авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

УДК 517.574

КП

№ госрегистрации 0111U002152

Инв. №

Министерство образования и науки Украины

Сумский государственный университет

(СумГУ)

40007, Украина, г. Сумы, ул. Римского-Корсакова, 2;

тел. (0542) 33 41 08, факс (0542) 33 40 49

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по научной работе,

д.ф.-м.н., профессор А.Н. Черноус 2013.12.26 ОТЧЕТ О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ДЕЛЬТА-СУБГАРМОНИЧЕСКИХ И МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ, РЯДЫ ФУРЬЕ (заключительный) Начальник НИЧ к.ф.-м.н. Д.И. Курбатов 2013.12. Руководитель НИР д.ф.-м.н., профессор К.Г. Малютин 2013.12. Рукопись закончена 20 декабря 2013 г.

Результаты работы рассмотрены научным советом СумГУ протокол № 3 от 26 декабря 2013 г.

СПИСОК АВТОРОВ Руководитель НИР К.Г. Малютин главный научный сотрудник (выводы, разд. 4, д.ф.-м.н., профессор 5, 6, 7, 8, 9) 2013.12. главный научный сотрудник Ю.Б. Зелинский д.ф.-м.н., профессор (разд. 10) 2013.12. старший научный сотрудник А.К. Малютин к.э.н., доцент (разд. 2, 3) 2013.12. научный сотрудник Н.И. Одарченко к.п.н., доцент (разд. 7, 8) 2013.12. научный сотрудник A.А. Багдасарян аспирант (разд. 4, 7) 2013.12. научный сотрудник О.А. Боженко аспирант (разд. 5, 6) 2013.12. научный сотрудник И.И. Козлова аспирант (разд. 7, 8, 9) 2013.12. лаборант С.Е. Бобрун лаборант (введение) 2013.12. лаборант В.С. Ганнов студент (разд. 1, 2) 2013.12. лаборант С.В. Матвийчук студент (разд. 2, 3) 2013.12. лаборант Р.А. Руденко студент (разд. 1) 2013.12. РЕФЕРАТ Заключительный отчет о НИР. 115 с., 101 источник.

Объект исследования — функции, субгармонические в ком плексной плоскости;

функции, субгармонические в верхней полуплоско сти, аналитические функции нулевого порядка, многозначные отображе ния.

Цель работы — изучение свойств функций, субгармонических в верхней полуплоскости;

распределение их риссовских и полных мер;

ре шение интерполяционных задач в классах аналитических функций нуле вого порядка;

изучение неподвижных точек многозначных отображений.

Метод исследования — метод рядов Фурье, а также разнооб разные методы теории функций комплексного переменного, теории суб гармонических функций, методы математического анализа и некоторые примы из работ Л. Рубела, А. А. Кондратюка, А. Ф. Гришина, К. Г. Ма e лютина;

методы работ М. А. Красносельского и К. Н. Солтанова Основные полученные результаты. Доказана теорема о регу лярности роста коэффициентов Фурье дельта-субгармонических и ме роморфных функциях вполне регулярного роста в полуплоскости. До казана теорема о принадлежности индикатора дельта-субгармонических и мероморфных функциях вполне регулярного роста в полуплоскости классу Lp (0, ), 1 p 2.

Найдены необходимые и достаточные усло вия разрешимости интерполяционных задач в классах целых функций и функций аналитических в верхней полуплоскости нулевого порядка и нормального типа. Эти условия формулируются в терминах канони ческого произведения узлов интерполяции и в терминах меры, опре деляемой этими узлами. Получены критерии принадлежности дельта субгармонической в полуплоскости функции к классу функций конечно го гамма-епсилон роста. Вводится понятие канонической функции. Дока зана теорема о нижнем порядке субгармонических в верхней полуплос кости функций бесконечного порядка. Доказана теорема об образе ком пактного подмножества, удовлетворяющего "условию острого угла мно гозначного отображения области евклидова пространства.

СУБГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, КОНЕЧНЫЙ ГАММА ТИП, РЯДЫ ФУРЬЕ, ПОЛНАЯ МЕРА, КАНОНИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕ ДЕНИЕ, НУЛЕВОЙ УТОЧНЕННЫЙ ПОРЯДОК, ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, МНОГОЗНАЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, НЕПО ДВИЖНАЯ ТОЧКА, "УСЛОВИЕ ОСТРОГО УГЛА".

CОДЕРЖАНИЕ Перечень условных обозначений.................. Предисловие............................. Введение............................... 1 Обзор литературы, выбор направлений исследования..... 2 Ряды фурье и субгармонические функции в плоскости.... 2.1 Функции роста.......................... 2.2 Дельта-субгармонические функции.............. 2.3 Коэффициенты Фурье дельта-субгармонических функций. 3 Целые и мероморфные функции вполне регулярного роста.. 3.1 Функции роста.......................... 3.2. Мероморфные функции вполне регулярного роста..... 3.3 Множества регулярного роста целых функций........ 4 Функции вполне регулярного роста в полуплоскости..... 4.1 Регулярно растущие функции относительно r(r)....... 4.2 Множества регулярного роста функций в полуплоскости.. 4.3 Cубгармонические функции конечного -типа в полуплоскости 4.4 Cубгармонические функции регулярного роста полуплоскости 4.5 Индикатор субгармонической функции регулярного -роста 5 Интерполяция в классе целых функций нулевого порядка.. 5.1 Введение............................. 5.2 Необходимые условия разрешимости задачи......... 5.3 Критерии разрешимости интерполяционной задачи..... 6 Интерполяционная задача в полуплоскости........... 6.1 Введение............................. 6.2 Классы аналитических функций в полуплоскости...... 6.3 Постановка интерполяционной задачи в классе [(r), )+. 6.4 Необходимые условия разрешимости............. 6.5 Доказательство импликации 2) 1) теоремы 6.1...... 7 Субгармонические функции бесконечного порядка...... 7.1 Введение. Классы функций в верхней полуплоскости.... 7.2 Коэффициенты Фурье дельта-субгармонических функций. 7.3 Функции с полной мерой на мнимой полуоси......... 8 Функции конечного (, )-типа в полуплоскости........ 8.1 Классы функций в C+...................... 8.2 Сферические гармоники функций класса J......... 8.3 Суб- и -субгармонические функции конечного (, )-типа. 8.4 Критерий принадлежности функции классу J((, )).... 9 Канонические функции допустимых мер в полуплоскости.. 9.1 Постановка задачи........................ 9.2 Меры в верхней полуплоскости................. 9.3 Случай уточнeнного порядка в смысле Бутру........ 10 Теоремы о неподвижной точке для многозначных отображений Выводы................................ Перечень ссылок........................... ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ Через A и B мы обозначаем величины, постоянные по параметрам, участвующим в доказательстве. В доказательстве даже одной теоремы символами A и B могут обозначаться различные константы, кроме спе циально оговоренных случаев, когда константы A и B фиксируются.

C — открытая комплексная плоскость;

C+ — верхняя комплексная полуплоскость: C+ = {z : Im z 0};

C — нижняя комплексная полуплоскость: C = {z : Im z 0};

R — вещественная ось;

(r) — функция роста;

(r) — уточннный порядок, V (r) = r(r) ;

е h(r) — медленно возрастающая функция;

[·] — целая часть числа;

[, ] — класс целых функций порядка ;

[(r), ) — класс целых функций уточненного порядка (r) и нормаль ного типа;

[, ]+ — класс аналитических в полуплоскости C+ функций порядка ;

[(r), )+ — класс аналитических в полуплоскости C+ функций фор мального порядка (r);

[(r), )h — класс аналитических в полуплоскости C+ функций полу + формального порядка (r);

(z a) — мера Дирака, сосредоточенная в точке a;

(z an );

µ(z) = n= S((r)) — класс дельта-субгармонических функций конечного -типа;

S((r)) — класс субгармонических функций конечного -типа;

S((r)) — класс дельта-субгармонических функций в полуплоскости ко нечного -типа;

JS((r)) — класс субгармонических функций в полуплоскости конечного -типа;

C(a, r) — открытый круг с центром в точке a радиуса r;

B(a, r) — замкнутый круг с центром в точке a радиуса r;

l (G) — верхняя линейная плотность множества G;

ck (r;

v) — коэффициенты Фурье функции v;

µv — мера Рисса функции v;

n(t) = nA (t) = µ(B(0, t)) — считающая функция последовательности A = {an };

r µv (B(0,x)) dx — неванлинновская считающая функция меры µv ;

Nv (r) = x (z, ) = (nA (C(z, |z|)) 1)+ ;

A (nA (C(z, |z|)) 1)+ ;

A (z, ) = V (|z|) A (z, ) d ;

IA (z, ) = ( ) 1 an — каноническая функция последовательности A;

z EA (z) = n= + = C+ — пересечение множества с полуплоскостью C+ :

D = {ak, qk } — дивизор;

k= nD (G) = an G qn ;

n+ (G) = an G qn Im an ;

D n+ (G) = an G\B(0,1) qn sin n + n+ (G B(0, 1));

D D Df — дивизор[корней функции f ;

] ( )( )1 qn z z 1 1 — неванлинновская канониче ED (z) = an an n= ская функция дивизора D;

n+ (C(z, |z|) \ {an }) + D (z, ) = D ;

V (|z|) + D (C(z, ) d +, = arg z;

ID (z, ) = sin ( + sin ) 1 dµ() S(r;

k, µ) = ;

k k B(0,r) S(r1, r2 ;

k, µ) = S(r2 ;

k, µ) S(r1 ;

k, µ), r1 r2 ;

( )k 1 S (r;

k, µ) = dµ();

k r B(0,r) T (r;

v) = N (r, v) + m(r, v) — характеристика Неванлинны функции v;

r µ(t) N (r, v) = dt;

t v+ (rei d;

m(r, v) = v — полная мера функции v;

v — граничая мера функции v;

D+ (R1, R2 ) = C+ (0, R2 )\C+ (0, R1 ), R1 R2, — полукольцо;

1 sin k 1 sin k k S+ (r;

k, ) = d() + d() ;

2k k Im k Im kr D+ (r0,r) C+ (0,r0 ) S+ (r1, r2 ;

k, ) = S+ (r2 ;

k, ) S+ (r1 ;

k, ), r1 r2 ;

E() — класс целых функций конечного -типа.

ПРЕДИСЛОВИЕ "Одной из самых красивых глав классического анализа является теория суб- и супергармонических функций". Это слова из предисло вия Е. Б. Дынкина к переводу книги Дж. А. Ханта. Субгармонические функции были введены в анализ Гартогсом (Hartogs) и Ф. Риссом (F.

Riesz), однако, их идея уже заложена в методе "выметания"Пуанкаре (Poincar). Они представляют собой распространение на случай функций e нескольких переменных выпуклых функций одного переменного. В своей монографии И. И. Привалов [50] писал: "После того как теория субгар монических функций достаточно развилась, естественно возник вопрос о приложении их как более общего класса функций к теории аналитиче ских функций комплексного переменного. Этот новый методологический подход к проблемам теории функций комплексного переменного, в основе которого лежат свойства субгармонических функций, с одной стороны, дат упрощение доказательств и объясняет ряд положений, на первый е взгляд не связанных друг с другом;

с другой стороны, позволяет фор мулировать ряд принципов в наиболее общем виде для широкого класса субгармонических функций."Вследствие теоpемы Рисса о представлении теория субгармонических функций оказывается тесно связанной с офоp мившейся pанее теоpией потенциала. Теоpия потенциала является более общей теоpией, так как в ней pассматpиваются более общие ядpа, чем в теоpии субгаpмонических функций. Сближение тут пpоисходит на путях pазвития абстpактной теоpии субгаpмонических функций.

Теория субгармонических функций является активно развиваю щейся областью современной математики. Исследованиям в этой области посвящены многочисленные работы. Она находит свои применения в тео рии функций комплексного переменного, в теории потенциала, в теории случайных процессов, в геометрии. Поэтому получение любого нового результата в этой области является актуальной задачей как для самой математики, так и для е приложений.

е В работе также исследуются избранные вопросы интегральной гео метрии. Затронутая проблематика связывает в один узел проблемы ком плексного анализа, топологии и элементы выпуклого анализа. Основ ной цикл рассматриваемых задач — это вопросы топологической класси фикации обобщенно выпуклых множеств в комплексных пространствах.

Среди таких множеств важную роль играют линейно выпуклые и сильно линейно выпуклые множества. Геометрические свойства этих множеств, в отличие от аналитических их свойств, до последнего времени были мало исследованыю Решен ряд проблем, поставленных Л.А. Айзенбер гом, по геометрическому описанию сильно линейно выпуклых множеств.

Показано, что эти множества являются естественным классом, на кото ром можно постро- ить комплексную теорию, аналогичную веществен ному выпуклому анализу. Все классические результаты выпуклого ана лиза находят в подходящей интерпретации комплексную трактовку. Ис пользование в доказательствах групп когомологий позволяет преодолеть сложность, связанную с тем, что комплексная гиперплоскость не разби вает пространство. Решенные здесь задачи позволяют по-новому взгля нуть на утверждения выпуклого анализа и распространить их на бо лее широкий класс множеств даже в вещественном случае. Впервые для решения задач, которые вообще не удавалось решить, применен метод многозначных отображений. Исследование графиков этих отображений приводит к нахождению простых и окончательных решений задач описа ния глобальных свойств множества по известным свойствам его сечений линейными многообразиями. Изучаются классы отображений, инвари антные на обобщенно выпуклых множествах. Приводится решение ряда основных задач обобщенной выпуклости. Но разработанные в ней поня тия и методы позволяют ставить вопрос о решении многих других задач комплексного анализа и применения геометрических и топологических методов в анализе.

ВВЕДЕНИЕ Теория субгармонических и гармонических функций играет важ ную роль в теории голоморфных функций. Это связано с тем, что ре альная Re f и мнимая Im f части голоморфной в области функции f являются гармоническими функциями, а функции log |f | и |f |p, p 0, субгармоническими в этой области. Таким образом, теория субгармо нических и гармонических функций дает гибкий и эффективный метод изучения свойств голоморфных функций. В частности, хорошо известно, что построить субгармоническую функцию с заданными асимптотиче скими свойствами, как правило, легче, чем построить целую функцию.

Эффективные методы аппроксимации субгармонческих функций лога рифмами модуля целых функций розработали Р. С. Юлмухаметов [65]– [67], Ю. И. Любарский, М. Л. Содин, Е. Малинникова [39, 84] и др. Од нако, основное значение этой теории состоит в непосредственных связях субгармонических функций с теорией потенциала, поскольку фундамен тальная теорема Ф. Рисса о представлении утверждает, что локально каждая субгармоническая функция является суммой некоторой гармо нической функции и потенциала. Таким образом, изучение субгармони ческих функций составляет один из важнейших аспектов теории потен циала, который играет ведущую роль в исследовании проблем математи ческой физики и теории поля, в тому числе и новейших. Субгармониче ские функции естественным образом возникают также в теории винеров ских процессов, спектральной теории операторов, конструктивной тео рии функций, теории вероятностей. Разным аспектам теории субгармо нических функций и более общей теории потенциала и их приложениям посвящена серия монографий таких известных ученых, как И. И. При валов [50], М. Брело [7], Н. С. Ландкоф [31], У. Хейман та П. Кенне ди [62], У. Хейман [78], М. Цудзи [101], Н. И. Ахиезер [3, 4], И. Ц. Гох бер и М. Г. Крейн [17, 18], Ю. В. Линник и Й. В. Островський [38], Е. Б. Динкин [24], Дж. А. Хант [61], П. А. Мейер [49], Дж. А. Дуб [71], Б. Фугледе [72], Т. Радо [92], В. С. Азарин [68] и докторские диссертации А. П. Гришина [20], А. А. Кондратюка [26].

В работе изучаются представления субгармонических функций в комплексной плоскости и в верхней полуплоскости комплексного пере менного. Эти представления применяются к исследованию роста субгар монических функций, к решению задач интерполяции и к изучению иде алов в классах целых функций.

Актуальность темы.

В теории субгармонических функций много важных результатов получаются с помощью различных представлений этих функций. Наибо лее известные из них – формула Пуассона-Йенсена, на которую опирает ся большая часть теории субгармонических функций. Сюда же относят ся формулы Неванлинны, Симидзу-Альфорса, Карлемана, Б. Я. Левина.

Теория субгармонических функций в полуплоскости C+ = {z : Im z 0}, созданная А. Ф. Гришиным, большей частью опирается на открытые им интегральные формулы. Из представления Гришина ясно видно, что субгармоническая функция конечного порядка в верхней полуплоскости определяется своей полной мерой с точностью до гармонического поли нома, который обращается в нуль на вещественной оси, аналогично тому, как целая функция конечного порядка определяется своими корнями с точностью до функции вида exp{P (z)}, где P (z) – полином. Аналогич ные формулы при разных ограничениях получали другие математики:

М. В. Говоров, У. Хейман, Д. Ито.

В теории целых функций важную роль играют их канонические произведения. Для целых функций конечного порядка таким представ лением является представление Адамара. Для целых функций произ вольного -типа аналог этого факта был установлен Л. Рубелом. Мето дом, которым пользовался Л. Рубел, был метод рядов Фурье целых и мероморфных функций. Этот метод, основанный на использовании ряда Фурье для ln |f (rei )| как функции от, стал систематически исполь зоваться для изучения асимптотических свойств целых и мероморфных функций в работах Л. Рубела и Б. Тейлора. Затем к ним присоединились Д. Майлз, Д. Шиа и др. Следует отметить, что ещ в 1927 г. Н. И. Ахи е езер исползовал соотношения между коеффициентами Фурье и нулями целой функции для доказательства теоремы Линделфа о типе целой е функции. Позднее ними пользовались М. Картрайт и А. Пфлюгер. Од нако, это были изолированные работы без особых применений. В. С. Аза рин (1977) получил критерий вполне регулярного роста целой функции в терминах е коеффициентов Фурье. В 80-е годы важные результаты в е этом направлении были получены А. А. Кондратюком, который обобщил теорию Левина-Пфлюгера целых функций вполне регулярного роста на мероморфные функции произвольного -типа. Ряд важных результатов в этом направлении получили также А. Ф. Гришин, А. А. Гольдберг, И. В. Островский, Я. В. Василькив, Н. В. Заболоцкий и др.

В начале XXI столетия метод рядов Фурье К. Г. Малютиным был перенесен на функции субгармонические в полуплоскости. К. Г. Ма лютин и Н. Садык расширили вышеупомянутые результати на субгармонические функции конечного -типа. Важные результаты в этом направлении за последние годы были получены А. А. Кондратюком и А. Я. Християниным.

C вопросами представления целых функций тесно связаны интер поляционные задачи и изучение идеалов в разных классах целых функ ций. Вопросами интерполяции в классах целых функций занимались многие математики. Укажем на исследования А. В. Братищева, А. О.

Гельфонда, В. Л. Гончарова, А. Ф. Гришина и А. М. Руссаковского, М.

О. Евграфова, Ю. Ф. Коробейника, Б. Я. Левина, А. Ф. Леонтьева, К. Г.

Малютина и мн. др. Для классов целых функций бесконечного порядка задачи интерполяции изучены не достаточно полно. Мы укажем на ис следования C. A. Беренстейна и Б. A. Tейлoра, У. A. Сквайерса, Р. E.

Хеймана, Т. И. Абаниной, Б. В. Винницкого и И. Б. Шепарович.

Вс вышеизложенное и обусловило выбор объекта, темы исследо е вания и е актуальность.

е Объект и предмет исследования. Объектами исследования яв ляются функции, субгармонические в комплексной плоскости, и функ ции, субгармонические в верхней полуплоскости.

Предметом исследования являются свойства функций, субгармони ческих в комплексной плоскости, и функций, субгармонических в верх ней полуплоскости, распределение их риссовских и полных мер, аналог теорий Л. Рубела и А. А. Кондратюка.

1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ, ВЫБОР НАПРАВЛЕНИЙ ИССЛЕДОВАНИЯ Субгармонические функции были введены в анализ Гартогсом (Hartogs) и Ф. Риссом (F. Riesz), однако, их идея уже заложена в методе "выметания"Пуанкаре (Poincar). Они представляют собой распростра e нение на случай функций нескольких переменных выпуклых функций одного переменного. В своей монографии И. И. Привалов [50] писал: "Но вый методологический подход к проблемам теории функций комплекс ного переменного, в основе которого лежат свойства субгармонических функций, с одной стороны, дат упрощение доказательств и объясняет е ряд положений, на первый взгляд не связанных друг с другом;

с другой стороны, позволяет формулировать ряд принципов в наиболее общем ви де для широкого класса субгармонических функций."

Имеется много книг, посвященных pазличным аспектам теоpиии субгаpмонических функций. Мы отметим здесь моногpафию У. Хеймана и П. Кеннеди [62].

Вследствие теоремы Рисса о представлении теория субгармониче ских функций оказывается тесно связанной с теорией потенциала. Тео рия потенциала является более общей теорией, чем теория так как в ней рассматриваются более общие ядра. Сближение происходит на пу тях развития абстрактной теории субгармонических функций.

Субгаpмонические функции естественным обpазом появляются в теоpии винеpовских пpоцессов. Связь теоpии потенциала и теоpии слу чайных пpоцессов изложена в книгах Е. Б. Дынкина [24], Дж. А. Ханта [61], Дж. Л. Дуба [71]. Теоpия субгаpмонических функций тесно связа на и с дpугими pазделами математики. Напpимеp, известны пpиложения теоpии субгаpмонических функций к геометpии [79].

В работе теоpия субгаpмонических функций pазвивается в напpав лении, о котоpом писал И. И. Пpивалов, то есть в тесной связи с теоpией аналитических функций.

Изучение свойств специальных классов целых и субгаpмонических функций — дpугой важный аспект совpеменных исследований. Боль шое пpименение находит класс целых функций вполне pегуляpного pо ста в смысле Левина–Пфлюгеpа. Теоpия функций вполне pегуляpного pоста создана в pаботах этих математиков. Ее изложение пpиведено в книге [33]. Новый подход к этой теоpии получается в pамках, создан ной В. С. Азаpиным [68] теоpии динамических систем субгаpмонических функций. Н. В. Говоpов [13] постpоил теоpию функций вполне pегу ляpного pоста в полуплоскости. После введения А. Ф. Гpишиным [21] понятия полной меры стало яснее сходство и различие между теорией аналитических и субгармонических функций для плоскости и для полу плоскости.

В 60-х годах прошлого века в работах Л. Рубела [96, 97], Л. Рубела и Б. Тейлора [98], Д. Майлза [85, 87], Д. Майлза и Д. Шиа [88], Н. Рао и Д. Шиа [93] и др. начал широко применяться метод рядов Фурье для изучения свойств целых и мероморфных функций. Этот метод являет ся эффективным при решении ряда общих задач теории мероморфных функций и устанавливает ее связь с теорией рядов Фурье. Одним из преимуществ этого метода является то, что он позволяет исследовать функции с довольно нерегулярным ростом на бесконечности и функции бесконечного порядка. Кроме того, поскольку коэффициенты Фурье ln |f (rei ) d, k Z, ck (r, f ) = выражаются определнным образом через нули и полюсы меро е морфной функции f, то с их помощью можно исследовать распреде ление нулей и полюсов этой функции. Заметим, что ещ в 1927 г. Н. И.

е Ахиезер применил эти соотношения для нового доказательства теоремы Линделфа о типе целой функции. Позже ими пользовались также М.

е Картрайт и А. Пфлюгер. Но это были изолированные работы без ши роких приложений. В работах же Л. Рубела, Б. Тейлора, Д. Майлза и др., применявших теорию рядов Фурье к изучению целых и мероморф ных функций, получены фундаментальные результаты, решены важные задачи теории мероморфных функций.

Стpого положительная, непрерывная, возрастающая и неограни ченная функция (r), определенная на [0, ), называется функцией ро ста. Пусть f – мероморфная в комплексной плоскости функция, Z(f ) (W (f )) – множество е нулей (полюсов), T (r, f ) – неванлинновская ха е рактеристика, ck (r, f ) – коэффициенты Фурье функции f. Функция f называется функцией конечного -типа, если существуют положитель ные постоянные A и B такие, что T (r, f ) A(Br) для всех r 0. Класс таких функций обозначим через M(), через E() обозначим класс це лых функций конечного -типа. Методом рядов Фурье Рубел и Тейлор нашли исчерпывающие характеристики множеств Z(f ) и W (f ) функций из класса M(). Используя метод рядов Фурье, Д. Майлз решил, не под дававшуюся решению на протяжении ряда лет, проблему представления мероморфной функции f M() в виде частного двух целых функций из класса E(): M()=E()/E().

Метод рядов Фурье позволил построить обобщение известной тео рии Левина–Пфлюгера целых функций вполне регулярного роста, рас пространить е основные положения не только на целые функции с нере е гулярным ростом, но и на мероморфные функции. В 80-е годы важ ные результаты в этом направлении были получены А. А. Кондратюком [28, 27].

В работах Я. В. Василькива [8] и К. Г. Малютина [43] результа ты Рубела и Тейлора были обобщены на субгармонические функции в комплексной плоскости.

Созданная А. Ф. Гришиным теория субгармонических функций в полуплскости позволила К. Г. Малютину [42] распространить результа ты Л. Рубела, Б. Тейлора, Д. Майлза на -субгармонические функции, определнные в полуплоскости. Важные результаты в этом направле e нии за последние годы были получены А. Я. Християниным [81] и в совместных работах А. Я. Християнина и А. А. Кондратюка [82, 83].

Переход в полуплоскость вызывает определнные трудности, связанные е со сложным поведением функции в окрестности границы. Отличие от плоскости проявляется уже при получении критериев принадлежности субгармонической функции заданному классу. Так, например, для полу плоскости невозможно никакое обобщение одного из критериев Рубела Тейлора. В совместной работе К. Г. Малютина и Н. Садыка [44] получены важные результаты для -субгармонических функций вполне регулярно го роста в полуплоскости.

2 РЯДЫ ФУРЬЕ И СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПЛОСКОСТИ 2.1 Функции роста Метод рядов Фурье суб- и дельта-субгармонических функций, ос нованный на использовании ряда Фурье для ln |f (rei )| как функции от, систематически стал применяться для изучения асимптотических свойств целых и мероморфных функций в работах Л. Рубела и Б. Тей лора, Д. Майлза, Д. Шея и др. Следует заметить, что еще в 1927 г.

Н.И. Ахиезер применил соотношения между коэффициентами Фурье и нулями целой функции для доказательства теоремы Линделефа о типе целой функции. Позже ими пользовались М. Картрайт и А. Пфлюгер.

Но это были изолированные работы без особых приложений. В 80-е годы важные результаты в этом направлении были получены А. А. Кондра тюком, обобщившем теорию Левина – Пфлюгера целых функций вполне регулярного роста на мероморфные функции произвольного -типа.

Определение. Положительная, непрерывная, возрастающая и неограниченная функция (r), определенная на полуоси R+ = [0, ), называется функцией роста.

В случае необходимости будем считать значения функции (r) на полуинтервале (0,1] должным образом измененными (в частности, lim (r) = 1). Измененная функция также будет функцией роста.

r+ Далее через (r) всегда будет обозначаться некоторая (как пра вило, фиксированная) функция роста. Кроме того, следуя Титчмаршу, мы будем пользоваться следующими названиями и обозначениями. Ес ли в некотором рассуждении встречается число, не зависящее от основ ных переменных, то оно называется постоянной. Для обозначения аб солютных положительных постоянных, не обязательно одних и тех же, мы пользуемся буквами A, B. Может встретиться утверждение вроде "|f (z)| A(Br), следовательно, 3|f (z)| A(Br) которое не должно вызывать недоразумений.

Определение. Порядком и нижним порядком функции роста называются величины:

ln (r) ln (r) [] = lim sup, [] = lim inf.

ln r ln r r r Среди функций роста выделяется класс таких функций, что функ ция ln (r) является выпуклой относительно ln r. Иногда используется следующая лемма о представлении таких функций [29, Предложение 5.1].

Лемма 2.1 Пусть функция (r) является выпуклой относительно ln r и неубывающей на полуоси R+. Тогда справедливо представление:

r (t) r R+, (r) = (0) + dt, t где (t) – неубывающая функция на R+, (t) 0.

Требование, чтобы функция ln (r) была выпуклой относительно ln r выполняется для широкого класса функций роста, важных в при ложениях (например, для функции (r) = r, 0). Такие функции роста обладают некоторыми важными свойствами. Следующая лемма – это Лемма 5.1 из [29].

Лемма 2.2 Пусть функция ln (r) выпукла относительно ln r. Тогда существует число R0 0 такое, что для каждого R R0 найдется = (R) 0 такое, что { } (R) (r) = inf :r0. (2.1) R r Среди функций роста важную роль играют функции, удовлетворя ющие следующему условию:

(2r) A(r) (2.2) при некотором A 0.

Достаточное условие для выполнения (2.2) содержится в Лемме 5. из [29].

Лемма 2.3 Пусть функция ln (r) выпукла относительно ln r и [], тогда выполняется неравенство (2.2).

Определение 2.1 Абсолютно непрерывная функция (r), r R+, на зывается уточннным порядком в смысле Бутру, если она удовлетво е ряет следующим условиям = lim inf (r) = lim sup (r) +, r r lim (r)r ln r = 0.

r Если =, то функция (r) называется уточннным порядком е в смысле Валирона (часто – просто уточннным порядком).

е Функцию r(r) мы будем обозначать через V (r). Так как V (r) = V (r)((r) + (r)r ln r), r то из определения уточннного порядка следует, что функция V (r) при е 0 (а именно этот случай нас в основном будет интересовать в дальнейшем) есть строго возрастающая функция в некоторой окрестно сти бесконечности. Ограничения, которые накладываются на функцию (r), касаются ее поведения в окрестности бесконечности. В дальнейшем мы будем требовать, чтобы функция V (r) при 0 была монотон ной (например, (r)r ln r) (r)), т.е. была функцией роста, причем lim V (r) = 1.

r+ Следующее полезное утверждение легко доказывается и хорошо из вестно [33] для уточненного порядка в смысле Валирона.

Лемма 2.4 Пусть (r) – уточненный порядок в смысле Бутру. Если сегмент [a, b] таков, что a 1, то при любом 0 асимптотически, равномерно относительно l [a, b], выполняется соотношение V (lr) l l+.

V (r) Доказательство. Имеем V (lr) = l(lr) r(lr)(r).

V (r) Пусть (r) = supur u (u) ln u. Заметим, что lim (r) = 0. (2.3) r Тогда (l 1)r lr (u) du |(r)| |(lr) (r)| =.

r ln r r Теперь из определения уточнeнного порядка и (2.3) легко следует утверждение леммы.

В дальнейшем будет полезна ещe одна лемма.

Лемма 2.5 Пусть (r) – уточненный порядок в смысле Бутру, – фиксированное положительное число. При + ( ) r V (t) V (r)r V (r)r dt, r, +o (2.4) ( + 1 )r t r а при + ( ) V (t) V (r)r V (r)r dt r.

+o, (2.5) ( 1)r t r r Доказательство. Докажем неравенство (2.4). Обозначим через (r) = inf u (u) ln u, 1 (r) = inf ((u) ).

ur ur Ясно, что lim (r) = lim 1 (r) = 0.

(2.6) r r Интегрируя по частям, получаем:

r r t V (t) V (t)t dt = ( + 1 )t t t r[ ] 1 V (t) V (t)t V (r)r ((t) ) + (t) ln t dt +1 ( + 1 )r t t r1 [ ] 1 V (t) V (t)t ((t) ) + (t) ln t dt +1 t t r 1 (r1 ) + (r1 ) V (t) dt + O(1), r.

+1 r1 t (2.7) При фиксированном 0, воспользовавшись соотношением (2.6), выберем (и зафиксируем) число r1 0 так, чтобы выполнялось неравен ство 1 (r1 ) + (r1 ) ( + 1 ).

Тогда из (2.7) мы получим, что ( ) r r V (t) V (r)r V (t) V (r)r dt r.

+ dt+o +O(1), ( + 1 )r t t r Отсюда следует неравенство (2.4).

Для доказательства неравенства (2.5) положим 2 (r) = sup((u) ).

ur Ясно, что lim 2 (r) = 0. (2.8) r Как и выше, интегрируя по частям, получаем:

t V (t) V (t)t dt = + ( + 1 )t r t t [ ] r 1 V (t) V (t)t ((t) ) + (t) ln t dt 1 r t t V (r)r 2 (r) + (r) V (t) + dt.

( 1)r 1 r t Воспользовавшись (2.3) и (2.4), мы получим, что V (t) V (r)r dt, r, (1 + o(1)) ( 1)r t r и, наконец, ( ) V (t) V (r)r V (r)r dt r.

+o, ( 1)r t r r Лемма полностью доказана.

2.2 Дельта-субгармонические функции Пусть C – плоскость комплексного переменного. Через C(a, r) бу дем обозначать открытый круг радиуса r с центром в точке a, а через B(a, r) – замкнутый круг. Под дельта-субгармонической функцией в об ласти D мы понимаем разность двух субгармонических в этой области функций: v(z) = v1 (z) v2 (z), где vi, i = 1, 2, – функции субгармониче ские в области D.

Если D – область с кусочно-гладкой границей D, v(z) = тождественно, µ – мера Рисса функции v, дельта-субгармонической в за мкнутой области D, то справедлива формула братьев Рольфа и Фритьо фа Неванлинн 1 G(, z) d v(z) = v(z) G(, z) dµ(), (2.9) 2 n D D где G – функция Грина области D, G/n – производная по внут ренней нормали.

Если D = B(0, R), то формула (2.9) называется формулой Пуассона-Иенсена и принимает вид:

R2 z Rei + z d i v(z) = v(Re ) Re i ln dµ(). (2.10) Re z R(z ) ||R При z = 0, v(0) = ±, формула (2.10) называется формулой Иен сена:

1 R v(Re ) d i v(0) = ln dµ(). (2.11) 2 ||R Характеристикой Неванлинны, дельта-субгармонической в круге C(0, R) функции v, v(0) =, называется выражение T (r, v) = m(r, v) + N (r, v), r R, где r 1 µ (t) v+ (rei ) d, m(r, v) = N (r, v) = dt.

2 t 0 Здесь v+ = max{v, 0}, µ = µ+ µ – жорданово разложение риссов ской меры функции v, µ (t) = µ {C(0, t)}.

Характеристика Неванлинны T (r, v) удовлетворяет неравенству (q ) q vj T r, T (r, vj ). (2.12) j=1 j= Если v – субгармоническая функция в круге B(0, R), то как следует из формулы (2.10), R+r T (r, v) M (r, v) T (R, v), 0 r R, (2.13) Rr где M (r, v) = max{v(z) : |z| = r}.

Все эти сведения можно найти в книгах [50, 62].

2.3 Коэффициенты Фурье дельта-субгармонических функ ций Введем следующее определение.

Определение 2.2 Коэффициентами Фурье дельта-субгармонической в круге C(0, R) функции v(z) называются числа eik v(rei ) d, k Z, ck (r, v) = r R.

Для заданной меры µ обозначим dµ() dµk () =, µk (r) = µk (B(0, r)).

k В следующей лемме мы получаем выражения для коэффициентов Фурье, которые несколько отличаютеся от соответствующих формул, по лученных в работе [43].

Лемма 2.2 Пусть v – дельта-субгармоническая в круге C(0, R0 ) функ ция, v(0) = 0, µ – е риссовская мера, е rk ( ) k eik + k eik v(z) = k= разложение в некоторой окрестности точки z = 0.

Тогда для 0 r R0 справедливо c0 (r, v) = N (r, v) N (r, v);

(2.14) 2k r 2k rk dµk (), z = rei, = ei, ck (r, v) = k + (2.15) k 2 2k r ||r при k 1 и ck = ck при k 1.

Доказательство. Формула (2.14) совпадает с формулой Иенсена (2.11). Для доказательства (2.15) будем использовать формулу Пуассона Иенсена (2.10). Так как при 0 r R R ( r )|k| + eik(), z = rei, (2.16) R k= то ( r )|k| Rei + z 1 i eik.

v(Re ) Re i d = ck (R, v) (2.17) Re z 2 R 0 k= Воспользовавшись далее разложением ядра 1 ( r )|k| ( ) 2|k| R 1 2|k| eik(), G(z, ) = ln + (2.18) 2|k| R k= 0 r R, = ei, 1 ( )|k| ( ) r2|k| R 1 2|k| eik() G(z, ) = ln + (2.19) r 2|k| r R k= 0 r R, (штрих над знаком суммы означает, что отсутствует слагаемое при k = 0), и приравнивая коэффициенты Фурье правой и левой частей формулы (2.10), для k N имеем ( )|k| ( ) ( r )k 2|k| 1 1 r 1 2|k| eik dµ().

k rk = ck (R) 2 R 2k R ||r Умножив это равенство на (R/r)k, получим (2.15) при r = R.

Теорема 2.1 Для любой функции v S((r)) существуют: а) субгар моническая функция u ;

б) неограниченное множество R поло жительных чисел и семейство {vR : R R} субгармонических функ ций;

в) положительные постоянные A и B, такие, что 1) полные меры функций vR в круге C(0, R) совпадают с полной мерой функции v + u;

2) v + u vR 0 равномерно на компактах когда R, R R;

3) M (r, F ) A(Br), где F – любая из функций v, u, vR или v + u vR.

Если [] =, то можно взять u 1. Если функция ln (r) выпукла относительно ln r, то можно взять u 1 и R = {R : R R0 } при некотором R0 0.

Доказательство. Предположим, не уменьшая общности, что v(0) = 0. Пусть µ = µ(v) – риссовская мера функции v, а µ, R, (R) = {k (R)}, ck (r;

µR, (R)) такие же, как в лемме 2.1 Поскольку мера µ (r)-допустима, то существует функция v S((r)), для кото рой µ(v ) = µ. Будем считать v (0) = 0. Существуют субгармонические функции gR такие, что gR (0) = 0, ck (r, gR ) = ck (r;

µR, (R)) для всех r 0 и µ(gR ) = µR при R R. Заключаем, что gR S((r)). Тогда lim gR = 0 равномерно на компактах.

RR Положим vR = v gR, u = v v. Тогда функция v = u + v имеет ту же меру Рисса в круге C(0, R), что и функция vR, т.е. выполняется условие 1) и lim v + u gR = lim vR = RR RR равномерно на компактах, т.е. выполняется условие 2).

Далее, так как v, gR S((r)), то имеем A(Br) |ck (r, vR )| = |ck (r, v ) ck (r, gR )| k Z,, |k| + для всех R R при некоторых положительных A и B.

Таким образом, если F – любая из функций v, u, vR или v + u vR, то { + ( )2 }1/ 1 A(Br) m2 (r, F ).

|k| + 1 |k| + k= Утверждение 3) доказано. Последнее же утверждение теоремы сле дует непосредственно из леммы 2.1.

Определение 2.3 Пусть v S((r)). Семейство функций {vR : R R}, фигурирующее в теореме 2.1, называется обобщенным представ лением функции v.

Из теоремы 2.1 нетрудно получить представление Адамара для суб гармонических функций конечного порядка.

Теорема 2.2 Пусть v – субгармоническая функция порядка, 0, v(0) = 0, µ – риссовская мера функции v. Тогда ( ) z v(z) = Re Pp (z) + ln E, p dµ(), p = [], (2.20) где Pp (z) – многочлен степени не выше p, E(u, p) – первичный множитель Вейерштрасса рода p.

Дадим теперь аналог теоремы 2.2 для дельта-субгармонических функций.

Теорема 2.3 Пусть v – дельта-субгармоническая функция порядка, 0, v(0) = 0, µ – риссовская мера функции v. Тогда ( ) z v(z) = Re Pp (z) + ln E, p dµ(), p = [], (2.21) где Pp (z) – многочлен степени не выше p, E(u, p) – первичный множитель Вейерштрасса рода p.

Доказательство. Пусть µ = µ+ µ – жорданово разложение риссовской меры функции v. Возьмм не целое, p = []. Так как е N (r, v) T (r, v) = O(r ), r, то по теореме Линделфа существу е ет субгармоническая функция v1, T (r, v1 ) = O(r ), r, такая, что µ(v1 ) = µ. По теореме Адамара ( ) z v1 (z) = Re Pp (z) + ln E, p dµ (), p = [], где Pp (z) – многочлен степени не выше p. Функция v2 = v + v1 – субгармоническая, µ(v2 ) = µ+, и е порядок равен. Снова применяя е теорему Адамара, находим ( ) z v2 (z) = Re Qp (z) + ln E, p dµ+ (), p = [], где Qp (z) – многочлен степени не выше p. Используя равенство v = v2 v1, получаем требуемое утверждение.

В заключение введм другое определение обобщнного представле е е ния субгармонической функции.

Пусть v S((r)), µ – риссовская мера функции v. Пусть vµ (z) – такая субгармоническая функция, что е коэффициенты Фурье совпа е дают с коэффициентами Фурье меры µ. Тогда функция v = v vµ – гармоническая и принадлежит классу S((r)).

Таким образом доказана следующая теорема.

Теорема 2.3 Пусть v S((r)), µ – риссовская мера функции v. То гда v = vµ + v где функция v – гармоническая и принадлежит классу S((r)), а функция vµ – субгармоническая такая, что е коэффициенты е Фурье совпадают с коэффициентами Фурье меры µ.

Определение 2.4 Представление v = vµ + v называется обобщнныме представлением в смысле Вейерштрасса функции v.

3 ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА 3.1 Целые функции вполне регулярного роста Для характеристики зависимости роста функции конечного поряд ка, голоморфной внутри угла arg z := [, ], от направления, по которому точка z стремится к бесконечности Фрагмен и Линделеф ввели функцию ln |f (rei )|, hf () = lim sup r(r) r которую называют индикатором функции f (z) (относительно функции роста r(r) ).

Условимся, что запись lim (r) = a r будет обозначать предел, когда r стремится к, пробегая все по ложителные значения, за исключением некоторого множества E нулевой относительной мeры, т.е. такого, что lim r1 mes([0, r] E) = 0.

r Определение Функция f (z), аналитическая в угле (, ), называется функцией в.р.р. в замкнутом угле [, ], если предел ln |f (rei )| lim = hf () r(r) r равномерно по, когда r, не принимая значений из некоторого общего для всех [, ] множества E нулевой относительной мeры.

Определение Функция f (z), аналитическая в угле (, ), называется функцией в.р.р. в открытом угле (, ), если она имеет в.р.р. в каждом замкнутом угле [ +, ], 0.

Определение Целая функция f (z) называется функцией в.р.р., если она имеет в.р.р. во всей плоскости, т.е. в угле [0, 2).

Если для множества {an } точек комплексной плоскости при всех, [0, 2]\N, где N – разве лишь счетно, существует конечный предел (, ) = lim r(r) n(r,, ), r где n(r,, ) – число точек an в секторе {z : |z| r, arg z (, ]}, то говорят, что множество {an } имеет угловую плотность.

Определение Угловой плотностью множества {an } называется определенная с точностью до аддитивной постоянной функция () = (0, ), где 0 N – произвольно фиксировано.

/ Основные результаты теории целых функций в.р.р. содержатся в двух теоремах.

Теорема (Левин-Пфлюгер) Для того, чтобы целая функция f (z) была функцией в.р.р., необходимо и достаточно, чтобы при нецелом множество ее нулей имело угловую плотность, а при целом 0 еще дополнительно существовал предел 1 r 0 = lim (r) c + an.

r r |an |r Теорема (Левин-Пфлюгер) Индикатор целой функции f (z) в.р.р.

при нецелом выражается формулой cos (| | ) d(), hf () = sin а при целом 0 – формулой ( ) sin ( ) d() + f cos( + f ), hf () = где () – угловая плотность нулей f (z), f = |0 / + c |, f = arg(0 / + c ), а c обозначает старший коэффициент многочлена в каноническом представлении f (z) = z m exp(P (z))E(z) (E(z) – кано ническое произведение нулей f (z)).

3.2 Мероморфные функции вполне регулярного роста Мероморфные функции вполне регулярного роста относительно до статочно произвольной функции роста были введены А. А. Кондратю ком. Основные понятия и результаты этой теории изложены в книге [29].

в [9], с. 122 эта формула приведена с опечатками Основным инструментом его исследований явился, разработанный Л. Ру белом и Б. Тейлором [98], метод рядов Фурье целых и мероморфных функций, который является весьма эффективным при изучении функ ций бесконечного порядка и функций нерегулярно растущих в окрестно сти бесконечности.

Стpого положительная, непрерывная, возрастающая и неограни ченная функция (r), определенная на полуоси [0, +), называется функцией роста.

Порядком и нижним порядком функции роста называются вели чины:

ln (r) ln (r) p[] = lim sup, p [] = lim inf.

ln r ln r r r Далее через (r) всегда будет обозначаться некоторая (как пра вило, фиксированная) функция роста. Кроме того, следуя Титчмаршу, будем пользоваться следующими названиями и обозначениями. Если в некотором рассуждении встречается число, не зависящее от основ ных переменных, то оно называется постоянной. Для обозначения аб солютных положительных постоянных, не обязательно одних и тех же, мы пользуемся буквами A, B. Может встретиться утверждение вроде "|f (z)| A(Br), следовательно, 3|f (z)| A(Br) которое не должно вызывать недоразумений.

Определение Мероморфная функция f (z) называется функцией ко нечного -типа, если существуют положительные постоянные A и B такие, что T (r, f ) A(Br) для всех r 0. (Здесь T (r, f ) – характе ристика Неванлинны функции f (z).) Класс данных мероморфных функций при фиксированной функ ции обозначим через M ((r)). Через E((r)) обозначим класс целых функций конечного -типа.

Предположим, что условие (2r) K(r) (3.1) выполняется при некотором K 0 и всех r 0.

При условии (3.1) А. А. Кондратюк ввел понятие мероморфной функции в.р.р.

Определение Функция f M ((r)) называется мероморфной функ цией в.р.р., если для всех и из [0, 2] существует предел ln |f (rei )| d.

lim r (r) Класс таких функций обозначим через M o ((r)). Через E o ((r)) обозначим подкласс целых функций из M o ((r)).

Обозначим через eik ln |f (rei )| d, kZ ck (r, f ) = коэффициенты Фурье функции f.

Теорема (Кондратюк) Пусть f – мероморфная функция, f (0) = 1.

Следующие утверждения эквивалентны:

(i) f M o ((r));

(ii) f M ((r)) и для каждого k Z существует предел ck (r, f ) lim = ck ;

r (r) (iii) N (r, f ) = O((r)), r, и для каждой функции из суще ствует конечный предел () ln |f (rei )| d, lim r (r) где – любое из пространств C[0, 2], Lp [0, 2], p 1.

А. А. Кондратюк ввел понятие индикатора мероморфной функции в.р.р.

Определение Если f M o ((r)), то функция + ck eik h(, f ) = k= называется индикатором функции f.

Он показал, что для любой функции роста (r), удовлетворяющей условию (3.1) ln |f (rei )| h(, f ) = lim sup.

(r) r А. А. Кондратюк развил теорию мероморфных функций в.р.р., ана логичную теории Левина-Пфлюгера, одним из достоинств которой явля ется тот факт, что если f E o (r(r) ), то f является целой функцией в.р.р.

в смысле Левина-Пфлюгера, т.е. теория Левина-Пфлюгера включается в теорию Кондратюка.

3.3 Множества регулярного роста целых функций В 80-е годы прошлого столетия А. Ф. Гришин развил теорию Левина-Пфлюгера в другом направлении, введя понятие множества ре гулярного роста (м.р.р.) целой функции.

Определение Отображение T (z), определенное на множестве E, на зывается асимптотически тождественным на бесконечности, если T (z) z lim = 0.

z z zE Определение Пусть f (z) – целая функция с индикатором hf () от носительно r(r). Множество E, называется множеством регулярного роста функции f (z), если существует отображение T (z), определен ное на E, асимптотически тождественное на бесконечности, такое, [ ] что ln |f (rei )| hf () = 0.

lim r(r) z zT (E) А. Ф. Гришин показал: для того, чтобы луч arg z = был м.р.р.

целой функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы функция f (z) была функцией в.р.р. на этом луче в смысле Левина-Пфлюгера. В частности, для того, чтобы целая функция f (z) была функцией в.р.р., необходимо и достаточно, чтобы вся комплексная плоскость C была ее м.р.р. Т.о. целая функция в.р.р. регулярно растет на своих корнях в смысле определения Гришина.

Определение Пусть E – м.р.р. для функции f (z), A – предельное мно жество функции arg z(mod2) при z, z E. Пусть h1 () – три гонометрически -выпуклый индикатор такой, что h1 () hf (), h1 () = hf () при A. Тогда множество E, называется мно жеством регулярного роста функции f (z) относительно индикатора h1 ().

Произвольная целая функция, не являющаяся функцией в.р.р., мо жет регулярно расти на множестве E, кoторое является частью мно жества ее корней. Для оценки плотности таких множеств Гришин ввел специальные характеристики.

Пусть E – счетное множество с единственной точкой сгущения на бесконечности, nE (G) – число точек E, принадлежащих множеству G, nE (C(0, r)) M r(r) (C(z, r) – открытый круг с центром в точке z ради C(z, ), K t – гомотетия множества уса r). Пусть K – компакт, K = zK K с коэффициентом t и центром в начале координат, K = (K )t. Обо t значим nE (K t ) dE (K) = lim sup (t), dE (K) = lim sup dE (K ).

t t + Теорема (Гришин) Пусть E – часть множества корней целой функ ции f (z) с индикатором hf () относительно r(r). Пусть E – м.р.р.

функции f (z) относительно индикатора h1 (). Пусть µH – риссовская мера субгармонической функции H(rei ) = r h1 (). Тогда для любого компакта K справедливо неравенство dE (K) µH (K). (3.2) Классы функций, регулярно растущих на множестве своих корней, естественным образом появляются при исследовании интерполяционной задачи в классе [(r), h()]r целых функций в.р.р. с индикатором равным h(). Полное описание этого класса, представляющее известную гипотезу А. Ф. Леонтьева, неизвестно.

Проблема Леонтьева состоит в следующем: нужно выяснить, име ются ли функции f (z) с простыми нулями {an }, которые удовлетворяют условию [ ] ln |f (an )| hf (n ) = 0, an = rn ein, lim (3.3) (rn ) n rn но не являются функциями в.р.р.

А. Ф. Гришин, используя теорию м.р.р. показал, что при выполне нии (3.3) множество {an } является частью корней некоторой функции из класса [(r), h()]r. (Интересные результаты в этом направлении бы ли получены ранее А. В. Братищевым.) Одновременно, А. Ф. Гришин решил интерполяционную задачу в этом классе.

4 ФУНКЦИИ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОГО РОСТА В ПОЛУПЛОСКОСТИ 4.1 Регулярно растущие функции относительно r(r) Напомним основные факты теории аналитических функций в.р.р.

в полуплоскости, следуя книге. Определим на квадрате D = {, :, 0 } следующую функцию:

(cos (| | ), (0, ), [0, ], cos ( + ))/ sin, 2 sin ( ), = 0, [0, ), g(, ) = 2 sin, =, (0, ], 0, = = 0, = =.

Теорема (Гришин-Говоров) Для того чтобы функция f (z), анали тическая в полуплоскости C+, была функцией в.р.р. в открытой по луплоскости относительно функции роста r(r), необходимо и доста точно, чтобы при нецелом множество ее нулей имело аргументно граничную (r)-плотность, а при целом 0 еще дополнительно аргументно-граничную (r)-симметрию.

В этом случае индикатор функции f (z) при нецелом выража ется формулой hf () = g(, ) d(), 0, sin а при целом – формулой { sin d() + 2 sin a + hf () = 2 cos sin ( ) cos cos + d() + d(), 0, sin sin 0 где () – аргументно-граничная плотность нулей f (z), – ко эффициент аргументно-граничной симметрии, а a – коэффициент из канонического представления.

Аналогичные результаты получены и для функций в.р.р. в замкну той полуплоскости.

4.2 Множества регулярного роста функций в полуплоско сти В 90-е годы прошлого столетия первый автор этой статьи перенес теорию А. Ф. Гришина на полуплоскость, введя понятия множества ре гулярного роста функции, аналитической в полуплоскости. Также как и в случае плоскости это понятие оказалось весьма эффективным при решении ряда интерполяционных задач в классах функций в.р.р. в по луплоскости, так и при построении функций в.р.р. в полуплоскости с заданным индикатором.


Определение Отображение T (z), определенное на множестве E C+, называется асимптотически тождественным на бесконечности, если T (z) z T (z) T (E) C+, z.

lim = 1, sup z z zE zE Как и вслучае плоскости введем определение м.р.р. для функции f (z), аналитической в полуплоскости.

Определение Пусть f (z) –функция, аналитическая в полуплоскости, с индикатором hf () относительно r(r). Множество E, называется множеством регулярного роста функции f (z), если существует отоб ражение T (z), определенное на E, асимптотически тождественное на бесконечности, такое, что [ ] ln |f (rei )| hf () = 0.

lim r(r) z zT (E) Определение Пусть E – м.р.р. для функции f (z), A – предельное мно жество функции arg z (0, ) при z, z E. Пусть h1 () – тригонометрически -выпуклый ограниченный (непрерывный) индика тор на отрезке [0, ] такой, что h1 () hf (), (0, ) ( [0, ]) и h1 () = hf () при A \ {0;

} ( A). Тогда множество E, на зывается множеством регулярного роста функции f (z) относительно индикатора h1 () в открытой полуплоскости C+ (в замкнутой полу плоскости C+ ).

Связь введенного определения с классическим раскрывается сле дующими двумя теоремами.

Теорема 4.1 Для того чтобы функция f (z) была функцией в.р.р. в открытой полуплоскости C+ относительно функции роста r(r), необ ходимо и достаточно, чтобы вся полуплоскость C+ была ее м.р.р.

Теорема 4.2 Для того чтобы функция f (z) была функцией в.р.р. в за мкнутой полуплоскости C+ относительно функции роста r(r), необ ходимо и достаточно, чтобы вся полуплоскость C+ была ее м.р.р. и ее индикатор hf () был непрерывен на отрезке [0, ].

Так же как и в случае целых функций произволная функция, ана литическая в полуплоскости, не являющаяся функцией в.р.р., может ре гулярно расти на множестве E, кторое является частью множества ее корней. Для оценки плотности таких множеств были введены характе ристики аналогичные тем, которые были введены А. Ф. Гришиным.

Пусть E C+ – счетное множество с точками сгущения на беско нечности и на вещественной оси, an + + nE (G) = sin arg an, an EC(0,1) an E\C(0,1) n+ (C(0, r)) M r(r).

E Пусть K – компакт, а функция d+ (K) определяется как и характеристи E ка dE (K) заменой меры nE на меру n+. E Теорема 4.3 Пусть E – часть множества корней аналитической в C+ функции f (z), ln |f (z)| M |z|(|z|), с индикатором hf () относительно r(r). Пусть E – м.р.р. функции f (z) относительно индикатора h1 (), ограниченного на отрезке [0, ]. Пусть µH – неванлинновская мера суб гармонической функции H(rei ) = r h1 (). Тогда для любого компакта K справедливо неравенство d+ (K) µH (K). (4.1) E Для всякого множества E C+, удовлетворяющего условию (4.1) можно построить функцию f (z) в.р.р., которая обращается в ноль в точках множества E и имеет индикатор hf () = h1 (), [0, ].

При этом корни функции f (z), отличные от точек множества E, "хоро шо"отделены от множества E и образуют слабо регулярное множества в полуплоскости (или корче W R+ ((r)) [27]) Классы функций, регулярно растущих на множестве своих корней, естественным образом появляются при исследовании интерполяционной задачи в классах аналитических функций в.р.р. с индикатором равным h(). Эти задачи решены первым автором для ограниченного индикатора и непрерывного индикатора на отрезке [0, ].

4.3 Cубгармонические функции конечного -типа в полу плоскости Пусть J = JS JS – класс -субгармонических функций в C+.

Для фиксированной меры положим ( ) sin k k1 i dk () = d() ( = e ), k (r) = k C(0, r), sin sin k где для = 0, определяется по непрерывности. В частно sin сти, (r) = (C(0, r)).

Коэффициенты Фурье для функции v J определяются форму лами:

v(rei ) sin k d, k N.

ck (r, v) = Пусть v = v+ v и – полная мера функции v. Пусть = + – жорданово разложение меры. Положим r 1 (t) v+ (rei ) sin d, N (r, r0, v) := N (r, v) := m(r, v) := dt, t r r T (r, r0, v) := T (r, v) := m(r, v) + N (r, v) + m(r0, v), где r0 0 – произвольное, фиксированное число, r0 r;

можно считать r0 = 1.

Далее предположим, что функция роста удовлетворяет условию:

(r) lim inf 0. (4.2) r r Определение Функция v J называется функцией конечного типа, если существую константы A, B 0 такие, что A T (r, v) (Br), r r0.

r Обозначим соответствующий класс -субгармонических функций конечного -типа через J((r)). Через JS((r)) обозначим соответству ющий класс субгармонических функций конечного -типа.

Если условие (4.2) не выполняется, мы используем другую харак теристику для описания роста функций (r) (r ) T (r, v) := m(r, v) + N r,, v + m, v.

2 Все утверждения и в этом случае сохраняют силу.

Определение Положительная мера имеет конечную -плотность, если существуют положительные константы A и B такие, что r (t) A dt (Br) N (r, ) := t3 r r для всех r r0.

Определение Положительная мера в полуплоскости называется мерой конечного -типа, если если существуют положительные кон станты A и B такие, что для всех r 0, (r) Ar(Br). (4.3) Следующая теорема имеет место.

Теорема 4.4 Пусть – функция роста и пусть v J. Тогда следую щие два утверждения эквивалентны :

(i) v J((r));

(ii) мера + (v) (или (v)) имеет конечную -плотность и |ck (r, v)| A(Br), k N, для некоторых положительных A, B и всех r 0.

4.4 Cубгармонические функции регулярного роста полу плоскости Определение Функция v J называется функцией вполне регуляр ного роста относительно (r), если для всех и из отрезка [0, ] существует предел v(rei ) sin d.

lim r (r) Обозначим соответствующий класс -субгармонических функций в.р.р. относительно (r) через J((r))o. Через JS((r))o обозначим класс истинно-субгармонических функций в.р.р. из J((r))o.

Пусть L [0, ] – банахово подпространство L [0, ] порожденное семейством характеристических функций всех отрезков из [0, ]. По тео реме Кантора о равномерной непрерывнсти C[0, ] L [0, ]. Обозна чим через L[0, ] любое из пространств C[0, ], L [0, ] или L1 [0, ]. Сле дующая теорема получена в [44].

Теорема 4.5 Пусть v J. Тогда следующие утверждения эквива лентны :

(i) v J((r))o ;

(ii) v J((r)) и для всех k N существует предел ck (r, v) lim = ck ;

(4.4) r (r) (iii) мера (v) имеет конечную -плотность и для любой функции из L[0, ] существует предел ()v(rei ) sin d.

lim r (r) Здесь (v)=+ (v) (v) – полная мера, соответствующая функции v и ck (r, v) – коэффициенты Фурье функции v.

Заметим, что если v из класса JS((r))o, то ограничение на меру (v) в (iii) отсутствует ( (v) 0).

4.5 Индикатор субгармонической функции регулярного роста Следуя Кондратюку введем следующее определение.

Определение Пусть v J((r))o, а ck определены равенствами (3.4).

Тогда функция h(, v) = ck sin k k= называется индикатором функции v.

Существование такой функции и еe принадлежность классу L2[0, 2] мы покажем ниже Нам понадобится лемма о пиках Пойя [90].

Лемма 4.1 Пусть 1, 2, – положительные непрерывные функции от r на луче [r0, ) такие, что отношение 2 (r)/1 (r) возрастает и (r) (r) =, lim sup lim sup = 0.

1 (r) 2 (r) r r Тогда существует такая последовательность {rn }, rn (n ), что при r = rn выполняется (t) (rn ), r0 t rn, 1 (t) 1 (rn ) (t) (rn ), rn t.

2 (t) 2 (rn ) Теорема 4.6 Пусть функция v принадлежит классу J((r))o. Тогда индикатор h(, v) принадлежит L2 [0, ].

Доказательство. Из (3.1) следует [16], что порядок := p[].

Тогда limr (r)/rk = 0 для всех k. Из неравенства |ck (r, v)| A(r) и формулы для коэффициентов Фурье [14] при r r ( )k r 2rk r k (t) k N, ck (r, v) = ck (r0, v) + dt, t2k+ r0 r получаем k 2r k (t) ck (r, v) = dt, k. (4.5) t2k+ r Применяя формулу интегрирования по частям к интегралу в (4.5), по лучаем для всех k rk 1 sin k k sin k ck (r, v) = d() d(), = ei.

k k kr k ||r C+ (0,r) (4.6) Положим = ||, r (t) N1 (r, v) := dt.

t r Отсюда следует, что мера имеет кончную -плотность. Из (4.6) полу чаем неравенство r rk 1 d(t) |ck (r, v)| k tk1 d(t) +, k.

tk+ r r Применяя формулу интегрирования по частям в правой части этого неравенства, получаем для всех k r k (k + 1)rk (t) |ck (r, v)| dt k tk2 (t) dt = k+ t r r r dN1 (t) k (k + 1)rk k tk+1 dN1 (t) = (4.7) k t r r r ( )k ( )k 2k (k 1) r t N1 (t) dt rN1 (r).

N1 (t) dt + t r r = для всех 0. Применяя лемму 4. Пусть lim sup N1 (r)/r r к функциям (r) = N1 (r), 1 (r) = r, 2 (r) = r+, находим последо вательность {rn }, rn (n ), такую, что ( ) ( )+ t t N1 (t), r0 t rn ;

N1 (t), rn t.

rn rn Используя (4.8), получим из (4.7) {2 } k + k 2k |ck (rn, v)| N (rn ) (k )2 {2 } k + k Ak 1, k.

(rn ) (k )2 Из последнего неравенства следует, что при k { } |ck (r, v)| |ck (rn, v)| Ak k 2 + k |ck | = lim 1.

= lim (k )2 (r) (rn ) r n Т.к. 0 любое число, то { } Ak 2 + |ck |, k.

k2 В силу теоремы Фишера-Рисса существует функция h из L2 [0, 2], коэфициентами Фурье которой являются числа ck.

Теорема полностью доказана.

5 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В КЛАССЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ НУЛЕВОГО ПОРЯДКА 5.1 Введение Мы ограничим историческую часть нашего отчета ссылкой на об зор Б.Я. Левина и В.А. Ткаченко "Интерполяция целыми функция ми" [15, Глава 4]. Кроме того, сошлмся на статью А.В. Братищева и е Ю.Ф. Коробейника [6] как на близкого предшественника настоящей ра боты.

Введем необходимые определения. Дифференцируемая функция (r) на полуоси (0, +) называется уточннным порядком, если выпол е няются условия:

1) lim (r) =, r 2) lim r (r) ln r = 0.

r Детальное изложение свойств уточннного порядка можно найти в е работах [33, 69, 22]. В статье используется обозначение V (r) = r(r). До полнительно мы предполагаем, что V (r) 1 при r [0, 1]. Это сделано для того, чтобы не вводить дополнительную функцию { V (r), r 1, V1 (r) = r [0, 1].


1, Привдем наиболее часто цитируемое свойство уточннного поряд е е ка. Оно состоит в том, что V (rt) = t, lim t 0, r V (r) и этот предел равномерный на любом сегменте [a, b] (0, +).

В случае, если число в определении уточннного порядка рав е но нулю, то уточннный порядок (r) называется нулевым уточннным е е порядком.

Пусть f (z) – целая функция, M (f, r) = max |f (rei )|. Символом [(r), ) мы будем обозначать класс целых функций f, для которых выполняется неравенство:

ln M (f, r).

lim V (r) r Пусть A = {an : n = 1, 2,... } такая последовательность комплекс ных чисел, что выполняются соотношения: 0 |a1 | |a2 |..., an = ak при n = k, lim an =.

n Исследование разрешимости задачи f (an ) = bn, n = 1, 2,..., (5.1) в классе [(r), ) при единственном ограничении ln+ |bn | lim (5.2) n V (|an |) теперь называют задачей свободной простой интерполяции в классе [(r), ).

Этой терминологии мы обязаны А.Ф. Леонтьеву.

Последовательность {an } называется интерполяционной в классе [(r), ), если задача (5.1) разрешима в классе [(r), ) для любой по следовательности чисел {bn }, удовлетворяющей условию (5.2).

В основном тексте статьи мы дополнительно предполагаем, что вы полняется неравенство |a1 | 0. Это упрощает доказательство и фор мулировки некоторых утверждений, однако, не ограничивает общности наших рассуждений. По ходу статьи мы делаем замечание, что после довательности a1, a2,... и 0, a1, a2,... являются одновременно интерпо ляционными. В принципе, на нулевой уточннный порядок (r) мы не е накладываем никаких ограничений. Однако, в основном тексте работы мы предполагаем, что выполняется дополнительное условие V (r) =.

= lim (5.3) r ln r Дело в том, что в случае, если, то класс [(r), ) состоит из полиномов P (z) таких, что deg P. Этот случай неинтересен для теории.

Находятся четыре различных необходимых условия для того, что бы последовательность {an } была интерполяционной в классе [(r), ).

Указываются два различных набора, каждый из которых состоит из трх вышеупомянутых условий. Доказывается, что выполнение всех трх е е условий из каждого набора оказывается достаточным для того, чтобы последовательность {an } была интерполяционной в классе [(r), ).

С каждой последовательностью {an } мы связываем следующую ме ру в комплексной плоскости C:

(z an ), µ(z) = n= где (z an ) – мера Дирака, то есть единичная мера, сосредоточен ная в точке an. Мы будем употреблять следующие обозначения:

C(z, t) = {w C : |w z| t}, B(z, t) = {w C : |w z| t}.

Функция n(t) = µ(B(0, t)) называется считающей функцией после t n(x) довательности {an }, а функция N (t) = dx называется неванлин x новской считающей функцией последовательности {an }. В этом опреде лении важно условие |a1 | 0. В противном случае функция N (t) опре деляется более сложным образом:

t n(x) m N (t) = m ln t + dx, x где m – кратность нуля в последовательности {an }.

По ходу работы нам придтся встречаться ещ с такими объекта е е ми. Пусть f (z) – целая функция и пусть {zn } – множество корней этой функции, перенумерованных в порядке возрастания их модулей. С целой функцией f связывается следующая мера µf в комплексной плоскости C: m(zn )(z zn ), µf (z) = n= где m(zn ) – кратность корня zn.

Функция nf (t) = µf (B(0, t)) называется считающей функцией кор ней функции f, а функция t nf (x) m(0) Nf (t) = m(0) ln t + dx x называется неванлинновской считающей функцией корней функции f.

Заметим ещ, что мера µf является риссовской мерой субгармони е ческой функции v(z) = ln |f (z)|.

Остановимся более подробно на результатах работы [6]. Мы уже указывали на связь настоящей статьи с этой работой. В работе [6] изу чается разрешимость задачи кратной интерполяции в классах [(r), ), причм рассматривается случай е 0. Авторы работы [6] выделяют случай = 0 и замечают, что в их работе впервые рассматривается интерполяционная задача в классе целых функций нулевого порядка.

Сформулируем частный случай теоремы 5 из [6], который соответствует задаче простой интерполяции и случаю = 0.

Теорема А. Пусть (r) – нулевой уточннный порядок такой,е что функция V (r) является логарифмически выпуклой, причм е V (r) lim rV (r) 0, а функция является возрастающей (не обяза rV (r) r тельно строго) и неограниченной на луче [r0, ). Для того, чтобы последовательность {an } была интерполяционной в классе [(r), ), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

n(r) 1) lim = 0, r rV (r) 1, для любого фиксированного 2) sup ln nN V (|an |) |n (an )| (0, 1), где ( ) z n (z) =.

ak 0|an ak ||an | Приведм формулу Пуассона для субгармонической функции v и е круга B(z, R), на которую часто будем ссылаться в нашей статье:

R 1 µv (B(z, t)) v(z + Rei ) d v(z) = dt.

2 t 0 Здесь µv – риссовская мера функции v.

В случае, если f (z) – целая функция, a – простой корень функции f (z) f, v(z) = ln, то формула Пуассона для круга B(a, R) приобретает za вид:

R µf (B(a, t)) ln |f (a)| = ln |f (a + Rei )| d dt ln R.

2 t 0 Основным результатом раздела являются следующие две теоремы.

Напомним, мы считаем, что выполняются условия: |a1 | 0 и (5.3). Кроме того, как обычно, b+ = max{b;

0}.

Теорема 5.6 Пусть (r) – нулевой уточннный порядок, удовлетворя е ющий условию (1.3), {an : n = 1, 2,... }, 0 |a1 | |a2 |..., – последо вательность попарно различных комплексных чисел. Для того, чтобы последовательность {an } была интерполяционной в классе [(r), ), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

N (r), 1) lim r V (r) r (µ(B(z, t)) 1)+ dt, 2) sup zC V (r) t 3) для любых чисел M 0 и p 0 существует целая функция ( ) g [(r), ) такая, что для любого n в круге B an, вы (1 + |an |)p полняется неравенство:

ln |g(z)| M V (|an |).

Теорема 5.7 Пусть (r) – нулевой уточннный порядок, удовлетворя е ющий условию (1.3),{an : n = 1, 2,... }, 0 |a1 | |a2 |..., – последо вательность попарно различных комплексных чисел. Для того, чтобы последовательность {an } была интерполяционной в классе [(r), ), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

N (r), 1) lim r V (r) ( ) 1 1 z, где E(z) = 2) sup ln, nN V (|an |) |E (an )| an n= 3) для любых чисел M 0 и p 0 существует целая функция ( ) g [(r), ) такая, что для любого n в круге B an, вы (1 + |an |)p полняется неравенство:

ln |g(z)| M V (|an |).

Заметим, что при рассмотрении интерполяционной задачи в клас се функций [(r), ), где (r) – нулевой уточннный порядок, появ е ляется специфическое условие 3), которое отсутствует в случае, когда = lim (r) 0.

r 5.2 Необходимые условия разрешимости задачи Теорема 5.1. Пусть {an } – интерполяционная последовательность в классе [(r), ), N (r) – неванлинновская считающая функция последо вательности {an }. Тогда выполняется неравенство:

N (r).

lim (5.4) r V (r) В дальнейшем мы будем пользоваться следующей теоремой.

Теорема B. Пусть (r) – нулевой уточннный порядок, {bn } – после е довательность комплексных чисел, 0 |b1 | |b2 |..., n(r) – счита ющая функция этой последовательности, а N (r) – е неванлинновская е считающая функция. Если N (r), lim r V (r) то n(r) lim = 0.

r V (r) Пусть {an } – интерполяционная последовательность в классе [(r), ). Обозначим ( ) z E(z) =.

an n= Из теоремы В следует, что E(z) – целая функция. Кроме того, справедливо неравенство ( ) ( r) r ln |E(z)| ln 1 + = ln 1 + dn(t) = |an | t n=1 rn(t) rN (t) dt = dt.

(t + r) (t + r)t 0 Здесь и далее используется обозначение |z| = r.

Отсюда следует, что E [(r), ).

Теперь заметим, что если последовательность {an }, |a1 | 0, является интерполяционной в классе [(r), ), то последовательность 0, a1, a2,..., также является интерполяционной в этом классе. Действи тельно, рассмотрим интерполяционную задачу f1 (0) = b0, f1 (an ) = bn, где ln |bn |.

lim n V (|an |) Пусть f [(r), ) – решение интерполяционной задачи f (an ) = bn, n = 1, 2,.... Тогда функция f1 (z) = f (z) + (b0 f (0))E(z) принадлежит классу [(r), ) и является решением поставленной ин терполяционной задачи. Тем самым, ограничение a1 = 0 не является существенным.

Теорема 5.2. Пусть последовательность {an } является интерполя ционной в классе [(r), ). Тогда r (µ(B(z, t)) 1)+ dt.

sup (5.5) zC V (r) t Теорема 5.3. Пусть {an }, 0 |a1 | |a1 |..., – такая последова тельность попарно различных комплексных чисел, что выполняется ( ) z неравенство (1.4). Пусть E(z) =. Тогда условие (1.5) эк an n= вивалентно условию 1.

lim ln (5.6) n V (|an |) |E (an )| В работе мы пользуемся следующей теоремой.

Теорема C. Пусть функция f (z) голоморфна в круге B(0, 2eR) (R 0), f (0) = 1 и – произвольное положительное число, не превышающее e.

Тогда внутри круга B(0, R), но вне исключительных кругов с общей суммой радиусов, не превышающей 4R, выполняется неравенство ( ) 3e ln |f (z)| 2 + ln ln M (f, 2eR).

Это теорема 11 из [33, Глава I, §8].

Теорема 5.4. Пусть (r) – нулевой уточннный порядок, а = е {n : n = 1, 2,... }, 0 |1 | |2 |..., – такая последователь ность комплексных чисел, что е неванлинновская считающая функ е ция N (r) имеет нормальный тип относительно уточннного порядка е (r). Пусть ( ) ( ) z z f (z) = z m1 g(z) = z m, 1+, |n | n n=m n=m где m 1 – количество нулей в последовательности. Пусть H – такое неограниченное подмножество комплексной плоскости C, что r 1 µ (B(z, t)) lim sup dt = 0.

0 zH V (r) t Тогда (ln |f (z)| ln g(r)) = 0.

lim V (r) z zH Доказательство опирается на следующую теорему.

Теорема D. Пусть v(z) – субгармоническая функция в комплекс ной плоскости C, гармоническая в некоторой окрестности нуля, µv – риссовская мера этой функции. Пусть неванлинновская считающая функция меры µv r µv (B(0, x)) Nv (r) = dx x имеет нормальный тип относительно нулевого уточненного порядка (r). Тогда выполняется равенство r µv (B(z, t)) v(z) = r.

dt + Nv (r) + o(1)V (r), t Это следствие теоремы 2 из [16].

Теорема 5.5. Пусть последовательность {an } является интерполя ционной в классе [(r), ), M и p – произвольные, положительные числа. Тогда существует целая функция g(z) нормального типа от носительно уточненного порядка (r) такая, что для любого n в круге ( ) будет выполняться неравенство:

B an, (1 + |an |)p ln |g(z)| M V (|an |).

5.3 Критерии разрешимости интерполяционной задачи Напомним, что функция N определяется формулой:

t t n(x) µ(B(0, x)) N (t) = dx = dx.

x x 0 Далее заметим, что теорема 5.6 в сторону необходимости уже до казана. Это теоремы 5.1, 5.2 и 5.5. Докажем теорему в сторону достаточ ности.

Обозначим ln = min |an ak |. Из условия 2) следует, что существует k=n постоянная K1 такая, что для всех n 2 выполняются неравенства:

n| n| |a |a µ(B(an, t)) 1 |an | 1 1 dt K1 dt = ln.

V (|an |) V (|an |) V (|an |) t t ln 0 ln Отсюда следует, что для любого n выполняется неравенство:

|an | K1 V (|an |).

ln (5.7) ln Правда, мы доказали это неравенство для n 2. Однако, увеличивая, если нужно, постоянную K1, можно считать, что (5.7) выполняется и при n = 1.

Отметим еще неравенство |an ak | (ln +lk ), из которого следует, ( ) что круги C an, ln попарно не пересекаются.

Покажем, что существует последователность бесконечно диффе ренцируемых функций {n (z) : n = 1, 2,..(}, обладающая свойства. ) ми: n (z) [0, 1], n (z) = 1 при z B an, ln, n (z) = 0 при ( ) 1 n (z) z C an, ln, для всех z выполняется неравенство:.

/ 2 z ln Действительно, пусть функция (x) ] определяется следующим [ образом: (x) = 1 при x ln, ln, (x) = 0 при x ( )( ) 5, ln ln, +,, (x) – линейная функция на каждом из 12 [ ][ ] 5 1 1 сегментов ln, ln, ln, ln. Построенная функция (x) явля 12 3 3 ется кусочно-линейной и всюду вне угловых точек, выполняется нера венство:

| (x)| arctg.

ln Рассмотрим, хорошо известную в теории регуляризации, функцию { c e x2 2, |x|, (x) =, |x|, где постоянная c выбирается из условия (x) dx = 1.

Функция (x) является бесконечно дифференцируемой функцией на ве щественной оси (, +), причем supp (x) = (, ).

Пусть = ln. Обозначим (x y) (y) dy.

(x) = Функция (x) является бесконечно дифференцируемой функцией на всей вещественной оси, причем для любого x: (x) [0, 1], (x) = [ ] 11 на сегменте ln, ln, (x) = 0 при |x| ln, 44 (x) = (x y) (y) dy, | (x)| arctg.

ln Далее положим h(z) = ( x2 + y 2 ), z = x + iy. Функция h(z) является бесконечно дифференцируемой функцией в комплексной плос- ( ) кости C, причем для любого z: h(z) [0, 1], h(z) = 1 в круге B 0, ln, h(z) = 0 при |z| ln. Кроме того, h(z) x h(z) y = (|z|), = (|z|), |z| |z| x y h(z) 1 h(z) i h(z) 1 12 = + arctg.

z 2 x 2 y 2 ln ln В качестве n (z) можно взять функцию h(z an ).

Обозначим n (z) bn n (z) =.

z E(z) Здесь {bn : n = 1, 2,... } – произвольная последовательность комплекс ных чисел, удовлетворяющая условию (1.2). Считаем, что n (an ) = 0, n (z) = 0 при |z an | ln. Кроме того, обозначим { } E(z) u(z) = ln, n = min ln,.

E (an )(z an ) (1 + |an |)p Функция u(z) является гармонической функцией в круге C(an, n ), субгармонической в C и u(an ) = 0. Мы уже доказали, что E(z) [(r), ). Из теоремы 3 следует, что 1.

lim ln n V (|an |) |E (an )| Если учесть еще условия (1.4) и (1.5), то получим, что существует постоянная K2, такая, что для любого n на границе круга B(an, n ), а значит и во всем круге B(an, n ), будет выполняться неравенство:

K2 V (|an |).

u(z) Рассмотрим теперь функцию v(z) = K2 V (|an |) u(z). Это поло жительная гармоническая функция в круге C(an, n ), причем v(an ) = K2 V (rn ). В этом круге справедливо представление:

n r v(an + rei ) = d(), n 2rn cos( ) + r где – конечная положительная мера. Справедливa оценка:

n + r v(an + rei ) v(an ).

n r [ ] 1 Если r 3K2 V (|an |).

n, n, то получаем, что v(an + rei ) 4 Для таких r это приводит к оценке:

E (an )z 2K2 V (|an |).

ln E(an + z) Из этого, в свою очередь, следует, что существует такая постоянная [ ] 1 K3, что для всех натуральных n и для всех r n, n выполняется 4 неравенство:

K3 V (|an |).

ln |E(an + rei )| Из этого, в свою очередь, следует, что существует постоянная K 1 такая, что для любого n в кольце n |zan | n будет выполняться 4 неравенство:

ln((1 + |z|4 )|n (z)|) K4 V (|an |).

Из условия 3) теоремы следует, что существует целая функция ( ) g(z) [(r), ) такая, что в кругах B an, выполняется (1 + |an |)p неравенство: ln |g(z)| K4 V (|an |).

Пусть (z) = n (z). Из сказанного следует, что во всей ком n= плексной плоскости C выполняется неравенство:

|g(z)| |(z)|. (5.8) 1 + |z| Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение:

(z) = (z).

z Одним из решений этого уравнения [10, глава 1, §4] является функ ция g(z) ()dd (z) =, = + i.

g()( z) C Из оценки (5.8) и теоремы 1.23 из [10] следует, что выполняется неравен ство:

1 ()dd K g()( z) C с некоторой постоянной K5. Таким образом, |(z)| K5 |g(z)|.

Решение интерполяционной задачи (1.1) задается функцией:

bn n (z) (z)E(z).

F (z) = n= Имеем ( ) n F E(z) = E(z) (z) = bn = 0.

z z z z n= Таким образом, F (z) – целая функция. Очевидно, что F [(r), ).

Теорема 5.6 доказана.

Теорема 5.7 является следствием теорем 5.6 и 5.3.

Далее мы доказываем четыре теоремы, которые можно рассматри вать как примеры на приложение теорем 6 и 7.

Теорема 5.8 Пусть (r) – нулевой уточннный порядок, удовлетворя е ющий условию (5.4), и такой, что функция V (r) = r(r) является лога рифмически выпуклой на некоторой полуоси (r0, ). Пусть an – допу стимая последовательность. Для того, чтобы последовательность an была интерполяционной в классе [(r), ), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

N (r) 1, 2) sup.

1) lim ln nN V (|an |) |E (an )| r V (r) Доказательство. Необходимость условий 1) и 2) следует из тео рем 1 и 3. Поэтому в доказательстве нуждается только достаточность.

Из условия теоремы следует, что функция rV (r) является возрастающей на полуоси (r0, ). Из равенства (5.4) следует, что это неограниченная функция. Пусть n1 (r) – возрастающая функция скачков со скачками рав ными единице, которая равна нулю на некотором сегменте [0, ], 0, и скачки которой на полуоси (r0, ) совпадают со скачками функции [rV (r)] (как обычно, [·] означает целую часть числа). Обозначим r n1 (t) N1 (r) = dt.

t Легко заметить, что N1 (r) V (r) при r.

( ) z Пусть bn – точки скачков функции n1 (r), f1 (z) = 1+.

bn n= Хорошо известно и легко проверяется, что ln f1 (r) lim = 1.

r V (r) Пусть f2 = T f1. Из леммы 5.1 следует, что для всех достаточно больших ( ) n в круге B an, будет выполняться неравенство 1 + |an | ln |f2 (z)| V (|an |).

Тогда если и m – достаточно большие натуральные числа, g(z) = ( ) m f2 (z), то для любого n в круге B an, будет выполняться 1 + |an | неравенство ln |g(z)| M V (|an |) с любым наперд заданным M. Теперь е из теоремы 5.7 будет следовать, что последовательность an является ин терполяционной в классе [(r), ).

Теорема доказана.

Замечание. С помощью теоремы 5.8 можно убедиться, что тео рема А сформулирована неточно. Пусть V (r) = ln2 r при r e. То гда функция V (r) удовлетворяет всем ограничениям, которые наклады ваются на эту функцию в теореме А. Рассмотрим последовательность an = en/2 и функцию ( z) 1 n/2.

E(z) = e n= Справедливы соотношения:

ln |E (an )| ln2 an (n ).

N (r) ln2 r (r ), Тогда по [теореме 8 последовательность an является интерполяционной ) 2 ln ln r,. Между тем как условие 1) из теоремы А не вы в классе ln r полняется, так как n(r) lim = 1.

r rV (r) Теорему 5.8 можно считать исправленным вариантом теоремы А.

Теорема 5.9. Пусть (r) – нулевой уточннный порядок, удовлетворя е ющий условию (5.4), V (r) = r(r), и пусть существует логарифмически выпуклая функция h(r) на некоторой полуоси (r0, ) такая, что V (r) V (r).

0 lim lim r h(r) r h(r) Пусть an – допустимая последовательность. Для того, чтобы последо вательность an была интерполяционной в классе [(r), ), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

N (r) 1, 2) sup.

1) lim ln nN V (|an |) |E (an )| r V (r) Доказательство в существенном повторяет доказательство преды дущей теоремы, только функцию n1 (r) нужно строить, используя функ цию rh+ (r), а не rV (r) как в доказательстве предыдущей теоремы.

Теорема 5.10 Пусть (r) – нулевой уточннный порядок, удовлетво е (r) ряющий условию (5.4), V (r) = r, и пусть V (r) lim 0.

r ln r Пусть an – допустимая последовательность. Для того, чтобы утвер ждения:

i) an – интерполяционная последовательность в классе [(r), ), и ii) выполняются условия:

N (r) 1, 2) sup, 1) lim ln nN V (|an |) |E (an )| r V (r) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы существо вала логарифмически выпуклая функция h(r) на некоторой полуоси (r0, ) такая, что V (r) V (r).

0 lim lim r h(r) r h(r) Доказательство. То, что i) и ii) эквивалентны – это теорема 5.9.

Докажем необходимую часть теоремы. Вначале заметим, что из утвеждения i) следует утверждение ii). Это теоремы 5.1 и 5.3. Поэтому нам осталось доказать, что если из утверждения ii) следует утверждение i), то выполняется условие.

Рассмотрим последовательность an такую, как в замечании к тео реме 8. Выполняются условия:

N (r) ln2 r (r ), ln2 an (n ).

ln |E (an )| Из ограничений на V (r) в условии теоремы следует, что N (r) 1,.

lim sup ln nN V (|an |) |E (an )| r V (r) Таким образом, для последовательности an справедливо утверждение ii).



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.