авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 || 3 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ КЫРГЫЗСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Ж. БАЛАСАГЫНА Научно-исследовательский центр Навье-Стокса ...»

-- [ Страница 2 ] --

Замечание 2.3.1. Согласно результатам утверждения 2.3.1, функ ции u,u,w определяются из системы (2.3.10). Поэтому, учитывая (2.2), (2.3.1), (2.3.7) и t exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) u x = u0 x + H 1x ( x, y,z,t ) - [ 0 2 x p 0 R q1( x + 2t 1 m s, y + 2t 2 m s,z + 2t 3 m s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds ], t y p 3 R u y = u0 y + H 2 y ( x, y,z,t ) - [ exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) 0 2 (2.3.13) q 2 ( x + 2t 1 m s, y + 2t 2 m s,z + 2t 3 m s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3ds ], t wz = w0 z + H 3 z ( x, y,z,t ) - [ exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) 0 2 2 z p 0 R q 3 ( x + 2t 1 m s, y + 2t 2 m s,z + 2t 3 m s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds ], и суммируя (2.3.13), имеем t exp( -( t + t 2 + t 3 )){ - F0 [x + 2t 1 m s, y + 0=H +H +H = 0 0 0 2 2 1x 2y 3z p 0 R + 2t 2 m s, z + 2t 3 m s ;

t - s ] - D J [x + 2t 1 m s, y + 2t 2 m s, z + 2t 3 m s ;

t - s ] } dt 1 dt 2 dt 3 ds = 0, так как D J = - F0.

Таким образом, система (2.3.10) удовлетворяет уравнению (2.2).

Теорема 2.3.1. При условиях (2.2), (2.3), (2.3.1) нестационарная задача Навье-Стокса (2.1)-(2.3) имеет единственное решение в % C 3,3,3,1 ( T ).

Примечание 2.2. Если 1) fi C,1( T = R 3 [0,T0 ] ),i = 1,3;

2) u0,u0,w0 C ( R 3 ) : y 1 Du0,y 2 Du0,y 3 Dw0 ;

y i = y i ( x, y,z ) C ( R 3 );

3) 0 m = m0 = const +, t [0,T0 ],T0 +, и при этом выполняются условия (2.2), (2.3), (2.3.1), то система (2.3.2) % разрешима в C,1 ( T ), причем имеют место (2.3.10)-(2.3.12), % u,v,w,qi,P C,1 ( T ).

§2.4. Задача Навье-Стокса с произвольными конвективными членами В предыдущих параграфах задача Навье-Стокса (2.1)-(2.3) исследована с учетом условий (а1), (а2). При этом, соответственно было доказано существование условной гладкости и гладкость решения изучаемой задачи в определенных пространствах. Здесь исследуем случай, когда конвективные члены задачи Навье-Стокса произвольны.

Пусть функции q i,( i = 1,3 ) преобразуют (2.1) к системам вида (2.6), (2.7) с условием (2.8).

Замечание 2.4.1. В случае (а3), параметр жидкости можно рассматривать со средней величиной вязкости 0 m = m0 = const +, (( x, y,z,t ) T = R 3 R+ ), (2.4.1) и с очень малой вязкостью 0 m 1,(( x, y,z,t ) T = R 3 R+ ). (2.4.2) В случае (2.4.1), найденное решение задачи (2.1)-(2.3) обладает % % свойством гладкости в С 2,2,2,1 ( Т ) С 2,1 (Т ). Но, когда параметр вязкости:

0 m 1, то решение задачи (2.1)-(2.3) ищем в пространстве DlW (T ) и в этом случае, решение задачи Навье-Стокса обладает свойством условной гладкости в DlW ( T ). Эти факты устанавливаются при точных гладких входных данных:

1) fi C 3,0 ( T = R 3 R+ ),C 3,0 ( T ) C 3,3,3,0 ( T ),i = 1,3, 2) u0 C 2 ( R 3 ),u0 C 2 ( R 3 ),w0 C 2 ( R 3 );

C 2 ( R 3 ) C 2,2,2 ( R 3 ), которые требуются, как необходимые условия решения системы Навье-Стокса с трением в DlW ( T ) : v D2 ( T ) = u D2 ( T ) + u D 2 ( T ) + w D 2 ( T ) ;

u D 2 ( T ) = u C 2,0 ( T ) + ut L2, % % % % lW ( u ;

lW ) ( u ;

lW ) ( w;

lW ) ( u ;

lW ) lW u D2 ( T ) = u C 2,0 ( T ) + ut L2, w D2 ( T ) = w C 2,0 ( T ) + wt L2, % % ( u ;

lW ) lW ( w ;

lW ) lW R l( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +, (2.4.3) +R 3 l( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +, R+ R 3 l( t )W ( x, y,z ) wt ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +, R +R D(2u ;

lW ) (T ) = {( x, y,z,t ) T = R 3 R+ : u C 2,2,2,0 (T );

ut L2 [R 3 ( 0, )] }, % lW D ( u ;

lW ) ( T ) = {( x, y,z,t ) T = R R+ : u C % (T );

ut L2 [R 3 ( 0, )] }, 3 2,2,2, lW % D( w;

lW )( T ) = {( x, y,z,t ) T = R R+ : w C (T );

wt L2 [R 3 ( 0, )] }, 3 2,2,2, lW 0 l( t ) : l( t ) 1 dt = q ;

0 W : W ( x, y,z )dxdydz = 1,C 2,0 ( Т ) C 2,2,2,0 ( T ).

t R Результаты §2.4 получены, когда divf = 0, f = ( f1, f 2, f3 ) [ divf 0, см. §2.1, §2.3].

Если система (2.1) приводится к системам (2.6), (2.7), а эти системы эквивалентно преобразуются:

ut + q1 = f1 - J x + mDu, ut + q 2 = f 2 - J y + mDu, (2.4.4) wt + q 3 = f 3 - J z + mDw, 1 J Q + P,Q u 2 + u 2 + w2, divv = 0, [rotn 0,n = ( u,u,w )], (2.4.5) r q1 = uu x + uu y + wu z - 2 Qx, q 2 = uu x + uu y + wu z - Qy, (2.4.6) q3 = uwx + u wy + wwz - 2 Qz, то в системах (2.4.4)-(2.4.6) содержатся неизвестные функции ( u,u,w ), J,qi,( i = 1,3 ),P.

Рассмотрим описание необходимых и достаточных условий совместимости этих систем в определенных пространствах.

Могут быть различные аналитические методы решения системы (2.4.4). Разработанные алгоритмы в предыдущих параграфах не применимы, так как q i,( i = 1,3 ) – произвольные функции. Здесь пред лагаем один из способов решения этой системы.

Исследуем систему (2.4.4). С этой целью, введем обозначения u = U 1 ( x, y,z,t ) + C1 ( x, y,z,t ), u = U ( x, y,z,t ) + C ( x, y,z,t ), 2 w = U 3 ( x, y,z,t ) + C3 ( x, y,z,t ), (2.4.7) t Ci ( x, y,z,t ) = [qi ( x, y,z,t ) + J i ( x, y,z,t )]dt,i = 1, с условиями U i t =0 = U 0i,Ci t =0 = 0,( i = 1,3 ),"( x, y,z ) R 3 ;

(2.4.8) U 01 ( x, y,z ) u0 ( x, y,z ),U 02 ( x, y,z ) u0 ( x, y,z ),U 03 ( x, y,z ) w0 ( x, y,z );

qi ( x, y,z,t ) = - J i ( x, y,z,t ) + Cit ( x, y,z,t ),( i = 1,3 ), (2.4.9) J x J 1, J y J 2,J z J 3 ;

J i = J i ( x, y,z,t ),( i = 1,3 ), где U i,Ci - новые неизвестные функции. При этом имеет место теорема.

Теорема 2.4.1. Пусть функции U i ( x, y,z,t ),Ci ( x, y,z,t ) являются решениями системы U it = mDU i,i = 1,3, (2.4.10) 2Cit = f i + mDCi,i = 1,3.

Тогда (2.4.7) является решением системы (2.4.4).

Доказательство. В самом деле, учитывая частные производные по совокупности пространственных аргументов и по t при t0, т.е.

ut = U 1t ( x, y,z,t ) + C1t ( x, y,z,t ),ut = U 2t ( x, y,z,t ) + C2t ( x, y,z,t ), w = U ( x, y,z,t ) + C ( x, y,z,t );

Du = DU ( x, y,z,t ) + DC ( x, y,z,t ), t 3t 3t 1 Du = DU 2 ( x, y,z,t ) + DC2 ( x, y, z,t ), Dw = DU 3 ( x, y,z,t ) + DC3 ( x, y,z,t );

q ( x, y,z,t ) = - J ( x, y,z,t ) + C ( x, y,z,t ),i = 1, i i it и подставляя эти значения в (2.4.4), имеем U 1t + 2C1t - J x = f 1 - J x + m( DU 1 + DC1 ), U 2t + 2C2t - J y = f 2 - J y + m ( DU 2 + DC2 ), (*) U 3t + 2C3t - J z = f 3 - J z + m ( DU 3 + DC3 ).

Далее, учитывая (2.4.10) из системы (*) получим тождество.

Это означает, что, действительно, если U i ( x, y,z,t ),Ci ( x, y,z,t ) являются решениями уравнений системы (2.4.10), то (2.4.7) является решением системы (2.4.4). Что и требовалось доказать.

§2.4.1. Решение системы (2.4.10) зависит от параметра вязкости.

Поэтому рассмотрим систему (2.4.10), когда параметр вязкости имеет различные значения.

Если имеет место (2.4.1): 0 m = m0 = const +, и f i C 3,1 (T = R 3 R+ ),C 3,1 ( T ) C 3,3,3,1 (T ),i = 1,3, u0 C ( R ),u0 C ( R ),w0 C ( R );

C ( R ) C ( R ), 2 3 2 3 2 3 2 3 2,2,2 % % то система (2.1) имеет гладкое решение в C 2,2,2,1 ( T ) C 2,1 ( T ) :

n C 2,1 ( T ) = u C(2u,1;

T ) + u C(2u,1;

T ) + w C(2w;

T ) ;

u C(2u,1;

T ) = D u C( T ) + ut C( T ), k %, % % % % 0 k u C(2u,1;

T ) = D u C ( T ) + ut C( T ), w C(2w,1;

T ) = D w C( T ) + wt C( T ), k k % % 0 k 2 0 k % 2,1 % 2,2,2,1 (T ) = {( x, y,z,t ) T : D k u,D ku,D k w С( T );

u,u,w C( T )}, C ( T ) С t t t k = 0 : D u( x, y,z,t ) u,D u ( x, y,z,t ) u,D w( x, y,z,t ) w;

0 0 ku ku k w k 0 : D k u =,D u = a 1 a 2 a 3,D w = a1 a2 a 3, k k xa1 ya 2 z a 3 x y z x y z k = a,( a = 0,1,2;

i = 1,3 ).

i i i = % Введение пространства C 2,1(T ) достаточно для доказательства глад кости решений задачи (2.1)-(2.3). При изучении стационарных задач % C 2,1(T ) переходит в C 2,2,2 ( R 3 ) :

= Dku u.

C 2 ( R3 ) C( R3 ) 0 k В самом деле, так как в условиях (2.4.1), (2.2), (2.3), (2.4.8) первое уравнение системы (2.4.10):

U jt = mDU j, j = 1,3, (2.4.11) U j t = 0 = U 0 j,( j = 1,3 ), % имеет гладкое решение в C 2,1 ( T ), то решение системы (2.4.11) можем найти на основе преобразования Фурье [5] 3 e 1 2 3 U 0 j ( x, y,z )dxdydz, j = 1,3, i( xs + ys + zs ) U 0 j ( s1,s2,s3 ) = 8p 3 R U ( x, y,z ) = - i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 0 j ( s1,s2,s3 )ds1ds2 ds3,j = 1,3.

e 0j 8p R Тогда искомая функция U j ( x, y,z,t ) представима в виде 1 e - i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 0 j ( s1,s2,s3 )Z j ( s1,s2,s3,t ) U j ( x, y,z,t ) = 8p R ds1ds2 ds3, (2.4.12) где Zj – новая неизвестная функция, причем Z j t = 0 = 1, j = 1,3.

При этом ставится задача нахождения функций U j,Z j, j = 1,3.

Из (2.4.12) получим 1 - i( xs1 + ys2 + zs3 ) s1 U 0 j ( s1,s2,s3 )Z j ( s1,s2,s3,t )ds1ds2ds3, U jx 2 = - e 8p R e -i( xs1 + ys2 + zs3 ) s2 U 0 j ( s1,s2,s3 )Z j ( s1,s2,s3,t )ds1ds2ds3, U jy 2 = - 8p 3 R - i( xs1 + ys2 + zs3 ) s3 U 0 j ( s1,s2,s3 )Z j ( s1,s2,s3,t )ds1ds2 ds3, U jz 2 = - e 8p R 1 - i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 0 j ( s1,s2,s3 )Z jt ( s1,s2,s3,t )ds1ds2ds3, U jt = e 8p R U j = U j ( x, y,z,t ), j = 1,3. (2.4.13) Следовательно, подставляя (2.4.13) в (2.4.11), имеем Z jt ( s1,s2,s3,t ) = -m( s1 + s2 + s3 )Z j ( s1,s2,s3,t ), 2 2 т.е.

2 2 Z j ( s1,s2,s3,t ) = e - m ( s1 + s2 + s3 ) t, j = 1,3. (2.4.14) Поэтому на основе (2.4.14) и (2.4.12) из (2.4.11), получим 2 2 e -i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 0 j ( s1,s2,s3 )e - m ( s1 + s2 + s3 )t U j ( x, y,z,t ) = 8p 3 R3 (2.4.15) ds1ds2 ds3, j = 1,3.

Пусть выполняются условия k Dk e-i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 0 j ( s1,s2,s3 )ds1ds2ds3 N0 +, D U0 j 8p 3 R Z jt m( s1 + s2 + s3 ) Z j m( s1 + s2 + s3 ),t [0,T0 ], j = 1,3,( 0 k 2 ), 2 2 2 2 2 8p 3 U 0 j ( s1,s2,s3 )( s1 + s2 + s3 )ds1ds2ds3 N1 +, j = 1,3.

2 2 R Тогда для искомой функции Ui и для частных производных:

U jx,U jy,U jz,U jx2,U jy 2,U jz 2,U jxy,U jxz,U jyz,U jt, получим 2 2 U 0 j ( s1,s2,s3 ) e - m ( s1 + s2 + s3 )t k - i( xs1 + ys2 + zs3 ) D Uj k De 8p 3 R ds1ds2 ds3 N0, 1 m e - i( xs1 + ys2 + zs3 ) U jt U 0 j ( s1,s2,s3 ) ( s1 + s2 + s3 ) 2 2 8p 3 R ds1ds2 ds3 m N 1,"( x, y,z,t ) T, j = 1,3. (2.4.16) Поэтому можем сделать выводы, что эти функции равномерно ограни чены в области T, причем они определены единственным образом (связаны с единственностью Zj).

С другой стороны, из (2.4.10) относительно функции Ci,i = 1,3, t r 1 1 3 exp( - 4a ( t - t ) ) 8( a ( t - t ))3 2 fi ( s1,s2,s3,t )ds1ds2ds3dt = Ci = p3 0 R t 1 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) f i ( x + 2t 1 a s, y + 2t 2 a s,z + 2t 3 a s ;

t - s ) = 2 2 p3 0 R dt 1dt 2 dt 3 ds,i = 1,3;

a = 2 -1 m, (2.4.17) при этом функции Ci,i = 1,3 допускают ограничения Y C 2,1 ( T ) = Ci C(2C,1i ;

T ) ( T ) M 0 = 3M, % % % i = Y = ( C1,C2,C3 ), Ci % 2,1 % = Ci C 2,0 ( T ) + Cit C( T ) M,( i = 1,3 );

C( C ;

T ) ( T ) i D k f ( x + 2t a s, y + 2t a s,z + 2t a s ;

t - s ) M ( t,s ),( i = 1,3 ), i 1 2 3 fit ( x + 2t 1 a s, y + 2t 2 a s,z + 2t 3 a s ;

t - s ) M 03 ( t,s ),( i = 1,3 ), f i ( x + 2t 1 a t, y + 2t 2 a t,z + 2t 3 a t ;

0 ) M 04, (2.4.18) "( x, y,z,t,t 1,t 2,t 3,s ) T T ;

t t sup M 02 ( t,s )ds = M 05,sup M 03 ( t,s )ds = M 06, R+ 0 R+ M = max( M,M,M ),M = 1 ( 10M + M + M ) 6 M.% 01 04 05 06 05 06 04 Тогда с учетом (2.4.7), имеем 1 - i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 01 ( s1,s2,s3 )exp( - m( s1 + s2 + s3 )t )ds1ds2 ds3 + u = 2 2 e 8p R 1t 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) 2 f1( x + 2t 1 a s, y + 2t 2 a s,z + + 2 2 p3 0 R +2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3ds H 1( x, y,z,t ), 1 3 e- i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 02 ( s1,s2,s3 )exp( - m ( s1 + s2 + s3 )t )ds1ds2 ds3 + u = 2 2 8p 3 R t + 1 exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) f 2 ( x + 2t 1 a s, y + 2t 2 a s,z + 2 p 0 R +2t a s ;

t - s )dt dt dt ds H ( x, y,z,t ), 3 1 2 3 1 e -i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 03 ( s1,s2,s3 )exp( - m( s1 + s2 + s3 )t )ds1ds2ds3 + w= 2 2 8p R 1t exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) f 3 ( x + 2t 1 a s, y + 2t 2 a s,z + + 2 p 3 0 R +2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3ds H 3 ( x, y,z,t ), (2.4.19) s1 - x = 2t 1 a s,s2 - y = 2t 2 a s,s3 - z = 2t 3 a s,t - t = s.

H – известные функции, причем функции u,u,w ограничены в С2,1(Т ) : % i n +u =u + w C 2,1 M1. (2.4.20) C 2,1 ( T ) C(2u,1;

T ) ( T ) C(2u,1;

T ) ( T ) % % % % ( w ;

T ) ( T ) Следовательно, с учетом (2.4.6), (2.4.9), получим q1 = H 1 H 1x + H 2 H 1 y + H 3 H 1z - ( H 1 H 1x + H 2 H 2 x + H 3 H 3 x ) y 1, q 2 = H 1 H 2 x + H 2 H 2 y + H 3 H 2 z - ( H 1 H 1 y + H 2 H 2 y + H 3 H 3 y ) y 2, (2.4.21) q3 = H 1 H 3 x + H 2 H 3 y + H 3 H 3 z - ( H 1 H 1z + H 2 H 2 z + H 3 H 3z ) y 3, t J i = -qi + Cit -y i ( x, y,z,t ) + exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) fit ( x + 2t 1 a s, 2 2 p 0 R 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) fi ( x + y + 2t 2 a s,z + 2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds + 2 2 2 p3 R - +2t 1 a t, y + 2t 2 a t,z + 2t 3 a t ;

0 )dt 1dt 2dt 3 fi,i = 1,3;

a = 2 m, (2.4.22) где в формулах (2.4.21), (2.4.22) все функции с правой стороны y i,fi известные функции. Тогда из (2.4.22) следует J x = f1( x,y,z,t ),J y = f2 ( x,y,z,t ),J z = f3 ( x, y,z,t ),J x J 1,J y J 2,J z J 3. (2.4.23) Дифференцируя (2.4.23) по x, y,z, соответственно, и суммируя, получим уравнение Пуассона [5] D J = -F 0,F 0 -( f1x + f2 y + f3 z ) (2.4.24) при этом 1 ds1ds2 ds3 1 F0 ( s1,s2,s3,t ),J = Q + P,Q u 2 + u 2 + w2.

J= (2.4.25) 4p r r R Утверждение 2.4.1. Если имеют место условия (2.2), (2.3), (2.4.1), то система Навье-Стокса (2.1) имеет единственное гладкое % решение вида (2.4.19) в С 2,1 ( Т ).

Примечание 2.4. Если divf 0, то Ci,i = 1,3 определяются в виде t C1 ( x, y,z,t ) = [q1 ( x, y,z,t ) + J 1( x, y,z,t ) - f1 ( x, y,z,t ) + e u( x, y,z,t )]dt, - bt t C2 ( x, y,z,t ) = [q 2 ( x, y,z,t ) + J 2 ( x, y,z,t ) - f 2 ( x, y,z,t ) + e u( x, y,z,t )]dt, (1) - bt t C3 ( x, y,z,t ) = [q 3 ( x, y,z,t ) + J 3 ( x, y,z,t ) - f 3( x, y,z,t ) + e - bt w( x, y,z,t )]dt.

Тогда имеем = mDU i,i 1,3, = U it = -bt = -bt = -bt 2C1t e u + mDC1, 2C2t e u + mDC2, 2C3t e w + mDC3, b, (2) U 1x + U 2 y + U 2 z 0,C1x + C2 y + C3 z 0.

= = Следовательно, с учетом (2.4.7), получим 1t 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) 2 exp( - b ( t - s ))u( x + 2t 1 a s, y + u = U 1 + 2 2 p3 0 R +2t 2 a s,z + 2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds D1u, t 1 u = U 2 + exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) exp( - b ( t - s ))u ( x + 2t 1 a s, y + 2 p 3 0 R (3) +2t 2 a s,z + 2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds D2u, 1t 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) 2 exp( -b ( t - s ))w( x + 2t 1 a s, y + w = U 3 + 2 2 p3 0 R +2t 2 a s,z + 2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds D3 w, 1 e - i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 0 j ( s1,s2,s3 )exp( - m( s1 + s2 + s3 )t )ds1ds2 ds3, j = 1,3, где: U j = 2 2 8p R Di - сжимающие операторы: q = ( 2 b )-1 1. Поэтому, на основе метода Пикара: un + 1 = D1un,un + 1 = D2un,wn + 1 = D3 wn,n = 0,1,..., соответственно, имеем:

( un,un,wn ) ( u,u,w ),"( x, y,z,t ) T, где u0,u0,w0 - начальные прибли ® n ® жения. Тогда u = H 1,u = H 2,w = H 3 ;

Н i = H i ( x, y,z,t ) - известные функции.

Далее, с учетом [(2.4.21): qi = y i ( x, y,z,t ),i = 1,3 ] и 1t -bt -b t J i = -qi + f i - e H i + Cit -y i + f i - e H i + exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) 2 2 p 0 R exp( - b ( t - s ))[H it ( x + 2t 1 a s, y + 2t 2 a s,z + 2t 3 a s ;

t - s ) - b H i ( x + 2t 1 a s, y + 2t a s,z + 2t a s ;

t - s )]dt dt dt ds + 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 ))H i ( x + 2 2 2 3 1 2 2 p3 R +2t 1 a t, y + 2t 2 a t,z + 2t 3 a t ;

0 )dt 1dt 2 dt 3 fi,i = 1,3;

a = 2 -1 m, 1 1 1 ds ds ds F 0 ( s1,s2,s3,t ) 1 2 3.

получим (2.4.23)-(2.4.25), т.е.: P = - Q + r 4p R 2 r В этом случае, найденное решение задачи Навье-Стокса обладает % свойством гладкости в С 2,1 ( Т ), когда divf 0.

§2.4.2. Пусть имеет место (2.4.2): 0 m 1, и divf = 0, f i C 3,0 ( T = R 3 R+ ),i = 1,3;

u0 C 2 ( R 3 ),u0 C 2 ( R 3 ),w0 C 2 ( R 3 ).

Тогда (2.4.11) имеет решение в DlW ( T ), т.е.

exp( -( t + t 2 + t 3 ))U 0i ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 mt ) Ui = 2 2 p R dt 1dt 2 dt 3 H i0 DlW (T ),i = 1,3.

(2.4.26) По условию задачи (2.1)-(2.3) функции U 0i,i = 1,3 допускают условия u0,u0,w0 C 2,2,2 ( R 3 ) и (2.4.8), то функции U i,i = 1,3, найденные по формуле (2.4.26) ограничены в DlW ( T ), где = Ui % U. (2.4.27) D(2Ui ;

lW ) ( T ) % DlW ( T ) i = Ограниченность U i,i = 1,3 по x, y,z в C 2,2,2,0 ( T ), очевидна % U 2,0 U i C 2,0 ( T ) 3M 2,C 2,0 ( T ) C 2,2,2,0 ( T ), C (T ) i = (2.4.28) U i C 2,0 ( T ) = D kU i C( T ) 10M 1 = M 2 ;

D kU 0i M 1,i = 1,3.

0 k Поэтому проводим оценки в L2 (Т ) относительно функций U it,i = 1,3.

lW С этой целью, дифференцируя (2.4.26) по t для t0, затем, оценивая и возведя в квадрат с умножением на l( t )W ( x, y, z ), и, интегрируя по области T = R 3 ( 0, ) с учетом l ( t )W ( x, y,z ) U it ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +,i = 1,3 (2.4.29) 0 R 3M 1 m q0,i = 1,3. Отсюда, учитывая (2.4.27), получим имеем: U it L lW 3( M 2 + 3M 1 m q0 ) = M 3,q0 = l( t ) dt.

% U (2.4.30) t DlW (T ) Утверждение 2.4.2. При выполнении (2.4.8), (2.4.30), функции U i,i = 1,3 ограничены в DlW ( T ).

Обсуждая, аналогично относительно Ci,i = 1,3 (см. (2.4.10)), имеем t 1 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) f i ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + 2t 2 a ( t - s ),z + Ci = 2 2 p 3 0 R +2t 3 a ( t - s );

s )dt 1dt 2 dt 3ds Yi ( x, y,z,t ),i = 1,3;

a = 2 -1 m, (2.4.31) % где Ci С 2,1 (Т ),i = 1,3. Поэтому Ci допускают ограничения и в DlW ( T ) : y D2 ( T ) = Y C 2,0 ( T ) + Y t L2 ( T ) 3( M 0 + dM 1 ) = M*,Y = ( C1,C2,C3 );

% % lW lW 3 Y t L2 ( T ) = Cit L2lW ( T ) 3M % d;

Y % 2,0 = C % 2,0 % M 0 = 3M 0 ;

iC C (T ) (T ) lW ( Ci ;

T ) i=1 i= Ci % 2,0 % M 0,( i = 1,3 );

D k f i ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + 2t 2 a ( t - s ),z + C( C ;

T ) ( T ) i +2t a ( t - s );

s ) M ( s ),"( x, y,z,t,t,t,t,s ) E = T T,( i = 1,3 );

3 02 123 f ( x, y,z,t ) M,"( x, y,z,t ) T = R 3 R,( i = 1,3 );

i + a t sup { f i,l j ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + T p 3 exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) 2 t - s j = 0R +2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s ) t j }dt 1dt 2 dt 3ds M 05,( i = 1,3 );

t sup M 02 ( s )ds M 04 ;

d = ( l( t )dt ) 2, W ( x, y,z )dzdydx = 1;

R+ 0 R % % M 01 = max( M 03,M 04,M 05 );

M 0 = 5M 04 5M 01,M 1 = ( M 03 + M 05 ) M 01 ;

s - x = 2t a ( t - s ),s - y = 2t a ( t - s ),s - z = 2t a ( t - s ). (2.4.32) 1 1 2 2 3 Следовательно, учитывая (2.4.7), получим exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))U 01 ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 mt ) u = 2 p R t dt 1 dt 2 dt 3 + 1 exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) 1 f1 ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + 2 p 0 R +2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s )dt 1dt 2 dt 3 ds H 1, u = exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))U 02 ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 m t,z + 2t 3 m t ) 2 p R t dt dt dt + 1 exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) f 2 ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + 2 1 2 p 3 0 R +2t a ( t - s ),z + 2t a ( t - s );

s )dt dt dt ds H, 2 3 1 2 3 exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))U 03 ( x + 2t 1 mt, y + 2t 2 mt,z + 2t 3 m t ) w = 2 p R t dt dt dt + 1 exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) f 3 ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + 2 1 2 p 3 0 R +2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s )dt 1dt 2 dt 3 ds H 3 ;

(2.4.33) H i DlW (T ),i = 1,3, n = ( u,u,w ) по x, y,z H i – известные функции. Так как функции имеют непрерывные частные производные 2-го порядка, а производные 1-го порядка по t определены для t0 (т.е. t=0 является особой точкой для ( ut,ut,wt ) ), то при условии (2.4.3) функции n = ( u,u,w ) DlW ( T ). Чтобы доказать ограниченность n = ( u,u,w ) в DlW ( T ), достаточно доказать ограниченность функций U i,i = 1,3, и Ci,i = 1,3 в DlW ( T ).

В самом деле, так как функции U i,i = 1,3 ограничены в DlW ( T ) (см.

(2.4.30)), а функции Ci,i = 1,3 в DlW ( T ) (см. (2.4.32)), то относительно n = ( u,u,w ), имеем оценку +u =u +w M 3 + M* = N0.

v D(2u ;

lW ) ( T ) D(2u ;

lW ) ( T ) D(2w ;

lW ) ( T ) % % % DlW ( T ) Лемма 2.4.1. Если выполняются условия (2.2), (2.3), (2.4.8), (2.4.30), (2.4.32), то функции u,u,w, построенные по формуле (2.4.33), ограничены в DlW ( T ).

Далее, с учетом (2.4.6), (2.4.9) получим q1 = H 1 H 1x + H 2 H 1 y + H 3 H 1z - ( H 1 H 1x + H 2 H 2 x + H 3 H 3 x ) y 1, q 2 = H 1 H 2 x + H 2 H 2 y + H 3 H 2 z - ( H 1 H 1 y + H 2 H 2 y + H 3 H 3 y ) y 2, q = H H + H H + H H - ( H H + H H + H H ) y, (2.4.34) 3 1 3x 2 3y 3 3z 1 1z 2 2z 3 3z t a 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) t - s J i = -qi + Cit -y i ( x, y,z,t ) + 2 2 2 p3 0 R [t j fi,l j ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + 2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s )] j = 1 dt 1 dt 2 dt 3 ds + fi ( x, y, z,t ) fi,( i = 1,3 ),a = m ;

2 ( l1 = x + 2t 1 a ( t - s ),l2 = y + 2t 2 a ( t - s ),l3 = z + 2t 3 a ( t - s ) ), где y i,fi,i = 1,3 – известные функции. Тогда из (2.4.34) с учетом J x J 1,J y J 2,J z J 3 ;

J i = J i ( x, y, z,t ),( i = 1,3 ), следует J x = f1 ( x, y,z,t ), J y = f2 ( x, y,z,t ), (2.4.35) J z = f3 ( x, y,z,t ).

Из (2.4.35) получим уравнение Пуассона [5] D J = -F 0,F 0 -( f1x + f2 y + f3 z ), (2.4.36) при этом 1 ds ds ds F 0 ( s1,s2,s3,t ) 1 2 3 ;

J = 4p R3 r J x J 1,J y J 2,J z J 3,J i = J i ( x, y,z,t ) :

J i ( x, y,z,t ) = 1 t i F 0 ( x + t 1, y + t 2,z + t 3 ;

t )dt 1dt 2 dt 3,i = 1,3.

4p R3 ( t 12 + t 2 2 + t 3 ) Утверждение 2.4.3. Если выполняются условия (2.2), (2.3), (2.4.2), (2.4.3), то система Навье-Стокса (2.1) имеет единственное условно-гладкое решение ( u,u,w ) в DlW ( T ), причем ds1ds2 ds 1 1 F ( s,s,s,t ) P = - [u 2 + u 2 + w 2 ] +.

0 1 2 r 4p 2 r R ГЛАВА АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА С ВЯЗКОСТЬЮ Теория пограничного слоя Л. Прандтля [11] положила начало восстановлению утраченной связи между теорией и практикой, поэтому оказалась чрезвычайно плодотворной. Под влиянием задач, поставленных в начале 20-го столетия, расцветом авиационной тех ники, новая теория быстро развилась и вскоре превратилась вместе с другими важными теориями: крыла и движения газа при больших скоростях в основу современной механики жидкости и газа.

Только на основе теории пограничного слоя могут быть объяснены явления, возникающие при достижении подъемной силой крыла максимального значения, а также, связанные с отрывом потока. Наконец, теплопередача между телом и обтекающей его жидкостью (или газом) также связана с особенностями течения в пограничном слое.

Теория устойчивости пограничного слоя позволила объяснить различие ламинарным и турбулентным течениями, также влияние других факторов (градиента давления, отсасывания, числа Маха, теплопередачи). Эта теория получила важное применение, в частности, при исследовании несущих профилей с очень малым сопротивлением (так называемых ламинаризованных профилей).

Теория пограничного слоя распространена на случай несжимаемых турбулентных течений в пограничных слоях в предположении несжимаемости среды, но все же не имеется рациональной теории вполне развившихся турбулентных течений. С развитием новых технологий возникает необходимость разрешения все более сложных задач, описывающих те или иные процессы и явления, в которых фигурируют и функции, описывающие погранслой.

В связи с этим, в этой главе изучаем задачу Навье-Стокса:

ut + uu x + uu y + wu z = f 1( x, y,z,t ) - Px + mDu, r ut + uu x + uu y + wu z = f 2 ( x, y,z,t ) - Py + mDu, (3.1) r wt + uwx + u wy + wwz = f 3 ( x, y,z,t ) - Pz + mDw, r divn = ux +uy + wz = 0, (3.2) u( x, y,z,t )|t =0 = u0 ( x, y,z ),u ( x, y,z,t )|t =0 = u0 ( x, y,z ), (3.3) w( x, y,z,t )|t =0 = w0 ( x, y, z ), "( x, y,z ) R, t [0,T0 ].

Неизвестными являются скорость n :(u,u,w) и давление P, где 1) u0,u0,w0 C ( T ), 2,2, 2) fi C 3,0 (T = R 3 [0,T0 ] ),C 3,0 ( T ) C 3,3,3,0 ( T ), Возникает вопрос о разрешимости задачи (3.1)-(3.3) и условной гладкости всех его решений в классе DlW (T ). При этом необходимо обосновать справедливость асимптотического разложения [12] вида:

um ( x, y,z,t ) = u( x, y,z,t ) + x1( x, y,z,t ) + 1 ( x, y,z,t ), u m ( x, y,z,t ) = u ( x, y,z,t ) + x 2 ( x, y,z,t ) + 2 ( x, y,z,t ), (3.4) wm ( x, y, z,t ) = w( x, y,z,t ) + x 3 ( x, y,z,t ) + 3 ( x, y,z,t ), u( x, y,z,t )|t =0 = u0 ( x, y,z ),u ( x, y, z,t )|t =0 = u0 ( x, y,z ), (3.5) w( x, y,z,t )|t =0 = w0 ( x, y, z );

divn = u x + u y + wz = 0, xi ( x, y,z,t )|t =( x, y,z ) R 3,i = 0=0," 1,3;

i ( x, y,z,t )|t = x, y,z ),"( x, y,z ) R,i = 0=0 ( 1,3;

(3.6) i 1 |t = u0 1, 2 |t = u0 2, 3 |t = w0 3, u0 0= u0 - 0= 0= w0 0 0 % где n = ( u,u,w ), z = ( x1,x 2,x3 ), = ( 1, 2, 3 ) – новые неизвестные функции, которые удовлетворяют условиям (3.5), (3.6), а DlW ( T ) : v D2 ( T ) = u D2 ( T ) + u D2 ( T ) + w D2 ( T ) ;

u D2 ( T ) = u + ut, C 2,0 ( T ) % % % % LlW lW ( u ;

lW ) ( u ;

lW ) ( w;

lW ) ( u ;

lW ) u D(2u ;

lW ) ( T ) = u C 2,0 ( T ) + ut L2, w D(2w ;

lW ) ( T ) = w C 2,0 ( T ) + wt L2lW ;

(3.7) % % lW T 0 l ( t ) : l( t ) t dt = q0 +;

0 W : W ( x, y,z )dxdydz = 1, R T l ( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +, 0 R T l ( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +, (3.8) 0 R T 3 l( t )W ( x, y,z ) wt ( x, y, z,t ) dxdydzdt K +, 0 R где D(2u ;

lW ) (T ) = {( x, y,z,t ) T = R 3 [0,T0 ] : u C 2,2,2,0 ( T );

ut L2 [R 3 ( 0,T0 )] }, % lW % D( u ;

lW ) (T ) = {( x, y,z,t ) T = R [0,T0 ] : u C ( T );

ut L2 [R 3 ( 0,T0 )] }, 3 2,2,2, lW % D( w;

lW ) (T ) = {( x, y,z,t ) T = R [0,T0 ] : w C ( T );

wt L2 [R 3 ( 0,T0 )] }.

3 2,2,2, lW Поэтому, если для системы (3.1) обосновывается справедливость асимптотического разложения в виде (3.4), то построения решений u m,u m,wm в DlW ( T ) становится возможным. При этом изучены особенности и методы решений исследуемых уравнений, а также ограниченности этих решений в весовых пространствах DlW ( T ). Таким образом, в условиях асимптотического разложения (3.4) при обращении параметра m ® 0 доказывается, что решение системы Навье-Стокса с вязкостью сходится к решению вырожденной системы в смысле DlW (T ) (см. результаты §3.2).

В §3.3 изучается вопрос о возможности применения асимптотического разложения (3.4) к системам Навье-Стокса для течений с трением вида ut + uu x + u u y + wu z = f 1( x, y, z,t ) - r Px + mDu + e m W1 ( u ), ut + uu x + uu y + wu z = f 2 ( x, y,z,t ) - Py + mDu + e m W 2 ( u ), (3.9) r wt + uwx + u wy + wwz = f 3 ( x, y,z,t ) - Pz + mD w + e m W 3 ( w ) r с условиями (3.2), (3.3) и fi C 3,0 (T = R 3 [0,T0 ] ),C 3,0 (T ) C 3,3,3,0 ( T ),i = 1,3, u0 C ( R ),u0 C ( R ),w0 C ( R ) C ( R ), 2 3 2 3 2 3 2,2,2 0 K : K ( x, y,z,,t,t )dt dt dt = 1,( i = 1,3 ), 3 i t1 2 3 (3.10) i 1 2 R e m ( 0,1) : e m 0, ® m ® W 1 ( u ) K1 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )u( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3, t R W 2 ( u ) K 2 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )u( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3, t (3.11) R W 3 ( w ) 3 K 3 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )w( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3.

t R Неизвестными величинами являются скорость v: (u,v,w) и давление P.

В работе [2] были исследованы частные случаи уравнения Навье At = e – кинематический коэффициент Стокса (3.9), когда r «кажущейся» вязкости турбулентного течения, соответствующий n коэффициенту кинематической вязкости: m = ламинарного течения r Wi ( At -коэффициент турбулентного обмена). При этом рассматривается, как дифференциальный оператор 2-го порядка.

Результаты этих работ не применимы к полным уравнениям Навье Стокса вида (3.9), когда W i также является дифференциальным оператором 2-го порядка.

В наших исследованиях все результаты §3.1, §3.2 применяются к уравнению (3.9), где Wi являются интегральными операторами вида (3.11).

Замечание. Результаты параграфа 3.3 получены с учетом согласования параметров: 0 m,e m 1 : e m 0.® m ® §3.1. Асимптотическое разложение решения течения с трением Целью параграфа §3.1 является асимптотическое разложение решения нестационарной задачи жидкости с вязкостью, описываемой уравнениями Навье-Стокса [1]. Для этого рассмотрим задачу Навье Стокса (3.1)-(3.3), где функции u,u,w в DlW (T ).

§3.1.1. Пусть um ( x, y,z,t ) = u( x, y,z,t ) + x1( x, y,z,t ) + 1 ( x, y,z,t ), u m ( x, y,z,t ) = u ( x, y,z,t ) + x 2 ( x, y,z,t ) + 2 ( x, y,z,t ), (3.1.1) wm ( x, y, z,t ) = w( x, y,z,t ) + x 3 ( x, y,z,t ) + 3 ( x, y,z,t ) с условиями u( x, y,z,t )|t =0 = u0 ( x, y,z ),u ( x, y,z,t )|t = 0 = u0 ( x, y,z ), (3.1.2) w( x, y,z,t )|t =0 = w0 ( x, y,z ),"( x, y,z ) R ;

divn = u x + u y + wz = 0, xi ( x, y,z,t )|t =0 = 0;

i ( x, y,z,t )|t =0 = i0 ( x, y,z ),( i = 1,3 ),"( x, y,z ) R 3, (3.1.3) 1 |t =0 = u0 - u0 1, 2 |t = 0 = u0 - u0 2, 3 |t = 0 = w0 - w0 3, 0 0 % где n = ( u,u,w ), z = ( x1,x 2,x3 ), = ( 1, 2, 3 ) – новые неизвестные функции, которые удовлетворяют условию (3.1.2), (3.1.3). Тогда относительно функций: ( u,u,w ), ( x1,x 2,x3 ),( 1, 2,3 ), порождаются системы:

12 ut + 2 ( u + u + w )x = f 1 - r Px, 2 12 ut + ( u + u + w )y = f 2 - Py, 2 (3.1.4) r 12 wt + ( u + u + w )z = f 3 - Pz, 2 r it = mD i,i = 1,3, (3.1.5) x1t + x1x1x + x 2x1y + x 3x1z + a1x1x + a2x1 y + a3x1z + x1a1x + x2 a1 y + x3 a1z = = b + F - 1 [P - P ] + mDx, 1 1 x x r x 2t + x1x 2 x + x 2x 2 y + x 3x 2 z + a1x 2 x + a2x 2 y + a3x 2 z + x1a2 x + x2 a2 y + x3 a2 z = = b2 + F2 - [Py - Py ] + mDx 2, r (3.1.6) x3t + x1x 3 x + x 2x 3 y + x 3x 3 z + a1x 3x + a2x 3 y + a3x 3z + x1a3 x + x 2 a3 y + x3 a3 z = = b3 + F3 - [Pz - Pz ] + mDx3, r Fi fi - fi C 2,0 ( T ),i = 1,3, ( u,u,w ) – решение вырожденной системы ( m = 0, см. §2.1.2, гл.2) с условием Стокса: rotn = 0. Здесь отсутствуют члены Du, Du, Dw, так как % в этом случае получим течение без трения [2]: u,u,w C 2,2,2,1( T ).

% Функции = ( 1, 2,3 ) - специальные функции с вязкостью, причем в функциях it,( i = 1,3 ) содержится особенность в точке t=0, т.е. it,( i = 1,3 ) определены для t0 с условием (3.1.3) и при этом T l( t )W ( x, y,z ) it ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +,i = 1,3. (3.1.7) 0 R Тогда функции it,( i = 1,3 ) являются элементами D(2i ;

lW )(T ) = {( x, y,z,t ) T = R 3 [0,T0 ] : i C 2,2,2,0 (T );

it L2 [ R 3 ( 0,T0 )], lW 0 l,W },( i = 1,3 ) :

% = i D 2, i D2 = i C 2,0 ( T ) + it L2,( i = 1,3 );

DlW ( T ) % % ( i ;

lW ) ( T ) ( i ;

lW ) ( T ) lW i = Т0 С 2,0 (Т ) С 2,2,2,0 (Т );

2 = ( 3 l( t )W ( x, y,z ) it ( x, y,z,t ) dxdydzdt ) 2.

it L lW 0R Кроме того, если выполняются условия (3.1.2), (3.1.3), то в разложении (3.1.1) вырождается относительно z = ( x1,x 2,x 3 ) система (3.1.6), где функции x i,( i = 1,3 ) играют роль остаточного члена с условием (3.1.3).

Система (3.1.6) – это система Навье-Стокса, которая состоит из дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных с переменными неизвестными коэффициентами, так как b1 ( x, y,z,t ) -( a1a1x + a2 a1y + a3a1z ) + ( u 2 + u 2 + w 2 )x = -( u 1x + +u 1y + w 1z +u x 1 +u y 2 +u z 3 + 1 1x + 2 1 y + 3 1z ), b2 ( x, y,z,t ) -( a1a2 x + a2 a2 y + a3 a2 z ) + ( u 2 + u 2 + w2 )y = -( u 2 x + +u 2 y + w 2 z +u x 1 +u y 2 +u z 3 + 1 2 x + 2 2 y + 3 2 z ), (3.1.8) b3 ( x, y,z,t ) -( a1a3 x + a2 a3 y + a3a3 z ) + 1 ( u 2 + u 2 + w 2 )z = -( u 3 x + +u + w + w + w + w + + + ), 3y 3z x 1 y 2 z 3 1 3x 2 3y 3 3z a1 ( x, y,z,t ) u + 1,a2 ( x, y,z,t ) u + 2,a3( x, y,z,t ) w + в (3.1.6) содержатся функции ai ( x, y,z,t ),bi ( x, y,z,t ),i = 1,3, которые ниже будут определены с учетом системы (3.1.4) и (3.1.5).

§3.1.2. Рассмотрим методы, которые позволяют построить % функции: n = ( u,u,w ), z = ( x1,x 2,x3 ), = ( 1, 2, 3 ).

I. В самом деле, система (3.1.4) имеет решение (см. §2.1.2, гл.2, результаты леммы 2.1.2):

t u( x, y,z,t ) = u0 ( x, y,z ) + ( f 1( x, y,z,t ) - J x ( x, y,z,t ))dt, t u ( x, y,z,t ) = u0 ( x, y,z ) + ( f 2 ( x, y,z,t ) - J y ( x, y,z,t ))dt, (3.1.9) t w( x, y,z,t ) = w0 ( x, y,z ) + ( f 3 ( x, y,z,t ) - J z ( x, y,z,t ))dt, 1 1 1 ds ds ds 1 ds ds ds 3 F0( s1,s2,s3,t ) 1 r2 3 ;

J = 4p 3 F0( s1,s2,s3 ;

t ) 1 r2 3, P =- Q+ r 4p R 2 R F0 -( f1x + f 2 y + f3z ),Q u + u + w ;

J x J1,J y J 2,J z J 3 :

2 2 J ( x,y,z,t ) = 1 F ( x + t,y + t,z + t ;

t ) t i dt 1dt 2dt 3,i = 1,3.

i 1 2 4p R3 ( t 12 + t 2 2 + t 3 ) J – удовлетворяет уравнению: D J = - F0.

% 2,2,2,1 ( T ) C 2,1 ( T ) :

% При этом функции n = ( u,u,w ) ограничены в C n C ( T ) = u C ( T ) + u C ( T ) + w C ( T ) N0, (3.1.10) % % % % 2,1 2,1 2,1 2, где u % 2,1 = D k u + ut C( T ), u C 2,1 ( T ) = D ku + ut C( T ), % C (T ) C( T ) C( T ) 0 k 2 0 k w C 2,1 ( T ) = D w C( T ) + wt C ( T ) ;

k = 0 : D u( x, y,z,t ) u,D u ( x, y,z,t ) u, k 0 % 0 k 0 ku ku D w( x, y,z,t ) w;

k 0 : D u = a1 a2 a3,D u = a1 a 2 a3, k k x y z x y z k w ;

k = a i,( a i = 0,1,2;

i = 1,3 ).

D w = k xa1 ya 2 za i = II. Решение системы (3.1.5) представляем в виде r 1 3 exp( - 4mt )i ( s1,s2,s3 )ds1ds2ds3 = p 3 exp( -(t + t 2 + t 3 )) i = 0 2 2 8 ( pmt )3 R R 0 ( x + 2t1 mt, y + 2t 2 mt,z + 2t 3 mt )dt 1dt 2dt 3 Ni0 ( x, y,z,t ),i = 1,3, (3.1.11) i где N i0 - известные функции, i DlW ( T ).

Если функции 0,i = 1,3 допускают условия (3.1.3), (3.1.7) и i D k i0 d 1,"( x, y,z ) R 3,i = 1,3;

0 d 1 1;

( d 1 = m );

k k = 0 : D i ( x, y,z ) i ;

k 0 : D i = a1 a2 a3, 0 0 0 k 0 i x y z ( 0 k 2 );

k = a i,( a i = 0,1,2;

i = 1,3 );

(3.1.12) i = -x 2 T + e x dx p, e d x dt dh = p, l ( t ) dt = q0 +, -( x 2 +t 2 +h 2 ) t R3 то функции i,i = 1,3 ограничены в DlW (T ), где = % i. (3.1.13) D(2i ;

lW ) ( T ) % DlW ( T ) i = В самом деле, ограниченность функций i,i = 1,3 в C 2,2,2,0 ( T ) с условиями (3.1.3), (3.1.12) очевидны (аналогичные оценки §2.2.2, гл.2):

% C 2,0 ( T ) i C 2,0 ( T ) 30d 1,С ( Т ) С 2,0 2,2,2, ( Т ), i = (3.1.14) i C 2,0 ( T ) = k i C( T ) 10d 1,i = 1,3.

0 k Это означает, чтобы оценить функции i,( i = 1,3 ) в DlW (T ), необхо димо, сначала оценить функции it,i = ( 1,3 ) в L2. lW С этой целью, дифференцируя (3.1.11) по t для t0, далее, оценивая и возведя в квадрат с умножением на l( t )W ( x, y, z ), и, затем, интегрируя по области R 3 ( 0,T0 ) с учетом (3.1.12), имеем it L 3 m q0 d 1,i = 1,3. (3.1.15) lW Отсюда, учитывая (3.1.13), получим % 3( 10 + 3 m q0 )d 1 3( 10 + 3 q0 )d 1.

(3.1.16) D (T ) lW Что и требовалось доказать.

Лемма 3.1.1. В условиях (3.1.3), (3.1.7), (3.1.12) система (3.1.5) имеет единственное решение в виде (3.1.11) в DlW (T ).

Замечание 3.1.1. Отметим, что из полученных результатов следует, что функции ai ( x, y,z,t ), bi ( x, y,z,t ),i = 1,3 в уравнениях системы (3.1.6) становятся известными. Однако, остаются неизвест ными функции % % % % z = 2,x 3 ), Рi, ( Px - Px P1, Py - Py P2, Pz - Pz P3 ),i = ( x1,x 1,3.

Поэтому рассмотрим, каким образом из (3.1.6) порождаются урав % нения, относительно Рi.

III. Исследуем систему (3.1.6). Здесь воспользуемся методом, который использовали в §2.4. С этой целью, введя обозначения q1 = x1x1x + x 2x1 y + x3x1z + а1x1x + a2x1 y + a3x1z + x1a1x + x 2 a1 y + x3 a1z, q 2 = x1x 2 x + x 2x 2 y + x3x 2 z + a1x 2 x + a2x 2 y + a3x 2 z + x1a2 x + x 2 a2 y + x3 a2 z, (3.1.17) q 3 = x1x3 x + x 2x 3 y + x 3x 3 z + a1x 3 x + a2x 3 y + a3x3z + x1 a3 x + x2 a3 y + x3 a3 z из системы (3.1.6), получим 1% xit + qi = bi + Fi - Pi + mDxi,i = 1,3 (3.1.18) r с условием qi = 0,i = 1,3, (3.1.19) t = % где неизвестными функциями являются: xi,qi,Pi,i = 1,3.

% Рассмотрим алгоритм для определения функции q i,Pi. Для этого, введя преобразование вида xi = ji ( x, y,z,t ) + Ci ( x, y,z,t ),i = 1,3, t (3.1.20) 1% Ci ( x, y,z,t ) = [qi ( x, y,z,t ) + Рi ( x, y,z,t )]dt,( i = 1,3 ) r с условиями ji ( x, y,z,0 ) = 0,( i = 1,3 ), (3.1.21) Сi ( x, y,z,0 ) = 0,( i = 1,3 ), 1% qi ( x, y,z,t ) = - Рi ( x, y,z,t ) + Cit ( x, y,z,t ),( i = 1,3 ), (3.1.22) r где ji,Ci ( x, y,z,t ) – новые неизвестные функции, имеем лемму.

Лемма 3.1.2. Если ji ( x, y,z,t ),Ci ( x, y,z,t ) являются решениями системы jit = Fi + mDji,i = 1,3, (3.1.23) 2Cit = bi + mDCi,i = 1,3, то (3.1.20) является решением системы (3.1.18).

Доказательство. Из (3.1.20), учитывая частные производные по совокупности пространственных аргументов и по t, имеем xit = jit ( x, y,z,t ) + Cit ( x, y,z,t );

Dxi = Dji ( x, y,z,t ) + DCi ( x, y,z,t );

1% qi ( x, y,z,t ) = - r P( x, y,z,t ) + Cit ( x, y,z,t ),i = 1,3.

i Далее, подставляя эти значения в (2.4.4), получим 1% 1% jit + 2Cit - Pi = bi + Fi - Pi + m ( Dji + DCi ),i = 1,3. (*) r r Отсюда, с учетом (3.1.23) из системы (*) следует тождество. Это означает, что, действительно, если ji ( x, y,z,t ),Ci ( x, y,z,t ) являются решениями уравнений системы (3.1.23), то (3.1.20) является решением системы (3.1.18). Что и требовалось доказать.

Утверждение 3.1.1. В условиях леммы 3.1.2 решение системы (3.1.23) представляется в виде t r 1 3 exp( - 4 m( t - s ) ) 8( m( t - s ))3 Fi ( s1,s2,s3,s ) ji = p3 0 R t ds1ds2 ds3 ds = exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))Fi ( x + 2t 1 m ( t - s ), 2 p 0 R y + 2t 2 m( t - s ),z + 2t 3 m ( t - s );

s )dt 1dt 2 dt 3ds,i = 1,3, t r C = 1 1 1 (3.1.24) 3 exp( - 4a ( t - s ) ) 8( a ( t - s ))3 2 bi ( s1,s2,s3,s ) i p3 0 R t 1 exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) bi ( x + 2t 1 a ( t - s ), ds1ds2 ds3 ds = 2 p 3 0 R y + 2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s )dt 1dt 2 dt 3ds,i = 1,3;

a = 2 m.

- Тогда функции xi ( x, y,z,t ) определяются следующим образом t exp( -( t xi = + t 2 + t 3 ))Fi ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ), 2 2 p3 0 R t exp( -( t z + 2t 3 m ( t - s );

s )dt 1dt 2 dt 3 ds + + t 2 + t 3 )) 2 2 (3.1.25) 2p 0 R bi ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + 2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s )dt 1dt 2 dt 3ds H i ( x, y,z,t ),i = 1,3, % 2,2,2,1 (T ).

где H i – известные функции, x i C При условиях утверждения 3.1.1 ограниченность функций % xi,i = 1,3, очевидна в C 2,2,2,1( T ).

В самом деле, дифференцируя (3.2.9) по x,y,z до второго порядка, включительно и по t первого порядка, и оценивая полученные % выражения, имеем, что xi,i = 1,3 ограничены в C 2,2,2,1( T ). Поэтому, для удобства оценок, которые проводим относительно решений системы (3.1), ограниченность функций xi,i = 1,3 проводим в DlW (T ). Учитывая результаты леммы 3.1.1 и Fi C 3,0 ( T ),bi C 2,0 (T ) : D k Fi ( x + 2t 1 m( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + % +2t 3 m( t - s );

s ) d 1,( i = 1,3 ), Fi,l ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ),z + 2t 3 m( t - s );

s ) d 2, % j ( i = 1,3;

j = 1,3 ), D k bi ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + 2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s ) d 3,( i = 1,3 ), % bi,l ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + 2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s ) d%4, (3.1.26) j ( i = 1,3;

j = 1,3 );

"( x, y,z,t,t,t,t,s ) T T ;

d = m, 123 T %,d,d,d% ) 1;

q = l( t )[ 3 + 6 2 + 3 t ]2dt, %% 0 d 4 = max( d 1 2 3 4 получим оценки z 2,0 45 m,z = ( x1,x 2,x 3 ), С (T ) (3.1.27) xit L2lW ( T ) q1 m,( i = 1,3 ).

Следовательно, учитывая норму пространства DlW (T ) для z = ( x1,x 2,x 3 ), имеем z 3( 15 + q1 ) m. (3.1.28) DlW ( T ) Утверждение 3.1.2. При выполнении (3.1.28), когда d 4 = m, допустимая погрешность оценки будет порядка O ( m ) в DlW (T ).

Утверждение 3.1.3. Если выполняются условия леммы 3.1.2, то имеет место a t 1% [t j bi,l j ( x + exp( -(t 1 + t 2 + t 3 )) Pi + qi = 2 2 r t - s j = 2 p3 0 R +2t 1 a ( t - s ), y + 2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s )]dt 1dt 2 dt 3ds + (3.1.29) + bi ( x, y,z,t ) y i0 ( x, y,z,t ),i = 1,3.

Далее, учитывая (3.1.17), (3.1.25), получим q1 = H 1 H 1x + H 2 H 1 y + H 3 H 1z + a1 H 1x + a2 H 1 y + a3 H 1z + a1x H 1 + + a1 y H 2 + a1z H 3 y 1 ( x, y,z,t ), q = H H + H H + H H + a H + a H + a H + a H + 2 1 2x 2 2y 3 2z 1 2x 2 2y 3 2z 2x (3.1.30) + a2 y H 2 + a2 z H 3 y 2 ( x, y,z,t ), q = H H + H H + H H + a H + a H + a H + a H + 3 1 3x 2 3y 3 3z 1 3x 2 3y 3 3z 3x + a3 y H 2 + a3 z H 3 y 3 ( x, y,z,t ), где y i,i = 1,3 – известные функции. Тогда из (3.1.29), следует 1% Pi = -y i ( x, y,z,t ) + y i0 ( x, y,z,t ) fi,i = 1,3. (3.1.31) r Так как % % % Px - Px Р1,Py - Py Р2,Pz - Pz Р3, (3.1.32) то из (3.1.31) имеем 1 1 [Px - Px ] = f1, [Py - Py ] = f2, [Pz - Pz ] = f3. (3.1.33) r r r Дифференцируя (3.1.33) по x, y,z, соответственно, и, суммируя, получим уравнение Пуассона [5] D [P - P ] = -F 0,F 0 -( f1x + f2 y + f3 z ). (3.1.34) r При этом 1 ds ds ds F 0 ( s1,s2,s3,t ) 1 2 3, [P - P ] = r 4p R3 r (3.1.35) 1 P( x, y,z,t ) = 1 t F 0 ( x + t 1, y + t 2,z + t 3 ;

t )dt 1 dt 2 dt 3,i = 1,3.

i % r i 4p R3 ( t 12 + t 2 2 + t 3 ) Теорема 3.1.1. Если функции ( u,u,w ),P i,xi,i = 1,3 определяются единственным образом, как решения системы (3.1.4), (3.1.5), (3.1.6), то (3.1.1) является решением системы (3.1) в DlW ( T ).

Доказательство. Основываясь на результатах леммы 3.1.1 и утверждении 3.1.1 с учетом (3.1.4), получим, что функции ( u,u,w ),P i,xi,i = 1,3 определяются единственным образом. Тогда для системы (3.1) обосновывается справедливость асимптотического разложения в виде (3.1.1), поэтому построение решений um,u m,wm в DlW ( T ) становится возможным. Что и требовалось доказать.

Утверждение 3.1.4. В условиях (3.1.10), (3.1.16), (3.1.28) функции u,u,w, построенные по формуле (3.1.1), ограничены в DlW ( T ).

В самом деле, из обсуждений (I-III) следует, что функции ( u,u,w ), построенные по формуле (3.1.1), ограничены в DlW ( T ), так % как ограничены u,u,w, P i,xi,i = 1,3 в C 2,2,2,1(T ),DlW ( T ). Следовательно, учитывая (3.1.10), (3.1.16), (3.1.28), имеем % n n + d0 n t +z d n + + С 2,0 ( T ) С 2,0 ( T ) DlW ( T ) С( T ) DlW ( T ) DlW ( T ) % +z dN 0 + 3( 10 + 3 q0 ) m + 3( 15 + q1 ) m, + (3.1.36) 2 DlW ( T ) DlW ( T ) T0 T 1 d0 = ( l ( t )W ( x, y,z )dxdydzdt ) = ( l( t )dt ),d = max( 1,d 0 ), 2 0 R3 d 1 = d 4 = d = m. Что и требовалось доказать.

Замечание 3.1.2. Из результатов (3.1.16), (3.1.28) видно, что функции i ( x, y,z,t ),xi ( x, y,z,t ),i = 1,3 при m ® 0 удовлетворяют i 0,xi 0 в смысле DlW ( T ), i = 1,3.

® ® m ®0 m ® § 3.2. Поведение решения системы Навье-Стокса в DlW ( T ) при асимптотическом разложении, когда m ® В этом параграфе доказывается, что в условиях асимптотического разложения (3.1.1) при m ® 0 решение системы Навье-Стокса с вязкостью сходится к решению вырожденной системы в DlW ( T ).

Теорема 3.2.1. Если имеют место условия теоремы 3.1.1 и утверждение 3.1.4, то решение n = ( u,u,w ) системы (3.1) сходится к решению n = ( u,u,w ) системы (3.1.4) при m®0 в смысле DlW ( T ).

Доказательство. Пусть выполняются условия лемм 3.1.1 и 3.1.2.

Тогда имеем % g1 m, DlW ( T ) (3.2.1) z D2 ( T ) g 2 m ;

g 2 = 3( 15 + q1 ),g 1 = 3( 10 + 3 q0 ),d = m.

lW Следовательно, согласно (3.1.1), получим um ( x, y, z,t ) - u( x, y,z,t ) = x1 ( x, y,z,t ) + 1 ( x, y,z,t ), u m ( x, y,z,t ) - u ( x, y,z,t ) = x 2 ( x, y,z,t ) + 2 ( x, y,z,t ), (3.2.2) wm ( x, y,z,t ) - w( x, y,z,t ) = x 3 ( x, y,z,t ) + 3 ( x, y,z,t ) и с учетом n -n + u -u = u -u + w-w, 2 %2 %2 % DlW ( T ) DlW ( T ) DlW ( T ) DlW ( T ) имеем оценку n -n + u -u = u -u + w- w [3( 10 + 3 q0 ) + 2 %2 %2 % DlW ( T ) DlW ( T ) DlW ( T ) DlW ( T ) (3.2.3) +3( 15 + q1 )] m.

Отсюда следует: u - u 0,u - u 0,w - w 0 в смысле ® ® ® m ®0 m ®0 m ® DlW ( T ). Что и требовалось доказать.

Замечание 3.2.1. Если d = m, то из (3.2.3) следует n -n D ( T ) = u - u D ( T ) + u - u D ( T ) + w - w D ( T ) О( m ). (3.2.5) 2 2 2 lW lW lW lW Утверждение 3.2.1. При условиях теоремы 3.2.1, когда d = m, допустимая погрешность оценки будет порядка O ( m ) в DlW ( T ).

§ 3.3. Интегро-дифференциальные уравнения Навье-Стокса с вязкостью Изучим вопрос о возможности применения асимптотического разложения (3.1.1) к системам Навье-Стокса вида ut + uu x + u u y + wu z = f1( x, y,z,t ) - Px + mDu + e m W 1( u ), r ut + uu x + uu y + wu z = f 2 ( x, y,z,t ) - Py + mDu + e m W 2 ( u ), (3.3.1) r wt + uwx + u wy + wwz = f 3 ( x, y,z,t ) - Pz + mDw + e m W 3 ( w ) r с условиями divU = ux +uy + wz = 0, (3.3.2) u( x, y,z,t )|t =0 = u0 ( x, y,z ),u ( x, y,z,t )|t =0 = u0 ( x, y,z ), (3.3.3) w( x, y,z,t )|t =0 = w0 ( x, y, z ), "( x, y,z ) R, t [0,T0 ], 0 K i : K i ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )dt 1dt 2 dt 3 = 1,( i = 1,3 ), 3 t R e m ( 0,1 ) : e m 0, ® m ® (3.3.4) f C 3,0 ( T = R 3 [0,T ] ),C 3,0 (T ) C 3,3,3,0 ( T ),i = 1,3, i u0 C ( R ),u0 C ( R 3 ),w0 C 2 ( R 3 ) C 2,2,2 ( R 3 ), 2 3 W 1 ( u ) K1 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )u( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3, t R W 2 ( u ) K 2 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )u( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3, t (3.3.5) R W 3 ( w ) 3 K 3 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )w( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3, t R а согласно [2]: A = e – кинематический коэффициент «кажущейся»

rt вязкости турбулентного течения, соответствующий коэффициенту n кинематической вязкости: m = ламинарного течения ( At -коэффициент r турбулентного обмена).

Отметим, что исследования устойчивости решения уравнений в определенных пространствах или устойчивость разработанных алгоритмов зависит от исходных данных задачи. Например, устойчивость в смысле Ляпунова (задача Коши) или непрерывная зависимость решений от известных функций, которые содержатся в уравнениях и т.д. Но в задаче Навье-Стокса важно влияние интегрального члена на устойчивость для асимптотического представления в пространстве DlW ( T ). Здесь при e = 0 не меняется тип уравнения, ( 0 m,e m 1 : e m 0 ).

® m ® Кроме того, при m = 0, ( e m = 0 ) функции u,u,w являются решением вырожденной системы (см. §2.1.2, гл.2) с условием Стокса:

rotn = 0, ( v = ( u,u,w ) ), причем отсутствуют члены: Du, W1, Du,W 2, D w, W для течений без трения [2].

Чтобы доказать справедливость асимптотического разложения (3.1.1) для системы (3.3.1), используем алгоритм, разработанный в §3.1.

§3.3.1. Если введем um ( x, y,z,t ) = u( x, y,z,t ) + x1( x, y,z,t ) + 1 ( x, y,z,t ), u m ( x, y,z,t ) = u ( x, y,z,t ) + x 2 ( x, y,z,t ) + 2 ( x, y,z,t ), (3.3.6) wm ( x, y, z,t ) = w( x, y,z,t ) + x 3 ( x, y,z,t ) + 3 ( x, y,z,t ) с условиями u( x, y,z,t )|t =0 = u0 ( x, y,z ),u ( x, y,z,t )|t = 0 = u0 ( x, y,z ), w( x, y,z,t )|t = 0 = w0 ( x, y,z ),"( x, y,z ) R, (3.3.7) divn = u + u + w = 0, x y z xi ( x, y,z,t )|t =0 = 0;

i ( x, y,z,t )|t =0 = i ( x, y,z ),( i = 1,3 ),"( x, y,z ) R, 0 (3.3.8) 1 |t =0 = u0 - u0 1, 2 |t =0 = u0 - u0 2, 3 |t =0 = w0 - w0 3, 0 0 то относительно функций: ( u,u,w ), ( x1,x 2,x 3 ),( 1,2,3 ), порожда ются системы:

12 ut + 2 ( u + u + w )x = f 1 - r Px, 2 12 ut + ( u + u + w )y = f 2 - Py, 2 (3.3.9) r 12 wt + ( u + u + w )z = f 3 - Pz, 2 r it = mD i,i = 1,3, (3.3.10) x + x x + x x + x x + a x + a x + a x + x a + x a + x a = 1t 1 1x 2 1y 3 1z 1 1x 2 1y 3 1z 1 1x 2 1y 3 1z = b1 + F1 - r [Px - Px ] + mDx1 + e K 1( x, y,z, 1,t 2,t 3 )x1( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3, t R x 2t + x1x 2 x + x 2x 2 y + x3x 2 z + a1x 2 x + a2x 2 y + a3x 2 z + x1a2 x + x 2 a2 y + x 3 a2 z = = b2 + F2 - [Py - Py ] + mDx1 + e K 2 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )x 2 ( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3, t r R x + x x + x x + x x + a x + a x + a x + x a + x a + x a = 3t 1 3x 2 3y 3 3z 1 3x 2 3y 3 3z 1 3x 2 3y 3 3z = b3 + F3 - [Pz - Pz ] + mDx1 + e K 3 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )x3 ( t 1,t 2,t 3,t ) t (3.3.11) r R dt dt dt ;

F f - f C 2,0 (T ),i = 1,3, 1 2 3 i i i % где n = ( u,u,w ), z = ( x1,x 2,x3 ), = ( 1, 2, 3 ) – новые неизвестные функции, которые удовлетворяют условиям (3.3.7) и (3.3.8).

I. Функции u,u,w – это решение вырожденной системы (3.3.9) с условием Стокса: rotn = 0, ( m = 0,e m = 0 ).

Решение системы (3.3.9) представляется в виде (см. §2.1.2, гл.2):

t u( x, y,z,t ) = u0 ( x, y,z ) + ( f1( x, y,z,t ) - J x ( x, y,z,t ))dt, t u ( x, y,z,t ) = u0 ( x, y,z ) + ( f 2( x, y,z,t ) - J y ( x, y,z,t ))dt, (3.3.12) t w( x, y,z,t ) = w0 ( x, y,z ) + ( f3 ( x, y,z,t ) - J z ( x, y,z,t ))dt, % 2,2,2,1 (T ) :

а при этом функции n = ( u,u,w ) ограничены в C % % n N0,С 2,1 (Т ) С 2,2,2,1( Т ), (3.3.13) % C 2,1 ( T ) где n C 2,1 ( T ) = u C 2,1 ( T ) + u C 2,1 ( T ) + w C 2,1 ( T ) ;

u C 2,1 ( T ) = D u C( T ) + ut C( T ), k % % % % % 0 k u C 2,1 ( T ) = D u C( T ) + ut C( T ), w C 2,1 ( T ) = D w C( T ) + wt C( T ) ;

k k % % 0 k 2 0 k k = 0 : D u( x, y,z,t ) u,D u( x, y,z,t ) u,D w( x, y,z,t ) w;

0 0 u k k k u w k 0 : D k u =,D u = a1 a2 a3,D w = a1 a 2 a3, k k xa1 ya2 z a3 x y z x y z k = a,( a = 0,1,2;

i = 1,3 ).

i i i = Тогда имеем 1 1 1 ds1ds2ds3 1 ds1ds2 ds 3 F0 ( s1,s2,s3,t ) r ;

J = 4p 3 F0 ( s1,s2,s3 ;

t ) r, P=- Q+ r 4p R 2 R F0 -( f1x + f 2 y + f 3z ),Q u + u + w ;

J x J 1,J y J 2,J z J 3 :

2 2 J ( x, y,z,t ) = 1 t F0 ( x + t 1, y + t 2,z + t 3 ;

t )dt 1dt 2 dt 3,i = 1,3, i i 4p R3 ( t 12 + t 2 2 + t 3 ) здесь J – удовлетворяет уравнению: D J = - F0.

II. Функции i DlW (T ), поэтому относительно функций % = ( 1,2,3 ), учитывая T l ( t )W ( x, y,z ) it ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +,( i = 1,3 );

0 R = i D % 2 ;

i D2 = i C 2,0 ( T ) + it L2,( i = 1,3 );

% % ( i ;

lW ) ( T ) ( i ;

lW ) ( T ) DlW ( T ) i =1 lW Т0 2 =( 3 l( t )W ( x, y,z ) it ( x, y, z,t ) dxdydzdt )2,( i = 1,3 );

it LlW 0R D(2 ;

lW ) ( T ) = {( x, y,z,t ) T = R 3 [0,T0 ] : i С 2,0 (Т ) C 2,2,2,0 (T );

i (3.3.14) it LlW [R ( 0,T0 )],( i = 1,3 ), 2 из (3.3.10) получим решение в виде r 1 3 exp( -( t12 +t 2 +t 3 )) i = exp( - ) 0 ( s1,s2,s3 )ds1ds2ds3 = 2 i 4mt 8( pmt ) R3 p R 0 ( x + 2t 1 mt, y + 2t 2 mt,z + 2t 3 mt )dt 1dt 2dt 3 Ni0 ( x,y,z,t ),i = 1,3, (3.1.15) i где N i0 ( x, y,z,t ),( i = 1,3 ) - известные функции.

Если функции 0,i = 1,3 допускают условия (3.3.8), (3.3.14) и i D k i0 d 1,"( x, y,z ) R 3,i = 1,3;

0 d 1 1;


( d 1 = m );

k k = 0 : D i ( x, y,z ) i ;

k 0 : D i = a1 a 2 a3,( 0 k 2 ), 0 0 0 k 0 i x y z k = a i,( a i = 0,1,2;

i = 1,3 );

(3.3.16) i = + 2 T e x dx p, e d x dt dh = p, l ( t ) dt = q0 +, -( x 2 +t 2 +h 2 ) -x t R3 то имеем = % O( m ).

i (3.3.17) D(2i ;

lW ) ( T ) % DlW ( T ) i = Это означает, что функции i,i = 1,3 ограничены в DlW (T ).

В самом деле, ограниченность функций i,i = 1,3 в C 2,2,2,0 ( T ) с условиями (3.3.8), (3.3.16) очевидна (аналогичные оценки см. в § 2.2.2):

% C 2,0 ( T ) i C 2,0 ( T ) 30d 1, i = (3.3.18) i C 2,0 ( T ) = D k i C( T ) 10d 1,i = 1,3.

0 k Следовательно, чтобы оценить функции i,i = 1,3 в DlW ( T ), необходимо, сначала, оценить функции it,i = 1,3 в L2. Поэтому, lW дифференцируя (3.3.15) по t для t0, далее, оценивая и возведя в квадрат с умножением на l( t )W ( x, y, z ), и, интегрируя по области R 3 ( 0,T0 ) с учетом (3.3.16), имеем 3 m q0 d 1,i = 1,3.

it L lW Тогда, учитывая (3.3.14), получим % 3( 10 + 3 q0 )d 1,( d 1 = m ).

(3.3.19) DlW ( T ) Что и требовалось доказать.

Лемма 3.3.1. В условиях (3.3.8), (3.3.14), (3.3.16) система (3.3.10) имеет единственное решение в виде (3.3.15) в DlW (T ).

Замечание 3.3.1. Из полученных результатов следует, что функции ai ( x, y,z,t ), bi ( x, y,z,t ),i = 1,3 в уравнениях системы (3.3.11) становятся известными. Неизвестными функциями являются % % % % x i, Рi, ( Px - Px P1, Py - Py P2, Pz - Pz P3 ),i = 1,3. (3.3.20) III. Система (3.3.11) – это система Навье-Стокса с интегро дифференциальными уравнениями, где содержатся переменные коэффициенты, так как b1 ( x, y,z,t ) -( a1a1x + a2 a1 y + a3a1z ) + ( u 2 + u 2 + w 2 )x + e K 1( x, y,z, 1,t 2,t 3 ) t R а1 ( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3 = -( u 1x +u 1 y + w 1z +ux 1 +u y 2 +uz 3 + + 1 1x + 2 1 y + 3 1z ) + e K 1 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )а1( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3, t R b ( x, y, z,t ) -( a a + a a + a a ) + 1 ( u 2 + u 2 + w2 ) + e K ( x, y,z,,t,t ) 3 2 t1 2 2 1 2x 2 2y 3 2z y R а2 ( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3 = -( u 2 x +u 2 y + w 2 z +u x 1 +u y 2 +u z 3 + + 1 2 x + 2 2 y + 3 2 z ) + e K 2 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )а2 ( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3, t R b ( x, y,z,t ) -( a a + a a + a a ) + 1 ( u 2 + u 2 + w2 ) + e K ( x, y,z,,t,t ) 3 3 t1 2 3 1 3x 2 3y 3 3z z R а3 ( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3 = -( u 3x +u 3 y + w 3 z + wx 1 + wy 2 + wz 3 + + 1 3 x + 2 3 y + 3 3 z ) + e K 3 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )а3 ( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3, t R a ( x, y,z,t ) u +,a ( x, y,z,t ) u +,a ( x, y,z,t ) w +. (3.3.21) 1 1 2 2 3 Для решения системы (3.3.11) воспользуемся методом, который использовали в параграфе 2.4.

Пусть q1 = x1x1x + x 2x1 y + x 3x1z + а1x1x + a2x1 y + a3x1z + x1a1x + x 2 a1 y + x3 a1z -e K1 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )x1( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3, t R q = x x + x x + x x + a x + a x + a x + x a + x a + x a 2 1 2x 2 2y 3 2z 1 2x 2 2y 3 2z 1 2x 2 2y 3 2z -e K ( x, y,z,,t,t )x ( t,t,t,t )dt dt dt, t1 2 3 2 1 2 3 (3.3.22) R3 2 1 2 q3 = x1x 3 x + x 2x 3 y + x 3x 3z + a1x3 x + a2x3 y + a3x3 z + x1a3 x + x2 a3 y + x3 a3 z -e K 3 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )x 3 ( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3 ;

qi t =0 = 0,i = 1,3, t R тогда из системы (3.3.11), получим 1% xit + qi = bi + Fi - r Pi + mDxi,i = 1,3, (3.3.23) q = 0,i = 1,3.

i t = % Система (3.3.23) содержит неизвестные xi,qi,Pi,i = 1,3.

Для доказательства разрешимости систем (3.3.22), (3.3.23) поступим следующим образом.

Введя преобразование вида xi = ji ( x, y,z,t ) + Ci ( x, y,z,t ),i = 1,3, t (3.3.24) 1% Ci ( x, y, z,t ) = [qi ( x, y, z,t ) + Рi ( x, y,z,t )]dt,( i = 1,3 ) r с условиями ji ( x, y,z,0 ) = 0,( i = 1,3 ), (3.3.25) Сi ( x, y,z,0 ) = 0,( i = 1,3 ), 1% qi ( x, y,z,t ) = - Рi ( x, y,z,t ) + Cit ( x, y,z,t ),( i = 1,3 ), (3.3.26) r где ji,Ci ( x, y,z,t ) - новые неизвестные функции, имеем лемму.

Лемма 3.3.2. При условии (3.3.25), когда функции ji ( x, y, z,t ),Ci ( x, y,z,t ) являются решениями системы jit = Fi + mDji,i = 1,3, (3.3.27) 2Cit = bi + mDCi,i = 1,3, то (3.3.24) является решением системы (3.3.23).

Далее, в условиях леммы 3.3.2 получим 1t r2 ji = exp( - F( s1,s2,s3,s )ds1ds2ds3ds = ) i 4m(t - s ) 8( m(t - s )) p 0 R 1t = 3 exp( -(t1 +t2 +t3 ))F( x + 2t1 m(t - s ),y + 2t2 m(t - s ),z + 2 2 i p3 0 R +2t3 m(t - s );

s )dt1dt 2dt3ds,i = 1,3, t r C = 1 1 1 (3.3.28) exp( - b( s1,s2,s3,s )ds1ds2ds3ds = ) i i 4a(t - s ) 8( a(t - s ))3 p 0 R 1t = 3 exp( -(t1 +t 2 +t3 )) b( x + 2t1 a(t - s ),y + 2t 2 a(t - s ),z + 2 2 i p 0 R +2t3 a(t - s );

s )dt1dt 2dt3ds,i = 1,3;

a = 2 m.

- Тогда функции xi ( x, y,z,t ) определяются следующим образом t exp( -( t xi = + t 2 + t 3 ))Fi ( x + 2t 1 m ( t - s ), y + 2t 2 m( t - s ), 2 2 p 0 R (3.3.29) t 1 3 exp( -( t + t + t )) 2 bi ( x + z + 2t 3 m ( t - s );

s )dt 1dt 2 dt 3 ds + 2 2 1 2 p3 0 R +2t 1 a ( t - s ), y + 2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s )dt 1dt 2 dt 3 ds H i,i = 1,3, а xi,i = 1,3 ограничена в C 2,2,2,1( T ), где H i – известные функции.

% В самом деле, дифференцируя (3.3.29) по (x,y,z) до 2-го порядка, % включительно, и по t первого порядка, и, оценивая в C 2,2,2,1( T ), % получим, что функции xi,i = 1,3 ограничены в C 2,2,2,1( T ). Поэтому, для удобства оценок относительно решений системы (3.3.1), ограниченность функций xi,i = 1,3 проводим в DlW ( T ). Учитывая результаты леммы 3.3.2 и F C 3,0 ( T ),b C 2,0 (T ) : D k F ( x + 2t m( t - s ), y + 2t m( t - s ), i i i 1 z + 2t m ( t - s );

s ) d,( i = 1,3 ), % 3 F ( x + 2t m ( t - s ), y + 2t m ( t - s ),z + 2t m( t - s );

s ) d%, i,l j 1 2 3 ( i = 1,3;

j = 1,3 ), k % D bi ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + 2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s ) d 3, (3.3.30) ( i = 1,3 ), % bi,l j ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + 2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s ) d 4, ( i = 1,3;

j = 1,3 );

"( x, y,z,t,t 1,t 2,t 3,s ) T T ;

d 4 = m, T 0 d = max( d,d,d,d ) 1;

q = l( t )[ 3 + 6 2 + 3 t ]2 dt, %%%% 4 1 2 3 4 2 получим оценки z 2,2,2,0 45 m,z = ( x1,x 2,x3 ), С (T ) (3.3.31) xit L2lW ( T ) q1 m,( i = 1,3 ).

Следовательно, имеем z 3( 15 + q1 ) m. (3.3.32) DlW ( T ) Утверждение 3.3.1. При выполнении (3.3.32), когда d 4 = m, допустимая погрешность оценки будет порядка O ( m ) в DlW (T ).

IV. Если выполняются условия леммы 3.3.2, то из (3.3.26) следует a t 1% [t jbi,l j ( x + 2t 1 a ( t - s ), (3.3.33) exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) Pi + qi = 2 2 r t - s j = 2 p3 0 R y + 2t 2 a ( t - s ),z + 2t 3 a ( t - s );

s )]dt 1dt 2dt 3ds + bi ( x, y,z,t ) y i0,i = 1,3.

Тогда на основе (3.3.28), (3.3.29), (3.3.33), получим q1 = H 1 H 1x + H 2 H 1 y + H 3 H 1z + a1 H 1x + a2 H 1 y + a3 H 1z + a1x H 1 + + a1y H 2 + a1z H 3 - e K1 ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )H 1 ( t 1,t 2,t 3,t )dt 1dt 2 dt 3 y 1, t R q = H H + H H + H H + a H + a H + a H + a H + 2 1 2x 2 2y 3 2z 1 2x 2 2y 3 2z 2x + a H + a H - e K ( x, y,z,,t,t )H ( t,t,t,t )dt dt dt y, 3 2 t1 2 3 2 1 2 3 (3.3.34) 2y 2 2z 3 1 2 3 R q3 = H 1 H 3 x + H 2 H 3 y + H 3 H 3 z + a1 H 3 x + a2 H 3 y + a3 H 3z + a3 x H 1 + + a3 y H 2 + a3z H 3 - e K 3 ( x, y, z, 1,t 2,t 3 )H 3 ( t 1,t 2,t 3,t )dt 1 dt 2 dt 3 y 3, t R r [Px - Px ] = f1, [Py - Py ] = f2, (3.3.35) r [Pz - Pz ] = f3 ;

fi -y i ( x, y,z,t ) + y i ( x, y,z,t ),i = 1,3, r где y i,y i0,fi,i = 1,3 – известные функции. Дифференцируя (3.3.35) по x, y,z, соответственно, и, суммируя, получим уравнение Пуассона [5] D [P - P ] = -F 0,F 0 -( f1x + f2 y + f3 z ), (3.3.36) r причем 1 1 ds ds ds F 0 ( s1,s2,s3,t ) 1 2 3, [P- P] = r 4p R3 r (3.3.37) 1 P( x, y,z,t ) = 1 t F 0 ( x + t 1, y + t 2,z + t 3 ;

t )dt 1dt 2 dt 3,i = 1,3.

i % r i 4p R3 ( t 12 + t 2 2 + t 3 ) Теорема 3.3.1. При условиях, когда функции ( u,u,w ), i,xi,i = 1, единственным образом определяются, как решения системы (3.3.9), (3.3.10), (3.3.11), то (3.3.6) является решением системы (3.3.1) в DlW ( T ).

Доказательство. Из условий (I-III) следует, что функции ( u,u,w ),i,xi,i = 1,3 определяются единственным образом. Тогда для системы (3.3.1) обосновывается справедливость асимптотического разложения в виде (3.3.6). Поэтому, построение решений um,u m,wm в DlW ( T ) существует единственным образом. Что и требовалось доказать.

Утверждение 3.3.2. В условиях теоремы 3.3.1 функции u,u,w, построенные по формуле (3.3.6), ограничены в DlW ( T ).

В самом деле, из обсуждений (I-III) следует, что функции u,u,w, построенные по формуле (3.3.6), ограничены в DlW ( T ), так как % ограничены u,u,w,P i,xi,i = 1,3 в C 2,2,2,1(T ), DlW (T ). Следовательно, имеем % n n + d0 n t +z d n + + С 2,0 ( T ) С 2,0 ( T ) DlW ( T ) С( T ) 2 DlW ( T ) DlW ( T ) (3.3.38) % +z dN0 + 3( 10 + 3 q0 ) m + 3( 15 + q1 ) m, + DlW (T ) DlW (T ) T0 ( d 1 = d 4 = d = m ),d0 = ( l( t )W ( x, y,z )dxdydzdt ),d = max( 1,d 0 ). 0 R Что и требовалось доказать.

Замечание 3.3.2. Из полученных результатов видно, что функции i,xi,i = 1,3 при m ® 0 удовлетворяют: i 0,xi ® ® m ®0 m ® в смысле DlW ( T ), i = 1,3.

§3.3.2. Докажем, что в условиях асимптотического разложения (3.3.6) при m ® 0 решение системы Навье-Стокса с вязкостью сходится к решению вырожденной системы в DlW ( T ).

Теорема 3.3.2. Пусть выполняются условия теоремы 3.3.1.

Тогда решение n = ( u,u,w ) системы (3.3.1) сходится к решению n = ( u,u,w ) системы (3.3.9) в смысле DlW ( T ), когда m®0, т.е.

n -n D ( T ) 0.

® (3.3.39) m ® lW Доказательство. В условиях теоремы 3.3.1, имеем % g1 m, DlW ( T ) (3.3.40) z D2 ( T ) g 2 m,g 2 = 3( 15 + q1 ),g 1 = 3( 10 + 3 q0 ),d = m.


lW Согласно (3.3.6), получим um ( x, y, z,t ) - u( x, y,z,t ) = x1 ( x, y,z,t ) + 1 ( x, y,z,t ), u m ( x, y,z,t ) - u ( x, y,z,t ) = x 2 ( x, y, z,t ) + 2 ( x, y,z,t ), (3.3.41) wm ( x, y,z,t ) - w( x, y,z,t ) = x 3 ( x, y,z,t ) + 3 ( x, y,z,t ).

Следовательно, с учетом n -n + u -u = u -u + w-w, 2 %2 %2 % DlW ( T ) DlW ( T ) DlW ( T ) DlW ( T ) получим оценку n -n + u -u = u -u + w-w 2 %2 %2 % DlW ( T ) DlW ( T ) DlW ( T ) DlW ( T ) (3.3.42) [3( 10 + 3 q0 ) + 3( 15 + q1 )] m.

Отсюда следует u - u 0,u - u 0,w - w ® ® ® m ®0 m ®0 m ® в смысле DlW ( T ), что и требовалось доказать.

Замечание 3.3.3. Если d = m, то из (3.3.42) следует n -n + u -u О( m ).

= u -u + w - w D2 (3.3.43) 2 2 DlW ( T ) DlW ( T ) DlW ( T ) (T ) lW Утверждение 3.3.3. При условиях теоремы 3.3.2, когда d = m, допустимая погрешность оценки будет порядка O ( m ) в DlW ( T ).

Примечание 3. §3.3.3. Рассмотрим жидкость со средней вязкостью 0 m = m0 = const +, t [0,T0 ],T0 +. (1) При этом параметр ( 0,1 ) e не может определяться в виде: r At = e, - так как в этом случае e меняется, как произвольный малый параметр вне зависимости от m. Поэтому, исследование системы (3.3.1) отличается от полученных результатов §3.3.

Пусть имеют место 1) fi C 3,1( T = R 3 [0,T0 ] ),C 3,1 (T ) C 3,3,3,1( T ),i = 1,3;

divf = 0, f = ( f1, f 2, f 3 ), 2) u0 C 2 ( R 3 ),u0 C 2 ( R 3 ),w0 C 2 ( R 3 ) C 2,2,2 ( R 3 ), 3) 0 Ki : Ki ( x, y,z, 1,t 2,t 3 )dt 1dt 2 dt 3 = 1,( i = 1,3 );

K1x + K 2 y + K 3z = t R и (3.3.2), (3.3.3), (3.3.5). Решение задачи (3.3.1)-(3.3.3) ищем в % % C 2,1( T ) C 2,2,2,1( T ) – специальное пространство, где не содержатся члены со смешанными производными, учитывающие производные 1 го порядка по t, причем n % 2,1 = u % 2,1 + u % 2,1 + w % 2,1 ;

u % 2,1 = D k u + ut C( T ), C (T ) C( u ;

T ) C( u ;

T ) C( w ;

T ) C( u ;

T ) C( T ) 0 k u C(2u,1;

T ) = D u C( T ) + ut C( T ), w C(2w,1;

T ) = D w C( T ) + wt C( T ), k k % % 0 k 2 0 k % 2,2,2, (T ) = {( x, y,z,t ) T : D k u,D ku,D k w С(T );

ut,ut,wt C( T )};

С k = 0 : D0 u( x, y,z,t ) u,D 0u( x, y,z,t ) u,D 0 w( x, y,z,t ) w;

ku ku k w k 0 : D u = a1 a2 a3,D u = a1 a 2 a3,D w = a1 a2 a3, k k k x y z x y z x y z k = a i,( a i = 0,1,2;

i = 1,3 ).

i = Если система (3.3.1) эквивалентно преобразуется (см. §2.4):

ut + q1 = f 1 - J x + mDu, ut + q 2 = f 2 - J y + mDu, (2) wt + q 3 = f 3 - J z + mDw, 1 J Q + P,Q u + u + w, 2 2 r (3) rotn 0,n = ( u,u,w ), q1 = uux + u u y + wu z - Qx - eW1( u ), q 2 = uu x + uu y + wu z - Qy - eW 2 ( u ), (4) q 3 = uwx + u wy + wwz - Qz - eW 3 ( w ), где ( u,u,w ),J,qi,( i = 1,3 ),P – неизвестные функции, то для решения сис темы (1), введя обозначения u = U 1 ( x, y,z,t ) + C1( x, y,z,t ), u = U ( x, y,z,t ) + C ( x, y,z,t ), 2 w = U 3 ( x, y,z,t ) + C3 ( x, y,z,t ),"( x, y,z,t ) T ;

t Ci ( x, y,z,t ) = [qi ( x, y,z,t ) + J i ( x, y,z,t )]dt,i = 1,3;

U i = U 0i,( i = 1,3 ),"( x, y,z ) R 3 ;

t = Ci t = 0 = 0,( i = 1,3 ),"( x, y,z ) R 3 ;

U 01( x, y,z ) u0 ( x, y,z ),U 02 ( x, y,z ) u0 ( x, y,z ),U 03 ( x, y,z ) w0 ( x, y,z );

(5) qi ( x, y,z,t ) = - J i ( x, y,z,t ) + Cit ( x, y,z,t ),( i = 1,3 );

J x J 1,J y J 2,J z J 3, из системы (2), получим U it = mDU i,i = 1,3, (6) 2Cit = fi + mDCi,i = 1,3, U i,Ci – новые неизвестные функции.

Так как выполняется (1), тогда из системы (6), учитывая преобразование Фурье [5], имеем 1 e - i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 0 j ( s1,s2,s3 )Z j ( s1,s2,s3,t ) U j ( x, y,z,t ) = 8p 3 R ds ds ds, j = 1,3, 1 e - i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 0 j ( x, y,z ) = U 0 j ( s1,s2,s3 )ds1ds2 ds3,j = 1,3, 8p 3 R ei( xs1 + ys2 + zs3 )U 0 j ( x, y,z )dxdydz, j = 1, 3, U 0 j ( s1,s2,s3 ) = 8p 3 R 1 - i( xs1 + ys2 + zs3 ) s1 U 0 j ( s1,s2,s3 )Z j ( s1,s2,s3,t ) U jx2 = - e 8p R ds1 ds2 ds3, j = 1,3, 1 U jy 2 = - e - i( xs1 + ys2 + zs3 ) s2 U 0 j ( s1,s2,s3 )Z j ( s1,s2,s3,t ) 8p 3 R ds1 ds2 ds3, j = 1,3, 1 e - i( xs1 + ys2 + zs3 ) s3 U 0 j ( s1,s2,s3 )Z j ( s1,s2,s3,t )ds1ds2 ds3, U jz 2 = - 8p 3 R j = 1,3, (7) 1 e - i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 0 j ( s1,s2,s3 )Z jt ( s1,s2,s3,t )ds1ds2 ds3, U jt = 8p 3 R где Zj – новая неизвестная функция. Тогда подставляя (7) в (6), имеем Z jt ( s1,s2,s3,t ) = -m( s1 + s2 + s3 )Z j ( s1,s2,s3,t ), 2 2 (8) Z j = 1, j = 1,3, t= т.е.

Z j ( s1,s2,s3,t ) = exp( - m ( s1 + s2 + s3 )t ), j = 1,3.

2 2 (9) Следовательно, с учетом (5), (6), (7) и (9), получим 1 e - i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 0 j ( s1,s2,s3 ) U j ( x, y,z,t ) = 8p 3 R exp( - m ( s1 + s2 + s3 )t )ds1ds2 ds3, j = 1,3, 2 2 t r 1 1 fi ( s1,s2,s3,t ) Ci = exp( - ) (10) 4a ( t - t ) 8( a ( t - t ))3 p 0 R t 1 ds1ds2 ds3dt = exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) f i ( x + 2t 1 a s, 2 2 p 3 0 R - y + 2t 2 a s,z + 2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds,i = 1,3;

a = 2 m, 1 e -i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 01 ( s1,s2,s3 )exp( - m( s1 + s2 + s3 )t )ds1ds2 ds3 + u= 2 2 8p R 1t 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) 2 f1( x + 2t 1 a s, y + 2t 2 a s,z + + 2 2 p3 0 R +2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3ds H 1( x, y,z,t ), 1 3 e- i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 02 ( s1,s2,s3 )exp( - m ( s1 + s2 + s3 )t )ds1ds2 ds3 + u = 2 2 8p 3 R t 1 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) 2 f 2 ( x + 2t 1 a s, y + 2t 2 a s,z + + 2 2 p 0R +2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3ds H 2 ( x, y,z,t ), 1 e -i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 03 ( s1,s2,s3 )exp( - m( s1 + s2 + s3 )t )ds1ds2ds3 + w= 2 2 8p R t + 1 p 3 R3 exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) f 3 ( x + 2t 1 a s, y + 2t 2 a s,z + 2 +2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3ds H 3 ( x, y,z,t ), (11) q1 = H 2 H 1 y + H 3 H 1z - ( H 2 H 2 x + H 3 H 3 x ) - eW 1 ( H 1 ) y 1 ( x, y,z,t ), q 2 = H 1 H 2 x + H 3 H 2 z - ( H 1 H 1 y + H 3 H 3 y ) - eW 2 ( H 2 ) y 2 ( x, y,z,t ), q = H H + H H - ( H H + H H ) - eW ( H ) y ( x, y,z,t ), 3 1 3x 2 3y 1 1z 2 2z 3 3 t J i = -qi + Cit -y i ( x, y,z,t ) + exp( -( t 12 + t 22 + t 3 )) f it ( x + 2t 1 a s, (12) 2 p 0 R 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) y + 2t 2 a s,z + 2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds + 2 2 2 p3 R f ( x + 2t a t, y + 2t a t, z + 2t a t ;

0 )dt dt dt f,i = 1,3;

a = m, i 1 2 3 1 2 3 i где H i,y i,fi,i = 1,3 – известные функции. Так как J x J 1,J y J 2,J z J 3 ;

J i = J i ( x, y, z,t ),( i = 1,3 ), то из (12) следует D J = -F 0,F 0 -( f1x + f2 y + f3 z ), (13) причем ds ds ds F 0 ( s1,s2,s3,t ) 1 2 3, J = 4p R3 r (14) J ( x, y,z,t ) = 1 t F 0 ( x + t 1, y + t 2,z + t 3 ;

t )dt 1dt 2 dt 3,i = 1,3.

i i 4p R3 ( t 12 + t 2 2 + t 3 ) Теорема 3.3.3. Если выполняются (1), (1-3), (3.3.2), (3.3.3), (5), (7), то система Навье-Стокса (3.3.1) имеет единственное гладкое решение в виде % (11) в С 2,1 ( Т ).

Доказательство. Учитывая указанные условия теоремы 3.3.3, получим (10), (11), (12). Из (10) видно, что все функции с правой стороны, известные функции. Следовательно, подставляя (10) в (5), получим решение системы (2) в виде (11), где H i,i = 1,3 – известные % функции, причем они ограничены в С 2,1( Т ) :

"( x, y, z,t ) T : D k H i С(T );

H it C( T ),i = 1,3 );

k = 0 : D 0 H i ( x, y,z,t ) H i ;

k Hi k 0 : D H i = a 1 a 2 a 3, k = a i,( a i = 0,1,2 ). (15) k x y z i = Здесь учитываются e - i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 0 j ( s1,s2,s3 ) exp( - m( s1 + s2 + s3 )t ) Uj 2 2 8p 3 R ds1ds2 ds3 N 0,"( x, y,z,t ) T, j = 1,3, (16) % % Y M 0,C 2,1( T ) C 2,2,2,1 (T ), (17) % C 2,1 ( T ) где 1 U ( s1,s2,s3 )exp( -m( s1 + s2 + s3 )t )ds1ds2ds3 N0, j = 1,3, 2 2 0j 8p 3 R = Ci Y,Y = ( C1,C2,C3 ).

C 2,1 ( T ) C(2C ;

T ) ( T ) %, % i i = Аналогично, получим и оценки относительно функций U jx,U jy,U jz,U jx 2,U jy 2,U jz 2,U jxy,U jxz,U jyz,U jt.

Поэтому, можем сделать вывод, что функции u,u,w равномерно ограничены в С 2,1( Т ), причем функции u,u,w определены единс % твенным образом. Что и требовалось доказать.

Замечание 3.3.4. Если требуется e = 0, то вырожденная система, относительно системы (3.3.1), имеет форму % ut + uu x + uu y + wu z = f1( x, y,z,t ) - r Px + mDu, % ut + uu x + uu y + wu z = f 2 ( x, y,z,t ) - Py + mDu, (18) r % wt + uwx + u wy + wwz = f3 ( x, y,z,t ) - Pz + mD w r с условиями (3.3.2), (3.3.3), (1): 0 m = m0 = const +, t [0,T0 ],T0 + [течение со средней вязкостью и divf% = 0, f% = ( f%, f%, f% ) ]. При этом все 1 2 результаты утверждения 2.4.1 [см. §2.4, гл. 2] имеют место для системы (18). Это означает, что решение системы (18) устойчиво в классе % функций С 2,1 ( Т ), т.е. решение системы (3.3.1) при условии (1), когда произвольный малый параметр e ® 0 сходится к решению вырож денной системы (18), т.е.

ue ( x, y,z,t,m ) u( x, y,z,t,m ), ® e ® ue ( x, y,z,t, m ) u( x, y,z,t,m ), ® e ® w ( x, y,z,t, m ) w( x, y,z,t, m ),"( x, y,z,t ) T,0 m = m = const.

® e e ®0 Утверждение 3.3.4. Если выполняются условия теоремы 3.3.3 и % решение системы (18) определено единственным образом в С 2,1 ( Т ), то при e ® 0 решение системы (3.3.1) равномерно сходится к решению системы (18).

Замечание 3.3.5. Если divf 0, то Ci,i = 1,3 определяются в виде t C1 ( x, y,z,t ) = [q1 ( x, y,z,t ) + J 1( x, y,z,t ) - f 1 ( x, y,z,t ) + e u( x, y,z,t )]dt, - bt t C2 ( x, y,z,t ) = [q 2 ( x, y,z,t ) + J 2 ( x, y,z,t ) - f 2 ( x, y,z,t ) + e u ( x, y,z,t )]dt, (19) - bt t C3 ( x, y,z,t ) = [q 3 ( x, y,z,t ) + J 3 ( x, y,z,t ) - f 3( x, y,z,t ) + e - bt w( x, y,z,t )]dt.

Следовательно, имеем = mDU i,i 1,3, = U it = -bt = -bt = -bt 2C1t e u + mDC1, 2C2t e u + mDC2, 2C3t e w + mDC3, b, (20) U 1x + U 2 y + U 2 z 0,C1x + C2 y + C3 z 0.

= = Поэтому, с учетом (2.4.7), получим 1t exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) exp( - b ( t - s ))u( x + 2t 1 a s, y + u = U 1 + 2 p 3 0 R +2t 2 a s,z + 2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds D1u, t 1 3 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) 2 exp( - b ( t - s ))u( x + 2t 1 a s, y + u = U 2 + 2 2 p3 0 R (21) +2t 2 a s,z + 2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds D2u, 1t w = U 3 + exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) exp( - b ( t - s ))w( x + 2t 1 a s, y + 2 p 3 0 R +2t 2 a s,z + 2t 3 a s ;

t - s )dt 1dt 2 dt 3 ds D3 w, 1 e-i( xs1 + ys2 + zs3 ) U 0 j ( s1,s2,s3 )exp( - m( s1 + s2 + s3 )t )ds1ds2 ds3, j = 1,3, Uj = 2 2 где:

8p R Di - сжимающие операторы: q = ( 2 b )-1 1. Тогда, на основе метода Пикара: un + 1 = D1un,un + 1 = D2un,wn + 1 = D3 wn,n = 0,1,..., где u0,u0,w0 - начальные приближения, имеем: ( un,un,wn ) ( u,u,w ),"( x, y,z,t ) T, т.е.

® n ® u = H 1 ( x, y,z,t ),u = H 2 ( x, y,z,t ),w = H 3 ( x, y,z,t ) - известные функции.

Далее, с учетом [(12): qi = y i ( x, y,z,t ),i = 1,3 ] и 1t -bt -b t J i = -qi + f i - e H i + Cit -y i + f i - e H i + exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) 2 2 p 0 R exp( - b ( t - s ))[H it ( x + 2t 1 a s, y + 2t 2 a s,z + 2t 3 a s ;

t - s ) - b H i ( x + 2t 1 a s, y + 2t a s,z + 2t a s ;

t - s )]dt dt dt ds + exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))H i ( x + 2 2 3 1 2 2 p R +2t 1 a t, y + 2t 2 a t,z + 2t 3 a t ;

0 )dt 1dt 2 dt 3 fi,i = 1,3;

a = 2 -1 m, получим (13), (14), т.е.

1 1 1 ds1ds2 ds F ( s,s,s,t ) P=- Q+.

0 1 2 r 4p 2 r R В этом случае, найденное решение задачи Навье-Стокса обладает свойством гладкости в С 2,1( Т ). При этом, когда e = 0 и divf% 0 система % % (18) имеет единственное гладкое решение в С 2,1 ( Т ) [см. §2.4, приме чание 2.4, гл. 2]. Тогда решение системы (3.3.1) при условии (1) и divf 0, divf 0, и e ® 0 сходится к решению вырожденной системы % (18).

ГЛАВА НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА НАВЬЕ-СТОКСА ДЛЯ СЖИМАЕМОГО ТЕЧЕНИЯ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ИЗМЕНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ Из полученных результатов главы 2 можем сделать вывод, что на основе разработанного метода §2.4 можем решить и нестационарную задачу Навье-Стокса для сжимаемого течения с вязкостью [2], а точнее задачу изотермического изменения состояния, т.е. в этом случае для определения пяти неизвестных величин: скорость v = ( u,u,w ), P – давление, r – плотность, рассмотрим задачу r [ut + uu x + u u y + wu z ] = f1 ( x, y,z,t ) - Px + F1( u,u,w, m ), r [ut + uu x + uu y + wu z ] = f 2 ( x, y,z,t ) - Py + F2 ( u,u,w, m ), r [w + uw + u w + ww ] = f ( x, y,z,t ) - P + F ( u,u,w, m ), t x y z 3 z u u u 2 u w F1 [m ( 2 - div v )]+ [m ( + )]+ [m ( + )], x x 3 y y x z z x (4.1) F [m( 2 u - 2 div v )]+ [m ( u + w )]+ [m ( u + u )], 2 y y 3 z z y x y x F [m ( 2 w - 2 div v )]+ [m ( w + u )]+ [m ( u + w )], 3 z z 3 x x z y z y rt + (ru)x + (ru) y + (rw)z = 0, (4.2) P - r RT = 0, (4.3) u( x, y,z,t )|t = =u0 ( x, y,z ),u( x, y,z,t )|t = = 0 ( x, y,z ), 0u w( x, y,z,t )|t = =w0 ( x, y,z ),"( x, y,z ) R, t [0,T0 ];

(4.4) 0 r |t = =r0 ( x, y,z ),"( x, y,z ) R, t [0,T0 ], f i C 3,0 (T = R 3 [0,T0 ] ),C 3,0 (T ) C 3,3,3,0 (T ),i = 1,3, (4.5) u0 C ( R ),u0 C ( R ),w0 C ( R ) C ( R ), 3 3 3 3 3 3 3,3,3 где R – газовая постоянная, T – абсолютная температура, соотно шение m ( T ), связь между коэффициентом вязкости m и темпе ратурой T (здесь зависимостью вязкости от давления обычно не учитывается, например, для капельных жидкостей вязкость почти не зависит от давления, но сильно уменьшается при повышении температуры), т.е. T, m – считаются известными.

Сжимаемостью называется способность жидкости или газа уменьшать свой объем под действием сил внешнего давления. Для капельных жидкостей сжимаемость достаточно мала.

Отметим, что при сжимаемом течении исследование погранич ного слоя требует, по сравнению со случаем несжимаемого течения, введения некоторых дополнительных параметров. Например: числа Маха;

закона m ( T ), устанавливающего связь между вязкостью и температурой и др.[2].

Если m :0 m m, (4.6) % где m – не зависит от пространственных переменных и является как % известный параметр вязкости, то задача (4.1) – (4.4) имеет единствен ное условно-гладкое решение ( u,u,w ) в GlW ( T ) вида 1 u = g [j1( x, y,z,t ) + y 1( x, y,z,t )] H 1, u = g [j2 ( x, y,z,t ) + y 2 ( x, y,z,t )] H 2, w = [j3 ( x, y,z,t ) + y 3 ( x, y,z,t )] H 3,H i DlW ( T ),i = 1,3;

(4.7) g ji exp( -( t 12 + t 2 + t 3 ))U 0i ( x + 2t 1 m t, y + 2t 2 mt,z + 2t 3 m t ) 2 % % % pR dt 1dt 2 dt 3,i = 1,3, t 1 y i exp( -( t 12 + t 2 + t 3 )) f i ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + 2t 2 a ( t - s ),z + 2 p 3 0 R +2t 3 a ( t - s );

s )dt 1dt 2 dt 3 ds,i =2 m ;

1,3;

a = - % U 01 ( x, y,z ) = ( x, y,z ) = ( x, y,z ) = u0 r0, U 02 u0 r0, U 03 w0 r0 ;

t r0 - f ( r =x, y,z,s )ds g ( x, y,z,t );

f [j1( x, y,z,t ) + y 1( x, y,z,t )]x + +[j2 ( x, y,z,t ) + y 2 ( x, y,z,t )]y + [j3( x, y,z,t ) + y 3 ( x, y,z,t )]z ;

q1 = [H 1 H 1x + H 2 H 1 y + H 3 H 1z ] + mD[j1( x, y,z,t ) + y 1( x, y,z,t )] - H 1f + g % -{ [m ( 2H - 2 ( H +H +H )]+ [m( H + H )]+ [m ( H + H )]} x 1x 1x 2y 3z 1y 2x 1z 3x y z - -2 ( g [H 1 + H 2 + H 3 ] )x b1 ( x, y,z,t ), 2 2 q = [H H + H H + H H ] + mD[j ( x, y,z,t ) + y ( x, y,z,t )] 2 - H 2f + g 1 2 x % 1 2y 3 2z 2 -{ [m ( 2H 2 y - ( H 1x +H 2 y +H 3 z )]+ [m ( H 2 z +H 3 y )]+ [m( H 1 y +H 2 x )]} y z x -2 -1( g [H 12 + H 2 + H 32 ] )y b2 ( x, y,z,t ), q 3 = - H 3f + g [H 1 H 3 x + H 2 H 3 y + H 3 H 3 z ] + mD[j3( x, y,z,t ) + y 3 ( x, y,z,t )] % -{ [m( 2H 3 z - 2 ( H 1x +H 2 y +H 3z )]+ [m( H 3 x +H 1z )]+ [m ( H 2 z +H 3 y )]} z x y -2 -1( g [H 2 + H 2 + H 2 ] ) b ( x, y,z,t );

1 2 3 z 11 F ( s1,s2,s3,t )ds1ds2ds3 ;

J P + r ( u 2 + u 2 + w2 ),F ( x, y,z,t ) J= 4p R3 r -[y 1t - b 1 ]x - [y 2t - b 2 ] y - [y 3t - b3 ]z,r = ( x - s1 ) + ( y - s2 ) + ( z - s3 ) ;

2 2 F ( x + t 1, y + t 2,z + t 3 ;

t )dt 1dt 2 dt ti,i = 1,3.

J x J 1,J y J 2,J z J 3 : J i = 4p R3 (t 1 + t 2 + t 3 ) 2 2 §4.1. Задача Навье-Стокса для вязкого течения изотермического изменения состояния В этом параграфе исследуется задача Навье-Стокса для сжимаемой жидкости с вязкостью вида (4.1)-(4.4) при входных данных (4.5), (4.6). Для решения этой задачи уравнения (4.1), (4.2), (4.3) пре образуем к виду U 1t + q1 = f1 - J 1 + mDU 1, % U 2t + q 2 = f 2 - J 2 + mDU 2, % (4.1.1) U + q = f - J + mDU, % 3t 3 3 U 1 = r u,U 2 = ru,U 3 = r w,J x J 1,J y J 2,J z J 3 ;

U i t =0 = U 0i,i = 1,3;

U 01 = r0 u0,U 02 = r0u0,U 03 = r0 w0 ;

(4.1.2) r + (U ) + (U ) + (U ) = 0;

t 1x 2y 3z P - r RT = 0, q1 = -u[U 1x + U 2 y + U 3 z ] + r [uux + u u y + wu z ] + mDU 1 - F1 ( u,u,w, m ) % - -2 ( r[u +u + w ] )x, 2 2 (4.1.3) q 2 = -u [U 1x + U 2 y + U 3 z ] + r [uu x + uu y + wu z ] + mDU 2 - F2 ( u,u,w, m ) % -2 -1( r[u 2 +u 2 + w 2 ] ), y q3 = - w[U 1x + U 2 y + U 3 z ] + r[uwx + u wy + wwz ] + mDU 3 - F3 ( u,u,w, m ) % - -2 ( r[u +u + w ] )z, 2 2 где u,u,w,U i, r,P,qi,( i = 1,3 ) – неизвестные функции. Когда параметр вязкости m допускает условие (4.6), то решение задачи (4.1)-(4.4) ищем в пространстве GlW ( T ), т.е. решение задачи Навье-Стокса обладает свойством условной гладкости в GlW ( T ) :

T l ( t )W ( x, y,z ) ut ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +, 0 R T l ( t )W ( x, y,z ) u ( x, y,z,t ) 2 dxdydzdt K +, 3 t 0R T l ( t )W ( x, y,z ) wt ( x, y,z,t ) dxdydzdt K +, (4.1.4) 0 R v = u D2 ( T ) + u D2 ( T ) + w D2 ( T ), GlW ( T ) 2 % % % ( u ;

lW ) ( u ;

lW ) ( w ;

lW ) u %2 = u C 3,0 ( T ) + ut L2, D( u ;

lW ) ( T ) lW u %2 = u C 3,0 ( T ) + ut L2, w D2 ( T ) = w C 3,0 ( T ) + wt L2, D( u ;

lW ) ( T ) % lW ( w ;

lW ) lW ( u ;

lW ) ( T ) = {( x, y,z,t ) T = R [0,T0 ] : u C D2% ( T );

ut L2 [R 3 ( 0,T0 )] }, 3 3, lW D2 ( T ) = {( x, y, z,t ) T = R 3 [0,T0 ] : u C 3,0 ( T );

ut L2 [R 3 ( 0,T0 )] }, % ( u ;

lW ) lW D2% ( T ) = {( x, y,z,t ) T = R 3 [0,T0 ] : w C 3,0 ( T );

wt L2 [R 3 ( 0,T0 )] }, ( w;

lW ) lW T 0 l( t ) : l( t ) dt = q0 ;

0 W : W ( x, y,z )dxdydz = 1,C 3,0 ( Т ) C 3,3,3,0 ( T ).

t R Докажем совместимости этих систем в GlW ( T ).

Введем обозначения U i = Vi ( x, y,z,t ) + Ci ( x, y,z,t ),i = 1,3;

t (4.1.5) Ci ( x, y,z,t ) = [qi ( x, y,z,t ) + J i ( x, y,z,t )]dt,i = 1, с условиями Vi t =0 = U 0i ;

Ci t =0 = 0,( i = 1,3 ),"( x, y,z ) R 3, qi ( x, y,z,t ) = - J i ( x, y,z,t ) + Cit ( x, y,z,t ),( i = 1,3 ), где Vi,Ci - новые неизвестные функции. При этом имеет место лемма.

Лемма 4.1.1. Пусть функции Vi,Ci являются решениями системы Vit = mDVi,i = 1,3, % (4.1.6) 2Cit = f i + mDCi,i = 1,3.

% Тогда (4.1.5) является решением системы (4.1.1).

Доказательство. Учитывая частные производные по совокуп ности пространственных аргументов и по t при t0, т.е.

U 1t = V1t ( x, y,z,t ) + C1t ( x, y,z,t ),U 2t = V2t ( x, y,z,t ) + C2t ( x, y,z,t ), U = V ( x, y,z,t ) + C ( x, y,z,t );

DU = DV ( x, y,z,t ) + DC ( x, y,z,t ), 3t 3t 3t 1 1 DU = DV ( x, y,z,t ) + DC ( x, y,z,t ), DU = DV ( x, y,z,t ) + DC ( x, y,z,t );

2 2 2 3 3 q ( x, y,z,t ) = - J ( x, y, z,t ) + C ( x, y,z,t ),i = 1, i i it и подставляя эти значения в (4.1.1), получим V1t + 2C1t - J 1 = f1 - J 1 + m( DV1 + DC1 ), % V2t + 2C2t - J 2 = f 2 - J 2 + m ( DV2 + DC2 ), % (4.1.7) V + 2C - J = f - J + m( DV + DC ).

% 3t 3t 3 3 3 3 Далее, учитывая (4.1.6) из системы (4.1.7) получим тождество, т.е. действительно, если Vi,Ci являются решениями уравнений системы (4.1.6), то (4.1.5) является решением системы (4.1.1). Что и требовалось доказать.

Далее, рассмотрим систему (4.1.6).

I. Первое уравнение системы (4.1.6) имеет единственное решение в GlW ( T ), т.е.

exp( -( t + t 2 + t 3 ))U 0i ( x + 2t 1 mt, y + 2t 2 mt,z + 2t 3 mt ) Vi = 2 2 % % % p R dt 1dt 2 dt 3 ji ( x, y,z,t ) GlW (T ),i = 1,3.

(4.1.8) Обсуждая, аналогично относительно Ci,i = 1,3, имеем t r 1 1 Ci = exp( - fi ( s1,s2,s3,s )ds1ds2 ds3ds = ) 4a ( t - s ) 8( a ( t - s ))3 p 3 0 R t 1 exp( -( t 1 + t 2 + t 3 )) f i ( x + 2t 1 a ( t - s ), y + 2t 2 a ( t - s ),z + = 2 2 p 3 0 R3 (4.1.9) +2t 3 a ( t - s );



Pages:     | 1 || 3 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.