авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы ...»

-- [ Страница 4 ] --

иH (8.33) (u), = u, ().

Доказательство. Покажем, что формула (8.17) задаёт антипод в H R(C).

Для этого сначала нужно убедиться, что — антигомоморфизм:

tk · b tl ) = (a · (M )k (b) tk+l ) = (a (k+l)(k+l+1) = (1)k+l · q · z kl · (M )k+l H a · (M )k (b) tk+l = (k+l)(k+l+1) = (1)k+l · q · z kl · (M )k+l H (M )k (b) · H (a) tk+l = (k+l)(k+l+1) = (1)k+l · q · z kl (2.38) (M )l (M )k H (M )k (b) · (M )k+l H (a) tk+l = k2 +l2 +k+l = (1)k+l · q · q kl · z kl (M )l H (b) · (M )k+l H (a) tk+l = k(k+1)+l(l+1) = (1)k+l · q · z l (M )l H (b) · (M )l z k (M )k H (a) tk+l = l(l+1) = (1)l · q · z l k(k+1) (M )l H (b) tl · (1)k · q · z k · (M )k H (a) tk = tl ) · (a tk ).

= (b Теперь заметим, что диаграмма (2.18) становится коммутативной при подстанов ке в неё в качестве аргумента a 1, Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна 3 1H.

a 1R(C) a 1R(C) H (a ) 1R(C) a 1R(C) (a) (a) : , H (a ) · a 1R(C) µ (a) r / H (a) 1 / H (a) · 1H 1R(C) a v 2 (a) a · H (a ) 1R(C) µ D $ a 1R(C) a 1R(C) a 1R(C) H (a ) 1R(C) 0 (a) (a) ) 1H, или 1 t, 1H 7, t q 1 z 1 1 1 t+1 t z 1 1 1 1 t z !

. t q 1 q · z 1 z t µ h /01 / 1 t z 1 q1 z µ t + q 1 · z t A & q 1 1 z 1 z 1 1 1 t+1 t z 1 t+1 t % 1H.

По лемме об антиподе 2.1 отсюда следует, что диаграмма (2.18) будет комму тативна и при подстановке в неё всевозможных произведений a 1 и 1 t.

В частности, при подстановке a tk. Таким образом, диаграмма коммутатив на (при любом аргументе), и мы получаем, что отображение (8.17) — антипод в H R(C).

В силу симметрии формул отображение (8.23) также будет антиподом R (C).

вH Нам остаётся проверить, что билинейная форма (8.25) превращает анти под (8.17) в антипод (8.23). Понятно, что формула (8.33) эквивалентна формуле tk ), l = a tk, ( l).

(a При k = l обе части будут равны нулю, поэтому важно проверить лишь случай k = l. Действительно, k(k+1) (8.17) tk ), k (1)k · q · z k · (M )k H (a) tk, k = (a = k(k+1) = (1)k · q · z k · (M )k H (a), · (k)!q = k(k+1) = (1)k · q · (M )k H (a), (Mz1 )k () · (k)!q = 154 С. С. Акбаров k(k+1) = (1)k · q · H (a), k (Mz1 )k () · (k)!q = k(k+1) = (1)k · q · a, H k (Mz1 )k () · (k)!q = k(k+1) (2.38) = (1)k · q · a, k H (Mz1 )k () · (k)!q = k(k+1) = (1)k · q · a, k (Mz )k H () · (k)!q = k(k+1) (8.23) = (1)k · q tk, k (Mz )k H () k ·a = k k =a t, ( ).

8.2.5. Цепочки H z R(C) H z O(C) H z O (C) H z R (C) и H z R(C) H z O(C) H z O (C) H z R (C) Те же формулы и рассуждения, что применялись нами в теореме 8.6, поз z R(C) и H R (C), целую серию очень воляют определить, помимо H z похожих стереотипных алгебр Хопфа:

z z R(C) и H R(C);

— алгебры косых многочленов H z z O(C) и H O(C);

— алгебры косых целых функций H z z O (C) и H O (C);

— алгебры косых аналитических функционалов H z z R (C) и H R (C).

— алгебры косых степенных рядов H Наглядно связь между ними удобно изображается в виде следующих двух це почек вложений:

z z z z R(C) H O(C) H O (C) H R (C) H и z z z z R(C) H O(C) H O (C) H R (C).

H Если H — инъективная алгебра Хопфа, то будет определена верхняя цепочка, если H проективная, то будет определена нижняя цепочка, а если H — жёсткая стереотипная алгебра Хопфа, то обе эти цепочки будут определены и, очевидно, они будут совпадать.

Теорема 8.6 корректно определяет только первое звено первой цепочки и последнее звено второй цепочки. Если давать аккуратное определение всем звеньям, то нужно было бы сформулировать ещё три теоремы, подобные тео реме 8.6.

Чтобы не заниматься этим, можно поступить двумя способами: либо про сто сказать, что остальные звенья цепочек определяются по аналогии (только с заменой, при необходимости, на и R на O), либо объединить все четыре теоремы (одну уже доказанную и три ещё не сформулированные) в следующее довольно громоздкое утверждение.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Теорема 8.7. Пусть F обозначает какую-нибудь из двух алгебр Хопфа R(C) или O(C), H — произвольная инъективная стереотипная алгебра Хопфа, (z, ) — какая-нибудь квантовая пара в H с параметром q C. Тогда 1) тензорное произведение H F обладает единственной структурой инъ ективной алгебры Хопфа с алгебраическими операциями, определёнными формулами tk · b tl = a · (M )k (b) tk+l, умножение: (8.34) a единица: (8.35) 1H = 1H 1R(C), R(C) k (a коумножение: t )= k k Mi ) H (a) ti tki = · (1H = z i q i= k k ti (z i · a ) tki, ·a (8.36) = i q (a) i= H (a), k = 0, tk ) = коединица: (8.37) (a 0, k 0, k(k+1) tk ) = (1)k · q · z k · (M )k H (a) tk.

антипод: (a (8.38) z F с такой структурой алгебры Хопфа обозначается H F;

H 2) тензорное произведение H F обладает единственной структурой про ективной алгебры Хопфа с алгебраическими операциями, определёнными формулами k l = · (Mz )k () k+l, умножение: (8.39) единица: (8.40) 1H R(C) = 1H 1R (C), k) = ( коумножение:

k k Mi ) H () i ki = · (idH = i q i= k k i ( i · ) ki, · (8.41) = i q () i= H (), k = 0, k) = коединица: (8.42) ( 0, k 0, 1 По-прежнему — изоморфизм функторов (2.13), а (k)! — квантовый факториал, определённый q формулой (8.2).

156 С. С. Акбаров k(k+1) k ) = (1)k · q · k (Mz )k H () k.

антипод: ( (8.43) F с такой структурой алгебры Хопфа обозначается H F;

H z 3) билинейная форма tk, k uk, k · (k)!q (8.44) uk k = kN kN kN z превращает H FиH в дуальную пару стереотипных алгебр F z Хопфа.

Если же при тех же прочих предположениях H — проективная стереотипная алгебра Хопфа, то 1) тензорное произведение H F обладает единственной структурой про ективной алгебры Хопфа с алгебраическими операциями, определёнными формулами (8.34)—(8.38), только с заменой инъективного тензорного про изведения на проективное тензорное произведение ;

H F с такой z структурой алгебры Хопфа обозначается H F;

2) тензорное произведение H F обладает единственной структурой инъ ективной алгебры Хопфа с алгебраическими операциями, определёнными формулами (8.39)—(8.43), только с заменой проективного тензорного про изведения на инъективное тензорное произведение ;

H F с такой структурой алгебры Хопфа обозначается H F;

z 3) билинейная форма tk, k uk, k · (k)!q (8.45) uk k = kN kN kN z превращает H FиH в дуальную пару стереотипных алгебр F z Хопфа.

Как мы уже говорили, доказывается это утверждение в точности как теоре ма 8.6.

Предложение 8.2. Пусть H — инъективная алгебра Хопфа, и пусть (z, ) — квантовая пара в H с параметром q C. Тогда правила tk a tk a k a k, k N, a H, a однозначно определяют цепочку (непрерывных) гомоморфизмов инъективных стереотипных алгебр Хопфа:

z z z z R(C) H O(C) H O(C) H R(C).

H Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Предложение 8.3. Пусть H — проективная алгебра Хопфа, и пусть (z, ) — квантовая пара в H с параметром q C. Тогда правила tk a tk a k a k, k N, a H, a однозначно определяют цепочку (непрерывных) гомоморфизмов проективных стереотипных алгебр Хопфа:

z z z z R(C) H O(C) H O(C) H R(C).

H 8.3. Квантовая группа az + b = Rq (C C) В этом разделе мы покажем, что квантовая группа az + b (см. [27,39,47,48]) является частным случаем конструкции, описанной в теореме 8.6.

8.3.1. Группа C C аффинных преобразований плоскости Группа аффинных преобразований комплексной плоскости, часто обозначае мая az + b, с алгебраической точки зрения представляет собой полупрямое про изведение C C комплексной окружности C на комплексную плоскость C, в котором C действует на C обычным умножением. Иначе говоря, C C есть просто декартово произведение C C с алгебраическими операциями a, b C, x, y C, (a, x) · (b, y) = (ab, xb + y), умножение:

единица: 1C = (1, 0), C 1x (a, x)1 = a C, x C.

, обратный элемент:, aa Ясно, что это будет связная группа Штейна. Более того, C C будет ал гебраической группой, поскольку её можно представить как линейную группу матрицами вида a, a C, x C (a, x) = x (при этом умножение, единица и обратный элемент превращаются в обычные операции над матрицами).

8.3.2. Стереотипные алгебры R(C C) и R (C C) Через R(C C) мы, как обычно, обозначаем алгебру многочленов на ал гебраической группе C C. В соответствии с общим подходом раздела 4.2 мы наделяем пространство R(C C) сильнейшей локально выпуклой топологией.

Сопряжённое пространство потоков R (C C) будет алгеброй относитель но обычной свёртки функционалов (4.14). Как любое сопряжённое простран ство к стереотипному пространству, мы наделяем его топологией равномер ной сходимости на компактах в R(C C), в данном случае эквивалентной R(C C)-слабой топологии.

158 С. С. Акбаров Напомним, что через z n и tk мы условились обозначать базисные мономы в пространствах R(C ) и R(C) (мы определяли их формулами (4.30) и (4.52)).

В соответствии с общим обозначением (2.24) базисные мономы в пространстве функций R (C C) теперь будет логично обозначать через z n tk :

(z n tk )(a, x) : = an · xk, a C, x C.

Точно так же, продолжая старые обозначения n и k из формул (4.31) и (4.59), условимся через n k обозначать функционал на R(C C) взятия n-го коэф фициента ряда Лорана по первой переменной и одновременно k-й производной в точке (1, 0) по второй переменной:

1 dk dk k 2int e2int u(x, e2it ) dt n (u) = u(x, e2it ) e dt =.

dxk dxk x=0 x= 0 Предложение 8.4.

1. Функции {z n tk ;

n Z, k N} образуют алгебраический базис в пространстве R(C C) многочленов на C C: всякий многочлен u R(C C) однозначно раскладывается в ряд, un,k · z n tk, card{(n, k) : un,k = 0}, (8.46) u= kN, nZ коэффициенты которого вычисляются по формуле · n k (u). (8.47) un,k = k!

Соответствие u {un,k ;

n Z, k N} устанавливает изоморфизм топо логических векторных пространств:

C) CZN.

R(C = 2. Функционалы {n k ;

n Z, k N} образуют базис в стереотипном пространстве R (C C): всякий функционал R (C C) однозначно раскладывается в ряд (сходящийся в пространстве R (C C)), n,k · n k, (8.48) = kN, nZ коэффициенты которого вычисляются по формуле · (z n tk ). (8.49) n,k = k!

Соответствие {n,k ;

n Z, k N} устанавливает изоморфизм топо логических векторных пространств:

C) CZN.

R (C = Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна 3. Базисы {z n tk ;

n Z, k N} и {n k ;

n Z, k N} сопряжены друг другу с точностью до константы k!, 0, (m, k) = (n, l), zm tk, n l = z m, n · tk, l = (8.50) k!, (m, k) = (n, l), а действие функционалов R (C C) на функции u R(C C) описывается формулой un,k · n,k · k!. (8.51) u, = nZ, kN Замечание 8.1. Функционал n k можно представлять себе как свёртку двух компонент (причём здесь будет важен порядок, в котором они перемножа ются): если через Zn обозначить функционал вычисления n-го коэффициента ряда Лорана по первой переменной в точке (1, 0), 1 u(z, 0) Zn (u) = n 0 (u) = dz = z n+ 2i |z|= e2int u(e2it, 0) dt, u R(C C), (8.52) = а через T k — функционал взятия k-й производной по второй переменной в точке (1, 0) на R(C C), dk T k (u) = 0 k (u) = u R(C C), (8.53) u(1, x), dxk x= то будут справедливы следующие формулы:

Zn T k = n k, T k Zn = Znk T k = nk k. (8.54) Для доказательства можно воспользоваться формулами (4.15). Во-первых, a T k = a · T k (e2it,0) k, 0) · T k (u) = T k u · (e2it, 0) = T )(u) = (e 2it ( dk dk u (e2it, 0) · (1, x) u(e2it, x) (8.55) = = dxk dxk x=0 x= 2it k e2int · (e,0) dt T k (u) = (Zn T )(u) = 160 С. С. Акбаров 2it,0)T k e2int · (e = dt (u) = 1 dk (e2it,0) 2int k e2int · · T u(e2it, x) = e (u) dt = dt.

dxk x= 0 Во-вторых, T k a = T k · a 2it (T k (e,0) )(u) = T k · (e2it, 0) (u) = T k (e2it, 0) · u = dk dk u (1, x) · (e2it, 0) u(e2it, x · e2it ) = = = dxk dxk x=0 x= dk 2it (8.55) = (e2it )k ·,0) T k )(u) = e2ikt · ( (e u(e2it, y) dy k y= 2it 2it T k (e,0),0) Tk = e2ikt · (e (8.56) 1 (e2it,0) 2it (8.56) k k 2int e2int · T k (e,0) T Zn = T · e dt = dt = 0 1 2it 2it e2int · e2ikt · (e,0) T k dt = e2i(nk)t · (e,0) T k dt = = 0 2it e2i(nk)t · (e,0) dt T k = Znk T k.

= 8.3.3. Стереотипные алгебры O(C C) и O (C C) Алгебру O(C C) голоморфных функций на C C мы, как обычно, наделя ем топологией равномерной сходимости на компактах в C C. Её сопряжённая алгебра O (C C) наделяется топологией равномерной сходимости на компак тах в O(C C), и умножением в ней будет свёртка (4.14).

Предложение 8.5.

1. Функции {z n tk ;

n Z, k N} образуют базис в стереотипном про странстве O(C C) голоморфных функций на C C: всякая функция Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна u O(C C) однозначно раскладывается в (сходящийся в O(C C)) ряд, un,k · z n tk, |uk,n | · C k+|n|, (8.57) C u= kN, nZ kN, nZ коэффициенты которого непрерывно зависят от u и вычисляются по фор муле · n k (u). (8.58) un,k = k!

Топологию пространства O(C C) можно описать полунормами, выра жающимися через коэффициенты разложения (8.57):

|uk,n | · C k+|n|, (8.59) u = C 1.

C kN, nZ 2. Функционалы {n k ;

n Z, k N} образуют базис пространства O (C C): всякий функционал O (C C) однозначно раскладыва ется в (сходящийся в O (C C)) ряд, n,k · n k, (8.60) = kN, nZ коэффициенты которого непрерывно зависят от и вычисляются по фор муле · (z n tk ). (8.61) n,k = k!

Топологию пространства O (C C) можно описать полунормами, выра жающимися через коэффициенты разложения (8.60):

rn,k · |n,k | · k!, = r nZ, kN rk,n · C k+|n|. (8.62) 0: C rn,k nZ, kN 3. Базисы {z n tk ;

n Z, k N} и {n k ;

n Z, k N} сопряжены друг другу с точностью до константы k!, 0, (m, k) = (n, l), zm tk, n l = z m, n · tk, l = (8.63) k!, (m, k) = (n, l), а действие функционалов O (C C) на функции u O(C C) описывается формулой un,k · n,k · k!. (8.64) u, = nZ, kN 162 С. С. Акбаров 8.3.4. Алгебры R(C C), R (C C), O(C C) и O (C C) как алгебры Хопфа Алгебры R(C C) и O(C C), как стандартные функциональные алгебры на группах, наделены естественной структурой алгебр Хопфа (в общем виде этот факт мы отмечали в теоремах 4.2 и 4.1). Следующие предложения описывают структуру этих алгебр Хопфа.

Предложение 8.6. Алгебра R(C C) (алгебра O(C C)) является ядерной алгеброй Хопфа—Браунера (соответственно Хопфа—Фреше) с алгебраическими операциями, определёнными на базисных элементах z n tk формулами zm tk · z n tl = z m+n tk+l, = z 0 t0, (8.65) 1R(C C) k 0, (n, k) = (0, 0), k (z n tk ) = · z n ti z n+i tki, (z n tk ) = i 1, (n, k) = (0, 0), i= (8.66) (z n tk ) = (1)k z kn tk. (8.67) Как следствие, общая формула умножения в R(C C) выглядит следующим образом:

k · zn tk.

u·v = ui,j · vni,kj (8.68) j=0 iZ nZ, kN Доказательство. Коумножение, коединица и антипод вычисляются по фор мулам (4.5)—(4.7). Например, для коумножения имеем (z n tk ) (a, x), (b, y) = (z n tk ) (a, x) · (b, y) = k k i i ki = (z n tk )(ab, xb + y) = (ab)n (xb + y)k = an bn xby = i i= k k k n i n+i ki k (z n ti ) (z n+i tki ) (a, x), (b, y) = a xb y = i i i=0 i= k k (z n tk ) = · (z n ti ) (z n+i tki ) i i= k k (z n tk ) = · zn ti z n+i tki.

i i= Предложение 8.7. Алгебра R (C C) (алгебра O (C C)) является ядер ной алгеброй Хопфа—Фреше (соответственно Хопфа—Браунера) с алгебраиче скими операциями, определёнными на базисных элементах n k формулами Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна m k+l, m + k = n, (m k ) (n l ) = n 0, 1R = (C C) 0, m + k = n, nZ (8.69) k k (n k ) = · m i nm ki, i mZ i= (8.70) 1, (n, k) = (0, 0), k (n ) = 0, (n, k) = (0, 0), ( n k ) = (1)k · nk k. (8.71) Как следствие, общая формула умножения в R (C C) выглядит следующим образом:

k · n k.

= n,j · n+j,kj (8.72) j= nZ, kN Доказательство. Формулы получаются сопряжением из формул (8.65)—(8.67). Например, для коумножения имеем v, (n k ) = u · v, n k = u l · z r tl, n k um,i · vrm,li = = i=0 mZ rZ, lN k = k! · um,i · vnm,ki = i=0 mZ k 1 u, m i · v, nm ki = = k! · (k i)!

i!

i=0 mZ k k v, m i nm ki = ·u = i mZ i= k k · m i nm ki = u v, i mZ i= k k (n k ) = · m i nm ki.

i mZ i= 8.3.5. Алгебры Хопфа Rq (C C), Rq (C C), Oq (C C), Oq (C C) Квантовую группу az + b, о которой мы говорили выше, можно определить как алгебру Хопфа R(C C), в которой алгебраические операции специальным 164 С. С. Акбаров образом деформируются. Мы опишем здесь эту деформацию, причём параллель но с алгеброй R(C C) мы рассмотрим алгебру O(C C), обе конструкции понадобятся нам в теореме 8.8.

Построения начинаются с выбора константы q C.

Предложение 8.8. На стереотипном пространстве R(C C) (O(C C)) существует единственная структура жёсткой стереотипной алгебры Хопфа с ал гебраическими операциями, определёнными на базисных элементах z n tk фор мулами zm tk · z n tl = q kn · z m+n tk+l, = z 0 t0, (8.73) 1R(C C) k k (z n tk ) = · zn ti z n+i tki, i q i= (8.74) 0, (n, k) = (0, 0), n k (z t )= 1, (n, k) = (0, 0), k(k+1) (z n tk ) = (1)k · q kn · z kn tk. (8.75) Пространство R(C C) (соответственно O(C C)) с такой структурой ал гебры Хопфа обозначается Rq (C C) (соответственно Oq (C C)). При этом 1) общая формула умножения в Rq (C C) (соответственно в Oq (C C)) принимает вид k q i(nm) · um,i · vnm,ki · zn tk ;

u·v = (8.76) i=0 mZ nZ, kN 2) отображение zn tk z n tk устанавливает изоморфизм между Rq (C C) (соответственно Oq (C C)) и алгеброй Хопфа косых многочленов (соответственно целых функций) с коэффициентами из R(C ) (соответственно из O(C )) относительно квантовой пары (z, q ) из предложения 8.1:

z z C) R(C ) C) O(C ) Rq (C Oq (C R(C) O(C) ;

(8.77) = = q q 3) при q = 1 алгебра Хопфа Rq (C C) (соответственно Oq (C C)) пре вращается в алгебру Хопфа R(C C) (соответственно O(C C)) со структурой алгебры Хопфа, описанной на с. 157:

R(C C) = R1 (C O(C C) = O1 (C C) C).

Доказательство. Начнём с формул (8.77): отображение z n tk z n tk устанавливает изоморфизм стереотипных пространств Rq (C C) = R(C ) R(C) Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна (это в точности тот изоморфизм, который для общего случая записывался тож деством (4.9)). Этот изоморфизм индуцирует на R(C C) структуру жёсткой z алгебры Хопфа из R(C ) R(C) (где эта структура определяется формулами q (8.13)—(8.17)). При таком изоморфизме формулы (8.13)—(8.17) превращаются в формулы (8.73)—(8.75). Для их вывода нужно только воспользоваться первой формулой из (8.11):

Mq (z) = q · z.

Из неё мы получаем (Mq )k (z n ) = q kn · z n.

Формула умножения (8.73) выводится из (8.13):

zm tk · z n tl = z m · (Mq )k (z n ) · tk+l = z m · q kn · z n tk+l = q kn · z k+n tk+l.

Остальные формулы выводятся аналогично. Общая формула умножения (8.76) получается из (8.73):

um,k · z m tk vn,l · z n tl u·v = · = mZ, kN nZ, lN um,k · vn,l · z m tk · z n tl = = mZ, kN nZ, lN n=rm l=sk um,k · vn,l · q kn · z m+n tk+l = = mZ, kN nZ, lN q k(rm) · um,k · vrm,sk · z m+n tk+l.

= rZ, sN mZ, kN Остаётся добавить, что при q = 1 формулы (8.73)—(8.75) превращаются в формулы (8.65)—(8.67), поэтому алгебра Хопфа Rq (C C) (соответствен но Oq (C C)) превращается в алгебру Хопфа R(C C) (соответственно O(C C)).

Предложение 8.9. На стереотипном пространстве R (C C) (O (C C)) существует единственная структура жёсткой стереотипной алгебры Хопфа с ал гебраическими операциями, определёнными на базисных элементах n k фор мулами m k+l, m = n k, (m k ) (n l ) = m = n k, 0, (8.78) n 0, 1R = (C C) nZ 166 С. С. Акбаров k k (n k ) = · q i(nm) · m i nm ki, i q mZ i= (8.79) 1, k = 0, k (n ) = 0, k 0, k(k+1) ( n k ) = (1)k · q nk k.

+k(n+k) (8.80) Пространство R (C C) (соответственно O (C C)) с такой структурой алгебры Хопфа обозначается Rq (C C) (соответственно Oq (C C)). При этом 1) общая формула умножения в Rq (C C) (соответственно в Oq (C C)) принимает вид k · n k ;

= n,i · n+i,ki (8.81) i= nZ, kN 2) отображение n k n k устанавливает изоморфизм между Rq (C C) (соответственно Oq (C C)) и алгеброй Хопфа косых степенных рядов (соответственно аналитических функционалов) с коэффициентами из R (C ) (соответственно из O (C )) относительно квантовой пары ( q, z) из предложения 8.1:

q q C) R (C ) C) O (C ) Rq (C Oq (C R (C) O (C) ;

= = z z (8.82) 3) при q = 1 алгебра Хопфа Rq (C C) (соответственно Oq (C C)) пре вращается в алгебру Хопфа R (C C) (соответственно O (C C)) со структурой алгебры Хопфа, описанной на с. 157:

R (C C) = R1 (C O (C C) = O1 (C C) C).

Доказательство. Основными в доказательстве являются формулы (8.82):

отображение n k n k устанавливает изоморфизм стереотипных про странств Rq (C C) R (C ) R (C) = (это сопряжённый изоморфизм к изоморфизму (4.9)). Этот изоморфизм индуци q рует на R (C C) структуру жёсткой алгебры Хопфа из R (C ) R (C) (где z эта структура определяется формулами (8.19)—(8.23)). При таком изоморфизме формулы (8.19)—(8.23) превращаются в формулы (8.78)—(8.80). Для их вывода нужно только воспользоваться двумя формулами q n = q n · n. (8.83) Mz (n ) = n1, Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Первая из них (она понадобится при доказательстве формул умножения и ан типода) выводится следующим образом:

um · z m, n um · z m+1, n u, Mz (n ) = z · u, n = z· = = mZ mZ um1 · z m, n = = un1 = u, n1.

mZ Вторая формула (она будет нужна при доказательстве формулы коумножения) выводится следующим образом:

(8.12) (4.41) q n = q m · m n = q n · n.

mZ 8.3.6. Алгебра Rq (C C) как алгебра с образующими и определяющими отношениями Нам остаётся объяснить, почему построенную алгебру Rq (C C) действи тельно можно отождествлять с квантовой группой az + b, т. е. с той алгеброй Хопфа, которую обычно обозначают az + b (см. [27,39,47,48]). Формально az + b определяется как алгебра Хопфа с тремя образующими t, z, z 1 и определяю щими отношениями z · z 1 = 1, 1 = z 1 · z, t · z = q · z · t, (8.84) 1 1 (t) = t 1 + z t, (z) = z z, (z z (8.85) )=z, (8.86) (t) = 0, (z) = 1, (z ) = 0, 1 1 (t) = t · z (8.87), (z) = z, (z ) = z.

Предложение 8.10. Отображение z 1 z zz t 1, 1, t единственным образом продолжается до изоморфизма между алгебрами Хопфа az + b и Rq (C C).

Доказательство. Из (8.73) следует, что в Rq (C C) выполняются равен ства 1 · z 1 1 = z t·z 1=q·z 1·1 1·z 1 t, z 1 = 1, 1, в которых можно узнать формулы (8.84), преобразованные действием наше го отображения. Это означает, что наше отображение однозначным образом продолжается до некоторого гомоморфизма алгебр : az + b Rq (C C).

Этот гомоморфизм будет биекцией, потому что переводит алгебраический базис {z n tk ;

n Z, k N} в алгебре az + b в алгебраический базис {z n tk ;

n Z, k N} в алгебре Rq (C C).

168 С. С. Акбаров Таким образом, — изоморфизм алгебр. Заметим, что сохраняет коумно жение на порождающих элементах:

() (t) = ()(t1+z t) = 1 t1 1+z 11 t = (1 t) = (t) и таким же образом ( ) (z 1 ) = (z 1 ).

( ) (z) = (z), Поскольку операция коумножения, как и, является гомоморфизмом алгебр, получаем, что те же формулы верны для аргументов вида z n tk, и поэтому вообще для всех элементов алгебры az + b. Таким образом, сохраняет коумножение (на всех элементах). Точно так же доказывается, что сохраняет коединицу и антипод (здесь используется тот факт, что коединица тоже гомоморфизм, а антипод — антигомоморфизм). Таким образом, — изоморфизм алгебр Хопфа.

8.4. Рефлексивность Rq (C C) 8.4.1. Диаграммы рефлексивности для Rq (C C) Теорема 8.8. При любом q C жёсткая алгебра Хопфа Rq (C C) голо морфно рефлексивна, причём 1) при |q| = 1 её диаграмма рефлексивности имеет вид z z / C) R(C ) O(C) Oq (C Rq (C O(C ) R(C) C) = = q q O  q q o C) R (C ) O (C) Oq (C Rq (C O (C ) R (C) C) = = ;

z z (8.88) 2) а при |q| = 1 — вид z z / C) R(C ) Rq (C O(C ) R(C) R (C) = (8.89) q q O  q q o C) R (C ) Rq (C O (C ) R (C) R(C) =.

z z Для симметрии здесь можно заметить, что все упоминаемые здесь простран ства-множители — R(C), R (C), R(C ), R (C ), O(C ), O (C ) — ядерны и Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна встречаются только в парах вида Фреше—Фреше или Браунер—Браунер. По этому если в диаграммах (8.88), (8.89) все (или какие-нибудь) инъективные тензорные произведения заменить на проективные тензорные произведения, то при этом будут получаться изоморфные диаграммы.

Оставшаяся часть этого раздела посвящена доказательству теоремы 8.8. Мы проведём его в три этапа.

8.4.2. Отображение Rq (C C) Oq (C C) при |q| = Предложение 8.11. При |q| = 1 алгебра Oq (C C) является алгеброй Арен са—Майкла, а естественное вложение Rq (C C) Oq (C C) — оболочкой Аренса—Майкла алгебры Rq (C C):


Rq (C C) = Oq (C C).

Доказательство. Это следует из того, что при |q| = 1 полунормы (8.59) субмультипликативны на Rq (C C).

8.4.3. Отображение R(C ) z R(C) O(C ) z R (C) при |q| = q q Напомним, что строение алгебр R(C ) и O(C ) обсуждалось в разде ле 4.3.2. В частности, там отмечалось, что топология O(C ) порождается полу нормами (4.47):

|un | · C |n|, C 1.

u C= nZ В примере 6.2 мы уже отмечали, что эти полунормы субмультипликативны.

Отметим ещё два их свойства: во-первых, очевидно, что (8.90) C D = u u D, C и, во-вторых, при |q| 1 справедливо неравенство |q|n |q||n|, n Z, (8.91) из которого следует, что |un | · |q|n · C |n| Mq (u) = C nZ |n| C |un | · |q||n| · C |n| = |un | · =u C/|q|, |q| nZ nZ т. е.

(Mq )i (u) i N |q| 1. (8.92) u C/|q|i, C Точно так же при |q| 1 получаем, что |q|n |q||n|, n Z, (8.93) 170 С. С. Акбаров откуда |un | · |q|n · C |n| Mq (u) = C nZ |un | · |q||n| · C |n| = |un | · (C · |q|)|n| = u C·|q|, nZ nZ т. е.

(Mq )i (u) i N |q| 1. (8.94) u C·|q|i, C Условимся для удобства вычислений в соответствии с предложением 8. отождествлять 1 t и z 1 с t и z:

t t, 1 z.

1 z Лемма 8.8. Если |q| = 1 и r — субмультипликативная полунорма на z R(C ) R(C), то для некоторого K N q k K r(tk ) = 0. (8.95) Доказательство. 1. Пусть вначале |q| 1. Тогда, подобрав K так, чтобы |q|K r(z)·r(z1 ), мы для всякого k K получим |q|k · r(z) · r(z 1 ) 1, и поэтому r(tk ) = r(tk · z l · z l ) = |q|lk · r(z l · tk · z l ) |q|lk · r(z l ) · r(tk ) · r(z l ) l |q|lk · r(z)l · r(t)k · r(z 1 )l = r(t)k · |q|k · r(z) · r(z 1 ) 0.

l 2. Наоборот, если |q| 1, то, выбрав K так, чтобы |q|K r(z) · r(z 1 ), мы для всякого k K получим r(z)·r(z ) 1, и поэтому |q|k r(tk ) = r(tk · z l · z l ) = = |q|lk · r(z l · tk · z l ) |q|lk · r(z l ) · r(tk ) · r(z l ) l r(z) · r(z 1 ) |q|lk · r(z)l · r(t)k · r(z 1 )l = r(t)k · 0.

|q|k l Предложение 8.12.

1. Пусть |q| 1, а числа D 1 и K N выбраны так, чтобы D · |q|K (8.96) 1.

z Тогда полунорма pD,K : R(C ) R(C) R+, определённая равенством q K K tk |uk,n | · (D · |q|k )|n|, (8.97) pD,K uk = uk = D·|q|k k=0 nZ kN k= полунорма (4.47) Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна субмультипликативна. Наоборот, любая субмультипликативная полунорма z на R(C ) R(C) подчинена некоторой полунорме вида (8.97).

q 2. Если |q| 1, а числа D 1 и K N выбраны так, чтобы D (8.98) 1, |q|K z то полунорма pD,K : R(C ) R(C) R+, определённая равенством q K K |n| D tk |uk,n | · (8.99) pD,K uk = uk =, D |q|K |q|K k=0 nZ kN k= полунорма (4.47) субмультипликативна. Наоборот, любая субмультипликативная полунорма z на R(C ) R(C) подчинена некоторой полунорме вида (8.97).

q Доказательство. Рассмотрим сначала случай |q| 1. Субмультипликатив ность полунормы (8.97) проверяется непосредственно:

K K k (8.18) ui · (Mq )i (vki ) pD,K (u · v) = (u · v)k = = D·|q|k D·|q|k i= k=0 k= K k ui · (Mq )i (vki ) = D·|q|k k=0 i= K k (8.90), (8.92) · (Mq )i (vki ) ui D·|q|k D·|q|k k=0 i= K k · vki ui D·|q|i D·|q|ki k=0 i= K K · = pD,K (u) · pD,K (v).

ui vj D·|q|i D·|q|j i=0 j= z Пусть r — субмультипликативная полунорма на R(C ) R(C). Подберём по q лемме 8.8 число K N так, чтобы выполнялось (8.95), и положим L = max r(tk ).

0kK Заметим, что, поскольку r будет также субмультипликативной полунормой на подалгебре 1 R(C ), состоящей из функций вида a 1, a R(C ), изоморф ной R(C ), на этой подалгебре r, как любая субмультипликативная полунорма, должна быть подчинена некоторой полунорме (4.47):

a R(C ), M· a (8.100) r(a 1) C, 172 С. С. Акбаров для некоторых C 1, M 0. Выберем теперь D 1 так, чтобы K K D · |q| D · |q| D · |q| (8.101) C... D.

Тогда K tk r(uk ) · r(tk ) = r(uk ) · r(tk ) r(u) = r uk kN kN k= K K M · uk ·L=L·M · = L · M · pD,K (u), uk C D·|q|k k=0 k= т. е. r подчинена некоторой полунорме pD,K.

Случай |q| 1 рассматривается аналогично, только вместо (8.92) в нём применяется формула (8.94), а вместо (8.101) — цепочка D D D C... D.

|q|K |q|K1 |q| Предложение 8.13. При |q| = 1 формула t k zn k (8.102) n однозначно определяет гомоморфизм алгебр Хопфа z z R(C ) R(C) O(C ) R (C), q q z являющийся оболочкой Аренса—Майкла алгебры R(C ) R(C).

q Доказательство. Нужно только проверить, что O(C ) R (C) будет попол нением R(C ) R(C) относительно полунорм (8.97) или, в зависимости от q, (8.99).

q q 8.4.4. Отображение O (C ) R(C) R (C ) R (C) z z при произвольном q Рассмотрим пространство O (C ). Из первой формулы в (8.83) Mz (n ) = n можно вывести тождество (Mz )k () = (Mz )k n · n n · nk = m+k · m. (8.103) = nZ nZ mZ на O (C ), определённые формулой (7.12):

Вспомним полунормы · N |n |, N N, = n · n.

= N nZ |n| N Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Отметим следующие два их свойства:

(8.104) M N = M N и (8.103) (Mz )i () |(Mz )i ()n | = |n+i | |n | = = M +i.

M |n| M |n| M |n| M +i (8.105) q По теореме (8.6) общая формула умножения в алгебре O (C ) R(C) имеет z вид k i (Mz )i (ki ) tk, · = (8.106) i= kN а на базисных элементах выглядит следующим образом:


(8.13) (8.83) tk · n tl = m (Mz )k (n ) tk+l = m tk+l, m = n k, tk+l, m m m + k = n, tk+l = = m nk = m=nk 0, 0, m + k = n.

(8.107) Лемма 8.9. Всякая непрерывная субмультипликативная полунорма p на q алгебре O (C ) R(C) равна нулю на почти всех элементах базиса z k {n t ;

n Z, k N} (т. е. на всех, кроме конечного набора):

tk ) = 0}.

card{(n, k) Z N : p(n Доказательство. Обозначим pn,k = p(n tk ) и заметим следующее соот ношение:

pm,k+l pm,k · pm+k,l, k, m N, n Z. (8.108) Действительно, из (8.107) следует tk+l = m tk · m+k tl, m поэтому tk+l ) tk ) · p(m+k tl ) = pm,k · pm+k,l.

pm,k+l = p(m p(m Рассмотрим множества Sk = {n Z : pn,k = 0} и заметим следующее.

Во-первых, из непрерывности и субмультипликативности полунормы p на q O (C ) следует, что функционал R(C) z O (C ), t0 ), p0 () = p( 1) = p( 174 С. С. Акбаров должен быть непрерывной субмультипликативной полунормой на O (C ):

p0 ( ) = p ( ) 1) · ( 1) · p( 1) = p0 () · p0 ().

1 = p ( 1) p( Отсюда по лемме 7.2 мы получаем, что p0 должна быть подчинена некоторой полунорме вида (7.12):

O (C ), C· =C· |n |, p0 () N |n| N а это, в свою очередь, означает, что множество S0 = {n Z : p0 (n ) = p(1 n ) = 0} должно быть конечно:

card S0.

Во-вторых, из неравенств (8.108) выводятся следующие импликации:

pm,k · pm+k,1, pm,k+ = pm,k+1 · pm+k+1, pm,k+ Sk+1 Sk, = Sk+1 Sk (S0 k 1) = Sk+1 S0 (k + 1) (здесь S i обозначает сдвиг множества S на i единиц влево на группе Z), из которых можно заключить, что Sk образуют сужающуюся цепочку конечных (потому что S0 конечно) множеств:

S0 S1... Sk Sk+1..., причём как минимум после номера K = max S0 min S0 эта цепочка становится пустой:

S0 S1... SK SK+1 = (потому что SK+1 S0 (S0 K 1) = ). Это нам и нужно было доказать.

Предложение 8.14. Для всякого N N функционал N N tk |n,k | (8.109) rN () = rN k = k = N k kN k=0 k=0 |n| N k q O (C ).

является непрерывной субмультипликативной полунормой на R(C) z q O (C ) под Любая непрерывная субмультипликативная полунорма на R(C) z чинена некоторой полунорме rN.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна Доказательство. То, что rN — полунорма, следует из линейности отображе ний k :

N rN ( · + ) = · k + k N k k= N N || · = || · rN () + rN ().

k N k + k N k k=0 k= Проверим субмультипликативность:

k (8.106) i (Mz )i (ki ) tk rN ( · ) = rN = kN i= N k i (Mz )i (ki ) = N k k=0 i= N k N k (8.105) · (Mz )i (ki ) · ki i i N k N k N k N k+i k=0 i=0 k=0 i= N k N k N k · ki · ki i i N i N (ki) N (ki) k=0 i=0 k=0 i= i N i, поскольку k i, значит, N k N i, что позволяет применить (8.104) N N · = rN () · rN ().

i j N i N j i=0 j= Нам остаётся убедиться, что любая непрерывная субмультипликативная полу q O (C ) подчинена некоторой полунорме rN. Это следует из норма p на R(C) z леммы 8.9: поскольку p почти на всех базисных элементах tk n равна нулю, можно подобрать такое число N N, что tk ) = 0} {(n, k) Z N : k {(n, k) Z N : p(n N & |n| N k}.

Тогда, положив tk );

(n, k) : k N, |n| N k}, C = max{p(n мы получим 176 С. С. Акбаров tk n,k · n p() = p nZ, kN N tk ) = tk ) |n,k | · p(n |n,k | · p(n nZ, kN k=0 |n| N k N (8.109) C· |n,k | = C · rN ().

k=0 |n| N k Предложение 8.15. Формула tk n k (8.110) n определяет гомоморфизм алгебр Хопфа q q O (C ) R(C) R (C ) R (C), z z q являющийся оболочкой Аренса—Майкла алгебры O (C ) R(C).

z Доказательство. Нужно только проверить, что R (C ) R (C) будет по полнением O (C ) R(C) относительно полунорм (8.109).

Литература [1] Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А., Шеврин Л. Н., Шульгейфер Е. Г.

Общая алгебра. — М.: Наука, 1991.

[2] Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. — М.: Изд. иностр. лит., 1959.

[3] Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. — М.: Наука, 1969.

[4] Вайнерман Л. И. Характеризация объектов, двойственных к локально компактным группам // Функц. анализ и его прил. — 1974. — Т. 8, № 1. — С. 75—76.

[5] Вайнерман Л. И., Кац Г. И. Неунимодулярные кольцевые группы и алгебры Хоп фа—фон Неймана // ДАН СССР. — 1973. — Т. 211. — С. 1031—1034.

[6] Вайнерман Л. И., Кац Г. И. Неунимодулярные кольцевые группы и алгебры Хоп фа—фон Неймана // Мат. сб. — 1974. — Т. 94. — С. 194—225.

[7] Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. — М.: УРСС, 1995.

[8] Грауэрт Г., Реммерт Р. Теория пространств Штейна. — М.: Наука, 1989.

[9] Кассель К. Квантовые группы. — М.: Фазис, 1999.

[10] Крейн М. Г. Принцип двойственности для бикомпактной группы и квадратной блок-алгебры // ДАН СССР. — 1949. — Т. 69. — С. 725—728.

[11] Пирковский А. Ю. Оболочки Аренса—Майкла, гомологические эпиморфизмы и от носительно квазисвободные алгебры // Труды ММО. — 2008. — Т. 6. — С. 34—123.

[12] Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. — М.: Мир, 1967.

Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственность для групп Штейна [13] Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.

[14] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989.

[15] Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т. 2. — М.: Мир, 1975.

[16] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. I. — М.: Наука, 1985.

[17] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. II. — М.: Наука, 1985.

[18] Шефер Х. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.

[19] Akbarov S. S. Stereotype spaces, algebras, homologies: An outline // Topological Ho mology / A. Ya. Helemskii, ed. — Nova Science Publishers, 2000. — P. 1—29.

[20] Akbarov S. S. Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces and in topological algebra // J. Math. Sci. — 2003. — Vol. 113, no. 2. — P. 179—349.

[21] Akbarov S. S. Pontryagin duality and topological algebras // Topological Algebras, Their Applications and Related Topics / K. Jarosz, A. Soltysiak, eds. — Banach Center Publications, 2005. — P. 55—71. — (Vol. 67).

[22] Brauner K. Duals of Fr chet spaces and a generalization of the Banach—Dieudonn e e theorem // Duke Math. J. — 1973. — Vol. 40, no. 4. — P. 845—855.

[23] Chari V., Pressley A. A Guide to Quantum Groups. — Cambridge: Cambridge Univ.

Press, 1995.

[24] Van Daele A. Dual pairs of Hopf -algebras // Bull. London Math. Soc. — 1993. — Vol. 25. — P. 209—230.

[25] Van Daele A. Multiplier Hopf algebras // Trans. Amer. Math. Soc. — 1994. — Vol. 342. — P. 917—932.

[26] Van Daele A. An algebraic framework for group duality // Adv. Math. — 1998. — Vol. 140. — P. 323—366.

[27] Van Daele A. The Haar measure on some locally compact quantum groups. — 2001. — http://arXiv.org/abs/math/0109004v1.

[28] D sc lescu S., N st sescu C., Raianu S. Hopf Algebras. — Marcel Dekker, 2001.

aa aa [29] Enock M., Schwartz J.-M. Une dualit dans les alg` bres de von Neumann // Note e e C. R. Acad. Sci. Paris. — 1973. — Vol. 277. — P. 683—685.

[30] Enock M., Schwartz J.-M. Une cat gorie d’alg` bres de Kac // Note C. R. Acad. Sci.

e e Paris. — 1974. — Vol. 279. — P. 643—645.

[31] Enock M., Schwartz J.-M. Une dualit dans les alg` bres de von Neumann // Supp.

e e Bull. Soc. Math. France M m. — 1975. — Vol. 44. — P. 1—144.

e [32] Enock M., Schwartz J.-M. Kac Algebras and Duality of Locally Compact Groups. — Berlin: Springer, 1992.

[33] Jarchow H. Locally Convex Spaces. — Stuttgart: Teubner, 1981.

[34] Kakutani S., Klee V. The finite topology of a linear space // Arch. Math. — 1963. — Vol. 14, no. 1. — P. 55—58.

[35] Kustermans J., Vaes S. Locally compact quantum groups // Ann. Sci. Ecole Norm.

Sup. 4` s r. — 2000. — Vol. 33. — P. 837—934.

ee [36] Levin B. Ya. Lectures on Entire Functions. — Providence: Amer. Math. Soc., 1996.

[37] MacLane S. Categories for the Working Mathematician. — Berlin: Springer, 1971.

[38] Neeb K.-H. Holomorphy and Convexity in Lie Theory. — Walter de Gruyter, 2000.

178 С. С. Акбаров [39] Kustermans J., Pusz W., Soltan P. M., Vaes S., Van Daele A., Vainerman L., Worono wicz S. L. Locally compact quantum groups // Quantum Symmetry in Noncommutative Geometry. Locally Compact Quantum Groups. Lect. Notes School / Conf. on Noncom mutative Geometry and Quantum Groups, Warsaw, 2001 / P. M. Hajak, ed. — Banach Center Publications, to appear.

[40] Pontrjagin L. The theory of topological commutative groups // Ann. Math. — 1934. — Vol. 35, no. 2. — P. 361—388.

[41] Saavedra Rivano N. Cat` gories Tannakiennes. — Berlin: Springer, 1972. — (Lect. Notes e Math.;

Vol. 265).

[42] Schauenburg P. On the braiding on a Hopf algebra in a braided category // New York J. Math. — 1998. — Vol. 4. — P. 259—263.

[43] Smith M. F. The Pontrjagin duality theorem in linear spaces // Ann. Math. — 1952. — Vol. 56, no. 2. — P. 248—253.

[44] Street R. Quantum Groups: A Path to Current Algebra. — Cambridge, 2007. — (Aus tralian Math. Soc. Lect. Ser.;

No. 19).

[45] Sweedler M. E. Cocommutative Hopf algebras with antipode // Bull. Amer. Math.

Soc. — 1967. — Vol. 73, no. 1. — P. 126—128.

[46] Taylor J. L. Several Complex Variables with Connections to Algebraic Geometry and Lie Groups. — Providence: Amer. Math. Soc., 2002. — (Grad. Stud. Math.;

Vol. 46).

[47] Wang S. Quantum ax + b group as quantum automorphism group of k[x]. — 1998. — http://arxiv.org/abs/math/9807094v2.

[48] Woronowicz S. L. Quantum az + b group on complex plane // Int. J. Math. — 2001. — Vol. 12, no. 4. — P. 461—503.

[49] Zhang S. Braided Hopf algebras. — 2006. — arXiv:math.RA/0511251. — V 25 May 2006.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.