авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ МВД РОССИИ ...»

-- [ Страница 3 ] --

Выбор метрики в пространстве векторов оценок экспертизы. В общем случае [87] метрическим пространством называется пара X,, со стоящая из некоторого множества (пространства) элементов (точек) и рас стояния, т. е. однозначной, неотрицательной, действительной функции x, y, определенной для любых х и у из X и подчиненной следующим трем аксиомам метрики.

Само метрическое пространство, т. е. пару X,, можно обозначать одной буквой X. В случаях, когда недоразумения исключены, мы будем обозначать метрическое пространство тем же символом, что и само множест во X..

Рассмотрим примеры некоторых метрических пространств и выберем из них наиболее приемлемый для нашей задачи.

1. Множество действительных чисел с расстоянием x, y x y (3.1.3) образует метрическое пространство, обозначаемое R1.

2. Множество упорядоченных групп из m действительных чисел X x1, x 2,..., x m, с расстоянием m X,Y yi xi (3.1.4) i называется m -мерным евклидовым пространством E m.

3. Рассмотрим то же самое множество упорядоченных групп из m дей чисел X x1, x 2,..., x m, но расстояние ствительных определим в нем формулой m 1 X,Y x i y i. (3.1.5) i Обозначим это метрическое пространство символом R 1.

m 4. Возьмем снова то же самое множество, что и в примерах 2 и 3, и определим расстояние между его элементами формулой 0 X,Y max y i x i. (3.1.6) 1 i m Это пространство обозначается R 0.

m Не все пространства пригодны для решения поставленной задачи экс пертизы с помощью введенного обобщенного показателя. Область примени мости R 1 ограничена построением рейтинговых чисел – метрика (3.1.3) оце нивает не расстояния между векторами оценок экспертов, а расстояния меж ду значениями самого обобщенного показателя и может применяться в ин тервальном оценивании, либо в оценке отклонений финансовых показателей экономических объектов.

Метрики (3.1.5) и (3.1.6) имеют один и тот же недостаток. Если среди экспертных оценок окажется одна или несколько оценок с сильными откло нениями от среднего уровня (так называемые «выбросы») то расстояние бу дет считаться именно по этим выбросам. Проиллюстрируем это на примере оценки финансового состояния предприятий по признакам расширенной сис темы Бивера, рассмотренной в работе [25].

Для трех конкретных предприятий («Финист-мыловар», «Мебель Чер ноземья», «Кристалл») нормированные признаки i имеют большой разброс.

x Так, пятый признак 5 (коэффициент финансирования) принимает следую x щие значения 0,006, 25,81, 1,012 – имеется явный выброс.

Применение метрик (3.1.5) или (3.1.6) приведет к заведомо ошибочной оценке, поскольку роль пятого признака окажется доминирующей. Осталь ные признаки будут практически не учитываться. В этих условиях возможно применение только евклидовой метрики (3.1.4).

Другой причиной, обусловливающей целесообразность применения евклидовой метрики, является необходимость решения сложной и противо речивой проблемы согласованности группы экспертов. В литературе [66, 67] для частного случая ранговых оценок в качестве меры согласованности при водится коэффициент конкордации W. Однако, серьезным принципиальным недостатком W является то, что он не удовлетворяет аксиомам метрики в пространстве признаков, и поэтому для анализа векторов оценок экспертов невозможно применить методы функционального анализа [157].

В отличие от использования упомянутого коэффициента конкордации введение евклидовой метрики позволяет эффективно решить задачу согласо ванности оценок экспертов.

Выбор вида нормы в пространствах экспертизы. Как было показано выше, процесс экспертизы является сложным многоступенчатым процессом, требующим рассмотрения пространств различной природы и применения различных нормировок. Так, кроме введенного ранее пространства X, необ ходимо рассмотрение пространства векторов объектов экспертизы по одному выделенному признаку X ( k ), пространства векторов весовых коэффициентов V. В каждом из этих пространств целесообразно использовать различные нормы. В дальнейшем тексте, если это не будет оговорено специально, для исследования общих свойств этих пространств часто будем использовать единое обозначение X.

Линейное пространство L называется нормированным, если существу ет некоторое правило, ставящее в соответствие каждому элементу x L не которое вещественное число (которое называют нормой элемента х) и обо значают через x. Это правило должно удовлетворять следующим условиям (аксиомам нормированного пространства):

1) x 0 и x 0, тогда и только тогда, когда x 0 ;

2) x y x y ;

3) x x. (3.1.7) В дальнейшем мы всегда будем неявным образом предполагать, что в нормированном линейном пространстве используется метрика, порожденная нормой x, y x y. (3.1.8) Особым видом нормированных пространств являются банаховы про странства. Банаховым пространством B называется нормированное линейное пространство, полное относительно метрики x, y x y, порожденной его нормой. В метрике x, y все последовательности Коши должны схо диться к соответствующим точкам пространства B. Для оценки сходимости и полноты пространства важно понятие эквивалентности норм [87].

Для того чтобы две нормы и 2, определенные на линейном про странстве L, были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы сущест вовали такие постоянные a,b 0, что ax1 x b x 1, (3.1.9) каково бы ни было x L. Для целей нашей работы важное значение имеет следующие результаты функционального анализа [87]: каждое нормирован ное линейное пространство конечной размерности полно, а все нормы конеч номерного пространства эквивалентны.

В данной работе для различных линейных пространств X, X k,V предложено ввести три вида норм.

1. Пространство признаков k объектов X k. Для сопоставления от дельных признаков множества k объектов между собой используется норми ровка j -го признака делением на базовое значение, в качестве которого обычно выбирается максимальное его значение по группе объектов j x j x max. Т.е. рассматривается не евклидово пространство E k, а про x j странство R 0 с нормой k max x j. (3.1.10) x 1 j k Это делается для того, чтобы для наилучшего объекта экспертизы нормиро ванный признак j достигал значения 1.

x 2. Пространство векторов оценок признаков X. Ранее мы уже обосно вали эффективность применения евклидовой метрики (3.1.4) для решения за дач кластеризации и оценки согласованности группы экспертов. Эта метрика порождена нормой m x2, (3.1.11) x j E j согласно выражению (3.1.8). Покажем, что евклидова норма также может быть использована в обработке данных экспертизы.

3. Пространство векторов весовых коэффициентов. Наиболее удобной для сравнения объектов экспертизы является такая форма показателя качест ва J, при которой он принимает максимальное значение 1 для наилучшего из объектов. Тогда для остальных объектов экспертизы J 0,1. Для достиже ния этой цели показатель (3.1.1) преобразуем к виду m vj J j vT, (3.1.12) x x j где j – признаки, нормированные делением на норму (3.1.10). Для норми x ровки весовых коэффициентов выберем другую норму m v 1 vi, (3.1.13) i порождающую метрику «манхэттенских кварталов» – частный случай нормы Минковского (3.1.5). Известно [69], что в функциональном анализе такое m пространство обозначается R 1. Нетрудно убедиться, что при этом в пре дельном случае равенства всех нормированных признаков единице, показа тель J также примет единичное значение. Особенностью нашей методики экспертизы является использование трех метрических пространств X, X k,V (табл. 3.1.3).

Таблица 3.1. Нормировка в различных пространствах данных Пространство Назначение нормировки Норма Пространство признаков Достижение нормированным max x j x k признаком j значения 1 для 1 j k x k объектов X наилучшего объекта Пространство векторов Обеспечение однородности m x векторов оценок различных оценок экспертов X x j E экспертов j Пространство весовых Достижение показателем J m v 1 vi коэффициентов V значения 1 для случая, когда i все нормированные признаки равны 1.

Таким образом, чтобы обеспечить равенство показателя J единице для идеального объекта (у которого все нормированные признаки j достигают x максимального единичного значения), необходимо применить норму Чебы шева (3.1.10) и одну из разновидностей нормы Минковского (3.1.3).

Показатель качества как линейный функционал. Пусть X – вещест венное нормированное пространство, а R – вещественная ось. Всякий опе ратор f : Х R называется функционалом. Здесь мы ограничимся рассмот рением линейных функционалов.

Значение линейного функционала f на элементе х X будем обозна чать x, f. Линейность функционала f означает, что его область определе ния D(f) является линейным многообразием, причем для любых х, у D ( f ) и любых, R x y, f x, f y, f.

Кроме того, мы будем рассматривать только ограниченные линейные функционалы, т. е. такие, для которых конечна величина f sup x, f x D f, x Общность введенных ранее показателей качества (3.1.1), (3.1.2) и (3.1.12) подтверждается одной из центральных теорем функционального анализа – теоремой Хана-Банаха [157, с.170]: пусть в вещественном нормиро ванном пространстве X задан линейный ограниченный функционал f с обла стью определения D f X. Тогда существует всюду определенный в Х ли ~ ~ ~ нейный ограниченный функционал f такой, что f f и x, f x, f для любых x D f.

Иначе говоря, всякий линейный ограниченный функционал, опре деленный на некотором линейном многообразии, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.

Еще более убедительным аргументом в поддержку использования в ка честве основы для построения обобщенного показателя качества введенных выражений (3.1.2) и (3.1.12) является другая теорема функционального ана лиза – теорема Ф.Рисса об общем виде функционалов в гильбертовом про странстве [157, с. 179].

Теорема (Ф. Рисс). Пусть H – гильбертово пространство (комплексное или вещественное). Для любого линейного ограниченного функционала f, заданного всюду на H, существует единственный элемент y H такой, что для всех x H x, f x, y. При этом f y.

В заключение выясним геометрический смысл показателя качества экспертизы. Пусть f – некоторый отличный от тождественного нуля линей ный функционал на линейном пространстве L. Совокупность тех элементов х из L, которые удовлетворяют условию f x 0, представляет собой подпро странство пространства L – подпространство нулей или ядро функционала Ker f. Известно [69], что подпространство Ker f имеет коразмерность 1.

Пусть L' – какое-нибудь подпространство коразмерности 1 в линейном пространстве L;

тогда всякий класс смежности пространства L по подпро странству L' называется гиперплоскостью, параллельной подпространству L' (в частности, само подпространство L' является гиперплоскостью, содержа щей 0, т. е. проходящей через начало координат). Иными словами, гиперпло скость М', параллельная подпространству L', – это множество, получающее ся из L' параллельным переносом (сдвигом) на какой-нибудь вектор x 0 L.

В работе [69] установлено взаимно однозначное соответствие между всеми нетривиальными линейными функционалами, определенными на L и всеми гиперплоскостями в L, не проходящими через начало координат. Сле довательно, геометрический смысл введенного показателя качества экспер тизы – гиперплоскость в линейном пространстве признаков X.

3.2 Основные формы комплексного показателя качество-цена При экспертизе объекта должен быть учтен целый ряд его признаков (характеристик, показателей, свойств). Большинство признаков носят количе ственный характер. Другие признаки (качественные) не могут быть выраже ны количественно и носят оценочный характер: страна изготовления, торго вая марка, удобство эксплуатации, внешний вид и т.д. Поэтому одними из первых этапов экспертизы являются следующие: 1) выбор количественных и качественных признаков объекта;

2) формирование комплексного показателя качества;

Учитывая универсальность экспертных систем статистической обра ботки информации, под объектами экспертизы будем понимать группу од нородных объектов (проектов, услуг, изделий, и т.д.), среди которых нужно выбрать наилучший по свойствам объект при заданном ограничении его це ны. В экономических приложениях объектами экспертизы могут считаться:

финансовое состояние предприятия, риск различных инвестиций, структура портфеля инвестиций и т.д. В отличие от экспертизы технических объектов, в экономике при решении таких задач функция цены заменяется на функцию требуемых ресурсов.

Сформулируем основные методологические принципы построения комплексного показателя качества объекта экспертизы.

1. Показатель любого уровня (признак) сравнения или обобщения пре допределяется соответствующими показателями (признаками) предшест вующего иерархического уровня.

2. При использовании метода комплексной оценки качества объекта все разноразмерные показатели (признаки) его свойств преобразуются и при водятся к одной безразмерной или размерной (обобщенной) единице измере ния.

3. При определении комплексного показателя качества объекта каждый показатель отдельного его свойства (признак) должен быть скoppeктиpовaн коэффициентом значимости (весомости), его «удельным весом».

4. Сумма численных значений коэффициентов весомости всех показа телей качества на любых иерархических ступенях оценки имеет одинаковое значение (в долях от единицы, в процентах или по определенной балльной шкале). На таком принципе строится, например, известный «метод анализа иерархий».

5. Качество целого объекта обусловлено совокупностью качеств его со ставных частей (элементов).

6. При количественной оценке качества (особенно по комплексному показателю) недопустимо использование взаимообусловленных и дубли рующих показателей одного и того же свойства объекта.

7. Оценивается качество только того объекта или его части, которая способна выполнять полезные функции в соответствии с его назначением.

Эти принципы можно считать основополагающими при решении как общих, так и частных вопросов экспертизы, связанных с объектами реальной техники и экономики.

Очевидно, что все технические характеристики изделия или товара не разрывно связаны с ценой – чем лучше изделие, тем выше цена. В экономике финансовое состояние предприятия во многом определяется доступностью заемных ресурсов. В любом случае покупатель или заказчик должен выби рать желательный объект, исходя из компромисса:– качество – цена.

Иначе говоря, на практике всегда необходимо проводить комплексное технико-экономическое оценивание. В общем виде это можно представить следующим образом. Пусть обобщенный показатель «качество– цена» имеет вид J f1 x кол f 2 x кач f 3 P, (3.2.1) где x кол, x кач – усредненные по количеству экспертов и признаков оценки совокупности количественных и качественных признаков, соответственно;

P – цена объекта;

f1, f 2, f 3 – соответствующие функции. Требуется вы брать наилучший объект из условия максимума функционала J:

J выб = max J (l), l = 1,2, …, k (3.2.2) среди всех оцениваемых k объектов.

Очевидно, что максимум функционала (3.2.2) может быть достигнут, если первые два слагаемых в формуле (3.2.1) возрастают, а третье слагаемое ограничено. Впрочем, вполне достаточно, чтобы сумма двух первых слагае мых от объекта к объекту росла быстрее, чем убывало третье слагаемое. От метим, что по смыслу формирования функционала J последнее слагаемое должно убывать именно с ростом цены, например, обратно пропорциональ но.

В качестве первого приближения введем аддитивный комплексный по казатель экспертизы «качество-цена» для каждого объекта экспертизы (опустив, для краткости записи верхний индекс l, т.е. номер объекта) в сле дующем виде [20]:

P J Vкол Vi,кол xi,кол Vкач V j,кач x j,кач Vцены баз, (3.2.3) P k i j где x j,кач, x j,кол – усредненные качественные и количественные признаки;

V j,кач – множество парциальных весовых коэффициентов отдельных каче ственных признаков;

V j,кол – множество парциальных весовых коэффици ентов отдельных количественных признаков;

V – множество групповых ве совых коэффициентов;

Pбаз, P k – базовая цена группы объектов и стои мость конкретного объекта экспертизы.

Под показателем качества (в отличие от комплексного показателя ка чество-цена) в дальнейшем будем понимать суммы двух первых слагаемых в формулах (3.2.1), (3.2.3). Последнее слагаемое в этих формулах будем назы вать в дальнейшем функцией цены.

Принцип кластеризации признаков. Одним из основных условий обеспечения качества экспертизы является объективность экспертов. Как было отмечено выше, общепринято делить признаки на количественные и качественные. Однако представляется, что для обеспечения этой объективно сти необходимо дальнейшее подразделение признаков на сходные группы, т.е. их кластеризация.

В отличие от обычного подхода к кластеризации объектов на основе их объединения в группы по критерию минимума расстояния в многомерном пространстве, при кластеризации признаков целесообразно учитывать их близость по способам получения информации и методам обработки этой ин формации группой экспертов. Так, предложим разделение признаков на сле дующие подгруппы:

– количественные признаки (непрерывные величины);

– признаки наличия (дискретные величины);

– качественные признаки положительного эффекта (ППЭ);

– качественные признаки отрицательного эффекта (ПОЭ);

– признаки психофизиологической природы;

– стоимостные признаки;

– внедренческие признаки;

– признаки стоимости и времени экспертизы и др.

Количество и состав каждой из подгрупп определяются природой объ ектов экспертизы. Необходимость детального разделения признаков и приве денный выше перечень подгрупп составляют существо предложенного прин ципа кластеризации признаков. Рассмотрим последовательно основные под группы.

1. Количественные признаки. В выражениях (3.2.1), (3.2.3) для коли чественных x j, кол и качественных x j, кач признаков предполагается усредне ние по количеству экспертов (верхняя черта над x ). Однако в подавляющем числе ситуаций количественные признаки определяются однозначно из прайс-листов, технических описаний и другой документации. Поэтому, в от личие от качественных признаков, для количественных признаков усредне ние, как правило, не требуется и в дальнейшем эти признаки можно обозна чать x j, кол. Кроме того, поскольку из текста обычно ясно, о каких признаках идет речь, сократим для краткости нижний индекс и будем записывать про сто x j.

Для того, чтобы обеспечить однородный вклад различных слагаемых во взвешенную сумму (3.2.3), необходимо привести их значения к единому диапазону. Для этого введем следующую нормировку xj xj, j 1,2,..., m, (3.2.4) x j, баз где знаменатель – максимальное значение признака по всем объектам x j, баз max x jl, l 1,2,..., k. (3.2.5) l Нормированные таким образом значения признаков x j 0, 1, j.

Максимальное значение нормированных признаков равняется единице, и можно показать [69], что выражение (3.2.5) удовлетворяет всем аксиомам нормы в пространстве R 0. С учетом последней нормировки получим выра m жение для первого слагаемого формулы (3.2.3), учитывающего влияние ко личественных признаков V j,кол j x j V кол. (3.2.6) J кол V j,кол j Приведенная в знаменателе сумма весовых коэффициентов V j,кол обеспечива ет достижение слагаемым J кол значения единицы в том идеальном случае, когда для некоторого объекта все j 1.

x 2. Качественные признаки (признаки наличия) В работе [20] предло жено разделение множества качественных признаков { xi,кач } на три подмно жества xi,кач x j, нал xr, пэф xl, пфп, (3.2.7) где x j, нал – подмножество «признаков наличия», x r, пэф – подмножество «признаков положительного эффекта», xl, пфп – подмножество «признаков психофизиологической природы». Охарактеризуем эти подмножества после довательно.

Подмножество x j, нал признаков наличия (ПН) содержит признаки, которые характеризуют наличие или отсутствие некоторого свойства у объ екта экспертизы. Например, наличие встроенной видеокамеры или радиопри емника у сотового телефона, наличие сенсорного экрана, наличие сертифика та или лицензии и т.д.

Факт наличия или отсутствия j - го признака у объекта экспертизы обычно описывается характеристической функцией ( x j ), принимающей значения 1 или 0, соответственно. В целях обеспечения единства описания слагаемых качества на основе формулы (3.2.3) при конструировании обоб щенного показателя J, условимся присваивать переменной j значение «1»

x в случае наличия j - го признака, и значение «0» – в случае его отсутствия:

Определим смысл переменных x j для учета влияния признаков нали чия. Во-первых, по природе этих признаков усреднение по множеству экс пертов не требуется: признак либо присутствует, либо отсутствует, и это объективный факт, не зависящий от мнений экспертов.

Во-вторых, необходимо учесть парциальные весовые коэффициенты отдельных качественных признаков, приведенные в выражении (3.2.3) для аддитивной формы комплексного показателя качества. Эти коэффициенты V j,нал характеризуют относительную важность отдельных признаков для об щей оценки объекта экспертизы.

С учетом изложенного получим выражение для составляющей показа теля качества, учитывающую признаки наличия, в виде V j,нал j x j V нал, (3.2.8) J нал V j,нал j Нетрудно убедиться, что при выборе всех весовых коэффициентов V j,нал, Vнал в формуле (3.2.8) равнозначными, т.е. равными единице, последнее со отношение дает просто относительную величину наблюдения признаков на личия.

3. Качественные признаки (признаки положительного эффекта и при знаки психофизиологической природы). Обычно при решении задач экспер тизы выбираются качественные признаки, увеличение числовых оценок ко торых ведет к росту комплексного показателя качества J. Такие признаки xr, пэф составляют подмножество признаков положительного эффекта (ППЭ). Например, удобство пользования, страна, фирма-изготовитель, внеш ний вид и т.д.

xl, пфп Подмножество признаков психофизиологической природы (ПФП) содержат признаки, которые оцениваются экспертом без объективно го обоснования предпочтений, основанных на его личном восприятии каких либо свойств объекта экспертизы. Например, цвет автомобиля или мобильно го телефона, расположенность объекта строительства, рисунок обоев и т.д.

При этом мы сталкиваемся с неопределенностью, которая в принципе не мо жет быть раскрыта однозначно и четко. Применительно к этой группе при знаков можно сформулировать постулат имманентной неопределенности – внутренне присущей, проистекающей из природы явления.

В отличие от рассмотренных выше признаков наличия назовем обе эти группы признаков качественными признаками второго рода. При исполь зуемом способе обработки оценок: получение оценок по балльной шкале и их дальнейшем усреднении по множеству экспертов, сама природа оценивания не имеет значения, и мы можем учитывать оценки качественных признаков положительного эффекта и психофизиологической природы совершенно одинаково.

Получим выражение для составляющей показателя качества, учиты вающую признаки качества, в виде V j,кач j x j V кач (3.2.9) J кач V j,кач j Как и прежде (в случае признаков наличия), при выборе всех весовых коэффициентов V j,кач, Vкач в формуле (3.2.9) равнозначными, т.е. равными единице, последнее соотношение принимает значение 1 при достижении всеми нормированными признаками оптимальных (единичных) значений.

Объединяя формулы (3.2.6) - (3.2.9), получим выражение для первой составляющей комплексного показателя J – показателя качества V j,кол j l Vl,кач Vi,нал i x x x j V кол V нал V кач i l, (3.2.10) J КАЧ Vl,кач V j,кол Vi,нал j i l Сравнивая первое и последнее слагаемые (учета количественных и качест венных признаков) видим, что во втором случае требуется обязательное ус реднение оценок по количеству экспертов, а в первом случае – не требуется, поскольку количественные признаки являются объективными и от мнения экспертов не зависят. Не требуют усреднения и признаки наличия (второе слагаемое формулы (3.2.10)), также имеющие объективный характер.

В разделе 3.1 было показано, что при движении по горизонтали парал лелепипеда экспертного эксперимента векторы оценок признаков образуют m линейное, метрическое, нормированное гильбертово пространство l 2. Рас сматриваемые априорно векторы признаков образуют пространство случай ных векторов P2m. При движении «в глубину» параллелепипеда экспертного эксперимента осуществляется процедура последовательного, пообъектного оценивания. В этом случае предложено использовать иное нормированное k пространство – R 0.

Общая форма функционала взвешенного суммирования. Анализи руя выражения (3.2.6) – (3.2.10), можно убедиться в том, что все они по строены единообразно. Для решения задачи иерархии признаков сведем их к одному обобщенному функционалу взвешенного суммирования.

Введем обобщенный функционал весового суммирования m V j Z j j F(V, Z ), (3.2.11) m V j j V ( V1,V2,...,Vm )T где – вектор весовых коэффициентов;

Z ( Z 1, Z 2,..., Z m )T – вектор признаков (частных критериев).

В зависимости от рассматриваемой задачи, вектор частных критериев Z может иметь различный смысл:

– множество признаков x j ;

– множество нормированных признаков j ;

x – множество усредненных нормированных признаков ;

x – множество слагаемых J кол, J нал, J кач обобщенного комплексного по казателя качества (3.2.10);

– множество функций принадлежности j и др.

x Нетрудно убедиться в том, что введенная в (3.3.11) нормировка деле нием на сумму весовых коэффициентов обеспечивает достижение функцио налом F ( V, Z ) значения единицы в наилучшем случае, когда все частные критерии Z 1, Z 2,..., Z m будут равны единице. Последнее осуществляется с помощью нормировки (3.2.4), (3.2.5).

Преобразуем полученный показатель (3.2.10) на основе введенного функционала к следующему виду V ) V нал F ( V нал, X нал ) V кач.пр. F ( V кач.пр., X кач.пр. ) кол F ( V кол, X кол J КАЧ. (3.2.12) V V V кол нал кач.пр.

Как видим, в формуле (3.2.12) одна и та же операция, определяемая введенным выше нормированным функционалом весового суммирования (3.2.11), повторяется четырежды. Это позволяет при программировании вы делить ее в отдельную процедуру, а также получить компактную запись по казателя качества. Обозначив V1 Vкол, V2 Vнал, V3 Vкач.пр., (3.2.13) получим для показателя качества (3.2.12) следующее выражение J КАЧ F ( V, F ( V, X )), (3.2.14) где смысл соответствующих векторов понятен из сопоставления выражений (3.2.12 – (3.2.14).

Последнее выражение описывает случай двух уровней иерархии. Од нако иногда требуется дополнительно разбивать признаки на подпризнаки, т.е. переходить к трем уровням иерархии. В этом случае обобщенный функ ционал примет вид, J кач F V 1, F V 2, F V 3, Z 3 (3.2.15) где верхние индексы соответствуют уровню иерархии.

Признаки отрицательного эффекта. Признаками отрицательного эффекта (ПОЭ) назовем признаки, при увеличении которых, наоборот, про исходит уменьшение комплексного показателя (3.2.1). Поэтому для выбора наилучшего объекта экспертизы требуется уменьшение или ограничение вклада соответствующих слагаемых в показатель J (k ). Одним из таких при знаков является, естественно, цена объекта P. Поэтому остановимся вначале на третьем слагаемом f 3 P исходной формулы (3.2.1), которую будем ус ловно называть функцией цены..

В отличие от формулы (3.2.5) выберем в качестве базового объекта для сравнения с другими объектами экспертизы объект с минимальным значени ем признака по группе сравниваемых объектов x j, баз min x jl, l 1,2,..., k. (3.2.16) l (например, если в качестве признака рассматривается цена объекта, то Pбаз min P l ). Тогда превышение значения j -го признака ПОЭ для l–го объекта над базовым значением (3.2.16) будет характеризоваться норми рованным признаком x j,баз x. (3.2.17) j x j Например, цена объекта является признаком отрицательного эффекта, и для нее формула (3.2.17) принимает следующий вид P P ( k ) баз. (3.2.18) P k Сравнивая между собой формулы (3.2.4), (3/2/5) и формулы (3.2.17), (3.2.18), видим, что при переходе от группы признаков положительного эф фекта к группе признаков отрицательного эффекта меняется смысл базовых значений признаков: от максимальных по множеству k объектов экспертизы к минимальным.

Итак, естественный путь учета влияния величины цены объекта в тех нике (величины привлекаемых ресурсов в экономике) на значение итоговой оценки комплексного показателя состоит в выборе последнего слагаемого формулы (3.2.1) в виде (3.2.18).

Однако можно показать, что такой выбор не является удачным. Дейст вительно, функция 1 / P очень быстро убывает при приращениях малых ве личин цены (требуемых ресурсов), а при больших величинах цен или ресур сов (а это самый опасный случай) меняется незначительно. Следовательно, возникает задача рационального выбора функции f3 (P ).

Такую функцию можно подобрать из широкого класса функций, убы вающих с ростом P, однако для большинства практически важных случаев можно ограничиться линейной функцией f 3 P a bP, (3.2.19) где коэффициенты a, b подбираются, исходя из диапазона доступных финан совых ресурсов так, чтобы функция не принимала отрицательных значений.

К признакам отрицательного эффекта для экспертизы технических и экономических объектов, кроме цены, относятся также другие стоимостно внедренческие характеристики: стоимость лицензии, стоимость внедрения, срок внедрения, стоимость и срок экспертизы и т.д.

Стоимостно-внедренческая функция. Обобщим функцию цены J ЦЕНЫ комплексного показателя «качество-цена» (3.2.1) на основе введения еще одной группы признаков отрицательного эффекта: стоимость лицензии Pлиц, стоимость внедрения Pвнед, длительность срока внедрения (мес.) Tвнед.

Вместо использованной ранее нормировки признаков (3.2.4), (3.2.5) введем «обратную» нормировку Pвнед Tвнед Pлиц ;

внед l ;

срок l лиц l. (3.2.20) x x x l Tвнед l l Pвнед Pлиц где верхним символом « » обозначены минимальные значения по группе k сравниваемых объектов:

P лиц min P лиц l ;

P внед min P внед l ;

T внед min T внед l, l 1,2,..., k.

l l l При такой нормировке, как и ранее, нормированные признаки принимают значения из отрезка [0, 1].

Обобщенная функция цены с учетом стоимостно-внедренческих харак теристик примет вид V лиц лиц Vвнед внед Vсрок срок x x x J ЦЕНЫ, (3.2.21) V лиц Vвнед Vсрок где весовые коэффициенты V лиц,Vвнед,Vсрок определяются методом анализа иерархий, как это будет показано в разделе 3.3.

В данном разделе мы не будем рассматривать детальный учет этих признаков отрицательного эффекта, оставив его до рассмотрения конкретных примеров (главы 4,5). В любом случае учет этих признаков можно осуществ лять, включая их с помощью эквивалентных преобразований в используемую функцию цены.

Аддитивная и мультипликативная модели комплексного показа теля. С учетом полученных формул для показателя качества J КАЧ и функции цены f 3 P сформируем комплексный показатель J J КАЧ X J ЦЕНЫ P, (3.2.22) где результат представлен в виде суммы показателя качества и функции це ны. Такую модель назовем аддитивной.

Расчеты показывают [20, 21, 23], что недостатком аддитивной модели является то, что влияние цены как одного из основных факторов оценки объ екта недостаточно. Поэтому предложим вместо аддитивной модели мультип ликативную J J КАЧ X J ЦЕНЫ P, (3.2.23) более полно отражающую свойства объекта экспертизы с экономической точки зрения. Например, если сравниваются товары, то второй сомножитель формулы (3.2.23) – функция цены, а если сравниваются предприятия – функ ция требуемых финансовых ресурсов.

Приведем окончательный вид комплексного показателя качества в мультипликативной форме V j,кол j l Vl,кач Vi,нал i x x x j V нал V кач i l J V кол Vl,кач V j,кол Vi,нал j i l Vцены P. (3.2.24) V кол V нал V кач Выбор групповых весовых коэффициентов Vкол, Vнал, Vкач позволяет установить требуемое соотношение между вкладами оценок количественных, качественных признаков и признаков наличия в комплексный показатель J.

Знаменатель последнего сомножителя формулы (3.2.24) позволяет нормиро вать значение J таким образом, чтобы при достижении всеми признаками максимальных значений показатель J превращался в единицу.

Введенные показатели (3.2.22) – (3.2.24) позволяет учитывать качест венные признаки объекта экспертизы (признаки наличия, признаки положи тельного эффекта, признаки психофизиологической природы) наряду с коли чественными признаками в сравнении с функцией цены. Показатели облада ют значительной гибкостью учета соотношений между группами признаков и парциальными признаками за счет введения соответствующих множеств ве совых коэффициентов.

3.3. Расширенный метод анализа иерархий Для целей данного раздела выберем в качестве обобщенного показате ля качества экспертизы скалярное произведение m V j x j.

J V,x V T x (3.3.1) j На основе теоремы Рисса [157] можно доказать, что линейный ограни ченный функционал (3.3.1) является общим видом линейного функционала в гильбертовом пространстве признаков (критериев) экспертизы H j 1,2,..., m.

xj, Остановимся в данном разделе на проблеме определения вектора V ве совых коэффициентов, называемым вектором приоритетов. В качестве осно вы построения алгоритма определения V выберем один из методов парных сравнений, являющийся ядром вычислений метода анализа иерархий Т.Саати [142, 143] – метод, основанный на вычислении собственных значений 1, 2,..., m (3.3.2) и собственных векторов Y y1, y 2,..., y m (3.3.3) матрицы парных сравнений W.

Идеи, заложенные Т.Саати в основу метода, сталкиваются на практике с вычислительными особенностями нахождения множества Y для обратно симметрических матриц, а также с выбором исходной лингвистической шка лы. В итоге весовые коэффициенты Vl, соответствующие менее значимым признакам, оказываются резко заниженными по сравнению с другими мето дами оценки (метод парных сравнений Терстоуна, метод прямого ранжиро вания и т.д).

Кроме того, возникают проблемы с парными сравнениями наиболее трудно интерпретируемой группы признаков – признаками психофизиологи ческой природы.

Рассмотрим элементы (признаки) x1, x 2,..., x m некоторого уровня ие рархии. Мы хотим определить веса V1,V2,...,Vm влияния этих признаков на некоторый элемент следующего уровня. Основным инструментом будет мат рица чисел, представляющих суждения о парных сравнениях. Покажем, что для определения приоритетов может быть выбран собственный вектор, соот ветствующий наибольшему собственному значению.

Обозначим через ij число, соответствующее значимости элемента xi по сравнению с x j. Матрицу, состоящую из этих чисел, обозначим через W, т. е. W ij. Естественно, что для оценки обратного отношения, т.е. значи мости элемента x j по сравнению с xi, следует использовать обратную вели чину ji 1 ij. Поэтому матрица A – обратно-симметричная. Если наше суждение верно при всех сравнениях, т.е.

ik ij jk (3.3.4) для всех i, j, k, матрицу A называем согласованной.

Рассмотрим вначале частный случай согласованной матрицы, когда сравнения основаны на точных измерениях, т. е. веса V1,V2,...Vm известны.

Такой случай соответствует реальной ситуации оценки количественных при знаков (в отличие от оценки признаков качественных или признаков нали чия). При этом ij Vi V j, i, j 1,2,..., m (3.3.5) и поэтому полугрупповое свойство (3.3.4) точно выполняется:

Vi V j Vi ij jk ik.

V j Vk Vk Будем искать вектор приоритетов V из матричного уравнения WV Z. (3.3.6) С учетом соотношения (3.3.5) получим Vj 1, i, j 1,2,..., m, (3.3.7) Wij Vi следовательно m m ijV j ijV j mVi, i m, i или, Vi j j что определяет правую часть уравнения (3.3.6) как Z mV. В итоге мы по лучили для случая полной согласованности матрицы парных сравнений W уравнение вида Wy y. (3.3.8) Рассмотрим общие свойства этого уравнения для частного случая пол ной согласованности матрицы W при выполнении условия (3.3.4) [157].

Пусть Y – линейное пространство и W – линейный оператор, дейст вующий в Y, с областью определения D(W). Число называется собствен ным значением оператора W, если существует вектор y 0, y DW такой, что выполняется условие (3.38). При этом вектор y называется собственным вектором оператора W, соответствующим собственному значению.

Для выделения среди множества Y искомого вектора приоритетов V воспользуемся известным свойством [157]: собственные векторы y i линейно го оператора W, отвечающие различным его собственным значениям i, ли нейно независимы.

Согласно постановке задачи, рассматриваемое пространство Y (а сле довательно, и пространство векторов приоритетов V является конечномер ным). Остановимся на специфике определения собственных значений i и собственных векторов в таком пространстве.

Пусть Y – m -мерное линейное пространство признаков и W – линейный оператор DW Y ;

RW Y. Фиксируем в Y базис e k 1, тогда m m We j ij ei, j 1,2,...,m (3.3.9) i (разложения образов базисных векторов по базису). Матрица ij называет ся матрицей W (в базисе e k ). Теперь для любого y i ei Y имеем mm Wy ij j ei. (3.3.10) i 1 j 1 Следовательно, уравнение Wy y во введенных координатах имеет вид ij m m ij j ij j 0, i 1,2,..., m.

i, или (3.3.11) j j где ij – символ Кронекера.

Для того чтобы система (3.3.11) имела нетривиальное решение (ведь разыскиваются векторы x 0 ), необходимо и достаточно, чтобы det ij ij 0.

Последнее выражение было получено для произвольного вектора при разложении по введенному базису, поэтому оно справедливо и для нашего случая использования матрицы парных сравнений, поэтому получим оконча тельно det ij ij 0. (3.3.12) Уравнение (3.3.12) является характеристическим уравнением и пред ставляет собою уравнение m - ой степени относительно (коэффициент при m равен 1). Все собственные значения W и только они являются кор нями характеристического уравнения. В случае комплексного Y характери стическое уравнение имеет ровно m корней с учетом их кратности.

Пусть 1 – одно из собственных значений матрицы W. Тогда система (3.3.11) определяет собственное линейное многообразие, отвечающее (система (3.3.11) при 1 имеет нетривиальные решения, так как ее детер минант обращается в нуль). Как было упомянуто ранее, собственные векто ры, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Все вышесказанное относилось к идеальному случаю, когда матрица W была полностью согласованной, т.е. выполнялось (3.3.4). Однако на самом деле такая ситуация может быть создана только искусственно. Дело в том, что выбирая предпочтения основного признака x1 (обычно ему присваивает ся первый номер) перед другими и заполняя первую строку матрицы W w1 j ( 11, 12,..., 1m ), мы автоматически определим и первый столбец из обратных величин wi1 1 11,1 12,...,1 1m T.

Если рассчитать остальные элементы принудительно, т.е. на основе формулы (3.3.4), то матрица окажется согласованной. Однако на практике эксперты выносят совершенно иные суждения при сравнении признаков, из которых ни один не совпадает с основным (первым).

Формально задача построения шкалы в виде нормализованного собст венного вектора у V в уравнении Ay = y (для максимального ) подобна выделению первой главной компоненты в методе главных компонент (МГК) [124]. Когда экспертов просят заполнить клетки только одной строки или од ного столбца, а другие клетки вычисляются по ним (для обеспечения «со вершенной согласованности»), первое собственное значение max характери зует полные изменения матрицы. Если «совершенная согласованность» од нозначно связывает данные за исключением того, что к каждой клетке мат рицы добавляется нормально распределенная случайная компонента, то тео рия не приводит к анализу главных факторов, и получится «однофакторное»

решение.

Следовательно, если совершенная согласованность навязывается экс периментатором, то получается неинтересный результат точного шкалирова ния, которое было гарантировано, поскольку эксперимент представлялся в виде сравнения с одним основным признаком. В действительности можно убедиться, что если субъект заполняет только одну строку или столбец мат рицы и если задачей субъекта является генерация отношений между парами признаков, то процедура формально эквивалентна тому, как если бы субъек ты располагали признаки в одномерном пространстве последовательно.

Рассмотрим реальный случай экспертизы, при котором оценки ij ос нованы не на точных измерениях, а на субъективных суждениях экспертов. В данном случае ij будет отклоняться от «идеальных» отношений Vi V j, и поэтому уравнение (3.3.8) более не будет иметь места.

В этой ситуации воспользуемся следующими двумя известными фак тами из теории матриц [142]:

1. Если 1, 2,..., m – собственные значения матрицы W, и если диаго нальные элементы ii 1 для всех i, то m i 1. (3.3.13) i При этом, если имеет место (3.3.8), то все собственные значения – ну ли, за исключением одного max, равного m. Поэтому в идеальном случае со гласованности наибольшее собственное значение матрицы W равно точно m.

2. Пусть W – произвольная обратно-симметрическая матрица. Свойст во робастности: если элементы ij положительной обратно-симметричной матрицы незначительно изменить, то собственные значения также изменятся незначительно.

Объединяя эти результаты, находим, что если диагональ матрицы W состоит из единиц ( ii = 1 ) и W – согласованная матрица, то при малых из менениях в величинах ii наибольшее собственное значение max остается близким к m, а остальные собственные значения – близкими к нулю. Это от крывает принципиальную возможность использования собственных значе ний и собственных векторов для приближенной оценки вектора приоритетов V даже в том случае, если матрица W не является полностью согласованной.

Поэтому можно сформулировать следующую задачу: если W – матри ца значений ii парных сравнений, то для приближенного нахождения век тора приоритетов нужно найти вектор V, который удовлетворяет уравнению WV maxV. (3.3.14) В работах [142, 143] предложена нормировка элементов полученного из (3.3.14) собственного вектора V делением на сумму его элементов m Vi, V (3.3.15) j что обеспечивает удобное соотношение Vi 1. С точки зрения функцио m нального анализа такая норма соответствует пространству R 1. Однако мы m предложим вначале иную нормировку – в пространстве R0 :

V V max V j, (3.3.16) 1 j m поскольку для достижения нашей цели – расширения метода анализа иерар хий за счет результатов прямого ранжирования необходима оценка весовых коэффициентов по отношению к базовому (максимальному) значению. И та, и другая нормировки вектора приоритетов V в пространстве R1m или про m странстве R0 имеют право на применение благодаря следующему свойству.

Пусть y – собственный вектор линейного оператора W, отвечающий собст венному значению. Тогда из (3.3.8) следует, что y, где 0, также яв ляется собственным вектором W, отвечающим. Следовательно, обе норми ровки вектора V вполне допустимы.

Так как малые изменения в ij, вызывают малое изменение max, от клонение последнего от m можно считать мерой согласованности. Оно по зволяет оценить близость полученной шкалы к основной шкале отношений, которую мы хотим использовать. Поэтому, индекс согласованности выбира ется в виде ИС max m m 1 (3.3.17) и рассматривается как показатель «близости к согласованности». В общем случае, если это число 0,1, мы можем быть удовлетворены суждениями.

На основе индекса согласованности ИС рассчитывается показатель от ношения согласованности ОС: ОС = ИС/СС, где СС – значение согласован ности случайной матрицы того же порядка [47]. Средние значения согласо ванности СС для случайных матриц разного порядка, полученные при слу чайном выборе количественных парных оценок относительной важности из шкалы 1/9, 1/8, 1/7,...,1, 2,...,9 и образовании обратно-симметричной матрицы, приведены в табл. 3.3.1.

Таблица 3.3. Значения случайной согласованности матриц различного порядка Порядок матри- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 цы Случайная 0,0 0,00 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1, согласованность В работе [142] на основе обобщения опыта решения большого числа многокритериальных задач утверждается, что, для того, чтобы парные срав нения можно было считать согласованными, величина ОС должна быть ме нее, чем 10%. В ряде случаев приемлемой для практики согласованностью можно считать величину ОС до 20%. Если ОС выходит из этих пределов, то экспертам нужно пересмотреть задачу и проверить свои суждения. Отметим, что в матрицах больших размеров, начиная с 7 – 9 элементов, очень трудно добиться приемлемой согласованности.

Зачастую суждения экспертов могут не только нарушить отношения согласованности, но и быть нетранзитивными, т. е. если относительная важ ность признака x1 больше, чем x 2 и относительная важность x 2 больше, чем x 3, то по мнению экспертов относительная важность x1 может не быть боль ше, чем x3 – обычный случай в человеческих суждениях. Яркую иллюстра цию относительной несогласованности или отсутствия транзитивности пред почтений представляют различные турниры (рейтинги различных команд).

В условиях обеспечения максимальной независимости экспертов (ко гда относительные оценки ij не подгоняются искусственно под соотноше ние (3.3.4)) для получения оценок используется лингвистическая шкала.

Наиболее распространенной [47, 142, 143 и др.] является шкала, содержащая девять градаций оценок относительной важности одного из признаков xi, принимаемого в качестве основного (опорного) по сравнению с другими при знаками x j, j 1,2,....

С точки зрения психологии имеются следующие причины для установ ления верхнего предела шкалы [142]:

1. Способность человека производить качественные разграничения хо рошо представлена пятью определениями: равный, слабый, сильный, очень сильный и абсолютный. Можно принять промежуточные определения между этими определениями, когда нужна большая точность – в целом требуется девять значений.

2. Практический метод, часто используемый для оценки отдельных предметов, заключается в классификации стимулов в трихотомию зон: не приятия, безразличия, принятия. Для более тонкой классификации в каждую из этих зон также заложен принцип трихотомии – деление на низкую, уме ренную и высокую степени. Таким образом, получается девять оттенков зна чимых характеристик различения.

Предложим расширение метода анализа иерархий (МАИ) в виде трех этапной процедуры. На первом этапе в составе качественных признаков вы деляются наиболее трудно оцениваемые признаки психофизиологической природы. Оценка экспертами таких признаков подчиняется постулату имма нентной неопределенности и требует применения специфических методов математической статистики, используемых в психологии.

Второй этап заключается в укрупнении семантических значений терм подмножеств нечетко-множественной шкалы оценивания, формированию матрицы парных сравнений с учетом полученных на первом этапе сравни тельных оценок психофизиологических признаков, оценке согласованности упомянутой матрицы и нахождении множества собственных векторов.

На третьем этапе осуществляется прямое ранжирование признаков объекта и находится вектор весовых коэффициентов Vпр линейного функ ционала качества J. С целью уменьшения негативных особенностей числен ного нахождения весовых коэффициентов V МАИ методом МАИ вводится ли нейная комбинация весовых коэффициентов.

Четвертый, уточняющий этап посвящен вычислению линейной регрес сии множества весовых коэффициентов V МАИ на множество Vпр и оценке допустимой погрешности.

Первый этап. Для оценки признаков психофизиологической природы применим «закон сравнительного суждения» Л.Тернстоуна (Thurstone.L.L.) [222], получивший свое развитие в работах [216, 218 и др.].

Предполагаем, что рассматриваемые признаки – элементы пространст ва сравнения признаков психофизиологической природы X ПФП X (или более общего пространства X КАЧ X ) и что основной психологический континуум – « F -множество». Символ F отражает нечеткую природу рас сматриваемого множества признаков (fuzzy sets) с терм-подмножествами не четких понятий типа: высокий, долгий, красный, холодный и т.д.).

Предположим, что мы представляем для сравнительной оценки пару признаков (x,y) эксперту неоднократно. Последнее предположение выполня ется практически всегда, поскольку в экспертизе участвует достаточно боль шая группа экспертов. Кроме того, зачастую эта группа в процессе эксперти зы расширяется, что является аналогом метода последовательного анализа Вальда [66]. При каждом сравнении единственная различающая величина (точка на психологическом континууме), выявляется из распределения каж дого признака. Эксперту требуется решить, какой из них более важен на пси хологическом континууме.

Основное предположение состоит в том, что дискриминантные вели чины могут быть представлены нормальными распределениями на основном психологическом континууме. Признаки x и y будут формировать два нор мальных дискриминантных процесса x и y со средними x и y и стандартными отклонениями x и y.

Если два признака рассматриваются совместно и испытания проводят ся неоднократно различными экспертами, дискриминантные разности сами формируют нормальное распределение со средним x y и стандартным отклонением x y = 2 2 2 xy x y, (3.3.18) x y где xy – коэффициент корреляции между двумя различающими процессами.

Предположим, что эксперт формулирует что «признак x имеет большую F мощность» или «является F - больше, чем признак y », если в данном испы тании различающая переменная для признака x превышает значение для признака y на психологическом континууме x y.


Так как x y распределена нормально со средним x y и дисперсией 2 y, следовательно x x y x y / x y N 0,1. (3.3.19) Пусть p x y есть пропорция случаев, когда признак x оценивается экс пертами выше, чем признак y на психологическом континууме, основанном на теоретических распределениях дискриминантных процессов. Тогда p x y P x y P x y 0.

Обозначив z xy величину, соответствующую пропорции суждений экс пертов p x y. Когда p x y 0,5 – численное значение z xy положительно, в противном случае – отрицательно. В результате получим уравнение x y z xy 2 2 2 xy x y. (3.3.20) x y Это уравнение является полной формой закона сравнительных сужде ний Терстоуна [222]. Заметим, что от эксперта требуется только обычное парное сравнение двух признаков, что обычно предпочтительнее прямому ранжированию.

Закон сравнительных суждений непосредственно не разрешим в форме уравнения (3.3.20), поскольку независимо от числа признаков и наблюдений, всегда имеется больше неизвестных, чем число уравнений. Таким образом, требуются дополнительные предположения.

Возможны пять различных вариантов упомянутого уравнения, разли чающихся полнотой сделанных предположений [222, 218]. Остановимся только на двух из них, имеющих наибольший интерес для целей нашего ис следования.

1. Предполагается, что ковариация во всех экспериментах имеет посто янную величину 2 с, тогда уравнение (3.3.20) принимает вид 1 2, где a x 2 c;

a y 2 c.

x y z xy a x a y (3.3.21) x y При сравнительной оценке n признаков имеется 2 n неизвестных величин: n неизвестных средних i и 2 n неизвестных a i. Мы можем положить одну из величин градаций шкалирования равной нулю и a x a y, оставив неизвест ными 2 n – 2 переменных. Поскольку при попарном сравнении n признаков 0,5 nn мы имеем уравнений, решение возможно, когда 0,5 nn 1 2 n 2 или когда n 4.

2. В более практических условиях предполагается, что величина x y постоянна для всех пар сравниваемых признаков и равна с. Тогда уравнение (3.3.20) упрощается и сводится к уравнению x y с z xy. (3.3.22) Такое уравнение привлекательно тем, что можно получить оценки ве личин шкалирования признаков на психологическом континууме методом наименьших квадратов.

Второй этап заключается в укрупнении семантических значений терм подмножеств нечетко-множественной шкалы оценивания, формированию матрицы парных сравнений с учетом полученных на первом этапе сравни тельных оценок психофизиологических признаков, оценке согласованности упомянутой матрицы W.

Как было упомянуто, использование приведенных выше лингвистиче ских оценок относительной важности признаков (табл. 3.3.2) приводит к не желательным вычислительным эффектам. Во-первых, для числа признаков, большего 6-7, матрица парных сравнений оказывается плохо согласованной.

Поэтому процедуру ее формирования приходится проводить несколько раз.

Во-вторых, значения (термы) лингвистической переменной оказываются не ясными и трудно различимыми. Например, что такое «незначительно пред почтительнее» и «слабо предпочтительнее». Что сильнее? В-третьих, при на хождении первого собственного вектора матрицы W наблюдается чрезмерно резкое занижение весовых коэффициентов для признаков, которым были присвоены ранги 7-9.

Для преодоления этих недостатков предложим укрупненную лингвис тическую шкалу (табл. 3.3.2).

Таблица 3.3. Модификация лингвистической шкалы сравнения признаков Укрупненная лингвистическая оценка Степень (ранг) важно сти i - го признака по сравнению с j -ым ij Строго эквивалентны (одинаково значимы) Слабое превосходство Значительное превосходство Сильное превосходство Абсолютное превосходство Оценка ji сравнения признака j с при- ji ij знаком i имеет обратное значение ij Предлагаемая методика состоит в следующем: 1) выделение признаков психофизиологической природы;

2) выполнение относительных суждений этих признаков методом Л.Терстоуна;

3) формирование матрицы парных сравнений W с учетом результатов предыдущего этапа;

4) проверка согласо ванности этой матрицы;

5) определение первого собственного вектора V МАИ матрицы W.

Третий этап. Сущность прямого ранжирования признаков объекта со стоит в выборе одного из признаков в качестве основных (опорный признак) и приписыванию соответствующему весовому коэффициенту Vосн значения единицы. Остальные коэффициенты выбираются меньшими в зависимости от усредненных оценок экспертов: Vi Vосн. В итоге находится вектор весовых коэффициентов Vпр линейного функционала качества J. При сравнении это го вектора с результатами численных расчетов по методу МАИ оказывается, что в большинстве случаев вектор Vпр оказывается ближе к интуитивным представления о соотношении коэффициентов Vi.

С целью уменьшения негативных особенностей численного нахожде ния весовых коэффициентов V МАИ исключительно методом МАИ введем нормированный расширенный вектор весовых коэффициентов V МАИ 02 1 2 3 Vпр 01 V ТРСТ V, (3.3.23) m где V МАИ – вектор, полученный методом анализа иерархий размерности m1 1 ;

01 вектор из нулевых элементов размерности m 2 1 ;

m m1 m 2 ;

0 2 вектор из нулевых элементов размерности m1 1 ;

VТРСТ – вектор, полу ченный методом Терстоуна размерности m 2 1 ;

Vпр – вектор прямого ран жирования размерности (m1 m 2 1.

Отметим, что при вычислении (3.3.23) используется два вида норми ровки: при нахождении V МАИ, VТРСТ,Vпр – чебышевская норма V max V j, (3.3.24) j 1,2,...

при которой для облегчения сравнения трех упомянутых векторов макси мальный весовой коэффициент приводится к единице, а затем выполняется окончательная нормировка в пространстве R13 весовых коэффициентов 1, 2, 3 T расширенного вектора анализа иерархий V.

На основе результатов, полученных в разделах 3.2, 3.3 представим схе му алгоритма формирования детерминированного показателя качества J КАЧ (рис. 3.3.1).

Рис. 3.3.1 Формирование детерминированного показателя качества Поскольку наилучший объект экспертизы выбирается из условия мак симума этого показателя, вначале разделим признаки объекта на две группы:

1) признаки, увеличение значений которых x j обеспечивают рост показателя J КАЧ – признаки положительного эффекта (ППЭ);

2) признаки, увеличение значений которых x j обеспечивают уменьшение показателя J КАЧ – призна ки отрицательного эффекта (ПОЭ) (см. рис. 3.3.1). Затем проводится более тонкая кластеризация признаков (количественные, наличия, качественные, психофизиологической природы). Особую группу составляют признаки от клонения, характеризующие соблюдение численных ограничений, опреде ленных техническими условиями или ГОСТами (например, процент содер жания определенного вещества в жидкости, диапазон рабочих температур и т.д.). Обратим также внимание на необходимость использования двух видов нормировки.

3.4 Нечетко-множественный нелинейный показатель качества При оценке и сопоставлении между собой объектов экспертизы (това ров, работ, услуг, проектов и т.д.) возможны два альтернативных подхода к расчету комплексного показателя J, учитывающего качество и функцию це ны (обобщенную цену) объекта. Первый из них основан на непосредственной оценке признаков объектов n экспертами и усреднении по множеству экс пертов. Этот подход рассмотрен в разделе 3.2 и привел к формированию комплексного показателя «качество-цена» объекта в аддитивной и мультип ликативной формах. Второй подход основан на использовании понятий тео рии нечетких множеств.

Сама сущность экспертных систем, учитывающих зачастую расплыв чатые и субъективные оценки экспертов, основанные на их личном опыте, предполагает применение методов, отличающихся от обычных математиче ских подходов. Поэтому перспективным представляется применение понятий и методов теории нечетких множеств, значительно расширяющих возможно сти учета неопределенностей различной природы [58, 74, 226, 47].

До появления аппарата теории нечетких множеств любая неопределен ность, появляющаяся при решении практических задач, отождествлялась со случайностью. В то же время в практике экспертизы мы часто используем признаки психофизиологической природы или признаки положительного эффекта. Например, такие понятия, как простой или сложный, удобный или неудобный, признаки цвета и т. д., которые являются нечеткими, расплывча тыми, однако эта неопределенность не носит вероятностного характера.

Теория нечетких множеств разработана именно для оперирования с та кого рода объектами [58]. Случайность всегда связана с неопределенностью, касающейся принадлежности некоторого объекта к вполне четкому множест ву. Понятие же нечеткости относится к классам, в которых имеются различ ные градации степени принадлежности, промежуточные между полной при надлежностью и непринадлежностью объектов к данному классу. Иными словами, нечеткое множество есть класс объектов, в котором нет резкой гра ницы между теми объектами, которые входят в этот класс, и теми, которые в него не входят [74, 226].

Нашей задачей в данном разделе является обобщение формул (3.2.10), (3.2.24) на случай использования одного из основных понятий теории нечет ких множеств – функции принадлежности, позволяющее производить более тонкую оценку различия между сравниваемыми объектами экспертизы. До полнительным условием построения нового комплексного показателя каче ство-цена будем считать получение соотношений между количественными и качественными признаками в единой форме.

Как известно [58,74], нечеткое множество А в конечном или бесконеч ном множестве X есть совокупность упорядоченных пар А = {х, А (x)}, где A (x) – функция, представляющая собой степень принадлежности х к мно жеству A: A (x): Х [0,1]. В дальнейшем будем предполагать, что (3.4.1) sup A ( x) xX т.е. нечеткое множество является нормальным.


Функция принадлежности А (x) является обобщением понятия харак теристической функции ( x ) обычного множества, поскольку переходит в нее в предельном случае, когда содержит лишь две точки 0 и 1, т. е. когда множество четкое. В дальнейшем для описания нечеткого множества будем x, A ( x), если конкретные оценки экс использовать сокращенную запись пертов еще не получены или более удобное обозначение Кофмана [74] x | A ( x), исключающую путаницу в том случае, если уже полученные экс пертные оценки являются дробными числами.

Выбирая в качестве исходного положения определение лингвистиче ской переменной, данное основоположником теории нечетких множеств Л.

Заде [58, стр.7], модифицируем это определение применительно к задачам экспертного оценивания.

Лингвистическая переменная. Лингвистическая переменная призна ка экспертизы описывается набором множеств, T ( ), R, S, в котором – название этой переменной;

T ( ) – терм-множество, т.е. совокупность ее лингвистических значений;

R – множество вещественных чисел;

S – семан тическое правило, которое каждому лингвистическому значению ставит в соответствие его алгебраический смысл S ( ), причем S ( ) обозначает не четкое подмножество множества R.

Иначе говоря, задается лингвистическая переменная со своим терм множеством значений, а связь количественного значения некоторого призна ка с его качественным лингвистическим описанием задается функциями при надлежности признака нечеткому множеству.

В классическом подходе Л. Заде подчеркивается взаимосвязь терм множества T ( ) лингвистических значений с их численным смыслом: «Лин гвистический подход не является по своей сущности целиком качественным.

Вернее, вычисления совершаются «за кулисами», а затем уже используется лингвистическое приближение для преобразования чисел в слова» [58, стр.

16].

Конкретное лингвистическое значение признака характеризуется : T () R, которая каждому элементу функцией совместимости T () ставит в соответствие значение его совместимости с R.

Основные отличия данного выше определения лингвистической пере менной от общего определения [58]: 1) исключено синтаксическое правило, порождающее составные термы множества T ( ), как несвойственное описа нию признаков экспертизы;

2) процедура экспертизы предполагает два этапа, описываемых отображениями : X 0,1, : T ( ) X R ;

(3.4.2) где X – множество возможных значений признаков, определяемое функцией совместимости ;

– функция принадлежности элемента исходного терм множества лингвистической переменной.

В литературе [58, 74, 142] принято выделять 9 нечетких подмножеств исходной лингвистической переменной. Однако нам представляется, что для целей экспертизы такая детализация является излишней. Поэтому определим лингвистическую переменную как «Уровень признака» с введением пяти нечетких подмножеств (терм-множеств) множества :

A1 – нечеткое подмножество «очень низкий уровень показателя»;

A2 – нечеткое подмножество «низкий уровень показателя»;

A3 – нечеткое подмножество «средний уровень показателя»;

A4 – нечеткое подмножество «высокий уровень показателя»;

A5 – подмножество «очень высокий уровень показателя».

Такие терм-множества являются естественным словесным представле нием пятибалльной шкалы оценивания: 1,2,…,5. Соответствующая функция совместимости описывается первым из выражений (3.4.2). Трапецеидаль ные функции принадлежности нечетким подмножествам A3 A5 приведены на рис.3.4.1. Тогда общая функция принадлежности нечеткого множества до пустимых значений является объединением функций принадлежности трем подмножествам:

A A3 A4 A5.

Будем считать, что допустимыми баллами экспертов являются 3,4,5.

Введем подмножество A допустимых значений показателя, включающее оценки признака x j от 3 до 5 баллов.

Рис. 3.4.1 Функция принадлежности A ( x j ) множеству допустимых значений (3-5 баллов) или значений 0,6-1 признака j x В практике экспертизы более удобным представляется другой подход:

вместо балльной шкалы осуществим нормировку полученных значений при знаков на максимально возможное значение пятибалльной экспертной оцен ки x j 0.2, j x j x j,макс x j 5, (3.4.3) x Согласно нормировке (3.4.3), это соответствует изменению нормиро ванного признака x j от 0,6 до 1,0 (см. рис. 3.4.1).

Для каждого из признаков x j необходимо задать множество допусти мых значений. Допустимые множества для каждого из признаков состоят из области максимального для данной группы объектов экспертизы значения признака x j, max и некоторой расплывчатой области приемлемых (допусти мых) значений x j, доп признака, близких к x j, max. Таким образом, множество A j можно определить следующим образом A j x j,доп : x j,доп x j,min, x j,max, (3.4.4) где x j,min – минимально допустимое (граничное) значение количественного признака. Если для какого-то объекта экспертизы полученная экспертами оценка данного признака окажется ниже этого предела, он должен быть ис ключен из дальнейшего рассмотрения, как неприемлемый объект.

Последнее означает, что условие (3.4.4) должно выполняться для всех признаков приемлемого объекта. Однако здесь возникает следующее затруд нение. Абсолютные значения x j, max для различных признаков могут сильно различаться, поэтому возникают проблемы как сопоставления областей до пустимых значений, так и построения функции принадлежности A ( x1, x 2,..., x m ) для совокупности j 1,2,..., m количественных и качест венных признаков.

Поставим перед собой важную цель: построить единую функцию при надлежности для всех признаков. Для этого необходимо нормировать при знаки x j таким образом, чтобы нормированные признаки j 0, 1, j. Для x качественных признаков это осуществляется нормировкой (3.4.3) получен ных экспертами балльных оценок, а для количественных признаков – нор мировкой xj xj, j 1,2,..., m, (3.4.5) x j, баз где знаменатель – максимальное значение признака по всем объектам x j, баз max x jl, l 1,2,..., k. (3.4.6) l Максимальное значение нормированных таким образом признаков равняется единице, и можно показать [69], что выражение (3.4.6) удовлетворяет всем аксиомам нормы в пространстве R 0.

m x j, нал Подмножество признаков наличия необходимо рассмотреть более подробно. Введем функцию принадлежности A j ( x j ), по-прежнему руководствуясь целью единства описания различных слагаемых обобщенно го показателя J, в следующем виде 1, x j x j,нал 0, x j x j,нал Aj ( x j ) (3.4.7).

По природе этих признаков усреднение по множеству экспертов не требуется: признак либо присутствует, либо отсутствует, и это объективный факт, не зависящий от мнений экспертов. Кроме того, необходимо учесть парциальные весовые коэффициенты отдельных признаков. Эти коэффици енты V j,нал характеризуют относительную важность отдельных признаков для общей оценки объекта экспертизы.

В итоге получим выражение для составляющей комплексного показа теля, учитывающей признаки наличия, в виде V j,нал A ( j ) j xx j j Vнал. (3.4.8) J нал V j,нал j Нетрудно убедиться, что при выборе всех весовых коэффициентов V j,нал, Vнал в формуле (3.4.8) равнозначными, т.е. равными единице, послед нее соотношение дает просто относительную величину наблюдения призна ков наличия.

Для всех признаков можно выбрать единую форму функции принад лежности. Различные варианты выбора функции представлены на рис. 3.4.2.

Трапецеидальная функция для каждого j -го признака j 1,2,..., m мо жет быть представлена в «четырехреперной форме» [47], т.е. в виде четверки чисел T j t j1, t j 2, t j 3, t j 4,, которые назовем t - числами. Нечеткие множе ства t - чисел позволяют представить функции принадлежности A j ( x j ) в компактной форме. Например, для второго из представленных признаков (см.

рис. 3.4.2), множество T2 = 0,2;

0,8;

1,0;

1,0.

Рис. 3.4.2. Варианты единой функции принадлежности различных признаков Введенная T – форма упрощает переход к - уровням функции при надлежности нечеткого множества и перспективному использованию нечет ко-интервальной математики.

Нелинейный нечетко-множественный показатель качества. В раз деле 3.2 предложены две модели формирования детерминированного ком плексного показателя качества – аддитивная и мультипликативная J адд J КАЧ X J ЦЕНЫ P ;

J млт J КАЧ X J ЦЕНЫ P.

На основании изложенного сформируем нечетко-множественный комплекс ный показатель «качество-цена», опустив для краткости записи нижние ин дексы признаков (количественные, наличия, качественные):

V j Aj ( j ) j Vi Ai ( i ) i xx xx j V нал i V кол V j Vi j i X J КАЧ (3.4.8) Vl Al ( l ) l xx V кач l Vl l где черточка над признаком x j,кач в последнем слагаемом означает усредне ние по множеству экспертов, предполагающее использование гипотезы иде ального наблюдателя [8, 155]. Как видим, предлагаемый показатель является нелинейным за счет произведений A j j, j 1,2,..., m.

xx Сравнивая первое и последнее слагаемые (учета количественных и ка чественных признаков) видим, что во втором случае требуется обязательное усреднение оценок по количеству экспертов, а в первом случае – не требует ся, поскольку количественные признаки являются объективными и от мнения экспертов не зависят. Не требуют усреднения и признаки наличия (второе слагаемое формулы (3.4.8)), также имеющие объективный характер.

Выбор групповых весовых коэффициентов Vкол, Vнал, Vкач позволяет установить требуемое соотношение между вкладами оценок количественных, качественных и признаков наличия в комплексный показатель J. Знамена тель последнего сомножителя формулы (3.4.8) позволяет нормировать значе ние J таким образом, чтобы при достижении всеми признаками максималь ных значений показатель J превращался в единицу.

Матричная форма нечетко-множественного показателя. Предста вим показатель (3.4.8) в компактной форме, воспользовавшись введенным в разделе (3.1.1) выражением J КАЧ A v T B x, (3.4.9) где B – линейный матричный оператор, учитывающий нормировку призна ков, функции принадлежности при построении нечетко-множественного по казателя J, B R mm, A – линейный матричный оператор, учитывающий возможную взаимосвязь признаков, межластерный приоритет признаков, mm внутрикластерный приоритет признаков, A R (свойства оператора А рассмотрим в следующем разделе).

Предположив, что рассматривается три вида признаков: количествен ные x кол, j, j 1,2,..., m r, признаки наличия x нал,i i 1,2,..., m s, качественные x кач,l, l 1,2,..., m t, представим матрицу В в блочно-диагональном виде:

Bкол B Bнал. (3.4.10) Bкач Матрица, соответствующая количественным признакам Bкол, содержит частные функций принадлежности кол, j нормированных признаков и x норм вектора x кол размерности 1 m r :

кол,1 x 0 0 0 m xкол 0 r кол, x 0 0 mr. (3.4.11) Bкол xкол...................

x кол, m r 0 0 m xкол 0 r Матрица, соответствующая m s признакам наличия, имеет вид 1 0 0 m s 0. (3.4.12) B нал ms....................

0 0 ms Матрица, соответствующая качественным признакам кач,1 x L 0 0 шк кач, 0 x 0, (3.4.13) Bкач Lшк....................

кач,m t x 0 0 Lшк где Lшк – верхняя граница выбранной шкалы оценок экспертов (как правило, выбирается пятибалльная шкала).

Введенный нелинейный показатель качества (3.4.8), (3.4.9) позволяет учитывать качественные признаки объекта экспертизы (признаки наличия, признаки положительного эффекта, признаки психофизиологической приро ды) наряду с количественными признаками. Использование основных поня тий теории нечетких множеств позволяет получить более реальные оценки сравниваемых в процессе экспертизы объектов.

3.5 Метод анализа иерархий разделяющихся признаков Метод анализа иерархий Т. Саати (МАИ) получил широкую призна тельность ученых благодаря своей универсальности и изяществу используе мого математического подхода. Однако сам Т. Саати [142–144] и его после дователи [47, 61] отмечали серьезную ограниченность метода. Дело состоит в том, что эксперты с психологической точки зрения способны эффективно различать не более 5-6 признаков. Подобную ситуацию можно назвать «пси хологическим эффектом большой размерности». Реальные объекты экспер тизы могут содержать 10-30 (и больше) признаков, и попытка их сравнитель ной оценки приводит к потере объективности экспертизы. С вычислительной точки зрения составление матрицы парных сравнений столь большой раз мерности приводит к проблеме обеспечения ее согласованности, а в резуль тате к значительным вычислительным погрешностям.

В данном разделе предложим модификацию метода анализа иерархий с целью преодоления упомянутых выше вычислительных проблем и повыше ния объективности экспертизы. Назовем в дальнейшем эту модификацию МАИ методом анализа иерархий разделяющихся признаков (МАИ РП).

Метод анализа иерархий с разделяющимися признаками. В основе решения многокритериальных задач лежит ранжирование частных критериев (признаков). Значимость рангов частных критериев определяется на основе их попарного сравнения с помощью шкалы лингвистических оценок. В соот ветствии с методом анализа иерархий [142] рекомендуемая лингвистическая шкала состоит из девяти градаций оценок относительной важности. Считает ся, что выбранный частный критерий: строго эквивалентен другому – 1;

сла бо предпочтительнее – 3;

несколько предпочтительнее – 5;

значительно предпочтительнее – 7;

строго предпочтительнее – 9.

Искомым объектом является вектор коэффициентов относительной важности (вектор приоритетов) V V1,V 2,...,V m. (3.5.1) Как было установлено в разделе 3.3, в идеальном случае V является собственным вектором матрицы парных сравнений W и может быть найден как решение уравнения (3.3.14):

WV maxV, где –- собственное значение матрицы W.

Особую важность имеют матрицы, не только обладающие приведен ными выше свойствами, но и являющиеся согласованными. Информа тивным критерием достоверности определения рангов является индекс со гласованности (ИС) матрицы парных сравнений W, который дает информа цию о степени нарушения согласованности. Индекс согласованности для ка ждой матрицы рассчитывается на основе оценки максимальной величины собственного значения матрицы по формуле (3.3.17):

max m ИС =, m где m – размерность матрицы парных сравнений. Для обратно-симметричной матрицы всегда max m.

В матрицах больших размеров, начиная с 5-7 элементов, трудно до биться согласованности. Это объясняется психологическими особенностями мышления экспертов – человеку затруднительно сопоставить между собой слишком большое количество объектов.

Разрабатываемая методика позволяет решить эту проблему делением всего множества частных критериев на подмножества количественных при знаков, признаков наличия, качественных признаков и т.д. В каждой из этих групп собрано сравнительно небольшое число однородных признаков, что существенно облегчает построение соответствующих матриц парных сравне ний.

Первый этап. В отличие от традиционного подхода к построению мат рицы парных сравнений [142, 47] предложим блочно-диагональную форму этой матрицы, где по главной диагонали будут расположены блоки частных матриц сравнения, соответствующих выделенным выше пяти кластерам при знаков:

0 0 0 0 А кол 0 0 0 0 А нал 0 0 0 0 А пэф W= 0 0 0 0 А пфп 0 0 0 0 А груп 0 0 0 0 0 А отр Диагональные блоки являются квадратными матрицами парных срав нений, размерность которых определяется количеством признаков в каждом из кластеров. Остальные блоки, обозначенные 0, являются матрицами из ну левых элементов соответствующей размерности.

Вторым этапом алгоритма является определение вектора собственных значений, который для блочно-диагональной матрицы парных сравнений W примет блочно-последовательный вид:

Т пэф пфп груп А отр кол нал В каждой из клеток размерности ( m s 1 ), s 1 6 содержатся векторы собственных значений для каждого вида признаков. Максимальное собст венное значение (max определяет степень согласованности каждой из част s) ных матриц парных сравнений.

Третьим этапом алгоритма является определение собственных векто ров расширенной матрицы W. Совокупность векторов образует блочно диагональную матрицу 0 0 0 0 V кол 0 0 0 0 V нал 0 0 0 0 V пэф V= 0 0 0 0 V пфп 0 0 0 0 V груп 0 0 0 0 0 V отр Диагональные блоки являются квадратными матрицами собственных векторов, размерность которых определяется количеством признаков в каж дом из кластеров. Остальные блоки, обозначенные 0, являются матрицами из нулевых элементов соответствующей размерности. Первый собственный вектор в каждой из клеток определяет вектор приоритетов весовых коэффи циентов для различных кластеров признаков.

Четвертый этап заключается в определении признаков xi сравнивае мых объектов экспертизы и определении нормированных значений призна ков i согласно формулам (3.2.4), (3.2.5). Для признаков отрицательного эф x фекта (ПОЭ) используется другая нормировка, определяемая формулами (3.2.16), (3.2.17).

На заключительном, пятом этапе на основе найденных значений нор мированных признаков il, l 1,2,..., k и определенного множества весовых x l коэффициентов V осуществляется вычисление показателя качества J кач и l обобщенной функции цены J цены каждого l го объекта экспертизы согласно формулам (3.2.10), (3.2,12) (детерминированный вариант) или (3.4.8) (нечет ко-множественный вариант). Итоговым результатом является расчет ком плексного показателя качества J l l 1,2,..., k для всех сравниваемых объек тов экспертизы.

Матричная форма нечетко-множественного показателя. В разделе 3.4 показатель качества (3.4.8) был представлен в компактной матричной форме (3.4.9):

J КАЧ A v T B x, где B – линейный матричный оператор, учитывающий нормировку призна ков, функции принадлежности при построении нечетко-множественного по казателя J, B R mm, A – линейный матричный оператор, учитывающий возможную взаимосвязь признаков, межластерный приоритет признаков, mm внутрикластерный приоритет признаков, A R.

В разделе 3.4 для последнего уравнения (3.4.9) была получена матрица В в блочно-диагональном виде (3.4.10) и определены ее квазидиагональные блоки Bкол, Bнал, Bкач в предположении, что рассматривается три вида при знаков: количественные x кол, j, j 1,2,..., m r, признаки наличия x нал,i i 1,2,..., m s, качественные x кач,l, l 1,2,..., m t. Следуя той же методике, определим матрицу А также в блочно-диагональном виде:

A кол A A нал (3.5.2) A кач Матрица Aкол, соответствующая количественным признакам, содержит частные весовых коэффициентов Vкол, j и норм вектора Vкол размерности m m r 1 в пространстве R1 :

r Vкол,1 0 0 mr Vкол 1 Vкол, Vкол 0 0 A кол m. (3.5.3) Vкол 1 r m гр.....

V..............

Vкол,m r 0 0 mr Vкол Матрица, соответствующая m s признакам наличия, имеет вид Vнал,1 0 0 0 mS Vнал 1 Vнал, 0 Vнал A нал mS. (3.5.4) Vнал mгр..........

V.........

Vнал,m S 0 0 mS Vнал Матрица, соответствующая качественным признакам Vкач,1 0 0 mt Vкач 1 Vкач,.

0 0 Vкач A кач (3.5.5) mt Vкач m гр..... V..............

Vкач, m t 0 0 mt Vкач Сравнивая формулы (3.5.3) – (3.5.5), полученные для клеток матрицы А, с соответствующими формулами (3.4.11) – (3.4.13) для клеток матрицы В, отметим, что в этих выражениях применяются различные виды норм. Для матрицы А – частный случай нормы Минковского, а для матрицы В – норма Чебышева.

ГЛАВА 4. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ЭКСПЕРТНО СТАТИСТИЧЕСКОГО ПОДХОДА 4.1 Статистическая обработка векторов оценок экспертов Формирование математической модели в теоретико-вероятностных ис следованиях начинается с введения вероятностного пространства [160], т.е.

тройки множеств,,, (4.1.1) где – множество элементарных событий;



Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.