авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Голоморфные функции экспоненциального типа

и двойственность для групп Штейна

с алгебраической связной компонентой единицы

С. С. АКБАРОВ

ВИНИТИ РАН

e-mail: sergei-akbarov@rambler.ru

УДК 517.986

Ключевые слова: симметрическая моноидальная категория, алгебра Хопфа, груп па Штейна, голоморфная функция экспоненциального типа, квантовая группа, обо лочка Аренса—Майкла.

Аннотация Предлагается обобщение двойственности Понтрягина с категории коммутативных комплексных групп Ли на категорию (необязательно коммутативных) групп Штей на с алгебраической связной компонентой единицы. В отличие от других подобных обобщений, в нашем подходе объемлющая категория состоит из алгебр Хопфа (в под ходящей симметрической моноидальной категории).

Abstract S. S. Akbarov, Holomorphic functions of exponential type and duality for Stein groups with algebraic connected component of identity, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 14 (2008), no. 1, pp. 3—178.

We suggest a generalization of Pontryagin duality from the category of commutative, complex Lie groups to the category of (not necessarily commutative) Stein groups with algebraic connected component of identity. In contrast to the other similar generalizations, in our approach the enveloping category consists of Hopf algebras (in a proper symmetrical monoidal category).

Содержание Введение 1. Стереотипные пространства 1.1. Определение и основные примеры................... 1.2. Пространство Смит, порождённое компактом............. 1.3. Пространство Браунера, порождённое расширяющейся последовательностью компактов.................... Работа поддержана грантом РФФИ № 08-01-00867.

Фундаментальная и прикладная математика, 2008, том 14, № 1, с. 3—178.

c 2008 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы»

4 С. С. Акбаров 1.4. Проективные системы Банаха и инъективные системы Смит.... 1.5. Банахово представление пространства Смит............. 1.6. Инъективные системы пространств Банаха, порождённые компактами................................ 1.7. Ядерные стереотипные пространства................. 1.8. Пространства CM и CM......................... 1.8.1. Пространство функций CM................... 1.8.2. Пространство точечных зарядов CM............. 1.8.3. Двойственность между CM и CM............... 1.8.4. Базисы в CM и CM....................... 2. Стереотипные алгебры Хопфа 2.1. Тензорные произведения и структура моноидальной категории на Ste................................... 2.2. Стереотипные алгебры Хопфа..................... 2.2.1. Алгебры, коалгебры и алгебры Хопфа в симметрической моноидальной категории.................... 2.2.2. Проективные и инъективные стереотипные алгебры..... 2.2.3. Стереотипные алгебры Хопфа................. 2.2.4. Двойственность стереотипных алгебр Хопфа......... 2.2.5. Дуальные пары.......................... 2.3. Руководящий пример: алгебры Хопфа CG и CG........... 2.3.1. Алгебра CG функций на G................... 2.3.2. Алгебра CG точечных зарядов на G.............. 2.3.3. CG и CG как стереотипные алгебры Хопфа......... 2.4. Обозначения Свидлера и свойство стереотипной аппроксимации. 2.5. Групповые элементы........................... 3. Многообразия Штейна: прямоугольники в O(M ) и ромбы в O (M ) 3.1. Многообразия Штейна......................... 3.2. Внешние огибающие на M и прямоугольники в O(M )....... 3.2.1. Операции и.......................... 3.2.2. Внешние огибающие на M................... 3.2.3. Прямоугольники в O(M )................... 3.3. Лемма о полярах............................. 3.4. Внутренние огибающие на M и ромбы в O (M )........... 3.4.1. Операции и......................... 3.4.2. Внутренние огибающие на M................. 3.4.3. Ромбы в O (M )......................... 3.5. Двойственность между прямоугольниками и ромбами....... Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна 4. Группы Штейна и связанные с ними алгебры Хопфа 4.1. Группы Штейна, линейные группы и алгебраические группы.... 4.2. Алгебры Хопфа O(G), O (G), R(G), R (G)............. 4.2.1. Алгебры Хопфа O(G) и O (G) на группе Штейна G.... 4.2.2. Алгебры Хопфа R(G) и R (G) на аффинной алгебраической группе G.................... 4.2.3. Свёртки в R (G) и O (G)................... 4.3. Примеры................................. 4.3.1. Алгебры O(Z) и O (Z)..................... 4.3.2. Алгебры R(C ), R (C ), O(C ), O (C ).......... 4.3.3. Цепочка R(C) O(C) O (C) R (C)........... 5. Функции экспоненциального типа на группе Штейна 5.1. Полухарактеры и обратные полухарактеры на группах Штейна.. 5.2. Субмультипликативные ромбы и дуально субмультипликативные прямоугольники............................. 5.3. Голоморфные функции экспоненциального типа........... 5.3.1. Алгебра Oexp (G) голоморфных функций экспоненциального типа..................... 5.3.2. Алгебра Oexp (G) экспоненциальных аналитических функционалов.......................... 5.4. Примеры................................. 5.4.1. Конечные группы........................ 5.4.2. Группы Cn............................ 5.4.3. Группы GLn (C)......................... 5.5. Инъекция G : Oexp (G) O(G).................... 5.6. Ядерность пространств Oexp (G) и Oexp (G).............. 5.7. Голоморфные отображения экспоненциального типа и тензорные произведения пространств Oexp (G) и Oexp (G)............ 5.8. Структура алгебр Хопфа на Oexp (G) и Oexp (G)........... 6. Оболочки Аренса—Майкла и голоморфная рефлексивность 6.1. Субмультипликативные полунормы и алгебры Аренса—Майкла.. 6.2. Оболочки Аренса—Майкла....................... 6.3. Отображение G : O (G) Oexp (G) — оболочка Аренса—Майкла. 6.4. Отображение G : Oexp (G) O(G) — оболочка Аренса—Майкла для групп с алгебраической связной компонентой единицы..... 6.5. Голоморфная рефлексивность...................... 7. Голоморфная рефлексивность как обобщение двойственности Понтрягина 7.1. Двойственность Понтрягина для абелевых компактно порождённых групп Штейна...................... 6 С. С. Акбаров 7.2. Преобразование Фурье как оболочка Аренса—Майкла....... 7.2.1. Конечная абелева группа.................... 7.2.2. Комплексная плоскость C.................... 7.2.3. Комплексная окружность C.................. 7.2.4. Группа целых чисел Z...................... 7.2.5. Доказательство теоремы 7.2.................. 7.3. Диаграмма вложения.......................... 8. Добавление: голоморфная рефлексивность квантовой группы az + b 8.1. Квантовые комбинаторные формулы.................. 8.2. Алгебры Хопфа косых многочленов и близкие конструкции.... 8.2.1. Тензорные произведения X R(C), X R(C), X R (C), X R (C)..................... R(C) и косых 8.2.2. Алгебры косых многочленов A степенных рядов A R (C).................. 8.2.3. Квантовые пары в алгебре Хопфа............... 8.2.4. Алгебры Хопфа H z R(C) и H z R (C)......... 8.2.5. Цепочки H z R(C) H z O(C) H z O (C) H z R (C) и H z R(C) H z O(C) H z O (C) H z R (C). 8.3. Квантовая группа az + b = Rq (C C)................ 8.3.1. Группа C C аффинных преобразований плоскости.... 8.3.2. Стереотипные алгебры R(C C) и R (C C)...... 8.3.3. Стереотипные алгебры O(C C) и O (C C)...... 8.3.4. Алгебры R(C C), R (C C), O(C C) и O (C C) как алгебры Хопфа................ 8.3.5. Алгебры Хопфа Rq (C C), Rq (C C), Oq (C C), Oq (C C)............................ 8.3.6. Алгебра Rq (C C) как алгебра с образующими и определяющими отношениями................. 8.4. Рефлексивность Rq (C C)...................... 8.4.1. Диаграммы рефлексивности для Rq (C C)........ 8.4.2. Отображение Rq (C C) Oq (C C) при |q| = 1.... z R(C) O(C ) zq R (C) при 8.4.3. Отображение R(C ) q |q| = 1............................... q q 8.4.4. Отображение O (C ) R(C) R (C ) R (C) при z z произвольном q.......................... Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Введение С 1930-х годов, когда Л. С. Понтрягин опубликовал свою знаменитую те орему двойственности для абелевых локально компактных групп [40], вооб ражение специалистов по гармоническому анализу время от времени занимает следующая задача: как обобщить двойственность Понтрягина на неабеле вы локально компактные группы, чтобы двойственный объект имел ту же природу, что и исходный?

Как известно, первые попытки обобщения понтрягинской двойственности не удовлетворяли этому требованию: в теории М. Г. Крейна, например, объ ектом G, двойственным к группе G, является блок-алгебра [10] (а не группа, как у Понтрягина). Видимо, в этом проявляется какая-то глубокая особенность человеческой психологии, но такой невинный штрих, как асимметрия между G и G в теории представлений, — штрих, который можно было бы сравнить с различием между левым и правым в анатомии, — привёл к многочисленным и (из-за меняющихся со временем представлений о том, что следует понимать под группой) не прекращающимся до сих пор попыткам построить теорию двой ственности, которая, помимо того что охватывала бы «все на свете группы», сохраняла бы понтрягинскую симметрию между исходным объектом и двой ственным к нему.

На категорном языке, единственном приспособленном для устремлений по добного уровня умозрительности, корректно сформулировать эту задачу можно с помощью следующих двух определений.

1. Условимся контравариантный функтор A A : K K на заданной ка тегории K называть функтором двойственности на K, если его квадрат, т. е. ковариантный функтор A (A ) : K K, изоморфен тождественно му функтору idK : K K:

K (A) ? c c c  c   /K K.

idK Примером функтора двойственности является как раз переход G G• к двойственной по Понтрягину абелевой локально компактной группе:

естественным изоморфизмом между G•• и G будет отображение iG : G G••, x G, G•.

iG (x)() = (x), Наоборот, скажем, в категории банаховых пространств функтор X X перехода к сопряжённому банахову пространству не является двойствен ностью (потому что существуют нерефлексивные банаховы пространства).

8 С. С. Акбаров 2. Пусть нам даны:

а) три категории K, L, M с двумя полными и точными ковариантны ми функторами A : K L и B : L M, определяющими цепочку вложений K L M;

б) два функтора двойственности K K • : K K, M M : M M, такие что функторы K B A(K • ), K B A(K) изоморфны:

/M M (B) O O B B L L O O A A • /K.

K Такую конструкцию мы будем называть обобщением двойственности • с категории K на категорию L.

Вооружившись этими терминами, мы можем сформулировать задачу, о ко торой идёт речь, следующим образом: существуют ли обобщения двойствен ности Понтрягина с категории абелевых локально компактных групп на категорию произвольных локально компактных групп, и если да, то какие?

Диаграмма категорий (B) при такой постановке вопроса принимает вид /M M (C) O O локально компактные группы локально компактные группы O O абелевы абелевы • / локально компактные группы локально компактные группы.

Руководящим примером для неё является теория двойственности для конечных групп, которую можно рассматривать как обобщение понтрягинской двойствен ности с категории абелевых конечных групп на категорию всех конечных групп:

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна конечномерные алгебры / конечномерные алгебры HH (D) Хопфа Хопфа O O CG CG G G конечные группы конечные группы O O e e GG• / абелевы конечные группы абелевы конечные группы (здесь операция G CG есть переход к групповой алгебре, а H H — переход к двойственной алгебре Хопфа). Этот пример, помимо прочего, ил люстрирует другую ключевую идею «общей теории двойственности»: если мы хотим свести представления групп к представлениям алгебр и, как следствие, требуем, чтобы категория M состояла из ассоциативных алгебр, тогда эти ал гебры H должны обладать дополнительной структурой, которая позволила бы наделить двойственный объект H естественной структурой ассоциативной ал гебры. Естественными объектами такого сорта в общей алгебре являются ал гебры Хопфа. Как следствие, в «теории двойственности» конструкции обычно напоминают алгебры Хопфа, хотя, как правило, ими не являются, за исключе нием тривиальных ситуаций, когда, например, алгебра конечномерна.

Задача обобщения двойственности Понтрягина в формулировке, представ ленной диаграммой (C), была решена в 1973 году независимо Л. И. Вайнерма ном и Г. И. Кацем с одной стороны (см. [4—6]) и М. Эноком и Ж.-М. Шварцем с другой (см. [29—31]). Построенная ими теория алгебр Каца явилась итогом серии попыток различных математиков расширить категорию абелевых локаль но компактных групп, с историей которых (как и с самой теорией алгебр Каца) можно познакомиться по [32]. Работа в этом направлении продолжилась и после статей Вайнермана, Каца, Энока и Шварца 1973 года, поскольку, с одной сторо ны, в теорию вносились улучшения (подробности опять же в [32]), а с другой, после открытия в 1980-х годах квантовых групп, сразу же приобретших ши рокую популярность, понтрягинскую двойственность стали обобщать и на этот класс, причём эта работа не окончена и поныне — возникшая на этой волне теория локально компактных квантовых групп в настоящее время активно раз рабатывается С. Л. Вороновичем, С. Ваэсом, А. Ван Дэле, Л. Вайнерманом, Й. Кустермансом, В. Пуцем, П. Солтаном и др. (представление о ней можно получить по коллективной монографии [39]). Ключевой в этих исследовани ях стала предложенная А. Ван Дэле в 1990-х годах идея мультипликаторной алгебры Хопфа (см. [25, 26]).

10 С. С. Акбаров Несмотря на активную работу и впечатляющий энтузиазм, демонстрируемый математиками, занимающимися этой темой, предлагаемые ими теории облада ют серьёзным недостатком: в них всюду объемлющие категории M состоят из объектов, формально не являющихся алгебрами Хопфа. Алгебры Каца, например, хотя и выбираются как подкласс среди образований, именуемых ал гебрами Хопфа—фон Неймана, в действительности алгебрами Хопфа не явля ются, потому что с категорной точки зрения в определении алгебр Хопфа—фон Неймана используются сразу два тензорных произведения: одно (проективное тензорное произведение банаховых пространств) для операции умножения, дру гое (тензорное произведение алгебр фон Неймана) для коумножения. В теории локально компактных квантовых групп ситуация в этом отношении ещё менее обнадёживает, потому что там претензия, что коумножение должно действовать в тензорное произведение, вовсе отбрасывается: в соответствии с упоминав шейся оригинальной идеей Ван Дэле о мультипликаторных алгебрах Хопфа, коумножение здесь определяется как оператор из A в алгебру M (A A) муль типликаторов на тензорном произведении A A (под таковым подразумевается минимальное тензорное произведение C -алгебр, см. [35, 39]).

В настоящей работе мы предлагаем новый подход к обобщению понтрягин ской двойственности, свободный от этого недостатка: в нём объемлющая кате гория M состоит из «настоящих» алгебр Хопфа, конечно в категорном смысле, т. е. определённых так же, как и обычные алгебры Хопфа, но с заменой в опреде лении категории векторных пространств на заданную симметрическую (в более общей ситуации — заузленную) моноидальную категорию (такие алгебры Хопфа называются иногда моноидами Хопфа, см. [41, 42, 44, 49]).

Мы ставим себе целью не собственно обобщение понтрягинской двойствен ности на класс локально компактных групп, как это представлено диаграм мой (C), а решение аналогичной задачи в классе комплексных групп. Дело в том, что из четырёх главных областей математики, где проявляет себя идея инвариантного интегрирования — общей топологии (где группами с инвариант ным интегралом будут как раз локально компактные группы), дифференциаль ной геометрии (где эту роль выполняют группы Ли), комплексного анализа (здесь группами с интегралом можно считать редуктивные комплексные груп пы Ли) и алгебраической геометрии (опять же с редуктивными комплексными группами), — по крайней мере в трёх первых имеет смысл задача обобщения понтрягинской двойственности. В топологии она принимает вид диаграммы (C), в дифференциальной геометрии можно ставить задачу обобщения понтрягин ской двойственности с абелевых компактно порождённых групп Ли, скажем, на все компактно порождённые группы Ли, в комплексном же анализе можно рассматривать задачу обобщения понтрягинской двойственности с класса абеле вых компактно порождённых групп Штейна на класс редуктивных комплексных групп (под редуктивной группой мы, следуя [7], понимаем комплексификацию компактной вещественной группы Ли).

Нам удаётся решить третью из этих проблем. Мы начинаем наши построения с алгебры O(G) голоморфных функций на комплексной группе Ли G, поскольку Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна это естественная функциональная алгебра в комплексном анализе (в трёх дру гих упомянутых дисциплинах эта роль принадлежит алгебре C(G) непрерывных функций, алгебре E(G) гладких функций и алгебре R(G) многочленов). Идея, которую мы предлагаем в качестве эвристической гипотезы и подтверждение которой мы видим в результатах нашей работы, состоит в том, что каждой из первых трёх математических дисциплин в нашем списке — общей топологии, дифференциальной геометрии и комплексному анализу — с точки зрения рас сматриваемого в ней класса топологических алгебр, по-видимому, соответствует какой-то класс полунорм, внутренне связанный с этим классом алгебр. Какими должны быть эти полунормы в общей топологии и в дифференциальной гео метрии, мы пока сказать не можем, но с комплексным анализом — и этот тезис подсказан нам результатами А. Ю. Пирковского об оболочках Аренса—Майкла топологических алгебр (см. [11]) — внутренне связан класс субмультипликатив ных полунорм, т. е. полунорм, определённых неравенством p(x · y) p(x) · p(y).

Чтобы придать точный смысл словам «внутренне связан», нужно ввести в рас смотрение следующие два функтора и определяемую ими категорию алгебр Хоп фа.

1. Оболочка Аренса—Майкла A A. Алгебры, топология которых поро ждается субмультипликативными полунормами и удовлетворяет дополни тельному условию полноты, называются алгебрами Аренса—Майкла (мы говорим о них подробно в разделе 6). Всякой топологической алгебре A соответствует «ближайшая к ней снаружи» алгебра Аренса—Майкла, ко торая называется оболочкой Аренса—Майкла алгебры A и которую мы обозначаем A (она представляет из себя пополнение A относительно си стемы непрерывных субмультипликативных полунорм на ней).

2. Переход к сопряжённой стереотипной алгебре Хопфа H H.

В [20] подробно рассматривались симметрические моноидальные кате гории (Ste, ) и (Ste, ) стереотипных пространств (с инъективным и проективным тензорным произведением). Алгебры Хопфа в этих кате гориях называются соответственно инъективными и проективными стерео типными алгебрами Хопфа. Операция H H перехода к сопряжённому стереотипному пространству устанавливает антиэквивалентность между этими категориями алгебр Хопфа.

3. Категория голоморфно рефлексивных алгебр Хопфа. Функторы и позволяют рассмотреть категорию проективных и одновременно инъек тивных стереотипных алгебр Хопфа H, у которых последовательное при менение операций и всякий раз приводит к инъективной и одновре менно проективной алгебре Хопфа и, если начинать с, то на четвёртом шаге эта цепочка возвращает к исходной алгебре Хопфа (конечно, с точно стью до изоморфизма). Эту замкнутую цепочку операций мы изображаем диаграммой, которую можно назвать диаграммой рефлексивности, 12 С. С. Акбаров 1 / H (E) H O  o (H ) H, а такие алгебры Хопфа H мы называем голоморфно рефлексивными (ак куратное определение даётся в разделе 6.5). Функтором двойственности в категории таких алгебр Хопфа, понятно, будет операция H (H ).

Главный результат нашей работы, объясняющий смысл наших намёков о «по лунормах, внутренне связанных с комплексным анализом», состоит в том, что алгебра O (G) аналитических функционалов на компактно порождённой группе Штейна G с алгебраической связной компонентой единицы является голоморф но рефлексивной алгеброй Хопфа. Для доказательства этого факта мы вводим в рассмотрение алгебру Oexp (G) голоморфных функций экспоненциального ти па на группе G, являющуюся подалгеброй в алгебре O(G) всех голоморфных функций на G. Диаграмма рефлексивности (E) для O (G) имеет вид 1 / Oexp (G) O (G) (F) O  o Oexp (G) O(G).

Для случая абелевых групп операция оказывается естественно изоморфной обычному преобразованию Фурье, и поэтому диаграмма приобретает вид 1 / O(G• ) O (G) (G) преобразование O Фурье  o O (G• ) O(G) преобразование Фурье (двойственная группа G• для абелевой компактно порождённой группы Штей на G определяется как группа гомоморфизмов из G в мультипликативную груп пу C : = C \ {0} ненулевых комплексных чисел). Это, в частности, определяет Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна изоморфизм функторов O (G• ) O (G), = который, в свою очередь, позволяет решить задачу обобщения понтрягинской двойственности в комплексном случае, и получаемая нами диаграмма катего рий (B) выглядит следующим образом:

голоморфно рефлексивные / голоморфно рефлексивные H(H ) алгебры Хопфа алгебры Хопфа O O O (G) O (G) G G компактно порождённые компактно порождённые группы Штейна группы Штейна с алгебраической с алгебраической компонентой единицы компонентой единицы O O e e абелевы компактно порождённые / абелевы компактно порождённые GG• группы Штейна группы Штейна.

(H) Поскольку всякая редуктивная комплексная группа алгебраична, это действи тельно будет решением третьей из упомянутых выше проблем.

В дополнение к этому мы показываем, что определяемая нами голоморф ная двойственность не ограничивается классом компактно порождённых групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы, но продолжается так же и на квантовые группы. В качестве примера мы рассматриваем квантовую группу az + b (квантовых аффинных преобразований комплексной плоскости, см. [27, 39, 47, 48]), про которую мы доказываем, что она является голоморфно рефлексивной алгеброй Хопфа в смысле данного определения.

Автор выражает искреннюю признательность О. Ю. Аристову, Д. Н. Ахи езеру, А. Ван Дэле, Ф. Гоше, Е. Б. Кацову, Ю. Н. Кузнецовой, Т. Мащику, С. Ю. Немировскому, А. Ю. Пирковскому, В. Л. Попову, П. Солтану, А. Хакл берри, А. Я. Хелемскому за бесчисленные консультации и помощь в работе над этой статьей. Ю. Н. Кузнецовой, кроме того, принадлежит идея доказательства предложений 5.1, 8.12 и леммы 8.9.

1. Стереотипные пространства Стереотипные пространства, о которых идёт речь в этом разделе, подробно рассматривались в [20] (см. также [19, 21]).

14 С. С. Акбаров 1.1. Определение и основные примеры Пусть X — локально выпуклое пространство над C. Обозначим через X пространство линейных непрерывных функционалов f : X C, наделённое топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных мно жествах в X. Пространство X называется стереотипным, если естественное отображение iX : X (X ), x X, f X, iX (x)(f ) = f (x), является изоморфизмом локально выпуклых пространств. Очевидно, справедли ва следующая теорема.

Теорема 1.1. Если X — стереотипное пространство, то X тоже стереотип ное пространство.

Как оказывается, стереотипные пространства образуют весьма широкий класс, включающий, в частности, все пространства Фреше (а значит, и все банаховы пространства).

Пример 1.1 (пространства Фреше и Браунера). Всякое пространство Фре ше X является стереотипным. Его сопряжённое пространство Y = X также будет стереотипным по теореме 1.1. При этом если {Un } — счётная локальная база в X, то поляры Kn = Un являются компактами в Y, причём образуют фундаментальную систему компактов: каждый компакт T Y содержит ся в некотором компакте Kn (отсюда следует, что Y не может быть про странством Фреше, если X бесконечномерно). Пространства Y, сопряжённые (в смысле нашего определения) к пространствам Фреше X, впервые рассматри вались К. Браунером в [22], и мы будем называть их пространствами Брау нера. Характеристические свойства этих пространств полезно собрать в одном предложении.

Предложение 1.1. Для локально-выпуклого пространства Y следующие условия эквивалентны:

1) Y является пространством Браунера;

2) Y полно, является пространством Келли (т. е. всякое множество M Y, оставляющее замкнутый след M K на любом компакте K Y, замкнуто в Y ) и обладает счётной фундаментальной системой компактов Kn : для всякого компакта T Y найдётся такое n N1, что T Kn ;

3) Y является стереотипным и обладает счётной фундаментальной системой компактов Kn : для всякого компакта T Y найдётся такое n N, что T Kn ;

N 1 Всюду в статье символ обозначает расширенное множество натуральных чисел:

N : = {0, 1, 2, 3,...}.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна 4) Y является стереотипным и обладает счётной исчерпывающей системой компактов Kn :

Kn = Y.

n= Доказательство. Здесь счётную фундаментальную систему компактов в Y образуют поляры Kn = Un окрестностей нуля Un, образующих счётную локаль ную базу в сопряжённом пространстве Фреше Y. По модулю этого замечания очевидны все утверждения предложения 1.1, кроме одного, что пространство Браунера Y всегда является пространством Келли. Этот результат принадле жит К. Браунеру и выводится в [22] как следствие теоремы Банаха—Дьедонне (см. [33]).

Следствие 1.1. Если Y — пространство Браунера с фундаментальной систе мой компактов Kn, то линейное отображение : Y Z в произвольное локаль но выпуклое пространство Z непрерывно в том и только в том случае, если оно непрерывно на компактах Kn.

Пример 1.2 (пространства Банаха и Смит). Это частные случаи про странств Фреше и Браунера. Если X — пространство Банаха, то X и Y = X являются стереотипными пространствами. При этом шар B в Y имеет полярой так называемый универсальный компакт K = B в Y, т. е. такой компакт, который поглощает любой другой компакт T в Y. Пространства Y = X, со пряжённые к пространствам Банаха X, первой рассмотрела М. Ф. Смит в [43], поэтому мы называем их пространствами Смит. Их характеристические свой ства собраны в следующем предложении.

Предложение 1.2. Для локально выпуклого пространства Y следующие условия эквивалентны:

1) Y является пространством Смит;

2) Y полно, является пространством Келли и обладает универсальным ком пактом K: для любого компакта T X найдётся C, такое что T K;

3) Y является стереотипным пространством и обладает универсальным ком пактом;

4) Y является стереотипным пространством и обладает компактной бочкой.

Следствие 1.2. Если Y — пространство Смит с универсальным компактом K, то линейное отображение : Y Z в произвольное локально-выпуклое про странство Z непрерывно в том и только в том случае, если оно непрерывно на компакте K.

Связи между классами пространств Фреше, Браунера, Банаха и Смит можно проиллюстрировать следующей диаграммой (в которой переход к сопряжённому классу получается поворотом на 180 ):

16 С. С. Акбаров ' $ пространства Фреше ' ' $ конечномерные пространства Банаха пространства Смит пространства & % % пространства Браунера & %.

1.2. Пространство Смит, порождённое компактом Если X — стереотипное пространство и K — абсолютно выпуклый компакт в X, то через CK условимся обозначать линейное подпространство в X, поро ждённое множеством K:

CK = (1.1) K.

Наделим пространство CK топологией Келли, порождённой компактами K:

множество M CK считается замкнутым в CK, если в пересечении с каж дым компактом K оно даёт замкнутое (в X или, что равносильно, в K) подмножество M K.

Теорема 1.2. Топология Келли на CK, порождённая компактами K, явля ется единственной топологией на CK, превращающей CK в пространство Смит с универсальным компактом K.

Доказательство. Обозначим через (CK) пространство всех линейных функционалов на CK, непрерывных на компакте K:

f (CK) f : CK C & f |K C(K).

Ясно, что (CK) будет банаховым пространством относительно нормы f = max |f (x)| xK (это формально превращает (CK) в замкнутое подпространство в C(K)). Заме тим, что функционалы f (CK) разделяют точки компакта K, потому что те из них, которые получаются ограничением на CK функционалов g X, уже обладают этим свойством:

x, y K x = y = g X g(x) = g(y).

Отсюда следует, что топология на K, порождённая функционалами f (CK), совпадает с исходной топологией этого компакта (потому что хаусдорфова и мажорируется ). Это, в свою очередь, означает, что топология пространства Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна (CK) есть топология равномерной сходимости на (CK) -слабых абсолютно вы пуклых компактах вида K (которые образуют насыщенную систему в CK).

Поэтому по теореме Макки—Аренса [18] система (CK) линейных непре рывных функционалов на (CK) должна совпадать с CK:

CK = (CK).

Мы получаем, что CK можно отождествить с пространством линейных непрерывных функционалов на (CK) и, как следствие, наделить его топологией сопряжённого (в стереотипном смысле) пространства к банахову пространству (CK) :

CK (CK). (1.2) = Эта топология превращает CK в пространство Смит, и по предложению 1.2 она совпадает с описанной нами топологией Келли на CK, порождённой компактами K.

Обозначим эту топологию на CK через и покажем, что она единственная обладает свойством, что CK с этой топологией будет пространством Смит с уни версальным компактом K. Действительно, если — какая-то другая топология на CK с тем же свойством, то тождественное отображение (CK) (CK) будет непрерывно на компакте K (потому что оно сохраняет топологию K) и, значит, по следствию 1.2 оно будет непрерывным отображением пространств Смит. Точно так же обратное отображение (CK) (CK) будет непрерывно, и это значит, что топологии и совпадают.

Следствие 1.3. Топология пространства CK может быть описана эквива лентным образом как топология равномерной сходимости на сходящихся к нулю последовательностях функционалов {fk } (CK), т. е. как топология, поро ждённая полунормами вида p{fk } (x) = sup |fn (x)|, kN где fk — произвольная последовательность линейных функционалов на CK, непрерывных на K, такая что max |fk (t)| 0.

tK k Предложение 1.3. Для любых двух абсолютно выпуклых компактов K, L X, таких что K L, естественное вложение порождённых ими пространств Смит L : CK CL K будет непрерывным отображением.

18 С. С. Акбаров Доказательство. Отображение L непрерывно на компакте K и, значит, по K следствию 1.2 непрерывно на всём CK.

1.3. Пространство Браунера, порождённое расширяющейся последовательностью компактов Последовательность абсолютно выпуклых компактов Kn в стереотипном пространстве X назовём расширяющейся, если n N Kn + Kn Kn+1.

Для всякой такой последовательности компактов множество CKn = Kn = Kn n=1 nN nN, C будет векторным подпространством в X. Наделим его топологией Келли, по рождённой компактами Kn : множество M Kn считается замкнутым n= в Kn, если в пересечении с каждым компактом Kn оно даёт замкнутое (в X n= или, что равносильно, в Kn ) подмножество M Kn. Доказательство следующего утверждения с очевидными изменениями копирует теорему 1.2.

Теорема 1.3. Топология Келли на Kn, порождённая компактами Kn, яв n= ляется единственной топологией на Kn, превращающей это пространство n= в пространство Браунера с фундаментальной системой компактов {Kn }.

Следствие 1.4. Топология пространства Kn может быть описана эквива n= лентным образом как топология равномерной сходимости на сходящихся к нулю последовательностях функционалов {fk } Kn, т. е. как топология, по n= рождённая полунормами вида p{fk } (x) = sup |fk (x)|, kN где fk — произвольная последовательность линейных функционалов на Kn, n= непрерывных на каждом Kn, такая что для всех n max |fk (t)| 0.

tKn k Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна 1.4. Проективные системы Банаха и инъективные системы Смит Пусть X — локально выпуклое пространство. Стандартная в теории тополо гических векторных пространств конструкция ставит в соответствие произволь ной абсолютно выпуклой окрестности нуля U в X некое банахово пространство, которое удобно обозначать X/U и называть фактор-пространством простран ства X по окрестности нуля U. Определяется оно следующим образом: сна чала рассматривается множество · U, Ker U = называемое ядром окрестности нуля U, и доказывается, что оно является за мкнутым подпространством в X (это следует из того, что U абсолютно выпук ло);

затем рассматривается фактор-пространство X/ Ker U, которое наделяется не фактор-топологией, как можно было бы ожидать, а топологией нормирован ного пространства с единичным шаром U + Ker U ;

это пространство не всегда будет полно, поэтому его пополняют, и это пополнение объявляется конечным результатом:

(1.3) X/U : = (X/ Ker U ) (здесь означает пополнение).

Теорема 1.4. Пусть X — стереотипное пространство. Для всякого абсолютно выпуклого компакта K X порождённое им пространство Смит CK связано с фактор-пространством X /K сопряжённого пространства X по окрестности нуля K формулой (CK) = X /K. (1.4) Пусть X — стереотипное пространство, и пусть K — расширяющаяся систе ма абсолютно выпуклых компактов в X, т. е. система, удовлетворяющая усло вию K, L K M K K L M.

По предложению 1.3 для любых двух компактов K, L K, таких что K L, порождённые ими пространства Смит связаны естественным линейным непре рывным отображением L : CK CL. Поскольку, очевидно, для трёх компактов K K L M соответствующие отображения связаны равенством M L = M, L K K возникающая система отображений {L ;

K, L K : K L} является инъ K ективной системой в категории Ste стереотипных пространств. Как у любой инъективной системы в Ste, у неё должен быть предел. Им будет псевдопопол нение её локально выпуклого инъективного предела [20, теорема 4.21]:

Ste-lim CK = LCS-lim CK.

K K 20 С. С. Акбаров Двойственная конструкция часто используется в теории топологических век торных пространств и выглядит следующим образом. Пусть X — стереотипное пространство, и пусть U — сужающаяся система абсолютно выпуклых замкну тых окрестностей нуля в X, т. е. система, удовлетворяющая следующему усло вию:

U, V U W U W U V.

Для любых двух окрестностей нуля U, V U, таких что V U, порождён ные ими банаховы пространства X/ Ker U и X/ Ker V связаны естественным V линейным непрерывным отображением U : X/ Ker V X/ Ker U, причём для любых трёх окрестностей W V U соответствующие отображения связаны равенством V W W U V = U.

V Это означает, что система отображений {U ;

U, V U : V U } является про ективной системой в категории Ste стереотипных пространств. Её пределом будет псевдонасыщение её локально выпуклого проективного предела [20, тео рема 4.21]:

Ste-lim X/U = LCS-lim X/U.

0U 0U Из (1.4) получаем следующую теорему.

Теорема 1.5. Если K — расширяющаяся система абсолютно выпуклых ком пактов в стереотипном пространстве X, то система поляр U = {K ;

K K} будет сужающейся системой абсолютно выпуклых окрестностей нуля в сопря жённом пространстве X. Пределы этих систем двойственны друг другу:

= Ste-lim X /K.

Ste-lim CK (1.5) K 0U Пример 1.3. Пусть K = K(X) — система всех вообще абсолютно выпуклых компактов в X. Тогда пределом инъективной системы {L ;

K, L K : K L} K в категории стереотипных пространств будет насыщение1 пространства X:

Ste-lim CK = X.

K Пример 1.4. Двойственным образом, если U = U(X) — множество всех аб солютно выпуклых окрестностей нуля в X, то пределом проективной системы V {U ;

U, V U : V U } в категории стереотипных пространств является попол нение пространства X:

Ste-lim X/U = X.

0U Теорема 1.6. Если Kn — расширяющаяся последовательность абсолютно вы пуклых компактов в стереотипном пространстве X, то предел инъективной системы CKn в категории стереотипных пространств совпадает с локально X локально выпуклого пространства X было определено в [20, раздел 1.2].

1 Насыщение Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна выпуклым пределом этой системы и с пространством Браунера, порождённым последовательностью Kn :

Ste- lim CKn = LCS- lim CKn = CKn. (1.6) n n n= 1.5. Банахово представление пространства Смит Если X — банахово пространство (с нормой · X ), то условимся через X обозначать его сопряжённое банахово пространство в обычном смысле, т. е.

пространство линейных непрерывных функционалов на X с нормой = sup |f (x)|, f X x X а если : X Y — непрерывное линейное отображение банаховых пространств, то : Y X обозначает сопряжённое отображение:

(f ) = f, f Y.

Естественное отображение из X в X будет обозначаться sX :

sX : X X.

Пусть Y — пространство Смит с универсальным компактом T. Обозначим через Y B нормированное пространство, носителем которого является Y, а еди ничным шаром — T.

Теорема 1.7. Справедлива формула Y B (Y ), (1.7) = из которой следует, что пространство Y B является полным и поэтому банаховым пространством.

Доказательство. Обозначим X = Y, тогда Y будет пространством линей ных непрерывных функционалов на банаховом пространстве X с топологией равномерной сходимости на компактах в X. Универсальный компакт T в Y бу дет полярой единичного шара B в X. Наделение Y топологией, в которой T будет единичным шаром, эквивалентно заданию на Y топологии сопряжённого к X нормированного пространства: Y B = X = (Y ). Поскольку сопряжённое к банахову пространству всегда банахово, мы получаем, что Y B тоже банахо во.

Пространство Y B мы называем банаховым представлением пространства Смит Y. Отметим, что естественное отображение Y : Y B Y, Y (y) = y, универсально в следующем смысле: для любого банахова пространства Z и всякого линейного непрерывного отображения : Z Y найдётся единственное 22 С. С. Акбаров линейное непрерывное отображение : Z Y B, замыкающее диаграмму Y /Y Y B _c ?

 c   c   Z.

Если : X Y — линейное непрерывное отображение пространств Смит, то универсальный компакт S в X оно переводит в компакт (S) в Y, который, как любой другой компакт, обязан содержаться в некоторой гомотетии универсаль ного компакта T в Y :

(S) T, 0.

Это означает, что отображение, рассматриваемое как отображение соответ ствующих банаховых представлений X B Y B, также будет непрерывно. Мы будем обозначать это отображение через B, B : X B Y B, и называть его банаховым представлением отображения. Очевидно, B представляется в виде B ( ) (1.8) = и замыкает диаграмму /Y XO O X Y / YB XB B.

1.6. Инъективные системы пространств Банаха, порождённые компактами В теории топологических векторных пространств часто используется сле дующая конструкция. Если B — ограниченное абсолютно выпуклое замкнутое множество в локально выпуклом пространстве X, то через XB обозначают про странство B, наделённое топологией нормированного пространства с еди ничным шаром B. Если XB оказывается полным (т. е. банаховым) простран ством, то множество B называется банаховым диском. Из теоремы 1.7 вытекает следующее утверждение.

Предложение 1.4. Всякий абсолютно выпуклый компакт K в стереотипном пространстве X является банаховым диском, а порождённое этим диском бана хово пространство XK является банаховым представлением пространства Смит CK:

XK = (CK)B.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Если K — расширяющаяся система абсолютно выпуклых компактов в стерео типном пространстве X, то, как мы уже говорили, она порождает инъективную систему пространств Смит L : CK CL {CK}KK, (K, L K, K L).

K Специалисты по топологическим векторным пространством предпочитают рас сматривать вместо такой системы Смит систему пространств Банаха, порождён ных дисками K K:

(L )B : (CK)B (CL)B {(CK)B }KK, (K, L K, K L).

K Следующий результат показывает, что пределы таких систем совпадают в важ ном случае, когда инъекции L : CK CL представляют собой компактные K отображения.

Теорема 1.8. Пусть K — расширяющаяся система абсолютно выпуклых ком пактов в стереотипном пространстве X. Тогда следующие условия эквивалент ны:

1) для всякого компакта K K найдётся такой компакт L K, что K L и отображение пространств Смит L : CK CL компактно;

K 2) для всякого компакта K K найдётся такой компакт L K, что K L и отображение пространств Банаха (L )B : (CK)B (CL)B компактно.

K Если они выполняются, то локально выпуклые инъективные пределы систем {CK}KK и {(CK)B }KK совпадают, LCS-lim CK = LCS-lim (CK)B, (1.9) K K и то же справедливо для их стереотипных инъективных пределов:

Ste-lim CK = Ste-lim (CK)B. (1.10) K K Если вдобавок к 1), 2) система K счётна (или содержит счётную конфинальную подсистему), то все эти четыре предела равны, Ste-lim CK = LCS-lim CK = LCS-lim (CK)B = Ste-lim (CK)B, (1.11) K K K K и определяют пространство Браунера.

Доказательству этой теоремы мы предпошлём несколько вспомогательных предложений.

Прежде всего отметим, что под компактным отображением стереотипных пространств мы понимаем то же, что обычно, — линейное непрерывное отобра жение : X Y, такое что (U ) T для некоторой окрестности нуля U X и некоторого компакта T Y.

Предложение 1.5. Пусть X и Y — пространства Смит и : X Y — линей ное непрерывное отображение. Следующие условия эквивалентны:

24 С. С. Акбаров 1) : X Y — компактное отображение;

2) : Y X — компактное отображение;

3) B : X B Y B — компактное отображение.

Доказательство. Эквивалентность 1) 2) очевидна, а эквивалентность 2) 3) следует из представления (1.8) и классического результата о компакт ных отображениях [13, теорема 4.19].

Предложение 1.6. Если : X Y — компактное отображение банаховых пространств, то его (сильное) второе сопряжённое отображение : X Y переводит X в Y :

(X ) Y. (1.12) Доказательство. Пусть B — единичный шар в X и T — компакт в Y, такой что (B) T.

По теореме о биполяре B будет X -слабо плотен в единичном шаре B про странства X. Поэтому для всякого z B можно выбрать направленность zi B, сходящуюся X -слабо к z:

X -слабо z B.

(1.13) B zi i Поскольку, как всякий компактный оператор, переводит X -слабые направ ленности Коши в сильные направленности Коши, получается, что (zi ) будет направленностью Коши в компакте T, значит, она сходится к некоторому y T :

Y (zi ) y.

i Отсюда следует, что g Y (zi )(g) = (g)(zi ) = g (zi ) g(y) = iY (y)(g), (1.14) i где iY : Y Y — естественное вложение.

С другой стороны, из (1.13) получаем, что f X f (zi ) f (z), i в частности, это должно быть верно для функционалов f = (g) = g, где g Y :

g Y (zi )(g) = (g)(zi ) (g)(z) = (z)(g). (1.15) i Из (1.14) и (1.15) получаем (z) = y, т. е. (z) Y. Поскольку это верно для всякой точки z B, справедливо (1.12).

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Предложение 1.7. Пусть : X Y — линейное непрерывное отображение стереотипных пространств. Для всякого абсолютно выпуклого замкнутого мно жества V Y справедлива формула 1 (V ) = (V ). (1.16) Доказательство. Имеем x (V ) g V | (g)(x)| = g (x) (x) (V ) = V x 1 (V ).

Предложение 1.8. Пусть : X Y — компактное отображение пространств Смит и V — абсолютно выпуклая замкнутая окрестность нуля в банаховом пред ставлении Y B пространства Y. Тогда её прообраз ( B )1 (V ) = 1 (V ) является окрестностью нуля в пространстве X (а не только в его банаховом представле нии X B ):

B / YB XB X Y   /Y X.

Доказательство. По формуле (1.8) можно считать отображением про B странств, сильно сопряжённых к банаховым пространствам X и Y :

B = ( ) : (X ) (Y ).

Рассмотрим сильное сопряжённое отображение ( B ) = ( ) : (Y ) (X ).

Поскольку компактно, по предложению 1. ( ) (Y ) X.

Наглядно это можно изобразить в виде диаграммы ( ) (X ) o (Y ) O O oo oo o iX iY wo o o.

X Y Теперь имеем V — окрестность нуля в Y B = (Y ) V — ограниченное множество в (Y ) 26 С. С. Акбаров ( ) (V ) — вполне ограниченное множество в (X ) (потому что ( ) — компактное отображение) & ( ) (V ) X ( ) (V ) — вполне ограниченное множество в X (1.16) ( B )1 (V ) = ( B ) (V ) = ( ) (V ) — окрестность нуля в X.

Доказательство теоремы 1.8. Равносильность условий 1) и 2) есть непо средственное следствие предложения 1.5. Формула (1.9) затем следует из предложения 1.8: если U — замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля в LCS- lim (CK)B, т. е. U = {UK ;

K K} — система окрестностей нуля в про K странствах (CK)B, подчинённых условию K L = UK = (L )1 (UL ), K, L K K то из предложения 1.8 следует, что все эти окрестности будут окрестностями нуля в пространствах CK. Это доказывает непрерывность отображения LCS- lim CK LCS- lim (CK)B.

K K Непрерывность обратного отображения очевидна. Таким образом, топологии на этих пространствах совпадают, и отсюда следует, что эти пределы равны, т. е.

выполняется (1.9), откуда следует (1.10). Наконец, если K счётно, то по тео реме 1.6 локально выпуклые пределы совпадают со стереотипными, и поэтому справедливы равенства (1.11).

1.7. Ядерные стереотипные пространства Отображение стереотипных пространств : X Y мы называем ядерным, если оно удовлетворяет следующим равносильным условиям:

1) существуют последовательности X Y fn 0, bn 0, n, n 0, n n n= такие что n · fn (x) · bn, x X;

(1.17) (x) = n= 2) существуют вполне ограниченные последовательности {fn } в X, {bn } в Y n, такие что выполняет и числовая последовательность n 0, n= ся (1.17);

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна 3) существуют ограниченные последовательности {fn } в X, {bn } в Y и чи n, такие что выполняет словая последовательность n 0, n= ся (1.17);

4) существуют равностепенно непрерывная на X последовательность функ ционалов {fn } X, последовательность векторов {bn }, содержащаяся в некотором банаховом диске B Y, и числовая последовательность n, такие что выполняется (1.17).

n 0, n= Ясно, что ядерное отображение всегда непрерывно.

Доказательство. Импликации 1) = 2) = 3) очевидны. Докажем импли кацию 3) = 1). Пусть выполняется условие 3), т. е. в формуле (1.17) последо вательности {fn } X и {bn } Y считаются просто ограниченными. Тогда, подобрав числовую последовательность n 0 так, чтобы n +, n · n n n= (это всегда можно сделать, например обозначив n = C, затем разбив по n= C следовательность n на блоки k, k 0, n0 = 0, и положив n nk n nk+ n = k + 1 при nk n nk+1 ), можно будет поменять fn, bn, n на последова тельности fn bn fn : =, n : =, n : = n · n, b n n потому что fn (x) bn n · fn (x) · n = n · n · · n · fn (x) · bn = (x), b = n n n=1 n=1 n= и при этом из ограниченности fn и bn будет следовать, что fn и n стремятся b к нулю, n 0, fn 0, n, b n n n= т. е. выполняется 1).

Теперь остаётся показать, что условия 1)—3) равносильны условию 4), т. е.

стандартному определению ядерного отображения [18, 33]. Очевидна имплика ция 4) = 3). С другой стороны, справедлива импликация 2) = 4): из 2) следу ет, что последовательность функционалов {fn } равностепенно непрерывна на X как вполне ограниченная в X [20, теорема 2.5], а последовательность {bn } принадлежит банахову диску T = absconv{bn } по теореме 1.4. Таким образом, выполняется 4).

28 С. С. Акбаров Теорема 1.9. Отображение стереотипных пространств : X Y тогда и только тогда ядерно, когда его сопряжённое отображение : Y X ядерно.

Отображение стереотипных пространств : X Y мы называем квазиядер ным, если для всякого компакта T Y существуют равностепенно непрерыв ная на X последовательность функционалов {fn } X и числовая последова n, такие что тельность n 0, n= n |fn (x)|. (1.18) max g (x) gT n= Если X и Y — банаховы пространства, то квазиядерность : X Y означает выполнение неравенства n |fn (x)|, (1.19) (x) Y n= где · Y — норма в Y, fn — ограниченная последовательность функционалов на X, n — суммируемая числовая последовательность.

Лемма 1.1. Пусть : X Y — непрерывное отображение банаховых про странств, и пусть : Y X его банахово сопряжённое отображение. Тогда 1) если ядерно, то тоже ядерно;


2) если ядерно, то квазиядерно.

Доказательство. Первое утверждение очевидно (и известно, см. [12, 3.1.8]) и влечёт за собой второе: если : Y X ядерно, то : X Y то же ядерно, и поэтому квазиядерно. Отсюда следует, что тоже квазиядерно, поскольку его можно считать ограничением (и коограничением) квазиядерного отображения на подпространство X X (и Y Y ).

Стереотипное пространство X мы, как обычно, называем ядерным [12], если любое его непрерывное линейное отображение в произвольное банахово про странство X Y ядерно.

Теорема 1.10 (Браунер, [22]). Пространство Браунера X ядерно в том и только в том случае, если ядерно сопряжённое пространство Фреше X.

Теорема 1.11. Пусть K — расширяющаяся система абсолютно выпуклых ком пактов в стереотипном пространстве X. Тогда следующие условия эквивалент ны:

1) для всякого компакта K K найдётся такой компакт L K, что K L и отображение пространств Смит L : CK CL ядерно;

K 2) для всякого компакта K K найдётся такой компакт L K, что K L и отображение пространств Банаха (L )B : (CK)B (CL)B ядерно.

K Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Если они выполняются, то локально выпуклые инъективные пределы систем {CK}KK и {(CK)B }KK совпадают, LCS- lim CK = LCS- lim (CK)B, (1.20) K K и то же справедливо для их стереотипных инъективных пределов:

Ste- lim CK = Ste- lim (CK)B. (1.21) K K Если вдобавок к 1), 2) система K счётна (или содержит счётную конфинальную подсистему), то все эти четыре предела равны, Ste- lim CK = LCS- lim CK = LCS- lim (CK)B = Ste- lim (CK)B, (1.22) K K K K и определяют ядерное пространство Браунера.

Доказательство. Все утверждения, за исключением эквивалентности 1) и 2), следуют из теоремы 1.8.

Докажем импликацию 1) = 2). Если L ядерно, то (L ) ядерно по теоре K K ме 1.9, значит, (L )B = (L ) ядерно по лемме 1.1.

K K Докажем импликацию 1) = 2). Для данного компакта K выберем компакт L K так, чтобы (L )B было ядерно, а затем таким же образом выберем K компакт M L, чтобы (M )B было тоже ядерно. Тогда из ядерности (L )B = L K = (L ) и (M )B = (M ) по лемме 1.1 следует, что (L ) и (M ) квази K L L K L ядерны. Тогда (L ) (M ) будет ядерно как композиция квазиядерных отобра K L жений [12, раздел 3.3.2]. Теперь по теореме 1.9 M L = M будет ядерно как L K K стереотипное сопряжённое отображение.

1.8. Пространства CM и CM Пространства CM и CM, о которых пойдёт речь в этом разделе, принято упоминать в учебниках по топологическим векторным пространствам в качестве предмета для упражнений [2, гл. IV, § 1, упр. 11, 13;

18, гл. IV, упр. 6]. Мы приведём здесь некоторые их свойства для дальнейших ссылок.

1.8.1. Пространство функций CM Пусть M — произвольное множество. Обозначим через CM локально выпук лое пространство всех комплекснозначных функций на M, u CM u : M C, с поточечными алгебраическими операциями и топологией поточечной сходимо сти на M, т. е. топологией, порождённой системой полунорм |u|N = sup |u(x)|, (1.23) xN 30 С. С. Акбаров где N — произвольное конечное множество в M. Пространство CM будем на зывать пространством функций на множестве M. Можно заметить, что про странство функций CM изоморфно прямому произведению card M копий поля C, CM Ccard M, = и поэтому CM всегда ядерно.

Теорема 1.12. Для локально выпуклого пространства X над полем C следу ющие условия эквивалентны:

1) X CM для некоторого множества M ;

= 2) X является полным пространством со слабой топологией 1 ;

3) X является пространством минимального типа 2.

Теорема 1.13. CM будет пространством Фреше тогда и только тогда, когда множество M не более чем счётно.

1.8.2. Пространство точечных зарядов CM Пусть снова M — произвольное множество. Обозначим через CM простран ство всех числовых семейств {x ;

x M }, индексированных элементами M и удовлетворяющих условию финитности (все числа x, кроме конечного набора, должны быть равны нулю):

CM = {x ;

x M }, x C, card{x M : x = 0} (1.24) (понятно, что семейства {x ;

x M } можно считать функциями : M C с конечным носителем). Пространство CM наделяется топологией, порождаемой полунормами вида ||r = sup | u, | = r(x) · |x |, (1.25) |u| r xG где r : G R+ — произвольная положительная функция на M. Простран ство CM мы будем называть пространством точечных зарядов на множе стве M (а его элементы — точечными зарядами на M ). Можно заметить, что пространство CM изоморфно локально выпуклой прямой сумме card M копий поля C, CM Ccard M.

= 1 Локально выпуклое пространство X называется пространством со слабой топологией, ес ли его топология порождена полунормами вида |x|f = |f (x)|, где f — всевозможные линейные непрерывные функционалы на X.

2 Локально выпуклое пространство X называется пространством минимального типа, если его топология обладает тем свойством, что на X не существует более слабой отделимой локально выпуклой топологии.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Теорема 1.14. Для локально выпуклого пространства X над полем C следу ющие условия эквивалентны:

1) X CM для некоторого множества M ;

= 2) X является кополным1 пространством Макки, в котором каждый компакт конечномерен;

3) топология пространства X максимальна в классе локально выпуклых то пологий на X (т. е. на X не существует более сильной локально выпуклой топологии).

Следующая теорема в существенной части принадлежит С. Какутани и В. Кли [34].

Теорема 1.15. CM будет пространством Браунера тогда и только тогда, когда множество M не более чем счётно. В этом (и только в этом) случае тополо гия CM совпадает с так называемой конечной топологией на CM (множество A считается замкнутым в конечной топологии, если оно оставляет замкнутый след на каждом конечномерном подпространстве F CM, т. е. если A F замкнуто в F ).

1.8.3. Двойственность между CM и CM Теорема 1.16. Билинейная форма u CM, CM, u(x) · x, (1.26) u, = xM превращает CM и CM в дуальную пару CM, CM стереотипных пространств:

1) всякий точечный заряд CM порождает линейный непрерывный функ ционал f на CM по формуле u CM, f (u) = u,, причём отображение f является изоморфизмом локально выпуклых пространств CM (CM ) ;

= 2) наоборот, всякая функция u CM порождает линейный непрерывный функционал f на CM по формуле CM, f () = u,, причём отображение u f является изоморфизмом локально выпуклых пространств CM (CM ).

= 1 Мы называем локально выпуклое пространство X кополным, если всякий линейный функцио нал f : X C, непрерывный на каждом компакте K X, автоматически непрерывен на X.

32 С. С. Акбаров 1.8.4. Базисы в CM и CM Базисом в топологическом векторном пространстве X над полем C мы усло вимся называть всякое такое семейство векторов {ei ;

i I} в X, что любой вектор x X можно единственным образом представить в виде суммы сходя щегося в X ряда i · ei, (1.27) x= iI коэффициенты которого i = i (x) непрерывно зависят от x X. Суммируе мость ряда (1.27) при этом понимается в смысле Бурбаки [3]: для всякой окрест ности нуля U в X найдётся конечное множество J I, такое что для любого его конечного надмножества K, J K I, выполняется включение x i · ei U iI (из этого определения следует, что для сходимости ряда (1.27) число ненулевых слагаемых в нём не обязано быть конечным или счётным).

Теорема 1.17. Характеристические функции {1x ;

x G} одноэлементных множеств {x} M, 1, x = y, y M, (1.28) 1x (y) = 0, x = y, образуют базис в топологическом векторном пространстве CM : всякая функция u CM однозначно раскладывается в ряд u(x) · 1x, (1.29) u= xM коэффициенты которого u(x) C непрерывно зависят от u CM.

Теорема 1.18. Характеристические функции одноэлементных множеств {x} M, которые в этом случае удобно обозначать символами Кронекера { x ;

x G}, 1, x = y, x (y) = y M, (1.30) 0, x = y, образуют базис в топологическом векторном пространстве CM : всякий точечный заряд CM однозначно раскладывается в ряд x · x, (1.31) = xM коэффициенты которого x C непрерывно зависят от CM.

Теорема 1.19. Справедливо равенство 1, x = y, 1x, y = 0, x = y, Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна означающее, что базисы {1x ;

x M } (в CM ) и { x ;

x M } (в CM ) сопряжены друг другу.

Теорема 1.20. В пространствах CM и CM любые два базиса можно отобра зить друг на друга с помощью некоторого автоморфизма (линейного гомеомор физма пространства на себя).

2. Стереотипные алгебры Хопфа 2.1. Тензорные произведения и структура моноидальной категории на Ste Если X и Y — два стереотипных пространства, то через Y : X обозначается всех линейных непрерывных отображений : X Y, наделённое множество топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в X, а через Y X — псевдонасыщение этого пространства:

Y X = (Y : X) (операция псевдонасыщения представляет собой некое специальное усиление топологии исходного пространства, см. [20, § 1]). Пространство Y X всегда стереотипно (если X и Y стереотипны).

В категории Ste стереотипных пространств имеются два естественных тен зорных произведения:

— проективное стереотипное тензорное произведение, определяемое равен ством X Y = (X Y), yX Y (x X, y Y ) опреде для которого элементарный тензор x ляется формулой X (2.1) x y() = (y)(x), Y;

— инъективное стереотипное тензорное произведение, определяемое равен ством X Y =X Y, yX Y (x X, y Y ) соответствующий элементарный тензор x определяется формулой y(f ) = f (y) · x, f Y. (2.2) x Эти операции связаны друг с другом естественными изоморфизмами функторов:

Y) X Y) X d : (X Y, e : (X Y.

= = Теорема 2.1. Тождества x X, y Y, z Z, (2.3) aX,Y,Z (x y) z =x (y z), 34 С. С. Акбаров x) = · x = rX (x C, x X, (2.4) lX ( ), x X, y Y, (2.5) cX (x y) = y x, однозначно определяют естественные преобразования функторов в категории Ste, ZX aX,Y,Z : (X Y) (Y Z), lX : C X X, C X, rX : X Y Y cX,Y : X X, необходимо являющиеся изоморфизмами функторов и задающие на Ste структу ру симметрической моноидальной категории [1,37] относительно бифунктора.


Перед формулировкой следующей теоремы нам будет полезно договорить ся обозначить каким-нибудь специальным символом, например h, отображение из C в C, которое каждому числу C ставит в соответствие линейный функционал на C, действующий как умножение на :

h : C C, h()(µ) = · µ (, µ C). (2.6) Очевидно, h : C C — изоморфизм (конечномерных) стереотипных про странств.

Теорема 2.2. Формулы d1,Z d1,Y iZ ) 1X (aX ) aX,Y,Z = iX (iY Y X Z,Y,Z (i1 i1 ) i dX dX 1Z, Y,Z,Y X Y Z i1 dC,X (lX ) iX lX = h1, X i1 dX (rX ) iX rX = h,,C X cX,Y = i1 i1 dX )1 iY (cX ) (dY iX,Y,X X Y,Y определяют изоморфизмы функторов в категории Ste ZX aX,Y,Z : (X Y) (Y Z), lX : C X X, C X, rX : X Y Y cX,Y : X X, удовлетворяющие тождествам x X, y Y, z Z, (2.7) aX,Y,Z (x y) z =x (y z), x) = · x = rX (x C, x X, (2.8) lX ( ), x X, y Y, (2.9) cX (x y) = y x, Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна и задающие на Ste структуру симметрической моноидальной категории [1] от носительно бифунктора.

Следующий факт отмечался в [20, теорема 7.9]: тождество x X, y Y, (2.10) @X,Y (x y) = x y, определяет естественное преобразование бифунктора в бифунктор Y X @X,Y : X Y, называемое преобразованием Гротендика.

Теорема 2.3. Если X и Y — пространства Фреше (пространства Браунера), то 1) стереотипные тензорные произведения пространства X Y и X Y также будут пространствами Фреше (соответственно пространствами Браунера);

2) если хотя бы одно из пространств X или Y ядерно, то преобразование Гротендика @X,Y : X Y X Y будет изоморфизмом стереотипных пространств:

@X,Y X X Y Y;

= Y X 3) если оба пространства X и Y ядерны, то пространство X Y = также ядерно.

Доказательство. Тот факт, что пространства X Y и X Y будут про странствами Фреше (пространствами Браунера), отмечался в [20, теоремы 7.22, 7.23]). Если X или Y ядерно, то изоморфизм Y X X Y = является следствием того факта, что для пространств Фреше, одно из кото рых обладает свойством классической аппроксимации, тензорные произведения совпадают с обычным проективным и инъективным тензорными и произведениями [20, теоремы 7.17, 7.21]. Наконец, если оба X и Y ядерны, то в случае когда X и Y — пространства Фреше, их произведение Y X Y X Y = X = будет ядерно, поскольку ядерность сохраняется проективным тензорным произ ведением [12, раздел 5.4.2]. Если же X и Y — пространства Браунера, то по уже доказанному пространство Фреше X Y будет ядерно, и значит, по теореме Браунера 1.10 пространство Y (X X Y) = также будет ядерным.

В качестве следствия получается теорема 2.4.

36 С. С. Акбаров Теорема 2.4. Категории NFre ядерных пространств Фреше и NBra ядерных пространств Браунера являются симметрическими моноидальными категориями относительно бифункторов и (совпадающих на каждой из этих категорий).

2.2. Стереотипные алгебры Хопфа 2.2.1. Алгебры, коалгебры и алгебры Хопфа в симметрической моноидальной категории Напомним [37], что алгеброй или моноидом в симметрической моноидаль ной категории (K,, I, a, r, l, c) называется тройка (A, µ, ), где A — объект в K, а µ : A A A (умножение) и : I A (единица) — морфизмы, подчинённые аксиомам ассоциативности и единицы:

aA,A,A / A (A A) / A o rA A I lA (A A) A I A O cc 1 111  111 cc  cc 1 1µ 11 µ  c µ1 111 1 c cc 11  11    µ µ /Ao AA AA AA,.

(2.11) Любым двум моноидам (A, µA, A ) и (B, µB, B ) можно поставить в соответствие моноид (A B, µAB, AB ), в котором структурные морфизмы определяются формулами AB : = A B l1, µAB : = µA µB A,B,A,B, (2.12) I / (A A) (B B) (A B) (A B) A,B,A,B ll lll ulll µA µB ) µAB AB, l / I I I It t tt t tt t$ ztt A B AB AB, а — изоморфизм функторов (A, B, C, D) (AB)(C D) (A, B, C, D) (AC)(B D), (2.13) единственный, в силу теоремы когерентности [37] для тензорных категорий, в классе изоморфизмов функторов, получаемых как комбинации структурных изоморфизмов a, l, r, c, a1, l1, r1, c1 тензорной категории K.

Двойственным образом вводится понятие коалгебры, или комоноида, в сим метрической моноидальной категории K: так называется произвольная тройка (A,, ), в которой A — объект категории K, а : A A A (коумножение) и Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна : A I (коединица) — морфизмы, подчинённые двойственным условиям коас социативности и коединицы:

l1 r aA,A,A / A (A A) I A o / AI A A (A A) A A _cc ?

O11 O  cc 111  11 11 cc 1  c 1A 1 11 1A 1A c cc 11  1A 11 1  / AA o AA AA A,.

(2.14) Как и в случае с моноидами, тензорное произведение AB любых двух комоно идов (A, A, A ) и (B, B, B ) в K обладает естественной структурой комоноида в категории K со структурными морфизмами AB : = A,A,B,B A B, AB : = I A B.

Алгеброй Хопфа (другой термин — моноид Хопфа) в симметрической моно идальной категории K называется пятёрка (H, µ,,,, ), в которой H — объект категории K, а морфизмы µ: H H H (умножение), : I H (единица), : H H H (коумножение), : H I (коединица), : H H (антипод) удовлетворяют следующим условиям:

1) тройка (H, µ, ) образует моноид в K;

2) тройка (H,, ) образует комоноид в K;

3) коммутативны диаграммы H µ H H H H yyy o ooo (2.15) yyy ooo µµ y' / (H H) (H H) (H H) (H H), H,H,H,H l1 µ / I I /H I H H I 11 111 1 1 (2.16) 11 11    / H H /I I I H,, lI 38 С. С. Акбаров Hc ? c c  c  c  (2.17)  /I I, 1I означающие, что морфизмы : H H H и : H I являются го моморфизмами моноидов, а морфизмы µ : H H H и : I H — гомоморфизмами комоноидов в категории K (здесь по-прежнему преоб разование (2.13));

4) коммутативна диаграмма, называемая аксиомой антипода:

1H / H H H@ H (2.18) aa aaµ aa a /I /H Ha @ aa aa a µ a 1H / H H H H.

Если выполнены только условия 1)—3), то четвёрка (H, µ,,, ) называется биалгеброй в категории K.

2.2.2. Проективные и инъективные стереотипные алгебры В соответствии с общим определением проективной (инъективной) сте реотипной алгеброй называется алгебра в симметрической моноидальной кате гории стереотипных пространств (Ste, ) (соответственно (Ste, )).

Для случая проективных алгебр это определение допускает простую пере формулировку [20, § 10].

Предложение 2.1. Структура проективной стереотипной алгебры на стерео типном пространстве A эквивалентна структуре ассоциативной алгебры на A (с единицей), в которой умножение (x, y) x · y удовлетворяет следующим эквивалентным условиям непрерывности:

1) для всякого компакта K в A и любой окрестности нуля U в A найдётся окрестность нуля V в A, такая что K · V U & V · K U;

2) для всякого компакта K в A и любой стремящейся к нулю направленности ai 0 направленности x · ai и ai · x стремятся к нулю в A равномерно i по x K.

Пример 2.1. Примерами проективных стереотипных алгебр являются бана ховы алгебры, алгебры Фреше, а также стереотипная алгебра L(X) операторов на произвольном стереотипном пространстве X.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Пример 2.2. Примерами инъективных стереотипных алгебр являются функ циональные пространства C(M ), E(M ), O(M ), R(M ) непрерывных, глад ких, голоморфных функций и многочленов соответственно (подробности см.

в [20, § 10]).

2.2.3. Стереотипные алгебры Хопфа Снова следуя общему определению, мы называем — проективной стереотипной алгеброй Хопфа алгебру Хопфа в симметри ческой моноидальной категории стереотипных пространств (Ste, );

— инъективной стереотипной алгеброй Хопфа алгебру Хопфа в симметри ческой моноидальной категории стереотипных пространств (Ste, );

— ядерной алгеброй Хопфа—Фреше алгебру Хопфа в симметрической моно идальной категории ядерных пространств Фреше NFre;

— ядерной алгеброй Хопфа—Браунера алгебру Хопфа в симметрической мо ноидальной категории ядерных пространств Браунера NBra.

Пусть, кроме того, стереотипное пространство H обладает свойством, что преобразования Гротендика для пары (H;

H), для тройки (H;

H;

H) и для чет вёрки (H;

H;

H;

H) являются изоморфизмами стереотипных пространств:

@H,H : H H = H H, @H,H,H : H H H H H H, = H H H H @H,H,H,H : H H H H = (это всегда так, если H — ядерное пространство Фреше или ядерное простран ство Браунера). Тогда, очевидно, задание структуры проективной стереотипной алгебры Хопфа на H эквивалентно заданию структуры инъективной стереотип ной алгебры Хопфа на H: структурные элементы алгебр Хопфа в (Ste, ) и (Ste, ) (мы отличаем их по индексам и ) или будут совпадать, =, =, =, или будут связаны диаграммами @H,H @H,H /H /H H H H H H H _cc cc ?

  cc cc   cc cc   µ cc cc µ    H H,.

Такие (одновременно проективные и инъективные) алгебры Хопфа мы будем называть жёсткими стереотипными алгебрами Хопфа.

Пример 2.3. Понятно, что любая ядерная алгебра Хопфа—Фреше и любая ядерная алгебра Хопфа—Браунера будут жёсткими стереотипными алгебрами Хопфа.

40 С. С. Акбаров 2.2.4. Двойственность стереотипных алгебр Хопфа Теорема 2.5 (о двойственности в классе стереотипных алгебр Хопфа).

Структура инъективной (проективной, жёсткой) алгебры Хопфа на стереотип ном пространстве H автоматически задаёт структуру проективной (инъектив ной, жёсткой) алгебры Хопфа на сопряжённом стереотипном пространстве H :

структурные элементы алгебры Хопфа на H определяются как сопряжённые отображения структурных элементов алгебры Хопфа на H:

H = (µH ), µH = (H ), H = (H ), H = (H ), H = (H ).

Пример 2.4. Любая обычная алгебра Хопфа H (т. е. алгебра Хопфа в ка тегории векторных пространств с обычным алгебраическим тензорным произве дением ) становится жёсткой алгеброй Хопфа, если наделить её сильнейшей локально выпуклой топологией.

Сопряжённое пространство H будет простран ством минимального типа (в смысле теоремы 1.12) и, так же как и H, жёст кой алгеброй Хопфа. Это, между прочим, иллюстрирует одно из достоинств стереотипной теории: здесь нет необходимости сужать пространство линейных функционалов, чтобы сделать из него алгебру Хопфа, как это делается обыч но (см., например, [28, раздел 1.5] или [23, раздел 4.1.D]). Пространство H, будучи пространством всех линейных функционалов (автоматически непрерыв ных в силу выбора топологии на H), является полноценной алгеброй Хопфа, только чтобы это увидеть, нужно вместо обычного алгебраического тензорного произведения взять какое-нибудь стереотипное, или.

2.2.5. Дуальные пары Пусть H — инъективная, а M — проективная стереотипные алгебры Хопфа.

Условимся говорить, что H и M образуют дуальную пару алгебр Хопфа, если задана невырожденная непрерывная (в смысле [20, раздел 5.6]) билинейная форма ·, · : H M C, которая алгебраические операции в H превращает в двойственные операции в M :

µH (U ), = U, M (), H (u), A = u, µM (A), H (u), = u, M (), 1H, = A (), H (u) = u, 1M (u H, U H H, M, A M M ). Если H, M — дуальная пара стерео типных алгебр Хопфа, причём H инъективная, а M проективная, то умножение в H мы по умолчанию будем обозначать точкой ·, а в M — звёздочкой :

v) = u · v, ) =.

µH (u µM ( Пример 2.5. Примером дуальной пары является, конечно, пара H, H, в которой H — произвольная инъективная стереотипная алгебра Хопфа, а под ·, · понимается каноническая форма a H, H.

a, : = (a), Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Ниже в вычислениях мы без объяснений используем обозначение ·, · для этой формы.

2.3. Руководящий пример: алгебры Хопфа CG и CG Напомним, что в разделе 1.8 мы определили пространства CM и CM функ ций и точечных зарядов на множестве M. Если множество M представляет собой группу, то пространства CM и CM естественным образом превращаются в дуальную пару жёстких алгебр Хопфа.

2.3.1. Алгебра CG функций на G Пусть G — произвольная группа (необязательно конечная), и пусть CG — пространство (комплекснозначных) функций на G, определённое в разделе 1.8, u CG u : G C, с заданной на нём топологией поточечной сходимости (порождённой полунорма ми (1.23)). Мы наделим CG дополнительно структурой алгебры с поточечными алгебраическими операциями и тождественной единицей (u · v)(x) = u(x) · v(x), 1CG (x) = 1 (x G). (2.19) Напомним, что формулой (1.28) мы определяли характеристические функции 1x одноэлементных множеств в G. Умножение в CG переписывается в разложении по базису {1x ;

x G} формулой u·v = u(x) · 1x · v(x) · 1x u(x) · v(x) · 1x, (2.20) = xG xG xG а на элементах этого базиса задаётся формулой 1x, x = y, 1x · 1y = (2.21) 0, x = y.

2.3.2. Алгебра CG точечных зарядов на G Снова пусть G — произвольная группа, и пусть CG — пространство точечных зарядов на G, определённое в разделе 1.8, CG = {x ;

x G}, x C, card{x G : x = 0}, наделённое топологией, порождённой полунормами (1.25) (по теореме 1.14 она эквивалентна сильнейшей локально выпуклой топологии на CG ). Мы наделя ем CG структурой алгебры с умножением ( )y = x · x1 ·y.

xG 42 С. С. Акбаров Формулой (1.30) мы определяли характеристические функции одноэлементных множеств в G;

рассматривая их как элементы CG, мы обозначаем их x. Едини цей в CG будет характеристическая функция e, сосредоточенная в единице e группы G:

1, x = e, e x = 0, x = e.

Умножение в алгебре CG переписывается в разложении по базису { x ;

x G} формулой x · x y · y = = xG yG x · y · x·y = · z, x · x1 ·z (2.22) = x,yG zG xG а на элементах этого базиса задаётся формулой x y = x·y. (2.23) 2.3.3. CG и CG как стереотипные алгебры Хопфа Для произвольных множеств S и T и функций u : S C и v : T C обозначим через u v функцию на декартовом произведении S T, определён ную равенством v)(s, t) : = u(s) · v(t), s S, t T. (2.24) (u G Определение структуры алгебры Хопфа в бесконечномерных алгебрах C и CG основывается на следующем наблюдении.

Теорема 2.6. Формула (2.25) S,T (u v) = u v определяет изоморфизм топологических векторных пространств S,T : CST CS CT.

= Такое соответствие будет изоморфизмом функторов, S,T (S;

T ) CST (S;

T ) CS CT, потому что для любых отображений : S S, : T T коммутативна диа грамма S,T / CS CT CST O O (idC ) (idC ) idC () S / CS,T CT CS T, Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна в которой отображения idC ? определяются формулой : CS CS, (v) = v.

idC idC G Эта теорема позволяет определить на C структурные элементы стереотип ной алгебры Хопфа относительно : умножение µ : CG CG CG сначала определяется на пространстве функций на декартовом произведении G G, µ : CGG CG, µ(v)(t) = v(t, t), а затем переносится на тензорный квадрат с помощью изоморфизма G,G :

µ = µ G,G.

Точно так же коумножение : C CG CG сначала определяется со значе G ниями в пространстве функций на декартовом квадрате, : CG CGG, (u)(s, t) = u(s · t), а затем переносится на тензорный квадрат с помощью изоморфизма G,G :

= G,G.

Остальные структурные элементы алгебры Хопфа на CG очевидны:

: C CG, единица: ()(t) =, G : C C, коединица: (u) = u(1G ), G G (u)(t) = u(t1 ).

: C C, антипод:

Эти определения удобно иллюстрировать диаграммой:

CGG t : tt µ tt tt t tt t$ t / CG /C G,G G C :C (2.26) tt tt tt tt tt$ tt µ  CG CG.

На пространстве CG точечных зарядов на G структура алгебры Хопфа отно сительно тензорного произведения задаётся двойственным образом по тео реме 2.5, как на пространстве, сопряжённом к CG в смысле билинейной фор мы (1.26). Следующая теорема показывает, что такие определения действитель но задают структуру алгебры Хопфа на CG и CG.

Теорема 2.7. Для всякой группы G справедливы следующие утверждения:

— пространство CG функций на G является инъективной (более того, жёст кой) стереотипной алгеброй Хопфа, причём если группа G счётна, то CG является ядерной алгеброй Хопфа—Фреше;

— пространство CG точечных зарядов на G является проективной (более то го, жёсткой) стереотипной алгеброй Хопфа, причём если группа G счётна, то CG является ядерной алгеброй Хопфа—Браунера.

44 С. С. Акбаров Алгебры Хопфа CG и CG образуют дуальную пару относительно билинейной формы (1.26), а алгебраические операции в них действуют на базисы {1x } и { x } по следующим формулам:

1x, x = y, CG : 1x · 1y = (2.27) 1CG = 1x, (1x ) = 1x1, 0, x = y, xG 1, x = e, (1x ) = (2.28) 1y 1x·y1, (1x ) = 0, x = e, yG x y = x·y, 1CG = e, ( x ) = x, CG : (2.29) ( x ) = x x, ( x ) = 1. (2.30) Доказательство. Формулы (2.27)—(2.30) проверяются непосредственно.

Жёсткость следует из [20, (7.37)]:

CJ CIJ CI CJ CIJ CI CI CJ, CI CJ.

= = = = Структура алгебры Хопфа на CG порождается структурой алгебры Хопфа на CG по теореме 2.5. Таким образом, нам нужно лишь доказать, что CG является алгеброй Хопфа относительно.

1. Проверим диаграмму (2.15). Сначала подставим всюду CG вместо H и вместо, а затем надстроим её до следующей призмы:

gggg3 C G ggggg µ g ggggg ggggg g + GG CGG C yyy oo µo yyy o ooo y' / C(GG)(GG) C (GG)(GG) GG,GG GG,GG G,G G,G idCG   CGG CGG CGG CGG  w;

qq qq µ µ w ww 3 G ggggg C qq w ggggg µ q ww qqq w  ww gggggggg + #  CG CG CG CG yyy µ µ oo G,G G,G G,G G,G yyy o ooo '   / (CG CG ) (CG CG ) (CG CG ) G CG ) (C.

Здесь = CG,CG,CG,CG — изоморфизм функторов из (2.13), а оставшиеся мор физмы определяются равенствами v(a, b, c, d) = v(a · b, c · d), w(a, b, c, d) = w(a, c, b, d), µv(a, b) = v(a, a, b, b).

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Чтобы доказать коммутативность нижнего основания, достаточно проверить коммутативность всех остальных граней призмы. Дальние боковые грани µ / CG / CGG CGG C1G 1 1 111 111 G,G 11 1 G,G 1 id G 111 C idCG 1 11 11 1 1 µ / CG / CG CG CG CG CG, представляют собой просто искажённые треугольники в диаграмме (2.26).

В левой ближней грани / C(GG)(GG) CGG 11 111 GG,GG 111  G,G 11 GG CGG C 111 o7 o ooo 11 ooo 111 G,G G,G o oo ooo 1 1 ooo CG CG / (C G C ) (CG CG ) G нижний треугольник есть просто помноженный на себя операцией левый тре угольник в (2.26), а коммутативность внутреннего четырёхугольника проверяет ся подстановкой в качестве аргумента функции u v CGG, где u, v CG. При движении сначала вниз, а потом направо и вверх она превратится в (u) (v):

v CGG u G G vC C u (v) CGG CGG ;

( )(u v) = (u) если её перемещать сначала вправо, а потом вниз, то получится то же самое:

u v CGG (u v) = (u) (v) C(GG)(GG) :

(u v)(a, b, c, d) = (u v)(a · b, c · d) = u(a · b) · v(c · d) = = (u)(a, b) · (v)(c, d) = (u) (v) (a, b, c, d) (2.25) (v) CGG CGG.

GG,GG (u) (v) = (u) 46 С. С. Акбаров Коммутативность центральной ближней боковой грани / C(GG)(GG) C(GG)(GG) GG,GG GG,GG   CGG CGG CGG CGG G,G G,G G,G G,G   / (CG (CG CG ) (CG CG ) CG ) (CG CG ) проверяется подстановкой в качестве аргумента функции (u v) (p q) CGG. Её движение по диаграмме будет в силу (2.25) выглядеть следующим образом:

1/ (u v) (p q) (u p) (v q) GG,GG GG,GG   (u v) (p q) (u p) (v q) G,G G,G G,G G,G   q) / (u (u v) (p p) (v q).

В правой ближней грани µ / CGG C(GG)(GG) 111 GG,GG 111  111 G,G CGG CGG 1 yyy 111 yyy yyyµ µ G,G G,G yyy yyy yy'   C ) µ µ / CG CG G G G G C ) (C (C нижний треугольник есть просто помноженный на себя операцией правый треугольник в (2.26), а коммутативность внутреннего четырёхугольника прове ряется подстановкой в качестве аргумента функции u v C(GG)(GG), где u, v CGG. При движении сначала вниз, а потом направо и вниз мы получим v C(GG)(GG) u v CGG CGG GG,GG (u v) = u G G µ(v) C C.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.