авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«2 В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов СОВРЕМЕННЫЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТРЕНАЖЕРЫ В ТРУБОПРОВОДНОМ ТРАНСПОРТЕ Математические методы ...»

-- [ Страница 2 ] --

h dh = c p dT + dp = 0. (2.9) p Несложными преобразованиями из уравнения (2.9) можно получить следую щую формулу:

T 1 h ( p, T ) = =, (2.10) p h c p p T откуда следует, что h = cp. (2.11) p T Подставляя (2.11) в (2.6), можно записать:

dh = c p dT c p dp. (2.12) © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 В ряде работ наличие слагаемого с коэффициентом Джоуля–Томсона в (2.12) и, соответственно, в уравнениях механики газов, связывают с наличием в процессах транспортирования газа так называемого дроссель эффекта. Иногда, при описании подобного слагаемого говорят о том, что он характеризует наличие дроссель эффекта изменения температуры при резких сжатиях и расширениях потока газа [7]. По мнению авторов настоящей монографии, представленная трактовка УРС содержит существенные неточности.

Во-первых, здесь может сложиться ошибочное впечатление, что по добное слагаемое действует только при резких сжатиях и расширениях потока газа. Влияние данного слагаемого в моделях транспортирования га зов проявляется даже при относительно медленных и плавных течениях.

Наглядное подтверждение этого факта можно найти на рис. 2.1 и 2.2, где для медленного течения газа проявилось падение температуры из-за наличия в ка лорическом УРС слагаемого с коэффициентом Джоуля–Томсона.

Постановка задачи при получении распределений параметров течения на рис. 2.1 и 2.2 была следующей. Моделировалось стационарное адиабатическое течение сжимаемого однокомпонентного газа (метана) по трубе с внешним диаметром 1,420м, толщиной стенки 0,0187м и протяженностью 10000м (ко эффициент теплопроводности газа задавался равным нулю). Шероховатость трубы принималась равной 0,0008м. Функциональная зависимость c p = c p ( p, T ) строилась в соответствии с данными, представленными в спра вочнике [31]. В качестве граничных условий (ГУ) на входе трубы задавались давление газа, равное 6,1МПа, и температура газа, равная 293,15К, на выходе – давление газа, равное 6,0МПа. Таким образом, здесь исследовался один из ре жимов транспортирования газа по однониточному газопроводу, имитирующих номинальные режимы. Решение проводилось широко известным методом ус тановления с использованием математической модели (2.2), замкнутой термическим УРС (2.4) и калорическим УРС (2.5–2.7).

По результатам моделирования можно отметить, что при скорости в 6м/с даже на достаточно коротком участке трубопровода наблюдается падение тем пературы на 0,4К, вызванное влиянием второго слагаемого в уравнении (2.12), содержащего коэффициент Джоуля–Томсона. Экстраполируя полученные ре зультаты на типовой участок ЛЧМГ между двумя соседними КС, можно ожидать, что погрешность в оценке распределения температур от некорректно го УРС превысит 4К и станет недопустимо большой. Здесь следует особо отметить, что данные результаты были получены в самом простейшем случае.

Погрешность может быть существеннее при анализе нестационарных режимов, особенно переходных или аварийных.

Во-вторых, утверждение, сформулированное в работе [7], о том, что второе слагаемое в (2.12) описывает падение температуры газа при его транспортиро вании по длинному газопроводу из-за эффекта Джоуля–Томсона, является спорным, т.к. при реальных течениях газа по ЛЧМГ классические режимы адиабатического дросселирования не реализуется. Наличие в уравнении (2.12) коэффициента Джоуля–Томсона не означает фактической реализации при течениях природного газа в МГ классического эффекта Джоуля–Томсона © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 38 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров (по аналогии – присутствие в уравнении (2.12) параметра c p не свидетельству ет о реализации при транспортировании газа классических изобарных режимов течения).

а) б) Рис. 2.1. Распределение параметров (а – давление и скорость газа;

б – температура и массовый расход газа), соответствующее калорическому УРС реального газа с ненулевым значением коэффициента Джоуля-Томсона © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 а) б) Рис. 2.2. Распределение параметров (а – давление и скорость газа;

б – температура и массовый расход газа), соответствующее калорическому УРС реального газа с нулевым значением коэффициента Джоуля-Томсона © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 40 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров Коэффициент Джоуля–Томсона позволяет лишь определить значение ( h p )T.

Практическое использование УРС (2.5–2.7) в газодинамическом моделиро вании, как правило, предполагает, что перед расчетом проводится построение табличной функции = ( p, T ) для заданного диапазона давления и темпера туры моделируемого газа. Интегрирование уравнения (2.6) осуществляется методом Рунге–Кутты.

Точность УРС, применяемых для замыкания исходной системы, определяет точность и адекватность получаемых из расчетов результатов, поскольку именно УРС отражают физические (термодинамические) свойства используе мой при моделировании среды. Поэтому в своих разработках авторы настоящей монографии, как правило, применяют УРС (2.4 – 2.7).

Система уравнений (2.2) должна быть дополнена краевыми условиями. В качестве начальных условий могут рассматриваться заданные функциональные зависимости:

w ( x, t0 ) = w0 ( x ) ;

T ( x, t0 ) = T0 ( x ) ;

p ( x, t0 ) = p0 ( x ).

Начальные значения плотности ( x, t0 ) и внутренней энергии ( x, t0 ) вычис ляются исходя из соответствующих УРС (2.2г).

На границах моделируемого трубопровода рекомендуется в качестве гра ничных условий первого и второго рода задавать комбинации следующих функций и их производных:

T ( xB, t ) = TB ( t ) ;

w ( xB, t ) = wB ( t ) ;

p ( x B, t ) = pB ( t ) ;

T ( xB, t ) = jB ( t ) ;

( w f ) B = qB ( t ), x где xB – левая или правая граница трубопровода;

jB ( t ) и qB ( t ) – заданные функции. При использовании математической модели (2.2) общее число ГУ на обоих концах рассматриваемого участка трубопровода должно быть равно че тырем. В качестве условий сопряжения могут быть заданы граничные условия, моделирующие полный разрыв трубопровода и/или его перекрытие (моделиро вание работы крана) [12, 14].

С целью построения расчетных ядер ГДТ рассмотрим математические мо дели неизотермических неустановившихся течений в однониточном трубопроводе и алгоритмы их численного анализа, разработанные ведущими российскими научными школами в области моделирования трубопроводных систем и достаточно полно представленные в источниках научно-технической информации.

В качестве первого объекта нашего рассмотрения будут выступать модели, представленные в монографии [7]. Выбор работы [7], прежде всего, объясняет ся следующими обстоятельствами: она является одной из последних публикаций по рассматриваемой тематике;

в ней скомпилирован широкий спектр подходов к моделированию основных сегментов газотранспортных сис © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 тем, включая модели трубопроводов и оборудования газоперекачивающих станций;

она рекомендуется ее автором в качестве учебного пособия;

ее можно рассматривать как характерный пример разработок одной из ведущих россий ских научных школ в области математического моделирования объектов трубопроводного транспорта.

К сожалению, анализ моделей, описанных в указанных работах, по мнению авторов настоящей монографии, существенно осложняется многочисленными опечатками и некорректностями, начиная с представления базовых уравнений газовой динамики. Для иллюстрации вышесказанного остановимся на некото рых из них более подробно 1.

Характерной чертой монографии [7] (как и работы [20]) является переход от базовых одномерных систем дифференциальных уравнений в частных произ водных (аналогичных (2.2)) к системам уравнений с искомыми функциями, обычно применяемыми в газовой промышленности 2: объемный расход, приве денный к стандартным условиям ( c – плотность газа при стандартных условиях) w f q= (2.13), c давление p и температура T. Для сравнительного анализа системы (2.2) с сис темами уравнений из монографии [7] приведем их к одинаковым искомым функциям 3.

В качестве основных уравнений, на базе которых в [7] строятся модели те чения газов по трубопроводам, используются (см. (2.4–2.6) из [7] для равномерного распределения скорости по поперечному сечению трубы):

w + = 0;

(2.14а) t x w w2 w z p = + (2.14б) ;

t x x x 2D w2 w z + + w + = w +, (2.14в) t 2 x x f Это важно с точки зрения решаемой в данной Главе задачи, а именно – выбора математических моделей для расчетного ядра ГДТ.

Использование тех или иных искомых функций при решении дифференциальных уравнений не имеет принципиального характера. Их конкретный список выбирается по разным соображениям.

Это может быть удобство решения, повышение устойчивости численных методов, обеспечение консервативности разностных схем и т.д. Отметим, что при получении решения (т.е. при нахожде нии пространственно-временных распределений искомых функций), остальные параметры вычисляются прямой подстановкой в известные математические соотношения.

Отметим, что течение газа при f const в [7] не рассматривается, поскольку, по мнению автора [7], «в транспорте газа этот случай не представляет практического интереса». Об ограничениях об ласти применимости подобных моделей было отмечено выше.

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 42 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров где – тепловой поток обмена с окружающей средой [7]. Здесь система (2.4– 2.6) из [7] представлена в обозначениях, принятых в настоящей монографии.

Отметим, что данные обозначения могут отличаться от аналогичных обозначе ний работы [7].

Для наглядности изложения дальнейшего материала внесем необходимые исправления в систему уравнений (2.14) 1 для придания ей корректного вида.

Исправленная система уравнений получается из системы (2.2) за счет деления каждого из составляющих ее уравнений на постоянное значение площади по перечного сечения трубы 2:

( w ) + = 0;

(2.15а) t x ( w2 ) ( w) z w w p g + = (2.15б) ;

t x x x 2 D ( p w) z (T, Tос ) w2 w + + w + w g =.

t 2 x x x 2 f (2.15в) Сравнение (2.15) и (2.14) показывает, что, к сожалению, базовая модель (2.4–2.6) из [7] содержит значительное количество ошибок и допущенных ав тором неточностей. Для иллюстрации перечислим некоторые из них:

1. В уравнении движения (2.14б) в слагаемом, характеризующем влияние си лы тяжести, «потерян» модуль ускорения свободного падения g. Данное ( z1 x ) слагаемое в [7] записано в виде вместо (см. (2.15б)):

( g z1 x ).

2. Аналогично, в уравнении энергии (2.14в) запись слагаемого ( w z1 x ) в [7] следует заменить корректной записью (см. (2.15в)): ( w g z1 x ).

3. Слагаемое, характеризующее силу трения в (2.14б), представлено некор ректно. Как известно (см., например, [13, 23]), сила трения действует в направлении, противоположном скорости. По данной причине в (2.14б) ука занное слагаемое целесообразно записать в виде ( w w ( 2 D ) ) вместо ( w2 ( 2 D ) ). Используемая в (2.14б) запись рассматриваемого слагаемого в случае фиксированной системы координат ограничивает об ласть применения модели только течениями с положительно Это прямой аналог системы уравнений (2.4–2.6) из [7].

А также в результате пренебрежения теплопроводностью газа и внутренними источниками тепла.

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 направленными 1 скоростями. Это может существенно осложнить модели рование переходных процессов в трубопроводной сети.

4. В уравнении (2.14в) не учтен член ( p w ) x, характеризующий работу, обусловленную давлением транспортируемого газа. Указанное слагаемое оказывает существенное влияние на изменение полной энергии при течении газа в трубопроводе. По мнению авторов настоящей монографии, его игно рирование приводит к ошибкам при моделировании транспортирования природного газа.

5. Слагаемое, учитывающее «тепловой поток обмена с окружающей средой»

(см. [7]), записано не верно. Как известно [32], тепловой поток имеет раз мерность H м кг м м кг м [] = [ Bm] = = Дж с c = c 2 c = c3.

Следовательно, рассматриваемое слагаемое уравнения (2.14в) имеет раз мерность:

кг = 3.

f c Рассмотрим размерность другого слагаемого уравнения (2.14в), например:

w2 1 кг м 2 кг = 3 2 =.

t c м с м с Сравнение последних формул показывает, что слагаемые в уравнении (2.14в) не согласованы по размерности.

Здесь также целесообразно отметить, что математическая модель (2.2) яв ляется более общей, по сравнению даже с исправленной моделью (2.15).

Одним из обоснований представленного утверждения является то, что модель (2.2) позволяет корректно учитывать влияние внутренних источников тепла T (Q f ) и моделировать процесс теплопроводности газа k f по длине x x трубопровода (в том числе турбулентной теплопроводности ). Использование молекулярного коэффициента теплопроводности газа позволяет при отсутст вии течения корректно учитывать прогрев (охлаждение) газа по длине трубопровода за счет процессов теплопроводности. Все вышесказанное спо собствует выбору модели (2.2) при анализе аварийных ситуаций (включая пожары на газопроводах). Также модель (2.2) (в отличие от модели (2.14)) дает возможность корректно учитывать изменения диаметра трубопроводов (как по длине трубопроводов, так и во времени), что, несомненно, расширяет область По отношению к выбранной системе координат.

Разумеется, при корректном задании эффективного коэффициента k.

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 44 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров ее практического применения.

Перейдем теперь к анализу предлагаемых в работах [7, 20] уравнений для моделирования течения газа по трубопроводу в параметрах, принятых в ука занных публикациях. Рассмотрим уравнение неразрывности (см. (2.14а) или (2.15а)). В качестве искомых функций здесь были выбраны: q, p и ( Z T ), где Z – коэффициент сжимаемости газа. Параметр Z используется в следующем представлении термического УРС:

p = Z (,T ) R T. (2.16) Выразим плотность из (2.16):

p = (2.17).

R ( Z T ) С учетом формулы для элементарного приращения функции двух переменных [33], а также (2.17), запишем:

1 p d ( Z T ) = d ( Z T ). (2.18) d = dp + dp ( Z T ) R ( Z T ) R ( Z T ) p Отсюда ( Z T ) p 1 p = (2.19).

t R ( Z T ) t R ( Z T ) t Рассмотрим теперь второе слагаемое уравнения (2.14а). С учетом (2.13) для не го можно записать:

( w ) c q =. (2.20) x f x Подставим (2.19) и (2.20) в (2.14а). Умножив уравнение на R ( Z T ), получим:

p ( Z T ) c q p + R ( Z T ) = 0.

(2.21) t Z T t f x С учетом формул (Z T ) (Z T ) D f= =, (2.22), 2 (Z T ) t t соотношение (2.21) можно переписать в виде:

( Z T ) 4 c p q p R ( Z T ) + = (2.23а) x 2 ( Z T ) D t t 2 или 4 c Z R T q p R ( Z T ) p = + (2.23б).

D t x t R (Z T ) Данная формула в [7, 20] представлена в следующем виде (cм. (2.9) из [7] и (4) © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 из [20]) 1:

4 ZRT q pR ( ZT ) p = c 2 + (2.24).

D x t t Сравнение (2.23б) и (2.24) показывает, что уравнение в [7, 20] содержит ошиб ку.

Одним из важных свойств разностных схем является консервативность [34– 36], обеспечивающая выполнение интегральных законов сохранения для ячеек разностной сетки. Отсутствие данного свойства приводит к появлению в раз ностной схеме дополнительных источниковых слагаемых чисто разностной природы, связанных с тем, что на общих границах соседних ячеек потоковые слагаемые аппроксимированы различным способом. Например, в консерватив ных схемах для уравнения неразрывности на общих пространственных границах соседних ячеек должны совпадать аппроксимации величины ( w ) (массового расхода через поверхность единичной площади), т.е. присутство вать дивергентная форма записи дивергентной разностной производной ( w ) x. Аналогично, для консервативных схем должна присутствовать дивергентная форма записи производной t. Естественно, что кроме раз ностных слагаемых, аппроксимирующих в дивергентной форме два рассмотренных члена, разностное уравнение не должно содержать дополни тельных слагаемых.

Выполнение указанных свойств гарантирует изменение параметров течения только за счет физически-обоснованных слагаемых, например, изменение мас сы газа в объеме только за счет притоков газа через границы объема.

Недостатком записи уравнения неразрывности в форме (2.23б) является слож ность построения консервативных разностных схем, обусловленная необходимостью доказательства для таких схем интегрального закона сохране ния массы применительно к ячейкам разностной сетки. В связи с этим, даже при условии корректной записи (2.24), его разностные аналоги не могут обла дать консервативностью. Данный тезис относится и к другим формам записи законов сохранения, приведенным в работах [7, 20] с использованием подоб ных искомых функций.

Перейдем к рассмотрению модификации уравнения движения. Поскольку исходная запись (2.14б) содержит ошибки (см. выше), при выводе уравнения в независимых параметрах работ [7, 20] в качестве базового уравнения примем (2.15б). Умножим его на ( 2 p ) и алгебраически преобразуем каждое слагае мое получившегося уравнения.

Первое слагаемое. Используя (2.13), запишем:

( w) ( q c f ) 2 p c q q = 2 p c 2 p = 2 p =. (2.25) t D t t t f Здесь форма записи уравнений заимствована из [7].

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 46 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров Второе слагаемое. Используя (2.13) и (2.17), запишем:

( w2 ) ( w ) w = 2 p q c q c = = 2 p 2 p f x x x f 2 p c2 q 2 2 p c2 q 2 Z R T 32 p c2 R q 2 Z T = = = = x 2 D x x f2 f2 p p Z T q 32 R = c2 p (2.26).

2 D4 x p Третье слагаемое:

p p 2 p = (2.27).

x x Четвертое слагаемое:

z1 z z 2 g p g 2 p = g 1 2 p = p2 1. (2.28) x Z R T x Z R T x Пятое слагаемое:

( w) w p 2 p 2 p w w D = w w D = = 0, 25 D 8 f 8 D q c q c p 2 p = = c 2 q q = f D f f D 16 R Z T Z R T 16 p = c2 c q q.

2 4 q q = (2.29) D 2 D p D Подставим полученные слагаемые в исходное уравнение:

Z T q2 z q 32 R p 2 2 g 2 p c + c2 2 4 p = p2 t D 2 D x x Z R T x p 16 R Z T c q q (2.30а) 2 D или 16 R Z T p 2 q c q q 2 p c = D t D x 2 Z T q2 z 32 R 2 g c2 2 4 p p2 1. (2.30б) D x Z R T x p В [7, 20] данное уравнение записано так (см. (2.7) из [7] и (3) из [20]):

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 16 RZT ZTq 2 2 g 2 dz p 2 q 32 R = 2 5 c2 q q 2 p c c2 2 4 p. (2.31) p D D x p ZRT x t dx Как видно из сравнения (2.30б) и (2.31), в [7, 20] при описании уравнения дви жения были допущены некоторые ошибки:

• третье слагаемое в (2.31), учитывающее изменение во времени приведенно го к стандартным условиям объемного расхода, не содержит коэффициента 4 ( D 2 ) = 1 f ;

• при описании силы тяжести (последнее слагаемое (2.31)) вместо частной производной x в [7, 20] использовалась запись полной производной d dx 1.

Отметим определенную непоследовательность в изложении материала в ра боте [7]. В ней утверждается, что (2.31) получено из уравнения (2.14б). Однако, вид слагаемого, характеризующего сопротивление трения в данных уравнени ях, различен, и это не объясняется последовательностью преобразований, используемых при получении уравнения (2.31). Как было отмечено выше, (2.14б) предназначено для описания течения газа по трубопроводу только с по ложительными скоростями. Напротив, слагаемое, характеризующее силу трения в уравнении (2.31), уже учитывает возможность изменения направления скорости. Также наблюдается определенный произвол в использовании обо значений. Так, например, символ « z » в соседних абзацах данной работы используется для обозначения: коэффициента сжимаемости в термическом уравнении состояния;

высоты прокладки трубопровода;

третьей декартовой координаты. Причем в каждом конкретном случае смысл переменной z может быть различным. Пояснения указанных обозначений при описании одномер ных уравнений течения газового потока по трубопроводу, к сожалению, отсутствуют 2. По мнению авторов настоящей монографии, отмеченный произ вол в обозначениях для работ, претендующих на широту охвата и глубину анализа рассматриваемой тематики, является крайне не желательным 3.

Перейдем к рассмотрению уравнения энергии. Поскольку исходное уравне ние энергии в монографии [7] записано в ошибочном виде (см. выше), рассмотрим в качестве исходного – уравнение (2.2в), деленное на постоянное значение f :

Что в данном случае автор работ [7, 20] имел в виду, к сожалению, остается не ясным. Возмож ность опечатки маловероятна, поскольку рассматриваемое слагаемое в таком виде представлено также в уравнении энергии из монографии [7].

Дополнительно, произвол в обозначениях работы [7] проявился при описании уравнения движе ния и энергии. В этой публикации на определенном шаге без соответствующих указаний были заменены обозначения уровня прокладки трубопровода с « z » на « H ». Подобная смена обозначе ний чревата для читателей потерей понимания сути излагаемого материала.

Особенно, учитывая то, что монография [7] рекомендована ее автором в качестве учебного посо бия для студентов профильных высших учебных заведений.

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 48 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров ( p w) w z w + + w + w g 1 + = t x x x 2 T (T, Tос ) + Q + k (2.32).

x x f Конечный вид уравнения энергии в работе [7], записанный в функциях, применяемых в этой монографии, представлен в энтальпийной форме. Полу чим данное уравнение, используя сначала параметры, принятые в настоящей монографии. Для дальнейших выкладок приведем формулы, справедливость которых можно проверить элементарными преобразованиями (см. также [14]):

( w) w2 w2 = w (2.33а) ;

t 2 t t 2 ( w2 ) w2 ( w ) w = w w. (2.33б) x x x 2 Перепишем два первых уравнения системы (2.15):

( w ) + = 0;

(2.34а) t x ( w) ( w ) = p g z w w + (2.34б).

t x x x 2 D Сложим (2.34б), умноженное на w, и (2.34а), умноженное на ( w2 2 ) :

( w )w ( w) ( w) w2 w + w = t 2 t x x p z w = w w g 1 (2.35).

x x 2 D Учитывая (2.33), соотношение (2.35) можно преобразовать к виду:

w2 w2 z p w + w = w w g (2.36).

t 2 x x x 2 D Уравнение (2.36) представляет собой один из законов сохранения, а именно – закон сохранения кинетической энергии. Проинтегрируем (2.36) по произволь ному объему трубы V, ограниченному стенкой трубы и двумя поперечными сечениями 1 f и f1 на расстоянии x (левое сечение соответствует символу f, правое – символу f1 ):

Площадь поперечного сечения трубы в рассматриваемом случае является постоянной величиной.

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 w2 w t dV = w dV + x V V z p w + w dV + w g 1 dV (2.37) dV.

x x 2 D V V V Уравнение (2.37) с физической точки зрения можно трактовать следующим об разом: изменение во времени кинетической энергии газа (находящегося в объеме 1 V ) w2 w2 w t dV = f dx = f (2.38) dx x t x t 2 2 V будет определяться притоком (оттоком) кинетической энергии через границы объема w2 w2 w dV = w f dx = f w w dx = x x x x x 2 2 V w2 w w2 w = f w w = f w w, (2.39) 2 f 2 f 2 f 2 f а также работой сил внутреннего давления p p p w dV = w f dx = f w dx, (2.40) x x x x x V работой силы тяжести z1 z w g dV = g f w 1 dx (2.41) x x x V и работой силы трения w f w dx.

dV = (2.42) 2D 2 D x V Отметим, что работа сил давления и тяжести (при положительных значени ях) идут на увеличение кинетической энергии, а работа сил трения – на ее уменьшение. Это хорошо видно из (2.37). Для демонстрации рассмотрим по ложительно направленную скорость. Внезапное повышение (по модулю) отрицательного 2 градиента давления приведет к повышению значения произ водной по времени от кинетической энергии (при одинаковых остальных слагаемых правой части (2.37)). Это означает, что с течением времени кинети В качестве элементарного объема можно рассматривать dV = f dx.

В горизонтальных неподвижных трубах газ течет в сторону меньшего давления.

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 50 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров ческая энергия газа в рассматриваемом объеме V будет увеличиваться 1. Ана логично (см. (2.39)), отток на правой границе (соответствующей сечению f1 ) большего количества кинетической энергии по сравнению с ее притоком на ле вой границе (соответствующей сечению f ) определяет уменьшение кинетической энергии во времени для рассматриваемого объема V (при неиз менных остальных слагаемых правой части (2.37)). Для слагаемых (2.41) и (2.42) рассуждения об их влиянии на кинетическую энергию аналогичны.

Заметим также, что в уравнении (2.32) (определяющем изменение полной энергии) слагаемое, характеризующее работу силы трения, отсутствует. Это означает, что часть кинетической энергии, отбираемой у транспортируемого газа за счет работы сил трения, «идет» на увеличение внутренней энергии, т.е.

на нагрев транспортируемого газа.

Вычтем из (2.32) уравнение (2.36):

T ( T, Tос ) ( ) ( w ) w w + + = p + Q + k. (2.43) t x x 2 D x x f По аналогии с анализом (2.36, 2.37), закон сохранения внутренней энергии с физической точки зрения можно объяснить следующим образом. На изменение внутренней энергии газа во времени (в произвольном объеме трубы V ) влияет приток/отток данной энергии через границы объема (соответствующий слагае мому ( ( w ) x ) ), работа сил давления (соответствующая слагаемому ( p w x ) ), работа сил трения ( w ( 2 D ) ), внутренние источники те T пла Q, процесс теплопроводности k и тепловой обмен с x x окружающей средой ( (T, Tос ) f ).

Обратим внимание на то, что в (2.43) стоит слагаемое, характеризующее ( ( 2 D ) ), в таком же виде, что и в (2.36), но с обратным силу трения w знаком. Это еще раз подтверждает, что сила трения «переводит» кинетическую энергию во внутреннюю энергию. Заметим также, что полная работа сил дав ления ( ( p w ) x ) распределяется между кинетической и внутренней энергиями газа в определенных пропорциях. Как было описано выше, часть данной работы, выражаемая в виде ( w p x ), способствует ускорению газа (повышению его кинетической энергии). Оставшаяся часть, имеющая вид ( p w x ), влияет на изменение внутренней энергии (см. (2.43)).

Если не учитывать внутренние источники тепла и процесс теплопроводно сти, можно получить следующую запись уравнения изменения внутренней энергии:

Как правило, это соответствует ускоряющемуся движению газа.

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 ( T, Tос ) ( ) ( w ) w w + + = p (2.44).

t x x 2 D f Подставив (2.5) в (2.44), получим уравнение энергии в энтальпийной форме (уравнение изменения энтальпии):

( h) ( w h) (T, Tос ) p p w + w + + = (2.45).

t x t x 2 D f Вычитая из (2.45) уравнение неразрывности (2.34а), умноженное на h, полу чим уравнение изменения энтальпии с недивергентной левой частью:

(T, Tос ) h h p p w + w = + w + (2.46).

t x t x 2 D f Преобразуем данное уравнение к искомым функциям работы [7]. Для этого сначала распишем коэффициент Джоуля–Томсона, используя термическое уравнение состояния (2.17). Исходя из данного уравнения, следует:

Z R T = = (2.47), p где – удельный объем. Из (2.47) получаем:

R T Z R R T Z Z = + = + (2.48).

T p T p T T p p p p Согласно (2.10), (2.7):

R T 2 Z 1 h = = = T (2.49).

c p T c p p T c p T p p p Воспользовавшись формулами (2.12), (2.13) и (2.49), распишем некоторые сла гаемые (2.46).

h T R T 2 Z p = cp ;

(2.50) t t T p t p h T R T 2 Z p w = w cp w = x x T p x p q c T q c R T 2 Z p = cp ;

(2.51) f x f T p x p p q c p w = ;

(2.52) f x x © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 52 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров 3 q c w = (2.53).

2 f 3 2 D 2 D Подставим полученные выражения в исходное уравнение и поделим на ( cp ) :

Z p q c T q c R T T R T 2 Z p + = T p t f x f p c p t p c p T p x (T, Tос ) q c q c 1 p p = + + +.

c p t f c p x 2 f c p D f c p 2 3 Преобразуем плотность по термическому УРС (2.17).

Z p q c Z R T T q c Z R T R T T R T 2 Z p + = t p c p T p t x p cp T p x f p f p q 3 Z 3 R3 T Z R T 1 p q c Z 2 R 2 T 2 p + 3 c = + + c p t f c p x f cp p p p Z R T (T, Tос ) + (2.54).

f p cp Объединим идентичные слагаемые:

Z T q c Z R T T p R T T +Z+ T x t t p c p f p p q c3 Z 3 R 3 T 3 Z R T ( T, Tос ) Z p q c Z R 2 T T +Z= +.

T x f p2 cp 2 f 3 c p p3 D f p cp p (2.55) Изменим последовательность слагаемых (2.55) по аналогии с [7, 20]:

Z p T Z R T q c T R 2 Z T 2 q c + Z + T T p x t f p x cp f p2 (T, Tос ) Z R T R T Z p q c Z R T 3 3 3 Z + T = +. (2.56) cp p T p t 2 f cp p D cp f p 3 Данное уравнение в [7, 20] представлено в следующем виде (см. (2.11) из [7] и (5) из [20]):

T ZRTq c T R 2 ZT 3 q c Z p RT Z p + Z +T = t f p x c p f p 2 T x c p p T t K mo Dн ( T Toc ) ZRT gq c ZRT dz = (2.57), cp f p c p f p dx © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 где K mo – коэффициент теплообмена трубы с внешней средой [7];

Dн – внеш ний диаметр трубы [7];

Toc – температура окружающей среды [7]. В комментарии к данному уравнению автор [7, 20] заметил, что слагаемое gq c ZRT dz c p f p dx «характеризует изменение внутренней энергии потока в наклонных трубопро водах».

Как видно из сравнения (2.56) и (2.57), в [7, 20] при представлении уравне ния допущен ряд существенных неточностей и ошибок:

1. В уравнении (2.57) некорректно используется запись Z T. В термодина мике рассматриваются различные процессы: изобарические, изохорические, адиабатические и т.д. Из приведенного вида слагаемого в общем случае не ясно, к какому процессу относится данная частная производная (т.е. при ка ком фиксированном параметре она берется).

2. В уравнении (2.57) отсутствует член R 2 Z 2 T 2 q c p, x cp f p который является преобразованием слагаемого (см. (2.46)), определяющего влияние работы сил давления на изменение энтальпии:

p w. (2.58) x 3. В уравнении (2.57) отсутствует слагаемое, характеризующее влияние рабо ты силы трения на изменение внутренней энергии газа:

q c3 Z 3 R 3 T.

2 f 3 c p p3 D 4. В (2.57) при описании силы тяжести, как и в уравнении движения (см. вы ше), вместо частной производной z1 x ошибочно используется запись полной производной.

5. В уравнении (2.57) ошибочно присутствует слагаемое gq c ZRT dz.

c p f p dx Как известно (см. выше), сила тяжести напрямую не оказывает влияния на внутреннюю энергию и энтальпию.

6. Уравнение (2.57) можно интерпретировать как закон сохранения энергии для объема газа, ограниченного поперечными сечениями трубы (располо © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 54 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров женными на элементарном расстоянии друг от друга) и внутренней стенкой трубы. По данной причине введение параметра Dн (значение наружного диаметра трубы) при описании функции теплообмена в уравнении (2.57) вместо D можно считать не обоснованным.

Теперь перейдем к анализу математических моделей для оценки параметров течения газа по трубопроводу, изложенных в монографии [22]. К сожалению, уже при записи базовых законов механики сплошных сред в трехмерной по становке в данной публикации наблюдаются определенные некорректности.

Проиллюстрируем вышесказанное.

Трехмерные уравнения неразрывности, движения и энергии для контроль ного объема V, ограниченного поверхностью S, в работе [22] представлены в форме (см. Разделы 1.1.2, 1.1.3 и 1.1.4 из [22]):

# # dV + n dS = 0;

(2.59а) t V S # # # # dV + n dS = V FdV + Pn dS ;

(2.59б) t V S S ## ## # # EdV + En dS = V F dV + Pn dS + %, (2.59в) t V S S !

# где 1 – плотность газа;

n – проекция вектора скорости на направление внешней нормали к поверхности S ;

F – гравитационная сила, отнесенная к # ## единице массы;

Pn – вектор напряжения поверхностных сил;

E = + 2 2 – # полная энергия единицы массы, состоящая из суммы внутренней и кинети ческой энергии 2 2 ;

% – приток тепла к контрольному объему.

В записи основных законов сохранения (2.59) следует отметить некоторые недостатки (см. (2.1)). Во-первых, производные по времени в (2.59) должны стоять под знаком интеграла. Для произвольного (в том числе изменяющегося) объема V, ограниченного поверхностью S, применение производной по вре мени вне интегралов по объему представляется ошибочным. Во-вторых, при рассмотрении в работе [22] системы трехмерных уравнений (2.59) остается не описанным параметр 2. По-видимому, использование данного символа в !

(2.59б) и (2.59в) является ошибочным. На его месте должен стоять параметр.

В-третьих, обозначение гравитационной силы, отнесенной к единице массы, применено некорректно. Здесь в уравнениях используется скалярная величина !

F, тогда как смысл этого параметра в уравнениях – вектор F.

В качестве одномерных уравнений, описывающих течение газа по трубо Здесь легенда используемых обозначений заимствована из [22].

Данный параметр в [22] описан при рассмотрении только одномерных уравнений, где, как из вестно, символ вектора над данным параметром ставить не требуется.

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 проводу, в монографии [22] рассматриваются следующие соотношения 1 (см.

(1.1.1), (1.1.3), (1.1.4) из [22]):

( f ) ( f w) + = 0;

(2.60а) t x ( w2 f ) = ( pf ) g f dz ( wf ) f w w + (2.60б) ;

t x x dx 2D ( Ef ) ( wfE ) ( pwf ) T dz wgf 1 + DH q + k + = (2.60в) f, t x x x x dx где q – удельный тепловой поток через стенку трубы [22];

DH – наружный диаметр (см. выше список замечаний (пункт 6)).

Легко заметить, что система (2.60) аналогична системе (2.2), за исключени ем учета изменения во времени площади сечения трубопровода и влияния внутренних источников тепла. По модели течения газа по трубопроводу (2.60) можно сделать следующие замечания:

1. Слагаемое ( pf ) x, характеризующее влияние давления газа в уравнении движения (2.60б), приведено в некорректной форме (с точки зрения рас сматриваемой в [22] постановки задачи). При корректной записи указанного слагаемого оно будет иметь вид ( f p x ) (см. (2.2)).

2. Использование параметра E в (2.60в) не корректно по сути определения данного параметра. В [22] он вводился при описании трехмерного уравне !

ния энергии и выражается через квадрат скорости E = + 0,5 2.

Формально в уравнении (2.60в) запись для параметра E должна иметь не сколько другой вид: E = + 0,5 w2.

3. Как и в работах [7, 20], в уравнениях движения и энергии при описании влияния силы тяжести в [22] вместо частной производной z1 x ошибочно использована полная производная dz1 dx.

4. Описание параметра q не является полностью корректным. В частности, здесь не указывается направление данного теплового потока. В записи (2.60в) положительное значение этого параметра соответствует притоку те пла из окружающей среды (аналогом произведения ( DH q ) в системе уравнений (2.2) является величина (T, Toc ) ).

Подобных некорректностей, к сожалению, не удалось избежать во многих публикациях по тематике, рассматриваемой в Главе 2. Например, в [11] приво дится вариант математической модели, описывающей «режимы транспорта газа по линейному участку» газотранспортной системы. Чтобы не загромож Здесь форма записи уравнений заимствована из [22], при этом используемые обозначения соот ветствуют (2.2).

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 56 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров дать материал настоящей Главы излишними подробностями, рассмотрим одно из уравнений данной системы (см. (1.5.2) из [11]):

p W + f T = 0, (2.61) t x где p – давление;

= Z g R f ;

Z – коэффициент сжимаемости газа;

g – ускорение свободного падения;

R – газовая постоянная;

f – площадь поперечного сечения трубы;

W – удельный массовый расход [11].

Оценим размерность второго слагаемого в уравнении (2.61):

( w) p W f T x = Z R g T x = g x ( w ) = H м3 м 1 кг м H = 2 2 3 =.

м кг с м м с м с Первое слагаемое в уравнении (2.61) имеет следующую размерность:

1 H H p = 2 = 2.

t c м м с Сравнение последних двух формул показывает несогласованность слагаемых уравнения (2.61), что, в свою очередь, иллюстрирует некорректность самого уравнения.

Подобные некорректности встречаются и в других публикациях. Рассмот рим для примера работу [10]. В ней указано, что «течение газа в длинных трубопроводах хорошо описывается системой уравнений в частных производ ных» (см. (1.3.1) из [10]):

p 2 p q = A q q ;

= B, x t x где 1 p ( x, t ), q ( x, t ) – средние по сечению трубы давление и коммерческий расход газа;

A, B – коэффициенты, зависящие от размеров трубы и свойств газа. Подобная модель рассматривается ниже (см. (2.89)). При этом показыва ется, что она построена на базе существенных упрощений. Данные упрощения практически исключают возможность получения практически значимых ре зультатов моделирования.

Познакомимся с монографией [24]. К сожалению, в этой работе ошибки встречаются уже в описании полной системы базовых трехмерных уравнений газовой динамики. Например, трехмерное уравнение неразрывности в [24] представлено в двух видах 2 (см. (11.2, 11.3) из [24]):

Здесь легенда используемых обозначений заимствована из [10].

Форма записи уравнений заимствована из [24], при этом используемые обозначения соответству ют (2.1).

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 # p ( x ) ( y ) ( z ) # # # + + + = 0, (2.62а) t x y z или в векторной форме:

# p !

+ div = 0. (2.62б) t Корректная запись данного уравнения имеет вид 1 (см. (2.1а), а также [37]):

# ( x ) ( y ) ( z ) # # # + + + = 0, (2.63а) t x y z или # #!

+ div ( ) = 0, (2.63б) t !

где x, y, z – проекция вектора скорости на оси Ox, Oy и Oz соответст венно. Сравнение (2.62) и (2.63) показывает, что в публикации [24] допущены следующие опечатки и ошибки:

# # 1. На месте символов p (давление) должны стоять символы (плотность).

# 2. Уравнение (2.62б) не содержит символа (плотность) под знаком дивер генции.

Трехмерное уравнение движения в [24] представлено в следующем виде ( x -ая составляющая данного уравнения (см. (11.1) из [24])):

# # # # # ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) # p +x +y +z = Fx +2 x + t x y z x x x 2 !

+ x + x + y + z ( div ). (2.64) y y z z y x z x 3 x Корректная запись уравнения движения в векторной форме имеет вид (см.

2.1б), а также [12, 13, 37]):

#!

( ) ! # ! ! !# ! #!

+ ( ) = p + + F, (2.65) t где – символ тензорного произведения. В прямоугольной декартовой систе ме координат тензорное произведение можно записать в виде 2:

Далее будет применяться только прямоугольная декартовая система координат.

Для обозначения составляющих вектора скорости, наряду с обозначениями x, y и z, будут использоваться обозначения 1, 2 и 3.

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 58 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров !

!

(a b ) = ai b j ;

(2.66) ij – тензор вязких напряжений [38]:

2 ij = i + j ij k, i, j, k = 1,3, (2.67) x j xi 3 xk ij – символ Кронекера ( ij = 1, если i = j, и ij = 0, если i j );

– коэффи циент динамической вязкости.

На основании (2.65) x -ую составляющую уравнения движения можно за писать в виде:

#2 # ( x ) ( x y ) # # # ( x ) ( x z ) p # = Fx + 2 x + + + + t x y z x x x y x x z 2 !

3 x ( div ). (2.68) + + y x + + y y z z z x Сравнение (2.68) и (2.64) показывает, что члены, соответствующие дивергент ! #! !

ному слагаемому ( ) в (2.64) записаны некорректно.

Уравнение энергии в [24] представлено в виде 1 (см. (11.3) из [24]):

# ! # div q 1 dp 1 qv h = # + # + # + #, (2.69) t t # где 2 h – энтальпия;

1 – диссипативная функция Релея [24]. К сожалению, обозначения остальных параметров уравнения (2.69) в [24] отсутствуют. Про водя преобразования с трехмерными уравнениями газовой динамики по аналогии с (2.46), можно получить следующее уравнение изменения энтальпии (см. также (5.100) из [14]):

# # # h # ! ! # p ! ! # ! ! !! #!!

( ) + h = + p + ( ) + Q W (2.70) t t или # # # dh d p ! !!! #!!

( ) + ( ) + Q W, = (2.71) dt dt !

!

где W = k T – вектор плотности потока тепла ( k ( p, T ) – коэффициент те Форма записи уравнений заимствована из [24], при этом используемые обозначения соответству ют (2.1).

Здесь пояснения заимствованы из [24].

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 плопроводности, T – температура газа);

Q – удельная (на единицу объема) мощность источников тепла;

d (...) dt – полная (субстанциональная) произ водная [37].

!!

Сравнение (2.71) и (2.69) дает возможность предположить, что q = W ;

! !!! # ( ) 1 = ( ) ;

qv = Q. Однако, даже с учетом принятых обозначе ний, вид уравнения энергии монографии [24] содержит ошибки, связанные с # # необоснованной заменой субстанциональных производных dh dt и d p dt на # # частные производные (по времени) h t и p t.

Для замыкания системы уравнений газовой динамики (2.62, 2.64, 2.69) в ### [24] предлагается только термическое УРС f ( p,, T ) = 0 (см. (11.4) из [24]).

Замыкание системы уравнений калорическим УРС в [24] не рассматривается.

Одномерные уравнения, описывающие течения газа по трубопроводу в [24] содержат ошибки, аналогичные вышеперечисленным. Например, для описания течения газа по трубопроводу в [24] предлагается следующее одномерное уравнение энергии 1 (см. (11.18) из [24]):

c p c p 2T T w T T c pT + T + T + cp = 2 + +w + x T t x x T x T p 2 R (Tст T ), + + p x x f где 1 – коэффициент теплоотдачи;

Tст – температура стенки трубы. Не уг лубляясь в подробный анализ корректности данного уравнения, обратим внимание на одну из ошибок. Поскольку из термодинамических параметров в рассматриваемой системе уравнений независимыми являются два (например, пары параметров ( p, T ), (,T ) и т.д.), данное уравнение должно содержать частные производные по времени от обоих параметров (см., например, (2.56)).

Однако в приведенном уравнении присутствует только T t.

Итак, представленный выше анализ применимости различных моделей неизотермических неустановившихся режимов течения газа в расчетном ядре ГДТ убедительно показал, что для данных целей целесообразно ис пользовать модели, изложенные в работах [12, 14]. К сожалению, модели работ [7, 10, 11, 20, 22, 24], содержащие многочисленные ошибки и некор ректности, являются неприемлемыми для разработки современных ГДТ 2.

Продолжая анализ существующих методов моделирования течений газа в однониточном трубопроводе, рассмотрим предлагаемые способы расчета Форма записи уравнений заимствована из [24], при этом используемые обозначения соответству ют (2.2).

Этот вывод полностью распространяется и на построение расчетных ядер ГДС.

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 60 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров функции ( T, Toc ). Как отмечалось ранее, данная зависимость характеризует теплообмен ядра газового потока с окружающей средой через газовый погра ничный слой, стенку трубы, изоляцию трубы, а также через прилегающие воздушную прослойку и/или грунт (водную среду). Она выражает собой удельный (на единицу длины) суммарный тепловой поток по периметру по перечного сечения с площадью f от транспортируемого газа в окружающую среду ( ( T, Toc ) 0 – идет отвод тепла;

Tос – пространственно-временное рас пределение температуры окружающей среды на границе расчетной области).

Пространственно-временные распределения функции ( T, Toc ) определяются двумя основными способами.

Первый способ (см., например, [12, 13, 24, 25]) предполагает решение се рии сопряженных двумерных или трехмерных задач теплообмена ядра газового потока с окружающей средой на заданных временных шагах чис ленного анализа параметров нестационарного транспортирования газа.

При этом расчеты проводятся для предварительно выбранных ограничен ных участков однониточного газопровода, окруженных средами с известными теплофизическими свойствами. В качестве иллюстрации вы шесказанного на рис. 2.3 представлен пример геометрии поперечного сечения упрощенной расчетной схемы для сопряженной тепловой задачи, где D1 – на ружный диаметр изоляции;

D 2 – внутренний диаметр трубопровода;

H1 – глубина, на которой задана температура грунта;

H 2 – расстояние между осью трубопровода и поверхностью грунта.

Рис. 2.3. Расчетная схема для анализа теплообмена между транспортируемым газом и окружающей средой Результатами такого сопряженного анализа являются оценки удельного суммарного теплового потока ( T, Toc ) и соответствующие оценки парамет ров течения газа по трубе. Расчет значений функции ( T, Toc ) и расчет параметров течения газа могут быть разделены по разным временным шагам моделирования. Данное разделение допустимо по причине существенных раз личий в динамике изменения указанных величин во времени. Аппроксимация результатов расчетов суммарного теплового потока на всю длину трубопрово © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 да и на промежуточные временные шаги численного моделирования течения газа, как правило, проводится с использованием полиномиальных функций.

Для решения сопряженных двумерных или трехмерных задач теплообмена ядра газового потока с окружающей средой может использоваться, например, компьютерная аналитическая система «Alfargus» [15]. Характерная картина температурного поля вокруг газопровода, полученная с помощью «Alfargus», представлена на рис. 2.4.

Второй способ нахождения пространственно-временных распределений функции ( T, Toc ) предполагает отказ от численного решения сопряжен ных задач теплообмена [7, 20, 22, 24]. При этом значения суммарного теплового потока ( T, Toc ) (где Toc рассматривается как температура грунта в случае подземной прокладки трубопровода) определяются по простейшей обобщенной аналитической зависимости, описывающей теплопередачу от газового ядра к окружающей среде в соответствие с широко известным за Применение данного упрощенного подхода к анализу коном теплопередачи 1.

неизотермических течений в трубах до середины 90-х годов прошлого века оп равдывалось сложностью моделирования теплообмена на существовавшей в то время вычислительной технике.

Рис. 2.4. Пример расчетной оценки температурного поля [К] вокруг подземного трубопровода, транспортирующего природный газ В современных условиях использование при численном анализе неизотер мических режимов течения газов аналитической записи закона теплопередачи с обобщенными коэффициентами теплопередачи (см. [7, 20, 22, 24]) имеет ма лую перспективу при решении производственных задач, т.к. часто приводит к весьма грубым оценкам параметров теплообмена газа с окружающей средой, не обладающим практической ценностью. Такой вывод был обоснован автора В работах [7, 22, 25] авторы предлагают называть формулу для описания процессов теплопереда чи законом Ньютона. Это не совсем корректно, т.к. закон Ньютона (точнее закон Ньютона– Рихмана) в классической теории тепло- и массообмена используется только для описания процес сов теплоотдачи (см., например, [63, 64, 65]).

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 62 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров ми монографии в конце 90-х годов прошлого века. Он получил свое подтвер ждение в их совместных исследованиях с учеными Математического института Словацкой академии наук и Московского инженерно-физического института (Технического университета) при проведении серии численных (одномерных, двумерных и трехмерных) и натурных экспериментов [12, 13, 16–19]. К анало гичному заключению также пришли специалисты компании «Scandpower Petroleum Technology A.S.» (Норвегия) при разработке для моделирования мно гофазных течений по трубопроводам известного программного комплекса «OLGA 2000» [39].

В настоящее время первый способ оценивания значений ( T, Toc ) находит достаточно широкое практическое применение в российском трубопроводном транспорте, о чем свидетельствуют публикации А.А. Атавина, Ю.В. Колевато ва, Д.А. Колобердина, С.М. Кунца и др. (см., например, [11]).

Перейдем к рассмотрению способов расчета коэффициента гидравлическо го сопротивления трения для (2.2б). Данный коэффициент может быть рассчитан по модифицированным составным расчетным формулам, основан ным на анализе и обобщении широко известных полуэмпирических зависимостей Кольбрука–Уайта и Филоненко–Альтшуля [14, 40, 41]. Также следует отметить, что на практике коэффициент часто подбирают в процес се численных и натурных экспериментов. Объясняется это тем, что гидравлическое сопротивление участка трубопровода зависит от многих фак торов, главные из которых – искусственные сопротивления (отложения гидратов, засоренность песком и т.п.). Точный учет этих факторов невозможен.

Поэтому коэффициент позволяет учесть их интегральный эффект. Здесь це лесообразно сделать несколько замечаний.

При проведении анализа расчетных зависимостей для оценки гидравличе ского сопротивления трения в трубопроводах внимание авторов настоящей монографии привлекла работа [7].


Многообразие формул для расчета коэффи циентов гидравлических сопротивлений, приведенных в указанной монографии, позволяет отнести ее к научным трудам, претендующим на широ ту охвата и глубину анализа данной тематики. Здесь следует подчеркнуть, что публикация [7] является одной из немногих работ, в которой перечислено большинство применяемых в настоящее время в газовой промышленности формул для расчета параметра. При этом, в качестве основной цели книги [7], ее автор ставит обучение «сотрудников, занимающихся проблемами разра ботки расчетных компьютерных комплексов моделирования и оптимизации, как отдельных технологических объектов, так и в целом газотранспортных систем». Он указывает, что в работе [7] «приведены основные расчетные мето ды, формулы, алгоритмы в форме, ориентированной на их практическое применение».

С представленной выше цитатой из работы [7] авторы настоящей моногра фии, к сожалению, не могут согласиться. Прежде всего, это связано с тем, что в данной работе отсутствуют подробный анализ применимости предлагаемых формул и конкретные рекомендации по их использованию. В ней также не со держится анализ разрывности функциональной зависимости коэффициента © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 трения от чисел Рейнольдса Re и относительной шероховатости стенок труб при переходе между использованием зависимостей, соответствующих разным режимам течения 1. Данное обстоятельство может приводить к отсутст вию устойчивости численных алгоритмов моделирования течения газа по трубопроводным системам.

По перечисленным выше причинам монографию [7] с точки зрения описа ния гидравлических сопротивлений, к сожалению, можно рассматривать лишь как сборник существующих для этих целей формул. Более пристальное озна комление с представленными в [7] расчетными зависимостями для коэффициентов гидравлического сопротивления также показывает, что их за писи не избавлены от ряда ошибок. С учетом того факта, что данная монография рекомендована в качестве учебного пособия для студентов про фильных высших учебных заведений, остановимся на некоторых из обнаруженных ошибок более подробно. Например, формула Гагена–Пуазейля для расчета потери напора на трение при ламинарном режиме течения в [7] бы ла записана так 32 l hmp = w, D где – коэффициент динамической вязкости;

l – длина рассматриваемого участка трубы;

– плотность газа;

D – гидравлический диаметр трубы, w – средняя по сечению трубы (канала) скорость потока. Однако, как известно [42, 43], данная формула имеет несколько другой вид:

32 l w hmp =, D g где g – модуль ускорения свободного падения. Аналогично, известная форму ла Б.Л. Шифринсона = 0,11 ( ) 0, [42 – 45] (где = D – относительная шероховатость стенки трубы;

– шероховатость стенки трубы) в работе [7] представлена в следующем виде: = 0,11 ( 2 ) 0,. Для приближенной фор 0, мулы А.Д. Альтшуля = 0,11 + [40, 41, 44 – 47] (где Re – число Re 0, Рейнольдса) в [7] используется ошибочная запись: = 0,11 2 +.

Re Указанные выше замечания свидетельствуют, что разработчикам математи ческих методов моделирования ГТС нужно быть осторожными при формальном использовании расчетных зависимостей для оценки значений ко эффициентов гидравлического сопротивления, представленных в Заметим, что формулы расчета коэффициента гидравлического сопротивления трения в зоне сме ны режимов течения для технических труб в [7] также отсутствуют.

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 64 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров многочисленных научно-технических публикациях.

Обратимся к работе [22]. На взгляд авторов настоящей монографии, в ука занной публикации некорректно представлено объяснение возможных режимов течения газа с точки зрения описания коэффициента гидравлического сопротивления трения. Во-первых, диапазон аргумента Re для функции ( Re, ) дан в существенно ограниченном виде – Re 104 (см. рис. 1.3 из [22]). Во-вторых, «зона ламинарного течения» в указанной публикации отнесе на к диапазону 104 Re 106 ;

«зоной смешанного режима течения» назван диапазон 106 Re 107 ;

диапазон Re 107 назван «зоной квадратичного тре ния или зоной турбулентного течения».

Описанная в [22] трактовка является, по мнению авторов настоящей моно графии, не корректной. Аргументируем это заключение. Согласно справочнику [40], ламинарный режим для стабилизированных течений 1 относится к малым значениям числа Re : до Re 2000.

Рис. 2.5. 3ависимocть коэффициента сопротивления трения от числа при неравномерной Рейнольдса и относительной шероховатости шероховатости Переходный режим для гидравлических гладких труб, а также технических труб (с неравномерной шероховатостью внутренней стенки) располагается ме При рассмотрении коэффициента гидравлического сопротивления трения здесь рассматриваются только стабилизированные течения.

Рисунок заимствован из справочника [40].

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 жду Re 2000 и Re 560. Данный режим, в свою очередь, разделяют (см.

рис. 2.5) на критическую зону (объединяет участки [ Re 0, Re1 ], [ Re1, Re 2 ] ), а также участок чисто турбулентного режима Re 2, 560 [40].

Третий режим, называемый квадратичным, соответствует области значений числа Re, для которых зависимость = ( Re, = const ) близка к горизон тальной прямой.

Формулы для расчета коэффициента гидравлического сопротивления тре ния при ламинарном режиме течения, а также в критической зоне переходного режима, применительно к течению газа по трубопроводам, в [22], к сожалению, отсутствуют. Для практического применения, в монографии [22] предлагается зависимость (см. (1.2.11) из [22]):

0, 158 = 0,067 + 2 (2.72).

Re Данная формула близка к формуле А.Д. Альтшуля (см. выше). Исходя из этого, погрешности рассматриваемых зависимостей также близки. Как известно [41], формула Альтшуля получена на базе упрощения формулы, аналогичной фор муле Кольбрука–Уайта [40, 41]:

= (2.73).

2, 2 lg + Re 3, Проведенный анализ [14] показал, что наиболее приемлемые результаты формула Альтшуля показывает при значении относительной шероховатости & 0, 001. Вероятно, указанная формула была выведена именно для этого зна чения параметра. При отступлении от данной величины погрешность формулы существенно возрастает. Например, для часто используемого при мо делировании магистральных трубопроводов значения = 104 погрешность формулы для некоторого диапазона чисел Re превышает 8%.

Остановимся на зависимости Альтшуля более подробно. Данная формула является одной из самых распространенных в технических приложениях. Ее вывод представлен в [41]. В этой работе показано, что формула получается из теоретически обоснованной формулы (подобной формуле Кольбрука–Уайта) за счет нескольких шагов последовательного упрощения. Там же отмечено, что согласно исследованиям Г.А. Адамова, «в интервале относительной шерохова тости от 1, 6 104 до 2,5 102 и при любых числах Рейнольдса (т.е. при всех возможных в практике расчета трубопроводов значениях Re и ) значения коэффициента гидравлического трения, определенного по приближенной фор муле Альтшуля, отклоняются от найденных по исходной формуле не более чем на 5%». Данная цитата соотносится со сделанным выше замечанием о точности © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 66 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров рассматриваемой формулы. Необходимо также заметить, что приведенный в цитате диапазон относительной шероховатости является достаточно за уженным. В настоящее время в промышленности встречаются трубы со значением до 105, и, согласно проведенным исследованиям [14], расшире ние диапазона по параметру еще больше снижает точность формулы Альтшуля.

Из предложенных рассуждений следует, что использование формулы Альт шуля (как и остальных упрощенных формул) для расчета гидравлического сопротивления трения может давать результаты, не позволяющие с высокой точностью оценивать параметры течения газа по трубопроводным системам.

Следует отметить, что слагаемое, характеризующее сопротивление трения, оказывает одно из определяющих действий на параметры течения газа в трубо проводе. По данной причине адекватность моделирования течения газа по протяженному трубопроводу возможна только при высокоточном определении шероховатости стенок труб. Для получения эффективных значений шерохова тости внутренних стенок труб (при настройке модели течения на параметры реального объекта) предлагается их определять из решения соответствующей минимаксной задачи (см., например, [12, 14]). Полученные значения шерохова тости внутренних стенок трубы, очевидно, будут зависеть от материала стенок труб, чистоты транспортируемого газа, длительности эксплуатации трубопро водов, частоты мероприятий по очистке трубопроводов и т.д. При этом найденные эффективные значения шероховатости внутренних стенок трубы будут различными для разных труб, из чего следует, что нахождение какого-то конкретного значения параметра, подходящего для всех труб, является крайне проблематичным.

В силу вышеизложенного довольно странным представляется подход к за данию шероховатости внутренних стенок трубы, предложенный в монографии [22]. В этой работе говорится о том, что «коэффициент эквивалентной шерохо ватости для магистральных газопроводов обычно полагают = 0, 03 мм, что имеет место для монолитных труб без внутреннего антикоррозийного покры тия. В зарубежной практике чаще ориентируются на значение = 0, 01 мм, что, видимо, более приемлемо для стальных труб хорошего качества со специ альным внутренним покрытием». Подобный подход возможен только при проведении оценочных расчетов, причем только для новых трубопроводных систем. Опыт авторов настоящей монографии показывает, что для получения высокоточных оценок параметров транспортирования газа по реальным трубо проводным системам подобный подход не применим. Точность получаемых результатов в случае его использования не удовлетворяет современным требо ваниям, предъявляемым к комплексам моделирования и оптимизации транспортных потоков по сложным разветвленным трубопроводным системам, включающим несколько ЛЧМГ и КС.


Итак, представленный выше анализ применимости различных подходов к моделированию теплообмена транспортируемого газа с окружающей средой и подходов к оценке гидравлических сопротивлений трения в рас четном ядре ГДТ показал, что для данных целей целесообразно © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 использовать модели, изложенные в работе [14] 1.

Для описания установившихся режимов течения система уравнений (2.2) преобразуется к виду:

f w = Cст = const;

(2.74а) dz1 Cст Cст C2 d 1 dp g = ст (2.74б) ;

f dx f dx 2 D f dx d Cст d = 2 dx 2 f dx (2.74в) dT ( T, Tос ) d p dz Q f 1 d g 1 + + k f ;

dx dx Cст Cст dx dx Cст p = p (,T );

= ( p, T ). (2.74г) В специализированных работах по методам моделирования транспортирования газа по трубопроводным сетям [7, 10, 11, 20, 22, 24] вид системы уравнений для установившегося течения газа также не избавлен от ошибок. Рассмотрим в ка честве типичного примера монографию [22]. Для наглядности приведем уравнение (2.46) к виду аналогичного уравнения из [22]. На основании (2.12) рассматриваемое уравнение примет вид:

T p T p cp cp + w cp w cp = t t x x (T, Tос ) p p w + w + = (2.75а) t x 2 D f или T p T p (1 + c p ) + w c p (1 + c p ) w cp = t t x x (T, Tос ) w = (2.75б).

2 D f Поделим (2.75б) на ( c p ) :

T (1 + c p ) p T (1 + c p ) p + w w = cp cp t t x x (T, Tос ) w = (2.76).

f cp cp 2 D Этот вывод полностью распространяется и на построение расчетных ядер ГДС.

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 68 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров Рассмотрим установившиеся течения. Полагая производные по времени рав ными нулю и деля уравнение на w, получаем:

dT (1 + c p ) dp (T, Tос ) w = (2.77).

cp dx w c p 2 D f w c p dx Распишем функцию теплообмена с помощью закона теплопередачи [22]:

(T, Tос ) = DH q, (2.78а) где q = K c (T Toc ), (2.78б) K c – суммарный коэффициент теплопередачи от трубы к окружающей среде (грунту) [22]. Подставляя (2.78) в (2.77), имеем:

dT (1 + c p ) dp w w DH K c (T Toc ) = (2.79а) cp f w cp dx c p 2 D dx или dp w w DH K c (T Toc ) dT 1 dp = (2.79б).

dx c p dx w f cp dx c p 2 D Эквивалентная соотношению (2.79) запись уравнения изменения внутренней энергии для установившихся течений в [22] приведена в виде (см. (1.3.3) из [22]):

g dh DH K c ( T Toc ) dT dp = (2.80).

w f cp dx dx c p dx Сравнение (2.80) и (2.79) показывает, что в уравнении (2.80) пренебрегается слагаемым 1 ( c p ) dp dx. Оценим порядок отброшенной величины. Плот ность метана для условий его транспортировки по магистральным трубопроводам является величиной порядка [48] 30кг / м3 ;

величина тепло емкости имеет порядок 2500 Дж / ( кг K ). Таким образом, коэффициент 1 ( c p ) оценивается величиной порядка 1,34 105 K м 2 / H. Коэффициент Джоуля–Томсона для метана имеет порядок 4 106 K м 2 / H. Сравнение рассмотренных коэффициентов показывает, что они являются величинами близких порядков. По данной причине пренебрежение слагаемым 1 ( c p ) dp dx в монографии [22] представляется некорректным.

Дополнительно к вышесказанному, из сравнения (2.80) и (2.79) видно, что в работе [22] при получении рассматриваемого уравнения допущен ряд ошибок, например:

1. В (2.80) ошибочно присутствует слагаемое, которое характеризует работу © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 силы тяжести, идущую на изменение внутренней энергии. Некорректность наличия данного слагаемого в уравнении внутренней энергии (и энтальпии) была рассмотрена выше при анализе моделей работы [7].

2. В (2.80) отсутствует слагаемое, характеризующее трансформацию кинети ческой энергии в тепловую (см. выше).

Таким образом, вид уравнения внутренней энергии из монографии [22] для ус тановившегося течения является не корректным. По данной причине применение подобных уравнений может приводить к существенным погреш ностям и неверной работе ГДТ.

Система уравнений, описывающая установившееся течение газа по трубо проводу в монографии [22], представляется также в переменных M, p и T, где M = w f – массовый расход, p – давление, T – температура. Прове дем выкладки для получения подобной системы обыкновенных дифференциальных уравнений при условии постоянства площади поперечного сечения f. С учетом равенства нулю производных по времени, отсутствия внутренних источников тепла, а, также пренебрегая теплопроводностью газа, систему уравнений (2.2) можно переписать в виде:

d ( w) = 0;

(2.81а) dx d ( w2 + p ) dz1 w w = g ;

(2.81б) 2 D dx dx dz (T, Tос ) d w2 p w + + = w g 1 (2.81в) dx dx f или M = w f = const ;

(2.82а) M M M 2 d dp dz = g 1 + (2.82б) ;

2 D f dx dx dx f dz ( T, Tос ) M dh M 3 d = w g + (2.82в), f dx 2 f dx dx f где = 1 – удельный объем. С учетом того, что независимыми параметрами являются параметры p и T, справедливы следующие термодинамические со отношения:

dh h dT h dp dT h dp = + = cp + ;

(2.83а) dx T p dx p T dx dx p T dx d dT dp = +. (2.83б) dx T p dx p T dx © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 70 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров Подставим (2.83) в (2.82) и воспользуемся формулой d 2 dx = 2 d dx :

M = w f = const ;

(2.84а) M M M 2 dT M 2 dp dp dz = g 1 +2 + (2.84б) ;

f 2 T p dx p T dx dx 2 D f dx f dT M h dp M 3 dT M 3 dp M cp + + + = f p T dx f 3 T p dx f 3 p T dx f dx dz (T, Tос ) = w g 1 (2.84в).

dx f Преобразуем данную систему уравнений:

M = w f = const ;

(2.85а) M M M2 dp M 2 dT dz = g 1 1 + 2 + 2 ;

(2.85б) p T dx f T p dx 2D f dx f M 3 dp M M 3 dT M h + + cp + = p T f 3 p T dx f f 3 T p dx f dz1 (T, Tос ) = w g (2.85в).

dx f Заменяя на 1, деля (2.85в) на c p и подставляя в (2.85в) формулу (2.7), получим:

M = w f = const ;

(2.86а) M2 1 dp M 1 dT M M dz + 2 1 + = g 1 ;

p dx f T dx dx 2 D f f T p (2.86б) M 2 1 1M 1 dp T + + 2 + T p dx f cp f p T 1 dT w g dz1 (T, Tос ) M M + 1+ 2 = (2.86в).

f T dx f cp f cp cp dx p © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 Воспользуемся формулой (2.78) для вычисления функции теплообмена с окру жающей средой и поделим (2.86в) на M f = w :

M = w f = const ;

(2.87а) 1 dp M 2 1 dT M M dz 1 + M + 2 = g 1 ;

p dx f T dx dx 2 D f f T p (2.87б) 1 M 2 1 dp + 1 T + c p f 2 p T dx T p 1 dT g dz K c DH M 1 + 1 + (T Toc ).

= 1 (2.87в) cp f 2 T dx cp M c p dx p Данная система уравнений в монографии [22] представлена в виде 1 (см.

(1.1.14) из [22]):

M = wf = const ;

(2.88а) M 2 1 dp M 2 1 dT M dz 1 + f 2 p dx + f 2 p dx = g dx 2 D f 2 ;

(2.88б) 1 dp M 2 1 1 dT M 2 + 1T T + 1 + = 2 p T dx c p f 2 T dx cp f g dz1 K c DH (T Toc ).

= (2.88в) c p dx cp M Из сравнения (2.88) и (2.87) можно отметить следующие некорректности и ошибки в записи рассматриваемой системы уравнений из монографии [22]:

1. В системе (2.88) при взятии частных производных от термодинамических параметров (например, 1 p ) отсутствуют указания, при каком фикси рованном параметре они берутся (в используемом примере должно быть слагаемое ( 1 p ) ). В противном случае остается неопределенность за T писи.

2. Сила трения M 2 2 D f 2 в уравнении движения (2.88б) соответствует только положительному значению скорости.

Форма записи уравнений заимствована из [22], при этом используемые обозначения соответству ют (2.87).

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 72 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров 3. В уравнении движения (2.88б) коэффициент перед dT dx записан с ошиб ( ) использована запись 1 p.

кой: вместо производной 1 T p 4. Коэффициенты перед производными dp dx и dT dx в уравнении энергии (2.88в) приведены в ошибочном виде.

(g c p dz1 dx ), соответствующее работе силы тяжести, в урав 5. Слагаемое нении энергии записано с противоположным знаком.

Итак, представленный выше анализ применимости различных моделей неизотермических установившихся режимов течения газа в расчетном яд ре ГДТ убедительно показал, что для данных целей целесообразно использовать модели, изложенные в работах [12, 14]. К сожалению, модели работ [7, 10, 11, 20, 22, 24], содержащие многочисленные ошибки и некор ректности, являются неприемлемыми для разработки современных ГДТ.

Остановимся также на рассмотрении методов решения представленных выше систем дифференциальных уравнений. Системы уравнений (2.2) и (2.74) являются нелинейными, в силу чего аналитических решений данных систем в общем случае не существует. Для их численного решения были разработаны различные классы разностных схем [12, 13, 15, 16]. Для данных схем проанали зированы свойства консервативности, аппроксимации и устойчивости, имеющие важное значение с точки зрения точности и адекватности получае мых результатов [13, 15]. Адекватность реальным процессам транспортирования газов по трубопроводным системам и точность получаемых оценок показана на многочисленных примерах сравнения с аналитическими (точными) решениями, а также примерах сравнения с результатами натурных и численных экспериментов (см., например, [12]).

К сожалению, в доступных авторам настоящей монографии современных публикациях по рассматриваемой тематике обнаружить подобного анализа разностных схем не удалось. Рассмотрим для примера характерную работу [7].

Условно пренебрегая фактом наличия в дифференциальных моделях из [7] значительного количества достаточно грубых ошибок (см. выше), проанализи руем корректность применения методов их решения. В монографии [7] при рассмотрении разностных схем используются дополнительные существенные упрощения исходных дифференциальных уравнений в частных производных.

Так, например, при описании одной из разностных схем, в качестве базовых, применяются следующие упрощенные дифференциальные уравнения (см.

(2.27) из [7]):

16 R Z T 2 p c q ;

= (2.89а) 2 D x 4 c R Z T p q p = (2.89б).

D t q x Сравнение (2.89) с базовыми уравнениями (2.23) и (2.30б) показывает, что © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 во втором уравнении системы 1 (2.89) не учитывается слагаемое ( Z T ) p2. Это означает (см. (2.18)), что при рассмотрении произ (Z T ) t водной t для сложной функции = ( p, [ Z T ]) в процессе разложения дифференциала d пренебрегается элементарным приращением по параметру ( Z T ). Отсюда следует, что, во-первых, давление считается функцией только плотности: p = p ( ) (другими словами уравнение неразрывности рассмат ривается для изотермического течения);

во-вторых, величина Z принимается константой (таким образом, в качестве термического УРС бе рется его идеализированный (квазисовершенный) вид).

По поводу первого уравнения системы 2 (2.89) можно сказать, что здесь пре небрегается слагаемыми:

2 32 R Z T q2 z 2 g q c 2 4 p 2 p c t D 2, p2 1.

и D x Z R T x p Это означает, что в уравнении движения (2.89а) игнорируются слагаемые:

( w) ( w ) z и g 1. Если второе из рассмотренных слагаемых, t x x незначительно по отношению к производной p x для номинальных режи мов течения, то первое и третье слагаемые вносят существенное влияние на параметры течения газа. Поэтому пренебрежение ими может привести к боль шим погрешностям при моделировании. Игнорирование первого из рассмотренных слагаемых ограничивает модель только процессами, для кото рых можно считать, что возмущения по расходу газа распространяются бесконечно быстро. Пренебрежение третьим слагаемым не позволяет рас сматривать трубопроводы с существенным перепадом высот. Поскольку магистральные газопроводы имеют большую длину, то для них, как правило, наблюдается значительные высотные перепады. По данной причине рассмат риваемое пренебрежение будет давать существенные погрешности в расчетах.

Заметим, что в публикации [7] периодически встречается противоречивая информация. Так, например, как было показано выше, данная система была получена из условия изотермичности течения газа. Однако в [7] предлагается совместно с (2.89) находить температуру по одному из уравнений энергии. При этом в качестве такого уравнения в [7] предлагается брать уравнение энергии для установившегося течения (2.12) из [7] (следствие уравнения (2.57)).

Другая разностная схема, приведенная в [7], базируется на более общем ви де уравнения движения (см. (2.35), (2.36) из [7]). Это разностное уравнение Данное уравнение является следствием уравнения неразрывности.

Данное уравнение является следствием уравнения движения.

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 74 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров движения аппроксимирует дифференциальное уравнение (2.31). Однако разно стное уравнение неразрывности при этом берется в виде, аппроксимирующем (2.89б). По данной причине численная реализация указанной модели обладает аналогичными недостатками, что и (2.89). Более адекватных уравнений для описания течения газа по трубопроводу, к сожалению, авторы настоящей мо нографии в [7] не нашли. Отметим также, что разностные схемы для численного анализа уравнения энергии при неустановившемся течении газа по трубопроводу в монографии [7] отсутствуют даже в упрощенном виде.

В рассматриваемой работе [7] (как и во многих работах по сходной темати ке 1) также отсутствует важнейший с точки зрения теории разностных схем анализ консервативности, аппроксимации и устойчивости предлагаемых разно стных схем. Фактически, проведение такого анализа перекладывается на читателя, что является одним из отрицательных качеств указанной публика ции, учитывая, что ее предлагается использовать в качестве учебного пособия для студентов, магистров ряда специальностей, аспирантов, а также слушате лей курсов повышения квалификации и переподготовки диспетчерских кадров газотранспортных обществ ОАО «Газпром».

Перейдем к рассмотрению работы [24]. Разностные схемы, приведенные в этой публикации (см., например, (13.16) из [24]), вместе с тем, что построены на базе математических моделей течения газа, содержащих ошибки (см. выше), являются неконсервативными. Накопленный на сегодняшний день практиче ский опыт решения разностных уравнений показывает, что использование неконсервативных схем может приводить к существенным погрешностям [36, 49, 50]. Особенно это относится к использованию неконсервативных разност ных уравнений неразрывности (что характерно для работы [24]). В этом случае может происходить физически необоснованные увеличение и уменьшение мас сы вещества в области моделирования.

Рассмотрим также публикацию [22]. В данной работе численных методов решения полной системы дифференциальных уравнений в частных производ ных (2.2), описывающих неизотермическое неустановившееся течение газа по трубопроводу, авторы настоящей монографии не обнаружили. Подобно моно графии [7], при описании численных методов в публикации [22] употребляются дополнительные существенные упрощения. В основном, при водятся методы решения применительно к установившимся режимам течения газа. При описании численных методов решения неустановившихся режимов течения отсутствует рассмотрение уравнения энергии.

Таким образом, показано, что предложенные в работах [7, 10, 11, 20, 22, 24] способы решения системы уравнений течения газа по трубопроводу содержат ошибки, либо являются существенно упрощенными и не могут служить для получения практически значимых оценок в расчетном ядре ГДТ (или ГДС).

Здесь следует особо отметить, что математические модели транспортирования природного газа в перечисленных публикациях были построены для одноком понентного газа. Важность моделирования в ГДТ течений многокомпонентных См., например, [11, 20, 22].

© В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 газовых смесей проиллюстрирована в Приложении на примере функциониро вания трубопроводной сети ООО «Томсктрансгаз». Подробное описание моделей нестационарных неизотермических течений многокомпонентных га зовых смесей по разветвленным сетям длинных трубопроводов содержится в монографиях [12, 14].

2.2. Многониточный газопровод Модель транспортирования газа по многониточной ЛЧМГ можно условно представить в виде объединения двух типов моделей [12, 14]: модели течения газа по трубам, прилегающим к узлу сочленения, и модели течения газа в узле сочленения. Таким образом, газодинамическую модель неустановившегося неизотермического турбулентного течения вязкой химически инертной сжимаемой многокомпонентной теплопроводной газовой смеси в разветвленном трубопроводе с трубами круглого переменного поперечного сечения и абсолютно жесткими шероховатыми теплопроводными стенками можно записать так [12, 14]:

– для каждой трубы, примыкающей к узлу сочленения ( f ) ( w f ) = 0;

+ (2.90а) t x Y ( Ym f ) + ( Ym w f ) f Dm m = 0, m = 1, N S 1 ;

t x x x (2.90б) N S Y YN = 1 ;

m S m = ( w2 f ) ( w f ) z p = f + g 1 w w R;

+ (2.90в) t x x x z w2 w = ( p w f ) w f g f + + w f + t x x x 2 Ym NS f T (T, Toc ) + f m Dm p + Q f + k f ;

x x t x x m = (2.90г) – для каждого из узлов сочленения (модель С.Н. Прялова (см., например, [13, 15])) ( w) (n) N ( n ) + = 0;

(2.90д) t n =1 x © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, 76 Математические модели и методы моделирования для газодинамических тренажеров ( Ym ) ( Ym w ) ( n ) ( n) (n) Ym ( n ) N N + Dm = 0, x t x x n =1 n = (2.90е) N S m = 1, N S 1;

YN = (n) (n) Ym ;

S m = ( w2 ) (n) ( w) (n) (n) (n) z p x 4 ( n ) R ( w w ), (n) g + = t x x n = 1, N ;

(2.90ж) ( ) ( w) ( n) (n) (n) w ( n ) N N + = p + (n) t x x n =1 n = (n) T (n) N N 1 1 (n) (n) (n) + w +Q+ x k x (2.90з) (n) (n) 4 n =1 R n = (n) NS (T, Toc ) ( n ) Ym (n) (n) N N + m Dm ;

x x (n) f n =1 n =1 m = ( m ) = ( m ), = ( n ) = ( ), ( n ) p = ( ) p, ( ) (n) ( ) ( ) = =, T= (n) (n) T, ( Dm ) = ( Dm ), Ym = (Ym ) = (Ym ), ( n )Q = ( )Q, ( ) ( ) (n) (n) ( ) k= (n) k, ( ) ( z1 ) для любых n, 1, N и m 1, N S ;

( z1 ) = (n) (2.90и) (n) (n) Ym T (n) (n) (n) (n) N N N w ( n ) f ( n ) s = 0;

f s = 0;

f s = 0;

(n) x x n =1 n =1 n = (2.90к) !

!

( ) n ( n ) i 0;

(0) ! 1, если !

( ) s = (0) n ( n ) i = (n) (2.90л) !

( ) (0) ! ( n ) 1, если n i 0;

(n) (n) fL N V = = 0 1, = 1.

(n) (n) (n) (2.90м), N V n = (k ) fL k = – УРС и дополнительные соотношения:

p = p ({Sсмеси } ) ;

= ({Sсмеси } ) ;

k = k ({Sсмеси } ) ;

m = m ({Sсмеси }), Dm = Dm ({Sсмеси }), m = 1, N S ;

T1 = T2 = … = TN S, (2.90н) © В.Е. Селезнев, В.В. Алешин, С.Н. Прялов, Глава 2 где – плотность газовой смеси;

f – площадь проходного сечения трубопровода;

t – время (маршевая переменная);

x – пространственная координата вдоль геометрической оси трубопровода (пространственная переменная);

w – проекция среднего по поперечному сечению трубы вектора скорости смеси на геометрическую ось симметрии трубопровода (в предположении развитой турбулентности течения);

Ym – относительная массовая концентрация m -ой компоненты газовой смеси);

Dm – бинарный коэффициент диффузии m -ой компоненты в оставшуюся смесь;

N S – число компонент гомогенной газовой смеси;

p – давление в газовой смеси;

g – модуль ускорения свободного падения;

z1 – координата точки на оси трубы, отсчитываемая от произвольной горизонтальной плоскости вертикально вверх (для магистральных газопроводов – по радиусу Земли);

– число Пифагора;

– коэффициент гидравлического сопротивления трения в формуле Дарси– Вейсбаха;



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.