авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 10 |

«М и н и с т е р с т в о о б р а зо в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф ед е р ац и и _Ф е д е р а л ь н о е а г е н т с т в о п о о б р а з о в а н и ю _ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ...»

-- [ Страница 4 ] --

/л (5.34) Приняв для грунта коэффициент температуропроводности а = 0,001 м2/ч и имея в виду, что по условию задачи необходимо определить температуру на конец расчетного периода (через т = =8760 ч от начального момента), найдем:

хл]п/(ах) = Ц/3,14/(0,001 •8760) = 0,6;

е-0’6 = 0,549.

Расчетное выражение (5.34) приобретет следующий вид:

t = 24е-0’6 0,825 + 6 = 16,9 °С.

На той же глубине 1 м максимальная амплитуда годового колебания температуры, согласно выражению (5.33), составит Г1макс=24Г°’6 =13,2 “С, а максимальная температура на глубине 1 м ^макс = Тхмакс + 6 = 13,2 + 6 = 19,2 “С.

В заключение отметим, что рассмотренные задачи и подхо­ ды могут быть использованы при решении вопросов, связанных с выпуском теплой воды в водоем, а также при химическом методе определения расхода воды и в других случаях.

5.2. Численны й метод реш ения уравнения теплопровод­ ности для одномерного температурного поля В главе 3, п. 3.8 отмечено, что одномерное температурное поле при нестационарном режиме подчиняется уравнению тепло­ проводности, записанному в следующем виде:

dt/dx = a d 2t/d z2. (5.35) Задачи содномерным температурным полем встречаются очень часто в практической деятельности гидрологов и гидротех­ ников, связанные с изучением, например, температурного режима снежного и ледяного покровов, почвы, грунтов и в других случаях.

Так, например, для решения многих задач ледотехники надо знать прочность льда на растяжение и сжатие. Это относится к оп­ ределению статического и динамического давления льда на мор­ ские портовые сооружения, на речные гидротехнические сооруже­ ния, на мостовые опоры, при расчете ледовых переправ и т.п. Хо­ рошо известно, что прочность льда зависит от его температуры, поэтому для проектной работы надо заранее знать распределение температуры в ледяном или в снего-ледяном покровах.

Стационарный тепловой поток через однородное или слои­ стое тело хорошо изучен и изложен во многих учебниках и руко­ водствах по теплопередаче, что же касается нестационарного теп­ лового потока через такие тела, в особенности в переменных ус­ ловиях среды, то здесь встречаются еще недостаточно корректные рекомендации, затрудняющие правильные решения.

Строгое решение дифференциального уравнения для неста­ ционарного теплового потока через слоистые тела в переменных условиях среды сопровождается серьезными затруднениями и большой затратой труда на вычислительную работу, поэтому по­ нятно, почему исследователи этой проблемы стали применять раз­ личные практические и приближенные приемы для ее решения.

Хотя они (приемы) и уступают строгости чисто математических решений, тем не менее точность получаемых решений удовлетво­ ряет практическим требованиям, а быстрота получения результа­ тов вполне оправдывает использование этих приемов. Во многих же других случаях эти методы являются единственно возможными.

Наиболее простым численным методом решения уравнения (5.35) является метод конечных разностей (метод Шмидта). Он впервые был предложен австрийским инженером Шмидтом, кото­ рый дал методу графическую форму, а его развитие в направлении применения к расчету температуры в снего-ледяном покрове при различных граничных условиях осуществил российский гидротех­ ник В.А. Берг.

Уравнение (5.35) в конечных разностях записывается в сле­ дующем виде:

At/Ax = aA2t/A z2. (5.36) Раскрывая смысл второй производной от температуры по координате z, можем написать:

At Л/ Az Az Л2? 2 -3 ^z + A z, t 0 ^ z, x0 ^z, t 0 ^ z -A z, x 3 - Az2 Az Az2 Az2 (5.37) „ +t„ A, ^ -tz T Z,Tn Az2 Решив совместно уравнения (5.36) и (5.37), получим:

ft,* Л 2аДт At = (5.38) Az Приняв 2аАх/ Az2 = 1, (5.39) получим:

^z.T * = ^z,t o+A Af —(^z+A + ^z-Az,t„ j/ z.td (5.40) + 2j т. e. температура на горизонте z в момент времени т + Лт равна среднему арифметическому из значений температуры на соседних горизонтах в предыдущий момент времени (рис. 5.3).

В условии Шмидта (5.39) при заданном значении коэффици­ ента температуропроводности а имеются две неизвестные величи­ ны - Дт и A z. Одну из них мы можем выбрать. Задав, например, Az так, чтобы в пределах общей толщи укладывалось 1 0 - 1 2 интер­ валов Az, получим из условия Шмй&та (5.39) значение промежутка времени Д г:

Дт = Дг2 /(2а). (5.41) Если задаться промежутком времени Дт, то из того же усло­ вия Шмидта найдем Дг = л/2аДт. (5.42) Расчет температурного поля для однослойного плоского тела. Ход графического построения температурных кривых по ТТТмштту ясен из рис. 5.3. Вначале вычерчивается в выбранном масштабе для / и г температурная кривая для начального момента времени (начальные условия), которая задается по условиям по­ ставленной задачи. Затем, как это показано на рисунке вспомога­ тельными линиями (на рисунке штриховые линии), последова­ тельно соединяются точки 1 с 3, 2 с 4 и т. д. В местахпересечения этих штриховых линий с горизонтальными прямыми получаем значения температуры в точках 2', 3', 4', 5' и т. д. на момент време­ ни т0 + Д т. Температура на поверхности в точке 1' для этого мо­ мента задана граничными условиями. Принимая полученную тем­ пературную кривую за начальную, повторяем графическое по­ строение и получаем третью кривую на момент времени т0 + 2Дт.

Эти простые построения выполняют на весь расчетный период и, таким образом, решение задачи оканчивается.

Если среда имеет ограниченную протяженность по оси z, как,,например, стенка или ледяной покров, то техника построения остается той же, но требуется задание граничных условий на обеих сторонах, ограничивающих стенку.

z Рис. 5.3. Пример построения температурных кривых методом конечных разностей при граничных условиях I и III родов.

При задании граничных условий второго рода, когда на весь расчетный период установлено значение градиента температуры на поверхности, техника графического построения температурных кривых, по Шмидту, остается прежней, но для крайних слоев Az, прилегающих к свободным ограничивающим поверхностям, зада­ ется тангенс угла наклона температурной кривой к оси z:

Графическое построение отрезка температурной кривой при этих условиях показано на рис. 5.4.

При граничных условиях третьего рода, когда задается теп­ ловой поток на поверхности, мы вправе считать, что тот же поток проходит и через крайний, прилегающий к поверхности слой Az.

Тогда, приравнивая эти потоки (один оцениваем по закону Фурье (3.10), второй - по закону Ньютона (3.16), получаем:

At со (5.44) Az откуда непосредственно следует:

At е -;

п (5.45) Az П V a Рис. 5.4. Пример построения температурных кривых методом конечных разностей при граничных условиях II рода.

Над осью температуры отложим отрезок (рис. 5.3), равный Уа, и на этом расстоянии от граничной поверхности проведем го­ ризонтальную прямую. На этой прямой в масштабе температуры отложим отрезок, равный 0. Конец этого отрезка соединим прямой с точкой 2 ', полученной графическим построением по методу Шмидта. Пересечение этой прямой с осью температуры дает ис­ комое значение температуры поверхности на момент времени г 0 + Д г. Это обстоятельство следует из подобия треугольников с катетами Ata и Az и 9 - tn и У а [рис. 5.3 и уравнение (5.45)].

Дальнейшее построение температурных кривых ведется ме­ тодом, описанным выше.

В настоящее время к графическим построениям не прибега­ ют, а все вычисления ведут в таблицах, что заметно упрощает и уточняет конечный результат расчета. Пример расчета температу­ ры в табличной форме приводится ниже.

Расчет температурного поля для многослойного плоско­ го тела. При решении тепловых задач важно правильно задать на­ чальные и граничные условия. При этом начальное распределение температуры по мере решения задачи во времени постепенно теря­ ет свое значение, так как сравнительно быстро его влияние сгла­ живается. Что же касается граничных условий, то влияние их не­ прерывно и сказывается в течение всего процесса расчета. Поэто­ му правильное задание граничных условий имеет решающее зна­ чение.

Как и во многих других задачах теплотехники, в рассматри­ ваемой нами ниже задаче очень часто пользуются граничными ус­ ловиями I рода, как наиболее простыми, т. е. рассматривают теп­ лопередачу как математическую задачу Дирихле - с наперед за­ данной на границе тела температурой, меняющейся во времени.

Но правильно задать граничные условия I рода, т. е. температуру поверхности тела, очень трудно, а иногда и невозможно. Напри­ мер, температура поверхности снего-ледяного покрова сама явля­ ется искомой величиной, и поэтому, если она задается заранее, то тем самым задача наполовину обесценивается. В других случаях температура поверхности снега принимается равной температуре воздуха, что также приводит к неточностям. Поэтому наиболее правильным является задание граничных условий III рода, т. е.

применительно к задаче Неймана, так как при этом попутно опре­ деляется и температура поверхности снега.

При решении задачи о распределении температуры в много­ слойном плоском теле, например, в снего-ледяном покрове вне зависимости от граничных условий должны быть удовлетворены следующие положения:

- на разделяющей плоскости снег —лед нет температурного скачка, а также источников и стоков теплоты;

- тепловые потоки по обе стороны разделяющей плоскости снег-лед должны быть взаимно равны в силу закона сохранения энергии;

- как в снеге, так и во льду должно быть удовлетворено дифференциальное уравнение теплопроводности.

Эти условия записываются следующим математическими зависимостями:

дх dz ( 5 '4 6 ) -A.,.grad t\z= = -A,;

+1grad г ц, % (5.47) = * +, 1 (5.48) где i - номер слоя тела;

z - текущая ордината, направленная вниз;

Xj и а, - коэффициенты соответственно теплопроводности и температуропроводности слоя.

Кроме уравнений (5.46) - (5.48) должно быть задано началь­ ное условие задачи - распределение температуры по глубине в обоих слоях при х = 0 :

W o = /,( z ) (5.49) и граничное условие, если подстилающей поверхностью является вода:

гм.г=н, т = °°С = const, (5.50) где Н —толщина снего-ледяного покрова.

Уравнение (5.50) показывает, что температура на нижней поверхности льда равна 0 °С в течение всего расчетного периода.

Граничные условия на верхней поверхности снега записы­ ваются, как уже отметили выше, по-разному. Для условий I рода следует записать так:

(5-51) для условий III рода по формуле (5.45):

8radri o = ^ ( 0 t - r niI=ot), 2= T (5.52) 1 • где 0Т= / 3(т) - температура воздуха (внешней подвижной среды);

а - коэффициент теплоотдачи от поверхности снега в атмосферу.

Уравнение (5.52) как раз и представляет собой требование задачи Неймана, сводящееся к тому, чтобы градиент температуры по нормали у поверхности тела удовлетворял заданным условиям.

Практически это выражается в том, что наружная касательная к температурной кривой в рассматриваемом теле должна прохо­ дить через так называемую направляющую точку, которая имеет X координаты — и 0 (рис. 5.3).

а Рассмотрим более простое решение задачи о распределении температуры в снего-ледяной толще при граничных условиях I рода в табличной форме. j Нам уже известно, что в методе конечных разностей обе ис- I следуемые среды - снег ( # с = 0,15 м) и лед ( Я л = 0,60 м) разби­ ваются на слои соответственно Az{ и Az2, толщина которых должна удовлетворять одновременно условию (5.39):

Azl =Az2J ^.

—= или (5.53) а2 Az2 У# Пусть при Ах = 1 ч слои будут равны Azx = 0,05 м, Дz2 = 0,10 м.

Тогда температура во всех точках снего-ледяного покрова, кроме точек z = 0, z = 0,15 м и z = 0,75 м (рис. 5.5, табл. 5.6), опре­ деляется согласно стрелкам по формуле (5.40) *z,x+Д = (^+Az,T + lz-Az,x) • т (5.54) Для примера расчета принято, что температура поверхности снега и температура воздуха одинаковы и повышается она от - 30 °С до - 10 °С со скоростью 4 °С/ч, а затем остается постоянной неог­ раниченно длительное время.

Температура в строке z = 0,75 м, т. е. на нижней границе по­ верхности льда, согласно (5.50) принята равной 0 °С и также запи­ сывается в таблицу.

Что касается температуры в строке 4 при z = 0,15 м, т. е. на границе раздела снег - лед, то эта температура должна быть опре­ делена из условия сохранения тепловой энергии согласно форму­ лы (5.47):

(5.55) t4 = ( t 3 - t 5) M + t5, где X, Az~.

М = -----^ 2 ------, (5.56) Х{Аz2-+ A2AZ[ индексы у знака t указывают строку таблицы.

В озд ух Р и с. 5.5. Н е с т а ц и о н а р н о е т е м п е р а т у р н о е п о л е в с н е г о -л е д я н о м п о к р о в е п р и гр ан и ч н ы х у сл о ви ях I рода.

Таблица 5. Расчет температуры в “С в снего-ледяном покрове при граничных условиях первого рода т, ч м Z, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 -30 s-26 -22 -18 -14 -10 -10 -10 -10 -10 - 0,05 -25 -25 -23 -21 -18,5 -15,92 -13,17 -12,42 -11,50 -11,08 -10, 0,10 -20 /*-20 -20 -19 -17,84 -16,34 -14,83 -13,0 -12,16 -11,37 -10, -15 -15 -15 -14,67 -14, 0,15 -13,74 -12,83 -11,88 -11,23 -10,65 -10, 0,25 -12,5 -12,5 -12,51 -12,5 -12,34 -12,09 -11,84 -11,32 -10,77 -10,32 -9, 0,35 -10 -10 -10 -10 -10 -9,92 -9,80 -9,65 -9,36 -9,05 -8, 0,45 -7,5 -7,5 -7,5 -7,5 -7,5 -7,75 -7,46 -7,40 -7,32 -7,16 -6, 0,55 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 — 4,98 ^1,95 -4,91 -4, 0,65 -2,5 -2,5 -2,5 -2,5 -2,5 -2,5 -2,5 -2,5 -2,49 -2,48 -2, 0,75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5.3. Ч и сл ен н ы й м етод р еш ен и я у р ав н ен и я теп л о п р о во д ­ ности д л я двухм ерн ого тем п ер ату р н о го п о л я Дифференциальное уравнение теплопроводности для двух­ мерного поля (3.58) в конечных разностях имеет следующий вид:

A t/ Ах = а(д2// Ах:2 + А2?/ Ау2). (5.57) Раскрывая смысл суммы вторых производных от температуры по координатам и выражая их так же, как и выше [формула (5.37)], напишем выражение для изменения температуры за элементарный промежуток времени Ат:

2 аАх 'лг-Дх, т„ ^х+А х, At = + -и (5.58) 2аАх ( У + А у,?0 + t y -A y,ta +- —tУ А о Ау2 V В том случае, когда шаг расчетной сетки А х - А у ~ А 1, вы­ ражение (5.58) имеет следующий вид:

f*,*.*,* л 4аЛт 'х+Дх,т0 ^х-Ах,ха ~^^у+Ау,х0 ^у-Ду,т At-- ( 5.5 9 ) хА,У о ~Ы где tr vr о —tr^r —t v Tо ” xo Ух Приняв 4яДх/А /2 = 1, (5.60) взамен (5.59) получим:

-Ay,T0 ^y-Ay,t0)/4 —^x,y,x0 ’ Af —(^*+Де,т0 "*"^jc-A "^jH. x,t0 (5.61) и температуру в точке лс, в момент времени х + Ах :

) 4 ' (5.62) / ( х,у,- с 0 + Ах - ( х, у, х 0 + A f = ( * * + Д х,т 0 + ^ - Д *, т 0 + f j-+ A y,T o + Условие (5.60) и выражение (5.62) являются простым опера­ ционным средством решения уравнения теплопроводности для двухмерного поля в конечных разностях.

Как и в условиях одномерного поля, при решении конкрет­ ной задачи здесь должны быть заданы:

а) геометрия плоского поля (контуры поля);

б) начальные условия (температура в каждой точке поля в начальный момент времени);

в) граничные условия на контуре поля на весь расчетный пе­ риод (любые из трех родов);

г) значение коэффициента температуропроводности а.

Всё поле разбиваем на квадраты с шагом А/ так, чтобы наи­ меньший размер поля содержал 10 - 12 А /. Горизонтальные линии 1 поля удобно нумеровать римскими цифрами, начиная с верхней, вертикальные - арабскими, начиная с крайней левой. Тогда каждая j точка поля будет иметь два индекса (на пересечении вертикали с горизонталью). Например, индекс IV.6 означает, что точка лежит на пересечении четвертой горизонтали с шестой вертикалью.

Выбрав значение для А /, из условия (5.60) определим рас­ четный промежуток времени:

Ах = А/2 /(4а).

! (5.63), Дальнейший расчет удобнее вести непосредственно на схеме температурного поля, которое (сетка) вычерчивается в достаточно Iкрупном масштабе, чтобы значения меняющейся температуры че !рез каждое Ах выписывать колонкой у каждой расчетной точки.

! ы, Пример участка двух­ 14.9 14, Ш 14. мерного температурного поля приведен на рис. 5.6.

ы( На указанном рисунке для 15,2 15. 1X1 Ш каждой точки выписаны 14.9 14Л I: I- K.V) 4 ~1 SJ) начальные значения темпе 14 5 ратуры. Здесь показано, что 14М 14,9 1X IS. оценивается средняя тем­ 14, 14,9 14, пература в четырех смеж 14,9 ш 14,7 14 14.S ных точках для получения температуры в расчетной Рис. 5.6. П ри м ер р асч ета д в ухм ерного точке через промежуток тем п ературн ого поля м етодом времени Ат. Эта элемен­ конечны х разностей.

тарная операция повторяет­ ся для всех точек поля на весь расчетный период времени. Конеч­ но, для граничных точек поля температуры меняют в соответствии j с заданными граничными условиями.

Решение задач для пространственных температурных полей j в конечных разностях принципиально возможно. Однако к нему j практически не прибегают из-за громоздкости вычислительных операций и часто используют другие методы.

5.4. Р асч ет ско р о сти п р о м ер зан и я и о т т а и в а н и я п о ч в о гр у н та В том случае когда температурное поле определяется для среды, меняющей агрегатное состояние с поглощением или выде­ лением тепловой энергии, как, например, для влажных замерзаю­ щих или Оттаивающих почв, в расчетах необходимо учитывать особое условие на границе талой и мерзлой среды (условие Стефа­ на). Оно заключается в том, что разность интенсивностей тепло­ вых потоков, поступающего от талой среды к границе мерзлой и уходящего от этой границы через мерзлый слой, идет на таяние льда в мерзлом слое. При замерзании почвы тепловой поток из та­ лого слоя суммируется с теплотой кристаллизации воды и отво­ дится через мерзлый слой в атмосферу.

Обозначим буквой Ь толщину мерзлого слоя (рис. 5.7), ось, абсцисс буквой t, а ось ординат - z, интенсивность теплового по тока в мерзлом слое на грани­ це с талым - qM а в талом (на, той же границе) - qT,, через кр обозначим интенсивность потока теплоты кристаллиза­ ции, тогда, согласно закону сохранения тепловой энергии, (5.64) т+ Якр • Я Воспользуемся законом Рис. 5.7. Схема к расчету скорости промерзания (оттаивания) Фурье и выразим интенсивно­ почвогрунта.

сти потоков теплоты в талом и мерзлом слоях на уровне, где температура равна О °С, в следую­ щем виде:

(5.65) Яь Я, = - К ~ -к — dz dz + где знаки +0 и - 0 у градиентов температуры показывают, что в первом случае поток рассматривается на границе со стороны та­ лого слоя почвы, а во втором - со стороны мерзлого слоя.

Если обозначим буквой W объем воды в единице объема почвы, через р плотность воды, через L теплоту кристаллизации (ледообразования) воды и через д^/дх скорость промерзания поч­ вы, то найдем выражение для интенсивности выделения теплоты на границе талого и мерзлого слоев при промерзании почвы:

qKp=-{d^/dx)WpLKp. (5.66) Решая теперь совместно уравнения (5.64) - (5.66), найдем выражение для скорости промерзания почвы \ 1 dt dt (5.67) -К — М дх -0 & +oJ ! 1 Аналитическое решение задачи о скорости промерзания влажного грунта и рас { пределении температуры при его промерзании в ограниченных частных условиях приводится в работах [15, 29].

При этом заметим, что если одномерное поле температуры в таломерзлой среде рассчитывается методом конечных разностей с использованием уравнения теплопроводности, то должно быть учтено и уравнение (5.67), так как условие Стефана требует опре­ деления перемещения границы двух сред со скоростью, вычислен­ ной по этому уравнению. В этом случае коэффициенты теплопро­ водности для талого и мерзлого грунта выбираются по таблице или назначаются в соответствии с данными наблюдений в натуре.

По уравнению (5.67) можно рассчитывать и скорость оттаи­ вания почв. В этом случае справа у уменьшаемого и вычитаемого необходимо поменять знаки.

В заключение отметим, что задачи о замерзании и оттаивании почв и грунтов имеют решающее значение в вопросах прогноза ве­ сеннего стока, которые до настоящего времени остаются слабо изу­ ченными.

5.5. И зучен и е т ем п ер а ту р н ы х полей н а м оделях Моделирование температурного поля в среде без источ­ ника теплоты. К настоящему времени аналитические решения дифференциального уравнения теплопроводности получены только для самых простых задач и ограниченного их числа. Поэтому вы­ ход из создавшихся затруднений обычно ищут в экспериментах, проводимых на моделях. Метод экспериментальных исследований на моделях применяют также в тех случаях, когда трудно или не­ возможно изучить натурные явления или стоимость их изучения в натуре чрезвычайно высока. Этот метод дает значительно боль­ шие возможности по сравнению с расчетными методами и при изу­ чении меняющихся во времени (нестационарных) температурных полей, а также при изучении теплообмена в среде, являющейся те­ плоносителем: адвективный и конвективный теплоперенос. Теория подобия применительно к явлениям теплопроводности разработана главным образом трудами российских ученых, среди которых осо­ бенно необходимо отметить М.В. Кирпичёва [22] и А.А. Гухмана [16]. Теория гидромеханического подобия [43] подробно рассмат­ ривается на гидрологическом факультете РГГМУ в курсе гидрав­ лики, поэтому ниже будет показано применение теории подобия только к задачам теплопроводности (теплообмена). Основные по­ ложения теории подобия гидромеханики применимы ко всем физи­ ческим явлениям, в частности, и к теплопередаче, поэтому указа­ ния о постановке опытов и обработке результатов наблюдений, из­ ложенные в [43], сохраняют силу.

Чтобы тепловые процессы, протекающие на модели, были подобными таковым в натуре при ее изготовлении выполняются определенные требования. Эти требования сводятся к геометриче­ скому, тепловому и механическому (если рассматривается под­ вижная среда) подобию натуры и модели - равенству для них без­ размерных критериев подобия. В теории теплового моделирования это критерии Фурье, Био, Грасгофа и др.

Геометрическое подобие натуры и модели определяется со­ отношениями:

хи =т,ха;

ум =щун;

zw =m,zn, (5.68) где хк,- у м, zM и хн, у н, zH - соответственно линеиные размеры модели и натуры;

тя/ - масштаб модели, т. е. отношение линейных размеров модели к соответствующим линейным размерам натуры.

Упомянутый критерий Фурье получается исходя из следую­ щих соображений.

Законы распространения теплоты как в натуре, так и на мо­ дели осуществляются в соответствии с уравнением теплопровод­ ности:

для натуры dtn 5V + 9 4 + A (5.69) дхп дУп J Н для модели д*м (5.70) dzt К ду»

Будем считать, что между соответствующими характеристи­ ками, относящимися к модели и к натуре, существуют соотноше­ ния (5.68), а также:

тм =тт хп;

аы = таап;

tM= mttn, (5.71) где тм, ам, tu и тн, ан, tH - соответственно время протекания процесса, коэффициент температуропроводности и температура на модели и в натуре;

тх, та, т( - масштабные множители времени, коэффициента температуропроводности, температуры, т. е. отноше­ ние времени и температуры, относящихся к модели, и константы модели к соответствующим характеристикам и константе натуры.

Решая совместно (5.68), (5.70) и (5.71), найдем:

(5.72) или (5.73) Сопоставление уравнения (5.73) с уравнением (5.69) показы­ вает, что если множитель (5.74) то эти уравнения тождественны, а следовательно, требование по­ добия температурных полей модели и натуры удовлетворено.

Комплекс масштабных множителей (5.74) называется инди­ катором подобия.

Заменив в равенстве (5.74) значения масштабных множите­ лей отношениями соответственных величин модели и натуры, приведенных в (5.68) и (5.71), найдем безразмерные отношения:

(5.75) или, в общем виде где / - характерный размер, соответственно по направлению х, у или z.

Последнее равенство носит название критерия Фурье. Он позволяет осуществить пересчет результатов исследования, полу­ ченных на модели, на натуру.

Из равенства (5.75) видно, что выбор размера и материала модели должен быть подчинен требованиям критерия Фурье. По­ следний позволяет при заданных материале и размерах модели оп­ ределить масштаб времени моделирования теплового процесса.

При выводе критерия Фурье температура в него не вошла.

Это обстоятельство позволяет воспроизводить на модели темпера­ турное поле в произвольном диапазоне значений температуры, лишь бы было удовлетворено температурное подобие на контурах модели (граничные условия). Отсюда следует, что масштаб темпе­ ратуры может быть произвольным и выбранным из условия про I ведения эксперимента. Например, эксперимент процесса, проте­ кающего при отрицательной температуре, может быть проведен в лаборатории с положительной температурой, что облегчает про­ ведение эксперимента на модели.

Естественно, что на модели должны быть осуществлены и граничные условия, отвечающие натуре.

В том случае когда заданы граничные условия третьего рода, при моделировании необходимо учесть условие (3.70) -X d t/d n = a(tn - t c). (5-77) Относя это уравнение к натурным условиям и к модели, по­ лучаем:

- k adtH/dnH= a H(tnH- t CH), (5.78) - К д(м/дпм = а м(?п м - / С ).

;

;

М (5.79) Введем масштабные соотношения:

taw=mttu^, tc м =.(5.80) К = » Н. К ’ им = ™ Л,;

а и = т а а и ;

Заменяя величины, входящие в уравнение (5.79), соответст­ венными значениями (5.80), получаем для модели (5.81) тх Сопоставив уравнение для модели (5.81) с уравнением для натуры (5.78), приходим к заключению, что они тождественны при соблюдении условия maml/mx = 1. (5.82) Заменяя значения масштабных множителей в условии (5.82) значениями из равенств (5.80), найдем а/ = idem = Bi = (5.83) т Это уравнение носит название критерия Био.

При получении температурных полей на модели этот крите­ рий должен быть удовлетворен в том случае, когда не могут быть выполнены требования граничных условий первого рода.

В тех случаях когда левая часть уравнения (5.77), так же как и его правая, относится к окружающей среде (при этом предпола­ гается, что через прилегающий к поверхности слой этой среды те­ плота передается только теплопроводностью), комплекс (5.83) на­ зывают критерием Нуссельта - Nu [29].

Моделирование температурного поля в среде, меняющей агрегатное состояние. Все вышеприведенные выводы справедли­ вы лишь в том случае, когда тепловые процессы не вызывают из­ менения агрегатного состояния среды или когда температурное поле не имеет каких-либо других источников теплоты.

В противном случае одного критерия Фурье недостаточно.

Между тем почти все теплотехнические задачи, с которыми приходится иметь дело гидрологу или гидротехнику, связаны с необходимостью учета изменения агрегатного состояния среды.

Таковы, например, вопросы изучения температурного режима ежегодно замерзающих и оттаивающих влажных почв и грунтов.

Сюда же следует отнести и многие вопросы, связанные с прогно­ зом температурного режима многолетнемерзлых грунтов в осно­ ваниях возводимых в районах многолетней мерзлоты гидротехни­ ческих сооружений и создаваемых там же водохранилищ. В этих случаях решение конкретных теплотехнических задач может быть выполнено методами моделирования - путем воспроизведения температурных полей на моделях. При этом в качестве дополни­ тельного условия необходимо учесть то количество теплоты, кото­ рое освобождается или поглощается на границе перехода среды из талого в мерзлое состояние и наоборот (условие Стефана), которое имеет вид:

dt -X, (5.84) т +о dz -О Пользуясь здесь тем же приемом, что и при выводе критерия Фурье, введем следующие соотношения:

Х„ „ : Х,А К mfcH, ^,М Т ^ т,Н (5.85) zM= miz L K, u =mL L4»»’ Pm =wpPh;

* = щ (н P м Относя уравнение (5.84) к натуре, а затем к модели, мо­ жем написать:

_^Н (5.86) Wнг'нА —— = X,HQz 'т р L'кр,н — т,н &и +о - dL (5.87) Рм4~ » — = Х„ ^М ^ ' м Эх. dz., -о 'Sz„ +о Заменив в последнем уравнении все величины через их вы­ ражения по (5.85), найдем:

mwm mL m, Qt qz = mx„ Xw H л l P4 н^ h^. (5.88) - ^ A, h“ H“ H K p,H о Л M« dztI +o щтпх dxH dzH-o При условии, что mx - m x^ - mx, уравнение (5.88) упроща­ ется и принимает вид. mWmpmL™ l =. а, -X, (5.89) ^нРнАф.н mtmxmx м,н dz„ -о +о Решая совместно уравнения (5.89) и (5.86), получаем:

(5.90) mwmPmr Щ / Щ mxmx = Отсюда, согласно соотношениям (5.85), 1»Ь Х» = idem.

- 'мтА (5.91) ^m W m Pm ^.Р А ^ А В том случае когда модель выполняется из того же материа­ ла, что и натура, и при одинаковой влажности, т. е. при mw = 1, mL = 1, тр = 1, тх = 1., уравнение (5.90) значительно упрощается и приобретает вид rnf/mt mx = 1. (5.92) Кроме этого требования на модели должно быть выполнено требование критерия Фурье, согласно которому при принятых выше условиях m j m 2 = 1. (5.93) Более сложные случаи теплового моделирования здесь не рассматриваются. При некоторых условиях моделирование темпе­ ратурных полей в средах, меняющих агрегатное состояние, а с ним и значения температурных констант, становится принципиально невозможным.

Забегая несколько вперед, отметим, что если выполняется те­ пловое моделирование подвижной среды - потока в реке, водохра нилище-охладителе, конвективных потоков в водоеме и воздухе, окружающем исследуемый объект, то для вывода соответствующе­ го критерия подобия должны воспользоваться уравнением энергии (см. главу 6, формулы (6.10) или (6.13)). Тогда, по аналогии с крите­ рием Fo (5.75), получим критерий Пекле:

= Р е, (5.94) °н «М а где vM /м, ам и vH, /н, ап - соответственно скорость, характер­, ный размер потока и коэффициент физической (турбулентной) температуропроводности на модели и в натуре.

Из курса гидромеханики нам известен критерий подобия Рейнольдса:

Re = —. (5.95) v Если теперь воспользоваться полученными критериями по­ добия Bi, Ре и Re, то можно составить комплексные критерии, ко­ торые хотя нового ничего не создают, но иногда более удобны в исследованиях, например, Ре у — = — = Рг - критерий Прандтля (5.96) Re аТ и Bi = У (Re, Рг) = 1, (5.97) откуда a = y / 1(R e,P r). (5.98) При рассмотрении подобия теплообмена при свободной кон­ векции в подвижной среде, обусловленной различием температу­ ры в разных ее точках, будем иметь новый критерий подобия критерий Грасгофа:

Щ ^ = О г, (5.99) v где At - характерный температурный напор (разность температу­ ры поверхности воды и воздуха на удалении), (3, - коэффициент объемного расширения жидкости (воздуха). Если же свободная конвекция вызвана разностью плотности в двух точках жидкости на одной вертикали, обусловленной как различием температуры, так и другой какой-либо причиной, то получим критерий Архиме­ да, используемый в качестве критерия устойчивости частиц жид­ кости (воздуха) в неоднородной среде, g z^ 4 = A r (5л°°) Ро v Р -Р о ~ где g - —— - ускорение подъемной силы, действующей на тело Ро (частицы жидкости) с плотностью р;

р0 - плотность окружающей частицу жидкости (воздуха атмосферы, если конвективный пере­ нос протекает в атмосфере).

С учетом критерия Gr интенсивность теплообмена может быть определена через следующее выражение двух критериев:

а/ Bi = — = / 2(G r,Pr) = N u. (5.101) А Произведение критерия Gr на критерий Рг называют крите­ рием Рэлея, используемый в качестве критерия термической неус­ тойчивости в среде:

Ra = G r-Pr = ^ ^ //-, (5.102) va где At - разность температур на границах горизонтального слоя воды толщиной /;

обычно принимают / = Н, т. е. равной глубине водоема.

В практике теплового моделирования, особенно в теплотех­ нике, помимо рассмотренных применяют также другие критерии I моделирования, соответствующие определенным задачам. С ними | можно познакомиться в специальной литературе [16, 22, 35, 59].

Рассмотрим пример использования критериальных зависи- !

мостей для решения практической задачи. Пусть нам требуется, например, рассчитать теплопотери с водоема в условиях свобод­ ной конвекции в атмосфере над ним (при штиле и ветре до 2 м/с).

Для этого воспользуемся известным в теории теплопередачи соот­ ношением между критериями Нуссельта и Рэлея Nu =,4R a1/3, (5.103) гдеЛ = 0,14.

После подстановки соответствующих выражений для Nu и Ra и некоторых (опущенных здесь) выкладок сотрудниками Физи­ ки атмосферы и океана Г.С. Голицыным и А.А. Грачёвым было найдено, что в режиме свободной конвекции в приводном слое воздуха:

1) явный поток теплоты (п. 3.4) 2) скрытый поток теплоты (п. 3.6) 1/ Р*Г* 4 / (5.105) а = л А, р вд?

W где ср - теплоемкость воздуха при постоянном давлении;

рв плотность воздуха;

а - коэффициент теплового расширения воз­ духа;

kt и кЕ - коэффициенты теплопроводности воздуха и диф­ фузии водяного пара;

v - кинематический коэффициент вязкости воздуха;

т « 0,075;

Во - число Боуэна (9.7);

Ьи - удельная тепло­ та испарения;

At я Aq - разность значений температур и удель­ ной влажности у поверхности воды и на удалении, т. е. на верхней границе пограничного слоя атмосферы. Метеорологи и гидрологи за верхнюю границу приводного пограничного слоя атмосферы принимают высоту, равную 2 м, океанологи - 1 0 м;

это высоты, на которых ведутся стандартные метеонаблюдения.

ГИ Д РО ТЕРМ И ЧЕСКИ Й РА С ЧЕТ ВОДОЕМ ОВ И ВОДОТОКОВ До сих пор мы рассматривали задачи, связанные в основном с изучением распределения теплоты в неподвижных средах.

Между тем целый ряд практических задач, выдвигаемых в на­ стоящее время гидрологией и гидротехникой, требуют изучения распространения теплоты в водных ламинарных или турбулентных потоках: реках (каналах), водохранилищах, озерах и т.д. Для рас­ смотрения распределения температуры в таких потоках используют уравнения турбулентной теплопроводности. Осуществим его вывод.

6.1. Д и ф ф ер ен ц и ал ь н о е у р авн ен и е теп л о п р о во д н о сти ту р б у лен тн о го п о то к а Процесс накопления и расходования теплоты в водоеме ко­ личественно характеризуется уравнением теплового баланса, вы­ ражающего частный случай за­ кона сохранения и превращения энергии. Оно может быть запи­ сано для произвольного объема воды изучаемого водотока.

Итак, выделим в пределах водотока в системе декартовых Q Q,+, координат х, у, z элементарный *х параллелепипед с гранями dx, dy, dz (рис. 6.1). Рассмотрим его тепловой баланс. Через грани параллелепипеда теплота будет распространяться двумя путями:

1) вместе с водными мас­ 6.1. Схема к выводу диффе­ Рис.

сами, пронизывающими грани ренциального уравнения тепло­ проводности потока жидкости.

параллелепипеда со скоростями vx, v, vz - молярный перенос;

2) молекулярной теплопроводностью в ламинарных потоках (с коэффициентом теплопроводности А) и турбулентной теплопро­ водностью в турбулентных потоках (с коэффициентом теплопро­ водности к, во много раз превышающим X).

Уравнение теплового баланса для выделенного элементарно­ го объема жидкости в этом случае будет иметь следующий вид:

й + б г + бз + 6 б+ 6 1 + 6 +6 + 6 б= (6 -1 ) +64 +05 2 3+64 +65 где 6 1 6 2 j 6 з и Т-Д - количество теплоты, обусловленное скоро­ стью потока жидкости через соответствующие грани в направле­ нии осей х, у, z за время d x, a 2i, 6 2 6 3 и Т-Д ~ количество теп­ лоты, обусловленное турбулентной теплопроводностью потока через эти же грани и за то же время dx.

В том случае когда потоки теплоты, проходящие через грани параллелепипеда, взаимно не компенсируются, т. е. в него входит теплоты больше, чем выходит, или, наоборот, будет наблюдаться изменение энтальпии рассматриваемого объема d x d y d z, которое в уравнении (6.1 ) обозначено через Qj.

Определим составляющие уравнения (6.1).

Количество теплоты, поступившее в параллелепипед через грань dy dz молярным путем за время d x, оценим по формуле Qx = ср vxt d yd zd x, (6.2) где с и р - удельная теплоемкость и плотность жидкости;

vx - про­ екция скорости на ось х;

р vxdy dz - расход жидкости через грань параллелепипеда dy dz;

t - температура жидкости, проходящей че­ рез грань dy dz.

Количество же теплоты, выходящее из элементарного па­ раллелепипеда через противоположную грань, отстоящую от пер­ вой на расстоянии dx, dt dv.

Q2 - ~ c p vx н - d x t-\---- dx d yd zd x, ---- (6.3) дх dx где dvx/dx и dt/dx - изменение скорости и температуры жидкости внутри выделенного объема вдоль оси х. Знак минус в этом урав нении свидетельствует о том, что Q2 - уходящее из элементарного параллелепипеда количество теплоты.

Для остальных граней параллелепипеда будем соответствен­ но иметь:

Q3 - ср v t dx dz dx, Qt Л dv„. Y = ~CP vy + - ^ ~ dy t + ~~dy dxdzdx, Q a dy. дУ. (6.4) Qs = cpv2t dx dy dx, dv dt, t н dz dxdydx.

--- Qb = ~CP v. + —- dz dz z dz Другие шесть слагаемых уравнения (6.1) (Q[, Q'2, Q3, Q'4, Qs Q )= обусловленные турбулентной теплопроводностью, опре­ c, делим по следующим формулам:

Q[ = -Х т— dy dz dx, dx dt d t +— dx dx дК л. dy dz dx, 02 = Хт+-—-d x dx dx dt Q3 = -X T— dx dz dx, dy я Гt н 5/ dy Л, (6.5) --- ( m Л. Qy.

dxdzdx, e ;

= dy dy I dt Q'5 = -X T— dxdydx dz dt d t н dz --- dz J dx dy dx, А н 8k dz i,т ------ ^.

dz dz где XT- коэффициент турбулентной теплопроводности.

Изменение энтальпии рассматриваемого объема Q1 опреде­ лим по формуле Q1 = cp— d x d y d zd x. (6.6) дт Реш ая совм естно уравнения (6.1) - (6.6), получаем [28]:

/ d2t \ ft d2t dt dt dt dt + ср — + — + и — + u7 — dx1 dry dz dx dy dz 5т:

(6.7) r dk- ---+ ----T --- + ----3Ldt ^ dt dk dt dk -- + --- — dx dx dy dy dz dz При совместном решении уравнений (6.1) - (6.6) учтено ус­ ловие неразрывности несжимаемой жидкости dvx/dx + dvy/dy + d v jd z = 0 (6.8) dvy & j j j —- — dxdy 2 dz, dx d y d z, и отброшены слагаемые dx dx dy dy dv, dt d K d2t d K d2t dxdy2 d z, dx2dy d z, dxdydz, а также dx dx dy dy dz dz dk^ d2t,,2 у — - — jd x dydz из-за их малости по сравнению с другими. Урав dz dz нение (6.7) носит название дифференциального уравнения турбу­ лентного потока жидкости. Его также называют уравнением энер­ гии и реже уравнением конвективной теплопроводности.

При постоянном значении коэффициента турбулентной теп­ лопроводности А для всего потока уравнение (6.7) примет вид:

.т dt к т/ d2t d2t Э2Л dt dt dt — + u x — + u v— + u — = — (6.9) дт dx dy dz cp dx2 dy2 dz Коэффициент турбулентной теплопроводности изменяется в зависимости от координат х, у, z. Но, так как накопленные к на­ стоящему времени знания об его изменении по координатам не позволяют определять характер этой зависимости, его обычно принимают постоянным.

Учитывая, что левая часть уравнения (6.9) - полная произ­ водная от температуры по времени, его можно представить в виде dt (6.10) dx ~ а' дх2 ду2 dz или ~ = aT 2t, V (6.11) dx где а т=А,т/(ср) - коэффициент турбулентной (конвективной) тем­ пературопроводности.

При наличии в потоке внутренних источников теплоты (на­ пример, теплоты, появляющейся при изменении агрегатного со­ стояния воды: при внутриводной кристаллизации, при переходе кинетической энергии движения потока в тепловую, при проник­ новении лучистой энергии в воду и т. д.) уравнение (6.10) должно быть дополнено еще одним слагаемым, связанным с источником dt d2t d2t д21Л + W/(cp), (6.12) dx удх2 ду1 dz1j где W - интенсивность внутреннего источника (количество теплоты, которое выделяется или поглощается единицей объема жидкости).

Из сопоставления выражений (3.53) и (6.10) следует, что уравнение энергии отличается от дифференциального уравнения теплопроводности полной производной, учитывающей три допол­ нительных слагаемых, и коэффициентом турбулентной температу­ ропроводности ат Для ламинарного потока уравнение энергии.

аналогично уравнению (6.11):

— = aS/2t, (6.13) dx где а = V (cp) ~ коэффициент температуропроводности жидкости.

В случае установившегося температурного режима водного потока температура в каждой точке его остается неизменной во времени (dt/dт = 0 ) и меняется лишь по направлениям х, у, z, а уравнение (6.9) принимает следующий вид:

Чтобы решить это уравнение, его необходимо еще допол­ нить уравнениями Рейнольдса и уравнением неразрывности, из­ вестные нам из курса гидромеханики.

Назначение коэффициента турбулентной теплопроводно­ сти. Теперь остановимся на рекомендациях по определению коэф­ фициента турбулентной теплопроводности А, значение которого,т необходимо для нахождения коэффициента турбулентной темпе i ратуропроводности ат в уравнении (6.12).

| В настоящее время в практических руководствах [42, 45] I принято записывать, что Хт= Х + Хк +XV+ХЮ..., + (6.15) где коэффициенты теплопроводности: X —молекулярный (физиче­ ский) (п. 3.2.);

Хк - свободно-конвективный (п. 3.3);

Xv - динами­ ческий, обусловленный течением;

Ха - волновой, обусловленный воздействием на водную поверхность ветра.

! В формуле (6.15) выполняется арифметическое суммирование !i коэффициентов теплопроводности различной природы, что не 1 | вполне корректно так осуществлять, так как при совместном воз | действии всех перечисленных факторов может произойти их взаим j ное влияние друг на друга (даже гашение друг друга) и, следова тельно, общее значение Хт не будет соответствовать сумме значе j ! ний перечисленных слагаемых.

| В случае если имеют место отдельные виды теплопередачи |j в воде, то слагаемые в формуле (6.15) рекомендуется определять I! следующим образом.

Согласно п. 3.2 устанавливаем, что значение молекулярной теплопроводности X в турбулентном потоке пренебрежимо мало !

по сравнению со значением динамической теплопроводности A.v, поэтому первое слагаемое в (6.15) из рассмотрения может быть исключено. Для неподвижной жидкости или ламинарного потока значение коэффициента X следует брать по табл. 3.1 или согласно | графику рис. 3.2 (см. главу 3). Как уже отмечали ранее единой простой эмпирической зависимости для расчета этого коэффици­ ента для воды установить не удается из-за ее нелинейности и на­ личия максимума. Для определения X в пределах температуры во­ ды ? = 0 - 40 °С можно рекомендовать приближенную формулу (6.16) Я = 0,569(1+ 0,00150 Значение коэффициента свободно-конвективной теплопро­ водности следует определять по формуле Хк = 4,07 10-4 A Ra0,. (6.17) где безразмерное число Рэлея находится по формуле (5.102).

Коэффициент динамической теплопроводности может быть определен при открытой водной поверхности по формуле Xv = 0,46 сА, (6.18) где с - удельная темплоемкость (Вт ч/кг °С);

А - коэффициент турбулентного обмена (турбулентной вязкости) (кг/м • ч), который В.М. Маккавеев рекомендует определять при параболическом рас­ пределении скорости по глубине потока по формуле PgflVcp А = 3600 (6.19) МС ’ а А.В. Караушев, при эллиптическом распределении скорости по глубине, по формуле (6.20) где vcp и v0 - скорость течения средняя по глубине потока Я и на его поверхности;

М= 48 м1 /с;

С - коэффициент Шези;

при 10 С / ременная глубина.

После совместного решения (6.18) и (6.19) будем иметь CPgflVcp Xv =\660 (6.21) МС При отсутствии сведений о коэффициенте шероховатости дна водотока (коэффициента Шези С) можно воспользоваться для определения Xv приближенной формулой К.И. Российского, по­ лученной им на основании исследований, выполненных на водо­ хранилищах:

(6.22) Xv = 1,163-Jo,1 q2 +0,521 Н 3 + 0,6, где q - удельный расход воды (м2/ч).

При наличии ледяного покрова коэффициент динамической теплопроводности следует определять по формуле (6.23) где Сд - коэффициент Шези, определенный по шероховатости дна;

кл = '/(С д,Сн) - коэффициент, определяемый по графику в зависи­ мости от шероховатости дна (Сд ) и нижней поверхности ледяного покрова ( Сн).

Среднее значение коэффициента турбулентной теплопро­ водности при ветровом волнении необходимо определять при i толщине слоя воды z0 = 0,5LB, в котором волнение полностью за­ тухает по формуле (6.24) где LB, hB, Тъ - высота, длина, период волны.

6.2. Уравнение теплопроводности непроточного водоема Современное проектирование гидротехнических сооруже­ ний в числе других задач решает и такие, которые связаны с про­ гнозом температурного режима создаваемых водоемов (водохра­ нилищ) и каналов в измененных условиях, возникших вследствие выполненных гидротехнических мероприятий. Применительно к решению этих задач разработана специальная методика теплово­ го расчета водоемов. Основу этой методики составляет уравнение теплового баланса водоема.

Впервые метод теплового баланса был применен в 20-х го­ дах прошлого столетия исследователем Л.Ф. Рудовицем при оцен­ ке интенсивности испарения с Каспийского моря. В эти же годы В.В. Шулейкин на основе составления теплового баланса устано­ вил наличие теплого течения из Баренцева в Карское море. Тогда же этот прогноз был подтвержден специальными экспедиционны­ ми исследованиями. В 1929 г. Н.М. Вернадский разработал мето­ дику расчета прудов-холодильников (проточных водоемов), кото­ рые начали создаваться в первой пятилетке по плану ГОЭЛРО в большом количестве при строительстве тепловых электростан­ ций. Эта методика основана на методе теплового баланса и почти в неизменном виде используется до сих пор при гидротехническом проектировании.

Водоемы и водотоки принято подразделять по проточности и глубине, так как от этого зависит их термический режим. С вы­ бором типа водоема связана, прежде всего, математическая фор­ мулировка задачи, затем назначение начальных и граничных усло­ вий и выбор тепловых и гидравлических констант.

К настоящему времени существует большое число рекомен­ даций подразделения водоемов и водотоков на типы по степени проточности и глубине. Остановимся только лишь на двух из них.

Так, например, Россинский К.И. [48] характеризует проточ­ ность водоема величиной удельного расхода стокового течения (м2/с), получаемого от деления расхода воды на ширину водоема.

При таком определении проточности удельный расход определя­ ется как водностью, так и меняющейся по длине шириной потока.

С учетом этого удельного расхода он водоемы подразделяет на малопроточные ( 0,1 м2/с), небольшой проточности и проточные ( 0,5 м2/с). По глубине он подразделяет водоемы на неглубокие с ярко выраженным изменением температуры придонных слоев воды в течение года и глубокие - с амплитудой колебания темпе­ ратуры в придонных слоях воды в пределах 2 - 3 °С.

Согласно нормативному документу [45], разработанному в Научно-исследовательском институте Гидротехники им. Б.Е. Ве­ денеева (ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева) водоемы (водохранилища) классифицируются:

1) по степени проточности - на слабопроточные (F o /F o ' 0,9) и проточные (F o /F o ' 0,9), где Fo - критерий Фурье;

Fo' = /(B i) - определяется по табл. 6,1;

Bi - критерий Био;

Т а б л и ц а б. Значения Fo' для определения степени проточности водоема Bi 4 -1 1 - 0,6 0, оо - 50 5 0 -1 0 1 0 -4 0,6 - 0, Fo' 0,20 0,30 0,40 0,50 0, 0,12 0, 2) по глубине - на мелкие, глубокие и очень глубокие.

В этом случае характеристикой типа водоема являются критиче­ ское число Фурье (FoK ), Bi, перепад температуры воды по глуби­ p не At и изменчивость ее в придонных слоях. Сведения об этом делении представлены в табл. 6.2 и 6.3.

Т а б л и ц а 6. Характеристика типа водоема с учетом его глубины Тип Перепад Изменчивость при­ Bi Fo температуры водохранилища донной температуры t = var Мелкое 0,2 К о = z h tz = h At *0 = var 0, Глубокое ^ F °K P t At Ф0 = const 0, Очень глубокое F °K P = z h Т а б л и ц а б.З Значения F o K для определения типа водоема с учетом его глубины p O O 10 1 0,6 0,4 0, Bi 0,10 0,15 0,18 0,20 0, 0, F% Рассмотрим тепловой баланс водоема. Для этого воспользу­ емся дифференциальным уравнением теплопроводности (6.9) в алгебраической форме, которое записано в виде (6.1). Уравнение (6.9) описывает самый общий случай температурного поля потока - нестационарного, пространственного. Решить это уравнение аналитически чрезвычайно трудно. Поэтому рассмотрим только частный случай теплового баланса водоема.

Тепловой баланс непроточного водоема. Для непроточно­ го водоема (vx = vy =vz = 0 ) уравнение (6.9), в основе которого ле­ жит уравнение теплового баланса, примет следующий вид:

д*_ = К Ъ ' (625) ср dz дт При переходе от уравнения (6.9) к уравнению (6.25) предпо­ лагалось, что температурный режим водоема вдоль координат х и у не меняется ( d 2t j d x 2 = 0, d 2t j d y 2 = 0 ). Это справедливо, если глу­ бина водоема и граничные условия вдоль этих координат не ме­ няются.

После интегрирования уравнения (6.25) по глубине водоема по­ лучим я а =_ ц а (626) -дт ср dz или с р Н ^ = \ т%-. (6.27) дт dz Левая часть уравнения (6.27) представляет собой изменение энтальпии отсека водоема площадью 1 м2 и глубиной Н. Оно обу­ словлено тепловыми потоками, поступающими в этот отсек через свободную поверхность и дно. Следовательно, правую часть урав­ нения (6.27) можем заменить суммой тепловых потоков через эти поверхности:

r)t п 6- z= tf dt dt и— - температурны й градиент у поверхности воды где Tdz z - О dz z = H и у дна, п - число слагаемых потоков.

Решая совместно уравнения (6.27) и (6.28), получаем:

С Я = Р (6‘29) Таким образом, изменение средней температуры воды не­ проточного водоема во времени (dt/dx) определяется граничными условиями (второго и третьего рода) - суммой тепловых потоков через его поверхности.

Расчет тепловых потоков через поверхность и дно водо­ ема. Сумма тепловых потоков, проходящих через поверхности во­ доема и определяющих его тепловой баланс, может быть пред­ ставлена в следующем виде:


п 2 = Qr +бк +6и +6пр + 6д +6гр +Qoc + - (6.30) где Qr - количество теплоты, определяемое радиационным ба­ лансом водной поверхности;

QK - количество теплоты, обуслов­ ленное конвективным теплообменом между водной поверхностью и воздушной средой над водоемом;

QK - количество теплоты (те­ плоотдача), определяемое испарением воды с поверхности водо­ ема (или количество теплоты, приходящее при конденсации пара);

- количество теплоты, приносимое водами притоков или про­ 2пр мышленными водами;

Qa - количество теплоты, обусловленное теплообменом между водой и дном;

Q - количество теплоты, приносимое грунтовыми водами;

Qoc - теплота, поступающая в водоем с осадками.

Другие элементы теплового баланса в уравнении (6.30) за их малостью не рассматриваются. Например, для рассматриваемых водоемов не учитывается теплота перехода механической энергии движения воды в тепловую энергию, теплота биохимических про­ цессов и ряд других несущественных составляющих теплового баланса, значения которых лежат в пределах точности расчетов.

I В уравнении (6.30) величина QR всегда по знаку положи­ тельная, а остальные его составляющие могут иметь разные знаки.

Дифференциальное уравнение (6.29) позволяет определить ход во времени средней по глубине температуры воды при задан­ ных значениях составляющих правой части уравнения. Рассмот­ рим составляющие теплового баланса (6.29) иметоды их расчета для открытых водоемов. Все составляющие измеряются в ваттах на квадратный метр. Тепловой режим водоемов для зимнего пе­ риода рассматривается в гл. 8.

1. Радиационный баланс земной поверхности. Количеств теплоты, равное поглощенной водой солнечной радиации за выче­ том эффективного излучения определяется по формуле (3.33):

e * = ( i- 4 o,p + tf p j- v (6-31) I Правая часть равенства (6.31) включает в себя суммарную I солнечную радиацию Qa + q при наличии облачности и эффек­ тивное излучение воды 1Эф. Интенсивность солнечной радиации меняется с высотой Солнца, высотой местности над уровнем моря, а также зависит от прозрачности атмосферы, облачности и других факторов. При отсутствии данных актинометрических наблюде­ ний суммарная солнечная радиация может быть рассчитана по формулам в зависимости от интенсивности солнечной радиации при безоблачном небе. Интенсивность солнечной радиации при безоблачном небе для любой точки земного шара и любого часа года оценивается по формулам (глава 3, п. 3.5) или таблицам [45].

Поступившая к поверхности воды солнечная радиация толь­ ко частично ею поглощается, другая часть отражается водной по­ верхностью. Отраженная радиация зависит от альбедо А этой по­ верхности (п. 3.5). При большой высоте Солнца альбедо имеет ми­ нимальное значение, при приближении же Солнца к горизонту оно увеличивается в несколько раз. Значения альбедо водной поверх­ ности можно найти в таблице [45], составленной для различных широт земного шара.

Поверхность воды излучает теплоту в окружающее ее про­ странство. В свою очередь, от атмосферы приходит встречный по­ ток излучения к воде, основную роль в котором играет водяной пар. Разность теплоты этих потоков является эффективным излу­ чением водной поверхности. Эффективное излучение при безоб­ лачном небе может быть оценено по таблице [45].

Из большого числа формул, принятых для расчета радиацион­ ного баланса, рассмотрим только те, которые приводятся в рекомен­ дациях [45]:

- формула А.П. Браславского и 3.А. Викулиной:

S Qr = ( а. р + О 0* А М л -*в+с(«о +Ьг\ ( 6-32) I - формула М.И. Будыко:

Qr = {Q, р + О 0[1 “ С -4 1” t \, (6.33) - / эфо( 1 - С о - 3,6 а оГ И2) 3(Гп - Г 0).

В этих формулах (б п.Р + 9 Р.Р)о ~ суммарная солнечная радиа­ ция при безоблачном небе на уровне моря;

А - альбедо поверхности с - коэффици­ воды в относительных единицах;

2, ке, к кп, к в+ с, к, енты, зависящие от влажности воздуха, высоты местности над | уровнем моря, облачности нижнего и совместно верхнего и средне j го ярусов, географической широты и других факторов;

щ, пн - об­ лачность общая и нижняя в долях единицы;

у - доля радиации, по­ вторно рассеянной облаками по направлению к поверхности воды;

cj0- постоянная Стефана - Больцмана;

Тп и Г0 - абсолютная тем­ пература поверхности воды и воздуха на высоте 2 м;

Ьхи Ь2- вели­ чины, зависящие от влажности воздуха и облачности;

/ эф - эффек­ о тивное излучение при безоблачном небе.

2. Конвективный теплообмен. Теплоотдача испарением.

{ Рекомендации по расчету количества теплоты, определяемой кон­ вективным теплообменом ( QK) и испарением ( ) здесь рассматри­ вать не будем, так как они приведены соответственно в п. 3.4 и 3. при рассмотрении основных закономерностей температурного поля.

3. Количество теплоты, приносимое водами притоков I \ или промышленными водами, отнесенное к единице его поверх­ ности, определяется по формуле (6.34) а Р = [ ( ф & ) / п К Р где QB - средний за период расчета расход воды притока;

1 площадь водной поверхности водоема;

Atnv=tnp- t B- разность между температурой воды притока и водоема.

4. Теплообмен с дном. Теплообмен между водой и грунтом дна оценивается в зависимости от типа водоема. В том случае ко­ гда водоем мелкий оценка количества теплоты, проходящей через дно, осуществляется по закону Фурье (3.10):

(6.35) й „ = а dz z = H д В глубоком водоеме градиент температуры принимается равным нулю, а в очень глубоком - температура предполагается постоянной у дна, т. е. — = 0 й /I = const. Поэтому в таких & г=я водоемах теплообмен с дном равен нулю.

Для определения теплообмена с дном по формуле (6.35) не­ обходимы данные о ходе придонной температуры воды или о ходе температуры грунта, слагающего дно. Эти сведения получить весь­ ма трудно: необходимо выполнить натурные измерения либо задать ход температуры со стороны воды или со стороны грунта. Оба пути неприемлемы в случае предвычисления температуры воды водоема или расчета его теплового баланса. Поэтому рекомендуется пользо­ ваться готовой таблицей [45] для определения средних значений потоков теплоты через дно водоема, составленной для различных широт бывшей территории СССР и различных месяцев года.

Количество теплоты, приносимое грунтовыми водами 5.

обусловливающее изменение энтальпии водоема, отнесенное к единице его поверхности, определяется по формуле O p =Kcp O p ) M 4 p (6-36) - средний за период расчета расход грунтовой воды;

где Atlv - t - t B- разница между температурами грунтовой воды и во­ доема.

6. Приход теплоты с атмосферными осадками. Количест­ во теплоты, поступающее в водоем с атмосферными осадками, оп­ ределяется по одной из следующих формул:

- для жидких осадков бос.ж = СРЙжЛеж (6-37) - для твердых осадков еос.т.=ЧС тМ т+ 4 ш Р А + ф й Т тР )жО (6'38) где Н и /гт - слой жидких и твердых осадков;

Л0Ж- разница ме­ ж жду температурами жидких осадков и воды водоема;

ст и рт i удельная теплоемкость и плотность твердых осадков;

/гтж - слой жидких осадков, образовавшийся из твердых;

tB - температура воды водоема;

Ьш - удельная теплота плавления твердых осадков.

В формуле (6.38) первое слагаемое справа учитывает количе­ ство теплоты, необходимое для нагревания твердых осадков от тем­ пературы 0Т до О °С, второе - количество теплоты, необходимое для расплавления твердых осадков, третье - количество теплоты, необходимое для нагревания жидких осадков, полученных от тая­ ния твердых, от температуры О °С до температуры водоема tB.

6.3. Р а с ч е т средней т е м п е р а т у р ы в о д ы водоем а (м етод и зо кл и н ) Расчет средней температуры воды открытого водоема про­ изводится по методу, разработанному Н.М. Вернадским и Б.В. Проскуряковым. Этот метод подробно описан в работе Д.Н. Бибикова и Н.Н. Петруничева.

| В основу рассматриваемого метода положено уравнение те­ плового баланса для нестационарного теплового режима водоема | (6.29). Это уравнение устанавливает количественные связи между температурой массы воды водоема и всем комплексом метеороло­ гических факторов над ним.

Решая совместно уравнения (6.29) и (6.30) и пренебрегая сла­ гаемыми, имеющими малый порядок по сравнению с оставшимися, получаем:

gppVo +gfe +/эф, оР^и^2 +a 6 2 +(g.p +gp.p) „ f dt _ cpH cpH dx или в общем виде dt/ch = - f ( t ) + ф(х), (6.40) где 0 - коэффициент, зависящий от скорости ветра (см. формулу (9.23));

4 - удельная теплота испарения;

е0 - давление насыщен­ ного водяного пара в воздухе, определяемое по температуре по­ верхности воды;

е2 и 02 - парциальное давление водяного пара и температура воздуха на высоте 2 м;

t - температура, средняя по глубине водоема;

/ эф - эффективное излучение (теплота) водной поверхности;

а - коэффициент теплоотдачи от поверхности воды к воздуху [см. формулу (3.16)];

х - время. Остальные обозначения приведены в предыдущем тексте.

Таким образом, имеем: в левой части уравнения - отношение, выражающее интенсивность изменения температуры воды во вре­ мени;

в правой - первое слагаемое является функцией температуры воды, а второе - функцией метеорологических условий, меняющих­ ся во времени.

Учитывая, что по уравнению (6.29) расчету подлежит темпе­ ратура не поверхности воды, а средняя по глубине водоема, пере П ход от поверхностной температуры, входящей в слагаемые У,Q, к средней обычно выполняется согласно соотношению t„ = kt. Пе­ реходный коэффициент в формуле (6.39) с некоторым прибли­ к жением для неглубоких водоемов (до 10 м) может быть принят равным 1,1 в период нагревания и 0,9 в период охлаждения водоема.

Для решения уравнения (6.40) необходимо знать начальные и граничные условия. В качестве начальных условий должна быть задана средняя температура воды водоема в начальный мо­ мент времени, для которого выполняется расчет. Этот срок выби­ рается в соответствии с поставленной задачей. Часто, когда труд­ но задать начальную температуру, за начальный момент расчета принимают дату окончательного очищения водоема ото льда, а температуру воды в этот момент равной О °С.


В качестве граничных условий должны быть заданы метео­ рологические условия над водоемом за весь расчетный период.

Эти условия в зависимости от поставленной задачи должны быть заданы в виде прогноза или же вместо прогнозных следует ис­ пользовать средние многолетние характеристики. При расчете, например, водохранилища-охладителя должны быть заданы экс­ тремальные (максимальные) значения температуры (0 2) и влаж­ ности воздуха ( ег ), так как наибольшая температура воды будет при наименьшем дефиците насыщения. При расчете же теплово­ го режима водохранилища, образующегося после воздвижения плотины на реке, могут быть заданы даже средние многолетние характеристики. В то же время при расчете для него самых ран­ них сроков ледостава используют метеорологические условия самого сурового года.

Интегрирование уравнения при указанных выше условиях производят графически по методу изоклин, предложенному еще Эйлером, для наших целей впервые использованному Н.М. Вер­ надским и Б.В. Проскуряковым. Рассмотрим этот метод на приме­ ре расчета средних месячных значений температуры воды для лет­ него периода года. Расчетный интервал времени зависит от интер­ вала за который даются средние метеорологические характеристи­ ки. Чем короче интервал времени, тем точнее решается задача. Для выполнения интегрирования уравнения (6.40) вначале для каждого летнего месяца определяем f(t) в предположении, что средняя ме­ сячная температура воды (в каждом месяце) будет меняться в ожи­ даемых пределах (например, от 0 до 25 °С). Полученные значения функции наносим на график, в результате получим число кривых, равных числу летних месяцев. Затем вычисляем ф(х) для каждого 1 месяца интересующего нас периода и строим график. Выполнив ! указанные операции, перейдем к построению поля изоклин (рис. 6.2).

С этой целью, задаваясь последовательно значениями d t!d x, j равными 0,02;

0,01;

0,00;

- 0,01;

- 0,02 и т. д., определяем по урав­ нению (6.40) функцию ДО для каждого месяца, при этом значения ф(т) снимаем с соответствующего графика. Затем по значениям функции ДО по графику определяем температуру tr Полученные значения температуры для всех заданных d t!d x наносим на рис. 6. в координатах t, т. Соединяя ломаными линиями точки с одинако­ выми значениями d t/d x, получим поле изоклин.

Рис. 6.2. Кривые изменения температуры:

---- •---- воды в водоеме, --------- воздуха в атмосфере.

Изоклина - это линия, для всех точек которой производная имеет одно и то же значение.

На этом же рисунке строим лучевой масштаб производных dt/dx (левый рисунок), который является вспомогательным для нахождения кривой t = /( т ) в поле изоклин. Масштабы коорди­ нат поля изоклин и лучевого принимаются одинаковыми. Чтобы построить лучевой масштаб, необходимо задать значения градиен­ та температуры. Предположим, что A t/Ах = 0,01. Тогда при интер­ вале времени Дт: = 1 мес. = 720 ч перепад температуры At = 1,2 °С.

Для градиента At/ Ах = 0,02 At = 14,4 °С и т. д. После этих вычис­ лений в поле координат лучевого масштаба строим линии, соот­ ветствующие принятым градиентам: 0,02 0,01, 0,00 и т. д., которые выписываем у этих линий.

Построение интересующей нас интегральной температурной кривой t = / (т) с помощью лучевого масштаба начинаем, как уже отметили выше, с месяца, когда значение температуры из­ вестно. Предположим, что температура воды равна О °С 15/IV. Че­ рез точку с этой датой проходит линия поля изоклин со значением 0,02. Из этого следует, что градиент температуры в этой точке ра­ вен 0,02. Поэтому через эту точку нужно провести луч лучевого масштаба, отвечающий значению 0,02, и продолжить его до сере­ дины между изоклиной 0,02 и ближайшей к ней 0,01, т. е. до изо­ клины 0,015. Здесь луч изменит свое направление, так как линия пойдет под углом, соответствующим изоклине 0,015, и дойдет до ! изоклины 0,01, где наклон его снова изменится, и т. д. Таким обра­ зом, полученная ломаная линия будет кривой хода средней темпе­ ратуры воды за безледоставный период.

6.4. Р а с ч е т те м п е р а ту р ы п оверхн ости в о д ы водоем а (м етод А.П. Б р асл ав ск о го ) Метод расчета температуры поверхности воды водоема раз­ работан А.П. Браславским и З.А. Викулиной с целью расчета нор­ мы испарения с поверхности воды [7]. Используя переходной ко­ эффициент, можно перейти от поверхностной к средней по глуби­ не температуре воды (см. п. 6.3).

В основе расчета температуры поверхности воды лежит уравнение теплового баланса водоема (6.29), записанное в конеч­ ных разностях в следующем виде:

(6.41) где tK и tH, Н к и Н н, Fkk FH - средняя по вертикали температура воды, глубина и площадь водоема в конце и начале расчетного пе­ риода Ах;

F - средняя площадь водоема, j Метод решения уравнения (6.41), предложенный А.П. Бра­ славским, во многом совпадает с решением уравнения (6.29) мето­ дом изоклин. Основное отличие заключается в том, что в методе изоклин интегрирование уравнения производится графическим способом - с помощью графика изоклин, а в методе Браславского конечно-разностным способом с подбором ответа. Для этого урав­ нение (6.41) записывается таким образом, что левая часть его (по П еле раскрытия суммы ^ T g ) зависит от искомой температуры во ды, а правая - от метеоусловий. Таким образом, зная метеоусловия по прогнозу (или среднемноголетние их значения) рассчитывается правая часть уравнения. Затем, используя поочередно различные значения температуры поверхности воды tn, вычисляется левая часть уравнения. Полученные значения сравниваются со значе­ ниями правой части уравнения. Равенство обеих частей будет го­ ворить о правильности задания температуры tn. Все расчеты табу­ лированы, поэтому, хотя метод и громоздок, расчет много времени не занимает.

6.5. Р асч ет т е м п е р а ту р ы во д ы по глубине водоем а (метод суперпозиции) Расчет температуры воды водоемов методом суперпозиции (наложения) предложен А.И. Пеховичем и В.М. Жидких. Этот ме­ тод изложен в работе [13] и рекомендациях по термическому рас­ чету водохранилищ [45]. Метод предусматривает использование дифференциального уравнения теплопроводности для непроточно­ го водоема (6.25):

dt/dx = a^d2t/d z2, (6.42) где а1 - А.,т/(ср) - коэффициент турбулентной температуропро­ водности.

Принцип суперпозиции состоит в том, что если составляю­ щие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга, то результирующий эффект от этих воздействий будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздей­ ствием в отдельности.

Этот принцип строго применим к системам, поведение кото­ рых описывается линейными соотношениями.

Согласно этому определению, тепловую задачу со сложны­ ми краевыми условиями можно представить в виде суммы не­ скольких задач с более простыми условиями и находить решение (температуру) сложной задачи как алгебраическую сумму реше­ ний простых задач.

Разложение краевых условий сложной тепловой задачи на простые должно производиться таким образом, чтобы сумма зна­ чений начальной температуры ( -И0 +...) и тепловых условий на поверхности воды ( б П + Q„2 +...) и на дне ( 2 Д + б Д +...) для сла­ |- ] гаемых задач была равна начальной температуре (t0 =t0 +t0i +...) и тепловым условиям на поверхности (Q„= | + Q„2 +...) и на дне 2П ( 2 Д“ б д, + б д2 + --) в основной задаче. Значения коэффициентов температуропроводности ат, теплопроводности Хт и теплоотдачи а в решаемой и слагаемых задачах должны быть одинаковыми, за исключением случаев, в которых ат и А меняются во времени.

,т Из изложенного следует, что для решения сложной тепловой задачи необходимо иметь набор решений простых задач. Авторы метода А.И. Пехович и В.М. Жидких разработали аналитические решения для 19 таких простых задач. Эти решения представлены в виде расчетных графиков в безразмерных координатах и сводной таблицы. Решения 19 задач позволяют рассчитать температуру во­ ды в мелких, глубоких и очень глубоких водохранилищах как при отсутствии ледяного покрова, так и при его наличии, а также в во­ дохранилищах при их наполнении.

Безразмерные координаты графиков в зависимости от номе­ ра задачи (начальных и граничных условий) представлены иско­ мой относительной избыточной температурой:

е„, = (*-*„)/('- О ;

е«2 = ( ' - е 2 ) / ( 'о - 02);

е и3 = ( ' - 0 / ( 6х) и т -п | (6.43) критерием Фурье ! Fo = атх//г2, (6.44) j критерием Био B i —a h / X T ( 6.4 5 ) и относительной глубиной r\ = zjh, где t, t0, tn и 02 - соответст­ венно температура воды в точке, начальная и на поверхности, а также температура воздуха на высоте 2 м;

b - коэффициент при линейном задании температуры поверхности воды или воздуха;

ат - коэффициент турбулентной температуропроводности;

т - время;

z и h - соответственно переменная и полная глубина водохрани­ лища;

а и Хт - соответственно коэффициенты теплоотдачи и тур­ булентной теплопроводности.

Рассмотрим метод суперпозиции на примере решения кон­ кретной тепловой задачи, заимствованной из рекомендаций [45].

Требуется найти распределение температуры воды по глу­ бине на конец третьей декады июня в слабопроточном водохрани­ лище глубиной 40 м, если в начальный момент (1 июня) темпера­ тура воды по глубине одинакова и равна 4 °С. Нагрев воды проис­ ходит в результате теплообмена с атмосферой, его ход показан на рис. 6.3 (схема 1): в течение первой декады (т,) тепловой поток постоянен (Qi= 150 Вт/м2), в течение двух последующих декад он возрастает, причем во второй декаде ( т 2) со скоростью Q'0 = = 0,4 Вт/(м2 ч), а в третьей (х3) - со скоростью QI =0,3 Вт/(м2 ч).

Коэффициенты турбулентной тепло- и температуропроводности воды соответственно равны: Хт = 1000 Вт/(м- °С) и ат 1 м2/ч.

в Рис. 6.3. Разложение теплообмена с атмосферой на составляющие ( 2, 3, (1 ) 4 ).

Порядок расчета температуры воды по глубине водоема при названных выше условиях следующий.

1. Согласно принципу суперпозиции, раскладываем тепловой поток, приходящий на поверхность воды, на три составляющие (рис. 6.3, схемы 2, 3, 4). Первый поток Qx действует в течение всего расчетного периода t = + т2 + т3= 30 сут. = 720 ч. Второй поток действует с интенсивностью Q в течение периода т2 +х3 = 20 сут.

' = 480 ч;

он равен Q2 = бо( т 2 + хз) = 0,4(т2 + т3) Вт/м2. Третий поток теплоты действует в течение периода х3 = 10 сут. = 240 ч. Так как действие второго потока интенсивностью Q'0 мы распространили и на период т3, в то время как в этот период она равна Q I, т. е. ниже, чем во второй декаде, поэтому третий поток следует находить по формуле Q3 = (Qq -Q'qJi3 = — 0,1х3 Вт/м2 (рис. 6.3, схема 4).

Итак, решение общей задачи находим в виде суммы реше­ ний трех задач - по числу соответствующих потоков ( Qx, Q2, Q3).

2. Для каждой из трех задач устанавливаем начальные и гра­ ничные условия. В качестве начальных условий для первой задачи принимаем условия основной задачи: t0 = 4 °С. Тогда во второй и третьей задачах, согласно условию разложения сложной задачи на простые, в качестве начальных условий следует принять (°2 =(°з = ® °С- В первой задаче в качестве граничного условия на поверхности воды принят источник Qx (теплообмен с атмосферой постоянный), во второй - Q2 (теплообмен с атмосферой возраста­ ет) и в третьей - Q3 (теплообмен с атмосферой возрастает, но его рост ниже, чем во втором периоде).

Так как распределение температуры рассматривается в лет­ ний период (период отсутствия ледяного покрова), то для всех dt трех декад можно принять граничное условие на дне — = 0.

dz z~h.

Таким образом, получено, что сумма начальных и гранич­ ных условий слагаемых задач в каждый момент времени равна ус­ ловиям основной задачи. Находим решение общей задачи в виде суммы решений трех задач. Для этого обращаемся к перечню ре­ шений 19 простых задач, разработанных А.И. Пеховичем и В.М. Жидких, и обнаруживаем, что первая задача совпадает с за­ дачей № 6, а вторая и третья задачи - с задачей № 7 этого перечня (рис. 6.4). Причем во второй задаче в качестве Q0 (графа 5) необ­ ходимо принять Q'q, а в третьей - ( бо - йо )• Расчетная формула для определения температуры воды с учетом полученных решений для трех простых задач имеет вид где относительная избыточная температура 0И, определяемая формулами (6.43), находится по графикам, построенным для каж­ дой задачи, в зависимости от критерия Фурье и относительной глубины r \ - z / h.

Результаты расчета температуры воды в водоеме по его глу­ бине для рассматриваемого примера приведены в табл. 6.4.

Т а б л и ц а 6. Расчет температуры воды по глубине водоема Температура, °С Глубина в задаче искомая I II III 1- h + h + h II м Z, h h 0 И2 h 0 и 0 ".

0 0 0,78 8,68 0,122 3,12 0,048 -0,31 11, 8 0,2 7, 0,60 0,076 1,95 0,022 -0,14 9, 16 0,4 0,46 6,76 0,045 0, 1,15 -0,08 7, 6, 24 0,6 0, 0,37 0,69 0,006 -0,04 6, 32 0,8 0,31 5,86 0,017 0, 0,43 -0,01 6, 40 1 5,68 0, 0,28 0,36 0,001 -0,01 6, В дифференциальное уравнение теплопроводности (6.42), используемое при решении тепловых задач методом суперпози­ ции, входит коэффициент турбулентной температуропроводности воды ат, зависящий не столько от температуры воды, сколько от перемешивания ее при течении и ветровом волнении. Следова­ тельно, этот коэффициент переменный по глубине водоема и во времени. В задачах же он принимается постоянным. Это допуще­ ние до настоящего времени убедительно не подтверждено данны­ ми наблюдений. Поэтому не представляется возможной оценка Рис. 6.4. Решение слагаемых (простых) задач.

степени точности расчетов температуры воды этим методом. По видимому, в некоторых конкретных случаях погрешность, вноси­ мая указанным допущением, может быть значительной.

6.6. Р асч ет т ем п ер а ту р ы в о д ы о тк р ы т о го во д о то ка Предвычисление охлаждения воды в реке, отводящем кана­ ле, в нижнем бьефе гидроэлектростанций и в других случаях имеет непосредственное практическое значение. При решении этих задач используется дифференциальное уравнение (6.9), описывающее температурное поле потока. Уравнение может быть решено при наличии начальных и граничных условий: задании распределения температуры в начальном (входном) створе потока и теплообмена на внешних границах (на поверхностях) потока. Кроме того, должны быть заданы проекции скоростей i во всех точ­ у’ ках изучаемого потока, а также значение коэффициента турбу­ лентной теплопроводности.

По разным причинам это уравнение решить не удается, по­ этому его упрощают. Например, при рассмотрении температурно­ го режима потока с более или менее прямолинейным течением принимают, что vx = vy = 0. Кроме того, пренебрегают вторыми производными от температуры по длине и ширине потока из-за их малости. И тогда уравнение (6.9) приобретает следующий вид:

dt dt Хт ---- * и — —— Ч (6.47) dx dx cp dz или, после интегрирования правой части по аналогии с (6.25) (6.30), с dt/dx + их dt/dx — Е е (6.48) !{срН), а для установившегося температурного режима ( dt/dx = 0 ) (" Y/ dt/dx = Е е ДсрихЯ ). (6.49) V1 )/ Уравнение (6.48), тем более (6.49), уже может быть решено аналитически или проинтегрировано конечно-разностным мето дом. Для их решения необходимо располагать начальными и гра­ ничными условиями, а также значениями продольной скорости vx.

Например, в конечных разностях уравнение (6.49) имеет сле­ дующий вид:

(6.50) или Здесь At/Ax = (tK- tH х, a qB = vxH, где tn и tK ~ средняя )/А температура воды соответственно в начальном и конечном сече­ ниях участка водотока длиной Ах;

qB - удельный расход воды;

П сумма тепловых потоков через свободную поверхность водотока и дно.

Отдельные слагаемые суммы теплопотоков зависят от иско­ мой температуры воды на участке, т.е. от температуры {ср = ( * „ + К ) / 2. Это обстоятельство обусловливает выбор метода решения уравнения, а именно: метода последовательных прибли­ жений. Он заключается в том, что задается ориентировочно иско­ мое значение температуры t, затем определяются теплопотоки через поверхности водотока, после чего решается уравнение (6.51).

Решением этого уравнения считается значение температуры, кото­ рое совпадет с заданным ее значением. Если в результате выпол­ ненного расчета совпадение заданного значения температуры с найденным по уравнению не достигнуто, расчеты повторяют, задав новое значение / и т.д.

Длина рассматриваемого участка, в конце которого отыскивается температура равная tK определяется равенством, Д* = уЕ&|)иод времени Дт (время добегания потока) выбирается с учетом отрезка времени, за который дана метеорологическая ин­ формация. Обычно она дается как средняя суточная, средняя де­ кадная или средняя месячная.

Проектирование тем­ пературной кривой водотока по его длине по уравнению (6.49) выполняется по сле­ дующей схеме (рис. 6.5).

Водоток по длине раз­ бивается на участки протя­ женностью Ах, в зависимо­ сти от времени добегания Рис. 6.5. Схема построения темпера­ потока Д т. Затем в поле ко­ турной кривой открытого водотока.

ординат t, х на первом участ­ ке проводится отрезок температурной кривой t j ’. Начало этой K кривой определяется начальной температурой t, а конец - конеч­ ной t'K, которая задается ориентировочно. Средняя температура воды t[, снятая с этого отрезка, позволяет определить тепловые потоки через водную поверхность водотока (граничные условия), которые подставляются в уравнение (6.51). Вычисленный по этому уравнению градиент температуры сравнивается с заданным. Если результаты сравнения расходятся, то вычисления повторяются с учетом градиента, определенного по уравнению (6.51).

Выполнив расчеты для первого участка водотока, переходят к следующему. Экстраполируют температурную кривую участка в следующий интервал А х, затем с экстраполированного отрезка кривой снимают среднее значение температуры t’, по которому определяют тепловые потоки для нового участка водотока и т.д.

В заключение отметим, что расчет температуры по уравне­ нию (6.49) может быть выполнен не только графоаналитическим способом, как это изложено выше, но и с помощью ЭВМ.

6.7. Г и д р о тер м и ч еск и й р а сч ет во д о х р ан и л и щ а о х л ад и тел я Гидроэнергетике принадлежит ведущая и организующая роль в комплексном использовании водных ресурсов страны. Из­ вестно, что гидроэлектростанции (ГЭС) обладают рядом преиму­ ществ по сравнению с тепловыми (ТЭС) и атомными (АЭС) стан­ циями:

1) высокая степень использования первичных энергоресур­ сов (около 90%);

2) низкая стоимость выработанной электроэнергии;

3) численность обслуживающего персонала в несколько раз меньше;

4) высокая маневренность и быстродействие оборудования;

5) относительная простота, высокая надежность и долговеч­ ность оборудования и сооружений;

6) меньше влияние на окружающую среду.

Однако, несмотря на эти преимущества, в настоящее время в нашей стране более 80 % электроэнергии вырабатывается на теп­ ловых и атомных электростанциях (табл. 6.5), прежде всего, по причине того, что ТЭС той же мощности, что и ГЭС строится 2 - года, в то время как ГЭС 7 - 1 0 лет. В связи с чем, на базе вырабо­ танной электроэнергии на ТЭС развиваются энергоемкие произ­ водства пока строится ГЭС, т.е. оборачиваемость вложенного ка­ питала высокая. Существенным недостатком ГЭС является и зави­ симость выработки электроэнергии на них от водности водотока.

Т а б л и ц а 6. Количество выработанной электроэнергии в СССР и РФ (2005 г.), % Тип электростанции 1970 г. 1975 г. 1980 г. 2005 г.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 10 |
 



Похожие работы:





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.