авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ...»

-- [ Страница 9 ] --

Пусть А – линейное преобразование, действующие из Х в Y, где Х, Y – банаховы про странства. Как и всюду, далее предполагаем, что DA плотно в Х. Рассмотрим линейный ограни ченный функционал y * Y * на Im A Y : y * y y * A x.

Y Y Этот функционал является одновременно и функционалом на элементах из, т.е.

DA X * элементом из Х, и, следовательно, существует элемент такой, что * * * * x X.

y Ax x x Y X Этот элемент зависит от принятого y * Y * и оператора A.

Последнее равенство определяет отображение А* из Y* в Х* по правилу:

* * * * y Ax x x Ay x.

Y X X Требование плотности DA в Х необходимо для того, чтобы А* был однозначен. Оператор * А называется сопряженным к А.

Приведем некоторые примеры (используются в 7.1). Пусть А действует из L2 (V), в R3, в L2 (E0) по правилу:

v zdv u x0, y0.

A v (2.2) x x 2 y y 2 z V 0 Здесь V – замкнутая ограниченная область, v = { x, y, z }, E 0 { x 0, y 0 } V. Например, E 0 { x 0, y 0 : x 0, y 0, z 0}, V { x, y, z 0}.

Этот оператор соответствует оператору прямой задачи гравиразведки. Он ограничен (см. 7.1 из L2(V) в L2(E0)). Тогда, учитывая, что двойственным к L2 служит само L2, получим для * ( x0, y0 ) L2 ( E 0 ) :

x, y, z zdxdydz s0 x0, y0 d x0 d y * AV ( v ) L2 ( E 0 ) x x z 2 y y E0 V x0, y0 zd x0 d y * x0, y x, y, z * * dv (v) A 3 L 2 (V ) x x z 2 y y V E Таким образом, оператор А* ставит в соответствие элементу * ( x 0, y 0 ) эле L2 ( E 0 ) мент40:

x0, y0 zd x0 d y * * ( v ).

x x z 2 y y E Свойства оператора и его сопряженного тесно связаны между собой. Без доказательства укажем следующие из них.

Если А линеен и задан на плотном в банаховом пространстве Х множестве, то А* за мкнут, и A A *. Если дополнительно А имеет обратный, ImA=Y (всюду предполагается, что Х, Y – банаховы пространства), то (А*)-1=(А-1)*;

А-1 ограничен тогда и только тогда, когда ( A * ) ограничен на Х*.

Операторами, являющимися замкнутыми, исчерпывается большинство геофизических приложений. Поэтому сформулируем основные результаты для этого класса операторов.

Теорема 2. Если А – замкнутое линейное преобразование из Х в Y ( A [ X Y ] ), область значений которого Im A – множество второй категории в Y, то 1) Im A Y ;

2) существует такая постоянная m 0, что y Y, x D A и y A x ;

x X m y Y ;

3) если существует обратное преобразование (А взаимнооднозначен), то оно ограничено.

Всюду отожествляется элемент из сопряженного пространства ему соответствующим по теореме Риса элементом двойственного пространства.

Отсюда, в частности, следует:

если A [ X Y ], ImA = Y и А – взаимнооднозначен, то ;

A если A [X Y ]и DA есть множество второй категории в Х, то DA = Х, и A ;

если A [ X Y ] и А не ограничен, то DA не может совпадать со всеми Х, а в лучшем случае образует лишь плотное в Х подмножество.

Таким образом, если А замкнут, взаимнооднозначен и ImA есть множество первой кате гории, то А не имеет ограниченного обратного. В этом случае ImA не содержит ни одной внут ренней точки (как множество первой категории).

Для оператора (2), который использовался в качестве примера выше, можно доказать, что область его значений есть множество первой категории в L 2 ( E 0 ) при E 0 { x 0, y 0 : x 0, y 0, z 0}, V { x, y, z 0}. Это сделано в п. 7.1. Тогда из приведенной теоремы, в частности, следует вывод, что он не имеет ограниченного обратного.

При рассмотрении обратных задач с замкнутым оператором в паре банаховых про странств:

Ax y;

(2.3) x X;

yY прежде всего, возникают вопросы, связанные с разрешимостью этой задачи.

Уравнение (3) называется:

однозначно разрешимым (о.р.), если K e r A 0 ;

плотно разрешимым (п.р.), если Im A Y ;

везде разрешимым (в.р.) при ImA=Y;

корректно разрешимым (к.р.) при A 1.

Из приведенных выше результатов следует, что для замкнутого взаимно однозначного оператора из всюду разрешимости следует корректная разрешимость.

Все введенные понятия и результаты относительно замкнутого оператора с областью определения в банаховом пространстве Х можно распространять и на случай, когда K e r A со держит нетривиальные элементы и образует линейное многообразие в X. Это соответствует ситуации однозначного оператора, имеющего многозначный обратный. Делается это следую щим образом.

Разобьем все пространство X на классы смежности [х], содержащие вместе со всяким элементом x X и все элементы х+g, где g K e r A. Легко видеть, что два класса [ x1 ] и [ x 2 ] ли бо совпадают, либо не пересекаются. Множество всех таких классов обозначим Х\КerА. Оно образует нормированное пространство, если норму в нем определить следующим образом:

x X in f x X. (2.4) x x В этом случае оператор А, рассматриваемый на элементах из Х\КerА, является взаимно однозначным. Действительно, каждому y Im A соответствует только один класс [х] из X / KerA. Пространство этих классов называется фактор пространством пространства Х по множеству КerА. К так модифицированному оператору А, который называется факторизован ным, приемлемы все приведенные результаты об ограниченности обратного. При этом под об ратным понимается соответствие элементу у класса [х] с нормой (4).

Так, например, если оператор А замкнут, действует из Х в Y, ImA есть в Y множество второй категории, то факторизованный оператор имеет ограниченный обратный (из Y в Х\КerА).

Примером подобному случаю может служить операция проектирования точек трехмерного пространства на некоторое двумерное подпространство этого пространства. Ядром оператора служит линия, проходящая через ноль и ортогональная подпространству, на которое происхо дит проектирование. Наоборот, если ImA не есть множество первой категории, то факторизо ванный не имеет ограниченного обратного. Например, таков оператор (2), рассмотренный выше. Этот результат, в частности, означает, что задача:

v zdv u x0, y0.

v A x x z 2 y y V v m in.

L2 v не имеет устойчивого решения из L 2 ( E 0 ) в L2(V). Иными словами, оператор, доставляющий решение этой задачи, неограничен. Причина тому состоит в том, что множество ImA есть мно жество первой категории в L2(E0).

Свойства разрешимости уравнений с операторами А и А* тесно связаны между собой.

Главным в установлении такой взаимосвязи является совокупность результатов. Они объединяются в результат под именем Теорема о ядре.

Пусть y * K e r A * и x D A. Тогда:

* * * 0 Ay x y Ax X Y И, следовательно,. Наоборот, если б * * y (Im A ) y (Im A ) и, следовательно, * * * * * * * y K erA 0 0,x DA.

Ay x y Ax Ay x X Y X Итак, получаем равенство:

* ( Im A ). (2.5) K erA Аналогично можно показать, что для ограниченного оператора А:

КerA = (ImA*). (2.6) Если оператор А – линеен и ограничен, то для него справедливы, в некоторой мере, об ратные к (5-6) результаты:

K erA M, (2.7) в *-слабой топологии пространства Х*.

где М – замыкание * ( Im A ) K erA * ( Im A ), (2.8) где последнее замыкание берется в слабой топологии пространства Y.

Исходя из результатов (5-8), составляющих суть теоремы о ядре, можно упорядочить различные типы разрешимости для уровней с операторами А и А*. В предположении, что А линеен, замкнут и имеет плотную в Х область определения, разрешимости уравнений для опе раторов А и А* связаны так:

A * A О.р. П.р.

(2.9) П.р. О.р.

К.р. В.р.

В.р. К.р.

В порядке возрастания свойств непрерывности линейного оператора А можно выделить замкнутый, непрерывный, вполне непрерывный.

Вполне непрерывным оператором называется линейный оператор, отображающий каждое ограниченное множество в предкомпактное.

Вполне непрерывный оператор всегда непрерывен, а непрерывный – замкнут. Можно ввести промежуточные понятия: слабозамкнутых, слабонепрерывных и слабо вполне непре рывных операторов. Определения этих понятий повторяют приведенные ранее с заменой силь ной топологии на слабую.

Слабо замкнутый оператор имеет слабо замкнутый график.

Слабо непрерывный оператор непрерывен относительно слабой топологии.

Слабо вполне непрерывный оператор переводит ограниченные множества в слабо пред компактные.

Слабо замкнутый линейный оператор и сильно замкнут;

Непрерывный оператор одновременно является и слабо непрерывным.

Вполне непрерывный оператор одновременно и слабо вполне непрерывный.

Важным для нас является следующий результат.

Теорема 3. Пусть А – линейный ограниченный оператор, действующий из Х в Y, где Х, Y – банаховы пространства. Если Y рефлексивно, то А – слабо вполне непрерывен.

Доказательство достаточно просто.

Пусть S – ограниченное множество в Х и М – замкнутое, выпуклое ограниченное множе ство, охватывающее S ( S M ). Тогда A ( S ) A ( M ) и A ( M ) замкнуто, выпукло и, в силу ре флексивности Y, слабо компактно. Тогда (поскольку A ( S ) A ( M ) ), А(S) слабо предкомпактно, что и требовалось доказать.

Особую роль играют сопряженные операторы в Гильбертовых пространствах.

Справедлив следующий результат.

Пусть A и В – линейные ограниченные операторы в Гильбертовом пространстве. Тогда:

1. (А+В)* = А*+В*.

2. (АВ)* = В*А*.

3. (аА)* = а*А*.

4. I* = I.

5. A** = A.

* A 6..

A 7. Если один из обратных к А или А* существует и непрерывен, то существует и непре 1* * рывен другой, причем A.

A 2.5. Примеры функциональных пространств Наиболее важным отличием между различными пространствами функций является вид введенной нормы, хотя это и не единственное различие. Все интересующие нас банаховы про странства функций строятся единообразным способом. Выбирается исходное пространство функций, на нем определяется вид нормы и далее к этому множеству присоединяются все пре делы всех фундаментальных последовательностей. Осуществляется его пополнение. Получае мое нормированное пространство по построению оказывается полным, т.е. банаховым, а исходное множество – плотным в нем подмножеством. Конечно, в зависимости от введенной нормы состав элементов в получаемых пространствах различен, но главным для нас является различие в выражениях для нормы. Введение различных пространств продиктовано необходи мостью конкретного выражения для нормы, а не «нехваткой» элементов пространств для тех либо иных описаний. Приведем пример.

Простейшим и одновременно наиболее употребляемым из всех рассматриваемых бана ховых пространств является гильбертово пространство L2 (V), состоящее из всех квадратично интегрируемых в области V функций с нормой:

v v f.

dv f L 2 V V Оно выделяется по своим свойствам в связи с тем, что для любых двух элементов f 2 v определен линейный непрерывный функционал f 1 ( v ), f1 v f 2 v d v, V называемый скалярным произведением. Скалярным произведением исчерпываются все линей ные ограниченные функционалы на с. В соответствии с теоремой Риса этим и устанавливается то, что двойственным к L2(V), которое мы отождествляем с сопряженным, служит само L2(V).

Другим распространенным банаховым пространством служит С(V), состоящее из всех непре рывных в области V функций с нормой f v C v sup f v.

v V Множество L2(V) и С(V) не совпадают, хотя их пересечение плотно как в L2 (V), так и в С(V). Для практических целей – описания объектов, возникающих в геофизических приложени ях – наблюдаемых распределений физического параметра, хватило бы и этого пересечения. Но мы рассматриваем L 2 V либо С(V) в связи с тем, что основной в этой книге часто рассматри вается задача оптимизации вида:

f v M ;

I f v m in.

f v имел вид нормы. Далее множе Для ее решения желательно, чтобы функционал I ство М часто представлено как M K e r A a, где A – заданный линейный оператор и a – эле мент (функция) из его области определения. Для существования решения этой оптимизационной задачи требуется, чтобы множество М было замкнутым относительно функ ционала I f v. Последнее означает, что этот функционал, рассматриваемый как оператор из М во множество вещественных чисел, должен быть на множестве М замкнутым. Если I f v f v, то для выполнения этого требования достаточно, чтобы А был непрерывен X (при условии, что он линеен) на функциональном пространстве Х. Такого рода потребности и вынуждают рассматривать не только простейшие – гильбертовы пространства, которых по чис лу элементов, несомненно, хватает, но и более сложные и общие – пространства банаха.

Обозначим C 0 V множество всех непрерывных и бесконечно дифференцируемых C 0 V введем норму:

функций, образующихся в ноль на границе V области V. На множестве 1p p v v f.

dv f L p V V Здесь 1 p. Пополним C 0 относительно введенной нормы. В результате получим банахово пространство, обозначаемое L p (V ). При p = 2 получим уже упоминавшееся ранее гильбертово пространство L2(V). Для случая p = :

lim f v sup vrai f v f v.

L V L V p v V P Здесь: “ s u p v r a i ” означает “существенная верхняя грань”, т.е. верхняя грань по множе v V ству V, за исключением, может быть, множества меры нуль (т.е. конечного или счетного числа точек из V). Пополнение C 0 по такой норме образует банахово пространство L(V).

Пространство L p (V ) Пространство L p (V ) состоит из всех функций с конечной величи v v ной. Иными словами, любая функция с конечной величиной может быть f f L P V L P V C 0 V.

представлена как предел в норме последовательности элементов из L p (V ) Всякий линейный ограниченный функционал на имеет вид L p (V ) v v *,1 p :

f f v v v f v dv, f v L P V, * * f f f L p V V p v L p V. Причем где * 1.

p f Норма этого функционала в точности равна норме элемента f * v, порождающего этот функционал в соответствии с теоремой Риса, и несколько условно можно записать:

f v v * * * f *.

f V * L L p (V ) ' P Таким образом, сопряженное к пространство изометрически изоморфно про L p (V ) v v странству L p (V ). Последнее означает, что каждому элементу со *,1 p :

f f L p V v L p V. Так, что ответствует один и только один элемент * f v v v * * f L.

sup f f P L f v 1 ' P LP L p (V ) и * В смысле этого изоморфизма и отождествляются.

L p (V ) Из приведенного факта следует, что p p ;

1 так что рефлексивно. От p, L p (V ) сюда, в частности, следует и другой вывод. Поскольку * xx, x sup X * x * X то:

1P P v f v v d v.

f sup v V V L ' P Банахово пространство называется сильно выпуклым, если для, из условий x, y X X следует x y, где – число. Это определение совпадает с данным ранее для x y x y топологических пространств, в случае топологии нормы.

Банахово пространство называется равномерно выпуклым, если из того, что 2, следует x n y n xn X, yn X, xn 1, y n 1, x n y n 0.

X X X X Равномерно выпуклые пространства одновременно и сильно выпуклы.

Пространства L p (V ) (1p) являются равномерно выпуклыми и каждое равномерно выпуклое пространство рефлексивно. Однако существуют рефлексивные пространства, не яв ляющиеся равномерно выпуклыми.

Пространства L1(V) и L(V) не являются ни равномерно выпуклыми, ни рефлексивными.

При этом сопряженным к L1(V) служит L(V) (в смысле указанного выше изометрического изо морфизма). Сопряженное к L(V) образует специальное множество функций, которое обознача ется ba, а нормой служит полная вариация. Пространство L1(V) образует *-слабо плотное множество в ba и, таким образом, ba можно рассматривать как *-слабое замыкание L1(V). Это обстоятельство нам потребуется в гл. 7.

В связи с пространствами Lp важен результат, называемый теоремой Рисса о выпукло сти. Мы приведем лишь один его частный случай.

Теорема Риса о выпуклости. Пусть А – линейное ограниченное отображение из L p V в и – его норма. Пусть известно, что для всех комбинаций p, q = {0, 0;

Lq ( S ) A A p,q p,q 0, 1;

1, 0;

1, 1}. Тогда есть выпуклая функция от а, b при 0 a, b.

log A 1 a,1 b Эта теорема позволяет делать вывод об ограниченности оператора в нормах промежу точных пространств, если известна его ограниченность в пространствах с индексами p, q рав ными 0 и 1.

Следующее неравенство известно, как Неравенство Юнга. Пусть где 1/p + 1/r 1, p 1, r 1. Тогда для f ( x ) L p, g ( x ) Lr, hx x y g y dy, f имеем hx f g Lp Lr Lq при 1 1 1.

q r p C 0 V относительно нормы:

V является замыканием (пополнением) Пространство r C k1 k 2 k r v v, v = { x, y, z}, sup f f v r k k1 k k x y z C v V k где означает суммирование по всевозможным комбинациям индексов k Это пространство состоит из функций, непрерывных в V k1, k 2, k 3 ;

k1 k 2 k 3 k ;

k1, k 2, k 3 0.

вместе со всеми своими производными до порядка r включительно (по любому из аргументов).

Легко увидеть, что если r1 r2, то C r C r. Наиболее распространен случай C 0 (V ), обознача 1 емый C (V ), v v.

sup f f C V v V Пространство C (V ) не является ни рефлексивным, ни сильно выпуклым, и общий вид линейного функционала над C(V) имеет вид v g v C f v g v dv, f V V L1 V. Так что L1(V) можно отождествлять (в смысле изометрического изоморфизма) где g ( v ) V.

с * C V состоит из пополнения C 0 V по норме:

Соболевское пространство r W p P k1 k 2 k r v v dv, f f W p V r k k1 k k x y z V k Для этого пространства не потребуется строить ему сопряженное, конструкция которого требует введения дополнительных понятий (пространства с отрицательной нормой по Лаксу).

Важно лишь отметить, что единичная сфера в W pr V компактна в Lp(V).

Обобщением конечномерных пространств, рассмотренных в приложении 1, служат n lp множества, состоящие из сходящихся бесконечных числовых последовательностей, которые lp будем обозначать. Пространства определяются как пространства числовых последова lp lp a 1...a n,.... и тельностей, пронумерованных натуральным числовым рядом;

a lp;

a 1p p ai,1 p a lp i 1 Для p = : m ax ai.

a n l i 1,.

Сопряженное к пространство изометрически изоморфно l p, и общий вид линейного lp ограниченного функционала на задан соотношением lp 1 a i bi, b l p, 1.

p p' i Все рефлексивны.

lp В качестве примера использования пространства построим сопряженный к оператору lp L 2 V в lp.

из Оператор, аналогичный (2), в практических случаях приходится рассматривать с обла стью значений в l p. Приводимые ниже соотношения более общие, относятся к l p и легко рас n пространяются на случай. Это соответствует случаю, когда наблюдаемый гравитационный n lp эффект измерен в конечном числе n точек. Для число этих точек счетное.

x i, y i i 1,....n lp v zdv u xi, yi.

v A x x z 2 y yi V i y x i, y i l p. Поскольку l p * Будем считать, что, то для имеем:

lp l p' a ' x, y, z zdxdydz AV ( v ) c n lp x x z 2 y i 1 yi V i i dxdydz x, y, z * (v) A 32 L 2 (V ) x x z 2 y i 1 yi V i Таким образом, в случае такого задания оператора А, А* отождествляется с отображе нием из l p в L 2 V по правилу:

' iz * A.

x x z 2 y i 1 yi i 2.6. Экстремальные задачи При решении обратных задач геофизики вариационные методы занимают ведущее ме сто. Задачи на максимум или минимум, а в общем случае – задачи на нахождение экстремума, пронизывают все постановки и методы, используемые при анализе геофизической информации.

Они являются главным средством для решения обратных задач, на их основе реализуется со держательная постановка задач. Это становится понятным, если вспомнить, что наблюдаемая компонента геофизического поля, подлежащая обработке и интерпретации, осложнена ошибка ми. Задачи анализа данных состоят чаще всего в наилучшей аппроксимации (подборе) этой наблюдаемой системой заданных элементов, образующих заданное множество. Наилучший подбор достигается тогда, когда невязка между наблюдаемой и искомым элементом из ста новится минимальной.

Если мера удаления наблюдаемой y от произвольного оценивается функционалом yM J ( y, y ), то задача обработки данных сводится к:

J ( y, y ) m in, yM.

Например, это может выглядеть так:

y y m in, L yM.

Рассмотрение такого рода задач составляет предмет теории экстремальных задач. Рас смотрим один достаточно простой пример.

Искомой является функция f ( x, y ) двух переменных, доставляющая минимум функционалу:

L x, y, f x, y, f x x, y, f y x, y d x d y m in (2.10) S Здесь f x ( x, y ), f y ( x, y ) обозначают, соответственно, производные функции f ( x, y ) по х и у;

S – область в R2, L – некоторая функция, в данном случае, пяти переменных, которая в при ложениях называется Лагранжевой плотностью. Это переменные x, y, a, b, c, где вместо пере менных a, b, c подставлены f x, y, f x x, y, f y x, y соответственно. Предположим, что решение задачи (10) существует и есть f ( x, y ). Предположим, далее, что функция L ( x, y, a, b, c ) достаточное число раз дифференцируема по всем своим переменным. Пусть ( x, y ) – произвольная непрерывно дифференцируемая функция, заданная в S и равная нулю на границе S области S. Тогда J ( t ) L ( x, y, f ( x, y ) t ( x, y );

f x ( x, y ) t ( x, y );

f y ( x, y ) t ( x, y )) d x d y, (2.11) S где t – числовой параметр, есть обычная функция переменной t. Поскольку экстремум (10) до стигается на f ( x, y ), то экстремум (11) достигается при t = 0. Тогда производная от (11) должна обращаться в нуль при t = 0:

I L f x, y, f, f x, f y dxdy L f x, y, f, f x, f y x dxdy L f x, y, f, f x, f y y dxdy 0.

x y S S S Здесь – производные от функции по соответственно, на Lf,L,L L (x, y, a,b, c) a,b, c fx fy место которых подставлены. Далее f, fx, fy L Lf L ;

x fx fx x x x L Lf L.

y fy fy y y y Тогда:

I dxdy Lf L f dxdy.

L L L f fx fy x y x y x y S S Второй интеграл, после применения формулы Грина, равен:

dx L f dy, L fx y и обращается в нуль, поскольку значения ( x, y, ) равны нулю на S по условию.

Далее для краткости письма будем, где это не ведет к недоразумениям, опускать перечень переменных ( x, y ) при функциях.

Тогда равенство dxdy L f L L fy f x y x S S. С другой стороны, S плотно в L2(S). Следовательно:

выполняется для всех C0 C 0. (2.12) L L L f fx fy x y Это и есть искомое уравнение Эйлера, являющееся необходимым условием, которому удовле творяет экстремаль (т.е. решение вариационной задачи) (10).

В том случае, когда на искомую экстремаль наложены дополнительные ограничения вида:

G i x, y, f, f x, f y dxdy a i, (2.13) S задача минимизации функционала (10) при условии (13) сводится к безусловной минимизации (т.е. минимизации рассмотренного выше вида) функционала:

n i G i x, y, L x, y, f, fx, f y dS f, f x, f y d S m in. (2.14) i S S Здесь i – числа, которые называются множители Лагранжа. Это правило – замена за дачи на условный экстремум (10, 13) задачей на безусловный экстремум (14) – называется «правило Лагранжа".

Числа i находятся из условия, чтобы экстремаль (14) удовлетворяла системе уравн е ний (13).

Предполагается, что G i x, y, f, f x, f y также требуемое число раз дифференцируема по всем своим аргументам.

В приведенном примере мы столкнулись с тем обстоятельством, что отображение L x, y, f, f x, f y следовало дифференцировать по функциям, как по переменным. Таковы про изводные. Это характерное обстоятельство. Введем соответствующее определение.

Lf,L,L fx fy Пусть Х, Y – банаховы пространства, и А(х) – отображение (оператор) окрестности Q(х) точки x D ( A ) X в Y. A ( x ) называется дифференцируемым по Фреше (сильно дифферен цируемым) в точке x, если существует такой линейный непрерывный оператор, A ( x ) : X Y А, что A x h A x A ' x h r h, r h Y 0.

lim h 0 h X называется производной Фреше оператора в точке. Если оператор A ( x ) A ( x ) x A(x) дифференцируем по Фреше в окрестности точки x D ( A ) X и Im A ( x ) Y, то А регулярен в окрестности х. Следует помнить, что A ( x ) h суть линейный оператор, действующий на элемен A ' x ты. Если для всех точек из Q(х) существует и отображение непре A ( x ) h X x Y рывно, то A ( x ) называется непрерывно дифференцируемым или отображением (оператором) класса C 1.

Наряду с производной Фреше и следующими из нее понятиями, можно ввести и другое определение – производную Гато, или слабую производную. Далее используется только силь ная производная, поэтому термин «Фреше» зачастую опускается.

Благодаря введенному понятию оправдывается дифференцирование некоторого отобра жения по функции, как по переменной. Так, собственно, и вычисляются производные.

Рассмотрим пример.

dxdy A f x.

x x x, y y y0 2 f S L2 S функций, таких что Это отображение можно рассматривать из подмножества в x 0. Для того чтобы вычислить производную Фреше, продифференцируем это выражение f по f ( x ), как по параметру. В результате получим:

h x, y f x, y dxdy A ' f x, y h x, y.

x x x, y y 2 y0 f S A x h A h.

Пусть – линейный оператор:. Тогда Производная уже не A(x) Ax A(x) зависит от x, оператор действует на приращение h, следовательно, во всех точках х производ ная одна и та же. Следует всегда помнить, что производная – это линейный оператор, действу ющий из Х в Y.

Следующая теорема называется правилом (принципом) Лагранжа и является основной в вариационном исчислении. Она является обобщением того приема, который был введен под тем же названием выше (задачи (10, 13, 14)).

Правило Лагранжа. Пусть функционал J ( x ) и отображение A ( x ) : X Y дифферен цируемы по Фреше в окрестности точки x, где x – решение задачи:

J x m in A x 0, Im A x Im A x существование которого предполагается. Пусть. Тогда найдутся не равные одновременно нулю элементы и, такие что:

1 * * R y Y J x A x y 0.

* (2.15) Если A ( x ) непрерывно дифференцируемо и регулярно в точке x, то 0, и можно считать, что 1.

Уравнение (15) называется уравнением Эйлера-Лагранжа.

Доказательство этого результата см. [4, 87-88]. Здесь, как и для уравнения (12), приведем лишь пояснения к результату.

Пусть A ( x ) 0. Построим вариацию x ( h, t ) x t h r t такую, что A ( x ( h, t )) 0, r t 0.

lim t 0 t Тогда:

A x h, t A x A x A ' x t h r 0, где r – величина более высокого порядка малости, чем остальные члены. Отсюда заключаем, что h K e r A x. В условиях теоремы, т.е. в предположении замкнутости Im A x непрерыв A'x ности отображения в окрестности точки, имеет место и обратное утверждение:

x x K erA x обладает свойством:

совокупность векторов из h A ( x ( h, t )) 0, r t 0.

lim t 0 t Теперь рассмотрим функцию параметра t:

J x (h, t).

m in По условию ее минимум должен достигаться при t = 0 и, следовательно, вычисляя про изводную по t при t = 0:

J x h 0 h K erA x.

J x – есть линейный функционал над Х, и его мы записали для наглядности в виде J x, таким образом, отождествляется в смысле изометрического изомор J x. Элемент h физма с некоторым элементом из Х*. Из последнего условия, по теореме о ядре Im A x, получаем – некоторое число42. Следова J x Im A x, где K er ( A x ) * * x x, суще Im A x Im A x, откуда следует, тельно, в регулярном случае Im A Im A * * J x A x ствует элемент и. Это и требовалось показать.

* * * * y Y y Ax в окрестности Здесь важно отметить то, что требование регулярности оператора точки x является весьма жестким. И хотя, фактически, результат теоремы чаще всего справед ливым остается и когда Im A x незамкнуто, строгое ее применение неправомерно. Из замкну Im A x следует корректная разрешимость факторизованного уравнения тости A ' x h u, которая называется нормальной разрешимостью.

Последнее означает корректную разрешимость уравнения относительно фактор про странства Х по ядру оператора, или корректность решения задачи A ' x h u m in.

h X Зачастую при постановках обратных геофизических задач нормальная разрешимость ме ста не имеет. Так, например, приведенный результат нельзя применять к задаче:

v zdv u x0, y0, V 2 x x0 y y0 z v m in.

L 2 V Приведенный выше результат – теорема Лагранжа (принцип Лагранжа) – это необходи мые условия экстремума. Для его корректного применения следует еще доказать, что соответ ствующая конкретная задача имеет решение и записанные условия достаточны. Доказать это x удается, как правило, лишь в весьма жестких предположениях относительно функционала J Ax и оператора. Оказывается, что для специальных случаев, к которым могут быть сведены многие геофизические задачи, соответствующие результаты можно доказать, исходя из других принципов, не используя производных.

x имеет спе В большинстве рассматриваемых в приложениях случаях функционал J циальный вид – вид нормы в банаховом пространстве. Рассмотрим следующую задачу, называ емую задачей о наилучшем приближении.

Оно введено на тот случай, если оператор А не регулярен. Тогда возникают особенности с применением теоре мы о ядре. Равенство нулю этого числа делает весь результат тривиальным и справедливым для любого случая.

Впрочем, в этом последнем случае он не только тривиален, но и бессодержателен с конструктивной точки зрения.

Считаем его не равным нулю.

Пусть Х – банахово пространство, М – его подмножество и х0 – элемент из Х, не принадлежа щий М. Назовем элемент x наилучшим приближением к х0 (аппроксимацией х0) на множество М, если in f x x x0 (2.16).

x X M Для того чтобы такой элемент существовал всегда, необходимо, чтобы М было замкнуто.

Следующая цепочка результатов характеризует условия существования и единственности ре шения задачи (16).

Пусть М – замкнутое множество в банаховом пространстве Х (например, М – подпро странство). Тогда решение x задачи (16) существует. Если М дополнительно выпукло, то мно жество решений задачи (16) образует замкнутое выпуклое множество, если пространство Х дополнительно сильно выпукло (например равномерно выпуклое), то решение задачи (16) единственно. Напомним, что равномерно-выпуклые пространства являются сильно выпуклыми.

Сюда относятся все пространства Lp при 1 p.

Наиболее типичными примерами задач, рассматриваемых далее, являются следующие:

Ax y m in Y (2.17) x M Fx m in x (2.18) x u.

Здесь А, F – некоторые операторы, М, u – подмножества в банаховом пространстве Х.

Задача (17) возникает при подборе параметров модели среды из класса моделей М по требова нию наилучшего согласия наблюдаемой у и рассчитанной от элемента х по правилу Ах поля.

Теорема 4. Если M X – замкнутое выпуклое множество, Х рефлексивно, Y сильно вы пукло (Х, Y – банаховы пространства), А: ХY взаимнооднозначен и непрерывен, то решение задачи (17) существует и единственно.

Доказательство*. При доказательстве этого результата существенно используется поня тие слабой топологии.

Поскольку М замкнуто и выпукло, Х рефлексивно, то М слабо компактно. Поскольку А непрерывен, то и слабо непрерывен, следовательно, слабо компактные множества переводит в слабо компактные. Таким образом, оказывается, что S – образ М при отображении А – является слабо замкнутым. Поскольку в силу выпуклости М выпукло и S, то множество S будет замкнуто сильно (слабо замкнутое выпуклое множество сильно замкнуто).

Следовательно, решение задачи y m in Y (2.19) S AM существует и единственно, поскольку минимум сильно выпуклого функционала на замкнутом выпуклом множестве достигается и единственен. Обозначим его y. Поскольку А взаимноод нозначен на М и y S Im A, то существует единственный элемент x A 1 y, являющийся решением (17). Что и требовалось доказать.

Задача (19) – это преобразованная задача (17), и она по форме аналогична (16). Это вто рое обстоятельство, которое мы хотели проиллюстрировать.

Обозначим PX M, x 0 оператор, ставший в соответствие элементу x 0 X решением за дачи (16). Тогда решение задачи (19) суть и решение задачи (17) можно представить в PY ( S, y ), виде:

x A 1 P ( S, y );

Y (2.20) S A M.

Если А взаимнооднозначен, непрерывен и М компактно, то, в соответствии с теоремой о гомеоморфизме (20), оказывается непрерывным. Рассмотрения, развивающие приведенные, имеются в п. 3.2 и составляют теоретическую основу методов квазирешений.

Рассмотрим теперь задачу (18), предполагая, что u x D A X : A x y Im A, где А – линейный ограниченный оператор из Х в Y (Х, Y – банаховы пространства). u есть сдвиг КerA и, в силу непрерывности А, КerA замкнуто в Х. Следовательно, замкнуто и выпукло u. Если F – гомеоморфизм, то образ u при отображении F есть также замкнутое выпуклое множество. Тогда задача (18) записывается в эквивалентной форме:

m in ;

X (2.21) F u.

Решение (18) есть x F 1, где – решение (21). Таким образом, и (17), и (18) сводят ся к задаче (16).

Следующий результат касается задачи (16) и является для нее основным.

Теорема двойственности. Пусть М – замкнутое выпуклое множество линейного норми рованного пространства Х. Для того чтобы элемент x был наилучшим приближением в М к х0, т.е. являлся решением задачи x x 0 x min;

(2.22) xM, необходимо и достаточно, чтобы в сопряженном к X пространстве Х* существовал элемент *, x определяющий линейный функционал на X : x * x такой, что:

а) * 1;

x X* б) * x x0 x0 x ;

(2.23) x X в) * * sup.

x x x M Условие (в) в приведенном результате может быть, как это нетрудно видеть, заменено эквивалентным в’) x * x 0 M.

В том частном случае, когда М – линейное подпространство в Х, условие (в) либо ему эквивалентное (в’) заменяется на в’’) * M x Действительно, если предположить возможность строгого неравенства в (в’), то в силу линейности М оно всегда может быть обращено для некоторого другого, и, следовательно, возможно только равенство.

Приводимое ниже следствие из теоремы двойственности является одним из главных ре зультатов, используемых в гл. 5, 7.

Следствие. Если А – линейный ограниченный оператор из Х в Y, где Х, Y- банаховы про странства и M x D A X : A x y, то условие (в) в теореме двойственности заменится на в’’’) * 0 x KerA.

x x Докажем этот результат.

Пусть a X A a y. Тогда и M K erA a x x0 a m in x x 0 m in.

X X x M x K e r A ~ Решение задачи (23) есть, где ~ – решение задачи xxa x x x0 a. (2.24) m in X x K e r A К (24) применима теорема двойственности в случае, когда М – линейное подпростран ство. Тогда условие (а) для (24) остается без изменений, для условия (б) имеем:

x x0 a * x x0 x x x0 ;

X X т.е. это условие также осталось без изменения, а условие (в``) будет иметь вид в```) x * x 0 x KerA, что и требовалось доказать.

Следующий результат является частным, но весьма распространенным случаем.

Пусть Х = L2 – гильбертово пространство, М – замкнутое выпуклое множество. Для того чтобы x было решением задачи (23), необходимо и достаточно x x 0 x 0, M и, если М – подпространство в Х, то:

x x 0 0, M. (2.25) Для доказательства в качестве функционала, участвующего в формулировке тео * x x ремы двойственности, выберем x0 x.

x x0 x L Этот элемент действительно принадлежит L2 и, в силу нормировки, имеет единичную норму, так что условие (а) в (22) для него выполнено. Далее, поскольку x x 1 x x0 x x0 x x x0, x x0 x x x то выполнено и условие (б). Запишем третье уравнение – (в’) x0 x или:

x 0 M x0 x L x x0 x x 0 M Если М – подпространство, то строгое неравенство невозможно, что и требовалось доказать.

В приведенных результатах были использованы линейные операторы, и по этой причине процедуры дифференцирования не потребовались. Но здесь необходимо знать вид сопряженно го к рассматриваемому пространству, и этим-то и оправдываются рассмотрения, проведенные ранее в связи с пространствами линейных функционалов над Х.

Условия (в’), (в’’), (в’’’), участвующие в различных формулировках теоремы двойствен ности, могут быть заменены эквивалентной заменой требований M ;

x KerA на требо вания x B ;

x G, где B, G – плотные в М либо КerA множества.

Рассмотрим теперь пример задачи (17) в предположении, что А – линейный ограничен ный оператор из Х в Y, где Х, Y – гильбертовы пространства. В соответствии с теоремой Ла гранжа для решения задачи J x Ax y m in L следует продифференцировать J x по х, и результат приравнять нулю.

x Ax y Ax y Ax Ax 2 Ax y y.

J L Тогда:

J ' x h Ax y h * * * * A Ax h h A Ax 2 h A y A или Ax y 0.

* A Это и есть уравнение Эйлера – необходимое условие экстремума для (17).

Теперь для той же задачи воспользуемся методами теории двойственности, предвари тельно трансформируя ее к (19), как это было проделано ранее. Сохраним введенные предпо ложения относительно Х, Y, М, А. Тогда для y решения (19) из (25) имеем yy 0 Im A или, учитывая, что – решение задачи (17) – связано с соотношением y Ax :

y x Ax y Ax 0 x X.

Из последнего условия имеем:

Ax y x * 0 x X, A откуда: A * A x y 0.

Мы вновь получили уравнение Эйлера, но теперь оно – необходимое и достаточное условие для искомого решения.

2.7. Библиографические замечания Математические понятия, введенные в настоящей части, значительно выходят за рамки традиционных курсов по математике, изучаемых на геофизических специальностях. В то же время для специалиста в области интерпретации, точнее, методов обработки и автоматизиро ванных средств интерпретации геофизических данных, эти понятия необходимы. Они позволя ют «увидеть» задачи и пути их решения в целом и, исходя из такого понимания, анализировать и даже конструировать конкретные методы и алгоритмы. Специалистов такого типа становится все больше, а их роль в общем комплексе геофизических исследований все значительнее. Одна ко в настоящее время учебника по современным математическим методам для геофизика нет.

Приведенный конспект слишком краток, чтобы восполнить такой пробел, да это и не входило в его цели. Поэтому необходимы рекомендации по изучению предмета.

Практически все необходимое можно найти в учебнике Ф.Н. Колмогорова и С.В. Фомина [1], и, по крайней мере, первичные понятия следует черпать именно оттуда. Крат кое и одновременно очень насыщенное изложение всех необходимых понятий функционально го анализа: топологические, метрические, нормированные пространства;

линейные операторы и функционалы;

слабые топологии – имеются в книге Э. Хилле, Р. Филипс ([2] стр. 13-64). По во просам разрешимости операторных уравнений желательно обратиться к книге С.Г. Крейна ([3] стр. 5-40). Для получения первых представлений по теории экстремальных задач следует обратиться к книге А.Д. Иоффе, В.М. Тихомирова ([4], стр. 11-101) и книге Н.П. Корнейчука ([5], стр. 11-43).

Литература 1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976. – 542 с.

2. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. – М.: Изд. ин. лит., 1962. – 829 с.

3. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1971. – 104 с.

4. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. – М.: Наука, 1974. – 479 с.

5. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.

Приложение 3. Непрерывные группы и их представления* Есть довольно много веских причин для того, чтобы внимательно изучить те следствия, которые проистекают от факта симметрии объектов относительно некоторых движений в про странстве, или более обще – некоторых типов преобразований. Одна из них состоит в том, что симметрия связана с законом сохранения в физике. Собственно, это и понятно. Если под дей ствием преобразования нечто не изменяется, т.е. симметрично относительно этого преобразо вания, то по-другому это произносится – нечто сохраняется при преобразованиях. Например, с течением времени не меняется полная энергия системы – система симметрична относительно преобразований сдвига по времени. Оказывается, однако, что сам факт записи дифференциаль ных уравнений часто означает ничто иное, как перечень минимального числа тех преобразова ний, которым подвергаются начальные данные этого уравнения. Но отсюда возможны и алгоритмические следствия – проще моделировать сами эти движения, чем искать сеточными или иными приемами решения дифференциальных уравнений. Результат один и тот же, но до стигается разными по трудоемкости и прозрачности средствами. Понятие движения подразуме вает нечто, непрерывно связанное с некоторым параметром, например временем, хотя это не единственный и даже не лучший параметр. Например, роль такого параметра может играть пространственная координата или некоторый формальный параметр.

Другая веская причина рассмотрения симметрий – специфическая для геофизических методов исследования неоднородных сред. Она состоит в том, что факт симметрии какого-либо процесса или явления в пространстве, времени свидетельствует и воспринимается как однород ность пространственно-временного многообразия относительно этого процесса. Наоборот, не однородности среды воспринимаются как неоднородности лишь постольку, поскольку проявляются в виде нарушения симметрии распространения в пространственно-временном многообразии физического поля. Поскольку геофизические методы направлены на изучение неоднородностей среды, то локальные нарушения симметрий – их основной предмет изучения.

Группой (преобразований, действующих на некотором пространстве) называется такое множество G, для каждых двух элементов g 1 и g 2 которой определено понятие их композиции g 1 g 2 (умножения, последовательного применения), так что результат композиции есть снова g1.

элемент из g2 g3 G G е со свойством: g 1 g 1.

Существует единичный элемент ee eG Для каждого элемента g из G существует принадлежащий G элемент g 1, называемый обратным к g, такой, что: g g 1 g 1 g e. Непрерывной группой называется множество, элементы которого есть непрерывные G функции параметра s со значением в некотором пространстве R N. Для того чтобы это сделать, надо, как минимум, ввести на множестве G топологии или метрику, а лучше норму44, и пока зать, что любые два элемента g 1, g 2 группы G соответствуют значениям параметра s 1 и s 2, и их можно непрерывным образом соединить, двигаясь по кривой соединяющей точки s 1 и s 2 в. Понятие непрерывной группы может быть введено и исследовано в самых общих предпо N R ложениях. Это красивая, содержательная теория. Однако далее для иллюстративных целей вполне достаточно иметь аналоги пространственно-временных трансформаций (понятия транс формации и преобразования являются синонимами), куда относятся: сдвиги (трансляции), вра щения, растяжения-сжатия. Другой тип преобразований дают преобразование зеркального отражения. Он не является непрерывным. Действительно, нельзя отразиться в бесконечном зер Если такой обратный элемент существует не для всех элементов G, то G называется полугруппой. Например, множество квадратных матриц – это полугруппа, поскольку не для каждой из них существует обратная. Но множе ство квадратных матриц с определителем, равным единице, образует группу.

Например, эта группа является нормированным пространством кале наполовину или, скажем, на две трети. Несмотря на это, преобразование играет большую роль при классификации непрерывных пространственно-временных трансформаций. Подгруп пой группы G называется подмножество D в G, обладающее всеми свойствами группы G и замкнутое относительно групповой операции. Последнее означает, что для любых двух элемен тов из D их произведения и обратные элементы принадлежат D.

Пусть на пространстве осуществлено линейное преобразование, сохраняющее R длины всех векторов. Это преобразование от координат к координатам задается x x соотношением45:

x a A x (3.1) Здесь A – компоненты матрицы, характеризующей преобразование, a – компоненты, характеризующие вектор сдвига.

Используется правило суммирования Эйнштейна, в соответствии с которым по дважды повторяющемуся индексу происходит суммирование. Если индекс греческий, суммирование происходит от 0 до 3;

если индекс латинский – от 1 до 3. Мы не следим за балансом нижних и верхних индексов, используя только нижние, только верхние, или те и иные, лишь из сообра жений удобства письма. Поскольку длина векторов при преобразованиях остается неизменной, то, исключая сдвиг, получим: и, следовательно:

x x x x A A (, ).

Как обычно, через обозначен символ Кронекера – дискретный аналог дельта им (, ) 1 ;

пульса Дирака. (, ) 0.

Поскольку A x A x x x, то матрица A ортогональна и d e t | A | 1. Следовательно, типы преобразования, осуществляемые матрицей A, разбиваются на два класса: с положитель ным и отрицательным детерминантом. Их совокупность обозначается O(4). Ту их часть, кото рая обладает положительным единичным детерминантом, обозначим SO(4). Понятно, что SO(4) есть подгруппа в O(4). Часть преобразования (1), связанную со смещением вектора x на вектор a, с компонентами a обозначим Т(4). Эта подгруппа группы преобразований (1) (но не под группа в O(4)) называется подгруппой трансляций рассматриваемой группы преобразований.

Введенные преобразования являются непрерывными. Это следует понимать в том смыс ле, что какое бы из рассматриваемых преобразований ни было бы осуществлено, можно осуще ствить и другое, сколь угодно близкое к нему. Для каждой из таких непрерывных групп преобразований полезно ввести понятие связанного с ней множества, бесконечно близких к единичному преобразований. Это даст возможность описывать преобразования, бесконечно близкие к заданному. Опишем это множество.

Сдвиг по координате x на величину описывается самой величиной. Таким об разом, для Т(4) бесконечно близкое к единичному преобразование описывается так:

x x x, v,.

где v Рассмотрим теперь бесконечно малые преобразования для S0(4). Преобразования, беско нечно близкие к единичному, могут быть описаны с помощью суммы единичной матрицы E, оставляющей вектор x без изменений, и матрицы с компонентами v, обеспечивающей беско нечно малое преобразование вектора x.

В формулах, куда входит индексированный параметр, суммирование по дважды повторяющемуся индексу осу ществляется по всем его значениям вне зависимости от того, латинский это, или греческий индекс.

Тогда преобразование из окрестности единицы задается условием:

x x x.

Длина результирующего вектора легко вычисляется:

+члены квадратичные по x x x x x x x x v.

Пренебрегая квадратичными членами, в силу их малости, получаем из условия равенства длин исходного и преобразованного векторов, что матрица v кососимметрична:

v v.

Действительно, из следует x x x x x x x x = при v v x x x x 0.

Таким образом, только 6 независимых параметров характеризуют бесконечно малое пре образование на SO(4), причем само это преобразование задается кососимметричной матрицей.

Её определитель равен нулю, поскольку диагональные элементы кососимметричной матрицы тождественно равны нулю.

Общее число параметров, характеризующих преобразование векторов в четырехмерном пространстве (пространстве-времени) без изменения их длин и сохранения ориентации (опре делитель положителен) оказывается равным десяти. Оно складывается из вращений, характери зуемых шестью независимыми параметрами кососимметричной матрицы и трансляций, характеризуемых четырьмя параметрами. Легко убедиться в том, что эти преобразования обра зуют непрерывную группу.

Действительно, групповые свойства для каждого из множеств преобразований SО(4) и Т(4) очевидны:

1. определена операция умножения (композиции двух преобразований). Произведение (последовательное применение) двух преобразований из этого множества преобразований дает новое преобразование из того же множества;

2. существует единичное преобразование (единичная матрица ), умножение на которое не меняет преобразования;

3. для каждого преобразования существует ему обратное из того же множества.

Непрерывность следует из того, что поворот может быть осуществлен на какой угодно малый угол, а сдвиг – на любую сколь угодно малую величину.

Непрерывная группа (полугруппа) называется группой (полугруппой) Ли.

Рассмотрим способ нахождения бесконечно малых преобразований из заданной непре рывной группы. Пусть преобразование R из группы g непрерывно зависит (строго говоря, группа g должна быть топологической для того, чтобы имело смысл понятие непрерывности) от вектора параметров s { s 1, s 2,... s N }, размерность которого N. Таким образом, R есть функция s: R ( s ). Бесконечно малое преобразование (дифференциал, инфинитезимальное преобразова ние) из g можно определить так:

R (s ) R ( s ) s 0 s i.

si Оператор называется генератором бесконечно малого преобразования, i R (s ) s si или производящим оператором.

Результатом действия бесконечно малого преобразования из g на вектор x вычисляется по формуле:

i x x si. (3.2) Оператор Г i s i, применяемый к вектору x, характеризует собственно операцию беско нечно малого преобразования, называется инфинитезимальным оператором группы (полугруп пы). Таким образом, оператор бесконечно малого преобразования «раскладывается» в набор генераторов по каждому из параметров, характеризующих преобразование из группы Ли, и ва риации самих этих параметров.

Поскольку – это вектор, то каждый из операторов – это двухиндексная матрица i x i. Следовательно, в покомпонентной записи соотношение (2) можно переписать:

i x x s i (3.3) Исходя из выясненных ранее свойств бесконечно малого преобразования, задаваемого матрицей v, приходим к выводу о том, что генераторы Г vi антисимметричны по индексам { v, }. Рассмотрим их явное выражение для введенных выше групп.

Для подгруппы трансляций легко получить:

i i x ( i, ).

Рассмотрим теперь подгруппу вращений. Как было выяснено ранее, она шестипарамет рическая. Выберем в качестве параметров шесть углов поворота в плоскостях:


X 1 X 2 ;

X 2 X 3 ;

X 1 X 3 ;

X 1 X 0 ;

X 2 X 0 ;

X 3 X 0, соответственно. Вращения в плоскостях, содержащих вре менную компоненту хо, физически означают переход к движущейся в направлении соответ ствующей пространственной координаты системе координат. Угол поворота выражается через скорость этого движения. Таким образом, подгруппа четырехмерных вращений имеет соб ственную подгруппу вращений в трехмерном пространстве и подгруппу движений в трехмер ном пространстве.

Рассмотрим подгруппу трехмерных вращений. Она состоит из подгруппы S0(3), которую можно назвать чистыми вращениями, и пространственных отражений: x x. Поворот вокруг оси X 3 на угол Q задается в трехмерном пространстве соотношением:

cos( Q ) sin( Q ) R ( Q ) x sin( Q ) cos( Q ) 0 x.

0 В его справедливости легко убедиться прямым вычислением.

Тогда для генератора Г 3 имеем:

0 (3.4а).

Г 0 0 Аналогично, имеем для генераторов поворота вокруг осей и соответственно:

X2 X 0 0 0 (3.4b) 0 0 ;

Г 2 Г 0 0 1.

1 0 0 Эти матрицы легко переписать и для случая пространственного вращения четырехмер ных векторов. Для этого достаточно дописать в них нулевую 4-строку и нулевой 4-столбец.

Генераторы группы Ли имеют не одну групповую операцию, а две. Добавляется адди тивная операция – сложение генераторов. Такого сорта объекты называются алгебрами. Точнее говоря, множество, для элементов которого определены две групповых операции: аддитивная, относительно которой она является группой, и мультипликативная, относительно которой он является полугруппой, (выполняются все условия группы, кроме существования для любого элемента ему обратного в том же множестве) называется алгеброй. Таким образом, набор гене раторов, соответствующих группе Ли, образует алгебру. Она называется алгеброй Ли, соответ ствующей группы Ли. Однако это специфическая алгебра. Аддитивной операцией в ней служит, как уже указывалось, сложение. Что касается умножения (композиции, мультипликативной операции), то оно имеет более сложный характер.

Если ввести на множестве генераторов группы Ли умножение по соответствующему правилу матричного умножения (унаследованного от исходной группы Ли, элементами которой являются и элементы ее алгебры Ли), то получаемый в результате элемент может и не принад лежать алгебре Ли генераторов группы. Иными словами, матричное умножение двух генерато ров дает элемент группы, но он может оказаться не соответствующим ни одному из генераторов групп Ли. Для того чтобы превратить множество генераторов в группу Ли относительно муль типликативной операции, примем в качестве последней антикоммутатор, который называется также скобкой Пуассона, или скобочным умножением:

Г ;

Г Г Г Г Г.

i j i j j i Введение такой мультипликативной операции превращает группу Ли генераторов в ал гебру Ли. Применение скобочного умножения, в отличие от обычного матричного, не выводит за пределы алгебры, поскольку справедливо следующее равенство:

Г ;

Г C kГ.

i j ij k Оно называется коммутационным соотношением. Величины C i kj называются структур ными константами алгебры Ли. По сути, структурные константы – это самое главное, что определяет собственно алгебраические свойства рассматриваемых объектов. Возможно суще ствование различных по природе объектов, образующих алгебры с одними и теми же структур ными константами. В таком случае говорят о различных представлениях одной и той же алгебры Ли. Скобочное умножение [ f ;

d ] антисимметрично по сомножителям f, d, линейно по каждому множителю, и, кроме того, удовлетворяет тождеству Якоби:

[[ f ;

d ];

s ] [[ s ;

f ];

d ] [[ d ;

s ];

f ] 0.

[ f ;

d ] [ d ;

f ];

[ f ;

( d s )] [ f ;

d ] [ f ;

s ];

(3.5) [[ f ;

d ];

s ] [[ s ;

f ];

d ] [[ d ;

s ];

f ] 0.

Отсюда, в частности, видно, что скобочное умножение в общем случае и неассоциатив но. Это означает, что [ f ;

[ d ;

s ]] [[ f ;

d ];

s ].

Тождество Якоби легко проверяется прямым вычислением, а по форме оно аналогично правилу дифференцирования произведения. Действительно, определим производную элемента f по элементу s правилом [ s ;

f ] f. Тогда тождество Якоби записывается так:

[ f ;

d ] [ f ;

d ] [ f ;

d ]. Последнюю запись можно раскрыть:

[ s ;

[ f ;

d ]] [[ s ;

f ];

d ] [ f ;

[ s ;

d ]], и она с учетом антисимметрии скобочной операции эквивалентна тождеству Якоби.

Для генераторов пространственных вращений структурные константы образуют полно стью антисимметричный тензор третьего ранга ijk с компонентами, равными +1, в случае, ес ли i, j, k есть четная перестановка чисел 1, 2, 3;

-1 – в случае нечетной перестановки, нулю – в остальных случаях: [ Г i Г j ]= - Гk для i, j, k = 1, 2, 3;

2, 3, 1;

3, 1, 2 соответственно.

Вращение на бесконечно малый угол вокруг оси X 3 задается оператором Вращение вектора x на конечный угол Q можно рассмотреть как результат N R 3 ( ) 1.

поворотов на угол Q/N. Тогда, переходя к пределу для вычисления конечных вращений через найденные выражения для генераторов вращений вокруг соответствующих осей, получим:

N Q R 3 (Q ) x 1 x exp( Q. (3.5) lim )x N N Алгебра генераторов Ли группы обозначается так же, как и исходная группа Ли, с добав лением впереди буквы А. Например, алгебра Ли группы S0(3) обозначается ASO(3).

Если на множестве, в котором действует группа координатных преобразований g, задана функция ( x ), то под действием этих преобразований происходит изменение функции. Каж дому преобразованию R g можно поставить в соответствие преобразование B над функция ми. Сделать это можно многими разными способами. Потребуем, чтобы преобразования B образовывали группу, изоморфную g.

Напомним, что две алгебры, а более обще, и группы, называются изоморфными, если между их элементами существует взаимнооднозначное соответствие, устанавливаемое некото рым отображением, при котором сохраняются групповые соотношения между прообразами и образами при этом отображении. Точнее говоря, если G 1 и G 2 – группы и ( g ) – взаимноод нозначное и непрерывное отображение G 1 в G 2, то G 1 и G 2 изоморфны, если ( g 1 g 2 ) ( g 1 ) ( g 2 ). Если B – отображение, ставящее в соответствие функции ( x ) не которую другую функцию того же класса, то этому преобразованию можно поставить в соот ветствие элемент R из группы g преобразований векторов по правилу:

B ( R ) ( x ) ( R (3.6) x ).

Действительно, правило (6) ставит в соответствие каждому элементу R группы g свой оператор B ( R ), действующий на пространстве функций от векторов x. Это физически разумное правило означает равенство старой и преобразованной функции в одной и той же физической точке. Использование для определения операторов элементов R 1, а не R, обеспечивает выпол нение групповых свойств для множества операторов.

Поясним последнее обстоятельство.

Пусть вслед за оператором действует оператор B ( R 2 ). Тогда B ( R1 ) 1 1 1. Соответствие последовательности B ( R 2 ) B ( R 1 ) ( x ) B ( R 2 ) ( R 1 x ) ( R 1 R 2 x ) (( R 2 R 1 ) x) применения операторов в определении отображения достигнуто.

Совокупность операторов B ( R ), определенных таким образом, образует группу G, назы ваемую представлением группы g на пространстве функций. Являясь представлением на про странстве функций группы Ли, G сама является группой Ли и, следовательно, состоит из операторов B(s), зависящих непрерывно от параметра s. В таком случае G обладает алгеброй Ли AG, находящейся в соответствии с Ag.

Группа Ли G состоит из операторов B(s), непрерывно зависящих от параметра s. Она и исчерпывается этими операторами. Поэтому эквивалентным обозначением для оператора В из G будет G(S). Группой Ли можно назвать и семейство B(s). To же самое можно сказать и о опе раторах R, и группе g: R(s) – это группа Ли, a g(s) – ее элемент. Из контекста всегда ясно, о чем идет речь, и путаница здесь исключена.

Воспользуемся определением (6) и найдем элементы алгебры Ли AG, действующей на пространстве дифференцируемых функций и соответствующей генераторам Гi трехмерных вращений (в трехмерном пространстве x { x 1, x 2, x 3 } ):

1 i B ( s ) ( x ) ( R ( s ) x ) ( x x s i ). (3.7) Теперь необходимо воспользоваться правилом для нахож i J (x) B ( s ) ( x ) s si i дения генераторов преобразования (7). Принимая во внимание вид операторов Гi, определенных матрицами (4), нетрудно получить:

J (x) B ( s ) ( x ) s 0 [ x 3 p 2 x 2 p 3 ] ( x );

s1 J (x) B ( s ) ( x ) s 0 [ x 1 p 3 x 3 p 1 ] ( x );

(3.8) s2 J (x) B ( s ) ( x ) s 0 [ x 2 p 1 x 1 p 2 ] ( x ).

s3 Здесь pi x i Прямым вычислением можно убедиться в том, что полученные генераторы J i удовле творяют тем же коммутационным соотношениям, т.е. имеют те же структурные константы, что и операторы Гi. Следовательно, формулы (8) дают иное представление той же алгебры Ли про странственных вращений. Представление на пространстве дифференцируемых функций. Точно так же легко получить выражения для генераторов группы четырехмерных трансляций в пред ставлении на пространстве дифференцируемых функций в четырехмерном пространстве. Эти генераторы – не что иное, как введенные выше операторы p дифференцирования по коорди нате.

x Так же, как и в (5), вычисление конечных вращений вокруг оси на угол Q задается i X оператором:


N i Q i ( x ) exp( Q J ) ( x ) 1.

J lim N N Сдвиг в направлении оси на величину задается оператором:

i a X N. ( x ) exp( ) ( x ) 1 pi lim xi N N Еще один, очень важный пример группы трансформаций на пространственно-временном многообразии доставляют преобразования дилатации. Преобразования дилатации D координат x состоят в домножении всех (или оговоренной части) компонент на одно и то же число s. D : x x s x. Роль нулевого элемента (нулевого угла поворота, сдвига на нулевой вектор) играет значение s 1. Это одномерная группа Ли, и ее представление на пространстве диффе ренцируемых функций в качестве своего генератора имеет оператор. Дей D : D (x) x pi i ствительно, Таким образом, алгебра Ли одномерна. Индекс i D (x) (s x) ( x ).

s 1 x s i x i в приведенной выше формуле пробегает значения 1, 2, 3, и тогда речь идет о пространствен ной дилатации. Если заменить индекс i на греческий, который принимает значения 0, 1, 2, 3, то будет получен генератор пространственно-временной дилатации.

Если однопараметрическая группа Ли g имеет генератор Г, то подгруппа g ( s ) exp( s ) изоморфна g, однако, вообще говоря, с ней не совпадает. Таким образом, легко построить груп пу, изоморфную дилатациям, исходя из найденного вида генератора. Эта группа имеет вид. Однако, такое и им аналогичные построения следует воспринимать, ско (x) exp s x i x i рее, как интерпретацию выражения g ( s ) exp( s ) в терминах действий, осуществляемых элементами исходной группы. При этом следует иметь в виду, что, если f, d – коммутирующие элементы алгебры Ли, то exp( f ) exp( d ) exp( f d ). В иных случаях, exp( f ) exp( d ) exp( s ), где s должно быть специальным образом вычислено. Сама процедура такого вычисления уста навливается формулой Кэмпбела – Бейкера – Хаусдорфа (КБХ) (Р. Рихтмайер. Принципы со Поучительно эту формулу получить из других соображений. Справедливо следующее разложение в ряд:

k t t. Подставив чисто формально вместо t выражение и рассматривая степень от производной e xi k!

k как производную в степени, получим:

k k (x) (x) x x k i xi i k k (x) ( x ).

e k! k!

k0 k временной математической физики. – М.: Мир, 1984. – 169 с.). Она представляет собой ряд, первые несколько членов которого таковы:

def 1 1 s ln(exp( f ) exp( d )) f d [ f ;

d] [ f ;

[ f ;

d ]] [ d ;

[ d ;

f ]]......

2 12 Приведем таблицу наиболее распространенных однопараметрических преобразований на плоскости и им соответствующих генераторов алгебры Ли.

Таблица Преобразования на плоскости Название Формула Генератор Перенос вдоль оси 0 X x x s, y y Г x Перенос вдоль прямой x x b s;

y y a s Г b a ax by 0 x y Вращение x x cos( s ) y sin( s ), Г y x x y y y cos( s ) x sin( s ), Преобразование Лоренца x x ch ( s ) y sh ( s ), Г y x x y y y ch ( s ) x sh ( s ), Преобразование Галилея x x s y, y y Г y x Однородное растяжение x x e, y y e s s Г x y x y Неоднородное растяжение a s b s x x e, y y e Г ax by x y Описанная точка зрения является конструктивной в том отношении, что для некоторых ти пов эволюционных уравнений позволяет явно построить процедуры их решения как процедуры трансформации начальных или краевых условий элементами некоторой группы. Сама эта группа находится по генераторам алгебры Ли, входящим в соответствующее эволюционное уравнение, и может быть проинтерпретирована в терминах движений. Может так оказаться, и оказывается, в частности, при моделировании эволюции структур (см. гл. 6), что моделировать эти движения проще, чем сеточными или иными приемами решать соответствующие уравнения.

Рассмотрим подробнее эти вопросы.

При рассмотрении целого ряда различных по природе физических полей возникают сходные по структуре уравнения, описывающие их поведение. Это эволюционные уравнения.

Так, например, при рассмотрении процессов переноса излучения, течения жидкости в пористых средах, изотермического течения идеального газа, процессов теплообмена, течения слабо сжи маемой жидкости, уравнения движения вязкой среды и многие другие (см. гл. 2) возникают уравнения эволюционного типа.

Они имеют вид:

u (x, t) A u (x, t) g (x, t), (3.9) t где x x 1, x 2, x 3 x, y, z – пространственные координаты, u ( x, t ) – эволюционирующая во времени величина. Она может быть скаляром или вектором, иметь и более сложную природу.

A – некоторое преобразование, называемое эволюционным преобразованием и g ( x, t ) – рас пределение внешних источников. Уравнение (9) должно быть дополнено начальным условием u 0 ( x ), совместно с которым и рассмотрено.

u (x, t) t Уравнения типа (9) являются обобщением уравнений, описывающих процесс поглоще ния энергии или другой характеристики некоторого излучения, в процессе его распространения, эволюции в некоторой поглощающей среде.

Рассмотрим некоторые простые частные случаи.

Пусть в среде распространяется вдоль некоторой линии L излучение, энергия которого описывается функцией u ( t ), где t – параметр вдоль линии, однозначно характеризующий ее точку. Например, линия L может совпадать с осью 0 X, а параметром t служит координата x на этой прямой. Выбрав элементарный интервал t вдоль кривой L и рассмотрев механизм поглощения энергии при его прохождении, приходим к выводу о том, что относительное изме нение энергии на этом интервале пропорционально величине этого интервала с коэффициентом пропорциональности А, который называется коэффициентом поглощения и служит эволюцион ным оператором:

u (t t ) u (t ) A u ( t ).

t Знак минус в правой части указывает на поглощение энергии. Таким образом, приходим к дифференциальному уравнению:

u (t ) A u (t ). (3.10) t Это пример уравнения (9). Имея начальные условия:, решение этого u 0 (t ) u u (t ) t уравнения можно представить в виде:

At u (t ) u 0e (3.11).

Усложним задачу. В том случае, когда коэффициент поглощения, он же эволюционный оператор, является функцией координат, можно считать, что он меняется вдоль параметра t, и уравнение поглощения будет иметь вид:

u (t ) A (t )u (t ). (3.12) t Это новая модификация уравнения (9). Его решение при тех же начальных данных имеет вид:

t u ( t ) exp( A ( ) d ) u 0. (3.13) L В частности, решение уравнения (12) в форме (13) составляет предмет рассмотрений в компьютерной томографии при решении, например, задач рентгеновской диагностики.

Действительно, если изучается распределение в области V пространства коэффициента поглощения A ( x ), то с каждой парой точек x i', x i'' на поверхности объема V можно связать ли нию L x i', x i'', вдоль которой происходило распространение и поглощение сигнала. Тогда из (13) имеем:

x, откуда u ( x ) e x p ( A ( ) d ) u ( x ) L ( x, x ) u ( x ) A ( ) d ).

ln u ( x ) L ( x, x ) Левая часть этого уравнения – известная, измеренная на границе области V функция двух переменных – источника и приемника излучения. Решение этого интегрального уравнения позволяет восстановить распределение коэффициента поглощения вдоль линии L x i', x i'', уви деть «срез» по этой линии коэффициента поглощения. Имея достаточное число таких срезов, можно ставить задачу восстановления распределения в пространстве коэффициента поглоще ния (см. гл. 2).

Наконец, следующее усложнение. Уравнение со стационарным (не зависящем от време ни) эволюционным оператором (коэффициентом поглощения), но с присутствующими и меня ющимися во времени внешним источниками g ( x, t ) :

u (x, t) A u (x, t) g (x, t) (3.14) t u0 (x).

u (x,t) t Решение этой задачи имеет вид:

t u ( x, t ) exp( A t ) u 0 ( x ) exp( A ( t s )) g ( x, s ) ds. (3.15) Если источники g ( x, t ) являются стационарными, т.е. не зависят от параметра t, то, ин тегрируя (15), получаем:

1 u ( x, t ) exp( A t ) u 0 ( x ) A g (x) A exp( A t ) g ( x ) (3.16) Действительно, проверим последнее уравнение прямой подстановкой в (14):

u ( x, t ) A exp( A t ) u 0 ( x ) exp( A t ) g ( x ) t A (exp( A t ) u 0 ( x ) A exp( A t ) g ( x )) 1 1 A (exp( A t ) u 0 ( x ) A exp( A t ) g ( x ) A g (x) A g ( x )) Au ( x, t ) AA g ( x ) Au ( x, t ) g ( x ).

Таким образом, (14) выполнено.

Если допустить, что операторы А есть функция параметра t, то в выражении (16) величи ну exp( A t ) следует заменить на:

t exp A ( ) d.

0 Тогда формула (16) примет вид:

t t u ( x ) A 1 g ( x ) A 1 exp u ( x, t ) exp A ( ) d A ( ) d g (x). (3.17) 0 0 Полученные явные, экспоненциальные формы решений эволюционных уравнений с про стыми операторами – типа коэффициентов поглощения – позволяют рассчитывать на аналогич ные решения для уравнений (9), в котором роль «коэффициента поглощения» играет некоторый оператор А, действующий на эволюционирующую пространственно-временную функцию. Сле дует при этом еще определить, что, собственно, понимается под выражением e At u 0 в случае, когда А – оператор, отображающий пространство функций в себя. Естественно, что само это понятие существенно зависит от свойств оператора А.

Ограничимся рассмотрением линейных операторов.

Обозначим A ( t ) семейство зависящих от параметра t операторов, действующих в неко тором подмножестве X функционального пространства X, которое придает некоторый содер жательный и вычислительный смысл выражению e A t. Связь между свойствами оператора А и свойствами семейства A ( t ) составляет содержание теории полугрупп операторов, развитой, в частности, в работах Р. Филипса, Э. Хилле [2]. Смысл выражения e A t Смысл выражения e A t и, следовательно, операторов A ( t ) можно определить, используя степенное разложение функции относительно A t и рассматривая далее в качестве A n, n – кратное применение оператора At e А к функции u ( x ). В таком случае, класс функций X функционального пространства X, таков, что для него ряд ( tA ) n At A (t )u ( x ) e u(x) X u(x) (3.18) u ( x ), n!

n определен, сходится, непрерывен и непрерывно дифференициируем по параметру. В этом t случае, решение задачи (9) с начальным условием u 0 ( x ) u ( x, 0 ) дается формулой:

t t At A ( t s ) g ( x, s ) d s A (t )u 0 ( x ) A (t s ) g ( x, s ) d s.

u ( x, t) e u0 (x) (3.19) e o В частном случае стационарных внешних источников, описываемых функцией :

g (x) g x A At 1 1 tA u ( x, t) e u0 (x) A g (x) e (3.20) 1 A (t )u 0 ( x ) A A (t ) g ( x ).

g (x) A Справедливость этого равенства легко проверяется подстановкой построенного решения в ис ходное уравнение. Это было проделано выше.

Более тщательный анализ, выяснение условий на операторы A и структуру пространств X, и X, при которых введенные требования выполнены, выходит за рамки наших рассмотре ний. Однако соотношение (20), дополненное определением (18), дает возможность не только качественно проследить характер решений, но и организовать математическое моделирование решений эволюционных уравнений.

u ( x, t ) A (t )u 0 ( x );

A (t )u 0 ( x ) A A (t )u 0 0;

(3.21) t lim A ( t ) u 0 ( x ) u 0 ( x ).

t В некоторых случаях удается найти вид оператора A ( t ) и определить характер его дей ствия на начальные условия, имеющие более приемлемую для вычислений форму, чем ряд (8).

Семейство операторов A ( t ) образует группу Ли. Это с очевидностью следует из уравне ния:

A ( s ) A (t )u ( x ) A ( s )u (t, x ) u (t s, x ) A (t s )u ( x ).

Эта группа может в определенных случаях быть рассмотрена как представление на про странстве функций группы Ли координатных преобразований. Нахождение этой, последней, группы позволит более просто вычислить значение оператора A ( t ) на той либо иной функции.

Поставим задачу нахождения группы Ли координатных преобразований g ( t ), представление которой пространстве функций X образует группу A ( t ).

Пусть B есть N параметрическая группа Ли B ( s ) с генераторами J i i 1,... N. Определим траекторию s i s i ( t ) i 1, 2,... N в пространстве параметров группы B и однопараметрическую группу A ( t ), будем рассматривать траекторию в B, соответствующую траектории в простран стве параметров s i : A ( t ) B ( s1 ( t ), s 2 ( t ),..., s N ( t )).

Очевидны следующие условия:

0 ;

B ( 0 ) E. E – единичный оператор.

si (t ) t Бесконечно близкое к единичному преобразование определится в этом случае ра A ( t ) si венством:. Легко понять, что так определенный оператор удовлетво A ( t ) E J A (t ) t i t ряет наложенным на него условиям (21) и требованиям. Действительно, в окрестности любой точки t 0 имеем и A ( t 0 t ) u ( x ) A ( t ) u ( x, t 0 ) A (t ) A (t0 )u 0 ( x ) u ( x, t0 ) u ( x, t 0 ) t.

t t si Тогда: A (t ) t u (x) J u (x) t i.

t t t Следовательно, роль оператора А в (21) играет инфинитезимальный оператор i si группы A (t ) t J.

t Пусть теперь q N-мерная группа Ли на пространстве координатных преобразований (преобразований вектора x ) с генераторами Г i (являющимися двухиндексными матрицами, действующими на вектор x ) и s i s i ( t ) i 1, 2,..., N – некоторая траектория L в пространстве параметров группы. Величину t можно рассматривать, например, как длину кривой L, отсчи тываемую от некоторой начальной точки. Траектория L порождает на g траекто рию q ( t ) q ( s1 ( t ), s 2 ( t ),..., s N ( t )), служащую подгруппой в группе g. Бесконечно близкое к единичному преобразованию из однопараметрической подгруппы g(t) определено условием:

si si q ( t ) E t E t i.

q (s ) si t t s Если группа есть представление на пространстве функции группы q(t), то, A (t ) si i. Поскольку – это двухиндексные матрицы, то имеем в A ( t ) u ( x ) u ( x x (t ) i i Г Г t развернутой записи:

si i A ( t ) u ( x ) u ( x x ( t ). (3.22) t Подсчитаем инфинитезимальный оператор группы A ( t ), исходя из (22).

A (t ) si i A (t ) t x t.

t t x t Следовательно:

i J i.

x x Таким образом, восстановить алгебру Ли группы координатных преобразований, эквивалент ных действию группы A ( t ) и удовлетворяющей уравнению (21), можно на основе равенства:

si i A X (3.23) t x Сама группа координатных преобразований g(t) восстанавливается по известным эле ментам алгебры Ли группы q и траектории s i s i ( t ), i 1, 2,..., N. Действительно, по определе нию генераторов группы q(s) имеем:

q (s ) ;

q (0) E i, si S или q (s ) (3.24) q ( s );

q ( 0 ) E i si si Функции восстанавливаются по известным и начальным условиям i (t ) si (t ) t si (0 ) 0 :

t ( ) d si (t ).

i si 47 i Строго говоря, следует писать A ( t ) u ( x ) u ( x x ( t ). Однако знак «минус» можно опустить, t учитывая его в знаке генераторов.

Решение системы (24), в которое вместо параметров s подставлены функции s i пара метра t, и образует искомую группу – q(t). Для нахождения решения системы (24), воспользу емся экспоненциальной формой представления группы изоморфной, заданной посредством генераторов:

N N i. g i ( si ) e si q (s ) i 1 i Тогда представление для группы q(t), будет:

t N e x p i ( ) d q (t ) i. (3.25) 0 i Таким образом, возникает следующий алгоритм нахождения решений эволюционного уравнения (9). Решение ищем в форме (19) или (20), если внешние источники стационарны – функции g не зависит от времени. Оператор A ( t ) находится по формуле:

A (t )u 0 ( x ) u 0 ( q (t ) x ), где q ( t ) определено соотношением (25), а в качестве операторов использованы операторы, i Г полученные из уравнения (23):

N t u ( x, t ) A ( t ) u 0 ( x ) u 0 e x p i ( ) d x i. (3.26) 0 i Группа q ( s ) может быть восстановлена по известным генераторам Г i, или операторам J непосредственно, исходя из известных в теории представления групп Ли типичных операто i ров – генераторов тех либо иных координатных преобразований. Таковы, например, операторы сдвига, дилатации, вращения.

В противном случае, можно воспользоваться непосредственным счетом по формуле (26), что, конечно, менее удобно. Для практического счета выражения t e x p i ( ) d x i 0 воспользуемся рядом (18):

n si t ( ) d i 0 t si t d exp x i, x 0 t n!

n si здесь i ( ).

t Использование последнего ряда на «пространстве координатных преобразований», воз можно, более целесообразно, чем вычисления по формуле (18) в «пространстве функций».

Рассмотрим в качестве примера уравнение:

u (x, t) u (x, t) u (x, t) y x ;

t x y x { x, y} ;

(3.27) u 0 ( x ).

u (x, t) t Это уравнение можно переписать следующим образом:

u (x, t) J u ( x, t ), J y x.

t y В соответствии с (23) получаем выражение для матрицы Г – генератора соответствую щих координатных преобразований:

Не производится суммирование по индексу i.

0 Г 1 0 Легко проверить, что в соответствии с (22) u ( x, t ) A ( t ) u 0 ( x ) u 0 ( x x t ) u 0 ( x y t, y x t ) группа q(t) имеет генератор Г, а ее представление на пространстве функций имеет генератор J.

В соответствии с (25) можно записать q(t) = exp (t Г), и для решения задачи (27) 0 u (x, t ) u0 exp( t 1 0 ) x u 0 ( q (t ) x ), 0 выражение 0 exp ( t 1 (3.28) 0 0 )x 0 должно быть проинтерпретировано соответствующим образом, поскольку представляет собой функцию от оператора – матрицы Г. Однако группа g(t) может быть восстановлена непосред ственно из вида генератора J или Г без обращения к ней изоморфной подгруппы (28). Действи тельно, генератор представления на пространстве функций группы вращений трехмерного пространства вокруг оси OZ имеет в точности вид. Следовательно, искомая группа x y y q(t) есть группа вращений трехмерного пространства вокруг оси OZ и co s(t ) s in ( t ) q ( t ) x s in ( t ). (3.29) co s(t ) 0x 0 Следовательно, решением задачи (27) будет:

co s(t ) s in ( t ) 0 x ) u 0 ( x c o s t y s in t, y c o s t x s in t ) u 0 ( q ( t ) x ) u 0 ( s in ( t ). (3.30) c o s (t ) 0 Легко убедится прямым вычислением, что функция (30) действительно есть решение за дачи (27).

Литература 1. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. – М.: Наука, 1980. – 382 с.

2. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. – М.: Мир, 1985. – 376 с.

3. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. – М.: Изд. ин. лит., 1962. – 829 с.

Приложение 4. Вариационные подходы и геометрические принципы характеристики локально неоднородных сред* Вариационные методы, которые играют ключевую роль при постановке недоопределен ных обратных задач, характерных для геофизики (критериальные методы, методы эволюцион но-динамического анализа), а также при построении устойчивых приближенных решений обратных задач (методы регуляризации), являются еще и основой для получения собственно самих уравнений связи между моделями среды и моделями поля. Причем касается это как свя зей между содержательными моделями среды и поля – собственно уравнениями математиче ской физики, так и связей между некоторыми эффективными моделями и атрибутами поля. В последнем случае эти связи и методы могут быть распространены на неоднородные среды мо дели, которые таковы, что содержательные связи либо чрезмерно сложны, либо внутренне про тиворечивы.

В настоящем приложении и, прежде всего, в разделах 4.2-4.4 описывается технология получения таких уравнений. Она требует введения некоторых новых понятий, но открывает большие просторы для непротиворечивого конструирования трансформации наблюдаемых в некоторые эффективные параметры, характеризующие параметры неоднородности среды. Ма териал этого приложения ориентирован на творчески настроенного читателя и может служить источником для подготовки квалификационных работ от курсовых проектов до диссертацион ных работ. Однако основному изложению предшествует вводная часть – 4.1, посвященная принципу наименьшего действия, которая должна рассматриваться как обязательный элемент при изучении специальных вопросов теории физических полей.



Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.