авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |

«Андрей Николаевич Колмогоров (1903–1987) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ...»

-- [ Страница 2 ] --

40 Глава 2. Математика в ее многообразии Если, наряду с уже перечисленными, выполняется дополнительное усло вие:

4) X T m, n Z, такие что X D0 [m] D0 [n], то t-структура называется ограниченной. Как обычно, мы полагаем Dn = D0 [n] Dn = D0 [n].

и Для подмножества S объектов триангулированной категории T обо значим через S наименьшую строго полную замкнутую относительно расширений подкатегорию в T, содержащую все объекты из S. Заметим, что если (, { } ) – t-стабильность на T и, то | со стоит из тех и только тех объектов, которые обладают HN-фильтрацией (X0,..., Xk ) с i.

X Лемма 1. Пусть (, { } ) – t-стабильность на триангулиро ванной категории T. Предположим, что существует разложение мно жества на две непересекающиеся части: = +, удовлетворя ющее условию: для любых и + + выполнено неравенство +. Тогда пара подкатегорий T 0 = | ( ), T 0 = | + определяет t-структуру на T (напомним, что – автоморфизм линей но упорядоченного множества, соответствующий сдвигу на T ).

Известно [5], что все t-структуры на данной категории получаются таким образом.

Проиллюстрируем все сказанное на примере ограниченной произ водной категории когерентных пучков на эллиптической кривой.

Кулешов С.А. t-стабильность с частично упорядоченным множеством наклонов t-стабильность на эллиптической кривой Пусть D – ограниченная производная категория когерентных пучков на гладкой эллиптической кривой C. Обозначим через 0 = Q C объ единение множества рациональных чисел и множества точек на кривой C с принудительно введенным линейным порядком. Считая, что лю бая точка x C больше произвольного рационального числа, получим линейный порядок на 0.

В качестве множества наклонов выберем прямое произведение 0 Z, на котором введен лексикографический порядок:

(, n) (, n ), если n n или n = n и.

Автоморфизм из определения t-стабильности действует так: (, n) = (, n + 1).

Полустабильные категории определим следующим образом:

= q Q;

{E[n]| E – полустабильное1 расслоение с µ(E) = q}, (,n) = {F[n]| F – пучок кручения с носителем в точке x}, = x C.

Очевидно, {(,n) }(,n) – t-стабильность на категории D, но не тон чайшая.

Чтобы получить тончайшую t-стабильность, нужно измельчить по лустабильные категории (q,n) (q Q), состоящие из сдвигов E[n] полу стабильных расслоений наклона q.

Хорошо известно [1], что (q,n) можно рассматривать как многооб разие mq, изоморфное самой кривой C. Более того, если F, G mq и F = G, то Hom(F, G) = Hom(G, F ) = Ext1 (F, G) = Ext1 (G, F ) = 0.

Если теперь раздуть множество наклонов, вклеив вместо каждой пары (q, n) множество mq n с произвольным линейным поряд ком на нем и определив (F,n) как подкатегорию F [n], где F mq, мы получим тончайшую t-стабильность.

Как видно из этого примера, t-стабильность в сильной степени зави сит от линейного порядка на многообразиях, который мы вводим при нудительно. В частности, каждое подмножество точек эллиптической кривой задает свою t-структуру.

Такое обилие t-стабильностей, которые отличаются друг от друга лишь порядком наклонов, крайне неудобно. Более того, хотелось бы от казаться от неестественного линейного порядка на точках кривой, счи тая последние абсолютно равноправными. В связи с этим предлагается 1 Здесь полустабильность понимается в смысле определения, сформулиро ванного во введении.

42 Глава 2. Математика в ее многообразии некоторое, на мой взгляд, очень естественное уточнение определения t-стабильности.

Частичный порядок на множестве наклонов Введем обозначение для несравнимых элементов частично упо рядоченного множества (ЧУМ).

Определение 3. Пусть T – триангулированная категория, – ЧУМ.

Предположим, что для каждого элемента задана строго пол ная непустая подкатегория T. Пара (, { } ) называется t стабильностью с частично упорядоченным множеством наклонов (или просто ЧУМ t-стабильностью), если 1. функтор сдвига градуировки X X[1] действует на множестве неубывающим автоморфизмом, т. е. Aut : [1] = () и () ;

2. Hom0 (, ) = 0, если или ;

3. любой ненулевой объект X T обладает конечной t-фильтрацией с возрастающими полустабильными факторами, т. е. вписыва ется в башню Постникова [size = 1.6em]X0 X1 Xn q0X qn 0 Xp1 F 1 Xp2 F 2 X · · · F n Xpn+1 F n+1 X = q =F (2) с ненулевыми Xi i и при i j i j или i j.

Перейдем к простым, но полезным свойствам ЧУМ t-стабильности.

Замечание 1. Пусть X (Y0,..., Ym ), при (X0,..., Xn ), Y чем для любой пары индексов i, j j i или j i. Тогда Hom0 (Y, X) = 0.

Доказательство легко получается двойной индукцией по длине фильтраций n и m.

Замечание 2. Если, и или, то Hom0 (, ) = 0.

Доказательство. Пусть q 0. Тогда Homq (, ) = Hom0 ( q (), ) = 0, так как q () или q (), или.

Замечание 3. Полустабильные категории замкнуты относитель но расширений, т. е. если X, Y и XEY – отмеченный треугольник, то E.

Доказательство. Пусть E (E0,..., En ) и n 0. Поскольку Hom(E, E0 ) = 0, то либо Hom(X, E0 ) = 0, либо Hom(Y, E0 ) = 0. Зна чит, 0. С другой стороны, Hom(En, E) = 0. Поэтому Hom(En, X) Кулешов С.А. t-стабильность с частично упорядоченным множеством наклонов = 0 или Hom(En, Y ) = 0, откуда n. Таким образом, n 0, что противоречит определению t-стабильности.

Таким образом, видно, что ЧУМ t-стабильность ничем не хуже обыч ной t-стабильности. Более того, поскольку любой частичный порядок на конечном множестве можно продолжить до линейного, функтори альность HN-фильтрации в смысле теоремы 1 имеет место и для ЧУМ t-стабильности. В частности, HN-фильтрация объекта определена одно значно с точностью до перестановки факторов.

С другой стороны, скорректированное определение избавляет нас от огромного числа по существу одинаковых t-стабильностей. В част ности, на ограниченной подкатегории когерентных пучков на гладкой эллиптической кривой C существует единственная тончайшая ЧУМ t стабильность, множество наклонов которой – объединение экземпляров самой кривой mq n;

m состоит из точек кривой и парамет qQ{} ризует небоскребы, сосредоточенные в одной точке, а mq при q Q параметризует стабильные расслоения наклона q на этой кривой. По рядок на этом множестве вводится совершенно естественно:

(Fq, n) (Fq, n ), если n n или n = n, но q q ;

и (Fq, n) (Fq, n).

Библиографический список 1. Atiyah M.F. Vector Bundles Over an Elliptic Curve. Proc. Lond. Math.

Soc, VII (1957) 414-452.

2. Bridgeland T. Stability conditions on triangulated categories.

arXiv:math.AG/0212237.

3. Bridgeland Stability conditions on K3 surfaces.

T.

arXiv:math.AG/0307164 v1.

4. Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры. М.:

Наука, 1988. Т. 5. Городенцев A.Л., Кулешов С.А., Рудаков А.Н. t-стабильности на триангулированной категории. Известия РАН: сер. матем. 68:4 (2004) С. 117-150.

6. Rudakov A. Stability for an abelian category. J. Algebra 197 (1997).

P. 231–245. № 7. Gorodentsev A.L., Kuleshov S.A. On nest and modular t-stabilities.

MPIM2005- 44 Глава 2. Математика в ее многообразии О конечных почтикольцах, порожденных эндоморфизмами Е.С. Гарипова, Л.С. Казарин Почтикольцом называется алгебраическая система R c двумя операция ми – сложением и умножением, удовлетворяющая следующим условиям:

(i) (R,+) – группа (не обязательно абелева);

(ii) (R, ·) – полугруппа;

(iii) для любых a, b, c R : (a + b)c = ac + bc.

Типичным примером почтикольца является множество всех отоб ражений M(G) конечной группы G в себя с операциями поточечного сложения и суперпозиции функций в качестве умножения.

Говорят, что p-группа G специальна, если либо G – элементарная абелева группа, либо G = (G) = Z(G) элементарна. Кроме того, G называется экстраспециальной, если G – неабелева специальная группа и G = p.

Если G – экстраспециальная p-группа, то G = A1 A2... An, где каждая Ai – экстраспециальная группа порядка p3. Целое число n называется шириной группы G. Для заданного p имеются ровно две неизоморфные экстраспециальные p-группы порядка p3. В случае p= соответствующие группы – это кватернионная группа порядка 8 и ди эдральная группа порядка 8. Поэтому если G – экстраспециальная 2 группа ширины n, то G изоморфна (Q8 )n или (Q8 )n1 D8. В первом случае, говорят, что G – это группа типа ”-”, во втором – группа типа ”+”.

Предположим, что G – экстраспециальная группа, Z(G) = z и G = G/Z(G). Тогда G – векторное пространство над GF(p) и |z| = p.

Рассмотрим строение почтикольца E(G), содержащегося в M(G), по рожденного эндоморфизмами экстраспециальной 2-группы G порядка 22n+1 в случае n=2.

E(G) – это наименьшее подпочтикольцо кольца M(G), содержащее 2n+ End(G). Поскольку |M (G)| = 2(2n+1)2, то, очевидно, что 2n+ 2(2n+1) |E(G)|.

Пусть G – экстраспециальная 2-группа ширины 2 типа ”-”. Тогда она будет являться центральным произведением группы кватернионов и группы диэдра.

D8 и Q8 имеют одинаковые порядки, равные 8, и состоят из элемен тов вида as bt, где 0 s 3, 0 t 1.

Определяющие соотношения в группе кватернионов:

Гарипова Е.С., Казарин Л.С. О конечных почтикольцах, порожденных эндоморфизмами b4 = 1, a 2 = b2, aba = b.

Определяющие соотношения в группе диэдра:

a4 = 1, b2 = 1, b1 ab = a1.

Склеивать группы будем по центрам, циклическим подгруппам вто рого порядка:

Z(D8 ) Z(Q8 ) a2, = = G = D8 Q8, |G| = 88 = 32, |Z(G)| = |G | = 2, |G/Z(G)| = 32/2 = 24 = 16.

Отображения из E(G), посылающие любой элемент G в элементы центра 0 или z, образуют в E(G) идеал I. Отображения эти на G/Z(G) будут тождественно равны нулю.

Поскольку (a + z) = (a) + (z) для любого эндоморфизма, a G, z Z(G) = G, то, зная значение эндоморфизма на представителях смежного класса по Z и на элементе z, получаем значение на любом элементе группы.

Представители смежных классов G по Z:

1 = (0, a2 ), (a1, b2 ) = 6, (b1, a2 + b2 ) = 11, 2 = (0, b2 ), (a1, a2 + b2 ) = 7, (a1 + b1, 0) = 12, 3 = (0, a2 + b2 ), (b1, 0) = 8, (a1 + b1, a2 ) = 13, 4 = (a1, 0), (b1, a2 ) = 9, (a1 + b1, b2 ) = 14, 5 = (a1, a2 ), (b1, b2 ) = 10, (a1 + b1, a2 + b2 ) = 15.

Один из представителей является нулем группы, и значение любого эндоморфизма из End(G) на этом элементе равно нулю. Остальные эле менты из системы представителей вместе с элементом z, являющимся единственным ненулевым элементом из Z, определяют любое отображе ние из E(G), лежащее в I. Все такие отображения образуют линейное векторное пространство над полем GF(2), так как экспонента Z равна двум.

Далее будет показано, что имеется 22n линейно независимых над GF(2) функций, лежащих в E(G) и отображающих G в Z.

Элемент z содержится в ядре любого такого эндоморфизма. Образ такого эндоморфизма – циклическая подгруппа второго порядка, а ядро – абелева подгруппа группы G индекса 2. Таких подгрупп в G:

p2n 1 22·2 = 24 1 = 15.

= p1 46 Глава 2. Математика в ее многообразии Следовательно, имеется 15 ненулевых эндоморфизмов: 1,..., 15, та z, ких что |Ker(i )| = 8, i (j ) = 0.

i (j ) = 0, i=1 i = 0. Действие их представлено в таблице 1.

Каждый эндоморфизм группы G индуцирует линейное преобразо вание на элементарной абелевой фактор-группе G/Z(G). Будем считать ее линейным векторным пространством по сложению над GF(2), осна щенным билинейной формой.

xZ + yZ = (x + y)Z.

Скалярное произведение – операция коммутирования:

(x, y) = (y, x), (x + y, z) = (x, z) + (y, z), (x, x) = 0, так как xx1 xx1 = 1.

По теореме Ваддербарна множество автоморфизмов равномощно пол 2 ному матричному кольцу. |Aut(G)| = |M2n (2)| = 2(2n) = 24n = Убедимся далее, что в определенном нами линейном пространстве сохраняется квадратичная форма.

Пусть теперь d1, d2 - инволютивные образующие группы диэдра, d1 = a1 b1, d2 = b1, а q и q - образующие группы кватернионов, тогда:

[d1, d2 ] = 1, [q, q ] = 1, [d1, q] = [d1, q ] = 0, [d2, q] = [d2, q ] = 0.

Любой элемент g из G представим в виде линейной комбинации ба зисных элементов.

g = x 1 d1 + x 2 d2 + x 3 q + x 4 q.

Зададим на линейном пространстве следующую квадратичную форму:

Q(g) = x1 x2 + x2 + x3 x4 + x2.

3 Очевидно, что элемент g можно представить в виде суммы двух компо нент: a d1, d2 и b q, q. Тогда x1 x2 – это вклад элемента a в квадратичную форму, а x2 + x3 x4 + x2 – вклад b.

3 Если Q(a)=1, а это возможно только когда x1 = x2 = 1, то при b = 0, Q(g) = Q(a + b) = 0. Если же b=0, то Q(g) = 1.

В случае, когда Q(a)=0 (варианты: x1 = x2 = 0;

x1 = 1, x2 = 0 и x1 = 0, x2 = 1), для сохранения квадратичной формой нулевого значе ния необходимо, чтобы b было равно 0.

Получаем пять ненулевых элементов, на которых квадратичная фор ма обращается в 0:

Гарипова Е.С., Казарин Л.С. О конечных почтикольцах, порожденных эндоморфизмами (1, 0, 0, 0) = d1, (0, 1, 0, 0) = d2, (1, 1, 1, 0) = d1 + d2 + q, (1, 1, 0, 1) = d1 + d2 + q, (1, 1, 1, 1) = d1 + d2 + q + q.

Заметим, что эти элементы в группе G имеют порядок, равный 2.

Построим автоморфизм, циклически сдвигающий найденные инволю тивные элементы:

(d1 ) = d2, (d2 ) = d1 + d2 + q, (d1 + d2 + q) = d1 + d2 + q, (d1 + d2 + q ) = d1 + d2 + q + q, (d1 + d2 + q + q ) = d1.

Этот автоморфизм будет сохранять заданную квадратичную форму.

В выбранном базисе его матрица имеет следующий вид:

0 0 1 A= 0 0 0 1.

Матрица билинейной формы, составленная из скалярных произве дений соответствующих базисных элементов, выглядит так:

1 0 1 = 1 1 0 1.

Нетрудно проверить, что соотношение AA1 = выполнено, а зна чит, автоморфизм сохраняет билинейную форму.

Пусть – эндоморфизм, такой что: = 1 + + 2 + 3 + 4, = 2 + – тоже эндоморфизм, где (ai ) = bi, (bi ) = ai + bi, (ai + bi ) = ai, (ai ) = (bi ) = z, (ai + bi ) = 0, i = 1, 2.

Таким образом, система {1,..., 14,, } предоставляет 22n, в нашем случае, 16 ненулевых элементов, индуцирующих на G/Z(G) линейно независимую систему преобразований. Поэтому порядок почтикольца может быть посчитан как |E(G)| = |I||E(G)/I| = 216 · 216 = 232. Ви димо, в общем случае, почтикольцо экстраспециальной группы можно рассматривать как расширение почтикольца I, состоящего из элементов, переводящих каждый элемент G в элемент из Z(G) при помощи полного матричного кольца M2n (GF (2)).

48 Глава 2. Математика в ее многообразии Таблица 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 z \ 0 0 0 0 0 0 0 1 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 2 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 3 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 4 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 5 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 6 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 7 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 8 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 9 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 10 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 11 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 12 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 13 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 14 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 15 z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 z z z z z z z z z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z В таком случае, порядок почтикольца для n2 будет равен |E(G)| = 22n +4n. В случае n=1 получаем |E(G)| = 28, что согласуется с резуль татом И.В. Филимонова, который, используя компьютерную программу, показал, что порядок E(G) в случае группы диэдра равен 256.

Пример дифференциального базиса, не дифференцирующего характеристические функции открытых множеств Е.И. Беpежной, А.А. Перфильев Основной пример дифференциального базиса, который не дифферен цирует класс характеристических функций измеримых множеств, при надлежит А. Зигмунду. Он показал (см., например [1]), что базис из прямоугольников с произвольно ориентированными сторонами не диф ференцирует L. Доказательство этого факта опирается на довольно тонкие оценки конструкции “дерева Перрона” или множества Никоди ма. С другой стороны, как отметил А. Зигмунд, базис из прямоугольни ков с произвольно ориентированными сторонами дифференцирует все характеристические функции открытых и замкнутых множеств.

В настоящей работе приведен простой пример дифференциально го базиса, который не дифференцирует даже класс характеристических 1 Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, грант № 08-01-00669.

Беpежной Е.И., Перфильев А.А. Пример дифференциального базиса, не дифференцирующего характеристические функции открытых множеств функций открытых множеств. Идейно конструкция напоминает постро ения из работ [2, 3]. В первой из них построены дифференциальные базисы, которые различают симметричные пространства с различным поведением их фундаментальных функций и даже пространства Лорен ца и Марцинкевича или Лебега и Марцинкевича, у которых фунда ментальные функции одинаковы, а во второй построен дифференци альный базис, различающий L и любое отличное от L симметричное пространство.

Напомним некоторые определения, связанные с дифференциальны ми базисами. Эти определения можно найти в [1].

Пусть задано некоторое множество. Дифференциальным базисом B(t) в точке t называется семейство содержащих t ограниченных измеримых подмножеств положительной меры таких, что найдется по крайней мере одна последовательность {Bk B(t)}, удовлетворяю щая условию diam Bk 0. Дифференциальным базисом называется объединение указанных семейств B = {B(t) : t }.

Определим теперь верхнюю и нижнюю производные интеграла от локально интегрируемой функции f в точке t относительно базиса B с помощью равенств f ds : Bk B(t), diamBk 0}, DB (f, t) = sup{ lim k |Bk | Bk f ds : Bk B(t), diamBk 0}.

DB (f, t) = inf{ lim k |Bk | Bk Говорят, что базис B дифференцирует интеграл от f, если почти всюду выполнены равенства DB (f, t) = DB (f, t) = f (t).

Если B дифференцирует интеграл от любой функции f из пространства X, то говорят, что базис B дифференцирует пространство X.

Теорема. Пусть Q0 = [0, 1] [0, 1] – единичный квадрат на плоско сти. Тогда существуют дифференциальный базис B и открытое мно жество U такое, что базис B не дифференцирует характеристиче скую функцию U.

Доказательство. Построение соответствующего базиса B мы нач нем с построения некоторого набора {W (i)} множеств из квадрата i= Q0 = [0, 1] [0, 1], объединение которых и будет составлять базис B.

50 Глава 2. Математика в ее многообразии Выберем сначала произвольную возрастающую последовательность натуральных чисел {pi }, а затем выберем возрастающую последова i= тельность натуральных чисел {mi } так, чтобы выполнялось неравен i= ство |Q0 |. (1) m2i i= (Существование такой последовательности очевидно.) При фиксированном i множество W (i) будет состоять из объедине p2 m ния некоторых наборов множеств: W (i) = j=1 k=2 V (i, j, k).

i i Для каждого i элементы набора V (i, j, k) строятся следующим обра зом. Разобьем квадрат Q0 на p2 равных квадратов и перенумеруем их i Q(i, j), j = 1, 2,..., p2. В свою очередь, каждый из полученных квадра i тов Q(i, j) разобьем на m2 равных квадратов Q(i, j, k), k = 1, 2,..., m2, i i причем первым квадратом Q(i, j, 1) в наборе будем считать левый верх ний квадрат в разбиении. Все элементы набора V (i, j, k), принадлежа щие квадрату Q(i, j), определяются равенствами V (i, j, k) = Q(i, j, 1) Q(i, j, k), k = 2,..., m2.i Объединяя семeйства множеств {V (i, j, k) по j = 1, 2,..., p2 и k = i 2,..., m2, получим все элементы набора W (i).

i Отметим важные свойства элементов набора W (i):

для любых i N, 1 j p2, 1 k m2 выполнены соотношения:

i i |V (i, j, k)| = |Q(i, j, 1) Q(i, j, k)| = |Q(i, j, 1)| + |Q(i, j, k)| = ;

(2) p2 m i i 5 diam(V (i, j, k)) ;

(3) mi pi pi p i |Q(i, j, 1)| = ;

(4) m i j= p2 m Q0 = j=1 {k=2 V (i, j, k))}. (5) i i Так как limi pi = и выполнены свойства (2), (3), (5), то объедине ние наборов W (i) можно считать дифференциальным базисом в Q0.

Положим p B = j=1 Q0 (i, j, 1), i i= где Q0 (i, j, 1) есть внутренность квадрата Q(i, j, 1).

Тогда множество B является открытым, а из условий (1) и (4) сле дует, что |B| |Q0 |. (6) Капустина Т.В. Инфинитезимальные голоморфно-проективные преобразования синектических метрик в касательных расслоениях высших порядков риманова пространства Зафиксируем t Q0. Из (5) следует, что для каждого i N найдется множество V (i, j, k), содержащее точку t. Поэтому из (2) и определения множества B для характеристической функции (B,.) множества B по лучим D(B, t) (B, s)ds |V (i, j, k)| V (i,j,k) 1 (B, s)ds. (7) 2|Q(i, j, 1)| Q(i,j,1) Cоотношения (6) и (7) показывают, что B не дифференцирует (B,.).

Теорема доказана.

Библиографический список 1. Гусман М. Дифференцирование интегралов в Rn. М.: Миp, 1978.

2. Бережной Е.И. О дифференцировании интегралов от функций из симметричных пространств дифференциальными базисами // Analysis Mathematica. 1996. V. 22. P. 267-288.

3. Бережной Е.И., Перфильев А.А. Различение симметричных про странств и L с помощью дифференциального базиса // Матем.

заметки. 2001. Т. 69. Вып. 3. C. 515-523.

4. Zygmund A. A note on the dierentialility of multiple integrals // Collog.

Math. 1967. V. 16. P. 199-204.

Инфинитезимальные голоморфно-проективные преобразования синектических метрик в касательных расслоениях высших порядков риманова пространства Т.В. Капустина В настоящей заметке рассмотрены специальные римановы метрики в касательном расслоении Tr (Vn ) порядка r риманова пространства, близ кие по свойствам к метрике полного лифта, введенной в [4, 1. Гл. IV]).

Названы эти метрики, следуя А.П. Широкову [3, 1], синектическими [2].

В индуцированных локальных координатах xi, xn+i,..., xµn+i,..., i 1 dµx xrn+i (где xµn+i =, µ = 1, r, i = 1, n) синектическая метри µ! dtµ t= ка выражается матрицей 52 Глава 2. Математика в ее многообразии r gij + r1 aij... + aij r1 gij + r2 aij... + aij gij...

r 1 1 r r1 r r2 gij + r3 aij... + aij gij + aij... + aij...

1 r1 r G =,...

..

r...

.

...

gij 0... (1) здесь, = 1, 2,..., (r + 1)n;

gij – метрика базы, aij,... aij – r полей r симметричных дважды ковариантных тензоров на базе;

операторы µ обозначают следующее:

1 (µ1)n+s (µ1)n+t µ = xµn+s s + st +... + xn+s xn+t... xn+q st...q.

x x 2 µ!

При aij = aij =... = aij 0 синектическая метрика G превращается r 1 2 r в полный лифт (r-лифт) (r)g метрики gij из Vn в Tr (Vn ). Заметим, что G = (r)g + (r1)a +... + 0 a.

r r В Tr (Vn ) действует так называемая почти касательная структура порядка r с аффинором 0 0 0... E 0 0 0... E 0 0 0... E (2) f =..,.....

.....

.

.....

0 0 0 0... E 0 0 0 0... обладающим свойством f r+1 = 0, которая тесно связана с алгеброй плю ральных чисел (r ) (r+1 = 0) и которую можно использовать для построения лифтов тензорных полей из M в Tr (M ).

Пусть в Tr (Vn ), G задано точечное преобразование r x = f x1,..., xn, xn+1,..., x2n,..., xrn+1,..., x(r+1)n, (3) det ( f ) = 0, в результате которого возникает T r (Vn ), G, где G – увлеченное пре r r образованием (3) тензорное поле G. Если преобразование (3) переводит r Капустина Т.В. Инфинитезимальные голоморфно-проективные преобразования синектических метрик в касательных расслоениях высших порядков риманова пространства голоморфно-геодезические линии пространства в голоморфно-геодези ческие линии пространства T r (Vn ), G, то будем называть его голомор r фно-геодезическим преобразованием, или голоморфно-проективной кол линеацией (ГП-коллинеацией) в Tr (Vn ), G. (Кривая x = x (t) r в Tr (Vn ), G называется голоморфно-геодезической, если вдоль этой r кривой абсолютная производная касательного вектора является векто ром, принадлежащим в каждой точке распределению (r + 1)-мерных r площадок с базисными векторами x, f x, f x,... f x – голоморф ных площадок –, т.е. если d2 x dx dx rµ dx · + = (t)f ;

dt2 dt dt dt r µ rµ здесь f – (r µ)-я степень аффинора (2);

,, = 1, (r + 1)n, – r коэффициенты связности синектической метрики G.) r Инфинитезимальное преобразование x = x + t (4) является голоморфно-проективной коллинеацией тогда и только тогда, когда (5) L = r (здесь – так называемые голоморфно-проективные параметры си r нектической метрики G – вещественная реализация проективных пара r метров Томаса (X) в пространстве Vn (r ) над алгеброй (r ) плю ральных чисел;

L – производная Ли), или, в эквивалентной форме, r (6) L = 2 ( ) + ( f) + ( f) +... + ( f), r r r1 r где – ковектор голоморфно-проективного соответствия, а µ = f.

µ Рассмотрим в Tr (Vn ) инфинитезимальное преобразование, обладаю щее свойством µ (7) Lf = f, µ 54 Глава 2. Математика в ее многообразии где = (xi ) – поля функций на базе. В индуцированных локальных µ µ координатах это условие принимает вид µ f f = f, µ или n+j i = 2n+j i =... = rn+j i = 0, 2n+j n+i = 3n+j n+i =... = rn+j n+i,..., rn+j (r1)n+i = 0, j i n+j n+i = j, i n+i 2n+i = j,..., j (r1)n+i n+j rn+i = j, i i n+j j r..................................................................

(r1)n+j (r1)n+i rn+j rn+i = j.

i Отсюда i = i (xk ), n+i = xn+i + i (xk ) + i (xk ), 1 1 1 2n+i = 2x2n+i + xn+i + 2 i + i + i (xk ), 2 1 2 1......................................................

rn+i = r xrn+i + x(r1)n+i...

1 r1 + r2 +... + xn+i + r i + r1 i +... + i, r r+ 1 2 1 где i, i,... i – произвольные векторные поля на базе.

1 2 r+ Получаем, что в индуцированных локальных координатах искомое инфинитезимальное преобразование определяется оператором = i i + xn+i + i + i n+i + 1 1 1 + 2x2n+i + xn+i + 2 i + i + i 2n+i +... + 2 1 2 1 + r xrn+i + x(r1)n+i...

1 1 r1 + r2 +... + xn+i + r i + r1 i +... + i rn+i.

r 2 1 2 r+ (8) Будем называть такое инфинитезимальное преобразование (8) об общенно-синектическим, а при = =... = 0 – синектическим.

r 1 Совокупность обобщенно-синектических инфинитезимальных преобра зований образует алгебру Ли, в которой выделяется подалгебра синекти ческих инфинитезимальных преобразований;

это легко проверить, рас Капустина Т.В. Инфинитезимальные голоморфно-проективные преобразования синектических метрик в касательных расслоениях высших порядков риманова пространства смотрев скобку двух обобщенно-синектических инфинитезимальных пре образований и, = i i + xn+i + i + i n+i + 1 1 1 + 2x2n+i + xn+i + 2 i + i + i 2n+i +... + 2 1 2 1 + r xrn+i + x(r1)n+i...

1 r1 + r2 +... + xn+i + r i + r1 i +... + i rn+i, r 2 1 2 r+ и убедившись, что она является обобщенно-синектическим инфинитези мальным преобразованием с оператором, где i = s s i s s i, 1 1 1 1 i = s s i s s i + s s i s s i + i i, 2 1 2 2 1 2 1 1 2 12......................................................

i = s s i s s i + s s i s s i +... + s s i s s i + r r 1 1 2 2 1 r+1 r+1 r+1 r+1 r+ + i i + 2 i i +... + r i i.

r r 2 2 r 3 r 3 1 r+1 1 r+ 1 Скобка двух голоморфно-проективных инфинитезимальных преоб разований, не являющихся обобщенно-синектическими, может не опре делять в Tr (Vn ) голоморфно-проективного преобразования. Но скобка двух инфинитезимальных обобщенно-синектических преобразований, яв ляющихся ГП-коллинеациями в Tr (Vn ), G, также является ГП-колли r неацией относительно той же метрики G.

r Вектор синектического инфинитезимального преобразования име ет вид синектического лифта (или, точнее, синектического расширения полного лифта векторного поля ):

(r) (r1) +... + (0) = + 1 2 r+ Имеет место Теорема. Синектическое инфинитезимальное преобразование с век тором является голоморфно-проективной коллинеацией в Tr (Vn ), G r тогда и только тогда, когда удовлетворяется система уравнений 56 Глава 2. Математика в ее многообразии k L ij = 0, L k +L k = 0, 1 ij 2 ij (9) 2..............................

L k +L k +... + L k = 0, 1 ij 2 ij + ij r r r + k k s k j)s – проективные параметры Томаса на базе, где ij = ij n+1 (i k k k A ss k i ak + j ak k aij 2 ij = Aij, Aij = ;

j i n+1 (i 1 j) 2 1 1 1 1............................................................

k k k A ss, = Aij n+1 (i r j) r 1 ij r + k s s i a k + j a k k aij ak A k... a Aij = Aij.

s s rj ri r 1 ij r r 1 r Из теоремы с очевидностью вытекают два следствия:

Следствие 1. Полный лифт поля задает инфинитезимальную голоморфно-проективную коллинеацию в Tr (Vn ), G тогда и только r тогда, когда удовлетворяется система уравнений k L ij = 0, L k = 0, ij (10)............

L k = 0;

ij r + (r 1)-лифт поля задает инфинитезимальную ГП-коллинеацию в Tr (Vn ), G тогда и только тогда, когда он удовлетворяет всем урав r нениям системы (10), кроме последнего из них;

..........................................................................

0-лифт (вертикальный лифт) поля задает инфинитезимальную ГП коллинеацию в Tr (Vn ), G тогда и только тогда, когда он удовлетво r ряет лишь первому уравнению системы (10).

Следствие 2. Синектический лифт поля в Tr (Vn ) задает инфи (r) нитезимальную ГП-коллинеацию относительно полного лифта g Башкин М.А. Об одном семействе супермногообразий метрики gij из Vn в Tr (Vn ) тогда и только тогда, когда имеет место система уравнений k L ij = 0, k L ij = 0,............

k L ij = 0, r + т.е. когда поля,,..., задают на Vn инфинитезимальные ГП-колли r неации.

Библиографический список 1. Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л.Е. Евтушик, Ю.Г. Лумисте, Н.М. Остиану, А.П. Широков // Проблемы геометрии. Т. 9 (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР). М., 1979.

2. Капустина Т. В. О синектической метрике в касательном расслое нии порядка r риманова пространства / Т.В. Капустина // Тезисы докл. междунар. науч. конф. “Лобачевский и современная геомет рия”. Ч. I. Казань, 1992. С. 38–39.

3. Талантова Н. В. Замечание об одной метрике в касательном расслое нии / Н.В. Талантова, А.П. Широков // Изв. высш. учебн. заведений.

Математика. 1975. № 6. С. 143–146.

4. Morimoto A., Liftings of tensor elds and connections to tangent bundles of higher order // Nagoya Math. J., 1970. V. 40. P. 99–120.

Об одном семействе супермногообразий М.А. Башкин Проведена классификация однородных нерасщепимых супермногообра зий, связанных с комплексной проективной прямой в случае, когда ре тракт определяется векторным расслоением с сигнатурой (k + 1, k, 1, 1), (k 1). Показано, что с точностью до изоморфизма для каждой та кой сигнатуры существует одно однородное нерасщепимое супермного образие с требуемым ретрактом.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 07-01-00230).

58 Глава 2. Математика в ее многообразии Предполагается, что читатель знаком с основами теории комплекс ных супермногообразий (см., например, [1]). Из-за ограничения объема статьи большинство доказательств опущено.

Как известно, любое голоморфное векторное расслоение E ранга n над CP1 единственным образом разлагается в прямую сумму расслоений n на прямые, т.е. имеет вид E = j=1 Lkj, где Lkj – расслоение на прямые степени kj. Соответствующее расщепимое супермногообразие однородно тогда и только тогда, когда все kj 0.

Для n 3 классификация однородных нерасщепимых супермного образий известна (см. [2]). При n = 4 она не завершена (см. [3]). Рас смотрим сигнатуры вида (k + 1, k, 1, 1), где k 1.

1| Обозначим через CPk+1,k,1,1 расщепимое супермногообразие, опре деляемое расслоением E = L(k+1) Lk 2L1. Покроем CP1 двумя аффинными картами U0 и U1 с локальными координатами x и y = x 1| соответственно. Тогда функции перехода супермногообразия CPk+1,k,1, в U0 U1 имеют вид y=x 1 = x(k+1) = xk 2, 3 = x1 4 = x1 где i и i – базисные сечения расслоения E над U0 и U1 соответственно.

Обозначим через Tgr градуированный касательный пучок супермного 1| образия CPk+1,k,1,1 и через v(CP1, Ogr ) супералгебру Ли векторных по лей на нем.

Рассмотрим точную последовательность (см. [2]) 0 End E v(CP1, Ogr )0 sl2 (C) 0. (1) Подалгебра a v(CP1, Ogr )0 расщепляет последовательность (1), если изоморфно отображает ее на sl2 (C) или, что равносильно, имеем разло жение в полупрямую сумму v(CP1, Ogr )0 = End Ea. В работе [2] показа но, что супермногообразие с ретрактом (CP1, Ogr ) четно-однородно (или 0-однородно) тогда и только тогда, когда на него поднимается некоторая подалгебра a, расщепляющая (1). В этой ситуации мы будем говорить, что супермногообразие (CP1, O) является 0-однородным относительно a. В нашем случае с точностью до автоморфизма из Aut E существу ют две расщепляющие подалгебры ai sl2 (C), i = 1, 2, которые можно задать следующими базисами (см. [2]):

Башкин М.А. Об одном семействе супермногообразий a1 : e =, h = 2x, f = x2 x;

x x x +, h = 2x (k + 1) k 2, a 2 : e = 4 1 2 3 x x 1 2 x2 x;

f = 4 x здесь = (k + 1)1 + k2 + 3 + 4.

1 2 3 Рассмотрим подпучок Aut(2) Ogr = exp((Tgr )2 (Tgr )4 ) пучка Aut Ogr.

Согласно теореме Грина, множество супермногообразий с заданным ре трактом (M, Ogr ) изоморфно множеству орбит группы Aut E на мно жестве H 1 (M, Aut(2) Ogr ). Будем описывать когомологии с помощью ко циклов Чеха в покрытии U = {U0, U1 }. Можно доказать следующее Предложение 1. Предположим, что n 5 и H 0 (M, (Tgr )2 ) = 0.

Пусть заданы такие подпространства Q2p Z 1 (U, (Tgr )2p ) (p = 1, 2), что каждый класс когомологий из H 1 (M, (Tgr )2p ) содержит ровно по одному коциклу из Q2p (p = 1, 2). Тогда любой класс когомологий из H 1 (M, Aut(2) Ogr ) представляется единственным коциклом вида z = exp(u2 + u4 ), где u2 Q2, u4 Q4.

Мы будем говорить далее о задании супермногообразия (M, O) ко циклом u2 + u4, подразумевая, что (M, O) соответствует коциклу z = exp(u2 + u4 ).

Используя метод, изложенный в разделе 2 работы [4], можно дока зать следующие леммы.

Лемма 1. Справедливо H 0 (CP1, (Tgr )2 ) = {0}.

Лемма 2. Базис пространства H 1 (CP1, (Tgr )q ), q = 2, 4 может быть представлен следующими коциклами:

1) q = xr 1 2, xr 1 3, xr 1 4, r = 1,..., 2k 2;

x x x xr 1 2 3, xr 1 2 4, xr 1 3 2, xr 1 3 4, 3 4 2 xr 1 4 2, xr 1 4 3, 2 xr 1 2 3, xr 1 2 4, r = 1,..., 2k;

4 xr 2 3 1, xr 2 3 4, xr 2 4 1, xr 2 4 3, r = 1,..., k1;

1 4 1 xr 2 3, xr 2 4, r = 1,..., k 2 (k 2);

x x x1 3 4 1 ;

x1 3 4 2 ;

xr 1 3 4, r = 1, 2;

1 2 2) q = xr 1 2 3 4, r = 1,..., 2k.

x 60 Глава 2. Математика в ее многообразии Проведем исследование на 0-однородность супермногообразий с рет 1| рактом CPk+1,k,1,1. Обозначим через H 1 (CP1, (Tgr ))a множество a-инва риантных классов когомологий.

Предложение 2.

1) Базис H 1 (CP1, (Tgr )2 )a 1 может быть представлен следующими коциклами:

x1 3 4 1 и x1 3 4 2 ;

1 2) H 1 (CP1, (Tgr )2 )a 2 = {0}.

Предложение 3. Для любого из описанных ранее случаев подалгеб ры a имеем H 1 (CP1, (Tgr )4 )a = {0}.

Пусть 2 : Aut(2) Ogr (Tgr )2 – гомоморфизм пучков, сопоставля ющий каждому ростку автоморфизма a 2-компоненту элемента log a в (Tgr )2 (Tgr )4. Из предложений 1 и 3 и леммы 1 можно вывести Предложение 4. Если a – подалгебра, расщепляющая последователь ность (1) и если H 1 (CP1, Aut(2) Ogr )a – множество классов, определяю щих 0-однородные относительно a супермногообразия, то биектив- но отображает это множество на H 1 (CP1, (Tgr )2 )a.

Иначе говоря, 0-однородные относительно a супермногообразия за даются коциклами u2 + u4, где класс [u2 ] a-инвариантен, а класс [u4 ] может быть определен с помощью предложения 5.1 из [5]. Далее, a инвариантные классы [u2 ] описаны в предложении 2. Так как для них [u2, u2 ] = 0, то из предложения 5.1 работы [5] следует, что класс [u4 ] так же должен быть a-инвариантным. Используя предложение 3, получаем Предложение 5. В каждом из двух случаев подалгебры a четно однородные относительно a супермногообразия описаны в предложе нии 2.

Проведем теперь исследование на однородность полученных 0-одно 1| родных супермногообразий с ретрактом CPk+1,k,1,1, (k 1). Для этого будем использовать Предложение 6. Пусть выполнены условия предложения 1 и (CP1, O) – 0-однородное супермногообразие. Тогда супермногообразие (CP1, O) однородно тогда и только тогда, когда для j = 1,..., 4 век торные поля поднимаются на (CP1, O).

j Доказательство. Согласно предложению 5 из [2], вопрос однороднос ти сводится к сюръективности отображения evo : v(M, O)1 To (M, O) для некоторой точки o M. Пусть o – точка в U0, заданная уравнени ем x = 0. Представим это отображение в виде evo = evo p1, где evo Башкин М.А. Об одном семействе супермногообразий – отображение v(M, Ogr ) To (M, Ogr ), вычисляющее значение вектор ного поля в точке o M, p1 – отображение v(M, O)1 v(M, Ogr )1.

Очевидно, W = Im p1 является a-подмодулем в v(M, Ogr )1.

Любой старший вектор, лежащий в W, есть линейная комбинация векторных полей, j = 1,..., 4 (см. [2]). Если (CP1, O) однородно, j то evo (W ) = To (CP1, O)1 и W содержит все, j = 1,..., 4, откуда j следует, что W = v(CP1, O)1. Следовательно, все поля поднима j ются. Обратно, если все поля поднимаются, то p1 сюръективно.

j натягивают T (CP1, O) для x U, то ev Поскольку элементы o o j сюръективно. Поэтому (CP, O) однородно.

Теорема 1. Единственное с точностью до изоморфизма нерасще 1| пимое однородное супермногообразие с ретрактом CPk+1,k,1,1 коциклом x1 3 4 1.

Доказательство. Рассмотрим коциклы, указанные в предложении 2, и применим к ним предложение 6. Используя критерий подъема из [5] (предложение 5.1), получаем, что нерасщепимые однородные супермно гообразия задаются ненулевыми коциклами вида Ax1 3 4 1 + Bx1 3 4 2 где A, B C.

, 1 Используя предложение 12 из [2], в котором дано описание алгебры End E, можно доказать, что все указанные выше ненулевые коциклы переводятся друг в друга автоморфизмами расслоения E.

Библиографический список 1. Онищик, А.Л. Проблемы классификации комплексных супермного образий / А.Л. Онищик // Математика в Ярославском университете:

сб. обзорных статей. К 25-летию математического факультета;

Яро сл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2001. – С. 7–34.

2. Бунегина, В.А. Однородные супермногообразия, связанные с ком плексной проективной прямой / В.А. Бунегина, А.Л. Онищик // ВИНИТИ. – М., 2001. – С. 141–180.

3. Башкин, М.А. Однородные нерасщепимые супермногообразия раз мерности 1|4 над комплексной проективной прямой / М.А. Башкин, 62 Глава 2. Математика в ее многообразии А.Л. Онищик // Математика в Ярославском университете: сб. об зорных статей. К 30-летию математического факультета;

Яросл. гос.

ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2006. – С. 17–32.

4. Вишнякова, Е.Г. Четно-однородные комплексные супермногообра зия размерности 1|3 на сфере Римана / Е.Г. Вишнякова // Современ ные проблемы математики и информатики: сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып. 7. – Ярославль: Яр ГУ, 2005. – С. 22–30.

5. Onishchik, A.L. A Construction of Non-Split Supermanifolds / A.L. Onishchik // Annals of Global Analysis and Geometry. – 1998.

– V. 16. – P. 309–333.

Максимумы наследуемых признаков частиц в ветвящихся процессах А.В. Лебедев 1. Введение. Исследования ветвящихся процессов были начаты в XIX веке Г. Ватсоном и Ф. Гальтоном [1] в связи с задачей о вырождении фа милий. Современная теория ветвящихся процессов восходит к А.Н. Кол могорову [2], которому принадлежит сам термин “ветвящиеся процессы”, и его ученику Б.А. Севастьянову, интересные воспоминания которого на данную тему можно найти в [3].

В работах [4, 5], а также автором в [6, 7, 8] изучались максимумы на ветвящихся процессах с дискретным временем. А именно, рассмат ривался классический процесс Гальтона-Ватсона [9], в котором каждая частица обладает некоторым случайным признаком, и изучалось поведе ние максимумов признака в популяции. Предполагалось, что признаки всех частиц не зависимы и одинаково распределены.

Однако для реальных биологических популяций предположение о независимости признаков является довольно грубым. На самом деле между ними существует зависимость, обусловленная общностью про исхождения организмов. Для описания наследственности можно пред ложить регрессионную модель первого порядка m,n = g((m,n),n1, m,n ), где m,n – признак m-й частицы в n-м поколении, (m, n) – номер пред ка этой частицы в предыдущем поколении, а случайные величины m,n, 1 Работа выполнена при поддержке по грантам РФФИ № 07-01-00077, № 07 01-00373.

Лебедев А.В. Максимумы наследуемых признаков частиц в ветвящихся процессах m 1, n 1 (инновации) не зависимы и имеют одинаковое распределе ние F. Полагаем также, что признак первой частицы 1,0 не зависит от {m,n }.

Далее будем полагать функцию g(x, y) линейной. Следует упомя нуть, что само понятие линейной регрессии было введено Ф.Гальтоном в конце XIX века именно для описания наследственности (зависимости роста детей от роста родителей) [10. § 2.6].

Введем необходимые объекты и обозначения.

Пусть Zn – число частиц в n-м поколении;

Z0 = 1. Будем рассмат ривать, как и ранее, надкритические процессы без вырождения: число непосредственных потомков не менее одного, имеет конечное среднее µ 1 и конечный второй момент. Напомним, что тогда имеет место сходимость почти наверное [9. гл. 1, § 8]:

Zn (1) W 0, n.

µn Преобразование Лапласа-Стилтьеса распределения случайной величи ны W обозначим через. Нас интересует асимптотическое поведение величины Zn n.

Mn = m,n, m= 2. Гауссовский случай. Предположим, что все m,n и m,n име ют стандартное нормальное распределение, а модель наследственности задана формулой (2) 1 2 m,n, [0, 1).

m,n = (m,n),n1 + Напомним, что стандартное нормальное распределение принадле жит области притяжения максимум-устойчивого закона Гумбеля (x) = exp{ex } с известными нормирующими константами [11. Теорема 1.5.3]:

получаем r (a(r)x + b(r)) (x), r, 1/, b(r) = (2 ln r)1/2 1 (2 ln r)1/2 (ln ln r + ln 4).

a(r) = (2 ln r) Тогда, согласно теореме 1 [7], в случае независимых признаков частиц (при = 0) имеет место асимптотика P(Mn a(µn )x + b(µn )) (ex ), (3) n.

64 Глава 2. Математика в ее многообразии Например, при геометрическом распределении числа потомков получа ем в качестве предельного распределения логистическое.

Теорема 1. В гауссовском случае при любом (0, 1) верно (3).

Заметим, что наш результат имеет асимптотический характер. На практике положительная зависимость признаков, обусловленная наслед ственностью, может приводить к стохастическому уменьшению макси мума (за счет сокращения разброса признака в популяции), что в гаус совском случае также следует из нормальной леммы сравнения [11. След ствие 4.2.3].

3. Случай правильно меняющихся хвостов. Пусть F имеет пра вильно меняющиеся хвосты:

F (x) x L(x), (4) F (x)/F (x) c 0, x, 0, где L(x) – медленно меняющаяся функция [12. Гл. 8, § 8]. Этим услови ям, например, удовлетворяют устойчивые распределения с показателя ми (0, 2), распределения Парето и лог-гамма.

Определим неотрицательную функцию u(s), s 0, такую, что sF (u(s)) 1, s. Заметим, что u(s) заведомо существует и яв ляется правильно меняющейся с показателем 1/, т.е. u(s) s1/ L2 (s), s, где L2 (s) – медленно меняющаяся функция [13. § 1.5].

Пусть задана линейная модель наследственности:

(5) a (0, 1), b 0.

m,n = a(m,n),n1 + bm,n, Для выявления роли наследственности “в чистом виде” желательно обеспечить независимость распределения признаков от коэффициентов авторегрессии (как это имело место в гауссовском случае). Здесь можно добиться этого только для строго устойчивых распределений, полагая a + b = 1. (6) Для произвольных F, удовлетворяющих (4), условие (6) обеспечивает асимптотическую эквивалентность хвостов стационарных распределе ний. Будем полагать это достаточным.

Обозначим для краткости C = b /(1 a /µ).

Теорема 2. При условиях (4) и (5) выполнено Mn d (CW )1/, (7) n, u(µn ) Лебедев А.В. Максимумы наследуемых признаков частиц в ветвящихся процессах где W определено в (1), имеет распределение Фреше (x) = exp{x }, x 0 и не зависит от W.

При условии (6) получаем C = (1 a )/(1 a /µ). Таким обра зом, наследственность приводит к появлению в асимптотике максиму мов дополнительного множителя (от 0 до 1) по сравнению с максиму мами независимых величин, причем этот множитель убывает с ростом коэффициента a. Подобный эффект выглядит вполне естественно: чем сильнее наследственность, тем меньше разброс признака в поколении и, соответственно, меньше максимум.

Автор благодарен Л.Г. Афанасьевой, М.В. Козлову и Е.Б. Яровой за внимание к работе и полезное обсуждение.

Библиографический список 1. Watson H.W., Galton F. On the probability of the extinction of families // J. Antropol. Inst. Great Britain and Ireland. 1874, V. 4.

P. 138-144.

2. Колмогоров А.Н. К решению одной биологической залачи // Изв.

НИИ Мат. и мех. Томского унив-та. 1938. Т. 2. C. 7-12.

3. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы: взгляд в прошлое // Тео рия вероятностей и ее применения. 1999. Т. 44. № 3. C. 692-694.

4. Arnold B.C., Villasenor J.A. The tallest man in the world / Statistical theory and applications. Papers in honor of H.A. David. Springer, 1996.

P. 81-88.

5. Pakes A.G. Extreme order statistics on Galton-Watson trees // Metrika, 1998. V. 47. P. 95-117.

6. Лебедев А.В. Экстремумы на ветвящихся процессах // Труды Вто рых Колмогоровских чтений. Ярославль, 2004. С. 324-327.

7. Лебедев А.В. Предельные законы для максимумов на надкритиче ских ветвящихся процессах // Обозрение прикладной и промышлен ной математики. 2004. Т. 11. № 4. C. 867-868.

8. Лебедев А.В. Максимумы случайных признаков частиц в надкрити ческих ветвящихся процессах // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика.

Механика (в печати) 9. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов. М.: Мир, 1966.

10. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической стати стике. М.: Институт компьютерных исследований, 2003.

11. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен Х. Экстремумы случайных по следовательностей и процессов. М.: Мир, 1989.

12. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2.

М.: Мир, 1984.

13. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985.

66 Глава 2. Математика в ее многообразии Критерий существования H–полярного разложения заданной матрицы при условии самосопряженности или кососамосопряженности матрицы H Ю.И. Большаков В работах [1] и [2] доказаны критерии существования H–полярного раз ложения матрицы X Fnn над полем F = R и F = C соответственно, т.е. найдены необходимые и достаточные условия представления матри цы X Fnn в виде:

X = U A, (1) где U – H-унитарная, (U [] U = I,) A – H-самосопряженная (A[] = A).

Oперация [] определена на Fnn соотношением: X [] = H 1 X H. Здесь H = H, det H = 0 – фиксированная эрмитова матрица, X – произволь ная n n – матрица с элементами из F. Строго говоря, разложение (1) следовало бы назвать правым H–полярным, разложение X = B V – ле вым H–полярным, где B [] = B, V [] V = I. Но, как легко убедиться, су ществование правого H–полярного разложения матрицы X эквивалент но существованию его левого разложения. В самом деле, пусть (1) имеет место, тогда X = U A = (U AU 1 )U = B · U, где B [] = (U AU 1 )[] = B, ибо A[] = A. Возможность существования H–полярного разложения данной матрицы обсуждалась в работе [1].

В той ситуации, когда H – положительно определенная nn-матрица, мы получаем классическое полярное разложение, которое имеет доволь но обширный спектр приложений: от задач геометрии и алгебры до за дач групп Ли.

В настоящей работе указаны две эквивалентные формулировки су щестования H-полярного разложения как в терминах канонической трой ки (X [] X, Ker X, H) (теорема 1), так и в терминах цепей, относитель но нильпотентной части этих троек (теорема 2). Последний критерий сводится к подстановке некоторого набора целочисленных параметров, определяющих каноническую тройку (X [] X, Ker X, H), в конечную систему линейных уравнений. Теоремы 1 и 2 сформулированы для слу чая H = H, однако они справедливы и в случае, когда H = H с соответствующей заменой H на iH.

Приведем один из основных результатов работы [2], который слу жит критерием существования H–полярного разложения данной мат рицы X.

Теорема 1. Пусть F = C. Тогда Большаков Ю.И. Критерий существования H–полярного разложения заданной матрицы при условии самосопряженности или кососамосопряженности матрицы H (i) Для любого отрицательного собственного числа матрицы X [] X та часть канонической формы (X [] X, H), которая этому со ответствует, может быть представлена в виде:

(diag (Ai )m, diag (Hi )m ), (2) i=1 i= где для всех i = 1, 2,..., m Jki () 0 Q ki Ai =, Hi =, (3) Qki 0 Jki () (В матрице Qp все элементы равны нулю, за исключением единиц, рас положенных на побочной диагонали матрицы, т.е. qij = i+j,p+1 ).

(ii) Часть канонической формы (X [] X, H), отвечающая нулевому собственному числу, может быть представлена в виде:

(diag (Bi )m, diag (Hi )m ), (4) i=0 i= где B0 = Ok0 k0, H0 = Ip0 In0, p0 + n0 = k0, а для i = 1, 2,..., m пара (Hi, Bi ) имеет одну из следующих двух форм:

Jki (0) 0 Q ki, ki 1, Bi =, Hi = (5) Qki 0 Jki (0) или Jki (0) 0 Q ki Bi =, H i = i, (6) Qki 0 Jki 1 (0) где i = 1 или i = 1, ki 1.


(iii) Пусть (ii) имеет место. Обозначим базис, отвечающий ниль потентной части (X [] X, H), символом {eij }m, lij=1, (7) i=0, где l0 = k0, а параметр li суть размер матрицы Bi при i 1.

В этих обозначениях Span {ei,1 + ei,ki +1 |li = 2ki, i = 1, 2,..., m} KerX = (8) Span{ei,1 |li = 2ki 1, i = 1, 2,..., m}Span{e0,j }k01.

j= Пример. Пусть 0 1 1 0 0 X=, H =.

1 0 0 0 68 Глава 2. Математика в ее многообразии Здесь X = X1 X1, H = H1 (H1 ), где матрица X1 = не допускает ни H1 -полярного разложения, ни (H1 )-полярного разло [] жения, поскольку матрица X1 1 X1 имеет единственное отрицательное собственное число -1. Однако, как легко проверить, матрица X допус кает H-полярное разложение: H = U A, где 0 0 01 000 0 1 0 0 0 0 U =.

0 1 0 0, A = 0 0 0 1 0 00 010 Здесь U [] U = I, A[] = A.

Приведем более эффективный критерий существования H-полярно го разложения матрицы X. С этой целью введем понятие цепи нильпо тентной матрицы.

p Определение 1. Пусть A = Jmi (0) – нильпонтная матрица, i= составленная из жордановых блоков Jmi (0) c m1 m2... mp. Всякую s Jmi (0) назовём цепью, если разность mi её подматрицу A0 = i= mi+1 = 0 или mi mi+1 = 1, i = 1, 2,..., s 1. Блоки Jmi – звенья цепи, mi – их длины.

Определение 2. Цепь A0, определенную матрицей A, назовем мак симальной, если к ней нельзя добавить ни одного звена из A так, чтобы вновь полученное объединение давало бы вновь цепь.

Очевидно, что всякая нильпотентная матрица A однозначно разби вается в дизъюнктивное объединение максимальных цепей, т.е. таких, что ни одна их пара не имеет общих звеньев.

Лемма 1. Для того, чтобы матричное уравнение X 2 = A с за данной нильпотентной матрицей A имело бы решение, необходимо и достаточно, чтобы каждая максимальная цепь матрицы A, не содер жащая звеньев длины 1, состояла бы из четного числа звеньев, макси мальная же цепь, содержащая звенья длины 1, может иметь число звеньев любой четности.

Доказательство этой леммы имеется в работе [3].

Не нарушая общности в рассуждениях, мы будем считать, что ниль потентная матрица X [] X представляет собой одну максимальную цепь.

Большаков Ю.И. Критерий существования H–полярного разложения заданной матрицы при условии самосопряженности или кососамосопряженности матрицы H Тройка (X [] X, H, Ker X) характеризуется 3 2s–целочисленной мат рицей 0 0 n1 n2... ns l1 l2... ls K = k1 k2... k s l 1 + + + + + + l2... ls. (9) k1 k2... k s l 1 l2... ls Здесь kj (kj ) жордановых клеток матрицы X [] X c j = 1(j = 1) + + имеют размер nj nj, j = 1, 2,..., s. Параметры lt, lt, lt, характери зующие подпространство Ker X, удовлетворяют системе неравенств + 0 + 0 lt + lt kt, lt + lt kt, t = 1, 2,..., s. (10) + Здесь lt (lt ) – число векторов подпространства KerX, являющихся собственными векторами той нильпотентной части жордановой матри + цы X [ ]X, которая отвечает kt (kt ) клеткам размера nt nt и = ( = 1);

lt – число векторов подпространства Ker X, являющихся сум мами пар векторов, при этом первая компонента пары берется из числа + kt, а вторая – из числа kt. Кроме того, n1 n2... ns.

[] Но, поскольку X X – цепь, то n1 = p, n2 = p1, n3 = p2,..., ns = p s + 1. С учётом леммы 1 мы приходим к следующему критерию H– полярного разложения, который дает необходимые и достаточные усло вия возможности представления нильпотентной части матрицы X [] X в том виде, в котором они указаны в пунктах (ii) и (iii) теоремы 1.

Теорема 2. Пусть H – невырожденная комплексная самосопря женная n n–матрица и пусть для заданной матрицы X Cnn матрица X [] X представляет собой цепь, состоящую из четного чис ла нильпотентных звеньев, если цепь не содержит звеньев длины 1, и без ограничения на их количество, если цепь содержит звенья дли ны 1. При этом тройка (X [] X, H, Ker X) определена целочисленной матрицей K вида (9) с натуральными nj = p j + 1, j = 1, 2,..., s.

Тогда матрица X допускает H–полярное разложение тогда и толь ко тогда, когда целочисленные параметры, составляющие матрицу K, удовлетворяют системе + + + kt = lt + lt1 + lt, (12) kt = lt + lt1 + lt, t = 1, 2,... s, + если ns = 1. Здесь l0 = l0 = 0. Если же ns 1, то исключением в + формуле (12) будут служить лишь параметры ks и ks, для которых + ls = ls = 0.

70 Глава 2. Математика в ее многообразии Доказательство теоремы 2 для случая H = H имеется в работе [4].

Однако, как мы уже упоминали выше, теорема 2 справедлива и в случае H = H.

Следствие. Если матрица Y допускает H–полярное разложение, то d + + d + ls + ls + max {d+, d }, dim Ker Y = где d+ = (H) (HY [] Y ), d = (H) (HY [] Y ). В частности, если ns 1, то ls = ls = 0, d+ = d = dim Ker Y = + dim Ker Y [] Y, где () есть положительный (отрицательный) индекс инерции функции (x, y) = y Hx.

Библиографический список 1. Большаков Ю.И. Псевдополярное разложение линейного операто ра // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль:

ЯрГУ, 1994. С. 23–32.

2. Bolshakov Yu., van der Mee C.V.M., Ran A.C.M., Reichstein B. and Rodman L. Polar decomposition in nite dimensional indenite scalar product spaces: General theory, Linear Algebra Appl. 261: 91–141 (1997).

3. Большаков Ю.И. Матричное уравнение X 2 = A // Вопросы теории групп и гомологической алгебры. Ярославль: ЯрГУ, 1990. С. 21–25.

4. Большаков Ю.И. К вопросу существования и нахождения всех H– полярных разложений данной матрицы // Вестник Поморского уни верситета. Архангельск. 2006. № 4. С. 103–110.

Барианализ и многомерные уравнения типа Бюргерса и Навье Стокса А.В. Бородин Настоящая статья является развитием работ [1, 2, 3] в направлении уве личения пространственной размерности, при этом используются поня тия, обозначения и результаты из [2, 4]. Приведем необходимый мини мум бариоперационных понятий из [2, 4].

Пусть x = x0 ;

x1 – упорядоченная пара чисел x0, x1 C;

x0 = µ ( x ) = x0 и x1 = µ1 ( x ) = x0 x1 – ее моменты 0-го и 1-го порядка соот ветственно. Тогда x = x0 ;

x1 /x0, причем если x0 = 0, а x1 = 0, то нуль Бородин А.В. Барианализ и многомерные уравнения типа Бюргерса и Навье-Стокса “x0 = 0”, стоящий в знаменателе, называется нестандартным и обозна чается символом 0. В этом случае x = 0 ;

x1 / 0 = 0 ;

x1, где = 0 1 – нестандартная бесконечность, такая что 0 = 1, но 0 = 0. Если же и x0 = 0 и x1 = 0, т.е. x = 0;

x1, то элемент 0;

x1 называется баринулевым и обозначается символом. Два эле мента x = x0 ;

x1 и y = y0 ;

y1 называются равными, если µk ( x ) = µk ( y ) (k = 0, 1).

Далее, если x = x0 ;

x1 /x0, y = y 0 ;

y 1 /y 0 и C, то по опреде лению (1) x = x0 ;

x1, x + y = x0 + y 0 ;

(x1 + y 1 )/(x0 + y 0 ), (2) x y = x0 y 0 + s x1 y 1 ;

(x0 y 1 + x1 y 0 )/(x0 y 0 + s x1 y 1 ). (3) В работах [2, 4] показано, что операции умножения на скаляр (1), сло жения (2) и эллиптического при s = 1 (гиперболического при s = 1) умножения (3) удовлетворяют аксиомам коммутативной ассоциативной алгебры;

при этом для сложения (2) нулем будет, противоположным к элементу x = x0 ;

x1 /x0 будет элемент x = x0 ;

x1 /x0 ;

для умножения (3) единицей будет элемент e = 1;

0, обратным к элементу x = x0 ;

x1 = 0 будет элемент x 1 = x0 ;

x1 /x0 / (x0 )2 + s (x1 )2.

В [4] эта алгебра названа при s = 1 (s = 1) эллиптической (ги перболической) бариалгеброй (ЭБА) (ГБА) 1-го порядка и обозначе на символом C 1 ( C 1 ), элементы x C 1 (s = e, h) этой алгеб e s h ры названы бариэлементами (БЭ) 1-го порядка. Там же заложены ос новы анализа на ЭБА C n любого порядка n. Естественный бариор s тонормированный базис в C 1 (относительно скалярного произведе s = x0 (y 0 ) + x1 (y 1 ) ) образуют бариорты e ния = 1;

0 и x, y e 1 = 0 ;

, при этом для каждого x C имеет место раз s ложение x = x0 e 0 + x1 e 1.

Далее, функция вида u = u(x, t) = u0 (x, t);

u1 (x, t) = u0 (x, t);

u1 (x, t)/u0 (x, t), (4) 1 где u C – зависимая барипеременная, x = (x1, x2, x3 ) R, t R – s независимые переменные, называется барифункцией (БФ) веществен ных переменныых, или, короче, C 1 -функцией R-переменных. Част s k k ная барипроизводная k-го порядка j u(x, t) = xj u(x, t) (при k = 72 Глава 2. Математика в ее многообразии j = j ) по переменной x R определяется так:

j u = j u(x, t) = j u0 (x, t);

j u1 (x, t)/j u0 (x, t).

k k k k k (5) Множество непрерывно дифференцируемых (дважды по x R и один раз по t R) в области D R4 БФ (4) обозначается через C 2,1 (D).

Подробнее обо всех этих понятиях см. в [2, 4].

Рассмотрим на C 2,1 (D) (D = R R+ ) барилинейное дифференци альное уравнение (БЛДУ) в частных производных 2-го порядка вида def (6) t w = L( w ) + c w = (aj j + bj j ) ( w ) + c w, j= где w = w(x, t) = v(x, t);

u(x, t) – неизвестная БФ, зависящая от трех пространственных x = (x1, x2, x3 ) R3 и одной временной t R+ переменных;

aj, bj (j = 1, 2, 3), c – заданные постоянные (параметры БЛДУ (6)). Относительно 1-й w |0 = v и 2-й w |1 = u барикомпонент БФ w БЛДУ (6) (в силу (1)-(5)) равносильно системе ДУ:

(7) t (v) = L(v) + c v, j v (8) t (u) = L(u) + 2 aj j u.

v j= Для решений этой барисвязанной БЛДУ (6) системы ДУ имеет место утверждение [2].

Теорема 1. Если v(x, t), v (x, t) – решения ДУ (7), то u(x, t) = v (x, t)/v(x, t) – решение системы ДУ (8);

в частности, если v(x, t) – решения ДУ (7), то (9) u(x, t) = k v(x, t)/v(x, t) (k = 1, 2, 3) – решение системы ДУ (8), (9), т.е. решение системы ДУ (10) t (uk ) = L(uk ) + 2 aj uj j uk (k = 1, 2, 3), j= причем для векторного поля u = (u1, u2, u3 ) выполняется условие по тенциальности rotx u = (11) 0.

Бородин А.В. Барианализ и многомерные уравнения типа Бюргерса и Навье-Стокса Условие (11) позволяет исключить функции u2, u3 из ДУ (10) и по лучить ДУ только относительно функции u1, а именно, x1 x t (u1) = L(u1 )+2a1 u1 1 u1 + 2a2 2 u1 dx1 1 u1 +2a3 3 u1 dx1 3 u1, x12 x (12) где x12, x13 R – допустимые значения, такие что (13) uk (x, t) = k v(x, t)/v(x, t) = 0 (k = 2, 3).


x1 =x1k Сразу же заметим, что условие (13) взято однородным только ради про стоты и краткости сопутствующих им рассуждений.

Кроме того, функции u2, u3 из ДУ (10) можно исключить, положив параметры a2, a3 в ЛБДУ (6) равными нулю. В этом случае имеет место следующее следствие из теоремы 1.

Следствие 1. Если v(x, t) – решение ДУ (14) t v = a1 1 v + bj j v + c v, j= то функция u1 (x, t) – решение ДУ (15) t u1 = a1 1 u1 + 2 a1 u1 1 u1 + bj j u1.

j= Далее, для решений системы ДУ (7), (8) справедлива Теорема 2. Если для = 1, 2,..., m функции v(x, t;

) – решения ДУ (7), а uk (x, t;

) (k = 1, 2, 3) – соответствующие (см. (9)) решения системы ДУ (10), то ( C() C, = 1, 2,..., m) m v(x, t) = C() v(x, t;

), = m m uk (x, t) = C() v(x, t;

)uk (x, t;

) C() v(x, t;

) =1 = – решение системы ДУ (7), (10).

74 Глава 2. Математика в ее многообразии Тем самым, множество (V ) решений v ДУ (7) в барисвязке v;

u с множеством (U ) соответствующих решений u = (u1, u2, u3 ) ДУ (10) образует барилинейное пространство V ;

U барирешений v;

u БЛДУ (6).

Сказанное (с учетом работ [1, 2, 3, 5]) позволяет интерпретировать ДУ (10) ((12),(15)) как многомерный аналог ДУ Бюргерса, а формулы (9) как преобразования Коула-Хопфа решений ДУ теплопроводности (7) ((14)) в решения ДУ Бюргерса (10) или (12) ((15)). В то же время ДУ (10), переписанное в развернутой форме 3 3 (16) t (uk ) = aj j uk + 2 aj uj j uk + bj j uk (k = 1, 2, 3), j=1 j=1 j= можно интерпретировать как систему ДУ типа Навье-Стокса с гради ентом давления специального вида (17) k p(x, t) = bj j uk (x, t) (k = 1, 2, 3), j= но без условия неразрывности (однако с условием потенциальности (11)).

Дальше анализ решений ДУ типа Бюргерса (10) (Навье-Стокса ((16), (17)) можно было бы проводить по схеме работы [5]) (для одномерного ДУ Бюргерса), используя при этом решения трехмерной задачи Коши для ДУ (7) ((15)). Однако в текущей работе мы ограничимся решениями ДУ (10) ((16), (17)) типа бегущей волны (кинка).

С этой целью найдем решения ДУ (7) вида (18) v(x, t) = j xj + 0 t, j= где j C (j = 1, 2, 3) – произвольные постоянные, а () – функция, подлежащая определению. Подставив (18) в (7), относительно полу чим ЛДУ 2 (19) a + b + c = 0, где 3 2 aj, j bj 0.

a= b= j j=1 j= Рассмотрим случай D = b2 4ac = 0, Бородин А.В. Барианализ и многомерные уравнения типа Бюргерса и Навье-Стокса т.е. случай простых характеристических корней:

1 = b + D / 2a, 2 = b D / 2a.

В этом случае общее решение (19) имеет вид D b + exp, () = C1 exp (1 ) + C2 exp (2 ) = A cosh 2a 2a и соответственно решение (18) ДУ (7) вид D b (20) + exp v(x, t) = A cosh, 2a 2a где (C1, C2 ), A, C – произвольные постоянные, = 3 j xj + 0 t.

j= Подставляя (20) в (9), получим решение системы ДУ (10) ((16)) вида b D (k = 1, 2, 3). (21) uk (x, t) = k +th j xj +0 t + 2a 2a j= Если j R (j = 0, 1, 2, 3), R и D = b2 4ac 0, (22) то решения (21) – четырехмерные кинки (точнее, барикинки), сохраня ющие вдоль параллельных прямых xj0 = ( 0 t)/j, = const R, j = 1, 2, xj /xj0 = j= постоянные значения между точными нижней и верхней границами uk = min(k 1, k 2 ) и uk = max(k 1, k 2 ) (k = 1, 2, 3), и двигающиеся со скоростью 3 1/2 1/ 2 2 (23) = e, e = (1, 2, 3 ).

j j j=1 j= Условие (22) заведомо выполняется, если параметры ЛБДУ (6) удовле творяют условиям:

ak 0 (k = 1, 2, 3), c 0.

76 Глава 2. Математика в ее многообразии Ничто не мешает считать c = 0. В этом случае D = b2, 1 = 0, 2 = b/a и кинки (21) принимают вид |b| k b (k = 1, 2, 3), (24) uk (x, t) = 1sgn(b) th j xj +0 t + 2a 2a j= где a = 3 2 aj, b = 3 j bj 0, а j R (j = 1, 2, 3), R – j=1 j j= произвольные постоянные определяющие многообразие решений-кинков (21) ((24)) ДУ (10), (16) (при k = 1 – ДУ (12), (15)).

Согласно теореме 1, многообразие V решений (20) ЛДУ теплопро водности (7) ((14)) в барисвязке v;

u с многообразием U = (U1, U2, U3 ) решений (21) ДУ типа Бюргерса (10) ((12),(15)) или Навье-Стокса (16) образует баримногообразие W = V ;

U барирешений w = v;

u БЛДУ (6). Следовательно, если u = (u1i, u2i, u3i ) = (1 vi /vi, 2 vi /vi, 3 vi /vi ) U (i = 1, 2), то v1 u1 +v2 u 1 v1 +1 v2 2 v1 +2 v2 3 v1 +3 v2 U, (25) u1 + u2 = =,, v1 +v2 v1 +v2 v1 +v2 v1 +v т.е. (25) – операция “сложения"в U = (U1, U2, U3 ), или, другими слова ми, (25) – формула взаимодействия двух волн-кинков (21) ((24)). Таким образом, многообразие U = (U1, U2, U3 ) решений (21) ((24)) ДУ типа Бюргерса (10) ((12),(15)) или Навье-Стокса (16) является относительно “сложения"(25) коммутативной полугруппой без нуля.

Далее, следуя работам [2, 8] (согласно которым кинк является “но сителем"уединенной волны), продифференцируем k-й кинк (24) по пе ременной xk :

|b| k b sech2 j xj +0 t +. (26) k uk (x, t) = k ln(|v(x, t)|) = 2a 2a j= Понятно, что (26) – четырехмерная уединенная волна-барисон (в про странстве R4 = {(x, u)}), перемещающаяся со скоростью (23). Если, к примеру, продифференцировать по x1 ДУ (15), то относительно функ ции (27) u(x, t) = 1 u1 (x, t) = 1 ln(|v(x, t)|) получим ДУ t (u) a1 1 u 2 a1 u 1 bj j u 1 u = 2a1 u, j= Козырев С.Б. О фрактальной размерности кривой Ван дер Вардена решениями которого будут барисоны (26), в которых a = 2 a1, b = j=1 j bj 0, а j R (j = 1, 2, 3), R – произвольные постоянные.

Совершенно так же, как в работе [2] (опираясь на (25)), можно пока зать, что взаимодействие двух и более четырехмерных барисонов вида (26) протекает по той же схеме, что и взаимодействие двумерных бари сонов (на плоскости R2 = {(x, u)}), а при x = (x1, x2 ) (см. [3]) похоже на взаимодействие трехмерных солитонов ДУ Кадомцева-Петвиашвили [7]. Но об этом (и других решениях вида (9) ДУ типа Бюргерса (10) или Навье-Стокса (16) ((17))) – в развернутой статье автора. В связи с этим отметим, что стационарный случай ЛБДУ (6) подробно рассмот рен в работе [8].

Библиографический список 1. Бородин А.В. Барианализ и уравнения типа Бюргерса // Сб. тр.

МНК ММТТ-2000. В 10-и т. Т. 1. СПб.: СПГТИ, 2000. С. 73-75.

2. Бородин А.В. Спектральные алгебры и их приложения I (II) // Вест ник ЯГТУ. Вып. 4 (5). Ярославль, 2004 (2005). С. 192-206 (93-114).

3. Бородин А.В. Барианализ и многомерные уравнения типа Бюргер са // Сб. тр. МНК ММТТ-2007. В 10-и т. Т. 1. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2007. С. 20-22.

4. Бородин А.В. Многомерный барианализ и его приложения. Ч. I. Яро славль: Изд-во ЯГТУ, 2005. 432 с.

5. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны: М.: Мир, 1976. 622 с.

6. Бородин А.В. Уединенные волны-барисоны // Сб. тр. МНК ММТТ 2003. В 10-и т. Т. 1. СПб.: СПГТИ, 2003. С. 73-777.

7. Додд Р., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.

8. Бородин А.В. Бариоперационное исчисление и N-мерное изоспек тральное уравнение Шредингера // Вестник ЯГТУ. Вып. 2. Яро славль, 1999. С. 200-204.

О фрактальной размерности кривой Ван дер Вардена С.Б. Козырев В своем известном эссе [2] Б. Мандельброт ввел понятие и дал определе ние фрактальных множеств. Согласно ему фракталом считается любое множество, у которого его фрактальная размерность выше топологи ческой. Это определение названо рабочим, то есть носящим предвари тельный, ориентировочный характер. Существуют множества, которые 78 Глава 2. Математика в ее многообразии по своему устройству и свойствам фрактальны, но формально не счи таются таковыми вследствие того, что не удовлетворяют определению Мандельброта. Одним из таких множеств является классический при мер нигде не дифференцируемой функции Ван дер Вардена, точнее, ее график.

Пример Ван дер Вардена особенно интересен для студентов как один из самых простых способов построения нигде не дифференцируемой функции со сравнительно несложным доказательством ее недифферен цируемости. В то же время доказательство того, что фрактальная раз мерность ее графика равна единице, найти трудно. Так, например, Фаль конер [4] в отдельной главе рассматривает метод построения функций типа Ван дер Вардена, но усложняет его таким образом, чтобы гра фики получающихся функций имели фрактальную размерность строго больше их топологической размерности. О самой же функции Ван дер Вардена не говорится ни слова. Причина этого, видимо, в том, что функ ция Ван дер Вардена формально не является фракталом. Нам кажется, что эта функция является примером неформального фрактала, интерес ным как раз пограничностью своего фрактального поведения. В данной статье мы приводим простое доказательство того, что фрактальная раз мерность графика функции Ван дер Вардена равна единице.

Построим теперь функцию Ван дер Вардена и докажем ряд ее свойств.

Определим на отрезке [0,1] функцию g1 (x) = 1 x 1 и затем 2 продолжим ее на всю числовую ось периодическим образом с периодом 1. Далее для n1 положим (см. рис. 1) gn1 (2x) gn (x) =. () Рис. 1. Функции gn (x) Козырев С.Б. О фрактальной размерности кривой Ван дер Вардена Функция Ван дер Вардена V (x) задается на отрезке [0,1] суммой ряда V (x) = gn (x) (см. рис. 1 и 2). Частичные суммы ряда будем n= n обозначать Vn (x) = gk (x).

k= Предложение 1. Функция V (x) удовлетворяет неравенству V (x) 1.

Доказательство. Так как g1 (x) 1/2, то в силу (*) имеем gn (x) = 2n+1 g1 (2n1 x) 2n.

Отсюда легко следует требуемое неравенство. Несложно показать, что максимум V равен 2/3, но нам это не потребуется.

Предложение 2. Для любого натурального n справедливо нера венство 0 V (x) Vn (x) 2n.

Доказательство. Из (*) и предложения 1 немедленно получаем 2n gk (2n x) = 2n V (2n x) 2n.

V (x) Vn (x) = gk (x) = k=n+1 k= Предложение 3. На каждом отрезке Jm = 2n, m+1 при 0 m m 2n n 2 1 функция Vn линейна и ее производная |Vn | n во внутренних точках Jm.

Доказательство. Утверждение предложения очевидно, так как все функции gk при 1 k n линейны на Jm и их производные |gk | = 1 во внутренних точках Jm.

Среди различных видов фрактальной размерности основной явля ется размерность Хаусдорфа как наиболее адекватно отражающая ос новное геометрическое свойство фракталов. Именно она используется в определении фракталов. Однако прямое вычисление размерности Хау сдорфа конкретного множества очень часто связано со значительными техническими трудностями. Поэтому хаусдорфову размерность графика функции V мы определим косвенным путем – с помощью размерности Минковского.

Напомним определение размерности Минковского [1, 3]. Пусть име ется некоторое метрическое ограниченное пространство X. Любой набор -шаров, объединение которых целиком покрывает некоторое множе ство G X, назовем шаровым -покрытием множества G. Минимально 80 Глава 2. Математика в ее многообразии необходимое число -шаров, которые смогли бы покрыть G, обозначим n (G).

Определение 1. Размерностью множества Gпо Минковскому назы вается число dimM G, равное пределу отношения порядка роста числа n (G) к порядку роста величины 1/ при убывании к нулю, то есть ln n (G) dimM G = lim log1/ n (G) = lim.

ln 0 Определение размерности Хаусдорфа dimH G мы здесь не приводим.

Читатель может его найти, например, в [1-3]. Нам потребуются следую щие два свойства размерности Хаусдорфа.

Свойство 1. Для любого множества G справедливо неравенство dimH V dimM V, если только размерность dimM G существует.

Свойство 2. Если G – подмножество евклидова пространства Rn, а pr(G) – его проекция на некоторое евклидово подпространство, то dimH pr(G) dimH G.

Доказательство этих свойств содержится в [4]. Докажем теперь ос новной результат.

Теорема 1. Фрактальная размерность графика функции V равна единице, то есть dimM V = dimH V = 1.

Доказательство. В силу предложения 3 на каждом участке Jm график функции Vn можно покрыть n квадратиками такими, что их стороны параллельны осям координат, длины сторон равны 2n, проек ции на ось абсцисс совпадают с Jm, а объединение их проекций на ось ординат связно (см. рис. 2 при n=5).

Рис. 2. Функция V (x) и ее покрытие квадратиками размера Козырев С.Б. О фрактальной размерности кривой Ван дер Вардена Добавим к этому покрытию из n квадратиков еще один квадратик того же размера сверху (на рис. 2 такие квадратики выделены более тем ным цветом). Тогда все n+1 квадратик покроют график функции V на участке Jm в силу предложения 2. Таким образом, достаточно 2n (n + 1) квадратиков с длиной сторон 2n, чтобы покрыть график функции V весь целиком. Так как каждый такой квадратик можно покрыть ша ром радиуса 2n, то n (V ) 2n (n + 1) при = 2n. Устремляя n к бесконечности, получаем ln (2n · (n + 1)) ln n (V ) lim dimM V = lim = ln 2n ln n n ln 2 + ln(n + 1) log2 (n + 1) = lim = 1 + lim = 1.

n ln 2 n n n Итак, мы получили оценку размерности сверху dimM V 1. Оценка снизу получается из свойств 1 и 2:

dimM V dimH V dimH [0, 1] = 1.

Теорема доказана.

В заключение отметим: Мандельброт подчеркивал [2], что его опре деление фрактала следует рассматривать лишь как ориентир, а не как критерий фрактальности. Сходную точку зрения высказывает и Фаль конер [4]. По его мнению, определение фрактала должно быть гибким, в виде набора признаков, как правило, присущих фракталам. В качестве такого набора он предложил следующие пять признаков фрактальности объекта F :

1) F имеет тонкую структуру, то есть у него встречаются детали произвольно малых размеров;

2) F слишком иррегулярен, чтобы его можно было описать тради ционными средствами геометрии как локально, так и глобально;

3) часто F обладает некоторой формой самоподобия, хотя бы ап проксимативной или статистической;

4) обычно фрактальная размерность F (определенная каким-либо способом) выше его топологической размерности;

5) в большинстве случаев, представляющих интерес, F определяется простым, возможно, рекурсивным способом.

График функции Ван дер Вардена обладает признаками 1)-3), 5).

Наличие признаков 1), 2) и 5) очевидно. Чтобы убедиться в наличии признака 3), рассмотрим функцию на отрезке 1, 1 :

1 gn x V (x) = g1 (x) + g2 (x) + gn (x) = + = 2 n=3 n= 82 Глава 2. Математика в ее многообразии V (4x 1) 1 1 gn (4x 1) = = + +.

2 4 2 n= То есть фрагмент графика функции на этом отрезке можно получить с помощью уменьшения всего графика функции на отрезке [0,1] в 4 раза и параллельного переноса на вектор 1, 1.

Таким образом, график функции V не удовлетворяет лишь признаку 4). Значит, в этом отношении мы имеем дело с “необычным” случаем фрактала.

Библиографический список 1. Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Пост маркет, 2000.

2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

3. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Москва-Ижевск, 2002.

4. Falconer K.J., Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, 2nd ed. John Wiley & Sons Ltd, Chichester, 2003.

О топологической классификации слоений, задаваемых вполне интегрируемой дифференциальной формой в окрестности особой точки В.Ш. Ройтенберг В области M Rn (n 3) рассмотрим одномерную дифференциаль ную форму = p1 (x)dx1 + p2 (x)dx2 +... + pn (x)dxn класса C r (r 1), удовлетворяющую условию полной интегрируемости d = 0. Введем множество M0 := {x M : (x) = 0}особых точек формы. Форма задает в M \M0 слоение коразмерности один – разби ение M \M0 на погруженные связные n 1-мерные C r -подмногообразия (слои), касательное пространство к которым в каждой точке x совпа дает с гиперплоскостью {(dx1,..., dxn ) Tx Rn : = 0} в касательном пространстве Tx Rn к Rn в точке x[1]. Слой, содержащий точку x, обо значим F (x). Для точки x M0 определим слой F (x) := {x}. Разбиение M на слои F (x), x M назовем слоением F (с особенностям), задава емым формой. Слоения F в M и F в M называются топологически Ройтенберг В.Ш. О топологической классификации слоений, задаваемых вполне интегрируемой дифференциальной формой в окрестности особой точки эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм h : M M, что x M, hF (x) = F (hx).

Пусть 0 – особая точка, то есть p1 (0) =... = pn (0) = 0. Случай, ко гда функции pi (·) линейны, рассматривал И.С. Куклес [2]. Для случая симметричной матрицы A := (pi (0)/xj ), det A = 0, в работе автора [3] получены следующие результаты. Пусть m – число положительных собственных значений матрицы A (с учетом кратности). Тогда сло ение, задаваемое в некоторой окрестности точки 0 Rn C 1 -гладкой (аналитической) формой, m = 2m = n 2 (любом m) топологически эквивалентно слоению, задаваемому в некоторой окрестности точки 0 Rn формой m = x1 dx1 +... + xm dxm xm+1 dxm+1... xn dxn.

При m = 2 и m = n 2 приведен пример C -формы, для которой слоение, задаваемое в окрестности особой точки, не является топо логически эквивалентным слоению, задаваемому в окрестности точки 0 Rn формой m.

В настоящей работе мы рассмотрим случай несимметричной матри цы A. Будем считать, что C r (r 3). Согласно [2], существует такая матрица S, det S = 0, что S AS = diag(A0, O), где A0 – квадратная мат рица второго порядка, а O – нулевая матрица. Заметим, что матрица A несимметрична и sgn det A0 не зависит от выбора матрицы S.

Теорема. Пусть det A0 = 0. Тогда у слоения, задаваемого в неко торой окрестности точки 0 Rn особые точки образуют (n 2) мерное C r -подмногообразие;

это слоение топологически эквивалентно слоению, задаваемому в случае det A0 0 формой x2 dx1 + x1 dx2, а в случае det A0 0 формой x2 dx1 + x1 dx2.

0 Доказательство. Обозначим J =. Пусть матрица T 1 приводит матрицу JA0 к жордановой форме M0 = T0 JA0 T0, то есть к одной из матриц µ1 0 µ1 M01 =, M02 =, M03 =.

0 µ2 0 µ1 Непосредственной проверкой убеждаемся, что T0 A0 T0 = (det T0 )JM0.

Обозначим T := diag(T0, I), M := diag(JM0, O), где I и O, соответ ственно, единичная и нулевая матрицы (n 2)-го порядка. Тогда T S AST = (det T0 )M. Из несимметричности матрицы A0 следует и 84 Глава 2. Математика в ее многообразии несимметричность матрицы M. Сделав замену переменных x = ST y, по лучим = (det T0 ), где у дифференциальной формы = g1 (y)dy1 + g2 (y)dy2 +... + gn (y)dyn матрица линейных членов (gi (0)/yj ) = M.

Так как det(gi (0)/yj )i,j=1,2 = det A0 = 0, то по теореме о неявной функции существуют такие числа 1 0, 2 0 и такие C r -функции lk : (1, 1 )n2 (2, 2 ) (k = 1, 2), что lk (s) = o( s ), а система уравнений gi (y) = 0, y (2, 2 )2 (1, 1 )n2, (i = 1, 2) равносильна системе уравнений (1) yk = lk (y3,..., yn ) (k = 1, 2).

n r Уравнения (1) задают в R C -подмногообразие W0 коразмерности два. В выражении для d коэффициент при dy1 dy2 имеет вид c + O( y ), где c = 0 вследствие несимметричности матрицы M. Тогда из d = 0 получаем, что при условиях (1) и gi (y) = 0(i = 3,..., n). Но это означает, что W0 совпадает с множеством особых точек формы в рассматриваемой окрестности. Сделаем замену zk = yk lk (y3,..., yn ) при k = 1, 2;

zk = yk при k 3. В новых переменных W0 задается n уравнениями zk = 0(k = 1, 2), а = qi (z)dzi, где i= qi (·) C r1, qi (z) = 0 при z1 = z2 = 0(i = 1, 2,..., n), (qi (0)/zj ) = M.

(2) Рассмотрим случай det A0 0. Тогда M0 = M01, где µ1 µ2 0.

Следы слоев на двумерной плоскости z3 = const,..., zn = const являются траекториями дифференциального уравнения q1 (z)dz1 + q2 (z)dz2 = 0, точнее, соответствующей системы дифференциальных уравнений (3) z1 = q2 (z1, z2, z3,..., zn ), z2 = q1 (z1, z2, z3,..., zn ).



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.