и ' ( x ) = p ' ( x ) B ' (x ). В силу свойства П.1, ' ( x ) 0. Поэтому максимум в (2.2) достигается внутри [0, x ], и, значит, выполняется соотношение оптимальности (2.1).

В целом получаем: локальное управление в (2.2) совпадает с глобальным оптимальным управлением в (1.1)+(1.3).

Идея доказательства утверждения 2.6. Напомним обозначение G “выпрямление” F. Поскольку точка b x *, то F (b ) = G (b ) и G ' (b ) = 1 /. В силу предложения 1.1 достаточно установить: G (b ) - глобально устойчивое равновесие модели (1.4) в R+.

[x u(x )] Согласно утверждению 2. 3 функция возрастает, поэтому и функция (x ) = G[x u( x )] возрастает. Кроме того, (0) = F (0) = 0 и ' (0) = F ' (0) 1 ;

при всех x функция (x ) ограничена сверху константой F (x * ). Следовательно, график пересекает биссектрису в одной или нескольких положительных точках (набор равновесий). Геометрически очевидно: если равновесие единственно, то оно будет глобально устойчивым в R+ (см. рис. 7. 4).

Рис. 7. 4. К доказательству утверждения 2.6 Пояснения в тексте.

Поскольку равновесие существует, то осталось показать только его единственность. В каждой такой равновесной точке ( x 0 ) выполняется равенство x0 = G ( x0 u 0 ), где u 0 = u ( x0 ). Это означает: u 0 - стационарная последовательность управлений (т.е. u t = u 0 для всех t ) допустима и является оптимальной для точки x 0.

В этой связи, обсудим общие свойства допустимых стационарных управлений. Пусть G ( y ) y, тогда в точке G ( y ) определена стационарная последовательность управлений ( y ) = G ( y ) y. При этом точка под G( y) действием управления и оператора воспроизводства переходит в себя. Выведем необходимые условия оптимальности такого управления. Для этого сравним две стратегии управления с началом в точке G ( y ).

В первой - используем стационарную последовательность = ( y ), и тогда согласно (1.3) доход равен p ( ) /(1 ). (П. 15) Во второй стратегии {vt } изменим первое управление на, т. е. v0 = +.

Тогда (после вылова и воспроизводства) численность популяции станет равной G ( y ). Последующие управления возьмем стационарными для данной точки, т.е.

для всех t 1 положим vt = G ( y ) ( y ) = K + o( ), где K = G / ( y ) 1. В этом случае доход равен p ( + ) + p ( K ) /(1 ) + o( ). (П.16) Теперь если первая стратегия оптимальна, то при любом знаке величина (П.15) больше или равна (П.16). Формально, имеем (с точностью до o( ) ) p ( ) /(1 ) - p ( + ) p ( K ) /(1 ) 0.

Отсюда стандартным образом получаем K = (1 ) / или G / ( y ) = 1 /. Последнее уравнение имеет единственное решение, значит однозначно определяется и обсуждаемое равновесие.

Идея доказательства утверждения 3.3. Пусть AT (x) и BT (x) - суммы из (1.2), являющиеся функциями Беллмана при сборе урожая на участке [0.T ] для функций полезности p и q, соответственно. Используя предыдущие схемы рассуждений, устанавливаем: AT (x) и BT (x) - непрерывно дифференцируемые функции для всех T и x 0 ;

они возрастают и вогнуты;

AT/ (0) 1 и BT/ (0) 1 ;

AT/ ( x) = p / (u ) и BT/ ( x) = q / ( w) (П. 17) для положительных оптимальных выловов в точке x, соответсвенно.

Свойство П. 2. AT/ ( x) BT/ ( x) для всех x 0 и всех T.

Обоснование свойства П. 2. Применим индукцию по T. Так, при T = имеем A0 ( x) = p( x) и B0 ( x) = q( x). В силу допущения о функциях полезности, сразу A0/ ( x) B0/ ( x ) для всех x 0.

получаем Предположим, что AT/ ( x) BT/ ( x) для всех x 0. Рассмотрим случай T + 1.

Найдем условия достижения максимума, например, выражения H (v) = p( x v) + AT [ F (v)] при 0 v x.

Здесь для удобства выбрали переменную v = x u. Очевидно, для оптимального v * x левое соотношение (П.17) переписывается в форме AT/ ( x) = p / ( x v * ).

Функция H (v) - строго вогнутая и дифференцируемая. Поэтому при каждом фиксированном x 0 производная H / (v) = p / ( x v) + F / (v) AT/ [ F (v)]. (П. 18) убывает. На концах допустимого промежутка I = [0, x ] имеем H / (0) = p / ( x) + F / (0) AT/ [0] 0 и H / ( x) = 1 + F / ( x) AT/ [ F ( x)].

Если H / ( x) 0, то исходная функция H возрастает на I всюду. Значит, максимум данной функции достигается при v = x.

А когда H / ( x) 0, тогда максимум H реализуется во внутренней точке I.

Полезна следующая геометрическая интерпретация исследования максимума H. Рассмотрим по отдельности две функции (см. рис. 7.5) F / (v) AT/ [ F (v)].

p / ( x v) и (П.19) При изменении v от 0 до x левая функция возрастает от p / ( x) до p / (0) = 1. Точка x,1, принадлежащая графику левой функции, является универсальной, поскольку не зависит от вида функции полезности. А правая функция убывает от F / (0) 1 до F / ( x) AT/ [ F / ( x)]. Аналогично, универсальная точка 0, F / (0) принадлежит графикам всех правых функций.

Рис. 7.5. Взаимное расположение графиков функций:

(П.19) – сплошная линяя и (П. 20) – пунктир.

Очевидно, график правой функции всегда лежит выше или пересекается с графиком левой функции внутри I. В первом случае (=при малых x ) оптимальное равно x и AT/ +1 ( x) 1. Во втором – оптимальное v * является абсциссой точки v* пересечения графиков данных функций, а ордината пересечения равна AT/ +1 ( x).

Здесь имеет место AT/ +1 ( x) = p / ( x v * ) 1.

Теперь рассмотрим графики двух функций F / (v) BT/ [ F (v)].

q / ( x v) и (П. 20) В силу условия q / p / и допущения BT/ AT/, графики функций (П. 20) располагаются (см. рис. 7. 5) выше соответствующих графиков функций (П. 19).

Обсудим все варианты взаимного расположения этих кривых.

1. Пусть графики (П. 19) пересекаются в точке AA, а графики (П. 20) пересекаются - BB. Так как точка BB расположена выше AA, то AT/ +1 ( x) BT/ +1 ( x).

2. Пусть графики (П. 19) пересекаются, а графики (П. 20) не пересекаются.

Тогда имеет место AT/ +1 ( x) 1 BT/ +1 ( x).

3. Пусть графики (П. 19) не пересекаются, а графики (П. 20) пересекаются.

Такой случай, легко видеть, невозможен.

4. Пусть графики (П. 19) не пересекаются, и графики (П. 20) не пересекаются. В этом случае x - мало и оптимальный вылов равен нулю. Поэтому используя переходные соотношения AT +1 ( x) = AT [ F ( x)] и BT +1 ( x) = BT [ F ( x)], получаем равенства:

AT/ +1 ( x) = F / ( x) AT [ F ( x)] и BT/ +1 ( x) = F / ( x) BT [ F ( x)].

' ' Если теперь графики функций (П. 20) с аргументом F (x ) пересекаются, то обязательно реализуется вариант 1 или 2, и тогда AT/ +1 ( x) BT/ +1 ( x).

А если они не пересекаются, то применим предыдущий прием – переход к аргументу F ( F ( x )) и т.д.. Свойство П.2. доказано.

Согласно доказательству утверждению 1.1, последовательность непрерывно дифференцируемых функций { AT } сходится равномерно к некоторой непрерывно дифференцируемой функции A. Из вогнутости A и всех AT следует важное Свойство П.3. AT/ ( x) A / ( x) при T для всякой точки x 0.

Идея обоснования свойства П.3. Возьмем произвольную точку x0 0. Пусть сначала A( x0 ) = AT ( x0 ) для всех T. Предположим противное: в точке x 0 нет требуемой сходимости производных. Тогда найдется “плохая” последовательность { AT/ ( x 0 )} сходится к некоторому числу A / ( x 0 ). Здесь номеров {T }, что возможны следующие варианты:

A / ( x0 ).

1. Значит (см. рис. 7.6a), существует малый “правый” промежуток I = [ x0, x0 + ], на котором предельная кривая A(x ) заключена между собственной касательной (K ) и лучом (L) :

A( x0 ) + ( + )( x x 0 ), где малое 0 и + A / ( x 0 ).

Рис. 7. 6. К доказательству свойства П.3. Пояснения в тексте.

С другой стороны, для достаточно больших “плохих” номеров T в промежутке I все вогнутые кривые AT (x) лежат под своей касательной и, тем более, под лучом L. Этот луч разделяет A(x ) и семейство { AT ( x)}, но тогда не будет сходимости этих функций, например, в точке x0 +. Противоречие.

2. A / ( x0 ). Построим луч (L) на рис. 7.6b:

~ ~ A( x0 ) + ( x x0 ) при специальном выборе.

~ Так, при конечном положим = при малом 0, а для = положим ~ ~ = 2 A / ( x 0 ). Очевидно, A / ( x 0 ).

Аналогично, найдется малый “левый” промежуток I = [ x0, x0 ], на котором вогнутые кривые AT (x) при всех больших “плохих” T лежат под данным лучом L. Этот луч разделяет A(x ) и семейство { AT ( x)}, но тогда нет сходимости этих функций в точке x0. Противоречие.

Последнее. Для исходных функций допущение A( x0 ) = AT ( x0 ) при всех T не ограничивает общности рассуждения. Действительно, в противном случаем рассмотрим вспомогательную последовательность непрерывно – дифференцируемых функций H T ( x) = AT ( x) AT ( x 0 ) + A( x0 ), а также положим H ( x ) = A( x ). Для новых функций выполняются “хорошие” свойства. Так, H T ( x0 ) = H ( x0 ) для всех T, и семейство {H T ( x)} равномерно сходится к H (x ). Значит, {H T/ ( x)} сходится к H / ( x). Отсюда получаем требуемую сходимость производных исходных функций. Свойство П. 3. доказано.

Аналогично, заключаем BT/ ( x) B / ( x) для всех x 0.

В силу свойства П.2, имеет место AT/ ( x) BT/ ( x) для всех T. С учетом A / ( x) B / ( x). Осталось ”дожать” это нестрогое свойства П. 3 получаем неравенство до строго. Опять-таки, рассмотрим две пары графиков F / (v) A / [ F (v)] - первая пара, p / ( x v) и F / (v) B / [ F (v)] - вторая пара.

q / ( x v) и Поскольку p / q / и A / ( x) B / ( x), то точка пересечения кривых первой пары располагается строго выше точки пересечения кривых второй пары. Поэтому имеет место A / ( x) B / ( x).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. Устойчивые сообщества возникают, когда непосредственное взаимодействие популяций (=прямые связи) согласовано с процессами деструкции органических веществ (= обратные связи). Заманчиво предположить, что ускорение круговорота веществ способствует стабилизации биоценозов. Во многом это верно для одноконтурных систем (=систем с одной обратной связью). А для стабилизации многоконтурных систем (= систем со множеством обратных связей) решающее значение имеет разнообразие потоков веществ.

2. Другим механизмом стабилизации является переход биологических особей в пассивное состояние при наступлении неблагоприятных условий среды.

Отметим, что в экономических системах взаимодействие ”пассивное состояние – активное состояние” равносильно складированию определенной части производимого товара с последующим включением его в оборот. Такая схема обмена может действовать постоянно (т. е. независимо от условий среды).

Оказалось, что колебательная динамика взаимодействующих объектов (биологических или экономических) в постоянной среде может быть стабилизирована с помощью данного процесса. В переменной среде деформируется характер микроэволюционных явлений, и поэтому здесь может возникать циклический процесс “погони - убегания” в пространстве параметров системы ”хищник - жертва”.

3. Для установления принципиальной возможности реализации тех или иных явлений в динамике популяций в переменной среде предложены специальные модели (D – системы), в которых в качестве скоростей роста популяций использованы периодические дельта - функции. На примере модельной схемы Контуа было построено соответствующее отображение Пуанкаре, с помощью которого был обнаружен ряд “парадоксальных” явлений в динамике конкурентов.

На основе теории D-систем показано, что среде множество эволюционно устойчивых параметров в периодической среде является массивным (=может включать в себя целые области).

Найденные здесь формулировки критериев отбора оказались справедливы и для широкого класса моделей конкуренции с гладкими скоростями роста.

4. Для анализа произвольных неавтономных моделей разработан общий принцип наследования глобальным сдвиг - отображением Пуанкаре ряда локальных свойств. А именно, если некоторое локальное свойство является грубым, универсальным и полугрупповым, то этим свойством обладает и глобальное сдвиг-отображение. В частности, для неавтономных моделей конкуренции определены ключевые наследуемые свойства. Здесь получены признаки конкурентного отбора, основанные на концепции универсальной константы запаса.

Установлена и обоснована взаимосвязь между критическими значениями температурной кривой водоема и эволюционно-устойчивыми параметрами благоприятными температурами развития водорослей.

5. На основе полученных критериев отбора построены биологически корректные механизмы адаптации параметров популяций, которые по сравнению с традиционными эколого – эволюционными моделями содержат небольшое число переменных, и поэтому обладают высоким быстродействием.

Описаны модели нижних трофических уровней Азовского моря и Цимлянского водохранилища, в которые включены механизмы адаптации водорослей к содержанию азота и фосфора в среде. С помощью компьютерных экспериментов построены асимптотики состояния Азовского моря при деформации объема и химического состава речного стока. Обнаружено, что сокращение объема речного стока автоматически вызывает повышение азота и уменьшение фосфора в Азовских водах. Предложено обоснование этого явления как результата определенного взаимодействия гидрологических и биологических процессов.

На основе модели Цимлянского водохранилища, проведено исследование действия возможного изменения климата с учетом микроэволюции водорослей к температуре и содержанию биогенных веществ в среде. Установлено, что в ряде допустимых сценариев потепления климата в результате процессов микроэволюции холодолюбивых водорослей может произойти ограничение роста теплолюбивых водорослей.

6. Предложен эффективный способ назначения цен на природные ресурсы.

При таком подходе проблема многолетней оптимизации сводится к задаче однолетней оптимизации. А если имеется несколько природопользователей, то соответствующая цена заставляет их придерживаться общей кооперативной стратегии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Абакумов А.И. Математическая экология. –Владивосток: ДалГУ, 1994. 117с.

Абросов Н. С., Боголюбов А. Г. Экологические и генетические закономерности сосуществования и коэволюции видов. - Новосибирск: Наука СО, 1988. - 330 с.

Абросов Н.С., Розенгауз М.М. Динамика гетерогенной популяции в условиях трофической конкуренции (к теории коэволюции)// Пробл. эколог.

мониторинга и моделир. экосистем, Л.: Гидрометеоиздат,1986. Т. 9. – С. 166 – 183.

Айзатуллин Т. А. Формальная химико-кинетическая характеристика процессов регенерации минеральных соединений//Тр. ИО АН СССР, 1967. Т. 83. С. 20 - 37.

Айзатуллин Т. А., Шамардина И. А. Математическое моделирование экосистем континентальных водоемов и водотоков//Итоги науки и техники. Сер.

Общая экология. Биоценол.. Гидробиол.. М.: ВИНИТИ, 1980. Т. 5. - С. 154 - 228.

Алдакимова А. Я. О некоторых закономерностях внутригодовой динамики фитопланктона Азовского моря//Биологические ресурсы Азовского моря. Ростов н/Д.: РГУ, 1976. - С. 71 - 75.

Александрова З.В., Баскакова Т.Г., Ромова М.Г. Особенности гидрохимического режима и продуцирования первичного органического вещества в экосистеме в современный период / В кн.: Гребневик в Азовском море и Черном морях: биология и последствия вселения. - Ростов – на –Дону: БКИ, 2000, с. 145 172.

Алексеев В. В. Теоретические и экспериментальные исследования экологических систем// В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Общая экология.

Биоценол.. Гидробиол.. Моделирование водных экосистем. М.: ВИНИТИ, 1980. Т.

5. - С. 58 - 105.

Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1984. - 271 с.

Арнольд В.И., Афраймович В.С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л.П.

Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. – М.:

ВИНИТИ, 1986. Т. 5. –284 с.

Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. – М.: Наука, 1985. – 181 с.

Беллман Р. Динамическое программирование. -М.: Из-во иностр. лит., 1960. 400 c.

Беллман Р. Введение в теорию матриц. -М.: Наука, 1976.- 351 c.

Бердников С. В., Богучарсков В. Т., Ильичев В. Г. О состоянии Цимлянского водохранилища в случае потепления климата// Водные ресурсы.

1994. N 1. - C. 84 - 90.

Бикбулатов Э.С., Бикбулатова Е.М. Скорость распада органического вещества фитопланктона//В кн. “Микробиол. и химич. процессы деструкции органического вещества в водоемах”, Л.: Наука, 1979. – C. 213 – 224.

Боровков А. А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1976. - 352 с.

Бронфман А. М., Дубинина В. Г., Макарова Г. Д. Гидробиологические и гидрохимические основы продуктивности Азовского моря. - М.: Пищ. пром., 1979. - 288 с.

Брусиловский П.М. Становление математической биологии. – М.: Знание, 1985. – 64 с.

Будыко М.И. Эмпирическая оценка предстоящих изменений климата// Метеорология и гидрология. 1989. N 10. – С. 5 –14.

Букатова И. Л. Эволюционное моделирование и его приложение. - М.:

Наука, 1979. - 247 с.

Вавилин В. А. Нелинейные модели биологической очистки и процессов самоочищения в реках. - М.: Наука, 1983. - 158 с.

Величко А.А., Климанов В.А. Климатические условия Северного полушария 5-6 тыс. лет назад// Изв. АН СССР, Сер. Географ., 1990, N 5, С. 38-52.


Винберг Г.Г. Температурный коэффициент Вант Гоффа и уравнение Аррениуса в биологии// Журн. общей биологии. 1983. Т. 44. N 1. – С. 31 – 42.

Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972. – 167 с.

Ворович И. И., Горелов А. С., Горстко А. Б. и др. Рациональное использование водных ресурсов бассейна Азовского моря. Математические модели. - М.: Наука, 1981. - 360 с.

Гапочка Л. Д. Об адаптации водорослей. – М.: МГУ, 1981. – 79 с.

Гидрологический режим озер и водохранилищ СССР. Цимлянское, водораздельные и Маныческие водохранилища //Под. ред. Знаменского В. А., Гейтенко В. М., Л.: Гидрометеоиздат, 1977. - 203 с.

Гимельфарб А. А., Гинзбург Л. Р., Полуэктов Р. А. и др. Динамическая теория биологических популяций. - М.: Наука, 1974. – 451 с.

Горбань А. Н., Хлебопрос Р.Г. Демон Дарвина. Идея оптимальности и естественный отбор. – М.: Наука, 1988. – 208 с.

Гаргопа Ю.М. Сопряженность изменчивости структуры гидрофизических полей Азовского моря с колебаниями характеристик его гидрологического режима в современных условиях / В кн.: Комплексный мониторинг среды и биоты Азовского бассейна. Том 6. Апатиты.: Изд. КНЦ РАН, 2000, с. 59-79.

Гринченко С.Н. Иерархическая оптимизация в природных и социальных системах: селекция вариантов приспособительного поведения и эволюция системы “достаточно высокой сложности” на основе адаптационного алгоритма случайного поиска//Электронный журн. “Исследования в России”. 2000. N 108. – 1421 – 1440 c.

Гурвиц А. Теория аналитических и эллиптических функций. - М.: ГТТИ, 1933. - 280 с.

Дегерменджи А. Г. Динамика гетерогенной популяции в постоянных и периодически меняющихся условиях среды//В кн.: Динамика микробных популяций в открытых системах. Красноярск.: СО АН СССР,1975. - С. 55 - 78.

Дзюбан А. Н. Определение деструкции органического вещества в донных отложениях водоемов// Гидробиологический журн.. 1987. Т. 23. N 2. - С. 30 - 35.

Домбровский Ю. А., Маркман Г. С. Пространственная и временная упорядоченность в экологических и биохимических системах. - Ростов – на - Дону:

РГУ, 1983. - 120 с.

Дроздов О.А. Колебания естественного увлажнения в связи с анализом антропогенных изменений климата и увлажнения// Водные ресурсы, 1990, N 2, C.

15-20.

Задорожный А.И., Ильичев В.Г. Концепция внутренних цен для оптимального управления природными ресурсами// Изв. РАН. Теория и системы управления, 2006, N 6, С. 111-118.

Ильичев В. Г. Устойчивость модели с запаздыванием на примере "фитопланктон – фосфор"//Биофизика. 1982а. Т. 27. N 4. - С. 703 - 706.

Ильичев В. Г. Устойчивые экологические структуры в моделях с запаздыванием //Биофизика. 1982б. Т. 27. N 5. - С. 858 - 862.

Ильичев В.Г. Задача М 870// Квант, 1984, N 6, C. 33.

Ильичев В.Г. Задача М 914// Квант, 1985, N 3, С. 25.

Ильичев В. Г. О дефиците фосфора в Азовском море. Модельный анализ //Биологические науки. 1986а. N 3. - С. 52 - 61.

Ильичев В. Г. О возможных преобразованиях в экологической системе Азовского моря при изменении объёма речного стока//Водные ресурсы.1986б. N 5.

- С. 128 - 136.

Ильичев В. Г. Структура семейства обратных связей и устойчивость экологических систем//Автоматика и Телемеханика. 1986в. N 12. - С. 66 - 76.

Ильичев В. Г. О возможных тенденциях адаптации водорослей к температурному режимы среды. Результаты машинных экспериментов// Журн.

общей биологии. 1987. Т. 48. N 5. - C. 696 - 704.

Ильичев В. Г. О колебаниях в фитоценозах при эвтрофировании //Гидробиологический журн.. 1988а. Т. 24. N 5. - С. 15 - 22.

Ильичев В.Г. Задача М 1100// Квант, 1988б, N 4, С. 27.

Ильичев В. Г. Возможный механизм адаптации в моделях экологических систем //Автоматика. 1989. N 1. - С. 67 – 74.

Ильичев В. Г., Брискин И. Л. О динамике конкурирующих биологических видов в переменной среде//Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. Науки. 1989. N 3. - С. 102 109.

Ильичев В. Г. Адаптация параметров в моделях экологических систем //Автоматика и Телемеханика. 1990а. N 6. - C. 102 - 111.

Ильичев В. Г. Неожиданные свойства конкуренции биологических видов в переменной среде//Автоматика и Телемеханика. 1990б. N 9. - C. 34 - 44.

Ильичев В. Г. Фрагмент математической теории конкуренции биологических видов в переменной среде//Дифференциальные уравнения. 1991.

Т. 27. N 3. - C. 437 - 447.

Ильичев В. Г. Об адаптации популяций к периодически изменяющимся факторам среды. Результаты машинных экспериментов//Журн. общей биологии.

1992а. Т. 53. N 2. - C. 200-210.

Ильичев В. Г. О технологии построения имитационных моделей экологических систем. Механизмы адаптации// Математ. моделирование. 1992б. Т.

4. N 3. - C. 11-19.

Ильичев В. Г., Калинина С. Г., Мирошниченко М. П. К прогнозированию действия климата на экосистему Цимлянского водохранилища// Метеорология и Гидрология. 1992в. N 10. - С. 92 - 97.

Ильичев В. Г., Богучарсков В. Т., Бердников С. В., Авраменко Л. Г. О преобразованиях в экологической системе Цимлянского водохранилища в случае потепления// Метеорология и Гидрология. 1993. N 12. - C. 63 - 71.

Ильичев В. Г. Математическое моделирование экологического состояния бассейна Азовского моря//Метеорология и Гидрология. 1995а. N 1. - C. 56 - 64.

Ильичев В. Г. Пассивные состояния и стабилизация динамических систем// Автоматика и Телемеханика. 1995б. N 3. - C. 127 - 138.

Ильичев В. Г. Механизм образования пассивных состояний и стабилизация динамических систем// Кибернетика и системный анализ. 1995в. N 3. - C. 128 - 137.

Ильичев В. Г. Дельта -функции и теория биологической конкуренции в переменной среде// Автоматика и Телемеханика. 1996. N 11. - С. 115 - 127.

Ильичев В. Г. Дельта -функции и исследование экологических моделей Вольтерра в переменной среде// Изв. Вузов. Математика. 1998а. N 4. - С. 23 - 33.

Ильичев В. Г., Ильичева О. А. О стабилизирующем действии двух обратных связей с запаздыванием//Автоматика и Телемеханика. 1998б. N 9. - С. 17 - 28.

Ильичев В. Г., Ильичева О. А. Знак -инвариантные структуры матриц и дискретные модели// Дискретная математика. 1999а. Т. 11. N 4. - С. 89 - 100.

Ильичев В. Г., Ильичева О. А. Универсальные константы запаса и критерии отбора в периодически изменяющейся среде// Журн. общей биологии. 2000. Т. 61.

N 6. - С. 565 - 582.

Ильичев В. Г., Рохлин Д. Б., Угольницкий Г. А. Об экономических механизмах управления биоресурсами// Изв. РАН. Теория и системы управления.

2000. N 4. С. 104 - 110.

Ильичев В. Г. Универсальные константы запаса и критерии отбора в переменной среде// Математические заметки. 2001а. вып. 70. N 5. - С. 691 - 704.

Ильичев В.Г. Задача М 1758// Квант, 2001б, N 1, С. 14.

Ильичев В. Г., Ильичева О. А. Анализ моделей конкуренции в постоянной и периодической среде//Математическое моделирование. 2002а. Т. 14. N 3. - С. 71 83.

Ильичев В. Г. Геометрические методы исследования моделей конкуренции в периодической среде// Автоматика и Телемеханика. 2002б. N 4. - С. 105 - 117.

Ильичев В. Г. Наследуемые свойства неавтономных динамических систем и их приложение в моделях конкуренции// Изв. Вузов. Математика. 2002в. N 6. - С.

26 - 36.


Ильичев В. Г. Глобальные свойства неавтономных динамических систем и их приложение в моделях конкуренции// Изв. РАН. Теория и системы управления.

2002г. Т. 41. N 5. - С. 677 - 684.

Ильичев В. Г. Локальные и глобальные свойства неавтономных динамических систем и их приложение в моделях конкуренции// Сибирский математический журнал. 2003а. Т. 44, N 3. С. 622 - 635.

Ильичев В. Г. Экономические и эволюционные аспекты оптимального вылова рыбных популяций// Журнал общей биологии, 2003б, Т. 64, N 4, С. 337 346.

Ильичев В. Г. Механизмы адаптации параметров в моделях экологии// Математическое моделирование, 2004, Т. 16, N 2, С. 54 - 68.

Ильичев В. Г. Адаптация параметров в моделях популяций// Журнал Общей Биологии, 2005а, Т. 66, N 2, С.171-179.

Ильичев В. Г. Эволюционная устойчивость в динамике популяций, характеризующихся короткими сезонами размножения// Биофизика, 2005б, Т. 50, вып. 3, С. 567-575.

Ильичев В.Г. Вычислительные эксперименты в поиске причин возникновения дисбаланса азота и фосфора в Азовском море// Математическое моделирование, 2006а, N 2, С. 89-100.

Ильичев В. Г. Концепция эволюционной устойчивости в моделях экологии// Дифференциальные уравнения, 2006б, T. 42, N 3, С. 327-337.

Ильичев В. Г., Семин В. Л. Азотный “диабет” Азовского моря// Природа, 2006в, N 11, С. 19-24.

Ильичев В.Г. Выпуклые структуры в моделях экологии// Математическое моделирование, 2007, N 4, С. 90-102.

Ильичев В.Г. Активные и пассивные состояния в экологических моделях (стабилизация, адаптация, живучесть)// Изв. РАН. Теория и системы управления, 2008, N 5, С. 166-176.

Ицкович И. А. Анализ линейных экономико-математических моделей. Новосибирск: Наука СО, 1976. – 186 с.

Йоргенсон С. Э. Управление озерными экосистемами. – М. : Агропромиздат, 1985. – 160 с.

Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. – М.: Мир, 1971 – 400 с.

Каплан Д. Л., Йорке Дж. А. Предтурбулентность: режим, наблюдаемый в течении жидкости, описываемой моделью Лоренца// В кн. Странные аттракторы.

М.: Мир, 1981. - С. 213-238.

Колесников А.А. Синергетическая теория управления. Инварианты.

Оптимизация. Синтез. - М.: Наука, 1994. - 331 с.

Колесов Ю. С., Швитра Д. И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Москлас, 1979. - 146 с.

Крапивин В.Ф., Потапов И.И. Методы экоинформатики. -М.: ВИНИТИ РАН, 2002 - 495с.

Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука, 1975. - 510 с.

Кудерский Л. А. Экология и биологическая продуктивность водохранилищ.

- М.: Знание, 1986. - 63 с.

Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. Состояние. Проблемы.

Перпективы. // Изв. АН. Теория и системы управления. 1999. N 1. - С. 144 - 160.

Ланкастер К. Математическая экономика. - М.: Сов. радио, 1972. - 400 с.

Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1982. - 269 с.

Леонов А.В. Математическое моделирование трансформации соединений фосфора в пресноводных экосистемах (на примере оз. Балатон). – М.: Наука, 1986.

– 152 с.

Ляхов М.Е. Климатические экстремумы в центральной части европейской территории СССР в XIII-XX вв.// Изв. АНСССР., сер. географ., 1984, N 4, С. 15-20.

Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. – М.: Мир, 1983. – 397 с.

Матишов Г.Г., Ильичев В.Г. Об оптимальной эксплуатации водных ресурсов.Концепция внутренних цен// Докл. АН, 2006, Т. 406, N 2, С. 249-251.

Меншуткин В.А., Казанский А.Б. Исследование процессов адаптации и сукцессии в сообществах рыб методом эволюционного моделирования// Пробл.

эколог. мониторинга и моделир. экосистем, Л.: Гидрометеоиздат,1986. Т. 9. – С.

277 – 293.

Мизандоранцев И. Б. Химические процессы в донных отложениях водоемов. – Новосибирск: Наука СО, 1990. – 172 с.

Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981. - 488 с.

Моисеев Н. Н. Модели экологии и эволюции. - М.: Знание, 1983. - 62 с.

Молчанов А. М. Нелинейности в биологии. – Пущино: АН, 1992. – 222 с.

Мэй Р. М. Эволюция экологических систем// В сб. “Эволюция”, М., 1981. – С. 173 - 193.

Недорезов Л. В., Утюпин Ю.В. Дискретно – непрерывная модель динамики численности двуполой популяции // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, N 3. C. 650 - 659.

Неймарк. Ю. И. Структура D-разбиения пространства квазиполиномов и диаграммы Вышнеградского и Найквиста//ДАН СССР. 1948. N 60. - С. 1503 - 1506.

Новосельцев В. Н. Теория управления биосистем. - М.: Наука, 1978. – 319 с.

Новосельцев В. Н. Организм в мире техники: кибернетический аспект. - М.:

Наука, 1989. - 239 с.

Одум Ю. Основы экологии. – М.: Мир, 1975. – 740 с.

Опойцев В. И. Нелинейная системостатика. - М.: Наука, 1986. – 247 с.

Остапеня А. П. Детрит и его роль в водных экосистемах // Гидробиологический журн.. 1975. Т. 11. N 1. - С. 120-121.

Пасеков В. П. Математические модели эколого- генетических взаимодействий // Математические модели в популяц. биологии. Сер.

Математическая биология и медицина, М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 2. - С. 4-80.

Печуркин Н. С. Популяционная микробиология. - Новосибирск: Наука, 1978. - 274 с.

Пианка Э. Эволюционная экология. - М.: Мир, 1981. - 399 с.

Полуэктов Р. А., Пых Ю. А., Швытов И. А. Динамические модели экологических систем. - Л.: Гидрометеоиздат, 1980, - 288 с.

Понтрягин Л. С. Принцип максимума в оптимальном управлении. - М.:

Наука, 1989. - 61 с.

Робертс Ф. С. Дискретные математические модели с приложением к социальным, биологическим и экологическим задачам. - М.: Наука, 1986. - 495 с.

Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. - М.: Наука, 1971. - 395 с.

Романенко В.И. Микробиологические процессы продукции и деструкции органического вещества во внутренних водоемах - Л.: Наука, 1985. – 294 с.

Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическое моделирование в биофизике. - М.: Наука, 1975. - 343 с.

Рохлин Д. Б. Производная решения функционального уравнения Беллмана и цена биоресурсов// Сиб. журн. индустр. математики, 2000, Т. 3, N 1 (5). С. 169 181.

Рубин А. Б., Пытьева Н. Ф., Ризниченко Г. Ю. Кинетика биологических процессов. - М.:Наука, 1987. – 330 с.

Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи.

Методы. Примеры. - М.: Наука (Физматлит), 1997. - 320с.

Свирежев Ю. М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. - М.: Наука, 1987. - 366 с.

Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. - 352 с.

Свирежев Ю. М., Пасеков В. П. Основы математической генетики. - М.:

Наука, 1982. - 511 с.

Северцов А. С. Направленность эволюции. - М.: МГУ, 1991, - 350 с.

Секи Х. Органическое вещество в водных экосистемах. – Л.:

Гидрометеоиздат, 1986. – 190 с.

Семевский Ф. Н., Семенов С. М. Математическое моделирование экологических процессов. – Л.: Гидрометеоиздат, 1982. – 278 с.

Сергеев Ю. Н., Савчук О. П., Кулеш В. П., Комарова Т. Е. Математическое моделирование морских экологических систем. - Л.: ЛГУ, 1977. - 247 с.

Сергеев Ю. Н., Колодочка Х. Д., Круммель Х. Д. и др. Моделирование процессов переноса и трансформации вещества в море. - Л.: ЛГУ, 1979. - 291 с.

Серпинский В. О теории множеств. -М.: Мат. Просвещение, 1966.-66с.

Симонов А.И., Гоптарев Н.П. (ред.) Современный и перспективный водный и солевой баланс южных морей СССР (Азовского, Каспийского, Аральского). Труды ГОИН, вып. 108, 1972.- 236с.

Сиренко Л. А., Гавриленко М. Я. Цветение воды и эвтрофирование. - Киев:

Наукова думка, 1978. - 232 с.

Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Шапиро А.П. Дискретные модели динамики численности популяций и оптимизация промысла. – М. : Наука, 1979,.-165 с.

Скопинцев Б. А. Закономерности разложения (минерализации) органичес кого вещества отмершего планктона// Водные ресурсы. 1976. N2. - С. 150 - 160.

Смит Дж. М. Модели в экологии. - М.: Мир, 1976. - 184 с.

Страшкраба М., Гнаук А.. Пресноводные экосистемы, Математическое моделирование. – М.: Мир, 1989. – 376 с.

Тимофеев - Ресовский Н. Н., Воронцов Н. Н., Яблоков А. В. Краткий очерк теории эволюции. - М.: Наука, 1969. - 407 с.

Тимофеев-Ресовский Н. В., Свирежев Ю. М. Об адаптационном полиморфизме в популяциях Adalia bipunctata // Проблемы кибернетики. 1966. Т.

16. - С. 137 - 146.

Тихонов А. Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.:

Наука, 1972. – 735 с.

Томан Р. В. Математическое моделирование процессов эфтрофирования в оз. Онтарио//Тр. сов. - амер. симп. "Использование математических моделей... ", Л.:

Гидрометеоиздат. Т. 2. Ч. 1. - С. 10 - 61.

Троян П. Факториальная экология. – Киев: Вища Школа, 1989. – 232 с.

Турчин В.Ф. Феномен науки. Кибернетический подход. – М.: ЭТС, 2000. – 368 с.

Умнов А. А. Математическая модель биотического круговорота вещества и энергии, происходящего в загрязненной реке// Биологические процессы и самоочищение на загрязненном участке реки. Минск: БГУ, 1973. - С. 157 - 190.

Ушаков Б.П. Эволюционное значение температурных адаптаций животных // Успехи соврем. Биологии. 1982. Т. 93. N 2. – С. 302 – 309.

Ушатинская Р. С. Скрытая жизнь и анабиоз. - М.: Наука, 1990. – 182 с.

Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке. - М.: Мир, 1968. - 112 с.

Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью.

- М.: Наука, 1985. - 224 с.

Фогель Л., Оуэнс А., Уолш М. Искусственный интеллект и эволюционное моделирование. - М.: Мир, 1969. - 210 с.

Форрестер Дж. Мировая динамика. – М.: Наука, 1978. – 165 с.

Фурсова П., В. Левич А. П. Математическое моделирование в экологии сообществ//Проблемы окружающей среды, ВИНИТИ (обзорная информация). М..

2002. N 9. – 50 c.

Хакен Г. Синергетика. – М.: Мир, 1980. – 404 с.

Ханин М. А., Дорфман Н.А., Кухарев И.Б., Левадный В.Г. Экстремальные принципы в биологии и физиологии. – М.: Наука, 1978. – 256 с.

Цетлин М. Л. Исследование по теории автоматов и моделированию биологических систем. - М.: Наука, 1969. - 316 с.

Шварц С. С. Экологические закономерности эволюции. – М.: Наука, 1980 – 277 с.

Шикломанов И. А., Линз Г. Влияние изменений климата на гидрологию и водное хозяйство // Метеорология и гидрология. 1991. N 4. – С. 51 – 66.

Шноль С.Э. Факторы, определяющие направление и скорость биологической эволюции//Сб. “Математическое моделирование биологических процессов”, Матер. 4 школы по математ. моделированию, М.: Наука, 1979. – С. 5 – 26.

Шилов И. А. Физиологическая экология животных. - М.: Высшая Школа, 1985. - 328 с.

Юдович В. И. Лекции об уравнениях математической физики. Часть 1. Ростов на Дону: РГУ, 1998. - с. Юдович И. В. Лекции об уравнениях математической физики. Часть 2. Ростов на Дону: "Экспертное бюро", 1999. - с. 255.

Armstrong R. A., Mc. Gehee R. Coexistence of species competing for shared resources//Theor. Pop. Biol.. 1976. Vol. 9. N 3. - P. 317 - 328.

Berdnikov S.V., Selyutin V.V., Vasilchenko V.V., Caddy J.F. Trofodymamic model of the Black and Azov Sea pelagic ecosystem: consequences of the comb jelly, Mnemiopsis leydei, invasion// Fisheries Research, 1999, N 42, P.261-289.

Contois D. E. Kinetics of bacterial growth relationship between population density and specific growth rate of continuous culture//J. Gen. Microbiol. 1959. N 1 - 2. p. 40.

Cushing J. M. Two species competition in a Periodic Environment// J. Math.

Biology. 1980. N 10.- P. 385 - 400.

De Mottoni P., Schiaffino A. Competition systems with periodic coefficients. A geometric approach//J. Math. Biolоgy. 1981. Vol. 11. N 3. – P. 319 – 339.

Dobzhansky Th. Genetics of the Evolutionary Process. – N. Y.: Columbia Univ.

Press, 1970. - 505 p.

Fukami K., Simidu U., Taga N. Microbial decomposition of phyto and zooplankton in sea water. II Changes in the bacterial community//Marine ecology progress series. 1985. Vol. 21. - P. 7 - 13.

Gatto M., Annaratone M., Borghesi M. The competitive coexistence of two species in periodically varying environments//Bull. Zool.. 1979. Vol. 46. - P. 191 - 200.

Hutсhinson G. E. Circular causal system in ecology. Ann. N. Y. Acad. Sci.. 1948.

Vol. 50. - P. 221 - 246.

Jorgenson S. E. Lake Management. – Oxford: Pergamon Press, 1980. - 167 p.

Mac Donald N. Two delays may not destabilize although either delay can//Math.

Bio Sci.. 1982. Vol. 82. N 2. - P. 127 - 140.

May R. M. Biological populations obeying equations stable points, stable cycles and chaos//J. Theor. Biology. 1975. Vol. 51. N 2. - P. 511 - 524.

May R. M. Qualitative stability in model ecosystems//Ecology. 1973. Vol. 54. N 3. - P. 638 - 641.

Maynard Smith J. Evolution and the theory of games. N. J.: Cambridge Univ.

Press, 1982. – 224 p.

Pearce C. A new deterministic model for the interaction between predator and prey// Biometrics. 1970. Vol. 26. N 3. – P. 387 – 392.

Ricker W. E. Stock and recruitment//J. Fish. Res. Board of Canada. 1954.Vol. 11.

N5. – P. 569 – 623.

Smale S. Differentiable dynamical systems//Bull. Amer. Math.Soc.. 1967. Vol. 73.

N6. - P. 747 - 817.

Smith H. L., Waltman P. Competition in the periodic gradostat //Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2000. N 1. - P. 177 - 188.

Spuge John L. Increasing stability with complexity in a system composed of unstable subsystems// J. Math. Anal. And Appl.. 1986. Vol 118. N 2. – P. 502 – 518.

Thebault J. M. Representation of phosphorus in lake ecosystem models// Ann.

limnol.. 1995. Vol. 31. N 2. – P. 143 – 149.

Thom R. Local topological properties of differential mapping // In Differential Analysis. Bombay Colloquium, Oxford, 1964. - P. 191 – 200.

Tyutyunov Y., Arditi R., Buttiker B., Dombrovsky Y., Staub E. Modelling fluctuations and optimal harvesting in perch populations// Ecological modelling, 1993, N 69, P. 19-42.

Vance R. R., Coddington E. A. A nonautonomus model of population growth//J.

Math. Biolоgy. 1989. Vol. 27. N 5. - P. 491-506.



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.