авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ КРИСТАЛЛОГРАФИИ ИМ. А.В. ШУБНИКОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК УДК ...»

-- [ Страница 2 ] --

(1.51) 0 Сделаем далее естественное для рентгеновского диапазона предположение о том, что радиус корреляции шероховатостей значительно превышает длину волны излучения, а углы 0 и малы. Это означает, что вклад от малых значений 1 в интеграл (1.51) пренебрежимо мал. Поэтому, воспользовавшись асимптотическим разложением функ­ ций Бесселя при больших значениях аргумента, выразим азимутальный интеграл от двумер­ ной PSD-функции через одномерную PSD2 () PSD1 ();

PSD1 () = 4 () cos(2) (1.52) 2 = | 0 |, = cos, 0 = cos Формулы (1.52) позволяют легко переходить от двумерной индикатрисы рассеяния к индикатрисе, проинтегрированной по азимутальному углу. Такой переход сводится, по су­ ществу, к замене двумерной PSD-функции на одномерную, что, однако, справедливо лишь для изотропных поверхностей в предположении 0 1 и 1, которое выполняется для рентгеновского излучения, но может не выполняться для видимого диапазона и, особенно, при нормальном падении излучения.

Вернемся к общему виду функции = (, ). В соответствии с (1.37) основной вклад в рассеяние дают те области среды, где диэлектрическая проницаемость изменяется наиболее быстро. На практике - это резкие границы раздела между слоями различных материалов, где диэлектрическая проницаемость меняется скачком. Ограничим рассмотрение случаем двух скачкообразных границ раздела (пленка на подложке), который только и понадобится в дальнейшем, хотя не представляет никаких сложностей и общий случай произвольного числа слоев. Распределение диэлектрической проницаемости в отсутствие шероховатостей записывается в виде 0 () = 1 + [ () 1] () + [ () ()] ( ) (1.53) где - толщина пленки, () -ступенчатая функция Хэвисайда (( 0) = 0, ( 0) = 1), а непрерывные функции () и () описывают распределение () внутри пленки и под­ ложки, соответственно. В простейшем случае однородной пленки на однородной подложке () и () - постоянные.

При наличии шероховатостей распределение () может быть записано в виде очевид­ ного обобщения (1.53) () = 1 + [ () 1] ( ()) + [ () ()] ( ()) (1.54) где функции и описывают рельеф пленки и подложки, соответственно.

В разложении (1.37) для возмущения диэлектрической проницаемости при этом возника­ ют дельта-функции и их производные, что, однако, не вызывает никаких проблем, поскольку появляется только в подинтегральных выражениях, а функции поля на границах раздела являются непрерывными вместе со своими производными.

После интегрирования по азимутальному углу и пренебрегая рассеянием от объемных неоднородностей, получим:

[ (0)0 (0, 0 )0 (0, )2 PSD () (, 0 ) = 16 sin + ()0 (, 0 )0 (, ) PSD () (1.55) ] * * * ( ) +2Re (0) ()0 (0, 0 )0 (0, )0 (, 0 )0 (, ) PSD () PSD () = 4 () (0) cos(2),, = {, };

= 1 | cos cos 0 | где (0) 1 и () = - скачки диэлектрической проницаемости на границах разде­ ла вакуум-пленка и пленка-подложка. Одномерные PSD-функции PSD и PSD описывают шероховатость подложки и внешней поверхности пленки, соответственно, а функция PSD характеризует статистическую корреляцию шероховатостей обеих границ раздела пленки.

Индикатриса рассеяния от шероховатой пленки (1.55) представляет собой сумму трех сла­ гаемых, где первые два характеризуют независимое рассеяние от шероховатостей границ раздела пленка-вакуум и пленка-подложка, соответственно, а третье слагаемое описывает интерференцию волн, рассеянных от разных границ раздела с коррелированными шерохова­ тостями.

Выражение для коэффициента отражения имеет вид (1.38), где [ ] 0 2 1 (0 ) = (0)0 (0, 0 ) (0, 0 ) + ()0 (, 0 ) (, 0 ) (1.56) 2 sin 0 [ 4 0 (0, )1 (0, ) 2 (0) 2 (0, 0 ) PSD () 1 (0 ) = sin 8 sin 0 () 0 (, )1 (, ) + 2 () 2 (, 0 ) PSD () sin (1.57) () ] 0 (, )1 (0, ) +2(0)()0 (0, 0 )0 (, 0 ) PSD () sin () а - вронскиан функций 0 и 1.

Все выражения, полученные в этом и предыдущем разделах, основывались на представ­ лении (1.4) для пространственного распределения диэлектрической проницаемости, т.е. вол­ на, удовлетворяющая уравнению (1.8) в отсутствие шероховатостей, рассматривалась в каче­ стве невозмущенной (начального приближения). Можно построить обобщенный Борновский ряд для амплитуды рассеяния, равно как и ряд теории возмущений по высоте шероховато­ стей, который имеет другую структуру. Для этого в качестве невозмущенного распределения диэлектрической проницаемости следует использовать представление (1.33) (модель “эффек­ тивного” переходного слоя). В этом случае возмущение имеет вид () = () () и, следовательно, () 0. Тем самым, все слагаемые и в выражениях (1.19)-(1.20) и (1.38)-(1.39) исчезают и остаются только слагаемые и, определяемые коррелятора­ ми возмущения диэлектрической проницаемости. В качестве невозмущенных волн 0 и 1 в этом случае следует выбирать решения уравнения (1.34), имеющие те же самые асимптотики (1.9)-(1.10), что и раньше. Поскольку уравнение (1.34) соответствует случаю дельта-корре­ лированных шероховатостей, можно надеяться, что введение “эффективного” переходного слоя позволит увеличить точность расчетов в случаях, когда доминирующий вклад в общую шероховатость границ раздела дают мелкомасштабные (высокочастотные) шероховатости.

Однако этому подходу присущи два недостатка. Во-первых, необходимо знать одномерную функцию распределения высот шероховатостей. Во-вторых, невозмущенные решения 0 и 1 уравнения (1.33), как правило, могут быть найдены только численно.

1.2.4. Закон сохранения энергии Все рентгеновские методы исследования вещества являются опосредованными, т.е. информа­ ция о внутренней структуре образца извлекается из измеренных кривых отражения и угло­ вых распределений рассеяния. Тем самым проблема корректности теории, используемой для описания взаимодействия рентгеновской волны с шероховатой средой, приобретает особое значение для дальнейшего развития методов. Как было отмечено в [92], пробным камнем для обоснованности той или иной теории может служить закон сохранения энергии: если этот закон не выполняется, то все выводы теории могут быть поставлены под сомнение.

Несмотря на то, что результаты исследований шероховатостей с использованием DWBA представлены и обсуждаются во многих сотнях статей, тщательного анализа справедливо­ сти закона сохранения энергии в рамках этого приближения до сих пор проведено не было.

Исключение составляет [92], автор которой попытался проанализировать проблему, но лишь для частного случая рассеяния излучения от одиночной поверхности в пределе больших и малых радиусов корреляции шероховатостей и в предположении нормального распределе­ ния их высот. Более того, в статье был сделан вывод о том, что закон сохранения энергии выполняется приближенно в DWBA. Этот вывод не выдерживает критики с физической точки зрения. Дело в том, что всеобщность и фундаментальный характер закона сохранения энергии означает, что он либо выполняется в рамках той или иной теории, либо нет, но этот закон никоим образом не может выполняться приближенно.

Ниже будет показано, что закон сохранения энергии выполняется точно в рамках DWBA для произвольной слоисто-неоднородной шероховатой среды и для произвольного закона рас­ пределения высот шероховатостей, если, как это и было сделано выше, при расчетах углового распределения рассеяния (1.30)-(1.31) учесть только однократное рассеяние волны на шеро­ ховатостях среды (первый член в ряду (1.18) для амплитуды рассеяния), а при расчетах коэффициентов зеркального отражения и прохождения (1.19)-(1.20) учесть как однократ­ ное, так и двукратное рассеяние (два первых члена в ряду (1.18)). Покажем, что тогда для непоглощающей среды точно выполняется равенство (0 ) + (0 ) + TIS(0 ) + TIS+ (0 ) = 1 (1.58) Более того, оказываются справедливыми следующие соотношения:

{ } Re+ (0 ) * * Re 0 (0 )1 (0 ) + 0 (0 )1 (0 ) =0 (1.59) (0 ) { } Re+ (0 ) * * 2Re 0 (0 )2 (0 ) + 0 (0 )2 (0 ) (0 ) 2 Re+ (0 ) + 1 (0 ) + 1 (0 ) =0 (1.60) (0 ) { } Re+ (0 ) * * 2Re 0 (0 )1 (0 ) + 0 (0 )1 (0 ) + TIS(0 ) + TIS+ (0 ) = 0 (1.61) (0 ) которые показывают, что в выражениях (1.19)-(1.20) слагаемые, содержащие 1,2 и 1,2, описывают перераспределение падающей мощности между зеркально отраженной и прелом­ ленной волной, связанное с образованием “эффективного” переходного слоя как результата усреднения поверхностных шероховатостей (1.34)-(1.36). Слагаемые же, содержащие 1 и 1, описывают перераспределение мощности между зеркально отраженной и преломлен­ ной компонентами, с одной стороны, и диффузным рассеянием в вакуум и в глубь среды, с другой.

Справедливость выражений (1.58)-(1.61) можно понять из следующих формальных со­ ображений. Если бы значения, и диаграммы рассеяния и + удалось найти точно, то равенство (1.58) было бы выполнено. С другой стороны, точные значения,, и + являются некоторыми функционалами от возмущения диэлектрической проницаемости и могут быть разложены в функциональный ряд Тейлора по степеням. Полученные выраже­ ния (1.19)-(1.20) и (1.30)-(1.31) и есть первые члены этих разложений. При этом разложение диаграммы рассеяния начинается со слагаемого порядка ()2, а разложения и - со слагаемого порядка ()0.

Поскольку 0 + 0 = 1, ясно, что каждая сумма членов разложения (1.58), соответству­ ющих одной и той же степени, должна быть равна нулю аналогично тому, как это имеет место при разложении функции в обычный ряд Тейлора. Следовательно, выражение (1.59) должно быть справедливо, как сумма всех членов разложения порядка. Левые части (1.60) и (1.61) в сумме также должны быть равны нулю, как сумма всех членов разложения (1.58), имеющих порядок ()2. Легко также понять, что (1.60) и (1.61) должны быть спра­ ведливы и по отдельности, поскольку левая часть (1.60) не зависит от радиуса корреляции высот шероховатостей и описывает взаимодействие волны с плавной границей раздела сред (1.33). В частности, если радиус корреляции равен 0, то (1.61) выполняется автоматически, поскольку при этом 1 = 1 = 0 и = + = 0. Следовательно, условие (1.60) должно выполняться независимо от (1.61).

Ясно, что все приведенные рассуждения будут справедливы только в том случае, если удастся доказать, что функционалы,, и + могут быть разложены в сходящиеся функ­ циональные ряды Тейлора по степеням (). В настоящей работе соотношения (1.58)-(1.61) доказываются, исходя непосредственно из выражений для коэффициентов отражения, про­ хождения и угловых распределений рассеяния, полученных выше.

Предварительно приведем ряд вспомогательных формул, необходимых для доказатель­ ства. Сначала выпишем следующие соотношения, связывающие значения амплитудных ко­ эффициентов отражения и прохождения 0, 0, 0 и 0, через которые выражаются функции поля 0 и 1 в асимптотических областях ±:

Re+ |0 |2 + |0 |2 =1 (1.62) + 0 = 0 (1.63) Re+ Re+ Im+ |0 |2 + |0 |2 = + 2Im0 · (1.64) Re+ Im+ * + * 0 = 0 0. (1.65) * Эти выражения являются следствием того, что вронскианы функций 0 (, ), 0 (, ), * 1 (, ) и 1 (, ) не зависят от в случае, когда 0 () - вещественная функция, и легко мо­ гут быть получены из выражений (1.9)-(1.10) для асимптотических представлений функций поля 0 и 1. Отметим, что в учебниках по квантовой механике (например, [106]) выражения (1.62)-(1.65) приводятся, как правило, для частного случая Im+ = 0, т.е. в предположении, что потенциал (поляризуемость вещества в оптике 1) стремится к нулю в обеих асимпто­ тических областях ±.

Далее отметим следующие соотношения между решениями 0 (, ) и 1 (, ) волнового уравнения (1.8), справедливые для произвольной вещественной функции 0 ():

Re+ () 0 (, ) = 0 ()0 (, ) + * ()1 (, ) * * (1.66) + () 0 () () () * (, ).

0 (, ) = 1 (, ) + * (1.67) + ()* () + ()0 () Для доказательства справедливости (1.66)-(1.67) следует убедиться, используя (1.9)-(1.10) и (1.62)-(1.65), что эти соотношения выполняются в асимптотических областях ±. Да­ лее, поскольку и правые, и левые части выражений (1.66)-(1.67) являются решениями одного и того же волнового уравнения (1.8) и удовлетворяют одним и тем же граничным условиям, то в силу единственности решения граничной задачи соотношения (1.66)-(1.67) будут спра­ ведливы для любого. Выражения (1.66)-(1.67) есть не что иное, как представления решений * 0 и 0 волнового уравнения (1.8) через два других линейно независимых его решения 0, * или 1, 1, соответственно.

Используя (1.66)-(1.67), докажем теперь справедливость закона сохранения энергии (1.58) и соотношений (1.59)-(1.61).

Рассмотрим левую часть выражения (1.59), воспользовавшись явным видом (1.21)-(1.22) величин 1 и 1 :

[ ] + (0 ) * * 1 Re 0 (0 )1 (0 ) + 0 (0 )1 (0 )Re = (0 ) { [ ]} Re+ (0 ) * * (, 0) Im 0 (, 0 ) 0 (0 )0 (, 0 ) + 0 (0 )1 (, 0 ).

2 (0 ) + (0 ) Учитывая (1.66), находим, что под знаком интеграла стоит функция Im|0 (, 0 )|2. Тем самым 1 0 и соотношение (1.59) доказано.

Докажем теперь более сложное соотношение (1.61). Прежде всего, перейдем от интегри­ рования по телесному углу к интегрированию по вектору. Тогда после некоторых алгебра­ ических преобразований левая часть (1.61) может быть записана в следующем виде:

(, ;

0 )0 (, 0 )0 (, 0 ) (, ;

) 2, * 2 = 4 (0 ) где 0 (, )0 (, ) 1 (, )1 (, ) Re+ () * * (, ;

) + () + () + () * * 0 (, )1 (, ) 0 (, )1 (, ). (1.68) + ()* () * + ()0 () При выводе (1.68) учтено, что (, ) = (, ) в отсутствие поглощения, а функции и симметричны по отношению к перестановке аргументов и, т.е. (, ) = (, ) и (, ) = (, ). Далее рассмотрим по отдельности случаи и и, используя тож­ * * дество (1.67), выразим функции 0 и 0 через функции 1 и 1. Тогда немедленно получим, что (, ;

) при любых, и, [ ] если воспользуемся соотношением (1.62) и тем фактом, что |+ |2 + Re+ 0, посколь­ ку + () принимает либо чисто вещественные, либо чисто мнимые значения в отсутствие поглощения. Тем самым, 2 0 и соотношение (1.61) доказано.

Осталось доказать соотношение (1.60). Воспользовавшись явным видом (1.21)-(1.24) ве­ личин 1,2 и 1,2, запишем левую часть (1.60) в следующем виде:

(, 0) (, 0) 0 (, 0 )0 (, 0 ) (, ;

0 ), * 3 = 4 (0 ) куда входит все та же функция (, ;

), определенная в (1.68), но при частном значении аргумента = 0. Поскольку 0, то и 3 0 и, следовательно, соотношение (1.60) справедливо. Наконец, просуммировав тождества (1.59)-(1.61), получим (1.58).

Таким образом доказано, что в борновском приближении с искаженными волнами закон сохранения энергии выполняется, если в рядах для потоков отраженного, преломленного и рассеянного излучения сохранить все члены порядка ()2. Точно так же выполняется и оптическая теорема (1.17), если в интегралах, содержащих |± |2, учесть только однократное рассеяние, а в правой части (1.17) сохранить члены, отвечающие и однократному, и двукрат­ ному рассеянию. Вид возмущения диэлектрической проницаемости () в (1.4) нигде не был конкретизирован, т.е. все выводы этого раздела справедливы при наличии как поверх­ ностных, так и объемных неоднородностей среды.

Подобным же образом доказывается, что и теория возмущений по высоте шероховато­ стей (например, выражения (1.38)-(1.43)) обеспечивает выполнение закона сохранения энер­ гии, если в рядах для коэффициентов отражения, прохождения и интегрального рассеяния сохранить все члены порядка 2.

В заключение раздела отметим, что во всех опубликованных статьях по рентгеновско­ му рассеянию от шероховатых поверхностей в приближении DWBA, используется не точный подход, изложенный выше, а его упрощенный вариант. Следуя [87], авторы всех других ста­ тей заменяют точную невозмущенную функцию поля 0 (;

) на приближенную, а именно:

точное выражение для поля в вакууме заменяется аналитическим продолжением поля в веществе. Это приближение позволяет несколько упростить расчеты, но ценой довольно су­ щественного рассогласования с вычислениями, проведенными в рамках точного DWBA, о чем подробнее будет сказано ниже. Более того, неизвестно, выполняется ли закон сохране­ ния энергии при таком приближении, поскольку, если не по другим причинам, выражения (1.66)-(1.67) становятся несправедливыми. Возможно, именно это обстоятельство не позво­ лило автору [92] доказать точное выполнение закона сохранения энергии в используемом им приближении.

1.2.5. Сравнение различных подходов Рассмотрим простейший случай одиночной поверхности со скачкообразной границей раздела. Тогда общее соотношение (1.30) для индикатрисы рассеяния в приближении DWBA преобразуется в компактную формулу, справедливую для любого распределения высот ше­ роховатостей [A24] 5 |1 + | [ (1 ();

, 0 ) * (2 (0);

, 0 ) · (, ) = (4)2 (0 ) (0 2 ) ] * (, 0 ) (, 0 ) exp[(0 )] 2 (1.69) где 0 (, 0 )0 (, ) 0 (, 0 )0 (, ) - вpонскиан функций 0 (, 0 ) и 0 (, ).

Предположим, что распределение шероховатостей по высоте подчиняется нормальному закону и используем следующее разложение для двумерной плотности распределения высот шероховатостей [107] 2 [ ] 1 + 2 2()1 2 (1, 2 ;

) exp 2 2 (1 2 ()) 2 2 1 2 () ) ( 1 + 2 () ( ) ( ) 1 1 exp = (1.70) 2 2 2 2 2 · ! 2 = где () = ()(0) - корреляционная функция, () ()/ 2 - нормированная корре­ ляционная функция, (0) - среднеквадратичная высота шероховатостей, а () полиномы Эрмита.

Подставляя (1.70) в (1.69) и интегрируя по 1 и 2 один раз по частям, находим выра­ жения для индикатpисы рассеяния в вакуум в виде бесконечных рядов по степеням корре­ ляционной функции [A24] 5 |1 + |2 2 |1 (, 0 )|2 exp (2) () (, ) = (1.71) (2)3 (0 ) =1 2 · !

4 |1 + |2 2 |1 (, 0 )|2 () cos(2) () = (1.72) 2 2 (0 ) =1 2 · !

2 = 0 ;

2 = |0 | где коэффициенты определены следующим образом:

+ ( ) ( ) 1 (, 0 ) = exp 0 (, 0 )0 (, ) (1.73) 2 Для удобства численных расчетов введем следующие обозначения:

1 exp(1 ), если 0 (, 0 )0 (, ) (1.74) =2 exp( ), если где 1 = (0 )() ;

1 = + (0 ) + + () 2 = 1 ;

2 = (0 ) + () 3 = 3 = (0 )() ;

(1.75) 4 = (0 ) () 4 = () ;

5 = 5 = (0 ) ;

Отметим, что в силу непрерывности поля и его производной на границе раздела сред параметры и удовлетворяют соотношениям:

5 1 = ;

1 1 = (1.76) =2 = Используя (1.74)-(1.76), представим коэффициенты в виде, удобном для численных расчетов:

() (, 0 ) = (, 0 ) (1.77) = () где могут быть найдены с помощью рекуррентных соотношений (1) (1) = 1 21 + 1 (0) ;

= 1, 2,...

() () = 21 1 (0) ;

= 1, 2,...;

= 2,..., 5 (1.78) ( 2 2 ) ( ) 1 (1) erfc exp 0 = 2 2 ( 2 2 ) ( ) () erfc exp 0 = ;

= 2,..., 2 2 Формулы (1.71)-(1.78) позволяют без особого труда рассчитать численно индикатpису рассеяния от шероховатой повеpхности.

Убедимся, прежде всего, что ряд (1.71) сходится при любых значениях векторов и 0. Для этого используем следующую оценку для многочленов Эрмита, справедливую при любых и [107]:

( ) | ()| 2 · ! ;

exp 1. Учитывая, кроме того, что |0 (, )| 2 для любых находим оценку сверху для инди­ катpисы рассеяния:

2 5 |1 + |2 2 2 exp(2) · ln (, ) 2 (0 ) 1 () Для сходимости интеграла в полученном выражении достаточно, чтобы функция кор­ реляции () убывала при быстрее, чем 1/, а при 0 приближалась к единице степенным образом ( 0) = 1. При выполнении этих условий ряд (1.71) сходится при любых значениях и 0. Аналогичная оценка справедлива и для ряда (1.72). Расчеты показывают, что ряды сходится достаточно быстро и суммирование уже нескольких первых членов ряда обеспечивает, как правило, точность расчета, достаточную для практических целей, если среднеквадратичная шероховатость не превышает 1-2 нм, по крайней мере.

Установим теперь связь между DWBA приближением и другими походами, описанными в литературе.

Разложив (1.71) в ряд по высоте шероховатостей и ограничившись первым неисчеза­ ющим членом, получим формулы теории возмущений, которые, как отмечалось выше, спра­ ведливы для любого распределения высот шероховатостей. Для этого в (1.74) достаточно положить 0 (, 0 )0 (, ) = 1 (приближение дельта-образного возмущения). Тогда в рядах (1.71), (1.72) остается только один член с = 1, а выражение для индикатрисы рассеяния становится очень простым:

4 |1 | |(0 )()|2 PSD2 () (, ) = (1.79) (4)2 sin 3 |1 |2 2 sin |(0 )()|2 PSD1 (), () = () = 16 sin 0 sin + cos где - амплитудный коэффициент прохождения (амплитуда поля невозмущенной волны на идеально гладкой поверхности). Эти выражения могут быть также легко получены из (1.44) или (1.55), т.е. в отличии от формул DWBA они не зависят от функции распределения высот шероховатостей. Отметим, что выражение (1.79) для двумерной индикатрисы рассеяния хо­ рошо известно в видимой оптике и широко используется при исследованиях шероховатостей методом рассеяния видимого излучения.

Положим теперь, следуя [87], в выражении (1.74) 0 (, 0 )0 (, ) = 1 exp(1 ) для всех значений [, +], а не только для 0. Иными словами, заменим поле невозмущенной волны в вакууме на аналитическое продолжение поля в веществе. Тогда интегралы (1.73) рассчитываются в явном виде ( ) ( ) (0 )() 21 · exp = а ряды (1.71) и (1.72) суммируются точно. Окончательный результат имеет вид:

5 |1 + |2 |()(0 )| exp 2 Re ( ) (, ) = (4)2 (0 )|1 | exp(2) · exp 2 |1 |2 () 1 [ ( ) ] (1.80) 4 |1 + |2 |()(0 )| exp 2 Re ( ) () = 4 (0 )|1 | cos(2) · exp 2 |1 |2 () [ ( ) ] (1.81) Выражение (1.80) совпадает (с точностью до обозначений) с тем, которое было полу­ чено в [87]. В дальнейшем мы будем называть формулы (1.80)-(1.81) приближением Синха (SASinha’s Approximation) по имени одного из авторов работы [87]. Именно это приближе­ ние, как правило, и используется в литературе при анализе рассеяния РИ от шероховатых поверхностей [88]-[92].

По существу, как теория возмущений (1.79), так и формула Синха (1.80) основаны на приближенном представлении поля невозмущенной волны (0 (, 0 ) и 0 (, )) вблизи шеро­ ховатой границы раздела сред. Условия применимости обеих приближений состоят в том, чтобы ошибка определения поля волны была мала при = ±. Применимость теории воз­ мущений ограничивается неравенствами sin 0 1;

|+ cos2 0 |1/2 1;

sin 1;

|+ cos2 |1/2 1 (1.82) которые означают, что высота шероховатостей достаточно мала, а измерения рассеяния про­ водятся при не слишком больших углах. Отметим, что еще Рэлей ввел параметр = 2 sin 0, который представляет собой разность фаз волн, отраженных от вершины и по­ дошвы неоднородности высотой, и разделял поверхности на гладкие или шероховатые в зависимости от того, больше или меньше /4 значение этого параметра. Первые два неравен­ ства в (1.82) как раз и соответствуют критерию Рэлея, если угол скольжения зондирующего пучка порядка критического угла ПВО.

Приближение Синха также справедливо лишь при достаточно малой высоте шерохова­ тостей |1 + |1/2 1 (1.83) В то же время условие (1.83) отличается от условий применимости теории возмущений (1.82) тем, что не зависит ни от угла скольжения падающей волны 0, ни от угла рассеяния.

Отметим, что можно рассчитать индикатpису рассеяния (1.71), (1.72) с использовани­ ем приближения, которое в некотором смысле является дополнительным к подходу Синха (CSAComplimentary to SA). Для этого следует положить в выражении (1.74) 0 (, 0 )0 (, ) = exp( ) для всех значений [, +], т.е. в противоположность SA, заменить = поле невозмущенной волны в веществе на аналитическое продолжение поля в вакууме. Тогда индикатриса рассеяния приводится к следующему виду:

5 |1 + |2 * [ 2 ] ( 2 * ) exp (, ) = + (4)2 (0 ),=2 * exp(2) · exp 2 * () 1 [ ( ) ] (1.84) 4 |1 + |2 * [ 2 ] ( 2 * ) exp () = + 4 (0 ),=2 * cos(2) · exp 2 * () [ ( ) ] (1.85) Условия применимости формул, полученных в CSA, точно такие же как и для SA, и определяются неравенством (1.83).

На рис.1.4 показаны индикатpисы рассеяния рентгеновского излучения () (длина вол­ ны = 0, 154 нм) от золотого отражающего покрытия (высота шероховатостей = 1 нм), рас­ считанные в различных приближениях при угле скольжения падающего пучка 0 = 0. и 0 = 0.8, где критический угол ПВО 0.56.

a b 10 10 () () - - - 10 - 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2., degrees, degrees Рис. 1.4. Индикатриса рассеяния рентгеновского излучения () от золотого отражающего покры­ тия на длине волны = 0.154 нм, рассчитанная с использованием формул DWBA (1), SA (2) и PT (3). Расчеты проведены для случая падения зондирующего пучка в области полного внешнего отражения при 0 = 0.3 (a) и вне ее при 0 = 0.8 (b). Корреляционная функция имеет вид (1.88) при = 1 нм, = 1 мкм и = 0.5. (Из [A24]).

Как видно из рис.1.4a, поблизости от зеркально отраженного пучка интенсивности рассе­ яния, рассчитанные в SA и DWBA приближениях, отличаются примерно в 1.3 раза. Расчеты же, проведенные в рамках теории возмущений намного лучше согласуются с вычислениями, проведенными в рамках точного DWBA приближения, причем при увеличении угла рассея­ ния кривые, рассчитанные в DWBA и PT практически совпадают, хотя третье и четвертое условие применимости теории возмущений (1.82) не выполняются при больших углах рассе­ яния. Причины этого факта будут подробнее обсуждаться ниже. Параметр Рэлея не так уж мал и равен 0.43 в этом примере.

Если зондирующий пучок падает вне области ПВО (рис.1.4b), то теория возмущений становится менее точной, поскольку первое и второе неравенства в (1.82) перестают выпол­ няться, а параметр Рэлея становится равным 1.1. Тем не менее, даже в этом примере согласие между PT и DWBA вполне удовлетворительное, причем оно улучшается при уве­ личении угла рассеяния.

Рассмотрим поэтому асимптотическое поведение индикатpисы при рассеянии излучения на большие углы более детально. Эта асимптотическая зависимость определяется, вообще говоря, видом корреляционной функции ().

В настоящее время в литературе по исследованию шероховатостей широко используется модель самоаффинной фрактальной повеpхности [64, 108–110]. В математическом плане эта модель предполагает, что структурная функция шероховатостей однородной и изотропной повеpхности при достаточно малых ведет себя как () = [() (0)]2 2 ;

0 1 (1.86) где параметр характеризует фрактальную размерность повеpхности = 3. Это озна­ чает, что корреляционная функция () = 2 ()/2 при малых приближается к единице следующим образом: ( 0) = 2 2, т.е. не является аналитической в нуле (при = 1/2).

Предположим, что корреляционная функция имеет вид:

() 2 ((/) ) ;

0 () ([, )) ;

(0) = 1 ;

(0) = 0 ;

(0) = 0 (1.87) где функция () имеет непрерывные производные любого порядка по аргументу всюду при [0, ). В (1.87) - радиус корреляции высот шероховатостей, а штрих означает производную по аргументу. Частный вид такой корреляционной функции, а именно:

[ ( ) ] т.е. () = exp ( ) () = exp ;

(1.88) широко используется в литературе для теоретических расчетов и при анализе данных экспе­ римента [87]-[92].

Используя лемму Эрдейи [111], находим асимптотическое поведение интегралов в (1.72) при больших пространственных частотах, которое справедливо для любой функции (), удовлетворяющей условиям (1.87):

[( ) ] (1 + 2) sin() cos(2) | (0)| = (1.89) 4 2 1+ Учитывая, что при = 0 двумерная функция распределения высот шероховатостей сводится к одномерной 2 (1, 2, 0) = 1 (1 )(1 2 ), суммирование ряда (1.72) может быть выполнено точно и окончательный результат имеет вид:

5 |1 + |2 2 | (0)|(1 + 2) sin() () · · (, 0 ) (1.90) (4)2 (0 ) 2 1+ где ( |1 |2 ) exp 2 (Im 1 )2 erfc 2Im [ ] (, 0 ) = (1.91) * [ 2 ] [ ] exp ( ) erfc ( ) + 2 2,= Аналогичные расчеты асимптотического поведения индикатpисы рассеяния в SA, CSA и PT приближениях приводят к схожим формулам с несколько иными функциями :

(, 0 ) = |1 |2 = |(0 )()|2 (1.92) (, 0 ) = |1 |2 · exp 2(Im 1 ) [ ] (1.93) 5 [ 2 ] * * exp ( ) (, 0 ) = (1.94),= Предположим, что исследуемая поверхность достаточно гладкая, так что условие (1.83) выполнено, а зондирующий пучок падает в области ПВО 0. Рассмотрим интенсивность рассеяния на большие углы, считая справедливыми условия 1 и. Тогда в выра­ жениях для параметров можно положить () 0 и () 1 и все функции, рассчитан­ ные в разных приближениях (1.91)-(1.94), становится приблизительно равными |(0 )|2.

Подчеркнем, что функции, рассчитанные в PT, DWBA и CSA, ограничены при любых зна­ чениях и +, в то время как функция неограниченно возрастает при увеличении или |+ |. В результате, при рассеянии на большие углы приближение Синха хуже согласуется с расчетами в DWBA, чем теория возмущений или CSA.

Тем самым, в случае малых шероховатостей (условие (1.83)) асимптотическое поведение индикатpисы рассеяния (1.92), рассчитанной в приближении теории возмущений, полностью соответствует поведению индикатpисы (1.90), рассчитанной в рамках точного DWBA прибли­ жения, даже если третье и четвертое условия в (1.82) не выполнены. Этот факт обусловлен тем, что в рамках модели (1.87) все слагаемые в ряду (1.72) убывают при больших по од­ ному и тому же закону (1.89), не зависящему от номера слагаемого в ряду. Таким образом, условия применимости теории возмущений определяются только первым и вторым неравен­ ством в (1.82), если в области высоких пространственных частот индикатриса рассеяния спадает в соответствии с фрактальным (обратным степенным) законом (1.90).

Если же функция корреляции не удовлетворяет условиям (1.87) (например, () описы­ вается гауссовой функцией), так что каждое слагаемое в ряду (1.72) характеризуется своим асимптотическим поведением при больших, то угловой диапазон углов рассеяния, где тео­ рия возмущений еще остается справедливой, может быть существенно уже, чем в случае SA или CSA приближений. При этом условия применимости теории возмущений определяются всеми четырьмя неравенствами в (1.82). Подчеркнем, что во всех наших экспериментах, опи­ санных ниже, всегда наблюдалось фрактальное поведение индикатрисы рассеяния (1.90) в области высоких пространственных частот.

Были проведены сравнения PSD-функций целого ряда образцов с использованием раз­ личных методов, включая методы рассеяния ЖР, МР и видимого излучения, а также атомно­ силовой микроскопии [A19, A20, A22, A25, A28, A36]. Было найдено чрезвычайно хорошее совпадение PSD-функций, так что среднеквадратичная шероховатость различалась, как пра­ вило, не больше чем на 10-15% в пересекающихся интервалах пространственной частоты.

Этот факт может служить экспериментальным доказательством справедливости теории воз­ мущений в рентгеновском диапазоне длин волн. Здесь мы приводим только два примера. На рис.1.5a сравниваются 2D PSD-функции поверхности суперполированной кварцвой подлож­ ки, найденные методами атомно-силовой микроскопии (AFM) и рассеяния ЖР ( = 0. нм, HXR) и МР ( = 4.47 нм, SXR) излучения. Рентгеновские измерения проведены на лабораторных источниках, так что верхний предел измеряемой пространственной частоты ( 8·103 нм1 ) не слишком высок по сравнению с АСМ. На рис.1.5b показаны PSD-функции поверхности суперполированной кремниевой подложки, причем рентгеновские измерения бы­ ли проведены на синхротроне ESRF (канал ID1 с ондулятором в качестве источника, длина волны = 0.15 нм). Совпадение найденных PSD-функций также очень хорошее, исключая, быть может, диапазон предельно высоких частот, где точность измерений атомно-силового микроскопа была ограничена радиусом иглы кантеливера ( 10 нм).

10 AFM AFM HXR HXR SXR PSD1D, nm - PSD2D, nm 10 - b - a - - 10 -3 -2 - 10 10 -4 -3 -2 - 10 10 10 -, nm -, nm Рис. 1.5. PSD-функции суперполированных кварцевой (а) и кремниевой (b) подложек, найденные методами рассеяния ЖР излучения ( = 0.15 0.154 нм, HXR), МР излучения ( = 4.47 нм, SXR) и атомно-силовой микроскопии (AFM). Все PSD-функции были сглажены по статистическим флуктуациям для лучшего сравнения. (Из [A25, A36]).

1.2.6. О выборе теории и оптимальной длины волны для рентгеновского контроля шероховатостей Как отмечалось выше, методы рентгеновского рассеяния, в отличие от профилометри­ ческих, являются опосредованными, т.е. информация о статистических параметрах шеро­ ховатостей извлекается из угловых распределений рассеянного излучения. Тем самым, вы­ бор теоретической основы методов рассеяния РИ приобретает принципиальную важность.

С одной стороны, теория должна количественно описывать все особенности рассеяния РИ.

С другой стороны, теория должна быть достаточно простой, чтобы параметры шерохова­ тостей могли бы быть найдены однозначно. Наш подход к исследованию шероховатостей заключается в использовании формул теории возмущений, в то время как в большинстве работ других авторов анализ рассеяния РИ проводится в рамках приближения Синха (см.

формулы (1.80)-(1.81)).

Прежде всего отметим еще раз, что приближение Синха зачастую хуже соответствует точному приближению DWBA по сравнению с теорией возмущений по высоте шероховато­ стей, о чем говорилось в предыдущем разделе. Безусловно, теория возмущений применима лишь для сверхгладких поверхностей со среднеквадратичной шероховатостью, не превыша­ ющей 1.5-3 нм. В то же время, только такие поверхности и представляют основной интерес для современной оптики, рентгеновской оптики, микро и наноэлектроники.

Далее, использование DWBA (или другого более общего подхода) в качестве основы количественного метода контроля шероховатостей наталкивается на целый ряд принципи­ альных проблем. Прежде всего, в отличие от теоpии возмущений, DWBA тpебует задания вида одномеpного и двумеpного (а в более общих подходах - всех многомеpных) pаспpеделе­ ний плотности веpоятности высот шеpоховатостей. Во всех известных нам подходах пpедпо­ лагается, что это pаспpеделение подчиняется ноpмальному закону. В то же вpемя имеется целый pяд экспеpиментальных данных, свидетельствующих, что это пpедположение далеко не всегда спpаведливо [51, 56]. Нами были пpоведены специальные исследования одномеpной плотности pаспpеделения высот повеpхностных шеpоховатостей () pазличных обpазцов ме­ тодом атомно-силовой микроскопии [A22]. Вывод состоит в том, что в случае суперполирован­ ных подложек со среднеквадратичной шероховатостью на уровне 0.2-0.5 нм распределение высот действительно подчиняется нормальному закону. Однако для столь гладких поверх­ ностей безусловно может быть использована теория возмущений, не зависящая от функции (). В случае же более грубых подложек, а особенно, в случае поверхностей пленочных или многослойных покрытий, функция распределения высот шероховатостей очень часто отли­ чается от гауссовой. Пример дан на рис.1.6 для пленки Ni толщиной около 35 нм, нанесенной на Si подложку методом магнетронного распыления. Видно, что экспериментальное распре­ деление высот шероховатостей, во-первых, асимметричное и, во-вторых, функция распреде­ ления убывает на своих хвостах быстрее, чем гауссова. В следующем разделе мы покажем на примере шероховатостей с очень малым радиусом корреляции, что даже небольшое отличие функции распределения от гауссовой может приводить к совершенно иной кривой отражения РИ, а значит, и интенсивности рассеяния.

Рис. 1.6. Одномерная функция распределе­ Probability density 2 ния высот шероховатостей пленки Ni, най­ денная методом атомно-силовой микроско­ пии (1), и лучшая подгонка распределения с использованием гауссовой функции (2).

-4 -2 0 2 Height, nm Втоpая пpоблема, возникающая пpи использовании фоpмул DWBA или даже их упpо­ щенного ваpианта - пpиближения Синха, состоит в том, что эти фоpмулы намного более сложные, чем фоpмулы теоpии возмущений. В приближении теории возмущений (1.79) ин­ дикатриса рассеяния связана с PSD-функцией шероховатостей очень простым (линейным) образом, так что последняя может быть найдена из экспериментальных данных без использо­ вания каких-либо моделей. В приближении DWBA (или даже SA), искомая функция корре­ ляции шероховатостей находится под знаком интеграла и пpямое ее опpеделение оказывается невозможным. Во всех известных нам pаботах, где используется приближение Синха, a priori пpедполагается, что функция коppеляции имеет вид (1.88) (или представляет собой сумму таких функций), а паpаметpы, и опpеделяются путем подгонки рассчитанной инди­ катpисы pассеяния к экспериментальной. Функция (1.88) монотонно убывает при увеличе­ нии своего аргумента. В то же время, многочисленные данные атомно-силовой микроскопии свидетельствуют о том, что очень часто функция корреляции стремится к нулю осцилли­ рующим образом и может быть отрицательной. Иными словами, функция корреляции вида (1.88) вовсе не является универсальной и физически никоим образом не обоснована. Более того, в соответствии с (1.79), мы можем однозначно определить PSD-функцию, но лишь в ограниченном с обеих сторон интервале пространственных частот. Продолжая PSD-функцию в полубесконечный интервал частот [0, ) тем или иным образом и выполнив обратное Фурье преобразование, мы можем получить бесконечно много корреляционных функций, адекватно описывающих индикатрису рассеяния в измеряемом угловом диапазоне.

Если PSD-функция ведет себя в соответствии с фрактальным (обратным степенным) законом при увеличении пространственной частоты, то теория возмущений применима при выполнении первых двух неравенств в (1.82). В общем же случае произвольной корреляци­ онной функции необходимо выполнение всех четырех условий в (1.82). Модельные расчеты показывают, что независимо от вида корреляционной функции точность описания индика­ трисы рассеяния в рамках теории возмущений не хуже 10%, если выполнено условие Рэ­ лея для рассеянного излучения 2 sin /4, т.е. угол рассеяния удовлетворяет условию sin /(16). Тем самым, если длина волны зондирующего излучения 16, то тео­ рия возмущений применима для описания рассеяния на любой угол и для любой функции корреляции, даже не удовлетворяющей условию (1.87). С другой стороны, максимальная де­ тектируемая в эксперименте пространственная частота = 2/ уменьшается при увеличе­ нии длины волны. Поэтому можно заключить, что для исследования шероховатостей суще­ ствует оптимальная длина волны зондирующего излучения, которая составляет = 16.

При этом максимальная детектируемая частота достигает значения = 1/(8), а анализ индикатрисы рассеяния может быть проведен в рамках теории возмущений независимо от вида корреляционной функции. Если среднеквадратичная шероховатость поверхности равна 0.1 1 нм, то оптимальная длина волны зондирующего излучения 1.6 16 нм лежит в МР и ЭУФ диапазоне, а максимальная детектируемая пространственная частота со­ ставляет 0.125 1.25 нм1. Для сравнения укажем, что верхняя измеряемая частота в атомно-силовой микроскопи не превышает 0.1 нм1, как правило.

Измеpения PSD функции на столь высоких пpостpанственных частотах, соответству­ ющих чpезвычайно слабой интенсивнсти рассеяния на очень большие углы, подpазумева­ ет использование источников излучения чpезвычайно высокой яpкости (большой мощности и малой pасходимости). Лучшими кандидатами являются, очевидно, лазеры на свободных электронах, синхpотpонные источники и плазменные лазеpы МР и ЭУФ диапазонов, длина волны котоpых как pаз и соответствует оптимальному спектpальному диапазону.

Оценим возможность измеpений индикатpисы рассеяния на пpедельно большие углы с использованием существующего компактного ЭУФ лазеpа, описанного в [112, 113]. Этот ла­ зеp генеpиpует импульсное излучение с длиной волны = 49.6 нм, частотой повтоpения 7 Гц, сpедней выходной мощностью 0.6 мВт и pасходимостью пучка 2 · 104 pад. Поток излучения на исследуемой повеpхности составляет, тем самым, 1.4·1014 фотон/сек или 2·1013 фотон/имп.

Для сpавнения, использование тpадиционной pентгеновской тpубки в качестве источника из­ лучения с длиной волны 0.154 нм, позволяет получить типичный поток излучения (после монохpоматизации и коллимации) поpядка 105 106 фотон/сек, т.е. на 8 9 поpядков вели­ чины меньше. Если функция корреляции имеет вид (1.88) при значениях = 0.5, = 1 мкм, а угловой pазмеp апеpтуpы детектоpа (в обеих напpавлениях) pавен 1, то pегистpиpуемый поток излучения, pассеянного на угол = 170 (пpостpанственная частота 0.05 нм1 ), составляет поpядка 4 · 104 фотон/сек пpи = 2 нм и 102 фотон/сек пpи = 0.1 нм. Такой по­ ток pассеянного излучения может быть измеpен без особых пpоблем, поскольку собственный шум совpеменных МР и ЭУФ детектоpов составляет на несколько порядков меньше.

Исходя из пpоведенного pассмотpения, мы можем сделать следующий вывод: наибо­ лее естественный и коppектный подход к обpаботке данных по pентгеновскому pассеянию с целью извлечения инфоpмации о повеpхностных шеpоховатостях состоит в использовании фоpмул теоpии возмущений и опpеделении PSD-функции непосpедственно из измеpенной индикатpисы pассеяния безо всяких пpедположений о ее виде и о pаспpеделении высот шеpо­ ховатостей. Если повеpхность является слишком гpубой, то следует увеличить длину волны зондиpующего пучка (напpимеp, пеpейти от ЖР диапазона длин волн к МР) с тем, чтобы остаться в пpеделах пpименимости теоpии возмущений, поскольку в ином случае необходимо быть увеpенным в том, что высота шеpоховатостей pаспpеделена по ноpмальному закону, а функция корреляции имеет вид (1.88). Более общие и точные теоpетические подходы, в свою очеpедь, необходимы для контpоля условий пpименимости теоpии возмущений в конкpетном экспеpименте.

1.2.7. Дельта-коррелированные шероховатости Рассмотрим более подробно предельный случай шероховатостей с исчезающе малым радиусом корреляции и в верикальном, и в латеральном направлении, так что ()( ) = (, 0)(, 0) для любых = В этом случае, как обсуждалось в разделе 1.2.2, рассеянное излучение отсутствует, а взаимодействие падающей волны с шероховатой средой описывается одномерным волновым уравнением (1.34) с усредненной диэлектрической проницаемостью (.

В литературе часто утверждается, что в случае предельно малых радиусов корреляции коэффициент отражения описывается формулой Нево-Кроса (1.3), забывая при этом, что эта формула справедлива лишь для нормального распределения высот шероховатостей. Ниже мы покажем, что для других функций распределения формула (1.3) не работает и может приводить к значениям коэффициента отражения, отличающихся от реальных на порядки величины.

Пусть () - одномерная плотность вероятности распределения высот шероховатостей одиночной поверхности со скачкообразным изменением диэлектрической проницаемости () = 1 + ( (), где - функция Хэвисайда, а + - поляризуемость вещества. Тогда () 1 () = 1 + () (1.95) Для иллюстративных вычислений рассмотрим три следующие плотности вероятности:

( ) () = exp 1 () =, = (1.96) 2 cosh2 (/) ( ) 1 / exp () =, =, = 0.57721...

e первая из которых соответствует нормальному (гауссовому) распределению, а третья - так называемому двойному экспоненциальному распределению, где - постоянная Эйлера.

Эти плотности вероятности приводят, в соответствии с (1.95), к образованию “эффек­ тивного” приповерхностного слоя, изменение поляризуемости в котором описывается следу­ ющими выражениями [ ( )] + () = 1 + erf 2 [ ( )] + () = 1 + tanh (1.97) 2 () = + exp e/ ( ) Вид плотности распределений высот шероховатостей (1.96) и соответствующие им про­ фили “эффективных” приповерхностных слоев (1.97) показаны на рис.1.7. Для определенно­ сти было взято значение = 0.5 нм. Плотности вероятности и и, особенно, соответ­ ствующие им профили приповерхностных слоев очень близки друг к другу. Функция, в отличии от двух предыдущих - асимметричная, хотя профиль приповерхностного слоя тоже близок к двум другим.

1.0 1. a b G CH 0.8 0. DE p() / pmax (z) / + 0.6 0. G 0.4 0.4 CH DE 0.2 0. 0.0 0. -2 -1 0 1 2 -1 0 1, nm z, nm Рис. 1.7. Три модельные плотности распределения высот шероховатостей 1.96 при = 0.5 нм (a) и соответствующие им профили “эффективного” приповерхностного слоя (1.97) (b).

Рассмотрим теперь коэффициент отражения от этих приповерхностных слоев. Прежде всего, из первого члена борновского ряда для коэффициента отражения находим, что при больших углах скольжения амплитудный коэффициент отражения + 1 () + () exp(2 sin ) = () (1.98) 4 sin2 4 sin + () = () exp() ;

= 2 sin пропорционален характеристической функции (), которая вводится в теории случайных функций как Фурье-преобразование от одномерной плотности распределения высот шеро­ ховатостей. Подставив плотности распределений (1.96) в (1.98), находим выражения для асимптотического поведения коэффициента отражения () () · exp 2 sin ) [ ( )] () () · (2 sin )2 · exp (2 sin ) (1.99) () () · 4 sin · exp (2 sin ) где |+ |2 /16 sin4 - френелевский коэффициент отражения при больших углах скольже­ ния. Эти выражения наглядно показывают, что, несмотря на кажущуюся близость профилей приповерхностного слоя, коэффициенты отражения ведут себя совершенно по-разному при больших углах скольжения.

- - Reflectivity - G CH - 10 DE Fresnel - 10 NC - 0 1 2 3 4 5 Grazing angle, degree Рис. 1.8. Коэффициенты отражения в зависимости от угла скольжения для трех модельных про­ филей диэлектрической проницаемости (1.97) при значении = 0.5 нм. Для сравнения показан френелевский коэффициент отражения от идеально гладкой скачкообразной границы и он же, скор­ ректированный на эффект шероховатостей путем введения фактора Нево-Кроса (1.3). При расчетах предполагалось отражение РИ с длиной волны = 0.154 нм от поверхности вольфрама.

Кривые отражения, рассчитанные численно с использованием алгоритма Паратта во всем диапазоне углов скольжения, показаны на рис.1.8 для всех трех модельных профилей диэлектрической проницаемости. Для сравнения показан также френелевский коэффициент отражения от поверхности со скачкообразным изменением диэлектрической проницаемости и он же, скорректированный на эффект шероховатостей путем введения фактора Нево-Кро­ са (1.3). Видно, что, действительно, фактор Нево-Кроса идеально описывает коэффициент отражения от границы разделы с дельта-коррелированными шероховатостями, высота ко­ торых распределена по гауссову закону. Однако, если распределение высот шероховатостей отличается от нормального, то коэффициент отражения может сильно отличаться от пред­ сказываемого формулой Нево-Кроса (1.3). Так, при угле скольжения = 5.5, отличие между кривыми G и DE на рис.1.8 достигает четырех порядков величины. В то же время отличие кривой DE от френелевской (отсутствие шероховатостей) меньше трех порядков величины.

Тем самым, первый вывод этого раздела состоит в том, что предположение о нормаль­ ном распределении высот шероховатостей, которое делается во всех без исключения работах, где отражение и рассеяние РИ рассчитывается вне рамок теории возмущений, может при­ водить к результатам, абсолютно не соответствующим реальности даже в случаях, когда распределение высот шероховатостей лишь незначительно отличается от нормального.

В то же время, в условиях применимости теории возмущений, когда параметр Рэлея = 2 sin 1 (что соответствует углам скольжения 1.4 на рис.1.8), кривые отраже­ ния практически совпадают для всех модельных профилей диэлектрической проницаемости, т.е. для всех функций распределения высот шероховатостей.

Рассмотрим теперь границу раздела с плавным изменением диэлектрической проницае­ мости, обусловленным диффузией или имплантацией. Пусть к тому же на границе раздела присутствуют дельта-коррелированные шероховатости, так что усредненный профиль гра­ ницы раздела описывается функцией + () = 1 0 ( )() (1.100) где () - плотность распределения высот шероховатостей, а функция 0 () описывает про­ филь поляризуемости в переходном слое.

Введем следующие функции: () () (профиль поляризуемости “эффектив­ ного” переходного слоя, образованного в результате усреднения дельта- коррелированных шероховатостей) и 0 () 0 ()/. Интегрируя (1.100) по частям, получим + () = 1 ( )0 () (1.101) Сравнение (1.100) и (1.101) показывает, что усредненную диэлектрическую проницае­ мость можно интерпретировать двумя разными способами: либо как плавный переходной слой 0 () с дельта-коррелированными шероховатостями, плотность распределения которых описывается функцией (), либо, наоборот, как плавный переходной слой, описываемый функцией (), с шероховатостями, распределенных по закону 0 (). Иными словами, и это - второй вывод настоящего раздела, измерения коэффициента отражения не позволяют раз­ делить эффекты реального переходного слоя и “эффективного”, образованного в результате усреднения мелкомасштабных шероховатостей. В частности, коэффициент отражения при больших углах скольжения записывается в симметричном виде () () · | ()|2 · |0 ()|2 (1.102) + где введена характеристическая функция 0 () = 0 () exp(), связанная с “эффек­ тивным” переходным слоем, образованным в результате усреднения мелкомасштабных ше­ роховатостей.

1.3. Применение теории возмущений для анализа дифракции рентгеновского излучения от шероховатых сред В этом разделе мы проанализируем особенности дифракции рентгеновского излучения от шероховатых поверхностей и границ раздела в рамках теории возмущений по высоте шероховатостей и, прежде всего, те из них, которые обычно не наблюдаются в рассеянии видимого излучения. Кроме того, мы покажем, что теория возмущений способна объяснить все “необычные” явления, наблюдаемые в экспериментах и, более того, предсказать новые эффекты.

1.3.1. Конформные шероховатости Рассмотрим шероховатую слоистую среду с диэлектрической проницаемостью следую­ щего вида:

( ) () = 0 (), = {, }, 0 ( ) = 1, 0 ( +) = +, (1.103) где ось направлена в глубь вещества, функция 0 () описывает изменение диэлектриче­ ской проницаемости по глубине в отсутствие неоднородностей, причем изменение диэлектри­ ческой проницаемости на границах раздела может быть как скачкообразным, так и плавным из-за эффектов диффузии, имплантации или химических реакций, а функция (), описыва­ ющая неоднородности среды в продольном направлении, не зависит от. Общие выражения для коэффициентов отражения и прохождения, а также для индикатрис рассеяния в вакуум и в глубь среды в случае конформных шероховатостей были получены выше в разделе 1.2. в рамках теории возмущений (см. выражения (1.38)-(1.46)).

Предположим теперь, что угловая ширина индикатpисы рассеяния в плоскости падения /( sin 0 ), где - радиус корреляции шероховатостей в плоскости, мала по сравнению с углом скольжения падающего пучка 0, т.


е. 0 /(), а также по сравне­ нию с типичным угловым масштабом изменения коэффициента отражения (прохождения). Например, в случае одиночной поверхности соответствует критическому углу полного внешнего отражения, а в случае периодической многослойной структуры - угловой ширине брэгговского пика. Тогда мы можем пренебречь в выражениях для коэффициентов инте­ грального рассеяния и поправок к коэффициентам зеркального отражения и прохождения (1.42)-(1.43) и (1.48)-(1.49) зависимостью от вектора, т.е. положить = 0 во всех членах, исключая PSD-функцию, и выполнить интегрирование по направлениям рассеяния PSD2 () 2 = 4 2 2. (1.104) Покажем теперь, что остающиеся в (1.42)-(1.43) и (1.48)-(1.49) интегралы по координате, а именно, + 0 (, 0 )0 () 1 = (1.105) + 0 (, 0 )1 (, 0 )0 () 2 = (1.106) + (, ;

0 )0 (, 0 )0 (, 0 )0 ()0 ( ) 3 = (1.107) + (, ;

0 )0 (, 0 )1 (, 0 )0 ()0 ( ) 4 = (1.108) могут быть вычислены в явном виде для произвольного распределения диэлектрической проницаемости 0 ().

Коэффициенты отражения, прохождения и интегрального рассеяния выражаются через 1,..., 4 следующим образом:

[ ] * 4 2 4 2 * |1 |2 ;

TIS(0 ) = (0 ) = 0 (0 ) + 2Re 0 1 3 (1.109) 4 [ ] 4 2 * 4 2 Re+ Re+ (0 ) = 0 (0 ) + 2Re * 1 |2 |2 4 · TIS+ (0 ) = ;

(1.110) 4 + + 2+ + где учтено (1.104), а 1 и 1 определены в (1.40)-(1.41).

Прежде чем вычислять интегралы (1.105)-(1.108) приведем несколько вспомогательных формул:

0 2 0 ()[0 ()] = [0 ()] 2 [(0 ())2 ] (1.111) 2 0 ()[0 ()1 ()] = 0 [0 ()1 ()] 2 [0 ()1 ()] (1.112) 2 0 () [(, )0 ()] = 0 [(, )0 ()] + 2 0 ()( ) [ ] 1 () (, ) 2 (1.113) Эти тождества прямо следуют из (1.8) и (1.12). Например, чтобы получить (1.113), надо умножить (1.8) на (, )/, а (1.12) - на 0 () и сложить полученные выражения.

Тождественные преобразования (1.111)-(1.113) позволят избавиться от функции 0 () под знаком интеграла в (1.105)-(1.108).

Отметим, наконец, что в асимптотических областях ± справедливы следующие равенства, которые могут быть легко получены из (1.9)-(1.10):

0, если + [0 ()] 0 ()0 () = (1.114) 4 (0 )(0 ), если 2+ (0 )(0 ), если + 0 ()1 () 1 ()0 () = (1.115) 2+ (0 ) (0 )(0 ), если Рассмотрим теперь интеграл (1.106). Возьмем его один раз по частям ]= {[ } 2 = lim 0 ()1 ()0 () 0 ()[1 ()0 ()] 1, = Воспользовавшись (1.112), находим }= { 1 2 2 = 2 lim 0 ()1 () + [ 0 () 0 ]0 ()1 () (1.116) 1,2 = В силу (1.8) второе слагаемое в фигурных скобках в (1.116) равно [1 0 ]. Принимая во внимание (1.115), находим окончательно 2+ (0 )(0 ) [+ (0 ) (0 )] 2 = (1.117) Таким образом, интеграл (1.106) удается выразить через - компоненты волновых век­ торов ± в асимптотических областях ± и амплитудный коэффициент прохождения, причем (1.117) справедливо для любого одномерно-неоднородного распределения диэлек­ трической проницаемости 0 ().

Аналогичным образом вычисляется интеграл (1.105) 4 (0 ) 1 = (0 ). (1.118) Рассмотрим, наконец, более сложный интеграл (1.108). Проинтегрируем его по перемен­ ной один раз по частям и воспользуемся (1.113). Тогда получим:

+ { [ 1 0 ( )1 ( ) (, )+ 4 = 2 lim 0 () 1, ]=2 } 0 ]0 ()(, ) 0 ( ).

2 + [ 0 () (1.119) = Второе слагаемое в квадратных скобках в (1.119) равно [0 ]. Принимая во внимание явный вид (1.7) функции (, ) и тождества (1.113)-(1.115), получаем + + (0 ) 0 ()1 ()0 () 0 ()1 ()0 ().

4 = (1.120) 2 Первый интеграл в (1.120) вычислен выше. Рассмотрим два вспомогательных интеграла + 0 ()[1 ()0 () 1 ()0 ()] 5 = (1.121) + 0 ()[1 ()0 () + 1 ()0 ()], 6 = (1.122) так что второй интеграл в (1.120) равен (5 + 6 )/2.

Выражение в квадратных скобках в интеграле (1.121) есть не что иное, как вронскиан функций 0 и 1, который от не зависит. Следовательно, 2 + (0 ) (0 ) 5 = (+ 1) 2+ (0 )(0 ). (1.123) Интегрируя по частям и учтя, что 0 (±) = 0, представим (1.122) в следующем виде:

+ 4+ (0 ) ()0 ()1 () 6 = 1 (0 ), (1.124) 4 где 1 определено в (1.41).

Из (1.120)-(1.124) получаем:

[ ] + (0 )(0 ) 2 2+ (0 ) + (0 ) (0 ) 4 = 1 (0 ). (1.125) 4 4 Аналогичным образом интеграл (1.107) приводится к виду:

4 (0 )(0 ) 2 (0 ) 3 = 1 (0 ). (1.126) 4 4 Подставив (1.118), (1.126) в (1.109), окончательно получаем, что коэффициенты отра­ жения и интегрального рассеяния в вакуум определяются факторами Дебая-Валлера, раз­ ложенными в ряд теории возмущений [ ] )2 ) ( ( () = 0 () · 1 4 sin /, TIS() = 0 () · 4 sin / (1.127) которые оказываются справедливыми не только для одиночной поверхности со скачкообраз­ ным изменением диэлектрической проницаемости, но и для любой слоистой среды (1.103) с конформными шероховатостями и, более того, для любой функции распределения высот шероховатостей.

Аналогичным образом находим коэффициенты прохождения и интегрального рассеяния в глубь среды (0 ) TIS+ (0 ) )2 ) = 1 2 + (0 ) (0 ), = 2 + (0 ) (0 ), ( ( (1.128) 0 (0 ) 0 (0 ) где 0 = ||2 Re(+ )/ - коэффициент прохождения в отсутствие шероховатостей.

1.3.2. Интегральный коэффициент отражения Важная особенность выражений (1.127) и (1.128) состоит в том, что коэффициенты инте­ грального отражения (0 ) = (0 ) + TIS(0 ) и прохождения (0 ) = (0 ) + TIS+ (0 ), опи­ сывающие суммарную интенсивность излучения, направленного в вакуум и в глубь среды, совпадают с коэффициентами отражения и прохождения для идеально гладкого отражателя:

(0 ) = 0 (0 ) и (0 ) = 0 (0 ). Иными словами, конформные шероховатости с больши­ ми (в продольном направлении) радиусами корреляции не приводят к увеличению потока, направленного в глубь среды, т.е. к дополнительному поглощению излучения в веществе, а лишь перераспределяют его интенсивность между зеркально отраженной/преломленной и рассеянной в вакуум/в глубь среды компонентами. Это означает, что измерения интегрально­ го коэффициента отражения вместо зеркального позволяют свести на нет влияние на кривую отражения конформных шероховатостей с большим продольным (вдоль поверхности) ради­ усом корреляции и, в частности, существенно увеличить точность реконструкции профиля диэлектрической проницаемости при решении обратной задачи рентгеновской рефлектомет­ рии.

В качестве примера рассмотрим пленку постоянной плотности на однородной подложке, а для расчетов отражения и рассеяния будем использовать так называемую ABC-модель PSD-функции изотропных шероховатостей, широко используемую в оптике [114]:

2 2 2 ( + 1/2) PSD1 () = PSD2 () = ( )1+ ;

(1.129) (1 + 2 2 )+1/ () 1 + 2 где и - среднеквадратичная высота и радиус корреляции шероховатостей, а параметр определяет фрактальную размерность шероховатой поверхности = 3, если 0 [64], а () - гамма-функция.

Отметим, что в области низких пространственных частот ( 1/) PSD-функция (1.129) практически постоянна, в высокочастотной области ( 1/) ведет себя в соот­ ветствии с фрактальным (обратным степенным) законом 2 1 PSD2 () · PSD1 () ·, (1.130) 2 2+2 2 1+ а переход от одного режима к другому происходит на частоте 1/, что наглядно про­ является в экспериментах по исследованию рассеяния от тонких пленок (см. раздел 1.4). В то же время PSD-функция полированных подложек из самых разных материалов (стекло, плавленый кварц, кремний, сапфир) ведет себя, за редкими исключениями, в соответствии с (1.130) во всем измеряемом диапазоне пространственных частот, а перехода к режиму на­ сыщения не наблюдается [10, 15]. Минимальная регистрируемая пространственная частота составляет обычно 0.03-0.01 мкм в экспериментах по рассеянию рентгеновского или види­ мого излучения и, следовательно, радиус корреляции шероховатостей хорошо полированных подложек порядка или более 100 мкм. Более того, исследования длиннопериодных шеро­ ховатостей с помощью интерференционных микроскопов и профилометров демонстрируют, как правило, все то же фрактальное поведение PSD-функции (1.130) вплоть до максималь­ ного значения пространственной частоты 1/, еще имеющей физический смысл для исследуемого образца размера [109, 115, 116]. Тем самым, хорошо полированные подложки характеризуются очень большими радиусами корреляции шероховатостей, составляющими, как минимум, доли миллиметра, а зачастую и больше. Фрактальный параметр сверхглад­ ких подложек лежит, как правило, в диапазоне от 0.1 до 0.5 и определяется как материалом подложки, так и технологией ее полировки.

Кривая 1 на рис.1.9 показывает угловую зависимость коэффициента отражения (умно­ женного на sin4 0 для наглядности) на длине волны = 0.154 нм от пленки Ni толщиной = 5 нм на подложке Si в отсутствие шероховатостей, а кривая 2 - коэффициент отраже­ ния, рассчитанный по формуле Дебая-Валлера (1.1) при значении = 0.3 нм. Даже такие небольшие шероховатости приводят к падению коэффициента отражения в 75 раз при угле скольжения 0 = 5.

Предположим теперь, что щель детектора достаточно широкая, так что в эксперименте измеряется не коэффициент зеркального отражения, а интегральный коэффициент отраже­ ния (0 ), причем PSD-функция конформных шероховатостей пленки и подложки описы­ вается выражением (1.129) при значениях = 0.3 нм, = 100 мкм и = 0.5. Результаты численного расчета коэффициента = +TIS с использованием (1.38)-(1.49) представлены на рис.1.9 кривой 3, которая совпадает с кривой отражения 1 от идеально гладкой пленки в рассматриваемом интервале углов скольжения в полном соответствии с проведенным выше анализом.

6 R*sin * 0 1 2 3 4 0, град.

Рис. 1.9. Коэффициент зеркального отражения на длине волны = 0.154 нм от пленки Ni тол­ щиной = 5 нм на кремниевой подложке. Расчеты проведены для идеально гладкой пленки (1) и с использованием формулы Дебая-Валлера при среднеквадратичной высоте шероховатостей = 0. нм (2). Кривые 3-5 представляют расчеты интегрального коэффициента отражения = + TIS в предположении, что конформные шероховатости пленки и подложки описываются АВС-моделью со следующими параметрами: = 100 мкм и = 0.5 (3), = 5 мкм и = 0.5 (4), = 100 мкм и = 0.2 (5), а высота шероховатостей = 0.3 нм одна и та же.


Однако, если уменьшить радиус корреляции до 5 мкм, оставив значения и теми же самыми, то коэффициент интегрального отражения (кривая 4 на рис.1.9) начинает отли­ чаться от коэффициента отражения от идеально гладкой структуры при увеличении угла 0, поскольку ширина PSD-функции становится сравнимой с периодом изменения функций поля. Схожий эффект наблюдается и при уменьшении фрактального параметра (кривая 5 на рис.1.9), поскольку при уменьшении “крылья” PSD-функции, соответствующие высо­ ким частотам, дают все больший вклад в интегралы. Тем не менее, в любом из этих случаев коэффициент интегрального отражения лежит намного ближе к коэффициенту отражения в отсутствие шероховатостей по сравнению с кривой 2 и, во всяком случае, (0 ) спадает, в среднем, как 1/ sin4 0, а не экспоненциально как (0 ).

С одной стороны, совершенно ясно, что представление формул Дебая-Валлера в виде (1.127)-(1.128) справедливо лишь для достаточно малой высоты шероховатостей. Сравнение с расчетами в DWBA показывает, что ошибка в коэффициенте зеркального отражения и в интенсивности рассеяния не превышает 10 отн.%, только если sin /20. С другой сторо­ ны, рис.1.9 наглядно демонстрирует, что интегральный коэффициент отражения практиче­ ски совпадает с коэффициентом отражения в отсутствие шероховатостей и при значительно бльших углах скольжения, т.е. пределы применимости теории возмущений для интеграль­ о ного коэффициента отражения существенно более широкие и зависят от радиуса корреляции шероховатостей.

Проведенное выше рассмотрение существенным образом основывалось на том, что при интегрировании общих выражений для () и TIS() по направлениям рассеяния PSD-функ­ ция заменялась дельта-функцией. Это предположение справедливо лишь при выполнении двух условий. Первое из них состоит в том, что значения TIS и TIS+ не равны нулю. На­ пример, из (1.128) следует, что при прохождении излучения через свободновисящую пленку с конформными шероховатостями, рассеяние в глубь вообще отсутствует, поскольку в этом случае + =. Действительно, как следует из (1.45), интенсивность рассеяния в направле­ нии прошедшего пучка ( = 0 ) равна нулю из-за деструктивной интерференции рассеянных волн, что и приводит к TIS+ = 0. В то же время интенсивность рассеяния в других направ­ лениях конечна и, следовательно, коэффициент интегрального рассеяния TIS+ () = 0, хотя и мал. Тем самым, замена PSD-функции дельта-функцией не совсем корректна, а TIS+ () должен быть рассчитан с большей точностью для этого случая.

Аналогичным образом, коэффициент интегрального рассеяние в вакуум должен быть рассчитан более аккуратно при предельно малых углах скольжения, когда TIS(0 ) 0.

Второе из необходимых условий справедливости (1.127)-(1.128) требует, чтобы радиус корреляции шероховатостей в продольном направлении был достаточно большой, а PSD­ функции достаточно быстро убывала при увеличении пространственной частоты. Как и вы­ ше, в качестве примера рассмотрим отражение рентгеновского излучения от пленки Ni на подложке Si, считая шероховатости полностью конформными и используя модель (1.129) для PSD-функции.

Пусть зондирующий пучок с длиной волны = 0.154 нм падает на образец под углом скольжения = 2.3. Тогда параметр 4 sin / = 1 (для = 0.3 нм) и, в соответ­ ствии с (1.127), это максимальный угол скольжения, при котором теория возмущений еще приводит к физически разумному результату 0. В качестве условия применимости фор­ мул Дебая-Валлера (1.127) выберем следующее, которое и представляет наибольший интерес для обратной задачи рентгеновской рефлектометрии: коэффициент суммарного отражения в интерференционных максимумах отличается от значения коэффициента отражения от идеально гладкого образца не более, чем на 10 отн.% при. Проведя расчеты с ис­ пользованием полученных выше общих выражений для и TIS, находим, что это условие выполняется, если значения радиуса корреляции и фрактального параметра лежат выше кривой 2 на рис.1.10 для пленки толщиной = 5 нм. Обращает на себя внимание очень быст­ рое возрастание этой кривой при 0.15, когда высокочастотная часть спектра шерохова­ тостей дает все более существенный вклад в интегралы для и TIS. Отметим, что в пределе 0 PSD-функция (1.129) становится неинтегрируемой, а понятие среднеквадратичной высоты шероховатостей теряет смысл. Кривая 2 на рис.1.10 показывает, что конформные шероховатости практически не влияют на интегральный коэффициент отражения, если их радиус корреляции составляет от единиц микрон (при 0.3) до единиц миллиметров (при 0.1), что является типичным для хорошо полированных подложек.

При увеличении толщины пленки область параметров сдвигается вверх, поскольку осцилляции напряженностей поля в подинтегральных выражениях для и TIS становятся более частыми и, следовательно, радиус корреляции шероховатостей должен быть увеличен, чтобы уменьшить угловую ширину индикатрисы рассеяния. Так, при толщине пленки = нм область значений параметров лежит выше кривой 3 на рис.1.10, а при = 50 нм - выше кривой 4. Для иллюстрации показана и кривая 1, соответствующая отражению излучения от чистой шероховатой подложки.

Отметим, что увеличение длины волны зондирующего излучения, наоборот, приводит к сдвигу кривых на плоскости вниз. Если положить = 0.989 нм ( линия Al), то вместо кривых 1 (чистая подложка Si) и 4 (пленка Ni толщиной 50 нм), получим кривые 5 и 6, соответственно. При этом угол составляет 15.2. Иными словами, чем больше длина волны излучения, тем меньше может быть радиус корреляции конформных шероховатостей, еще не приводящих к увеличению потока излучения в глубь среды.

1.3.3. Взаимосвязь каналов дифракции В этом разделе мы проанализируем более детально взаимосвязь каналов дифракции от одиночной шероховатой поверхности, в общем виде определяемую соотношениями (1.59)-(1.61).

Будем считать, что границей раздела вещества (с диэлектрической проницаемостью + ) и вакуума является шероховатая поверхность = (), на которой происходит скачкообраз­ ное изменение свойств вещества. Используя общие формулы из предыдущих разделов, запи­ шем выражения для углового распределения рассеяния в вакуум (;

0 ) и в глубь среды + (;

0 ), справедливые с точностью до членов порядка 2 для любой функции распределе­ ния высот шероховатостей:

5 |1 + | |(0 )()|2 PSD2 () (;

0 ) = (1.131) (4)2 (0 ) 5 + |1 + |2 Re+ () |(0 )()|2 PSD2 () + (;

0 ) = ;

(1.132) 2 ( ) (4) 0 + () 2 () 2+ () () = ;

() = () + + () () + + (), мкм 10 - - 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1. Рис. 1.10. Область параметров, для которых интегральный коэффициент отражения (при = 0.154 нм и 2.3 ) от пленки Ni на подложке Si отличается в интерференционных максимумах от коэффициента отражения в отсутствие шероховатостей не более, чем на 10 отн.%. Эта область расположена выше кривой 1 для чистой подложки и выше кривых 2–4 при толщине пленки 5 нм (2), 20 нм (3) и 50 нм (4). Среднеквадратичная высота шероховатостей = 0.3 нм. Точечные кривые 5 и 6 соответствуют кривым 1 и 4 при = 0.989 нм и 15.2.

2 = 0, 0 = {cos 0, 0}, = {cos cos, cos sin }, Проведя некоторые алгебраические преобразования, представим коэффициенты инте­ грального рассеяния в следующем виде:

(0 ) PSD2 () () () + () TIS(0 ) = (1.133) 2 (0 ) + + (0 ) (0 ) PSD2 () Re+ () () + () TIS+ (0 ) = (1.134) 2 (0 ) + + (0 ) Коэффициенты зеркального отражения и прохождения с точностью до членов по­ рядка 2 записываются как (0 ) = (0 ) (0 ) ;

(0 ) = (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) = 4 (0 )Re+ (0 ) 2 + PSD2 () () Re+ () [ ] (1.135) (0 ) (0 ) + (0 ) (0 ) ] = (0 ) + (0 ) 2 + PSD2 () () Re+ () 2 (1.136) [ [ ] (0 ) () () 2 2 () 2 Re () + + · () = ;

() = () + + () () + + () () - среднеквадратичная шероховатость, а и - френелевские коэффициенты отражения и прохождения в случае идеально гладкой поверхности.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что полученные выше выражения (1.133) - (1.136) обеспечивают выполнение закона сохранения энергии, т.е. в отсутствие поглощения справедливо тождество + + TIS + TIS+ 1. Следует рассмотреть по отдельности слу­ чаи падения пучка вне области ПВО, когда Im+ (0 ) = 0, и внутри области ПВО, когда Re+ (0 ) = 0. Аналогичным образом, область интегрирования в плоскости вектора рассея­ ния следует разбить на две части, где + или +.

Первые слагаемые в выражениях (1.135)-(1.136) совпадают по абсолютной величине, в чем легко убедиться, используя явный вид коэффициентов отражения и прохождения. Они являются не чем иным как первыми членами разложения фактора Нево-Кроса (1.3) в ряд по 2. В случае шероховатостей с исчезающе малым радиусом корреляции интенсивность рассеянного излучения как в вакуум, так и в глубь среды тоже стремится к нулю поскольку PSD 0. В этом случае именно первые слагаемые в (1.135)-(1.136) играют главную роль, а уменьшение коэффициента отражения связано с увеличением интенсивности прошедшей компоненты, обусловленной образованием плавного переходного слоя на границе раздела сред как результата усреднения мелкомасштабных шероховатостей.

В противоположном предельном случае очень больших радиусов корреляции шерохо­ ватостей, т.е. в случае очень узкой угловой ширины диаграммы рассеяния, можно поло­ жить = 0 в подинтегральных выражениях (1.133)-(1.136), исключая PSD-функцию, и выполнить интегрирование в плоскости вектора рассеяния, расширив ее до бесконечности:

PSD2 () 2 = (2)2 2. Тогда немедленно получаем хорошо известные выражения TIS (2 sin 0 )2 (0 ) (1.137) TIS+ 2 (0 )[+ (0 ) (0 )]2 (1.138) которые являются не чем иным, как первыми членами разложения фактора Дебая-Валлера (1.1)-(1.2) в ряд по высоте шероховатостей.

Справедливость формул Дебая-Валлера и Нево-Кроса в предельных случаях очень боль­ ших и очень малых радиусов корреляции шероховатостей одиночной поверхности неодно­ кратно обсуждалась в литературе в рамках приближения Синха (см., например, [88]). Про­ веденное рассмотрение показывает, что этот же вывод является простым и очевидным след­ ствием теории возмущений. Более того, в разделе 1.3.1 была доказана справедливость (1.137) для произвольной слоисто-неоднородной среды с конформными шероховатостями, радиус корреляции которых в плоскости XY велик. Ниже мы рассмотрим ряд других предельных случаев, некоторые из которых до сих пор не были подробно исследованы.

Введем следующие два параметра sin2 0 (1 + ) 0 = = и (1.139) которые, как будет показано ниже, полностью определяют особенности рентгеновского рас­ сеяния одиночной поверхностью в случае слабого поглощения излучения в веществе Im+ Re(1 + ).

Смысл параметра 0 совершенно ясен. Действительно, угловая ширина диаграммы рас­ сеяния в плоскости падения зондирующего пучка равна /( sin 0 ). Поэтому условие 0 1 означает, что ширина диаграммы рассеяния мала по сравнению с углом сколь­ жения зондирующего пучка 0, т.е. рассеянное излучение распространяется под достаточно большими углами к поверхности. Если же параметр 0 1, то диаграмма рассеяния “ложит­ ся” на поверхность. В этом случае можно ожидать изменения характера рассеяния.

Параметр тоже имеет простой физический смысл. Пусть пучок падает на поверхность под углом 0 порядка критического угла ПВО = |1+ |1/2, что типично для рентгеновских экспериментов. Тогда, если параметр велик (| | 1), то угловая ширина PSD-функции мала по сравнению с характерным масштабом изменения электродинамического фактора в (1.131), который от параметров шероховатости не зависит, и, следовательно, форма диа­ граммы рассеяния определяется, главным образом, PSD-функцией. Если же параметр мал (| | 1), то форма диаграммы рассеяния в значительной степени определяется электроди­ намическим фактором, приводящему, в частности, к появлению пика аномального рассеяния (пика Ионеды) [37].

Параметр характеризует радиус корреляции шероховатостей, который мы будем называть “большим”, если | | 1, и “малым”, если | | 1. Поскольку параметр изме­ няется пропорционально длине волны зондирующего излучения, то для данной поверхности радиус корреляции может оказаться “большим” для МР диапазона, но будет “малым” для ЖР излучения. Переход от больших радиусов корреляции к малым, соответствующий значе­ нию параметра | | = 1, происходит при 0.1 1 мкм для длины волны излучения = 0. нм и при 0.025 0.1 мкм для = 10 нм (критические значения больше для легких материалов).

Представим одномерную PSD-функцию в виде PSD1 () 2 2 (2), где безраз­ мерная функция монотонно убывает с характерным масштабом изменения аргумента ( ) = 1.

порядка 1 и удовлетворяет условию нормировки Вместо интегрирования по [0, ] перейдем к интегрированию по параметру = 2 = | 0 | и, используя (1.52)-(1.139), перепишем выражения для интегрального рассея­ ния в вакуум и коэффициента зеркального отражения в следующем виде, наиболее удобном для последующего анализа:

+ + [ 0 (0 ) 2 TIS(0 ) 0 0 2 2 · 0 + ( ) 0 (0 ) 0 ] 0 0 0 + ( ) (1.140) 0 [ (0 ) 2 (0 ) 2 2 · Re 2 0 0 + ( ) (0 ) 0 0 0 ] 0 ( ) + 0 ( ) 0 + ( ) + (1.141) 0 0 Выражения (1.134), (1.136) могут быть записаны подобным же образом.

При выводе (1.140)-(1.141) предполагалось, что углы рассеяния, дающие вклад в ин­ тегралы, достаточно малы, так что. Тогда () 2(0 ± ) и + () 2(0 ± ), где знак выбирается в зависимости от того положительна или отрица­ тельна разность 0.

1. Большие углы скольжения падающего излучения: 0 1.

Этот случай соответствует ситуации, когда угловая ширина диграммы рассеяния суще­ ственно меньше угла скольжения зондирующего пучка, т.е. все рассеянное излучение распро­ страняется под значительным углом к поверхности. Типичный вид индикатрисы рассеяния показан кривыми 3-6 на рис.1.11a. Максимум индикатрисы рассеяния совпадает с направле­ нием зеркального отражения, а ее угловая ширина в плоскости падения равна /(0 ).

Исключая из рассмотрения область углов скольжения близких к критическому углу ПВО, т.е. предполагая, что |0 | 1, пренебрегая переменной по сравнению с больши­ ми параметрами 0 и |0 | в подынтегральных выражениях в формулах (1.140)-(1.141) и устремив верхние пределы интегрирования в бесконечность, получаем все те же хорошо известные выражения (1.137)-(1.138). Тем самым, введение фактора Дебая-Валлера оказыва­ ется обоснованным при выполнении единственного условия: ширина диаграммы рассеяния мала по сравнению с углом скольжения зондирующего пучка, что выполняется либо при до­ статочно большом радиусе корреляции и фиксированном 0, что неоднократно отмечалось в литературе, либо при достаточно большом угле скольжения 0 и фиксированном, пусть даже малом,.

Формула (1.137) показывает, что в случае больших параметров 0 интегральное рассея­ ние в вакуум в первом приближении как раз соответствует убыли из зеркально отраженного пучка. Иначе говоря, шероховатости с достаточно большими не приводят к появлению дополнительного поглощения или потока энергии, направленного в глубь вещества, а лишь перераспределяют его интенсивность между зеркально отраженной и рассеянной в вакуум компонентами. Аналогичный вывод справедлив и относительно соотношения между коэф­ фициентом интегрального рассеяния в вещество и коэффициентом прохождения.

b 1 a 2500 () / TIS () / TIS 4 1000 0 1 2 3 4 / c 0.0 0.5 1.0 1.5 2. / c Рис. 1.11. (a) Изменение фоpмы индикатpисы pассеяния () пpи увеличении угла скольжения падающего пучка: 0 / = 0.1 (кpивая 1);

0.4 (2);

0.8 (3);

1.2 (4);

1.6 (5) и 2.0 (6). Пpи pасчетах пpедполагалось, что pадиус коppеляции шеpоховатостей большой (паpаметp = 10), коppеляцион­ ная функция имеет гауссову фоpму, а поглощение мало (/ = 0.05). Все кpивые ноpмиpованы на коэффициент интегpального pассеяния, так что площадь под ними одинакова. (b) То же, что и на pис.(a) для случая малого pадиуса коppеляции (паpаметp = 0.5). Угол скольжения падающего пучка составляет 0 / = 0.3 (кpивая 1);

2 (2);

2.5 (3);

3 (4) и 4 (5).

2. Большие радиусы корреляции и предельно малые углы скольжения падающего излучения:

1, но 0 1.

При уменьшении угла скольжения 0 индикатриса рассеяния расширяется. Если угол 0 становится настолько малым, что индикатриса рассеяния “ложится” на поверхность /(0 ) 0, т.е. 0 1, то характер рассеяния меняется: максимум рассеянного излучения сдвигается от поверхности относительно направления зеркального отражения, а угловая ши­ рина индикатрисы рассеяния /() не зависит от угла скольжения 0. Этот случай иллюстрируется кривой 1 на рис.1.11b и соответствует падению излучения под малым углом скольжения 0 = 0.1. В то же время максимум рассеяния приходится на угол 0.35, т.е. далеко сдвинут от зеркально отраженного пучка. Дальнейшее уменьшение угла 0 не при­ водит ни к изменению положения этого максимума, ни к изменению формы индикатрисы рассеяния.

В рассматриваемом случае предельно малых углов скольжения положим 0 = 0 в инте­ гралах (1.140)-(1.141) и пренебрежем величиной переменной интегрирования по сравнению с большим параметром. Тогда получим ()2 sin [ ] TIS(0 ) (0 ) 1 + 2Re + 1 ()2 sin 1 ;

(1.142) (0 ) (0 ) TIS+ (0 ) 2Re + 1()2 sin 0 ;

(0 ) 0 (1.143) (0 ) где значение параметра 1 = 2 2 0 ( ) определяется явным видом PSD функции, предполагая, что функция ( ) убывает достаточно быстро при, так что интеграл 1 существует.

Формулы (1.142)-(1.143) показывают, что для непоглощающей среды с + 1 интеграль­ ное рассеяние в вакуум соответствует убыли из зеркальной компоненты. Если же + 1 или вещество поглощающее, то поправка к коэффициенту зеркального отражения становится несколько больше TIS, что связано с появлением рассеяния в глубь вещества, причем ше­ роховатость не влияет на коэффициент прохождения в рассматриваемом случае предельно малых углов скольжения падающего пучка.

Принципиальная особенность выражений (1.142) состоит в том, что при очень малых 0 интегральная интенсивность рассеянного излучения становится пропорциональной sin в первой степени, а не sin2 0, как в (1.137), т.е. по сравнению с обычным случаем интенсив­ ность рассеяния увеличивается. Этот эффект наблюдался экспериментально в целом ряде работ [74, 85, 86]. Если определить среднеквадратичную высоту шероховатостей с исполь­ зованием формулы Дебая-Валлера (1.137), то значение будет увеличиваться как 1/ sin при уменьшении угла скольжения в полном соответствии с рис.1.2. Кроме того, интенсив­ ность интегрального рассеяния при малых 0 зависит не только от высоты шероховатостей, но и от их корреляционного радиуса. Подчеркнем, что при неограниченном возрастании (но фиксированном угле скольжения 0 ) рассматриваемый случай 0 1 перейдет в конце концов в случай 0 1, т.е. интегральное рассеяние в вакуум не будет стремиться к нулю, а будет определяться выражением (1.137).

3. Малые радиусы корреляции и не слишком большие углы скольжения: 0, 1.

В этом случае PSD-функция медленно меняется при изменении угла рассеяния. Поэто­ му при падении пучка в области ПВО форма индикатрисы рассеяния соответствует угловой зависимости электродинамического фактора в (1.131) и, в частности, максимум рассеянного излучения приходится на критический угол ПВО (“анти-пик” Ионеды). Этот случай иллю­ стрируется кривой 1 на рис.1.11b и объясняет экспериментальную индикатрису рассеяния на рис.1.1b.

Обсудим тепеpь особенности, появляющиеся в индикатpисе pассеяния в случае, когда угол скольжения падающего пучка пpевышает кpитический угол ПВО, и покажем, что ис­ пользованная пpостейшая модель повеpхности позволяет объяснить эффект аномального pассеяния pентгеновского излучения (эффект Ионеды)2, исходя из фоpмулы (1.131) [A3].

Пpежде всего ясно, что максимуму PSD функции пpи = 0 соответствует обычный пик pас­ сеяния в зеpкальном напpавлении. Кpоме того, в отсутствие поглощения у функции |()| имеется следующая особенность |()|2 пpи + 0 ;



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.