авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 |

«Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЖЕСТКИХ ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников КОМПЬЮТЕРНОЕ ...»

-- [ Страница 8 ] --

Символьная программная модель Математическая модель системы автосопровождения без коммута ции идентифицируется системой линейных дифференциальных урав нений x = Ax, (14.1) T где x = ( x1, x2,…, x8 ), 0 0 1k 0 1 0 0 1 0 1k 0 0 0 0 0 1k 0 0 0 0 00 0 A= 0 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 14.1. Система автосопровождения С учетом коммутации на один такт и периодичностью коммутации nT, n = 1, 2,..., соответствующая модель в разностной форме примет вид x ( tn +1 ) = x ( tn ) + hGx ( tn ), nT tn nT + h, (14.2) где 1 k1 0 000 0 k k2 100 0 k2 0 k3 0 010 0 k 2 0 0 1 2 3 0 G= 3 (14.3) 2 0 000 1 0 0 000 0 0 1 000 0 0 0 000 0 Ненулевые начальные условия в (14.1) определяются параметрами за дающего сигнала x6 ( 0 ) = 4, x7 ( 0 ) = 15 и x8 ( 0 ) = 5, а остальные фа зовые переменные имеют нулевые начальные условия, которые при сваиваются по умолчанию. Компьютерная модель на языке LISMA разработана в соответствии с (14.1)–(14.3), причем alfa1, alfa2 и alfa3 – коэффициенты аппроксимации Падэ второго порядка. Она имеет вид Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС Программа на языке LISMA имеет простое языковое описание мо дели и легко читается не профессиональными программистами, а предметными пользователями – разработчиками систем управления динамическими процессами. Семантика программы хорошо обуслов лена в идеологии гибридных систем с множеством непрерывных пове дений и достаточно просто и содержательно специфицирует непре рывную и дискретную части модели. Непрерывная часть модели идентифицируется формой Коши для обыкновенных дифференциаль ных уравнений. Языковые средства описания задачи Коши с точно стью до знаков операций повторяют математическую модель. Логика переключения представлена тривиальным логическим оператором if – then. В связи с этим от разработчика не требуются знания в области программирования, а тем более современных парадигм объектно ориентированного программирования.

Представленная спецификация программной модели АС доступна предметному специалисту и резко снижает трудоемкость подготовки компьютерной модели и реализации задачи на ЭВМ. Это позволяет при проектировании сосредоточиться на существе моделирования процессов при синтезе и анализе сложных систем управления.

14.2. КОЛЬЦЕВОЙ МОДУЛЯТОР Современные универсальные пакеты в большинстве своем не справляются с решением задач, обладающих повышенной жесткостью и высокой размерностью одновременно. Численные решатели этих па кетов настроены таким образом, что при обнаружении жесткости ав томатически выбираются традиционные L-устойчивые методы. Однако при решении задач высокой размерности, обладающих свойствами же сткости, выбор шага интегрирования необходимо производить не только по критерию точности, но и по устойчивости. Последнее об стоятельство выступает как ограничитель на величину шага, в то время как в L-устойчивых схемах шаг по критерию устойчивости не ограни чен, что может привести к ошибкам при машинном анализе.

Математическое описание Рассмотрим модель кольцевого модулятора. Задача возникла из анализа электрических схем. Электрическая схема кольцевого модуля тора приведена на рис. 14.4. Получая на входе низкочастотный сигнал 14.2. Кольцевой модулятор U in1 и высокочастотный сигнал U in 2, кольцевой модулятор генериру ет на выходе смешанный сигнал U 2.

Рис. 14.4. Кольцевой модулятор Каждый конденсатор, входящий в радиоэлектронную схему, при водит к дифференциальному уравнению CU = I. Применение первого правила Кирхгофа для электрической цепи дает следующие дифферен циальные уравнения:

CU1 = I1 0,5I 4 + I 7 R 1U1, CU 2 = I 2 0,5I 5 + 0,5I 6 + I8 R 1U 2, C5U 3 = I 3 qU D1 + qU D 4, C5U 4 = I 4 + qU D 2 qU D3, C5U 5 = I5 + qU D1 qU D3, C5U 6 = I 6 qU D 2 + qU D 4, C pU 7 = R 1U 7 + qU D1 + qU D 2 qU D3 qU D 4, p Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС где U D1 = U 3 U 5 U 7 U in 2, U D 2 = U 4 + U 6 U 7 U in 2, U D3 = U 4 + U 5 + U 7 + U in 2, U D 4 = U 3 U 6 + U 7 + U in 2.

Функция, определяющая поведение диода, задается в виде q(U ) = (eU 1), где и – константы. Каждый индуктор также приводит к дифференциальному уравнению LI = U. Применение вто рого правила Кирхгофа к замкнутой цепи, содержащей индуктор, дает восемь дифференциальных уравнений:

Lh I1 = U1, Lh I 2 = U 2, Ls 2 I 3 = 0,5U1 U 3 Rg 2 I 3, Ls 3 I 4 = 0,5U1 + U 4 Rg 3 I 4, Ls 2 I 5 = 0,5U 2 U 5 Rg 2 I 5, Ls 3 I 6 = 0,5U 2 + U 6 Rg 3 I 6, Ls1I 7 = U1 + U in1 ( Ri Rg1 ) I 7, Ls1I8 = U 2 U 3 ( Rc + Rg1 ) I8.

Программная модель и машинный анализ В начальный момент времени напряжения и силы токов отсутст вуют, следовательно, начальные условия по всем переменным равны нулю. Отождествляя напряжения с yi, 1 i 7, и силы токов с yi, 8 i 15, т. е., полагая T y = (U 1,U 2,U 3,U 4,U 5,U 6,U 7, I1, I 2, I3, I 4, I 5, I 6, I 7, I8 ), получим 15 дифференциальных уравнений:

( ) y1 = C 1 y8 0,5 y10 + 0,5 y11 + y14 R 1 y1, y2 = C 1 ( y9 0,5 y12 + 0,5 y13 + y15 R 1 y2 ), y3 = Cs 1 ( y10 q (U D1 ) + q (U D 4 ) ), y4 = Cs 1 ( y11 + q (U D 2 ) q (U D3 ) ), 14.2. Кольцевой модулятор y5 = Cs 1 ( y12 + q(U D1 ) q(U D3 ) ), y6 = Cs 1 ( y13 q (U D 2 ) + q (U D 4 ) ), ( ) y7 = C 1 R 1 y7 + q (U D1 ) + q (U D 2 ) q(U D3 ) q (U D 4 ), p p y8 = L1 y1, y9 = L1 y2, h h y10 = L2 (0,5 y1 y3 Rg 2 y10 ), s y11 = L3 (0,5 y1 + y4 Rg 3 y11 ), s y12 = L2 (0,5 y2 y5 Rg 2 y12 ), s y13 = L3 (0,5 y2 + y6 Rg 3 y13 ), s ( ) y14 = L1 y1 + U in1 (t ) ( Ri + Rg1 ) y14, s ( ) y15 = L1 y2 ( Rs + Rg1 ) y15, s y (0) = 0, 0 t 103.

y R15, Вспомогательные функции U D1, U D 2, U D3, U D 4, q, U in1 и U in 2 за даются формулами U D1 = y3 y5 y7 U in 2 (t ), U D 2 = y4 + y6 y7 U in 2 (t ), U D3 = y4 + y5 + y7 + U in 2 (t ), U D 4 = y3 y6 + y7 + U in 2 (t ), q(U ) = (eU 1), U in1 (t ) = 0,5sin(2000t ), U in 2 (t ) = 2sin(20000t ).

Тип задачи зависит от параметра Cs. Если Cs 0, то имеем задачу Коши для жесткой системы 15 обыкновенных дифференциальных Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС уравнений. Если Cs = 0, то имеем дифференциально-алгебраическую систему индекса 2, состоящую из 11 дифференциальных и четырех ал гебраических уравнений. Здесь расчеты проводились со следующими параметрами:

C = 1,6 108 ;

Cs = 2 1012 ;

C p = 108 ;

Lh = 4, 45;

Ls1 = 0,002;

Ls 2 = 5 104 ;

Ls3 = 5 104 ;

= 40,67286402 109 ;

R = 25000;

R p = 50;

Rg1 = 36,3;

Rg 2 = 17,3;

Rg 3 = 17,3;

Ri = 50;

Rc = 600;

= 17,7493332.

Расчеты проводились с численной матрицей Якоби. Выборочные результаты моделирования, полученные с применением метода MK22, приведены на рис. 14.5. Они совпадают с оригинальными результата ми, полученными программой DLSODE системы MAPLE. Вычисли тельные затраты приведены в табл. 14.1.

Рис. 14.5. Результаты моделирования модулятора 14.3. Биосистемы Т а б л и ц а 14. Сравнительная характеристика Характеристика ИСМА DLSODE MVS AnyLogic Simulink Вычисление f 474213 496073 – – – Количество возвратов 496073 16946 – – – При расчетах программой DLSODE требуемая точность 102 дос тигается при задаваемой точности 104. Отсюда видно, что алгоритм MK22 с замораживанием матрицы Якоби по вычислительным затратам эффективнее метода Гира. При более высокой точности расчетов эф фективнее оказывается DLSODE. Это естественно в силу низкого по рядка точности численных формул алгоритма MK22.

Результаты расчета в системе MVS в режиме «Автомат» назначен ными неявными методами приводят к фатальным авостам с диагности кой семантических ошибок, связанных с переполнением (ERROR:

overflow). Также с этой задачей не справляются и решатели передовых мировых аналогов инструментального моделирования ГС – MatLab/ Simulink, НуVisual, AnyLogic.

14.3. БИОСИСТЕМЫ В качестве объекта исследования выбрана живая система, процес сы в которой являются событийно-непрерывными. В отличие от из вестных гибридных моделей, когда в описании систем объединяются язык дифференциальных уравнений и язык конечных автоматов в еди ный формализм, предлагается модель дифференциальных уравнений с бинарными компонентами в правой части, рассмотренная выше (раз дел 9.7). Переход от одного события к другому происходит в зависи мости от значений бинарных компонент, которые предопределяют вид правой части при наступлении определенных событий в системе.

Математическое описание процессов в живом организме относится к категории плохо формализуемых задач из-за отсутствия объективных данных. Для получения таких данных требуется активный эксперимент над живой системой, что сделать практически невозможно. В связи с этим используются косвенные лабораторные данные (анализ крови, фиброгастродуоденоскопия, УЗИ), которые являются вероятностными, и поэтому традиционные модели в живых системах, являясь статисти Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС ческими, имеют ограниченное применение для анализа динамики про цессов.

Ниже рассматриваются вопросы разработки событийно-непрерыв ной динамической модели процессов билиарной системы: оценка па раметров модели и анализ полученных результатов моделирования с учетом физиологической валидности процессов желчеотделения.

Математическое описание билиарной системы Рассмотрим билиарную систему живого организма (рис. 14.6). Для конструирования математической модели охарактеризуем анатомо физиологические особенности. Желчь образуется в гепатоцитах печени и поступает в желчные капилляры, внутрипече ночные и внепеченочные ходы 3. Часть желчи (примерно 10 %) проходит по холедоху 6 и че рез сфинктер Одди 7 поступает в 12-кишку 8.

Другая часть (примерно 90 %), проходя по пече ночному протоку 5, депонируется по пузырному протоку 4 через сфинктер Люткенса 2 в желч ный пузырь 1. В желчном пузыре желчь концен трируется и затем выбрасывается вновь через сфинктер Люткенса в холедох и затем в 12-перстную кишку. После сокращения тонус желчного пузыря снижается, и он начинает Рис. 14.6. Билиарная вновь заполняться желчью. Регуляция функций система желчного пузыря осуществляется нейрогумо ральным путем под управлением нейрокоманд, поступающих при приеме пищи, интенсивной работе, стрессах и других факторах. Таким образом, движение желчи по билиарному тракту зависит от событий, которые происходят в организме. Пищеварительный период сопрово ждается активной моторикой желчного пузыря с выбросом желчи в пищеварительный тракт. Желчекаменная болезнь и другие патологии также в данном случае рассматриваются как уникальные совокупности событий, при этом динамика желчи будет иметь свои особенности и различное модельное описание.

Для описания двигательной активности билиарной системы введем следующие обозначения: x1 [мл] – количество (уровень) желчи в холе дохе;

x2 [мл] – количество (уровень) желчи в желчном пузыре;

14.3. Биосистемы 0, если сфинктер Одди открыт для депонирования желчи в 12-перстную кишку;

O(t ) = 1, если сфинктер Одди закрыт и не депонирует желчь в 12-перстную кишку;

0, если нейрокоманда не поступила;

I (t ) = 1, если поступила команда на моторику желчного пузыря и выброс желчи;

0, если сфинктер Люткенса открыт для приема желчи в пузырь;

L(t ) = 1, если через сфинктер Люткенса происходит выброс желчи в холедох.

Пусть D1 и D2 – области допустимых значений соответственно x1 (t ) и x2 (t ), причем по определению x1 (t ) 0 и x2 (t ) 0. Имеет ме * * сто неравенство x1 (t ) x1 для любого t, где x1 – предельный уровень * желчи в холедохе. Поэтому D1 = [0, x1 ]. Учитывая тот факт, что желч * ный пузырь не способен вместить более чем x2 [мл] желчи вследствие ограничения объема, можно записать x2 (t ) D2 = 0, x2 для любого * t. Рассмотрим обобщенную область = D1 D2 и вектор состояний T x(t ) = ( x1 (t ), x2 (t ) ), тогда x(t ) для любого t. Назовем бинарный T вектор g (t ) = ( I (t ), O(t ), L(t ) ) событийным вектором управления про цессом желчеотделения, или вектором событий. В зависимости от зна чений g (t ) перераспределяется движение потоков желчи и в соответ ствии с этим каждое новое состояние g (t ) имеет персональную физиологическую интерпретацию и описывается разными уравнения ми потоков на интервале наблюдений [t0, tk ].

Рассмотрим g (t1 ) = (0,0,0)T. Это означает, что с некоторого мо мента t1 [t0, tk ] отсутствует нейрокоманда на моторику желчного Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС пузыря ( I = 0), сфинктер Люткенса настроен на прием желчи желчным пузырем, а сфинктер Одди открыт для депонирования желчи в 12-перстную кишку через холедох. Динамику потоков представим в виде x1 = pf (t ) F1 ( x1 ), x2 = (1 p ) f (t ), t t1, (14.4) где f (t ) – функция секреции желчи печенью;

F1 ( x1 ) – нелинейная функция интенсивности выхода желчи в 12-перстную кишку или вы ходной темп желчи через сфинктер Одди, или темп опорожнения хо ледоха;

p – коэффициент перераспределения потока желчи между холедохом и желчным пузырем.

T Начальные условия x0 (t1 ) = ( x10 (t1 ), x20 (t1 ) ) в (14.4) и в дальней шем будем опускать ввиду очевидного определения. Если ti – моменты наступления i-х событий в билиарной системе (i = 1, 2,…), то x0 (ti ). Учитывая ограниченную пропускную способность сфинк тера Одди, определим F1 ( x1 ) как нелинейную функцию с насыщением F* x1 1, k1 x1, k F1 ( x1 ) = (14.5) F1* * x F1,, k где k1 – нормирующий коэффициент, F1* – предельно возможная ин тенсивность выхода желчи. На рис. 14.7 понижение тонуса сфинктера Одди означает уменьшение k1. При полном ослаблении тонуса k1 = 0.

F * F k1 x Рис. 14.7. Интенсивность депониро вания желчи в 12-перстную кишку 14.3. Биосистемы При поступлении нейрокоманды в момент времени t2, t0 t2 tk, t2 t1, наступает новое событие – активизируется моторика желчного пузыря ( I = 1) и происходит выброс желчи через сфинктер Люткенса ( L = 1). При этом g (t2 ) = (1,0,1)T и динамика билиарного тракта опи сывается новой системой:

x1 = f (t ) + F2 ( x2 ) F1 ( x1 ), x2 = F2 ( x2 ), t t2, (14.6) где F2 ( x2 ) – интенсивность выброса желчи при моторике желчного пузыря. Функция F2 ( x2 ) имеет тот же физический смысл, что и F1 ( x1 ), и определяется соотношением F* k2 x2, x2 2, k F2 ( x2 ) = (14.7) F* * F2, x2 2.

k * Разница состоит лишь в том, что F2 – предельно допустимая пропуск ная способность пузырного протока, k2 определяет тонус сфинктера Люткенса.

Комбинация нулей и единиц бинарного вектора g (t ), определяю щего уравнения динамики билиарной системы, приведет к комплексу систем дифференциальных уравнений второго порядка типа (14.4)– (14.7). Общее число уравнений N определяется показательной функ цией N = 23. Однако здесь не будем приводить все N = 8 систем урав нений, так как совместное аналитическое решение их представляется весьма затруднительным ввиду нелинейности и сложных событийных переходов из одной системы в другую с припасовыванием начальных условий фазовых переменных. Попытаемся объединить их, используя обозначенный ранее прием введения бинарных компонент в правую часть.

Объединим уравнения (14.4) и (14.6) через их правые части введе нием бинарных компонент вектор-функции g (t ). Очевидно, что общей системой уравнений для (14.4) и (14.6) является система вида Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС x1 = 0,1 f (t ) + 0,9 f (t ) I (t ) + F2 ( x2 ) I (t ) F1 ( x1 ), (14.8) x2 = 0,9 f (t ) L(t ) F2 ( x2 ) I (t ), где L(t ) = 1 L (t ) здесь и в дальнейшем будет обозначать отрицание. В качестве начальных условий выберем начальные условия системы из (14.4), (14.6), с которой начинается решение, определенное вектор функцией g (t ).

Используем изложенный прием введения бинарных компонент I, O, L и их отрицаний I, O, L. Опуская для простоты временной па раметр, динамику билиарной системы запишем в виде x1 = 0,1 f + 0,9 f I L + 0,9 f L + F2 I L F1 O, (14.9) x2 = 0,9 f I L F2 I L, где x0. Введем в (14.9) фактор, учитывающий патологию давления в холедохе. Получим ( ) x1 = 0,1 f + 0,9 f I L + 0,9 f L + F2 I L F1 O P, (14.10) ( ) x2 = 0,9 f I L F2 I L P, где 0, x1 x1, * P= * 1, x1 x1.

Бинарная компонента P в данном случае введена для имитации ново го события – патологии по давлению. Это событие P = 1 приводит к застою желчи в холедохе и желчном пузыре. Застой желчи происходит, * начиная с некоторого момента t3, t0 t3 tk, t2 t3, когда x1 (t ) x1.

При этом давление в общем желчном протоке становится критичным и во избежание появления трещин и «пропитываний» стенок холедоха прекращается секреция желчи печенью и моторика сфинктеров Лют кенса и Одди ослабевает до 0. В билиарной системе наступает стацио нарный режим – застой желчи в холедохе и желчном пузыре. В этом 14.3. Биосистемы режиме билиарная система описывается, как это следует из (14.10), тривиальными уравнениями x1 = 0, x2 = 0, t t3. (14.11) Оценка параметров Выбор параметров модели билиарной системы выполняется из ус ловия физиологической адекватности параметров моделей (14.4)– (14.11) и согласуется с численными параметрами соответствующей разностной схемы интегрирования (14.10) при машинных исследова ниях динамических процессов билиарной системы. Желчь синтезиру ется печенью с некоторой интенсивностью f (t ) [мл/ч]. Процесс жел чеотделения имеет периодический характер (сон, бодрствование, сон) с периодом в 24 ч, причем количество синтезированной за сутки желчи в здоровом организме в среднем остается величиной постоянной – V [мл]. Учитывая периодичность, в дальнейшем будем рассматривать только один период t [0, 24]. Принятая закономерность синтеза жел чи представлена на рис. 14.8.

f(t) с с 0 8 1 2 24 t Рис. 14.8. Кусочно-линейная функция секреции желчи Смысл принятой закономерности синтеза желчи состоит в том, что в состоянии сна ( t [0, 8] ) процессы замедлены, за ночь выделяется V1 [мл] желчи. Считаем также, что на этом интервале секреция равно мерна и f (t ) = c1, где c1 – константа или c1 =V1 / 8. В период бодрство вания t [1, 2 ] секреция увеличивается в среднем вдвое, поэтому c2 =V1 / 4. Периоды перехода от сна к бодрствованию и от бодрствова ния ко сну имеют одинаковую закономерность, следовательно, и оди Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС наковые коэффициенты наклона на переходных интервалах t [8, 1 ] и t [2, 24] только с противоположными знаками. Точки 1 и 2 най дем из следующих очевидных простых уравнений:

(с2 с1 )(24 1 ) = V 24с1, 24 2 = 1 8. (14.12) 1 = 48 8V / V Решением (14.12) являются значения и 2 = 8V / V1 16.

Рассмотрим процесс желчеотделения в межпищеварительный пе риод покоя на промежутке t [0, 8]. В соответствии с (14.4) имеем x1 (t ) = c1 p k1 x1, x1 (0) = x10. (14.13) Решение (14.13) имеет вид c p x c p x1 (t ) = 1 + 10 1 exp( k1t ), t [ 0,8]. (14.14) k1 k Выбирая нулевые начальные условия и рассматривая предельный слу чай, получим c lim x1 (t ) = 1 p. (14.15) k t По аналогии, рассматривая период бодрствования t [1, 2 ] и полагая отсутствие выбросов желчи из желчного пузыря, когда f (t ) = c2, по лучим c lim x1 (t ) = 2 p.

k t Тогда, учитывая, что k1 0, можно записать c1 p k1x1 c2 p.

Холедох будем рассматривать как тонкостенную цилиндрическую трубку с радиусом r1 и длиной l1. Тогда усредненный объем желчи в холедохе равен уровню x1, которым заполняется холедох при здо ровой динамике, т. е. = x1 = r12 l1. Оценка для k1 имеет вид c1 c p k1 2 p. (14.16) 14.3. Биосистемы Пусть холедох может b-кратно растягиваться при выбросах желчи из желчного пузыря. При этом объем или предельно допустимый уровень желчи в холедохе будет x1* = r12 l1 b 2. С учетом (14.5), (14.16) полу чим оценку c1b 2 p F1* c2b 2 p. (14.17) В режиме выброса желчи из желчного пузыря в соответствии с (14.6) имеем x2 = k2 x2 при t t2 и x2 (t2 ) = x20, (14.18) где t2 – момент наступления выброса, 0 t2 24, причем k2 0.

Решение (14.18) имеет вид x2 (t ) = x20 exp [ k2 (t t2 ) ], t t2. (14.19) * В желчном пузыре желчь может накапливаться до величины x2, а минимальное количество желчи, которое может оставаться в желчном пузыре после опорожнения, – x2. Тогда с учетом (14.19) при t t2 по лучим x20 exp [ k2 (t t2 ) ] x2. Имеет место более сильное неравенст * во с учетом ограничения уровня желчи в желчном пузыре x20 x вида x2 exp [ k2 (t t2 ) ] x2.

* (14.20) Диапазон длительности выброса желчи из желчного пузыря зависит от силы моторики желчного пузыря и колеблется в связи с этим от 1 до 2 [ч], 0 1 2. После несложных преобразований получим оценку x ln 2.

0 k2 (14.21) 2 1 x2* Предположим, что пузырный проток со сфинктером Люткенса имеет радиус R2, а проток со сфинктером Одди – R1. Очевидно, что при отсутствии патологии можно допустить, что предельные пропуск ные способности F1* и F2 соответствующих протоков связаны * Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС пропорциональной зависимостью со своими радиусами R1 и R2. Тогда получим F2 = F1* R2 / R1. С учетом (14.17) имеем оценку * R2 с1b 2 * Rcb p F2 2 2 p. (14.22) R1 R Выполним согласование шага интегрирования h с параметрами модели. Уравнение (14.18) описывает режим выброса желчи из желч ного пузыря и качественно совпадает с модельным уравнением (14.5) при определении численной устойчивости с выбором h. Разница со стоит лишь в том, что для модельного уравнения x = x, Re 0, коэффициент при x в общем случае комплексный. Из решения (14.19) следует, что x2 (t ) – монотонно убывающая функция. Естественно по требовать, чтобы и аппроксимирующая разностная схема имела ту же тенденцию при решении x2 (nh), n = 0, 1, 2,.... Применим явную схему Эйлера (2.6) для решения второго уравнения в (14.18) и получим x2 ( n + 1) = qx2 (n), q = 1 k2 h, n = 0, 1, 2,.... (14.23) С учетом неотрицательности x2 (nh) требование монотонного убыва ния x2 (nh) соответствует выполнению условия | q | 1. Отсюда имеем оценку 0 h 2k2 1. (14.24) Рассмотрим патологию, связанную с прекращением секреции жел чи, т. е. f (t ) = 0. Тогда из (14.23), (14.24), при условии некритичного наполнения холедоха, для x1 имеем (14.25) x1 = k1 x1, t t3.

Применяя аналогию с уровнем x2, из (14.23) получим 0 h 2k1 1. (14.26) Совместное решение неравенств (14.24) и (14.26) дает общую оценку шага ( ) 0 h 2 min k1 1, k2 1. (14.27) 14.3. Биосистемы Анализ В соответствии с (14.10) разработана структурная модель, пред ставленная на рис. 14.9. Сценарий машинных экспериментов заключа ется в следующем. При ненулевых начальных условиях x0 0, x необходимо имитировать три режима:

• без патологии на полуинтервале [0, 16];

• патология – непроходимость желчи в 12-перстную кишку через сфинктер Одди;

• период восстановления сфинктера Одди t [20, 24].

Рис. 14.9. Структурная модель В сценарии не рассматривается патология пузырного протока со сфинктером Люткенса. Поэтому макрос L(t ) в данном сценарии по структуре и значениям полностью повторяет макрос I (t ). Таким обра зом, макросы обеспечивают правую часть (14.10) соответствующими бинарными компонентами и их отрицаниями. Унификация всех трех макросов упрощает структурную модель. Результаты имитационного эксперимента, обработанные встроенным в систему ИСМА графиче ским редактором GRIN, приведены на рис. 14.10.

Имитационные эксперименты представлены для суточного интер вала. Графики показывают интенсивность депонирования желчи в 12-перстную кишку – F1 (t );

нейрокоманды I (t ) = {0,1} активизации или ослабления моторики желчного пузыря и, наконец, уровни желчи в Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС холедохе – x1 (t ) и желчном пузыре – x2 (t ). Из графиков следует, что резкое повышение уровня желчи в холедохе, начиная с момента t = 16, приводит к патологии застоя, и тогда команды на выброс желчи из желчного пузыря проходят – два импульса I (t ) в период патологии.

Рис. 14.10. Динамика процессов билиарной системы Таким образом, нервная система, следуя физиологическим принципам гомеостаза, пытается мобилизацией здоровой части организма под держать нормальный баланс уровня желчи в организме. Однако команды нервной системы не выполняются до тех пор, пока не восста новится проходимость пузырного протока через сфинктер Одди в 12-перстную кишку при t 20. Восстановление моторики сфинктера Одди с момента t = 20 обеспечивает проходимость желчи из холедоха в 12-перстную кишку. При этом давление в холедохе падает, что приводит к возобновлению секреции и активизации моторики сфинктеров Лют кенса и Одди.

Исследования билиарной системы Система дифференциальных уравнений для модели выброса желчи без патологии в соответствии с выбранной структурой и (14.6) имеет вид x1 = c F1 ( x1 ) + F2 ( x2 ), x2 = F2 ( x2 ) (14.28) 14.3. Биосистемы с начальными условиями x1 (0) = x10 и x2 (0) = x20. В (14.28) секреция желчи принята постоянной c, а нелинейные функции F1 и F2 являют ся кусочно-линейными функциями с насыщением, определенными уравнениями (14.5), (14.6) с параметрами, полученными из выражений (14.16), (14.17), (14.21) и (14.22) и равными соответственно x1 = 7, F1* = 35;

x2 = 10, F2 = 100.

* * * В соответствии с введенными определениями модель (14.28) явля ется гибридной. Рассмотрим линейные участки без насыщения, когда * * x1 x1, x2 x2. Тогда (14.28) примет вид x1 = c1 k1 x1 + k2 x2, x2 = k2 x2 (14.29) с начальными условиями соответственно x10, x20. Найдем корни сис темы (14.29) из характеристического уравнения k1 1, k =0.

k 0, Получим 1 = k1 и 2 = k2. Учитывая, что k1 0 и k2 0 по опре делению, имеем отрицательные действительные корни для (14.29). То гда решение устойчиво асимптотически при любых действительных значениях параметров k1, k2 и c1. Асимптотой в соответствии с (14.15) для решения x1 (t ) является прямая x1 = c1 / k1.

Тип устойчивого поведения на фазовой плоскости для системы ли нейных дифференциальных уравнений с матрицей постоянных коэф фициентов aij можно определить по следующим признакам. Для типа «устойчивый узел» необходимым и достаточным условием является выполнение неравенств (a11 a22 ) 2 + 4a12 a21 0, a11a22 a12 a21 0, которые легко проверить для уравнений (14.29). Таким образом, фазо вый портрет на фазовой плоскости x2 ( x1 ) представляет устойчивый узел с точкой равновесия (c1 / k1,0).

Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС * * Рассмотрим случай насыщения холедоха, когда x1 x1, x2 x2.

Система уравнений для этого случая имеет вид x1 = c1 F1* + k2 x2, x2 = k2 x2 (14.30) * * с новыми начальными условиями x10 x1, x20 x2. Решением систе мы будут интегральные кривые x1 (t ) и x2 (t ), определяемые началь ными условиями. Разделим в системе (14.30) первое уравнение на вто рое и получим dx1 c = 11 1, dx2 k2 x где c11 = F1* c1. Из уравнения c 1 = k2 x находим точку экстремума x2 = c11 / k2 для второй координаты интегральных кривых, которая не зависит от начальных условий и оп ределяется только параметрами секреции и значением насыщения хо ледоха – c1, F1*.

Инструментально-ориентированный анализ Исследуем нелинейную структуру выброса желчи методом фазовой плоскости. Будем рассматривать семейство начальных условий для случая, когда желчный пузырь не наполнен до насыщения, а холедох * * x1 x1, x2 x2 ) и насыщен может быть не переполнен (при * * (при x1 x1, x2 x2 ). Зададим в соответствии с этим семейство на чальных значений фазовых переменных x1 (0) = (0, 1, 1, 2, 3, 7, 8, 9) и x2 (0) = (0, 5, 10, 20, 30, 30, 30, 30), включая режим насыщения холедо ха. Выберем определенные выражениями (14.16)–(14.21) параметры c1 = 20, k1 = 7 и k2 = 10. Результаты имитационных исследований ме тодом фазовой плоскости в ненасыщенном режиме представлены на рис. 14.11.

14.3. Биосистемы Рис. 14.11. Фазовый портрет для процесса желчеотделения x2 ( x1 ) Таким образом, разработанные инструментальные средства с гра фической визуализацией в удобной и наглядной форме демонстрируют устойчивое поведение системы при выбранных параметрах с точкой равновесия, отмеченной трассировкой, и полностью совпадают с тео ретическими выводами.

Билидинамика Динамику билиарной системы, которую по аналогии с гемодина микой будем называть билидинамикой, можно рассматривать с разных позиций: с учетом физико-химических процессов, коэффициента вяз кости Рейнольдса, разного тонуса сфинктера Люткенса и т. д. Динами ка интенсивности потоков желчи идентифицируется как кусочно линейная модель. Здесь будем рассматривать модель билиарной сис темы с позиции физической природы истечения жидкости из резервуа ра. Следует отметить, что проведение аналогии биологических и физи ческих процессов в данном случае оправданно, так как законы гемодинамики, как и билидинамики, не противоречат законам физики.

В частности, нельзя возразить против того, что желчь в желчном пузы ре имеет ту же гравитационную постоянную, что и жидкость в сосуде, и, следовательно, выброс желчи можно с определенными допущения ми рассматривать как вытекание жидкости из тонкостенного сосуда с отверстиями, которыми в нашем случае являются сфинктеры проточ ных сосудов. Если принять гипотезу, что скорость оттока и притока желчи относительно желчного пузыря и холедоха будет подчиняться Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС закону Торричелли, как и в рассмотренной задаче двух баков (см. раз дел 9.8), то имеем x1 = c1 a1 x1 + a2 x2, x2 = a2 x2. (14.31) Найдем значения коэффициентов a1 и a2 согласованием полученных * * ранее оценок параметров (14.16), (14.17). Имеем a1 x1 = k1x1, откуда запишем * a1 = k1 x1. (14.32) * Аналогично для желчного пузыря получим a2 = k2 x2. Исследуем (14.31) методом фазовой плоскости. На рис. 14.12 приведены фазовые траектории в виде устойчивого фокуса с точкой покоя x1, x2.

Рис. 14.12. Фазовый портрет «устойчивый фокус»

Координаты точки покоя легко определить из уравнений 0 = c1 a1 x1 + a2 x2, 0 = a2 x2.

Отсюда получим x2 = 0 и x1 = (c1 / a1 )2 или с учетом (14.

32) имеем 0 x1 = (c1 / k1 ) 2 ( x1 ) 1. Сравним режимы с кусочно-линейной аппрокси 0 * 14.4. Машинный анализ систем высокой размерности мацией выброса желчи при x1 = c1 / k1 и рассмотренной параболиче ской аппроксимацией. При подстановке числовых параметров оказы вается, что имеет место 0 c ( x1* ) c x1 = 1 1. (14.33) k1 k В состоянии патологии билиарной системы (например, при сим птоме механической желтухи) количество желчи в холедохе прибли * жается к максимально критическому значению x1. Тенденция увели чения желчи в холедохе в большей степени нагружает билиарную систему и вынуждает работать в критичном режиме. Анализ (14.33) показывает, что менее критично проявляется режим (14.31) по сравне нию с кусочно-линейным режимом, так как в установившемся реше нии количество желчи в холедохе для режима (14.31) меньше, чем в режиме с параболической аппроксимацией.

14.4. МАШИННЫЙ АНАЛИЗ СИСТЕМ ВЫСОКОЙ РАЗМЕРНОСТИ В настоящие время сложность объектов моделирования постоянно возрастает. Часто поведение сложного объекта или процесса описыва ется системой дифференциальных уравнений высокой размерности, причем задание их правых частей алгоритмически связано с индексом фазовых переменных. В данном разделе впервые предложен способ символьной спецификации динамических систем повышенной размер ности, допускающих алгоритмическое задание правых частей уравне ний. Ранее для построения моделей такого рода предметный пользова тель тратил много времени на ввод однотипных уравнений либо для конкретной системы создавалась исполняемая модель на языке высо кого уровня. Для эффективной реализации систем высокой размерно сти требуются эффективные численные схемы, учитывающие жест кость задачи. Традиционно для решения жестких задач применяются неявные методы, так как они имеют лучшие показатели производи тельности по сравнению с классическими явными методами. Это свя зано с тем, что на участках установления жесткой задачи шаг интегри рования явной схемы ограничен прежде всего условием устойчивости.

Здесь рассматривается применение явных методов переменного Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС порядка и шага с контролем устойчивости к жестким задачам большой размерности. В качестве конкретного примера жесткой гибридной сис темы высокой размерности рассматривается модель диффузии частиц.

Математическая модель Лабораторией Akzo Nobel Central Research сформулирована задача проникновения помеченных радиоактивной меткой антител в пора женную опухолью ткань живого организма. Исследование проводи лось в диагностических и терапевтических целях. Рассматривалась система одномерных уравнений реакции-диффузии u 2u v = kuv, = kuv. (14.34) t t x Дискретизации производных первого и второго порядков по простран ственной переменной соответственно имеют вид u j u j +1 u j =, 2u j u j 1 2u j + u j + =, 1 j N.

( ) Значения u0 и u N +1 получены из граничных условий:

u0 = (t ), u N +1 = u N.

T Полагая y = ( u1, v1,…, u N, vN ) и tk = 20, запишем задачу (14.34) в ви де dy = f (t, y ), (14.35) dt y (0) = g, y R 2N, 0 t 20, где N – изменяемый параметр, а функция f (t, y ) определяется выра жениями 14.4. Машинный анализ систем высокой размерности y2 j +1 y2 j f 2 j 1 = j + y2 j 3 2 y2 j 1 + y2 j + + j ky2 j 1 y2 j, (14.36) ( ) f 2 j = ky2 j y2 j 1, где j = 2( j 1)3 c 2, j = ( j 1)4 c 2, 1 j N, =, y1 (t ) = (t ), y2 N +1 = y2 N 1, N T g R 2N, g = ( 0, v0, 0, v0,..., 0, v0 ).

Функция (t ) является кусочно-непрерывной и имеет вид 2, t [ 0, 5], (t ) = 0, t ( 5, 20].

Подходящими значениями для параметров являются k = 100, v0 = 1 и с = 4. Рассматривается случай, когда (14.35) состоит из 2N = 400 урав нений.

Программная модель Гибридность задачи обусловлена существованием разрыва первого рода функции (t ). Соответственно система может находиться в од ном из двух непрерывных режимов. Переключение происходит при t 5, pr1 : g (t ) = t 5. Карта поведения системы и редактированный в системе ИСМА фрагмент нелинейной функции с разрывом первого рода показаны на рис. 14.13.

Оба подхода к спецификации дискретных аспектов поведения сис темы равноправны. Однако в данном случае, с точки зрения предмет ного пользователя, первый вариант более приемлем. В этом случае имеется возможность интерактивного задания требуемой характери стики и оценки ее графического отображения. Но в случае, когда пере ход инициируется выходным сигналом нелинейной функции, невоз Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС можно применение алгоритмов локализации точек переключения ре жимов ГС. Этот момент ключевой, поэтому при построении компью терной модели используется первый вариант.

pr init change_phi а б Рис. 14.13. Карта поведения (а) и реализация предиката pr с использованием блока нелинейной функции (б) Компьютерная модель системы (14.34)–(14.36) на языке LISMA приведена ниже. Она разработана с учетом возможности алгоритмиче ского определения скалярных компонент правой части уравнения (14.35) в соответствии с синтаксисом языка и спецификой гибридной задачи.

14.4. Машинный анализ систем высокой размерности Компьютерные эксперименты и численный анализ Численное решение задачи получим явным методом с контролем устойчивости RKF78STP и неявным методом RADAU5. Для сравнения используем также классический явный метод Фельберга седьмого по рядка. Требуемая точность решения = 106, начальный шаг интегри рования h0 = 109, расчеты произведены в среде ИСМА. На рис.14. приведены компоненты решений y79, y172 и y199, а также гибридная компонента (t ). Точность обнаружения смены значения (t ) показы вает адекватность метода для решения гибридных задач.

В табл. 14.2 содержатся характеристики методов с учетом включения алгоритмов локализации, а также результаты расчета данной задачи классическим методом Фельберга седьмого порядка RKF78 без кон троля устойчивости.

Рис. 14.14. Компоненты решения y79, y199, y172 и функция (t ) Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС Т а б л и ц а 14. Результаты расчетов Показатели RADAU5 RKF78STP RKF Число шагов 561 15779 Число точек с оптимизацией 561 315 Число вычислений правой части уравнения 90423 195175 Время расчета, с 66,8 31,6 84, Из анализа результатов расчетов следует, что явные методы с кон тролем устойчивости и переменным порядком эффективнее неявных методов на гибридных задачах большой размерности умеренной жест кости. Явному методу Фельберга переменного порядка и шага с кон тролем устойчивости для решения данной задачи требуется в 2 раза меньше времени, чем неявному RADAU5 с высокими затратами на де композицию матрицы Якоби, и почти втрое меньше, чем классическо му методу Фельберга седьмого порядка точности без контроля устой чивости.

14.5. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РОСТА И ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ РАСТИТЕЛЬНОЙ ТКАНИ Система HIRES, рассмотренная в предыдущей главе, описывает превращения восьми реагентов в модели роста и дифференциации растительной ткани при сильном световом облучении независимо от фотосинтеза и представлена рассмотренными стадиями с кон стантами скоростей стадий соответственно k1 = 1,71, k2 = 0, 43, k4 = k = k * = 0,69, k3 = k6 = 8,32, k5 = 0,035, k7 = k+ = 280, k7 = k+ = 280, k8 = Oks = 0,0007.

Задача решается на интервале t [0;

321, 822] с начальными усло виями y1 = 1, y2 =... = y7 = 0, y8 = 0,0057. Компьютерная модель сис темы на языке LISMA+ построена в соответствие с синтаксисом (13.3).

14.5. Компьютерное моделирование роста и дифференциации растительной ткани Оценим жесткость решаемой задачи по формуле K st = max Re(i ) / min Re(i ), 1i N 1i N где i – собственные числа матрицы Якоби правой части системы (13.7). На рис. 14.15 показана зависимость коэффициента жесткости K st от времени, откуда видно, что система HIRES является жесткой.

Kst t Рис. 14.15. Изменение коэффициента жесткости Решение системы HIRES представлено на рис. 14.16. Требуемая точность решения = 105, начальный шаг интегрирования h0 = 108.

Графики для y5 y8 представлены на интервале t = [0, 5], поскольку в дальнейшем их поведение стабилизируется и не представляет интере са. Вычислительные затраты на решение задачи различными алгорит мами приведены в табл. 14. Как видно из таблицы, наиболее эффективными при анализе этой жесткой задачи являются (m, k ) -схемы, которые, в частности, затрачи вают существенно меньше времени на шаг интегрирования благодаря «замораживанию» матрицы Якоби. Среди явных методов наилучшие результаты демонстрирует алгоритм DISPS. Он характеризуется Г л а в а 14. ИНСТРУМЕНТАЛЬНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ ГС наименьшим количеством вычислений правой части системы, поэтому можно предположить высокую эффективность DISPS при решении задач со сложновычисляемой правой частью или имеющих большую размерность.

y6 (t ) y5 (t ) y7 (t ) y8 (t ) Рис. 14.16. Результаты решения Т а б л и ц а 14. Сравнение эффективности численных методов Число вычисле Число Время Метод Число шагов ний правой части возвратов расчета, с системы MK22 453 15 0,0625 MK21 649 26 0,0781 RADAU5 161 0 0,0938 DISPD 3085 412 0,5156 12 DISPF 7626 67 1,6094 53 DP78ST 6733 22 2,1250 87 RKF78ST 6888 28 2,3281 89 DISPS 1354 275 0,2666 RK2ST 25 639 271 2,8438 51 14.5. Компьютерное моделирование роста и дифференциации растительной ткани Анализ решения показал, что наибольшее количество возвратов связано с переходными участками. С одной стороны, рост числа воз вратов связан с невыполнением требуемой точности в начале переход ного участка и с ухудшением устойчивости при выходе на участок ус тановления. В то же время на сам переходной участок приходится гораздо большее число возвратов из-за низкого порядка точности ис пользуемой схемы. Более точному алгоритму DISPF потребовалось существенно меньше возвратов, поэтому дополнительно повысить эф фективность DISPS можно введением схем более высокого порядка точности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК [1] Альшин А. Б. Автоматизированное символьное построение условий порядка для двухстадийных комплексных схем типа Розенброка / А. Б. Аль шин, Е. А. Альшина, А. Г. Лимонов // Мат. моделирование. – 2009. – Вып. 21. – С.76–88.

[2] Альшин А. Б. Двухстадийные комплексные схемы Розенброка для же стких систем / А. Б. Альшин, Е. А. Альшина, А. Г. Лимонов // Журн. вычисл.

математики и мат. физ. – 2009. – Вып. 49. – С. 270–287.

[3] Альшина Е. А. Оптимальные параметры явных схем Рунге–Кутты не высоких порядков / Е. А. Альшина, Е. М. Закс, Н. Н. Калиткин // Мат. моде лирование. – 2006. – Вып. 18. – С. 61–71.

[4] Альшина Е. А. Оптимальные схемы Рунге–Кутты с первого по шестой порядок точности / Е. А.Альшина, Е. М. Закс, Н. Н. Калиткин // Журн. вы числ. математики и мат. физика. – 2008. – Вып. 48. – С. 418–429.

[5] Аносов В. Н. Математическая модель аккумуляторной батареи как элемента САУ транспортного средства / В. Н. Аносов, Ю. В. Шорников // На уч. вестн. НГТУ. – 2005. – № 3(21). – С. 131–136.

[6] Аносов В. Н. Характеристики управляющих воздействий тягового электропривода автономного напольного транспортного средства / В. Н. Ано сов, В. М. Кавешников, Ю. В. Шорников // Науч. вестн. НГТУ. – 2005. – № 3(21). – С. 37–44.

[7] Арсеньев Г. Н. Радиоавтоматика : учеб. для вузов косм. войск : в 2 ч.

Ч. 1. Теория дискретных и оптимальных систем автоматического управления РЭС / Г. Н. Арсеньев, Г. Ф. Зайцев. – М. : МВИРЭКВ, 2005. – 345 с.

[8] Арсеньев Г. Н. Синтез и анализ систем автосопровождения с запазды ванием в радиоэлектронных средствах / Г. Н. Арсеньев // Информационно измерительные системы. – 2005. – Т. 3, № 2. – С. 25–31.

[9] Артемьев С. С. Алгоритм переменного порядка и шага для численного решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений / С. С. Артемьев, Г. В. Демидов // Докл. АН СССР. – 1978. – Т. 238, № 3. – С. 517–520.

[10] Артемьев С. С. А-устойчивый метод типа Розенброка четвертого по рядка точности решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений / С. С. Артемьев, Г. В. Демидов // Некоторые БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК проблемы вычисл. и прикладной математики. – Новосибирск : Наука, 1975. – С. 214–220.

[11] Артемьев С. С. Минимизация овражных функций численным мето дом для решения жестких систем уравнений / С. С. Артемьев, Г. В. Демидов, Е. А. Новиков. – Новосибирск : Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1980. – (Препринт № 74).

[12] Арушанян О. Б. Численное решение обыкновенных дифференциаль ных уравнений на Фортране / Арушанян О. Б., Залеткин С. Ф. – М. : Изд-во Моск. гос. ун-та, 1990.

[13] Ахо А. В. Компиляторы: принципы, технологии, инструменты : пер. с англ. / А. В. Ахо, С. Рави, Дж. Ульман. – М. : Вильямс, 2001. – 768 с.

[14] Ахо А. В. Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции / А. В. Ахо, Дж. Ульман. – М. : Мир, 1978. – 612 с.

[15] Ашкеназы В. О. Алгоритмы построения линий уровня функции двух переменных [Электронный ресурс] / В. О. Ашкеназы. – Режим доступа:

http://www.aszkenazy.narod.ru/isoline_h.htm. – Загл. с экрана.

[16] Бабенко К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. – М. :

Наука, 1986. – 744 с.

[17] Бахвалов Н. С. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М. : Наука, 2000. – 628 с.

[18] Бенькович Е. С. Практическое моделирование динамических систем / Е. С. Бенькович, Ю. Б. Колесов, Ю. Б. Сениченков. – СПб. : БХВ-Петербург, 2002. – 464 с.

[19] Березин И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков. – М. : Физматгиз, 1962. – Т. 2. – 578 с.

[20] Бобков В. В. Новые явные А-устойчивые методы численного решения дифференциальных уравнений / В. В. Бобков // Дифференц. уравнения. – 1978. – № 12. – С. 2249–2252.

[21] Бобков В. В. Об одном классе разностных схем для дифференциаль ных уравнений / В. В. Бобков, П. А. Мандрик, В. И. Репников // Вестн. Бело рус. гос. ун-та. Сер.1. Физ. математика и механика. – 1985. – № 3. – С. 31–34.

[22] Бобков В. В. Об одном семействе нелинейных разностных схем / В. В. Бобков // Дифференц. уравнения. – 1977. – № 11. – С. 2086–2078.

[23] Бобков В. В. Об одном способе построения методов численного ре шения дифференциальных уравнений / В. В. Бобков // Дифференц. уравнения. – 1983. – № 7. – С. 1115–1122.

[24] Боггс У. UML и Rational Rose / У. Боггс, М. Боггс. – М. : Лори, 2000. – 582 с.

[25] Боднарчук П. И. Одношаговые итерационные численные методы для исследования жестких задач / П. И. Боднарчук // Численные решение ОДУ. – М. : Изд-во ИПМ АН СССР, 1988. – С. 111–123.

[26] Борщев А. В. Практическое агентное моделирование и его место в ар сенале аналитика / А. В. Борщев // Exponenta Pro. – 2004. – № 3–4. – С. 38–47.

[27] Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсно го регулирования / П. В. Бромберг. – М. : Наука, 1967. – 323 с.

[28] Буч Г. Язык UML. Руководство пользователя : пер. с англ. / Г. Буч, Д. Рамбо, А. Джекобсон. – М. : ДМК, 2000. – 432 с.

[29] Бычков Ю. А. Аналитически-численный метод расчета динамических систем / Ю. А. Бычков, С. В. Щербаков. – СПб. : Энергоатомиздат, С.-Пе тербург. отд-ние, 2002. – 368 с.

[30] Ващенко Г. В. Последовательный (2, 1)-метод и его параллельный аналог / Г. В. Ващенко, Е. А. Новиков // Системы управления и информаци онные технологии. – 2009. – № 4(38). – С. 8–11.

[31] Виноград Р. Э. Об одном критерии неустойчивости в смысле Ляпуно ва решений линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Р. Э. Виноград // Докл. АН СССР. – 1952. – Т. 84. – С. 201–204.

[32] Воробьёв В. И. Теория и практика вейвлет-преобразования / В. И. Во робьёв, В. Г. Грибунин. – СПб. : Изд-во ВУС, 1999. – 204 c.

[33] Востриков А. С. Теория автоматического регулирования : учеб. посо бие / А. С. Востриков, Г. А. Французова. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2003.

– 364 с.

[34] Гинзбург С. Математическая теория контекстно-свободных языков / С. Гинзбург. – М. : Мир, 1970. – 326 с.

[35] Говорухин В. Н. Введение в MAPLE. Математический пакет для всех / В. Н. Говорухин, В. Г. Цибулин. – М. : Мир, 1997.

[36] Голуб Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. – М. :

Мир, 1999. – 548 с.

[37] Гордеев А. В. Системное программное обеспечение / А. В. Гордеев, А. Ю. Молчанов. – СПб. : Питер, 2001. – 736 с.

[38] Горячкин В. В. Исследование системы автосопровождения методом моделирования гибридных систем в инструментальной среде машинного ана лиза / В. В. Горячкин, Ю. В. Шорников // Информационно-измерительные и управляющие системы. – 2008. – Т. 6, № 6. – С. 65–69.

[39] Грис Д. Конструирование компиляторов для цифровых вычислитель ных машин / Д. Грис. – М. : Мир, 1975. – 544 с.

[40] Деккер К. Устойчивость методов Рунге–Кутты для жестких нелиней ных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вервер. – М. : Мир, 1988. – 332 с.

[41] Демидов Г. В. Исследование некоторых аппроксимаций в связи с А-устойчивостью полуявных методов / Г. В. Демидов, Л. А. Юматова // Чис ленные методы механики сплошной среды. – 1977. – Т. 8, № 3. – С. 68–79.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК [42] Демидов Г. В. Исследование точности неявных одношаговых методов / Г. В. Демидов, Л. А. Юматова. – Новосибирск : Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1976. – (Препринт № 25).

[43] Демидов Г. В. О контроле точности явных формул типа Рунге–Кутты второго и третьего порядков аппроксимации с помощью формул более низко го порядка / Г. В. Демидов, Е. А. Новиков // Численные методы механики сплошной среды. – 1984. – Т. 15, № 6. – С. 59–74.

[44] Демидов Г. В. Оптимизация алгоритма выбора величины шага интег рирования в методах типа Розенброка третьего порядка / Г. В. Демидов, М. И. Голушко // Численные методы механики сплошной среды. – 1985. – Т. 16, № 3. – С. 10–21.

[45] Демидов Г. В. Оценка ошибки одношаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Г. В. Демидов, Е. А. Новиков // Численные методы механики сплошной среды. – 1985. – Т. 16, № 1. – С. 27–39.

[46] Демидов Г. В. Экономичный алгоритм интегрирования нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Г. В. Демидов, Е. А. Новиков // Численные методы механики сплошной среды. – Новоси бирск : Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1979. – С. 69–83.

[47] Демирчян К. С. О фильтрации составляющих с большими производ ными в динамических системах / К. С. Демирчян, Ю. В. Ракитский. – М. :

ИВТАН СССР, 1984. – (Препринт № 3).

[48] Денисов Е. Т. Химическая кинетика : учебник для вузов / Е. Т. Дени сов, О. М. Саркисов, Г. И. Лихтенштейн. – М. : Химия, 2000. – 568 с.

[49] Деревицкий Д. П. Прикладная теория дискретных адаптивных систем управления / Д. П. Деревицкий, А. Л. Фрадков. – М. : Наука, 1981. – 216 с.

[50] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. – Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 464 с.

[51] Домнин Л. Н. Элементы теории графов : учеб. пособие / Л. Н. Дом нин. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2007. – 144 с.

[52] Донован Дж. Системное программирование / Дж. Донован. – М. :

Мир, 1975.

[53] Дрёмин И. М. Вейвлеты и их использование / И. М. Дрёмин, О. В. Иванов, В. А. Нечитайло // Успехи физ. наук. – 2001. – № 5. – С. 465–501.

[54] Дулан Э. Равномерные численные методы решения задач с погранич ным слоем / Э. Дулан, Дж. Миллер, У. Шилдерс. – М. : Мир, 1983. – 199 с.

[55] Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике / В. П. Дьяконов. – М. : СОЛОН-Пресс, 2004. – 400 c.

[56] Дьяконов В. П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения / В. П. Дьяконов. – М. : СОЛОН-Пресс, 2004. – 762 с.

[57] Емельянов Е. С. Системы автоматического управления с переменной структурой / Е. С. Емельянов. – М. : Наука, 1967. – 335 с.


[58] Еремин Е. Н. Основы химической кинетики : учеб. пособие для уни верситетов и химико-технологических вузов / Е. Н. Еремин. – 2-е изд., доп. – М. : Высшая школа, 1976. – 375 с.

[59] Ершов А. П. Введение в теоретическое программирование / А. П. Ер шов. – М. : Наука, 1977. – 288 с.

[60] Захаров А. Ю. Некоторые результаты сравнения эффективности ме тодов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений / А. Ю. Захаров. – М. : Изд-во ИПМ АН СССР, 1979. – (Препринт № 125).

[61] Инструментальные средства машинного анализа / Ю. В. Шорников [и др.] // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

№ 2005610126. – М. : Роспатент, 2005.

[62] Калиткин Н. Н. Интегрирование жестких систем дифференциальных уравнений / Н. Н. Калиткин, Л. В. Кузьмина. – М. : Изд-во ИПМ АН СССР, 1981. – (Препринт № 80).

[63] Калиткин Н. Н. Численные примеры интегрирования жестких систем / Н. Н. Калиткин, Л. В. Кузьмина. – М. : Изд-во ИПМ АН СССР, 1981. – (Пре принт № 90).

[64] Кальянова Н. А. LSODA-пакет программ для численного решения же стких и нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Ин струкция / Н. А. Кальянова, А. Ю. Захаров, Ю. Е. Маркачев. – М. : Изд-во ИПМ АН СССР, 1988.

[65] Карпов Ю. Г. Имитационное моделирование систем. Введение в мо делирование с AnyLogic 5 / Ю. Г. Карпов. – СПб. : БХВ-Петербург, 2005. – 400 с.

[66] Карпов Ю. Г. Теория автоматов / Ю. Г. Карпов. – СПб. : Питер, 2002.

– 224 с.

[67] Касьянов В. Н. Лекции по теории формальных языков, автоматов и сложных вычислителей : учеб. пособие / В. Н. Касьянов ;

Новосиб. гос. ун-т. – Новосибирск, 1995. – 112 с.

[68] Качественная теория динамических систем второго порядка / А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, И. И. Гордон, А. Г. Майер. – М. : Наука, 1966. – 568 c.

[69] Киндлер Е. Языки моделирования : пер. с чеш. / Е. Киндлер. – М. :

Энергоатомиздат, 1985. – 389 с.

[70] Клиначев Н. В. Введение в технологию моделирования на основе на правленных графов [Электронный ресурс] / Н. В. Клиначев. – Режим доступа :

http://model.exponenta.ru/lectures/sml_02.htm. – Загл. с экрана.

[71] Кнауб Л. В. Алгоритм интегрирования переменного порядка и шага на основе явного двухстадийного метода Рунге–Кутты / Л. В. Кнауб, БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК Ю. М. Лаевский, Е. А. Новиков // Сиб. журн. вычислит. математики. – 2007. – Т. 10, № 2. – С. 177–185.

[72] Коган В. Е. Физическая химия. Ч. 2. Химическая кинетика : учеб. по собие / В. Е. Коган, Г. С. Зенин, Н. В. Пенкина. – СПб. : СЗТУ, 2005. – 227 с.

[73] Козлов О. С. Цифровое моделирование следящих приводов / О. С. Козлов, В. С. Медведев // Следящие приводы. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – Т. 1. – С. 711–806.

[74] Колесов Ю. Б. Моделирование систем. Объектно-ориентированный подход : учеб. пособие / Ю. Б. Колесов, Ю. Б. Сениченков. – СПб. : БХВ Петербург, 2006. – 192 с.

[75] Колесов Ю. Б. Объектно-ориентированное моделирование сложных динамических систем / Ю. Б. Колесов. – СПб. : Изд-во СПбГПУ, 2004. – 239 с.

[76] Корнелик С. Е. Вычислительная гемодинамика : учеб. пособие / С. Е. Корнелик, А. М. Бубенчиков. – Томск : Изд-во Том. гос. ун-та, 2003. – 412 с.

[77] Крылов В. И. Начала теории вычислительных методов. Дифференци альные уравнения / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. – Минск : Наука и техника, 1982. – 584 с.

[78] Кузнецов Ю. И. Автоматическое построение диагонально неявных РК-схем / Ю. И. Кузнецов. – Новосибирск : Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1988. – (Препринт № 920).

[79] Куликов В. П. Математическое моделирование электрических машин :

учеб. пособие / В. П. Куликов, Ю. В. Шорников. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 1994. – Ч. 1. – 44 с.

[80] Куликов В. П. Математическое моделирование электрических машин.

Асинхронные и синхронные машины : учеб. пособие / В. П. Куликов, Ю. В. Шорников. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 1995. – Ч. 2. – 34 с.

[81] Лебедев В. И. Явные разностные схемы с переменными шагами по времени для решения жестких систем уравнений / В. И. Лебедев. – М. : ОВМ АН СССР, 1987. – (Препринт № 177).

[82] Левыкин А. Н. Класс (m, k)-методов решения неявных систем / А. Н. Левыкин, Е. А. Новиков // Доклады РАН. – 1996. – Т. 348, № 4. – С. 442–445.

[83] Локуциевский В. О. Применение чебышевских параметров для чис ленного решения некоторых эволюционных задач / В. О. Локуциевский, О. В. Локуциевский. – М. : Изд-во ИПМ АН СССР, 1984. – (Препринт № 98).

[84] Льюис Ф. Теоретические вопросы проектирования компиляторов / Ф. Льюис, Д. Розенкранц, Р. Стирнз. – М. : Мир, 1979. – 654 с.

[85] Липаев В.В. Системное проектирование сложных программных средств для информационных систем / В.В. Липаев. – М.: Синтег. – 1999. – 224 с.

[86] Мартыненко Б. К. Языки и трансляции / Б. Мартыненко. – СПб. :

Изд-во С.-Петербург. ун-та, 2004. – 235 с.

[87] Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. – М. : Наука, 1977. – 455 с.

[88] Мельников В. Е. Применение сетей Петри [Электронный ресурс] / В. Е. Мельников, Д. И. Харитонов. – Режим доступа : http://www.iacp.dvo.ru/ lab_11/pab/pub_02.html. – Загл. с экрана.

[89] Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / под ред.: А. А. Воронова, В. М. Матросова. – М. : Наука, 1987. – 312 с.

[90] Моделирование в технических устройствах [Электронный ресурс] :

свободная учеб. версия ПК «МВТУ». – Режим доступа :

http://mvtu.power.bmstu.ru. – Загл. с экрана.

[91] Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа / Н. Н. Моисеев. – М. : Наука, 1981. – 488 с.

[92] Никонова О. В. Инструментальные средства ИСМА в проектировании и анализе гибридных моделей / О. В. Никонова, Ю. В. Шорников // Тр. рег.

конф. по научному программному обеспечению. – СПб. : Изд-во СПбГПУ, 2006. – С. 117–120.

[93] Новиков A. E. Численное решение жестких задач с небольшой точно стью / A. E. Новиков, E. A. Новиков // Математ. моделирование. – 2010. – Т. 22, № 1. – С. 46–56.

[94] Новиков A. Е. L-устойчивый (2, 1)-метод решения жестких неавто номных задач / A. Е. Новиков, E. A. Новиков // Вычислительные технологии :

вестн. КазНУ. – 2008. – Т. 13, № 3 (58). – С. 477–482.

[95] Новиков Е. А. Особенности компьютерного моделирования кинема тики сыпучих сред / Е. А. Новиков, Ю. В. Шорников // Вестн. КрасГАУ. – 2006. – № 10. – С. 77–82.

[96] Новиков E. A. Конструирование областей устойчивости явных мето дов типа Рунге–Кутты / Е. А. Новиков // Вычислительные методы и програм мирование. – 2009. – Т. 10. – С. 248–257.

[97] Новиков А. Е. Алгоритм переменного порядка и шага на основе ста дий метода Дорманда–Принса восьмого порядка точности / А. Е. Новиков, Е. А. Новиков // Вычислительные методы и программирование. – 2007. – Т. 8. – С. 317–325.

[98] Новиков А. Е. Аппроксимация матрицы Якоби в (2, 2)-методе реше ния жестких систем / А. Е. Новиков, Е. А. Новиков, Ю. В. Шорников // Докл.

АН ВШ РФ. – 2008. – № 1(10). – С. 30–44.

[99] Новиков А. Е. Моделирование гибридных систем явными методами / А. Е. Новиков, Е. А. Новиков, Ю. В. Шорников // Ресурсосберегающие техно логии механизации с/х : вестн. КрасГАУ. – 2009. – № 5. – C. 88–92.

[100] Новиков А. Е. Численное моделирование цикла цезия в верхней ат мосфере L-устойчивым методом второго порядка точности / А. Е. Новиков, Е. А. Новиков // Вестн. СибГАУ. – 2009. – № 4 (25), ч. 1. – С. 45–48.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК [101] Новиков В. А. Контроль устойчивости явных одношаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / В. А. Нови ков, Е. А. Новиков // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 277, № 5. – С. 1058–1062.

[102] Новиков В. А. Об алгоритме переменной структуры на основе явных формул типа Рунге–Кутты первого и второго порядков точности / В. А. Нови ков, Е. А. Новиков. – Новосибирск : Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1985. – (Пре принт № 112).

[103] Новиков В. А. Повышение эффективности алгоритмов интегрирова ния обыкновенных дифференциальных уравнений за счет контроля устойчи вости / В. А. Новиков, Е. А. Новиков // Журн. вычислит. математики и мат.

физики. – 1985. – Т. 25, № 7. – С. 1023–1030.

[104] Новиков В. А. Численное решение обыкновенных дифференциаль ных уравнений с небольшой точностью / В. А. Новиков, Е. А. Новиков, Ю. И. Шокин // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. – Новосибирск : Наука, 1988. – С. 29–35.

[105] Новиков Е. А. (4, 2)-метод третьего порядка для решения жестких систем / Е. А. Новиков, А. Л. Двинский // Вычислительные технологии. – 2001. – Т. 6, ч. 2. – С. 470–474.

[106] Новиков Е. А. L-устойчивая (6, 3)-схема пятого порядка точности для решения жестких систем / Е. А. Новиков, А. Л. Двинский // Вычислительные технологии : вестн. КазНУ. – 2004. – Т. 9, № 3(42). – С. 228–234.

[107] Новиков Е. А. Аддитивный метод третьего порядка для решения же стких неавтономных задач / Е. А. Новиков // Сиб. журн. индустр. математики. – 2010. – Т. XIII, № 1(41). – С. 84–94.

[108] Новиков Е. А. Адекватность численных экспериментов при имита ционном моделировании динамических систем / Е. А. Новиков, Ю. В. Шор ников // Имитационное моделирование. Теория и практика. ИММОД-2005 :

сб. докл. 2 Всерос. науч.-практ. конф : в 2 т. – СПб., 2005. – Т. 1. – С. 251–255.

[109] Новиков Е. А. Алгоритм интегрирования жестких систем на основе (m, k)-метода второго порядка точности с численным вычислением матрицы Якоби / Е. А. Новиков, Ю. А. Шитов. – Красноярск : Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1988. – (Препринт № 20).

[110] Новиков Е. А. Алгоритм интегрирования с контролем точности и ус тойчивости явного трехстадийного метода типа Рунге–Кутты / Е. А. Новиков, Л. В. Кнауб // Системы управления и информационные технологии. – 2009. – № 1(35). – С. 20–24.

[111] Новиков Е. А. Алгоритм переменного порядка и шага на основе ста дий метода Фельберга седьмого порядка точности / Е. А. Новиков, Ю. В. Шорников, О. В. Никонова // Науч. вестн. НГТУ. – 2006. – № 4(25). – С. 105–118.


[112] Новиков Е. А. Алгоритм переменного порядка и шага на основе яв ной шестистадийной схемы типа Рунге–Кутты / Е. А. Новиков, В. К. Дуракова. – Красноярск : Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1988. – (Препринт № 11).

[113] Новиков Е. А. Аппроксимация матрицы Якоби в (m, 3)-методах ре шения жестких систем / Е. А. Новиков, А. Л. Двинский // Сиб. журн. вычис лит. мататематики. – 2008. – Т. 11, № 3. – С. 283–295.

[114] Новиков Е. А. Замораживание матрицы Якоби в (3, 2)-методе реше ния жестких систем / Е. А. Новиков, А. Л. Двинский // Вычислительные тех нологии. – 2003. – Т. 8, № 3. – С. 272–278.

[115] Новиков Е. А. Исследование (m, 2)-методов решения жестких систем / Е. А. Новиков // Вычислительные технологии. – 2007. – Т. 12, № 5. – С. 103– 115.

[116] Новиков Е. А. Исследование (m, k)-методов решения жестких систем с одним и двумя вычислениями правой части / Е. А. Новиков, Ю. А. Шитов. – Красноярск : Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1987. – (Препринт № 15).

[117] Новиков Е. А. Комбинированный численный алгоритм расчета кине тики взрывных процессов / Е. А. Новиков, В. И. Бабушок // Физика горения и взрыва. – 1990. – № 4. – С. 85–93.

[118] Новиков Е. А. Контроль устойчивости метода Дорманда–Принса / Е. А. Новиков, Ю. В. Шорников // Сиб. журн. индустр. математики. – 2007. – № 4 (32). – С. 95–103.

[119] Новиков Е. А. Контроль устойчивости метода Фельберга седьмого порядка точности / Е. А. Новиков, Ю. В. Шорников // Вычислительные техно логии. – 2006. – Т. 11, № 4. – С. 65–72.

[120] Новиков Е. А. Методы второго порядка для решения неавтономных систем ОДУ / Е. А. Новиков, Ю. А. Шитов // Вычислительные технологии. – 1995. – Т. 4, № 10. – С. 262–271.

[121] Новиков Е. А. Методы решения жестких задач, гибридные системы и их приложения / Е. А. Новиков, Ю. В. Шорников, Б. У. Уатай. – Алматы :

Изд-во КБТУ, 2010. – 146 с.

[122] Новиков Е. А. Некоторые эффективные алгоритмы численного ре шения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравне ний : дис.... канд. физ.-мат. наук / Е. А. Новиков. – Новосибирск, 1983. – 185 с.

[123] Новиков Е. А. Неоднородный метод второго порядка для жестких систем / Е. А. Новиков // Вычислительные технологии. – 2005. – Т. 10, № 2. – С. 74–86.

[124] Новиков Е. А. Неоднородный метод третьего порядка для аддитив ных жестких систем / Е. А. Новиков, А. О. Тузов // Мат. моделирование. – 2007. – Т. 19, № 6. – С. 61–70.

[125] Новиков Е. А. Одношаговые безытерационные методы решения же стких систем : дис.... д-ра физ.-мат. наук / Е. А. Новиков. – Новосибирск, 1991. – 327 с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК [126] Новиков Е. А. Оценка глобальной ошибки А-устойчивых методов решения жестких систем / Е. А. Новиков // Докл. РАН. – 1995. – Т. 343, № 4. – С. 452–455.

[127] Новиков Е. А. Параллельная столбцовая схема и алгоритм (2,1)-мето да решения жестких задач / Е. А. Новиков, Г. В. Ващенко // Вестн. ИжГТУ. – 2010. – № 1(45). – С. 150–153.

[128] Новиков Е. А. Построение алгоритма интегрирования жестких сис тем дифференциальных уравнений на неоднородных схемах / Е. А. Новиков // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 278, № 2. – С. 272–275.

[129] Новиков Е. А. Реализация полуявного (4, 2)-метода решения жестких систем на параллельной ЭВМ / Е. А. Новиков, Л. П. Каменщиков // Вычисли тельные технологии : вестн. КазНУ. – 2004. – Т. 9, № 3 (42). – С. 235–241.

[130] Новиков Е. А. Численное моделирование гибридных систем методом Рунге–Кутты второго порядка точности / Е. А. Новиков, Ю. В. Шорников // Вычислительные технологии. – 2008. – Т. 13, № 2. – С. 98–104.

[131] Новиков Е. А. Численное моделирование гибридных систем явными методами / Е. А. Новиков, Ю. В. Шорников // Вычислительные технологии. – 2008. – Т. 13, № 2. – С. 88–104.

[132] Новиков Е. А. Численное моделирование модифицированного оре гонатора (2, 1)-методом решения жестких задач / Е. А. Новиков // Вычисли тельные методы и программирование. – 2010. – Т. 11. – С. 281–288.

[133] Новиков Е. А. Шестистадийный метод третьего порядка для решения аддитивных жестких систем / Е. А. Новиков, А. О. Тузов // Сиб. журн. вычис лит. математики. – 2007. – Т. 10, № 3. – С. 307–316.

[134] Новиков Е. А. Явные методы второго порядка с согласованными об ластями устойчивости / Е. А. Новиков, Л. Н. Контарева // Вычислительные технологии. – 2001. – Т. 6, № 4. – С. 40–49.

[135] Новиков Е. А. Явные методы для жестких систем / Е. А. Новиков. – Новосибирск : Наука, 1997. – 197 с.

[136] Новиков Е. А. Явные методы первого порядка с согласованными об ластями устойчивости / Е. А. Новиков, Л. Н. Контарева // Вестн. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. – 2001. – № 2(7). – С. 45–54.

[137] Новиков Е. А. Явные методы Рунге–Кутты: алгоритмы с контролем устойчивости / Е. А. Новиков, Л. Е. Соломатина // Вестн. МГТУ им. Н.Э. Бау мана. Сер. Естественные науки. – 1999. – № 2. – С. 34–47.

[138] Новиков Е. А. Явные методы четвертого порядка точности с задан ной областью устойчивости / Е. А. Новиков, М. И. Голушко // Вычислитель ные технологии. – 1995. – Т. 4, № 10. – С. 252–261.

[139] О программах, комплексах и пакетах программ для решения обык новенных дифференциальных уравнений / А. Ю. Захаров, Н. А. Кальянова, В. О. Капуста, Т. П. Шульмина. – М. : ИПМ АН СССР, 1984. – (Препринт № 160).

[140] О тестировании программ решения обыкновенных дифференциаль ных уравнений / О. Б. Арушанян, С. Ф. Залеткин, А. Ю. Захаров, Н. Н. Калит кин. – М. : ИПМ АН СССР, 1983. – (Препринт № 139).

[141] Об оптимизации параметров методов численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений / С. С. Артемьев, Г. В. Демидов, Е. А. Новиков, Л. А. Юматова // Численные методы механики сплошной среды. – 1984. – Т. 15, № 2. – С. 5–14.

[142] Павлов Б. В. Об одном методе численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Б. В. Павлов, А. Я. Повзнер // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1973. – Т. 13, № 4. – С. 1056– 1059.

[143] Пастухов В. В. Автоматизация машинных экспериментов с динами ческими моделями электромеханических систем / В. В. Пастухов [и др.] // Ав томатизированные электромеханические системы: коллективная монография / под ред. В. Н. Аносова. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2004. – С. 200–212.

[144] Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциаль ных уравнений / И. Г. Петровский. – М. : Изд-во МГУ, 1984. – 296 с.

[145] Пийль Е. И. Матричное представление и объединение сетей Петри / Е. И. Пийль // Управление ресурсами в интегральных сетях : сборник. – М. :

Наука, 1991. – С. 72–82.

[146] Питерсон Дж. Теория сетей Петри и моделирование систем : пер.

с англ. / Дж. Питерсон. – М. : Мир, 1984. – 264 с., ил.

[147] Полак Л. С. Вычислительные методы в химической кинетике / Л. С. Полак, М. Я. Гольденберг, А. А. Левицкий. – М. : Наука, 1984. – 329 с.

[148] Программный комплекс «Моделирование в технических устройст вах» (ПК «МВТУ») [Электронный ресурс] / О. С. Козлов [и др.]. – Режим дос тупа: http://model.exponenta.ru/mvtu/20050615.html. – Загл. с экрана.

[149] Ракитский Е. В. Численные методы решения жестких систем / Е. В. Ракитский, С. М. Устинов, И. Г. Черноруцкий. – М. : Наука, 1979. – 199 с.

[150] Рейуорд-Смит В. Дж. Теория формальных языков. Вводный курс / В. Дж. Рейуорд-Смит. – М. : Радио и связь, 1988. – 127 с.

[151] Садовничий В. А. Теория операторов / В. А. Садовничий. – 2-е изд. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 1986. – 368 с.

[152] Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М. :

Наука, 1977. – 656 с.

[153] Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж.

Сансоне. – М. : Иностр. лит., 1953. – Т. 1.

[154] Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на С++. Алгоритмы на графах / Р. Седжвик. – СПб. : ДиаСофтЮП, 2002. – 496 с.

[155] Сениченков Ю. Б. Основы теории и средства моделирования гиб ридных систем : автореф. дис. … д-ра техн. наук / Ю. Б. Сениченков. – СПб., 2005. – 31 с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК [156] Сениченков Ю. Б. Основы теории и средства моделирования гиб ридных систем : дис. … д-ра техн. наук / Ю. Б. Сениченков. – СПб., 2005. – 233 с.

[157] Сениченков Ю.Б. Численное моделирование гибридных систем / Ю. Б. Сениченков. – СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2004. – 206 с.

[158] Скворцов Л. М. Явные адаптивные методы численного решения же стких систем / Л. М. Скворцов // Мат. моделирование. – 2000. – № 12. – С. 97–107.

[159] Скворцов Л. М. Явные двухшаговые методы Рунге–Кутты / Л. М. Скворцов // Мат. моделирование. – 2009. – № 21. – С. 54–65.

[160] Скворцов Л. М. Явные методы Рунге–Кутты для умеренно жестких задач / Л. М. Скворцов // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2005. – Т. 45. – С. 2017–2030.

[161] Скворцов Л. М. Явный многошаговый метод численного решения жестких дифференциальных уравнений / Л. М. Скворцов // Журн. вычислит.

математики и мат. физики. – 2007. – Т. 47. – С. 959–967.

[162] Слоневский Р. В. Новые дробно-рациональные численные методы решения жестких систем / Р. В. Слоневский // Численное решение ОДУ. – М. :

ИПМ АН СССР, 1988. – С. 124–138.

[163] Современные численные методы решения обыкновенных диффе ренциальных уравнений / под ред.: Дж. Холла, Дж. Уатта. – М. : Мир, 1979. – 312 с.

[164] Спецификация и исследование гибридных систем высокой размер ности средствами ИСМА / Ю. В. Шорников, И. Н. Томилов, М. С. Денисов, Д. Н. Достовалов // Науч. вестн. НГТУ. – 2010. – № 1(38). – С. 85–94.

[165] Схемы Розенброка с комплексными коэффициентами для жестких и дифференциально-алгебраических систем / А. Б. Альшин, Е. А. Альшина, Н. Н. Калиткин, А. Б. Корягина // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 2006. – Т. 46. – С. 1392–1414.

[166] Томилов И. Н. Математическое и программное обеспечение для ре шения прямых задач химической кинетики / И. Н. Томилов // Системы управ ления и информационные технологии. – 2009. – № 3(37). – С. 286–290.

[167] Томилов И. Н. Спецификация дискретной составляющей моделей гибридных систем / И. Н. Томилов, М. С. Денисов, Д. Н. Достовалов // Ин формационные технологии моделирования и управления. – Воронеж : Науч ная книга, 2009. – № 4 (56). – С. 534–541.

[168] Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управле ния / В. И. Уткин. – М. : Наука, 1981. – 368 с.

[169] Федоренко Р. П. О регулярных системах обыкновенных дифферен циальных уравнений / Р. П. Федоренко // Докл. АН СССР. – 1983. – Т. 273, № 6. – С. 1318–1322.

[170] Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений :

учебник / А. Ф. Филиппов. – М. : Едиториал УРСС, 2004. – 240 с.

[171] Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. – М. : Наука, 1985. – 223 с.

[172] Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям / А. Ф. Филиппов. – Ижевск : Изд-во РХД, 2000. – 175 с.

[173] Форестер Дж. Динамика развития города / Дж. Форестер ;

пер. с англ. М. Г. Орловой ;

под ред. Ю. П. Иванилова [и др]. – М. : Прогресс, 1974. – 285 с.

[174] Форестер Дж. Мировая динамика / Дж. Форестер ;

пер. с англ.:

А. Н. Воронука [и др] ;

под ред. Д. М. Гвишиани, К. Н. Моисеева. – М. : Нау ка, 1978. – 165 с.

[175] Форестер Дж. Основы кибернетики предприятий / Дж. Форестер ;

пер. с англ.: Л. А. Болыкова [и др.] ;

под ред. Д. М. Гвишиани. – М. : Прогресс, 1971. – 340 с.

[176] Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер // М. : Мир, 1999. – 685 с.

[177] Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер. – М. : Мир, 1990. – 512 с.

[178] Черных И. Г. Алгоритмический и программный инструментарий для численного решения прямых задач химической кинетики с использованием супер-ЭВМ : автореф. дис. … канд. техн. наук / И. Г. Черных. – М., 2006. – 18 с.

[179] Численное моделирование гибридных систем явным методом третьего порядка в инструментальной среде ИСМА / А. Е. Новиков, Е. А. Но виков, Ю. В. Шорников, Д. Н. Достовалов // Проблемы информатики. – Ново сибирск : Изд-во НГТУ, 2010. – № 3(7). – С. 73–80.

[180] Чуа Л. О. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вы числительные методы / Л. О. Чуа, Лин Пен-Мин ;

пер. с англ.: Е. С. Виленки на [и др] ;

под ред. В. Н. Ильина. – М. : Энергия, 1980. – 640 с.

[181] Чуи К. Введение в вейвлеты / К. Чуи. – М. : Мир, 2001. – 412 c.

[182] Шилов Г. Е. Математический анализ (функции нескольких вещест венных переменных) / Г. Е. Шилов. – М. : Наука, 1972. – 457 с.

[183] Широбоков Н. В. К определению жестких дифференциальных задач / Н. В. Широбоков // Журн. вычислит. математики и мат. физики. – 1984. – Т. 24, № 4. – С. 599–601.

[184] Шорников Ю. В. Адаптивный алгоритм численного анализа жестких систем / Ю. В. Шорников, Е. А. Новиков, М. С. Денисов // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007611459. – М. : Роспа тент, 2007.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК [185] Шорников Ю. В. Визуальное моделирование гибридных систем / Ю. В. Шорников, Е. Ю. Герасимова // ГрафиКон’2006 : тр. 16 междунар.

конф. по компьютерной графике и ее приложениям. – Новосибирск : Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2006. – С. 263–266.

[186] Шорников Ю. В. Визуальное моделирование гибридных систем / Ю. В. Шорников, О. В. Никонова // ГрафиКон’2005 : тр. 15 междунар. конф.

по компьютерной графике и ее приложениям. – Новосибирск : Изд-во ИВ МиМГ СО РАН, 2005. – С. 263–266.

[187] Шорников Ю. В. Визуально-лингвистическое моделирование били арной системы / Ю. В. Шорников, И. Н. Томилов // Науч. вестн. НГТУ. – 2008. – № 4(33). – С. 53–61.

[188] Шорников Ю. В. Визуально-лингвистическое моделирование гиб ридных систем / Ю. В. Шорников // Науч. вестн. НГТУ. – 2006. – № 2(23). – С. 65–72.

[189] Шорников Ю. В. Имитационное моделирование билиарной системы средствами ИСМА / Ю. В. Шорников, А. Ж. Абденов, О. В. Титович // ИММОД-2003 : сб. докл. 1 всерос. науч.-практ. конф. : в 2 т. – СПб. : Изд-во ФГУП ЦНИИ ТС, 2003. – Т. 2. – С. 142–147.

[190] Шорников Ю. В. Импорт данных в программной среде ИСМА / Ю. В. Шорников, В. С. Дружинин // Свидетельство об официальной регистра ции программы для ЭВМ № 50200600117. – М. : Изд-во ВНТИЦ, 2006.

[191] Шорников Ю. В. Инструментально-ориентированный анализ гиб ридных систем / Ю. В. Шорников // Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности : сб. тр. 3 междунар. науч.-практ.

конф. / под ред.: А. П. Кудинова, Г. Г. Матвиенко. – СПб. : Изд-во Политехн.

ун-та, 2007. – С. 46–48.

[192] Шорников Ю. В. Инструментально-ориентированный анализ жест ких динамических, гибридных и распределенных систем явными методами / Ю. В. Шорников, А. Ж. Абденов // ИММОД-2007 : материалы 4 всерос. науч.

конф. по имитационному моделированию. – СПб., 2007. – С. 352–357.

[193] Шорников Ю. В. Инструментально-ориентированный анализ жест ких динамических и гибридных систем явными методами / Ю. В. Шорников // Системы управления и информационные технологии. – 2007. – № 2 (28). – С. 72–75.

[194] Шорников Ю. В. Инструментальные средства компьютерного моде лирования динамических систем / Ю. В. Шорников, Т. А. Жданов, В. В. Лан довский // Компьютерное моделирование-2003 : тр. 4 междунар. науч.-техн.

конф. – СПб. : Нестор, 2003. – С. 250–257.

[195] Шорников Ю. В. К задаче о двух баках в системе ИСМА / Ю. В. Шорников, М. Ю. Афанасьев // Компьютерное моделирование-2004 :

тр. 5 междунар. науч.-техн. конф. – СПб. : Нестор, 2004. – Ч. 1. – С. 163–168.

[196] Шорников Ю. В. Компьютерное моделирование билиарной системы специализированными средствами / Ю. В. Шорников // Науч. вестн. НГТУ. – 2004. – № 3 (18). – С. 31–42.

[197] Шорников Ю. В. Компьютерное моделирование жестких гибридных систем // Компьютерное моделирование-2007 : тр. 8 медунар. науч.-техн.

конф. – СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2007. – С. 19–22.

[198] Шорников Ю. В. Компьютерный анализ многомерных ГС явными методами в ИСМА / Ю. В. Шорников, И. Н. Томилов, М. С. Денисов // Про блемы информатики. – 2009. – № 2(3). – С. 33–41.

[199] Шорников Ю. В. Методология анализа нелинейных динамических систем методом фазовой плоскости в среде ИСМА / Ю. В. Шорников, В. С. Дружинин // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 50200600116. – М. : Изд-во ВНТИЦ, 2006.

[200] Шорников Ю. В. Моделирование гибридных систем явными мето дами / Ю. В. Шорников // Системы управления и информационные техноло гии. – 2007. – № 4(30). – С. 307–311.

[201] Шорников Ю. В. Моделирование сложных динамических и гибрид ных систем в ИСМА / Ю. В. Шорников // Науч. вестн. НГТУ. – 2007. – № 1(26). – С. 79–88.

[202] Шорников Ю. В. Прикладное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение компьютерного анализа гибридных систем : дис. … док. техн. наук / Ю. В. Шорников. – Новосибирск, 2009. – 292 с.

[203] Шорников Ю. В. Программа языкового процессора с языка LISMA (Language of ISMA) / Ю. В. Шорников, И. Н. Томилов // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007611024. – М. : Роспа тент, 2007.

[204] Шорников Ю. В. Разработка средств автоматизации эксперимен тального анализа и исследования динамических систем : дис. … канд. техн.

наук / Ю. В. Шорников. – Новосибирск, 1985. – 191 с.

[205] Шорников Ю. В. Спецификация и численный анализ гибридных сис тем в ИСМА / Ю. В. Шорников [и др.] // Научное программное обеспечение в образовании и научных исследованиях : тр. науч.-техн. конф. – СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2008. – С. 138–144.

[206] Шорников Ю. В. Теория и практика языковых процессоров : учеб.

пособие / Ю. В. Шорников. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2004. – 203 с.

[207] Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений / Х. Штеттер. – М. : Мир, 1978. – 461 с.

[208] Юань Чжао-Дин. Некоторые разностные схемы решения первой краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений с частными про изводными : дис. … канд. техн. наук / Юань Чжао-Дин. – М., 1958.

[209] Яковлев А. Н. Введение в вейвлет-преобразования : учеб. пособие / А. Н. Яковлев. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2003. – 104 c.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК [210] Яненко Н. Н. Проблемы математической технологии / Н. Н. Яненко, В. И. Карначук, А. Н. Коновалов // Численные методы механики сплошных сред. – Новосибирск : Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1977. – Т. 8, № 3. – С. 129–157.

[211] A class of Runge-Kutta-Rosenbrock methods for solving stiff differential equations / J. D. Verver, S. Scholz, J. D. Blom, M. Louter-Nool // ZAMM. – 1983. – № 63. – P. 13–20.

[212] Abdenov A. Zh. Computer Simulation of Biliary Stochastic System / A. Zh. Abdenov, Yu. V. Shornikov // Institute of Mathematics and Computer Sci ence Technical University of Czestochowa. – 2004. – № 4 (7). – P. 33–37.

[213] Abdenov A. Zh. Instrumental tools for computer modeling of complex dynamical processes / A. Zh. Abdenov, Yu. V. Shornikov // Proc. of the 7th Korea Russian Intern. Symp. On Science and Technology KORUS 2003. – Ulsan, Korea :

University of Ulsan, 2003. – P. 51–57.

[214] Abrial J. R. Formal Methods for Industrial Applications: Specifying and Programming the Steam Boiler Control / J. R. Abrial, E. Brger, H. Langmaack // Lecture Notes in Computer Science. – Springer-Verlag, 1996. – P. 265–282.



Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.