авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

А. И. ЖАКИН

ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ

( оптика и квантовая механика )

1

УДК 53 (075.8)

Лекции по физике: Учеб. пособие / А. И. Жакин;

Курск,

2004, 226 с.

Излагаются основные разделы волновой и квантовой оптики и квантовой

механики. Особое внимание уделяется на четкие математические

формулировки физических задач, методы их решения, а также физическое

осмысление выводимых формул. Для развития физической интуиции и

закрепления материала ряд вопросов предлагается изучить самостоятельно в виде задач. Для приобретения практических навыков по применению теоретических знаний в конце каждого раздела даются задачи из практики с решениями. Необходимый математический аппарат, а также ряд прикладных вопросов по применению оптических систем даются в Приложениях.

Предназначено для студентов технических специальностей ВУЗов, изучающих общую и теоретическую физику.

Табл. Рис. Библиогр.

Рецензенты: М.А.Оболенский, доктор физ.- мат.наук, проф. кафедры физики низких температур Харьковского госуниверситета;

Ю.А.Неручев, канд. физ.- мат. наук, доцент кафедры общей физики Курского госуд. педагогического университета.

© А.И.Жакин СОДЕРЖАНИЕ ОПТИКА 1. ВЕДЕНИЕ В ОПТИКУ.

ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СВЕТА................ 1.1. Уравнения Максвелла..................................... 1.2. Плоские монохроматические волны......................... 1.3. Основные характеристики света............................. ЗАДАЧИ...................................................... ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТОВЫХ ВОЛН... 2.

2.1. Нормальное падение световой волны на плоскую поверхность двух диэлектриков. Стоячие волны...................... 2.2. Законы преломления и отражения света, падающего под произвольным углом к поверхности раздела двух сред...... 2.2.1. Законы отражения и преломления света................... 2.2.2. Явление полного внутреннего отражения.................. 2.2.3. Отражение и преломление света при произвольной ориентации светового вектора падающей волны. Поляризация света при отражении............................................ ЗАДАЧИ...................................................... ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА........................ 3.

3.1. Основные законы геометрической оптики................. 3.2. Оптические системы................................... ЗАДАЧИ...................................................... ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТОВЫХ ВОЛН................ 4.

4.1. Понятие интерференции световых волн................... 4.2. Интерференция когерентных световых волн от двух близко расположенных цилиндрических источников............... 4.2.1. Парадоксы интерференции.............................. 4.3. Временная и пространственная когерентность световых волн 4.3.1. Временная когерентность............................... 4.3.2. Пространственная когерентность......................... 4.4. Способы наблюдения интерференции света................ 4.4.1. Зеркала Френеля....................................... 4.4.2. Бипризма Френеля..................................... 4.4.3. Кольца Ньютона....................................... 4.4.4. Интерференция при отражении от тонких пленок........... 4.5. Просветление оптики................................... 4.6. Многолучевая интерференция........................... ЗАДАЧИ...................................................... ДИФРАКЦИЯ СВЕТА................................. 5.

5.1. Понятие дифракции света. Принцип Гюйгенса-Френеля..... 5.2. Дифракция Френеля от края пластинки.................... 5.3. Метод зон Френеля. Дифракция от круглого отверстия...... 5.4. Дифракция от круглого диска............................ 5.5. Дифракция Фраунгофера от щели........................ 5.6. Дифракционная решетка................................ 5.7. Дисперсия и разрешающая сила оптических приборов....... 5.8. Приложение теории дифракции света к рентгеноструктурному анализу и голографии................................... 5.8.1. Рентгеноструктурный анализ............................ 5.8.2. Голография........................................... ЗАДАЧИ...................................................... ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ.......... 6.

6.1. Поляризация света..................................... 6.2. Двойное лучепреломление.............................. 6.3. Поглощение света и явление дихроизма................... 6.4. Искусственное двойное лучепреломление.................. 6.5. Вращение плоскости поляризации........................ ЗАДАЧИ...................................................... 7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ.

ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД...................... 7.1. Дисперсия света....................................... 7.2. Рассеяние света........................................ 7.3. Эффект Вавилова – Черенкова........................... 7.4. Эффект Допплера...................................... ЗАДАЧИ...............................................................

8. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ОПТИКИ.

КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ................. 8.1. Эксперименты, доказывающие существование фотонов...... 8.1.1. Тормозное излучение фотонов электронами................ 8.1.2. Внешний фотоэффект.................................. 8.1.3. Опыт Боте............................................ 8.1.4. Эффект Комптона...................................... 8.2. Давление света и масса фотона........................... ЗАДАЧИ...............................................................

ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ............................ 9.

9.1. Основные характеристики теплового излучения. Закон Кирхгофа............................................. 9.2. Равновесная плотность энергии излучения................ 9.3. Плотность потока энергии равновесного излучения. Закон излучения Стефана – Больцмана.........................

9.4. Законы излучения Вина и Рэлея – Джинса. Формула смещения Вина................................................. ЗАДАЧИ............................................................... КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 10. ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 10.1. Краткий очерк развития атомистических представлений..... 10.2. Постулаты квантовой механики......................... ЗАДАЧИ............................................................... ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ СИСТЕМ...... 11.

11.1. Соотношение неопределенностей........................ 11.2. Соотношение неопределенностей для энергии.............. 11.3. Свойства квантово-механических операторов.............. 11.4. Структура оператора Гамильтона при наличии внешнего электрического поля.................................... ЗАДАЧИ............................................................... 12. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В КВАТОВОЙ МЕХАНИКЕ. СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ С КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР.... 12.1. Уравнение неразрывности в квантовой механике........... 12.2. Связь квантовой механики с классической механикой....... 12.3. Стационарные состояния в квантовой механике............ 12.4. Квантование. Гармонический осциллятор.................. 13. ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ....................... 13.1. Исследование модельной задачи......................... 13.2. Формула для коэффициента прохождения потенциального барьера произвольной формы в квазиклассическом приближении.......................................... 13.3. Холодная эмиссия электронов с катода.................... АТОМ ВОДОРОДА................................... 14.

14.1. Энергетические состояния водородоподобного атома........ 14.2. Спектр и волновые функции атома водорода. Квантовая теория излучения............................................ 14.3. Токи в атоме.......................................... ЗАДАЧИ............................................................... 15. СПИН ЭЛЕКТРОНА. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ СПИНОМ ЭЛЕКТРОНА 15.1. Эксперименты, доказывающие наличие спина электрона..... 15.2. Мультиплетность спектров.............................. 15.3. Эффект Зеемана....................................... 15.4. Электронный парамагнитный резонанс (эффект Завойского) 15.5. Принцип Паули........................................ 15.6. Периодическая система элементов Менделеева............. 16. РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРЫ. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА МОЛЕКУЛ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ СИСТЕМ 16.1. Рентгеновские спектры. Закон Мозли..................... 16.2. Типы межатомных связей. Энергия двухатомной молекулы 16.3. Молекулярные спектры................................. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.............. 17.

17.1. Внутренняя энергия и теплоемкость твердых тел........... 17.2. Фотон-фононное взаимодействие......................... 17.3. Энергия отдачи атома при излучении фотона.

Эффект Мессбауэра.................................... ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ..................... 18.

18.1. Понятия об энергетических зонах в кристалле.

Металлы. Полупроводники. Диэлектрики.................. 18.2. Динамика электрона в кристаллической решетке............ 18.3. Квантовая теория свободных электронов в металле.......... 19. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦАХ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЯДРА............. 19.1. Элементарные частицы................................. 19.2. Характеристики атомных ядер........................... 19.3. Энергия связи ядра..................................... 19.4. Радиоактивность....................................... 19.5. Ядерные реакции...................................... ЗАДАЧИ............................................................... ПРИЛОЖЕНИЯ.............................................. Приложение 1. Элементы векторного анализа.................... Приложение 2. Оптические устройства.......................... 1. Глаз как оптическая система.............................. 2. Роль апертурных диафрагм............................... 3. Увеличение лупы....................................... 4. Микроскоп............................................. 5. Зрительная труба (телескоп).............................. 6. Спектрографы.......................................... 7. Поляризационная призма Николя.......................... 8. Полутеневой анализатор................................. 9. Рефрактометр.......................................... 10. Принцип голографического изображения................... 11. Характеристика световодов............................... 12. Лазеры................................................ Приложение 3. Элементы Фурье – анализа....................... Приложение 4. Преобразование Фурье и квантово-механические операторы.....................................

Приложение 5. Специальные функции.......................... Приложение 6. Основы радиационной безопасности............... Приложение 7. Периоды полураспада и типы радиоактивности некоторых радиоактивных изотопов............... Приложение 8. Таблицы физических величин.................... СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................... ОПТИКА 1. ВВЕДЕНИЕ В ОПТИКУ. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СВЕТА Оптикой называют учение о физических явлениях, связанных с распространением и взаимодействием с веществом коротких электромагнитных волн. Поэтому при исследовании оптических явлений исходят из уравнений Максвелла.

1.1. Уравнения Максвелла Основная система уравнений Максвелла в случае прозрачных ( прозрачные среды – это среды с низкими значениями коэффициентов поглощения светы – раздел 6.3 ) диэлектрических сред имеет следующий вид ( определение дифференициальных операторов см. в Приложении 1 ):

rot Н = D/t, rot E = - B/t (1.1) div D = 0, div E = 0 (1.2) B = µ µ0 H, D = 0 E (1.3) Здесь E, H - векторы напряженностей электрического и магнитного полей;

D, B - векторы электрической и магнитной индукции. Напомним, что электрическое и магнитное поля-это особые виды материй, о наличии которых судят по характеру движения заряда в пространстве.

Электрическое поле проявляет себя посредством так называемой кулоновской силы Fe= eE, действующей на заряд e ;

магнитное поле посредством силы Лоренца FH = eV H, где V- скорость движения заряда.

Соотношения (1.3) называются уравнениями состояния изотропной среды.

При постоянных значениях диэлектрической и магнитной проницаемостей среду называют линейной. Если имеют место функциональные зависимости = (E), µ = µ(H), то среду называют нелинейной.

В дальнейшем будем рассматривать только прозрачные линейные среды.

Из уравнений (1.1),(1.2) следуют соотношения:

1 0 E + µµ 0 H = div(E H ), (1.4) t 2 2 2 E = v2 E, v= (1.5) 0 µµ t Упражнение. Доказать соотношения (1.4), (1.5).

Уравнение (1.4) выражает баланс энергии электромагнитного поля ( см.

Приложение 1 ).

Величина 1 w = 0 E 2 + µµ 0 H 2 называется объемной плотностью энергии электромагнитного поля.

Вектор S=EH (1.6) называется вектором плотности потока энергии электромагнитного поля.

Уравнение (1.5) показывает, что вектор E определяется волновым уравнением. Отметим, что вектор H находится из второго уравнения в (1.1) после определения вектора E. Уравнение (1.5) показывает, что электромагнитное поле определяется некоторым волновым процессом, поэтому об электромагнитном поле говорят как об электромагнитной волне. Таким образом, электромагнитной волной называют связанные колебания электрического и магнитного полей, причем связь между электрическим и магнитным полями осуществляется посредством уравнений Максвелла ( см. ниже формулы (1.10), (1.11)).

1.2. Плоские монохроматические волны В электродинамике и оптике большое значение имеют плоские монохроматические волны. Электромагнитная волна называется монохроматической, если она зависит от времени по гармоническому закону.

Волна называется плоской, если она зависит только от одной пространственной координаты (см.(1.13)). Плоскую монохроматическую волну можно записать в виде E = Em cos, (1.7) = t – kr +, kr = kx x + ky y + kz z Постоянный вектор Em называется амплитудным вектором. Величину называют фазой колебаний, - круговой или циклической частотой, постоянный вектор k – волновым вектором, - начальной фазой.

Подставляя (1.7) в (1.5), получаем так называемое дисперсионное соотношение :

= v k, k = |k| (1.8) Период колебаний T связан с соотношением T = Величина = 1/T называется частотой колебаний ( определяет число колебаний векторов E, H в фиксированной точке пространства за 1с ).

Величина k называется волновым числом. Этот параметр определяет длину электромагнитной волны :

= 2 / k (1.9) Размер характеризует пространственный период распределения полей E и H в плоской монохроматической волне в фиксированный момент времени ( см. рис.1.1).

Волновой вектор k указывает на направление распространения электромагнитной волны. Действительно, из первого уравнения Максвелла в (1.2) следует E k = 0. Поэтому E k. Разыскивая вектор Н в виде H = Hm cos, для неизвестного амплитудного вектора Hm из второго уравнения в (1.1) получим Hm = k Em (1.10) µµ Беря по модулю это соотношение, с учетом (1.8) получим следующую связь между амплитудами электрического и магнитного полей µµ H m = 0 E m (1.11) Из (1.10)следует, что H k, H E. Таким образом, векторы H, E, k взаимно ортогональны. Это обстоятельство позволяет изобразить картину распространения волны в виде, указанном на рис.1.1, откуда видно, что волна движется вдоль вектора k.

Е Луч света k H Рис.1.1. Пространственная картина распределения напряженностей электрического и магнитного полей в плоской монохроматической волне Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля в плоской монохроматической волне выражается как E S = E H = k (1.12) µµ Отсюда видно, что плотность потока энергии электромагнитного поля совпадает с направлением движения электромагнитной волны. Направим ось x вдоль вектора k. Тогда = t k x + (1.13) Поверхность постоянной фазы = соnst называется фронтом волны или волновой поверхностью. Скорость движения фронта волны называется скоростью распространения волны. Из (1.13) видно, что координата точки поверхности фронта волны x является функцией времени, а производная dx/dt будет скоростью волны.

Дифференцируя соотношение (1.13), с учетом (1.8), получим dx/dt = /k = v Таким образом, v - это скорость распространения электромагнитной волны в среде. В вакууме = µ = 1, поэтому v = c = 1 / 0 µ 0 = 3 108 м / с Величину n = µ (1.14) называют абсолютным показателем преломления среды. Отметим что между частотой, длиной волны и скоростью света в среде v имеют место следующие соотношения:

= v /, v = c / n (1.15) Первая формула являются следствиями дисперсионного соотношения (1.8).

1.3. Основные характеристики света Чтобы определить понятие "короткие электромагнитные волны", обратимся к шкале электромагнитных волн 104 10-4 10-8, см 3106 31010 31014 31018, Гц Сред- Корот- Ультра Длин Инфра- Ультра- Рентге ные ние кие короткие Свет красные фиолето- новские лучи лучи выe лучи лучи Радиоволны Из таблицы видно, что коротковолновая часть спектра определяет Электрические колебания световые волны с длинами ~ 1 мкм. Если говорить о точных значениях, Молекулярно – атомные колебания вибраторов то частоты и длины световых волн определяются значениями 0,39 мкм 0,76 мкм, = (0,4 0,75) 1015 Гц Электромагнитные вволны этого диапазона называются светом потому, что они воспринимаются человеческим глазом. Выделенный диапазон световых волн является условным, так как глаз человека реагирует не только на частоту колебаний. но и на интенсивность. По этой причине можно наблюдать яркое свечение лазерного луча с длиной волны 0,85 мкм.

Уместно отметить, что глаз человека наиболее восприимчив к свету с длиной волны 0,555 мкм ( зеленый свет ) и именно эта часть спектра света в оптическом диапазоне наиболее интенсивно излучается Солнцем.

Для большинства оптически прозрачных сред ( то есть пропускающих свет ) имеет место µ ~ 1, поэтому можно считать n= (1.16) Опыт показывает, что диэлектрическая проницаемость среды является функцией частоты электромагнитного поля = ( ). Типичная частотная зависимость ( ) представлена на рис. 1.2.

ич рч ик опт 103 106 109 1012 1015, Гц Рис. 1.2. Частотная зависимость ( ) : нч - низкочастотная;

рч - радиочастотная;

ин - инфракрасная;

опт - оптическая Данные на рис.1.2 показывают, что формулу (1.16) следует писать в виде n = опт В качестве примера укажем, что для воды нч = 81, опт = 1,77.

Подобная зависимость () обусловливается различными механизмами поляризации вещества и объясняется теорией поляризации диэлектриков [1].

В силу того, что скорость света в вакууме всегда больше скорости света в среде с v, значения показателей преломления различных сред больше единицы n 1.

Опыт показывает, что взаимодействие света с веществом обуслов ливается в основном только взаимодействием с электрическим полем электромагнитной волны, то есть с вектором Е. По этой причине вектор Е называют световым вектором.

Согласно (1.6) электромагнитное поле переносит энергию. Так как частота изменения электромагнитного поля чрезвычайно велика, то измерительные приборы (и глаз человека ) обычно фиксируют среднюю величину модуля потока энергии, определяемого как t | S(t + t1 ) | dt | S | = t 0 (1.18) где t0 - время наблюдения волны, которое значительно больше периода колебаний t0 Т = 1/.

Средний модуль плотности потока электромагнитной энергии называют интенсивностью света и обозначают как I :

I = |S| Используя связь (1.11) между амплитудами получаем следующее выражение для интенсивности плоского монохроматического света 1 0 I = CnE m = CnA2, C = Ом - = (1.19) 2 µ 0 где А = Em - амплитуда светового вектора. Отметим, что в дальнейшем ради удобства обозначений для амплитуды светового вектора будем пользоваться различными обозначениями: Em, A, E0, b и так далее.

Обратим внимание, что интенсивность света зависит только от амплитуды волны и характеристик среды, но не зависит от частоты света ( или его длины волны ).

Упражнение. Используя формулы (1.7) и (1.12), доказать справедливость соотношений (1.19).

Свет называется естественным, если электромагнитная волна является суперпозицией ( суммой ) волн различной длины и различной ориентации световых векторов.

Свет называется поляризованным, если вдоль луча световой вектор каким либо образом упорядочен. Например, в случае плоской монохроматической волны световой вектор находится в плоскости, проходящей через луч и световой вектор. В этом случае свет называют плоскополяризованным. Если конец светового векра описывает вдоль луча винтовую линию, то его такую волну называют эллиптически поляризованной. Эллиптическая поляризация света имеет место при прохождении через растворы, содержащие органические вещества, например, в растворах сахара.

Линия, вдоль которой распространяется световая энергия, называется лучом. Из определения следует, что вектор плотности потока световой энергии S является касательным к лучу ( рис.1.3 ). Если исходить из квантовой природы света, то лучи - это траектории движения фотонов ( см. раздел 8 ).

E Луч света Световые вектора E Ei Рис.1.3.Световые векторы Ei, суперпозиция которых образует белый свет, ортогональны направлению луча естественного (белого) света В системе СИ характеристики электромагнитного излучения имеют следующие единицы измерения.

[E ] = В / м, [H ] = А / м, [I ] = Вт / м 2, [ ] = Гц = 1 / с, [ ] = м = 106 мкм, 0 = 8,85 10 12 ф / м, µ 0 = 12,57 10 7 гн / м, с = 3 108 м / с Приведем значения показателей преломления некоторых прозрачных сред Вещество n Вода 1, Лед 1, Стекло 1,5 - 1, Алмаз 2, Таким образом, к основным характеристикам света относят такие понятия: частота и длина волны света, понятие монохроматического, естественного и поляризованного света, интенсивность, луч, волновой вектор и волновое число, дисперсионное соотношение ( связывающее частоту и длину волны света ), световой вектор и его ориентация относительно луча.

ЗАДАЧИ.

Задача 1.1.

Длина волны монохроматического света в вакууме равна 0 = 0,5 мкм.

Найти частоту и длины волн этой световой волны в воде и стекле.

Решение. Частота колебании света согласно (1.15) выражается как v = c / n = 3 10 8 (м / c) / 0,5 10 6 (м) = 6 1014 Гц. При переходе из одной среды в другую не изменяется частота света и изменяется скорость света согласно v = c/n и длина волны. Отсюда получаем v = c / 0 = c /( n ), что дает = 0 / n. В случае воды = 0,5 мкм / 1,33 = 0,376 мкм, стекла = 0, 333 мкм.

Задача 1.2.

Мощность лампочки N = 100 Вт, КПД = 3%. Найти интенсивность света на расстоянии R = 1 м от лампочки.

Решение. Энергия, излучаемая лампочкой за 1 секунду, равна Ф = КПД N. Эта энергия, согласно закону сохранения энергии, есть поток световой энергии Ф через поверхность радиуса R, определяемый как Ф = I S, где S = 4 R0 2 - площадь поверхности радиуса R.

Отсюда находим I = КПД Ф/S = 0,25 Вт/м2.

Задача 1.3.

В условиях предыдущей задачи и в предположении монохроматичности света найти напряженность поля в волне на расстоянии 1 м от лампочки.

Решение. Используя формулу (1.19), находим Em = (I/Cn)1/2 = = (0,25/1.310-3)1/2 = 13,8 В/м.

Задача 1.4.

Интенсивность света, излучаемого точечным источником, на расстоянии R0 от источника равна I0. Найти интенсивность света на расстоянии R R0 от источника света.

Решение. Пусть S0 = 4 R02, S = 4 R2 - площади сфер радиусов R0, R соответственно. Из закона сохранения энергии имеем I0 S0 = IS, откуда получаем искомый ответ I = I0(R0 /R)2.

2. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТОВЫХ ВОЛН В данном разделе рассматриваются явления, обусловленные отражением и преломлением света на границе раздела двух диэлектрика. Эти свойства являются следствием электродинамических граничных условий.

На границе двух сред:

E t1 = E t 2, H t1 = H t 2, (2.1) где нижний индекс t указывает, что Еt, Ht - касательные составляющие векторов E, Н на поверхности раздела, а индексы 1,2 обозначают значения этих векторов в i-ой среде с показателем преломления ni : i = 1, 2.

2.1. Нормалыюе падение световой волны на плоскую поверхность двух диэлектриков. Стоячие волны Пусть на плоскую поверхность раздела со стороны среды 1 падает волна Е,Н, которая частично отражается ( волна Е1, H1 ) и частично переходит в среду 2 ( волна E2, H2 ) - см. рис. 2.1.

Граница раздела E Е H1 Е S2 x O S S H H n n Рис.2.1. Направление векторов Е, Н, S в падающей, отраженной и прошедшей волнах. Случай n1 n2.

Из рисунка следует, что компоненты падающей Е, отраженной Е1 и прошедшей E2 волн выражаются как E = E0cos( t k1 x + ), H = 1 0 / µ 0 E, E1 = E10cos( t + k1 x + ), H1 = 1 0 / µ 0 E1, E2 = E20cos( t k 2 x + ), H 2 = 2 0 / µ 0 E Неизвестными являются постоянные амплитуды E10, Е20. амплитуда E считается известной. Используя граничные условия (2.1), которые должны выполняться при x = 0, получаем H 0 = 1 0 / µ 0 E0, E0 + E10 = E20, H 0 + H10 = H 20, H 10 = 1 0 / µ 0 E10, H 20 = 2 0 / µ 0 E Напомним, что в этой системе линейных алгебраических уравнений известной является амплитуда падающей волны E0, а неизвестными амплитуды отраженной E10 и прошедшей волн E20. Решая эту систему, получим n n2 2n E10 = 1 E 20 = E0, E0, (2.2) n1 + n2 n1 + n Отсюда видно, что при n1 n2 знаки амплитуд E10, E0 совпадают, следовательно реализуется случай, изображенный на рис.2.1. При n1 n знаки E10 и E0 будут различны, то есть фаза волны E1. 0тличается на от фазы волны E. В этом случае E1 = |E10| cos [ t + k1( x - / 2 ) + ], поэтому это явление в оптике называют потерей полуволны. Векторы H, H1 в этом случае колеблются синфазно.

Покажем, что в случае n1 n2 ( например, когда волна падает на металлическую поверхность ), в области падения волны E образуется так называемая стоячая волна. Действительно, при n1 n2 будет E20 = 0, E10 = - E0 и результирующее поле в области 1 запишется как E = E0 [cos( t k1 x + ) cos( t + k1 x + )] = 2 E0sin( t + )sin(k1 x ), (2.3) H = 2 H 0 cos( t + )cos(k1 x ) Упражнение. Доказать это соотношение.

Выражения (2.3) описывают стояую волну. Картина распределения напряженностей электрического и магнитного полей в стоячей волне изображена на рис. 2.2.

Е x H Рис.2.2. Пространственное распределение E, H в стоячей волне.

Точки на оси x, где либо Е = 0, либо Н = 0 называются узлами стоячей волны. В узлах S = EH = 0, поэтому интенсивность света максимальна между узлами. Если приемник света (датчик ) смещать вдоль оси x, то можно измерить расстояние между пучностями света, а тем самым и определить длину полуволны ( рис.2.3 ).

Введем важнейшие характеристики, определяющие энергии (интенсивности ) отраженного и прошедшего света.

Коэффициентами отражения R и пропускания F называются отношения соответственно средних интенсивностей отраженного E1H1 и прошедшего E2H2 волн к средней интенсивности падающей волны EH.Для плоской монохроматической волны, падающей перпендикулярно поверхности, имеем (n1 n 2 ) 2 I 1 4n1 n 2 I = R= =, F= (2.4) 2 I I (n1 + n 2 ) (n1 + n 2 ) где I, I1, I2 – интенсивности падающего, отраженного и прошедшего света соответственно.

Коэффициенты R, F удовлетворяют соотношению R + F = 1, которое является следствием закона сохранения энергии EH = E1 H1 + E2 H2.

/ х A E F Рис.2.3. Схема опыта Винера по обнаружению распределения электри ческого поля в стоячей световой волне: AF - металлическое зеркало, AE – полупрозрачная фотопластинка, которая засвечвается под под действием светового вектора 2.2. Законы преломления и отражения света, падающего под произвольным углом к поверхности раздела двух сред Рассмотрим вначале простейший случай, когда световой вектор Е направлен параллельно поверхности раздела. Тогда направления падающего, отраженного и прошедшего лучей имеют вид, изображенный на рис.2.4.

k E 1 k1 E n n 2 E k Рис.2.4.Наклонное падение света на поверхность раздела при ориентации светового вектора параллельно поверхности здела (перпендикулярноплоскости чертежа) 2.2.1. ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА Воспользуемся представлениями для электрических компонент падающей E, отраженной E1 и прошедшей E2 волн в виде (1.7) ' E = E 0 cos(t k1 r + ), E1 = E10 cos(t k1 r + ), ' E 2 = E 20 cos(t k 2 r + ), | k1 | = | k1 | = k 1 = / v Из рис.2.4 видно, что на поверхности раздела (y = 0) имеет место ' ' k1 r = x sin1 / v 1 ;

k1 r = x sin1 / v 1, k2 r = x sin 2 / v где 1 - угол падения;

'1 - угол отражения;

2 - угол преломления.

Используя электродинамическое условие E + E1 = E2, 0получаем равенство фаз падающей, отраженной и прошедшей волн, которое можно записать в ' виде sin 1 = sin 1, sin1/v1= sin2/v2. Эти соотношения формулируются в виде следующих законов:

' 1) угол падения света равен углу отражения = 1 ;

2) угол падения 1 связан с углом преломления 2 формулой Снелла n1sin 1 = n 2 sin ( Снеллиуса) (2.5) 2.2.2. Явление полного внутреннего отражения Если n1 n2, то выполняется 2 1 – см. рис.2.5,а, и из формулы (2.5) пр пр n1 n1 n n2 n2 n 2 а) б) в) Рис. 2.5. К явлению полного внутреннего отражения:

а) случай 1 пр;

из условия sin 1/ sin 2 = n2/ n11 следует 2 1;

б) при 2 = /2 угол 1 называется предельным 1 = пр;

в) при 1 пр имеется только отражение света, а преломлённого луча не существует.

следует, что с увеличением угла падения 1 возможно выполнение условия sin 2 = 1. Это означает, что 2 = / 2, то есть преломленный луч направлен вдоль поверхности. Таким образом, при углах падения 1 пр, sin пр = n 2 / n свет полностью отражается от поверхности раздела и преломленной волны не существует. Это явление называется полным внутренним отражением света. Особо подчеркнем, что оно наблюдается только в случае падения света на поверхность раздела из оптически более плотной среды на оптически менее плотную среду. Это явление находит применение в оптоволоконной технике ( световодах – см. рис.2.6 и Приложение 2).

Рис.2.6. Схематическое изображение волновода.

2.2.3. Отражение и преломление света при произвольной ориентации светового вектора падающей волны.

Поляризация света при отражении Рассмотрим общий случай произвольной ориентации светового вектора при падении света на границу раздела двух диэлектриков. Разложим вектор Е на две составляющие: Е = Е|| + Е, где Е|| лежит в плоскости падения волны, а Е перпендикулярен плоскости падения (рис.2.7).

а) б) H E H E E H 1 1 E H 2 H E E H Рис.2.7. Преломление и отражение волны с произвольной ориентацией светового вектора: а) Е|| лежит в плоскости падения;

б) Е перпендикулярен плоскости падения Используя граничные условия для амплитуд, получаем E 0||cos 1 E1||cos 1 = E 2||cos 2, E 0 + E1 = E H 0||cos 1 H 1||cos 1 = H 2||cos 2, H 0 + H 1 = H Решения этой системы уравнений имеют вид tg(1 2 ) E 1|| = E 0||, (2.6) tg(1 + 2 ) 2sin 2 cos E 2|| = E 0||, (2.7) sin(1 + 2 )cos(1 2 ) sin(1 2 ) E 1 =, (2.8) E sin(1 + 2 ) 2sin 2 cos E 2 = (2.9) E sin (1 + 2 ) Эти соотношения называются формулами Френеля.

Проанализируем полученные формулы. Если n1 n 2, то из закона Снеллиуса (2.5) следует, что 1 2. Тогда из (2.8) получаем E1 0.

Таким образом, перпендикулярная составляющая светового вектора всегда отражается. Отметим, что перпендикулярная составляющая вектора Е1 параллельна поверхности раздела.

Обратимся теперь к формуле (2.6). Если 1 + 2 = / 2, то E1|| = 0.

Таким образом, при угле падения 1, удовлетворяющему условию sin 1 sin 1 n = tg 1 = = (2.10) sin 2 cos1 n будет E1|| = 0, то есть будет отражаться только компонента света с ориентацией светового вектора перпендикулярно плоскости падения (параллельно поверхности раздела). Угол 1, определяемый согласно (2.10), называется углом Брюстера и обозначается как Бр. В качестве примера укажем, что угол Брюстера на границе воздух - стекло, определяемый из условия tg Бр = 1.5, равен Бр = 560 (см.задачу 2.4).

ЗАДАЧИ.

Задача 2.1.

Найти коэффициент отражения света при нормальном падении на границу раздела воздух-стекло и воздух-вода.

Решение. Используя формулу (2.5) для коэффициента отражения R и учитывая, что для воздуха n1 = 1 воды n2 = 1,33, стекла n2 = 1,5, получаем значение коэффициента отражения от воды R = 0,02 и от стекла R = 0.04.

Задача 2.2.

В каком направлении пловец, нырнувший в воду, видит заходящее Солнце ?

Решение. При заходящем Солнце лучи света параллельны поверхности воды ( см. рис. 2.8.). Следовательно, подающий луч имеет угол падения, равный 1 = 90 0. Из закона Снелла (2.5) имеем sin 2 = 1 / 1,33 = 0,75 следует 2 = 48 0 45,.

n n Рис. 2. Задача 2.3.

Определить кажущуюся глубину h водоема глубины Н.

Решение. Глубина h определяется расстоянием от поверхности точки пересечения двух лучей вертикального 1 и наклонного 2 (см. рис.2.9) n A B h O H n O Рис.2. Углы падения и преломления луча 2 в точке выхода из воды связаны как n1sin 1 = n2 sin 2. Так как наблюдение производится в вертикальном направлении, то углы малы i 1, i = 1, 2, поэтому sin i ~ tg i. В треугольниках ОАВ и О1АВ сторона АВ общая, поэтому AB = H tg 1 = h tg 2. Используя закон Снеллиуса и последнее tg1 sin1 n 2 H = = =.

соотношение, получим tg 2 sin 2 n 1 h Отсюда с учетом n1 = 1, n2 = 1,33 будем иметь h = H/n2 = 0,75 H.

Задача 2.4.

Под каким углом 1 должен подать белый луч света из воздуха на поверхность стекла с показателем преломления n2 = 1,5, чтобы отраженный луч был полностью поляризован ( рис.2.10).

n n Рис.2. получаем tg 1 = n2 / n1 = 1,5, Решение. Используя формулу (2.10), откуда 1 = 56 010,.

Задача 2.5.

Найти коэффициент отражения луча света при произвольной ориентации светового вектора.

Решение. Согласно формуле (1.19), интенсивности падающего I0 и отраженного I1 лучей выражаются как 2 I 1 = Cn1 ( E12 + E12|| ) I 0 = Cn1 ( E 0 + E 0|| ), Используя формулы (2.5), (2.7), для коэффициента отражения получим 2 2 2 2 2 I 1 E1 + E1|| tg 2 ( 2 1 ) E 0 cos ( 2 1 ) + E 0|| cos ( 2 + 1 ) R= =2 = I 0 E 0 + E 0|| sin 2 ( 2 + 1 ) 2 2 E 0 + E 0|| (2.11) где углы 1, 2 связаны законом Снеллиуса (2.5). Из формулы (2.11) видно, что коэффициент отражения зависит от ориетации светового вектора относительно плоскости раздела. В частности, при угле падения Брюстера, когда 1 + 2 = / 2, и отраженный луч является поляризованным, из (2.11) получаем коэффициент отражения поляризованного луча в виде E 0 cos 2 2 R= (2.12) 2 E 0 + E 0|| Используя тригонометрические формулы cos 2 21 = 1 sin 2 21 = 1 cos 2 1 sin 2 sin 2 1 = tg 2 1 /(1 + tg 2 1 ), cos 2 1 = 1 /(1 + tg 2 1 ) и формулу Брюстера (2.10), получим n1 n 2 2 E R= 2 n + n2 E 2 + E 2 (2.13) 1 2 0 | 0|| Задача 2.6.

Вычислить средний коэффициент отражения неполяризованного луча, падающего под углом Брюстера.

Решение. Введем угол ориентации светового вектора относительно направления, перпендикулярного лучу и находящегося в плоскости соотношения E 0 = E 0sin, E 0|| = E 0 cos падения луча. Тогда определяют случайный разброс векторов E 0, E 0||. Считая распределение вероятностей случайных векторов равномерным, для вероятности попадания какой-либо компоненты в угловой промежуток (, + d ) выражается как dP = d / 2. Тогда 1 1 n1 n 2 Rd = 2 n + n R = RdP = (2.14) 2 0 1 Задача 2.7.

Вычислить средний коэффициент отражения поляризованного луча при падении неполяризованного луча в воздухе на поверхность стекла с показателем преломления n = 1,5.

Решение. Используя формулу (2.14), получим R = 0,07. Обратим внимание на то, что интенсивность отраженного поляризованного луча в 1,7 раза больше интенсивности отраженного луча при нормальном падении (см. задачу 2.1).

Задача 2.8.

Вычислить интенсивность отраженного и прошедшего света при падении белого пучка под углом 1 к нормали поверхности раздела.

Решение. Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям в задаче 2.6, получим для интенсивности отраженного света I 0 sin 2 (1 2 ) I 0 tg 2 (1 2 ) I 1 = I 1 + I 1||, I 1 =, I 1|| = (2.15) 2 sin 2 (1 + 2 ) 2 tg 2 (1 + 2 ) и для интенсивности прошедшего света I2 = I0 – I1, где I0 - интенсивность падающего света, I 1 ( I 1|| ) - интенсивность отраженного луча с поляризацией перпендикулярной ( параллельной ) плоскости падения.

Задача 2.9.

Найти степень поляризации преломленного луча при падении белого света под углом Брюстера.

Решение. По условию I 1|| = 0, I 1 = I 1. По определению степени поляризации преломленного луча имеем I 2|| I 2 I 2|| I P= = I 2|| + I 2 I 0 I Согласно закону сохранения энергии имеем I 2 + I1 = I 0 / 2, I 2|| + I1|| = I 2|| = I 0 / 2, откуда I 2|| I 2 = I 1 = I 1. Таким образом, для степени поляризации получим P = I1/(I0–I1), где согласно (2.15):

I 1 = (I 0 / 2)cos 2 2Бр. Окончательно, для степени поляризации прошедшего луча получаем следующее выражение cos 2 2 Бр P= 2 cos 2 2 Бр Задача 2.10.

Доказать, что при равномерном освещении гладкой поверхности из оптически более плотной среды ( см. рис.2.11 ) лучи входят в оптически менее плотную среду конусом.

Луч 2 Луч n Луч 1 Луч n Рис. 2.11. К явлению полного внутреннего отражения:

Если свет равномерно освещает точку из оптически более плотной среды 2 в менее плотную ( n2 n1), то в среду 1 свет входит конусом.

При объяснении этого явления используется принцип обратимости хода лучей.

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА 3.1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ Если длина волны излучения ПТ значительно меньше некоторого характерного размера a (диаметра отверстия, толщины пластины и т.д.) a, (3.1) то распространение света можно описывать некоторыми линиями, называемыми лучами. В электродинамике доказывается, что в предельном случае (3.1) световой вектор монохроматической волны имеет вид E = Acos( t ) где фаза является функцией пространственных координат и удовлетворяет уравнению = ( / x) + ( / y ) + ( / z ) = n (3.2) 2 2 2 c где n(x,y,z) - показатель преломления среды, который в общем случае является функцией пространственных ( декартовых x, y, z ) координат точки. Доказывается, что световые лучи перпендикулярны поверхностям равных фаз:

( x, y, z ) = const (3.3) Решив уравнение (3.2) и построив множество поверхностей согласно (3.3), можно построить множество лучей и тем самым изучить закономерности распространения света в, вообще говоря, неоднородной среде. Этот метод исследования распространения света составляет суть приближения геометрической оптики.

Световые лучи можно построить на основании уравнения для световых лучей, которое выводится следующим образом. Введем функцию = ( c / ). По определению единичный вектор, касательный к линии луча, записывается как d r( s ) = = = (3.4) ds n где r = r(s) - уравнение луча в естественной параметризации, то есть параметром s является его длина. Из (3.4) имеем n(dr/ds)= и, дифференцируя это соотношение по s, получим уравнение луча d dr = n n (3.5) ds ds d = n.

Упражнение. Доказать формулу ds d = ( ) = ( A ) A/ n, Указание. Использовать соотношение ds где A = и далее использовать формулу ( A ) A = A2 / 2 + A rot A.

Геометрическая оптика основана на четырех законах.

1. Закон прямолинейного распространения света в однородной среде.

Этот закон является следствием уравнения (3.5).

2. Закон независимости световых лучей. Этот закон является следствием единственности решения уравнения (3.5) при начальных условиях :

s = 0 : r = r0, d r / ds = (3.6) Эти соотношения определяют положения начала луча ( первое условие ) и его наклона (которое условие ). Меняя их, получаем независимые решения, то есть лучи никаким образом не влияют друг на друга.

3. Закон отражения света: угол падения равен углу отражения.

4. Закон преломления - закон Снеллиуса (2.4).

В основу геометрической оптики может быть положен принцип Ферма, который гласит, что при распространении света между двумя фиксированными точками луч распространяется по такому пути, для прохождения которого ему понадобится минимальное время.

3.2. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Оптической системой называется совокупность отражающих и преломляющих поверхностей, отделенных друг от друга оптически однородной средой. Обычно эти поверхности являются сферическими либо плоскими.

Оптическая система, образованная сферическими поверхностями (включая плоские), называется центрированной, если центры всех поверхностей лежат на одной прямой. Эту прямую называют оптической осью системы. Очевидно, оптическая ось является линией симметрии системы.

Важнейшим элементом оптической системы является линза, которая представляет собой прозрачное ( обычно стеклянное ) тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями (в частном случае одна из поверхностей может быть плоской ). Линза обладает замечательным свойством, заключающимся в том, что гомоцентрический пучок лучей ( выходящих из одной точки ) после прохождения через линзу вновь собирается в пучок, то есть также является гомоцентрическим. Точки Р, Р', через которые проходят пучки, называются сопряженными. Принято говорить, что множество точек Р находится в пространстве предметов, а точек Р - в пространстве изображений ( см. рис.3.1). Плоскости S, S, проходящие соответственно через Р, Р’ и ортогонально оптической оси ОО’, называются сопряженными. Если плоскость S устремить на бесконечность, то плоскость S займет некоторое предельное положение, при котором она будет проходить через точку F, лежащую на оптической оси. Точка F называется задним фокусом. Обратно, если устремить на бесконечность плоскость S, то в пределе поверхность S будет проходить через точку F, называемую передним фокусом. Таким образом, параллельные лучи после прохождения через линзу всегда сходятся в некоторую точку плоскости, проходящую через фокус. Такая плоскость называется фокальной. Плоскости S, S', проходящие через F, F' называются соответственно передней и задней фокальными плоскостями.

P PS s s y -x -f FH H F y H H F O O O O f x F f -f y P S’ Рис.3.1. Прохождение пучка света через линзу: ОО - оптическая ось, F, F - передний и задний фокусы Линза обладает замечательным свойством увеличивать или уменьшать изображения предметов ( см. рис.3.2, где изображены два случая увеличния изображения лины ). Линза уменьшает изображение предмета в том случае, когда предмет удален на двойное фокусное расстояние.

Доказательсво этого свойства линзы рекомендуем провести самостоятельно в качестве упражнения.

а) б) S S S y F FS F Y Y 2F F y Рис.3.2. Свойства линзы увеличивать и уменьшать изображения предметов: а) предмет находится между линзой и фокусом, б) предмет находится между линзой и точкой двойного фокусного расстояния.

Из рис.3.2 видно, что отрезок длиной y, лежащий в плоскости S, будет иметь изображением в плоскости S отрезок длины y. В том случае, когда предмет находится между линзой и фокусом, то изображение является увеличенным и получается продолжением лучей в обратную сторону от их направления распространения;

такое изображение называют мнимым (рис.3.2,а). Если предмет находится между фокусом и точкой двойного фокусного расстояния, то изображение получается увеличенным и действительным ( рис.3.2,б ). Наконец, если предмет находится за точкой двойного фокусного расстояния, то изображение всегда уменьшенное. Если направленные отрезки y’, y параллельны, то изображение называют прямым и обратным в противном случае.

Отношение = y' / y (3.7) называется поперечным увеличением. Отметим, что величина y берется со знаком ( «плюс», если отрезки параллельны, и «минус», если антипараллельны). Оказывается, что существуют такая плоскость H и сопряженная ей плоскость H, что для любых отрезков y в H и y в то есть = 1. Эти плоскости H их длины будут одинаковыми, называются главными (см. рис.3.1). Обозначим через Н, Н точки пересечения главных плоскостей с оптической осью и назовем их главными точками. Расстояние между точками F и Н называется передним фокусным расстоянием и обозначается как f, расстояние между F и Н называется задним фокусным расстоянием и обозначается как f. Величины f, f алгебраические: они берутся положительными, если фокусы лежат справа от соответствующих главных точек, и отрицательными в противном случае. Например, для положений точек Н, F на рис.3.1 будет f 0, для положений Н, F будет f 0.

Фокусные расстояния f, f удовлетворяют соотношениям n n = =Ф (3.8) f f где n - показатель преломления среды предметов, n'- показатель среды изображений. Величина Ф называется оптической силой линзы. Если n = n, то f = - f Формула линзы.

Из схемы хода лучей через линзу вытекает ( см. рис.3.1):

f x 1 y = = = (3.9) y x f Отсюда получаем соотношение, называемое формулой Ньютона :

x x = f f (3.10) Здесь x'= F'O', - x = FO ( см. рис.3.1 ). Если ввести расстояния s' = f + x', (-s) = (-x) + (-f), то формула (3.10) запишется как f f + = s s Наконец, при f = - f ', получаем формулу линзы :

1 1 ( f 0, s 0, s ' 0) + = (3.11) s ( s ) f Замечания.

1. Полученные закономерности преломления лучей линзой справедливы для тонких линз и для лучей, мало отклоняющихся от оптической оси. Такие лучи в оптике называют параксиальными.

2. Для тонких линз точки Н, Н' практически сливаются в одну точку, расположенную в центре линзы.

Теория оптических систем достаточно подробно изложена в монографии [3]. Там же можно найти многочисленные примеры применения оптических устройств. Устройство некоторых важнейших оптических систем дано в Приложении 2.

ЗАДАЧИ Задача 3. Доказать, что с точностью до квадрата угла падения параксиальные лучи отражаются от сферичекого вогнутого зеркала в одной и той же точке F, расположенной на расстоянии R/2 от поверхности зеркала (рис.3.3).


б) Луч а) В О1 F O O1 F1 F2 O Рис.3. Решение. Пусть луч, параллельный оптической оси О1О, пересекает ее в точке F. Из рис.3.3,а видно, что AF = FO, FB = AB tg. Для параксиальных лучей 1, поэтому 1 2 22 R(1 + 2 / 2) / 2 R / FB R / 2, AF = FO = ( AB + AB(1 + ) FB ) что и доказывает сформулированное утверждение. Таким образом, фокусное расстояние сферического вогнутого зеркала для параксиальных лучей равно ОF = R/2. Из рис.3.3,б видно, что погрешность расположения фокуса (сферическая аберрация) равна F = OF1 OF = R ( 1 2 ) / 4, i 1, i = 1, 2.

Задача 3.2.

Вывести формулу сферического выгнутого зеркала ( см. рис.3.4 ) B1 1 P y O1 O2 F B O y P A1 a a Рис.3. Решение. Так как лучи 1, 2 параксиальные, то 1, 1, поэтому и подобия FPO и FO1 A1, FBP и FB1O2 имеем y/y' = FA / f = f / FB, где f = R/2. Отсюда получаем f 2 = FAFB, что с учетом FA = a1 - f, FB = a2 f дает (a1 - f)(a2 - f) = f 2. Из последнего соотношения следует формула сферического вогнутого зеркала: 1/a1 + 1/a2 = 1/f.

Задача 3.3.

Где будет находиться и какой величины будет изображение Солнца в сферическом рефлекторе, радиус кривизны которого равен R = 16 м ?

Решение. Ход лучей изображен на рис.3.4, где y = 695 тыс. км - радиус Солнца, a1 = 149,5 млн.км - расстояние от Земли до Солнца. Из формулы сферического зеркала получаем a2 ~ R/2, то есть изображение находится y'/y = f / FA = f /a1, получаем вблизи фокуса, а из соотношения y '= f (y/a1) = 3,7 см. Поэтому размер изображения равен 2y' = 7,4 см.

Задача 3.4.

Телескоп имеет объектив с фокусным расстоянием f1 = 150 см и окуляр с фокусным расстоянием f2 = 10 см. Под каким углом видна полная Луна в этот телескоп, если невооруженным глазом она видна под углом 31' ?

Решение. Используя формулу (3) Приложения 2, получим tg = ( f1 / f 2 )tg. При малых углах (в радианной мере !) это соотношение можно представить как = ( f1 / f 2 ), что дает = 7 0 45.

4. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТОВЫХ ВОЛН 4.1. Понятие интерференции световых волн Понятие интерференции световых волн рассмотрим на примере сле дующей задачи.

Пусть даны две среды с показателями преломления n1, n2, разделенные линией ОР (плоская задача: характеристики света не меняются в направлении, перпендикулярном некоторой плоскости, совпадающей с плоскостью рис.4.1). Из точки О испускаются два луча соответственно в первую и во вторую среды так, что после отражения от зеркал они вновь сходятся в точке Р. Считаем, что лучи соответствуют плоским монохроматическим волнам ( амплитудные векторы параллельны и нап равлены, например, перпендикулярно плоскости рисунка ). Будем также пренебрегать поглощением света.

Зеркало Экран n P O n Зеркало Рис.4.1. Интерференция двух световых волн Согласно формуле (1.7) напряженность электрического поля в первом и во втором лучах описывается соотношениями E i = Ai cos i, i = t + i, i = k i si + 0, i = 1, где si - длина i-го луча, отсчитываемая от источника до точки слияния P.

E = E1 + E2.

Результирующее поле определится как Используя тригонометрические формулы, получаем соотношение A 2 = A1 2 + A2 2 + 2 A1 A2 cos, E = Acos ( t + ), = 2 (4.1) cos = ( A1cos1 + A2 cos 2 ) / A, sin = ( A1sin1 + A2 sin 2 ) / A Упражнение. Доказать формулу (4.1).

Величина = 2 1 называется разностью фаз. Если разность фаз двух волн остается постоянной во времени, то волны называются когерентными. Существует два типа когерентности: временная и прост ранственная. Временная когерентность обусловливается случайными пульсациями частоты колебаний с характерным временем tког. Если время наблюдения распределения интенсивности света значительно меньше времени когерентности t tког, то можно считать частоту света постоянной и тогда = const, то есть волны когерентны.

Пространственная когерентность обусловлена флуктуациями ( случайными изменениями ) направления волнового вектора, то есть направления распространения волны. Подробнее условия временной и пространственной когерентности рассмотрим ниже.

Итак, будем считать = const, то есть две волны, приходящие в точку Р, когерентны. Найдем разность фаз для лучей 1,2 (рис.4.1). Для этого проведем следующие рассуждения. На длине ds первого луча фаза изменится на величину ds / v 1 = k 0 n1 ds = ( 2 / 0 ) n1 ds, где k0, 0 волновое число и длина волны света в вакууме, соответственно. Тогда приращение фазы 1 между точками ОР первого луча запишется как 1 1 = (2 / 0 ) n1 ds = 2 L1 / 0, L1 = n1 ds, (4.2) 0 где L1 - длина первого луча.

Величина L1 называется оптической длиной пути луча. Совершенно аналогично получаем следующее выражение для приращения фазы второго луча:

1 2 = (2 / 0 ) n 2 ds = 2 L2 / 0, L2 = n 2 ds, 0 Так как фазы обоих лучей в точке О одинаковы и равны 0 ( лучи испускаются одним и тем же источником ! ), то фазы лучей в точке Р запишутся как 1 = t + 0 + 1, 2 = t + 0 + Отсюда находим разность фаз:

= 2 1 = ( 2 / 0 ) (4.3) = L2 L1 (4.4) Величина называется оптической разностью хода двух лучей. Итак для вычисления необходимо уметь вычислять оптические длины лучей L1, L2, для определения которых удобно сформулировать правило:

оптические длины двух когерентных лучей вычисляются от точек на лучах, где волны имеют одинаковые фазы, до точки их слияния. Началь ные точки обычно берутся на волновой поверхности где фаза волны постоянна.

Рассмотрим теперь вопрос об интенсивности света в точке Р. Согласно (1.19) интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды I ~ A2, что, с учетом (4.1), запишется как I ~ A12 + A2 + 2 A1 A2 cos (4.5) Это выражение превращается в равенство при умножении правой части на коэффициент пропорциональности. Из (4.5) следует, что если = ( 2m + 1), m = 1, 2, 3,..., m max, то cos = 1 и I ~ ( A1 A2 ) 2..

То есть при = 0 ( m + 1 / 2), m = 1, 2, 3,...., m max (4.7) интенсивность света в точке Р будет минимальной.

Если = 2 m, m = 1, 2, 3,..., m max, то cos = 1 и I ~ ( A1 + A2 ) 2, то есть при = m0, m = 1, 2, 3,...., m max (4.8) интенсивность света в точке Р будет максимальной.

Таким образом, при наложении ( суммировании ) двух когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других - минимумы интенсивности света. Явление перераспределения интенсивности света при наложении двух когерентных волн называется интерференцией волн.

4.2.Интерференция когерентных световых волн от двух близко расположенных цилиндрических источников Рассмотрим две цилиндрические когерентные световые волны, ис ходящие из источников S1, S2, имеющих вид параллельных тонких све тящихся нитей либо узких щелей ( рис.4.2 ). Область пространства, где волны перекрываются, называется полем интерференции.

Экран Р x S1 s d/ d/ s d S O l Рис.4.2. Интерференция от двух цилиндрических источников Вычислим интенсивность света в некоторой точке Р экрана. При этом мы будем пренебрегать изменением интенсивности света вдоль лучей, что справедливо при выполнении условия |x| l. Принципиальным вопросом является вычисление не величины интенсивности, а распределение максимумов и минимумов интенсивности света на экране. Для этого необходимо вычислить разность фаз для двух волн, приходящих в точку Р, считая, что в источниках S1, S2 они имели одинаковые фазы. Из рис.4. имеем s1 2 = l2 + (x - d/2)2, s2 2 = l2 + (x + d/2)2, Будем считать d ~|x| l, то есть источники света расположены достаточно близко. Тогда из последних соотношений можно приближенно получить s1 = l + 0,5(x - d/2)2/l, s2 = l +0,5 (x + d/2)2/l (4.8) При записи этих выражений отброшены члены порядка (d/l)4. Из последних равенств следует: s2 – s1 = xd/l. Так как показатель преломления среды постоянный, то оптическая разность хода двух лучей согласно (4.2),(4.4) выражается как = n ( s 2 s1 ) = n x d / l Подстановка этого выражения в (4.7) дает координаты точек xm, где будут наблюдаться максимумы интенсивности света:

max I : x m = ± m l / d, = 0 / n, (4.9) m = 1, 2, 3,..., mmax а подстановка этого же выражения для в (4.6) дает координаты точек, где будут наблюдаться минимумы интенсивности света:

min I : x m = ±(m + 1 / 2) l / d, = 0 / n (4.10) m = 1, 2, 3,..., mmax Здесь и в (4.9) = 0 / n - это длина волны света в среде с показателем преломления n, a 0 - длина волны света в вакууме.

Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности света называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами интенсивности света шириной интерференционной полосы. Из формул (4.9),(4.10) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы в данном случае совпадают и равны xm+1 - xm = b = l/d (4.11) Так как длины волн весьма малы ( ~ 0,5 мкм), то для визуального наблюдения интерференционных полос необходимо, чтобы выполнялось условие l/d 1, то есть источники были бы расположены достаточно близко друг к другу.

Если интенсивность света обоих источников одинакова и равна Io, то можно получить, что распределение интенсивности света на экране опре деляется как I = 2 I 0 (1 + cos) = 4 I 0 cos 2 ( / 2), = (2 / 0 ) = 2 d x /( l ).

Упражнение. Доказать эту формулу.

График распределения интенсивности света на экране представлен на рис.4.2. Формула (4.11) имеет важное прикладное значение: по измеренному значению b и по известным значениям l, d можно найти длину волны света.

4.2.1. Парадоксы интерференции В рассмотренной выше задаче мы рассмотрели интерференционное поле на экране вблизи линии симметрии, то есть при выполнении условий xm l, d l. В общем случае условия существования интерференционных максимумов и минимумов в произвольной точке пространства согласно (4.7), (4.8) запишутся как max I: =s2 – s1 = m, (4.12) min I: =s2 – s1 = ( m + ) Интенсивность излучения в произвольной точке пространства согласно (4.5), будет определяться соотношением 2 (s 2 s1 ) I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos (4.13) Из рисунка 4.12 видно, чтоs2 – s1 d, поэтому, если выбрать расстояние между источниками меньше /2: d /2, то уравнения (4.12) в этом случае не будут иметь решения ( относительно =s2 – s1 ) ни при каком m 1.


В частности, при d /2 из (4.13) следует, что во всей области пространства будет наблюдаться интерференционный максимум, интенсивность которого определяется как I = ( I 1 + I 2 ) 2 I1 + I2. В случае же некогерентных источников интенсивность излучения в произвольной точке пространства запишется как I = I1 + I2. Обратим внимание на то, что в обоих случаях каждый из источников излучает одну и ту же интенсивность соответственно I1, I2. Однако, в случае когерентных источников суммарная интенсивность излучения больше, чем в случае некогерентных. В этом суть парадокса интерференции. Парадоксальность эффекта усиления излучения заключается в кажущемся впечатлении о нарушении закона сохранения энергии: при одной и той же мощности излучения передающих устройств в зависимости от когерентности излучателей и геометрии их расположения суммарную мощность излучения в среде можно усиливать или ослаблять. Как отмечается в [3], парадокс разрешается тем, что в случае когерентности источников, когда имеет место усиление излучения, возрастает и мощность, подаваемая на излучатели, и таким образом соблюдается закон сохранения энергии. Тем не менее, на наш взгляд, парадоксальность явления интерференции сохраняется и заключается в том, что состояние излучения в пространстве влияют на процессы, проходящие внутри источника излучения.

В заключение отметим, что описанное явление усиления когерентного излучения при выполнении условия d /2 наблюдается в опытах и имеет важное применение в антенных устройствах.

4.3. Временная и пространственная когерентность световых волн 4.3.1. Временная когерентность Всякая реальная световая волна является суперпозицией колебаний всевозможных частот в некотором достаточно узком интервале частот (t) +. Поэтому в реальной волне частота и фаза являются функциями времени, так что напряженность электрического поля в световой волне выражается как E = Em cos[(t)t + 1(t)].

Если записать (t) = o+ [(t)- o], то напряженность электрического поля можно представить как E = Em cos [ ot + (t)], (t)=1(t)+ (t)t - ot.

Отсюда видно, что зависимость частоты от времени всегда можно пере нести в зависимость фазы от времени. Определим время временной ко герентности tког условием (t+tког) = (t) + и будем считать, что на промежутке времени ( t, t + tког ) фаза меняется монотонным образом. Введем время наблюдения световой волны to. Если выполняется условие t0 tког, (4.14) то на промежутке времени 0 t to можно считать фазу волны пос тоянной. Если условие (4.14) выполняется для обеих волн, то разность их фаз будет постоянной, а значит, эти волны когерентны по отношению к флуктуациям частоты волны.

Введем расстояние, на которое смещается волна за время tког : lког = ctког.

Из определения tког следует, что lког - это расстояние, на котором случайная фаза изменится на. Тогда для получения интерференционной картины путем деления световой волны на две ( рис.4.1 ) необходимо, чтобы оптическая разность хода удовлетворяла условию lког Отметим, что при интерференции двух плоских волн путем деления луча на две волны величина растет с увеличением номера полосы m. По этой причине при достаточно больших m будет ~ lког, что приводит к постепенному уменьшению четкости полос и их исчезновению по мере удаления от центра экрана.

4.3.2.Пространственная когерентность Временная когерентность связана с флуктуациями частоты колебаний световой волны, что эквивалентно ( в силу дисперсионного соотношения = ck ) флуктуациям модуля волнового вектора k. Пространственная когерентность обусловлена флуктуациями направления волнового вектора k, которые характеризуются некоторым углом ( рис.4.3).

Протяженный k источник А света k k Рис.4.3. Флуктуации направления волнового вектора.

Флуктуации вектора k в точке А эквивалентна излучению от протяженного источника Вопрос об определении условий пространственной когерентности рассмотрим на примере интерференции двух волн от близко располо женных источников ( рис.4.4).

x d x l Рис.4.4. К вопросу об определении условий пространственной когерентности двух волн Благодаря флуктуациям направления луча, выходящего из щели в точке О и приходящего в точку М, он будет засвечивать участок шириной 2x с интенсивностью, указанной на рис.4.4. Совершенно аналогичная картина будет наблюдаться и для луча, выходящего из точки О2. Ширина области флуктуации луча x оценивается как x = l (угол считается малым).

Если x будет меньше ширины интерференционных полос b [ см.

формулу (4.11)]: x b, то интерференционная картина не будет "размываться" (области интенсивностей света на рис.4.4 не будут накладываться друг на друга ). Таким образом, интерференционная картина будет различимой при условии l l /d или /d (4.15) Эта формула определяет условие пространственной когерентности двух волн.

Расстояние ког = / (4.16) называется длиной пространственной когерентности. Условие (4.15) можно записать как d ког. (4.17) Заметим, что флуктуация вектора k эквивалентна излучению от протяженного источника ( рис.4.3 ). В этом случае угол определяет угловой размер излучающего источника. Например, угловой размер Солнца составляет 0,01 рад., значит, для Солнца угловая флуктуация направления волнового вектора составляет = 0,01. Длина волны световых волн, излучаемых Солнцем составляет ~ 0,5 мкм, значит для солнечных лучей ког = ( 0,5 / 0,01) мкм = 0,05 мм. Столь малые значения длины пространственной когерентности затрудняют наблюдение интерференции солнечных лучей. Пространственную когерентность можно увеличить, предварительно пропустив луч через небольшое отверстие в не прозрачном экране (рис.4.5). В этом случае можно считать, что на обе щели падает плоская волна. Узкие щели ( их ширина порядка длины длины волны света ) за счет явления дифракции Экран Рис.4.5. Опыт Юнга по наблюдению интерференции солнечных лучей, 1802г.

света являются источниками вторичных волн. Причем вторичное излучение щелей эквивалентно излучению линейных источников света.

Поэтому на экране наблюдаются точно такие же интерференционные полосы, что и при интерференции от двух источников света ( рис. 4.2).

4.4. Способы наблюдения интерференции света 4.4.1. Зеркала Френеля Экран M S Э S2 r O S b N Рис.4.7. Интерференция от зеркал Френеля Схема опыта изображена на рис.4.7. Зеркала МО и ОN повернуты на малый угол и облучаются светом из щелевого источника S. Результат облучения эквивалентен свечению двух мнимых источников S1, S2. В результате на экране Э возникает интерференционная картина, в которой ширина полос выражается как b = (r+b)/(2r ).

4.4.2. Бипризма Френеля Бипризма Френеля представляет собой цилиндрическое стеклянное тело, сечение которого является равнобедренным треугольником с малым углом в основании 1 (рис.4.8,а).

а) б) S d 1 S a b Рис.4. Если бипризму осветить слегка расходящимся пучком лучей ( угол расходимости 1 ), то лучи, выходящие из грани 1, будут иметь начало в мнимом источнике S1, а лучи, выходящие из грани 2 - в мнимом источнике S2. Таким образом, в области наложения лучей будет образо вываться интерференционная картина точно такая же, как при интерфе ренции от двух линейных источников света. Из рис.4.8,а видно, что d = 2 a, где - угол поворота луча в вершине бипризмы (рис.4.8,б).

Используя закон преломления Снеллиуса и малость угла падения 1, получаем 2 = 1/n, где n -показатель преломления стекла (рис.4.8,б). Угол падения 2 на наклонную грань 1 со стороны стекла равен 2 = - 2 = 1/n, а угол преломления при выходе этого луча равен 1 = n2 = n - 1.

Далее, угол выражается как = 1 - = (n-1) -1 и в вершине угла, гле 1 = 0, имеем = (n-1)..Таким образом, получено d = 2a (n - 1). Пусть b - расстояние от вершины бипризмы до экрана, xm - координата m-ой полосы, отсчитывая от линии симметрии. На основании формулы (4.9) имеем m (а + b) x m = ± 0 ml / d = ± 0, m = 0,1,..., m max.

2a (n 1) Отсюда находим ширину дифракционных максимумов 0 ( a + b ) | xm xm | = 2a ( n 1) 4.4.3. Кольца Ньютона Оптическая система состоит из толстой стеклянной пластинки, которая соприкасается с плосковыпуклой линзой достаточно большого радиуса кривизны R, при этом плоская поверхность линзы параллельна поверхности пластины (рис.4.9).

R rm Рис. 4. Если плоскопараллельный пучок света направить перпендикулярно пластинке, то в отраженном свете наблюдается интерференционная картина в виде темных и светлых колец, называемыми кольцами Ньютона.

Для вычисления радиуса светлых колец rm будем считать rm R.

Падающий луч расщепляется на два луча точно также, как при интерференции на клине ( см. задачу 4.3 ): луч 1 отражается от сферической поверхности, а луч 2 - от поверхности пластинки, при этом за счет малости угла клина считаем оба луча параллельными. Оптическая разность хода этих двух лучей равна = 2h, где h = R – b - толщина 2 2 1/2 зазора, b = ( R - r ) R - r /2R. С учетом того, что луч 2 теряет = 0 (m +1/2) = полуволну, получаем условие интерференции в виде = rm /R. Отсюда получаем радиус m-го светлого кольца rm = R0 (m + 1 / 2), m = 0,1, 2,..., mmax Радиусы темных колец получаются из условия = om, что дает rm = R0 m, m = 0,1, 2,..., mmax Из этих формул следует, что в центре интерференционной картины всегда будет темное пятно.

4.4.4. Интерференция при отражении от тонких пластинок При падении световой волны на тонкую прозрачную пленку ( пластинку ) происходит отражение света от обеих поверхностей пластинки (рис.4.10).

Ход лучей от точечного источника ( например, от солнечного света ) указан на рис.4.10,а. Из рисунка видно, что лучи 1,2 будут расходящимися. Однако при достаточной удаленности источника S угол a между лучами будет мал, поэтому на достаточно близком расстоянии от пленки лучи 1,2 можно считать параллельными, что и изображено на рис.4.10,б.

а) б) Отражённый Источни свет Глаз 2 1 В n А С n2 2 d Плёнка D Рис. 4.10 Интерференция света при отражении от тонкой пластинки.

Именно это обстоятельство объясняет то, что интерференционные картины от тонких пленок в солнечном свете видны только на близком расстоянии.

Световые волны 1, 2 при определенных углах падения 1 могут ин терферировать. Найдем условия интерференции. Разность хода лучей, до того, как они належатся в точке С, равна = n2s2 - n1s1, s2 = 2 AD, s1 = BC. Из рис.4.1 имеем s2 = 2d/cos 2, s1= AC sin 1, AC = 2d tg 2.

Поэтому = = 2d(n2 – n1sin1 sin2 )/cos2. Используя закон Снеллиуса n2 sin 2 = n1 sin 1, получим = 2d(n22 - n12 sin 1)/(n2cos 2). Наконец, учитывая равенство n2 cos 2 = (n22 - n22sin2 2)1/2 = (n22 - n12 sin2 1)1/2, получим окончательно = 2d n2 n1 sin 2 (4.17) При вычислении разности фаз лучей 1, 2 необходимо учесть изменение фазы волны при отражении. Если n2 n1, то при отражении первого луча фаза изменится на, а фаза второго луча не изменится ( напомним, что фаза изменяется только при отражении луча от оптически более плотной среды – см. с.18 ). В этом случае = ( 2 / 0 ) = ( 2 / 0 )( 0 / 2) (4.18) При n2 n1 первый луч не меняет фазу, а второй меняет фазу на, поэтому формула (4.18) верна и для этого случая.

Условия образования интерференционных максимумов и минимумов имеют вид max I : = ± 0 ( m + 1 / 2), m = 1, 2, 3,..., mmax (4.19) min I : = ± 0 m, m = 1, 2, 3,...., mmax (4.20) Эти уравнения определяет углы падения 1, при которых будут наблюдаться максимумы и минимумы интенсивности света в интерферен ционной картине.

Можно показать, что условия когерентности для солнечного света при интерференции от тонких пленок накладывают ограничения на толщины пленок в виде неравенства d 0,05 мкм [1]. Отметим также, что из-за отсутствия потери полуволны условия максима и минимума интен сивности в прошедшем свете будут противоположны соответствующим условиям (4.19), (4.20) для отраженного света.

4.5. Просветление оптики При создании оптических систем с большим числом отражающих по верхностей даже малый коэффициент отражения на каждой из них ( R = 4 % для перехода стекло - воздух при нормальном падении ) начинает существенно влиять на общее количество света, проходящего через систему. Сведение к минимуму коэффициента отражения на поверхностях раздела называется просветлением оптики. Пусть на по верхность стеклянной линзы нанесен тонкий слой диэлектрика с показателем преломления меньшим, чем показатель преломления стекла, и свет падает нормально к поверхности. Тогда условие интерференционного минимума запишется как =2nd = 0(m+1/2) (в данном случае нет потери полуволны у обоих интерферирующих лучей, формирующихся за счет отражения от границы воздух-диэлектрик и диэлектрик-стекло). Если положить m = 0, то есть выбрать толщину диэлектрической пленки минимальной, при которой будет наблюдаться минимум в отраженном свете d = 0/4n, то оба отраженных луча будут находиться в противофазе и в этом случае отражение от внешней стороны линзы свести к минимуму.

4.6. Многолучевая интерференция Если в точку Р сходятся не один, а множество когерентных лучей, то их наложение называют многолучевой интерференцией.

Многолучевую интерференцию рассмотрим примере интерферометра Фабри-Перо, схематическое устройство которого изображено на рис.4.11.

Линза А В Экран P N Рис. 4. Этот прибор состоит из двух стеклянных или кварцевых пластинок A, B, со строго параллельными внутренними поверхностями, на которые наносятся отражающие прозрачные напыления ( обычно металлические ).

Входящий луч, многократно отражаясь, расщепляется на лучи 1, 2,.., N, которые линзой сводятся в точку Р. Напряженность электрического поля в каждом луче выражается как ( используем комплексную форму записи ) E1 = A0exp(i t), E2 = A0 exp(i t + ), En = A0 N 1 exp[i t + ( N 1) ], i = где - разность фаз двух соседних лучей, - коэффициент отражения от внутренней поверхности, N - число лучей, на которые расщепляется исходный падающий луч. Результирующее поле выражается как ( о методике вычисления см. подраздел 5.6. Дифракционная решетка) 1 n exp( N ) N E = Ej = exp(i t ), i = 1 exp(i ) j= Если N 1, то N 1 и для квадрата амплитуды колебаний получаем A | E |=| A |2 = (1 ) + 4 sin 2 ( / 2) отсюда находим интенсивность света в точке Р I I= (1 ) + 4 sin 2 ( / 2) где I1 - интенсивность первого луча.

Если - угол падения первого луча на зеркальную поверхность первой либо второй пластинки, d - расстояние между ними, то оптическая разность хода двух соседних лучей выражается как = (2 / )( 2d / cos ).

При /2 = m, ( m - целое ) будут наблюдаться интерференционные максимумы, интенсивность которых определяется как Imax = I1/(1- )2.

Если коэффициент отражения близок к единице, то светлые полосы можно сделать значительно ярче, по сравнению с яркостью полос при двухлучевой интерференции. Обратим внимание, что яркость света в областях интерференционных минимумов будет ненулевая и выражается как Imin = I1/(1+ )2.

ЗАДАЧИ Задача 4.1.

В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей помещалась перпендикулярно тонкая стеклянная пластинка с показателем преломления n = 1,5. В результате центральная светлая полоса сместилась на 5-ую светлую полосу, которая формируется в отсутствие пластинки. Длина волны света 0 = 610-7 м. Найти толщину пленки h.

Решение. Схема опыта изображена на рис.4.2, который необходимо дополнить изображением пластинки, расположенной перпендикулярно одному из лучей, скажем луча 1. В предположении малости наклонов лучей, длины лучей будут определяться соотношениями (4.8). Оптическая длина первого луча равна L1 = s1 - h + nh, L2 = s2, поэтому для оптической разности хода получаем = xd/l - (n-1)h. Из условия максимума интенсивности света (4.7) для центрального максимума (m = 0) находим:

x = xo = (n-1)h0 (l/d). C другой стороны, xo - это координата 5-ой полосы при отсутствии пластинки x5 = xo = 5 0 l/d, откуда l/d = x0 /50. Таким образом, имеем x0 = (n-1)h oxo/0, что дает h = 50/(n-1) = 610-7 м.

Задача 4.2.

На мыльную пленку ( n = 1,33 ) падает белый свет под углом 1 = 45o.

При какой наименьшей толщине пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый свет (0 = 0,6 мкм ) ?

Решение. Согласно формуле (4.19) максимум интенсивности отражен ного света будет наблюдаться при выполнении условия 2d (n2 – sin21)1/2 = 0 (m + 1/2). Минимальная толщина пленки будет при m = 0, откуда d = 0 / [4(n2 - sin21)1/2] = 0,12 мкм.

Задача 4.3.

Мыльная пленка ( n = 1,33 ), расположена вертикально, образует клин вследствие стекания жидкости (рис.4.12). Наблюдая интерференционные полосы в отраженном свете ртутной дуги (0 = 0,5461 мкм ), обнаружено, что расстояние между пятью полосами равно b5 = 2 см.

Найти угол клина, если свет падает перпендикулярно поверхности.

а) б) O x h A B 2 Рис.4.12. а) схема расчета, б) фотография интерференционной картины Решение. Вследствие малости угла 1, луч 1, отраженный от верхней поверхности пленки, можно считать горизонтальным. Пусть h толщина пленки в сечении x ( рис.4.9). Тогда оптические длины лучей 1, запишутся как L1 = 0, L2 = 2nh. Учитывая, что луч 1 теряет половину волны, получаем условие максимума интенсивности отраженной волны в виде 2nh = 0(m+1/2), m = 0,1,2,... Из OAB имеем h = x tg, поэтому координаты светлых полос определяются как 0 ( m + 1 / 2) x = xm = 2n tg Отсюда находим расстояние между пятью полосами b5 = xm+5 - xm = 5o/(2ntg). Из этого соотношения находим tg = 5o/(2nb5) = 510-5, то есть = 510-5.

Задача 4.4.

В опыте с интерферометром Майкельсона для смещения интервенционной картины на 500 полос потребовалось переместить зеркало на расстояние l = 0,161 мм. Найти длину волны света.

S h P А О Приёмни P S2 S Зеркало Источник света Рис. 4.13 Схема интерферометра Майкельсона Решение. Схема интерферометра Майкельсона изображена на рис.4,10.

Пучок света от источника падает на разделительную пластику P1, покры тую тонким слоем серебра или алюминия. Луч 1, прошедший через плас тинку Р1, отражается от зеркала S1 и, попадая опять на пластинку Р1, частично отражается по направлению AO к приемнику. Луч 2, который формируется за счет отражения от внутренней зеркальной стороны плас тинки Р1, падает на зеркало S2 и, отражаясь от него, походит вновь через пластинку Р1 и сливается c лучом 1. Лучи 1, 2 когерентны, поэтому в приемнике они будут интерферировать. Так как луч 2 пересекает плас тинку Р1 три раза, а луч 1 - один раз, то на его пути устанавливается точно такая же пластинка Р2, чтобы скомпенсировать добавочную оптическую разность хода.

Наблюдаемая интервенционная картина будет соответствовать интер ференции в воздушном слое, образованном зеркалом S2 и мнимым изобра жением S1' зеркала S1 в пластинке Р1. Обычно зеркала устанавливаются таким образом, чтобы эквивалентный воздушный слой имел вид клина. В этом случае наблюдаются интервенционные полосы равной толщины, рас полагающиеся параллельно ребру воздушного клина.

Действуя также как и в задаче 4.3, получаем условие интерферен ционных максимумов до перемещения зеркала в виде 2h = 0 m и после пе ремещения: 2(h + l)= 0 (m + 500). Отсюда получаем 0 = 2l /500 = 0, мкм.

Задача 4.5.

На поверхность стеклянного объектива (n1 = 1,5) нанесена тонкая пленка, показатель преломления которой n2 = 1,2. ("просветляющая" пленка). При какой наименьшей толщине этой пленки произойдет макси мальное ослабление отраженного света в средней части видимого спектра ( = 0,555 мкм ).

Решение. По формуле d = /4n ( см. подраздел 4.5. Просветление оптики) находим d = 0,115 мкм.

5.ДИФРАКЦИЯ СВЕТА 5.1.Понятие дифракции света. Принцип Гюйгенса - Френеля Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Под резкими неод нородностями обычно подразумеваются края экранов, отверстия или препятствия, размеры которых сравнимы с длиной волны света.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.