авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 ||

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ...»

-- [ Страница 3 ] --

Проявляется ползучесть и в виде релаксации напряжений, т. е. умень шении их значений с течением времени при фиксированной деформации (см. рис. 4.12b). Такое явление наблюдается, например, в арматуре предва рительно напряженного железобетона.

Глава Напряженно-деформированное состояние среды, подверженной ползуче сти, зависит не только от координат точки тела, нагрузки и времени, но и от того, каким было это состояние на предыдущих этапах деформирования.

Говорят, что материал помнит историю своего нагружения. Сказанное озна чает, что связь между напряжениями, деформациями и временем должна описываться интегральными или дифференциальными соотношениями. Эту связь называют реологической моделью тела: от греческого o – теку и oo – учение, знание. В общем случае реологические модели среды до вольно сложны. Но если связь между напряжениями, деформациями (или их скоростями) линейна, то дело упрощается. Ниже как раз и исследуются сравнительно простые реологические модели, описывающие последействие и релаксацию в так называемом вязкоупругом теле.

4.10. Две модели вязкоупругой среды. Известно, что силы трения между частицами жидкости можно свести к касательным напряжениям, ко торые зависят не от величины относительного перемещения u этих частиц, а от скорости движения: = du/dt, где – коэффициент пропорционально сти, устанавливаемый экспериментально и называемый вязкостью жидкости.

По аналогии с этим для упруговязкого материала принимается dr r = K (4.4).

dt В этой формуле r – напряжение, пропорциональное скорости деформации, т. е. вязкое напряжение, r – связанная с таким напряжением деформация, K – константа материала, получаемая в опыте и имеющая размерность на пряжения, умноженного на время.

Кроме напряжений (4.4), в теле возникают и чисто упругие напряжения e, зависящие непосредственно от деформации e, а не от ее скорости. Если материал следует закону Гука, то e = Ee. (4.5) При построении реологической модели среды исходят из предположе ния, что таковая представляет собой смесь упругих и вязких элементов (рис. 4.13a, b). Именно по этой причине среду и назвали вязкоупругой.

Предлагая различные способы соединения между собой элементов, изоб раженных на рис. 4.13 (упругая пружина и вязкий поршень), можно полу чать различные модели вязкоупругой среды. Два из таких способов и будут сейчас рассмотрены.

Тело, в котором упругий и вязкий элементы соединены параллельно (рис. 4.14a), называется моделью Фойгта. При таком соединении все упругие и вязкие элементы деформируются одинаково, т. е. в формулах (4.4) и (4.5) фигурирует одна и та же деформация e = r =. Полное же напряжение 78 Часть I равно сумме напряжений e и r, т. е.

d = E + K dt или d E + =. (4.6) dt K K Этим неоднородным уравнением 1-го порядка и описывается тело Фойгта.

Если напряжения во времени не меняются, то интеграл уравнения (4.6) имеет вид:

= Ceat + /E;

a = E/K.

Пусть 0 – деформация в начальный момент времени t = 0. Тогда = (1 eat )/E + 0 eat.

C = 0 /E и График этой функции в точности совпадает с кривой 1 на рис. 4.12a при 0 = /E. Значит, модель Фойгта описывает последействие. Поскольку в рассматриваемом случае = const, то эту модель называют еще моделью нерелаксирующего тела.

Последовательное соединение между собой вязкого и упругого элемен тов (см. рис. 4.14b) приводит к модели Максвелла. Теперь в указанных элементах одинаковыми будут напряжения и разными деформации. Полная деформация складывается из упругой и вязкой, а потому d de dr = +, dt dt dt что с учетом зависимостей (4.4), (4.5) и e = r = дает 1 d d = + (4.7).

dt K E dt Глава Линейное дифференциальное уравнение (4.7) описывает среду Максвелла.

Если деформация постоянна, то d/dt = 0 и уравнение (4.7) становится однородным. Его общее решение при начальном условии (0) = 0 имеет вид = 0 eat.

График этой функции совпадает с кривой (t), изображенной на рис. 4.12b при = 0. Другими словами, модель Максвелла описывает релаксирующее тело, в котором напряжения асимптотически стремятся к нулю. Чтобы по лучить среду с ненулевой асимптотой, нужно рассматривать более сложные способы соединения упругих и вязких элементов. Два из них проиллюстри рованы на на рис. 4.15.

ГЛАВА 5. ДЕФОРМАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ТЕЛА 5.1. Вводные замечания. Теперь ничто не мешает вернуться к задаче, поставленной в п. 1.9, и продолжить исследование напряженно-деформи рованного состояния в точке тела. Некоторая отсрочка в ее решении се бя оправдала, так как благодаря ей были достигнуты сразу две цели. Во первых, удалось получить полезную информацию о свойствах реальных ма териалов, узнать о многих явлениях и особенностях, сопровождающих про цесс деформирования самых разных тел и, в первую очередь, тел, имеющих форму брусьев. Во-вторых, в какой-то мере был снят налет абстрактности, который всегда присутствует при чисто теоретических рассмотрениях, со провождаемых громоздкими или не слишком элементарными выкладками.

В настоящей главе изучаются только те явления, которые имеют отно шение к неразрывности процесса деформирования и не зависят от матери ала тела. Поэтому никакие данные о материале использоваться не будут.

Достаточно считать среду сплошной, а перемещения точек тела и отно сительные деформации выделенных элементов – малыми. Последнее тре бование позволяет оставаться в рамках линейной теории и, стало быть, опираться на принцип наложения.

Пусть в декартовой системе координат 0xyz вектор перемещения точки тела имеет составляющие u, v, w, обычно также называемые перемещени ями. Пусть далее, до приложения нагрузки, ребра элементарного паралле лепипеда, выделенного около рассматриваемой точки тела, имели размеры dx, dy, dz, а после деформирования их размеры стали равными dx, dy, dz.

Отношения dx dx dy dy dz dz x =, y =, z = (5.1) dx dy dz называют деформациями растяжения–сжатия, или, с учетом того, что сжа тие есть растяжение с обратным знаком, – относительными удлинениями.

Изменения же первоначально прямых углов между гранями параллелепи педа называются деформациями сдвига, или просто сдвигами. В зависимо сти от того, в какой плоскости рассматриваются эти деформации, для их записи используются обозначения xy, yz и zx.

Относительные удлинения характеризуют изменение объема тела, тогда как сдвиги – изменение его формы. Неразрывность процесса деформирова ния можно описать, установив связь между перемещениями u, v, w точки Глава тела и деформациями, в ее окрестности либо только между деформаци ями и различных граней параллелепипеда, выделенного около данной точки. Связи первого типа называют условиями совместности перемеще ний и деформаций, а зависимости между величинами и – условиями совместности деформаций.

5.2. Условия совместности перемещений и деформаций в точке тела. Пусть тело загружается так, что грани выделенного около некото рой его точки параллелепипеда не перекашиваются. На рис. 5.1 изображе на проекция такого параллелепипеда на плоскость xy. Контур, показан ный сплошной линией, отвечает исходному состоянию тела, а штриховой – деформированному состоянию. Поскольку координаты y, z точек A и B одинаковы, то u u dx;

dx = (dx + u + du) u = dx + du = dx, x x а тогда (см. формулы (5.1) и (2.5)) u v w x =, y =, z =. (5.2) x y z Таким образом, dx = (1 + x )dx, dy = (1 + y )dy, dz = (1 + z )dz. (5.3) Теперь можно вычислить и относительное изменение объема рассмат риваемого параллелепипеда:

dV dV 0 =. (5.4) dV В этой формуле (см. равенства (5.3)) dV = dx dy dz = (1 + x )(1 + y )(1 + z )dxdydz = = (1 + x + y + z + x y + y z + z x + x y z )dV.

82 Часть I В п. 4.4 приводились следующие механические характеристики мягкой стали: E = 2,1 · 106 кГ/см2, п = 1900 кГ/см2, т. е. предельная деформа ция = п /E на линейном участке диаграммы "–" имеет порядок 103.

Поэтому, если ограничиться рассмотрением случая, когда пластическое де формирование еще не наступило, подчеркнутые члены в последней фор муле, как имеющие высший порядок малости, можно отбросить. Правда, для того, чтобы сделать это, вовсе не обязательно апеллировать к числам, помещенным в начале абзаца. Достаточно было бы просто сослаться на сделанное в п. 5.1 допущение о малости деформаций. Но как раз подсчеты такого рода и служат основанием для формулировки любых предположе ний о характере деформирования материалов. Таким образом, dV = (1 + x + y + z )dV и равенство (5.4) дает 0 = x + y + z. (5.5) Величину 0 называют объемной деформацией в точке тела.

Пусть теперь деформирование параллелепипеда не сопровождается из менением длин его ребер. Такое деформирование, отнесенное к координат ной плоскости xy, иллюстрирует рис. 5.1b. По определению, xy = +.

Деформации малы, так что tg = dv/dx, tg = du/dy, а поскольку v u dv = dx, du = dy, x y то dv du v u xy = + = + dx dy x y или, после применения правила круговой подстановки индексов, u v v w w u xy = +, yz = +, zx = +. (5.6) y x z y x z Из геометрических соображений ясно, что xy = yx, yz = zy, zx = xz.

Эти зависимости можно назвать законом парности сдвигов.

Объединение формул (5.2) и (5.6) приводит к шести соотношениям, ко торые как раз и являются условиями совместности деформаций и переме Глава щений. Они известны также как геометрические уравнения Коши. Итак, u v w x =, y =, z =, x y z (5.7) u v v w w u xy = +, yz = +, zx = +.

y x z y x z Теперь к трем условиям (2.6) равновесия в точке тела, содержащим шесть неизвестных компонент тензора напряжений, добавляются еще шесть дифференциальных уравнений с девятью искомыми функциями – переме щениями и деформациями. Ясно, что 15 неизвестных из 9 уравнений не найти, но тот физически ясный факт, что при помощи только статических и кинематических рассмотрений задачу о напряженно-деформированном состоянии в точке тела решить невозможно, неоднократно подчеркивался и раньше. Однако прежде, чем перейти к уравнениям, связанным с выбором модели материала, необходимо прояснить кое-какие чисто кинематические аспекты деформирования.

Пусть u, v, w – произвольно назначенные перемещения точки тела. Яс но, что при помощи формул (5.7) этим перемещениям можно поставить в однозначное соответствие все шесть деформаций. Однако обратная зада ча – по шести произвольно названным функциям деформаций найти три функции перемещений – не разрешима в принципе: система шести урав нений с тремя неизвестными является переопределенной. Следовательно, деформации не могут быть какими угодно: они должны соответствовать друг другу так, чтобы непрерывность деформирования была обеспечена.

Сказанное можно продемон стрировать на примере статиче ски неопределимой одноузловой фермы, показанной на рис. 5.2a.

Если произвольно сместить узел A в положение A, т. е. по свое му усмотрению назначить числа u и v – проекции вектора AA на горизонтальную и вертикальную оси соответственно (см. рис. 5.2b), то удли нения i стержней 1–3 величинами u и v будут определены однозначно. И в самом деле, проецирование вектора AA (точнее, его составляющих u и v) на направления осей стержней 1–3 дает:

1 = u sin + v cos, 2 = v, 3 = u sin + v cos.

Однако самовольное назначение удлинений i элементов фермы может тут же привести к нарушению сплошности тела. Так (рис. 5.2c), если потребо 84 Часть I вать, чтобы крайние стержни вообще не деформировались, а средний стер жень удлинился на величину, то свести в одно место A все три торца примыкающих к узлу A стержней не удастся.

Итак, деформации тела не могут быть какими угодно. Они не должны противоречить тому очевидному факту, что до тех пор, пока материал не разрушился, частицы тела не могут отрываться друг от друга. Условия, которые необходимо для этого наложить на функции x,..., zx, были по лучены известным французским инженером и ученым Б. Сен-Венаном еще в первой половине 1 века. Их вывод приводится в следующем пункте.

5.3. Условия совместности деформаций в точке тела. Преобразо вания, позволяющие перейти от уравнений (5.7) к соотношениям, связыва ющим между собой только деформации, состоит из ряда чисто формальных операций. Так, если первые два из равенств (5.7) дважды продифференци ровать по y и x соответственно, а затем сложить и учесть первую из формул (5.6), то в итоге получится соотношение 2 x 2 y 2 xy + =. (5.8) y 2 x2 xy Это и еще два подобных ему уравнения связывают относительные удли нения со сдвигами в соответствующей координатной плоскости (соотношен ние (5.8) описывает такую связь в плоскости xy). При другом порядке пре образований равенств (5.7) можно прийти к зависимостям между деформа циями разных граней параллелепипеда. Пусть функции (5.6) дифференци руются по z, x и y соответственно, а затем из суммы производных xy /z и zx /y вычитается производная yz /x:

2u 2v 2w 2u 2v 2w xy zx yz + = + + +.

z y x zy zx yx yz xz xy Последовательность дифференцирования при вычислении смешанных про изводных от непрерывных функций безразлична, а потому правую часть здесь можно привести к виду 2u 2.

yz Остается исключить перемещение u, что достигается взятием еще одной производной – на этот раз по аргументу x – и использованием первого из равенств (5.2):

2 x xy zx yz + =2.

x z y x yz Глава Искомые уравнения совместности деформаций – их называют также усло виями сплошности Сен-Венана – получаются из этой формулы и равенства (5.8) после применения правила (2.5):

2 x 2 y 2 xy 2 x xy zx yz + =, + =2, 2 y x xy x z y x yz 2 y 2 z 2 yz 2 y yz xy zx (5.9) + =, + =2, z 2 y 2 yz y x z y zx 2 2 2 zx yz xy z x zx z + =, + =2.

x2 z 2 zx z y x z xy При анализе напряженно-деформированного состояния тел используются как уравнения (5.7), так и уравнения (5.9).

Условия совместности деформаций для одноузловой фермы, изображен ной на рис. 5.2, записываются в конечной, а не в дифференциальной форме.

Ясно, что удлинения i элементов конструкции должны быть такими, что бы после того, как процесс деформирования завершится, центры торцевых сечений всех трех стержней оказались в точке A. Оформить математиче скую запись этого требования в рассматриваемой задаче можно из чисто геометрических соображений. Пусть, например, требуется так подобрать удлинения стержней, чтобы узел A переместился строго по вертикали на величину. Из рис. 5.3 видно, что в этом случае должно быть: 1 = 3 = cos, 2 =. Условия совместности деформаций стержней фермы получаются после исключе ния из этих равенств величины :

1 = 3, 1 + 3 = 22 cos.

Более детально о составлении условий совместности перемещений и де формаций (т. е. условий типа (5.7)), а также условий совместности дефор маций (условий типа (5.9)) для одноузловых ферм рассказывается в п. II.1. настоящего пособия.

5.4. Деформации в окрестности точки тела. Около точки 0 тела можно выделить бесчисленное множество различным образом ориентиро ванных линейных элементов 0A. Для того, чтобы установить, какой из них получает набольшее относительное удлинение, надо выразить эту ве личину через деформации x,...,xz граней параллелепипеда, для которого отрезок 0A является диагональю. Решение задачи проще начать с плоского случая.

86 Часть I На рис. 5.4a изображен линейный элемент 0A длиною ds, ориентация которого в плоскости 0xy определяется двумя направляющими косинуса ми: l = cos и m = sin. После нагружения тела прямоугольный элемент 0aAb деформируется и займет новое положение 0a A b (рис. 5.4b;

поскольку смещение рассматриваемого элемента как единого целого на деформации отрезка 0A не отражается, то точка 0 на рис. 5.4b оставлена на месте).

Учитывается также, что перемещения малы, а потому cos( + d) = cos cos d sin sin d cos · 1 d · sin cos = l, sin( + d) = sin cos d + cos sin d sin · 1 + d · cos sin = m.

Подчеркнутые слагаемые отброшены, так как они яв ляются величинами высшего порядка малости. Ска занное означает, что элементы 0A и 0A можно считать ориентированными одинаково. В этом случае AA u l + vA m =A =, (5.10) 0A ds где uA, vA – перемещения точки A. Так как u(0) = = v(0) = 0, то (см. формулу (2.2)) u u uA = u(0) + du = dx + dy, x y v v vA = v(0) + dv = dx + dy.

x y Но dx = ds · l, dy = ds · m, поэтому u u v v uA = l+ m ds, vA = l+ m ds x y x y и, согласно формулам (5.10) и (5.7), u 2 v u v = l+ + lm + m x x y y или = x l2 + y m2 + xy lm.

Этот результат естественным образом обобщается на случай трех пере менных:

= x l2 + y m2 + z n2 + xy lm + yz mn + xz nl. (5.11) Глава Формула (5.11) напоминает зависимость (2.9), связывающую нормаль ные напряжения по наклонной площадке с напряжениями по трем взаимно перпендикулярным площадкам, окружающим исследуемую точку. Прав да, в формуле (2.9) компоненты тензора напряжений с разными индексами имеют множитель 2, у деформаций сдвигов отсутствующий, что объясняет ся различием в строении тензоров напряжений и деформаций. Последний, так же, как и первый, характеризуется двумя векторами: вектором норма ли к площадке, деформации которой рассматриваются, и вектором самих деформаций. Одним из признаков любого тензора является наличие у него инвариантов. Они же и характеризуют этот объект. Инвариантами тензора деформаций x 0, 5yx 0, 5zx Tд = 0, 5xy y 0, 5zy 0, 5xz 0, 5yz z являются следующие величины (ср. с формулами (2.14)):

2 2 J1 = x +y +z, J2 = x y y z z x +(xy +yz +xz )/4, J3 = det(Tд ).

Дальнейшее исследование деформаций может быть проведено по той же самой схеме, что использовалась при анализе напряженного состояния.

Так, если поставить задачу об экстремумах функции (l, m, n) и решить ее, то обнаружится, что максимум относительного удлинения будет связан с одной из трех главных площадок по деформациям, на которых отсут ствует сдвиг. Сами же главные деформации удовлетворяют кубическому уравнению 3 J1 2 J2 J3 = 0, корни которого располагаются в последовательности 1 2 3. Нет смыс ла здесь приводить расчетные формулы. Последние могут быть записаны по формулам п. 2.3–2.4 с заменой компонент тензора напряжений на соот ветствующие компоненты тензора деформаций. Интереснее было бы выяс нить, как соотносятся между собою главные площадки по напряжениям и деформациям, т. е. параллельны между собой или нет главные направле ния тензоров Tн и Tд. Однако ответ на этот вопрос будет дан только в конце следующей главы.

ГЛАВА 6. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ДЛЯ ТЕЛА ГУКА 6.1. О линейной упругости. Из всего многообразия физических и реоло гических моделей сред для дальнейшего исследования выбирается наиболее простая, а именно та, в которой связь между напряжениями и деформациями линейна. И делается это не только по причине упомянутой простоты модели.

К деформированию силовых конструкций предъявляются довольно жесткие требования. Обычно не допускаются не только необратимые деформации, но даже и сколь-либо заметные деформации вообще. А для большинства конструкционных материалов связь между малыми деформациями и соот ветствующими им напряжениями (кстати, далеко не малыми из-за больших значений модулей упругости) практически является линейной. Но зачастую даже в тех случаях, когда материал работает с отступлением от закона Гу ка, решение задачи о напряженно-деформированном состоянии тела удается проводить в виде серии последовательно выполняемых линейных расчетов.

Сказанное, разумеется, не означает, что необходимость в исследовании фи зически нелинейных задач механики сплошной среды отпадает вообще. Но к такому исследованию целесообразно приступать уже после того, как будут рассмотрены более простые проблемы.

6.2. Закон Гука при сдвиге для изотропного материала. В главе вскользь говорилось о том, что осевое растяжение (сжатие) сопровождается уменьшением (увеличением) поперечных размеров тела. Указанный эффект исследовал французский математик и механик Пуассон, который предложил простую линейную зависимость между осевой и поперечной п деформа циями тела. Для изотропной среды эта связь такова:

п =.

Число называют коэффициентом Пуассона. Это – константа материала, ко торую находят опытным путем. При растяжении стержня вдоль оси абсцисс x = 0, y = z = и согласно формуле (5.5) 0 = (1 2).

Объем растягиваемого стержня уменьшиться не может, а потому 0, 5. И действительно, эксперименты показывают, что для большинства материалов 0, 1 0, 35, хотя встречаются и такие материалы (например, резина), Глава 6 которые при осевой деформации не меняют своего объема, т. е. имеют ко эффициент Пуассона, равный 0,5.

Если связь между величинами и линейна:

= E, (6.1) то можно ожидать, что касательные напряжения и сдвиг также про порциональны друг другу. Так оно и есть на самом деле. Как известно, в растягиваемом стержне с осевыми напряжениями на площадках, накло ненных к оси бруса под углом в 45o, действуют максимальные касательные напряжения, причем (см. формулы (3.2), (6.1)) = /2 = E/2. (6.2) Чтобы связать осевую деформацию со сдвигом, можно рассмотреть кар тину деформирования элемента ABDC, выделенного из бруса так, как это показано на рис. 6.1a. На рис. 6.1b изображена четверть данного элемента, при этом его контур до приложения внешнего воздействия показан сплош ной линией, а после загружения – штриховой. Деформация равнобедренного прямоугольного треугольника 0AC представлена в виде суперпозиции двух деформаций – осевой и поперечной. По определению, = 2( + ).

Так как tg = AA /AC = /2, /2, то = (1+), что при подстановке в равенство (6.2) дает E =.

2(1 + ) Коэффициент пропорциональности в этой формуле обозначается через G:

E G=. (6.3) 2(1 + ) 90 Часть I Эту величину, имеющую размерность напряжений, называют модулем сдвига, а равенство = G, (6.4) устанавливающее связь между касательными напряжениями и углом сдвига – законом Гука при сдвиге.

Модуль G есть константа материала. Она может быть найдена и из опы та, хотя воспроизвести в эксперименте сдвиг в чистом виде весьма непросто.

Более подробно об испытаниях такого рода рассказывается в части VII на стоящего курса. Здесь же достаточно обратить внимание на то, что дефор мация сдвига обычно исследуется в экспериментах на кручение образцов, имеющих форму тонкостенных труб. Дело в том, что касательные напряже ния кручения распределяются по поперечному сечению массивного стержня неравномерно. Но в стержне трубчатого сечения неравномерностью распре деления касательных напряжений по толщине скорлупы можно пренебречь, если только эта толщина достаточно мала. Постоянство же напряжений и есть признак чистого сдвига. Ясно, однако, что подобным образом нельзя ис следовать довольно широкий круг материалов: природные и искусственные камни, древесину и некоторые другие материалы. Но так как константы E, и G связаны между собой зависимостью (6.4), то модуль G можно установить и косвенным путем.

6.3. Обобщенный закон Гука. Остается распространить зависимости (6.1) и (6.4) на случай общего напряженно-деформированного состояния те ла. С законом Гука при сдвиге все обстоит просто. Поскольку одинаковый перекос двух любых параллельных граней элементарного параллелепипеда никак не влияет на деформации четырех оставшихся граней, то дело сво дится к записи трех не зависимых друг от друга соотношений:

xy = Gxy, yz = Gyz, zx = Gzx. (6.5) Пусть теперь параллелепипед нагружается по граням только нормальны ми напряжениями x, y, z. Эффект Пуассона приводит к тому, что каждая из деформаций x, y, z будет зависеть от всех трех указанных напряже ний. И в самом деле, напряжение x приводит не только к деформации x /E вдоль оси 0x, но и к деформации x /E по направлениям осей 0y и 0z.

Такой же эффект вызывают и нагрузки y, z. При суммировании всех трех деформаций вдоль оси 0x получается равенство:

x = (x y z )/E.

Аналогично могут быть представлены и удлинения y, z. Объединение трех таких равенств с формулами (6.5) дает:

Глава 6 1 [x (y + z )], xy = xy, x = E G 1 (6.6) y = [y (z + x )], yz = yz, E G 1 1 x = [z (x + y )], zx = zx. E G Это и есть обобщенный закон Гука для сплошной изотропной среды.

Формулы (6.6) позволяют найти деформации в любой точке тела по из вестным напряжениям в ней. Полезно иметь и такую форму записи обоб щенного закона Гука, в которой напряжения представлены в виде функций деформаций. В нее помимо равенств (6.5) войдут соотношения x = D1 /D, y = D2 /D, z = D3 /D, где D,..., D3 – определители, которые требуются при решении системы пер вых из трех уравнений (6.6) по правилу Крамера. Вычисления выполняются с учетом формул (5.5) и (6.3):

1 2 3 3 2 (1 + )2 (1 2) D= 3 = = = E3 E E (1 + )(1 2) =, 2GE x x + 2 y + 2 z + y + z 2 x y D1 = = = E2 E z (1 + )[(1 2)x + 0 ] =, E D1 2G x = = [(1 2)x + 0 ] = 2G x +, 1 2 D 1 где 0 = x + y + z – объемная деформация (5.5). Далее надо применить правило круговой подстановки индексов и свести все равенства воедино:

xy = Gxy, x = 2G x +, 1 2 y = 2G y +, yz = Gyz, (6.7) 1 2 0 = Gzx.

z = 2G z +, zx 1 92 Часть I Здесь можно еще раз подчеркнуть различие между тензорами напряжений и деформаций. Если и в последних трех равенствах (6.7) коэффициент про порциональности взять равным 2G, то вместо деформаций xy, yz, zx при шлось бы написать половины этих величин.

6.4. Потенциальная энергия деформации. В абсолютно упругом теле работа внутренних сил численно равна потенциальной энергии деформации, накапливаемой при деформировании этого тела. В частности, для линейно упругого тела (см. первую из формул (4.3a)) W = Ay = /2, где W – энергия, отнесенная к единице объема тела, т. е. удельная потенци альная энергия. Поскольку работу любого числа сил, приложенных к телу, можно складывать, в общем случае напряженного состояния W = 0, 5(x x + y y + z z + xy xy + yz yz + zx zx ). (6.8) Формулы (6.6) позволяют выразить энергию W изотропного тела только через напряжения. Несложные выкладки, выполненные с учетом равенства (6.3), дают 2 2 2 2 2 x +y +z 2(x y +y z +z x )+2(1 + )(xy +yz +zx ) W=. (6.8a) 2E Если же исключить в формуле (6.8) напряжения, что достигается при под становке в нее закона Гука (6.7), то удельная потенциальная энергия пред станет как квадратичная функция деформаций:

G 2 2 + 2 + 2 + 2 2 W= + xy + yz + zx. (6.8b) x y z 2 1 Из формул (6.8a, b) видно, что потенциальная энергия тела – существенно положительная величина, которая обращается в нуль лишь при отсутствии всех напряжений и деформаций.

В свое время отмечалось, что работа деформации, а стало быть, и по тенциальная энергия деформации связана с проблемой прочности тела, с такими свойствами материала, как хрупкость и пластичность. Отмечалось и то, что хрупкие и пластичные материалы ведут себя в предельном состоянии по-разному. Разрушение хрупких тел связано с растягивающими напряже ниями, приводящими к трещинам разрыва, т. е. с изменением объема тела, тогда как при переходе в предельное состояние пластических материалов наблюдается скольжение одних частиц тела по другим, рост деформаций сдвига, что приводит к изменению формы тела. Поэтому оправданы попыт ки установить количественную меру предельного состояния материала при Глава 6 помощи долей W0 и Wф полной энергии W, расходуемых на изменение объ ема и формы тела.

На рис. 6.2a изображен элементарный параллелепипед, содержащий рассматриваемую точку тела, а на рис. 6.2b, c указано разбиение действую щих по его граням напряжений на две части. При любом значении напря жения параллелепипед, приведенный на рис. 6.2b, свою форму сохранит, а потому энергия x + y + z W= = (6.9) 2 целиком уйдет на изменение его объема. Останется подобрать значение так, чтобы вторая часть нагрузки (см. рис. 6.2a) меняла только форму эле мента. Пусть деформации x, y, z отвечают напряжениям x, y, z, т. е.

связаны с ними законом Гука x = [x (y + z )]/E и т. д.

Поскольку 0 = x + y + z = 0, т. е.

[x + y + z 2(x + y + z )]/E = 0, то x + y + z = 0.

Подстановка сюда формул для напряжений (см. рис. 6.2c) дает = (x + y + z )/3.

Это есть не что иное, как введенное в п. 2.7 нормальное октаэдрическое напряжение (2.17). Таким образом, W0 = 0, 5окт 0. (6.9a) Связать между собой величины 0 и окт можно, просуммировав первые три уравнения закона Гука (6.7):

30 2G(1 + ) E 3окт = 2G 0 + = 0 =.

1 2 1 2 1 94 Часть I Тогда удельная потенциальная энергия изменения объема тела может быть представлена как функция только напряжений или только деформаций:

3 1 2 2 1E 2.

W0 = окт, W0 = (6.9b) 6 1 2 2E Энергию изменения формы проще всего найти как разность величин W и W0. Например (см. равенства (6.8a) и (6.9b)1 ), 12 2 Wф = W W0 = ( + yz + zx )+ 2G xy 1 1 2 2 (x + y + z ) + x + y + z 2(x y + y z + z x ) 2E или (после перехода к главным осям) 1 2 2 2 2 2 Wф = [3(1 + 2 + 3 ) 6(1 2 + 2 3 + 3 1 ) 1 2 3 + 6E 2 2 +2(1 + 2 + 3 ) 2(1 2 + 2 3 + 3 1 ) + 4(1 2 + 2 3 + 3 1 )] = 1+ 2 2 2 2 2 = [(1 21 2 + 2 ) + (2 22 3 + 3 ) + (3 23 1 + 1 )] = 6E [(1 2 )2 + (2 3 )2 + (3 1 )2 ].

= 12G Теперь нужно лишь опереться на формулу (2.18) для октаэдрических каса тельных напряжений и записать удельную потенциальную энергию измене ния формы тела в окончательном виде:

1 3 окт [(1 2 )2 + (2 3 )2 + (3 1 )2 ] = Wф =. (6.10) 12G 4G Так напряжения на октаэдрических площадках оказались связанными с до лями потенциальной энергии тела, накапливаемыми при качественно разных процессах деформирования.

6.5. Обобщенный закон Гука для анизотропного тела. Свойства ани зотропного линейно-упругого материал, в отличие от изотропного, различны в различных направлениях. Поэтому анизотропный материал характеризует ся уже не двумя независимыми константами, а гораздо б льшим их числом.

о Чтобы установить это число, надо записать в общем виде линейную связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций:

Глава 6 x = a11 x + a12 y + a13 z + a14 xy + a15 yz + a16 zx, y = a21 x + a22 y + a23 z + a24 xy + a25 yz + a26 zx, (6.11) ··· ··· ··· zx = a61 x + a62 y + a63 z + a64 xy + a65 yz + a66 zx.

В формулах (6.11) через aij обозначены коэффициенты линейного физи ческого закона анизотропного тела. Всего таких коэффициентов 36, но ввиду симметрии тензоров напряжений и деформаций матрица системы уравнений (6.11) также будет симметричной, т. е. aji = aij, и число различных ко эффициентов уменьшится до 21. Это и есть число констант материала с произвольной анизотропией. Но для сред, структура которых как-то упоря дочена, количество констант материала может быть значительно меньшим.

В этом нетрудно убедиться, пользуясь формулой (6.8) для удельной потенци альной энергии тела. После подстановки в указанную формулу деформаций (6.11) и приведения подобных членов, выпол ненного с учетом симметрии коэффици ентов aij и закона парности касатель ных напряжений, получится следующий результат:

W = 0, 5a11 x +a12 x y +a13 x z +a14 x xy +a15 x yz +a16 x zx + +0, 5a22 y +a23 y z +a24 y xy +a25 y yz +a26 y zx + +0, 5a33 z +a34 z xy +a35 z yz +a36 z zx + +0, 5a44 xy +a45 xy yz +a46 xy zx + +0, 5a55 yz +a56 yz zx + + 0, 5a66 zx. (6.12) Пусть тело имеет одну плоскость симметрии упругих свойств и систе ма координат выбрана так, что оси 0y и 0z находятся в этой плоскости.

Пусть также плоскость 0yz является плоскостью симметрии и для распре деления напряжений в теле. В этом случае при замене абсциссы x точки тела на значение x величина энергии (6.12) останется прежней. Но при 96 Часть I такой замене аргументов сменятся знаки у касательных напряжений xy и zx (см. рис. 6.3). Значит, энергия W сможет сохранить свое значение лишь при условии, что и из 21 независимого коэффициента ненулевыми останутся только 13.

Если в теле существуют две плоскости симметрии, то в нуль обратятся еще и коэффициенты a15, a25, a35, a46. Такой же результат получается и для так называемого ортотропного тела, т. е. анизотропной среды с тремя плоскостями симметрии упругих свойств. Ортотропная среда характеризу ется девятью постоянными, и если координатные плоскости совмещены с плоскостями симметрии упругих свойств, то физический закон материала будет иметь наиболее компактную запись:

x = a11 x + a12 y + a13 z, xy = a44 xy, y = a21 x + a22 y + a23 z, yz = a55 yz, (6.11a) z = a13 x + a23 y + a33 z, zx = a55 zx.

При иной системе координат матрица закона Гука для ортотропного тела может быть и полной, однако все элементы этой матрицы однозначно выра жаются через девять независимых констант.

И последнее. В конце предыдущей главы был поставлен вопрос о том, как соотносятся друг с другом главные площадки по напряжениям и дефор мациям. Чтобы ответить на него, надо по формулам, приведенным в п. 2.3, найти направляющие косинусы l1, m1, n1 ортов нормалей к главным пло щадкам по напряжениям как функции компонент тензора напряжений:

l1 (Tн ), m1 (Tн ), n1 (Tн ), а также направляющие косинусы (см. п. 5.4) l1 (Tд ), m1 (Tд ), n1 (Tд ) ортов нормалей к главным площадкам по деформациям как функции компо нент тензора деформаций. Если в результате окажется, что li = li, mi = mi, ni = ni, i = 1, 2, 3, то площадки по главным напряжениям совпадут с площадками по главным деформациям. О таком совпадении и говорят как о соосности тензоров Tн и Tд. Выкладки здесь довольно громоздки, а потому они и не приводятся.

Итог же таков: главные площадки по напряжениям и деформациям совпада ют только для изотропных материалов.

ГЛАВА 7. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 7.1. Полная система уравнений для изотропной среды. Итак, пусть заданы изотропное тело, способы его закрепления и внешнее воздействие.

Требуется в любой точке тела найти:

– шесть функций напряжений x, y, z, xy, yz, zx ;

– шесть функций деформаций x, y, z, xy, yz, zx ;

– три функции перемещений u, v, w.

Эти 15 искомых функций связаны между собой системой 15 уравнений.

К ним относятся:

– три уравнения равновесия (2.6);

– шесть кинематических уравнений, взятых в форме (5.7) или (5.9);

– шесть физических уравнений, записанных в форме (6.6) либо (6.7).

Таким образом, задача о напряженно-деформированном состоянии в точ ке тела является замкнутой: число искомых функций совпадает с числом связывающих их соотношений, называемых полной системой уравнений ли нейной теории упругости. Прилагательное "линейная", обычно опускаемое при отсутствии опасности возникновения путаницы, указывает на ту часть механики деформируемого твердого тела, которая имеет дело с материалом, подчиняющимся закону Гука.

Девять уравнений полной системы являются дифференциальными, и их интегралы должны удовлетворять граничным условиям задачи. Обычно на тех участках поверхности тела, к которым приложена нагрузка, не известны перемещения и там ограничения накладываются на напряжения (например, так, как о том говорилось в п. 2.2, 3.8). Наоборот, в местах размещения связей известны перемещения – в частности, равные нулю, – но не значе ния реакций связей. Граничные условия, формулируемые для напряжений или усилий, называют статическими, а ограничения, накладываемые на пе ремещения точек тела, – кинематическими граничными условиями. Однако чаще всего краевые условия задачи являются смешанными, т. е. состоят и из статических, и из кинематических ограничений на искомое решение.

Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений при на кладываемых на различных участках поверхности тела ограничениях на ис комые функции называется краевой. Следовательно, к краевым относится и обсуждаемая здесь задача теории упругости. При произвольных форме тела, нагрузке и граничных условиях краевая задача может быть решена только 98 Часть I численно. Однако как бы ни строилось ее решение, прежде, чем приступить к вычислениям, целесообразно преобразовать полную систему уравнений к более простому виду. Такое преобразование можно выполнить различными способами. В любом случае оно начинается с выбора функций, подлежащих определению в первую очередь, – так называемых основных неизвестных задачи. Затем из полной системы уравнений при помощи подходящих ис ключений удаляются все остальные искомые функции. В итоге числа основ ных неизвестных и необходимых для их определения соотношений должны совпадать. Соотношения, связывающие основные искомые функции и доста точные для их определения, называют разрешающими уравнениями теории упругости. В зависимости от того, какой физический смысл имеют основ ные неизвестные, говорят о решении задачи в напряжениях, перемещениях и смешанным методом.

7.2. Решение краевой задачи теории упругости в напряжениях. В качестве основных неизвестных выбираются шесть функций напряжений.

Разрешающие уравнения получают, подставляя в условия сплошности (5.9) деформации по закону Гука (6.6). После такой подстановки получатся шесть уравнений с шестью неизвестными напряжениями. Чтобы придать им более компактную форму, делаются еще некоторые преобразования с привлечени ем уравнений равновесия Навье. Ниже приводится только итог таких пре образований, записанный с использованием обозначения 2 2 = + 2+ 2 (7.1) x2 y z для дифференциального оператора Лапласа, который предписывает дважды продифференцировать по x, y и z указанную за его символом функцию, а затем сложить вычисленные производные:

2 I1 2 I1 = 0, (1 + )x + = 0, (1 + )xy + x2 xy 2 I1 2I (7.2) (1 + )y + = 0, (1 + )yz + = 0, y 2 yz 2 I1 2I 1 = 0.

(1 + )z + = 0, (1 + )zx + z 2 zx Обозначение I1 = 1+2+3 для первого инварианта тензора напряжений бы ло введено еще в главе 2. Зависимости (7.2) называют уравнениями Бельтра ми – Мичелла. Они были выведены в 1892 г. Бельтрами в предположении, что объемные силы не зависят от координат точек тела (например, собствен ный вес однородного материала). Именно по этой причине величины X, Y, Глава 7 Z и не попали в уравнения (7.2). Через 7 лет Мичелл распространил реше ние Бельтрами на случай произвольных объемных сил. Формулы Мичелла здесь не приводятся.

Систему (7.2) нужно интегрировать вместе с уравнениями равновесия (2.6), удовлетворяя статическим граничным условиям. При записи послед них используются формулы Коши (2.8). Если статические граничные усло вия сформулировать не удастся, то от решения задачи в напряжениях при дется отказаться. В ином случае задача может быть решена, а после того, как станут известными все напряжения, можно будет найти сначала дефор мации (6.6), а затем обратиться к дифференциальным уравнениям (5.6) для отыскания перемещений u, v, w. При этом снова придется иметь дело с краевой задачей, но эта задача намного проще исходной.

7.3. Решение задачи теории упругости в перемещениях. Если основ ными неизвестными назначить перемещения u, v, w, то для их отыскания по требуется система всего из трех уравнений. Получить такую систему можно, если ввести деформации (5.7) в закон Гука (6.7) и подставить образовавши еся зависимости напряжений от перемещений в уравнения равновесия (2.6).

Результатом указанных подстановок (упрощающие преобразования опуска ются) и являются разрешающие уравнения задачи в перемещениях:

1 0 1 + u + X = 0, 1 2 x G 1 0 + v + Y = 0, (7.3) 1 2 y G 1 0 1 + z + Z = 0, 1 2 z G которые называют также уравнениями Ламе. В них u v w 0 = x + y + z = + + x y z – объемная деформация, равная первому инварианту тензора деформаций, а – оператор Лапласа (7.1).

Уравнения (7.3) интегрируются с учетом кинематических краевых усло вий. Если на поверхности тела задана нагрузка, то ее надо выразить через перемещения на этой поверхности, подставив в равенства Коши (2.8) на пряжения по формулам (6.7), а затем исключить деформации при помощи зависимостей (5.7). После определения значений u, v, w простым диффе ренцированием находят деформации, а затем, с помощью закона Гука, – и напряжения.

100 Часть I Если краевые условия трудно преобразовать только к статическим или только к кинематическим граничным условиям, то можно попытаться по строить решение задачи смешанным методом. Это означает, что в качестве основных неизвестных берутся частично напряжения и частично перемеще ния. Варианты здесь могут быть самыми разными и заниматься их анализом имеет смысл лишь тогда, когда в этом возникает практическая необходи мость.

7.4. Единственность решения задачи теории упругости. В тех случа ях, когда физическая проблема принимает математическую форму, необходи мо не только уметь строить решение соответствующей математической зада чи и тем самым убеждаться в его существовании, но и анализировать полу ченный результат еще с одной стороны. А именно: нужно выяснить, сколь ко решений имеют уравнения, описывающие исследуемое явление, и каков физический смысл каждого из них. Довольно часто такой анализ более сло жен, чем получение самого решения. Однако к линейной теории упругости сказанное отношения не имеет: задача о напряженно-деформированном со стоянии тела, материал которого следует закону Гука, имеет единственное решение, что легко доказать, рассуждая от противного.

Пусть при одних и тех же нагрузке, граничных условиях, материале и размерах тела разрешающие уравнения краевой задачи, взятые, например, в форме (7.2) и (2.6), имеют два различных решения (a) x, y,..., zx ;

(b) x, y,..., zx.

Так как система уравнений (7.2) и (2.6) линейна, то справедлив принцип суперпозиции, согласно которому и разность решений (a) и (b) – снова ре шение задачи, притом то, которое отвечает разности воздействий на тело.

Говоря иначе, напряжения x = x x, y = y y,..., zx = zx zx (7.4) тоже должны удовлетворять и уравнениям (7.2), (2.6), и граничным усло виям, но уже при отсутствии внешнего воздействия. Но если нет нагрузки, то и ее работа, и та потенциальная энергия деформации, в которую работа внешних сил переходит, окажутся равными нулю. Энергия W – существен но положительная функция (см. п. 6.4), в нуль она обращается только при нулевых значениях всех своих аргументов (7.4). Следовательно, x = x, y = y,..., zx = zx, а это и означает единственность решения задачи теории упругости для на пряжений. Отсюда по линейному физическому закону (6.6) следует и един ственность решения для деформаций x, y,..., zx.

Глава 7 Остается найти перемещения из дифференци альных уравнений (5.7). При их интегрировании по явятся дополнительные функции, которые можно установить по граничным условиям задачи. Но если тело закреплено недостаточно, то упомянутые вы ше дополнительные функции – или все, или неко торые из них – останутся неопределенными. Это означает, что решение задачи о напряженно-дефор мированном состоянии линейно-упругого тела мо жет быть получено лишь с точностью до жесткого смещения. Рис. 7.1 иллюстрирует сказанное. И на пряжения, и деформации в обоих изображенных на этом рисунке стержнях одинаковы, а вот положения брусьев в пространстве могут как угодно отличаться друг от друга.

ГЛАВА 8. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ 8.1. О предельном состоянии в точке тела. В конце первой главы было сказано, что для оценки прочности тела необходимо, во-первых, знать на пряжения и деформации в любой его точке, во-вторых, обладать эксперимен тальными данными о прочностных свойствах материала и, в-третьих, иметь представление о механизме разрушения каждого конкретного материала в условиях любого напряженного состояния. Чтобы понять суть проблемы, надо вспомнить о том, как решался вопрос о прочности стержня при осевой деформации. Последнюю легко реализовать в эксперименте, а потому доста точно было обнаружить, что по характеру разрушения материалы делятся на пластические и хрупкие и что предельное состояние первых характери зуется пределом текучести, а вторых – временным сопротивлением. А так как в поперечных сечениях стержня при осевой нагрузке возникают только нормальные напряжения x, то оценка прочности сводится к сопоставлению значения x с величиною т либо в (с привлечением коэффициента запаса, разумеется).

Но прочность материала тела далеко не всегда определяется наибольши ми по модулю нормальными напряжениями. На рис. 8.1a изображена уже знакомая по главе 4 картина разрушения сжатой бетонной призмы. Про дольные трещины свидетельствуют о том, что материал вышел из строя в результате возникновения поперечных растягивающих деформаций. Однако напряженное состояние в любой точке тела (трение между торцами образца и плитами пресса исключено) будет осе вым:


1 = 2 = 0, 3 = P/F (F – площадь сечения призмы). Если же образец подвергнуть дополнитель ному равномерному давлению по боко вым граням, такому, что q |P |/F, то возникнет трехмерное напряженное состояние (рис. 8.1b):

1 = 2 = q, 3 = P/F, Глава 8 и хотя |1 | 1, |2 | 2, 3 = 3, именно во втором случае материал находится в более благоприятном положении, ибо нагрузка q препятствует возникновению продольных трещин.

Так как же оценивать прочность тела при сложном напряженном состо янии? Ответить на этот вопрос, опираясь только на эксперименты, трудно.

Дело в том – и это наглядно продемонстрировал последний пример, – что быть или не быть разрушению, "решают" все три главных напряжения, а различных комбинаций величин 1, 2, 3 может быть сколь угодно много.

Далеко не всегда заранее ясно, какие именно комбинации инвариант тензора Tн наиболее опасны. (О том же, что главные напряжения, так же, как и ве личины I1, I2, I3, – суть инварианты тензора напряжений, говорилось еще в самом начале п. 2.5.) Бесконечное число испытаний не провести, кроме того, многие напряженные состояния практически невозможно реализовать в экс перименте. Стало быть, надо искать теоретическое решение проблемы, т. е.

предложить некую умозрительную модель разрушения материала, а затем убедиться в ее пригодности при помощи косвенных экспериментов (испыта ний элементов конструкций, запроектированных на основе предполагаемой модели разрушения материала).

Необратимые нарушения структуры материала могут произойти в точке тела при самых различных сочетаниях напряжений 1, 2, 3. Все состо яния, при которых может произойти разрушение, называют равноопасны ми. Среди равноопасных состояний содержится набор напряжений 1 0, 2 = 3 = 0, при котором материал разрушается от растяжения. Это на водит на мысль о возможности сопоставления произвольного напряженного состояния, характеризуемого некоторым набором главных напряжений 1, 2, 3, с состоянием чистого растяжения. Такое сопоставление выполняется при помощи функции экв = F (1, 2, 3 ), (8.1) называемой эквивалентным напряжением. Эта функция тем или иным спо собом конструируется по напряжениям 1, 2, 3, возникающим в рассмат риваемой точке тела при заданном внешнем воздействии. Процесс такого конструирования совсем не прост. Практически любой гипотезе о тех явле ниях, которые приводят к необратимым нарушениям структуры материала, найдется альтернатива. Кроме того, не надо забывать, что предельное состо яние у хрупких и пластических материалов разное, т. е. различны механиз мы их (материалов) выхода из строя. Потому-то и существует множество постулатов о том, что ведет к разрушению материала в точке тела. Такие постулаты (гипотезы) называют локальными теориями прочности. Многие из них прошли испытание временем, другие не получили эксперименталь ного подтверждения и были отброшены. О всех теориях прочности здесь не 104 Часть I рассказать, да в этом и нет необходимости. Получить достаточно ясное пред ставление о сути дела можно и по тем пяти гипотезам, которые излагаются в п. 8.2–8.6.

После того, как функция (8.1) построена, все делается просто. Достаточ но, отталкиваясь от понятия равноопасности двух состояний в точке тела, сравнить напряжения экв с некоторым эталонным предельным напряжением р в этой же точке:

экв = р. (8.2) В качестве р естественно принять предельное напряжение материала при осевом растяжении, поскольку для этой деформации имеются надежные экс периментальные данные. Оценка прочности растягиваемого элемента выпол няется по формуле р []+, так что (см. равенство (8.2)) в случае произвольного напряженного состоя ния условие прочности имеет вид экв []+. (8.3) Таким образом, дело за построением функции (8.1), т. е. за теориями проч ности. О них и пойдет теперь речь.

8.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности). Эту теорию прочности предложил еще в середине 17 века Га лилей. Наблюдая разрушение хрупких тел (сам Галилей материалы на хруп кие и пластичные не делил), он решил, что разрушение материала вызывают большие растягивающие напряжения. В современной редакции гипотеза Га лилея звучит так: хрупкое разрушение в данной точке тела наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение в этой точке является растягива ющим и достигает опасной для рассматриваемого материала величины.

Условие (8.2) имеет вид: экв = 1, причем 1 0. Поэтому, согласно гипотезе Галилея, любое тело из данного материала, в котором действуют такие же напряжения 1, что и в растянутом стержне, имеет одинаковую с ним прочность. Эксперименты этого не подтверждают. Есть и другие рас хождения с опытами. Например, по теории Галилея никогда не разрушится сжатый образец из хрупкого материала. Сказанного достаточно, чтобы объ яснить причину, по которой в настоящее время теорией Галилея не пользу ются. Она интересна лишь тем, что была первой.

8.3. Теория наибольших растягивающих деформаций (вторая тео рия прочности). Предложена во второй половине 17 века Мариоттом с Глава 8 целью оценить предельное состояние хрупких материалов. Согласно пред положению Мариотта, хрупкое разрушение в данной точке тела наступает тогда, когда наибольшее относительное удлинение в ее окрестности, являясь растягивающим, достигает опасной для рассматриваемого материала вели чины.

Хрупкие тела следуют закону Гука вплоть до разрушения, а поэтому до тех пор, пока тело воспринимает нагрузку, наибольшее удлинение 1 можно находить по формуле (6.6) 1 = [ (2 + 3 )].

E При одноосном растяжении 1 = р /E, так что экв = 1 (2 + 3 ).

Условие (8.3) принимает вид 1 (2 + 3 ) []+. (8.4) Здесь необходимо следить за соблюдением условия 1 (2 + 3 ) 0, означающим, что деформация 1 остается растягивающей.

Эта теория прочности выгодно отличается от первой хотя бы тем, что не противоречит известному факту о возможности разрушения хрупких тел при осевом сжатии. Действительно, при чистом сжатии 1 = 2 = 0, 3 = P/F, и если (см. формулу (8.4)) P []+, F то прочность материала будет исчерпана. Но можно считать, что при осевом сжатии прочность исчерпывается тогда, когда P/F [].

Из сопоставления двух этих неравенств следует [] = []+.

Данный результат качественно согласуется с известными опытными данны ми о более высокой прочности хрупких материалов при сжатии, нежели при растяжении. Но в то же время в экспериментальной зависимости k[] = []+ 106 Часть I величина k в 2–3 раза меньше коэффициента Пуассона, что говорит о не котором несовершенстве 2-й теории прочности в количественном отношении.

Тем не менее эта теория успешно используется в инженерных расчетах.

8.4. Теория максимальных касательных напряжений (третья теория прочности). Данная теория была выдвинута во второй половине прошлого века французским исследователем Треска для оценки предельного состоя ния пластического материала. Изучая необратимые деформации металлов, он сделал предположение о том, что разрушение в точке тела наступает тогда, когда максимальные касательные напряжения в данной точке дости гают предельной для рассматриваемого пластического материала величины.

Поскольку (см. п. 2.6) max = (1 3 )/2, а при осевом растяжении max = 1 /2, то экв = 1 3 и условие прочности (8.3) имеет вид 1 3 []. (8.5) Здесь уже учтено, что допускаемые напряжения на растяжение и сжатие у пластических материалов одинаковы.

Третья теория прочности удовлетворительно согласуется с эксперимен тами. Например, при 1 = 2 = 3 напряжение экв обратится в нуль, что свидетельствует о невозможности разрушения пластического материала при всестороннем растяжении или сжатии. Об этом говорят и соответствующие опыты.

8.5. Энергетическая теория (четвертая теория прочности). Эта тео рия предложена в 1904 г. польским механиком Губером. Как уже неодно кратно отмечалось, разрушение пластических тел сопровождается заметны ми необратимыми деформациями, приводящими к изменению формы этих тел. Изменение же формы тела сопровождается увеличением энергии Wф, тем б льшим, чем дальше зашел процесс деформирования. Губер предполо о жил, что пластическое разрушение в точке тела объясняется достижением удельной потенциальной энергией изменения формы предельного для дан ного материала значения. В соответствии с формулой (6.10) [( 2 )2 + (2 3 )2 + (3 1 )2 ].

Wф = 12G При осевой деформации 1 = р, 2 = 3 = 0 и Wф = 2р /12G. Значит, экв = 0, 5[(1 2 )2 + (2 3 )2 + (3 1 )2 ] Глава 8 и условие прочности (8.3) приобретает вид 0, 5[(1 2 )2 + (2 3 )2 + (3 1 )2 ] []. (8.6) Энергетическая теория прочности имеет то достоинство, что учитывает вли яние на предельное состояние всех трех главных напряжений. Она широко применяется в инженерных расчетах.


8.6. Теория прочности Мора. Отто Мор – крупнейший немецкий инже нер, исследователь и педагог, внесший существенный вклад в развитие ме ханики твердого деформируемого тела. К одному из многих его результатов относятся и так называемые круги Мора, дающие наглядное представление о напряженном состоянии в точке тела.

Пусть при исследовании плоского напряженного состояния используются главные оси 1 и 2. Пусть, далее, нормаль к некоторой площадке, связанной с рассматриваемой точкой тела, наклонена к оси 1 под углом, т. е. l = = cos, m = sin. Нормальные и касательные напряжения на этой площадке могут быть найдены по формулам (2.9) и (2.15), в которых, во первых, надо перейти к главным осям и, во-вторых, положить 3 = 0:

1 = 1 cos 2 + 2 sin 2, = sin 2. (8.7) Именно формулы (8.7) Мор и интерпретировал геометрически. Для этого на оси абсцисс плоскости (, ) надо отложить точки A(2, 0), B(1, 0) и провести окружность с центром C, находящимся в середине отрезка AB.

Затем радиус CB, равный величине (1 2 )/2, поворачивается против ча совой стрелки на угол 2, в результате чего точка B переходит в положение D. Координаты точки D равны напряжениям (8.7), в чем можно убедить ся при помощи рис. 8.2a. Построенную таким образом фигуру называют кругом Мора. Круг Мора симметричен относительно оси абсцисс, а потому зачастую изображается только его верхняя часть.

Объемное напряженное состояние характеризуют три круга Мора, один из которых называют большим (отмечен № 1 на рис. 8.2b), а два осталь 108 Часть I ных – малыми кругами. Любая точка K, принадлежащая затушеванной на рис. 8.2b области между большой и малыми окружностями Мора, отвечает некой площадке, наклоненной ко всем главным осям. Если точка K выходит на границу 1 этой области, то соответствующая площадка имеет нормаль, ортогональную ко 2-й главной оси. Если же нормаль к наклонной площадке ортогональна к первой (третьей) главной оси, то ей соответствует точка, рас положенная на третьей (второй) окружности Мора. Из рис. 8.2b видно, что наибольшие по модулю нормальные и касательные напряжения действуют по площадкам, отвечающим точкам большой окружности. Это наводит на мысль связать предельное состояние в точке тела с кругами, построенными для различных сочетаний напряжений 1 и 3.

Пусть изучается напряженное состояние в некоторой точке тела при се рии поочередно прикладываемых нагрузок. Каждой нагрузке отвечают свои пары чисел 1, 3, а значит, – и свой большой круг Мора. С ростом нагрузки он будет трансформироваться, но как только в рассматриваемой точке насту пит предельное состояние, соответствующий предельный круг Мора фикси руется и нагрузка снимается. Таким же образом можно построить столько различных предельных кругов Мора, сколько было различных воздействий.

При большом числе опытов общая касательная к предельным кругам – так называемая предельная огибающая – будет достаточно точно характеризо вать предельное состояние в рассматриваемой точке тела.

Сказанное иллюстрирует рис. 8.3, на котором представлена одна из возможных форм предель ной огибающей, характерной для хрупких мате риалов. Точка C на рис. 8.3 соответствует пре дельному состоянию при всестороннем растяже нии. Сжатию хрупкий материал сопротивляется лучше, чем растяжению, а потому предельная огибающая кругов Мора – убывающая функция абсциссы.

Надо полагать, что после всего сказанного концепция Мора становит ся ясной. Опасным считается напряженное состояние, при котором отобра жающая его точка (, ) оказывается на предельной огибающей. Однако дело осложняется тем, что предельные круги можно получить только экспе риментально, а доступных для обстоятельных экспериментов напряженных состояний не так уж и много. Это прежде всего испытания на растяжение и сжатие, некоторые другие опыты. Важно и то, что все круги Мора, отвеча ющие воспроизводимым в опытах напряженным состояниям, расположены рядом с осью ординат. Другими словами, предельную огибающую приходит ся строить по сравнительно небольшому числу предельных кругов, да еще находящихся в непосредственной близости друг к другу.

Глава 8 Эти и подобные трудности Мор видел, а потому предложил принять в качестве ис комой огибающей прямую, которая касается предельных кругов при осевых растяжении и сжатии. Такая прямая показана на рис. 8.4.

Задача состоит в том, чтобы связать напря жения 1 и 3 с предельными растягивающи ми р и сжимающими с напряжениями для материала тела. На рисунке изображены пре дельные круги Мора при сжатии и растяжении (круги 1 и 2 соответственно), а также круг 3, отвечающий исследуемому состоянию. Все три круга каса ются общей прямой, а потому (линии B1 B2 и 02 A1 параллельны) 03 A3 02 03 R3 R2 R2 = или =.

0 1 A1 01 02 R1 R2 R 1 + R Отсюда следует, что 003 (R1 R2 ) + R3 (R1 + R2 ) = 2R1 R2.

Но R1 = с /2, R2 = р /2, R3 = (1 3 )/2, 003 = (1 + 3 )/2, следовательно (элементарные преобразования опущены), 1 с 3 р = с р или р = 1 (р /с ) · 3.

Отношение р /с можно положить равным величине []+ /[] и обозначить через k:

k = р /с = []+ /[].

Тогда р = 1 k3 и, согласно формуле (8.2), экв = 1 k3.

Этой записи отвечает следующее условие прочности:

1 k3 []+. (8.8) Для пластического материала k = 1 и условия прочности по теориям Мо ра и наибольших касательных напряжений совпадают (см. формулы (8.8) и (8.5)). Если же оценивается прочность хрупких материалов, то можно привести как примеры того, что теория Мора более соответствует истине, чем, скажем, теория наибольших относительных удлинений, так и примеры иного рода. В частности, при осевом сжатии теория Мора приводит к соот ношению []+ = k[], что в 2–3 раза точнее полученного в п. 8.3 равенства 110 Часть I []+ = []. Но для напряженного состояния, изображен ного на рис. 8.5, теория Мора дает (1 = 2 = ;

3 = 0) экв =, тогда как по второй теории прочности экв = (1 ).

Здесь ближе к истине второй результат, ибо равномерное двухосное растяжение образца менее опасно, чем растя жение вдоль одной оси.

Впрочем, тот факт, что из-за неучета влияния величины 2 на напряжен ное состояние в точке тела теория Мора может привести к погрешностям, известен давно.

8.7. Деформация чистого сдвига. Выше были рассмотрены пять раз личных теорий прочности. Две из них предназначены для оценок прочности тел, выполненных из хрупкого материала, две – из пластического материа ла, а теория Мора в указанном отношении универсальна. Но прежде, чем применять какую-либо из теорий прочности, необходимо во всех опасных точках тела найти компоненты тензора напряжений, а затем – и главные напряжения. Иначе говоря, снова приходится вспоминать о краевой задаче механики твердого деформируемого тела. Необходимые уравнения для ее решения уже имеются – во всяком случае, для среды Гука, – так что де ло за вычислениями. Однако вычислительный аспект краевой задачи столь многогранен и сложен, что обсуждать его здесь нет никакой возможности.

По этой причине не так-то просто привести выразительные примеры исполь зования теорий прочности. И все же один такой пример имеется. Речь идет о деформации чистого сдвига.

Пусть известны площадь F боковой гра ни бруса, испытывающего деформацию чисто го сдвига (см. рис. 3.6d), и действующая по этой грани сила P. Касательные напряжения связаны с величинами F и P равенством = P/F, (8.9) вытекающим из условия равномерности распределения касательной нагруз ки по поверхности тела. Эта же формула используется и при расчете на срез болтов или заклепок. Пусть, например, силы P растягивают стальные ли сты, скрепленные заклепками (рис. 8.6). Тогда в тех поперечных сечениях цилиндрических частей заклепок, которые находятся в плоскости соприкос Глава 8 новения листов, возникнут касательные напряжения = 4P/nd2, (8.9a) где n – число заклепок в соединении.

Формулы (8.9) и (8.9a) применяются для вычисления касательных напря жений, равномерно распределенных по сечению. В более сложных случаях, например, при кручении массивных стержней, касательные напряжения вы числяются сложнее. Но здесь важно не то, как могут быть найдены каса тельные напряжения, а сам факт, что и при чистом сдвиге, и при чистом кручении в поперечных сечениях элементов нет никаких напряжений, кроме касательных. В таких случаях при оценке прочности удобнее пользоваться условием вида max [ ], (8.10) нежели переходить от площадок, находящихся в плоскости поперечного се чения, к главным площадкам, а затем уже применять ту или иную теорию прочности. Однако для того, чтобы воспользоваться формулой (8.10), надо знать допускаемые касательные напряжения. Как уже говорилось в п. 6.2, реализовать чистый сдвиг в эксперименте можно не для всех материалов, а потому не для всех из них удается установить величину [ ] из опыта. Вот тут-то и могут помочь теории прочности.

На рис. 8.7 показан круг Мора для деформации чистого сдвига: площад ке, на которой действуют только касательные напряжения, отвечает точка A окружности Мора. Следовательно, 1 =, 3 = (2 = 0), (8.11) и если воспользоваться теорией прочности Мора (см. формулу (8.8)), полу чится, что (1 + k) []+.

При переходе в этой формуле к равенству надо положить = [ ], а тогда [ ] = []+ /(1 + k).

Для пластических материалов k = 1 и потому [ ] = 0, 5[]. (8.12) Такой же результат дает и третья теория прочности. Согласно же энергети ческой теории (см. формулы (8.6) и (8.11)), [ ] = 3[]/3 0, 6[]. (8.13) 112 Часть I Разница между допускаемыми напряжениями (8.12) и (8.13) составляет при мерно 20%. Это не так уж и мало, поэтому любопытно выяснить, какой из двух результатов ближе к истине. Оказывается, второй. Для обоснования такого ответа здесь достаточно сослаться на эксперименты, но не лишне вспомнить и о том, что в условии (8.6) представлены все три главных на пряжения, тогда как и третья теория прочности, и теория Мора обходится без напряжения 2.

Таким образом, теории прочности помогли решить вопрос о допускае мых касательных напряжениях, т. е. справиться с проблемой, относящейся, вообще говоря, к области экспериментов. Что же касается примеров ис пользования теорий прочности при расчете силовых конструкций, то такие примеры приводятся в специальных разделах курса, посвященных изучению частных видов деформирования тел.

И последнее. Напряжения (8.11) приводят к следующим значениям для главных деформаций (см. вывод формулы (8.4)):

1 1 = ( + ), 2 = 0, 3 = ( + ).

E E Но тогда 0 = 1 + 2 + 3 = 0.

Следовательно, при чистом сдвиге объем тела не меняется.

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ К предисловию Пособие дает начальное представление о тех разделах механики дефор мируемого твердого тела, которые в нем рассматриваются, но для более глубокого изучения предмета необходимо обращаться и к другим литера турным источникам. Прежде всего, всегда полезно сопоставить различные точки зрения на одну и ту же область знаний. Во-вторых, зачастую иначе построенная фраза или иначе выполненный рисунок, встретившиеся в новом учебнике, статье, монографии, делают ясным то, что раньше не поддавалось пониманию.

В конце книги приводится список литературы из 47 наименований. Во шедшие в него публикации имеют самое прямое отношение к изложенным в пособии разделам механики. Но полностью курс представлен лишь в мо нографиях Ю. Н. Работнова [22] и А. П.Филина [40–42]. С первой из них имеет смысл познакомиться хотя бы для того, чтобы всего в одном то ме – правда, насчитывающем 744 страницы, – увидеть собрание практиче ски всех разделов классической механики деформируемого твердого тела.

В указанный список не попали многие, в том числе и очень хорошие, учеб ники и учебные пособия. Но в каждой из представленных в списке книг имеются многочисленные ссылки на самые разнообразные литературные ис точники, что в значительной степени компенсирует этот пробел.

К главе Здесь говорится о целях и задачах курса, вводятся основные понятия и определения, классифицируются нагрузки. Любой учебник по сопротивле нию материалов начинается с освещения именно этих вопросов. Компактно и четко изложены они в книгах В. А. Гастева [6, с. 11–24], В. И. Феодосьева [39, с. 9–24], Ю. Н. Работнова [22, с. 11–35]. В монографии А. П. Филина [40, с. 11–26, 39–76] вводной части отводится гораздо больше места, при чем информативность текста повышается благодаря значительному числу хорошо подобранных и выполненных иллюстраций. Кроме того, здесь сле дует обратить внимание на примеры построения эпюр усилий в простейших стержневых конструкциях (с. 59–81), которые в известной мере дополняют примеры настоящего пособия. Об эпюрах усилий говорится и во всех учеб никах по сопротивлению материалов (см., например, книги В. А. Гастева [6, с. 155–161] и И. Г. Терегулова [34, с. 35–49]).

114 Часть I К главе Глава посвящена напряженному состоянию в точке тела. Этот вопрос обычно изучается в курсах теории упругости и пластичности или в общих курсах механики деформируемых сред. Рассмотрен он, в частности, и в учебнике О. И. Теребушко [33, с. 13–31], и в книге [40, с. 381–429]. Грань между теорией упругости и сопротивлением материалов провести сложно, а потому нет ничего удивительного в том, что о распределении напряжений в окрестности точки тела идет речь и в книгах [6, с. 90–109;

45, с. 111–119].

К главе В главе классифицируются модели конструкций, говорится о типах про стейших деформаций стержней, изучаются напряжения в брусе, испыты вающем осевое растяжение или сжатие. Важное место отводится гипотезе плоских сечений и принципу Сен-Венана. Гораздо более подробно этот ма териал освещается А. П. Филиным [40, с. 26–39, 91–106]. Многочисленные рисунки дополняют текст и облегчают его восприятие. Особое внимание следует обратить на то, как в книге А. П. Филина [40, с. 647–653] ком ментируется принцип Сен-Венана. О концентрации напряжений при осевой деформации бруса, хрупком и пластическом разрушении материала, выбо ре коэффициента запаса ясно, и в то же время довольно кратко, сказано в курсе В. А. Гастева [6, с. 66–75].

К главе Об экспериментах в механике деформируемого твердого тела можно рас сказывать много. И хотя глава 4 самая большая в данном разделе пособия, многие вопросы из указанной области не были даже затронуты (гистерезис ные явления, испытания при низких и высоких температурах, динамические испытания и др.). Вот почему эта глава, как никакие другие, требует обра щения к дополнительной литературе. В первую очередь здесь можно назвать учебник [36, с. 326–370, 391–441, 444–469], автор которого С. П. Тимошен ко – один из крупнейших специалистов по механике материалов, прекрасно знающий и ее экспериментальную часть. Подробно, с привлечением большо го числа фотографий, графиков, таблиц говорится об испытаниях материа лов, их свойствах, механизмах разрушения в книге [40, с. 107–125, 221–262, 266–295, 298–318, 327–380]. Здесь же [40, с. 511–519] можно найти и опи сание простейших реологических моделей сред. Тем же, кто заинтересуется методологией проведения экспериментов, используемыми в опытах прибора ми, датчиками и испытательными машинами, можно порекомендовать курс В. И. Феодосьева [39, с. 505–532]. Есть в этом курсе и сравнительно ко роткий рассказ о механизме разрушения металлов, связанном с движением дислокаций [39, с. 48–76].

Комментарии к литературным источникам Ссылки на литературные источники, в которых описываются компью терные технологии проведения экспериментов и обработки их результатов, здесь отсутствуют не по недосмотру. Предметом механики твердого дефор мируемого тела является, в первую очередь, изучение явления, поведения материалов при различных воздействиях на конструкцию, а не перевод это го явления сначала с физического языка на двоичный, а затем с двоичного на физический.

К главе В этой главе исследуются относительные удлинения и сдвиги в окрестно сти точки тела. При помощи учебников [33, с. 31–38;

45, с. 120–126], моно графии [40, с. 453–479] и других книг из списка можно убедиться в том, что подходы к изложению линейной теории деформаций у разных авторов прин ципиально не отличаются друг от друга, но степень детализации предмета исследования различна. Наиболее обстоятельно данный вопрос рассмотрен в книге [40].

К главе Глава посвящена связи между напряжениями и деформациями в линей но-упругой среде. Расширить свое представление об этой связи можно с помощью книги А. П. Филина [40, с. 493–510]. В курсах [33, с. 38–43 и 34, с. 143–152], написанных О. И. Теребушко и И. Г. Терегуловым, материал изложен более сжато.

К главе Дополнительные сведения о методах решения задач теории упругости можно почерпнуть как из учебника О. И. Теребушко [33, с. 51–64], так и из монографий Л. А. Розина [25] и А. П. Филина [40, с. 609–626].

К главе Теории прочности занимают особое место в механике деформируемого твердого тела. Большое число книг и статей специально посвящено этой проблеме. В их число входят и такие известные издания, как монография И. И. Гольденблата и В. А. Копнова [7] и книга Л. М. Качанова [11], в ко торых проанализированы практически все теории прочности, используемые в инженерном деле. Весьма обстоятельно обсуждаются теории предельно го состояния материалов и в монографии А. П. Филина [40, с. 502–604].

Несколько слов об учебной литературе. Довольно компактно теории проч ности изложены в учебниках В. А. Гастева [6, с. 117–135], В. И. Феодосьева [39, с. 259–274], С. П. Тимошенко [36, с. 370–391], И. Г. Терегулова [34, с. 161–172].



Pages:     | 1 | 2 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.