авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы ...»

-- [ Страница 2 ] --

( µ µ)(u v) = µ(u) Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Если двигаться сначала вправо, а потом вниз, то получится то же самое:

u v C(GG)(GG) µ(u v) = µ(u) µ(v) CGG :

(u v)(a, b) = (u v)(a, a, b, b) = u(a, a) · v(b · b) = µ = µ(u)(a) · µ(v)(b) = µ(u) µ(v) (a, b) (2.25) µ(v) CG CG.

G,G µ(u) µ(v) = µ(u) Остаётся проверить коммутативность верхней грани призмы ggg3 C G ggggg µ g ggggg + CGG GG µ o7 C yy y' o o / C(GG)(GG) C(GG)(GG).

Функция v CGG, двигаясь по верхним двум рёбрам пятиугольника, претер пит следующие превращения:

v CGG G µv C, µv(a) = v(a, a) GG µv C µv (a, b) = µv(a · b) = v(a · b, a · b).

, Результат будет таким же, как если бы мы последовательно перемещали её по нижним трём ребрам:

v CGG v C(GG)(GG), v(a, b, c, d) = v(a · b, c · d) v C, v (a, b, c, d) = v(a, c, b, d) = v(a · c, b · d) (GG)(GG) CGG, µ v (a, b) = v (a, a, b, b) = µ v = v(a, b, a, b) = v(a · b, a · b).

2. После этого проверяем диаграммы (2.16), которые для алгебры CG прини мают следующий вид:

l1 µ /C / CG C CG CG C C     / CG /C.

lC CG, C C CG В первой диаграмме в качестве аргумента подставляем произвольное число C, а во второй — элементарный тензор u v CG CG, и применяем 48 С. С. Акбаров тождества (2.8):

l = · 1C 1 uv µ / · 1C 1C / u·v C     · 1CG 1 / u(1G ) · v(1G ).

lC / · 1CG u(1G ) v(1G ) 1CG, 3. Остаётся проверить диаграмму (2.18), которая для CG приобретает следу ющий вид:

1C G / CG CGB CG CG (2.31) XX XX XXµ XX XX  /C / CG CGX B XX XX X XX µ XX  1C G / CG CG CG CG.

Её нужно дополнить до диаграммы / CGG C? GG G,G G,G   µ 1C G / CG CGB CG CG XX XX XXµ XX XX  /C / CG CGX BO XX XX X µ XX XX  1C G / CG CG O CG G OC µ G,G G,G  / CGG CGG, в которой отображения 1 и 2 определяются равенствами 1 (v)(s, t) : = v(s1, t), 2 (v)(s, t) : = v(s, t1 ).

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Очевидно, здесь будут коммутативными все треугольники и прямоугольники, примыкающие к границам рисунка, поэтому для доказательства коммутатив ности двух внутренних пятиугольников (составляющих (2.31)) достаточно про верить коммутативность диаграммы, получающейся при выбрасывании вершин CG CG :

/ CGG CGG µ  /C / CG CG H µ / CGG CGG, Это делается прямым вычислением: образом произвольной функции u CG при любом перемещении по диаграмме будет функция u(1G ) · 1CG CG. Действи тельно, двигаясь по верхним стрелкам, получаем u CG GG (u) C (u)(s, t) = u(s · t), GG 1 (u) (s, t) = (u)(s1, t) = u(s1 · t) 1 (u) C, CG, µ 1 (u) µ 1 (u) (s) = 1 (u) (s, s) = = (u)(s1, s) = u(s1 · s) = u(1G ).

Двигаясь горизонтально через центр шестиугольника, получаем то же самое u CG (u) C, (u) = u(1G ) · 1C G (u) C, (u) = u(1G ) · 1CG.

Двигаясь по нижним стрелкам, приходим к тому же ответу:

u CG GG (u) C (u)(s, t) = u(s · t), GG 2 (u) (s, t) = (u)(s, t1 ) = u(s · t1 ) 2 (u) C, CG, µ 2 (u) µ 2 (u) (s) = 1 (u) (s, s) = ) = u(s · s1 ) = u(1G ).

= (u)(s, s 50 С. С. Акбаров 2.4. Обозначения Свидлера и свойство стереотипной аппроксимации Удобным инструментом доказательств в теории алгебр Хопфа являются обо значения Свидлера [9]. Эта техника применима и в стереотипной теории, по крайней мере в ситуации, когда стереотипная алгебра Хопфа H как локаль но выпуклое пространство обладает стереотипной аппроксимацией (см. [20]).

Объяснением этому служит следующая теорема.

Теорема 2.8. Если H — инъективная (проективная) коалгебра со свойством стереотипной аппроксимации, то для всякого x H 1) коумножение (x) можно приблизить в топологии H конечными суммами вида n n xi xi xi xi ;

i=1 i= 2) тождество (x), ( (x),, H, =0 = 0), эквивалентно равенству (x) = 0.

Доказательство. Утверждение следует из определения стереотипной ап проксимации [20, § 9].

Если теперь H, скажем, инъективная коалгебра со свойством стереотипной аппроксимации, то для элемента x H через x x (x) обозначается класс направленностей вида n x,i x,i, i= сходящихся к (x), n (x) (2.32) x,i x,i, i= а запись (x) = (2.33) x x (x) предполагает, что в правой части стоит какая-нибудь из этих направленностей, только индексы опущены, а стрелка заменена равенством.

Формулы типа коумножения антипода (x) = (x ) (x ) (x) Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна интерпретируются следующим образом: для всякой направленности n x,i x,i, i= для которой справедливо (2.32), автоматически будет справедливо и n (x) (x,i ) (x,i ).

i= В доказательстве также можно использовать запись (2.33):

(x), = (x), = = x, ( ) = x, () () = (x), () () = = x x, () () = x x, () () = (x) (x) x, () · x, () = (x ), · (x ), = = (x) (x) = (x ) (x ), = (x ) (x ),.

(x) (x) Как пример применения этих обобщённых обозначений Свидлера рассмотрим следующую ситуацию. В теории квантовых групп прямая проверка диаграммы антипода (2.18), т. е. тождества µ ( 1) (x) = (x) · 1H = µ (1 ) (x), x H, (2.34) часто приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях бывает полезно одно наблюдение, принадлежащее А. ван Дэле [24]. Применительно к нашим стереотипным алгебрам оно формулируется следующим образом.

Лемма 2.1. Если H — стереотипная биалгебра (неважно, проективная или инъективная) со стереотипной аппроксимацией, — её (непрерывный) антиго моморфизм и равенства (2.34) верны для двух элементов x H и y H, то они верны и для их произведения x · y.

Доказательство. Оба равенства для x · y доказываются прямой подстанов кой. Например, левое получается следующим образом (мы используем знак тен зорного произведения, который можно заменить на или ):

µ ( 1) (x · y) = µ ( 1) (x) · (y) = = µ ( 1) x x · y y µ ( 1)(x · y x · y ) = = (x) (y) (x),(y) µ((x · y ) x · y ) = µ((y ) · (x ) x · y ) = = (x),(y) (x),(y) 52 С. С. Акбаров (y ) · (x ) · x · y = (y ) · (x ) · x ·y = = (x),(y) (y) (x) (y ) · (x) · 1H · y = (x) · 1H · (y ) · y = = (y) (y) = (x) · 1H · (y) · 1H = (x · y) · 1H.

2.5. Групповые элементы Предложение 2.2. Для элемента a H стереотипной алгебры Хопфа H со стереотипной аппроксимацией следующие условия эквивалентны:

1) (a) = a a ((a) = a a);

2) функционал a, · : H C мультипликативен:

a, = a, · a, ;

(2.35) H, сопряжённый к оператору умножения на эле 3) оператор Ma : H мент a, Ma (x) : = a · x, является гомоморфизмом стереотипной алгебры H.

Доказательство. Эквивалентность условий 1) и 2) очевидна. Покажем, что условие 1) эквивалентно условию 3). Если a удовлетворяет условию 1), то x, Ma ( ) = Ma (x), = a · x, = (a · x), = = (a) · (x), a· = a x x, = (x) (a · x ) (a · x ), a · x, · a · x, = = = (x) (x) x, Ma () · x, Ma () = = x x, Ma () Ma () = (x) (x) = (x), Ma () Ma () = x, Ma () Ma ().

Это верно для всякого x H, поэтому Ma ( ) = Ma () Ma (). (2.36) Наоборот, если выполняется (2.36), то (a), = a, = 1, Ma ( ) = 1, Ma () Ma () = = (1), Ma () Ma () = 1 1, Ma () Ma () = = 1, Ma () · 1, Ma () = a, · a, = a a,, и поскольку это верно для любых,, должно выполняться условие 1).

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Элемент a инъективной (проективной) стереотипной алгебры Хопфа H на зывается групповым, если a = 0 и a удовлетворяет условиям 1)—3) предло жения 2.2. Множество групповых элементов в H обозначается G(H). Как и в чисто алгебраическом случае (см. [45]), G(H) является группой относительно умножения в H, поскольку обладает следующими свойствами:

1) (a) = 1 для всех a G(H);

2) a1 = (a) G(H) для всех a G(H);

3) a · b G(H) для всех a, b G(H).

Доказательство. Свойство 1) доказывается применением аксиомы коумно жения:

(2.14) a = l1 (a) = ( idH ) (a) = ( 1 idH )(a a) = (a) a = (a) = 1.

H При доказательстве свойства 2) применяется факт, что — антигомоморфизм:

с одной стороны, (a) = (a) (a), потому что (a), = (a), = a, ( ) = a, () () = = (a), () () = a a, () () = a, () · a, () = = (a), · (a), = (a) (a),, а с другой — (a) = (a), 1H = a, (1H ) = a, 1H = (a) = 1.

Вместе эти равенства означают, что (a) G(H). Кроме того, (a) · a = µ((a) a) = µ ( idH )(a a) = (2.18) свойство 1) idH ) (a) = (a) · 1H = µ ( = 1H и точно так же a · (a) = 1H. Значит, (a) = a1.

Наконец, докажем свойство 3). Если a, b G(H), то, во-первых, (a · b) = (a) · (b) = a a·b b = (a · b) (a · b) и, во-вторых, (a · b) = (a) · (b) = 1.

Отсюда a · b G(H).

Напомним, что элемент a алгебры A называется центральным, если он ком мутирует со всеми остальными элементами:

x A a · x = x · a.

Предложение 2.3. Если a — групповой и, вдобавок, центральный элемент в алгебре Хопфа H, то справедливы следующие утверждения.

1. Справедливы равенства Ma Ma =, Ma = Ma1, (2.37) Ma Ma =, Ma = Ma1. (2.38) 54 С. С. Акбаров 2. Если H обладает стереотипной аппроксимацией, то справедливы тожде ства Ma () = H, (2.39) Ma ( ) = Ma ( ), () () (Ma )i+j () = (Ma )i ( ) (Ma )j ( ), H, i, j N. (2.40) () Доказательство. 1. Для всякого x H имеем (Ma Ma )(x) = a · (a · x) = a · (x) · (a) = a · (x) · a1 = (x) · a · a1 = (x).

2. Для любых u, v H, H v, Ma () = u · v, Ma () = a · u · v, = (a · u) v, () = u (a · u) (a · u) = v, = v, = () () (a · u), · v, u, Ma ( ) · v, = = = () () = u v, Ma ( ) = u v, Ma ( ).

() () По теореме 2.8 это означает выполнение первого равенства в (2.39). Остальные доказываются аналогично.

3. Многообразия Штейна:

прямоугольники в O(M ) и ромбы в O (M ) В этом разделе мы обсудим некоторые свойства пространств голоморфных функций на комплексных многообразиях. Для наглядности нам будет полезно условие, что глобальные функции разделяют точки многообразия, поэтому мы формулируем результаты для многообразий Штейна. Мы используем термино логию [8, 17, 46].

3.1. Многообразия Штейна Пусть M — комплексное многообразие. Через O(M ) мы обозначаем алгебру всех голоморфных функций на M (с обычными поточечными операциями и топологией равномерной сходимости на компактах в M ). Хорошо известно [46], что как топологическое векторное пространство O(M ) является пространством Монтеля.

Многообразие M называется многообразием Штейна [17], если оно удовле творяет следующим трём условиям:

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна 1) условию голоморфной отделимости: для любых двух точек x = y M найдётся такая функция u O(M ), что u(x) = u(y);

2) условию голоморфной униформизации: для любой точки x M най дутся функции u1,..., un O(M ), образующие локальные координаты многообразия M в окрестности x;

3) условию голоморфной выпуклости: для любого компакта K M его голоморфно выпуклая оболочка, т. е. множество K = x M : u O(M ) |u(x)| max |u(y)|, yK является компактом в M.

Многообразиями Штейна будут комплексное пространство Cn и всевозмож ные области голоморфности в Cn. Простейший пример комплексного много образия, не являющегося многообразием Штейна, — комплексный тор, т. е.

фактор-группа комплексной плоскости C по решётке Z + iZ.

3.2. Внешние огибающие на M и прямоугольники в O(M ) 3.2.1. Операции и В этом разделе нас будут интересовать вещественные функции f на много образии M, ограниченные снизу единицей, f 1, т. е. принимающие значения в множестве [1, +). Естественно, мы будем ис пользовать запись f : M [1;

+). Функцию f : M [1;

+) мы, как обычно, называем локально ограниченной, если для всякой точки x M можно подо брать такую окрестность U x, что sup |f (y)|.

yU Поскольку f ограничена снизу единицей, это условие равносильно условию sup f (y).

yU Предложение 3.1. Для каждой локально ограниченной функции f : M [1;

+) формула f : = {u O(M ) : x M |u(x)| (3.1) f (x)} определяет абсолютно выпуклое компактное множество функций f O(M ), содержащее тождественную единицу:

1f.

56 С. С. Акбаров Доказательство. Множество f будет компактом, потому что оно является замкнутым и ограниченным в пространстве Монтеля O(M ).

Предложение 3.2. Для каждого ограниченного множества функций D O(M ), содержащего тождественную единицу, 1 D, формула D (x) : = sup |u(x)|, x M, (3.2) uD определяет непрерывную вещественную функцию D : M R, ограниченную снизу единицей:

D 1.

Доказательство. Заметим с самого начала, что D можно считать компак том. Для этого рассмотрим замыкание D множества D. Поскольку D является ограниченным в пространстве Монтеля O(M ), D будет компактом в O(M ).

При этом, поскольку при непрерывном отображении u x (u) = u(x) образ замыкания x ( D ) содержится в замыкании образа x (D), x ( D ) x (D), выполняется цепочка неравенств sup || || sup || = sup ||.

sup x (D) x (D) x ( D ) x (D) Тогда || = sup ||, sup x (D) x ( D ) т. е. функции D и D совпадают:

D (x) = sup | x (u)| = sup || = sup | x (u)| = D (x).

|| = sup uD x (D) x ( D uD ) Итак, D можно считать компактом. Зафиксируем произвольный компакт K M и рассмотрим пространство C(K) непрерывных функций на K (с обыч ной топологией равномерной сходимости на K). Отображение ограничения u O(M ) u|K C(K) будет непрерывным отображением пространства Фреше O(M ) в банахово пространство C(K). Если D — компакт в O(M ), то его образ D|K — компакт в C(K). Отсюда по теореме Арцела получаем, что D|K является поточечно ограниченным и равностепенно непрерывным на K.

Следовательно, функция D (x) : = sup |u(x)|, x K, uD непрерывна на K. Поскольку это верно для любого компакта K в M, мы полу чаем, что эта функция непрерывна на M.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Свойства операций и.

g = f g, D E = D (3.3) f E, D (D ), (3.4) (f ) f, (3.5) (f ) =f, (D ) =D.

Доказательство. Свойства (3.3) и (3.4) очевидны, а (3.5) следуют из них:

(f ) f применяем операцию f = (f ) = (f ) =f, D (D ) подстановка: D = f f (f ) = D (D ) применяем операцию D (D ) = = (D ) =D.

(f ) D подстановка: f = D f = (D ) 3.2.2. Внешние огибающие на M Если ввести обозначения (3.6) f : = (f ), D : = (D ), то из (3.3)—(3.5) будет следовать, что DD, (3.7) f f, D E = D E, (3.8) f g = f g, (3.9) (f ) =f, (D ) =D.

Назовём локально ограниченную функцию g : M [1;

+), g 1, — внешней огибающей для ограниченного множества D O(M ), 1 D, если g=D ;

— внешней огибающей для локально ограниченной функции f : M [1;

+), если g=f ;

— внешней огибающей на M, если она удовлетворяет следующим равно сильным условиям:

1) g является внешней огибающей для некоторого ограниченного мно жества D O(M ), 1 D, g=D ;

2) g является внешней огибающей для некоторой локально ограниченной функции f : M [1;

+), g=f ;

58 С. С. Акбаров 3) g является внешней огибающей для самой себя:

g = g.

Доказательство. Равносильность условий 1)—3) требует некоторых поясне ний.

Докажем импликацию 1) = 2). Если g — внешняя огибающая для какого-то множества D, т. е. g = D, то (3.5) g=D = (D ) = (D ), т. е. g — внешняя огибающая для функции f = D.

Проверим импликацию 2) = 3). Если g — внешняя огибающая для некото рой функции f, т. е. g = f, то (3.9) g = (f ) =f = g, т. е. g — внешняя огибающая для самой себя.

Докажем импликацию 3) = 1). Если g — внешняя огибающая для самой себя, т. е. g = g = (g ), то, положив D = g, мы получим, g = D, т. е. g — внешняя огибающая для множества D.

Свойства внешних огибающих.

1. Всякая внешняя огибающая g на M является непрерывной функцией на M.

2. Для любой локально ограниченной функции f : M [1;

+) её внешняя огибающая f будет наибольшей внешней огибающей на M, мажорируе мой f :

1) f — внешняя огибающая на M, мажорируемая f :

f f;

2) если g — другая внешняя огибающая на M, мажорируемая f, g f, то g мажорируется и f :

g f.

3.2.3. Прямоугольники в O(M ) Назовём множество E O(M ), 1 E, — прямоугольником, порождённым локально ограниченной функцией f : M [1;

+), если E=f ;

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна — прямоугольником, порождённым ограниченным множеством D O(M ), 1 D, если E=D ;

— прямоугольником в O(M ), если выполняются следующие равносильные условия:

1) E является прямоугольником, порождённым некоторой локально ограниченной функцией f : M [1;

+), E=f ;

2) E является прямоугольником, порождённым некоторым ограничен ным множеством D O(M ), 1 D, E=D ;

3) E является прямоугольником, порождённым самим собой:

E=E.

Доказательство. Равносильность условий 1)—3) доказывается так же, как в случае с внешними огибающими.

Свойства прямоугольников.

1. Всякий прямоугольник E в O(M ) является абсолютно выпуклым компак том в O(M ).

2. Для любого ограниченного множества D O(M ) порождённый им пря моугольник D будет наименьшим прямоугольником в O(M ), содержа щим D:

— прямоугольник в O(M ), содержащий D:

а) D DD ;

б) если E — другой прямоугольник в O(M ), содержащий D, D E, то E содержит и D :

E.

D 3. Прямоугольники в O(M ) образуют фундаментальную систему компактов в O(M ): всякий компакт D в O(M ) содержится в некотором прямоуголь нике.

Теорема 3.1. Формулы D=f, f =D устанавливают биекцию между внешними огибающими f на M и прямоуголь никами D в O(M ).

60 С. С. Акбаров Доказательство. По определению внешних огибающих и прямоугольников операции f f и D D переводят внешние огибающие в прямоугольники, а прямоугольники во внешние огибающие. Более того, на этих двух классах эти операции будут взаимно обратны. Например, если f — внешняя огибающая, то f = f, т. е. композиция операций и возвращает к исходной функции:

f f f = f.

Точно так же композиция операций и возвращает к исходному множеству D, если оно изначально выбиралось как прямоугольник:

DD D = D.

3.3. Лемма о полярах Напомним, что полярой множества A в локально выпуклом пространстве X называется множество A линейных непрерывных функционалов f : X C, ограниченных на A единицей:

A = f X : sup |f (x)| 1.

xA Если X — стереотипное пространство и A — подмножество в сопряжённом про странстве X, то из-за равенства (X ) = X поляру A (X ) удобно считать подмножеством в X и обозначать её A:

A = x X : sup |f (x)| 1.

f A Важное для нас наблюдение состоит в том, что если A X и мы сначала берём поляру A, а затем поляру от поляры (A) — это множество называется бипо лярой множества A, — то оказывается, что (A) представляет собой замкнутую абсолютно выпуклую оболочку (замыкание множества линейных комбинаций n n i · ai, где ai A, |i | вида 1) множества A в X :

i=1 i= (A) = absconv A. (3.10) В этом заключается содержание классической теоремы о биполяре примени тельно к стереотипным пространствам.

В частном случае, когда A = D — множество в O(M ), его полярой D бу дет множество аналитических функционалов O (M ), ограниченных на D единицей:

D = O (M ) : sup |(u)| 1.

uD Наоборот, если A — какое-то множество аналитических функционалов, A O (M ), то его полярой в O(M ) будет множество, обозначаемое A и состо Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна ящее из функций u O(M ), на которых все функционалы A ограничены единицей:

A = u O(M ) : sup |(u)| 1.

A Лемма 3.1 (о полярах). Операции перехода к поляре удовлетворяют следу ющим тождествам.

1. Для ограниченного множества D в O(M ), содержащего единицу, его внеш няя огибающая D связана с его полярой D тождеством = max{ 0 : · x D }. (3.11) D (x) 2. Для локально ограниченной функции f : M [1;

+) порождаемый ей прямоугольник f есть поляра системы функционалов вида f (x) · x :

· x;

x M (3.12) f=.

f (x) 3. Поляра прямоугольника f есть абсолютная выпуклая оболочка системы функционалов вида f (x) · x :

(f ) = absconv · x;

x M (3.13).

f (x) Доказательство. 1. Для 0 получаем · x D sup | · x (u)| uD 1 D (x) = sup | x (u)|.

D (x) uD Утверждение 2 есть переформулировка определения f :

(3.1) u f x M |u(x)| = | x (u)| f (x) 1 · x (u) · x;

x M sup 1 u.

f (x) f (x) xM Утверждение 3 есть следствие утверждения 2 и теоремы о биполяре:

1 (3.10) (f ) = · x ;

x M · x ;

x M = absconv.

f (x) f (x) 3.4. Внутренние огибающие на M и ромбы в O (M ) В этом разделе нас будут интересовать замкнутые абсолютно выпуклые окрестности нуля в O (M ), удовлетворяющие следующим двум равносильным условиям:

62 С. С. Акбаров 1) поляра множества содержит тождественную единицу 1 O(M ):

1 ;

(3.14) 2) на тождественной единице 1 O(M ) значение функционалов не превосходит единицы:

|(1)| 1. (3.15) Эти два условия влекут ещё одно (не эквивалентное условиям 1) и 2)):

3) функционал вида · x, где 0, может принадлежать, только если 1:

x M 0 ( · x = 1). (3.16) Доказательство. Если · x, то для всех u справедливо | · x (u)| 1. В частности, при u = 1 мы получаем | · x (1)| = · 1 1, т. е. 1.

Функцию : M (0, +) мы называем локально отделённой от нуля, если для всякой точки x M можно подобрать такую окрестность U x, что inf (y) 0.

yU 3.4.1. Операции и Предложение 3.3. Для каждой локально отделённой от нуля функции : M (0, 1] формула : = absconv{(x) · x ;

x M } (3.17) определяет абсолютно выпуклую окрестность нуля в пространстве аналитиче ских функционалов O (M ), удовлетворяющую условиям (3.14)—(3.16).

Доказательство. Функция f (x) = (x) будет локально ограниченной и при нимающей значения в интервале [1;

+). Значит, по лемме 3. (3.13) (f ) = absconv · x;

x M = absconv {(x) · x ;

x M }.

f (x) Это множество будет замкнутой абсолютно выпуклой окрестностью нуля в O (M ), поскольку оно является полярой компакта f в O(M ). Кроме то го, поскольку f 1, компакт f содержит единицу, поэтому его поляра absconv{(x) · x ;

x M } удовлетворяет условиям 1)—3).

Предложение 3.4. Для каждой замкнутой абсолютно выпуклой окрестности нуля в пространстве аналитических функционалов O (M ), удовлетворяющей условиям (3.14)—(3.15) формула (x) : = sup{ 0 : · x } (3.18) определяет непрерывную локально отделённую от нуля функцию : M (0;

1].

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Доказательство. Поскольку — окрестность нуля в O (M ), её поляра D = будет компактом в O (M ), причём 1 D. Внешняя огибающая D это го компакта будет непрерывной и локально ограниченной по предложению 3.2.

Значит, функция (3.11) (x) : = sup{ 0 : · x = D } = D (x) непрерывна и локально отделена от нуля.

Следующие свойства доказываются так же, как (3.3)—(3.5).

Свойства операций и.

=, =, (3.19) ( ), (3.20) ( ), ( ) ( ) =. (3.21) =, 3.4.2. Внутренние огибающие на M Если ввести обозначения : = ( ), : = ( ), (3.22) то из (3.3)—(3.5) будет следовать, что =, (3.23) =,, (3.24), (3.25) ( ) =, ( ) =.

Назовём локально отделённую от нуля функцию : M (0;

1] — внутренней огибающей для абсолютно выпуклой окрестности нуля в O (M ), 1, если = ;

— внутренней огибающей для локально отделённой от нуля функции : M (0;

1], если = ;

— внутренней огибающей на M, если она удовлетворяет следующим равно сильным условиям:

1) является внутренней огибающей для некоторой абсолютно выпук лой окрестности нуля в O (M ), = ;

2) является внутренней огибающей для некоторой локально отделён ной от нуля функции : M (0;

1], = ;

64 С. С. Акбаров 3) является внутренней огибающей для самой себя:

=.

Равносильность условий 1)—3) доказывается так же, как для внешних огибаю щих.

Свойства внутренних огибающих.

1. Всякая внутренняя огибающая на M является непрерывной функцией на M.

2. Для любой локально отделённой от нуля функции : M (0;

1] её вну тренняя огибающая будет наименьшей внутренней огибающей на M, мажорирующей :

1) — внутренняя огибающая на M, мажорирующая, ;

2) если — другая внутренняя огибающая на M, мажорирующая,, то мажорирует и :

.

3.4.3. Ромбы в O (M ) Назовём множество O (M ) — ромбом, порождённым локально отделённой от нуля функцией : M (0;

1], если = ;

— ромбом, порождённым абсолютно выпуклой окрестностью нуля O (M ), 1, если = ;

— ромбом в O (M ), если оно удовлетворяет следующим равносильным усло виям:

1) является ромбом, порождённым некоторой локально отделённой от нуля функцией : M (0;

1], = ;

2) является ромбом, порождённым некоторой абсолютно выпуклой окрестностью нуля O (M ), 1, = ;

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна 3) ромб, порождённый, совпадает с :

=.

Доказательство. Равносильность условий 1)—3) доказывается так же, как в случае с внешними огибающими.

Свойства ромбов.

1. Всякий ромб в O (M ) является замкнутой абсолютно выпуклой окрест ностью нуля в O (M ).

2. Для любой окрестности нуля O (M ) порождаемый ею ромб будет наибольшим ромбом в O (M ), содержащимся в :

1) — ромб в O (M ), содержащийся в :

;

2) если — другой ромб в O (M ), содержащийся в,, то содержится и в :

.

3. Ромбы в O (M ) образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в O (M ): всякая окрестность нуля в O (M ) содержит некоторый ромб.

По аналогии с теоремой 3.1 доказывается следующая теорема.

Теорема 3.2. Формулы = =, устанавливают биекцию между внутренними огибающими на M и ромбами в O (M ).

3.5. Двойственность между прямоугольниками и ромбами Из леммы о полярах 3.1 вытекает следующая теорема.

Теорема 3.3. Справедливы формулы 1 (f ) = (3.26), ( ) =, f 1 (D ) = () =, (3.27), D 1 1 1 (3.28) =, =, f f (D ) = (D ), ( ) = (), (3.29) 66 С. С. Акбаров где f : M [1;

+) — произвольная локально ограниченная функция, : M (0;

1] — произвольная функция, локально отделённая от нуля, D — про извольный абсолютно выпуклый компакт в O(M ), — произвольная замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля в O (M ).

Доказательство. 1. Первая формула в (3.26) следует из (3.13):

1 (3.13) (3.17) (f ) = absconv · x;

x M =.

f (x) f Из неё подстановкой f = следует вторая:

1 1 = = ( ).

= = 2. Первая формула в (3.27) следует из (3.11):

1 (3.11) (3.18) = max{ 0 : · x D } = (D ) (x) = (D ) =.

D (x) D Из неё подстановкой D = получается вторая:

1 1 = ( ) = =.

D= (D ) (( ) ) 3. Первая формула в (3.28) получается из первой формулы в (3.27) и первой формулы в (3.26) подстановкой D = f :

1 1 (3.26) = (D ) = = (f ) =.

D f f Вторая формула в (3.28) получается из второй формулы в (3.27) и второй фор мулы в (3.26) подстановкой = :

1 1 (3.26) = () = ( ) = =.

4. Первая формула в (3.29) следует из первой формулы в (3.27) и первой формулы в (3.26):

1 1 (3.26) (D ) = = (D ) = = (D ).

D D Наконец, вторая формула в (3.29) следует из второй формулы в (3.27) и второй формулы в (3.26):

1 1 (3.26) () = = () ( ).

= = Теорема 3.3 влечёт ещё два важных утверждения.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Теорема 3.4. Операция перехода к обратной функции 1 f=, = f устанавливает биекцию между внешними огибающими f и внутренними огиба ющими на M.

Доказательство. Если — внутренняя огибающая, то =, и поэтому 1 1 (3.28) = =, т. е. — внешняя огибающая. И наоборот, если f — внешняя огибающая, то f = f, и поэтому 1 (3.28) 1 = =, f f f т. е. — внутренняя огибающая.

f Теорема 3.5. Операции перехода к полярам D =, = D устанавливают биекцию между прямоугольниками D в O(M ) и ромбами в O (M ).

Доказательство. Если — ромб, то =, и поэтому (3.29) () ( ) =, = т. е. — прямоугольник. Наоборот, если D — прямоугольник, то D = D, поэтому (3.29) (D ) = (D ) = D, т. е. D — ромб. Поскольку переход к поляре является биекцией между за мкнутыми абсолютно выпуклыми множествами, он будет биекцией и между прямоугольниками и ромбами.

Из теорем 3.4, 3.5 и 3.3 вытекает следующая теорема.

Теорема 3.6. Справедливы формулы 1 (f ) (3.30) =, ( ) =, f 1 (3.31) = D, =, (D ) () где f : M [1;

+) — произвольная внешняя огибающая, : M (0;

1] — про извольная внутренняя огибающая, D — произвольный прямоугольник в O(M ), — произвольный ромб в O (M ).

68 С. С. Акбаров Доказательство. Если f — внешняя огибающая, то по теореме 3.4 — вну f тренняя огибающая, поэтому 1 (3.26) (f ) = =.

f f Остальные формулы доказываются по аналогии.

4. Группы Штейна и связанные с ними алгебры Хопфа 4.1. Группы Штейна, линейные группы и алгебраические группы Комплексная группа Ли G называется группой Штейна, если G являет ся многообразием Штейна [8]. По теореме Мацусимы—Моримото [38, теорема XII.5.9] для комплексных групп это равносильно условию голоморфной отдели мости, упоминавшемуся нами на с. 55:

x = y G u O(G) u(x) = u(y).

Размерностью группы Штейна называется размерность этой группы как ком плексного многообразия.

Частными случаями групп Штейна являются линейные комплексные груп пы, определяемые как комплексные группы Ли, представимые в виде замкнутой подгруппы в полной линейной группе GL(n, C). Иными словами, комплекс ная группа G считается линейной, если она изоморфна некоторой замкнутой комплексной подгруппе H в GL(n, C) (т. е. существует изоморфизм групп : G H, являющийся биголоморфным отображением).

Ещё более узкий класс групп — комплексные аффинные алгебраические группы. Это подгруппы H в GL(n, C), являющиеся одновременно алгебраиче скими подмногообразиями. Это означает, что группа H должна быть общим множеством нулей некоторого набора многочленов u1,..., uk на GL(n, C) (под многочленом здесь можно понимать многочлен от матричных элементов):

H = {x GL(n, C) : u1 (x) =... = uk (x) = 0}.

Если комплексная группа G изоморфна какой-то алгебраической группе H (т. е.

существует изоморфизм групп : G H, являющийся биголоморфным отоб ражением), то G также считается алгебраической группой, потому что алге браические операции на G будут регулярными отображениями относительно индуцированной из H структуры алгебраического многообразия.

Группа Штейна G называется компактно порождённой, если в ней суще ствует порождающий компакт, т. е. компакт K G со свойством K n, Kn = K ·... · K.

G= nN n множителей Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Отметим некоторые примеры.

Пример 4.1. Уже упоминавшийся нами в разделе 3 комплексный тор, т. е.

фактор-группа C/(Z + iZ), является примером комплексной группы, не являю щейся группой Штейна.

Пример 4.2. Любая дискретная группа G является группой Штейна (ну левой размерности). Компактами в G будут только конечные подмножества, поэтому G будет компактно порождённой в том и только в том случае, если она конечно порождённая. Поэтому, скажем, свободную группу с бесконечным чис лом образующих можно считать примером не компактно порождённой группы Штейна.

Пример 4.3. Дискретная группа G будет алгебраической тогда и только тогда, когда она конечна. В этом случае её можно рассматривать как группу преобразований пространства Cn, где n = card G — число элементов G. Для этого Cn реализуют в виде пространства отображений G в C:

x CG x : G C, тогда вложение G в GL(CG ) (группу невырожденных линейных преобразований пространства CG ) описывается формулой : G GL(CG ), (g)(x)(h) = x(h · g), g, h G, x CG.

Пример 4.4. Полная линейная группа GL(n, C), т. е. группа невырожденных линейных преобразований пространства Cn, будет комплексной алгебраической группой (размерности n2 ). Понятно, что GL(n, C) компактно порождённая. Как следствие, любая линейная группа является компактно порождённой.

Пример 4.5. Аддитивная группа комплексных чисел C является комплекс ной алгебраической группой (размерности 1), потому что она вложима как ал гебраическая подгруппа в GL(2, C) по формуле 1 C.

() =, 0 Пример 4.6. Аддитивная группа Z целых чисел является комплексной ли нейной группой (нулевой размерности), потому что она вложима в группу GL(2, C) по формуле 1n n Z.

(n) =, Однако Z не будет алгебраической группой, потому что ни при этом, ни при каком-либо другом вложении в GL(n, C) она не является общим множеством нулей какой-либо системы многочленов (потому что дискретна и бесконечна).

70 С. С. Акбаров Пример 4.7. Мультипликативную группу C ненулевых комплексных чисел, C = C \ {0}, можно представлять себе как полную линейную группу на C, C GL(1, C), = поэтому она будет линейной комплексной группой (размерности 1). Мы усло вимся называть эту группу комплексной окружностью.

Пример 4.8. Рассмотрим действие группы C на себе самой экспонентами:

(a)(x) = x · ea.

: C Aut(C), Полупрямое произведение C на C относительно такого действия, т. е. группа C C, совпадающая как множество с декартовым произведением C C, но наделённая более сложным умножением (a, x) · (b, y) : = (a + b, x · eb + y), будет (связной) линейной комплексной группой, потому что она вложима в GL3 (C) гомоморфизмом a e (x, a) x 1 0.

0 eia Однако C C не будет комплексной алгебраической группой, потому что её центр C) = {(2in, 0);

n Z} Z(C представляет собой бесконечную дискретную подгруппу (чего у алгебраических групп не бывает).

4.2. Алгебры Хопфа O(G), O (G), R(G), R (G) Алгебры Хопфа CG и CG, о которых шла речь в разделе 2.3, интересны не столько сами по себе, сколько как руководящий пример для множества других похожих конструкций, возникающих в ситуациях, когда изучаемые группы G наделены какой-то дополнительной структурой, а функции на них эту структу ру сохраняют. В частности, в [20, примеры 10.24—10.27] отмечались некоторые стандартные примеры алгебр функций и функционалов, являющихся стереотип ными алгебрами Хопфа. Если к ним добавить CG и CG, то получится следующая таблица.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Класс групп Алгебра функций Алгебра функционалов G алгебра C алгебра CG чистые группы всех функций на G точечных зарядов на G алгебра R(G) алгебра R (G) алгебраические группы многочленов на G потоков степени 0 на G алгебра O(G) алгебра O (G) группы Штейна голоморфных функций на G «аналитических функционалов» на G алгебра E(G) алгебра E (G) группы Ли гладких функций на G распределений на G алгебра C(G) алгебра C (G) локально компактные непрерывных функций на G мер Радона на G группы В [20] последние четыре примера приводились без доказательства, поэтому мы полагаем уместным объяснить здесь, на примере групп Штейна и аффинных алгебраических групп, почему эти алгебры действительно будут стереотипными алгебрами Хопфа.

4.2.1. Алгебры Хопфа O(G) и O (G) на группе Штейна G Если G — группа Штейна, то утверждение, что алгебра O(G) голоморфных функций на G (с обычной топологией равномерной сходимости на компак тах в G) является инъективной стереотипной алгеброй Хопфа, доказывается в точности так же, как это делалось для CG. Существенным моментом в этих рассуждениях будет изоморфизм функторов, связывающий декартово произве дение групп и соответствующие тензорные произведения функциональных пространств и [20, теорема 8.13]:

@ G,H O(G H) O(G) O(H) O(G) O(H);

(4.1) = = здесь G,H определяется тождеством, аналогичным (2.25):

u O(G), v O(H), (4.2) G,H (u v) = u v, а функция u v, как и раньше, задаётся формулой (2.24).

После того как G,H определён, умножение и коумножение в O(G) опреде ляются сначала на (или со значениями в) пространстве функций O(G G) на декартовом квадрате GG, а затем переход к тензорному квадрату осуществля ется с помощью изоморфизма G,G :

µ = µ G,G : O(G) O(G) O(G), умножение: µ(v)(t) = v(t, t), (4.3) : C O(G), ()(t) =, единица: (4.4) = G,G : O(G) O(G) O(G), (u)(s, t) = u(s · t), коумножение: (4.5) 72 С. С. Акбаров : O(G) C, коединица: (4.6) (u) = u(1G ), : O(G) O(G), антипод: (4.7) (u)(t) = u(t ).

Сказанное иллюстрируется следующей картинкой:

O(G G) yyy µ ooo yyy o ooo y' / O(G) / C.

O(G) G,G C (4.8) yyy ooo yyy oooµ y'  o O(G) O(G) То, что при этом получится инъективная стереотипная алгебра Хопфа, доказы вается дословным повторением рассуждений, применявшихся при доказатель стве теоремы 2.7. Более того, как и в случае с CG, алгебра Хопфа O(G) явля ется проективной алгеброй Хопфа (и значит, жёсткой алгеброй Хопфа в смысле определения раздела 2.2) из-за равенств (4.1).

Теорема 4.1. Для всякой группы Штейна G справедливы следующие утвер ждения:

1) алгебра O(G) голоморфных функций на G является жёсткой стереотип ной алгеброй Хопфа относительно алгебраических операций, определён ных формулами (4.3)—(4.7);

2) сопряжённая ей алгебра O (G) аналитических функционалов на G явля ется жёсткой стереотипной алгеброй Хопфа относительно сопряжённых алгебраических операций.

Если вдобавок группа G компактно порождённая, то O(G) будет ядерной алге брой Хопфа—Фреше, а O (G) — ядерной алгеброй Хопфа—Браунера.

4.2.2. Алгебры Хопфа R(G) и R (G) на аффинной алгебраической группе G Пусть G — аффинная алгебраическая группа и R(G) — алгебра многочленов на G (с сильнейшей локально выпуклой топологией). Как и в предыдущих слу чаях, тождество u R(G), v R(H) G,H (u v) = u v, (опять u v задаётся формулой (2.24)), определяет изоморфизм функторов, свя зывающий декартово произведение групп и тензорные произведения функци ональных пространств и [20, теорема 8.16]:

@ G,H R(G H) R(G) R(H) R(G) R(H). (4.9) = = Эти изоморфизмы далее определяют алгебраические операции в R(G) по фор мулами, аналогичными (4.3)—(4.7). В результате мы приходим к следующей теореме.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Теорема 4.2. Для всякой аффинной алгебраической группы G справедливы следующие утверждения:

1) алгебра R(G) многочленов на G является инъективной стереотипной ал геброй Хопфа—Браунера относительно алгебраических операций;

2) сопряжённая ей алгебра R (G) потоков степени 0 на G является инъек тивной стереотипной алгеброй Хопфа—Фреше относительно сопряжённых алгебраических операций.

4.2.3. Свёртки в R (G) и O (G) Для вычислений нам будет полезно выписать формулы, которыми определя ется свёртка в алгебрах функционалов R (G) и O (G). Определение предваряют формулы сдвига, антипода и свёртки функционала с функцией:

(u · a)(x) : = u(a · x), (a · u)(x) : = u(x · a), u O(G), a, x G, (4.10) ( · a)(u) : = (a · u), (a · )(u) : = (u · a), O (G), u O(G), a G, (4.11) u(x) : = u(x1 ), O (G), u O(G), x G, (u) : = (), u (4.12) ( u)(x) : = (x · u), (u )(x) : = (u · x) O (G), u O(G), x G.

(4.13) Свёртка функционалов определяется формулой (u) : = (u ) = ( u),, O (G), u O(G). (4.14) В частности, свёртка с дельта-функционалом представляет собой сдвиг:

a = a ·, a = · a, O (G), a G. (4.15) 4.3. Примеры Последние теоремы полезно проиллюстрировать несколькими примерами, и мы выбираем для этого три главные абелевы группы Штейна — Z, C, C, — потому что, помимо прочего, эти примеры понадобятся нам ниже в разделах и 8.

4.3.1. Алгебры O(Z) и O (Z) Мы уже отмечали в примере 4.6, что группу Z целых чисел можно рассмат ривать как комплексную группу (нулевой размерности). Поскольку Z дискретна, любая функция на ней автоматически будет голоморфна. Поэтому алгебра O(Z) формально будет совпадать с алгеброй CZ, а алгебра O (Z) — с алгеброй CZ :

O(Z) = CZ, O (Z) = CZ.

74 С. С. Акбаров Как следствие, строение этих алгебр описывается формулами (2.19)—(2.23): ха рактеристические функции одноточечных множеств 0, m=n m Z, n Z, (4.16) 1n (m) = 1, m = n, образуют базис в стереотипном пространстве O(Z) = CZ, а дельта-функционалы k (u) = u(k), u O(Z), — сопряжённый ему алгебраический базис в O (Z) = CZ :

0, n = k, 1n, k = 1, n = k.

Элементы O(Z) и O (Z) удобно представляются в виде (сходящихся в этих пространствах) рядов u O(Z) = CZ u = u(n) = n (u), u(n) · 1n, (4.17) nZ n · n, O (Z) = CZ = (4.18) n = (1n ), nZ причём действие на u описывается формулой u(n) · n.

u, = nZ Операции умножения в O(Z) = CZ и O (Z) = CZ записываются рядами:

· k u·v = u(n) · v(n) · 1n, = i · ki (4.19) nZ iZ kZ (в первом случае это покоординатное умножение, а во втором — умножение сте пенных рядов).

Предложение 4.1. Алгебра O(Z) = CZ функций на Z является ядерной алгеброй Хопфа—Фреше с топологией, порождённой полунормами |u(n)|, N N, (4.20) u = N |n| N и алгебраическими операциями, определяемыми своими значениями на базис ных элементах 1k по формулам 1m, m = n, 1m · 1n = (4.21) 1R = 1n, (C ) 0, m = n, nZ 1, n = 0, (1n ) = (4.22) 1m 1nm, (1n ) = 0, n = 0, mZ (4.23) (1n ) = 1n.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Предложение 4.2. Алгебра O (Z) = CZ точечных зарядов на группе Z яв ляется ядерной алгеброй Хопфа—Браунера с топологией, порождённой полунор мами rn · |n | (rn 0), (4.24) r= nZ и алгебраическими операциями, определяемыми своими значениями на моно мах k по формулам k l = k+l, 1R(C ) = 0, (4.25) k k k k ( ) = (4.26), (z ) = 1, k k (4.27) ( ) =.

Доказательство. Здесь может быть неочевидно, что полунормы (4.24) дей ствительно определяют топологию в O (Z) = CZ. Соответствующее утвержде ние удобно сформулировать отдельно, поскольку ниже оно нам понадобится в лемме 7.3.

Лемма 4.1. Если p — непрерывная полунорма на O (Z) и rn = p( n ), то p мажорируется полунормой (4.24):

(4.28) p() r.

Доказательство.

n · n |n | · p( n ) = |n | · rn = (4.29) p() = p r.

nZ nZ nZ 4.3.2. Алгебры R(C ), R (C ), O(C ), O (C ) В примере 4.7 мы условились обозначать через C мультипликативную груп пу ненулевых комплексных чисел, C : = C \ {0} (умножение в C — обычное умножение комплексных чисел), и называть её комплексной окружностью.

Алгебра R(C ) многочленов на C состоит из многочленов Лорана, т. е.

функций вида un · z n, u= nZ n где z — мономы на C :

z n (x) : = xn, x C, n Z. (4.30) Алгебра R (C ) потоков на C состоит из функционалов k · k, = kZ 76 С. С. Акбаров где k — функционал вычисления коэффициента степени k ряда Лорана:

1 u(z) e2ikt u(e2it ) dt, u R(C ). (4.31) k (u) = dz = z k+ 2i |z|=1 n Мономы k и z действуют друг на друга по правилу 1, n = k, z n, k = (4.32) 0, n = k, поэтому действие потока на многочлен u будет описываться формулой un · n, u, = nZ а операции умножения в R(C ) и R (C ) записываются рядами:

· zn, u·v = ui · vni = k · k · k (4.33) nZ iZ kZ (в первом случае это умножение степенных рядов, а во втором — покоординатное умножение).

Предложение 4.3. Отображение u R(C ) {uk ;

k Z} CZ является изоморфизмом ядерных алгебр Хопфа—Браунера R(C ) CZ. (4.34) = Предложение 4.4. Алгебра R(C ) многочленов на комплексной окружно сти C является ядерной алгеброй Хопфа—Браунера с топологией, порождённой полунормами rn · |un | (rn 0), (4.35) u r= nZ и алгебраическими операциями, определяемыми своими значениями на моно мах z k по формулам z k · z l = z k+l, 1R(C ) = z 0, (4.36) (z k ) = z k zk, (z k ) = 1, (4.37) k k (4.38) (z ) = z.

Предложение 4.5. Отображение R (C ) {uk ;

k Z} CZ является изоморфизмом ядерных алгебр Хопфа—Фреше R (C ) CZ. (4.39) = Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Предложение 4.6. Алгебра R (C ) потоков на комплексной окружности C является ядерной алгеброй Хопфа—Фреше с топологией, порождённой полунор мами |n | (N N), (4.40) N= |n| N и алгебраическими операциями, определяемыми своими значениями на моно мах k по формулам l, k = l, k l = (4.41), 1R = n, (C ) 0, k = l, nZ 1, k = 0, (k ) = (4.42) l kl, (k ) = 0, k = 0, lZ (4.43) (k ) = k.

Через O(C ) мы, как обычно, обозначаем алгебру голоморфных функций на комплексной окружности C (с топологией равномерной сходимости на ком пактах в C ), а через O (C ) — сопряжённую к ней алгебру аналитических функционалов на C.

Элементы алгебр O(C ) и O (C ) удобно представлять себе в виде фор мальных рядов u O(C ) u = u n · z n, un C :

nZ |un | · C |n|, C 0 (4.44) un = n (u), nZ O (C ) = n · n, n C :

nZ C |n| n = (z n ).

C 0 n N |n | (4.45) Как и в случае R(C ) и R (C ), действие на u описывается формулой un · n, u, = nZ а операции умножения в O(C ) и O (C ) записываются в первом случае как обычное умножение степенных рядов, а во втором — как покоординатное умно жение:

· zn, u·v = ui · vni = n · n · n. (4.46) nZ iZ nZ Предложение 4.7. Алгебра O(C ) голоморфных функций на комплексной окружности C является ядерной алгеброй Хопфа—Фреше с топологией, поро ждённой полунормами |un | · C |n|, (4.47) u = C 1, C nZ 78 С. С. Акбаров и алгебраическими операциями, определяемыми своими значениями на мономах z k по тем же формулам (4.36)—(4.38), что и в случае R(C ):

z k · z l = z k+l, 1O(C ) = z 0, (z k ) = z k zk, (z k ) = 1, (z k ) = z k.

Доказательство. Любая обычная полунорма |u|K = max |u(x)|, где K — xK компакт в C, мажорируется некоторой полунормой u C. Для этого нужно взять C = max max |x|, |x| :

xK un · xn |un | · |xn | |un | · C |n| = u |u|K = max |u(x)| = max max C.

xK xK xK nZ nZ nZ Наоборот, для любого числа C 1 мы можем выбрать компакт t C: |t| K= C +1, C + и тогда из формул Коши для коэффициентов ряда Лорана |u|K |u|K · min (C + 1)n ;

= |u|K · (C + 1)|n| = |un | (C + 1)n (C + 1)|n| подчинена |u|K (с положительным множителем (C + 1)2 ):

следует, что u C |u|K |un | · C |n| · C |n| u = C (C + 1)|n| nZ nZ |n| C |u|K · = (C + 1)2 · |u|K.

C + nZ Предложение 4.8. Алгебра O (C ) аналитических функционалов на ком плексной окружности C является ядерной алгеброй Хопфа—Браунера с топо логией, порождённой полунормами rn · C |n|, = sup |(u)| = rn · |n | 0: C rn r uEr nZ nZ (4.48) и алгебраическими операциями, определяемыми своими значениями на моно мах k по тем же формулам (4.41)—(4.43), что и в случае R (C ):

l, k = l, k l = 1O = n, (C ) 0, k = l, nZ 1, k= (k ) = l kl, (k ) = 0, k = 0, lZ (k ) = k.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Доказательство. Для всякой последовательности неотрицательных чисел 0, удовлетворяющих условию rn rn · C |n|, C 0 (4.49) nZ множество Er = {u O(C ) : n Z |un | rn } (4.50) является компактом в O(C ), потому что оно замкнуто и содержится в прямо угольнике f, где rn · |t|n, t C.

f (t) = nZ Значит, Er порождает непрерывную полунорму max | u, | на O (C ). Но uEr это как раз полунорма (4.48):

max | u, | = max un · n = rn · |n | = r.

uEr |u| rn nZ nZ Остаётся убедиться, что полунормы · r действительно порождают топологию пространства O (C ). Это вытекает из следующей леммы.

Лемма 4.2. Если p — непрерывная полунорма на O (C ), то семейство чисел rn = p(n ) · удовлетворяет условию (4.49), а p мажорируется полунормой r:

(4.51) p() r.

Доказательство. Множество D = u O(C ) : |(u)| sup O (C ) : p() будет компактом в O(C ), порождающим полунорму p:

p() = sup |(u)|.

uD Поэтому rn = p(n ) = sup |n (u)| = sup |un |.

uD uD Для любого C 0 получаем |un | · (C + 1)|n| sup u = sup C+ uD uD nZ |n| = sup rn · (C + 1)|n| sup sup |un | · (C + 1) uD n n 80 С. С. Акбаров M M 0 n Z rn (C + 1)|n| M rn · C |n| · C |n|.

(C + 1)|n| nZ nZ Таким образом, rn действительно удовлетворяет условию (4.49). Формула (4.51) доказывается цепочкой неравенств, аналогичной (4.29).

4.3.3. Цепочка R(C) O(C) O (C) R (C) Через R(C) мы обозначаем обычную алгебру многочленов на комплексной плоскости C. Пусть tk обозначает моном степени k N на C:

tk (x) : = xk, x C, k N. (4.52) Поскольку всякий многочлен u R(C) однозначно представляется рядом (с ко нечным числом ненулевых слагаемых), u k · tk, uk C : card{k N : uk = 0}, (4.53) u= kN мономы tk образуют алгебраический базис в пространстве R(C). Умножение в R(C) есть обычное умножение многочленов n · tk, u·v = uki · vi i= kN а топология в R(C) определяется как сильнейшая локально выпуклая топология.

Отсюда вытекает следующее предложение.

Предложение 4.9. Отображение u R(C) {uk ;

k N} CN является изоморфизмом топологических векторных пространств:

R(C) = CN. (4.54) Замечание 4.1. Формулу (4.54) можно также понимать как изоморфизм ал гебр, если умножение в CN задать той же формулой (2.23), что и для алгебры CG точечных зарядов на группе G (определённой в разделе 2.3), но только при этом нужно помнить, что множество N будет не группой, а лишь моноидом относи тельно используемой на нём операции сложения.

С другой стороны, формула (4.54) не будет изоморфизмом алгебр Хопфа, например, потому что CN вообще не будет алгеброй Хопфа относительно опре делённых в разделе 2.3 операций: для x N обратный элемент x1 = x не существует, если x = 0, и, значит, антипод здесь не может определяться равенством (2.27).

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Предложение 4.10. Алгебра R(C) многочленов на комплексной плоскости C является ядерной алгеброй Хопфа—Браунера с топологией, порождённой полу нормами rk · |uk | (rk (4.55) u = 0), r kN и алгебраическими операциями, определяемыми своими значениями на моно мах tk по формулам tk · tl = tk+l, 1R(C) = t0, (4.56) k 1, k = 0, k (tk ) = · tki ti, (tk ) = (4.57) i 0, k 0, i= (tk ) = (1)k · tk. (4.58) Доказательство. Алгебраические операции, которые мы ещё не нашли, — коумножение, коединица и антипод — вычисляются по формулам (4.5)—(4.7).


Например, k k k k k k k · xki · y i = · tki ti (x, y) (t )(x, y) = t (x + y) = (x + y) = i i i=0 i= k k (tk ) = · tki ti i i= k k (tk ) = C,C (tk ) = · tki ti.

i i= Следуя терминологии [20], мы называем потоком степени 0 или просто потоком на комплексной плоскости C произвольный линейный (и тогда он ав томатически будет непрерывным) функционал : R(C) C на пространстве многочленов R(C). Из формулы (4.54) следует, что всякий компакт в про странстве многочленов R(C) конечномерен и, значит, содержится в выпуклой оболочке конечного набора базисных мономов tk. Поэтому топологию простран ства R (C) потоков на C (стандартно определяемую как топологию равномерной сходимости на компактах в R(C)) можно описать как топологию сходимости на мономах tk, т. е. как топологию, порождаемую полунормами |(tk )|, = N kN где N — произвольное конечное множество в N.

82 С. С. Акбаров Типичный пример потока — функционал вычисления производной степени k в точке 0:

dk k (u) =, u R(C). (4.59) u(x) dxk x= По теореме Тейлора эти функционалы связаны с коэффициентами uk в разло жении (4.53) многочлена u R(C) формулой · k (u). (4.60) uk = k!

Отсюда следует, что действие произвольного потока R (C) на многочлен u R(C) можно записать формулой u k · tk uk · (tk ) = (u) = = kN kN 1 · k (u) · (tk ) = · (tk ) · k (u). (4.61) = k! k!

kN kN Это значит, что раскладывается в ряд по k следующим образом:

k · k, · (tk ). (4.62) = k = k!

kN Из этого можно сделать вывод, что потоки k образуют базис в топологическим векторном пространстве R (C): всякий функционал R (C) однозначно пред ставим в виде сходящегося в R (C) ряда (4.62), коэффициенты которого k C непрерывно зависят от R (C).

Из (4.61) следует, что действие потока на многочлен u описывается фор мулой 1 · k (u) · · (tk ) ·k! = uk · k · k!, (u) = k! k!

kN kN uk k а базисные потоки k действуют на мономы tk по формуле 0, n = k, k (tn ) = n!, n = k.

Это означает, что система k не является сопряжённым базисом к tk : она отли чается от сопряжённого базиса скалярными множителями k!. Тем не менее, поскольку, с одной стороны, R (C) CN (это следует из формулы (4.54)) = и, с другой, в CN любые два базиса изоморфны (теорема 1.20), справедливо следующее предложение.

Предложение 4.11. Отображение R (C) {k ;

k N} CN Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна является изоморфизмом топологических векторных пространств:

R (C) CN. (4.63) = Этот изоморфизм не будет, однако, изоморфизмом алгебр, потому что в R (C) элементы умножаются друг на друга не покомпонентно (т. е. не по формуле (2.20), как можно было бы определить в CN по аналогии со случаем, описанным в разделе 2.3), а как степенные ряды:

k · k.

= ki · i (4.64) i= kN Это следует из формулы (4.66) ниже.

Предложение 4.12. Алгебра R (C) потоков нулевой степени на комплексной плоскости C является ядерной алгеброй Хопфа—Фреше с топологией, порождён ной полунормами K |k | (K N), (4.65) = K k= и алгебраическими операциями, определёнными на базисных элементах k фор мулами k l = k+l, = 0, (4.66) 1R (C) k 1, k = 0, k ( k ) = · ki i, ( k ) = (4.67) i 0, k 0, i= ( k ) = (1)k · k. (4.68) Доказательство. Доказывать эти формулы можно по-разному. Например, можно воспользоваться формулой (4.57) для коумножения в R(C):

m m (4.57) ( k l )(tm ) = ( k l ) (tm ) = ( k l) · tmi ti = i i= m m · (m l)! · l!, m m = k + l, · k (tmi ) · l (ti ) = i = = 0, m=k+l i i= m!, m = k + l, = k+l (tm ) = 0, m=k+l (на любом мономе tm действие функционалов k l и k+l совпадает, значит, они сами совпадают).

Рассмотрим теперь алгебру O(C) целых функций и сопряжённую ей алге бру O (C) аналитических функционалов на комплексной плоскости C. Пусть по-прежнему tk — моном степени k N на C, а k — функционал вычисления 84 С. С. Акбаров производной степени k N:

dk tk (z) = z k, k (u) = x C, u O(C).

u(z), dz k z= Тогда элементы O(C) и O (C) удобно представлять себе в виде (сходящихся в этих пространствах) рядов:

1n u n · tn, u n = u O(C) u = (u) C :

n!

n= |un | · C n, C 0 (4.69) n= n · n, n = (tn ) C :

O (C) = n!

n= Cn M, C 0 n N |n | M· (4.70).

n!

Действие аналитического функционала на целую функцию u будет описы ваться формулой un · n · n!, u, = n= а операции умножения в O(C) и O (C) задаются теми же формулами, что для обычных степенных рядов:

n k n · k.

u·v = ui · vni ·t, = i · ki (4.71) n=0 i=0 i= kN Предложение 4.13. Алгебра O(C) целых функций на комплексной плоско сти C является ядерной алгеброй Хопфа—Фреше с топологией, порождённой полунормами |uk | · C k, C 1, (4.72) u C= kN и алгебраическими операциями, определяемыми своими значениями на моно мах tk по тем же формулам (4.56)—(4.58), что и в случае R(C):

µ(tk tl ) = tk+l, 1R(C) = t0, k 1, k = 0, k (tk ) = · tki ti, (tk ) = i 0, k 0, i= (tk ) = (1)k · tk.

Доказательство. Формулы для алгебраических операций доказываются так же, как и для R(C), поэтому нам нужно лишь объяснить, почему топология задаётся полунормами (4.72). Это тоже предмет математического фольклора Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна (см., например, [11]): ясно, что любая обычная полунорма |u|K = max |u(z)|, где zK K — компакт в C, мажорируется некоторой полунормой u C. А именно, нужно взять C = max |z|:

zK un · z n |un | · |z n | |un | · C n = u |u|K = max |u(z)| = max max C.

zK zK zK n=0 n=0 n= Наоборот, для любого числа C 0 мы можем выбрать компакт K = {z C : |z| C + 1}, и тогда из формул Коши для коэффициентов |u|K |un | (C + 1)n подчинена |u|K (с положительным множителем C + 1):

следует, что u C |u|K |un | · C n · Cn u = C (C + 1)n n=0 n= n C |u|K · = |u|K · = (C + 1) · |u|K.

C C +1 C+ n= Предложение 4.14. Алгебра O (C) аналитических функционалов на ком плексной плоскости C является ядерной алгеброй Хопфа—Браунера с топологи ей, порождённой полунормами rk · C k, rk · |k | · k!, 0: C 0 (4.73) = rk r kN kN и алгебраическими операциями, определяемыми своими значениями на базис ных элементах k по тем же формулам (4.66)—(4.68), что и в случае R (C):

µ( k l ) = k+l, = 0, 1R (C) k 1, k = 0, k ( k ) = · ki i, ( k ) = i 0, k 0, i= ( k ) = (1)k · k.

Доказательство. Здесь формулы для алгебраических операций доказыва ются так же, как и для R (C), поэтому нам нужно лишь объяснить, почему топология задаётся полунормами (4.73). Заметим сначала, что для всякой по следовательности неотрицательных чисел rk 0, удовлетворяющих условию rk · C k, C 0 (4.74) kN множество Er = {u O(C) : k N |uk | rk } (4.75) 86 С. С. Акбаров является компактом в O(C), потому что замкнуто и содержится в прямоуголь нике f, где rk · |x|k, x C.

f (x) = kN Значит, Er порождает непрерывную полунорму max | u, | uEr на O (C). Но это как раз полунорма (4.73):

max | u, | = max uk · k · k! = rk · |k | · k! = r.

uEr |u| rk kN kN Остаётся убедиться, что полунормы · r действительно порождают топологию пространства O (C ). Это вытекает из следующей леммы.

Лемма 4.3. Если p — непрерывная полунорма на O (C), то числа p( k ) rk = k!

· удовлетворяют условию (4.74), а p мажорируется полунормой r:

(4.76) p() r.

Доказательство. Множество D = u O(C) : |(u)| sup O (C) : p() будет компактом в O(C), порождающим полунорму p:

p() = sup |(u)|.

uD Поэтому 1 p( k ) = sup | k (u)| = sup |uk |.

rk = k! k! uD uD Для любого C 0 получаем |uk | · (C + 1)k sup u = sup C+ uD uD kN sup sup |uk | · (C + 1) = sup rk · (C + 1)k k uD k k M M 0 k N rk (C + 1)k M rk · C k · C k, (C + 1)k kN kN Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна т. е. rk действительно удовлетворяет условию (4.74). Формула (4.76) доказыва ется цепочкой неравенств, аналогичной (4.29).

Предложение 4.15. Отображения tk tk k k, k N, определяют цепочку гомоморфизмов жёстких алгебр Хопфа:

R(C) O(C) O (C) R (C). (4.77) 5. Функции экспоненциального типа на группе Штейна 5.1. Полухарактеры и обратные полухарактеры на группах Штейна Пусть G — группа Штейна. Тогда — локально ограниченная функция f : G [1, +) называется полухарак тером, если она удовлетворяет неравенству субмультипликативности:

f (x · y) f (x) · f (y), x, y G;

(5.1) — локально отделённая от нуля функция : G (0;

1] называется обратным полухарактером, если она удовлетворяет обратному неравенству:

(x) · (y) (x · y), x, y G. (5.2) Ясно, что если f : G [1, +) — полухарактер, то обратная функция (5.3) (x) = f (x) будет обратным полухарактером, и наоборот.

Свойства полухарактеров и обратных полухарактеров.

1. Множество всех полухарактеров на G устойчиво относительно следующих операций:

умножение на достаточно большую константу: C · f, C — 1, умножение: f · g, — — сложение: f + g, — взятие максимума: max{f, g}.

2. Множество всех обратных полухарактеров на G устойчиво относительно следующих операций:

— умножение на достаточно малую константу: C ·, C 1, — умножение: ·, 88 С. С. Акбаров · — взятие половинки от среднего гармонического: +, — взятие минимума: min{, }.

Доказательство. В силу естественной связи между полухарактерами и обратными полухарактерами, обеспечиваемой формулой (5.3), нам достаточно рассмотреть только случай полухарактеров.

Если f — полухарактер на G и C 1, то C · f (x · y) C · f (x) · f (y) C · f (x) · C · f (y).

Если f и g — полухарактеры на G, то для произведения получаем (f · g)(x · y) = f (x · y) · g(x · y) f (x) · f (y) · g(x) · g(y) = = f (x) · g(x) · f (y) · g(y) = (f · g)(x) · (f · g)(y).

Для суммы получаем (f + g)(x · y) = f (x · y) + g(x · y) f (x) · f (y) + g(x) · g(y) f (x) · f (y) + g(x) · f (y) + f (x) · g(y) + g(x) · g(y) = = f (x) + g(x) · f (y) + g(y) = (f + g)(x) · (f + g)(y).

Для max{f, g} доказательство основывается на следующем очевидном неравен стве:


max{a · b, c · d} max{a, c} · max{b, d}, a, b, c, d 0. (5.4) Из него мы получаем (5.4) max{f, g}(x · y) = max{f (x · y), g(x · y)} max{f (x) · f (y), g(x) · g(y)} max{f (x), g(x)} · max{f (y), g(y)} = max{f, g}(x) · max{f, g}(y).

Пример 5.1. Все субмультипликативные матричные нормы [14], например n n |xi,j |, |xi,j |2, (5.5) x= x= i,j=1 i,j= являются полухарактерами на GLn (C). Из свойств полухарактеров следует, что функции вида rC (x) = C · max{ x, x1 }N, N 1, N N, (5.6) C также будут полухарактерами на GLn (C).

Предложение 5.1. Для любой субмультипликативной матричной нормы · на GLn (C) полухарактеры вида (5.6) мажорируют все остальные полухарактеры на GLn (C).

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Доказательство. Заметим сразу, что нам достаточно рассмотреть случай, когда · — евклидова норма в алгебре Mn (C) всех комплексных матриц размера n n, n |i |2, x(), где x= sup = Cn : 1 i= поскольку любая другая норма на Mn (C) мажорирует евклидову норму с точно стью до константы, это будет доказывать наше утверждение.

Рассмотрим множество K : = {x GLn (C) : max{ x, x1 } 2} = x GLn (C) : Cn · 2· = x().

Оно является замкнутым и ограниченным в алгебре матриц Mn (C), поэтому компактно. Это будет порождающий компакт в GLn (C), K m, Km = K ·... · K, (5.7) GLn (C) = m=1 m множителей обладающий к тому же следующим свойством:

K m = {x GLn (C) : max{ x, x1 }m 2m }. (5.8) 2 и x Действительно, если x K m, то x = x1 ·... · xm, где xi 2, и i поэтому m m x 2m, x1 2m.

x xi i i=1 i= m 1 m m } Наоборот, пусть max{ x, x 2. Рассмотрим полярное разложение x = r·u, где r — положительно определённая эрмитова матрица, а u — унитарная матрица. Разложим r в произведение r = v · d · v 1, где v — унитарная, а d — диагональная матрицы:

d1 0... 0 d2... d=................, di 0.

0 0... dn Корень степени m m d1 0... 0 m d2...

d= m........................

... m dn 0 обладает следующими свойствами:

90 С. С. Акбаров 2m = m m max di = d = r = x d = max di 2, i=1,...,n i=1,...,n max d1 = d1 = r1 = x1 d 2m = m m d1 = max 2.

i i i=1,...,n i=1,...,n Как следствие, матрица d · v m y=v· лежит в K:

max{ y, y 1 } = max m m 2 = y K.

d, d Поэтому матрица y · u также лежит в K, и мы получаем, что m1 1 x = v · d · v 1 · u = v · d · v 1 · u = y m1 · y · v K m.

m m ·v ·v· d K K m Мы доказали формулу (5.8). Теперь пусть f — произвольный полухарактер на GLn (C). Положим C = sup f (x), N log2 C xK и покажем, что N x GLn (C) f (x) (5.9) rC (x).

m m Зафиксируем x GLn (C). Из (5.7) следует, что x K \K для некоторого m N. По формуле (5.8) получим 2m1 max{ x, x1 } 2m m 1 log2 (max{ x, x1 }) x, x1 }) sup f (y)m Cm C · C m1 C · C log2 (max{ f (x) = yK = C · (max{ x, x1 })log2 C C · (max{ x, x1 })N = rC (x).

N Для частного случая, когда n = 1, мы получаем следствие.

Следствие 5.1. На комплексной окружности C полухарактеры вида rC (t) = C · max{|t|, |t|1 }N, N 1, N N, C мажорируют все остальные полухарактеры.

Предложение 5.2. Если G — компактно порождённая группа Штейна и K — какая-нибудь компактная окрестность единицы, порождающая G, K n, Kn = K ·... · K, G= n=1 n множителей Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна то для всякого C 1 правило hC (x) = C n x K n \ K n1 (5.10) определяет полухарактер hC на G. Такие полухарактеры образуют фундамен тальную систему среди всех полухарактеров на G в том смысле, что всякий полухарактер f на G будет подчинён некоторому полухарактеру hC :

x G;

f (x) hC (x), для этого достаточно выбрать константу C, удовлетворяющую условию (5.11) C sup f (t).

tK Доказательство. Локальная ограниченность hC очевидна, нужно проверить субмультипликативность. Пусть x, y G, подберём k, l N, такие что x K k \ K k1, y K l \ K l1.

Тогда x · y K k+l, и поэтому C k+l = C k · C l = hC (x) · hC (y).

hC (x · y) Если теперь f — произвольный полухарактер и C подчинена условию (5.11), то n x K n \ K n1 = f (x) C n = hC (x).

sup f (t) tK 5.2. Субмультипликативные ромбы и дуально субмультипликативные прямоугольники Введём следующие определения:

— замкнутую абсолютно выпуклую окрестность нуля в O (G) мы будем называть субмультипликативной, если для любых функционалов, из их свёртка тоже лежит в :

, ;

коротко это изображается вложением ;

— абсолютно выпуклый компакт D O(G) мы будем называть дуально суб мультипликативным, если его поляра D является субмультипликатив ной окрестностью нуля:

D D D.

Лемма 5.1.

1. Если : G (0;

1] — обратный полухарактер на G, то порождаемый им ромб является (замкнутой, абсолютно выпуклой) субмультипликатив ной окрестностью нуля в O (G).

92 С. С. Акбаров 2. Если O (G) — замкнутая абсолютно выпуклая субмультипликативная окрестность нуля в O (G), то её внутренняя огибающая — обратный полухарактер на G.

Доказательство. 1. Обозначим x = (x) · x O (G), тогда = absconv{(x) · x ;

x M } = absconv{x ;

x M }, (5.12) и вложение проверяется в три этапа. Сначала нужно заметить, что x, y G x y.

Действительно, x y = (x) · x (y) · y = (x) · (y) · x·y = (x) · (y) ·x·y absconv{z ;

z M } =.

= (x · y) Затем берём конечные абсолютно выпуклые комбинации функционалов x k l k l i · xi, µj · yj, |i | |µj | (5.13) = = 1, 1, i=1 j=1 i=1 j= для которых получаем k l = i · xi µj · yj = i · µj · xi yj.

i=1 j=1 1 i k, 1 j l абсолютно выпуклое |i ·µj | множество 1 i k, 1 j l = k l |i |· |µj | i=1 j= Наконец, для произвольных, включение получается как следствие плотности функционалов вида (5.13) в множестве = absconv{x ;

x M } и непрерывности операции свёртки.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна 2. Для доказательства второго утверждения используется формула (3.11):

= = x, y G (x) · x (y) · y = (x) · (y) · x·y = в силу (3.11) в силу (3.11) (3.11) = (x) · (y) max{ 0 : · x·y } = (x · y) = = (x) · (y) (x · y).

Лемма 5.2.

1. Если f : G [1;

) — полухарактер на G, то порождаемый им прямоуголь ник f дуально субмультипликативен.

2. Если D O(G) — абсолютно выпуклый компакт, то его внешняя огибаю щая D — полухарактер на G.

Доказательство. 1. Если f : G [1;

)] — полухарактер, то — обратный f полухарактер, поэтому по утверждению 1 леммы 5.1 ромб 1 (3.26) = (f ) f будет субмультипликативной окрестностью нуля. Значит, f — дуально субмуль типликативный прямоугольник.

2. Если D O(G) — дуально субмультипликативный прямоугольник, то его поляра D O (G) — субмультипликативная окрестность нуля в O (G), поэто му по утверждению 2 леммы 5.1 внутренняя огибающая (3.27) (D ) = — D обратный полухарактер. Значит, D — полухарактер.

Леммы 5.1 и 5.2 вместе с формулами = иD=D для ромбов и прямоугольников дают следующую теорему.

Теорема 5.1.

1. Ромб O (G) субмультипликативен тогда и только тогда, когда его внутренняя огибающая — обратный полухарактер на G.

2. Прямоугольник D O(G) дуально субмультипликативен тогда и только тогда, когда его внешняя огибающая D — полухарактер на G.

Следующий результат показывает, что субмультипликативные ромбы обра зуют фундаментальную систему среди всех субмультипликативных замкнутых абсолютно выпуклых окрестностей нуля в O (M ).

94 С. С. Акбаров Теорема 5.2.

1. Всякая замкнутая абсолютно выпуклая субмультипликативная окрест ность нуля в O (G) содержит некоторый субмультипликативный ромб, а именно ромб.

2. Всякое дуально субмультипликативное ограниченное множество D O(G) содержится в некотором дуально субмультипликативном прямоугольнике, а именно в прямоугольнике D.

Доказательство. 1. Если — замкнутая абсолютно выпуклая субмульти пликативная окрестность нуля в O (G), то по утверждению 2 леммы 5.1 — обратный полухарактер, и значит, по утверждению 1 леммы 5.1 ромб будет субмультипликативным.

2. Если D — дуально субмультипликативное ограниченное множество в O(G), то его поляра D — замкнутая абсолютно выпуклая субмультиплика тивная окрестность нуля в O (G), и по уже доказанному (D ) — субмульти пликативный ромб. Значит, множество (D ) = (D ) субмультипликативно.

Поэтому прямоугольник D дуально субмультипликативен.

В соответствии с определениями раздела 3 мы называем функцию f на G огибающим полухарактером, если она является внешней огибающей и одно временно полухарактером на G.

Теорема 5.3. Если G — компактно порождённая группа Штейна, то системы всех полухарактеров, всех огибающих полухарактеров и всех дуально субмуль типликативных прямоугольников на G содержат счётные конфинальные подси стемы:

— существует последовательность полухарактеров hN на G, такая что всякий полухарактер g мажорируется некоторым полухарактером hN :

x G;

g(x) hN (x), — существует последовательность огибающих полухарактеров fN на G, та кая, что всякий огибающий полухарактер g мажорируется некоторым по лухарактером fN :

g(x) fN (x), x G;

— существует последовательность EN дуально субмультипликативных пря моугольников на G, такая что всякий дуально субмультипликативный пря моугольник D в G содержится в некотором EN :

D EN.

Доказательство. Утверждение следует из предложения 5.2: последователь ность полухарактеров hN, N N, определённых формулой (5.10), будет искомой последовательностью полухарактеров на G, а EN и fN определяются формулами N n = (hN ), EN = u O(G) : max |u(x)| (5.14) n xK (5.15) fN = (EN ) = (hN ) Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна (EN будут дуально субмультипликативными прямоугольниками по утвержде нию 1 леммы 5.2, а fN — огибающими полухарактерами по утверждению леммы 5.2).

Если теперь D — дуально субмультипликативный прямоугольник, то по утверждению 2 леммы 5.2 его внешняя огибающая D будет полухарактером.

Значит, по предложению 5.2 найдётся такое N N, что D hN.

Отсюда получаем, что D = (D ) (hN ) = EN, т. е. D обязан содержаться в некотором EN. Из этого, в свою очередь, следует, что D (EN ) = fN, и это можно понимать так, что всякий огибающий полухарактер (всегда имею щий вид D по теореме 5.1) мажорируется некоторым fN.

5.3. Голоморфные функции экспоненциального типа 5.3.1. Алгебра Oexp (G) голоморфных функций экспоненциального типа Голоморфную функцию u O(G) на компактно порождённой группе Штей на G мы называем функцией экспоненциального типа, если она ограничивает ся некоторым полухарактером:

|u(x)| f (x), x G f (x · y) f (x) · f (y).

Множество всех функций экспоненциального типа на G мы обозначаем Oexp (G).

Это подпространство в O(G), и по теореме 5.2 его можно рассматривать как объединение дуально субмультипликативных прямоугольников в O(G):

Oexp (G) = D= f D — дуально f — полухарактер на G субмультипликативный прямоугольник в O(G) или, что то же самое, как объединение подпространств вида CD, где D — ду ально субмультипликативный прямоугольник в O(G):

Oexp (G) = CD. (5.16) D — дуально субмультипликативный прямоугольник в O(G) Поэтому Oexp (G) естественно наделяется топологией инъективного (локально выпуклого) предела подпространств Смит CD:

Oexp (G) = CD. (5.17) lim D — дуально субмультипликативный прямоугольник в O(G) 96 С. С. Акбаров Из теоремы 5.3 следует, что в этом пределе систему всех дуально субмульти пликативных прямоугольников можно заменить на счётную подсистему:

Oexp (G) = lim CEN. (5.18) N Вместе с теоремой 1.6 это даёт следующее утверждение.

Теорема 5.4. Пространство Oexp (G) функций экспоненциального типа на компактно порождённой группы Штейна G является пространством Браунера.

Следствие 5.2. Если G — компактно порождённая группа Штейна, то всякое ограниченное множество D в Oexp (G) содержится в некотором прямоугольнике вида f, где f — некоторый полухарактер на G:

Df.

Доказательство. По предложению 1.1 D должен содержаться в каком-то компакте EN, который, будучи дуально субмультипликативным прямоугольни ком, должен по теореме 5.1 иметь вид fN для некоторого полухарактера fN, а именно для fN = EN.

Теорема 5.5. Пространство Oexp (G) функций экспоненциального типа на компактно порождённой группе Штейна G является проективной стереотипной алгеброй относительно обычного поточечного умножения функций.

Доказательство. Заметим, что если функции u, v O(G) подчинены полу характерам f и g, то их произведение u · v подчинено полухарактеру f · g:

uf, vg = u · v (f · g).

Это можно интерпретировать так, что операция умножения (u, v) u · v в про странстве O(G) переводит всякий компакт вида f g (где f и g — полухарак теры) в компакт (f · g) :

(u, v) f g u · v (f · g).

Эта операция в пространстве O(G) непрерывна, значит, она непрерывно перево дит f g в (f · g). С другой стороны, (f · g) как дуально субмультипликатив ный прямоугольник непрерывно вкладывается в пространство Oexp (G). Значит, мы получаем непрерывное отображение (u, v) f g u · v Oexp (G).

Если теперь D и E — произвольные компакты в пространстве Браунера Oexp (G), то по следствию 5.2 они должны содержаться в компактах вида f и g, где f и g — полухарактеры. Поэтому DE f f.

Отсюда можно заключить, что операция умножения должна быть непрерывной из D E в Oexp (G):

(u, v) D E f g u · v Oexp (G).

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Это верно для произвольных компактов D и E в Oexp (G). Значит, мы можем применить [20, теорема 5.24]: поскольку Oexp (G) как пространство Браунера кополно (т. е. его стереотипное сопряжённое пространство полно), по [20, тео рема 2.4] оно является насыщенным, значит, любая билинейная форма на нём, непрерывная на компактах вида D E, должна быть непрерывна в смысле опре деления из [20, § 5.6]. Применительно к операции умножения (u, v) u · v это означает, что она должна быть непрерывна в смысле условий предложения 2.1, и значит, Oexp (G) — проективная алгебра.

Отметим следующий очевидный факт.

Теорема 5.6. Если H — замкнутая подгруппа в группе Штейна G, то огра ничение всякой голоморфной функции экспоненциального типа с G на H также является голоморфной функцией экспоненциального типа:

u Oexp (G) = u|H Oexp (H). (5.19) 5.3.2. Алгебра Oexp (G) экспоненциальных аналитических функционалов Элементы сопряжённого стереотипного пространства Oexp (G), т. е. линейные непрерывные функционалы на Oexp (G), мы будем называть экспоненциальными аналитическими функционалами на группе G, а само пространство Oexp (G) — пространством экспоненциальных функционалов на G.

Из теоремы 5.4 следует теорема 5.7.

Теорема 5.7. Пространство Oexp (G) экспоненциальных функционалов на компактно порождённой группе Штейна G является пространством Фреше.

Теорема 5.8. Пространство Oexp (G) экспоненциальных функционалов на компактно порождённой группе Штейна G является проективной стереотипной алгеброй относительно обычной операции свёртки функционалов, определённой формулами (4.10)—(4.14):

(, ).

Доказательство. 1. Зафиксируем функцию u Oexp (G) и заметим, что для любой точки s G её сдвиг u·s (определённый формулой (4.10)) снова является функцией из Oexp (G):

s G u Oexp (G) u · s Oexp (G).

Действительно, подобрав полухарактер f, мажорирующий u, мы получим, что t G |(u · s)(t)| = |u(s · t)| f (s · t) f (s) · f (t), т. е.

uf = u · s f (s) · f. (5.20) 2. Обозначим получающееся отображение s u · s через u:

u : G Oexp (G), u(s) : = u · s, s G.

98 С. С. Акбаров Покажем, что оно непрерывно. Пусть si — последовательность точек в G, схо дящаяся к точке s:

G si s.

i Тогда последовательность голоморфных функций u(si ) O(G) стремится к го ломорфной функции u(s) O(G) равномерно на каждом компакте K G, т. е.

в пространстве O(G):

O(G) u(si ) u(s).

i При этом из (5.20) следует, что все эти функции подчинены полухарактеру C ·f, где C = max sup f (si ), f (s) (эта величина конечна, потому что сходящаяся i последовательность si образует вместе со своим пределом s компакт), и поэтому лежат в прямоугольнике, порождённом полухарактером C · f :

u(si ) = u · si C · f, u(s) = u · s C · f.

Иными словами, u(si ) сходится к u(s) в компакте C · f :

C·f u(si ) = u · si u · s = u(s).

i Значит, u(si ) сходится к u(s) в объемлющем этот компакт пространстве Oexp (G):

Oexp (G) u(si ) u(s).

i 3. Из непрерывности отображения u : G Oexp (G) следует, что для всякого функционала Oexp (G) функция u : G C голоморфна. Для доказатель ства можно воспользоваться теоремой Мореры: рассмотрим замкнутую ориенти рованную гиперповерхность в G, имеющую достаточно малый диаметр, чтобы интеграл по ней любой голоморфной функции равнялся нулю, и покажем, что интеграл по ней от u тоже равен нулю:

( u)(s) ds = 0. (5.21) Действительно, подберём направленность функционалов {i ;

i } Oexp (G), являющихся линейными комбинациями дельта-функционалов и ап проксимирующих в Oexp (G):

Oexp (G) k k · ai,.

i = i i i k Тогда получим, что, поскольку u : G Oexp (G) непрерывно, C(G) u i u.

i Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Отсюда следует, что для всякой меры Радона C(G) ( u) (i u).

i В частности, для функционала интегрирования по выбранной нами гиперповерх ности получаем k k · ai u (s) ds = ( u)(s) ds (i u)(s) ds = i i k ak k k · k · ai u(s) ds = u)(s) ds = = ( i i i k k k u(s)(ak ) ds k u(s · ak ) ds · · = = = 0, i i i i k k = 0, поскольку u голоморфна т. е. действительно справедливо равенство (5.21).

4. Мы показали, что для всякого функционала Oexp (G) функция u : G C голоморфна. Покажем теперь, что она имеет экспоненциальный тип:

u Oexp (G) Oexp (G) u Oexp (G). (5.22) Действительно, поскольку функционал Oexp (G) ограничен на компакте f Oexp (G), он является ограниченным функционалом на банаховом представле нии пространства Смит Cf, т. е. выполняется неравенство v Cf |(v)| M· v (5.23), f где : = max |(v)|, : = inf{ 0 : v · f }.

M= v (f ) f vf Теперь из формулы (5.20) получаем s G u · s f (s) · f u·s : = inf{ 0 : u · s · f } = f (s) = f = |( u)(s)| = |(u · s)| M · u·s M · f (s), f т. е. функция u подчинена полухарактеру M · f = · f:

(f ) uf = u ·f. (5.24) (f ) 5. Заметим теперь, что (4.13) ( u)(s) = (u · s) = (u )(s), s G.

100 С. С. Акбаров Получается, что мы доказали, что функция u = u принадлежит про странству Oexp (G), поэтому для любого функционала Oexp (G) определена свёртка (4.14) (u) = (u ).

Остаётся убедиться, что операция (, ) является непрерывной били нейной формой, т. е. удовлетворяет условиям предложения 2.1.

Пусть i — направленность, стремящаяся к нулю в Oexp (G), а B — компакт в Oexp (G). Рассмотрим произвольный компакт D в Oexp (G). По следствию 5. он должен содержаться в каком-то прямоугольнике f, где f — полухарактер:

Df.

С другой стороны, на пространстве Смит Cf нормы функционалов B должны быть ограничены:

= M.

sup v f B Поэтому в силу (5.24) мы получаем, что u D B u = u ·f M ·f.

(f ) Таким образом, множество {u ;

u D, B} содержится в компакте M · f пространства Oexp (G). Значит, направленность функционалов i должна равномерно на нём стремиться к нулю в пространстве C:

C (i )(u) = i (u ) 0, u D, B.

i Это верно для любого компакта D, значит, направленность функционалов i стремится к нулю в пространстве Oexp (G) равномерно по B:

Oexp (G) i B.

0, i Случай противоположного порядка множителей можно не рассматривать из-за тождества =.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.