авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ...»

-- [ Страница 2 ] --

Для решения круга проблем, связанных с критериями разрушения, нужны и теоретические, и экспериментальные исследования. Обе указанные про блемы весьма важны, но все же не они являются в механике твердого де формируемого тела центральными. На первое место здесь выходит задача отыскания в любой точке тела напряжений и перемещений по заданным его размерам, материалу, условиям закрепления и нагрузке. Это есть задача о напряженно-деформируемом состоянии в точке тела. Ее центральное место объясняется многими причинами. Во-первых, она весьма обширна и сложна.

Во-вторых, никакая информация о свойствах материала не позволит запро ектировать надежно работающую конструкцию, если нет возможности найти все ее опасные точки и вычислить в них напряжения. В-третьих, проводимые без достаточной теоретической подготовки эксперименты малоэффективны.

Это как раз тот случай, когда уместно вспомнить известное изречение о том, что нет ничего более практичного, чем хорошая теория.

Начинать решение основной задачи механики твердого деформируемого тела удобно с вывода и анализа тех зависимостей между компонентами тензора напряжений, которые вытекают из условий равновесия тела. Этому и посвящается следующая глава данного раздела курса.

ГЛАВА 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА 2.1. Уравнения равновесия в точке тела. Условия равновесия тела сво дятся к шести скалярным равенствам. Сказанное относится и к элементар ному параллелепипеду, изображенному на рис. 1.2. К тем силам, которые показаны на этом рисунке, следует добавить объемные силы. Последние ввиду малости выделенного элемента допустимо считать распределенными равномерно и заменить равнодействующей с составляющими Px, Py, Pz, приложенными в центре параллелепипеда. Пусть X, Y, Z – интенсивности указанных составляющих, т. е.

Px = Xdxdydz, Py = Y dxdydz, Pz = Zdxdydz. (2.1) Условия равновесия параллелепипеда можно записать, приравнивая к ну лю проекции всех приложенных к нему сил на оси координат, а также по лагая равными нулю моменты этих сил относительно осей, параллельных координатным и проходящих через центр параллелепипеда. Такая форма за писи условий равновесия удобна тем, что в последние три соотношения не войдут как объемные силы, так и большинство сил, приложенных к граням.

Для дальнейших выкладок используются рис. 2.1a, b. На первом рисунке указаны только те силы, проекции которых на ось 0x отличны от нуля.

Соответственно, на рис. 2.1b изображены лишь воздействия, вызывающие ненулевые моменты относительно оси u u.

Поскольку параллельные грани параллелепипеда бесконечно близки друг к другу, то действующие по ним коллинеарные силы отличаются на Глава 2 дифференциально малые величины dSx, dSyx и т. д. При вычислении прира щений усилий можно ограничиться удержанием лишь их линейных частей, т. е. пользоваться следующим представлением для полного дифференциала df функции трех переменных:

f f f df = dx + dy + (2.2) dz.

x y z Px = 0 дает (см. рис. 2.1a) Условие Sx + (Sx + dSx ) Syx + (Syx + dSyx ) Szx + (Szx + dSzx ) + Px = 0, т. е.

dSx + dSyx + dSzx + Px = 0. (2.3) Координаты y и z точек приложения сил Sx и Sx + dSx одинаковы, и после подстановки в формулу (2.2) значений f = Sx, dy = dz = 0 получится Sx dSx = dx.

x Из сказанного ясно, что Syx Szx dSyx = dSzx = dy, dz, y z а потому равенство (2.3) принимает вид Sx Syx Szx dx + dy + dz + Px = 0.

x y z Остается подставить сюда силы Sx, Syx, Szx, Px по формулам (1.2) и (2.1) и сократить обе части на величину dV = dxdydz:

x yx zx + + + X = 0. (2.3a) x y z Py = 0, Pz = 0, но сперва Аналогично можно представить и условия Muu = 0 (см. рис. 2.1b):

целесообразно проанализировать равенство dz dz dy dy + (Szy + dSzy ) Syz (Syz + dSyz ) = 0.

Szy 2 2 2 Входящие в левую часть слагаемые dSzy dz/2 и dSyz dz/2 имеют высший по рядок малости по сравнению с остальными членами, и их можно отбросить.

Таким образом, Szy dz Syz dy = Часть I или (после подстановки сил Szy и Syz по формулам (1.2) и сокращения на ненулевой множитель dV ) zy = yz.

Совершенно очевидно, что сюда можно добавить еще два таких же соотно шения и получить равенства:

xy = yx, yz = zy, zx = xz, (2.4) называемые законом парности касательных напряжений. Согласно этому за кону, по двум любым взаимно перпендикулярным граням параллелепипеда действуют равные по величине касательные напряжения, которые направ лены ортогонально к общему для этих граней ребру (или навстречу друг к другу, или в разные стороны от ребра).

Нетрудно увидеть, что формулы (2.4) получаются одна из другой при помощи так называемой круговой подстановки индексов, т. е. при изменении индексов у входящих в эти формулы символов по схеме x (2.5) z y Правило круговой подстановки индексов позволяет вывести сначала только какое-либо одно из трех скалярных соотношений задачи, а затем перейти к двум оставшимся уравнениям по стеку (2.5). Сказанное относится и к равенству (2.3a), которое в результате использования правила (2.5) дает x yx zx + + + X = 0, x y z xy y zy + + + Y = 0, (2.6) x y z xz yz z + + + Z = 0. x y z Соотношения (2.6) называют уравнениями равновесия Навье – по имени французского инженера и ученого, члена Парижской академии наук, кото рый получил их в 1821 г. Уравнения Навье связывают между собой шесть искомых функций (учитывается закон парности касательных напряжений) в каждой точке тела, а именно функции x (x, y, z), y (· · ·), z (· · ·), xy (· · ·), yz (· · ·), zx (x, y, z).

Из трех уравнений шесть неизвестных величин не найти, поэтому задачу отыскания напряжений в точке тела называют статически неопределимой.

Глава 2 Сказанное означает, что к исследованию напряженного состояния должна быть привлечена не только информация о равновесии тела. Кроме того, сле дует иметь в виду, что уравнения (2.6) являются дифференциальными и содержат частные производные. При интегрировании таких уравнений появ ляются новые неизвестные функции координат, которые должны удовлетво рять граничным условиям задачи. Граничные условия (их называют также краевыми условиями) формулируются с учетом нагрузки, приложенной к по верхности тела. Этот вопрос настолько важен, что его освещению отводится весь следующий пункт.

2.2. Напряжения на наклонных площадках. Для тел простой формы связь между нагрузкой и напряжениями на поверхности тела устанавлива ется сравнительно просто. Сказанное можно проиллюстрировать на примере призматического стержня, изображенного на рис. 2.2a.

Как бы ни менялись напряжения внутри бруса, но на границах тела они должны в точности соответствовать заданной поверхностной нагрузке. Это требование математически формулируется следующим образом.

Грань 1-3-4-2: z = b, 0 x l, 0 y h. Здесь нет нагрузки, а потому не может быть и напряжений, т. е.

z (x, y, b) = zx (x, y, b) = zy (x, y, b) = 0.

Остальные компоненты тензора напряжений относятся к площадкам, кото рые рассматриваемой части поверхности бруса не принадлежат, а потому непосредственная связь между напряжениями x, y, xy и нагрузкой на грань 1-3-4-2 отсутствует.

Грань 1-2-6-5: x = 0, 0 y h, 0 z b. Ситуация аналогична предыдущей, но к нулю приравниваются другие компоненты тензора напря Часть I жений:

x (0, y, z) = xy (0, y, z) = xz (0, y, z) = 0.

Грань 1-5-7-3: y = h, 0 x l, 0 z b. Здесь приложена распреде ленная нагрузка, сжимающая верхний слой бруса. Касательной нагрузки в плоскости грани нет, поэтому y (x, h, z) = q, yx (x, h, z) = yz (x, h, z) = 0.

Грань 2-6-8-4: y = 0, 0 z b. Касательные напряжения на этой грани отсутствуют при любом значении аргумента x:

yx (x, 0, z) = yz (x, 0, z) = 0.

Для напряжений y граничные условия записываются так:

a) 0 x c : y (x, 0, z) = p(1 x/c);

b) c x l c : y (x, 0, z) = 0;

c) l c x l : y (x, 0, z) = p(1 l/c + x/c).

Краевые условия на двух оставшихся гранях очевидны.

Попытка столь же просто записать граничные условия для тела, изоб раженного на рис. 2.2b, обречена на неудачу. Сложность здесь в том, что направления нормальных и касательных напряжений на верхней и нижней поверхностях бруса не совпадают с направлениями напряжений, найден ных для внутренних точек тела. Возникает необходимость установить связь между напряжениями, действующими по трем взаимно перпендикулярным площадкам, параллельным координатным плоскостям, с напряжениями или нагрузками, которые относятся к произвольно ориентированной площадке, проходящей через ту же точку тела. Это можно сделать, если рассмотреть равновесие элементарного тетраэдра, выделенного из тела вблизи его грани цы. Любая поверхность аппроксимируется набором бесконечно малых тре угольников, следящих ориентацией своих плоскостей за формой поверхно сти в той или иной ее точке. Поэтому и вы деляемый тетраэдр следует расположить так, чтобы три его взаимно ортогональные грани были параллельны координатным плоскостям и уходили внутрь тела, а четвертая, наклон ная грань, принадлежала границе тела.

Описанный тетраэдр показан на рис. 2.3.

Наклонная грань характеризуется нормалью к ней, а именно – направляющими косину сами l, m, n орта этой нормали. Вектор Q Глава 2 нагрузки, приложенной к наклонной площадке, имеет составляющие Qx, Qy, Qz, которые ввиду малости площадки ABC связаны со своими интен сивностями qx, qy, qz следующим образом:

Qx = qx F, Qy = qy F, Qz = qz F. (2.7) Здесь F – площадь наклонной площадки. Все остальные силы, приложен ные к выделенному элементу, раньше уже встречались, и их можно не называть. На рис. 2.3 показаны только те силы, которые дают ненулевые проекции на ось абсцисс. Итак, Px = 0 : Sx Syx Szx + Px + Qx = 0.

Пусть Fx, Fy, Fz – площади граней тетраэдра, ортогональных к соответ ствующим координатным осям, а h – его высота при основании ABC. Тогда Sx = x Fx, Syx = yx Fy, Szx = zx Fz, Px = hF X/ и (см. формулы (2.7)) рассматриваемое условие равновесия принимает вид x Fx + yx Fy + zx Fz = qx F + hF X/3.

Подчеркнутый член имеет высший порядок малости и может быть отброшен.

Кроме того, Fx = lF, Fy = mF, Fz = nF.

Следовательно (F = 0), x l + yx m + zx n = qx.

Остается применить правило круговой подстановки индексов:

x l + yx m + zx n = qx, xy l + y m + zy n = qy, (2.8) xz l + yz m + z n = qz.

Эти равенства называют уравнениями Коши на поверхности. Именно с их помощью нагрузка в любой точке произвольной поверхности тела может быть связана с напряжениями по трем взаимно перпендикулярным площад кам, окружающим данную точку.

Если спроецировать нагрузки (2.7) на нормаль к наклонной площадке, получится сила N = (qx l + qy m + qz n)F.

Сумма, заключенная в скобки, имеет смысл нормальных напряжений по наклонной площадке:

Часть I = qx l + qy m + qz n.

Подстановка сюда интенсивностей нагрузки по формулам (2.8) и учет закона парности касательных напряжений дают:

= x l2 + y m2 + z n2 + 2(xy lm + yz mn + zx nl). (2.9) Проецирование же нагрузок (2.7) на прямую (l1, m1, n1 ), принадлежащую самой наклонной площадке, позволяет получить следующее выражение для касательных напряжений по направлению указанной прямой:

1 = x ll1 +y mm1 +z nn1 +xy (lm1 +l1 m)+yz (mn1 +m1 n)+xz (nl1 +n1 l).

Для того, чтобы найти полное касательное напряжение по наклонной площадке, надо определить какие-либо две его составляющие. Однако мо дуль величины можно установить и без этого. Так как интенсивность q нагрузки связана с интенсивностями qx, qy, qz очевидной зависимостью 2 2 2 2 2 2 q = qx +qy +qz, а, с другой стороны, q = +, то 2 2 2 2 = qx + qy + qz. (2.10) 2.3. Экстремальность нормальных напряжений. Полученные в преды дущем пункте результаты относятся и к тетраэдру, целиком погруженному внутрь тела, а потому на соотношения п. 2.2 допустимо опираться не только при формулировке граничных условий задачи. Например, с помощью этих соотношений можно найти проходящие через рассматриваемую точку тела площадки, на которых действуют максимальные нормальные напряжения.

Важность предложенной задачи ясна из сказанного в п. 1.9.

Пусть известны все компоненты тензора напряжений в окрестности рас сматриваемой точки тела. Требуется найти ориентацию тех площадок (т. е.

значения l, m, n направляющих косинусов ортов нормалей к ним), кото рые проходят через данную точку и на которых нормальные напряжения принимают экстремальные значения. Иначе говоря, требуется исследовать функцию (2.9) на экстремум по аргументам l, m, n. Поскольку эти величи ны связаны равенством l2 + m2 + n2 = 1, (2.11) то дело сводится к решению задачи на условный экстремум: найти стаци онарные точки функции (2.9) при условии (2.11). Здесь можно воспользо ваться методом Лагранжа, согласно которому при помощи множителя и зависимостей (2.9) и (2.11) образуется новая вспомогательная функция = x l2 + y m2 + z n2 + 2(xy lm + yz mn + zx nl) + (1 l2 m2 n2 ), после чего анализируются уравнения Глава 2 = 0, = 0, = 0.

l m n Вычисления здесь элементарны, так что приводимая ниже окончательная запись условий экстремума функции очевидна:

x l + yx m + zx n = l, xy l + y m + zy n = m, (2.12) xz l + yz m + z n = n.

Сравнение равенств (2.12) и (2.8) показывает, что множитель Лагранжа имеет смысл интенсивности нагрузки, направленной строго перпендику лярно к наклонной площадке. При такой нагрузке касательных напряжений на этой площадке не будет вообще, а интенсивность q = указанного воздействия совпадает с нормальными напряжениями.

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называ ются главными, а действующие по ним нормальные напряжения – главными напряжениями. Таким образом, наибольшие нормальные напряжения нужно отыскивать среди главных напряжений. Чтобы вычислить последние, надо, положив =, переписать равенства (2.12) в виде (x )l + yx m + zx n = 0, xy l + (y )m + zy n = 0, (2.12a) xz l + yz m + (z )n = 0.

Эта система уравнений является однородной, и поскольку ее очевидное ре шение l = m = n = 0 смысла не имеет, необходимо приравнять к нулю определитель уравнений (2.12a):

x yx zx y = 0. (2.13) xy zy z xz yz После раскрытия определителя, ряда упрощений и обозначений I1 = x + y + z, 2 2 I2 = x y y z z x + xy + yz + xz, (2.14) 2 2 I3 = x y z + 2xy yz xz x yz y xz z xy уравнение (2.13) примет вид 3 I1 I2 I3 = 0. (2.13a) Часть I Определитель (2.13) симметричен, а потому все корни уравнения (2.13a) действительные числа. Их обозначают через 1, 2, 3 и располагают в убы вающей последовательности 1 2 3.

Вообще говоря, возможны и кратные корни, но учет этого обстоятельства усложняет дело, не меняя его сути, а потому случай кратных главных на пряжений здесь не рассматривается.

Значения главных напряжений найдены, и теперь можно определить ори ентации главных площадок. Ввиду условия (2.13) уравнения (2.12a) линейно зависимы, поэтому одно из них надо отбросить (например, последнее), при соединить к двум оставшимся равенствам соотношение (2.11) и разрешить получившуюся систему (x )l + yx m + zx n = 0, xy l + (y )m + zy n = 0, l2 m2 n + + = относительно направляющих косинусов l, m, n. Ясно, что хотя бы одно из касательных напряжений должно отличаться от нуля, иначе главные пло щадки были бы параллельны координатным плоскостям и разыскивать их не было бы необходимости. Пусть, для определенности, zx = 0, т. е. n = 0.

Тогда при помощи обозначений = l/n, = m/n записанные выше уравнения можно будет представить в виде:

(x ) + yx = zx, xy + (y ) = zy, n = ±1/ 1 + 2 + 2.

Согласно правилу Крамера, = D1 /D, = D2 /D, где x zx x zx xy xy D=, D1 =, D2 =, y zy y zy xy xy следовательно (см. обозначения для и ), D1 D2 D l=±, m=±, n=±.

2 2 2 2 2 D2 + D2 + D2 + D1 + D + + D1 D2 D1 D Глава 2 Чтобы найти все главные площадки, надо в приведенные выше формулы последовательно подставить = 1, = 2, = 3 и вычислить соответ ствующие этим главным напряжениям тройки чисел (l1, m1, n1 ), (l2, m2, n2 ), (l3, m3, n3 ).

В плоской задаче, т. е. при z = yz = zy = 0, можно привести готовые формулы для главных напряжений. В этом случае I1 = x + y, I2 = x y + xy, I3 = 0 (2.14a) и уравнение (2.13a) становится квадратным:

I1 I2 = 0. (2.13b) Отсюда следует, что I1 I = ± + I 2 или (см. равенства (2.14a)) (x y )2 + 4xy.

1, 2 = (x + y ) ± (2.13c) Нормали к главным площадкам характеризуются направляющими косину сами x xy l = ±, m = l.

xy 2 + ( x ) xy Эти формулы используются при m = 0. Случай m = 0, l = 1 тривиален и интереса не представляет.

2.4. Ортогональность главных площадок. Нетрудно убедиться в том, что главные площадки взаимно ортогональны. И в самом деле, из равенств (2.12) при = 1 и = 2 следует:

x l1 + yx m1 + zx n1 = 1 l1, | x l2 + yx m2 + zx n2 = 2 l2, xy l1 + y m1 + zy n1 = 1 m1, | xy l2 + y m2 + zy n2 = 2 m2, xz l1 + yz m1 + z n1 = 1 n1, | xz l2 + yz m2 + z n2 = 2 n2.

Далее проделываются следующие операции:

a) три левых равенства умножаются соответственно на числа l2, m2, n и складываются;

b) три правых равенства умножаются на числа l1, m1, n1 и тоже скла дываются;

Часть I c) из левого суммарного равенства вычитается правое суммарное равен ство;

d) получившееся соотношение элементарными преобразованиями приво дится к виду (1 2 )(l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 ) = 0.

Поскольку 1 2, то l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0, что и говорит об ортогональности векторов 1 (l1, m1, n1 ) и 2 (l2, m2, n2 ), т. е.

первой и второй главных площадок. Равенства (2, 3 ) = 0, (3, 1 ) = порождаются формулой (1, 2 ) = 0 при помощи правила круговой подста новки индексов.

2.5. Инварианты тензора напряжений. Наверное, не вызовет возраже ний утверждение, что значения главных напряжений не могут зависеть от того, в какой системе координат вычислялись компоненты тензора напряже ний Tн. И в самом деле, наибольшие напряжения в теле определяются его формой, размерами, материалом, способом закрепления, нагрузкой, наконец, но никак не тем обстоятельством, каким базисом счел нужным восполь зоваться специалист, проводивший вычисления. Однако значения главных напряжений будут получаться одинаковыми в разных системах координат лишь при условии, что коэффициенты I1, I2 и I3 уравнения (2.13a) являются константами в данной точке тела в том смысле, что сами не меняются при смене базиса. Константы такого рода называют инвариантами. В рассмат риваемой задаче величины Ii представляют собой комбинации компонент тензора Tн, а потому их называют инвариантами тензора напряжений.

Величины I1, I2, I3 определяются формулами (2.14). Первый инвари ант I1 равен следу тензора напряжений, т. е. сумме элементов, стоящих на главной диагонали матрицы (1.3). Инвариант -I2 представляет собой сум му главных миноров второго порядка этой же матрицы. Наконец, третий инвариант I3 равен определителю тензора Tн.

Наиболее просто инварианты Ii записываются в так называемых главных осях, т. е. в системе координат, орты которой совпадают с ортами нормалей к главным площадкам. Здесь I1 = 1 + 2 + 3, I2 = 1 2 + 2 3 + 3 1, I3 = 1 2 3. (2.14b) Таким образом, при переходе от одной системы координат к другой от дельные компоненты тензора напряжений будут меняться, но их комбинации (2.14) останутся неизменными. В частности, при любом базисе сумма всех Глава 2 трех нормальных напряжений в данной точке тела будет одной и той же:

I1 = 1 + 2 + 3 = x + y + z.

2.6. Экстремальность касательных напряжений. Прежде чем перейти к поиску площадок с экстремальными касательными напряжениями, полез но обратить внимание на следующее обстоятельство. При оценке прочности тел знак нормальных напряжений надо учитывать обязательно. Объяснение этому факту дано в 8-й главе, здесь же можно сослаться хотя бы на то, что многие материалы неодинаково сопротивляются растяжению и сжатию.

А вот смена знака у касательных напряжений не влияет ни на что: силы сопротивления при скольжении частиц тела друг по другу от направле ния движения не зависят. Это позволяет исследовать на экстремум не сами напряжения, а квадрат величины, что гораздо удобнее (см. формулу (2.10)). Кроме того, в формулах (2.8) и (2.9) целесообразно перейти к глав ным осям, т. е. к базису, в котором касательные компоненты тензора Tн обращаются в нуль:

1 l = qx, 2 m = qy, 3 n = qz ;

(2.8a) = 1 l2 + 2 m2 + 3 n2. (2.9a) Подстановка этих зависимостей в равенство (2.10) дает:

= 1 l2 + 2 m2 + 3 n2 (1 l2 + 2 m2 + 3 n2 )2.

2 2 2 (2.15) Поскольку на направляющие косинусы наложена связь (2.11), то для отыс кания условного экстремума функции (2.15) по аргументам l, m, n форми руется вспомогательная функция = 1 l2 + 2 m2 + 3 n2 (1 l2 + 2 m2 + 3 n2 )2 + (1 l2 m2 n2 ), 2 2 где – множитель Лагранжа. Условия экстремума = 0, = 0, = l m n после вычисления производных и очевидных упрощений примут вид:

1 l 21 l l = 0, 2 l 22 l m = 0, (2.16) 3 l 23 l n = 0.

Чтобы исключить множитель Лагранжа, можно, например, третье из уравнений (2.16) поочередно умножить на l и на m, а потом получивши еся соотношения вычесть соответственно из первого и второго равенств, Часть I умноженных на n:

2 [(1 3 ) 2 (1 3 )] ln = 0, 2 [(2 3 ) 2 (2 3 )] mn = 0.

Но 1 2 3, а потому (1 + 3 2 )ln = 0, (2.16a) (2 + 3 2 )mn = 0.

Существует очевидное решение системы уравнений (2.16a) и (2.11):

l = m = 0, n = ±1.

Оно отвечает третьей главной площадке, на которой, как известно, = 0.

Это – абсолютный минимум функции (2.15). Таким образом, отыскивать ре шения, при которых два из трех направляющих косинусов обращаются в нуль, не имеет смысла. Если же l = 0 и m = 0, то из уравнений (2.16a) следует, что n = 0. В этом случае третье из равенств (2.16) удовлетворяется тождественно, а первые два можно будет сократить на множители l и m соответственно:

2 1 21 = 0, 2 22 = 0.

Исключение отсюда величины с учетом того, что 1 2, дает (1 ) + (2 ) = 0.

При n = 0 (см. формулы (2.9a) и (2.11)) = 1 l 2 + 2 m2 ;

l2 + m2 = и (1 2 )(m2 l2 ) = 0.

Следовательно, l2 = m2 = 1/2, n2 = 0 и подстановка этих значений квадра тов направляющих косинусов в формулу (2.15) приводит к результату = 1 /2 + 2 /2 (1 + 2 )2 /4 = (1 2 )2 /4.

2 2 Таким образом, одна из нетривиальных площадок с экстремальными ка сательными напряжениями найдена. Решения еще для двух таких площадок получаются при помощи правила круговой подстановки индексов. Результа ты приводятся в таблице 2.1, из которой, в частности, видно, что площадки с экстремальными касательными напряжениями взаимно ортогональными не являются. Каждая из них наклонена под углом в 45o к каким-либо двум главным площадкам и перпендикулярна к третьей (см. рис. 2.4). Абсолют ного максимума модуль касательных напряжений достигает на площадке, для которой m = 0.

Глава 2 Таблица 2. Значения NN l m n напряжений ± 2 /2 ± 2 /2 ±(1 2 )/ 1 ± 2 /2 ± 2 /2 ±(1 3 )/ 2 ± 2 /2 ± 2 /2 ±(2 3 )/ 3 2.7. Октаэдрические напряжения. Площадки, равнонаклоненные ко всем главным площадкам, называются октаэдрическими. Этот термин объ ясняется тем, что всего таких площадок 8 и с их помощью можно образовать правильный октаэдр, что и иллюстрирует рис. 2.5, выполненный в главных осях. Из равенств (2.11) при l2 = m2 = n2 следует, что направляющие коси нусы октаэдрических площадок суть числа l = ± 3/3, m = ± 3/3, n = ± 3/3.

Далее вместо и для нормальных и касательных напряжений на октаэдрических площадках будут ис пользоваться обозначения окт и окт. Тогда (см. фор мулу (2.9a)) окт = (1 + 2 + 3 )/3, (2.17) т. е. нормальные напряжения на октаэдрических площадках равны среднему значению главных напряжений. Согласно формуле (2.15), окт = (1 + 2 + 3 )/3 (1 + 2 + 3 )2 /9 = [3(1 + 2 + 3 ) (1 + 2 + 3 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 Часть I 2(1 2 + 2 3 + 3 1 )]/9 = 2 2 2 2 2 = [(1 21 2 + 2 ) + (2 22 3 + 3 ) + (3 23 1 + 1 )]/ или 3окт = ± (1 2 )2 + (2 2 )2 + (3 1 )2. (2.18) Напряжения окт и окт называют октаэдрическими. Безусловно, то об стоятельство, что около любой точки тела можно выделить элемент, на всех восьми гранях которого действуют совершенно одинаковые напряжения, ин тересно само по себе. И все же речь об октаэдрических напряжениях зашла по иной причине. Эта причина станет ясной по прочтению 6-й главы насто ящего раздела.

ГЛАВА 3. ОСЕВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ 3.1. Классификация силовых конструкций. После того как в п. 1. была сформулирована основная задача механики твердого деформируемого тела, состоящая в определении по некоторой исходной информации напряже ний и деформаций в окрестности любой его точки, был сделан и первый шаг на пути ее решения. А именно, были получены уравнения равновесия Навье (2.6), содержащие искомые компоненты тензора напряжений. При этом вы яснилось, что рассматриваемая задача является статически неопределимой и для продолжения исследования необходимо опереться на некоторые допол нительные соображения. Однако сделать это тут же не удалось. Пришлось отвлечься на обсуждение вопроса о граничных условиях задачи и отыс кание экстремальных значений нормальных и касательных напряжений. Те перь, когда указанные исследования остались позади, вывод полной системы уравнений, т. е. системы, достаточной для решения задачи о напряженно деформированном состоянии в точке тела, можно было бы и продолжить.

Для этого снова понадобилось бы иметь дело с более или менее громоздки ми выкладками, дифференциальными уравнениями в частных производных, т. е. с достаточно абстрактными математическими операциями. А между тем при помощи результатов, полученных в предыдущих главах, уже можно в некоторых частных случаях довести решение задачи о напряжениях в точ ках тела до числа. Вот почему целесообразно еще немного повременить с формальным анализом задачи, чтобы рассмотреть хотя бы один простейший случай деформирования и благодаря этому получить более четкое представ ление о том, чем собственно занимается механика твердого деформируемого тела.

Словосочетание "простейший случай" требует разъяснения. Для этого надо прежде всего установить некоторую иерархию в множестве силовых конструкций. К наиболее простым из них относятся так называемые стерж невые конструкции, т. е. тела, состоящие из одного или большего числа стержней. Стержень отличается тем, что два его измерения – характерные размеры поперечного сечения – намного меньше третьего – длины. Здесь и далее под словами намного меньше или намного больше будет пониматься разница по крайней мере в 10 раз, что составляет один порядок в десятич ной системе мер. В п. 1.6 речь о стержне (брусе) уже шла. К сказанному там можно добавить, что в строительной практике наиболее распростране ны конструкции из призматических брусьев: балки, фермы, рамы, простран ственные каркасы зданий. Стержни с криволинейной осью – так называемые 50 Часть I криволинейные стержни чаще используются в машиностроении, нежели в строительстве: остовы корпусов судов, фюзеляжи самолетов, крюки подъ емных устройств и т. п. Но и среди строительных сооружений встречают ся такие конструкции, как арки, винтовые косоуры, опорные кольца купо лов, которые представляют собой не что иное, как криволинейные стержни.

Нечасто строители используют и брусья переменного сечения, у которых размеры сечений меняются вдоль оси.

Для стержня могут быть предложены самые простые расчетные модели.

Так, при отыскании усилий тело стержня заменяется его осью, на которую переносятся все нагрузки, прикладываемые к стержню (см. п. 1.7–1.8) Мож но ожидать, что и напряжения в стержне отыскиваются более просто, чем в иных телах. Так оно и есть на самом деле.

Более сложен анализ напряженно-деформированного состояния конст рукций, называемых плитами и оболочками. У этих конструкций одно из измерений – толщина – намного меньше двух других – характерных разме ров в плане. Здесь при определении усилий и перемещений, обусловленных деформированием тела, расчетная модель выбирается в виде поверхности, на которую сводятся все нагрузки. Обычно моделирующая поверхность выби рается так, чтобы толщина плиты или оболочки делилась ею (поверхностью) пополам. Для оболочки такая срединная поверхность искривлена, для плит – это плоскость. Форму оболочек имеют такие конструкции, как купола, своды, резервуары, корпуса ракет и т. д. Плиты также весьма распростра нены в инженерном деле. Это – крышки резервуаров, перекрытия зданий, судовые переборки и многие другие конструкции. Расчетная модель плиты близка к модели стержня. Разница же заключается в том, что стержень – одномерный объект, а плита – двумерный, и потому состояние стержня описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, тогда как полная система уравнений плит включает дифференциальные уравнения в частных производных. Еще более сложной является задача о напряженно деформированном состоянии оболочки. Хотя и эта задача является двумер ной, но ее решение приходится строить в криволинейных координатах.

И последний класс конструкций – массивные тела. К ним относятся различные типы фундаментов, плотины, дамбы, цилиндрические и шаровые опоры. Задача отыскания напряжений и перемещений в точках таких тел является трехмерной.

3.2. Дополнительные сведения о модели стержня. Как уже говори лось, при отыскании усилий стержень можно заменить его осью. Но све дение реального тела к прямой или кривой линии и перенос на эту ли нию заданных сил – еще не вся модель стержня, а тем более стержневой конструкции. Ведь стержни, составляющие конструкцию, каким-то обра Глава 3 зом прикрепляются друг к другу и к земле. Для таких прикреплений ис пользуются специальные соединительные устройства, включающие в себя различные связи. Соединительные устройства, как правило, считаются иде альными. Так, шарниры предполагаются работающими без трения, заделки – не допускающими никакого деформирования и т. п. Если соединительное устройство крепит конструкцию к земле, его называют опорным. Условные обозначения, используемые для изображении опорных устройств плоских стержневых конструкций, представлены на рис. 3.1.

Обсуждая модель стержня, полезно обратить внимание и на различие между тем, как оперируют с силами в механике абсолютно твердого тела и в механике деформируемого тела. Так, при исследовании состояния жест кого тела можно: сводить нагрузку к ее равнодействующей (если таковая имеется), переносить силы вдоль линии действия, оперировать с моментами как со свободными векторами. Но поступать точно так же и при анализе рав новесных состояний деформируемых тел нужно с крайней осторожностью.

Сказанное иллюстрируют рис. 3.2–3.4, которые в комментариях не нужда ются. А вот при обсуждении ситуации, связанной с рис. 3.5, разъяснения необходимы.

При деформировании консольного бруса, изображенного на этом рисун 52 Часть I ке, точки A и B, принадлежащие оси стержня, займут положения A и B.

Следовательно, MB = PA (a A + B ), MC = PA (l A ) + PB (b B ), где MB и MC – моменты сил PA и PB относительно точек B и C. Для вы полнения вычисления по этим формулам надо знать перемещения A и B.

Найти их можно, хотя и не без сложностей. Но если вертикальная состав ляющая вектора перемещения свободного конца консоли мала, т. е. на порядок и более меньше длины l стержня, то величины A, B и (A B ) будут исчезающе малыми по сравнению с размерами l, b и a соответственно.

В таком случае можно принять MB = PA a, MC = PA l + PB b.

Стало быть, при малом деформировании конструкций – а несущие кон струкции проектируются так, чтобы перемещения их точек были незначи тельными, – реакции связей и усилия могут определяться по так называ емой недеформированной схеме. Такой подход, т. е. вычисление реакций и усилий в теле по его первоначальным размерам, называют решением задачи в геометрически линейной постановке. Говорят и иначе: определяя усилия и реакции связей в теле, точки которого имеют малые перемещения, можно пользоваться принципом отвердения. Сказанное означает, что в обсуждае мом случае с силами можно оперировать точно так же, как и в механике абсолютно твердого тела. Однако аккуратность нужна и здесь. При опре делении опорных реакций принцип отвердения может быть распространен на все тело (и то не всегда), а при вычислении усилий – только на его отсеченную часть.

Глава 3 3.3. О принципе независимости действия сил. Если при решении за дачи статики твердого деформируемого тела используется принцип отверде ния, то с силами и моментами можно оперировать как с векторами линейного пространства, т. е. как с наборами элементов x, y, z,..., удовлетворяющими следующим правилам сложения и умножения на числа 1,,,... :

1) x + y = y + x, 2) (x + y) + z = x + (y + z), (a) 3) x + 0 = x, 4) x + (x) = 0;

1) 1 · x = x, 2) · (x) = x, (b) 3) ( + ) · x = x + x, 4) · (x + y) = x + y.

Если обозначить через x, y и z векторы (см. рис. 3.5) PA l, PB b и MC соответственно, то очевидны равенства MC = PA l + PB b = PB b + PA l или z = x + y = y + x, которые выражают первое из свойств (a). Данная запись означает, что по следовательность операций при вычислении момента MC сил PA и PB без различна.

Пусть теперь PA = PA e, где e, PA – орт и модуль вектора силы, прило женной на свободном конце консоли, а x = e l, z = MC. Тогда второе из правил (b), записанное при = 1 и = PA в виде z = (PA · x) = PA · (x), означает, что момент MC можно найти, определив сначала момент mC от на грузки PA = 1, а затем умножив результат на истинное значение приложен ной силы: MC = PA mC. Подобную интерпретацию допускают и остальные из правил (a) и (b).

Правила (a) и (b) суть не что иное, как аксиомы, на которых строится теория линейных векторных пространств. Все, что было сказано сразу же после написания этих правил, позволяет, ничего не меняя по существу, пе рейти от языка аксиом, обычного для математиков, к языку так называемых постулатов (принципов), которым принято пользоваться в механике твердо го деформируемого тела. Постулат, имеющий отношение к затронутой здесь теме, носит название принципа независимости действия сил. Согласно это му принципу, эффект от одновременного приложения нагрузок P1, P2,..., Pn равен сумме эффектов, производимых каждой нагрузкой в отдельности. Этот принцип известен и под названиями принципа суперпозиции и принципа на ложения, которые представляются более удачными хотя бы потому, что в линейных задачах механики можно складывать эффекты, порождаемые не только силовыми воздействиями.

54 Часть I 3.4. Типы деформаций. Стержень – наиболее простая модель тела, но это не означает, что задача об его напряженно-деформированном состоянии элементарна. Степень сложности ее решения зависит от вида деформации, испытываемой брусом при действии внешних сил.

На рис. 3.6 изображены четыре типа простейших деформаций. Это де формации растяжения–сжатия (осевая деформация), изгиба, кручения и сдвига. Каждая из них в чистом виде реализуется только при определенных способах загружения и закрепления тела, т. е. не так уж и часто. Однако изучение простейших типов деформирования открывает путь к исследова нию сложного напряженно-деформированного состояния стержня. К одной из самых простых относится осевая деформация бруса.

3.5. Поведение призматического стержня при осевой нагрузке. Пусть стержень загружается по торцам силами, сводящимися к равнодействующей P, направленной вдоль его оси. При такой нагрузке в любом поперечном сечении стержня из шести компонент усилий (см. п. 1.6) от нуля будет от личаться только продольная сила N. На рис. 3.7a показан профиль стержня прямоугольного поперечного сечения, на грани которого нанесены сетки из ортогональных линий. С их помощью удобно наблюдать за процессом дефор мирования бруса в демонстрационных опытах, которые обычно проводятся на резиновых образцах. Если нагрузка распределяется по торцам стерж ня равномерно (рис. 3.7b), то изображенная на его грани сетка в процес се деформирования бруса нигде не искривляется. Однако при растяжении стержня расстояния между горизонтальными прямыми равномерно увели чиваются, а между вертикальными – равномерно уменьшаются. Наоборот, сжатие стержня приводит к сближению горизонтальных прямых и увеличе нию расстояний между вертикальными линиями.

Глава 3 На рис. 3.7c показана деформация бруса, растянутого сосредоточенными торцевыми силами. Видимая на этом рисунке сетка искажается тем больше, чем ближе ее горизонтальные линии к загружаемым торцам. Что же каса ется средней части бруса, протяженность которой примерно равна величине l 2a, где a – наибольшее измерение поперечного сечения стержня, то в ней искривление линий сетки практически отсутствует. Подобная картина наблюдается и при растяжении бруса, изображенного на рис. 3.7d.

Таким образом, если длина стержня намного больше размеров попереч ного сечения, то равномерную деформацию будет испытывать основная часть бруса вне зависимости от того, как распределена осевая сила по торцам. Для этой части стержня можно принять следующее, упрощающее дальнейшие исследования, предположение о характере деформирования: при растяже нии или сжатии стержня его поперечные сечения, плоские до приложения нагрузки, остаются плоскими и параллельными между собой и после нагру жения. Это предположение получило название гипотезы плоских сечений.

Выдвинул ее в конце 17 века известный французский физик Ф. Мариотт, а через несколько лет к той же мысли независимо от Мариотта пришел не менее известный математик и механик Я. Бернулли. Поэтому обсуждаемую гипотезу называют также гипотезой Мариотта – Бернулли.

При исследовании напряженного состояния растянутого или сжатого бруса гипотеза плоских сечений является тем самым дополнительным со ображением, которое позволяет раскрыть статическую неопределимость за дачи. По сути дела эта гипотеза формулирует условие совместности дефор 56 Часть I маций при осевой нагрузке на брус. Если нагрузка распределена по торцам стержня равномерно, то гипотеза Мариотта – Бернулли решает проблему для тела в целом, а в других случаях – только для областей бруса, доста точно удаленных от торцов. Зоны же, примыкающие к торцам и уходящие в брус на глубину характерного размера поперечного сечения, называют зо нами местных деформаций, или зонами местных напряжений. Такие зоны появляются не только вблизи загружаемых торцов стержня, но, например, и в тех его местах, где стержень ослаблен отверстием, надрезом, выточкой ли бо имеет выступающие части. Более подробно о зонах местных напряжений говорится в п. 3.7.

3.6. Напряжения при осевой деформации. Здесь рассматриваются только такие призматические брусья, для которых справедлива гипотеза плоских сечений. В этом случае все продольные волокна стержня дефор мируются одинаково и нормальные напряжения по сечению бруса распреде ляются равномерно. В поперечном же сечении (см. формулы (1.4) и рис. 1.5) xy = xz = 0, N= x dF = x F F и x = N/F. (3.1) При торцевой нагрузке осевая сила в брусе не меняется, поэтому нормальные напряжения во всех поперечных сечениях одинаковы. Таким образом, задача о напряженном состоянии в любой точке призматического бруса при осевой деформации имеет решение:

P x = y = z = xy = yz = xz = 0.

, F Из сказанного также следует, что одна из главных площадок для лю бой точки бруса обязательно находится в плоскости поперечного сечения, проведенного через эту точку. Если сила P положительна (растяжение), то названная площадка будет первой главной площадкой и x = 1 = P/F, 2 = 3 = 0.

При сжатии 1 = 2 = 0, 3 = x = |P |/F.

Напряжения в наклонном сечении бруса могут быть вычислены по фор мулам (2.9a) и (2.15) п. 2.6:

a) Растяжение: b) Сжатие:

= 1 l2, = ±l1 1 l2. = 3 n2, = ±n3 1 n2.

Глава 3 Сечения, в которых действуют наибольшие по модулю касательные напря жения, наклонены под углом в 45o к поперечному сечению. Здесь либо l2 = 1/2, либо n2 = 1/2, поэтому = x /2, = x /2. (3.2) 3.7. Концентрация напряжений. Полученные в предыдущем пункте результаты не распространяются на зоны местных напряжений. Нельзя, на пример, использовать формулу (3.1) для вычисления напряжений в сече нии, ослабленном отверстием, если даже площадь этого сечения берется с учетом ослабления. Дело в том, что в зонах местных деформаций напря жения распределяются неравномерно, к тому же меняется и сам характер напряженного состояния – оно (состояние) становится трехмерным. Однако отношение ном = N/Fнет, (3.3) где Fнет – площадь ослабленного поперечного сечения (площадь нетто), некоторую усредненную информацию о напряженном состоянии в сечении несет и эта информация может быть использована в инженерных расчетах.

Величину ном называют номинальными напряжениями в ослабленном сече нии стержня.

Распределение напряжений в зонах местных деформаций изучается тео ретическими и экспериментальными методами. Теоретическое решение воз можно лишь при наличии полной системы уравнений задачи, которой пока еще нет. Следовательно, рассказ о теоретическом подходе к решению про блемы придется отложить. Экспериментальный путь связан с измерением перемещений в различных местах исследуемой зоны. Найденные в ходе экс перимента перемещения "переводятся" известным образом в напряжения.

На рис. 3.8 показаны наблюдаемые в опыте картины распределения на пряжений в зонах местных деформаций, обусловленных ослаблением сече ния отверстием и выточкой, а также локальным приложением нагрузки. Во 58 Часть I всех случаях на эпюрах нормальных напряжений имеются резкие всплес ки, расположенные вблизи так называемых концентраторов напряжений. В приведенных примерах – это отверстие, выточка, проушины, через которые передается нагрузка на стержень. Само же резкое увеличение величины на пряжения в том месте, где расположен концентратор, называют концентра цией напряжений. По мере удаления от концентратора эпюра напряжений быстро сглаживается.

Количественной мерой концентрации напряжений служит число k = max /ном, (3.4) называемое коэффициентом концентрации напряжений. Величина коэффи циента k устанавливается экспериментально. Она зависит от вида концен тратора, отношения характерного размера последнего к размерам попереч ного сечения, от материала. В справочниках приводятся значения k для самых различных концентраторов и конструкционных материалов. Эти зна чения колеблются в пределах от 1,1 до 3, но бывают и больше.

Если коэффициент k известен, то при помощи формул (3.3) и (3.4) можно найти наибольшее по модулю нормальное напряжение в зоне местных деформаций:

x = k ном = k N/Fнет. (3.5) Таким образом, формулы (3.1) и (3.5) решают вопрос о напряжениях в приз матическом стержне, испытывающем осевую деформацию, при любом спо собе приложения нагрузки по торцам и при любых местных ослаблениях или иных искажениях поперечных сечений.

3.8. Принцип Сен-Венана. К середине прошлого века было накоплено достаточно экспериментальных данных для того, чтобы обратить внимание на следующий факт: взаимно уравновешивающиеся силы, приложенные к малой части объема тела, вызывают в последнем лишь местные деформации.

Отталкиваясь от этого наблюдения, можно чисто умозрительным образом прийти к одному важному результату.

Итак, пусть на малую часть объема тела действует нагрузка P1 с глав ным вектором S и главным моментом M. Пусть, далее, к этой же части объема тела прикладываются взаимно уравновешенные нагрузки P2 и -P2, причем воздействие P2 характеризуется такими же главным вектором S и главным моментом M, что и нагрузка P1. Нагружение P2 и -P2 приведет к возникновению лишь местных деформаций. Если же теперь нагрузки P и -P2 (тоже самоуравновешенные) устранить, то изменение напряженно деформированного состояния по-прежнему будет местным. Таким образом, нагрузка P1 заменится на статически ей эквивалентную нагрузку P2, а об щее напряженно-деформируемое состояние тела останется тем же.

Глава 3 Полученный результат формулируется в виде утверждения, именуемого принципом Сен-Венана: если нагрузку, приложенную к малой части объ ема тела, заменить статически ей эквивалентной, то общее напряженно деформированное состояние тела не изменится. Это утверждение в общем случае строгого теоретического обоснования не имеет (хотя для некоторых форм тел и способов их загружения оно существует), вот почему его на зывают принципом, а не теоремой. Однако многочисленные наблюдения за поведением тел под нагрузкой, в том числе и те, что были описаны в п. 3.5, свидетельствуют в пользу принципа Сен-Венана.

Роль принципа Сен-Венана в механике твердого деформируемого тела трудно переоценить. Прежде всего, этот принцип позволяет установить гра ницы зон местных напряжений в теле, т. е. тех областей, для которых напряженно-деформированное состояние описывается иначе, чем в основ ных частях тела. При описании осевой деформации бруса уже говорилось, что глубина зоны местных напряжений равна характерному размеру пло щадки загружения. Это относится и к телам любой формы. Формы же тел, способы их закрепления и нагружения столь разнообразны, что экс периментальное изучение всех мыслимых процессов деформирования невоз можно. Принцип Сен-Венана как раз и освобождает от необходимости при каждом новом способе приложения местной нагрузки заново исследовать напряженно-деформированное состояние в основной части тела.

Уже много раз говорилось и о том, что уравнения механики сплош ной среды являются дифференци альными и при их интегрировании необходимо обращение к граничным условиям задачи. Но довольно часто формулировка граничных условий осложняется тем, что точно описать воздействие на поверхности тела не удается. В подобных случаях выход из затруднения как раз и находят при помощи принципа Сен-Венана. На рис. 3.9 изображен брус, к свободному торцу которого прикреплена винтами поперечная планка. Через нее и передается нагрузка на брус. Формулировка граничных условий для напряжений на незагруженных поверхностях бруса труда не составляет. Можно лишь отметить, что для двух наклонных граней граничные условия записываются при помощи уравнений Коши на поверх ности (2.8). В частности, для правой наклонной грани эти условия имеют 60 Часть I вид:

xy sin + xz cos = 0, y sin + yz cos = 0, xz sin + z cos = 0.

Для торцевого сечения x = 0 дело обстоит сложнее. Ведь для того, что бы указать детальное распределение нагрузки по торцу, надо среди прочего знать и степень натяжения винтов, прикрепляющих планку, и то, насколько равномерно эти винты затянуты. Ясно, что надежную информацию по этому поводу получить не удастся, но даже если бы она и имелась, воспользовать ся ею было бы далеко не просто. Однако усилия в начальном поперечном сечении бруса известны:

Mx = P a, Qy = P, N = Qz = My = Mz = 0, (3.6) а потому, опираясь на принцип Сен-Венана, можно неизвестное в деталях воздействие на торец свести к нагрузке (3.6), которую уже нетрудно связать с напряжениями в сечении x = 0 при помощи формул (1.4):

P a = (xy z xz y)dF, P = xy dF, F F 0= 0= 0= 0= x dF, xz dF x z dF, x y dF.

F F F F Переход от краевых условий для напряжений к краевым условиям для усилий называют смягчением граничных условий. Ясно, что полученным решением задачи можно пользоваться только за пределами зоны местных напряжений.

Таким образом, к принципу Сен-Венана приходится обращаться доволь но часто. Однако делать это надо аккуратно. Следующий пример служит тому подтверждением. Так, замена двух сил P, которые прикладываются к левым краям стержней, показанных на рис. 3.10a, b, равнодействующей 2P приводит к разным результатам. Для сплошного, так называемого массивно го, стержня (рис. 3.10a) такая замена допустима. Она вызывает искажение напряженного состояния только в малой зоне стержня глубиною a. В тон костенном же стержне, изображенном на рис. 3.10b, переход от сил P к силе 2P меняет картину распределения напряжений во всем брусе. Дело в том, что в отличие от массивных поперечных сечений размеры тонкостен ного сечения имеют разный порядок ( a), а потому малой областью нагружения здесь может считаться только такая область, размеры которой имеют тот же порядок, что и толщина скорлупы. Правильное применение Глава 3 принципа Сен-Венана в рассматриваемой ситуации выглядит так: силы P можно заменять статическими эквивалентами лишь в малых окрестностях точек их приложения (см. рис. 3.10c).

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА 4.1. Испытания на растяжение-сжатие. Благодаря гипотезе плоских сечений удалось раскрыть статическую неопределимость задачи о напря жениях в призматическом брусе при осевой деформации. Первая часть так называемого прочностного расчета стержня, загруженного осевыми силами, выполнена. Остается вторая часть – сравнение полученных теоретическим путем напряжений в стержне с устанавливаемыми экспериментально пре дельными их значениями для данного материала. Эксперименты, разумеется, преследуют более широкие цели. Они позволяют найти многие механические характеристики материала, а не только те напряжения, которые возникают к моменту разрушения. Кроме того, эксперименты помогают понять поведение различных материалов на разных стадиях их деформирования, в том числе – и на стадии разрушения. Экспериментальное изучение конструкционных ма териалов ведется при различных видах деформирования, типах и величинах нагрузок, состояниях окружающей среды. И все же особое место занимают испытания материалов на растяжение и сжатие. Эти испытания проводятся на специальных машинах в соответствии с установленными стандартами.

Стандарты приняты и для изготовляемых из исследуемых материалов об разцов, которые помещаются в соответствующие устройства машины для передачи на них нагрузок.

На рис. 4.1a показан один из образцов, используемых при испытаниях на растяжение металлов. Через l обозначена длина базы образца, в пределах которой измеряются его удлинения. Уширения у торцов цилиндра преду смотрены для закрепления образца в захватах испытательной машины. На рис. 4.1b изображены цилиндрические образцы, предназначенные для испы тания металлов на сжатие, а на рис. 4.1c – призматический и кубический Глава образцы, применяемые в опытах на сжатие древесины, естественных и ис кусственных камней.

В ходе эксперимента измеряются сила P и абсолютное удлинение l образца. Удлинение (укорочение) фиксируется при помощи специальных приборов, называемых тензометрами. Существуют устройства, в том чис ле и электронные, связанные с испытательной машиной, которые позволяют получить графическую информацию о течении эксперимента. На графике изображается связь между величинами P и l. Такой график называют диаграммой "P –l", или диаграммой нагружения.


Испытания материалов проводятся при различных температурах и спо собах нагружения. Ниже описываются только такие режимы испытаний, которые устанавливаются стандартами для получения основных механиче ских характеристик материала. Эти эксперименты проводятся при темпера туре около 20o C и при умеренных скоростях приложения нагрузки: время загружения не должно быть меньше 3–5 секунд и больше 3–5 минут.

4.2. Диаграммы растяжения металлов. На рис. 4.2 представлены типа наблюдаемых в опытах на растяжение металлов диаграмм "P –l”.

Первая из них характерна для мягкой малоуглеродистой стали, вторая – для стали с содержанием углерода более 0,5%, а также для легированных сталей, меди, алюминия, бронзы, третья (рис. 4.2c) присуща хрупким ме таллам, например, чугуну. Наиболее интересна диаграмма, изображенная на рис. 4.2a. На ней имеются несколько ярко выраженных участков – зон.

Участку 0A (зона 1) отвечает линейно-упругое деформирование матери ала. Упругость – свойство материала восстанавливать свои первоначальные форму и размеры после снятия нагрузки. Линейная упругость означает пря мо пропорциональную зависимость между удлинением l образца и силой P. Эту связь описал еще в 17 веке английский физик, астроном, архитектор, инженер и изобретатель Роберт Гук, а потому зависимость вида l = kP, где k – коэффициент пропорциональности, называют законом Гука.

64 Часть I Участок AB (зона 2) диаграммы соответствует зоне нелинейной упруго сти. Материал все еще обладает упругими свойствами, но связь между ве личинами l и P становится нелинейной. Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к появлению так называемых остаточных необратимых деформа ций.

Участок BC (зона 3) именуют площадкой текучести. На этой стадии деформирования во всем образце происходит структурное изменение мате риала, которое и приводит к деформациям, не исчезающим после снятия нагрузки. Поэтому описываемую зону деформирования называют зоной об щей текучести материала. Слово текучесть подчеркивает то обстоятельство, что заметное увеличение длины образца происходит практически без воз растания нагрузки – площадка BC почти горизонтальна, т. е. материал как бы переходит в жидкую фазу.

Если материал допускает большие необратимые деформации без разру шения, то его называют пластическим. Наличие площадки текучести на диа грамме "P –l" – признак пластического материала. Но площадка текучести наблюдается не у всех пластических материалов. Если она отсутствует, то точки A, B, C на диаграмме фактически сливаются в одну точку (рис. 4.2b).

Участок CD (зона 4) получил название зоны упрочнения материала, ибо на этом участке материал вновь приобретает способность сопротивляться прикладываемой нагрузке. Но теперь на единицу силы приходится б льшая о доля удлинения образца, чем при деформировании на участке OA. Это яв ление можно истолковать так. На предыдущей стадии деформирования ма териал менял свою структуру на микроуровне, и после того, как структура изменилась, получился новый менее прочный материал. Здесь намечается место будущего разрушения образца – так называемая шейка (рис. 4.3). Она зарождается там, где имелись наибольшие микроповреждения – наиболее глубокие царапины, внутренние поры, трещины и т. п. По мере дальнейше го нагружения образца шейка утоняется, и когда относительное уменьше ние площади поперечного сечения сравнива ется с относительным возрастанием напряже ния, сила P достигает максимума (точка D на диаграмме). Последующее удлинение образца происходит с уменьшением силы, хотя сред нее напряжение в сечении шейки возрастает вплоть до разрушения материала.

Участок DK (зона 5) называют зоной местной текучести, ибо на этой стадии эксперимента образец деформируется только в области шейки. Про Глава цесс завершается разрушением образца.

После сказанного диаграмма "P –l", изображенная на рис. 4.2b, в об суждении не нуждается. Разве что следует обратить внимание на такую особенность: здесь разрушение образца может произойти и без образования шейки или при малоразвитой шейке.

На рис. 4.2c представлена диаграмма растяжения хрупких материалов.

Хрупким называется материал, деформирование которого протекает при по чти незаметных остаточных удлинениях. Линия 0K имеет незначительную кривизну. Для облегчения использования диаграммы кривую заменяют пря молинейным отрезком 0K. Иначе говоря, считается, что хрупкий материал до самого разрушения следует закону Гука.

4.3. Испытания материалов на сжатие. Эксперименты на сжатие име ют ряд особенностей. Во-первых, нельзя испытывать длинные образцы из-за угрозы их выпучивания, а при сжатии коротких образцов весь материал бу дет находиться в зонах местных напряжений. Во-вторых, между плитами испытательного пресса и торцами образца возникают силы трения, которые никакими средствами полностью не устранить. Сказанное означает, что экс периментально реализовать чистое сжатие нельзя. Тем не менее опыты на сжатие позволяют получить полезную информацию о поведении как пласти ческих, так и хрупких материалов.

Выясняется, например, что пластический материал сжимающей нагруз кой разрушен быть не может. Под действием силы P цилиндрический об разец, изготовленный из малоуглеродистой стали, начинает сплющиваться, приобретая форму бочонка. Диаграмма "P –l" сжатия пластического мате риала имеет вид, представленный на рис. 4.4. Участок 0A этой диаграммы отвечает зоне линейной упругости, выше точки B начинается площадка текучести, а затем идет зона упрочнения. Все это совпадает с картиной, наблюдаемой при растяжении. При сплющивании площадь поперечного се чения образца возрастает, на единицу его (образца) укорочения приходится все б льшая и б льшая доля нагрузки и наступает момент, когда экспери о о 66 Часть I мент приходится прекращать (точка K на рис. 4.4).

Хрупкие материалы ведут себя иначе. Цилиндрический образец из чу гуна при определенной силе P разрушается так, как это показано на рис.

4.5a. В плоскостях, наклоненных примерно под углом в 45o к оси цилиндра, образуются трещины, в результате роста которых образец раскалывается на две части. На рис. 4.5b изображена картина разрушения бетонной призмы при сжатии: происходят выколы материала по боковым граням. Но если с целью уменьшения трения между плитами пресса и торцами образца исполь зовать, например, парафиновую смазку, то характер разрушения изменится (рис. 4.5c): в испытываемой призме возникнут продольные трещины и она распадется на части, раскалываясь по вертикальным плоскостям. Что же ка сается диаграммы "P –l" сжатия хрупких материалов, то она имеет такой же вид, что и в опытах на растяжение.

4.4. Основные механические характеристики материала. Диаграмма "P –l" наглядно демонстрирует поведение материалов при осевой нагрузке, но она содержит информацию не только об исследуемом материале, но и об образце. Это и понятно: ведь от его размеров зависят и сила P, при которой материал разрушается, и величина остаточной деформации. Чтобы выделить информацию о материале в чистом виде и тем самым открыть путь к определению количественных показателей его механических свойств, надо перейти от осей l и P диаграммы к осям и :

= l/l, = P/F, (4.1) где – относительное удлинение образца, называемое также деформацией удлинения, или осевой деформацией. График зависимости () именуется диаграммой "–", или диаграммой напряжений.

На рис. 4.6 приводится диаграмма "–" растяжения мягкой стали. Наи большее напряжение п, до которого материал следует закону Гука, на зывается пределом пропорциональности. Ес ли п, то = E, (4.2) где E – коэффициент пропорциональности, имеющий размерность напряжений и имену емый модулем упругости. По рис. 4.6 видно, что E = (tg0 ) · (ед. напряжения).

Закон Гука (4.2) можно записать и иначе (см.

формулы (4.1)):

l = P l/EF. (4.2a) Глава Именно при помощи этой формулы по замеренным в эксперименте величи нам P и l, известным базе l, площади F поперечного сечения образца и находят модуль упругости:

Pl E=.

F l Предел пропорциональности п – величина условная. Здесь все опреде ляется тем, какое отклонение линии () от равенства (4.2) будет признано достаточным для признания ее отличной от прямой. Мерой такого откло нения может служить изменение угла наклона касательной к линии ().

Считается, что если tg = 0, 67tg0, т. е. tg = 0, 67E, то предел про порциональности достигнут. Ясно, что при выборе вместо множителя 0, какого-либо иного числа предел пропорциональности будет другим.

Через у на рис. 4.6 обозначен так называемый предел уругости. Это – наибольшее напряжение, при котором материал еще деформируется упру го. Принято считать, что если остаточная деформация становится равной 0,0010,005%, предел упругости достигнут.

Таким образом, пределы пропорциональности и упругости определены нечетко. Эти величины зависят от волевым образом назначаемых допусти мых отклонений от линейности и упругости, а потому государственные стан дарты на них не устанавливаются. Иначе обстоит дело с пределом текучести т. При напряжениях т в материале развиваются заметные необратимые де формации, т. е. деформации, превышающие 0,20,5%. И хотя числа 0,2 и 0,5 далеки друг от друга, им отвечает одно и то же напряжение т, соответ ствующее уровню площадки текучести. Вот почему предел текучести может быть измерен довольно точно при любой договоренности относительно то го, что считать заметной остаточной деформацией. Предел текучести – одна из важнейших механических характеристик материала, регламентируемая государственными стандартами на испытания металлов.


Отношение наибольшей силы, выдерживаемой образцом, к начальной площади его поперечного сечения называют пределом прочности, или вре менным сопротивлением материала, и обозначают в. Для пластического материала величина в реальным напряжением не является, ибо образец из такого материала разрушается в области шейки, а площадь поперечного сечения шейки намного меньше начальной площади сечения. Поэтому пре дел прочности относится к основным механическим характеристикам лишь хрупких материалов, при этом он считается равным тем напряжениям, при которых происходит разрушение образца.

Сужение образца в области шейки приводит к тому, что и весь уча сток DK диаграммы "–" утрачивает реальность. Можно, конечно, учесть уменьшение поперечного сечения в зоне шейки, вычислить там истинные 68 Часть I значения напряжений и соответствующим образом откорректировать диа грамму справа от точки D. Для воссоздания полной картины деформирова ния материала так иногда и поступают, однако исследование напряженного состояния в зоне шейки интересно разве что в академическом плане.

Пластические свойства материала принято характеризовать остаточной деформацией, выраженной в процентах (см. рис. 4.6):

= 100 · ост.

Эту величину называют мерой пластичности. Так как при разрушении об разец освобождается от нагрузки, упругая часть у полной деформации ис чезает, а потому остаточная деформация ост измеряется отрезком 0K оси абсцисс, а не отрезком 0K. Эксперименты показывают, что угол наклона линии KK примерно равен углу 0, т. е. прямые KK и 0A параллельны.

При сжатии пластических материалов измеряются те же самые механиче ские характеристики, что были названы выше, кроме величин в и. Ока зывается, что пределы упругости, пропорциональности, текучести и модуль упругости остаются теми же, что и при растяжении.

В заключение рассказа о свойствах пластических материалов можно при вести численные данные, которые помогут как-то оценить эти свойства. Так, малоуглеродистая строительная сталь имеет следующие механические ха рактеристики:

E = 2,1 · 106 кГ/см2, п = 1900 кГ/см2, у = 2100 кГ/см2, т = 2400 кГ/см2, в = 4000 кГ/см2, = 25%.

Как уже отмечалось в предыдущем пункте, диаграммы "P –l" растя жения и сжатия хрупких материалов имеют одинаковый вид, стало быть, одинаково выглядят при растяжении и сжатии и диаграммы "–" для этих материалов. Однако предел прочности в хрупких материалов при сжатии в несколько раз выше такового при растяжении: для каменных материалов, например, в 10 и более раз. Отличаются у хрупких материалов и модули упругости растяжения и сжатия. Последний несколько больше первого.

4.5. Разгрузка и повторное нагружение. Здесь снова пойдет речь о диаграмме "–" растяжения мягкой стали, но обсуждаться будут иные про блемы. Ясно, что если прекратить нагружать образец до достижения пло щадки текучести, а затем снять нагрузку вообще, то образец восстановит свою форму. Точнее, остаточная деформация будет настолько мала, что ею можно пренебречь. Ситуация здесь достаточно прозрачна: ведь упругое де формирование объясняется изменением расстояний между атомами кристал лической решетки, обусловленным силовым полем. Стоит снять нагрузку, как наведенное силовое поле исчезнет и атомы займут свое начальное поло Глава жение. Более интересно поведение материала при разгрузке, осуществляе мой после достижения предела упругости. Чтобы найти объяснение протека ющим здесь процессам, необходимо иметь хотя бы некоторое представление о ряде явлений, изучаемых в физике твердого тела. Речь идет о дислокациях и их движениях в поликристаллических материалах (металлах). В рамках настоящего пособия рассказать об этих явлениях подробно не удастся. При дется ограничиться лишь схематическим описанием механизма образования и развития необратимых пластических деформаций.

Дислокации – это нарушения периодической структуры кристалла, ко торые при определенном уровне внутреннего силового поля приводят к от носительным смещениям атомных слоев материала или к искривлениям по следних. Такие смещения и искривления и называют движением дислока ций. Оно начинается сразу же после приложения к образцу нагрузки, но если напряжения в материале ниже предела упругости, то после снятия на грузки первоначальное взаимное расположение атомных слоев в кристалле практически восстанавливается. Как только напряжения достигают преде ла текучести, движение дислокаций приводит к необратимым нарушени ям структуры материала. Материал перестраивается, слои кристаллической решетки и дислокации стремятся занять новое устойчивое положение. По достижению последнего материал снова начнет сопротивляться силовому воздействию, стремящемуся изменить расстояния между смежными атома ми. Другими словами, дальнейшее наращивание нагрузки сопровождается не только пластическими, но и упругими деформациями (упрочнение). В ме сте образования шейки при нагрузках, близких к разрушающим, появляются микротрещины, т. е. происходит разрыв межатомных связей. Поэтому оста точная деформация образца состоит не только из пластической деформации, приобретаемой материалом без нарушения сплошности.

На диаграмме "P –l", изобра женной на рис. 4.7, кроме уже из вестных по предыдущим обсужде ниям точек, дополнительно нанесе ны еще точки L, M, N. Линиями i–i (i = L, M, N, K) отмечены тра ектории разгрузок образца на раз личных этапах деформирования.

Через i обозначены упругие удли нения, исчезающие после снятия нагрузки. В трех случаях из четы рех траектории разгрузки показаны штриховыми линиями, что объясняется условностью таких траекторий. Так, о разгрузке по линии KK вообще го 70 Часть I ворить не приходится, ибо точка K отвечает разрушению образца, т. е. пре кращению его существования. Если же к разгрузке приступить на участке BC, т. е. там, где деформирование чисто пластическое, то движение точ ки, изображающей на диаграмме этот процесс, должно быть таким, чтобы упругое удлинение L было в точности равно величине B. Но поскольку материал на рассматриваемой стадии деформирования находится в неустой чивом состоянии, то траектория LL разгрузки непредсказуема. Она зависит и от состояния материала, и от режима разгрузки, и от случайных факто ров, связанных с данным образцом. Пунктирное изображение линии LL как раз и указывает на невозможность однозначной реализации в эксперименте траектории разгрузки на чисто пластической стадии деформирования. Но всегда L B и, стало быть, L 0.

Траектория M M разгрузки образца из точки, принадлежащей участку CD упрочнения диаграммы "P –l", стабильна. Как показывают наблюде ния, эта траектория близка к прямой, параллельной линии 0A, отвечающей деформированию материала по закону Гука. Следовательно, упругая доля M удлинения образца на участке упрочнения превосходит величину B, т. е. упрочнение сопровождается нарастанием в том числе и обратимых де формаций. Таким образом, B L M.

На нисходящей ветви диаграммы процесс деформирования вновь не устойчив. На этот раз из-за резкого нарушения структуры материала в об ласти шейки. Это приводит к неопределенности траектории N N разгрузки.

Что же касается удлинений N и K, то следует ожидать, что они удовле творяют соотношениям D N K.

И в самом деле, нагрузка на образец после достижения уровня, отвечаю щего точке D, падает, происходит возврат той доли упругого удлинения, которая связана с растяжением основной части образца, а продолжающийся почти незаметный рост упругой доли деформации в зоне шейки не в состоя нии компенсировать упругое укорочение остальной части стержня. Но хотя величины упругих удлинений на разных участках диаграммы различны, на клоны разных линий разгрузки практически не отличаются друг от друга.

Поэтому закон разгрузки пластического материала принимается одинаковым для всех зон диаграммы "P –l":

0 = L = M = N = K = arctg E.

Не менее интересны явления, которые обнаруживаются при повторном нагружении пластического материала. Пусть такое нагружение начинается Глава с точки L, т. е. после разгрузки из зоны общей текучести. Из того, что было сказано выше, следует, что здесь может реализоваться любая траектория, соединяющая точки L и C диаграммы и не выходящая за пределы парал лелограмма LL C C. Одна из возможных кривых L C показана на рис. 4.8a.

После того, как точка C будет достигнута, диаграмма развивается точно так же, как и при отсутствии промежуточной разгрузки. Картина повторно го нагружения материала из точки N (см. рис. 4.8b) аналогична только что описанной: может реализоваться любая траектория движения от точки N к точке K, в которой и произойдет разрушение образца.

Стабильность при повторном нагружении наблюдается лишь в случае, когда разгрузка производится из зоны упрочнения. Линия M M почти сли вается с линией M M (см. рис. 4.8c), по которой шла разгрузка, т. е. точки M и M практически совпадают. В дальнейшем диаграмма следует той кривой, какая была бы при непрерывном нагружении. Таким образом, опи санный цикл "разгрузка – нагрузка" привел к улучшению упругих свойств материала: образец после точки M деформируется в соответствии с законом Гука до гораздо большего уровня напряжений, чем на участке 0A. Правда, это сопровождается уменьшением зоны пластического деформирования или, как говорят, охруплением материала.

Повышение предела упругости материала в результате пластического де формирования и последующей разгрузки называют наклепом. Наклеп ис следовался многими экспериментаторами и теоретиками, в том числе и немецким специалистом в области механики И.

Баушингером. Он проводил эксперименты, сбрасывая нагрузку до нуля и переходя затем к напряже ниям противоположного знака. Обнаруженный Баушингером эффект, кото рый впоследствии получил его имя, проще всего проиллюстрировать при помощи упрощенной диаграммы "–", показанной на рис. 4.9. Упрощение состоит в том, что пластические ветви диаграммы изображаются в виде прямых линий, имеющих меньший наклон, чем упругий участок AA (впи санная в реальную диаграмму ломаная). Траектории разгрузки и повтор ной растягивающей нагрузки вычерчены сплошными линиями, а траекто 72 Часть I рия повторной нагрузки с противоположным зна ком – штриховой. Эффект Баушингера проявляет ся в том, что повышение предела упругости при растяжении приводит к уменьшению такового при сжатии и наоборот: отрезок п на рис. 4.9 больше отрезка п. Следовательно, использование наклепа в качестве технологической операции должно быть целенаправленным. Нет смысла подвергать наклепу материал, который предназначен для изготовления элементов, работающих и на растяжение, и на сжа тие, тогда как предварительная вытяжка проводов линий электропередач вполне оправданна.

4.6. Пластичность и хрупкость. Как уже го ворилось, мерой пластичности материала служит величина. Материал от носится к хрупким, если 2 5%. Конструкции из хрупких материалов менее надежны. Хрупкое разрушение всегда внезапно: конструкция не пре дупреждает о выходе из строя заметными для наблюдения деформациями.

Возникающие в хрупком теле трещины не залечиваются, и даже кратковре менный выход за пределы допустимой нагрузки может нанести конструкции непоправимый ущерб. Пластический же материал при не слишком большой перегрузке даже упрочняется (наклеп), усилия в пластически деформируе мых элементах перераспределяются более благоприятным для работы кон струкции образом. Говорят, что пластическая конструкция приспосаблива ется к нагрузке. Именно по этим причинам инженеры предпочитают иметь дело с пластическими материалами. Но и хрупкие материалы не лишены положительных качеств: у них более высокая прочность при сжатии и они более дешевы.

Разница между хрупкими и пластическими материалами проявляется и при сопоставлении их энергетических свойств. На рис. 4.10a изображена диаграмма "P –L" растяжения мягкой стали. Площадь выделенного участ ка диаграммы численно равна дифференциалу dA работы A, которую совер шает сила P, деформируя образец:

l dA = P d(l), A= P d(l).

Из рис. 4.10b следует, что с линейно-упругим деформированием связана ра бота Aу = P · l/2. (4.3) Глава Полученный результат носит название теоремы Клапейрона: работа линей но-упругой деформации равна полупроизведению силы и перемещения. С учетом равенств (4.1) отсюда следует, что Aу /(F l) = /2 или A = /2, (4.3a) у где A = Aу /(F l) – так называемая удельная работа упругой деформации, у т. е. отнесенная к единице объема тела величина работы Aу.

На рис. 4.10c совмещены диаграммы "–" растяжения мягкой стали (ли ния 1) и сжатия серого чугуна (линия 2). Площадь участка с контуром 0K1 K1 0 заметно больше площади фигуры 0K2 K2 0. Следовательно, на раз рушение пластического материала расходуется гораздо б льшая работа, чем о на разрушение пусть даже более прочного хрупкого материала.

В заключение следует сказать, что при некоторых условиях пластические материалы ведут себя как хрупкие и наоборот. Так, при низких температу рах мягкая сталь разрушается хрупко, а каменные породы, подверженные высоким температуре и давлению, обнаруживают пластические свойства.

4.7. Предельное и допустимое состояния при осевой нагрузке. Оцен ка прочности при однородной осевой деформации осуществляется по фор муле max пр /n, где max – максимальное напряжение в стержне, найденное теоретически, пр – предельное для данного материала значение напряжений, n – число, превышающее единицу и называемое коэффициентом запаса. Величину [] = пр /n называют допускаемым напряжением. Для пластических материалов прини мают пр = т, 74 Часть I т. е. предельным напряжением считается предел текучести. Соответствую щий коэффициент запаса именуется коэффициентом запаса по текучести и обозначается nт. Для хрупких материалов предельное напряжение берется равным временному сопротивлению:

пр = в, а коэффициент запаса по пределу прочности обозначается через nв. Выбор значений коэффициентов nт и nв проводится на основе соображений, о кото рых здесь говорить преждевременно. Этому вопросу уделяется особое вни мание в специальных курсах, посвященных проектированию строительных и машиностроительных конструкций. Можно сказать лишь, что коэффи циенты запаса назначаются из довольно широкого диапазона допускаемых значений:

nв = 1,5 5, nт = 1,2 2,5.

В справочниках обычно приводятся данные непосредственно о допускаемых напряжениях. Например, для мягкой строительной стали как при растяже нии, так и при сжатии принимается [] = 1600 кГ/см2, тогда как для серого чугуна – []+ = 250 кГ/см2, [] = 1100 кГ/см2, где []+, [] – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие. Таким образом, проверка прочности при осевой деформации ведется по формуле max [], называемой условием прочности по допускаемым напряжениям. Это не един ственная возможность оценить надежность конструкции. В инженерной практике используется также и расчет по предельной нагрузке:

Pmax Pпр, в котором приложенное воздействие сопоставляется с предельным для дан ной конструкции значением этого воздействия.

4.8. Расчетные модели материала. Диаграммы "–" конструкционных материалов разнообразны, часто они состоят из многих участков, что делает применение таких диаграмм в прочностных расчетах неудобным. При вычис лениях же вовсе не требуется использовать всю диаграмму, ибо чаще всего инженерные расчеты ведутся на стадии линейно-упругого деформирования, реже – с учетом пластических деформаций, а нисходящая ветвь диаграммы "–" представляет собой разве что теоретический интерес.

При вычислениях удобно иметь аналитическую связь между напряже ниями и деформациями. Установить таковую можно лишь после того, как каждая ветвь диаграммы будет заменена некой линией: прямой, ломаной, какой-либо элементарной кривой. Зависимость Глава = () называют физическим законом материала. Физическое моделирование со стоит в том, чтобы указать вид функции = () для рассматриваемого участка диаграммы "–". В его ходе как раз и надо подобрать соответству ющую аппроксимирующую линию, сделав это так, чтобы, с одной стороны, не выйти за пределы допустимой погрешности при дальнейших вычислениях и, с другой стороны, аналитическое представление предлагаемой линии бы ло как можно более простым. Вот некоторые из наиболее распространенных физических моделей материала (рис. 4.11).

a) Линейно-упругое тело. Так называют среду, деформирование кото рой определяется законом Гука (4.2). Здесь отбрасывается вся нелинейная часть диаграммы "–", либо слабоискривленная ветвь диаграммы заменя ется отрезком прямой (см. рис. 4.2c). Физически линейный материал – одна из самых важных и широко используемых моделей материала.

b) Упругопластическое тело. Пусть нагрузка такова, что материал может, помимо упругих, испытывать и пластические деформации, не выходящие, однако, за пределы площадки текучести. В рассматриваемом случае модель материала такова (см. рис. 4.11a): при т среда считается линейно де формируемой, участок нелинейной упругости игнорируется, а горизонталь ная площадка текучести принимается уходящей вправо на бесконечность.

Другими словами, = E, если т, иначе = т.

c) Идеально пластическое тело. Эта модель применяется при решении ряда технологических задач (прокатка, штамповка и т. п.). Если изучается поведение материала, целиком находящегося в стадии пластического тече ния, то можно пренебречь как весьма малыми любыми упругими деформа циями. Соответствующая модель среды представлена на рис. 4.11b. Следует отметить, что связь между напряжениями и деформациями для идеально пластического тела (его также называют жесткопластическим телом) не яв ляется взаимно однозначной.

76 Часть I d) Нелинейная упругость. Тело с упрочнением. Если материал деформи руется упруго, но не по линейному закону (рис. 4.11c), то соответствующий участок диаграммы аппроксимируют какой-либо элементарной функцией.

Например, показательной функцией = k /E, где k – число, зависящее от свойств материала (для цементного камня k = 1, 09, для гранита – k = 1, 13). Но даже такая простая зависимость между напряжениями и деформациями приводит к значительным вычислительным усложнениям по сравнению со случаем k = 1 (линейная упругость). Вот почему широкое распространение нашла модель двухмодульного материала (рис. 4.11d), которая получается при аппроксимации нелинейной экспери ментальной зависимости () двухступенчатой ломаной:

= E1, если A, = E2, если A.

Аналогичный вид имеет и диаграмма "–" материала с упрочнением, т. е. пластического материала без ярко выраженной площадки текучести.

Разница же между нелинейно-упругим телом и упрочняющейся средой за ключается в том, что в первом случае траектории нагрузки и разгрузки совпадают, а во втором – такое совпадение имеет место лишь до тех пор (рис. 4.11e), пока деформирование ограничивается участком 0A диаграммы.

4.9. Ползучесть. При длительных испытаниях, в которых нагрузку на образце держат месяцами, годами, а то и десятилетиями, обнаруживают ся новые любопытные явления в поведении материалов, объединяемые тер мином ползучесть. Одно из них, называемое последействием, заключается в том, что при фиксированной на грузке в образце наблюдается рост деформаций. Эти деформации мо гут с течением времени затухать, стремясь к некоторому пределу (кривая 1 на рис. 4.12a), а могут привести и к разрушению образца (линия 2 на рис. 4.12a). Последей ствие присуще бетону, многим ме таллам и полимерам.



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.