авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |

«М и н и с т е р с т в о о б р а зо в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф ед е р ац и и _Ф е д е р а л ь н о е а г е н т с т в о п о о б р а з о в а н и ю _ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ...»

-- [ Страница 3 ] --

е~ы = d - коэффициент пропускания лучистой энергии.

Часть излучения, поглощенного слоем среды, имеющим толщину z, определяется по формуле 1а = 1 - 1 х = 1 -1 е -а = Щ - е * х), I (3.31) где 1 - e_ Z = а - коэффициент поглощения лучистой энергии.

I E Зная показатель верти­ i.t) y t кального ослабления е и при­ няв количество лучистой энер­ гии (солнечной энергии при отвесном падении луча), па­ дающей на единицу водной поверхности, за 1 0 0 %, австрий­ ский ученый В. Шмидт рассчи­ тал, какая часть солнечной энергии для различных длин волн доходит до разных глубин (см. табл. 3.6).

Результаты наблюдений Рис. 3.3. Зависимость отношения IJ1 от глубины z для различных за проникающей радиацией, водоемов.

выполненных на различных 1 - оз. К р асави ц а, 2 - Ц и м л ян с к о е в о ­ водных объектах, приведены на д о х р а н и л и щ е, 3 - п р и б р е ж н ы й р а й о н рис. 3.3.

Ч е р н о го м о р я, 4 - оз. С еван.

Из рисунка видно, что убывание радиации с глубиной в оз. Красавица и Цимлянском во­ дохранилище происходит очень быстро. На глубине 1 м радиация составляет всего лишь сотые доли падающей на водную поверх­ ность. В оз. Севан и Черном море радиация проникает глубже, что объясняется повышенной прозрачностью этих водоемов.

Аналогичная картина наблюдается и в ледяном и снежном покровах. Длинноволновая радиация почти полностью поглощает­ ся в поверхностном слое льда и снега толщиной в несколько мил­ лиметров, коротковолновая солнечная радиация проникает на глу­ бину до 0,5 м. Мокрый снег непроницаем для солнечной радиации уже при толщине слоя 0,05 - 0,1 м.

Лучистая энергия Солнца, проникающая во встреченную среду (земную поверхность), повышает ее температуру. Земная поверхность, в свою очередь, излучает теплоту, определяемую по формуле (3.22). Разность между собственным излучением земной поверхности и поглощаемым ею встречным излучением атмосфе­ ры называют эффективным излучением земной поверхности - / эф.

Эффективное излучение зависит от температуры излучающей по­ верхности и воздуха, а также от его влажности и стратификации в приземном слое атмосферы.

Разность между поглощенной суммарной радиацией и эф­ фективным излучением земной поверхности называют радиаци­ онным балансом земной поверхности и записывают в следующем виде:

QR = I - h ф (3.32) или.

е * = ( 1 - Л Х п.р+?р.р)-/зф (3.33) где (бпр+З'рр) и / эф— суммарная солнечная радиация и эффек­ тивное излучение при облачности.

Интересно сопоставить радиационный баланс поверхности снега (льда) и воды.

Так как снег обладает большей отражательной способностью и, следовательно, малым поглощением солнечной радиации, то днем его радиационный баланс мал. Ночью снег интенсивно излу­ чает энергию, почти как черное тело, однако поступление тепла из нижерасположенных слоев незначительно из-за малой его тепло­ проводности. Поэтому поверхность снежного покрова сильно ох­ лаждается, что и приводит к малому тепловому балансу и ночью.

Таким образом, снежный покров является средой с малым радиа­ ционным балансрм.

Воды суши, наоборот, обладают большей поглотительной способностью, а также значительной теплопроводностью, обу­ словленной конвекцией и турбулентным перемешиванием. Поэто­ му положительный радиационный баланс воды днем достигает большой величины за счет поглотительной способности, а ночью поверхностный слой воды сохраняет сравнительно высокую тем­ пературу за счет- массообмена с нижележащими слоями. Это и обусловливает большой отрицательный радиационный баланс ночью.

Радиационный баланс льда занимает промежуточное поло­ жение: он меньше баланса воды, но больше баланса снега.

3.6. Количественная оценка теплоты при изменении агрегатного состояния вещ ества В природе встречаются среды, в которых при изменении их агрегатного состояния происходит либо поглощение теплоты, либо ее выделение. К таким средам следует отнести воду, снег, пар, мерзлый грунт.

Так, например, процессы испарения воды, возгонки льда и снега, таяния снега, льда и мерзлого грунта сопровождаются по­ глощением теплоты, а обратные процессы: замерзание воды, кон­ денсация и сублимация водяного пара - выделением теплоты. При переходе воды в пар поглощается теплота в количестве 2500 кДж/кг, а при обратном процессе - конденсации выделяется такое же количество теплоты. При переходе воды в лед выделяется 334 кДж/кг, а при обратном процессе - плавлении льда поглощается такое же количество теплоты. В процессах таяния льда и снега в смеси с поваренной солью и другими химическими веществами настолько сильно поглощается теплота, что температура непосред­ ственно окружающей среды может быть понижена до - 30 °С.

В теории теплопередачи случай, когда происходит выделе­ ние теплоты рассматриваемой средой в окружающее ее простран­ ство, принято Называть источником, а случай, когда происходит поглощение теплоты этой среды из окружающего пространства, стоком. Количество теплоты характеризуется интенсивностью тепловыделения или теплопоглощения и зависит от мощности ис­ точников и стоков.

1. Количественная оценка теплообмена при испарении воды.

Количество теплоты, теряемой водой при ее испарении (теплоот­ дача в атмосферу) или приобретаемой при конденсации, в расчете на единицу площади поверхности, определяется по формуле Qn=LnPE, (3.34) где 2 И в Вт/м2;

Ьи - удельная теплота испарения (теплота конден­ сации) воды;

р - плотность воды;

Е - слой испарившейся (скон­ денсировавшейся) воды в единицу времени.

Удельная теплота испарения (парообразования) воды рас­ считывается по формуле (2.16, глава 2). Для практических целей в диапазоне температуры воды от 0 до 30 °С ее принимают прибли­ зительно равной 2500 кДж/кг. Это значение позволяет определять теплопотери вследствие испарения с погрешностью не более 3 %.

Для расчета слоя испарившейся воды Е разработано большое число формул. Наибольшее распространение получили формулы Б.Д. Зайкова, А.П. Браславского и З.А. Викулиной, ГГИ (Государ­ ственный гидрологический институт). Количество теплоты, теряе­ мое водой при испарении, определяемом, например, по формуле Б.Д. Зайкова, с использованием выражения (3.34) можно оценить следующим образом:

2 И= 4Д(1 + 0,72w2)(eo - е 2), (3.35) где w2 - скорость ветра на высоте 2 м над поверхностью воды;

е0 давление насыщенного водяного пара в воздухе при температуре ис­ паряющей поверхности;

е2 - парциальное давление водяного пара на высоте 2 м.

При оценке испарения по формуле А.П. Браславского и С.Н. Нургалиева количество теплоты, теряемое водой, может быть определено по выражению еи =4,l[l +0,8w2+/(Д0](ео- е 2), (3.36) гдеДА0 - функция, учитывающая влияние на испарение разности температуры поверхности воды и воздуха.

2. Количественная оценка теплообмена при замерзании воды.

Количество теплоты, выделяемой объемом воды с единич­ ной площадью поверхности в окружающую среду при ее замерза­ нии или приобретаемой из окружающей среды при обратном про­ цессе, т. е плавлении льда и снега, определяется по формуле Оср=АфРй, (3.37) QKв Вт/м2;

- удельная теплота кристаллизации воды где (удельнаятеплота плавления льда - L ^ ) (п..1 );

р - плотность воды;

h - слой кристаллизующейся воды в единицу времени.

Удельная теплота кристаллизации соленой воды (морской) и равная ей теплота плавления соленого льда сильно зависят от их солености и уменьшаются с ее ростом.

Таяние и промерзание почвогрунтов также сопровождаются изменением агрегатного состояния содержащейся в них воды. Ре­ шение этой задачи предложено австрийским физиком И. Стефа­ ном, оно приводится в главе 5, п. 5 А 3.7. Количественная оценка теплопередачи Для примера рассмотрим теплопередачу от воды к воздуху через горизонтально расположенную стенку при стационарном режиме.

Тепловые потоки - подходящий к нижней поверхности и уходящий от верхней поверхности стенки - определим по закону Ньютона (3.16), записанному следующим образом:

- от воды к стенке 2 = а 1^0в -'п.„) Р-38) - от стенки к воздуху Q = a 2F (tns - 0 ), (3.39) где Q - тепловой поток через стенку площадью F;

ai и а2 - коэф­ фициенты теплоотдачи соответственно от воды к стенке и от стен­ ки к воздуху;

tB и 0 - температура окружающих сред (соответст­ венно воды и воздуха);

tnH и tnB - температура соответственно нижней и верхней поверхностей стенки.

Тепловой поток через стенку, определяемый молекулярной теплопроводностью, найдем по закону Фурье (3.10), записанному в конечных разностях:

Q = (X/8 )F(tn„ - t nJ, (3.40) где X - коэффициент теплопроводности материала стенки;

8 толщина стенки.

Рет и в уравнения (3.38) - (3.40) относительно разности тем­ ператур, найдем:

Складывая почленно левые и правые части системы (3.41) и имея в виду, что q = Q /F есть удельный тепловой поток, получим tB-Q = q( 1/оц+8/А, + 1/а2), (3.42) откуда найдем ? = ('в - е ) /( 1 /а 1+ 5 А + 1/а2). (3.43) Знаменатель выражения (3.43) носит название термического сопротивления системы (в нашем случае система вода - стенка воздух) и обозначается индексом R:

Л = 1 /а !+ 5 Д + 1/а2. (3.44) Слагаемые 1/а! и 1/а2 называются внешними термическими сопротивлениями, а 8 /Х, - термическим сопротивлением стенки.

Величина, обратная термическому сопротивлению, носит название проводимости или коэффициента теплопередачи:

* = -j- = l/( l/a,+ 5 A + l / a 2). (3.45) К Формула (3.43) для удельного теплового потока от воды к воздуху с учетом коэффициента теплопередачи К примет вид q = K (tB- Q ) (3.46) тогда общий поток через поверхность F Разность значений температуры /в - 0 в этой формуле назы­ вают температурным напором.

Из формулы (3.47) следует, что если необходимо увеличить теплоотдачу Q, то нужно уменьшить термическое сопротивление стенки и, наоборот, для уменьшения теплоотдачи - увеличить его.

В нашем примере передача теплоты от воды к воздуху осу­ ществляется только через один слой. Однако часто встречаются случаи передачи теплоты и через многослойные стенки, например, через стенку трубопровода с несколькими теплоизоляционными слоями. Для такого случая в формулы (3.43) - (3.45) следует вве­ сти термическое сопротивление многослойной стенки 5,/Х,-.

Если рассматривается тепловой поток только через много­ слойную стенку, изолированно от воды и воздуха, то в уравнениях (3.43) - (3.45) внешние термические сопротивления 1/а( будут.

отсутствовать, а разность значений температуры будет опреде­ ляться температурой нижней и верхней поверхностей стенки.

Формула (3.43) предназначена для расчета плотности тепло­ вого потока через стенку, материал которой не меняет свое агре­ гатное состояние. В нашей же практике встречаются задачи, когда стенкой является ледяной покров, материал которого меняет свое агрегатное состояние. В этом случае теплота, приходящая от воды ко льду, будет расходоваться на таяние его и за границу раздела вода - лед (в толщу льда) не пройдет. Поэтому в формулах (3.43) и (3.44) слагаемое — следует исключить.

а, 3.8. Дифференциальное уравнение теплопроводности Рассмотренные выше основные закономерности тепловых процессов, протекающих в природе, описывают стационарные температурные поля. Однако часто приходится сталкиваться с не­ стационарными температурными полями, т. е. с такими полями, значения температуры которых меняются в каждой точке во вре­ мени. Для них закон Фурье и другие, о которых сказано раньше, справедливы, если рассматривать их в каждый момент времени.

Тепловой процесс, протекающий во времени, можно описать диф­ ференциальным уравнением. Такое уравнение получил Фурье;

в настоящее время оно названо его именем. В основе этого урав­ нения лежит закон сохранения энергии, который в рассматривае­ мом случае может быть сформулирован следующим образом: ко­ личество теплоты, введенное в элементарный объем извне за вре­ мя dx, вследствие теплопроводности равно изменению внутренней энергии вещества (энтальпии), содержащегося в этом объеме. Ни­ же приведем вывод этого уравнения.

Выделим в однородном и изотропном твердом теле (в сис­ Z теме декартовых координат х, у, z) элементарный параллеле­ пипед с гранями dx, dy, dz (рис.3.4) и рассмотрим баланс теплоты для этого объема.

В пределах выделенного объе­ ма температура меняется в трех направлениях, соответственно по осям х, у, z.

Следовательно, через три грани рассматриваемого парал­ лелепипеда в направлении трех осей будет входить количество Рис. 3.4. Схема к выводу дифферен­ теплоты, равное Qx, Q3, Q5 и, циального уравнения теплопровод­ соответственно, через три проти­ ности.

воположные грани будет выхо­ дить количество теплоты, равное Q2, QA, Q6.

Если количество теплоты, входящее в выделенный элемен­ тарный объем, не равно выходящему из него, то произойдет изме­ нение энтальпии этого объема, которое обозначим через Q1.

Составим уравнение теплового баланса для выделенного объема вещества:

+б2 +б3 +б4 +б5 + б6 = б7 • (3.48) Определим составляющие этого уравнения. Согласно фор­ муле (3.11), имеем:

2i = qxdydzdx, dx Q3 = qydxdzdx, dq (3.49) Qa = ~i.4 v "l---- dy)dxdzdx, dy Q5 = qzdxdydi, dz Согласно формуле (3.1), Q1 = cpdxdydz — dx. (3.50) dx В уравнениях (3.49) и (3.50) qx, qy, qz - удельные тепловые потоки через грани соответственно в направлении осей х, у, z;

dqx/ d x, dqy j d y, dqz / d z - изменение удельных тепловых потоков внутри вы­ деленного объема по осям х, у, z;

dt/dx —изменение температуры этого объема за время dx.

Решая совместно уравнения (3.48) - (3.50), одновременно проведя деление каждого слагаемого на dx, dy, dz, dx и на ср, полу­ чаем dcix | dqy | d(i ^ (3.51) ср dx dx dy dz J Выразим удельные тепловые потоки в уравнении (3.51) со­ гласно закону Фурье (3.10). Тогда (3.52) или d^_ (dh_ d4_ aV dt dt dt (3.53) dx ~ \ d x 2 + d y 2 + d z 2 j ’ где а = Я,/(СР )- коэффициент температуропроводности.

Уравнение (3.53) носит название дифференциального урав­ нения теплопроводности в декартовых координатах.

Обозначив 4 + + - V ’,, ( 3,4 ) дх ду dz д2 д н 2 Л 2 ~ оператор Лапласа, получим более ко где V = ---- --- дх1 ду2 dz роткую запись уравнения теплопроводности:

dt/dx = aV 2 t. (3.55) Дифференциальное уравнение теплопроводности (3.53) можно представить и в цилиндрических координатах, если ввести следующие соотношения, связывающие декартовы и цилиндриче­ ские координаты:

z =z, x = rcos(p;

j;

= rsin(p;

(3.56) где г - радиус, ф - полярный угол.

В цилиндрических координатах оно имеет вид dt д^_ I dt\_ tft_ д2^ — =а (3.57) дх дг2 г дг г 2 Эф2 dz Уравнение (3.53) описывает нестационарное пространствен­ ное температурное поле. Для нестационарного двухмерного тем­ пературного поля оно имеет вид dt/dx = a(d2t/dx2 + d2t/dy2), (3.58) а для нестационарного одномерного dt/dx = a d 2t/dx2. (3.59) Если наблюдается температурное поле с неменяющейся температурой по времени, т.е. dt/dx = 0, то дифференциальное уравнение теплопроводности (3.53) принимает вид уравнения Ла­ пласа:

d2tj дх2 + d2t/d y 2 + d2t/dz2 = 0. (3.60) Соответственно для двухмерного температурного поля d2t/dx2 + d2t!dy2 = 0, (3.61) для одномерного d2t/dx2 = 0. (3.62) Температурные поля, описываемые уравнениями (3.60) (3.62), носят название стационарных температурных полей, т.е.

полей, не меняющихся с течением времени. Из этих уравнений следует, что температурные поля тел при стационарном режиме не зависят от коэффициента температуропроводности а и, следова­ тельно, от коэффициента теплопроводности X.

3.9. Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты При выводе уравнения теплопроводности (3.53) предполага­ лось отсутствие внутренних источников или стоков теплоты. Од­ нако есть среды, внутри которых могут протекать те или иные процессы с выделением (источник) или поглощением (сток) тепло­ ты. К таким средам, как уже отмечалось выше (п. 3.6), относятся вода, лед, снег, пар, а также металлы, бетон, химические и другие вещества. Процесс испарения воды, таяния льда и снега сопровож­ дается поглощением теплоты, а обратный ему процесс - замерза­ ние воды выделением теплоты;

прохождение лучистой энергии сквозь прозрачную среду и электрического тока по проводникам сопровождается их нагреванием;

растворение в воде или выделе­ ние из раствора осадка многих химических веществ также сопро­ вождается поглощением или выделением теплоты, например, за­ твердевание цементного раствора сопровождается выделением теплоты и так далее. При этом теплота источника или стока может зависеть не только от координат тела, но и от его температуры и ее распределения в теле.

При наличии источника или стока уравнение теплового ба­ ланса (3.48) должно быть дополнено еще одним членом, учиты­ вающим их теплоту, а именно:

Q%= Wdxdydzdc, (3.63) где Qs - количество теплоты, выделенное или поглощенное сре­ дой в объеме дхдудг за время dr;

W - интенсивность источника или стока теплоты, определяемая, например, по формулам (3.31), (3.34) и (3.37).

С учетом дополнительного члена (3.63) уравнение теплопро­ водности (3.53) запишем в следующем виде:

d2t d2t d2t dt +— W (3.64) — =а ср дх дх2 ду2 dz или dt aVг.t + — W.

„ 1 (3.65) дх ср В том случае, когда в среде имеют место поглотители (сток) тепловой энергии, перед вторым слагаемым правой части уравне­ ния следует ставить знак минус.

3.10. Условия однозначности Полученное выше дифференциальное уравнение теплопро­ водности описывает явление передачи теплоты в самом общем ви­ де. Чтобы решить с помощью этого уравнения конкретную задачу, отличающуюся какими-либо условиями от сотни других задач, необходимо сформулировать для нее еще и так называемые усло­ вия однозначности.

Условия однозначности состоят:

1) из геометрических условий, характеризующих форму и размеры тела или системы тел, в которых протекает тепловой про­ цесс;

2) из физических условий, характеризующих физические свойства рассматриваемой среды и тела;

3) из временных условий, характеризующих распределение температуры в рассматриваемой среде или теле в начальный мо­ мент времени. По этой причине эти условия называют еще и на­ чальными условиями;

4) из граничных условий, характеризующих взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей его средой.

Из перечисленных условий первые два не требуют дополни­ тельных пояснений;

вторые же два условия, так называемые крае­ вые условия, рассмотрим более подробно.

Начальные условия заключаются в задании распределения поля значений температуры в начальный момент времени (х = 0).

Они должны быть заданы в виде функций:

1) /т=0 = / (х, у, z) - для пространственной задачи, 2) tT=0 = / 2(х, у) - для плоской задачи, 3) tx=0 = / 3(х) - для линейной задачи.

В большинстве случаев эти условия могут быть заданы с достаточной определенностью в виде конкретной функции, таб­ лицы или в форме графика.

Граничные условия задаются в более сложном виде. При ре­ шении задач теплопроводности принято различать четыре наибо­ лее часто встречающихся способа задания граничных условий, так называемые граничные условия первого, второго, третьего и чет­ вертого рода.

1. Граничные условия первого рода заключаются в том, что задается температура во всех точках поверхности тела в течение времени т:

tn = f 4 ( X J, Z, т), (3.66) где X, Y, Z - координаты поверхности.

2. Граничные условия второго рода заключаются в том, что задается удельный тепловой поток по закону Фурье через поверх­ ность тела в течение времени х:

qn = —A.dt/dn. (3.67) Как и в предыдущем случае, эта функция может быть произ­ вольной и непрерывной:

Чп= fs (X, Y, Z, т ). (3.68) 3. Граничные условия третьего рода заключаются в задании температуры поверхности тела и окружающей его среды и задании теплообмена (коэффициента теплоотдачи) между поверхностью этого тела и окружающей средой по закону Ньютона (3.38) или (3.39), а в некоторых случаях и по (3.38) и по (3.39) одновременно.

Таким образом, количество теплоты, отдаваемое (или получаемое) единицей поверхности с температурой tn за единицу времени в окружающую среду с температурой tc, прямо пропорционально разности температуры поверхности и окружающей среды:

4 п = а ('п -Л )- (3-69) Количество теплоты, отдаваемое (или получаемое) поверх­ ностью в окружающую среду и определяемое по формуле (3.69), должно быть равно количеству теплоты, подводимому к этой по­ верхности за счет теплопроводности, которое определяется по за­ кону Фурье (3.67). Приравняв эти потоки, получим новое выраже­ ние для задания граничных условий третьего рода:

а dt (3.70) дп dt где - градиент температуры у поверхности и по нормали к ней.

дп В условии (3.70) должны быть заданы коэффициент тепло­ отдачи а и температура окружающей тело среды tc.

4. Граничные условия четвертого рода заключаются в том, что задается равенство температуры на поверхности раздела двух тел или тела с окружающей средой при подходе к ней с двух сто­ рон, а также удельных тепловых потоков по закону Фурье в пред­ положении, что между этими телами осуществляется идеальный контакт, т. е.

— ч Л ЙП хД (3.71) п дп 2 дп dtx и д*п где градиенты температуры у поверхности раздела дп дп двух тел (по обе стороны от нее).

Второе условие (3.71) также означает, что задается отноше­ ние тангенсов угла наклона температурных кривых к нормали в точке соприкосновения двух тел или тела с окружающей средой:

tg(p,/tgcpn = Х2/Х 1 = const. (3.72) Возможны и другие способы задания граничных условий, помимо перечисленных выше [42].

3.11. М етоды реш ения задач Для решения задачи о распределении температуры в преде­ лах заданного поля и в расчетный период времени с помощью по­ лученных выше уравнений помимо краевых условий необходимо располагать методом решения этих уравнений.

За 160 лет со времени выхода в свет «Аналитической теории тепла» - классической работы Фурье - теория теплообмена обога­ тилась рядом таких методов. Первый из них был предложен самим Фурье и известен как «решения в рядах Фурье».

Все эти методы могут быть распределены по следующим группам: аналитические, конечных разностей (графический, чис­ ленный), исследования температурных полей на моделях (физиче­ ский), аналоговых и счетных машин.

Каждый из методов при решении практических задач имеет свои преимущества и недостатки. Одни методы пригодны только для решения задач с одномерными температурными полями и встречают затруднения при двухмерных и невозможны при про­ странственных температурных полях, другие, наоборот, должны пользоваться преимуществами при изучении пространственных температурных полей.

К настоящему времени наиболее разработаны методы реше­ ния уравнения теплопроводности для одномерных задач, как раз тех задач, с которыми преимущественно имеют дело гидрологи и гидротехники.

Аналитические методы решения уравнения теплопроводно­ сти состоят в том, что, пользуясь полной математической формули­ ровкой задачи, находят ее аналитическое решение. При этом следу­ ет искать уже готовое решение, а не новое. Для этого необходимо обратиться прежде всего к монографиям Г. Карслоу и Д. Егер, А.В. Лыкова и др., в которых приведен набор решений различных задач. При отсутствии готового решения целесообразно попытаться найти его в виде суммы (комбинации) имеющихся решений, поль­ зуясь известным принципом суперпозиции (глава 6, п. 6.5). Досто­ инством этих методов является точность решений;

она зависит лишь от точности закладываемых исходных данных и точности производимых вычислений. При решении задачи возможно исполь­ зование ЭВМ. Температура рассчитывается для любой точки тела и для любого момента времени независимо от расчетов за предшест­ вующие интервалы времени. Недостатком является ограниченность круга задач, для которых могут быть получены решения.

Метод конечных разностей состоит в том, что в дифферен­ циальном уравнении теплопроводности, которое следует решить, все бесконечно малые разности (дифференциалы) заменяются ко­ нечными, но малыми разностными величинами. Следовательно, истинное непрерывное в пространстве распределение температуры и непрерывный во времени ход температуры заменяются прибли­ женными прерывистыми значениями, осредняющими температуру конечных малых участков тела Ах, Ay, Az и малых промежутков времени Ат. Достоинством метода является возможность решить весьма сложные задачи, в том числе для тел сложной формы. Ме­ тод позволяет использование ЭВМ. К недостаткам метода отно­ сятся: отсутствие общего решения задач;

необходимость произ­ водства вычислений для всего тела и для всего периода, предшест­ вующего моменту времени, для которого производится вычисле­ ние температуры, трудоемкость метода.

Метод исследования температурных полей на моделях (фи­ зическое моделирование) является экспериментальным методом решения теплотехнических задач. Он опирается на теорию подо­ бия и применяется в тех случаях, когда аналитические и другие методы не могут дать ответ. Суть метода состоит в том, что иссле­ дование процессов и явлений, протекающих в изучаемом объекте, заменяется: исследованием их протекания на его модели. Данные, полученные на модели, позволяют судить о тех же процессах и явлениях, протекающих на объекте. Существенным достоинством данного метода является возможность решения сложных задач и исследования недоступных объектов.

Метод аналоговых и счетных машин (метод аналогий) со­ стоит в том, что решение тепловой задачи заменяют уже имею­ щимся решением задали другой физической сущности, в которой уравнения и краевые условия совпадают с первой задачей, хотя размерности у них различны (глава 4, п. 4.5 - метод ЭТА).

Решения задач перечисленными методами для стационарных и нестационарных температурных полей рассматриваются в сле­ дующих двух главах.

3.12. О пределение коэффициента теплопроводности Коэффициент теплопроводности, характеризующий способ­ ность вещества проводить теплоту, может быть определен по фор­ муле (3.11), в конечных разностях имеющей вид X = Q l(F A t/M ). (3.73) Из формулы (3.73) следует, что коэффициент теплопровод­ ности численно равен количеству теплоты, которое проходит в единицу времени через единицу изотермической поверхности при единичном градиенте температуры. Он определяется экспери­ ментальным путем. В настоящее время разработаны методы опре­ деления коэффициента X как при нестационарном, так и при ста­ ционарном тепловом режиме. При стационарном режиме, когда температура в любой точке тела остается неизменной с течением времени ( dt/dx = 0), определить коэффициент теплопроводности технически сложнее, но результаты опыта получаются точнее, чем при нестационарном режиме. В последнем случае нет необходи­ мости беспокоиться о влиянии на температурное поле краевых эффектов, т. е. нет необходимости сведения задачи к одномерной.

Итак, пусть требуется определить коэффициент теплопро­ водности X однородного и изотропного материала (обладающего одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям) в условиях стационарной задачи. Для этого необходимо восполь­ зоваться экспериментальной установкой, схема которой приведена на рис. 3.5. Она состоит из цилиндра 1, в который помещается ис­ следуемый материал в виде пластины 7. Вокруг пластины 7 уло­ жена теплоизоляция 6. Для создания одномерного потока от ос­ новного нагревателя 4 под теплоизоляцией 6 располагается охран­ ный нагреватель 5. Чтобы исключить тепловой поток от нагрева­ теля 4, направленный вниз, под ним за теплоизолятором 3 распо­ ложен охранный нагреватель 2. Для увеличения температурного перепада в исследуемом образце над ним располагается холодиль­ ник 8.

Измерение температуры на поверхностях образца осуществ­ ляется термопарами 9 я 10, а на поверхностях теплоизолятора 3 термопарами 11 и 12. Количество теплоты Q, проходящее через исследуемый материал от основного нагревателя 4, определяется по данным измерения силы тока и напряжения в цепи этого нагре­ вателя. Эти характеристики регулируются реостатом, включенным в его цепь. Тепловой режим от дополнительных нагревателей так­ же регулируется реостатами.

7 S ZZZZZZ2ZZ2Z2ZZZS^ ZZZZ2Z2Z27;

у / Т ///;

;

.

'" 7...... 7....../..... / 3 2 Рис. 3.5. Схема установки для определения коэффициента теплопровод­ ности при стационарном режиме.

После того как будут осуществлены все измерения, коэффи­ циент теплопроводности определяется по формуле (3.74) X = Q$/[F(t2-/,)], где 5 и F - толщина и площадь исследуемого образца;

/, и t2 температура соответственно на верхней и нижней поверхностях образца.

3.13. Определение коэффициента температуропроводно сти методом регулярного режима В п. 3.12 отмечалось, что определение термических ха­ рактеристик выполняются при стационарном и нестационар­ ном тепловом режиме. Метод регулярного режима предусмат­ ривает определение термиче­ ской характеристики при неста­ ционарном тепловом режиме.

Понятие регулярного ре­ Рис. 3.6. График определения жима было введено Г.М. Конд­ темпа охлаждения тела.

ратьевым при изучении тепло­ /, II, III — стадии охлаждения тела. обмена тел в среде с постоян­ ной температурой. Установле­ но, что процесс охлаждения однородного и изотропного тела раз­ личной геометрической формы можно разделить на три стадии (рис. 3.6). Первая стадия режима охлаждения - неупорядоченная стадия (скорость изменения температуры внутри тела зависит от вида начального распределения температуры). Вторая стадия (ре­ гулярный режим) - процесс охлаждения определяется условиями на границе тела и окружающей его среды, физическими свойства­ ми тела, его геометрической формой и размерами. На третьей ста­ дии (стационарный режим) температура во всех точках тела равна температуре окружающей среды.

Процесс охлаждения тела при регулярном режиме может быть описан формулой & = Се~т, (3.75) где & - так называемая избыточная температура, равная разности между температурой тела t и температурой окружающей среды tc;

С - постоянный коэффициент, определяемый начальными условия­ ми;

т - темп изменения температуры в данной точке тела;

т - время.

Из формулы (3.75) видим, что температура тела убывает во времени по экспоненциальному закону.

Продифференцируем выражение (3.75) по времени, получим д ^ д х = -т С е ~тт. (3.76) Решив совместно (3.76) и (3.75), найдем дЗ/Зт = -m 3 (3.77) или, разделив переменные, 991§ = -т д г. (3.78) Интегрирование уравнения (3.78) дает выражение для нахо­ ждения темпа охлаждения (нагревания) 1п&2)/(т2 — = т.

(lndj — т,) (3.79) При наступлении регулярного режима темп охлаждения не зависит ни от координат, ни от времени и является величиной по­ стоянной для всех точек тела. Установлено также, что если коэф­ фициент теплоотдачи а — °о, то имеет место соотношение »

я =,/я, (3.80) где а - коэффициент температуропроводности;

к, - коэффициент пропорциональности (коэффициент формы), определяемый фор­ мой и геометрическими размерами тела. Этот коэффициент для различной формы тел можно рассчитать по формулам. Например:

для шара k ^ lK n /R f, (3.81) для цилиндра конечной длины 2 =1/[(2,405/Л)2 + ( V 0 2L (3-82) для параллелепипеда къ =1/[(п/11) 2 +(п/12) 2 + (п/13)2], (3.83) где R - радиус шара или цилиндра;

I - длина цилиндра;

/,, /2, /3 длина сторон параллелепипеда.

Решив совместно уравнения (3.80) и (3.79), найдем, а = ki (In S j-1п&2)/(т2- X j).

|. (3.84) Таким образом,'чтобы определить коэффициент температу­ ропроводности изучаемого тела а, необходимо в эксперименте найти два значения избыточной температуры 9, и Э2, относящие­ ся соответственно к моментам времени т, и х2 • Схема экспериментальной установки для определения коэф­ фициента температуропроводности приведена на рис. 3.7. Она со­ стоит из сосуда с водой 1, где происходит процесс охлаждения те­ ла 2, помещенного в шаровой сосуд из теплопроводного материала (меди) и нагретого предварительно в термостате, термопары 3, один спай которой помещен внутрь исследуемого тела, а второй находится в охлаждающей жидкости, мешалки 4.

После измерения темпе­ ратуры тела t и окружающей среды tc строится кривая изме­ нения температуры во времени в координатах 1п&, г (см. рис. 3.6). На участке кри- j вой, где 1пЭ линейно зависит от х (соответствует регулярно- j му режиму охлаждения), опре- j деляем угловой коэффициент т Рис. 3.7. Схема установки Затем рассчитываем коэффици­ для определения коэффициента температуропроводности. ент температуропроводности а по формуле (3.84), предвари­ тельно определив,• по формуле (3.81).

3.14. О пределение коэффициента температуропроводности по полевым наблюдениям Нередко возникает необходимость определения коэффици­ ента температуропроводности почвогрунта, снега, льда и других материалов в полевых условиях. Эту задачу можно осуществить, организовав наблюдения за температурой по глубине изучаемой толщи (рис. 3.8). При этом получают интегральное значение коэф­ фициента температуропроводности, отражающего температуро­ проводность изучаемой толщи как многофазной среды, и предпо­ лагается, что имеет место только молекулярная теплопроводность.

Рис. 3.8. Схема расположения по глубине точек наблюдения за температурой.

I, I I —слои, на границах которых измеряется температура;

1, 2 - кривые хода температуры по глубине в моменты времени т, и т2.

Воспользуемся уравнением теплопроводности для нестацио­ нарного одномерного температурного поля (3.59), записанного в конечных разностях:

At/Ax = aA2t/A z2. (3.85) Это уравнение можно переписать следующим образом:

Al A tr (3.86) /A z, Az Az откуда At (3.87) Az Az где Az - шаг по глубине толщи грунта;

t и - температура на глубине z соответственно в моменты времени х, и х2 ;

t2i'll - t*Z &,T At ~ Z \ и Al ^Z Z +A jt! ^z,t Л традиенты темпера­ Az Az Az Az туры в выше (I) и нижележащем (II) слое по отношению к гори­ зонту z в момент времени Tj. Из формулы (3.87) видно, что для оценки коэффициента температуропроводности а для данного грунта необходимо измерить температуру на трех горизонтах толщи. В этом эксперименте следует обратить внимание на харак­ тер теплового процесса: в период наблюдений он должен отвечать условиям охлаждения или нагревания.

С А И Н Р О ТМЕАУНЕ О Е Т Ц О А Н Е ЕПРТРО П Л 4.1. Одномерное стационарное температурное поле Однослойное плоское тело. Начнем рассмотрение задачи о распределении температуры в теле при стационарном режиме с аналитического метода.

Условимся под однослойным плоским телом понимать всякое тело, имеющее ограниченные размеры по высоте (тело, имеющее тол­ щину) и неограниченные размеры по двум другим направлениям (в плане). Такое тело носит название пластины. В наших задачах в ка­ честве однослойного плоского тела могут быть приняты ледяной или снежный покровы, слой почвогрунта или воды, стенки гражданских и промышленных сооружений.

Рассмотрим плоское тело толщиной 8, направление которой совпадает с осью z декартовой системы координат, и неограничен­ ного протяжения по направлению двух других осей х и у.

Пусть на поверхностях тела поддерживается постоянной температура tx и t2 (стационарная задача).

При стационарном тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной. Поэтому в дифференциальном уравнении теплопроводности без источников и стоков теплоты (3.53), которое позволяет определить температуру в зависимости от времени и координат в любой точке поля, производная dt/dx = 0. В связи с этим обстоятельством, а также ввиду того, что рассматривается одномерная задача, температура изучаемого тела будет функцией только одной координаты. Поэтому уравнение (3.53) запишется в виде уравнения (3.62):

d 2t/ dz2 = 0. (4.1) Интегрирование этого уравнения приводит к следующим ре­ шениям:

dtj dz —Cj, dt —С, d z, (4-2) t = Cxz + C2, (4.3) где Cx и C2 - постоянные интегрирования, которые могут быть определены при граничных условиях первого рода, названных выше, т. е.:

1) при z = 0 t = U, '* 1 (4.4) 2) при z = 8 t = t2.

Из уравнения (4.3) видно, что распределение температуры по координате z подчиняется закону прямой. Если это распределе­ ние изучается в ледяном покрове, то t\ t2. Тепловой поток в этом случае направлен снизу вверх в сторону уменьшающихся значений температуры.

Подставив первое граничное условие из системы (4.4) в уравнение (4.3), получим С2 =Ц, (4.5) а, подставив второе, с учетом равенства (4.5) t2 = Cx8 + tx, (4.6) откуда Q = ( '2 - 0 / 5. (4.7) С учетом постоянных интегрирования Сх и С2 уравнение (4.3), представляющее собою прямую, примет вид t = tl + z(t2 - t l)lb. (4.8) Уравнение (4.8) определяет распределение температуры по толщине однослойного плоского тела.

При втором граничном условии (4.4) уравнение (4.8) можно представить в виде равенства ifг ~ h )/8 — )/5 (4-9) из которого, заменив левую часть по закону Фурье (3.10), получим:

q/X = —{t2 — )/8 = (/[ — )/ ?i (4.10) или удельный расход теплоты через однослойное плоское тело (4.11) q = X(tl - t 2)l b.

Многослойное плоское тело. Рассмотрим теперь плоское тело, состоящее из п слоев толщиной 5,,52,..., 8„ и с коэффици­ ентами теплопроводности Хх,Х 2,... Д л. Слои тела плотно при­ жаты друг к другу. Прообразом такого многослойного плоского тела (многослойной стенки или толщи) может высту­ пать, например, снежно­ ледяной покров (рис. 4.1).

При граничных условиях первого рода должна быть задана температура на по­ верхностях многослойного тела: на поверхности снега - tx и на нижней поверх­ ности льда - t +1. Задачей Рис. 4.1. Т еплоп ровод ность в этом случае является ус­ м ногосл ой н ой т олщ и тановление температуры при гр ан и чн ы х услови ях первого рода.

на границах каждого слоя и расхода теплоты через всю многослойную толщу. При трех­ слойной толще, как в нашем примере, должна быть задана темпе­ ратура tx и tA, а отыскивается t2 и ?3.

Если в слоях толщй нет источников и стоков теплоты, то, по закону сохранения энергии, теплота, вошедшая в первый слой, должна пройти все слои толщи без ее увеличения и потерь.

Для решения поставленной задачи нет необходимости воз­ вращаться к общему уравнению теплопроводности при стационар­ ном режиме (4.1). Для этого достаточно воспользоваться решени­ ем (4.11). Согласно уравнению (4.11), для каждого слоя толщи, состоящей из п слоев, можно записать:

= (^-2/ ^ 2)(^2 (4 12) 7 з)’ 4 = { ^ J ^ n) { t n - t n+1).

Перепишем систему уравнений (4.12) относительно разности значений температуры в каждом слое:

Ч ~ ^2 = h ~ h = ? S 2/A,2, (4 13) ^п ~ ^и+ —9 K I K • Складывая почленно левые и правые части системы (4.13), по­ лучаем:

=^(5iAi +5г/^2 +-- + 5иАл).- (4-14) h ~ {п+\ Из этой формулы определим выражение для удельного теп­ лового потока многослойного плоского тела:

_^+i)/(SiA1+52Д2+":- +5л п А )- (4-15) Я= Это выражение было получено нами ранее при рассмотре­ нии оценки теплопередачи (глава 3, п. 3.7) в виде 4Л где i - номер слоя.

Решая уравнение (4.14) относительно температуры /и+1, по­ лучаем ^ i = ^ - ? ( 5, A, + 5 2A 2 +... + 5 „ A J. (4.17) Внутри слоя температуру необходимо считать по формуле (4.8). Используя выражение (4.17), можно найти температуру на границе между интересующими нас слоями толщи. В данном слу­ чае под индексом п необходимо подразумевать номер z-го слоя толщи, для внутренней границы которой отыскивается температу­ ра. Например, температура на границе между первым и вторым слоями толщи (4.18) t2 = t x- q ( p j \ ), а между вторым и, третьим (4.19) h~ h + S 2/A,2).

Здесь в первом случае п +1 = 2, а во втором случае п +1 = 3.

Удельный тепловой поток q определяется по выражению (4.15) при заданных граничных условиях первого рода.

Ход температуры внутри многослойной плоской толщи представляет собой ломаную линию. Внутри каждого слоя темпе­ ратура изменяется по прямой, согласно уравнению (4.20) где z;

- расстояние внутри рассматриваемого г-го слоя от поверх­ ности предыдущего слоя, температура на границе между которы­ ми равна tj.

4.2. Одномерное стационарное температурное поле с внутренним источником теплоты В главе 3, п. 3.9 отмечалось, что в ряде случаев внутри объ­ ема рассматриваемого тела появляется или расходуется теплота за счет внутренних источников или стоков. При этом количество вы­ деленной или поглощенной теплоты зависит от интенсивности ис­ точника или стока W.

Рассмотрим задачу, связанную с оценкой распределения температуры внутри неограниченного плоского тела толщиной при наличии источников, равномерно распределенных по всему объему (рис. 4.2). Пусть температура на поверхностях тела одина ковая, равная tn, коэффициент теплопроводности тела X. Для решения поставленной задачи воспользуемся дифференциаль­ ным уравнением теплопроводно­ сти (3.64), которое при стацио­ нарном режиме теплообмена примет вид Рис.4.2. Теплопроводность плоского d 2i / dz2 + W/X = 0. (4.21) тела с внутренним источником теплоты.

Первое и второе интегрирование этого уравнения соответ­ ственно дают:

dt W ^ = - f z + C1;

(4.22) dz К W z t = - ^ ? - + Cxz + C2., (4.23) A L Разместим начало координат системы на оси симметрии стенки. Тогда, поскольку граничные условия первого рода для обеих сторон тела одинаковы:

при z = ±5 t = tn, (4.24) то температурное поле внутри тела должно быть симметричным относительно оси z. Эта особенность распределения температуры по толщине плоского тела позволяет записать дополнительное ус­ ловие:

при z = 0 d t/d z - 0. (4-25) Определим теперь постоянные интегрирования Сх и С2 при условиях (4.24) и (4.25).

Из выражения (4.22) при условии (4.25) получаем Сх = 0. Из выражения (4.23) при условии (4.24) получаем W Cl=tn+Y Y ’ ( 4 '2 6 ) Подставляя значения постоянных С, и С2 в выражение (4.23), найдем уравнение распределения температуры по толщине плоского тела:

t = tn + ^ ( 5 2 - z 2). (4.27) Из этого уравнения найдем температуру на оси симметрии тела, подставив в него z = 0:

(4-28) Решим (4.28) относительно перепада температуры между осью симметрии и поверхностью тела:

'м а к с - Л = |^ 2. (4.29) С учетом закона Фурье (или из уравнения (4.22) при z = 8) для удельного теплового потока через обе поверхности плоского тела с внутренним источником теплоты получим простую формулу:

q = Wh. (4.30) 4.3. Стационарное температурное поле цилиндрической стенки Как и в случае с плоским телом, для цилиндрической стенки будем рассматривать одномерное температурное поле, т. е. изме­ нение температуры только вдоль радиальной координаты, а имен­ но t =fir), где г - текущая цилиндрическая координата в пределах стенки толщиной Ъ = г2 - г у (г, и г2 - расстояние от оси трубы со­ ответственно до внутренней и наружной поверхностей стенки).

Для такого случая при установившемся тепловом режиме диффе­ ренциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических ко­ ординатах (3.57) примет вид d 2t 1 dt п — + - — = 0. (4.31) dr г dr Для решения уравнения (4,31) введем новую переменную 9 = dt/dr. (4.32) Подставив эту переменную в уравнение (4.31), получим урав­ нение — + - 3 = 0, (4.33) dr г или, разделяя переменные, d&/9- = - dr / r, (4.34) которое может быть легко проинтегрировано.

Интегрирование этого уравнения приводит к следующему ре­ шению:

(4.35) t —С, In г + С2, где Q и С2 - постоянные интегрирования.

Из решения (4.35) видно, что распределение температуры в стенке трубы следует логарифмическому закону, а плотность теплового потока q через цилиндрическую стенку не остается по­ стоянной, как в случае плоского тела, -а зависит от радиуса.

Постоянные интегрирования С\ и С2 могут быть определены из граничных условий первого рода:

(4.36) где t и гст2 - температура на внутренней и наружной поверхно­ стях стенки цилиндра.

С учетом постоянных интегрирования уравнение (4.35), по­ зволяющее рассчитать распределение температуры по толщине цилиндрической стенки, примет вид (4.37) Имея решение (4.37), по закону Фурье определим тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку толщиной в единицу времени:

(4.38) qr = — dtjdr, X где qr - удельный тепловой поток на расстоянии г от оси цилинд­ ра, или, подставив значение градиента dtldr, получим (4.39) Количество теплоты, проходящее через цилиндрическую поверхность стенки единичной длины, находящуюся на расстоя­ нии г от оси, определится по формуле (4.40) Решение задачи для многослойной цилиндрической стенки можно найти, например, в работе М.А. Михеева и И.М. Михеевой [32].

4.4. Теплопередача при цилиндрической стенке Пусть требуется рассмотреть передачу теплоты от теплоно­ сителя, например воды, с температурой tBчерез стенку цилиндри­ ческой трубы к окружающему ее воздуху с температурой 0 при стационарном режиме. Так как трубопровод имеет большую дли­ ну, то будем рассматривать тепловой поток от воды к воздуху, приходящийся только на единицу длины трубопровода.

Этот тепловой поток можно определить по формулам, ана­ логичным зависимостям (3.38), (3.39) и (3.40):

\ / (4.41) Решим уравнения (4.41) относительно разностей температуры:

*в-*С1 = б / ( а 12^ ) Т (4.42) *ет, - 0 = / ( а 22лг2).

Складывая почленно левые и правые части системы (4.42), затем, решая сумму относительно теплового потока и переходя от радиусов к диаметрам, получаем:

(4.43) В этом выражении знаменатель, по аналогии с (3.44), носит название линейного термического сопротивления Rlt а обратная его величина, по аналогии с выражением (3.45), называется прово­ димостью, или линейным коэффициентом теплопередачи:

(4.44) Отличие коэффициента kt от коэффициента теплопередачи в выражении (3.45) состоит в том, что в данном случае тепловой поток относится к цилиндрической поверхности длиной 1 м, а в выражении (3.45) - к плоской поверхности площадью 1 м2.

С учетом зависимости (4.44) уравнение (4.43) примет вид Q = kjTz(tB- 0). (4.45) 4.5. Двухмерное стационарное температурное поле В практике встречаются двухмерные стационарные темпера­ турные поля, например, распределение поверхностной или сред­ ней по глубине температуры водоема, распределение температуры в сечении снежного или ледяного покровов и т. д.

В стационарном двухмерном температурном поле распреде­ ление температуры зависит только от двух координат (.х, у). Для такого поля дифференциальное уравнение теплопроводности пе­ реходит в уравнение Лапласа (3.60) и имеет вид d2tj дх2 + d2tjdy1 = 0. (4.46) Аналитическое решение этого уравнения значительно слож­ нее, чем решение уравнения для одномерного поля. Поэтому в практических задачах для тел, имеющих сложные очертания и сложные граничные условия, аналитическое решение часто не удается получить. В таких случаях решение уравнения (4.46) вы­ полняется приближенными методами, а именно: графическим ме­ тодом, методом релаксации, электротепловой аналогии и др.

Аналитический метод. Рассмотрим в качестве примера аналитическое решение уравнения (4.46), позволяющее найти тем­ пературу t =flx, у) в однородной плоской среде (в полуограничен ной пластине), имеющей размер 8 вдоль оси х и неограниченный размер по оси у. Пусть на боковых поверхностях этой пластины температура поддерживается постоянной и равной (п, а вдоль по­ верхности при у = О (на торце пластины) - = f ( x ) (рис. 4.3).

Температура по толщине пластины (в направлении оси z) во всех точках имеет одно и то же значение.

Рис. 4.3. Граничные условия при двухмерном температурном поле.

5 - ширина пластины, tn - темпе­ ратура боковых поверхностей пластины, - температура торца пластины.

Введем новую переменную в виде так называемой избыточ­ ной температуры. Тогда уравнение (4.46) и граничные условия пе­ репишем следующим образом:

д2$/дх2 +д2&/ду = 0, (4.47) при х = 0 и х = 8 S = t - t n = 0, у = 03, = / ( х ) - tn = / 3(х), при (4.48) у -» оо при & —» 0.

Для решения уравнения (4.47) воспользуемся методом раз­ деления переменных.1 Будем искать его в виде произведения двух функций:

9 = /( х, y) = X Y, (4.49) где X = f l {x), Y = f 2 (у) - соответственно функции переменных хи\ 1 Этот метод рассматривается также при решении задач в случае нестационарной теплопроводности (глава 5, п. 5.1.1).

Дифференцирование выражения (4.49) и подстановка его ре­ зультатов в уравнение (4.47) приводит к уравнению j2 -хг У— + * — = 0, (4.50) ах ау или 1 d 2X 1 d 2Y (4.51) X dx Y dy Из уравнения (4.51) следует, что равенство левой и правой частей возможно только в том случае, если они порознь равны по­ стоянной величине, например к2. (Левая часть не зависит от у и равна правой части, которая не зависит от х. Следовательно, их общее значение к2 не зависит ни от х, ни от у.) Таким образом, из уравнения (4.51) получаем два обыкно­ венных дифференциальных уравнения:

d 2X /d x 2 + к2Х = 0, (4.52) d zY /d y2 - k 2Y = 0. (4.53) Решениями этих уравнений являются функции вида:

X = С1 cos(&x)+ С2 sin(Ax), (4.54) Y = Cieky +С,е~ку, (4.55) а общим решением уравнения (4.47) - функция, полученная от пе­ ремножения (4.54) на (4.55):

§ = X Y = [Сх cos(fcc) + С2 sin(кх%Съеку + C4e~fy ). (4.56) Для определения постоянных коэффициентов в уравнении (4.56) С1;

С2, С3 и С4 воспользуемся граничными условиями (4.48).

При подстановке граничного условия S = 0 при х = 0 най­ дем, что С, = 0, а при подстановке условия & = 0 при у — оо С3 = »

(это условие выполняется, когда 7 = 0, что возможно лишь при С3= 0). Тогда решением уравнения (4.47) будет следующее выра­ жение:


& - С 2С4е ку sin(foc) = Се ку sin(foe). (4.57) Граничное условие & = О при х = 5 требует, чтобы в выра­ жении (4.57) кЪ = п п, где п = 1, 2, 3,.... Поэтому будем иметь п частных решений уравнения (4.47). Решение, соответствующее п = 0, является тривиальным, так как в этом случае при любых значениях аргумента & = 0. В связи с этим оно исключается из рассмотрения. Общее решение этого уравнения может быть запи­ сано как сумма частных решений для всех последовательных по­ ложительных значений числа п:

ПП -у sin (4.58) a = S c «exp| п=1 У V Для определения постоянного коэффициента в уравнении (4.58) Сп воспользуемся граничным условием = / 3(«) при у = 0:

п% (4.59) л= Это выражение может быть разложено в ряд Фурье по сину­ сам в промежутке 0 х 5.

Коэффициенты этого разложения определяются по формуле 8 ^. i nn sml — х \dx. (4.60) С„ j /з М I Подставляя (4.60) в (4.58), получаем окончательное решение уравнения (4.47):

\ - sm пп у ПП пп Js,Si — X dx.

sin| (4.61) 5у И = В случае когда Sj = const (температура на торце пластины tx = const), представляет интерес одно из частных решений (4.61).

Прежде всего находим интеграл (4.60) при п = 1, 3, 5,... (при и = 2,4, 6,..., Сп = 0 ):

2&i (_ 1 ) + ^ L ( + 1) = ^ l.

пп (4.62) -co s пп пп пп 6 пп Подставив этот интеграл в решение (4.61), получим. | пп sm — х = Y, - ехр \ - ^ г У e = -S i I Зп 71 п + sin + -е х р = - 1 ! exp —6 у Ism » “У ^1 V ( 5п 'I + -е х р Г—5л 1 sin — X +... (4.63) ^ 5 ч 18, Графический метод.

Графический метод решения уравнения Лапласа (4.46) пре­ дусматривает построение ор­ тогональной сетки, состоящей из изотерм и линий тока тепло­ ты. Ортогональная сетка стро­ ится от руки и представляет собой систему криволинейных квадратов (рис. 4.4), средние линии которых равны ( /г = bi ).

Для решения задачи должен быть задан контур плоского тела и граничные условия пер­ Р и с. 4.4. Т е м п е р а ту р н а я се тк а, о б р а зо ­ в а н н а я си сте м о й л и н и й т о к а т е п л о ты (S) вого рода.

и и зо те р м (/,).

Метод удобен для быст­ /i и b i - средние линии криволинейных рого (но приближенного) по­ квадратов.

лучения результатов.

Выполнив построение температурной сетки, переходим к определению теплового потока в рассматриваемом плоском теле по формуле (4.64) где qст - тепловой поток струи, образованной двумя рядом распо­ ложенными линиями тока теплоты;

qt - удельный тепловой поток;

п - число струй в ортогональной сетке;

bt - ширина струи в вы­ бранном сечении (средняя линия клетки);

/, - длина этой клетки;

X - коэффициент теплопроводности.

Покажем, что построенная ортогональная температурная сетка является решением уравнения Лапласа (4.46). С этой целью выделим и рассмотрим отдельную струю, изображенную на рис. 4.4.

Проведем в рассматриваемой струе два сечения, параллельные ко­ ординатным осям х и у (dx-1, dy \), и определим расходы теплоты через эти сечения. В направлении оси у q„y = qydx-l = -X d t/d y d x -\, (4.65) а в направлении оси х - Ч х = q j y Л = -Х dt/dx dy Л.

ст (4.66) Деля первое и второе равенство соответственно на dx и dy и учитывая, что вдоль струи расход теплоты постоянный (?сг, =?ст, = dQ ), найдем:

dQ/dx - -X dt/ду;

- dQ /ду = -Х dt/dx. (4.67) Дифференцируя первое уравнение по у, а второе по х, полу­ чаем:

d2Q/{dxdy) = - X d 2t/d y2;

- d2Q /(dyдх) = - X d 2t / дх2. (4.68) Совместное решение этих уравнений приводит к уравнению Лапласа (4.46):

d2t/dx2 + d2t/dy2 = 0.

Метод релаксации. Метод релаксации предусматривает за­ мену дифференциалов в уравнении стационарной теплопроводно ста (4.46) конечными разностями. При такой замене дифференци­ альное уравнение (4.46) примет вид A2t/A x2 + д У л / = 0, (4.69) где Ах и Ау - стороны элемен­ тарных площадок, на которые разбито двухмерное тело;

t температура в узлах сетки. По­ строим сетку так, чтобы Ах = Ау.

Обращаясь к рис. 4.5, най­ дем вторые производные в ко­ нечных разностях по осям х и у в узле 0:

Рис. 4.5. Схема к расчету методом релаксации.

\ At At А2// Ах2 = /Ах, Ах 1-0 Ах 0 -3 ) (4.70) At At A2t/A y2 = /Ду, Ау Ау 2-0 0 -4 J где первые производные At At At о* к.

II II Ас ’ Ах Ах Ау АУ 0 - 1-0 ’ 2- (4.71) At ЧU.

Ау Ау 0 - Решая уравнение (4.69) совместно с выражениями (4.70) и (4.71) и учитывая, что Ах = Ау = А1, получаем A / /Vx ~ Л t Ay —— ^ if\ + —4 /( ) —0, т j (4.72) откуда (4.73) —4fQ — ^3 ^ или (4.74) т. e. температура в узле сетки 0 равна среднему арифметическому значению температуры в соседних узлах. Выражение (4.73) спра­ ведливо для любого узла построенной сетки однородного плоского тела.

Записав уравнение (4.73) для каждого из узлов тепловой сет­ ки, получим систему, состоящую из числа линейных уравнений, равного числу узлов сетки. Для решения этой системы уравнений применяют различные численные методы, и в частности, метод релаксации. Название метода происходит от латинского relaxatio ослабление, означающего постепенный переход системы в равно­ весное состояние. Например, если температура в каком-либо узле сетки, зависящая от четырех соседних значений температуры, нахо­ дится в равновесии с ними, то выполняется уравнение (4.73). Если она не находится в равновесии с соседними значениями температу­ ры, то правая часть этого уравнения не будет равна нулю, т. е.

(4.75) где At - остаток.

Для сведения к нулю правой части (остатка) каждого из уравнений системы, т. е. для приведения системы в равновесное состояние, и применяется этот метод.

Рассмотрим применение метода релаксаций на примере рас­ чета распределения температуры в поперечном сечении ледяного покрова канала при отсутствии снега с одной его стороны (рис.

4.6). Ледяной покров лежит на воде. Температура поверхности льда под снегом -5 °С, на границе - 7,5 °С, а в зоне отсутствия снега - 10 °С.

/.

47777777777777777777777777777777777777777777777777Т777777777777Ж Рис. 4.6. Расчет температуры в поперечном сечении ледяного покрова канала методом релаксации.

Выполним разбивку сечения толщи покрова на элементар­ ные квадраты со сторонами Ах = А у. Известно, что чем меньше шаг разбивки поля на квадраты, тем точнее решается задача.

В рассмотренном примере в целях наглядности и простоты изло­ жения ограничимся минимальным числом квадратов, приняв круп­ ный шаг разбивки поля на квадраты.

Назначим температуру в узловых точках полученной сетки сообразно смысловым требованиям граничных условий. Выпишем принятые значения температуры льда у каждой узловой точки, т. е.

будем иметь - 5, - 3,75 и - 2,5 °С. Затем по уравнению (4.75) вы­ числим в этих точках остаток A i. Полученный остаток говорит о том, что температура льда в этих точках принята неправильно. Со­ гласно уравнению (4.73), ее необходимо выровнять методом по­ следовательного приближения, начиная с точки, в которой наблю дается максимальный остаток. В рассматриваемом примере мак­ симальный остаток Ata = + 1,25 °С получился в точке а.

Для проведения выравнивания температуры (ее увеличения в точке а) изменим ее значение, согласно уравнению (4.75), Ata/4 = + 1,25/4 = +0,31 °С, тогда получим ta = -5,00 + 0,31 = = -4,69 °С.

С учетом уточненного значения температуры льда в точке а определяем остаток At6 - +0,31°С в точке б. Затем уменьшим тем­ пературу в этой точке на At6/4 = + 0,31/4 = +0,08 °С и получим t6 =-3,75 + 0,08 = -3,67 °С. После этого переходим к выравнива­ нию температуры по изложенной схеме в узле в. Если повторный подсчет по уравнению (4.75) по-прежнему выявит остаток At, то операции по его уменьшению в каждом узле повторяются и до тех пор, пока он не будет равен нулю, что означает, что температура в точках не меняется. Окончательный результат расчета темпера­ туры льда в нашем примере приведен на рис. 4.6.

Таким образом, метод релаксации заключается в том, что, задаваясь первоначально произвольным, но более или менее веро­ ятным распределением температуры, затем постепенно выравни­ вают ее последовательным приближением, пользуясь уравнениями (4.74) и (4.75). Следует заметить, что можно вычислить темпера­ туру в узлах сетки, пользуясь только уравнением (4.74), т. е. без вычисления остатка. Однако в этом случае объем вычислительных работ несколько больше, чем в первом варианте.

Метод релаксации может быть применен также для оценки двухмерного температурного поля неоднородного тела, в том числе с источниками теплоты и с произвольным шагом разбивки сетки.

Метод электротепловой аналогии (ЭТА). Большое число задач, встречающихся в теплотехнике, которые в настоящее время не могут быть решены теоретически, решаются с успехом экспе­ риментально методом ЭТА. Метод ЭТА относится к физическим (экспериментальным), прост и не требует больших затрат времени и средств на решение поставленной задачи.

Метод электрической аналогии, к которому относится метод ЭТА, применяется в гидравлике, гидродинамике, аэромеханике, гидрологии, теории упругости, механике грунтов, строительной механике, океанологии и других науках. Этот метод теоретически обоснован и впервые внедрен в практику исследования академи­ ком Н. Н. Павловским в 1922 г. при изучении вопроса фильтрации под гидротехническими сооружениями. В настоящее время этот метод широко известен как метод ЭГДА (электрогидродинамиче ская аналогия). Для решения этим методом различных задач раз­ работаны специальные установки, получившие название электро­ интеграторов.

Метод ЭГДА (ЭТА, ЭДА - электродиффузионной аналогии) основан на аналогии математической записи двух разных физиче­ ских явлений: с одной стороны, теплопроводности, диффузии, фильтрации и других в изучаемой среде, а с другой стороны электропроводности в электропроводном материале, а именно:

1) закона Фурье. dt At..

4 76) закона Фика q2 = —Т) ^ ~ - - ^ -, ~ -D (4-77) дп 8/D закона Дарси, дН АН щ• (478) 2) закона Ома dU AU 1 =- о —, (4.79) дп о/ст где qx, q2, q3, 1 - соответственно удельный поток теплоты, диф­ фундирующего вещества, фильтрующей воды, электричества;


t, S, Н, U - соответственно температура, концентрация, напор, элек­ трический потенциал, изменяющиеся в направлении нормали п;

А, D, к, ст - соответственно коэффициент теплопроводности, диффу­ зии, фильтрации, электропроводности;

RT= 5/А, Ra = 8/D, Лф = 8/ к, R3 = 8/ст - соответственно термическое, диффузионное, фильтрационное, электрическое сопротивление слоя дп = 8.

Указанную аналогию можно так же легко проследить, если перейти от уравнений (4.76) - (4.79) к уравнениям Лапласа, опи­ сывающим двухмерные поля:

а)тепловое d 2t/d x2 + d2t/d y2 = 0, (4.80) б) диффузное d2S/d x2 + d2S /d y2 = 0, (4.81) в) фильтрующих вод д2н / д х 2 + д2н / д у 2 = О., (4.82) г)электрическое д2и /д х 2 +д2и /д у 2 = 0. (4.83) Используя представленную аналогию математической запи си двух разных физических явлений, на практике по данным элек­ трического поля, полученного в эксперименте на геометрически подобной модели и представляющего собой ортогональную сетку линий тока и эквипотенциалей, находят температурное поле и по­ ток теплоты. Пересчет электрических характеристик в тепловые выполняют с помощью масштаба температуры mt = At/AU = (/м - / мин)/(С/макс- U M J акс (4.84) и масштабов теплового потока и термического сопротивления:

mq = q /I = mt/m R, (4.85) mR =RT/R 3, (4.86) где At и A U - перепад температуры и электрического потенциа­ ла в сходственных точках;

tMK и tM - максимальное и мини­ 3C m мальное значения температуры.

Для получения электрических характеристик используется прибор, собранный по мостовой схеме, для которой справедливо соотношение rl/rz =Rl/R 2 =(Ul - U K)/{UK- U 2). (4.87) В выражении (4.87) R{ и R2 - сопротивления частей элек­ трической модели влево и вправо от эквипотенциальной линии, a Uх - значение электрического потенциала на эквипотенциальной линии. В качестве электрической модели, заменяющей изучаемое тело, обычно применяют электропроводящую бумагу, а при реше­ нии пространственных задач - электролит.

На рис. 4.7 показана схема прибора, на котором решается, например, задача определения нулевой изотермы под рекой, про­ текающей в районе многолетней мерзлоты. В схему прибора вхо­ дит электрическая модель 1, вырезанная из токопроводящей бума­ ги. По верхнему и нижнему участкам контура этой модели нало­ жены металлические шины 2, 3, 4, на которые подается электриче­ ский потенциал, пропорциональный заданной температуре на этих участках. Шины соединены с источником электропитания. В цепь включен также делитель напряжения 5. Он предназначен для зада­ ния местонахождения очередной искомой эквипотенциали. Поло­ жение же эквипотенциали на модели определяется с помощью иг­ лы 6, включенной в электрическую цепь через гальванометр 7 и подвижной контакт 8. В электрическую цепь должны быть вклю­ чены также амперметр А и вольтметр V.

Рис. 4.7. Электрическая модель толщи многолетней мерзлоты (7) с рекой (3 ).

Температура воды в реке + 4 °С, поверхности многолетней мерзлоты - 10 °С, U - значение электрического потенциала в долях единицы.

Работа на приборе ЭТА заключается в следующем. С помо­ щью подвижного контакта 8 поочередно изменяем сопротивление левой и правой частей делителя напряжения 5 ( г{ и г2). Одновре­ менно при каждом положении контакта 8 ищем иглой 6 точки на модели, соответствующие нулевым показаниям гальванометра 7.

Соединяя полученные точки плавными линиями, получаем экви­ потенциали. После этого строим от руки линии тока, соблюдая ортогональность пересечения их с эквипотенциалями и добиваясь сетки, состоящей из криволинейных квадратов.

Выше установлено, что электрические и температурные по­ ля аналогичны. Поэтому полученные линии равных потенциалов можно принять за изотермы.

Для пересчета электрических потенциалов в температуру (или силы тока в тепловой поток) следует воспользоваться мас­ штабами mt и mq. Все расчеты удобнее вести в относительных единицах, приняв за единицу разность потенциалов и перепад j температуры. В этом случае пересчет полученных в точках модели | значений потенциала в температуру следует осуществлять по фор- I муле | 1=, 'мин + ('макс - 'мин № i (4.88) где Ui - значение электрического потенциала в точке в долях еди­ ницы.

Рассмотренный метод может быть успешно применен также для расчета температурных полей в слоистых и неоднородных средах как с граничными условиями первого рода, так и с гранич­ ными условиями третьего рода. В последнем случае термическое сопротивление на поверхности исследуемого тела учитывается путем добавления к электрической модели дополнительного слоя, равного I - Х / а (см. главу 5, п. 5.2).

Н С А И Н Р О ТМЕАУНЕ О Е Е Т Ц О А Н Е ЕПРТРО П Л 51 А л и с ее др е яр н и.. н и ч к м о е н у в н а т е и т ы ш и аея тлроои еоодс ппвнт Для решения уравнения теплопроводности (3.53) аналитиче­ ский метод имеет преимущества, когда начальные и граничные условия могут быть выражены простой аналитической зависимо­ стью. В большинстве случаев представляется возможным пожерт­ вовать сложностью этих условий и обратиться к аналитически ре­ шенной задаче, подобрав наиболее подходящее решение по на­ чальным и граничным условиям. В настоящее время аналитиче­ ским путем решено очень большое количество одномерных задач теплопроводности. Этим решениям посвящены многочисленные монографии [15, 20, 29], которые имеют направленность на инже­ нерные задачи и включают в себя большое число решенных прак­ тически важных примеров.

А.В. Лыков, например, рассматривает четыре метода реше­ ния уравнения теплопроводности в условиях одномерной задачи [29]: метод разделения переменных, метод источников, операци | онный метод, метод конечных интегральных преобразований, j В дальнейшем изложении остановимся только на первом ме­ тоде, получившем наибольшее распространение.

[ 5.1.1. Метод разделения переменных при решении уравнения теплопроводности Дифференциальное уравнение теплопроводности в условиях одномерной задачи и без источников теплоты имеет вид dt/dx = a d 2t/d x2. (5.1) Это уравнение является частным случаем однородного диф­ ференциального уравнения с постоянными коэффициентами для некоторой функции t от двух переменных х их:

d 2t d 2t d 2t dt dt ai - - J + bi + ci 7 7 + d \ — + h (5-2) дх дхдx Sx ox ox Легко проверить [15, 29], что частным решением этого урав­ нения будет выражение t = С ехр(ах + Рт). (5.3) Действительно:

dt/ dx = а С ехр(ах + Рх);

dt/dx = рСехр(ах + Рх);

d2t/dx2 = а 2С ехр(ах +fix);

(5.4) d2t/dx2 = р 2Сехр(ах + Рх);

d2t/(dxdx)= ар с е х р (а х + рх).

Совместное решение последних семи уравнений дает:

а{а 2 + &a.p + c1 + c/1 + / 1 |32 a |3-t-/1 = 0. (5.5) Последнее уравнение называется уравнением коэффициен­ тов.

Переходя к уравнению (5.1) и сопоставляя его с уравнением (5.2), заключаем, что b\ = ci = di = f\ =0;

ах = -а;

А =1. (5.6) Уравнение коэффициентов (5.5) для частного случая уравне­ ния (5.1) приобретает вид - а 2а + Р = 0 (5.7) или Р = а 2а. (5.8) Таким образом, частное решение (5.3) является интегралом дифференциального уравнения (5.1) и с учетом (5.8) приобретет вид t = С ехр(ос2ат + а х ). (5.9) В этом уравнении можно задавать любые значения чисел для С, а, а.

Выражение (5.9) может быть представлено в виде произве­ дения t = С ехр(а2ат)ехр(ах), (5.10) где сомножитель ехр(а2ат) является функцией только времени т, а сомножитель ехр(ах) - только расстояния х:

ехр(а2ах)= /( т ) ;

ехр(ах) = ср(х). (5-11) С увеличением времени т температура во всех точках непре­ рывно растет и может стать выше наперед заданной, что в практи­ ческих задачах не встречается. Поэтому обычно берут только та­ кие значения а, при которых а2 отрицательно, что возможно при а чисто мнимой величине.

Примем а = ± iq, (5-12) где q - произвольное действительное число1;

i = -J—l.

В этом случае уравнение (5.10) приобретет следующий вид:

t = C exp {-q 2axjexp(±iqx). (5.13) Обращаясь к известной формуле Эйлера ехр(± гх) = cosх ± i sinх (5.14) преобразуем уравнение (5.13). Получим два решения в комплекс­ ном виде:

t\ + # 2 = Q ехр(- Т [cosfex) + гsin(^x)], ?2(Э ) (5 15) tx + it2 = С2 ехр(- q2ax) [cos(^rx) - i sin(gx)].

Сложим левые и правые части уравнений (5.15), затем отде­ лим действительные от мнимых частей в левой и правой частях суммы и приравняем их соответственно. Тогда получим два реше­ ния:

1 Ранее значком q обозначали удельный тепловой поток. Стремясь следовать примененным индексам в первоисточнике [15], использовали его вторично.

4 -[(Q + С2 )/2]ехр(- q2ax)cos(qx) ;

(5.16) i2 =[(Cj - C 2)/2]exp(-^2ax)sin(^x).

Введем обозначения:

(С, + С2 ) / 2 = D ;

(Ci - C 2)/2 = C, (5.17) тогда получим два решения, удовлетворяющих дифференциально­ му уравнению теплопроводности (5.1):

Известно, что если искомая функция имеет два частных ре­ шения, то и сумма этих частных решений будет удовлетворять ис­ ходному дифференциальному уравнению (5.1), т. е. решением это­ го уравнения будет:

а общее решение, удовлетворяющее этому уравнению, можно за­ писать в следующем виде:

с,ехр (- ql, t =J х)+ Д ехр(- q \ e ijs in f ^ х ), (5.20) Любые значения qm, qn, C;

, Д в уравнении (5.20) будут удовлетворять уравнению (5.1). Конкретизация в выборе этих зна­ чений будет определяться начальными и граничными условиями каждой частной практической задачи, причем значения qm и qn определяются из граничных условий, а С, и Д - из начальных.

Помимо общего решения уравнения теплопроводности (5.20), в котором имеет место произведение двух функций, одна из которых зависит от х, а другая - от т, существуют еще решения, в которых такое разделение невозможно, например:

(5.21) И -i= \e~^dr\. (5.22) л/л J Оба решения удовлетворяют уравнению теплопроводности, в чем легко убедиться, продифференцировав их сначала по т, а за­ тем 2 раза по д и подставив результат в дифференциальное урав­ г нение (5.1).

5.1.2. Частный пример нестационарного температурного поля в стенке Рассмотрим пример применения полученного выше реше­ ния. Исходные данные.

1. Дана бетонная стенка толщиной 2 Х = 0,80 м.

2. Температура окружающей стенку среды 0 = 0 °С.

3. В начальный момент времени температура стенки во всех точках Fix) = 1 °С.

4. Коэффициент теплоотдачи стенки а = 12,6 Вт/(м2 • °С);

ко­ эффициент теплопроводности стенки X = 0,7 Вт/(м • °С);

плотность материала стенки р = 2000 кг/м3;

удельная теплоемкость с — 1,13 • 103 Дж/(кг °С);

коэффициент температуропроводности а = 1,1 - 1 0 3 м2/ч;

относительный коэффициент теплоотдачи а Д = 18,0 1/м.

Требуется определить распределение температуры в стенке через 5 ч после начального момента времени.

Решение. Обращаясь к общему решению (5.20) и имея в виду, что начальное и последующие распределения температуры симмет­ ричны относительно оси стенки, заключаем, что ряд синусов в этом общем решении отпадает и при х = Х оно будет иметь вид (5.23) ;

= Значения qn X определены из граничных условий (без до I полнительных здесь пояснений) и приведены в табл. 5.1.

Располагая значениями qn X, cos,[c]n X ), sin kn,X ) из табл.

5.1, находим искомый ряд значений по формуле +х |(x)cos(? x)dx./ Ч V 2smlo'„X) А= ------------------= 7-------Г -----Г^ ' Ч (5.24) {qn X ) + ^ { q n x)cos(qn X Г 2/ (cos т. е. Ц = 1,250;

D2 =-0,373;

3 =0,188;

D4 - - 0,109;

D5 =0,072.

Таблица 5. Значения функций, входящих в формулу (5.24) / 1 2 3 1,38 4,18 7,08 10,03 13,.

0,982 -0,862 0, sin^.x) -0,572 0, cos[q„.x) 0,189 -0,507 0,701 0, -0, Начальное распределение температуры в рассматриваемой стенке приобретет следующий вид:

/т=0 = F (x ) = l,250cos(3,45x)-0,373cos(l0,4x)+ + 0,188cos(l7,7x )- 0,109cos(25,lx) +0,072cos(32,7x)-... ^ -25' Чтобы получить расчетное распределение температуры че­ рез 5 ч после начального момента, необходимо определить ряд значений Д. ехр(- q2 ат) на время через 5 ч. Эти расчеты выполне­ n ны в табл. 5.2.

Таблица 5. Значения функций, входящих в формулу (5.23) i 1 2 3 4 0,065 0,601 1,723 3,458 5, 0,94 0,55 0,18 0,03 0, е~Л 1,175 -0,203 0,033 -0,003 0, D, е А Окончательное выражение для распределения температуры в толще стенки через 5 ч после начального момента:

tz=5 = l, 1 7 5 c o s ( 3, 4 5 x ) - 0, 2 0 3 c o s ( l 0, 4 x ) + (5.26) + 0,0 3 3 c o s ( l 7, 7 x ) - 0,0 0 3 c o s (2 5,1 jc ).

На рис. 5.1 показано распределение температуры в толще стенки на начальный момент времени и через 5 ч. Наряду с общим решением здесь же изображены и частные, причем римскими циф­ рами указаны частные кривые, отвечающие последовательным слагаемым рядов (5.25) и (5.26).

t У “ х=0.4 х=№, Рис. 5.1. Распределение температуры в стенке на начальный момент времени (слева) и через 5 ч (справа).

При решении практических задач обычно нет необходимо­ сти определять температуру во всех точках стенки. Можно огра­ ничиться расчетом температуры лишь для какой-либо одной точ­ ки, например, для точки в середине стенки. В этом случае объем вычислительных работ по формуле (5.23) значительно сократится.

Если начальная температура в рассмотренном выше случае равна не 1 °С, а Тс, то уравнение (5.20) примет вид:

= r o | S C '- CXp (" ‘?m«T)sin t / ) + (5.27) + j r D, exp(- q \ flr)cos(grBx ) l.

| = 5.1.3. Решение уравнения теплопроводности при различных граничных условиях Не будем приводить последовательный ход решения урав­ нения теплопроводности при других граничных условиях, которые имеют практическое значение в решении некоторых задач. Ниже ограничимся лишь формулировкой их условий с показом имею­ щихся готовых решений.

Задача № 1. Исходные данные. Стенка имеет толщину 2Х.

В начальный момент во всех ее точках, кроме поверхности, темпе­ ратура Тс. Температура на поверхности О °С удерживается в тече­ ние всего расчетного периода.

Требуется найти t Решение:

/ \2 / К XЛ п ах t = Zс 1ехР — — —— cos ---- UJ X 2 U X) ах 'Ъпх'' (ЗтО --- ---- cos ------- + ехр U xj ч2 ) X (5.28) f5t ах ( 5тс х N + —ехр — 7] ---- c o s ------ X) X UJ 5 I (In' 1 ах (in х ' X) X — ---- cos — — ехр ---- 7 I К2 у Пример к задаче № 1. Неподвижное водохранилище покры­ лось льдом при температуре наибольшей плотности воды (Гс = 4 °С).

Глубина водохранилища 5 м (X = 5 м). Рассчитать температуру воды в водохранилище через 3 месяца после ледостава. Темпера­ туропроводность неподвижной воды а = 4,8 10^* м2/ч. Тепловой поток у дна, т. е. при х —0, отсутствует.

В течение расчетного периода (х = 3 • 30 • 24 = 2160 ч) тем­ пература на поверхности удерживается постоянной и равной нулю, т. е. при х = X Та = 0 °С.

Весь расчет сводим в табл. 5.3 и 5.4. Эти таблицы позволяют вычислить значения температуры через 3 месяца после начального момента для глубин у дна, а затем выше через 1 м, т. е. * но) = ^ °С;

0(Д tx = 4 °С;

t2 = 3,85 °С;

t3 = 3,30 °С;

t4 = 2,96 °С;

/5(пов) = 0 °С.

:

Т а б л и ц а 5. 7тс х Зя х 5я х пX О X о О О “(т т ) 4 fi) 2X 2X 2X 2X 1 1 0 0 0 -0, 0,95 0,59 1 0,314 0,940 1,570 2, -1 -0, 3,150 4,410 0, 2 0,630 1,890 -0, -0,95 -0,01 0, 4,700 6,580 0, 3 0,940 2, -0,80 1 -0, 6,300 8,820 0, 4 1,260 3, Т а б л и ц а 5. ( 5тЛ2 ах ( 7я У а *х ( Зя^2 ах ах (к '? ах ехр ехр ехр "И ^ " И ;

f j ~(~2) X С Р 12 J ^ Х X 0,072 0, 0, 0,0415 0, Как видим, в абсолютно неподвижной воде температурные возмущения весьма медленно проникают вглубь. В природных условиях в водоемах под ледяным покровом всегда наблюдаются течения либо гравитационные (проточные), либо конвективные (разноплотностные), либо, наконец, вызванные поступлением грунтовых вод. Все многообразие указанных природных особен­ ностей следует учитывать при практических расчетах, а рекомен­ дации к этим расчетам можно найти в пособии [47].

Точно так же полезные указания даны в работе К.И. Россий­ ского [48].

Задача № 2. Исходные данные. Тело ограничено с одной стороны (полуплоскость). В момент времени х = 0 во всех точках температура тела равна Тс. Для всех моментов времени х 0 на поверхности тела поддерживается температура Тп = О °С.

Требуется найти распределение температуры в толще тела и потерю теплоты через свободную поверхность как функцию вре dt мени: t=J[x, х), q = - X дх х 0 = /(*) = Решение. Температура в любой точке тела и в любой момент времени t = Тс^{х/ -J4ax V (5.29) / л где есть интеграл Гаусса. Его значения в зависимости от,л/4ах, V' функции х/-]4ах даны в табл. 5.5.

Практически решение начинается с определения отношения х / л/4ах, в котором х и х заданы в условии задачи.

Количество теплоты, теряемой единицей поверхности тела в окружающую среду, определяется по закону Фурье. За весь рас­ четный период с начального момента до расчетного х Q = -2ТсЛ]Хсрх/п. (5.30) Т а б л и ц а 5. х/л/4ат Значения интеграла Гаусса в зависимости от функции / \ / \ X X X X X X / \ % X % л/4ат л/4ат л [Л а т л1А ат чл/4~ах j 0 0 0,4284 0,9103 0, 2, 0,4 1, 0,1 0,1125 0,6 0,6039 0,9523 1, 2, 1, 0,2 0,2227 0,8 0,7421 0, 1, 0,3 0,3286 1,0 0,8427 2,0 0, Пример к задаче № 2. В начальный момент времени темпе­ ратура почвы от поверхности до значительной глубины была по­ стоянной и равной 6 °С. В этот момент температура на поверхно­ сти почвы упала до О °С.

Требуется определить температуру почвы на глубине 0,5 м через 48 ч при значении коэффициента температуропроводности почвы а = 0,001 м2/ч, а также оценить количество теплоты, теряе­ мое поверхностью за это время, х /^4 а х = Решение. Определяем значение функции = 0,5/^4-0,001-48 =1,14.

Из табл. 5.5 находим по интерполяции значение интеграла Гаусса ^(1,14) = 0,87.

По формуле (5.29) температура почвы на глубине 0,5 м через 48 ч = 6 • 0,87 = 5,2 °С.

Общее же количество теплоты, потерянной единицей по­ верхности почвы,при коэффициенте теплопроводности X = =0,35 Вт/(м • °С), удельной теплоемкости с = 0,83 • 103 Дж/(кг °С) и плотности р = 1500 кг/м3 определим по формуле (5.30):

е = 1,86-10бДж.

Задача № 3. Исходные данные. Вследствие некоторого внешнего воздействия температура поверхности тела, ограничен­ ного с одной стороны (полуплоскость), претерпевает периодиче­ ские колебания около нуля. Будем считать, что эти колебания гар­ монические, т. е. температура поверхности меняется по косину­ соиде:

7’ =7’ш есо8(2ят/т), о оВ (5.31) где Т0 - температура поверхности;

Г0м - ее максимальное откло­ акс нение;

т - продолжительность колебания (период).

Требуется определить температурное поле как функцию времени.

Решение:

t = Гомакс ехр[- x-Jn/(cn)}cos(x~Jn/(ai) - 2п т /т ). (5.32) Амплитуда колебаний температуры меняется с х по сле­ дующему закону (рис. 5.2):

(5.33) м акс ^ О м а к с ®Х р [ X я (б /т )].

Пример к задаче № 3. Изменение температуры на поверхности сухой песча­ ной почвы в течение года характеризуется косинусоидальным ходом. Средняя годовая температура при этом равна 6 °С при мак­ симальных отклонениях от средней летом и зимой, достигающих 24 °С.

Требуется определить температуру грунта на глубине 1 м в момент, когда температура на поверхности равна 30 °С Рис. 5.2. Распределение (условно 1/VII).

температуры по глубине толщи. Решение. Выражение косинусоиды (5.31) применительно к данному случаю (температуре поверхности) при Г0м = 24 °С примет вид акс Т0 = 24c s(2tc o t/8760)+6.

Ввиду того что поверхность грунта имеет среднюю годовую температуру 6 °С, а не нуль, как в уравнении (5.32), расчетное уравнение примет следующий вид:

t = 24ехр[-хЛ/л/|(^]со8(хЛ /(а т )-2 л т /т )+ 6.



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.