авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

КЫРГЫЗСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Ж. БАЛАСАГЫНА

Научно-исследовательский центр Навье-Стокса

Т.Д. Омуров

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА НАВЬЕ-СТОКСА

ДЛЯ ЖИДКОСТИ С ВЯЗКОСТЬЮ

Шестая проблема тысячелетия

Бишкек - 2011

УДК 532.5.516(04);

[517.9]

ББК 22.253

О – 57

Омуров Т.Д.

Нестационарная задача Навье-Стокса для жидкости с вязкостью/ КНУ им. Ж. Баласагына. – Б.: 2011. –116 с.

О – 57 ISBN 978 – 9967 – 02 – 759 – 6 Доказательство существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса является шестой задачей тысячелетия. Задача сформули рована Математическим институтом Клэя в 2000 году и описывает движение вязкой ньютоновской жидкости, которая является основой гидродинамики. В работе дано доказательство существования и глад кости решений нестационарной задачи Навье-Стокса с вязкостью.

Библиогр. 11 назв.

Основное содержание работы зарегистри ровано в Кыргызпатенте: Сектор объектов авторского права, авторское свидетельство №1543 от 30.07.2010 года.

Ответственный редактор:

д-р. физ.-мат. наук Каракеев Т.Т.

Рецензенты:

д-р. техн. наук,академик НАН КР Шаршеналиев Ж.Ш.

д-р. физ.-мат. наук, проф. Саадабаев А.С.

д-р. физ.-мат. наук, проф. Туганбаев У.М.

О 1603040000 – 11 УДК 532.5.516(04);

[517.9] ББК 22. © Омуров Т.Д., 2011.

ISBN 978 – 9967 – 02 – 759 – ОГЛАВЛЕНИЕ Перечень условных обозначений…………………………………….…. Предисловие ………………..……………………………………………. Введение……………………………………………………………...…... Глава Краткий обзор по исследуемым задачам и математическим поня тиям, применяемым в работе …………………………………...…….. §1.1. Обзор по уравнениям теплопроводности и Пуассона в неогра ниченной области. Преобразование Фурье.………………..........….... §1.2. Основные пространства, применяемые в работе для исследо вания нестационарных задач Навье-Стокса…………..………...……. Глава Нестационарная задача Навье-Стокса для несжимаемой жидкости………………………………………………………….…….. § 2.1. Задача Навье-Стокса с конвективными членами с условием (а1)…………………………………………………...…….. §2.2. Предельный случай очень малой вязкости….

..………………... §2.3. Решение задачи Навье-Стокса с условием (а2)…...…………...... §2.4. Задача Навье-Стокса с произвольными конвективными членами…………………………….......................................................... Глава Асимптотическое разложение решения уравнения Навье-Стокса с вязкостью...…….……………………………………………………… §3.1. Асимптотическое разложение решения течения с трением….... §3.2. Поведение решения системы Навье-Стокса в DlW ( T ) при асимптотическом разложении, когда m ® 0 ………..……………...…. §3.3. Интегро-дифференциальные уравнения Навье-Стокса с вязкостью…………………………………….………………….......... Глава Нестационарная задача Навье-Стокса для сжимаемого течения изотер мического изменения состояния……………………………………….. §4.1. Задача Навье-Стокса для вязкого течения изотермического изменения состояния…………………………………………………… §4.2. Ограниченность решения задачи Навье-Стокса для изотерми ческого изменения состояния в GlW ( T ) …..………..………...………. Заключение………................………………………………………..... Задачи для дальнейшего развития изложенной теории……….……. Аннотация…………………………………………………………....... Литература..………………………………………………………...…. Дополнительная литература…………………………...……………... ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ - R 3 - действительное 3-мерное пространство с евклидовым рассто янием;

- x R : x - принадлежит множеству R;

- "x - любое значение x;

- Ci - произвольная постоянная i = 1, 3 ;

- r – плотность;

- - m 0 – кинематическая вязкость;

r At = e – кинематический коэффициент «кажущейся» вязкости турбулентного течения, - соответствующий коэффициенту кинематической вязкости: m = r v ламинарного течения ( At -коэффициент турбулентного обмена, v коэффициент вязкости);

- fi ( x, y,z,t ) – внешняя сила i = 1, 3 ;

- Р( x, y,z,t ) - давление;

- – оператор набла;

- D – оператор Лапласа, т.е. лапласиан ;

- divn = 0,n = (n 1,n 2,n 3 ),( n 1 x + n 2 y + n 3 z = 0 ) (условие соленоидальности вектора n ;

- rotn = 0,n = (n 1,n 2,n 3 ) (условие потенциальности или безвихревости поля векторов n );

- LH - коэффициент Липшица оператора H 0 ;

- С (T ) - Банахово пространство непрерывных функций на Т с нормой = u ( x, y, z, t ), Т = R 3 [0, T0 ];

u m ax C ( x, y, z, t )Т - C 3,3,3,0 (Т )- пространство функций u( x, y,z,t ), имеющих непрерывные частные производные 3-го порядка по (x,y,z), причем u C ( T ) = Dku, ( C 3,3,3,0 (Т ) С 3 (Т ) ), 3,3,3, C( T ) 0 k где k = ( k1,k 2,k3 ) - мультииндекс, ku k = 0 : D u( x, y,z,t ) u;

k 0 : D u = k1 k2 k3, k = km,( km = 0,1,2,3;

m = 1,3 );

0 k x y z m= 3,3,3, % ( T ) –пространство функций u( x, y,z,t ), имеющих непрерывные -C частные производные 3-го порядка по (x,y,z) и производную 1-го порядка по t при этом u k % 3,1 % 3,3,3,1 ( T ) = {( x, y,z,t ) T :

C 3,1 ( T ) = 0 k 3 D u C( T ) + ut C ( T ) ;

C ( T ) С % k D u С( T );

ut C(T )},k = 0 : D u( x, y,z,t ) u;

ku k 0 : D k u = ;

k = a i,( a i = 0,1,2,3;

i = 1,3 ), xa1 ya 2 za i = % 3,3,3,1 ( T ) отличается от пространства C 3,3,3,1 ( T ) тем, что не аC содержит члены со смешанными производными, учитывающие произ водные 1-го порядка по t (производные по t содержатся отдельно);

- L2 [Т = R 3 (0, T0 )] - линейное пространство всех измеримых функций lW U ( x, y, z, t ) с весом l ( t )W ( x, y,z ), где T 0 l ( t ) : l( t ) dt = q0 +;

0 W : W ( x, y,z )dxdydz = 1, t R если, например: W ( x, y,z ) exp[ - ( x 2 + y 2 + z 2 )], причем p T0 =( l( t )W ( x, y,z ) U( x, y,z,t ) dxdydzdt ) ;

U LlW ( T ) 0R - Di - оператор типа Вольтерра;

- J0 -начальное приближение;

- e - малый положительный параметр: 0 e 1;

- a(t ) 0 - неотрицательная интегрируемая функция в R+ = [0, +) ;

- [1],…, [11] - основная литература;

[1*],…, [12*] – дополнительная литература;

- C3 (T ) ' n ( x, y, z, t ) - заданная векторная функция: n = (n 1,n 2,n 3 ).

- Если выполняется T l ( t )W ( x, y,z ) n it ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +,(i = 1,3 ), 0 R = ni то n i G (T ),( i = 1,3 ), при этом норма: v G, где D(2n i ;

lW ) ( T ) lW % lW ( T ) i = n 2 = n i C 3,3,3,0 ( T ) + n it L2 ( T ),i = 1,3;

i D( n i ;

lW ) ( T ) % lW % D( n i ;

lW ) (T ) = {( x, y,z,t ) T = R [0,T0 ] : n i C ( T );

n it L2 [R 3 ( 0,T0 )], 3 3,3,3, lW T 0 l ( t ) : l( t ) 1dt = q +;

0 W : W ( x, y, z )dxdydz = 1},i = 1,3.

t R Пусть T0 T ( l( t )W ( x, y,z )[D ( x, y,z,t )] dxdydzdt ) + l( t )W ( x, y,z ) k 0 k 3 R3 R 0 t ( x, y,z,t ) dxdydzdt K 0 +, тогда WlW (T ) = {( x, y,z,t ) T : D k L2 R 3 ( 0,T0 ), t L2 R 3 ( 0,T0 ) }, lW lW k k = 0 : D0 ( x,y,z,t ) ;

k 0 : Dk = k1 k2 k3, k = km,( km = 0,1,2,3;

m = 1,3 ), x y z m = а норма T0 T ( l( t )W ( x, y,z )[D ( x, y,z,t )] dxdydzdt ) + l( t )W ( x, y,z ) W2 ={ k lW ( T ) 0 k 3 3 0 R 0R t ( x, y,z,t ) dxdydzdt }, где WlW ( T ) - весовое пространство типа Соболева.

ПРЕДИСЛОВИЕ В данной работе исследуется нестационарная задача Навье Стокса для несжимаемой и сжимаемой жидкости с вязкостью.

Основной целью работы, является доказательство существо вания, единственности и условной гладкости решения задачи Навье Стокса для несжимаемой жидкости в Gl2 ( T ), GlW (T ) или DlW ( Т ) [или 2 % % гладкости в С 2,2,2,1( Т ) С 2,1( Т ) ].

Более точно проведены обоснования метода эквивалентного раздробления системы и развита теория о принадлежности решений к конкретным пространствам с весовыми функциями. Рассматривается предельный случай очень малой вязкости в GlW (T ).

Далее, обосновывается справедливость асимптотического разло жения, которое позволяет построение решений um,u m,wm в DlW ( Т ).

При этом изучены особенности решений исследуемых уравнений и методы их построения, и ограниченности в весовых пространствах DlW ( Т ). В условиях асимптотического разложения при обращении параметра m ® 0 доказывается, что решение системы Навье-Стокса с вязкостью сходится к решению вырожденной системы в смысле DlW ( Т ).

Полученные результаты обобщены к интегро-дифференциаль ным уравнениям Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с вязкос тью в DlW ( Т ).

В главе 4 изучена нестационарная задача Навье-Стокса для сжимаемого вязкого течения изотермического изменения состояния в GlW ( Т ), где определяются неизвестные величины: скорость v = ( u,u,w ), P – давление, r – плотность.

ВВЕДЕНИЕ Существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса – одна из проблемных математических задач тысячелетия, сформулиро ванных в 2000 году Математическим институтом Клэя [1].

Пусть v( x, t ) – трёхмерный вектор скорости жидкости, x=(x,y,z), P(x,t) –давление. Уравнения Навье-Стокса в векторной форме имеют вид v + ( v ) v = P + mDv + f(x,t) (1) r t с условием v(x, t ) t =0 = v 0 (x), "x R 3, t [0, T0 ], (t R+ = [0, +)), (2) где m 0 – кинематическая вязкость, r – плотность, f ( x, t ) – внешняя сила, – оператор набла и D – оператор Лапласа, т.е. лапласиан.

Векторное уравнение (1) содержит три скалярных уравнения. Обоз начая компоненты векторов скорости и внешней силы v (x, t ) = [v1 (x, t ), v2 (x, t ), v3 (x, t )], f (x, t ) = [ f1 (x, t ), f1 (x, t ), f1 (x, t )], i = 1,2,3, получаем соответствующие скалярные уравнения Навье-Стокса vi vi 2 vi 1 P 3 + vj + m 2 + fi.

= r xi t x j j =1 x j j = Неизвестными величинами являются скорость v( x,t ) и давление P, т.е. четыре неизвестных: три компоненты скорости и давление, поэтому необходимо еще одно уравнение. Дополнительным уравнением является условие несжимаемости жидкости v = 0. (3) На основе разработанных методов работы решается нестационар ная задача Навье-Стокса для сжимаемого течения с вязкостью изотер мического изменения состояния [2]:

vi vi P r [ t + v j x ] = fi - x + Fi ( v1,v2,v3, m ),i = 1,3, j =1 j i v 2 v v v v [m ( 2 1 - div v )]+ [m ( 1 + 2 )]+ [m ( 1 + 3 )], F x1 x1 3 x2 x2 x1 x3 x3 x (4) F [m ( 2 v2 - 2 div v )]+ [m ( v2 + v3 )]+ [m( v1 + v2 )], 2 x2 x2 3 x3 x3 x2 x1 x2 x F [m ( 2 v3 - 2 div v )]+ [m( v3 + v1 )]+ [m ( v2 + v3 )], 3 x x3 3 x1 x1 x3 x2 x3 x (rv ) rt + = 0, (5) i xi i = P - r RT = 0, (6) v( x,t ) t =0 = v0 ( x ),"x R 3,t [0,T0 ], (7) r |t =0 = r0 ( x ),"x R,t [0,T0 ].

Неизвестные величины являются: скорость v = ( v1,v2,v3 ), P – давление, r – плотность, а T, m – считаются известными, где T – абсолютная температура, соотношение m ( T ), связь между коэффициентом вязкости m и температурой T (здесь зависимостью вязкости от давления обычно не учитывает).

Численные решения задачи Навье-Стокса используются во многих практических приложениях, но в аналитическом виде решения найдены лишь в некоторых частных случаях. Однако, известны некоторые частные решения, например, для ламинарного течения в трубе или для течений в пограничном слое [2]. Эти частные решения хорошо совпадают с экспериментальными результатами, что вряд ли можно сомневаться в общей применимости уравнений Навье Стокса. Поэтому в физическом смысле вывод уравнений Навье Стокса не входит в нашу задачу, так как имеется огромное коли чество фундаментальных работ, отражающие эти вопросы [2,6,8,…].

ГЛАВА КРАТКИЙ ОБЗОР ПО ИССЛЕДУЕМЫМ ЗАДАЧАМ И МАТЕМАТИЧЕСКИМ ПОНЯТИЯМ, ПРИМЕНЯЕМЫМ В РАБОТЕ В основном работа состоит из четырех глав.

В первой главе приводятся основные методы и пространства, которые используются для изучения нестационарной задачи Навье Стокса, и далее дается краткое содержание изучаемых задач.

В главе 2 изучается задача Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с вязкостью [1,2]. Результаты исследований получены в GlW (T ) и C 3,3,3,1 ( T ).

% Целью главы 3 является асимптотическое разложение решения нестационарной задачи Навье-Стокса с вязкостью [1] и доказательство ограниченности решений в DlW ( T ). При условиях асимптотического разложения, когда m ® 0 доказывается, что решение системы Навье Стокса с вязкостью сходится к решению вырожденной системы в смысле DlW ( T ).

В главе 4 доказываются единственность и условно-гладкость решения нестационарной задачи Навье-Стокса для сжимаемой жид кости с вязкостью изотермического изменения состояния [2] в GlW ( T ).

§1.1. Обзор по уравнениям теплопроводности и Пуассона в неограниченной области. Преобразование Фурье §1.1.1. Уравнение распространения тепла [5].

I. Фундаментальное решение. Рассмотрим уравнение со многими независимыми переменными ut + f = Du, (1.1.1) a определяющее температуру в точках некоторого однородного t1 = a 2t изотропного тела. Замена переменного t по формуле а 2, то в дальнейшем позволяет избавиться от коэффициента изложении считаем а 2 равным единице. Тогда ut + f = Du,T = R 3 (0,T0 ). (1.1.2) Рассмотрим задачу о распространении тепла в неограниченной среде с условием Коши u t =0 = u0 ( x, y,z )," ( x, y,z ) R 3. (1.1.3) Это означает, что в начальный момент времени распределение температур в теле известно. При этом основную роль играет одно частное решение однородного уравнения теплопроводности, называе мое фундаментальным.

Пусть r v= exp( - ), (1.1.4) 4( t - s ) 8 p (t - s ) 3 где r = ( x - s1 ) + ( y - s2 ) + ( z - s3 ). При этом имеют место:

2 2 Лемма 1.1.1. Функция v удовлетворяет уравнениям dv dv D0 v - = 0,Dv + = 0, (1.1.5) dt ds 2 v 2v 2v здесь D0 v = 2 + 2 + 2.

x y z Лемма 1.1.2. Если t s, то имеет место равенство vds1ds2ds3 = 1. (1.1.6) R + При доказательстве этой леммы учитывается: e -t dt = p.

Лемма 1.1.3. Пусть F( x, y,z ) – произвольно-непрерывная и ограниченная функция в области W (в частности, W может совпадать со всем пространством). Тогда r 3 exp( - )F( s1,s2,s3 )ds1ds2 ds3 F( x, y,z ), (1.1.7) ® x ® 4x 8px W если точка ( x, y,z ) W. (В формуле (1.1.7) стремление к пределу равномерное по отношению к ( x, y,z ) во всякой конечной области W1, лежащей внутри W вместе со своей границей).

II. Решение задачи Коши (1.1.2), (1.1.3). Пусть при t задана некоторая функция u, имеющая непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно по x, y,z и производную 1-го порядка по времени. Кроме того, пусть функция u и ее первые производные ограничены во всем пространстве.

Применим формулу Грина к функциям u,v для значений t : 0 t t, (v -есть частное решение уравнения теплопроводности и определяется в виде (1.1.4), причем за область интегрирования берем шар W, ограниченный сферой S), получим u v (u Dv - vDu )d W = (v - u )dS, (1.1.8) n n W S v обозначена нормальная производная функция v. Она равна где n v v v проекции вектора grad v с составляющими на направление,, x y z внутренней нормали.

С другой стороны, отметим, что интеграл вида t W vF( x, y,z,t )d W dt (1.1.9) абсолютно сходится, если F – непрерывно-ограниченная функция.

Предположим, что f ( x, y,z,t ), u0 ( x, y,z ) – непрерывно-ограни ченные функции. Тогда имеем t r2 r exp( - )u0( s1,s2,s3 )ds1ds2ds3 - exp( u( x,y,z,t ) = ) 4m(t -t ) 4t 8 p t R3 0 R f ( s1,s2,s3,t )ds1 ds2 ds3 dt, (1.1.10) 8( pm ( t - t )) здесь гладкость решений требуются по пространственным коорди натам, (1.1.10) – это решение задачи Коши (1.1.2), (1.1.3).

§1.1.2. Уравнения Пуассона в неограниченной области.

Рассмотрим уравнение Пуассона [5] D J = -4p F0. (1.1.11) В работе Соболева С.Л. [5] указано, что функция ds ds ds J = F0 ( s1,s2,s3,t ) 1 2 3, (1.1.12) r R r = ( x - s1 )2 + ( y - s2 )2 + ( z - s3 )2, J – решение (1.1.11), стремя щееся к нулю на бесконечности, и называется ньютоновым потенциа лом, а функция F0 называется плотностью этого потенциала. При этом были доказаны [5]:

а) стремление к нулю функции J на бесконечности;

б) что ньютонов потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона;

в) одновременно доказано существование непрерывных первых и вторых производных у ньютонова потенциала.

x+x y +h z +t Введем новые переменные: s1 =, s2 =, s3 =, чтобы доказать существование и непрерывность вторых производных.

Тогда из интеграла (1.1.12), получим ( s - x )ds1ds2 ds ds ds ds J x = ( F0 ( s1,s3,s3,t ) 1 2 3 ) = F0 1 = x R3 r r R F0 ( x + x, y + h,z + t,t )d x dh dt x =. (1.1.13) (x +h +t ) 2 2 2 R Аналогично, имеем F ( x + x, y + h,z + t,t )dx dh dt Jy = h 0, ( x +h +t ) 2 2 R (1.1.14) J = t F0 ( x + x, y + h,z + t,t )dx dh dt.

z R3 ( x 2 + h 2 + t 2 ) Отсюда видно, что (1.1.13), (1.1.14) можно дифференцировать по x,y,z, причем интегралы от производных будут сходиться равномерно.

§1.1.3. Преобразование Фурье в R 3. Рассмотрим множество Q( R 3 ) быстро убывающих функций на R 3 :

Q( R 3 ) = { f C ( R 3 );

sup xa D k f + };

a = ( a1,a 2,a 3 ),a j 0, xR k f k = ( k1,k2,k3 ),k j 0;

D f = k1 k2 k3, k = k j ;

k = 0 : D 0 f f.

k x1 x2 x3 j = При f Q( R 3 ) преобразование Фурье F( s ),s R,s = ( s1,s1,s1 ) определяется формулой ei( x1s1 + x2 s2 + x3 s3 ) f ( x1,x2,x3 )dx1dx2 dx3, F( s1,s2,s3 ) = (1.1.15) 8p 3 R а обратное преобразование Фурье e - i( x1s1 + x2 s2 + x3 s3 ) f ( x1,x2,x3 ) = F( s1,s2,s3 )ds1ds2 ds3. (1.1.16) 8p R I. Если f ( x1,х2,х3 ) абсолютно интегрируема в R3, то функция (1.1.15) непрерывна в R3 и стремится к нулю при ± по совокуп ности аргументов.

lim f n ( x1,x2,x3 ) - f ( x1,x2,x3 ) dx1dx2 dx3 = 0, II. Если n ® R то lim Fn = F, (где Fn,F являются преобразованиями Фурье функций n® f n, соответственно f ), причем Fn равномерно сходится к непрерывной функции F,"s R3.

§1.2. Основные пространства, применяемые в работе для исследования нестационарных задач Навье-Стокса §1.2.1. Решение многих задач теоретической и математической физики, связанных с изучением процессов теплопроводности, взаимо действия излучения с веществом, распространения электромагнитных и звуковых волн, разработка теории ядерных реакторов и внутреннего строения звезд приводит к использованию различных специальных весовых пространств [11*,12*,…].

Если задача Навье-Стокса:

uit + u juix j = fi - Px + mDui,i = 1,3, (1.2.1) ri j = u = 0, (1.2.2) u ( x,t ) t = 0 = u 0 ( x ),x R 3,t [0,T0 ] (1.2.3) решается в классе G 0 ( T ), где G 0 ( T ) = { ( x1,x2,x3,t ) T = R 3 [0,T0 ] : ui C 3,3,3,0 (T ) C 3,0 ( T ),( i = 1,3 ), а производные 1-го порядка во времени: uit,( i = 1,3 ) определяются для t0 при заданных начальных условиях: ui t = 0 = ui0,i = 1,3, гладкости функций ui,( i = 1,3 ) в G 0 ( T ), требуются только по ( x1,x2,x3 ) }, то при условии T l( t )W ( x1,x2,x3 ) uit ( x1,x2,x3,t ) dx1dx2 dx3 dt K +,i = 1,3, (1.2.4) 0 R решение задачи Навье-Стокса u = [u1( x,t ),u 2 ( x,t ),u 3 ( x,t )] GlW ( T ) и норма пространства GlW ( T ) определяется в виде = ui v, (1.2.5) D(2ui ;

lW ) ( T ) % GlW ( T ) i = где ui D2 ( T ) = ui C 3,3,3,0 ( T ) + uit L2,( i = 1,3 ), % ( ui ;

lW ) lW T0 uit L2 = ( l( t )W ( x1, x2,x3 ) uit ( x1,x2, x3,t ) dx1dx2 dx3 dt ) 2,( i = 1,3 ), lW 0 R % D( ui ;

lW ) ( T ) = {( x1,x2,x3,t ) T = R 3 [0,T0 ] : ui C 3,3,3,0 ( T );

(1.2.6) uit LlW [ R ( 0,T0 )]}, 2 n = ( u1,u2,u3 ) GlW ( T ) = {( x1,x2, x3,t ) T = R [0,T0 ] :

2 u C 3,3,3,0 (T ),( i = 1,3 );

u L2 [R 3 ( 0,T ),i = 1,3] }, i lW it T 0 l( t ) : l( t ) dt = q0 +;

0 W : W ( x1,x2,x3 )dx1dx2dx3 = 1, t R fi C (T = R [0,T0 ] ),C ( T ) C ( T ),i = 1,3, 4,0 3 4,0 4,4,4, (1.2.7) ui C ( R ),( i = 1,3 ),C ( R ) С ( R ).

3 3 3,3,3 3 3 Если T l( t ) u ( x,x,x,t ) dt K +,i = 1,3, sup (1.2.8) it 1 2 ( x1,x2,x3 )R 3 то функции uit,( i = 1,3 ) рассматриваются в L2l ( 0,T0 ) с условиями: ui = ui0.

t= Следовательно:

G 0 [T = R 3 [0,T0 ] ;

l( t )] Gl (T ) = {( x1,x2,x3,t ) T : ui C 3,3,3,0 ( T ),i = 1,3;

u it L2 ( 0,T0 ),i = 1,3, где uit,( i = 1,3 ) непрерывные и ограниченные функ l T ции по ( x1,х2, х3 ) R ;

0 l( t ) : l( t ) dt = q0 +}:

t u G2 ( T ) = ui D2 ( T ) ;

ui D2 ( T ) = ui C 3,0 ( T ) + uit L2,i = 1,3, %( u ;

l ) %( u ;

l ) l l i i i = (1.2.9) T0 u 2 = ( sup l( t ) uit ( x1,x2,x3,t ) dt )2,i = 1,3.

it Ll ( x1,x2,x3 )R Пусть функции fi,ui0 удовлетворяют условия:

1) fi C 3,0 (T = R3 [0,T0 ] ),C 3,0 (T ) C 3,3,3,0 (T ),i = 1,3, 2) ui0 C 2 ( R3 ),( i = 1,3 ),C 2 ( R3 ) C 2,2,2 ( R 3 ), которые требуются, как необходимые условия решения системы Навье-Стокса (1.2.1) с трением. При этом решение задачи (1.2.1) (1.2.3) можно искать в DlW ( T ). Здесь u = ( u1,u 2,u 3 ) имеют частные производные 2-го порядка по пространственным координатам, причем u D2 ( T ) = ui D2 ( T ) ;

ui D2 ( T ) = ui C2,0 ( T ) + uit L2,( i = 1,3 ), % % lW ( ui ;

lW ) ( ui ;

lW ) lW i = T0 u 2 =( 3 l( t )W ( x1,x2,x3 ) uit ( x1,x2,x3,t ) dx1dx2 dx3dt )2,( i = 1,3 ), it LlW (1.2.10) 0R D( u ;

lW )(T ) = {( x1,x2,x3,t ) T : ui C 2,2,2,0 (T ) C 2,0 (T );

% i uit L2 [R3 (0,T0 )] }.

lW Замечания 1.2.1. А1) Если T ( l( t )W ( x,x,x )[ D kui ( x1,x2,x3,t )] 2 dx1dх2 dх3 dt ) + 1 2 0 k 2 0 R (1.2.11) T + l( t )W ( x,x,x ) uit ( x1, x2,x3,t ) dx1dх2 dх3 dt K0 +,i = 1,3, 1 2 0 R то ui WlW ( T ) = {( x1,x2, x3,t ) T : D kui L2 R 3 ( 0,T0 ),uit L2 R 3 ( 0,T0 ) }, lW lW k ui, k = km,( km = 0,2;

m = 1,3 ), i = 1,3;

k = 0 : D ui ui ;

k 0 : D ui = 0 k x1k1 x2 k2 x3 k3 m = T ( l( t )W ( x,x,x ui )[D kui ( x1,x2,x3,t )]2 dx1dх2 dх3 dt ) + ={ 1 2 WlW 0 k 2 0 R T0 + l ( t )W ( x1,x2,x3 ) uit ( x1,x2,x3,t ) dx1dх2 dх3 dt },i = 1,3, (1.2.12) R где – весовое пространство типа Соболева.

WlW ( T ) А2) В §2.4 рассматривается задача, когда решение принад % лежит в C 2,2,2,1( T ) :

u C 2,1 ( T ) = ui C 2,1 ;

ui C 2,1 = D kui C ( T ) + uit C ( T ),( i = 1,3 ), % % % ( ui ;

T ) ( ui ;

T ) i =1 0 k С 2,1 ( T ) С 2,2,2,1 ( T ) = {( x,x,x,t ) T : D ku С( T );

u C( T )},( i = 1,3 ), % % 1 2 3 i it k ui k = 0 : D0u ( x,x,x,t ) u ;

k 0 : D ku =, k = ai, x1a1 x2a 2 x3a i 1 2 3 i i i = ( a i = 0,1,2;

i = 1,3 ).

% При изучении стационарных задач C 2,2,2,1( T ) переходит в C 2,2,2 ( R 3 ) – пространство функций ui ( x1,x2,x3 ), имеющих непрерывные частные производные по x1,x2,x3 до 2-го порядка, включительно, причем ui D kui =,i = 1,3.

C 2 ( R3 ) C( R 3 ) 0 k §1.2.2. Основные задачи, исследуемые в главе 2 и 3.

Содержание главы 2. В работах [3,4] был предложен метод для решения задачи Навье-Стокса для несжимаемой жидкости (1.2.1) (1.2.3), когда конвективные члены Ki ( u1,u2,u3 ) u juix j,i = 1,3 (1.1) j = имеют определенные ограничения. При этом функции вида qi = u juix j - Qxi,i = 1,3, (1.2) j = q i,( i = 1,3 ) не могут быть тождественно равны нулю и qi = qi0 ( x ),"x R3,i = 1,3, t = Q = u1 + u2 + u3, 2 2 (1.3) Qx = ( u1 + u2 + u3 )x = 2( u1u1x + u2u2x + u3u3x ),i = 1,3, 2 2 i i i i i где qi0,( i = 1,3 ) – известные функции, так как известны ui0,i = 1,3. Здесь функции qi, которые введены с помощью (1.2), могут допускать условия: а1) rotq% = 0,q% = ( q1,q2,q3 ) ;

rotn 0, n = ( u,u,w ) ;

а2) divq% = 0 ;

rotn 0, n = ( u,u,w ) ;

или:

а3) q i,( i = 1,3 ) - произвольные функции, если, соответственно, или:

как необходимые условия, имеют место:

а1,0) rotq%0 = 0,q%0 = ( q10,q20,q 30 );

а2,0) divq%0 = 0;

а3,0) q% 0 - произвольные функции.

Замечания 1.2.2. Б1) В случае (а1) течение рассматривается с очень малой вязкостью: 0 m 1, (см. §2.1, §2.2, гл.2), когда число Рейнольдса очень велико (Re ® ) [2,6]. Этот вопрос в предельном случае очень большого числа Рейнольдса является основным вопросом в теории пограничного слоя.

В исследовании турбулентности разрешающая способность чис ленных методов никогда не достигает полного смысла при высоких числах Рейнольдса. Поэтому качественно-аналитические методы, дающие решения задачи Навье-Стокса с трением, позволяют достичь более полного понимания физики турбулентности [6,7].

Если рассмотрим GlW ( T ), то при условиях (а1), (1.2.2) и (1.2.3) функции ( u1,u2,u3 ) ограничены в C 3,0 (T ). Поэтому, чтобы оценить ( u1,u2,u3 ) в GlW ( T ), надо, сперва, оценить функции: uit,i = 1,3 в L2.

lW Так как 3 = ui = uit u 3N1,С 3,0 (Т ) С 3,3,3,0 (Т );

ut 3M * ( m + ), C3,0 ( T ) C 3,0 ( T ) L2 L lW lW i =1 i = uit M *( m + ),i = 1,3;

N 1 = 20k1,M* = 60 b0 q,q = max( q0,q1,q2,q3 ), %% L lW то имеем = ui u 3[N 1 + M * ( m + )].

D(2ui ;

lW ) ( T % GlW (T ) ) i = Это означает, что функции u 1,u 2,u 3 ограничены в GlW ( T ).

Известно, что предельный переход к очень малой вязкости следует выполнять не в уравнениях Навье-Стокса, а в решении этих уравнений путем приближения коэффициента вязкости к нулю [2].

Предельный же случай, который мы рассмотрим в §2.2 относится к результатам §2.1 с условием (а1). При этом для идеальной несжимаемой жидкости ( m = 0 ) с условием Стокса, решение получено в % виде ((0.10), см. §2.1.2, гл.2): ui C 3,3,3,1(T ),i = 1,3. Следовательно, оценивая близости решений задачи Навье-Стокса с трением и вырож денной системы в смысле GlW ( T ) при m ® 0 с учетом d im, ui - ui C 3,0 ( T ) g 1 ( d m, m ),i = d m + 9N 0 m ),d m = 1,3;

g 1 ( d m, m ) = 20( i= или u - u 3,0 O ( m ),i =;

С ( Т ) С 1,3, если d = ( Т ), m 3,0 3,3,3, i i C (T ) получим = ui - ui u -u 3g 2 ( d m, m ), (1.4) D(2ui ;

lW ) ( T ) % GlW ( T ) i= g 2 ( d m, m ) = C * m + 20d m,C* = k * + 180N 0,k* = 8q.

% Предложение 1. При условии (1.4), когда d = m, допустимая погрешность оценки будет порядка O ( m ) в GlW (T ). Б2) В случае (а2) течение рассматривается со средней величиной вязкости: 0 m = m0 = const +, причем t [0,T0 ],T0 +, так как в этом случае из системы Навье-Стокса порождаются нелинейные интеграль ные уравнения Вольтерра второго рода по переменной t [0,T0 ], отно сительно функций qi,i = 1,3 (см. §2.3, гл.2).

Б3) В §2.4 задача (1.2.1)-(1.2.3) исследуется, когда конвективные члены задачи Навье-Стокса произвольны, т.е. с условием (а3).

Пусть функции q i,( i = 1,3 ) преобразуют (1.2.1) к системам вида uit + qi = fi - J x + mDui,( i = 1,3 );

rotu 0,u = ( u1,u 2,u3 );

i (1.5) 1 1 1 qi = u juix j - Qxi,( i = 1,3 );

J = Q + P,Q ui2.

r 2 j =1 i = В указанных системах содержатся неизвестные ui,J,qi,( i = 1,3 ),P.

Чтобы решить систему (1.5), предложим следующий способ.

Требуя u i = U i ( x1, x2, x3,t ) + Ci ( x1, x2, x3,t ),( i = 1,3 );

U i t =0 = U 0i,C i t =0 = 0,( i = 1,3 );

t Ci ( x1, x2, x3,t ) = [q i ( x1, x2, x3,t ) + J i ( x1, x2, x3,t )]dt,( i = 1,3 );

(1.6) q ( x, x, x,t ) = - J ( x, x, x,t ) + C ( x, x, x,t );

i 1 2 3 i 1 2 3 it 1 2 J xi J i ( x1, x2, x3,t ),( i = 1,3 ), где U i,Ci – новые неизвестные функции, имеем следующую теорему.

Теорема 1. Пусть функции U i,Ci являются решениями системы U it = mDU i,i = 1,3, (1.7) 2Cit = f i + mDCi,i = 1,3.

Тогда (1.6) является решением системы (1.5).

Решение системы (1.5) зависит от параметра вязкости.

В самом деле, в случае (а3), когда течение рассматриваем со средней величиной вязкости: 0 m = m0 = const +, то найденное решение задачи (1.2.1)-(1.2.3) обладает свойством гладкости в % % С 2,2,2,1 ( Т ) С 2,1 ( Т ) (см. §2.4.1, гл.2), T = R 3 R+.

Когда параметр вязкости: 0 m 1, то решение задачи (1.2.1) (1.2.3) обладает свойством условной гладкости в DlW ( T ) (см. §2.4.2, гл.2) при точных входных данных:

1) ui0 C 2 ( R 3 ),i = 1,3;

C 2 ( R 3 ) C 2,2,2 ( R 3 ), 2) fi C 3,0 ( T ),C 3,0 ( T ) C 3,3,3,0 ( T ),T = R 3 R+,( i = 1,3 );

divf = 0, f = ( f 1, f 2, f 3 ).

Содержание главы 3. Если для системы Навье-Стокса с трением [1,2] обосновывается справедливость асимптотического разложения, то построения решений uim,i = 1,3 в DlW ( T ) становится возможным.

Доказывается ограниченность функций uim,i = 1,3 в DlW ( T ). Также доказывается, что в условиях асимптотического разложения при m ® 0 решение системы Навье-Стокса с вязкостью сходится к решению вырожденной системы в смысле DlW ( T ) ;

fi C 3,0 (Т ),i = 1,3. Пусть uim ( x1,x2,x3,t ) = ui ( x1,x2,x3,t ) + xi ( x1,x2,x3,t ) + i ( x1,x2,x3,t ),i = 1,3, (1.8) ui ( x1, x2, x3,t )|t =0 = ui0 ( x1,x2,x3 ),i = 1,3;

divu = uixi = 0, (1.9) i = xi ( x1,x2,x3,t )|t =0 = 0;

i ( x1,x2,x3,t )|t =0 = 0 ( x1,x2,x3 ) ui0 - ui0,( i = 1,3 ), (1.10) i % где u =( u,u,u ), z = ( x,x,x ), = (,, ) – новые неизвестные 1 2 3 1 2 1 2 функции, которые удовлетворяют условия (1.9), (1.10). При этом, % относительно u = ( u1,u2,u3 ), z = ( x1,x 2,x3 ), = ( 1, 2,3 ), с учетом (1.8) из системы (1.2.1) вырождаются системы:

132 uit + ( u j )xi = f i - Pxi,i = 1,3, (1.11) r 2 j = it = mD i,i = 1,3, (1.12) xit + [x jxi x j + a jxix j + x j aix j ] = bi + Fi - [Pxi - Pxi ] + mDxi,i = 1,3, r (1.13) j = F f - f C 3,0 ( T ),i = 1,3.

i i i I. Функции ( u1,u2,u3 ) - есть решение вырожденной системы (см.

% §2.1.2, гл.2) с условием Стокса: rotu = 0, ui C 3,3,3,1( T ).

% II. В системе (1.12) функции i D(2 ;

lW )(T ). Поэтому с условием i (1.10) и T l ( t )W ( x1,x2,x3 ) it ( x1,x2,x3,t ) dx1dx2 dx3dt K +,i = 1,3, (1.14) R решение (1.12) представляем в виде r 1 3 exp( -( t12 + t 2 + t 3 )) i = exp( - )i0 ( s1,s2,s3 )ds1ds2ds3 = 2 4mt 8( pmt ) R3 p R 0 ( x1 + 2t1 mt,х2 + 2t 2 mt,х3 + 2t 3 mt )dt1dt 2 dt 3 Ni0 ( x1,х2,х3,t ),i = 1,3, (1.15) i причем функции i,i = 1,3 ограничены в DlW (T ) :

% 3( 10 + 3 q0 ) m.

DlW ( T ) III. В данном разложении z = ( x1,x 2,x 3 ) играют роль остаточного члена с условием (1.10). Из полученных результатов следует, что функции ai, bi,i = 1,3 :

3 bi ( x1,x2,x3,t ) -a j aix j + 2 ( u j )xi = - [u j ix j +uix j j + j ix j ],i = 1,3, (1.16) j =1 j = a ( x,x,x,t ) u +,i = 1, i 1 2 3 i i в уравнениях системы (1.13) становятся известными. Поэтому, учитывая qi = [x jxi x j + а jxix j + x j aix j ];

qi = 0,i = 1,3 (1.17) t = j = из системы (1.13) получим 1% % xit + qi = bi + Fi - Pi + mDxi ;

Pi Pxi - Pxi,i = 1,3. (1.18) r Пусть xi =1,x2,x3,t ) + Ci ( x1,x2,x3,t );

ji t =, Сi t =,( i = ji ( x 0= 0 = 1,3 );

0 t 1% [qi Ci ( x1,x2,x3,t ) =( x1,x2,x3,t ) + Рi ( x1,x2,x3,t )]dt,( i = 1,3 );

(1.19) r % Рi ( x1,x2,x3,t ) = x1,x2,x3,t ) + Cit ( x1,x2,x3,t ),( i = -qi ( 1,3 ), r тогда ji ( x, y,z,t ),Ci ( x, y,z,t ) являются решениями системы jit = Fi + mDji,i = 1,3, (1.20) 2Cit = bi + mDCi,i = 1,3.

Поэтому (1.19) является решением системы (1.18). При этом t exp( -( t xi = + t 2 + t 3 ))Fi ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + 2 2 p3 0 R t exp( -( t +2t 3 m ( t - s );

s )dt 1dt 2 dt 3 ds + + t 2 + t 3 ))bi ( x + 2t 1 a ( t - s ), 2 2 2p 0 R y + 2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s )dt 1dt 2 dt 3 ds H i,i = 1,3;

a = 2 -1 m, % 2,2,2,1 (T ), причем где x i C T 3 6 2 + l z 3( 15 + q1 )d 4 ;

q1 = ( t )[ + t ]2 dt, z =,x 2,x 3 ).

( x1 (1.21) DlW (T ) Утверждение 3.1.2. При выполнении (1.21), когда d 4 = m, допустимая погрешность оценки будет порядка O ( m ) в DlW (T ).

Теорема 3.1.1. Если функции ui, i,xi,i = 1,3 единственным образом определяются, как решения системы (1.11), (1.12), (1.13), то (1.8) является решением системы (1.2.1) в DlW ( T ).

В §3.2 изучено поведение решения системы Навье-Стокса при асимптотическом разложении (1.8), когда m ® 0 в DlW ( T ).

В §3.3 рассматривается вопрос о возможности применения асимптотического разложения (1.8) к системам Навье-Стокса вида uit + u juix j = fi - Px + mDui + e m Wi ( ui ),i = 1,3 (1.22) ri j = с условиями (1.2.2), (1.2.3) и K ( x,x,x,t W i ( ui ),t 2,t 3 )ui ( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3,i = 1,3, (1.23) i 1 2 3 R 0 K i : K i ( x1,х2, х3 t 1,t 2,t 3 )dt 1dt 2 dt 3 = 1,( i = 1,3 ), 3, R e m ( 0,1) : e m 0;

ui0 C 2 ( R 3 ), f i C 3,0 ( T ),( i = 1,3 ),T = R 3 [0,T0 ].

® m ® В работе [2] были исследованы частные случаи уравнения Навье - Стокса, когда r At = e – кинематический коэффициент «кажущейся»

вязкости турбулентного течения, соответствующий коэффициенту кинематической вязкости: m = r -1n ламинарного течения ( At - коэффи циент турбулентного обмена). При этом W i рассматривается, как диф ференциальный оператор 2-го порядка. Результаты этих работ не применимы к полным уравнениям Навье-Стокса вида (1.22).

В наших исследованиях все результаты §3.1, §3.2 применяются к уравнению (1.22), где W i является операторами вида (1.23).

Замечание. Результаты параграфа 3.3 получены с учетом согласования параметров: 0 m,e m 1 : e m 0.® m ® Содержание главы 4. Исследуется нестационарная задача Навье-Стокса для сжимаемого изотермического течения с вязкостью [2]:

vi v P + v j i ] = fi r[ + Fi ( v1,v2,v3, m ),i = 1,3, t x j xi j = v 2 v v v v [m ( 2 1 - div v )]+ [m ( 1 + 2 )]+ [m ( 1 + 3 )], F x1 x1 3 x2 x2 x1 x3 x3 x (1.24) F [m ( 2 v2 - 2 div v )]+ [m ( v2 + v3 )]+ [m( v1 + v2 )], 2 x2 x2 3 x3 x3 x2 x1 x2 x F [m ( 2 v3 - 2 div v )]+ [m( v3 + v1 )]+ [m ( v2 + v3 )], 3 x x3 3 x1 x1 x3 x2 x3 x (rv ) rt + = 0, (1.25) i xi i = P - r RT = 0, (1.26) v( x,t ) t =0 = v ( x ),"x R,t [0,T0 ], 0 (1.27) r |t =0 = r0 ( x ),"x R,t [0,T0 ], f i C 3,0 (T = R 3 [0,T0 ] ),C 3,0 (T ) C 3,3,3,0 (T ),i = 1,3, 0 (1.28) vi C ( R ) C ( R ),i = 1,3.

3 3 3,3,3 r– Неизвестные величины: скорость v = ( v1,v2,v3 ), P – давление, плотность, а T, m – считаются известными, где T – абсолютная температура, соотношение m ( T ), связь между коэффициентом вязкости m и температурой T (здесь зависимостью вязкости от давления обычно не учитывает). При этом доказывается, что задача (1.24) – (1.27) имеет единственное решение в GlW ( T ).

ГЛАВА НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА НАВЬЕ-СТОКСА ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Одной из проблемных математических задач современности является уравнение Навье-Стокса, которое описывает движение вязкой жидкости в гидродинамике. Изучение этого уравнения предс тавляют научный интерес и в теоретическом, и в практическом плане, как сказано ранее.

Пусть (u = u1,u = u 2,w = u3 ) :

ut + uu x + u u y + wu z = f1 ( x, y,z,t ) - r Px + mDu, ut + uu x + uu y + wu z = f 2 ( x, y,z,t ) - Py + mDu, (2.1) r wt + uwx + u wy + wwz = f 3 ( x, y,z,t ) - Pz + mDw, r divU = ux +uy + wz = 0, (2.2) u( x, y,z,t )|t =0 = u0 ( x, y, z ), u ( x, y,z,t )|t =0 = u0 ( x, y,z ), (2.3) w( x, y,z,t )|t =0 = w0 ( x, y,z ),"( x, y,z ) R, t [0,T0 ], где уравнение (2.2) есть уравнение неразрывности. Неизвестными величинами являются скорость n :(u,v,w) и давление P, причем 1) fi C 4,0 ( T = R 3 [0,T0 ] ),C 4,0 ( T ) C 4,4,4,0 (T ), 2) u0,u0,w0 C 3 ( R 3 ),C 3 (T ) C 3,3,3 (T ).

Возникает вопрос о разрешимости задачи Навье-Стокса и услов ной гладкости всех его решений в G0 (T ).

В общем случае, задача Навье-Стокса решается методом эквива лентного раздробления системы в классе G0 (T ), где G 0 ( T ) = {( x, y,z,t ) T = R 3 [0,T0 ] : u C 3,3,3,0 ( T ),u C 3,3,3,0 ( T ),w C 3,3,3,0 ( T ), а производные 1-го порядка во времени: ut,ut,wt определяются для t0, при заданных начальных условиях: ( u,u, w )|t=0 =( u0,u0, w0 ), где гладкости функций (u,u,w) в G 0 ( T ) требуются только по x,y,z}.

Если T sup l ( t ) ut ( x, y,z,t ) dt K +, ( x,y,z )R3 T sup 3 l ( t ) ut ( x, y,z,t ) dt K +, ( x,y,z )R T sup l( t ) wt ( x, y,z,t ) dt K +, ( x,y,z )R3 то функции ut,ut,wt рассматриваются в L2 ( 0,T0 ). Следовательно l G 0 [T = R 3 [0,T0 ] ;

l ( t )] Gl ( T ) = {( x, y,z,t ) T : u C 3,3,3,0 ( T ),u C 3,3,3,0 ( T ), w C 3,3,3,0 ( T );

ut L2 ( 0,T0 ),ut L2 ( 0,T0 ),wt L2 ( 0,T0 ), где ut,ut,wt непре l l l рывные и ограниченные функции по ( x, y,z ) R 3 }, а T 0 l( t ) : l( t ) dt = q0.

t При выполнении условий T l ( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +, 0 R T l ( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +, 0 R T 3 l( t )W ( x, y,z ) wt ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +, 0 R введем G 0 [T = R 3 [0,T0 ] ;

l ( t )W ( x, y, z )] GlW ( T ) = {( x, y,z,t ) T : u C 3,3,3,0 ( T ), u C 3,3,3,0 ( T ),w C 3,3,3,0 ( T );

ut L2 R 3 ( 0,T0 ),ut L2 R 3 ( 0,T0 ), lW lW wt L2 R 3 ( 0,T0 ) }, причем lW T 0 l ( t ) : l ( t ) dt = q0,0 W : W ( x, y,z )dxdydz = 1.

t R Тогда норма GlW (T ) :

U G 2 ( T ) = u D2 ( T ) + u +w =u + ut ;

u, D(2u ;

lW ) ( T ) D(2w;

lW ) ( T ) D(2u ;

lW ) ( T ) C 3,0 ( T ) L % % % % lW ( u ;

lW ) lW u D(2u ;

lW ) ( T ) = u C 3,0 ( T ) + ut = w C 3,0 ( T ) + wt,w, % L2 D(2w;

lW ) ( T ) L % lW lW где D(2u ;

lW ) ( T ) = {( x, y, z,t ) T = R 3 [0,T0 ] : u C 3,3,3,0 (T );

ut L2 [R 3 ( 0,T0 )]}, % lW D( u ;

lW ) ( T ) = {( x, y,z,t ) T = R [0,T0 ] : u C % (T );

ut L2 [R 3 ( 0,T0 )]}, 3 3,3,3, lW D( w;

lW )( T ) = {( x, y,z,t ) T = R [0,T0 ] : w C % ( T );

wt L2 [R 3 ( 0,T0 )]}, 3 3,3,3, lW 3, ( Т ).

С (Т ) С 3,3,3, Решение задачи для уравнений Навье-Стокса методом эквива лентного раздробления дает ответ на поставленный вопрос в G 0 ( T ).

Систему (2.1) приводим к виду 1 1 ut + uu x + u u y + wu z - 2 Qx = f1 - r Px - 2 Qx + mDu, 1 1 ut + uu x + uu y + wu z - Q y = f 2 - Py - Qy + mDu, (2.4) r 2 1 1 wt + uwx + u wy + wwz - Qz = f 3 - Pz - Qz + mDw, r 2 Qx = ( u 2 + u 2 + w2 )x = 2( uu x + uu x + wwx ), (2.5) Q y = 2( uu y + uu y + wwy ),Qz = 2( uu z + uu z + wwz ).

Из системы (2.4) видно, что в систему (2.1) справа и слева введены 1 1 функции:

- Qx,- Q y,- Qz так, что не нарушена эквивалентность 2 2 систем (2.1) и (2.4).

На основе функций q i, (i = 1,3) систему (2.4) преобразуем к виду 1 ut + q1 + 2 Qx = f 1 - r Px + mDu, 1 ut + q 2 + Qy = f 2 - Py + mDu, (2.6) r 1 wt + q 3 + Qz = f 3 - Pz + mD w, r q1 = uu x + uu y + wu z - Qx, q 2 = uu x + uu y + wu z - Qy, (2.7) q3 = uwx + u wy + wwz - Qz.

Полученные системы (2.6) и (2.7) содержат неизвестные: u,u, w, qi,( i = 1,3 ) и давление P, причем системы (2.6), (2.7) и (2.4) эквива лентны. При этом, новые неизвестные функции qi,( i = 1,3 ) допускают условия q1 t =0 = q10 u0 u0 x + u0 u0 y + w0 u0 z - Q0 x, q 2 t =0 = q 2 u0u0 x + u0u0 y + w0u0 z - Q0 y, (2.8) q3 t =0 = q 3 u0 w0 x + u0 w0 y + w0 w0 z - Q0 z, Q0 u0 + u02 + w0, 2 где qi0,( i = 1,3 ) – известные функции, так как известны u0,u0, w0.

Рассмотрим, каким образом порождается уравнение относительно давления при условии (2.2). Для этого, в работе [3] впервые был предложен метод, который дает решение системы Навье-Стокса в G 0 ( T ).

Разработанный метод решения систем (2.6) и (2.7), связан с функциями qi,( i = 1,3 ), т.е.

а1) rotq% = 0,q% = ( q1,q 2,q3 ) ;

rotn 0, n = ( u,u,w ) ;

или а2) divq% = 0 ;

rotn 0, n = ( u,u,w ) ;

или: а3) qi,( i = 1,3 ) - произвольные функции, если, соответственно, как необходимые условия, имеют место:

а1,0) rotq% 0 = 0,q% 0 = ( q10,q20,q30 );

а2,0) divq% 0 = 0;

а3,0) q% 0 - произвольные функции.

Краткое содержание исследований задачи Навье-Стокса с условиями (а1), (а2) можно найти в [3,4].

Замечания 2.1.

1. В случае (а2) течение рассматривается со средней величиной вязкости: 0 m = m0 = const +, причем T = R 3 [0,T0 ],T0 = const +, а в случае (а1) течение рассматривается с очень малой вязкостью: 0 m (см.§2.1, §2.2, гл. 2).

2. В общем случае (а3) течение рассматривается и со средней величиной вязкости:

0 m = m0 = const +, T = R 3 R+ (см.§2.4.1, гл.2), и с очень малой вязкостью:

0 m 1, T = R 3 R+ (см.§2.4.2, гл. 2).

f i ( l1,l2,l3,s ) f i,l j ( l1,l2,l3,s ),( j = 1,3;

i = 1,3 ), 3.

l j J i ( l1,l2,l3,s ) J i,l j ( l1,l2,l3,s ),( j = 1,3;

i = 1,3 );

l1 = x + 2t 1 m( t - s ),l2 = y + l j +2t 2 m( t - s ),l3 = z + 2t 3 m ( t - s );

divf 0, f = ( f 1, f 2, f 3 ) [см.§2.1, §2.3].

Глава 2 состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе изучаются уравнения несжимаемой жидкости с трением, т.е. нестационарная задача Навье-Стокса с вязкостью [1] с условием (а1). При этом, для решения этой задачи применен метод эквивалентного раздробления системы [3,4].

Доказаны ограниченности функций u,u,w в Gl2 ( T ) (или GlW ( T ) ).

В параграфе 2 рассматривается предельный случай очень малой вязкости в GlW ( T ).

В параграфе 3 рассматривается задача (2.1)-(2.3) с условием (а2).

В параграфе 4 изучается задача (2.1)-(2.3), когда конвективные члены допускают условия (а3).

§ 2.1. Задача Навье-Стокса с конвективными членами с условием (а1) Задача Навье-Стокса рассматривается для несжимаемой и сжимаемой жидкости. В нашем случае исследуется уравнение Навье Стокса для несжимаемой жидкости с вязкостью (2.1) с условиями (2.2), (2.3). Доказательство существования и условно-гладкого решения уравнения Навье-Стокса дает метод решения задачи для уравнений Навье-Стокса.

Рассмотрим задачу Навье-Стокса (2.1)-(2.3). Систему (2.1) приводим к виду (2.4). Тогда с помощью функций qi,( i = 1,3 ) система (2.4) преобразуется к эквивалентному виду (2.6), (2.7) с условием (2.8). Системы (2.6) и (2.7) содержат неизвестные: u,u,w, qi,( i = 1,3 ) и давление.

В последующих пунктах, при указанных ограничениях на входные данные, будет дано строгое обоснование совместимости систем (2.6), (2.7).

§2.1.1. Исследование с условием (а1).

Пусть функции qi0,( i = 1,3 ) удовлетворяют условию (а1,0). Тогда относительно qi,( i = 1,3 ) допускаем условие (а1):

% rotq = 0 ;

rotn 0, n = ( u,u,w ). (2.1.1) Поэтому можно требовать, чтобы q 1 = q x,q 2 = q y, q 3 = q z, (2.1.2) где q – новая неизвестная функция. Следовательно, из системы (2.6) и (2.7), соответственно получим следующие системы 1 ut + q x = f1 - [ r P + 2 Q ]x + mDu, 1 ut + q y = f 2 - [ P + Q ] y + mDu, (2.1.3) r 1 wt + q z = f 3 - [ P + Q ]z + mDw, r q x = uu x + u u y + wuz - Qx, q y = uu x + uu y + wu z - Qy, (2.1.4) q z = uwx + u wy + wwz - Qz.

Лемма 2.1.1. Пусть выполняются условия (2.2), (2.3), (2.1.1).

Тогда системы (2.1.3) и (2.1.4) эквивалентно преобразуются к виду D J = - F, J 1 P + 1 Q + q, F -( f + f + f ), Q u 2 + u 2 + w 2, r 0 0 1x 2y 3z ut = f 1 + mDu - J x, u = f + mDu - J, t 2 y wt = f 3 + mD w - J z, (2.1.5) 1 1 1 ds ds ds 3 F0 ( s1,s2,s3,t ) 1 r 2 3, P = - ( u 2 + u 2 + w2 ) - q + r 4p R Dq = -y ( x, y,z,t ), y -(y 1x + y 2 y + y 3z ), 0 r = ( x - s1 ) + ( y - s2 ) + ( z - s3 ), 2 2 причем система (2.1.5) имеет точное единственное решение в G0 ( T ).

Доказательство. На основе математических преобразований, т.е. первое уравнение (2.1.3) дифференцируем по x, второе – по y, третье – по z и, затем, суммируя с учетом (2.2) и учитывая m ( Du ) + ( Du ) + ( Dw ) = m 2 ( u x + u y + wz ) + 2 ( u x + u y + wz ) + x y z x y + 2 ( u x + u y + wz ) = 0, (2.1.6) z 1 получаем уравнение Пуассона [5]: D( Q + P + q ) = -( - f 1x - f 1 y - f 1z ).

r Поэтому 1 P + Q + q, F0 -( f1x + f 2 y + f 3 z ).

D J = - F0, J (2.1.7) r Вышеуказанный алгоритм, когда дифференцируя уравнения системы (2.1.3) соответственно по x,y,z и, затем, складывая, получим уравнение Пуассона (2.1.7), для краткости, называем «алгоритмом пуассонизации системы».

В работе С.Л. Соболева [5] указано, что функция 1 ds1ds2 ds F0 ( s1,s2,s3 ;

t ) J= (2.1.8) 4p r R удовлетворяет уравнению (2.1.8) и называется ньютоновым потен циалом. При этом имеют место:

а) стремление к нулю функции J на бесконечности;

б) что ньютонов потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона;

в) существование непрерывных первых производных у ньюто нового потенциала.

Чтобы доказать существование и непрерывность вторых произ x, s2 h, s3 t, водных, учитывая новые переменные: s1 - x = - y = - z =из интеграла 1 ( s1 - x )F0 ( s1,s2,s3,t )ds1ds2 ds ds1ds2 ds3 F Jx = )= ( (2.1.9) x 4p 4p r r R R получим F0 ( x + t 1, y + t 2,z + t 3 ;

t )dt 1dt 2 dt t Jx = J 1 ( x, y,z,t ). (2.1.10) 4p ( t 12 + t 2 2 + t 3 ) R Аналогично, с учетом J y J 2,J z J 3, имеем F0 ( x + t 1, y + t 2, z + t 3 ;

t )dt 1 dt 2 dt t Ji =,i = 2,3. (2.1.11) 4p i ( t 12 + t 2 2 + t 3 ) R Интегралы (2.1.10), (2.1.11) допускают дифференцирование по x,y,z, причем интегралы от производных сходятся равномерно.

Если J(x,y,z,t) – решение уравнения (2.1.7), то 1 1 1 1 1 Px + Qx + q х, J y Py + Qy + q у,J z Pz + Qz + q z.

Jx (2.1.12) r r r 2 2 Это означает, что из системы (2.1.3) следует ut = f1 + mDu - J x, ut = f 2 + mDu - J y, (2.1.13) wt = f 3 + mD w - J z, т.е. система (2.1.3) эквивалентно преобразуется к виду (2.1.13) линейного неоднородного уравнения теплопроводности. Линеари зация системы (2.1.3) следует с учетом тех математических преобразований, которые используем в данном параграфе с сохранением всех конвективных членов с условием (2.1.1).

Уравнения систем (2.1.7), (2.1.13) – это есть первое, второе, третье и четвертое уравнения системы (2.1.5).

Решая систему (2.1.13) методом Соболева, имеем t r2 r exp( - 4 mt )u0 ( s1,s2,s3 )ds1ds2ds3 + 3 exp( - 4 m( t - s ) ) u = 8( pmt )3 R 0R [f1 ( s1,s2,s3,s ) - J 1( s1,s2,s3,s )]ds1ds2ds3ds H 1, 8( pm( t - s )) t r2 r u = exp( - 4 mt )u0 ( s1,s2,s3 )ds1ds2 ds3 + 3 exp( - 4 m( t - s ) ) 8( pmt )3 R 0R 1 (2.1.14) [f ( s,s,s,s ) - J 2 ( s1,s2,s3,s )]ds1ds2 ds3 ds H 2, 8( pm( t - s ))3 2 1 2 t r2 r )w0 ( s1,s2,s3 )ds1ds2 ds3 + exp( w= exp( - ) 4 mt 4 m( t - s ) 8( pmt )3 R 0R [f 3 ( s1,s2,s3,s ) - J 3 ( s1,s2,s3,s )]ds1ds2 ds3 ds H 3, 8( pm( t - s )) а H i = H i ( x, y,z,t ),( i = 1,3 ) являются известными функциями, при этом функции u x, u y, u z,u x,u y,u z, w x, w y, w z, определяются из системы (2.1.14) следующим образом:

u y = H 1 y ( x, y,z,t ),u z = H 1z ( x, y,z,t ),u x = H 2 x ( x, y,z,t ),u z = H 2 z ( x, y,z,t ), wx = H 3 x ( x, y,z,t ),wy = H 3 y ( x, y, z,t ) :

t r2 r exp( - 4 mt )u0 ( s1,s2,s3 )ds1ds2 ds3 + 3 exp( - 4 m( t - s ) ) H 8 ( pm t )3 R3 0R [f 1 ( s1,s2,s3,s ) - J 1 ( s1,s2,s3,s )]ds1ds2 ds3 ds 8( pm ( t - s )) exp( -( t + t 2 + t 3 ))u0 ( x + 2t 1 mt, y + 2t 2 mt,z + 2t 3 mt )dt 1dt 2 dt 3 + 2 2 p3 R t + t 2 + t 3 ))[ f1 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + exp( -( t + 2 2 p3 0 R +2t 3 m ( t - s );

s ) - J 1 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + 2t 3 m ( t - s );

s )] dt 1dt 2 dt 3 ds, t r2 r )u0 ( s1,s2,s3 )ds1ds2 ds3 + exp( H2 exp( - ) 4 mt 4 m( t - s ) 8 ( pm t ) R 3 0R [f 2 ( s1,s2,s3,s ) - J 2 ( s1,s2,s3,s )]ds1ds2 ds3 ds 8( pm ( t - s )) exp( -( t + t 2 + t 3 ))u0 ( x + 2t 1 mt, y + 2t 2 mt,z + 2t 3 mt )dt 1dt 2 dt 3 + 2 2 p R t + t 2 + t 3 ))[ f 2 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + exp( -( t + 2 2 p 0 R +2t 3 m ( t - s );

s ) - J 2 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + 2t 3 m( t - s );

s )] dt 1dt 2 dt 3 ds, t r2 r exp( - 4 mt )w0 ( s1,s2,s3 )ds1ds2 ds3 + 3 exp( - 4 m( t - s ) ) H 8 ( pm t )3 R3 0R [f3 ( s1,s2,s3,s ) - J 3 ( s1,s2,s3,s )]ds1ds2 ds3 ds 8( pm ( t - s )) exp( -( t + t 2 + t 3 ))w0 ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 mt,z + 2t 3 mt )dt 1dt 2 dt 3 + 2 2 p R t + t 2 + t 3 ))[ f 3 ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + exp( -( t + 2 2 p3 0 R +2t 3 m ( t - s );

s ) - J 3 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m ( t - s ),z + 2t 3 m ( t - s );

s )] dt 1dt 2 dt 3 ds, s1 - x s -y s -z = t1, 2 = t2, 3 = t3, где учитываем новые переменные:

2 mt 2 mt 2 mt s1 - x s2 - y s3 - z = t1, =t2, =t3.

или 2 m( t - s ) 2 m( t - s ) 2 m( t - s ) Поэтому на основе выражений (2.1.4),(2.1.14) и их частных производных по x, y, z находим q x = H 2 H 1 y + H 3 H 1z - H 2 H 2 x - H 3 H 3 x y 1 ( x, y, z,t ), q y = H 1 H 2 x + H 3 H 2 z - H 1 H 1 y - H 3 H 3 y y 2 ( x, y,z,t ), (2.1.15) q z = H 1 H 3 x + H 2 H 3 y - H 1 H 1z - H 2 H 2 z y 3 ( x, y,z,t ).

Так как правая сторона системы (2.1.15) определяется функциями H i, (i = 1,3) и их частными производными, то y i,(i = 1,3) становятся известными функциями. Следовательно, для определения функции q ( x, y, z, t ), первое уравнение (2.1.15) дифференцируем по x, второе – по y, третье – по z и, суммируя, имеем уравнение Пуассона [5] Dq = -y 0, (2.1.16) которое однозначно разрешимо в C ( T ) :

ds1ds2 ds3 y q=,y -(y 1x +y 2 y +y 3 z ).

( s1,s2,s3,t ) (2.1.17) 4p r R Уравнение (2.1.16) – это шестое уравнение системы (2.1.5). Поэтому, учитывая выражение (2.1.8), получим ds1 ds2 ds 1 1 F ( s,s,s,t ) P = -q - Q +, (2.1.18) 0 1 2 r 4p 2 r R а (2.1.18) – это уравнение типа Бернулли.

Теорема 2.1.1. Если выполняются условия леммы 2.1.1, то задача (2.1)-(2.3) имеет единственное решение в G 0 ( T ), которое удовлетворяет условию (2.2).

Доказательство. В самом деле, из полученных результатов следует, что функции u,u,w G ( T ) определяются из системы (2.1.14). Един ственность очевидна, так как методом от противного из (2.1.14) следует единственность решения системы (2.1). Тогда учитывая частные производные 1-го порядка exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))u0 ( x + 2t 1 mt, y + 2t 2 mt,z + 2t 3 mt ) u x = { 2 x p R t dt dt dt + 1 exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) [ f 1 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ), 2 1 2 p 0 R z + 2t m( t - s );

s ) - J ( x + 2t m( t - s ), y + 2t m ( t - s ),z + 2t m( t - s );

s ) ] 3 1 1 2 dt 1dt 2 dt 3 ds }, u y = { exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))u0 ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 m t ) 2 y p R t exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) [ f 2 ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + dt 1dt 2 dt 3 + 2 p 0 R +2t 2 m ( t - s ),z + 2t 3 m ( t - s );


s ) - J 2 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m ( t - s ), z + 2t 3 m( t - s );

s )] dt 1 dt 2 dt 3 ds }, w = { exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))w0 ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 m t ) 2 z z p R t exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) [ f 3 ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + dt 1dt 2 dt 3 + 2 p 0 R +2t 2 m ( t - s ),z + 2t 3 m ( t - s );

s ) - J 3 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m ( t - s ), z + 2t m( t - s );

s ) dt dt dt ds }, ]123 (2.1.19) и суммируя (2.1.19) с учетом (2.2), имеем t exp[ - ( t + t 2 + t 3 )]{ - F0 [x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + 0= 2 2 p 0 R +2t 3 m ( t - s );

s] - D J [x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m ( t - s ), z + 2t 3 m( t - s );

s ] } dt 1dt 2 dt 3 ds = 0, так как: D J = - F0. Значит, система (2.1.14) удовлетворяет уравнению (2.2), что и требовалось доказать.

Примечание 2. §2.1.2. Для несжимаемых течений без трения [2]: m = 0 уравнения Навье-Стокса упрощаются, так как отсутствуют члены: Du, Du, Dw.

Поэтому система (2.1) приводится к виду 12 ut + 2 ( u + u + w )x = f1 - r Px, 2 12 ut + ( u + u + w )y = f 2 - Py, 2 (0.1) r 12 wt + ( u + u + w )z = f 3 - Pz 2 r с условиями u( x, y,z,t )|t =0 = u0 ( x, y,z ),u ( x, y,z,t )|t =0 = u0 ( x, y,z ), (0.2) w( x, y,z,t )|t =0 = w0 ( x, y,z ),"( x, y,z ) R, t [0,T0 ], u x + u y + wz = 0 (0.3) с сохранением всех конвективных членов при выполнении условия Стокса (безвихревое движение): rotn = 0,(n = ( u,u,w );

f i C 4,1(T ),i = 1,3.

Утверждение 2.1.1. Если выполняются условия (0.2), (0.3) и усло вия Стокса, то система (0.1) эквивалентно преобразуется к виду 1 D J = - F0 ;

F0 -( f 1x + f 2 y + f 3z ), Q u + u + w, J P + Q, 2 2 r u = f - J, t 1 x ut = f 2 - J y, (0,4) wt = f 3 - J z, 1 ds1ds2 ds 1 3 F0 ( s1,s2,s3,t ) r,r = ( x - s1 ) + ( y - s2 ) + ( z - s3 ).

P =- Q+ 2 2 r 4p R % Следовательно, система (0.4) однозначно разрешима в C 3,3,3,1( T ).

Доказательство. На основе «алгоритма пуассонизации сис темы» из системы (0.1), следует 1 ( u x + u y + wz )t + D( Q + P ) = f1x + f 1 y + f1z.

r Тогда учитывая (0.3), получаем уравнение Пуассона [5] 1 D J = - F0, F0 -( f1x + f 2 y + f3 z ), J P + Q, (0.5) r при этом, имеем ds1ds2 ds J= F0 ( s1,s2,s3 ;

t ), (0.6) 4p r R причем J x J 1,J y J 2,J z J 3 :

F ( x + t 1, y + t 2,z + t 3 ;

t )dt 1dt 2 dt 1 (0.7) ti J i ( x, y,z,t ) =,i = 1,3.

4p R3 (t 1 + t 2 + t 3 ) 2 2 Значит, уравнение (0.5) есть первое уравнение системы (0.4).

Если J – решение уравнения (0.5), то 1 1 1 1 1 Px + Qx J x, Py + Qy J y, Pz + Qz J z. (0.8) r r r 2 2 Подставляя (0.8) в систему (0.1), получим u t = f 1 - J x, u t = f 2 - J y, (0.9) wt = f 3 - J z, т.е. полученная система (0.9) является вторым, третьим и четвертым уравнениями системы (0.4). Интегрируя (0.9) с условием (0.2), относительно функций ( u,u,w ), получим соотношение в виде t u( x, y,z,t ) = u0 ( x, y,z ) + ( f1( x, y,z,t ) - J x ( x, y,z,t ))dt, t u ( x, y,z,t ) = u0 ( x, y,z ) + ( f 2 ( x, y,z,t ) - J y ( x, y,z,t ))dt, (0.10) t w( x, y,z,t ) = w0 ( x, y,z ) + ( f 3( x, y,z,t ) - J z ( x, y,z,t ))dt.

1 Следовательно, учитывая: J P + Q, из функции (0.6), имеем r ds ds ds 1 1 3 F0 ( s1,s2,s3,t ) 1 r 2 3, P =- Q+ (0.11) r 4p R а это есть пятое уравнение системы (0.4), причем (0.11) есть уравнение типа Бернулли, сходное с (2.1.18). Что и требовалось доказать.

Замечание 2.1.2. Из результатов утверждения 2.1.1 следует, что система (0.10) удовлетворяет уравнению (0.3).

В самом деле, учитывая t ux ( x,y,z,t ) = u0x( x,y,z ) + ( f1x( x,y,z,t ) - J x2 ( x,y,z,t ))dt, t uy ( x,y,z,t ) = u0 y ( x, y,z ) + ( f 2 y ( x,y,z,t ) - J y2 ( x,y,z,t ))dt, t wz ( x,y,z,t ) = w0z ( x,y,z ) + ( f3z ( x,y,z,t ) - J 2 ( x,y,z,t ))dt z и суммируя, получим t 0 = ( f1x ( x,y,z,t ) + f 2 y ( x,y,z,t ) + f3z ( x,y,z,t ) - J x2 ( x,y,z,t ) - J y2 ( x,y,z,t ) t - J ( x,y,z,t ))dt = ( -F ( x,y,z,t ) - DJ ( x,y,z,t ))dt = 0, z что и требовалось доказать.

Лемма 2.1.2. При условиях утверждения 2.1.1 система (0.1) имеет % гладкое единственное решение в виде (0.10) в C 3,3,3,1( T ), которое удов летворяет уравнению (0.3).

Предложение 2.1.1. В условиях: rotn = 0 и divn = 0 функции n = ( u,u,w ), найденные в виде (0.10) удовлетворяют уравнению % Лапласа, т.е. являются гармоническими функциями в C 3,3,3,1 ( T ).

§2.1.3. Ограниченность функций ( u,u,w ) в Gl2 ( T ),GlW ( T ). Результаты §2.1.1 с условием (а1:(2.1.1)) получены в G 0 [T = R 3 [0,T0 ] ;

l ( t )] Gl ( T ) = {( x, y,z,t ) T : u C 3,3,3,0 ( T ), u C 3,3,3,0 ( T ),w C 3,3,3,0 ( T );

ut L2 ( 0,T0 ),ut L2 ( 0,T0 ),wt L2 ( 0,T0 ) – l l l непрерывные и ограниченные функции по ( x, y,z ) R 3}, если T sup l ( t ) ut ( x, y,z,t ) dt K +, ( x,y,z )R3 T sup 3 l ( t ) ut ( x, y,z,t ) dt K +, (2.1.20) ( x,y,z )R T sup ( x,y,z )R l ( t ) wt ( x, y,z,t ) dt K +, ив G 0 [T = R 3 [0,T0 ] ;

l( t )W ( x, y, z )] GlW ( T ) = {( x, y,z,t ) T :u C 3,3,3,0 ( T ), u C 3,3,3,0 ( T ),w C 3,3,3,0 ( T );

ut L2 R 3 ( 0,T0 ),ut L2 R 3 ( 0,T0 ), lW lW wt LlW R ( 0,T0 ) } при условии 2 T l ( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +, 0 R T l ( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +, (2.1.21) 0 R T 3 l( t )W ( x, y,z ) wt ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +.

0 R I. В этом пункте рассмотрим Gl2 ( T ), где гладкость функций u,u,w в Gl2 ( T ), требуется только по x,y,z, так как производная 1-го порядка во времени имеет особенность в t=0. Поэтому функции ut,ut,wt, рассма триваем в L2 ( 0,T0 ) при заданных условиях (2.2), (2.3) с нормой l U G 2 ( T ) = u D2 ( T ) + u D2 ( T ) + w D2 ( T ), % % % l ( u ;

l ) ( u ;

l ) ( w ;

l ) u D2 ( T ) = u C 3,0 ( T ) + ut L2, % ( u ;

l ) l u D2 ( T ) = u C 3,0 ( T ) + ut L2, w D 2 ( T ) = w C 3,0 ( T ) + wt L2, % % ( u ;

l ) l ( w;

l ) l T0 u 2 = ( sup l ( t ) ut ( x, y,z,t ) dt ) 2, t Ll ( x,y,z )R 3 (2.1.22) T0 ut L2l = ( sup l ( t ) ut ( x, y,z,t ) dt ), ( x,y,z )R 3 T0 w 2 = ( sup l( t ) wt ( x, y, z,t ) dt ),С ( Т ) С ( Т ).

2 3,0 3,3,3, t Ll ( x,y,z )R При оценках ограниченности функции u,u,w в Gl2 ( T ) будет T показано, что вырождается выражение вида: ( l( t ) dt )2. Так как t T0 1 l( t ) t dt l( t ) t dt M 0 +, (2.1.23) 0 то при условии: l ( t ) ( t l1* ( t ))2,m 1, (2.1.23) является условием m Лорентца. Для доказательства ограниченности функции u,u,w в Gl2 ( T ) учитываем результаты теоремы 2.1.1. В этом случае, система Навье Стокса имеет единственное решение в виде (2.1.14), которое удовлет воряет (2.2) и (2.3). При этом b 1 = sup D k u0 ( x, y,z ), b 2 = sup D ku0 ( x, y, z ), b 3 = sup D k w0 ( x, y,z ), ( x,y,z )R 3 ( x,y,z )R 3 ( x,y,z )R b 4 = sup u 0,li ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 m t ),( i = 1,3;

j = 1,3 );

( x,y,z,t )T sup u ( x + 2t mt, y + 2t m t, z + 2t m t ) = b,( i = 1,3;

j = 1,3 );

( x,y,z,t )T 0,li 1 2 3 sup w0,li ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 m t ) = b6,( i = 1,3;

j = 1,3 );

( x,y,z,t )T D k f i ( x, y,z,t ) = b7, D k J i ( x, y,z,t ) = b 8,( i = 1,3 );

sup sup ( x,y,z,t,t )T [0,T0 ] ( x,y,z,t,t )T [0,T0 ] f i,l ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + 2t 3 m ( t - s );

s ) sup ( x,y,z,t,t )T [0,T0 ] i b,( i = 1,3;

j = 0,1 );

J ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m ( t - s ),z + 2t 3 m ( t - s );

s ) sup ( x,y,z,t,t )T [0,T0 ] i,li b10,( i = 1,3;

j = 0,1 );

l f i ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + j +2t m ( t - s );

s ) f ( x + 2t m ( t - s ), y + 2t m( t - s ),z + 3 i,li 1 +2t m ( t - s );

s ),( i = 1,3;

j = 0,1 ), l1 = x + 2t 1 m ( t - s ),l2 = y + 2t 2 m ( t - s ),l3 = z + 2t 3 m( t - s );

J ( x + 2t m( t - s ), y + 2t m ( t - s ),z + 2t m( t - s );

s ) J ( x + l i 1 2 3 i,li j +2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m ( t - s ),z + 2t 3 m( t - s );

s ),( i = 1,3;

j = 0,1 );

+ b = max( b, b, b, b, b, b, b, b, b, b );

e -x x d x 1, 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p 1 T0 T0 T dx dt dh = 1, l ( t ) dt = q0, l ( t )tdt = q1, l( t )dt = q2, 3 e -( x 2 +t 2 +h 2 ) t p R 0 0 (2.1.24) q = max( q0,q1,q2 ).

% Чтобы оценить u,u,w, учитывая новые переменные:

s1 - x s -y s -z = t1, 2 = t2, 3 = t3, 2 mt 2 mt 2 mt или s1 - x s2 - y s3 - z = t1, =t2, = t3, 2 m( t - s ) 2 m( t - s ) 2 m( t - s ) систему (2.1.14) преобразуем к виду exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))u0 ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 mt ) u = 2 p R t exp( -( t 1 + t 2 + t 3 ))[ f1 ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + dt 1 dt 2 dt 3 + 2 2 p 0 R +2t 2 m ( t - s ),z + 2t 3 m( t - s );

s ) - J 1( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ), z + 2t 3 m ( t - s );

s )] dt 1dt 2 dt 3 ds, u = exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))u0 ( x + 2t 1 mt, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 mt ) 2 p R t exp( -( t 1 + t 2 + t 3 ))[ f 2 ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + dt 1 dt 2 dt 3 + 2 2 p 0 R +2t 2 m( t - s ),z + 2t 3 m( t - s );

s ) - J 2 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ), z + 2t 3 m ( t - s );

s )] dt 1dt 2 dt 3 ds, exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))w0 ( x + 2t 1 mt, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 mt ) w= 2 p R t dt dt dt + 1 exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) [ f 3 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2 1 2 p 0 R +2t 2 m( t - s ),z + 2t 3 m( t - s );

s ) - J 3 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ), z + 2t 3 m ( t - s );

s )] dt 1dt 2 dt 3 ds, (2.1.25) где J x J 1,J y J 2,J z J 3 :

F0 ( x + t 1, y + t 2,z + t 3 ;

t )dt 1dt 2 dt t J i ( x, y,z,t ) =,i = 1,3. (2.1.26) i 4p ( t 12 + t 2 2 + t 3 ) R Предложение 2.2.1. В условиях, когда функции u,u,w C 3,3,3,0 (T ), то очевидно, имеют место u C N1, u C N1, w C N 1,0 N1 = const ;

С 3,0 ( Т ) С 3,3,3,0 ( Т ). (2.1.27) 3,0 3,0 3, Доказательство. В самом деле, оценивая (2.1.25), имеем exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))u0 ( x + 2t 1 mt, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 m t ) u= 2 p R t 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 ))[ f1 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ), dt 1 dt 2 dt 3 + 2 2 p3 0 R z + 2t 3 m( t - s );


s ) - J 1( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + b +2t 3 m ( t - s );

s )] dt 1dt 2 dt 3 d s 0 exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))dt 1 dt 2 dt 3 + 2 p 3 R 2 b t 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 ))dt 1dt 2 dt 3 ds b0 ( 1 + 2T0 ) = k1 ;

+ 2 2 p 0R b0 2 b t 3 u exp( -( t 1 + t 2 + t 3 ))dt 1dt 2 dt 3 + exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) 2 2 2 2 p R3 p 0 R dt 1 dt 2 dt 3 ds b0 ( 1 + 2T0 ) = k1 ;

w b 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 ))dt 1dt 2 dt 3 + 2 2 p3 R 2 b t exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))dt 1dt 2 dt 3 ds b0 ( 1 + 2T0 ) = k1 (2.1.28) + 2 p 0R k1, u k1, w C( T ) k1.

или: u C( T ) C( T ) Аналогично, оценивая частные производные с 1-го до 3-го порядка, включительно, и учитывая n 3,0 = u 3,0 + u 3,0 + w 3,0 ;

u 3,0 = D k u, C (T ) C (T ) C (T ) C (T ) C (T ) C( T ) 0 k u C 3,0 ( T ) = D u C( T ), w C 3,0 ( T ) = D w C ( T ) ;

k = 0 : D u( x, y,z,t ) u, k k 0 k 3 0 k 0 k u D u ( x, y,z,t ) u,D w( x, y,z,t ) w;

k 0 : D u = a1 a 2 a3, 0 k x y z ku k w,D w = a1 a 2 a3, k = a i,( a i = 0,1,2,3;

i = 1,3 ), D ku = k xa1 ya 2 za x y z i = получим (2.1.27), где N1=20k1.

Поэтому основным фактором являются оценки: ut,ut,wt в L2 ( 0,T0 ).

l С этой целью, дифференцируя (2.1.25) по t для t 0, далее, оценивая и возведя в квадрат с умножением на l ( t ), и, затем интегрируя (0,T0 ), получим T0 T m sup 3 l ( t ) ut ( x, y,z,t ) dt b0 l( t )[ + 2( 6 mt + 1)]2 dt, t ( x,y,z )R 0 T0 T m sup 3 l ( t ) ut ( x, y,z,t ) dt b 0 l( t )[ + 2( 6 mt + 1 )]2 dt, (2.1.29) t ( x,y,z )R 0 T0 T m sup ( x,y,z )R l ( t ) wt ( x, y,z,t ) dt b0 l( t )[ + 2( 6 mt + 1)]2 dt.

t 0 Значит, T m ut Ll ( b0 l( t )[3 m t + 2] dt ) 60 b0 q( m + + 12 )= 2 % t = M * ( m + ),M* = 60 b0 q, % T u 2 ( b 2 l ( t )[3 m + (2.1.30) 0 m t + 2 ] dt ) M * ( m + ), t Ll t T m wt L2l ( b0 l ( t )[3 mt + 2] dt ) M * ( m + + 2 ).

t Отсюда, учитывая норму Gl2 ( T ) с учетом (2.1.27), (2.1.30) и (2.1.22), имеем +u 3[N1 + M * ( m + =u +w U )].

D(2u ;

l ) ( T ) D(2u ;

l ) ( T ) D(2w ;

l ) ( T ) % % % Gl ( T ) Лемма 2.2.1. Если выполняются условия теоремы 2.1.1 и (2.1.20), то функции u,u,w ограничены в смысле нормы Gl2 ( T ).

II. Рассмотрим GlW ( T ), когда выполняется (2.1.21). При этом U G 2 ( T ) = u D2 ( T ) + u D2 ( T ) + w D 2 ( T ) ;

u D 2 ( T ) = u C 3,0 ( T ) + ut L2, % % % % lW ( u ;

lW ) ( u ;

lW ) ( w;

lW ) ( u ;

lW ) lW u D(2u ;

lW ) ( T ) = u C 3,0 ( T ) + ut L2, w D(2w;

lW ) ( T ) = w C 3,0 ( T ) + wt L2lW, (2.1.31) % % lW T0 ut L2 = ( l( t )W ( x, y, z ) ut ( x, y, z,t ) dxdydzdt ) 2, lW 0 R T ut LlW = ( l ( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y, z,t ) dxdydzdt ), 0 R T0 wt 2 = ( l( t )W ( x, y, z ) wt ( x, y,z,t ) dxdydzdt ). 2 LlW 0 R Далее, докажем ограниченность функций u,u,w в GlW ( T ) с учетом результатов теоремы 2.1.1, т.е. когда решение системы Навье-Стокса представляется в виде (2.1.25), которое удовлетворяет условиям (2.2), (2.3) и (2.1.1). При этом очевидно, что функции u,u,w ограничены в C 3,3,3,0 (T ), т.е. имеет место (2.1.27). Поэтому, чтобы оценить функции u,u,w в GlW ( T ), в свою очередь, надо оценить функции ut,ut,wt в L2.

lW Для этого, (2.1.25) дифференцируя по t для t0 и учитывая весовые функции l( t )W ( x, y, z ), имеем T0 T l ( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y,z,t ) dxdydzdt b 0 W ( x, y,z )l ( t ) 2 0 R3 0 R T [3 m + 12 mt + 2]2 dxdydzdt b 2 l( t )[3 m + 12 m t + 2 ]2 dt, t t T T l ( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y,z,t ) dxdydzdt b0 W ( x, y,z )l( t ) (2.1.32) 0 R3 0 R T [3 m + 12 mt + 2]2 dxdydzdt b02 l( t )[3 m + 12 m t + 2 ]2 dt, t t T T m l ( t )W ( x, y,z ) wt ( x, y,z,t ) dxdydzdt b0 l( t )[ + 12 mt + 2 ]2dt.

t 0 R3 Тогда (2.1.32) оценивая в смысле нормы L2 (Т ), получим lW M*( m + ut ), L lW (2.1.33) 2 u M * ( m + ), wt M * ( m + ),M* = 60 b0 q.

% t L2 L 15 lW lW Отсюда, учитывая (2.1.27), (2.1.31) и (2.1.33), следует +u 3[N 1 + M * ( m + =u +w U )].

D(2u ;

lW ) ( T ) D(2u ;

lW ) ( T ) D(2w ;

lW ) ( T ) % % % GlW ( T ) Лемма 2.2.2. При условиях теоремы 2.1.1 и (2.1.21) функции u,u,w ограничены в смысле нормы GlW ( T ).

§2.2. Предельный случай очень малой вязкости Известно, что предельный переход к очень малой вязкости следует выполнить не в уравнениях Навье-Стокса, а в решении этих уравнений путем приближения коэффициента вязкости к нулю [2].

Предельный же случай, который рассмотрим в этом параграфе, относится к результатам теоремы 2.1.1.

Пусть выполняются результаты теоремы 2.1.1.Тогда имеем [см.

§2.1.1, (2.1.25)]:

exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))u0 ( x + 2t 1 mt, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 m t ) u = 2 p R t dt 1 dt 2 dt 3 + 1 exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) [ f 1 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2 p 0 R +2t 2 m ( t - s ), z + 2t 3 m ( t - s );

s ) - J 1( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ), z + 2t 3 m( t - s );

s )] dt 1 dt 2 dt 3 ds, u = exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))u0 ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 mt,z + 2t 3 m t ) 2 p R t dt 1 dt 2 dt 3 + 1 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 ))[ f 2 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2 2 p 0R +2t 2 m ( t - s ), z + 2t 3 m ( t - s );

s ) - J 2 ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ), z + 2t 3 m( t - s );

s )] dt 1 dt 2 dt 3 ds, w = exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))w0 ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 mt,z + 2t 3 mt ) 2 p R t exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) [ f 3 ( x + 2t 1 m ( t - s ), у + dt 1 dt 2 dt 3 + 2 p 0 R +2t 2 m ( t - s ), z + 2t 3 m ( t - s );

s ) - J 3 ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ), (2.2.1) z + 2t 3 m( t - s );

s )] dt 1 dt 2 dt 3 dt с условиями (2.2), (2.3) и J x J 1,J y J 2, J z J 3 :

J ( x, y,z,t ) = 1 t F0 ( x + t 1, y + t 2,z + t 3 ;

t )dt 1dt 2 dt 3,i = 1,3. (2.2.2) i i 4p R3 ( t 12 + t 2 2 + t 3 ) С другой стороны, для идеальной несжимаемой жидкости ( m = 0 ) с условием Стокса, решение получено в виде (0.10), т.е.

t u( x,y,z,t ) = u0 ( x,y,z ) + ( f1( x,y,z,t ) - J x( x,y,z,t ))dt, t u ( x,y,z,t ) = u0 ( x,y,z ) + ( f2( x,y,z,t ) - J y ( x,y,z,t ))dt, (2.2.3) t w( x,y,z,t ) = w0 ( x,y,z ) + ( f3( x,y,z,t ) - J z ( x,y,z,t ))dt с условиями u x + u y + wz = 0, (2.2.4) u,u,w C 3,3,3,1 ( T ) : u( x, y,z,t )|t == 0 ( x, y,z ),u ( x, y,z,t )|t == 0 ( x, y,z ), % 0u u (2.2.5) w( x, y,z,t )|t ==w0 ( x, y,z ),"( x, y,z ) R, t [0,T0 ].

Чтобы оценить близости решений (2.2.1), (2.2.3) в смысле GlW ( T ), когда m ® 0,и u0,u0,w0,u0,u0,w0 C 3,3,3 ( R 3 ), f i, f i C 4,0 ( T ), J i,J i C 3,0 ( T ),( i = 1,3 ), требуются условия:

1) D k ( u0 - u0 ), D k ( u0 - u0 ), D k ( w0 - w0 ) d 1 m,"( x, y, z ) R 3, D k [u0 ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 mt ) - u0 ( x, y,z )] D [u0 ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 mt,z + 2t 3 m t ) - u0 ( x, y, z )] k (2.2.6) D k [w0 ( x + 2t 1 mt, y + 2t 2 mt,z + 2t 3 m t ) - w0 ( x, y,z )] N01 m ( t 1 + t 2 + t 3 ),"( x, y, z ) R 3 ;

T 2) { D [fi ( x, y, z,t ) - f i ( x, y,z,t )] + D [J i ( x, y,z,t ) - J i ( x, y,z,t )] }dt k k d 2 m,"( x, y, z,t ) T ;

D k [f i - f i ] + D k [J i - J i ] d 3 m,"( x, y,z,t ) T, D k [f i ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m ( t - s ), z + 2t 3 m ( t - s );

s ) - f i ( x, y,z;

s )] N 02 ( t,s ) m ( t 1 + t 2 + t 3 ),i = 1,3, f i,l j ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m ( t - s ),z + 2t 3 m( t - s );

s ) N03, i = 1,3;

j = 1,3,"( x, y,z,t ) T, D k [J i ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m ( t - s ),z + 2t 3 m( t - s );

s ) - J i ( x, y,z;

s )] N 04 ( t,s ) m ( t 1 + t 2 + t 3 ),i = 1,3,"( x, y,z,t ) T, J i,l j ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + 2t 3 m( t - s );

s ) N05, T i = 1,3;

j = 1,3,"( x, y,z,t ) T ;

N 0i ( t,s )ds N 06,( i = 2,4 ), "t [0,T0 ];

T N0 = max( N01,N 03,N 05,N06 );

l( t )[3 b1 (2.2.7) + 12N 0 t ]2 dt q.

% t y k Здесь, например k = 0 : D y ( x, y,z,t ) y ;

k 0 : D y = a1 a2 a3 ;

0 k x y z k = a i,( 0 k 3,a i = 0,1,2,3;

i = 1,3 ).

i = Очевидно, что оценки относительно u - u C ( T ), u - u C ( T ), w - w C ( T ) будут порядка O ( m ).

3,0 3,0 3, В самом деле, оценивая (2.2.1), (2.2.3), имеем exp( -( t + t 2 + t 3 ))[ u 0 ( x + 2t 1 mt, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 mt ) u -u 2 2 p R t exp( -( t -u0 ( x, y, z ) + u0 ( x, y, z ) - u0 ( x, y,z ) ]dt 1 dt 2 dt 3 + + t 2 + t 3 )) 2 2 p 0 R [ f1 ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ), z + 2t 3 m ( t - s );

s ) - f 1( x, y,z;

s ) + + f1 ( x, y, z;

s ) - f 1 ( x, y,z;

s ) + J 1 ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + +2t 3 m( t - s );

s ) - J 1( x, y,z;

s ) + J 1( x, y, z;

t - s ) - J 1( x, y,z;

s ) ]dt 1dt 2 dt 3 ds d 1m + d 2 m + 9N 0 m d m + 9N 0 m,d m = d im.

i = Аналогично, имеем u - u d m + 9N0 m, w - w d m + 9N 0 m.

Следовательно, получим u -u d m + 9N 0 m, C( T ) u - u C( T ) d m + 9N0 m, (2.2.8) w - w C( T ) d m + 9N0 m.

Аналогичным образом, получим и оценки относительно выражений, где содержатся частные производные функции u,u,w и u,u,w до третьего порядка, включительно, т.е.

u - u 3,0 g ( d, m ), m C (T ) u - u C 3,0 ( T ) g 1 ( d m, m ), (2.2.9) w - w C 3,0 ( T ) g 1 ( d m, m ),g 1 ( d m, m ) = 20( d m + 9N0 m ).

Отсюда видно, u -u, w - w C 3,0 ( T ) O ( m ), u -u (2.2.10) C 3,0 ( T ) C 3,0 ( T ) если d = m.

Далее, чтобы оценить, u -u u -u, w- w, D(2u ;

lW ) ( T ) D(2u ;

lW ) ( T ) D(2w;

lW ) ( T ) % % % необходимо получить оценки: ut - ut L ( T ), ut - ut L ( T ), wt - wt.

2 L2 ( T ) lW lW lW Для этого, учитывая производную (2.2.1) по t для t0 и ut = f1( x, y,z,t ) - J 1( x, y,z,t ), ut = f 2 ( x, y,z,t ) - J 2 ( x, y,z,t ), (2.2.11) w = f ( x, y,z,t ) - J ( x, y,z,t ), t 3 и оценивая их разность, и возведя в квадрат с умножением на l ( t )W ( x, y, z ), а, затем, интегрируя по области R 3 ( 0,T0 ) с учетом (2.2.9), имеем T0 T l ( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y, z,t ) - ut ( x, y, z,t ) dxdydzdt l( t )[3 b1 m + t 0 R3 T +12N0 m t + d 3 m ] dt 4 l( t )[( 3b 1 m + 12N0 m t )2 + d 32m ]dt 4[m q + d 32m q ], % % t T0 T l ( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y,z,t ) - ut ( x, y,z,t ) dxdydzdt l( t )[3 b1 m + t 0 R 3 +12N0 m t + d 3 m ] dt 4[m q + d 3 m q ], 2 % % T0 T 3 l( t )W ( x, y,z ) wt ( x, y,z,t ) - wt ( x, y,z,t ) dxdydzdt l( t )[3 b1 m t + 0 R +12N m t + d ]2 dt 4[m q + d 2 q ].

% 3m % 3m Отсюда получим T0 ut - ut L2lW ( T ) ( l( t )[3 b1 m + 12N0 m t + d 3 m ] dt ) t 1 ( 4[m q + d 3 m q ] ) k * m,k* = 8q,d m = d im = m ;

% % % i = T (2.2.12) u -u ( l( t )[3 b 1 m + 12N0 m t + d 3 m ] dt ) 2 k * m ;

t t LlW ( T ) t T0 wt - wt LlW ( T ) ( l( t )[3 b 1 m + 12N0 mt + d 3 m ] dt ) 2 k * m.

t Тогда с учетом (2.2.10), (2.2.12), имеем u - u %2 g 2 ( d m, m ), D( u ;

lW ) ( T ) u - u D(2u ;

lW ) ( T ) g 2 ( d m, m ), w - w D(2w ;

lW ) ( T ) g 2 ( d m, m );

(2.2.13) % % g 2 ( d m, m ) = C * m + 20d m,C* = k * + 180N 0.

Поэтому учитывая (2.2.13), получим + u -u 3g 2 ( d m, m ). (2.2.14) = u -u + w-w U D(2u ;

lW ) ( T ) D(2u ;

lW ) ( T ) D(2w ;

lW ) ( T ) % % % GlW ( T ) Лемма 2.2.1. Если выполняются условия теоремы 2.1.1 и (2.2.6), (2.2.7), то относительно решений (2.2.1) и (2.2.3) в GlW ( T ) при m ® допускается оценка (2.2.14).

Утверждение 2.2.1. При условиях леммы 2.2.1, когда d = m, допустимая погрешность оценки будет порядка O ( m ) в GlW ( T ).

Заключение 2.1. В условиях леммы 2.2.1 при обращении параметра m ® 0 доказано, что решение системы Навье-Стокса с вязкостью (2.2.1) сходится к решению вырожденной системы (2.2.3) в смысле GlW (T ). При этом система (2.2.1) имеет единственное условно-гладкое решение в GlW (T ).

§2.3. Решение задачи Навье-Стокса с условием (а2) Разработанный метод решения системы (2.1) связан с функциями q i,( i = 1,3 ), где эти функции преобразуют (2.1) к системам (2.6), (2.7) с условием (2.8).

При условии а1) rotq% = 0 ;

rotn 0, n = ( u,u,w ) система (2.1) изучена в параграфах §2.1, §2.2. Здесь рассмотрим случай а2) divq% = 0 ;

rotn 0, n = ( u,u,w ), когда, как необходимое условие, имеет место а2,0) divq%0 = 0.

С другой стороны, в случае (а2) течение рассматривается со средней величиной вязкости 0 m = m0 = const +, t [0,T0 ],T0 +, так как относительно функций q i,( i = 1,3 ) порождаются нелинейные интегральные уравнения Вольтерра второго рода по переменной t [0,T0 ].

Если входные данные:

1) fi C 4,1 (T = R 3 [0,T0 ] ),C 4,1 (T ) C 4,4,4,1 (T ),i = 1,3;

2) u0 C 4 ( R 3 ),u0 C 4 ( R 3 ),w0 C 4 ( R 3 );

C 4 ( R 3 ) C 4,4,4 ( R 3 ), % то решение системы (2.1) ищем в C 3,3,3,1 (T ) :

n % 3,1 = u % 3,1 + u % 3,1 + w % 3,1 ;

u % 3,1 = D k u + ut C( T ), C (T ) C (T ) C (T ) C (T ) C (T ) C( T ) 0 k u C 3,1 ( T ) = D u C( T ) + ut C( T ), w C 3,1 ( T ) = D w C( T ) + wt C( T ), k k % % 0 k 3 0 k % 3,1 % 3,3,3,1 (T ) = {( x, y,z,t ) T : D k u,D ku,D k w С( T );

u,u,w C( T )}, С ( T ) С t t t k = 0 : D0 u( x, y,z,t ) u,D0u ( x, y,z,t ) u,D 0 w( x, y,z,t ) w;

ku ku k w k 0 : D u = a1 a2 a3,D u = a1 a2 a3,D w = a1 a2 a3, k k k x y z x y z x y z k = a i,( a i = 0,1,2,3;

i = 1,3 ).

i = % Пространство C 3,3,3,1 (T ) отличается от C 3,3,3,1 (T ) тем, что не содержит члены со смешанными производными, учитывающие производные 1-го порядка по t. Введение такого пространства достаточно для доказатель ства гладкости решений задачи (2.1)-(2.3) с условием (а2).

Пусть функции q% = ( q1,q2,q3 ),n = ( u,u,w ) допускают условия divq = 0,rotn 0,divn = 0, % (2.3.1) 0 m = m0 = const +, тогда имеем следующее утверждение.

Утверждение 2.3.1. Системы (2.6), (2.7) эквивалентно преобра зуются к виду 1 D J = - F0, J P + Q, F0 -( f1x + f 2 y + f 3 z ), Q u 2 + u 2 + w2, r ut = f1 + mDu - J x, ut = f 2 + mDu - J y, (2.3.2) w = f + mDw - J, t 3 z q = D [q,q,q ],i = 1,3, i i 1 2 1 ds ds ds 1 P =- Q+ F0 ( s1,s2,s3,t ) 1 2 3,r = ( x - s1 )2 + ( y - s2 )2 + ( z - s3 )2, r 4p R 2 r когда выполняются условия (2.2), (2.3), (2.3.1) и при этом система % 3,3,3,1 ( T ).

(2.3.2) разрешима в C Доказательство. Воспользуемся преобразованием системы (2.6), которое приводит систему к уравнению Пуассона [см.

«алгоритм пуассонизации системы» (2.1.3), §2.1], т.е. дифференцируя в системе (2.6) первое уравнение по x, второе – по y, третье – по z, а, затем, суммируя их с учетом (2.2) и (2.3.1), получим D J = - F0, (2.3.3) где учитываются m ( Du ) + ( Du ) + ( Dw ) m 2 ( u x + u y + wz ) + 2 ( u x + u y + wz ) + = x y z x y 2 + 2 ( u x + u y + wz= 0, ) z 1 1 1 D( Q + = -( - f1x - f1 y - f1z ),F0 -( f1x + f 2 y + f 3 z ), J P + Q.

P) r r 2 Поэтому имеем ds1ds2 ds J= F0 ( s1,s2,s3,t ), (2.3.4) 4p r R причем J x J 1,J y J 2,J z J 3 :

F0 ( x + t 1, y + t 2,z + t 3 ;

t )dt 1dt 2 dt ti J i ( x, y,z,t ) =,i = 1,3.

4p (t1 +t 2 + t ) 2 2 2 R Если J – решение уравнения (2.3.3), то подставляя 1 1 1 1 1 Jx Px + Qx,J y Py + Qy, J z Pz + Qz, (2.3.5) r r r 2 2 в систему (2.6), получим ut = f1 + mDu - J x - q1, ut = f 2 + mDu - J y - q 2, (2.3.6) wt = f 3 + mDw - J z - q 3, т.е. уравнения полученных систем (2.3.3), (2.3.6) являются первым, вторым, третьим и четвертым уравнениями системы (2.3.2).

Далее, учитывая u = u0 + U 1,u = u0 + U 2,w = w0 + U 3,"( х, у,z,t ) T ;

(2.3.7) U i t =0 = 0,i = 1,3;

u0 x + u0 y + w0 z = 0;

U 1x + U 2 y + U 3 z = получим систему U it = f i - J i - qi + mDU i + my i,i = 1,3, (2.3.8) y 1 Du0,y 2 Du0,y 3 Dw0 ;

y i = y i ( x, y,z ) C ( R ) C ( R ).

2 3 2,2,2 Следовательно, из системы (2.3.8), имеем t r2 Ui = Hi - exp( - qi ( s1,s2,s3,t )ds1ds2 ds3dt Biqi, ) 4m(t -t ) 8( pm( t -t )) 0 R t r2 Hi0 = exp( 3 [fi ( s1,s2,s3,t ) - J i ( s1,s2,s3,t ) + ) 4m( t - t ) 8( pm( t -t )) 0R t exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))[ fi ( x + 2t 1 m s, y + +my i ( s1,s2,s3 )]ds1ds2ds3dt = 2 p 0 R +2t m s,z + 2t m s ;

t - s ) - J ( x + 2t m s, y + 2t m s,z + 2t ms;

t - s ) + 2 3 i 1 2 +my i ( x + 2t 1 m s, y + 2t 2 m s,z + 2t 3 m s )]dt 1dt 2dt 3ds,i = 1,3, (2.3.9) учитывая новые переменные:

s1 - x s2 - y s3 - z = t1, =t2, = t 3,( t - t = s ).

2 m( t - t ) 2 m( t - t ) 2 m( t - t ) Поэтому решение задачи (2.1)-(2.3) представляется в виде t r2 u = - exp( - q1( s1,s2,s3,t ) ) 4 m ( t - t ) 8( pm( t - t )) 0R ds ds ds dt + u + H 0 F q, 123 0 1 t r2 u = - exp( - q 2 ( s1,s2,s3,t ) ) 4 m ( t - t ) 8( pm( t - t )) 0 R (2.3.10) ds1ds2 ds3 dt + u0 + H 2 F 2q 2, t r2 w = - exp( - q 3 ( s1,s2,s3,t ) ) 4 m ( t - t ) 8( pm ( t - t )) 0 R ds1ds2 ds3 dt + w0 + H 3 F 3q 3, где относительно функций q i,( i = 1,3 ), получим q1 = ( F 2q 2 )( F 1q1 )y + ( F 3q 3 )( F 1q1 )z - ( F 2q 2 )( F 2q 2 )x - ( F 3q 3 )( F 3q 3 )x D1 [ q1,q 2,q 3 ], q 2 = ( F 1q1 )( F 2q 2 )x + ( F 3q3 )( F 2q 2 )z - ( F 1q1 )( F 1q1 )y - ( F 3q3 )( F 3q 3 )y D2 [ q1,q 2,q 3 ], q 3 = ( F 1q1 )( F 3q3 )x + ( F 2q 2 )( F 3q 3 )y - ( F 1q 1 )( F 1q 1 )z - ( F 2q 2 )( F 2q 2 )z D3 [ q1,q 2,q3 ]. (2.3.11) Частные производные функций u,u,w :

t t exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) q1( x + 2t 1 m s, y + ux = u0 x + H 1x ( x, y,z,t ) 0 2 ms p 0 R +2t m s,z + 2t m s ;

t - s )dt dt dt ds ( F q ), 2 3 1 2 3 11x t t exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) q1( x + 2t 1 m s, y + u y = u0 y + H 1y ( x, y,z,t ) 0 2 ms p 0 R +2t 2 m s,z + 2t 3 m s ;

t - s )dt 1 dt 2 dt 3ds ( F 1q1 )y, t t exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) q1( x + 2t 1 m s, y + uz = u0 z + H 1z ( x, y,z,t ) 0 2 ms p 0 R +2t m s,z + 2t m s ;

t - s )dt dt dt ds ( F q ), 2 3 1 2 3 11z t t u x = u0 x + H 2 x ( x, y,z,t ) - exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) q 2 ( x + 2t 1 m s, y + 0 2 ms p 0 R +2t m s,z + 2t m s ;

t - s )dt dt dt ds ( F q ), 2 3 1 2 3 22x t t u y = u0 y + H 2 y ( x, y,z,t ) - exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) 2 q 2 ( x + 2t 1 ms, y + 0 2 ms p 0 R +2t m s,z + 2t m s ;

t - s )dt dt dt ds ( F q ), 2 3 1 2 3 22y t t u z = u0 z + H 2 z ( x, y,z,t ) - exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) 3 q 2 ( x + 2t 1 ms, y + 0 2 ms p 0 R +2t 2 m s,z + 2t 3 m s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds ( F 2q 2 )z, t t w = w + H 0 ( x, y,z,t ) - exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) 1 q3 ( x + 2t 1 ms, y + 2 2 x 0x 3x ms p 0 R +2t 2 m s,z + 2t 3 m s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds ( F 3q3 )x, t t wy = w0 y + H 3 y ( x, y,z,t ) - exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) 2 q3 ( x + 2t 1 ms, y + 0 2 ms p 0 R +2t 2 m s,z + 2t 3 m s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds ( F 3q3 )y, t t w = w + H 0 ( x, y,z,t ) - exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) 3 q3 ( x + 2t 1 ms, y + 2 z 0z 3z ms p 0 R +2t 2 m s,z + 2t 3 m s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds ( F 3q3 )z, т.е.

( F 1q 1 )x,( F 1q 1 )y,( F 1q 1 )z,( F 2q 2 )x,( F 2q 2 )y,( F 2q 2 )z,( F 3q 3 )x,( F 3q 3 )y,( F 3q 3 )z являются интегральными выражениями, которые содержат: q1,q 2,q 3, а (2.3.11) – система нелинейных интегральных уравнений Вольтерра % второго рода относительно qi C 2,1 (T ), i = 1,3 по переменной t.

Лемма 2.3.1. При условии (2.3.1) система (2.3.11) имеет единс % твенное решение qi = fi C 2,1(T ), i = 1,3.

Из полученных результатов следует, что функции % 2, % 3, ( u,u,w ) C ( T ), qi C ( T ), i = 1,3, определяются из системы (2.3.10) и (2.3.11). Следовательно, на основе (2.3.3), (2.3.4), получим ds1ds2 ds 1 1 P = - ( u 2 + u 2 + w2 ) + F0 ( s1,s2,s3,t ). (2.3.12) r 4p 2 r R Отсюда видно, что (2.3.12) есть уравнение типа Бернулли, причем (2.3.11), (2.3.12) – это пятое, шестое уравнения системы (2.3.2).



Pages:   || 2 | 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.