авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА Нестандартные методы анализа Е. И. Гордон, А. Г. Кусраев, ...»

-- [ Страница 10 ] --

7.5. Примеры гиперприближений Если B G Gf, то для каждого n B и для каждого стан дартного k будет pM k L. Это равносильно условию pM L n для некоторого бесконечного L. Таким образом, B GBf в том и толь ко в том случае, когда B BL := {n : pM L n}. Как видно, BL внутреннее множество для любого бесконечного L. Следовательно, условие предложения можно переформулировать следующим обра зом: для любых бесконечных L M N таких, что N M также бесконечно, выполняется | f (k/pM )| 0.

pN M 0kpN pM L k Обозначив n := N M, m := L и l := M L, мы приходим к утверждению о том, что для любых бесконечных m и n и для любого l верно | f (k/pm+l )| 0.

pn m+n+l 0kp pl k Последнее равносильно требуемому.

(2) Если ограниченная и непрерывная почти всюду от носительно меры Хаара функция f : Qp C удовлетворяет заклю чению предложения (1), то f интегрируема и 1 f (k/pM ), f dµp = pN M 0kpN Qp или же в стандартных терминах 1 f (k/pm ).

f dµp = lim pn m,n 0kpm+n Qp 7.5.11. Займемся теперь двойственным гиперприближением Q+.

p Напомним, что Q+ Q+. Изоморфизм осуществляется сопоставле p p нием каждому Q+ характера () := exp(2i{}), где {} p дробная часть p-адического числа. Отождествляя Q+ и Q+ ука p p занным способом, рассмотрим гиперприближение (G, ) группы Qp, определяемое формулой (n) := n/pN M для n G.

420 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе (1) Пара (G, ) служит гиперприближением группы Q+, p двойственным к (G, ).

Из 7.5.9 (2) видно, что (G, ) действительно гиперприближе ние. Проверим, что (G, ) двойственно к (G, ) (см. 7.4.6). Условие 7.4.6 (2) проверяется просто:

(m) ((n)) = exp(2i{(n)(m)}) = exp(2i{nm/pN }) = = exp(2inm/pN ) = m (n).

Для обоснования условия 7.4.6 (1) достаточно показать справедли вость формулы (m)((( st k)(pM k | m) exp(2imn/pN ) 1) ( st k) (pN M +k | n)).

Если эта формула неверна, то существует k, для которого выполнены соотношения n = qpN M +k + r и 0 r pN M +k. Возможны два случая.

(1): (r/pN M +k ) = 0. Пусть a := [pN M +k /(2r)] и m := apM k (очевидно, m pN ). Тогда exp(2imn/pN ) = = exp(2i[pN M +k /(2r)](r/pN M +k )) exp(i) = 1, что невозможно.

(2): (r/pN M +k ) =, 0 1. Полагая m := pM k1, вы водим, что exp(2imn/pN ) exp(2i/p) = 1, получаем противоре чие.

(2) Рассмотрим преобразование Фурье F : L2 (Qp ) L2 (Qp ), где F (f )() := f () exp(2i{}) dµp ().

Qp 7.5. Примеры гиперприближений Пусть f L2 (Qp ) такова, что |f |2 и |F (f )|2 ограничены, непрерывны почти всюду и удовлетворяют условию из 7.5.10 (1). Тогда pN f () exp(2i{k/pN M }) dµp () pM k=0 Qp pN 1 f (n/pM ) exp(2ikn/pN ) 0, pN M n= если только N, M, N M +.

Следует из 7.4.10 и 7.4.16 (5).

7.5.12. Обобщением поля p-адических чисел служит кольцо Q -адических чисел, где = {an : n Z} двусторонняя бесконечная последовательность натуральных чисел такая, что an | an+1 при n 0 и an+1 | an при n 0. Кольцо Q детально рассмотрено в [54, глава 2, § 3.7]. В [219] показано, что группа Q+ изоморфна Q+, где (n) := (n).

Пусть M, N +, а G := {0, 1,..., aM aN 1} аддитивная группа кольца Z/ (aM aN ) Z. Предположим, что отображения :

G Q+ и : G Q+ определены формулами (a) := aa1 и M (a) := aa1 для a G.

N Тогда пара (G, ) будет гиперприближением группы Q+, а пара (G, ) двойственным гиперприближением группы Q+. Более того, Gf := {a G : ( st k Z)(aM asgn k | a)}, k G0 := {a G : ( st k Z)(aM asgn k | a)}, k = a причем нормирующий множитель тройки (G, G0, Gf ).

N Аналогичные соотношения верны и для Gf, G0, и для нормирующего множителя = a1 тройки (G, G0, Gf ).

M Доказательство повторяет рассуждения из 7.5.9–7.5.11.

7.5.13. Примечания.

(1) Гиперприближение на единичной окружности (см. 7.5.2) весьма подробно изучалось Люксембургом в [409], однако само по нятие гиперприближения не было введено. В [409] получено, в част ности, предложение 7.5.2 (2) для непрерывных функций. В этой же 422 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе работе имеется много интересных приложений инфинитезимального анализа к теории рядов Фурье. Однако возможности разработан ного там подхода были ограничены отсутствием теории меры Лба, е а также тем, что свойство насыщения моделей в то время мало ис пользовалось в инфинитезимальном анализе.

(2) Предложения 7.5.3 (1, 2) остаются в силе и в том случае, когда Kn кольцо. В этом случае K и G также будут кольцами, а отображение из G в K будет почти гомоморфизмом, т. е. помимо уже доказанных свойств справедливо равенство (ab) (a)(b) для всех a, b. Более того, объект G0, определенный в 7.5.3 (2), будет двусторонним идеалом.

(3) Предложение 7.4.8 показывает, что для функции f, удовле творяющей условиям 7.5.6 (1), будет aN 1 f () dµ () = f (n), aN n= что эквивалентно стандартному равенству aN f () dµ () = lim f (n).

N aN n= (4) Для непрерывной функции имеет место более сильное ра венство N f () dµ () = lim f (n).

N N n= Это следует из строгой эргодичности сдвига на 1 в, которая сле дует, в свою очередь, из того, что (1) = 1 для любого нетриви ального характера (см. [97, глава 4, § 1, теорема 1]). Для последовательности := {(n + 1)! : n N} указанное равенство было получено ранее в работах по аналитической теории чисел для несколько более широкого класса функций, включающего все функ ции из 7.5.6 (1) (см., например, [190]). Этот результат показывает, что условия ограниченности и непрерывности почти всюду не явля ются необходимыми для функции f, чтобы f была лифтингом f 7.5. Примеры гиперприближений (здесь f определена на компактной абелевой группе G и (G, ) гиперприближение группы G).

(5) Если в качестве взять последовательность (pn+1 )nN, то кольцо Zp p-адических целых. Следовательно (см. 7.5.5), Zp Kp /Kp0, где Kp := Z/pN Z, Kp0 := {a Kp : ( st n)(pn | a)} и N +.

(6) Весьма важную роль в теории чисел играет кольцо :=, которое иногда называют кольцом полиадических це {(n+1)!:nN} лых. Из 7.5.5 вытекает, что K/K0, где K := Z/N ! Z, K0 := {a K : ( st n)(n | a)} и N +.

Используя гиперприближение, можно дать простое доказатель ство того, что pP Zp, где P множество всех простых чисел (см. [**]).

(7) Легко видеть, что, в отличие от случая Zp, отображение, построенное в 7.5.11, не приближает умножение в Qp.

Действительно, пусть m, n G представимы в виде m := pM и n := pM +1. Тогда (m) = p1 и (n) = p и, значит, (m)(n) = 1.

Возможны два случая. Если 2M N, то (mn) = pM 0. Если же 2M N, то, поскольку речь идет об умножении в Z/pN Z, получим mn = pM (N M ). Поэтому mn Gf, ибо N M является бесконечно / большим числом.

Аналогично доказывается, что ни при каком гиперприближе ние аддитивной группы поля R из 7.5.1 не будет приближать умно жение в R.

(8) А. М. Вершик и Е. И. Гордон [26] доказали аппрокси мируемость нильпотентных групп Ли, алгебры Ли которых допус кают базис с рациональными структурными константами, и подроб но изучили класс дискретных групп, аппроксимируемых конечными группами.

В [26] поставлен также вопрос об аппроксимируемости простых классических групп Ли, в частности, группы SO(3). Отрицатель ный ответ на этот вопрос получили М. А. Алексеев, Л. Ю. Глебский и Е. И. Гордон в работе [4], где доказано, что компактная группа Ли G аппроксимируема конечными группами в том и только в том 424 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе случае, если для любого 0 существует конечная подгруппа H группы G, которая служит -сетью в G относительно какой-нибудь метрики, определяющей топологию G. В [4] также дано дано опре деление аппроксимируемости коммутативных нормируемых алгебр Хопфа конечномерными биалгебрами и доказано, что компактная группа приближается конечными группами в том и только в том случае, если ее коммутативная алгебра Хопфа приближается конеч номерными коммутативными алгебрами Хопфа.

7.6. Дискретное приближение функциональных пространств на локально компактной абелевой группе Используя результаты параграфа 7.4, можно осуществить дис кретное приближение функционального гильбертова пространства на локально компактной абелевой группе.

Всюду ниже основная локально компактная группа обозначает ся буквой G, а двойственная группа символом G.

7.6.1. Пусть некоторая (лево)инвариантная метрика на G.

В этом случае определение приближающей последовательности из 7.4.11 имеет следующий вид.

Последовательность ((Gn, n ))nN конечных групп Gn и отоб ражений n : Gn G называют приближающей для G, если для любого 0 и произвольного компакта K G существует N такой, что для всех n N выполнены условия:

(1) n (Gn ) представляет собой -сеть для K;

± (2) если n умножение в Gn, то (n (g1 n g2 ), n (g1 ) · ±1 n (g2 ) ) для любых g1, g2 n (K);

(3) n (en ) = e, где en и e единицы в группах Gn и G соответственно.

Локально компактную группу, которая обладает приближаю щей последовательностью, называют аппроксимируемой.

Напомним, если µ мера Хаара на G, а ((Gn, n ))nN прибли жающая последовательность для G, то любая ограниченная µ-почти всюду непрерывная быстро убывающая функция f : G C сумми руема и имеет место равенство f dµ = lim f (n (g)), n n gGn G 7.6. Дискретное приближение пространств µ(U ) где n := |1 (U )| (см. предложение 7.4.13 (1), в котором выбрана n такая компактная окрестность нуля U, что µ(U ) = 1). Последова тельность чисел ( n ) будем называть нормирующим множителем приближающей последовательности ((Gn, n ))nN.

В качестве нормирующего множителя можно взять любую дру гую последовательность ( n ), эквивалентную ( n ). Для компакт ной группы G полагаем n := |Gn |1, а для дискретной группы G считаем, что n := 1.

Рассмотрим двойственную пару приближающих последователь ностей ((Gn, n ))nN и ((Gn, n ))nN для группы G, см. 7.4.14. Ес ли ( n ) нормирующий множитель для ((Gn, n ))nN (относитель но µ), то ( n ), где n := (|Gn | · n )1, нормирующий множитель для ((Gn, n ))nN (относительно меры Хаара µ). Заметим, что для конечной абелевой группы Gn двойственная группа Gn изоморф на Gn, поэтому |Gn | = |Gn |.

Преобразование Фурье Fn : L2 (Gn ) L2 (Gn ) вводится форму лой Fn ()() := n · (g)(g), gGn а обратное преобразование Фурье Fn имеет вид Fn ()(g) = · ()(g).

n Gn Для преобразования Фурье функции f мы будем использовать также символ f.

Для p 1 обозначим через Sp (G) пространство функций f :

G C таких, что функция |f |p ограничена, µ-почти всюду непре рывна и быстро убывает. Для f S2 (G) положим Tn f := f n :

Gn C и Tn f := f n : Gn C. (Итак, Tn f таблица значений функции f в точках n (Gn ), а Tn f таблица значений функции f в точках n (Gn ).) Тогда согласно 7.4.15 имеет место соотношение |Tn f () Fn (Tn f )()|2 = 0.

· lim n n Gn 426 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе 7.6.2. Ниже под Lp (Gn ) и Lp (Gn ) мы понимаем пространства Gn и CGn, снабженные соответственно нормами C 1/p 1/p (p) |(g)|p (p) |()|p :=, :=.

n n n n gGn Gn При p = 2 эти пространства обозначаются через Xn и Xn, при чем нижний индекс у норм опускается. Аналогично, полагаем X := L2 (G) и X := L2 (G).

Наконец, пусть Y (соответственно Y ) некоторое плотное в X подпространство S2 (G) (соответственно плотное в X подпростран ство S2 (G)). При этом всегда имеется в виду фиксированная двой ственная пара приближающих последовательностей ((Gn, n ))nN и ((Gn, n ))nN.

Последовательности ((Lp (Gn ), Tn ))nN и ((Lp (Gn ), Tn ))nN слу жат дискретными приближениями пространств Lp (µ) и Lp (µ) соот ветственно.

Этот факт следует непосредственно из 7.4.10 и 7.4.13 (2).

7.6.3. Далее мы ограничимся рассмотрением групп с компакт ной и открытой подгруппой. Начнем с дискретной группы G. В этом случае X = l2 (G) и определение приближающей последовательности существенно упрощается.

Если G дискретная группа и ((Gn, n ))nN приближающая последовательность (см. 7.4.11 и 7.4.12), то имеют место утвержде ния:

(1) lim n (Gn ) = G;

(2) (a, b G)(n0 N )(n n0 )(g, h Gn ) (n (g) = a, n (h) = b n (g n h±1 ) = a · b±1 );

(3) n (en ) = e.

Так как для дискретной группы интеграл по мере Хаара совпа дает с суммой значений функций, то можно написать условие сум мируемости (4) (f l1 (G))( 0)(n K G) |f ()|.

GK Из (1) без труда выводится, что имеет место утверждение 7.6. Дискретное приближение пространств (5) (n K G)(n0 N )(n n0 )(n (Gn )) K.

Подмножество дискретной группы компактно лишь в том слу чае, когда оно конечно, следовательно, для нормирующего множи теля будет n = 1. Из (4) и (5) видно, что всякая суммируемая функция является быстро убывающей. Тем самым Y = X, значит, дискретное приближение ((Xn, Tn ))nN будет сильным. Нетрудно построить сохраняющее норму вложение n : Xn X, служащее правым обратным к Tn и удовлетворяющее условию sup sup (inf{ x : Tn x = z}) +.

n n z = В самом деле, такое вложение можно определить формулой (g), = n (g), n ()() := n (Gn ).

0, / 7.6.4. Рассмотрим теперь общий случай локально компактной абелевой группы G с компактной и открытой подгруппой K. По дискретная группа и L G, ибо ложим L := G/K. Тогда L L = {p G : p|K = 1}. Пусть µ мера Хаара на G такая, что µ(K) = 1. Тогда двойственная мера Хаара µ на G удовлетворяет условию µ(L) = 1. Дискретная группа K изоморфна G/L. Пусть {al : l L} полная система попарно различных представителей смежных классов из G/K и {ph : h K} полная система попарно различных представителей смежных классов из G/L. Заметим, что ph (k) = h(k) при k K.

(1) Если a G и p G, то существует единственная четверка элементов l L, k K, h K и s L такая, что p(a) = ph (al ) · s(l) · h(k).

a = al + k, p = ph + s, Пусть L2 (G) и l L. Обозначим символом l такую функ цию из L2 (K), что l (k) = (al + k). Тогда, очевидно, 2 = lL l. Используя преобразование Фурье на компактной группе K, приходим к представлению l (k) = hK clh h(k). Соответствие 428 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе (clh )lL,hK, обозначаемое ниже символом, является унитар ным изоморфизмом гильбертовых пространств L2 (G) и l2 (L K), где |clh |2 +.

l2 (L K) := (clh )lL,hK :

lL,hK Понятно, что изоморфизм зависит от выбора системы представи телей {al : l L} для G/K.

Аналогично, для любых функции L2 (G) и характера h K определим функцию h L2 (L) соотношением h (s) := (ph + s).

lL dlh s(l) и соответствие (dlh )lL,hK, обо Тогда h (s) = значаемое символом, вновь будет унитарным изоморфизмом гиль бертовых пространств L2 (L) и l2 (L K). И опять этот изоморфизм зависит от выбора полной системы представителей смежных классов {ph : h K} из G/L. Итак, для L2 (G) имеет место представле ние (ph + s) = dhl s(l).

lL Рассмотрим L2 (G) и в преобразование Фурье (p) = (g)p(g) dµ(g) G подставим отмеченное в 7.6.4 (1) выражение для p(a). Тогда l (k)ph (al ) · s(l) · h(k) dµ(k).

(ph + s) = lL K Учитывая равенства l (k)h(k) dµ(k) = clh и s(l) = s(l), отсюда K получаем (ph + s) = ph (al )clh s(l).

lL Сравнивая эту формулу с полученным выше представлением для (ph + s), приходим к следующему заключению.

7.6. Дискретное приближение пространств (2) Преобразование Фурье F : L2 (G) L2 (G) эквива лентно унитарному оператору в l2 (L K), определяемому матрицей f (h, l, h, l ) = ph (l ) · h,h l,l.

Обозначим символом Dtest подпространство функций L2 (G) таких, что и имеют компактные носители, и пусть Dtest под пространство L2 (G), определяемое тем же самым условием. Очевид но, что F (Dtest ) = Dtest.

7.6.5. Пусть L2 (G), (f ) = (clh )lL,hK и (f ) = (dlh )lL,hK.

Тогда Dtest в том и только в том случае, если существуют конечные множества A L и B K, для которых clh = 0 при (l, h) A B. В этом случае существуют также конечные множе / ства R L и S K такие, что dlh = 0 при (l, h) R S.

/ Это утверждение следует из того, что матрица f (h, l, h, l ) имеет лишь по одному ненулевому элементу в каждой строке и каж дом столбце.

Пусть ((Gn, n ))nN и ((Gn, n ))nN двойственная пара при ближающих последовательностей для G.

7.6.6. Существует такой номер n0 N, что для всех n n0 мно жества Kn := 1 (K) и Ln := 1 (L) подгруппы групп Gn и Gn со n n ответственно, последовательности ((Kn, n |Kn ))nN и ((Ln, n |L ))nN n приближающие последовательности для K и L соответственно и Ln двойственная группа для Ln := Gn /Kn.

Возьмем фиксированное число N +. Нужно доказать, что KN := 1 ( K) подгруппа группы GN. Пусть N (a) K N и N (b) K. Тогда N (a ± b) N (a) ± N (b) K, значит, N (a ± b) K, так как K компактная и открытая подгруп подгруппа и, далее, (KN, N |KN ) очевид па. Тем самым KN ным образом удовлетворяет условиям 7.4.1 (1,2). Это доказывает, что ((Kn, n |Kn ))nN приближающая последовательность для K, см. 7.4.11. Доказательство для двойственной приближающей после довательности аналогично.

Остается показать, что группа LN двойственна к LN := GN /KN.

Это означает справедливость эквивалентности N () L |KN 430 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе для всех GN. Если N () L, то N ()| K 1. Отсюда 1 = N ()(N (g)) (g) при g KN. Заметим, что и g около стандартны ввиду компактности L и K. Итак, |KN 1 и согласно 7.2.11 (1) |KN 1.

Пусть теперь |KN 1. Тогда (g) = 1 для всех g GN, удо влетворяющих условию N (g) 0. Отсюда, так же как и в дока зательстве 7.4.10, выводим N () nst G. Пусть k K. То гда существует g KN такой, что N (g) k. Таким образом, N ()(k) N ()(N (g)) (g) = 1, следовательно, N ()| K 1.

Так как группа K дискретна, то N ()| K 1.

7.6.7. Всюду ниже Kn и Ln подгруппы соответственно групп Gn и Gn для каждого n N. Скажем, что приближающая последо вательность ((Ln, n ))nN дискретной группы L совместима с при ближающей последовательностью ((Gn, n ))nN, если для любого ко нечного множества B L существует такой номер n0 N, что для любых n n0, Ln из n () = l B вытекает 1 (l) =.

n Можно дать следующее эквивалентное определение.

Приближающая последовательность ((Ln, n ))nN для дискрет ной группы L совместима с приближающей последовательностью ((Gn, n ))nN в том и только в том случае, если для любого N + и для любого стандартного l L выполняется эквивалентность N () = l 1 (l) = при всех LN.

N Приближающая последовательность ((Gn, n ))nN группы G яв ляется двойственной к некоторой приближающей последовательно сти ((Gn, n ))nN группы G в том и только в том случае, если для любого N + выполнены условия:

(1) если GN обладает тем свойством, что (g) для всех g 1 (nst G), то N () 0;

n (2) если N (g) nst G и N () nst G, то N ()(N (g)) (g).

Это следует непосредственно из 7.4.6 и 7.4.11.

7.6.8. Приближающая последовательность ((Ln, n ))nN, двой ственная к приближающей последовательности ((Ln, n |L ))nN для n группы L, совместима с ((Gn, n ))nN.

Аппроксимирующая последовательность ((Kn, n ))nN, двойст венная к приближающей последовательности ((Kn, n |Kn ))nN, сов 7.6. Дискретное приближение пространств местима с приближающей последовательностью ((Gn, n ))nN (на помним, что Kn := Gn /Ln ).

Возьмем LN и N () = l L. По определению двойствен ной приближающей последовательности из 7.6.7 N ()(l) () при LN. Нужно доказать соотношение 1 (l) =. Заметим, что су N ществует лишь один элемент GN, для которого N ( ) = l. В са мом деле, если N ( ) = N ( ) = l, то N (a b) N (a) N (b) K для a и b. Так как K компактная и открытая подгруппа, то N (a b) K, следовательно, a b KN и =. Как вид но, () ( ) для всех LN и так же, как и в доказательстве теоремы 7.4.10, получаем равенство =.

7.6.9. Пусть {al : l L} полная система попарно различных представителей смежных классов фактор-группы G/K. Тогда для любого числа 0 и конечного множества B L при достаточ но больших n N существует полная система { : Ln } по парно различных представителей смежных классов фактор-группы Gn /Kn такая, что (an (), ) для всех n (B). Здесь ((Ln, n ))nN приближающая последовательность для L, совме стимая с ((Gn, n ))nN.

Ясно, что данное предложение имеет следующую нестандарт ную формулировку.

Пусть {al : l L} полная система попарно различных предста вителей смежных классов фактор-группы G/K. Тогда для каждого N + существует полная система { : LN } из попарно раз личных представителей смежных классов фактор-группы GN /KN и такая, что N ( ) al для всех N (L), где N () = l.

Пусть R := N ( {al : l L}) GN. Определим внутреннее отношение эквивалентности на R формулой g h g h KN и положим R := R/. Введем также внутреннее множество S R так, что S := {r R : |r| = 1} и положим S := S. Тогда 1 (al ) N S для любого стандартного l L.

Пусть S := { LN : (g S ) (g )} и T полная система попарно различных представителей смежных классов из множества L S. Тогда, очевидно, S T = и S T полная система попарно различных представителей смежных классов из LN.

7.6.10. Пример. Пусть G аддитивная группа поля p-ади ческих чисел Qp. Выберем две последовательности целых чисел 432 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе r, s, и пусть n := r + s. Пусть, далее, Gn аддитивная груп па кольца Z/pn Z := {0, 1,..., pn 1} (такое представление кольца существенно для наших рассмотрений). Определим n : Gn Qp k формулой n (k) := pr. Тогда ((Gn, n ))nN приближающая после довательность для G, см. 7.5.9.

Двойственная группа G := Qp изоморфна Qp : произвольный характер Qp имеет вид () = exp(2i{}) для Qp, причем топологический изоморфизм. Таким образом, мы можем отождествить Qp и Qp и рассматривать двойственную приближаю щую последовательность как некоторую приближающую последова тельность для Qp. Отождествим также Gn с Gn. Тогда двойствен ная приближающая последовательность ((Gn, n ))nN определяется m формулой n (m) := ps, см. 7.5.10.

В качестве компактной и открытой подгруппы K группы G возьмем аддитивную группу кольца p-адических целых Zp. Тогда Kn := 1 (K) = pr Gn := {k · pr : k := 0, 1,..., ps 1}.

n Чтобы определить фактор-группу L := G/K, обозначим сим волом Q(p) аддитивную группу рациональных чисел вида m, где pl l 0. Как видно, L изоморфна группе Q(p) /Z. Фактор-группа Ln := Gn /Kn будет изоморфна Z/pr Z := {0, 1,..., pr 1}. Опре делим вложение n : Ln L формулой n (t) := ptr. Легко прове рить, что ((Ln, n ))nN приближающая последовательность для L, совместимая с приближающей последовательностью ((Gn, n ))nN.

k Множества { pl : k pl, k|p} и {0, 1,..., pr 1} будут полны ми системами попарно различных представителей смежных классов из фактор-групп G/K и Ln := Gn /Kn соответственно, удовлетво ряющими предложению 7.6.9. Простое доказательство этого факта опускается.

В соответствии с нашими отождествлениями будет L = Zp = K и K = L. Таким образом, Ln = {0, 1,..., pr 1} {k · ps : k = 0, 1,..., pr 1};

Kn = {0, 1,..., ps 1}.

u Если при этом n : Kn L определяется формулой n (u) := ps, то ((Kn, n ))nN приближающая последовательность фактор-группы 7.6. Дискретное приближение пространств G/L := K = L, совместимая с приближающей последовательностью ((Gn, n ))nN.

Множество {0, 1,..., ps 1} представляет собой полную систе му попарно различных представителей смежных классов из фактор группы Kn = Gn /Ln, удовлетворяющей 7.6.9 для этой приближаю щей последовательности.

(1) Матрица преобразования Фурье в рассматриваемом случае (см. 7.6.4 (2)) имеет вид f ((m, l), (u, v), (m, l ), (u, v )) = 2im u = exp l +v (m,l),(m,l ) (pv u,v),(u,v ).

p Пусть p := {(m, l) : m|p, 0 m pl }. Тогда по очевидным со ображениям l2 (L K) мы можем отождествить с l2 ( p ) и, используя pv u u (p) справедливое в Q равенство pv = pv, приходим к требуемому.

Аналогичные соображения применимы и к конечному преобра зованию Фурье Fn : L2 (Gn ) L2 (Gn ). Точнее, имеет место утвер ждение.

(2) Матрица 7.6.4 (2) для конечного преобразования Фу рье Fn имеет вид 2il v f (l, v, l, v ) = exp pr l,l vv.

pn Отождествим L2 (Gn ) с l2 (Ln Kn ) по формуле ps 2ikh r (l + kp ) := clh exp ps h= ( L2 (Gn ), 0 l p 1, 0 k ps 1) r и отождествим L2 (Gn ) с l2 (Ln Kn ) по формуле pr 2itl s (v + tp ) := dlv exp pr l= ( L2 (Gn ), 0 v ps 1, 0 t pr 1).

434 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе Тогда имеет место цепочка равенств pn 2iu(v + tps ) Fn () = (v + tp ) = s s (u) exp = pn p u= pr 1 ps 1 ps 2i(l + kpr )(v + tps ) 1 2ikh exp =s clh exp = ps pn p l=0 k=0 h= pr 2ilv 2ilt clv exp exp =, pn pr l= откуда следует требуемое.

7.6.11. Обычно дискретное приближение ((Xn, Tn ))nN не яв ляется сильным, но его можно несколько изменить, чтобы оно ста ло сильным. В этом пункте мы построим сильное дискретное при ближение ((Xn, Sn ))nN пространства X, удовлетворяющее условию 6.2.6 (1) и соотношению Tn f Sn f n 0, справедливому для всех f из некоторого плотного подмножества Y. Очевидно, что в этом слу чае дискретное приближение Sn определяет то же самое вложение t : X X, что и дискретное приближение Tn.

Сильное дискретное приближение для случая Rn было постро ено в [286]. Здесь мы рассмотрим только группу с компактной и от крытой подгруппой. Как было отмечено в 7.6.3, если G дискретная группа, то дискретное приближение ((Xn, Tn ))nN будет сильным и выполнено 6.2.6 (1).

(1) Пусть группа G компактна. В этом случае нормиру ющий множитель имеет вид n := |Gn |1. В этой ситуации дис кретное приближение ((Xn, Tn ))nN может не быть сильным. Плот ное подпространство Y X состоит из ограниченных почти всюду непрерывных функций и, как легко проверить, оператор Tn не может быть продолжен на все X в общем случае. Определим Sn : X Xn следующей формулой:

Sn (f )(g) := f (n ())(g).

Gn 7.6. Дискретное приближение пространств (2) Пусть теперь G некоторая локально компактная абелева группа с компактной и открытой подгруппой K. Пусть, далее, L := G/K, а ((Gn, n ))nN, ((Gn, n ))nN двойственная пара приближающих последовательностей для G.

Предположим, что Kn удовлетворяет условиям предложения 7.6.6, Ln := Gn /Kn и ((Ln, n ))nN приближающая последова тельность для L, совместимая с ((Gn, n ))nN.

Зафиксируем полную систему {al : l L} попарно различных представителей смежных классов из L. Переходя к подпоследова тельностям, если необходимо, мы можем предположить в силу 7.6.9, что для каждого n N существует полная система { : Ln } попарно различных представителей смежных классов из Ln такая, что lim n ( 1 (l) ) = al (l L).

n n Обозначим символом Sn оператор из L2 (K) в L2 (Kn ), определяемый как в (1). Оператор Sn : X Xn введем формулой ( Kn, Ln ).

Sn ( + ) := Sn n () () Здесь, как и выше, l (k) := (al + k).

7.6.12. В случае, когда группа компактна, последовательность ((Xn, Sn ))nN представляет собой сильное дискретное приближение X, для которого Tn f Sn f n 0 при всех f Y и выполнено условие 6.2.6 (1).

Поскольку {(g) : Gn } ортонормальный базис в Xn, то будет Sn (f ) 2 = G |f (n ())|2. Группа Gn дискретна, по n этому дискретное приближение ((Xn, Tn ))nN пространства X будет сильным. Таким образом, |f (n ())|2 = f 2 lim =f, n Gn следовательно, Sn (f ) f.

Если f Y, то, применив теорему 7.4.15 к обратному преобразо ванию Фурье, получим Tn (f ) Fn Tn f 0 при n. Но тогда по определению обратного преобразования Фурье Fn Tn f = Sn (f ).

436 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе Чтобы показать справедливость условия 6.2.6 (1) для дискрет ного приближения ((Xn, Sn ))nN, определим вложение n : Xn X правилом Fn ()()n ()().

n ()() := Gn Тогда n (Xn ) = { G c n ()}. При этом для всех f n (Xn ) n легко проверяется равенство n (Sn (f )) = f Отсюда видно, что если pn : X n (Xn ) ортопроектор, то Sn = 1 pn, что и устанавли n вает 6.2.6 (1).

7.6.13. В случае локально компактной группы с компактной и открытой подгруппой последовательность ((Xn, Sn ))nN представля ет собой сильное дискретное приближение X, для которого выпол нено условие 6.2.6 (1). Более того, Tn Sn n 0 при n для всех S2 (G).

Как мы видели выше, соответствие {l : l L} это унитарный изоморфизм между гильбертовыми пространствами X и (l) (l) lL X, где каждое X совпадает с L2 (K). Аналогично, соот ветствие { : Ln }, где () := ( + ), осуществляет () унитарный изоморфизм гильбертовых пространств Xn и lL Xn, () где каждое Xn совпадает с L2 (Kn ). Отождествляя унитарно изо морфные гильбертовы пространства, получим Sn ({l : l L}) = Sn n () : Ln.

Отсюда вытекает первая часть требуемого утверждения, так как Sn удовлетворяет 7.6.12.

Докажем вторую часть. Сначала предположим, что непре рывная функция с компактным носителем. Тогда существует стан дартное конечное множество A L такое, что для всех k K верно (al + k) = 0, если только l A. Зафиксируем N +. Нужно / лишь установить, что TN SN 0. Пусть { : LN } пол ная система попарно различных представителей смежных классов из LN, удовлетворяющая нестандартной версии предложения 7.6.9.

Тогда для любого g KN будет TN ( + g) = N ( + g) = 0 в том и только в том случае, когда N () A.

Если N () = l A, то, учитывая определение гиперприбли жения (см. 7.4.1 (2)) и соотношение N ( ) al, можно написать 7.6. Дискретное приближение пространств TN ( + g) = (N ( + g)) (N ( ) + N (g)) (al + M (g)) = TN l (g).

Здесь использовано также и то, что непрерывная функция с компактным носителем равномерно непрерывна, стало быть, даже для нестандартных и соотношение влечет () () (см. 2.3.12). Теперь определение Sn из 7.6.11 (2) дает SN ( + g) = SN l (g).

Если N () = l A, то согласно 7.6.12 TN l Sn l, а если N () = l A, то l = 0 и тем самым SN l = 0. Так как мощность / A стандартно-конечна, то TN SN N 0.

Пусть произвольная функция из S2 (G). Зафиксируем про извольное стандартное число 0. Тогда существует непрерывная функция с компактным носителем такая, что. Из определения дискретного приближения следует TN ()TN () N = TN ( ) N.

По той же самой причине SN () SN () N, сле довательно, TN () TN () N + SN () SN () N 2. Далее, TN SN N TN () TN () N + TN () SN () N + SN () SN () N 5, поскольку TN () SN () N 0. Так как стандарт ное 0 произвольно, то TN SN N 0.

Аналогично можно ввести отображение Sn : L2 (G) L2 (Gn ), удовлетворяющее доказанному предложению.

Пусть { : Kn } полная система попарно различных представителей смежных классов из Gn /Ln, удовлетворяющая усло виям 7.6.9 для приближающей последовательности ((Gn, n ))nN, а Sn : L2 (L) L2 (Ln ) оператор, удовлетворяющий 7.6.11 для при ближающей последовательности ((Ln, n |L ))nN группы L. Тогда n () для всех Kn и Ln.

Sn ( + ) = Sn () n 7.6.14. Вернемся к примеру 7.6.10. Для почти всюду непрерыв ной функции L2 (Qp ) справедлива цепочка равенств (Tn )( + kpr ) = (n ( + kpr )) = ( + k) = pr 2iku = (l,m) (k) = c(l,m)(u,v) exp.

pv (u,v) p и l/pm = /pr.

Здесь (l, m) p 438 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе Чтобы подсчитать Sn, заметим, что в нашем случае L = Zp, поэтому n : Kn L двойственное к n |Kn приближение. Исполь зуя 7.6.11 (1), получим Sn (j + kpr ) = Sn n (j) (n (kpr )) = Sn (l,m) (k) = 2iwk 2iku = c(l,m) (w) exp = c(l,m)(u,v) exp.

s pv p n vs (u,v) p wKn Если Dtest (см. предложение 7.6.5), а r, s удовлетворяют соотношениям m r, v s, c(l,m)(u,v) = 0, n = r + s, то указанные выше выражения для Sn и Tn дают Sn = Tn.

Сравнив 7.6.10 (1) и 7.6.10 (2) с выражением для Sn, получаем Sn (f ) = Fn (Sn f ) для любого f L2 (Qp ), и если f Dtest, то Tn (f ) = Fn (Tn f ). Поскольку Dtest плотно в X, то тем самым установлена теорема 7.4.15 для рассматриваемого случая.

# 7.6.15. Для N + определим пространство X := XN и опе ратор t : X X как в 6.2.3. Здесь XN := L2 (GN ) и X := L2 (G) (b) (см. 7.6.2). Предложение 6.2.4 показывает, что для XN важно # знать, при каких условиях tX.

(b) Говорят, что элемент XN проксистандартен, и пишут (b) proxy(XN ), если существует элемент f X такой, что # = t(f ).

Будем использовать обозначения:

H(GN ) := GN 1 (proxy( G)), H(GN ) := GN 1 (proxy( G)), N N H(LN ) := LN N (L), H(KN ) := KN N (K).

(b) Теорема. Элемент XN является проксистандартным в том и только в том случае, если выполнены следующие два условия:

(1) N gB |(g)|2 0 для любого внутреннего множе ства B H(GN );

(2) N C |FN ()()|2 0 для любого внутреннего множества C H(GN ).

: Пусть := t(f ). Так как Dtest плотно в X, то можно предположить, что для каждого стандартного 0 существует 7.6. Дискретное приближение пространств Dtest такой, что |(g) (N (g))|2.

N gGN Преобразование Фурье сохраняет норму, а по теореме 7.4.10 N FN ( N ), поэтому верно |FN ()() (N ())|2.

N GN Разумеется, те же оценки справедливы, если суммирование ведется по некоторым внутренним подмножествам множеств GN и GN соот ветственно. Функции и имеют компактные носители, поэтому supp proxy( G) и supp proxy( G). Следовательно, для произвольных внутренних множеств B H(GN ) и C H(GN ) бу дет N |B = 0 и N |C = 0. Теперь из наших оценок вытекает, что |(g)|2, |FN ()()|2.

N N gB C Поскольку стандартное число 0 произвольно, то необходимость обоснована.

: Пусть удовлетворяет условиям (1) и (2). Зафиксируем полные системы { : LN } и { : KN } попарно различных представителей смежных классов из групп LN и GN /LN соответ ственно, которые удовлетворяют нестандартной версии предложения 7.6.9 (см. доказательства предложений 7.6.8 и 7.6.9). Для LN и k KN выполняется ( + k) =, (k).

KN Для завершения доказательства необходимы два вспомогатель ных факта.

(A) Для любых внутренних P H(LN ) и Q H(KN ) | |2 0, |, |2 0.

Q LN P K N 440 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе Заметим, что в рассматриваемом случае нормирующие мно жители имеют вид N := |KN |1 и N := |LN |1, см. 7.6.1 (в ка честве K берем относительно компактную открытую окрестность нуля в G). Возьмем внутреннее множество P H(LN ). Тогда B = P + KN H(GN ). Учитывая, что {(k) : KN } орто нормальный базис в L2 (KN ), из условия (A) мы выводим:

0 |KN |1 |(g)|2 = |KN |1 |( + k)|2 = gB P kKN | |2.

= |KN | (k) = P kKN P K KN N Аналогично, для KN и LN верно FN ()( + ) =, ().

LN Следовательно, для внутреннего множества Q H(KN ) выполняет ся |, |2 0.

Q LN Повторив вычисления, приводящие к формуле 7.6.4 (2), для пре образования Фурье FN получим, = ( ). Стало быть, |, | = | |, откуда немедленно вытекает второе из требуемых равенств.

Группы L и K счетны ввиду сепарабельности группы G. По этому существуют возрастающие последовательности конечных под множеств Am L и Bm K такие, что L = mN Am и K = Bm. Положим Am := N (Am ) и Bm := N (Bm ). Определим mN последовательность (m )mN XN формулой (k), если Am, Bm m ( + k) := если Am.

0, / (Б) Установим, что в X выполняется # = lim #. m m Достаточно проверить, что для любого стандартного 0 су ществует стандартное натуральное число m0 такое, что m 7.6. Дискретное приближение пространств для всех m m0. Аналогично тому, как это делается для L2 (G), можно без труда показать, что соответствие {, : LN, KN } представляет собой унитарный изоморфизм между гильберто выми пространствами L2 (GN ) и l2 (LN KN ). Таким образом, | |2.

m = (,)LN KN Am Bm Легко видеть, что L AM L и K BM K для каждого M +. Нетрудно заметить, что P := LN AM H(LN ) и Q := KN BM H(KN ). Если взять S LN KN AM BM, то | |2 | |2 + | |2.

(,)LN Q (,)S (,)P KN Обе суммы в правой части этого неравенства бесконечно малы в силу (A), поэтому M 2 0. Введем внутреннее множество C := {m N : m }. Как было только что установле но, C содержит все бесконечные гипернатуральные числа M. По принципу незаполненности 3.5.11 (2), существует стандартное нату ральное число m0 такое, что в C содержатся все m m0, что и требовалось.

Так как число доступно, то L | |2 доступное число, N поэтому каждое также доступно. Для l L и h K положим clh := 1 и определим fm Dtest для m N формулой (l) (k) N N clh h(), если l Am, hBm fm (al + ) := если l Am.

0, / Тогда из предложений 7.6.9 и 7.6.12 выводим (k), если Am, c N () N () Bm SN (fm )( + k) = если Am, 0, / и SN (fm ) TN (fm ). Таким образом, SN (fm )# = t(fm ). В то же время |2.

SN (fm ) m | c = N () N () Am Bm 442 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе Эта величина бесконечно мала, так как c () () и мощность N N множества Am Bm стандартно-конечна. Теперь из (Б) вытекает # = limm t(fm ), значит, # t(X).

7.6.16. Примечания.

(1) Результаты этого параграфа взяты из работы С. Альбеве рио, Е. И. Гордона и А. Ю. Хренникова [239].

(2) В связи с 7.6.10 (2) отметим, что известный алгоритм Кули Тьюки для быстрого преобразования Фурье основан в точности на тех же вычислениях, см. [253].

(3) Аналогичные примеру 7.6.10 рассмотрения возможны и для каждой из групп Qa, где a := (an )nZ произвольная последова тельность положительных целых чисел (см. определения в [219], где эти группы обозначены символом a ). Двойственная пара прибли жающих последовательностей для Qa описана во введении к кни ге [**]. Хорошо известно (см., например, [54]), что всякая вполне несвязная локально компактная абелева группа изоморфна груп пе Qa для подходящей последовательности a.

(4) Теорема 7.4.15 вместе с конструкцией сильного дискретно го приближения и предложением 7.6.12 влечет теорему 6.1 из [285] о приближении локально компактных абелевых групп конечными группами в смысле систем Вейля для случая групп с компактной и открытой подгруппой. Чтобы вывести теорему 6.1 из [285] из тео ремы 7.4.15 в случае группы Rn, необходимо использовать сильное дискретное приближение L2 (Rn ), введенное в [286].

7.7. Гиперприближение псевдодифференциальных операторов В этом параграфе займемся гиперприближением псевдодиффе ренциальных операторов на локально компактной абелевой группе с компактной и открытой подгруппой.

7.7.1. Пусть G локально компактная абелева группа, а G двойственная группа.

(1) Для достаточно хорошей функции f : G G C можно определить линейный оператор (возможно, неограниченный) 7.7. Гиперприближение псевдодифференциальных операторов Af : L2 (G) L2 (G) по формуле ( L2 (G)).

Af (x) := f (x, )()(x)dµ() G При этом говорят, что Af псевдодифференциальный оператор с символом f.

(2) Приближающий оператор (или приближение c номе (n) : C(Gn ) C(Gn ) для Af определяется формулой ром n) Af (n) ( Xn, x Gn ).

Af (x) := f (n (x), n ())Fn ()()(x) n Gn Здесь мы ограничимся рассмотрением лишь случая группы G с ком пактной и открытой подгруппой K. Как и выше, L := G/K, причем фиксированы полные системы {al : l L} и {ph : h K} попарно различных представителей смежных классов L и K := G/L.

(3) Очевидно, что отображения (n, n ) : Gn Gn GG задают приближающую последовательность для G G. Обозначим (2) символом Sn : L2 (Gn Gn ) L2 (G G) отображение, определенное в предложении 7.6.13 для этой приближающей последовательности.

(2) Таким образом, ((L2 (Gn Gn ), Sn ))nN сильное дискретное при ближение пространства L2 (G G) и можно определить еще один приближающий оператор для Af формулой:

(n) (2) Bf (x) := (Sn f )(x, )Fn ()()(x).

n Gn 7.7.2. Оператор Af будет оператором Гильберта Шмидта в том и только в том случае, если f L2 (G G). В этом случае имеет место оценка |f (x, )|2 dµ µ(x, ).

Af GG 444 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе Сформулированное утверждение хорошо известно в классиче ской теории псевдодифференциальных операторов (см., например, [9]) и почти очевидно в нашем случае.

Доказательство легко следует из того наблюдения, что ядро опе ратора Af имеет вид K(x, y) := (FG f )(x, x y), где FG преоб разование Фурье по второй переменной, поэтому K(x, y) L2 (G2 ) = f (x, ) L (GG).

7.7.3. Теорема. Если Af является оператором Гильберта Шмидта, то справедливы следующие утверждения:

(n) (1) последовательность (Bf ), введенная в 7.7.1 (3), рав номерно ограничена, т. е.

(n0 )(n n0 ) |Bn f (x, ) ;

L2 (GG) (n) (2) последовательность (Bf ) дискретно сходится к эле менту Af относительно сильного дискретного при ближения ((Xn, Sn ))nN из 7.6.13 и эта сходимость равномерная;

(3) если f S2 (GG) (обозначение см. в 7.6.1), то An Bn 0, следовательно, утверждения (1) и (2) вы (n) полняются также и для последовательности (Af ).

Доказательство разобьем на несколько шагов.

(2) (а): Зафиксируем N +. Очевидно, что Bn Sn f n для любого n N. Здесь использовано, в частности, то, что Fn = (2) и |(x)| = 1. По определению дискретного приближения SN f N (2) f. Если f S2 (G G), то SN f TN f N 0. Это доказывает утверждения (1) и (3), стало быть, остается установить (2).

(б): Если и обозначают указанные в 7.6.4 (1) унитарные изо морфизмы соответственно между L2 (G) и l2 (L K) и между L2 (G) и l2 (L K), то Af, рассматриваемый как оператор в l2 (L K), имеет вид (f )(l, h, l + l, h h )ph (al )()(l, h ).

(Af )(l, h) = h,l 7.7. Гиперприближение псевдодифференциальных операторов В самом деле, в указанных обозначениях для L2 (G) будет (ph s) = ()(l, h)s(l), lL Af (al + k) = (Af )(l, h)h(k).

hK Аналогично f (al + k, ph + s) = (f )(l, h, l, h )s(l )h (k), h K l L где f := ()f. Теперь простые вычисления, использующие 7.6.4 (1) и 7.7.1 (1), приводят к требуемому.

(в): Зафиксируем полные системы попарно различных предста вителей смежных классов { : LN } и { : KN }, удо влетворяющие нестандартной формулировке предложения 7.6.9 (см.

доказательство этого предложения). Тогда имеет место представле ние (N ) (f )( N (), N ( ), N ( + ), N ( )) (Bf )(, ) =, p ( )(N FN ())(, ).

В самом деле, очевидно, что K L компактная и откры тая подгруппа группы G G, причем L K = G G/K L и семейство {(al, ph ) : l L, h K} представляет собой полную си стему попарно различных представителей смежных классов. Бо лее того, семейство {(, ) : LN, KN } полная систе ма попарно различных представителей смежных классов из группы LN KN = GN GN /KN LN, удовлетворяющая нестандартной версии предложения 7.6.9. Легко понять, что тогда (2) SN f ( +, + ) = = (f )( N (), N (), N ( ) N ( ))( ) (), LN K N 446 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе где ((LN, N ))nN некоторая приближающая последовательность для L, совместимая с ((GN, N ))nN (определение см. в 7.6.7), а ((KN, N ))nN это приближающая последовательность для K, двой ственная к последовательности ((KN, N |KN ))nN, приближающей группу K.

Как и выше, унитарные изоморфизмы N : L2 (GN ) l2 (LN KN ) и N : L2 (GN ) l2 (LN KN ) определяются формулами ( + ) := (N )(, )(), KN ( + ) := (N )(, )().

LN Теперь так же, как и в (б) получаем требуемое представление.

(N ) (г): Для любого L2 (G) верно N Bf SN N SN Af 0.

Вначале проведем некоторые необходимые вычисления. Непо средственно из определений видно, что (г1 ) (N SN )(, ) = ()( N (), N ()).

Из 7.6.4 (2) вытекает формула (г2 ) ( N (), N ()) = ( N (la), N ())p () (a N () ).

N Аналогичные вычисления с использованием (г1 ) приводят к ра венству (г3 ) (N FN (SN ))(, ) = ()( N (), N ()) ( ).

Далее, из (б), (г1 ), (в) и (г3 ) выводим следующие две формулы:

(г4 ) N SN Af )(, ) = l,h (f )( N (), h, N ()+ +l, N () h )ph (a N () )(l, h );

(N ) (г5 ) (Bf SN )(, ) = (f )( N (), N ( ), N ( + ), N ( )) ( ) =, ()( N ( ), N ( )) ( ).

(2) Предположим теперь, что f Dtest. Это означает существова ние стандартных конечных множеств A L и B K таких, что (f )(l, h, l, h ) = 0, как только (l, h, l, h ) (A B)2. Пространство / (2) Dtest плотно в L2 (G G). Выберем стандартные конечные множе ства A1, B1, для которых (A A) A A1 L и (B B) B 7.7. Гиперприближение псевдодифференциальных операторов B1 K. Пусть C := N (A1 ) и D := N (B1 ). Тогда из (г4 ) вид но, что (N SN Af )(, ) = 0 при (, ) C D, следовательно, / область изменения переменных l и h можно ограничить множества ми A1 и B1 соответственно. Так как конечные множества A1 и B стандартны, то в силу 7.6.3 будет N ( ± ) = N () ± N ( ) и N ( ± ) = N () ± N ( ) для, C и, D. Эти замеча ния вместе с (б) показывают, что (г4 ) можно переписать в виде (г6 ) (N SN Af )(, ) = = C D (f )( N (), N ( ), N ( + ), N ( )) ()( N (), N ())p (a N () )p (a N ( ) ).

N ( ) N ( ) По той же самой причине можно предположить, что переменные и в сумме в правой части (г5 ) пробегают множества C и D (N ) соответственно и (Bf SN )(, ) = 0 при (, ) C D.

/ Сравнив теперь (г4 ) и (г6 ), видим, что члены под знаком суммы различаются коэффициентами ( ) ( ) в (г5 ) и p (a N () )p (a N ( ) ) N ( ) N ( ) в (г6 ). Однако эти коэффициенты бесконечно близки в силу нестан дартной версии предложения 7.6.9. Таким образом, левые части ра венств (г5 ) и (г6 ) бесконечно близки, ибо суммы в правых частях имеют лишь стандартное число ненулевых членов. Отсюда вытека (2) ет (г), а вместе с тем и второе утверждение теоремы для f Dtest.

Общий случай получается из следующего вспомогательного ут верждения.

(д): Если 7.7.3 (2) выполняется для всех Af, где f пробегает некоторое плотное подмножество Y L2 (G G), то оно выполняется для всех f L2 (G G).

(N ) Нужно доказать, что SN Af Bf SN 0. Зафиксируем произвольное стандартное 0 и выберем Y так, чтобы f. Тогда (N ) SN Af Bf SN SN Af SN A + (N ) (N ) (N ) + SN A + B SN B f B SN SN.

448 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе (N ) Далее, SN A B SN 0 по условию. В силу 6.2.2 величина SN доступна, поэтому SN Af SN A SN · Af SN · f SN, (N ) (N ) (N ) SN SN · f SN.

B SN B f SN Bf Произвол в выборе 0 завершает доказательство.

Тем самым мы завершили доказательство теоремы.

7.7.4. Если Af это эрмитов оператор Гильберта Шмидта, то справедливы утверждения:

(1) спектр (Af ) совпадает с множеством неизолирован (n) ных предельных точек множества n (Bf );

(2) если 0 = (Af ) и J окрестность, не содер жащая других точек множества (Af ), то един ственная неизолированная предельная точка множе (n) ства J n (Bf ).

Вытекает из 7.7.3 и 6.2.8, а также 6.2.3 (1) и 7.6.13.

(n) (n) 7.7.5. Операторы Af и Bf могут не быть эрмитовыми, даже если оператор Af самосопряжен, так что оставшаяся часть теоремы 6.2.8 в рассматриваемом случае будет формулироваться следующим образом.

Если выполнены условия предложения 7.7.4 и, сверх того, Af самосопряжен и последовательность из эрмитовых операторов C (n) :

(n) Xn Xn такова, что Bf C (n) n 0 при n, то имеют место утверждения:

(n) () (1) если Mn = (C (n) )J C (см. 7.7.4 (2)), то dim(Mn ) = dim(Af () ) = s для достаточно больших n и существует последовательность ортонормальных n n базисов (f1,..., fs )nN в Mn, дискретно сходящаяся к ортонормальному базису (f1,..., fs ) в Af () отно сительно дискретного приближения ((Xn, Tn ))nN ;

(2) если в условиях (1) f1,..., fs S2 (G), то последова n n тельность ортонормальных базисов ((f1,..., fs ))nN дискретно сходится к (f1,..., fs ) относительно дис кретного приближения ((Xn, Tn ))nN.

7.7. Гиперприближение псевдодифференциальных операторов 7.7.6. Рассмотрим теперь операторы типа Шрдингера. Пусть е функция f : G G C имеет вид f (x, ) := a(x) + b() (x G, G).

Если в этом выражении a(x) 0 и a(x) при x, то оператор Af называют оператором типа Шрдингера.

е До конца параграфа a(·) и b(·) вещественные почти всюду непрерывные локально ограниченные функции на G и G соответ ственно, причем a(x) при x и b() при.

Рассматриваемая группа G и ее приближающая последовательность удовлетворяют всем предположениям пункта 7.7.5.

Легко видеть, что определение оператора Af из 7.7.1 (1) в рас сматриваемом случае дает Af (x) = a(x) · (x) + b (x), где свертка в L1 (G) и b обратное преобразование Фурье функ ции b, которое рассматривается здесь как распределение на G.

Аналогично, дискретное приближение 7.7.1 (2) удовлетворяет в этом случае формуле (n) Af (x) = a(n (x)) · (x) + Fn (b n ) (x).

(1) При наших предположениях оператор типа Шрдингера для е абелевой группы с компактной и открытой подгруппой имеет дис кретный спектр, состоящий из вещественных собственных значений 1 2... k... ;

k, причем кратность каждого собственного значения конечна. Такое утверждение можно установить аналогично [28], где оно доказано для группы Qp. Также легко понять, что в рассматриваемой ситуа (n) ции операторы Af самосопряжены.

7.7.7. Теорема. Пусть Af оператор типа Шрдингера, при е чем a и b удовлетворяют указанным в 7.7.6 условиям, а область при (n) ближения Af последовательностью (Af ) из 7.7.1 (2) является суще ственной областью Af. Тогда справедливы следующие утверждения:

450 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе (1) спектр (Af ) совпадает с множеством неизолирован (n) ных предельных точек множества n (Af );

(2) если J окрестность, не содержащая других то чек из (Af ), то единственная неизолированная (n) предельная точка множества J n (Af );

(n) () (3) если в условиях (2) Mn = Af, то (n) (Af )J dim(Mn ) = dim(Af () ) = s для всех достаточно боль ших n и существует последовательность из ортонор n n мальных базисов (f1,..., fs ) в Mn, которая дискрет но сходится к ортонормальному базису (f1,..., fs ) в пространстве Af () относительно дискретного при ближения ((Xn, Sn ))nN (и, кроме того, относитель но дискретного приближения ((Xn, Tn ))nN, если все собственные функции Af входят в S (G)).

Без ограничения общности можно предположить,что функ (n) ции a и b положительны. Тогда операторы Af и Af положитель (n) ны, 1 cl((Af ) / (Af ) и ввиду предложения 6.2.10 доста n (n) точно показать квазикомпактность последовательности (R1 (Af )).

Итак, для любых N + и Xn нужно доказать, что если чис (N ) ло (Af + I) N доступно, то удовлетворяет условиям теоремы (N ) 7.6.15. Так как R1 (Af ) 1, то число доступно, поэтому N (N ) доступно и ((Af + I), ). Однако (N ) (1) + I), ) = (a ·, ) + (FN (b), ) + (, ), ((Af (1), ) = (b · FN (), FN ()), (FN (b) следовательно, числа (a ·, ) и (b · FN (), FN ()) доступны. Пред положим теперь, что первое условие теоремы 7.6.15 не выполняется.


Тогда существуют внутреннее множество B H(GN ) и стандартное число c 0 такие, что N xB |(x)|2 c. Так как a(x) при x, то найдется L, для которого a(x) L при всех x B.

Из сказанного вытекает, что a(x)|(x)|2 Lc, (a ·, ) N xB 7.7. Гиперприближение псевдодифференциальных операторов что противоречит доступности (a ·, ). Второе условие теоремы 7.6.15 устанавливается аналогичными рассуждениями.

Опишем один класс операторов типа Шрдингера, удовлетворя е ющих условиям установленной теоремы. Будем пользоваться уни тарными изоморфизмами и, определенными в ходе доказательства теоремы 7.7.3. Несмотря на то, что a L2 (G) и b L2 (G), будем обо / / значать символами a и b функции из l2 (L K), удовлетворяющие равенствам:

a(al + k) = (a)(l, h)h(k);

hK b(ph + s) = ( b)(l, h)s(l).

lL 7.7.8. Пусть Af оператор типа Шрдингера, функции a и b е удовлетворяют указанным выше предположениям и, сверх того, мно жества S(l) := {h K : (a)(l, h) = 0} и T (h) := {l L : ( b)(l, h) = 0} конечны для любых l L и h K. Тогда Dtest существенная область Af, которая служит областью приближения Af последова (n) тельностью (Af ).

Напомним, что пространство Dtest состоит из таких функций L2 (G), что и имеют компактные носители. Это означает существование конечных множеств A[] L и B[] K таких, что ()(l, h) = 0 при (l, h) A[] B[]. Далее, простые вычисления с / применением 7.6.4 (2) дают (a)(l, h h) · ()(l, h )+ (1) (Af )(l, h) = h B[] ( b)(l l, h) · ()(l, h) · ph (al ) · ph (al ).

+ l A[] Из этой формулы видно, что Af Dtest и, кроме того, A[Af ] A[] A[] + T (h) = A [];

hB[] B[Af ] B[] B[] S(l) = B [].

lA[] Если D(Af ), то функция Af удовлетворяет формуле (1) при A[] = L и B[] = K. Для конечных множеств A L и B K 452 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе обозначим символом P (A, B) ортопроектор в L2 (G) на подпростран ство функций, для которых A[] A и B[] B. Тогда из (1) легко усмотреть, что P (A, B)Af = Af P (A, B ), где A := A A B := B B + T (h), S(l).

hB lA Для произвольного 0 мы можем найти конечные множества A L и B K, для которых P (A, B) и P (A, B)Af Af. Так как A A и B B, то будет P (A, B ). Таким образом, если := P (A, B ), то Dtest и, кроме того, и Af Af. Тем самым доказано, что Dtest существенная область Af.

(N ) Остается показать, что SN (Af ) Af SN для N + и произвольного стандартного Dtest. С этой целью удобно пере (n) писать определения Af и Af из 7.7.6 в виде:

Af (x) = a(x) · (x) + F 1 (b · )(x), (N ) Af (x) = a(N (x)) · (x) + FN (b · FN )(x).

Для носителей и имеют место очевидные соотношения:

supp supp al + K = C, ph + L = D.

lA[] hB[] Из формул 7.7.3 (г1 ), (г2 ) вытекает (2) suppSN { + KN : N (A[])} = CN, suppFN SN { + LN : N (B[])} = DN.

Однако SN Af = SN (a · ) + SN F 1 (b · ) и (N ) Af SN = a N · SN + FN (b N · FN SN ).

Так как имеет компактный носитель, то a · входит в подпро странство Y, фигурирующее в 7.6.12, поэтому SN (a · ) TN (a · ) = a N · N. Далее, поскольку a ограничена на C, то a N · SN a N · N = N |a(N (x))(SN (x) (N (x))|2 0.

= N xCN 7.7. Гиперприближение псевдодифференциальных операторов Таким образом, SN (a · ) a N · SN, и остается доказать, что SN F 1 (b · ) FN (b N · FN SN ).

Так как Af Dtest Y и, как только что было установлено, a · Y, выполняется F 1 (b · ) Y, следовательно, SN F 1 (b · ) TN F 1 (b · ) = F 1 (b · ) N. Верно также, что FN SN FN TN N, ибо SN TN и FN ограничен. Как видно, supp N DN. Наконец, используя (2) и ограниченность b на D, получаем b N · FN SN b N · N, откуда выводим FN (b N · FN SN ) FN (b N · N ) F 1 (b · ) N.

7.7.9. Вернемся к примеру 7.6.10, где G = Qp и G = Qp с точно стью до изоморфизма. В [28] рассмотрен оператор типа Шрдингера е с символом вида f (x, )| := a(|x|p ) + b(||p ).

Если a(|x|p ) при x и b(||p ) при, то та кие операторы удовлетворяют условиям предложения 7.7.8, так как функции a и b постоянны на смежных классах Qp /Zp, стало быть, множества S(l) и T (h) из 7.7.8 содержат по одной точке. Исполь зуя двойственную пару приближающих последовательностей для Qp, описанную в 7.6.10, можно для этого случая без труда выписать при (n) ближения Af, определенные в 7.7.6. Именно, для n = r + s будет n 1 2ijm (n) Af (k) = a(pr |k|p ) + b(ps |m|p )(k j) exp.

pn n j,m= 7.7.10. Понятие символа Вейля можно обобщить на случай ло кально компактной абелевой группы G, если в ней определено де ление на два. Это означает, что для каждого x G существует y G, для которого y + y = x и соотношение y + y = 0 влечет y = для любого y G. При этом элемент y будем обозначать символом 1 2 y := y/2 и предполагать, что оператор x 2 x непрерывен в G. За метим, что если G допускает деление на два, то G также допускает деление на два: 2 (x) := ( 1 x).

Оператор Wf с символом Вейля f : G G C определяется формулой f (y, )Uy V y/2 dµ µ(y, ), Wf := GG 454 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе где f (x, )()(x) dµ µ(x, ).

f (y, ) := GG Легко видеть, что этот оператор симметричен тогда и только тогда, когда функция f вещественна. Если f имеет вид a(x) + b(), то Af = Wf.

Без труда можно вычислить ядро Kf (x, y) оператора Wf. Обо значим символом f (2) (x, y) обратное преобразование Фурье f (·, ·) от носительно второй переменной, т. е. f (2) (x, y) := G f (x, )(y)dµ().

Тогда Kf (x, y) = f (2) ( x+y, y x).

В том случае, когда группы Gn из нашей приближающей после довательности ((Gn, n ))nN также допускают деление на два, то мы будем говорить, что деление на два в G приближается последова тельностью ((Gn, n ))nN при условии, что (1) ( 0)(K K )(N 0)(n N )(g N (K)) (n (g/2), n (x)/2).

Легко видеть, что если p нечетное простое число, то деление на два в Qp приближается последовательностью, описанной в 7.6.10.

Если деление на два допускает приближение, то можно опре (n) делить последовательность приближений Wf следующим образом.

Введем функцию fn : Gn Gn C формулой fn (g, ) := f (n (g), n ()), и пусть fn дискретное преобразование Фурье функции fn, т. е.

fn (h, ) := fn (g, )(g)(h).

|Gn | g, Тогда (n) Wf := fn (h, )Uh V (h/2), |Gn | h, где (Uh )(g) := (g + h) и (V )(g) := (g) · (g).

7.7. Гиперприближение псевдодифференциальных операторов (2) Пусть fn обозначает обратное преобразование Фурье функции fn по второй переменной, т. е.

(2) fn (g, s) := fn (g, )(s).

n Тогда s+g (n) (2), g s (g).

(Wf )(s) = fn n g (n) 7.7.11. Если f S2 (G G), то последовательность (Wf ) дис кретно сходится к Wf относительно сильной дискретной приближа ющей последовательности ((Xn, Sn ))nN из 7.6.13 и эта сходимость равномерная.

Доказательство аналогично рассуждениям из 7.7.3.

Следствия 7.7.4 и 7.7.5 также применимы в рассматриваемом случае. Более того, утверждение из 7.7.5 выполняется для последо (n) вательности (Wf ), так как эти операторы эрмитовы, ибо функция fn вещественна.

7.7.12. Примечания.

(1) Обычно псевдодифференциальный оператор Af с символом f вводится формулой Af := f (h, )Vh U dµ(h)dµ(), GG где f = FG FG (f ). Простые вычисления, использующие формулу ()dµ() = (), где G ()()dµ() = (0), хорошо известную G в теории распределений на локально компактных абелевых группах, показывают, что при L2 (G) значение Af можно вычислять по формуле, указанной в 7.7.1. Несложно дать строгое обоснова ние таким вычислениям, однако в этом нет никакой необходимости для целей данного параграфа, поэтому мы пользуемся определени ем, данным в 7.7.1.

(2) Сходные вычисления приводят к аналогичной формуле для приближающих операторов:

(n) Af = fn (, g)X(g, ), |Gn | gGn,Gn 456 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе где fn := FGn FG (fn ) и fn (g, ) := f (n (g), n ()).

n (3) Заметим, что в случае G = R символ, введенный в (1), не является символом Вейля (симметричным символом) оператора он является так называемым qp-символом. О qp-символах для опе раторов в пространствах L2 (Qn ) см. [28]. Взаимосвязь между qp p символами операторов A и A непроста, а условия на символ f, при которых Af самосопряжен, весьма сложны, причем они не влекут (n) (n) самосопряженности Af или Bf для самосопряженного Af. В тео рии псевдодифференциальных операторов в L2 (Rn ) рассматривают ся также симметрические символы или символы Вейля. Оператор Wf с символом Вейля f самосопряжен в том и только в том случае, если f вещественная функция [9].

(4) Материал этого параграфа взят из статьи С. Альбеверио, Е. И. Гордона и А. Ю. Хренникова [239].

Глава Упражнения и нерешнные е задачи В этом разделе собраны как несложные упражнения и задачи учебного характера, так и темы для серьезного исследования, пред назначенные, главным образом, для студентов-дипломников и аспи рантов. Некоторые вопросы нуждаются в творческой переработке с целью дальнейшего уточнения и детализации. Отбор задач в значи тельной мере случаен и осуществлен in statu nascendi.

Отметим, что основу изложения составляют задачи из [119–123, 385, 387, 388].

8.1. Нестандартные оболочки и меры Лба е 8.1.1. Понятие нестандартной оболочки, введенное в работах Люксембурга, предмет интенсивного изучения.

Накоплено великое множество интересных результатов о стро ении нестандартных оболочек банаховых и топологических вектор ных пространств (см. [277, 343, 344, 482]). Однако остаются неяс ными взаимосвязи разнообразных конструкций и понятий из теории банаховых пространств с понятием нестандартной оболочки. От сутствуют также детальные описания нестандартной оболочки мно гих встречающихся в анализе функциональных пространств и прост ранств операторов. Ниже приведем несколько формулировок. Сим волом X #, как обычно, обозначается нестандартная оболочка норми рованного пространства X, т. е. фактор-пространство внешнего про странства доступных элементов ltd(X) по монаде фильтра окрест 458 Гл. 8. Упражнения и нерешнные задачи е ностей нуля µ(X) топологии пространства X, см. 6.1.1. Нужные сведения из функционального анализа имеются в [63, 85, 186, 284].


Задача 1. При каких условиях на X пространство X # обладает свойством Крейна Мильмана?

Близкий круг задач, связанных с теоремой Крейна Мильмана и ее обобщениями на K-пространства, см. в [122].

Задача 2. При каких условиях на X пространство X # обладает свойством Радона Никодима?

Задача 3. Изучить различные геометрические свойства нестан дартной оболочки: гладкость, равномерную выпуклость, асплундо вость и т. д.

Задача 4. Что представляет из себя послойная нестандартная оболочка непрерывного (измеримого) банахова расслоения? То же для соответствующего пространства непрерывных (измеримых) се чений.

Задача 5. Описать нестандартные оболочки различных клас сов ограниченных операторов: операторов Радона Никодима, ра донифицирующих, порядково суммирующих, p-абсолютно суммиру ющих и тому подобных операторов.

8.1.2. В векторном пространстве M () классов эквивалентно сти измеримых функций на пространстве (, B, ) с конечной мерой имеется метрика:

|f g| (f, g) := d.

1 + |f g| Снабженное топологией этой метрики пространство M () ста новится топологическим векторным пространством.

Рассмотрим нестандартную оболочку M ()# := ltd(M ())/µ (0), где µ (0) := {f M () : (f, 0) 0}, ltd(M ()) := {f M () : f µ (0) при 0}. Пусть (, BL, L ) соответствующее простран ство Лба. Тогда пространства M ()# и M (L ) изометричны.

е Задача 6. Как обстоит дело в случае пространства измеримых по Бохнеру вектор-функций M (, X)? То же для вектор-функций, измеримых по Гельфанду или Петтису.

8.1. Нестандартные оболочки и меры Лба е Пусть E порядковый идеал в M (), т. е. E подпространство M () и для f M () и g E из неравенства |f | |g| следует f E.

Обозначим через E(X) пространство тех f M (, X), для которых функция v(f ) : t f (t) (t Q) входит в E (эквивалентные функ ции отождествляются). Если E банахова решетка, то E(X) банахово пространство в смешанной норме | f | = v(f ) E.

Задача 7. Описать нестандартную оболочку E(X).

8.1.3. Предположим, что (X,, µ) пространство с конечной мерой. Рассмотрим такое гиперконечное множество M X, что µ(A) = |A M |/|M |. Пусть (M, SL, L ) соответствующее прост ранство Лба.

е Задача 8. Верно ли, что при соответствующем вложении :

/µ SL /L правильная подалгебра ( /µ) выделится сомножите лем? Если это так, то описать внутренние множества, соответству ющие другому сомножителю (так сказать, чисто нестандартные элементы SL /L ).

Задача 9. Та же задача для вложения отрезка с мерой Лебега в пространство Лба.

е Задача 10. Та же задача для пространств из приведенных ни же задач 70 и 71.

8.1.4. Пусть (X, A, ) и (Y, B, ) стандартные пространства с конечными мерами. Функция µ : A Y R называется случайной мерой, если (1) для любого элемента A A функция µ(A, ·) является B-измеримой;

(2) для -почти всех y Y функция µ(·, y) является по ложительной конечной мерой на A.

Задача 11. Дать понятие случайной меры Лба µL так, чтобы е она оказалась случайной мерой для пары (X, AL, L ), (Y, BL, L ).

Задача 12. Какова связь между интегральными операторами f (x) dµ(x, ·) и f (x) dµL (x, ·)? Что является аналогом S-интегри руемости в данном случае?

Вариант решения задач 11 и 12, полученный В. Г. Троицким [209], представлен в параграфе 6.6.

460 Гл. 8. Упражнения и нерешнные задачи е Задача 13. Дать понятие меры Лба со значениями в вектор е ной решетке (без топологии). При этом случайная мера Лба из е задачи 11 должна быть согласована с понятием меры Лба для век е торной меры A µ(A, ·).

8.1.5. Следующие три задачи навеяны работой [247] и относят ся к теории пространств дифференцируемых функций (см. [51, 52, 58, 160, 161]).

Задача 14. Развить нелинейную теорию потенциала на основе меры Лебега Лба.

е Задача 15. Развить нестандартную теорию емкости.

Задача 16. Ввести и исследовать пространства дифференци альных форм на основе меры Лебега Лба (см. [51, 52]).

е 8.2. Гиперприближения и спектры 8.2.1. В главе 7 мы видели, что у каждой локально компактной абелевой группы имеются гиперприближения, которые сохраняются при переходе к двойственным группам, причем преобразование Фу рье приближается своим дискретным аналогом. В этой связи инте ресно исследовать случай некоммутативных групп. Возникает но вый класс гипераппроксимируемых локально компактных групп.

По-видимому, этот класс включает аменабельные группы, однако полное его описание неизвестно.

Задача 17. Для локально компактной (не обязательно абеле вой) группы G построить гиперприближения ограниченных эндо морфизмов L2 (G).

8.2.2. Используя приближения локально компактных абелевых групп, можно строить гиперприближения псевдодифференциальных операторов в гильбертовом пространстве функций на локально ком пактной абелевой группе. Для операторов типа Шрдингера и опе е раторов Гильберта Шмидта, в случае специального класса групп, это было проделано в [26]. Другой подход развит в [445, 446, 519].

Этот подход является более общим, так как он не ограничива ется пространствами функций на локально компактной группе. В 8.2. Гиперприближения и спектры то же время первый подход приводит к более детализированным ре зультатам. Взаимодействие указанных подходов также представля ется плодотворным. Возникает интересная задача перенесения полу ченных результатов на другие псевдодифференциальные операторы и построения аналогичных приближений для операторов в функци ональных пространствах на других аппроксимируемых группах.

Следующая группа задач состоит в исследовании предельного поведения спектров и собственных значений конечномерных прибли жений псевдодифференциального оператора на локально компакт ной абелевой группе.

Задача 18. Изучить предельное поведение спектров и собствен ных значений конечномерных приближений оператора типа Шр- е дингера с положительным потенциалом, возрастающим на бесконеч ности.

Задача 19. Исследовать ту же задачу для оператора Шрдин е гера с периодическим потенциалом.

Задача 20. Изучить связь между гиперприближениями локаль но компактной абелевой группы и ее боровской компактификацией.

Задача 21. Построить приближения оператора типа Шрдин е гера с почти периодическим потенциалом на основе задачи 20 и ис следовать их сходимость.

Задача 22. Изучить предельное поведение спектров прибли жающих операторов в краевой задаче для оператора Шрдингера в е прямоугольной области конечномерного пространства.

8.2.3. Теперь приведем группу задач, относящихся к построе нию приближений операторов в функциональных пространствах на некоммутативной локально компактной группе и сходимости таких приближений.

Задача 23. Изучить приближение неприводимых представле ний группы Гейзенберга посредством представлений приближающих ее конечных групп.

Задача 24. Рассматривая гильбертово пространство функций на группе Гейзенберга, построить приближения операторов, содер жащихся в алгебре, порожденной операторами умножения на мат ричные элементы неприводимых представлений и сдвигами.

462 Гл. 8. Упражнения и нерешнные задачи е Задача 25. Изучить тот же вопрос, что и в задаче 24 для дру гих аппроксимируемых нильпотентных групп и некоторых матрич ных групп над локальными полями.

Задача 26. Исследовать проблему аппроксимируемости про стых групп Ли.

Задача 27. Изучить метод суммирования расходящихся рядов на группе, основанной на гиперприближении.

Задача 28. Исследовать связь между нестандартными метода ми суммирования расходящихся рядов с нестандартными расшире ниями не всюду определенных операторов.

8.2.4. Гиперприближение оператора в функциональном прост ранстве на локально компактной группе не обязательно определяет ся гиперприближением этой группы. Более того, если область опре деления оператора пространство функций, определенных не на группе, то такой метод гиперприближений вообще неприменим. Од нако, используя ту или иную структуру области определения опера тора, можно строить иные приближения гиперконечномерными опе раторами. Приведем несколько задач в этом направлении (задачи и 31 сформулированы с участием В. Т. Плиева).

Задача 29. Развить теорию определителей Фредгольма на ос нове подходящих гиперприближений.

Задача 30. Доказать теорему Лидского о совпадении матрич ного и спектрального следов ядерных операторов с помощью техни ки гиперприближений.

Задача 31. Применить нестандартные методы дискретизации к изучению спектральных свойств операторных пучков. В частно сти, получить обобщения теоремы Келдыша о полноте производных цепочек операторных пучков (см. [91]).

Задача 32. Построить какое-либо разумное гиперприближение преобразования Радона [216] в духе [43, 45, 46, **] (см. главу 7).

Задача 33. Применить возможные гиперприближения преоб разования Радона к анализу дискретных схем сканирования в ком пьютерной томографии [177].

8.3. Комбинирование нестандартных методов 8.3. Комбинирование нестандартных методов 8.3.1. Мыслимы различные способы комбинирования нестан дартных методов: можно строить инфинитезимальные конструкции в булевозначном универсуме или же искать булевозначные интерпре тации в рамках теории внутренних и внешних множеств (см. [120, 387], а также параграфы 4.8–4.11). Однако на этих путях возника ют серьезные сложности и не всегда ясно, как их обойти. В то же время последовательное применение нестандартных методов часто приводит к успеху, как, например, в [**, 386, 388, 389].

Задача 34. Развить комбинированную технику, унифицирую щую последовательное применение нестандартных методов.

Задача 35. Развить булевозначный вариант меры Лба и со е ответствующую теорию интеграла. Изучить возникающий при этом класс операторов. В частности, построить теорию меры Лба со зна е чениями в пространстве Канторовича.

Задача 36. Построить булевозначную интерпретацию нестан дартной оболочки. Изучить соответствующую конструкцию спу щенной нестандартной оболочки.

Задача 37. Используя различные нестандартные методы, по строить комбинированный принцип переноса с конечномерных нор мированных алгебр на подходящие классы банаховых алгебр.

Задача 38. Используя комбинированную технику скаляриза ции-дискретизации, получить гиперприближения представлений ло кально компактных групп в гильбертовом пространстве.

8.3.2. Замена логической части ZF законами интуиционистской логики (см. [305, 314, 493]) приводит к интуиционистской теории множеств ZFI. Модели ZFI также можно строить по той же схеме, что и булевозначные модели, см. [119, 124]. Именно, если пол ная гейтингова решетка, то универсум V( ) станет гейтинговознач ной моделью теории ZFI, если определить соответствующие функции истинности [[ · · ]] и [[ · = · ]] из V( ) V( ) в V( ). Подробности см. в [305, 314, 493, 494]. Другие варианты моделирования интуи ционистской теории множеств дают топосы и категории пучков, см.

[38, 61, 215].

464 Гл. 8. Упражнения и нерешнные задачи е Задача 39. Исследовать числовые системы в гейтинговознач ных моделях и соответствующие им алгебраические структуры, см.

[38, 61, 215].

Задача 40. Исследовать классические банаховы пространства в гейтинговозначных моделях, см. [265].

Задача 41. Приводит ли к какой-нибудь содержательной тео рии гильбертовых модулей интерпретация теории гильбертовых про странств в гейтинговозначной модели?

8.3.3. Пусть X и Y нормированные пространства, X0 под пространство X и T0 ограниченный линейный оператор из X0 в Y. Для любого 0 R существует продолжение T оператора T0 на все X с сохранением линейности и ограниченности, такое что T (1 + ) T0.

В конструктивной математике теорема Хана Банаха не выпол няется. Однако устанавливается (см. [261]), что сформулированное утверждение верно для функционалов (Y = R). Следовательно, дан ное утверждение для функционалов выполняется в гейтинговознач ной модели.

Это же утверждение верно также и в классическом смысле (т. е.

в универсуме фон Неймана) для компактных операторов, принима ющих свои значения в пространстве C(Q) непрерывных функций на компакте Q (см. [397]).

Задача 42. Является ли схожесть упомянутых двух теорем о продолжении функционалов и операторов следствием какого-нибудь принципа переноса для гейтинговозначных моделей?

Задача 43. Для каких объектов и задач функционального ана лиза и теории операторов существует эффективный принцип пере носа, использующий технику гейтинговозначных моделей? Топосов?

Пучков? (Ср. [306] и сборник [336].) 8.3.4. Пусть B (квантовая) логика (см. [124]). Если опреде лить функции [[ · · ]] и [[ · = · ]] по формулам 2.1.4 и ввести оценки истинности формул как в 2.1.7, то в универсуме V(B) истинными окажутся аксиомы ZF2 –ZF6 и AC. Таким образом, в V(B) мож но развивать теорию множеств. В частности, вещественные числа 8.3. Комбинирование нестандартных методов внутри V(B) будут соответствовать наблюдаемым в математической модели квантово-механической системы (см. [490]).

В [490] показано, что если B квантовая логика (см. [124]), то универсум V(B) служит моделью для определенной квантовой тео рии множеств. Изучение квантовых теорий как логических систем, построение квантовой теории множеств и развитие соответствующей квантовой математики интересная и актуальная проблематика, но в этом направлении сделано немного. Адекватные математические средства и правильные ориентиры намечаются, возможно, в теории алгебр фон Неймана и выросших из нее различных некоммутатив ных направлений (некоммутативная теория вероятностей, неком мутативное интегрирование и т. п.).

Задача 44. Возможен ли какой-нибудь вариант принципа пе реноса из теории интеграла (меры) в некоммутативную теорию ин теграла (меры) на основе модели V(B) для квантовой теории мно жеств?

Задача 45. Построить некоммутативную теорию меры Лба, е т. е. применить конструкцию меры Лба к мере, определенной на е квантовой логике.

Задача 46. Построить теорию некоммутативного векторного (центрозначного) интегрирования на алгебре фон Неймана (AW алгебре) и соответствующие пространства измеримых и интегриру емых элементов, используя метод булевозначных реализаций.

Задача 47. Какие свойства квантовых комплексных чисел (т. е.

комплексных чисел в модели V(B) для квантовой логики B) соот ветствуют содержательным свойствам алгебр фон Неймана (AW алгебр)?

8.3.5. Пусть E векторная решетка. Оператор T из E в про извольное векторное пространство F называют ортогонально адди тивным, если T (x1 + x2 ) = T (x1 ) + T (x2 ) для любых x1, x2 E таких, что x1 x2 (т. е. x1 x2 = 0). Множество всех ортогонально аддитивных порядково ограниченных операторов из E в F обознача ют символом U (E, F );

элементы U (E, F ) называют абстрактными операторами Урысона (см. [**]).

Пусть F пространство Канторовича. В [**] установлено, что пространство U (E, F ) станет пространством Канторовича, если за 466 Гл. 8. Упражнения и нерешнные задачи е дать в U (E, F ) порядок следующим образом: S 0 тогда и только тогда, когда S(x) 0 для всех x E, а S1 S2 означает S1 S2 0.

Ортогонально аддитивный эндоморфизм некоторого простран ства Канторовича, перестановочный со всеми порядковыми проек торами, назовем абстрактным оператором Немыцкого.

Задача 48. Применить метод скаляризации-дискретизации к нелинейным интегральным операторам Урысона, а также к их абстрактным аналогам ограниченным ортогонально аддитивным операторам.

Задача 49. Дать булевозначную интерпретацию ортогонально аддитивного функционала и изучить соответствующий класс нели нейных операторов.

Задача 50. На основе задачи 49 описать компоненту, порож денную положительным ортогонально аддитивным оператором.

Задача 51. Дать булевозначную реализацию абстрактного опе ратора Немыцкого и получить его функциональное представление.

8.3.6. Следующая задача по виду относится к выпуклому ана лизу. Однако она отражает принципиальную трудность, связанную с неоднозначностью операции стандартной части и других инфини тезимальных конструкций внутри булевозначного универсума.

Задача 52. Пусть E стандартное пространство Канторовича.

Изучить субдифференциал p оператора p, определенного формулой p(e) := inf {f E : f e} для e E.

8.4. Выпуклый анализ и экстремальные задачи 8.4.1. Начнем с задач о крайних точках.

Задача 53. Изучить точки, бесконечно близкие к крайним того или иного субдифференциала.

Задача 54. Выяснить булевозначный статус o-крайних точек субдифференциалов [**].

Задача 55. Описать внешние эквивалентности, сохраняемые преобразованием Юнга Фенхеля (см. [**]).

8.4. Выпуклый анализ и экстремальные задачи 8.4.2. Пусть (Q,, µ) пространство с мерой, X банахово пространство, а E банахова решетка. Обозначим буквой Y неко торое пространство измеримых вектор-функций u : Q X. Экви валентные функции отождествляются. Допустим, что отображение f : Q X E {+} выпукло по второй переменной x X при почти всех t Q, а суперпозиция t f t, u(t) измерима при всех u Y. Тогда можно определить интегральный оператор If на Y формулой (u Y ).

If (u) := f t, u(t) dµ(t) Q При этом считается If (u) := + в том случае, когда вектор-функция f ·, u(·) не суммируема. Очевидно, что оператор If : Y E {+} выпуклый. В выпуклом анализе значительное внимание уделяется изучению операторов указанного вида.

В частности, рассматриваются вопросы о строении субдиффе Фенхеля (If ). Общие ренциала If (u0 ) и преобразования Юнга свойства выпуклых операторов см. в [**, 143], а интегральных вы пуклых функционалов (E = R) в [143, 235, 268].

В соответствии с результатами параграфов 6.3 и 6.4 для инте грального функционала If получаем представление N (u Y ).

If (u) = f tk, u(tk ) k= Задача 56. Изучить выпуклый интегральный функционал If, используя указанное выше представление. В частности, вывести формулы для вычисления субдифференциала If (u0 ).

Задача 57. Изучить выпуклые и невыпуклые интегранты и соответствующие нелинейные интегральные функционалы методом инфинитезимальной дискретизации.

8.4.3. При изучении функционалов типа If часто используют различные теоремы о селекторах. Приведем точные формулировки двух результатов (см. [143, 235, 268]).

Пусть Q топологическое (соответственно измеримое) прост банахово пространство. Соответствие Q X на ранство, X зывают полунепрерывным снизу (соответственно измеримым), если 468 Гл. 8. Упражнения и нерешнные задачи е (G) открыто (соответственно измеримо) для каждого открытого G X. Отображение : dom(f ) X называют селектором, если (q) (q) для всех q dom( ).

Теорема Майкла. Пусть Q паракомпактно, соответствие по лунепрерывно снизу и для каждого q Q множество (q) непусто, выпукло и замкнуто. Тогда существует непрерывный селектор соот ветствия.

Теорема Рохлина Куратовского Рыль-Нардзевско го. Пусть Q измеримое пространство, X польское (= полное сепарабельное метрическое) пространство и Q X измеримое соответствие, причем (q) замкнуто при всех q Q. Тогда суще ствует измеримый селектор соответствия.

Задача 58. Провести дискретизацию паракомпактного тополо гического пространства и дать нестандартное доказательство теоре мы Майкла.

Задача 59. Разработать нестандартный подход к задаче о су ществовании измеримого селектора и, в частности, дать нестандарт ное доказательство теоремы Рохлина Куратовского Рыль-Нар дзевского.

8.4.4. Следующие задачи связаны с концепцией инфинитези мального оптимума (см. параграф 5.7). Соответствующие понятия из выпуклого анализа см. в [121, **, **, 235].



Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.