авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Динамические системы, вып. 22 (2007), 3–10 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Межведомственный ...»

-- [ Страница 3 ] --

Получена 3.04. ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) Динамические системы, вып. 22 (2007), 96– ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Межведомственный научный сборник УДК 517.925.51:517. Алгебраїчнi умови стiйкостi диференцiальних систем другого порядку А.М. Алiлуйко Iнститут математики НАН України, Київ 01601. E-mail: aliluyko@imath.kiev.ua Анотацiя. Дослiджуються задачi стiйкостi та побудова стабiлiзуючих керувань для систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку. Пропонуються новi алгебраїчнi методи аналiзу стiйкостi та стабiлiзацiї систем, що зводяться до розв’язування матричних нерiвностей та оцiнки середнiх власних значень гiперболiчної спектральної задачi. Ефективнiсть методiв де монструється на прикладi системи стабiлiзацiї обертальної балки.

1. Вступ В задачах аналiзу стiйкостi i синтезу керування рiзноманiтних фiзичних об’єктiв значна увага придiляється методам дослiдження математичних моделей, якi описуються системами лiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку C(t) + B(t)x + A(t)x = f (u, t), x t 0, (1.1) де x Rn вектор узагальнених координат, u Rr вектор керування, A, B i C матрицi розмiру n n. В моделях механiки матриця C характеризує iнерцiйнi властивостi системи, B = D + G матриця дисипативних i гiроскопiчних сил, A = K + S матриця потенцiальних та неконсервативних сил, а вектор-функцiя f описує вплив зовнiшнiх сил на динамiку системи.

До основних практичних задач стосовно системи (1.1) вiдносяться розробка критерiїв стiйкостi положення рiвноваги та побудова систем стабiлiзацiї у виглядi зворотного зв’язку u = L0 (t)xL1 (t)x або динамiчного регулятора типу R0 (t)u+ R1 (t)u = g(x, t). При цьому замкнута система зводиться до аналогiчного вигляду.

Важливу роль в задачах стiйкостi та стабiлiзацiї диференцiальних систем дру гого порядку виконують коефiцiєнтнi критерiї стiйкостi, якi формулюються в тер мiнах матриць A, B i C у виглядi систем алгебраїчних рiвнянь i нерiвностей. В таких дослiдженнях застосовуються методи функцiй Ляпунова та їх матричнi iн терпретацiї, яким присвячена велика кiлькiсть робiт (див., наприклад, [1, 2, 3]).

Робота виконана при частковiй пiдтримцi НДР № 0107U c А.М. АЛIЛУЙКО АЛГЕБРАЇЧНI УМОВИ СТIЙКОСТI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ В данiй роботi дослiджуються задачi стiйкостi та побудова стабiлiзуючих керу вань для систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку. Пропонують ся новi алгебраїчнi методи аналiзу стiйкостi та стабiлiзацiї систем, що зводяться до розв’язування матричних нерiвностей та оцiнки середнiх власних значень гiпер болiчної спектральної задачi. Ефективнiсть методiв демонструється на прикладi системи стабiлiзацiї обертальної балки.

2. Про гiперболiчну спектральну задачу Розглянемо квадратичний пучок матриць (КПМ) F () = A + B + 2 C, A = A, B = B, C = C 0 (2.1) та вiдповiдну квадратичну спектральну задачу (КСЗ) F ()z = 0, (F ), z = 0. (2.2) Означення 1. КСЗ (2.2) називається гiперболiчною, якщо (z) = (z Bz)2 4z Azz Cz 0, z C n.

z = 0, КСЗ (2.2) називається майже гiперболiчною, якщо (z) 0, z C n.

КПМ (2.1), якому вiдповiдає гiперболiчна (майже гiперболiчна) КСЗ будемо також називати гiперболiчним (майже гiперболiчним). При додаткових обмежен нях B 0, A 0 гiперболiчний КПМ (2.1) називається сильно демпфованим.

Вiдомо [4], що наступнi твердження еквiвалентнi:

1) КСЗ (2.2) є гiперболiчною;

2) R1 : F () 0;

3) КПМ (2.1) має дiйснi власнi значення 1... n n+1... 2n i F () 0 при n n+1.

По аналогiї можна встановити еквiвалентнiсть наступних тверджень:

1’) КСЗ (2.2) є майже гiперболiчною;

2’) R1 : F () 0;

3’) КПМ (2.1) має дiйснi власнi значення 1... n n+1... 2n i F () 0 при n n+1.

Якщо КПМ (2.1) не є гiперболiчним, а лише майже гiперболiчним, то в умовах 3’) n = n+1 = єдина точка, де F () 0. При цьому [4] z0 Bz =, min (z) = (z0 ) = 0.

2z0 Cz0 z = Якщо F () – гiперболiчний пучок, то F ( + ) є сильно демпфованим для деякого. Гiперболiчний КМП (2.1) є сильно демпфованим лише тодi, коли 2n 0, тобто всi його власнi значення знаходяться на пiвосi (, 0].

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 98 А.М. АЛIЛУЙКО 3. Коефiцiєнтнi умови стiйкостi Розглянемо автономну диференцiальну систему другого порядку x C n, C x + B x + Ax = 0, t 0, (3.1) де A, B, C C nn сталi матрицi.

Теорема 1. Нехай C = C 0 та iснують матрицi H i U C nn, що задоволь няють систему матричних нерiвностей H = H 0, U + U 0, (L H)W (L H) E, (3.2) де W = (U + U )1, L = A + U C 1 (B U ), E = A C 1 (B U ) + (B U ) C 1 A.

Тодi диференцiальна система (3.1) стiйка за Ляпуновим. Якщо до того ж в (3.2) остання матрична нерiвнiсть є строгою, то система (3.1) асимптотично стiйка.

Доведення. Подамо систему (3.1) у виглядi 0 I I0 x Ay B y = 0, A=, B=, y=. (3.3) A B 0C x За теоремою Ляпунова система (3.3) є стiйкою тодi i тiльки тодi, коли iснують матрицi X1 = X1 0, X2 = X2 0 i V, що задовольняють системi нерiвностей X1 V A X B B X A = Y 0.

X= 0, (3.4) V X Тут матриця Y має наступну структуру A V + V A X1 + A X2 C + V B Y=.

X1 + C X2 A + B V B X2 C + C X2 B V C C V Спiввiдношення (3.4) у випадку Y 0 є критерiєм асимптотичної стiйкостi систе ми (3.1).

Покладемо X1 = V X2 V + H, X2 = C 1, V = B X2 U C 1 = (B U ) C 1.

Тодi спiввiдношення (3.4) мають вигляд (B U ) C 1 (B U ) + H (B U ) C X= 0, C 1 (B U ) C (3.5) L H E Y= 0.

L H W ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) АЛГЕБРАЇЧНI УМОВИ СТIЙКОСТI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ Застосуємо вiдомi критерiї додатної та невiд’ємної визначеностi блочної мат рицi у випадку невиродженого дiагонального блока X2 :

X1 V X1 V X2 V 0 ( 0).

0 ( 0) X2 0, V X Тодi, як неважко бачити, матричнi нерiвностi (3.5) зводяться до вигляду (3.2).

Отже, виконуються умови (3.4) i система (3.1) стiйка. Якщо в (3.5) всi нерiв ностi строгi, то має мiсце асимптотична стiйкiсть системи.

Наслiдок 1. При умовах теореми 1 функцiя Ляпунова для системи (3.1) визна чається у виглядi v(x, x) = x [(B U ) C 1 (B U ) + H]x + x (B U ) x + x (B U )x + x C x.

Отриманий результат випливає iз доведення теореми 1. Функцiю Ляпунова для еквiвалентної системи (3.3) можна побудувати у виглядi v(y) = y B X By, яка на її нетривiальних розв’язках задовольняє спiввiдношення v(y) = y Y y 0.

v(y) 0, Наслiдок 2. Нехай C = C 0 i для деякої матрицi H = H 0 виконується одна iз наступних систем спiввiдношень:

B + B 0, A C 1 B + B C 1 A 0, T (H) 0, 0 ;

(3.6) B + B 0, A C 1 B + B C 1 A 0, T (H) 0, 0;

(3.7) B + B 0, A C 1 B + B C 1 A 0, T (H) 0, 0;

(3.8) де T (H) = (A C 1 B + B C 1 A) (A + B C 1 B H)(B + B )1 (A + B C 1 B H).

Тодi система (3.1) стiйка.

Доведення. Покладемо в теоремi 1 U = B, де = 0. Тодi умови (3.2) перепишемо у виглядi H = H 0, (B + B ) 0, (1 )(A C 1 B + B C 1 A) 1 (3.9) [A + (1 )B C 1 B H](B + B )1 [A + (1 )B C 1 B H].

Позначимо = (1 ) i розглянемо випадки, при яких система (3.9) сумiсна:

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 100 А.М. АЛIЛУЙКО 1) якщо B + B 0, A C 1 B + B C 1 A 0, то необхiдно виконання нерiвностi 0 1, тобто 0 4 ;

2) якщо B + B 0, A C 1 B + B C 1 A 0, то необхiдно виконання нерiвностi 1, тобто 0;

3) якщо B + B 0, A C 1 B + B C 1 A 0, то необхiдно виконання нерiвностi 0, тобто 0.

Якщо B + B 0, A C 1 B + B C 1 A 0, то необхiдно виконання нерiвностей 0 i 1, що не можливо.

Отже, у випадках 1)–3) приходимо до умов (3.6)–(3.8), виконання яких забез печує стiйкiсть системи (3.1).

Зауваження 1. У випадку = 1 отримаємо вiдому систему матричних нерiвностей C = C 0, B + B 0, A = A 0, яка забезпечує стiйкiсть системi (3.1).

Теорема 2. Нехай для деякого R1 виконуються умови (A + A ) 0, B + B 0, C = C 0, (3.10) = 2 P + R + Q 0 ( 0), (3.11) де P = (A + A )(B + B )1 (A + A ), R = 2(A + A )(B + B )1 A + 2A (B + B )1 (A + A ), Q = A C 1 B + B C 1 A 4A (B + B )1 A.

Тодi диференцiальна система (3.1) стiйка (асимптотично стiйка).

Доведення. В умовах (3.6) покладемо H = (A + A ) + B C 1 B 0, (A + A ) 0.

=, 2 Тодi = 4T (H) = A C 1 B + B C 1 A [2A (A + A )](B + B )1 [2A (A + A )] = 2 P + R + Q 0.

Отже, згiдно наслiдку 2, система (3.1) при умовах (3.10) стiйка (асимптотично стiйка), якщо в (3.11) виконується нерiвнiсть ( ).

Умови стiйкостi, представленi в теоремi 2, узагальнюють аналогiчнi результати робiт [3] i [5].

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) АЛГЕБРАЇЧНI УМОВИ СТIЙКОСТI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ Наслiдок 3. При умовах теореми 2 функцiя Ляпунова для системи (3.1) визна чається у виглядi v(x, x) = x [(A + A ) + B C 1 B]x + x B x + x Bx + 2x C x, (3.12) для якої виконуються умови (3.10) i (3.11).

Вигляд функцiї Ляпунова (3.12) випливає з теореми 2 при H = (A + A ) + B C 1 B 0, U = B, =.

2 Приклад 1. Розглянемо систему (3.1) з матричними коефiцiєнтами [6] 8s 41 10 A=, B=, C=, s 9 15 0 де s – дiйсний параметр. Скористаємося теоремою 2 для знаходження значення s, при якому система буде асимптотично стiйкою. У випадку = 1 значення s знаходиться в iнтервалi [-3.733, 3.688]. Для порiвняння наведемо iнтервал стiйкостi системи, знайдений в [6]: |s| 3.078. Максимальне значення s = 3.920, при якому система втрачає стiйкiсть, можна знайти шляхом обчислення спектра вiдповiдного квадратичного пучка матриць F ().

Наслiдок 4. Якщо C = C 0, B + B 0 i виконується одна iз наступних умов:

1) Q 0 ( 0);

2) A + A 0, A C 1 B + B C 1 A (A A)(B + B )1 (A A ) 0 ( 0);

3) A + A 0, A C 1 B + B C 1 A 4A(B + B )1 A 0 ( 0);

4) A + A 0, A C 1 B + B C 1 A (3A + A)(B + B )1 (3A + A ) 0 ( 0);

то диференцiальна система (3.1) стiйка (асимптотично стiйка).

Останнє твердження з умовами 1)–4) випливає з теореми 2 вiдповiдно при = 0, = 1, = 2 i = 1.

Застосуємо результати п. 2. Якщо A + A невироджена матриця, то в умо вах теореми 2, що забезпечують стiйкiсть (асимптотичну стiйкiсть) системi (3.1), квадратичний пучок є майже гiперболiчним (гiперболiчним). Впорядкуємо власнi значення i цього пучка:

1... n n+1... 2n.

Наслiдок 5. Нехай виконуються умови A + A 0, B + B 0, C = C 0.

Тодi система (3.1) стiйка (асимптотично стiйка), якщо 0, 0 n n+1 ( 0, 0 n n+1 ).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 102 А.М. АЛIЛУЙКО Наслiдок 6. Нехай виконуються умови A + A 0, B + B 0, C = C 0.

Тодi система (3.1) стiйка (асимптотично стiйка), якщо 0, n n+1 0 ( 0, n n+1 0).

Розглянемо рiвняння руху механiчної системи x + (D + hG)x + (K + S)x = 0, (3.13) де D = D матриця демпфування, а G = G, K = K i S = S матри цi вiдповiдно гiроскопiчних, консервативних та циркуляторних сил, h дiйсний параметр.

Наслiдок 7. Якщо виконуються умови G K + KG + G S + S G 0, det G = 0, D 0, то при достатньо великому h 0 система (3.13) асимптотично стiйка.

Дiйсно, якщо покласти C = I, U = D + hG + h1 C1, H = G G h2 C1 C1, C1 = (K S)G1 + G, то при достатньо великому h 0 виконуються умови (3.2) теореми 1.

Наслiдок 8. Якщо D 0, det G = 0 i матрицi K, G K 1 S + S K 1 G одночасно є додатно або вiд’ємно визначеними, то при достатньо великому h 0 система (3.13) асимптотично стiйка.

Доведення випливає з теореми 1, якщо покласти U = D + hG + h1 C2, C = I, H = ±G K 1 G h2 C2 C2, C2 = (K S)G1 ± GK 1.

В наслiдках 7 i 8 враховується умова det G = 0, яка можлива лише для систем з парною кiлькiстю ступенiв вiльностi. Твердження наслiдкiв 7 та 8 у випадку дiйсних матричних коефiцiєнтiв встановленi в роботi [7] iншим способом.

4. Побудова стабiлiзуючого керування. Приклад роторної системи.

В задачах стабiлiзацiї динамiчних систем застосовуються методи, що зводяться до розв’язування лiнiйних матричних нерiвностей (див., наприклад, [5, 8, 9, 10]).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) АЛГЕБРАЇЧНI УМОВИ СТIЙКОСТI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ Отриманi в п. 3 результати можна використати при побудовi стабiлiзуючих керу вань для вiдповiдних класiв диференцiальних систем другого порядку.

Нехай модель керованої системи має вигляд C x + B x + Ax = F u, (4.1) де x вектор стану системи розмiру 2n, u k-вектор керування, A, B i C вiдомi матрицi розмiрiв 2n 2n, F матриця повного рангу розмiрiв 2n k.

Задача стабiлiзацiї системи полягає в тому, щоб знайти матричнi коефiцiєнти L0 i L1 зворотного зв’язку розмiрiв k 2n u = L0 x L1 x, (4.2) що забезпечує асимптотичну стiйкiсть замкнутiй системi C x + (B + F L1 )x + (A + F L0 )x = 0.

В [5] запропоновано алгоритм побудови шуканих матриць у виглядi L0 = L1 V P 1, L1 = F C 1 1, (4.3) де 0 достатньо велике число, а матрицi V, P, Q i задовольняють систему спiввiдношень + 0, V + V 0, P = P 0, = Q V P 1 V 0, F [BQC + CQB + AV C + CV A + + (AP CQ + BV )(V + V )1 (P A QC + V B )] F 0.

Тут матриця ортогонального доповнення F знаходиться з умов F F = 0, det [F, F ] = 0.

В [5] наводиться також оцiнка для найменшого можливого значення за до помогою максимального власного значення деякого лiнiйного пучка матриць.

Приклад 2. Розглянемо балку довжини l iз закрiпленим твердим диском маси m, що разом обертаються зi сталою кутовою швидкiстю. Вважаємо, що балка є однорiдна з погонною масою m0 та мало гнучкою з модулем пружностi E. Бал ка має моменти iнерцiї J1 i J2 вiдносно вiдповiдних осей x i y. Крiплення балки дозволяють рухи по осi z та забезпечують вiдновлюючi згиннi моменти i кутовi вiдхилення з коефiцiєнтами пропорцiйностi k1 i k2 вiдповiдно при z = 0 та z = l (рис. 1). Внутрiшнє та зовнiшнє демпфування характеризують параметри p i q.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 104 А.М. АЛIЛУЙКО Рис. 1. Схематична модель обертання балки Диференцiальнi рiвняння, що описують рух балки, отриманi на основi прин ципу Гамiльтона та методу Гальоркiна i мають вигляд [11] M1 0 D1 G K1 S w+ w+ w = f (t). (4.4) 0 M2 G D2 S K Тут f (t) вектор зовнiшнiх сил, а матричнi коефiцiєнти задаються наступними спiввiдношеннями:

i j n M1 = M2 = mij 1, mij = m0 l ij + 2m sin sin, 2 2 i j i j k1 ij n, lij 2 mij + 2(k1 + k2 cos i cos j) K1 = k1 ij = EJ1, l l ll 2 i j i j k2 ij n, lij 2 mij + 2(k1 + k2 cos i cos j) K2 = k2 ij = EJ2, l l ll G = 2M1, D1 = D2 = (p + q) l In, S = q l In, i, j = 1,..., n, де In одинична матриця порядку n, а ij символ Кронекера. Вiдхилення балки в точцi z по осям x i y рухомої системи координат 0xyz представляються у виглядi n n x(z, t) = i (z)wi (t), y(z, t) = i (z)wn+i (t), i=1 i= i де w1,..., w2n компоненти вектора w, i (z) = 2 sin z, i = 1,..., n. Всi l блоки матричних коефiцiєнтiв в (4.4) є симетричними, причому M1 i M2 додатно визначенi, а D1 i D2 невiд’ємно визначенi матрицi.

При наступних значеннях параметрiв 9l3 4l n = 3, m = 1, m0 = 1, l = 1, EJ1 =, EJ2 =, 5 2 5 ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) АЛГЕБРАЇЧНI УМОВИ СТIЙКОСТI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ l2 k1 = k2 =, p=q=, = 21. 20 система (4.4) має спектр 0.2780 + 40.4328i 0.1588 + 8.7985i 0.2780 40.4328i 0.1588 8.7985i 0.3509 + 16.8215i 0.3729 + 29.3242i 0.3509 16.8215i 0.3729 29.3242i 0.1878 + 12.3793i 2. 0.1878 12.3793i 2. i є нестiйкою.

Стабiлiзуємо систему (4.4) двома способами за допомогою блоку керування f = F u, де F задана матриця, а u вектор керування.

Нехай спочатку k = 2n = 6 i F = 0.1Ik. Для знаходження матриць L0 i L1 засто суємо наслiдок 5 до замкнутої системи. Скориставшись математичною системою MATLAB для розв’язання вiдповiдної системи матричних нерiвностей, отримаємо коефiцiєнти зворотного зв’язку у виглядi 7161.8 11.807 1985.8 123.98 32.95 173. 8.2546 32.207 11.796 156.17 49.263 11. 1818.8 2.6459 1.3361 2. 545.42 21. L0 =, 5.0872 7005.2 17.318 3510. 6.334 3. 10.06 27. 43.527 25.624 142.02 944. 8.8179 8.2155 176.47 3507.5 0.90685 1759. (4.5) 104.87 36.831 38.941 5.2737 62.186 78. 9.8313 143.88 45.279 2.5047 16. 132. 22.574 1.668 293.45 137. 4.1562 0. L1 =.

36.52 1.0003 42.167 34. 189.9 8. 25.649 29.341 41.769 38.766 4. 158. 35.06 15.407 89.468 18.9 0.097349 244. При цьому замкнута система має спектр 17.8265 36.0686i 3.2106 29.2727i 17.8265 + 36.0686i 3.2106 + 29.2727i 14.4030 21.8319i 1.2938 0.4149i 14.4030 + 21.8319i 1.2938 + 0.4149i 5.9670 8.2660i 0.0614 0.2190i 5.9670 + 8.2660i 0.0614 + 0.2190i i є асимптотично стiйкою, а квадратичний пучок задовольняє наступним умо вам гiперболiчностi:

0, (k, k+1 ), k = 0.9973, k+1 = 1.0217.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 106 А.М. АЛIЛУЙКО Побудуємо також керування у виглядi (4.3). Покладемо k = n = 3, F = 100 [0, Ik ], = Ik i знайдемо наступнi значення невiдомих матриць:

1.0579 0 0.1756 0.9024 0 0. 0 3.1145 0 0 1.6408 0.1756 0. 0 0.0963 0.0249 P =, 0.9024 0. 0 0.0249 21.5773 0 1.6408 0 0 27.1955 0.8694 0 0.2817 0.8733 0 25. 27.1405 0 14.3194 8.1409 0 13. 0 36.5989 0 0 11.8329 14.3194 16. 0 38.2724 6.9803 Q=, 8.1409 12. 0 6.9803 55.2324 0 11.8329 0 0 39.5603 13.8400 0 16.4776 12.2951 0 43. 2.3975 0 0.5395 4.6608 0 3. 0 4.7253 0 0 7.2649 0.4111 0. 0 0.7321 0.2411 V =, 3.6124 0. 0 0.2566 7.5542 0 5.6234 0 0 7.5276 3.0346 0 0.7717 0.6221 0 8. При = 2.1509 · 103 коефiцiєнти зворотного зв’язку набувають вигляду 0.3785 0 1.0776 0.0071 0 0. L0 = 105, 0 0.2094 0 0 0.0160 0.1433 0 0.7265 0.0092 0 0. (4.6) 1.2011 0 1.0513 6.9626 0 3. L1 = 103.

0 0.7097 0 0 9.7976 0.8498 0 1.9481 4.6739 0 5. При цьому замкнута система асимптотично стiйка i має спектр 1078846.8571 5.9963 + 24.6759i 979753.3415 5.9963 24.6759i 42082.1829 2.0180 + 5.4608i 0.3991 2.0180 5.4608i 0.3614 1.2328 + 3.8221i 0.3132 1.2328 3.8221i На рисунку 2 зображено графiки функцiй wj (t) та wj (t) для нестiйкої розiмкну тої системи обертання балки з початковими умовами wj (0) = wj (0) = 1 (j = 1, 2, 3), wj (0) = wj (0) = 1 (j = 4, 5, 6). На рисунках 3 i 4 зображено графiки для ста бiлiзованої замкнутої системи вiдповiдно з матрицями (4.5) i (4.6) з початковими умовами wj (0) = wj = 1 (j = 1, 2, 3), wj (0) = wj = 1 (j = 4, 5, 6).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) АЛГЕБРАЇЧНI УМОВИ СТIЙКОСТI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ СИСТЕМ 5 dw/dt w 20 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 t t Рис. 2. Перехiднi процеси нестiйкої розiмкнутої системи 1.5 0. dw/dt w 0. 1 1.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0.5 1 1.5 t t Рис. 3. Перехiднi процеси замкнутої системи з матрицями керування (4.5) 1. 0. dw\dt w 0. 1. 0 1 2 3 4 0 1 2 3 t t Рис. 4. Перехiднi процеси замкнутої системи з матрицями керування (4.6) ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 108 А.М. АЛIЛУЙКО Перелiк цитованих джерел 1. Agafonov S.A. Stability and motion stabilization of nonconservative mechanical systems // J. Mathematical Sciences. 2002. Vol. 112, № 5. P. 4419–4497.

2. Tisseur F., Meerbergen K. The Quadratic Eigenvalue Problem // SIAM Review.

2001. Vol. 43, № 2. P. 235–286.

3. Kliem W., Pommer C., Stoustrup J. Stability of rotor systems: A complex modelling approach // J. Appl. Math. Phys. 1998. Vol. 49. P. 644–655.

4. Guo C.-H., Lancaster P. Algorithms for hyperbolic quadratic eigenvalue problems // Math. Comp. 2005. Vol. 74, № 252. P. 1777–1791.

5. Алiлуйко А.М., Мазко О.Г. Стiйкiсть та стабiлiзацiя диференцiальних систем друго го порядку // Проблеми аналiтичної механiки. Київ: Iн-т математики НАН Украї ни, 2006. С. 7–24. (Зб. праць Iн-ту математики НАН України. Т. 3, № 1).

6. Shapiro A. Stability of second-order asymmetric linear mechanical systems with application to grasping // ASME J. Appl. Mech. 2005. Vol. 72, № 6. P. 966– 968.

7. Li J. On the stability of dissipative mechanical systems with circulatory forces // J. Appl.

Math. Phys. 1997. Vol. 48. P. 161–164.

8. Мейлахс А.М. О синтезе устойчивых систем автоматического регулирования при параметрических возмущениях // Автомат. и телемех. 1978. № 10. С. 5–16.

9. Мазко А.Г. Управление спектральными и оптимальными свойствами линейных си стем // Динамика и устойчивость механических систем. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1980. С. 128–133.

10. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.

11. Meirovitch L., Ryland G. A perturbation technique for gyroscopic systems with small internal and external damping // J. Sound and Vibration. 1985. Vol. 100, № 3.

P. 393–408.

Получена 13.04. ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) Динамические системы, вып. 22 (2007), 109– ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Межведомственный научный сборник УДК 517. Модифицированный метод простых итераций для некритической краевой задачи С.М. Чуйко Славянский государственный педагогический университет, Славянск 84112. E-mail: chujko-slav@inbox.ru Аннотация. Для построения решений слабонелинейной краевой задачи для системы обыкно венных дифференциальных уравнений в некритическом случае предложен модифицированный метод простых итераций.

1. Постановка задачи. Исследуем задачу о нахождении решения z(t, ) C 1 [a;

b], C[0;

0 ] краевой задачи dz/dt = A(t)z + f (t) + Z(z, t, ), z(·, ) = + J(z(·, ), ), (1) при = 0 обращающегося в решение z0 (t) C 1 [a;

b] порождающей задачи z0 (·) =, Rn.

dz0 /dt = A(t)z0 + f (t), (2) Здесь A(t) (n n) мерная матрица и f (t) n мерный вектор-столбец, элемен ты которых непрерывные на отрезке [a;

b] действительные функции, Z(z, t, ) нелинейная вектор-функция, непрерывно-дифференцируемая по z в малой окрест ности решения порождающей задачи, непрерывная по t на отрезке [a;

b] и непре рывно-дифференцируемая по малому параметру на отрезке [0;

0 ];

z(·, ) ли нейный и J(z(·, ), ) нелинейный векторный функционалы z(·, ), J(z(·, ), ) :

C[a, b] Rn, причем второй функционал непрерывно-дифференцируем (в смысле Фреше) по неизвестной z в малой окрестности решения порождающей задачи и непрерывно-дифференцируем по малому параметру на отрезке [0;

0 ].

В некритическом случае, когда PQ = 0 порождающая задача (2) имеет един ственное решение z0 (t) = G[f (s);

](t). Здесь X(t) нормальная (X(0) = In ) фун даментальная матрица однородной части системы (2), Q = X(·) (n n) мат рица, PQ : Rn N (Q ) (n n) мерная матрица-ортопроектор, G f (s);

(t) = K f (s) (t) X(t)Q+ K f (s) (·) Работа выполнена при финансовой поддержке фонда фундаментальных исследований (код 2201020) c С.М. ЧУЙКО 110 С.М. ЧУЙКО t X 1 (s)f (s)ds оператор обобщенный оператор Грина [1];

K f (s) (t) = X(t) a Грина задачи Коши для дифференциальной системы (2), Q+ псевдообратная матрица по Муру-Пенроузу [4]. В некритическом случае задача (2) разрешима для любых нелинейностей Z(z(t, ), t, ) и J(z(·, ), ) краевой задачи (1);

искомое решение этой задачи z(t, ) = z0 (t) + x(t, ) ищем в окрестности порождающего решения z0 (t). Для нахождения возмущения x(t, ) C 1 [a;

b], C[0;

0 ] получаем за дачу dx/dt = A(t)x + Z(z0 + x, t, ), x(·, ) = J(z0 (·, cr ) + x(·, ), ). (3) Решение задачи (3) представимо в виде x(t, ) = G Z(z0 (s) + x(s, ), s, );

J(z0 (·) + x(·, ), ) (t).

Используя непрерывную дифференцируемость по первому аргументу функции Z(z, t, ) в окрестности порождающего решения и непрерывную дифференциру емость по третьему аргументу, разлагаем эту функцию в окрестности точек x = и=0:

Z(z0 (t) + x(t, ), t, ) = Z(z0 (t), t, 0) + A1 (t)x(t, ) + A2 (t) + R1 (z0 (t) + x(t, ), t, );

здесь Z(z, t, ) Z(z, t, ) A1 (t) =, A2 (t) =.

z = z0 (t), z = z0 (t), z =0 = Аналогично, используя непрерывную дифференцируемость (в смысле Фреше) по первому и второму аргументу аргументу векторного функционала J(z0 (·) + x(·, ), ), выделяем линейную 1 x(·, ) часть этого функционала по x и линейную 2 (z0 (·)) часть этого функционала по в окрестности точек x = 0 и = 0 :

J(z0 (·) + x(·, ), ) = J(z0 (·), 0) + 1 x(·, ) + 2 (z0 (·)) + J1 (z0 (·) + x(·, ), ).

Оператор 0 x(t, ) = X(t)Q+ J(z0 (·) + x(·, ), ) K Z(z0 (s) + x(s, ), s, ) (·) + K Z(z0 (s) + x(s, ), s, ) (t) действует из пространства непрерывных на отрезках [a;

b] и [0;

0 ] действитель ных вектор-функций x(t, ) C 1 [a;

b], C[0;

0 ] в это же пространство. Операторная ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ система x(t, ) = 0 x(t, ) в некритическом случае эквивалентна задаче (3) на мно жестве функций x(t, ), обращающихся в нуль при = 0, причем для построения решений этой операторной системы применим [1, 2] метод простых итераций. На основании этого метода получаем итерационную процедуру xk+1 (t, ) = 0 xk (t, ), x0 (t, ) 0, k = 0, 1,.... (4) Для метода простых итераций характерна простота и численная устойчивость, однако при вычислении последовательных итераций в правой части равенства (4) на каждом шаге приходится вычислять одни и те же слагаемые, что приводит к последовательному накоплению ошибок и увеличению объема вычислений. Целью данной статьи является построение модифицированной схемы последовательных итераций, в рамках которой искомое приближение к решению задачи (1) предста вимо в виде ряда, каждый член которого определяется при помощи трехшаговой итерационной процедуры.

2. Итерационная процедура. Первое приближение x1 (t, ) = 1 (t, ) к реше нию задачи (3) ищем, как решение краевой задачи первого приближения dx1 /dt = A(t)x1 + Z(z0 (t), t, 0), x1 (·, ) = J(z0 (·), 0) в виде x1 (t, ) = G Z(z0 (s), s, 0);

J(z0 (·), 0) (t).

Второе приближение x2 (t, ) = 1 (t, ) + 2 (t, ) к решению задачи (3) ищем, как решение задачи второго приближения dx2 /dt = A(t)x2 + Z(z0 (t), t, 0) + A1 (t)x1 + A2 (t), x2 (·, ) = J(z0 (·), 0) + 1 x1 (·, ) + 2 (z0 (·)).

Для нахождения вектора 2 (t, ), с учетом задачи первого приближения, приходим к системе d2 /dt = A(t)2 + A1 (t)1 + A2 (t), 2 (·, ) = 1 1 (·, ) + 2 (z0 (·)), решение которой представимо в виде 2 (t, ) = G A1 (s)1 (s, ) + A2 (s);

1 1 (·, ) + 2 (z0 (·)) (t).

Третье приближение x3 (t, ) = 1 (t, ) + 2 (t, ) + 3 (t, ) к решению задачи (3) определяет система d3 /dt = A(t)3 + A1 (t)2 + R1 (z0 (t) + x1 (t, ), t, ), ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 112 С.М. ЧУЙКО 3 (·, ) = 1 2 (·, ) + J1 (z0 (·) + x1 (·, ), ), решение которой представимо в виде 3 (t, ) = G A1 (s)2 (s, )+R1 (z0 (s)+x1 (s, ), t, );

1 2 (·, )+J1 (z0 (·)+x1 (·, ), ) (t).

Четвертое приближение x4 (t, ) = 1 (t, ) + 2 (t, ) + 3 (t, ) + 4 (t, ) к решению задачи (3) определяет система d4 /dt = A(t)4 + A1 (t)3 + R1 (z0 + x2, t, ) R1 (z0 + x1, t, ), 4 (·, ) = 1 3 (·, ) + J1 (z0 (·) + x2 (·, ), ) J1 (z0 (·) + x1 (·, ), ), решение которой представимо в виде 4 (t, ) = G A1 (s)3 (s, ) + R1 (z0 (s) + x2 (s, ), s, ) R1 (z0 (s) + x1 (s, ), s, );

1 3 (·, ) + J1 (z0 (·) + x2 (·, ), ) J1 (z0 (·) + x1 (·, ), ) (t).

Последовательность приближений {xk (t, )} k = 1, 2, 3,... представляет традици онный метод простых итераций, поэтому для оценки длины отрезка [0;

], 0, на котором сохраняется сходимость полученной итерационной процедуры к иско мому решению задачи (3) можно воспользоваться формулой [5] или мажорирую щими уравнениями Ляпунова [6]. Таким образом, доказано следующее утвержде ние.

Теорема 1. В некритическом случае (PQ = 0) порождающая задача (2) разреши ма при любых неоднородностях дифференциальной системы и краевого условия (2) и имеет единственное решение z0 (t) = G f (s);

(t). Задача (1) при этом разрешима для любых нелинейностей дифференциальной системы Z(z(t, ), t, ) и краевого условия J(z(·, ), ) и имеет единственное решение z(t, ) C 1 [a;

b], C[0;

], для построения которого (с учетом замены z(t, ) = z0 (t) + x(t, )) при менима сходящаяся при [0;

] итерационная процедура x1 (t, ) = 1 (t, ) = G Z(z0 (s), s, 0);

J(z0 (·), 0) (t);

x2 (t, ) = 1 (t, ) + 2 (t, ), 2 (t, ) = G A1 (s)1 (s, ) + A2 (s);

1 1 (·, ) + 2 (z0 (·)) (t).

x3 (t, ) = 1 (t, ) + 2 (t, ) + 3 (t, ), (5) ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ 3 (t, ) = G A1 (s)2 (s, ) + R1 (z0 (s) + x1 (s, ), t, );

1 2 (·, ) + J1 (z0 (·) + x1 (·, ), ) (t),..., k+ xk+3 (t, ) = i (t, ), k = 1, 2, 3,..., i= k+3 (t, ) = G A1 (s)k+2 (s, ) + R1 (z0 + xk+1, s, ) R1 (z0 + xk, s, );

1 k+2 (·, ) + J1 (z0 (·) + xk+1 (·, ), ) J1 (z0 (·) + xk (·, ), ) (t).

Наличие производных A2 (t) и 2 (z0 (·)), отличают итерационную процедуру (5) от традиционной [1, 2];

кроме того, итерационная процедура (5) использует пред ставление искомого решения в виде суммы последовательности возмущений x1 (t, ) = 1 (t, ), x2 (t, ) = x1 (t, ) + 2 (t, ), x3 (t, ) = x2 (t, ) + 3 (t, ),..., не является разложением искомого решения по степеням малого параметра и не предполагает разложений нелинейностей по степеням решения задачи (3). Правые части уравнений итерационной процедуры (5) в отличие от традиционной [1, 2] не содержат повторяющихся слагаемых, поэтому точность приближенных вычисле ний возрастает.

3. Пример построения итерационной процедуры. Докажем существова ние и построим первые приближения к решению z(·, ) C 1 [0;

T ], C[0;

0 ] перио дической задачи для уравнения dz =z + arccos z, (6) dt Поскольку Q = 1 eT = 0, то имеет место некритический случай. Таким образом, согласно доказанной теореме, уравнение (6) имеет единственное периодическое решение в малой окрестности порождающего решения z0 (t) = 22. Первое при функция x1 (t, ) =.

ближение к отклонению от порождающего решения Второе приближение x2 (t, ) = 1 (t, ) + 2 (t, ) к решению периодической задачи для уравнения (6) определяет функция 2 (t, ) = 4 2. Продолжая итерации, на десятом шаге приходим к разложению z10 () 0, 707 107 0, 785 398 · 1, 11 072 · 2 0, 953 946 · 3 0, 517 899 · 0, 354 031 · 5 0, 642 026 · 6 0, 970 676 · 7 1, 05 107 · 1, 24 534 · 9 1, 96 640 · 10 8, 76 983 · 11 + 34, 0 450 · 12.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 114 С.М. ЧУЙКО Длина отрезка [0;

], на котором сохраняется сходимость полученной итераци онной процедуры к искомому решению периодической задачи для уравнения (6) может быть оценена аналогично [5] величиной 0, 1661. Для оценки точ ности полученного приближения заметим, что искомое решение периодической задачи для уравнения (6) является положением равновесия этого уравнения, по этому достаточно оценить невязку () = |z10 () 22 + arccos z10 ()|;

к примеру, (0, 1) 2, 23 822 · 1011 ;

(0, 3) 1, 08 397 · 106. Для сравнения точности полу ченного десятого приближения к решению периодической задачи для уравнения (6) вычислим невязку 1 () десятого приближения по формуле (4);

к примеру, 1 (0, 1) 9, 15 648 · 1011 ;

1 (0, 3) 3, 19 807 · 106.

Список цитируемых источников 1. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems. Utrecht;

Boston: VSP, 2004. XIV + 317 p.

2. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных си стем. М.;

Наука, 1979. 432 с.

3. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.;

Гостехиз дат, 1956. 491 с.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.;

Наука, 1988. 552 с.

5. Чуйко С.М., Чуйко О.С. Оцiнка областi збiжностi iтерацiйного процесу для слаб конелiнiйної крайової задачi в некритичному випадку // Вiсник Слов’янського дер жавного педагогiчного унiверситету. 2005. Т. 1, С. 22–27.

6. Лика Д.К., Рябов Ю.А. Методы итераций и мажорирующие уравнения Ляпунова в теории нелинейных колебаний. Кишинев.;

Штиница, 1974. 292 с.

Получена 01.04. ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) Динамические системы, вып. 22 (2007), 115– ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Межведомственный научный сборник УДК 517. К вопросу об определении некоммутативного пространства L1(M, ) измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана М.А. Муратов, В.И. Чилин Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, Симферополь 95007. E-mail: kromsh@mail.ru Национальный университет Узбекистана, Ташкент 700174, Узбекистан. E-mail: chilin@usd.uz Аннотация. В работе приводится один из вариантов построения некоммутативного простран ства L1 (M, ) – интегрируемых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана M.

1. Введение Один из первых подходов к введению некоммутативного аналога кольца из меримых функций был предложен И.Сигалом [1], который рассмотрел -алгебру S(M) измеримых операторов, присоединенных к произвольной алгебре фон Ней мана M. В этой работе были построены банаховы пространства интегрируемых и интегрируемых с квадратом операторов и получены обобщения таких основных результатов теории меры, как теоремы Фишера-Рисса, Радона-Никодима, теоремы Лебега о монотонной сходимости и вариант теоремы Фубини. Часть этих резуль татов была использована для описания и изучения одного специального класса колец операторов, названных стандартными.

Впоследствии, для целей некоммутативного интегрирования, изучались -под алгебры S(M, ) в S(M) всех -измеримых операторов, ассоциированные с точ ным нормальным полуконечным следом на M (см. например, [2, 4, 9]). Алгебры S(M, ) и S(M) являются -алгебрами замкнутых, плотно определенных линей ных операторов, действующих в том же гильбертовом пространстве H, что и сама алгебра фон Неймана M. При этом все эти операторы присоединены к M, а алгеб раические операции в этих -алгебрах совпадают с операциями "сильной суммы", "сильного произведения", перехода к сопряженному оператору и обычного умно жения на скаляры. Сама алгебра фон Неймана M является -подалгеброй как в c М.А. МУРАТОВ, В.И. ЧИЛИН 116 М.А. МУРАТОВ, В.И. ЧИЛИН S(M, ), так и в S(M), и совпадает с множеством всех ограниченных операторов из S(M, ) и из S(M).

Теория некоммутативного интегрирования получила дальнейшее развитие в работах многих авторов (см., например, [8, 11, 12]). Была построена некоммута тивная теория пространств Lp (M, ) для 1 p не только в случае, когда точный нормальный полуконечный след, но и для случая состояния или ве са (см., например, [4, 6, 9, 10, 13, 14, 15, 18, 19, 20, 25] и др.). Подробный обзор содержится в работе [16]. Следует ометить, что во всех этих исследованиях про странство L1 (M, ) предполагалось построенным по И. Сигалу [1]. В свою очередь, построения И. Сигала, несмотря на подробные и четкие с математической точки зрения рассуждения, были достаточно сложными и громоздкими. В то же время, развитая в последние годы теория s-чисел и убывающих перестановок линейных операторов (см., например [7, 9, 10, 25]) посволяет сделать такие построения более изящными и прозрачными.

В настоящей работе предлагается построение некоммутативного пространства L1 (M, ), ассоциированного с точным нормальным полуконечным следом на ал гебре фон Немана M, использующее понятие убывающей перестановки измери мого оператора.

Для полноты изложения мы приводим формулировки некоторых утверждений и фактов, имеющих отношение к рассматриваемому вопросу, с соответствующими ссылками на первоисточники. Используется терминология и обозначения теории алгебр фон Неймана из [21, 22] и теории некоммутативного интегрирования [1, 2, 4, 7, 9].

2. Предварительный сведения. Алгебры измеримых и -измеримых операторов В этом разделе рассматриваются -алгебры S(M) и S(M, ) измеримых и измеримых операторов, присоединеных к алгебре фон Неймана M. (См. [1, 23]) Пусть M – алгебра фон Неймана линейных оператров, дествующих в гильбер товом пространстве H, – точный нормальный полуконечный след на M, P (M) – структура всех ортопроекторов в M.

2.1. Операторы, присоединеные к алгебре фон Неймана M Определение 1. Линейное подпространство D в H называется присоединенным к алгебре фон Неймана M (обозначение: D M), если U (D) D для каждого унитарного оператора U M.

Определение 2. Линейный оператор T с областью определения D(T ), действую щий в гильбертовом пространстве H, называется присоединенным к алгебре фон Неймана M (обозначение: T M), если UT T U ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВА L1 (M, ) для каждого унитарного оператора U M.

Легко видеть, что ограниченный линейный оператор T B(H) присоединен к алгебре фон Неймана M тогда и только тогда, когда T M.

Предложение 1. (i) Если D замкнутое подпространство в H и P = PD ор тогональный проектор на D, то D M в том и только в том случае, когда P P (M).

(ii) Если T M предзамкнутый оператор, то ii1) T M, ii2) T M.

(iii) Если T замкнутый оператор и T = W |T | - его полярное разложение, то T M тогда и только тогда, когда W M и |T | M.

(iv) Если T самосопряженный оператор, T M и {E }R спектральное семейство проекторов для T, то E P (M) для всех R.

2.2. *-Алгебра S(M) измеримых операторов Определение 3. Линейное подпространство D H назыается сильно плотным в H относительно алгебры фон Неймана M, если (i) D M;

(ii) Существует последовательность ортопроекторов {Pn } P (M) такая, n= что ii1) Pn I, ii2) Pn (H) D, ii3) Pn является конечным проектором для каждого n = 1, 2,...

В этом случае говорят, что подпространство D определено последовательно стью {Pn }.

n= Из условия Pn I в определении 3 непосредственно следует, что каждое сильно плотное подпространство является плотным в H.

Определение 4. Линейный оператор T, действующий в гильбертовом простран стве H, называется измеримым относительно алгебры фон Неймана M, если (i) T M;

(ii) Область определения D(T ) оператора T сильно плотна в H;

(iii) Оператор T замкнут.

Предложение 2. Если T замкнутый оператор с плотной областью определе ния и T = W |T | - полярное разложение оператора T, то оператор T измерим относительно M тогда и только тогда, когда W M и |T | измерим относительно M.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 118 М.А. МУРАТОВ, В.И. ЧИЛИН Пусть T и S - операторы, измеримые относительно алгебры фон Неймана M.

Тогда замыкания T + S и T S операторов T + S и T S являются измеримы ми относительно M операторами. Эти замыкания называются сильной суммой и сильным произведением операторов T и S соответственно, и обозначаются T +S =T S, T S = T · S.

Обозначим через S(M) множество всех операторов, измеримых относительно алгебры фон Неймана M. Ясно, что M S(M).

Теорема 1. Множество S(M) является -алгеброй над полем C с единичным элементом I относительно операций сильной суммы и сильного произведения и операции перехода к сопряженному оператору.

2.3. *-Алгебра S(M, ) - измеримых операторов, присоединеных к алгебре фон Неймана M В этом подразделе мы рассмотрим -подалгебру S(M, ) в S(M). (См. [2, 3, 4, 9].) Определение 5. Линейное подпространство D в H называется -плотным, если (i) D M;

(ii) Для любого 0 существует такой проектор P P (M), что ii1) P (H) D, ii2) (I P ).

Определение 6. Линейный оператор T в H, называется -измеримым, если (i) T M;

(ii) D(T ) -плотно в H;

(iii) Оператор T замкнут.

Обозначим множество всех -измеримых операторов через S(M, ). Легко видеть, что M S(M, ) S(M).

При этом T S(M, ) в том и только в том случае, когда T S(M) и D(T ) – -плотно в H.

Предложение 3. Пусть T – замкнутый оператор с плотной областью опре деления D(T ), такой, что T M, и пусть T = U |T | – полярное разложение оператора T. Следующие условия эквивалентны:

(i) T S(M, );

(ii) U M и |T | S(M, );

(iii) (E ) для некоторого 0, где {E }R – спектральное семей ство проекторов для оператора |T |;

(iv) (E ) 0 при +;

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВА L1 (M, ) Замечание 1. (i). Если M - фактор типа I и - точный нормальный полуко нечный след на M, то M = S(M, ) = S(M).

(ii). Если M - фактор типа II и - точный нормальный полуконечный след на M, то M = S(M, ) = S(M).

Теорема 2. Множество S(M, ) является -подалгеброй в S(M).

2.4. Сходимости по мере в кольце S(M, ) Определение 7. Последовательность операторов {Tn } S(M, ) сходится к n= п.м.

оператору T S(M, ) по мере (Tn T ), если для любых 0 и 0 найдется номер N, что для каждого n N существует такой проектор Pn P (M), что (i) (Pn ), (ii) (Tn T )Pn M, (iii) (Tn T )Pn.

Сходимость по мере в S(M, ) совпадает со сходимостью в топологии t = t, базис окрестностей нуля которой образуют множества вида:

V, = {T S(M) : существует такой проектор P P (M), что (P ), T P M, T P }, где и произвольные положительные числа.

Предложение 4. Если {Tn }, T S(M)h, Tn Tn+1 для любых n = 1, 2,...

n= п.м.

и Tn T, то Tn T при n.

Теорема 3. (S(M), t ) является полным топологическим векторным простран ством.

3. Невозрастающие перестановки -измеримых операторов В этом подразделе рассматриваются невозрастающие перестановки - изме римых операторов и приводятся их основные свойства. (См. [5, 7, 9, 10, 25]. ) Пусть M полуконечная алгебра фон Неймана, действующая в гильбертовом пространстве H, – точный нормальный полуконечный след на M и S(M, ) – -алгебра всех -измеримых операторов, присоединенных к M.

Определение 8. Функцией распределения оператора T S(M, ) называется функция n(T )(t), определяемая равенством:

n(T )(t) = (E(t,) (|T |)), t 0, где E(t,) (|T |) - спектральный проектор оператора |T |, соответствующий интер валу (t, ).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 120 М.А. МУРАТОВ, В.И. ЧИЛИН Согласно предложения 3, оператор T -измерим тогда и только тогда, когда n(T )(t) для достаточно больших t и поэтому lim n(T )(t) = 0.

t Кроме того, отображение [0, ) t n(T )(t) [0, ] является неубывающим и непрерывным справа.

Определение 9. Невозрастающей перестановкой оператора T S(M, ) назы вается функция µ(T )(t), определяемая равенством:

µ(T )(t) = inf{ T P : P P (M), (P ) t}, t 0.

Предложение 5. Для любого оператора T S(M, ) и любого числа t функция (0, ) t µ(T )(t) [0, ) невозрастает, непрерывна справа и µ(T )(t) = inf{s 0 : n(T )(s) t}.

При этом, n(T )(µ(T )(t)) t.

Непосредственно из предложения 5 вытекает следующее следствие.

Следствие 1. Пусть N произвольная подалгебра фон Неймана алгебры фон Неймана M, содержащая все спектральные проекторы оператора |T |. Тогда µ(T )(t) = inf{ T P : P P (N ), (P ) t}, t 0.

Замечание 2. В коммутативном случае, когда M = L (,, m) и (f ) = f dµ след на M, где (,, m) локализуемое пространство с мерой, -алгебра S(M, ) совпадает с алгеброй всех комплексных функций f на (,, m), которые ограни чены почти всюду, кроме множества конечной меры. При этом µ(f )(t) = inf{s 0 : m({ : |f ()| s} t)}.

Следовательно, в этом случае, µ(f )(t) совпадает с классической невозрастающей перестановкой f измеримой функции f (Свойства невозрастающих перестановок измеримых функций и их приложений в теории симметричных функциональных пространств подробно изложены в монографии [24]).

В следующем предложении приводится полезная геометрическая интерпрета ция функции µ(T )(t).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВА L1 (M, ) Предложение 6. Пусть t 0 и Rt = {R S(M, ) : (s(|R|)) t}, где s(|R|) - носитель оператора |R| (см.[21]). Тогда для любого оператора T S(M, ) имеет место равенство:

µ(T )(t) = inf{ T R : R Rt, (T R) M}.

В следующих утверждениях собраны основные свойства функции µ(T )(t).

Предложение 7. Пусть операторы T, S S(M, ). Тогда (i) µ(T )(t) = µ(|T |)(t) = µ(T )(t) и µ(T )(t) = ||µ(T )(t) для всех t 0 и C.

(ii) Если (s(|T |)), то µ(T )(t) = 0 для всех t (s(|T |)). В частности, если E P (M), то µ(T E)(t) = 0 для t (E) (iii) Если |T | |S|, то µ(T )(t) µ(S)(t) при t 0;

(iv) Если T M, то lim µ(T )(t) = T ;

t если же оператор T не принадлежит M, то lim µ(T )(t) =.

t (v) Если f непрерывная возрастающая функция на [0, ), которая удо влетворяет условию f (0) 0, то для всех t µ(f (|T |))(t) = f (µ(T ))(t).

В частности, при всех t 0 и p µ(|T |p ) = (µ(T ))p (t).

(vi) Если S, R M, то для всех t µ(ST R)(t) S R µ(T )(t) Предложение 8. Пусть операторы T, S S(M, ). Тогда (i) µ(T + S)(t + s) µ(T )(t) + µ(S)(s), t, s 0;

(ii) µ(T S)(t + s) µ(T )(t)µ(S)(s), t, s 0;

(iii) µ(T )(t+s) µ(T +S)(t) µ(T )(ts), t, s 0, ts 0, если (r(S)) s (r(S) – правый носитель оператора S [21]).

Следствие 2. Пусть T, S M. Тогда для любого t |µ(T )(t) µ(S)(t)| T S.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 122 М.А. МУРАТОВ, В.И. ЧИЛИН Определение 10. Для каждого положительного самосопряженного оператора T S(M, )+ положим:

n (T ) = sup dE = d (E ), n 0 где {E } – спектральное семейство проекторов оператора T.

Теорема 4. Пусть T S(M, )+. Тогда (T ) = µ(T )(t)dt.

Доказательство. Пусть сначала оператор T S(M, )+ имеет ступенчатый вид:

n T= i Ei, i= где i 0, Ei P (M), (Ei ), Ei Ej = 0 при i = j, i, j = 1, n. Без ограничения общности, можно считать, что 1... n. Ясно, что s(T ) = n Ei, 0 s 1 ;

i= n E(s,) (T ) = E, k1 s k, 2 k n;

i=k i 0, n s.

Поэтому, n (s(T )) = (Ei ), 0 s 1 ;

i= n n(T )(s) = (Ei ), k1 s k, 2 k n;

i=k 0, n s.

Следовательно, n, 0 t (En );

n n µ(T )(t) = inf{s 0 : n(T )(s) t} = k1, i=k (Ei ) t (Ei ), 2 k n;

i=k n 0, i=1 (Ei ) t.

Таким образом, n (T ) = i (Ei ) = µ(T )(t)dt.

i= Если (Ei1 ) =... = (Eil ) = + для некоторых i1... il, то n(T )(s) = + при 0 s i1 и ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВА L1 (M, ) µ(T )(t) = i1 1 при t (Ei ).

i=i1,...il Поэтому, в этом случае, (T ) = + = µ(T )(t)dt.

Пусть теперь T M+. Выберем последовательность операторов {Tn } M+ n= ступенчатого вида, для которых Tn T и Tn T 0 при n. Тогда µ(Tn )(t) µ(Tn+1 )(t) µ(T )(t) для всех n = 1, 2,.... и t 0. Согласно предложению 8(i) и следствию 2 имеем, что |µ(Tn )(t) µ(T )(t)| Tn T 0 при n и потому µ(Tn )(t) µ(T )(t) при n для всех t 0. Таким образом, lim µ(Tn )(t)dt = µ(T )(t)dt.

n 0 Поскольку след нормальный, то µ(Tn )(t)dt = (Tn ) (T ), и потому (T ) = µ(T )(t)dt.

Рассмотрим, наконец, произвольный оператор T S(M, )+ и положим En = E[0,n] (T ), n = 1, 2,...

Так как 0 T En T En+1 T, то µ(T En )(t) µ(T En+1 )(t) µ(T )(t) для всех t 0 и n = 1, 2,...

Покажем, что limn µ(T En )(t) = µ(T )(t). Предположим, что s = lim µ(T En )(t) µ(T )(t).

n Тогда последовательность спектральных проекторов E[µ(T En )(t),n] (t) = E[µ(T En )(t),) (T En ) сходится в сильной операторной топологии к проектору E[s,) (T ), и поскольку (см.

предложение 5) n(T En )(µ(T En )(t)) = (E[µ(T En )(t),) (T En )) t, ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 124 М.А. МУРАТОВ, В.И. ЧИЛИН то, в силу верхней полунепрерывности следа имеем, что (E(s,) (T )) (E[s,) (T )) lim inf (E(µ(T En )(t),) (T En )) t.

Следовательно, µ(T )(t) s, что противоречит нашему предположению. Поэтому µ(T En )(t) µ(T )(t) при n для всех t 0. Следовательно, µ(T En )(t)dt µ(T )(t)dt.

0 Так как T En M, то, по доказанному выше имеем, что (T En ) = µ(T En )(t)dt.

Кроме того, из определения (T ) следует, что (T En ) (T ). Это означает, что (T ) = µ(T )(t)dt.

Следствие 3. (i) Для любого оператора T S(M, )+ верно равенство:

(T ) = sup{ (S) : S M+, S T }.

(ii) Если T, S S(M, ) и 0 T S, то (T ) (S).

Если T S(M, )+, {Tn } M+, Tn T при n, то Следствие 4. n= (Tn ) (T ) при n.

Предложение 9. Для любых операторов T, S S(M, )+ и 0 верны равен ства:

(i) (T + S) = (T ) + (S);

(ii) (T ) = (T ).

Доказательство. (i)Пусть T, S S(M, )+. Положим Tn = T E(,n] (T ), Sn = SE(,n] (S).

Легко видеть, что Tn, Sn M+, 0 Tn T, 0 Sn S.

Поэтому 0 (Tn + Sn ) (T + S) и, в силу следствия 4, получим, что (T + S) = sup (Tn + Sn ) = sup( (Tn ) + (Sn )) = (T ) + (S).

n1 n (ii) Доказывается аналогично.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВА L1 (M, ) Следствие 5. Пусть f непрерывная возрастающая функция на [0, ), удо влетворяющая условию: f (0) = 0. Тогда для каждого оператора T S(M, ) имеет место равенство:

(f (|T |)) = f (µ(T ))(t)dt.

В частности, для 0 p p (µ(T ))p (t)dt (|T | ) = Следствие 6. Пусть T, S S(M, )+. Следующие условия эквивалентны:

(i) µ(T )(t) µ(S)(t), t 0;

(ii) n(T )(s) n(S)(s), s 0;

(iii) (f (T )) (f (S)) для каждой непрерывной возрастающей функции f на [0, ), удовлетворяющей равенству f (0) = 0.

Предложение 10. Пусть {Tn }, T S(M, ). Следующие условия эквива n= лентны:

t (i) Tn T ;

(ii) limn µ(T Tn )(t) = 0 для каждого t 0.

Доказательство. Базу окрестностей нуля топологии t образуют множества V (, ) = {S S(M, ) : существует такой P P (M), что, (P ) }, SP M, SP M где, 0.

Пусть S V (, ). Тогда существует такой проектор P P (M), что SP M, SP и (P ). Следовательно, µ(S)() = inf{ SE : E P (M), (E ) }.

t Это означает, что если Tn T, то µ(T Tn )(t) 0 при n для любого t 0.

Обратно, пусть µ(S)(t). Тогда inf{ SE : E P (M), (E ) t}.

Следовательно, S V (, t + ) для любого 0. Это означает, что если µ(T t Tn )(t) 0, то Tn T при n для любого t 0.

Предложение 11. Пусть T S(M, ). Следующие условия эквивалентны:

(i) n(T )() + для любого 0;

(ii) limt µ(T )(t) = 0;

(iii) Существует последовательность операторов {Tn } S(M, ) такая, n= t что Tn T и (s(|Tn |)) для каждого n = 1, 2,...


ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 126 М.А. МУРАТОВ, В.И. ЧИЛИН Доказательство. (i) (iii). Пусть n(T )() + для любого 0. Тогда по определению функции распределения, (E(,) (|T |)) + для любого 0.

Пусть T = U |T | = U dE (|T |) полярное разложение оператора T. Обозначим n Tn = U dE (|T |), n = 1, 2,..

n t Тогда Tn T и (s(|Tn |)) для каждого n = 1, 2,...

(iii) (ii). Пусть последовательность операторов {Tn } S(M, ) такая, n= t что Tn T и (s(|Tn |)) для каждого n = 1, 2,... По утверждению 10, для любого 0 существует номер n0, для которого выполняется неравенство µ(T Tn0 )(1).

Так как в силу предложения 7(ii), µ(Tn0 )(t) = 0 для t (s(|Tn0 |)), то по предло жению 8(i), имеем µ(T )(t) = µ(Tn0 + (T Tn0 ))((t 1) + 1) µ(Tn0 )(t 1) + µ(T Tn0 )(1) для t (s(|Tn0 |)) + 1.

(ii) (i). Пусть limt µ(T )(t) = 0. Тогда для любого 0 найдется такое t0 0, что µ(T )(t0 ). По предложению 5 имеем:

n(T )() n(T )(µ(T )(t0 )) t0.

Замечание 3. Если в предложении 11 выполнены условия (i) и (ii), то последова тельность {Tn } из (iii) может быть выбрана ограниченной.

n= t Предложение 12. Пусть {Tn }, T S(M, ) и Tn T. Тогда:

n= (i) µ(T )(t) lim inf n µ(Tn )(t) для любого t 0;

(ii) µ(T )(t) = limn µ(Tn )(t) в каждой точке непрерывности s = t функ ции s µ(T )(s);

в точках разрыва этой функции имеет место неравенство:

µ(Tn )(t) µ(T )(t).

Доказательство. (i) По предложению 8(i) для каждого 0 имеем:

µ(T )(t + ) = µ(Tn + (T Tn ))(t + ) µ(Tn )(t) + µ(T Tn )(), откуда следует, что µ(T )(t + ) µ(T Tn )() µ(Tn )(t).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВА L1 (M, ) Переходя к пределу и используя предложение 10, получим:

µ(T )(t + ) lim inf µ(Tn )(t) n Так как функция µ(T )(t) непрерывна справа (см. предложение 5), то переходя к пределу при 0, получим, что µ(T )(t) lim inf µ(Tn )(t) для каждого t 0.

n (ii) Рассмотрим такое, что 0 t. Тогда по тому же утверждению 8(i) имеем:

µ(Tn )(t) = µ(T + (Tn T ))((t ) + ) µ(T )(t ) + µ(Tn T )(), откуда получаем, что lim sup µ(Tn )(t) µ(T )(t ).

n Поэтому, если s = t точка непрерывности функции s µ(T )(s), то при получим:

lim sup µ(Tn )(t) µ(T )(t).

n Но, как было показано выше, µ(T )(t) lim inf µ(Tn )(t) для каждого t 0.

n Поэтому, существует limn µ(Tn )(t) и µ(T )(t) = lim µ(Tn )(t).

n В остальных точках, очевидно, µ(Tn )(t) µ(T )(t).

t Теорема 5. Пусть {Tn }, T S(M, )+ и Tn T. Тогда:

n= (i) (Некоммутативный аналог леммы Фату.) (T ) lim inf (Tn );

n (ii) (Некоммутативный аналог теоремы Леви о монотонной сходимости.) Если Tn T (или если µ(Tn )(t) µ(T )(t) для любого t 0 ),то (T ) = lim (Tn ).

n ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 128 М.А. МУРАТОВ, В.И. ЧИЛИН Доказательство. (i) По теореме 4 и предложению 12(i) имеем:

(T ) = µ(T )(t)dt lim inf µ(Tn )(t)dt.

n 0 Используя известную лемму Фату для сходящихся по мере последовательностей неотрицательных измеримых функций, имеем:

lim inf µ(Tn )(t)dt lim inf µ(Tn )(t)dt.

n n 0 Поэтому, (T ) lim inf µ(Tn )(t)dt = lim inf (Tn ).

n n (ii) Так как Tn T, то (Tn ) = µ(Tn )(t)dt µ(T )(t)dt = (T ).

0 Следовательно lim sup (Tn ) (T ).

n Но по доказанному в пункте (i), (T ) lim inf (Tn ).

n Поэтому (T ) = lim (Tn ).

n Предложение 13. Пусть алгебра фон Неймана M не имеет минимальных про екторов. Тогда для каждого оператора T S(M, ) верно равенство:

t µ(T )(s)ds = sup{ (E|T |E) : E P (M), (E) t}.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что T 0. Пусть T= dE спектральное разложение оператора T и N – максимальная коммутативная по далгебра фон Неймана в M, содержащая все спектральные проекторы {E }. От метим, что N тоже не содержит минимальных проекторов. Так как N – комму тативная, то ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВА L1 (M, ) N = L (,, m) и (f ) = f dm - след на N, где (,, m) локализуемое про странство с неатомической мерой m. -Алгебра S(N, ) совпадает с алгеброй всех комплексных функций f на (,, m), которые ограничены почти всю ду, кроме множества конечной меры. В этом случае, если T = f S(N, ), то µ(T )(t) = µ(f )(t) совпадает с классической невозрастающей перестановкой f (t) измеримой функции f (см замечание 2).

Пространство (,, m) неатомическое, поэтому имеет место равенство (см.

[24]):

t f (s)ds = sup |f |dm : F, m(F ) t.

0 F Это означает, что t t f (s)ds = sup{ (E|T |E) : E P (N ), (E) t} µ(T )(s)ds = 0 sup{ (E|T |E) : E P (M), (E) t}.

С другой стороны, если проектор E P (M) такой, что (E) t, то по теореме и предложению 7(ii)(vi) имеем:

t (ET E) = µ(ET E)(s)ds = µ(ET E)(s)ds 0 t µ(T )(s)ds.

Следовательно, t sup{ (E|T |E) : E P (M), (E) t} µ(T )(s)ds.

Замечание 4. Из приведенного выше доказательства следует, что в условиях пред ложения 13 имеет место равенство:

t µ(T )(s)ds = sup{ (E|T |E) : E P (N ), (E) t}, где N –максимальная коммутативная подалгеба фон Неймана в M, содержащая все спектральные проекторы E(,) (|T |), 0 оператора |T |.

Предложение 14. Для любых операторов T, S S(M, ) и любого t 0 верно неравенство:

t t t µ(T + S)(s)ds µ(T )(s)ds + µ(S)(s)ds.

0 0 ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 130 М.А. МУРАТОВ, В.И. ЧИЛИН Доказательство. Предположим сначала, что алгебра фон Неймана M не имеет минимальных проекторов. Из предложения 13 имеем, что t µ(T + S)(s)ds = sup{ (E|T + S|E) : E P (M), (E) t}.

Тогда (см.[5] ) существуют такие частичные изометрии U, V M, что E|T + S|E EU |T |U E + EV |S|V E.

Поэтому (E|T + S|E) (EU |T |U E) + (EV |S|V E).

Сдедовательно, в силу предложения 9(i) и следствия 6(ii) t µ(T + S)(s)ds sup{ (EU |T |U E) : E P (M), (E) t}+ + sup{ (EV |S|V E) : E P (M), (E) t} = t t t t = µ(U |T |U )(s)ds + µ(V |S|V )(s)ds µ(T )(s)ds + µ(S)(s)ds.

0 0 0 Предположим теперь, что алгебра фон Неймана M имеет минимальные про екторы. Рассмотрим коммутативную алгебру фон Неймана N = L ([0, 1], m) со следом m(f ) = 0 f dm, считая, что N действует в гильбертовом пространстве F = L2 [0, 1], где m - линейная мера Лебега на [0, 1]. Пусть A = MN тензорное произведение алгебр фон Неймана M и N, а = m тензорное произведение следов и m. Тогда алгебра A не имеет минимальных проекторов.

Пусть T S(M, ) и D линейное подпространство в HF, порожденное векторами вида, D(T ), F.

Для каждого = n i i D i= положим:

(T I)() = n (T i ) i.

i= Линейный оператор T I с областью определения D является предзамкнутым и его замыкание T I принадлежит S(A, ) (см. [8]). При этом, |T |I = |T I| ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВА L1 (M, ) и потому {E I} является спектральным семейством проекторов для оператора T I, где {E }0 – спектральное семейство проекторов для оператора |T |. По скольку (E I) = (E ) · (I) = (E ), то µ(T )(t) = (T I)(t) для всех t 0, где (T I)(t) невозрастающая перестановка оператора T I, вычисляемая отно сительно следа. Из определения оператора T I, и свойств -измеримых опера торов следует, что T I + SI = (T + S)I, (T I)(SI) = (T + S)I, (T I) = T I, где T, S S(M, ). При этом, если T I = SI, то T = S.

Таким образом, S(M, )I = {T I : T S(M, )} есть -подалгебра в S(A, ), -изоморфная S(M, ), и µ(T )(t) = (T I)(t) для всех T S(M, ) и t 0, где (L)(t)-невозрастающая перестановка оператора L S(A, ), вычисленная относительно следа. Из доказанного выше, получим:

t t t t µ(T + S)(s)ds = ((T + S)I)(s)ds (T I)(s)ds + (SI)(s)ds = 0 0 0 t t = µ(T )(s)ds + µ(S)(s)ds.

0 Поскольку для любого оператора T S(M, ) имеет место:

t (|T |) = µ(|T |)(s)ds = µ(T )(s)ds = lim µ(T )(s)ds, t 0 0 то из предложения 14 вытекает следующее следствие:

Следствие 7. Для любых операторов T, S S(M, ) верно неравенство:

(|T + S|) (|T |) + (|S|).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 132 М.А. МУРАТОВ, В.И. ЧИЛИН Определение 11. Пусть T, S S(M, ). Говорят, что T S, если t t µ(T )(s)ds µ(S)(s)ds для всех t 0.

0 Бинарное отношение ” ” на S(M, ) называется порядком Харди-Литлвуда.

Заметим, что если |T | |S|, то T S.

4. Банахово пространство L1 (M, ) - интегрируемых операторов.

Пусть M полуконечная алгебра фон Неймана, - точный нормальный полу конечный след на M, S(M, ) -алгебра всех -измеримых операторов, присо единенных к M.

Определение 12. Оператор T S(M, ) называется -интегрируемым, если (|T |).

Обозначим множество всех - интегрируемых операторов из S(M, ) через L1 (M, ) и для каждого T L1 (M, ) положим:

T = (|T |).

Теорема 6. (i) L1 (M, ) - линейное подпространство в S(M, ) и · 1 – норма на L1 (M, );

(ii) Для любых операторов A, B M и T L1 (M, ) верны соотношения:

AT B L1 (M, ) и AT B A B T 1;

1 M M (iii) Если T L1 (M, ), то T L1 (M, ) и T 1 = T 1 ;

(iv) Если T L1 (M, ), S S(M, ) и S T, то S L1 (M, ) и S 1 T 1 ;

п.м.

(v) Если {Tn }, T L1 (M, ) и Tn T 1 0 при n, то Tn T при n= n.

Доказательство. (i) Пусть T, S L1 (M, ). Согласно следствия 7 имеем:

(|T + S|) (|T |) + (|S|).

Это означает, что (T + S) L1 (M, ) и T +S T + S 1.

1 Далее, если C, то (|T |) = || ()|T |, то есть T L1 (M, ) и T = || T 1.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВА L1 (M, ) Следовательно, L1 (M, ) – линейное подпространство в S(M, ). Ясно, что T 1 0 и если (|T |) = T 1 = 0, то в силу точности следа имеем, что |T | = 0, то есть T = 0. Таким образом, · есть норма на L1 (M, ).

(ii) Пусть A, B M, T L1 (M, ). Согласно предложения 7(vi) имеем, что µ(AT B)(t) A B M µ(T )(t) для любых t M Поэтому (см. теорему 4 ) (|AT B|) = µ(AT B)(s)ds A B µ(T )(s)ds = M M 0 =A B M (|T |), M то есть, AT B L1 (M, ) и AT B A B T 1.


1 M M (iii) Из предложения 7(i) следует, что µ(|T |)(t) = µ(T )(t) = µ(T )(t) = µ(|T |)(t) для всех t 0.

Поэтому, для T L1 (M, ) имеем, что T L1 (M, ) и T =T 1.

(iv) Пусть T L1 (M, ), S S(M, ) и S T, то есть, t t µ(T )(s)ds µ(S)(s)ds для всех t 0.

0 Тогда t t (|S|) = lim µ(S)(s)ds lim µ(T )(s)ds = (|T |), t t 0 то есть, S L1 (M, ) и S T 1.

(v) Пусть {Tn }, T L1 (M, ) и Tn T 0 при n. Для фиксиро n= ванного 0 имеем, что |Tn T | |Tn T |E(,) (|Tn T |) E(,) (|Tn T |).

Поэтому (E(,) (|Tn T |)) (|Tn T |) = = Tn T 1 0 при n.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 134 М.А. МУРАТОВ, В.И. ЧИЛИН Следовательно, для любого o найдется такое n(, ), что при n n(, ) (E(,) (|Tn T |)).

Поскольку 0 |Tn T |(I E(,) (|Tn T |)) I, то |Tn T |(I E(,) (|Tn T |)), п.м.

и потому Tn T при n.

Пусть T L1 (M, ). Тогда (см. [5]) существуют такие частичные изометрии V1, V2, V3, V4 M, что (ReT )+ V1 |T |V1, (ReT ) V2 |T |V2, (ImT )+ V3 |T |V3, (ImT ) V4 |T |V4.

Следовательно, µ(V1 |T |V1 )(t)dt ((ReT )+ ) = µ((ReT )+ )(t)dt 0 µ(|T |)(t)dt = (|T |), то есть (ReT )+ L1 (M, ). Аналогично, (ReT ), (ImT )+, (ImT ) L1 (M, ).

Поэтому определено число (T ) = ((ReT )+ ) ((ReT ) ) + i ((ImT )+ ) i ((ImT ) ).

Определение 13. Число (T ) называется интегралом оператора T L1 (M, ) по следу.

Ясно, что для T L+ (M, ) = {S L1 (M, ) : S 0} интеграл (T ) совпадает с (T ).

Предложение 15. (i) Если T L1 (M, ), T = S1 S2, где S1, S2 L+ (M, ), то (T ) = (S1 ) (S2 );

(ii) – линейный функционал на L1 (M, ) Доказательство. (i) Так как T = (ReT )+ (ReT ) = S1 S2, то (ReT )+ + S2 = (ReT ) + S1.

В силу предложения 9, имеем, что ((ReT )+ ) + (S2 ) = ((ReT )+ + S2 ) = ((ReT ) + S1 ) = ((ReT ) ) + (S1 ).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВА L1 (M, ) Следовательно, (S1 ) (S2 ) = ((ReT )+ ) ((ReT ) ) = (T ).

(ii) Пусть T, S L1 (M, ), T = T, S = S. Тогда T + S = ((ReT )+ + (ReS)+ ) ((ReT ) + (ReS) ).

Из пункта (i) следует, что (T + S) = ((ReT )+ + (ReS)+ ) ((ReT ) + (ReS) ) = = (T ) + (S).

Пусть теперь T, S произвольные операторы из L1 (M, ). Тогда T + S = (ReT + ReS) + i(ImT + ImS), и потому (T + S) = (ReT + ReS) + i (ImT + ImS) = = (T ) + (S).

Аналогично проверяется равенство (T ) = (T ) для любого = a + ib C, a, b R.

Теорема 7. Нормированное пространство (L1 (M, ), · 1) – полное.

Доказательство. Доказательство теоремы разобьем на несколько этапов.

1). Пусть {Tn } последовательность Коши в (L1 (M, ), · 1 ) и 0 Tn n= Tn+1, где n = 1, 2,.... Покажем, что существует такой оператор T L1 (M, ), что Tn T и T Tn 1 0 при n.

Поскольку Tn Tk 1 0 при n, k, то согласно теореме 6(v), последователь ность {Tn } есть последовательнось Коши в (S(M, ), t ). Так как (S(M, ), t ) n= - полное топологическое векторное пространство (см. теорему 3), то существует такой оператор T S(M, ), что t Tn T при n.

В силу предложений 4 и 12(iii) имеем, что Tn T и µ(Tn )(t) µ(T )(t) при n ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 136 М.А. МУРАТОВ, В.И. ЧИЛИН почти для всех t 0.

Покажем, что T L1 (M, ). Действительно, из [25] (теорема 3.4) следует, что |µ(Tn )(t) µ(Tk )(t)|dt Tn Tk 1.

Это означает, что последовательность функций {µ(Tn )(t)} есть последователь n= ность Коши в банаховом пространстве L1 ((0, ), m), где m линейная мера Лебега на полупрямой (0, ). Поэтому существует такая функция f L1 ((0, ), m), что µ(Tn ) f 0 при n.

L1 ((0,),m) Поскольку µ(Tn )(t) µ(T )(t) при n почти для всех t 0, то µ(T )(t) = f (t) почти всюду, то есть |µ(T )|(t)dt, или T L1 (M, ).

Покажем теперь, что T Tn 0 при n.

Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что Tn+1 Tn, n = 1, 2,...

n Положим n Sn = T1 + k(Tk+1 Tk ).

k= {Sn } Ясно, что L1 (M, ), 0 Sn Sn+1 и если n m, то n= m m Sm Sn = k(Tk+1 Tk ) 0 при n, m.

k k=n+1 k=n+ Следовательно, {Sn } последовательность Коши в L1 (M, ), и в силу доказан n= ного выше, найдется такой оператор S L1 (M, ), что Sn S.

Далее, для каждого n = 1, 2,... имеем:

m n(T Tn ) = n(sup Tm Tn ) = n(sup (Tm Tn )) = n(sup (Tk+1 Tk )) = mn mn mn k=n m1 m = sup n(Tk+1 Tk ) sup k(Tk+1 Tk ) S.

mn mn k=n k=n Поэтому S 0 T Tn, n ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВА L1 (M, ) откуда следует, что T Tn S 1, т.е. T Tn 0 при n.

1 n 2) Пусть {Tn } последовательность Коши в (L1 (M, ), · 1 ) и Tn = Tn, n= где n = 1, 2,.... Покажем, что существует такой оператор T L1 (M, ), что T Tn 0 при n.

Переходя, если нужно, к подпоследовательности, можно считать, что Tn+1 Tn.

n= Положим: n n Sn = (Tk+1 Tk )+, Ln = (Tk+1 Tk ).

k=1 k= Тогда 0 Sn Sn+1, 0 Ln Ln+1, Sn, Ln L1 (M, ), n = 1, 2,...

Если n m, то m1 m Sm Sn = (Tk+1 Tk )+ (Tk+1 Tk )+ 1 1 k=n+1 k=n+ m (Tk+1 Tk ) 0 при n.

k=n+ {Sn } Следовательно, последовательность Коши в L1 (M, ). Согласно первому n= этапу доказательства 1), существует такой оператор S L1 (M, ), S 0, что S Sn 0 при n.

Аналогично, найдется такой оператор L L1 (M, ), L 0, что L Ln 0 при n.

Тогда lim (Sn Ln ) (S L) = 0.

n С другой стороны, n Sn L n = (Tk+1 Tk ) = Tn+1 T1.

k= ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 138 М.А. МУРАТОВ, В.И. ЧИЛИН Следовательно, Tn (S L + T1 ) = T L1 (M, ) по норме · 1 при n.

3) Пусть {Tn } произвольная последовательность Коши в (L1 (M, ), · 1 ).

n= Поскольку Tn 1 = Tn 1 (см. теорему 6), то {Tn } n=1 тоже последовательность Коши в (L1 (M, ), · 1 ). Следовательно, последовательности {Sn } и {Ln } n=1 n=, задаваемые равенствами:

Tn + Tn Tn Tn Sn = ReTn = и Ln = ImTn =, 2 2i есть последовательности Коши самосопряженных операторов из (L1 (M, ), · 1 ).

Согласно второму этапу доказательства 2), найдутся такие операторы S, L L1 (M, ), что lim S Sn 1 = 0, lim L Ln 1 = 0.

n n Но тогда S + iL = T L1 (M, ) и T Tn = (S + iL) (Sn + iLn ) 0 при n.

1 Таким образом, пространство (L1 (M, ), · 1) – полное.

Список цитируемых источников 1. Segal Irving E. A non-commutative extension of

Abstract

integration // Ann. Math.

1953. 57. P. 401–457.

2. Nelson E. Notes on non commutative integration // J. Funct. Anal. 1974. № 15.

P. 103–116.

3. Yeadon F. J. Convergence of measurable operators // Proc. Camb. Phil. Soc. 1974.

№ 74. P. 257–268.

4. Yeadon F. J. Non-commutative LP -spaces // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1975.

№ 77. P. 91–102.

5. Сукочев Ф.А., Чилин В.И. Неравенство треугольника для измеримых опрато ров относительно порядка Харди-Литлвуда // Известия АН Уз.ССР. сер.физ. мат.наук, 1988. № 4. С. 44–50.

6. Чилин В. И. Порядковая характеризация некоммутативных Lp пространств // Тео рия функций и ее приложения. Сб.научн.трудов. Кемерово. 1985. C. 19–23.

7. Овчинников В.И. О s – числах измеримых операторов // Функциональный анализ и его приложения. 1970. Т. 4, вып. 3. C. 78–85.

8. Stinespring W. E. Integration theorems for gages and duality for unimodular groups // Tranc. Amer. Math. Soc. 1959. № 90. P. 15–56.

9. Fack T., Kosaki H. Generalized s-numbers of -mesaurable operators // Pacic J. Math. 1986. V. 123. P. 269–300.

10. Terp M. Lp – spaces associated with von Neumann algebras, Notes // Math. Institute, Copenhagen univ. 1981. Thesis.

11. Leinert M. On integration with respect to a trage // Aspects of Positivity in Functional Analysis. Elsevier Science Publishers B.V. (North-Holland). 1986. P. 231–239.

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТРАНСТВА L1 (M, ) 12. Kunce R.A. Lp Forier transforms on localli compact unimodular groops // Trans. Amer. Math. Soc. 1958. 89. P. 519–540.

13. Haagerup U. Lp - spaces associated with an arbitrary vo Neumann algebra // Algebres d’operateurs et leurs applications en physique mathematique. Colloques internationaux du CNRS. 1979. P. 175–184.

14. Hilsum M. Les espaces Lp d’une algebre de von Neumann // J. Func. Anal. 1981.

№ 40. P. 151–169.

15. Тихонов О.Е. О некоммутативном аналоге пространства Lp // Известия вузов. Ма тематика. 1979. № 11. C. 69–77.

16. Трунов Н.В., Шерстнев А.Н. Введение в теорию некоммутативного интегрирова ния // Итоги Науки и Техники. Современные проблемы математики. Новейшие до стижения. 1985. Том 27. C. 167–190.

17. Шерстнев А.Н. О некоммутативном аналоге пространства L1 // Успехи мат наук.

1978. Т. 33, № 1, C. 231–232.

18. Шерстнев А.Н. К общей теории интеграла в алгебрах фон Неймана // Известия вузов. Математика. 1982. № 8. C. 20–35.

19. Araki H., Masuda T. Positive cones and Lp -spaces for von Neumann algebras // Publ.Res.Inst.Math.Sci. 1982. v.18, № 2. P. 339–411.

20. Masuda T. Lp spaces for von Neumann algebra with reference to a faithful normal seminite weight // Publ.Res.Inst.Math. Sci. 1983. v.19, № 2. P. 673–727.

21. Strtil, Serban;

Zsid, Lszl. Lectures on von Neumann algebras Editura Academiei.

aa oao Bucharest. Abacus Press. Tunbridge Wells. 1979. 478 pp.

22. Takesaki M. Theory of operator algebras I New York: Springer, 1979. 415 p.

23. Муратов М.А., Чилин И.И. - Алгебры неограниченных операторов, присоединен ных к алгебре фон Неймана // Теория представлений, динамические системы, комби наторные и алгоритмические методы. XIII. Записки научных семинаров ПОМИ. / Санкт-Петербург: 2005. С. 183–197.

24. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов.

Москва: Наука, 1978. 400 с.

25. Dodds P.G., Dodds T.K., Pagter B. Non-commutative Banah function spaces // Math.Z. 1989. v.201. P. 583–597.

Получена 15.05. ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) Динамические системы, вып. 22 (2007), 140– ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Межведомственный научный сборник УДК 517. Пример K-непрерывного, разрывного вариационного функционала в пространстве Соболева Е. В. Божонок Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, Симферополь 95007. E-mail: katboz@crimea.edu Аннотация. Построен пример компактно-непрерывного вариационного функционала в про странстве Соболева W2, который не является непрерывным по норме пространства.

1. Введение. Предварительные сведения Хорошо известно ([1] – [3]), что основной вариационный функционал Эйлера Лагранжа b (y) = f (x, y, y )dx (1.1) a в пространствах Соболева типа W2 обладает существенно иными аналитиче скими свойствами, чем в классических пространствах типа C n. В частности, в работе [4] нами были найдены специальные условия "псевдоквадратичности", при которых вариационный функционал (1.1) является K-непрерывным, K дифференцируемым и т.д.

В настоящей работе исследован конкретный пример вариационного функци онала, который является K-непрерывным, не будучи непрерывным в обычном смысле слова. Нетривиальность примера подчеркивается тем обстоятельством, что, как показано ниже (теорема 2), для линейных операторов (и, в частности, функционалов) свойства K-непрерывности и непрерывности равносильны.

Приведем некоторые необходимые в дальнейшем определения и результаты.

Всюду далее H – полное бесконечномерное сепарабельное гильбертово про странство (вещественное или комплексное), E – произвольное локально выпуклое пространство.

Определение 1. [5] Абсолютно выпуклый компакт C H назовем гильберто вым компактом в H, если пространство HC = span C, снабженное банаховой [6] нормой · C, порожденной C, изоморфно гильбертову пространству и плотно в H. Множество всех гильбертовых компактов в H обозначим K(H).

c Е. В. БОЖОНОК ПРИМЕР K-НЕПРЕРЫВНОГО, РАЗРЫВНОГО ФУНКЦИОНАЛА Определение 2. [5] Индуктивную (по поглощению C) шкалу банаховых про странств {(HC, · C )}CK(H) обозначим H K, а ее индуктивный предел HK. Та ким образом H K = {(HC, · C )}CK(H) ;

HK = lim (HC, · C ) = lim H K.

CK(H) Теорема 1. ([5, т. 8]) Пространство HK и H изоморфны.

Определение 3. [7] Назовем отображение f : H E K-непрерывным на H, если все его сужения f : HC E непрерывны на HC относительно · C, C K(H).

2. Пример K-непрерывного функционала Вначале покажем, что для линейных операторов K-непрерывность и непре рывность совпадают.

Теорема 2. Линейный оператор A : H E непрерывен тогда и только тогда, когда он K-непрерывен.

Доказательство. Так как H HK = lim (HC, · C ) (по теореме 1), то = CK(H) из теоремы об индуктивном пределе [6] вытекает, что любой линейный опера тор A : HK E непрерывен тогда и только тогда, когда непрерывны все его сужения A : HC E, C K(H), откуда следует K-непрерывность оператора A : H E.

Отметим, однако, что для нелинейных отображений K-непрерывность не вле чет, вообще говоря, непрерывность в H. Рассмотрим пример интегрального функ ционала, который является K-непрерывным в W2, но при этом разрывным в нуле в обычном смысле.

Пример 1. Пусть u = (t), t 0 – произвольная непрерывная вещественная функ ция, удовлетворяющая следующим условиям:

(0) = 0;

(t) 0 при 0 t 6;

(t) 0 и убывает при (7)1 t 6;

(t) m 0 и убывает при t (7)1, где 0 – достаточно мало;

(t) = O(t2 ) при t +. (2.1) Рассмотрим вариационный функционал:

(|y ln y |1 )dx;

(y) = y(·) W2 ([2;

4], C). (2.2) (Здесь ln означает главную ветвь логарифма;

при y = 0 функция доопределя ется по непрерывности: (+0) = 0).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 142 Е. В. БОЖОНОК Проверим K-непрерывность функционала (2.2).

Определение 4. [4] Отображение f : Y Z =: T F, где – пространство с конечной мерой, Y, Z, F – вещественные банаховы пространства, назовем вейер штрассовским псевдоквадратичным по z (f W K2 (z)), если для любого компакта C = CY Y представление f (x, y, z) = PC (x, y, z) + QC (x, y, z) · z + RC (x, y, z) · z 2, (2.3) можно выбрать таким образом, что PC, QC, и RC равномерно непрерывны и огра ничены на TC = CY Z.

Предложение 1. Функционал (2.2) K-непрерывен на W2 ([2;

4], C).

Доказательство. По теореме 2.1 ([4]) для доказательства K-непрерывности функ ционала (2.2) нам необходимо доказать, что подынтегральная функция f (x, y, z) = (|z ln z|1 ), определенная на [2;

4] C C, является вейерштрас совской псевдоквадратичной по z.

Так как функция f не зависит от переменной y, то представление (2.3) следует выбирать независимо от CY.

Из lim |z ln z|1 = |z| следует, что 0 0 (|z| 0 ) (|z ln z|1 0 ).

Фиксируем 0 и 0, выберем разложение единицы в C:

1 = 1 (z) + 2 (z), где 0 1 (z) 1, 0 2 (z) 1, supp 1 (z) (|z| ), supp 2 (z) (|z| 0 ), 1 (z) и 2 (z) равномерно непрерывны в C ([8]).

Имеем:

f (z)2 (z) · |z|2 = PC (z) + RC (z) · |z| f (z) = f (z)[1 (z) + 2 (z)] = f (z)1 (z) + |z| Здесь PC (z) равномерно непрерывна и ограничена (по теореме Кантора и Вей ерштрасса), так как является непрерывной и supp PC (z) supp 1 (z) [0;

20 ];

RC (z) непрерывна, так как supp f (z)2 (z) [0 ;

+).

Далее:

(|z ln z|1 ) (|z ln z|1 )2 | ln z| |f2 (z)| = · · |2 (z)| C · 0 при z, (|z ln z|1 )2 |z|2 |z| откуда f2 (z) равномерно непрерывна и ограничена на [0 ;

+).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) ПРИМЕР K-НЕПРЕРЫВНОГО, РАЗРЫВНОГО ФУНКЦИОНАЛА Теперь докажем, что функционал (2.2) не является непрерывным в обычном смысле.

Фиксируем k Z и положим y(x) = · (eikx / 2(k 2 + 1)), 0.

Отсюда k k y (x) ln y (x) = · ln + i(kx + ). (2.4) 2(k 2 2(k + 1) + 1) Тогда |k| |k| |y (x) ln y (x)| · (2|k| ) ln.

2(k 2 + 1) 2(k 2 + 1) Рассмотрим функцию (t) = t ((2|k| /2) + ln t) для |k| 2. Производная (t) = (2|k| /2) + ln t + 1 положительна, если ln t /2 2|k| 1, т.е.

t e/22|k|1.

В нашем случае |k| t=, 2(k 2 + 1) т.е. для требования (t) 0 необходимо, чтобы того, e/21 2(k 2 + 1), e2|k| |k| откуда функция (t) будет возрастающей.

Рассмотрим e/21 2(k 2 + 1) 2 2(k 2 + 1) 2(k 2 + 1) 2(k 2 + 1) = =.

k e2|k| |k| k 2 2k 2|k| · |k| Таким образом, для 2(k 2 + 1) = k 2k функция (t) возрастает, кроме того оценка снизу модуля выражения (2.4) дает:

9 9 9 2|k| |y (x) ln y (x)| · (2|k| ) ln · (2|k| ) ln 2|k| 2 2|k| 2|k| 2 9 2|k| · (2|k| ) 7, для |k| 5.

2|k| 2 Тогда |yk (x) ln yk (x)|1 (7)1 для yk (x) = · (eikx / 2(k 2 + 1)) 0 при k |k| в W2 ([2;

4], C).

ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) 144 Е. В. БОЖОНОК Отсюда (|yk (x) ln yk (x)|1 ) m 0 п.в. на [2;

4] для каждого фиксиро ванного k Z, и, следовательно, (|yk ln yk |1 )dx m · 2 0 для yk (x) 0 в W2 ([2;

4], C), (yk ) = откуда функционал (2.2) не является непрерывным в обычном смысле.

Список цитируемых источников 1. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. 415 с.

2. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. К.: Нау кова думка, 1973. 219 с.

3. Орлов И.В. К-дифференцируемость и К-экстремумы // Український математичний вiсник. 2006. Т. 3, № 1. С. 97-115.

4. Орлов И.В., Божонок Е.В. Условия существования K–непрерывности и K– дифференцируемости функционала Эйлера–Лагранжа в пространстве Соболева W2 // Ученые Записки ТНУ. 2006. Т. 19(58), № 2. C. 121-136.

5. Орлов И. В. Гильбертовы компакты, компактные эллипсоиды и компактные экс тремумы // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. в печати.

6. Orlov I.V. Extreme problems and Scales of the Operator Spaces // North-Holland Math.

Studies. Vol.197. Functional Analysis and its Application. Amsterdam-Boston-...:

Elsevier. 2004. P. 209-228.

7. Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971. 360 с.

8. Berezansky Yu.M., Sheftel Z.G., Us G.F. Functional Analysis. Vol. 1 Birkhuser a Verlag. Basel–Boston–Berlin, 1996.

Получена 31.05. ISSN 0203–3755 Динамические системы, вып. 22 (2007) Динамические системы, вып. 22 (2007), 145– ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Межведомственный научный сборник УДК 517. Про оцiнку подiбностi прецедентiв на основi нечiткого вiдношення переваги Є. В. Iвохiн, К. О. Косинський Київський нацiональний унiверситет именi Тараса Шевченка, Київ 02127. E-mail: ivohin@univ.kiev.ua, kka@univ.kiev.ua Анотацiя. Розглянуто метод розв"язання задач прийняття рiшень та створення СППР шля хом адаптацiї рiшень, якi використовувалися ранiше в аналогiчних ситуацiях - прецедентiв. Для пошуку подiбних прецедентiв використано спосiб вимiрювання ступеня спiвпадiння значень атри бутiв (якостей), якi визначають прецеденти. Оцiнку рiвнiв вiдповiдностi кожного iз значень па раметрiв ситуацiї базовим показникам проведено на основi застосування нечiтких множин та нечiткого вiдношення переваги ’’.

Для ефективного використання систем пiдтримки прийняття рiшення (СППР) в динамiчних предметних областях в умовах неповноти i невизначеностi iнфор мацiї досить актуальною є розробка пiдходiв та процедур отримання рiшень на основi прецедентiв. Технологiя, яка отримала назву CBR (Case-Based Reasoning, метод прийняття рiшень на основi прецедентiв), є однiєю з тих методик, що iн тенсивно розвиваються в дослiдженнях штучного iнтелекту. За визначенням Р.

Шенка [1], CBR – спосiб вирiшення нових задач шляхом адаптацiї рiшень, що використовува-лися ранiше в аналогiчних ситуацiях – прецедентiв. Зрозумiло, що цю iдею можна залучити для розв”язання багатьох задач прийняття рiшень та створення преце-дентних СППР.

Розглянемо загальнi питання. Пiд поняттям “прецедент” розумiють ситуацiй ний кортеж (контейнер), що включає проблемну ситуацiю та способи її вирiшення (мал. 1).



Pages:     | 1 | 2 || 4 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.