авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. Мартынова, В. В. Орлов, А. В. Рубинов, Л. Л. Соколов, И. И. Никифоров ...»

-- [ Страница 3 ] --

Заметим, что пример устойчивости, приведенный на рис. 30B, не свойственен гамильтоновым системам. Для гамильтоновых си стем была разработана так называемая КАМ-теория (см., напри мер, книгу Арнольда и др. [34]), в которой рассматриваются слабо возмущенные гамильтоновы системы, движения в которых пред ставляются обмотками торов в многомерных фазовых простран ствах. Согласно КАМ-теории, в окрестности большинства перио дических и линейно устойчивых орбит (далеких от условий ре зонанса) существует бесконечное множество колмогоровских то ров близких к периодическим решений. Объединение этих то ров называется колмогоровским множеством [34]. Это множество имеет положительную меру в фазовом пространстве. Размерность колмогоровских торов на единицу больше, чем размерность физи ческого пространства, в котором происходят движения трех тел: в пространственной задаче эти торы четырехмерны, в плоском слу чае трехмерны, а в прямолинейном случае – двумерны.

Многие авторы исследовали устойчивость тройных систем с компонентами различных масс (см., например, книги Голубева и Гребенникова [65], Маршаля [121], Валтонена и Карттунена [52], а также ссылки в них). Первые критерии устойчивости по Хиллу для общей задачи трех тел были получены Голубевым [63, 64]. Го лубев исследовал аналоги областей Хилла в общей задаче трех тел и нашел условие, при котором происходит разрыв области, т.е. об мен компонентами в тройной системе становится невозможен. Это условие соответствует коллинеарному решению Эйлера.

Условие устойчивости по Хиллу можно выразить в виде нера венства L2 E s = 2 5 scrit, (203) Gm где m средняя масса компонентов в тройной системе, scrit кри тическое значение параметра устойчивости s. Оно определяется из решения Эйлера и зависит от отношения масс тел. В случае равных масс scrit = 25 = 6.25. Заметим, что выполнение условия (203) не гарантирует устойчивости по Лагранжу, так как удаленный ком понент может покинуть тройную систему без предшествующего обмена.

В дальнейшем был предложен еще ряд критериев устойчиво сти по Хиллу и по Лагранжу (см., например, работы Харринг тона [195, 196], Блэка [46], Роя и др. [158], Доннисона и Микул скиса [78], Игглтона и Киселевой [93], Мардлинг и Арсета [118], Токовинина [189] и книгу Валтонена и Карттунена [52]). Как пра вило, эти критерии имеют вид неравенств, похожих на (203), но в некоторых случаях правые части этих неравенств зависят не только от масс тел, но и от некоторых орбитальных параметров внутрен ней и внешней двойных.

Приведем для примера несколько условий устойчивости трой ных систем. Критерий Харрингтона [196], полученный на основе численных экспериментов, имеет вид m 1 + m1 +m aex (1 eex ) A 1 + B lg + K, (204) ain 3/ где aex и ain большие полуоси внешней и внутренней двойных, eex эксцентриситет внешней двойной, K = 2. Значения парамет ров A и B в (204) зависят от направлений вращения внутренней и внешней двойных: в случае прямых движений (угол взаимного на клона векторов угловых моментов орбит i = 0 ) значения A = 3. и B = 0.70, для обратных движений (i = 180 ) величины A = 2. и B = 0.64. Харригтон [196] считает, что критерий (204) можно использовать и в пространственной задаче (i = 0, 180 ), кроме небольшой зоны неустойчивости в окрестности i = 90, когда плос кости орбит близки к ортогональности.

Критерий Игглтона и Киселевой [93] был получен по аналогии с условиями для поверхностей Роша в тесных двойных звездах. Он имеет вид 1/2 3/ Pex qex 1 + ein 3/ Ycrit, (205) 1 eex Pin 1 + qex где 1/ 1.4(qex 1) 3.7 2. Ycrit = 1 + 1/3 + 1/3 1/3, (206) 1/ qex 1 + qex qin (qex + 1) Здесь Pex и Pin периоды обращения внешней и внутренней двой ных, qin = m1 1, qex = m1m3 2, Ycrit +m критическое отношение m перицентрического расстояния внешней двойной к апоцентрическо му расстоянию внутренней двойной. Заметим, что в оригинальной работе Игглтона и Киселевой [93] имеется опечатка в знаке перед третьим членом в формуле (206).

Критерий Мардлинг и Арсета [118] основан на результатах чис ленного моделирования при вариации параметров орбит и отноше ний масс тел в широких диапазонах. Этот критерий имеет вид 2.6(1 + eex )0.4 (1 + m1m3 2 )0. aex (1 eex ) i +m 1 0., (207) (1 eex )0.0728 (1 + ein )1. ain (1 + ein ) где взаимный наклон i [0, ] выражен в радианах. Критерий при годен для широкого диапазона изменения параметров за исключе нием небольшой области вблизи ортогональности плоскостей орбит внутренней и внешней двойных.

Простой эмпирический критерий устойчивости был предложен Токовининым [189]. Он использовал аппроксимации данных наблю дений для иерархических тройных звезд с известными элементами орбит внутренней и внешней двойных. Критерий Токовинина име ет вид Pex (1 eex ) 5. (208) Pin Валтонен [50] предложил полуаналитический критерий устой чивости, который выводится с использованием теории возмущений в задаче трех тел. Критерий имеет следующий вид 1/ aex (1 eex ) m (1 eex )1/ 3.6 1 + ain m1 + m 1/ (1 + 0.5e2 ) 0.07 + (1 + cos i)1.15. (209) in Числовые коэффициенты в (209) подбираются по результатам чис ленного моделирования.

В классе полуаналитических критериев устойчивости отметим критерии, предложенные в работе [56] и книге [35]. Они имеют вид 1/ aex (1 eex ) m (1 eex )1/ 3 1+ ain m1 + m 1/ + cos i cos2 i (210) и 2/ aex (1 eex ) m3 1 + eex 2.8 1+. (211) (1 eex )1/ ain m1 + m По результатам численного моделирования, проведенного автора ми для большого количества вариантов начальных условий, эти критерии наиболее точно описывают область устойчивости.

Следует отметить, что эмпирические критерии устойчивости по лучаются для ограниченного набора начальных условий при чис ленном интегрировании уравнений движения на ограниченном ин тервале времени. Поэтому остается открытым вопрос о степени универсальности этих критериев и возможности их использования для тройных систем с произвольными начальными условиями и от ношениями масс компонентов.

В этой связи более перспективным представляется использо вание аналитических и полуаналитических критериев. Примене ние разных критериев устойчивости для одной и той же трой ной системы может давать различные результаты в том случае, когда система находится вблизи границы устойчивости (значения параметров устойчивости близки к критическим). В таких случа ях следует использовать численное моделирование на больших ин тервалах времени [(103 104 )Pex для иерархических систем или (103 104 ) для неиерархических систем].

Заметим, что строгие аналитические критерии устойчивости (типа критерия Голубева) пока получены только для устойчивости по Хиллу (по отношению к обмену компонентами). Для устойчи вости по Лагранжу (по отношению к уходу без обмена) подобных аналитических критериев не известно. По-видимому, уход удален ного компонента из тройной системы возможен всегда, однако для его реализации необходима постоянная подкачка энергии этого компонента в результате его сближений с внутренней двойной в благоприятной фазе. В этой связи существенную роль могут играть движения, близкие к резонансным (в частности, эволюция может происходить как последовательность сменяющих друг друга резо нансов).

Представляет интерес изучить переход от устойчивых движе ний к неустойчивым и обратно при небольших вариациях началь ных условий. Подобные исследования были выполнены в работах Киселевой и др. [97, 98] для иерархических тройных систем с плос кими прямыми движениями и начальными круговыми орбитами внутренней и внешней двойных (ein = eex = 0). Аналогичное ис следование для тройных систем с обратными движениями (i = ) выполнено Аносовой [29]. Варьировались отношения масс тел, ко торые задавались с помощью двух параметров m1 m1 + m [0, 2], [2, 2], = lg = lg (212) m2 m причем m1 m2.

Были выделены четыре основных типа потери устойчивости.

1. Уход удаленного тела без предшествующего обмена после ря да широких сближений этого тела с внутренней двойной.

2. Обмен компонентами с формированием новой иерархической долгоживущей системы и последующим уходом нового уда ленного тела.

3. Уход одного из тел после большого числа обменов компонен тов близкой пары.

4. Уход одного из компонентов после одного или нескольких об менов.

Первый сценарий обычно реализуется, когда удаленный компонент имеет наименьшую массу. Второй тип неустойчивости характерен для тройных систем с удаленным вначале наиболее массивным ком понентом. Третий сценарий типичен для систем с компонентами сравнимых масс. В четвертом случае один из компонентов внутрен ней двойной имеет массу, существенно меньшую, чем массы двух других тел.

Примеры устойчивой и неустойчивой тройных систем с компо нентами разных масс ( = 0.4, = 1.8) представлены на рис. 31.

Верхние рисунки (а) и (b) приведены в неподвижной системе коор динат, связанной с центром масс тройной системы. Рисунки (c)–(f) построены во вращающихся системах координат, связанных с па рами m1 m2 и m1 m3. Причем зафиксировано расстояние между те лами пары, а вращение системы отсчета происходит с переменной угловой скоростью.

Были обнаружены случаи, когда тройная система является неустойчивой по Хиллу (происходит обмен телами), но устойчива по Лагранжу, по крайней мере, в течение 104 Pex. На рис. 32 пока заны два примера таких систем для разных интервалов времени в ходе эволюции.

Кроме того, было обнаружено явление разрушающего резо нанса, когда в пределах зоны устойчивости движений обнаружи вались небольшие области, где с течением времени устойчивость тройной системы нарушалась эволюция завершалась уходом од ного из тел за ограниченный интервал времени. Пример разру шающего резонанса показан на рис. 33. На левой верхней панели рисунка приведен случай распада тройной системы без предшеству ющего обмена в результате серии сближений удаленного тела с вну тренней двойной системой. В результате происходит раскачка ор биты внешней двойной, приводящая к уходу удаленного компонен та. При уменьшении начального отношения X0 периодов внешней и внутренней двойных (рис. 33b) наблюдаются обмены компонен тами нарушается устойчивость по Хиллу и, в конце концов, один из компонентов уходит из тройной системы по гиперболической ор бите (нарушается устойчивость по Лагранжу). При дальнейшем уменьшении величины X0 (рис. 33с) тройная система становится Рис. 31. Примеры устойчивой (а) и неустойчивой (b) тройных систем в неподвижной барицентрической системе координат;

во вращающейся системе координат, связанной с телами m1 (c) и m2 (d);

во вращающейся системе координат, связанной с телами m1 (e) и m3 (f).

Рис. 32. Примеры систем, неустойчивых по Хиллу, но устойчивых по Лагранжу, при = 1.2, = 0.4 (верхние рисунки) и = 2.0, = (нижние рисунки).

Рис. 33. Эффект разрушающего резонанса при = 0, = 0.6. Рисунки соответствуют начальным отношениям периодов внешней и внутренней двойных: X0 = 4.2 (а), X0 = 4.1 (b), X0 = 4.0 (с), X0 = 3.5 (d).

устойчивой по Хиллу и по Лагранжу: в течение, по крайней мере, 104 Pex не происходит обменов компонентами и далеких выбросов удаленного тела. По-видимому, существует область устойчивости тройных систем, возможно, связанная с резонансным начальным отношением периодов X0 = 4. При дальнейшем уменьшении отно шения X0 (рис. 33d) тройная система снова становится неустойчи вой происходит быстрый обмен компонентами и уход одного из тел. Возможно, правильнее было бы использовать термин стаби лизирующий резонанс (в данном случае в окрестности начального отношения периодов X0 = 4) вместо термина разрушающий резо нанс, использованного Киселевой и др. [98].

Могут существовать более сложные устойчивые ограниченные движения, возможно, связанные с устойчивыми периодическими орбитами (см. § 5). Один из примеров таких движений приводит ся на рис. 34. На верхних рисунках (a и b) показаны устойчивые (X0 = 3.52) и неустойчивые (X0 = 3.48) движения;

на промежу точных рисунках (с и d) показан пример близкой к периодической Рис. 34. Примеры устойчивых и неустойчивых движений в окрестности периодической орбиты при = 1.8, = 0.4.

орбиты (X0 = 3.42);

на нижних рисунках приведены две неустойчи вые орбиты при X0 = 3.40 (е) и X0 = 3.37 (f). На рис. 34с движения приводятся во вращающейся и пульсирующей системе координат, связанной с телами m1 и m3 ;

на рис. 34d те же движения приведены в неподвижной системе координат, связанной с центром масс трой ной системы. Отметим, что четкий и близкий к периодическому рисунок траекторий виден только на рис. 34с. Следы этой перио дичности можно заметить на рис. 34а и 34е, хотя в первом случае (рис. 34а) витки траектории приблизительно однородно заполня ют некоторую кольцеобразную область, а во втором случае (рис.

34е) через некоторое количество витков происходит уход тела ма лой массы из тройной системы после серии обменов компонентами.

§ 5. Периодические орбиты Первые периодические решения в общей задаче трех тел были найдены еще в работах Эйлера и Лагранжа (см. выше). Эти реше ния были получены аналитически. В дальнейшем было опублико вано большое число работ, в которых находились и исследовались другие периодические решения в задаче трех тел, как в общей, так и в ограниченной (см., например, монографии Себехея [165], Мар шаля [121], Валтонена и Карттунена [52], а также ссылки в них).

Интерес к периодическим решениям вызван тем, что они пред ставляют собой базис всего множества решений, т.е. они более или менее аппроксимируют решения многих других типов. Если нам из вестно периодическое решение на протяжении одного периода, то мы знаем его на всей временной оси, что упрощает качественный анализ решений.

Можно рассматривать как абсолютные периодические орбиты, когда через период тела имеют те же самые положения и скорости в неподвижной системе координат, так и относительные периоди ческие орбиты, когда через период тела имеют те же самые относи тельные положения и скорости в подходящей вращающейся системе координат, но абсолютные положения и скорости могут отличаться на некоторый поворот (фазу) относительно вектора полного угло вого момента или имеют разный знак (зеркальное отражение).

Существенным свойством периодических траекторий является их устойчивость или неустойчивость. Обычно аналитически изуча ется устойчивость периодических решений в первом приближении.

Полный анализ устойчивости выполняется крайне редко из-за его чрезвычайной сложности, поэтому во многих случаях авторы про водят численный или численно-аналитический анализ устойчиво сти. Долгое время производился поиск только симметричных пери одических решений задачи трех тел, поскольку наличие симметрии существенно упрощает поиск соответствующих начальных условий.

В последние десятилетия широкую популярность нашли и асим метричные решения, в том числе в тройных системах с телами раз личных масс.

Два предельных случая периодических орбит были рассмотре ны в работах Шубарта [229] и Брука [47] для прямолинейной (одно мерной) и равнобедренной (двумерной) задач трех тел. Множество периодических орбит было найдено для ограниченной (круговой и эллиптической) задачи трех тел на плоскости и в трехмерном про странстве. Периоды этих орбит кратны периоду обращения двой ной, образованной телами ненулевых масс [121].

Большое число и разнообразие выявленных периодических ор бит свидетельствует в пользу известной гипотезы Пуанкаре о том, что подмножество периодических орбит всюду плотно на множе стве ограниченных решений задачи трех тел. Согласно Марша лю [121] эту гипотезу можно обобщить следующим образом: для любых трех заданных масс периодические орбиты являются всюду плотными в подмножестве ограниченных и осциллирующих орбит, и это же верно для подмножества всех орбит без гиперболического ухода при положительном или при отрицательном ходе времени.

Для доказательства существования периодических решений ис пользуются различные методы теории дифференциальных уравне ний, например, теорема о неподвижной точке, разложение в сте пенные ряды или ряды Фурье и др.

Долгое время наиболее популярным методом поиска семейств периодических орбит являлся метод аналитического продолжения.

Идея этого метода состоит в том, чтобы отталкиваясь от некото рой известной периодической орбиты и слегка изменяя начальные условия и/или массы тел, находить новое семейство периодических решений. Подробное изложение этого метода можно найти в книге Маршаля [121].

В последнее время бурно развиваются топологические методы поиска периодических решений в общей задаче трех тел (см., напри мер, работы Мура [132], Шансине и Монтгомери [219], Симо [170], Вандербея [59]). Поиск периодических орбит проводится с помощью минимизации функционала действия P A= (T + U ) dt, (213) где T и U обозначают кинетическую и потенциальную энергии тройной системы, P период. На практике решение обычно пред ставляется в виде отрезка ряда Фурье и решается задача оптими зации определяются начальные условия (координаты и скорости тел), соответствующие минимуму функционала (213).

Мур [132] предложил топологическую классификацию простых Рис. 35. Примеры сплетения прядей в задаче трех тел (рисунок из работы [132]).

периодических решений в плоской задаче трех тел с различными потенциалами взаимодействия тел вида Vij rij. (214) При этом тела не испытывают двойных и тройных соударений.

2 была из Устойчивость простейшей круговой орбиты при вестна давно. Наряду с этой орбитой Мур рассматривает орбиты с более сложной топологией. Для наглядного их представления он ис пользует диаграммы, изображающие косы из n прядей (braids of n strands), которые вычерчиваются в трехмерном пространстве времени при движении n тел на плоскости. Диаграммы показывают на протяжении одного периода T для каждого из тел изменение од ной из пространственных координат (ось абсцисс) со временем (ось ординат), а также какая из прядей при их пересечении проходит выше с учетом второй координаты (см. табл. 17).

Для символического представления разных видов кос (топо логических классов орбит) Мур [132] применяет специальные обо значения. Так, коэффициенты bi при n = 2, 3 соответствуют прохо ждению i-ой пряди над (i + 1)-ой прядью. Один из примеров сплетения прядей в случае трех тел приведен на рис. 35.

Одним из частных случаев периодических решений задачи трех тел являются так называемые хореографии, когда все три тела движутся друг за другом вдоль одной и той же замкнутой кри вой. Простейшим примером хореографии является лагранжево ре шение в случае равных масс всех трех тел (пятый сверху пример в табл. 17). Это периодическое решение существует при любых зна чениях. Другой пример хореографии представляет собой орби та восьмерка (шестой сверху пример в табл. 17). Это решение Таблица 17. Виды сплетений прядей в косы (таблица из работы Му ра [132]) Рис. 36. Пример частичной хореографии из работы Вандербея [59].

существует при всех 2. Оно подробно исследовано в работах Шансине и Монтгомери [219], а также Симо [170]. По-видимому, равенство масс тел является общим свойством всех хореографий.

Наряду с хореографиями в задаче трех тел существуют так называемые частичные хореографии, когда два тела движутся вдоль одной и той же замкнутой кривой, а третье тело движется по другой замкнутой кривой (рис. 36). Несколько периодических орбит, не являющихся хореографиями, получено Петровым [148].

Один из примеров таких орбит приведен на рис. 37 (см. также последний рис. в табл. 17). Траектории показаны в системе коор динат, связанной с центром масс тройной системы (рис. 37а), и в системе координат, связанной с одним из тел (рис. 37б), два дру гих тела движутся вдоль различных, но конгруэнтных кривых. Эта периодическая орбита соответствует резонансу 2 : 1, при котором периоды прохождения двумя телами своих вытянутых замкнутых кривых ровно в два раза меньше периода, с которым третье тело описывает свою почти круговую орбиту.

Еще одна резонансная орбита с отношением периодов 5 : 2 была найдена Петровым [148]. Эта траектория представлена на рис. в двух системах отсчета в барицентрической (а) и в связанной с одним из тел (б). Эта орбита представляет собой пример частич Рис. 37. Пример периодической орбиты, не являющейся хореографией (см. текст, рисунок предоставлен Петровым [148]). Резонанс 2 : 1.

ной хореографии, которая имеет место как в неподвижной бари центрической системе координат, так и во вращающейся системе координат, связанной с телом, двигающимся по кривой, близкой к окружности.

В работе Вандербея [59] представлен целый ряд периодических орбит в задаче трех тел, найденных посредством минимизации функционала действия (213), в том числе в тройных системах с компонентами различных масс. В некоторых случаях траектории движения отдельных тел могут иметь перегибы и/или самопересе чения.

Множество симметричных периодических орбит в задаче трех тел (с неравными, вообще говоря, массами) построено Титовым [186, 187] путем минимизации функционала действия с помощью нелинейного оптимизатора LOQO, разработанного Вандербеем [59].

Приведены примеры орбит для различных наборов масс и угловых скоростей вращения системы координат. Найденные симметричные периодические орбиты воспроизведены также с помощью числен ного интегрирования уравнений движения задачи трех тел.

Представляет интерес изучение устойчивости обнаруженных пе риодических орбит, поскольку в окрестности устойчивых периоди ческих орбит, согласно КАМ-теории, имеются области ненулевой меры траекторий с ограниченными движениями, все время пре бывающими вблизи исходной периодической орбиты. В реальности Рис. 38. Пример периодической орбиты в резонансе 5 : 2 (см. текст, ри сунок предоставлен Петровым [148]).

устойчивые периодические орбиты могут порождать семейства тра екторий с ограниченными движениями.

Устойчивость простых периодических решений при разных ис следована в работе Мура [132] с помощью численного интегрирова ния уравнений движения. Оказалось, что круговые орбиты устой чивы при 2 и неустойчивы при 2. Все найденные Му ром периодические орбиты устойчивы в интегрируемом случае при = 2. Мур [132] также исследовал устойчивость орбиты вось мерка и показал, что эта орбита устойчива при 1.24, в том числе она устойчива для ньютоновского потенциала при = 1.

В узкой переходной области 1.26 1.24 топология орби ты сохраняется, но наблюдается нерегулярные прецессионные ко лебания. При 1.27 колебания становятся столь сильные, что топологическая структура нарушается и происходит уход одного из тел.

Последняя из орбит в табл. 17 устойчива при = 1 ( 2). С уменьшением начинается прецессия и при = 1.34 происходит уход одного из тел. При дальнейшем уменьшении имеется окно, где уходов не происходит, однако прецессия носит сложный ди кий характер (wildly precessing). Возможные объяснения наруше ния устойчивости периодических орбит на качественном уровне да ны в работе Мура [132]. Они основаны на КАМ-теории, диффузии Арнольда и качественном анализе экстремальных седловых точек систем дифференциальных уравнений.

Полуаналитический подход к анализу устойчивости орбиты восьмерка при = 1 был использован в работе Симо [170].

Симо показал, что орбита устойчива, и исследовал структуру об ласти устойчивости в окрестности этой орбиты. В работах Си мо [170], а также Орлова и др. [143] было показано, что устойчи вость орбиты восьмерка сильнее всего чувствительна к вариаци ям масс тел (рис. 39). На рис. 39 нанесены точки (m1, m2 ), соответ ствующие устойчивым по Лагранжу траекториям с движениями, Рис. 39. Зависимость концентрации точек, соответствующих устойчивым по Лагранжу орбитам типа восьмерка, от вариации масс тел m1 и m с шагами m1 = m2 = 2 · 105 (а), 2 · 104 (б), 2 · 103 (в). Рисунок взят из работы Орлова и др. [143].

ограниченными, по крайней мере, в течение 1000. В этих трой ных системах максимальное взаимное расстояние между телами на данном интервале времени не превосходило 5d. Таким образом, при малых вариациях масс тел и сохранении начальных положе ний и скоростей тел имеется непрерывная область устойчивости в окрестности исходного периодического решения. При увеличении вариаций mi масс тел доля точек, соответствующих ограничен ным движениям, уменьшается. Однако множество устойчивых тра екторий сохраняется. Граница области устойчивости довольно кон трастная [170]. С другой стороны, было найдено некоторое количе ство разбросанных точек вне непрерывных областей устойчивости, для которых возможно нарушение устойчивости (в частности, уход на бесконечность одного из тел) при увеличении времени счета. На ряду с зонами устойчивости с хорошо определенной границей на блюдаются зоны устойчивости с размытой (разорванной) границей, представляющей собой множество разбросанных точек. Возможно, это множество представляет собой фрактал.

В работе Орлова и др. [143] была исследована структура трех мерных сечений множеств устойчивых орбит в окрестности орбиты восьмерка. Сечения строились в пространствах начальных ко ординат, скоростей и масс тел. Оценивались фрактальные размер ности DF этих множеств. Оказалось, что величины DF (2, 3), т.е. множества начальных условий для устойчивых орбит облада ют свойствами фрактальности.

Отметим, что в тройных системах с компонентами равных масс и нулевым моментом вращения имеются, по крайней мере, три устойчивых периодических орбиты:

• орбита Шубарта [229] для предельного случая одномерной за дачи трех тел;

• орбита Брука [47] для равнобедренной задачи трех тел;

• орбита восьмерка, занимающая промежуточное положение между этими двумя орбитами.

Все эти три орбиты примечательны тем, что в некоторые моменты времени все три тела оказываются на одной прямой (т.н. сизигии).

Заметим, что периодические решения Эйлера и Шубарта являют ся сизигиями в любой момент времени (однако решение Эйлера Рис. 40. Структура рельефа T (1, 2 ) при k = 0.2 (а) и k = 0.4 (б).

неустойчиво). Для орбиты Брука и восьмерки начальные усло вия можно выбрать в момент пересечения сизигия.

В работе Орлова и др. [145] была исследована динамическая эволюция плоских невращающихся тройных систем с телами рав ных масс, у которых начальные условия задаются в моменты си зигий. Тогда одно из тел находится в центре масс тройной систе мы, а координаты и скорости всех трех тел вычисляются через три параметра вириальный коэффициент k и углы 1, 2, опреде ляющие ориентацию векторов скоростей крайних тел. Углы 1, задаются в интервале [0, ]. При этом используется свойство зер кальной симметрии относительно линии расположения трех тел. В пространстве параметров (k, 1, 2 ) выделены непрерывные обла сти ограниченных движений, окружающие упомянутые выше три устойчивые периодические орбиты. Эти области изолированы друг от друга в пространстве (k, 1, 2 ), однако они соединяются моста ми, соответствующими неустойчивым траекториям с длительным временем жизни. На рис. 40 приведены два сечения пространства параметров (k, 1, 2 ) при k = 0.2, 0.4.

Вдоль оси OZ отложено время нарушения устойчивости трой ной системы, когда максимальное взаимное расстояние между те лами rmax 5d. Верхние плато соответствуют системам, в кото рых это условие не выполнялось, по крайней мере, в течение 1000.

На рис. 40a видны две непрерывные области устойчивости S1 и S2, порожденные орбитой Шубарта (см. рис. 43a). На рис. 40б эти Рис. 41. Структура рельефа T (1, 2 ) при k = 0.5.

области уже сильно разрушены, однако наблюдаются централь ная область устойчивости B, порожденная орбитой Брука (см. рис.

43б), и две области E1 и E2, порожденные орбитой восьмерка (см.

рис. 43в), занимающие промежуточные положения между областя ми устойчивых орбит Шубарта и Брука. Все области устойчивости выстроены вдоль биссектрисы 1 = 2 и симметричны относитель но диагонали 1 +2 =, являющейся линией тройных соударений.

При дальнейшем росте начального вириального коэффициен та k происходит постепенное разрушение областей устойчивости S и E, при этом формируется единая кольцеобразная структура (рис. 41). Образование этой структуры обусловлено разделением области устойчивости B орбиты Брука на две подобласти. Области устойчивости E1 и E2 орбиты восьмерка входят в это кольцо, а области устойчивости S1 и S2 орбиты Шубарта примыкают к коль цу вблизи областей E1 и E2. Таким образом, области устойчивости E1 и E2 орбиты восьмерка разделяют области устойчивости, по рожденных орбитами Шубарта и Брука.

Методы поиска периодических орбит, основанные на миними зации функционала действия (213), применялись не только в за даче трех тел, но и в задаче N 3 тел (см., например, работы Шансине и др. [220], Вандербея [59]). В частности, были получены Рис. 42. Примеры периодических орбит хореографий для числа тел N 3 (рисунок из [171]).

хореографические решения для четырех, пяти и большего числа тел. Можно представить себе следующий способ построения семей ства периодических орбит. Взяв за основу лагранжево решение (хо реография) и перегнув эту окружность один раз, мы получим хо реографию типа восьмерка. Дальнейшие перегибы приводят к новым периодическим решениям типа цепочек, лепестков (сгиб на ружу), петель (перегибание внутрь) и др. (см. рис. 42).

§ 6. Метастабильные системы В теории динамических систем известно явление прилипания, впервые обнаруженное в работах Чирикова [214,215] для некоторых физических систем. Это явление состоит в том, что фазовая траек тория системы длительное время проводит в некоторой ограничен ной области вблизи границы хаоса. Такое поведение типа диффузии связано со сложной структурой фазового пространства в окрест ности инвариантных торов (см., например, работу Морбиделли и Джорджилли [131]). Явление прилипания известно и в некото рых небесно-механических задачах, например, в задаче Ситнико ва [74], в задаче о движении астероидов вблизи резонанса [221].

Детальный анализ метастабильности в общей задаче трех тел равных масс был проведен в работе Мартыновой и др. [120]. Были рассмотрены тройные системы с телами равных масс и нулевыми начальными скоростями. Начальные конфигурации выбирались на трех контурах, вытянутых вдоль границ области D (рис. 26) с рас стояниями от границ = 0.001, 0.01, 0.1. Всего было рассмотрено около 15 000 вариантов начальных условий. Примерно в 1% систем тела значительное время проводят в окрестности периодических орбит (рис. 43). При этом возможны перескоки от одной перио дической орбиты к другой. Примеры метастабильных траекторий приведены на рис. 44.

На основе просмотра траекторий и анимации движений тел бы ли предложены геометрическая и динамическая классификации ме тастабильных траекторий в общей задаче трех тел. В геометриче ской классификации выделяются три вида орбит [120].

1. Вытянутая структура, когда центральное тело движется меж ду двумя крайними телами, испытывая последовательные по очередные двойные сближения с каждым из них (рис. 45).

Рис. 43. Простые устойчивые периодические орбиты в задаче трех тел равных масс с нулевым угловым моментом: а) орбита Шубарта [229], б) орбита Брука [47], в) орбита восьмерка [132].

2. Траектория одного из трех тел заполняет круг или овал, а траектории двух других тел образуют кольцевые структу ры, выступающие за овал, причем радиус овала существенно меньше, чем внешние радиусы колец (примерно одинаковые) (см. рис. 46).

3. Траектории всех трех тел заполняют круги или овалы при близительно одинаковых размеров, накладывающиеся друг на друга (рис. 47).

Рис. 44. Примеры метастабильных траекторий в окрестностях периоди ческих орбит (рисунки из [120]).

Динамически можно выделить три типа движений тел.

1. Движения в окрестности периодической орбиты Шубарта (рис. 43a).

2. Движения около периодической орбиты Брука (рис. 43б).

3. Движения в окрестности периодической орбиты восьмерка (рис. 43в).

Распределение начальных условий для метастабильных траекторий вдоль границ D1, D2, D3 области D представлено на рис. 48.

Рис. 45. Пример вытянутой метастабильной траектории типа орбиты Шубарта (начальные условия взяты на контуре, ближайшем к круговой границе области D).

Рис. 46. Пример метастабильной орбиты типа орбиты Шубарта с округ лыми шапками (начальные условия взяты на промежуточном контуре вдоль круговой границы области D).

Рис. 47. Пример метастабильных траекторий с овалами приблизительно одинаковых радиусов.

Начальные координаты (, ) для метастабильных систем кон центрируются в основном вдоль границы D1, образуя несколько сгущений точек. Начальные условия (, ), соответствующие тра екториям типа орбиты Шубарта, концентрируются вблизи начала координат и вдоль оси абсцисс (граница D2 ). Начальные условия, соответствующие орбите Брука и орбите восьмерка, примерно равномерно распределены вдоль границы D1 и реже встречаются вдоль границ D2 и D3.

В работе Орлова и др. [146] проводился поиск метастабильных систем при сканировании области D начальных условий с шага ми = = 0.001 (всего рассмотрено около 300 000 систем).

Результаты представлены на рис. 49. На рисунке нанесены положе ния (, ) примерно для 9000 тройных систем (около 3% выборки), в ходе эволюции которых происходили переходы в метастабильный режим в течение времени, превышающего 100, где среднее время пересечения. Распределение начальных координат (, ) для метастабильных систем в области D существенно неоднородно. Вы деляются сгущения и разрежения точек. Сгущения, как правило, вытягиваются вдоль дугообразных областей, соответствующих бы стрым распадам тройных систем.

Рис. 48. Зависимость динамических типов движений в метастабильных системах от начальных условий: тип 1 точки, тип 2 крестики, тип светлые кружки.

Изучение метастабильных движений в дальнейшем можно про водить различными способами (см., например, работу Орлова и др. [146]):

• изучение рисунков траекторий и анимации движений тел;

• статистический анализ последовательностей состояний трой ной системы;

• символическая динамика;

• вейвлет-анализ временных рядов состояний;

• вычисление энтропийных характеристик.

Рис. 49. Начальные координаты для метастабильных тройных систем (рисунок из работы [146]).

К настоящему времени изучение этого сложного динамического яв ления только начато. Но оно представляется нам весьма перспек тивным.

§ 7. Частные случаи задачи трех тел До сих пор не найдено аналитического решения общей задачи трех тел в конечной форме. В то же время известны некоторые частные решения при определенных допущениях о характере дви жений тел (например, симметрии траекторий и периодичности дви жений). Как говорилось выше, давно известны равновесные реше ния Эйлера и Лагранжа, когда тела все время находятся на одной вращающейся прямой или в вершинах вращающегося равносторон него треугольника. Оба эти решения замечательны тем, что взаим ные расстояния между телами не меняются со временем. Эти реше ния, в частности, приведены в работе Мура [132] вторая и пятая строки табл. 17. Заметим, что при несложном обобщении решений Эйлера и Лагранжа мы можем получить такие периодические дви жения, когда расстояния тел от центра масс тройной системы ме няются, но пропорционально друг другу.

Исходя из решений Эйлера и Лагранжа, мы можем рассмот реть прямолинейную и равнобедренную задачи трех тел. В первом случае три тела всегда находятся на одной неподвижной прямой и центральное тело испытывает колебания между двумя крайними телами. Во втором случае центральное тело движется вдоль пер пендикуляра к плоскости орбитального движения двух других тел, проходящего через центр масс этих тел. Прямолинейная задача од номерна, а равнобедренная задача может быть как плоской, так и пространственной. Равнобедренную общую задачу трех тел еще называют обобщенной задачей Ситникова.

Оба эти частных случая задачи трех тел можно свести к ди намическим системам с двумя степенями свободы, если рассмат ривать относительные движения тел. Двойные соударения в обеих этих задачах носят характер абсолютно упругого отскока, что яв ляется предельным случаем очень тесных прохождений (этот факт нетривиален и имеет место только для ньютоновского потенциала взаимодействия). В прямолинейной задаче с компонентами разных масс m1 (левое тело), m0 (центральное тело) и m2 (правое тело) уравнения движения имеют вид m0 + m 1 m2 m r= +, 2 (r + ) r (215) m0 + m 2 m1 m = +, 2 (r + ) r где r и расстояния от центрального тела до левого и правого тел, постоянная тяготения G = 1.

Не умаляя общности, можно положить m0 = 1 и ввести отно сительные массы крайних тел 1 = m1 /m0 и 2 = m2 /m0, причем 1, 2 [0, +). Тогда уравнения движения примут вид 1+ 1 2 r= +, r2 2 (r + ) (216) 1+ 2 1 = 2 +.

r2 (r + ) В случае равных масс 1 = = 1. Система уравнений (216) обла дает интегралом энергии 1 2 + ) E= 1r + + 1 2 (r 2(1 + + 2) 1 2. (217) r (r + ) В равнобедренной задаче с компонентами различных масс урав нения движения имеют вид 2 8r r=, 2 (r + 4R2 )3/ r (218) 8(2 + )R R= 2, (r + 4R2 )3/ где R расстояние от центрального тела до центра масс двух край расстояние между крайними телами, [0, +) них тел, r отношение массы m0 центрального тела к массе одного из крайних тел (массы крайних тел равны m1 = m2 = 1). При равных массах всех трех тел = 1. Уравнения движения (218) имеют интеграл энергии 1 1 E = r2 + R2. (219) (r + 4R2 )1/ 4 2+ r Аналитических решений систем (216) и (218) пока получить не удалось. Были найдены так называемые гомографические решения этих задач, когда все три расстояния между телами меняются про порционально. Для прямолинейной задачи равных масс при r = уравнения (216) сводятся к одному уравнению [141] r=. (220) 4r Решение этого уравнения имеет вид 5 ±t= r r + k(1 k) + 2 4r arcsin(1 2k), (221) + arcsin 4 начальное значение вириального коэффициента k = T /|U | где k тройной системы. Заметим, что формула, аналогичная (221), спра ведлива также в симметричном случае, когда центральное тело на ходится в начале координат, массы крайних тел равны между собой (m1 = m2 ) и расстояния r =.

Для плоской равнобедренной задачи трех тел равных масс ана логичное уравнение имеет вид r=, (222) r причем всегда R = 2 r,т.е. тела находятся в вершинах равносто роннего треугольника. Уравнение (222) можно легко решить, од нако в общем случае решение получается довольно громоздким, и мы его не приводим. В частном случае, когда вначале тела непо движны и находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной a, решение уравнения (222) имеет вид a 1 2r r t= + arcsin 1 r a +. (223) 4 2 a a 3/ Тройное соударение происходит при t = a24.

Подробный анализ движений в прямолинейной задаче трех тел проведен в цикле работ Хиетаринты и Микколы (см., например, обобщающую статью Хиетаринты и Микколы [202] и ссылки в ней), а также в работах Таникавы и Микколы [182] и Таникавы и Сай то [183]. Обзор результатов дан в статье Орлова и др. [147]. В этих работах выделены три основных типа движений:

1) быстрый уход одного из крайних тел после небольшого числа столкновений центрального тела с каждым из крайних тел;

2) хаотическое рассеяние уход одного из крайних тел после большого числа двойных соударений;

3) близкие к периодическим ограниченные движения.

Распределение по типам движения при фиксированном отноше нии масс тел (фиксированных параметрах 1 и 2 ) определяется устойчивостью или неустойчивостью периодической орбиты Шу барта [229]. Если эта орбита устойчива, то в ее окрестности имеется множество орбит с ограниченными движениями. Потеря устойчи вости этой орбиты приводит к увеличению меры множества траек торий с быстрыми распадами. Таким образом, периодическая орби та Шубарта в значительной степени формирует фазовый портрет множества решений.

При численных исследованиях движений в прямолинейной за даче трех тел возможны различные подходы при выборе началь ных условий. В частности, в работах Хиетаринты и Микколы [202], Таникавы и Микколы [182], Таникавы и Сайто [183] использовал ся следующий подход. Выбирались значения параметров и R так, что q1 + q, (224) R= а угловая переменная определяется из соотношений T sin = v1, T cos = v2, (225) где T кинетическая энергия, т.е.

1 1 1 1 1 1 p1 p p2 + p T= + + = 1 2 m0 m1 2 m0 m2 m 2 = v1 + v2, (226) где p1 и p2 импульсы, соответствующие обобщенным координа там q1 и q2. Заметим, что в (226) выполнено приведение функции T (q1, q2 ) к положительно определенной квадратичной форме. В ис пользованных выше обозначениях q1 = r, q2 =.

В работах Орлова и др. [141,143] использован другой способ вы бора начальных условий. Предполагалось, что при t = 0 централь ное тело находится посередине между крайними телами (r = ).

Тогда начальные положения и скорости тел определяются через два параметра.

1. Вириальный коэффициент T [0, 1).

k= (227) |U | Рис. 50. Зависимость типа орбит от начальных условий (, R) (рисунок из работы Хиетаринты и Микколы [202]).

2. Угол [0, 2], характеризующий соотношение между на чальными скоростями тел r = q sin, = q cos, (228) где 2k(1 + 1 + 2 ) q=. (229) sin2 + 2 cos2 + 1 2 (sin + cos )2 ] (1 k)[ Заметим, что величина k определяет тесноту сближения тел и ин тенсивность их взаимодействия, а угол определяет особенности кинематики движений (сближения или разлет в парах тел m1 m и m2 m0 ).

Результаты эволюции тройных систем в прямолинейной задаче в зависимости от начальных условий можно представить в следу ющем виде на рис. 50 [202]. На этом рисунке для случая равных масс приведены области быстрых уходов (не заштрихованы), обла сти хаотического рассеяния уход одного из крайних тел после длительной эволюции (серый цвет) и область устойчивых движе ний вокруг орбиты Шубарта (черный цвет). Размеры этих областей Рис. 51. Периодическая орбита Шубарта [229] при k = 0.206 и = (рисунок из [141]).

изменяются в зависимости от отношения масс тел (параметры и 2 ). В работе Хиетаринты и Микколы [202] показано, что на гра нице области устойчивости располагаются точки, соответствующие неустойчивым периодическим орбитам.

В работе Орлова и др. [141] была построена орбита Шубар та и орбиты в ее окрестности (рис. 51, 52). Близкие к периоди ческим устойчивые орбиты заполняют трубки, ориентированные вдоль орбиты Шубарта. Орбиты выпуклы и симметричны отно сительно биссектрисы r =.

На рис. 53 представлена зависимость сценария эволюции от на чальных условий (, k). На рисунке в области (, k) прослеживают ся множества точек, соответствующих разным сценариям:

• уход или далекий выброс одного из крайних тел r max r +, + 30;

(230) 2 • устойчивые системы;

• тройные соударения;

Рис. 52. Близкая к периодической устойчивая орбита при k = 0. и = 135 (рисунок из [141]).

• оставшееся светлое пространство заполнено системами с ко роткими выбросами с возвратом или системами, пребывающи ми в состоянии простого взаимодействия (simple interplay).

Отметим, что начальные условия, соответствующие быстрым уходам и далеким выбросам, располагаются в основном в области больших k 0.6 и вдоль линии тройных соударений = 225.

Эти зоны симметричны относительно линий тройных соударений = 45 и 225, причем в симметричных точках происходят уходы или выбросы разных крайних тел.

На рис. 54 и 55 для примера приведены зависимости длины пер вого выброса от величины при фиксированном k = 0.5 и от вели чины k при фиксированном = 190. Здесь крестики соответству ют выбросам левого тела, а квадратики правого тела. На рис. видна симметрия относительно линий тройных соударений = и 225. Заметим, что на обоих рисунках имеются области непрерыв ного изменения длины выброса при вариации начальных условий и зоны нерегулярного поведения. Как правило, с ростом k дли на выброса увеличивается и уменьшается доля точек с нерегуляр ным поведением. Наблюдается перемежаемость зон с регулярным и нерегулярным поведением.

Рис. 53. Зависимость сценария ухода от начальных условий (, k): круж ки уходы, квадратики далекие выбросы, точки нераспавшиеся системы. Вертикальные прямые = 45, 225 соответствуют тройным соударениям.

При изучении характера движений в равнобедренной задаче трех тел для выбора начальных условий при заданном отноше нии масс тел достаточно ввести два параметра, характеризую щие тесноту тройной системы и отношение скоростей тел. Орлов и др. [140, 142], Орлов и Мартынова [138] рассматривают в каче стве этих параметров вириальный коэффициент r0 R0 1 + k= + (231) 4 +2 r и отношение скоростей r µ=. (232) r0 + R В силу симметрии задачи мы можем брать только положительные значения скорости центрального тела R0 0. Параметры k и µ изменяются в следующих пределах k (0, 1), µ (1, 1). (233) Границы интервалов k = 0, 1;

µ = ±1 не рассматривались, посколь ку эти значения соответствуют тройным соударениям тел.

Рис. 54. Зависимость длины выброса от при k = 0.5 (рисунок из [141]).

В работе [140] было исследовано влияние прохождения цен трального тела через центр масс тройной системы на последующий выброс с возвратом (поворот) или уход этого тела.

Область начальных условий, определяемых параметрами k, µ, разделяется на две непрерывные зоны:

1) зона уходов (Eex 0), 2) зона выбросов (Eex 0).

Здесь Eex энергия движения центрального тела 1 2 R.

Eex = (234) 3 R В случае поворота оценивалась длина R выброса, а в случае ухо да энергия гиперболического движения Eex. Зависимость длины выброса R от начальных условий (k, µ) для случая равных масс ( = 1) представлена на рис. 56 и 57.

Прослеживается четкая связь между теснотой сближения и дли ной выброса с увеличением тесноты сближения (параметр k) выбросы в среднем становятся более далекими. Однако, тесно та сближения не единственный параметр, влияющий на длину Рис. 55. Зависимость длины выброса от k при = 190 (рисунок из [141]).

выброса. Параметр µ также играет существенную роль. Макси мум длины выброса для фиксированного значения k достигается при µ (0.2, 0.5), когда крайние тела расходятся со сравнительно небольшой скоростью. В этом случае после пролета центрального тела через центр масс тройной системы уменьшается сила действия на него со стороны крайних тел и оно может уйти из системы. Если крайние тела сближаются, то пролетающее тело после сближения будет тормозиться и запаса его кинетической энергии может быть недостаточно для ухода. При фиксированном значении k существу ет оптимальное значение µ 1, для которого выброс является наиболее далеким или при уходе уносится максимальная энергия.

На рис. 58 представлены зависимости уносимой энергии Eex (k, µ).

Границу зоны уходов можно аппроксимировать кривой 3-го по рядка k = 0.29µ3 + 0.43µ2 0.37µ + 0.88. (235) Все уходы происходят при k 0.82. Изолинии R = const для вы бросов с возвратом охватывают заштрихованную зону уходов (см.

рис. 56) и отдаляются от нее по мере уменьшения длины выброса.

Представляет интерес изучить не только результат одного про хождения центрального тела до поворота или ухода, но и результат Рис. 56. Изолинии постоянной длины выброса R = const на плоско сти (k, µ). Заштрихована область уходов после первого сближения.

всей эволюции тройной системы в зависимости от параметров k, µ и отношения масс.

В общем случае мы можем задать начальные условия r0, R0, r0, R0 через параметры, k, µ. Не ограничивая общности, мы можем принять R0 = 0 (ситуация syzygy crossing). Тогда величины r0, r0, R0 определяются по следующим формулам:

r0 = (1 k)(1 + 4), (1 k) µ2 + (1 µ2 ) r0 = µ 4k, 2+ (236) µ2 (1 k) R0 = 4k +.

2) (1 µ 2+ Для того, чтобы объективно сравнивать результаты численного моделирования при разных начальных условиях, полезно исполь зовать динамическую систему единиц (см., например, [22]):

mi mj i=j d= = +, (237) 2|E| Рис. 57. Зависимость длины выброса R(µ) при разных k: a) k = 0.1, 0.3, 0.5;

b) k = 0.6, 0.7, 0.8.

mi mj mi 1 i i=j = = + 1+, (238) 2 2|E| где m1 = m2 = 1, m0 =, E = 1, G = 1.

Эволюция каждой тройной системы прослеживалась либо до Рис. 58. Зависимость Eex (k, µ) для уходов.

ухода центрального тела, согласно критерию из работы [87], ли бо до достижения этим телом критического расстояния Rc = 100d (условный уход), либо до критического времени tc = 1000.

Движения тел на плоскости (r, R) могут происходить только в пределах области возможных движений, ограниченной контуром нулевых скоростей r = R = 0. Примеры таких контуров для трех значений = 0.5, 1, 2 приведены на рис. 59.

Было выделено несколько видов орбит (см. рис. 60). Как прави ло, эволюция тройной системы завершается уходом центрального тела после нескольких его прохождений через центр масс трой ной системы (рис. 60а). Периодическая орбита Брука [47], пока занная на рис. 60б, находится в пределах прямоугольника r [0, 3], R [2, 2]. Она симметрична относительно оси R = 0. Эта орби та устойчива. Вокруг нее имеется множество орбит с ограничен ными движениями, одна из таких орбит приведена на рис. 60в.

Она заключена внутри прямоугольника r [0, 3], R [3, 3]. Витки траектории образуют складку треугольной формы в окрестности точки r = 2, R = 0. Контур складки находится внутри области ор биты и не доходит до внешней огибающей траектории. На рис. 60г показана еще одна более сложная периодическая орбита с двумя уровнями колебаний r.

Можно провести классификацию траекторий в равнобедренной задаче по числу прохождений n центрального тела через центр масс Рис. 59. Контуры нулевой скорости при = 0.5, 1, 2. Значение = соответствует случаю равных масс.

тройной системы (syzygy crossing). На рис. 61 показаны области начальных значений (µ, k), соответствующие траекториям с ухода ми после n = 1, 2, 3, 4, 5 прохождений (y-by). На рисунке видны непрерывные области начальных условий, соответствующие регу лярным орбитам при небольших n. Зоны непрерывности с n стыкуются друг с другом и располагаются по периметру области начальных условий. Эти зоны разделяются линиями тройных со ударений. Кроме того, наблюдаются вытянутые линейчатые струк туры, состоящие из отдельных точек. С ростом n область регуляр ных орбит прижимается к границам области начальных условий и появляются множества разбросанных точек, соответствующих стохастическим траекториям.


Среди траекторий с длительным временем жизни выделяется непрерывная область близких к периодическим орбит в виде полу месяца. Также имеются отдельные точки, которые соответствуют стохастическим траекториям (см. рис. 62). Среди долгоживущих траекторий могут быть траектории с далекими выбросами с воз вратом.

Размеры областей регулярности и устойчивости зависят от от ношения масс. Область устойчивых орбит в окрестности орбиты Рис. 60. Разные виды орбит в равнобедренной задаче трех тел равных масс ( = 1): а) орбита с уходом (k = 0.5, µ = 0.7);

б) периодическая орбита Брука (k = 0.418, µ = 0);

в) близкая к периодической орбита (k = 0.5, µ = 0.33);

г) периодическая орбита второго типа (k = 0.22, µ = 0.07).

Брука имеет максимальную площадь при равных массах ( = 1).

Область быстрых уходов при малых n увеличивается с уменьше нием массы центрального тела. При n 2 наблюдается расслоение областей регулярности с образованием вытянутых разорванных структур. С ростом происходит стохастизация орбит, т.е. увели чение числа разбросанных точек и уменьшение размеров зон регу лярности.

Заметим, что классификацию орбит можно проводить не только Рис. 61. Области (µ, k), соответствующие уходам после n = 1, 2, 3, 4, прохождений и орбитам с временем жизни t 1000.

по числу прохождений n, но и по времени жизни t тройной систе мы [138]. За момент распада тройной системы будем принимать мо мент последнего прохождения центрального тела через центр масс тройной системы. Зависимость времени t от начальных условий (µ, k) представлена на рис. 63.

Наблюдается непрерывная область начальных условий, соответ Рис. 62. Пример стохастической траектории с длительным временем жизни при = 2, k = 0.85, µ = 0.85.

ствующая уходам при t = 0 (после первого прохождения). При малых значениях эта область почти симметрична относительно прямой µ = 0. С ростом размер этой области постепенно умень шается, и область сдвигается вправо в сторону µ 0. При равных массах этот сдвиг весьма существенен. При больших значениях па раметра области начальных условий, соответствующих быстрым уходам, уменьшаются по площади и концентрируются в основном вблизи границ области начальных условий.

Существует статистически значимая корреляция между време нем жизни тройной системы и числом прохождений центрального тела через центр инерции тройной системы. Отметим, что суще ствует зона избегания ниже прямой t = n, (239) где время жизни t выражено в единицах среднего времени пересече ния тройной системы. Величина наклона зависит от отношения масс (рис. 64);

с ростом величина убывает примерно втрое при увеличении от 0.01 до 10.

Множество точек, соответствующих траекториям с временем жизни t 1000, располагается справа от прямой линии (239). На личие зоны избегания при углах = arctg свидетельству Рис. 63. Области начальных условий, соответствующих уходам в различ ные интервалы времени: t = 0 кружки, 0 t 1 треугольники, 1 t 2 крестики, 2 t 3 звездочки, 3 t 4 крестики в кружочках, t 1000 точки.

ет об отсутствии тройных систем с большим числом прохождений и коротким временем жизни. С ростом увеличивается концентра ция точек к пограничной прямой (239) сверху.

Рассмотрим зависимость между временем жизни t тройной си Рис. 64. Зависимости t(n) времени жизни от числа прохождений при = 2 (а) и = 30 (б).

стемы и средним временем t между последовательными прохо ждениями центрального тела через центр масс тройной системы.

При больших временах жизни t имеется нижняя граница t, зави сящая от отношения масс. Это граничное значение уменьшается примерно втрое при увеличении от 0.01 до 10. Очевидно, что свер ху время t ограничено временем жизни тройной системы.

Статистическое изучение результатов численных экспериментов показало, что существуют зависимости между максимально дости жимыми в ходе эволюции тройной системы расстояниями: rmax расстояние между крайними телами и Rmax расстояние между центральным телом и центром масс крайних тел. Такая зависи мость для случая равных масс ( = 1) представлена на рис. 65.

Точки на этом рисунке заполняют область, напоминающую основание вазы. Внутри этой области видны линейные структу ры с n = 2. На левой границе этого множества находятся точки с n = 1 (пролеты). Прослеживается линия, проходящая из левого верхнего угла вазы в правый нижний угол. Эта линия может быть огибающей для определенных семейств траекторий. Заметим, что в окрестности точки перегиба (Rmax 2.5, rmax 3 этой ли нии находится множество систем из области начальных условий, соответствующих ограниченным движениям тел на интервале вре мени t 1000 в области, имеющей форму полумесяца на рис. 61.

Рис. 65. Зависимость Rmax (rmax ) при равных массах ( = 1) для n про хождений: n = 1 кружки, n = 2 треугольники, n = 3 крестики, звездочки, n = 5 крестики в кружках, точки соответствуют n= системам с t 1000.

На рис. 65 эти системы образуют отрезок прямой линии. Эта ли ния приблизительно разделяет множества траекторий с регулярны ми и стохастическими движениями. На этой разделяющей линии (в нижней ее части после точки перегиба) возможны уходы после разного числа прохождений. Также можно отметить второе множе ство точек (rmax 4, Rmax 5), соответствующих траекториям с ограниченными движениями в окрестности периодической орбиты, изображенной на рис. 60г. Можно предположить, что множества стохастических траекторий появляются как разрывы множеств ре гулярных орбит, которые при малых изменениях начальных усло вий теряют свойство регулярности.

Таким образом, в плоской равнобедренной задаче трех тел от ношение массы центрального тела к массе одного из крайних тел является управляющим параметром задачи. С ростом увеличи вается доля орбит со стохастическими движениями и уменьшается доля регулярных орбит. При 10 множества регулярных орбит исчезают. На двумерных зависимостях между эволюционными па раметрами с ростом происходит перераспределение точек из си стем линий в систему двумерных многообразий множеств точек, заполняющих некоторые полосы.

Изучение характера движений в частных случаях задачи трех тел можно проводить методами символической динамики. Такие исследования были выполнены, в частности, Алексеевым для за дачи Ситникова (см. монографию [10] и ссылки в ней), для пря молинейной задачи трех тел [182, 183], а также для плоской рав нобедренной задачи трех тел [92, 213]. Авторы этих работ вводят в рассмотрение последовательности символов, взаимно однозначно соответствующие состояниям системы трех тел. Вместо изучения семейств траекторий авторы исследуют множества символических последовательностей. В этих частных случаях задачи трех тел сим волические последовательности удобно строить как последователь ности двойных соударений (в прямолинейной задаче это соударения центрального тела с крайними телами, а в плоской равнобедренной задаче соударения крайних тел между собой).

Каждую орбиту можно представить как последовательность символов. Например, в работе Таникавы и Микколы [182] использу ются три символа {0, 1, 2}: символ {0} соответствует тройному со ударению, символ {1} – двойному соударению между центральным и левым телом, а символ {2} соударению между центральным и правым телом. В результате каждой траектории мы ставим в соот ветствие последовательность (... n2 n1 n0 n1 n2...), где ni = {0, 1, 2}, i Z. В равнобедренной плоской задаче мож но ввести последовательность из двух символов {0, 1}. Символ {0} соответствует тройному соударению, а символ {1} соударению крайних тел.

Основные результаты изучения символических последователь ностей в прямолинейной и равнобедренной задачах трех тел можно сформулировать следующим образом. Область начальных условий разделяется на зоны с различными типами символических после довательностей (см., например, рис. 2 в статье [182]):

1) периодические последовательности, соответствующие перио дическим орбитам;

2) последовательности, соответствующие орбитам с уходом од ного из крайних тел правого или левого в прямолинейной задаче или центрального тела вверх или вниз в равно бедренной задаче;

3) последовательности, соответствующие осциллирующим неог раниченным движениям без ухода;

4) последовательности, соответствующие тройным соударени ям тел.

Множества допустимых последовательностей символов являют ся канторовыми. Множества символических последовательностей, соответствующих траекториям с уходом, разделяются на подмно жества орбит с уходом после определенного числа двойных сближе ний, причем эти подмножества ограничиваются линиями тройных соударений. В частности, для периодической орбиты Шубарта [229] символическая последовательность имеет вид (21)... (21).

В случае уходов левого тела и правого тела соответственно после довательности могут иметь вид... 1.(21)2n 22...,... 1.(21)2n 11...

Рис. 66. Разделение области начальных условий линиями тройных соуда рений в прямолинейной задаче трех тел равных масс (рисунок из [182]).

Область устойчивых движений зачернена.

Глобальная структура области начальных условий представле на на рис. 66 [182]. Здесь R [0, 5 ] начальное расстояние от центрального тела до каждого из крайних тел (они вначале нахо дятся на одинаковом расстоянии от центрального тела). Начальная кинетическая энергия системы T= 2R находится из интеграла энергии, причем R = 5 соответствует кри вой нулевой скорости (T = 0). Угол [0, 2] определяется через импульсы p1 и p2 крайних тел по следующим формулам 3(p1 p2 ) = 2 T sin, p1 + p2 = 2 T cos.


На рис. 66 тонкие линии соответствуют траекториям с тройными соударениями, светлые области быстрым уходам, а зачерненная область устойчивым орбитам с ограниченными движениями в окрестности устойчивой периодической орбиты Шубарта [229].

Отметим, что в окрестности зоны устойчивых движений может иметь место перемежаемость областей с уходами левого и правого тел после различного числа двойных соударений. В принципе, не исключены осциллирующие движения.

В плоской равнобедренной задаче [92] ситуация с символиче скими последовательностями аналогична той, что имеет место в прямолинейной задаче. На диаграмме обобщенная координата Q1 – обобщенный импульс P1 строится сечение Пуанкаре. На этом се чении отображаются области Ak, соответствующие уходам после определенного числа k двойных соударений крайних тел. На рис. схематически приведена геометрическая структура областей Ak.

На правом рисунке изображены симметричные области начальных условий. Здесь f означает отображение f (Ak ) в зависимости от отношения массы центрального тела к сумме масс всех трех тел.

В равнобедренной задаче также выделяются зоны уходов с времен ным захватом центрального тела (они нанесены черным цветом на рис. 68), захват или уход после шести и более двойных сближе ний (серый цвет), траектории с ограниченными движениями (бе лый цвет).

Рис. 67. Геометрическое представление областей ухода Ak после k двой ных сближений крайних тел (рисунок из [92]).

Рис. 68. Графическое представление сценариев движений в равнобед ренной задаче трех тел равных масс ( = 1/3). На правом рисунке (b) приведено обычное сечение Пуанкаре.

В работе [92] также проведено исследование характера дина мики в равнобедренной задаче трех тел разных масс. При малых значениях имеется устойчивая неподвижная точка на сечении Пуанкаре (см. рис. 68), вокруг которой находится область квазипе риодических движений. При отношении масс m0 = m2 2.581 эта m m неподвижная точка исчезает, и область устойчивости пропадает, а при m1 = m0 2.662 происходит новая глобальная бифуркация и m m разрушение хаотического множества траекторий.

Рассмотренные частные случаи являются предельными для об щей задачи трех тел. Они помогают представить общую картину эволюции тройных систем.

Глава IV Динамика тройных звезд § 1. Возможные сценарии формирования тройных звезд Статистические исследования звезд в окрестности Солнца по казывают, что тройные системы и системы большей кратности со ставляют значительную долю (15–25%) от общего числа звездных систем (см., например, [189]). При выделении кратных звезд на бльших расстояниях от Солнца существенную роль играет на o блюдательная селекция. Эффект наблюдательной селекции можно проиллюстрировать в виде табл. 18 [189]. Из таблицы видно, что с ростом расстояния от Солнца доля выявленных кратных звезд существенно убывает. В ближайшей окрестности Солнца, по край ней мере, около трети звезд составляют кратные системы. В об ластях звездообразования кратность звезд существенно выше (см., Таблица 18. Число кратных звезд-карликов в каталоге Токовинина MSC [188] и общее число звезд в каталоге HIPPARCOS [86] внутри сфер ра диуса R вокруг Солнца R, пк MSC HIPPARCOS MSC/HIP 8 5 18 0. 10 6 36 0. 15 11 112 0. 20 18 252 0. 50 76 3383 0. Рис. 69. Схема образования кратных звезд [189].

например, [84]). Интересно отметить, что почти все тесные двойные системы имеют удаленные спутники (см., например, [189]).

Недавно в [69] на основе статистического анализа наблюдаемой функции кратности было показано, что большинство звезд форми ровалось в составе двойных или тройных систем. Этот результат согласуется с гипотезой [109], согласно которой большинство звезд сформировалось в составе малых групп.

Мы можем рассмотреть два основных сценария формирования наблюдаемых тройных звезд:

1) совместное образование изолированной системы, состоящей из трех компонентов;

2) образование тройной системы в результате распада неиерар хической малой группы или звездного скопления.

Схематически процесс образования кратных звезд показан в рабо те [189], см. рис. 69.

При формировании изолированной тройной системы в резуль тате фрагментации протозвездного газового облака возможны не сколько вариантов эволюции. Если эффективность звездообразова ния низкая (более 50% вещества остается в газо-пылевой фазе), то, в результате воздействия звездного ветра (фотонов и заряженных частиц) от молодых звезд, значительная часть оставшегося газа вы дувается из кратной системы и система может приобрести положи тельную полную энергию. Такие системы расширяются и растворя ются в общем звездном поле как одиночные или двойные звезды.

В случае, когда эффективность звездообразования высока, как правило, формируются тройные системы с отрицательной полной энергией:

1) неиерархические системы типа Трапеции Ориона со сравни мыми взаимными расстояниями;

2) сильно иерархические системы типа Лиры, в которых од но из взаимных расстояний все время остается много меньше двух других;

3) слабо иерархические системы, которые занимают промежу точное положение между системами типа Трапеции и систе мами типа Лиры.

Неиерархические тройные звезды должны быть, как правило, неустойчивы, за исключением множеств малой меры, концентри рующихся в окрестности устойчивых периодических орбит (см. § главы III). Устойчивых неиерархических тройных звезд по данным наблюдений пока не обнаружено. Системы типа Трапеции наблю даются, как правило, в областях звездообразования, т.е. они имеют небольшой возраст и быстро распадаются.

Наблюдаемые в окрестности Солнца сравнительно старые трой ные звезды, как правило, имеют сильно иерархическую структуру.

Эти системы должны быть динамически устойчивы (см. ниже).

Среди тройных звезд со слабой и умеренной иерархией, в прин ципе, могут встречаться как устойчивые, так и неустойчивые си стемы. Заметим, что в устойчивых системах с умеренной иерархи ей и некомпланарными орбитами внешней и внутренней двойных подсистем должен проявляться известный эффект Лидова–Кодзая [101,111]. Этот эффект состоит в том, что эксцентриситет внутрен ней пары в таких системах испытывает долгопериодические колеба ния (т.н. циклы Кодзая), причем временами он становится близким к единице. В эти эпохи существенную роль может играть прилив ное взаимодействие компонентов близкой двойной, которое приво дит к частичной циркуляризации ее орбиты и увеличению тесноты внутренней двойной за счет перераспределения энергии и углового момента орбитального движения во внутреннюю энергию и спино вые моменты компонентов. В результате часть устойчивых систем с умеренной иерархией переходит в разряд сильно иерархических систем. Этот механизм косвенно подтверждается наличием пика в распределении периодов мало массивных тесных двойных в интер вале от двух до семи суток и резким уменьшением доли систем с периодом Pin 7 суток. Еще один аргумент в пользу механиз ма Лидова–Кодзая в сочетании с приливным взаимодействием отсутствие сильно иерархических систем с отношением периодов Pex /Pin 104 [189]. Однако отсутствие таких сильно иерархиче ских систем может быть связано с трудностью их обнаружения.

§ 2. Устойчивость наблюдаемых тройных звезд О динамическом статусе наблюдаемой тройной звезды часто су дят по ее видимой конфигурации в проекции на небесную сферу.

Обычно считают, что тройные звезды, имеющие неиерархическую конфигурацию, являются динамически неустойчивыми, а системы с иерархической видимой конфигурацией динамически устойчивы.

Заметим, что видимая конфигурация тройной системы не совпада ет с ее истинной конфигурацией в трехмерном пространстве, поэто му часть видимых иерархических систем может оказаться истинно неиерархическими и наоборот. В частности, согласно Амбарцумя ну [12] около 10% тройных и четверных систем с истинной иерар хической конфигурацией (отношение максимального расстояния между компонентами к минимальному расстоянию больше 3) могут проектироваться в видимые неиерархические системы. Агекян [1] получил интегральное уравнение, связывающее функции распреде ления видимых и истинных конфигураций тройных систем.

Должна существовать статистическая связь между функцией распределения конфигураций тройных систем и характером их ди намической эволюции. В работах Аносовой [13], Аносовой и Орло ва [21] было показано, что распределение видимых конфигураций тройных звезд (после исключения явно оптических систем) не про тиворечит гипотезе о динамической неустойчивости большинства наблюдаемых визуальных тройных звезд (см. также обзор Аносо вой и Орлова [22]).

Заметим, что данные наблюдений кратных звезд подвержены эффектам наблюдательной селекции. Например, труднее обнару жить иерархическую тройную систему с слабым удаленным ком понентом или с удаленным компонентом, двигающимся по сильно вытянутой орбите (такие компоненты трудно отделить от звезд фо на). Также сложно обнаружить широкие кратные звезды, компо ненты которых обладают общим собственным движением (CPM кратные). Очевидно, что наблюдательная селекция может сильно повлиять на распределения орбитальных характеристик тройных звезд и отношений масс их компонентов.

Однако имеется ряд (несколько десятков) тройных звезд, для которых выводы о динамической устойчивости или неустойчивости можно сделать более уверенно. Это иерархические тройные систе мы, в которых известны элементы орбит обеих пар внутренней двойной, образованной близкими компонентами, и внешней двой ной, сформированной удаленной звездой и центром масс (как пра вило, фотоцентром) близкой пары.

Исследования динамической устойчивости наблюдаемых трой ных звезд проводилось в целом ряде работ (см., например, [78, 89, 90, 137, 139, 168, 189, 192]).

В работе Себехея и Заре [168] было рассмотрено 8 иерархических тройных звезд. Как правило, не удается однозначно определить взаимный наклон плоскостей орбит внутренней и внешней двойных.

Себехей и Заре [168] рассмотрели различные значения взаимного наклона i. Они показали, что в случае плоских (компланарных ор бит) и прямых движений все 8 рассмотренных систем устойчивы по критерию Голубева. Если движения не компланарны, то 5 из 8 си стем могут быть неустойчивы в интервалах наклона i [icrit, 180 ], где icrit некоторое критическое значение взаимного наклона.

Более представительная выборка из 27 тройных звезд была рас смотрена Фекелом [192]. Он использовал тот же критерий устойчи вости, что и в работе Себехея и Заре [168]. Фекел показал, что системы устойчивы при любых значениях взаимного наклона i, а системы могут быть неустойчивы при обратных движениях компо нентов внутренней и внешней двойных.

Доннисон и Микулскис [78] исследовали динамическую устой чивость 38 тройных звезд с помощью их оригинального критерия, основанного на обобщении критерия Блэка [46] для случая различ ных эксцентриситетов внутренней и внешней пар. Оказалось, что все рассмотренные системы устойчивы независимо от того, имеют они прямые или обратные движения.

В работе Орлова и Петровой [139] была рассмотрена выборка из 38 иерархических тройных звезд с известными массами компо нентов и элементами орбит внутренней и внешней двойных подси стем. К сожалению, далеко не для всех систем удалось однозначно оценить угол i взаимного наклона орбит, поскольку он зависит от долгот восходящих узлов орбит [48]:

cos i = cos iin cos iex + sin iin sin iex cos(ex in ), (240) где iin и iex углы наклона орбит внутренней и внешней пар к кар тинной плоскости, in и ex позиционные углы линий узлов этих орбит. Для большинства систем углы in и/или ex не определены или определены с точностью до 180 (не известно, какой из двух узлов является восходящим). Поэтому в работе Орлова и Петровой были использованы те из возможных значений i, которые давали наименьшую оценку запаса устойчивости согласно четырем крите риям (см. [63,64,93,118,195,196], а также § 4 главы III). Оказалось, что большинство рассмотренных систем устойчиво согласно всем четырем критериям. Однако обнаружилось 10 систем, неустойчи вых по некоторым или даже по всем критериям. Возможные при чины появления неустойчивых систем следующие:

• ошибки наблюдательных данных (орбитальных элементов и масс компонентов);

• произвол при выборе взаимного наклона орбит;

• неопределенность кратности данной системы;

• неприменимость некоторых из используемых критериев к от дельным системам;

• физическая или динамическая молодость систем.

Исследование устойчивости избранных наблюдаемых кратных (главным образом, тройных) звезд было продолжено в работах [89,90,137]. Была составлена выборка из 18 иерархических кратных звезд с известными орбитальными элементами для всех подсистем и масс всех компонентов. Среди них оказалось 16 тройных систем.

Для каждой тройной системы определялись значения s параметров устойчивости согласно шести критериям [52, 63, 64, 93, 118, 189, 195, 196]. Кроме того, находились критические значения sc этих пара метров и относительные запасы устойчивости s sc s =. (241) sc Наряду с использованием критериев устойчивости для каждой системы прослеживалась динамическая эволюция в прошлое и бу дущее в течение 106 лет. Оказалось, что из 18 рассмотренных систем 12 являются устойчивыми. При этом для тройных систем результаты применения аналитических критериев устойчивости и результаты численного моделирования согласуются.

Возможно неустойчивые кратные системы имеют меньшую сте пень иерархичности по сравнению с вероятно устойчивыми си стемами. Неустойчивость этих слабо иерархических систем может быть связана с одним (или несколькими) из факторов, перечислен ных выше. Однако, в принципе, могут существовать действительно неустойчивые системы. В работах Орлова и Жучкова [89,137] пред ложено несколько возможных сценариев образования таких систем:

• временный захват звезды поля при ее сближении с тесной двойной системой;

• разрушение устойчивой иерархической тройной системы в ре зультате ее сближения с массивным объектом поля (напри мер, газовым облаком, звездным скоплением или массивной черной дырой);

• неустойчивая тройная система является продуктом распада системы большей кратности (малой группы звезд или звезд ного скопления).

В результате действия этих механизмов в окрестности Солнца радиусом 200 пк может быть несколько таких неустойчивых си стем [89]. Согласно результатам численного моделирования, эво люция этих систем завершается уходом одного из тел за время 102 103 оборотов внешней двойной, что составляет 104 лет для рассмотренных тройных звезд.

Результаты изучения устойчивости наблюдаемых кратных звезд зависят от погрешностей исходных данных и ошибок счета. Жуч ков и Орлов [89] попытались учесть ошибки данных наблюдений с помощью статистического моделирования методом Монте-Карло.

Проводилась вариация элементов орбит подсистем и масс компо нентов при предположении о нормальном распределении ошибок этих параметров. Для каждой системы было рассмотрено 1000 ва риантов начальных условий, полученных в результате этих вари аций. Для каждого варианта численно прослеживалась динамиче ская эволюция кратной системы в прошлое и будущее на протяже нии 106 лет. Оказалось, что рассмотренные кратные звезды четко разделяются на две популяции:

• вероятно устойчивые;

• вероятно неустойчивые.

В первой популяции (12 систем) доля неустойчивых вариантов ма ла (не превосходит 10%). Во второй популяции наблюдается пря мо противоположная картина (вероятность устойчивости не пре восходит 6%). Таким образом, случайные ошибки элементов орбит и масс звезд существенно не влияют на вывод об устойчивости или неустойчивости системы.

Отметим, что выборки кратных звезд с известными элементами орбит всех подсистем и массами компонентов сравнительно неве лики, поэтому какие-либо статистические выводы о преобладании динамической устойчивости или неустойчивости в наблюдаемых си стемах сделать сложно. Повышение точности наблюдательных дан ных, увеличение объема выборки и обеспечение ее полноты в буду щем позволят сделать более надежные заключения об устойчивости кратных звезд.

§ 3. Астрофизика и динамика Значительная часть звезд формируется в составе малых групп (см., например, обзор Ларсона [109]). Как правило, это двойные или тройные системы [69]. Образующиеся системы и их компонен ты содержат информацию о процессе звездообразования. Наблюда емые тройные звезды также могут нести некоторую информацию о процессах их формирования и эволюции. В частности, физические свойства компонентов (массы, спектральные классы, химический состав, ротационные скорости и т.д.), а также динамика системы (устойчивость или неустойчивость, близость к резонансам и т.п.) отражают специфику наблюдаемого состояния тройной системы с учетом ее предыстории и могут быть связаны с орбитальными ха рактеристиками системы.

Неиерархические кратные звезды, как правило, динамически неустойчивы, поэтому они должны состоять из молодых звезд ран них спектральных классов и звезд типа T Тельца, еще не достигших главной последовательности. Как правило, в группировках моло дых звезд (звездных ассоциациях) кратные системы встречаются существенно чаще, чем в окрестности Солнца (см., например, [84]).

Первый обзор тройных систем в ассоциации Змееносца был про веден в работе Кореско [106]. Проводился поиск удаленных компо нентов у 14 известных двойных звезд. Были обнаружены новые компоненты у 2 систем и заподозрены у 5 систем. Это говорит о высокой степени кратности молодых звезд. Сходный результат был получен в работе Ковея и др. (см. обзор [100]), которые исследова ли окрестности 55 двойных систем в различных областях звездо образования. Они нашли 15 тройных или четверных систем. Эти системы, как правило, имеют высокую иерархичность.

Один из возможных механизмов формирования таких систем сочетание циклов Кодзая [101] и приливного взаимодействия меж ду звездами при тесных сближениях (см., например, [99]) в систе мах с большим взаимным наклоном плоскостей орбит внутренней и внешней двойных. Оказалось, что комбинация этих двух эффектов может привести к формированию сильно иерархических кратных систем, в которых внутренние двойные имеют периоды в несколь ко дней.

В последние годы активно проводятся поиски кратных систем среди экстремально молодых протозвездных объектов, погружен ных в газовые туманности (см., например, [211] и ссылки в ней).

Обнаружение таких объектов с возрастами 104 –105 лет свиде тельствует о том, что кратные системы могут формироваться за очень короткое время после появления зародышей будущих прото звезд. Как правило, такие объекты наблюдаются в инфракрасном, субмиллиметровом и радиодиапазонах. Для разрешения наиболее тесных кратных систем необходимо использовать интерферометри ческие наблюдения на наиболее крупных ИK телескопах (8–10 м) и радиоинтерферометрах типа VLA и VLBA.

Выявление наиболее молодых кратных объектов также прово дилось в миллиметровом диапазоне (см. [113]). Главный вывод этой работы состоит в том, что в широком диапазоне пространствен ных размеров преимущественно наблюдаются кратные протозвез ды. Райпурт [154] показал, что от 80% до 90% наиболее молодых объектов входят в кратные системы, причем более 50% из них в системы с кратностью 3 и более. Кроме того, в работах Райпурта и др. [155,156] было показано, что частота встречаемости двойных си стем среди подобных объектов сравнима с частотой двойных среди звезд типа T Тельца.



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.