авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«Ю.Н. Лазарев УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЯМИ АЭРОКОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ САМАРА САМАРСКИЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР ...»

-- [ Страница 3 ] --

Уточнение приближённого решения может быть выполнено с помощью итерационной процедуры минимизации максимального для данного приближения критерия при фиксированных значениях других критериев. Управление, полученное в результате скалярной минимизации, позволяет сформировать соответствующую аппрок симирующую гиперповерхность, координаты вершины которой яв ляются опорным управлением на следующей итерации.

Сходимость итерационной процедуры обеспечивается выбором шага i i -й итерации (рис. 2.1) так, чтобы выполнялось условие C i 1 min kAi i i 1, k K за счёт чего вершина аппроксимирующей гиперповерхности оказы вается на каждой итерации между точками аппроксимации Ai и Ai.

Шаг на i -й итерации вычисляется по формуле A i 1 + C i 1 min k i k K i =.

2.6.6. Алгоритм решения двухкритериальной задачи. В слу чае K =2 аппроксимирующая кривая является гиперболой. С учё том нормализации (2.46) центр гиперболы принадлежит началу ко ординат, так как асимптотами являются координатные оси. Линия ( ) -оптимальных сочетаний критериев имеет вид, показанный на рис. 2.1.

Предложен следующий алгоритм формирования минимаксно оптимального управления [86].

1. Решаются задачи скалярной минимизации критериев Rk [u ], min k K. Определяются управления u k и соответствующие им ми Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ min нимальные значения каждого критерия Rk, k K без учёта ос тальных критериев.

2. Определяются максимальные значения каждого критерия max min max Rk [u n ], k K.

Rk = nK, n k ~ 3. Выбирается начальный закон управления u н U среди min uk, k K.

4. Задаётся начальное значение шага н 1.

5. Определяется опорное управление, тождественное началь ному управлению ui = u н при i = 0 (i номер итерации), или по лученному на предыдущей итерации ui = uiC 1 при i 0.

6. Определяется критерий с наибольшим нормализованным значением i i k = max k [ui ], k K и фиксируется значение другого критерия R k = R k [ui ], k k ;

об ~ ласть U дополняется ограничением { } ~ ~ U = u U, R k [u ] = R k, k k.

7. Формируется управление uik, удовлетворяющее условию минимальности i i i k [u k ] = min k [u ], k K, ~ uU и вычисляются координаты точки Ai (1i, 2i ), принадлежащей множеству ( ).

8. Определяется значение шага итерации i = н при i = или A i 1 + C i 1 min k i k K i = при i 0. Вычисляется значение критерия с номером k, соответст вующее этому приращению Глава 2. Теоретические основы формирования управления _ ([] )( ) i max min min Rk = k u k + i Rk Rk + Rk.

~ Область U дополняется ограничением { } ~ ~ U = u U, Rk [u ] = Rk.

9. Формируется управление uik, удовлетворяющее условию минимальности i i i k [u k ] = min k [u ], k K, ~ uU и вычисляются координаты точки Ai(1i, 2i ).

10. Вычисляются координаты вершины гиперболы = (a ) C C 1i = 2i b +1.

11. Формируется управление uiC, соответствующее точке CC Ci (1i, 2i ) или ближайшей к ней точке, если Ci Ф ;

для этого по координатам Ci определяются значения исходных критериев C C max min min Rk = ki ( Rk Rk ) + Rk, k K, и находится управление u из условия принадлежности области { } ~ ~ U С = u U, R k [u ] = Rk, k K, C если Ci Ф, или, если Ci Ф, из условия min max R k [u] Rk.

C ~ uU kK 12. Проверяется условие окончания поиска iC 1 iC. При его выполнении точка Ci считается приближённым минимаксно оптимальным сочетанием критериев, а её прообраз uiC минимакс но-оптимальным управлением u 0 ;

в противном случае вычисления повторяются, начиная с пункта 5.

2.6.7. Алгоритм решения многокритериальной задачи в общем случае. В общем случае K критериев алгоритм сводится к выполнению следующих действий [86].

Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ ~ 1. Выбирается начальный закон управления u н U ;

задается начальное значение шага н 1.

2. Определяется опорное управление по правилу:

ui = u н при i = 0, ui = uiC 1 при i 0.

3. Формируется K управляющих зависимостей uik, k K пу тем последовательного решения K задач минимизации ii i k [u k ] = min max k [u ], k = 1,...K, ~ uU ki k K ~ ~ U ki = {u U, R k [u ] = R0, k arg max k [u k 1 ], k K }, k ii kK в каждой из которых max min min R k = ki ( Rk Rk ) + Rk, ki = ki 1 + i, где ki1 - значение k -го критерия, полученное в результате реше ния предыдущей задачи. В каждой из K задач начальным прибли i жением служит управление ui при k = 1, и u k 1 при k = 2,3,..., K ;

при этом шаг итерации равен A i 1 + C i 1 min k i k K i =.

4. Вычисляются координаты точек Aik (1i, 2i,..., Ki ), k K, kk k принадлежащих множеству ( ).

5. Вычисляются координаты вершины гиперповерхности CC C Ci = (1i, 2i,..., Ki ), = (a ) C C C = iC 1i = 2i =... = Ki b1 + b2 +... + b K 1 +1, где коэффициенты b1, b2,..., bK 1 определяются из системы ( )b ( 2k )b...( K 1 )b K K = a 1k k k 1, k = 1,2,..., K.

Глава 2. Теоретические основы формирования управления _ 6. Формируется управление uiC, соответствующее точке Ci или ближайшей к ней точке, если Ci Ф ;

для этого по координатам точки Ci определяются значения исходных критериев C C max min min Rk = ki ( Rk Rk ) + Rk, k K, и находится управление u из условия принадлежности области { } ~ ~ U C = u U, R k [u ] = Rk, k K, C если Ci Ф, или, если Ci Ф, из условия min max R k [u] Rk.

C ~ uU kK 7. Проверяется условие окончания итераций iC 1 iC. Ес ли оно выполнено, то точка Ci считается приближённым мини максно-оптимальным сочетанием критериев, а её прообраз uiC минимаксно-оптимальным управлением u 0 ;

в противном случае вычисления повторяются, начиная с пункта 2.

2.6.8. Условия сходимости алгоритма. Алгоритм позволяет определить минимаксно-оптимальное сочетание критериев 0 за конечное число итераций, то есть для заданной точности 0 най дётся такой номер i, что 0 iC. (2.48) Для случая K =2 гиперболы, соответствующие смежным итерациям, определяются уравнениями (рис. 2.1) [86] Г i 1 : 2 = f i 1 (1 ), Г i : 2 = f i (1 ).

Пусть приращение i подбирается так, что на каждой итера ции точки Ai и Ai лежат на гиперболе по разные стороны от Ci. В этом случае можно подобрать такое [0,1], что C k = k + (1 ) k, 0 1, k = 1,2.

Поскольку гипербола является выпуклой кривой, то из условия выпуклости Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ f ( k + (1 ) k ) f ( k ) + (1 ) f ( k ) для любого [0,1] вытекает, что 2i = f i (1i ) = f i ( k + (1 )1) f (1 ) + (1 ) f (1) = C C = 2i 1 + (1 ) f (1).

C (2.49) Так как по построению точки Ai верно неравенство C C f (1) = f i (1i 1 ) 2i 1, C то при подстановке 2i 1 вместо f (1) неравенство (2.49) не изме нит знак C C C C 2i = 2i 1 + (1 ) 2i 1 = 2i 1. (2.50) С учётом того, что по свойству симметричности С С С 1 = 2 = 3, (2.51) {} из (2.50) следует невозрастание последовательности точек iC iC iC 1.

С другой стороны, по свойству симметричности (2.51) и свой ству минимальности i ii k [u k ] = min k [u ], k K ~ uU сочетание критериев 0 при минимаксно-оптимальном управлении {} u 0 ограничивает последовательность точек iC снизу:

0 = min k, k = arg max k.

~ k K u U Таким образом, существует lim iC = 0, а это означает, что, i начиная с некоторого номера i, выполнится условие (2.48).

Решение многокритериальной задачи на основе предложенного алгоритма сводится к последовательности скалярных оптимизаци онных задач и предусматривает следующее [86].

1. Формирование K Парето-оптимальных управлений;

Глава 2. Теоретические основы формирования управления _ 2. Построение в соответствии со значениями критериев при этих управлениях гиперболических поверхностей (кривые Г i, Г i на рис. 2.1), аппроксимирующих поверхность Парето в пределах малой окрестности опорного управления;

3. Нахождение точки сочетания критериев, принадлежащей ап проксимирующей поверхности и имеющей равные нормализован ные значения критериев, и формирование соответствующего управления.

Предложенный алгоритм позволяет определять минимаксно оптимальное сочетание критериев 0 как в случае выпуклого к на чалу координат множества ( ), так и в невыпуклом случае, по скольку на предпоследнем шаге в невыпуклом случае ищется точка, ближайшая к C в смысле u = arg min max ik [u ] iC.

~ u =U k K Алгоритм, кроме того, позволяет учесть приоритеты критериев, задаваемые коэффициентами важности k :

K k = 1, k 0, k K.

k = В этом случае алгоритм применяется в неизменном виде, но нормализованные критерии подвергаются преобразованию:

k = k k, k K.

Таким образом, предложенный алгоритм, формируя миними зирующую последовательность управлений, сводит решение мно гокритериальной задачи управления к последовательности решения скалярных задач оптимизации.

2.7. Классификация численных методов Приведенные теоретические основы определяют общую струк туру численных методов формирования многоканального номи нального и командного управления траекториями аэрокосмических аппаратов. Представленные способы позволяют разработать на ос Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ нове метода последовательной линеаризации алгоритмы решения задач формирования управления траекториями аэрокосмических аппаратов в атмосфере и околоземном космическом пространстве.

Для решения задачи управления определённой сложности по сле анализа возможных путей решения может быть применён адек ватный численный метод. Синтез численного метода решения кон кретной задачи производится путём выбора определённого сочета ния рассмотренных в главе способов и приёмов, обеспечивающих получение решения при наибольшей эффективности функциониро вания вычислительной процедуры.

Общей основой всех численных методов является итерацион ная процедура на основе последовательной линеаризации задачи управления и связанный с ней способ дифференцирования функ ционалов. Структура используемого численного метода зависит от выбора пути решения и определяется формулировкой конкретной задачи.

Численные методы на основе последовательной линеаризации формирования управления траекториями аэрокосмических аппара тов можно классифицировать следующим образом.

1. По типу задачи управления.

Численные методы могут решать задачу формирования управ ления траекториями аэрокосмических аппаратов как основную за дачу управления, как однокритериальную задачу оптимизации с учётом или без учёта ограничений на управляющие зависимости, режимы движения и фазовые координаты или как многокритери альную задачу.

2. По количеству каналов управления.

Методы позволяют формировать одноканальное управление, а также многоканальное с использованием каналов управления раз личной физической природы.

3. По времени, отведённому на решение задачи.

Численные методы могут формировать номинальное управле ние в условиях заданного или практически неограниченного време ни на решение задачи и командное управление в условиях реально го процесса управления.

4. По методу конечномерной аппроксимации задачи.

Конечномерная аппроксимация задачи может выполняться с размещением узлов аппроксимации равномерно по времени, рав Глава 2. Теоретические основы формирования управления _ номерно по характеристической скорости или с помощью метода плавающих узлов.

5. По способу решения задачи линейного программирования.

Задача линейного программирования решается приближённым итерационным методом или приближённым методом с использова нием штрафных функций.

6. По способу учёта ограничений на управление.

Задача управления может решаться без учёта ограничений на управляющие зависимости, с учётом ограничений на величину управляющих воздействий или с учётом ограничений на величину и скорость изменения управляющих воздействий.

7. По способу учёта ограничений на параметры.

Задача управления может решаться без учёта ограничений на режимы движения и фазовые координаты, с учётом этих ограниче ний, как функционалов, дифференцируемых по Фреше, и с учётом этих ограничений, как функционалов, дифференцируемых по Гато.

8. По способу решения многокритериальной задачи.

Многокритериальная задача может решаться с использованием свёртки критериев, ограничений на критерии, метода целевого про граммирования и с использованием метода получения гарантиро ванного результата.

9. По степени автоматизации процесса поиска.

Формирование управления может проводиться как в интерак тивном режиме, так и автоматически.

Рассмотренные структура и классификация численных методов дают представление о методике и возможностях их применения при решении конкретных задач. Использование метода последователь ной линеаризации позволяет постоянно расширять возможности разработанных на его основе численных методов за счёт включения в их структуру новых подходов и способов. Задачи формирования управления траекториями аэрокосмических аппаратов, рассмотрен ные в последующих главах, не являются предельно сложными для этого метода, который может быть применён при решении ещё бо лее сложных задач многоканального управления с дополнительны ми условиями и ограничениями.

Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ ГЛАВА ФОРМИРОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ТРАЕКТОРИЯМИ 3.1. Требования к алгоритмическому обеспечению При разработке систем управления траекториями аэрокосмиче ских аппаратов учитываются требования как к динамическим и точностным характеристикам системы, так и к сложности реали зуемых системой алгоритмов управления [132].

Основные требования, предъявляемые к алгоритмическому обеспечению системы управления, связаны с её назначением и ус ловиями функционирования. Эти требования разделяются на две группы: требования, определяющие эффективность процесса управления, и требования, относящиеся к структуре и вычисли тельным характеристикам алгоритма.

Требования первой группы формулируются обычно в виде тре бований к показателям качества, численные значения которых дают количественную основу для оценки эффективности управления и определяют желаемые свойства управляемого процесса. Примени тельно к алгоритмам формирования номинального и командного управления траекториями аэрокосмических аппаратов эти требова ния формулируются следующим образом.

Алгоритмы формирования номинального управления должны обеспечивать выполнение всех условий задачи в соответствии с выбранными моделями движения и возмущений. Алгоритмы долж ны рассчитывать номинальное управление не только для штатного варианта выполнения манёвра, но и для возможных нештатных си туаций.

Алгоритмы должны обеспечивать достаточный запас номи нального управления, то есть по возможности обеспечить в каждом расчётном случае не только выполнение всех условий задачи, но и наибольшее удаление всех контролируемых параметров от границ допустимых областей, в том числе и для терминальных условий движения. Наличие запасов управления повышает вероятность вы полнения целевой задачи полёта в штатном и нештатных режимах в условиях действия априорно неопределённых возмущений.

Глава 3.Формирование управления траекториями _ Алгоритмы формирования командного управления должны обеспечивать выполнение целевой задачи полёта в реальных усло виях функционирования системы управления, в том числе и при возникновении нештатной ситуации. Алгоритмы должны миними зировать отклонения конечных параметров движения от требуемых значений при выполнении ограничений, наложенных на режимы движения и управление. Выполнение этого требования повышает вероятность приведения аэрокосмического аппарата в заданную область конечных параметров.

Алгоритмы должны формировать многоканальное командное управление, легко реализуемое системами ориентации и стабилиза ции и системой управления двигателями, что в первом приближе нии эквивалентно требованию плавного изменения командных управляющих зависимостей.

Из требований второй группы, предъявляемых к структуре ал горитмов управления, определяющим является требование доста точной их простоты.

Алгоритмы командного управления должны решать постав ленные перед ними задачи на основе процедур, которые могут быть выполнены без принципиальных затруднений. К таким процедурам относятся интегрирование обыкновенных дифференциальных урав нений с заданными на одном конце траектории граничными условиями, построение фундаментальных матриц для систем ли нейных дифференциальных уравнений и решение алгебраических (в основном линейных) уравнений [114].

Алгоритмы формирования командного управления реализуют ся в реальном времени с помощью бортовых или наземных вычис лительных комплексов в условиях ограниченного времени для при нятия решения и проведения коррекции управления. В связи с этим алгоритмы формирования командного управления должны функ ционировать в автоматическом режиме.

Алгоритмы формирования номинального управления могут включать более сложные вычислительные процедуры, в том числе, с заранее не определённым числом операций. Это связано с тем, что они реализуются до начала совершения манёвра с помощью бортовых или наземных вычислительных комплексов в условиях или практически неограниченного или достаточного времени для решения поставленной задачи. В связи с этим алгоритмы формиро Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ вания номинального управления могут функционировать как в ав томатическом, так и в интерактивном режимах.

В структурном отношении алгоритмы формирования номи нального и командного управления целесообразно разбивать на не зависимые процедуры, решающие частные задачи. С одной сторо ны, это позволяет решать сложные задачи формирования номи нального управления, используя набор вычислительных процедур, адекватный решаемой задаче, а с другой, удобно при формирова нии командного управления с использованием вычислительных систем с разделением времени.

В описание алгоритмов формирования номинального и команд ного управления траекториями аэрокосмических аппаратов вклю чены рекомендации по выбору параметров отдельных процедур, полученные в результате решения конкретных задач, рассмотрен ных в последующих главах книги.

3.2. Формирование номинального управления 3.2.1. Особенности алгоритма формирования номинального управления. Номинальное управление траекторией аэрокосмиче ского аппарата формируется до начала движения в условиях прак тически неограниченного времени для штатных и расчётных не штатных режимов движения.

При формировании номинального управления учитываются ограничения на терминальные условия, разнообразные ограничения на текущие параметры траектории, в том числе и на экстремальные значения параметров, ограничения на управление, а также может решаться оптимизационная задача. Кроме того, задача формирова ния номинального управления может формулироваться как много критериальная.

Вычислительный алгоритм формирования номинального управления может содержать заранее не определённое число опе раций. В связи с этим нет необходимости в полной автоматизации процесса расчёта номинального управления, которое может форми роваться в интерактивном режиме.

Непосредственное отношение к алгоритму формирования но минального управления имеют процедуры повышения эффективно сти процесса поиска. Эти процедуры выполняются между итера Глава 3.Формирование управления траекториями _ циями улучшения управляющих зависимостей, причём их исполь зование не является обязательным. Применение этих процедур свя зано, как правило, с возникновением тупиковой ситуации в процес се улучшения многоканального управления с многочисленными ог раничениями на режимы движения.

3.2.2. Алгоритм формирования управления. В общем виде вычислительный алгоритм формирования номинального программ ного управления траекторией аэрокосмического аппарата сводится к выполнению следующих действий.

1. Выбирается модель движения аэрокосмического аппарата и её параметры с учётом сложности и характера поставленной задачи.

В задачах формирования управления движением аэрокосмиче ских аппаратов в атмосфере с небольшой протяжённостью траекто рии можно не учитывать суточное вращение Земли и нецентраль ность поля её тяготения [153].

2. Выбирается метод численного интегрирования уравнений движения и его параметры.

При формировании номинального управления движением аэ рокосмического аппарата наилучшим сочетанием точности и про стоты обладает метод Рунге-Кутты 4 порядка с постоянным шагом интегрирования 5 10 секунд.

3. Выбирается начальное приближение опорного управления как зависимости от времени угла атаки, скоростного угла крена и секундного расхода топлива двигателей.

Численные методы на основе последовательной линеаризации обладают небольшой чувствительностью к начальному приближе нию опорного управления. В некоторых задачах с управлением по каналу тяги двигателей в качестве начального приближения можно использовать нулевое значение секундного расхода топлива, что соответствует пассивному движению аппарата.

4. Производится конечномерная аппроксимация задачи, кото рая сводится к заданию числа узлов аппроксимации, их размеще нию и выбору вида аппроксимирующих зависимостей фазовых ко ординат, сопряжённых переменных, функциональных производных и управления.

В рассматриваемых численных методах формирования управ ления аппроксимация фазовых координат, сопряжённых перемен Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ ных и функциональных производных осуществляется в классе ку сочно-линейных функций.

Минимальное число узлов аппроксимации в рассматриваемых задачах, достаточное для получения полноценного результата, со ставляет 50 100 в зависимости от протяжённости атмосферного участка траектории, максимальное число узлов определяется воз можностями используемой вычислительной техники.

В зависимости от сложности или этапа решения задачи узлы аппроксимации могут располагаться равномерно по времени, рав номерно по характеристической скорости (2.16) или с помощью ме тода плавающих узлов.

5. Начальное приближение опорного управления заменяется аппроксимированным начальным приближением в соответствии с проведённой конечномерной аппроксимацией задачи.

В качестве аппроксимирующих зависимостей в задачах фор мирования управления траекториями аэрокосмических аппаратов при большом количестве узлов аппроксимации достаточно исполь зовать кусочно-постоянные или кусочно-линейные зависимости.

6. Производится численное интегрирование уравнений движе ния.

Интегрирование производится из заданных начальных условий до условия окончания траектории движения с аппроксимирован ным управлением. В процессе интегрирования вычисляются и за поминаются значения фазовых координат в узлах аппроксимации, а также значения функционалов задачи и соответствующие этим зна чениям номера узлов.

7. Производится численное интегрирование сопряжённой сис темы уравнений.

Интегрирование сопряжённой системы производится справа налево из конца траектории до её начала, запоминаются значения сопряжённых переменных в узлах аппроксимации. При этом урав нения движения не интегрируются, значения фазовых координат вычисляются с помощью линейной интерполяции по узловым зна чениям. Шаг интегрирования сопряжённой системы уравнений мо жет быть в несколько раз больше шага интегрирования уравнений движения, например, 20 секунд. Эти упрощения связаны с тем, что данные и последующие результаты вычислений используются од Глава 3.Формирование управления траекториями _ нократно для приближённого решения задачи линейного програм мирования в окрестности опорного управления.

8. Вычисляются и запоминаются значения производных функ ционалов по управлению в узлах аппроксимации.

На значениях этих величин основываются все последующие операции по улучшению управления. На этом этапе формирования номинального управления можно провести выборочную или пол ную проверку достоверности полученных значений функциональ ных производных.

Для этого необходимо сравнить приращения функционалов за дачи, полученные двумя способами. Первый способ состоит в про гнозировании изменения функционалов на основе полученной, как указано выше, информации о производных функционалов по управлению. Второй способ заключается в расчёте тех же измене ний путём многократного численного интегрирования уравнений движения с программами управления, отличающимися одним узло вым значением.

9. Задается величина малой окрестности опорных управляю щих зависимостей отдельно по каждому из каналов управления.

От величины малой окрестности опорного управления зависит степень соответствия линейного приближения задачи её нелиней ной модели, а также быстрота перехода к искомому управлению.

Изменение этой величины в процессе улучшения управления влияет на эффективность поиска. Общей закономерностью является то, что на первых итерациях улучшения управления, когда опорное управление значительно отличается от искомого, степень несоот ветствия может быть достаточно большой, и, следовательно, вели чина малой окрестности управления и пропорциональная ей ско рость улучшения управления может быть значительной.

На последних итерациях поиска, когда опорное управление близко к искомому, требуется достаточное соответствие линеаризо ванной и исходной нелинейной моделей, и величина малой окрест ности опорного управления должна быть существенно меньше. На пример, по каналу угла атаки эта величина составляет от 10 на пер вых итерациях улучшения управления до 0,010 на последних, по каналу угла крена от 10 до 0,020, по каналу секундного расхода топлива от 5% максимальной величины секундного расхода до 0,1%.

Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ Этот этап формирования улучшенного управления завершает переход от исходной нелинейной модели к приближённой, линеа ризованной в окрестности опорного управления.

10. В заданной окрестности опорного управления решается за дача линейного программирования.

Задача решается относительно малых приращений управляю щих зависимостей, улучшающих управление в смысле удовлетво рения заданным ограничениям на режимы движения (функциона лам) и оптимизирующих, в случае удовлетворения всем ограниче ниям, выбранный критерий качества управления.

В качестве метода решения задачи линейного программирова ния применяются приближённые итерационные методы. Это связа но с тем, что, во-первых, данная задача линейного программирова ния имеет большую размерность, поскольку получена путём конеч номерной аппроксимации непрерывной задачи, и применение точ ных методов решения затруднительно, во-вторых, в получении точного решения нет необходимости, поскольку результаты её ре шения, полученные в рамках линеаризованной задачи, используют ся только на единственной итерации улучшения управления, после чего производится проверка полученного решения на исходной не линейной модели.

11. Формируется улучшенное управление по каждому из кана лов.

Улучшенное управление определяется как сумма узловых зна чений, определяющих опорное управление, и малых приращений управляющих зависимостей, полученных в результате решения за дачи линейного программирования.

12. Проверяется выполнение ограничений по величине и ско рости изменения управляющих зависимостей.

В случае их невыполнения управляющие зависимости по каж дому из каналов корректируются. На этом этапе формирования но минального управления проявляется одно из важных с практиче ской точки зрения достоинств алгоритма на основе метода последо вательной линеаризации, а именно, простота учёта ограничений на управление любой степени сложности.

13. Производится численное интегрирование уравнений дви жения.

Глава 3.Формирование управления траекториями _ Уравнения движения интегрируются из заданных начальных условий до условия окончания траектории движения с улучшенным управлением. В процессе интегрирования вычисляются и запоми наются значения фазовых координат в узлах аппроксимации, а так же значения функционалов задачи и соответствующие им номера узлов. На этом этапе формирования номинального управления про исходит возвращение к исходной нелинейной математической мо дели задачи.

14. Проверяется условие окончания итерационного процесса поиска номинального управления.

В случае невыполнения условия окончания поиска в качестве опорного управления принимается улучшенная программа, и алго ритм поиска повторяется, начиная с пункта 3, если на следующей итерации улучшения управления предполагается обновление рас положения узлов, или с пункта 6, если расположение узлов на сле дующей итерации остается прежним. Обновление расположения узлов аппроксимации через 5 – 10 итераций улучшения управления существенно сокращает время выполнения большинства итераций и всего поиска.

Если условие окончания поиска выполнено, то улучшенное управление принимается в качестве номинального. Проверка дос товерности полученного решения задачи может заключаться в по вторении решения с другим начальным приближением опорного управления.

Полученное номинальное управление является функцией вре мени.

3.2.3. Повышение эффективности поиска. Алгоритмы, осно ванные на идее последовательной линеаризации, формируют управление в итеративном режиме. Процесс формирования управ ления сводится к построению последовательности итераций улуч шения управления. На каждой итерации поиска улучшенного управления, задача возвращается к исходной постановке с нели нейной математической моделью, но изменённым программным управлением.

Итеративный характер процесса улучшения управления позво ляет проводить поиск, как в автоматическом, так и в автоматизиро ванном режиме. Причём в обоих случаях существует возможность изменения условий решения задачи и изменения параметров чис Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ ленного метода с целью повышения эффективности процесса поис ка. Соответствующие вычислительные процедуры выполняются между итерациями улучшения управляющих зависимостей.

При формировании номинального управления более эффекти вен автоматизированный режим поиска, что связано со следующи ми причинами.

Во-первых, при формировании номинального управления дви жением, как правило, отсутствуют хорошо обоснованные началь ные приближения опорных программ управления, поэтому искомое номинальное управление, отвечающее всем условиям задачи, зна чительно от них отличается. С такой ситуацией сталкивается иссле дователь при решении новых задач управления траекториями аэро космических аппаратов, например, при рассмотрении различных нештатных ситуаций, а также при формировании номинального управления новыми типами аэрокосмических аппаратов. Это об стоятельство требует в процессе улучшения управления периодиче ской настройки параметров вычислительных процедур и примене ния специальных приёмов, повышающих эффективность процесса поиска. Трудность автоматизации этого процесса при решении но вых задач формирования номинального программного управления заставляет использовать интерактивный режим, предполагающий активное управление процессом поиска со стороны исследователя.

Во-вторых, задача формирования номинального управления решается заранее в условиях практически неограниченного ресурса времени и возможностей используемой вычислительной техники, что позволяет просмотреть множество допустимых решений и вы брать наилучшее с использованием экспертной оценки.

Для преодоления трудностей, возникающих при численном решении задач, рекомендуются следующие приёмы повышения эффективности процесса поиска [77].

1. Регулирование допустимых величин вариаций компонентов управления.

Допустимые значения вариаций компонентов управления оп ределяют размеры окрестности U, в которой решается линеаризо ванная задача (2.1) (2.3). Изменение допустимых величин U k вариаций u k (t ) (k = 1,2,..., r ) влияет на точность линеаризации, ко торую можно оценить для имеющегося опорного управления u k (t ) Глава 3.Формирование управления траекториями _ (k = 1,2,..., r ) путём сравнения вычисленных фактических прираще ний функционалов F j ( j = 0,1,..., m) при вариации k -ой состав ляющей управления u (t ) на величину u k (t ) с предсказанными на основе линейной теории.

Регулирование величин U k (t ) (k = 1,2,..., r ) в процессе поиска имеет две основные цели. Во-первых, обеспечить достаточную точ ность линеаризации задачи по всем компонентам управления в процессе всего поиска при значительном изменении программ управления, во-вторых, изменять скорость улучшения программ управления в зависимости от этапа поиска: в начале поиска, пока управление значительно отличается от искомого, допустимые вели чины вариаций компонентов управления могут быть значительно больше, чем на заключительном этапе поиска, когда происходит уточнение близкого к искомому управления.

Пределы изменения допустимых величин вариаций компонен тов управления приведены в описаниях алгоритма формирования номинального управления и результатов решения конкретных задач формирования номинального управления.

2. Временное прекращение поиска по одному или нескольким каналам управления.

При формировании многоканального номинального управле ния прекращение поиска по одному или нескольким каналам по зволяет в некоторых случаях активно воздействовать на создав шуюся ситуацию за счёт временного устранения взаимоисключаю щего влияния изменения управления по различным каналам управ ления на функционалы задачи. В некоторых случаях возможно улучшение управления за счёт попеременного временного прекра щения поиска по отдельным каналам управления.

3. Временное «замораживание» отдельных участков программ управления.

Повышения эффективности процесса поиска можно добиться путём «замораживания» отдельных участков программ управления по различным каналам. Причём эти участки могут перекрывать друг друга вдоль траектории или располагаться на различных её частях. Таким образом может быть устранено взаимоисключающее влияние отдельных участков программы управления по одному и тому же каналу на контролируемые функционалы задачи.

Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ 4. Принудительное изменение программ управления.

Для выведения процесса поиска из тупиковой ситуации воз можно принудительное изменение управления на отдельных участ ках на величины значительно превосходящие допустимые значения вариаций компонентов управления. Изменение программ управле ния выполняется исследователем на основании собственного опыта представлений о характере искомого управления.

5. Временное «замораживание» расположения узлов аппроксимации.

Этот приём позволяет ускорить выполнение итераций улучше ния управления в том случае, если на каждой итерации предусмот рено выполнение процедуры расположения узлов вдоль траектории движения. Кроме того, временное «замораживание» позволяет уменьшить погрешности, возникающие вследствие изменения ап проксимированного управления при сдвиге узлов в новое положе ние.

6. Изменение способа расположения узлов аппроксимации.

Различные способы расположения узлов аппроксимации зна чительно отличаются друг от друга затрачиваемыми вычислитель ными ресурсами и степенью влияния на процесс поиска улучшен ного управления. На разных этапах решения одной и той же задачи возможно изменение приоритета между сложностью выполнения вычислительной процедуры расположения узлов аппроксимации и временем, затрачиваемым на её выполнение.

На первых итерациях поиска управления более предпочтитель ными являются простые процедуры, не требующие значительных вычислительных затрат. На заключительной стадии решения зада чи, когда программы управления близки к искомым зависимостям, более эффективны способы, обеспечивающие рациональное распо ложение узлов.

7. Временное снятие контроля над изменением одного или не скольких функционалов.

При решении задач с многочисленными ограничениями, яв ляющимися функционалами задачи, для ускорения процесса улуч шения управления возможно снятие контроля над изменением од ного или нескольких функционалов. Этот приём позволяет времен но устранить возникшее противоречие между различными функ ционалами, требующими противоположных изменений управляю Глава 3.Формирование управления траекториями _ щих зависимостей на данном этапе решения. В дальнейшем это противоречие может не оказывать существенного влияния на поиск улучшенного управления.

8. Отказ от полученного управления.

Этот приём заключается в прерывании процесса поиска, воз вращении к результатам, полученным ранее, и продолжении поиска с использованием других приёмов повышения эффективности про цесса поиска или с другими параметрами вычислительной проце дуры. Данный приём позволяет провести поиск другим путём в об ход полученной тупиковой ситуации с многочисленными противо речиями. Для использования этого подхода необходимо в процессе решения задачи запоминать все или часть промежуточных про грамм управления.

3.2.4. Окончание поиска. Условие окончания процесса поиска зависит от типа решаемой задачи.

Если решается основная задача управления [124], требующая выполнения ограничений на параметры траектории, то решение за дачи заканчивается после выполнения всех поставленных ограни чений. Основная задача управления может иметь множество реше ний, отличающихся значениями функционалов-ограничений, нахо дящимися внутри допустимой области. Полученное решение не требует каких-либо дополнительных проверок достоверности в рамках используемых математических моделей.

Если решается задача оптимального управления, то искомое решение является единственным. Численное решение однокритери альной задачи оптимального управления заканчивается после вы полнения всех поставленных ограничений при стабилизации опти мизируемого функционала относительно некоторого значения.

Практически это осуществляется следующим образом. Если за 10 (или другое количество) итераций улучшения управления значе ние оптимизируемого функционала изменяется менее чем на неко торую заданную малую величину, то производится возврат к про граммам управления, полученным десятью итерациями ранее, и расчёт повторяется с другими значениями параметров алгоритма.

Если конечное значение оптимизируемого функционала остаётся тем же (с заданной степенью точности), то последние программы управления принимаются за оптимальные. С целью более надёжно Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ го подтверждения неулучшаемости полученного управления реше ние задачи повторяется с другим исходным управлением.

Полученное оптимальное управление можно проверить чис ленно на удовлетворение необходимым условиям оптимальности.

Многокритериальная задача формирования номинального управления также должна иметь единственное численное решение.

Поэтому условие окончания процесса поиска и способы проверки оптимальности полученного решения такие же, как при решении однокритериальной задачи.

3.3. Формирование командного управления 3.3.1. Особенности алгоритма формирования командного управления. В отличие от номинального командное управление формируется в реальном времени в условиях действия возмущений, поэтому вычислительный алгоритм формирования командного управления должен содержать заранее определённое число опера ций и функционировать в автоматическом режиме.

Для использования автоматического режима работы алгоритма формирования командного управления имеются следующие причи ны и предпосылки. Во-первых, командное управление осуществля ется в темпе реального процесса управления, когда на принятие решения отводится ограниченное время, что особенно сильно про является в нештатных ситуациях. Во-вторых, при формировании командного управления имеется хорошее начальное приближение в виде номинальной программы управления, и, вследствие малости действующих возмущений, искомое командное управление заведо мо находится в окрестности номинального. В-третьих, использова нию алгоритмов командного управления предшествует тщательная настройка параметров вычислительной процедуры с использовани ем имитационного моделирования.

Алгоритмы на основе метода последовательной линеаризации формируют управляющие зависимости как функции времени. Рабо тоспособное командное управление, которое реализуется в услови ях действия априорно неопределённых возмущений, должно иметь обратную связь. Осуществить обратную связь в процессе управле ния, использующем программные управляющие зависимости, по Глава 3.Формирование управления траекториями _ зволяет общий подход, основанный на применении идей многоша гового управления.

3.3.2. Многошаговое управление. Рассмотрим многошаговый процесс управления [110], позволяющий при использовании на ка ждом отдельном шаге методов формирования программного управ ления осуществлять в целом обратную связь, регулярно замыкая систему управления и делая её таким образом работоспособной в условиях априорной неопределённости возмущений. К числу дос тоинств многошагового управления относится не только достаточ ная общность подхода, но и то обстоятельство, что его использова ние в принципе не требует качественного и количественного знания действующих возмущений, поскольку действие возмущающих фак торов оценивается по прогнозируемому конечному результату. Ес ли в процессе управления появляется информация, уменьшающая степень неопределённости в знании действующих возмущений, то её можно учитывать в прогнозирующих моделях и тем самым по вышать эффективность многошагового управления.

Для эффективного использования многошагового управления в задачах управления траекториями аэрокосмических аппаратов дос таточно иметь достоверные знания о положении и скорости аппара та в любой момент времени, что обеспечивается современным уровнем развития навигационных средств измерения и алгоритмов обработки навигационной информации аэрокосмических аппаратов [161, 163, 165]. Кроме того, в прогнозирующих моделях может ис пользоваться уточненная в процессе полёта информация об откло нениях плотности атмосферы от стандартного распределения и от клонениях аэродинамических характеристик от расчётных значений [9, 110].

Обоснованием использования данного подхода при разработке работоспособных алгоритмов управления могут являться результа ты решения задач управления спуском в атмосфере космических аппаратов полубаллистического типа [110] и аппаратов с большим аэродинамическим качеством [16, 17]. Управление, основанное на прогнозирующих моделях движения, используется в реальных сис темах управления, в частности, на большей части траектории спус ка в атмосфере орбитального корабля транспортной космической системы «Спейс шаттл» [162, 167].

Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ Суть многошагового управления состоит в следующем. Весь отрезок времени, соответствующий управляемому участку траекто рии движения, разбивается на отдельные участки интервалы управления, на каждом из которых выполняется один шаг коррек ции управления. Все вычислительные операции по изменению управления в соответствии со сложившейся реальной ситуацией должны быть закончены до конца текущего интервала управления.

На каждом шаге управление формируется по результатам прогно зирования движения аппарата на основе информации, имеющейся к его началу и включающей в себя значения фазовых координат, па раметров аппарата, характеристик атмосферы и сформированное ранее управление. На текущем шаге управление осуществляется в соответствии с управлением, полученным на предыдущем шаге.

3.3.3. Алгоритм командного управления. До начала процесса управления должны быть сформированы номинальные управляю щие зависимости для расчётных значений начальных условий дви жения, характеристик аэрокосмического аппарата и атмосферы, выбраны прогнозирующие модели движения аппарата, включаю щие в себя дифференциальные уравнения движения, метод их чис ленного интегрирования, модель атмосферы и аэродинамические характеристики аппарата, а также должна быть задана величина ин тервала (шага) управления.

В задачах многошагового управления спуском аэрокосмиче ского аппарата в атмосфере величина интервала управления, обес печивающая достаточно высокую точность приведения аппарата в заданную область конечных условий движения, составляет от 10 до 100 секунд [16, 17].

Величина интервала управления может быть переменной, зависящей от точности решения задачи навигации [39]. В этом случае величина первого шага управления t1 = t1 0 задается до начала управления. В конце текущего n -го шага с учётом рассогласования прогнозируемых и навигационных значений фазовых координат на момент t n определяется величина следующего шага управления t n + 1 = t n + 1 t n. При этом решается задача одномерной минимизации суммы квадратов нормированных отклонений прогнозируемых xпр ( tn ) значений фазовых координат от значений xнав ( tn ), полученных в результате решения задачи навигации:

Глава 3.Формирование управления траекториями _ x ( t ) xнав ( t n ) tn + 1 = arg min пр n, x tT i = 1 i где T допустимая область изменения t. В качестве параметров нормирования используются значения начальных условий движе ния x0.

Минимизация проводится градиентным методом [30], произ водная суммы квадратов отклонений по t определяется численно.

Интегрирование уравнений движения прогнозирующей модели может выполняться с шагом от 5 до 20 секунд методом Рунге Кутты 4 порядка.

В общем виде вычислительный алгоритм формирования ко мандного управления на основе метода последовательной линеари зации сводится к выполнению на каждом шаге коррекции управле ния следующих действий.

1. Проводится прогнозирование движения аэрокосмического аппарата на текущем интервале управления.

Прогнозирование осуществляется путём численного интегри рования дифференциальных уравнений движения. В качестве на чальных условий используются навигационные данные о текущем положении и скорости аппарата в начале интервала управления.

Управляющие зависимости соответствуют зависимостям, реали зующимся на данном интервале управления, на первом шаге ис пользуются номинальные управляющие зависимости. Фиксируются прогнозируемые значения фазовых координат в начале следующего интервала коррекции. Все дальнейшие вычисления выполняются для участка траектории, началом которого является конец текущего интервала управления.

2. Производится конечномерная аппроксимация математиче ской модели (задание числа и способа распределения узлов, вида аппроксимирующих зависимостей фазовых координат, сопряжён ных переменных, функциональных производных и управления).

Командные управляющие зависимости формируются на основе аппроксимированных зависимостей, поскольку проведение конеч номерной аппроксимации является необходимым условием выпол нения итераций улучшения управления методом последовательной линеаризации.

Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ Конечномерная аппроксимация может выполняться на каждом шаге коррекции управления так же, как и при формировании номи нального управления. Однако, если уровень возмущений невелик и реальная траектория близка к номинальной (расчётной) траектории, то расположение узлов по времени на всех шагах управления может не изменяться и соответствовать номинальному управлению. При этом на каждом шаге коррекции управления происходит лишь ис ключение пройденных узлов и добавление одного узла, соответст вующего времени начала текущего интервала управления. Такой подход к аппроксимации задачи позволяет уменьшить число вы числений, производимых на каждом шаге управления. В этом слу чае вид аппроксимирующих зависимостей всех переменных также следует оставить соответствующим номинальным программам управления.

3. Прогнозируется движение до конца траектории.

Интегрирование производится из начальных условий, соответ ствующих концу текущего интервала управления и вычисленных в результате выполнения пункта 1, до условия окончания траектории движения. В качестве управления, являющегося опорным при вы полнении итерации улучшения управления, принимаются управ ляющие зависимости, сформированные на предыдущем шаге (на первом шаге принимается номинальное управление).

В процессе интегрирования вычисляются и запоминаются зна чения фазовых координат в узлах аппроксимации. Вычисляются конечные условия движения и другие функционалы задачи. Эти данные необходимы для принятия решения о проведении коррек ции управления и выполнения в этом случае итераций улучшения опорного управления методом последовательной линеаризации.

4. Принимается решение о выполнении расчётов для коррекции управления.

Если конечные условия удовлетворяют предъявляемым требо ваниям и выполняются все ограничения на режимы движения, то коррекция программ управления не производится. С наступлением времени начала следующего шага управления выполняются дейст вия, начиная с пункта 1. Если одно или несколько требований или ограничений не выполняются, то проводится коррекция управления в соответствии с изложенной ниже процедурой.

Глава 3.Формирование управления траекториями _ 5. Производится численное интегрирование сопряжённой сис темы уравнений.


Интегрирование производится справа налево, из конца траек тории до её начала, запоминаются значения сопряжённых перемен ных в узлах аппроксимации. При этом уравнения движения не ин тегрируются, значения фазовых координат вычисляются с помо щью линейной интерполяции по узловым значениям.

6. Вычисляются и запоминаются значения производных функ ционалов по управлению в узлах аппроксимации.

Вычисления производятся в процессе интегрирования сопря жённой системы уравнений.

7. В заданной окрестности опорного управления решается за дача линейного программирования.

Задача решается относительно малых приращений управляю щих зависимостей, улучшающих управление в смысле удовлетво рения ограничениям на функционалы задачи. В качестве метода решения задачи линейного программирования применяются, как и при формировании номинального управления, приближённые ите рационные методы, но с заданным числом итераций.

8. Формируется улучшенное управление по каждому каналу.

Улучшенное управление определяется как сумма узловых зна чений, определяющих опорное управление, и малых приращений управляющих зависимостей, полученных в результате решения за дачи линейного программирования.

9. Проверяется выполнение ограничений по величине и скоро сти изменения управляющих зависимостей.

В случае невыполнения этих ограничений управляющие зави симости по каждому из каналов изменяются с помощью рассмот ренных способов учёта ограничений на управление.

10. Принимается решение о выполнении следующей итерации улучшения управления.

Решение принимается в соответствии с заданным числом ите раций улучшения управления на каждом шаге коррекции управле ния. Если заданное число итераций не выполнено, алгоритм повто ряется, начиная с пункта 3, в качестве опорного принимается улуч шенное управление. После выполнения заданного числа итераций осуществляется переход к следующей процедуре алгоритма.

Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ 11. Производится численное интегрирование уравнений дви жения.

Уравнения движения интегрируются из заданных начальных условий до условия окончания траектории движения с улучшенным управлением. В процессе интегрирования вычисляются значения функционалов задачи.

12. Принимается решение о коррекции управления.

Если ни один из функционалов задачи, значение которого на ходилось до проведения коррекции управления вне допустимой об ласти, не ухудшает своего значения, и хотя бы один из функциона лов улучшается, то полученное управление принимается в качестве командного на следующем интервале управления. Алгоритм повто ряется, начиная с пункта 1.

Если произошёл выход какого-либо функционала за пределы допустимых значений или произошло ухудшение хотя бы одного из функционалов, находящегося за этими пределами, то сформиро ванное на этом шаге управление не принимается в качестве ко мандного, которое остается прежним, вычисленным на предыду щих шагах управления. Алгоритм повторяется, начиная с пункта 1.

3.3.4. Условия реализации алгоритма. Реализовавшееся ко мандное управление тем больше отличается от номинального, чем больше реальные условия движения не совпадают с условиями мо делирования движения при формировании номинальных программ управления.

Как правило, неучтённые при формировании номинального управления возмущения, вызывающие необходимость коррекции управления в процессе реального движения, относительно невели ки. Поэтому командное управление незначительно отличается от номинального. Вследствие этого на каждом шаге формирования командного управления, как показали результаты математического моделирования, достаточно проводить в соответствии с методом последовательной линеаризации 2 4 итерации.

При возникновении нерасчётной ситуации алгоритм формиро вания командного управления на первом шаге управления фактиче ски должен сформировать номинальные программы. В этом случае число итераций улучшения управления на первом шаге должно быть увеличено.

Глава 3.Формирование управления траекториями _ Формируемые в реальном времени командные управляющие зависимости на каждом интервале управления являются функциями времени. Прогнозирование движения аэрокосмического аппарата с использованием достоверной навигационной информации о теку щих значениях положения и скорости аппарата обеспечивает об ратную связь.

Многошаговый алгоритм командного управления на основе метода последовательной линеаризации приведён в общем виде и может быть дополнен приёмами, повышающими его эффектив ность в конкретных условиях функционирования системы управле ния.

Важными характеристиками, определяющими возможность реализации алгоритмов командного управления, являются объём предусмотренных вычислений и объём оперативной памяти, необ ходимый для их выполнения. Поскольку функционирование алго ритма происходит в реальном времени, объём вычислений с учётом времени, отведённого на проведение коррекции командного управ ления, определяет требуемое быстродействие цифровых вычисли тельных машин, используемых в бортовых и наземных вычисли тельных комплексах.

Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ ГЛАВА ТРАЕКТОРИИ СПУСКА В АТМОСФЕРЕ 4.1. Траектории спускаемого аппарата с несущим корпусом 4.1.1. Условия решения задач. Расчёту траекторий спуска ле тательных аппаратов в атмосфере посвящены многочисленные ра боты. В монографии [151] среди других содержатся результаты расчётов оптимальных траекторий спуска в атмосфере аэрокосми ческих аппаратов с несущим корпусом, в частности, представлены результаты расчётов номинальных программ одноканального и двухканального управления, максимизирующих боковую дальность спуска. Эти результаты получены с помощью принципа максимума и являются классическими.

Рассмотрим модельные задачи, для которых формулировки, терминология и форма представления результатов решения в ос новном соответствуют работе [151]. Получим результаты решения некоторых задач формирования номинального оптимального управления, приведённые в [151], с помощью численных методов и алгоритмов на основе последовательной линеаризации. Затем для того же класса аппаратов и тех же начальных условий движения получим решения новых задач, отличающихся более сложной по становкой, включающей учёт многочисленных ограничений [77].

Для всех этих задач общими являются следующие условия.

Аэрокосмический аппарат находится на орбите спутника Зем ли, плоскость которой совпадает с плоскостью экватора. В некото рый момент времени аппарат под действием тормозного импульса тяги сходит с орбиты и с известным значением вектора скорости подходит к условной границе атмосферы. В качестве начальных ус ловий движения в момент времени t = 0 входа аэрокосмического аппарата в атмосферу на высоте H 0 =95 км приняты следующие ве личины: земная скорость V0 =7500 м/с, угол наклона траектории 0 = 40, угол пути 0 =0, широта 0 =0 и долгота 0 =0.

Максимальное аэродинамическое качество аэрокосмического аппарата на гиперзвуковых скоростях движения в атмосфере со Глава 4.Траектории спуска в атмосфере _ ставляло примерно 1,2, радиус кривизны поверхности в критиче ской точке аппарата принят равным 1 метру.

Требуется найти программы изменения скоростного угла крена a (t ) и угла атаки (t ) обеспечивающие при снижении аэрокосми ческого аппарата в атмосфере достижение в конечный нефиксиро ванный момент времени спуска t к = T на конечной высоте H к = км максимальной конечной широты к = (T ) без ограничений и при наличии ограничений на управление и режимы движения. В рассматриваемой постановке задачи максимальная конечная широ та соответствует максимальной угловой боковой дальности спуска в атмосфере.

Отметим, что результаты численного решения задач оптималь ного управления с использованием методов математического моде лирования являются в той или иной степени приближёнными. В дальнейшем приближённо-оптимальные зависимости именуются оптимальными.

Оптимальное управление сформировано при следующих усло виях. Узлы аппроксимации задачи располагались равномерно по характеристической скорости (2.16) в первых трёх задачах с шагом 300 м/с, при этом их число не превышало 50, и с шагом 150 м/с в последующих при числе узлов до 100. Использовалась кусочно линейная аппроксимация программ изменения углов атаки и крена, зависимостей фазовых координат и функциональных производных от времени. Размеры области U допустимых значений прираще ний управления уменьшались по мере приближения к оптимальной программе управления и составляли по углу атаки от 10 на первых итерациях до 0,050 на последних, по углу крена – от 10 до 0,10. На бор узлов ti (i = 1,2,..., N ) обновлялся на каждой итерации улучше ния управления, среднее число выполненных итераций улучшения управления равнялось 100, максимальное число итераций в задачах с многочисленными ограничениями не превышало 250.

Решение задач заканчивалось при стабилизации оптимизируе мого функционала (конечной широты) относительно некоторого значения. В отдельных случаях с целью подтверждения практиче ской неулучшаемости полученного управления решение задачи по вторялось с другим начальным приближением опорного управле ния.

Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ 4.1.2. Три известные задачи. Для подтверждения в первом приближении работоспособности и эффективности разработанных методов формирования номинального управления решены три за дачи оптимизации пространственного движения в атмосфере аэро космического аппарата при спуске с орбиты, имеющие решения, полученные с помощью принципа максимума.

Последовательность решения этих задач о максимизации боко вой дальности спуска и форма представления результатов полно стью соответствуют [151]. Отличия в формулировке, модели дви жения, начальных условиях, характеристиках аппарата вызваны от сутствием в [151] необходимых сведений, но, как показало матема тическое моделирование, эти отличия не оказали существенного влияния на сопоставимость результатов.


Кроме того, в [151] в задачах с ограничением на температуру поверхности аппарата приведены лишь качественные результаты, поэтому их сравнение проводилось с результатами решения анало гичных задач, в которых в качестве ограничения рассматривалось ограничение на удельный тепловой поток в критической точке ап парата. При качественном анализе результатов это не являлось пре пятствием к установлению общих тенденций, поскольку существу ет однозначная зависимость между удельным тепловым потоком qT и температурой поверхности летательного аппарата в рассмат риваемой точке [67].

Задача. Найти программы управления углами атаки и крена аэ рокосмического аппарата, максимизирующие боковую дальность спуска при отсутствии ограничений на управление и режимы дви жения, то есть найти { (t ), a (t )} = arg max[ (T )].

, a Конечная боковая дальность спуска или соответствующая ей в рассматриваемой постановке конечная широта является диффе ренцируемым по Фреше функционалом вида (2.4).

Основные результаты решения этой задачи с помощью числен ного метода и алгоритма на основе последовательной линеаризации приведены на рис. 4.1 и 4.2.

На рис. 4.1 показаны начальные приближения программ изме нения углов атаки и крена { 0 (t ), a 0 (t )} и полученное оптимальное Глава 4.Траектории спуска в атмосфере _ { } управление opt (t ), aopt (t ), а также расположение узлов аппрок симации на последней итерации и изменение высоты H и скорости V от времени t при реализации оптимального управления.

H, V, км м/c H, V 8 a гр ao 4 aopt 2 opt t,c 0 500 Рис. 4.1. Программы управления и изменение высоты и скорости по времени На рис. 4.2 для оптимальной траектории показано изменение широты, долготы и угла пути по времени.

,,, гр гр t,c 0 500 Рис. 4.2. Изменение широты, долготы и угла пути по времени Из сравнения результатов решения задачи, полученных двумя методами, следует, что полученное управление (рис.4.1) близко к оптимальному, полученному принципом максимума (рис.2.2,а Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ [151]). Совпадает также характер изменения параметров обеих тра екторий (рис.4.2 и рис.2.2,б [151]).

Следует отметить заметное отличие полученного оптимального { } управления opt (t ), aopt (t ) от его начального приближения { 0 (t ), a 0 (t )}, что свидетельствует о нечувствительности алгорит ма на основе последовательной линеаризации к начальному при ближению искомых управляющих зависимостей.

Задача. Найти программу управления углом крена аэрокосми ческого аппарата, максимизирующую боковую дальность спуска при различных допустимых значениях максимального удельного теплового потока в критической точке аппарата, то есть найти a (t ) = arg max[ (T )] a при условии qT max qTдоп 0.

При решении этой задачи программа изменения угла атаки со ответствовала оптимальной программе, полученной при решении предыдущей задачи, и в процессе решения не изменялась. Макси мальный удельный тепловой поток относится к функционалам вида (2.6), не имеющим производных Фреше. Поэтому на каждой итера ции улучшения программы управления фиксировались время дос тижения и величина qT max. Таким образом, функционал вида (2.6) заменялся одним функционалом вида (2.5).

Решение проводилось в следующей последовательности. Сна чала была получена программа управления, максимизирующая бо ковую дальность спуска без ограничения на максимальное значение удельного теплового потока (допустимое значение функционала ограничения задавалось заведомо больше возможного). Затем были получены три оптимальные программы управления, обеспечиваю щие максимальную боковую дальность при различных допустимых значениях максимального теплового потока: qT 1доп = кДж/(м2с), qT 2 доп = 2000 кДж/(м2с), qT 3доп = 1600 кДж/(м2с).

На рис. 4.3 показано влияние ограничения по максимальному удельному тепловому потоку qTдоп на оптимальный закон измене ния угла крена. Для удобства сравнения результатов на рис. 4.3, как Глава 4.Траектории спуска в атмосфере _ и на рис. 2.14 [151], представлены зависимости угла скоростного крена aopt от скорости V.

a, 4 гр V,км / c Рис. 4.3. Влияние ограничения по удельному тепловому потоку на программу угла крена:

1 – без ограничений;

2, 3, 4 – ограничения qT 1доп, qT 2 доп, qT 3 доп Задача. Найти программы управления углами атаки и крена аэ рокосмического аппарата, максимизирующие боковую дальность спуска при различных допустимых значениях максимального теп лового потока в критической точке аппарата, то есть найти { (t ), a (t )} = arg max[ (T )], a при условии qT max qTдоп 0.

Замена функционала-ограничения осуществлялась аналогично соответствующей замене в предыдущей задаче, такими же были по следовательность решения и допустимые значения максимального удельного теплового потока в критической точке аэрокосмического аппарата. При решении использовалось дополнительное условие постоянства радиуса кривизны поверхности в критической точке аппарата при изменении угла атаки.

Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ В результате решения получены зависимости углов атаки opt и крена aopt от скорости V (рис. 4.4), повторяющие характер оп тимальных зависимостей, полученных с помощью принципа мак симума (рис. 2.22 [151]).

a, 4 гр aopt 4 opt V,км / c 0 Рис. 4.4. Влияние ограничения по удельному тепловому потоку на программы углов крена и атаки:

1 – без ограничений;

2, 3, 4 – ограничения qT 1доп, qT 2 доп, qT 3 доп Увеличение допустимого значения максимального удельного теплового потока qTдоп приводит к увеличению максимальной бо ковой дальности к max, спуска к max до наи гр большего значения, соответствующего траектории движения без ограничений (рис.

4.5).

На рис. 4.6 пока 15 зано расположение узлов аппроксимации 1500 2000 2500 кДж qT доп, 2 на последней итера мс ции решения задачи с Рис. 4.5. Зависимость максимальной боковой ограничением qTдоп = дальности от допустимого значения удельно 2000 кДж/(м2с), а го теплового потока Глава 4.Траектории спуска в атмосфере _ V, H, м / c;

км, qT, H кДж a м 2с V гр 4 aopt opt q T 2 t,c 0 500 Рис. 4.6. Программы управления и изменение высоты, скорости и удельного теплового потока по времени также полученные оптимальные программы изменения углов атаки { } и крена opt, aopt и соответствующее им изменение высоты, ско рости и удельного теплового потока qT в критической точке аэро космического аппарата от времени.

На рис. 4.7 изобра,, жены зависимости от гр, времени широты, дол гр готы и угла пути при реализации опти мального двухканального управления.

Рис. 4.8 иллюстриру ет процесс формирования t,c 0 500 оптимального управле Рис. 4.7. Изменение широты, долготы и ния. На нём показаны ос угла пути по времени реднённые зависимости оптимизируемого функционала задачи (конечной широты) и функ ционала-ограничения (максимального удельного теплового потока qT max ) по итерациям N и улучшения программ управления.

Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ Кроме того, на q T max 10, рис. 4.8 отмечено до к, кДж пустимое значение гр м 2с функционала qTдоп.

20 2, к Осреднение приве дённых зависимостей 19 2, заключается в изо qT доп 18 2, бражении на рисунке q T max только общей тенден 17 1, Nи ции изменения функ 0 20 40 60 ционалов. В действи Рис. 4.8. Изменение функционалов тельности истинные по итерациям улучшения управления значения функциона лов располагаются с обеих сторон в непосредственной близости от изображённых кривых. В дальнейшем аналогичным образом пока заны зависимости функционалов от номера итерации улучшения управления, иллюстрирующие процессы формирования управле ния.

На рис. 4.8 выделен пря q T max 10, моугольник, который увели к, кДж к чен и представлен в виде рис.

гр м 2с 4.9, иллюстрирующего дейст 18,5 2, вительное поведение функ ционалов в процессе поиска qT доп оптимального управления.

18,0 2, Значениям функционалов со qT max ответствуют точки, относя 17,5 1, щиеся к каждой итерации, со Nи 20 единение точек отрезками Рис. 4.9. Изменение функционалов прямых является условно по итерациям улучшения управления стью и служит только целям улучшения наглядности ри сунка. В дальнейшем изложении подобные иллюстрации процессов сходимости не приводятся.

Анализ рис. 4.9 показывает, что изменения оптимизируемого функционала и функционала-ограничения в процессе работы алго ритма формирования оптимального управления взаимосвязаны и цикличны: уменьшение оптимизируемого функционала на итера Глава 4.Траектории спуска в атмосфере _ ции улучшения управления приводит к отступлению функционала ограничения от его допустимого значения, последующее прибли жение функционала ограничения к допустимому значению на сле дующей итерации ведет к росту оптимизируемого функционала, превышающему его уменьшение на предыдущей итерации.

4.1.3. Задачи с многочисленными ограничениями. Рассмот рим результаты решения задач построения номинального управле ния спуском аэрокосмического аппарата в атмосфере, максимизи рующего боковую дальность спуска при наличии ограничений на управление, высоту полёта после первого отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы и режимы движения: удельный тепловой поток в критической точке аппарата, скоростной напор и нормаль ную составляющую перегрузки.

Учёт ограничения на высоту полёта после первого отражения от плотных слоёв атмосферы позволяет формировать достаточно гладкие номинальные траектории спуска в атмосфере. Наилучшим образом такие траектории можно получить, учитывая одновремен но два ограничения на высоту после первого отражения от плот ных слоёв атмосферы и удельный тепловой поток. Это связано с тем, что первое условие ограничивает высоту полёта сверху, а вто рое кроме собственно ограничения на максимальное значение удельного теплового потока одновременно ограничивает и высоту полёта снизу. На траекториях без существенных отражений дости гается более высокая точность командного управления движением аэрокосмических аппаратов.

В качестве ограничения на перегрузку было выбрано ограни чение на нормальную составляющую вектора перегрузки. Это свя зано со следующими особенностями аэрокосмических аппаратов и траекторий их движения в атмосфере.

Во-первых, движение в атмосфере у аппаратов этого типа при совершении любых расчётных манёвров происходит без сколько нибудь значительного скольжения вследствие больших аэродина мических и тепловых нагрузок, небольшое скольжение допускается только для создания несимметричности обтекания при управлении по крену. Это означает, что поперечные перегрузки в процессе движения в атмосфере невелики.

Во-вторых, движение аэрокосмических аппаратов в атмосфере происходит на больших, по сравнению с самолётами, углах атаки Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ (до 400 в начале траектории спуска). Это приводит к тому, что при проектировании на связанные оси вектор перегрузки даёт доста точно большую составляющую на нормальную ось, а допустимое значение нормальной перегрузки существенно меньше допустимо го значения продольной.

Задача. Найти программу управления углом крена аэрокосми ческого аппарата, максимизирующую боковую дальность спуска с учётом ограничения на высоту полёта после первого отражения ап парата от плотных слоёв атмосферы, то есть найти a (t ) = arg max[ (T )] a при условии H1 max H1доп 0.

Задача решалась при следующих условиях. Допустимое значе ние высоты полёта H1доп после первого отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы принималось равным 40 км. В качестве начального приближения программ изменения углов крена и атаки использовались оптимальные зависимости, показанные на рис. 4.1, причём, программа изменения угла атаки в процессе решения не изменялась. Из рисунка следует, что при движении с этими про граммами управления требуемое по условию задачи ограничение на высоту полёта не выполняется.

Функционал-ограничение, соответствующий максимальной высоте полёта после первого отражения, относится к функционалам вида (2.6), не имеющим производных Фреше. Высота полёта опре деляется путём интегрирования одного из уравнений движения, по этому функционал вида (2.6) заменялся одним функционалом вида (2.10).

Основные результаты решения задачи иллюстрирует рис. 4.10, на котором показаны полученная оптимальная программа управле ния скоростным углом крена, программа управления углом атаки, изменения высоты, широты и угла пути, а также допустимое значе ние высоты H 1доп полёта после первого отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы. На этом и последующих аналогичных рисунках вследствие большого количества узлов аппроксимации их расположение не показано, а кусочно-линейные программы управ Глава 4.Траектории спуска в атмосфере _ ления из-за близости расположения узлов аппроксимации изобра жены гладкими, без характерных изломов в узлах.

H,, км ;

гр, a,, гр aopt H 1доп H opt t,c 0 400 Рис. 4.10. Программы управления и изменение высоты, широты и угла пути по времени Задача. Найти программы управления углами атаки и крена аэ рокосмического аппарата, максимизирующие боковую дальность спуска с учётом ограничения на высоту полёта после первого отра жения аппарата от плотных слоёв атмосферы, то есть найти { (t ), a (t )} = arg max[ (T )], a при условии H1 max H1доп 0.

Эта задача рассматривалась как продолжение предыдущей, ре зультаты решения которой использовались в качестве начального приближения.

Результаты решения приведены на рис. 4.11, описание которо го соответствует описанию рис. 4.10 и на котором дополнительно показана зависимость удельного теплового потока в критической точке аппарата от времени.

Из сравнения результатов решения задач (рис. 4.2, 4.10 и 4.11) следует, что учёт ограничения на высоту полёта после первого от Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ ражения приводит к уменьшению максимальной угловой боковой дальности спуска в атмосфере. Поиск оптимального управления только по углу крена при рассматриваемом значении ограничения на высоту полёта приводит к уменьшению конечной боковой даль ности примерно с 22,50 (рис. 4.2) до 100 (рис 4.10). При совместном поиске оптимальных программ управления углами крена и атаки максимальная угловая дальность спуска увеличивается по сравне нию с одноканальным управлением до 110 (рис.4.11).

H, qT 10, aopt, км ;

кДж гр, м2с a,, гр 2 qT H 1доп H 1 opt 0 t,c 0 400 Рис. 4.11. Программы управления и изменение высоты, широты, угла пути и удельного теплового потока по времени Задача. Найти программы управления углами атаки и крена аэ рокосмического аппарата, максимизирующие боковую дальность спуска с учётом ограничения на высоту полёта после первого отра жения аппарата от плотных слоёв атмосферы и ограничения на удельный тепловой поток в критической точке аппарата, то есть найти { (t ), a (t )} = arg max[ (T )], a при условиях H1 max H1доп 0, qT max qTдоп 0.

Глава 4.Траектории спуска в атмосфере _ Как и в двух предыдущих задачах допустимое значение высоты полёта H1доп после первого отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы принималось равным 40 км. Допустимое значение удельного теплового потока qTдоп в критической точке аппарата фиксировалось на уровне 2400 кДж/(м2с).

Решение этой задачи основывалось на результатах решения предыдущей задачи. В качестве начального приближения программ управления были приняты оптимальные программы, полученные в результате ее решения и изображённые на рис. 4.11, из которого, в частности, следует, что приведённые программы управления не обеспечивают поставленного в данной задаче ограничения на мак симальное значение удельного теплового потока.

Как и ранее каждый из функционалов, дифференцируемых по Гато, заменялся одним функционалом, дифференцируемым по Фреше.

к, H 1 max, qT max, гр км кДж м 2с H 1 max 2,8 20 qT max 2,6 к qT доп, H 1доп 2,4 2,2 t,c 0 100 Рис. 4.12. Изменение функционалов по итерациям улучшения управления Рис. 4.12 иллюстрирует процесс формирования оптимального управления. На нём показано изменение оптимизируемого функ ционала задачи (конечной широты к ) и функционалов Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»

_ ограничений (максимальной высоты полёта после первого отраже ния от плотных слоёв атмосферы H1 max и максимального удель ного теплового потока q max в критической точке аппарата) по ите рациям N и улучшения программ управления. Кроме того, на ри сунке отмечено допустимое значение функционалов-ограничений H1доп и qTдоп.

Как и на рис. 4.8, на рис. 4.12 показаны осреднённые зависимо сти, отражающие общие тенденции изменения функционалов, в то время как истинные значения функционалов располагаются с обеих сторон в непосредственной близости от изображённых кривых.

H,, qT 10, км ;

кДж гр, H м2с a, aopt, qТдоп гр 2 H qT 1доп 1 opt 0 t,c 0 400 Рис. 4.13. Программы управления и изменение высоты, широты, угла пути и удельного теплового потока по времени На рис. 4.13 показаны результаты решения задачи оптималь ные программы изменения углов атаки и крена, а также зависимо сти от времени высоты, широты, угла пути и удельного теплового потока, отмечены допустимые значения высоты полёта после пер вого отражения от плотных слоёв атмосферы и удельного теплово го потока в критической точке аппарата. Из рисунка видно, что по лученные оптимальные программы управления обеспечивают вы полнение заданных ограничений на высоту полёта и удельный теп ловой поток. Одновременное выполнение поставленных в задаче ограничений позволило сформировать достаточно пологую траек Глава 4.Траектории спуска в атмосфере _ торию спуска без значительных отражений от плотных слоёв атмо сферы.

Задача. Найти программы изменения угла атаки и угла крена аэрокосмического аппарата, обеспечивающие при снижении в ат мосфере достижение максимальной боковой дальности спуска при наличии ограничений на управление и на значения перегрузки, ско ростного напора, удельного теплового потока и высоты полёта по сле первого отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы, то есть найти { (t ), a (t )} = arg max[ (T )], a при условиях min max, max, a a max, &a &a max, && n y max n yдоп 0, q max q доп 0, qT max qTдоп 0, H1 max H1доп 0.

На значения управляющих зависимостей и параметров траек тории наложены следующие ограничения. Угол атаки мог прини мать значения от min = 100 до max = 400, скорость его изменения на всех участках траектории ограничивалась сверху значением max = 1 гр/с. Угол крена по абсолютной величине ограничивался & значением a max = 700, а скорость его изменения & a max =10 гр/с.

Допустимое значение нормальной перегрузки n yдоп принима лось равным 4,0, скоростного напора q доп равным 20 кН/м2, удельного теплового потока qTдоп равным 2400 кДж/(м2с), а вы соты полёта H1доп после первого отражения аппарата от плотных слоёв атмосферы равным 50 км.

Все перечисленные ограничения на режимы движения являют ся функционалами, дифференцируемыми по Гато, вида (2.6). Огра ничения на удельный тепловой поток в критической точке аппарата и на высоту после первого отражения от плотных слоёв атмосферы были рассмотрены в предыдущих задачах. Учёт ограничения на ве личину скоростного напора принципиально не отличается от учёта ограничения на удельный тепловой поток.

Лазарев Ю.Н. «Управление траекториями аэрокосмических аппаратов»



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.