авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«Федеральное агентство железнодорожного транспорта РФ Иркутский государственный университет путей сообщения В.П. ЗАКАРЮКИН, А.В. КРЮКОВ СЛОЖНОНЕСИММЕТРИЧНЫЕ ...»

-- [ Страница 2 ] --

При холостом ходе на первичной обмотке имеется симметричная & & & система напряжений U11 = U н ;

U12 = a U н ;

U13 = a U н ;

a = e j120 ;

U н – но минальное напряжение катушки. Первые три уравнения системы (2.11) дают следующие соотношения при пренебрежении падениями напряжений на сопротивлениях катушек первичной обмотки и принятии равными чи сел их витков:

Uн & & & & & 2 = ;

3 = a 2 ;

4 = a 2, j w а последние четыре уравнения при этом принимают вид:

w 11&11 R m11 + R m 2 2 = 0;

& & I w 11 &11 w 11 &12 k 72 R m 2 1 (R m 2 + k 72 R m 2 ) 2 + R m 2 3 = 0;

& & & I I w 11 &12 w 11&13 k 72 R m 2 1 k 72 R m 2 2 (R m 2 + k 72 R m 2 ) 3 + R m 2 4 = 0;

& & & & I I w 11&13 R m11 R m1 2 R m1 3 (R m 2 + R m1 ) 4 = 0, & & & & I где R mk - магнитное сопротивление магнитной ветви. Суммирование этих уравнений приводит к возможности определения первого магнитного по тока через второй:

k 72 R m 2 (a 1) & & 1 = 2.

2(R m1 + k 72 R m 2 ) Из этих же уравнений можно выразить значения токов:

&11 = U н R m 2 1 k 72 R m1 (a 1) ;

I 2 j w11 2 (R m1 + k 72 R m 2 ) &12 = U н R m 2 a 2 k 72 (a + 1) ;

I j w 11 &13 = U н R m 2 R m1 k 72 (a 1) +a.

I (2.16) 2 j w 11 2 (R m1 + k 72 R m 2 ) Для получения комплексного сопряжения токов необходимо разде лить вещественные и мнимые части:

&11 = U н ( j R m 2 '+ R m 2 ") 1 k 72 (R m 2 ' + j R m 2 ")( 1.5 + j0.866 ).

I 2[R m 2 ' + k 72 R m 2 ' + j(R m 2 " + k 72 R m 2 " )] w При холостом ходе дополнительно можно записать ~& ~& ~& I11 U11 + I12 U12 + I13 U13 = Pх + jQ х, (2.17) (i х Sн / 100 )2 Pх 2 ;

Sн – где Pх – активная мощность холостого хода;

Q х = номинальная мощность трансформатор;

iх – ток холостого хода в процен тах. Уравнения (2.16) и (2.17) после разделения вещественных и мнимых частей позволяют определить значения Rm1, Rm2.

При коротком замыкании одной из вторичных обмоток на пер вичной обмотке имеется симметричная система напряжений u & & & & & U11 = к U н ;

U12 = a U11 ;

U13 = a U11, где uк – напряжение короткого замыкания в процентах.

Кроме того, можно записать u ~& ~& ~& I11 U11 + I12 U12 + I13 U13 = Pк + j к Sн. (2.17) В последнем уравнении токи нельзя считать равными по величине и сдвинутыми по фазе на 120 градусов.

В общем случае сопротивления Ri+jLi определяются из уравнений (2.11) для короткого замыкания для разных обмоток трансформатора. Од нако эти уравнения ввиду их большой размерности и необходимости раз деления вещественной и мнимой частей громоздки и трудоемки для анали за и создания алгоритма решения.

При подаче на трансформатор напряжения нулевой последова тельности проще всего проводить анализ для ситуации короткого замы кания на вторичной обмотке. При этом на первичной обмотке имеется симметричная система напряжений, определяемая соотношением реактив ных сопротивлений нулевой и прямой последовательностей:

uX & & & & & U11 = к 0 U н ;

U12 = U11 ;

U13 = U11, 100 X где X0, X1 – сопротивления нулевой и прямой последовательностей транс форматора. Однако и в этом случае система (2.11) состоит из десяти урав нений, содержащих шесть неизвестных токов и четыре магнитных потока.

Определение неизвестного Rm1 возможно только при наличии дополни тельного соотношения. Это может быть связь токов с напряжениями с уче том кратности сопротивления нулевой последовательности, однако этот подход является недостаточно определенным. Отношения вида & r x U = r0 + j x 0 = r1 0 + j x 1 0, & I r1 x r x & & & U11 U12 U = 3(r0 + j x 0 ) = 3 r1 0 + j x1 + + r x &11 &12 & I I I 1 нельзя использовать (в частности, ввиду возможного появления состав ляющих прямой последовательности, сопоставимых с составляющими ну левой последовательности). По этой причине приходится оставить пара метры S1 и l 1 при немагнитных крайних ветвях неизвестными и подбирать их в процессе формирования модели трансформатора в программном ком плексе по величине сопротивления нулевой последовательности.

2.4.4. Параметры при немагнитных крайних ветвях Матрица коэффициентов системы уравнений Матрица коэффициентов системы уравнений (2.11) для немагнитных l крайних ветвей с учетом соотношений R m 1 = R m 5 =, R m2 = R m3 = R m4, µ 0 S l7 R i,1 = R i, 2 = R i, 3 = R i, L i,1 = L i, 2 = L i, 3 = L i R m6 = R m7 = R m2 = k 72 R m 2, l2 имеет следующий вид:

I11 I12 … In,3 Ф1 Ф2 Ф3 Ф R1+jL1 0 … 0 0 jw11 0 0 R1+jL1 … 0 0 0 jw12 … … … … … … … … 0 0 … Rn+jLn 0 0 0 jwn, -w11 0 … 0 -Rm1 Rm2 0 w11 -w12 … 0 -k72Rm2 -Rm2(1+k72) Rm2 0 w12 … -wn,3 - k72Rm2 - k72Rm2 -Rm2(1+k72) Rm 0 0 … wn,3 -Rm1 -Rm1 -Rm1 -Rm2-Rm Магнитные сопротивления магнитных ветвей При немагнитных крайних ветвях Rm1Rm2 (не менее чем в 100 раз), величина k72 порядка единицы, поэтому U н R '' (2 + 1.5 k 72 ) 0.866 k 72 R ' jR ' (2 + 1.5 k 72 )+0.866 k 72 R '' m2 m2 m m &= I11 ;

2 w U н R '' (1 + 0.5 k 72 ) R ' k a j R ' (1 + 0.5 k 72 ) + R '' k a ) m2 m2 m2 m &12 = ;

I 2 w [ ]}, { U н R 'm 2 (1 + 1.5 k 72 )+ R 'm 2 k a j R 'm 2 ( 1 1.5 k 72 ) R 'm 2 k a ' ' &13 = I 2 w где k a = 1.732 + 0.866 k 72.

Из уравнения для мощности холостого хода ~& ~& ~& I11 U11 + I12 U12 + I13 U13 = Px + jQ x получаются следующие соотношения:

pх qх R m 2 "= ;

R m2 ' =, 6 + 4k 72 6 + 4 k 2 w 2 Q х 2 w 11 Pх i S где p х =, qх =, Q х = х н Pх.

U2 U2 н н При необходимости можно пересчитать магнитное сопротивление к эффективной динамической комплексной магнитной проницаемости:

R m2 ' j R m2 " l µ r2 ' j µ r2 "=.

µ 0 S2 (R m 2 ' )2 + (R m 2 " ) Параметры короткого замыкания Активные сопротивления катушек без особых погрешностей можно определить через активные мощности короткого замыкания. В случае двухобмоточного трансформатора рассеиваемые на отдельных обмотках мощности равны:

U 1 2R 1S R1 + R 2 2 = Pк = 3I н 3U 2 ;

н U 3Pк U 2 3Pк U 22 U R1 = ;

R2 = = R1, 2 S2 2S2 U н н где Iн – номинальный ток первичной катушки (не обмотки!) трансформа тора;

U1, U2 – номинальные напряжения первичной и вторичной катушек.

Z Z Z Z Z Рис. 2.13. Схема замещения пятиобмоточного трансформатора В случае пятиобмоточного трансформатора (рис. 2.13) можно запи сать, предполагая номинальные токи в той обмотке, к которой подводится напряжение в опыте короткого замыкания4:

U2 U2 3 U 1 P12 3 U 1 P R1 + R 2 = ;

R1 + R 3 = ;

1 U 22 S22 н U2 S2 н 3 U2 2 2 3 U 1 P14 U1 3 U 1 P R1 + R 4 = ;

R1 + R 5 = ;

U 24 S24 н U2 S2 н 5 U 22 3U 22 P23 U 22 U 22 P R2 + R3 =, если S3н S 2 н, или R 2 + R 3 =, U2 S22 н U2 S2 н 3 3 где Sjн – номинальные мощности обмоток. Если номинальные мощности отдельных обмоток меньше номинальной мощности первичной обмотки, то в опыте короткого замыкания соответственно уменьшаются токи пер вичной обмотки и в формулах вместо мощности первичной обмотки в уравнения подставлены соответствующие мощности вторичных обмоток.

Достаточно пяти опытов короткого замыкания.

Для последнего уравнения выбирается меньшая из двух величин S2н или S3н.

При приведении сопротивлений к напряжению первичной обмотки и при переобозначении правых частей уравнений можно записать:

R' + R' = R' ;

R' + R' = R' ;

R' + R' = R' ;

1 2 12 1 3 13 1 4 R ' + R ' = R ' ;

R ' + R ' = R '23 ;

(2.18) 1 15 2 3 U1 Pi j U R i = R i 2 ;

R i j '= '.

Ui S jн Система уравнений (2.18) дает следующие решения для сопротивле ний:

( );

R R ' = 0.5 R ' + R ' R ' = R' R' ;

R' = R' R' ;

' 1 12 13 23 2 12 1 3 13 U R ;

Ri = R i R =R R ;

R =R ' ' ' ' ' ' '. (2.19) i U 4 14 1 15 Аналогичным образом можно определиться и с реактивными сопро тивлениями катушек:

• для двухобмоточного трансформатора 3U 22 u 12 U 3U 1 u X1 = ;

X2 = = X1 ;

U 2 00Sн 2 00Sн • для пятиобмоточного трансформатора U2 U1u 12 3 U 1 u X1 + X 2 2 = = ;

U 2 100 I н 100S2 н X '1 + X '2 = Q '12 ;

X '1 + X '3 = Q '13 ;

X '1 + X '4 = Q '14 ;

X '1 + X '5 = Q '15 ;

X '2 + X '3 = Q '23 ;

U2 3U 2 u i j 3U 2 u 23 3U 2 u X i = Xi ;

Qij = ;

Q 23 ' = или Q 23 ' = ' ;

' 1 1 1 U2 100 S jн 100 S 2 н 100 S3н i X '1 = 0.5(Q '12 + Q '13 Q '23 ) ;

X '2 = Q '12 X '1 ;

X '3 = Q '13 X '1 ;

U X X 4 = Q 14 X 1 ;

X 5 = Q 15 X 1 ;

X i = X i ' i 2 ;

L i = i. (2.20) ' ' ' ' ' ' U Вычисления по формулам (2.20) приводят к заметным погрешностям (порядка 5% в токе и мощности короткого замыкания при задании напря жения короткого замыкания) из-за пренебрежения падением напряжения на активном сопротивлении. Снизить эти погрешности до 1% можно кор ректировкой напряжения короткого замыкания на падение напряжения на активном сопротивлении после вычисления последнего.

Напряжение на первичной обмотке при коротком замыкании вто ричной обмотки равно U ( ) (u U1 ) = u '12 U S + I 1н R 1 + R 2 2 ;

I 1н = 1н, U 3 U u '12 - доля напряжения короткого замыкания за счет индуктивного сопро тивления, которую и надо использовать в соотношениях (2.20). Отсюда получается P I1н R 1 j = u 2j 1j, u '1 j = u 1 j (2.21) U S jн P I 2 н R = u 223 23.

u 23 = u ' (2.22) U S 2 ( 3) н Для вычисления коэффициентов матрицы на основе режима корот кого замыкания потребуются параметры короткого замыкания первичной обмотки со всеми вторичными и короткого замыкания второй обмотки с третьей. Чтобы ввести возможность расчета на частотах, отличных от Гц, необходим пересчет реактивных сопротивлений пропорционально час тоте.

При контроле параметров вновь создаваемой в редакторе элементов модели следует определять расчетом режима получающиеся параметры холостого хода и короткого замыкания, а также сопротивления прямой и нулевой последовательностей при подаче на входы напряжений прямой и нулевой последовательностей. При коротком замыкании на одной из вто ричных обмоток соответствующее сопротивление вычисляется как среднее значение из трех отношений напряжения на фазе первичной обмотки к втекающему току.

Параметры крайних немагнитных ветвей Самым простым решением проблемы является принятие равенства µr2=1 с априорным заданием величин S1 и l 1. Для практического примене ния это самое рациональное решение, при котором можно подбирать пло щадь сечения и длину для совпадения получаемого сопротивления нулевой последовательности с заданным значением.

Пример расчета модели трансформатора. Трансформатор типа ТДЦ 125000/121/10.5-Y/D имеет параметры UК=10.5%, PК=400 кВт, PХ=120 кВт, IХ=0.55%.

Сопротивления симметричной нагрузки трансформатора на стороне 10 кВ при соеди нении фаз нагрузки в звезду равны 9.962+j7.470 Ом.

Сопротивления трансформатора и нагрузки, приведенные к стороне 110 кВ, рав PК U Н UКUН ны X Т = =11.1 Ом, R Т = =0.339 Ом;

Z H =1323+j992 Ом.

100S Н SН Сопротивление прямой последовательности системы, приведенное к стороне кВ, составляет Z =1323.4+j1003.1 Ом, так что ток нагрузки при напряжении на шинах бесконечной мощности 121 кВ равен U нф / Z =69860/1660.6=42.07 А, или 484.8 А по стороне 10.5 кВ.

Расчеты параметров модели трансформатора приводят к следующим величинам.

Сопротивления обмоток составляют 0.1874+j6.1465 Ом для первичной обмотки и 0.004234+j0.13885 Ом для вторичной;

магнитное сопротивление R m 2 =687.24+j121. 1/Гн. Эти параметры приводят к значениям сопротивлений решетчатой схемы, анало гичной рис. 2.9б, приведенным в табл. 2.2. В этой же таблице приведены и токи по вет вям решетчатой схемы. В табл. 2.3 приведены проводимости шунтов решетчатой схе мы, получающиеся из-за заземления ряда узлов трансформатора.

Таблица 2. Сопротивления решетчатой схемы замещения трансформатора и параметры режима Ветвь меж- Акт. сопротив- Реакт. сопротив- Ток ветви, Ток ветви, А ду узлами ление ветви, Ом ление ветви, Ом град.

1-2 -1,1177283 -236,1640634 512,35 120, 1-3 -1,08671803 -236,3476199 511,96 -119, 1-4 0,05630731 1,84787967 34990 - 1-5 -7921,52408 -44364,92251 1,56 105, 1-6 -0,05629855 -1,84795501 40635,7 89, 2-3 -1,1177283 -236,1640634 512,35 0, 2-4 -0,05630804 -1,84787142 40638,1 -30, 2-5 0,05630804 1,84787142 34990 149, 2-6 3,62E+14 1,25E+16 0 3-4 7921,52408 44364,92251 1,56 45, 3-5 -0,05630731 -1,84787967 40637,6 -150, 3-6 0,05629855 1,84795501 34988,6 -150, 4-5 0,00846995 0,27767703 37612,1 -28, 4-6 0,00847269 0,27765316 37612,3 91, 5-6 0,00847269 0,27765316 37612,7 -148, Расчеты режима решетчатой схемы с нагрузками дают значения токов фаз 484.45 А, -7.2 град.;

484.44 А, -127.2 град.;

484.25 А, 112.8 град.

Таблица 2. Проводимости шунтов решетчатой схемы замещения и параметры режима Акт. проводи- Реакт. проводи Узел U, кВ Град.

мость, См мость, См 1 0,002539414 0,093981966 69,86 2 0,002539946 0,093984889 69,86 - 3 0,002539414 0,093981966 69,86 4 -0,000003542 -0,000019447 6,033 6, 5 0,000003542 0,000019447 6,032 6, 6 0 0 6,032 6, 2.4.5. Параметры модели пятистержневого трансформатора Матрица коэффициентов системы уравнений Предполагая крайние стержни изготовленными из того же материа ла, что и средние стержни, но с другой площадью сечения, получим такие соотношения между магнитными сопротивлениями магнитных ветвей:

lk Rmk =, если k = 1, 5 ;

µ 0 (µ r ' µ r " ) S lk Rmk =, если k = 2, 3, 4, 6, 7.

µ 0 (µ r ' µ r " ) S Матрица коэффициентов системы уравнений (2.12) для магнитных крайних ветвей имеет следующий вид:

I11 I12 … In,3 Ф1 Ф2 Ф3 Ф R1+jL1 0 … 0 0 jw1 0 0 R1+jL1 … 0 0 0 jw12 … … … … … … … … 0 0 … Rn+jLn 0 0 0 jwn, -w11 0 … 0 -kSRm2 Rm2 0 w11 -w12 … 0 -k72Rm2 -Rm2(1+k72) Rm2 0 w12 … -wn,3 - k72Rm2 - k72Rm2 -Rm2(1+k72) Rm 0 0 … wn,3 - kSRm2 - kSRm2 - kSRm2 -Rm2(1+ kS) где R m1 = R m5 = R m 2 k S, k S = S 2 / S1.

Магнитные сопротивления магнитных ветвей Уравнения холостого хода могут быть записаны следующим обра зом:

Uн 2 (A11 + jB11 ) ;

&11 = I 2 w Uн (A12 + jB12 ) ;

&12 = I 2 w Uн (A13 + jB13 ), &13 = I 2 w A11 = R m 2 "(2 + 1.5 k S72 ) R m 2 ' 0.866 k S72 ;

где [ ] B11 = R m 2 ' (2 + 1.5 k S72 )+ R m 2 " 0.866 k S72 ;

A12 = R m 2 " (1 + 0.5 k 72 ) R m 2 ' k a ;

B12 = [R m 2 " k a R m 2 ' (1 + 0.5 k 72 )] ;

A13 = R m 2 " (1 + 1.5 k S72 ) + R m 2 ' (1.732 + 0.866 k S72 ) ;

B13 = [ R m 2 " (1.732 + 0.866 k S72 ) R m 2 ' (1 + 1.5 k S72 ] ;

k S k k S72 = ;

k a = 1.732 + 0.866 k 72.

(k S + k 72 ) Из уравнения для мощности холостого хода ~& ~& ~& Pх + jQ х = I11 U11 + I12 U12 + I13 U могут быть получены соотношения:

pх qх R m2 "= ;

R m2 '=, 6 + 3 k S72 + k 72 6 + 3 k S72 + k 2 w 11 Pх 2 w 2 Q х где p х = ;

qх = ;

Q х = (i х Sн ) 2 Pх.

2 Uн Uн Вычисление активных сопротивлений и индуктивностей рассеивания производится по формулам (2.19), (2.20).

2.5. Моделирование асинхронного двигателя 2.5.1. Основные положения моделирования По сравнению со статическими элементами асинхронный двигатель (АД) представляет собою более сложный объект. Несимметрия отвечаю щей двигателю матрицы сопротивлений приводит к затруднениям при мо делировании на основе решетчатой схемы с RLC-элементами. Сложности связаны с наличием двух вращающихся магнитных полей (в прямом и в обратном направлениях). При несимметрии питающих напряжений в асин хронном двигателе протекают синусоидальные процессы на трех частотах:

на частоте 50 Гц, частоте скольжения s и на частоте порядка 100 Гц.

Достаточно хорошо изучено поведение асинхронного двигателя при симметричном трехфазном напряжении, когда двигатель может быть пред ставлен однолинейной схемой замещения [28, 87]. Асинхронные двигатели могут иметь разные параметры схем замещения при пуске и при работе с малыми скольжениями. Кроме того, существует несколько вариантов схем замещения. С точки зрения расчетов режима в фазных координатах, когда нужно учитывать параметры двигателя при малых скольжениях и при скольжении, близком к 2 (режим электромагнитного тормоза), целесооб разно сделать следующие допущения.

Во-первых, удобно воспользоваться схемой замещения асинхронного двигателя с выносом намагничивающей цепи на первичные зажимы по рис. 2.14а. При этом предполагается, что при пуске и скольжении 2-s (для напряжения обратной последовательности) схема замещения будет иметь другие параметры цепи ротора, рис. 2.14б. На рис. 2.14 показаны элементы ветви намагничивания Rµ, Xµ, сопротивления статора R1, X1 и эквивалент ные приведенные сопротивления ротора R2/s, X2, а также соответствующие пусковые параметры R2p/s, X2p.

Во-вторых, предполагается, что в режимах пуска и электромагнитно го тормоза (для обратной последовательности напряжений) квадрат реак тивного сопротивления много больше квадрата активного сопротивления.

a) б) X1 R1 X1 R.

.

Iг Iг Xµ X2 Xµ X 2p..

U1 U Rµ R2/s Rµ R 2p / s Рис. 2.14. Схемы замещения прямой и обратной последовательностей В третьих, в отношении ветви намагничивания принят двойной под ход. При известных параметрах холостого хода (cos х и активная мощ ность Pх) определяются параметры ветви намагничивания, а при неизвест ных параметрах холостого хода ветвь намагничивания будет игнориро ваться.

В четвертых, определение параметров элементов схем рис. 2.14 про изводится из номинального КПД, номинального тока Г-образной части схемы замещения IГн и номинального cos н.

В пятых, по значениям напряжений прямой и обратной последова тельностей и заданной механической мощности двигателя определяются токи прямой и обратной последовательностей. При этом двигатель моде лируется источниками тока, соединенными звездой (рис. 2.15). Значения токов источников корректируются на каждом шаге итерационного процес са.

A B N C Рис. 2.15. Схема замещения в фазных координатах Нейтраль двигателя считается изолированной, и токи нулевой после довательности в цепях двигателя не возникают.

Сформулированные условия исключают возможность использования такой модели асинхронного двигателя для расчета режимов на гармониках.

2.5.2. Алгоритм определения параметров модели 2.5.2.1. Параметры схемы номинального режима Параметры схемы номинального режима для прямой последова тельности по рис. 2.14а определяются из величин КПД, номинального тока IГн и номинального cos н.

Если известны активная мощность Pх и cos х холостого хода двига теля, то по ним можно определить параметры ветви намагничивания и протекающий по ней ток:

3 U1 cos x 2 Zµ =, R µ = Z µ cos x, X µ = Zµ R µ. (2.23) Px По схеме рис. 2.14а механическая мощность на валу двигателя в но минальном режиме определяется активной мощностью, рассеиваемой на активном элементе сопротивлением R2(1-sн)/sн, где sн – номинальное скольжение [87]. Коэффициент полезного действия определяется следую щими составляющими потерь:

• механические потери в роторе Pм ;

U • потери в стали статора 12 R µ ;

Zµ • дополнительные потери в статоре Pд ;

• потери в меди на элементах R1 и R2.

Коэффициент полезного действия номинального режима определя ется отношениями полезной и полной мощностей:

Pн = ;

3U Pн + Pм + Pд + 3I Гн (R 1 + R 2 ) + Rµ Zµ 1 Pм + Pд 3U1 R µ P 1.

R 0 = R1 + R 2, R0 = н 2 (2.24) Pн Zµ Pн 3I Гн & Ток ветви намагничивания при отсчете векторов от напряжения U равен UR UX U &= = I µ '+ j I µ " = 2 1 µ 2 j 2 1 µ 2.

Iµ (2.25) R µ + jX µ R µ +X µ R µ +X µ Ток двигателя при номинальной нагрузке Pн P & н = I н '+ j I н " = j н 1, I (2.26) 3 U1 3 U1 cos 2 н Pн где - активная мощность, потребляемая в номинальном режиме.

Номинальный ток и коэффициент мощности Г-образной части схемы рис. 2.14а определяются по выражениям:

(I 'I µ ') + (I н "I µ ") ;

I Гн = 2 (2.27) н I н 'I µ ' cos Гн =. (2.28) I Гн Если же параметры холостого хода двигателя неизвестны, то можно Pн приближенно принять I Гн =, пренебрегая намагничивающим 3 U1 cos н током и считая cos Гн =cos н.

В соответствии со схемой замещения рис. 2.14а получается:

& U &Г =, X к = X1 + X 2, I R R1 + + jX к s U I Гн =, (2.29) (R 1 + R 2 / s н ) 2 + X к R1 + R 2 / sн R cos Гн = =, (2.30) R + Xк 2 R R1 + 2 + Xк sн R = R1 + R 2 / sн. (2.31) Система уравнений (2.24), (2.29), (2.30) решается простой подста новкой. Из уравнения (2.30) определяется Xк = R 2 1, cos 2 Гн U Z = 1 = R 2 + X к, так что а из уравнения (2.29) получается I Гн R = Z cos Гн.

Из соотношений (2.24) и (2.31) определяются составляющие R 1 и R2:

s н (R R 0 ) R2 = ;

R1 = R 0 R 2.

1 sн При определении R0 по соотношению (2.24) можно принять [87], что добавочные потери составляют 0.5% от подводимой мощности, а механи ческие потери равны 1.0% от номинальной мощности.

2.5.2.2. Параметры пускового режима Обозначив X1 + X 2 p = X кp и предполагая, что (R 1 + R 2 p ) 2 X кp, по лучим U X кp =, K П I Гн где K П – кратность пускового тока. Из уравнения для пускового электро магнитного момента [87] при условии (R 1 + R 2 p ) 2 X кp и пренебрежении ветвью намагничивания получается соотношение 2 M П X кp 3 U 1 R 2p p MП = =, или R 2 p, X2 p 3U2 кp p – количество пар полюсов двигателя. Пусковой момент определяется из MП k MП = кратности пускового момента и номинального момента Mн 2Pн p Mн =, откуда (1 + )2 f 2 k MП Pн X R 2p = кp.

3 U 1 (1 + ) Множитель позволяет с небольшой погрешностью пересчитать 1+ полезную механическую мощность в электромагнитную мощность двига теля.

2.5.2.3. Влияние приводимого механизма на режим двигателя При рассмотрении режима работы сети с асинхронной нагрузкой нельзя ограничиваться одним двигателем, необходимо рассматривать два связанных объекта – двигатель и приводной механизм. Развиваемая двига телем полезная механическая мощность тратится на приведение во враще ние вала механизма. Изменение режима двигателя из-за влияния электри ческой системы изменяет, в общем случае, скорость вращения приводимо го механизма, что приводит в конечном итоге к вариации режима ЭС в це лом. Состояние приводимого механизма характеризуют механическим вра щающим моментом Mмех, который является одновременно и полезным ме ханическим моментом двигателя.

Момент приводимого механизма зависит от частоты вращения Mмех(). Механизмы, приводимые от двигателей, имеют три основные ха рактеристики Mмех() [26]:

• не зависящий от скорости вращения момент M мех = k з M н = const, характерный для шаровых мельниц, дробилок и поршневых компрессоров, где M н – номинальный момент;

• момент, линейно зависящий от скорости вращения:

M мех = k з M ст + (M н M ст ), н M где k з = – коэффициент загрузки;

M ст = M мех (0) – статический момент Mн сопротивления;

= 1 (1 s) – угловая скорость вращения;

н = 1 (1 s н ) – номинальная угловая скорость вращения;

1 – синхронная скорость;

• момент, зависящий от квадрата скорости вращения механизма:

= k з M ст + (M н M ст ), M мех н такая зависимость характерна для насосов5.

В первом случае механическая мощность связана со скольжением следующим соотношением:

(1 s) Pм = M мех = M мех 1 (1 s ) = k з Pм н, (1 s н ) где Pм н – номинальная мощность механизма при номинальной частоте вращения.

Во втором случае, с учетом Pм н = M н 1 (1 s н ), M (1 s) M 1 s + 1 ст.

Pм = k з Pм н ст M н 1 s н M н (1 s н ) В третьем случае M (1 s) M 1 s + 1 ст.

Pм = k з Pм н ст M н 1 s н M н (1 s н ) Указанные равенства в совокупности с зависимостью механической мощности от напряжения определяют статические характеристики двига теля. Зависимости механической мощности от скольжения, однако, во всех трех случаях получаются сложными для использования при расчетах ре жимов. Можно попытаться предположить постоянство механической мощности. Погрешности такого предположения определяются отклонени ем текущего скольжения от номинального, и при механическом моменте не выше номинального, то есть при скольжении не выше номинального, оцениваются так:

• в первом случае погрешности не выше номинального скольжения, то есть не более 8% для маломощных двигателей, или не более 2..3% для двигателей мощностью более 5 кВт;

Для воздуходувок M мех = k з M н, при этом M ст = 0.

н • во втором случае примерно в полтора раза больше, чем в первом, если статический момент сопротивления близок к половине номинального;

• в третьем случае примерно в два с половиной раза больше, чем в первом, что может составить заметную величину и сказаться на итераци онном процессе решения уравнений установившегося режима, если ввести учет изменения механической мощности на шагах итерации, но не вводить соответствующие производные в матрицу Якоби.

Если механический момент выше номинального, то соотношения по грешностей для разных случаев сохраняются. Для первого случая погреш ности определяются разницей текущего и номинального скольжения. Пре дельная величина этой разницы равна s кр s н, где s кр - критическое сколь жение. Эта разница может достигать 33% для маломощных двигателей и 10..20% для двигателей большой мощности. Таким образом, предположе ние о независимости механической мощности от s при скольжениях выше номинального могут приводить к существенным погрешностям. Очевидно, что этим предположением нельзя пользоваться для расчетов режимов при скольжениях, близких к критическим.

Вместо предположения постоянства механической мощности целе сообразно использовать линейную зависимость мощности от частоты. При этом формула для мощности при условии M мех = k з M н = const остается той же, что и выше. Во втором случае, при пропорциональности момента час тоте вращения, зависимость P = P(s ) может быть аппроксимирована сле дующим образом:

M (1 s) M ст 1 2s + 1 Pм = k з Pм н ст.

M н (1 s н ) M н (1 s н ) При этом погрешностью не превышает 7..8% при больших скольже ниях и будет гораздо меньше при малых скольжениях В третьем случае, при пропорциональности момента квадрату часто ты вращения, указанная зависимость аппроксимируется так:

M (1 s) M ст 1 3s + 1 Pм = k з Pм н ст.

M н (1 s н ) M н (1 s н ) 2.5.2.3. Несимметричный режим работы асинхронного двигателя Режим работы двигателя при несимметричном напряжении будет определяться величиной механической мощности на валу Pм и значениями & & & напряжений U a, U b, U c на зажимах. Эти напряжения определяют напря жение прямой последовательности ( ) 1& & & & U1 = U a + a U b + a U c и обратной последовательности ( ) 1& & & & U2 = Ua + a Ub + a Uc, o где a = e j120.

Механическая мощность слагается из полезной механической мощ ности, создаваемой прямой последовательностью, и тормозной механиче ской мощности обратной последовательности, Pм = Pм1 + Pм 2.

Если предполагать, что механическая мощность не зависит от s, то подход к определению скольжения при несимметричном режиме может быть таким.

Величина механической мощности Pм1 соответствует электрической 1 s мощности, рассеиваемой на элементе сопротивлением R 2, за счет на s пряжения прямой последовательности:

1 s 3 U1 R s Pм1 =, R R1 + + Xк s а величина Pм2 определяется скольжением (2-s) и параметрами схемы пус кового режима:

1 s 3 U 2 R 2p 3 U 2 R 2 p (1 s) 2s Pм 2 = Pм Pм1 =.

( 2 s) 2 X кp R 2p R1 + + X кp 2s Эти уравнения сравнительно легко разрешаются относительно скольжения. Суммируя уравнения, получим уравнение для определения скольжения:

3 U 2 R 2 (1 s )s 3 U 22 R 2 p (1 s) Pм =.

(R s + R ) ( 2 s) + s2X X 1 2 кp к При введении обозначений 3U2R 2 3 U 22 R 2 p Z1 = R 1 + X к, Z 2 =, k2 = 2 2 2 Pм X Pм кp можно записать s 3 + c 2 s 2 + c1s + c 0 = 0, (2.32) (2 + k 22 )Z 1 + 2(1 + k 22 )R 1R 2 3Z где c 2 = ;

(1 + k )Z + Z 2 2 2(2 + k 22 )R 1R 2 + (1 + k 22 )R 22 + 2Z 22 (2 + k 2 )R 2 c1 = ;

c0 =.

(1 + k 22 ) Z 1 + Z 22 (1 + k 2 ) Z1 + Z 2 2 c Заменой переменной y = s + уравнение (2.32) преобразуется к ви ду y 3 + py + q = 0, 3c1 c 22 2c 32 c1 c где p =, q= + c0.

3 27 3 p q Дискриминант D = + последнего уравнения при значениях 3 параметров, имеющих место на практике, и величине механической мощ ности, не превышающей номинальной, всегда отрицателен. Это соответст вует наличию трех действительных решений кубического уравнения. Кор ни уравнения (2.32) определяются введением двух новых переменных q p, cos = = по соотношениям:

+ 2 + y1 = 2 3 cos, y 2 = 2 3 cos, y 3 = 2 3 cos.

3 3 c Обратный переход осуществляется по формуле s k = y k.

В табл. 2.2 представлены значения корней уравнения (2.32) для раз ных режимов работы двигателя.

Таблица 2. Параметры и скольжение асинхронного двигателя в разных режимах Тип Pн,кВт Uн, кВ н,% cosн sн Мп/Мн Iп/Iн Pм,кВт U1,кВ U2,кВ s1 s2 s 4А71В2У3 1,1 0,220 77,5 0,87 0,063 2,00 5,50 1,10 0,220 0,000 2,0000 0,0630 0, 4А71В2У4 1,1 0,220 77,5 0,87 0,063 2,00 5,50 0,55 0,220 0,000 2,0000 0,0182 0, 4А71В2У5 1,1 0,220 77,5 0,87 0,063 2,00 5,50 0,55 0,220 0,100 1,5586 0,0306 0, 4А160S2У3 15,0 0,220 88,0 0,91 0,021 1,40 5,50 15,00 0,220 0,000 2,0000 0,0210 0, 4А160S2У4 15,0 0,220 88,0 0,91 0,021 1,40 5,50 7,50 0,220 0,000 2,0000 0,0078 0, 4А160S2У5 15,0 0,220 88,0 0,91 0,021 1,40 5,50 7,50 0,220 0,100 1,6399 0,0108 0, 4А200L2У3 45,0 0,220 91,0 0,90 0,018 1,40 5,50 45,00 0,220 0,000 2,0000 0,0180 0, 4А200L2У4 45,0 0,220 91,0 0,90 0,018 1,40 5,50 22,50 0,220 0,000 2,0000 0,0069 0, 4А200L2У5 45,0 0,220 91,0 0,90 0,018 1,40 5,50 22,50 0,220 0,100 1,6398 0,0094 0, 4А200M6У3 22,0 0,220 90,0 0,90 0,023 1,30 5,50 22,00 0,220 0,000 2,0000 0,0230 0, 4А200M6У4 22,0 0,220 90,0 0,90 0,023 1,30 5,50 11,00 0,220 0,000 2,0000 0,0086 0, 4А200M6У5 22,0 0,220 90,0 0,90 0,023 1,30 5,50 11,00 0,220 0,100 1,6595 0,0116 0, Первый корень соответствует режиму торможения за счет обратной последовательности, второй – минимальному скольжению рабочего режи ма и третий – значению скольжения на спаде вращающего момента. Из этих трех значений нужен только второй корень, поскольку первое значе ние рассматривается отдельно для тормозного момента, а третье отвечает нестационарному режиму.

При предположении постоянства механического вращающего момента при изменении скорости вращения механическая мощность за висит от скорости вращения:

3 U 2 R 2 (1 s)s 3 U 22 R 2 p (1 s) (1 s) Pм = = k з Pм н, (R s + R ) ( 2 s) (1 s н ) + s2X X 1 2 кp к что также приводит к кубическому уравнению (четвертый корень s=1 со ответствует заторможенному двигателю):

3 U 22 R 2 p 3 U 1 R 2s k з Pм н =.

(R s + R ) (2 s) (1 s н ) + s2X X 1 2 кp к Из этого уравнения при введении обозначений Z2 = R 2 + X 2, 1 1 к 3 U 2 R 2 (1 s н ) Z2 =, 2 k з Pм н 3 U 22 R 2 p (1 s н ) Z 2p = k з Pм н можно получить s 3 + c 2 s 2 + c1s + c 0 = 0 ;

(2 + k 22 )Z 1 + 2R 1R 2 Z 2 c2 = ;

Z 2(2 + k 22 )R 1 R 2 + R 22 + 2Z c1 = ;

Z (2 + k 22 )R c0 =.

Z В табл. 2.3 представлены значения корней уравнения для разных ре жимов работы двигателя в сравнении со значениями предыдущего случая.

Таблица 2. = const Параметры и скольжение двигателя при M мех Тип sн Pм,кВт U1,кВ U2,кВ s1 s2 s3 s1(1) s2(1) s3(1) s1,% s2,% s3,% 4А71В2У3 0,063 1,10 0,220 0,000 2,0000 0,0630 0,1260 2,0000 0,0630 0,1001 0,0 0,0 -20, 4А71В2У4 0,063 0,55 0,220 0,000 2,0000 0,0193 0,4114 2,0000 0,0182 0,2873 0,0 -5,5 -30, 4А71В2У5 0,063 0,55 0,220 0,100 3,0344 0,0317 0,2372 1,5586 0,0306 0,1996 -48,6 -3,5 -15, 4А160S2У3 0,021 15,00 0,220 0,000 2,0000 0,0210 0,0800 2,0000 0,0210 0,0713 0,0 0,0 -10, 4А160S2У4 0,021 7,50 0,220 0,000 2,0000 0,0079 0,2121 2,0000 0,0078 0,1733 0,0 -1,5 -18, 4А160S2У5 0,021 7,50 0,220 0,100 2,6613 0,0109 0,1504 1,6399 0,0108 0,1333 -38,4 -1,0 -11, 4А200L2У3 0,018 45,00 0,220 0,000 2,0000 0,0180 0,0674 2,0000 0,0180 0,0614 0,0 0,0 -8, 4А200L2У4 0,018 22,50 0,220 0,000 2,0000 0,0070 0,1746 2,0000 0,0069 0,1479 0,0 -1,3 -15, 4А200L2У5 0,018 22,50 0,220 0,100 2,6413 0,0095 0,1255 1,6398 0,0094 0,1137 -37,9 -0,8 -9, 4А200M6У3 0,023 22,00 0,220 0,000 2,0000 0,0230 0,0814 2,0000 0,0230 0,0726 0,0 0,0 -10, 4А200M6У4 0,023 11,00 0,220 0,000 2,0000 0,0087 0,2139 2,0000 0,0086 0,1751 0,0 -1,7 -18, 4А200M6У5 0,023 11,00 0,220 0,100 2,6147 0,0117 0,1556 1,6595 0,0116 0,1379 -36,5 -1,2 -11, Закономерности изменения скольжения здесь те же, что и в преды дущем случае, однако численные значения существенно изменяются, осо бенно для маломощных двигателей с большими номинальными скольже ниями. Тем не менее различия для практически важного второго значения корня не превышают 6% даже для маломощных двигателей. Реализация алгоритма двух случаев одинакова, а этот вариант отвечает одной из ха рактеристик реальных приводимых механизмов, поэтому он предпочти тельнее.

2.5.3. Алгоритм расчета модели двигателя на шаге итерации Предполагается, что расчеты установившихся режимов электриче ских систем с асинхронными двигателями производятся в двух вариантах.

Первый вариант предполагает расчет начала переходного процесса при достаточно быстром изменении напряжений на двигателе, когда развивае мая двигателем механическая мощность и скорость вращения вала еще не успели измениться из-за сравнительно большой инерции механической системы. Частота вращения вала двигателя при этом определяется задан ным начальным приближением напряжений в узлах двигателя, поэтому эти исходные данные должны быть тщательно выверены. Исходными данны & & & ми при этом являются начальные приближения напряжений U a, U b, U c в узлах двигателя и механическая мощность на валу двигателя, соответст вующая этим напряжениям. Этот вариант расчета соответствует расчетам токов коротких замыканий с учетом подпитки асинхронными машинами.

Второй вариант предполагает расчет режима по окончании переход ного процесса после установления новых значений частоты вращения, мо мента и механической мощности двигателя в соответствии с его статиче ской характеристикой.

Расчетная модель асинхронного двигателя представляет собой три источника тока, соединенные звездой с изолированной нейтралью. В нача ле расчета по формулам предыдущих разделов вычисляются параметры схем замещения по рис. 2.14.

На каждом шаге итерационного процесса производится расчет токов источников по напряжениям прямой и обратной последовательностей.

Алгоритм расчета выглядит следующим образом.

& & & 1. По заданным начальным приближениям напряжений U a, U b, U c определяются напряжения прямой и обратной последовательностей ( ) ( ) 1& 1& o & & & & & & U1 = U a + a U b + a U c, U 2 = U a + a U b + a U c, a = e j120.

2 3 Напряжение нейтрали учитывать нет необходимости, поскольку до бавление (или вычитание) одинаковых напряжений к трем фазным напря жениям влияет только на напряжение нулевой последовательности, кото рое не создает токов вследствие изолирования нейтрали.

2. По формулам раздела 2.5.2 рассчитывается рабочее скольжение двигателя, определяемое начальными приближениями напряжений. При этом в качестве расчетного принимается второй корень кубического урав нения + 2 c s 2 = 2 3 cos.

Механическая мощность двигателя Pм равна сумме механической мощности прямой последовательности и тормозной механической мощно сти обратной последовательности, Pм = Pм1 + Pм 2.

&& 3. По формулам (2.25) и (2.28) с учетом фаз напряжений U 1, U 2 рас считывается ток прямой последовательности для схемы рис. 2.14а при скольжении s & 1 = & µ 1 + & Г II I и ток обратной последовательности для схемы рис. 2.14б при скольжении (2-s) &2 = &µ2 + &Г2.

II I При этом U '1 R µ + U '1' X µ U '1' R µ U '1 X µ & U & µ1 = = I µ1 + j I µ1 = +j ' '' I ;

R µ + jX µ R 2 +X 2 R 2 +X µ µ µ µ R U '1 R 1 + 2 + U '1' X к & U1 s = &= = I 'Г1 + j I 'Г1 + ' I Г R R R 1 + 2 + jX к R1 + +X к s s ;

R U 1 R 1 + 2 U '1 X к '' s +j R R1 + +X к s U '2 R µ + U '2 X µ U '2 R µ U '2 X µ & ' ' U &µ2 = = I µ 2 + jI µ 2 = +j ' '' I ;

R µ + jX µ R 2 +X 2 R 2 +X µ µ µ µ & U &Г2 = = I 'Г 2 + j I 'Г 2 = I ' R R 1 + 2 p + j X кp 2s ' R U '2 R 1 + 2 p U '2 X кp 2s U 2 + U 2 X кp ' '' +j =.

2 R R R 1 + 2p +X 2 R 1 + 2p +X 2s 2s кp кp 4. По симметричным составляющим тока определяются токи источ ников, замещающих двигатель:

J a = & 1 + & 2 ;

J b =a & 1 + a & 2 ;

J c =a & 1 + a & 2 ;

&II& I& 2 I I I J a = & 1 + & 2 ;

J b =a & 1 + a & 2 ;

J c =a & 1 + a & 2.

&II& I& 2 I I I 5. По полученным токам источников производится расчет очередно го приближения напряжений в узлах сети. При невыполнении условия окончания итераций производится пересчет напряжений прямой и обрат ной последовательностей и в первом варианте производится переход на пункт 3. В остальных вариантах расчета перед переходом на пункт 3 по те кущим значениям напряжений прямой и обратной последовательностей пересчитываются скольжение двигателя.

Расчеты потерь в двигателе производятся по окончании итерацион ного процесса путем вычисления потоков мощности в узлы, к которым подключен двигатель, с вычитанием механической мощности:

( ) &~ &~ &~ P = Re U a Ja + U b Jb + U c Jc Pм, ( ) &~ &~ &~ Q = Im U a Ja + U b Jb + U c Jc.

Эти параметры определяются потерями на нагрев двигателя и гене рацией, которая может возникать в начале переходного электромеханиче ского процесса. Прямые тепловые потери определяются потерями на рези стивных элементах схем замещения прямой и обратной последовательно стей.

Выводы На основе уравнений связи падений напряжений с токами разрабо тан единый методологический подход к построению моделей статических многопроводных элементов для расчетов сложнонесимметричных режи мов, отличающийся математической строгостью и физической интерпре тируемостью получаемых моделей, реализуемых набором RLC-элементов, соединенных по схеме полного графа. Матрица проводимостей полносвяз ной решетчатой схемы замещения может быть получена на основе обоб щенной матрицы инциденций простой структуры. Предложенное матрич ное преобразование описывает процедуру построения модели сложной электрической сети в фазных координатах на основе решетчатых схем за мещения отдельных элементов. Разработанная модель является обобщени ем понятия компаунд-сети при снятии ограничений на число узлов отдель ных элементов.

На основе единого методологического подхода получены модели следующих элементов электрических систем:

• универсальные модели многопроводных воздушных линий раз личного конструктивного исполнения, включая линии с грозозащитными тросами, современные системы изолированных проводов, контактные сети железных дорог переменного тока со смежными проводами и технологиче ские ЛЭП железнодорожного транспорта, использующие в качестве токо ведущих частей тяговые рельсы;

• модели кабельных линий, располагаемых в земле и в надземных конструкциях;

• модели однофазных трансформаторов, трехфазных трехстержне вых и пятистержневых трансформаторов с учетом замыканий магнитного потока через стенки бака;

• модель асинхронной нагрузки, применимая для расчета несиммет ричных установившихся режимов, а также для определения токов и на пряжений в момент начального нарушения режима при сложно несимметричных повреждениях в электрической сети.

Полученные модели обеспечивают эффективное решение задачи по строения модели сложной электрической сети для расчета любых несим метричных режимов в фазных координатах.

Модели линий и трансформаторов представляют собой полносвяз ные решетчатые схемы, а модель асинхронного двигателя реализована на основе объединения трех источников тока.

3. УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА В ФАЗНЫХ КООРДИНАТАХ 3.1. Постановка задачи и основные предположения Традиционно применяемая однолинейная постановка задачи расчета режима трехфазной сети [2, 3, 15, 18, 25, 33, 36, 62, 77, 127, 156] значи тельно упрощает представление нагрузок и генераторов, которые включа ются по отношению к общему заземленному узлу. При анализе режима в фазных координатах требуется учет нагрузок и генераторов, включенных между незаземленными узлами, что меняет структуру уравнений устано вившегося режима (УУР). Кроме того, необходимо иметь возможность включения в ветви источников ЭДС и токов, двухполюсников с заданным модулем напряжения между узлами или с фиксированным углом падения напряжения в ветви.

Все дальнейшие формулы записаны в алгебраической форме ком плексных чисел при использовании декартовых координат с обозначением одним штрихом действительной части комплексного числа и двумя штри хами – мнимой части. Предполагается наличие в системе n узлов в трехли нейной постановке задачи. В качестве базисного принимается (n+1)-й узел с нулевым потенциалом – земля.

Двухполюсники нагрузок в узле k, включенные между данным уз лом и землей, могут быть с неизменной активной Pнk и реактивной Qнk мощностями и с мощностями, заданными полиномиальными моделями статических характеристик (рис. 3.1):

Uk Uk a + a ;

= Pн 0 k 0 k + a2k (3.1а) Pн k 1k U ном k U ном k Uk Uk b + b.

= Qн 0 k 0 k + b2 k (3.1б) Qн k 1k U ном k U ном k & В уравнениях (3.1) a 0 k + a1 k + a 2 k = 1, b0 k + b1 k + b 2 k = 1, U k =| U k |, & U k = U k '+ jU k ", U k = U k '2 + U k "2.

Рис.3.1. Статические характеристики нагрузки Для нагрузок, включаемых между узлами, модели статических ха рактеристик становятся сложнее из-за необходимости учета модуля разно сти напряжений U ki. При включении нагрузки между узлами k и i Uki Uki a + a ;

= Pн 0 k i 0 k i 1 ki + a 2 ki (3.2а) Pн k i U ном k i U ном k i Uki Uki b + b ;

= Qн0 k i 0 k i + b2 k (3.2б) Qн k i 1k i U ном k i U ном k i U k i = ( U k ' Ui ' )2 + ( U k " Ui " )2.

Регулируемые источники реактивной мощности (ИРМ) на базе ста тических тиристорных компенсаторов или управляемых подмагничивани ем реакторов могут быть представлены в виде нагрузок со статическими характеристиками (рис. 3.2) специфического вида [118]:

U k при U k U1 k, xC k = q 0 k ( U k U 0 k ) при U1 k U k U 2 k, Q ИРМ k (3.3а) U k при U U, x k 2k Lk U k i при U k i U 1 k i, x C ki = q 0 k i ( U k i U 0 k i ) при U 1 k i U k i U 2 k i, Q ИРМ k i (3.3б) U ki при U k i U 2 k i, x L ki где x C – емкостное сопротивление батареи конденсаторов;

x L – индук тивное сопротивление реактора;

U 1 – нижняя граница диапазона регули рования;

U 2 – верхняя граница диапазона регулирования;

q 0 – коэффици ент, определяющий статизм регулирования напряжения;

U 0 – уставка ре гулятора напряжения.

Задание характеристик в виде (3.3) требует некоторого уточнения требуемых параметров регулятора. Батарея конденсаторов может быть представлена емкостным сопротивлением или величиной реактивной мощности при номинальном напряжении. То же самое касается и реактора.

Однако при соблюдении непрерывности величины мощности при переходе в разные области напряжений параметр q 0 зависит от границ диапазона регулирования и уставки регулятора. Далее принято, что q 0 определяется по соотношению U q0 =, (3.4) x C (U 0 U 1 ) так что верхняя граница диапазона регулирования оказывается заданной:

(q 0 x L ) q0xL U2 = q0xLU0. (3.5) 2 а) б) Рис. 3.2. Статическая характеристика ИРМ:

а) принципиальная схема;

б) статическая характеристика реактивной мощности В последнем уравнении взято меньшее значение квадратного корня, удовлетворяющее физическим условиям регулирования.

Узлы электрической системы могут содержать нагрузки между уз лом и землей, источники активной и реактивной мощностей, одним полю сом соединенные с землей, и шунты на землю. Узлы системы могут быть шести типов:

• узлы без нагрузок и генераторов;

• узлы с нагрузками между узлом и землей, представленные посто янными отборами мощности;

• узлы с нагрузками, представленными статическими характеристи ками;

• узлы с нагрузками в виде регулируемых ИРМ с нулевой активной мощностью и с тремя диапазонами напряжения для задания закона изме нения реактивной нагрузки;

• узлы с фиксированными значениями генерации активной и (или) реактивной мощностей;

• узлы, балансирующие активную и (или) реактивную мощности.

В алгоритмическом плане выделение отдельных типов узлов нецеле сообразно, поскольку чаще встречаются не отдельные типы узлов, а соче тания различных свойств. Традиционно принятая система представления информации об узлах предполагает наличие всех характеристик, при этом некоторые могут быть нулевыми. Этой традиции следует и рассматривае мая постановка задачи расчета несимметричных режимов сложных ЭС в фазных координатах.

Ветви схемы замещения могут быть восьми типов:

• пассивные ветви с последовательно соединенными активным и индуктивным элементами, а также идеальным трансформатором;

• ветви с активной и реактивной нагрузками, заданными величинами потребляемых мощностей, не зависящими от величины напряжения;

• ветви с активной и реактивной нагрузками, представленными ста тическими характеристиками;

• ветви с регулируемыми ИРМ с нулевой активной мощностью;

• ветви с заданными величинами генераций активной и реактивной мощностей;

• ветви с источниками, балансирующими активную и (или) реактив ную мощности;

• ветви с источниками тока;

• ветви с источниками тока, входящими в модель асинхронного дви гателя.

При использовании метода узловых напряжений источники ЭДС могут быть преобразованы в источники тока или быть представлены вет вью, балансирующей одновременно активную и реактивную мощности.

В отличие от узлов доли ветвей разных типов сильно отличаются, и с целью оптимизации алгоритма все типы ветвей объединяются в шесть групп:

1) пассивные RL-ветви с идеальными трансформаторами;

2) ветви с неизменными нагрузками или с нагрузками, представлен ными статическими характеристиками;

при этом имеется возможность за дания неизменной генерации активной и реактивной мощностей, с разде лением нагрузки и генерации;

3) ветви с регулируемыми ИРМ с нулевой активной мощностью и характеристиками вида (3.2б);

4) ветви с источниками, балансирующими активную и (или) реак тивную мощности;

5) ветви с источниками тока;

6) ветви с источниками тока, входящими в состав модели асинхрон ного двигателя.

3.2. Уравнения узловых напряжений для фазных координат Уравнения узловых напряжений формируются на основе метода уз ловых потенциалов для установившегося синусоидального режима. Эти уравнения для электрической сети, содержащей n узлов, при отсчете на пряжений относительно земли записываются следующим образом:

U1 Y11 U 2 Y12... U i Y1i... U n Y1n = &11 ;

& & & & I............................................................... & kk ;

& & & & U1 Y k1 U 2 Y k 2... U i Y ki... U n Y kn =I (3.6)...............................................................

& nn ;

& & & & U1 Y n1 U 2 Y n 2... U i Y ni... + U n Y nn =I где Y kk = Y ш k + Y k i ;

Y ш k = Yш k a + j Yш k r – проводимость шунта на ik землю в узле k;

Y k i = Yk i a + j Y k i r – проводимость ветви между узлами k и i;

& kk = & i k + E k Y k – сумма токов, втекающих в узел k, сложенная с про & I I ik & & изведением E k Y k, если в узле есть источник ЭДС E K с заземленным уз лом и проводимостью Yk.

В матричном виде система (3.6) может быть записана так:

&& YU = I, Y11 Y12... Y1n Y... Y 2 n Y где Y = – матрица узловых проводимостей;

.........

...

Y n1 Y n 2... Y nn U = [U1 U 2... U n ] – вектор-столбец узловых напряжений;

&T & & & I = [J11 J 22... J nn ] – вектор-столбец задающих токов.

&T && & Если каждое уравнение системы (3.6) умножить на сопряженный комплекс напряжения соответствующего узла, то в итоге можно получить уравнения баланса мощностей в узлах сети:

&~ &~ &~ &~ ~ U1 U k Y k1 U 2 U k Y k 2... U i U k Y ki... U n U k Y kn = U k & kk, I (3.7) где k = 1...n.

В матричном виде система (3.7) может быть записана так;

~ ~ diagUYU = S, (3.7а) ~ U1... ~ ~~ 0 U2... где diagU = – диагональная матрица, k-й диагональный.........

...

~ 0 0... U n элемент которой равен сопряженному комплексу напряжения k-го узла;

[ ] ~~~ ~ T S = S1 S2... Sn – вектор-столбец сопряженных мощностей в узлах.

&~ Из диагонального члена U k U k Y k k можно выделить мощность &~ U k U k Y ш k = Pш k jQ ш k, рассеиваемую в шунте на землю, а оставшиеся слагаемые объединить с соответствующими членами уравнения (3.7):

U i U k Y k i + U k U k Y k i = U k (U k U i )Y k i = U k & k i.

&~ &~ ~& ~ & I (3.8) Соотношение (3.8) для узла k можно интерпретировать следующими способами в соответствии с типами ветвей:

1) как поток мощности в RL-ветви от узла k к узлу i:

~ ~ Sk i = Pk i jQ k i = U k & k i ;

I 2) как нагрузку и генерацию в ветви ki за вычетом потока мощности от узла i к узлу k:

( ) ~ ~ ~ ~ ~ Sk i нг = Pk i нг jQ k i нг = U k & k i = U k U i + U i & k i = I I (3.9а) = Pн k i jQ н k i Pг k i + jQ г k i Pi k + jQ i k, причем значения мощностей нагрузки и генерации вторично оказываются в уравнении для узла i с тем же знаком, что и в уравнении для узла k, а по тери мощности в ветви при этом отсутствуют;

3) как однофазный регулируемый источник реактивной мощности в ветви ki:

( ) ~ ~ ~~ Sk i ИРМ = Pk i ИРМ jQ k i ИРМ = U k U i + U i & k i = jQ ИРМ k i Pi k + jQi k, I (3.9б) при повторении величины мощности ИРМ в уравнении для смежного узла с тем же знаком и отсутствии потерь мощности в ветви;

4) как источник тока в ветви ki с заданными фиксированными моду лем и углом тока6:

~ ~& ~& Sk i ИТ = Pk i ИТ jQ k i ИТ = ± U k J k i = m U k J i k, (3.9в) где верхний знак соответствует направлению стрелки источника тока от узла k, второй – в узел k;

5) как источник тока в ветви ki, являющийся одним из трех источни ков, замещающих асинхронный двигатель:


~ ~& Sk i ИТА = Pk i ИТА jQ k i ИТА = ± U k J k iА, (3.9г) где знак плюс соответствует фазному зажиму асинхронного двигателя, ми нус – нейтрали.

В обозначениях индексируемых величин принята следующая систе ма: номера узлов (ki), ограничивающих ветвь, следующие первыми в ин дексе, определяют величины, отнесенные к узлу (k), связанные с ветвью ~ (ki). Например, Sk i ИТ означает сопряженный поток мощности из узла k в ветвь ki с источником тока. Если же номера узлов стоят на втором месте, то это означает величину, отнесенную к элементу, находящемуся в ветви:

например, Q ИРМ k i – это реактивное потребление ИРМ, находящегося в вет ви ki.

В уравнениях (3.9а) и (3.9б) правые части определяются из следую щих соотношений:

~ ~ U k & k i U i & k i = Pн k i jQ н k i Pг k i + jQ г k i = Pнг k i jQ нг k i ;

I I С выделением его из суммарного источника тока узла и перенесением в левую часть уравнения.

Pнг k i jQ нг k i Pнг k i jQ нг k i ~ ~ ;

Pi k jQ i k = U i & i k = U i & k i = & ki = ;

I I I ~ ~ ~ Uk Ui Uk 1 ~ Ui ~ ~ Ski нг = U k & k i = Pk i нг jQ k i нг = Pнг k i jQ нг k i Pi k + jQ i k ;

I Pнг k i jQ нг k i (Pнг k i jQ нг k i )(U k ' jU k ") ~ Ski нг = = ;

~ (U k ' U i ') j(U k " U i ") Ui 1 ~ Uk (P jQ нг ki )[U k ' (U k ' U i ') U k "(U k " U i ")] ~ Ski нг = нг k i U ki ;

j(Pнг k i jQ нг k i )[U k " ( U k ' U i ' ) + U k ' ( U k " U i " )] U ki A ki C ki Pki нг = ;

Q ki нг = ;

B ki B ki Aki = Pнг ki (Uk ' 2 Uk " 2 Uk ' Ui '+Uk " Ui ") Qнг ki (2 Uk ' Uk "Uk " Ui 'Uk ' Ui ") ;

B k i = (U k ' U i ') + (U k " U i ") ;

2 Cki = Qнг ki (U k ' 2 U k " 2 U k ' Ui '+U k " Ui ") + Pнг ki (2 U k ' U k "U k " Ui 'U k ' Ui ").

Аналогично определяются и потоки мощности в ветви с ИРМ:

~ Sk i ИРМ = Pk i ИРМ jQ k i ИРМ = jQ ИРМ k i Pi k + jQ i k ;

E ki ;

E k i = Q ИРМ k i (2 U k ' U k " U k " U i ' U k ' U i ") ;

Pk i ИРМ = B ki Fk i ;

Fk i = Q ИРМ k i (U k ' 2 U k " 2 U k ' U i '+ U k " U i ").

Q k i ИРМ = B ki В этих формулах Q ИРМ k i – реактивная мощность, потребляемая ИРМ, Q k i ИРМ – поток реактивной мощности из узла k в ветвь ki.

Поток мощности в RL-ветвь, ограниченную узлами k и i, из узла k определяется следующим образом:

~ ~& Pk i jQ k i = U k & k i = U k ( U k U i ) Y k i = & I = (U k ' jU k ")(U k '+ jU k " U i ' jU i ")(Yk i a + jYk i r ) = = [(U k ' 2 + U k " 2 U k ' U i ' U k " U i ") j(U k ' U i " U k " U i ')](Yk i a + jYk i r );

Pk i = (U k ' 2 + U k " 2 U k ' U i ' U k " U i ")Yk i a + (U k ' U i " U k " U i ')Yk i r ;

Q k i = (U k ' U i " U k " U i ')Yk i a (U k ' 2 + U k " 2 U k ' U i ' U k " U i ")Yk i r.

Мощности в шунтах узлов равны:

Pш k = (U k ' 2 + U k " 2 )Yk i a ;

Q ш k = (U k ' 2 + U k " 2 )Yk i r.

Потоки мощности в ветви с источниками тока определяются по сле дующим формулам:

Sk i ИТ = Pk i ИТ jQ k i ИТ = ± U k & k i = ±(U k ' jU k ")(I k i '+ jI k i ") ;

~ ~ I Pk i ИТ = ± (U k ' I k i '+ U k " I k i ");

Q k i ИТ = ±( U k ' I k i "+ U k " I k i '), где знак плюс соответствует направлению стрелки источника тока из узла k, минус – в узел k.

Для ветвей с источниками тока, входящими в модель асинхронного двигателя, выполняются следующие соотношения:

Sk i ИТА = Pk i ИТА jQ k i ИТА = ± U k & k iА = ±(U k ' jU k ")(I k iA '+ jI k iA ") ;

~ ~ I Pk i ИТA = ± (U k ' I k iA '+ U k " I k iA ") ;

Q k i ИТA = ± ( U k ' I k iA "+ U k " I k iA '), где знак плюс соответствует направлению стрелки источника тока в узел k (нейтраль асинхронного двигателя), минус – из узла k.

Определение тока в этом случае зависит от того, в какую фазу вхо дит источник тока:

(& ) =& n1 + & n 2 ;

(& kiA )b =a & n1 + a & n 2 ;

(J kiA )c =a & n1 + a & n 2 ;

& 2 I I I I I I I I kiA a o a = e j120 ;

& n1 = & nµ1 + & nГ1 ;

& n 2 = & nµ 2 + & nГ 2 ;

I I I I I I U 'R + U n1 "X nµ U "R U n1 'X nµ & U n = n1 nµ2 + j n 1 nµ & nµ1 =, I R nµ + j X nµ 2 2 R nµ + X nµ R nµ + X nµ & U n &= = I nГ1 '+ j I nГ1 " = I nГ R n R n1 + + j X nк sn R R ;

U n1 ' R n1 + n 2 + U n1 "X nк U n1 " R n1 + n 2 U n1 'X nк sn sn = +j 2 R n2 R n R n1 + + X nк R n1 + + X nк 2 sn sn U 'R + U 2 "X nµ U "R U n 2 'X nµ & Un = n 2 nµ + j n 2 nµ & nµ 2 =, I R nµ + j X nµ 2 2 2 R nµ + X nµ R nµ + X nµ & Un & nГ 2 = = I nГ 2 '+ j I nГ 2 " = I R n 2p R n1 + + j X nкp 2 sn R R U n 2 ' R n1 + n 2 p + U n 2 "X nкp U n 2 " R n1 + n 2 p U n 2 'X nкp 2 sn 2 sn = +j ;

2 R n 2p R n 2p R n1 + + X nкp R n1 + + X nкp 2 2 sn 2 sn ( ) ( ) 1& 1& & & & & & & U n1 = U na + a U nb + a U nc ;

U n 2 = U na + a U nb + a U nc, 2 3 где n – номер асинхронного двигателя;

sn – скольжение;

&1 и & 2 – симмет I I & & ричные составляющие тока;

U n1 и U n 2 – симметричные составляющие напряжения асинхронного двигателя;

R nµ, X nµ - активное и реактивное со противление ветви намагничивания;

X nкp = X n1 + X n 2 p ;

X n1 - индуктивное сопротивление статора;

X n 2 p - индуктивное сопротивление ротора при s=1;

R n1 - активное сопротивление статора;

R n 2 p - активное сопротивле ние ротора при s=1.

Задание фиксированной генерации в ветви аналогично заданию на грузки. Сложнее обстоит дело с заданием фиксированного модуля напря жения между узлами для ветви, балансирующей реактивную мощность. В этом случае должно быть введено дополнительное уравнение:

U k i = (U k ' U i ') + (U k " U i ") = const.

2 2 (3.10) Для узла, балансирующего реактивную мощность, дополнительное уравнение записывается так:

U k = (U k ') + (U k ") = const ;

2 2 (U ' ) + (U k ") U k = 0 ;

U k " = ± U k (U k ').

2 2 2 2 k Выбор знака составляющей целесообразно проводить на каждой итерации.

Для ветви с источником, обеспечивающим неизменность угла на пряжения, можно записать k i = const ;

(U k ' U i ')tg ki (U k " U i ") = 0. (3.11) Для узла, балансирующего активную мощность, дополнительное уравнение аналогично уравнению (3.11):

k = const ;

U k ' tg U k " = 0.

Уравнение (3.7) для узла k в такой постановке содержит в левой час ти выражения для следующих составляющих:

• нагрузки в узлах;

• потери мощности в шунтах узлов;

• потери мощности в узловых ИРМ;

• потоки мощности в нагрузочно-генераторные ветви;

• потоки мощности в простые RL-ветви;

• потоки мощности в ветви с источниками тока;

• потоки мощности в ветви с ИРМ.

В правой части содержатся генерации в узле:

(P jQ k i нг ) + Pн k jQ н k + Pш k jQ ш k jQ ИРМ k + k i нг ik,нг + (Pk i jQ k i ) + (P jQ k i ИТ ) + (3.12) k i ИТ ik ik, ИТ (P jQ k i ИРМ ) + Pk i ИТА jQ k i ИТА = Pг k jQ г k.

+ k i ИРМ ik, ИРМ После разделения вещественных и мнимых частей получаются урав нения относительно небалансов мощности в узлах:

Pk i нг + P k i + Pk i ИТ + WP k = Pг k + Pн k + Pш k + ik, нг ik ik, ИТ ;

(3.13) Pk i ИРМ + Pk i ИТА + ik, ИРМ ik, ИТA Q ki нг + Q k i + WQ k = Q г k + Q н k + Q ш k + Q ИРМ k + ik, нг ik. (3.14) Q ki ИТ + Q k i ИРМ + Q k i ИТА + ik, ИТ ik, ИРМ ik, ИТA Уравнения для ветвей, балансирующих активную мощность, имеют следующий вид:

WPk = U k " U i "(U k ' U i ') tg ki, если ki = 90 o, то WPk = U k ' U i '. (3.15) Уравнения для ветвей, балансирующих реактивную мощность, мо гут быть записать так:

WQk = U k i (U k ' U i ') (U k " U i ").

2 2 (3.16) В уравнении (3.16) имеется неоднозначность в определении дейст & вительной или мнимой составляющих напряжения U k. Действительно, для & & определения длины вектора U k необходимо из конца вектора U i провести окружность радиуса U k i. Эта окружность может пересекать направление & вектора U k в двух точках (рис. 3.3).

& Целесообразно выбирать такое значение мнимой составляющей U k, при котором вычисляемое значение U k " будет ближе к значению этой ве личины на шаге итерации.

Уравнения для узлов, балансирующих активную мощность, имеют вид WPk = U k " U k ' tg ki ;

если ki = 90 o, то WPk = U k '. (3.17) k i & Ui & R = U ki U (ki) & U (ki ) & U (k1) & U (k2 ) & Рис. 3.3. К неоднозначности определения U k " Уравнения для узлов, балансирующих реактивную мощность, сле дующие:

WQk = U k (U k ') (U k ").

2 2 (3.18) Уравнения (3.13)… (3.18) образуют полную систему уравнений ус тановившегося режима сети, содержащей ветви, в которых могут быть на грузки и источники активной и реактивной мощностей.

3.3. Применение метода Гаусса Задание нагрузок между узлами, к примеру, между контактной сетью и рельсами электрифицированной железной дороги, может быть выполне но несколько более простым способом по сравнению с методикой преды дущего раздела. Нагрузки, заданные активной и реактивной мощностями, можно заменить источниками тока, вычисляемыми по мощностям нагру зок и исходным приближениям напряжений в узлах:

& k = Pk jQ k.

I ~ Uk При такой постановке допустимо следующее:

• задание нагрузок между узлами величинами мощностей;

• задание источников ЭДС и тока;

• решение линейной системы уравнений узловых напряжений мето дом Гаусса.

Однократный расчет по такой методике используется в качестве стартового алгоритма при решении уравнений узловых напряжений по ме тоду Ньютона, в котором требуется правильное задание исходных при ближений модулей и фаз напряжений в узлах, что для сложных трехфазно однофазных систем может потребовать значительных усилий. Многократ ное применение методики в итерационном цикле при задании неизменных активных и реактивных мощностей нагрузок позволяет вообще обойтись без применения метода Ньютона, что дает к тому же и выигрыш в быстро действии, поскольку при этом потребуется только однократное обращение матрицы проводимостей.


В последнем случае на каждой итерации производится расчет потен циалов с поправками значений токов, эквивалентных нагрузкам источни ков. Критерием окончания расчета служит уменьшение различий потен циалов на очередном шаге по сравнению с предыдущим ниже заданного уровня. Матрица проводимостей на каждом шаге итерации неизменна, что позволяет заложить в алгоритм однократное разложение матрицы на про изведение двух треугольных матриц. В упрощенном виде расчетный алго ритм может быть представлен так.

1. При первичной обработке исходных данных производится преоб разование источников ЭДС между узлами в источники тока, оптимальное представление информации об узлах, вычисление диагональных элементов матрицы проводимостей и анализ топологии схемы.

2. После первичной обработки проводится формирование матрицы проводимостей и ее треугольное разложение, при этом использованы идеи работы [96] о структурной симметрии треугольных матриц и применении общего указателя для ненулевых элементов общих матриц.

3. Производится определение правых частей УУР и решение системы уравнений.

4. На очередном шаге выполняется проверка условия окончания ите рационного процесса путем сопоставления суммы модулей вещественных и мнимых частей всех потенциалов очередного и предыдущего шагов. Ес ли число выполненных итераций меньше предельного значения и нужная точность не достигнута, то происходит переход на п. 3 для вычисления очередного приближения.

Ввиду однократного разложения матрицы проводимостей этот метод часто оказывается эффективнее решения уравнений узловых напряжений по методу Ньютона с точки зрения быстродействия и объема требуемой оперативной памяти. Однако при приближении режима к предельному по существованию (передаваемой мощности) число итераций резко растет и эффективность алгоритма снижается.

Математически описанный алгоритм можно записать следующим образом. Исходная система уравнений (3.7а) может быть представлена так:

1~ & YU = diag ~ S, Uk или () & &~ YU = I U, 1 0... ~ U 1 1 0... ~ где diag ~ =.

U Uk......

......

0 0... ~ Un Каждый шаг итерационного процесса состоит в определении I(U ) и && решении системы линейных уравнений [] &~ YU (k +1) = I U (k ), & (3.19) ~ ~ ~T ~ S1 S () S & где k – номер итерации;

I U = ~.... ~n.

~ U1 U2 Un Матрица Y содержит большое число нулевых элементов, поэтому при решении системы (3.19) следует использовать алгоритмы исключения действий с этими элементами. Наиболее эффективно такой алгоритм мо жет быть реализован на основе методов триангуляции, позволяющих пред ставить исходную слабозаполненную матрицу Y в виде произведения нижней L и верхней H треугольных матриц, также имеющих большое число ненулевых элементов, т.е.

Y = LH.

При этом система (3.19) приобретает вид [] L HU (k +1) = I U (k ).

& && Обозначив HU (k +1) = B (k +1), & можно записать [] LB (k +1) = I U (k ).

&& Поскольку L – нижняя, а H – верхняя треугольные матрицы, то B(k+1) определяется методом прямой подстановки, а U (k+1) – методом об ратной подстановки.

3.4. Решение УУР в фазных координатах методом Ньютона Установившиеся режимы энергосистем (ЭС) в однолинейной поста новке описываются нелинейными уравнениями вида W(X, Y ) = 0, (3.20) где W = [f 1 f 2...f n ]T – n-мерная вектор-функция, отвечающая уравнениям баланса мощностей или токов в узлах сети;

Y = [y 1 y 2...y m ]T – заданный вектор регулируемых параметров (независимых переменных);

X = [x1x 2...x n ]T – искомый вектор нерегулируемых параметров (зависимых переменных).

В качестве регулируемых параметров обычно используются актив ные и реактивные мощности генераторов и нагрузок, а также зафиксиро ванные в отдельных узлах сети модули напряжений. Зависимыми пере менными считаются действительные и мнимые составляющие или модули и фазы узловых напряжений.

При использовании фазных координат система (3.20) может быть представлена так:

WA (X A, X B, XC, YA, YAB, YAC ) = 0;

WB (X A, X B, XC, YB, YAB, YBC ) = 0;

(3.21) WC (X A, X B, XC, YC, YBC, YAC ) = 0, где WA, WB, WC – вектор-функции, отвечающие уравнениям баланса мощ ности для фаз А, В и С;

X A, X B, X C – векторы нерегулируемых параметров для фаз А, В и С;

YA, YB, YC, YAB, YAC, YBC – векторы регулируемых пара метров.

Итерационная процедура метода Ньютона имеет вид:

X(A +1) = X(A ) + X(A );

k k k k X(B +1) = X(B ) + X(B );

k k X(k +1) = X(k ) + X(k ), C C C где k – номер итерации;

X(A ), X (B ), X Ck ) - векторы поправок.

( k k Поправки определяются из решения на каждой итерации следующей системы линейных уравнений:

WA WA X A WA WA X X B XC A WB WB WB X B = WB, X A XC X B W WC WC X C WC XC C X A X B WA WA WA WB WB WB WC WC WC где,,,,,,,, - блоки матрицы X A X B XC X A X B XC X A X B XC Якоби УУР, записанных в фазных координатах.

Многократные вычислительные эксперименты, проведенные приме нительно к реальным и эквивалентным схемам энергосистем и систем электроснабжения железных дорог, показали достаточно надежную схо димость метода Ньютона при решении УУР, записанных в фазных коор динатах. Однако при определении режимов, близких к предельным по су ществованию, сходимость в ряде случаев может существенно ухудшаться.

Поэтому ниже рассматриваются методы решения УУР, записанных в фаз ных координатах, обладающие повышенной надежностью получения ре шения.

3.5. Высоконадежные методы решения УУР в фазных координатах Повышение надежности сходимости итерационных процессов при решении УУР, записанных в фазных координатах, может быть достигнута на основе метода В.А. Матвеева. Для сокращения записи система (3.21) представляется в виде одного векторного уравнения F(X, Y ) = 0, [ ] [ ] T T где X = X T XT X T ;

Y = YA, YB, YC, YAB, YAC, YBC.

T T T T T T A B C Итерационная формула метода В.А. Матвеева имеет вид () () k F (k +1) (k) (k) (k) =X X X FX, (3.22) X k где - корректирующий коэффициент, определяемый по выражению 1 / B k при B k = ;

при B k ( ) 2 f i X (k) x (k) x i(k).

= max B ( ) k j x ix j (k) 2max F X (i) ( j ) Второй сомножитель для B k представляет собой максимальный по модулю элемент вектора, полученного в результате умножения матрицы вторых производных вектор функции F(X) на компоненты вектора попра вок X, найденные на k-й итерации. Доказано, что если не происходит вы рождения матрицы Якоби УУР, итерационная процедура (3.22) обеспечи вает сходимость вычислительного процесса для любых существующих ре жимов, а при расчете несуществующих режимов процесс вычислений схо дится к точке предельной гиперповерхности, где якобиан системы УУР ра вен нулю.

Дальнейшее повышение надежности сходимости может быть дос тигнуто с помощью применения вычислительных методов [162], основан ных на дополнительном учете старших членов разложения в ряд Тейлора вектор-функции X = Ф(Y), обратной к F(X).

В результате разложения X представляется в виде Предполагается, что УУР представимы в виде Y=F(X).

X = X 0 + X1 (F ) + X 2 (F 2 ) +... + X k (F r ) +..., (3.23) где X k (F r )- векторы поправок, зависящие от произведений компонент вектора F = F ( X ) F (X 0 ) с суммой степеней, равной r. В точке решения X P следует принять F = - F(X0).

Поправки Xr вычисляются по рекуррентным выражениям:

dF ( X ( k ) ) F ( X ( k ) ) ;

X1k) ( = dX dF ) B (k) ;

X (2k ) (X (k) = dX dF ) X ( k ) B (k) ;

(X (k ) = 3 dX...

где k - номер итерации;

X (r k ) - вектор r-х поправок;

r=1...3....

Компоненты векторов B (r k ) = [b (r 1 )b (r k )... b (rik )... b (rnk ) ], T k входящих в выражения для второй и третьей поправок, вычисляются по формулам:

b (2ki ) = [ X 1( k ) ] i( k ) X 1( k ) ;

T b 3 ki ) = [ X 1( k ) ] i( k ) X (2k ), T ( где i( k ) – матрица Гессе от функции f i (X ), вычисленная в точке X ( k ).

Первая поправка совпадает с определенной по методу Ньютона и со ответствует линейной аппроксимации X от F. Вторые и последующие поправки соответствуют аппроксимации X полиномами более высокой степени, что и объясняет ускорение итерационного процесса при увеличе нии числа учитываемых поправок.

В представленном виде рассматриваемый метод вследствие плохой сходимости ряда X r X (k ) = X 0 + r при начальных приближениях, выбранных “вдали” от решения, не обеспе чивает большей надежности расчета “тяжелых” режимов, чем метод Нью тона [162]. Повышение надежности метода связано с улучшением сходи мости указанного ряда, и с этой целью производится ввод корректирую щих коэффициентов, заключающийся в следующем. Вместо поиска точки решения X P, в которой F (X P ) = 0, определяется промежуточная точка X* со значением функции невязок F(X* ) = (1 )F(X0 ), p 1.

Подстановка F = F(X* ) F(X0 ) = F(X0 ) в (3.23) показывает, что ввод корректирующих коэффициентов приводит к изменению поправок в r раз, где r – номер поправки.

Таким образом, X * = X 0 + r X r.

r Подбором всегда можно обеспечить сходимость ряда и, найдя промежуточную точку X*, перейти к поиску решения X P или следующей промежуточной точки, если ряд недостаточно хорошо сходится. В резуль тате или будет получено решение, или процесс поиска “зависнет” над не которой предельной точкой Xпр, если решение отсутствует. Последнее проявляется в том, что коэффициенты, обеспечивающие сходимость промежуточных рядов, начинают стремиться к нулю, а последовательность промежуточных точек стремится к точке Xпр, в которой якобиан УУР об ращается в нуль.

Показано, что надежная сходимость ряда обеспечивается при выборе по условию X (k ) =, X (k ) p где 0 1 – коэффициент, обеспечивающий заданную скорость сходи [ ] n мости ряда;

X 1( k ) = [ X 1( ik ) ], X p = X (pi ) n 2 (k ) k – нор i =1 i =1 мы векторов первой и старшей поправок.

Очередное приближение вектора зависимых переменных вычисляет ся следующим образом:

p 1r (k ) (k ) X (k ).

=X + X r r!

r = Затруднения особого рода возникают при расчете режимов электри ческих сетей с изолированной нейтралью, если отсутствуют связи с точкой нулевого потенциала. Простейший пример такой сети показан на рис. 3.4.

В разделах 2.1…2.4 показано, что матрица проводимостей для такой сети является вырожденной и расчет режимов становится невозможным.

Рис. 3.4. Пример сети с изолированной нейтралью Преодолеть указанную трудность можно на основе идей, использо ванных в методе Левенберга-Маркварда. При этом к диагональным членам матрицы проводимостей прибавляются небольшие добавки µ, величина которых определена на основе многочисленных вычислительных экспери ментов7. При этом на каждой итерации решается следующая система урав нений:

1 ~ (Y + µE)U = diag ~ & S, Uk где E – единичная матрица, размерность которой соответствует размерно сти матрицы Y.

Расчеты для целого ряда реальных и эквивалентных схем ЭС показа ли, что применение описанной процедуры обеспечивает решение задачи расчета режима в сети с изолированной нейтралью при отсутствии связей с узлом нулевого потенциала.

Выводы Выполнена модификация уравнений узловых напряжений для расче тов в фазных координатах с целью корректного учета следующих элемен тов:

• двухполюсники, включаемые между узлами для моделирования нагрузок со статическими характеристиками;

• регулируемые источники реактивной мощности между узлами;

• ветви с генерацией активной и реактивной мощностей;

• источники электроэнергии, включенные между узлами;

• ветви с источниками тока;

• ветви с источниками тока, входящими в состав модели асинхрон ного двигателя.

Разработан алгоритм расчета режима электрической системы, со держащей нагрузки между узлами и источники тока между узлами, осно В результате экспериментов выявлено, что надежная сходимость обеспечивается при вводе добавок величиной порядка 10-18.

ванный на методе узловых потенциалов.

Проанализированы высоконадежные методы решения УУР и показа на их применимость при расчете режимов, близких к предельным по суще ствованию, на основе фазных координат узловых напряжений.

Предложен алгоритм расчета режимов в сетях с изолированной ней тралью при отсутствии связей с узлом нулевого потенциала, основанный на использовании идей метода Левенберга-Маркварда.

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ C ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИНТЕРАКТИВНОГО ГРАФИЧЕСКОГО ИНТЕРФЕЙСА 4.1. Основные задачи визуального моделирования с графическим интерфейсом Общепринятое представление ЭС в виде электрической схемы тре бует аналогичного подхода и для решения задач расчетов режимов. При менение компьютерных технологий позволяет эффективно совмещать как графическое отображение электрической схемы, так и возможности расче та потокораспределения [51, 80, 83, 139, 143, 151].

Компьютерные средства расчетов режимов ЭС должны отвечать сле дующим требованиям визуализации схем и результатов:

• графическое отображение электрической сети в наиболее употре бительной форме представления (рис. 4.1, 4.2);

• возможность разделения электрической схемы на отдельные эле менты, представляющие собой полнофункциональные модели реальных элементов ЭС;

• наличие библиотеки элементов электрических схем;

• возможность пополнения библиотеки элементов пользователем без необходимости написания дополнительного программного кода;

• возможность построения расчетной схемы из элементов библиоте ки в соответствии с технологией “drag-and-drop”;

• достаточная простота анализа результатов расчета режима, в том числе возможность сборки информации по отдельным узлам и отдельным элементам, возможность построения векторных диаграмм;

• использование для построения схемы отдельных блоков, состоя щих из нескольких элементов.

East ТДТНЖ АС-95, 6 км к/с, 17 км ВЛ 40000/ West ТS AB 27.5 кВ ТS2 ТS АС-95 АС-95, 7 км к/с, 1 км ВЛ АС-95, 3.8 км к/с, 7 км к/с, 27.5 кВ 1.2 км ВЛ 1 км ВЛ 27.5 кВ 27.5 кВ ТМ-10000/6/27.5 110 кВ ТМ- ТМ Sкз=3800 МВА 4000/27.5 6300/27. 6 кВ 6 кВ 6 кВ ТДН-10000/ 6 кВ Sкз=2900 МВА 110 кВ отключенный выключатель Рис. 4.1. Исходная однолинейная схема электрической сети Рис. 4.2. Графическое отображение электрической сети средствами комплекса Flow Первое требование для расчетов в фазных координатах является дос таточно противоречивым, поскольку на практике обычно используются однолинейные схемы электрических сетей. Очевидно, программное сред ство должно обладать возможностью представления схемы в фазных коор динатах и в то же время обеспечивать возможность работы с однолиней ными схемами, по крайней мере, для просмотра результатов расчетов8.

Другим очевидным соображением является необходимость оперирования с векторной графикой, в частности, с emf- и wmf-метафайлами Windows, поддерживаемыми большинством распространенных графических про граммных средств.

Указанный перечень требований в сочетании со спецификой решае мых задач привел к необходимости введения нескольких терминов, соот ветствующих принятой технологии построения расчетных схем.

Расчетная схема – совокупность элементов и соединительных ли ний, образующих трехфазную схему замещения реальной электрической сети для целей расчета режима. Расчетная схема может быть изображена на экране монитора и распечатана на принтере средствами данного комплекса.

Возможно цифровое представление схемы в виде файла исходных число вых данных по ветвям и узлам схемы или по составляющим элементам.

Элемент схемы – наименьшая часть расчетной схемы, выступающая как самостоятельное неделимое образование, характеризуемое набором двух групп параметров. Первая группа описывает графическое изображение элемента и может изменяться только с помощью редактора элементов. Вто рая группа характеризует параметры элемента и может быть изменена на этапе формирования или корректировки расчетной схемы.

Субэлемент – часть элемента в виде соединительной линии, пред назначенной для выноса узлов при соединении элементов друг с другом.

Состоит из двух отрезков прямых линий. Графическое изображение субэ лемента может редактироваться отдельно. При этом изменяются размеры соединительной линии и положение точки перегиба.

В программном комплексе, описанном далее, предусмотрены десять Разработана специальная утилита комплекса Flow3, обеспечивающая вывод результа тов расчета режима на однолинейные схемы электрических сетей, а также на их трас сировки, нанесенные на топографические планы и географические карты.

видов элементов.

RL(С)-ветвь – элемент, моделирующий ветвь, содержащую после довательно соединенные резистивный и индуктивный (или емкостный) элементы с идеальным трансформатором. Этот трансформатор имеет веще ственный коэффициент трансформации, определяемый отношением напря жения первого (левого) узла ветви к напряжению второго (правого) узла.

Сопротивления приведены к напряжению первого узла.

Источник ЭДС – элемент, моделирующий классический источник ЭДС, обладающий внутренним сопротивлением. В качестве параметров задаются фаза и модуль ЭДС, а также активное и индуктивное внутреннее сопротивление. Одно из сопротивлений (по крайней мере активное) должно быть ненулевым.

Источник тока – элемент, моделирующий классический источник тока, задаваемый значением фазы и модуля тока.

Асинхронный двигатель – элемент, предназначенный для моделиро вания асинхронной нагрузки в фазных координатах.

Нагрузка – элемент, потребляющий активную и реактивную мощно сти, задаваемый значениями потребляемых мощностей.

Линия электропередачи – элемент, имеющий произвольное количе ство проводов, в том числе заземленных, однородный по длине. При расче тах эквивалентируется решетчатой схемой замещения (рис. 4.3).

Контактная сеть – элемент, отличающийся от линии электропере дачи только наличием рельсов (рис. 4.4).

Кабельная линия – элемент, моделирующий трехфазный четырех проводный кабель (рис. 4.5).

Однофазный трансформатор – элемент, моделирующий однофаз ный трансформатор с одностержневым сердечником и любым количеством обмоток с различным их соединением. При расчетах эквивалентируется решетчатой схемой.

а) б) Рис. 4.3. Двухцепная линия электропередачи: а) - изображение элемента, моделирую щего двухцепную ЛЭП;

б) - окно редактора элементов для задания параметров ЛЭП а) б) Рис. 4.4. Контактная сеть двухпутного участка: а) - изображение элемента;

б) - окно для задания соединений проводов;

в) - изображение поперечного сечения (начало) в) Рис. 4.4. Окончание Трехфазный трансформатор – элемент, моделирующий трехфаз ный трехстержневой трансформатор с учетом замыкания магнитного пото ка через стенки бака, с любым соединением катушек и обмоток (рис. 4.6).

Разновидностью является элемент, моделирующий трехфазный пятистерж невой трансформатор. При расчетах эквивалентируется решетчатой схемой.

Пять последних типов элементов в связи с их многовариантностью должны формироваться отдельно, в обособленном редакторе элементов.

Графическое изображение элемента формируется из графических примити вов.

Графический примитив – это деталь графического изображения эле мента схемы. Необходимый для рисования схем набор графических прими тивов включает следующие элементы:

• отрезок прямой линии;

• узел схемы (окружность небольшого радиуса);

• изображение резистивного элемента в двух вариантах;

• изображение катушки в четырех вариантах;

• прямоугольник с изменяющимися размерами;

• изображение катушки с отводами;

• четыре варианта изображения заземления в разных направлениях.

а) б) Рис. 4.5. Кабельная линия электропередачи: а) - изображение элемента;



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.