авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |

«В. И. Ляшков ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕПЛОТЕХНИКИ МОСКВА "ИЗДАТЕЛЬСТВО МАШИНОСТРОЕНИЕ-1" 2005 ...»

-- [ Страница 4 ] --

Значения коэффициентов теплопроводности обычно определяют опытным путем на специальных экспериментальных установках [14]. Полученные результаты обобщаются и приводятся в справочной литературе [15]. Можно использовать и аналитические методы расчета величины [6], [16], но они не всегда гарантируют достоверность получаемых результатов.

Анализ опытных данных для множества веществ показывает, что в большинстве случаев зависимость = f (t) может быть принята линейной = o (1 + bt), где о – теплопроводность материала при t = 0 °С;

b – температурный коэффициент, определяемый по результатам экспериментов. Значения о и b также приводятся в справочниках.

2.2.2 Дифференциальное уравнение теплопроводности И зучить явление – значит установить зависимость между физическими величинами, характеризующими его. Для анализа сложных явлений, к которым следует отнести и процессы теплопроводности, в науке сложился общий подход, связанный с использованием методов математической физики. Суть этого подхода состоит в том, что на основании известных физических законов устанавливаются искомые свя зи в пределах бесконечно малого объема внутри тела и за бесконечно малый промежуток времени. В результате получают дифференциальное уравнение (или систему таких уравнений), описывающее весь класс исследуемых явлений. Для решения конкретных задач это дифференциальное уравнение интегри руют в пределах изучаемого пространства и для заданного интервала времени, получая таким путем ана литическое решение задачи. Когда из-за сложности уравнений проинтегрировать их в квадратурах не уда ется, прибегают к численным методам решения.

Выделим мысленно внутри однородного твердого тела, передающе го тепло, элементарно малый параллелепипед со сторонами (dx, dy и dz (см. рис. 2.4) и запишем выражение первого закона термодинамики для z q dy процесса теплопроводности, протекающего в течение элементарно ма dz лого промежутка времени d:

qx qx+dx dU = dQ* dL.

dx Здесь dU – изменение внутренней энергии в выделенном объеме;

dQ* – x количество тепла, вносимого в объем теплопроводностью;

dL – работа, y совершаемая элементом против внешних сил. Отметим, что dL = pd (dV) = 0, (dV = dx dy dz ), поскольку дифференциал бесконечно малой величины есть величина бесконечно малая величина второ го порядка малости и ею можно пренебрегать. Тогда предыдущая формула упрощается:

dU = dQ*. (2.2) Из термодинамики известно, что t d. (2.3) dU = c dm d t = c dV Величину dQ* представим тремя слагаемыми dQ* = dQx + dQ * + dQz, * * (2.4) y и более подробно рассмотрим лишь составляющую по направлению х. Если через qx и qx + dx обозначим удельные тепловые потоки, направленные по оси х, первый из которых входит в элемент, а второй – вы ходит из него (см. рис. 2.4), то количество тепла, накапливающееся в выделенном объеме по направле нию х, будет:

* (2.5) dQx = q x dy dz d q x+ dx dy dz d = (q x q x+ dx ) dy dz d.

Поскольку функция qx = f (x) непрерывна (для распространения тепла нет препятствий), то связь между предыдущим значением функции и ее последующим значением определяется известной формулой Тей лора 1 2 qx 2 1 3qx q x q x + dx = q x + dx + dx + dx +....

x 2! x 2 3! x Всеми слагаемыми ряда, начиная с третьего, можно пренебрегать как величинами более высоких порядков малости. Тогда формулу (2.5) можно переписать:

q x q dQ * = dx dy dz d = x dV d.

x x Аналогичные рассуждения, если рассмотреть направления у и z, позволяют получить аналогичные по структуре выражения для dQ* и dQz. Тогда формула (2.4) может быть представлена так:

* y q y q z q dQ* = x + dV d. (2.6) + x z y Сумму частных производных проекций вектора, выделенную скобками, называют дивергенцией век тора и обозначают словом div. Поэтому предыдущее выражение часто записывают по другому:

dQ* = –divq – dV d. (2.7) Воспользуемся теперь законом Фурье, который в проекциях на координатные оси дает t t t t,,.

q x = cos(n, x) = q y = q z = n x y z Подставим эти выражения в формулу (2.6) t t t dQ* = + + dV d = z x x y y z (2.8) 2t 2t 2t = 2 + 2 + 2 dV d.

x y z Подставим теперь в формулу (2.2) значения dU и dQ* по формулам (2.3) и (2.8), соответственно.

После сокращения получаем 2t 2t 2t t = 2 + 2 + 2 c x y z или окончательно 2t 2t 2t t. (2.9) = + + c x 2 y 2 z 2 Если преобразовать формулу (2.7), то дифференциальное уравнение теплопроводности можно по лучить в виде t div ( grad t ). (2.10) = c Это более общая запись, в ней не предполагается, как это сделано при выводе формулы (2.9), что = const.

Сумму вторых частных производных скалярной величины по направлениям координатных осей на зывают оператором Лапласа и обозначают для краткости символами 2. Множитель /(с), составлен из физконстант и представляет собою некоторую обобщенную физконстанту, характеризующую способ ность тел проводить тепло и одновременно аккумулировать его (при нагреве). Эту характеристику на зывают коэффициентом температуропроводности а:

a = / (с), поскольку его величина определяет и скорость изменения температуры в любой фиксированной точке тела. Коэффициент а имеет важное значение только для нестационарных процессов.

В итоге дифференциальное уравнение теплопроводности записывается очень компактно:

t / = a2 t.

Это уравнение описывает связь между изменением температуры в пространстве (правая часть) и по времени (левая часть) в окрестностях любой точки внутри тела и представляет основу для решения все го класса задач теплопроводности. Часто это уравнение называют дифференциальным уравнением Фу рье.

2.2.3 Условия однозначности в задачах теплопроводности Прежде чем найти решение, надо сделать целый ряд расчетов самого различного свойства Д. Родари ак и любое дифференциальное уравнение, уравнение Фурье имеет бесконечное множество решений.

К Чтобы из этого множества выбрать решение конкретной задачи, нужно при интегрировании уравне ния учитывать и использовать для определения произвольных постоянных математическое описание особенностей этого конкретного случая. Такое описание особенностей конкретной задачи называют ус ловиями однозначности или (менее удачно) краевыми условиями.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности при выделении объекта исследования (элементарно малый объем внутри тела) мы исключили большое количество информации, важной для конкретных задач. Условия однозначности призваны вернуть утраты и должны содержать следующую информацию:

– о форме и размерах тела (геометрические условия);

– о физических свойствах вещества, включая численные значения теплофизических коэффициентов, с, р и др. (физические условия);

– о распределении температуры в теле в начальный момент времени, т.е. нужно знать температур ное поле при = 0 (начальные условия): t0 = f (x, y, z). В простейшем случае t0 = const и задается чис ленное значение этой константы;

– об условиях теплообмена на границе между телом и средой, т.е. об условиях на поверхности тела (граничные условия).

Граничные условия можно задать разными способами. Когда задают температуру на поверхности тела, tп = f (xп, yп, zп, ), то это называют заданием граничных условий первого рода (ГУ-1). В простейшем случае счи тается tп = const и задается значение tп.

При граничных условиях второго рода (ГУ-2) задают удельный тепловой поток на поверхности те ла: qп = f (xп, yп, zп, ). В простейшем случае принимают qп = const.

Чаще всего известны температура окружающей тело жидкой или газообразной среды и величина коэффициента теплоотдачи, характеризующая интенсивность теплообмена на поверхности тела. То гда говорят, что заданы ГУ-3 (см. рис. 2.5). Отметим, что при любой форме поверхности весь тепловой поток, передаваемый теплоотдачей передается теплопроводностью через элементарно тонкий слой на поверхности тела. Поэтому можно записать следующее теплобалансовое уравнение q = q или, воспользовавшись законами Ньютона-Рихмана и Фурье, t (2.11) (tс t ж ) =.

n n = Формула (2.11) в дифференциальной форме описывает связь между tc и tж и во многих случаях (ко гда удается рассчитать значение производной) позволяет перейти от ГУ-3 к ГУ-1.

При ГУ-4 также задаются температурные характеристики окружающей тело среды, но эта среда, в отличие от предыдущего случая, тоже является твердым телом (схема ГУ-4 пока зана на рис. 2.6). Тепло среда обмен здесь происходит в результате непосредственного контакта поверхностей, а тело внутри среды – тоже теплопроводностью. Уравнение теплового баланса в этом случае будет q qт = qср или (t / n) n = 0 = ср (tср / n) n = 0.

При ГУ-4 величины, ср и (tcp / n) n = 0 считаются известными, и это позволя ет найти значение производной (t / n) n = 0. Другими словами, в этом случае задается (правда опосредст вованно) величина производной (t / n) n = 0 на поверхности тела. Дополнительным, но необязательным условием является равенство температур в точках теплового контакта тела со средой, если этот контакт идеальный. Если же из-за микронеровностей, зазоров или недостаточного прижатия поверхностей нет идеального контакта, то возникает дополнительное контактное термическое сопротивление и это при водит к скачку температуры в зоне контакта. Величина контактных сопротивлений зависит от многих факторов (прежде всего от качества механического контакта) и определяется опытным путем.

2.2.4 Стационарная теплопроводность плоской стенки при ГУ- ешение отдельных задач теплопроводности логично начинать со стационарных процессов и для тел Р простейшей формы, поскольку такие тела и режимы чаще всего встречаются на практике, а сами эти решения, если принимать незначительные упрощающие предположения, получаются достаточно про стыми.

Рассмотрим неограниченную плоскую стенку, температуры tcl и tc2 на поверхности которой извест ны и неизменны в пространстве и во времени (см. рис. 2.7). На практике к неогра ниченным можно относить пластины, толщина которых хотя бы в 10 раз меньше ее t ширины, не говоря уже о длине. У таких стенок теплообменом с боковых граней можно пренебрегать и считать, что все тепло передается только перпендикулярно q tc фронтальным поверхностям. Изотермические поверхности при этом имеют вид tc2 плоскостей, параллельных фронтальным, а температура будет изменяться только по толщине стенки, т.е. поле будет одномерным: t = f (x). Дифференциальное уравне ние теплопроводности в этом случае принимает вид (поскольку t / = 0) x d 2t 0=a, dx откуда получаем простое дифференциальное уравнение второго порядка d2t / dx2 = 0.

Чтобы проинтегрировать его, введем новую переменную u = dt/dx и перепишем так du /dx = 0.

Интегралом последнего уравнения может быть любая константа, ибо только производная констан ты равна нулю. Значит и = С или dt / dx = C. Чтобы решить это дифференциальное уравне ние, разнесем переменные и проинтегрируем правую и левую части полученного уравнения:

dt = C/dx, t = C1x + C2. (2.12) Здесь C2 – вторая произвольная постоянная интегрирования.

Нами получено общее решение (2.12), описывающее бесконечное множество решений, различаю щихся значениями C1 и C2. Константы интегрирования найдем, воспользовавшись граничными усло виями: на левой поверхности (при x = 0) t = tc1 и формула (2.12) принимает вид tcl = C10 + C2, откуда C2 = tc1. На правой поверхности (при х = ) t = tc2 и по (2.12) можно записать tc2 = C1 + C2 = C1 + tcl, откуда C1 = (tcl – tc2) /.

Формулу (2.12) перепишем с учетом полученных значений C1 и C2:

t = tcl – [( tcl – tc2) / ] x. (2.13) t tж1 Мы получили аналитическое выражение для температурного поля внутри стенки. Это позволяет достаточно просто найти и передаваемый тепловой tc q поток. Действительно, запишем формулу закона Фурье tc 2, tж q = – (dt / dx) x и подставим сюда значение производной, продифференцировав предвари Рис. 2. Теплопроводность тельно формулу (2.13):

й q = (tcl – tc2) / = (tcl – tc2) / (/). (2.14) Величину / принято называть термическим сопротивлением теплопроводности плоской стенки.

Из формул (2.12) или (2.13) видно, что внутри стенки температура меняется по линейному закону.

Правда, будет это лишь при = const. Если же зависимостью = f (t) пренебрегать нельзя, то вид тем пературного поля изменится, оно будет нелинейным (см. рис. 2.7). Это становится понятным, если учи тывать, что у неограниченной стенки величина q не зависит от x (q = const) и значит во сколько раз при изменении х и t увеличилась, например, величина, во столько же раз должна уменьшиться величина производной dt / dx в этой точке.

2.2.5 Стационарная теплопроводность плоской стенки при ГУ- Видеть значительное в малом – называется мудростью Лао-Цзы Р ассмотрим теплообмен в плоской стенке, с обоих сторон которой находятся жидкие или газообразные теплоносители, как это показано на рис. 2.8. Естественно, что процесс возникнет только тогда, когда тем пературы tж1 и tж2 различны. При ГУ-3 значения этих температур, размеры и коэффициент теплопроводно сти стенки, а также величины коэффициентов теплоотдачи 1 и 2 с обоих сторон стенки считаются задан ными. Осмысливая задачу, приходим к заключению, что рассматривается типичная теплопередача через плоскую стенку. Воспользовавшись дифференциальным уравнением граничных условий третьего рода (ГУ-3, формула (2.11)), запишем для левой и правой поверхностей стенки:

1(tж1 – tс1) = –(dt / dx)x = 0 и 2(tc2 – tж2) = –(dt / dx)x =.

Ввиду линейности температурного поля внутри стенки значения производных одинаковы и равны:

t t t t dt dt = c2 c1 = c1 c2.

= dx x =0 dx x= Тогда получаем t с1 t с, 1 (t ж1 t с1 ) = t с1 t с.

2 (t с2 t ж2 ) = Здесь правые части в соответствии с формулой (2.14) равны плотности теплового потока q. Тогда эти формулы позволяют записать tc1 = t ж1 q / 1 и t c2 = t ж2 + q / 2.

(2.15) Если теперь подставим эти значения в формулу (2.14), то получим уравнение, содержащее одну не известную величину q:

t c1 t c2 t ж1 q / 1 t ж2 + q / q= = / / или q( / ) + q / 1 + q / 2 = t ж1 t ж2, откуда находим t ж1 t ж (2.16) q=.

++ 1 Нами получена формула, правая часть которой содержит только известные по условиям однознач ности величины. Рассчитав q, по формулам (2.15) легко найти и значения tc1 и tc2, переводя задачу к ГУ 1.

Сопоставляя формулу (2.16) с основным уравнением теплопередачи q = k (tж1 – tж2), можно увидеть, что для плоской стенки величину коэффициента теплопередачи k следует рассчитывать по формуле (2.17) k=.

1 ++ 1 Записав это соотношение в виде 1 / k = 1 / 1 + / + 1 / 2, отметим, что термическое сопротивление теплопередачи складывается из термических сопротивлений каждого теплового перехода (теплоотдача в стенку, теплопроводность, теплоотдача от стенки).

Отмеченное правило позволяет легко понять, что при расчетах теплопроводности или теплопередачи через многослойные плоские стенки в общее термическое сопротивление должны включаться термиче ские сопротивления всех слоев, а также контактные сопротивления, если они есть:

k=, t n m i 1 + + Rкj + 1 i i =1 j = tc qп tc, tж где n – число теплопередающих слоев;

m – число действующих контактных со противлений;

i и i – толщина и теплопроводность отдельного слоя;

Rкj – кон x тактное термическое сопротивление между слоями.

2.2.6 Стационарная теплопроводность плоских стенок при смешанных граничных условиях Рис. 2. С каждой стороны плоской стенки возможны по четыре варианта граничных условий, что в итоге дает десять различных сочетаний ГУ. Два таких случая (ГУ-1 + ГУ-1 и ГУ-3 + ГУ-3) рассмотрены нами в пре дыдущих параграфах. Рассмотрим решения ряда других типичных задач, что позволит понять общие под ходы, реализуемые при смешанных ГУ.

1 Сочетание ГУ-2 + ГУ-3 (см. рис. 2.9). Известны величины qп, tж и, а также толщина и коэффи циент теплопроводности стенки. Следует определить значения tcl и tc2, чтобы свести задачу к ГУ-1.

У неограниченной плоской стенки при отсутствии боковых тепловых потоков весь тепловой поток, как отмечалось ранее, передается перпендикулярно фронтальным поверхностям и при установившемся режиме плотности потока qп, q и q одинаковы qп = q = q. Это позволяет записать, заменяя q и q по формуле (14) и формуле закона Ньютона-Рихмана, tc1 tc и qп = (tc2 – tж).

qп = / Из последней формулы находим tc2 = tж + qп /, и далее из предпоследней tc1 = tс2 + qп / = tж + qп (l/ + /).

t 2 Сочетание ГУ-3 + ГУ-1 (см. рис. 2.10). Теперь известны tж,, tc2, и, tж следует найти tc1 и величину q.

tc q Рассуждения, приведенные выше, позволяют записать теплобалансовое урав tc2 нение q = q = q, x Рис. 2. из которого легко получается система с двумя неизвестными:

Теплопровод й (tж – tcl) = q и (tc1 – tc2) / (/) = q.

Если выразить разницы температур и сложить почленно правые и левые части полученных уравнений, то получим формулу для расчета q:

t ж t c q=.

+ Величину tc1 найдем теперь, воспользовавшись одним из уравнений системы:

tc1 = tж – q/ или tc1 = tc2 + q/(/).

3 Сочетание ГУ-1 + ГУ-4 показано на рис. 2.11. В этом случае известны tc1,,, c и (dtc / dx)х =.

Записав полученное ранее для ГУ-4 дифференциальное уравнение dt dt = c c, dx x = dx x = находим значение производной dt dt = c c.

dx x = dx x = Правая часть этой формулы содержит только известные величины и представляет собою некоторую константу, значение которой обозначим через А. Ввиду линейности зависимости t = f (x) значения про изводной dt/dx одинаковы для любой точки внутри стенки: (dt/dx)х = 0 = (dt/dx) х = = dt/dx.

В итоге мы приходим к простейшему дифференциальному уравнению dt/dx = A, интегрирование которого дает t = Ах + С, где С – константа интегрирования. Воспользуемся теперь другим граничным условием: при х = 0 t = tc1.

Тогда предыдущая формула принимает вид tc1 = C, а общее решение получается таким:

t = Ax + tc1.

Значит tc2 = A + tc1. Отметим, что при передаче тепла от стенки в теплоноситель значение константы А отрицательно. В противном случае A 0. Величину передаваемого теплового потока находим, как всегда, по закону Фурье q = –' dt/dx = –А.

Интересно рассмотреть и тот случай, когда в зоне соприкосновения стенки и среды имеет место не которое контактное сопротивление RК, величина которого известна (этот вариант показан на рис. 2.12).

Тогда в месте контакта возникает скачок температуры, величина которого зависит от Rк и q. На по верхности стенки будет температура tc2, а на стенка поверхности среды – tc3. Обе эти температуры неизвестны, и определив их, мы t q сведем задачу к рассмотренным ранее.

tc Чтобы найти эти температуры, запишем tc qст = qс = (qср)x = tc или среда (tс1 – tс2) / (/) = (tс2 – tc3) /Rк = –c(dtc /dx)x =.

x Рис. 2.12 ГУ-1 + Обозначив ГУ 4 –c (dtc /dx)x = = A, легко находим tc2 = tc1 + A /(/) и tc3 = tc2 + ARк.

2.2.7 Стационарная теплопроводность цилиндрической стенки при ГУ- Ц илиндрические стенки встречаются на практике почти так же часто, как и плоские. Будем рассматри вать неограниченные по длине стенки, у которых теплообменом с торцевых поверхностей можно пре небрегать и считать, что весь тепловой поток передается по направлениям, перпендикулярным оси ци линдра. С достаточной точностью к неограниченным можно относить любые стенки, длина которых хо тя бы в 10 раз больше диаметра. При этом изотермические поверхности представляют собою концен трические цилиндры, а в сечении, перпендикулярном оси этих цилиндров, изотермы имеют вид концен трических окружностей, как показано это на рис. 2.13. В декартовых коор динатах температурное поле является плоским t = f (х, у). Однако с перехо y дом к цилиндрической системе координат в силу симметрии обнаруживает ся, что температура в любом месте стенки зависит лишь от одного парамет r ра – радиуса r, определяющего положение этой точки на той или иной изо x терме, т.е. задача становится одномерной: t = f (r).

Чтобы показать многообразие подходов при решении задач теплопро водности, отходя от общего подхода, покажем, что для тел простой формы задачу можно решить и без привлечения дифференциального уравнения те плопроводности.

Выделим внутри стенки на расстоянии r от оси элементарно тонкий слой толщиной dr (см. рис. 2.14) и в соответствии с законом Фу рье запишем формулу, определяющую величину передаваемого через этот слой теплового потока:

Q = Fq = 2rl [–(dt/dr)]. (2.18) У неограниченной стенки весь этот поток Q проходит целиком через любую изотермическую по верхность, т.е. не зависит от величины r. Формула (2.18) представляет собою обыкновенное дифферен циальное уравнение, описывающее связь между Q, r и t. Разнесем переменные и проинтегрируем затем правую и левую части полученного уравнения в пределах, соответствующих граничным условиям:

при r = r1 t = tc1 и при r = r2 t = tc2:

tc r dr Q 2l dt.

= r r tc После интегрирования (с учетом, что Q = const) получаем Q ln (r2/r1) = –2l (tc2 – tc1), откуда находим (tc1 tc2 ) Q= l.

1 d ln 2 d Чтобы определить вид температурного поля, повторим такое же интегрирование, но до некоторых текущих значений r и t верхних пределов r t dr = 2 l dt.

Q rt r1 c Тогда получим Q ln (r/r1) = –2l (t – tc1), откуда выражаем значение t :

(tc1 tc2 ) ln (r / r1 ) t t Q ln (r / r1 ) r.

t = tc1 = tc1 c1 c2 ln = tc1 l 1 d2 d 2 l 2 l r ln ln 2 d1 d Отметим, что удельные тепловые потоки на внутренней и на наружной поверхностях различны, по скольку различна величина этих поверх- ностей:

Q Q Q Q и qнар = qвн = = = F1 2r1l F2 2r2 l и это неудобно для практических расчетов. Поэтому вводится понятие о линейной плотности теплового потока ql:

ql = Q / l, величина которой не зависит от радиуса. Связь между qнар, qвн и ql определяется из равенства qвн F1 = qнарF2 = ql1, откуда получаем ql = qвнF1 / l = qнарF2 / l = d1 qвн = d2 qнар.

2.2.8 Теплопередача через цилиндрическую стенку П ри теплопередаче с обоих сторон стенки имеют место ГУ-3. Для неограниченных стенок (l 10d) теп лообменом с торцевых поверхностей пренебрегают и считают, что полный тепловой поток, отдаваемый горячим теплоносителем в стенку, равен тепловому потоку, проходящему через стенку и равен тепло вому потоку, отдаваемому стенкой в холодный теплоноситель (см. рис. 2.15), т.е. имеет место следую щий тепловой баланс Q1 = Q = Q2 = Q.

Запишем формулы, по которым можно рассчитать каждый из этих потоков:

t tж1, Q1 = 1d1l (tж1 – tс1);

tc q tc2 t, (tc1 t c2 ) ж2 l;

Q = 1 d d1 ln d2 2 d d Q2 = 2d2l (tc2 – tж2).

Рис. 2.15 Теплопере В итоге нами получена замкнутая система из трех уравнений, содержащая три неизвестных: Q, tc1 и tc2. Значения неизвестных найдем, не приводя систему к каноническому виду, а выразив из этих уравне ний предварительно разницы температур 1 1 d 1 ;

tс2 t ж2 = Q t ж1 t с1 = Q ;

tс1 tс2 = Q ln 1d1l l 2 d1 2 d21l и сложив почленно правые и левые части этих формул. Тогда получаем 1 1 1 d2.

t ж1 t ж2 = Q + + ln l 1d1 2 d1 2 d 2 Отсюда находим (t ж1 t ж2 ) Q= l 1 1 d + ln 2 + 1d1 2 d1 2 d или, разделив на l, (t ж1 t ж2 ).

ql = 1 1 d + ln 2 + 1d1 2 d1 2 d Выражения 1/(1d1) и 1/(2d2) называют термическими сопротивлениями теплоотдачи цилиндрических стенок.

На практике очень часто встречаются такие стенки, у которых толщина во много раз меньше диа У таких стенок можно считать, что d2/d11, и тогда расчетная метра (тонкостенные цилиндры).

формула упрощается. Величину ln(d2/d1) разложим в ряд (при (d2/d1) 2) 2 d2 d2 1 d2 1 d2 = d 1 2 d 1 + 3 d 1....

ln d1 1 1 1 Поскольку для тонкостенных цилиндров (d2/d1) – 1 0, то всеми слагаемыми ряда, начиная со вто рого, можно пренебрегать, как величинами более высоких порядков малости. Значит d d1 d2 d = 1 = 2 = ln.

d1 d1 d1 d Учитывая это, найдем теперь величину Q (t ж1 t ж2 ) d1l (t ж1 t ж2 ) t ж1 t ж Q= l= = F.

1 1 d1 1 1 d2 + + ++ ++ ln 1d1 2 d1 2 d2 1 2 d2 1 Мы получили формулу, полностью совпадающую с расчетной формулой для плоской стенки. Вы вод: теплопередачу через тонкостенные трубы можно (и удобнее) рассчитывать по формуле плоской стенки. Обычно величину F берут для горячей стороны стенки.

Естественно, что для многослойной стенки суммируются термические сопротивления теплопровод ности всех слоев (t ж1 t ж2 ) ql =.

n d i + 1 1 + + ln 1d1 i =1 2 i d i1 2 d n+ 2.2.9 Критический диаметр изоляции, оптимальная изоляция И добродетель стать пороком может, Когда ее неправильно приложат.

В. Шекспир d Ч тобы уменьшить тепловые потери или создать безопасные условия труда, час то нагретые стенки покрывают слоем (или несколькими слоями) тепловой изоляции. Толщину изоляции определяют, учитывая задаваемые ограничения d2 из (например, q должно быть не более определенной величины, или t на поверх dиз ности изоляции не должна превышать заданного значения) или на основании технико-экономических расчетов оборудования.

Рис. 2.16 Теп- При теплоизоляции труб за счет слоя изоляции увеличивается термиче ское сопротивление теплопроводности, однако одновременно из-за увеличения наружного диаметра уменьшается термическое сопротивление внешней теплоотдачи. В результате теплопотери трубы могут не всегда уменьшаться. Чтобы лучше понять это, рассмотрим трубу с диаметрами d1 и d2, на которую нанесен слой тепловой изоляции толщиной (рис. 2.16). Общее термическое сопротивление такой двухслойной цилиндрической стенки найдется по формуле:

d 1 d 1 1 (2.19) ln из + Rт = + + ln.

1d1 2 d1 2 из d 2 2 d из Изобразим теперь график зависимости термических сопротивлений R Rт (отдельных слагаемых формулы (2.19)) при увеличении dиз = d2 + 2.

R4 R3 Такие зависимости приведены на рис. 2.17. Первое и второе слагаемые не содержат dиз и поэтому не меняются и изображаются некоторыми R2 прямыми линиями. Третье слагаемое с увеличением диаметра изоляции dиз увеличивается по логарифмическому закону, а четвертое уменьша R ется гиперболически. При этом сумма Rт обязательно имеет минимум.

dкр dиз Поскольку ql = (tж1 – tж2) / Rт, то понятно, что с увеличением dиз тепловые потери ql могут сначала и возрасти, и только затем умень шаться. Диаметр изоляции, соответствующий минимальному термическому сопротивлению (или мак сималь- ным тепловым потерям) называют критическим, dкр. При dиз dкр нанесение изоляции приводит к увеличению теплопотерь. Значит для эффективной работы изоляции необходимо, чтобы обязательно соблюдалось условие d2 dкр. (2.20) В этом случае, как это видно из рис. 2.17, при нанесении изоляции всегда dиз = d2 + 2 dкр и реализу ется правая ветвь кривой Rт = f (dиз).

Величину dкр найдем, исследовав формулу (2.19) на экстремум. Для этого продифференцируем Rт по dиз и приравняем нулю полученное выражение:

1 1 или 0 + 0 + = 0.

Rт = 2 из d из кр 2 d из кр d из Теперь находим dкр = 2из / 2. (2.21) Как правило, величина 2 с изменением dиз практически не изменяется. Поэтому изменить dкр мож но, лишь меняя материал изоляции (изменяя из). Объединяя формулы (2.20) и (2.21), найдем ограниче ние для из, гарантирующее эффективную работу изоляции:

2 d из.

В противном случае уменьшения теплопотерь тоже можно добиться существенным увеличением толщины изоляции, однако при этом большая часть слоя изоляции будет лежать, не принося пользы.

В последние годы в связи с динамичными изменениями цены тепла и материалов возрастает роль технико-экономических расчетов тепловой изоляции. Понятно, что с увеличением толщины изоляции тепловые потери (их стоимость Sт в рублях за весь период эксплуатации) уменьшаются, а стоимость ма териала изоляции Sм увеличивается. Рис. 2.18 иллюстрирует эти изменения. Поскольку слагаемые име ют противоположный характер изменения, то суммирующая кривая будет иметь минимум. Толщина слоя тепловой изоляции, соответствующая минимальной суммарной стоимости S, называется опти мальной толщиной опт. В любом другом случае мы будем проигрывать либо за счет тепловых потерь, либо за счет увеличения стоимости материала изоляции.

При расчетах многослойной изоляции можно ставить и решать вопрос об оптимальном сочетании толщин каждого слоя, поскольку эффективность и стоимость различных материалов различны. Доказа но, например, что тот материал, у которого из меньше, следует располагать на горячей стороне стенки, там он работает более эффективно. Более подробно вопросы расчета оптимальной тепловой изоляции рассмотрены в монографии [17].

2.2.10 Теплопередача через ребристую стенку тобы увеличить передаваемый тепловой поток прибегают к увеличению теплоотдающей поверхности Ч путем оребрения с той стороны, где интенсивность теплоотдачи ниже. Обычно устраиваются прямо угольные, треугольные или трапециевидные ребра. Они изготовляются или t непосредственно на стенке (литьем, механической обработкой), или делают ся отдельно из более дешевого и теплопроводного материала и плотно при tж крепляются к стенке. Одна из конструкций ребристой стенки показана на tc рис. 2.19.

tc 1 tж Наличие ребер заметно изменяет общую картину теплопередачи, не сколько повышая величину 2. Участки ребра у основания имеют более вы F F2 сокую температуру tc2, чем температура tс2 у вершины. Поэтому тепловой поток Qор, отдаваемый ребристой стороной в действительности, всегда не x сколько меньше, чем поток QT, который отдавался бы в идеальном случае, Рис. 2.19 Теплопе- при t = t. Величину c2 c редача через ребри э = Qор /Qт называют коэффициентом эффективности оребрения. В справочной литературе [15] можно найти фор мулы, позволяющие рассчитать величину этого коэффициента для наиболее распространенных форм ребер.

Отношение kор = F2 / F1, показывающее во сколько раз увеличена теплоотдающая поверхность в ре зультате оребрения, называют коэффициентом оребрения.

Упрощая задачу, будем считать, что теплопроводность материала ребра очень высокая и поэтому можно принимать одинаковыми и температуру у основания ребра tc2, и температуру у его вершины tс2.

Принимая величины tж1, tж2, 1, 2, kop заданными (заданы ГУ-3), для плоской оребренной стенки можем записать Q1 = 1F1(tж1 – tc1);

tc1 tc ;

Q = F / Q2 = 2F2 (tс2 – tж2).

Выразив отсюда разницы температур и учитывая, что Q1 = Q = Q2, аналогично предыдущему (теп лопередача через плоскую стенку) получаем t ж1 t ж2 t ж1 t ж Qор = = F.

1 + + ++ 1 F1 2 F2 1 k ор Из формулы видно, что с увеличением коэффициента оребрения kор величина Qop увеличивается.

2.2.11 Теплопроводность цилиндра при наличии внутренних источников тепла В моей душе любовь непобедимая Горит и не кончается...

К. Бальмонт В технике часто встречаются случаи, когда внутри тела имеются внутренние источники тепла, например, при прохождении электрического тока, при химических реакциях, ядерном распаде или деятельности микроорганизмов. Интенсивность выделения тепла при этом характеризуют мощностью внутренних источников qv, показывающей, сколько тепла выделяется за единицу времени единицей объема тела.

При поглощении тепла, например при эндотермических реакциях, говорят о наличии стоков тепла и ве личину qv считают отрицательной.

Рассмотрим неограниченный сплошной цилиндр с равномерно распределенными в нем внутренни ми источниками мощностью qv (рис. 2.20), который помещен в жидкую или газообразную среду с тем пературой tж и имеет коэффициент теплоотдачи (заданы ГУ-3). В силу симметрии температурное поле в таком стержне будет одномерным t = f (r).

Если на расстоянии r от оси выделить изотермическую поверхность, то при установившемся режи ме тепло, выделившееся в объеме r2l, будет передаваться через изотермическую поверхность 2rl теп лопроводностью. Значит можно записать следующее теплобалансовое уравнение r 2 lqv = 2 rl (dt / dr ).

Проведем сокращения и разнесем переменные:

qv dt = r dr.

Тогда после интегрирования получаем qv t= r + C, где С – константа интегрирования, найти которую не составляет трудностей: при r = R t = tc и тогда qv C = tc + R.

Значит температурное поле внутри стержня описывается формулой qv 2 q q r + tc + v R 2 = tc + v ( R 2 r 2 ).

t= 4 4 Величину tc найдем, записав теплобалансовое уравнение для наружной поверхности стержня, Qv = Q или R2lqv = 2Rl (tc – tж), откуда после сокращений выражаем Rqv tc = tж +.

Температура на оси цилиндра (при r = 0) будет наибольшей:

R2 R qv R = t ж + qv to = tc + 4 + 2.

4 2.2.12 Численное решение задач стационарной теплопроводности А налитическое решение задач теплопроводности возможно лишь для тел простой геометрической формы и при простейших граничных условиях. На практике же иногда возникает необходимость определить температурное поле в телах более сложной формы или при таких условиях однозначности, когда темпе ратура или условия теплообмена на поверхности тела непостоянны, когда величина существенно и нелинейно зависит от t, когда тело неоднородно и величина различна в разных точках тела и по раз ным направлениям.

Чтобы перейти к численным методам, исследуемое тело мысленно разделяют на небольшие объемы простой формы (чаще всего прямоугольной). При этом считают, что в пределах каждого такого объема свойства вещества, мощность внутренних источников и температура остаются постоянными, а измене ние температуры происходит скачками на границах каждого объема. Другими словами непрерывный процесс теплопроводности заменяется некоторым дискретным процессом.

Центральные точки выделенных объемов (их называют узлами) образуют внутри тела пространст венную сетку. Для любого узла такой сетки на основе теплобалансовых уравнений или путем замены дифференциального уравнения теплопроводности его конечно – разностным аналогом (от бесконечных приращений переходят к малым конечным приращениям) можно получить алгебраические соотноше ния, в совокупности составляющие замкнутую систему уравнений, для решения которой используются стандартные или специально разработанные методы. Изложенный подход называют методом конечных разностей.

В качестве примера рассмотрим двумерное температурное поле, возникающее в однородной пла стине толщиной, когда температуры на боковых поверхностях ее различны (см. рис. 2.21). Разделим пластину на элементарные прямоугольники, нанося сетку с шагом x по оси x и y по оси y. Выделим узлы сетки вокруг одного из элементов, лежащего внутри пластины, обозначая их номера вдоль оси x индексом i, а вдоль оси y – индексом j.

Температурное поле такой пластины будет плоским, и дифференциальное уравнение для него при нимает вид:

2t 2t + = 0.

x 2 y 2t t Производную представим в виде и заменим бесконечно малые приращения dt и dx малыми x x x конечными величинами t и x:

t t x.

x x Здесь отношение t/x – величина, близкая к величине проекции температурного градиента на ось x, а выражение (t/x) представляет собою разницу между t/x справа и слева от анализируемого узла.

Выпишем значения этих отношений ti, j ti 1, j ti +1, j ti, j t t.

= = x лев x x прав x Значит ti +1, j 2ti, j + ti 1, j t t t = = x x прав x лев x и далее 2 t ti, j +1 2ti, j + ti 1, j.

x 2 x Аналогичные рассуждения для оси у позволяют получить 2 t ti, j +1 2ti, j + ti 1, j.

y 2 y В итоге дискретный аналог дифференциального уравнения (2.22) представляется в виде ti, j +1 2ti, j + ti 1, j ti, j +1 2ti, j + ti 1, j (2.23) + = 0.

y x Это уравнение описывает связь между температурами соседних элементов для любого из внутренних узлов сетки. Для узлов, выходящих за границы пластины, температура или известна (заданы ГУ-1), или может быть определена из уравнений, описывающих ГУ. Таким образом, для всех n (n = ij – nкр) неиз вестных температур формула (2.23) дает n линейных алгебраических уравнений. Эти уравнения заметно упрощаются, если принять x = y:

ti =1, j + ti 1, j + ti, j +1 + ti, j 1 4ti, j = 0. (2.24) Прежде чем говорить о методах решения полученной системы, отметим три важнейших свойства разностных схем: аппроксимируемость, устойчивость и сходимость решения. Первое означает, что при x 0 и y 0, т.е. решение системы алгебраических уравнений стремится к решению исходного дифференциального уравнения. Устойчивой называется схема, для которой ошибки округления при уменьшении шагов x и y не приводят к большим искажениям решения. Сходимость означает, что по мере уменьшения x и y решение системы все ближе сходится с истинным решением. Сходимость вы ступает как следствие аппроксимируемости и устойчивости. Анализ различных конечно-разностных схем на устойчивость и сходимость приведен в [18], [19].

Полученную систему уравнений решают обычно на ЭВМ методом прогонки или путем последова тельного исключения неизвестных (метод Гаусса), о которых речь пойдет позже, теперь же рассмотрим другой оригинальный метод – метод релаксаций. Суть этого метода в следующем. Сначала в узлах сет ки записывают ожидаемые, интуитивно выбранные значения температур. Конечно они не будут удовле творять уравнению (2.24) и вместо равенства нулю в каждом узле сетки мы будем получать некоторый остаток Ro:

Rо = ti +1, j + ti 1, j + ti, j +1 + ti, j 1 4ti, j.

Величина Ro говорит о том, насколько правильно были выбраны значения температур в окрестностях каждого узла в первом приближении.

Найдем значения Ro для всех узлов. Там, где величина Ro окажется наибольшей, температуры были выбраны наименее удачно и именно для этого узла надо их скорректировать. Для этого наибольшее значение Ro делим на четыре части и результат добавляем к остаткам четырех соседних узлов. После это го остаток в рассматриваемом узле станет равен нулю, но изменятся остатки соседних узлов. Вновь про сматривая все остатки, снова выбираем узел, где остаток наибольший и повторяем процедуру сглажива ния остатков в этом узле. Повторяя такое сглаживание до тех пор, пока все остатки не станут равными нулю (точнее – некоторой относительно небольшой величине), приходим к решению задачи.

Модификацией этого метода, наиболее удобной для реализации на ЭВМ, является метод Зейделя, где выравнивание остатков ведется не для узлов с наибольшим Rо, а поочередно, от первого к послед нему. При этом для расчета температуры в последующем приближении используют значение темпера туры в том же узле, но рассчитанное в предыдущем приближении. Более подробно описание этого ме тода приведено в [20].

2.2.13 Процессы нестационарной теплопроводности Все подчиняется времени, однако время не подчиняется никому.

М. Арсанис Р анее уже было отмечено широкое распространение нестационарных процессов и важность их для прак тики. В отличие от предыдущих задач, здесь фактор времени является одним из определяющих и часто задача состоит в том, чтобы определить, как изменяется температура в той или иной точке тела с тече нием времени, сколько при этом передавалось тепла. Несмотря на множество методов и подходов, раз работанных для решения нестационарных задач (см. [21], [22]), аналитические решения получены толь ко для тел простой формы и для простейших ГУ. Очень часто такие решения содержат табулированные корни отдельных трансцендентных уравнений или значения специаль ных функций.

Чтобы познакомиться с некоторыми качественными особенностями Qп нестационарных процессов, рассмотрим термограммы (так называют t зависимости t = f ()) для двух точек равномерно прогретого тела, кото рое быстро погружают в более холодную жидкую или газообразную среду. Такие термограммы приведены на рис. 2.22. В начальный tц момент времени температура на поверхности тела tп и в его центре tц 0 tп одинаковы. С началом процесса эти температуры изменяются по tж разному, темп их уменьшения различен и по мере охлаждения умень 0 к шается. Постепенно обе температуры выравниваются, приближаясь к tж, и теплообмен прекращается. Интересно, что по мере удаления от поверхно сти изменение температуры все более отстает от изменения температуры Рис. 2.22 Термо на поверхности. Величина такой задержки различна на различных этапах процесса и зависит от коэффициента температуропроводности, расстояния от поверхности и ГУ. Наи большая задержка – в центре тела.

Естественно, что тепловые потоки в теле, в частности через его поверхность, не остаются постоян ными, а меняются в течение процесса, как показано это на рис. 2.23. Количество тепла Q*, отдаваемое телом до момента времени определится величиной интеграла Q* = Qп d, равной величине заштрихо ванной площади.

Изучение термограмм различных процессов показало, что на первой стадии ход изменения темпера туры существенно зависит от первоначального распределения температуры в теле. Однако с течени ем времени процесс переходит в другую стадию, когда первоначальная неравномерность темпера турного поля успевает сгладиться и перестает влиять на характер изменения температуры. Эту вто рую стадию называют регулярным режимом, а первоначальную стадию, длительность которой со ставляет примерно 0,1 … 0,3 всей продолжительности процесса, называют нерегулярным режимом.

Чтобы выявить основную особенность регулярного режима, будем считать, что тело настолько теп лопроводно, что распределение температуры в нем практически равномерно и изменяется она только по времени и за время d температура тела изменяется на величину –dt.

Запишем теплобалансовое уравнение, учитывая, что все передаваемое телом тепло отдается тепло носителю в результате уменьшения теплосодержания этого тела:

(2.25) (t t ж ) F d = Vc dt.

Здесь – коэффициент теплоотдачи на поверхности исследуемого тела;

F, V – поверхность и объем;

, c – плотность и удельная теплоемкость тела. Заметив, что dt = d (t – tж), формулу (2.25) перепишем по другому F d (t t ж ) d =.

t tж Vpc В результате получено простое дифференциальное уравнение, интегрирование которого дает:

m p = ln(t t ж ) + C, где m p = (F )/(Vpc ) – коэффициент пропорциональности, называемый темпом охлаждения (или темпом нагревания, когда tж t);

C – некоторая произвольная постоянная, определить которую можно из усло вий однозначности.

Потенцируем полученную формулу m p = (t t ж ) eС e и представляем результат в виде m p.

t = t ж + Ae Здесь величина A = exp(C ) представляет собою тоже некоторую константу. Полученная формула опи сывает основную особенность регулярного режима: с течением времени температура в любой точке те ла изменяется по закону экспоненты. В различных точках различны только константы A.

Для тел простой формы сопоставлением приведенной формулы и результатов аналитического ре шения для характерных точек определены формулы, позволяющие рассчитать темп охлаждения mp для любого случая, т.е. и тогда, когда температуропроводность тела невелика и процесс теплопроводности сопровождается сложным распределением температуры в теле.

Выявленная особенность регулярного режима лежит в основе многих экспериментальных методов определения коэффициентов теплопроводности и температуропроводности, когда по эксперименталь ной термограмме находят темп охлаждения mp, и по его величине – значения коэффициентов и.

2.2.14 Общее решение дифференциального уравнения теплопроводности И з всего множества методов решения задач теплопроводности рассмотрим подробнее метод непосредст венного интегрирования путем разделения переменных (метод Фурье). При этом ради упрощения огра ничимся анализом одномерного нестационарного температурного поля, для которого дифференциаль ное уравнение теплопроводности запишется в виде 2t t (2.26) =a 2.

x Решение t = (x, ) будем искать в виде произведения двух функций и, причем первая из них зависит только от, а вторая – только от x:

(2.27) t = () ( x ).

Продифференцируем формулу (2.27), определив производные t / и d 2 t / dx 2t t t t = = = ;

= ;

x 2 x x x x x и подставим полученные значения в уравнение (2.26):

=a x или 1 1 1 (2.28) =.

a x Теперь левая часть приведенной формулы зависит только от, а правая – только от x. Для некоторо го фиксированного момента времени величины и / принимают некоторые численные значения и левая часть формулы (2.28) превращается в константу (ее называют константой разделения). Чтобы ре шение было не нулевым и по мере увеличения величина t не увеличивалась бы бесконечно, а стреми лась к некоторому постоянному значению, величина константы разделения должна быть отрицатель ной. Обозначим ее через – k. Естественно, что и правая часть формулы (2.28) равна – k.

С учетом изложенного уравнение (2.28) можно заменить теперь системой из двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

;

(2.29) = ak d = k 2. (2.30) dx Интегрирование этих уравнений несложно. Для этого в уравнении (2.29) сначала разнесем перемен ные:

d = ak 2 d.

Тогда после интегрирования получаем ln = ak 2 + C, где C – константа интегрирования. Потенцируя полученную формулу, находим = exp(ak 2 )exp(C ) = C1exp(ak 2 ), где C1 – пока еще неизвестная произвольная постоянная. Общим решением уравнения (2.30) является выражение = C2 coskx + C3sinkx, в чем легко убедиться, дифференцируя его по x дважды:

d = C2 k (sinkx) + C3 kcoskx;

dx d 2 d d 2 2 = = C2 k coskx C3 k sinkx = k.

dx 2 dx dx Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (2.26) в соответствии с формулой (2.27) получаем в виде t = C1exp( ak 2 ) (C2 coskx + C3sinkx), (2.31) где произвольные постоянные C1, C2, C3 и константа разделения k должны определяться из условий од нозначности.

2.2.15 Нестационарная теплопроводность неограниченной плоской стенки В каждой дисциплине столько науки, сколько в ней математики Э. Кант ассмотрим процесс охлаждения неограниченной плоской стенки, которая в начальный момент Р имела равномерно распределенную температуру t0 и была быстро помещена в жидкую среду с температурой tж.

x При этом будем считать, что интенсивность теплообмена между стенкой и Рис. 2.24 Нестацио- жидкостью, определяемая величиной коэффициента теплоотдачи, в тече ние процесса остается постоянной. Такая стенка и распределение темпера нарное температурное туры в ней для ряда последовательных моментов времени 1, 2, 3,... пока заны на рис. 2.24. В силу симметрии ось t, совпадающую с осью z, удобно поле провести в плоскости симметрии, обозначая половину толщины стенки через.

плоской стенки При решении задач всегда удобнее вместо истинного значения темпе ратуры t рассматривать избыточную температуру = t – tж. В этом случае, учитывая что dt = d, формула (2.26) принимает вид d =a 2, d x а значит и общее решение (2.31) будет выглядеть следующим образом:

= C1exp( ak 2 ) (C2 coskx + C3sinkx). (2.32) Чтобы найти константы С1, С2, С3 и k, воспользуемся условиями однозначности. В силу симметрии значение производной ( / x) при x = 0 должно быть равным нулю. Продифференцируем формулу (2.32):

( / x) = C1exp( ak 2 ) (C2 k sin kx + C3 k cos kx).

При x = 0 sinkx = 0, a coskx = 1. Тогда приведенная формула сводится к уравнению 0 = C1exp( ak 2 ) ( 0 + C 3 k 1), откуда получаем С3 = 0. В результате общее решение несколько упрощается = C1C 2 exp( ak 2 ) cos kx = A exp( ak 2 ) cos kx, (2.33) где через A обозначена произвольная постоянная, A = C1C2.

Запишем теперь дифференциальное уравнение ГУ-3:

t ( t t ж ) =.

x x = С учетом соотношений = t tж и dt = d его можно представить в виде x = = ( / x) x =. (2.34) Дифференцируя (2.33), найдем частную производную = Aexp(ak 2 ) ( ksink).

x x= Подставим выражения для x = и ( / x) x= в формулу (2.34):

Aexp( ak 2 ) cosk = Aexp( ak 2 ) ( ksink).

После сокращений и простейших преобразований получаем трансцендентное уравнение, содержащее одну неизвестную – величину k:

k.

ctgk = Прежде чем перейти к решению этого уравнения, обычно его видоизменяют следующим образом:

k k ctgk = =.

Безразмерный комплекс () /, характеризующий собой отношение термических сопротивлений в зо не контакта тела с жидкостью, называют числом Био. Эта величина в обобщенной форме фиксирует ГУ 3 и определяет подобие процессов теплопроводности (более подробно о подобии явлений и о числах подобия будет рассказано позже). Обозначим k = µ и () / = Bi. Тогда предыдущее уравнение при мет вид µ. (2.35) ctgµ = Bi На рис. 2.25 приведено графическое решение этого уравнения для некоторого конкретного значения числа Bi. Из рисунка видно, что уравнение (2.35) имеет бесконечное множество корней, µ1, µ2, µ3, при (i – 1). Значения корней µi чем с увеличением номера корня i величина его стремится к пределу рассчитаны численным методом на ЭВМ для любых значений числа Bi и приведены в технической ли тературе [22]. Реализация ГУ-3 позволила нам определить множество констант разделения ki (ki = µ i / ).

Теперь любое частное решение в соответствии с формулой (2.33) принимает вид a x i = Ai exp 2 µ i cos µ i, i = 1, 2, 3,...

а общее решение определится суммой этих частных решений:

i = Ai exp(Foµ i 2 ) cos(µ i X ), = i =1 i = где для краткости обозначено: X = x / – безразмерная относительная координата точки;

Fo = () / 2 – значение числа Фурье, определяющее сходственные моменты времени у подобных явлений.

Значения произвольных постоянных Ai найдем, реализуя начальные условия. При = 0 = 0 и предыдущая формула принимает вид Ai 1 cos(µi X ). (2.36) 0 = i = Функция cos(µ i X ) – это функция четная, т.е. cos(µ i X ) = cos(µ i X ), а такие функции обладают свойством ортогональности, которое записывается для нашего случая так:

0 при m n.

cos(µ m X ) cos(µ n X ) dX = 1 cos (µ i X ) dX при m = n = i Чтобы воспользоваться этим свойством, умножим почленно уравнение (2.36) на cos (µ i X ) dX и про интегрируем правую и левую части в пределах от –1 до 1 (x меняется от – до + ):

n 1 0 cos (µi X ) dX = Ai cos (µi X ) cos (µi X ) dX.


1 i =1 В правой части все слагаемые суммы, кроме i-гo, равны нулю, поэтому уравнение упрощается:

1 0 cos (µ i X ) dX =Ai cos2 (µ i X ) dX. (2.37) 1 Находим теперь значения полученных табличных интегралов 1 1 cos(µi X ) dX = µi sin(µi X ) 1 = µi [sin µi sin(µi )] = µi sin µi.

11 cos (µ i X ) dX = X+ sin (2µ i X ) 1 = 2 1 4µ i [sin (2µi ) sin (2µi )] = 1 + sin(2µi ).

=1+ 4µ i 2µ i Далее из уравнения (2.37) находим неизвестную постоянную Ai:

2 0 sin µ i Ai =.

sin 2µ i µ i 1 + 2µ i Таким образом, общее решение в окончательном виде будет 2 sin µ i = 0 exp (µ2 Fo) cos (µ i X ). (2.38) sin 2µ i i = µ i 1 + 2µ i Еще раз отметим, что бесконечный ряд с увеличением (растет число Fo) быстро сходится, поэтому да же при точных расчетах учитывают только три – четыре первых слагаемых этого ряда. При Fo 0,3 с погрешностью не более 5 % всю сумму можно заменить одним первым слагаемым.

Расчет температуры в любой точке стенки по формуле (2.38) достаточно трудоемок. Поэтому в ин женерной практике для решения отдельных задач (при x = 0, X = 0 и x =, X = 1) пользуются специаль ~ ~ ными номограммами, где зависимости = f (Bi, Fo, X) представлены графически ( = / 0 – безраз мерная температура).

Полученные результаты можно использовать и для решения задач нестационарной теплопроводно сти пластин при двумерном или трехмерном температурном поле. При этом используется принцип су перпозиций (наложения полей) и легко доказывается теорема о перемножении решений, в соответствии с которой температурное поле ограниченного параллелепипеда, например, определяется произведением ~ ~~~ x, y, z = x y z, ~ ~ ~ где x, y, z – относительные температуры, рассчитанные отдельно для каждой бесконечной стенки, которые получаются, если мысленно продолжать соответствующую пару параллельных граней.

2.2.16 Метод источников теплоты Мгновенно сердце молодое горит и гаснет В нем любовь проходит и приходит вновь А. С. Пушкин Ч асто теплопроводность возникает от действия на поверхности или внутри тела различных источников (или стоков) тепла. Температурное поле, возникающее под действием мгновенного точечного источни ка внутри неограниченного тела описывается выражением, которое является другим фундаментальным решением дифференциального уравнения теплопроводности:

R Q* exp (2.39) = 4, (4 )3 / 2 где = t t0 ;

t0 – начальная температура тела;

Q* – количество выделяемого источником тепла;

R = ( x x и )2 + ( y y и )2 + ( z z и )2 – расстояние между источником тепла I ( xи, yи, zи ) и исследуемой точкой M ( x, y, z ). В справедливости этого решения легко убедиться, дифференцируя формулу (2.39) и подстав ляя полученные выражения в дифференциальное уравнение теплопроводности, которое в результате превращается в тождество.

Фундаментальное решение (2.39) позволяет для очень многих случаев записать функцию (в виде интеграла), удовлетворяющую дифференциальному уравнению теплопроводности, т.е. решить задачу.

Три основные принципа помогают реализовать идею конструирования решений на основе формулы (2.39):

1 Источник любой формы, действующий мгновенно, циклически или непрерывно, неподвижный или движущийся можно представить как некую систему точечных мгновенных источников тепла (принцип конструирования источников).

2 Температурное поле от каждого точечного источника накладывается на поля других источников и результирующая температура в любой точке тела определяется суммой температур от каждого источ ника (принцип суперпозиции температурных полей).

3 Процесс распространения тепла в телах ограниченных размеров можно представить как процесс теплопроводности в неограниченном теле, если фактически действующие источники дополнить некото рой системой фиктивных источников или стоков (принцип отражения источников).

Для иллюстрации применения этих принципов рассмотрим решение ряда конкретных задач.

Пусть требуется найти температурное поле в неограниченном теле при действии в нем мгновенного линейного источника тепла, расположенного параллельно оси z (см. рис. 2.26). Такой источник можно представить как множество одновременно вспыхивающих мгновенных источников тепла, расположен ных на линии AB. Температурное поле каждого источника описывается формулой (2.39). В результате суперпозиций температура в любой точке тела определится суммой R2 n Q* млн = exp. (2.40) 4 a 3/ a (4 ) i = Интенсивность линейного источника обычно характеризуют количеством тепла, выделяемого на один метр его длины Ql*. Если длина точечного источника z, то Q * = Ql* z. Подставим это выражение в формулу (2.40), одновременно устремляя z к нулю, a n – к бесконечности. Тогда, вспоминая из математики опреде ление интеграла, можем записать z = R2 Ql* exp dz = млн = 4 a 3/ a ( 4 ) z = z = ( x xи ) 2 + ( y y и ) 2 ( z zи )2 Ql* 4a exp dz = = exp 4 a 3/ a (4 ) z = ( x xи ) 2 + ( y y и ) Ql*.

= exp 4 4 a Здесь ради сокращения чисто математическая задача определения интеграла не рассматривалась, а при веден сразу конечный результат преобразований.

Другая задача: в неограниченном теле параллельно оси z со скоростью wи движется непрерывно действующий точечный источник тепла и требуется определить создаваемое им температурное поле.

Такой источник можно представить как множество мгновенных точечных источников, расположенных на линии AB (рис. 2.26) и действующих, как в праздничных гирляндах, поочередно друг за другом в мо менты времени 0 = 0, 1, 2, 3.... От каждого такого источника будет возникать температурное поле, описываемое формулой R Ql* exp и, i = 4 a 4 п где п = – i – продолжительность процесса распространения тепла от момента вспышки i до текущего момента времени (именно так определялась величина в формуле (2.39));

Rи – расстояние от точки вспышки до исследуемой точки пространства. Для разных моментов времени i это расстояние будет различным, поскольку координата zи источника меняется, принимая значения zи = wи п. Значит b Rи = ( x xи ) 2 + ( y y и ) 2 + ( z z и ) 2.

a Естественно, что результирующая температура определится суммой всех ti, а если перейти к беско нечно малым промежуткам времени между вспышками i+1 i = d – то величиной интеграла R Q* пн = exp i d.

4 a a (4 в )3 / 2 в Вопрос о вычислении полученного определенного интеграла оставим без рассмотрения, понимая, что эта математическая задача всегда может быть решена, в крайнем случае – численным методом.

Далее рассмотрим подробнее принцип отраже Рис. 2.27 Источник тепла в полуограниченном теле A A ния источников. Пусть внутри полуограниченного C тела находится мгновенный точечный источник j B J1 • (рис. 2.27). Наружная поверхность AA теплоизоли рована, т.е. не пропускает и не отражает тепло. По сле вспышки источника тепло будет передаваться по всем направлениям, включая и некоторое направление B. Однако, достигнув поверхности тела этот поток изменит направление и пойдет вдоль поверхности AA.

Удалим мысленно теплоизоляцию, заменив ее таким же полуограниченным телом с источником j2, являющимся зеркальным отражением источника j1 (см. рис. 2.28). В такой системе тел рассмотренный ранее поток продолжит распространение по направлению B уже во втором теле. Одновременно в пер вом теле будет распространяться симметрич ный поток по направлению D от источника j2. Результирующее действие этих потоков (если их мощно сти одинаковы) оказывается эквивалентным предыдущему потоку по направлению C (в результате век торного сложения потоков B и D). Исходя из принципа суперпозиций, избыточную температуру в неко торой точке M ( x, y, z ) внутри тела можно описать суммой п.пр = н ( J1 ) + н ( J 2 ), где избыточные температуры н ( J1 ) и н ( J 2 ) в точке M от одного и от другого источника для неограни ченного пространства определяются по формуле (2.39).

В приведенном примере мы по сути рассматривали ГУ-2 при q = 0. Если заданы ГУ-1 (п = 0), то, чтобы получить на линии AA постоянную температуру, нужно нагрев поверхности от действия источ ника тепла j1 скомпенсировать охлаждением ее симметрично расположенным стоком тепла j2 такой же мощности (Q2 = Q1* ). Значит при ГУ-1 для точки M будем иметь * п.п = н ( J1 ) ( J 2 ).

Для тел сложной формы принцип отражения источников приходится применять неоднократно, до полняя тело до неограниченного пространства. На рис. 2.29 показана схема дополнений для бесконеч ного клина с углом при вершине 60° и теплоизолированными боковыми гранями. Понятно, что кл = н ( J i ).

i = • tki 2.2.17 Численное решение нестационарных задач теплопроводности Е ще раз отметим, что все численные методы основаны на допущении возмож nx 0 1 2... i ности без внесения существенных погрешностей заменять непрерывный в пространстве и во времени процесс некоторым дискретным, скачкообразным Рис. 2.31 процессом. При расчетах нестационарных процессов, в частности, считают, Пространственно- что температура в любой точке тела в течение некоторого промежутка вре мени остается неизменной, а в начале каждого следующего промежутка ме няется скачкообразно, принимая новое значение.

Для решения задач обычно и здесь используется метод сеток, теперь уже пространственно временных. В качестве примера рассмотрим процесс нестационарной теплопроводности неограничен ной пластины при ГУ-1, когда температуры поверхностей tc1 и tc2 не постоянны, а заданы как некоторые функции времени:

t c1 = f1 ( );

t c2 = f 2 ( ).

x Мысленно разделим пластину на несколько тонких слоев толщи Рис. 2.30 Температурное ной x и будем считать, что в пределах каждого слоя температура ха рактеризуется величиной ti, k, где i – номер слоя (i = 1, 2,..., n), k – номер поле при сложных ГУ текущего интервала времени (k = 0, 1, 2,...). Для некоторого момен та времени = k действительное распределение температуры в теле заменим ступенчатым распределением ее по отдельным слоям (см.

рис. 2.30). Тогда температурное поле, представляющее совокупность всех значений температур ti, k, можно отразить при помощи простран ственно-временной сетки с шагами x и y, представленной на рис.


2.31.

Некоторые узлы этой сетки известны по условиям однозначности ГУ слева: t0,k = f1 (k ), k = 0, 1, 2, 3,...;

ГУ справа: tn, k = f2 (k ), k = 0, 1, 2, 3,...;

НУ: ti, 0 = f 3 (x i ), i = 1, 2, …, n – 1.

Дифференциальное уравнение теплопроводности одномерного температурного поля при переходе от бесконечно малых к малым конечным приращениям принимает вид t t =a.

x x Здесь t ti, k +1 ti, k ti, k ti 1, k ti +1, k ti, k t t = = = ;

;

x лев x x пр x и далее t 1 t t ti +1, k 2ti, k + ti 1, k = =.

x x x x пр x лев x В результате алгебраический аналог дифференциального уравнения будет ti, k +1 ti, k ti +1, k 2ti, k + ti 1, k =a.

x Приведенная формула связывает между собой четыре соседние в пространстве температуры по схеме, приведенной на рис. 2.32, которую называют расчетным шаблоном явной схемы. Если начинать расчет с i = 1 и k = 0, то эта схема (или формула (2.41), соответственно) будет содержать только одну неизвестную t1,1. Определив ее, шаблон сдвигают вправо на шаг и рассчитывают следующую темпера туру t1,2 и т.д. В итоге последовательно определяются все температуры сначала первого временного слоя (k = 1), затем второго (k = 2) и т.д. Недостатком явной схемы является необходимость определен ным образом ограничивать шаги и x, поскольку доказано, что решение бывает устойчивым только при условии (a / x 2 ) 0,5.

Конечно-разностный аналог можно построить и для другого расчетного шаблона (неявная схема), приведенного на рис 2.33. В такой схеме используются значения температур в соседних точках, но не для одного, а для соседних интервалов времени. Алгебраический аналог дифференциального уравнения при этом принимает вид ti, k +1 ti, k ti +1, k +1 2ti, k +1 + ti 1, k +. (2.42) =a x Отметим, что формула (2.42) по структуре идентична формуле (2.41), но правая часть ее рассчитана для (k + 1) -го интервала времени. Для решения задачи формулу (2.42) записывают последовательно для всех узлов сетки в результате чего получается замкнутая система алгебраических уравнений, которую реша ют обычно методом прогонки.

Чтобы понять суть и особенности этого метода, проведем сначала несложные преобразования, за писав формулу (2.42) в виде a ti, k +1 ti, k = (ti +1, k +1 2ti, k +1 + ti 1, k +1 ) x и сгруппировав подобные члены по возрастанию номера i:

Ai ti 1, k +1 + Bi ti, k +1 + Ci ti +1, k +1 = Di, (2.43) где ради сокращения введены обозначения a a a ;

Bi = 2 2 + 1 ;

Ci = 2 ;

Di = ti, k.

Ai = x 2 x x В качестве примера по соотношению (2.43) выпишем систему уравнений для временного слоя при k = 1 и n = 5, расставляя температуры с одинаковыми индексами друг под другом и дополняя уравнения нулями i = 1: A1t0,1 + B1t1,1 + C1t2,1 + 0+ 0+ = D1;

i =2: 0+ A2 t1,1 + B2 t2,1 + C2 t3,1 + 0+ = D2;

i = 3: 0+ 0+ A3t2,1 + B3t3,1 + C3t4,1 + = D3;

i =4: 0+ 0+ 0+ A4 t3,1 + B4 t4,1 + = D4.

C4 t5, Отметим, что величины t0,1 и t5,1 известны из граничных условий, известны и значения D1, D2, D3, D4, поскольку температуры t0,0, t0,1, t0,2, t0,3 и t0,4 известны из начальных условий. Слои с номерами i = 0 и i = n неизвестных не содержат, поскольку эти температуры известны из граничных условий. В результате убеждаемся, что записанные четыре уравнения содержат четыре неизвестных: t1,1, t2,1, t3,1 и t4,1. Анало гичная трехдиагональная система может быть получена для любого значения n, а последовательное решение таких систем для k = 1, 2,... позволяет найти значения температур во всех узлах сетки. Дока зано, что неявная схема всегда устойчива и это позволяет делать расчеты с достаточно крупными шага ми x и.

Метод прогонки основан на допущении, что между соседними узлами температура меняется по ли нейному закону. Тогда для двух соседних (в пространстве) точек сетки можно записать (2.44) ti, k +1 = Ei ti +1, k +1 + Fi, где Ei и Fi – некоторые неизвестные пока константы (их называют прогоночными коэффициентами), свои для каждого слоя с номером i. Для предыдущего по порядку слоя с номером i – 1 формула (2.44) запишется в виде ti, k +1 = Ei 1 ti, k +1 + Fi 1.

Подставим теперь это значение температуры в формулу (2.43) ( Ai Ei 1, k +1 + Ai Fi 1 ) + Bi ti, k +1 + Ci ti +1, k +1 = Di и сгруппируем подобные члены, переписав предыдущую формулу так:

ti, k +1 ( Bi + Ai Ei 1 ) = Ci ti +1, k +1 + Di Ai Fi 1.

Отсюда находим D Ai Fi Ci. (2.45) ti +1, k +1 + i ti, k +1 = Bi + Ai Ei 1 Bi + Ai Ei Сопоставляя теперь формулы (2.44) и (2.45), видим, что прогоночные коэффициенты можно рассчи тать по рекуррентным формулам:

Ei = Ci /( Bi + Ai Ei 1 ) ;

Fi = ( Di Ai Fi 1 ) /( Bi + Ai Ei 1 ).

Заметим, что значения E1 и F1 легко найти, записав формулу (2.43) для i = 1 и k = A1t0,1 + B1t1,1 + C1t2,1 = D1, и преобразовав ее аналогично предыдущему:

D1 A1t0, C B1t1,1 = C1t2,1 + D1 + A1t0,1;

t1,1 = t2,1 +.

B1 B Из последней формулы понятно, что E1 = C1 / B1 и F1 = ( D1 A1t0,1 ) / B1.

Подчеркнем, что все величины, входящие в правые части этих формул, известны и это позволяет рас считать численные значения коэффициентов E1 и F1.

Далее по рекуррентным соотношениям рассчитывают значения прогоночных коэффициентов Ei и Fi для первого временного слоя (прямая прогонка: i = 2, 3,..., n), а после этого по формуле ti 1, k = Ei 1ti, k +1 + Fi находят температуры во всех узлах этого временного слоя, начиная от предпоследнего (обратная прогон ка: i = n, n – 1,..., 2, 1). В начале обратной прогонки приведенная формула кроме рассчитанных уже про гоночных коэффициентов содержит известную из граничных условий температуру tn, k+1, при этом на ка ждом последующем шаге используется результат предыдущего расчета. Закончив расчет первого времен ного слоя (k = 1), начинают прямую прогонку для следующего (k = 2), а рассчитав значения прогоночных коэффициентов – обратной прогонкой рассчитывают температуры и для этого слоя. Повторяя описан ный алгоритм, полностью решают задачу. Итеративный алгоритм метода прогонки ориентирован на широкое применение ЭВМ для выполнения расчетов.

2.3 КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН 2.3.1 Основные факторы, определяющие интенсивность конвекции Можно знать многое, не зная самого нужного Л. Толстой И нтенсивность конвективного теплообмена, как уже отмечалось, зависит от множества влияющих факто ров. В первую очередь это теплофизические свойства теплоносителя, в котором осуществляется пере нос тепла. Сюда относятся: удельная теплоемкость c, плотность, коэффициенты теплопроводности и температуропроводности a. На свободную конвекцию заметно влияет тепловое расширение жидкостей и газов, которое характеризуется величиной коэффициента объемного расширения = (1/ v0 )(v / T ) p. Ин тенсивность теплообмена при конвекции зависит от интенсивности перемещения и перемешивания макрочастиц, от скорости их движения. Последняя, в свою очередь, определяется величиной движущих сил и силами внутреннего трения. Для большинства жидкостей и газов сила внутреннего трения S опре деляется законом Ньютона w F, S =µ n где µ – динамический коэффициент вязкости;

(w / n) – градиент скорости по толщине слоя жидкости;

F – поверхность трения. Являясь по физической сущности физконстантой, величина µ, особенно у ка пельных жидкостей, существенно изменяется при изменении температуры. Например, при увеличении температуры машинного масла МС-20 от 20 до 60 °С величина µ умень шается более чем в 100 раз! Зависимость µ = f (t ) сложная, нелиней ная (см. рис. 2.34), что существенно усложняет математическое описание и аналитическое решение задач конвективного теплообмена, часто делая его вообще невозможным. С приемлемой для практики точностью эту зависимость представляют аппроксимацией Андраде:

µ µ = Ae BT, жидкости где A и B – некоторые константы, определяемые на основании опытных данных для каждой конкретной жидкости;

Т – абсолютная температура.

газы В практических расчетах часто вместо µ используют другой коэффициент = µ/, который называют кинематическим коэффициентом вязкости. Величина при изменении t ведет себя так же, как µ. Измене ния давления практически не влияет на величины коэффициентов µ и.

Интенсивность теплообмена при конвекции зависит еще и от характера, режима движения теплоно сителя. Различают два основных режима. При ламинарном (струйчатом) течении поток жидкости как бы состоит из отдельных элементарных струек, каждая из которых движется со своей скоростью, не пе ремешиваясь с соседними. При этом поперечный перенос тепла от струйки к струйке, от слоя к слою происходит в результате теплопроводности. Поскольку теплопроводность жидкостей невелика, интен сивность такого теплообмена невысокая. Продольный теплообмен (по направлению движения) опреде ляется массовым расходом и теплоемкостью жидкости.

При турбулентном (вихревом) режиме макрочастицы теплоносителя движутся хаотически, лишь в среднем сохраняя направление движения потока. Их скорость постоянно меняется и в пространстве, и во времени. Поэтому всегда следует различать мгновенную локальную и среднемассовую скорости.

Именно последняя используется в инженерных расчетах в качестве основной характеристики движения.

При хаотическом перемещении макрочастиц в поперечный теплообмен включается и конвекция, поэто му всегда интенсивность процесса в этом случае гораздо выше, поскольку пульсационный перенос теп ла обычно во много раз больше, чем передача его теплопроводностью.

Возникновение одного или другого режима зависит от среднемассовой скорости теплоносителя, его вязкости, формы и размеров канала, наличия внешних турбулизаторов. С увеличением скорости, на пример, ламинарность потока сохраняется лишь до некоторого предела, после которого движение ста новится неустойчивым, неустановившимся. В потоке периодически возникают возмущения, флуктуации, турбулентные вихри, которые то исчезают, то появляются вновь. Такие режимы течения называют переходными.

2.3.2 Понятие о гидродинамическом и тепловом пограничных слоях П ри исследовании конвективного теплообмена особый интерес представляет изучение особенностей по ведения теплоносителя в непосредственной близости от стенки.

По современным воззрениям жидкость представляется состоящей не из отдельных, независимых молекул, а из так называемых жидких комков – объединений большого числа молекул (около 105 – 107), которые ведут себя как твердое тело. Границы жидкого комка нестабильны, и некоторые молекулы мо гут, отрываясь от одного комка, прилипать к соседнему. Скольжение по границам жидких комков обеспе чивает текучесть жидкости. Соприкасаясь со стенкой жидкие комки прилипают к ней и практически мгновенно прогреваются до ее температуры. Эта гипотеза, высказанная Прандтлем и Тейлором в 1904 г, подтверждается на практике для абсолютного большинства капельных жидкостей и газов.

Проскальзывание жидких комков наблюдается только при очень больших скоростях или большом разряжении.

Отмеченное свойство жидких комков во многом определяет картину движения вблизи стенки и ха рактер теплообмена в этой зоне. Для примера рассмотрим изотермическое натекание потока жидкости на плоскую поверхность (см. рис. 2.35). На входе жидкость имеет равномерное распределение скорости.

Жидкие комки, соприкасающиеся со стенкой, прилипнув к ней, образуют тонкий неподвижный слой.

Слой, протекающий над этим неподвижным слоем будет сильно тормозиться силами внутреннего тре ния, причем тем сильнее, чем дольше длится движение. При этом, чем больше расстояние х, тем силь нее уменьшается скорость этого слоя.

Более верхний слой, протекающий над этим заторможен y ным, тоже будет тормозиться, но в меньшей мере, поскольку wж wж wж здесь градиент скорости будет меньшим. Еще более верхний слой тормозится еще слабее и т.д., так что с увеличением у влияние торможения проявляется все меньше и меньше, а вда леке от стенки оно практически не обнаруживается.

Слой, внутри которого скорость жидкости меняется от lст x до 0,99wж, называют гидродинамическим пограничным сдоем.

Именно здесь проявляется внутренне трение, именно здесь сосредотачивается гидравлическое сопротивление канала.

Понимаемый так пограничный слой с ростом x сначала растет, а затем толщина его стабилизируется, поскольку при больших х в верхних слоях изменение скорости не превышает одного процента. Участок, где толщина пограничного слоя увеличивается, называют участком гидродинамической стабилизация, а остальную часть – участком стабилизированного течения.

При турбулентном режиме, естественно, следует вести речь о среднемассовой скорости wж. Картина образования и развития пограничного слоя и здесь в целом аналогична предыдущей (см. рис. 2.36). Под влиянием сил трения турбулентные пульсации в непосредственной близости от стенки сглаживаются, и слои жидкости, протекающие близко от стенки движутся ламинар но, образуя тонкий ламинарный подслой. При этом основная часть потока остается турбулентной. Гра ница между ламинарной и турбулентной частями нечеткая, размытая отдельными пульсациями, прони кающими в ламинарный подслой случайным образом и на разную глубину. Обратим внимание, что ос новное изменение скорости происходит именно в ламинарном подслое, в турбулентной же части из-за активного перемешивания скорость изменяется гораздо меньше.

Если натекание сопровождается поперечным теплообменом (жидкость и стенка имеют различные температуры), то это несколько изменяет гидродинамическую картину. В слоях, близких к стенке, и в слоях, удаленных от нее, температуры (а значат и вязкости) жидкости будут различными. Это приведет к деформации профиля скорости, изменениям толщины гидродинамического пограничного слоя и дли ны участка стабилизации. На рис. 2.37 показаны эпюры скорости для двух случаев неизотермического течения: когда жидкость горячее стенки (кривая 1) и когда жидкость холоднее стенки (кривая 2). Из ри сунка понятно, что изменение направления теплообмена существенно меняет толщину пограничного слоя, и при нагревании жидкости, например, толщина слоя гораздо меньше, чем при охлаждении ( 1).

Аналогично гидродинамическому слою при наличии теплообмена вблизи стенки возникает тепло вой пограничный слой, показанный на рис. 2.38. Жидкие комки, соприкасающиеся со стенкой, прини мают температуру стенки (пусть tж tс). Слой протекающий непосредственно над неподвижным слоем будет заметно охлаждаться, поскольку здесь наибольший температурный градиент. Протекающие выше слои также охлаждаются, но со все меньшей интенсивностью. При этом влияние теплообмена с увели чением х все глубже проникает в поток, но температура жидкости от этого изменяется все меньше и меньше. Слой, внутри которого температура жидкости изменяется от tс до 0,99tж, называют тепловым пограничным слоем. Такой слой с ростом х сначала растет, а затем стабилизируется. Вне теплового по граничного слоя температура жидкости практически одинакова, и можно считать, что там поперечного теплообмена нет.

Сопоставление гидродинамического и теплового пограничных слоев приводит к заключению, что между ними существует однозначное соответствие – они геометрически подобны.

Знакомство с физическими особенностями рассмотренных процессов убеждают, что для аналитиче ского решения задачи поперечного теплообмена при движении теплоносителя вблизи стенки необходи мо иметь математическое описание связей между параметрами в пределах пограничного слоя.

2.2.3 Дифференциальное уравнение теплоотдачи и другие дифференциальные уравнения теплового пограничного слоя Не во всякой игре тузы выигрывают!

К. Прутков В любом случае в слое жидкости, непосредственно соприкасающимся со стенкой тепло передается тепло проводностью (поскольку этот слой неподвижен). Для этого слоя, используя закон Фурье, запишем t q = ж ж.

n n= Этот же удельный поток передается теплоотдачей и по закону Ньютона-Рихмана он равен q = (t ж tс ).

Приравнивая правые части этих формул, получаем дифференциальное уравнение теплоотдачи t ж ж = (t ж tс ), n n = откуда ж t ж (2.46) =.

t ж t с n n= Полученная формула показывает: чтобы найти величину коэффициента теплоотдачи, кроме свойств жидкости необходимо знать и температурное поле внутри пограничного слоя, что позволит оп ределить значения tж, tс и (dtж / дп) п = 0. Если в первом приближении принять, что внутри пограничного слоя температура меняется по линейному закону, то в любом месте слоя, в том числе и при n = 0, вели чина производной будет одна и та же t t ж t с t ж t = ж= =, n n=0 n где через обозначена толщина теплового пограничного слоя. Подставляя это в формулу (2.46), нахо дим = ж /, откуда следует очень важный вывод: величина прямо пропорциональна теплопроводности жидкости и обратно пропорциональна толщине пограничного слоя. Теперь становится понятным, почему на участке тепловой стабилизации интенсивность теплоотдачи выше, чем на стабилизированном участке (потому что там пограничный слой тоньше).

Чтобы описать и найти температурное поле в движущейся жидкости, аналогично дифференциаль ному уравнению теплопроводности на основе закона сохранения энергии выводится специальное диф ференциальное уравнение – дифференциальное уравнение энергии. Это уравнение учитывает и перенос тепла теплопроводностью, и накопление тепла в элементарно малом объеме в результате изменения его теплосодержания при протекании через него потока теплоносителя. По форме оно похоже на диффе ренциальное уравнение Фурье t t = a 2 t, (2.47) +w n однако содержит дополнительное слагаемое – конвективную составляющую, отражающую вклад кон векции в общий тепловой баланс. Из уравнения (2.47) видно, что температурное поле в движущейся жидкости (или газе) зависит от ее скорости, и при решении тепловой задачи необходимо одновременно решить задачу гидродинамическую, т.е. найти скорость жидкости w в любой точке потока.

Если к элементарно малому объему движущейся жидкости применить известный из механики принцип Даламбера (сумма всех сил, действующих на тело, включая и силу инерции, взятую с обрат ным знаком, равна нулю), то можно получить дифференциальное уравнение движения, которое в сим вольной форме можно представить в виде w w = g p + 2 w, (2.48) +w n где р – оператор Гамельтона;

g – ускорение силы тяжести;

2w – оператор Лапласа. Правая часть этого уравнения отражает собою силу инерции (сумма локальной и конвективной составляющих), величина g – силу веса, слагаемое р – силу давления, а последнее слагаемое – силу трения. Как видим, уравне ние (2.48) содержит два неизвестных параметра: w и р. Поэтому уравнение движения всегда рассматри вается совместно с другим уравнением гидродинамики – уравнением неразрывности.

Дифференциальное уравнение неразрывности отражает закон сохранения массы применительно к элементарно малому объему движущейся жидкости. В общем случае оно имеет вид (w) = 0.

n Для несжимаемых жидкостей ( = const) это уравнение упрощается:

wx w y wz w = 0 или (2.49) + + = 0.

n x y z В итоге для несжимаемых жидкостей дифференциальные уравнения (2.46) – (2.49) составляют замкнутую систему, содержащую четыре неизвестных: а, t, w и р. Для газов и сжимаемых жидкостей величина тоже войдет в список неизвестных и система уравнений должна быть дополнена еще урав нением состояния:

или p / = zRT, pv = zRT где z – общий коэффициент сжимаемости;

R – газовая постоянная.

Приведенная система дифференциальных уравнений описывает весь класс явлений конвективного теплообмена. Чтобы решить некоторую конкретную задачу необходимо проинтегрировать уравнения, учитывая еще и условия однозначности этой конкретной задачи. Формулирование этих условий гораздо сложнее, чем в задачах теплопроводности. Так, начальные и граничные условия, например, должны быть заданы для каждого неизвестного параметра, а не только для температуры.



Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.