авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

Федеральное агентство железнодорожного транспорта РФ

Иркутский государственный университет путей сообщения

В.П. ЗАКАРЮКИН, А.В. КРЮКОВ

СЛОЖНОНЕСИММЕТРИЧНЫЕ

РЕЖИМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

Издательство Иркутского государственного университета

2005

УДК 621.311

ББК 31.27-01

З 18

Представлено к изданию Иркутским государственным университетом путей

сообщения

Рецензенты:

доктор технических наук А.Н. Дойников, профессор Братского техниче ского университета;

доктор технических наук В.Д. Бардушко, профессор Иркутского государ ственного университета путей сообщения З 18 Закарюкин В.П., Крюков А.В. Сложнонесимметричные режимы электрических систем. – Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та. – 2005. – 273 с.

Основные результаты, изложенные в монографии, сводятся к созданию новых методов расчета и анализа сложнонесимметричных режимов электрических систем в фазных координатах с полнофункциональным моделированием линий электропереда чи, однофазных и трехфазных трансформаторов и асинхронной нагрузки. В рамках вы полненных исследований разработаны методы моделирования элементов электриче ских систем, методики и алгоритмы расчета параметров моделей. Разработана методика и алгоритм объединения моделей отдельных элементов в единую расчетную схему и основные принципы ее визуализации.

Предложенные методы и алгоритмы открывают новые возможности в расчетах установившихся режимов электрических систем при различных видах продольной и поперечной несимметрии, а также при расчетах режимов систем тягового электроснаб жения 1х25 кВ, 2х25 кВ и повышенного напряжения при корректном учете внешней сети, с автоматическим получением уравнительных токов и напряжений влияния на смежные линии.

На базе разработанных методов моделирования создан программный комплекс расчетов режимов электрических систем в фазных координатах Flow3 с графическим интерфейсом и базами данных по моделям элементов и по расчетным схемам. Про граммный комплекс сертифицирован Госстандартом России.

На основе созданных методик и программного комплекса исследован ряд неиз вестных и малоизученных эффектов влияния тяговой сети электрифицированной же лезной дороги на смежные линии. С помощью полученных алгоритмов разработана ме тодика имитационного моделирования систем тягового электроснабжения, позволяю щая корректно решать целый ряд актуальных практических задач, возникающих при проектировании и эксплуатации систем тягового электроснабжения.

ББК 31.27- ISBN 5-7430-0568-0 © В.П. Закарюкин, А.В.Крюков, ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................... 1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕСИММЕТРИЧНЫХ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПРОБЛЕМЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СОВМЕСТИМОСТИ..................................... 1.1. Уравнения установившегося режима................................................... 1.2. Метод симметричных составляющих.................................................. 1.3. Фазные координаты в расчетах режимов электрических систем..... 1.4. Взаимосвязь проблем режимных расчетов и электромагнитной совместимости............................................................................................... Выводы........................................................................................................... 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ФАЗНЫХ КООРДИНАТАХ РЕШЕТЧАТЫМИ СХЕМАМИ....................................................................................................... 2.1. Общие принципы получения решетчатых схем замещения статических многопроводных систем......................................................... 2.2. Моделирование многопроводной воздушной линии......................... 2.3. Моделирование кабельной линии........................................................ 2.

4. Моделирование трансформаторов....................................................... 2.5. Моделирование асинхронного двигателя............................................ Выводы........................................................................................................... 3. УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА В ФАЗНЫХ КООРДИНАТАХ............................................................................................. 3.1. Постановка задачи и основные предположения................................. 3.2. Уравнения узловых напряжений для фазных координат.................. 3.3. Применение метода Гаусса................................................................... 3.4. Решение УУР в фазных координатах методом Ньютона................ 3.5. Высоконадежные методы решения УУР в фазных координатах.... Выводы......................................................................................................... 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ C ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕРАКТИВНОГО ГРАФИЧЕСКОГО ИНТЕРФЕЙСА.............................................................................................. 4.1. Основные задачи визуального моделирования с графическим интерфейсом................................................................................................ 4.2. Алгоритм формирования элемента.................................................... 4.3. Алгоритм соединения элементов на расчетной схеме..................... 4.4. Расчет потерь мощности и величин токов......................................... 4.5. Учет распределенности многопроводной линии.............................. 4.6. Программный комплекс Fazocor расчетов отклонений напряжения в распределительных сетях в фазных координатах........... 4.7. Программный комплекс Flow3 расчетов режимов электрических систем в фазных координатах.................................................................... Выводы......................................................................................................... 5. РАСЧЕТЫ СЛОЖНОНЕСИММЕТРИЧНЫХ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ................................................................... 5.1. Расчеты неполнофазных режимов...................................................... 5.2. Расчеты несимметричных коротких замыканий............................... 5.3. Расчеты режима и токов коротких замыканий................................. 5.4. Режимы систем электроснабжения электрифицированных железных дорог переменного тока............................................................ 5.5. Расчеты предельных режимов............................................................ 5.6. Построение эквивалентных моделей энергосистем для расчетов несимметричных режимов......................................................................... 5.7. Экспериментальная проверка математических моделей................. электрических систем, построенных на основе фазных координат...... 5.8. Моделирование новых систем тягового электроснабжения........... Выводы......................................................................................................... 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СОВМЕСТИМОСТЬ СМЕЖНЫХ ЛИНИЙ............................................................................................................ 6.1. Виды опасных влияний на смежные линии...................................... 6.2. Режимы работы ВЛ 6-10 кВ с изолированной нейтралью в условиях влияния контактной сети........................................................ 6.3. Режимы работы ВЛ два провода – рельс в условиях влияния........ 6.4. Расчеты режимов технологических ЛЭП железнодорожного транспорта.................................................................................................... Выводы......................................................................................................... 7. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ ТЯГОВОГО ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ.................................................... 7.1. Вводные замечания.............................................................................. 7.2. Постановка задачи................................................................................ 7.3. Моделирование СТЭ 1х25 и 2х25 кВ................................................. 7.4. Имитационное моделирование системы тягового электроснабжения 94 кВ с симметрирующими трансформаторами. Выводы......................................................................................................... ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...................................................... ВВЕДЕНИЕ Расчеты установившихся режимов являются основными при реше нии задач, связанных с проектированием и эксплуатацией электрических систем (ЭС). Результаты этих расчетов используются при планировании режимов и оперативном управлении, а также служат базой для оптимиза ции, оценки устойчивости и надежности ЭС.

Методы и средства расчетов режимов электрических систем разраба тываются во ВНИИЖТе, ВНИИЭ, ВЭИ, ИСЭМ СО РАН, ИрГТУ, ИрГУП Се, МГУПСе, МЭИ, НИИПТе, РГУПСе, СибНИИЭ, СПбГТУ и в других учебных и научных организациях [1..3, 6, 11..13, 15, 16, 18, 21..26, 29..41, 48..50, 53..55, 62..72, 75..78, 84..86, 93..96, 100..104, 109, 123..125, 127, 144, 145, 147..161]. Традиционные методы расчета режимов электрических сис тем базируются на однолинейном представлении трехфазных цепей. Такой подход не пригоден в случае сложной несимметрии, что проявляется, в ча стности, при расчетах режимов электрических систем, питающих тяговые подстанции электрифицированных железных дорог переменного тока. Од нолинейное представление в этом случае может приводить к значительным погрешностям. При необходимости совместного расчета однофазных и трехфазных электрических сетей используются некоторые искусственные приемы. Так поступают, в частности, при расчетах режимов систем тягово го электроснабжения (СТЭ) железных дорог переменного тока. При элек трификации железной дороги по системе 1х25 кВ используются тяговые трансформаторы Y/ с двухфазной нагрузкой, и без корректных моделей таких трансформаторов расчет режимов сильно затруднен, а в случае при менения нестандартных трансформаторов, например, симметрирующих [98], расчет возможен только с большими упрощающими предположения ми. Значительные трудности возникают и при расчетах режимов систем тягового электроснабжения 2х25 кВ [122], в которых применяются одно фазные трансформаторы с питанием межподстанционных зон напряжени ем 55 кВ.

Потребности расчетов несимметричных режимов не ограничиваются трехфазно-однофазными сетями, к которым относятся СТЭ. В трехфазных электрических сетях общего назначения с симметрично выполненными элементами возникает множество задач, связанных с учетом несимметрии.

К таким задачам относятся, например, расчеты режимов сети при обрывах проводов линий электропередачи (ЛЭП) и несимметричных коротких за мыканиях. Как правило, задачи этого типа решаются достаточно сложно и требуют нетривиального подхода в каждой конкретной ситуации. К рас смотренному классу задач относятся и расчеты режимов электрических систем, имеющих многопроводные ЛЭП с расщепленными проводами и грозозащитными тросами. Сюда же примыкают и задачи расчетов наводи мых напряжений на смежные линии со стороны высоковольтных ЛЭП.

Собственно, расчеты режимов трехфазных ЛЭП напрямую связаны с уче том взаимовлияния друг на друга проводов разных фаз, и при такой поста новке вопроса явно требуется рассмотрение режимов в фазных координа тах.

Расчетное определение потерь мощности и энергии в электрических сетях при несимметричном режиме также требует пофазного рассмотрения элементов. Простое наложение потерь от симметричных составляющих неприемлемо по причине квадратичной зависимости потерь от тока. Кроме того, в трехфазных трансформаторах из-за несимметрии магнитной систе мы симметричное трехфазное входное напряжение создает несимметрич ную систему токов.

Для расчетов сложнонесимметричных режимов трехфазных систем чаще всего применяют метод симметричных составляющих и различные его модификации, а также метод фазных координат. Метод симметричных составляющих [21, 94, 111, 129, 144, 145] сводится к составлению трех од нолинейных схем замещения для составляющих прямой, обратной и нуле вой последовательностей с последующим расчетом режимов трех схем и наложением трех решений. Этот метод требует нетривиального подхода при решении каждой конкретной задачи и в связи с этим плохо поддается формализации для его применения в программных продуктах. Кроме того, метод эффективно работает только в случае простой несимметрии, а при нескольких несимметриях сложности растут практически по экспоненте.

Метод фазных координат развивается давно [16, 30, 31, 32, 41, 49, 75, 93, 94, 125, 131, 132, 147, 148, 150, 152, 155] и является естественным представлением трехфазной системы. Сложности его применения связаны с учетом взаимоиндуктивных влияний разных фаз друг на друга в транс форматорах и линиях. Известный метод развязки магнитосвязанных цепей [22] при практической реализации в программных средствах сталкивается с рядом затруднений, ограничивающих его применение в алгоритмах рас чета режимов. В качестве полумеры довольно часто используется замена трехфазного трансформатора набором однофазных трансформаторов, а для линий электропередачи используются П-образные схемы замещения от дельных фаз, косвенно учитывающие расщепление проводов и грозоза щитные тросы. Эти модели удовлетворительно работают при сравнительно несложных системах и небольших несимметриях.

По изложенным причинам проблема полнофункционального моде лирования ЛЭП и трансформаторов в фазных координатах с учетом взаи моиндуктивных и емкостных связей, с любым соединением проводов ЛЭП и обмоток трансформаторов, с учетом конфигурации магнитной системы трансформаторов является весьма актуальной. На основе таких моделей возможно решение целого ряда важных практических задач, возникающих при проектировании и эксплуатации электрических систем и систем элек троснабжения железных дорог. Современное состояние компьютерных технологий, кроме того, требует одновременной разработки методик и ал горитмов моделирования ЭС с использованием интерактивного графиче ского интерфейса. Решению этих задач и посвящена данная работа. Полу ченные результаты исследований нашли практическое применение в раз работке программного комплекса расчетов режимов электрических систем в фазных координатах Flow3 с графическим интерфейсом и двумя базами данных: по моделям элементов и по расчетным схемам. Программный комплекс сертифицирован Госстандартом России, сертификат № РОСС RU.ME93.H00133 от 30.10.2003 г.

Разработанные методики и программный комплекс позволяют рас считывать синусоидальные установившиеся режимы электрических систем общего назначения и систем тягового электроснабжения переменного тока 1х25, 2х25 и 25/94 кВ вплоть до уровня 0.4 кВ в пофазной постановке с учетом структурной и режимной несимметрии и взаимного электромаг нитного влияния проводов. Подобные расчеты необходимы при анализе режимов работы электрических систем и систем тягового электроснабже ния. Их результаты используются при расчетах пропускной способности, анализе потерь в сетях при несимметричных режимах, для целей сертифи кации электрической энергии, отпускаемой сторонним потребителям со стороны энергоснабжающих подразделений железной дороги, для расчет ного нормирования потерь электрической энергии в районах электроснаб жения нетяговых потребителей.

Разработанный программный комплекс внедрен в эксплуатационную практику для расчетов режимов систем электроснабжения тяговых и нетя говых потребителей. С его помощью были получены решения ряда акту альных задач, связанных с повышением надежности электроснабжения за падного участка Байкало-Амурской железнодорожной магистрали. Про граммный комплекс был использован при разработке проектного решения по электроснабжению потребителей по системе «два провода – рельс» в сопоставлении с другими возможными схемами;

в частности, были полу чены режимы электрической сети с учетом электромагнитного влияния электрической тяги и изменения потенциала рельсов от тягового тока. С помощью программного комплекса анализировались потери в электриче ских сетях нетяговых потребителей 6-10 кВ при разработке мероприятий по энергосбережению.

В настоящей работе представлены основные результаты исследова ний авторов в перечисленных направлениях;

часть этих исследований ра нее опубликована в работах [173, 174, 175].

1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НЕСИММЕТРИЧНЫХ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ПРОБЛЕМЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СОВМЕСТИМОСТИ 1.1. Уравнения установившегося режима Установившиеся режимы энергосистем описываются нелинейными уравнениями вида W(X, Y ) = 0, (1.1) где W = [w 1w 2...w n ]T – n-мерная вектор-функция, отвечающая уравнениям баланса мощностей или токов в узлах сети;

Y = [y1y 2...y m ] – заданный T вектор регулируемых параметров (независимых переменных);

T X = x1x2...xn – искомый вектор нерегулируемых параметров (зависимых переменных).

В качестве регулируемых параметров обычно используются актив ные и реактивные мощности генераторов и нагрузок, а также зафиксиро ванные в отдельных узлах сети модули напряжений. Зависимыми пере менными считаются действительные и мнимые составляющие или модули и фазы узловых напряжений. В состав вектора зависимых переменных X может входить значение частоты в энергосистеме.

Исходную информацию, необходимую для расчета установившегося режима электрических систем, можно разделить на три группы [170]. В первую группу входят параметры схем замещения элементов электриче ских систем, к которым относятся сопротивления линий электропередачи, параметры трансформаторов, емкостные проводимости ЛЭП и индуктив ности реакторов. Указанные элементы связываются в единую схему путем задания информации о топологии ЭС.

Вторую группу образуют данные о нагрузках электрической сети, которые могут задаваться в виде эквивалентных шунтов, постоянных от боров мощности, статических характеристик, зависящих от напряжения и частоты.

Третья группа информации складывается из данных об источниках электроэнергии: активных мощностей P и модулей U напряжений син хронных генераторов, снабженных автоматическими регуляторами возбу ждения (АРВ);

реактивных мощностей Q синхронных генераторов, не имеющих АРВ;

статизмов регуляторов скорости первичных двигателей и т.д.

В результате расчета установившегося режима определяются модули Ui и фазы i напряжений в узлах сети, перетоки Pij, Qij и потери Pij, Qij активных и реактивных мощностей, токи Iij в ЛЭП, частота f в ЭС. В об щем виде процесс преобразования информации при расчете установивше гося режима можно представить в виде рис. 1.1.

Схема замещения сети и ее параметры R, X, Y Расчет Результаты установив- расчета:

шегося U, d, f, Pij, Qij, Iij режима Данные о генераторах и нагрузках P, Q, U, d Рис. 1.1. Процесс преобразования информации об ЭС при расчете установившегося режима Данные о генерирующих мощностях и нагрузках называются незави симыми переменными. Результаты расчета являются зависимыми пере менными.

В задании любой независимой переменной, как правило, имеет место погрешность. Это приводит к некоторой неопределенности результатов расчета. Величина погрешности сильно зависти от того, насколько далеко вперед прогнозируется схемно-режимная ситуация в ЭС.

В автоматизированных системах диспетчерского управления решае мые задачи делятся по временному принципу. Так, на стадии долгосрочно го планирования расчеты выполняются на год, месяц или неделю вперед.

При краткосрочном планировании оценивают схемно-режимные ситуации на следующие сутки. В процессе оперативного управления наряду с оцен кой текущей ситуации делается прогноз на час или несколько часов впе ред. Естественно, чем более долговременным делается прогноз, тем менее точно определяется потокораспределение.

Элемент неопределенности, конечно, является весьма нежелатель ным фактором при расчетах. Но, к сожалению, погрешности задания неза висимых переменных параметров можно уменьшить, но нельзя полностью устранить. В качестве примера можно рассмотреть данные о сопротивле ниях ЛЭП. В России погрешность их задания составляет около ±5%. Это связано не только с отсутствием более достоверных данных, но и с тем, что сопротивление изменяется в зависимости от погодных условий, проте кающего по электропередаче тока и др. Существенно влияет на результаты расчетов установившихся режимов и погрешность в задании коэффициен тов трансформации. В настоящее время информация о текущих значениях параметров режима собирается в различных точках энергосистемы и пере дается в диспетчерские центры с помощью устройств телемеханики. Эта информация не является абсолютно достоверной вследствие ее неполноты, так как охватить телеизмерениями всю ЭС нерационально по экономиче ским соображениям. Поступающая по каналам телемеханики информация содержит погрешности, обусловленные измерительными приборами и раз новременностью измерений. Кроме того, возможны грубые ошибки, свя занные с отказами датчиков и каналов передачи информации. За счет из быточного количества измерений в некоторых районах ЭС обычно удается значительно повысить достоверность данных о текущем режиме. Это дела ется с помощью специальных алгоритмов оценивания состояния.

Неопределенность определения независимых переменных резко воз растает при анализе будущих состояний ЭС в задачах оперативного управ ления, краткосрочного и долгосрочного планирования. Наибольшие за труднения при этом вызывает необходимость прогнозирования нагрузок электрических систем. В настоящее время существует методический аппа рат прогноза нагрузок, который опирается на выявление регулярной со ставляющей их изменения в течение суток, по дням недели, месяцам, квар талам и годам;

соответствующие статистические данные используются для экстраполяции на будущее. Однако нагрузка ЭС подвержена также и нере гулируемым колебаниям, что, естественно, невозможно учесть. Это вызы вает расхождение планируемых и действительных режимов.

Из-за наличия фактора неопределенности появились работы, в кото рых предлагается перейти от детерминированной постановки задачи рас чета режима к вероятностной. При таком подходе входные и выходные данные рассматриваются как случайные величины с известными матема тическими ожиданиями и дисперсиями. В результате расчета определяется «наиболее вероятное» значение зависимых параметров и возможный раз брос относительно этого значения. Однако практического применения этот подход пока не получил.

В математическом отношении задача расчета установившегося ре жима сводится к решению систем нелинейных уравнений большой раз мерности. Нелинейный характер задачи обусловливается следующими причинами:

• нелинейной зависимостью токов генераторов и нагрузок от напря жения;

• нелинейной зависимостью мощностей генераторов и проводимо стей сети от частоты.

Сказанное определяет ряд специфических свойств задачи. Во первых, решения существуют не для всех значений мощностей генерато ров и нагрузок в узлах сети. Во-вторых, каждому сочетанию узловых мощ ностей при существовании режима может соответствовать множество ре шений.

Решение системы нелинейных уравнений установившегося режима (УУР) возможно только приближенными, итерационными методами. При этом весьма важным является надежность получения решения, если оно существует. С другой стороны, учитывая большую размерность задачи, весьма острым требованием является быстродействие итерационных про цедур. Эти требования находятся в противоречии друг с другом, и любой из многочисленных методов расчета потокораспределения является ком промиссным с точки зрения надежности или быстродействия.

Другая особенность состоит в том, что учет ограничений на парамет ры режима (например, на диапазоны изменения реактивных мощностей генераторов) приводит к необходимости замены некоторых уравнений системы в ходе самого расчета. Это порождает дополнительное множество альтернативных решений и усложняет сходимость итерационных проце дур.

Традиционно при формировании уравнений установившегося режи ма чаще всего используется однолинейная схема замещения прямой по следовательности, пригодная для расчетов симметричных режимов. В этой схеме линии обычно представляются в форме, соответствующей П образной схеме замещения, трансформаторы замещаются Т-образной схе мой, а генераторы и нагрузки представляются внешними потоками мощно сти.

При решении уравнений установившихся режимов обычно применя ется метод Ньютона-Рафсона. Идея метода состоит в последовательной замене на каждой итерации системы нелинейных уравнений W(X ) = 0 ли нейной системой вида [77] W k W(X( k ) ) + (X ) X(k ) = 0, (1.2) X решение которой дает значения неизвестных X ( k +1) = X ( k ) + X ( k ), более близкие к решению нелинейной системы, чем исходное приближение. В () W k уравнениях (1.2) X – матрица Якоби уравнений (1.1), вычисленная в X точке текущего приближения X k ;

k – номер итерации.

При расчетах несимметричных режимов трехфазных систем исполь зуется метод симметричных составляющих или его модификации, а также метод фазных координат. Последний метод является более универсальным и позволяет рассчитывать режимы совмещенных трехфазных и однофаз ных сетей. Оба метода требуют составления соответствующих схем заме щения и применения адекватных моделей элементов электрической систе мы, причем решение этих двух вопросов для каждого из методов произво дится по-разному. При соответствующем подходе и тот, и другой методы могут быть сведены к уравнениям узловых напряжений с итерационным решением по формуле (1.1а) с применением хорошо разработанных алго ритмов.

1.2. Метод симметричных составляющих Наиболее распространенная методика расчетов несимметричных ре жимов трехфазных электрических систем основывается на методе симмет ричных составляющих, предложенном Фортескью и детально разработан ным Вагнером и Эвансом [21]. Этот метод применим для линейных сис тем, в которых можно определить сопротивления элементов для разных последовательностей. Сущность метода заключается в использовании сле дующих преобразований:

& & U A 1 1 1 U1 1 1 & 2 & 2 U B = a a 1 U 2 ;

S = a a 1 ;

(1.3) U a a 2 1 U a a 2 & & C 0 1 a a & & U1 1 a a U A & -1 & o U 2 = 1 a a U B ;

S = 1 a a ;

a = e j120, 2 (1.4) 1 1 U 1 1 1 U C & & 3 или в матричной форме:

& & & & U = S US ;

US = S U, - (1.5) [ U C ] ;

US = [U1 U 2 U3 ].

&T& &T & & & & & где U = U A UB Аналогичные уравнения могут быть записаны и для токов:

& & & & I = S IS ;

IS = S I, - (1.6) [ & C ]T ;

I S = [&1 & 0 ]T.

где I = & A &I &B & & I I I I I На основе преобразований (1.3)…(1.6) можно получить уравнения установившегося режима при использовании симметричных составляю щих. Вывод этих уравнений можно провести на основе схемы участка се ти, показанной на рис. 1.2.

&A I ZA A ZAB &B I ZAC ZB B &C ZBC I ZC C Рис. 1.2. Схема участка сети Для этого участка справедливо уравнение & & U = ZI, (1.7) ZA ZAC ZAB U C ] ;

I = [& A &C ] [ ;

Z = ZAB ZBC.

T T & & & & &I &B где U = U A U B I I ZB ZAC ZC ZBC С учетом (1.5) и (1.6) уравнения (1.7) можно записать в следующем виде:

& & SU S = ZSI S.

Отсюда следует, что U s = S Z SI S = Z s I S, где Z s = S 1Z S – матрица & & & сопротивлений в системе симметричных координат.

Проще всего метод реализуется для симметрично выполненных се тей при несимметричных воздействиях. В этом случае матрица сопротив лений в симметричных координатах является диагональной Z1 0 Z S = 0 Z 2 0, 0 0 Z и каждое из уравнений получается независимым от других, то есть расчет режимов прямой, обратной и нулевой последовательностей можно произ водить раздельно.

Действительно, с учетом структуры матрицы Z S можно записать следующие УУР:

& & U 1 = Z 1I 1 ;

& & U 2 = Z 2 I 2 ;

U 0 = Z 0I 0, & & & & & &&& где U1, U 2, U 0, I1, I 2, I 0 - векторы напряжений и токов прямой, обратной и нулевой последовательностей;

Z1, Z 2, Z 0 - матрицы собственных и взаим ных сопротивлений прямой, обратной и нулевой последовательностей.

Метод симметричных составляющих имеет ограниченное примене ние для несимметричных ЭС. Основной причиной, ограничивающей воз можности его применения, является сильное усложнение схем замещения при росте числа несимметрий в электрической сети. По этой же причине затруднена формализация метода для применения его в расчетных алго ритмах, положенных в основу программных средств. Фактически метод работает только при расчетах режимов в симметричных трехфазных сис темах при одной или двух введенных несимметриях. Рассмотренные в ра ботах С.Б. Лосева и А.Б. Чернина [94, 144, 145] примеры применения ме тода симметричных составляющих хорошо иллюстрируют резкое услож нение схем замещения для разных последовательностей при росте числа несимметрий.

Кроме того, метод симметричных составляющих имеет несколько более мелких недостатков. В случае линий электропередачи сопротивле ние нулевой последовательности зависит от проводимости земли, и эта за висимость усложняется при нетранспонированной линии. Для трансфор маторов характерным является появление токов обратной последователь ности при подаче строго симметричного напряжения из-за неодинаковости длин магнитных силовых линий разных фаз. И совершенно неясной стано вится возможность применения метода симметричных составляющих для специальных трансформаторов с симметрирующим эффектом [24, 98].

1.3. Фазные координаты в расчетах режимов электрических систем Наиболее эффективно задача расчета сложнонесимметричных режи мов может быть решена на основе применения фазных координат. При их использовании электрическая система может описываться трехлинейной схемой или представляться в виде компаунд-сети. В первом случае каждый трехфазный элемент задается тремя сопротивлениями с электромагнитны ми связями или соответствующими схемами замещения. Число узлов рас четной схемы по отношению к однолинейной сети при этом утраивается.

Во втором случае трехфазная сеть рассматривается как однолинейная, в которой каждая ветвь представляется в виде матрицы размерности 3x3, а токи и напряжения – векторами размерности 3 [93]. Первый способ позво ляет рассматривать любые многофазные элементы, например, линии элек тропередачи (ЛЭП) с тросами. При втором способе учет таких элементов существенно затрудняется.

Использование фазных координат целесообразно при необходимости учета различий в фазных параметрах линии, для расчетов режимов комби нированных однофазных и трехфазных сетей и электрических систем с особыми схемами соединений трансформаторов, а также при расчетах вза имных электромагнитных влияний линий. При использовании соответст вующих моделей элементов ЭС расчеты можно выполнять с помощью имеющихся компьютерных программ расчетов режимов и коротких замы каний, рассматривая схему в фазных координатах в качестве фиктивной схемы прямой последовательности1.

Базисом метода фазных координат является естественное трехлиней ное представление электрических схем, в котором можно корректно моде лировать однофазные и несимметричные трехфазные элементы. Имею щиеся алгоритмы и программные средства расчетов режимов в одноли нейной постановке с некоторыми модификациями могут быть применены и для фазных координат. Эта постановка позволяет достаточно легко учесть разнообразные несимметрии трехфазных линий (обрывы проводов и несимметричные короткие замыкания), наличие грозозащитных тросов и расщепленных проводов фаз. В трехфазных схемах замещения можно учи тывать несимметричные соединения групп трехфазных трансформаторов, Фактически однолинейная схема является частным случаем фазных координат при однофазном источнике.

что характерно для тяговых подстанций электрифицированных железных дорог переменного тока.

Важнейшим фактором, обеспечивающим практическое применение метода фазных координат, является получение адекватных моделей эле ментов электрических систем, таких, как воздушные и кабельные линии электропередачи, однофазные и трехфазные трансформаторы различных модификаций, асинхронные и синхронные машины. Другим важным об стоятельством является требование формализации подхода к построению моделей элементов и схем ЭС, позволяющее перейти к разработке эффек тивных алгоритмов численного решения уравнений установившегося ре жима и созданию программных средств, обладающих широкими возмож ностями и достаточно удобным пользовательским интерфейсом. Вообще говоря, матрица сопротивлений в системе симметричных координат одно значно связана с матрицей сопротивления в фазных координатах, Z S = S Z S s, однако два обстоятельства затрудняют применение симмет ричных составляющих на равных правах с фазными координатами. Во первых, определение матрицы сопротивлений начинается все-таки в фаз ных координатах, что требует адекватной исходной модели, а во-вторых, в сложных системах преобразования подобного вида приводят к росту числа ненулевых элементов матрицы и к необходимости привлечения дополни тельных вычислительных ресурсов. Кроме того, фазные координаты име ют одно существенное преимущество перед различными системами со ставляющих, заключающееся в возможности физической интерпретации моделей.

Систематическое применение фазных координат для расчетов режи мов электрических систем начато в работах Лаутона [152], С.Б. Лосева, А.Б. Чернина [93, 94], А.П. Бермана [16], Т.Б. Заславской [75]. Лаутоном предложено преобразование модели однофазного трансформатора без на магничивающей ветви, фактически сводящееся к синтезу решетчатой схе мы замещения по уравнению связи входных и выходных величин. Модели трехфазных трансформаторов были получены путем соответствующего со единения групп однофазных трансформаторов.

С.Б. Лосевым и А.Б. Черниным использованы более совершенные полносвязные решетчатые схемы однофазных трансформаторов с учетом ветви намагничивания, а трехфазные трансформаторы организованы по тому же принципу. Недостаток такого подхода очевиден: при соединении обмоток трехфазного трансформатора в звезду группа однофазных транс форматоров резко отличается от трехфазного способностью передавать нулевую последовательность напряжений. Кроме того, возникают сложно сти алгоритмического порядка при формировании моделей произвольных трехфазных трансформаторов.

Линии электропередачи замещаются решетчатыми схемами или мно гополюсниками по аналогии с трансформаторами – путем преобразования уравнений связи падений напряжений с токами фаз. Так, в статье В.А.

Солдатова и Н.М. Попова [125] предлагается моделирование линий много полюсниками, но только для частного случая трехфазной трехпроводной линии. Кроме того, модели недостаточно формализуемы, а нагрузки в примерах заданы величинами сопротивлений.

Можно выделить две основные тенденции в моделировании линий и трансформаторов. Первая из них заключается в замене линии или транс форматора решетчатой схемой из RLC-элементов, то есть в получении мо дели, имеющей физическую интерпретацию. Вторая использует абстракт ный матричный подход. В этом плане трансформаторы чаще моделируют ся в соответствии с первым направлением, а линии – со вторым. Примене ние решетчатых схем выглядит предпочтительнее в связи с возможностью оперирования решетчатой схемой как с набором резистивных, индуктив ных и емкостных элементов, для которых применимы разработанные алго ритмы и программы расчетов режимов трехфазных систем, представлен ных схемой замещения прямой последовательности.

Модели систем тягового электроснабжения электрифицированных железных дорог переменного тока также можно строить на основе фазных координат. Однако и здесь проблема совместного расчета режима трех фазной питающей системы внешнего электроснабжения и однофазной тя говой сети остается практически нерешенной. Разработанные подходы ре шения этой проблемы базируются на теории многополюсников [6, 23, 24], на прямых преобразованиях формул для составляющих сопротивлений тя говой сети [99, 101, 131, 132] или на упрощенном представлении трехфаз ных трансформаторов в виде групп однофазных трансформаторов [30, 31, 32]. Так, в статье Т.К. Асанова и С.Ю. Петуховой [6] сделана попытка по лучения схемы замещения трехпроводной тяговой сети переменного тока в виде шестиполюсника. Однако эта попытка касалась только трехпровод ной тяговой сети и не вышла на уровень достаточно универсального алго ритма. Развернутый подход получения совместной модели системы внеш него электроснабжения и тяговой сети электрифицированной железной дороги выполнен Л.А. Германом [41], но в этой работе использовано про стейшее представление трансформатора в форме последовательно вклю ченных элементов в каждой фазе со взаимоиндуктивными связями и с при ведением схемы к напряжению тяговой обмотки. Эта модель не учитывает конкретное соединение катушек трансформатора, в ней не разработана проблема получения параметров многопроводной тяговой сети. Модель не доведена до формального алгоритма и достаточно удобного программного средства.

Из программных средств расчета режима систем тягового электро снабжения железных дорог наиболее распространен программный ком плекс Nord (ВНИИЖТ), в котором фактически представлена только тяго вая сеть, а внешняя электрическая система учтена реактансами, получен ными на основе мощностей трехфазного короткого замыкания на шинах питающего напряжения. Нагрузки в этом комплексе представлены в виде задающих токов. Такая постановка в целом недостаточна, однако при раз работке новых методов и алгоритмов, основанных на фазных координатах, сама возможность расчетов с использованием источников токов в расчет ной схеме должна быть, очевидно, сохранена наряду с заданием нагрузок в виде потребляемых мощностей.

Группы моделей однофазных трансформаторов для моделирования трехфазных используются в наиболее распространенном прикладном паке те SimPowersystems системы MatLab. Там же используются модели трех фазных линий в виде простой П-образной модели или же в виде отрезков длинных линий. Синхронные и асинхронные машины представляются со противлениями в симметричных составляющих с последующим преобра зованием матрицы сопротивлений в фазные координаты.

Совершенствование систем электрической тяги переменного тока [22, 85, 106] приводит к появлению новых нетрадиционных типов транс форматоров и тяговых сетей, модели которых должны укладываться в об щую концепцию режимных расчетов.

1.4. Взаимосвязь проблем режимных расчетов и электромагнитной совместимости Под электромагнитной совместимостью понимается способность электротехнического оборудования удовлетворительно работать в элек тромагнитной обстановке, созданной другим электротехническим обору дованием и окружающей средой, не создавая собственного недопустимого влияния на смежные системы. Источниками опасных влияний являются линии электропередачи переменного тока и постоянного тока, контактная сеть электрифицированной железной дороги, разряды молний [5, 56, 57, 108, 116]. В последнем случае создаются импульсные перенапряжения, воздействующие как на воздушные, так и на кабельные линии. Проблема опасного влияния грозовых разрядов, несмотря на ее многочисленные ис следования [8, 9, 45, 46, 74, 108, 134, 138, 142], остается актуальной и в на стоящее время.

Задача моделирования многопроводных линий пересекается с про блемой электромагнитной совместимости в части расчетов наведенных на пряжений. Моделирование элементов электрических систем в фазных ко ординатах требует обязательного учета электромагнитного влияния прово дов друг на друга. При этом расчет режима электрической сети при отсо единенном проводе автоматически решает задачу определения наведенно го напряжения. В настоящее время задачи такого типа обычно решаются обособленно, без режимного подхода [91, 92, 106, 107, 140]. В работе М.Ш.

Мисриханова, В.А.Попова, Р.В.Медова, Д.Ю.Костюнина [107] обсуждает ся методика расчета наведенного напряжения, в которой учитывается ре альное геометрическое расположение фаз и грозозащитных тросов на опо рах линий, способы заземления грозозащитных тросов, транспозиция фаз и тросов линий. В этой работе для моделирования однородных участков со ставляются матрицы продольных индуктивных сопротивлений и попереч ных емкостных проводимостей, на основе которых составляется общая матрица узловых проводимостей схемы и далее с помощью эквивалентов энергосистем рассчитывается установившийся режим. Здесь совершенно справедливо применяется подход, основанный на одновременном расчете режима и наведенного напряжения, и используются методы, ранее в более общем виде сформулированные в работе [72]. Однако методика моделиро вания линий не доводится до обобщенного алгоритма, охватывающего лю бые многопроводные линии и не требующего «ручного» составления мат рицы сопротивлений, и не указываются пути решения проблемы объеди нения данных по разным моделям, а о моделях трансформаторов не упо минается совсем.

Получаемые таким путем схемы замещения не нашли систематиче ского применения в расчетах режимов, поскольку схема каждой конкрет ной линии рассматривалась обособленно, с нетривиальными решениями, а формализованного алгоритма, объединяющего все разновидности воздуш ных и кабельных линий, получено не было.

Выводы Итоги рассмотрения текущего состояния методов и средств расчетов режимов в электрических системах, включающих в свой состав трехфаз ные и однофазные элементы, сводятся к следующему.

Метод симметричных составляющих пригоден только для трехфаз ных систем. В связи с большой сложностью при нескольких несимметриях и плохой формализуемостью метод не пригоден для создания алгоритмов и программных средств расчетов режимов в электрических сетях, содержа щих трехфазные и однофазные элементы.

Расчеты сложнонесимметричных режимов трехфазных электриче ских систем, а также объединенных трехфазных и однофазных сетей эф фективнее проводить в фазных координатах. Современное положение в этом направлении характеризуется частично разработанными моделями линий, трансформаторов и электрических машин. Применяемые модели плохо формализуются для реализации в достаточно универсальных про граммных средствах, объединяющих возможности расчета режимов в со вмещенных трехфазных и однофазных сетях и определения наведенных напряжений.

Таким образом, для эффективного применения метода фазных коор динат требуется решение целого ряда проблем по следующим направлени ям:

• разработка полнофункциональных моделей многопроводных воз душных линий различного конструктивного исполнения с любым числом проводов при учете их взаимного электрического и магнитного влияния;

• разработка моделей силовых кабельных линий;

• разработка полнофункциональных моделей однофазных и трех фазных силовых трансформаторов с любым соединением обмоток;

• разработка моделей электрических машин в фазных координатах, практически пригодных для расчетов режимов;

• формализация представления моделей элементов электрических систем для получения алгоритмов моделирования;

• доработка методов расчетов режимов электрических систем для специфики фазных координат;

• создание программных средств расчетов режимов в фазных коор динатах с графическим пользовательским интерфейсом;

• исследование направлений применения разработанных методов и средств расчетов режимов.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ФАЗНЫХ КООРДИНАТАХ РЕШЕТЧАТЫМИ СХЕМАМИ 2.1. Общие принципы получения решетчатых схем замещения статических многопроводных систем Наличие электромагнитных связей между отдельными проводами элементов электрических систем приводит к существенным трудностям в их моделировании. Корректный учет этих связей, однако, позволяет моде лировать любые многопроводные объекты, например, линии электропере дачи с расщепленными проводами и грозозащитными тросами, а также многообмоточные трансформаторы различного конструктивного исполне ния. Ключевым вопросом в применении фазных координат является про блема разработки адекватных моделей таких элементов. В основу метода моделирования положены полносвязные решетчатые схемы замещения из RLC-элементов, что позволяет использовать хорошо разработанные алго ритмы расчета режимов электрических систем, широко применяемые в од нолинейной постановке.

Трансформаторы и линии электропередачи представляют собой мно гопроводные элементы со взаимными электромагнитными связями между проводами, для которых возможен обобщенный подход к моделированию в фазных координатах. Если вынести соединения проводов за пределы рас сматриваемого элемента, то линии и трансформаторы будут отличаться друг от друга только характером взаимоиндуктивной связи проводов. Ка ждый провод этих элементов имеет начало и конец, а ток, втекающий в на чало провода, всегда равен току, вытекающему из его конца;

сумма двух втекающих в провод токов равна нулю. В случае линии часть тока может протекать в земле, однако если потенциал последней принять равным ну лю, то все эффекты, привносимые токами в земле, можно перенести в со противление проводов. Характер взаимоиндуктивных связей трансформа тора определяется его сердечником, но этот фактор влияет только на спе цифику расчета сопротивления взаимоиндуктивной связи. Для линий тре буется учет емкостной связи проводов, что для большинства практически важных случаев можно сделать обычным образом, вводя собственные и взаимные емкости проводов в П-образной схеме замещения после состав ления решетчатой схемы замещения.

Подобный подход дает возможность достаточно простого способа моделирования линий и трансформаторов для синусоидальных устано вившихся процессов. При этом получение модели линии или трансформа тора осуществляется в три этапа:

1) формирование схемы замещения для набора проводов, гальвани чески не связанных друг с другом;

2) соединение проводов на полученной схеме замещения с получе нием модели элемента;

при этом осуществляется параллельное соединение ветвей и образование шунтов при заземлении некоторых узлов;

3) объединение отдельных моделей в расчетную схему электриче ской сети.

Предлагаемый метод формирования схемы замещения многопро водного элемента основан на следующих положениях.

Прежде всего, для определенности необходимы некоторые соглаше ния о порядке нумерации концов проводов и направлении токов в них. Эта нумерация и направления приняты так, как показано на рис. 2.1: сначала нумеруются узлы в начале линии или начальные узлы А, В, С катушек трансформатора, затем узлы в конце линии или узлы X, Y, Z трансформа тора.

Уравнения падений напряжений для многопроводной системы могут быть записаны так:

& & U = ZI H = ZI K, (2.1) U = [U1 U 2... U n ] &T & & & где – вектор падений напряжений;

U j = U j U j+ n ;

U = U H U K ;

U H = [U1... U n ] – вектор напря &T & & & & & & && & U жений в начальных узлах элемента;

U K = [U n +1... U 2 n ] – вектор &T & & & U n+ [ & 2... & n ]T – вектор то напряжений в конечных узлах элемента;

I H = & & I I I [ & n + 2... & 2 n ]T – ков, втекающих в провода в начале элемента;

I K = & n + & I I I & & вектор токов, втекающих в провода в конце элемента;

I H + I K = 0 ;

z 11... z 1n z z... z 2 n z Z= ;

z jk = z kj – собственные и взаимные сопротивления.........

...

z n1 z n2... z nn проводов, j, k = 1...n.

Рис. 2.1. Обобщенная схема многопроводного элемента электрической сети Решение уравнений (2.1) может быть представлено в виде 1 & & & & I H = I K = Z U = D U. (2.2) Матрица D = Z определяет связи каждого узла элемента со всеми остальными узлами, и на базе этой матрицы можно достаточно просто синтезировать решетчатую схему замещения.

Систему (2.2) можно представить в виде двух матричных уравнений & & & I H = DU H DU K ;

(2.3) & & & I K = DU H + DU K, и затем объединить их в одно с удвоенной размерностью матриц:

& & I = YU, (2.4) D D & & & I & U где I = H ;

U = H ;

Y =.

D D & & I K U K Умножив левую и правую части уравнения (2.4) на вектор n = 1 1... 1, можно получить уравнение с квадратными матрицами:

142 n & & & & I G = I n = YU n = YU G, (2.5) где I G = [I I... I ], U G = [U U... U ] – квадратные матрицы, имеющие & && && && & одинаковые столбцы. Поскольку матрица Y имеет строки, содержащие одинаковые по величине и разные по знаку элементы, а столбцы транспо &G нированной матрицы U T содержат одинаковые элементы, то матрица YU T & G является нулевой. Тогда можно записать & & & &G & & I G = YU G = YU G YU T = YU G = Y1U G, (2.6) && & & & & & & U1 U1... Un+n U... Un U1 Un+1 U.................. U Un & n+n Un && & & & & &... Un Un Un+1 Un... U & где UG = 1.

& && & & & & & U1 Un+1... Un Un+1 Un+1 Un+1... Un+n Un+..................

& & & & & & & & U1 Un+n... Un Un+n Un+1 Un+n... Un+n Un+n Матрица Y1 и представляет собой искомую матрицу проводимостей полносвязной решетчатой схемы замещения многопроводного элемента, поскольку уравнение (2.6) можно интерпретировать в соответствии с пер вым законом Кирхгофа, рис. 2.2. Такая интерпретация допускается струк & турой матрицы падений напряжений U G. Уравнение (2.6) можно перепи сать в индексной форме, иллюстрирующей это же утверждение:

2 n & k = D kk ( U k U 2 k ) + ± D ik ( U k U i ), k = 1...2n, & & & & I (2.7) i =1, i k где D ij - элементы матрицы D ;

i, j = 1...2n.

Y k & I k & Ik Yk & Ik & I k,2n Yk,2n Рис. 2.2. К физическому смыслу уравнений (2.6), (2.7) Непременным условием возможности синтеза решетчатой схемы по уравнениям (2.6) и (2.7) является симметрия матрицы D и вытекающая из нее симметрия матрицы Y, что, в свою очередь, обусловлено симметрией исходной матрицы сопротивлений Z. Следует заметить, что при реализа ции алгоритма упрощенное хранение матрицы Y в виде матрицы D не име ет смысла, поскольку при этом теряется возможность объединения разных ветвей при формировании элемента с заданными соединениями проводов или при объединении ветвей разных элементов при формировании расчет ной схемы.


T Используя вектор e1 = 1 0... 0, можно окончательно записать 2n выражение следующего вида:

& & I = Y 1Ue1.

Таким образом, многопроводная система из n проводов, в которой каждый из проводов имеет взаимоиндуктивные связи с остальными, может быть замещена полносвязной схемой, составленной RLC-ветвями. Число этих ветвей равно 2n(2n-1)/2, а их проводимости определяются из матрицы проводимостей многопроводной системы.

Пример решетчатой схемы для трехпроводного элемента представ лен на рис. 2.3.

Y Y Y13 Y Y16 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Рис. 2.3. Решетчатая схема замещения для трехфазной ЛЭП или трансформатора с тремя обмотками Представление многопроводной системы в виде решетчатой схемы замещения, описываемой матрицей Y, может быть напрямую использовано в методе узловых напряжений без каких-либо его модификаций. Этот под ход был впервые предложен в работе [72].

Преобразования вида (2.3)-(2.6) можно провести и несколько иными E путями. Введя в рассмотрение матрицу P = n, где E n – единичная E n матрица размерности n x n, можно получить матрицу Y путем следующего преобразования:

D D Y = P DP T =. (2.8) D D В случае простейшей схемы из одной ветви проводимостью g равен ство (2.8) таково:

g g = [1 1][g ].

Y= g g Матрицу P можно рассматривать как обобщенную матрицу инци денций для полносвязного многополюсника. Используя аналогичный при ем, можно получать матрицы проводимостей для сколь угодно сложных сетей, образованных соединением n-полюсников (решетчатых схем), на пример, в соответствии с рис. 2.4. При этом матрица преобразования будет иметь вид En......

- E......

En P= n,.........

...

... - En......

где в каждом столбце располагаются две единичных матрицы E n, взятые с разными знаками, остальные элементы – нули.

Рис. 2.4. Пример моделирования электрической сети: а) – модель в виде соединения решетчатых схем, представленных графами;

б) – исходная однолинейная схема сети Матрица Y n-кратно вырождена, и для определения режима решет & & чатой схемы необходимо задание токов I H или I K, а также напряжений в & опорных (базисных) узлах. Так, например, при известных токах I K и фик & сации напряжений U H в начальных узлах элемента на основе второго мат ричного уравнения системы можно записать равенство:

& & & UK = UH + D IK, что иллюстрируется следующим примером.

Пример преобразований для двухпроводной системы. Двухпроводная система с собственными сопротивлениями проводов Z1 и Z2 и сопротивлением взаимоиндук тивной связи Z12 присоединена в начале к двум источникам ЭДС, а в конце – к нагрузке в виде источников тока (рис. 2.5а). Можно показать, что преобразования к решетчатой схеме приводят к тем же напряжениям узлов, что и обычные соотношения, записанные через падения напряжений.

.

а) б).

Z1 Z U1 1 3. Y13.

U I3 I Y14 Y Y12 Y Z2 Z12..2 4. 4.

Y U2 U I4 I Рис. 2.5. Двухпроводная система Уравнения, записанные через падения напряжений, имеют вид:

U = U & Z1 & Z12 ;

& & I I 3 1 3 U = U & Z 2 & Z12.

& & I I 4 2 4 Матрица сопротивлений двухпроводной системы записывается так:

Z1 Z Z=.

Z12 Z Обратная матрица определяется соотношениями:

Z Z D=Z =.

Z 12 Z Z1 Z 2 Z При этом проводимости решетчатой схемы замещения по рис. 2.5б могут быть найдены по следующим выражениям:

Z12 Z Y 12 = Y 34 = ;

Y13 = ;

Z1 Z 2 Z12 2 Z1 Z 2 Z Z12 Z Y 14 = Y 23 = ;

Y 24 =.

Z1 Z 2 Z12 2 Z1 Z 2 Z Поскольку потенциалы узлов 1 и 2 определены, уравнения узловых потенциалов для узлов 3 и 4 можно представить следующим образом:

U ( Y13 + Y 23 + Y 34 ) Y 34 U = U Y 13 + U Y 23 & ;

& & & & I 3 4 1 2 Y 34 U + U ( Y 14 + Y 24 + Y 34 ) = U Y 14 + U Y 24 & ;

& & & & I 3 4 1 2 или при записи через сопротивления:

U Z 2 Z12 U = U Z 2 U Z12 & ( Z1 Z 2 Z12 ) ;

& & & & I 3 4 1 2 Z12 U + U Z1 = U Z12 + U Z1 & ( Z1 Z 2 Z12 ), & & & & I 3 4 1 2 откуда получаются уравнения, записанные выше через падения напряжений. Матрица проводимостей последней системы имеет следующий вид:

Y13 + Y 23 + Y 34 Z 2 Z Y 34 YN = =, Y 14 + Y 24 + Y 34 Y 34 Z1 Z 2 Z12 2 Z12 Z и полностью совпадает с матрицей D.

При наличии связей с землей (емкостных или за счет активных про водимостей изоляции, рис. 2.6) можно записать для матрицы узловых про водимостей следующее уравнение:

YT = M N Y NMT, (2.9) N Y B где Y N = ;

YВ – матрица, на диагонали которой размещены про Y 0 водимости ветвей решетчатой схемы;

Y 0 = diagYi 0 ;

Yi 0 – проводимость M E 2 n шунта на землю в i-ом узле;

M N = – матрица инциденций при 0 n учете шунтов на землю;

n = 1 1... 1.

142 n Матричное преобразование (2.9) эквивалентно корректировке диаго нальных членов матрицы Y на величину сопротивлений шунтов.

Рис. 2.6. Схема многопроводного элемента при наличии связей с землей Матрица Y T вырождена однократно, и для записи уравнений, опре деляющих режим решетчатой схемы при наличии связей с землей, доста точно зафиксировать потенциал земли (как правило, на нулевом уровне) и исключить соответствующее уравнение.

2.2. Моделирование многопроводной воздушной линии Под многопроводной линией подразумевается воздушная ЛЭП или контактная сеть электрифицированной железной дороги с набором смеж ных проводов. Модель воздушной ЛЭП, учитывающая взаимные индук тивности и емкости между проводами, может быть получена на основе уравнений, связывающих падения напряжений на отдельных проводах и протекающие в них токи. Эта модель представляет собою полносвязную решетчатую схему, составленную из RLC-элементов. Для наиболее про стой двухпроводной линии (рис. 2.7а) решетчатая схема выглядит так, как показано на рис. 2.7б. Многопроводные линии моделируются аналогично.

Собственные сопротивления проводов в системе уравнений (2.1) оп ределяются из формул для модели замещения земли обратным проводом.

При этом полное сопротивление провода разделяется на две составляю щие: внешнее сопротивление и внутреннее сопротивление. Внешнее со противление вычисляется в соответствии с методикой [105] и с формула ми, приведенными в работах [44, 82, 95, 102]:

µ0 µ 0 1. Z внеш = +j, Ом/м, ln 2 r µ или 0. = 2f + j 28.94 f lg 10, Ом/км, Z внеш r f 10 или [ )], Ом/км, ( Z внеш = 0.001f + j f 0.01148 0.001256 ln r 0.02 f где f – частота, Гц;

r – эквивалентный радиус провода (для сталеалюми ниевых проводов принимаемый равным 0.95 внешнего радиуса провода), в первой и второй формулах в метрах, в третьей – в сантиметрах;

– удель ная проводимость однородной земли или эквивалентная средневзвешенная проводимость, См/м;

– круговая частота, 1/с;

µ0 – магнитная постоянная.

I1 I U1 U3 U1 U Y 1 3 1 Y Y12 Y Y I2 I U U2 U U Y 2 4 2 а) б) Рис. 2.7. Двухпроводная ЛЭП Внутреннее сопротивление различно для различных типов проводов.

При сталеалюминиевых проводах используются аппроксимирующие зави симости [95]:

R внут = R 0 0.9 + 0.0063 f 0., Ом/км;

X внут = 0.001 0.033 0.00107 f 0.83 13.5, Ом/км, 0. S + 1.07 f где R0 – сопротивление 1 км провода постоянному току;

f – частота, Гц;

S – площадь сечения провода, мм2. Для 50 Гц и сечения провода 300 мм Xвнут=0.016 Ом/км.

При сплошных алюминиевых и медных проводах цилиндрического сечения учитывается скин-эффект во внутреннем сопротивлении [17]:

q J 0 (r q ) r q J 0 (r q ), q = j П µ0, Z внут = R внут + j X внут = = R 2 r J1 (r q ) 2 J1 (r q ) где П - удельная проводимость материала провода;

J 0 (r q ) - функция Бес селя первого рода нулевого порядка;

J1 (r q ) - функция Бесселя первого рода первого порядка;

r – радиус провода.

Для практически значимых случаев qr 4 и можно воспользоваться приближенными соотношениями, дающими погрешности в доли процента:

R внут = R 0 1 + 0.0049 x 4 0.000035 x 7, Ом/км;

X внут = R 0 0.125x 2 0.000613x5, Ом/км, 7896 f где x = 0.01 r, r – радиус провода, см;

S – площадь сечения прово R 0S r 2 П µ a да, мм. При qr 1 получается Z внут R 0 1 + j.

Для стальных проводов и рельсов использовано приближенное вы ражение следующего вида [99, 133]:

R внут = R 50 0.02f, X внут = 0.75 R внут, в предположении задания в качестве входных данных активного сопротив ления R50 для частоты 50 Гц.

Сопротивление взаимоиндуктивной связи между парой проводов оп ределяется по соотношению следующего вида:

µ0 µ 0 1. ZM = +j ln, Ом/м, или 2 d µ [ )], Ом/км, ( Z M = 0.001f + jf 0.005693 0.001256 ln d 0.02 f где d = ( x i x k ) 2 + ( y i y k ) 2 – расстояние между проводами, м.

Для определения параметров решетчатой схемы замещения при n проводах достаточно вычислить элементы исходной матрицы сопротивле ний, обратить эту матрицу (что производится по алгоритму, представлен ному в работе [4]) и дополнить полученную схему шунтами и ветвями, оп ределяемыми величинами частичных емкостей. Последние можно найти из потенциальных коэффициентов первой группы формул Максвелла:

U1 = 111 + 12 2 +... + 1n n ;

U 2 = 211 + 22 2 +... + 2 n n ;

..............................................

U n = + +... + nn n.

n1 1 n2 Формулы для вычисления потенциальных коэффициентов использо ваны в следующем виде [111]:

D D 1 2h 200 h, ij = ln ij = 1.80 107 ln ij, ii = = 1.80 10 7 ln ln 20 d ij 2 0 d ij r r где 0 – электрическая постоянная;

h – высота провода над землей с учетом стрелы провеса (на две трети стрелы провеса ниже высоты точки крепле ния у опоры), м;


d ij - расстояние от провода i до провода j;

Dij – расстояние от провода i до зеркального изображения провода j, рис. 2.8;

r – радиус провода, сначала в метрах, затем – в сантиметрах. Матрица потенциальных коэффициентов обращается и вычисляются собственные и взаимные час тичные емкости. В узлы схемы добавляются шунты, сопротивления кото рых определяются половиной соответствующей собственной емкости.

Кроме того, формируются дополнительные ветви с сопротивлениями, рас считываемыми по половинным значениям соответствующих взаимных ем костей. Предусматривается воз можность наличия в узлах до d полнительных шунтов для зада d d13 h ния заземленных проводов.

Пример расчета модели ЛЭП.

h D 23 h D13 Трехфазная линия электропередачи 110 кВ (данные соответствуют приме ру раздела 5.1) имеет длину L=50 км и h h1 выполнена проводами АС-240/56 с ра h2 диусом провода rпр=1.0 см. Координа ты расположения проводов с учетом D стрелы провеса в метрах равны (-2, 19), (2, 23), (4.1, 19). Погонные сопро тивления прямой последовательности для аналитического расчета приняты равными R01=0.122 Ом/км, X01=0.41 Ом/км в соответствии с параметрами проводов и средним геометрическим расстоянием между ними. Напряжение питающей системы в начале линии симметричное и равно 115 кВ, линия нагружена на линейную нагрузку сопротивлением 1323+j992 Ом. Сопротивления прямой последовательности ЛЭП полу чаются следующими: XЛ1=X01L=20.5 Ом, RЛ1=R01L=6.25 Ом, XЛ0=X00L=69.0 Ом, 2 RЛ0=R00L=13.7 Ом. Ток нагрузки равен U нф / ( X Л1 + X Н ) + ( R Л1 + R Н ) = 39.7 А.

Номера узлов 1, 2, 3 соответствуют началу линии, 4, 5, 6 – концу линии;

провода соответствуют ветвям 1-4, 2-5, 3-6 (рис. 2.9).

Расчеты погонных внутренних сопротивлений проводов по формулам, приве денным выше, дают значения: X=0.0153 Ом/км;

R=0.1745 Ом/км. Суммарные сопро Z1 =8.73+j36.70 Ом;

Z 2 =8.73+j36.70 Ом;

тивления отдельных проводов равны:

Z 3 =8.73+j36.70 Ом. Взаимные сопротивления между проводами принимают следую щие значения: Z 21 =2.50+j16.02 Ом;

Z 31 =2.50+j15.78 Ом;

Z32 =2.50+j16.73 Ом. Имеется небольшая несимметрия из-за отсутствия транспонирования. Сопротивление прямой CP последовательности, вычисленное по среднему значению параметров, Z ij =2.50+j16. CP Ом;

i, j = 1...3, составляет Z Л1 = Zi Z ij = 6.23+j20.52 Ом.

а) б) I 1 4 I4 4 I Z Z I1 I M 2 5 I5 2 5 I Z I2 I M M 3 6 I6 3 6 I Z I3 I Z I Рис. 2.9. Модель трехпроводной линии: а – исходная схема;

б – решетчатая схема за мещения Значения сопротивлений решетчатой схемы замещения и токов ветвей приведе ны в табл. 2.1. Емкостные проводимости линии в расчете не учтены, так что проводи мости шунтов всех узлов нулевые.

Таблица 2. Параметры решетчатой схемы замещения трехфазной ЛЭП и параметры режима R ij, Ом Xij, Ом Ветвь Ток ветви, А Ток ветви, град 1-2 30,77820012 89,1490713 1219,4 -41, 1-3 31,06020204 92,82778487 1174,9 -101, 1-4 7,73481659 27,2528751 30,5 -38, 1-5 -30,77820012 -89,1490713 1215,5 138, 1-6 -31,06020204 -92,82778487 1166,8 78, 2-3 29,71143222 79,80249307 1350,6 -159, 2-4 -30,77820012 -89,1490713 1210,3 -41, 2-5 7,78805404 26,50445151 30,8 -159, 2-6 -29,71143222 -79,80249307 1346,9 20, 3-4 -31,06020204 -92,82778487 1171,3 -101, 3-5 -29,71143222 -79,80249307 1340,6 -159, 3-6 7,77708598 26,68510257 30,3 84, 4-5 30,77820012 89,1490713 1206,4 -41, 4-6 31,06020204 92,82778487 1162,8 -102, 5-6 29,71143222 79,80249307 1336,9 -160, Токи нагрузки по фазам равны: 39.73 А, -37.3 град.;

39.73 А, -157.3 град.;

39. А, 82.7 град. Средняя величина фазных напряжений на приемном конце ЛЭП составля ет 65.7 кВ с различием по фазам, не превышающем 0.04 кВ. Токи нагрузки и источника получаются суммированием токов соответствующих ветвей решетчатой схемы.

2.3. Моделирование кабельной линии Предложенный выше подход применим и при моделировании ка бельной линии. Основная трудность, возникающая в этом случае, состоит в близости токоведущих частей друг к другу и в невозможности точного вычисления индуктивных и взаимоиндуктивных сопротивлений и частич ных емкостей по приведенным в предыдущем параграфе выражениям.

Вместе с тем справочные характеристики трехфазных кабелей содержат сопротивления прямой последовательности и значения частичных емко стей, которыми можно воспользоваться для построения расчетной модели кабеля в виде решетчатой схемы замещения.

Без особой потери общности можно рассмотреть только четырехпро водную систему по рис. 2.10, составленную тремя жилами и оболочкой.

Поскольку значения емкостей должны составлять входные параметры мо дели, то при двухпроводном кабеле (жила и экран) можно объединить все три жилы, соединив концы проводов, а для емкости жила – оболочка за дать по одной трети емкости двухпроводного кабеля.

Начало Конец 1 3 4 Рис. 2.10. Исходная схема трехжильного кабеля При такой постановке нулевую жилу, если она имеется, нельзя рас сматривать отдельно от оболочки. Кроме того, необходимо задавать значе ния частичных емкостей для каждой фазы отдельно, что может быть до вольно затруднительно, поскольку в большинстве справочников такие данные не приводятся. Разумеется, стоит включить в рассмотрение и ем кость между оболочкой и землей. При этом возможны два варианта:

• кабель в воздухе как тонкий провод;

• изолированный кабель в земле.

Уравнения для четырехпроводного кабеля могут быть записаны по аналогии с выражением (2.1) в следующем виде:

U 1 U 5 = [&1 (R ж + j L ж )+ & 2 j M + & 3 j M + & об j M об ж ]l ;

& & I I I I & U 2 U 6 = [&1 j M + & 2 (R ж + j L ж ) + & 3 j M + & об j M об ж ]l;

& I I I I (2.10) & U 3 U 7 = [&1 j M + & 2 j M + & 3 (R ж + j L ж ) + & об j M об ж ]l;

& I I I I U U = [& j M + & j M + & j M + & (R + j L ) ]l ;

.

& 4 & 8 I1 I2 I3 I об об об где Rж, Rоб – активные сопротивления 1 км жилы и оболочки;

Lж, Lоб – ин дуктивности 1 км жилы (петли жила – земля) и оболочки (петли оболочка – земля);

M, Mоб-ж – взаимные индуктивности жила – жила и оболочка – жила на 1 км длины;

l – длина кабеля.

Для определения погонного сопротивления можно рассмотреть сим метричное короткое замыкание в конце кабеля длиной 1 км. При этом & 2 = a 2 & 1, & 3 = a &1 ;

II I I U5= U6= U7= U8= U4=0, и можно записать U1 = &1 (R ж + j L ж ) + a &1 j M + a &1 j M ;

&I I I & U Z1 = 1 = R ж + j(L ж M ).

& I Собственное индуктивное сопротивление жилы можно вычислить по формулам для воздушной линии, а из справочного значения индуктивного сопротивления кабеля для прямой последовательности определить взаим ную индуктивность жила – жила. Сложнее определяется взаимная индук тивность между оболочкой и жилой, однако взаимные индуктивности це пей жила – жила и оболочка – жила отличаются незначительно, поэтому с практически приемлемой точностью можно принять, что Mоб-ж=M.

В сокращенном виде уравнения (2.10) могут быть записаны так:

U H U K = l(R Ж + jL Ж )E + jMl[nnT E]I, n = [1 1 1 1] ;

E – единичная матрица четвертого порядка;

T где U H = [U1 U 4 ] ;

U K = [U 5 U8 ] ;

I = [&1 & 2 &3 & ОБ ]T.

&T &T & & & & & & U2 U3 U6 U7 II II Емкости кабельной линии существенно больше, чем у воздушной ЛЭП. Значения емкостей между отдельными жилами, а также между обо лочкой и жилой приведены в справочниках. Емкость между оболочкой и землей для кабеля, смонтированного в надземных конструкциях, можно определить на основе модели в виде цилиндрического проводника, распо ложенного над плоской проводящей поверхностью:

2 C об =, 2h ln R где h – высота расположения кабеля над землей;

R – внешний радиус обо лочки.

Если кабель находится в земле, то емкость C об можно определить по формуле для емкости двух коаксиальных цилиндров:

2 a C об =, R ln R где a – диэлектрическая проницаемость защитных покровов;

R1 – внешний радиус оболочки;

R2 – внешний радиус кабеля.

Таким образом, собственные и взаимные сопротивления проводов в уравнениях (2.10) оказываются определенными и можно пользоваться обобщенной методикой получения параметров решетчатой схемы замеще ния по разделу 2.1.

2.4. Моделирование трансформаторов 2.4.1. Основные положения моделирования При моделировании трехфазного трансформатора с трехстержневым сердечником можно поступить следующим образом. Индуктивность рас сеивания можно учесть путем последовательного включения индуктивного элемента, а сумму магнитных потоков по стержням трансформатора при нять равной нулю. Последнее предположение, однако, для напряжения ну левой последовательности приводит к ошибкам, поскольку суммарный магнитный поток трансформатора при этом замыкается по стенкам бака трансформатора. При расчете однофазного короткого замыкания это пред положение приводит к завышению тока короткого замыкания на 20..25%.

Для учета дополнительного магнитного потока без существенного услож нения алгоритма можно использовать модель пятистержневого трансфор матора, изображенную на рис. 2.11 (на рисунке показаны три обмотки).

1 2 3 4 Ф1 Ф6 Ф7 Ф l l 1 A I2 I I1 3C 2B L R I5 I 4 A1 6 C I4 5 B I8 I I 7a 9c 8b 10 X 12 Z I10 I 11 Y | | I | 13 X1 I | | | 14 Y1 15 Z l1 I13 l2 I14 l3 l4 l I16 I I 16 x 18 z | | 17 y | Ф2 Ф3 Ф l8 l Ф8 Ф Рис. 2.11. Схема трехобмоточного трансформатора При моделировании трансформатора принято следующее:

• зависимость между напряженностью поля и индукцией в сердеч нике трансформатора принимается линейной;

• два крайних стержня характеризуются комплексной относитель ной магнитной проницаемостью µ r1 ' j µ r1 " ;

она может быть равна магнит ной проницаемости средних стержней, либо принимается равной единице, что соответствует замыканию магнитного потока через бак трансформато ра;

площади сечения этих стержней одинаковы и равны S1, их длины и магнитные проницаемости равны между собой2;

• три средних стержня магнитопровода характеризуются постоян ной величиной комплексной магнитной проницаемости µ r 2 ' j µ r 2 ", опре деляемой из паспортных значений тока и активной мощности холостого хода;

площади сечения этих стержней одинаковы и равны S2;

• каждая катушка обладает активным и реактивным сопротивле ниями Rik+jLik, которые определяются параметрами короткого замыка ния;

здесь i – номер обмотки, который далее будет соотноситься со стро кой матрицы;

k – номер стержня минус единица, или номер фазы, который далее будет соотноситься со столбцом матрицы;

• числа витков wik определяются по значению рабочей индукции в катушки сердечнике и номинальному напряжению Uik, U ik 2 4.502 U ik, если Ui – в киловольтах, B2m – в тесла, S2 – м2;

w ik = = B 2 mS2 B 2 mS числа витков для разных катушек одной обмотки лучше оставить неодина ковыми для расширения возможностей модели;

• максимальное число обмоток трансформатора принято равным пяти.

Предполагается симметрия конструкции трансформатора, то есть l 1 = l 5, l 6 = l 7 = l 8 = l 9, l 2 = l 4 ;

кроме того, очевидно, Ф6=Ф8, Ф7=Ф9.

2.4.2. Исходная модель трансформатора Из-за необходимости формирования схемы соединения катушек их выводы приходится отличать от узлов (зажимов) уже сформированного трансформатора. Кроме того, нумерация зажимов катушек строго опреде Этот подход позволяет моделировать трансформаторы с броневыми сердечниками.

Именно катушки, а не обмотки в целом;

последнее значение может быть больше пер вого на 3 ;

i – номер фазы, k – номер катушки.

лена и начинается началами катушек высшего напряжения для фаз A, B, C, затем среднего и низшего напряжений, и только затем нумерация продол жается для концов катушек в той же последовательности (нумерация рис.

2.11 показана для трехобмоточного трансформатора).

Уравнения электрического и магнитного состояний трансформатора [5, 7, 17, 111] с n обмотками и 3n катушками, позволяющие получить вы ражения для сопротивлений трансформатора, при симметричности сердеч ника относительно его средней линии и исключении магнитных потоков Ф8 и Ф9 выглядят следующим образом:

(R + j L11 ) &11 + j w 11 2 = U11 = 1 3n +1 ;

& & I & & (R + j L12 ) &12 + j w 12 3 = U12 = 2 3n + 2 ;

. & & I & &.............................................................. (R n,3 + j L n,3 ) & n,3 + j w n,3 4 = U n,3 = 3n 3n +3n ;

& & I & & & 1 + 2 6 = 0;

& & & & & 3 + 6 7 = 0;

(2.11) & & & 4 + 5 + 7 = 0;

H1l 1 H 2 l 2 = &11 w 11 & 21 w 21.. & i,1 w i,1.. & n,1 w n,1 ;

& & I I I I H 2 l 2 + 2H 6 l 6 H 3 l 3 = &11 w 11 + & 21 w 21 +.. + & i,1 w i,1 +.. + & n,1 w n, & & & I I I I &12 w 12 & 22 w 22.. & i, 2 w i, 2.. & n, 2 w n, 2 ;

I I I I H 3 l 3 + 2H 7 l 7 H 4 l 4 = &12 w 12 + & 22 w 22 +.. + & i, 2 w i, 2 +.. + & n, 2 w n, & & & I I I I &13 w 13 & 23 w 23.. & i,3 w i, 3.. & n, 3 w n, 3 ;

I I I I H 4 l 4 H 5 l 5 = &13 w 13 + & 23 w 23 +.. + & i,3 w i, 3 +.. + & n,3 w n,3 ;

& & I I I I В сокращенном виде уравнения (2.11) могут быть записаны так:

& && Z k I k + jW1Ф = U k ;

& NФ = 0;

&& W2 I = F, R 11 + j L11 0... R 12 + j L 0... где Z k = ;

............

... R n,3 + j L n, 0 0 w 11 0 0 0 0 0 0 0 w 12 W1 = ;

...............

......

0 0 0 w n,3 0 0 Ф = [Ф1 Ф 2 Ф7 ] ;

&T & & & & & & & Ф3 Ф4 Ф5 Ф & & H 1l 1 H 2 l 1 1 0 0 0 1 0 & & & & = H 2 l 2 + 2H 6 l 6 H 3 l 3 ;

N = 0 0 1 0 0 1 1 ;

F H 3 l 3 + 2H 7 l 7 H 4 l & & & 0 0 0 1 1 0 1 & & H 4l 4 H 5l w 11 0... 0 w... w n, 0 W2 =.

0 w n, w 12... w n, 0 0... 0 w n, Система (2.11) включает 3n уравнений электрического состояния, четыре уравнения магнитного состояния и три уравнения взаимосвязи маг нитных потоков. Неизвестными являются 3n токов и четыре магнитных потока. Система имеет квадратную матрицу с комплексными коэффициен тами. При пяти обмотках ее размерность равна 19х19. Первый индекс (i) обозначает номер обмотки, второй индекс (k) – номер фазы или номер стержня (последний на единицу больше номера фазы). Напряженности по ля связаны с магнитными потоками следующими уравнениями:

& Bl lk & & Hkl k = k k = R m kk ;

R m k =, если k = 1, 5;

µ 0 (µ r1 ' j µ r1 ") S µ 0 µ rk lk Rmk =, если k = 2, 3, 4, 6, 7 ;

µ 0 (µ r1 ' j µ r1 ") S Rmk – магнитные сопротивления магнитных ветвей.

С учетом взаимозависимости магнитных потоков и напряженностей магнитного поля система уравнений (2.11) после подстановки магнитных сопротивлений может быть переписана так:

(R 11 + j L11 ) &11 + j w 11 2 = U11 ;

& & I (R 12 + j L12 ) &12 + j w 12 3 = U12 ;

& & I..............................................................

(R ik + j L ik ) & ik + j w ik k +1 = U ik ;

& & I..............................................................

(R n,3 + j L n,3 ) & n,3 + j w n,3 4 = U n,3 ;

& & I w 11&11 w 21& 21.. w i,1& i,1.. w n,1& n,1 R m11 + R m 2 2 = 0;

& & I I I I w 11 &11 w 12 &12 + w 21 & 21 w 22 & 22 +.. + w i,1 & i,1 w i, 2 & i, 2 +.. + w n,1 & n, I I I I I I I w n, 2 & n, 2 2R m 6 1 (R m 2 + 2R m 6 ) 2 + R m 3 3 = 0;

& & & I &12 w 13 &13 + w 22 & 22 w 23 & 23 +.. + w i, 2 & i, 2 w i,3 & i,3 +.. + w n, 2 & n, w 12 I I I I I I I w n,3 & n,3 2R m 7 1 2R m 7 2 (R m 3 + 2R m 7 ) 3 + R m 4 4 = 0;

& & & & I & w 13 &13 + w 23 & 23 +.. + w i,3 & i,3 +.. + w n,3 & n,3 R m 5 1 R m 5 2 R m 5 & & I I I I (2.12) & (R m 4 + R m 5 ) 4 = 0;

Матрица коэффициентов системы имеет вид, представленный на рис.

2.12. Последнюю систему уравнений можно записать в матричной форме:

& & & Z k I k + jW3Ф C = U k ;

(2.12а) & & W2 I k + R M Ф C = 0, 0 w 11 0 0 w [ ] & 4 T;

W = ;

& & & & где Ф C = Ф1 Ф2 Ф3 Ф.........

...

0 0 0 w n, R m1 R m2 0 2R R m 2 2R m 6 R m3 RM =.

m 2R m 7 2R m 7 R m 3 2R m 7 R m R m5 R m5 R m5 R m 4 R m I11 I12 … In,3 Ф1 Ф2 Ф3 Ф R11+jL11 0 … 0 0 jw11 0 0 R12+jL12 … 0 0 0 jw12 … … … … … … … … 0 0 … Rn,3+jLn,3 0 0 0 jwn, -w11 0 … 0 -Rm1 Rm2 0 w11 -w12 … 0 -2Rm6 -Rm2-2Rm6 Rm3 0 w12 … -wn,3 -2Rm7 -2Rm7 -Rm3-2Rm7 Rm 0 0 … wn,3 -Rm5 -Rm5 -Rm5 -Rm4-Rm Рис. 2.12. Матрица коэффициентов Из второго уравнения системы (2.12а) может быть найден вектор по токов & & Ф C = R M W2 I K.

& Путем подстановки найденного значения Ф C в первое матричное уравнение можно записать & & & Z K I K jW3 R M W2 I K = U K.

В сокращенном виде последнюю систему можно записать так:

& & ZEI k = Uk, (2.13) где Z E = Z K jW3 R M W2.

Уравнение (2.13) соответствует форме записи (2.6) и позволяет опре делить собственные и взаимные сопротивления отдельных катушек с при менением методики моделирования, описанной в разделе 2.1.

Всего в схеме замещения имеется 6n узлов (выводов катушек) и 6n(6n-1)/2 ветвей. Проводимости ветвей определяются элементами матри цы DE = Z E (2.14) по следующим правилам:

1) если j7, то Yij=-Dij ;

2) если j6, i7, то Yij =Di,j-6 ;

3) если j6, i6, то Yij =Di-6,j-6.

При формировании модели с определенной схемой соединения ка тушек необходимо произвести вычисления проводимостей новых ветвей, образующихся при параллельном соединении ветвей исходной схемы, и сложить проводимости объединяемых узлов:

Y нов, k, l = Y i j. (2.15) k l Для пересчета проводимостей по формуле (2.15) в исходных данных необходима информация о номерах выводов катушек по рис. 2.11, объеди няемых в каждом узле трансформатора.

В системе уравнений (2.11) не известны сопротивления катушек Rik+jLik и магнитные сопротивления Rmk. Очевидно, R m 2 = R m 3 = R m 4, l R m6 = R m7 = R m2, R m1 = R m5 ввиду принятого соотношения геометри l ческих размеров. Для катушек одной обмотки очевидно также равенство R i,1 = R i, 2 = R i, 3 = R i, и с некоторыми допущениями можно принять равен 2l ство L i,1 = L i, 2 = L i, 3 = L i. Далее будет использовано обозначение k 72 =.

l 2.4.3. Определение параметров модели Определение параметров трансформатора, используемых в системе (2.11), по его паспортным данным производится следующим образом.

Активные сопротивления катушек и индуктивности рассеивания оп ределяются параметрами короткого замыкания. Паспортные данные холо стого хода трансформатора позволяют получить значения комплексной магнитной проницаемости сердечника. При решении этой задачи могут иметь место следующие варианты:

• пятистержневой сердечник с одинаковыми крайними стержнями, имеющими одинаковые площади сечения и одинаковые со средними сер дечниками магнитные проницаемости µr1=µr2, определяемые через пара метры холостого хода трансформатора;

• пятистержневой сердечник с магнитной проницаемостью двух одинаковых крайних стержней, равной единице, с последующим подбором параметров крайних стержней для получения заданного сопротивления нулевой последовательности.

В качестве исходных данных для определения матрицы коэффициен тов системы уравнений (2.11) необходимо принять паспортные характери стики холостого хода и короткого замыкания трансформатора, добавив к ним длины стержней и участков ярма магнитопровода. По отношению к неизвестным параметрам (полные сопротивления катушек Ri+jLi и маг нитные сопротивления магнитных ветвей) система (2.11) является непол ной, а при добавлении необходимых уравнений для мощности становится нелинейной. Очевидно, нет необходимости определять комплексную маг нитную проницаемость стержней, поскольку это приведет к повышению нелинейности системы уравнений. Для упрощения можно оперировать с магнитными сопротивлениями без выделения из них магнитной проницае мости и геометрических размеров.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.