авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 12 |

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. СОБОЛЕВА Нестандартные методы анализа Е. И. Гордон, А. Г. Кусраев, ...»

-- [ Страница 8 ] --

X X Отметим также, что представляет интерес задача построения F при данном f. В предыдущих пунктах эта задача была решена весьма простым специальным образом, а именно: для подходящего гиперконечного множества X X выполняется (2) F = f |X для всех f L1 (µ).

В общей ситуации равенство (2) не имеет места, даже если X X. Ниже мы рассмотрим один вид вложения, для которого (2) вы полняется для достаточно широкого класса интегрируемых функ ций. Но сначала разберем хорошо известный пример.

(3) Пусть X := [0, 1] и µ мера Лебега на X. Зафик 0 и положим сируем произвольное гипердействительное число N := [ 1 ] и X := {k : k = 1,..., N }. В этом случае пространство Лба (X, S, ) будет пространством с конечной мерой: (X) = 1, е поэтому M = X. В качестве отображения : X X возьмем st (напомним, что st(k ) = (k )). Можно показать, что множество A [0, 1] будет измеримым по Лебегу в том и только в том случае, если st1 (A ) измеримо по Лбу и при этом µ(A ) = (st1 (A )).

е Не для всякой интегрируемой по Лебегу функции f выполняется Q равенство (2). В этом можно легко убедиться, если взять и рассмотреть функцию Дирихле. Однако если f интегрируема по Риману на [0, 1] и F определено как в (2), то выполняется (1) в силу 2.3.16. Покажем, что в этом случае F := f |X действительно явля ется S -интегрируемым лифтингом функции f.

Поскольку f ограничена, а внутренняя равномерная мера ко нечна, то F удовлетворяет условию 6.3.7 (1) и, следовательно, явля 322 Гл. 6. Техника гиперприближений ется S -интегрируемой. Если A множество точек разрыва функ ции f, то µ(A ) = 0, так как f интегрируема по Риману. Если k X st1 (A ), то f непрерывна в точке (k ), стало быть, f (k ) f ( (k )). Таким образом, F () = f (st()) для почти всех X, поэтому F служит лифтингом функции f st, а это означает, что F лифтинг f.

6.4.9. Предположим теперь, что X сепарабельное локально компактное хаусдорфово топологическое пространство, µ боре левская мера на X, конечная на компактных множествах (µ будет регулярной из-за сепарабельности X) и пополнение борелев ской -алгебры относительно меры µ. Предположим, далее, что компакт и µ(Xn ) + для всех n N. То X = nN Xn, где Xn гда nst ( X) = Xn. Напомним, что отображение st : nst ( X) X вводится формулой st(x) x (x nst ( X)) (см. 4.3.4 и 4.3.6).

гиперконечное множество, : X X (1) Пусть X внутреннее отображение, R и M := 1 (nst ( X)).

Тройку (X,, ) назовем гиперприближением или гиперконеч ной реализацией пространства с мерой (X,, µ) при условии, что отображение : (M, S M, M ) (X,, µ), определяемое как := st |M, измеримо и сохраняет меру.

Заметим, что M = nN 1 ( Xn ), поэтому в этой ситуации (M, S M, M ) представляет собой -конечное подпространство про странства Лба (X, S, ).

е Ниже сформулируем одно достаточное условие, когда функция F := f будет SM -интегрируемым лифтингом f. Для этой цели введем следующее условие, означающее, что функция f достаточно быстро убывает на бесконечности:

(2) (B P(X)) B X M |f ((x))| 0.

xB 6.4.10. Пусть (X,, ) произвольное гиперприближение про странства (X,, µ). Предположим, что функция f : X R ограни чена, µ-интегрируема, µ-почти всюду непрерывна и удовлетворяет условию 6.4.9 (2). Тогда функция F := f служит SM -интегриру емым лифтингом f и, следовательно, f dµ = f ((x)).

xX X 6.4. Гиперприближение пространств с мерой это SM -интегрируемая функция.

Покажем сначала, что F Условие 6.3.11 (2) выполняется из-за ограниченности f, а 6.3.11 (3) следует из условия 6.4.9 (2). Чтобы проверить 6.3.11 (1), обозначим Mn := 1 ( Xn ) и заметим, что f |Mn является S -интегрируемой функцией. Это следует из ограниченности f и конечности (Mn ) (см. 6.3.7 (1)). Рассуждая так же, как и в конце 6.4.8 (3), приходим к выводу о том, что f |Mn лифтинг функции f |Xn, поэтому согласно 6.4.6 (2) будет |f |(x) |f | dµ = |f | dµ.

xMn Xn X Отсюда вытекает существование стандартной константы C такой, что для любого внутреннего множества D nN Mn выполняется xD |F |(x) C. Привлекая счетное насыщение нестандартного универсума, получаем справедливость последнего неравенства для некоторого внутреннего множества D M. Требование 6.3.11 (1) следует из условия 6.4.9 (2) для множества B := X D. Так как лифтинг функции f |Xn для каждого n N, то f f |Mn лифтинг функции f.

Аналогичное утверждение, разумеется, имеет место для огра ниченной µ-почти всюду непрерывной функции f Lp (µ), где p [1, ).

6.4.11. Рассмотрим пример. Пусть это -алгебра измери мых по Лебегу множеств на вещественной прямой X := R, а µ мера Лебега на R. Выберем гипернатуральное число N N N и гипер R R так, чтобы 0 и N +.

действительное число Для удобства обозначений предположим, что N = 2L + 1, и рассмот рим гиперконечное множество X := {k : k = L,..., L}. Пусть Xn := [n, n] и : X R тождественное вложение. Тогда Mn = X [n, n] и M = X nN [n, n].

(1) Нетрудно видеть, что условие 6.4.9 (2) можно запи сать в виде l |f (n )| 0.

(k, l) |k| |l| L |k| + n=k 324 Гл. 6. Техника гиперприближений (2) Это соотношение верно для любых L, если только +, поэтому оно равносильно равенству L |f (k )| = 0.

lim |k| A A (3) Для функций, абсолютно интегрируемых по Риману, последнее равносильно, в свою очередь, предельному соотношению f (x) dx = lim h f (kh).

h k= Хорошо известно, что класс таких функций достаточно широк.

6.4.12. Примечания.

(1) Основные результаты этого параграфа, включая понятия -конечного подпространства пространства Лба и SM -интегрируе е мости, принадлежат Е. И. Гордону [47, **]. Значительная часть при менений мер Лба относится к теории вероятностей и в этой связи е наибольшее внимание уделялось конечным мерам Лба. е Конечные меры Радона, индуцированные мерами Лба, а также е отображение st изучались в [244] и других публикациях (см. обзор [275] и монографию [5]). Однако вопрос о том, когда f |X слу жит лифтингом функции f, в этих источниках не рассматривался.

Другую конструкцию лифтинга на интервале [0, 1] можно найти в [275]. Изучение -конечных мер Лба существенно для наших даль е нейших целей, так как в следующей главе конструкция меры Лба е применяется к изучению меры Хаара на локально компактной абе левой группе, а такие меры обычно не являются конечными.

(2) Условие 6.4.9 (2) выполняется автоматически для функций с компактным носителем;

оно также излишне для пространств с ко нечной мерой. Недостаток этого условия состоит в том, что оно формулируется в терминах, зависящих от гиперприближения, хотя иногда (см. 6.4.11) может быть переформулировано в стандартных терминах. Более того, часто гиперприближение можно выбрать так, что условие 6.4.9 (2) окажется излишним.

(3) Еще раз вернемся к примеру 6.4.11 и выберем L и следу ющим образом. Зафиксируем бесконечно большое R и возьмем 6.5. Гиперприближение интегральных операторов 0 и L =. Как и выше, тройка (X,, ) будет гиперпри ближением пространства с мерой (X,, µ), где X := R, а это -алгебра измеримых по Лебегу множеств и µ мера Лебега. Пред ложение 4.6.13 показывает, что 6.4.10 выполняется для любой функ ции, абсолютно интегрируемой по Риману на R и непрерывной почти такая функция, то f будет SM -интегрируемой.

всюду. Если f Это можно без труда получить из S -интегрируемости f | [n,n] при всех n N, равенства из 6.4.10 и замкнутости SM в L # (см.

# доказательство теоремы 6.4.7).

(4) Соловей [470] (см. также [74]) ввел понятие случайного числа как числа, не принадлежащего никакому множеству нулевой меры, имеющему конструктивное описание в смысле Гделя. Он е удачно применил это понятие к доказательству того, что некоторые утверждения теории меры независимы от аксиом ZFC. В теории сложности А. Н. Колмогорова также встречается аналогичное по нятие (принадлежащее Мартин-Лфу [418]) случайной 0–1 последо е вательности как последовательности, не лежащей ни в одном мно жестве нулевой меры, имеющем конструктивное описание в смысле А. А. Маркова. Аналогичные понятия случайного элемента для [0, 1] с мерой Лебега и независимой последовательности случайных эле ментов в этом случае были введены в [512], где была доказана в этой ситуации теорема 6.4.4. Доказательство использует закон больших чисел. Для стандартного пространства с конечной мерой теорема 6.4.4 была установлена в [323] с помощью совершенно иных сообра жений.

6.5. Гиперприближение интегральных операторов В этом параграфе рассматривается вопрос о возможности при ближения интегрального оператора гиперконечномерным операто ром.

6.5.1. Напомним, что для гиперконечного множества X, стан дартного p [1, ] и R+ символом Lp, обозначается внутрен X нее пространство функций F : X F (где F одно из полей R или C) с нормой 1/p F Lp, |F ()|p X F :=.

p, X 326 Гл. 6. Техника гиперприближений X Это пространство гиперконечномерно и dim(Lp, ) = |X|. Нестан X# дартная оболочка (Lp, ) внешнее банахово пространство, несе парабельное при условии, что |X| бесконечное гипернатуральное число. Для p = 2 норма F 2, порождается скалярным произве X# дением (F, G) = X F ()G(), следовательно, (L2, ) несе парабельное гильбертово пространство. Как и выше, мы пишем Lp вместо Lp,, если это не приводит к путанице.

X Если (M, S M, M ) это -конечное подпространство простран ства Лба (X, S, ), то Sp (M )# замкнутое подпространство Lp # е (см. 6.3.12 (3)). Из 6.3.14 видно, что это подпространство изоморф но Lp ( M ). Изоморфизм устанавливается путем сопоставления каж дой функции f Lp ( M ) класса эквивалентности F # ее лифтинга F Sp (M ). На этом основании будем считать в дальнейшем, что Lp ( M ) Lp.# Предположим, что (Xk, k, µk ) для k := 1, 2 стандартные про странства с -конечными мерами. Допустим также, что заданы два пространства Лба (Xk, S k, k ), их -конечные подпространства е (Mk, S Mk, Mk ) и вложения k k Mk : Lpk (µk ) Lpk ( Mk ) Lpk # k pk для некоторых p1, p2 [1, +].

Пусть A : Lp1 (µ1 ) Lp2 (µ2 ) ограниченный линейный опе ратор. Доступный внутренний оператор A : Lp1 Lp2 называ ют гиперприближением или, более подробно, гиперконечномерным приближением оператора A, если для каждого f Lp1 (µ1 ) выпол няется G A(F ) p2, 2 0, где F Lp1 лифтинг f и G Lp лифтинг A (f ). В подобных случаях широко применяют термины типа A гиперприближает A.

Пусть, как и в 6.4.8, вложение M индуцируется некоторым внут p ренним отображением : X X и лифтингом f служит функция f, т. е. последнюю можно рассматривать как таблицу значе ний f в узлах, образующих гиперконечное множество (X) (равен ство из 6.4.10 показывает, что именно так и естественно поступать).

В этом случае оператор A приближает A, если он переводит табли цу функции f в вектор, бесконечно близкий к таблице образа A (f ) функции f.

(1) Внутренний оператор A : Lp1 Lp2 гиперприбли жает оператор A : Lp1 (µ1 ) Lp2 (µ2 ) в том и только в том случае, 6.5. Гиперприближение интегральных операторов если коммутативна диаграмма:

A Lp1 (µ1 ) Lp2 (µ2 ) M1 M p1 p A# Lp1 Lp2.

# # (2) Допустим, что линейная оболочка множества M Lp1 (µ1 ) плотна в Lp1 (µ1 ). Если оператор A гиперприближает опера тор A на M, то A гиперприближение A.

Пусть L (M) обозначает линейную оболочку множества M.

По условию диаграмма из (1) коммутативна, если заменить в ней Lp1 (µ1 ) на L (M). Но тогда коммутативна и исходная диаграмма, ибо множество L (M) плотно в Lp1 (µ1 ).

6.5.2. Напомним, что оператор Ak : Lp1 (µ1 ) Lp2 (µ2 ) на зывают интегральным, если существует измеримая функция k :

X1 X2 F такая, что для каждого f Lp1 (µ1 ) значение g := Ak (f ) представляет собой функцию, вычисляемую по формуле g(s) = k(s, t)f (t) dµ1 (t).

X При этом функцию k(·, ·) называют ядром интегрального опера тора Ak.

То обстоятельство, что Ak интегральный оператор с ядром k, записывается короче в виде Ak (f )(s) = k(s, t)f (t) dµ1 (t) (f Lp1 (µ1 )).

X Рассмотрим интегральный оператор Ak : Lp1 (µ1 ) Lp2 (µ2 ).

Естественным образом возникает вопрос о том, можно ли построить гиперприближение оператора A, используя лифтинг ядра k, если последний существует. Здесь следует иметь в виду, что, вообще го воря, M1 M2, S M11 S M22, M11 M22 = M1 M2, S M11 M2, M11 M2.

2 328 Гл. 6. Техника гиперприближений (Правая часть этого соотношения представляет собой -конечное подпространство пространства Лба (X1 X2, S X1 X2, X1 X2 ).) е 1 2 Известно (см. [244]), что если M1 и M2 пространства с конеч ными мерами Лба (в этом случае можно считать M1 и M2 внутрен е ними множествами), то S M11 S M22 S M11 M2, причем тождественное вложение сохраняет меру.

Этот же результат остается в силе для -конечных подпрост ранств пространств Лба, так как -конечное подпространство яв е ляется дизъюнктным объединением счетного семейства пространств Лба с конечными мерами.

е Таким образом, Lr ( M11 M22 ) вложено с сохранением нормы в Lr ( M11 M2 ) для каждого r [1, ). Так как вложения M : Lr (µ) r Lr ( M ) для := 1, 2 индуцируют вложение r 1 M2 : Lr (µ1 µ2 ) M Lr ( M11 M22 ) Lr ( M11 M2 ), то каждая функция k Lr (µ1 µ2 ) имеет лифтинг K Sr (M1 M2 ).

Естественный интерес представляют в этой связи условия, при которых матрица K определяет гиперприближение A оператора A.

Ниже этот вопрос будут рассмотрен для операторов Гильберта Шмидта.

До конца текущего параграфа зафиксируем следующие обозна пространство с -конечной мерой, (M, S M, M ) чения: (X,, µ) символизирует -конечное подпространство пространства Лба (X, е S, ) и, наконец, указано вложение 2 : Lr (µ) Lr ( M ).

Интегральный оператор Ak : L2 (µ) L2 (µ) с ядром k называют Шмидта, если k L2 (µ µ). Хорошо из оператором Гильберта вестно, что для оператора Гильберта Шмидта имеет место оценка 1/ Ak |k|2 dµ dµ.

XX Для внутренней функции K S2 (M M ) определим внутренний оператор AK : L2 L2 формулой (F L2, X).

AK (F )() := K(, )F () X Легко видеть, что для нормы оператора AK справедливо следующее 6.5. Гиперприближение интегральных операторов неравенство:

1/ |K(, )| AK.

,X 6.5.3. Теорема. Если Ak : L2 (µ) L2 (µ) оператор Гильбер Шмидта с ядром k L2 (µ µ) и K S2 (M M ) та лифтинг лифтинг функции M M (k) L2 ( M2M )), то k (или, точнее, K оператор AK : L2 L2 служит гиперприближением оператора Ak.

Вначале покажем, что множество тех k, для которых име ет место сформулированная теорема, замкнуто в L2 (µ µ). Допу стим, что требуемое верно для каждого kn L2 (µ µ) (n N) и k kn L2 (µµ) 0 при n. Так как Ak Akn = Akkn по опре делению оператора Ak, то из указанной в 6.5.2 оценки для нормы оператора Ak выводим Ak Akn 0 при n.

Пусть Kn S2 (M M ) лифтинг kn и K S2 (M M ) лифтинг k. Тогда справедливы соотношения A# A# n = AK AKn = AKKn K K 1/ |K(, ) Kn (, )| = k kn 0.

L2 (µµ) n,X Воспользуемся теперь коммутативностью диаграммы 6.5.1 (2) для операторов Akn и AKn. Возьмем f L2 (µ). Тогда 2 (Ak (f )) = lim 2 (Akn (f )) = lim A# n (2 (f )) = A# (2 (f )).

K K n n Для завершения доказательства нужно показать, что требуемое верно для функций k вида, где (s, t) := (s) · (t). По скольку линейные комбинации таких функций плотны в L2 (µ µ), то тем самым будет установлена сформулированная теорема ввиду предложения 6.5.1 (1).

Итак, пусть k :=, где, L2 (µ). Пусть, S2 (M ) лифтинги и соответственно. Предположим также, что F лифтинг функции f L2 (µ) и G S2 (M ) 2 (M ) лифтинг функции Ak (f ). Как видно, () · F () будет лифтингом функ ции t (t) · f (t). Привлекая неравенство Коши Буняковского 330 Гл. 6. Техника гиперприближений и тот факт, что, F S2 (M ), легко усмотреть вхождение ·F S (M ), стало быть, (t)f (t) dµ(t) := ()F () =:.

X X Лифтинг G функции Ak (f ) совпадает с ·, поскольку Ak (f ) = ·.

В то же время из определения оператора AK вытекает равенство AK (F ) = ·. Таким образом, G AK (F ) 2 = | | · 2 0, что и требовалось.

6.5.4. Из доказанной теоремы и из 6.4.7 вытекает следующее утверждение.

(1) Каждый оператор Гильберта Шмидта, действую щий в пространстве L2 (µ) с -конечной мерой µ, обладает гиперпри ближением.

Предположим, что X это сепарабельное локально компактное пространство, µ борелевская мера на X, а пополнение алгебры борелевских множеств относительно µ.

Пусть (X,, ) произвольное гиперприближение пространства с мерой (X,, µ) (см. 6.4.9 (1)). Рассмотрим пространство X X с топологией произведения. Тогда nst ( X X) = nst ( X) nst ( X) и st((, )) = (st(), st()) для, nst ( X). Отсюда непосредственно вытекает, что (X X,, 2 ) гиперприближение пространства (X X,, µ µ). Легко проверить, что (2) Для ограниченной µ µ-почти всюду непрерывной функции f : X X R условие 6.4.9 (2) того, что функция f доста точно быстро убывает на бесконечности, равносильно следующему:

(B P(X))(B X M ) |f ((x), (y))| + |f ((x), (y))| 0.

xB yX xX yB (3) Пусть X сепарабельное локально компактное топо логическое пространство с борелевской мерой µ, пусть (X,, ) гиперприближение пространства (X,, µ). Тогда для любой огра ниченной µ µ-почти всюду непрерывной функции k L2 (µ µ), для которой |k|2 удовлетворяет условию (2), оператор AK, где K := k|(X)(X), представляет собой гиперприближение оператора Ak.

6.5. Гиперприближение интегральных операторов 6.5.5. Дадим теперь простое достаточное условие, при котором функция f : X X R удовлетворяет 6.5.4 (2).

(1) Предположим, что функция f : X2 R удовлетворя ет неравенству |f (x, y)| 1 (x) · 2 (y) (x, y X), где 1 и 2 некоторые ограниченные интегрируемые µ-почти всю ду непрерывные функции, удовлетворяющие условию достаточно быстрого убывания на бесконечности 6.4.9 (2). Тогда f удовлетво ряет условию 6.5.4 (2).

По условию 1 and 2 удовлетворяют 6.4.9 (2) и 6.4.10. Таким образом, если B X M, то |f ((x), (y))| xB yX 2 ((y)) 2 dµ · 1 ((x)) 0, 1 ((x)) xB yX xB X что и требовалось.

Установленное предложение равносильно следующему.

(2) Пусть k L2 (µ µ) ограниченная почти всюду непрерывная функция, причем |k|2 удовлетворяет 6.5.4 (2) (или нера венству из (1)). Тогда для любой ограниченной почти всюду непре рывной функции f L2 (µ), достаточно быстро убывающей на бес конечности (см. 6.4.9 (2)), справедливо соотношение:

k((x), )f () d µ() k((x), (y))f ((y)) 0.

xX yX X 6.5.6. В том частном случае, когда X := R (см. 6.4.11), получаем следующее следствие.

(1) Пусть k L2 (R2 ) некоторая ограниченная почти всюду непрерывная функция, для которой |k|2 удовлетворяет нера венству из 6.5.5 (1) для некоторых абсолютно интегрируемых функ ций 1 и 2 на R, удовлетворяющих условию 6.4.11 (3) (перефрази рующему требование достаточного быстрого убывания на бесконеч 0 и L N таковы, что L +.

ности). Допустим, что 332 Гл. 6. Техника гиперприближений Тогда для любой ограниченной почти всюду непрерывной функции f L2 (R), удовлетворяющей условию 6.4.11 (3), имеет место соотно шение M L k(, y)f (y) dy k(, )f ( ) 0.

=M =L Если положить X := {k N : |k| L}, определить : X R правилом (k) = k и задать функцию K : X 2 R формулой K := k|(X)(X), то соотношение из (1) равносильно тому, что AK гиперприближение оператора Ak (см. 6.5.5 (2)).

0 и L :=, то соотношение из (2) Если +, (1) выполняется для любых ограниченных почти всюду непрерыв ных функций k L2 (R2 ) и f L2 (R).

Рассуждая аналогично тому, как это сделано в 4.6.13, получим L | k(, )|2.

|k(x, y)|2 dx dy =,=L Но тогда, как и выше, легко показать, что K входит в S2 (M M ) и является лифтингом k, даже если |k|2 не удовлетворяет 6.5.4 (2).

Утверждения (1) и (2) остаются в силе, если вместо R рассмот реть Rn для произвольного n 1 (в этом случае k L2 (R2n )).

6.5.7. Рассмотрим теперь стандартные варианты некоторых по лученных выше результатов. Естественный подход здесь состоит в применении алгоритма Нельсона.

В качестве примера рассмотрим предложение 6.5.4 (1). В соот ветствии с теоремой 6.4.7 можно считать, что X X и что лифтин гом функции f L2 (µ), содержащимся в S2 (M ), служит f |X. Заме тим, что для лифтинга K : X 2 R в S2 (M ) функции k L2 (µ µ) аналогичное равенство, вообще говоря, не имеет места, так как па ра (X 2, ) может не удовлетворять заключению теоремы 6.4.5 для пространства (X2,, µ µ). Тем не менее такой лифтинг K су ществует ввиду замечаний из 6.5.2.

6.5. Гиперприближение интегральных операторов это пространство с -конечной мерой и k Пусть (X,, µ) L2 (µ µ). Тогда для любого конечного множества L2 (µ) и R и K : X 2 R, произвольного 0 существуют X X, такие, что |k|2 dµ |K(x, y)|2, x,y X и для каждого f выполняется k(x, )f () dµ() K(x, y)f (y).

xX yX X Предложение 6.5.4 (1) можно записать в следующем виде.

Пусть (X,, µ) стандартное пространство с -конечной мерой.

Возьмем стандартную функцию k L2 (µ µ). Тогда (n X X)( R+ )(K : X 2 R)(st f L2 (µ))(st 0 R) |k|2 dµ µ |K(x, y)|2 x,yX X · k(x, )f () dµ() K(x, y)f (y).

xX X yX Обозначим матрицу этой формулы символом W и применим к ней принцип идеализации. В результате получим эквивалентную фор мулу Pn (L2 (µ)))(st Pn (R+ ))(n X X)( (st R+ ) (K : X 2 R)(f )( ) W.

Так как (X,, µ) и k стандартны, то можно применить принцип переноса и убрать индекс st над первыми двумя кванторами в по следней формуле. Переход от к := min( ) позволяет, как легко видеть, заменить второй квантор следующим: ( R+ ). Значит, мы можем вовсе опустить последний квантор.

Более тщательный анализ приведенного перевода показывает, что нестандартные X, и K в 6.5.4 (1) зависят от элементов L2 (µ) 334 Гл. 6. Техника гиперприближений и L2 (µ µ), являющихся классами эквивалентности, а не от выбора конкретных представителей этих классов, а k L2 (µ µ) в уста новленном предложении рассматривается как класс эквивалентно сти (т. е. X, и K не зависят от выбора представителя из класса k). В то же время в этом предложении представляет собой конеч ное множество функций, интегрируемых с квадратом.

Фактически предложение 6.5.7 не является полным аналогом 6.5.4 (1), так как первое неравенство в формулировке этого пред ложения лишь следствие того, что K S (M ) служит лифтингом функции k. В утверждении K из S (M ) это лифтинг функ ции k участвуют внешние объекты, поэтому оно не формализуется на языке IST, но может иметь различные внутренние следствия, уси ливающие 6.5.7.

6.5.8. Рассмотрим стандартный вариант предложения 6.5.6 (2).

Обозначим символом Hm пространство ограниченных функций из L2 (Rm ), непрерывных почти всюду относительно меры Лебега на Rm.

Для любых конечных множеств функций H1 и K H2 и произвольного n N существуют числа L N и R+ такие, что L n, n1 и L L k(, )f () d k(, )f ( ) n =L =L иkK.

для любых функций f Предложение 6.5.6 (2) можно переписать в виде:

0 (st f H1 )(st k H2 ) (L N)( R+ ) L + M k(, y)f (y) dy =M L k(, )f ( ) 0.

=L 6.5. Гиперприближение интегральных операторов Расшифровывая в этой формуле знак, получим R+ )(st n N)(st f H1 )(st k H2 ) (L N)( n n L L k(, )f () d =L L k(, )f ( ).

n =L Как и в предыдущем пункте, эту формулу легко можно записать без использования предиката st.

6.5.9. Еще проще формулируется стандартный вариант пред ложения 6.5.6 (1). Обозначим символом H1 множество функций f H1, для которых |f |2 удовлетворяет условию 6.4.11 (2), а симво лом H2 множество функций k H2 таких, что |k|2 удовлетворяет неравенству из 6.5.5 (1) для некоторых 1 и 2, для которых выпол нено 6.4.11 (2). (Множество Hm определяется аналогично.) Для любых f H1 и k H2 имеет место равенство L L k(, )f () d lim k(, )f ( ) = 0.

=L =L L Как видно, соотношение из 6.5.6 (1) можно записать в IST в виде 0 (st f H1 )(st k H2 ) (L N)( R+ ) L + L L k(, )f () d k(, )f ( ).

=L =L 336 Гл. 6. Техника гиперприближений Используя эквивалентность формул a 0 и (st n N)(|a| 1/n) и правила логики предикатов, приходим к следующему предложению:

(st f H1 )(st k H2 )(st n N)(L N)( R+ ) (L + 0 W ), где W обозначает неравенство из 6.5.5 (1).

Записывая предикаты L + и 0 в IST и используя принципы идеализации и переноса, получим предложение (f H1 )(k H2 )(n N)(n N N)(L N)( R+ ) (m N )(( 1/m L m) W ), эквивалентное требуемому.

6.5.10. Рассмотрим стандартный вариант определения гипер приближения для ограниченного линейного оператора A : Lp (R) Lq (R), где p, q 1. Обозначим символом H (r) пространство ограни ченных почти всюду непрерывных функций f Lr (R), для которых |f |2 удовлетворяет условию 6.4.11 (2). Заметим, что H (r) плотно в Lr (R) (r 1). Предположим также, что A удовлетворяет условию:

(1) Множество {f H (p) : A (f ) H (q) } плотно в про странстве Lp (R).

Пусть T := {TL, : L N, R+ } пучок матриц TL, := (t, )L, зависящий от двух параметров и равномерно ограни,=L ченный по норме. Как видно, каждая из матриц TL, имеет размер ность N N, где N := 2L + 1.

(2) Мы будем говорить, что пучок T приближает огра ниченный оператор A : Lp (R) Lq (R), удовлетворяющий усло вию (1), в том и только в том случае, если для любой функции f H (p) A 1 (H (q) ) справедливо соотношение L L q A (f )( ) lim t f ( ) = 0.

=L =L L (3) Если пучок матриц T удовлетворяет условиям оп ределения 6.5.10 (2), то T приближает ограниченный оператор A :

6.5. Гиперприближение интегральных операторов Lp (R) Lq (R) в том и только в том случае, если для любых L N 0 и L +, оператор TL, : L X,p R+ таких, что и L,q, где X := {L,..., L}, представляет собой гиперприближение X оператора A.

Немедленно следует из определения (1) и нестандартного кри терия предела (см. 2.3.1).

(4) Предположим, что равенство из (2) выполняется для всех функций f из некоторого множества M H (p) A 1 (H (q) ), линейная оболочка которого плотна в Lp (R). Тогда это же самое равенство выполняется и для всех функций f H (p) A 1 (H (q) ).

Это вытекает из предложения 6.5.1 (1).

6.5.11. Примечания.

(1) Результаты этого параграфа получены Е. И. Гордоном и опубликованы в [43, **]. Наше изложение следует [**].

(2) Утверждение о том, что A допускает гиперприближение, выразимо в языке IST. Следовательно, с помощью алгоритма Нель сона можно получить эквивалентное предложение, сформулирован ное в стандартных математических терминах. В полной своей общ ности соответствующая формулировка весьма громоздка, но смысл ее состоит в том, что существует последовательность конечномер ных нормированных пространств и операторов, действующих в этих пространствах, для которых существуют соответствующие последо вательности конечных подмножеств (узлы таблиц в последователь ных пространствах), последовательность множителей таких, что таблица значений функции в каждом множестве узлов представля ет собой вектор в соответствующем пространстве, интеграл функции приближается суммами значений функции в узлах с шагом и зна чения конечномерного оператора на таблице значений функции f сходятся к таблице A (f ), см. 6.5.10 (2).

(3) Результаты, аналогичные теореме 6.5.3 и ее приведенным выше следствиям, можно получить и для некоторых других клас сов интегральных операторов, налагая подходящие условия на функ цию k, при которых интегральный оператор с ядром k ограниченно действует из Lp в Lq (см., например, [85]).

(4) Нестандартное определение гиперприближения (см. 6.5.1) является существенно более общим, чем определение 6.5.10 (2), даже 338 Гл. 6. Техника гиперприближений в случае пространства Lp (R), так как оно не предполагает, вообще го воря, существования стандартного семейства матриц, удовлетворя ющих условиям определения 6.5.10 (2). Разница между этими опре делениями становится ясной при сравнении 6.5.8 и 6.5.9. Послед нее можно усилить путем полного перевода предложения 6.5.6 (2) 0. Однако такой на стандартный язык с учетом соотношения перевод ведет к существенному усложнению формулировки.

(5) В дальнейшем нам потребуется ситуация, когда в процессе приближения оператора A таблица значений f дана с шагом, в то время как таблица значений для A (f ) составлена с шагом 1.

Разумеется, 1 0 и L 1 (например, 1 := ((2L + 1) )1 ).

Общее определение из 6.5.10 охватывает и этот случай. Следова тельно, после очевидных модификаций определения 6.4.9 (2) и пред ложений 6.5.10 (3, 4), последние два остаются справедливыми.

(6) Определение 6.4.9 (2) и предложения 6.5.10 (3, 4) допуска ют обобщение на случай, когда гиперприближение оператора A :

Lp (µ) Lq (µ), где µ некоторая -конечная мера на сепарабель ном локально компактном топологическом пространстве X, строится на основе гиперприближения этого пространства (см. 6.5.4 (3)).

При этом необходимо дать стандартный вариант определения гиперприближения пространства с мерой как некоторого семейства X конечных множеств, отображений : X X и чисел, удовлетво ряющих подходящим условиям. Как уже отмечалось, основные воз никающие при этом трудности связаны с переводом условий 6.4.9 (2) и 6.5.4 (2) на стандартный язык.

Мы вернемся к подобным вопросам в следующей главе при рас смотрении проблемы гиперприближения общих локально компакт ных абелевых групп.

6.6. Дискретизация псевдоинтегральных операторов и случайные меры Лба е Ниже нам потребуется более сильный вариант теоремы, сформу лированной в 6.4.6. Именно, необходимо добиться, чтобы интеграл любой суммируемой функции приближался суммой по гиперконеч ному множеству с точностью до фиксированного бесконечно мало го.

6.6.1. Теорема. Пусть (X,, µ) стандартное пространство с 6.6. Псевдоинтегральные операторы и случайные меры -конечной мерой µ, a положительное бесконечно малое гипер действительное число. Тогда найдутся внутреннее гиперконечное множество X X и гипердействительное число R такие, что f dµ f () X X для любой f L1 (µ).

Пусть k некоторое -бесконечно большое натуральное чис ло. Тогда (Xk, k, µk ) удовлетворяет условиям теоремы 6.4.4, т. e.

найдется внутреннее гиперконечное множество X Xk такое, что для любой k-стандартной интегрируемой функции h : Xk R выражение µk (Xk ) h dµk h() |X| X X k станет k-бесконечно малым. В частности, если f L1 (µ), то fk будет k-стандартной интегрируемой функцией на Xk, поэтому вы ражение µk (Xk ) fk dµk fk () |X| X X k будет k-бесконечно малой величиной, а следовательно, и -бесконеч но малой величиной. Далее, из соотношения f dµ = lim fn dµn n X Xn вытекает, что разность X f dµ Xk fk dµk будет -бесконечно ма лой. Поскольку fk |X = f |X, то выражение µk (Xk ) f dµ fk () |X| X X будет -бесконечно малой величиной, а, следовательно, по модулю оно не превышает.

340 Гл. 6. Техника гиперприближений 6.6.2. В ситуации, описанной в теореме 6.6.1, мы будем гово рить, что пара (X, ) приближает меру µ с точностью до.

Поскольку в доказательстве теоремы 6.6.1 были использованы только принципы переноса и насыщения, то стандартность может быть заменена на относительную стандартность. Точнее, если фиксированное внутреннее множество, (X,, µ) это некоторое стандартное пространство с -конечной мерой µ, a положитель ное -бесконечно малое гипердействительное число, тогда найдутся внутреннее гиперконечное множество X X и гипердействитель ное число R такие, что F d µ F () X X для любой -стандартной интегрируемой функции F. В частности, утверждение верно для любого бесконечно малого.

6.6.3. Пусть X произвольное множество, A некоторая алгебра подмножеств X и (y )yY семейство -конечных мер на A. Семейство (y )yY можно рассматривать как функцию :

A Y R такую, что y (A) := (A, y) для y Y и A A. Обо значим через L1 совокупность всех измеримых функций на X, ин тегрируемых по всем мерам семейства (y )yY. Семейство (y )yY порождает псевдоинтегральный оператор T на L1 следующим обра зом: пусть f L1, тогда T f функция из Y в R, определенная как (T f )(y) = f dy (f L1 ).

X Мы покажем в следующем пункте, что если функции представлять таблицами их значений на гиперконечном множестве, то псевдоинте гральный оператор можно приблизить с бесконечной точностью (т. е.

с точностью до бесконечно малых) гиперконечной матрицей. Обо значим символом F (Y ) пространство всех вещественных функций на Y. Для гиперконечного набора X := (x1,..., xn ) X обозна чим символом X проектор из L1 в Rn, сопоставляющий функ ции f L1 таблицу значений f (x1 ),..., f (xn ).

6.6.4. Теорема. Существуют такие гиперконечные наборы X := (x1,..., xn ) X и Y := (y1,..., ym ) Y, что Y Y, и 6.6. Псевдоинтегральные операторы и случайные меры для некоторой матрицы A = (a ) размера n m будет Y ( T f ) AX ( f ) для каждой функции f L1 или, что то же самое, n f d y a f (x ) ( := 1,..., m).

= X Другими словами, диаграмма T L1 (X ) F (Y ) X Y A Rn Rm коммутативна с точностью до бесконечно малых.

Зафиксируем произвольное бесконечно малое. Для любого Y теорема 6.6.1 обеспечивает существование гиперконечного набора X(y) элементов X и положительного гипердействительного (y) таких, что | X f dy (y) X(y) f | для всякой f L1.

Тем самым у нас имеются (внешние) функции X:Y Xn : Y R.

и n N Пользуясь принципом продолжения, мы можем считать эти функ ции заданными на Y. Зафиксировав элементы y Y и F L1, мы будем говорить, что выполнено свойство (y, F ), если F d y F.

(y) X(y) X Для каждого y Y рассмотрим внутреннее множество By := {F L1 : (y, F )}. Заметим, что f By для всех f L1 и y Y. Да лее, для любого конечного набора (y1, f1 ),..., (yk, fk ) Y L1 най дется внутреннее подмножество L1, содержащее все f и содержа щееся в каждом By для := 1,..., k. В качестве такого множества достаточно взять By1... Byk. Отсюда по принципу насыщения следует, что найдется внутреннее множество B такое, что f B Fy 342 Гл. 6. Техника гиперприближений для всех (y, f ) Y L1. В частности, (y, F ) выполнено для всех y Y и всех F. Обозначим через Y0 множество всех тех y Y, для которых (y, F ) выполнено для каждого F B. Легко видеть, внутреннее множество, содержащее Y. С другой стороны, что Y найдется внутреннее гиперконечное множество Y1 Y, содержащее Y. Положим Y := Y0 Y1. Тогда Y гиперконечное внутреннее под множество Y, содержащее Y, и (y, F ) выполнено для всех y Y и всех F B. В частности, (y, f ) выполнено для всех y Y и всех f L1. Возьмем любое упорядочение (y1,..., ym ) набора Y. В ка честве X возьмем конкатенацию наборов Xy1,..., Xym, т. е. набор, образованный стоящими подряд элементами наборов Xy1,..., Xym.

Пусть X := (x1,..., xn ) и пусть элементы набора Xy занимают в X позиции с s+1 по s+m. Определим ступенчатую матрицу A размера m n следующим образом:

если s s+1, y, a := 0 в противном случае.

Тогда для каждой f L1 и любого := 1,..., m будет n f d y a f (x ) = f d y f, (y ) =1 X(y ) X X n f d y a f (x ).

т. е. X = 6.6.5. Рассмотрим теперь частный случай псевдоинтегрально го оператора интегральный оператор с ядром K(x, y). Пусть в условиях теоремы 6.6.4 на -алгебре A задана фиксированная конечная мера такая, что y абсолютно непрерывна относительно µ для каждого y Y с плотностью Ky := K(·, y) L (µ). Тогда f · Ky dµ.

(T f )(y) = f dy = X X В этом случае теорема 6.6.4 может быть несколько усилена. А именно, в качестве X может быть взят фиксированный набор, при ближающий µ с точностью до (существование такого набора и веса вытекает из теоремы 6.6.1), в качестве матрицы можно взять ядра на узлах дискретной решетки X Y с весом.

6.6. Псевдоинтегральные операторы и случайные меры 6.6.6. Теорема. Пусть пара (X, ) приближает µ. Тогда су ществует конечный набор Y := (y1,..., ym ) Y, причем Y Y, такой, что Y ( T f ) AX ( f ), где a := · K(x, y ).

Доказательство вполне аналогично доказательству теоремы 6.6.4. Обозначим через (y, F ) внутреннюю формулу F d y f · Ky.

X Тогда для любой f L1 и любого y Y мы имеем f · Ky = f · Ky, f dy f Ky dµ X X X X (y, f ) выполнено для всех y Y и f L1.

т. е.

Пусть Cy := {F L1 : (y, F )}. Тогда найдется внутреннее множество C L1 такое, что (y, F ) выполнено для всех y Y и F C и, кроме того, L1 C. Найдется гиперконечный внутренний набор Y := (y1,..., ym ) такой, что Y Y и (y, f ) для всех y Y и f L1. Тогда n f dyi f · Ky = a f (x ) = X X для каждого := 1,..., m.

6.6.7. Следует заметить, что из доказательства теорем 6.6.4 и 6.6.6 следует несколько более сильный результат, а именно, постро енная в теоремах матрица A приближает оператор T с точностью до фиксированного бесконечно малого. Кроме того, поскольку построенный там гиперконечный набор Y содержит Y, то значе ния стандартной функции g на Y вполне определены значениями g на Y. Из этого следует, например, что проектор Y сохраняет супре мум ограниченной стандартной функции на Y, т. е. supyY g(y) = max Y (g). С другой стороны, проектор X в теореме 6.6.6 сохра няет L1 -норму функции f из L1, т. е. X f dµ = ( X f ). Таким образом, если мы введем sup-норму на Rm, то теорема 6.6.6 означа ет, что для каждой пары (X, ), приближающей меру µ с точностью 344 Гл. 6. Техника гиперприближений до, найдется гиперконечный набор Y такой, что Y Y Y и Y ( T f ) AX ( f ) для каждой f L1.

Следующая теорема дополняет теорему 6.6.6. Как и в теоре интегральный оператор из L1 в F (Y ) с ядром K, а ме 6.6.6, T 0 фиксированное бесконечно малое.

6.6.8. Теорема. Для любого гиперконечного набора Y Y найдется пара (X, ), приближающая меру µ и удовлетворяющая условию Y ( T f ) AX ( f ) для каждой f L1 (матрица A определяется так же, как и в теореме 6.6.4.) Пусть Y := {y1,..., ym }. Для любого := 1,..., m функ ция Ky принадлежит множеству {Ky1,..., Kym } и, следовательно, Y -стандартна. Пространство (X, A, µ) стандартно, а значит, и Y стандартно. Замечание 6.6.2 обеспечивает существование гиперко нечного набора X X и положительного гипердействительного числа таких, что для любой Y -стандартной интегрируемой функ ции F выполнено F d µ F.

X X Если f L1, то f · Ky это Y -стандартная интегрируемая функ ция, поэтому f d y f · Ky d µ f · Ky = f · Ky, X X X X откуда и следует требуемое.

6.6.9. Распространим теперь конструкцию Лба на случайные е меры. Напомним читателю определение случайной меры. Пусть X произвольное множество, A алгебра подмножеств X и пусть (Y, B, ) произвольное пространство с конечно-аддитивной ме рой. Функция : A Y R называется случайной мерой (слу чайной конечно-аддитивной мерой), если выполнены следующие два условия:

(1) Функция A := (A, ·) : Y R является B-измери мой для любого A A ;

6.6. Псевдоинтегральные операторы и случайные меры (2) Функция y := (·, y) является мерой (соответствен но конечно-аддитивной мерой) на A для почти всех y Y.

Пусть, далее, (X, A ) и (Y, B, ) внутренние множества, а внутренняя конечно-аддитивная случайная мера на A Y. По опре делению, в Y найдется подмножество полной меры Y0 такое, что y является конечно-аддитивной мерой для всех y Y0. Далее, пусть (Y, BL, L ) пространство Лба для (Y, B, ). Для каждо е го y (y Y0 ) рассмотрим соответствующую меру Лба (y )L. За е метим, что по определению меры Лба область определения (y )L е содержит (A ). Определим функцию L : (A ) Y R следую щим образом: положим L (A, y) := (y )L (A) для A (A ) и y Y0 ;

на Y Y0 доопределим L произвольно.

6.6.10. Теорема. Построенная выше функция L является слу чайной мерой относительно пространств (X, (A )) и (Y, BL, L ).

По определению L := (y )L является счетно-аддитивной ме y рой для L -почти всех y Y. Достаточно показать, что L является A BL -измеримой для каждого A (A ). Обозначим через M мно жество таких A (A ), что L является BL -измеримой функцией.

A Легко видеть, что A M. Действительно, для всякого A A мы имеем L (y) = L (A) = y (A) = A (y) для любого y Y0. Тем са y A мым A является лифтингом L, и по теореме о лифтинге функция A L является BL -измеримой. Пусть (An )nN монотонная последо A вательность множеств из M и A := limn An. Тогда A (A ).

В силу того, что L (A) = limn L (An ) для любого y Y0, мы y y заключаем, что функция L является пределом последовательности A BL -измеримых функций (L n ) п. в., следовательно, и сама является A BL -измеримой. Тем самым M монотонный класс. Так как любой монотонный класс вместе со всякой алгеброй содержит и порожден ную ею -алгебру, мы заключаем, что M = (A ).

6.6.11. Мы построили случайную меру Лба на -алгебре (A ).

е Напомним, что, в конструкции скалярной меры Лба, мера Лба е е строится на -алгебре, порожденной исходной алгеброй, после че го продолжается на пополнение этой -алгебры. Как показывает следующий пример, в конструкции случайной меры Лба переход е к пополнению, вообще говоря, невозможен. Даже в случае, когда пополнения (A) по всем мерам L совпадают для всех y Y, про y должение L на это пополнение может не быть случайной мерой.

346 Гл. 6. Техника гиперприближений Пусть Y гиперконечное множество, равномерная вероят ностная мера на алгебре B всех внутренних подмножеств Y. Из вестно, что в этом случае BL не совпадает со множеством всех под множеств P(Y ). Пусть N это BL -неизмеримое подмножество Y.

Положим X := Y и A := B, и пусть для y Y выполняется если y A, 1, (A, y) := 0 в противном случае.

Очевидно, что является случайной мерой относительно (X, A ) и (Y, B, ). Более того, для каждого y Y соответствующая мера Лба (y )L определена на всем P(X). Тем самым функция L может е быть естественным образом продолжена на P(X) Y, а именно, L (A, y) := (y )L (A). Однако на P(X) Y функция L не является случайной мерой, поскольку L = N неизмерима относительно BL.

N 6.6.12. Далее мы покажем, что случайную меру можно интер претировать как векторную меру, а построенное выше продолжение по Лбу случайной меры является в определенном смысле продол е жением по Лбу векторной меры.

е (1) Напомним, что под нестандартной оболочкой V # внут реннего векторного пространства V подразумевают фактор-прост ранство V1 /V2, где V1 := ltd(V ) и V2 := µ(V ), см. 6.1.1.

Например, нестандартная оболочка нормированного простран ства, с которой мы уже сталкивались, получается факторизацией подпространства допустимых векторов по подпространству векто ров с бесконечно малыми нормами.

Пусть F внутренняя конечно-аддитивная V -значная мера на внутреннем измеримом пространстве (X, A ), причем образ F лежит в V1. Тогда функция F # : A V #, определенная как F # (A) := F (V )#, является счетно-аддитивной мерой на A. Естественно было бы назвать векторной мерой Лба продолжение F # на пополнение е (A ). Однако, в отличие от скалярного случая, мы не можем гаран тировать, что F # продолжается на (A ). Мы покажем ниже, что когда F векторная мера, соответствующая случайной мере, такое продолжение всегда существует.

(2) Пусть (Y, B, ) внутреннее пространство с мерой, a (Y, BL, L ) соответствующее пространство Лба. Обозначим через е L0 () пространство B-измеримых функций из Y в R. Как обычно, 6.6. Псевдоинтегральные операторы и случайные меры мы будем отождествлять функции, равные -почти всюду. Рассмот рим в L0 () внешние подпространства V1 и V2, состоящие соответ ственно из L -почти всюду доступных и L -почти всюду бесконечно малых функций. То есть f V1 (соответственно f V2 ), если най дется U BL такое, что L (Y U ) = 0 и f (y) доступно (соответствен но бесконечно мало) для каждого y U. Это определение коррект но, поскольку если f V1 (соответственно f V2 ) и g(y) = f (y) для -почти всех y, то g(y) = f (y) для L -почти всех y, так что g тоже ле жит в V1 (соответственно в V2 ). Назовем нестандартной оболочкой L0 ()# фактор-пространство V1 /V2. Оболочку L0 ()# можно отож дествить с пространством L0 (L ) функций из Y в R, измеримых от носительно BL. А именно, фактор-класс f + V2 V1 /V2 отображает ся в f, из теоремы о лифтинге следует, что это взаимно-однозначное линейное отображение. Таким образом, L0 ()# = L0 (L ).

(3) Пусть, как и ранее, внутренняя случайная мера относительно (X, A ) и (Y, B, ). Предположим также, что (A, y) доступно для всех A A и почти всех y Y. Пусть L продол жение, как в теореме 6.6.10. Заметим, что обе эти меры можно рас сматривать как векторные меры. А именно, определим векторные меры : A L0 () и L : (A ) L0 (L ) по правилам (A) := A и L (A) := L. A 6.6.13. Теорема. Мера # (см. 6.6.12 (1)) определена коррект но и допускает продолжение на (A );

т. e. существует векторная ме ра Лба для. Более того, продолжение # совпадает с L на (A ).

е Из условия доступности (A, y) для всех A A и почти всех y Y следует, что для каждого A A функция (A) = A лежит в V1. Отсюда следует, что # определена на A. С учетом отождеств ления, упомянутого в 6.6.12 (2), для каждого A A мы имеем (A) = (A) = (A ) = A = L = L # # # (A) п. в., A так что # совпадает с L на A. Но поскольку мера L определе на на (A), мы заключаем, что L является продолжением # на (A ).

6.6.14. Примечания.

(1) Псевдоинтегральные операторы введены Арвесоном [249] в связи с изучением операторных алгебр в L2. Далее они изучались 348 Гл. 6. Техника гиперприближений Фахури [300] (операторы в L1 ) и Кэлтоном [358] (операторы в Lp при 0 p 1). Различные аспекты псевдоинтегральных операто ров отражены в [223–225, 358–361, 472–476, 514–516]. Необходимые сведения о псевдоинтегральных операторах имеются в [383].

(2) Основные результаты этого параграфа получены В. Г. Тро ицким и опубликованы в [209].

Глава Инфинитезимали в гармоническом анализе В текущей главе изучается гиперприближение преобразования Фурье на локально компактной абелевой группе.

Вначале мы рассматриваем преобразование Фурье на вещест венной прямой F : L2 (R) L2 (R).

В этом случае матрица дискретного преобразования Фурье при меняется к таблице значений функции f в узлах L 1,..., L 1.

Полученный вектор мы сравниваем с таблицей значений функции F (f ) в узлах L,..., L.

При этом выясняются условия, при которых норма разности 0, 1 этих двух векторов стремится к нулю при условии и L, L 1 + (или, что то же самое, эта норма является беско 0, 1 0 и L, L 1 +). Ответ нечно малой, как только зависит от соотношений между L, и 1.

Результаты, изложенные в 7.1 для преобразования Фурье на ве щественной прямой, носят теоретико-групповой характер и допуска ют распространение на случай произвольной сепарабельной локаль но компактной абелевой группы.

Исходя из гиперприближения локально компактной абелевой группы, мы строим дискретное приближение гильбертова простран ства квадратично-суммируемых функций на этой группе.

В заключение главы мы применяем все изложенные ранее кон струкции к построению конечномерных приближений операторов на 350 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе основе аппроксимации их символов, устанавливая попутно результа ты о предельном поведении спектров для операторов Гильберта Шмидта и операторов типа Шрдингера.

е 7.1. Гиперприближение преобразования Фурье на прямой Здесь посредством дискретного преобразования Фурье изучает ся возможность построения приближений для преобразования Фурье F : L2 (R) L2 (R).

7.1.1. Всюду в этом параграфе используются следующие обо значения: X := {k Z : L k L} и N := 2L + 1, где L бесконечно большое число (т. е. L +);

и строго поло 0), причем N, жительные бесконечно малые числа (0, +;

функции : X R и : X R вводятся равен N ствами (k) := k и (k) := k. Тем самым (X,, ) и (X,, ) гиперприближения пространства (R,, dx), где это -алгебра измеримых по Лебегу множеств и dx мера Лебега на прямой R (см. 6.4.9 (1)).

Рассмотрим гиперконечномерное пространство CX с фиксиро ванным базисом {Ek : k X}, где Ek (m) := km для k, m X.

Все внутренние линейные операторы, действующие в CX, задают ся матрицами в этом базисе. В пространстве CX вводится скаляр ное произведение (·, ·) (или (·, ·) ), определяемое соотношением (Ek, Em ) := km (соответственно (Ek, Em ) := km ). Сим волом L2 (или L2 ) обозначают пространство CX со скалярным произведением (·, ·) (соответственно (·, ·) ).

Дискретным преобразованием Фурье называют оператор :

CX CX, определяемый матрицей (exp(2i/N ))L. Ниже,=L мы рассматриваем дискретное преобразование Фурье := :

L2 L2. Легко проверить, что ( (F ), (G)) =N (F, G).

Тем самым =N и, стало быть, определен ненулевой опе ратор # : L2 L2 при условии, что 0 N # # +.

В этом параграфе, если не оговорено противное, мы предпола 1.

гаем, что N 7.1. Гиперприближение преобразования Фурье на прямой Случай точного равенства выделяется особо, при этом исполь зуется обозначение := (N )1. При этом гиперприближение про странства (R,, dx) обозначается через (X,, ).

Положим M := 1 (nst ( R)) и := st |M : M R. Тогда порождает отображение 2 : L2 (R) L2 ( M ) L2,.# Напомним, что если f L2 (R), то 2 (f ) = F, где F S2 (M ) # лифтинг функции f (называемый также лифтингом функции f ).

Более того, если функция f ограничена и непрерывна почти всюду, а |f |2 удовлетворяет условиям 6.4.11 (2), то в качестве F можно взять вектор X (f ) из CX, где X (f )k := f (k ) для k X (см. 6.4.11).

Величины M,, 2 и X (f ) (а также M,, 2 и X (f )) опре деляются аналогичным образом с помощью параметра (соответ ственно ).

Наконец, символом F : L2 (R) L2 (R) мы будем обозначать преобразование Фурье:

F (f )(y) := f (x) exp(2ixy) dx.

1, то дискретное преобразова 7.1.2. Теорема. Если N : L2, L2, является гиперприближением опера ние Фурье тора F : L2 (R) L2 (R).

Обозначим через M множество характеристических функций всех отрезков вида [0, a] и [a, 0], где a 0. Тогда линейная оболочка M плотна в L2 (R) и можно воспользоваться 6.5.1 (2). Пусть f := [0,a] и T бесконечно большое натуральное число, такое что (T 1) aT.

В силу определения гиперприближения в 6.5.1 достаточно дока зать, что a T L exp(2ink/N ) 0.

exp(2ixk ) dx n= k=L Ясно, что в последнем соотношении достаточно рассмотреть слага a L емые под знаком суммы k=1. Более того, 0 можно заменить на 352 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе T 1 по условию и, следовательно,, так как N T L N 0.


exp(2ixk ) dx k=L a Таким образом, осуществив необходимые элементарные вычисления, мы видим, что нам требуется обосновать лишь соотношение L | (1 exp(2ikT /N ))(1 exp(2ik/N )) k=L )1 (1 exp(2ikT ))|2 0.

(2ik := (N )1, получим Заменив в этом соотношении на L |1 exp(2ikT /N )|2 |(1 exp(2ik/N ))1 N/(2ik)|2 0.

N k= Возникшее соотношение очевидно. В самом деле, для каждого k [1, L] будет 0 2k/N. Стало быть, функция (1 exp(i)) (i)1 имеет конечный предел при 0 и, следовательно, ограниче на на [0, ]. Из сказанного ясно, что искомое соотношение вытекает из приближенного равенства L )1 (1 exp(2ikT |(2ik )) k= N (2ik)1 (1 exp(2ikT /N ))|2 0, которое, в свою очередь, является следствием следующих двух фор мул:

L k 2 |(N 1)(1 exp(2ikT /N ))|2 k= и L k 2 | exp(2ikT ) exp(2ikT /N )|2 0.

k= 7.1. Гиперприближение преобразования Фурье на прямой Докажем только первую формулу, так как вторая доказывается ана логично.

1 0 и a := T a. Тогда нужная нам Пусть := N формула эквивалентна соотношению L 2 1 ka sin2 0.

k2 N k= Если 2 M 0, то последнее соотношение немедленно вытекает из доступности a и неравенства sin2 x x2. Если же 2 M 0, то полагаем S := 1. В этом случае число S доступно, 2 S и, стало быть, S M. Отсюда выводим:

L S L 2 2 1 ka 1 ka 1 ka sin2 sin2 sin = +.

2 2 k k N k N N k=1 k=1 k=S+ Первый член в правой части равенства бесконечно мал, так как 2 S 0. То же самое верно и для второго члена, поскольку L 2 2 (S M 1 ), k k=S+ причем S иM бесконечно большие числа.

7.1.3. Рассмотрим два следствия доказанной теоремы.

2h, где h 0 стандартная констан (1) Если N : L2, L2, являет та, то дискретное преобразование Фурье ся гиперприближением преобразования Фурье Fh : L2 (R) L2 (R), заданного формулой Fh (f )(y) := f (x) exp(ixy/h) dx.

Для доказательства нужно перейти от функции f L2 (R) к функции, заданной соотношением (t) := f (2ht), и заменить на /2h.

354 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе (2) Предположим, что функции f и F (f ) ограничены и непрерывны почти всюду, а функции |f |2 и |F (f )|2 удовлетворяют условию lim f (k ) = 0.

|k| A A Тогда n lim f (x) exp(2ixk n ) dx n n k=n n f (m n ) exp(2ikm/n) = n m=n для любых последовательностей ( n ) и ( n ) таких, что n 0, n0иn n· n 1/2 при n.

Это стандартный вариант теоремы 7.1.2, который немедленно вытекает из 6.5.10 (3) (см. также 6.5.11 (5)).

(3) Сравним полученные выше результаты, относящиеся к гиперприближению преобразования Фурье, с аналогичными ре зультатами о гиперприближении операторов Гильберта Шмидта (см. 6.5).

Преобразование Фурье F оператор с ограниченным аналити ческим ядром kF (x, y) := exp(2ixy). Если рассматривается опе ратор Гильберта Шмидта с ограниченным и почти всюду непре рывным ядром k L2 (R2 ), для которого |k|2 удовлетворяет условию из 6.5.5 (1) (т. е. k H2 ), то оператор Ak : L2, L2, с матри цей ( k(, ))L,=L будет гиперприближением интегрального оператора с ядром k.

Дискретное преобразование Фурье, рассматриваемое в каче стве оператора из L2, в L2,, станет гиперприближением преобра зования Фурье F, если потребовать, чтобы N 2 = 1 (или N 2 1), см. теорему 7.1.2. При этом матрица оператора принимает вид Ak := · kF (, )L,=L.

Следующее предложение показывает, что при других соотношениях между N и матрица Ak может перестать быть гиперприближением оператора F.

7.1. Гиперприближение преобразования Фурье на прямой 7.1.4. Если N 2 = 2, то оператор B : L2, L2,, опреде ляемый матрицей Ak, не будет гиперприближением преобразования Фурье F.

Матрицу оператора B можно записать в виде ( exp(4inm/N ))L n,m=L.

Положим f := и покажем, что выполняется неравенство 0;

3/ ( B(X (f )) X (F (f )) ) 0.

Выберем бесконечно большое натуральное число T, для которого (T 1) 3/2 T. Элементарные преобразования показывают, что требуемое вытекает из неравенства L |1 exp(4imT /N )| m=LT |(1 exp(4im/N ))1 N/(4im)|2 0.

Так как T /N 0, то можно без труда показать, что сумма под знаком стандартной части больше или равняется выражению L 2mT 2m sin2 sin.

N N m=LT Покажем, что стандартная часть последнего числа строго положи тельна.

Как видно, sin2 (2m/N ) убывает по m при L T m L.

Пусть S := [2T /3]. Тогда для некоторых бесконечно малых и будет T 3/4 2mT /N T /2 при всех M T m M S, следовательно, sin2 (2mT /N ) возрастает на указанном интервале. Отсюда вытекает, что в рассматриваемой сумме члены с выделенными номерами возрастают. Далее, член с номером m := L T больше или равен D · 2 при некотором стандартном D 0.

Теперь ясно, что вся сумма больше или равняется положительному числу D(T S). Последнее число не инфинитезималь.

356 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе 7.1.5. Распространим теперь теорему 7.1.2 на некоторый класс обобщенных функций умеренного роста. Предположим, что N := удовлетворяет дополнительному условию 0 (N 2 ) 2L + 1 и +. Заметим, что это условие выполнено также для N и, если 0 (N ) +.

Прежде всего выясним, как сопоставить обобщенной функции элемент из CX. Для этой цели рассмотрим оператор Dd : L2, L2,, определяемый матрицей ((2 )1 dnk )L n,k=L, где 1, если k = n 1, · 1, если k = n 1, dnk := 0 в остальных случаях.

· и обозначают операции сложения В этом параграфе символы и вычитания в аддитивной группе кольца Z/N Z c основным мно жеством {L,..., L}. Иными словами, если G := Dd F, то G(k) = (F (k + 1) F (k 1))(2 )1.

Ясно, что Dd +, что не позволяет определить оператор Dd. Чтобы продвинуться дальше, приведем несколько вспомога # тельных утверждений.

(1) Если G(n) = Dd F, то n n 1 n · G(n) (k) = (1)r n 2r).

F (k (2 )n r r= · Более того, если |k| L n, то в этом равенстве и можно заменить на + и соответственно.

(2) Если 2 F (±(L t)) 0 для произвольных стан дартных s и t, то G(n) (±(L m)) 0 для стандартных n и m.

s (3) Если f S(R), то f (±(L t) ) 0 для любых стандартных s и t.

Так как L + и t стандартно, то (L t) +. Учи тывая также, что f S(R), получим [(L t) ]s f (±(L t) ) 0.

Таким образом, 0 s [(L t) 2 ]s f (±(L t) ). Остается исполь зовать условие 0 (N 2 ) +.

7.1. Гиперприближение преобразования Фурье на прямой (4) Если f принадлежит пространству Шварца S(R) и n стандартное натуральное число, то Dd X (f ) X (f (n) ) n 0.

2, В силу (2) и (3) будет |(Dd X (f ))(k) X (f (n) )(k)|2 0, n |k|Ln поэтому ввиду (1) достаточно показать, что Ln n 1 n f ((k+n2r) ) f (n) (k ).

(1)r 0S= (2 )n r r= k=L+n По формуле Тейлора n f (s) (k ) (n 2r)s s + (n 2r) ) = f (k + s!

s= f (n+1) (r) (n 2r)n+1 n+ +.

(n + 1)!

Отсюда выводим n 1 n (1)r f ((k + n 2r) ) = )n (2 r r= n n f (s) (k ) 1 n s (1)r (n 2r)s + = )n (2 s! r s=0 r= n (n+1) f (r) (n 2r)n+1.

+ 2n (n + 1)!

r= Используя легко проверяемую формулу n 0, если s n, n (1)r rs = n r (1) n!, если s = n, r= получаем, что первый член правой части полученной формулы ра вен f (n) (k ). Модуль же второго члена ограничен сверху числом B для некоторой стандартной константы B, поскольку f (n+1) ограни · 2(L n)B 2 2 и остается при чена на R. Таким образом, S влечь (1).

358 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе 7.1.6. Определим последовательность (L (n) )nN внешних под пространств пространства L2, следующими формулами:

[a/ ] L F L2, : ( a)( C) (0) st st |F (k)|2 C := ;

k=[a/ ] L (n+1) := Dd (L (n) );

L L (n).

() := n= Пусть F CX таков, что L F (k) f (k ) = (F, X (f )) + k=L для любой стандартной f C0 (R). Определим линейный (но не обязательно непрерывный) функционал F : C0 (R) C по форму ле:

F (f ) := (F, X (f )).

Теорема. Справедливы следующие утверждения:

(1) F (C0 (R)) для любого F L () ;

(2) если f (C0 (R)) и f = (k) для некоторой регуляр ной обобщенной функции (k 0), то существует F L () такой, что F = f ;

(3) Dd F = (F ) для любого F L ().

A Пусть (F, G)A := k=A F (k)G(k) для произвольного A L. Предположим, что f, fn C0 (R) и fn f в C0 (R) при n.

Тогда для подходящего стандартного числа a 0 носители supp(fn ) и supp(f ) содержатся в отрезке [a, a] и последовательность (fn ) схо дится к f равномерно. Компактность носителей влечет доступность чисел fn L2 и f L2, а также сходимость f fn L2 0 при n.

Пусть A := [a/2]. Тогда имеют место соотношения = X (f ) = X (fn ) A A f, fn, L2 L 2, 2, A X (f fn ) 0.

2, n 7.1. Гиперприближение преобразования Фурье на прямой Если теперь F L (0), то выполнены соотношения |F (f )| = | (F, X (f )) | = | (F, X (f ))A | F · X (f ) A A.

2, 2, Из определения L (0) вытекает доступность F A и, как установ 2, лено выше, число X (f ) A также доступно. Таким образом, зна 2, чение F (f ) доступно для любого f C0 (R). Аналогично доказы вается, что F (fn f ) 0 при n, стало быть, F (C0 (R)).

Далее, заметим, что (Dd F, X (f )) = (1)n (F, Dd X (f )). Из n n 7.1.5 (4) вытекает равенство Dd X (f ) = X (f ) + T, где T 2, n (n) 0. Более того, X (f (n) )(k) = 0 при |k| A, поскольку supp f (n) [a, a]. Как видно из 7.1.5 (1), Dd X (f )(k) = 0 при |k| A + n. Так n как n стандартно, то мы заключаем, что T (k) = 0 при |k| [b/ ] для любых стандартных b a. Таким образом, если B = [b/ ], то (F, T ) = (F, T )B 0, ибо F B доступно и T B = T 2, 2, 2, 0. Тем самым (Dd F, X (f )) (1)n (F, X (f (n) )). Но это означа n (n) ет справедливость равенства D n F (f ) = F (f ), доказывающего d утверждения (1) и (3).

Для доказательства (2) нужно лишь заметить, что без ограниче ния общности можно предполагать функцию непрерывной и тогда X () L (0).

7.1.7. Пусть C(0) := ltd(L2, );

C(n+1) := Dd C(n) и C() := C(n).

n= Понятно, что C(0) L (0), следовательно, C(n) L (n) для всех n и, стало быть, C() L (). Следующие два предложения устанавли ваются так же, как и предыдущая теорема:


(1) Если F C(), то F обобщенная функция уме ренного роста.

(2) Если f = (k) и L2 (R), то существует такой эле мент F C(), что f = F.

360 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе 1, Предположим теперь, что удовлетворяет условию N и рассмотрим, как и выше, дискретное преобразование Фурье :

L2, L2,. Так как оператор имеет доступную норму, то (C(0) ) = ltd(L2, ) = C(0) и 1 (C(0) ) = C(0).

Dd 1 : L2, L2, и определим по Положим Md := (n) следовательность (C )nN внешних подпространств пространства L2, формулой C(n+1) := Md (C(n) ). Очевидно, что (C(n) ) = C(n) () (n) () и C = n=0 C = C.

Прямой подсчет показывает, что оператор Md порожден матри цей L i sin.

N,=L Для произвольных G CX и f C0 (R) величина G (f ) определя ется так же, как и в 7.1.6, но с заменой на и F на G.

7.1.8. Для произвольной f S(R) имеет место равенство Md (X (f )) X (M n (f )) = 0.

n Как видно из указанного в 7.1.7 выражения для матрицы опе ратора Md, нужно лишь обосновать соотношение L n 1 )n f ( ) (2 0.

sin f ( ) N =L +, то Покажем сначала, что если T L, но T n 1 W := )|2 · )n |f ( (2 0.

sin 2n N ||T 1, мы можем подыскать В самом деле, привлекая условие N стандартное число C так, чтобы n )n ( sin = N n 2n n 2 2n 2 )n (2N C = sin.

N N N N 7.1. Гиперприближение преобразования Фурье на прямой Отсюда получаем оценку для W :

W C1 )|2 | |2n.

|f ( ||T Если (x) := x2n f (x), то L2 (R), поскольку f S(R). Более того, функция непрерывна, ограничена и удовлетворяет равенству из формулировки предложения. Тем самым внутренняя функция G : X C, определяемая формулой G() := f ( )( )n, пред ставляет собой лифтинг и G S2 (M ). Отсюда выводим, что правая часть полученной выше оценки для W бесконечно мала и, стало быть, W 0.

a В силу 4.6.11 найдется такое a +, что N + и N a 1 0. Пусть T := [a/ ]. Тогда T удовлетворяет тем же услови ям, что и выше, следовательно, ввиду ограниченности f достаточно показать, что T n 1 W1 := )n (2 0.

sin N = a Если 1 T, то 0 /N a/(N ) 0. Тем самым будет 2 = 1, sin N N a n где 0. Отсюда n sin 2 )n.

= (1 )(2 )n (N N n В силу выбора a выполняется (N ) = 1 + для некоторого a a 2 n n = (1 + )(2 )n, где 0. Если 0. Наконец, sin N a = max{| | : 1 T }, то 0, поэтому T W1 2 )2n 2 (2)n (T )2n (2)n 2 a2n 0, ( = что и требовалось.

362 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе 7.1.9. Теорема. Справедливы следующие утверждения:

(1) G (S(R)) для любого G C() ;

(2) F (F ) = (F ) для любого F C().

(1): Первое утверждение можно доказать так же, как и тео рему из 7.1.6.

(2): Обозначим символом D оператор дифференцирования в S(R), и пусть M := F DF 1. Тогда M (f )(x) := 2ixf (x). Второе утверждение достаточно обосновать для F := Dd G, где G C().

n Как видно, требуемое содержится в следующих выкладках:

= ( (Dd G), X (f )) = (Dd G, n n (F ) (f ) (X (f ))) = = (1)n (G, Dd n X (f )) = Md X (f )) = n = (1) (G, = (1)n (G, 1 X (M n (f ))) = = (1)n (G, X (F 1 M n (f ))) = = (1)n (G, X (D n F 1 (f ))) = = (1)n (G, Dd X (F 1 (f ))) = n = (Dd G, X (F 1 (f ))) = (F, X (F 1 (f ))) = n = F (F 1 (f )) = (F F )(f ).

Теорема доказана.

7.1.10. Примечания.

1 из теоремы 7.1.2 возникает в другой (1) Условие N ситуации в хорошо известной теореме Котельникова, утверждаю щей, что если спектр ограниченной функции f лежит в интервале [a, a], то f полностью определяется своими значениями на мно жестве {n : n +}, где (2a)1, в соответствии с формулой sin 2a(t k) f (t) = f (k).

2a(t k) k= В нашем случае значения функции вычисляются в точках k, где 1/(N ), и нетрудно видеть, что N это в точности длина интервала, на котором рассматривается F (f ).

7.1. Гиперприближение преобразования Фурье на прямой 2h из предложения 7.1.3 (1) тесно свя (2) Условие N зано также с принципом неопределенности из квантовой механи ки. Рассмотрим однопараметрические группы унитарных операто ров U (u) := exp(iuP ) и V (v) := exp(ivQ), где Q и P операторы координаты и импульса соответственно, т. е. Q оператор умно жения на независимую переменную и P := h dx, где h d фик i сированное стандартное число, (постоянная Планка). Напомним, что U (u)(x) = (x uh), V (v)(x) = exp(ivx)(x) и выполняется равенство U (u)V (v) = exp(ihuv)V (v)U (u), которое по размышлению можно рассматривать как одну из форм соотношения неопределенности.

Введем гиперконечномерные операторы Ud, Vd : CX CX так, · что (Ud F )(k) := F (k 1) и Vd диагональная матрица (exp(2ink/N )nk )L n,k=L.

Легко проверить, что операторы Ud и Vdm удовлетворяют сле r дующим коммутационным соотношениям:

(r, m Z/N Z).

Ud Vdm = exp(2irm/N )Vdm Ud r r Если exp(2irm/N ) exp(ihuv), то последнее соотношение пре вращается в указанное выше коммутационное соотношение для опе раторов U и V. Однако справедливость условия exp(2irm/N ) exp(ihuv) требует определенной связи между величинами r, m, u и v;

подробности см. в следующем предложении.

(3) Если r, m Z/N Z таковы, что r uh и 2m v, стандартные числа, то Ud и Vdm : L2, L2, будут r где u и v гиперприближениями операторов U (u) и V (v) соответственно.

В качестве множества M из 6.5.1 (2) возьмем совокупность характеристических функций замкнутых интервалов. Как видно из определения, U (u)([a,b] ) = [a+uh,b+uh]. Заметим, что если k и m · околостандартны, то |k|, |m|, |k m| L, поэтому k m = k m и r Ud (F )(k) = F (k r). Понятно также, что для f = [a,b] будет [a, b], 0, если n / X (f )(n) = [a, b].

1, если n 364 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе Значит, в силу этого наблюдения, [a + r, b + r ], 0, если n / r Ud (X (f ))(n) = [a + r, b + r ].

1, если n Аналогично [a + uh, b + uh], 0, если n / X (U (u)(f ))(n) = [a + uh, b + uh].

1, если n Теперь ясно, что L |Ud (X (f ))(n) X (U (u)(f ))(n)|2 = r |(uh r )/ | 0, k=L ибо uh r.

Непосредственно проверяются равенства V (v) = Fh U 1 (v)Fh (см. 7.1.3 (1)) и Vd = 1 Ud. Положим 1 := 2p и рассмот рим Ud как оператор, действующий из L2, 1 в L2, 1.

В силу наших предположений m 1 vh, а ввиду доказанного m выше Ud будет гиперприближением оператора U 1 (v). Согласно : L2, L2, 1 представляет собой гиперпри 7.1.3 (1) оператор ближение оператора Fh, т. е. Vdm := 1 Ud m гиперприближе 1 ние оператора Fh U (v)Fh = V (v).

(4) Теорема 7.1.9 может послужить основой для построения при ближения преобразования Фурье обобщенных функций умеренного роста с помощью дискретного преобразования Фурье. К сожалению, такой подход оказывается успешным только для тех функций, кото рые являются производными функций из L2 (R). В то же время этот класс может быть расширен, как показывает следующий пример.

Пусть = 1. Тогда регулярная обобщенная функция и ввиду 7.1.8 = F, где F := X (f ), т. е. F (k) = 1 для всех k X.

Так как F (1) =, то (F )(k) = N k0. Таким образом, если G := (F ), то G (f ) = (G, X (f )) = (N f (0)) = f (0) = (f ), поэтому F (F ) = (F ).

7.2. Нестандартная оболочка гиперконечной группы Здесь изучается конструкция, сопоставляющая каждой гипер конечной группе некоторую локально компактную группу.

7.2. Нестандартная оболочка гиперконечной группы 7.2.1. Рассмотрим аддитивную группу G кольца Z/N Z := {L,..., L} (см. 7.1.1). Ясно, что G внутренняя гиперконечная абелева группа.

Выделим в ней две внешние подгруппы G0 := {k G : k 0} и Gf := {k G : |k | +}.

Очевидно, что G0 и Gf можно представить в виде соответствен но пересечения и объединения счетных семейств внутренних мно жеств:

1 ( (n1, n1 )), 1 ( [n, n]).

G0 = Gf = nN nN Далее, отображение st : Gf R является эпиморфизмом и ker(st) = G0, т. е. R Gf /G0.

Допустим, что внутреннее множество A совпадает с 1 ( (a, b)) для некоторых a, b R. Тогда st(A) = [a, b]. Определим внешнее множество A := {c A : c + G0 A}. Легко проверить, что st(A ) = (a, b).

Аналогичным образом можно определить A для любого внут реннего множества A. В этом случае без труда устанавливается, что множество st(A) замкнуто, а st(A ) открыто.

Тем самым семейство {st(A ) : A внутреннее подмножество Gf } образует базу топологии в R. Выполняется также очевидное равен G G ство ( · |1 ( [a, b])|) = b a. Отсюда видно, что (Gf, S f, f ) это -конечное подпространство пространства Лба (G, S, ) е (см. 6.3.11).

G В этом случае f инвариантная мера на Gf и, как видно из предыдущего равенства, отображение st : Gf R сохраняет меру, если в качестве меры Хаара в R берется мера Лебега.

Пусть G группа характеров группы G. Тогда внутреннее отоб ражение n n, где n (m) := exp(2imn/N ) для всех n, m G, будет изоморфизмом G в G. Это утверждение следует из принципа переноса, так как оно справедливо для каждого стандартного N.

366 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе Легко видеть, что характер n : G C индуцирует с помощью гомоморфизма st характер : R C в том и только в том слу чае, если n |G0 1. Поэтому естественно выделить в G внешнюю подгруппу Hf := { G : |G0 1} и определить мономорфизм st : Hf R формулой st()(n) := ( (n )) для n N и G.

Далее, ker(st) = H0 := { Hf : |Gf 1} и очевидным образом Hf /H0 R.

(1) Для любого n G имеют место эквивалентности:

n Hf (|n · |) +, n H0 n · 0, := (N )1.

где В самом деле, если число n доступно, то справедливы соот ношения:

· n ) 1, n (m) = exp(2imn/N ) = exp(2im ибо m 0.

Наоборот, предположим, что число n недоступно. Пусть m := N [N/(2)]. Тогда будет m 0. В этом случае n (m) = exp 2 2 · n 1, так как 0 1. Получили противоречие.

N Доказательство второй эквивалентности проводится аналогич но.

Таким образом, группы Gf и G0 устроены так же, как и группы Gf и G0. Стало быть, Gf /G0 R R.

Для произвольной локально компактной абелевой группы G пре образование Фурье F : L2 (G) L2 (G) определяется формулой F (f )() := (f, ), поэтому, как легко видеть, теорема 7.1.2 имеет групповую интерпретацию. Приступим к рассмотрению общего слу чая.

Пусть G внутренняя гиперконечная абелева группа и G0 и две подгруппы G такие, что G0 Gf и выполнены следующие Gf условия:

(A) существует такая последовательность (An )nN внут ренних множеств, что An Gf для всех n N и G0 = {An : n N};

7.2. Нестандартная оболочка гиперконечной группы (Б) существует такая последовательность (Bn )nN внут ренних множеств, что Bn G0 для всех n N и Gf = {Bn : n N}.

Таким образом, подгруппы G0 и Gf могут быть либо внутрен ними, либо внешними.

(2) Если подгруппы G0 и Gf группы G, где G0 Gf, удовлетворяют условиям (А) и (Б), то существует счетное семейство (Cn )nZ симметричных внутренних множество в G такое, что выпол нены утверждения:

(а) nZ Cn = G0 ;

(б) nZ Cn = Gf ;

(в) Cn + Cn Cn+1 (n Z).

Если, сверх того, F внутреннее подмножество G, то (г) F Gf (n Z)(F Cn );

(д) F G0 (n Z)(F Cn ).

Требуемое легко следует из принципа насыщения.

Ниже мы будем работать с фиксированным счетным семейством (Cn )nZ, удовлетворяющим условиям (2). Если F Gf, то полагаем F := {g Gf : g + G0 F }. Следующее утверждение следует из (2).

внутреннее подмножество Gf, то (g G) (3) Если F (g F (m Z)(g + Cm F )).

Обозначим семейство всех внутренних множеств в Gf символом In(Gf ) и положим In0 (Gf ) := {F In(Gf ) : G0 F }. Пусть G# := Gf /G0 и : Gf G# канонический фактор-гомоморфизм. Если g Gf и A Gf, то вместо (g) и (A) будем писать g # и A# соответственно.

7.2.2. Теорема. Имеют место следующие утверждения:

(1) семейство U := {F # : F In(Gf )} образует базу окрестностей нуля некоторой равномерной топологии согласованной с групповой структурой на G# и назы ваемой ниже канонической;

(2) если F In(Gf ), то множество F # замкнуто;

(3) топологическая группа G# полна.

(1): Как известно из общей теории топологических групп (см., например, [189]), семейство U подмножеств абелевой группы G# бу 368 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе дет базой фильтра окрестностей нуля некоторой групповой тополо гии, как только выполнены следующие условия:

(а) {U : U U} = {e};

(б) (U, V U))(W U)(W U V );

(в) (U U)(V U)(V V U );

(г) (U U)( U )(V U)(V + U ).

Проверим (а). Если g # {F # : F In0 (Gf )}, то для каждого F In0 (Gf ) будет ((g + G0 ) F = ). Здесь используется тот факт, что 1 (g # ) = g + G0 и 1 (F # ) = F + G0 = F (см. определение F ).

Следовательно, существует g1 G0, для которого (g + g1 + G0 F ), т. е. g F. Тем самым g In0 (Gf ) = G0.

Условие (б) вытекает из включения (F1 F2 )# F # F #, ко 1 торое проверяется аналогично.

Проверим условие (в). Если F In0 (Gf ), то в силу 7.2.1 (2) существует n Z такой, что Cn +Cn +Cn F, значит, Cn +Cn +G F. Таким образом, C n + C n F, следовательно, (C n + C n )# = C # + C # F #. Так как множество Cn симметрично, то C # = C #.

n n n n Условие (г) проверяется аналогично.

(2): Пусть F In(Gf ). Покажем, что множество F # замкнуто.

Если g # F #, то (g + G0 ) F =, значит, (g + Cn ) F = / для некоторого n Z. (Здесь использована + -насыщенность.) Тем # самым (g + Cn1 + G0 ) F = ввиду 7.2.1 (2), поэтому (g # + Cn1 ) F # =. Но тогда (g # + C # ) F # =, так как C n1 Cn1. Это n доказывает, что множество F # замкнуто, поскольку C # U.

n (3): Как видно из 7.2.1 (2), каноническая топология на G# удо влетворяет первой аксиоме счетности. Поэтому нам достаточно уста новить только, что всякая последовательность Коши в G# имеет пре дел.

# последовательность Коши в G#, то по опреде Если (gn )nN лению для всякого m Z найдется (m) N так, что для любых n1, n2 (m) выполняется gn1 gn2 C #. Рассмотрим счетное # # m семейство := {Am,n : n (m), n, m N}, 7.2. Нестандартная оболочка гиперконечной группы где Am,n := {g : gn g Cm+1 }, и покажем, что центрированное семейство.

Пусть S := {Am1,n1,..., Amk,nk }, и выберем n max{(m1 ),..., (mk )}. Тогда gn gn C #, поэтому # # m gn gn + g C m для некоторого g G0.

Итак, gn gn + g + G0 Cm. Так как g + G0 = G0, то gn gn Cm ( := 1,..., k), значит, gn S. Теперь из + -на сыщенности получаем существование элемента g. Учитывая включение Cm+1 C m+2, очевидно вытекающее из 7.2.1 (2), выво дим, что gn g # при n.

# Напомним, что внутреннее множество называют стандартно конечным (см. 3.7.7), если его мощность стандартное натуральное число. Условимся также символом () обозначать следующее усло вие:

( F1, F2 In0 (Gf ))(F1 F2 ( B F2 )(|B| N F1 + B F2 )).

7.2.3. Теорема. Справедливы утверждения:

(1) группа G# с канонической топологией локально ком пактна и сепарабельна в том и только в том случае, если выполнено условие ();

(2) если выполнено условие (), то группа G# компактна (дискретна) в том и только в том случае, если Gf (соответственно G0 ) является внутренней подгруп пой группы G.

(1): Предполагая справедливость условия (), покажем, что G# локально компактна. Достаточно установить компактность F # для любого F In0 (Gf ). Замкнутость F # была показана в 7.2.2. До кажем, что для любой окрестности U нуля в G# существует конечное k множество {v1,..., vk } F #, для которого i=1 (vi + U ) F #. Со гласно 7.2.1 (2) можно подобрать n Z так, чтобы Cn F и C # U.

n Тогда Cn1 C n, так как Cn1 + Cn1 Cn и G0 Cn1. Из условия () вытекает существование конечного множества B F, 370 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе обеспечивающего включение Cn1 + B F. Но тогда C n + B F и C # + B # F #. Множество B # конечно, поскольку B стандартно n конечно. Сепарабельность группы G# следует из ее метризуемости и соотношения G# = {Cn : n Z}, так как каждое из множеств # # Cn компактно.

Наоборот, предположим, что G# локально компактна и сепара бельна. Как видно, существует n0 Z такой, что Cn компактно # для всех n n0. Покажем компактность F для произвольного # F In(Gf ). Если V := C #0 1, то {g # + V : g Gf } = G#. Ввиду n предположения о сепарабельности существует такая последователь ность {gn }, что G# = n (gn + V ), откуда # (gn + C n0 1 + G0 ) (gn + Cn0 ) Gf.

Gf = n n Следовательно, F n (gn + Cn0 ) и в силу 1 -насыщенности суще k ствует конечное множество {n1,..., nk } со свойством F i=1 gni + k Cn0. Тем самым приходим к включению F # i=1 gni + Cn0, из которого вытекает компактность F. Возьмем теперь G0 F1 F # и подберем n n0 так, чтобы Cn F1. Существуют g1,..., gk, для k # # # которых g1,..., gk F2 и i=1 gi + C n1 F2. Пусть h1,..., hk F и hi gi G0, т. е. hi + G0 = gi + G0. Тогда k k F2 + G0 gi + C n1 + G0 (hi + Cn ) {h1,..., hk } + F1.

i=1 i= Полагая B = {h1,..., hk }, приходим к условию ().

(2): Пусть теперь группа G# компактна. Для произвольного F In0 (Gf ) подберем g1,..., gk Gf так, чтобы k k k # # # G# = (gi + F # ) = (F F Gf ).

(gi + F ) = (F + gi ) i=1 i=1 i= k Множество K := i=1 (F + gi ) Gf является внутренним. Ясно, что K # = G#, поэтому Gf = K + G0 K + F Gf. Значит, Gf = K + F также внутреннее множество.

7.2. Нестандартная оболочка гиперконечной группы Наоборот, пусть Gf внутренняя подгруппа группы G. Пока жем компактность G#, предполагая справедливость (). Достаточно установить следующее утверждение:

(n Z)(B Gf ) |B| N G# = g# + C #.

n gB В силу 7.2.1 (2) Cn1 C n, а согласно условию () существует стан дартно-конечное множество B такое, что Gf = B + Cn1 = B + C n = g + Cn.

gB Отсюда G# = gB (g # + C # ). На этом мы завершаем доказатель n ство, опуская простую проверку второй части утверждения (2).

Подчеркнем, что из доказанной теоремы 7.2.3 следует компакт ность F # для любого F In(Gf ).

7.2.4. Приведем несколько необходимых для дальнейшего вспо могательных фактов о введенных выше объектах.

(1) Если F Gf, то g + F = (g + F ), 1 ((F )) = F, (g + F )# = g # + F # и F # = c (Gf F )#, где cA обозначает дополнение множества A.

(2) Если F In(Gf ), то множество F # открыто, а семей ство {F # : F In(Gf )} образует базу канонической топологии на G#.

Всюду ниже мы предполагаем, что выполнены условия теоре мы 7.2.3.

(3) Для любых F1, F2 In0 (Gf ) выполняются соотноше ния 0 (|F1 |/|F2 |) +.

По теореме 7.2.3 существует стандартно-конечное множество B (т. е. |B| N) такое, что F1 + B F1 F2 F2. Тогда |F2 | |F1 + B| |F1 | · |B|, значит, (|F2 |/|F1 |) +. Аналогично (|F1 |/|F2 |) +, что и требовалось.

372 Гл. 7. Инфинитезимали в гармоническом анализе R+ называют нор (4) Гипердействительное число мирующим множителем тройки (G, G0, Gf ), если 0 ( · |F |) + для каждого F In0 (Gf ). Как видно из (3), число := |F | R+ является нормирующим множителем для каждого F In0 (Gf ).

Таким образом, для любой тройки (G, G0, Gf ) существует норма лизующий множитель, удовлетворяющий условиям теоремы 7.2.3.

Ясно также, что если нормирующий множитель, то бу дет нормирующим множителем в том и только в том случае, если 0 +. Кроме того, из (3) видно, что если норми Gf Gf рующий множитель для (G, G0, Gf ), то (Gf, S, ) -конечное подпространство пространства Лба (G, S, ). Всюду ниже мы е G G пишем просто S вместо S f и вместо f.

(5) Для любых A S и g Gf выполняется g + A S и (g + A) = (A).

Очевидно.

(6) Для каждого элемента B -алгебры борелевских мно жеств B группы G# имеет место соотношение 1 (B) S.

В силу (1) достаточно показать, что 1 ((Gf F )# ) S для произвольного F In(Gf ). Это утверждение вытекает из следую щих равенств:

1 ((Gf F )# ) = Gf F + G0 = (Cn F ) + Cm, nZ mZ (Cn F ) + (Cn F + Cm = Cm ), nZ mZ nZ mZ Cn F + (Cn F + Cm ).

Cm = mZ mZ Обоснование последнего равенства использует + -насыщенность не стандартного универсума.

Определим теперь меру µ на B, полагая µ (B) := (1 (B)).



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 12 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.