авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«А. И. ЖАКИН ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ ( оптика и квантовая механика ) 1 УДК 53 (075.8) Лекции по физике: Учеб. пособие / А. И. Жакин; Курск, ...»

-- [ Страница 2 ] --

Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн. По историческим причинам перераспределение интенсивности, возникающее в результате суперпо зиции волн от нескольких источников, принято называть интерференцией.

Перераспределение интенсивности, возникающее вследствие супер позиции когерентных волн, возбуждаемых одним источником, принято называть дифракцией.

Различают два вида дифракции. Дифракция параллельных лучей на зывается дифракцией Фраунгофера, в остальных случаях - дифракцией Френеля.

Изучение дифракции света основано на принципе Гюйгенса - Френеля, математическое обоснование которого было дано Кирхгофом. Согласно принципу Гюйгенса - Френеля каждые элементы волновой поверхности S ( рис.5.1) являются источниками вторичных когерентных волн, так что от каждого участка dS в точку Р, расположенную на экране, приходит волна A cos( t kr + S ) dSn dE = a (5.1) r где S - фаза волны на S;

r - расстояние от dS до точки Р;

dSn -проекция площади dS на плоскость, перпендикулярную к направлению луча, соединяющего dS и Р;

A0 - амплитуда колебаний на S, a - постоянный коэффициент пропорциональности.

Экран n DS dSn=cos dS n dS r P dS r P S Рис.5.1. К вопросу о принципе Гюйгенса - Френеля Обоснование формулы (5.1) производится следующим образом.

Представим напряженность электрического поля в комплексной форме E = A exp(i t), где A - комплексная амплитуда поля, так что реальное поле определяется вещественной частью Re(E) комплексного поля. Подставляя комплексное поле в волновое уравнение (1.5), получаем уравнение Гельмгольца A + k2A = Используя фундаментальное решение этого уравнения u = exp(-ikr)/r, где r имеет тот же смысл, что и в (5.1), поле в произвольной точке Р за экраном можно найти по формуле Грина 1 A u u n + A n dS A= 4 S где S – волновая поверхность, /n – производная вдоль нормали n ( см. рис. 5.1).

Будем считать, что за экраном поля нет, то есть на поверхности экрана со стороны области, где находится точка Р, поле обращается в ноль, а на волновой поверхности амплитуда поля постоянна на S: A = A Тогда в формуле Грина будет А/n = 0, и для поля в произвольной точке за экраном будем иметь A0 d e ikr dS n = cos dS dS n, A = dA, dA = (5.2) 4 dr r S Здесь учтено, что производная по нормали связана с производной вдоль направления вектора r соотношением /n = cos d/dr.

Дифференцируя, получим d e ikr e ikr = (ikr + 1) dr r r Используя это соотношение, можно ввести понятия ближней и дальней дифракционных зон: в области расстояний kr 1 дифракционная область называется ближней, kr 1 – дальней. В дальней дифракционной области имеем ikA0 e ikr dA = dS n 4 r Очевидно iA0 = A0 exp(is), где A0, s – амплитуда и фаза волны на волновой поверхности S. Теперь, умножая dA на exp(i t) и беря реальную часть от полученного соотношения, получаем формулу (5.1), в которой a = k/4.

Рассмотрим различные случаи дифракционных явлений.

5.2.Дифракция Френеля от края пластинки Пусть свет испускается точечным источником Q, и на пути лучей стоит плоский экран с прямолинейным краем, как указано на рис.5.2 ( экран перпендикулярен лучу QD, который касается края экрана ). Введем систему координат так, как указано на рисунке ( ось x направим вдоль QD, а начало поместим на краю экрана ).

L z P dS Q O x D Dq Dp y Рис.5.2. Дифракция Френеля от края пластинки Поставим вопрос об определении интенсивности света в точке Р, считая, что она расположена достаточно близко к оси x:

xp = Dp ~ Dq |zp|, (5.2) где xp, zp - координаты точки Р, причем, ради простоты считаем, что точка Р находится на плоскости (x, z). Расстояния Dp, Dq указаны на рис.5.2.

В данном случае s = k ( y 2 + z 2 + Dq 2 )1 / 2 + 0, r = ( y 2 + ( z z p ) 2 + D p )1 / где x, y, z - координаты точки местоположения элемента поверхности dS на волновой поверхности S, совпадающей с полуплоскостью (y, z | z 0).

Вычисления проведем в предположении, что основной вклад в ин тенсивность дает часть поверхности S, расположенной вблизи края экрана:

|y| L1, z L2, причем L1 ~ L2 Dp. Тогда, с учетом (5.2), можно считать dSn = dydz, A0 = const, s = - k [Dq + 1/2( z2 + y2)/Dq] + 0, r = Dp + 1/2(y2 + ( z - zp)2)/Dp.

Интенсивность в точке Р запишется как k y 2 + x 2 y + ( z z p ) 2 2 L1 L 2 A dy dz cos t + 2 D + = Ca I Dp Dp L1 q где a = a0 - k (Dq + Dp), а угловые скобки обозначают операцию усреднения по времени. Размеры L1, L2 слабо влияют на значение этого интеграла, поэтому можно положить L1 = L2 =.

Выражение (5.3) можно преобразовать к виду ( kDq ) 2 zq I = I 0 [1 + F ( w)], w= [2 D p ( D p + Dq )] График зависимости I от w представлен на рис.5.3, из которого видно:

во-первых, свет заходит за край, во-вторых, интенсивность света осциллирует вблизи края экрана.

I Геометрическая тень I Экран z Рис.5.3.Распределение интенсивности света при дифракции от края Рассмотренный пример показывает, что расчет интенсивности света по формуле (5.1) представляет довольно сложную математическую задачу.

Существует упрощенный способ, называемый методом зон Френеля.

5.3.Метод зон Френеля. Дифракция от круглого отверстия Этот метод применяется для систем, имеющих ось симметрии. Суть метода рассмотрим на примере дифракции света от круглого отверстия при испускании света точечным источником Q, находящимся на линии симметрии QР ( рис.5.4, а ).

а) б) Bm rm r0 bm F Q hm P S b Рис.5.4. Дифракция Френеля от круглого отверстия: а) метод расчета б) фотография изображения дифракционной картины от экрана с малым круглым отверстием.

Вычислим интенсивность в точке Р, лежащей на оси симметрии. Для этого разобьем сферическую волновую поверхность S на участки так, чтобы расстояния bm от внешнего края m-й зоны до точки Р выражалось как bm = b + m /2 = bm-1 + /2.

В этом случае колебания, приходящие в точку Р от внешних краев двух соседних зон, отличаются по фазе на.

Упражнение. Доказать это утверждение.

Участки волновой поверхности S, находящиеся между линиями разбиения, называются зонами Френеля. Площади зон Френеля для не слишком больших m одинаковы и выражаются как ab S m = a+b Рассматривая треугольники QBmF и BmPF, находим радиус зон Френеля в виде 1/ ab m rm = a+b Число зон m*, размещающихся на волновой поверхности, определяется из условия равенства m-го радиуса зоны Френеля радиусу отверстия r0 :

r0 = rm*.

Приближенно можно считать, что напряженности электрического поля в зонах Френеля постоянны, а в силу того, что фазы соседних зон отличаются на, значения напряженностей поля в соседних зонах имеют противоположные знаки. Поэтому результирующая амплитуда в точке Р будет выражаться как A = A1 – A2 + A3 – A4 +........+ (-1)m-1 Am. (5.5) Для не слишком больших m можно считать A1 ~ Am, поэтому из (5.5) сле дует:

A ~ A1, m - нечетное;

A = 0, m - четное.

Таким образом, при нечетном числе зон в точке Р будет яркое пятно, при четном числе зон - тень.

Отметим, что отсутствие экрана эквивалентно случаю больших чисел m.

В этом случае с учетом Am= (Am-1 + Am+1)/2 из (5.5) следует, что A ~ A1/2, поэтому яркость пятна при наличии экрана с отверстием (в случае нечетного числа зон) в 4 раза больше, чем при отсутствии экрана.

5.4. Дифракция от круглого диска Если вместо темного экрана с отверстием на пути лучей поместить круглый диск радиуса r0, то при r0 ~ за диском на экране также возникнет дифракционная картина, состоящая из чередующихся светлых и темных полос. Если диск закрывает m зон Френеля, то амплитуда в точке Р будет выражаться как A = Am+1 - Am+2 + Am+3 -..... = Am+1/2, Отсюда видно, что в центре экрана будет светлое пятно при любом радиусе диска.

5.5. Дифракция Фраунгофера от щели Пусть на достаточно длинную щель (ее длина значительно больше ее ширины) падает плоская монохроматическая волна ( рис.5.5). Будем считать, что между щелью и экраном расположена плоская собирающая линза, при этом ее оптическая ось совпадает с линией симметрии, а экран расположен в фокальной плоскости. В этом случае линза будет собирать плоскопараллельные лучи, находящиеся в плоскости рисунка и распространяющиеся под углом к оптической оси в одну точку Р.

Вычислим интенсивность света в точке Р.

Принцип Гюйгенса-Френеля в случае плоскопараллельного пучка лучей записывается следующим образом:

dE = A cos ( t - (x)) dx, где A - амплитуда на волновой поверхности, совпадающей с плоскостью щели, dx - ширина малого участка на волновой поверхности ( см. рис.5.5);

(x) - фаза волны в точке x на волновой поверхности, где расположен малый участок dx.

b x dx O = x sin Экран P Рис.5.5. Дифракция Фраунгофера от щели Пусть фаза волны в точка O равна 0. Тогда фаза в точке с координатой x равна ( x ) = 0 + ( 2 / ) ( x ), где ( x ) = x sin (см. рис.5.5). Таким образом, dE = A cos [ t -(2 x/ ) sin + 0]dx = A cos (t + 0 - 2 x)dx, = ( / )sin Результирующее поле в точке Р запишется как b/ = A [ sin ( t + 0 + b ) - sin ( t + 0 - b ) ]/(2 ) = dE E= b / = A cos ( t + 0 ) sin ( b ) / (5.6) Используя формулу (1.19), из (5.6) для интенсивности света получаем sin 2 b I 0 = CA 2 b I = I0 = sin,, ( b) Зависимость интенсивности I от sin изображена на рис.5.6, из которого видно, что на экране возникают чередующиеся полосы светлых и темных пятен, причем угловые координаты центров темных полос определяются из условия b = (b / ) sin = m, m = 1, 2, 3,....., mmax (5.7) Так как sin 1,то из (5.7) следует, что данная теория справедлива для полос с номерами m b/. Отсюда следует, что дифракционные полосы возникают только в том случае, если размеры щели больше длины волны света b.

I sin -2/b -/b /b 2/b Рис.5.6. Интенсивность света на экране при дифракции от щели Рассмотрим теперь случай, когда роль линзы играет хрусталик человеческого глаза ( рис.5.7), а угол настолько мал, что можно считать sin = = x/l, где x - расстояние от оси симметрии до точки Р.

l Глаз b x x Рис.5.7.Дифракционная картина от щели обусловленная собирающим действием хрусталика человеческого глаза Определим расстояния xm,задающие местоположение темных полос на экране (сетчатке человеческого глаза). Из рис.5.7 следует, что величины xm определяются как xm = m /b, a ширина полос x = xm - xm-1 запишется как x = l/b. (5.8) Обратим внимание на то, что ширина полос при дифракции от щели при условии b l совпадает c шириной полос при интерференции от двух точечных источников (см. формулу (4.11)), что является следствием единой волновой природы явлений дифракции и интерференции.

Дифракционная картина обычно имеет характерные размеры щели xm ~ b. Из физических соображений следует, что при xm b наблюдается дифракция Фраунгофера (лучи, выходящие из волновой поверхности, почти параллельны ), при xm ~ b - дифракция Френеля. При xm b лучи распространяются по законам геометрической оптики.

5.6.Дифракционная решетка Дифракционной решеткой называют совокупность большого числа одинаковых, отстоящих на одинаковом расстоянии друг от друга щелей на непрозрачном экране ( рис.5.8). Расстояние d между серединами соседних щелей называется периодом решетки. Будем считать, что ширина щелей равна b, а между решеткой и экраном помещена собирающая плоская линза, причем экран расположен в фокальной плоскости линзы.

Экран d P Линза Рис.5.8. Дифракция от дифракционной решетки Вычислим интенсивность света на экране в точке Р. Пусть Ej амплитуда волны от j-й щели дифракционной решетки (рис.5.8). Согласно (5.6), эта амплитуда выражается как =( / ) sin, Ej = A cos ( t + j ) [ sin( b)]/, где j - фаза волны в j-й щели. Из рис.5.8 видно, что фазы двух соседних щелей отличаются на величину = (2 / ), = d sin, поэтому j = 0 + j, = (2 / ) d sin.

Результирующая амплитуда в точке Р определяется суммой амплитуд от каждой щели:

sin b N N E = Ej = A cos( t + j + 0 ) (5.9) j =1 j = где N - число щелей. Для вычисления суммарной амплитуды необходимо найти сумму N cos( t + j + 0 ) (5.10) j = которая вычисляется следующим образом. Введем вспомогательную сумму N sin( t + j + 0 ) (5.11) j = Умножим (5.11) на мнимую единицу i и сложим с суммой (5.10). Ис пользуя формулу Эйлера cos + i sin = exp(i) и формулу для суммы геометрической прогрессии, получим 1 exp(iN ) N N exp[i ( t + j + 0 )] = exp[i ( t + 0 )] exp(i j ) = exp[i ( t + 0 )] 1 exp(i ) j =1 j = Запишем комплексную дробь в тригонометрическом виде:

1 exp(iN ) = a exp (i1).

1 exp(i ) Здесь a - модуль дроби, квадрат которого выражается как 1 exp(iN ) 1 exp( iN ) 1 cosN sin 2 ( N / 2) a= = =.

1 exp(i ) 1 exp( i ) 1 cos sin 2 ( / 2) Амплитуду (5.9) можно записать в виде sin b = a cos ( t + 0 + 1 ) E=A Используя это выражение и формулу для интенсивности света (1.19), получаем следующее выражение для интенсивности света в точке Р:

sin 2 ( b) sin 2 ( N / 2) I = C E = I 0 ( b) 2 sin 2 ( / 2) (5.12) I 0 = CA2b 2 / 2, = ( / ) sin, = ( 2 / ) d sin.

Первый множитель обращается в нуль при значениях углов, удовлетворяющих условию b sin = n ( n = 1, 2, 3,..., nmax ). Второй множитель принимает значения N, при углах, удовлетворяющих условию d sin = m (m =1, 2, 3,…, mmax). Для этих направлений угла амплитуды колебаний световых векторов связаны соотношением A = N A1, где А1 амплитуда колебаний в точке Р, возбуждаемых одной щелью. Номера m, определяющие угловые направления усиления света, называются главными интенсивностями.

Дифракционная картина распределения интенсивности света на экране при пропускании монохроматического света через дифракционную решетку и собирающую линзу представлена на рис.5.9. Как следует из предыдущих рассуждений, интенсивность света в точках максимумов в N раз больше, чем соответствующая интенсивность от одной щели.

В том случае, когда углы малы, ширина дифракционных полос определяется соотношением x = l / d. Эта формула доказывается совершенно аналогично доказательству формулы (5.8).

I sin -2/b -/b /b 2/b Рис.5.9. Распределение интенсивности при прохождении света через дифракционную решетку и собирающую линзу в случае d b.

При пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, красный – наружу. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор.

Схематическая картина спектров разных порядков при пропускании белого света через дифракционную решетку представлена на рис.5.10.

Номера максимумов -2 -1 0 1 Цвета кp ф кр ф б кр ф кр ф Рис.5.10. Дифракционная картина, образующаяся после прохождения белого света через дифракционную решетку.

5.7. Дисперсия и разрешающая сила оптических приборов.

Характеристиками любого спектрального прибора являются дисперсия и разрешающая сила.

Угловой дисперсией называется величина D f = d / d, где = ( ) - угловая координата спектральной линии ( красной, желтой и т.д.). Используя соотношение d sin = m, получим Df = m/(dcos ) (5.13) Из определения следует: чем больше угловая дисперсия, тем больше угловое расстояние между соседними спектральными линиями, то есть тем выше разрешающая сила прибора.

Линейной дисперсией называется величина D = dx /d, где x - координата спектральной линии на экране, отсчитываемая от оптической оси. Можно показать, что при малых углах имеет место D = l Df, где l – расстояние от дифракционной решетки до собирающей линзы ( до глаза наблюдателя ).

Разрешающей силой спектрального прибора называют величину R = / (5.14) где - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно. Считается, что два близких максимума воспринимаются раздельно, если середина одного максимума совпадает с краем другого ( критерий Рэлея – см.рис.5.11).

Рис.5.11. Критерий Рэлея по определению разрешающей силы спектрального прибора.

Вычислим величину R, исходя из критерия Рэлея. Пусть имеются две волны с длинами 1, 2. Угловые координаты соседних максимумов m-го порядка определяются из условий (d / 1 )sin1m = ( d / 2 )sin 2 m = m (5.15) С другой строны, для волны с длиной 1 между максимумами m и m+ порядков существует N – 1 минимумов. Угловые координаты этих минимумов определяются из условий sin (N 1 /2) = 0, sin ( 1 /2) 0, откуда 1 /2 = (k/N) + m, k = 1, 2, 3,..., N - 1.

Полагая k = 1, находим угловую координату 1кр, определяющую край m-го максимума (d / 1 ) sin1кр = m + / N (5.16) Введем m = 1кр - 1m и будем считать углы малыми. Тогда из (5.15) следует 1m = ( 1/d)m, 2m = ( 2/d)m, а из (5.16) m = ( 1 /d)/N Согласно предположению Рэлея, 2m = 1кр = 1m + m, откуда следует m ( 2 1 ) = ( 1 / d ) / N d Обозначая = 2 - 1, получаем искомый результат R = / = m N 5.8. Приложение теории дифракции света к рентгеноструктурному анализу и голографии 5.8.1. Рентгеноструктурный анализ Как известно, кристаллы представляют собой упорядочено располо женные атомные или молекулярные системы. Плоскости, проходящие че рез центры атомов, называются атомными плоскостями. Оказывается, что падающие электромагнитные волны могут отражаться от атомных плос костей и создавать дифракционные картины. Если d - межатомные расс тояния ( обычно d ~ 1 Ao ), - длина электромагнитной волны, то в силу известного условия появление дифракционной картины d [ см.

раздел 5.5.] можно сделать вывод о том, что дифракция от кристаллов может наблюдаться только для излучения с достаточно малой длиной волны. Например, рентгеновских лучей, длины волн которых составляют 0,01 - 100 Аo. Впервые дифракция рентгеновских лучей от кристаллов наблюдалась в 1913 г. в опытах Лауэ, Фридриха и Книппинга.

Наиболее простое условие дифракции рентгеновских лучей дали Брегг и Вульф в 1913 г. Картина, поясняющая ход рентгеновских лучей, дана на рис.5.12, из которой видно, что ход рентгеновских лучей практически совпадает с картиной движения лучей при интерференции света от тонкой пленки [ см. раздел 4.4.].

2 1 1, Фотопластинка d Рис.5.12. Дифракция рентгеновских лучей на атомной решетке Используя формулу (4.17), в которой n1 = n2 = 1, = /2 - 1, и формулу (4.19), в которой нет вычитаемого 0/2, получаем условие интерференции Брегга-Вульфа для рентгеновских лучей в виде 2 d sin = m, m = 1, 2, 3,..., mmax.

Рентгеноструктурный анализ используется для определения меж атомных расстояний, а тем самым и определения кристаллической структуры. Существуют два метода рентгеноструктурного анализа: метод Лауэ, в котором используется цельный образец кристалла (см. [1], стр.420), и метод порошка ( см.[1], стр. 421 ).

5.8.2. Голография Голографией называют систему методов записи и воспроизведения структуры монохроматических ( или квазимонохроматических ) оптичес ких полей. Впервые идея записи и воспроизведения структуры электро магнитных полей была высказана Габором в 1948 г. Он же продемонс трировал реальность голографического изображения. суть метода можно уяснить, рассмотрев схему опыта, изображенного на рис.5.13.

Из рис.5.13,а видно, что на фотографическую пластинку записывается интерференционная картина от двух пучков лучей. Воспроизведение производится освещением голограммы опорным пучком света. Основное требование при голографическом изображении - это высокая когерентность световых лучей, которая может достигаться только при использовании лазерных источников света. Более подробно о принципе голографического изображения см. в Приложении 2.

а) З З б) 5 Рис.5.13.Принципголографии: а) запись изображения на голографическую пластинку, б) воспроизведение изображения;

1 – опорный пучок;

2- предметный, 3 – голограмма;

5 – мнимое, 6 - действительное изображения ЗАДАЧИ.

Задача 5.1.

На диафрагму с отверстием диаметра D = 1,96 мм падает нормально плоскопараллельный пучок света ( = 0,6 мкм). При каком наибольшем расстоянии между диафрагмой и экраном в центре дифракционной картины будет наблюдаться темное пятно?

Решение. Радиyсы зон Френеля определяются формулой (5.4), где а = (лучи плоскопараллельные, значит источник находится на бесконечно большом расстоянии от диафрагмы ), следовательно rm = (b m)1/2. Из условия R = D/2 = = rm находим число зон Френеля m = R2/( b). Выражая отсюда b, получаем b = R2/( m). В центре будет темное пятно при четном m, поэтому максимальное значение b будет при m = 2, что дает bmax = D2/(8) = 0,8 м.

Задача 5.2.

На щель шириной b = 20 мкм падает нормально плоскопараллельный пучок монохроматического света ( = 0,5 мкм). За щелью расположена плоская собирающая линза ( см.рис.5.5 ). Найти ширину изображение ще ли на экране, отстоящем на расстоянии f = 1 м от линзы.

Решение. По определению ширина щели на экране равна h = 2x1, где x1 координата 1-го минимума интенсивности. Из рис.5.5 следует x1 =f tg 1, где 1 - угол, соответствующий 1-ому дифракционному минимуму. Из условия bsin m = m находим sin 1 = /b = 0,025, то есть 1 ~ 0,025.

Поэтому h = =2f1 = 5 (cм).

Задача 5.3.

Чему равна постоянная дифракционной решетки, если красная линия ( = 0,7 мкм) в спектре второго порядка видна под углом зрительной трубы 2 = 30o к оси коллиматора ? Свет падает на решетку нормально.

Решение. Схема опыта изображена на рис.5.8. Из условия для m-го интерференционного максимума dsin m = m, находим d sin2 = 2, откуда d = 2/sin2 = 2,8 мкм.

Задача 5.4.

Найти наибольший порядок спектра для желтой линии натрия ( = 0,589 мкм) в дифракционной картины дифракционной решетки, если постоянная дифракционной решетки равна d = 2 мкм.

Решение. Самый крайний дифракционный максимум формируется при угле = /2, поэтому подставляя в условие для дифракционных максимумов dsin = m значение sin = 1 получаем m = [d/l] = 3, где угловые скобки обозначают целую часть числа.

Задача 5.5.

Постоянная дифракционной решетки шириной 2,5 см равна 2 мкм.

Какую разность длин волн может разрешить эта решетка в области желтых лучей ( = 0,6 мкм) в спектре второго порядка ?

Решение. Используя критерий Рэлея / = mN, = 2 - 1 получаем = = /mN. В данном случае m = 2, N = 2,5(см)/2(мкм) = 1,25104, что дает = = /2N = 0,2410-4 мкм = 0,24 Ао.

Задача 5.6.

Какое фокусное расстояние должна иметь линза, проектирующая на экран спектр дифракционной решетки, чтобы расстояние между двумя ли ниями калия 1 = 0,4044 мкм, 1 = 0,4047 мкм в спектре первого порядка было равно x2 – x1 = 0,1 мм. Постоянная дифракционной решетки d = 2 мкм.

Решение. Из формул для дифракционных максимумов первого порядка d sin i = i находим sin i = i/d, i = 1, 2. Из рис.5.8 видно, что коор динаты xi дифракционных максимумов выражаются как x1 = f tg1 = f sin1/ 1 sin 21 = f (1/d) 1 ( 1 / d ) где f - фокусное расстояние линзы.

Наконец, из условия x2 – x1 = 0,1 мм находим f = (x2 – x1)d [2 1 ( 2 / d ) 2 - 1 1 ( 1 / d ) 2 ]-1 = 0,65 м 6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ 6.1. Поляризация света Плоскость, проходящая через световой вектор и направление распространения света, называется плоскостью колебаний. Плоскость, перпендикулярную плоскости колебаний и проходящую через направление распространения волны, называют плоскостью поляризации. Свет называется поляризованным, если при распространении света плоскость поляризации движется упорядоченным образом. Если плоскость поляризации не меняет ориентации в пространстве, то свет называют плоскополяризованным или линейно поляризованным. При вращении плоскости поляризации свет называют эллиптически поляризованным.

Плоскополяризованный свет можно получить из естественного с помощью приборов, называемых поляризаторами. Эти приборы пропускают свет с направлениями колебаний световых векторов, параллельными некоторой плоскости, называемой плоскостью поляризатора.

Если на выходе из поляризатора колебания одного направления преобладают над колебаниями других направлений, то свет называют частично поляризованным. Пусть Imax, Imin - максимальное и минимальное значения интенсивностей света на выходе из поляризатора при его вращении около оси луча. Выражение I max I min Р= (6.1) I max + I min называется степенью поляризации луча, прошедшего через поляризатор.

Если Imin = 0, то поляризатор называют идеальным.

Рассмотрим закономерность прохождения света через идеальный поляризатор, на выходе которого свет полностью поляризован (рис.6.1).

Плоскость поляризатора I0 I Рис.6.1.Закономерность прохождения света через поляризатор Колебания амплитуды А, совершающиеся в плоскости, образующей с плоскостью поляризатора угол ( см. рис.6.1), можно разложить на два колебания с амплитудами А1 = А cos, А2 = А sin. Первое колебание пройдет через прибор без изменений, а второе будет поглощено поляризатором. Интенсивность прошедшей волны будет пропорцио нальна величине А12 = А2 cos2, откуда следует так называемый закон Малюса:

I = Io cos2 (6.2) Упражнение. Вычислить интенсивность света, выходящего из поляри затора, при пропускании через него естественного света интенсивности I.

6.2.Двойное лучепреломление.

При прохождении света через прозрачные кристаллы, за исключением кристаллов кубической системы, наблюдается явление двойного лучепреломления. Это явление заключается в том, что падающий на кристалл луч разделяется внутри кристалла на два луча, распростра няющихся в общем случае с разными скоростями и в различных направлениях. Например, при нормальном падении луча белого света на пластинку, вырезанную под углом к оптической оси, на выходе из пластинке будут два луча: обыкновенный и необыкновенный. Оба луча будут поляризованными с взаимно ортогональными плоскостями поляризации ( рис.6.2).

Кристаллы, обладающие двойным лучепреломлением, подразделяются на одноосные и двухосные. Рассмотрим подробнее свойства одноосных кристаллов типа исландского шпата, кварца, турмалина и др. У одноосных кристаллов один из преломленных лучей подчиняется обычному закону преломления Снеллиуса. Этот луч называется обыкновенным и обозначается буквой о. Второй луч не подчиняется закону Снеллиуса и называется необыкновенным ( обозначается буквой е ). У одноосных кристаллов существует направление, вдоль которого обыкновенный и необыкновенный лучи распространяются не разделяясь и с одинаковой e o Кристалл Рис.6.2.Двойное лучепреломление в одноосном кристалле скоростью. Это направление называется оптической осью кристалла.

Любая плоскость, проходящая через оптическую ось, называется главным сечением кристалла.

Двойное лучепреломление объясняется анизотропией кристаллов.

Математически анизотропия выражается тем, что вектора D и E связаны по тензорному закону. Например, для одноосных кристаллов 1 0 Di = 1k Ek, ik = 0 2 0 (6.3) 0 0 Основываясь на уравнениях Максвелла (1.1) и законе поляризации (6.3), можно показать, что при падении волны под углом к оптической оси, не равным /2, в кристалле возникают две волны с ортогональными направлениями плоскостей колебаний. При этом в необыкновенном луче плоскость колебаний лежит в главном сечении, проходящем через оптическую ось и направление падающего луча, а плоскость колебаний обыкновенного луча ортогональна указанной главной плоскости. При падении света в направлении, перпендикулярном оптической оси, как и при движении вдоль оптической оси, лучи о,е не разделяются. Однако их скорости не одинаковы vо vе (напомним, что при движении вдоль оптической оси vо = vе ). Во всех остальных случаях лучи о,е расщепляются. Перечисленные выше свойства можно проиллюстрировать следующими эпюрами скоростей и направлений ориентации световых векторов обыкновенного ( точки ) и необыкновенного ( стрелки ) лучей, представляющих собой функции vо = vо(), vе = vе (), где - угол между оптической осью и направлением луча, а значения vо, vе откладываются вдоль направления луча.

vo=ve Оптическая ось Раздвоения луча нет Направления vove раздвоения луча Раздвоения луча нет 6.3. Поглощение света и явление дихроизма В некоторых кристаллах при двойном лучепреломлении один из лучей поглощается сильнее другого. Суть явления поглощения заключается в том, что при прохождении света через вещество интенсивность уменьшается вдоль луча по экспоненциальному закону I = Iо exp (- x), (6.4) где x - координата вдоль луча, Iо - интенсивность света при x = 0. Величина называется коэффициентом поглощения, а соотношение (6.4) называется законом Бугера. Коэффициент поглощения зависит от длины волны света и температуры. Газы при нормальных условиях прозрачны для света ( коэффициент поглощения практически равен нулю ), металлы являются примером непрозрачных сред ( большие коэффициенты поглощения ).

Явление сильного поглощения одного из лучей при двойном луче преломлении называется дихроизмом. Это явление используется для из готовления поляризаторов, представляющих собой пластинки, вырезан ные параллельно оптической оси дихроичного кристалла. Если свет падает перпендикулярно плоскости пластинки, то обыкновенный луч полностью поглотится, а необыкновенный луч пройдет, практически не поглощаясь.

Примерами кристаллов с сильным дихроизмом являются турмалин (обыкновенный луч практически полностью поглощается при толщине пластинки 1мм) и герапатит (обыкновенный луч поглощается на рассто янии 0,1 мм ).Поглощение света в общем случае зависит от длины волны света. Это приводит к тому, что при освещении дихроичного кристалла белым светом кристалл по разным направлениям оказывается различно окрашенным.

6.4.Искусственное двойное лучепреломление Некоторые оптически изотропные вещества под влиянием внешних факторов (механического напряжения, воздействия электрического или магнитного полей) становятся оптически анизотропными, то есть приобретают свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого совпадает с направлением воздействия ( внешней силы, направления векторов напряженности электрического или магнитного полей ). Это явление называют искусственной оптической анизотропией, а так как при этом наблюдается двойное лучепреломление, то также называют ис кусственным двойным лучепреломлением.

Мерой искусственной оптической анизотропии является разность показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей в направлении, перпендикулярном наведенной оптической оси:

k1 ( в случае деформации) n0 ne = k 2l E 2 ( воздействие злектромагнитного поля) k3l H ( воздействие магнитного поля) где k1,k2,k3 - постоянные, характеризующие вещество, - нормальное напряжение, E, H - напряженность электрического и магнитного полей, l - длина ячейки, подвергающейся воздействию электрического или магнитного полей.

Оптическая анизотропия при одностороннем сжатии наблюдается в кристаллах кубической системы, стеклах и др. Двойное лучепреломление под воздействием электрического поля принято называть эффектом Керра ( наблюдается в полярных жидкостях, например, нитробензоле, а также в некоторых аморфных телах и газах ). Схема эксперимента по наблюдению эффекта Керра изображена на рис.6.3.

Р1 Р ж Рис.6.3. Опыт Керра: Р1, Р2 – скрещенные поляризаторы, ж - исследуемая жидкость Эффект Керра объясняется ориентационной поляризуемостью молекул жидкости. Действительно, в отсутствие электрического поля молекулы жидкости, обладающие диэлектрическим моментом, ориентированы хаотическим образом. В электрическом поле диполи ориентируются вдоль электрического поля, что и приводит к оптической анизотропии жидкости.

Время установления ориентации дипольных молекул чрезвычайно мало ( порядка 10-10 с ), поэтому ячейка Керра, помещенная между скре щенными поляризаторами, является без инерционным световым затвором.

В качестве примера использования искусственного двойного лучепреломления рассмотрим опыт по определению напряжений в пластинке, на которую действует сила F ( рис.6.4,а ).

F а) б) F е о P A Экран Рис. 6. Луч белого света 1, проходя через поляризатор Р, выходит поляризованным под углом 45о к вертикали и попадает на пластинку из оргстекла, находящуюся в напряженном состоянии под действием силы F, действующей вертикально вдоль оси симметрии. В этом случае в пластинке возникают искусственное двойное лучепреломление, причем в различных точках оптические оси будут иметь различные направления.

Например, оптические оси в точках, лежащих на оси симметрии, расположены на вертикальной линии, однако все они будут находиться в плоскости пластинки. В пластинке поляризованный луч разделяется на два луча, которые на выходе из пластинки будут иметь оптическую разность хода равную = nod – ned = (no – ne)d, где d – толщина пластинки, причем no – ne = k1, то есть оптическая разность хода тем больше, чем больше напряжение в точке. Однако эти лучи не будут интерферировать, так как они имеют различные поляризации. Чтобы лучи приобрели одинаковые поляризации, на их пути ставится второй поляризатор Р2, оптическая ось которого скрещена под углом 90о к оптической оси первого поляризатора Р1. Так как на выходе из поляризатора Р2 лучи одинаково поляризованы, то на экране будет наблюдаться интерференционная картина, изображение которой дано на рис.6.1,б. Условие образования дифракционных максимумов в данном случае выражается как (no – ne )d = k1 d = m, m = 1, 2, …, mmax..

Для каждого номера дифракционных зон m = 1, 2, … по этой формуле можно найти линии равных напряжений 1 = / (k1d), 2 = / (2k1d),…, m = / (mk1d).

6.5. Вращение плоскости поляризации Некоторые вещества, называемые оптически активными, обладают способностью вызывать вращение плоскости поляризации проходящего через них плоскополяризованного света ( см. Рис.10 в приложении 2 ).. К числу таких веществ принадлежат кристаллические тела (кварц, киноварь), чистые жидкости (скипидар, никотин) и растворы оптически активных веществ в неактивном растворителе ( водные растворы сахара, винной кислоты и др.).

Кристаллические вещества интенсивнее всего вращают плоскость поляризации в случае, когда свет распространяется вдоль оптической оси кристалла. Угол поворота плоскости поляризации выражается как = l (6.5) где l - длина пути, пройденного лучом;

- постоянная вращения, за висящая от длины волны света, природы вещества и температуры.

В растворах угол поворота плоскости поляризации пропорционален пути света в растворе l и концентрации активного вещества с :

= [] c l (6.8) где коэффициент [ ] называется удельной постоянной вращения.

В зависимости от направления вращения плоскости поляризации оптически активные среды подразделяются на правовращающие ( враще ние происходит по часовой стрелке, если смотреть по ходу луча ) и левовращающие. Существуют как левовращающие, так и правовращающие оптически активные вещества.

Оптически неактивные вещества приобретают способность вращать плоскость поляризации под действием магнитного поля. Это явление называется эффектом Фарадея. Оно наблюдается только при распростра нении света вдоль направления магнитного поля и объясняется прецес сионным движением электронных орбит. Угол поворота плоскости поля ризации подчиняется закону = Vl H где l - длина пути луча в среде, V - удельное магнитное вращение ( постоянная Верде ), H - напряженность магнитного поля. Направление вращения зависит от направления вектора напряженности магнитного поля.

Оптически активные вещества под действием магнитного поля при обретают дополнительную возможность вращать плоскость поляризации, которая складывается с их естественной способностью так, что резуль тирующий угол будет равен сумме углов магнитного и естественного вращений.

ЗАДАЧИ Задача 6. Пучок белого света падает нормально на поляризатор. Найти интен сивность света на выходе из поляризатора.

Решение. Белый свет является суперпозицией всех цветовых состав ляющих E=Ei. Цветовые составляющие Ei направлены перпендикулярно направлению луча и случайно ориентированы на промежутке времени t0, значительно превышающего периода колебаний T светового вектора t0 T ( cм. формулу (1.18)). Вероятность ориентации вектора Ei в интервале (, +d ) угла поворота угла относительно луча равна dP = d /2 (равномерное распределение ). Через поляризатор проходит только составляющие Ei = Ei cos c интенсивностью Ii = Ii0 cos ( Ii0 = C Ei02 ). Лучи, световые векторы которых распределены в угле (, +d ) будут иметь интенсивность dIi = Ii dP = Ii0cos2 d /2. Интегрируя по всем углам и суммируя по всем составляющим, получаем для результирующей интенсивности 1 I I = dI = 2 I i 0 = (6.8) 2i i i где I0 – интенсивность падающего естественного света.

Задача 6.2.

Пучок плоскополяризованного монохроматического света ( 0 = = 0, мкм) падает на пластинку исландского шпата перпендикулярно его оси.

Найти длины волн обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле, если показатели преломления равны соответственно n0 = 1,66 и nе = 1,49.

Решение. Длина волны в среде с показателем преломления n определяется как = 0/n, где 0 - длина волны света в вакууме ( см. задачу 1.1).

Поэтому для длин волн обыкновенного и необыкновенного лучей имеем соответственно 0б =0/n0 = 0,355 мкм, е =0/nе = 0,395 мкм.

Задача 6.3.

Чему равен угол между главными плоскостями поляризатора и анали затора, если интенсивность естественного света, прошедшего через поля ризатор и анализатор уменьшилась в четыре раза ? Поглощением света пренебречь.

Решение. Согласно формуле (6.8), интенсивность света после про хождения через поляризатор уменьшится в два раза. Следовательно, после прохождения поляризованного света через анализатор интенсивность уменьшится в два раза. На основании формулы Малюса имеем cos2 = 1/2, откуда = 45о.

Задача 6.4.

Раствор глюкозы с массовой концентрацией с1 = 280 кг/м3, содер жащийся в стеклянной трубке, поворачивает плоскость поляризации монохроматического света, проходящего через этот раствор, на угол 1 = 32о. Определить массовую концентрацию с2 глюкозы в другом растворе, налитым в трубку той же длины, если он поворачивает плоскость поляризации на угол 2 = 24o.

Решение. Используя формулу (6.6), получим 1=[]c1 l, 2=[]c2 l, откуда с2 = c1( 2/ 1) = 280 (24/32) кг/м3 = 210 кг/м3.

7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ.

ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД 7.1. Дисперсия света Дисперсионными световыми явлениями называют явления, обуслов ленные зависимостью показателя преломления вещества от длины волны ( или частоты ) света. Дисперсией вещества называют производную dn/d 0, где 0 - длина волны света в вакууме. Среды, обладающие дисперсией, называются диспергирующими.

n 1 Рис.7.1. Аномальная дисперсия света Обычно показатель преломления вещества является убывающей функцией от частоты поля. В области некоторых частот ~ 1 происходит поглощение света. В этой части спектра наблюдается аномальная дисперсия ( рис.7.1 ).

Строгая теория дисперсии света базируется на квантово механических представлениях. Физическую картину явления можно проследить, основываясь на классическом представлении о движении электрона по атомной орбите. Хотя классический вывод и не отражает реальной действительности, тем не менее весьма поучительно ( хотя бы для развития физической интуиции ) рассмотреть пример классического вывода формулы для частотной зависимости показателя преломления от частоты.

В поле электромагнитной волны под действием кулоновской силы - eE ( e - величина заряда электрона ) электроны испытывают колебания в E = E0 sin t.

направлении светового вектора Кроме того, они, вращаясь по орбитам, колеблются вдоль направления электрического поля с частотой 0. Считая, что ось x направлена вдоль электрического поля, запишем классическое уравнение движения электрона в виде d 2x + m 0 x = eE0 sin t m (7.1) dt Частное решение этого уравнения, описывающее смещение электрона с круговой орбиты, записывается в виде e E = E0 sin t.

x= E, m( 2 ) Смещение электрона с круговой орбиты приводит к появлению у p = - e x = e Е, молекулы дипольного момента равного, e = e /[m(0 - )], где величина e называется коэффициентом 2 2 электронной поляризуемости. Если N - число молекул в единице объема вещества, то величина вектора поляризации определяется как Р = p N = e N Е.

С учетом D = 0 Е = 0 Е + P = (0 + e N) Е, для диэлектрической проницаемости получим N e2 N = 1+ e = 1+ (7.2) 0 m( 0 2 ) Так как диэлектрическая проницаемость является функцией частоты, то и показатель преломления также зависит от частоты ( см. формулу (1.16)).

При 0= в законе дисперсии (7.2) возникает особенность, обусловленная резонансом собственных колебаний электрона с вынужденными колебаниями, обусловленными воздействием переменного электрического поля. Эта особенность исчезнет, если учесть взаимодействие электрона с окружающими атомами (так называемое трение излучения). С математической точки зрения это означает, что в левую часть уравнения (7.1) необходимо добавить член dx/dt, где - коэффициент радиационного трения.

7.2. Рассеяние света При прохождении света через вещество электрическое поле E воз буждает колебания электронов в атомах. Колеблющиеся электроны воз буждают вторичные волны. Если вторичные волны не когерентны, то они распространяются по всем направлениям, что приводит к явлению рас сеяния света. Если среда однородна, то вторичные волны когерентны и их интерференция приводит к тому, что рассеянная волна движется только вдоль направления первичной волны. Когерентность вторичных волн нарушается на флуктуациях плотности вещества и при наличии в среде мелких частиц. Среды с явно выраженной оптической неоднородностью, проявляющейся в поглощении и рассеянии света, называются мутными средами. К мутным средам относят дымы, туманы, взвеси или суспензии, эмульсии, твердые тела с включениями (например, перламутр, опалы, молочные стекла и др.).

Свет, рассеянный на частицах с размерами значительно меньшими, чем длина падающей волны, оказывается поляризованным в направлениях, перпендикулярных к направлению падающего пучка. Это объясняется тем, что вторичные волны вызывают колебания электронов в плоскости, перпендикулярной к направлению пучка.

Для мутных сред закон убывания интенсивности света вдоль нап равления первичной волны выражается как I = Iо exp [- ( +1) x], (7.3) где - коэффициент поглощения, 1 – коэффициент рассеяния, называемый коэффициентом экстинкции, x – координата вдоль направления распространения падающей волны.

Если размеры неоднородностей d малы по сравнению с длиной па дающей волны (d 0,1), то интенсивность рассеянного света подчиняется закону рассеяния Рэлея:

Iрас ~ 4 ~ -4 (7.3) Закон рассеяния Рэлея можно наблюдать, пропуская пучок белого света через сосуд с мутной жидкостью. Вследствие рассеяния пучок хорошо виден сбоку. При малых размерах частиц ( d 0,1 ) цвет рассеянного света будет голубоватым, так как в силу закона Рэлея наиболее интенсивно будут рассеиваться составляющие света с наибольшими частотами.

Прошедший пучок обогатится длинноволновой компонентой, поэтому прошедший через жидкость свет будет красновато - желтого цвета.

Рассеянием света на флуктуациях плотности воздуха, размеры которых значительно меньше длин волн видимого диапазона, объясняется голубой цвет неба. Когда Солнце находится низко над горизонтом, свет проходит большую толщу воздушной среды, поэтому он обогащается красными тонами. Этот факт объясняет красный оттенок неба и красный цвет Солнца в утренние и вечерние часы. Цвет неба особенно насыщен голубыми тонами в летнее время, когда с повышением температуры атмосферы увеличивается интенсивность флуктуаций плотности атмосферы.

7.3. Эффект Вавилова-Черенкова При прохождении электронов со скоростью v через прозрачное веще ство с показателем преломления n при условии v c/n происходит из лучение света. Это явление называется эффектом Вавилова-Черенкова.

Свечение имеет форму конуса и направлено по направлению движения частицы ( рис.7.3 ).

Излучаемый v свет Рис.7.3. Свечение Вавилова- Черенкова В излучении преобладают короткие волны, поэтому оно имеет голубую окраску. Угол в конусе свечения определяется согласно cos = c/ (n v) (7.5) Измеряя угол конуса свечения, можно найти скорость электрона в среде.

7.4.Эффект Доплера Продольный эффект Доплера Предположим, что неподвижный источник излучает монохроматическую волну в направлении оси x, вдоль которой движется со скоростью v приемник излучения ( рис.7.4).

v о Приемник Источник Рис.7.4. К вопросу о продольном эффекте Доплера Пусть частота излучаемого света относительно неподвижного источника равна 0. Тогда движущийся приемник будет принимать свет с другой частотой, определяемой по формуле (1 v / c)1 / 1 v/c = 0 = 0 (7.6) (1 v 2 / c 2 )1 / 2 (1 + v / c )1 / Отсюда видно, что если приемник удаляется от источника ( v 0 ), то 0, то есть приемник воспринимает свет с меньшей частотой, чем частота источника. Обратно, при приближении приемника к источнику (v 0) будет 0, то есть приемник воспринимает свет с большей частотой. Это явление называется продольным эффектом Доплера.

В том случае, когда источник движется по окружности, а приемник находится в центре, воспринимаемая приемником частота меньше, чем частота источника и выражается как = 0 (1 - v2/c2)1/2 (7.7) Формулы (7.6), (7.7) доказываются на основе релятивистских формул преобразований Лоренца с учетом того, что фаза плоской монохро матической волны является инвариантным объектом ( то есть одинакова как в покоящейся системе координат, так и в движущейся).

Упражнение. Доказать формулы (7.6), (7.7).

Продольный эффект Доплера используется для определения радиальной относительной скорости между галактиками. В настоящее время установлено, что галактики равномерно заполняют Вселенную ( одно родность Вселенной ) и ее свойства одинаковы по всем направлениям ( изотропность Вселенной ), причем расстояния между галактиками равномерно увеличиваются. Это поразительное открытие связывают с расширением искривленного пространства-времени. Скорость расширения Вселенной определяется скоростью относительного движения галактик.

Измеряя разность = - 0, по спектральным линиями в спектре га лактик можно по формуле (7.6) найти скорость относительного движения галактик. Результаты измерений показали, что радиальные скорости разбегающихся галактик подчиняются закону v = H r, (7.8) где r - расстояние между галактиками, H - константа, называемая постоянной Хаббла. Из (7.8) следует: чем больше расстояния между галактиками, тем больше их относительная скорость.

ЗАДАЧИ Задача 7.1.

Известно, что быстрые частицы, входящие в состав атмосферы кос мического излучения, могут вызвать эффект Вавилова-Черенкова в возду хе ( n = 1,00029 ). Считая, что такими частицами являются электроны, определить их минимальную кинетическую энергию.

Решение. Кинетическая энергия электрона определяется по формуле T = mc2 – m0 c2, m = m0 (1-v/c)1/2, где m0 - масса покоя электрона.

Минимальная скорость электрона, при котором наблюдается свечение, согласно (7.5),определяется как v = c/n ( полагаем сos = 1). Проводя элементарные вычисления и учитывая, что m0 c2 = 0,511 Мэв, получим T = 3,524 Гэв.

Задача 7.2.

Электрон с кинетической энергией Eк = 0,511 Мэв движется в воде ( n = 1,33 ). Определить угол свечения Вавилова-Черенкова.

Решение. Используя релятивистскую формулу для кинетической энергии ( см. предыдущую задачу ), получим v = c[1 - 1/(1+ Eк /E0)]1/2, где Е0 = m0 c2 - энергия покоя электрона. Проводя вычисления, получим cos = 0,87, откуда = 29o32'.

v = c 3 / 2, Задача 7.3.

Линия титана ( = 0,4954 мкм ) в спектре звезды Андромеды смещена к фиолетовому концу спектра на 1,7 Аo. Найти направление и скорость движения звезды относительно Земли.

Решение. Так как спектр звезды смещен к фиолетовой части спектра, то звезда движется по направлению Земли. Формулу (7.6) при условии v c приближенно можно записать как = 0 (1+ v/c) или в терминах длин волн 0 = (1 + v/c). Записывая = 0 -, получаем v = c /0, где = 0 - = 1,7 Ао. Проводя вычисления по последней формуле, получаем v = 103 км/с.

Задача 7.4.

При фотографировании спектра Солнца было найдено, что желтая линия (0 = 0,4954мкм ) в спектрах, полученных от левого и правого краев Солнца смещена на 0,08 Ао. Определить линейную скорость вращения солнечного диска.

Решение. Один из краев Солнца движется по направлению к Земле и частота приходящего света определяется приближенно как 1= o(1+ v/c).

Другой край удаляется от Земли, поэтому в этом случае частота прихо дящего света вычисляется согласно 2 = o(1- v/c). С учетом = c/, находим (1/1 - 1/2) = v/(0 c) или приближенно = 2 - 1 = 2v0/c, откуда v = 2,4 км/с. Период вращения Солнца около своей оси составляет Т = 2R/v = 21 сут.

8. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ОПТИКИ.

КВАНТОВАЯ ПРИРОДА ИЗЛУЧЕНИЯ, В данном разделе будут изложены результаты исследований, дока зывающих, что электромагнитное поле представляет собой поток эле ментарных частиц - фотонов, обладающих энергией и импульсом p, определяемых формулами = h = h, p = h k, (8.1) где - частота поля, h = 1,054 10-34 Дж с = 1,054 10-27 эрг с = 0,659 10-15 эВ с - постоянная Планка, h = 2 h.

Переход от полевого описания электромагнитного поля к описанию на основе представления поля как потока микрочастиц называется квантованием.

8.1. Эксперименты, доказывающие существование фотонов 8.1.1. Тормозное излучение фотонов электронами Эксперименты показывают, что рентгеновские лучи ( 0,01 Ао 100 Aо ) возникают в результате бомбардировки анода разрядной трубки быстрыми электронами ( рис.8.1,а ).

dP/d 1 50 кВ 2 5 40 кВ 30 кВ 4 + – min а) б) Рис.8.1. К эффекту о тормозном излучении фотонов: а) схема опыта:


1 – эвакуированный баллон, 2 - катод, 3 - анод, 4 - рентгеновские лучи, 5 - фокусирующий электрод;

б) распределение плотности мощности излучения по длинам волн В силу закона сохранения энергии, кинетическую энергию электронов Eк на аноде можно выразить через ускоряющее напряжение U:

Eк = mv2/2 = eU, Излучение возникает в результате торможения электронов внутри анода.

Если t - время торможения, то мощность излучения запишется как Р ~ Eк /t ~ U причем Р есть функция длины волны излучения Р = Р ( ). Согласно классической электродинамике, тормозное излучение должно включать весь диапазон длин волн, тогда как эксперименты показывают, что коротковолновая часть спектра отсутствует, то есть длины излучаемых волн удовлетворяют условию min, min = 12390/U, (U в вольтах) (8.2) Существование коротковолновой границы вытекает из квантовой природы излучения. Действительно, из закона сохранения энергии следует, что энергия излучаемого фотона h не должна превышать энергии электрона eU: h eU. Отсюда следует max = eU/ h, и в силу = 2 c/ получаем min = ( 2hc / e) / U (8.3) что и доказывает существование коротковолновой границы спектра. От метим, что доказательство неравенства (8.3) проведено на основании гипотезы о существовании фотонов с энергией, определяемой согласно (8.1). Уместно также заметить, что формулы (8.2),(8.3) дают возможность определить постоянную Планка по результатам экспериментальных измерений.

8.1.2. Внешний фотоэффект Фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называется испускание электронов веществом (как правило металлом) под действием света.

Схема эксперимента по наблюдению фотоэффекта дана на рис.8.2,а.

а) Кв б) Iн К А Uз U =U Рис.8.2. К внешнему фотоэффекту: a) схема эксперимента: К - катод, А - анод, Кв - кварцевое окно;

б) вольт-амперная характеристика При освещении катода через кварцевое окно электроны, испущенные вследствие фотоэффекта, перемещаются под действием электрического поля к аноду. Вольт-амперная характеристика ( рис.8.2,б) характеризуется током насыщения Iн и запорным напряжением UЗ, причем UЗ (полярность электродов меняется на противоположное). Пусть vмах - мак симальная скорость вылета электрона. Тогда в нерелятивистском случае кинетическая энергия электрона связана с запорным напряжением как m vmax2/2 = e |UЗ|.

Упражнение. Используя закон сохранения энергии, доказать это соотношение.

В 1905 г. Эйнштейн применил закон сохранения энергии к процессу взаимодействия фотона с электроном следующим образом. Пусть энергия падающего фотона. При взаимодействии с электроном фотон исчезает ( иногда говорят, что фотон поглощается электроном), передавая электрону свою энергию. Эта энергия затрачивается на работу по извлечению электрона из металла, придания ему кинетической энергии и на возбуждение фононных колебаний кристаллической решетки с энергией h. Используя выражение (8.1) для энергии фотона, получаем h = mv2/2 + A, A = + h Если фононные возбуждения не возникают ( = 0), то скорость электрона принимает максимальное значение v = vmax и баланс энергий запишется в виде h = h = m v 2 /2 + (8.4) max Это соотношение обычно называют формулой Эйнштейна.

Формула (8.4) объясняет, почему фототок зависит не только от интенсивности света, но и от его частоты. В частности, из (8.4) вытекает, что при A h фототок не возникает. Частоту кр и соответствующую ей длину волны света кр кр = / h, кр = 2 h c/ (8.5) называют красной границей фотоэффекта. Если частоты падающих фотонов малы: кр ( ), то фототок наблюдаться не будет.

Для исследования фотоэффекта обычно используют ультрафиолетовые лучи, которые получают использованием кварцевых фильтров.

Обсудим теперь вопрос о направлении вылета электронов. Как по казывают квантово-механические расчеты [4], при выбивании электрона, находящегося на сферически симметричной К-оболочке, падающим нормально к поверхности фотоном, распределение вероятностей вылета электрона по углам выражается как sin 2 v cos 9 / dP( v, ) = Ib d (1 v / c cos v ) где I - интенсивность падающего света, - полярный угол (полярная ось сферической системы координат направлена нормально к поверхности), азимутальный угол, d - элемент сферического угла, - частота фотона, v - скорость вылета электрона, b - постоянная, характеризующая данный атом. Эта формула получена в до релятивистском приближении ( v c ) и в предположении, что энергия фотона значительно больше работы выхода электрона ( в данном случае работа выхода - это энергия ионизации атома ).

Из приведенной формулы видно, что при v c наибольшая вероятность вылета будет при = ± /2, то есть вылетают в основном электроны вдоль поверхности кристалла. Если скорость фотоэлектрона приближается к скорости света, то наиболее вероятным является направление, нормальное к поверхности. Разумеется, в этом случае эта формула указывает только на качественную, а не количественную закономерность, так как она получена в до релятивистском приближении. Данные выводы находятся в удовлетворительном согласии с экспериментом.

В заключение полезно обратить внимание на то, что явление фо тоэлектрического эффекта является обратным к явлению тормозного из лучения фотонов электронами.

8.1.3. Опыт Боте Прямое доказательство гипотезы Эйнштейна о том, что свет представляет собой поток дискретных частиц, было дано в опыте Боте ( рис.8.3), суть которого заключается в следующем. Тонкая металлическая фольга облучалась пучком рентгеновских лучей, которые в результате рассеяния и переизлучения распространялись по всевозможным направлениям Пучок рентгеновских лучей Сч Ф Сч Рис.8.3. Схема эксперимента Боте: Ф - фольга, Сч – счетчики Счетчики фиксировали беспорядочную последовательность импульсов, свидетельствующую о том, что излучение попадает в счетчик отдельными порциями. Причем эти порции энергии локализированы в пространстве, что свидетельствует из того факта, что рядом поставленные счетчики регистрируют совершенно различные рентгеновские импульсы. Эти экспериментальные данные можно объяснить только тем, что в отдельных актах испускания рентгеновского излучения металлической фольгой возникают световые частицы, движущиеся хаотически в разных направлениях.

8.1.4. Эффект Комптона В 1923 г. А.Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей на электронах ( графите ), обнаружил, что в рассеянных лучах наряду с излучением первоначальной волны с длиной содержатся лучи с большей длиной волны. Разность = '- оказалась зависящей только от угла, образуемого направлением рассеянного пучка с направлением первичного пучка.

Эффект Комптона является следствием закона сохранения импульса для системы фотон-электрон. Пусть p, pе - импульсы фотона и электрона до столкновения, p', pе' - после столкновения. Тогда закон сохранения импульса системы электрон + фотон гласит h k + pе = h k' + pе' (8.6) Пусть до столкновения электрон покоился: pе = 0, а k направлен вдоль оси x ( рис.8.4). Спроектируем векторное уравнение (8.6) на оси x,y:

h k = h k 'cos + pе' cos, (8.7) 0 = h k 'sin - pе' sin.

Используя закон сохранения энергии h + mo c2 = h ' + (mo2c4 + pe2c2)1/2 (8.8) и дисперсионное соотношение = ck, из (8.7), (8.8) получаем h ' = (1 cos ) (8.9) m0c Упражнение. Доказать формулу (8.9).

y k k x p Рис.8.4. К вопросу о эффекте Комптона Разделив обе части формулы (8.9) на произведение ' и учитывая известное соотношение = 2 с/, получаем формулу = ’ - =c ( - cos ), c = 2 h /(m0 c) (8.10) Здесь m0 - масса покоя электрона. Величина c называется комптоновской длиной волны. Ее численное значение для электрона выражается как c = 0,0242 Ао (8.11) Формулы (8.10), (8.11) полностью согласуются с экспериментами Комптона.

Итак, при рассеянии монохроматического света на металлах в спектре отраженного света появляются составляющие с частотой меньшей, чем частота падающего света. Возникает вопрос: почему этот эффект не наблюдается при рассеянии света диэлектриками. Дело в том, что в диэлектриках электроны локализированы в атомах, поэтому обмен энергией и импульсом происходит с атомом как с целым. Так как масса атома значительно превосходит массу электрона, то комптоновская длина волны атома исчезающе мала, а потому практически не меняется длина волны отраженного света.

8.2. Световое давление и масса фотона Давление фотонов, обладающих энергией на поверхность S определяется как Р = Fср/S, где Fср – средняя сила давления фотонов на площадку S за время t, определяемая как Fср = (pпогл /t ) Nпогл + (pотр /t ) Nотр где pпогл (pотр ) – изменение импульса поглощаемых ( отражающихся ) фотонов за время t, Nпогл ( Nотр ) – число поглощаемых ( отражающихся ) фотонов на площадке S за время t. Введем общее число фотонов, подающих на площадку S за время t : N = Nпогл + Nотр. С учетом pпогл = р = /c, pотр = 2р = 2 /c, получаем Fср = [(1- ) p + 2p] N/t = (1 + ) p N/t где = Nотр/N – коэффициент отражения фотонов.

Вводя объемную плотность фотонов n посредством соотношения N = nV, где V – цилиндрический объем, который заполняют фотоны за время t, стартуя с участка S, являющегося его же основанием.

Очевидно V = Sh, h = ct, поэтому N/t = ncS. Окончательно для светового давления получаем P = (1 + ) p j = (1 + ) w, w = n = I / c (8.12) w = n - объемная плотность энергии электромагнитного поля где (см. определение (1.4)), j = nc - плотность потока числа фотонов, I – интенсивность излучения. Формула (8.12) полностью согласуется с выводами классической электродинамики.

Эффективная масса фотона mэф определяется формулой mэф = /c2 (8.13) Это соотношение является следствием известной релятивистской формулы, определяющей полную энергию микрочастицы E = mc2. На основании формулы (8.13) можно рассчитать массу фотонного газа или поток массы, если заданы энергия или поток энергии фотонов.

Упражнение. Вывести формулу, определяющую поток массы с поверхности звезды, если она излучает в единицу времени с единиц поверхности энергию Re.

Определим число фотонов, которые излучаются точечным источником в единицу времени в расчете на единицу поверхности, если известна интенсивность излучения и энергия фотонов.


Пусть Ф – суммарный поток излучаемой энергии, определяемый как Ф = I S, где I интенсивность излучение, S – площадь сферы, в центре которой находится точечный источник излучения. С другой стороны • • Ф = N s, где - энергия фотона, N s - суммарное число фотонов, излучаемых через поверхность S в единицу времени. Отсюда получаем • N s = (I/ ) S = Ф / (8.14) • Плотность числа фотонов n s, излучаемых в единицу времени с единицы площади, выражается как • • n s = N s /S = I/ (8.15) ЗАДАЧИ Задача 8. Определить энергию, массу и импульс фотона, если соответствующая ему длина волны равна 0,016 Ао.

Зешение. Используя формулы (8.1), (8.13), получаем = h = h с / = = 1,24 10-13 Дж, mэф = /c2 = 1,3810-30 кг, p = h k =h/ = 4,110-22 кгм /с.

Задача 8. Ртутная лампа имеет мощность Р = 125 Вт. Сколько квантов света испускается ежесекундно в излучении с длиной волны = 5461 Ао, если интенсивность этой линии равна 2% от полной интенсивности ртутной лампы?

Решение. Мощность излучения фотонов данной длины волны выражается как Ф = Р/50. Используя формулу (8.14), находим • N s = Ф / = Ф /(hc) = ( 125/50)546110-10 / (6,610-343108) = 5, квантов за секунду.

Задача 8. Найти красную границу фотоэффекта для лития, натрия, калия и цезия.

Решение. Используя табличные значения работы выхода электрона для лития Li = 2,4 эв, натрия Na = 2,3 эв, калия Ka = 2,0 эв, цезия Ce = 1,9 эв, и формулу (8.5) кр = 2 h c/ с учетом соотношения 1 эв = 1,610-19 Дж, получаем следующие значения для красной границы по длине волны для лития Li = 0,517 мкм, натрия Na = 0,54 мкм, калия Ka = 0,62 мкм, и цезия Ce = 0,66 мкм.

Задача 8. Найти частоту света, вырывающего с поверхности металла электроны, если они задерживаются обратным потенциалом UЗ = 3 В. Фотоэффект у этого металла начинается при частоте света = 61014 с -1.

Решение. По формуле eUЗ = m vmax2/2 = Ек находим кинетическую энергию, а согласно кр = /h – работу выхода = кр h. Тогда на основании (8.4) получим частоту излучения = /h + Ек = /h + eUЗ = ( 61014 +1,610-193/6.610-34)c-1 = 13,31014c-1.

Задача 8. Металлический шарик облучается фотонами частоты кр. Найти потенциал заряжания шарика, если длина волны фотонов равна = 0, мкм, работа выхода электрона из металла = 1,9 эв.

Решение. Согласно закону сохранения энергии, фотоэффект прекращается при потенциале шарика, определяемом выражением e = m vmax2/2, где m – масса электрона. Подставляя это соотношение в формулу (8.4), с учетом соотношения 1 эв = 1,610-19 Дж получим = (h -)/e = = (hc/ -)/e = [6.610-343108/0,510-6 – 1,91,610-19 ]/ 1,610-19 = 0,55 В.

9.ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Тепловым излучением называется явление испускания электромаг нитных волн нагретыми телами за счет внутренней энергии тел.

Все остальные виды излучений называются люминесценцией.

Излучение при химическом превращении называется хемилюменисценцией, при газовом разряде - электролюменисценцией, при поглощении электромагнитных волн - фотолюменисценцией и т. д.

9.1. Основные характеристики теплового излучения.

Закон Кирхгофа Поток энергии Re, излучаемый с единичной площадки тела в единицу времени, называется его энергетической светимостью. На основании опытных данных энергетическая светимость тела, излучающего энергию в диапазоне частот (, + d ), определяется как dRe (,T)= r(,T)d (9.1) По определению Re = dRe (, T ) = r (, T )d (9.2) 0 а энергия Ф, излучаемая телом со всей поверхности S и во всем диапазоне частот в расчете на единицу времени, запишется как Ф = Re dS (9.3) S Величина r(, T ) называется испускательной способностью тела.

Пусть на единичную площадку некоторого тела в интервале частот (,+d) падает поток энергии dФ().Часть этого потока d/Ф() будет поглощаться. Безразмерная величина А(,T) = d/Ф() / dФ() (9.4) называется поглощающей способностью тела или степенью черноты.

По определению А(,T) 1. Если А(,T) = 1, то тело называют абсолютно черным. Если А(,T) 1, то тело называют серым.

Экспериментально установлено, что отношение r(,T)/ А(,T) = f(,T) (9.5) для всех тел одинаково и определяется универсальной ( одной и той же ) функцией f(,T). Это свойство излучения называют законом Кирхгофа.

Если применить закон Кирхгофа к абсолютно черному телу, то с учетом А(,T) = 1 получим r(,T) = f(,T), откуда видно, что универсальная функция f(,T) - это испускательная способность абсолютно черного тела.

9.2. Равновесная плотность энергии излучения Вычислим энергию излучения, находящегося в равновесии с телом в некоторой его замкнутой полости. Ради простоты выкладок считаем полость кубической, со стороной квадрата равной L. Так как система находится в равновесии, то температура тела постоянная и равна T. Под температурой излучения будем понимать температуру тела, с которым излучение находится в равновесии.

Электромагнитное поле в полости определяется волновым уравнением [ см.(1.5)]:

2E/t2 = c2 E Так как излучение находится в равновесии с телом, то вся падающая на поверхность энергия переизлучается вновь в полость. Это эквивалентно тому, что стенки тела являются зеркальными. В этом случае электромагнитное поле в полости будет определяться совокупностью стоячих волн вида E = E0 cos ( t + ) sin k1 x sin k2 y sin k3 z, (9.6) kj = nj /L, j = 1, 2, 3, где nj - целые числа. Проведем квантование электромагнитного поля (9.6).

Эта процедура заключается в том, что вместо поля (9.6) введем совокупность фотонов с энергией = h, где - частота стоячих волн (9.6), которая связана с волновыми числами k1, k2, k3 соотношением = с k, k = (k12 + k22 + k32 )1/2 (9.7) Упражнение. Получить дисперсионное соотношение (9.7).

Согласно каноническому распределению Гиббса, среднее число фо тонов, находящихся в тепловом равновесии с веществом и имеющих энергию e, определяется как n() = jexp( j / k B T ) / exp( j / k B T ), j =1 j = где kB - постоянная Больцмана. Вычисления дают n() = 1 /[exp(h / k B T ) 1] (9.8) Упражнение. Используя формулу для суммы геометрической прогрес сии, доказать формулу (9.8).

Выражение (9.8) называют равновесным распределением Планка числа фотонов по частотам.

Суммарная энергия электромагнитного поля в кубической полости выражается как U = 2 h n() n1 n2 n где суммирование распространяется на все целочисленные значения индексов n1, n2, n3, а множитель 2 учитывает то обстоятельство, что фотон имеет две независимые ориентации спина, поэтому энергию = h могут иметь два фотона.

Суммы в (9.9) можно с большой точностью заменить интегралами U = 2 0 dn1 0 dn 2 0 dn3 n() h Используя дисперсионное соотношение (9.7) в виде = ( c/L) n, n = ( n12+ n22+ n32 )1/2, после перехода к переменным сферической системы координат n1 = n sin sin, n2 = n sin cos, n3 = n cos, получим U = V n() h D ()d = V u (, t )d (9.10) 0 h u (, T ) = (9.11) 2 c 3 exp(h / k B T ) V = L3, D () = 2 /( 2 c 3 ) (9.12) Функция D() называется плотностью числа мод ( колебаний разной конфигурации ) на интервал частот. Она определяет число колебаний постоянной частоты на единичном интервале частот. Формула (9.10) имеет следующий смысл. Число мод D()d в интервале частот (,+d), умноженное на среднее число фотонов в каждой моде n()D()d, есть полное число фотонов в указанном интервале частот. Тогда суммарная энергия есть сумма энергий n()D()d по всем интервалам частот.

Функция u(,T), определенная согласно (9.11), называется спект ральной плотностью энергии по частотам, а формула (9.11) называется законом излучения Планка ( формулой Планка ).

Вычислив интеграл в (9.10), приходим к формуле Стефана - Больцмана:

a = 2 k4/(15 h 3 c3) U = VaT 4, (9.13) Отсюда для объемной плотности равновесной энергии излучения u получаем u = U/V = aT 4 (9.14) 9.3. Поток энергии равновесного излучения.

Закон излучения Стефана - Больцмана Используя выражение (9.14), можно получить выражение для потока энергии Re, излучаемого абсолютно черным телом, следующим образом.

Рассмотрим некоторую площадку dS на поверхности абсолютно черного тела ( рис.9.1). Число фотонов, излучаемых с площадки dS в элементе d n dV dh dS cdt Рис.9.1. К вопросу об определении энергетической светимости абсолютно черного тела сферического угла d за время dt в интервале частот (,+d), выражается как dN () = dn () dW dV, (9.15) где dn - объемная плотность фотонов в указанном интервале частот, dW вероятность попадания фотона в элемент сферического угла d, dV элемент объема, который заполняют фотоны, пересекая площадку dS за время dt. Вычисляя объем dV ( см.рис.9.1), получим dV = dS dh, dh = cdt cos, (9.16) где - угол между нормалью к площадке dS и направлением вылета фотона. Далее, dn() = u(,T) d /( h ), dW = d /(4 ) (9.17) Здесь учтено, что фотон имеет одинаковые вероятности вылета по всем направлениям.

Так как каждый фотон имеет энергию h, то суммарная энергия, переносимая dN() фотонами, запишется как dU(,, ) = h dN(), (9.18) где, - углы сферической системы координат, определяющие ориета цию сферического угла d ( см.рис.9.1). Суммарная энергия, излучаемая по всевозможным направлениям, определяется интегрированием по углам / 2 dU ( w,, ), dU ( w) = =0 = Используя (9.15)-(9.18) и проводя интегрирование, получим dU() = [c u(,T)/4]dS dt d (9.19) Определим поток энергии dRe(), излучаемой с единичной площадки в единицу времени и в интервале частот (,+d) соотношением dRe() = dU()/(dt dS) Подставляя сюда dU() из (9.19), получим dRe() = [c u(,T)/4] d (9.20) Отсюда видно, что испускательная способность абсолютно черного тела выражается как r(,T) = f(,T) = c u (,T)/4 (9.21) На основании (9.2) поток энергии ( интегральная энергетическая светимость ) абсолютно черного тела запишется в виде cu (, t )d = T Re = 0. (9.22) = 2 k B /(60h 3 c 2 ) Выражение (9.22) называется законом излучения Стефана-Больцмана.

Константу называют постоянной Стефана-Больцмана. Ее численное значение равно = 5,710-8 Bт/(м2 К4 ) 9.4. Законы излучения Вина и Рэлея-Джинса. Формула смещения Вина Закон излучения Рэлея-Джинса Исходя из классических представлений, Рэлей и Джинс предположили, что на каждую моду колебаний приходится энергия kBT. Так как число мод на единицу интервала частот равно D(), то плотность энергии на единичный интервал частот по Рэлею и Джинсу выражается как u(,T) = D() kBT = (2/2c3) kBT (9.23) Если подставить это выражение в формулу (9.10), получим бесконечное значение для энергии излучения. Эта расходимость получила название ультрафиолетовой катастрофы. Формула (9.23) следует из формулы Планка (9.11) в предположении низких частот h kBT. Таким образом, распределение плотности излучения по Рэлею и Джинсу справедливо только в длинноволновой области излучения, поэтому использовать формулу (9.23) для вычисления суммарной энергии излучения нельзя, что и устраняет парадокс ультрафиолетовой катастрофы.

Закон излучения Вина В области высоких частот h kBT формула Планка (9.11) переходит в формулу Вина u(,T) = ( h 3/ 2c3 ) exp ( - h / kBT ). (9.24) Закон смещения Вина Найдем максимум функции распределения Планка (9.11). Для этого введем переменную x = h /(kBT ). Тогда максимум будет определяться максимумом функции x3 /(exp(x) -1). Вычисления дают xm = 2,82, откуда m = 2,82(kB/ h )T (9.25) Переходя к длинам волн, получим m = b/T, b =(2 h c)/( 2,82 kB) = 2,9710-3 мград. (9.26) Эта формула носит название закона смещения Вина.

Формула (9.26) позволяет по известной длине волны, наиболее ин тенсивно излучаемой источником, определить его температуру.

ЗАДАЧИ Задача 9. Найти температуру печи, если известно, что из отверстия площадью S = 6,1 см2 излучается поток ислучения с энергией Ф = 8,28 кал/с. Считать, что печь излучает как абсолютно черное тело.

Решение. Используя формулу Ф = SRe = S T 4 с учетом 1 кал = 4,18 Дж получаем Т = 10000 К.

Задача 9. Какое количество энергии E излучает Солнце за 1 час. Температуру поверхности Солнца принять равной 58000 К, радиус Ro = 6,95108 м.

Считать, что Солнце излучает как абсолютно черное тело.

Решение. По формуле E = SRet = 4 Ro2 T 4 t находим E = 6,51022 кВт/ч.

Задача 9. Какое количество энергии излучается с площади S = 1 см затвердевающего свинца за 1 с, если коэффициент черноты свинца при температуре плавления свинца Tпл = 327о С равен А = 0,6.

Решение. Используя формулу R e = A T 4, T = Tпл + 273, получаем R e = 0,48 Дж.

Задача 9. Вычислить солнечную постоянную для Земли.

Решение. Солнечная постоянная С – это энергия Солнца, достигающая Земли в расчете на единицу площади и единицу времени, или более кратко – это интенсивность теплового излучения Солнца на орбите Земли.

Используя результат решения задачи 1.4, для интенсивности теплового излучения вблизи Земли имеем С = Re = Re0 (R0 / L)2, где Re0 = T 4 – энергетическая светимость Солнца на его поверхности. Используя численные значения радиуса Солнца Ro = 6,95108 м, температуры его поверхности Т =58000 К и расстояния от от Солнца до Земли L = 150109 м, получаем следующее значение солнечной постоянной С =1,37 кВт/м2.

Задача 9. Считая, что атмосфера поглощает 10% лучистой энергии, доходящего до Земли излучения Солнца, вычислить мощность солнечного излучения на площади S =100 м2. Высота Солнца над горизонтом равна 300.

Решение. Энергия солнечного излучения, подающая под углом на плоскую поверхность S в единицу времени выражается как E = Ф sin, где Ф = 0,9SC, С =1,37 кВт/м2 – солнечная постоянная ( см. предыдущую задачу ), - высота Солнца над горизонтом ( см. рис. 9.2 ).Подставляя заданные числовые значения в эту формулу, получаем E= 123,3 кВт.

Рис. 9. Задача 9. На какую длину волны приходит максимальная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела, имеющего температуру:

1) человеческого тела при 370 С, 2) атомного взрыва при 10 млн. град.

Решение. Используя формулу (9.6), получим для первого случая m = b/T = 2,9710-3 мград /(273+37) град = 9,3 мкм (инфракрасный диапазон ), для второго случая m = 3 А0 ( рентгеновский диапазон ).

Задача 9. Какую мощность Р надо подводить к зачерненному металлическому шарику радиуса R = 1 см, чтобы поддерживаить постоянной его температуру, равную 470 С. Считать, что шарик теряет энергию вследствие излучения.

Решение. Так как вся подводимая мощность расходуется на излучение, то Р = SRe = 4R2 T 4, где T = 2730 + 470 = 3200 – абсолютная температура шарика. Отсюда находим Р = 0,72 Вт.

Задача 9. Найти температуру идеального полусферического отражателя радиуса R= 20 м фотонной ракеты массы M = 100 т, движущейся с ускорением 1 g.

Какой должен быть радиус отражателя, чтобы его температура была 3000о Решение. Сила светового давления на отражатель выражается как F = PS, где Р = 2 Т4/c – сила светового давления, S = R2. По второму закону Ньютона F = Mg, что позволяет найти температуру излучения, а 1/ Mg = 38700 o K. Полагая следовательно и отражателя: T = 2R о Т = 3000, находим искомый радиус R = 341 м.

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 10.Основные постулаты квантовой механики В этом разделе будем пользоваться, если это специально не оговорено, абсолютной (гауссовой) системой единиц, которая традиционно используется в современных руководствах по квантовой механике.

10.1.Краткий очерк развития атомистических представлений Догадки о том, что материя дискретна, высказывали еще древние греки.

Демокрит выдвинул предположение о том, что вещество состоит из мельчайших неделимых частиц, и назвал их атомами ( в переводе с греческого “атом” означает “неделимый” ).

Первые свидетельства об атомной структуре вещества были получены в 19 веке в трудах Дальтона, Гей-Люссака, Авогадро и др. Ими было показано, что для получения определенного количества составного вещества необходимо брать исходные продукты в определенных весовых отношениях. Например, для получения 9 г воды необходимо брать 1 г водорода и 8 г кислорода. Эти опытные данные с атомистической точки зрения объясняются тем, что атомы в ходе химической реакции соединяются в определенных пропорциях. Например, при получении воды одна молекула кислорода соединяется с двумя молекулами водорода.

Вторым важнейшим свидетельством дискретной структуры вещества являются законы электролиза Фарадея. Он доказал, что если через электрод пропустить заряд Q и на нем выделится вещество массы М, то отношение Q/M не зависит от того, какое исходное соединение было взято для электролиза. Например, медь можно получить выделением на катоде как из медного купороса, так и из хлористой меди. Фарадей предположил, что вещество в растворах солей состоит из заряженных атомов — ионов, обладающих массой m и зарядом е. Тогда из закона электролиза Фарадея следует Q / M = e / m = const.

Таким образом, из закона Фарадея можно получить отношение заряда иона к его массе.

Следствия из законов электролиза удивительным образом нашли подтверждение в опытах Томсона по отклонению траекторий движения заряженных микрочастиц электрическим полем. На основании этих данных он получил отношение заряда иона к его массе е/m, и его результаты полностью совпали с данными по электролизу.

Наконец, замечательные результаты молекулярно-кинетической теории газов окончательно убедили исследователей в атомистическом строении вещества. Необходимо отметить, что становление атомистических представлений проходило в яростной борьбе, приводящей в некоторых случаях к трагическим исходам. Так создатель кинетической теории газов Л. Больцман, не выдержав нападок, застрелился.

В 1911 году Э. Резерфордом была доказана ядерная структура атома.

Опытами по рассеянию альфа-частиц на металле он доказал, в центре атома находится тяжелое, положительно заряженное ядро. Так как атом в целом нейтрален, то вокруг ядра должны быть распределены отрицательные заряды. Из устойчивости атома следует, что эти заряды должны двигаться по замкнутым траекториям ( находиться в состоянии равновесия отрицательные заряды не могут по известной теореме Ирншоу ). Открытие Резерфорда вызвало кризис в физике, связанный с тем, что двигающиеся по замкнутой орбите заряды, согласно законам классической электродинамики, должны излучать электромагнитную энергию за счет уменьшения своей кинетической энергии. Отсюда следует, что заряды должны все время приближаться к ядру атома и, в конце концов, упасть на него.

В 1913 г. Н.Бор предложил новую систему постулатов, позволяющую преодолеть этот кризис и объяснить структуры атомных спектров.

Согласно его представлениям, вокруг ядра по дискретным орбитам движутся электроны, не излучая электромагнитную энергию, причем, при переходе электрона с одной орбиты на другую, происходит излучение кванта света.

Для объяснения существования электронных орбит де Бройль в 1924 г.

предложил связать с каждой частицей плоскую волну, энергия и импульс которой связаны с частотой и волновым вектором теми же соотношениями, что и для фотона = С exp[ - i( t - kr )] (10.1) E = h, p = hk Существование круговых орбит де Бройль объяснял тем, что на орбите должно укладываться целое число волн. Функция получила название волновой функции.

То, что микрочастице можно приписать некоторую волну, было доказано в 1927 г. в опытах Дэвиссона и Джермера по дифракции электронов на кристаллической решетке. Позже было доказано, что дифрагируют не только электроны, но и другие микрочастицы ( нейтроны, протоны и т.д. ) и даже атомы. Cледовательно, волну де Бройля можно приписать не только электронам, но и любой микрочастице и даже атомам, состоящим из множества микрочастиц.

Вновь в физике создалась критическая ситуация, вызванная неясным смыслом волновой функции. Правильное статистическое толкование смысла волновой функции было найдено М. Борном, а уравнение, которое определяет волновую функцию, было открыто Э. Шредингером в 1927 г.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.