авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ю. Б. Гольдштейн

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

Учебное пособие

Петрозаводск

Издательство ПетрГУ

2005

ББК 30.04

Г635

УДК 620.04

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра строительной механики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (зав. кафедрой – проф., докт. техн. наук В. И. Плетнев);

проф., докт. техн. наук Н. Д. Сергеев Гольдштейн Ю. Б.

Г635 Основы механики твердого деформируемого тела: Учеб. пособие/ Ю. Б. Гольдштейн;

ПетрГУ. – Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2005. – 872 с.

ISBN 5-8021-0332- Излагаются разделы механики твердого деформируемого тела, изучение которых предусматривается программами подготовки дипломированных специалистов в области строительства и машиностроения. С единой позиции рассматриваются курсы сопротив ления материалов, строительной механики, теории упругости и пластичности.

Пособие предназначено, прежде всего, для студентов-строителей. Однако оно мо жет оказаться полезным и студентам мащиностроительных специальностей, а также аспирантам, которые посвятили себя изучению проблем прочности и надежности ин женерных конструкций.

Табл. 40. Ил. 563. Библиогр.: 47 назв.

ББК 30. c Ю. Б. Гольдштейн, ISBN 5-8021-0332- c Петрозаводский государст венный университет, ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ................................................................ ЧАСТЬ I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ МЕ ХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА..................... ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ....................... 1.1. Тела и прикладываемые к ним нагрузки............................... 1.2. Несиловое воздействие................................................ 1.3. Модель материала..................................................... 1.4. Внутренние силы взаимодействия..................................... 1.5. Тензор напряжений и его компоненты................................. 1.6. Усилия................................................................ 1.7. Эпюры усилий......................................................... 1.8. Связь между усилиями и интенсивностями распределенных погон ных нагрузок.......................................................... 1.9. Задача механики твердого деформируемого тела...................... ГЛАВА 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА.................. 2.1. Уравнения равновесия в точке тела................................... 2.2. Напряжения на наклонных площадках................................ 2.3. Экстремальность нормальных напряжений............................ 2.4. Ортогональность главных площадок.................................. 2.5. Инварианты тензора напряжений..................................... 2.6. Экстремальность касательных напряжений........................... 2.7. Октаэдрические напряжения.......................................... ГЛАВА 3. ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ........................................... 3.1. Классификация силовых конструкций................................. 3.2. Дополнительные сведения о модели стержня......................... 3.3. О принципе независимости действия сил............................. 3.4. Типы деформаций..................................................... 3.5. Поведение призматического стержня при осевой нагрузке............ 3.6. Напряжения при осевой деформации................................. 3.7. Концентрация напряжений............................................ 3.8. Принцип Сен-Венана.................................................. ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИ РУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА............................................ 4.1. Испытания на растяжение-сжатие..................................... 4.2. Диаграммы растяжения металлов..................................... 4.3. Испытания материалов на сжатие..................................... 4 Оглавление 4.4. Основные механические характеристики материала................... 4.5. Разгрузка и повторное нагружение.................................... 4.6. Пластичность и хрупкость............................................ 4.7. Предельное и допустимое состояния при осевой нагрузке............. 4.8. Расчетные модели материала.......................................... 4.9. Ползучесть............................................................ 4.10. Две модели вязкоупругой среды..................................... ГЛАВА 5. ДЕФОРМАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ТЕЛА................ 5.1. Вводные замечания................................................... 5.2. Условия совместности перемещений и деформаций в точке тела...... 5.3. Условия совместности деформаций в точке тела...................... 5.4. Деформации в окрестности точки тела................................ ГЛАВА 6. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ДЛЯ ТЕЛА ГУКА........................................................ 6.1. О линейной упругости................................................ 6.2. Закон Гука при сдвиге для изотропного материала................... 6.3. Обобщенный закон Гука.............................................. 6.4. Потенциальная энергия деформации.................................. 6.5. Обобщенный закон Гука для анизотропного тела..................... ГЛАВА 7. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ........... 7.1. Полная система уравнений для изотропной среды.................... 7.2. Решение краевой задачи теории упругости в напряжениях............ 7.3. Решение задачи теории упругости в перемещениях................... 7.4. Единственность решения задачи теории упругости.................. ГЛАВА 8. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИА ЛОВ...................................................................... 8.1. О предельном состоянии в точке тела................................ 8.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)........................................................... 8.3. Теория наибольших растягивающих деформаций (вторая теория прочности)........................................................... 8.4. Теория максимальных касательных напряжений (третья теория прочности)........................................................... 8.5. Энергетическая теория (четвертая теория прочности)................ 8.6. Теория прочности Мора.

............................................. 8.7. Деформация чистого сдвига.......................................... КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ..................... ЧАСТЬ II. ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ-СЖАТИЯ, ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ........................................................... ГЛАВА 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОСЕВОЙ ДЕФОРМА ЦИИ..................................................................... 1.1. Стержни переменного сечения........................................ Оглавление 1.2. Учет собственного веса............................................... 1.3. Гибкие нити.......................................................... 1.4. Равновесные формы некоторых нерастяжимых нитей................. 1.5. Натяжение нити...................................................... 1.6. Пологая и непологая нити............................................ 1.7. Полная система уравнений для плоской пологой нити................ 1.8. Дисково-стержневые и шарнирно-стержневые конструкции.......... 1.9. Одноузловые фермы при силовом воздействии....................... 1.10. Несиловое воздействие.............................................. 1.11. Нестандартные случаи............................................... 1.12. Дисково-стержневые конструкции................................... 1.13. Система с одной степенью свободы................................. 1.14. Система с двумя степенями свободы................................ 1.15. Система с тремя степенями свободы................................ 1.16. Подбор сечений при действии постоянной нагрузки................. ГЛАВА 2. ОДНОРОДНЫЙ ИЗГИБ............................................ 2.1. О деформации изгиба................................................ 2.2. Техническая теория чистого изгиба призматических брусьев......... 2.3. Перемещения........................................................ 2.4. Проверка прочности.................................................. 2.5. Изгиб в двух плоскостях............................................. 2.6. Случай несимметричного поперечного сечения....................... 2.7. Сочетание чистого изгиба с осевой деформацией.................... 2.8. Построение ядра сечения............................................. ГЛАВА 3. ИЗГИБ С ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ................................. 3.1. Характер деформирования........................................... 3.2. Касательные напряжения изгиба..................................... 3.3. Распределение касательных напряжений по некоторым попереч ным сечениям........................................................ 3.4. Оценка прочности.................................................... 3.5. Изгиб в двух плоскостях............................................. 3.6. Влияние сдвигов на перемещения и нормальные напряжения........ 3.7. Составные стержни.................................................. ГЛАВА 4. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЗАДАЧИ О ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ ПРИЗМАТИЧЕСКОГО БРУСА................................ 4.1. Постановка задачи................................................... 4.2. Метод начальных параметров........................................ 4.3. Балка на упругом основании........................................ ГЛАВА 5. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА...................... 5.1. Брусья с криволинейной осью........................................ 5.2. Определение положения нейтральной оси............................ 5.3. Брусья большой и малой кривизны................................... 6 Оглавление 5.4. Изгиб с продольной и поперечной силами............................ 5.5. Криволинейные стержни как элементы конструкций................. 5.6. Изгиб стержней переменного сечения................................ ГЛАВА 6. ЦЕНТР ИЗГИБА................................................... 6.1. О центре изгиба..................................................... 6.2. Секториальные координаты.......................................... 6.3. Координаты центра изгиба........................................... 6.4. Секториальные характеристики сечения............................. ГЛАВА 7. СВОБОДНОЕ КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ.... 7.1. Разрешающее уравнение задачи...................................... 7.2. Кручение стержня эллиптического поперечного сечения............. 7.3. Функция напряжений Прандтля..................................... 7.4. Кручение стержня прямоугольного поперечного сечения............. 7.5. Мембранная аналогия............................................... 7.6. Кручение тонкостенных стержней................................... 7.7. Оценка прочности и жесткости при кручении....................... 7.8. Заключительные замечания.......................................... ГЛАВА 8. СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ............................................... 8.1. Нормальные напряжения стесненного кручения...................... 8.2. Касательные напряжения стесненного кручения..................... 8.3. Разрешающее уравнение............................................. 8.4. Иллюстративный пример............................................ ГЛАВА 9. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ............................................... 9.1. Об использовании энергетических свойств упругих тел.............. 9.2. Обобщенные силы и перемещения................................... 9.3. Теоремы Лагранжа, Кастильяно и Клапейрона....................... 9.4. Линейная зависимость между обобщенными силами и перемеще ниями................................................................ 9.5. Теоремы взаимности................................................. 9.6. Потенциальная энергия деформации стержневой системы........... 9.7. Перемещения при силовом воздействии.............................. 9.8. Формулы для температурных перемещений.......................... 9.9. Перемещения при кинематическом воздействии..................... КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ..................... ЧАСТЬ III. СТАТИКА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.................................................. ГЛАВА 1. ИЗГИБ ТОНКИХ ПЛИТ............................................ 1.1. Вводные положения.................................................. 1.2. Напряжения в тонких плитах........................................ 1.3. Разрешающее уравнение изгиба плиты............................... Оглавление 1.4. Краевые условия. Усилия в плитах................................... 1.5. Цилиндрический изгиб прямоугольных плит......................... 1.6. Изгиб эллиптической плиты......................................... 1.7. Изгиб прямоугольной плиты......................................... 1.8. О классификации плит.............................................. ГЛАВА 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК.............. 2.1. Геометрия оболочек и основные допущения о характере их де формирования........................................................ 2.2. Уравнения равновесия................................................ 2.3. Геометрические уравнения........................................... 2.4. Физические уравнения............................................... 2.5. Полная система уравнений оболочки и способы ее решения......... ГЛАВА 3. ЧАСТНЫЕ ТЕОРИИ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК...................... 3.1. Введение............................................................. 3.2. Уравнения состояния безмоментных оболочек....................... 3.3. Уравнения состояния оболочек вращения............................ 3.4. Уравнения состояния оболочек вращения при осесимметричной на грузке..............................

.................................. 3.5. Безмоментные оболочки вращения................................... 3.6. Расчет сферического купола на действие собственного веса......... 3.7. Уравнения состояния цилиндрической оболочки..................... 3.8. Осесимметричное напряженно-деформированное состояние цилин дрической оболочки.................................................. 3.9. Краевой эффект...................................................... 3.10. Пологие оболочки.................................................. ГЛАВА 4. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ...................... 4.1. Плоское напряженное и плоское деформированное состояния....... 4.2. Полная система уравнений плоской задачи.......................... 4.3. Решение плоской задачи в напряжениях............................. 4.4. Решение в полиномах................................................ 4.5. Изгиб консоли прямоугольного профиля............................. 4.6. Изгиб шарнирно опертой балки...................................... 4.7. Изгиб консоли треугольного профиля................................ ГЛАВА 5. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ......................................................... 5.1. Основные уравнения................................................. 5.2. Задача Фламана..................................................... 5.3. Полярная симметрия. Чистый изгиб кривого бруса.................. 5.4. Задача о полом цилиндре, находящемся под действием внешнего и внутреннего давления.............................................. 5.5. Расчет опорного катка............................................... 5.6. Растяжение пластины, ослабленной круглым отверстием............ 8 Оглавление КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ..................... ЧАСТЬ IV. СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ..................... ГЛАВА 1. ШАРНИРНО-СТЕРЖНЕВЫЕ КОНСТРУКЦИИ................... 1.1. Принцип двойственности............................................. 1.2. Полная система уравнений произвольной шарнирно-стержневой конструкции......................................................... 1.3. Статическая определимость. Неизменяемость........................ 1.4. Решение полной системы уравнений шарнирно-стержневой конст рукции............................................................... 1.5. Учет временной нагрузки............................................. ГЛАВА 2. ИЗГИБАЕМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ КОНСТРУКЦИИ................ 2.1. Полная система уравнений изгибаемой конструкции................. 2.2. О двух подходах при расчете стержневых конструкций.............. 2.3. Диски и связи. Правила соединения дисков......................... 2.4. Мгновенно изменяемые конструкции................................ 2.5. Необходимое условие неизменяемости............................... 2.6. Необходимые и лишние связи и утверждения о них................. ГЛАВА 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ........................................................ 3.1. Системы простой структуры......................................... 3.2. Аналитический признак неизменяемости............................ 3.3. Признак нулевой нагрузки........................................... 3.4. Признак замены связей.............................................. 3.5. Конструкция с избыточным числом связей........................... 3.6. Заключительные замечания.......................................... ГЛАВА 4. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ..................................... 4.1. Постановка задачи................................................... 4.2. Расчет на фиксированную нагрузку.................................. 4.3. О расчете на временные воздействия................................ 4.4. Функции и линии влияния.......................................... 4.5. Кинематический способ построения линий влияния................. 4.6. Правила использования линий влияния.............................. 4.7. Учет неподвижной временной нагрузки.............................. 4.8. Учет подвижной временной нагрузки................................ ГЛАВА 5. ОСНОВЫ МЕТОДА СИЛ.......................................... 5.1. Введение............................................................. 5.2. Конструкции с произвольным конечным числом лишних связей..... 5.3. Степень статической неопределимости конструкции................. 5.4. Вычислительная процедура метода сил.............................. 5.5. Расчет на кинематическое воздействие.............................. 5.6. Расчет на тепловое воздействие...................................... Оглавление 5.7. О рациональной основной системе................................... 5.8. Линии влияния усилий.............................................. 5.9. Огибающие эпюры................................................... 5.10. Об учете деформации сдвига при формировании системы канони ческих уравнений.................................................... ГЛАВА 6. ОСНОВЫ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ............................ 6.1. Кинематические параметры состояния стержневой конструкции..... 6.2. Основная система и разрешающие уравнения задачи в перемеще ниях................................................................. 6.3. Формирование системы разрешающих уравнений задачи............ 6.4. Завершающие этапы расчета......................................... 6.5. Расчет на силовое воздействие....................................... 6.6. Расчет на изменение температуры................................... 6.7. Заключительные замечания.......................................... ГЛАВА 7. СМЕШАННЫЙ МЕТОД........................................... 7.1. О выборе метода расчета статически неопределимой конструкции.... 7.2. Вычислительная процедура смешанного метода...................... 7.3. Кинематический способ вычисления смешанных коэффициентов..... 7.4. Варианты смешанного метода........................................ 7.5. Использование симметрии........................................... ГЛАВА 8. МНОГОКРАТНО СТАТИЧЕСКИ И КИНЕМАТИЧЕСКИ НЕ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ...................................... 8.1. Задачи с большим числом основных неизвестных.................... 8.2. Матричная форма методов сил и перемещений...................... 8.3. Неустойчивые решения в строительной механике.................... 8.4. Линейные преобразования единичных и грузовых эпюр............. 8.5. Сложная основная система.......................................... 8.6. Пространственные конструкции с преобладающим изгибом......... ГЛАВА 9. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ............................... 9.1. Введение............................................................. 9.2. Треугольный конечный элемент плоской задачи теории упругости... 9.3. Условия сходимости................................................. 9.4. Прямоугольный конечный элемент плоской задачи теории упру гости................................................................. 9.5. Расчет тонких жестких плит........................................ 9.6. Пространственная задача теории упругости......................... 9.7. Заключительные замечания.......................................... КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ..................... ЧАСТЬ V. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ СООРУЖЕНИЙ..................... ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ................... 1.1. Собственные колебания системы без учета сил сопротивления....... 10 Оглавление 1.2. Вынужденные колебания системы без учета сил сопротивления..... 1.3. Учет сил сопротивления............................................. 1.4. Собственные колебания при учете сил внутреннего трения.......... 1.5. Вынужденные колебания при учете сил внутреннего трения......... ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ................................................. 2.1. Незатухающие собственные колебания систем с двумя степенями свободы.............................................................. 2.2. Ортогональность собственных форм колебаний...................... 2.3. О выборе параметров состояния динамических систем.............. 2.4. Динамические усилия при незатухающих колебаниях............... 2.5. Собственные незатухающие колебания систем с произвольным числом степеней свободы............................................ 2.6. Собственные колебания с учетом сил сопротивления.

............... 2.7. Динамические усилия при наличии сил внутреннего трения......... 2.8. Вынужденные колебания при гармонической возмущающей силе.... 2.9. Вынужденные колебания при кинематическом возмущении.......... 2.10. Разложение возмущающего воздействия по собственным формам колебаний............................................................ 2.11. Расчет конструкций на сейсмическое воздействие................... ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ.............................................................. 3.1. Задача на собственные значения..................................... 3.2. Первые собственное число и собственный вектор симметрической матрицы.............................................................. 3.3. Метод исчерпывания................................................. ГЛАВА 4. СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ МАССАМИ................ 4.1. Введение............................................................. 4.2. Собственные изгибные колебания призматического стержня......... 4.3. Собственные колебания многостержневых конструкций............. 4.4. Вынужденные изгибные колебания стержней........................ 4.5. Замена распределенных масс точечными............................. КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ..................... ЧАСТЬ VI. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ СТРОИТЕЛЬ НЫХ КОНСТРУКЦИЙ.................................................. ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА.................................................................... 1.1. Основные понятия.................................................... 1.2. Пример анализа устойчивости системы с одной степенью свободы статическим способом................................................ 1.3. Пример анализа устойчивости системы с одной степенью свободы энергетическим способом............................................ Оглавление 1.4. Пример анализа устойчивости системы с бесконечным числом сте пеней свободы....................................................... ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ... 2.1. Пример решения задачи статическим способом...................... 2.2. Статический критерий в случае произвольного конечного числа сте пеней свободы........................................................ 2.3. Пример решения задачи энергетическим способом................... 2.4. Энергетический критерий в случае произвольного конечного числа степеней свободы.................................................... ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ.......................... 3.1. Отклоненное состояние равновесия стержня, испытывающего осе вую и изгибную деформации......................................... 3.2. Критическое состояние гибкого стержня............................. 3.3. К оценке надежности конструкции, которая может потерять устойчивость......................................................... 3.4. Устойчивость ступенчатого стержня................................. ГЛАВА 4. ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТОГО ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ.......................................... 4.1. Касательно-модульная и приведенно-модульная концепции крити ческого состояния стержня из пластического материала............. 4.2. Сопоставление теоретических результатов с экспериментальными данными. Оценка устойчивости сжатых стержней................... 4.3. Концепция продолжающегося нагружения........................... 4.4. О начальных несовершенствах....................................... ГЛАВА 5. МНОГОСТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ............................... 5.1. Введение............................................................. 5.2. Использование метода перемещений................................. 5.3. Использование метода сил........................................... 5.4. Особые случаи при решении задач устойчивости.................... 5.5. Учет осевой пролетной нагрузки. Конструкции из непризматичес ких стержней........................................................ ГЛАВА 6. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ................................ 6.1. Пространственная форма потери устойчивости гибких стержней..... 6.2. Критическая нагрузка для тонких плит.............................. 6.3. Случай неконсервативной нагрузки.................................. КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ..................... ЧАСТЬ VII. ПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТЕЛ.................. ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СО СТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА............................................. 1.1. Предельное состояние силовой конструкции.......................... 1.2. Приспособляемость. Простое нагружение............................ 1.3. Дополнительные сведения о напряженном состоянии в точке тела.. 12 Оглавление 1.4. Деформированное состояние в точке тела............................ 1.5. Закон Гука........................................................... ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ........ 2.1. Модели упругопластического материала при одноосном напряжен ном состоянии....................................................... 2.2. Условия начала пластичности........................................ 2.3. Активное и пассивное нагружения. Постулат Друкера............... 2.4. Ассоциированный закон текучести.................................. 2.5. Теория течения...................................................... 2.6. Теория малых упругопластических деформаций..................... 2.7. Иллюстративный пример............................................. ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ...................................... 3.1. Теория пластичности и предельное состояние тела................... 3.2. Статическая и кинематическая теоремы о предельной нагрузке...... 3.3. Предельное состояние при изгибе................................... 3.4. Предельное состояние балок......................................... 3.5. Предельное состояние тонких плит.................................. ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ ТЕОРИИ ПЛАС ТИЧНОСТИ............................................................. 4.1. Исходные положения................................................. 4.2. Экспериментальная проверка условий начала текучести............. 4.3. Экспериментальная проверка законов упрочнения................... 4.4. Экспериментальная проверка деформационной теории............... 4.5. Экспериментальная проверка теории течения........................ 4.6. Заключительные замечания......................................... КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ..................... ПРИЛОЖЕНИЯ............................................................... Приложение 1. Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев.............................................................. Приложение 2. Сортамент прокатной стали.............................. Приложение 3. Размерности некоторых механических величин.......... Приложение 4. Перечень формул......................................... Приложение 5. Механические характеристики конструкционных мате риалов............................................................... Приложение 6. Коэффициенты продольного изгиба...................... СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...................................................... ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ..................................................... ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ................................................ ПРЕДИСЛОВИЕ Одна из главных задач в инженерном деле – обеспечение надежности создаваемых объектов. Слово "надежность" многогранно, но инженер, про ектирующий мосты, опоры линий электропередач, каркасы зданий, корпуса судов и летательных аппаратов, другие силовые конструкции, связывает с термином надежность прежде всего прочность и жесткость задуманных им объектов. Говоря иначе, конструкция не должна разрушаться при эксплуата ции или изменять форму и размеры так, что дальнейшее ее использование стало бы невозможным. Чтобы выполнить указанные требования, необхо димо должным образом выбрать материал для изготовления конструкции, назначить размеры всех ее элементов, предложить способы присоединения элементов друг к другу. А для этого нужно уметь определять силы взаимо действия между конструкцией и окружающей ее средой, между различными элементами конструкции и даже между отдельными частями каждого эле мента. Надо научиться учитывать изменение размеров и формы реальных тел при приложении внешних сил, смене температурного режима, монта же конструкции, да и многое другое. Сказанное в самых общих чертах характеризует тот круг проблем, с которыми сталкиваются специалисты, обеспечивающие прочность инженерных конструкций. Изучение этих про блем, разработка и обоснование методов их решения – прерогатива отрасли знаний, именуемой механикой твердого деформируемого тела.

Механика твердого деформируемого тела преподается на всех техниче ских факультетах в виде набора таких дисциплин, как техническая механи ка, сопротивление материалов, теория упругости и пластичности, строитель ная механика, возможно, и некоторых других. Представителям ряда специ альностей достаточно знать только одну из дисциплин названного перечня, например, техническую механику или сопротивление материалов. Будущие строители зданий и сооружений, мостов и тоннелей, самолетов и кораб лей изучают предмет в полном объеме. В этом случае разбиение механики деформируемого твердого тела на отдельные дисциплины теряет смысл и рубрикация курса может быть подчинена только внутренней логике.

При том варианте построения курса, который предлагается в настоящем пособии, в частях I (главы 1, 2, 5–7) и III сосредоточен материал, относя щийся к компетенции теории упругости. В главах 3, 4, 8 части I и в части II изучаются вопросы, находящиеся в в дении сопротивления материалов.

е 14 Предисловие Проблемы, с которыми имеет дело строительная механика, рассматривают ся в частях IV, V и VI. Наконец, часть VII посвящена теории пластичности.

Излагаемый материал основан на цикле лекций, читаемых автором в течение многих лет студентам строительного факультета ПетрГУ. Однако дается он более детально, нежели это можно сделать в аудитории за отводимое учеб ным планом время. Сказанное относится как к набору рассматриваемых в пособии тем, так и к глубине их проработки. Такой образ действий продик тован желанием дать будущим инженерам представление о том минимуме знаний механики, которыми должен обладать специалист в области проч ности и надежности строительных и машиностроительных конструкций. И не так уж и важно, что при первом знакомстве с механикой твердого де формируемого тела это представление частично будет получено только по наименованиям тех глав или разделов, которые в читаемый курс лекций не попадают.

На материал, содержащийся в начальных частях курса, приходится опи раться при изложении его последующих частей. По этой причине неизбежны ссылки как на различные главы и параграфы (пункты) предыдущих разде лов, так и на имеющиеся в них формулы и рисунки. Такие ссылки в качестве первого символа содержат римскую цифру, соответствующую номеру той ча сти курса, к которой идет обращение. Так, словосочетание "см. главу II.3" означает, что речь идет о главе 3 из части II данной книги, а ссылка на формулу (2.7) из части V оформляется в виде записи (V.2.7).

ЧАСТЬ I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА На материале этого раздела, как на фундаменте, покоится все здание ме ханики твердого деформируемого тела. Прежде всего, здесь выводится и ана лизируется так называемая полная система уравнений задачи о напряженно деформированном состоянии в точке тела. Без такой системы нельзя решить вопрос о прочности какой бы то ни было конструкции, будь то корпус оке анского лайнера или крышка сосуда, находящегося под давлением. Хотя бы по этой причине данный раздел механики деформируемого твердого тела можно рассматривать как ключевой. Правда, для многих частных задач и полная система уравнений, и получаемые на ее основе разрешающие урав нения записываются намного проще, чем в общем случае. И тут нет ничего неожиданного: ведь и в других областях знаний дело обстоит подобным образом. Например, система уравнений, описывающих движение абсолютно твердого тела, сложнее уравнений равновесия этого тела, в свою очередь, условия равновесия для плоской системы сил составляются и решаются про ще, чем в случае пространственной нагрузки. Безусловно, частные задачи заслуживают самостоятельного анализа и некоторые примеры такого анали за в данную часть пособия включены. Однако б льшая часть специальных о задач изучается в других разделах курса.

При оценке прочности сооружений важна также информация о том, как сопротивляются разрушению конструкционные материалы. Чтобы получить такую информацию, проводят всевозможные испытания материалов при раз личных воздействиях. Поэтому изучение механики твердого деформируемо го тела требует обращения к ее экспериментальной базе. Не обойтись и без обсуждения так называемых критериев прочности, т. е. признаков, по которым судят о возможном разрушении материала. Вот в самых общих чер тах тот круг проблем, который предполагается рассмотреть в предлагаемой части курса.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1.1. Тела и прикладываемые к ним нагрузки. Под телом понимается как конструкция в целом, так и любой ее элемент. Собственно говоря, таким же образом вводилось понятие тела и в механике абсолютно жестких сред, 16 Часть I но разница заключается в том, что теперь допускается возможность его (те ла) деформирования. Другими словами, в изучаемом здесь разделе механики исследуются не только силы взаимодействия между различными телами и относительное движение таких тел, но и внутренние силы взаимодействия между частицами тела и относительное движение самих частиц.

Силы взаимодействия, возникающие при контакте тел, могут быть ак тивными и реактивными. Последние представляют собой реакции связей, ограничивающих движение рассматриваемого тела по отношению к другим телам. Здесь связи считаются идеальными и стационарными.

Нагрузки, обусловленные контактом тел, т. е. прикосновением к данно му телу других тел, называются поверхностными. Поверхностная нагрузка характеризуется главным вектором и главным моментом всех сил, возника ющих при контакте. Эти интегральные характеристики нагрузки, имеющие размерность силы и момента силы, говорят о воздействии в целом, но не о его мере в той или иной точке зоны контакта. Локальную информацию о воздействии содержит так называемая интенсивность нагрузки, т. е. ее величина, отнесенная к единице площади загружаемой части поверхности тела:

P q = lim (ед. силы/ед. площади).

В этой формуле q – интенсивность нагрузки, P – величина силы, при ходящейся на бесконечно малый участок площади, включающий в себя рассматриваемую точку. При нагрузке, распределенной по площади равномерно, P q= = const.

Если ширина площадки, к которой приложено воздействие, намного меньше ее длины, то величину нагрузки характеризует отношение P q = lim (ед. силы/ед. длины), s0 s которое называют интенсивностью погонной нагрузки. Через P обозначе на величина нагрузки, приходящейся на участок бесконечно малой длины s. Точка, в которой вычисляется интенсивность q, находится внутри этого участка.

Если все размеры площадки, к которой приложена нагрузка, малы по сравнению с размерами тела, то нагрузку условно считают приложенной в точке, принадлежащей указанной площадке (например, в ее центре). Такую нагрузку называют сосредоточенной.

Помимо поверхностных нагрузок существуют и такие, которые прикла дываются к каждой частичке тела: это так называемые объемные силы.

Глава 1 Примерами здесь могут служить силы веса, инерционные силы, силы маг нитного взаимодействия. Интенсивность объемной нагрузки имеет размер ность: ед. силы/ед. объема.

Нагрузки различают также по продолжительности и их характеру. Так, воздействие, связанное с конструкцией на весь срок ее службы, называют постоянным, а любое иное – временным. Такое разграничение полезно хотя бы потому, что положение временной нагрузки может меняться и приходится учитывать разные варианты загружения. Различают также статические и динамические нагрузки. Последние прикладываются настолько быстро, что возникающими при этом силами инерции нельзя пренебрегать.

1.2. Несиловое воздействие. Тела могут деформироваться не только при приложении внешних сил, но, например, и при изменении температу ры окружающей среды. Изменение температуры приводит иногда к значи тельным силам взаимодействия между частицами тела, что заканчивается его разрушением. К несиловым относится и так называемое кинематическое воздействие, в частности, неравномерная осадка фундаментов сооружения.


Заметные силы взаимодействия между частицами тела могут возникнуть при радиационном облучении, при структурных изменениях в материале с течением времени (усадка бетона, загнивание древесины), при некоторых других видах несилового воздействия. Те эффекты, к которым подобные воздействия приводят, изучаются в специальных разделах курса.

1.3. Модель материала. Конструкции находятся в сложном взаимодей ствии с окружающей средой, обладают многими специфическими особен ностями, и полный учет всех обстоятельств, сопровождающих процесс де формирования тел, невозможен. Да в таком учете и нет необходимости. Так, при выборе материала и диаметра троса лифта важно учесть вес лифта с на ходящимся в нем грузом, силы инерции, которые возникают при внезапном изменении скорости движения, но нет нужды принимать во внимание сопро тивление воздуха. Сказанное объясняет, почему в механике деформируемого твердого тела оперируют не с реальными объектами, а с их моделями, ко торые учитывают лишь наиболее важные факторы, влияющие на прочность и жесткость исследуемой конструкции. Такие модели называют расчетными схемами конструкций. Более детальный разговор о назначении расчетной схемы возможен лишь после того, как будут изучены не только механика деформируемого твердого тела, но и специальные дисциплины, связанные с проектированием силовых конструкций. Однако об одном из самых важных звеньев любой расчетной схемы – модели материала конструкции можно и нужно вести речь уже сейчас.

Реальный материал обладает определенной структурой. Так, металл со стоит из хаотически расположенных кристаллов, древесина – из более или 18 Часть I менее упорядоченных волокон, бетон – из частиц заполнителей и цементно го камня. Каждые кристалл, волокно, частица обладают индивидуальными свойствами, но поскольку в любом, даже малом, объеме, выделенном из те ла, число элементов огромно, то наблюдается лишь среднестатистическое проявление индивидуальных свойств частиц. Именно этими усредненными свойствами и наделяют каждую точку объема тела, даже если рассматри ваемая точка приходится, например, на межкристаллическое пространство.

Такая модель материала получила название сплошной бесструктурной сре ды, или просто сплошной среды.

Если свойства материала не зависят от размеров выделяемого в теле объема, то сплошную среду именуют однородной. Стало быть, однородное тело – это тело, свойства которого во всех его точках одинаковы. Сплошная среда называется изотропной, если свойства любого выделяемого из нее элемента не зависят от ориентации последнего. Изотропным материалом является металл. Древесина – яркий пример анизотропного материала.

1.4. Внутренние силы взаимодействия. Силы взаимодействия между отдельными элементами конструкции или отдельными частями самого эле мента называют внутренними силами взаимодействия, или просто внутрен ними силами. Для того, чтобы эти силы обнаружить, используется метод сечений. Пусть тело, которое находится в состоянии равновесия под дей ствием сил P1,..., P n (рис. 1.1a), мысленно рассекается на две части в некотором месте A. Говорят, что тело разделено на части сечением A, или разрезом A. Так как связи в месте рассечения тела устранены, необходимо для сохранения равновесия двух получившихся тел заменить влияние ле вой части на правую и правой части на левую системами сил PA, которые прикладываются к образовавшимся в результате разреза поверхностям тела (рис. 1.1b). Именно равные по величине и противоположные по направлению силы PA определяют взаимодействие между частями тела, расположенными по разные стороны от разреза.

Условия равновесия левой и правой отсеченных частей тела можно за писать следующим образом:

Лев(Pi ) + (PA ) = 0, (PA ) + Пр(Pi ) = 0. (1.1) Глава 1 Здесь через Лев(Pi ) и Пр(Pi ) обозначены суммы внешних сил или сум мы моментов этих сил для частей тела, расположенных слева и справа от разреза. Аналогично запись (PA ) означает сумму внутренних сил или их моментов. Но и тело в целом находится в состоянии покоя, так что Лев(Pi ) + Пр(Pi ) = 0, а потому равенства (1.1) зависимы. Таким образом, главный вектор и глав ный момент внутренних сил в сечении A могут быть выражены через силы Pi как из условий равновесия левой части тела, так и из условий равновесия его правой части.

О детальном распределении сил PA по сечению пока говорить преждевре менно. Ясно лишь, что эти силы должны так деформировать поверхности A обеих частей тела, чтобы при последующем совмещении разделенных частей никаких зазоров в зоне контакта не было. Такое требование, предъявляемое к характеру деформирования тела, получило название условия совместности деформаций.

1.5. Тензор напряжений и его компоненты. Пусть точка K, принад лежащая сечению A тела (см. рис. 1.1b) окружена малой окрестностью с площадью F. Пусть далее PA – сила, приходящаяся на названную ма лую площадку в сечении A. Предел PA s = lim (ед. силы/ед. площади) F 0 F называют вектором напряжений в точке K сечения A. Вектор s можно раз ложить на три составляющие. Его проекция на нормаль к сечению именует ся нормальным напряжением и обозначается. Две другие составляющие, относящиеся к плоскости самого сечения, называют касательными напря жениями и обозначают. Символы и снабжаются индексами, о которых будет рассказано ниже.

Если через точку K провести другое сечение, то и вектор напряжений в этой точке будет другим. Совокупность напряжений для всего множества сечений, проходящих через данную точку тела, называют напряженным со стоянием в этой точке. Ориентацию любого сечения можно определить век тором нормали к нему. Следовательно, напряженное состояние в точке тела характеризуется двумя векторами: и или 3 · 3 = 9 скалярными ве личинами. Такие объекты называются двухвалентными тензорами. Тензор, описывающий напряженное состояние в точке тела, именуют тензором на пряжений и обозначают Tн. Остается выяснить, что представляют собой его компоненты.

20 Часть I На рис. 1.2 изображен параллелепипед бесконечно малых размеров – так называемый элементарный параллелепипед, содержащий точку, в кото рой исследуется напряженное состояние. Если при помощи шести разрезов указанный объем отделить от тела, то к каждой грани надо будет приложить силы, заменяющие отброшенные части этого тела. Так как параллелепипед мал, то силы взаимодействия можно считать равномерно распределенными по его граням. Такие силы сводятся к равнодействующим, приложенным к центрам граней. Каждая из равнодействующих может быть разложена на составляющие так, как это показано на рис. 1.2. На этом же рисунке указана используемая далее ортогональная система декартовых координат.

Нормальные составляющие Sx, Sy, Sz сил взаимодействия снабжены лишь одним индексом, указывающим как на направление самой силы, так и на направление нормали к площадке, на которую данная сила действует. По ложительными считаются нормальные силы, которые стремятся растянуть выделенный элемент. Силы, действующие в плоскостях граней параллеле пипеда, называют касательными. Обозначающие их символы снабжены дву мя индексами, первый из которых указывает на направление нормали к соответствующей площадке, а второй – на направление самой силы. Касательная сила положительна, если на площадке с положи тельной внешней нормалью она направле на в ту же сторону, что и параллельная ей координатная ось. На рис. 1.2 составляю щие всех внутренних сил взаимодействия изображены положительными. Коллинеар ные силы, прикладываемые к взаимно па раллельным граням, обозначаются одинако во, что и учтено при выполнении рис. 1.2:

чтобы не загромождать чертеж, наименова ния сил на видимых гранях параллелепипе да не выписывались.

По указанной схеме расставляются индексы и назначаются знаки не только для внутренних сил взаимодействия, но и для напряжений. Из сде ланного выше предположения о равномерности распределения сил Sx, Sxy,..., Sz по граням параллелепипеда следует:

Sx = x dydz, Syx = yx dxdz, Szx = zx dxdy;

Sxy = xy dydz, Sy = y dxdz, Szy = zy dxdy;

(1.2) Sxz = xz dydz, Syz = yz dxdz, Sz = z dxdy.

Глава 1 Таким образом, напряженное состояние в точке тела характеризуется девя тью числами, образующими матрицу x yx zx Tн = xy y zy. (1.3) xz yz z Величины x, xy,..., z как раз и являются компо нентами тензора напряжений.


1.6. Усилия. Это понятие удобнее всего ввести при помощи тела, называемого брусом или стержнем.

Пусть заданы пространственная кривая s и плоская фигура f, центр тяжести C которой находится на ли нии s. Фигура f перемещается вдоль кривой s так, чтобы ее (фигуры) плоскость все время была ортогональна к вектору t ка сательной к линии s в текущей точке (рис. 1.3a). Поверхность, которую образует при таком движении контур фигуры f, называется поверхностью бруса, а сам брус – это тело, ограниченное поверхностью и двумя торце выми поверхностями 0 и, имеющими форму фигуры f (см. рис. 1.3b).

Линия s именуется осью бруса, а разрез A, совпадающий с фигурой f, – поперечным сечением бруса. Если ось s прямолинейна и поперечное сечение вдоль нее не меняется, брус называется призматическим.

Теперь можно перейти к описанию усилий. На рис. 1.4a показана одна из частей бруса, полученная при помощи поперечного разреза. Действие отбро шенной части на оставшуюся сведено к векторам S и M силы и момента, свя занным с центром тяжести поперечно го сечения. Вектор момента изображен на рисунке при помощи двойной стрел ки, что позволяет легко отличить его от вектора силы. Момент считается положительным, если при взгляде на острие вектора M наблюдается вра щение против хода часовой стрелки. В центре тяжести сечения размещено и начало ортогональной системы координат, ось ox которой совмещается с осью бруса, а оси 0y и 0z принадлежат поперечному сечению. Составля ющие векторов S и M в данной системе координат называют усилиями в поперечном сечении стержня.

Проекцию N вектора S на ось ox именуют продольной силой, иногда – нормальной силой, ибо она направлена вдоль волокон бруса и, стало быть, нормальна к его поперечному сечению. Составляющие Qy и Qz, отнесенные 22 Часть I к плоскости самого сечения, называют поперечными силами. Момент Mx получил название крутящего момента, поскольку он стремится закрутить стержень относительно его оси, а составляющие My и Mz вектора M – суть изгибающие моменты. Если силы, приложенные к стержню, известны, то все шесть усилий могут быть найдены из условий равновесия любой отсеченной части бруса.

Усилия можно связать с нормальными и касательными напряжениями, отнесенными к тому же самому поперечному сечению бруса (F – площадь такого сечения). Как видно из рис. 1.5b (см. также рис. 1.4b), N= Qy = Qz = x dF, xy dF, xz dF, F F F Mx = (xy z xz y)dF, (1.4) F My = x zdF, Mz = x ydF.

F F Понятие усилий, достаточно важное при исследова нии многих частных задач механики, может быть рас пространено и на тела, не имеющие форму бруса.

1.7. Эпюры усилий. Усилия в брусе однозначно выражаются через по верхностную нагрузку и объемные силы. Если в процессе нагружения те ло меняет свои форму и размеры незначительно (см. далее п. 3.2, 3.3), то установить аналитическую связь между усилиями (1.4) и внешними силами можно при помощи одних лишь уравнений равновесия. Довести же реше ние задачи об усилиях в брусе до числа удается лишь в случае, когда все внешние воздействия, включая и реакции связей, известны.

По определению, усилия в брусе – суть функции только одного перемен ного – параметра, определяющего положение центра тяжести поперечного сечения на оси бруса. В качестве такого параметра обычно выбирается ду говая координата произвольной точки C, отсчитываемая вдоль линии s от начала 0 стержня (см. рис. 1.3). Чтобы установить зависимости N (s), Qy (s),..., Mz (s), (1.5) необходимо рассечь брус поперечным разрезом на две части, одну из ча стей отбросить, заменив ее влияние на оставшуюся часть усилиями (1.5), и составить шесть независимых условий равновесия рассматриваемой части тела. Наглядное представление о распределении усилий вдоль оси бруса, а, значит, и о том, где они экстремальны, дают графики функций (1.5), имену емые эпюрами усилий. Далее рассказ о построении эпюр усилий ведется на примере призматического бруса.

Глава 1 Стержень, изображенный на рис. 1.6, отнесен к правой систе ме координат, начало 0 которой располагают в центре тяжести одного из торцов бруса. Тот то рец, в котором находится точка 0, называют начальным. Ось 0x системы координат совмещают с осью бруса, направляя ее от на чала стержня к его концу. Оси 0y и 0z принадлежат начальному поперечному сечению. Векторы положи тельных усилий в начальном торце стержня антипараллельны соответству ющим координатным осям, тогда как в конце стержня направления положи тельных усилий и соответствующих координатных осей совпадают. Так как направления искомых усилий заранее неизвестны, их на рассматриваемой части стержня обычно изображают положительными.

Сказанного достаточно для того, чтобы можно было обратиться к кон кретной задаче. На рис. 1.7a показан брус прямоугольного поперечного сече ния, начальный торец которого свободен, а конечный – защемлен. На левую кромку консоли оперта плита, оказывающая на брус равномерно распреде ленное давление заданной интенсивности q. Кроме того, к правому нижнему углу начального торца прикреплен натянутый силою 2 2P трос. Его наклон к оси 0y составляет 30o, а к осям 0z и 0x – 45o и 135o соответственно. На брус действуют также реакции в заделке, сводящиеся к векторам R1 и R2, компоненты которых могут быть найдены из условий равновесия конструк ции в целом. Однако в рассматриваемой задаче определять опорные реакции не обязательно, ибо при вычислении усилий всегда можно рассматривать равновесие той отсеченной части бруса, которая опору не содержит. Такая часть изображена на рис. 1.7b. Сила 2 2P заменена ее составляющими, через y и z обозначены оси, проходящие через центр тяжести текущего поперечного сечения параллельно осям 0y и 0z соответственно. Тогда (по метка лев под знаком суммы означает, что рассматривается равновесие не всей конструкции, а только ее левой отсеченной части):

Px = 0 : N P = 0 N = P;

лев Py = 0 : Qy + 6P + qx = 0 Qy = 6P qx;

лев Pz = 0 : Qz + P = 0 Qz = P ;

лев 24 Часть I h h Mx = 0 : Mx qx· P ·h+ 6P · = 0 Mx = [qhx+P h(2 6)];

2 2 лев h My = 0 : My P · x + P · = 0 My = P (2x h);

2 лев qx x Mz = 0 : Mz + qx · P · h + 6P · x = 0 Mz = P ( 6 x h).

2 лев На рис. 1.8 приведены графики только что вычисленных функций – эпю ры всех шести усилий. Они изображены в аксонометрии и заштрихованы ординатами. Усилия N = P, Qz = P вдоль оси 0x не меняются. Их эпюры на интервале [0, L] являются прямы ми линиями, параллельными оси стержня. В начале и в конце указанного интервала на эпюрах ”N ” и ”Qz ” имеются разрывы, называемые скачками.

Величины скачков в точности равны значениям сил (активных либо реактив ных), которые приложены по торцам стержня в направлениях осей 0x и 0y соответственно. Эпюру продольных сил можно изображать с любой сторо ны от оси 0x и в любой плоскости, содержащей эту ось. В рассматриваемом примере ее (эпюры) ординаты отложены вверх от оси 0x в плоскости 0xy.

Эпюра поперечных сил Qz обязательно изображается в плоскости 0xz, т. е.

в плоскости действия усилий Qz. Ординаты откладываются в таком направ лении от оси 0x, чтобы при взгляде на эпюру ”Qz ” со стороны острия оси 0z направления скачков на графике совпадали с направлениями приложенных сил.

Усилия 1 Qy = 6P qx, Mx = [qhx + P h(2 6)], My = P (2x h) 2 Глава 1 являются линейными функциями абсциссы x. Графики прямых линий стро ятся по двум точкам, ординаты которых равны значениям соответствующих усилий в начале и в конце стержня. Правила построения эпюры ”Qy ” те же, что и эпюры ”Qz ”. Изображать эпюру крутящих моментов Mx так же, как и эпюру продольных сил N, можно произвольно. На эпюре ”Mx ” имеются скачки (в начале и в конце стержня), равные прикладываемым крутящим моментам. В данном примере значение Mx (0) отрицательно. Знак крутяще го момента в конце стержня может быть любым. При qhL 2P h( 6 2) этот знак положителен.

Эпюра ”My ” изображается в плоскости 0xz, ортогональной вектору мо мента My. И на этой эпюре имеются скачки, равные приложенным по торцам сосредоточенным моментам. В начале стержня момент M = P h/2 относи тельно оси 0y вызывает составляющая Px = P силы, приложенной в точке A. Если этот момент заменить парой сил так, как это показано на рис. 1.9a, то можно увидеть, что волокно AA бруса окажется растянутым, а волокно BB – сжатым. Эпюры изгибающих моментов изображают таким образом, чтобы их ординаты были отложены со стороны растянутых волокон стержня.

Такое правило освобождает от необходимости указывать на эпюрах изгиба ющих моментов знак, тогда как постановка знака на всех четырех эпюрах остальных усилий обязательна. Следует обратить внимание на то, что знак "+" на эпюре ”N ” означает растяжение бруса. Если смотреть на векторы торцевых крутящих моментов как на векторы сил, то брус зрительно будет восприниматься как растягиваемый этими силами. Знак "+" на эпюре ”Mx ” отвечает "растяжению".

26 Часть I Изгибающий момент Mz (x) = qx2 P ( 6x h) меняется вдоль оси консоли по закону квадратной па раболы. График кривой линии строят по нескольким точкам. Особый интерес представляют экстремаль ные значения функции Mz (x). По производным Mz = qx2 6P, Mz = q функции Mz (x) видно, что последняя в пределах ин тервала [0, L] стационарных точек не имеет и что ее график обращен выпуклостью вниз (при изображе нии эпюры ”Mz ” в плоскости 0xy со стороны растя нутых волокон бруса;

см. рис. 1.9b и 1.8).

В плоской задаче эпюры усилий строятся проще. На рис. 1.10a показана двутавровая балка, имеющая в начале подвижную цилиндрическую опору и неподвижную цилиндрическую опору в конце. Плоскость 0xy является плоскостью симметрии как для конструкции, так и для нагрузки на нее, поэтому только усилия N, Qy (x) и Mz (x) могут быть отличными от ну ля. Расчетная схема балки представлена на рис. 1.10b. Все силы приведены к оси бруса, так что в том месте, где действует за данная сила P, появляется сосредоточенный момент величиной 3qL · L/8 = 3qL2 /8.

Правила знаков для усилий те же, что и в про странственной задаче, но сформулировать их мож но проще, без непосредственного обращения к систе ме координат. Продольная сила N считается положи тельной при растяжении стержня (рис. 1.11). Поло Глава 1 жительная поперечная сила вращает рассматриваемую отсеченную часть бруса по часовой стрелке, а положительный изгибающий момент Mz рас тягивает волокна, расположенные ниже плоскости 0xz.

Используя рис. 1.11, можно составить выражения для усилий в попе речных сечениях, расположенных на участке балки между точками с ко ординатами x = L и x = 2L, т. е. при L x 2L. Если же мысленно представить себе, что разрез сделан в сечении m, левее которого к отсечен ной части бруса приложена только одна внешняя сила – реакция R2, то при помощи этого же рисунка можно будет получить формулы для усилий и при 0 x L. Из рис. 1.11 видно также, что для определения величин N, Qy и Mz достаточно знать только реакцию R2, тогда как реак ции R1 и R3 останутся в ходе последующих вычислений невостребованными. Тем не менее их тоже следует найти хотя бы для того, чтобы убедиться в правильности вы числений. Кроме того, при отыскании усилий на участке 2L x 3L балки удобнее рассматривать равновесие ее правой отсеченной части (рис. 1.12).

Условия равновесия Px = 0, MB = 0 и MA = 0, составленные для всей конструкции в целом (см. рис. 1.10b), позволяют найти реакции 35qL 37qL R1 = 3qL, R2 = R3 = (1.6),, 8 а при помощи уравнения Py = 0 можно убедиться в том, что реакции R2 и R3 найдены правильно. После этого останется последовательно определить усилия на всех трех участках балки.

a) 0 x L (рис. 1.11, точка m):

Px = 0 : N = 0;

Py = 0 : Qy R2 = 0;

Mm = 0 : Mz R2 x = 0.

лев лев лев С учетом значения R2 = 35qL/8 (см. формулы (1.6)) отсюда следует:

35 N = 0, Qy = Mz = (1.7a) qL, qLx.

8 b) L x 2L (рис. 1.11, точка k):

Px = 0 : N + 3qL = 0;

Py = 0 : Qy R2 + 6qL = 0;

лев лев Mk = 0 : Mz R2 x + 6qL(x L) qL2 = 0.

лев 28 Часть I Стало быть, 13 qL N = 3qL, Qy = Mz = (51L 13x). (1.7b) qL, 8 c) 2L x 3L (рис. 1.12, точка k):

Px = 0 : N + R1 = 0;

Py = 0 : Qy + 3q(3L x) R3 = 0;

пр пр Mk = 0 : Mz + R3 (3L x) 3q(3L x) · (3L x) = 0.

пр Подстановка сюда реакций R1 и R3 по формулам (1.6) дает:

37 q N = 3qL, Qy = qL 3qx, Mz = (3L x)(L + 12x). (1.7c) 8 Эпюры усилий (1.7a)–(1.7c) изоб ражены на рис. 1.13. Следует обратить внимание на то, что в точке a прямо линейный участок эпюры ”Mz ” плавно переходит в квадратную параболу, об ращенную выпуклостью вниз.

1.8. Связь между усилиями и ин тенсивностями распределенных погон ных нагрузок. На рис. 1.14a показан элемент стержня, выделенный из послед него двумя поперечными сечениями, рас положенными бесконечно близко друг к другу. К центрам тяжестей торцевых се чений элемента приложены усилия, за мещающие влияние на него отброшен ных частей бруса. Кроме того, вдоль оси ab элемента действуют распределенные погонные нагрузки (как силовые, так и моментные), к которым сведены все внеш ние силы. Чтобы не затемнять чертеж, силовые и моментные воздействия на рис. 1.14a разделены. Интенсивности mx, my, mz погонных распределенных моментов имеют размерность едини цы момента, деленной на единицу длины (т. е. размерность силы). Усилия в различных сечениях бруса отличаются друг от друга, но если сечения b и a расположены бесконечно близко друг к другу, то бесконечно мала и Глава 1 разность Sb Sa между усилиями в указанных сечениях. С точностью до величин высшего порядка малости ее можно принять равной линейной ча сти dS изменения усилия Sa. При выполнении рис. 1.14 это обстоятельство было учтено.

На рис. 1.14b воздействия на элемент еще более дифференцированы. На каждой из 6 схем этого рисунка показаны только те нагрузки, которые входят в соответствующие условия равновесия рассматриваемого элемента, а именно в уравнения Px = 0, Py = 0, Pz = 0, Mx = 0, My = 0, Mz = 0.

Первое и последнее из них в подробной записи имеют вид:

dN Px = 0 : (N + dN ) + qx dx N = 0 qx = ;

dx Mz = 0 : (Mz + dMz ) + mz dx + qy dx · (dx/2) Mz Qy dx = dMz mz = + Qy.

dx Подчеркнутое слагаемое имеет высший порядок малости по сравнению с остальными слагаемыми и потому отбрасывается. Аналогично составляются 30 Часть I и все остальные условия равновесия элемента. В итоге получаются 6 соотно шений, связывающие усилия в брусе с интенсивностями погонных нагрузок:

dN dQy dQz qx = qy = qz =,,, dx dx dx (1.8) dMx dMy dMz + Qy.

mx =, my = Qz, mz = dx dx dx В частном случае, когда распределенные нагрузки отсутствуют, отсюда сле дует:

N = 0, Qy = 0, Qz = 0, Mx = 0, Qz = My, Qy = Mz.

Это означает, что на тех участках бруса, где нет нагрузки, продольная сила, поперечные силы и крутящий момент постоянны, а изгибающие моменты меняются по линейному закону. Если же q = const и m = const (равномерно распределенные воздействия), то первые из четырех названных выше усилий линейны, а изгибающие моменты описываются квадратичными функциями.

Все только что сказанное имеет прямое отношение и к рассмотренным в предыдущем пункте примерам.

В плоской задаче из 6 соотношений (1.8) остаются 3 зависимости:

dN dQy dMz qx =, qy =, Qy mz = (1.8a).

dx dx dx В балках воздействия qx и mz, как правило, отсутствуют. В этом случае dQy dMz qy =, Qy = (1.9).

dx dx Таким образом, поперечная сила в балке является производной от изгиба ющего момента, а интенсивность погонной распределенной нагрузки равна производной от поперечной силы с обратным знаком.

Зависимости (1.8)–(1.9) используются как для контроля вычислений, так и при построении эпюр усилий. На рис. 1.15a изображена балка, несущая распределенную треугольную нагрузку, интенсивность которой q(x) = qx/L максимальна в точке x = L. Равнодействующая S такой нагрузки, равная площади S = qL/2 треугольника, действует по вертикали, проходящей че рез его центр тяжести. Поэтому 2/3 силы S воспринимается правой опорой балки и 1/3 – ее левой опорой. Так как R1 = 0, то продольных сил в балке нет. Тогда (см. рис. 1.15b) qx2 x qL Mk = 0 : Mz ·x+ · = 0, 6 2L лев Глава 1 откуда с учетом формулы (1.9)2 следует qLx qx3 qL qx Mz = Qy = (1.10),.

6 6L 6 2L Впрочем, зависимость Qy (x) не многим сложнее найти из уравнения равно весия Py = 0, составленного для левой отсеченной части балки.

Согласно формулам (1.10), попе речная сила Qy меняется по закону квадратной параболы, а изгибающий момент Mz – по закону кубической параболы. Графики кривых линий обычно строят по нескольким точкам.

Но подробные вычисления не потре буются, если при построении эпюр усилий ”Qy ” и ”Mz ” опираться на закономерности (1.9). Прежде всего на эпюре ”Qy ” в начале и в конце стержня от горизонтали откладыва ются отрезки, которые равны значе ниям Qy (0) = qL/6 и Qy (L) = qL/ усилия (1.10)2 (см. точки a и b на рис. 1.15c). Затем внимание обраща ется на то, что в точке x = 0 интен сивность q(x) распределенной нагруз ки равна нулю (т. е. q(0) = 0), а пото му, согласно первой из формул (1.9), и Qy = 0. Следовательно, касатель ная к графику функции Qy (x) в точ ке x = 0 должна быть горизонталь ной и дело сводится к изображению квадратной параболы, которая прохо дит через фиксированные точки a и b и имеет горизонтальную касательную в точке a. Именно такая кривая и приведена на рис. 1.15c.

Из условия Qy = 0 можно найти координату x сечения, в котором поперечная сила равна нулю (см. формулу (1.10)2 ):

x = 3L/3. (1.11) Согласно зависимости (1.9)2, в этом сечении изгибающий момент максима лен. Кроме того, Mz (0) = Mz (L) = 0. Значит, при построении эпюры ”Mz ” 32 Часть I достаточно вычислить значение усилия Mz в точке с абсциссой (1.11):

3qL qL 3L 1 q 3 3 Mz (x ) = L=.

63 6 L 27 Что же касается выпуклости эпюры изгибающих моментов, то в общем слу чае ее проще всего установить при помощи следующего запоминающегося образа: линия ординат эпюры ”M ” при действии распределенной нагрузки принимает ту же форму, что и наполняемый ветром парус.

1.9. Задача механики твердого деформируемого тела. Конструкции выполняются из самых разных материалов, которые, однако, можно с опре деленными оговорками разбить на две группы, а именно на хрупкие и пла стические материалы. При разрушении хрупких материалов (природные и искусственные камни, стекло, чугун и др.) образуются трещины разрыва.

С возникновением таких трещин, т. е. с отрывом одних частиц материала от других в направлении, ортогональном поверхности контакта отделяемых частиц, естественно связать нормальные напряжения. Разрушение пласти ческих материалов (мягкая сталь, многие другие металлы) происходит по иной схеме: материал выходит из строя при скольжении одних частиц тела по другим, что можно объяснить действием касательных напряжений. Как станет ясным из дальнейшего, картина разрушения материала более сложна, она не укладывается в чистом виде ни в ту, ни в другую схему, но важно то, что разрушение начинается в тех точках тела, в которых напряжения достигают опасных для данного материала величин. Оценить же прочность тела можно лишь при соблюдении следующих условий:

1. Известны все точки тела, в которых нормальные или касательные напряжения достигли наибольших значений.

2. Известны предельные для материала тела значения нормальных и ка сательных напряжений.

3. Известны критерии разрушения материала, т. е. ясно, какие имен но компоненты тензора напряжений или их комбинации должны сопостав ляться с предельными значениями этих величин и как такое сопоставление должно выполняться.

Глава 1 Из этих трех пунктов и вытекают все те задачи, решать которые при звана механика твердого деформируемого тела. Определение механических свойств материала осуществляется чисто экспериментальными методами.



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.