авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

«АКАДЕМИЯ НАУК СССР НАУЧНЫЙ СОВЕТ ПО ПРОБЛЕМАМ БИОСФЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В БИОЛОГИИ Материалы I школы но математическому ...»

-- [ Страница 5 ] --

Линия ней тральности Рис. 1. Структурный портрет системы в канонических и экспериментальных параметрах Изображены границы экспериментальной реализуемости (линии а = 0 и р = 0). Случай а 3. УСТОЙЧИВЫЕ И НЕУСТОЙЧИВЫЕ КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ Найденные линии делят плоскость параметров на четыре об ласти, в каждой из которых система сохраняет определенный тип кинетики. Изменение типа происходит при пересечении парамет рами критических линий. Основные, грубые черты системы опре х деляются свойствами критической точки р = 0, д = 0. Амплитуд ное уравнение в этой точке становится особенно простым:

(12) eft и сразу выделяются два противоположных случая соответственно по знаку числа а.

В случае положительного коэффициента а0 (13) амплитуда колебаний z обращается в бесконечность, причем, как это видно из решения го (14) Z= Стрелки двух приборов («р-метра» и «g-метра») дрожат на красной чер те, а мы смотрим, взорвется или не взорвется.

нарастание размаха колебаний до бесконечных размеров происхо дит за конечное время определяемое величиной начального возмущения z 0.

Когда формула дает ответ «бесконечность», это всегда означает, что мы пытаемся применить ее за границами применимости. В на шей задаче амплитудное уравнение было получено разложением в р я д и отбрасыванием членов более высокого порядка малости.

Д л я отрицательных а колебательный режим, на который выходит решение, остается вблизи стационарной точки (в фазовом прост ранстве). Разложение в ряд поэтому законно.

Если же (при а ^ 0) решение выходит за пределы малой окрест ности, то замена системы амплитудным уравнением незаконна.

Поэтому уход решения на бесконечность не следует принимать слишком близко к сердцу: свойств реальной системы он, конечно, не отражает. Это не значит, однако, что ключевое уравнение бессмысленно. Напротив, оно совершенно правильно описывает не только факт ухода из малой окрестности, но и детали кинетики этого ухода (например, число оборотов). Н о финальное движение оно описывает совершенно неверно. Это к а к раз то, чего следовало ожидать. Система уходит куда-то далеко, на «большой» предель ный цикл или в другую стационарную точку. Д л я амплитудного уравнения, «рассматривающего» окрестность данной стационар ной точки в микроскоп с бесконечно большим увеличением (е--0), эти точки находятся на бесконечности, о чем уравнение и «сообщает» единственно доступным ему способом.

Случай отрицательного коэффициента а 0 (16) характеризуется устойчивостью стационарной точки. Решение имеет в точности тот же вид (14), что и для случая положительного а. Но смысл решения совершенно иной: начальное возмущение г0 за время Т (17) Т= ~ 2|| уменьшается в У 2 раз. Поэтому решение при всех t остается в об ласти применимости амплитудного уравнения, которое описывает, следовательно, асимптотически точно поведение системы.

4. МЯГКИЙ И ЖЕСТКИЙ РЕЖИМЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ Анализ, проведенный в работе [4] и приведший к выводу ампли тудного уравнения (1), позволяет заключить, что характер воз буждения колебаний с кинетической точки зрения одинаков во Рис.:2. Точка Л. Жесткий срыв колебаний Рис. 3. Точка В. Жесткое воз буждение колебаний Рис. 4. Точка D. Сохранение стационарного режима Рис. 5. Точка С. Мягкое воз буждение колебаний всех системах, независимо от их строения и происхождения. Мож но поэтому ожидать, что понятие мягкого и жесткого режимов возбуждения колебаний, возникшее при исследовании [7] лам повых генераторов в радиотехнике, применимо к любым системам.

Это ожидание оправдывается. Некоторое отличие обусловлено тем, что общие системы имеют многомерные фазовые пространства, в то время как уравнения в радиотехнике обычно второго порядка и фазовый портрет можно рисовать на плоскости. Но в малой окрестности критической (р = О, q — 0) точки дополнительные степени свободы не проявляются и картина возбуждения колеба ний может быть описана в привычных терминах мягкого и жесткого режимов.

Известный графический метод изучения одного уравнения [8] состоит в построении графика правой части. Пересечение кривой с осью z дает стационарные точки, а знак функции указывает направление движения. В нашем случае достаточно построить четыре графика, соответствующие типичным точкам критических линий А, В, С и D рис. 1. На приведенных графиках (рис. 2—5) область отрицательных z заштрихована, так как для исходной системы эти значения не имеют смысла, что не мешает им быть весьма полезными при изучении амплитудного уравнения. Толстые сплошные линии на этих графиках дают поведение правой части (z) как функции z в точках на критических линиях. Тонкие сплош ные линии показывают результат небольшого сдвига параметров в область между параболой и касательной к ней осью q. Пунктиром дан сдвиг внутрь параболы, и, наконец, штрих-пунктир исполь зован при сдвиге в закритическую (р ^ 0) область. Буквой Н обозначен возникающий при сдвиге неустойчивый цикл, Уст.— устойчивые циклы. Двойные стрелки показывают направление движения в силу амплитудного уравнения изображающей точки z.

5. НЕИЗБЕЖНОСТЬ ГИСТЕРЕЗИСА В ЖЕСТКОМ РЕЖИМЕ Наиболее ярким (и экспериментально легче всего обнаруживае мым) оказывается явление гистерезиса в жестком режиме колеба ний. Это явление вызывается «набуханием» и «сморщиванием»

(при изменении параметров) неустойчивого предельного цикла.

Сливаясь с охватывающим его устойчивым предельным циклом, он заставляет систему «свалиться» в положение равновесия.

Наоборот, сжимаясь в точку, он делает неустойчивым положение равновесия, вынуждая переход системы в колебательный режим.

Н а графиках, изображающих зависимость z от z (см. рис. 2—5), жесткому режиму соответствуют два положительных корня.

Движение меньшего из них (он дает амплитуду неустойчивого предельного цикла) перераспределяет (рис. 6) области притяжения положения равновесия и колебательного режима.

6.'ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОСТРОЕНИЕ СТРУКТУРНОГО ПОРТРЕТА СИСТЕМЫ Проведенный анализ позволяет указать план проведения серии экспериментов по построению структурного портрета системы (рис. 7). Основная цель — экспериментальное отыскание точки О максимальной критичности и построение критических линий ОА, OB и ОС. Предполагается, конечно, что техника эксперимента обработана настолько, чтобы достаточно уверенно фиксировать экспериментальные параметры а и р.

Элементарный анализ, на котором нет смысла останавливаться подробнее, позволяет построить серию графиков, показывающих изменение амплитуды колебаний вдоль кривых на плоскости параметров. На рис. 8—12 приведены типичные «эксперименталь ные» кривые. Принадлежность точки к критической линии ОС проявляется изломом в экспериментальной кривой (рис. 8). По мере приближения точки С к точке О излом увеличивается. Мяг кий режим становится все более жестким. Максимального значе ния излом достигает при движении вдоль линии О'О", проходящей Л.,' ос Рис. 6. Фазовый портрет системы с жестким возбуждением Рис. 7. Различные воздействия на систему, описываемые изменением экспе риментальных параметров Случай а 0. ОС — линия мягкого возбуждения колебаний;

ОВ — линия жесткого воз буждения колебаний;

ОА — линия жесткого срыва колебаний через критическую точку О (рис. 9). Гистерезис в жестком режиме позволяет построить не только линию ОБ, но и линию ОА. Первое экспериментальное «соприкосновение» с явлением гистерезиса оставляет ощущение необратимости, если изменение параметров производить достаточно плавно (рис. 10). Лишь возвращение достаточно далеко назад, за точку А, восстанавливает состояние равновесия — тоже скачком (рис. 11).

Таким образом, точка В обнаруживает себя скачкообразным возбуждением колебаний при движении А'АВВ'. Очень сущест венно, что движение начинается именно в точке А'. При обратном движении точка В ничем не выделяется, зато происходит срыв колебаний в точке А, переход через которую был незаметен при движении А' -*• В. Общий качественный рецепт эксперименталь ного обнаружения точки О состоит в том, чтобы мягкий режим стараться сделать более жестким, а жесткий — более мягким.

В заключение полезно указать на возможность инверсных ситуаций. Нормально срыв колебаний в точке А происходит при Амплитуда квлебай Рис. 8. Мягкий режим Движение вдоль кривой О' ОСС на рис. Амплитуда колебании Рис. 9. Граница мягкого и жесткого режимов В точке максимальной критичности касательная вертикальна О' О"/?ара метр Амплитуда тлеоаний Рис. 10. Возбуждение колеба ний в точке В и «невозмож ность вернуться к равновесию»

пара метр Рис. И. Полная петля гисте резиса в жестком режиме Амплитуда колебаний Рис. 12. Срыв колебаний при растущей амплитуде Предельная линия соответствует критической линии ОА на рис. S пара метр падающей амплитуде. Можно, однако, добиться срыва колебаний при постоянной или даже растущей амплитуде.

Для этого необходимо (ясно, что экспериментально это трудная задача) менять параметры вдоль такой кривой АВ'"В, которая в плоскости канонических параметров лежит между параболой АО и касательной АВ", проведенной к параболе в точке А (рис. 12).

Движению точно по касательной соответствуют сохранение ампли туды и внезапный срыв колебаний в точке А (см. рис. 12). Однако экспериментальное обнаружение этих инверсных явлений требует поистине ювелирной техники, так как работать приходится в очень малой области АВ"А.

7. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ Разобранный пример возбуждения колебаний помогает по нять общее значение математических моделей. Вывод системы на линию нейтральности оказывается настолько важным событием в ее истории, что строение или происхождение системы оказывают ся второстепенными «подробностями»: в критических условиях логика поведения диктует логику строения. Вдали от кризисной ситуации на первый план выступают специфика системы и особен ности функционирования. Однако качественная схема сохраняется полностью и может измениться только при переходе через очеред ную границу устойчивости.

Качественный скачок сложности (возникновение колебатель ной степени свободы в нашем примере), происходящий в критиче ской точке, невольно наводит на мысль о важнейшем эволюцион ном понятии — ароморфозе [9]. Тогда медленные количественные изменения между двумя кризисами естественно сопоставляются с идиоадаптациями.

Разумеется, прямое отождествление этих понятий было бы вульгаризацией. Однако противоположная крайность — отрица ние какого бы то ни было сходства в этих двух рядах понятий — непростительное легкомыслие. Самое разумное поэтому при клас сификации разнообразнейших типов переходов через критические точки искать черты сходства и различия с теорией ароморфоза и иметь в виду построение в будущем простейшей математической модели ароморфоза.

В заключение стоит подчеркнуть, что изучение сложных систем стимулирует постановку задач, весьма непривычную для матема тика. Если понимать сложность (в самом простом варианте) как число параметров, от которых зависит система, то, чем сложнее система, тем «вырожденнее» ее точка максимальной критичности.

Придется, например, изучать стационарные точки, где есть два нулевых корня, три корня — чисто мнимые с двумя резонансными соотношениями между ними и, кроме того, один из коэффициентов (типа а в нашем примере) канонической формы равен нулю. Мате матик склонен свысока относиться к таким задачам. Не исключе но, однако, что классификация типов кинетики в критических точ ках неизбежно приведет и к таким «вырожденным» системам.

Возможно, что термин «вырожденность» полезно в этих видах заменить термином «сложность».

ЛИТЕРАТУРА 1. Колебательные процессы в биологических н химических системах. Труды симпоз. Пущино-на-Оке. М., «Наука», 1967.

2. Молчанов А. М.— В сб.: Колебательные процессы в биологических и хи мических системах. М., «Наука», 1967, с. 285.

3. Дещеревский В. И. Кинетическая модель мышечного сокращения и ее экспериментальная проверка. Автореф. канд. дисс. М., 1970.

4. Молчанов А. М. Нормальная форма нелинейной системы вблизи крити ческой точки. Препринт № 6, ИПМ-ИБФ, 1969.

5. Олъсон Г. Ф. Динамические аналогии. М., ИЛ, 1947.

6. Боголюбов Д. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в тео рии нелинейных колебаний, I. M., Гостехиздат, 1955, с. 12.

7. Андронов А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М., Физматгиз, 1959.

8. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в тео рии нелинейных колебаний. П. М., Гостехиздат, 1955, с. 19.

9. Северцов А. Н. Главные направления эволюционного процесса. М.— Л., Биомедгиз, 1934.

СОДЕРЖАНИЕ Предисловие А. А. Ляпунов, Г. П. Багриновская. О методологических вопро сах математической биологии Н. В. Тимофеев-Ресовский. Популяции, биогеоценозы и биосфера Земли Ю. М. Свирежев. О математических моделях биологических сооб ществ и связанных с ними задачах управления и оптимизации Л. Р. Гинзбург. Уравнения теории биологических сообществ.... А. И. Брежнев, Л. Р. Гинзбург, Р. А. Полуэктов, И. А. Швытов.

Математические модели биологических сообществ и задачи управ ления И. А. Швытов. Математические модели роста численности клеточ ных популяций А. М. Молчанов. Математические модели в экологии. Роль кри тических режимов А. М. Молчанов. Критические точки биологических систем (математи ческие модели) *•* ***о*^* А. А. ЛЯПУНОВ Математическое моделирование в биологии Утверждено к печати Научным советом по проблемам биосферы АН СССР Редактор В. Д. Мильграм. Редактор издательства И- С. Левитина Художественный редактор Н. Н. Власик. Художник С. А. Смирнов Технические редакторы В. В. Волкова, Ф. М. Хенох Корректор Р. А. Тютина Сдано в набор 9/XII 1974 г. Подписано к печати 13/ИГ 1975 г.

Формат 60х90'/ц. Бумага типографская № 2. Усл. печ. л. 9,75+1 вкл. Уч.-изд. л.10, Тираж-4300. Т-02096. Тип. зак. 1485. Цена 69 коп.

Издательство «Наука». 103717 ГСП, Москва, К-62, Подсосенский пер., 2-я типография издательства «Наука». 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер.,

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.