авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 10 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ...»

-- [ Страница 6 ] --

n 1 * n n * n n A (x ) (A (x ) y A(x h )h n 1 n Последнее означает, что и, следовательно, есть решение задачи:

* n Im A ( x h ) h n A ( x )h y;

|| h || L min.

Таким образом, решение Маккварта по своим экстремальным свойствам соответствует наименее уклоняющемуся от нуля в смысле || Fh || L при F I. Иными словами, принадлежит почти идеальному экстремальному классу ( A, I, L 2 ). Теперь нетрудно модифицировать схему Маккварта так, чтобы получаемое решение обладало теми же экстремальными свойствами, что и в схеме (73) при произвольном операторе F (принадлежало экстремальному классу ( A, F, L 2 ) ):

n 1 * n n * * n n [A (x ) A ( x A (x ) F )( y A ( x (5.85) h F] )).

n 1 n Легко заметить, что: * * n n * n n A (x )) A ( x ) A ( x F Fh )( y A ( x, )h n 1 1 *1 n 1 1 * * n n n * n n A ( x )[ y A ( x ) ( A ( x ) h A ( x ) ] F h F F F, 1 n где n n n ) ( A ( x [ y A(x.

)h ] Требуемое представление для h n 1 достигнуто.

Метод построения решения обратной задачи, основанный на использовании модифици рованного метода Маккварта (85), требует на каждом шаге решения системы линейных уравне ний. В том случае, когда это осуществимо (относительно небольшое число искомых параметров), и при правильном выборе этот метод оказывается преимущественным по точ ности решения (относительно невязки в сравнении с итерационным процессом n ) y || L || A ( x (73). Однако необходимость решения системы линейных уравнений оказывается весьма серьёз ным препятствием при поиске многоразмерных параметров. Так, например, при решении об ратной задачи гравиразведки в классе плотных границ для профиля средней величины (60 км при масштабе съёмки 1:50000) и средней сложности (3 искомых контакта) такой подход требо вал бы решения системы из 620 уравнений. Это трудоемкая задача, а необходимость её много кратного решения затрудняет ситуацию. В конечном итоге, оказывается более выгодным осуществить дополнительные итерации в (73), чем повышать точность за счет решения боль ших систем уравнений. Описанная ситуация характерна для многих сегодняшних задач, по скольку желание повысить итерационные возможности геофизического метода приводит к увеличению числа искомых параметров.

5.7. Составные критерии оптимальности и обратные задачи комплексной интерпретации y ( A ) x D A : Ax y, Чем шире класс эквивалентности тем более решение задачи в рамках критериального подхода зависит от принятого критерия оптимальности, или, Ax y иначе, от параметров F, || * || X, входящих в его выражение:

J ( x ) || F ( x x ) || X m in.

Сам по себе этот факт – объективное обстоятельство, и даже может рассматриваться как явление положительное, поскольку позволяет управлять свойствами получаемого решения. По следнее верно, если имеется объективный способ анализа получаемых решений из экстремаль ных классов ( A, F, X ). Однако факт такого влияния имеет и серьёзные отрицательные стороны. Дело в том, что при выводе выражений для экстремальных классов ( A, F, X ) на опе ратор F, норму пространства X накладывались чисто математические ограничения. Это огра ничивало класс используемых критериев оптимальности. Это обстоятельство, а также влияние неизбежного субъективизма и погрешностей в формировании оператора F приводит к тому, ~ что вместо необходимого вида F (который может быть и неизвестен) применяется другой – F, возможно, близкий к F, но не разный ему тождественно. Различие между решениями из ( A, F, X ) и ( A, F, X ) будет тем более, чем шире класс y ( A ). Поэтому, если имеется до полнительная информация, позволяющая сузить, её необходимо использовать. Чаще y ( A) всего такая информация носит характер ограничений на искомое решение и может быть форма лизована в виде задания некоторого множества М, которому должно принадлежать решение.

При этом множество М не является классом единственности. Если это множество задано явно, например в виде ограничений типа неравенств на возможные значения искомого параметра, то введение этой информации в критерий оптимальности может быть осуществлено уже описан ным ранее (см. 5.2.1) способом:

|| Fx || X M ( x ) min. (5.86) где xM, (x) M x M.

Однако в значительном числе случаев такая формулировка выглядит идеалистичной.

Суть дела состоит в том, что наблюдаемая y и информация, определяющая множество М, яв ляются компонентами независимыми. Например, в качестве М может выступать класс эквива лентности для некоторого другого оператора A 2 и другой наблюдаемой y 2. Это соответствует попытке найти общее решение для двух различных обратных задач относительно одной и той же содержательной модели среды. Существует целый ряд причин, включающих в себя несоот ветствие содержательных моделей в первой и второй задачах, наличие и независимость по грешностей (в том числе и систематических) в каждой из наблюдаемых, по которым решения задач не существует. Принципиальная ограниченность множества М может привести к тому, что M y ( A ) пусто и минимизация (86) на y ( A ) является бессодержательной задачей. В этих случаях целесообразно искать два элемента и таких, что:

x1 x J ( x 1, x 2 ) m in ;

(5.87) x y ;

x2 M, где – некоторый функционал, определяющий меру близости x 1 и x 2. Например, J (*, * ) || F ( x1 x 2 ) || X. Положим, что имеется наблюдаемая y 2 и M y ( A 2 ).

J (*, * ) Пусть P1 ( x 2, y 1 ) – оператор, ставящий в соответствие элементу и наблюдаемой x Im A1 решение задачи:

y A1 x1 y 1 ;

(5.88) m in ( J ( x, x )), 1 x а P2 ( x 1, y 2 ) – оператор, ставящий в соответствие элементам и (что эквивалентно зада x1 y нию M ) решение задачи:

A2 x 2 y 2 ;

(5.89) m in ( J ( x, x )), 1 x тогда, если пара есть решения задачи:

x1, x A x y1 ;

A2 x 2 y 2 ;

(5.90) m in ( J ( x 1, x 2 ) ), x1, x то необходимым условием, которому удовлетворяется эта пара, является:

x 1 P1 ( x 2, y 1 );

(5.91) x 2 P 2 ( x 1, y 2 ).

Зафиксировав некоторый элемент, рассмотрим итерационный процесс:

x x n 1 P ( x n, y );

1 1 (5.92) n 1 n x2 P2 ( x 1, y 2 ).

Из определения оператора имеем:

P n 1 n 1 n n ) J ( x1 ;

x 2 (5.93) J ( x1 ;

x2 ), а из определения :

P n n n n ) J ( x1 ;

x (5.94) J ( x1 ;

x ).

2 Соединяя эти два неравенства, получим:

n 1 n 1 n n ) J ( x1 ;

x (5.95) J ( x1 ;

x2 ).

Если для некоторого n = N (95) выполнено как равенство, то как равенства выполнены N 1 N (94) и (93). Тогда, если операторы однозначны, то N N x,x x P1 ( x 2, y 1 ), P2 ( x 1, y 2 ), x 1 1 2 откуда x N P ( x N, y );

1 1 N N x 2 P 2 ( x 1, y 2 ).

Следовательно, итерационный процесс (92) является монотонно сходящимся к решению задачи (90), а если уравнение (91) является дополнительно достаточным условием для решения задачи (90), то процесс (92) доставляет и решение задаче (90). Однако сходимость последова тельности еще не влечет сходимости самих элементов x 1 n ;

x n к некоторым n n a n J ( x1 ;

x ).

элементам и x 2. Соотношением (95) обеспечена сходимость по функционалу. При опреде x ленной конструкции J ( *, * ) сходимость по J ( *, * ) влечет и сходимость элементов x 1 n ;

x n по норме, и в этих случаях процесс (92) полностью решает задачу (90).

Обращаясь к построению операторов P1 и P 2 (88-89), легко видеть, что каждый из них есть ни что иное, как построение решения обратной задачи, оптимального относительно задан ного фиксированного критерия оптимальности. Отсюда следует вывод, что методы решения частных обратных задач, основанные на критериальном подходе, естественным образом объ единяются итерационным процессом (92) в процедуру совместного решения обратных задач.

Но именно такого рода совместные решения обратных задач реализуют процедуру комплекс ной интерпретации. Постановка обратной задачи комплексной интерпретации (90), реализуемая процессом (92), состоит в нахождении пары элементов, каждый из которых удовлетворяет сво ей наблюдаемой и в своих классах эквивалентности, выделяемая пара состоит из ближайших друг к другу элементов. Принципом комплексирования служит принцип максимальной близо сти друг к другу выделяемых элементов при условии, что каждый из них удовлетворяет своему полю. Совсем не обязательно, чтобы решение было одно и удовлетворяло обоим наблюдаемым.

Такое положение дел – скорее, исключение, чем правило. Но пара элементов, являясь конкрет но физическими моделям одного и того же объекта, должна состоять из элементов, которые в каком-то смысле близки друг к другу. Это достаточно общий и универсальный принцип ком плексирования. В противном случае, если он не выполняется, теряется сам смысл использова ния нескольких методов для изучения одного объекта.

Дальнейшие рассмотрения связаны с конкретизацией вида функционала J ( *, * ).

Пусть функционал J ( x1, x 2 ) имеет вид || F ( x 1 x 2 ) || X M ( x 2 ) min. (5.96) и множество M { x X ;

1 ( v ) x ( v ) где и 2 ( v )) – заданные элементы.

2 ( v )}, 1 (v) Выберем в качестве X пространство и пусть F линеен, непрерывен, и из L p (V ), 1 p, условия следует Обозначим x 2 P2 ( x 1, M ) решение задачи x(v) 0 Fx ( v ) 0.

min || F ( x 1 x 2 ) || L, (5.97) P x2 M определенное условием:

1 ( v ) x1 ( v ) 2 ( v ) x 1 ( v ) x 2 ( v ) P 2 ( x 1 ( v )) 1 ( v ) x 1 ( v ) 1 ( v );

(5.98) 2 ( v ) x 1 ( v ) 2 ( v ).

Эта процедура представляет собой поточечное проектирование значений функции на множество M.

x1 ( v ) Доказательство. Пусть F ( M ) – образ множества М при отображении F. F ( M ) замкну то и выпукло, так как F взаимно-непрерывен и линеен. Тогда (97) можно переписать:

|| || L min. (5.99) P F ( M );

Fx 1.

В соответствии с теоремой двойственности, для того чтобы элемент F x был реше нием задачи (99), необходимо и достаточно, чтобы в L P нашелся элемент f ( v ) и:

1 а) || f ( v ) || L 1;

1;

P p q f ( v ) | || || L ;

b) (5.100) P с) f (v) | 0 F ( M ).

а b Чтобы были выполнены условия (100 ), (100 ), достаточно положить:

p 1 p ( ) ( ) sign f (v) (5.101).

p || ( ) || L P Остается проверить, что выполнено условие (100в) при выборе f ( v ) по правилу (101).

Подставляя (101) в (100в) и учитывая, что постоянный множитель роли не играет, получим:

p 1 p ( F ( x 2 ( v ) x 1 ( v )) 0 ( F ( x 2 ( v ) x 1 ( v )) F ( x 2 ( v ) x 1 ( v )) d v sign V x 2 ( M ). (5.102) Рассмотрим подынтегральное выражение. Пусть – произвольная точка области V.

vV Возможны случаи:

1) x 1 ( v ) M ;

x 1 ( v ) 1 ( v );

2) x 1 ( v ) 2 ( v ).

3) В первом, в соответствии с правилом (98), подынтегральное выражение равно нулю. Во втором случае x 2 ( v ) x 1 ( v ) 1 ( v ) x 1 ( v ) 0. Но тогда для любых x 2 ( v ) M имеем x 2 ( v ) x 1 ( v ) 0, и, следовательно, подынтегральное выражение положительно, поскольку F сохраняет знак функции. В случае (3) имеем: x 2 ( v ) x 1 ( v ) 0, и тогда x 2 ( v ) x 1 ( v ) 0 для любого x 2 ( v ) M. Снова оказывается, что подынтегральное выражение положительно. По скольку точка v V была произвольной, то всюду в V подынтегральное выражение в (102) или, что то же самое, (100с) выполнено.

В приведенном случае оператор проектирования выглядит особенно просто, и учет огра ничений типа неравенств при решении обратной задачи в рамках критериального подхода, в соответствии с (92) сводится к итеративному решению обратной задачи без ограничений и про ектированию результата множества М по правилу (98).

Рассмотрим далее частный случай задачи (90).

A x y ;

11 A2 x 2 y 2 ;

(5.103) || F ( x 1 x 2 ) || L p min.

Делая замену переменных получаем:

1 Fx 1 ;

2 Fx, A F 1 y ;

1 1 A2 F 2 y 2 ;

(5.104) || 1 2 || L min.

P Ограничимся случаем p 2. Будем предполагать далее, что D ( A 1 F 1 ) D ( A 2 F 2 ).

Задача (104) легко сводится к следующей:

A F 1 ( ) A F 1 y ;

1 2 1 1 2 1 (5.104а) ( 2 1 ) y 2 A 2 F 1;

A2 F || 2 1 || min, или:

u1 ;

A1 F (5.104b) u2;

A2 F || || min.

Здесь u 1 A1 F 1 2 y 1 ;

u 2 y 2 A 2 F 1 1 ;

2 1.

Обозначим В – линейный ограниченный оператор из в где Y Y, L определенный отношением:

Y Im A i F, i 1, 2, A F 1 u1 1 B u.

u 2 A2 F Тогда:

1 B | u | u1 A 2 F | u A1 F 1* 1* * * | F A1 u 1 | F.

A2u Откуда приходим к выводу, что:

1* F * A ( u, u ).

* B u 1* * 1 F A2 Применяя теперь к задаче (104b) результаты из п. 5.3, получаем:

* Im B.

Характеризация почти идеального экстремального класса задана уравнением (B, L2, I ) 1* * * ( B, I, L2 ) L2 : F A1 1 A2 (5.105) ( ).

Однако уравнение (105) еще не позволяет найти, поскольку для нахождения элементов 1 и b 2, входящих в описание ( B, I, L 2 ), необходимо знание правых частей в (104 ). Уравнение (105) важно с точки зрения того, что оно выражает необходимое и достаточное условие для 2 1, и поэтому:

( 2 1 ).

x 2 x1 F Зафиксируем элемент 1 в (104). Тогда 2 есть решение задачи:

F x 2 u2;

A2 F (5.106) || 1 2 || min, и, следовательно, 1* * 1 g 1 ;

g 1 Im F (5.107) A2.

Если зафиксирован элемент 2, то есть решение задачи:

1 u1 ;

A1 F (5.108) || 2 1 || min, откуда:

1* * 1 2 g2;

g 2 Im F (5.109) A2.

Поскольку и – суть линейные подпространства, то из (109) и (107) 1* 1* * * Im F A1 Im F A получаем:

1* 1* * * 1 Im F 2 A 1 Im F (5.110) A2.

Рассмотрим возможные случаи, обозначая для простоты: Если 1 B1 ;

A2 F B2.

A1 F * * Im B 1 Im B то, переходя к ортогональным дополнениям (Прил. 2.4), получим:

KerB 1 KerB 2 X. (5.111) Таким образом, условия 2 1 u 1, u 2 и KerB 1 KerB 2 X эквивалентны. Однако из того, что 2 1, не следует выражение для решения задачи (104). Предположим, что дополни тельно KerB 1 KerB 2. Последнее требование означает, что ядро оператора B B B состоит только из нуля, и, следовательно, решение задачи B 1 u 1 Im B 1 ;

(5.112) B 2 u 2 Im B 2, на Im B 1 Im B 2 существует и единственно. Единственность решения – факт очевидный. По казать надо существование решения при u 1 Im B 1 и u 2 Im B 2. Если u 1 Im B 1 и u 2 Im B 2, но решения задачи (112) не существует, то это эквивалентно тому, что не существует решения задачи B1 x 0 ;

(5.113) B2 x u, при некотором u Im B 2. Но произвольный вектор X представим в виде 1 2, где 1 KerB 1 и 2 KerB 2 (в силу условия KerB 1 KerB 2 X ), причем компоненты 1 и независимы, так как KerB 1 KerB 2 0. Тогда Im B 2 B 2 ( KerB 1 ), где B 2 ( KerB 1 ) образ множества KerB 1 при отображении B 2. По условию u Im B 2 и, следовательно, в KerB 1 су ществует элемент, удовлетворяющий уравнениям (113).

Пусть теперь KerB 1 KerB 2 X, но KerB 1 KerB 2 0. Тогда решение задачи (104) существует, единственно, но возможно, что 1 2. Доказать здесь следует лишь единствен ность решения (104). Пусть наряду с элементами 1 и 2 решением является пара 1, 2. По скольку 1 и – суть элементы из Im B 1* Im B 2*, то 1 2 Im B 1* Im B 2*, где 1 Элементам из ядра оператора { B 1, B 2 ) соответствуют нулевые эле 1 1 1;

2 2 2.

менты из Im B i*, i 1, 2. Тогда 1 2 0.

Далее, в силу того, что KerB 1 KerB 2 0 и u 1 Im B 1, имеем 1 2 0, откуда 1 1 ;

2 2. Подведем итог сказанному.

Теорема. Пусть KerB 1 KerB 2 0 и u i Im B i. Тогда решение задачи (104) существует и единственно. Если дополнительно KerB 1, то 1 Решение задачи (103) до 2.

KerB 2 X ставляется итерационным процессом (92):

x n 1 P ( x n, y );

1 1 (5.114) n 1 n x2 P2 ( x 1, y 2 ).

Здесь – оператор, ставящий в соответствие элементам решение P1 ( F, x, y 1 ) x ;

y 1 ;

F ;

A 2 задачи A1 x 1 y 1 ;

|| F ( x 2 x 1 ) || L min, – оператор, ставящий в соответствие элементам решение задачи P2 ( F, x, y 2 ) x ;

y1 ;

F ;

A 1 A2 x2 y 2 ;

|| F ( x 2 x 1 ) || L min, Его монотонная сходимость была доказана выше.

Приведенная общая формулировка и метод решения задачи – выделение пары элемен тов, каждый из которых принадлежит своему фиксированному множеству, и среди всех таких пар выделенная имеет ближайшие друг к другу элементы, более всего соответствует постанов кам обратных задач комплексной интерпретации. Центральным принципом здесь является оп тимизация уклонения искомого решения от фиксированного либо также искомого элемента.

Последнее означает, по сути, совместное решение обратных задач на основе выделения пары элементов, ближайших друг к другу, в заданном смысле из всех иных допустимых пар. Эта идея составляет ядро критериального подхода к анализу геофизической информации.

Литература 1. D.W.Marguardt: An Algorothm for Least-Sqares Estimation of Nonlineer Parameters J. Soc. Induat.

Appl. Math., 11(1963), 431 p.

2. Josef Pek, Vaelav Cerv: “Solutin of the one-dimensional inverse magnetotellutie problem”, Studia geoph.et.geol. 23 – 1974 p. 349.

ГЛАВА 6. ЭВОЛЮЦИОННО-ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИНТЕГРИРОВАННОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ 6.1. Общие рассмотрения Использование критериев оптимальности как способа отбора единственного элемента из множества эквивалентных по заданному геофизическому полю составляет физико математическую основу для постановки обратных задач интегрированной интерпретации. В этой постановке все иные, кроме заданного поля, данные выражены в виде критерия оптималь ности, который реализует принцип построения сбалансированных моделей. Отсюда происхож дение термина «интегрированная интерпретация».

Принцип построения сбалансированных моделей достаточно универсален и очевиден.

Он состоит в том, что реконструируемые физико-геологические модели, в конечном итоге, должны быть сбалансированы относительно всех имеющихся геофизических полей и геомеха нических законов. Это означает, в частности, что реконструируемая физико-геологическая мо дель среды должна иметь соответствующие геофизическим полям содержательные физические модели. Моделируемые физические поля должны соответствовать наблюдаемым. Если моде лируемое поле, например гравитационное, не совпадает в пределах требуемой точности с наблюдаемым, то плотностная модель самым решительным образом должна быть пересмотре на. Различные содержательные физические модели единой геологической среды должны быть согласованы между собой и отражать различные стороны одного и того же объекта. Если они не согласованы, противоречат друг другу, то следует от них отказаться и среди им эквивалент ных по полю искать другие, согласованные между собой. Наконец, требование сбалансирован ности означает, что физико-геологические модели должны быть согласованы с эволюционно динамических позиций. Они должны иметь согласованные с геомеханическими законами пара метры и отражать предполагаемую эволюционно- геодинамическую модель. Каждая структура и каждое образование имеют свой генезис – свое происхождение. В формировании структуры принимало участие множество сил, как внешних – тектонические движения структур более вы сокого порядка, катастрофические события, так и внутренних, диктуемых законами механики сплошных сред, – взаимодействие элементов структуры между собой и окружающими образо ваниями, что, впрочем, входит составной частью в законы механики сплошных сред. Картину геологического строения можно считать завершенной только тогда, когда, помимо согласова ния со всеми наблюдаемыми физическими полями, она количественно проанализирована с ме ханико-геологических позиций, является непротиворечивой, устойчивой на своих геологических масштабах времени, выяснен ее количественный генезис – породившая ее дина мика сил и соответствующая ей динамика перемещений. В этом и состоит принцип сбалансиро ванных моделей в его широком понимании. Однако его конкретная реализация предполагает поэтапную, пометодную балансировку.

Использование введенных выше критериев оптимальности при реконструкции физиче ски содержательной модели обеспечивает корректировку начальной модели – нулевого при ближения, являющегося несбалансированной моделью, метом минимальных корректив (ММК) по введенному критерию. В этом методе следует выполнить минимальные движения модели нулевого приближения, относительно введенного критерия до ее сбалансированного по физи ческому полю аналога. Критерий оптимальности в этих методах определяет направление дви жения при трансформации начальной модели в процессе ее балансировки26. Например, направление балансировки начальной модели может определяться требованием минимальных энергетических потерь при трансформации модели из одного состояния к другому – сбаланси рованному. Именно такую трактовку можно придать процессам выделения оптимального ре В аппроксимационных подходах это направление явно не определено, нерегулируемо, что и влечет за собой про явление эффектов скрытой эквивалентности.

шения из класса эквивалентных, которые реализованы с помощью итерационных процедур (например 5.73). Важно отметить то обстоятельство, что в процессе итераций (5.73) критерий оптимальности не изменяется и направление внесения корректив остается в пределах всей про цедуры решения обратной задачи неизменным.

В том случае, когда изучаемая физико-геологическая модель должна быть сбалансиро вана по двум или более физическим полям, направление трансформации модели определено принципами согласованности, близости между собой различных физических моделей единой геологической среды. Например, если требуется, чтобы различные физические модели были наиболее близкими между собой в корреляционном смысле, то направление внесения коррек тив до получения наиболее согласованной системы моделей определяется критерием наилуч шей корреляционной связи, и следующими отсюда квадратичными принципами. Этот процесс реализуется итерационной схемой (5.92) и называется методом комплексных минимальных корректив (МКМК). Он схематично иллюстрируется рис. 1, которым подчеркивается, что сба лансированная модель по комплексу полей на самом деле есть система сбалансированных мо делей, каждая по своему физическому полю и взаимно увязанная между собой по принципу наилучшего взаимного согласования.

( A1 ) y n n x1 x ( A2 ) y 2 n x1 x x J ( x 1, x 2 ) m 2i n 1 x A x2 J ( x 1, x 2 ) m in 1 x1 y x 1 ( A1 ) Рис. 6.1. Иллюстрация сходимости итерационного процесса для совместного решения двух обратных задач – метод комплексных минимальных корректив. x 20 – начальное приближение к первой модели;

x i j – очередное j-ое приближение к i-ой модели на различных этапах итерационного процесса;

y ( A1 ) – класс эквивалентных по полю y 1 моделей для первого метода – класс эквивалентных по полю моделей для второго метода ( A 2 ). Движение ( A1 );

y y ( A2 ) осуществляется по направлению, определенному видом критерия оптимальности J ( *, * ).

Это система, вообще говоря, отличающихся между собой моделей. Балансировочные принципы обеспечивали их максимальную взаимную согласованность. Здесь также важно от метить, что критерий близости в процессе решения задачи внесения комплексных минималь ных корректив не изменяется на протяжении решения задачи. Это проявляется в том, что параметры критерия оптимальности в итерационном процессе как (5.73), так и (5.92) не меня ются от шага к шагу итерационного процесса. При этом сам критерий оптимальности как в ММК, так и МКМК вводится априори. По сути своей, результативность решения обратных за дач в значительной степени определяется вводимыми явно, как в критериальных методах, или неявно, как в аппроксимационных, принципами балансировки, и это происходит в тем большей мере, чем выше эквивалентность в общей формулировке для рассматриваемых обратных задач.

Нуждается в уточнении сам термин «обратные задачи» – это специфика геофизики. Различие между физическими моделями, до решения обратной задачи и после нее, определено, возмож но, в большей мере критериями оптимальности, являющимися выражением балансировочных правил, чем собственно информацией, заложенной в поле. Эта последняя информация характе ризует меру разбалансированности и необходимость внесения дальнейших корректив по прави лам балансировки, например, минимальных движений.

Направление трансформации модели от некоторого начального состояния к конечному – это его эволюция, подчиненная тому либо иному эволюционному принципу – минимальных энергетических затрат, наилучших корреляций и т.д. Однако эволюционно-динамические принципы трансформации физической модели, от несбалансированной в ее начальном состоя нии к сбалансированной в конечном, могут быть введены из геодинамических законов развития изучаемого объекта.

Принцип моделирования динамики развития геологического объекта, например седи ментационного бассейна, состоит в реконструкции и моделировании фрагментов его развития, исходя из некоторого начального положения к очередному, при заданных параметрах, опреде ляющих динамику процесса. Геодинамические параметры могут быть заданы априори или уточняться в процессе моделирования. В первом случае такое моделирование основано на ре шении уравнений вязкого течения жидкости (уравнений движения Навье – Стокса), конвектив ных потоков, и одной из главных его целей служит построение генерализованной модели движений, приводящей к современному состоянию объекта, сравнительный анализ сценариев его развития. Для этого следует задать модель среды и перечень геодинамических параметров, определяющих эволюцию системы. Определяющим фактором, влияющим на величину скоро сти перемещений, служит вязкость. Она определяется из внешних условий – экспериментов, сопоставления скоростей распространения продольных и поперечных сейсмических волн. Од нако распределение этого параметра определяется крайне ненадежно. Исключительная зависи мость вязкости от слабо поддающихся измерению и учету и потому неконтролируемых внешних условий видна из материалов, приведенных на рис. 2.

Рис. 6.2. Зависимость эффективной вязкости толщ горных пород 3 от интенсивности касательных напряжений при атмосферном давлении и температуре 200 (по материалам Гзовского [3]).

I категория – толщи глин, солей, гипсов, тонкослоистых алевролито-глинистых пород;

II категория – тонкослоистые известняково-мергелистые, песчано-глинистые, флишевые толщи;

III категория – слабослоистые песчаниковые, конгломератовые, карбонатные, вулканогенные, а также в прошлом сильно дислоцированные и слабо метаморфизованные песчано-глинистые толщи;

IV категория – граниты и другие интрузивные породы (кроме ультраосновных), гнейсы, кристаллические сланцы. А – область условно-мгновенного разрушения. 1 и 2 – зависимость от для гипса при всестороннем давлении 1000 и 1 кг/см Как видно, незначительные изменения величин касательных напряжений, действующих на горную породу, приводит к изменению значений вязкости на порядки, что влечет за собой существенное изменение скорости течений. Причем коэффициенты вязкости, характеризующие среду, сами зависят от напряжений, что еще более усугубляет неопределенность ситуации.

Второй путь (рис. 3) основан на уточнении геодинамических параметров, в частности, скорости течений на основе требования эволюции реконструируемой модели к сбалансирован ной, согласованной по геофизическому полю. Этот путь, который называется методом эволю ционно-динамического продолжения, в равной степени следует отнести как к принципам сбалансированных моделей на основе геодинамических методов, так и принципам моделирова ния динамики развития объектов.

ЭВОЛЮЦИОННО – ДИНАМИЧЕСКИЕ модели ИНТЕГРИРОВАНОГО АНАЛИЗА Принцип Сбалансированных Моделирование динамики моделей Метод Минимальных Комплексных Эволюционно – Вязких минимальных динамического коррективов движений продолжения корректив Рис. 6.3. Структура эволюционно-динамических моделей интегрированного анализа геолого-геофизических данных Сущность метода эволюционно-динамического продолжения состоит в реконструкции физической модели геологического объекта на основе использования в качестве балансировоч ных принципов законов его эволюции, регулируемой геодинамическими параметрами от начального времени и начальной модели к настоящему (текущему) состоянию. Требования к геодинамическим параметрам и тем самым выбору сценария эволюции состоят в том, чтобы эволюционирующая модель вела к современным, наблюдаемым физическим полям. Такой под ход позволяет соединить процесс реконструкции физической модели с созданием непротиворе чивой модели его формирования. Причем управляющие процессом параметры, а это, прежде всего, распределение скоростей движения и характер внешних источников, конструируются как интегральные параметры, объединяющие в себе всю информацию о свойствах изучаемой сре ды. Таким образом, исходя из заданного начального распределения физического параметра и общих представлений о механизме его трансформации к современному состоянию, может быть смоделирован процесс эволюции.

Рассмотрим общие эволюционные уравнения для моделей распределения физического параметра и модели системы границ, разделяющих пласты с заданными свойствами внутри.

Предварительно эти вопросы рассматривались в разделе 2.5.

Произвольная величина, имеющая распределение ( x, y, z, t ), движение которой проис ходит в зависимости от пространственных x ( x, y, z ) и временной t координат, подчиняется основному кинетическому уравнению для любого элемента объема V :

d d (x, t)dv ( d t ( x, t ) ( x, t ) d iv v ) d v ( t (x, t) d iv ( ( x, t ) v )) d v.

dt V V V x y z v x, t Здесь – вектор скорости движений, зависящий как от простран (,, ) t t t ственных координат, так и от времени – элемент объема: d v = d x d y d z. Если v v( x, y, z, t), dv d величина в процессе движения сохраняется, то и ( x, y, z, t) ( x, t ) dv dt V ( x, t ) d iv ( ( x, t ) v x, t ) 0. В том случае, если в точке x в момент времени (x, y, z) t t величина ( x, y, z, t ) изменяется и это изменение есть, то закон сохранения для (x, t) q (x, t) будет иметь вид:

(6.1) ( x, t ) d iv ( ( x, t ) v x, t ) q ( x, t ).

t Величина q ( x, t ), входящая в уравнение (1), трактуется как положительные либо отрица тельные внешние источники. Они обеспечивают динамику параметра ( x, t ) за счет внешнего притока либо оттока вещества. Например, рассматривая в качестве величины ( x, t ) распреде ление плотности ( x, t ), уравнение (1) примет вид закона сохранения:

(x, t) div ( ( x, t ) v ( x, t )) q ( x, t ). (6.2) t Здесь q ( x, t ) - внешние источники масс, ассоциирующиеся с процессами седиментации или притока извне (положительные значения), эрозией, размывом (отрицательные значения).

Введение этого параметра достаточно условно. Его истинное значение и физический смысл со стоит в том, чтобы в «конечной точке» эволюционирующей системы обеспечить то полное ко личество вещества, которое соответствует наблюдаемому полю, компенсировать дисбаланс полной массы, существующий в «начальной» модели. Эволюционно-динамическое продолже ние заданной модели 0 ( x ) из начального положения в момент времени t к конечному, соответствующему некоторому моменту времени (x, t) ( x,0 ) 0 ( x ), T t должно подчиняться требованию, состоящему в том, чтобы окончательная модель была сбалан сирована по физическому полю. Это значит, что:

lim A ( ( x, t )) u ( s ), (6.3) tT где A ( ( x, t )) – оператор решения прямой задачи для параметра ( x, t ), u ( s ) – заданное геофи зическое поле – его современное состояние. Требование (3) означает, что окончательная, к мо менту времени T, модель распределения 0 ( x, T ) должна соответствовать интерпретируемому полю. Таким образом, объединяя сформулированные условия, получим задачу эволюционно динамического продолжения:

( x, t ) d iv ( ( x, t ) v ( x, t )) q ( x, t );

t (6.4) (x, t) ( x,0 ) 0 ( x ) ;

t A ( ( x, t )) u ( s ).

lim tT Механизм эволюции величины контролируется величиной вектора скорости (x, t) x y z и законом поступления или оттока вещества, контролируемым функцией для v(,, ) t t t внешних источников q ( x, t ), которые следует считать компенсационными параметрами. Если эти параметры заданы, то задача (4) переопределена. Условие (3) в ней излишне. Но эти геоди намические параметры реально никогда точно не известны. В лучшем случае известны доста точно грубые оценки для их возможных величин – направление, диапазон допустимых значений. Поэтому они должны подбираться и уточняться так, чтобы было выполнено условие (3). В результате задача (4) оказывается непротиворечивой.

Рассмотрим теперь модель эволюции структурных элементов. Эти модели – частный, но исключительно важный и распространенный тип рассмотренных выше моделей среды с про странственно распределенными параметрами. Также как и в задачах гравиметрии структурного типа, под структурными моделями понимается геометрическая модель среды, описываемая си стемой поверхностей, разделяющих некоторые моно- либо гетерогенные комплексы. Физиче ские свойства внутри этих комплексов, например плотностные, скоростные, известны. Они могут быть постоянны либо переменны, но принципиально важно, что они заданы. Именно этим отличаются структурные задачи от общих задач реконструкции моделей с распределен ными параметрами, в частности, рассмотренных выше моделей распределения параметра ( x, t ) как функции пространственно-временных координат. Необходимо, как и для распреде лений ( x, t ), построить уравнения эволюционирующей системы границ так, чтобы, подчиня ясь общим законам движения, контролируемым геодинамическими параметрами, они приводили к сбалансированным, относительно геофизического поля, результатам. Иллюстрация этого принципа приведена на рис. 4.

Рис. 6.4. Эволюционирующая структурная модель Предполагаемое первоначальное состояние (верхний разрез) отражает представление о ранних стадиях эволюции фрагмента осадочного бассейна. Рассчитанное от этой модели грави тационное поле существенно отличается от современного. Предполагая тенденцию к погруже нию фундамента и контролируя скорость перемещения границ по фактору приближения рассчитанного и наблюдаемого поля, последовательно переходим от промежуточной к оконча тельной модели среды (нижний рисунок).

Модель среды в стационарном состоянии представляет собой систему уравнений для глубин залегания плотностных границ: z f ( s ) { z f 0 ( s ), z f 1 ( s ),... z f N ( s )}, в зависимо сти от горизонтальных координат s { x, y }, с известным распределением физического пара метра ( x ), например плотности ( x ), x { s, z }, между ними (см. 2.5). Наиболее распространенный случай, не требующий дополнительных определений в случае изменения конфигурации границ, – это случай постоянных значений параметра, имеющего чаще всего смысл значения параметра эффективного (обобщенного), служащего своего рода идентифика тором эволюционирующего элемента рассматриваемого комплекса.

Принципиально важно для последующего анализа рассмотрение введенных границ од новременно, как геодинамических, так и физических. Геодиномические эволюционируют в за висимости от внешних воздействий и внутренних геологических свойств, характерных для рассматриваемого региона, а физические – отображаются в физическом поле u ( s ) с помощью оператора прямой задачи A ( f ( s )) u ( s ). Рассматривая процесс эволюции, необходимо к урав нениям границ добавить эволюционный параметр – время t:

z f ( s, t ) { z f 0 ( s, t ), z f 1 ( s, t ),... z f N ( s, t )}. Сама эволюция начинается с нулевого момен та времени и некоторой начальной модели и продолжается до «момента вре ( s ) f ( s, t ) f t мени», заканчиваясь состоянием f ( s, T ).

tT Структурные геодинамические модели и уравнения, описывающие их эволюцию, рас сматривались в разделе 2.5. Там приведена и начальная библиография по вопросу. Напомним, что для того чтобы получить уравнение эволюционирующей границы из общего уравнения (2), следует определить понятие внутренних границ. Граница – это сохраняющаяся в процессе эво люции компонента, которая меняет свою форму, поднимается либо опускается, но остается границей раздела для заданных физических параметров. Это означает, что в процессе эволюции движение вещества через границу не происходит, и она определяется как поверхность, через которую отсутствует поток вещества – параметра ( x, t ). Следовательно, для каждой из границ системы z f ( s, t ) { z f 0 ( s, t ), z f 1 ( s, t ),... z f N ( s, t )} полная производная по времени для d частиц, расположенных на этой поверхности, равна нулю:, а последняя, в ( s, f i ( s, t ), t ) dt свою очередь, складывается из производных по времени к пространственной нормальной и частной по времени производных. Это приводит к уравнению движения:

f (s, t) W ( s, t ) V ( s, t ) grad ( f ( s, t )) ;

t f (s, t) t 0 f.

(s) Здесь – начальное положение границ, с которого «начинается» эволюция.

f (s) – управляющие геоди W ( s, t ) {W 0 ( s, t ), W 1 ( s, t ),... W N ( s, t )} V ( s, t ) {V 0 ( s, t ), V 1 ( s, t ),... V N ( s, t )} ;

намические параметры, имеющие смысл соответственно вертикальной и горизонтальной со ставляющих вектора скорости перемещения для каждой из границ.

В дополнение к движениям материала с теми либо иными векторами скорости происхо дит разрушение, переотложение терригенного материала, слагающего изучаемые массивы, что называется денудацией рельефа границ, и поступление дополнительного материала из источни ков вне области рассматриваемых границ – процесс осадконакопления.

Дополнительный учет членов, ответственных за денудацию и осадконакопление в про цессе эволюции границ (см. цитированную ранее в гл. 2 работу Михайлова В.О. и др. [2.7]), приводит к уравнениям:

f (s, t) W ( s, t ) V ( s, t ) grad ( f ( s, t )) F ( f ( s, t )) ;

t (6.5) f (s).

f (s, t) t Здесь F ( f ( s, t )) – оператор, ответственный за модель денудации рельефа;

– сложная векторнозначная функция, ответственная за дивергентную компоненту (привнесение дополни тельного материала) в эволюции каждой из границ системы и определяемая особенностями процессов осадконакопления и метаморфизма. Она зависит от большого числа факторов, вклю чая геологические свойства пород. Однако, именно в силу сложности, равнозначной многофак торности, среди которых нельзя выделить главные, эту компоненту следует рассматривать как отдельное аддитивное слагаемое, определяемое по результатам соответствия, моделирования динамических процессов и сопоставления результатов с наблюдаемыми физическими полями.

Ее можно объединить с вертикальной компонентой скорости движения границы и считать от ветственной за ее вертикальные движения.

Анализ модели формирования структур показывает, что любая произвольная по рельефу слоев структура может быть получена за счет чисто вертикальных движений с включением ди вергентного члена, а при дополнительно заданных внутренних напряжениях – сочетанием ди вергентных членов, вертикальных и горизонтальных движений, при том бесконечным множеством способов. Это означает, что процесс денудации может быть включен в дивергент ный член, ответственный за характер осадконакопления и метаморфизма, и по характеру своего влияния, на поведение модели в рамках (5) объединен с вертикальной компонентой действую щих нагрузок. В этом случае может быть введена интегрированная математическая модель эво люции структур:

f (s, t) ( s, t ) V ( s, t ) grad ( f ( s, t )) t ( s, t ) W ( s, t ) F ( f ( s, t )) f (s, t) t 0 f.

(s) Смысл интегрированного параметра ( s, t ) аналогичен тому, какой имеет и величина q ( x, t ) в эволюционном уравнении (1). Это прирост изучаемой компоненты – в данном случае вертикальное приращение, которое получает граница за счет суммарных факторов. Также, как и в задаче об эволюции распределения параметра, модель эволюции системы границ должна быть доопределена условием, чтобы процесс эволюции вел к заданным, «современным» физи ческим полям. Это означает дополнительное введение требования lim A ( f ( s, t )) u ( s ).

tT Это требование уточняет величины и снижает неопределенность в значениях управляю щих геодинамических параметров. Окончательно, задача эволюционно-динамического продол жения для системы границ формулируется следующим образом:

f (s, t) ( s, t ) V ( s, t ) grad ( f ( s, t )) ;

t ( s, t ) W ( s, t ) F ( f ( s, t )) ;

(6.6) f (s, t) t 0 f ( s );

A ( f ( s, t )) u ( s ).

lim tT Уравнения (4) и (6) служат исходными для методов эволюционно-динамического про должения при эволюционно-динамическом интегрированном анализе геолого-геофизических данных.

6.2. Динамика движения вещества Рассмотрим эволюционную задачу в (4), считая, что управляющие динамические пара метры v v ( x, y, z, t ) и q ( x, t ) заданы:

( x, t ) div ( ( x, t ) v ) q ( x, t );

(6.7) t (x, t) ( x,0 ) 0 ( x ).

t Разобьем весь временной промежуток ( 0 T ) на достаточно малые интервалы времени { t i, t i 1 } i 0,1,..., в пределах каждого из которых можно считать v v ( x, y, z, t ) и q ( x, t ) hi стационарными. Обозначим и их значения на соответствующих временных интер i i q (x) v (x) валах. Для каждого из интервалов выпишем задачу (7):

i i i i v (x) v v ( x, t i );

q ( x ) q q (x, ti ) i 0,1,...

(x) 0 (x) ;

i i ( x, t ) div ( ( x, t ) v ) q ( x );

t (6.7) t ( t i, t i 1 );

i (x, t) ( x );

t ti i (x) (x, t) t t i Строгое решение задачи (7) достаточно трудоемко [1, 2] и требует введения специальных математических понятий, выходящих за рамки обычного курса для вузов. В этой связи приве дем упрощенные, символьные рассмотрения, которые иллюстрируют суть методов вполне до статочно, чтобы служить основой для конструктивных результатов. Приводимое ниже следует рассматривать как пояснения, но не как вывод и доказательство.

Обозначим D ( g ( x )) оператор: div ( g ( x ) v ), отображающий функцию g ( x ) в Обозначим символом обратный к так, что y ( x ) div ( g ( x ) v ) D D ( g ( x )). D 1 1 Этот оператор многозначен, поскольку одно Dg ( x ) D y (x) D ( div ( g ( x ) v )) g ( x ).

D родное уравнение имеет нетривиальное решение в виде, где – div ( G ( x )) 0 G ( x ) rot ( ) векторный потенциал. В этой связи можно записать, где – скаляр g ( x ) v r o t ( ) g r a d ( ) ный потенциал. Вводя условие калибровки, получаем откуда для g ( x ) v grad ( ), rot ( ) определения скалярного потенциала получаем уравнение Пуассона:. Частное реше y (x) ние этой задачи задается интегралом Пуассона:

1 y (x ) (x 0 ).

dx 4 R (x x 0 ) V Здесь – евклидово расстояние между точками x x0. Во всех этих рассмотре R (x x 0 ) ниях важно на самом деле лишь то, что оператор может быть определен.

D Опускаем перечень координат, от которых зависит вектор скорости v.

Вернемся к уравнению (7), записав его в форме (6.8) i ( x, t ) D ( ( x, t )) q ( x ).

t В силу очевидного равенства i i i D ( ( x, t )) div ( g ( x ) v ) [ div v ( x ) v grad ] ( x, t ) перепишем его в эквивалентном виде:

i i i ( x, t ) [ div v ( x ) v grad ] ( x, t ) q ( x );

t i (x, t) (x).

t ti Если, то решение задачи i q (x) (6.9) i i ( x, t ) [ div v ( x ) v grad ] ( x, t );

t i (x, t) (x ) t ti можно представить в виде операторного соотношения (6.10) i i tD t [ div v ( x ) v grad ] i i (x, t) e (x) e ( x ).

Его справедливость проверяется простым дифференцированием:

tD tD i i (x, t) ( x ) De ( x ) D ( x, t ).

e t t Если q i ( x ) 0, то (8) сводится к (9) при условии, что, и, как следствие, не со i i q (x) D q (x) держит времени t :

1 i i ( ( x, t ) D q ( x )) D ( ( x, t ) D.

q ( x )) t tD Считая, что и коммутируют (что на самом деле имеет место), получаем, из (9):

e, D D tD 1 1 tD i i i (x, t) e (x) D q (x) D e q ( x ).

В более подробной записи:

i i i i t ( ( x ) v grad ) 1 1 t ( ( x ) v grad ) i i i (x, t) e (x) D q (x) D e q ( x ), t hi ;

i i ( x ) div v ( x ).

Следовательно:

i i i i (6.11) t i 1 ( ( x ) v grad ) 1 t i 1 ( ( x ) v grad ) i 1 i i i (x) D (x ) e q (x) D e q ( x ), ti 1 ti 1 ti.

Экспонента от оператора понимается в следующем смысле: если – линейный, замкнутый оператор, куда, в частности, относятся операторы дифференцирования, умножения на весовые функции и все ограниченные операторы, то n ( t ) t t ( x ).

(x) e n!

n d Подставим вместо оператора дифференцирования –. Тогда:

dx d n n (t) t d ( x ) ( x t ).

(x) dx e n n!

n0 dx Отсюда нетрудно получить, в частности:

(6.12) t v grad ( x ) ( x t v ).

e Последнее соотношение позволит дать алгоритмическую интерпретацию для (11). Она i состоит в том, что одним из действий, входящим в (11), а именно действие e t ( v grad ) i ( x ), i следует понимать как сдвиг i ( x ) в направлении v i на величину. Однако (11) можно еще t i более упростить, заменив его приближенным аналогом.

Соотношение (10) дает решение для задачи (9):

( x, t ) D ( ( x, t )) ;

t t i 1 D i 1 i ( x ).

(x) e Эти два соотношения определяют трансформацию «на +1 шаг» предшествующего положения для распределения. В конечных разностях в первом случае имеем:

i (x) i 1 i (x) (x) i D ( ( x )).

ti Во втором:

t i 1 D i i (x) ( x) e i D ( ( x )).

ti Тогда:

t i 1 D 1 i 1 ) ( x ) D (e i x).

ti Считая, что эти уравнения справедливы для компенсационных источников, q (x, t) получим:

i i 1 t i 1 ( ( x ) v grad ) i t i 1 D 1 i i q (x) D (x) D (e 1 ) q ( x )).

D e q Тогда:

i i 1 t i 1 ( ( x ) v grad ) 1 i i i q (x) D q (x ) ti 1 q (x ).

D e Таким образом, соотношение (11) приближенно переписывается так:

(6.13) i i t i 1 ( ( x ) v grad ) i 1 i i (x ) ti 1 q (x ) (x) e.

Вычислительную схему (13), а именно, введение в итерационный процесс свободного компенсационного члена, можно получить иначе.

Если в (7) положить q ( x, t ) 0, то описание эволюции подчиняется уравнению (10).

Ввести дополнительный член q ( x, t ) и тем самым свести (10) к (13) можно именно на этом этапе, интерпретируя его как компенсационный член, добавляемый пошагово для обеспечения баланса «количества вещества». На следующем шаге этот член q i ( x ) участвует в «эволюции»

системы как равноправная компонента вещества, а его приток, если он есть, учитывается новой порцией q i 1 ( x ).

Принимая во внимание (12), можно дать следующую интерпретацию для (13). Эволюция модели распределения параметра i x на каждом из интервалов t i 1 складывается из i ti 1 (x) комбинации деформационной, сдвиговой и i i i (x t v ) e (x) дивергентной t i 1 q i ( x ) компонент. На следующем шаге вновь полученная модель эволюционирует с новыми параметрами. В частности, осуществляется перенос и дивергентной компоненты по законам для всего распределения.

Поскольку операторы grad и умножения на весовую функцию (x) не коммутируют, в уточнении нуждается смысл выражения:

i i i i t i 1 ( ( x ) v grad ) i t i 1 ( v grad ( x )) i (x) e.

e (x) В общем случае i i i i t i 1 ( v grad ) t i 1 ( x ) i t i 1 ( ( x ) t i 1 ( v grad ) i e (x) e e.

e (x ) Смысл этого обстоятельства состоит в том, что сдвиг и последующее сжатие, вообще говоря, не дают тот же результат, что сжатие и последующий сдвиг28.

В значительном числе случаев этим различием можно пренебречь, что выполняется, в частности, при плавном изменении величины либо условии несжимаемости среды div v ( x ) 0. Однако, даже если эти условия не выполняются, с точки зрения алгоритма моделирования процесса эволюции, при условии уточнения в процессе моделирования геодинамических параметров, оба эти подхода практически совпадают.

С учетом высказанного замечания уравнение движения (13) содержит две компоненты – сдвигово-деформационную:

i i t (v grad ( x )) i t ( x ) i i i (x) e ( x t v ), e регулируемую векторной скоростью, определяющей величину, направление i v (x, y, z) перемещения и деформации параметра в процессе эволюции, и дивергентную – i ti 1 q (x ), контролирующую внешний приток – баланс количества вещества, включаемый на i (x) следующем шаге в его сдвигово-деформационную трансформацию.

Для момента времени t i 1 :

i t i 1 ( x ) i 1 (6.14) i i i { ( x t i 1 v ( x )) t i 1 q ( x ) (x) e.

i t (x) Член e имеет смысл уплотнения (разуплотнения) происходящего за счет i 1 i объемного расширения – сжатия. Описанная выше ситуация некоммутируемости операторов и умножения на весовую функцию i ( x ) приобретает вполне конкретный физический grad смысл. Различие состоит в том, происходит ли перемещение с последующим уплотнением, что соответствует соотношению (14), либо происходит перемещение уже уплотненных пород, что соответствует другой записи:

( i i t i 1 ( x t i 1 v ( x )) i 1 i i i { ( x t i 1 v ( x )) t i 1 q ( x ).

(x) e 6.14а) Однако механизм уплотнения может возникать не только как следствие перемещений в рассматриваемой модели течения, а также в результате приложения внешних сил, выходящих за рамки введенной модели. Этим оправдано рассмотрение дилатационной функции (x), определяющей деформации сжатия – растяжения, вне зависимости от скоростей течения, что снимает вопрос о коммутируемости сдвигов и сжатий.

Таким образом, в соответствии с (14, 14а) процесс эволюции начальной модели (x ) является пошаговым переходом от i ( x ) к i 1 ( x ), включает в себя три вида трансформаций.

Это, во-первых, дилатационные преобразования, состоящие в сжатии либо растяжении текущей i t i 1 ( x ) модели на величину Этот вид преобразований обозначим. Во i i i D d ( ( x ), ( x )) e.

v grad (x) e Строго говоря, e. Несколько первых членов разложения для имеют вид:


e 1 1 v grad (x) [ v grad, ( x )] [ v grad, [ v grad, ( x )]] [ ( x ), [ ( x ), v grad ]], 2 12 где [, ] - скобки Ли.

вторых, преобразование сдвига на вектор, которое обозначим i i i v ( x ) : ( x t i 1 v ( x )), и, наконец, дивергентное преобразование, состоящее в добавлении к i i i i D s ( ( x ), v ( x )) (x) аддитивной компоненты контролирующей баланс вещества Эту, i i (x).

ti 1 q (x ), последнюю, операцию обозначим D i a ( i ( x ), q i ( x )). Любой процесс движения вещества в рамках определенной модели распадается на последовательность из трех приведенных преобразований, осуществляемых в той либо иной последовательности. Результат зависит от того, какая последовательность выбрана. Это легко понять. Сдвиг, с последующим сжатием и добавлением вещества, – это совсем не то же самое, что сжатие вместе с добавленным веществом и последующим сдвигом.

Воспользуемся теперь условием (3). Его аналог в итерационном процессе (14) записывается следующим образом:

(6.15) i lim A ( ( x )) u ( s ).

i Для того чтобы обеспечить это требование, необходимо, чтобы управляющие процессом эволюции (14) геодинамические параметры – скорости течений v i ( x ) и величина внешних источников обеспечивающих «вещественный баланс», – зависели в том числе и от i q (x), невязки полей: ( s 0 ) A ( i ( x )) u ( s 0 ), уменьшаясь по мере ее убывания. Должно это i происходить таким образом, чтобы при достижении нулевой невязки полей геодинамические параметры: i ( x ), v i ( x ), q i ( x ) – оказались равными нулю и процесс «эволюции» прекратился.

Дальнейшая эволюция, если она есть, должна происходить без изменения наблюдаемого поля, т.е. в классе эквивалентности для оператора A. Это будет выполнено, например, в том случае, если рассматривать величины i ( x ), v i ( x ), q i ( x ) как значения линейных операторов, например операторов типа свертки, определенных на компонентах невязки, ответственных за трансформации дилатации, сдвига и баланса соответственно. Точнее говоря, если где d i ( s 0 ) – компонента невязки, i i i i i ( s 0 ) A ( ( x )) u ( s 0 ) d ( s 0 ) s ( s 0 ) a ( s 0 ) которую следует компенсировать дилатационным преобразованием, – компонента i s (s0 ) невязки, которую следует компенсировать преобразованием сдвига, а a i ( s 0 ) – компонента невязки, которую следует компенсировать добавлением некоторого количества вещества, то ;

q i ( x ) Q ( a i ( s 0 )). Эти операторы могут быть i i i i ( x ) ( d ( s 0 )) v ( x ) V ( s ( s 0 )) ;

определены как свертки заданных функций, характеризующих пространственное распределение дилатаций, скоростей сдвигов и осадконакопления с соответствующими компонентами невязки. Эти вопросы относятся к методическим приемам и лежат вне существа общепредметного рассмотрения.

Теперь процесс эволюции (14) с учетом требования (15) может быть смоделирован следующим образом.

Текущее состояние модели подвергается последовательности трансформаций так, i (x) как это изображено на рис. 5:

i i (x) (x) Dd Ds Da Рис. 6.5. Последовательность преобразований модели Она состоит из дилатационной;

сдвиговой и аддитивной (внешнему притоку или оттоку вещества, который называют также дивергентной компонентной составляющей). Смысл этих движений иллюстрируется рис. 6.

( x, t ) div ( ( x, t ) v ) q ( x, t );

i i t i 1 ( ( x ) v grad ) i t i i ( x ) ti 1 q ( x ) (x) e (x, t) ( x,0 ) 0 ( x ) d - дилатация t i t i 1 d iv v ( x ) i i D d (x) e (x) i t i 1 ( v grad ) i s - сдвиг i D s (x) e (x) i i ( x ) div v ( x ).

V(x) V ) x( a- приток (дивергентная) i i (x) i i i (x) D a (x) (x) ti 1q (x ) Dd Da Ds Рис. 6.6. Разложение решения на элементарные действия: дилатацию, сдвиг, внешний приток.

Последовательность их применения задается априорно, исходя из общих представлений о моделируемом развитии объекта. Например, комбинированное применение последовательности вышеизображенных преобразований записывается:

i 1 i i i i i i i a s d ( x ) D d ( D s ( D a ( ( x ), i Q ( a ( s 0 ))), i V ( s ( s 0 ))), i ( d ( s 0 ))), (6.16) Здесь – параметры релаксации, ответственные за уменьшение a s d i, i, i соответствующих компонент a i ( s 0 );

s i ( s 0 );

d i ( s 0 ), суммарной невязки i ( s 0 ) и сходимости процесса (16). Каждая из последовательности трансформаций может итерироваться самостоятельно до полной компенсации соответствующей компоненты невязки поля, либо могут применяться промежуточные формы, что продиктовано особенностями решаемой задачи.

Для выбора значений параметров релаксации ia, is, id, обеспечивающих сходимость процесса (16), следует воспользоваться принципом минимальных невязок, рассмотренным в гл. 2. Его вычислительные реализации могут быть различны и зависят от конкретных особенностей задачи. В постановочном плане эти параметры должны быть выбраны так, чтобы i величина невязки, как функция параметров монотонно убывала с a s d i, i, i, (s) Y увеличением номера i. Это означает, что для i 1 i 1 a s d i ( s ) Y A ( g ( i, i, i, ( s )) ( x )) u ( s ), Y следует на каждом шаге итерационного процесса (16) решить задачу минимизации:

a s d i g ( i, i, i, ( s )) min.

(6.17) a s d,, i i i 6.3. Динамика структурных моделей Повторение приведенных выше рассмотрений для использования эволюционно динамических принципов при анализе структурных моделей, описываемых соотношением (6):

f (s, t) ( s, t ) V ( s, t ) grad ( f ( s, t )) ;

t f (s, t) t 0 f (s) A ( f ( s, t )) u ( s ), lim tT не представляет каких-либо существенных затруднений. Однако небольшие особенности зада чи требуют привести их в целях полноты рассмотрений.

Разобьем так же, как и выше, весь временной промежуток ( 0 T ) на достаточно малые интервалы времени h i { t i, t i 1 } i 0,1,..., в пределах каждого из которых можно считать V V ( s, t ) и ( s, t ) стационарными. Напомним, что f ( s, t ) { f 0 ( s, t ), f 1 ( s, t ),.. f N ( s, t )}, ( s, t ) { 0 ( s, t ), 1 ( s, t ),.. N ( s, t )}.

Обозначим и значения и на соответствующих временных интерва i i (s) ( s, t ) V (s) V (s, t) лах V ( s ) V V ( s, t i );

. Для каждого из интервалов выпи i i i i hi (t i, t i 1 ) ( s ) ( s, t i ) шем задачу движения:

i 0,1,...

f (s, t) t 0 f (s) f (s, t) i i ( s ) V ( s ) grad ( f ( s, t )) ;

t (6.18) t h i ( t i, t i 1 );

i f ( s, t ) t t f ( s );

i i ( s ) f ( s, ti 1 ) f При ее решение имеет вид:

( s, t ) i t i 1 ( V ( s ) grad ) i i i f (s, ti 1 ) e f ( s ) f ( s t i 1 V ( s )).

Или в покомпонентной записи:

i 0,1,..;

j 0,1,.. N ;

i t i 1 (V ( s ) grad ) i i f j (s, ti 1 ) e f j ( s, t i ) f j ( s t i 1V j ( s )).

j Его справедливость проверяется непосредственным дифференцированием, и в целом это решение повторяет выписанное ранее соотношение (10) для задачи (9).

Действительно:

df j ( s, t ) i t (V ( s ) grad ) i i V j ( s ) grad ( e j f j (s, ti ) V j ( s ) grad ( f j ( s, t ).

dt t t i Легко понять, что решение задачи (18) с ненулевым членом так же, как и выше ( s, t ) для случая распределения параметра, можно записать в виде:

i 0,1,..;

j 0,1,.. N ;

i t i 1 ( V j ( s ) grad ) (6.19) i i i f j (s, ti 1 ) e f j ( s, t i ) f j ( s t i 1V j ( s )) t i ( s ).

j Теперь следует дополнить систему (19) требованием A ( f ( s, t )) u ( s ). Переходя к lim tT форме записи (19), получим:

i A ( f ( s )) u ( s ).

lim i i Также, как и в рассмотренном выше случае, для распределения параметра ( x ), для того чтобы обеспечить это требование, необходимо чтобы управляющие процессом эволюции (19) геодинамические параметры – горизонтальные скорости смещения границ и i V (s) величина эффективной вертикальной скорости смещения – зависели в том числе и от i (s) невязки полей: i ( s 0 ) A ( f i ( s ))) u ( s 0 ), уменьшаясь по мере ее убывания. Должно это происходить таким образом, чтобы при достижении нулевой невязки полей геодинамические параметры V i ( s ), i ( s ) оказались равными нулю и процесс «эволюции» прекратился.

Дальнейшая эволюция, если она есть, должна происходить без изменения наблюдаемого поля, т.е. в классе эквивалентности для оператора A. Это будет выполнено, например, в том случае, если рассматривать величины V i ( s ), i ( s ) как значения линейных операторов, например операторов типа свертки, определенных на компонентах невязки.

Если полная невязка поля, достигнутая на шаге:

i -ом, где – ее компонента, которую следует i i i i i ( s 0 ) A ( f ( s )) u ( s 0 ) s ( s 0 ) a ( s 0 ) s (s0 ) компенсировать преобразованием горизонтального сдвига, а a i ( s 0 ) – соответственно, компонента невязки, которую следует компенсировать за счет вертикального сдвига границ, то: V i ( s ) V ( s i ( s 0 )) ;

i ( s ) ( a i ( s 0 )). Эти операторы могут быть определены как свертки заданных функций, характеризующих распределение горизонтальных и вертикальных скоростей сдвигов с соответствующими компонентами невязки поля.

Далее процесс (19) переписываем с учетом этих выражений:

i 0,1,..;

j 0,1,.. N ;

i i i s i a i f j ( s, t i 1 ) f j ( s i V j ( s ( s 0 ))) i ( a ( s 0 )). (6.20) j И может быть выполнен как последовательным применением операций горизонтального и вертикального сдвигов, так и раздельным итерированием, как это было описано выше для задачи об эволюции распределения параметра.

Параметры релаксации ia, is должны быть выбраны таким образом, чтобы обеспечивалась сходимость процесса (20) по невязке полей. Воспользуемся, как и ранее, принципом минимальных невязок. Величина невязки на следующем шаге должна быть меньше i соответствующей величины на предыдущем. Это значит, что как функция (s) Y параметров ia, is должна монотонно убывать с увеличением номера i. Это влечет за собой, как и выше, что для i 1 i 1 a s i g ( i, i, ( s )) (s) Y A (f ( s )) u ( s ) Y следует на каждом шаге итерационного процесса (20) решить задачу минимизации:


a s i g ( i, i, ( s )) min.

(6.21) a s, i i Как итерационному процессу (20), так и (14) можно придать форму, аналогичную (5.73)29.

Отличие будет состоять в том, что член, аналогичный параметрам критерия оптимальности F 1 F * 1, окажется зависимым от очередного приближения f i ( s ) либо i ( x ).

Таким образом, метод эволюционно-динамического продолжения оказывается модификацией метода минимальных корректив с динамически меняющимся критерием оптимальности, зависящим от достигнутого состояния системы.

И еще одно важное замечание. Введенные геодинамические параметры, а это горизонтальные и вертикальные ( s ) скорости движений для компонент границ, i i V (s) i ti 1 (x) деформационные, сдвиговые и дивергентные i i i (x ti 1 v ) ti 1 q (x ) e компоненты трансформаций для распределения параметра i ( x ), выражены через соответствующие компоненты невязки полей. Однако само разделение на компоненты суммарной невязки носит субъективный характер и определяется спецификой рассматриваемой задачи. Но гораздо более сложным вопросом является вопрос о виде операторов, выражающих эти параметры через компоненты невязки. Предполагая эти операторы линейными и ограниченными, приходим к выводу об их интегральной форме. Например:

i i i V ( s ) V ( s ( s 0 )) V ( s, s 0 ) s ( s 0 ) ds 0.

S В частности, i i i V ( s ) V ( s ( s 0 )) S V ( s s 0 ) s ( s 0 ) ds 0, где V ( s ) – заданная оценка горизонтальной скорости смещения границ за единицу времени.

Для предметного задания этих функций необходимо сформировать класс (банк) моделей дви жения, характерных для изучаемого региона и отнесенных к различным элементам системы границ. То же самое относится к вертикальным или дивергентным компонентам движения и деформационным, дилатационно-сдвиговым членам для моделей эволюции параметра.

Литература 1. Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. – М.:

Мир, 1985. – 376 с.

2. Э. Хилле, Р. Филлипс. Функциональный анализ и полугруппы. – М.: Из-во ин. лит., 1962. – 829 с.

i 1 1 * i * i * i A ( x )( ( A ( x ) y )).

x ai F x F Вертикальная скорость аналогична дивергентной компоненте трансформации для распределения параметра.

ГЛАВА 7. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ГРАВИМЕТРИИ В предыдущих главах мы неоднократно обращались к моделям, возникающим при рас смотрении обратных задач гравиметрии, составляющих математическое ядро процедур интер претации гравиметрических данных. Это делалось для иллюстрации тех либо иных вводимых понятий. В настоящей главе будет рассматриваться только эта задача. К ней будет применен развитый ранее аппарат, с помощью которого легко получаются интересные для приложений следствия. Материал раздела активно использует информацию, приведенную в приложении 2.

Основная цель рассмотрений – проиллюстрировать введенные общие понятия и методы для решения обратных задач геофизики на содержательном примере и дать теоретическое обосно вание конкретных технологий, лежащих в основе схем извлечения информации из гравиметри ческих данных – построения плотностных моделей геологических сред. Обращение к обратной задаче гравиметрии (ОЗГ) продиктовано тем, что в ней удачно сочетается практическая значи мость получаемых результатов и относительная простота аналогичного выражения для опера тора прямой задачи. Последнее позволяет многие выводы привести в аналитической форме, построив теорию ОЗГ, и привести эффективные методы ее решения. Однако практическая зна чимость теоретических исследований на основе критериального подхода к доопределению об ратных задач гравиметрии связана не только с собственно задачей гравиметрии. Имеющаяся в ОЗГ широкая эквивалентность как в классе распределений плотности, так и в структурных мо делях, приводит к пессимистическим оценкам интерпретационных возможностей собственно гравиметрии. Но та же эквивалентность, в какой-то мере, и полезное качество в плане задач комплексной интерпретации, в частности, в связи с совместным решением обратных задач. На примере задач гравиметрии достаточно наглядно иллюстрируются и эффективно конструиру ются основные подходы к эволюционно-динамическим моделям интегрированного анализа комплекса геолого-геофизических данных. Это относится не только к методам реконструкции собственно плотностных моделей на основе минимальных корректив и эволюционно динамического продолжения, но и методам реконструкции системы моделей на основе ком плексных минимальных корректив. Последнее, как было показано в гл. 5, сводится к последо вательному решению частных обратных задач на основе критериального подхода – метода минимальных корректив с использованием в общей итерационной схеме (5.92) частного случая (5.73). По этой причине исследование обратной задачи гравиметрии на основе принципа мини мальных корректив является составной частью аналитической теории комплексной интерпре тации, и это обстоятельство в большой мере оправдывает затраченные усилия на создание соответствующей теории. Эти же исследования являются своего рода эталоном для исследова ний других частных задач и дополнительным доводом в пользу их проведения. Наибольшую практическую значимость для задач нефтегазового профиля имеют методы комплексных ми нимальных корректив для реконструкции скоростно-плотностных моделей. Этому вопросу здесь также уделяется внимание.

7.1. Аналитические свойства оператора прямой задачи гравиметрии для распределения плотности Будем рассматривать в качестве модели среды введенную в 2.1.1 модель распределения плот ности в заданной области V нижнего полупространства. В соответствии с (2.2) запишем связь между распределением плотности x, y, z в области V, целиком лежащей в нижнем полупро странстве E _ : z 0, и вертикальной производной гравитационного потенциала в виде:

u z x0, y0 x, y, z zdxdy (7.1).

x x y y0 2 2 z V Напомним, что координатные оси X 0 Y и X 0 0Y 0 совмещены, а ось 0 Z 0 направлена вверх – противоположно оси 0 Z. На первом этапе считаем, что вертикальная производная гра витационного потенциала задана на всей плоскости E 0 z 0 : u z x 0, y 0 u z x 0, y 0, 0. Тем са мым, как хорошо известно, определены значения u z x 0, y 0, z 0 в любой точке области E z – верхнего полупространства. В том числе и на поверхности произвольного рельефа, заданного функцией z 0 ( x 0, y 0 ). Значение это находится с помощью известного интеграла Пуассона (см. 2.1.4, формула (2.6)), дающего решение задачи Дирихле для полупространства:

u z x, y z 0 dxdy u z x0, y0, z0. (7.2) 2 E 0 x x y y z 2 2 0 0 Обозначим, кроме того, – горизонтальную полосу в нижнем полупространстве (Е_), ограниченную по вертикали координатами z 1, z 2, z 2 z 1, 0. В частности, область V мо жет совпадать с либо быть ее собственным подмножеством. Соотношение (1), в соответ ствие с введенными ранее соглашениями об обозначениях операторов для прямой задачи, будем записывать в форме:

AV v u s 0, где v x, y, z V ;

s 0 x 0, y 0 E 0.

Следующий результат характеризует свойства непрерывности оператора AV.

Теорема 1. Пусть V – ограниченная область, целиком лежащая в. Тогда AV линеен и ограничен из L p (V ) в L q ( E 0 ) для всех p, q, 1 p, q. Для случая V оператор A лине ен и ограничен из в при 1 pq.

L p (V ) Lq (E0 ) Обозначим норму оператора, действующего из в. Тогда при AV L p (V ) Lq (E0 ) AV p,q ограниченной области V 2 1 mes V, AV 2 1 p,q где введены обозначения ;

.

q p Для случая и1 величина ограничена и при pq pq V :

A p,q q p q p q. p. q q 1 p q 1.

2.

A 2 q p,q В случае, когда q либо одновременно q и p равны бесконечности:

4 ( z 2 z1 ) 1/,.

A A, 1, Доказательство. Линейность – очевидное свойство введенного оператора. Доказать сле дует лишь его непрерывность в тех либо иных функциональных пространствах. Для краткости вместо z x x y y0 z 2 2 z будем писать, имея в виду, что пространственная координата точки в v= { x, y, z} v s области.

V Из (1) имеем:

u z s 0 z Var v Var v.

sup s0 E 0 v s L Далее:

u z s 0 mes V v d v sup vrai v, 2 v V L V u z s 0 zds 0 d v v 2 Var v, v s L1 V E u z s 0 2 mes V sup v rai v, v V L Следовательно:

AV ;

1, mes V AV ;

, 2 ;

AV 1, 2 mes V.

AV, В силу теоремы Риса о выпуклости (Прил. 2), для имеем:

, [ 0,1 ] 1 log A V log A V log A V 1,1 1, 1,.

1 log A V 1 log A V,1, Следовательно:

1 1 1 AV AV AV AV AV.

1,,1, p,q 1, Тогда для легко получаем:

AV p,q 1.

mes V AV AV 2 1 p,q, Приведенная оценка является грубой. Она может быть улучшена для случая. За V метим при этом, что если. Таким образом, V1 V 2, AV AV 2 p,q p,q AП уV П.

, поскольк AV p,q p,q Применим к соотношению (1) неравенство Юнга, рассматривая в качестве области V полосу П:

q q z u z s 0 x, y, z zdxdy dz L q E 0 q x x y y0 2 2 z z1 E 0 Lq (E 0 ) q z z s, z q.

dz L p E 0 v s z1 L r E 0 Здесь связаны условием p, q, r 1 1 1.

p q r Заметим, что если, то это условие может быть выполнено при 1 p q / pq p q.

r pq Оценим величину:

z.

v s L r E 0 Для этой цели вновь применим теорему Риса о выпуклости r :

z z z 1 log log log ;

3 3 v s0 v s0 v s L E 0 L L 1 1r r z z z.

3 3 v s0 v s0 v s L r E 0 L L1 ( E 0 ) Но:

z ;

3 v s L (E 0 ).

z 2.

v s L1 ( E 0 ) Следовательно:

1 z r 2 r.

2 v s L r E 0 Тогда:

q q q z u z s 0 r (7.3) s, z.

dz 2 r 1 L q E L p E z Из (3) следует, что при и следующем отсюда q p r 2.

p (7.4) AП p,p Теперь имеем следующую цепочку оценок:

2 ;

(7.5) AП 1, ;

(7.6) AП 1, 2.

p (7.7) AП p,p Из приведенных соотношений и неравенств Риса о выпуклости сразу следует вывод об ограниченности A П p, q для 1 p q. Рассмотрим теперь случай p q.

Обозначим. Понятно, что (v) sup ( v ess L ( ) v u z s 0 zd v zd v z (v) 2 ( z 2 z1 ) z 1.

L ( ) 3 v s0 v s L E 0 E Одно из утверждений теоремы доказано.

Оценим далее A П 1, p, пользуясь для этого (4-7) и неравенством выпуклости для :

A 1 log A log A.

log A 1 1 1, 1, 1, 1 a 0 a1 a0 a Полагая, получим:

a 0, a 1 1, p p 1 p AП AП 2 p p p. (7.8) AП 1, 1, p 1, Теперь, используя (7) и неравенство выпуклости, найдем оценку для, A c, p где : 1 c p :

1 log A log A.

log A 1 1,p,p,p 1 a 0 a1 a0 a 1 A A A.

1,p 1 a 0 a1,p,p a0 a 1 Примем, а выберем так, чтобы a0, a1 1.

p p c p c c p 1, Тогда при этом 1. Тогда:

c p pc p pc pc 2 p 1.

2 p c p AП c,p Пользуясь обозначением, где p q, получим:

AП p,q q p 2 q p q q p 2 q 1 2 q, p q AП p,q или после упрощения:

q p q p q q p, AП 2q p q p p,q что и требовалось доказать.

Итак, мы выяснили, что оператор AV является «хорошим» для решения прямых задач, поскольку линеен и ограничен во всех обозримых для приложения пространствах. Дифферен цируя уравнение (1) по переменным x 0, y 0, z 0 как по параметрам и полагая z0 = 0, получим но вые операторы, соответствующие расчету высших производных гравитационного потенциала.

Повторяя приведенные рассуждения, легко доказать, что вновь полученные операторы облада ют теми же свойствами, что сформулированы в теореме 1. По тем же причинам непрерывен W q E 0 и т.д. Однако нас, в большей мере, интересует обратная зада оператор AV из в r L p (V ) ча, и главным свойством является ее разрешимость. Следует выявить, при каких правых частях уравнение (1) разрешимо, является ли решение единственным и будет ли оно устойчивым. Для простоты дальнейших рассмотрений ограничимся случаем, когда AV действует из L 2 (V ) в L2 (E 0 ).

Теорема 2. Пусть V – область в E, целиком лежащая в П и содержащая некоторый шар в E. Тогда Im AV образует в L 2 ( E 0 ) плотное множество31.

Доказательство. Воспользуемся тем фактом, что плотность Im AV в Y L 2 ( E 0 ) эквива лентна однозначной разрешимости сопряженного уравнения. Действительно, поскольку, то из условия KerA следует и. Вид сопряженного Im A KerA Y Im AV Y * * * KerA V V V к AV оператора A *, отображающего пространство L 2 ( E 0 ) в подпространство в, опре L 2 (V ) делен соотношением:

s 0 zds 0 (7.9) A V s 0 PV g x, y, z ;

* E 0 x x 2 y y 2 z 2 0 s 0 L 2 ( E 0 ).

где – проектор из на. Это следует из следующей цепочки равенств:

L2 (E ) L 2 (V ) PV x, y, z zdxdydz (7.10) s0 s0 d s AV ( v ) L2 ( E 0 ) x x z 2 y y E0 V s0 zd s s x, y, z * dv (v) A 3 L 2 (V ) x x z 2 y y V E s * ( v ) PV A.

L2 ( ) Легко заметить, что Im A V* – множество гармонических в V и непрерывных на границе V функций, имеющих единственное аналитическое продолжение на все E_ (так как V содержит некоторый шар). Но равенство нулю гармонической функции внутри некоторого шара влечет ее равенство нулю всюду в области гармоничности. В частности, из lim g x, y, z x, y L z s 0 zds следует, что уравнение имеет единственное решение PV x x y y0 2 2 2 z s 0 0. Таким образом,, теорема доказана.

* KerA V Напомним, что это значит, что любой элемент из L 2 ( E 0 ) может быть как угодно точно подобран «каким-либо элементом из Im AV ».

Из приведенного результата следует вывод о том, что уравнение (1) может быть решено как угодно точно для любой правой части из L 2 ( E 0 ). Но разрешимость с любой наперед задан ной точностью не означает строгой разрешимости. В каком-то смысле элементов из L 2 ( E 0 ), для которых уравнение (1) не имеет строгого решения, даже больше, чем тех, для которых име ет, т.е. чем. Более строгий смысл сказанному придает следующая теорема.

Im A V Теорема 3. Пусть V, тогда Im A V образует L 2 ( E 0 ) множество первой категории.

Доказательство. Напомним, что М есть множество первой категории, если оно предста вимо как не более, чем счетное объединение нигде неплотных множеств. Множество называет ся нигде неплотным, если его замыкание не содержит внутренних точек.

Выберем плоскость E0, определенную значением вертикальной координаты ' z z ', 0 z ' z 1, 0, что возможно в силу определения П (см. рис. 1).

u z S 0 на Значение поля от распределения масс в V равно:

' ' E u z s0 v z z ' d '.

x x y y 0 z z ' 2 2 2 V Рисунок 7.1. Пояснения к выводам ' u z s 0 L 2 E В силу доказанной выше теоремы 1 о непрерывности оператора (1) и, ' u z s 0 D B, следовательно, где – оператор, определенный как интеграл Пуассона:

' ' ' ' u z s 0 z ' ds Bu z s 0 u z s 0 ' A V ( v ) Im A V.

2 2 2 E0 ' ' x x0 y y0 z' Следовательно,. Осталось показать, что – множество первой ка Im AV Im B Im B тегории.

'. Поскольку для любого u z s 0 L 2 E 0' Пусть S – замкнутый единичный шар в L2 E u z s 0 0, lim n n ' то. Тогда, где n – образ при отображении. В силу огра L2 E0 Im B n nS nS B n0 n ниченности B и рефлексивности L 2 каждое из n замкнуто как образ замкнутого выпуклого множества. Если Im B – множество второй категории, то хотя бы для одного n n, в силу за мкнутости, имеет внутреннюю точку. Но если оператор (линейный и ограниченный) отобража ет замкнутый шар во множество, имеющее внутреннюю точку, то обратный к этому оператору ограничен. Покажем теперь, что оператор B не имеет ограниченного обратного, как оператор в себя (в L E ).

из L2 E 0 Bu z s 0 f s Рассмотрим уравнение s { x, y}, s0 { x0, y 0 } ( ):

u z s 0 z ds f s, z 0.

(7.11) x x 2 2 y y 0 2 z 2 Выберем последовательность монотонно убывающих чисел, предел которых равен hn, и соответствующую им, параметризированных числами h n, последовательность функций:

z hn f n s.

x 2 2 2 y hn f n s L 2 E 0, так как f n s L1 L и по теореме Рисса о выпуклости:

Ясно, что f n s L p E, 1 p.

f n s Последовательности соответствует последовательности hn z u z s n.

x y 0 h n z 2 2 Поскольку, как это следует из (11):

f n s.

n Bu z s, в то время как последова u z s Однако последовательность не имеет предела в n L2 E f n s тельность такой предел имеет:

z f n s f s.

lim x n 2 2 2 y z.

u z s f n s f s, Bu z s f s, Итак, имеем: однако не существует в n n L2 E lim n Но это несовместимо с предположением ограниченности оператора B 1 как действующего из L 2 E 0 в L 2 E 0. Таким образом, приходим к выводу, что B не ограничен и, следовательно, Im B не имеет внутренней точки. Тогда Im B есть множество первой категории, что и требова лось доказать.

Замечание. Все рассмотренные последовательности принадлежат и L p E 0. Следова тельно, приведенный пример «работает» во всех этих пространствах. Более того, основным мо ментом в доказательстве теоремы является вывод о замкнутости образа S при отображении В.

Это имеет место для всех рефлексивных пространств, и теорема 3 верна для всех L p : 1 p.

Рассмотрим теперь вопрос о единственности решения уравнения (1), предполагая, что хотя бы одно решение существует. В силу линейности оператора AV, утверждению о существо вании более чем одного решения уравнения (1) эквивалентно утверждение о существовании ненулевых решений уравнения AV v 0. Последнее означает, что ядро Ker AV оператора AV содержит и ненулевые элементы. Действительно, если два распределения плотности 1 v и 2 v удовлетворяют одному и тому же уравнению AV 1 AV 2 u ( s ), то v 1 v 2 v удовлетворяет уравнению AV v 0.

Простейший и известный еще Ньютону пример гравитационной эквивалентности двух различных тел – это совпадение внешних гравитационных полей от двух однородных по плот ности шаров с общим центром и массой, но различной плотности и, как следствие, различного радиуса. Уже из этого примера можно заключить, что ядро оператора AV содержит более одно го элемента.

Полное описание ядра оператора AV дает следующая теорема.

Теорема 4 (П.С. Новиков). Пусть V – замкнутая регулярная область. Для того чтобы распределение плотности v создало нулевой внешний потенциал, необходимо и достаточно, чтобы для любой гармонической в V и непрерывной на границе V области V функции g v выполнялось равенство v g v d v 0. (7.12.) V По сути это означает, что ядро Ker AV оператора AV ортогонально множеству гармони ческих в V и непрерывных на V функций.

Замечание 1. Теорема не распространяется на случай, когда в качестве области V вы ступает полоса, поскольку последняя не замкнута. Более того, далее будет показано, что для случая V существуют гармонические в функции с нулевой правой частью для (1).

Замечание 2. Существенным является и требование, чтобы нулю равнялась правая часть в (1) только всюду на E 0. Далее будет показано, что для любого конечного множества точек из E 0, или более обще, существует гармоническая в V функция, для которой правая часть в (1) отображается в ноль во всех точках s 0.

Теорему 3 можно легко вывести из теоремы о ядре (см. Прил. 2.4). Действительно, со гласно теореме о ядре, KerA V Im AV*. Поскольку Im A V* – множество гармонических в V функций, представимых в виде интеграла Пуассона, замыкание которых для регулярной обла сти V есть также гармонические в V функции, непрерывные на границе V, то и получаем тре буемый результат.

Теорема о ядре позволяет сформулировать результат о единственности решения уравнения (1) и для поточечно заданного поля.

Теорема 5. Пусть область V ограничена и замкнута. Для того чтобы распределение плотности создавало нулевую вертикальную производную гравитационного потенциала в N точках x i, y i, z i s i E, необходимо и достаточно, чтобы для любой из N функций z zi z zi g i v x x 3 2 y yi 2 z zi 2 v - si i выполнялось условие:

v g i v dv.



Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.