авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
-- [ Страница 1 ] --

Предисловие

Необходимость настоящей книги была обусловлена тем, что на русском языке учебники

и монографии по сейсмологии практически отсутствуют. Единственный учебник, ставший

уже библиографической редкостью, - это «Элементы сейсмологии и сейсмометрии»

Е.Ф.Саваренского и Д.П.Кирноса, изданный в 1956 году. Но он уже совершенно не

удовлетворяет современным потребностям в знаниях по данной области, поскольку за

прошедшие полвека эта наука совершила качественный скачок, обусловленный развитием наблюдательной сейсмологии – появлением аппаратуры, характеризующейся широким динамическим и частотным диапазоном, расширением сети сейсмических станций и переходом на цифровую регистрацию. Это привело и к возникновению новых направлений в теоретической сейсмологии, поскольку уже могли решаться такие задачи, которые до середины прошлого столетия даже не ставились, а именно, - изучение процессов в очагах землетрясений и причин землетрясений, исследование напряженного состояния Земли и связи землетрясений с глобальной тектоникой. Изменились и задачи в области структурной сейсмологии – изучение латеральных неоднородностей строения Земли, что привело к развитию и широкому использованию томографических методов, изучение анизотропных свойств Земли и связи особенностей строения с геодинамикой.

Перед сейсмологами даже была поставлена задача прогноза землетрясений, которая хотя и не решена к настоящему моменту, но сделаны существенные шаги в этом направлении. До середины прошлого века не ставились весьма важные в практическом отношении задачи сейсмического районирования.

За рубежом в последние годы издан ряд современных и весьма полных учебников и монографий по сейсмологии, но, к сожалению, российскому читателю они практически недоступны. Единственная переведенная в 1983 году на русский язык монография Аки и Ричардса «Количественная сейсмология» содержит только вопросы теоретической сейсмологии, причем на достаточно высоком математическом уровне. Поэтому она не может быть использована для обучения студентов основам сейсмологии.

Предлагаемый учебник базируется на курсе лекций по основам сейсмологии, которые читался автором студентам физического факультета, специализирующимся в области геофизики. В нем отражены основные направления в современной сейсмологии и основы теории сейсмических волн. Ссылки на литературу даны в конце каждой главы, причем по возможности в этих списках даются ссылки на книги на русском языке как наиболее доступные для русского читателя.

Автор выражает глубокую благодарность сотрудникам лаборатории сейсмологии, помогавшим в работе над данной книгой– Е.Л.Лысковой, В.В.Карпинскому, Е.Г.Орлову.

Т.Б.Яновская Глава 1. Введение Землетрясение является самой грозной из всех природных катастроф. Оно приводит к разрушению целых городов, и сопровождается огромным количеством жертв – до десятков и даже сотен тысяч. Множество людей остается без крова, нарушаются коммуникации, затрудняя оказание помощи пострадавшим. Разрушения происходят в считанные минуты, люди не успевают спастись из рушащихся строений. Катастрофа часто усугубляется возникающими пожарами и наводнениями. Поэтому естественно, что человечество издавна задавалось вопросом – почему происходят землетрясения, где и когда их следует ожидать. Но как наука сейсмология возникла сравнительно недавно – немногим более 100 лет назад. Теперь уже ученые могут ответить на многие вопросы, касающиеся природы и механизма землетрясений, их географического распределения, частоты повторения, но до сих пор главный вопрос, который имеет жизненно важное значение – как предсказать землетрясение, чтобы избежать жертв, остается открытым.

В этой вводной главе будут приведены сведения о некоторых сильнейших землетрясениях – как исторических, так и сравнительно недавних, и дан обзор развития сейсмологии за последнее столетие.

1.1. Примеры сильнейших землетрясений мира Китай, провинция Шаньси. 23 января 1556 года в провинции Шаньси в Китае произошло землетрясение, которое считается самым губительным в мире по числу человеческих жертв. Согласно хроникам, при этом землетрясении от разных причин погибло около 830 тысяч человек. Такое количество жертв объясняется тем, что это землетрясение произошло в густонаселенной местности, где крестьяне жили в основном на склонах холмов, покрытых лессовой почвой. В результате землетрясения произошло сползание почвенных пластов и обрушение лессовых склонов.

Землетрясение произошло в 5 ч. утра, когда люди спали в своих жилищах, которые обрушились на них, что и стало причиной их гибели.

Лиссабонское землетрясение 1755 г. Хотя число жертв в результате этого землетрясение было не столь велико, как в результате землетрясения в Шаньси, оно считается до настоящего времени самым сильным из известных землетрясений. По силе оно сравнимо с землетрясением на Суматре 26 декабря 2004 г, которое вызвало самое сильное из известных цунами. Очаг землетрясения находился в море, в 100 км от берегов Португалии. Толчки от этого землетрясения ощущались на всей площади Азорских островов до Италии и от Великобритании до Северной Африки.

Разрушения наблюдались на расстоянии сотен и даже тысяч километров от очага, вдоль всего берега Португалии, и даже в Марокко. Землетрясение произошло в день Всех Святых, многие жители в это время находились в храмах, большинство из которых обрушилось. Землетрясение сопровождалось волной цунами высотой 7 м. В результате разрушения печей возникли многочисленные пожары. Представление о происходившем во время землетрясения можно получить из картин и гравюр, сохранившихся с того времени. Гравюра, представленная на рис.1.1, дает представление о том ужасе, который охватил население Лиссабона: разрушения домов, цунами, пожары.

Рис.1.1. Гравюра 18 в., изображающая руины Лиссабона после землетрясения 1755 г.

Сан-Франциско, 18 марта 1906 г. Это землетрясение было одним из самых разрушительных в истории Калифорнии. Землетрясение, и возникшие в результате него пожары унесли около 3000 жизней. Ущерб в результате разрушений оценивается в более чем 500 млн. долларов. Продолжительность ощутимых движений почвы было около 1 минуты. Многие дома были мгновенно разрушены, произошло искривление дорог. Водопроводная линия из озера Сан-Адреас, снабжавшая водой Сан-Франциско, была повреждена, в результате чего город практически лишился воды, что привело к распространению пожаров.

Это землетрясение было вызвано горизонтальным смещением краев крупнейшего в Северной Америке разлома Сан-Андреас. Длина трассы образовавшегося сдвига достигала 430 км. Во многих местах вдоль разлома отмечались сдвиги почвы от 3 до 4.5 м. Максимальное горизонтальное смещение краев разлома было равно 6.4 м. Зона разрушений простиралась на расстояние около 600 км. О характере разрушений можно судить по рис.1.2, 1.3. На рис.1.4 показано, как искривилась дорога вследствие сдвига вдоль разлома.

The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Рис.1.2 Разрушения домов в результате землетрясения 1906 года в Сан-Франциско Для добавления заголовка щелкните мышью Для добавления текста щелкните мышью Рис.1.3 Разрушенный собор The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Рис.1.4 Искривление дороги в результате землетрясения в Сан-Франциско Мессинское землетрясение 1908 года. Во время этого землетрясения была опустошена часть Сицилии и Калабрии и до основания разрушены города Мессина и Реджио. Очаг землетрясения находился под дном Мессинского пролива.

Землетрясение началось в 5 ч.21 м. утра легким дрожанием почвы, нараставшим на протяжении 10 секунд. Через 2 минуты произошел толчок страшной силы, который и вызвал катастрофу. Вода в Мессинском проливе поднялась и огромные волны, высотой до 3 м, хлынули на город, разрушили портовые сооружения, набережную и все низкие части города. Большое число жертв (более 40000) объясняется плохим качеством построек и неблагоприятными геологическими условиями, а также большой плотностью населения в городах. Разрушения усилились вследствие плохой планировки городов: высокие здания располагались слишком близко к низким и разрушали их при падении;

недостаточно широкие улицы покрывались слоем обломков, толщина которого местами превышала 5 м. В силу этих причин в Мессине пострадало около 98% домов. В проливе образовались большие морские волны высотой до 12 м, которые обрушились на берега пролива через 5 – 15 минут после землетрясения. А.М.Горький пережил это землетрясение и вот как он его описывает:

«Земля глухо гудела, стонала, горбилась под ногами и волновалась, образуя глубокие трещины – как будто в глубине проснулся и ворочается веками дремавший некий огромный червь, - слепой, он ползет там в темноте, изгибаются его мускулы и рвут кору земли, сбрасывая с нее здания на людей и животных…Люди и камни смешиваются в кучи, и все чаще, все сильнее дрожат дома, церкви, их режет под основание какая-то неведомая коса, - ничто не может устоять под ее гигантскими взмахами»… Характер разрушений при Мессинском землетрясении можно понять из сравнения рисунков 1.5 и 1.6, где изображена одна и та же улица до и после землетрясения.

The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Рис.1.5. Мессина. Улица Виктора-Эммануила до землетрясения The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Рис.1.6. Та же улица после землетрясения Чили, 22 мая 1960 г. Эпицентр землетрясения находился на юге полуострова Арауко.

Это землетрясение было характерно тем, что сразу же после первого толчка, происшедшего около 6 утра 21 мая, произошла целая серия последующих толчков, которые продолжались и в течение следующего дня, при этом главный, наиболее сильный толчок произошел 22 мая около 3 часов дня. Число погибших оказалось значительно меньше, чем можно было бы ожидать в результате такого землетрясения, потому что предыдущие толчки выгнали людей на улицы. Сильные сотрясения испытали города Консепсьон и Вальдивия, хотя ряд зданий, выстроенных после сильного землетрясения 1939 года, когда было принято постановление о строительстве по новым нормативам, устояли. Погибло от 4 до 5 тысяч человек. При этом землетрясении наблюдались почти все явления, которые по современным представлениям сопутствуют сильным землетрясениям: воздымание поверхности в одних районах и опускание в других, сейши на озерах, оползни, свечение воздуха.

Водонасыщенные глинистые грунты вытекали из-под зданий, что приводило к их разрушению. За землетрясением последовала мощная волна цунами, воздействию которой подверглось все Тихоокеанское побережье Чили, и которая докатилась до Гавайских островов. Были даже зарегистрированы повреждения портовых сооружений в Японии. От цунами погибли 61 человек на Гавайах и 180 человек в Японии.

Следует отметить, что в этом районе сильные землетрясения не являются редкостью.

Катастрофическое землетрясение произошло 20 февраля 1835 года, которое опустошило окрестности города Консепсьон. В считанные секунды город превратился в груду развалин. В течение нескольких последующих дней земля не оставалась спокойной: колебания, хотя и менее сильные продолжались еще долго. С 20 февраля по 4 марта произошло более трехсот подземных толчков. Через 104 года, в 1939 году здесь же произошло катастрофическое землетрясение и снова город Консепсьон был разрушен, погибло 28 тысяч человек.

Таншаньское землетрясение 1976 г., Китай.

28 июля 1976 года в 3 ч. 42 м сильное землетрясение потрясло спящий город Таншань. Город с миллионным населением был практически полностью разрушен.

Разрушения и жертвы увеличились еще и в результате сильного афтершока, происшедшего днем 28 июля. Погибло по официальным данным 255 тысяч человек, т.е. почти четверть населения города, хотя по другим оценкам это число приближается к 655 тысячам.

По числу жертв это землетрясение считается самым катастрофическим в 20 столетии. 93% жилых строений и 78% промышленных зданий были полностью разрушены, получили серьезные повреждения водопроводные станции и водопроводные линии, в результате чего оставшиеся в живых жители были лишены воды. При этом землетрясении наблюдались большие проседания грунта, тяжелые повреждения получили системы ирригации, а одна прибрежная деревня, осевшая на 3 м, постоянно затоплялась морем. Это землетрясение особенно интересно тем, что за год до него произошло сильное землетрясение в провинции Хайчен, в км от Таншаня, но большого числа жертв удалось избежать, потому что это землетрясение было предсказано учеными (единственный случай удачного прогноза!), и люди были во-время выведены в безопасные места. В то же время в Таншане землетрясение оказалось совершенно неожиданным для ученых. Правда, в некоторых деревнях в окрестности и в самом Таншане люди за два дня наблюдали отдельные признаки готовящегося землетрясения (беспокойное поведение животных, странные вспышки света и сопровождающий их гул). Однако этим отдельным наблюдениям не было придано никакого значения.

The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Рис.1.7. Разрушенное здание в Таншане The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Рис.1.8. Пятиэтажное офисное здание после землетрясения: нижние три этажа были выстроены из бетона, а два верхних – полностью разрушенных - из кирпича Суматра, 26 декабря 2004 г.

Это землетрясение наряду с Лиссабонским считается самым сильным из известных в истории человечества. Землетрясение произошло 26 декабря 2004 года в 8 ч. утра по местному времени. Его очаг находился под дном Индийского океана, к западу от о-ва Суматра. Это землетрясение продолжалось около 10 минут, тогда как обычно сильные землетрясения происходят в течение нескольких секунд. Оно привело к вибрации всей Земли с амплитудой по крайней мере несколько сантиметров, и вызвало землетрясения в других частях земного шара. Главной особенностью этого землетрясения была необычно высокая волна цунами, достигающая местами до 30 м.

Основные разрушения и жертвы были обусловлены именно этой волной. Цунами опустошило берега Индонезии, Шри Ланка, Южной Индии, Тайланда и других стран.

Оно привело к серьезным разрушениям даже на восточном берегу Африки, жертвы и разрушения отмечались даже в Порт-Элизабет в Южной Африке на расстоянии км от эпицентра.

По официальным данным в результате этого землетрясения погибло 283 тысячи человек, но в действительности их было больше, потому что не учитывались те, которые были унесены волной в океан. В это время на островах отдыхало большое число туристов из разных стран, так что жертвами этого цунами оказались не только коренные жители. Помимо огромного числа унесенных человеческих жизней это цунами нанесло сильнейший ущерб окружающей среде: были разрушены коралловые рифы, уничтожены манговые рощи и леса, смыты песчаные дюны, оказались заболоченными прибрежные территории, нанесен сильнейший удар по флоре и фауне этих мест. Оказались отравленными соленой водой источники питьевой воды и почва.

В Шри Ланке уничтожены тысячи плантаций риса, манго и бананов. Рис.1. демонстрирует затопление территории и разрушения, вызванные цунами.

Рис.1. Эффект цунами на участке суши вблизи побережья Пакистан 8 октября 2005 года Эпицентр этого землетрясения находился в Пакистанской части Кашмира, вблизи границы Пакистана с Индией, в 90 км от Исламабада. Это землетрясение ощущалось во многих городах, включая Исламабад, Лахор и столицу Индии Нью-Дели. Очаг находился на сравнительно малой глубине, поэтому разрушения были велики.

Наибольшим разрушениям подвергся город Музаффарабад и его окрестности, где селения были полностью разрушены, и к ним не было доступа спасателям. Почти 80% Музаффарабада было разрушено. В общей сложности погибло около 86 тысяч человек и пострадали 69 тысяч. Около 4 миллионов людей потеряли кров.

Разрушенные дороги, сдвиги почвы и завалы, вызванные обрушением скал, затруднили оказание помощи извне в течение нескольких дней. Землетрясение сопровождалось оползнями на неустойчивых горных склонах. На рис.1.10 изображен результат обвала в горах, который привел к полному разрушению селения. На рис.1.11 показано, как разрушилось многоэтажное здание в Исламабаде при том, что соседние здания, (по-видимому, сейсмостойкие) остались невредимыми.

The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Рис.1.10. Горный обвал The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Рис.1.11 Разрушенное здание в Исламабаде 1.2. Этапы развития сейсмологии.

Землетрясения, их природа и процессы, с ними связанные, издавна интересовали ученых. Еще Аристотель (4 век до н.э.) в поисках причин землетрясений обратился к недрам Земли. Он считал, что атмосферные вихри внедряются в Землю, в которой много пустот и щелей. Вихри усиливаются огнем и ищут себе выхода, вызывая таким образом землетрясения и извержения вулканов. В то же время Аристотель пытался наблюдать движения почвы при землетрясениях. Он впервые дал классификацию движениям почвы при землетрясениях, выделив 6 типов движений – вверх-вниз, из стороны в сторону и т.п.

Первое устройство для определения направления первого главного импульса, вызываемого землетрясением, создал китайский ученый Чан Хэн в 132 г. В большой сосуд диаметром 180 см он поместил маятник, который мог качаться в восьми направлениях. Восемь драконов, каждый с шариком в пасти, были укреплены на сосуде вокруг него. Когда толчок от землетрясения заставлял маятник качнуться, шарик выпадал из пасти дракона и попадал в открытый рот сидящей внизу жабы. В этот момент прибор издавал звук, извещая, что произошло землетрясение. В зависимости от того, в рот какой из жаб попал шарик, можно было определить направление движения почвы. Прибор был настолько чувствителен, что отмечал даже землетрясения, не ощущавшиеся людьми. Поэтому Чжан Хэн официально считается первым наблюдателем и исследователем землетрясений, хотя, конечно, его прибор следует рассматривать скорее как демонстрационный.

The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Рис.1. Первый сейсмоскоп (Китай, 132 г.) Наблюдения землетрясений, полезные для научных обобщений, начали накапливаться начиная приблизительно с середины 18 века. В 1760 году Джон Мичелл опубликовал в Англии мемуар о землетрясениях, в котором обнаружил связь землетрясений с волновым движением в Земле. Он пpишел к выводу, что сотpясения Земли пpоисходят в pезультате пpохождения чеpез земную толщу упpугих волн. Если пpоследить их путь назад до места их поpождения, то можно установить пpичину возмущения.

Началом сейсмологии некоторые считают появление в 1862 г. книги иpландского инженеpа Pобеpта Малета “Великое неаполитанское землетpясение 1857 г.: основные пpинципы сейсмологических наблюдений”. Он совершил экспедицию в Италию и составил карту пораженной территории, разделив ее на 4 зоны. Введенные Малетом зоны представляют первую, достаточно примитивную шкалу интенсивности сотрясений. Он же предложил организовать сеть обсерваторий и разместить их по земной поверхности. Пальмиери в Италии изобрел сейсмограф, способный регистрировать удаленные землетрясения.

Но, по сути сейсмология как наука возникла и начала развиваться, когда были сконструированы и установлены в ряде обсерваторий приборы для регистрации колебаний почвы В 1892 г. Джон Милн сконстpуиpовал пеpвый удобный в обpащении cейсмогpаф. Это дало возможность установить его и проводить с его помощью наблюдения во многих частях света. С этого времени начинается сбор и накопление инструментальных данных, и сейсмология становится количественной дисциплиной.

Теоpетические основы сейсмологии были заложены еще pанее, в сеpедине 19 в.

тpудами Коши, Пуассона, Pелея, Кирхгофа. Уже в 1828 году Коши и Пуассон построили уравнения движения для упругой среды, и тогда же Пуассон показал, что в такой среде могут распространяться два типа волн – продольные и поперечные с разными скоростями. Грин изучал отражение и преломление упругих волн на границах двух сред. Релей в 1887 году разработал теорию поверхностных волн, распространяющихся вдоль границы упругого полупространства. Позднее, уже в начале 20-го века, Ляв показал возможность образования еще одного типа поверхностных волн, не описываемых теорией Релея. Таким образом, к моменту начала регистрации сейсмических волн от землетрясений было понятно, какого типа волны могут распространяться в Земле.

В 1897 г. Вихеpт отождествил на сейсмогpаммах тpи основных типа волн пpодольные, попеpечные, повеpхностые. С этого вpемени начинается составление каталогов землетpясений и постpоение гpафиков зависимости вpемен пpихода волн от pасстояния до эпицентpа. Так что по существу сейсмология как наука сформировалась в конце 19-го – начале 20-го веков. Первую приемлемую таблицу времен пробега продольных и поперечных волн составил Олдгем. Он заметил, что при возрастании расстояния времена пробега увеличиваются медленнее, чем следовало бы, если бы скорость была постоянной. Отсюда был сделан важный вывод о том, что скорости упругих волн возрастают с глубиной. В 1906 г. Олдгем обнаpужил вступления продольных волн вблизи антицентpа. Но их вpемена пpихода оказались значительно больше, чем если бы скоpость в Земле была такая же, как и для волн, pегистpиpуемых на небольших pасстояниях. Отсюда был сделан вывод о существовании внутpи Земли центральной области, где скорость значительно меньше, чем во внешней части.

В Pоссии pазвитие сейсмологии связано с именем академика Б.Б.Голицина. Он создал новый тип сейсмогpафа - электpомагнитного с гальванометpической pегистpацией. Существенным в этом было преобразование колебаний Земли в электрический ток, что сделало возможным регистрировать слабые колебания от удаленных землетрясений. Голицыным в 1906 году была основана сейсмологическая станция «Пулково», оборудованная созданными им приборами, которая в те годы являлась центральной сейсмологической обсерваторией в России.

В 1909 г. хоpватский ученый The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Мохоpовичич, наблюдая волны от близкого землетpясения, обнаpужил на сейсмогpаммах по два вступления пpодольной и попеpечной волны, откуда сделал вывод о том, что эти волны должны pаспpостpаняться по pазным путям, и заключил о существовании слоя земной коpы, мощность котоpой оценил в 50 км.

В 1914 г. Гутенбеpг оценил глубину гpаницы ядpа в 2900 км, что хорошо согласуется с совpеменными пpедставлениями.

В 20-40 гг. большой вклад в pазвитие сейсмологии внесли Джеффpис, Буллен, Гутенбеpг. Ими составлены достаточно точные таблицы времен пробега всех Рис.1.13. Академик Б.Б.Голицын (1862 1916) основных волн в Земле, которые не потеряли своего значения и до настоящего времени.

В 1936 г. Леманн привела доказательства того, что внутри ядра Земли имеется центральная область (внутреннее ядро), характеризующееся большей скоростью сейсмических волн, чем его внешняя часть. Большой вклад в развитие сейсмологии в это время внес Джеффрис, который заботился о применении строго научных методов и статистических подходов, где это было необходимо. В результате работ этих ученых к началу 40-х гг. было опpеделено pаспpеделение скоpостей пpодольных и попеpечных волн с глубиной в Земле.

Пеpвую половину столетия (до конца 40-х - начала 50-х гг.) можно pассматpивать как пеpвый этап в pазвитии сейсмологии. Целью этого этапа был сбор и систематизация данных о временах пробега сейсмических волн в Земле, которые использовались для решения двух задач – определения координат очагов землетрясений и для определения распределения скоростей упругих волн с глубиной. На этом этапе функционировало еще достаточно ограниченное число сейсмических станций, обработка сейсмограмм и определение координат очагов землетрясений производились вручную, и достижения сейсмологии на этом этапе обязаны трудам небольшого числа ученых. В результате к концу этого этапа были получены пpедставления о геогpафическом pаспpеделении эпицентpов землетpясений и об изменении упpугих свойств Земли с глубиной.

Период от 50-х - начала 60-х гг. до 80-х гг. можно рассматривать как второй этап в развитии сейсмологии. На этом этапе появляется большое число станций, они обоpудуются высокочувствительными пpибоpами, позволяющими регистрировать колебания в значительно более широком частотном диапазоне. Это дало возможность pегистpиpовать значительно более слабые землетpясения и более детально изучать pаспpеделение сейсмичности по земному шаpу, точнее локализовать очаги и опpеделять механизмы очагов. На первый план выступает уже задача исследования процессов в очагах землетрясений. Кpоме того, появилась возможность более детального изучения стpоения Земли (гоpизонтальных неодноpодностей, тонкой стpуктуpы пеpеходных зон, и т.п.). Но это же привело и к тому, что резко увеличился объем данных (сейсмограмм), и их обработка на прежнем уровне – вручную – уже стала невозможной. Но как раз в это время происходит бурное развитие вычислительной техники, что позволило решать целый ряд задач уже с помощью электронных вычислительных машин. Однако, по-прежнему сейсмограммы записываются в аналоговом виде, и это затрудняет массовую их обработку. На этом же этапе были выявлены предвестники землетрясений, что позволило ставить задачу прогноза землетрясений.

Наконец, с сеpедины- конца 80-х гг. сейсмология пеpеживает новый всплеск своего pазвития. Это связано с появлением миpовых сетей сейсмологических станций, обоpудованных пpибоpами с цифpовой записью, котоpые позволяют пpоизводить pегистpацию сейсмических колебаний в шиpоком динамическом диапазоне. Записи этих станций благодаpя совpеменным сpедствам хpанения и пеpедачи инфоpмации чеpез INTERNET становятся доступными сейсмологам всего миpа. Благодаpя pазвитию вычислительной техники оказывается возможным обpабатывать большие массивы данных - как непосредственно сами записи землетрясений, так и характеристики сейсмических волн на большом числе станций и от большого числа землетрясений.

Созданы центpы накопления и обpаботки пеpвичных данных, так что имеется возможность использовать их pезультаты. Главными мировыми центрами первичной обработки данных являются NEIC ( National Earthquake Information Center) в США, и ISC (International Seismological Centre), Великобритания. NEIC отвечает за быстрое и по возможности точное определение координат очага и силы всех разрушительных землетрясений в мире. Кроме того, там производится сбор и предоставление пользователям расширенной сейсмической базы данных. В МСЦ производится окончательный сбор, анализ и публикация стандартной информации о землетрясениях мира. Кроме того, существует ряд региональных сейсмологических центров.

Более широкие проекты и программы в распространении сейсмологической информации выполняет IRIS (Incorporated Research Institutions for Seismology) – структура, объединяющая ведущие университеты США, целью которой является помощь в исследованиях внутреннего строения Земли, очагов землетрясений и оценки сейсмической опасности. Информация из мировых центров данных стекается в IRIS и может быть получена любым пользователем по Интернету. Одной из главных задач IRIS является организация Глобальной Сейсмологической Сети (GSN). Цель GSN – распределить станции, оборудованные однотипными приборами, более или менее равномерно по земному шару. В настоящее время сеть GSN состоит из 128 станций, в ближайшее время планируется установить еще 8 станций. На рис.1.14 показано расположение сейсмических станций GSN.

The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Рис.1.14. распределение станций Глобальной Сейсмической Сети по земному шару На современном этапе основными задачами сейсмологии являются следующие:

В области изучения очага землетpясения - создание физической теоpии пpоцесса подготовки землетpясения и pазpушения вещества, опpеделение на основе этой теоpии пpедвестников землетpясений. К настоящему вpемени уже показано, что само землетpясение является пpоявлением неустойчивости нелинейной динамической системы, поэтому пpедставляется пеpспективным пpименение теоpии динамического хаоса к описанию пpоцессов подготовки и возникновения землетpясений.

В области изучения стpоения Земли - использование томогpафических методов для исследования тpехмеpной стpуктуpы Земли и развитие этих методов. Для pешения этих задач требуется использовать чpезвычайно большие объемов данных, что пpиводит к необходимости pазpаботки специальных вычислительных методов.

В области теоpии - pазpаботка методов pасчета полей сейсмических волн в сложных неодноpодных, анизотpопных сpедах, поpистых и многокомпонентных сpедах, pазpаботка теоpии сейсмического очага на основе более сложных моделей.

Литература к гл.1.

Б.А.Болт, У.Л.Хорн, Г.А.Макдональд, Р.Ф.Скотт. Геологические стихии. 1978.

М.Мир.439 с.

Дж.А.Эйби. Землетрясения. 1982. М.Недра. 264 с.

Дж.Гир, Х.Шах. Зыбкая твердь. 1988. М.Мир. 219 с.

Дж.Ходжсон. Землетрясения и строение Земли. М.Мир.,1966. 193 с.

А.А.Никонов. Землетрясения (прошлое, современность, прогноз). М.Наука. 2006 192 с.

Глава 2. Теория упругих волн 2.1 дЕформации В твердом теле под влиянием приложенных сил изменяются расстояния между частицами, в результате чего тело изменяет свою форму и объем. Это явление представляет собой деформацию твердого тела. Если в невозмущенном состоянии некоторая частица находилась в точке с координатами x,y,z, а в результате деформации она переместилась в точку с координатами x’,y’,z’, то вектор u с координатами u=x’-x, v=y’-y, w=z’-z называется смещением частицы.

Если тело совершает поступательное или вращательное движение, то оно не подвергается деформации – в этом случае смещение u оказывается одним и тем же во всех точках. Деформация возникает тогда, когда смещение различно в различных точках тела, т.е. когда u является функцией координат. В большинстве практических задач сейсмологии допустимо ограничиться рассмотрением малых деформаций, когда можно пренебречь различием между координатами x,y,z и x’,y’,z’ и считать смещение функцией x,y,z. Таким образом, для тела, испытывающего малые деформации, поле смещений образуется множеством векторов u=u(x,y,z).

Чтобы определить характеристики деформации, рассмотрим деформацию элементарного объема среды в виде параллелепипеда со сторонами x,y,z.

Предположим, что смещение не зависит от координаты z. В этом случае достаточно рассматривать только одну грань параллелепипеда, перпендикулярную оси z (прямоугольник ABCD на рис.2.1).

D" D' C' D''' ) y + y (x, u C D B' B" B''' A',y),y) x u(x x+ u( A B Рис.2. Схема, иллюстрирующая деформацию прямоугольника ABCD: в результате деформации прямоугольник превращается в четырехугольник A’B’C’D’.

В результате деформации прямоугольник превратится в четырехугольник A' B ' C ' D ', при этом изменятся длины сторон и углы между сторонами.

Рассмотрим изменение стороны AB в результате деформации. Вектор B B представляет собой изменение смещения при перемещении от точки (x,y) к точке (x+x, y), т.е. u = u( x + x, y ) u( x, y ). В предположении малости u u смещений u x. Компонента этого вектора u = B" B' ' ' = x x x v представляет собой приращение длины стороны AB, а v = B' ' ' B' = x x x определяет ее поворот. Аналогично удлинение стороны AD при перемещении от точки (x,y) к точке (x, y+y) будет приблизительно равно v u y y. Таким образом, изменение y, а D' ' ' D' = v = D" D' ' ' = y y прямого угла между координатными осями определится суммой углов v u + = +. В общем случае, когда смещение зависит от всех трех x y координат, полная деформация определяется шестью величинами:

относительными удлинениями линейных элементов, параллельных координатным осям u v w exx =, eyy =, ezz = x y z и изменениями прямых углов между координатными осями v u u w w v e xy = +, e xz = +, e yz = + x y z x y z Последние три величины определяют деформацию сдвига. Обычно в качестве характеристики деформации сдвига принимают величины равные половине изменения угла, т.е.

1 w v 1 v u 1 u w xy = +, xz = +, yz = + 2 y z 2 x y 2 z x Если обозначить координаты x,y,z через x1, x2, x3, а компоненты вектора смещения u,v,w через u1, u2, u3, то деформации как удлинения, так и сдвига могут быть записаны единообразно:

1 u u ik = i + k x 2 k xi Таким образом малая деформация характеризуется симметричным тензором деформации 11 12 21 22 31 32 Симметричный тензор всегда может быть приведен к диагональному виду поворотом координатных осей. Таким образом, в каждой точке тела могут быть выбраны такие направления осей, в которых отсутствуют сдвиговые деформации – они называются главными осями деформации. В главных осях элементарный параллелепипед со сторонами x,y,z в результате деформации будет также представлять параллелепипед, но имеющий стороны x(1+xx), Объем такого параллелепипеда будет равен y(1+yy), z(1+zz).

xyz (1 + xx )(1 + yy )(1 + zz ), а относительное изменение объема в результате деформации (учитывая малость деформаций) будет соответственно равно сумме диагональных элементов тензора деформации (1 + xx )(1 + yy )(1 + zz ) 1 xx + yy + zz Поскольку сумма диагональных элементов тензора является инвариантом относительно поворота координат, то и в любой другой координатной системе относительное изменение объема будет тоже определяться суммой диагональных элементов тензора деформации. Эту величину называют дилатацией и обычно обозначают, так что u v w = + + = divu x y z 2.2. Напряжения В результате деформирования сплошной среды в ней возникают силы, стремящиеся противодействовать деформации. Понять характер этих сил можно, если рассмотреть некоторый объем среды, находящейся в деформированном состоянии и мысленно удалить окружающую его среду.

Очевидно, для того чтобы сохранить этот объем в том же деформированном состоянии, необходимо к поверхности этого объема приложить силы, определенным образом распределенные по поверхности (рис.2.2). В отличие от Рис.2. Стрелки изображают силы, приложенные к поверхности.

объемных сил, приложенных к элементу объема и имеющих в рассматриваемой точке определенное направление, поверхностные силы зависят не только от положения точки, но и от ориентации элемента поверхности. Такие силы, отнесенные к единице поверхности, называются напряжениями. В каждой точке напряжение определяется вектором силы и направлением нормали к площадке, так что к элементу поверхности, имеющей нормаль n, будет приложена сила Tn. Поскольку напряжение определяется не только величиной и направлением силы, но и направлением нормали к поверхности, оно является тензором. Чтобы определить тензор напряжений в координатной системе x,y,z, рассмотрим элемент объема в виде тетраэдра, имеющего три грани, ориентированные параллельно координатным плоскостям (рис.2.3). Четвертая z Tn n x y Рис.2. Иллюстрация равновесия сил, приложенных к граням тетраэдра грань имеет единичную нормаль n. Чтобы этот элемент объема находился в равновесии, необходимо, чтобы сумма всех сил, приложенных к его поверхности, равнялась нулю. Пусть площадь грани, имеющей нормаль n, равна dS. Тогда площади граней, перпендикулярных осям x,y,z, будут соответственно равны n x dS, n y dS, n z dS, где n x, n y, n z - компоненты вектора n.

Силы, приложенные к этим граням, будут равны Tx n x dS, Ty n y dS, Tz n z dS.

Знак минус возникает за счет того, что внешней нормалью к этим граням являются оси -x,-y,-z. А сила, приложенная к четвертой грани, равна Tn dS. Из условия равновесия следует, что Tn = Tx n x + Ty n y + Tz n z (2.1) Это равенство в компонентах записывается следующим образом:

Tnx = Txx n x + T yx n y + Tzx n z Tny = Txy n x + T yy n y + Tzy n z Tnz = Txz n x + T yz n y + Tzz n z Таким образом напряжение в любой точке однозначно определяется тензором Tzx Txx T yx Tzy = Txy T yy Tzz T T yz xz Компоненты напряжений, совпадающие по направлению с нормалью к площадке, называются нормальными напряжениями, а компоненты перпендикулярные нормали называются касательными напряжениями.

Очевидно, что диагональные элементы тензора представляют собой нормальные, а внедиагональные – касательные напряжения.

Тензор напряжений является симметричным, т.е. Txy = T yx, Txz = Tzx, T yz = Tzy.

Данный факт следует из условия равновесия, которое включает не только равенство нулю суммарной силы, но и равенство нулю суммы моментов сил, приложенных к элементу объема. Выберем элемент объема в виде параллелепипеда (рис.2.4) со сторонами x,y,z.

z Tzz Tzx Tzy Txz T xy Txx Txx Txy Tzy x Txz Tzx Tzz y Рис.2.4.

Из равенства моментов сил, приложенных к заштрихованным граням параллелепипеда, выводится симметричность тензора напряжений.

С точностью до величин следующего по величине порядка малости можно принять, что напряжения, приложенные к противоположным граням равны по величине и противоположны по знаку, поскольку внешние нормали к этим граням имеют противоположные направления. Рассмотрим момент сил вдоль оси y. Он создается касательными напряжениями, перпендикулярными оси y и приложенными к верхней, нижней, левой и правой граням. Силы, приложенные к левой и правой граням, равны Txz yz и создают момент Txz yzx.

Приложенные к верхней и нижней граням силы равны Tzx yx, а момент, создаваемый ими, равен Tzx yxz. Поскольку сумма моментов сил должна быть равна нулю, следует, что Txz = Tzx. Аналогичным образом доказывается, что Txy = T yx, Tzy = T yz.

Как и в случае тензора деформаций, тензор напряжений может быть приведен к диагональному виду поворотом координатных осей. Оси, в которых тензор напряжений является диагональным, называются главными осями напряжений.

В главных осях касательные напряжения, приложенные к координатным плоскостям, отсутствуют. Если в главных осях все нормальные напряжения равны, т.е. Txx = T yy = Tzz, то тело подвергается равномерному давлению.

Поскольку нормальные напряжения положительны, когда они направлены в сторону внешней нормали к поверхности, и соответственно вызывают растяжение среды, то давление, вызывающее сжатие, будет в этом случае равно p = Txx = T yy = Tzz. В общем случае давление определяется как среднее из (Txx + Tyy + Tzz ). Эта величина не зависит нормальных напряжений, т.е. p = от координатных осей.

2.3. Связь напряжений и деформаций В твердом теле при малых деформациях зависимость между напряжениями и деформациями является линейной. Этот факт был установлен экспериментально еще в семнадцатом столетии и носит название закона Гука. Тела, для которых справедлив закон Гука, называются упругими (идеально упругими). Если координаты x,y,z обозначать через x1, x2, x3, и соответственно компоненты деформаций и напряжений через ik и Tik (i, k = 1,2,3), то закон Гука можно записать в виде Tik = ciklm lm (2.2 ) l,m Коэффициенты ciklm называются упругими модулями или упругими постоянными.

Поскольку как тензор напряжений, так и тензор деформаций содержат по независимых компонент, то в общем случае число упругих модулей должно быть равно 36. Однако, как будет показано дальше (раздел 2.4), их число не может быть больше 21.

Число упругих постоянных зависит от степени симметрии среды. В случае изотропного материала, для которого свойства среды одинаковы во всех направлениях, число упругих постоянных уменьшается до двух. Закон Гука для изотропной среды записывается в виде Txx = + 2 µ xx T yy = + 2 µ yy Tzz = + 2 µ zz Txy = 2 µ xy Txz = 2 µ xz T yz = 2 µ yz или, в общем виде Tik = ik + 2 µ ik, (2.3 ) 1 i = k где ik – символ Кронекера: ik =.

0 i k Константы и µ называются коэффициентами Ламэ. Коэффициент µ имеет смысл модуля сдвига, так как он определяет зависимость сдвиговой деформации от касательного (сдвигового) напряжения.

Наряду с коэффициентами Ламэ и µ часто употребляют другие пары упругих постоянных:

1) Модуль всестороннего сжатия K и модуль сдвига µ. Модуль всестороннего сжатия определяют как коэффициент пропорциональности между давлением p и относительным изменением объема : p = K. Чтобы выразить его через коэффициенты Ламэ, сложим соотношения между нормальными напряжениями и деформациями:

Txx = + 2 µ xx T yy = + 2 µ yy Tzz = + 2 µ zz p = (Txx + T yy + Tzz ) = + µ, откуда K = + µ 2) Модуль Юнга E и коэффициент Пуассона. Модуль Юнга представляет собой коэффициент связи между односторонним сжатием (например, в направлении оси x) и деформацией удлинения в этом же направлении, т.е.

Txx = E xx и аналогично T yy = E yy, Tzz = E zz Выражение модуля Юнга через коэффициенты Ламэ можно получить из следующих равенств:

Txx = + 2 µ xx = E xx 0 = + 2 µ yy 0 = + 2 µ zz µ (3 + 2µ ) Из этих уравнений получаем E =.

+µ При одностороннем сжатии происходит расширение вещества в поперечных направлениях. Отношение поперечного сжатия к продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона:

yy = zz = xx Воспользуемся уравнениями + 2µ xx = E xx 2µ xx = Вычитая второе уравнение из первого, получим E 1+ = 2µ откуда = 2( + µ ) В жидкости, которую можно рассматривать как предельный случай упругой среды, модуль сдвига µ равен нулю. Коэффициент Пуассона для жидкости равен. Коэффициент Ламэ не может быть отрицательным, в противном случае при продольном сжатии в поперечном направлении происходило бы не расширение, а сжатие. Таким образом пределы изменения коэффициента Пуассона 0 0. Для большинства твердых тел коэффициент Пуассона близок к. Случай = имеет место, когда =µ (гипотеза Пуассона).

2.4. Энергия деформации Выделим в деформированном теле элементарный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям, а ребра равны x,y,z. На его гранях будут действовать напряжения Tx (Txx, Txy, Txz ), Ty (T yx, T yy, T yz ), Tz (Tzx, Tzy, Tzz ). Рассмотрим работу этих упругих сил при изменении деформации на элементарные величины xx, xy, xz, yy, yz, zz. При этом грань, перпендикулярная оси x, сместится по осям x,y,z соответственно на величины u = xx x, v = xy x, w = xz z, т.е. на величину элементарного вектора u. Это смещение произойдет под действием силы Tx yz. Таким образом, работа этой силы будет равна (Tx, u )yz = (Txx xx + Txy xy + Txz xz ), где = xyz - объем параллелепипеда. Аналогично работы сил, приложенных к двум другим граням, будут равны соответственно (Tyx yx + Tyy yy + Tyz yz ) (Tzx zx + Tzy zy + Tzz zz ). Полная и работа сил, отнесенных к единице объема, будет равна A = Tik ik (2.4) i,k Это есть удельная элементарная работа деформации, которая равна изменению энергии деформированого тела. В дальнейшем будем использовать правило суммирования по повторяющимся значкам, так что (2.4) ) может быть записано в виде A = Tik ik Полную энергию деформации можно получить интегрированием этого выражения. Но для этого необходимо выразить напряжения через деформации.

Для упругого тела связь напряжений и деформаций определяется законом Гука (2.2). При этом A = ciklm lm ik Эта работа равна приращению удельной энергии деформации W. Это приращение должно быть полным дифференциалом, так что интегрированием мы получим полную энергию деформации. Но для этого необходимо, чтобы упругие постоянные подчинялись следующему соотношению:

ciklm = clmik (2.5) Только в этом случае A = W = ciklm ( lm ik + ik lm ) = ciklm ( lm ik ) = (ciklm lm ik ) ) (2.6 ) 1 1 2 2 Из условия (2.5) следует, что число упругих не может быть больше 21, как уже было упомянуто в разделе 2.3.

Интегрируя (2.6), получим выражение для полной удельной энергии деформации 1 W = ciklm lm ik = Tik ik (2.7) 2 В случае изотропной среды это выражение принимает вид + µ ik ik W= (2.8 ) 2.5 Уравнения движения Выведем теперь уравнения, определяющие передачу движений частиц упругой среды. Согласно законам механики, движение точки (элемента среды с массой dm) определяется уравнением d 2u dm = df (2.9) dt где df – сила, действующая на этот элемент среды. Пусть этот элемент среды имеет объем d, тогда dm = (x)d, df = f (x, t )d, где (x) - плотность среды в точке х, а f(x) сила, приложенная к единице объема.

Рассмотрим некоторый объем среды, способной подвергаться деформации.

Проинтегрируем (2.9) по этому объему. Левая часть этого уравнения примет вид 2 u(x, t ) ( x) d, (2.10) t а в правой мы будем иметь сумму всех сил, действующих на этот объем среды.

Это будут так называемые объемные силы, приложенные к точкам данного объема (к ним относятся, например, гравитационные силы и различные внешние воздействия), и поверхностные силы, обусловленные деформацией среды:

f (x, t )d + Tn dS, (2. 11) S S где Tn– напряжение, приложенное к поверхности S объема (рис.2.5).

Выражая Tn по формуле (2.1) и приравнивая n (2. 10) и (2.11), получим 2u (Ti, ni )dS = 2 d fd, (2.12) Tn t S или в компонентах Рис.2.5, 2u Tik ni dS = 2k d f k d (2.13) иллюстрирующий вывод t S уравнения движения упругой среды В силу симметрии тензора напряжения левую часть можно иначе записать в виде:

Tki ni dS = Tkn dS S S и преобразовать этот интеграл по формуле Гаусса-Остроградского Tkn dS = divTk d S Учитывая, что объем может быть взят произвольным, получим следующее равенство 2u k divTk = f k (2.14 ) t Равенство (2.14) может быть записано в векторной форме 2u = f (2.15) t где обозначает результат действия оператора = x, x, x на тензор 1, или в координатах x,y,z:

Txx Txy Txz 2u = 2 fx + + x y z t T yx T yy T yz 2v = 2 fy + + (2.16) x y z t Tzx Tzy Tzz 2w = 2 fz + + x y z t Уравнения (2.15) и (2.16) справедливы для любой среды, в том числе и неидеально упругой. В таком виде, однако, уравнение решено не может быть, поскольку в левую часть входят напряжения, а в правую – производные от смещений. Чтобы решить эти уравнения, необходимо выразить напряжения через смещения. В случае однородной изотропной упругой среды связь напряжений и деформаций (а деформации выражаются через пространственные производные от смещений) определяется законом Гука (2.3). Каждое из уравнений (2.16) может быть записано в виде Tik 2u = 2i f i x k t Подставляя вместо Tik выражение (2.3), получим divu ik + µ u i + u k = u i f i x x k k xi t Преобразуем левую часть этого уравнения:

2ui ( + µ ) divu + µu i = 2 f i (2.17) xi t С учетом того, что u = divu rotrotu, это уравнение в векторной форме записывается следующим образом:

2u ( + 2 µ )divu rotrotu = 2 f (2.18) t 2.6.Сейсмические волны Как только произошло возмущение упругой среды в какой-либо ее части, оно начинает распространяться в остальную часть среды согласно уравнению движения (2.15). Это распространение происходит в форме волнового движения с конечной скоростью. Рассмотрим решение уравнения движения для однородной изотропной среды (2.18). Наиболее распространенный подход к решению этого уравнения заключается в представлении искомого поля смещений через потенциалы. Известно, что любое векторное поле может быть представлено в виде суммы потенциальной и вихревой части, т.е.

u(x) = (x) + rot (x) (2.19) Здесь (x) и (x) скалярный и векторный потенциалы. Заметим, что потенциалы определяются не однозначно – скалярный потенциал определен с точностью до константы, а векторный – до градиента некоторой скалярной функции.

Аналогичным образом представим объемную силу через скалярный и векторный потенциалы:

f (x) = + rot (2.20) Подставим представление (2.19),(2.20) в уравнение движения (2.18):

2 2 rot ( + 2 µ ) (x) µrotrotrot (x) + + rot = t 2 t В левой части полученного уравнения мы можем также выделить потенциальную и вихревую части каждую из них приравнять нулю:


( + 2 µ ) 2 + = t (2.21) rot µrotrot 2 + = t Из первого уравнения следует, что выражение под знаком градиента должно быть равно константе. Но поскольку и определены с точностью до констант, мы можем их выбрать так, чтобы в первом уравнении (2.21) константа в выражении под знаком градиента была равна нулю, т.е.

( + 2 µ ) = 2 (2.22) t При преобразовании второго уравнения (2.21) мы прежде всего воспользуемся известным из векторного анализа соотношением = div rotrot и учтем, что ротор градиента равен нулю. Тогда это уравнение примет вид:

rot µ 2 + = t И аналогично тому, как было сделано для скалярного потенциала, мы можем принять выражение под знаком ротора равным нулю, т.е. получим уравнение для векторного потенциала в виде µ = (2.23) t Уравнения (2.22) и (2.23) описывают различные типы движений в упругой среде. Если внешние объемные силы отсутствуют, то (2.22) и (2.23 ) могут быть записаны в стандартной форме волнового уравнения 2 1 = = + 2µ t 2 a 2 t 2 (2.24) 2 1 = = µ t 2 b 2 t Движение, описываемое скалярным потенциалом, представляет волну, + 2µ распространяющуюся со скоростью a =, а движение, описываемое векторным потенциалом - волну, распространяющуюся со скоростью µ. Чтобы решить эти уравнения, мы должны знать начальные условия, b= т.е. функции (x) и (x) в момент t=0.

Решения уравнений (2.24) являются аддитивными, т.е. если 1 и 2 два различных решения волнового уравнения, то 1 + 2 также будет решением.

Это значит, что путем суперпозиции различных (элементарных) решений мы можем построить такое, которое удовлетворяет заданным начальным условиям.

Простейшим элементарным решением волнового уравнения является решение в виде плоской волны.

2.7. Плоские волны Рассмотрим вначале скалярное волновое уравнение 1 2u u = 2 2 (2.25) c t u = u (x, t ) Решение уравнения (2.25) может быть представлено в следующем общем виде:

u (x, t ) = f (t (k, x)) (2.26) где f() – произвольная функция, а k =. Такое решение представляет c собой волну, распространяющуюся в направлении вектора k со скоростью с.

Направление вектора k является произвольным. Очевидно, что в любой момент времени t на плоскости (k,x)=const значение функции u будет одним и тем же.

Запишем теперь решения уравнений (2.24) в виде плоских волн:

(x, t ) = f (t (k P, x) ) kP = a (x, t ) = lF (t (k S, x) ) kS = b где l – некоторый единичный вектор, имеющий произвольное направление.

Тогда выражение для смещения, являющего решением уравнения движения упругой среды, может быть записано в виде u = uP + uS где u P = = k P f (t (k P, x) ) (2.27) u S = rot = (l k S ) F (t (k S, x) ) Первое слагаемое описывает волну, в которой смещение происходит в направлении вектора kP, т.е. в направлении распространения волны. Такая волна называется продольной и обозначается P. Волна, описываемая вторым слагаемым, распространяется в направлении вектора kS, а смещение в ней происходит перпендикулярно направлению распространения. Такая волна называется поперечной (S). Скорость продольной волны всегда больше скорости поперечной. Характер движения в плоских продольной и поперечной волнах изображен на рис.2.6.

Рис.2.6. Движение в продольной и поперечной волнах Решение уравнения движения в виде плоской волны можно построить, не прибегая к выражению смещений через потенциалы. Из (2.27) видно, что смещение как в продольной, так и в поперечной волне можно представить в общем виде следующим образом:

(n, x) u = l t ( 2.28 ) c где n и l – некоторые единичные вектора, а c – скорость распространения волны. Вектор n определяет направление распространения волны, а вектор l – направление смещения в волне, или ее поляризацию. Используя концепцию плоских волн, мы покажем, что скорость c может быть равна a или b, при этом в случае c=a вектор поляризации l=n, а в случае c=b l оказывается ортогональным n.

Действительно, подставляя представление (2.28) в уравнение движения (2.18) (считая f=0), мы получим [( + µ )n(l, n) + µl ] (t (n, x) / c ) = c 2 l (t (n, x) / c ) или ( + µ )n(l, n) = ( c 2 µ )l ( 2.29) c 2 µ Обозначим =, тогда (2.29) иначе можно записать в виде +µ nn T l = l (2.30) откуда видно, что и l являются соответственно собственным значением и собственным вектором матрицы N = nn T. Матрица N имеет вид nx nx nz nx n y n y nx n y n y nz N= nz nx nz n y n z Учитывая, что n единичный вектор, т.е. что n x + n y + n z2 = 1, нетрудно показать, 2 что собственное значение удовлетворяет уравнению:

3 2 = Это уравнение имеет три корня:

1 = 1, 2 = 3 = Иначе + 2µ µ c1 = = a, c 2 = c3 = =b Собственный вектор, соответствующий первому корню, т.е. волне P, распространяющейся со скоростью a, определяется из уравнения nn T l = l, и так как n T n = 1, то легко видеть, что в этом случае l=n. Поскольку все собственные векторы взаимно ортогональны, то векторы, соответствующие двум другим собственным значениям, ортогональны вектору n, т.е.

направлению распространения волны, и в то же время они ортогональны между собой. Соответствующие этим корням волны распространяются с одной и той же скоростью b, но поляризованы в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Равенство скоростей этих волн (поперечных) имеет место только в случае изотропной среды. В анизотропной среде все собственные значения оказываются различными. При этом поляризация продольной волны не совпадает с направлением распространения (поэтому такая волны называется квазипродольной), а две другие волны, поляризованные ортогонально квазипродольной волне, называются квазипоперечными, и их скорости не одинаковы.

2.8. Неоднородные плоские волны При решении уравнения движения на основе представления (2.28) единственное предположение, которые мы делали относительно векторов l и n, было то, что эти векторы должны быть единичными, т.е.

(n,n)=1, (l,l)= При этом не обязательно, чтобы эти векторы были вещественными – они в общем могут быть и комплексными. Но если n является комплексным, то аргумент функции также будет комплексным, и соответственно сама функция будет комплексной.

Итак, пусть n и l комплексные векторы n = n 1 + in l = l 1 + il аргумент функции является комплексным числом x+iy, и сама функция также содержит вещественную и мнимую части:

( x + iy ) = f ( x, y ) + ig ( x, y ) Поскольку n и l единичные векторы, мы будем иметь следующие соотношения для векторов n1, n 2, l 1, l 2 :

(n1, n1 ) (n 2, n 2 ) + 2i (n1, n 2 ) = (n1, n1 ) (n 2, n 2 ) = (n1, n 2 ) = (l 1, l 1 ) (l 2, l 2 ) = (l 1, l 2 ) = Смещение u должно быть вещественным, поэтому следует брать только вещественную часть комплексного решения:

(x, n1 ) (x, n 2 ) (x, n1 ) (x, n 2 ) l 2 g t, u(x, t ) = l 1 f t, (2.31) c c c c Это выражение описывает неоднородную плоскую волну. Движение в такой волне можно представить следующим образом. Смещение ведет себя во времени одинаково вдоль прямых линий, определяемых пересечением плоскостей (x,n1)=const и (x,n2)=const. Волна распространяется в направлении c вектора n1 со скоростью V =. Поскольку n1 = 1 + n 2 1, скорость n неоднородной волны всегда меньше c (т.е. a или b). Форма волны и ее амплитуда изменяются в направлении вектора n2. Компоненты смещения вдоль векторов l1 и l2 изменяются по-разному в соответствии с функциями f и g.

Векторы l1 и l2 в продольной волне совпадают с векторами n1 и n2. В поперечной волне векторы l1 и l2 удовлетворяют соотношениям (l 1, n 1 ) (l 2, n 2 ) = (2.32) (l 1, n 2 ) + (l 2, n 1 ) = На рис.2.7 показана ориентация векторов n1, n2, l1, l2 в волне S.

l n l n Рис.2.7. Ориентация вещественной и мнимой частей векторов n и l в поперечной волне.

Из (2.32) следует, что (n, l ) cos = 1 n 2 l Если =, то волна поляризована в плоскости векторов n1, n2, так что она будет иметь продольную компоненту, т.е. в направлении распространения волны.

Такая волна называется волной SV. Случаю =/2 соответствует l2=0, при этом волна будет иметь только одну компоненту в направлении перпендикулярном плоскости векторов n1, n2, т.е. она будет поляризована линейно. Такая волна называется волной SH.

Если движение в волне представляет собой гармонические колебания с круговой частотой, т.е. ( z ) = A exp(iz ) = A exp(ix y ), то f ( x, y ) = Ae y cos x g ( x, y ) = Ae y sin x Движение частиц в неоднородной гармонической волне будет эллиптическим в P и SV волнах и линейным в SH волне (рис.2.8) P SV SH Рис.2.8.

Движение частиц в волнах P. SV и SH.

В общем случае функции f(x,y), g(x,y) могут быть представлены в виде суперпозиции затухающих гармонических колебаний, т.е.

f ( x, y ) = A( )e y cos xd (2.33) g ( x, y ) = A( )e y sin xd Так как время t входит только в вещественную часть аргумента функций f и g, т.е. в x = t (n1, x) / c, то форма волны в определенной точке x определяется как функция этого аргумента. Из (2.33) видно, что функция g как функция x (или t) является преобразованием Гильберта функции f.

В безграничном пространстве функции f и g не являются конечными из-за y наличия экспоненциального множителя e. Поэтому представление решения в виде неоднородной волны может использоваться только в ограниченном части пространства или в случае наличия источников волн.

Любое волновое поле может быть представлено в виде суперпозиции плоских волн (однородных и неоднородных) так, чтобы оно удовлетворяло уравнению движения и следующим граничным условиям:

Условию излучения, которое требует, чтобы смещение не возрастало на бесконечности;

Граничным условиям на границах в среде;

Условиям в точках, где расположены источники.

Первое и третье условия ( а в некоторых случаях и второе) не могут быть удовлетворены, если строить решение путем суперпозиции только однородных плоских волн. В этих случаях необходимо учитывать еще и неоднородные волны. Как мы увидим в следующем разделе, волна, возбуждаемая симметричным точечным источником, помещенным в начало координатной системы (сферическая волна) может быть представлена в виде суперпозиции плоских однородных и неоднородных волн.


2.9. Сферические волны Плоскую волну можно представить себе как результат возмущения на некоторой неограниченной плоскости, удаленной на бесконечность, причем оно одинаково вдоль всей плоскости. В результате этого возникает плоская волна, распространяющаяся в безграничном пространстве в направлении перпендикулярном плоскости начального возмущения. При этом в пространстве отсутствуют какие-либо другие источники возмущения. В действительности такая ситуация не может быть воспроизведена в реальности.

Но концепция плоских волн удобна с одной стороны для того, чтобы иметь возможность строить решение от произвольного источника путем суперпозиции плоских (однородных и неоднородных) волн, а с другой – для анализа волнового поля, возбужденного удаленным источником в некоторой ограниченной области. В последнем случае волну локально можно приближенно рассматривать как плоскую.

Хотя сейсмические источники всегда имеют конечную протяженность, на больших расстояниях поле от таких источников приближенно можно рассматривать как возбужденное точечным источником. Рассмотрим поле такой волны и покажем, как его можно представить в виде суперпозиции плоских волн.

Будем для простоты рассматривать поле только продольной волны, описываемое скалярным потенциалом (x,t). Источник поместим в начало координат, и вначале рассмотрим решение волнового уравнения в пространстве, исключая точку, где расположен источник. В отсутствии источников (внешних сил) уравнение для скалярного потенциала имеет вид 1 = 2 2 (2.34) a t Будем решать это уравнение в сферических координатах. Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид:

1 2 1 = 2 sin + + R R R 2 sin R 2 sin 2 R R Для простоты предположим, что источник излучает одниково во всех направлениях, так что волновое поле является сферически симметричным, т.е.

зависит только от координаты R. Тогда уравнение (2.34) принимает вид 1 2 1 = R, (2.35) R 2 R R a 2 t или 2 2 1 + =2 2, R 2 R R a t Если умножить обе части этого уравнения на R, то оно примет вид 2 1 ( R ) = 2 2 ( R ) R 2 a t А это есть одномерное волновое уравнение, решение которого может быть записано в виде плоской волны, распространяющейся в направлении R.

Соответственно потенциал ( R) волны, распространяющейся от источника (R=0), может быть записан в виде F (t R / a ) ( R, t ) = (2.36) R Такое представление справедливо везде кроме точки R=0. Но поскольку волна распространяется от этой точки, можно считать, что в этой точке расположен источник типа объемной силы, а выражение для объемной силы должно входить в правую часть уравнения движения. Действительно, когда мы исходили из уравнения движения и приводили его к волновому уравнению (2.34), мы строили решение в той части пространства, где отсутствуют внешние силы, т.е. всюду кроме точки R=0. А во всем пространстве, включая и точку R=0, решение (2.36) удовлетворяет уравнению 1 2 1 4 ( x ) F (t ) = R (2.37) R 2 R R a 2 t где (x) – трехмерная дельта-функция Дирака, удовлетворяющая условию (x)dx = Действительно, при R0 это уравнение совпадает с (2.34), а наличие дополнительного члена в правой части появляется за счет того, что = 4 ( x ).

R Таким образом, потенциал силы в источнике представляет собой функцию, сосредоточенную в точке R=0, изменение которой во времени определяется функцией F(t).

Следует заметить, что решение в форме «чистой» сферической волны имеет место только для продольной волны. Для поперечной волны невозможно построить сферически симметричное решение, поскольку в поперечной волне вектор смещения является касательным к сферической поверхности, а такое векторное поле не может быть сферически симметричным.

Теперь представим сферическую волну в виде суперпозиции плоских волн.

Без ограничения общности достаточно рассмотреть гармоническуюю зависимость от времени, т.е. принять функцию F(t) в виде exp(-it). В случае произвольной функции F(t) ее можно представить в виде интеграла Фурье и соответственно решение строить в форме интеграла Фурье от решения для гармонической волны.

Итак, пусть exp[i (t R / a )] ( R, t ) = R Мы можем опустить множитель exp(-it) и рассматривать только ту часть решения, которая зависит от пространственных координат:

exp(iR / a ) ( R) = (2.38) R Эта функция является решением уравнения, которое вытекает из (2.37) :

+ = 4 (x) (2.39) a Представим решение этого уравнения в виде трехмерного преобразования Фурье (x) = 3 (k ) exp[i(k, x)]dk, (2.40) и подставляя (2.40) в (2.39), а также учитывая представление трехмерной дельта-функции в виде интеграла Фурье (x) = 3 exp[i (k, x)]dk, получим выражение для (k):

(k ) = k2 a где k 2 = (k, k ) = k x2 + k y + k z (2.41) Таким образом exp(iR / a ) 1 exp[i (k, x)] = dk x dk y dk z 2 R k a Правая часть этого выражения представляет суперпозицию плоских волн по всему диапазону k x, k y, k z. Но поскольку вследствие (2.41) переменные k x, k y, k z не независимы, можно выполнить интегрирование по одной из компонент волнового вектора, например по kz. Такое интегрирование выполняется путем продолжения k z в комплексную область и применения теории вычетов (Аки и Ричардс, 1983). В результате этого мы получаем интеграл только по двум переменным k x, k y :

exp[i (k x x + k y y ) z ] exp(iR / a ) = (2.42) dk x dk y 2 R где 1/ = k x2 + k y a Знак выбирается так, чтобы Re 0. Выражение (2.42) это так называемый интеграл Вейля, который представляет сферическую волну как суперпозицию плоских волн. При этом, поскольку k x, k x, подынтегральная функция содержит не только однородные, но также и неоднородные плоские волны (что соответствут вещественным значениям ).

Эти неоднородные волны распространяются параллельно плоскости xy, а их амплитуда изменяется в направлении z.

2.10. Энергия волны Полная энергия волны складывается из кинетической и потенциальной.

Плотность кинетической энергии 1 u Wk = 2 t Потенциальная энергия является энергией упругой деформации (раздел 2.4):

W p = ij ij, 2 i, j где ij и ij соответственно тензоры напряжений и деформаций.

В однородной изотропной среде плотность кинетической энергии однородной плоской волны u(x, t ) = l (t (x, n) / c) определяется выражением [ ] Wкин =, Выражение для плотности потенциальной энергии может быть получено из (2.8), если учесть что (l, n ) divu = c ik ik = 2(divu )2 + rotu Тогда 1 + 2µ [(l, n) ]2 + µ2 [ l n ] Wпот = 2 c c + 2µ В случае продольной волны l=n, c =, а в случае поперечной волны µ ln, а c = так что и в одном, и в другом случае ( )2 = Wкин Wпот = (2.43) Таким образом, плотности кинетической и потенциальной энергии в каждый момент оказываются равны. А поскольку скорость колебаний в волне изменяется, и в какие-то моменты становится равной нулю, следует, что и плотность суммарной энергии в каждой точке меняется во времени от нуля до некоторого максимального значения. Это кажется противоречащим закону сохранения энергии, согласно которому сумма кинетической и потенциальной энергии должна оставаться постоянной (как например, при колебании маятника). Но надо помнить, что закон сохранения имеет место в замкнутой системе, а поскольку при волновом процессе энергия переносится от точки к точке, он будет выполняться для всего объема среды.

Если волна гармоническая, т.е. если (t ) = sin t, W = Wкин + Wпот = 2 sin 2 (t (l, n) / c) Хотя соотношение (2.43) было выведено здесь для плоской однородной волны в однородной изотропной среде, оно оказывается справедливым и в общем случае. А поскольку кинетическая энергия выражается проще, чем потенциальная, мы всегда можем принимать, что плотность полной энергии W = 2Wкин = u (2.44) Отсюда следует, что плотность потока энергии упругой волны определяется как u c, где с – скорость распространения волны. Заметим, что в анизотропной среде, а также в диспергирующих средах с является групповой скоростью, которая отлична от фазовой. Поток энергии за некоторый промежуток времени определятся интегрированием плотности потока по этому промежутку:

t P = u cdt (2.45) t 2.11. Отражение и преломление волн на границах До сих пор мы рассматривали распространение упругих волн в однородной безграничной среде. Однако в реальной Земле существуют границы между средами с разными упругими постоянными. Кроме того, надо иметь в виду, что Земля не безграничная среда, а ограниченная свободной поверхностью, наличие которой должно влиять на распространение сейсмических волн. Поэтому для анализа волнового поля в реальных средах необходимо учитывать наличие границ – между средами с разными упругими постоянными и свободную поверхность.

Поскольку любую волну в пространстве можно представить в виде суперпозиции плоских волн, достаточно ограничиться рассмотрением влияния границ на распространение только плоских волн. При этом мы будем и границы считать плоскими. Выводы, полученные для плоских границ можно использовать локально и в случае криволинейных границ при условии, что длина волны мала по сравнению с радиусом кривизны границы.

При падении волны на границу (свободную или между средами) на границе должны выполняться граничные условия. На свободной границе граничное условие состоит в отсутствии напряжений, приложенных к границе. На внутренней границе обычно принимают условия жесткого контакта между средами. Это означает непрерывность смещений и напряжений, приложенных к границе.

Вначале рассмотрим падение плоской волны на свободную границу. Систему координат выберем так, чтобы ось z была перпендикулярна границе и направлена внутрь среды, а ось х находилась в плоскости, содержащей единичный вектор n в направлении распространения волны (рис.2.9). Эта плоскость называется плоскостью падения. В такой системе координат n x 0 P р от от р S Pот р Pпад Sот р z Рис.2.9. Схема образования отраженных Р и S волн в случае падения на границу волны Р выражение для смещения в падающих плоских Р и S волнах может быть записано в следующем виде:

xn + zn z uP = f t x n a xn + zn z uS = Ft x l b где l – единичный вектор ортогональный n. Из рис.2.9 видно, что n x = sin 0, n z = cos 0. Угол 0 называется углом падения волны.

Рассмотрим сначала падение Р волны. Граничное условие отсутствия напряжений на границе может быть обеспечено, если допустить образование на границе отраженных волн. Поскольку напряжение на границе z=0, обусловленное падающей Р волной, имеет две компоненты по х и по z (y компонента равна нулю в силу выбора системы координат), для равенства нулю напряжений Tzx и Tzz необходимо, чтобы на границе образовались две отраженных волны – продольная и поперечная. При этом поперечная волна должна быть поляризована в плоскости падения, для того чтобы напряжение в этой волне не имело y-компоненты. Это так называемая волна SV. Для того, чтобы граничные условия были удовлетворены на границе z=0 при всех значениях х, необходимо, чтобы форма сигнала в обеих отраженных волнах была бы такой же, как в падающей волне, т.е. f (t ). Таким образом, смещения в отраженных волнах могут быть записаны в виде x sin P + z cos P отр отр отр u отр = PP f t e P P a x sin S + z cos S отр отр отр e S u отр = PS f t S b Здесь P, S отр отр - углы, составляемые направлением распространения Р и SV волн с осью z (углы отражения), PP, PS -коэффициенты отражения волн Р и e отр = e x sin P + e z cos P, отр отр SV при падении на границу волны Р, P e отр = e x cos Sотр e z sin Sотр.

S Аргумент функции f при любом х и z=0 должен быть один и тот же для всех волн – падающей и отраженных Р и SV. А это значит, что sin Sотр sin 0 P = 0, отр = = b a c Это известный закон Снеллиуса. Величина с имеет смысл кажущейся скорости волны вдоль оси х.

Для определения коэффициентов отражения необходимо приравнять нулю выражения для суммарных напряжений Tzx и Tzz на границе z=0:

u µ u Tzx = µ x + z = f (t x / c)(sin 20 PP sin 20 PS cos 2 S ) = z x a µ u Tzz = divu + 2 µ z = f (t x / c)( cos 20 PP cos 2 S + PS sin 2 S ) = z b a где =. Удобно записать эту систему в матричном виде:

b PP = b P A (2.46) PS sin 2 P cos 2 S sin 2 P где A = cos bP = cos 2 - sin2S S S Из этой системы уравнений мы получаем следующие выражения для коэффициентов отражения:

sin 2 P sin 2 S 2 cos 2 2 S PP = sin 2 P sin 2 S + 2 cos 2 2 S 2 sin 2 P cos 2 S PS = sin 2 P sin 2 S + 2 cos 2 2 S Совершенно аналогично можно вывести выражения для коэффициентов отражения для случая, когда падающей волной является волна SV. В этом случае матрица системы уравнений для определения коэффициентов отражения SP, SS будет такой же, как и в случае падения волны Р, а вектор правой части cos 2 S bS = sin2 S Соответственно коэффициенты отражения будут иметь вид:

2 sin 2 P cos 2 S SP = sin 2 P sin 2 S + 2 cos 2 2 S 2 cos 2 2 S sin 2 P sin 2 S SS = sin 2 P sin 2 S + 2 cos 2 2 S Коэффициенты отражения зависят от угла падения волны и от отношения скоростей продольной и поперечной волн. В случае падения волны Р коэффициенты являются вещественными, так что образуются однородные плоские продольная и поперечная волны. На рис. 2.10а изображены зависимости коэффициентов PP, PS от угла падения продольной волны P для значения = 3. Интересно то, что при двух значениях угла падения ( 60° и 77,2° ) отражается только поперечная волна, коэффициент отражения продольной волны равен нулю.

1.5 2. PS 1 0.5 1. P 0 30 60 |SS| 0 |SP| -0.5 0. PP -1 S 35. 0 30 60 б a Рис.2. а –зависимость коэффициентов отражения волны Р от угла падения для = 3, б – зависимость модулей коэффициентов отражения волны S от угла падения.

При падении же поперечной волны возможен случай, когда продольная отраженная волна становится неоднородной. Это происходит, если sin S.

В этом случае cos P = 1 ( sin S ) 2 становится мнимой величиной и аргумент функции f(t) становится комплексным. При этом коэффициенты отражения как продольной, так и поперечной волн оказываются комплексными. На рис.2.10б показаны зависимости модулей этих коэффициентов от угла падения поперечной волны. В данном случае критический угол равен 35,3° ( sin S = 1 / 3 ). При этом значении угла падения модуль коэффициента отражения волны S становится равным 1 и остается таковым при закритических углах. Комплексность коэффициента отражения волны S приводит к изменению формы сигнала в отраженной волне по сравнению с формой падающей волны. В случае падения гармонической волны это изменение сводится к появлению фазового сдвига в отраженной волне.

Продольная волна, отраженная при закритических углах падения, является неоднородной – ее форма и амплитуда изменяются при удалении от свободной границы, т.е. вдоль оси z, вектор поляризации n = e x sin P + e z cos P становится комплексным. Из-за того, что cos P является мнимым, поляризация продольной отраженной волны уже не является линейной. В случае гармонической волны движение частиц в волне описывается выражением x x sin S 1 cos[ (t c )] 2 sin[ (t c )] e x + z a 2 sin 2 S 1 ) u P (t, x, z ) = e + 2 sin 2 1 sin[ (t x )] + cos[ (t x )] e 1 z c S c где обозначено = 1 + i 2. Из этой формулы видно, что поляризация волны является эллиптической, а амплитуда экспоненциально затухает с удалением от границы. Траектории движения частиц непосредственно под границей (при z=0) при разных углах падения волны SV изображены на рис.2.11. Направление движения частицы при всех углах падения ретроградное, т.е. в верхней части эллипса оно противоположно направлению распространения волны направление 38o распространения волны 40o 48o 52o 64o 78o 85o Рис.2.11. Траектории движения частиц в отраженной (неоднородной) волне Р при разных углах падения на границу волны S.

При одной и той же частоте волна затухает с удалением от границы тем быстрее, чем больше угол падения поперечной волны.

При падении на свободную границу волны, поляризованной перпендикулярно плоскости падения (SH) образуется только отраженная волна только поперечная волна, имеющая ту же поляризацию, т.е. SH. Коэффициент отражения этой волны определяется из условия равенства нулю напряжения zy. Смещения в падающей и отраженной волнах имеют вид соответственно x sin z cos vпад = f t b x sin + z cos vотр = SS f t b v Поскольку zy = µ, очевидно, что условие zy = 0 на границе z=0 будет z выполнено, когда SS = 1.

Теперь рассмотрим явления на границе раздела двух сред. Вначале рассмотрим падение волны SH. Пусть волна падает из среды 1, имеющей скорость поперечной волны и плотность соответственно b1, 1, на границу со средой со скоростью и плотностью b2, 2. На границе должно выполняться условие жесткого контакта, т.е смещение и напряжение должны быть непрерывны при переходе через границу. Поскольку в случае падения волны SH и смещение и напряжение имеют только y-компоненту, то образуются только отраженная и преломленная волны, поляризованные по типу SH. Если ось z направлена от среды 1 к среде 2, то x sin 1 + z cos vпад = f t b x sin 1 z cos vотр = отр f t b x sin 2 + z cos 2 vпрел = прел f t b Условие непрерывности смещений vпад + vотр = vпрел приводит к уравнению 1 + отр = прел. А из условия непрерывности напряжений (vпад + vотр ) vпрел µ1 = µ2 мы получаем второе уравнение z z 1b1 cos 1 (1 отр ) = 2 b2 cos 2 прел. Из этих двух уравнений находим 1b1 cos 1 2 b2 cos отр = 1b1 cos 1 + 2 b2 cos 2 1b1 cos прел = 1b1 cos 1 + 2 b2 cos На рис.2.12а изображены коэффициенты отражения и преломления волны SH в зависимости от угла падения при падении волны из среды с большей скоростью в среду с меньшей скоростью. В этом случае оба коэффициента при всех углах падения являются вещественными. В случае, когда волна падает из среды с меньшей скоростью, при углах больших критического коэффициенты отражения и преломления становятся комплексными, при этом модуль коэффициента отражения становится равным 1, а преломленная волна становится неоднородной. Этот случай показан на рис.2.12б прел 1.5 1. |отр| |прел| 1 отр 0.5 0. 1 0 0 30 60 90 0 30 60 -0. - а б Рис2.12. а- коэффициенты отражения и преломления волны SH для случая b1 / b2 = 1.5, 1 / 2 = 1.2 ;

б- модули коэффициентов отражения и преломления для случая b1 / b2 = 0.67, 1 / 2 = 0.83.

Теперь перейдем к рассмотрению падения на границу волн, поляризованных в плоскости падения, т.е. Р или SV. Смещения и напряжения на границе в таких волнах содержат по две компоненты - u x, u z и zx, zz. Эти компоненты должны быть непрерывны при переходе через границу. Чтобы обеспечить такие граничные условия, необходимо допустить образование на границе четырех волн – отраженных Р и SV и преломленных Р и SV. Коэффициенты отражения и преломления определятся из четырех граничных условий. Для определения знака коэффициентов отражения и преломления волн SV следует выбрать направление векторов поляризации в этих волнах, а также в падающей волне в случае падения волны SV. Для определенности выберем направления смещений в поперечных волнах так, как указано на рис.2.13. На этой схеме показаны четыре возможных варианта падающей волны: Р и SV в верхней среде 1 и Р и SV в нижней среде 2. Следует, конечно, иметь в виду, что каждый из этих вариантов должен рассматриваться в отдельности. Вектор коэффициентов в случае падения волны с индексом i (соответствие индексов типам падающей волны указано на рис.2.13) обозначим i ( i1, i2,i13,i4).

Нетрудно показать, что эти коэффициенты определяются из следующей системы уравнений, отвечающих граничным условиям:

A i = b i Матрица этой системы имеет вид sin P1 cos S 1 sin P 2 cos S 2 sin S 1 cos P 2 sinS cos P1 2 a2 2 a A = cos 2 S 1 1sin2S1 cos2 S 2 2 sin2S 1 a1 1 a 2 a2 2 a 12 sin 2 P1 - 1 cos 2 S 1 2 sin2 P 2 2 2 2 cos2S 1 a1 1 a s1 (k=2) s P1 (i=2) P P (k=1) (i=1) S1 P2 S2 P P (i=3) (k=3) s2 s (i=4) (k=4) Рис.2.13. Схема падающих (пунктир) и отраженных (сплошные линии) Р и S волн и направления смещений в этих волнах.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.