авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Геометрические методы в классической теории поля М. Г. Иванов 24 января 2004 г. Содержание ...»

-- [ Страница 2 ] --

Пусть тензор напряжённости электромагнитного поля задаётся как F = µ sin d d. (19) Это соответствует магнитному заряду µ в точке r = 0. Тогда магнитный поток через поверхность S, задаваемую условиями t = const, r = const задаётся интегралом m = F.

S На поверхности S мы можем ввести координаты,, в которых ограничение F на S по-прежнему задаётся формулой (19), так что m = µ sin d d = sin d d µ = 4µ.

0 S Мы могли бы применить Теорему Стокса, но введённые координаты t, r,, имеют особенность при r = 0, а при r = 0 dF = 0. Перейдём поэтому к координатам t, x = r sin cos, y = r sin sin, z = r cos в которых ds2 = dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2.

Можно вычислить, что в этих координатах dF = 4µ(x)(y)(z) dx dy dz.

Поскольку dF = 0, не существует потенциала A, такого, что F = dA. Однако по тенциал можно ввести, если провести разрез от магнитного заряда до бесконечности.

Отсутствие магнитных зарядов оказывается, таким образом, связано с существовани ем глобального (т.е. заданного на всей области) потенциала.

Мы можем рассматривать поле F только в области вне магнитных зарядов. Для пространства Минковского из dF = 0 следует, что существует потенциал A, такой, что F = dA, но после выкидывания из области определения поля F мировых линий маг нитных зарядов потенциал оказывается определён только локально для областей, через которые не проходят выкинутые мировые линии. Таким образом, магнитные заряды оказываются связанными с топологией области определения поля F.

14 Поверхности (О:;

Зам.:) Опр.44: q-мерная поверхность U M может задаваться как образ (или замыкание образа) гладкого отображения f : U0 M, т.е. U = f (U0 ), где U0 некоторое q f M m мерное многообразие, причём ранг матрицы m, где, m = 1,..., q координаты на U0, равен q.

Такой способ задания поверхности называется явным.

При явном описании поверхности U существует произвол в выборе координат на U0, т.е. описание включает q произвольных скалярных функций m : U0 R.

Дифференциальные операторы i = i представляют собой касательные векторы к поверхности и образуют базис в касательном пространстве. Их внешние произведения представляют собой касательные поливекторы ··· i.

i k Эти поливекторы заданы на U0, но операция f позволяет перенести их на U M.

Роль касательного вектора для кривой выполняет касательный поливектор степени q. Такой поливектор определяется почти однозначно с точностью до скалярного множителя. Этот множитель можно было бы фиксировать, если бы на поверхности был задан поливектор максимальной степени.

Альтернативный способ описания поверхностей неявный.

Опр.45: Ориентированная поверхность без границы описывается системой урав нений = c, где = (1,..., nq ), c = (c1,..., cnq ) наборы скалярных функций и констант, причём ранг матрицы X M равен n q в точках p U. Т.е.

U = {p M| (p) = c, = 1,..., n q}. (20) Опр.46: Ориентация поверхности определяется следующим условием: в каждой точке p U базисные формы d m на поверхности U вместе с градиентами d, = 1,..., n q должны образовывать правый базис в кокасательном пространстве.

Опр.47: Ориентируемая поверхность с границей вырезается из ориентируемой поверхности без границы условием 0 c0, где 0 ещё одна гладкая скалярная функция, причём ранг матрицы X M, где = 0,..., n q равен n q + 1 в точках границы p U. Т.е.

U = {p M| (p) = c, = 1,..., n q;

0 c0 }. (21) Опр.48: Граница (U) определяется условием (20), взятым для значения q на меньше. Последняя скалярная функция и соответствующая константа определяются как nq+1 = 0, cnq+1 = c0 (22) (нумерация и знак определяются соответствием с общепринятыми соглашениями для ориентации поверхности и границы).

Замечание 13: Легко видеть, что граница границы (U) пустое множество.

Т.е. 2 = 0 (здесь операция взятия границы).

Опр.49: Если U =, то поверхность U цикл.

Замечание 14: Всякая граница является циклом. Обратное верно не для всех про странств.

Пример 19. В пространстве Rn всякий цикл является границей.

Пример 20. В пространстве R3 \{0} (трёхмерное пространство с выколотой точ кой) всякая замкнутая двумерная поверхность является циклом. При этом она являет ся границей тогда, и только тогда, когда не охватывает выколотую точку. Замкнутая поверхность охватывающая выколотую точку является циклом, но не границей.

15 Дифференциальные формы и поверхности (О:;

У:) Итак, мы можем интегрировать дифференциальную форму A степени q по q мерной поверхности U A.

U Операция интегрирования линейна по форме, т.е.

A + B = A+ B, U U U где A и B q-формы, а и вещественные числа.

Мы можем определить также сложение q-мерных поверхностей и умножение их на вещественное число так, чтобы операция интегрирования стала линейна и по поверх ности A = A + A, U V U+V где U и V q-мерные поверхности, а и вещественные числа.

Таким образом, мы можем рассматривать q-мерные поверхности как линейные функционалы на пространстве q-форм, т.е. q-мерные поверхности можно рассматри вать как объекты пространства дуального к пространству q-форм. Опр.50: Пространство X дуальное к линейному пространству X это простран ство линейных функционалов, ставящих в соответствие объектам из X вещественные числа. Действие объекта X на x X записывается как, x R.

, x + z =, x +, z, Вообще говоря, следовало бы обращать внимание на области определения и потребовать, на пример, компактности поверхностей, чтобы интеграл был определён для любой q-формы по любой q-мерной поверхности, или компактности носителя q-формы.

где X, x, z X,, R. Пространство X имеет естественную структуру линей ного пространства:

+, x =, x +, x, где, X, x X,, R.

Утверждение 7: Итак, мы выяснили, что q-мерные поверхности (по крайней мере компактные) можно рассматривать как элементы пространства дуального к простран ству q-форм:

U, A = A.

U Утверждение 8: Однако, есть и другой естественный способ задания линейных функционалов на q-формах:

u, A = u A, M здесь A q-форма, u (n q)-форма, а интегрирование ведётся по всему n-мерному многообразию M. Таким образом, поверхности размерности n q (т.е. коразмерности q) оказываются во многом аналогичны формам степени q. Эту аналогию можно провести и дальше.

Мы можем действовать на дифференциальные формы операцией взятия внешней производной d, которая повышает степень формы на 1, причём d2 = 0, т.е. ddA = для любой формы A.

Мы можем действовать на поверхности операцией взятия границы, которая уменьшает размерность поверхности на 1 (т.е. увеличивает коразмерность на 1), при чём 2 = 0, т.е. U = 0 для любой поверхности U.

По образу и подобию границы и цикла введём ещё два определения.

Опр.51,52:

• Знаем: U граница поверхности U, • Вводим: dA кограница формы A, • Знаем: если U = 0, то U цикл, • Вводим: если dA = 0, то A коцикл.

Можно показать, что дифференциальную q-форму можно рассматривать как непрерывное распределение поверхностей коразмерности q, а поверхности можно рас сматривать как сингулярные дифференциальные формы специального вида.

Пусть U = {x|f (x) = 0, = 1,..., q;

f0 (x) 0} некоторая поверхность. Её граница задаётся как U = {x|f (x) = 0, = 0,..., q}.

Здесь снова надо следить за областями определения, например можно потребовать, чтобы мно гообразие M было компактно, или чтобы q-формы (или (n q)-формы) имели компактный носитель.

Как и обычно, суживая пространство X мы получаем возможность расширить дуальное пространство X.

Построим дифференциальную форму соответствующую поверхности U. В качестве промежуточного шага рассмотрим форму u(0) = df1 · · · dfq. Форма u(0) описывает семейство поверхностей f = const, = 1,..., q. u(0) можно назвать нормалью к этому семейству поверхностей (метрики у нас по прежнему нет!), поскольку для каждого вектора v k касательного к одной из поверхностей этого семейства, т.е. для которого v k k f = 0, = 1,..., q (23) выполняется равенство v k1 u(0)k1...kq = 0. (24) Уравнение (24) удобнее, чем (23) тем, что форма u(0) (и соответствующее ей семей ство поверхностей) могут быть описаны аналогичным образом с помощью функций отличных от f.

Форму u(0) следует определённым образом модифицировать. u = (f0 ) d(f1 ) · · · d(fq ) = (f0 )(f1 )... (fq ) df1 · · · dfq = (f0 )(f1 )... (fq ) u0.

Утверждение 9: Форма u соответствует поверхности U, а форма (1)q+1 du (знак учитывает ориентацию границы) соответствует границе U du = d(f0 ) d(f1 )· · · d(fq ) = (f0 )(f1 )... (fq ) df0 · · · dfq = (f0 )(f1 )... (fq ) df0 u0.

Покажем, как теорема Стокса для формы произвольной степени q может быть выведена из теоремы Стокса для формы степени q 1 (здесь u q-форма, а A (n q 1)-форма) (1)q [d(u A) du A] = (1)q d(u A) + (1)q+ dA = u dA = du A U M M M M К первому интегралу применим теорему Стокса dA = (1)q d(u A) + (1)q+1 du A U M M Мы предполагаем, что M = 0, либо, что u A обращается на M в нуль вместе с первыми производными, отсюда следует, что первый интеграл обращается в нуль.

Вспоминая ещё раз теорему Стокса получаем dA = (1)q+1 du A = A U M U Напомним, некоторые свойства -функции Хевисайда и -функции Дирака (обе эти функции следует понимать как обобщённые функции из некоторого пространства, например S (R)) 1, x 0, x = (x) =, (x) =, 0, x 0 0, x = + (x)f (x) = f (0), f S(R) d(x) = (x).

dx Поскольку U соответствует (1)q+1 du, где q степень формы u (т.е. коразмерность U) теорема доказана.

Теорема Стокса для интегрирования по поверхности U свелась к теореме Сток са для интегрирования по всему пространству M и правилу Лейбница для внешней производной.

16 Свёртка дифференциальных форм и поливекто ров Если заданы дифференциальная форма A и поливектор B с компонентами AM1...Mq и B N1...Np, то можно ввести тензоры следующего вида (k) (A, B)Mk+1...Mq Nk+1...Np = A K1...Kk Nk+1...Np K1...Kk Mk+1...Mq B, (25) (k) (A, B)M1...Mqk N1...Npk = AM1...Mqk B N1...Npk K1...Kk. (26) K1...Kk Индекс (k) указывает число индексов, по которым производилась свёртка. Очевидно k min(q, p). В случаях, когда это не может привести к неоднозначности в прочте нии формул, (k) будет опускаться. Две определённые выше скобки различаются лишь знаком (и то не всегда).

Определяемый тензор не является дифференциальной формой или поливектором при произвольных q, p и k (т.е. тензор не будет антисимметричен по всем индексам), но если k = q, то (A, B)(q) будет поливектором, а если k = p, то (A, B)(p) будет диффе ренциальной формой.

17 Дифференциальные формы и поливекторы в при сутствии формы объёма (О:) Опр.53: Определим форму объёма как M1...Mn = f (X) M1...Mn, (27) = f (X) dX 1 · · · dX n.

Здесь M1...Mn полностью антисимметричный символ, 1...n = +1. f : M R неотрицательный скаляр.

Опр.54: Даже в отсутствие метрики, если f (X) 0, мы можем определить кон травариантные компоненты формы объёма M1...Mn = f 1 (X) M1...Mn. (28) = 1 · · · n. (29) f (X) Здесь антисимметричный символ M1...Mn совпадает с M1...Mn.

Введённый здесь поливектор несёт акцент для того, чтобы в присутствии метри ки отличаться от поливектора, полученного из формы объёма поднятием индексов с помощью метрики. и могут отличаться знаком ( = ).

Здесь и далее = sgn det(gM N ).

Легко убедиться, что (, )(n) = 1, (n1) (, )M N = M, N..., (nk) N1...Nk [N N] (, )M1...Mk = k!M11... Mk. (30) k Опр.55: Используя форму и поливектор можно ввести операцию, превра щающую поливектор B степени p в дифференциальную форму B степени n p, и обратную операцию 1, превращающую форму A степени q в поливектор 1 A сте пени n q:

B = (, B)(p), (31) 1 A = (A, )(q). (32) Таким образом f (X) m1...mp (B)mp+1...mn = B m1...mn.

p!

Легко увидеть, что если какая-то компонента поливектора B степени p нумеруется ин дексами m1,..., mp, то после операции ходжевской дуальности ей соответствует ком понента (n p)-формы B, которая нумеруется индексами lp+1,..., ln, причём m = l, = 1,..., p, = p+1,..., n. Отсюда следует, что устанавливает взаимнооднозначное соответствие между p-поливекторами и (n p)-формами.

Используя формулы (30) легко видеть, что 1 B = B, 1 A = A.

Таким образом, установлено взаимно-однозначное соответствие между дифферен циальными формами степени q и поливекторами степени n q.

Опр.56: Заданный на дифференциальных формах оператор внешнего дифферен цирования d, повышающий степень формы на 1, позволяет ввести на поливекторах оператор взятия дивергенции, понижающий степень поливектора на 1:

= 1 d.

(A)M1...Mq1 = M f (X)AM1...Mq. (33) f (X) q Опр.57: Наряду с операторами и 1 введеём ещё пару операторов и 1, отличающихся от них знаками B = (, B)(p), (34) 1 A = (A, )(q).

(35) Запишем также следующую полезную формулу для формы A и поливектора B одинаковой степени (A, B) = A (B) = (B) A = (B, 1 A) = (B, 1 A).

(36) 18 Дифференциальные формы в присутствии метри ки (О:;

З:) Как уже отмечалось ранее, единственная компонента формы максимальной степе ни (n-формы, где n размерность многообразия) преобразуется как элемент объёма, поскольку корень из определителя метрики преобразуется как раз таким образом, мы можем ввести форму объёма по имеющейся метрике. Далее мы используем обозначе ние g = det(gmk ).

Опр.58: Форма = |g| dX 1 · · · dX n = |g| dn X называется элементом объма или формой объма порожднной метрикой gmk.

е е е Задача 17: показать, что Опр.58 определяет тензор.

В компонентной записи m1...mn = |g| m1...mn.

Если поднять все индексы (а теперь мы можем это сделать, раз у нас есть метрика), то получится |g| m1...mn sgn(g) m1...mn m1...mn = =.

g |g| Покажем, что действительно является тензором. При замене координат метрика преобразуется как X m X k gm k = gmk.

X m X k Возьмём определитель от этого равенства DX g= g.

DX Мы видим, что |g| преобразуется как элемент объёма, что и требуется для того, чтобы объект был тензором.

Чтобы проверить, что определённая выше форма объёма соответствует нашему обычному представлению об объёме диагонализуем метрику в какой-либо точке, тогда в этой точке базисные вектора X k будет иметь длину |gkk |, а натянутый на них элемент объёма равен | n gkk | = | det(gmk )|.

k= Поскольку у нас появилась метрика мы можем не различать формы и поливекторы.

Мы можем теперь установить естественное взаимнооднозначное соответствие между q-формами и (n q)-формами с помощью операции.

С помощью операции (·, ·)(·) естественно определяется теперь норма дифференци альной q-формы A.

Опр.59: Норма A дифференциальной q-формы A это скаляр определяемый равенством A 2 = (A, A)(q).

R Замечание 15: Иногда нормой формы A называют число A A 2.

A = R M Норма заданная Опр.59 относится к значению формы в точке, тогда как норма A R описывает форму в целом, как поле.

Теперь = 1, 1 =.

(37) Для дуальной q-формы мы можем записать следующие полезные тождества A 2 = A 2, (38) (A, A)M N = A 2 gM N (A, A)M N, (39) A = (1)q(Dq) A. (40) В присутствие метрики оператор дивергенции = 1 d выражается через опера тор ковариантной производной (см. последующие лекции), определённый с помощью согласованной с метрикой симметричной связности (см. последующие лекции):

(A)M1...Mq1 = (, A)(1) M1...Mq1 = M1...Mq |g|AM1...Mq, Mq A = Mq (41) |g| Лапласиан 2 от q-формы A определятся формулой 2A = (1)q (d d)A. (42) Для 0-формы (скаляра) лапласиан оператор Бельтрами-Лапласа M |g| g M N N.

2 = = M (43) M |g| Для скаляра 2 = M M. Если q 0, то для произвольной метрики в 2 появляются дополнительные члены линейные по кривизне. Так в случае q = M AK RK M AM, (2A)K = (44) M где RK M тензор Риччи (см. последующие лекции), построенный по симметричной связности, согласованной с метрикой.

Задача 18: Вычислить 2.

Задача 19: Вычислить R для единичной сферы.

Задача 20: Показать, что для любой q-формы A на n-мерном многообразии M с метрикой gmk выполняется соотношение (40).

Иногда операцию d (внешнюю производную) называют градиентом дифференци альных форм, а операцию дивергенцией.

Для 1-формы операция задаёт обычную дивергенцию (раз у нас есть метрика, мы можем не различать векторы и 1-формы). Правда мы пока не можем проверить, что это действительно обычная дивергенция, поскольку понятие ковариантной произ водной ещё не было введено.

Пример 21. Рассмотрим 3-мерное евклидово пространство. До тех пор, пока мы работаем в декартовых координатах (т.е. пока метрика имеет вид gmk = mk, m, k = 1, 2, 3) верхние и нижние индексы можно не различать. Пусть H = (H1, H2, H3 ) вектор, тогда 0 H3 H (H)mn = H3 H1.

H2 H1 Как обычно, первый индекс нумерует строки, а второй столбцы. Легко проверить, что H = H.

Пример 22. При переходе от 3-мерного пространства к 4-мерному пространству времени 3-мерные вектора могут превращаться в пространственную часть 4-мерных векторов, но это не единственный способ. Можно сперва превратить 3-мерный вектор в 3-мерную 2-форму (представляемую антисимметричной матрицей), а потом допол нить 3-мерную 2-форму до 4-мерной 2-формы добавив 3 дополнительные компоненты (строка и столбец с номером 0). Эти дополнительные компоненты образуют ещё один 3-мерный вектор E = (E1, E2, E3 ).

0 E1 E2 E E1 H3 H Fij =.

E2 H3 H E3 H2 H1 Именно так при переходе от 3-мерной геометрии к 4-мерной два 3-мерных вектора электрического и магнитного полей объединяются в 2-форму электромагнитного поля F (не все знаки в этих заметках совпадают с общепринятыми, впрочем, иногда су ществует несколько общепринятых выборов знаков). В если метрика задана как gmk = mk = ±diag(1, +1, +1, +1), и 0123 = +1, то F записывается как 0 H1 H2 H H1 E3 E (F )ij =.

H2 E3 E H3 E2 E1 Т.е. пара 3-мерных векторов (E, H) превращается в пару (H, E) если повторить опе рацию, то получится пара (E, H), т.е. знак F изменится, как и следовало ожидать поскольку sgn(g)(1)2(42) = 1.

Пример 23. Как упоминалось выше, первая пара уравнений Максвелла (не содер жащая источников) может быть записана в виде dF = 0, с помощью операции мы можем переписать эти уравнения как F = 0. Вторую пару уравнений Максвелла (содержащую токи и заряды) можно записать как F = 4j или как d F = 4 j, где j 4-мерный вектор плотности тока (временная компонента j плотность заряда, а пространственные компоненты образуют 3-мерный вектор плотности тока).

Пример 24. Действие для точечной частицы интервал вдоль мировой линии умноженный на m, т.е.

dxm dxk Sm = m gmk dl, dl dl где интеграл берётся по произвольному монотонному параметру l вдоль мировой ли нии. Движение частицы задаётся функциями xm (l). Знак минус под корнем предпо лагает сигнатуру (, +, +, +). Метрика gmk входящая в действие может не быть мет рикой Минковского, т.е. формула применима и в искривлённом пространстве-времени (или в криволинейных координатах). Мы можем описать движение непрерывного рас пределения частиц, движущихся по непересекающимся мировым линиям (пыль) с помощью другого действия |g| d4 X df 1 df 2 df 3.

S= Здесь мировые линии пылинок задаются уравнениями f = const, = 1, 2, 3, а плот ность пыли в сопутствующей системе координат задаётся как df 1 df 2 df 3. 4-мерная плотность тока пыли задаётся как (df 1 df 2 df 3 ). С помощью последнего действия можно описать и одну частицу, если описать её мировую линию так, как мы описывали ранее поверхность U с помощью формы u.

19 Дифференциальные формы в присутствии метри ки (окончание) (З:) Пусть A и B две q-формы, тогда величина (A, B)(q) = Am...m B m1...mq q! 1 q является скаляром, который было бы естественно назвать скалярным произведением q-форм A и B.

Существует полезное тождество A B = (A, B)(q) = (A, B)(q), (45) которое позволяет упростить вид некоторых интегралов (A, B)(q) = A B.

Подобная запись будет полезна при рассмотрении действия для электромагнитного поля.

Задача 21: Доказать формулу (45). (Форма A B имеет максимальную степень, а значит пропорциональна, чтобы найти коэффициент пропорциональности мож но вычислить (A B) и воспользоваться результатом вычисления в одной из предыдущих задач).

20 Действие в теоретической механике и в теории по ля () Мы можем рассматривать различные дифференциальные уравнения в качестве уравнений движения системы, но далеко не всякое уравнение будет физически осмыс ленно. К счастью мы можем описывать физические системы с помощью действия из которого потом можно извлечь стандартными методами физически осмысленные уравнения движения, сохраняющиеся величины и токи, включая энергию и импульс.

По этой причине, даже если мы уже знаем уравнения движения, для их исследования бывает полезно найти соответствующее действие.

20.1 Принцип экстремального действия и квантовая механика В теоретической механике действие представляет собой интеграл по времени от лагранжиана, который является функцией от обобщённых координат и скоростей (про изводных от координат по времени).

t S[x(t)] = L(x, x, t) dt.

(46) t Действие представляет собой функционал от траектории системы в конфигурацион ном пространстве. Это означает, что действие ставит в соответствие каждой траек тории в конфигурационном пространстве (т.е. всякому x(t)) некоторое вещественное число S[x(t)]. Т.е. функционал это просто функция на пространстве функций.

Как известно из квантовой механики, амплитуда вероятности той или иной траек i тории x(t) может быть представлена как e S[x(t)]. Чтобы посчитать полную амплитуду вероятности того, что система, находившаяся в момент времени t0 в точке конфигура ционного пространства x0 = x(t0 ) окажется в момент времени t1 в точке конфигураци онного пространства x1 = x(t1 ) надо просуммировать амплитуды вероятности вдоль всех траекторий с граничными условиями x(t0 ) = x0, x(t1 ) = x1, а поскольку таких траекторий бесконечно много, то пишут не сумму, а функциональный интеграл i S[x(t)] A(x0, t0 ;

x1, t1 ) = e Dx(t).

x(t0 )=x0, x(t1 )=x Функциональный интеграл это интеграл в пространстве функций, однако со строгим определением функционального интеграла существуют проблемы. К счастью переход к классической теории не требует этого определения.

Для иллюстрации рассмотрим обычный интеграл i f (x) dn x, A= e U где f (x) обычная вещественная функция, характерные значения которой много больше. Такие интегралы вычисляются приближённо по методу перевала: функция f f (x) разлагается в ряд по x x0, где x0 стационарная точка xi = 0.

x=x В классическом пределе действие S[x(t)] много больше постоянной Планка, и подынтегральное выражение при деформации траектории быстро осциллирует вез де, кроме окрестностей стационарных точек в пространстве функций x(t). Поэтому главный вклад в амплитуду вносят как раз эти стационарные траектории в их окрестностях происходит усиливающая интерференция соседних траекторий, а вне ослабляющая.

20.2 Действие в механике (О:;

У:) f Аналогично обычной производной xi мы можем определить функциональную про S изводную x(t). Обратите внимание, что пространство функций бесконечномерно, поэтому если f обычная частная производная xi имела n компонент, нумеруемых разными значе S ниями i, то функциональная производная x(t) имеет бесконечное число компонент, S Обычно принято писать x(t), но буква у нас уже занята под операцию 1 d, которая тоже потребуется нам при рассмотрении действия для электромагнитного поля.

нумеруемых разными значениями t. Это наглядно видно на формулах для дифферен циалов n f df = dxi xi i= в конечномерном случае, и t S S = dt x(t) x(t) t t n в бесконечномерном случае. Т.е. переходит в dt.

i= t Используемые граничные условия подразумевают, что вариация координат x(t) обращается в нуль на границах области интегрирования (в точках t0 и t1 ).

Приведём теперь точное определение вариационной производной и вариации дей ствия.

t Опр.60: Пусть функционал S[x(t)] = L(x, x) dt действие, а гладкая (непрерыв t но дифференцируемая) функция x(t) удовлетворяет граничным условиям x(t0 ) = x(t1 ) = 0, тогда выражение dS[x(t) + x(t)] S[x(t)] = d = называется вариацией действия.

На практике можно считать, что S[x + x(t)] = S[x(t)] + S[x(t)] + O((x(t))2 ).

Опр.61: Пусть вариация действия записывается в следующем виде t S S[x(t)] = dt x (t), x (t) t S S где x (t) некоторое выражение не зависящее от x (t), тогда выражение x (t) называется вариационной производной от S по x. Здесь индекс нумерует обобщённые координаты. По повторяющемуся индексу подразумевается суммирование.

Принцип экстремального действия: Если S[x(t)] действие, то урав S нения движения задаются как x (t) = 0.

Утверждение 10:

S L d L =.

x (t) x dt x Легко видеть, что число уравнений движения, получаемых при вариации действия равно числу компонент у x.

Отметим, что если скорости не входят в лагранжиан, то x (t) = L(x), т.е. уравне S x ния движения превращаются из дифференциальных в алгебраические, а это значит, что такое действие не может описывать динамику.

20.3 Гармонический осциллятор Рассмотрим действие, описывающее гармонический осциллятор под влиянием внешней силы f (t):

t 1 mx2 m 2 x2 + f (t)x S[x(t)] = dt.

2 t t mx x m 2 x x + f (t) x dt.

S[x(t)] = t Первый член следует проинтегрировать по частям:

t t m m 2 x + f (t) x dt.

S[x(t)] = mx x + x t t Если положить x(t0 ) = x(t1 ) = 0, то граничный член обнуляется.

Таким образом, S = m m 2 x + f (t).

x x(t) Импульс находим как производную от лагранжиана по скорости L p= = mx.

x Энергия задаётся как L 1 L = mx2 + m 2 x2 f (t)x.

E=x x 2 20.4 Действие в теории поля В теории поля мы имеем дело с системами с бесконечным числом степеней свободы, которые задаются с помощью полей. В такой теории лагранжиан задаётся формулой L = dn1 x L(,, x, t), где x совокупность пространственных координат (чис ло которых предполагается равным n 1), а совокупность полей. В плотность лагранжиана L входят значения полей в данной точке в данный момент времени и их производные по пространственным координатам и по времени. Действие для такого лагранжиана приобретает вид t1 t dn1 x L(,, x, t) = dn x L(,, x).

S[(x, t)] = dtL = dt t0 t0 V U Здесь x = (x, t) совокупность пространственных и временных координат, а U = [t0, t1 ] V область пространства-времени по которой идёт интегрирование.

Если действие релятивистки инвариантно, то потребовав, чтобы в действие входили производные по времени не выше первого порядка, мы тем самым требуем, чтобы все производные по координатам, входящие в действие, были не выше первого порядка.

Записав действие через плотность лагранжиана L, мы получаем формулу dn x L(,, x), S[(x)] = U которая во многом аналогична формуле (46), при этом можно проследить следующие аналогии:

• время t совокупность всех пространственных и временных координат x, • области интегрирования: [t0, t1 ] U, • границы областей интегрирования: {t0, t1 } (точки t0 и t1 идут с противоположной ориентацией) граница U, • лагранжиан L плотность лагранжиана L, • обобщённые координаты x поля, • скорости x производные от полей по координатам m.

• энергия x L L L тензор5 энергии-импульса m k m L, k x S L d L S L m L, • функциональная производная: = = x(t) x dt x (t) m • внешняя сила f (t) источник поля j(x), dt f (t)x • член в действии, соответствующий внешнему влиянию:

dn x j (x).

20.5 Общекоординатные преобразования Если мы рассматриваем пространственные и временные координаты как координа ты на многообразии, то интегрирование по области пространства времени естественно проводить используя форму объёма, т.е.

dn xL(,, x) = dn x S[(x)] = |g|L(,, x).

U U Поскольку область интегрирования U произвольна, величина L(,, x) = L(,, x)/ |g| должна быть скаляром. Чтобы образовать скаляр L нам, как правило, понадобится использовать метрику (хотя она и не была указана в числе аргументов).

Чем является (т.е. как преобразуется при замене переменных) вариационная про изводная S Величина определённая таким образом не является тензором относительно общекоординатных преобразований.

зависит от того как преобразуются поля. Величина 1 S |g| должна быть скаляром.

Поэтому, если скаляр, то 1 S |g| тоже скаляр, а если компоненты при каких-то представляют собой компонен S ты дифференциальной формы степени q, то компоненты представляют собой |g| соответствующие компоненты поливектора степени q.

Упомянутый выше тензор энергии-импульса делённый на |g| 1 L T km = m k m L k |g| будет настоящим тензором, если все поля скаляры.

Как и всякий сохраняющийся ток тензор энергии-импульса определён неоднознач но (вспомним электромагнитное поле).

Заметим, что сохранение энергии-импульса записывается следующим образом |g|T k m ) = 0.

k ( Это уравнение не является тензорным (в этом мы ещё убедимся). Дивергенция до сих пор была определена нами лишь для полностью антисимметричных тензоров.

Для определения тензорного закона сохранения энергии-импульса нам понадобит ся ковариантная производная, но определённый с её помощью закон сохранения окажется не вполне настоящим т.к. энергия и импульс могут передаваться от материи пространству-времени.

При изучении общей теории относительности мы встретимся с другим определени ем тензора энергии-импульса и обсудим проблему энергии-импульса в ОТО подробнее.

20.6 Скалярное поле Полевым аналогом гармонического осциллятора является массивное скалярное по ле, которое описывается действием 1 dn x ()2 m2 2 + j(x).

S[] = |g| 2 U Здесь ()2 = g mk m k. Знак минус перед первым членом связан с тем, что подра зумевается метрика с сигнатурой (, +, +, +). Это означает, что метрика Минковского берётся в виде diag(1, +1, +1, +1), т.е. времениподоб ные направления задаются векторами с отрицательными квадратами, а пространственноподобные направления с положительным квадратом. В такой сигнатуре квадрат четырёхмерного импульса связан с массой соотношением p2 = m2.

Данное действие не зависит от системы координат, поскольку выражение в скобках скаляр, а dn x |g| форма объёма.

dn x |g| m m m2 + j(x).

S[] = U Первый член следует проинтегрировать по частям. Сначала расписываем его исполь зуя правило Лейбница dn xm ( |g| m )+ dn x |g| m ) m2 + j(x).

S[] = |g| m ( |g| U U К первому члену применяем теорему Стокса dn x m ( |g| m ) = ( d) = ( d) = d( d) = d.

U U U U U Если положить = 0, то граничный член обнуляется.

U Таким образом, 1 S |g|g mk k m2 + j(x).

= m |g| |g| Поскольку S[] не зависит от системы координат, функциональная производная S является скаляром. Мы видим, что дифференциальный оператор второго порядка |g|g mk k 2= m |g| переводит скаляры в скаляры. В Евклидовом пространстве оператор 2 совпадает с лапласианом, а в пространстве Минковского с оператором Деламбера (волно вым оператором). В искривлённом пространстве оператор 2 называется оператором Бельтрами-Лапласа.

Полученное нами уравнение поля (2 + m2 ) = j(x) совпадает с уравнением Клейна-Гордона, которое является релятивистским обобщением уравнения Шредин гера. Если пространство-время плоское, источник отсутствует (j(x) = 0), а поле i m описывает волну де Бройля = e pm x, то уравнение поля даёт pm pm + m2 = 0, что означает (с учётом используемой сигнатурой), что m масса кванта скалярного поля.

20.7 Электромагнитное поле Электромагнитное поле определяется через четырёхмерный потенциал соотноше нием Fmk = m Ak k Am, а действие записывается как 1 mk d4 x F Fmk j m (x)Am.

S[A] = |g| U Варьировать это действие следует по Am. Однако, прежде чем варьировать действие удобно переписать его в геометрических безкоординатных обозначениях.

Мы рассмотрим даже более общий случай, когда потенциал A является q-формой, а пространство-время n-мерно. Итак, F = dA, 1 + (j, A)(q).

S[A] = dA U (Поскольку выражение в скобках скаляр, звёздочка означает умножение на dn x |g|). Используя формулу (45) мы можем переписать действие в следующем виде S[A] = dA dA + A j.

U S[A] = dA dA A j.

U Множитель в первом слагаемом исчез поскольку оно квадратично и симметрично по A, а значит оба A дают одинаковый вклад.

(1)q S[A] = d(A dA) + A d dA A j.

4 U К первому члену применяем теорему Стокса:

(1)q S[A] = A dA + A d dA j.

4 U U Первый член обнуляется, если положить A = 0.

U (q) (1)q S[A] = A, dA j.

U Таким образом, m1...mq (1)q 1 S = dA j.

|g| Am1...mq Мы получили уравнения Максвелла F = (1)q 4 j.

dF = 0, (47) Из них первое следует из существования потенциала A, такого, что F = dA (реально наоборот из того, что dF = 0, следует существование потенциала), а второе полу чается при варьировании действия.

Как и для электромагнитного поля, для q-формы A допустимы калибровочные преобразования вида A A + df, где f произвольная (q 1)-форма. Чтобы фик q сировать калибровку нужно наложить Cn условий (по числу компонент формы f ).

Поскольку 2 = (1)q (d d) наложив на A калибровочное условие A = 0 калиб q ровка Лоренца (это условие имеет как раз Cn компонент, т.к. A (q 1)-форма), получаем уравнение движения в виде волнового уравнения 2A = 4j.

Заметим, что калибровка Лоренца по-прежнему оставляет некоторый произвол в выборе потенциала A. Так если форма f удовлетворяет условию df = 0, то соответ ствующее калибровочное преобразование не нарушает калибровки Лоренца. Заметим, что мы можем добавлять к f точную форму f f +df1, при этом новая форма f будет описывать то же самое калибровочное преобразование. Это даёт нам дополнительный q2 q произвол в Cn компонент и мы можем его фиксировать наложив как раз Cn усло вий f = 0. Теперь мы можем накладывать на форму f, описывающую остаточную калибровочную симметрию условие 2f = 0.

Напомним, что уравнения (47) описывают обобщение, из которого обычные урав нения Максвелла получаются при q = 1, n = 4.

20.8 Релятивистские мембраны (О:;

З:;

У:) Помимо полей теория может включать частицы, а также протяжённые объекты.

Действие для частицы массы m, которая движется по закону xm = X m (l), где l произвольный параметр, имеет вид l dX m dX m g mk S[X(l)] = m dl.

dl dl l Таким образом, действие для точечной частицы равно длине мировой линии умножен ной на m.

Действие для точечной частицы может быть обобщено на случай релятивисткой (q 1)-мерной мембраны или струны (частица нульмерная мембрана, струна одномерная мембрана), действие для которых равно площади мировой поверхности (мировая поверхность для частицы мировая линия, для струны мировая 2-мерная поверхность) умноженной на T, где T натяжение мембраны. Мировая поверхность задаётся уравнениями xm = X m (), где = ( 1,..., q ) совокупность координат на мировой поверхности мембраны. Координаты нумеруются маленькими буквами из середины греческого алфавита: µ,,....

dq S[X()] = T ||.

V Здесь определитель метрики µ индуцированной на поверхности струны:

X m X n = det(µ ), µ = gmn.

µ Функции X() рассматриваются как поля, заданные на мембране. Чтобы получить уравнения движения следует проварьировать действие по X(). На мембранах могут быть заданы и другие поля.

Варьировать это действие по X(), чтобы получить уравнения движения мы сейчас не будем. Отметим лишь, что если на мембрану не оказывается внешних воздействий, то уравнения движения следуют из сохранения энергии-импульса.

S Задача 22 : Вычислить X m ().

Тензор энергии-импульса задаётся через вариационную производную от действия полей материи по метрике 2 Sматерии T mk =.

|g| gmk (x) Даже если Sматерии задаётся через интеграл по мировой поверхности, при вычислении тензора энергии-импульса его надо переписать как интеграл по мировому объёму введя -функционные множители.

Физический смысл этой формулы мы обсудим позднее, когда будем рассматривать общую теорию относительности.

Отличительной особенность релятивистских мембран является то, что мембрана имеет натяжение равное плотности энергии в продольных (по отношению к мембране) направлениях и нулевое натяжение в поперечных направлениях, т.е.

Tmk = Pmk, (48) где Tmk тензор энергии-импульса, плотность энергии мембраны, а Pmk орто гональный проектор на мировую поверхность мембраны.

Опр.62: Проектор это тензор P m k удовлетворяющий условию P mk P k l = P ml.

Если P m k проектор, то тензор P m k = k P m k также является проектором.

m Задача 23: Проверьте.

Опр.63: Проектор P m k мы будем называть дополнительным к проектору P m k.

Проектор может действовать на вектор v k и проецируя его на некоторое подпро странство размерности dim P = P m m следующим образом (P v)m = P m k v k.

Опр.64: Величина dim P = P m m называется размерностью проектора, это всегда целое неотрицательное число.

Если проектор диагонализовать, то на диагонали будет стоять dim P единиц, а все остальные компоненты будут нулями.

Опр.65: Если проекторы P m k и P m k проецируют векторы на ортогональные под пространства, то они называются ортогональными проекторами.

Утверждение 11: Проектор P ортогонален тогда и только тогда, когда Pmk = Pkm.

Задача 24: Проверьте Утверждение 11.

Плотность мембраны задаётся как пространственная плотность лагранжиана мем браны со знаком минус n (x X()) q = T d ||.

|g| V Здесь n (x X()) n-мерная -функция.

Проектор задаётся следующим образом m X k µ X mk P =, µ µ где µ обратная метрика на поверхности мембраны: µ =.

Задача 25 : Проверить формулу (48).

20.9 Мембранная пыль (З:) Мы видим, что полное действие в теории поля оказывается суммой интегралов по мировому объёму и мировым поверхностям мембран (в том числе частиц и струн) входящих в теорию. Такое представление действия не слишком удобно, поэтому инте ресно переписать интегралы по мировым поверхностям через интегралы по мировому объёму, чтобы все поля описывались единообразно (см. например, выше определение тензора энергии-импульса оно предполагает, что все интегралы берутся по мировому объёму).

Если мировые поверхности мембран не имеют краёв, то они могут быть представ лены как поверхности уровня некоторых nq скалярных функций, = 1,..., nq.

Поэтому можно ожидать, что такой набор из n q скалярных полей можно исполь зовать для описания q-мерной мембраны, а поскольку таким функциям соответствует целое семейство поверхностей уровня, то такое описание будет давать не одну мембра ну, а целое семейство непересекающихся мембран (см. раздел Дифференциальные формы и поверхности).

d1 · · · dnq.

S[(x)] = U Варьируя действие по полям (x) можно получить уравнения движения, которые эквивалентны уравнениям движения для мембраны (см. предыдущий раздел) задан ным на всех поверхностях = const.

Варьируя по метрике можно получить тензор энергии-импульса, который имеет вид (48), при = d1 · · · dnq, (nq1) Pmk = gmk (n, n)mk, где d1 · · · dnq n= d1 · · · dnq единичная нормаль.

Как и раньше P m k ортогональный проектор на мировую поверхность мембраны (т.е. теперь на поверхность = const).

Как и раньше, если поля не подвергаются внешнему воздействию, то уравнения движения следуют из сохранения энергии-импульса.

Задача 26 : Вывести тензор энергии-импульса для данного действия.

S Задача 27 : Вычислить (x).

Если q = 1, то действие описывает непрерывное распределение частиц, движущихся по непересекающимся мировым линиям. Такую систему можно рассматривать как газ без давления. Газ без давления обычно называют пылью. В этом случае Pmk = um uk, где um n-мерная скорость частицы пролетающей через данную точку мирового объ ёма.

При q 1 вместо пылинок мы имеем мембраны, которые друг с другом не взаимо действуют, поэтому такую систему можно назвать мембранной пылью.

21 Кривая экстремальной длины Действие для свободной частицы задаётся как интервал вдоль мировой линии умно женный на массу со знаком l xm xk Sч = m dl gmk.

l l l Впрочем, называть такую частицу свободной не вполне правильно она взаимодей ствует с метрикой, хотя и минимальным образом. То есть это действие задаёт дви жение частицы под действием гравитационного поля в общей теории относительности.

Траектория такой частицы будет геодезической или экстремалью аналогом пря мой в искривлённом пространстве-времени.

Вариация действия даёт уравнение движения следующего вида d 2 xk dxp dxq + k = 0, (49) pq ds2 ds ds где s интервал вдоль мировой линии, а k = g kr (p gqr + q gpr r gpq ).

pq dxk Условие (49) можно трактовать так: вектор скорости uk = параллельно пере ds d носится вдоль мировой линии. Положив ds = uq q получаем d2 xk dxp dxq + k = uq (q uk + k up ) = 0.

pq pq ds2 ds ds Можно проверить, что выражение в скобках тензор, поэтому можно обозначить k = q uk + k up qu pq и назвать q ковариантной производной.

Впрочем, это не единственный способ задания ковариантной производной, хотя именно такая производная понадобится нам в ОТО. Мы видим, что для определения её нужна лишь метрика.

В следующем разделе как раз обсуждаются ковариантные производные вообще.

22 Ковариантная производная 22.1 Определение ковариантной производной Ранее мы ввели операцию взятия градиента (внешней производной) от скалярных полей и дифференциальных форм, а также производную Ли вдоль произвольного век торного поля. Эти операции не требуют введения на многообразии метрики. Однако, внешняя производная применима только к формам. Производная Ли Lv, хотя и приме нима к произвольному тензору T, не может полностью нас удовлетворить, поскольку её значение в точке p зависит не только от значения в этой точки векторного поля v, вдоль которого берётся производная, но и от производных от поля v в точке p. Таким образом, хотя производная Ли может считаться обобщением понятия производной по направлению, мы можем попробовать ввести и другое обобщение, которое будет иметь вид m... l m...

vT k... = v lT k..., где v T производная от тензора T по направлению, задаваемому вектором v с ком понентами v l, а l T производная по направлению, задаваемому базисным вектором.

xl Как мы уже отмечали ранее, для того, чтобы дифференцировать по направлению произвольное тензорное поле необходимо уметь вычитать друг из друга тензоры отно сящиеся к различным (хотя и бесконечноблизким) точкам многообразия, т.е. необхо димо уметь осуществлять параллельный перенос тензора на бесконечномалый вектор xm.

Если приращение компонент вектора v m при параллельном переносе на xm ли нейно по v m и xm мы можем записать v m = m v s xk, sk где m некоторые коэффициенты, зависящие от точки. Коэффициенты m назы sk sk ваются символами Кристоффеля или коэффициентами связности. Они определяют и ковариантную производную от поля v m :

v m (x + x) (v m (x) + v m ) m = l v m + m v s.

lv (x) = (50) sl xl Символы Кристоффеля не образуют тензора, поскольку l v m тензор, а l v m не ms m m тензор, то sl v не тензор, а раз v тензор, то следовательно sl не тензор.

m Правила преобразования sl при замене координат мы рассмотрим в следующем раз деле.

Символы Кристоффеля определяют правила параллельного переноса и ковариант ного дифференцирования и для тензоров других типов, если наложить на ковариант ную производную ряд естественных условий:

• ковариантная производная линейна, • ковариантная производная от скаляра обычная производная, • ковариантная производная вектора задаётся формулой (50), • для ковариантной производной справедливо правило Лейбница m... p... m... p...

+ T m... k... ( p...

l (T k... S q... ) =( lT k... )S lS q... ).

q...

Покажем, как вывести из этих условий правило дифференцирования ковекторов.

По правилу Лейбница имеем:

m m )um + v m ( = (l v m + m v s )um + v m ( l (v um ) = ( lv l um ) l um ).

sl По правилу дифференцирования скаляров имеем m um ) = l (v m um ) = (l v m )um + v m (l um ).

l (v Таким образом, p v m up + v m ( = v m (l um ).

l um ) ml Поскольку мы можем взять любое векторное поле в качестве v m, на v m можно сокра тить, что даёт искомое правило дифференцирования ковекторов = l um p up.

l um ml Теперь используя правило Лейбница для ковариантной производной (и учитывая то, что любой тензор разлагается в сумму членов, являющихся произведением векто ров и ковекторов) получаем общее правило дифференцирования тензоров, согласно которому на каждый верхний индекс приходится член с +, как для вектора, а на каждый нижний с, как для ковектора:

mk...

= l T mk... pq... + m T sk... pq... + k T ms... pq... + · · · s T mk... sq... s T mk... ps.......

lT pq... sl sl pl ql (51) Имея ковариантную производную теперь легко определить параллельный перенос произвольного тензора вдоль некоторой кривой. Тензор постоянен вдоль кривой, если его производная по касательному направлению к кривой равна нулю в каждой точ ке кривой. При параллельном переносе тензор остаётся постоянен вдоль траектории переноса.

Напомним ещё раз, что в общем случае результат параллельного переноса зависит от кривой (вспомните параллельный перенос на сфере). Если нам повезло и результат параллельного переноса не зависит от траектории, то можно ввести систему координат, в которой всюду m = 0.

sl Опр.66: Операция ковариантного дифференцирования (символы Кристоффеля, операция параллельного переноса) задаёт на многообразии структуру, называемую связностью.

22.2 Преобразование символов Кристоффеля и тензор круче ния Выведем теперь закон преобразования символов Кристоффеля.

vm = l v m + ml v s = l s xl xm m = lv = xl xm xl xm = (l v m + m v s ) l = sl x xm xm xs xl xm l v m + m v s = = sl xm xs xl xm xm m xm s l m m x x x m vs = = l v v l + sl m m s xl xm x x x m m x xl xm s x x = l v m v s + m s vs.

l sl xs xm x xl xm Сравнивая первую строчку с последней и принимая во внимание, что векторное поле v можно взять произвольное, а значит на v s можно сократить получаем xs xl xm xm xm ml = m s l = s sl xs xl xm xm x s xl xm xm xm xm xm m x = sl l + l = xs xl xm xs xm xm xs xs xl xm xm 2 xm = m s m l s +.

sl xl xm xm xs xl x Таким образом, символы Кристоффеля преобразуются при замене координат по следующему закону:

xs xl xm xm 2 xm ml = m +. (52) s sl xs xl xm xm xs xl Мы видим, что первый член соответствует тензорному закону преобразования, а вто рой член симметричен по нижним индексам и не зависит от он полностью опре деляется заменой координат.

Поскольку второй член пропорционален второй производной от x по x, коэффи циенты ведут себя как компоненты тензора только при линейных преобразованиях.

Второй член в формуле (52) симметричен по нижним индексам, следовательно, антисимметричная по этим индексам часть ведёт себя как тензор.

Опр.67: Тензор с компонентами T m sl = m m sl ls называется тензором кручения.

Опр.68: Связность с нулевым тензором кручения называется симметричной связ ностью.

Второй член в формуле (52) не зависит от, а значит, Опр.69: если мы зададим на многообразии две разных связности с коэффици ентами m и m, то разность этих коэффициентов m = m m (относительная sl sl sl sl sl связность) будет тензором.

Коэффициентам связностями m и m соответствуют ковариантные производные sl sl и, которые связаны друг с другом очевидным соотношением = l T mk... pq... + m T sk... pq... + k T ms... pq... +· · · s T mk... sq... s T mk... ps......, mk...

lT pq... sl sl pl ql т.е. ковариантная производная расписывается через другую ковариантную произ водную и относительную связность точно также как через частную производную и коэффициенты связности.

23 Геодезические Аналогом прямых на многообразии являются геодезические кривые (или просто геодезические). Для геодезических кривых вектор скорости переносится вдоль кри вой с помощью параллельного переноса. Это определение подразумевает наличие на геодезической некоторой выделенной параметризации. Рассмотрим кривую, заданную уравнением xm = m ( ), где параметр вдоль m кривой. Скоростью мы назовём вектор d.

d m Опр.70: Если вектор d ковариантно постоянен вдоль кривой, то кривая называ d ется геодезической для данной связности.

m Запишем ковариантную производную от вектора d вдоль кривой:

d d k d m d k d m d k m d l d2 m d l d k + m = k + lk =.

k lk d d d d d d d d d Мы получили уравнение геодезической:

d2 m d l d k + m = 0. (53) lk d 2 d d Обратите внимание, что в уравнение входит только симметричная (по нижним индек сам) часть связности.

Уравнение (53) описывает свободное движение частицы в искривлённом пространстве-времени (в роли времени выступает параметр ). Имеет смысл сравнить 2 m это уравнение со вторым законом Ньютона. Величина dd 2 аналогична ускорению (хо тя и не является вектором!) и мы видим, что сила действующая на частицу равна d l d k M m, lk d d где M масса частицы. Таким образом, коэффициенты выступают в роли напря жённости некоторого поля, которое заставляет частицу ускоряться (по отношению к выбранной системе отсчёта). Это поле одинаково ускоряет все частицы, т.е. ведёт себя подобно силам инерции или гравитационному полю, впрочем, как мы увидим ниже, это всё одно и то же.

В классическом пределе, т.е. когда система координат почти декартова, а ско k рость d направлена почти по оси времени, причём t (т.е. d 1, где t = x0, а dt d прочие компоненты близки к нулю) уравнение запишется в следующем виде d + = 0, = 0. (54) dt Точнее семейства параметризаций, связанных друг с другом соотношением l = a + b, где l и естественные параметры, а a и b константы.


Т.е. задаёт ускорение свободного падения.

24 Ковариантная производная и метрика Мы ввели ковариантную производную, параллельный перенос, геодезические, но метрика при этом не использовалась и её существование не предполагалось. Однако, при наличии метрики мы можем потребовать, чтобы ковариантная производная была согласована с метрикой. Мы используем метрику для того, чтобы поднимать и опускать тензорные индексы. Потребуем, чтобы операции опускания и поднимания индексов можно было переставлять с операцией ковариантного дифференцирования.

Для этого надо, чтобы метрику можно было свободно вносить под знак ковариантной производной и выносить из под него, что означает ковариантное постоянство метрики, т.е. l gmk = 0.

Опр.71: Если l gmk = 0, то ковариантная производная и соответствующая связ ность называются согласованными с метрикой или метрическими.

Итак, для согласованной с метрикой связности = l gmk s gsk s gms.

0= l gmk (55) ml kl Обозначим mkl = s gms.

kl Поскольку не тензор, мы оговариваем это опускание индекса особо.

Запишем ещё раз условие (55) выписав его трижды, циклически переставляя ин дексы m k l m l gmk = kml + mkl, m gkl = lkm + klm, k glm = mlk + lmk.

Сложим эти три уравнения со знаками +,, + l gmk + k glm m gkl = 2m(lk) + Tkml + Tlmk.

Отсюда можно выразить симметричную часть связности 1 m(lk) = (l gmk + k glm m gkl ) (Tlmk + Tkml ).

2 Обратите внимание, что в формулу для симметричной части метрической связности входит не только метрика, но и тензор кручения.

Полная связность задаётся как сумма симметричной и антисимметричной частей, т.е. mlk = m(lk) + 1 Tmlk.

1 mlk = (l gmk + k gml m glk ) (Tlmk + Tkml Tmlk ).

2 Нас будет интересовать в первую очередь симметричная метрическая связность:

1 sm s = g (l gmk + k gml m glk ).

lk 25 Тензоры Римана и Риччи (О:;

П:;

Зам.:;

З:;

Т:) Для обычных частных производных вторая производная была симметрична. Для ковариантных производных это не так. Мы можем лишь гарантировать симметрич ность второй производной от скаляра в случае отсутствия кручения.

Чтобы изучить несимметричность второй производной рассмотрим следующий тен зор ( k l l k )v m. (56) Распишем в явном виде вторую производную от v m используя формулу (51) = (k l v m + m k v q + m l v q ) p (p v m + m v q ) + v q (k m + m p ).

m lv k ql qk qp ql pk ql lk Мы сгруппировали члены в этом выражении в три пары скобок. Первая пара скобок симметрична по k и l, а потому не даёт вклада в (56). Выражение во второй паре скобок ковариантная производная от v m, а стоящий перед этими скобками символ даст при антисимметризации тензор кручения, т.е. мы получим в выражении (56) член T p kl p v m, который является тензором. Таким образом, последняя пара скобок также привнесёт в (56) член, являющийся тензором, который мы обозначим как Rm qkl v q.

Поскольку векторное поле v m может быть выбрано произвольным образом, объект Rm qkl также является тензором.

Окончательно получаем m = Rm qkl v q + T p kl m ( k )v pv, k l l где Rm qkl = k m l m + m p m p. (57) ql qk pk ql pl qk Опр.72: Тензор (57) называется тензором Римана или тензором кривизны.

Опр.73: Тензор Rql = Rk qkl называется тензором Риччи.

Опр.74: Скалярной кривизной называется след тензора Риччи: R = g ql Rql.

Опр.75: Тензор Gql = Rql 2 gql R называется тензором Эйнштейна.

Замечание 16: Для того чтобы определить тензоры Римана и Риччи метрика не нужна нужна только связность.

Замечание 17: Нам предстоит очень плотное знакомство с тензором Риччи, по скольку он входит в уравнения Эйнштейна (уравнения поля для гравитационного по ля). При этом тензор Риччи вычисляется по симметричной метрической связности.

Уравнения Эйнштейна для свободного гравитационного поля (т.е. для гравитации в отсутствии материи) пишутся так: Rql = 0.

Замечание 18: Скалярная кривизна понадобится нам, чтобы определить действие для гравитационного поля, которое задаётся как 22 R.

Замечание 19: Тензор Эйнштейна нам тоже понадобится. Уравнения Эйнштейна в присутствии материи пишутся в виде Gql = 2 Tql, где Tql тензор энергии-импульса материи.

Задача 28 : Вычислить тензор Риччи для произвольной диагональной метрики.

Приведём без доказательства следующие полезные теоремы.

Теор.4.

• Rm qkl = Rm qlk всегда, • Rm qkl + Rm klq + Rm lqk = 0 для симметричной связности, • Rmqkl = Rqmkl для связности согласованной с метрикой, • Rmqkl = Rklmq для симметричной связности согласованной с метрикой.

Теор.5. Координаты (возможно локальные) в которых коэффициенты связности обращаются в нуль можно ввести тогда и только тогда, когда тензоры Римана и кру чения обращаются в нуль. Если связность согласована с метрикой, то в такой системе координат компоненты метрики постоянны.

Пусть связность симметрична и согласована с метрикой. Тогда выполняются все четыре пункта Теоремы 4, три из них можно сформулировать следующим образом:

тензор Римана определяется квадратичной формой на дифференциальных 2-формах Rijkl ij kl.

Пример 25. В теории упругости мы имеем две естественные пространственные метрики: 1) обычная метрика физического пространства gmk, 2) метрика связанная с упругой средой gmk. Их полуразность называется тензором конечных деформаций mk = 2 (gmk mk ). Метрика gmk определяется следующим образом: из среды вырезает g ся бесконечномалый кусочек и растягивается так, чтобы тензор натяжения обратился в нуль, расстояния между точками кусочка мерятся именно в таком разгруженном состоянии. Не всякую среду можно разгрузить целиком. Невозможность глобальной разгрузки обычно связывают с наличием дефектов. Глобальная разгрузка возмож на (т.е. дефекты отсутствуют) если тензор Римана, вычисленный по метрике gmk, всюду равен нулю.

Заметим, что отсутствие дефектов скорее исключение, чем правило. Обычно в среде присутствую внутренние напряжения, которые можно было бы устранить только в искривлённом пространстве, геометрия которого задавалась бы метрикой gmk. Если быстро остудить каплю расплавленного металла, то первыми затвердеют наружные слои, а внутренние окажутся сжатыми. Таким образом, объём внутренних областей капли вычисленный с помощью метрики gmk оказывается больше реального физиче ского объёма, вычисляемого со помощью метрики gmk.

26 Тождества Бианки для тензора Римана Продолжим разбор свойств тензора Римана.

Тождества Бианки выполняются для любой связности, но мы рассмотрим их толь ко для симметрической связности m m m qR + kR + lR = 0.

pkl plq pqk (При наличии кручения в тождествах Бианки появляются дополнительные члены.) Заметим, что поскольку тензор Римана антисимметричен по k и l, тождества Би анки можно записать и так [q Rmp kl].

Тождества Бианки легко доказываются в произвольной точке p, если выбрать си стему координат, в которой в данной точке p обращаются в нуль коэффициенты связ ности, т.е. k p = 0, m gkl p = 0, Rm qkl p = (k m l m ) p. В таких координатах в lm ql qk точке p ковариантная производная совпадает с обычной. Чтобы получить тензор Ри мана мы антисимметризуем выражение k m по k и l. После этого мы берём от тензора ql Римана производную q, которая в данной точке совпадает с q, и антисимметризуем получившееся выражение по q, k и l, что с учётом симметричности обычной частной производной даёт нуль, и мы получаем тождества Бианки.

Задача 29: Убедитесь, что предыдущий абзац действительно содержит доказа тельство тождеств Бианки.

Свернув индекс m с индексом k, а индекс p с индексом l получаем из тождеств Бианки следующее тождество k qR 2 k Rq = 0, которое легко переписать в следующем виде Rkm g km R = 0.

k Выражение в скобках тензор Эйнштейна, ковариантная дивергенция которого ока зывается равной нулю. Если бы дивергенция была обычная, то с таким тензором мож но было бы связать плотность потока некоторого сохраняющегося вектора. Таким об разом тензор Эйнштейна описывает некоторые ковариантно-сохраняющиеся величины (сохраняется ли что-либо при этом на самом деле отдельный интересный вопрос, по скольку ковариантная дивергенция, в отличии от обычной содержит дополнительные члены обусловленные связностью).

Как уже упоминалось на прошлой лекции, уравнения Эйнштейна в присутствии материи имеют вид Gkm = 2 T km, где Gkm = Rkm 1 g km R тензор Эйнштейна, = const, а T km тензор энергии-импульса. Мы видим, что из уравнений Эйнштейна следует k T km = 0, т.е. ковариантный закон сохранения энергии-импульса.

27 Действие для гравитационного поля Действие для гравитационного поля (т.е. для поля метрики gmk ) задаётся как инте грал от скалярной кривизны Sгр. = 22 U R.8 Однако, это ещё не полное определение нам надо ещё определить, по каким полям это действие будет варьироваться. Су ществует несколько наборов полей, которые могут выбираться для этой цели давая эквивалентные уравнения движения. Мы рассмотрим два из них.

Выберем в качестве исходных полей метрику gmk и коэффициенты связности k. ml Связность мы будем предполагать симметричной, но не обязательно метрической.

dn x |g| g mk Rmk [].

Sгр.1 [g, ] = U Чтобы вычислить приращение |g| при приращении gmk удобно записать g в виде g = m1...mn k1...kn gm1 k1... gmn kn.

n!

Строгое рассмотрение требует учёта граничного члена, который задаётся интегралом по U, но для наших целей (получение уравнений Эйнштейна из вариационного принципа) граничным членом можно пренебречь.

Тогда m1...mn k1...kn gm1 k1... gmn1 kn1 gmn kn.

g = (n 1)!

Мы видим, что m1...mn k1...kn gm1 k1... gmn1 kn1 = g mn kn g(n 1)!

(в этом легко убедиться подставив данное выражение в тождество g kl glm = m ).


k Таким образом, g = gg mk gmk, откуда следует, что |g|g mk gmk.

|g| = Чтобы вычислить приращение g pq рассмотрим сперва следующее приращение:

p (g pm gmk ). С одной стороны (g pm gmk ) = k = 0, одновременно (g pm gmk ) = gmk g pm + g pm gmk, откуда следует gmk g pm = g pm gmk. Сворачивая в обе части равенства с g qk получаем g pq = g pm g qk gmk.

Таким образом, 1 Sгр.1 [g, ] = 2 Gmk, gmk |g| где Gmk = Rmk 1 g mk R тензор Эйнштейна.

Проварьируем теперь действие Sгр.1 по коэффициентам связности k.

ml Rmk = (p l + l i )(lp k k lq ).

q p mq ip mq Rmk = (p l + l i + l i )(lp k k lq ).

q p mq ip mq ip mq Rmk = (r m p s r + l m )r (lp k k lq ) q p ls l s mp rp sq 1 Sгр.1 |g|] s r g mk + l g sk )(lp k k lq ) q p = 2 (r p g sk r g sk p ln[ l l l mp rp r sq |g| 1 Sгр.1 = 2 g sa g qb (r gab abr + gab [r ln[ |g|] + p ] + rp r |g| sq +gbr [ p gap + a ln[ |g|] + g mp amp ] bra ) Sгр. = 0,9 то Если rsq r gab abr + gab [r ln[ |g|] + p ] + gbr [ p gap + a ln[ |g|] + g mp amp ] bra = rp Свернув по индексам b и r получаем p gap + a ln[ |g|] + g mp amp = 0.

На самом деле следует требовать, чтобы Sполное = 0, а в Sполное помимо гравитации вносят вклад rsq и поля материи. Поэтому, если действие для полей материи содержит коэффициенты связности может Sгр. оказаться, что r = 0, и связность получит добавку выражающуюся через поля материи.

sq Подставив это в предыдущее выражение и свернув его по a и b получаем |g|] + p = 0.

r ln[ rp Таким образом мы имеем r gab abr bra = 0, a gbr bra rab = 0, b gra rab abr = 0.

Вычитая из первого уравнения второе и третье получаем, что уравнения движения для коэффициентов связности дают условие метричности связности k = 2 g kp (m gpl + ml l gpm p gml ).

Другой способ задания действия с самого начала предполагает связность не только симметричной, но и согласованной с метрикой.

dn x |g| g mk Rmk [g] Sгр.2 [g] = U Мы можем записать (аналогично тому, что мы имели бы для частных производных) p (y) Sгр.2 [g] Sгр.1 [g, ] Sгр.1 [g, ] qr dn y = +.

p (y) gmk (x) gmk (x) gmk (x) qr =[g] Поскольку для согласованной с метрикой связности, которая предполагается в дей ствии Sгр.2 выполняется условие Sгр.1 (y) = 0. Поэтому как и для действия Sгр.2 полу [g,] pqr чаем 1 Sгр.2 [g] = 2 Gmk.

|g| gmk 28 Тензор энергии-импульса Полное действие для теории включающей гравитацию и материю имеет вид dn x Sполное = Sгр. + Sм. = |g| R + Lм.. (58) U dn x действие для полей материи. Здесь Sм. = |g| Lм.

U Входящие в действие для полей материи интегралы по мировым линиям и поверхностям мы всегда можем переписать через интегралы по мировому объёму (при этом надо будет исполь зовать -функции). Например действие для точечной частицы массы m имеет вид Sm [X(l)] = m k gmk dXdl (l) dXdl(l) dl. Его можно переписать через интеграл по объёму если принять m dX m (l) dX k (l) n (X(l) x) Lm (x) = m gmk dl.

dl dl |g(x)| Конечно, подобное переписывание поверхностных интегралов через объёмные не слишком удобно, как уже отмечалось ранее, когда мы обсуждали способы борьбы с такими интегралами.

Если взять в качестве Lм. выражение Lэ.м. = 1 F = 4 Fmk Fpq g mp g kq, где F = dA, то мы получим действие для гравитационного и электромагнитного полей.

Lэ.м. зависит метрики, которая используется чтобы поднимать индексы. Если сравни вать Lэ.м. с плотностью лагранжиана электромагнитного поля в пространстве Мин ковского, то единственное различие будет состоять в замене метрики Минковского на метрику gmk.

Опр.76: Если S(0) = dn xL(0) действие для некоторого набора полей в плоском n-мерном пространстве, то действие S = dn x |g|( 22 R + Lм ) называют действием с минимальным взаимодействием полей с гравитацией для того же набора полей, если Lм. получается из L(0) простой заменой плоской метрики на метрику искривлённого пространства-времени, а всех производных на ковариантные.

Заметим, что существуют и другие способы построения полевых теорий в искрив лённом пространстве, которые в пределе плоского пространстве сводятся к заданным.

Вспомним, что в плоском пространстве времени Rmqkl = Rql = R = 0. Если мы вклю чим в действие член пропорциональный любому из этих объектов, то в пределе плос кого пространства этот член обратится в нуль, а в искривлённом пространстве будет описывать некоторое неминимальное взаимодействие гравитации и материи.

dn x |g|(R + Пример 26. Мы можем рассмотреть действие вида S = mk g m k ), которое описывает безмассовое скалярное поле взаимодействующее с гравитацией неминимальным образом. Причём поле задаёт значение гравитаци онной постоянной G = 16, которая в данной модели может меняться от точки к точке.

В случае (58) вариационная производная от полного действия по метрике получает добавку, связанную с действием для полей материи:

1 Sполное 1 1 Sм.

= 2 Gmk +.

|g| gmk 2 |g| gmk Назовём тензором энергии-импульса следующее выражение 2 Sм.

T mk =.

|g| gmk Теперь приравняв нулю ковариантную производную от полного действия по метрике мы получаем обычный вид уравнений Эйнштейна в присутствии материи Gmk = 2 T mk.

29 Запись уравнений Эйнштейна через тензор Риччи Как уже упоминалось ранее, уравнения Эйнштейна имеют вид Rmk g mk R = 2 T mk. (59) Если взять след уравнения (59), т.е. свернуть его с метрикой gmk, то мы получим n R = 2 T q q, (60) mk где n размерность пространства-времени. Умножая уравнение (60) на g и скла n дывая с уравнением (59), получаем запись уравнений Эйнштейна через тензор Риччи Rmk = 2 T mk, (61) где T mk = T mk g mk T q q. (62) n 30 Римановы нормальные координаты и принцип эк вивалентности Для любой точки p (псевдо)риманова пространства, т.е. пространства на котором задана метрика (положительноопределённая для риманова пространства, или знаконе определённая для псевдориманова) можно ввести римановы нормальные координаты.

Опр.77: Пусть v произвольный вектор, заданный в точке p, который имеет m компоненты v в некоторой вспомогательной системе координат. Для любого вектора v можно построить проходящую через точку p геодезическую, такую, что вектор v будет касательным к этой геодезической в точке p. На этой геодезической отметим точку f (v), расстояние от которой до точки p (измеренное вдоль этой геодезической) равно норме вектора v, т.е. gmk v m v k p. В качестве координат точки f (v) можно принять координаты v m вектора v во вспомогательной системе координат. Такие координаты называются римановыми нормальными координатами в точке p.

Римановы нормальные координаты определены в некоторой окрестности точки p (в окрестности достаточно малой, чтобы геодезические не пересекались).

Римановы нормальные координаты обладают очень полезным свойством (Теорема приводится без доказательства):

Теор.6. В римановых нормальных координатах в точке p обращаются в нуль пер вые производные от метрики, т.е. l gmk p = 0.

Утверждение 12: В римановых нормальных координатах в точке p обращаются в нуль коэффициенты симметричной связности согласованной с метрикой, т.е. k p = lm g ls 2 (m gsl + l gsm s gml ) p = 0.

Утверждение 13: В римановых нормальных координатах в точке p ковариантная производная (определённая с помощью симметричной метрической связности) совпа дает с обычной частной производной.

Замечание 20: Утверждения Теоремы 6и двух следующих из ней Утверждений относятся только к одной точке точке p, но точка p произвольная точка, если мы докажем какое-либо геометрическое утверждение для точки p, то оно будет верно всю ду. Под геометрическим утверждениями здесь понимаются утверждения о равенстве тензоров: мы знаем, что если два тензора равны в какой-либо точке в одной системе координат, то они равны в этой точке и в любой другой системе координат.

Пример 27. Ранее мы определяли дифференциальный оператор, который дей ствует на полностью антисимметричные тензоры следующим образом (F )m1...mq = k ( |g|F m1...mq k ), причём было доказано, что F тензор. В римановой нормаль |g| ной системе координат в точке p (F )m1...mq p = k F m1...mq n p. Поскольку в римановой нормальной системе координат частная производная совпадает с коваринатной, мы имеем (F )m1...mq p = k F m1...mq n p. Но мы можем построить риманову нормальную си стему координат для любой точки, а значит для любой точки (F )m1...mq = k F m1...mq n.

Далее подобные рассуждения будут приводиться не столь подробно.

Замечание 21: Поскольку в общем случае s k p = 0, вторые ковариантные про ml изводные, в отличии от первых, превращаются в римановых нормальных координатах в точке p в обыкновенные частные производные только если они действуют на скаляр.

Пример 28. Ранее мы убедились, что дифференциальный оператор 2 = k |g|g km m, обобщающий волновой оператор на случай искривлённого простран |g| ства, переводит скаляры в скаляры. В римановых нормальных координатах 2 p = k k p. Отсюда следует, что 2 = k k.

Замечание 22: Оператор 20, определённый как 20 = k |g|g km m переводит |g| скаляры в скаляры, но если у тензора есть индексы он не будут переводить его в тензор. К счастью оператор 2, определённый как 2 = k k всегда переводит тензоры в тензоры, но с оператором 20 он совпадает только для скаляров.

Пример 29. Тензор Римана определяется через коэффициенты связности как R qkl = (k m + m p ) (k l). Здесь (k l) означает, что во второй паре ско m ql pk ql бок следует повторить содержимое первой пары поменяв местами индексы k и l. В римановых нормальных координатах в точке p Rm qkl p = k m l m p. Теперь, как ql qk упоминалось в предыдущих заметках, легко доказать тождества Бианки.

Подобные трюки с римановыми нормальными координатами способны очень сильно сокращать выкладки и будут использоваться нами и далее.

Как было установлено ранее, если xm = m (l) некоторая геодезическая, то долж но выполняться уравнение геодезической d2 m d k d l + m = 0. (63) kl dl2 dl dl Мы отмечали, что в данной системе координат коэффициенты m играют роль на kl 2 m пряжённости гравитационного поля, вызывая неравенство нулю ускорения11 ddl2.

Римановой нормальной системе координат m p = 0 т.е. гравитационное поле можно kl уничтожить выбором системы координат в любой точке пространства-времени, чего и требует принцип эквивалентности.

30.1 Пространство с двумя связностями На одном пространстве M можно одновременно задать две различные связности с коэффициентами K N и K N.

M M K Запишем M N в следующем виде M K N = K N + K M N. (64) M Согласно закону преобразования коэффициентов связности разность коэффициентов связности K M N является тензором. (Отсюда следует, что и вариация связности яв ляется тензором. Приводимый далее материал можно использовать и для вариации действия.) Используя K N и K N мы можем определить ковариантные производные M M Слова написанные в кавычках относятся здесь к величинам, которые не являются тензорами.

и соответственно. Эти ковариантные производные связаны друг с другом следую щей формулой, которая аналогична обычной формуле для ковариантной производной с заменой M на M, а K M на K N M, N = M T K··· L··· + K M T N ··· L··· + · · · N T K··· N ··· · · ·.

N LM K··· MT (65) L··· Тензор Римана может быть записан как RI KLM = RI KLM + RI KLM I KN T N LM, (66) где RI KLM тензор Римана для связности с тильдой. Здесь введены кручение для связности с тильдой T N LM = N LM N M L (67) и относительный тензор Римана, который вычисляется по обычной формуле для тензора Римана с заменой M на M, а K M на K N M N RI KLM = L I KM M I KL + I N L N KM I N M N KL.

(68) Свернув уравнение (66) по индексам I и L получаем RKM = RKM + RKM L KN T N LM, (69) где RKM = RL KLM.

Особый интерес представляет случай, когда обе связности являются симметриче ными и метрическими, т.е.

g KL K N = (M gLN + N gLM L gM N ), (70) M g KL K N = (M gLN + N gLM L gM N ).

(71) M Формула для получается из формулы для симметричной метрической связности заменой M на M g KL ( M gLN + N gLM L gM N ).

K N = (72) M Это можно легко увидеть введя римановы нормальные координаты в которых |p = 0.

Задача 30: Докажите формулу (72) а) с помощью римановых нормальных коор динат, б ) с помощью прямых выкладок в произвольной системе координат.

На многообразии могут быть заданы одновременно две различные метрики gmk и gmk. (Объекты построенные по метрике gmk мы будем обозначать как раньше, а объекты построенные по метрике gmk будут нести тильду.) Подобное может понадобиться во многих различных задачах, например gmk может быть некоторым точным решением уравнений Эйнштейна, а gmk его модификацией, например gmk = gmk + hmk, где hmk малая поправка к исходной метрике. Такой случай мы рассмотрим в следующем разделе. Другой вариант теория упругости, здесь одна метрика может быть метрикой нашего физического пространства, а другая метрикой пространства, в котором напряжение среду было бы равно нулю. Наконец одна из метрик может быть просто вспомогательной, введённой для удобства расчётов.

В формула для тензора Римана (66) для симметричных связностей исчезает член с кручением, а если эта связность согласована с метрикой, то используя римановы нор мальные координаты можно доказать формулу (66) даже устно. В римановых нор мальных координатах для gmk тензор Rm qkl легко представить в виде суммы (66), поскольку квадратичные члены останутся только в R.

Задача 31: Докажите формулу (66) а) с помощью римановых нормальных коор динат (для симметричной метрической связности), б ) с помощью прямых выкладок (в произвольной системе координат, для произвольной связности).

Хотя для тензоров Риччи можно ввести Rql, Rql и Rql = Rql Rql, однако для ска лярной кривизны это уже не удаётся, поскольку для её определения надо использовать метрику, разную для R и R. По этой причине при наличии двух метрик часто бывает удобнее работать с уравнениями Эйнштейна в форме (61).

31 Линеаризованные уравнения Эйнштейна 31.1 Уравнения без фиксации калибровки Пусть gmk = gmk + hmk, где величины hmk представляют собой малую поправку к фоновой метрике gmk. В этом разделе мы будем вычислять все величины в линейном порядке по h, при этом все индексы будут подниматься и опускаться с помощью метрики gmk. Таким образом, в линейном порядке g mk g mk hmk, lm k ( m hk + l hk k hml ).

l m В последней формуле мы воспользовались тем, что k gml = 0.

ql мы можем выбросить квадратичные по члены, поскольку они В формуле для R будут квадратичны по h.

k k l k 1 [ k ( q hk + l hk k hql ) l ( q hk + k hk k hqk )] = Rql ql qk l q k q 1 k k k [ k ( q hl + l hq hql ) l q hr ].

= r Обозначим lk = hk lk hr.

l r скаляр, а значит l q hr = Теперь мы можем записать (мы используем то, что hr r r q l hr ) r 1 Rql k ( q lk + l q k hql ) k (q l)k 2hql.

k (73) 2 Здесь 2 = k k. Последнее выражение можно переписать как Rql (q k l)k 2hql + Rs(q l) Rslqk sk.

s (74) Задача 32 : Получить формулу (74) из формулы (73).

На первый взгляд переписав формулу в таком виде мы только проиграли Однако, вспомним, что метрика не полностью определяется геометрией пространства-времени она содержит произвол в выборе координат. Мы можем вы брать произвольным образом набор из n координат, а значит, чтобы фиксировать этот произвол мы можем наложить n калибровочных условий. Наложим на уравнение (74) калибровку Лоренца k kl = 0. (75) Теперь уравнения (74) упростились:

Rql 2hql + Rs(q l) Rslqk sk.

s (76) Если мы предположим, что фоновая метрика является решением вакуумных уравне ний Эйнштейна, т.е. Rsq = 0, то из уравнения исчезнет ещё один член Rql 2hql Rslqk sk.

(77) В случае если фоновая метрика соответствует плоскому пространству в уравнении остаётся один член Rql 2hql. (78) Мы видим, что для линеаризованных уравнений Эйнштейна переход от плоской фонового пространства к искривлённому сопровождается появлением членов пропор циональных фоновому тензору Римана, т.е. тензорное поле hmk взаимодействует с фо новой метрикой неминимальным образом.

31.2 Калибровочные преобразования Рассмотрим в линейном приближении бесконечномалое преобразование коорди нат x m = xm + m (x).

Таким образом бесконечномалое преобразование координат задаётся одним векторным полем. Будем считать, что порядок малости такой же как у h. Обратное преобра зование задаётся как xm = x m m (x ).

Мы не делаем различия между m (x) и m (x ), поскольку они различаются на беско нечномалую второго порядка малости по h. В дальнейшем аргументы будут просто опускаться.

xk = m m k k x m В линейном порядке метрика преобразуется следующим образом xk xm (gkm (x ) r r gkm (x ))(s +s k )(p +p m ) gsp ( k k gsp (x ) = gkm (x) s p + p s ).

x s x p Обычно при переходе от одних координат к другим мы ставили штрих над индексами в новой системе координат. Здесь нам будет удобнее ставить штрих над буквой обозначающей объект, а не над индексами.

Мы видим, что изменение gmk при таком преобразовании координат линейно по.

Разбиение метрики gmk на gmk и hmk произвольно, поэтому мы можем положить, что gmk не меняется, а всё преобразование происходит за счёт hmk. Поэтому hsp = hsp ( s p + p s ).

32 Симметрии пространства-времени Как мы уже обсуждали на одной из первых лекций, векторное поле m задаёт на многообразии однопараметрическое семейство преобразований координат, при кото m ром все точки многообразия сдвигаются по правилу X l(x,l) = m (X(x, l)). При этом X старые координаты, x новые, а l параметр, нумерующий преобразования.

Производная Ли от метрики gmk имеет вид L gmk = m k + k m, (79) что с точностью до знака совпадает с изменением метрики при бесконечномалом пре образовании.

Если L gmk = 0, то это означает, что векторное поле задаёт однопараметрическое семейство преобразований сохраняющих расстояния на многообразии. Можно сказать, что многообразие может скользить само по себе без растяжений вдоль векторного поля.

Опр.78: Векторное поле, для которого L gmk = 0 называется вектором Киллинга.

Опр.79: Определяющее вектор Киллинга уравнение m k + k m =0 (80) назывется уравнением Киллинга.

Очевидно, что векторы Киллинга существуют не для всякого пространства, по скольку существование вектора Киллинга предполагает, что пространство симметрич но относительно какого-то непрерывного семейства преобразований.

Теор.7. Векторы Киллинга для данного многообразия образуют алгебру Ли отно сительно коммутатора векторных полей, т.е. если и векторы Киллинга, то + и [, ] тоже векторы Киллинга ( и произвольные действительные числа).

Задача 33: Доказать Теорему 7.

Утверждения о симметриях пространства-времени формулируются независимым от координат образом как утверждения о существовании векторов Киллинга и соот ношениях между ними.

Если частица движется по геодезической X m (l) в пространстве, в котором суще m ствует вектор Киллинга, то m dX = const, т.е. для свободно движущейся частицы dl сохраняется проекция импульса на вектор Киллинга.

2Xm s p Задача 34 : Пользуясь уравнением геодезической d dl2 + m dX dX = 0 и уравне sp dl dl нием Киллинга (80) доказать предыдущее утверждение.

33 Релятивистские мембраны Релятивисткие мембраны уже рассматривались нами выше.

Действие для (q 1)-мерной мембраны задаётся следующим образом:

dq S[X()] = T ||. (81) V X m X n = det(µ ), µ = gmn.

µ µ координаты на поверхности мембраны. Поля X m () задают отображение мировой поверхности мембраны V на пространство-время M, т.е. X : V M. V может быть многообразием с краем.

Опр.80: Замкнутая область выделяемая на многообразии неравенством f (x) 0, где f (x) гладкая функция, называется многообразием с краем, если градиент функции f (x) не обращается в нуль при f (x) = 0.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.