авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы ...»

-- [ Страница 3 ] --

5.4. Примеры 5.4.1. Конечные группы Как мы отмечали в разделе 4.1, всякая конечная группа G, рассматривае мая как нульмерное комплексное многообразие, является линейной комплексной группой Ли. При этом голоморфной функцией на G должна считаться просто произвольная функция u : G C. Поскольку любая такая функция обязательно является ограниченной (её множество значений конечно), мы получаем, что она Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна должна быть функцией экспоненциального типа. Поэтому алгебры Oexp (G) и O(G) в этом случае совпадают и равны алгебре CG всех функций на G с пото чечными алгебраическими операциями и топологией поточечной сходимости:

Oexp (G) = O(G) = CG.

5.4.2. Группы Cn Для случая комплексной плоскости C наше определение, разумеется, совпа дает с обычным. Функциями экспоненциального типа наC будут целые функции, растущие не быстрее экспоненты:

A|x| A 0 |u(x)| (x C).

В соответствии с классическими теоремами о росте целых функций [16, 36] это условие эквивалентно тому, что производные u в фиксированной точке, напри мер в нуле, растут не быстрее экспоненты:

Bk B 0 |u(k) (0)| (k N).

То же самое справедливо и для многих переменных: функциями экспоненци ального типа на Cn согласно нашему определению будут в точности функции u O(Cn ), удовлетворяющие условию A|x| (x Cn ), A 0 |u(x)| (5.25) которое оказывается эквивалентным условию B |k| (k Nn ), B 0 |u(k) (0)| (5.26) n где факториал k! и модуль |k| мультииндекса k = (k1,..., kn ) N определяются равенствами k! : = k1 ·... · kn, |k| : = k1 +... + kn.

Эквивалентность (5.25) нашему определению следует из предложения 5.2, а равносильность (5.25) и (5.26) доказывается так же, как и в случае одной переменной. Импликация (5.26) = (5.25) очевидна, а обратная импликация (5.25) = (5.26) является следствием неравенств Коши (см. [17]) для коэффи (k) циентов ck = u k!(0) ряда Тейлора функции u:

max |u(x)| AR (5.25) |x| R R 0 |ck | R|k| R|k| |k| AR AR A ln A · (ln A)|k| = · B |k|, |ck | B = A ln A · ln A min = |k| = |k| |k||k| |k||k| R0 R R |k| R= ln A k!

· B |k| B |k|.

|u(k) (0)| = k! · |ck | |k||k| 102 С. С. Акбаров 5.4.3. Группы GLn (C) На группе GLn (C) функциями экспоненциального типа будут в точности многочлены, т. е. функция вида P (x) x GL(n, C), m Z+, (5.27) u(x) =, (det x)m где P — обычный многочлен от матричных элементов матрицы x, а det x — опре делитель матрицы x. Таким образом, справедливо равенство Oexp GLn (C) = R GLn (C). (5.28) Доказательство. 1. Сначала докажем вложение R GLn (C) Oexp GLn (C).

Заметим для этого, что любой матричный элемент x xk,l является функцией экспоненциального типа, потому что он подчинён, например, первой из матричных норм (5.5):

n |xk,l | |xi,j | = x.

i,j= Как следствие, всякий многочлен x P (x) от матричных элементов также является функцией экспоненциального типа (потому что функции экспоненци ального типа образуют алгебру).

Далее, всякая степень определителя, x (det x)m, мультипликативна, m = (det x)m · (det y)m, det(x · y) и поэтому её модуль также мультипликативен:

m = |(det x)m | · |(det y)m |.

det(x · y) Значит, функция x |(det x)m | является полухарактером на GL(n, C), а x (det x)m — функцией экспоненциального типа на GL(n, C).

Умножая теперь две функции экспоненциального типа x P (x) и x (det x)m, мы получим функцию экспоненциального типа x P (x)/(det x)m.

2. Теперь докажем обратное вложение Oexp GLn (C) R GLn (C).

Если u — голоморфная функция экспоненциального типа на GLn (C), то по пред ложению 5.1 она должна быть подчинена некоторому полухарактеру вида (5.6).

В частности, для некоторых C 1 и N N n C · max{ x, x1 }N, |u(x)| |xi,j |. (5.29) x= i,j= Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Элементы обратной матрицы x1 получаются из x как дополнительные ми норы, поделённые на определитель, поэтому их можно представлять себе как многочлены (степени n 1) от xi,j и (det x)1. Это означает, что можно оце нить правую часть (5.29) многочленом (степени N (n 1)) от |xi,j | и | det x| с неотрицательными коэффициентами:

C · max{ x, x1 }N | det x|1 ).

|u(x)| C · P ({|xi,j |}1 i,j n, Поэтому если домножить u на функцию (det x)N (n1), то мы получим голо морфную функцию на GLn (C), ограниченную многочленом от |xi,j |:

u(x) · (det x)N (n1) C · Q({|xi,j |}1 i,j n ).

Поскольку такая функция является локально ограниченной в точках анали тического множества det x = 0, по теореме Римана о продолжении [17] она продолжается до голоморфной функции на многообразии Mn (C) всех комплекс ных матриц. Значит, u(x) · (det x)N (n1) можно считать голоморфной функцией на Mn (C) = Cn. Поскольку она имеет полиномиальный рост, она представляет собой некий многочлен q от матричных элементов xi,j :

u(x) · (det x)N (n1) = q(x).

Поэтому q(x) u(x) =, (det x)N (n1) т. е. u R GLn (C).

Следствие 5.3. На комплексной окружности C функциями экспоненциаль ного типа будут многочлены Лорана (и только они):

u n · tn, N N.

u(t) = |n| N 5.5. Инъекция G: Oexp (G) O(G) Будем обозначать вложение алгебры Oexp (G) в алгебру O(G) через G:

Oexp (G) O(G). (5.30) G:

Это отображение всегда инъективно, является гомоморфизмом алгебр и, по определению топологии в Oexp (G), непрерывно.

Равенство (5.28) вместе с теоремой 5.6 означают, что если G — произвольная линейная группа (с фиксированным представлением в качестве замкнутой под группы в GLn (C)), то всякая функция на G, продолжающаяся до многочлена на объемлющую группу GLn (C), является функцией экспоненциального типа.

Таким образом, справедлива цепочка вложений R(G) Oexp (G) O(G) (5.31) 104 С. С. Акбаров (в которой R(G) обозначает функции, продолжающиеся до многочленов на GLn (C);

это уточнение необходимо потому, что G не обязана быть алгебраи ческой группой).

Теорема 5.9. Если G — линейная комплексная группа, то алгебра Oexp (G) голоморфных функций экспоненциального типа на G плотна в алгебре O(G) всех вообще голоморфных функций на G.

Доказательство. Пусть : G GL(n, C) — голоморфное вложение в виде замкнутой подгруппы. По следствию из теорем Картана [46, следствие 11.5.2] всякую голоморфную функцию v O(G) можно продолжить до голоморфной функции u O GLn (C). Если затем приблизить u равномерно на компак тах многочленами ui R GLn (C), то, поскольку в силу (5.28) полиномы ui — функции экспоненциального типа на GL(n, C), их ограничения ui |G будут функ циями экспоненциального типа на G, приближающими v равномерно на компак тах в G.

5.6. Ядерность пространств Oexp (G) и Oexp (G) Теорема 5.10. Для всякой компактно порождённой группы Штейна G про странство Oexp (G) является ядерным пространством Браунера, а его сопряжён ное пространство Oexp (G) — ядерным пространством Фреше.

Доказательству этого факта мы предпошлём две леммы. Первая из них вер на для произвольного комплексного многообразия M и доказывается теми же приёмами, что применяются при доказательстве ядерности пространства O(C) (см. [12, лемма 6.4.2]).

Лемма 5.3. Если M — комплексное многообразие и K и L — два компакта в M, причём K строго содержится в L, K Int L, то существуют константа C 0 и вероятностная мера µ на L, такие что для любого u O(G) выполняется неравенство |u|K C· |(u)| µ(d). (5.32) L Как следствие, оператор u|L u|K ограничения с более широкого компакта на меньший компакт будет абсолютно суммирующим, причём его квазинор ма абсолютного суммирования оценивается сверху величиной C: для любых u1,..., ul O(M ) l l l |ui |K C· |(ui )| µ(d) C· |(ui )|.

sup absconv( L ) i= i=1 L i= Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Замечание 5.1. Здесь absconv( L ) обозначает универсальный компакт в про странстве Смит C (L), сопряжённом к банахову пространству C(L) непрерывных функций на L, или, что то же самое, единичный шар в банаховом пространстве M(L) мер Радона на L. Мы используем такое обозначение, потому что через L = { x ;

x L} удобно обозначать множество дельта-функционалов на C(L).

Тогда поляра B единичного шара B в C(L) совпадает с абсолютно выпуклой замкнутой оболочкой множества L :

B = absconv( L ) = { M(L) : 1} (замыкание относительно топологии пространства C (L)).

Лемма 5.4. Для всякой порождающей компактной окрестности единицы K в G, K n, G= n= найдутся константы C 0, 0, такие что для любого l N и произвольных u1,..., ul O(G), n N выполняется неравенство l l C · n1 · |ui |K n |(ui )|. (5.33) sup absconv( K 2n+1 ) i= i= Доказательство. 1. Множество U = Int K есть открытая окрестность еди ницы в G, поэтому система сдвигов {x · U ;

x K 2 } будет открытым покрытием компакта K 2. Выберем из него конечное подпокрытие, т. е. конечное множество F K 2, такое что K2 x · U = F · U.

xF Тогда мы получим K n F n1 · K F n1 · K 2 K 2n+1, n N. (5.34) Действительно, сначала нужно заметить, что F K 2 = F n K 2n, n N.

После этого в цепочке (5.34) достаточно будет проверить только первое вклю чение K n F n1 · K, n N, (5.35) что делается индукцией: при n = 2 получаем K2 F · U F · K и, если (5.35) верно для какого-то n, для n + 1 получаем K n+1 = K n · K F n1 · K · K F n1 · K 2 F n1 · F · K = F n · K.

106 С. С. Акбаров 2. Поскольку компакт K 2 строго содержит компакт K, по лемме 5.3 суще ствуют C, µ, такие что |u|K C· |(u)| µ(d). (5.36) K При сдвиге компакта K на произвольный элемент группы x G эта формула принимает вид |u|x·K C· |(u)| (x · µ)(d), (5.37) x·K где x · µ — сдвиг меры µ:

(x · µ)(u) = µ(u · x), (u · x)(t) = u(x · t).

Отсюда следует, что если E — произвольное конечное множество в G, то, поло жив x · µ, = card E xE мы получим вероятностную меру на множестве E · K 2 со свойством |u|E·K |u|x·K C· |(u)| (x · µ)(d) = xE xE x·K =C· |(u)| (x · µ)(d) = C · |(u)| x · µ (d) = xE xE E·K 2 E·K = C · card(E) · |(u)| (d).

E·K Отсюда можно сделать вывод, что оператор u|E·K 2 u|E·K ограничения с более широкого компакта на меньший компакт будет абсолютно суммирующим, при чём его квазинорма абсолютного суммирования оценивается сверху величиной C · card(E): для любых u1,..., ul O(G) l l |ui |E·K C · card(E) · |(ui )| (d) i=1 i= E·K 2 l C · card(E) · |(ui )|.

sup absconv( E·K 2 ) i= Теперь из формул (5.34) получаем l l l C · card(F n1 ) · |ui |K n |ui |F n1 ·K |(ui )| sup absconv( F n1 ·K 2 ) i= i=1 i= Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна l C · card(F n1 ) · |(ui )| sup absconv( K 2n+1 ) i= l n C · card(F ) · |(ui )|.

sup absconv( K 2n+1 ) i= Обозначив = card F, мы как раз получим формулу (5.33).

Доказательство теоремы 5.10. Рассмотрим последовательность прямо угольников как в теореме 5.3, EN = (fN ), и представим Oexp (G) как инъективный предел последовательности пространств Смит CEN по формуле (5.18):

Oexp (G) = lim CEN.

N Поскольку Oexp (G) — пространство Браунера, а Oexp (G) — пространство Фреше, нам, чтобы показать, что оба пространства ядерные, достаточно убедиться, что Oexp (G) коядерно. Рассмотрим CEN как банаховы пространства с единичными шарами EN. В силу (5.14) полунорма на CEN определяется равенством |u|K n.

pN (u) = sup n nN N Её единичным шаром будет множество EN :

N n} = EN = {u O(G) : n N |u|K n u O(G) : n N |u|K n 1 = = Nn u O(G) : pN (u) = sup n |u|K n 1.

= N nN Чтобы доказать, что пространство Oexp (G) = lim CEN N коядерно, нам достаточно убедиться, что для всякого N N найдётся M N, M N, такое что отображение вложения CEN CEM будет абсолютно сум мирующим, т. е. таким, что для некоторой константы L 0, любого l N и любых u1,..., ul CEN выполняется неравенство l l L· |(ui )|. (5.38) pM (ui ) sup (EN ) i= i= Чтобы доказать это, сначала нужно заметить, что для любых n, N N выпол няется вложение 108 С. С. Акбаров N n} EN = {u O(G) : n N |u|K n n N n } = N n · ( K ).

{u O(G) : |u|K n (5.39) Из него мы получаем цепочку n EN N n · ( K ) 1 n n n (EN ) N n · ( K ) = n · ( K ) · absconv( K ) = n N N n absconv( K ) N n · (EN ) K 2n+ ) N 2n+1 · (EN ) absconv( l l (5.33) n |ui | C · · |(ui )| sup Kn absconv( K 2n+1 ) i= i= l C · n1 · |(ui )| = sup N 2n+1 ·(EN ) i= l l = C · n1 · |N 2n+1 · (ui )| = C · n1 · N 2n+1 · |(ui )| sup sup (EN ) i=1 (EN ) i= l l n1 · N 2n+ M 0 |ui |K n C· · sup |(ui )| Mn Mn (EN ) i= i= l l |ui |K n pM (ui ) = sup Mn nN i=1 i= l l 1 |ui |K n |ui |K n = Mn Mn n=1 n= i=1 i= l n1 · N 2n+ C· · sup |(ui )| = Mn (EN ) i= n= l n1 · N 2n+ =C· · |(ui )|.

sup Mn (EN ) i= n= Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Отсюда видно, что если подобрать M N достаточно большим так, чтобы n1 · N 2n+ C· 1, Mn n= то константу L в (5.38) можно будет взять равной 1:

l l n1 · N 2n+ C· · sup |(ui )|.

pM (ui ) Mn (EN ) i= n= i= 5.7. Голоморфные отображения экспоненциального типа и тензорные произведения пространств Oexp (G) и Oexp (G) Теорема 5.11. Пусть G и H — две компактно порождённые группы Штейна.

Формула G,H (u v) = u v, u Oexp (G), v Oexp (H) (5.40) (где функция u v определена равенством (2.24)), задаёт линейное непрерывное отображение G,H : Oexp (G H) Oexp (G) Oexp (H) = Oexp (G) Oexp (H).

Это отображение является изоморфизмом стереотипных пространств и есте ственно по G и H, т. е. представляет собой изоморфизм бифункторов из кате гории SG групп Штейна в категорию Ste стереотипных пространств:

(G;

H) O(G H) (G;

H) O(G) O(H).

Эквивалентно это отображение определяется формулой G,H (w)() = w, w Oexp (G H), Oexp (H), (5.41) где w : G Oexp (H) — отображение, заданное равенством s G, t H. (5.42) w(s)(t) = w(s, t), Следствие 5.4. Справедливы следующие изоморфизмы функторов:

Oexp (G H) Oexp (G) Oexp (H) Oexp (G) Oexp (H), (5.43) = = O (G) O (H) O (G) O (H).

Oexp (G H) = exp (5.44) = exp exp exp Доказательство теоремы 5.11 опирается на следующую ниже лемму 5.5, в формулировке которой используется инъективное тензорное произведение A B множеств A и B в стереотипных пространствах X и Y. Напомним, что согласно обозначениям [20, (7.27)] A B определяется как подмножество в пространстве X Y = X Y операторов : Y X, состоящее из тех операторов, которые удовлетворяют условию (B ) A. В этом заключается смысл используемой ниже формулы B.

A B=A 110 С. С. Акбаров Лемма 5.5. Если g : G R+ и h : H R+ — два полухарактера на G и H, то g h — полухарактер на G H, а отображение G,H, определяемое форму лами (5.41), (5.42), является гомеоморфизмом между компактами (g h) Oexp (G H) и g h Oexp (G) Oexp (H):

h) g (5.45) (g h.

= Доказательство. На первых шагах мы будем повторять рассуждения дока зательства теоремы 5.8.

1. Заметим сначала, что для любой функции w (g h) Oexp (G H) формула (5.42) определяет некое отображение w : G Oexp (H).

Действительно, поскольку w голоморфна на G H, она голоморфна по обеим переменным, поэтому при фиксированном s G функция w(s) : H C тоже будет голоморфна. При этом она подчинена полухарактеру g(s) · h, s G w(s) g(s) · h, (5.46) потому что w (g = |w(s)(t)| = |w(s, t)| g(s) · h(t) = w(s) g(s) · h.

h) Таким образом, w(s) всегда голоморфная функция экспоненциального типа на H, т. е. w(s) Oexp (H).

2. Покажем, что отображение w : G Oexp (H) непрерывно. Пусть si — по следовательность точек в G, сходящаяся к точке s:

G si s.

i Тогда последовательность голоморфных функций w(si ) O(H) стремится к го ломорфной функции w(s) O(H) равномерно на каждом компакте K H, т. е.

в пространстве O(H):

O(H) w(si ) w(s).

i При этом все эти функции подчинены полухарактеру C · h, где C = = max sup g(si ), g(s) — конечная величина, потому что сходящаяся последо i вательность si вместе со своим пределом образует компакт:

|w(si )(t)| g(si ) · h(t) C · h(t).

Таким образом, функции w(si ) и w(s) лежат в прямоугольнике, порождённом полухарактером C · h:

{w(si );

w(s)} (C · h).

Иными словами, w(si ) сходится к w(s) в компакте (C · h) :

(C·h) w(si ) w(s), i Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна поэтому w(si ) сходится к w(s) в объемлющем этот компакт пространстве Oexp (H):

Oexp (H) w(s).

w(si ) i 3. Из непрерывности отображения w : G Oexp (H) следует, что для вся кого функционала Oexp (H) функция w : G C голоморфна. Для до казательства можно воспользоваться теоремой Мореры: рассмотрим замкнутую ориентированную гиперповерхность в G размерности n = dim G, имеющую достаточно малый диаметр, и покажем, что интеграл по ней равен нулю:

( w)(s) ds = 0. (5.47) Действительно, подберём направленность функционалов {i ;

i } Oexp (H), являющихся линейными комбинациями дельта-функционалов и аппроксимиру ющих в Oexp (H):

Oexp (H) k k · ai,.

i = i i i k Тогда получим, что, поскольку w : G Oexp (H) непрерывно, C(G) w i w.

i Отсюда следует, что для всякой меры Радона C(G) ( w) (i w).

i В частности, для функционала интегрирования по выбранной нами гиперповерх ности получаем k k · ai w (s) ds = ( w)(s) ds (i w)(s) ds = i i k k k k · ( ai w)(s) ds = k · ai w(s) ds = = i i k k k · w(s)(ak ) ds = k · w(s, ak ) ds = = 0, i i i i k k = 0, поскольку w голоморфна по первому переменному т. е. действительно справедливо (5.47).

4. Мы показали, что для всякого функционала Oexp (H) функция w : G C голоморфна. Покажем теперь, что она имеет экспоненциаль ный тип:

w Oexp (G H) Oexp (H) w Oexp (G). (5.48) 112 С. С. Акбаров Действительно, поскольку функционал Oexp (H) ограничен на компакте h Oexp (H), он является ограниченным функционалом на банаховом пред ставлении пространства Смит Ch, т. е. выполняется неравенство v Ch |(v)| M· v (5.49), h где : = max |(v)|, : = inf{ 0 : v · h }.

M= v (h ) h vh Поэтому из формулы (5.46) получаем w(s) g(s) · h : = inf{ 0 : w(s) · h } = w(s) g(s) = h M · g(s), = w(s) т. е. функция w подчинена полухарактеру M · g:

w M ·g. (5.50) 5. Мы доказали (5.48). Теперь покажем, что при фиксированном w (g h) Oexp (G H) отображение Oexp (H) G,H (w)() = w Oexp (G) (5.51) непрерывно, т. е.

G,H (w) Oexp (G) Oexp (H). (5.52) Это следует из (5.50): если i — направленность, стремящаяся к нулю в Oexp (H), то i w Mi · g, Mi = max |i (v)| i vh g i w i Oexp (G) i w 0.

i 6. Теперь нужно убедиться, что (h ) Oexp (G) G,H (w) g Oexp (H), (5.53) h =g или, иными словами, G,H (w) (h ) g.

Это следует из (5.46):

s G w(s) g(s) · h Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна s G w(s) h g(s) s G (h ) 1 w(s) = g(s) 1 |( w)(s)| = = G,H (w)() (s) g(s) g(s) s G (h ) |G,H (w)()(s)| g(s) (h ) G,H (w)() g G,H (w) (h ) g.

7. Покажем, что отображение w (g h) G,H (w) g (5.54) h инъективно. Для этого рассмотрим функционалы вида s,t : Oexp (G) s,t () = ( t )(s).

Oexp (H) C, (5.55) Если w = 0, то для некоторых s G, t H имеем w(s, t) = 0, поэтому s,t G,H (w) = G,H (w)( t )(s) = ( t w)(s) = t w(s) = w(s)(t) = w(s, t) = и, значит, G,H (w) = 0.

8. Точно так же обнаруживается, что отображение w (g h) G,H (w) g (5.56) h сюръективно. Для любого (h ) Oexp (G) g Oexp (H) h =g полагаем w(s, t) = s t () = ( t )(s), s G, t H.

Тогда, во-первых, w будет голоморфной функцией на G H, потому что она голоморфна по каждой переменной. При фиксированном t H объект ( t ) есть элемент пространства Oexp (G), т. е. голоморфная функция (экспоненци ального типа) на G, поэтому w(·, t) голоморфна по первой переменной. При фиксированном s G отображение Oexp (H) ( s )() есть непрерывный функционал на пространстве Oexp (H), т. е. в силу стерео типной двойственности элемент пространства Oexp (H):

( s )() = (v), v Oexp (H).

114 С. С. Акбаров Тогда w(s, t) = ( t )(s) = ( s )( t ) = t (v) = v(t), т. е. функция w(s, ·) голоморфна по второй переменной.

Далее, разворачивая цепочку пункта 6 в обратном направлении, получаем g h (h ) g (h ) () g 1t 1t (h ) = t H g h(t) h(t) t H ( t ) h(t) · g s G t H |w(s, t)| = |( t )(s)| h(t) · g(s) = |(g h)(s, t)| w (g h).

Наконец, остаётся заметить, что w является прообразом при отображении w G,H (w):

s, t G,H (w)( t )(s) = ( t w)(s) = t w(s) = w(s)(t) = w(s, t) = ( t )(s) G,H (w) =.

9. Мы получили, что отображение w (g h) G,H (w) g (5.57) h биективно. Теперь остаётся показать, что оно непрерывно в обе стороны. Это следует из того, что (g h) и g h — компакты. Поскольку функционалы s t разделяют точки компакта g h, порождаемая ими (отделимая) топология на h совпадает с топологией компакта g h : если g s t (i ) s t () i для любых s G, t H, то g h i.

i Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Отсюда получаем, что отображение w G,H (w) непрерывно в прямую сторону:

(g h) wi w i s G,H (wi ) = wi (s, t) w(s, t) = s t t G,H (w) (s, t) G H i g h G,H (wi ) G,H (w).

i Итак, операция w G,H (w) есть непрерывное биективное отображение ком пакта (g h) в компакт g h. Значит, G,H есть гомеоморфизм между (g h) иg h.

Доказательство теоремы 5.11. Отметим с самого начала, что если f — по лухарактер на G H, то функции s G, t H, g(s) = f (s, 1H ), h(t) = f (1G, t), тоже должны быть полухарактерами (как ограничения f на подгруппы), а функ ция g h является полухарактером на G H, мажорирующим f :

(5.58) f g h.

Действительно, f (s, t) = f (s, 1H ) · (1G, t) f (s, 1H ) · f (1G, t) = g(s) · h(t) = (g h)(s, t).

Отсюда следует, что всякая функция w Oexp (G H) содержится в некотором компакте вида (g h) (поскольку w всегда содержится в компакте вида f ).

При этом объект G,H (w) является элементом множества g h, т. е. элементом содержащего его пространства Oexp (G) Oexp (H).

Таким образом, формулы (5.42) и (5.41) корректно определяют отображение w Oexp (G H) G,H (w) Oexp (G) Oexp (H), (5.59) и нам нужно лишь проверить его биективность и непрерывность в обе стороны.

1. Инъективность этого отображения следует из его инъективности на ком пактах (g h) (и того факта, что компакты (g h) и g h инъективно вкладываются в пространства Oexp (G H) и Oexp (G) Oexp (H)).

2. Сюръективность этого отображения следует из того, что оно сюръективно отображает компакты (g h) на компакты g h (и из того факта, что компакты h покрывают всё пространство Oexp (G) Oexp (H)).

g 3. Непрерывность этого отображения следует из того, что оно непрерывно отображает всякий компакт (g h) в компакт g h и поэтому в пространство Oexp (G) Oexp (H). Это значит, что оно непрерывно на каждом компакте K в пространстве Браунера Oexp (G H) и поэтому непрерывно на всём простран стве Oexp (G H).

116 С. С. Акбаров 4. Непрерывность в обратную сторону доказывается так же: поскольку обратное отображение непрерывно переводит всякий компакт g h в ком пакт (g h), оно непрерывно на каждом компакте в пространстве Бра унера Oexp (G) Oexp (H). Значит, оно непрерывно на всём пространстве Oexp (G) Oexp (H).

5. Мы доказали, что отображение, определённое формулами (5.41), (5.42), является изоморфизмом стереотипных пространств:

Oexp (G H) Oexp (G) O (H) = Oexp (G) Oexp (H) = exp (и, значит, справедливы тождества (5.43)). Покажем, что это отображение удо влетворяет тождеству (5.40). Если u Oexp (G), v Oexp (H), то для отображе ния u v : G Oexp (H), определённого формулой (5.42), получаем логическую цепочку v)(s, t) = u(s) · v(t) u v(s)(t) = (u v(s) = u(s) · v u Oexp (H) u v(s) = u(s) · (v) (2.2) Oexp (H) G,H (u v)() = u v = (v) · u = (u v)() G,H (u v) = u v.

Теперь остаётся заметить, что, поскольку элементы вида u v порождают плот ное подпространство в Oexp (G) Oexp (H), в силу доказанной уже ядерности пространств Oexp соответствующие им элементы вида u v должны порождать плотное подпространство в Oexp (G) Oexp (H), а элементы u v — плотное под пространство в Oexp (G H). Отсюда следует, что свойство (5.40) однозначно определяет отображение G,H.

5.8. Структура алгебр Хопфа на Oexp (G) и Oexp (G) В разделе 4.2 мы говорили о стандартном приёме, с помощью которого до казывается, что функциональные алгебры данного класса на группах являются алгебрами Хопфа. Достаточным условием для этого является естественный изо морфизм между функциональной алгеброй на декартовом произведении групп и тензорным произведением функциональных алгебр. Теорема 5.11, устанавли вающая естественный изоморфизм G,H Oexp (G H) Oexp (G) Oexp (H), = позволяет теперь доказать то же самое для алгебр Oexp (G).

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Теорема 5.12. Для всякой компактно порождённой группы Штейна G спра ведливы следующие утверждения.

1. Пространство Oexp (G) голоморфных функций экспоненциального типа на G является ядерной алгеброй Хопфа—Браунера относительно алгебра ических операций, определённых формулами, аналогичными (4.3)—(4.7).

2. Его сопряжённое пространство Oexp (G) является ядерной алгеброй Хоп фа—Фреше относительно сопряжённых алгебраических операций.

6. Оболочки Аренса—Майкла и голоморфная рефлексивность 6.1. Субмультипликативные полунормы и алгебры Аренса—Майкла Полунорма p : A R+ на алгебре A называется субмультипликативной, если она удовлетворяет условию p(u · v) p(u) · p(v), u, v A.

Это эквивалентно тому, что единичный шар этой полунормы U = {u A : p(u) 1} удовлетворяет условию U ·U U (такие множества в A также называются субмультипликативными).

Топологическая алгебра A называется алгеброй Аренса—Майкла, если она полна (как топологическое векторное пространство) и удовлетворяет следующим равносильным условиям:

1) топология A задаётся системой субмультипликативных полунорм;

2) A обладает локальной базой субмультипликативных замкнутых абсолютно выпуклых окрестностей нуля.

Пример 6.1. Полунормы (4.20), задающие топологию на O(Z), субмульти пликативны:

|u(n)|, N N.

uN= |n| N Поэтому O(Z) — алгебра Аренса—Майкла.

Доказательство. Действительно, (4.19) u·v |(u · v)(n)| = |u(n) · v(n)| = N |n| N |n| N |u(n)| · |v(n)| ·v =u N.

N |n| N |n| N 118 С. С. Акбаров Пример 6.2. Полунормы (4.47), задающие топологию на O(C ), субмульти пликативны:

|un | · C |n|, C 1.

u C= nZ Поэтому O(C ) — алгебра Аренса—Майкла.

Доказательство. Действительно, (4.46) |(u · v)n | · C |n| = u·v = C nZ ui · vni · C |n| |ui | · |vni | · C |i| · C |ni| = = nZ iZ nZ iZ |uk | · C |k| |ul | · C |l| · ·v = =u C.

C kZ lZ Пример 6.3. Полунормы (4.72), задающие топологию на O(C), субмульти пликативны:

|un | · C n, u = C 0.

C n= Поэтому O(C) — алгебра Аренса—Майкла.

Доказательство. Действительно, (4.71) |(u · v)n | · C n = u·v = C n= n n ui · vni · C n |ui | · |vni | · C n = = n=0 i=0 n=0 i= |uk | · C k |ul | · C l · ·v = =u C.

C kN l= Из следующих трёх предложений первые два очевидны, а третье следует из приводимой ниже теоремы А. Ю. Пирковского 6.1.

Предложение 6.1. Алгебра O(M ) голоморфных функций на комплексном многообразии M является алгеброй Аренса—Майкла.

Предложение 6.2. Алгебра Oexp (G) экспоненциальных функционалов на любой группе Штейна является алгеброй Аренса—Майкла.

Предложение 6.3. Алгебра R(M ) многочленов на комплексном алгебраиче ском многообразии M, снабжённая сильнейшей локально выпуклой топологией, является алгеброй Аренса—Майкла, если и только если многообразие M конеч но.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна 6.2. Оболочки Аренса—Майкла Оболочкой Аренса—Майкла топологической алгебры A называется произ вольный (непрерывный) гомоморфизм : A B алгебры A в какую-нибудь ал гебру Аренса—Майкла B, обладающий тем свойством, что для любого (непре рывного) гомоморфизма : A C алгебры A в какую-нибудь алгебру Арен са—Майкла C найдётся единственный (непрерывный) гомоморфизм : B C, замыкающий диаграмму /B Ac c  cc  c   C.

Из этого определения ясно, что если : A B и : A C — две оболочки Аренса—Майкла алгебры A, то возникающий гомоморфизм : B C (из-за своей единственности) будет изоморфизмом (топологических алгебр). Поэтому оболочка Аренса—Майкла алгебры A определяется однозначно с точностью до изоморфизма и, как следствие, для неё можно ввести специальное обозначение:

A : A A.

Если нам дан какой-то гомоморфизм : A B, то запись = A означает, что : A B является оболочкой Аренса—Майкла алгебры A. Если же нам дана алгебра B, то запись B = A означает, что существует гомоморфизм : A B, являющийся оболочкой Аренса—Майкла алгебры A;

в этом случае алгебру B также принято называть оболочкой Аренса—Майкла алгебры A.

Предложение 6.4. Топологическая алгебра B является оболочкой Арен са—Майкла для топологической алгебры A, если и только если 1) B — алгебра Аренса—Майкла;

2) существует непрерывный гомоморфизм топологических алгебр : A B, такой что а) образ (A) алгебры A под действием плотен в B;

б) для любой непрерывной субмультипликативной полунормы p : A R+ найдётся непрерывная субмультипликативная полу норма p : B R+, такая что полунорма p : A R+ мажорирует полунорму p:

p(a) p (a), a A.

Оболочку Аренса—Майкла можно построить конструктивно: всякой суб мультипликативной абсолютно выпуклой окрестности нуля U в A нужно по ставить в соответствие замкнутый идеал Ker U в A, определяемый равенством · U, Ker U = и фактор-алгебру A/ Ker U, 120 С. С. Акбаров наделённую топологией нормированного пространства с единичным шаром U + Ker U. Тогда пополнение (A/ Ker U ) будет банаховой алгеброй. В соот ветствии с формулой (1.3) такую алгебру можно обозначать A/U :

A/U : = (A/ Ker U ).

Семейство таких алгебр (при разных U ) будет проективной системой. Оболочка Аренса—Майкла A будет в точности проективным пределом этой системы:

A = (6.1) lim A/U.

U — субмультипликативная окрестность нуля в A Следующие утверждения показывают, что операция взятия оболочки Арен са—Майкла коммутирует с операциями перехода к прямой сумме и фактор-ал гебре.

Предложение 6.5. Оболочка Аренса—Майкла прямой суммы A1... An конечного набора топологических алгебр A1,..., An совпадает с прямой суммой оболочек Аренса—Майкла этих алгебр:

(A1... An ) A... A.

= n Предложение 6.6. Пусть : A A — оболочка Аренса—Майкла алге бры A, и пусть I — замкнутый идеал в A. Тогда оболочка Аренса—Майкла фактор-алгебры A/I совпадает с пополнением фактор-алгебры A /(I) по за мыканию (I) в A образа идеала I под действием отображения :

(A/I) A /(I).

= Важный для нас пример оболочки Аренса—Майкла был построен А. Ю. Пир ковским.

Теорема 6.1 (А. Ю. Пирковский, [11]). Оболочка Аренса—Майкла алгебры R(M ) многочленов на аффинном алгебраическом многообразии M совпадает с алгеброй O(M ) голоморфных функций на M :

O(M ).

R(M ) (6.2) = 6.3. Отображение G : O (G) Oexp (G) — оболочка Аренса—Майкла Теорема 6.2. Для любой группы Штейна G отображение O (G) Oexp (G) G:

является оболочкой Аренса—Майкла алгебры O (G):

O (G).

O (G) (6.3) = exp Доказательство. Из представления (5.17) следует, что это пространство яв ляется проективным пределом своих банаховых фактор-алгебр:

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна (5.17) (1.4) Oexp (G) = CD lim = lim (CD) = D — дуально D — дуально субмультипликативный субмультипликативный прямоугольник в O(G) прямоугольник в O(G) утв. 1 теоремы 5. O (G)/D = O (G)/ = lim lim = D — дуально — субмультипликативный ромб в O (G) субмультипликативный прямоугольник в O(G) (6.1) O (G)/U = O (G) = lim.

U — субмультипликативная окрестность нуля в O (G) 6.4. Отображение G : Oexp (G) O(G) — оболочка Аренса—Майкла для групп с алгебраической связной компонентой единицы Теорема 6.3. Пусть G — компактно порождённая группа Штейна, связная компонента единицы которой Ge является алгебраической группой. Тогда отоб ражение G : Oexp (G) O(G) является оболочкой Аренса—Майкла алгебры Oexp (G):

O(G).

Oexp (G) (6.4) = Это утверждение мы докажем в несколько этапов.

1. Пусть сначала G — дискретная группа. Напомним, что в (1.28) мы услови лись обозначать через 1x характеристические функции одноточечных подмно жеств {x} в G:

1, y = x, (6.5) 1x (y) = 0, y = x (из-за дискретности G функцию 1x можно считать элементом обеих алгебр O(G) и Oexp (G)).

Лемма 6.1. Функции {1x ;

x G} образуют базис в топологических век торных пространствах O(G) и Oexp (G): для всякой функции u O(G) (u Oexp (G)) справедливо равенство u(x) · 1x, (6.6) u= xG где ряд справа сходится в O(G) (Oexp (G)), а его коэффициенты непрерывно зависят от u O(G) (u Oexp (G)).

Доказательство. Для пространства O(G) это очевидно, потому что в слу чае дискретной группы G оно совпадает с пространством CG всех функций 122 С. С. Акбаров на G. Докажем утверждение для Oexp (G). Если u Oexp (G), то, подобрав мажорирующий полухарактер f : G R+, |u(x)| x G, f (x), мы получим, что частичные суммы ряда (6.6) содержатся в прямоугольнике f, поэтому ряд (6.6) сходится не только в O(G), но и в Oexp (G). С другой стороны, каждый коэффициент u(x) непрерывно зависит от u, если u бегает по прямо угольнику вида f. По определению топологии в Oexp (G) это означает, что u(x) непрерывно зависит от u, когда u бегает по Oexp (G).

Лемма 6.2. Если G — дискретная конечно порождённая группа, то для всякой непрерывной полунормы q : Oexp (G) R+ и любого полухарактера f : G [1;

+) числовое семейство {f (x) · q(1x );

x G} суммируемо:

f (x) · q(1x ).

xG Доказательство. Пусть T — абсолютно выпуклый компакт в Oexp (G), соот ветствующий полунорме q:

q(u) = sup |(u)|.

T Всякий прямоугольник f является компактом в Oexp (G), поэтому (6.6) sup sup |(u)| = sup sup u(x) · 1x = uf T uf T xG f (x) · (1x ) u(x) · (1x ) ·(1x ) = = sup sup sup |(1x )| uf T xG T xG одно из значений uf f (x) · |(1x )| sup sup f (x) · |(1x )| = = sup T T xG xG = sup f (x) · sup |(1x )| = sup f (x) · q(1x ).

xG T xG Мы получили, что для всякого полухарактера f : G [1;

+) sup f (x) · q(1x ).

xG Если теперь взять какое-нибудь конечное множество K, порождающее G, K n = G, n= и определить полухарактер g : G [1;

+) формулой g(x) = Rn x K n \ K n1, Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна где R — какое-нибудь число, большее мощности множества K, R card K, то, поскольку произведение g · f также будет полухарактером, получаем sup [g(x) · f (x) · q(1x )] xG C C 0 x G f (x) · q(1x ) g(x) C C C f (x) · q(1x ) = = Rn g(x) n=1 g(x) n= xG xG xK n \K n1 xK n \K n n C · card(K n ) C · (card K)n card K =C·.

Rn Rn R n=1 n=1 n= Если q : Oexp (G) R+ — непрерывная полунорма на Oexp (G), то её носите лем условимся называть множество supp(q) = {x G : q(1x ) = 0}. (6.7) Лемма 6.3. Если G — дискретная конечно порождённая группа, то для вся кой субмультипликативной непрерывной полунормы q : Oexp (G) R+ 1) носитель supp(q) является конечным множеством:

card supp(q) ;

2) для любой точки x supp(q) значение полунормы q на функции 1x не меньше единицы:

q(1x ) 1.

Доказательство. Сначала докажем второе утверждение. При x supp(q), т. е. при q(1x ) 0, получаем логическую цепочку 1x = 12 = q(1x ) = q(12 ) q(1x )2 = 1 q(1x ).

x x Теперь докажем первое утверждение. Поскольку тождественная единица f (x) = 1 является полухарактером на G, по лемме 6.2 числовое семейство {q(1x );

x G} должно быть суммируемо:

q(1x ).

xG С другой стороны, по уже доказанному условию 2 все ненулевые слагаемые в этом ряду оцениваются снизу единицей. Значит, их должно быть конечное число.

124 С. С. Акбаров 2. Перейдём теперь к случаю, когда G — компактно порождённая группа Штейна, у которой связная компонента единицы Ge является алгебраической группой. Пусть LC exp (G) обозначает подалгебру в Oexp (G), состоящую из ло кально постоянных функций:

u LC exp (G) u Oexp (G) & x G окрестность U x y U u(x) = u(y).

Лемма 6.4. Пусть : G G/Ge — фактор-отображение. Для любой функ ции v Oexp (G/Ge ) композиция v является локально постоянной функцией экспоненциального типа на G и отображение v v устанавливает изоморфизм топологических алгебр Oexp (G/Ge ) LC exp (G).

= Для всякого смежного класса K G/Ge и любой функции u Oexp (G) обозначим через uK функцию, совпадающую с u на множестве K G и равную нулю вне его:

u(x), x K, (6.8) uK (x) = x K.

0, / Следующее утверждение доказывается так же, как лемма 6.1.

Лемма 6.5. Для всякого смежного класса K G/Ge и любой функции u Oexp (G) 1) функция uK принадлежит алгебре Oexp (G);

2) отображение u Oexp (G) uK Oexp (G) непрерывно;

uK сходится в пространстве Oexp (G) к функции u:

3) ряд KG/Ge u= uK.

KG/Ge Для всякого смежного класса K G/Ge рассмотрим оператор проектирова ния PK : Oexp (G) Oexp (G), PK (u) = uK, и пусть Oexp (K) обозначает его образ в пространстве Oexp (G):

Oexp (K) = PK Oexp (G).

Ясно, что Oexp (K) является замкнутым подпространством в Oexp (G), поэтому Oexp (K) можно наделить топологией, индуцированной из Oexp (G) (это будет Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна топология непосредственного подпространства в Oexp (G)), и относительно этой топологии Oexp (K) будет пространством Браунера.

Пусть, кроме того, O(K), как обычно, обозначает алгебру голоморфных функций на комплексном многообразии K.

Лемма 6.6. Вложение Oexp (K) O(K) является оболочкой Аренса—Майк ла:

Oexp (K) = O(K).

Доказательство. Сначала нужно заметить, что достаточно рассмотреть слу чай K = Ge, потому что подходящим сдвигом на группе вложение Oexp (K) O(K) превращается во вложение Oexp (Ge ) O(Ge ). Для него утверждение леммы становится следствием теоремы Пирковского 6.1: по условию Ge являет ся алгебраической группой, поэтому можно рассмотреть алгебру R(Ge ) много членов на Ge. Далее ход рассуждений иллюстрируется следующей диаграммой (в которой горизонтальные стрелки обозначают вложения):

/ Oexp (Ge ) / O(Ge ) R(Ge ) tt t tt t tt t tt t R tt t tt  zt $ B.

Если : Oexp (Ge ) B — произвольный морфизм в алгебру Аренса—Майкла B, то ему соответствует морфизм R : R(Ge ) B (ограничение на подалгебру R(Ge )), который по теореме Пирковского можно продолжить до морфизма : O(Ge ) B. Поскольку R(Ge ) плотно в Oexp (Ge ) в топологии O(Ge ), мор физм продолжает морфизм. Поскольку Oexp (Ge ) плотно в O(Ge ), такое продолжение единственно.

Доказательство теоремы 6.3. Пусть G — произвольная компактно поро ждённая группа Штейна с алгебраической связной компонентой единицы и p : Oexp (G) R+ — субмультипликативная непрерывная полунорма. Её ограни чение p|LC exp (G) на подалгебру LC exp (G) определяет по лемме 6.4 непрерывную полунорму q на Oexp (G/Ge ), q(v) = p(v ), причём q будет субмультипликативна, как и p. Значит, по лемме 6.3 носитель q должен быть конечен:

card supp(q).

Применительно к полунорме p это означает, что существует лишь конечный набор классов смежности {K1,..., Kn } G/Ge, для которых p(1Ki ) = 0, в то время как для всех остальных K G/Ge, K {K1,..., Kn }, / (6.9) p(1K ) = 126 С. С. Акбаров (здесь 1K обозначает результат применения операции (6.8) к тождественной единице u(x) = 1).

Как следствие, для любой функции u Oexp (G) и любого класса смежности K {K1,..., Kn } имеем / (6.10) p(uK ) = (потому что p(uK ) = p(1K · uK ) p(1K ) · p(uK ) = 0 · p(uK ) = 0).

Обозначим теперь через P и S операторы проектирования на подпро странства, состоящие соответственно из функций, равных нулю вне и внутри K1... Kn :

u(x), x K1... Kn, P (u)(x) = = u K1 +... + u Kn, x K1... K n 0, / u(x), x K1... Kn, / S(u)(x) = = uK x K1... K n 0, K {K1,...,Kn } / (последний ряд сходятся в Oexp (G) в силу леммы 6.5). Из (6.10) следует, что u Oexp (G) p S(u) = p uK K {K1,...,Kn } / (6.10) p(uK ) = 0 = 0.

K {K1,...,Kn } / K {K1,...,Kn } / Тогда p=pP (6.11) (с одной стороны, p(u) = p P (u) + S(u) p P (u) + p S(u) = p P (u), а с другой — p P (u) = p u S(u) p(u) + p S(u) = p(u)).

Обозначим теперь через pi (субмультипликативные) полунормы на Oexp (Ki ), индуцированные p, pi (v) = p(v), v Oexp (Ki ).

По лемме 6.6 и предложению 6.4 эти полунормы мажорируются некоторыми полунормами pi на O(Ki ):

v Oexp (Ki ).

pi (v) pi (v), Теперь из (6.11) получается оценка n n n n (6.11) p(u) = p u Ki + uK =p u Ki pi (uKi ) pi (uKi ).

i=1 i=1 i=1 i= K {K1,...,Kn } / Таким образом, наша исходная полунорма p на Oexp (G) мажорируется полу n pi на O(G). Опять применяя предложение 6.4, мы получаем, что нормой i= вложение Oexp (G) O(G) является оболочкой Аренса—Майкла.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна 6.5. Голоморфная рефлексивность Подведём итог предыдущим рассмотрениям. Для компактно порождённой группы Штейна G с алгебраической компонентой единицы две алгебры из тех, что мы рассматривали выше, а именно O (G) и Oexp (G), обладают следующими любопытными свойствами: всякая такая алгебра H, будучи жёсткой стереотип ной алгеброй Хопфа, имеет оболочку Аренса—Майкла H, также обладающую структурой жёсткой стереотипной алгебры Хопфа, такой что 1) естественный гомоморфизм алгебр H : H H является гомоморфизмом жёстких алгебр Хопфа;

2) сопряжённое отображение (H ) : (H ) H является оболочкой Аренса—Майкла алгебры (H ) :

(H ) = (H ).

Заметим в связи с этим следующее.

Предложение 6.7. Для произвольной жёсткой стереотипной алгебры Хоп фа H структура жёсткой алгебры Хопфа на её оболочке Аренса—Майкла H, удовлетворяющая условиям 1) и 2), если она существует, определяется одно значно.

Доказательство. Заметим вначале, что из 1) и 2) сразу следует условие 3) отображения H и (H ) являются биморфизмами стереотипных про странств (т. е. инъективны и имеют плотный образ в области значений).

Действительно, отображения H : H H и (H ) : (H ) H являют ся эпиморфизмами (имеют плотные образы), потому что это оболочки Арен са—Майкла. Поскольку они сопряжены друг другу, они являются и моно морфизмами (т. е. инъективны). Отсюда следует всё остальное. Прежде все го, умножение и единица на H определяются однозначно условием, что H : H H — оболочка Аренса—Майкла алгебры H. Рассмотрим теперь со пряжённое отображение (H ) : (H ) H. Как и H, оно должно быть гомоморфизмом алгебр Хопфа. Значит, оно является гомоморфизмом алгебр, причём инъективным, в силу доказанного свойства 3). Отсюда следует, что умножение и единица на (H ) также определяются однозначно, поскольку они индуцируются из H.

Таким образом, условия 1) и 2) накладывают жёсткие условия на умноже ние, единицу, коумножение и коединицу в H, позволяя определить на этом пространстве не более одной структуры биалгебры. С другой стороны, мы зна ем, что антипод у биалгебры, если он существует, определяется однозначно, поэтому структура алгебры Хопфа на H также единственна.

128 С. С. Акбаров Условия 1) и 2) удобно изображать в виде диаграммы 1/ H (6.12) H O  o1 (H ), H в которую мы предлагаем вкладывать следующий смысл: во-первых, в углах квадрата стоят жёсткие стереотипные алгебры Хопфа, причём горизонтальные стрелки (операции Аренса—Майкла ) являются их гомоморфизмами;

во-вто рых, чередование операций и (с какого места ни начинай) на четвёртом шаге возвращает к исходной алгебре Хопфа (конечно, с точностью до изоморфизма функторов).

Жёсткие стереотипные алгебры Хопфа H, удовлетворяющие условиям 1) и 2), мы будем называть голоморфно рефлексивными, а диаграмму (6.12) для та ких алгебр — диаграммой рефлексивности. Смысл термина «рефлексивность»

в этом случае состоит в том, что если однократное последовательное применение операций и обозначить через, H : = (H ), и называть такой объект алгеброй Хопфа, голоморфно двойственной к H, то H будет естественно изоморфна своей второй двойственной в этом смысле алгебре Хопфа:

H H.

= (6.13) Это утверждение можно считать следствием предложения (6.7): поскольку для голоморфно рефлексивных алгебр Хопфа переход H H однозначно опреде ляет структуру алгебры Хопфа на H, изоморфизм алгебр H, (H ) = постулируемый в аксиоме 2), автоматически должен быть изоморфизмом алгебр Хопфа. Переходя к сопряжённым алгебрам Хопфа, мы как раз получаем (6.13).

Из теорем 6.2 и 6.3 следует теорема 6.4.

Теорема 6.4. Если G — группа Штейна с алгебраической связной компонен той единицы, то алгебры O (G) и Oexp (G) голоморфно рефлексивны, а диаграм ма рефлексивности для них принимает вид Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна 1 / Oexp (G) O (G) (6.14) (6.3) O  o Oexp (G) O(G) (6.4) (цифры под горизонтальными стрелками — ссылки на формулы в тексте).

Пример 6.4. Для группы GLn (C) диаграмма рефлексивности (6.14) прини мает вид 1/ O GLn (C) R GLn (C) (6.15) (5.28) O  o O GLn (C) R GLn (C).

(6.2) 7. Голоморфная рефлексивность как обобщение двойственности Понтрягина 7.1. Двойственность Понтрягина для абелевых компактно порождённых групп Штейна Комплексная окружность C, о которой мы говорили в разделе 4.1, занимает среди всех абелевых компактно порождённых групп Штейна то же место, что и обычная «вещественная» окружность T = R/Z среди всех локально компактных абелевых групп (или среди компактно порождённых вещественных абелевых групп Ли), потому что для абелевых компактно порождённых групп Штейна справедлив следующий вариант теории двойственности Понтрягина.

Пусть G — абелева компактно порождённая группа Штейна. Назовём голо морфным характером на G произвольный голоморфный гомоморфизм группы G в комплексную окружность:

G• : G C.

Множество G• всех голоморфных характеров на G является топологической группой относительно поточечной операции умножения и топологии равномер ной сходимости на компактах. Следующая теорема показывает, что операция G G• аналогична понтрягинской операции перехода к двойственной локаль но компактной абелевой группе.

130 С. С. Акбаров Теорема 7.1. Если G — абелева компактно порождённая группа Штейна, то её двойственная группа G• тоже абелева компактно порождённая группа Штей на, а отображение iG : G G••, iG (x)() = (x), x G, G•, является естественным изоморфизмом функторов G G и G G•• :

G•• G.

= Ввиду этой теоремы мы называем G• двойственной комплексной группой к группе G.

Доказательство. Сначала нужно заметить, что теорема верна для частных случаев G = C, G = C, G = Z и случая конечной абелевой группы G = F.

Это следует из очевидных формул C• C, (C )• Z, Z• C, F • F.

= = = = Теперь осталось заметить, что всякая абелева компактно порождённая группа Штейна имеет вид G Cl (C )m Zn F (l, m, n Z+ ), = и поэтому её двойственная группа будет иметь вид G• Cl Zm (C )n F (l, m, n Z+ ), = т. е. тоже будет абелевой компактно порождённой группой Штейна. Вторая двойственная группа G•• получается изоморфной G:

G•• Cl (C )m Zn F G.

= = 7.2. Преобразование Фурье как оболочка Аренса—Майкла Если G — абелева компактно порождённая группа Штейна, то всякий её го ломорфный характер : G C будет голоморфной функцией на G. Таким образом, двойственную комплексную группу G• можно представлять себе как подгруппу в группе обратимых элементов алгебры O(G) голоморфных функций на G:

G• O(G).

Переходя по теореме 7.1 к двойственным объектам, мы получаем, что сама груп па G вкладывается преобразованием iG в группу обратимых элементов алгебры O(G• ) голоморфных функций на G• :

iG : G G•• O(G• ).

С другой стороны, G, очевидно, вкладывается (в виде дельта-функционалов) в алгебру O (G):

: G O (G) (x x ).

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна По [20, теорема 10.12] отсюда следует, что существует единственный гомомор физм стереотипных алгебр O (G) O(G• ), G:

замыкающий диаграмму Gc cc i  ccG   cc    O (G) / O(G• ) G (в этом состоит свойство O (G) быть групповой алгеброй). Гомоморфизм • G : O (G) O(G ) естественно называть (обратным) преобразованием Фу рье на группе Штейна G, потому что он явно задаётся формулой, которой определяется (обратное) преобразование Фурье для мер и обобщённых функ ций [15, раздел 31.2]:

• значение функции CG в точке G• G• (7.1) () = (), действие функционала O (G) на функцию G• O(G) ( O (G), w O(G• )).

Теорема 7.2. Для всякой абелевой компактно порождённой группы Штей на G её преобразование Фурье O (G) O(G• ) G:

является 1) гомоморфизмом жёстких алгебр Хопфа—Фреше;

2) оболочкой Аренса—Майкла алгебры O (G).

Как следствие, справедливы изоморфизмы алгебр Хопфа—Фреше Oexp (G) O (G) O(G• ), (7.2) = = а диаграмма рефлексивности для G принимает вид 1 преобразование Фурье / O(G• ) O (G) (7.3) (7.2) O  преобразование Фурье o O (G• ) O(G).

(7.2) 132 С. С. Акбаров Как и теорема 7.1, это утверждение доказывается последовательным рас смотрением случаев G = C, G = C, G = Z и случая конечной абелевой группы G = F. В оставшейся части этого раздела до «диаграммы вложения» мы займёмся этим.

7.2.1. Конечная абелева группа Как уже говорилось в разделе 4.1, всякую конечную группу G можно считать линейной комплексной группой Ли (нулевой размерности), на которой любая функция считается голоморфной, причём в первом примере раздела 5.3 отмеча лось, что, более того, любая функция на конечной группе является голоморф ной функцией экспоненциального типа и поэтому алгебры Oexp (G), O(G) и CG в этом случае совпадают:

Oexp (G) = O(G) = CG.

Если G вдобавок коммутативна, то иллюстрируемая нами здесь теорема 7. превращается в формально более сильное утверждение.


Предложение 7.1. Если G — конечная абелева группа, то формула (7.1) уста навливает изоморфизм алгебр Хопфа:

O (G) = O (G) = CG CG = O(G• ) = Oexp (G• ).

• (7.4) = exp 7.2.2. Комплексная плоскость C Пусть для всякого C через обозначается характер на группе C, заданный формулой (t) = e·t.

Отображение C C• является изоморфизмом комплексных групп, C C•, = а формула (7.1) при таком изоморфизме приобретает вид () = ( ), C Oexp (C), w O(C) (7.5) (мы обозначаем это отображение тем же символом, хотя формально оно пред ставляет собой композицию отображения (7.1) и отображения ). В ре зультате теорема 7.2 применительно к группе G = C превращается в следующее утверждение.

Предложение 7.2. Формула (7.5) определяет гомоморфизм жёстких стерео типных алгебр Хопфа C : O (C) O(C), являющийся оболочкой Аренса—Майкла алгебры O (C) и поэтому устанавли вающий изоморфизм алгебр Хопфа—Фреше:

Oexp (C) = O(C). (7.6) Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Для доказательства нам понадобится следующая лемма.

Лемма 7.1. Полунормы вида |k | · C k, (7.7) = C C kN k (частный случай полунорм (4.73), когда rk = C ), образуют фундаментальную k!

систему в множестве всех субмультипликативных непрерывных полунорм на O (C).

Доказательство. Как мы уже отмечали в разделе 4.3, операции умножения в O(C) и O (C) задаются одинаковыми формулами на рядах (4.71). Поэтому субмультипликативность полунорм (7.7) можно считать доказанной, после того как в примере 6.3 тот же факт мы проверили для полунорм (4.72), задаваемых той же формулой на рядах.

Покажем, что полунормы (7.7) образуют фундаментальную систему среди всех субмультипликативных полунорм на O (C). Это делается так же, как в предложении 4.14. Пусть p — субмультипликативная непрерывная полунор ма:

p( ) p() · p().

Положим rk = p(k ).

k!

Тогда (k + l)! · rk+l = p(k+l ) = p(k l ) p(k ) · p(l ) = (k! · rk ) · (l! · rl ).

Если обозначить Ak = rk · k!, то для этой последовательности получается ре куррентное неравенство Ak+1 Ak · A1, из которого следует, что Ak C k для C = A1. Это, в свою очередь, влечёт неравенства Ck rk.

k!

Теперь используя те же рассуждения, что и в доказательстве предложения 4.14, получаем, что (4.76) |k | · C k = rk · |k | · k!

p() = C.

r kN kN Доказательство предложения 7.2. Заметим сразу, что отображение O (C) O(C), C:

определённое формулой (7.5), непрерывно: в силу непрерывности отображения C O(C) 134 С. С. Акбаров всякий компакт T в C превращается в компакт { ;

T } в O(C). Поэтому если направленность функционалов i сходится к нулю в O (C), то для всякого компакта T в C получаем i () = i ( ) 0, i, T т. е. функции i стремятся к нулю в O(C).

Далее заметим, что отображение C переводит функционалы n в функ ции z n :

dn t = n = z n ().

(n ) () = n ( ) = e dtn t= Отсюда и из непрерывности C следует, что это отображение действует на функ ционалы заменой в разложении (4.70) мономов n на мономы z n :

n · z n.

n · n n · (n ) = = = n=0 n=0 n= Отсюда сразу следует всё остальное.

1. Отображение C : O (C) O(C) будет оболочкой Аренса—Майкла, пото му что по лемме 7.1 всякая субмультипликативная непрерывная полунорма на O (C) мажорируется полунормой вида (7.7), которая, в свою очередь, продол жается отображением C до полунормы (4.72) на O(C).

2. Во-вторых, отображение C : O (C) O(C) будет гомоморфизмом алгебр, потому что эти алгебры мы можем представлять себе по формулам (4.69), (4.70) алгебрами степенных рядов, в которых умножение задаётся обычными для сте пенных рядов правилами (4.71), и C тогда будет просто вложением одной алге бры в другую, более широкую.

3. Чтобы доказать, что отображение C : O (C) O(C) — изоморфизм коал гебр, заметим, что сопряжённое отображение ( C ) : O (C) O (C) = O(C) с точностью до изоморфизма iO(C) : O(C) O(C) совпадает с C:

= ( C) / O(C) O (C) ttt :

tt ttt ttt (7.8) $ t iO(C) C O(C).

Это следует из формулы x (7.9) C ( ) = x.

Действительно, x )() = x ( ) = (x) = ex = x ().

C ( Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Теперь получаем (7.9) ( a )( b ) = a b = a (b ) = a C ( ) C ( )(b) = b a a ) ( b ) = (iO(C) )( a )( b ).

= C ( ) = iO(C) C ( Равенства верны для любых a, b C, а дельта-функционалы полны в O, поэто му ( C ) = iO(C) C, т. е. диаграмма (7.8) коммутативна. Теперь мы можем заметить, что про C мы уже доказали, что это гомоморфизм алгебр, а для iO(C) это очевидно. Значит, мы получаем, что ( C ) также гомоморфизм алгебр, и это означает, что C — гомоморфизм коалгебр.

4. Теперь остаётся проверить, что C сохраняет антипод:

O(C) ( )(x) = (x) = ex = (ex )1 = (x) O(C) ( ) = ( ) = ( O(C) )( ) = O (C) () () = O (C) () (1 ) = O(C) ( ) = = () = O(C) ( )() O (C) () = O(C) ( ).

7.2.3. Комплексная окружность C Для всякого n Z обозначим через z n характер на группе C, заданный формулой z n (t) = tn.

Отображение n Z z n (C )• является изоморфизмом комплексных групп:

Z (C )•, = а формула (7.1) при таком изоморфизме приобретает вид (n) = (z n ), n Z ( Oexp (C )) (7.10) (как и в предыдущем примере, мы обозначаем получаемое отображение тем же символом, хотя формально оно представляет собой композицию отобра жения (7.1) и отображения n z n ). В результате теорема 7.2 применительно к группе G = C превращается в следующее утверждение.

Предложение 7.3. Формула (7.10) определяет гомоморфизм жёстких сте реотипных алгебр Хопфа : O (C ) O(Z), C 136 С. С. Акбаров являющийся оболочкой Аренса—Майкла алгебры O (C ) и поэтому устанавли вающий изоморфизм алгебр Хопфа—Фреше:

Oexp (C ) O(Z) = CZ. (7.11) = Нам понадобится следующая лемма.

Лемма 7.2. Полунормы вида |n |, N N, — (7.12) = N |n| N частный случай полунорм (4.48), когда |n| N, 1, — rn = |n| N, 0, образуют фундаментальную систему в множестве всех субмультипликативных непрерывных полунорм на O (C ).

Доказательство. Субмультипликативность полунорм (7.12) следует из фор мулы для операции умножения в O (C ):

(4.46) |( )n | = |n · n | = N |n| N |n| N |n | · |n | · = N.

N |n| N |n| N Покажем, что полунормы (4.48) образуют фундаментальную систему среди всех субмультипликативных непрерывных полунорм на O (C ). Пусть p — субмуль типликативная непрерывная полунорма:

p( ) p() · p().

Положим rn = p(n ).

Тогда rn = p(n ) = p(n n ) p(n ) · p(n ) = rn, т. е. 0 rn, а это возможно, только если rn 1 или rn = 0. Но по rn лемме 4.2 числа rn должны удовлетворять условию (4.49), из которого следует, в частности, что rn 0. Такое возможно, только если все rn, кроме конечного набора, равны нулю:

N N n Z |n| N = rn = 0.

Положим M = max rn. Тогда по лемме 4.2 получаем n rn · |n | = rn · |n | M · |n | = M · p() = N.

r nZ |n| N |n| N Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Начало доказательство предложения 7.3. Заметим, что отображение : O (C ) O(Z), C определённое формулой (7.10), непрерывно: если направленность функциона лов i сходится к нулю в O (C ), то для всякого n Z получаем i (n) = i (z n ) 0, i.

Это означает, что i сходится к нулю в O(Z) = CZ.

Далее заметим, что отображение C переводит функционалы k в характе ристические функции одноэлементных множеств в Z:

1, n = k, (4.32) (4.16) (k ) (n) = k (z n ) = = 1k (n).

0, n=k Отсюда и из непрерывности C следует, что это отображение действует на функционалы заменой в разложении (4.70) мономов n на мономы 1n :

n · n n · (n ) = n · 1n.

= = nZ nZ nZ Это, в свою очередь, влечёт б льшую часть предложения 7.3.

о 1. Отображение C : O (C ) O(Z) будет оболочкой Аренса—Майкла, по тому что по лемме 7.2 всякая субмультипликативная непрерывная полунорма на O (C ) мажорируется полунормой вида (7.12), которая, в свою очередь, про должается отображением C до непрерывной полунормы на O(Z) = CZ.

2. Отображение C : O (C ) O(Z) будет гомоморфизмом алгебр, потому что в силу формулы умножения (4.46) в O (C ) это пространство можно пред ставлять себе как пространство двусторонних последовательностей n с покоор динатным умножением, которое отображением C тождественно вкладывается в более широкое пространство O(Z) = CZ всех двусторонних последовательно стей с покоординатным умножением.

3. Доказательство того, что отображение C : O (C ) O(Z) является изо морфизмом коалгебр, нам придётся отложить до следующего примера (с. 140).

4. Проверим, что C сохраняет антипод:

O(C ) (z n )(x) = z n (x1 ) = xn = z n (x) O(C ) (z n ) = z n (z n ) = ( O(C ) )(z n ) = O (C ) () (n) = O (C ) () = C (z n ) = (z n ) = (n) = O(Z) ( )(n) O (C ) () = O(Z) ( ).

138 С. С. Акбаров 7.2.4. Группа целых чисел Z Для всякого t C через t обозначим характер на группе Z, заданный формулой t (n) = tn. (7.13) Отображение t C t Z• является изоморфизмом комплексных групп C Z•, = а формула (7.1) при таком изоморфизме приобретает вид (t) = (t ), t C ( Oexp (Z)) (7.14) (мы обозначаем получаемое отображение тем же символом, хотя формально оно представляет собой композицию отображения (7.1) и отображения t t ).

В результате теорема 7.2 применительно к группе G = Z превращается в следу ющее утверждение.

Предложение 7.4. Формула (7.14) определяет гомоморфизм жёстких стерео типных алгебр Хопфа Z : O (Z) O(C ), являющийся оболочкой Аренса—Майкла алгебры O (Z) и поэтому устанавли вающий изоморфизм алгебр Хопфа—Фреше:

Oexp (Z) O(C ). (7.15) = Нам понадобится следующая лемма.

Лемма 7.3. Полунормы вида |n | · C |n|, (7.16) = C C nZ (частный случай полунорм (4.24), когда rn = C |n| ), образуют фундаментальную систему в множестве всех субмультипликативных непрерывных полунорм на O (Z).

Доказательство. Субмультипликативность полунорм вида (7.16) мы уже от мечали в примере 6.2. Покажем, что они образуют фундаментальную систему среди всех субмультипликативных полунорм на O (Z). Пусть p — субмульти пликативная непрерывная полунорма:


p( ) p() · p().

Положим rn = p( n ). Тогда rk+l = p( k+l ) = p( k l ) p( k ) · p( l ) = rk · rl.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Из этого рекуррентного соотношения следует, что M · C |n|, rn где M = r0, C = max{r1, r1 }. Теперь по лемме 4.1 получаем (4.28) M · C |n| · |n | = M · rn · |n | p() = C.

r nZ nZ Доказательство предложения 7.4. Прежде всего заметим, что отображе ние Z : O (Z) O(C ), определённое формулой (7.14), непрерывно: в силу непрерывности отображения t C t O(Z) всякий компакт T в C превращается в компакт {t ;

t T } в O(Z). Поэтому если направленность функционалов i сходится к нулю в O (Z), то для всякого компакта T в C получаем i (t) = i (t ) 0, i.

T Это означает, что i сходится к нулю в O(C ).

Далее заметим, что отображение Z переводит функционалы n в мономы z n :

( n ) (t) = n (t ) = t (n) = tn = z n (t).

Отсюда и из непрерывности Z следует, что это отображение действует на функ ционалы заменой в разложении (4.18) мономов n на мономы z n :

n · n n · ( n ) = n · z n.

= = nZ nZ nZ Отсюда следует остальное.

1. Отображение Z : O (Z) O(C ) будет оболочкой Аренса—Майкла, потому что по лемме 7.3 всякая субмультипликативная полунорма на O (Z) мажорируется полунормой вида (7.16), которая, в свою очередь, продолжается отображением Z до полунормы (4.47) на O(C ).

2. Отображение Z : O (Z) O(C ) будет гомоморфизмом алгебр, пото му что эти алгебры мы можем представлять себе в соответствии с формулами (4.19)—(4.46) алгебрами степенных рядов, в которых умножение задаётся обыч ными для степенных рядов правилами, и C тогда будет просто вложением одной алгебры в другую, более широкую.

3. Чтобы доказать, что отображение Z : O (Z) O(C ) — изоморфизм ко алгебр, заметим, что сопряжённое отображение ( Z ) : O (C ) O (Z) = O(Z) с точностью до изоморфизма iO(Z) : O(Z) O(Z) совпадает с C :

= ( Z) / O(Z) O (C ) :

ttt tt ttt tt (7.17) tt iO(Z) $ C O(Z).

140 С. С. Акбаров Это следует из формулы t n ) = tn = n t t C, n Z. (7.18) Z ( C ( ), Действительно, t n n )(t) = n (t ) = t (n) = tn Z ( )= Z ( и n t t )(n) = t (z n ) = z n (t) = tn.

C ( )= C ( Теперь получаем, что для t C и n Z (7.18) ( Z ) ( t )( n ) = t n = n t Z ( ) C ( )= t ) ( n ) = (iO(Z) t )( n ).

= iO(Z) C ( C )( Это верно для любых t C и n Z, а дельта-функционалы плотны в O, поэтому ( Z ) = iO(Z) C, т. е. диаграмма (7.17) коммутативна. Теперь мы можем заметить, что в пер вой части доказательства предложения 7.3 (c. 137) мы уже убедились, что C является гомоморфизмом алгебр. Для iO(Z) это очевидно, значит, мы получа ем, что ( Z ) также гомоморфизм алгебр, и это означает, что Z — гомоморфизм коалгебр.

4. Теперь остаётся проверить, что Z сохраняет антипод:

O(Z) (t )(n) = t (n) = tn = (t1 )n = t1 (n) O(Z) (t ) = t (t ) = ( O(Z) )(t ) = O (Z) () (t) = O (Z) () = O(Z) (t ) = (t1 ) = (t1 ) = O(C ) ( )(t) O (Z) () = O(C ) ( ).

Окончание доказательства предложения 7.3. В предложении 7.3 нам осталось доказать, что отображение C : O (C ) O(Z) является изомор физмом коалгебр. Заметим, что сопряжённое отображение : O (Z) O (C ) = O(C ) ( C ) Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна с точностью до изоморфизма iO(C ) : O(C ) O(C ) совпадает с Z:

= ( ) / O(C ) C O (Z) tt :

tt tt tt tt t (7.19) t$ tt iO(C ) Z O(C ).

Это также следует из формулы (7.18): для t C и n Z (7.18) ( n )( t ) = n t = t n ( C ) C ( ) Z ( )= n ) ( t ) = (iO(Z) n )( t ).

= iO(C ) Z ( C )( Это верно для любых t C и n Z, а дельта-функционалы плотны в O, поэтому ( C ) = iO(C ) Z т. е. диаграмма (7.19) коммутативна. Теперь мы можем заметить, что в доказа тельстве предложения 7.4 мы уже убедились, что Z является гомоморфизмом алгебр. Для iO(C ) это, очевидно, значит, что ( C ) также гомоморфизм алгебр, и тогда C — гомоморфизм коалгебр.

7.2.5. Доказательство теоремы 7. После того как формулами (7.4), (7.6), (7.11), (7.15) мы установили изомор физм (7.2) для случаев G = C, G = C, G = Z и для случая конечной группы G, нам остаётся просто применить формулы (5.43) и (5.44). Разложив произволь ную абелеву компактно порождённую группу Штейна G в произведение, G = Cl (C )m Zn F, где F — конечная группа, мы получим (5.43) Oexp (G) = Oexp (Cl (C )m Zn F ) = l Oexp (C ) m n = Oexp (C) Oexp (Z) Oexp (F ) = m (5.43) = O(C• ) l O (C )• O(Z• ) n O(F • ) = m = O (C• )l (C )• (Z• )n F • = O(G• ).

7.3. Диаграмма вложения Теорема 7.3. Следующая конструкция представляет собой обобщение тео рии двойственности Понтрягина с категории абелевых компактно порождённых групп Штейна на категорию компактно порождённых групп Штейна с алгебра ической компонентой единицы:

142 С. С. Акбаров голоморфно рефлексивные / голоморфно рефлексивные H(H ) алгебры Хопфа алгебры Хопфа O O O (G) O (G) G G компактно порождённые компактно порождённые группы Штейна группы Штейна с алгебраической с алгебраической компонентой единицы компонентой единицы O O e e абелевы абелевы GG• / компактно порождённые компактно порождённые группы Штейна группы Штейна.

Коммутативность этой диаграммы обеспечивается изоморфизмом функторов O (G• ) O (G).

= Доказательство. В теореме 6.4 мы уже показали, что функтор G O (G) действует из категории компактно порождённых групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы в категорию голоморфно рефлексивных жёстких стереотипных алгебр Хопфа. Поэтому нам нужно проверить только коммута тивность диаграммы категорий. Она следует из теоремы 7.1: если G — абелева компактно порождённая группа Штейна, то, проходя по диаграмме, мы будем получать следующие объекты:

1 / / O (G• ) (7.2) O (G) Oexp (G) O(G• ) O O = O O 1 • / G• G.

Теорема доказана.

8. Добавление: голоморфная рефлексивность квантовой группы az + b В этом заключительном разделе мы покажем на примере квантовой груп пы az + b, что описанная нами голоморфная двойственность не ограничивает Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна ся алгебрами аналитических функционалов O (G), но распространяется также в теорию квантовых групп.

8.1. Квантовые комбинаторные формулы В теории квантовых групп имеется некий собственный аналог элементарной комбинаторики, применяемый к ситуациям, когда вычисления проводятся над переменными, закон коммутации которых описывается правилом (8.1) yx = qxy, где q — фиксированное число. Для этих вычислений, в частности, выводятся квантовые аналоги обычных биномиальных формул. Некоторые из этих формул понадобятся нам в конструкциях связанных с az + b, поэтому нам будет удобно выписать их здесь для ссылок (за подробностями мы отсылаем читателя к [9]).

Для произвольного натурального числа n обозначим qn (n)q = 1 + q +... + q n1 =, q (8.2) (q 1)(q 2 1)... (q n 1) (n)!q = (1)q (2)q... (n)q =.

(q 1)n Число (n)!q называется квантовым факториалом числа n. Квантовое число сочетаний из n по k определяется формулой (n)!q (k)!q ·(nk)!q, k n, n = k 0, k n.

q Теорема 8.1 (квантовая формула бинома Ньютона). Пусть x и y — два элемента ассоциативной алгебры A, подчинённые соотношению (8.1). Тогда для всех n N n n (x + y)n = · xk · y nk. (8.3) kq k= Теорема 8.2 (квантовая формула Чу—Вандермонда). Для любых l, m, n N справедливы равенства m+n m n q (mi)·(li) · · = = li l i q q q max{0,ln} i min{l,m} m n q (mi)·(li) · ·. (8.4) = li i q q 0il 144 С. С. Акбаров Доказательство1. Если l m + n, то для всякого i = 0,..., m мы получим n n l m l i, поэтому li q = 0. Значит, обе суммы в (8.4) обнуляются. То же самое происходит с m+n q, значит, формула (8.4) будет верна тривиально.

l Таким образом, интерес представляет лишь случай l m + n. Рассмотрим равенство (x + y)m+n = (x + y)m (x + y)n. Раскрывая по формуле (8.3) скобки в обеих частях, получим m+n m n m+n m n · xl · y nl = · xi · y mi · xj · y nj · = l i j q q q i=0 j= l= m n m n (8.1) · xi · y mi · xj · y nj = · = i j q q i=0 j= mn m n · q (mi)·j · xi+j · y m+nij.

· = i j q q i=0 j= Рассмотрим в последней сумме только те слагаемые, в которых индексы i и j связаны равенством i+j = l. Все эти слагаемые можно индексировать одним па раметром i, если выразить j через i формулой j = l i. Нужно только заметить, что для того чтобы получилось взаимно однозначное соответствие, индекс i должен меняться в пределах max{0, l n} i min{l, m}.

Это следует из ограничений на i и j:

0 i m 0 im 0im 0i m.

li n n il ln 0 j n 0 0 il Теперь, приравняв коэффициенты при мономе xl · y nl, мы получим первое ра венство в (8.4):

m+n m n q (mi)·(li) · · =.

li l i q q q max{0,ln} i min{l,m} Второе равенство очевидно, потому что при i l n или i l получается n соответственно n l i или l i 0, поэтому li q = 0, и слагаемые в сумме обнуляются:

= max{0,ln} i min{l,m} = + + =.

0im 0 imax{0,ln} max{0,ln} i min{l,m} min{l,m}i m 0 1 Мы приводим здесь доказательство формулы Чу—Вандермонда только ради указанных пределов суммирования max{0, l n} i min{l, m}, которые понадобятся нам ниже.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна 8.2. Алгебры Хопфа косых многочленов и близкие конструкции 8.2.1. Тензорные произведения X R(C), X R(C), X R (C), X R (C) Теорема 8.3. Пусть X — стереотипное пространство. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) элементы тензорного произведения X R(C) однозначно представимы сум мами (возможно, бесконечными) по мономам tk, tk, (8.5) u= uk kN в которых коэффициенты uk X непрерывно зависят от u X R(C);

2) элементы тензорного произведения X R(C) однозначно представимы сум мами (возможно, бесконечными) по мономам tk, tk, (8.6) u= uk kN в которых коэффициенты uk X непрерывно зависят от u X R(C);

3) элементы тензорного произведения X R (C) однозначно представимы суммами (возможно, бесконечными) по мономам k, k, (8.7) u= uk kN в которых коэффициенты uk X непрерывно зависят от u X R (C);

4) элементы тензорного произведения X R (C) однозначно представимы суммами (возможно, бесконечными) по мономам k, k, (8.8) u= uk kN в которых коэффициенты uk X непрерывно зависят от u X R (C).

8.2.2. Алгебры косых многочленов A R(C) и косых степенных рядов A R (C) Теорема 8.4. Пусть A — инъективная стереотипная алгебра и : A A — какой-нибудь её (непрерывный) автоморфизм. Тогда формула n tk · tl = ui · i (vni ) tn u·v = (8.9) uk vl nN i= kN lN умножение в A задаёт ассоциативное и непрерывное умножение на тензорном произведении A R(C), превращая его в инъективную стереотипную алгебру, называемую 146 С. С. Акбаров алгеброй косых многочленов (относительно автоморфизма ) с коэффициента R(C). Если вдобавок A — алгебра Браунера, то ми в A и обозначаемую A R(C) тоже алгебра Браунера.

A Теорема 8.5. Пусть A — стереотипная алгебра и : A A — какой-нибудь её (непрерывный) автоморфизм. Тогда формула n k l = i · i (ni ) n = (8.10) k l nN i= kN lN умножение в A задаёт ассоциативное и непрерывное умножение на тензорном произведении A R (C), превращая его в стереотипную алгебру, называемую алгеброй косых степенных рядов (относительно автоморфизма ) с коэффициентами в A и обо значаемую A R (C). Если вдобавок A — алгебра Фреше, то A R (C) тоже алгебра Фреше.

8.2.3. Квантовые пары в алгебре Хопфа Пусть H — инъективная (проективная) стереотипная алгебра Хопфа, и пусть даны 1) групповой центральный элемент z в H;

2) групповой центральный элемент в H.

Пусть, кроме того, операторы M и Mz, сопряжённые к операторам умножения на элементы и z, действуют на элементы z и умножением на фиксированное число q C \ {0}:

M (z) = q · z, Mz () = q ·. (8.11) Тогда пару (z, ) мы условимся называть квантовой парой в алгебре Хопфа H (с параметром q).

Руководящим примером для нас будут пары алгебр R(C ), R (C ) и O(C ), O (C ) на комплексной окружности C, рассматривавшиеся нами в разделе 4.3.2. Через z мы обозначали там моном степени 1 на C :

x C.

z(x) : = x, Зафиксируем число q C и рассмотрим дельта-функционал q в точке q:

q (u) = u(q) = un · q n, u R(C ).

nZ Понятно, что это будет поток на C, т. е. элемент пространства R (C ). Его разложение по базису n имеет вид q = q n · n. (8.12) nZ Предложение 8.1. Элементы (z, q ) образуют квантовую пару в алгебрах Хопфа R(C ) и O(C ) с параметром q.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Доказательство. Докажем утверждение для R(C ). В соответствии с опре делением на с. 146 нам нужно сначала проверить, что z и q — центральные и групповые элементы. Первое тривиально, поскольку R(C ) и R (C ) — комму тативные алгебры. То, что z — групповой элемент, следует из (4.37):

(z) = z z.

q Для это следует из мультипликативности дельта-функционалов:

v, ( q ) = u · v, q = (u · v)(q) = u(q) · v(q) = u = u, q · v, q = u v, q q = ( q ) = q q.

Наконец, равенства (8.11) проверяются непосредственным вычислением:

(4.33) Mq z, = z, q = q m m z, n n = mZ nZ q n · n · n = q · 1 = q · z, = z, nZ и u, Mz q = z · u, q = um · z m+1, q n · n = mZ nZ um · z m+1, q l+1 · l+1 um · q m+1 = = = mZ mZ lZ m q =q· um · q = q · u,.

mZ z 8.2.4. Алгебры Хопфа H R(C) и H R (C) z В следующей теореме обозначает изоморфизм функторов (2.13), а (k)!q — квантовый факториал (8.2).

Теорема 8.6. Пусть H — инъективная стереотипная алгебра Хопфа, и пусть (z, ) — квантовая пара в H с параметром q C. Тогда 1) тензорное произведение H R(C) обладает единственной структурой инъ ективной алгебры Хопфа с алгебраическими операциями, определёнными формулами a tk · b tl = a · (M )k (b) tk+l, умножение: (8.13) единица: (8.14) 1H R(C) = 1H 1R(C), k k tk ) = Mi ) H (a) ti tki = (a · (1H коумножение: z i q i= k k ti (z i · a ) tki, ·a (8.15) = i q (a) i= 148 С. С. Акбаров H (a), k = 0, tk ) = коединица: (8.16) (a 0, k 0, k(k+1) tk ) = (1)k · q · z k · (M )k H (a) tk.

антипод: (a (8.17) z R(C) с такой структурой алгебры Хопфа обозначается H R(C);

H общая формула умножения в этой алгебре выглядит следующим образом:

m k l uk · (M )k (vmk ) tm ;

u·v = · uk t vl t = mN kN lN k= (8.18) R (C) обладает единственной структурой 2) тензорное произведение H проективной алгебры Хопфа с алгебраическими операциями, определён ными формулами k l = · (Mz )k () k+l, умножение: (8.19) единица: (8.20) 1H = 1H 1R (C), R(C) k ( коумножение: )= k k Mi ) H () i ki = · (idH = i q i= k k i ( i ) ki, · (8.21) = i q () i= H (), k = 0, k) = коединица: (8.22) ( 0, k 0, k(k+1) k ) = (1)k · q · k (Mz )k H () k.

антипод: ( (8.23) R (C) с такой структурой алгебры Хопфа обозначается H R (C);

H z общая формула умножения в этой алгебре выглядит следующим образом:

m k l k (Mz )k (mk ) m;

= · k l = mN kN lN k= (8.24) 3) билинейная форма tk, k uk, k · (k)!q (8.25) uk k = kN kN kN Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна z R(C) и H R (C) в дуальную пару стереотипных превращает H z алгебр Хопфа:

z H R(C) R (C). (8.26) H = z Доказательство этой теоремы мы разобьём на семь лемм. Некоторые из них очевидны, и в этих случаях мы опускаем доказательство.

Лемма 8.1. Умножение и единица, определяемые формулами (8.13), (8.14), задают структуру инъективной стереотипной алгебры на тензорном произведе нии H R(C), превращая его в алгебру косых многочленов с коэффициентами в алгебре H и порождающим автоморфизмом = M.

Лемма 8.2. Умножение и единица, определяемые формулами (8.19), (8.20), задают структуру проективной стереотипной алгебры на тензорном произведе R (C), превращая его в алгебру косых степенных рядов с коэффици нии H ентами в алгебре H и порождающим автоморфизмом = Mz.

Лемма 8.3. Билинейная форма (8.25) превращает коумножение (8.15) в умножение (8.19), а коединицу (8.16) в единицу (8.20):

(u), = u,, (8.27) (u) = u, 1H 1R.

(C) Как следствие, коумножение (8.15) и коединица (8.16) задают структуру инъ ективной стереотипной коалгебры на H R(C).

Лемма 8.4. Билинейная форма (8.25) превращает умножение (8.13) в ко умножение (8.21), а единицу (8.14) в коединицу (8.22):

u · v, = u v, (), (8.28) 1H 1R(C), = ().

Как следствие, коумножение (8.21) и коединица (8.22) задают структуру проек R (C).

тивной стереотипной коалгебры на H Доказательство лемм 8.3 и 8.4. Из-за симметрии между формулами (8.15)—(8.19) и (8.13)—(8.21) достаточно доказать тождества (8.27). Для этого достаточно рассмотреть случай u = a tk. Тогда второе равенство становится очевидно:

H (a), k = 0, tk ) = tk, 1H (a =a 1R.

(C) 0, k Первое равенство доказывается цепочкой tk ), (a = k k Mi ) H (a) ti tki, l m = (1H l m = z i q i=0 mN lN 150 С. С. Акбаров k k Mi ) H (a) ti tki, l l m = = (1H m z i q l,mN i= k k Mi ) H (a) ti tki, (l l m) = = (1H m z i q l,mN i= k k Mi ) H (a) ti tki, l l m = = (1H m z i q l,mN i= k k Mi ) H (a), i · (i)!q (k i)!q (1H = ki = z i q i= k k (Mz )i (ki ) = (k)!q · a, i (Mz )i (ki ) = = (k)!q · H (a), i i=0 i= k tk, i (Mz )i (ki ) k = a = i= n tk, i (Mz )i (ni ) n tk,.

= a =a i= nN Лемма 8.5. Коумножение (8.15) и коединица (8.16) являются гомоморфиз мами инъективных стереотипных алгебр и, как следствие, задают на H R(C) структуру инъективной стереотипной биалгебры.

Лемма 8.6. Коумножение (8.21) и коединица (8.22) являются гомоморфиз мами проективных стереотипных алгебр и, как следствие, задают на H R (C) структуру проективной стереотипной биалгебры.

Доказательство. Снова из-за симметрии формул здесь достаточно доказать лишь первую лемму. Мы проверим только то, что коумножение (8.15) будет гомоморфизмом алгебр. Рассуждения относительно коединицы проводятся ана логично. Имеют место следующие тождества:

(a 1·b 1) = (a 1) · (b (8.29) 1), k l k l (1 t ·1 t ) = (1 t ) · (1 (8.30) t ), k k (1 t ·a 1) = (1 t ) · (a (8.31) 1), tk ) = (a tk ).

(a 1·1 1) · (1 (8.32) Убедимся в справедливости тождеств (8.29)—(8.32):

(a 1) · (b 1) · 1) = (a 1 a (b 1 b 1) = (a) (b) 1 = (a · b) 1 = (a 1·b = ab 1 ab 1), (a),(b) Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна tk ) · (1 tk ) = ( k l k l ti zi tki · tj zj tlj = ·1 · = i j q q i=0 j= k l k l (8.13) ti ) · (1 tj ) (z i tki ) · (z j tlj ) · · ( = = i j q q i=0 j= k l k l (8.11) ti+j ) (z i · (M )ki (z j ) tk+lij ) = · · ( = i j q q i=0 j= k l k l · = i+j=m, j=mi, i j q q i=0 j=0 0 m k+l, max{0,ml} i min{k,m} ti+j z i+j tk+lij q (ki)j · 1 = k+l k l · = mi i q q m=0 max{0,ml} i min{k,m} (8.4) tm zm tk+lm = q (ki)(mi) · k+l k+l tm zm tk+lm = (1 tk+l ) = (1 tk · 1 tl ), · = m q m= k k tk ) · (a ti zi tki · (1 · 1) = a 1 a 1= i q i=0 (a) k k ti ) · (a (z i tki ) · (a · ( = 1) 1) = i q i=0 (a) k k (2.40) · (M )i (a ) ti z i (M )ki (a ) tki = = i q i=0 (a) (8.13) = ((M )k (a) tk ) = (1 tk · a 1), k k tk ) = ti zi tki = (a 1) · (1 1· · a 1 a i q i= (a) k k ti ) 1) · (z i tki ) = · (a 1) · ( = (a i q (a) i= k k (8.15) ti a zi tki = (a tk ) = (a tk ).

·a 1· = i q (a) i= 152 С. С. Акбаров Из (8.29)—(8.32) следует, что коумножение (8.15) является гомоморфизмом алгебр:

(8.32) tk · b tl ) = (a · (M )k (b) tk+l ) = (a · (M )k (b) tk+l ) = (a 1· = (a · (M )k (b) tk+l ) = 1) · ( (8.29), (8.30) 1 · (M )k (b) tk · 1 tl ) = (a 1) · (1 = (8.32) 1) · (M )k (b) tk ) · (1 tl ) = = (a 1 · ( 1) · (M )k (b) tk · (1 tl ) = = (a 1· (8.31) tk · b tl ) = = (a 1) · (1 1) · ( (8.32) tk ) · (b tl ) = = (a 1) · (1 1) · ( tk ) · (b tl ) = (a tk ) · (b tl ).

= (a 1·1 1· Лемма 8.7. Формулы (8.17) и (8.23) задают антиподы в биалгебрах H R(C) R (C), сопряжённые друг другу относительно билинейной формы (8.25):



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.