авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«Геометрические методы в классической теории поля М. Г. Иванов 24 января 2004 г. Содержание ...»

-- [ Страница 3 ] --

Таким образом, (q1)-мерная мембрана заметает в n-мерном пространстве-времени q-мерную мировую поверхность X(V), которая описывается с помощью n полей X m (), которые являются функциями q переменных µ. Очевидно, что на мировой поверхно сти можно вводить различные координаты, а значит наше описание содержит q про извольных функций (координат) на V, поэтому n уравнений движения, получаемых при варьировании по полям X m (), не будут независимыми между ними будет q связей.

Чтобы избавиться от этого произвола (зафиксировать калибровку) можно ввести q калибровочных условий. Например можно выбрать в качестве координат на миро вой поверхности 0,..., q1 пространственно-временные координаты x0,..., xq1, т.е выбрать в качестве калибровочных условий X µ () = µ, µ = 0,..., q 1.

Для свободной (ни с чем не взаимодействующей) релятивисткой мембраны урав нения движения следуют из ковариантного закона сохранения энергии-импульса mk mT = 0. Тензор энергии-импульса для мембраны уже рассматривался нами ра нее.

Проварьируем теперь действие по полям X m () dq X dq || µ X µ = X S = T || = T V V dq || µ (gmk µ X m X k + µ X m X k l gmk X l ).

= T V Здесь µ обратная метрика на мировой поверхности мембраны, µ =.

µ V ( µ gmk µ X m ) X k +T dq || µ gmk µ X m ||P ps k gps X k.

X S = T V V (82) где P ps = µ µ X p X s.

Символ V обозначает ходжевскую дуальность на многообразии V.

|g|g mk gmk.

Вспомним, что |g| = Задача 35: Проверить, что P p s P s r = P p r, т.е. P p s проектор. Проверить, что P s i X s = i X p, т.е. этот проектор переводит векторы касательные к мировой поверх p ности мембраны в себя. Проверить, что dim P = P p p = q. Т.е. P ортогональный проектор на мировую поверхность мембраны (ортогональность следует из Pmk = Pkm, проверьте).

Второй член в (82) задаёт уравнения движения. Поскольку, в отличии от пространства-времени, многообразие V может иметь край (случай открытой мем браны) в формуле (82) нельзя отбрасывать граничный член, который задаёт теперь граничные условия.

Вариационная производная имеет вид 1 S T T || µ gmk µ X m P pq k gpq.

= k () || X || 1 S = T {gkm 2V X m + kpq P pq }. (83) X k () || Здесь 2V = 1 µ || µ.

|| Задача 36: Проверить, что две последние формулы эквивалентны.

Легко проверить, что S X k = X k для любых полей X m (). Это и есть q обещанных связей между уравнениями движе ния.

Задача 37: Проверить, что связи выполняются тождественно для любых полей X (в том числе и для полей не удовлетворяющих уравнениям движения).

Обе части уравнения (83) умножены на ||1/2, чтобы выражение стало скаляром относительно преобразования координат на V. Относительно преобразований коорди нат на M (83) является ковектором.

Замечание 23: В теории мембран нам приходится иметь дело с двумя многообра зиями одновременно: V и M. Величины, с которыми мы работаем могут нести как по верхностные индексы µ,,..., нумерующие координаты на V, так и пространственно временные индексы m, k,..., нумерующие координаты на M. При преобразовании ко ординат на одном из многообразий закон преобразования объекта определяется толь ко соответствующими индексами. Так, например, тензоры Tm и Am будет вектором и скаляром соответственно относительно преобразований координат на многообразии V, тогда как относительно преобразований координат на M оба они будут ковекторами.

Уравнение получаемое приравниванием нулю вариационной производной (83), очевидно, является обобщением волнового уравнения. Если взять в качестве пространственно-временной метрики метрику Минковского gmk = mk, то уравнение движения по форме оказывается просто волновым уравнением в искривлённом про странстве V. Однако, метрика µ пространства V определяется функциями X m (), т.е. уравнения движения оказываются нелинейными.

34 Релятивистские струны В случае q = 2, т.е. одномерной мембраны струны, теория приобретает особую специфику. На двумерной поверхности всегда можно ввести конформно-плоские ко ординаты, в которых µ = ()µ, (84) где µ двумерная метрика Минковского. Условия (84) калибровочные условия (их как раз два). Они могут быть переписаны как gmk X m X k = 0, gmk ( X m X k + X m X k ) = 0.

времениподобная пространственноподобная координаты на V, 0 =, Здесь и 1 =.

В такой калибровке || = и мы можем записать S = gmk ( µ µ X m ) ()kpq P pq, (85) X k () где µ обратная двумерная метрика Минковского. Если gmk не зависит от координат (в плоском пространстве-времени) уравнение (85) оказывается обычным двумерным волновым уравнением.

35 Делокализованные мембраны Уже рассматривались нами ранее.

Рассмотрим следующую модификацию мембранного действия (81) dnq dq S[X(, )] = ||. (86) U V При вычислении µ по прежнему используется дифференцирование только по.

Пусть V = 0. Очевидно, что X(, ) при = const задаёт бесконечно лёгкую мембра ну с теми же уравнениями движения, что и раньше (при вариации действия никак не сказывается). Отсюда следует, что уравнения движения по прежнему удовлетворяют q связям. Таким образом, новое действие описывает непрерывное семейство мембран параметризуемых параметром. Можно сказать, что мембрана приобрела толщину, теперь координаты вдоль мембраны, а поперёк, причём слои с разными зна чениями друг с другом не взаимодействуют.

DX Если D(,) = 0, то координаты (, ) можно рассматривать не только как координа ты на толстой мембране, но и как координаты в некоторой области пространства времени. Это позволяет нам решить систему X(, ) = x относительно и. Мы получаем = (x), = (x). Перейдя в действии (86) от интегрирования по и к интегрированию по x мы получаем dn x |g| d1 · · · dnq.

S[(x)] = U Теперь x координаты, а (x) и (x) поля.

Задача 38 : Вывести действие (35) из (86).

Интересно, что в новое действие не вошло q полей µ (x), а значит мы избавились от связей, и уравнения движения стали независимыми.

Поверхности = const соответствуют мировым поверхностям мембран. Форму n естественно назвать единичной нормалью d1 · · · dnq n=.

d1 · · · dnq Для свободной (ни с чем не взаимодействующей) делокализованной мембраны уравнения движения следуют из ковариантного закона сохранения энергии-импульса mk mT = 0. Тензор энергии-импульса для делокализованной мембраны (мембранной пыли) уже рассматривался нами.

Для нумерации координат мы использовали маленькие буквы из середины гре ческого алфавита µ,,.... Для нумерации полей мы будем использовать буквы из начала греческого алфавита,,....

В простейшем случае q = n 1 имеется только одно поле с действием dn x g mk m k S= |g| g km m 1 S k = = kn.

k |g| g ps p s Задача 39: Вывести последнюю формулу.

В общем случае вариационная производная имеет вид 1 S = m1 1... m... mnq nq m1...mnq m n.

|g| Член под шляпкой опускается.

Задача 40 : Вывести последнюю формулу.



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.