авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Сборник трудов Выпуск 9 2002 Министерство образования Российской Федерации ...»

-- [ Страница 3 ] --

3. Уровень оперативного управления с длительностью планирования от десяти дней (декада) или недели (пятидневка) до одних суток. На данном уровне устанавли ваются задания по объемам выпуска каждого вида продукции каждым цехом на пла нируемый период с учетом состояния производства на начало этого периода.

4. Уровень календарного планирования и регулирования (диспетчирования) производства с длительностью до одной смены. На этом уровне решаются задачи ка лендарного планирования, устанавливающие объемы выпуска продукции (заготовок, деталей, изделий) для каждого производственного звена (участка, агрегата).

5. Уровень пооперационного планирования и управления интенсивностью технологических операций внутри каждого производственного звена с горизонтом планирования, ограниченным длительностью каждой технологической операции.

Приведенное выше разбиение задач управления на иерархические уровни но сит достаточно условный характер. В конкретных условиях функционирования пред приятия некоторые уровни могут подвергаться дальнейшей детализации (разбиению) или, наоборот, сливаться в один. В частности, на большинстве мебельных предпри ятий задачи календарного планирования (уровень 4) относят к оперативно производственному планированию (уровень 3) [4]. Тем не менее, общая схема фор мирования иерархии задач управления остается неизменной: решение задач верхнего уровня определяет цели и частично ограничения для задач более низкого уровня.

Позаказный характер работы мебельного предприятия требует изменения ис пользовавшихся ранее методов планирования и подготовки производства. В зависи мости от текущей загрузки оборудования и наличия необходимых материалов и ком плектующих могут варьироваться сроки исполнения заказов и, соответственно, вре менные рамки горизонта планирования.

Необходимым условием для оптимального управления производственной сис темой является использование адекватных экономико-математических моделей. При менительно к системе производственного управления особый интерес представляют модели, использующиеся для планирования потребности в материальных ресурсах, производственных мощностях, трудовых ресурсах и некоторые другие [5]. Эти же модели могут быть использованы при расчете себестоимости для каждого вида про изведенной конечной продукции.

Потребность в материальных ресурсах для запланированного выпуска конеч ной продукции может быть определена следующим соотношением:

m d x = d, (1) ri i r i = где xi - количество i-го вида выпускаемой продукции, r - номер вида материальных ресурсов (сырья, материалов, электроэнергии и других);

dri - норма расхода r-го вида материальных ресурсов на изготовление единицы i-го вида продукции (i = 1, 2, …, m).

С помощью аналогичных соотношений рассчитываются потребности в произ водственных фондах оборудования (в виде затрат машинного времени) и трудовых ресурсах (в виде затрат рабочего времени):

m f x f =, (2) i si s i = где s - номер вида фондов оборудования;

fsi - норма расхода s-го вида фондов на из готовление единицы i-го вида продукции;

m t x = t, (3) gi i g i = где g - номер вида труда (по профессиям);

tgi - норма расхода g-го вида труда на изго товление единицы i-го вида продукции.

Если величины dr, fs или tg выходят за установленные для данного планового периода максимальные обеспеченные уровни, то необходимо либо уменьшить объем выпускаемой продукции, либо принять меры по увеличению материальных ресурсов.

В любом случае решение об этом принимается на более высоком уровне управленче ской иерархии.

Мебельное предприятие оснащено разнотипным оборудованием, с помощью которого выполняются различные технологические операции. По этой причине в сис теме производственного управления значительное внимание уделяется оптимизаци онным задачам, связанным с загрузкой производственных мощностей. При модели ровании загрузки производственных мощностей следует различать универсальное (взаимозаменяемое) и неуниверсальное (невзаимозаменяемое) оборудование, по скольку в этих двух случаях модели принципиально различаются. Кроме того, в этих задачах может варьироваться вид целевой функции (максимум прибыли, минимум затрат и т.п.).

Например, математическая модель для задачи оптимальной загрузки неунивер сального (специализированного) оборудования с обеспечением максимума прибыли, может быть представлена в следующем виде:

l n ® max, P x (4) ij ij i =1 j = l n a x b r (r = 1, 2, …, R ), ij ij r i =1 j = xij 0 (i = 1, 2, …, l;

j = 1, 2, …, n), где i - номер вида производимой продукции;

l - количество видов производимой продукции;

j - номер технологии;

n - количество видов технологий;

Pij - прибыль, получаемая при реализации единицы продукции i-го вида, произведенной по j-ой тех нологии;

xij - количество продукции i-го вида, производимой по j-ой технологии;

r вид оборудования;

R - количество видов оборудования;

br - полезное время работы r оборудования r-го вида;

a ij - норма расхода машинного времени r-го вида оборудо вания при изготовлении единицы продукции i-го вида по j-ой технологии.

Математическая формулировка модели (4) дана в виде задачи линейного про граммирования, решение которой известными методами (например, симплекс методом) [6], позволяет получить оптимальный план Xij загрузки неуниверсального оборудования, обеспечивающий максимальную прибыль.

Вплотную к предыдущей задаче примыкает сложная задача разработки опти мальных производственных графиков (расписаний). Ее сложность еще более возрас тает за счет того, что, c одной стороны, каждый заказ индивидуален как по числу из делий, так и по дизайну исполнения каждого изделия, с другой стороны, из ряда сходных заказов необходимо формировать так называемые “пакеты” заказов (в рам ках допустимого горизонта планирования). Для решения данной задачи целесообраз но привлечь комплекс эвристических алгоритмов, реализующих блок моделирования (рис. 1) и использующих информацию, полученную как от модели (4), так и от про граммы, автоматизирующей прием индивидуальных заказов на изготовление мебели [7].

Список использованных источников 1. Стариков А.В., Хухрянская Е.С. Организация сквозной информационной поддержки позаказного мебельного производства // Формирование и функционирова ние информационного пространства в условиях рынка: Сб. материалов 2-й междуна родной научн.-практич. конференции. - Пенза, ПДЗ, 2001. - C. 110-112.

2. Стариков А.В., Катеринич А.М., Штондин А.А. Мебельное предприятие как объект комплексной автоматизации // Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления лесного комплекса: Межвуз. сб. научн. тр., Вып. 7, Воронеж, 2002. - (в печати).

3. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. М.: Гл. ред. физ.-матем. лит. изд-ва “Наука”, 1975. - 616 с.

Подготовка партии заказов к производству Производство партии заказов Формирование поиз- Оперативный учет Объем НЗП в подетально Деталь 1 Специфика пооперационном разрезе дельной специфика- (включая незавер ции заказов кация для заказа 1 шенное производ Формирование про ство - НЗП) Формирование по- изводственных операционной спе- план-графиков для Деталь k Изделие Партия цификации для партий деталей 1-M заказов партии деталей О С Т С Б П Заказ 1 Партия дета- План-график Изделие j М Деталь M Г К ОР лей 1 для партии Р О Р Л К деталей 1 О Д У А А Формирование по- И Е..

Изделие K З Д детальной специфи З Л К кации для заказа 1 ИР ИЗ И План-график В А Партия дета- О Заказ i Д Р для партии О.

.

лей k В Е О деталей k Д ЗАК В А Л С Формирование по- АЗ А Изделие 1 НИ..

И Т детальной специфи..

Н ОВ Е Й План-график кации для заказа N В И для партии О Партия дета- Е.

деталей M Деталь Заказ N лей M Изделие j Формирование по операционной спе цификации для Заявка на ма Деталь k Изделие L партии деталей M териалы и комплек Склады материалов и Специфика тующие для Принятие решения о комплектующих ции изделий Формирование поиз- партии заказов пересмотре размера дельной специфика- партии заказов при не Деталь M кация для заказа N достатке ресурсов Рис. 1. Блок моделирования - центральное звено системы производственного управления 4. Оксанич Э.Я., Соловий Б.И. Оперативно-производственное планирование в мебельном производстве: Учебное пособие для вузов. - М.: Лесн. пром-сть, 1982. 192 c.

5. Жданов С.А. Экономические модели и методы в управлении. - М.: Изд-во “Дело и Сервис”, 1998. - 176 c.

6. Балашевич В.А. Математические методы в управлении производством. Минск: “Вышейш. школа”, 1976. - 336 c.

7. Стариков А.В. Программа автоматизации приема индивидуальных заказов на изготовление кухонной мебели и проектирования интерьера кухни / Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2002610283. - Москва, РОСПАТЕНТ, 26 февраля 2002 г.

П.В.Сусин, Ю.В.Беляев, И.В.Зотов КОММУТАТОР С ДВОЙНЫМИ КОЛЬЦЕВЫМИ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ВЫХОДНЫМИ ОЧЕРЕДЯМИ Введение Одной из важных задач автоматизации является совершенствование методов и средств управления сложными производственными объектами. При ее решении необхо димо проектирование коммутационных устройств, реализующих оперативное взаимодейст вие коллектива модулей управления (МУ) с коллективом объектов управления (ОУ). Ана лиз предельных требований к коммутационному устройству, связывающему коллектив МУ с коллективом ОУ, показывает необходимость создания неблокирующих коммутаторов NN, способных обеспечивать высокую скорость коммутации при больших значениях N (N 1000).

Современные высокоскоростные коммутаторы, например ATM-коммутаторы [1], IP коммутаторы и межпроцессорные коммутаторы в мультипроцессорных системах [2], ис пользуют технологии коммутации пакетов. Подобные коммутаторы состоят из двух частей:

непосредственно коммутирующей и буферизирующей (рис.1). Поступая на один из входов, каждый пакет обрабатывается коммутатором. Согласно адресу, указанному в заголовке па кета, коммутатор определяет порт, в который этот пакет должен быть передан. Из-за осо бенностей архитектуры коммутатор может иметь или не иметь возможность передачи всех входящих пакетов на выходные порты. При отсутствии такой возможности все поступаю щие пакеты должны быть организованы в очередь во избежание их потери.

Рис. 1. Коммутатор с коммутацией пакетов Коммутаторы могут быть реализованы с различным расположением очередей (буфе ризирующей части коммутатора): с выходными очередями, с входными очередями, с вход ными, выходными очередями и общей памятью (рис.2).

Рис. 2. Реализации коммутаторов Достоинством коммутатора с выходными очередями является максимальная пропу скная способность. К недостаткам относится необходимость построения сверхбыстрой внутренней коммутационной части для обеспечения доставки всех поступивших в один момент времени пакетов к выходным очередям. Так для коммутатора NN в один момент времени может поступить N пакетов, по одному с каждого входа, имеющих пунктом назна чения один и тот же выход. Таким образом, очередь и коммутационная часть должны быть способны обеспечить N операций передачи и записи пакета в очередь [3].

Коммутатор с общей памятью используется в низкоскоростных коммутаторах [4].

Как показано на рис. 2б общая память является доступной как для входных линий, так и для выходных линий. Каждый вход и каждый выход получают доступ к общей памяти через общую шину. Логически память распределена между множеством выходных очередей. В любой момент времени каждый вход должен иметь возможность записи пакета в соответст вующую логическую выходную очередь, а каждый вход – возможность считывания ячейки из логической выходной очереди. Преимуществами такой организации являются высокая загрузка общей памяти при динамическом распределении очередей и низкая вероятность потери пакета. Основным недостатком коммутатора с общей памятью является необходи мость использования высокоскоростной памяти. Так, для коммутатора NN и память и об щая шина должны обеспечивать возможность N операций считывания пакетов на выход и N операций записи пакетов в общую память, а также сортировку по логическим выходным очередям. Таким образом, внутренняя скорость должна быть в 2N раз выше внешней скоро сти коммутатора.

Коммутатор с входными очередями (рис.2в) [7] в противоположность представлен ным выше не имеет ограничений по внутренней скорости, так как только одно сообщение может быть помещено во входную очередь и выдано из нее в один момент времени. Основ ным недостатком такого коммутатора является возможность взаимной блокировки пакетов в головных ячейках входных очередей. Блокировка возникает из-за разделения между со общениями с разными точками назначениями одной FIFO-очереди и, как следствие, ожида ния освобождения занятого выхода. Кэрол и др. доказали в своей работе [5], что пропускная способность коммутатора с входными очередями не может превышать ( 2 - 2 ) » 58%.

Наиболее известными способами преодоления блокировки сообщений являются:

коммутация виртуальных выходных очередей [6] и использование предварительного анали за сообщений нескольких первых ячеек входных очередей.

Коммутатор с виртуальными выходными очередями (VOQ) состоит из следующих компонентов: N входных модулей, N выходов, неблокирующего коммутатора и управляю щего устройства (УУ). Входные модули состоят из N FIFO-очередей, по одной на каждый выход. Приходящие сообщения сортируются по выходам для которых они предназначены и помещаются по мере поступления в соответствующую виртуальную выходную очередь.

Управляющее устройство в зависимости от реализованного алгоритма максимальной ком мутации обеспечивает управление коммутатором и выбором виртуальной выходной очере ди. Достоинствами данного коммутатора являются отсутствие необходимости в высокой внутренней скорости из-за использования входных очередей, обеспечение высокой пропу скной способности и невозможность «зависания» сообщений при использовании «весовых»

алгоритмов [8]. Недостатками коммутатора являются наличие централизованного УУ, уменьшающего надежность системы, а также существенная аппаратная сложность УУ при большом количестве коммутируемых входов (N) и применении весовых алгоритмов управ ления коммутацией внутри коммутатора.

Таким образом, анализ существующих моделей коммутаторов показывает невоз можность их использования для реализации эффективного взаимодействия коллектива ОУ с коллективом МУ, так как сложность их реализации существенно зависит от N.

В статье предлагается принципиально отличающаяся модель коммутатора, позво ляющая преодолеть многие недостатки известных решений.

Сущность предлагаемой модели Предлагаемая модель основана на следующих правилах:

1.Сообщения, приходящие в коммутатор со входов {Ii} помещаются в выходные рас пределенные очереди {Qj} выходов {Oj} сообщений.

2.Каждая распределенная выходная очередь Qj обеспечивает одновременную запись сообщений, поступающих с входов {Ii}.

3.При наличии нескольких сообщений в выходной очереди Qj обеспечивается пере дача одного из них на выход Oj.

4. Выходные распределенные очереди Qj независимы друг от друга.

Принципы организации коммутатора на базе данной модели поясняются структурой на рис. 3. Она содержит следующие компоненты: N входов и N выходов, N блоков выбора направления передачи сообщения (шестиугольники), N2 указателей головы очередей (круж ки), матрицы регистров, N указателей головы выходных очередей (треугольники).

Сообщение, поступившее на вход Ii коммутатора, подается на вход блока выбора на правления передачи сообщения, который помещает его в распределенную очередь матрицы регистров. Указатель головы очереди, определяет в какой регистр распределенной очереди будет произведена запись сообщения. Указатели головы очереди сгруппированы по номе рам блоков выбора направления передачи сообщения. Матрица регистров предназначена для хранения распределенных выходных очередей и играет роль буферного элемента при невозможности передачи сообщения из-за занятости требуемого выхода. Каждая j-я строка матрицы регистров представляет собой распределенную выходную очередь выхода Oj.

Внутри каждой строки распределены чередованием элементов очереди сообщений, посту пивших с каждого входа, для передачи их на выход Oj. Чередование элементов очереди вы полнено следующим образом: первый регистр принадлежит первой очереди, второй ре гистр – второй очереди, и т.д., N-й регистр - N-й очереди, (N+1)-й регистр – первой очереди, (N+2)-й регистр – второй очереди, и т.д., (N+N)-й регистр – N-й очереди, и т.д. Указатель на голову выходной очереди предназначен для управления порядком выдачи сообщения из выходных распределенных очередей матрицы регистров во избежание их переполнения.

Выходы коммутатора обеспечивают выдачу сообщений модулям управления (объектам управления) – получателям сообщений.

Рис. 3. Принципы организации коммутатора на базе предлагаемой модели В начале функционирования модели t=0 распределенные выходные очереди матрицы регистров пусты, каждый указатель головы выходных очередей указывает на соответствующий первый регистр. Сообщение Ai,j(1) в момент t=1 поступает на i-й вход и через него на вход i-го блока выбора направления передачи сообщения. Этот блок анализирует адресную часть сообщения и на ее основании перенаправляет со общение в соответствующую этому значению выходную распределенную очередь.

Позиция в очереди, куда передается сообщение, определяется указателем головы оче реди (для сообщения Ai,j(1) это i-й указатель головы очереди). Таким образом сооб щение помещается в выходную распределенную очередь. После его записи указатель головы очереди перемещается на следующую позицию, номер строки в матрице реги стров которой равен i+N.

Сообщения могут поступать не только на вход Ii, но и на все остальные входы. Про цессы приема и помещения в выходную распределенную очередь сообщений осуществля ются асинхронно и параллельно рассмотренному выше.

В момент времени t1, когда поступит сообщение Ai,j(t1), а в очереди Qj все ячейки бу дут занятыми, запись сообщения будет произведена в начальную ячейку очереди.

Состояние матрицы регистров в момент времени t можно описать матричной функ цией наличия сообщений:

L(t)(L1,1(t),…, L1,N*l(t), LN,1(t),…, LN,N*l(t))T, где l – длина очереди каждого входа в распределенной выходной очереди;

1, если в момент времени t в ячейке находится сообщение, Li, j = 0 - иначе.

Рассмотрим работу модели при выдаче сообщения на выходы. Начальным условием работы является матричная функция наличия сообщений L(t). На ее основе формируется матрица обслуживания, показывающая, какая ячейка обрабатывается в момент времени n:

S(t) [Si,j(t)], 1, если сообщение из ячейки передано на выход, где Si, j = 0 - иначе.

В связи с тем что в один момент времени через каждый выход может быть выдано l N S (t ) = 1 ;

i = 1, N. Формирование матрицы об только одно сообщение, имеет место i, j j = служивания обеспечивают указатели головы выходных очередей, определяя ячейку выход ной распределенной очереди для передачи его сообщения и обнуления содержимого ячей ки. Алгоритм выбора ячейки для обслуживания выглядит следующим образом. Для анализа используются только занятые ячейки распределенной выходной очереди. Первоначально для передачи определяется «крайняя правая» ячейка, после передачи находящегося в ней сообщения следующей выбирается занятая ячейка, находящаяся «левее» обработанной.

Следующей ячейкой для обслуживания выбирается также находящаяся «левее» обработан ной, и т.д. При достижении конца строки матрицы регистров обслуживание начинается с «крайней правой» ячейки распределенной выходной очереди.

Алгоритм управления указателями головы выходных очередей и выдачи сообщений на выходы для каждой очереди i = 1, N выглядит следующим образом:

l N L (t ) 0 и переход к пункту 2:

1. Ожидание выполнения условия i, j j = 2. Формирование вектора занятых ячеек JL=1(t) = {jL=1;

1, jL=1;

2,…}, где jL=1;

k номер за нятой ячейки в строке i.

3. Выбор ячейки для обслуживания с минимальным значением jL=1: js(t) = min(JL=1(t)) 4. Выдача сообщения на выход из ячейки js(t) и пометка ее как свободная.

5. Проверка наличия в распределенной выходной очереди ячеек, содержащих со общения (необработанные ячейки):

l N L (t ) 0.

i, j j = Если условие выполняется, то перейти к пункту 6, иначе к пункту 1.

6. Формирование вектора занятых ячеек JL=1(t+1).

7. Проверка существования ячейки, содержащей сообщение с номером, большим js(t): $ jL =1;

k J L =1 (t + 1);

js ( n) jL =1;

k Если есть, то пункт 8, иначе пункт 3.

8. Выбор «ближайшей» занятой ячейки с большим номером для обслуживания:

js(t+1) = min(J`L=1(t+1)), где J `L =1 (t + 1) = J L =1 (t + 1) \{ jL =1;

k js (t );

jL =1;

k J L =1 (t + 1)}.

9. Выдача сообщения на выход из ячейки js(t+1) и отметка ее как свободной. Пере ход к пункту 6.

Теорема. Граф коммутации, сформированный моделью с распределенными выход ными очередями, имеет равное или большее количество ребер, что и граф максимальной коммутации:

E EG `max(VOQ ) G `max Заключение Предложенная модель коммутатора обеспечивает буферизацию сообщений в виде выходных очередей при использовании низкоскоростных составных элементов, что позво ляет решить проблему блокировки и увеличить пропускную способность. Кроме того, из-за применения кольцевых очередей отсутствует проблема «зависания» сообщений. Будущие научные исследования планируется направить на проектирование коммутатора, реализую щего метод обеспечения надежности скользящим резервированием со сдвигом и коммута тора, имеющего высокую наращиваемость (N1000).

Список использованных источников 1. Awdeh Ra’ed Y., Mouftah H.T. Survey of ATM switch architectures // Comp. Networks ISDN Sys. - 1995. - 27 (12). - PP. 1567–1613.

2. McKeown N., Izzard M., Mekkitikul A., Ellesick B., Horowitz M. Tiny Tera: a packet switch core // IEEE Micro Mag. - 1997. - 17 (1). - PP. 27-40.

3. Chuang S.T., Goel A., McKeown N., Prabhakar B. Matching output queuing with a com bined input output queued switch // Computer Systems Technical Report CSL-TR-98-758. - 1998.

4. Endo N., Kozaki T., Ohuchi T., Kuwahara H., Gohara S. Shared buffer memory switch for an ATM exchange // IEEE Transactions on Communications. -1993. – Vol.41, No.1. - PP.

237-245.

5. Karol M., Hluchyj M., Morgan S. Input versus output queuing on space division switch // IEEE Trans. Commun. - 1987. - 35 (12). - PP. 1347 – 1356.

6. McKeown N., Anantharam V., Walrand J. Achieving 100% throughput in input-queued switch / Proceedings of INFOCOM. - 1996. - PP. 236-302.

7. Сусин П.В., Зотов И.В., Титов В.С. Коммутационный элемент с приоритетным распределением входящих потоков сообщений / Тез. докл. II Всероссийской НТК «Компь ютерные технологии в науке, проектировании и производстве». – Нижний Новгород, НГТУ, 2000. - Часть VII. – С. 8.

8.Kupta P., McKeown N. Design and implementation of fast crossbar scheduler // Proceed ings of Hot Interconnects 6. - 1998. - PP. 77-84.

А.С.Терехов ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ Оптимальное балансирование потоков пациентов и мощности медицинского учреждения – одна из задач управления системой здравоохранения в условиях огра ниченных ресурсов. При рассмотрении медико-санитарной части (МСЧ) как СМО ис ходные данные позволяют определить вероятность простоя по каждому виду обслу живания и вероятность полной нагрузки. Исходя из этого можно выбрать рациональ ный вариант, обеспечивающий согласованность потока пациентов, количество спе циалистов и единиц оборудования. Здесь большую роль играет вопрос о перспектив ном прогнозировании, основу которого составляют статистические данные, храня щиеся в интегрированной базе данных. Теоретически, применение прогнозирования может облегчить планирование и оптимизацию нагрузки не только подразделений МСЧ, но и каждого рабочего места, каждого элемента обслуживания, т.е. в перспек тиве построение прогноза в каждом автоматизированном рабочем месте (АРМе).

Необходимо отметить, что прогнозирование - это не конечная цель. Прогнози рующая система - это часть большой системы управления и как подсистема, она взаимодействует с другими компонентами системы, играя немалую роль в получае мом результате.

В нашем распоряжении находятся статистические данные по ежемесячному посещению подразделений МСЧ за последние несколько лет. Эту информацию удоб но рассматривать и обрабатывать в качестве временных рядов. Максимальная длина имеющегося у нас временного ряда (статистика за последние 5 лет) не превышает 60 ти точек. С учетом того, что желательно получение прогноза на полгода - год вперед, то мы рассматриваем эти временные ряды как короткие.

Если в общей ситуации временной ряд может быть представлен суммой четы рех составляющих:

а) систематическая (тренд);

б) колебания около тренда;

в) сезонные колебания;

г) случайная;

то в случае короткого ряда остаются только тренд и случайная составляющая. Отме тим также, что детальное изучение свойств случайной составляющей для коротких временных рядов теряет смысл, т.к. статистические выводы, следующие из анализа результатов наблюдений, оказываются малодостоверными [1].

Применяемые при обработке временных рядов методы во многом опираются на методы и характеристики, разработанные математической статистикой. Последние базируются на достаточно жестких требованиях к исходным данным (таким как од нородность данных, предположения о типе их распределения и т. д.). В то же время при исследовании временных рядов проверка выполнимости этих требований в должной мере зачастую невозможна. В силу перечисленных факторов традиционные методы экстраполяции, например, линейное предсказание, оказываются малоэффек тивными: дают невысокую точность и короткий период прогнозирования. Поэтому выбран, как нам кажется, адекватный инструмент, учитывающий свойства задачи, использование нейронных сетей. Далее мы будем приводить аналогии в использова нии аппарата нейронных сетей со статистическим методом «Гусеница» [2], имеющим много сходств с нашим алгоритмом.

В первую очередь, необходимо отметить, что перед тем как начать тренировать искусственную нейронную сеть (ИНС), входную информацию необходимо должным образом подготовить, т.е. в качестве входов и выходов нейросети не следует выби рать само количество обращений в МСЧ. Каждый набор входных переменных обу чающего, тестового и рабочего множеств, составляющих «образ», должен обладать свойством инвариантности. Выходные сигналы, формирующиеся на выходах скры тых и выходных нейронов и подающиеся на выходы нейронов следующих слоев, ле жат в интервале их активационных функций (для обеспечения нелинейности преобра зований воспользуемся логистической и сигмоидальной функциями). Таким образом, логично полагать, что и входные сигналы должны также лежать в интервале актива ционных функций нейронов 1-го скрытого слоя ( [0, 1] – для логистической и [-1,1] – для гиперболического тангенса). Таким образом, при любом количестве обращений гарантируется инвариантность преобразования входной записи.

x - Min ~ x= Max - Min, для интервала [0,1] (1) 2 x - Min - Max ~ x=, для интервала [-1,1] (2) Max - Min После нормализации входной информации нам требуется сформировать вход ные образы, для обучения ИНС, ибо мы не можем использовать в работе сам имею щийся временной ряд. Простейший способ формирования входных образов для обу чения ИНС базируется на понятии «окна» («глубина погружения»), т.е. то количестве периодов времени, которое попадает в «образ», формируемый на входе сети. Т.к. мы рассматриваем временную последовательность, имеющую явную привязку к годич ным циклам, то имеет смысл взять длину «окна», кратную 12 (для достаточно длин ных рядов – 24, для более коротких – 12). Такая же процедура подготовки данных ис пользуется в статистическом методе, называемом «Гусеница», где именуется разверт кой одномерного ряда в многомерный [2].

Для построения нейронных сетей и их моделирования нами была выбрана ма тематическая среда MathLab с применением пакетов расширения SimuLink и Neural Networks. Данная система предоставляет огромный набор математических методов [3] в совокупности с мощной и эффективной работой с матричной формой представ ления информации. Привлекает также возможность последующего использования разработанных в этой системе программ в других приложениях.

Задачи прогнозирования можно решать с помощью сетей следующих типов:

многослойный персептрон, радиальная базисная функция, обобщенно-регрессионная сеть и линейная сеть [4]. Сразу отметим, что использование линейной сети в случае короткого зашумленного временного ряда не дает удовлетворительных результатов.

Наиболее популярным при решении задач прогнозирования на аппарате нейронных сетей является многослойный персептрон. Мы также начнем рассмотрение с этой структуры нейросети.

Будем использовать сеть с единственным скрытым слоем, количество нейронов в котором будем варьировать от 5 до m*2 (где m – длина «окна») – большее количест во нейронов, как показала практика, не дает лучших результатов. В качестве функции активации, как уже отмечалось, использованы логистическая или тангенциальная.

f ( x) = - логистическая сигмоида (3) 1 + e -ax eax - e -ax f ( x) = ax - тангенциальная сигмоида (4) e + e -ax Количество нейронов входного слоя равно длине окна, т.е. m, а выходной слой содержит единственный нейрон (для лучших результатов прогнозирования рекомен дуется использовать линейную функцию активации данного нейрона). Также для улучшения получаемых результатов в случае использования логистической функции активации нейронов скрытого слоя можно проводить нормализацию входных данных в пределах [0.2, 0.8] (для избежания участков насыщения логистической кривой).

Обучать сеть будем по методу Левенберга-Марквардта (Levenberg-Marquardt), обес печивающего наибольшую скорость обучения, а накладываемые на него ограничения (наличие единственного выходного элемента, использование только среднеквадра тичной функции ошибок и большее, в сравнении с другими обучающими методами, количество используемой памяти) в нашем случае не являются препятствием.

Рис. 1. Графическое представление прогноза (пунктирная линия), полученного с помощью многослойного персептрона для 5(слева) и 10 (справа) нейронов скрытого слоя на различных наборах данных С помощью самой сети мы можем получить только одно прогнозируемое зна чение. Если же нам требуется провести долгосрочный прогноз (скажем, на 12 месяцев вперед), то потребуется выполнение нескольких дополнительных шагов. На каждом этапе после получения очередного прогнозируемого значения входной набор данных «сдвигается» так, чтобы k-му элементу присваивалось значение k+1-го элемента, а значение последнего элемента приравнивается к только что полученному прогнози руемому значению. Таким образом можно проводить прогноз любого количества то чек. Следует только помнить, что чем больше будет глубина подобного прогноза, тем меньше он будет отражать реальное положение вещей.

Далее рассмотрим использование нейронных сетей, получивших название обобщенно-регрессионных. В общем случае речь идет о сети, построенной исходя из понятия так называемых ядерных оценок плотности вероятности. В точке, соответст вующей каждому наблюдению, помещается некоторая простая функция, затем все они складываются и в результате получается оценка для общей плотности вероятно сти. Чаще всего в качестве ядерных функций берутся гауссовы функции. Нейросете вой реализацией такого метода ядерной аппроксимации и является обобщенно регрессионная нейронная сеть (GRNN). Считаем, что каждое наблюдение свидетель ствует о некоторой степени уверенности в том, что поверхность отклика в данной точке имеет определенную высоту, и эта высота убывает при отходе в сторону от точки. Такая сеть копирует внутрь себя все обучающие наблюдения и использует их для оценки отклика в произвольной точке. Окончательная выходная оценка сети по лучается как взвешенное среднее выходов по всем обучающим наблюдениям. Первый промежуточный слой сети состоит из радиальных элементов. Второй промежуточный слой содержит элементы, которые помогают оценить взвешенное среднее. В этом слое для каждого выхода формируется взвешенная сумма. Чтобы получить из взве шенной суммы взвешенное среднее, ее нужно поделить на сумму весовых коэффици ентов. Последнюю сумму вычисляет специальный (дополнительный) элемент второго промежуточного слоя, в выходном слое производится собственно деление.

Выходной слой GRNN-сети будет содержать 1 нейрон, следовательно во вто ром промежуточном слое будет 2 нейрона, плюс потребуется по n нейронов для вход ного и первого промежуточного слоев (где n – количество выборок, т.е. количество «окон», полученных при разложении из начального временного ряда). Для продолжи тельных рядов могла бы получиться весьма громоздкая и медленная нейронная сеть, но в нашем случае при рассмотрении только коротких временных рядов этот недоста ток GRNN-сети не играет роли. И сразу можно отметить преимущество данной сети перед тем же многослойным персептроном – это очень высокая скорость обучения.

Фактически при обучении время тратится только на то, чтобы подавать на входы обу чающие наблюдения.

Отметим, что для получения лучших результатов при использовании GRNN сетей желательно проводить масштабирование входных данных таким образом, что бы среднее выходное значение равнялось 0, т.е. применим нормализацию в интервал [-1, 1] по формуле 2.

Рис. 2. Прогноз с помощью GRNN-сети Список использованных источников 1. Головченко В.Б. Прогнозирование временных рядов по разнородной инфор мации. – Новосибирск: Наука, 1999.-88с.

2. Главные компоненты временных рядов: метод "Гусеница", Под редакцией Д.Л.Данилова и А.А.Жиглявского, Санкт-Петербургский университет, 1997, - 310с.

3. Дьконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MathLab. С Пб.:Питер-пресс, 2001, 475л.

4. Нейронные сети. STATISTICA Neural Networks : Пер. с англ. — М.: Горячая линия –Телеком, 2000. — 182с.

5. Грешилов А.А., Стакун В.А., Стакун А.А. Математические методы построе ния прогнозов. – М.: Радио и связь, 1997.-112с.

6. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980.-536с.

Е.А.Лимонов, Е.С.Хухрянская, Г.А.Байбарак АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИИ ЛЕСОПИЛЕНИЯ ПРИ ИНДИВИДУАЛИЗАЦИИ ПОДХОДА К ХАРАКТЕРИСТИКАМ ПИЛОВОЧНОГО СЫРЬЯ Теория раскроя пиловочного сырья ставит основной целью увеличение выхода пилопродукции, и в этом плане в самых первых работах по теории раскроя уже ста вился вопрос о необходимости подсортировки бревен с учетом не только вершинных диаметров, но и сбега;

о необходимости рационального использования сбеговой части бревна;

о необходимости укорочения боковых досок [1]. Современные требования перехода к высоким технологиям в лесопилении подразумевают при этом индивиду альный подход к обработке каждого хлыста или бревна, а это невозможно без компь ютерной поддержки и соответствующих алгоритмов раскроя, реализуемых в системах автоматизации. Однако до недавнего времени считалось, что получить оптимальную схему раскроя бревна на пиломатериалы (постав) можно только методом полного пе ребора всех возможных вариантов раскроя, что при заданной размерной специфика ции выполнить практически нереально [2].

Исследования последних лет позволили разработать и реализовать промыш ленные алгоритмы оптимизации развальных и брусоразвальных поставов для бревен цилиндрической формы [3, 4]. Однако современные требования ресурсосберегающих технологий при индивидуализации подхода к характеристикам пиловочного сырья, в частности сбегу бревен, и ныне действующие стандарты на пилопродукцию дают бо лее широкий спектр вариантов раскроя. Так, при минимальной длине пиловочных бревен 6,5 м, длины досок, в соответствии с действующими стандартами [5], могут варьировать от 1 до 6,56,6 м с градацией 0,10,25 м. Таким образом, выпуск укоро ченных досок из сбеговой части бревна обеспечивает дополнительные возможности выхода пилопродукции. Естественно, что промышленное значение должны иметь ал горитмы раскроя, ориентированные на это. Структура вышеуказанных моделей рас кроя пиловочника позволяет учесть в них сбег бревна и, соответственно, разную дли ну досок и оптимизировать постав по максимуму объемного выхода пиломатериалов при наличии укороченных боковых досок.

Предположим, что сбег у бревна линейный, т.е. моделью бревна является усе ченный конус. Пусть d - вершинный диаметр бревна, комлевой диаметр обозначим d0, а диаметр бревна на уровне укороченной боковой доски шириной bi - di.

Если общая длина бревна равна L, то длина укороченной боковой доски связана d 0 - d i li =, откуда с диаметром бревна соотношением d0 - d L li l di = d0 (1 - )+ d i. (1) L L Для принятой в теории лесопиления [6] параболической модели бревна анало гичное соотношение имеет вид:

li di = d0 + ( d 2 - d0 ) 2. (2) L Показано, что все особенности реального древесного ствола с достаточной для практики точностью описываются полиномом четвертого порядка. Зависимость диа метра ствола di в произвольном сечении от расстояния li этого сечения от вершины описывается выражением [7]:

li4 li3 li2 l d i = d c ( c4 4 + c3 3 + c2 2 + c1 i + c0 ), (3) L L L L где dc - срединный (в сечении, отстоящем на 0,5L от вершины) диаметр ствола;

c0, c1, c2, c3, c4 - коэффициенты, зависящие от породы дерева и условий произрастания. Ав торы /8/ считают, что при работе автоматизированных управляющих комплексов, по зволяющих оптимизировать раскрой, в математическом обеспечении для описания образующих рационально использовать сплайн-функции. Поэтому независимо от способа описания древесного ствола, который будем считать заданным, в дальнейшем зависимость диаметра ствола di в произвольном сечении от расстояния li этого сече ния от комля будем обозначать d(li).

Сформулируем условия упаковки всех досок стандартных длин li, в т.ч. и уко роченных, в объем бревна, аналогично /3,4/. Обозначим минимальную длину доски, в соответствии со стандартом или требованиями конкретного лесопильного производ ства, l0. Если градация длин досок составляет Dl, то максимальная длина доски, полу чаемой из бревна длиной L (при несоответствии последних) будет L - l l = l0 + Dl, (4) Dl где [] - скобка Антье. В дальнейшем, говоря о длине бревна или максимальной длине доски, всегда будем использовать это обозначение, в том числе и в формулах (1)-(3), определяющих зависимость диаметра ствола в произвольном сечении от расстояния этого сечения от вершины.

Условия плотной упаковки досок в объем бревна, имеющего сбег, будут иметь следующий вид:

d 2 ( l i ) - bi2 + (d 2 ( l i ) - bi2 ) i - x k a k ( 2 - z k ) 0,"i = 1,..., n, (5) 2 k = d 2 ( l i ) - bi2 + (d 2 ( l i ) - bi2 ) Bi =, (6) n n Bi - z j b j + Bi - z j b j i - 2 y a 0,"i = 1,..., n kk j =1 j = 2 k = n zi = 1 (7) i = xi 0, yi 0, zi 0,. (8) x i, y i, z i - целые.

где d(li) - диаметр бревна в некотором сечении di, отстоящем на расстояние li от вер шины;

n - количество типоразмеров досок в требуемой спецификации пиломатериа лов (заказе);

xi - искомое количество досок 2-го прохода i-го типоразмера (i=1,..., n) в полупоставе бревна (для бруса или сердцевинной доски - в поставе);

yi - искомое ко личество досок 1-го прохода в полупоставе;

ai и bi - толщина и ширина доски i-го ти поразмера (типоразмеры упорядочены по убыванию ширины досок, а при одинаковой ширине - по убыванию толщины);

значение zi=1 соответствует доскам наибольшего типоразмера, возможным в поставе бревна, что позволяет дифференцировать сердце винные доски (брус) от боковых.

Условия плотной упаковки досок разной длины в объем бревна учитываются условиями (5-8) автоматически: постав определяется в каждом из сечений d(li) бревна, а полный оптимальный постав будет соответствовать комлевому срезу - в любом из последующих поставов будут отсутствовать крайние боковые (укороченные) доски.

Каждый из поставов в произвольном сечении d(li) - усеченная часть постава в сечении d (комлевом срезе).

Однако в такой постановке задачи, возникает ряд моментов, не совместимых с реальными технологиями лесопиления.

Первый момент связан с технологической нецелесообразностью производства укороченных досок в любом месте постава. Укорачиваются лишь крайние боковые доски.

Учет реальных технологий укорочения боковых досок в постановке задачи оптимизации обеспечивается введением дополнительного условия для длин досок:

l i l i +1, "i = 1,..., n. (9) Второй момент, который необходимо учесть при постановке задачи оптими зации поставов для бревен со сбегом - соответствие длин досок стандартным раз мерам. Для формализации этого момента вводится дополнительная целочисленная переменная, определяющая ряд длин досок со стандартной градацией длины, на пример 0,1;

0,25 или какой-либо другой, соответствующей, например, заказу на пиломатериалы.

Обозначим эту переменную vi, а принятую градацию длин пиломатериалов Dl, тогда, переменная, как элемент решения vi будет принимать ряд значений:

l - l v i = 0,1,...,.

Dl В задаче оптимизации это следующие условия:

l i = l - Dl v i, l - l0 (10) 0 vi,v i - целые.

Dl В соответствии с этим условием и условием (4) l и li всегда кратны Dl.

При введении переменной vi, длина доски li уже не является независимой пе ременной, т.е. искомым элементом решения оптимизационной задачи, а является функцией этой переменной: l i = l ( v i ). Поэтому условия (10) совместно с условиями (9) запишутся как l i = l - Dl v i, l - l 0 vi,v i v i +1,"i = 1,..., n, (11) Dl v i - целые.

В свою очередь, диаметр бревна в сечении на расстоянии li от комля одно значно определяется этой длиной: di =d(li), т.е. постановка оптимизационной задачи должна быть дополнена принятой моделью бревна, связывающей диаметр бревна в некотором сечении с характеристиками раскраиваемого бревна.

Целевая функция оптимизационной задачи максимизации объемного выхода пилопродукции при учете индивидуальных характеристик пиловочного сырья бу дет выглядеть следующим образом:

n i n xi ai bi l ( vi ) ( zk -1 + zk ) + 2 yi ai bi l ( wi ) ® max, (12) i =1 k =1 i = где целочисленная переменная wi вводится аналогично vi для дифференцирования длин досок 1-го и 2-го проходов, также как по типоразмеру aibi эти доски дифферен цированы переменными xi и yi. В данном случае индекс «i» будет связан с номером типоразмера доски из заданной спецификации (заказа).

Целевая функция должна быть дополнена условиями:

z0 = 0, (13) для корректности формы (12), и x i - z i 0,"i = 1,..., n, (14) для однозначности связи сердцевинных досок (бруса) xi с переменной zi=1: для сердцевинных досок не обязательно xi=1 - при отсутствии досок первого типоразмера сердцевинными могут быть доски и второго, третьего и т.д. типоразмеров.

Промышленное применение методики оптимизации поставов предполагает учет ширины пропила. Учитывать ширину пропила p в модели оптимизации поставов при индивидуальном подходе к характеристикам пиловочника достаточно только в условиях плотной упаковки досок в объем бревна. Окончательный вид модели опти мизации поставов будет иметь вид:

n i n xi ai bi l ( vi ) ( zk -1 + zk ) + 2 yi ai bi l ( wi ) ® max, (15) i =1 k =1 i = n z i = 1, z0 = 0, (16) i = x i - z i 0, "i = 1,..., n, (17) x i 0, y i 0,z i 0, (18) l (v i ) = l - Dl v i,l ( w i ) = l - Dl w i,"i = 1,..., n, l - l0 l - l 0 v i,0 w i,, (19) Dl Dl v i v i +1,w i w i + d 2 ( l (vi )) - bi2 + (d 2 ( l (vi )) - bi2 ), (20) i - xk (ak + p - zk )( 2 - zk ) 0,"i = 1,..., n k = d 2 ( l ( w i )) - bi2 + (d 2 ( l ( w i )) - bi2 ) B =, i B - z b +B - z b n n i jj i j j j =1 j = (21) i - 2 y k (a k + p) 0,"i = 1,..., n k = x i, y i, z i, v i, w i - целые. (22) В формулах (15)-(22) не включены зависимости d(l(vi)) и d(l(wi)). Они опреде ляются принятой моделью бревна, например, (1)-(3). Для линейной модели Dl l - Dlv i d (v i ) = d 0 vi + d. (23) l l Аналогично для параболической модели бревна и для модели, описываемой полиномом четвертой степени:

Dl l - Dlv i vi + d d (v i ) = d 0 (24) l l Dl Dl d (v i ) = d c c4 (1 - vi )4 + c3 (1 - v i )3 + l l. (25) Dl Dl + c2 (1 - vi )2 + c1 (1 - v i ) + c l l Список использованных источников 1. Фельдман Х.Л. Система максимальных поставов на распиловку. - Л.: Гослес техиздат, 1932. - 352 с.

2. Калитеевский Р.Е., Гудков А.С. Программное обеспечение систем управле ния производством пиломатериалов// Изв. вузов. Лесн. журн. - 1995. - №2-3. - С. 154 159.

3. Байбарак Г.А., Лимонов Е.А., Хухрянская Е.С. Унифицированная модель задачи оптимизации поставов в лесопилении// Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления лесного комплекса: Межвуз. Сб. научн. тр. - Воронеж: ВГЛТА, 2001. – С. 186-189.

4. Байбарак Г.А., Межов В.Е., Соловей Д.Е. Унифицированная модель зада чи оптимального раскроя пиломатериалов // Тезисы докладов науч.-техн. конф.

Сыктывкар - 2001. – С.18-19.

5. ГОСТ 5306-83. Пиломатериалы и заготовки. Таблицы объемов. Переизд. с изм. Введ. с 01.01.85 до 01.01.95 - М.: Изд-во стандартов, 1983,1991. - 275 с.

6. Калитеевский Р.Е. Теория и организация лесопиления. - М: Экология, 1995. 352 с.

7. Петровский В.С. Оптимальная раскряжевка лесоматериалов. - М.: Лесная пром-сть, 1989. – 288 с.

8. Янушкевич А.А., Кулак М.И., Яковлев М.К. Сплайны в моделировании раскроя круглых лесоматериалов // Изв. вузов. Лесн. Журн. – 1992. - №2. – С. 68 73.

В.И.Шаповалов СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ЯВЛЕНИЯ НЕОБРАТИМОСТИ Диссипативные системы, к которым относится большинство реальных объек тов, с течением времени стремятся прийти к равновесию с внешним миром. Если они не являются абсолютно замкнутыми, то в роли указанного равновесия выступает ста ционарное состояние. Параметры системы принято условно разделять на переменные и постоянные. Последние получили название управляющих параметров, так как через них внешний мир может управлять поведением системы. Происходит это благодаря тому, что каждому стационарному состоянию соответствуют определенные значения постоянных системы, и если во внешнем мире совершаются заметные для системы изменения, то проявляется это прежде всего в изменении постоянных параметров.

Согласно [1], не все постоянные относятся к управляющим, а только те, которые вхо дят в так называемое эволюционное уравнение, представляющее собой закон зависи мости скорости переменной системы от времени. Изменение этих постоянных может привести к тому, что текущее состояние системы окажется неустойчивым. Тогда сис тема будет искать новое устойчивое стационарное состояние, соответствующее но вым значениям ее управляющих параметров.

В диссипативных системах асимптотически устойчивые стационарные состоя ния называются аттракторами. Изменяя управляющие параметры, мы переводим сис тему из одного аттрактора в другой. Как известно, аттракторы разделяются на про стые и странные (хаотические) [1-4]. Простые аттракторы отличаются рядом свойств, среди которых отметим свойство инвариантности. Последнее означает следующее: на аттракторе фазовая точка движется по определенной траектории независимо от на чальных условий, приведших ее к аттрактору. Это свойство свидетельствует о том, что на простом аттракторе исчезает информация о начальных условиях, или, как го ворят, теряется память [2]. Действительно, определив, что система находится на ат тракторе, мы, в соответствии с этим свойством, никогда не узнаем, из какой началь ной точки она двигалась.

Свойство инвариантности имеет очень важное мировоззренческое значение.

Благодаря ему может быть сделан шаг к объяснению существования в природе необ ратимых явлений [1]. Дело в том, что необратимость противоречит так называемой гипотезе о жесткой взаимообусловленности явлений, которая лежит в основе научно го метода познания. С точки зрения этой гипотезы, необратимые явления лишь ка жутся таковыми вследствие субъективного фактора – недостатка наших знаний о всех деталях этих явлений. Свойство инвариантности простого аттрактора возвращает не обратимым явлениям объективность. Действительно, предыстория многих диссипа тивных систем включает большое количество аттракторов. И каждая из них при пере ходе из аттрактора в аттрактор теряла часть информации о более ранних своих со стояниях. Поэтому обязательно будет существовать такой аттрактор, начиная с кото рого, имеющейся информации о системе окажется недостаточно для выяснения всех ее истоков.


Здесь следует уточнить, что условие инвариантности не является первопричи ной необратимости в природе. Как и необратимость, оно само есть проявление одного из фундаментальных положений нашего мира: конечной скорости взаимодействия между объектами. Более подробно об этом мы поговорим при обсуждении явления «перемежаемости» - одного из сценариев возникновения хаоса.

Явление «перемежаемости» заключается в том, что у системы, развивающейся по этому пути, участки хаотического движения чередуются (перемежаются) с участ ками почти периодического движения [2-4]. По мнению автора настоящей статьи, в явлении перемежаемости присутствует закономерность, очень важная для понимания причин возникновения необратимых процессов в природе. Но прежде, чем обсудить этот вопрос, кратко напомним механизм перемежаемости.

Для наглядности мы воспользуемся одним из наиболее распространенных ме тодов исследования устойчивости систем – методом точечных отображений (см., на пример, [2-4]). Согласно этому методу, исследуют не фазовую траекторию системы, а ее отображение на секущую плоскость – сечение Пуанкаре (геометрическое место то чек, получаемых пересечением фазовой траектории с секущей плоскостью при под ходе к последней с одной какой-либо стороны). При этом в роли основного уравне ния, описывающего эволюцию системы, выступает отображение Пуанкаре:

X n+1 = F ( X n ), (1) где Xn – координата n-го пересечения фазовой траектории с секущей плоскостью;

Xn+1 – координата (n +1)-го пересечения фазовой траектории с секущей плоскостью.

Графически точечное отображение часто представляют с помощью диаграммы Ламерея – графика отображения (1) в координатах Xn и Xn+1 [2]. На этой диаграмме биссектриса координатного угла является геометрическим местом неподвижных то чек X* (стационарных решений) точечных отображений. Пересечение биссектрисы с графиком отображения F(Xn) дает стационарное решение X* данного отображения.

С помощью диаграммы Ламерея процесс определения устойчивости стацио нарного решения становится очень наглядным (рис.1). В окрестности X* возьмем не которое начальное значение X1 и будем последовательно проводить шаги-итерации точечного отображения (1):

X 2 = F(X1 ) ;

X 3 = F(X 2 ) ;

... и т.д. На самой диаграмме этот итерационный процесс изображается с помощью стрелок-итераций. Если точка X* является устойчивой, то с каждой итерацией стрел ки сходятся к точке пересечения биссектрисы координатного угла и графика отобра жения F(Xn). Если неустойчивой – расходятся. Каждая итерация – это определенный интервал времени между моментами наблюдения за системой.

Момент бифуркации (появления множества новых стационарных состояний, из которых система вынуждена выбрать одно) на диаграмме Ламерея соответствует ка санию графика отображения F(Xn) и биссектрисы координатного угла.

Изменения в окружающем мире для системы проявляется в изменении управ ляющих параметров. В свою очередь изменение управляющих параметров может приблизить систему к точке бифуркации. На диаграмме Ламерея это выглядит так, что один из участков графика отображения приблизился к точке касания с биссектри сой координатного угла. Исследуя методом стрелок-итераций указанный участок, можно заметить, что в самой узкой области между графиком и биссектрисой число итераций значительно больше, чем в остальных областях диаграммы (рис.2). Область касания настолько узкая, а число итераций в ней настолько велико, что по сравнению с другими участками диаграммы система проводит в ней значительно больше време ни. Следовательно, эту узкую область можно рассматривать в качестве почти непод вижной точки (стационарного решения), которая, как известно [2], должна соответст вовать предельному циклу, т.е. периодическому движению.

Рис.1. Устойчивая неподвижная точка X* [2] Механизм явления перемежаемости можно описать следующим образом [2-4].

Из начальной точки X0 (рис.2) система за сравнительно небольшой промежуток вре мени попадает в узкую область между биссектрисой и графиком, в которой ведет себя почти периодически. После сравнительно долгого пребывания в этой области система выходит из нее и оказывается в неустойчивом состоянии X*, соответствующем хао тическому движению с экспоненциальным законом разбегания фазовых траекторий.

Благодаря хаотическому движению система покидает это неустойчивое состояние и снова приходит к началу своего движения – рядом с точкой X0. Затем все повторяет ся.

Согласно сценарию перемежаемости, поведение наблюдаемой системы в узкой области воспринимается другими системами как устойчивое периодическое движе ние, хотя на самом деле оно таковым не является. Образно говоря, для внешнего мира многочисленные итерации в узкой области сливаются в одну точку, т.е. мир как бы «не успевает проследить» за каждой итерацией из этой области. Конечно, те внешние системы, которые обладают очень большой скоростью анализа, могут «увидеть» все итерации, и никакого периодического движения для них не возникнет. Но это лишь означает, что узкая область оказалась для таких систем недостаточно узкой. Чем бли же наблюдаемая система к моменту бифуркации, тем ближе график отображения к точке касания с биссектрисой, и тем уже область между ними, и тем больше итераций совершает система в этой области. Почти в самой точке касания число итераций при ближается к бесконечности. Следовательно, система-наблюдатель, чтобы отследить все итерации, должна обладать бесконечной скоростью анализа. Но поскольку ско рость любого взаимодействия в нашем мире конечна, все системы, составляющие его, обречены на приближенное восприятие окружающей действительности. Другими словами, внешняя система ведет себя по отношению к наблюдаемой так, как будто та совершает периодическое движение, которого на самом деле нет – т.е. поведение сис темы-наблюдателя не отвечает точно реальной ситуации.

Рис.2. Явление перемежаемости вблизи точки бифуркации [2] Таким образом, благодаря конечной скорости взаимодействия любая система не сможет реагировать абсолютно точно на поведение окружающих систем. С каж дым очередным взаимодействием неточности накапливаются, и наступает момент, когда по поведению систем уже невозможно восстановить их предысторию. В резуль тате процесс становится необратимым, а описание систем – вероятностным.

Список использованных источников 1. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990.

2. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.

3. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990.

4. Шаповалов В.И. Основы синергетики. М.: Испо-Сервис, 2000.

Т.Р.Кильматов, М.Н.Капитонова ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОГНОЗА ЧИСЛЕННОСТИ НАСЕЛЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ ПРИМОРСКОГО КРАЯ В данной работе демонстрируется модель «трудноформализуемого объекта с учетом человеческого фактора» [1], идеология модели строится по аналогии [2]. Объ ект исследования – демографическая обстановка в Приморском Крае (ПК). Особое геополитическое положение ПК, граница с КНР и Кореей, кратчайший морской вы ход на другие страны АТР предполагает усиление России на восточной границе. Осо бенностью социально-экономического развития Приморского края является малоза селенность, ежегодное уменьшение русскоязычного населения на 20 тыс. чел., усиле ние легальной и нелегальной миграции китайского населения [3, 4]. Это происходит на фоне сильно развитого нелегального рынка [5, 6], прежде всего в рыбной, лесной отраслях, экспортно-импортных операциях. Поэтому используемые в модели офици альные экономические показатели из [7, 8] носят оценочный характер, однако тен денции временных изменений остаются верными.

Представленная модель построена на основе соотношений баланса по аналогии с подходом [2]. Количество проживающих людей N ( i ) в момент времени i + 1 формируется как сумма в предыдущий момент времени i (шаг по времени один год) плюс изменение населения за этот период. Изменение состоит из естественного движения населения (разность числа рождений и умерших за год) и механического прироста населения (миграции – число прибывших минус количество выбывших из ПК). Рассмотрим каждую составляющую отдельно и приведем ее значение на основа нии статистических данных по Приморскому краю из [7, 8].

Эконометрический блок расчета числа родившихся R ( i ) за год. Хотя про должение рода в своей основе имеет биологическую природу, в человеческом обще стве социально-экономические факторы занимают значительное место. В модели по лагается, что число родившихся зависит от трех параметров – от части ВРП, идущей на потребление, объема ввода жилья и количества женщин детородного возраста. За рассматриваемый период в двадцать лет (1980-1999 гг.) среднее количество родив шихся составляло 30 тыс. чел. в год, изменяясь от 35 тыс. в 80-ые годы до 20 тыс. чел.

девяностые с продолжающейся тенденцией к падению. В модели считается, что число родившихся зависит от ВРП за предыдущий временной период. Параметр R ( i ) зависит от части ВРП, идущей на потребление. Приведенные с учетом инфля ции к 1990 году коэффициент потребления c ( i ) и ВРП на душу населения по офици альным статистическим данным представлены в табл. 1.


Таблица Приведенный к 1990 г. ВРП и коэффициент потребления с учетом индекса инфляции Год 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 ВРП 2,304 2,309 2,298 2,287 2,278 2,271 2,264 2,627 2,631 2, тыс.руб./чел.

68 68 68 68 68 68 68 68 68 с*100% Год 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 ВРП 2,630 1,616 0,892 0,784 0,917 1,085 1,180 1,228 0,809 1, тыс.руб./чел.

80 69 56 47 69 70 73 72,2 74,4 65, с*100% Считаем, что ВРП- основной показатель уровня жизни.

Параметр G ( i ) характеризует количество введенного нового жилья за i год в квадратных метрах на одного жителя. Этот показатель имеет среднее значение 0. м2/чел.*год., уменьшаясь за последнее десятилетие в 5 раз от 0.5 до 0.1 м2/чел.*год во второй половине 90-х годов.

Один из определяющих параметров - количество женщин W ( i ) детородного возраста. Половозрастная структура, а именно количество женщин фертильного воз раста (в данной модели 15-34 года) показывает, что этот параметр для Приморского края довольно стабилен и составляет в среднем 345 тыс. потенциальных мам. Хотя имеет тенденция к уменьшению этого параметра на 10% за последнее десятилетие.

По статистическим данным [7,8] была построена следующая эконометрическая зависимость количества рождений от приведенных параметров R ( i ) = 29.98 + 4.42 c ( i - 1) DВРП ( i - 1) + 12.36 D G ( i - 1) + 0.34 DW ( i ). (1) Здесь и везде ниже индекс D перед переменной означает отклонение рассмат риваемого параметра от своего среднего значения. Размерности входящих величин в аддитивную эконометрическую модель соответствуют использованным при описании их в тексте.

Эконометрический блок числа умерших S ( i ). Здесь считается, что число умерших зависит от числа пожилых людей и уровня благосостояния – доли ВРП, идущей на потребление. Изначально была попытка включить в определяющие пара метры объем расходов на здравоохранение, но этот показатель формально оказался малозначимым. Среднее количество умерших в год составляет 23 тыс.чел./год, увели чиваясь от величины порядка 20 тыс.чел./год в начале 80-х годов и в полтора раза за последние 20 лет Эндогенный показатель - количество жителей пожилого возраста P ( i ) в моде ли показывает число жителей старше 60 лет. За последние 20 лет число пожилых не уклонно растет от 152 тыс.чел. в 80-ые годы до 240 тыс.чел в настоящее время.

Экзогенный показатель уровня жизни ВРП и коэффициент потребления пред ставлены в табл. 1. В результате получается следующая эконометрическая модель числа умерших S ( i ) = 23.14 + 0.06 D P ( i ) - 0.61 c ( i - 1) D ВРП ( i - 1). (2) Из сравнения уравнений (1) и (2) видно, что к параметру роста благосостояния (ВРП) более чувствительно увеличение число новорожденных, чем уменьшение чис ла смертей и это является положительным фактом.

Эконометрический блок сальдо миграции M ( i ). Механический прирост на селения вследствие миграционных процессов был интенсивным в 80-ые годы, в При морский Край приезжало ежегодно порядка 150 тыс.чел., отъезжало порядка тыс.чел., положительное сальдо составляло 15 тыс.чел./год. Во второй половине 90-х годов произошло ослабление миграционных процессов примерно в два раза, причем сальдо миграции стало отрицательным – минус 5 тыс. чел./год с тенденцией к нарас танию негативных процессов. В модели считается, что сальдо миграции зависит от благосостояния (ВРП) и объема жилищного строительства G ( i ). Эти параметры при ведены выше. Рассматривался также вариант модели, в которой степень миграции оп ределялась принципом «рыба ищет, где глубже». Поэтому за определяющий параметр модели в этом случае использовалась разность между ВРП ПК и ВНП России, нор мированными на душу населения. Данные показывают, что этот показатель в 90-ые годы был не в пользу Приморского Края и имел порядок минус одна тысяча рублей.

Последняя версия модели была хуже предыдущей. В данной работе использовалась следующая эконометрическая модель для расчета сальдо миграции M ( i ) = 7.49 + 6.16 c ( i - 1) D ВРП ( i - 1) + 58.6 DG ( i ). (3) Общая динамическая модель прогноза населения N ( i ). Обобщенная модель строится из уравнения баланса, которое позволяет по данным известных социально экономических параметров на данный год рассчитать прогнозируемое количество на селения на следующий год. Рекуррентное уравнение баланса имеет вид N ( i + 1) = N ( i ) + R ( i ) - S ( i ) + M ( i ), (4) где параметры R( i ), S ( i ), M ( i ) рассчитываются соответственно из эконометрических моделей (1), (2), (3). Однако здесь возникает проблема. Дело в том, что в таких расче тах необходимо учитывать изменение возраста, что технически осуществляется мето дом «возрастной передвижки». Население с учетом изменения возраста по составу «передвигается» в будущее. Эта процедура нужна в модели для расчета числа пен сионеров и числа женщин детородного возраста. Это производится с учетом естест венного и механического приростов населения. Одновременно вводится коэффициент возрастной смертности в данной группе. Для этого в модель были привлечены данные по полу и возрасту местного населения и мигрантов. Данные показывают благопри ятную картину. Женщины возраста 15-34 лет имеют механический прирост порядка 5%. Люди пожилого возраста старше 60 лет имеют тенденцию к выезду из Примор ского Края и механический прирост отрицательный порядка 0.1%. Возрастной коэф фициент смертности (отношение числа умерших к числу живущих) для рассматри ваемой категории женщин g 1 имеет порядок 0.0015, для пенсионеров соответствую щий коэффициент g 2 - порядка 0.03 и естественно увеличивается с возрастом. В мо дели возрастная передвижка осуществлялась по сокращенной таблице смертности че рез каждые пять лет. Такое упрощение было связано с ограничением по исходным данным. Если через индекс n обозначить данную возрастную группу (например 0-4, 5-9, 10-14 лет…), то в модели через каждые пять шагов по модельному времени i де лалась следующая процедура возрастной подвижки W n + 1 = W n (1 - g 1 ), Pn + 1 = Pn ( 1- g ). (5) В результате прогностическая модель имеет следующий вид: уравнения (1)-(4) рассчитываются на каждом шаге. Через каждые пять шагов используются уравнения (5) для модельного учета естественного старения соответствующих групп населения.

Отметим, что уравнения сдвижки (5) делают модель нелинейной, определяющие па раметры становятся взаимозависимыми. Поскольку это аналог задачи Коши, то в на чальный момент времени и предыдущий год, входные параметры модели задаются.

Результаты сценарных прогнозов числа жителей Приморского Края. Ниже представлены три модельных сценарии развития демографической ситуации:

1) Вариант благоприятный – «рассвет». Здесь предполагаем, что ВРП на душу населения имеет ежегодный прирост 5%.

2) Вариант «инерционный». ВРП на душу населения (с учетом инфляции) оста ется неизменным.

3) Вариант «закат». ВРП на душу населения уменьшается на 5% ежегодно.

Во всех приведенных сценариях считается, что на потребление расходятся 55% ( с = 0,55 ) ВРП. Только в первом варианте получается случай превышения рождаемо сти над смертностью. Всплеск рождаемости приходится на период 2009-2010 годы, что связано с демографическим подъемом 1987 году и как следствие большое количе ство женщин фертильного возраста. После этого ситуация начинает медленно улуч шаться (рис.1), хотя это улучшение является в большей степени следствием мигра ции. В данном варианте модель «выходит» на следующие характерные параметры:

число родившихся 30 тыс.чел./год, умерших 24 тыс.чел./год, сальдо миграции поло жительное 30 тыс.чел./год, население на последний расчетный период 2170 тыс.чел.

Рис 1. Модельный прогноз численности населения Приморского края по трем сценариям: «Рассвет» (ВРП * +5%), «Инерционный» (ВРП * 0%), «Закат» (ВРП * 5%) Инерционный и закатный варианты похожи в тенденциях. Вторая волна демо графического всплеска 1987 года явно не просматривается в данных сценариях. Име ем следующие порядки параметров – число рождений 6-7 тыс.чел./год, число смертей 30-33 тыс.чел./год, сальдо миграции отрицательное порядка 10 –20 тыс.чел./год, насе ление на последний расчетный год порядка полтора миллиона.

В заключение отметим один практический результат. Модель показывает, что в период 2007-2010 годов нужно достаточно эффективно активизировать социальные и экономические рычаги в направлении усиления мотивов для увеличения рождаемо сти.

Список использованных источников 1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Ме тоды. Примеры. М.: Физматлит. 2001.

2. Форрестер Д. Мировая динамика. М: Прогресс. 1978.

3. Вопросы социально-демографической истории Дальнего Востока России ХХ века. Владивосток. ДВО РАН. 1999.

4. Мотрич Е. Китайская миграция: реальность и проблемы/Россия и АТР. 1999.

№3.

5. Кильматов Т.Р., Захарова А.П., Бас А.В. Имитационное моделирование про цесса реализации рыбы и морепродукции за пределами таможенной границы/Вестник ДВГАЭУ. 2001. №2(18).

6. Kilmatov T.R., Sakun A.S. Imitation Model of Fish Resources Export-Import be tween two countries.-PICES Eighth Anual Mitting. Vladivostok. Russia.1999.

7. Приморский Край в 1999 году. Статистический ежегодник. Госкомстат Рос сии. Владивосток. Примкрайстат. 2000.

8. Приморский край на рубеже третьего тысячелетия. Статистический сборник.

Примкрайстат. Владивосток. 2001.

А.Ф.Тараканов ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОЕ УПРАВЛЕНИЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ Построение моделей динамических систем в игровой форме и их оптимизация интересуют математиков со времени появления книги Р.Айзекса [1]. Отечественные исследования по данной проблеме достаточно полно отражены, например, в книгах [2-6].

Исследование иерархических динамических игр – сравнительно новое направ ление теории. Таким системам много внимания уделяется в первой части книги [7].

Решение задач строится в форме программного управления на основе различных ва риантов принципа максимума. Книга [8] посвящена позиционным дифференциаль ным играм. В ней имеется лишь постановка задачи в двухуровневой иерархической игре (без неопределённости) и формулируется определение решения по Штакельбер гу. В опубликованных позже сборниках [9], [11] и журнале [10] иерархический вари ант не встречается.

В динамических системах иерархическая структура – явление весьма частое.

Примерами могут служить отношения начальника и подчинённого, министерства и предприятия. Однако адекватный математический аппарат для исследования динами ческих систем с иерархией пока отсутствует. Дело в том, что построение оптималь ных стратегий в форме программных управлений не учитывает наличие обратной связи. Поэтому наиболее приемлемый путь здесь – построение позиционных страте гий игроков. Необходимо также учитывать независимую активность подсистем ниж него уровня, которая приводит к появлению неопределённостей. В работе [12] иссле дована двухуровневая иерархическая дифференциальная игра в условиях неопреде лённости. В качестве решения предложено равновесие Нэша-Слейтера (между игро ками – равновесие по Нэшу, неопределённость учитывается по Слейтеру), причём окончательное решение принимает верхний уровень. Указаны свойства решения, по лучены достаточные условия оптимальности в линейно-квадратичной игре.

В настоящей работе изучается двухуровневая иерархическая дифференциаль ная игра в условиях неопределённости, оптимизация ведётся на основе комбиниро ванного принципа оптимальности Штакельберга-Слейтера. Согласно этому принци пу, нижний уровень сообщает верхнему уровню (Центру) множество своих допусти мых стратегий, а Центр в ответ формирует подмножество своих стратегий из условия максимума своего критерия. Затем нижний уровень максимизирует свой критерий.

Таким образом, окончательное решение – за нижним уровнем. Такой принцип управ ления известен как децентрализованное управление. Некоторые принципы децентра лизованного управления сформулированы в [13]. Исходная игра двух лиц сведена к игре трёх лиц (без неопределённости), получены достаточные условия оптимальности для линейно-квадратичной игры.

Рассмотрим дифференциальную игру двух лиц в условиях неопределённости {1,2},, {U i }i =1, 2, Z, {Fi (U 1, U 2, Z, t 0, x 0 }i =1, 2. (1) Здесь U1 – стратегия игрока верхнего уровня (1-й игрок), U2 – стратегия игрока нижнего уровня (2-й игрок), U i – множество стратегий i-го игрока, Z – множество неопределённостей.

Функционирование динамической системы S описывается векторным диффе ренциальным уравнением x = A(t ) x + u1 + u 2 + z, x (t 0 ) = x 0, || x 0 || 0, & с начальной позицией (t 0, x 0 ) [0,J ] R n, где J0 – фиксированный момент оконча ния игры, x=x(t)Rn – состояние системы в момент времени t, uiRn – управляющее воздействие i-го игрока, zRn – неопределённость, матрица A(t) непрерывна и ограни чена на [0,J].

Множества стратегий игроков имеют вид U 1 = {U 1 u1 = u1 (t, x ) | u1 (t, x ) = P1 (t ) x + R(t )u 2 }, U 2 = {U 2 u 2 = u 2 (t, x ) | u 2 (t, x ) = P2 (t ) x} (символ “” означает, что управляющему воздействию ui соответствует стратегия Ui, т.е. ui является реализацией стратегии Ui).

Множество неопределённостей Z определяется как Z = {Z z (t, x) | z (t, x) = P3 (t ) x}.

Матрицы A(t),Pi(t),R(t) размера (nn) непрерывны и ограничены на [0,J].

Набор U = (U1,U 2 ) U1 U 2 = U называется ситуацией игры (1).

Каждый i-й игрок стремится максимизировать свой выигрыш Fi(U1,U2,Z,t0,x0) пу тём выбора стратегии Ui.

Правила игры следующие. Игроки настроены друг к другу доброжелательно.

Пусть 2-й игрок информирует 1-го игрока о множестве U 2 своих допустимых страте гий. Тогда 1-й игрок в ответ на каждую стратегию U 2 U 2 формирует подмножество стратегий U 1 (U 2 ) = U 1 (U 2 ) U 1 | F1 (U 1 (U 2 ), U 2, Z, t 0, x 0 ) = max F1 (U 1, U 2, Z, t 0, x 0 ), Z Z.

U1U Очевидно, реализация u1 стратегии U1 1-го игрока будет иметь вид u1(u2). Затем 2-й игрок максимизирует свой критерий. Таким образом, 2-й игрок принимает окон чательное решение. Далее находится решение x(t), t[0,J], динамической системы S с u1(u2)=u1(u2,t,x), u2=u2(t,x), z=z(t,x). На основе этого решения формируются функции u1[t]=u1(u2,t,x(t)), u2[t]=u2(t,x(t)) выбранных игроками стратегий U1(U2), U2 и функция z[t]=z(t,x(t)) неопределённости Z, действующей на систему S. Затем вычисляются зна чения функций выигрыша игроков. Игра заканчивается.

* * * О п р е д е л е н и е 1. Тройку (U 1 (U 2 ),U 2, Z *) назовём ситуацией равновесия Штакельберга-Слейтера в игре (1), если существует такое Z * Z, что для любой на чальной позиции (t0,x0)[0,J]Rn выполнены следующие условия:

* * * 1) ситуация (U 1 (U 2 ), U 2 ) U 1 (U 2 ) U 2 удовлетворяет неравенству * * * F2 (U 1 (U 2 ), U 2, Z *, t 0, x 0 ) F2 (U 1 (U 2 ), U 2, Z *, t 0, x 0 ) для всех U 1 (U 2 ) U 1 (U 2 ), U 2 U 2 ;

2) неопределённость Z * Z минимальна по Слейтеру, т.е. несовместна система неравенств * * * * * * Fi (U 1 (U 2 ), U 2, Z, t 0, x 0 ) Fi (U 1 (U 2 ), U 2, Z *, t 0, x 0 ), i = 1,2, Z Z. (2) Несовместность системы (2) в определении 1 означает, что для любой неопре делённости Z Z обе компоненты вектора (F1(U*,Z,t0,x0),F2(U*,Z,t0,x0)), где * * * U * = (U 1 (U 2 ), U 2 ), не могут быть одновременно меньше соответствующих компонент того же вектора при Z=Z*. В этом заключается смысл последнего вектора как вектор ной гарантии игроков в игре (1).

У т в е р ж д е н и е 1. Если для любой начальной позиции (t0,x0)[0,J]Rn пара * * * (U *, Z *) U Z, где U * = (U 1 (U 2 ), U 2 ), является седловой точкой игры, U 2, Z, F2 (U, Z, t 0, x 0 }, т.е. выполняются неравенства F2 (U, Z *, t 0, x 0 ) F2 (U *, Z *, t 0, x 0 ) F2 (U *, Z, t 0, x 0 ), U U, Z Z, * * * то (U *, Z *) = (U 1 (U 2 ), U 2, Z *) – решение Штакельберга-Слейтера игры (1).

Игре (1) сопоставим игру трёх лиц (без неопределённости) I = {1,2,3},, {U i }i =1, 2, Z, {Fi (U 1, U 2, Z, t 0, x 0 }i =1,2,3, (3) где функция выигрыша 3-го игрока F3 (U 1, U 2, Z, t 0, x 0 ) = -aF1 (U 1, U 2, Z, t 0, x 0 ) - (1 - a ) F2 (U 1, U 2, Z, t 0, x 0 ), a (0,1).

В связи с игрой (3) определим её решение.

*~ * * О п р е д е л е н и е 2. Тройку (U 1 (U 2 ), U 2, Z ) U 1 (U 2 ) U 2 Z назовём ситуаци ей равновесия по Штакельбергу в игре (3), если, во-первых, ~ *~ * * F2 (U 1 (U 2 ), U 2, Z, t 0, x 0 ) F2 (U 1 (U 2 ), U 2, Z, t 0, x 0 ) при U 1 (U 2 ) U 1 (U 2 ), U 2 U 2, во-вторых, *~ * * * * * F3 (U 1 (U 2 ), U 2, Z, t 0, x 0 ) F3 (U 1 (U 2 ), U 2, Z, t 0, x 0 ), Z Z.

*~ * * Теорема 1. Пусть (U 1 (U 2 ), U 2, Z ) U 1 (U 2 ) U 2 Z – ситуация равновесия по * * * Штакельбергу в игре (3), (U 1 (U 2 ),U 2, Z *) U 1 (U 2 ) U 2 Z – ситуация равновесия Штакельберга-Слейтера в игре (1) и при некотором выборе числа 0a1 выполняется равенство [ ] min aF1 (U 1 (U 2 ), U 2, Z, t 0, x 0 ) + (1 - a ) F2 (U 1 (U 2 ), U 2, Z, t 0, x 0 ) = * * * * * * Z Z *~ *~ = aF1 (U 1 (U 2 ), U 2, Z, t 0, x 0 ) + (1 - a ) F2 (U 1 (U 2 ), U 2, Z, t 0, x 0 ).

* * * * Тогда ситуация равновесия по Штакельбергу в игре (3) является ситуацией равновесия Штакельберга-Слейтера в игре (1).

Определим функцию выигрыша 1-го игрока как [ ] J F1 (U 1,U 2, Z, t 0, x 0 ) = x T C1 x + u1 [t ]Du 2 [t ] + u1 [t ]D11u1 [t ] + u 2 [t ]D12 u 2 [t ] + z T [t ]L1 z[t ] dt, T T T t а 2-го игрока – [ ] J F2 (U 1, U 2, Z, t 0, x 0 ) = x T C 2 x + u1 [t ]D21u1 [t ] + u 2 [t ]D22 u 2 [t ] + z T [t ]L2 z[t ] dt, T T t где матрицы D,Dij,Li,Ci соответствующих размерностей, симметричны и постоянны, D110, D220.

Введём функции W1 (t, x, u1, u 2, z,V1 ) = T V1 V ( A(t ) x + u1 + u 2 + z ) + u1T Du 2 + u1T D11u1 + u 2 D12 u 2 + z T L1 z, T = + t x W2 (t, x, u1, u 2, z,V2 ) = T V2 V ( A(t ) x + u1 + u 2 + z ) + u1T D21u1 + u 2 D22 u 2 + z T L2 z, T = + t x W3 (t, x, u1, u 2, z,V3 ) = T V3 V ( A(t ) x + u1 + u 2 + z ) - u1T Du 2 - u1T D1 (a )u1 - u 2 D2 (a )u 2 - z T L(a ) z, T = + t x где Vi= Vi(t,x) – функции Ляпунова-Беллмана, Di(a)=aD1i+(1-a)D2i, L(a)=aL1+(1-a)L2.

Обозначим также C(a)=aC1+(1-a)C2.

Теорема 2. Пусть существуют единственные непрерывно дифференцируемые * * * * * * * * * функции Vj(t,x), j=1,2,3, стратегии U 1 (U 2 ) u1 (u 2 ) = u1 (u 2, t, x ), U 2 u 2 = u 2 (t, x ), U 1 (U 2 ) U 1 (U 2 ), U 2 U 2, неопределённость Z*z*=z*(t,x), Z * Z, и число a(0,1) * * * * такие, что:

1) для всех xRn справедливы равенства Vi (J, x ) = x T (J )C i x (J ), i = 1,2, V3 (J, x ) = - x T (J )C (a ) x (J ), 2) для всех (t,x)[0,J]Rn имеют место равенства * * * W2 (t, x, u1 (u 2 ), u 2, z*,V2 ) = max W2 (t, x, u1 (u 2 ), u 2, z*,V2 ), u1 ( u2 ),u * * * * * * = max W3 (t, x, u1 (u 2 ), u 2, z,V3 ), W3 (t, x, u1 (u 2 ), u 2, z*,V3 ) z n 3) для всех (t,x)[0,J]R выполняются равенства * * * Wi (t, x, u1 (u 2 ), u 2, z*,V2 ) = 0, i = 1,2,3.

* * * * * * Тогда тройка (U 1 (U 2 ), U 2, Z *) (u1 (u 2 ), u 2, z*) является решением Штакельберга Слейтера в игре (1), а выигрыши игроков * * * Fi (U 1 (U 2 ), U 2, Z *, t 0, x 0 ) = Vi (t 0, x 0 ), i = 1,2.

Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия:



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.