авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«УДК 517.574 КП № госрегистрации 0111U002152 Инв. № Министерство образования и науки Украины Сумский государственный университет ...»

-- [ Страница 2 ] --

По предположению из этого следует, что последовательность an явля ется интерполяционной в классе [(r), ). Поэтому существует функ ция f (z) из этого класса, которая решает интерполяционную задачу:

f (an ) = eV (an ), f (0) = 1. Пусть bn – корни функции f (z). Имеем ( ) z f (z) =.

bn n= Введ ещ функцию е е ( ) z f1 (z) = 1+.

|bn | n= Функция f1 также принадлежит классу [(r), ). Поэтому с некоторым M1 выполняется неравенство ( ) r h(r) := ln 1+ M1 V (r).

|bn | n= Кроме того, V (an ) = ln f (an ) ln f1 (an ) = h(an ).

Из этого неравенства, определения an и условий V (r) = r(r), где (r) – нулевой уточннный порядок, h(r) – возрастающая функция, следует, е что V (r) lim 1.

r h(r) Тем самым доказано, что 1 V (r) V (r).

lim lim M1 r h(r) r h(r) Так как h(r) – логарифмически выпуклая функция, то тем самым дока зано соотношение, а вместе с ним и теорема.

В заключение мы приведм просто формулируемые достаточные е условия разрешимости интерполяционной задачи, которые применимы для довольно широкого класса последовательностей.

Теорема 5.11 Пусть (r) – нулевой уточннный порядок, удовлетво е ряющий условию (2.4) и an – допустимая последовательность. Пусть выполняются условия:

N (r) 1, 2) sup, 1) lim ln nN V (|an |) |E (an )| r V (r) V (|an |) n(r), 4) lim 3) lim = 0.

n N (|an |) r N (r) Тогда an является интерполяционной последовательностью в классе [(r), ).

Доказательство. Из условия 4) следует, что функция N (r) пред ставляется в виде N (r) = V1 (r) = r1 (r), где 1 (r) – нулевой уточннный е порядок. Точками роста функции n(r) являются точки |an |. Обозначим ( ) z g1 (z) = 1+.

|an | n= Выполняется равенство:

g1 (r) lim = 1.

r V1 (r) Пусть g2 = T g1. По лемме 5. (ln |g2 (z)| ln g1 (r)) = 0.

lim V1 (r) z zH Из (5.15) следует, что для всех достаточно больших n в круге ( ) будет выполняться неравенство B an, 1 + |an | ln |g2 (z)| V1 (|an |).

m Теперь если взять g(z) = g2 (z), то при достаточно больших натураль ( ) ных числах и m в любом круге B an, будет выполняться 1 + |an | неравенство ln |g(z)| M V1 (|an |) с любым наперд заданным M. Теперь е из теоремы 7 будет следовать, что последовательность an является интер поляционной в классе [1 (r), ). Из условия 1) теоремы следует, что эта последовательность будет интерполяционной также в классе [(r), ).

Теорема доказана.

6 ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА В ПОЛУПЛОСКОСТИ 6.1 Введение В 1975 г. Б. Я. Левин и Нгуен Тхыонг Уен [34] рассмотрели ин терполяционную задачу в классе функций порядка не большего чем ( 1) в верхней полуплоскости C+. Ими были найдены условия необ ходимые и условия достаточные для ее разрешимости в терминах ка нонических произведений определяемых узлами интерполяции. Причем между этими условиями был разрыв, что позволило авторам строить решение интерполяционной задачи в виде ряда Лагранжа.

Исследования Б. Я. Левина и Нгуен Тхыонг Уена были продолже ны Нгуен Тхыонг Уеном [54, 55, 56]. В [54] им была рассмотрена интер поляционная задача в классе функций типа не выше чем нормальный при заданном порядке ( 1). Нгуен Тхыонг Уеном были снова най дены условия необходимые и условия достаточные для ее разрешимости в терминах канонических произведений определяемых узлами интерпо ляции, между которыми был разрыв, позволяющий строить решение в виде обобщенного ряда Лагранжа.

Полностью интерполяционная задача в классах функций типа не выше чем нормальный при заданном уточненном порядке (r) ( lim (r) = 0) и в классах функций конечного порядка 0 была r решена К. Г. Малютиным [40, 41]. В этих работах были найдены необ ходимые и достаточные условия для разрешимости интерполяционных задач как в терминах канонических произведений, построенных по узлам интерполяции, так и в терминах меры, определяемой этими узлами.

6.2 Классы аналитических функций в полуплоскости Будем пользоваться терминологией работ [41, 42] Обозначим через C+ = {z : z 0} верхнюю полуплоскость. Через C(a, r) будем обозначать открытый, а через B(a, r) — замкнутый круг радиуса r с центром в точке a, через + пересечение множества с полуплоскостью C+ : + = C+.

Пусть D = {an, qn } — дивизор, т.е. множество различных ком n= плексных чисел {an } C+ вместе с их кратностями {qn } N.

n=1 n= По заданному дивизору D = {an, qn }n=1, an = rn e определим сле in an G qn an, nD (G) = qn, n+ (G) = + дующие меры: nD (G) = D an G an G\B(0,1) qn sin n + nD (G B(0, 1)). Если это не будет вызывать недо + разумений, то индекс D будем опускать. Дивизор корней произвольной функции f будем обозначать через Df. Обозначим через nf = nDf, n+ = f n+ f, nf,a (r) = nf (C(a, r)), n+ (r) = n+ (C(a, r)), nD,a (r) = nD (C(a, r)), D f,a f nD,a (r) = nD (C(a, r)). В частности, положим nf (r) = nf,0 (r), n+ (r) = + + f n+ (r), nD (r) = nD,0 (r), n+ (r) = n+ (r). Все рассматриваемые меры D D, f, мы будем считать продолженными в комплексную плоскость, считая их ограничения на C нулевой мерой, а если речь идет о внутренних мерах, заданных в C+, то их ограничение на вещественную ось — есть нулевая мера.

Говоря о дивизоре Df = {an, qn } корней некоторой функции f, n= мы иногда будем обозначать его через {zn }, где в последовательности n= {zn }n=1 точка an встречается ровно qn раз.

По ходу работы мы будем использовать широко известное свойство уточненного порядка, которое сформулируем в виде леммы.

Лемма 6.1 Пусть (r) — уточненный порядок. Тогда при любом t V (rt) = t, lim (6.1) r V (r) причем предел равномерный на фиксированом сегменте [a, b] (0, +).

Уточненный порядок (r) называется формальным порядком функ ции f, если существует такая константа Mf, зависящая только от f, что для всех z C+ выполняется неравенство log |f (z)| Mf V (|z|). (6.2) Символом [(r), )+ мы будем обозначать класс аналитических в C+ функций f формального порядка (r).

Уточненный порядок (r) называется полуформальным порядком аналитической в C+ функции f, если (r) — формальный порядок функ ции f и выполняется следующее условие Левина [33, стр. 128]: существу ют числа q (0, 1), (0, /2), такие, что в каждой области D(R, q, ) = {z : qR |z| R, arg z } q найдется точка z, в которой выполняется неравенство:

log |f (z)| Mf V (|z|).

Класс аналитических в C+ функций, для которых (r) является полуформальным порядком, обозначим через [(r), )h. Этой термино + логии мы обязаны А.Ф. Гришину. Ясно, что [(r), )h [(r), )+.

+ Если = lim (r) 1 и (r) является формальным порядком r функции f в C+, то (r) будет и полуформальным порядком этой функ ции [75]. С другой стороны, для функции eiz (r) 0 является формаль ным порядком, а (r) 1 – полуформальным порядком этой функции.

Действительно, функция eiz ограничена в полуплоскости и для любого z C+ выполняется неравенство |eiz | e|z|.

Таким образом, различие между формальным и полуформальным порядком обнаруживается в полуплоскости только при 1 (и, в част ности, при = 0).

Функции f из класса [(r), )+ обладают следующими свойства ми [21]:

a) log |f (z)| имеет некасательный предел log |f (t)|, t R, почти всюду на вещественной оси, log |f (t)| L1 (, );

loc b) на вещественной оси существует знакопеpеменная меpа (заряд) такая, что b log |f (t + iy)| dt = ([a, b]) (({a}) + ({b})).

lim y+ a Мера называется граничной мерой функции f ;

c) d(t) = log |f (t)| dt + d(t), где — сингулярная мера относительно меры Лебега.

Для функции f [(r), )+ определим, следуя [21], полную меру как dµ() (G), (G) = C+ G где µ — риссовская мера субгармонической в верхней полуплоскости функции log |f |. Мера обладает следующими свойствами:

1) — конечная мера на каждом компакте G C, 2) — неотрицательная мера вне R, 3) равна нулю в полуплоскости C = {z : z 0}.

Мы будем использовать следующую лемму [21].

Лемма 6.2 Пусть f — полная мера функции f [(r), )+. Тогда выполняется неравенство R d|f |() V (t) V (R) Mf dt +. (6.3) 1 + ||2 1 + t2 R B+ (0,R) с некоторой постоянной Mf 0, не зависящей от R.

6.3 Постановка интерполяционной задачи в классе [(r), )+ (в классе [(r), )h ) + Обозначим через z = min{1;

z}, n = an. Пусть f [(r), )+ (f [(r), )h ). Из формулы Коши для производных нетрудно полу + чить следующее неравенство (k 1)!

|f (k1) (z)| k N.

exp[Mf V (|z|)], k z Это неравенство приводит к разумности введения следующего определения.

Определение Дивизор D = {an, qn } называется интерполяцион n= ным в классе [(r), )+ (в классе [(r), )h ), если для любой последо + вательности комплексных чисел bn,k, k = 1, 2,..., qn, n N, удовле творяющих условию + |bn,k |n k, sup sup log (6.4) n V (|an |) 1kqn (k 1)!

существует функция F [(r), )+ (F [(r), )h ) со свойством + k = 1, 2,..., qn, n N.

F (k1) (an ) = bn,k, (6.5) По заданному дивизору D определим семейства функций n+ (C(z, |z|) \ {an }) + (z, ) = D, 0, D V (|z|) где an — точка носителя дивизора D, ближайшая к точке z (если таких точек несколько, то выбираем любую из них). Положим + (z, ) d + D ID (z, ) = sin, = arg z.

( + sin ) Сформулируем основную теорему нашей работы.

Теорема 6.1 Пусть (r) — нулевой уточненный порядок. Тогда следу ющие три утверждения эквивалентны.

1) Дивизор D является интерполяционным в классе [(r), )+ (в классе [(r), )h ).

+ 2) Выполняются условия:

2.1) qn an, (6.6) 1 + |an | n= 2.2) каноническое произведение ( z an )qn ( z an an )qn · E(z) = z an z an an |an | 1 |an | дивизора D удовлетворяет условию:

|n,1 | log qn, sup (6.7) V (|an |) n n где ( )k (z an )qn 1 d, k = 1,..., qn, n N.

n,k = (k 1)! dz E(z) z=an 3) Выполняются условия (6.6) и 3.1) при любом sup ID (z, ) ;

+ (6.8) zC+ 3.2) qn 2an.

sup log (6.9) nN V (|an |) n 6.4 Необходимые условия разрешимости Теорема 6.2 Пусть D = {an, qn } — интерполяционный дивизор в n= классе [(r), )+ (в классе [(r), )h ) и (r) — нулевой уточненный + порядок. Тогда выполняется условие (6.6).

Пусть F – функция класса [(r), )+, решающая интерполяцион ную задачу F (a1 ) = 1, F (k1) (a1 ) = 0, k = 2,..., q1, F (k1) (an ) = 0, k = 1,..., qn, при n 2. По предположению теоремы такая функция су ществует. Так как дивизор D, за исключением точки a1, является частью корней функции F, то из неравенства (6.3) леммы 6.2 следует, что R qn an V (t) V (R) MF dt +. (6.10) 1 + |an |2 1 + t2 R |an | R с некоторой постоянной MF 0, не зависящей от R.

Поскольку (r) — нулевой уточненный порядок, то V (R) 1/ с некоторой постоянной M1 0, не зависящей от R. Поэтому M1 R V (R) V (t) = 0 и интеграл dt сходится. Тогда отсюда и из (6.10) lim 1 + t R R следует (6.6). Теорема доказана.

Теорема 6.3 Пусть D = {an, qn } — интерполяционный дивизор в n= классе [(r), )+ (в классе [(r), )h ) и (r) — нулевой уточненный + порядок. Тогда выполняется утверждение 2) теоремы 6.1.

Условие 2.1) следует из теоремы 4.2. Доказательство условия 2.2) дословно повторяет доказательство аналогичного условия в работе [41].

Теорема 6.4 Пусть D = {an, qn } — интерполяционный дивизор в n= классе [(r), )+ (в классе [(r), )h ) и (r) — нулевой уточненный + порядок. Тогда выполняется утверждение 3) теоремы 6.1.

Доказательство условий 3.1) и 3.2) проведено в работе [41] при 1. Анализ этих рассуждений показывает, что эти утверждения спра ведливы и при 0 1.

Теорема 6.5 Пусть D = {an, qn } — такой дивизор, что выполня n= ется условие (6.6) и (r) — нулевой уточненный порядок. Тогда утвер ждения 2) и 3) теоремы 6.1 эквивалентны.

В работе [41] эквивалентность этих условий доказана для 1.

Снова анализ этого доказательства показывает, что это справедливо для 0 1.

Нам понадобится следующая лемма из [41].

Лемма 6.3 Пусть дивизор D = {an, qn } является интерполяцион n= ным в классе [(r), )+ (в классе [(r), )h ) и (r) — нулевой уточ + ненный порядок. Тогда qk ak an.

sup (6.11) |an ak |2 (1 + rk ) nN k= Заметим [41], что если дивизор D удовлетворяет условию (6.7), то справедлива следующая лемма.

Лемма 6.4 Пусть дивизор D удовлетворяет условию (6.7), тогда |n,k | max qn k+1.

sup (6.12) nN V (rn ) 1 k qn n Пусть функция G() аналитична в круге C(0, r), |G()| M, и пусть G() имеет нуль кратности m в точке = 0 и нуль кратности q в точке = a. Тогда G(m) (0) rm+q |a| · q. (6.13) m! M Обозначим через ln величину ln = min {n /2, dist ({ai } \ {an };

{an })}, n N, i= где dist означает расстояние между множествами. Пусть, например, ln = |ak an |. Положим G() = E(ak + ), r = k. Замечая, что в этом случае ln = |ak an |, применим неравенство (6.13) к функции k n / G(). Имеем kk +qn q E (qk ) (ak ) · qn ln.

max |E()| qk !

|ak | k Из последнего неравенства, ограниченности функции E() (|E()| 1, C+ ), из условия (6.7) и свойств уточненного порядка следует, что qn exp(M1 V (|an |)), n N, q lnn (6.14) n при некотором M1 0. Это неравенство справедливо и когда ln = n /2, n N.

Определим аналитическую в круге C(0, 1) функцию (t) равен ством (t)tqn = E(an + ln t). Применяя правило Лопиталя, а также нера венства (6.7) и (6.14), получим:

q |E (qn ) (an )| |(0)| = exp(M2 V (|an |)) lnn qn !

при некотором M2 0. Кроме того, при |t| 1 функция (t) ограничена, так как |(t)| max |(t)| = max |(t)tqn | = max |E(an + ln t)| 1.

|t|=1 |t|=1 |t|= Далее воспользуемся следующей теоремой [33, Теорема 9, Глава I, § 6].

Теорема. Пусть голоморфная в круге C(0, R) функция f (z) не имеет нулей. Тогда в круге C(0, r), r R, справедливо неравенство 2r log |f (z)| max log |f ()|. (6.15) R r || R Положим g() = () 1 (0). Поскольку функция g() не имеет нулей в круге C(0, 1/2) и g(0) = 1, к ней применимо неравенство (6.15), которое при || exp(2M2 V (|an |)).

r = 1/4 и R = 1/2 дает g() Откуда | |qn ln |E(an + )| exp(M3 V (|an |)), | |, (6.15) |ln |qn при некотором M3 0.

Далее по определению имеем ( an )qn k d, k 1, qn, n N.

n,k = 2i E() |an |=ln / Неравенство (6.12) следует теперь из этого соотношения, определе ния ln и (6.16). Лемма доказана.

6.5 Доказательство импликации 2) 1) теоремы 6. Обозначим через qn m (1)m1 m 1, qn, n N.

n,m = n,qn +1mi bn,i+1, (6.17) (m 1)! i=o i!

Перенумеровав, если есть необходимость, точки дивизора D, можно считать, что an+1 an, n N. (6.18) 2 1 + rn+1 1 + rn Положим 1 + ak (z + in ) ak n N.

n (z) =, (6.19) i(k z in ) (1 + rk ) a k=n Ряд, определяющий функции n (z) в (6.19), сходится равномерно в каждой области Dr, = {z : |z| r, z n +, 0}, n т.к. при z Dr,, r n ak (1 + r)(1 + rk ) ak 1 + ak (z + in ), i(k z in ) (1 + rk ) 3 a 22 (1 + rk ) и ряд (6.6) сходится.

Оценим n (z). Имеем n (z) = (ak + z + n + rk (z + n ) + |z + in |2 ak ) ak (6.20) =.

|k z in |2 a (1 + rk ) k=n Т.к. an 0, k 0, то |k an in | |k an |. Отсюда, из a a a леммы 6.3, неравенства (6.18) и (6.20) получаем, в частности, что ak (ak (1 + |an + in |2 ) + 2an (1 + r2 )) n (an ) k |k an |2 (1 + rk ) a k=n ( ak ) ak (1 + rk )(1 + 4rn ) 2 2an + (6.21) 2 |k an |2 (1 + rk ) 1 + rk 1 + 4rn a k=n 1 + 4rn an ak K1.

|k an | (1 + rk ) 2 1 + rn a k=n А также (ak )2 n (z). (6.22) (1 + rk ) |k z in | a 2 k=n Положим далее [ ](m1) qn n (z) Pn (z) = n,m, (6.23) z an m= где ( )3 ( ) 1 + zn a g(z) 2an exp[n (an ) n (z)], n (z) = z an 1 + rn g(an ) g(z) — целая функция класса [(r), )+ (класса [(r), )h ), которая + будет определена ниже.

Заметим, что n (an ) = 1, n N. (6.24) Кроме того, воспользовавшись элементарным неравенством 1+x 2(1 + x2 ), получим при |z| 1:

|z|(1 + rn ) 1 + zn a 2|z|.

2 1 + rn 1 + rn 1 + rn Отсюда следует, что ( ) |g(z)| (an ) 2|z| |n (z)| |g(an )| |z an |2 (6.25) 1 + rn exp{[n (an ) n (z)]}, n N.

Формальный ряд F (z) = E(z) Pn (z) (6.26) n= решает интерполяционную задачу (6.5) [41].

Покажем, что при надлежащем выборе функции g(z) функция F (z) принадлежит классу [(r), )+ ([(r), )h ). Из условия (6.4), неравен + ства (6.12) и равенства (6.17) получаем для всех m = 1,..., qn, n N, qn m + 1 m |n,m | exp[K2 V (rn )]. (6.27) (m 1)! n Обозначим [ ](m1) n (z), m = 1,..., qn, n N.

un,m (z) = z an Оценим un,m (z) при z C+, z C(an, n /2). Заметим, что если / |t z| = n /4, то, во-первых, |t an | n N, n /4, (6.28) во-вторых, |t an | an n /4 3an /4 (n N), |z an | |z t| + |t an | = n /4 + |t an | an /4 + |t an | 7|t an |/3, и |t an | |z t| + |z an | = n /4 + |z an | an /4 + |z an | 5|z an |/4, т.е.

3|z an |/7 |t an | 5|z an |/4.

(6.29) Кроме того, если |z t| = n /4, то |t + in an | 3n /4 + z + an.

(6.30) Воспользовавшись интегральной формулой Коши для производных по окружности Cz,n = {t : |t z| = n /4}, из (6.25), (6.28), (6.29) и (6.30), получим (m 1)! 4m (m 1)!

n (t) dt |un,m (z)| = max |n (t)| (t an )(t z)m m 2 tCz,n n Cz,n ( )3 4m 49(m 1)!(an )2 |g( 2(|z| + 1/4))| 2(|z| + 1/4) 9m |z an |2 |g(an )| 1 + rn n max exp[(n (an ) n (t))].

tCz,n Отсюда получим окончательно, с учетом (6.21), (6.22) и (6.30):

4m 49(m 1)!eK1 ( 2(|z| + 1/4))3 (an ) |un,m (z)| 9m |z an |2 (1 + rn ) [ ] (6.31) n |g( 2(|z| + 1/4))| (ak ) exp, |g(an )| (3n /4 + z + ak )2 (1 + rk ) k=n m = 1,..., qn, n N.

Далее из (6.23), (6.27) и (6.31) получаем, что при z C+, z / C(an, n /2) справедливо неравенство:

qn |Pn (z)| |nm ||unm (z)| exp[K3 V (rn )] m= ( 2(|z| + 1/4))3 (an )2 |g( 2(|z| + 1/4))| m qn 4 (qn m + 1) |g(an )| (1 + rn ) 2 |z an | [ ] m= |g( 2(|z| + 1/4))| (ak ) exp |g(an )| (3n /4 + z + ak )2 (1 + rk ) k=n (an )2 qn (qn + 1) exp[K3 V (rn ) + qn ln 4] |z an |2 (1 + rn ) [ ] (ak ) ( 2(|z| + 1/4))3 exp, n N.

(3n /4 + z + ak )2 (1 + rk ) k=n (6.32) Отсюда получим из (6.32) при z C+, z C(an, n /2):

/ |Pn (z)| exp[K4 V (rn )]( 2(|z| + 1/4)) |g( 2(|z| + 1/4))| (an ) |g(an )| |z an |2 (1 + rn ) (6.33) [ ] (ak ) exp, n N.

(3n /4 + z + ak )2 (1 + rk ) k=n Далее заметим, что если |t an | n /2, и |z an | = n /2, то |z| |t| + 1 (6.34) и 3|t an |/5 |z an | 5|t an |/3.

(6.35) Применяя принцип максимума модуля к аналитической в C+ функ ции n (z) = E(z)Pn (z), используя неравенства (6.33), (6.34), (6.35) и лемму 6.5 получим при t C(an, n /2), учитывая, что t z/4, |n (t)| max |E(z)||Pn (z)| exp[K5 (V (rn ) + V (|z|))] |zan |=n / |g( 2(|z| + 1/4))| 25(an ) |g(an )| 9|t an |2 (1 + rn ) 2 (6.36) [ ] (ak ) exp.

(3n /4 + 4t + ak )2 (1 + rk ) k=n В силу (6.33) неравенство (6.36) справедливо при всех t C+. Обозначим (ak ) n (z) =, (3n /4 + 4z + ak )2 (1 + rk ) k=n так, что (an ) n (z) n+1 (z) = n N.

, (3n /4 + 4z + an )2 (1 + rn ) Ясно, что n (z) 0 при n, z C+. Замечая, что при z C+ выполняется неравенство 3n /4 + 4z + an 4(z + an ) 4|z an |, 4z + 7an /4 получим из (6.36):

|n (z)| 16 exp[n (z)][n (z) n+1 (z)] exp[M V (rn ) + M V (|z|)]|g( 2(|z| + 1/4))|.

|g(an )| et 1, t Воспользовавшись элементарным неравенством t 0, при t = n (z) n+1 (z), получим далее |n (z)| exp[K5 (V (rn ) + V (|z|))][exp[n+1 (z)] |g( 2(|z| + 1/4))| (6.37) exp[n (z)]].

|g(an )| Выберем целую функцию g(z) вполне регулярного роста при поряд ке (r), индикатор которой равен K5 + 1 и нули которой расположены на отрицательной мнимой полуоси iR = {z : z 1} так, чтобы функ ция F (z), определяемая рядом (6.26), принадлежала классу [(r), )+.

Вне C 0 -множества выполняется асимптотическое равенство [19]:

ln |g(z)| (K5 + 1)V (|z|).

Поскольку нули функции g(z) расположены на полуоси iR, то можно считать, что исключительные круги, образующие C 0 -множество расположены в нижней полуплоскости. Тогда неравенство ln |g(an )| K5 V (rn ) выполняется для всех достаточно больших n. Умножая, если есть необ ходимость, функцию g(z) на достаточно большое положительное число, можно считать, что это неравенство выполняется для всех натуральных n.

Из (6.37) тогда получаем для любого натурального N 1:

N N |E(z) Pn (z)| |E(z)Pn (z)| n=1 n= exp[K6 V (|z|)]{exp[N +1 (z)] exp[1 (z)]} exp[K6 V (|z|)].

Отсюда следует сходимость ряда (6.36) на компактах в C+ и принадлежность функции F классу [(r), )+. Для принадлежности функции F классу [(r), )h необходимо еще выполнение условия Б.Я.

+ Левина. Заметим, что каноническая функция E принадлежит классу [(r), )h. Из результатов работы [19] следует, что вне множества C + со сколь угодно малой верхней плотностью 0 всюду в полуплоскости C+ выполняется неравенство:

log |E(z)| M V (|z|).

Пусть g1 (z) – целая функция вполне регулярного роста при порядке (r), индикатор которой равен 2K5 + M + 1. Тогда вне C 0 -множества выполняется неравенство:

log |g1 (z)| (2K5 + M )V (|z|).

Множество C = C C 0 имеет верхнюю плотность не больше, чем. Вне C справедливо неравенство:

log |g1 (z)E(z)| 2K5 V (|z|), всюду в C+.

Функция F1 (z) = F (z) + g1 (z)E(z) обладает свойством (6.5) и вне C -множества справедлива оценка:

F (z) log |F1 (z)| = log |g1 (z)E(z)| + log 1 + g1 (z)E(z) 2K5 V (|z|) + log(1 1/e).

Следовательно, функция F1 принадлежит классу [(r), )h. Имплика + ция 2) 1) теоремы 6.1 доказана.

7 СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА 7.1 Введение. Классы функций в верхней полуплоскости Пусть v – субгармоническая функция в комплексной плоскости C, M (v, r) = max v(rei ). Порядком и нижним порядком функции v на зываются, соответственно, величины ln M (v, r) ln M (v, r) [] = lim sup, [] = lim inf.

ln r ln r r r Порядком и нижним порядком целой функции f называются, соответ ственно, порядок и нижний порядок субгармонической функции ln |f |.

В работе [86] рассматривались целые функции, нули которых лежат на конечной системе лучей. В частности, доказано, что если f – целая функция бесконечного порядка с положительными нулями, то е нижний е порядок также равен бесконечности. Этот результат легко обобщается на субгармонические функции в комплексной плоскости: если риссов ская мера субгармонической во всей в комплексной плоскости функции v, бесконечного порядка, сосредоточена на положительной полуоси, то е нижний порядок также равен бесконечности. Мы доказываем анало е гичный результа для функций, субгармонических в полуплоскости.

Обозначим через C+ = {z : z 0} верхнюю полуплоскость ком плексного переменного z. Через C(a, r) будем обозначать открытый круг радиуса r с центром в точке a;

через + – пересечение множества с полуплоскостью C+ : + = C+ ;

G означает замыкание множества G.

Если 0 r1 r2, то D+ (r1, r2 ) = C+ (0, r2 )\C+ (0, r1 ) означает замкнутое полукольцо.

Пусть SK – класс субгармонических функций в C+, имеющих по ложительную гармоническую мажоранту в любой ограниченной области в C+. Функции класса v(z) SK обладают следующими свойствами [?]:

a) v(z) имеет некасательный предел v(t) почти всюду на вещественной оси, v(t) L1 (, );

loc b) на вещественной пpямой существует знакопеpеменная меpа такая, что b 1 v(t + iy) dt = ([a, b]) ({a}) ({b}).

lim 2 y+ a Мера называется граничной мерой функции v;

c) d(t) = v(t) dt + d(t), где – сингулярная мера относительно меры Лебега.

Для функции v SK определим, следуя [21], полную меру как dµ() (K), (K) = C+ K где µ риссовская мера функции v.

Субгармоническая в C+ функция v называется истинно субгар монической, если lim supzt v(z) 0 для любого вещественного числа t R. Класс истинно субгармонических функций обозначим через JS.

Полная мера функции v JS является положительной мерой, чем и обоснован термин "истинно субгармоническая функция".

Класс истинно дельта-субгармонических функций J определяется как разность J = JS JS. Заметим, что J – есть наиболее шиpо кий класс -субгармонических функций в полуплоскости, для котоpых можно опpеделить неванлинновскую хаpактеpистику.

Справедливы следующие утверждения [21]:

Утверждение 1. JS SK.

Утверждение 2. J = SK SK.

Из утверждения 2 следует, что SK J. Тем самым мы можем в дальнейшем при рассмотрении субгармонических функций ограничится классом JS, так как функция класса SK представляется в виде разности двух истинно субгармонических функций.

Для функций v J справедливо представление в полукруге z C+ (0, R):

R G(z, Rei ) 1 G(z, ) v(z) = v(Rei ) d, d() + 2 2 0 n C+ (0,R) (7.1) G где G(z, ) – функция Грина полукpуга, – означает производ n ную по внутренней нормали, ядро под знаком двойного интеграла про должается на вещественную ось по непpеpывности пpи |t| R.

Для заданной меры обозначим через (t) = (C(0, t)). Пусть v J, v = v+ v, – полная мера функции v, = + – жорданово разложение меpы. Введем следующие характеристики функции v:

r 1 (t) v+ (rei ) sin d, N (r, v, r0 ) := m(r, v) := dt, t r0 r T (r, v, r0 ) := m(r, v) + N (r, v, r0 ) + m(r0, v), r r0, где r0 – пpоизвольное, как правило фиксированное, положительное число (пpи желании можно считать r0 = 1), которое в обозначениях (если это не вызывает недоразумений) мы будем опускать (например, вместо T (r, v, r0 ) писать T (r, v) и т.д.).

Отметим формулу Карлемана в обозначениях Гришина:

r 1 k (t) v(rei ) sin k d = v(r0 ei ) sin k d, dt + k k 2k+ r0 r0 t r0 где sin k k dk ( ei ) = d( ei ) sin (функция sin k/ sin при = 0,, определяется по непрерывности).

Положим k (r) = k (C(0, r)).

В частности, для k = 1 имеем r 1 (t) i v(r0 ei ) sin d.

v(re ) sin d = dt + (7.2) r0 r0 t r0 Формула (7.2) может быть записана как T (r, v) = T (r, v). (7.3) Стpого положительная, непрерывная, возрастающая и неограниченная функция (r), определенная на полуоси [0, +), называется функцией роста.

Порядком и нижним порядком функции роста называются вели чины:

ln (r) ln (r) [] = lim sup, [] = lim inf.

ln r ln r r r Порядком и нижним порядком функции v J называются вели чины [rT (r, v)] и [rT (r, v)].

7.2 Коэффициенты Фурье дельта-субгармонических функ ций Коэффициенты Фурье функции v J опpеделяются форму лой [42]: v(rei ) sin k d, k N.

ck (r, v) = Пусть – полная мера функции v J, тогда [42]:

2rk r k (t) dt, k N, ck (r, v) = k rk + (7.4) r0 t2k+ k где k = r0 ck (r0, v), а также:

rk sin k k ck (r, v) = k rk + d()+ 2k kr0 C+ (0,r0 ) rk sin k 1 sin k k d() k d(), (7.5) D+ (r0,r) C+ (0,r) k k r k где = ei.

Из определения ck (r, v) следует неравенство:

2k |ck (r, v)| |v(rei )| sin d.

Отсюда, с учетом равенства (7.3), получаем rT (r, v) |ck (r, v)|, k = 1, 2,.... (7.6) 2k 7.3 Функции с полной мерой на мнимой полуоси Основным результатом раздела является следующая теорема.

Теорема 7.1. Если v SK – субгармоническая функция в C+ беско нечного порядка с полной мерой на мнимой полуоси Y+ = {z : z = iy, y 0}, то ее нижний порядок равен бесконечности.

Доказательство. Будем считать, что 0 supp v. Так как сосре / доточена на полуоси Y+, то из формул (7.5) для коэффициентов Фурье функции v находим:

n r0 n rn n cn (r, v) = n r + sin t d(t)+ kn2n rn sin n r d(t) n r n n sin t d(t), n = 1, 2,....

tn+ n r n r Выбирая r0 так, чтобы C(0, r0 ) supp v, получим отсюда:

/ n r [ 1 ( r )n 1 ( t )n ] n cn (r, v) = n r + sin d(t). (7.7) n 2 r0 t t tr Интегрируя дважды по частям в формулах (7.7), получим:

n (n + 1)rn 2 n n cn (r, v) = n r + N (r) sin + sin 2 r n1 n r n N (r) dt sin t N (r)dt, (7.8) n+1 rn r0 t 2 r r (t) где N (r) = dt.

r0 t Так как n 1 r n1 N (r)(n 1) r n N (r) t N (r)dt t dt =, rn r0 rn то из (7.8) при n = 1 + 4k, k = 1, 2,..., получаем n + 1 r N (r) cn (r, v) N (r) n + dt +. (7.9) rn n+1 rn r0 t Если функция N (r) имеет бесконечный порядок, то интеграл, сто ящий в правой части этого неравенства, неограничен при r, так как N (t) N (r) dt, n = 1, 2,..., tn+1 nrn r а правая часть этого неравенства может быть сделана сколь угодно боль шой при подходящем выборе r. Учитывая это и неравенство (7.3), из (7.5), получаем требуемое утверждение.

Если N (r) имеет конечный порядок, то существуют положительные числа K 0 и 0 такие, что N (r) Kr для всех r 0. Можно считать нецелым. Отсюда следует, что 2r 2r (t) dt (r) K2 r N (2r) dt (r) =, t2 t2 2r r r т.е.

(r) K2+1 r+1.

В этом случае из работы [21] следует, что существует функция g JS порядка с полной мерой. Тогда функция G = v g J и G 0.

Далее нам понадобится лемма.

Лемма 7.1. Если G J и G 0, то G(z) = f (z), где f (z) – целая вещественная функция.

Доказательство. Напомним [33], что целая функция называется вещественной, если f (R) R.

Так как полная мера функции G равна нулю, то из (7.1) следует, что при любом R R G(z, Rei ) G(Rei ) d, z C+ (0, R).

G(z) = 2 0 n В правой части стоит гармоническая в полукруге C+ (0, R) функция, непрерывно продолжающаяся нулем на интервале (R, R). Поскольку R – произвольное положительное число, то функция G(z) является гар монической в полуплоскости C+, непрерывно продолжающейся нулем на вещественную ось. По принципу симметрии эта функция продолжается как гармоническая в нижнюю полуплоскость. Таким образом, существу ет гармоническая во всей плоскости функция h(z), обращающаяся в нуль на вещественной оси и такая, что G(z) = h(z) при z 0.

Пусть h1 (z) – функция, гармонически сопряженная с функцией h(z). Тогда f (z) = h1 (z) + ih(z) есть целая функция, вещественная на вещественной оси и h(z) = f (z). Лемма доказана.

Согласно лемме G(z) = f (z), где f (z) – целая вещественная функ ция, an z n.

f (z) = n= Если лишь конечное число an = 0, то f (z) – многочлен, следовательно G и v имеют конечный порядок, что противоречит условию.

Далее cn (r, G) = an rn, n = 1, 2,....

Тогда из неравенства rT (r, v) rT (r, G) rT (r, g) cn (r, G) + O(r ) 2n an rn + O(r ), r, n = 1, 2,..., следует, что [rT (r, v)] =. Теорема доказана.

8 ФУНКЦИИ КОНЕЧНОГО (, )-ТИПА В ПОЛУПЛОСКОСТИ 8.1 Введение. Классы функций в верхней полуплоскости Обозначим через C+ = {z : Im z 0} верхнюю полуплоскость комплексного переменного z. Через C(a, r) будем обозначать открытый круг радиуса r с центром в точке a;

через + – пересечение множества с полуплоскостью C+ : + = C+ ;

G означает замыкание множества G.

Если 0 r1 r2, то D+ (r1, r2 ) = C+ (0, r2 )\C+ (0, r1 ) означает замкнутое полукольцо.

Пусть SK – класс субгармонических функций в C+, имеющих по ложительную гармоническую мажоранту в любой ограниченной области в C+. Функции класса v(z) SK обладают следующими свойствами [21]:

a) v(z) имеет некасательный предел v(t) почти всюду на вещественной оси, v(t) L1 (, );

loc b) на вещественной пpямой существует знакопеpеменная меpа такая, что b 1 v(t + iy) dt = ([a, b]) ({a}) ({b}).

lim 2 y+ a Мера называется граничной мерой функции v;

c) d(t) = v(t) dt + d(t), где – сингулярная мера относительно меры Лебега.

Для функции v SK определим, следуя [21], полную меру как Im dµ() (K), (K) = C+ K где µ риссовская мера функции v.

Мера обладает следующими свойствами:

1) – конечная мера на каждом компакте K C, 2) – положительная мера вне R, 3) равна нулю в полуплоскости C = {z : Im z 0}.

Наоборот, если мера удовлетворяет условиям 1) – 3), то существу ет функция v SK, с полной мерой равной. Совокупность условий 1) – 3) в дальнейшем будем обозначать через {G}, если, кроме того, мера неотрицательная и на R, то через {G+ }.

Если D – ограниченная область в C+, D1 = D (D R ), v SK, z D, тогда z 1 v(z) = ln d() + h(z), z 2 Im D где h – гармоническая функция в D, а если [a, b] {R D}, то h допус z кает непрерывное продолжение нулем на (a, b), ядро счи ln z Im тается продолженным по непрерывности на вещественную ось. Полная мера определяет функцию v SK так же как мера Рисса µ определя ет субгармоническую функцию в C. Точнее, если функции v1, v2 SK и каждая имеет полную меру, то существует вещественная целая функ ция g такая, что v2 (z) v1 (z) = Im g(z), z C+.

Субгармоническая в C+ функция v называется истинно субгармо нической, если lim sup v(z) 0 для любого вещественного числа t R.

zt Класс истинно субгармонических функций обозначим через JS. Полная мера функции v JS является положительной мерой, чем и обоснован термин "истинно субгармоническая функция". Отметим также, что мно жество JS является конусом, т.е., если v1, v2 JS, 0, то v1 + v2, v1 JS.

Класс истинно дельта-субгармонических функций J определяется как разность J = JS JS. Заметим, что J – есть наиболее шиpо кий класс -субгармонических функций в полуплоскости, для котоpых можно опpеделить неванлинновскую хаpактеpистику.

Справедливы следующие утверждения [21]:

Утверждение 1. JS SK.

Утверждение 2. J = SK SK.

Из утверждения 2 следует, что SK J. Тем самым мы можем в дальнейшем при рассмотрении субгармонических функций ограничится классом JS, так как функция класса SK представляется в виде разности двух истинно субгармонических функций.

Для функций v J справедливо представление в полукольце z D+ (R1, R2 ): v(z) = K(z, ) d()+ D+ (R1,R2 ) G(z, R2 ei ) ( ) R v R2 ei d+ + (8.1) 2 n G(z, R1 ei ) R v(R1 ei ) d, + 2 n и в полукруге z C+ (0, R):

1 G(z, ) v(z) = d()+ 2 Im C+ (0,R) (8.2) i R G(z, Re ) v(Rei ) d, + 2 n G где G(z, ) – функция Грина полукpуга, – означает производ n ную по внутренней нормали, ядро под знаком двойного интеграла про должается на вещественную ось по непpеpывности пpи |t| R.

Для заданной меры обозначим через (t) = (C(0, t)). Пусть v J, v = v+ v, – полная мера функции v, = + – жорданово разложение меpы. Введем следующие характеристики функции v:

r 1 (t) v+ (rei ) sin d, m(r, v) := N (r, v, r0 ) := dt, t r r T (r, v, r0 ) := m(r, v) + N (r, v, r0 ) + m(r0, v), r r0, где r0 – пpоизвольное, как правило фиксированное, положительное чис ло (пpи желании можно считать r0 = 1), которое в обозначениях (если это не вызывает недоразумений) мы будем опускать (например, вместо T (r, v, r0 ) писать T (r, v) и т.д.).

Обозначим sin k k dk ( ei ) = d( ei ) sin (функция sin k/ sin при = 0,, определяется по непрерывности).

Положим k (r) = k (C(0, r)). Справедливо неравенство, которое будет использоваться в дальнейшем:

|k (r)| krk1 ||(r). (8.3) Действительно, sin k k |k (r)| = d() dk () = sin C(0,r) C(0,r) k1 d||() krk1 ||(r).

m C(0,r) Отметим формулу Карлемана в обозначениях Гришина:

r 1 k (t) v(rei ) sin k d = v(r0 ei ) sin k d, dt + k (8.4) rk t2k+1 r r 0 В частности, для k = 1 имеем r 1 (t) v(rei ) sin d = v(r0 ei ) sin d.

dt + (8.5) t r r r 0 Формула (8.5) может быть записана как T (r, v) = T (r, v). (8.6) Используя теорию эллиптических функций (см., например, [2]) можно получить разложения ядра в формуле (8.1) при R1 = qR, R2 = R/q, q (0, 1), z = rei, = ei :

( )m ( ) q 2m r2m 1 G(z, ) = m(1 q 4m ) r R2m ( ) m=1 (8.7) 2m 2m qR 1 qR r R, sin m sin m, 2m q ( r )m ( ) q 2m R2m 1 G(z, ) = m(1 q 4m ) r2m ( ) m=1 (8.8) 2m 2m q 1 qR r R, sin m sin m, 2m R q ( )m ( ) G(z, t) 2 q 2m R2m 1 t 1 = t m=1 m(1 q 4m ) r t2m n ( ) (8.9) q 2m r2m 1 qR |t| r R/q, sin m, R2m ( r )m ( ) G(z, t) 2 q 2m t2m 1 = t m=1 m(1 q 4m ) t R2m n ( ) (8.10) q 2m R2m 1 qR r |t| R/q, sin m, r2m ( ) ( )m G z, qRei 1 qR = qR m=1 1 q 4m n r ( ) (8.11) q 2m r2m 1 sin m sin m, R2m ( ) ( qr )m 1 4q i G z, q Re = R m=1 1 q 4m R n (8.12) ( ) q 2m R2m 1 sin m sin m.

r2m Аналогичные разложения ядра в формуле (8.2) имеют вид:

( ) 1 ( r )m 2m 1 2m sin m sin m, m=1 m R 0 r R, ( )m ( ) G(z, Rei ) = (8.13) 1 2m 2 r 1 2m sin m sin m, m=1 m r R 0 r R.

rm G(z, Rei ) =4 sin m sin m, (8.14) Rm+ n m= 8.2 Сферические гармоники функций класса J Сферическими гармониками функции v J называются функции 2 sin k v(rei ) sin k d, [0, ], k N.

ck (, r, v) = Пусть – полная мера функции v J, величина k определена выше. Тогда r 2rk sin k k (t) k N, ck (, r, v) = k rk + dt, (8.15) t2k+ r 2 k где k = r ck (, r0, v) (здесь и далее r0 – фиксированное поло жительное число, например, r0 = 1).

Применяя формулу интегрирования по частям к интегралу в пра вой части (8.15), получаем rk sin k sin k k ck (, r, v) = k rk + d()+ 2k Im kr C+ (0,r0 ) (8.16) rk sin k sin k sin k sin k k d() k d() k Im k r k Im D+ (r0,r) C+ (0,r) (здесь и всюду ниже = ei ).

8.3 Суб- и -субгармонические функции конечного (, ) типа Стpого положительная, непрерывная, возрастающая и неограни ченная функция (r), определенная на полуоси [0, +), называется функцией роста.

Порядком и нижним порядком функции роста называются вели чины:

ln (r) ln (r) [] = lim sup, [] = lim inf.

ln r ln r r r Порядком и нижним порядком функции v J называются вели чины [rT (r, v)] и [rT (r, v)].

Пусть (r) – невозрастающая функция на [0;

+], такая что (0) = 1, и для некоторого 1 неравенство (r + r(r)) ((r)) (8.17) верно для всех больших r и для некоторых 1.

Обозначим класс таких функций через E.

Пусть для v J v = v+ v, – полная мера v, а = + – жорданово разложение.

Пусть – функция роста, такая что выполняется условие:

(r) lim inf 0, (8.18) r r а (r) – функция класса E. Следуя Хабибуллину, введем определение.

Определение Пусть – функция роста и E. Функция v J, 0 supp v, v(0) = 0, называется функцией конечного (, )-типа, если / существуют постоянные, A и B 0 такие, что A T (r, v) (r + B(r)r).

r((r)) Обозначим класс таких функций через J((, )).

Лемма 8.1 Класс J((, )) – действительное пространство и JS((, )) – конус.

Это следует из (8.6) и неравенства T (r, vj ) T (r, vj ).

Положительная мера в комплексной плоскости называется мерой конечного (, )-типа, если существуют положительные постоянные, A и B такие, что для всех r 0, Ar (r) (r + B(r)r). (8.19) ((r)) Положительная мера имеет конечную (, )-плотность, если су ществуют положительные постоянные, A и B такие, что r (t) A dt N (r, ) := (r + B(r)r). (8.20) t3 r((r)) r Лемма 8.2 Если – мера конечной (, )-плотности, то она является мерой конечного (, )-типа.

Доказательство. Имеем r(1+(r)) (t) dt N (r(1 + (r)), ) = t r r(1+(r)) (t) (r) dt 2 ln(1 + (r)).

t3 r (1 + (r)) r Это неравенство и элементарное неравенство x ln(1 + x), x 0, (8.21) 1+x приводит к неравенству (r)(r) N (r(1 + (r)), ). (8.22) r2 (1 + (r)) Далее, из (2.17) получаем A(r(1 + (r)) + B(r(1 + (r)))r(1 + (r))) N (r(1 + (r)), ) r(1 + (r))((r(1 + (r)))) A(r + r(r) + 2Br(r)).

r(1 + (r))((r)) Из последнего неравенства и (8.22) следует неравенство (8.20) для неко торых постоянных, A и B.

8.4 Критерий принадлежности функции классу J((, )) Теорема 8.1. Пусть – функция роста, – функция класса E и пусть v J. Тогда следующие утверждения эквивалентны :

(1) v J((, ));

(2) мера + (v) ( или (v)) имеет конечную (, )-плотность и A(r + B(r)r) |ck (, r, v)| k N,, (8.23) ((r)) для некоторых положительных, A, B и всех r 0.

Здесь (v)=+ (v)– (v) – полная мера, соответствующая функции v.

Доказательство. Докажем 1) = 2). Нам понадобится следую щая лемма.

Лемма 8.3 Пусть v J((, )). Тогда каждая из мер + (v) и (v) имеет конечную (, )-плотность и справедливо следующее неравен ство:

A |v(rei )| sin d (r + B(r)r). (8.24) ((r)) Доказательство. Мера (v) имеет конечную (, )-плотность по определению класса J((, )). Тот факт, что + (v) имеет конечную (, )-плотность, следует из (8.6). Подобная формула приводит к сле дующему результату:

A v± (rei ) sin d (r + B(r)r).

((r)) Из этого следует (8.24). Теорема доказана.

Из (8.24) следует, что для функции v JS((, )) Ak |ck (, r, v)| |v(rei )|| sin k| d (r + B(r)r). (8.25) ((r)) Из формулы (8.4) следует, что r(1+(r)) k ck (, r(1 + (r)), v) 2r sin k k (t) ck (, r, v) = dt, (8.26) (1 + (r))k t2k+ r Используя элементарное неравенство k 1, 0 a 1, (1 + a)k ln(1 + a) a и (8.25), мы можем оценить первое слагаемое в правой части (8.26).

ck (, r(1 + (r)), v) (1 + (r))k Ak(r(1 + (r)) + B(r(1 + (r)))r(1 + (r))) (8.27) (1 + (r))k ((r(1 + (r)))) 2A(r + B1 (r)r).

((r))+ Используя (8.3) и (8.19), оценим второе слагаемое в правой части (8.26) r(1+(r)) r(1+(r)) |(t)| k k 2r sin k k (t) 2kr dt dt 2k+1 tk+ t r r (8.28) r(1+(r)) Akrk (r + B(r)r) dt A(r + B(r)r).

((r)) tk+1 ((r)) r ) Неравенство (8.23) получаем из (8.27) и (8.28).

1) = 2) доказано. Докажем теперь 2) = 1).

Допустим, что условие 2) теоремы выполнено. Из этого следует, согласно неравенству (r + B(r)r) |c1 (r, v)| A ((r)) и формуле (8.5), что если одна из мер + (v) или (v) имеет конечную (, )-плотность, то вторая мера также имеет конечную (, )-плотность, и поэтому || имеет конечную (, )-плотность. Теперь оценим v+ (z), ис пользуя формулу (8.2). Принимая во внимание разложение (8.14) в ряд Фурье, получим 2 rm R G(z, Rei ) v(Rei ) d sin m sin m v(Rei ) d m 2 0 n 0 m=1 R ( r )m A(R + B(R)R) ( r )m cm (, R, v), z = rei.

= R ((R)) R m=1 m= Положим R = r(1 + (r)). Тогда ( ) R G(z, Rei ) A r + r(r) + Br(1 + (r))(r + r(r)) ( ) v(Rei ) d 2 0 n (r + r(r)) ( ) ( ) A1 r + B1 r(r) A1 r + B1 r(r) 1 ( ) ( ) + =.

(1 + (r))k (1 + (r))k (r) 1 (r) k=1 k= Так как функция K(z, ) в (8.2) неотрицательна, то ( ) A1 r + B1 r(r) v+ (z) ( ) + K(z, ) d () +.

2 (r) C+ (0,R) Используя ортогональность системы полиномов {sin k}, k = 1, 2,..., на отрезке [0, ] и (8.13), получаем {[ ] } v+ (z) sin d + K(z, ) d () 2 0 C+ (0,r) D+ (r,R) ( ) 2A1 r + B1 r(r) 1 sin sin d + ( )1 +1 d ()+ 2 C+ (0,r) r (r) ( ) 2A1 r + B1 r(r) 1 sin r ( )1 + d () + d ()+ 2 D+ (r,R) 2r C+ (0,R) (r) ( ) ( ) 2A1 r + B1 r(r) (R) 2A1 r + B1 r(r) ( ) +1 ( ) + +.

2r (r) 1 (r) Так как мера имеет конечную (, )-плотность, то v J((, )).

Теорема доказана.

Теорема 8.2 Пусть – функция роста, E и v JS. Тогда следую щие свойства эквивалентны:

1) v JS((, ));

2) A(r + B(r)r) |ck (, r, v)|, k N, ((r)) для некоторых положительных, A, B и r 0.

Эта теорема является следствием из теоремы 8.1, так как мера равна тождественно нулю для функций из класса JS.

9 КАНОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДОПУСТИМЫХ МЕР В ПОЛУПЛОСКОСТИ 9.1 Постановка задачи Многие важные результаты в теории субгармонических функций получаются с использованием формул представления этих функций.

Наиболее известная их них формула Пуассона-Иенсена, которая дат представление субгармонической функции в круге. Отметим также фор мулы Неванлинны, Симидзу-Альфорса, Карлемана, Левина, которые приведены в [14]. Теория субгармонических функций в полуплоскости C+ = {z : z 0}, созданная А.Ф. Гришиным [21], в значитель ной мере опирается на открытые им интегральные формулы. Анало гичные формулы при различных ограничениях получали другие авто ры [13], [77], [80].

В теории субгармонических функций часто возникает обратная за дача: по заданной мере построить субгармоническую функцию, мера ко торой в точности совпадает с заданной мерой. Классические формулы Вейерштрасса, Адамара дают представление целых функций конечно го порядка, нули которых совпадают с заданной последовательностью.

Эти формулы были обобщены в работах Рубела [96], Хабибуллина [59], [60], Малютина и Герасименко [48], Малютина и Садыка [45], Денга [70], и др. Целью настоящей статьи является получить аналогичные форму лы для мер конечного -типа, распределенных в верхней полуплоскости C+. Основным инструментом работы является метод рядов Фурье, раз витый в работах Рубела и Тейлора для мероморфных функций, и рас пространенный К.Г. Малютиным на дельта-субгармонические функции в полуплоскости [42].

Мы вводим понятие канонической функции меры конечного -типа, распределенной в верхней полуплоскости, которая в случае дискретной меры совпадает с определением канонического произведения Неванлин ны, построенного по нулям функции, аналитической в верхней полуплос кости [13].

В дальнейшем будем пользоваться терминологией работы [42]. Кро ме того, следуя Титчмаршу [52], будем пользоваться следующими назва ниями и обозначениями. Если в некотором рассуждении встречается чис ло, не зависящее от основных переменных, то оно называется постоянной.

Для обозначения абсолютных положительных постоянных, не обязатель но одних и тех же, мы пользуемся буквами A, B. Может встретиться утверждение вроде ”|f (z)| A(Br), следовательно, 3|f (z)| A(Br)”, которое не должно вызывать недоразумений.

9.2 Меры в верхней полуплоскости Пусть – мера, удовлетворяющая условиям {G+ }, – некоторая функция роста. Для k N обозначим 1 sin k 1 sin k k S+ (r;

k, ) = d() + d(), k 2k k kr D+ (r0,r) C+ (0,r0 ) где = ei, r0 0 – фиксиpованное число, S+ (r1, r2 ;

k, ) = S+ (r2 ;

k, ) S+ (r1 ;

k, ), r1 r2, 1 sin k k S+ (r;

k, ) = d(), C+ (0,r) krk при этом символ, если это не вызывает недоразумений, будем опускать.

Мера называется -сбалансированной, если существуют положи тельные постоянные A, B, при которых A(Br1 ) A(Br2 ) |S+ (r1, r2 ;

k, )| +, (9.1) k k r1 r для всех r2 r1 0 и k = 2, 3,....

Мера называется -допустимой, если она -сбалансированна и имеет конечную -плотность.

Мера называется -взвешенной, если существуют последователь ность вещественных чисел = {k } и положительные постоянные A, B, при которых для всех r 0, k N выполняется неравенство A(Br) |k + S+ (r;

k, )|. (9.2) rk В работе [42] было введено следующее определение. Пусть = {k } – некоторая последовательность вещественных чисел. Функции ck (r;

, ) = rk (k + S+ (r;

k)) S+ (r;

k), k N, (9.3) называются коэффициентами Фурье пары (, ).

Пара (, ) называется -допустимой, если мера имеет конеч ную -плотность и существуют положительные постоянные A, B, при которых |ck (r;

, )| A(Br), r 0, k N. (9.4) Мы введем понятие коэффициентов Фурье меры, которое не зави сит от выбора последовательности чисел, а зависит только от самой меры.

Пусть – функция роста, a мера является -допустимой. Поло жим p[] =, если для всех p N lim inf (r)rp 0, r { } и p p[] = min p : p N, lim inf (r)r = 0, r в противном случае.

Для 1 k p[] обозначим через rk = inf rk, где нижняя грань берется по всем rk, для которых неравенство (Brk ) (Br) 2 k (9.5) k r rk выполняется для всех r 0, а число B удовлетворяет неравенству (9.1).

Для этих k определим k = S+ (rk ;

k). (9.6) Если p[], то по определению p[] существует последователь ность {rj }, rj при j, такая, что p[] lim (Brj )rj = 0. (9.7) j Тогда для k p[] положим k = lim S(rj ;

k). (9.8) j Определение Пусть в определении (9.3) в качестве последовательно сти взяты числа, определяемые формулой (9.6), с заменой rk на rk, и формулой (9.8). Тогда коэффициенты Фурье пары (, ) называются коэффициентами Фурье меры (соответствующими функции роста (r)).

Покажем корректность этого определения в случае, когда мера -допустима. По предположению имеем A(Brm ) A(Brj ) |S+ (rm, rj ;

k, )| +.

k k rm rj Отсюда следует фундаментальность последовательности {S+ (rj ;

k)} для k p[]. Докажем, что предел в (9.8) не зависит от выбора после довательности {rj }, удовлетворяющей условию (9.7). Действительно, j= 1 пусть {rj }j=1 и {rj }j=1 две такие последовательности, а k и k – соот 1 ветствующие им пределы в (9.8). При заданном 0 выберем номер j так, чтобы при j j0 выполнялись неравенства |k + S(rj ;

k)|, |k + S(rj ;

k)|.

1 1 2 Тогда |k k | |k + S(rj ;

k)| + |k + S(rj ;

k)| + |S(rj, rj ;

k)| 1 2 1 1 2 2 1 A(Brj ) A(Brj ) 2 + +.

1 (rj )k (rj )k И эта разность может быть сделана как угодно малой в силу усло вия (9.6).

Определение Коэффициенты Фурье меры называются -допустимыми, если они удовлетворяют неравенству (9.4).

Лемма 9.1 Коэффициенты Фурье cn (r, ), n N, меры являют ся -допустимыми тогда и только тогда, когда мера является допустимой.

Доказательство. Пусть коэффициенты Фурье меры являются -допустимыми. Отметим неравенство [42, Лемма 4]:

(r) N (er, )re |S+ (r, k)|. (9.9) r Из неравенства |c1 (r, )| A(Br) и формулы (9.3) при k = 1 получаем ( ) 1 r d(t) (r0 ) (r) 2 r 2 A(Br).

r 1 + + r0 t2 r Отсюда интегрированием по частям в левой части неравенства легко получить конечную -плотность меры.

Из неравенств (9.4) и (9.9) при k N имеем N (r, )r rk |k +S+ (r;

k)| = |ck (r;

, )+S+ (r;

k)| A(Br)+ A1 (Br).

ln Таким образом, мера является -взвешенной. По теореме 3 из [42] она является -допустимой.

Наоборот, пусть мера является -допустимой. Тогда |ck (r;

)| rk |k + S+ (r;

k)| + |S+ (r;

k)|, (9.10) Если 1 k p[], то A(Brk ) A(Br) A(Br) |k + S+ (r;

k)| = S+ (rk, r;

k) +. (9.11) k k rk r rk Если же k p[], то A(Br) A(Brj ) A(Br) |k + S+ (r;

k) lim S+ (r, rj ;

k) + lim =.

k rk rk rj j j (9.12) Из неравенств (9.10), (9.11) и (9.12) следует, что ck (r;

) удовлетворяют условию (9.4). Лемма доказана.

Введем теперь понятие канонической функции -допустимой меры. Пусть ck (r) = ck (r;

) – коэффициенты Фурье меры. Положим i (se ) = ck (s) sin k.

k= Для s 0 полагаем G(z, sei ) 1 s Ps (z) = (sei ) d, K(z, ) d(), as (z) = 2 2 n C+ (0,s) vs (z) = as (z) + Ps (z), G(z, sei ) где G(z, ) – функция Грина полукруга C+ (0, s), – ее произ n G(z, ) водная по внутренней нормали, и функция K(z, ) = продолжа ется по непрерывности в точки вещественной оси |t| R.

Положим теперь v(z) = vs (z) при |z| s.

Определение Функция v(z) называется канонической функцией меры.

Теорема 9.1 Каноническая функция -допустимой меры принадле жит классу JS, ее коэффициенты Фурье совпадают с коэффициентами Фурье меры, а ее полная мера совпадает с мерой.

Доказательство. Прежде всего докажем вспомогательную лемму.

Лемма 9.2 Пусть v1, v2 – субгармонические функции в полукруге C+ (0, R), имеющие при всех k Z одинаковые коэффициенты Фурье.


Тогда v1 v2.

Доказательство. Так как при любом r, 0 r R, коэффициенты Фурье функций v1 и v2 равны, то почти для всех [0, ] при любом фиксированном r, v1 (rei ) = v2 (rei ) [63, стp. 54]. Утвеpждение леммы тогда следует из pавенства v(z) = lim 2 v() ds(), 0 |z| где ds()–элемент площади. Это можно получить пеpеходом к повтоpно му интегpалу v(z + sei )s ds d v(z) = lim по области |z| s |z| +, 1 (s) 2 (s).

Докажем теперь теорему. Согласно (9.4) для каждого s 0 функ ция (sei ) принадлежит классу D2 ([64]), где D2 – множество pаспpе делений поpядка не выше 2.

Функция vs (z), очевидно, субгармонична в полукруге C+ (0, s). По кажем, что ck (r;

vs ) = ck (r) при r s, k N. Обозначим i Ps (re ) = dk (r) sin k.

k= Пусть k N. Тогда, используя разложение [13] ( ) 4 rm G rei, sei = sin m sin m R m=1 sm n и находя коэффициенты Фуpье функции as (rei ), получаем ( r )k ck (r, vs ) = ck (s) + dk (r). (9.13) s Коэффициенты Фурье функции Ps (rei ) находятся из фоpмулы:

rk sin k k dk (r) = k (Ps ) + d()+ 2k kr0 C+ (0,r0 ) k r sin k 1 sin k k d() k d().

D+ (r0,r) C+ (0,r) k k r k Отсюда, интегpиpуя по частям и учитывая, что Ps (sei ) = 0, [0, ], находим s 2 k (t) 1 sin k k k (Ps ) = dt = d() 2k t2k+ kr0 C+ (0,r0 ) r 1 sin k 1 sin k k d() + 2k d().

D+ (r0,s) C+ (0,s) k k k Подставляя это пpедставление в выpажение для dk (r), получим 1 sin k k dk (r) = k d() C+ (0,r) r k rk rk sin k sin k k d() + d().

D+ (r,s) C+ (0,r) k k2k k Кроме того, по определению коэффициентов мeры имеем [ ( r )k 1 sin k k k ck (s) = r k + d() + C+ (0,r0 ) 2k s kr ] rk 1 sin k sin k k d() d(), D+ (r0,s) C+ (0,s) k 2k k ks где k определены равенствами (9.4) и (9.6).

Подставляя это выражение и выражение для dk (r) в (9.13), полу чаем требуемое равенство для k N.

Если s s, то функция vs является продолжением функции vs.

Действительно, при 0 r s имеем ck (r, vs )=ck (r)= ck (r, vs ), и по лемме 9.2 vs (z) vs (z), если z C+ (0, s).

Положим теперь v(z) = vs (z) при |z| s. Очевидно, функция v(z) субгармоническая и удовлетворяет требованиям теоремы. Единствен ность ее следует из леммы 9.2. Теорема доказана.

9.3 Случай уточнeнного порядка в смысле Бутру В теории субгармонических функций в полуплоскости известно сле дующее утверждение, которое является аналогом условия Линделефа для целых функций конечного порядка. Пусть (r) – уточненный по рядок в смысле Валирона, lim (r) = 1. Для того, чтобы мера, r удовлетворяющая условиям {G }, была полной мерой субгармонической + функции v(z) конечного V (r) = r(r) -роста, необходимо и достаточно, чтобы при нецелом выполнялось неравенство (r) KrV (r), K 0, а при целом, чтобы еще дополнительно функция r [c + S+ (r;

, )] V (r) при некотором c была ограниченной функцией от r.

Следующая лемма является обобщением этого утверждения на слу чай, когда (r) является уточненным порядком в смысле Бутру.

Лемма 9.3 Пусть (r) = V (r) = r(r), где (r) – уточненный поря док в смысле Бутру, 1 = lim inf (r), = lim sup (r), – мера, r r удовлетворяющая условиям {G }. Справедливы такие утверждения:

+ 1) мера имеет конечную -плотность тогда и только тогда, когда (r) KrV (r), K 0;

(9.14) 2) -допустима тогда и только тогда, когда она удовлетворяет неравенству (9.14) и при всех целых k, удовлетворяющих неравен ству k, существуют вещественные числа k такие, что функции [k + S+ (r;

k, )] Lk (r) V (r) являются ограниченными функциями от r, где Lk (r) = ;

rk 3) если [] [] + 1, то каждая мера µ, удовлетворяющая неравенству (9.14), является -допустимой.

Доказательство. 1) Тот факт, что каждая мера, имеющая ко нечную -плотность, является мерой конечного -типа, был отмечен вы ше. Неравенство (9.14) следует из леммы 9.2.

Наоборот, пусть выполнено условие (9.14). Тогда, используя нера венство (2.4) при = 2, получим r V (r) K1 V (r) N (r, ) K dr, K1 0.

r( 1) r r 2) Пусть k, k N. Тогда, применяя неравенство (2.4) при = k + 1, получаем (считая, что r1 r2 ) r 1 r2 d(t) (t) 2 k + 1 r2 (t) |S+ (r1, r2, k, )| dt = k+1 + r1 tk+1 tk+ t r r2r KV (r2 ) K(k + 1) V (t) dt + k tk+ r ( ) r V (r2 ) K(k + 1) V (r2 ) V (r2 ), r.

K + +o ( k)r k k k r2 r Аналогичная оценка получается и при k, k N:

( ) V (r1 ) K(k + 1) V (r1 ) V (r1 ) |S+ (r1, r2, k, )| K k + r.

+o, (k )r1k k r1 r Если k удовлетворяет неравенству k, то по предположению функции [k +S+ (r;

k, )]/Lk (r) ограничены сверху числом K2 0. Тогда |S+ (r1, r2, k, )| |k + S+ (r1 ;

k, )| + |k + S+ (r2 ;

k, )| ( ) V (r1 ) V (r2 ) K2 (Lk (r1 ) + Lk (r2 )) = K2 +, k k r1 r т.е. мера является -сбалансированной, а значит и -допустимой. Об ратное следут из теоремы 3 работы [42].

3) Утверждение является следствием п.1) и п.2).

Рассмотрим теперь вид канонической функции меры в случае функции роста, определяемой порядком Бутру. Это представление ука зывает на то, что понятие канонической функции меры в общем случае является обобщением классических понятий, в частности, представления аналитической в C+ функции конечного порядка в виде произведения ка нонических множителей и интеграла по вещественной оси [13], теорема 3.2. Нам понадобится следующая теорема 5 из работы [42].

Теорема 9.2 Пусть ck (r) = ck (r;

, ) – коэффициенты Фурье пары (, ), удовлетворяющие условию sup ck (r) C(r), r 0. (9.15) kN Тогда существует единственная субгармоническая функция v такая, что ее полная мера (v) = и ck (r;

v) = ck (r) для всех k N и r 0.

Обозначим [ )] ( z zk p 1 ln Kp (z, ) = +, p = 1, 2,....

z k k k k= z K0 (z, ) = ln.

z Здесь и ниже мы рассматриваем однозначную ветвь функции ln z в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной полуоси.

Теорема 9.3 Пусть – -допустимая мера в полуплоскости C+, об ладающая свойствами {G+ }, и не нагружает некоторую окрестность нуля. Пусть (r) = V (r) = r(r), где (r) – уточненный порядок в смыс ле Бутру, = lim inf (r), = lim sup (r). Тогда ее каноническая функ r r ция v(z) имеет следующий вид:

1 v(z) = K0 (z, ) d1 () + Kp (z, ) d2 (), (9.16) 2 где, 1 – сужение меры на круг C(0, 1), 2 = 1, p = [].

Доказательство. Обозначим через F (z) функцию, определяемую правой частью формулы (9.16). Ее полная мера равна [21]. Так как пол ные меры v(z) и F (z) совпадают, то по теореме 9.2 достаточно показать, что их коэффициенты Фурье равны. Переопределив значения функции V (r) на конечном отрезке, можно считать, что в неравенстве (9.5) числа rk выбраны так, что мера не нагружает круги C(0, rk ). Тогда в формуле (9.6) числа k = 0, k p. Для k p имеем k = S(;

k).

Получаем, что коэффициенты Фурье функции F (z) определяются формулами ck (r;

F ) = rk (k + S+ (r;

k, F )) S+ (r;

k, F ), k N, (9.17) где k = ck (r0 ;

F ). Поэтому в силу определения коэффициентов Фурье меры достаточно доказать, что k = k при k N.

Пусть r0 = minkp rk. Поскольку при |z| || zk ( 1 ) rk ln Kp (z, ) = = 2 sin k sin k, k k k k k k=p+1 k=p+ где z = rei, = ei, то при k p ck (r0, F ) = 0. Из (9.17) получаем тогда, что и k = 0 при k p, а из неравенствa (9.9), после деления обеих частей (9.17) на rk и переходом к пределу при r, получаем, что k = S(;

k, F ) = S(;

k, ) при k p.

Что и требовалось доказать.

10 ТЕОРЕМЫ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ ДЛЯ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В разделе изучены варианты теорем о существовании решений мно гозначных включений в евклидовых пространствах, в том числе теорем о неподвижной точке для многозначных отображений, основанных на обобщении “условия острого угла” [30]. Направление исследования ин спирировано работами К.Н. Солтанова [51], в которых разработан ме тод нахождения неподвижных точек для разрывных отображений. Дру гие подходы к установлению наличия неподвижных точек можно найти в [25].

Пусть E n — n-мерное евклидово (вещественное или комплексное) пространство,, — скалярное произведение в E n, conv A — выпуклая оболочка множества A.

Далее будем рассматривать многозначные (в их числе однозначные и разрывные) отображения подмножеств евклидового пространства. Ес ли F1, F2 : X Y — два многозначных отображения, то будем говорить, что F2 есть сужением отображения F1, если F1 (x) F2 (x) = для всех точек x X. Скажем, что на множестве A отображение F удовлетворяет “условию (строгого) острого угла”, если выполнено условие Rex, y () 0 для всех пар точек x A, y F (x). Под отображением G = Id F понимаем многозначное отображение G : X X, ставящее в соответ ствие точке x X множество точек G(x) = {x y| y F (x)}.

Теорема 10.1. Пусть D — область евклидова пространства E n, ко торая содержит начало координат. Пусть K D — подмножество в замыкании этой области, обладающее следующим свойством (): на каждом луче, выходящем из начала координат, лежит хотя бы од на точка, принадлежащая K. Пусть ограничение многозначного отоб ражения F : D E n на подмножество K удовлетворяет “условию острого угла” и conv F (K) — компакт. Тогда, если F (D) conv F (K), то 0 F (D).

Доказательство. Предположим, что 0 F (D). Следовательно, / 0 conv F (K). Тогда, согласно геометрической форме теоремы Хана / Банаха, существует гиперплоскость L, которая отделяет начало коор динат от conv F (K). Выберем луч l, выходящий из начала координат перпендикулярно к гиперплоскости L и направленный в сторону проти воположную этой гиперплоскости. Согласно условию () этот луч пере сечет множество K. Выберем точку x l K. С одной стороны точка F (x) F (K) conv F (K), а с другой, согласно “условию острого угла”, образ должен находиться в том же полупространстве по отношению к гиперплоскости L, что и точка x. Полученное противоречие доказывает теорему.

Поскольку мы не требовали от отображения F ни однозначности, ни непрерывности, то, очевидно, справедливо следующее следствие.

Следствие 1. Пусть K D — подмножество области D, обла дающее свойством (). Пусть ограничение многозначного отображе ния F : D E n на подмножество K имеет сужение F1, которое удовлетворяет “условию острого угла” и conv F1 (K) — компакт. То гда, если F (D) conv F1 (K), то 0 F (D).


Следствие 2. Пусть K D — подмножество области D, обла дающее свойством (). Пусть ограничение многозначного отображе ния G = Id F : D E n на подмножество K имеет сужение G1, которое удовлетворяет “условию острого угла” и conv G1 (K) — ком пакт. Тогда, если G(D) conv G1 (K), то отображение F имеет неподвижную точку x F (x).

Теорема 10.2. Пусть D — область евклидова пространства E n, ко торая содержит начало координат. Пусть K D — подмноже ство в замыкании этой области, обладающее свойством (). Пусть ограничение многозначного отображения F : D E n на подмноже ство K удовлетворяет “условию строгого острого угла”. Тогда, если F (D) conv F (K), то 0 F (D).

Доказательство. Предположим, что 0 F (D) и, следователь / но, 0 conv F (K). Внутренность Int (conv F (K)) будет выпук / лым открытым множеством, не содержащим начало координат. Если Int (conv F (K)) =, то множество conv F (K) полностью лежит в некоторой гиперплоскости, поэтому существует гиперплоскость L, ко торая проходит через начало координат и которая или полностью со держит множество conv F (K) или с ним не пересекается. Если же Int (conv F (K)) =, то существует гиперплоскость L, которая прохо дит через начало координат и не пересекает множество Int (conv F (K)).

Для произвольного выпуклого множества A с непустой внутренностью Int A = справедливо Int A = A. Следовательно, в обоих случаях множество conv F (K) полностью лежит в одном из замкнутых полупро странств, на которые плоскость L разбивает пространство. Теперь, как и в случае теоремы 1, выберем луч l, выходящий из начала координат перпендикулярно к гиперплоскости L и направленный в сторону, про тивоположную полупространству, содержащему множество conv F (K).

Согласно условию теоремы этот луч пересечет множество K. Выберем точку в пересечении x l K. Согласно “условию строгого острого угла”, е образ F (x) должен находиться во внутренности того же полу пространства по отношению к гиперплоскости L, что и точка x и, есте ственно, не может принадлежать conv F (K). Полученное противоречие доказывает теорему.

Аналогично следствию 1 справедливо следующее утверждение.

Следствие 3. Пусть K D — подмножество области D, об ладающее свойством (). Пусть ограничение многозначного отобра жения F : D E n на подмножество K имеет сужение F1, ко торое удовлетворяет “условию строгого острого угла”. Тогда, если F (D) conv F1 (K), то 0 F (D).

Следствие 4. Пусть K D — подмножество области D, обла дающее свойством (). Пусть ограничение многозначного отображе ния G = Id F : D E n на подмножество K имеет сужение G1, которое удовлетворяет “условию строгого острого угла”. Тогда, если G(D) conv G1 (K), то отображение F имеет неподвижную точку x F (x).

Замечание 1. Если в предыдущих результатах K D (подмно жество лежит во внутренности области), то все изложенные результа ты остаются справедливыми, если рассматривать отображения открытой области.

Замечание 2. Для справедливости предыдущих результатов до статочно существования в пространстве E n инвариантного относительно рассматриваемого отображения подпространства T (т.е. F (T ) T ), для ограничения F на которое должны выполняться условия соответствен ных утверждений.

Пример. Пусть f : B 2 B 2 — разрывное однозначное отображе ние замкнутого единичного круга на себя со следующими свойствами.

Если будем рассматривать граничную окружность B 2 как множество точек S = {z = ei, 0 2}, то пусть e/2, 0 / e+/2, /2 f (e ) = e, На внутренности круга пусть f — произвольный гомеоморфизм внутренности круга B 2 на открытый единичный полукруг B = {z Int B 2, Im z 0}. Очевидно, что образ f (B 2 ) совпадает с выпуклой оболочкой множества f (S 1 ), но 0 f (B 2 ).

/ Этот пример показывает, что в обеих теоремах есть ограничения, которые невозможно существенно ослабить. В теореме 1 — это требова ние компактности conv F (K), а в теореме 2 — “условие строгого острого угла”.

ВЫВОДЫ Важными характеристиками субгармонической функции является еe порядок и тип. Во втором разделе рассматриваются функции, рост которых определяется некоторой функцией роста (r). Эффективным методом при изучении классов таких функций является метод рядов Фу рье, который был применeн Л. Рубелом и Б. Тейлором [98] для изучения свойств мероморфных функций. На случай дельта-субгармонических функций этот метод был распространeн Я. В. Василькивом и К. Г. Ма лютиным. Мы дополняем их исследования, обобщая канонические пред ставления целых и мероморфных функций произвольного гамма-роста, полученные в работах Л. Рубела и Б. Тейлора, аналогичными представ лениями суб- и дельта-субгармонических функций. Классическая теоре ма Адамара утверждает, что любая субгармоническая функция v поряд ка, 0, v(0) = 0, может быть представлена в виде ( ) z v(z) = Re Pp (z) + ln E, p dµ(), p = [], где Pp (z) – многочлен степени не выше p, E(u, p) – первичный множитель Вейерштрасса рода p, µ – риссовская мера функции v.

Теоремы 2.1 и 2.4 являются новыми теоремами такого типа. Они на ходят сво применение при изучении замкнутых идеалов целых функций e и при решении задач свободной интерполяции в классах целых функций конечного гамма-типа. Кроме того, если теорема 2.1 является обобще нием результатов Л. Рубела и Б. Тейлора на случай субгармонических функций, то теорема 2.4 не имеет аналогов в предшествующих работах и является принципиально новой. Важным результатом второго разде ла является и теорема 2.2, обеспечивающая существование равномерно гамма-сбалансированных остатков для любой меры, которая является мерой Рисса субгармонической в комплексной плоскости функции v(z).

Во втором разделе доказан также ряд лемм, которые имеют как самосто ятельное значение, так и применяются при доказательстве других утвер ждений.

Представляет также интерес новое доказательство теоремы 2.1, в которой сформулированы критерии принадлежности дельта-субгармони ческой функции к заданнаму классу функций, определяемому некоторой функцией роста.

Для классов субгармонических функций конечного порядка за служивает внимания теорема 2.3, в которой доказывется эквивалент ность представлений в смысле Вейерштрасса и обобщнных канониче е ских представлений, вводимых в работе.

Теория целых функций вполне регулярного роста (в.р.р.) относи тельно функции (r), близкой к степенной, созданная в конце 30-х го дов XX века независимо друг от друга Б. Я. Левиным и А. Пфлюге ром, занимает видное место в комплексном анализе. Исследования по этой теории продолжаются, одновременно расширяется круг ее прило жений – от теории характеристических функций вероятностных зако нов и аналитической теории дифференциальных уравнений до теории краевых задач, представления аналитических функций рядами экспо нент и теории субгармонических функций. А. Ф. Гришин перенес теорию Левина-Пфлюгера на субгармонические функции в комплексной плоско сти. Используя метод рядов Фурье, А. А. Кондратюк, обобщил теорию Левина-Пфлюгера целых функций вполне регулярного роста на меро морфные функции произвольного -типа. Эти обобщения были сделаны им в двух направлениях: 1) рост функций измерялся относительно про извольной функцией роста (r);

2) были введены и исследованы классы мероморфных в комплексной плоскости функций в.р.р.

В работе рассматриваются суб- и дельта-субгармонические функ ции вполне регулярного роста в полуплоскости. Техническим аппаратом при изучении классов таких функций является теория полной меры, ко торый была разработана А. Ф. Гришиным. Используя теорию полной ме ры и метод рядов Фурье, К. Г. Малютин получил ряд фундаментальных результатов для суб- и дельта-субгармонических функций произвольно го гамма-роста, которые являются аналогами соответствующих резуль татов Л. Рубела, Б. Тейлора, Д. Майлза. Четвертый раздел является ло гическим продолжением работ К. Г. Малютина и Н. Садыка и посвящн e теории роста суб- и дельта-субгармонических функций в полуплоскости.

Классическая теорема А. А. Кондратюкаа утверждает, что коэффициен ты Фурье любой мероморфной функции f порядка регулярно растут на бесконечности. Теорема 4.5 является новой теоремой такого типа.

Как и в случае плоскости важным результатом четвертого разде ла является и теорема 4.6, обеспечивающая принадлежность идикатора h(, v) классу L2 [0, ].

В четвертом разделе мы предполагали при определении классов растущих функций, что функция роста (r) удовлетворяет условию (3.5). Оно необходимо, если мы хотим использовать для определения ро ста классическую неванлинновскую характеристику T (r, v), т.к. неравен ство T (r, v) A(Br)/r уже накладывает это ограничение на функцию роста. Если мы хотим рассматривать общий случай, без всяких огра ничений на функцию роста (например, случай (r) = r, 0 1), то мы должны использовать более сложную характеристику, чем неван линновская, а именно v J((r)), если r (t) A A m(r2, v) + m(r1, v) + dt (Br1 ) + (Br2 ) t3 r1 r r для всех r2 r1 0. В этом случае все утверждения нашей работы имеют место, а их доказательство автоматически повторяет приведенные выше рассуждения.

Заметим, что это определение и определение, данное выше, совпа дают если функция роста удовлетворяет условию (3.5).

Введенное в статье определение порядка, в случае когда функция v является субгармонической в полуплоскости и (r) = r, совпадает с определением введенным Л. И. Ронкиным и отличается от определения формального порядка, введенного А. Ф. Гришиным, и эквивалентных между собой определений порядка Е. Титчмарша и Н. В. Говорова. Од нако, все эти понятия совпадают при 1. Качественное их отличие воз никает при 1. В этом случае наше определение является наиболее широким, т.е. субгармоническая функция конечного порядка в смысле А. Ф. Гришина или Титчмарша–Говорова является функцией конечного порядка в смысле определения данного в статье.

В пятом разделе получены два критерия разрешимости задачи простой свободной интерпорляции в классе целых функций, заранее не фиксированного нормального типа относительно нулевого уточннного е порядка (r). В формулировке первого критерия участвует мера, по рожднная узлами интерполяции, в формулировке второго – канониче е ское произведение, порожднное этими узлами. В предшествующей ра е боте А.В. Братищева и Ю.Ф. Коробейника такая задача рассматрива лась при очень жстких ограничениях на уточннный порядок (r), и е е тем не менее, часть результатов этой работы, относящаяся к нулевому уточннному порядку нуждается в корректировке. Основным результа е том раздела являются две теоремы — Теорема 5.6 и теорема 5.7. От метим, что в случае, когда lim (r) = 0 в теоремах, аналогичных r теоремам 5.6 и 5.7 нет аналога условия 3). Дело в том, что в этом случае, как показал К. Малютин, условие 3) является следствием предыдущих условий. Однако его рассуждения не распространяются на случай, когда = 0. Поэтому в теоремах 5.6 и 5.7 появляется специфическое условие 3).

В заключение раздела мы приводим теоремы 5.8 – 5.11, которые можно рассматривать как примеры на применение теорем 5.6 и 5.7, и которые, на наш взгляд, имеют самостоятельный интерес.

В шестом разделе рассматривается задача кратной интерполяции в классе аналитических в верхней полуплоскости функций нулевого по рядка и типа не выше нормального. Задача относится к классу задач свободной интерполяции, которые впервые начал рассматривать А.Ф.

Леонтьев. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости этой задачи. Полученные критерии формулируются как в терминах ка нонических произведений, построенных по узлам интерполяции, так и в терминах неванлинновской меры, определяемой этими узлами. Работа является продолжением исследований К. Малютина, рассматривавшего аналогичные задачи в классах аналитических в полуплоскости функций ненулевого порядка. Основным результатом этого раздела является тео рема 6.1.

Седьмой раздел посвящен субгармоническим функциям бесконеч ного порядка в полуплоскости с полной мерой на мнимой полуоси. Здесь доказан (теорема 7.1) аналог одного утверждения из работы [86], в кото рой рассматривались целые функции, нули которых лежат на конечной системе лучей. В частности, доказывалось, что если f – целая функция бесконечного порядка с положительными нулями, то е нижний порядок е также равен бесконечности.

В восьмом разделе получены (теорема 8.1) критерии принадлеж ности дельта-субгармонической функции к классу функций конечного (, )-типа в полуплоскости. Эти критерии формулируются в терминах коэффициентов Фурье этой функции. Классы мероморфных функций конечного (, )-типа были введены Б.Н. Хабибуллиным. Настоящая ра бота является естественным продолжением его исследований.

Девятый раздел посвящен обобщению классических результатов Адамара, Вейерштрасса, Неванлинны о представлении функций на слу чай дельта-субгармонических функций в полуплоскости произвольного гамма-роста. Мы вводим понятие канонической функции меры конеч ного -типа, распределенной в верхней полуплоскости, которая в случае дискретной меры совпадает с определением канонического произведения Неванлинны, построенного по нулям функции, аналитической в верхней полуплоскости [13]. Основной результат теорема 9.1.

В десятом разделе исследуются избранные вопросы интегральной геометрии. Затронутая проблематика связывает в один узел проблемы комплексного анализа, топологии и элементы выпуклого анализа. Основ ной цикл рассматриваемых задач — это вопросы топологической класси фикации обобщенно выпуклых множеств в комплексных пространствах.

Среди таких множеств важную роль играют линейно выпуклые и сильно линейно выпуклые множества. Геометрические свойства этих множеств, в отличие от аналитических их свойств, до последнего времени были мало исследованыю Решен ряд проблем, поставленных Л.А. Айзенбер гом, по геометрическому описанию сильно линейно выпуклых множеств.

Показано, что эти множества являются естественным классом, на кото ром можно постро- ить комплексную теорию, аналогичную веществен ному выпуклому анализу. Все классические результаты выпуклого ана лиза находят в подходящей интерпретации комплексную трактовку. Ис пользование в доказательствах групп когомологий позволяет преодолеть сложность, связанную с тем, что комплексная гиперплоскость не разби вает пространство. Решенные здесь задачи позволяют по-новому взгля нуть на утверждения выпуклого анализа и распространить их на бо лее широкий класс множеств даже в вещественном случае. Впервые для решения задач, которые вообще не удавалось решить, применен метод многозначных отображений. Исследование графиков этих отображений приводит к нахождению простых и окончательных решений задач описа ния глобальных свойств множества по известным свойствам его сечений линейными многообразиями. Изучаются классы отображений, инвари антные на обобщенно выпуклых множествах. Приводится решение ряда основных задач обобщенной выпуклости. Но разработанные в ней поня тия и методы позволяют ставить вопрос о решении многих других задач комплексного анализа и применения геометрических и топологических методов в анализе.

Изучены варианты теорем о существовании решений многозначных включений в евклидовых пространствах, в том числе теорем о неподвиж ной точке для многозначных отображений, основанных на обобщении “условия острого угла” [30]. Направление исследования инспирировано работами К.Н. Солтанова [51], в которых разработан метод нахожде ния неподвижных точек для разрывных отображений. Другие подходы к установлению наличия неподвижных точек можно найти в [25]. Основ ной результат — теорема 10.1.

Перечень ссылок [1] Т. И. Абанина, Интерполяционная задача в пространствах целых функций сколь угодно быстрого роста, Изв. вузов. Матем., 4 (1990), 72–74.

[2] Н.И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, Наука, M., 1970.

[3] Н.И. Ахиезер, Классическая проблема моментов, ГИФМЛ, М., 1961.

[4] Н.И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, Наука, M., 1965.

[5] А.В. Братищев, Об интерполяционной задаче в некоторых классах целых функций, Сиб. мат. журн., 17, (1976), № 1, 30–40.

[6] A.В. Братищев, Ю.Ф. Коробейник, Кратная интерполяционная за дача в пространстве целых функций заданного уточненного поря дка, Изв. АН СССР. Сер. мат., 40:5 (1976), 1102–1127.

[7] M. Брело М. Основы классической теории потенциала, Мир, M., 1964.

[8] Я.В. Василькiв, Деякi властивостi -субгармонiчних функцiй скiнченного -типу, Вiсн. Львiв. у-ту, Сер. мех.-мат., 21 (1983), 14– 21.

[9] Я.В. Василькив, Исследование асимптотических свойств целых и субгармонических функций методом рядов Фурье: дис.... канд.

физ.-мат. наук: 01.01.01, Львов, 1986.

[10] И.Н. Векуа, Обощенные аналитические функции, Наука, М., 1988.

[11] О.В. Веселовська, Аналог теоремы Майлза для -субгармонических в Rn функций, Укр. мат. ж., 36:6 (1984)/, 694–698.

[12] С. А. Виноградов, В. П. Хавин, Свободная интерполяция в H и в некоторых других классах функций.II, Исследования по линейным операторам и теории функций. VI, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 56, (1976), 12–56.

[13] Н. В. Говоров Краевая задача Римана с бесконечным индексом, Наука, М., 1986.

[14] А. A. Гольдберг, И. В. Островский, Распределение значений мероморфных функций, Наука, M., 1972.

[15] 1. А.А. Гольдберг, Б.Я. Левин, И.В. Островский, Целые и мероморфные функции, Итоги науки и техн., Соврем. пробл. мат., 85, ВИНИТИ, 1991.

[16] А.А. Гольдберг, Н.В. Зоболоцкий, Индекс концентрации субгармо нической функции нулевого порядка, Матем. заметки, 34:2 (1983), 227–236.

[17] И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосо пряженных операторов, Наука, М., 1965.

[18] И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн, Теория вольтерровых операторов в гил ьбертовом пространстве и ее приложения, Наука, М., 1967.

[19] А. Ф. Гришин, О регулярности роста субгармонических функций, Теория функций, функциональный анализ и их приложения, (1968), 59–84.

[20] А.Ф. Гришин, Субгармонические функции конечного порядка: дис.

... доктора физ.-мат. наук: 01.01.01, Харьков, 1992.

[21] А.Ф. Гришин, Непрерывность и асимптотическая непрерывность субгармонических функций, Математическая физика, анализ, геометрия. 1:2 (1994), 193–215.

[22] A.Ф. Гришин, Т.И. Малютина, Об уточненном порядке, Комп лексный анализ и математическая физика, Сб. статей, Красноярский госуниверситет, Красноярск (1998), 10–24.

[23] А.Ф. Гришин, А.М. Руссаковский, Свободная интерполяция целыми функциями, Теория функций, функцион. анализ и их прил., (1985), 32–42.

[24] Е.Б. Дынкин, Марковские процессы, ГИФМЛ, М., 1963.

[25] Ю.Б. Зелинский, Многозначные отображения в анализе // Наукова думка, Киев, 1993.

[26] А.А. Кондратюк, Метод рядов Фурье и Фурье-Лапласа для мероморфных и субгармонических функций вполне регулярного роста: дис.... доктора физ.-мат. наук: 01.01.01, Киев, 1986.

[27] А.А. Кондратюк, О методе сферических гармоник для субгармонических функций, Мат. сб.,. 116:2 (1981), 147–165.

[28] А.А. Кондратюк, Сферические гармоники и субгармонические функ ции, Мат. сб.,. 125:2 (1984), 147–166.

[29] А.А. Кондратюк, Ряды Фурье и мероморфные функци, Вища школа, Львов, 1988.

[30] М.А. Красносельский, Топологические методы в теории не линейных интегральных уравнений, Гостехиздат, М., 1956.

[31] Н.С. Ландкоф, Основы современной теории потенциала, Наука, М., 1966.

[32] Г. П. Лапин, О целых функциях конечного порядка, принимающих вместе с производными заданные значения в заданных точках, Сиб. мат. журн., 6:6 (1965), 1267–1281.

[33] Б.Я. Левин, Распределение корней целых функций, ГИТТЛ, М., 1956.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.