авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||

«Д. И. К а за к е в т Основы теории случайных функций в задачах гидрометеорологии Д о п у щ е н о Государственным ...»

-- [ Страница 6 ] --

Средний квад рат ошибки г)|, возникающей вследствие з а ­ мены интегрального осреднения средним арифметическим зн а­ чением в п равноотстоящих точках Xi, расстояние между ко­ торыми равно А, в соответствии с (8.3.25) запишется в виде г)1 = Д г t R H( k - i ) A. (8.3.34) " /=1 Й= При этом можно использовать такж е структурную функцию Вн(1) предварительно преобразовав формулы (8.3.33) и (8.3.34) с помощью (1.4.20) ^ = ^ Г ^ - - т К 1 ^ т ) В я ( /) Л « (8 Л 3 5 ) о в,Л °°) 1Л Д I BH( k - i ) A. (8.3.36) л п /~1 fc=i Имея корреляционную или структурную функцию и произ­ ведя расчеты по указанным формулам, можно получить зави­ симость г]1 и т|2 от длины интервала и числа точек, в которых производятся измерения, а по ним найти оптимальное число то­ чек, в которых следует производить замеры высоты снежного покрова, и оптимальное расстояние меж ду этими точками.

14 Д. И. Казакевич Глава 8. Определение характеристик случайных функций Д ля реализации этой методики требуются данные о струк­ туре поля высоты снежного покрова. Такие данные получены в специальных исследованиях по статистической обработке имею­ щегося эмпирического материала по различным районам.

В частности определялась пространственная структурная функция В н {1) высоты снежного покрова. В качестве исходного м атериала были выбраны данные снегосъемки, выполненной 5 ф евраля 1957 г. в районе ст. Дубовская (около 3000 измере­ ний высоты снежного покрова). Весь участок снегосъемки был покрыт параллельными промерными линиями, удаленными друг от друга на расстояние 200 м. Всего на участке было проложено 16 промерных линий различной д л и н ы — от 1 до 2 км. Высота снежного покрова на промерных линиях измерялась через 10 м.

Результаты расчета показали, что значения структурных функ­ ций на отдельных промерных линиях существенно отличаются друг от друга.

Разброс полученных структурных функций, по-видимому, с одной стороны, характеризует неоднородный характер распре­ деления высоты снежного покрова по участку, а с другой сто­ роны, вызван погрешностями измерений и малым числом точек измерения.

Д ля получения более надежной характеристики структуры изучаемого поля все полученные структурные функции осредня лись, а полученная осредненная структурная функция была затем сглаж ена. Сглаженная средняя структурная функция В н (1) приведена на рис. 8.2.

Полученная структурная функция хорошо описывается фор­ мулой ВИ (/) = 58,7 — 40,8е~°'158г2/3. (8.3.37) Произведены расчеты погрешностей rji и г\ при подстановке в формулы (8.3.35) и (8.3.36) структурной функции (8.3.37).

На рис. 8.3 представлена средняя квадратическая погреш­ ность у|1 определения средней высоты снежного покрова, возни­ каю щ ая за счет конечности марш рута снегосъемки L. Средняя квадратическая погрешность г)2, возникаю щ ая за счет конеч­ 8.4. Оценка спектральной плотности ности числа точек на маршруте снегосъемки, показана, на рис. 8.4.

Задавш ись точностью определения средней высоты снежного покрова, по рис. 8.3 можно определить требуемую длину м арш ­ рута L снегосъемки. При меньшей длине марш рута заданная О, см Р и с. 8. п точность не может быть достигнута за счет увеличения числа измерений.

Аналогично по рис. 8.4 можно определить требуемое число точек измерения п. При меньшем числе точек заданную точность нельзя обеспечить путем увеличения марш рута снегосъемки.

8.4. Оценка спектральной плотности Спектральная плотность стационарного случайного процесса или однородного изотропного поля может быть определена как преобразование Фурье от соответствующей корреляционной функции. При этом необходимо знать корреляционную функцию на всем бесконечном интервале изменения ее аргумента. При определении характеристик случайной функции по эксперимен­ тальным данным мы имеем реализации случайной функции, за ­ фиксированные на некотором конечном интервале изменения их аргумента, следовательно, и корреляционную функцию можем 14* Глава 8. Определение характеристик случайных функций получить лишь для конечного интервала. При этом, как было показано выше, мы не имеем истинного значения корреляцион­ ной функции, а можем оперировать лишь с ее оценкой, значе­ ние которой может существенно отличаться от истинной корре­ ляционной функции. Возникает вопрос о получении по ней оценки спектральной плотности, которая удовлетворяла бы основным требованиям статистических оценок, т. е. была бы со­ стоятельной, несмещенной и эффективной.

При определении оценки спектральной плотности случайного процесса проще всего, казалось бы, воспользоваться формулой (3.2.3), заменив в ней бесконечные пределы интегрирования конечными значениями, равными наибольшему значению аргу­ мента х — Т, при котором имеется оценка корреляционной функ­ ции. Это равносильно тому, что мы заменили истинную корре­ ляционную функцию R( x) ее оценкой R(x) на промежутке [— Т, Т], а вне этого промежутка положили R (т) = 0. Однако, показано, что оценка спектральной плотности вида т ^ (co)==i S R ( r ) e ~ ia xdx (8.4.1) -т не является состоятельной, так как дисперсия этой оценки не стремится к нулю при стремлении Т к бесконечности. Оценки (8.4.1) могут существенно колебаться, причем разброс их не уменьшается с увеличением интервала Т. Вследствие этого та ­ кая оценка не дает надежной информации об истинной спек­ тральной плотности.

К лучшим оценкам спектральной плотности приводят ме­ тоды, основанные на предварительном сглаживании корреля­ ционной функции.

Рассмотрим функцию R( r ), равную истинному значению кор­ реляционной функции R( x) при | т | ^ т от и равную нулю при | т | т т. Эту функцию можно рассматривать как произведение функции R( x) на функцию Л(т) (т ) = Л (т)Я (т), (8.4.2) где *„_{ 1 '* ' * - • (8.4.3) (. 0 при I т | хт.

Функция R(x) задана на всей вещественной оси. Найдем преобразование Фурье от нее и примем его за оценку S(co) спектральной плотности S ( a ), т. е. определим S(co) по формуле О О ОО 5(®) = -5Т \ e~iS X ^ dx = - k \ e - imX( x ) R( x ) d x. (8.4.4) — оо —оо 8.4. Оценка спектральной плотности Обозначим через (© ) истинную спектральную плотность случайного процесса, т. е. преобразование Фурье истинной кор­ реляционной функции R( x ), а через Q(co) преобразование Фурье, т. е. спектр функции i (т) (8.4.5) —0 В силу (8.4.4), произведение X ( x ) R ( т) есть преобразование Фурье функции S (ю) (8.4.6) X (т) R (х) = J etmS (со) Ао.

— со С другой стороны, имеем оо оо Я (х) R ( %)— ^ eia'xS (со,) dai ^ eia'xQ (со2) dw х — — — оо р SW [ eUa'+O2)xQ((02)diо2 d®x.

Д ел ая во внутреннем интеграле замену coj + ©2 — со и меняя порядок интегрирования, получим Сравнивая (8.4.6) и (8.4.7), устанавливаем связь между ис­ тинной спектральной плотностью 5 (со) и приближенным ее зн а­ чением (8.4.4) (8.4.8) §( ) = ^ S (©]) Q (со C i) dffl].

D Отсюда видно, что S ( со) представляет собой значение истинной спектральной плотности S(co), осредненное по всему интервалу частот с весовой функцией Q(co).

Д л я функции Я(т) вида (8.4.3) спектр Q(co) определится в виде s m i% Sin (8.4.9) 3T D C Таким образом, используя при определении спектральной плотности в качестве оценки корреляционной функции произ­ ведение вида (8.4.2), мы получаем не истинную спектральную Глава 8. Определение характеристик случайных функций плотность S(co), а ее значение, сглаженное с помощью весовой функции, представляющей собой спектр функции Я (т ). При этом способ сглаж ивания определяется выбором функции Х(т). О т­ сюда возникает идея такого подбора функции Я(т), чтобы сгла­ живание (8.4.8) было наилучшим, т. е. давало значение 5 (со), наиболее близкое к истинному значению S(co).

Таким образом, задачу определения спектральной плотно­ сти можно сформулировать в следующем виде. Пусть имеется оценка корреляционной функции $ (т ) при | т | ^ 7 \ будем ис­ кать оценку спектральной плотности 5 (со) по формуле %т S (® )= ~ J e~iaxX( x ) R( x ) d x, (8.4.10) ~ хт подбирая функцию А,(т) и значение хт так, чтобы удовлетво­ рить некоторому критерию оптимальности. Функцию Я(т) н а­ зывают сглаживающей весовой функцией, а значение хт — точ­ кой среза корреляционной функции.

Смысл функции Ц т ) состоит в том, что с ее помощью проис­ ходит сглаживание оценки корреляционной функции, по кото­ рой определяется спектральная плотность. Выбор сглаж иваю ­ щей функции Л(т) соответствует сглаживанию истинного спектра случайного процесса вида (8.4.8) с весовой функцией, представляющей собой спектр функции Я(т).

В качестве критерия для оценки величины 5 (со) и выбора оптимальной сглаживающей функции Ц т ) можно принять сред­ нюю квадратическую ошибку т] [ 5 (со) ], определяемую по фор­ муле т,2 [3 (со)] = М {[§ (со) - 5 (со)]2} = a 2 [S (со)] + b2 [S (со)]. (8.4.11) В этой формуле величина сг2 [S (со)] = М {[5 (со) - М [S (со)]]2} (8.4.12) представляет собой дисперсию значений 5 (со) и характеризует разброс оценок спектральной плотности около их математиче­ ского ожидания.

Величина b [S (со)] =•- T [S (ю)] — 5 (со) W (8.4. называется смещением и характеризует отклонение математиче­ ского ожидания оценок 5 (со) от истинного значения S (со). Сме­ щение характеризует наличие систематической ошибки, вслед:

ствие которой значения 5 (со) будут группироваться не около ис­ тинного значения 5 (со), а около некоторого значения Af [.§(©)].

8.4. Оценка спектральной плотности Другим критерием, при помощи которого можно оценить точ­ ность определения величины S ( со) и выбрать оптимальную сглаживающую функцию Я (т ), является интегральная средняя квадратическая ошибка / [5(п)] = М | | [S (со) - 5 (со)]2 doo. (8.4.14) V —оо * З ад ач а подбора оптимальной сглаживающ ей функции со­ стоит в том, чтобы при заданном значении длины интервала Т подобрать такую функцию Х(т), которая обращ ала бы в мини­ мум значение выбранного критерия оценки. Решение этой з а ­ дачи существенно зависит от вида истинной корреляционной функции R(-т).

Получено решение этой задачи по отношению к критерию (8.4.14) для двух видов корреляционных функций R{%).

Первый из них представляет собой класс корреляционных функций экспоненциально убывающих с коэффициентом р О, т. е. таких, для которых выполняется неравенство | ^ ( я ) ] ^ ^ое_р* где Ro — некоторая константа.

г| Показано, что для таких корреляционных функций оптималь­ ными являются сглаживающ ие функции вида ( 1 — \и \ при | м | 1, ^ )= T + W М т)={0 при!м|1, (через и обозначено т /т т ), а такж е и некоторые другие функ­ ции.

Второй вид корреляционных функций, представляет собой класс алгебраически убывающих функций, т. е. таких, которые при больших значениях % имеют вид т_г, где г 1. Д л я функ­ ций такого вида оптимальными весовыми функциями, обращ аю ­ щими в минимум интегральную среднюю квадратическую ошиб­ ку, могут служить функции вида А(т) = ----- ----2г~* 1 Ви + где константа В вы раж ается через истинную корреляционную функцию R (т ).

Оптимальная весовая функция %{х), обращ аю щ ая в минимум интегральную среднюю квадратическую ошибку (8.4.14), имеет вид Я (т) -- -------- --------------. (8.4.15) R H x ) + D [R ( т )] w Глава 8. Определение характеристик случайных функций Это показывает, что оптимальная сглаж иваю щ ая функция зависит от истинной корреляционной функции исследуемого слу­ чайного процесса и, следовательно, не существует единой сгла­ живающей функции, пригодной для всех случайных процессов.

Кроме того, поскольку при экспериментальном определении статистических характеристик случайного процесса истинная корреляционная функция неизвестна, а имеется лишь прибли­ женная ее оценка, то нельзя непосредственно воспользоваться выведенными формулами для определения функции Ц т ). Эти формулы можно использовать лишь как ориентировочные при выборе конкретного вида сглаживающ ей функции в формуле (8.4.10).

В настоящее время различными авторами предложен ряд частных видов сглаживающих функций, обладающих различ­ ными свойствами. Рассмотрим наиболее употребительные из этих функций.

1. Функция Барлетта 1 при | т I ^ т т, { п,^ (8-4Л6) 0 при | т | т т.

2. М одифицированная функция Бартлетта 1— при | т | т А (т) = • т« "г" ' ' ^ т ’ (8.4.17) to при |т | тт.

3. Функция Тьюки ( 1 — 2а + 2 а с о з - ^ при Л(т) = х'п (8.4.18) I0 при | т | хт.

Тьюки предложил брать коэффициент а = 0,23, не указав при­ чину такого выбора значения. П арзен показал, что оптималь­ ным, согласно критерию (8.4.14), является значение а — 0,25.

4. Функция Хеннинга ( 0,5 ( l - c o s - ^ ) при | т | т т,, я, 10ч А(т) = v %mJ (8.4.19) I0 при | x | Tm.

5. Функция П арзена при | т | т А(т) = | 1 ------------- - (8.4.20) при ] т ] xm I для q 1. В частности, П арзен рассматривал эту функцию при q = 2.

217 (S.4. Оценка спектральной плотности 6. Функции вида 1+ ( ^ ) (8.4.21) 1о при | Т ! х т тоже рассмотренные Парзеном для значений q = 1 и q = 2.

7. Функция Хемминга f 0,54 + 0, 46c o s при | т | ^ т т, М т) = ] Тт (8.4.22) I0 при | т | хт.

Все предложенные сглаживающ ие функции являю тся наи­ лучшими с точки зрения оптимизации какого-либо из ж елатель­ ных свойств получаемой с их помощью оценки значения спек­ тральной плотности.

При определении оценки спектральной плотности по фор­ муле (8.4.10) с выбранной сглаживающ ей функцией Х(т) полу­ ченное значение будет существенно зависеть от выбора хт Вы­ бор точки среза корреляционной функции хт будет вызывать смещение оценки спектральной плотности при малых значениях хт и существенно увеличивать дисперсию оценки при больших Тт Действительно, при малых значениях хт в формуле (8.4.10) используют оценку корреляционной функции, не очень отличаю­ щуюся от истинного ее значения, полагая ее равной нулю при значении | т | т т, при которых корреляционная функция мо­ жет существенно отличаться от нуля. Тем самым мы допускаем систематическую ошибку, вызывающую смещение оценки.

Увеличение хт приводит к уменьшению этой систематической ошибки, однако при этом в формуле (8.4.10) используют оценку $ ( т ), которая при больших -г может существенно отличаться от истинного значения R( x ). Вследствие этого увеличивается дисперсия оценок 5 ( a ), особенно при небольшом интервале записи реализации случайного процесса Т. Например, для сгла­ живающей функции (8.4.2) спектр Q (со) (8.4.9) в основном со­ средоточен в диапазоне частот (—п / х т, тс/хт ) и, следовательно, сглаживание спектральной плотности, согласно (8.4.8), осуще­ ствляется в полосе частот шириной 2 я / х т. При малом значении Хт эта полоса будет широкой, вследствие чего оценка спектраль­ ной плотности при таком сглаживании будет существенно иска­ ж аться, так как будут сглаж иваться пики спектральной плот­ ности. С увеличением значения хт ширина полосы сглаж ивания будет уменьшаться, а, следовательно, будут менее сказываться искажения, вызываемые сглаживанием, т. е. все больше будут проявляться пики спектральной плотности. Однако при этом Глава 8. Определение характеристик случайных функций все больше начнут проявляться искажения за счет отличия опенки корреляционной функции от ее истинного значения.

Ж елание выбрать величину тт минимизирующую как сме­ щение оценки спектральной плотности, так и дисперсию этой оценки, приводит к необходимости удовлетворения двух проти­ воречивых требований.

До сих пор мы рассматривали оценку спектральной плотно­ сти, получающуюся путем преобразования Фурье сглаженной оценки корреляционной функции по формуле (8.4.10). Однако может быть применен и другой метод. Пусть имеется реали за­ ция x(t ) стационарного эргодического процесса X ( t ), заданная на промежутке [0, Т].

Рассмотрим величину т (8.4.23) 2яТ о которую называют выборочным спектром или периодограммой, она получается посредством преобразования Фурье самой реа­ лизации. Если реализация задана в дискретных точках, то за ­ меняя интеграл суммой получим Периодограмма не является состоятельной оценкой спек­ тральной плотности, так как ее дисперсия не стремится к нулю при Т —о о. При больших значениях Т периодограмма носит крайне нерегулярный характер, ее значения резко изменяются при незначительных изменениях аргумента. Д л я получения со­ стоятельной оценки нужно провести сглаживание периодограм­ мы по формуле О О S(co) = Si (со) Q(co — ©j) d&x, (8.4.24) — оо выбрав сглаживающую функцию Q (to) такой, чтобы оценка по­ лучалась состоятельной.

Таким образом при втором способе оценивания спектраль­ ной плотности выполняется преобразование Фурье самой реали­ зации случайного процесса, строится периодограмма, которая затем усредняется по частоте.

При этом, сравнивая (8.4.24) и (8.4.8), мы видим, что, если в качестве функции Q(co) взят спектр весовой функции Я(т), по которой сглаж ивалась корреляционная функция при первом спо­ собе оценивания спектральной плотности, то при втором спо­ собе получится та ж е оценка.

НА. Оценка спектральной плотности Часто в литературе сглаживающую функцию Я(т) называют корреляционным окном, а ее преобразование Фурье Q(co) — спектральным окном.

Оба рассмотренных способа оценивания дают один и тот ж е результат, однако сопровождаются различными вычислитель­ ными трудностями. Практическое использование описанных ме­ тодов оценки спектральной плотности определяется трудоем­ костью необходимых для этого вычислений.

С появлением и широким распространением универсальных цифровых вычислительных машин основными методами стали численные методы оценивания спектральной плотности с ис­ пользованием ЭВМ. При этом на начальном этапе предпочте­ ние отдавалось первому методу, основанному на осреднении ко реляционной функции, так как обычные методы вычисления преобразования Фурье ряда из Т чисел при большом Т оказы ­ валось весьма трудоемким и требовало большого машинного времени.

Однако появление во второй половине 60-х годов так назы ­ ваемого быстрого преобразования Фурье привело к тому, что второй способ оценивания спектральной плотности посредством сглаж ивания коррелограмм с использованием спектрального окна оказался более рациональным. Метод быстрого преобра­ зования Фурье подробно излагается в общем курсе приближен­ ных вычислений. В настоящее время построены алгоритмы этого метода и программы его реализации на ЭВМ. С применением этого метода резко сократилось машинное время, требуемое для вычисления периодограммы и ее осреднения д аж е при боль­ шом Т. В настоящее время этот метод широко распространен в прикладном спектральном анализе.

Другим методом оценивания спектральной плотности, ко­ торый находит все более широкое применение в настоящее время, является метод основанный на построении стохастиче­ ских моделей описания случайных процессов, изложенный в главе 7.

Рассмотрим методику определения спектральной плотности на примере нахождения спектра морских волн.

Спектральная теория стационарных случайных процессов в настоящее время широко используется при анализе морских волн. При этом колебания уровня моря в фиксированной точке рассматриваю т как случайную функцию времени. Эксперимен­ тальные исследования ветровых волн показывают, что случай­ ную функцию Z ( t ), описывающую вертикальные колебания уровня во времени в фиксированной точке относительно сред­ него уровня, с известной степенью приближения можно рассм ат­ ривать как квазистационарный случайный процесс, обладаю ­ щий эргодическим свойством.

Глава 8. Определение характеристик случайных функций Допускается, что каждую реализацию можно разделить на участки стационарности, в пределах которых вероятностные ха­ рактеристики остаются неизменными, а при переходе от одного участка стационарности к другому вероятностные характери­ стики меняются скачками. Квазистационарность реального вол­ нения, а такж е технические трудности выполнения продолжи­ тельных измерений волн приводят к тому, что для определения статистических характеристик приходится использовать лишь одну или небольшое число реализации ограниченной продолжи­ тельности.

В соответствии с принятой гипотезой эргодичности оценку корреляционной функции й(%) по одной реализации продолжи­ тельности Т определяют по формуле (8.3.11).

Анализ записей установившегося ветрового волнения в океа­ нах, морях и водохранилищах показал, что корреляционные функ­ ции ветровых волн можно аппроксимировать выражением вида Rz (т) = De~a 1х 1cos рт. (8.4.25) При выбранном типе корреляционной функции спектральная плотность определяется по формуле (8.4.10). Д ля анализа влия­ ния величины im выберем сначала в качестве сглаживающей функции Х(х) функцию Б артлетта (8.4.16). При этом формула (8.4.10) для вещественного случайного процесса Z ( t ) может быть записана в виде хт §г Rz( т ) cos ют dx. (8.4.26) (® ) ^ ^ о Подставив в (8.4.26) корреляционную функцию (8.4.25) и выполнив интегрирование, получим Sz (®) = [ а2 _|_ (Р _|_ (0)2 + а2 + (р —00)2 ] + _дт т f — а co s (0 + со) х т + (0 + о ) s in ( 0 + го) %т De., "Г 2я I а2+ ( 0 + со) х т + (0 — -г) s in (0 — со) %т ),g ^ ^ — а co s (0 — со) ' ‘ а 2 + (0 — со)2 J‘ ' ’' Сравнивая с (3.2.26) видим, что первое слагаемое (8.4.27) есть истинная спектральная плотность, соответствующая корре­ ляционной функции (8.4.25). Следовательно, второе слагаемое представляет собой систематическое смещение величины S(o).

Это смещение, как видно из (8.4,27), уменьшается с увеличе­ нием хт. Таким образом, если корреляционная функция опре­ делена без ошибок, то Х т должно быть таким, чтобы выражение в фигурных скобках в формуле (8.4.27) не оказывало суще­ ственного влияния на величину S(oa).

8.5. Оценки характеристик ПКСП Однако при ограниченном интервале стационарности про­ цесса Т оценка корреляционной функции может существенно отличаться от истинного ее значения, вследствие чего будет на­ блюдаться большой разброс оценок спектральной плотности S (ю) при выборе большего значения хт. Согласование этих про­ тиворечивых требований может быть произведено путем варьи­ рования параметров Т и тт, если интервал стационарности слу­ чайного процесса достаточно большой. Если ж е интервал ста­ ционарности процесса не позволяет значительно увеличивать продолжительность реализации, то существенное значение имеет выбор сглаживающей функции Х(т).

8.5. Оценки характеристик периодически коррелированных случайных процессов Д л я периодически коррелированных случайных процессов;

(П К С П ), обладающих эргодическим свойством, возможны два подхода к оцениванию вероятностных характеристик по одной реализации ограниченной продолжительности.

Когерентный метод исходит из того, что отсчеты значений' ПКСП X( t ) через период коррелированности при любом начале отсчета t е [О, Т] образуют стационарную эргодическую слу­ чайную последовательность X (t + k T ). Пусть длина исходной реализации 0 = NT, тогда оценка m*(t) математического ожи^ дания m( t ) может быть записана в виде = N x ( t + kT), (8.5. k= а оценка R*(t, т) корреляционной функции R( t, т) в виде, « -1 о к* (*. *) = -& X ( t + k T ) X ( t + r + kT), (8.5.2) N ft=o где X(t) = X(t) — rn(t). (8.5.3) Компонентный метод исходит из того,что характеристики m( t ) и R( t, т) являю тся периодическими функциями времени и могут быть представлены в виде отрезков ряда Фурье. Коэф­ фициенты ти и &*1т) этих разложений вычисляются по форму­ лам т m k = у - ^ m(t )exp ik-y-dt\ (8.5.4) о т dt.

М т ) = -jf $ Я (* т)ехр ( — (8.5.5) О Глава 8. Определение характеристик случайных функций Оценки этих «компонент» могут быть вычислены по исход­ ной реализации как в /Пй = -д- ^ 1(0 ехр ( — dt] (8.5.6) о е k*k (т) = -i- J X (t + x) X( t ) ехр [ - i k ~ t ) dt. (8.5.7) о Теоретически оба метода эквивалентны, так как все операции линейны и поэтому их порядок безразличен. Однако, из-за р а з­ личия свойств статистических оценок и различий в характер­ ных свойствах исследуемых процессов, оценки m( t ) и R ( t, x ), а такж е m k и k k {x), вычисленные по компонентному и когерент­ ному методам будут различаться между собой.

Алгебраически более прост когерентный метод. Рассмотрим на его примере свойства оценок m*(t) и R*( t, x).

М атематическое ожидание статистики (8.5.1) равно оцени­ ваемой величине M{tn*{t)} = i r Е m( t + kT) = m(t). (8.5.8) N k= Поэтому оценка (8.5.1) будет несмещенной Дисперсия оценки (8.5.1) равна Dm* (t) = М {tn (t) — М {rn (О}}2 = = 4г Ё Ё M{X{t+.kT)X(t + tT)}~ м k=0 ft= - ш‘ (0 _ ± J f +1 (1 - М ) * (,, Ы). (8.5.9) Из (8.5.9) видно, что по сравнению с дисперсией оценок м а­ тематического ожидания некоррелированных случайных величин (равных D/ N, где D — дисперсия), Dm*(t) больше и тем больше, чем сильнее корреляция. Д л я изучения годовой ритмики, когда межгодовые корреляционные связи практически мало значимы, можно использовать формулу для независимых случайных ве­ личин. Д л я суточной ритмики, когда межсуточной корреляцией пренебречь нельзя необходимо использовать формулу (8.5.9).

М атематическое ожидание оценки корреляционной функции (8.5.2) равно JV- М {R* (t, х )} = R(t, х ) - j r R(t, x ) - j r Z R( t, Т + ЛЛ + iV k=— N-\- iV + -JT ( l - V f ) R { t, x + kT).

z' (8.5.10) k— N + l V « ' 8.5. Оценки характеристик ПКСП Следовательно, оценка (8.5.2) является смещенной на величину JV-1 - = R(t, т ) + ^ R ( t, x + kT)\. (8.5.11) I- fc = - J V + l -I Из выражения (8.5.11) видно, что при N - * оо оценка R*(t, x) является асимптотически несмещенной. При конечных N вели­ чина смещения отлична от нуля, источником смещения R*(t, x) является отличие m*(t) от m{t ) в операции центрирования в (8.5.3). При практических оценочных расчетах вместо вы раж е­ ния (8.5.11) можно пользоваться Dm*(t) со знаком минус.

В предположении, что ПКСП гауссовский и при известном его математическом ожидании дисперсия оценки (8.5.2) равна N- DR* { t, x ) = \ Y D т), (8.5.12) k= ~N + где Goo kk (t, т) = M X (t) X (t + x ) X ( t + k T ) X ( t + т + kT) — M { X (t) X{ t + т)} M {X (t + kT) X (t + т + k T)} — четвертый момент распределения, преобразуемый для гауссов­ ских процессов через произведение вторых моментов. Строго' рассуж дая значения оценок m*( t ) и R*( t, x) будут коррелиро­ ванными. Однако выражения для корреляционных функций Rm.*(tb t2) и Rk*{tb t2, т,, т2) довольно громоздки.

Перейдем к вопросам оценивания спектральных плотностей.

П реж де всего отметим, что в качестве оценок частотно-времен­ ной спектральной плотности S ( a, t ) и спектральных компонент Sfc(co) в соответствии с корреляционным методом эмпирического спектрального анализа используются следующие модификации выражения (8.4.10):

ттах 5* (и, t) = - ^ - ^ R* (t, т)А,(т)ехр(—гит)dx;

(8.5.13) ~~xmax ^max S l (и) = ^ R l (т) X (х ) ехр (—гсот) dx. (8.5.14) ~ xmax Эти оценки являю тся смещенными, вследствие усечения кор­ релограмм R * (t, т) и k*k (т) в точках ± ттах, отличия весовых функций Я(т) от 1 и из-за смещения eR„{t, т) и & к*{х). Диспер k сия и корреляционная функция оценок (8.5.13) и (8.5.14) имеет довольно сложное выражение через двойное преобразование Фурье корреляционной функции оценок R* (t, т) и k \ (х).

Список литературы 1. Б а р т л е т т М. С. В в е д е н и е в т е о р и ю с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в. М., И з д - в о и н о с т р. л и т., 1958. — 3 8 4 с.

2. Б е н д а т Д ж., П и р с о л А. И з м е р е н и е и а н а л и з с л у ч а й н ы х п р о ц е с ­ со в. М., М и р, 1974. — 4 6 3 с.

3. Б о к с Д ж., Д ж е н к и н с Г. А н а л и з в р е м е н н ы х р я д о в. М., М и р, 1 9 7 4. - 4 0 6 с.

4. Г н е д е н к о Б. В. К у р с т е о р и и в е р о я т н о с т е й. М., Ф и з м а т г и з, 1 9 6 1.— -406 с.

5. Г р е н д ж е р К., Х а т а н а к а М. С п е к т р а л ь н ы й а н а л и з в р е м е н н ы х р я д о в в э к о н о м и к е. М., С т а т и с т и к а, 1972. — 3 1 2 с.

6. Д ж е н к и н с Г., В а т т е Д. С п е к т р а л ь н ы й а н а л и з и е г о п р и л о ж е н и я.

М., М и р, в ы п. 1, 1971. — 31 6 с., в ы п. 2, 1972. — 2 8 7 с.

7. К а з а к е в и ч Д. И. О с н о в ы т е о р и и с л у ч а й н ы х ф у н к ц и й и е е п р и м е ­ н е н и е в г и д р о м е т е о р о л о г и и. И з д. 2 -е, Л., Г и д р о м е т е о и з д а т, 1977. — 31 9 с.

8. К а р т в е л и ш в и л и Н. А. Т е о р и я в е р о я т н о с т н ы х п р о ц е с с о в в г и д р о ­ л о г и и и р е г у л и р о в а н и и р е ч н о г о с т о к а. Л., Г и д р о м е т е о и з д а т, 1 9 6 7.— 291 с.

9. М о н и н А. С., Я г л о м А. М. С т а т и с т и ч е с к а я г и д р о м е х а н и к а. М., Н а у к а, 1965. — 6 3 9 с.

10. Н и к о л а е в Ю В. П р е о б р а з о в а н и е и н ф о р м а ц и и в п р и л о ж е н и и к.

з а д а ч а м г и д р о м е т е о р о л о г и и. Л., Г и д р о м е т е о и з д а т, 1969. — 6 4 с.

11. П о л я к И. И. Ч и с л е н н ы е м е т о д ы а н а л и з а н а б л ю д е н и й. Л., Г и д р о ­ м е т е о и з д а т, 1 9 7 5.— 211 с.

12. П о л я к И. И. М е т о д ы а н а л и з а с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в и п о л е й в к л и ­ м а т о л о г и и. Л., Г и д р о м е т е о и з д а т, 1979. — 2 5 5 с.

13. Р о ж к о в В. А. М е т о д ы в е р о я т н о с т н о г о а н а л и з а о к е а н о л о г и ч е с к и х п р о ц е с с о в. Л., Г и д р о м е т е о и з д а т, 1 9 7 9.— 2 8 0 с.

14. С м и р н о в Н. В., Д у н и н - Б а р к о в с к и й И. В. К у р с, т е о р и и в е ­ р о я т н о с т е й и м а т е м а т и ч е с к о й с т а т и с т и к и. М., Н а у к а, 1 9 6 9.— 511 с.

15. Я г л о м А. М. К о р р е л я ц и о н н а я т е о р и я с т а ц и о н а р н ы х с л у ч а й н ы х ф у н к ц и й. Л., Г и д р о м е т е о и з д а т, 1981. — 2 7 9 с.


16. Б е л ы ш е в А. П., К л е в а н ц е в Ю. П., Р о ж к о в В. А. В е ­ р о я т н о с т н ы й а н а л и з м о р с к и х те ч е н и й. Л.: Г и д р о м е т е о и з д а т, 1983. — 26 4 с.

17. Д р а г а н Я. Г1, Р о ж к о в В. А., Я в о р с к и й И. Н. М е т о д ы в е ­ р о ятностн ого а н а л и за ритм ики океанических процессов. Л.: Г идром етео­ и з д а т, 1 9 8 7.— 3 1 9 с.

П редм етны й у к азател ь А А л г е б р а с о б ы т и й ( а - а л г е б р а ) А к с и о м ы т е о р и и в е р о я т н о с т е й А н сам бль р еал и зац и й А с и м м е т р и я Б Б е л ы й ш у м 9 1, Б р о у н о в с к о е д в и ж е н и е Б П К С П В В е к т о р с л у ч а й н ы й В е к т о р ы о р т о н о р м и р о в а н н ы е В еличина случайн ая --------- д и с к р е т н а я ---------н е п р е р ы в н а я ---------н о р м а л ь н о р а с п р е д е л е н н а я 12, --------- ц е н т р и р о в а н н а я В е л и ч и н ы с л у ч а й н ы е к о р р е л и р о в а н н ы е ---------н е з а в и с и м ы е В р е м я к о р р е л я ц и и 4 6, д Д е л ь т а - ф у н к ц и я Д и с п е р с и я с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы — сл у ч ай н о го п о л я — случайн ого п роц есса --------------- к о м п л е к с н о г о -------------- с т а ц и о н а р н о г о Д и ф ф у зи я ту р б у л ен т н а я Е Е с т е с т в е н н ы е о р т о г о н а л ь н ы е с о с т а в л я ю щ и е З а к о н р асп р ед ел ен и я случайн ой величины -------------- ф у н к ц и и 2 ---------д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы й ---------и н т е г р а л ь н ы й ---------н о р м а л ь н ы й ---------с и с т е м ы с л у ч а й н ы х в е л и ч и н З н а ч е н и я с о б с т в е н н ы е к о р р е л я ц и о н н о й м а т р и ц ы 15 Д- И, Казакевич Предметный указатель И И н в а р и а н т ы т е н з о р а --------- к о р р е л я ц и о н н о г о ---------— в з а и м н о г о --------- с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т и — — -------в з а и м н о г о И н д е к с з о н а л ь н о й ц и р к у л я ц и и И н т е г р а л о т с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а И н т е г р а л Ф у р ь е К.К о г е р е н т н о с т ь К о э ф ф и ц и е н т к о р р е л я ц и и М М а тем ати ч еск о е о ж и д ан и е случайн ой величины -------- с л у ч а й н о г о п о л я --------- с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а — ---- ---- к о м п л е к с н о г о -------------- — п е р и о д и ч е с к и к о р р е л и р о в а н н о г о -------------------- э р г о д и ч е с к о г о М а т р и ц а к о р р е л я ц и о н н а я --------- н о р м и р о в а н н а я М е р а в е р о я т н о с т н а я М е т о д м а к с и м а л ь н о г о п р а в д о п о д о б и я М о д е л ь а в т о р е г р е с с и и ---------с к о л ь з я щ е г о с р е д н е г о —• с м е ш а н н о й а в т о р е г р е с с и и — с к о л ь з я щ е г о с р е д н е г о М о м е н т к о р р е л я ц и о н н ы й --------- н а ч а л ь н ы й с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы ---------с и с т е м ы с л у ч а й н ы х в е л и ч и н --------- с л у ч а й н о й ф у н к ц и и — ц е н т р а л ь н о й с л у ч а й н о й ф у н к ц и и Н Н е п р е р ы в н о с т ь с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а О О п е р а т о р л и н е й н ы й — д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я О пределени е случайной величины — с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а О ц е н к а с т а т и с т и ч е с к а я — д и с п е р с и и — к о р р е л я ц и о н н о г о м о м е н т а — к о р р е л я ц и о н н о й ф у н к ц и и — м а к с и м а л ь н о г о п р а в д о п о д о б и я — м а т е м а т и ч е с к о г о о ж и д а н и я — несмещенная, Предметный указатель — П К С П — с о с т о я т е л ь н а я — сп ектральн ой п лотности — э ф ф е к т и в н а я П П ер и о д о гр ам м а П К С П П лотность распределения --------- с л у ч а й н о г о в е к т о р а -------------- п о л я 6 -------- - — п р о ц е с с а 2 — с п е к т р а л ь н а я в за и м н а я ---------л и н е й н о г о п р е о б р а з о в а н и я с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а -------- н о р м и р о в а н н а я П Н С П П о л е с л у ч а й н о е •-------- в е к т о р н о е --------- и з о т р о п н о е 6 --------- о д н о р о д н о е 6 --------- ц е н т р и р о в а н н о е П П К С П П р е д е л с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а П р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е — л и н е й н о е с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в П р о и з в е д е н и е м н о ж е с т в П р о и з в о д н а я с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а П р о с т р а н с т в о э л е м е н т а р н ы х с о б ы т и й П р о ц есс сл у ч ай н ы й ---------в е к т о р н ы й 5 ---------н е с т а ц и о н а р н ы й п е р и о д и ч е с к и — — н о р м а л ь н ы й с т а ц и о н а р н ы й — — ц е н т р и р о в а н н ы й — у зко п о л о сн ы й — ш и р о к о п о л о с н ы й Р Р а с п р е д е л е н и е н о р м а л ь н о е Р е а л и за ц и я случайной ф ункции С С г л а ж и в а н и е с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а • корреляц и он н ой ф ункции — — с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т и 21 С е ч е н и е с л у ч а й н о й ф у н к ц и и С и с т е м а с л у ч а й н ы х в е л и ч и н — -н о р м а л ь н о р а с п р е д е л е н н а я --------- п р о ц е с с о в 2 С п е к т р д и с к р е т н ы й — и н т е г р а л ь н ы й 15* Предметный указатель С п е к т р к в а д р а т у р н ы й — к о с и н у с (к о с п е к т р ) Сумма м н о ж е с т в Т Т е н з о р к о р р е л я ц и о н н ы й — с п е к т р а л ь н ы й Ф Ф и л ь т р а ц и я Ф у н к ц и я а в т о к о р р е л я ц и о н н а я — Б а р т л е т т а — в е с о в а я — к о р р е л я ц и о н н а я н о р м и р о в ан н ая ---------- о д н о р о д н о г о и з о т р о п н о г о с л о я — — с в я з и ( в з а и м н а я к о р р е л я ц и о н н а я ) -------- - с т а ц и о н а р н о г о п р о ц е с с а — П ар зен а — п е р е д а т о ч н а я — п р а в д о п о д о б и я — р асп р ед ел ен и я случайн ой величины с л у ч а й н о г о в е к т о р а --------- с л у ч а й н о г о п о л я --------- с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а — с т р у к т у р н а я — с л у ч а й н а я -------- - к о м п л е к с н а я — Т ью ки — Х ем м инга Ф у н к ц и и о р т о н о р м и р о в а н н ы е — с о б с т в е н н ы е X Х ар ак тер и сти к и числовы е случайн ой величины — — с л у ч а й н о г о в е к т о р а --------- с л у ч а й н о г о п о л я --------- с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а -------- - э р г о д и ч е с к о г о с л у ч а й н о г о п о л я ---------------с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а Э Э к с т р а п о л я ц и я с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а Э к с ц е с с Э р г о д и ч е с к о е с в о й с т в о О главление Предисловие редактора.


................................ П редисловие автора.................................................................................................................... В ведение. Н екоторы е п он яти я теори й случайн ы х величин Г л а в а 1. С л у ч а й н ы е п р о ц е с с ы и й х в е р о я т н о с т н ы е х а р а к т е р и с т и к и... 1.1. С л у ч а й н а я ф у н к ц и я и е е з а к о н ы р а с п р е д е л е н и я........................ — 1.2. М о м е н т н ы е х а р а к т е р и с т и к и с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в.... 1.3. С и с т е м а с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в, к о р р е л я ц и о н н а я ф у н к ц и я с в я з и.............................................................................................................................. 1.4. С т а ц и о н а р н ы е с л у ч а й н ы е п р о ц е с с ы.................................................. 1.5. П е р и о д и ч е с к и н е с т а ц и о н а р н ы е с л у ч а й н ы е п р о ц е с с ы.. 1.6. Э р г о д и ч н о с т ь с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в........................................ 1.7. П р о и з в о д н а я и и н т е г р а л о т с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а..... 1.8. В е к т о р н ы е с л у ч а й н ы е п р о ц е с с ы......................................... Г л а в а 2. С л у ч а й н о е поле.................................................................................................. 2.1. Х а р а к т е р и с т и к и с л у ч а й н о г о п о л я........................................................... — 2.2. О д н о р о д н о е и и з о т р о п н о е с л у ч а й н о е п о л е.................................... 2.3. В е к т о р н о е с л у ч а й н о е п о л е........................................................................ Г л а в а 3. С п е к т р а л ь н ы й а н а л и з с т а ц и о н а р н ы х с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в и о д н о ­ ро д н ы х полей........................................................................................................ 3.1. С п е к т р с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а.................................................................. — 3.2. С п е к т р а л ь н а я п л о т н о с т ь с т а ц и о н а р н о г о с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а 3.3. В з а и м н ы й с п е к т р а л ь н ы й а н а л и з............................................................ 3.4. С п е к т р а л ь н ы й а н а л и з н е с т а ц и о н а р н ы х п р о ц е с с о в........................ 3.5. С п е к т р а л ь н ы й т е н з о р в е к т о р н о г о п р о ц е с с а..................................... 3.6. С п е к т р а л ь н ы й а н а л и з о д н о р о д н ы х с л у ч а й н ы х п о л е й... 1 1 Г л а в а 4. Л и н е й н ы е п реобразован и я............................................................................... 4.1. П р е о б р а з о в а н и е ф у н к ц и й л и н е й н ы м о п е р а т о р о м........................ — 4.2. С п е к т р а л ь н а я п л о т н о с т ь л и н е й н о го п р е о б р а з о в а н и я с т а ц и о ­ н а р н о г о с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а.................................................................. 4.3. Ф и л ь т р а ц и я с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в...................................................... 4.4. В ы д е л е н и е с к р ы т ы х п е р и о д и ч н о с т е й...................................................... Г л а в а 5. Р а з л о ж е н и е с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в и п о л е й н а е с т е с т в е н н ы е о р т о ­ го н ал ьн ы е со ставл яю щ и е..................................................................................... 5.1. П о с т а н о в к а з а д а ч и........................................................................................... — 5.2. Н а х о ж д е н и е е с т е с т в е н н ы х о р т о г о н а л ь н ы х с о с т а в л я ю щ и х.. Г л а в а 6. Э к с т р а п о л я ц и я и и н т е р п о л я ц и я с л у ч а й н ы х ф у н к ц и й..... 6.1. П о с т а н о в к а з а д а ч и............................................................................................— 6.2. О п т и м а л ь н а я л и н е й н а я э к с т р а п о л я ц и я ( и н т е р п о л я ц и я ) с л у ­ чайной ф ункции, за д а н н о й н а конечном числе то ч ек... 6.3. О п т и м а л ь н а я л и н е й н а я э к с т р а п о л я ц и я с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а, з а д а н н о г о н а б е с к о н е ч н о м и н т е р в а л е................... ...................... 6.4. П р и м е р ы о п т и м а л ь н о й л и н е й н о й э к с т р а п о л я ц и и г и д р о м е т е о ­ р о л о г и ч е с к и х п р о ц е с с о в................................................................................ Г л а в а 7. П а р а м е т р и ч е с к и е м етоды и с с л е д о в а н и я с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в 7.1. С т а т и с т и ч е с к и е м о д е л и с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в.............................. — 7.2. И д е н т и ф и к а ц и я м о д е л е й............................................................................... Оглавление 7.3. О ц е н и в а н и е п а р а м е т р о в л и н е й н о й м о д е л и.................................... 7.4. С п е к т р л и н е й н ы х м о д е л е й........................................................................ 7.5. П р о г н о з и р о в а н и е с т о х а с т и ч е с к и х м о д е л е й.................................... Г л а ва 8. О п р е д е л е н и е х а р а к т е р и с т и к с л у ч а й н ы х ф у н к ц и й по э к с п е р и м е н ­ тальны м данны м....................................................................................................... 8.1. О п р е д е л е н и е х а р а к т е р и с т и к с л у ч а й н о й ф у н к ц и и о с р е д н е н и е м по м н о ж ес тв у р е а л и за ц и й........................................................................ — 8.2. В л и я н и е о ш и б о к в и с х о д н ы х д а н н ы х................................................ 8.3. О ц е н к и х а р а к т е р и с т и к с т а ц и о н а р н ы х с л у ч а й н ы х ф у н к ц и й, о б л а д а ю щ и х э р г о д и ч е с к и м с в о й с т в о м.................................................2 0 8.4. О ц е н к а с п е к т р а л ь н о й п л о т н о с т и............................................................ 8.5. О ц е н к и х а р а к т е р и с т и к п е р и о д и ч е с к и к о р р е л и р о в а н н ы х с л у ­ ч а й н ы х п р о ц е с с о в........................................................................................... С писок литературы......................................................................................................................... 2 2 П редм етны й у казател ь.............................................................................................................22 Учебное пособие Д а в и д Ильич К азакевич О сновы тео р и и случайны х ф ун кций в зад ач ах ги д р о м етео р о ло ги и Р едактор С. С. С у д ак о в а. Х удож н и к Е. Е. Г ородн ая. Х у до ж ествен н ы й р е д а к т о р Б. А. Д е н и с о в с к и й. Т е х н и ч е с к и й р е д а к т о р Л. М. Ш иш кова.

К орректор Л. И. Х ром ова ИБ № Сдано в набор Подписано в печать М-17566. Формат Бумага 06.12.88. 30.03.89. 6 0 X 9 0 1/j g тип. № Гарнитура литературная. Печать высокая. Печ. л. Кр.-отт. Уч.-изд. л.

1. 14,5. 14,5.

Тираж экз. Индекс МОЛ-140. Заказ № Цена коп.

14,31. 2100 1261. •Гидрометеоиздат» 199226. Ленинград, ул. Беринга, 38.

Отпечатано в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ле­ нинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграф прома при Государственном комитете СССР по делам издательств полиграфии и книж­ ной торговли. 190000, Ленинград, Прачечный переулок, 6. С набора Ленинградской типографии № 2 головного предприятия ордена Трудового Красного Знамени Ле­ нинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союз полиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

Готов итс я к и з д а н и ю в 1989 г о д у м о н о г р а ф и я П О Л Я К А И. И.

«М н огом ерн ы е стати сти чески е м одели клим ата».

В книге рассмотрена теория аппроксимации систем временных рядов линейными моделями. Основное вни­ мание уделяется теоретической интерпретации зависи­ мости точности прогнозов от величин автокорреляций.

Кратко рассмотрены нелинейные и нестационарные модели, вопросы идентификации, анализирует стати­ стическая природа наблюдений за климатом. Подве­ дены итоги непараметрического спектрального и кор­ реляционного анализа климатических временных ря­ дов. Построено несколько десятков моделей климата с помощью наиболее полных из существующих аэроло­ гических и приземных температурных архивов. При­ водится анализ оценок их параметров.

Книга рассчитана на специалистов, занимающихся построением статистических моделей, климатологов.

Объем 15 л., цена 2 р. 60 к.

З а к а з ы п р о с и м н а п р а в л я т ь п о а д р е с у : 197101, Л е н и н г р а д, Б о л ь ш о й п р., д. 57, м а г а з и н № 15 « Л е н к н и г и ».

ГИ Д РО М ЕТЕО И ЗД А Т

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.