авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Динамические системы, вып. 22 (2007), 3–10 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Межведомственный ...»

-- [ Страница 2 ] --

21 d dq1 A = q1 + + (p2 + q1 + p2 + q2 ) 2 p1 + B(p1 q2 p2 q1 )q2 + 2p1 ;

1 d d = N 3 + N1 µ 1 q 1 ;

(2.6) d dp2 A = p2 + (p2 + q1 + p2 + q2 ) 2 q2 B(p1 q2 p2 q1 )p1 + 2q2 ;

21 d dq2 A = q2 + + (p2 + q1 + p2 + q2 ) 2 p2 B(p1 q2 p2 q1 )q1 + 2p2.

21 d В системе уравнений (2.6) приняты следующие обозначения: = – коэф c,s фициент дополнительных сил демпфирования 2 qij колебаний жидкости [3, 10];

N0, N1 – постоянные линейной статической характеристики электродвигателя;

SR N3 = N0 + 2N1 1 ;

µ1 = ;

I – момент инерции двига (1.8412)2 (2I + m0 a2 ) теля;

A и B – константы, величины которых зависят от диаметра бака и глубины заполнения его жидкостью [3].

Система уравнений (2.6) использовалась в качестве основной математической модели при исследовании динамики колебаний бака с жидкостью, возбуждаемого электродвигателем ограниченной мощности. Математическая модель для частно го случая идеального возбуждения легко может быть получена из системы (2.6).

В случае идеального возбуждения третье уравнение системы (2.6) следует отбро сить, а в оставшихся положить = const. Как установлено в работах [1, 11], си стема с идеальным возбуждением не имеет хаотических режимов установившихся колебаний при параметрическом резонансе. Покажем, что учет неидеальности воз буждения позволяет обнаружить хаос в этой детерминированной динамической системе.

3. Исследование возникновения динамического хаоса В систему уравнений (2.6) входит семь параметров (, A, B, N1, N3, µ1 ), кото рые определяют ее поведение при установившихся режимах. Определим тип дан ной динамической системы. С этой целью найдем дивергенцию системы (2.6).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 50 А.Ю. ШВЕЦ Очевидно, что дивергенция системы в фазовом пространстве равна:

dp1 dq1 d dp2 dq d d d d d + + + + = (3.1) p1 q1 p2 q = 4 + N1.

Как видно из (3.1), дивергенция системы постоянна и зависит от коэффициен та сил вязкого демпфирования и параметра N1, который характеризует угол наклона статической характеристики электродвигателя [8]. Для реальных физи ческих систем эти параметры всегда будут отрицательными. Следовательно, си стема уравнений (2.6) является диссипативной. Это означает, что любой началь ный фазовый объем системы стремиться к нулю при неограниченном возрастании времени. То есть, любое начальное подмножество изображающих точек, которое имеет ненулевой фазовый объем, с течением времени, концентрируется на одном или нескольких аттракторах. Причем, эти аттракторы имеют нулевой фазовый объем [12]. Как мы увидим далее, аттракторы системы (2.6) могут быть как регу лярными, так и хаотическими.

Основной целью дальнейшего исследования является изучение возможных ти пов аттракторов системы уравнений (2.6), причем главное внимание уделяется поиску хаотических аттракторов. Так как данная система является достаточно сложной нелинейной системой уравнений, то для построения ее аттракторов при меняется целый комплекс численных методов и алгоритмов. В пространстве пара метров (, A, B, N1, N3, µ1 ) этой системы уравнений были проведены численные расчеты для определения областей существования хаотических решений и для ис следования процесса перехода от регулярных решений к хаотическим. Методика проведения таких численных расчетов детально описана в работах [6, 7].

Предположим, что бак заполнен жидкостью до глубины h 3R, тогда, как показано в работе в [2]:

A = 1.112;

B = 1.531. (3.2) Далее пусть:

= 0.8;

N3 = 0.25;

µ1 = 4.5. (3.3) В качестве бифуркационного параметра рассматривался параметр N1, опреде ляющий угол наклона статической характеристики электродвигателя. Этот пара метр зависит от типа электродвигателя применяемого для возбуждения колеба ний. Начальные условия, при проведении численных расчетов, варьировались в окрестности начала координат фазового пространства системы уравнений (2.6).

Основным практическим критерием существования хаоса в динамической си стеме является наличие у нее хотя–бы одного положительного ляпуновского ха рактеристического показателя [12]. На рис. 1б приведена зависимость максималь ного ляпуновского характеристического показателя 1 от значений параметра N1.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС Как видно из этого рисунка, интервал N1 (2.1, 0.3) практически полностью покрывается подинтервалами, в которых максимальный ляпуновский показатель имеет положительное значение. Следовательно, в этих подинтервалах положи тельности максимального ляпуновского показателя, в системе (2.6) существуют хаотические аттракторы.

Исследуем типы хаотических аттракторов системы (2.6) и изучим сценарии перехода от регулярных аттракторов к хаотическим. Размерность фазового про странства система (2.6) равна пяти. Поэтому наглядное геометрическое изучение пятимерных фазовых портретов и четырехмерных сечений Пуанкаре ее аттрак торов возможно только в каких-либо проекциях. Заметим, что в силу симметрии системы по переменным p1, q1 и p2, q2 проекции ее фазовых портретов в установив шихся режимах, как регулярных, так и хаотических, обладают одной интересной особенностью. Проекция фазового портрета на плоскость p1, q1 совпадает с проек цией на плоскость p2, q2 с точностью до постоянного множителя. Как правило мы будем использовать двумерную проекцию на плоскость p1, q1. Напомним, что эти фазовые координаты отвечают колебаниям по первой основной моде.

В окрестности точки N1 = 2.1 в системе существует устойчивый предельный цикл простой однотактной структуры. Проекция фазового портрета такого цикла приведена на рис. 2а. Начиная со значения N1 2.03 начинается бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода исходного цикла. На рис. 2б–г приведены первые три бифуркации этого каскада. Последовательно наблюдается возникно вение двух–, четырех– и восьмитактных предельных циклов. Данный каскад би фуркаций удвоения завершается в критической точке N1 1.86 возникновением хаотического аттрактора. На рис. 3 приведены, построенные при N1 = 1.85, различные проекции фазового портрета возникшего хаотического аттрактора, его сечение Пуанкаре плоскостью = 1.7 и отображение Пуанкаре по переменной q1.

Возникший в системе, по сценарию Фейгенбаума, хаотический аттрактор име ет спиральную структуру. В проекции p1, q1 этот аттрактор обладает двухтактной структурой состоящей из двух "лент" с двумя внутренними "дырами". Следует подчеркнуть, что такие хаотические аттракторы обладают некоторой, иногда до вольно значительной, похожестью фазового портрета на фазовые портреты цик лов большой тактности, при бифуркациях которых рождаются эти хаотические аттракторы. Однако здесь имеется одно принципиальное отличие. Предельные циклы, несмотря на их как угодно большую тактность, отличатся регулярным воз вращением траектории в любую точку цикла через время строго равное периоду цикла. В случае же хаотического аттрактора картина совершенно иная. Траекто рия обязательно бесконечное число раз возвращается в любую, как угодно малую, окрестность аттрактора, но время таких возвратов непредсказуемо. Моменты вре мени этих возвратов образуют некоторою хаотическую последовательность [12].

Сечение Пуанкаре хаотического является квазиленточным. Точки этого сече ния хаотически группируются вдоль некоторых одномерных кривых. Число точек в сечении будет возрастать при увеличении времени численного интегрирования ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 52 А.Ю. ШВЕЦ а б в г Рис. 2. Проекции фазовых портретов предельного цикла при N1 = 2.1 (а) и первых трех его бифуркаций удвоения периода (б–г).

системы. Отображение Пуанкаре также может быть достаточно точно аппрокси мировано одномерными кривыми. В дальнейшем при построении сечений Пуан каре мы всегда будем использовать, в качестве секущей, плоскость = 1.7.

На рис. 4а–г приведены Фурье–спектры, однотактного предельного цикла, пер вых двух бифуркаций удвоения периода и, возникшего по сценарию Фейгенбау ма, хаотического аттрактора. На этих рисунках по осям координат отложены, соответственно, частота w и логарифм модуля комплексной амплитуды Sp преоб разования Фурье по одной из временных реализаций фазовых переменных. Как хорошо видно из приведенных рисунков, Фурье–спектры предельных циклов яв ляются дискретными. Легко заметить последовательное увеличение числа пиков этих спектров на приведенных рисунках. Приведенный на рис. 4г спектр хаотиче ского аттрактора является непрерывным.

Хаотические аттракторы подобные приведенному на рис. 3 существуют при изменении N1 на интервале, 1.86 N1 1.8. Затем, в результате внут ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС а б в г Рис. 3. Проекции фазового портрета хаотического аттрактора при N1 = 1.85 (а–б), его сечение (в) и отображение Пуанкаре (г).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 54 А.Ю. ШВЕЦ а б в г Рис. 4. Фурье–спектры предельного цикла при N1 = 2.04 (а), первых двух его бифуркаций удвоения периода (б–в) и хаотического аттрактора при N1 = 1.85.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС ренних бифуркаций хаотических аттракторов происходит слияние двухтактных лент аттрактора в однотактную ленту. Данное слияние происходит при значении N1 1.798. В системе возникают хаотические аттракторы подобные приведен ному на рис. 5. Как видно из рис. 5а, однотактная лента хаоса, по прежнему, имеет две внутренних "дыры". Однако, в этом случае, возрастают амплитуды колебаний по фазовым переменным. Несколько усложняется, по сравнению с од нотактным хаосом, структура сечения и, особенно, отображения Пуанкаре. Хотя и для двутактного хаоса сечение и отображение Пуанкаре хорошо аппроксими руются одномерными кривыми. Фурье–спектр для хаотического аттрактора при N1 = 1.75 приведен на рис. 6а. По сравнению со случаем двухтактного хаоса в приведенном спектре отсутствуют завалы в области средних частот.

Хаотический аттрактор сохраняет структуру, подобную приведенной на рис. 5, при изменении параметра N1 в пределах 1.798 N1 1.67. Однако при из менении N1 в вышеуказанных пределах, при неизменности структуры проекций фазовых портретов по основным модам колебаний (однотактные с двумя окнами), происходят их некоторые эволюции в результате внутренних бифуркационных яв лений. При увеличении значений N1 наблюдается развитие стохастичности аттрак торов в том смысле, что траектории начинают все плотнее заполнять занимаемые аттракторами фазовые объемы, уменьшая площадь окон в проекциях p1, q1 и p2, q2.

При этом также наблюдается возрастание амплитуд колебаний по всем фазовым переменным и увеличение значений максимальных ляпуновских показателей. Да лее, в довольно узком окне периодичности, 1.67 N1 1.65 в системе на блюдаются бифуркации возникновения и гибели целого ряда предельных циклов.

Затем, при N1 1.64 в системе вновь возникает хаотический аттрактор, про екции которого имеют однотактную структуру с двумя внутренними "дырами".

Но заметно возрастает (см. рис. 1б) значение максимального ляпуновского харак теристического показателя, которое на интервале N1 (1.64, 1.62) достигает своих наибольших значений. Следовательно, на этом интервале наблюдается наи большая скорость разбегания близких фазовых траекторий. В окрестности точки N1 1.61 хаотический аттрактор исчезает и в системе возникает устойчивый предельный цикл.

При дальнейшем увеличении значения N1 в системе (2.6) существует достаточ но "широкое" окно периодичности в хаосе (см. рис. 1б). При приближении значе ния N1 к правой границе этого окна, со значения N1 = 1.5, начинается каскад бифуркаций удвоения периода предельных циклов. Данный бесконечный каскад заканчивается возникновением хаотического аттрактора при N1 1.43. Вновь наблюдается переход от регулярного режима к хаотическому по сценарию Фей генбаума. Проекция фазового портрета, возникшего хаотического аттрактора, его отображение Пуанкаре и Фурье–спектр, построенные при N1 = 1.4 приведены, соответственно, на рис. 6б–г. Как видно из этого рисунка, проекция фазового порт рета имеет структуру двухтактной ленты с двумя внутренними "дырами" и очень напоминает проекцию фазового портрета изображенную на рис. 3а. Практически рассматриваемые геометрические структуры могут быть получены одна из другой ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 56 А.Ю. ШВЕЦ а б в г Рис. 5. Проекции фазового портрета хаотического аттрактора при N1 = 1.75 (а–б), его сечение (в) и отображение Пуанкаре (г).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС а б в г Рис. 6. Фурье–спектр хаотического аттрактора при N1 = 1.75 (а);

проекция фазового портрета (б), отображение Пуанкаре (в) и Фурье–спектр (г) хаотического аттрактора при N1 = 1.4.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 58 А.Ю. ШВЕЦ при помощи преобразования поворота. Отображение Пуанкаре (рис. 6в) имеет лен точную структуру и допускает одномерную дискретную аппроксимацию. Фурье– спектр (рис. 6г) является непрерывным с завалами в среднечастотном диапазоне, аналогично спектру хаотического аттрактора при N1 = 1.85. Таким образом, на лицо заметная схожесть различных характеристик хаотических аттракторов при N1 = 1.85 и N1 = 1. Двухтактные, в проекциях на координатные плоскости по амплитудам основ ных мод колебаний, хаотические аттракторы существуют в системе (2.6) при 1.43 N1 1.36. При дальнейшем увеличении N1, в точке N1 1.36, проис ходит слияние двухтактной ленты хаотического аттрактора в однотактную. На рис. 7а–г приведены проекция фазового портрета, сечение и отображение Пу анкаре и Фурье–спектр хаотического аттрактора такого типа, построенные при N1 = 1.25. Здесь наблюдаются некоторые очевидные аналогии с хаотическим аттрактором приведенным на рис. 5. Отличным от предыдущего здесь являет ся то, что по мере развития стохастичности аттрактора наблюдается уменьшение фазового объема области, занимаемой траекториями аттрактора.

Дальнейшие внутренние гомоклинические бифуркации, происходящие при продолжении увеличения значения N1, приводят к возникновению хаотическо го аттрактора имеющего сплошную структуру в проекции p1, q1, то есть хаоса с наиболее развитой стохастичностью. На рис. 8 приведен аттрактор такого типа, построенный при N1 = 1.05. Продолжает наблюдаться уменьшение амплитуд колебаний по основным модам траекторий аттрактора. Сечение Пуанкаре имеет ленточную структуру и качественно очень похоже на сечение в предыдущем слу чае. Напротив отображение Пуанкаре усложняется и начинает утрачивать лен точность своей структуры. Из Фурье–спектра аттрактора практически исчезают частотные завалы и он, оставаясь непрерывным, приобретает структуру близкую к сплошному шумовому пьедесталу. Хаотические аттракторы, подобные приве денному на рис. 8, существуют при 1.11 N1 0.9. При N1 0.89 в системе вновь происходит возникновение хаотического аттрактора имеющего (в проекциях p1, q1 и p2, q2 ) однотактную структуру с двумя "дырами". Такая структура фазо вого портрета хаотического аттрактора сохраняется при N1 (0.89, 0.35). Хотя следует отметить, что в интервале хаоса N1 (0.89, 0.35) имеются узкие окна периодичности. При N1 = 0.34 хаотический аттрактор сменяется регулярным – четырехтактным предельным циклом.

Как вытекает из проведенных исследований, хаотические аттракторы различ ных типов, существующие в системе уравнений (2.6) при N1 1.62 во многом подобны соответствующим типам хаотических аттракторов существующих при N1 1.43. Однако имеется еще одно, не очевидное, свойство их подобия, кото рое мы проиллюстрируем на примере однотактного хаотического аттрактора. На рис. 9 приведены трехмерные проекции хаотических аттракторов, построенных при N1 = 1.75 и N1 = 1.21. В этих трехмерных проекциях учитывается и коор дината, описывающая вращение вала электродвигателя. Как видно из рисунка, фазовые портреты этих аттракторов качественно практически идентичны. Однако ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС а б в г Рис. 7. Проекция фазового портрета (а), сечение (б) и отображение Пуанкаре (в) и Фурье–спектр (г) хаотического аттрактора при N1 = 1.25.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 60 А.Ю. ШВЕЦ а б в г Рис. 8. Проекция фазового портрета (а), сечение (б) и отображение Пуанкаре (в) и Фурье–спектр (г) хаотического аттрактора при N1 = 1.05.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС а б Рис. 9. Проекции фазовых портретов хаотических аттракторов при N1 = 1.75(а) и при N1 = 1.21 (б).

они различны, поскольку на рисунке представлены проекции фазовых портретов на разные подпространства фазового пространства. Таким образом, наблюдает ся структурное подобие проекций фазовых портретов однотактовых хаотических аттракторов в совершенно разных фазовых подпространствах, что, очевидно, свя зано с симметричностью рассматриваемой задачи. Заметим, что таким подобием различных проекций фазовых портретов обладают и двухтактные хаотические аттракторы.

Следует особо подчеркнуть, что хаотические аттракторы являются типичными установившимися режимами рассматриваемой детерминированной динамической системы. Нами были найдены значительные интервалы изменения параметра N1, в которых существуют хаотические аттракторы.

В заключение отметим, что было проведено сравнение результатов для случаев идеального и неидеального возбуждения колебаний жидкости. Как мы уже отме чали, система уравнений для случая идеального возбуждения может быть легко получена из системы (2.6). Для случая идеального возбуждения третье уравнение в системе (2.6) следует отбросить, а в оставшихся четырех уравнениях считать не неизвестной функцией, а заданной постоянной величиной. Так, преобразо ванная система была численно проинтегрирована при выполнении условий (3.3) и N1 (2.1, 0.3). Значение изменялось в интервале (21, 22 ), где 1 и 2, соответственно, минимальное и максимальное значение амплитуд колебаний в установившихся режимах случая неидеального возбуждения. Проведенное чис ленное интегрирование позволило установить, что в случае идеального возбуж дения единственными аттракторами данной системы уравнений, при так выбран ных значениях параметров, являются только устойчивые положения равновесия.

Этот результат подтверждает результаты работ [2, 11] об отсутствии хаотических аттракторов при идеальном возбуждении параметрических колебаний. На прак тике, все источники возбуждения являются неидеальными. Поэтому применение ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 62 А.Ю. ШВЕЦ "идеальных" расчетных моделей приводит к получению неверных результатов, так как исключается возможность обнаружения целых классов установившихся колебательных режимов, в том числе и хаотических.

Список цитируемых источников 1. Miles J. W. Nonlinear surface waves in closed basins // J. Fluid Mech. – 1976. – Vol. 75, №3. – P. 419–448.

2. Miles J. W. Internally resonant surface waves in circular cylinder // J. Fluid Mech. – 1984. – Vol. 149. – P. 1–14.

3. Miles J. W. Resonantly forced surface waves in circular cylinder // J. Fluid Mech. – 1984. – Vol. 149. – P. 15–31.

4. Рабинович Б. И. Введение в динамику ракет-носителей космически аппаратов.– М.:

Машиностроение, 1983. – 296 с.

5. Кубенко В.Д., Ковальчук П.С., Бояршина Л.Г. и др. Нелинейная динамика осесим метричных тел, несущих жидкость.–Киев: Наук. думка, 1992.–184с.

6. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Deterministic chaos in a system generator – piezoceramic transducer // Nonlinear Dynamics and Systems Theory.–2006.– Vol. 6, №4.– P. 367–387.

7. Швец А.Ю. Детерминированный хаос сферического маятника при ограниченном возбуждении // Укр. мат. журн.– 2007.–Т. 59, №4.– С. 534–548.

8. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Chaotic surface waves in limited power-supply cylindrical tank vibrations // J. Fluids & Structures.–1994.– Vol. 8, №1.– P.1–18.

9. Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Chaotic interaction between uid vibrations in a cylindrical tank and electromotor // Flow Induced Vibration.– Rotterdam: A.A.Balkema, Brookeld.– 1995.–P. 269–280.

10. Miles J. W., Henderson D. Parametrically forced surface waves // Annu. Rev. Fluid Mech. – 1990. – Vol. 22. – P. 143–165.

11. Краснопольская Т. С., Подчасов Н. Л. Резонансы и хаос при неосесимметричных динамических процессах в гидроупругих системах // Прикл. мех. – 1993. –Т. 29, № 12. – С. 72–77.

12. Кузнецов С.П. Динамический хаос.–М.: Физматлит, 2001.–295c.

Получена 30.05. ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) Динамические системы, вып. 22 (2007), 63– ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Межведомственный научный сборник УДК 531. Об изоконических движениях гиростата в случае двух линейных инвариантных соотношений уравнений Кирхгофа Е.К. Щетинина Донецкий национальный университет экономики и торговли им. М.Туган-Барановского Донецк 83050.E-mail: math@iamm.ac.donetsk.ua Аннотация. Получены условия существования изоконических движений гиростата под дей ствием потенциальных и гироскопических сил в случае, когда дифференциальные уравнения Кирхгофа допускают два линейных инвариантных соотношения.

1. Введение Развитый П.В.Харламовым [1] метод годографов прямого кинематического ис толкования движения тела позволил исследовать особенности движения тела во многих случаях интегрируемости уравнений динамики твердого тела [2, 3]. Осо бый интерес представляют изоконические движения [3], для которых подвиж ный и неподвижный годографы угловой скорости симметричны друг другу отно сительно касательной к ним плоскости. Классическим примером изоконических движений являются движения тяжелого твердого тела в решениях В.А.Стеклова [4], Д.Гриоли [5]. Свойство изоконичности в решении В.А.Стеклова установлено Е.И.Харламовой и Г.В.Мозалевской [6], в решении Д.Гриоли – Е.И.Харламовой [7].

Изоконические движения были найдены и в решении Н.Е.Жуковского [9] Ю.П.Ва рхалевым и Г.В.Горром [8]. Ими же исследованы условия существования изоко нических движений в обобщенной задаче динамики твердого тела с неподвиж ной точкой [10] в общем случае. Частные типы изоконических движений изучали Е.В.Верховод и Г.В.Горр [11, 12]. В работе [13] рассмотрены изоконические дви жения гиростата в решении уравнений Кирхгофа, найденном С.А.Чаплыгиным [14] и П.В.Харламовым [15]. В данной статье исследованы условия существова ния изоконических движений гиростата в решении [16] (аналоги этого решения в задаче о движении тела в жидкости получены ранее С.А.Чаплыгиным [14] и П.В.Харламовым [15]).

c Е.К. ЩЕТИНИНА 64 Е.К. ЩЕТИНИНА 2. Постановка задачи. Первый случай решения с двумя линейными инвариантными соотношениями Рассмотрим задачу о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил, которая описывается дифференциальными уравнениями Кирхгофа-Пуассона A = (A + ) + B + s + C, (2.1) =, (2.2) где = (1, 2, 3 ) – вектор угловой скорости гиростата;

= (1, 2, 3 ) – еди ничный вектор оси симметрии силовых полей;

= (1, 2, 3 ) – гиростатический момент;

s = (s1, s2, s3 ) – вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра масс;

A = (Aij ) – тензор инерции гиростата, построенный в неподвижной точке O;

B = (Bij ), C = (Cij ) – постоянные симметричные матрицы третьего порядка;

точка над переменными обозначает относительную производную по времени t.

Для изоконических движений справедливо инвариантное соотношение [3] · ( e) = 0. (2.3) Здесь e – единичный вектор, неизменно связанный с гиростатом.

Предположим, что уравнения (2.1), (2.2) допускают два линейных инвариант ных соотношения [16] 1 = a1 (b0 + b1 1 + b2 2 + b3 3 ), (2.4) 2 = a2 (c0 + c1 1 + c2 2 + c3 3 ), 1 где bi (i = 0, 3), cj (j = 0, 3) – постоянные, a1 =, a2 =. Связь параметров A1, A1 A A2 с тензором A такова: A = diag(A1, A2 A3 ). То есть при исследовании условий существования соотношений (2.4) у уравнений (2.1), (2.2) используется главная система координат в точке O.

Отметим, что дифференциальные уравнения (2.1), (2.2) имеют первые инте гралы (A · ) 2(s · ) + (C · ) = 2E, · = 1, (2.5) (A + ) · (B · ) = k.

Здесь E, k – произвольные постоянные.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) ОБ ИЗОКОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЯХ ГИРОСТАТА В работе [16] показано, что при выполнении условий (a1 a3 )b 3 = 0, s3 = 0, B23 = B13 = 0, C23 = C13 = 0, 1 =, a (a2 a3 )c 2 =, s1 = a2 c0 c1 a1 b0 (c2 + B33 ), a a s2 = a1 b0 b2 a2 c0 (b1 + B33 ), b1 = [(a2 a3 )B11 a3 B22 ], (2.6) a2 a3 a1 a3 a b2 = B12, c1 = B12, c2 = [(a1 a3 )B22 a3 B11 ], C12 = a1 b2 (c2 + B33 ) a2 c1 c2, C11 = C33 + a1 b1 (c2 + B33 ) a2 c2, C22 = C33 + a2 c2 (b1 + B33 ) a1 b2, = a1 a3 + a2 a3 a1 a уравнения (2.1), (2.2) с интегралами (2.5) допускают решение 1 = a1 (b0 + b1 1 + b2 2 ), 2 = a2 (c0 + c1 1 + c2 2 ), 3 = a3 (0 3 + 0 ), (2.7) где 0 – произвольная постоянная, ai = (i = 1, 3), 0 – фиксированная посто Ai янная:

0 = [a3 (a2 2a3 )B11 + a3 (a1 2a3 )B22 + B33 ]. (2.8) Соотношениями (2.7) при условиях (2.6) динамические уравнения Кирхгофа (2.1) удовлетворены, а уравнения Пуассона (2.2) примут вид 1 = a3 (0 3 + 0 )2 a2 (c0 + c1 1 + c2 2 )3, 2 = a3 (0 3 + 0 )1 + a1 (b0 + b1 1 + b2 2 )3, (2.9) 2 3 = a2 c0 1 a1 b0 2 + (a2 c2 a1 b1 )1 2 + a2 c1 1 a1 b2 2.

Уравнения (2.9) имеют первые интегралы 2 2 1 + 2 + 3 = 1, (2.10) 1 a1 b0 1 + a2 c0 2 + a3 0 3 + a1 b2 1 2 + [(a1 + a3 )b1 + a3 c2 ]1 + 1 2 + [(a2 + a3 )c2 + a3 b1 ]2 + a3 0 B33 3 = a3 k. (2.11) 2 Подставим выражения (2.7) в равенство (2.3) (a1 b0 a1 b1 e1 a2 c1 e2 )1 + (a2 c0 a1 b2 e1 a2 c2 e2 )2 + 2 2 + a3 (0 0 e3 )3 + a1 b1 1 + a2 c2 2 + a3 0 3 + (a1 b2 + a2 c1 )1 (a1 b0 e1 a2 c0 e2 + a3 0 e3 ) = 0. (2.12) ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 66 Е.К. ЩЕТИНИНА Таким образом движение гиростата, описываемое решением (2.7)–(2.11), будет об ладать свойством изоконичности, если уравнения (2.9) допускают инвариантное соотношение (2.12).

3. Условия существования изоконических движений в первом случае Потребуем, чтобы соотношения (2.11), (2.12) были линейно зависимы. Тогда получим равенства a1 b0 a1 b1 e1 a2 c1 e2 = x0 a1 b0, a2 c0 a1 b2 e1 a2 c2 e2 = x0 a2 c0, 0 0 e3 = x0 0, a1 b2 + a2 c1 = x0 a1 b2, x0 x [(a1 + a3 )b1 + a3 c2 ], a2 c2 = [(a2 + a3 )c2 + a3 b1 ], (3.1) a1 b1 = 2 0 = x0 0 B33, a1 b0 e1 a2 c0 e2 + a3 0 e3 = x0 a3 k, где x0 – параметр, подлежащий определению.

Обратимся к условиям (2.6) и рассмотрим значения параметров b2 и c1. Оче видно следующее равенство a1 b2 = a2 c1. Тогда из соотношения a1 b2 + a2 c1 = x0 a1 b системы (3.1) вытекает, что x0 = 2. При этом значении x0 система (3.1) в силу (2.8) приводится к условиям 0 = B33, (a2 2a3 )B11 + (a1 2a3 )B22 = 0, (c2 = b1 ), 0 = e3 B33, a1 b1 e1 + a2 c1 e2 = a1 b0, a1 b2 e1 + a2 c2 e2 = a2 c0, (3.2) k= (a1 b0 e1 a2 c0 e2 + a3 0 e3 ).

2a Из пятого и шестого уравнений системы (3.2) получим a2 (b0 b1 + b2 c0 ) a2 b1 c0 a1 b0 b e1 =, e2 =. (3.3) a1 b2 + a2 b2 a1 b2 + a2 b 2 1 2 Так как вектор e – единичный, то в силу равенства 0 = e3 B33 и равенств (3.3) имеем значения постоянных e3 и e3 =, B (3.4) B33 [(a1 b2 + a2 b2 )2 a2 (b0 b1 + b2 c0 )2 (a2 b1 c0 a1 b0 b2 )2 ] 2.

0 = 2 1 2 a1 b2 + a2 b Компоненты угловой скорости на основании (2.7), (3.2) таковы:

1 = a1 (b0 + b1 1 + b2 2 ), 2 = a2 c0 + a1 b2 1 a1 b1 2, 3 = a3 (B33 3 + 0 ). (3.5) ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) ОБ ИЗОКОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЯХ ГИРОСТАТА Уравнения (2.9) несколько упрощаются 1 = a3 (B33 3 + 0 )2 (a2 c0 + a1 b2 1 a2 b1 2 )3, 2 = a3 (B33 3 + 0 )1 + a1 (b0 + b1 1 + b2 2 )3, (3.6) 2 3 = a2 c0 1 a1 b0 2 (a1 + a2 )b1 1 2 + a1 b2 (1 2 ), а интеграл (2.11) принимает вид 1 1 2 2 a1 b0 1 + a2 c0 2 + a3 0 3 + a1 b2 1 2 + a1 b1 1 a2 b1 2 + a3 B33 3 = a3 k. (3.7) 2 2 Таким образом, если параметры уравнений (2.1), (2.2) дополнительно к услови ям (2.6) удовлетворяют второму равенству из системы (3.2), а параметр 0 подчи нен ограничению из (3.4), где e1, e2, e3 имеют значения из (3.3), (3.4), то движение гиростата будет обладать свойством изоконичности. Сведение задачи к квадра турам осуществляется следующим образом. Из первых интегралов (2.10) и (3.7) определяются зависимости 2 (1 ), 3 (1 ). Подстановка их в первое уравнение си стемы (3.6) позволяет получить зависимость 1 (t). То есть этим способом можно получить i = i (t) (i = 1, 3). Тогда функции i (t) находятся из соотношений (3.5).

Выполним сведение задачи к квадратурам в случае 0 = 0 (e3 = 0). Вместо 1, 2, 3 введем новые переменные, 1 = sin sin, 2 = sin cos, 3 = cos. (3.8) Подставим выражения (3.8) в уравнение (3.7) f2 () sin2 + f1 () sin + f0 = 0, (3.9) где f2 () = (a1 b2 sin 2 + a1 b1 sin2 a2 b1 cos2 a3 B33 ), (3.10) a f1 () = a1 b0 sin + a2 c0 cos, f0 = (B33 2k).

Из уравнения (3.9) получим f1 () ± f1 () 4f0 f2 () sin = F () =. (3.11) 2f2 () Значение постоянной k найдем, используя последнее равенство из системы (3.2) и выражения (3.3) a2 b1 (a1 b2 + a2 c2 ) 0 k=. (3.12) 2a3 (a1 b2 + a2 b2 ) 2 Так как в силу (3.12), (2.6) величина k не зависит от B33, то подкоренное выра жение в формуле (3.11) может быть положительным за счет выбора параметра ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 68 Е.К. ЩЕТИНИНА B33. Условию | sin | 1, где sin выражается соотношением (3.11) можно удо влетворить выбором параметров b0, c0, которые в решении (2.7)–(2.11) остались произвольными.

Из первых двух уравнений системы (3.6) на основании соотношений (3.9), (3.10) имеем cos = [a3 (B33 2k) + (a1 b0 sin + a2 c0 cos ) sin ]. (3.13) sin Если внесем выражение (3.11) в уравнение (3.13), то получим 1 F 2 () d = [a3 (B33 2k) + (a1 b0 sin + a2 c0 cos )F ()]. (3.14) F 2 () dt Из уравнения (3.14) устанавливаем зависимость = (t), а затем из (3.11) находим функцию = (t). Зависимости i = i (t) можно определить из равенств (3.8), а функции i = i (t) – из равенств (3.5).

Для получения уравнений подвижного годографа из соотношений (3.5) опре делим i a1 b2 2 + a2 b1 1 a1 a2 (b0 b1 + b2 c0 ) 1 =, a1 (a1 b2 + a2 b2 ) 2 b2 1 b1 2 + a2 b1 c0 a1 b0 b (3.15) 2 =, a1 b2 + a2 b 2 3 a3 3 =.

a3 B Тогда подвижный годограф – линия пересечения поверхностей, уравнения кото рых можно получить подстановкой величин (3.15) в равенства (2.10), (3.7). То есть в общем случае подвижный годограф вектора угловой скорости – алгебраическая кривая четвертого порядка.

Неподвижный годограф симметричен подвижному годографу относительно ка сательной к ним плоскости. Движение гиростата получаем качением без скольже ния подвижного годографа вектора угловой скорости по неподвижному годографу.

4. Изоконические движения гиростата во втором случае решения с двумя линейными инвариантными соотношениями Пусть выполняются следующие условия на параметры уравнений (2.1), (2.2) и ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) ОБ ИЗОКОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЯХ ГИРОСТАТА инвариантных соотношений (2.4) a3 B 1 = 2 = 0, b0 = c0 = 0, c1 = 0, b2 = 0, B12 = 0, b3 =, a3 a a3 B23 a2 a3 B11 a1 b c3 =, b1 =, c2 =, s1 = a1 3 b3, a3 a2 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a s2 = a2 2 c3, s3 = a1 3 b1, (a1 a3 + a2 a3 a1 a2 )B22 + (a1 a3 a1 a2 a2 a3 )B33 = 0, (4.1) a1 a2 b3 c3 a1 (a1 a3 )b1 b3 a1 (a2 a3 )b1 c C12 =, C13 =, C23 =, a3 a3 a a [(a1 a3 )b2 + (a3 a1 )b2 + a3 c2 ], C11 = C33 + 1 3 a a [(a2 a3 )b2 + (a3 a2 )c2 + a3 b2 ].

C22 = C33 + 1 3 a При выполнении условий (4.1) уравнения (2.1), (2.2) допускают решение l0 1 = a1 (b1 1 + b3 3 ), 3 = a1 b1 2 + a2 c3 3, 3 = + d0 3, (4.2) где l0, d0 – произвольные постоянные. Уравнения (2.2) в случае (4.1), (4.2) таковы l0 1 = + d0 3 3 (a1 b1 2 + a2 c3 3 ), l0 1 (4.3) 2 = + d0 3 + 3 (a1 b1 1 + a1 b3 3 ), 3 = (a2 c3 1 a1 b3 2 )3.

Эти уравнения допускают два интеграла 2 2 1 + 2 + 3 = 1, (4.4) l 3 (a1 b3 1 + a2 c3 2 + (d0 a1 b1 )3 + a3 3 ) =.

Подставим соотношения (4.2) в равенство (2.3) и учтем в полученном уравне нии второе условие из (4.4) e3 l a1 b1 e1 1 3 +a1 b1 e2 2 3 +(a1 b3 e1 +a2 c3 e2 +d0 e3 +a3 3 )3 (a1 b1 +l0 )3 + = 0. (4.5) ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 70 Е.К. ЩЕТИНИНА Потребуем, чтобы второе уравнение из (4.4) и уравнение (4.5) были линейно зави симы. Тогда получим следующие условия b1 e1 = x0 b3, a1 b1 e2 = x0 a2 c3, l0 (x0 + e3 ) = 0, (4.6) l0 + a1 b1 = x0 a3 3, a1 b3 e1 + a2 c3 e2 + d0 e3 + a2 3 = x0 (d0 a1 b1 ).

Будем считать, что l0 = 0. В этом случае из (4.6) и условия e2 + e2 + e2 = 1 имеем 1 2 x0 = e3 и b3 e3 a2 c3 e3 a1 b e1 =, e2 =, e3 =, b1 a1 b1 a2 b2 + a2 c2 + a2 b 13 23 (4.7) a2 b2 + a2 c2 + a2 b d0 = 1 3 23, l0 = a3 e3 3 a1 b1.

2a1 b Последние два равенства из системы (4.7) показывают, что в условиях изоко ничности постоянные d0 и l0 фиксированы.

Для сведения задачи к квадратурам воспользуемся формулами (3.8). Из вто рого равенства системы (4.4) следует 2 l (d0 a1 b1 ) cos2 a3 3 cos, sin( + 0 ) = 22 a1 b3 + a2 c3 sin (4.8) a2 c tg 0 =.

a1 b Третье уравнение системы (4.3) можно представить в виде a2 b2 + a2 c2 cos cos( + 0 ), = (4.9) 13 Внесем выражение (4.8) в правую часть уравнения (4.9) (cos )• = (a2 b2 + a2 c2 ) sin2 cos 13 2 l0 (d0 a1 b1 ) cos2 a3 3 cos. (4.10) Из уравнения (4.10) устанавливаем зависимость = (t), тогда зависимость = (t) можно найти из равенства (4.8). Формулы (3.8) и (4.2) позволяют получить функции i = i (t) и i = i (t) (i = 1, 3) соответственно.

Уравнения подвижного годографа можно найти следующим образом. Из со отношений (4.2) определяем величины i через i и полученные выражения под ставляем в равенства (4.4). В отличие от первого случая, в данном варианте по движный годограф – кривая восьмого порядка, так как компоненты i (i = 1, 3) имеют вид a1 b3 3 ± 3 2d0 l 1, 1 = a1 b1 2d ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) ОБ ИЗОКОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЯХ ГИРОСТАТА a2 c3 3 ± 3 2d0 l 1, 2 = a1 b1 2d 3 ± 3 2d0 l 3 =.

2d Таким образом, в статье для решения с двумя линейными инвариантными соотно шениями уравнений Кирхгофа получены условия существования изоконических движений гиростата, выполнено сведение задачи к квадратурам в двух частных случаях рассматриваемого решения, указаны свойства подвижного и неподвиж ного годографов вектора угловой скорости.

Список цитируемых источников 1. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвиж ную точку // Прикл. математика и механика. – 1964. – Т.28, вып.3. – С.502-507.

2. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твер дого тела. Развитие и современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296с.

3. Горр Г.В., Илюхин А.А., Ковалев А.М., Савченко А.Я. Нелинейный анализ поведе ния механических систем. – Киев: Наук. думка, 1984. – 228с.

4. Стеклов В.А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движе-ния тя желого твердого тела, имеющего неподвижную точку // Труды отделения физ.наук о-ва любителей естествознания. – 1989. – Т.10, вып.1. – С.1-3.

5. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante asimmetrico // Ann. mat. pura ed appl. Ser.4. – 1947. – T.26. – f.3-4. – P.271-281.

6. Харламова Е.И., Мозалевская Г.В. Исследование решения В.А.Стеклова уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку // Механика твердого тела. – 1968. – Вып.5. – С.194-202.

7. Харламова Е.И. Об одном движении тела, имеющего неподвижную точку // Меха ника твердого тела. – 1970. – Вып.2. – С.35-37.

8. Вархалев Ю.П., Горр Г.В. К вопросу о классификации движений гиростата Жуков ского // Прикладная механика. – 1984. – Т.20, №8. – С.104-111.

9. Жуковский Н.Е. О движении тяжелого твердого тела, имеющего полости, наполнен ные однородной капельной жидкостью // Собр. соч. Т.1. – М.: Гостехиздат, 1949. – С.31-152.

10. Вархалев Ю.П., Горр Г.В. Изоконические движения твердого тела, имеющего непо движную точку // Механика твердого тела. – 1982. – Вып.14. – С.20-33.

11. Верховод Е.В., Горр Г.В. Прецессионно-изоконические движения твердого тела с неподвижной точкой // Прикладная математика и механика. – 1993. – Т.57, вып.4.

– С.31-39.

12. Верховод Е.В., Горр Г.В. Новые случаи изоконических движений в обобщенной за даче динамики твердого тела с неподвижной точкой // Прикладная математика и механика. – 1993. – Т.57, вып.5. – С.25-34.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 72 Е.К. ЩЕТИНИНА 13. Горр Г.В., Саркисьянц Е.В., Скрыпник С.В. Об изоконических движениях тела в случае трех линейных инвариантных соотношений // Механика твердого тела. – 2000. – Вып.30. – С.93-100.

14. Чаплыгин С.А. О некоторых случаях движения твердого тела в жидкости. Статья вторая // Собр. соч. Т.1. – М.-Л.: Гостехиздат, 1948. – С.194-312.

15. Харламов П.В. О движении в жидкости тела, ограниченного многосвязной поверх ностью // Журнал прикладной механики и технической физики. – 1963. – №4. – С.17-29.

16. Скрыпник С.В. Об одном классе двух линейных инвариантных соотношений в обоб щенной задаче динамики // Механика твердого тела. – 1999. – Вып.28. – С.31-40.

Получена 04.04.2007 Переработана 12.05. ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) Динамические системы, вып. 22 (2007), 73– ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Межведомственный научный сборник УДК 517.9: Малые движения вязкой стратифицированной жидкости Д. О. Цветков Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь 95007. E-mail: tsvet@crimea.edu Аннотация. В работе рассмотрена задача о малых движениях вязкой жидкости, частично заполняющей произвольный сосуд и равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси, плот ность которой в состоянии относительного равновесия имеет устойчивую стратификацию. До казана теорема существования сильного (по времени) решения начально-краевой задачи.

1. Введение Задачи о колебаниях стратифицированной жидкости, заполняющей ограничен ную область пространства, находят приложения в теории сейш, в теории колеба ний нефти в танкерах, при изучении колебаний криогенных жидкостей в закрытых резервуарах. Не приводя подробной библиографии, упомянем лишь монографии [1] [4] и работы [5] [8], где изучаются те или иные аспекты теории колебаний такой системы.

2. Постановка задачи Рассмотрим вязкую стратифицированную несжимаемую жидкость ( с динами ческим коэффициентом вязкости µ ), частично заполняющую некоторый сосуд и равномерно вращающуюся вокруг оси, сонаправленной с действием силы тяжести.

В состоянии относительного равновесия жидкость занимает область, ограничен ную твердой стенкой S и равновесной поверхностью.

Введем систему координат Ox1 x2 x3, жестко связанную с сосудом, таким об разом, что ось Ox3 совпадает с осью вращения и направлена против действия силы тяжести, а начало координат находится на равновесной поверхности.

При этом стационарное распределение плотности жидкости 0 зависит от формы параболоида свободного вращения, то есть является функцией всех координат:

0 = 0 (x1, x2, x3 ). Отметим также, что равномерная скорость вращения сосуда запишется в виде 0 = 0 e3. Будем считать для определенности, что 0 0.

c Д.О. ЦВЕТКОВ 74 Д.О. ЦВЕТКОВ В состоянии равномерного вращения давление в жидкости распределено по закону 12 (x + x2 ) gx P0 (x) = 0 (x) =: 0 (x) U0 ( в ). (2.1) 20 1 Рассмотрим малые движения жидкости, близкие к равномерному вращению.

Обозначим через u = u(t, x), x = (x1, x2, x3 ), поле скорости в жидкости, p = p(t, x) отклонение поля давлений от равновесного давления (2.1), а через = (t, x) отклонения поля плотности от исходного поля 0 (x).

Линеализированные уравнения для определения функций u, p, имеют вид:

u 20 (u e3 ) = 1 ( p + U0 + µu) + f ( в ), t (2.2) + 0 · u = 0, divu = 0 ( в ), t где f = f (t, x) малое поле внешних массовых сил.

В дальнейшем будем рассматривать лишь основной случай устойчивой страти фикации по плотности:

0 Nmin N 2 (x) Nmax =: N0, 2 2 (2.3) U0 · N 2 (x) :=, 0 (0) 0, 0 (x) где N 2 (x) квадрат частоты Вяйсяля-Брента (частоты плавучести).

На твердой стенке S для вязкой жидкости должно выполнятся условие прили пания u = 0 ( на S ). (2.4) Кинематические и динамические условия на поверхности удобно записать в криволинейной системе координат O 1 2 3, в которой уравнение равновесной поверхности имеет вид 3 = 0, а коэффициент Ламе h3 | = 1. Тогда, считая, что свободная движущиеся поверхность (t) описываются уравнениями 3 = (t, 1, 2 ), приходим к линеаризованному кинематическому условию:

= u · n ( на ), (2.5) t где n единичный вектор, нормальный к и направленный вне.

Динамические условия на (t) состоят в равенстве нулю касательных напря жений и в равенстве нормального напряжения скачку давлений, возникающему вследствие действия центробежных и гравитационных сил. После линеаризации они выглядят следующим образом:

µ(ui,3 + u3,i ) = 0 ( i = 1, 2, на ), (2.6) p + 2µu3,3 = a ( на ), ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ где a = a() := ( P0, n)|, := ( 1, 2 ), а через ui,k обозначены ковариантные производные ковариантного вектора ui по переменной k.

В начальный момент времени естественно считать заданными u(x, 0) = u0 (x), (x, 0) = 0 (x) ( x ), (, 0) = 0 () ( x ).

x x (2.7) Таким образом, задача о малых движениях вязкой стратифицированной жид кости в открытом равномерно вращающемся сосуде сводится к решению уравне ний (2.2) при краевых и начальных условиях (2.4) (2.7).

3. Функциональные пространства Начально-краевую задачу (2.2) (2.7) приведем в дальнейшем к дифференциальному уравнению в гильбертовом пространстве. Для этого приме ним прием проектирования уравнений (2.2) на ортогональные подпространства [9].

Свяжем с функцией 0 = 0 (x) гильбертово пространство L2 (, 0 ) вектор функций со скалярным произведением (u, v) = 0 (x)u(x)v(x)d. (3.1) Лемма 1. Имеет место следующее ортогональное разложение:

L2 (, 0 ) = J0 (, 0 ) Gh,S (, 0 ) G0, (, 0 ), где J0 (, 0 ) = {u L2 (, 0 ) : div u = 0 (в ), un := u · n = 0 (на )}.

Gh,S (, 0 ) = { v L2 (, 0 ) : v = 1 p, v·n=0 (на S), · v = 0 (в ), p d = 0 }, G0, (, 0 ) = {w L2 (, 0 ) : w = 1, = 0 (на ) }.

Наряду с введенными пространствами, понадобятся еще гильбертово простран ство L2 () скалярных функций со скалярным произведением N 2 (x) (, )L2 () := 0 (x)(x) d | 0 | и гильбертово пространство L2 () со скалярным произведением (, )0 := a()() d, xx x.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 76 Д.О. ЦВЕТКОВ Предполагаем в дальнейшем, что состояние относительного равновесия вра щающейся жидкости в сосуде статически устойчиво по линейному приближению, это условие равносильно тому, что a() a0 0 ( ). (3.2) Введем также пространство H (, 0 ) скалярных функций {p(x)} таких, что 1 | p|2 d, p = p d = 0. (3.3) 1 H (,0 ) 4. Переход к операторному уравнению Будем считать, что при каждом t отдельные слагаемые в (2.2) являются эле ментами L2 (, 0 ), тогда u(t, x) J0 (, 0 ) Gh,S (, 0 ) =: J0,S (, 0 ) = = {u L2 (, 0 )| div u = 0 ( в ), un = 0 ( на S ) }.

1 p(t, x) G0, (, 0 ) Gh,S (, 0 ) =: G(, 0 ) = (4.1) = {v L2 (, 0 )| v = 1 p ( в ), p d = 0}.

Пусть P0,S и P0, ортопроекторы на J0,S (, 0 ) и G0, (, 0 ) соответственно. При этом P0,S (1 p) = 1 p Gh,S (, 0 ), P0,S u(t, x) =u(t, x), 0 (4.2) P0, (1 p) = 1 G0, (, 0 ).

0 Применим ортопроекторы P0, и P0,S к первому уравнению (2.2), с учетом (4.2) получим 0 = 1 + P0, (1 U0 ) + P0, (1 µu) + P0, f (t, x), (4.3) 0 0 u 20 P0,S (u e3 ) = 1 p + P0,S (1 U0 )+ 0 t + P0,S (1 µu) + P0,S f (t, x). (4.4) Соотношение (4.3) показывает, что 1 (t, x) может быть найдено, если из вестно решение (u, ). Поэтому в дальнейшем достаточно ограничиться рассмот рением соотношения (4.4), а также условий из (2.6) с соответствующей заменой p p, так как p = p +, = 0 ( на ).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ Обозначим через B0 оператор, определенный по закону B0 := P a()P, (4.5) где a() заданная на функция (2.6), а через P обозначен ортопроектор на H0 = L2 () {1 }. Так как a() непрерывная на функция, то B0 ограничен ный самосопряженный оператор, действующий в H0. Кроме того, согласно (3.2), оператор B0 положительно определен в H0.

ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА I.

По заданной функции (), x, найти функцию p1 (x), x, являющуюся x решением задачи · (1 (x) p1 ) = 0 ( в ), 1 (x) p1 · n = 0 ( на S ), 0 (1 |x )p1 = := B0 ( на ), d = 0.

Это аналог известной задачи Зарембы. Она имеет единственное решение 1 1 p1 H (, 0 ) при H = H 2 () H0, где H 2 () пространство Соболева Слободецкого (см. [10]).

решение задачи I для H, то 1 p1 (x) Gh,S (, 0 ) и Если p1 (x) 1 (x) p1 (x) = G = GB0, (4.6) где G : H Gh,S (, 0 ) есть линейный ограниченный оператор (см. [9]).

ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА II.

По заданной функции f1 найти функции u(x) и p2 (x), являющиеся решением краевой задачи 1 p2 P0,S (1 µu) = f1, div u = 0 ( в ), u = 0 ( на S ), 0 µ(ui,3 + u3,i ) = 0 ( i = 1, 2, на ), p2 + 2µu3,3 = 0 ( на ).

Известно (см. [6]), что эта задача имеет единственное обобщенное решение u = µ1 A1 f для правой части из J0,S (, 0 ), где A оператор задачи II. При этом оператор A есть неограниченный самосопряженный положительно определенный оператор.

С учетом выше сказанного вернемся к начально-краевой задаче (2.2) (2.7), точнее, после отделения тривиального решения (4.3), к соответствующей начально-краевой задаче для уравнения (4.4). Представим 1 p Gh,S (, 0 ) в виде 1 p = 1 p1 + 1 p2, 1 pi Gh,S (, 0 ), ( i = 1, 2 ) (4.7) 0 0 0 и пусть p1 есть решение вспомогательной задачи I для = B0, а p2 функция из вспомогательной задачи II.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 78 Д.О. ЦВЕТКОВ Теорема 1. Классическое решение начально-краевой задачи (2.2) (2.7) есть решение задачи Коши для системы дифференциально операторных уравнений:

du + 2i S u + GB + µAu + C = P f =: f, u(0) = u0, 00 0 0,S 0,S dt d n u = 0, (0) = 0, (4.8) dt d C u = 0, (0) = 0, dt и уравнения (4.3). Здесь A есть оператор задачи II, G оператор, связанный с задачей I, n оператор следа:

u J0,S (, 0 ) := { v H 1 (, 0 )| div v = 0 ( в ), v = 0 ( на S ) }, n u := un = u·n|, C u := 0 ·u, C := P0,S (1 U0 ), S0 u := iP0,S (ue3 ), а u, и считаются функциями t со значениями в соответствующих гильбертовых пространствах.

Лемма 2. 1. Оператор n может быть расширен до оператора n с областью определения D(n ) = {v J0,S (, 0 ) : n v H0 }, в этом случае оператор n есть оператор, сопряженный к оператору G: n = G.

2. Для операторов A и n следующие включения имеют место:

D(A) D(A1/2 ) = J0,S (, 0 ) D(n ).

3. Операторы C : L2 () J0,S (, 0 ) и C : J0,S (, 0 ) L2 (), взаимно сопряжены и C = C N0.

4. Оперратор S0 обладает следующими свойствами: S0 = S0, S0 = 1.

Доказательство. Утверждение пуктов 1 и 3 доказывается в работах [6], [8];

пунк тов 2, 3 в работе [9].

С целью получения более симметричного вида операторной матрицы, отвеча ющей задаче (2.2) – (2.7), введем еще в (4.8) замену B0 = и применим (поло жительно определенный и ограниченный) оператор B0 к обеим частям второго уравнения системы (4.8). В новых переменных будем иметь:

u u µA + 2i0 S0 GB0 C f0,S d 0, + B 2 G 0 · = (4.9) dt C 0 t t = u 0 ;

B0 0 ;

0.

u(0);

(0);

(0) ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ Определение 1. Функции u(t, x), (t, x), (t, x) и p(t, x) назовем сильным ре шением задачи (2.2) – (2.7), если выполнено (4.3) и {u;

;

} есть сильное реше ние задачи (4.9) в пространстве H := J0,S (, 0 ) H0 L2 (). Это значит, что для всех t 0 функции u = u(t) D(A), B0 (t) D(G), = (t) L2 () и 1 функции du/dt, d/dt, d/dt, Au(t), S0 u, GB0 (t), C(t), B0 G u(t), C u(t) есть 2 непрерывные по t, кроме того, уравнение и начальное условие (4.9) выполнены.

Для удобства, рассмотрим задачу (4.9) при µ = 1. Свяжем с ней оператор матрицу A GB0 C A0 := B 2 G 0, (4.10) C 0 которая имеет плотную в H = J0,S (, 0 ) H0 L2 () область определения D(A0 ) = D(A) D(GB0 ) L2 (). (4.11) Лемма 3. Оператор A0 с областью определения (4.11) есть аккретивный опе ратор, то есть для любых (u;

;

)t D(A0 ) выполнено неравенство u u, Re A0 = (Au, u) 0. (4.12) H Отметим, что оператор A0 не является максимальным аккретивным опе ратором. Для перехода к максимальному аккретивному оператору представим (u;

;

)t = eat (v;

;

)t, a 0, и, подставляя в (4.9), получим следующую зада чу Коши dy + Aa y + Sy = f (t), y(0) = y 0, (4.13) dt где y(t) = (v(t);

(t);

(t))t,f (t) = (f0,S (t);

0;

0)t eat, S := diag(2i0 S0 ;

0;

0), Aa GB0 C Aa := A0 + aI = B 2 G aI 0, Aa = A + aI, C 0 aI I единичный оператор в H.

Обозначим 1 1 1 Q1 := B0 G Aa 2, Q+ := Aa 2 GB0, D(Q+ ) = D(GB0 ) = B0 2 D(G). (4.14) 2 2 1 Q+ Q, Q + = Q | Q+ = Q.

Лемма 4., 1 1 1 1 D(GB0 ) ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 80 Д.О. ЦВЕТКОВ Поскольку всякий аккретивный оператор допускает расширение до максималь ного аккретивного оператора, то дальнейшее исследование задачи (4.13) основы вается на расширении оператора Aa до максимального аккретивного оператора.


Лемма 5. Замыкание A := Aa оператора Aa есть максимальный равномерный аккретивный оператор. При этом D(A) = { y = (v;

;

)t H | v + Aa 2 Q D(Aa ) }, (4.15) и справедливы следующие факторизации:

а) в виде Шура - Фробениуса I 0 0 1 Aa 0 0 I Aa 2 Q Aa 2 Q 1 0 0 W1 Q1 Q 0 0 = A = Q1 Aa 2 I I 1 0 Q2 Q W2 0 0 IL2 () Q2 Aa 2 0 IL2 () I0 0 Aa 0 0 I T3 T = T1 I 0 0 W1 Q1 Q 0 I 0, T2 0 IL2 () 0 Q2 Q1 W 2 0 0 IL2 () 1 1 1 T2 := Q2 Aa 2, T3 := Aa 2 Q, T4 := Aa 2 Q, T1 := Q1 Aa 2, 1 W1 := aI + Q1 Q, W2 := aIL2 () + Q2 Q ;

(4.16) 1 б) с симметрическим окаймлением 1 1 Q Q I Aa 0 0 Aa 0 2 1 A = 0 I 0 · Q1 aI 0 · 0 I 0, Q2 0 aIL2 () 0 0 IL2 () 0 0 IL2 () 1 Q2 := C Aa 2, Q = Aa 2 C. (4.17) Доказательство аналогично приведенному в [8].

5. Теорема о существовании сильного решения Вместо задачи (4.13) рассмотрим задачу Коши:

dy y(0) = y 0.

+ Ay + Sy = f (t), (5.1) dt используя факторизацию Шура - Фробениуса для оператора A, осуществим заме ну I T3 T4 v v 0 I 0 =: 1 (5.2) 0 0 IL2 () ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ и применим к (5.1) слева оператор I T3 T 0 I 0.

0 0 IL2 () В результате приходим к следующей задаче:

dz z(0) = z 0, z := (v1 ;

1 ;

1 )t, + (I + T )A z + Sz = f (t), (5.3) dt где I0 0 T3 T1 + T4 T2 T3 T I + T := 0 I 0 + 0 0, T 0 0 IL2 () T2 Ab 0 0 S ST3 ST A := 0 W1 Q1 Q, S := 0 0.

0 Q2 Q W2 0 0 При этом оператор T – компактный, S – ограниченный, оператор A есть самосопряженный положительно определенный, имеющий компактный обратный оператор A1.

Так как для оператора (A ) уравнение dz + A z = 0, z = (v1 ;

1 ;

1 )t, (5.4) dt является абстрактным параболическим (см. [12], c. 104, c. 121) и соответствующая полугруппы аналитична в секторе, содержащем положительную полуось, то (см.

[12], с. 183) уравнение dz + I + (T + SA1 ) A z = 0, (5.5) dt где оператор T + SA1 компактный, будет также абстрактным параболическим (см. [12], c. 181). Соответствующая полугруппа аналитична в секторе, содержащем положительную полуось.

Таким образом, если в уравнении dz + I + (T + SA1 ) A z = f (t) (5.6) dt функция f удовлетворяет условию Гёльдера, т.е. для каждого R+ найдутся такие числа K = K( ) 0, = ( ) (0, 1], что f (t) f (s) K|t s| при 0 s, t, тогда, с учетом (5.2) и возможности перейти от (5.1) к уравнению, отвечающему не замкнутому оператору A, а его сужению Aa (см. [8]);

задача (4.13) (см. [13], с. 130) имеет единственное сильное решение на промежутке [0, T ]. Сформулируем полученный результат.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 82 Д.О. ЦВЕТКОВ Теорема 2. Пусть выполнены условия 1/ u0 D(A), B0 0 D(G) = H, 0 L2 (), (5.7) f (t) C ( [0, T ];

L2 (, 0 ) ), (0, 1], для задачи Коши (4.13). Тогда она имеет единственное сильное решение на про межутке [0, T ].

Как следствие теоремы 2 имеем следующий результат.

Теорема 3. Если выполнены условия (5.7), то задача (2.2) – (2.7) имеет един ственное сильное ( в смысле определения 1 ) решение на промежутке [0, T ].

Доказательство теоремы основывается на переходе от задачи (4.13) с обратной заменой к задаче (4.9).

Список цитируемых источников 1. Краусс В.К. Внутренние волны. Л.: Гидрометеоиздат, 1968.

2. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир, 1977.

3. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей.

M.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.

4. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. M.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

5. Копачевский Н.Д., Темнов А.Н. Колебания стратифицированной жидкости в бас сейне произвольной формы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986, Т.26, № 5. С. 734 755.

6. Копачевский Н.Д., Темнов А.Н. Свободные колебания вязкой стратифицированной жидкости в сосуде // Деп. в ВИНИТИ 16.08.1983, № 4531-83 ДЕП, 45 с.

7. Темченко Т.П. Спектральные и эволюционные задачи колебаний многослойных стра тифицированных жидкостей: Дисс... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Симферополь, 1989. 147 c.

8. Цветков Д.О. Математические проблемы теории колебания стратифицированной жидкости: Дисс... канд. физ.-мат. наук: 01.01.03. Симферополь, 2005. 180 c.

9. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гид родинамике: Эволюционные и спектральные задачи. M.: Наука, 1989. 416 с.

10. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.

M.: Наука, 1977. 455 с.

11. Gagliardo E. Caratterizioni delle trace sullo frontiera relative ad alcune classi di funzioni in n variabili // Rendiconti del Seminare matematico della universita di Padora, 1957, Vol. XXVII.

12. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах.

M.: Наука, 1967. – 464 с.

13. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. К.: Выща шк., 1989. 347 с.

Получена 13.03. ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) Динамические системы, вып. 22 (2007), 83– ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Межведомственный научный сборник УДК 517.9: Задача о малых движениях идеальной баротропной жидкости, заполняющей вращающееся упругое тело Д. А. Закора Таврический национальный университет им. В. И. Вернадского, Симферополь 95007. E-mail: dmitry @crimea.edu Аннотация. В работе исследована эволюционная задача о малых движениях идеальной ба ротропной жидкости, заполняющей вращающееся изотропное упругое тело. В начале работы приводится постановка задачи. Затем осуществляется переход к дифференциальному уравне нию второго порядка в некотором гильбертовом пространстве. На основе этого уравнения до казывается теорема об однозначной сильной разрешимости соответствующей начально-краевой задачи.

1. Постановка задачи Рассмотрим упругое тело, равномерно вращающееся вокруг оси, сонаправлен ной с действием силы тяжести. Будем считать, что тело занимает область 1 R и содержит в себе полость 0 1, целиком заполненную идеальной неоднородной жидкостью. Обозначим через 1 S внешнюю границу области 1 ;

при этом будем считать, что упругое тело закреплено на границе S. Поверхность, разделяющую упругое тело и жидкость, обозначим через 0, то есть 0 = 0, 1 = 0 1 S.

Через n0 и n1 обозначим единичные векторы, нормальные к границам 0, 1 и направленные вне областей 0 и 1 соответственно.

Введем систему координат Ox1 x2 x3, жестко связанную с упругим телом, таким образом, что ось Ox3 совпадает с осью вращения и направлена против действия силы тяжести, а начало координат находится в области 0. В этом случае рав номерная скорость вращения системы запишется в виде 0 := 0 e3, где e3 орт оси вращения Ox3, а 0 0, для определенности. Будем считать также, что внеш нее стационарное поле сил F0 является гравитационным и действует вдоль оси вращения, то есть F0 = ge3, g 0.

Обозначим поле смещений в упругом теле через u(t, x) (x = (x1, x2, x3 ) 1 ), а плотность упругого тела через 1 (x). Будем считать дополнительно, что тело изотропно, в этом случае тензор напряжения этого тела имеет вид ui uj ij (u) = ij divu + µ +, (i, j = 1, 2, 3), (1.1) xj xi c Д. А. ЗАКОРА 84 Д. А. ЗАКОРА где ij символ Кронекера, а и µ коэффициенты Ляме.

Уравнение малых движений упругого тела в выбранной системе координат запишется в виде 2u ij (u) 1 (x) 2 + Lu = 1 (x)f, где (Lu)i :=, (1.2) t xj i= f = f (t, x) малое поле внешних сил, наложенное на гравитационное.

На границах S и 1 для упругого тела выполнены условия закрепления и ра венство нулю нормальных напряжений соответственно:

u = 0 (на S), (u)n1 = 0 (на 1 ). (1.3) В состоянии относительного равновесия давление P0 (x) в жидкости распреде лено по закону 0 0 (x2 + x2 ) + p0, P0 (x) = 0 gx3 + x = (x1, x2, x3 ) 0, (1.4) 1 где p0 давление жидкости в начале координат, а 0 плотность жидкости.

Рассмотрим движения жидкости, близкие к твердотельному вращению. Пред ставим полное давление и полную плотность жидкости в виде P (t, x) = P0 (x) + p(t, x), (t, x) = 0 + (t, x), x = (x1, x2, x3 ) 0, (1.5) где p(t, x) это динамическое давление, а (t, x) динамическая плотность жид кости. Обозначим через w(t, x) поле смещений в жидкости и будем считать, что p(t, x), (t, x) и w(t, x) малые одного порядка. Линеаризация уравнений Эйлера для движения идеальной жидкости и уравнения неразрывности в подвижной си стеме координат относительно твердотельного вращения приводит к следующим соотношениям:

2 (0 w) 20 (0 w e3 ) = p ge3 + 0 f, + div(0 w) = 0 (в 0 ). (1.6) t t Линеаризация кинематических и динамических условий на границе раздела приводит к граничным условиям:

w · n0 = u · n1, (u)n1 = pn1 (на 0 ). (1.7) Баротропная жидкость моделируется следующим дополнительным уравнени ем состояния, связывающим динамическое давление p(t, x) и динамическую плот ность (t, x):

p(t, x) = a2 (x)(t, x), (1.8) где a2 (x) квадрат скорости звука в неоднородной жидкости.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ БАРОТРОПНОЙ ЖИДКОСТИ Задача о малых движениях идеальной баротропной жидкости, заполняющей вращающееся упругое тело, заключается в отыскании полей u(t, x), w(t, x), p(t, x) и (t, x) из уравнений (1.2), (1.6), граничных условий (1.3), (1.7), соотношения (1.8), и при начальных условиях u(0, x) = u0 (x), u(0, x) = u1 (x), w(0, x) = w0 (x), w(0, x) = w1 (x). (1.9) t t Спектральные задачи о нормальных колебаниях идеальной сжимаемой жид кости, заполняющей вращающееся или неподвижное упругое тело изучались в [1], [2], [3]. В этих работах предполагалось, что на систему не действует гравитацион ное поле, а также отсутствует закрепление упругого тела.

2. Вывод операторного уравнения 2.1. Проектирование уравнений движения Для перехода к операторному уравнению в изучаемой задаче применим ме тод ортогонального проектирования уравнений движения на специальные под пространства [4]. Для этого воспользуемся разложением Г. Вейля пространства векторных полей L2 (0 ) в ортогональную сумму (см. [4], с. 103):


L2 (0 ) = J0 (0 ) G0 (0 ) Gh (0 ) =: J0 (0 ) G(0 ), (2.1) J0 (0 ) := {v L2 (0 )| divv = 0 (в 0 ), vn := v · n = 0 (на 0 )}, G0 (0 ) := {v L2 (0 )| v =, = 0 (на 0 )}, Gh (0 ) := {v L2 (0 )| v =, div = 0 (в 0 ), d0 = 0}.

Здесь операции divv и vn понимаются в смысле теории обобщенных функций (распределений), см. [4], с. 100–102. Введем ортопроекторы P0 и PG пространства L2 (0 ) на J0 (0 ) и G(0 ) соответственно. Будем разыскивать поле w в виде:

w=v+, где v J0 (0 ), G(0 ). (2.2) Подставим представление (2.2) в первое уравнение из (1.6) и применим к его правой и левой частям ортопроекторы P0 и PG, отвечающие разложению (2.1).

Получим два соотношения, заданных в области 0 :

2v 0 20 0 P0 (v e3 ) + P0 ( e3 ) = gP0 (e3 ) + 0 P0 f, (2.3) t t 2 0 2 20 0 PG (v e3 ) + PG ( e3 ) = p gPG (e3 ) + 0 PG f. (2.4) t t ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 86 Д. А. ЗАКОРА С помощью представления (2.2), второго уравнения из (1.6) и соотноше ния (1.8) в уравнениях (2.3), (2.4) можно исключить функции p(t, x) и (t, x), а также преобразовать граничные условия (1.7). В результате придем к следующей задаче:

2v 20 P0 (v e3 ) + P0 ( e3 ) = gP0 (e3 div ) + P0 f (в 0 ), (2.5) t t 2 20 PG (v e3 ) + PG ( e3 ) = t t = 1 (0 a2 (x)div ) + gPG (e3 div ) + PG f (в 0 ), (2.6) 0 2u 1 1 (x) + 1 Lu = 1 1 (x)f (в 1 ), (2.7) 0 0 t (u)n1 = 0 (на 1 ), u = 0 (на S), (2.8) (u)n1 = 0 a2 (x)(div )n1, = u · n1 (на 0 ). (2.9) n Начальные условия для уравнений (2.5)–(2.7) имеют вид:

v(0, x) = P0 w0 (x) =: v 0 (x), v(0, x) = P0 w1 (x) =: v 1 (x), t (0, x) = PG w0 (x) =: 0 (x), (0, x) = PG w1 (x) =: 1 (x), t u(0, x) = u0 (x), u(0, x) = u1 (x). (2.10) t 2.2. Вспомогательные операторы и их свойства Для перехода к операторной формулировке задачи (2.5)–(2.10) введем ряд опе раторов и изучим их свойства. Введем гильбертово пространство H := G(0 ) L2 (1 ), состоящее из пар := ( ;

u)t (здесь символ t обозначает операцию транс понирования), где G(0 ), u L2 (1 ). Скалярное произведение и норма в H определяются следующим образом:

(1, 2 )H := 1 · 2 d0 + u1 · u2 d1, = (, )H.

H 0 Определим гильбертово пространство H := J0 (0 ) H, состоящее из пар := (v;

)t, где v J0 (0 ), H. Скалярное произведение и норма в H определяются следующим образом:

(1, 2 )H := v1 · v2 d0 + (1, 2 )H, = (, )H.

H ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ БАРОТРОПНОЙ ЖИДКОСТИ Введем операторы S1,1, S1,2, S2,1, S2,2 и операторный блок S, действующий в H, следующим образом:

S1,1 S1,2 v iP0 (v e3 ) iP0 ( e3 ) S := :=. (2.11) (iP0,S (v e3 );

0) (iP0,S ( e3 );

0)t t S2,1 S2,2 Лемма 1. Оператор S является самосопряженным и ограниченным в H: S = S, S L(H);

более того, S = 1. Спектр оператора S1,1 существенный и запол няет отрезок [1, 1]: (S1,1 ) = ess (S1,1 ) = [1, 1] (здесь через ess (S1,1 ) обозначен существенный (предельный) спектр оператора S1,1 ).

Доказательство. Прежде всего, из [4], с.193–196 (см. также [5]) следует, что весь спектр оператора S1,1 существенный и заполняет отрезок [1, 1]: (S1,1 ) = ess (S1,1 ) = [1, 1].

Докажем самосопряженность и ограниченность оператора S. Пусть 1 = (v1 ;

1 )t, 2 = (v2 ;

2 )t произвольные элементы из гильбертова пространства H = J0 (0 ) H, тогда (S1, 2 )H = (S1,1 v1, v2 )J0 (0 ) + (S1,2 1, v2 )J0 (0 ) + (S2,1 v1, 2 )H + (S2,2 1, 2 )H = =i (v1 e3 ) · v2 + ( 1 e3 ) · v2 + (v1 e3 ) · 2 + ( 1 e3 ) · 2 d0 = =i (v1 + 1 ) e3 · (v2 + 2 ) d0 = = (v1 + 1 ) · i (v2 + 2 ) e3 d0 =... = (1, S2 )H, откуда следует, что S = S. Положим в последних вычислениях 1 = 2 = и вос пользуемся простым неравенством |(a e3 ) · a| |a|2 ;

получим |(S, )H | = (v + ) e3 · (v + ) d |2 d0 = |v|2 + | |2 d0 |v + H. (2.12) 0 Здесь по пути было использовано свойство ортогональности v и как элементов пространств J0 (0 ) и G(0 ). Из (2.12) получаем, что S 1;

поскольку S1,1 = 1, то и для операторного блока S имеет место равенство S = 1.

Будем считать далее, что функция a2 (x) непрерывно дифференцируема по класса C 2, а 1 и S пространственным переменным, граница 0 области липшицевы.

Лемма 2. Введем пространство HA связанных пар = ( ;

u)t :

HA := {( ;

u)t | W2 (0 ), u W2 (1 ), 1 = u · n1 (на 0 ), u = 0 (на S)} n ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 88 Д. А. ЗАКОРА со скалярным произведением и нормой следующего вида:

(( 1 ;

u1 )t, ( 2 ;

u2 )t )A := 0 a2 div 1 div 2 d0 + E(u1, u2 ) d1, 0 ( ;

u)t a2 |div |2 d0 + = 0 E(u, u) d1, где A 0 µ ui uj vi vj E(u, v) := divu divv + + +.

2 i,j=1 xj xi xj xi Здесь и µ коэффициенты Ляме (см. (1.1)). Пространство HA является гиль бертовым;

оно компактно вложено в пространство H: HA H. Порожда ющий оператор A гильбертовой пары (HA ;

H), являющийся самосопряженным и положительно определенным в H, обладает дискретным спектром. Для каж дого элемента = ( q;

v)t H существует и единственно обобщенное решение задачи 0 (a2 (x)div ) = q (в 0 ), Lu = v (в 1 ), (u)n1 = 0 (на 1 ), u = 0 (на S), (2.13) (u)n1 = 0 a2 (x)(div )n1, = u · n1 (на 0 ), n выражаемое формулой ( ;

u)t = A1.

Доказательство. Докажем, что HA гильбертово пространство. Введем в про странстве W2 (1 ) эквивалентную норму по формуле 3 ui u := d1 + u dS (2.14) W2,S (1 ) xj 1 i,j=1 S 1 и обозначим через W2,S (1 ) пространство W2 (1 ) с новой нормой (2.14).

1 Введем гильбертово пространство HW := W2 (0 ) W2,S (1 ), состоящее из пар := ( ;

u)t, где W2 (0 ), u W2,S (1 ), и покажем, что на элементах из HA 1 нормы в HA и в HW эквивалентны. Это будет означать, что пространство HA гильбертово.

Можно проверить, что для каждого элемента = ( ;

u)t HA справедливо следующее неравенство:

a2 |div |2 d0 + = 0 E(u, u) d A 0 0 max a2 (x) 2 c2 + max{2µ, 4 + µ} u W, (2.15) 1 W2 (0 ) W2,S (1 ) x где c2 максимальная из констант при нормах в правой части неравенства.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ БАРОТРОПНОЙ ЖИДКОСТИ Выведем теперь противоположное неравенство, которое вместе с (2.15) обеспе чит эквивалентность указанных норм. Для этого понадобятся некоторые вспомо гательные факты.

Представим = 0 + h, где 0 G0 (0 ), h Gh (0 ) (см. разложе ние Г. Вейля (2.1)). Из [6], с. 216 известна оценка оператора Лапласа от функций 0 W2 (0 ) с условием 0 = 0 на границе 0 = 0, которую можно представить в следующей форме:

|0 |2 d1 k1 0 2 k1 0 (2.16) W2 (0 ) W2 (0 ) с положительной константой k1, которая не зависит от поля 0.

Для полей u W2,S (1 ) с условием u = 0 на границе S справедливо неравенство Корна (см. [7], с. 23, теорема 2.7):

ui E(u, u) d1 k2 d1 = k2 u (2.17) W2,S (1 ) xj 1 1 i,j= с положительной константой k2, которая не зависит от поля u.

Используя неравенства (2.16), (2.17), разложение для поля, можно прове сти следующую оценку нормы элемента = ( ;

u)t HA :

k1 0 min a2 (x) 2 0 + k2 u. (2.18) A 1 W2 (1 ) W2,S (1 ) x Введем операторы 0 и 1 :

0 := · n0 = (на 0 ), 1 u := u · n1 (на 0 ) n взятия нормального следа полей и u на границе 0. Эти операторы ограничено действуют из W2 (0 ) G(0 ) и W2,S (1 ) в H 1/2 (0 ) (см. [4], с 102): 0 L(W2 (0 ) 1 1 G(0 ), H 1/2 (0 )), 1 L(W2,S (1 ), H 1/2 (0 )).

Определим оператор C по закону C/n0 |0 = |0. Известно (см.[4], с 44, а также [8]), что для областей с гладкой границей оператор C ограниченно действует из H 1/2 (0 ) в H 3/2 (0 ).

Наконец, введем оператор G, восстанавливающий h по следу потенциала h на границе 0. Этот оператор взаимно сопряжен с оператором 0 (точнее, с сужением оператора 0 на Gh (0 ) и относительно скалярного произведения в 3/2 L2,0 := L2 (0 ) {10 }) и действует ограниченно из H0 в W2 (0 ) Gh (0 ). До определим оператор G нулем на константах, заданных на границе 0, и расширим 3/ его таким образом с H0 на H 3/2 (0 ), сохранив для него то же самое обозначение.

Рассмотрим теперь произвольный элемент = ( ;

u)t HA. Из определения пространства HA, разложения для поля и приведенных выше фактов следует, ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 90 Д. А. ЗАКОРА что h h = GC = GC u · n1 = GC0 0 GC1 u, n0 0 n0 (2.19) h 2 1 (0 ) 2 GC0 2 0 2 1 (0 ) + 2 GC1 2 u 2 1 (1 ).

W W W 2 2 2,S Введем обозначения: 0 := 2 GC0 2, 1 := 2 GC1 2. Из (2.18), (2.19) для каж дого элемента = ( ;

u)t HA следует оценка:

21 k1 0 min a2 (x) + 21 k2 u 0 + A 1 W2 (0 ) W2,S (1 ) x min{0 k1 0 min a2 (x), 1 k2 } 1 1 +2 h =:

W2 (0 ) x 2 1 2 =: 2 0 + 2 k2 u + 3 h 1 1 W2 (0 ) W2,S (1 ) W2 (0 ) 21 min{2, 3 } + 21 k2 u c2 W, (2.20) 1 W2 (0 ) W2,S (1 ) где c2 минимальная из констант при нормах в последнем неравенстве.

Из (2.15), (2.20) получаем, что c1 W A c2 W для любого элемента HA. Это означает, что HA гильбертово пространство.

Множество потенциальных полей с бесконечно дифференцируемыми финит ными в области 0 потенциалами плотно в G0 (0 ), а множество бесконечно диф ференцируемых финитных в области 1 полей плотно в L2 (1 ). Отсюда и из одно значной связи полей из Gh (0 ) со значениями своих нормальных следов на границе 0 следует, что HA является плотным множеством в H. Из неравенства (2.20), с учетом того, что H W для каждого HW, следует, что HA и H обра зуют гильбертову пару (HA ;

H).

Найдем порождающий оператор A гильбертовой пары (HA ;

H);

он определя ется из тождества (см. [4], с. 33) 1 D(A) D(A1/2 ) = HA, (A1, 2 )H = (1, 2 )A, 2 HA. (2.21) Для дважды дифференцируемого элемента = ( ;

u)t HA (здесь имеется в виду, что дважды дифференцируемы поля и u), с использованием тождества Бэтти:

Lu1 · u2 d1 = E(u1, u2 ) d1 (u1 )n1 · u2 d(1 ), 1 1 2 справедливого для u1 W2 (1 ), u2 W2 (1 ), и формулы Грина для оператора ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ БАРОТРОПНОЙ ЖИДКОСТИ Лапласа, тождество (2.21) можно преобразовать следующим образом:

a2 div 1 div 2 d0 + (A1, 2 )H = 0 E(u1, u2 ) d1 = 0 (a2 div 1 ) · a2 div = 0 2 d0 + 0 d0 + n 0 + Lu1 · u2 d1 + (u1 )n1 · u2 d(0 1 ) = 1 0 (a2 div 1 ) · = 0 2 d0 + Lu1 · u2 d1 + 0 (u1 )n1 0 a2 (div 1 )n1 · u2 d0 + + (u1 )n1 · u2 d1. (2.22) 0 Отсюда следует форма оператора A = (0 (a2 div 1 );

Lu1 )t. Полагая в (2.22) поле u2 финитным в окрестности границы 0, а затем 1, придем к дополнитель ным условиям на элементы из области определения оператора A: (u1 )n1 = 0 на 1, (u1 )n1 = 0 a2 (div 1 )n1 на 0. Таким образом, окончательно получаем, что два жды дифференцируемое решение 1 = ( 1 ;

u1 )t уравнения A1 = := ( q;

v)t является решением задачи 0 (a2 (x)div 1 ) = q (в 0 ), Lu1 = v (в 1 ), (u1 )n1 = 0 (на 1 ), u1 = 0 (на S), (u1 )n1 = 0 a2 (x)(div 1 )n1, = u1 · n1 (на 0 ).

n Эта задача имеет единственное обобщенное решение 1 = A1 для любого эле мента = ( q;

v)t H.

Из неравенства (2.20) и компактности вложения пространства HW в L2 (0 ) L2 (1 ) следует компактность вложения HA в H: HA H. Это влечет ком пактность оператора A1, а значит оператор A обладает дискретным спек тром.

Определим операторы B0 и BG следующим образом:

B0 := P0 (e3 div ), BG := (PG (e3 div ), 0)t, D(B0 ) = D(BG ) = HA. (2.23) О свойствах операторов B0 и BG говорит следующая лемма.

Лемма 3. Для операторов B0 и BG выполнены свойства B0 A1/2 =: Q0 L(H, J0 (0 )), BG A1/2 =: QG L(H). (2.24) ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 92 Д. А. ЗАКОРА Доказательство. Пусть = (, u)t произвольный элемент из D(B0 ) = HA, тогда 2 0 min a2 (x) a2 ||2 d0 + B0 e3 div J0 (0 ) J0 (0 ) x0 = 0 min a2 (x) A1/2 + E(u, u) d1 H.

x Отсюда, после замены A1/2 =, следует, что B0 A1/2 L(H, J0 ()). Аналогично доказывается, что BG A1/2 L(H).

2.3. Переход к операторному уравнению С использованием введенных операторов задачу (2.5)–(2.10) запишем в виде задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве H = J0 (0 ) H:

d2 d (0) = 0, (0) = 1.

T + 20 iS + QA = F(t), (2.25) dt dt Здесь введены следующие обозначения:

I0 0 P0 f (t) A :=, F(t) :=, 0A (0 PG f (t);

1 (x)f (t))t 0 0 gQ0 A1/ 0 I, T := (0 ;

1 (x)u)t, Q := T :=, 0 I 0 gQG A1/ 0T (0) = 0 := (v 0 ;

0 )t := (P0 w0 ;

(PG w0 ;

u0 )t )t, (0) = 1 := (v 1 ;

1 )t := (P0 w1 ;

(PG w1 ;

u1 )t )t, где Q0 и QG определены в (2.24).

Таким образом, если u, w,, p классическое решение задачи (1.1)-(1.9) о малых движениях идеальной баротропной жидкости, заполняющей вращающееся упругое тело, тогда функция является решением задачи Коши для дифферен циального уравнения второго порядка (2.25).

Дадим следующее определение.

Определение 1. Назовем сильным решением исходной начально-краевой зада чи (1.1)–(1.9) такие функции u, w,, p для которых функция является силь ным решением задачи Коши (2.25). В свою очередь сильным решением зада чи Коши (2.25) (см. [9], с. 291) назовем функцию (t) такую, что (t) D(A), (t) D(A1/2 ) для любого t из R+ := [0, +), A(t), A1/2 (t) C(R+ ;

H), (t) C 2 (R+ ;

H), выполнены начальные условия и уравнение из (2.25) для любого t R+.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ БАРОТРОПНОЙ ЖИДКОСТИ 3. О разрешимости начально-краевой задачи Осуществим в задаче (2.25) замену A1/2 (t) = (t), (0) = 0 и преобразуем ее к системе двух уравнений с начальными условиями:

d d d T = 20 iS QA1/2 + F(t), dt2 dt dt (3.1) d2 1/2 d 1 1/2 =A, (0) =, (0) = A.

dt2 dt Прямыми вычислениями проверяется, что 0 0 gQ0 A1/2 I QA1/2 = = 0 A1/ 0 I 0 gQG A1/ I 0 I gQ =: A1/2 + R, = + где R L(H).

0 A1/2 0 gQG С использованием проведенных преобразований запишем систему (3.1) в виде одного дифференциального уравнения первого порядка в гильбертовом простран стве H(2) := H H:

dy y(0) = y 0.

T = Ay + Ry + F(t), (3.2) dt Здесь введены следующие обозначения:

20 iS A1/ T0 0 R T :=, A :=, R :=, A1/ 0I y := ( ;

)t, y 0 := ( 1 ;

A1/2 0 )t, F(t) := (F(t);

0)t ;

при этом R L(H(2) ), а оператор T ограниченный, самосопряженный и положи тельно определенный в H(2), в чем несложно убедиться.

Определение 2. (см. [9], с. 38) Сильным решением задачи Коши (3.2) назовем функцию y(t) такую, что y(t) D(A) для любого t из R+, Ay(t) C(R+ ;

H(2) ), y(t) C 1 (R+ ;

H(2) ), y(0) = y 0 и выполнено уравнение из (3.2) для любого t R+.

Относительно разрешимости задачи Коши (3.2) справедлива следующая Теорема 1. Пусть F(t) C 1 (R+ ;

H(2) ), тогда для любого y 0 D(A) существует и единственно сильное решение задачи Коши (3.2).

Доказательство. Осуществим в уравнении (2.25) замену T 1/2 y(t) = z(t):

dz = T 1/2 AT 1/2 z + T 1/2 RT 1/2 z + T 1/2 F(t), z(0) = T 1/2 y 0. (3.3) dt ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 94 Д. А. ЗАКОРА Оператор A генератор сильно непрерывной группы унитарных операторов в гильбертовом пространстве H(2), следовательно, оператор T 1/2 AT 1/2 так же генератор сильно непрерывной группы унитарных операторов в гильберто вом пространстве H(2). Оператор R ограничен в H(2), поэтому оператор B := T 1/2 (A+ R)T 1/2 генератор сильно непрерывной группы U(t) := exp(tB) в H(2) (см. [9], с. 185, теорема 7.5). Из условий теоремы и ограниченности оператора T 1/ следует, что T 1/2 F(t) C 1 (R+ ;

H(2) ). Отсюда получаем (см. [9], с. 166, теорема 6.5), что для любого y 0 D(A) задача Коши (3.3) имеет единственное сильное решение t z(t) = U(t)T 1/2 y 0 + U(t s)T 1/2 F(s) ds, а значит задача Коши (3.2) имеет единственное сильное решение, выражаемое формулой:

t 1/2 1/2 T 1/2 U(t s)T 1/2 F(s) ds.

y(t) = T U(t)T y+ Основываясь на теореме 1, изучим вопрос о сильных решениях задачи (1.1)– (1.9) о малых движениях идеальной баротропной жидкости, заполняющей враща ющееся упругое тело.

Теорема 2. Пусть векторное поле f (t, x) непрерывно дифференцируемо по пере менной t R+ со значениями в L2 (0 1 ), тогда для любых w0 (x), w1 (x), u0 (x), u1 (x) таких, что P0 w0 J0 (0 ), P0 w1 J0 (0 ), (PG w0 ;

u0 )t D(A), (PG w1 ;

u1 )t D(A1/2 ), существует и единственно сильное (в смысле определения 1) решение начально краевой задачи (1.1)-(1.9).

Доказательство. Из условий на поле f (t, x) следует, что построенная по нему функция F(t) удовлетворяет условию F(t) C 1 (R+ ;

H(2) ) (см. обозначения по сле (2.25) и (3.2)). Далее, из условий на начальные данные следует, что 0 D(A), 1 D(A1/2 ) (см. (2.25)). Отсюда получаем, что A1/2 0 D(A1/2 ), 1 D(A1/2 ), а значит y 0 D(A) (см. (3.2)).

Таким образом, при условиях настоящей теоремы выполнены все требования теоремы 1. По теореме 1 задача Коши (3.2) (или, что то же, (3.1)) имеет единствен ное сильное на R+ решение y(t) = ( (t);

(t))t C(R+ ;

D(A))C 1 (R+ ;

H(2) ). Отсю да, после обратной замены (t) = A1/2 (t) в системе (3.1), получаем, что (t) есть единственное сильное (в смысле определения 1) решение задачи Коши (2.25). Это означает существование и единственность сильного решения исходной начально краевой задачи (1.1)–(1.9).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) О МАЛЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИДЕАЛЬНОЙ БАРОТРОПНОЙ ЖИДКОСТИ Таким образом, в настоящей работе исследована задача о малых (линейных) движениях равномерно вращающегося упругого тела, заполненного идеальной ба ротропной жидкостью. Изучение соответствующей начально-краевой задачи све дено к исследованию дифференциально операторного уравнения гиперболическо го типа в некотором гильбертовом пространстве. На основе этого уравнения дока зана теорема о существовании и единственности сильного (по времени) решения поставленной задачи. Тут можно отметить, что учет гравитационных сил вносит несимметрию в систему, а также приводит к некомпактному возмущению опера торного пучка, который возникает при исследовании задачи о нормальных ко лебаниях изучаемой гидросистемы. Исследование вопросов локализации спектра и асимптотики собственных значений, вопросов полноты системы собственных и присоединенных элементов в соответствующей спектральной задаче будет прове дено в следующей работе.

Список цитируемых источников 1. Гараджаев А. О нормальных колебаниях идеальной сжимаемой жидкости во враща ющихся упругих сосудах // ДАН СССР. 1983. Т. 269, № 2. С. 273–278.

2. Гараджаев А. К задаче о колебаниях идеальной сжимаемой жидкости в упругом сосуде // ДАН СССР. 1986. Т. 286, № 5 С. 1047–1049.

3. Гараджаев А. Спектральная теория задачи о малых колебаниях идеальной жидкости во вращающемся упругом сосуде // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, № 1 С. 38–47.

4. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М.: Наука, 1989. 416 с.

5. Ralston J. V. On stationary modes in inviscid rotating uids // J. Math. Analysis and Appl. 1973. V. 44. P. 366–383.

6. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллип тического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.

7. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории силь но неоднородных упругих сред. М.: МГУ, 1990. 311 с.

8. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения.

М.: Мир, 1971. 372 с.

9. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.

Москва: Наука, 1967, 464 с.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.