авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 14 |

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ М. И. Ботов, В. А. Вяхирев ОСНОВЫ ТЕОРИИ ...»

-- [ Страница 11 ] --

8.2. Постановка задачи оптимизации многоканального обнаружения радиолокационных сигналов Пусть с М-элементной антенно-приемной системы, расположенной в одном или нескольких пунктах приема, снимается совокупность М на Более подробно см.: Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радио локационной информации на фоне помех. М. : Радио и связь, 1981. С. 7–35;

45–52;

183–186.

Авторы обозначенной монографии являются наиболее яркими представителями и организато рами РЛ научной школы, до середины 90-х годов успешно функционировавшей в Военной ин женерной радиотехнической академии ПВО им. Маршала Л.А. Говорова (г. Харьков) и прекра тившей существование с распадом СССР.

Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов пряжений, описываемых функциями времени y1 (t), y2 (t), …, yM (t) (рис. 8.1) и образующих вектор-столбец входных воздействий y1 ( t ) y2 ( t ) y(t ) = = yТ ( t ) = y1 ( t ) y2 ( t ).... yМ ( t ),.........

yМ ( t ) где символ «Т» означает операцию транспонирования.

y1 (t) y (t ) y2 (t) yМ (t) Рис. 8.1.Схема М-элементной антенно-приемной системы При этом одноканальный прием (М = 1) будем рассматривать как ча стный случай многоканального.

Реализация принимаемых колебаний y ( t ) может быть обусловлена либо одними помехами, либо наложением сигналов и помех:

() ( ) y ( t ) = n t, 1 + Ax t,, 2. (8.1) Здесь n (t, 1 ), x (t,, 2 ) – векторные реализации помехи и сигнала соот ветственно;

А = (1, 0) – множитель, учитывающий наличие (А = 1) или от сутствие (А = 0) сигнала в векторе y ( t ) ;

– вектор информативных пара метров сигнала (время запаздывания, доплеровская частота, угловые коор динаты целей, поляризационные параметры сигнала и др.);

2 – вектор не информативных параметров сигнала (случайные начальная фаза или ам плитуда, совокупность случайных начальных фаз и амплитуд, энергия ожидаемого сигнала и др.);

1 – вектор случайных параметров внешней помехи (так называемый параметр помеховой обстановки);

1, 2.

Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники Многоканальный обнаружитель выдает оценку дискретного пара метра 1(«да»), A y (t ) |, = (8.2) 0(«нет»), которую будем считать однозначно зависящей от принимаемой реализации y ( t ) или, как говорят, являющейся функционалом этой реализации (функ ционал – число, зависящее от функции). Когда ничего другого, кроме выра жения (8.2) не выдается, обнаружение называют двухальтернативным. Когда могут выдаваться еще ответы «не знаю» (на промежуточных этапах обнару жения), решение становится трехальтернативным «да», «нет», «не знаю».

Оптимизации двухальтернативного (трехальтернативного) обнару жения часто предшествует дискретизация принимаемых колебаний как функций времени. Это позволяет: а) перейти от случайных функций y ( t ) к случайным многомерным величинам y ;

б) ввести плотности вероятности принимаемых реализаций как функции многих переменных. Кроме того, времення дискретизация приобретает самостоятельное значение при пе реходе к цифровой обработке сигналов. Пусть каждая из скалярных функ ций yi (t) включает L временных дискретов (рис. 8.2). Общее число дискре тов при М-канальном приеме, i = 1, 2, …, М, составит m = LM. Решение принимается в этом случае по m-мерной строке (столбцу):

yТ = y1 y2.... ym. (8.3) y1 (t) yL = y1 (tL) y y y t yМ (t) t Т t = 1 / 2fmax t yМ (t) Рис. 8.2. Эпюры, поясняющие принцип дискретизации сигнала Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов Решающий функционал (8.2) переходит в решающую функцию m скалярных переменных:

1, A y |, = (8.4) 0.

При достаточном числе временных дискретов от m-мерной их вы борки y можно вернуться к непрерывной функции y ( t ), пользуясь, напри мер, теоремой Котельникова. Одновременно от решающей функции этих дискретов (8.4) необходимо перейти к функционалу (8.2). В дальнейшем указание в формулах (8.2), (8.4) на фиксацию параметров, будем в ряде случаев опускать.

8.3. Основные показатели эффективности двухальтернативного обнаружения За счет воздействия помех и флюктуации сигнала случайные реше ния двухальтернативного обнаружителя A = 1,0 (события A1, A0 ) могут не соответствовать условиям наличия или отсутствия выбранной цели A = 1,0 (событиям A1, A0). При этом возможны четыре ситуации совмеще ния случайных событий «решения» и «условия» для выделенного разре шаемого объема:

A1 A1 – правильное обнаружение;

A0 A1 – пропуск цели;

A1 A0 – ложная тревога;

A0 A0 – правильное необнаружение.

Возможными показателями эффективности обнаружения можно бы ло бы считать вероятности совмещения событий P ( Ai Ak ), i, k = 0, 1. Каж дая из вероятностей совмещения сводится к произведению условной веро ятности решения P( Ai Ak ) на вероятность условия P (Ak), т. е.

P( Ai Ak ) = P( Ai Ak ) P( Ak ). (8.5) Вероятности условий наличия P (A1) или отсутствия P (A0) цели, на зываемые априорными (доопытными), обычно неизвестны. Условные же вероятности решений P( Ai Ak ) могут быть оценены экспериментально или расчетом. Поэтому они, а не вероятности ситуаций совмещения, исполь зуются в качестве показателей эффективности обнаружения.

Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники При наличии цели вводят, в частности, условные вероятности пра вильного обнаружения P0 = P( A1 A1 ) (8.6) и пропуска цели P0 = P( A0 A1 ) = 1 P0. (8.7) При отсутствии цели вводят условную вероятность ложной тревоги Pл = P( A1 A0 ) (8.8) и значительно реже – правильного необнаружения ) ( Pл = P A0 A0 =1 Pл. (8.9) Более общим показателем является средний риск ошибок обнару жения – усредненная «плата» за ошибки, ее математическое ожидание r = M (r). Для двухальтернативного обнаружения цели ( ) ( ) r = M (r ) = r01P A0 A1 + r10 P A1 A0. (8.10) Здесь r01 и r10 – стоимости пропуска и ложной тревоги, учитывающие сте пень важности ошибочных решений A0 A1 и A1 A0. Подразумевается нуле вая плата за правильные решения r00 = r11 = 0. Условная вероятность сово купной ложной тревоги из n разрешающих объемов Pлn n Pл, откуда Pл Pлn /n, в связи с чем допустимыми обычно считают малые значения Pл = 10–4–10–10.

8.4. Критерии оптимальности обнаружения Задачей оптимизации обнаружения является понижение условных вероятностей ошибочных решений P0 и Pл согласно каким-то определен ным критериям. Требования понижения обеих условных вероятностей ошибок P0 и Pл противоречивы. Всегда можно добиться значения P0 = 0.

Достаточно принимать решение о наличии цели для всех реализаций y, но значение Pл возрастает тогда до единицы. Можно добиться значения Pл = 0, принимая всегда решение об отсутствии цели. В этом случае P0 возрастает до 1. Подобные крайности предотвращаются при использовании критерия Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов минимума среднего риска r = min, достаточно универсального критерия оптимальности обнаружения. На его основе можно получить и другие кри терии оптимальности. Поясним это на примере двухальтернативного обна ружения. Используя формулу (8.5), приводим выражение среднего риска (8.10) к виду r = r01P ( A1 ) P0 + r10 P ( A0 ) Рл = r01P ( A1 )( P0 + l0 Рл ). (8.11) Здесь l0 – некоторый весовой множитель, объединяющий четыре упоми навшиеся величины, l0 = r10 P ( A0 ) r01P ( A1 ). (8.12) Поскольку r01 P (A1) 0, получим весовой критерий оптимальности обнаружения P0 + l0 Рл = min. (8.13) После замен P0 =1 Р0 и P0 + l0 Рл =1 ( Р0 l0 Рл ) видоизменим запись весового критерия:

Р0 l0 Рл = max. (8.14) Ограничивая условную вероятность ложной тревоги Pл Рл сверху, приходим к критерию Неймана – Пирсона. Согласно этому критерию, опти мальный обнаружитель обеспечивает наибольшую условную вероятность правильного обнаружения P0 = P0 max из всех обнаружителей, у которых ус ловная вероятность ложной тревоги не больше заданной вероятности Рл.

8.5. Методика оптимизации решений при двухальтернативном обнаружении Оптимизация состоит в выборе наиболее целесообразного правила принятия решений «да», «нет» с позиций весового критерия (8.13) или (8.14). Плотности вероятности принимаемых реализаций pсп ( y) и pп ( y) при условиях наличия сигнала и помехи (индекс «сп») и одной помехи (индекс «п») полагаем известными. Задаемся вначале неоптимальной в общем случае решающей функцией A( y ). Условные вероятности P0 и Pл могут быть представлены тогда выражениями A( y) pсп ( y)dy, A( y) pп ( y)dy.

Р0 = Рл = ( y) ( y) Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники Интегрирование ведется в этих выражениях по многомерному про странству y;

dy – элемент интегрирования (при дискретизации по Котель никову dy = dy1, dy2,..., dym ). Функция A( y ) принимает всего два значения:

0 или 1. Приведенные выражения аналогичны поэтому выражению вероят ности попадания одномерной величины y в некоторый интервал y1 y y2:

y p( y)dy = A( y) p( y)dy.

P( y1 y y2 ) = y Здесь множитель A( y ), равный единице (при y1 y y2) или нулю (при y y1 и y y2), определяет область интегрирования. Одномерная область в общем случае заменяется многомерной, в которой A( y ) = 1,0.

Вычисляя взвешенную разность приведенных выражений, имеем A( y)[ рсп ( y) l0 pп ( y)]dy.

Р0 l0 Рл = ( y) Иначе A( y)[l ( y) l0 ] pп ( y)dy.

Р0 l0 Рл = (8.15) ( y) Здесь l ( y) = pсп ( y ) / pп ( y) (8.16) – отношение правдоподобия, т. е. отношение плотностей вероятности одной и той же реализации принимаемых колебаний при двух условиях:

наличия сигнала и помехи и наличия только помехи. Отношение (8.16) ха рактеризует правдоподобность гипотез о присутствии и отсутствии сигна ла, возрастая в первом и убывая во втором случае.

Основополагающую роль отношения правдоподобия выявим из формального исследования соотношения (8.15). Поскольку плотность ве роятности рп ( y ) неотрицательна, наибольшее значение взвешенной разно сти P0 – l0 Pл достигается при наибольших величинах произведений A( y )[l ( y ) l0 ] для каждого возможного y. Значения произведений для воз можных значений A( y) = 1 и A( y) = 0 равны соответственно l ( y ) – l0 и 0. Если l ( y ) l0, то бльшим является значение l ( y ) – l0, достигаемое при решении A( y) = 1, предпочтительном в данном случае. Если l ( y ) l0, то бльшим является значение 0, достигаемое при решении A( y) = 0. Если l ( y ) = l0, то выбор решения A( y) несущественен. Условие оптимизации Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов двухальтернативного обнаружения в этом случае принимает следующий вид:

1, если l ( y ) l0, Aопт ( y ) = (8.17) 0, если l ( y ) l0.

Для выработки оптимального решения после приема многомерной реализации y вычисляется отношение правдоподобия l ( y ), которое срав нивается с пороговым уровнем (порогом) l0. Если оно ниже порога, прини мается решение «нет», в противном случае – решение «да». Правило (8.17) остается справедливым при переходе к непрерывной реализации y (t) за счет сокращения интервала дискретизации t (рис. 8.2):

1, если l [ y (t )] l0, Aопт [ y (t )] = (8.18) 0, если l [ y (t )] l0.

Величину l [ y (t )] = lim [ pсп ( y ) / pп ( y )], являющуюся функционалом при t нимаемой реализации, условимся называть также отношением правдо подобия.

На вход обнаружителя (рис. 8.3) поступает принимаемая реализация y или y (t), содержащая сигнал и помеху или одну помеху. По этой реали зации в ВУ вычисляется отношение правдоподобия l ( y ) или l [ y (t)]. Оно сравнивается в ПУ с некоторым порогом l0. В зависимости от превышения или непревышения порога принимается решение о наличии или отсутствии сигнала. Такое решение обеспечивает: минимумы среднего риска r и сум марного весового критерия P0 + l0 Pл;

максимум разностного весового критерия P0 – l0 Pл.

1, l l A(y) = y l ( y) 0, l l ВУ ПУ l Рис. 8.3. Структурная схема обнаружителя:

ВУ – вычислительное устройство;

ПУ – пороговое устройство Структура обнаружителя не зависит от выбираемого значения l0. Не знание определяющих его величин (8.12) не влияет на его структуру. От вы бора l0 здесь зависит условная вероятность ложной тревоги Pл: чем ниже l0, Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники тем выше Pл. Значение же l0 может выбираться по допустимому уровню Рл условной вероятности ложной тревоги согласно критерию Неймана – Пир сона. Так, структурная схема обработки, приведенная на рис. 8.3, обеспе чивает при этом максимально возможное значение P0 (минимально воз можное P0 ) из всех возможных схем обработки с выбранным допустимым уровнем условной вероятности ложной тревоги Pл.

8.6. Оптимальное обнаружение дискретного сигнала с известными параметрами на фоне гауссовской коррелированной помехи 8.6.1. Постановка задачи. Модели сигнала и помехи Задача обнаружения сигнала с полностью известными параметрами – одна из наиболее важных задач в теории обработки РЛ сигналов. Абстра гирование от реальных случайных параметров сигнала позволяет получать результаты в наглядной форме, выявлять существенные особенности обра ботки принимаемых колебаний при обнаружении и измерении. С некото рыми изменениями результаты решения распространяются на ситуации наличия случайных параметров сигнала с известными и неизвестными законами распределений.

Итак, полагаем, что сигнал характеризуется неслучайным вектор столбцом x = ||xi||, размерность которого определяется общим числом вре менных дискретов во всех антенных каналах. Сигнал может отсутствовать или присутствовать, аддитивно накладываясь в последнем случае на поме ху. В результате принимается выборка y = Ax + n, (8.19) где неизвестное значение А равно 0 или 1. Требуется дать зависящее от y решение A = 0 или A = 1 либо (в трехальтернативном случае) – соответст вующее решение «не знаю».

Помеха характеризуется при этом случайным вектор-столбцом n = ||ni|| своих выборочных значений. Математическое ожидание каждого из элементов выборки помехи полагается равным нулю: М (ni) = 0. Мате матическое ожидание вектор-столбца n также равно нулю: М ( n ) = 0.

Считаем, что каждый из элементов выборки помехи ni распределен по га 1 2 e n / 2.

уссовскому (нормальному) закону p (n) = Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов Здесь 2 = M {[n – M (n)]}2 = M (n2) = n 2 – дисперсия помехи. Помеха в общем случае считается нестационарной: различные элементы выборки помехи могут иметь различные дисперсии i2.

Различные элементы выборки ni и nk могут быть взаимозависимы, так что их центрированный корреляционный момент, называемый также ковариацией, ik = M {[ni M(ni )][nk M(nk )]} = M(ni nk ) в общем случае не равен нулю. Как и в предыдущих главах, степень вза имной корреляции будем характеризовать коэффициентом корреляции элементов помеховой выборки ik = M (ni nk ) / i k, (8.20) где величина ik изменяется от +1 до –1.

Значения ik равны ±1, когда величины ni и nk пропорциональны (очень жесткая связь, так что произведение ni nk всегда сохраняет знак).

Если же значения ni и nk некоррелированны, то положительные и отрица тельные знаки произведений ni nk встречаются одинаково часто. Матема тические ожидания таких произведений, а следовательно, значения ik об ращаются в нуль. Совокупность корреляционных моментов (ковариаций) элементов помеховой выборки образует прямоугольную таблицу, назван ную ранее КМП:

= ik = ik i k. (8.21) В силу переместительного свойства закона умножения ni nk = nk ni имеем ik = ki, а ki = ik. Поэтому КМП является симметричной, т. е. T =.

Диагональными элементами КМП оказываются дисперсии элементов вы борки: ii = i2 (ii = 1). Важной характеристикой КМП является ее опре делитель (детерминант), обозначаемый | | или det. При отличном от ну ля его значении существует ОКМП 1. Последняя определяется так, что произведение матриц 1 сводится к единичной матрице I. Зная опреде литель | | и матрицу 1, можно найти плотность вероятности гауссовского (нормального) закона распределения помехового вектор-столбца n, т. е. со вместного закона распределения всех его элементов ni:

1/ p ( n ) = (2 ) m / 2 exp( n T 1n / 2) или 1/ pп ( y ) = (2 ) m / 2 exp( y T 1 y / 2). (8.22) Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники Индекс «п» в формуле (8.22) соответствует наличию одной помехи, а матричное произведение в нем представляет собой квадратичную форму выборки y.

8.6.2. Алгоритмы оптимального обнаружения дискретизированного сигнала с известными параметрами В соответствии с результатами параграфа 8.5 оптимальные алгорит мы двухальтернативного обнаружения сведем к сравнению с порогом ло гарифма отношения правдоподобия ln l = ln pсп ( y) ln pп ( y), (8.23) являющегося некоторой монотонно нарастающей функцией самого отно шения правдоподобия l.

Будем считать, что pсп ( y) = pп ( y x ). (8.24) Подставляя выражения (8.22) и (8.24) в (8.23), получаем ln l = ( y x )T 1 ( y x ) / 2 + y T 1 y / 2 = ( y T 1 x + x T 1 y ) / 2 x T 1 x / 2.

Поскольку произвольный скаляр в результате транспонирования не изменяется, то y T 1 x = ( y T 1 x )T. Учитывая правило транспонирования произведения матриц (abc)T = cTbTaT, а также симметрию матрицы 1 = (1 )T, найдем y T 1 x = x T 1 y.

Выражение ln l представим окончательно в виде двух взаимно экви валентных выражений:

ln l = q 2 / 2 = q (н q / 2). (8.25) Величина в формуле (8.25) определяется одним из двух выраже ний:

= x T 1 y (8.26) или = y T 1 x. (8.27) В свою очередь, q 2 = x T 1 x, (8.28) н = / q. (8.29) Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов Так как величины ln l, = ln l + q2 / 2, н = ln l /q + q / 2 связаны моно тонно нарастающими зависимостями с отношением правдоподобия l, то каждая из них может быть использована для сравнения с соответствующим порогом обнаружении. Отсюда приходим к ряду вариантов структурных схем оптимальных двухальтернативных обнаружителей, представленных на рис. 8.4–8.6. Подача на элементы этих схем скалярных, векторных и матричных величин показана с помощью соответственно одинарных, двойных и зачерненных стрелок. По структурной схеме рис. 8.4 проводят ся два вида обработки m-элементного вектор-столбца принимаемых коле баний y. Первоначальная обработка сводится к его линейному преобразо ванию = 1 y, (8.30) зависящему только от структуры m2-элементной КМП.

1 y = = x T y A = (1, 0) ПУ 1 x Рис. 8.4. Структурная схема многоканального обнаружителя y A = (1, 0) ПУ r Рис. 8.5. Структурная схема многоканального обнаружителя с весовым вектором н y A = (1, 0) ПУ r =r / q 0н Рис. 8.6. Структурная схема многоканального обнаружителя с нормировкой Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники Последующая обработка сводится к образованию скалярной весовой m суммы элементов преобразованного вектор-столбца = x = xi i с весо T i = вым коэффициентом xi, соответствующим составляющим полезного сигна ла и не зависящим от КМП. Небезынтересно, что линейное преобразование (8.30) декоррелирует преобразованный помеховый вектор-столбец по от ношению к принимаемому, т. е. условное математическое ожидание мат ричного произведения y T при наличии только помехи сводится к еди ничной матрице M п ( y T ) = 1M п ( y y T ) = 1= I.

Составляющие вектор-столбца нельзя, однако, считать взаимно декоррелированными, поскольку КМП M п (T ) = 1M п ( yy T )(1 )T = 11 = не сводится в общем случае к единичной и обратна входной.

Показанная на структурной схеме рис. 8.4 обработка сильно ослож няется из-за необходимости учета m2-элементной матрицы 1. Такая об работка может быть оправдана лишь в случае одновременного обнаруже ния большого числа разновидностей сигналов. При этом может оказаться выгодным выполнить единожды сложную операцию матричной обработки = 1 y, с тем чтобы после нее проводить множество более простых опе m раций весовой обработки = x T = xi i с коэффициентом, не зависящим i = от характера помеховых колебаний. В структурной схеме рис. 8.5 преду смотрена только операция m-элементной весовой обработки m = y T r = yi ri (8.31) i = с коэффициентами ri, являющимися составляющими весового вектора r = ||ri||. Весовой вектор r = 1 x (8.32) зависит как от КМП, так и от ожидаемого сигнала x, но содержит всего m элементов. Случайная величина весовой суммы в отсутствие сигнала имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию 2 = Mп (2) = Mп ().

Подставляя в произведение взаимно эквивалентные выражения (8.26), (8.27), получаем Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов 2 = x T 1M п ( yy T )1 x = x T 11 x = x T 1 x = q 2.

Это означает, что выходной уровень помехи в схемах рис. 8.4, 8.5 зависит как от КМП, так и от вектора сигнала x. В соответствии с этим уровнем должен подбираться и уровень порога 0, обеспечивающий заданную ус ловную вероятность ложной тревоги Рл.

От указанного недостатка свободна структурная схема обработки, приведенная на рис. 8.6, отличающаяся изменением уровня порога и весо вых коэффициентов в q раз. Иначе, вместо весового вектора r, использу ется нормированный весовой вектор rн = r / q = 1 x / x T 1 x. Последний не изменяется при увеличении интенсивности ожидаемого сигнала в произ вольное число раз. Вместо весовой суммы получается при этом нормиро m ванная весовая сумма н = yi rнi = / q, которая в отсутствие сигнала име i = н = M п ( п ) = M п ( 2 ) / q =1.

2 ет единичную дисперсию Проведенный в процессе теоретического исследования переход к нормированному весовому вектору rн учитывает реально используемую в РЛ приемниках АРУ по выходному уровню помехи.

8.6.3. Параметр и показатели качества двухальтернативного обнаружения дискретизированной выборки сигнала В предыдущих главах было показано, что параметр обнаружения сигнала (квадратичный, линейный) на фоне внутреннего шума представля ет собой отношение энергии сигнала к спектральной мощности этого шума на входе линейного тракта обработки (по мощности и напряжению). При обработке сигналов на фоне внешних коррелированных помех отношение сигнал/помеха по мощности находится как отношение величины квадрата математического ожидания весовой суммы или н при наличии сигнала и помехи к величине дисперсии этой же самой весовой суммы (она не изме няется в зависимости от наличия или отсутствия сигнала). Параметры об наружения оптимальных обнаружителей, приведенных на рис. 8.4–8.6, одинаковы при одинаковых условиях на входе. Поэтому расчет проведем для схемы, показанной на рис. 8.6, при наличии сигнала Mсп ( y ) = x, так что M сп (н ) = M сп ( y T ) r / q = x T 1 x / q = q 2 / q = q.

Учитывая единичное значение дисперсии помехи, получаем квадра тичный параметр обнаружения q2, а линейный – q. Формально введенная Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники выше величина q2 приобретает смысл параметра обнаружения (отноше ния сигнал/помеха по мощности). Наряду с приведенным q 2 = x T 1 x справедливы следующие выражения для q2 и q:

q 2 = x T r = r T x, q = x T rн = rнT x = M сп ( н ). (8.33) Произвольная весовая сумма н или, будучи линейной комбинацией нормально распределенных величин yi, подчиняется нормальному закону распределения. Так как Mп (н) = 0, Mп ( н ) = 1, Mcп (н) = q, Mcп [(н – q)2] = 1, выражения плотностей вероятности нормированной весовой суммы при отсутствии и наличии сигнала имеют следующий вид:

pп ( н ) = (1/ 2 )e н / 2, pсп ( н ) = (1/ 2 )e ( н q ) /. (8.34) Кривые, полученные по соотношениям (8.34), и уровень порога 0н представлены на рис. 8.7. Заштрихованные на рисунке площади, соответ ствующие интегралам от указанных плотностей вероятности в области н 0н, определяют условные вероятности ложной тревоги Pл и правиль ного обнаружения P0. При интегрировании используют табулированные для u 0 значения интеграла вероятности u (u ) = (2 / 2 ) e / d ;

(8.35) при этом () = 1. Доопределяя для u 0 значения функции (–u) = – (u), зависимость (u) можно пояснить графиком, приведенным на рис. 8.8.

рп (н) рсп (н) Pл P 0 н 0н q Рис. 8.7. Графики плотностей вероятности нормированной весовой суммы при отсутствии и наличии сигнала Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов 0, u –3 –2 –1 1 2 –0, – Рис. 8.8. Закон изменения интеграла вероятности Рл Рл Рл 0, Рл Рл Рл Рл 0 q0 q Рис. 8.9. Кривые условных вероятностей правильного обнаружения Имея в виду условие наличия сигнала, заменим интеграл суммой ин тегралов:

0н 0н q 2 /2 2 /2 e d = e d+ e /2d.

q При отсутствии сигнала положим в приведенном соотношении q = 0.

Замечая, что (–) / 2 = –1/2, находим условные вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги:

0н Р0 = pсп (н )dн = 0,5 + 0,5(q 0н ), (8.36) Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники 0н Рл = pп (н )d н = 0,5 0,5 (0н ). (8.37) Кривые условных вероятностей правильного обнаружения приведе ны на рис. 8.9. Каждая из кривых относится к фиксированному уровню по рога 0н, а значит, к фиксированному уровню условной вероятности лож ной тревоги Рл. Величина порогового уровня 0н, показанная на рис. 8.6, устанавливается в соответствии с выражением (8.37) по заданному значе нию Рл = Рл0. Величина порогового уровня 0 = q0н (Рл), приведенная на схеме рис. 8.5, зависит, как уже отмечалось, и от Рл0, и от q.

8.7. Обнаружение непрерывного сигнала с известными параметрами на фоне гауссовской коррелированной помехи 8.7.1. Переход от дискретизированных реализаций к непрерывным Распространим алгоритм оптимального обнаружения дискретизиро ванных сигналов на непрерывные сигналы. Для этого перейдем от одинар ной нумерации элементов yi принимаемой выборки к двойной ylj, относя нижний индекс к номеру канала обработки (антенного канала), а верхний – к номеру элемента в данном канале. Новая нумерация поясняется рис. 8.10.

1 yi = ylj ------ j t L t ------ yk = y L t ---- 0 t M t Рис. 8.10. Принцип перехода от дискретного к непрерывному сигналу Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов Одинарные суммы с m = M L, слагаемые в выражениях (8.31) и (8.33), перейдут при этом в двойные с L и M, слагаемые в каждой сумме:

LM LM = q = xlj rjl.

ylj rjl, (8.38) l =1 j =1 l =1 j = Сомножители ylj и xlj сводятся к значениям функций yj (t) и xj (t) в дискретные моменты времени t = t1 (l = 1, 2, …, L). Элементы весового вектора rjl, зависящие от КМП, требуют специального обсуждения.

Наряду с другими своими составляющими реальная помеха включает обычно шум с равномерным распределением спектральной плотности мощности N0, Вт/Гц. По аналогии с белым светом его называют белым шумом. Равномерность распределения спектральной плотности мощности обеспечивается для основной модели белого шума (модели первого вида) во всем диапазоне частот 0 f. При дискретизации Котельникова по лоса частот ограничивается пределами 0 f fmax, а интервал t между дискретами составляет t = 1/2 fmax. Дисперсия дискретизированного на пряжения суммарной помехи на единичном сопротивлении с учетом со ставляющих небелого шума определяется выражением 2 = нб + N0 fmax = нб + N0 /2 t.

2 (8.39) Не увязанные с интервалом дискретизации t составляющие небелого шума учтены в формуле (8.39) отдельно. При вычислении весовых коэффи циентов rjl они нормируются пропорционально 1 / 2. В процессе предель ного перехода t 0 они уменьшаются примерно пропорционально t, а значит, имеют нулевые предельные значения. Пределы же отношений rjl / t при t 0 оказываются конечными:

lim rjl / t = rj (t). (8.40) t Определяемые соотношением (8.40) функции rj (t) (j = 1, 2 … М) принято называть весовыми функциями каналов. Заменяя в выражении (8.38) значение rjl на эквивалентное ему rj (tl) t, после предельного пе рехода получим выражения для весового интеграла и параметра обнару жения:

M y j (t)rj (t)dt = y T = (t )r (t )dt, (8.41) j= Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники M x j (t)rj (t)dt = x 2 T q= (t )r (t )dt. (8.42) j= В приведенных выражениях y(t) = ||yi (t)|| – вектор-столбец функций, описывающих принимаемые каналами непрерывные колебания;

x(t) = ||xi (t)|| – вектор-столбец функций, описывающих ожидаемый сигнал;

r(t) = ||ri (t)|| – вектор-столбец весовых функций (весовой вектор). Весовые функции учиты вают возможное непостоянство оптимальных весов принимаемых колебаний двоякого рода: в различные моменты времени и для различных каналов. Чис ло слагаемых в суммах (8.41), (8.42) соответствует числу каналов М.

8.7.2. Интегрально-матричное уравнение весового вектора Оптимальный весовой вектор r =1x дискретизированной выборки y является решением матричного уравнения r = x. (8.43) Каждая его скалярная составляющая ri является решением системы ска лярных уравнений m ik rk = xi, (i = 1, 2,..., m). (8.44) k = Введя в соотношение (8.44) двойную нумерацию, с учетом последующего перехода к пределу, заменим xi на xlj = x j (tl ), rk на r = r (t ) t. (8.45) Корреляционный момент ik i- и k-го элементов дискретной выборки помехи заменим, в свою очередь, на равное ему значение взаимной корре ляционной функции j (tl, t) канальных напряжений j-го канала в момент времени tl и -го канала в момент времени t:

ik = M п [ y j (tl ) y (t )] = j (tl, t ). (8.46) Одинарную сумму (8.44) по k от 1 до m = LM заменим, наконец, двойной по от 1 до М и по от 1 до L. Подставив выражения (8.45) и (8.46) в (8.44), получим LM j (tl,t )r (t )t = xj (tl ).

=1 = Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов Обозначая tl = t, t = s и переходя к пределу s = t 0, получаем систему j = 1, 2 … М скалярных интегральных уравнений M j (t, s)r (s)ds = x j (t ). (8.47) = Для упрощения записи этой системы введем матрицу взаимных кор реляционных функций канальных помеховых напряжений (t, s ) = j (t, s ). (8.48) Ее произведение (t, s) r (s) на вектор-столбец r(s) = ||r (s)|| также является вектор-столбцом, j-й элемент которого сводится к подынтегральному вы ражению формулы (8.47). Система интегральных уравнений (8.47) сводит ся к одному интегрально-матричному уравнению (t, s)r (s)ds = x(t). (8.49) Левая и правая части уравнения (8.49) определяют вектор-столбцы одина ковой размерности М. Это уравнение разбивается по строкам, каждая из которых соответствует своему скалярному уравнению (8.47).

8.7.3. Основные результаты теории многоканального обнаружения непрерывных сигналов и примеры ее использования Для определения весового вектора r(s) достаточно решить инте грально-матричное уравнение (8.49). Ядром этого уравнения является мат рица взаимных корреляционных функций помехи (t, s). Правая часть уравнения соответствует ожидаемому сигналу x(t). С помощью вектора r (s) можно: а) синтезировать согласно выражению (8.41) схему обработки;

б) определять согласно выражению (8.42) параметр обнаружения q2.

От вектора r(s) можно перейти к вектору rн(s) = r(s) / q, что позволя ет синтезировать структурную схему обнаружителя с заданной условной вероятностью ложной тревоги Рл. Пороговый уровень обнаружителя 0н определяется согласно (8.37) и устанавливается в ПУ. Структурные схемы обнаружителей представлены на рис. 8.11. Условная вероятность правиль ного обнаружения определяется согласно выражению (8.36) или рис. 8.9.

Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники н y(t) A = (1, 0) y(t) A = (1, 0) ПУ ПУ 0н rн(s) r (t) а б Рис. 8.11. Структурные схемы многоканальных обнаружителей:

а – с ненормированной весовой суммой;

б – с нормированной весовой суммой Основные трудности синтеза и анализа показателей качества рассмот ренных обнаружителей связаны с необходимостью решения интегрально матричного уравнения (8.49) или системы интегральных уравнений (8.47).

Эти трудности окупаются общностью полученных результатов, справедли вых при одноканальном и многоканальном обнаружении при стационарной помехе в виде белого и небелого шума при нестационарной помехе. Хотя возможности простого решения системы (8.47) ограничены, они имеются для практически наиболее важных случаев. Поясним это на примерах.

Пример 1. При одноканальном приеме М = 1 помеха представляет собой стационарный шумовой процесс с постоянной спектральной плотно стью мощности N0 на единичном сопротивлении в неограниченной полосе частот (белый шум). По теореме Хинчина корреляционная функция шума с точностью до множителя сводится к дельта-функции N (t, s ) = N ( f )cos 2f (t s )df = (t s ).

Подставив полученное выражение в формулу (8.49), получим при М = единственное интегральное уравнение с дельта-образным ядром:

N (t s)r (s)ds = x(t ).

В силу фильтрующего свойства дельта-функции найдем r (t ) = 2 x(t ) / N 0. (8.50) Оптимальная обработка сводится к вычислению и сравнению с порогом нормированного (рис. 8.12, а) или ненормированного (рис. 8.12, б) весово го интеграла н = / q, = 2z / N0, y(t ) x(t )dt z= где (8.51) Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов – корреляционный интеграл, который также может сравниваться со своим порогом z0.

По принятому колебанию y (t) на схеме рис. 8.12 производится вы числение корреляционного интеграла z. Колебание y (t) умножается с этой целью на опорный сигнал x (t), точно соответствующий по форме и пара метрам (в рассматриваемом случае – даже по начальной фазе) ожидаемому сигналу. Произведение y (t) x (t) подается на интегратор, выходное напря жение которого z сравнивается с порогом z0. Решение о наличии или отсут ствии сигнала принимается по превышению или непревышению порога.

н A = (1, 0) y (t) z A = (1, 0) y (t) ПУ ПУ 0н (Рл) x (t) z0 2Э/ N0 x(t ) а б Рис. 8.12. Структурные схемы одноканальных обнаружителей: а – с ненормированным весовым интегралом, б – с нормированным весовым интегралом x (t) x (t) t t y (t) = n (t) + x (t) y (t) = n (t) t t y (t) x (t) = n (t) x (t) + x2 (t) y (t) x (t) = n (t) x (t) t t t t z = zп + x 2 (t )dt z = zп = n(t ) x(t )dt Э z0 z и t t и а б Рис. 8.13. Принцип корреляционной обработки сигналов:

а – при отсутствии сигнала;

б – при наличии сигнала Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники Физический смысл корреляционной обработки в схеме, приведенной на рис. 8.12, а, поясняется рис. 8.13. Показано ожидаемое колебание x (t).

Представлены принимаемые колебания: y (t) = n (t) – при отсутствии сигнала и y (t) = n (t) + x (t) – при его наличии. Для обоих случаев показаны произве дения функций y (t), x (t) и результаты их интегрирования. Полоса частот по мехи считается существенно бльшей полосы частот сигнала, что согласуется с исходными предположениями при выводе формул (8.50), (8.51).

Произведение x (t) y (t) = x (t) n (t) в отсутствие сигнала сводится к шумовым колебаниям помехи n (t), промодулированным опорным коле банием x (t) (рис. 8.13, а). При появлении сигнала, наряду с шумовой со ставляющей x (t) n (t), образуется неотрицательная сигнальная составля ющая x2 (t), которая подчеркивается при интегрировании по отношению к знакопеременной шумовой. Корреляционная обработка выявляет таким образом сходство (корреляцию) принимаемых колебаний с ожидаемыми.

Параметр обнаружения q2 сигнала на фоне белого шума согласно (8.42) и (8.50) равен отношению удвоенной энергии сигнала к спектраль ной плотности мощности шума:

x (8.52) Э= q= (t )dt.

Э, N0 Условная вероятность ложной тревоги фиксируется при произволь ной спектральной плотности мощности шума и энергии сигнала, если опорным является напряжение 2x (t) / qN0, не зависящее от амплитуды сиг нала и обратно пропорциональное N 0. Для сравнения с порогом в этом случае вырабатывается нормированный весовой интеграл н (рис. 8.12, б).

Пример 2. На входы двух каналов воздействуют взаимно коррелиро ванные стационарные помеховые колебания типа белого шума со спек тральными плотностями мощности N01 и N02. Каналы приема с коррелиро ванными помехами встречаются: а) при использовании различных антенных элементов, принимающих колебания от общих ИАП;

б) при использовании незадержанных и задержанных на период посылки мешающих колебаний (сигналов от ПП) в импульсном радиолокаторе с СДЦ. Для рассматривае мых случаев КМП имеет вид:

N01 N01N (t, s) =(t s) / 2, =.

N01N02 N Подставляя ее выражение в интегральное уравнение (8.49) и решая его от носительно весового вектора r (t ), получаем r (t ) = 21 x (t ), где Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов 1 1/ N01 / N01N =, 1 2 / N01N02 1/ N так что 2 x1 (t ) / N 01 x2 (t ) / N 01 N r (t ) =.

1 2 x2 (t ) / N 02 x1 (t ) / N 01 N Весовая сумма (8.41) примет вид {[ x1н (t ) x2н (t )] y1н (t ) + [ x2н (t ) x1н (t )] y2н (t )} dt = (8.53) 1 или {[ y1н (t ) y2н (t )] x1н (t ) + [ y2н (t ) y1н (t )] x2н (t )} dt.

= (8.54).

1 В выражения (8.53)–(8.54) вошли нормированные по уровням помех в ка налах принимаемые и ожидаемые напряжения: y1н (t) = y1 (t) / N 01, y2н (t) = y2 (t) / N 02, x1н (t) = x1 (t) / N 01, x2н (t) = x2 (t) / N 02.

Выражение параметра обнаружения (8.42) примет вид 2 1н x 2 (t ) + x2н (t ) 2x1н (t ) x2н (t ) dt.

2 q= (8.55) 1 – y2н (t) 1/ N y1н (t) y1 (t) – x1н (t) – y2 (t) y2н (t) 1 x2н (t) – y1н (t) 1/ N 02 0 ПУ A = (1, 0) Рис. 8.14. Схема оптимального обнаружителя с компенсацией коррелированных помех Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники Как видно из выражений (8.53)–(8.55) такая обработка предусматри вает операции межканального накопления полезного сигнала, межканаль ной компенсации коррелированной части помех, межканального нормиро вания. Интегрирование соответствует непрерывному внутриканальному накоплению сигнала во времени, оптимизирующему обработку на фоне дельта-коррелированной помехи. Пример структурной схемы оптимально го обнаружителя с предварительной межканальной компенсацией (8.54) коррелированной помехи приведен на рис. 8.14.

8.8. Методика комплексной формы представления сигналов и помех в задачах многоканального обнаружения 8.8.1. Комплексная запись колебаний сигнала и помехи. Комплексная корреляционная матрица помех Наряду с вектор-столбцом y(t) = ||yi (t)|| мгновенных значений колеба ний на входе каналов приема введем вектор-столбец Y(t) = ||Yi (t)|| ком плексных амплитуд этих колебаний. Каждое мгновенное значение выража ется через соответствующую комплексную амплитуду yi (t) = Re Yi ( t ) e.

j2 f0t Вектор-столбец мгновенных значений выражается поэтому через вектор столбец их комплексных амплитуд:

y ( t ) = Re Yi ( t ) e j 2 f0 t. (8.56) Введем взаимные корреляционные функции комплексных амплитуд помеховых напряжений в каналах приема:

Фik (t, s) = Mп [Yi (t )Yk / 2], (8.57) индекс «п» при знаке математического ожидания формулы (8.57) соответ ствует наличию одной помехи Y(t) = N (t). Совокупность функций (8.57) образует комплексную матрицу помеховых взаимных корреляционных функций (комплексную КМП) Ф(t, s) = Фik (t, s), (8.58) которая иначе определяется соотношением Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов Ф(t, s) = Mп[Y (t )Y T (s)/ 2]=Y (t )Y T (s)/ 2. (8.59) Здесь Y (t) = Ni (t) = N(t) – вектор-столбец комплексных амплитуд поме T ховых напряжений;

YT(s) = Nk (s) – сопряженная и транспонированная по отношению к нему вектор-строка. Согласно правилу перемножения матриц (вектор-столбца и вектор-строки, в частности) определения вза имных КМП (8.57)–(8.58) и (8.59) равносильны. Вещественная КМП (t, s) = ||ik (t, s)|| однозначно выражается через комплексную Ф(t, s), кото рая при s = t оказывается эрмитовой: Фki (t, t ) = Ф* (t, t ), ФT (t, t ) = Ф (t, t ).

ik При s t справедлива лишь обобщенная эрмитовость комплексной КМП. Матрица перейдет в комплексно-сопряженную, если наряду с вза имной заменой номеров строк и столбцов взаимно заменяются аргументы функций:

Ф ki (t, s ) = Ф * ( s, t ), Ф T (t, s ) = Ф ( s, t ). (8.60) ik 8.8.2. Комплексная запись основных соотношений теории обнаружения непрерывных сигналов с известными параметрами Комплексная запись основных соотношений (8.41), (8.42), (8.49) не посредственно следует из вещественной. Весовая интегральная сумма (8.41) при переходе к комплексной скалярной записи, согласно известному из математики соотношению t2 t 1 a(t )b(t )dt 2 Re A(t ) B(t )dt, (8.61) t t 1 где а (t) и b (t) – гармонические колебания со своими комплексными ам плитудами А (t) и B (t) соответственно, принимает вид 1M = Re Yi (t)Ri*(t)dt =Re Z. (8.62) 2 i= Здесь Z – комплексный весовой интеграл, Z = Yi (t )R (t ) d t, (8.63) а R(t) = ||Ri (t)|| – комплексный весовой вектор.

Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники Интегрально-матричное уравнение комплексного весового вектора R(t) следует из уравнения (8.49) вещественного весового вектора r (t). Для его вывода учтем, что взаимная корреляционная функция (t, s) колебаний а (t) и b (s) определяется взаимной корреляционной функцией их комплекс ных амплитуд: M [А (t) B*(s) / 2] = Ф (t, s) и сводится к реальной части от ее j 2 f0 (ts) произведения на комплексный высокочастотный множитель e :

j 2 f0 ( t s) ( t, s ) = Re ( t, s ) e. (8.64) Заменяя в формуле (8.64) комплексные числа под знаком реальной части на сопряженные, получаем { } ( t, s) =Re ( t, s) e j2 f0t e j2 f0 s (8.65) Считая выражение в квадратных скобках (8.65) комплексной амплитудой при e j 2 f0 s и используя (8.61) и (8.65), преобразуем левую часть уравнения (8.49):

(t, s) r (s)ds = 2 Re{[ Ф(t, s)R(s) ds] e 0 }.

j 2 f t (8.66) j 2 f t Так как правая часть выражения (8.49) x(t ) = Re[ X (t )e 0 ] совпада ет с (8.66) при произвольных значениях комплексных множителей e j2 f0t, приходим к искомому интегрально-матричному уравнению Ф(t, s)R(s) = X (t ). (8.67) Выражение параметра обнаружения q = Re X Т (t )R (t )dt (8.68) соответствует замене Y(t) на X(t) в правой части равенства (8.63).

Знак реальной части (8.68) можно опустить, поскольку интеграл X (t )R (t ) dt = H T (8.69) выражается вещественным числом H = H*.

Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов ReZн ReZ Y (t ) A = (1,0) Y (t ) A = (1,0) ПУ ПУ 0н = 0н (Рл) 0 Rн (t) R (t) а б Рис. 8.15. Схема обработки комплексных амплитуд при обнаружении сигнала с известными параметрами: а – с ненормированным весовым интегралом, б – с нормированным весовым интегралом Алгоритмическая структурная схема обработки (8.62) комплексных амплитуд при обнаружении сигнала с известными параметрами приведена на рис. 8.15, а. На вход порогового устройства поступает значение = ReZ.

Этим учитывается принятая пока неслучайность начальной фазы ожидае мых колебаний как признак полезного сигнала (рис. 8.13, б). Операция ReZ (фазовое детектирование при перемножении на разных несущих) заменит ся при этом операцией амплитудного детектирования |Z|.

Алгоритмическая операция вычисления ReZ на рис. 8.15 опущена, поскольку она связана лишь с переходом от вещественных величин к ком плексным амплитудам и при аналоговой обработке практически не исполь зуется. Пропуск операций отмечен штриховой линией.

На рис. 8.15, б предусмотрен переход к нормированному весовому вектору Rн(t) = R(t)/ q и к порогу 0н, определяемому условной вероятно стью ложной тревоги Рл.

Пример. На антенную решетку поступают колебания ожидаемого сигнала с комплексной амплитудой X (t,) = X (t)X(), (8.70) являющейся произведением скалярной функции времени t и независящего от времени вектор-столбца X (). Произведение полосы частот сигнала Пс = П на наибольшую возможную разность временных запаздываний (со ответствующую крайним точкам раскрыва) считается много меньше еди ницы. Поэтому запаздывание комплексных амплитуд сигнала в пределах раскрыва антенны не учитывается. Одна и та же скалярная функция X (t) описывает закон модуляции ожидаемых колебаний во всех элементах ре шетки. Произведение же несущей частоты f0 на разность запаздываний может быть достаточно велико. Колебания полезного сигнала в различных элементах решетки отличаются сдвигами фаз, так что X () = e ji. (8.71) Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники Входящий в формулу (8.71) вектор характеризует сдвиги фаз i (i = 1, 2, …, М), зависящие от угловых координат источника сигнала. Комплекс ная КМП определяется как матричный аналог выражения для комплексной корреляционной функции стационарной помехи Ф (t, s) = N0 (t – s). Она соответствует помехе: 1) некоррелированной (дельта-коррелированной) по времени;

2) некоррелированной по элементам раскрыва;

3) создающей в ка налах приема одинаковую спектральную плотность мощности N0. Тогда Ф(t, s) = N0 I (t s). (8.72) Найдем алгоритм, структурную схему оптимального обнаружителя и па раметр обнаружения q2. Определим вначале комплексный весовой вектор R(t) из интегрально-матричного уравнения (8.67), используя (8.70) и (8.72):

N (t s)R(s)ds = X (t ) X ().

В силу фильтрующего свойства дельта-функции имеем R(t ) = 2 X (t ) X ()/ N0. (8.73) Подставляя выражение (8.73) в (8.62), находим весовой интеграл = Re Y (t )X (t )dt / N0, (8.74) в котором M Y (t ) = Y T (t ) X ( ) = Yi (t ) X i* (). (8.75) i = Выражение (8.74) характеризует временню (внутриприемную) обра ботку, которой предшествует пространственная (антенная) обработка (8.75), сводящаяся к весовому суммированию колебаний, принятых эле * ментами антенной решетки. Веса Xi () компенсируют взаимные сдвиги фаз принятых составляющих X (t)Xi () полезного сигнала (8.70). Алгоритм антенной обработки в силу (8.71), (8.75) M Y (t ) = Yi (t )e ji (8.76) i = обеспечивает ориентацию характеристики направленности антенны в на правлении на удаленный источник принимаемого сигнала. Он работоспо Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов собен даже в ближней зоне антенны, когда понятие ДН теряет смысл. Па раметр обнаружения q2 определяется из выражения (8.68). С учетом соот ношения (8.71), (8.73) имеем 2 T q = X ( ) X ( ) X (t ) dt = 2 M Э 0 / N 0. (8.77) N0 M Здесь M = X () X () = e i e j j j T – число элементов антенной решетки;

i= Э0 = X (t ) d t / 2 – энергия сигнала, принимаемого одним ее элементом.

Вариант структурной схемы оптимального обнаружителя представлен на рис. 8.16. Единая пространственно-временная обработка разделилась на пространственную и временную, вследствие чего упростились как методика расчета, так и вытекающая из нее структурная схема обнаружителя.

Разделение обработки возможно в случае: а) высокой идентичности фазочастотных характеристик всех элементарных приемных каналов ан тенной решетки, б) при сравнительно ограниченных линейных размерах решетки, в) при относительно узкополосном сигнале, вследствие чего за паздыванием этого сигнала по огибающей от элемента к элементу решетки можно пренебречь, а фронт волны на входах элементов ФАР можно счи тать плоским.

Y Y Y (t ) y (t) A = (1, 0) ReZ Yi ПУ Yj Z x*(t) Х ( ) YM Внутриприемная Антенная (времення) (пространственная) обработка обработка Рис. 8.16. Структурная схема многоканального обнаружителя с разделяющейся обработкой Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники A w (t) |Z ()| y (t) АД СФ ПУ Z Рис. 8.17. Структурная схема фильтрового двухальтернативного обнаружителя Исходные соотношения (8.62), (8.67), (8.68) справедливы как при разделяющейся, так и при неразделяющейся обработке. К полученным ре зультатам можно было прийти, не вводя комплексных амплитуд высоко частотных колебаний. Однако их введение облегчает расчет, исключая преобразование несущественных высокочастотных множителей cos 2 f0 t и sin 2 f0 t.

Итак, если в качестве коррелятора внутриприемной обработки рис. 8.16 используется СФ с импульсной характеристикой (t0 – s), то го ворят о фильтровой обработке сигнала в соответствии со схемой, пред (t s ) y ( s ) ds.

ставленной на рис. 8.17, где w (t ) = 8.9. Методика решения задач оптимального измерения параметров радиолокационных сигналов Измерение (оценивание) параметров сигнала, а значит, пространст венных координат и других параметров движения цели, является важней шей составной частью процесса получения РЛИ. Измерению подлежит в общем случае векторный параметр Т = 1 2 3... n, к числу состав ляющих которого относятся: время запаздывания сигнала tз, пропорцио нальное дальности до цели в момент облучения;

характеристики направ ления прихода отраженного сигнала (азимут и угол места цели);

ве личины, пропорциональные производным координат цели (доплеровское смещение частоты сигнала FД = 2vr /, пропорциональное радиальной скорости цели vr) и др.

Хотя обнаружение и измерение представляют собой единый физиче ский процесс, тем не менее, в теории традиционной РЛ системотехники (в первую очередь в дидактических целях) измерение рассматривается не зависимо от обнаружения. Решение о наличии сигнала считается уже дос товерно принятым и задача ограничивается возможно более точным оце Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов ниванием параметра по принятой реализации сигнала y. Оценку назы вают точечной, если для каждой из перечисленных выше скалярных со ставляющих параметра i ставится в соответствие одно оценочное значе ние. Оценку называют интервальной, если для каждой из перечисленных выше скалярных составляющих параметра i указывается область про странства параметров (отрезок прямой), вероятность попадания истинного значения в которую остается в допустимых пределах.

Наличие помех и флюктуаций отраженного сигнала приводит к от личию точечной оценки от истинного значения параметра. Степень эффективности проведенного измерения при заданных значениях парамет ра или оценки определяют условные плотности вероятности p( ) или p ( ) погрешностей измерения =, условные математические ожидания погрешностей M( ) или M( ), а также соответствующие корреляционные (ковариационные) матрицы погрешностей (дисперсии или среднеквадратические значения погрешностей в одномерном случае).


В качестве обобщенного критерия эффективности точечного оценивания вводят средний риск погрешности измерения r = M(r ) = r (, ) p (, ) d, d. (8.78) (, ) Здесь p (, ) и p(, )d, d – соответственно плотность и дифференци ал вероятности произвольной ситуации (, ) ;

r (, ) – функция стоимо сти, характеризующая плату за ошибку в ситуации (, ).

Средний риск (8.78) вводится по аналогии со средним риском по грешностей обнаружения, но с учетом непрерывного распределения ;

суммирование поэтому заменяется интегрированием. Оптимизация выбора оценки (как и решающей функции A( y ) в теории обнаружения) сводится к минимизации среднего риска. Минимизация связана с сопоставлением большого числа ситуаций. Чтобы уменьшить это число, сопоставление проводят при одном из двух альтернативных упрощающих предположе ний: а) оцениваемая величина в статистическом смысле неслучайная, но неизвестная;

б) эта величина случайная с плотностью вероятности p() возможных ее значений.

Первый подход соответствует классической (небайесовской), второй – байесовской теории оценивания. Результаты оценивания по этим теориям различаются только при малом объеме исходных данных. Классический подход исключает выбор аппроксимации «доопытного» распределения Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники p(), абстрагируясь от случайного (в познавательном смысле) характера неизвестного значения, а также синтеза оценок, в том числе и по крите рию минимума среднего риска. Вводят вместо этого эвристические крите рии построения оценок, например, критерий несмещенности M ( | ) = (устранения систематической ошибки, зачастую без минимизации флюк туационной). Байесовский же подход допускает некоторую гипотетичность в выборе доопытного распределения p(). Зато оказывается возможным однообразный синтез оценок для выбранного распределения p() и функ ции стоимости r (, ). В то же время гипотетичность доопытного распреде ления относительна. Априорные данные могут следовать из сложившейся обстановки, данных предшествующих измерений, данных других РЛС. Кро ме того, принятие гипотез об условиях работы проектируемой системы, как отмечалось ранее, является неотъемлемым элементом системотехнического метода. Поэтому проблема априорной неопределенности относительно до опытного распределения p() не может служить препятствием для использо вания байесовского оценивания в инженерной практике.

Различают измерение неизменяющихся и изменяющихся во времени параметров. Измерение неизменяющихся во времени параметров можно провести за один этап, его называют неследящим. Следящим называют многоэтапное или непрерывное измерение изменяющегося во времени па раметра, когда результаты предыдущего этапа измерения используются как априорные для последующего этапа.

В процессе измерения принятую реализацию y и измеряемый пара метр полагают взаимосвязанными многомерными случайными величи нами. Далее вводят их совместную плотность вероятности p(, y) и в соот ветствии с формулой умножения вероятностей получают следующее вы ражение:

p (, y ) = p ( ) p ( y ) = p ( y ) p ( y ). (8.79) Отсюда следует p ( y ) = k0 p ( ) p ( y ), (8.80) где k0 = 1 / p ( y ) – коэффициент, не зависящий от. Из условия нормировки p ( y )d = можно получить k0 = 1 p ( ) p ( y )d.

Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов p ( | y) p () p (y | ) y опт р Рис. 8.18. Зависимости p( y), p() и p( y ) от параметра Выражение (8.80) связывает: а) послеопытную плотность вероятно сти параметра p ( y ) ;

б) доопытную его плотность вероятности p () ;

в) плотность вероятности p ( y ) реализации y при фиксированном значе нии параметра (функцию правдоподобия), которая после приема сигнала несет новую информацию об. Представленная применительно к скалярному значению параметра кривая послеопытной плотности веро ятности p ( y ) (рис. 8.18) обычно значительно же кривых доопытной плотности вероятности и функции правдоподобия. Здесь 0 – прогнозируе мая оценка;

y – оценка текущего измерения;

р – результирующая оценка.

Операции обработки принимаемой реализации y при измерениях сходны с соответствующими операциями обнаружения. Для выявления этого сходства введем условное отношение правдоподобия l ( y ) = pсп ( y ) / pп ( y ), (8.81) т. е. отношение плотности вероятности реализации y при наличии полез ного сигнала с параметром и помехи к плотности вероятности той же реализации при наличии одной помехи. Выражая из формулы (8.81) pсп ( y ) = p ( y ) через l ( y ), из соотношения (8.80) получаем p ( y ) = kp ()l ( y ), (8.82) где не зависящий от нормировочный коэффициент k = pп ( y) / p( y) имеет новое значение k = 1/ p () l ( y ) d. Логарифмируя соотношение (8.82), приходим к выражению Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники ln p( y) = ln p() + ln l ( y ) + const. (8.83) Из выражения (8.83) следует, что для нахождения послеопытной плотности вероятности, а значит, получения оценок применимы те же операции вычисления логарифма отношения правдоподобия, которые ис пользуются в РЛ обнаружителях. Поэтому РЛ измеритель может иметь общие с обнаружителем элементы оптимальной обработки (корреляцион ные, фильтровые, корреляционно-фильтровые). Отношение (8.81), характе ризуя правдоподобность наличия в составе y полезного сигнала с фиксиро ванным значением, позволяет сопоставлять правдоподобность гипотез о различных. Слагаемое ln p() в формуле (8.83) отдает предпочтение определенным значениям, если к этому имеются достаточные априорные данные.

Рассмотрим скалярный параметр. При равномерном априорном распределении р () оптимальным байесовским методом нахождения оце нок при простой функции потерь является метод максимального правдо подобия. Этот же метод считается основным, когда априорное распределе ние не задано. В этом случае говорят о максимально правдоподобной оценке неизвестного параметра. Она максимизирует функцию правдопо добия при фиксированной реализации выборки y1, y2, …, yn. Качество мак симально правдоподобной оценки принято определять следующими ос новными характеристиками.

1. Несмещенность. Оценка ( y ) называется несмещенной оценкой параметра, если математическое ожидание этой оценки равно истинно { } му значению оцениваемого параметра, т. е. M ( y ) = и.

2. Состоятельность. Оценка ( y ) параметра называется со стоятельной, если она сходится по вероятности Р к истинному значе нию оцениваемого параметра при неограниченном увеличении числа опытов n, т. е. при любом 0 выполняется условие { } lim P ( y1, y 2,...., y n ) и = 0. Можно показать, что достаточным n условием состоятельности несмещенной оценки является уменьшение дисперсии погрешности до нуля при n.

3. Эффективность. Оценка ( y ) называется эффективной, если средний квадрат погрешности, вычисленный для ( y ), не больше, чем {( ) } М {( ) }.

2 для любой другой оценки ( y ) : M и и э Для несмещенной оценки СКП равна дисперсии. Поэтому эффектив ная несмещенная оценка определяется из условия минимума дисперсии Глава 8. Основы теории многоканального обнаружения РЛ сигналов {( ) }.

погрешности 2 = M В статистической теории оценок ( y) и существует неравенство (неравенство Рао – Крамера), с помощью которого по заданной функции (отношению) правдоподобия можно определить нижнюю границу дисперсии несмещенных оценок. Это позволяет на осно ве сравнения действительного значения дисперсии погрешности с мини мальным дать характеристику качества той или иной оценки. При дp ( y ) 0 неравенство Рао – Крамера имеет следующий вид:

д {( )} д 2 = M ( y) и М 1 p( y ).

д Итак, видим, что представленная выше методика оценки вектора ин формативных параметров не учитывает влияние внешних помех и не информативных параметров принимаемого сигнала. В наибольшей степени ограниченность такой методики проявляется на этапе измерения парамет ров объектов локации после адаптации пространственных, поляризацион ных и времячастотных характеристик измерительного комплекса к соот ветствующим видам помех, которая сопровождается существенными сис тематическими и флюктуационными погрешностями измерения.

Далее, в главе 9, исследуем фундаментальную теоретическую схему РЛ системотехники, из которой методом научной дедукции выведем ряд частных теоретических, а затем и частных эмпирических схем измеритель ных систем РЛС и РЛК. Затем рассмотрим процесс объединения процедур адаптивного обнаружения и измерения в единую обобщенную процедуру «адаптивного обнаружения – измерения», а также процесс разработки ме тодологии синтеза алгоритмов, обеспечивающих минимизацию как систе матической, так и флюктуационной погрешностей измерения параметров сигналов в условиях адаптации измерительного комплекса к внешним кор релированным помехам.

Вопросы для самостоятельной работы и контроля знаний 1. Чем объяснить, что в современной РЛ системотехнике возникла острая необходимость в разработке обобщенного подхода к задачам стати стического синтеза РЛ систем?

2. Какова методика постановки задачи оптимизации многоканально го обнаружения РЛ сигналов?

Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники 3. Каковы основные показатели эффективности и критерии опти мальности двухальтернативного обнаружения РЛ сигналов?

4. В чем состоит сущность процедуры оптимизации статистических решений при двухальтернативном обнаружении?

5. Как доказать, что многоканальные обнаружители, представленные на рис. 8.4, 8.5, обеспечивают когерентную компенсации активных помех и когерентное накопление сигнала по элементам ФАР?

6. Каковы параметр и показатели качества двухальтернативного об наружения дискретизированной выборки сигнала?

7. В чем состоят основные закономерности обнаружения непрерыв ного сигнала с известными параметрами на фоне гауссовской коррелиро ванной помехи?


8. Каковы основные результаты теории многоканального обнаруже ния непрерывных сигналов и возможные примеры ее использования?

9. В чем заключается сущность корреляционной обработки, каковы ее основные отличия от фильтровой обработки сигналов?

10. Какова методика комплексной формы представления сигналов и помех в задачах многоканального обнаружения?

11. Каковы основные условия разделения обработки сигналов на пространственную и временную?

12. В чем заключается сущность общей методики оптимального из мерения параметров РЛ сигналов?

Глава 9. Обнаружение и измерение параметров РЛ сигналов … Глава 9. ОБНАРУЖЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ПОМЕХ 9.1. Постановка задачи адаптивного обнаружения и измерения.

Модели радиолокационных сигналов и помех Общие замечания.

Как было показано в предыдущих главах, в реальных условиях рабо ты радиолокатора прием и обработка радиолокационных сигналов осуще ствляется, как правило, на фоне внешних помех. При этом обработка сиг налов на фоне внутреннего некоррелированного шума является частным решением этой общей задачи. В целом задача приема и обработки сигна лов решается в два этапа: а) этап обнаружения выборки дискретизирован ного (рис. 8.4–8.6) или непрерывного (рис. 8.11–8.12) сигналов на фоне коррелированных помех и внутренних шумов приемного устройства;

б) этап измерения пространственных, поляризационных и частотно временных параметров сигнала (рис. 8.18).

Этап обнаружения сводится к двум основным процедурам: а) вычис лению весового (комплексного или корреляционного) интеграла, б) срав нению результата вычисления с порогом. Эта процедура заканчивается формированием оценки признака обнаружения цели A = 1. Символ «1»

означает обнаружение цели, а символ «0» – ее необнаружение. В этом слу чае говорят об оптимальной корреляционной обработке сигналов, где под признаком оптимальности помимо согласованной обработки понимается возможность компенсации коррелированных помех.

Если в качестве коррелятора используется СФ с импульсной харак теристикой v (t0 – s), то это свидетельствует о фильтровой обработке сиг нала (рис. 8.17). Если, наконец, обработка сигналов включает в себя после довательные или одновременные процессы корреляционной и фильтровой обработки в М скоростных (доплеровских) каналах (фильтрах) в каждом фиксированном кольце дальности Д, что имеет место в цифровых РЛС, то говорят о корреляционно-фильтровой обработке (параграф 6.4). Этап измерения, рассматриваемый независимо от этапа обнаружения, сводится к нахождению максимума весового (корреляционного) интеграла, который пропорционален послеопытной плотности вероятности p ( y ) (следящее Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники измерение) или функции правдоподобия p ( y ) при неследящем измере нии (рис. 8.18, 9.1). При дедуктивном подходе процессы обнаружения РЛ сигнала и измерения его параметров рассматриваются совместно, т. е. как единая процедура снятия априорной неопределённости сигнала относи тельно признака наличия или отсутствия цели, параметров внешних помех, а также некоторых неинформативных параметров самого сигнала.

Рассмотрим основные принципы этого методологического подхода более подробно.

Постановка задачи адаптивного обнаружения и измерения.

Модели РЛ сигналов и помех.

В теории радиолокации универсальным способом статистического описания априорной неопределенности является параметрическая модель, в которой, наряду с информативным векторным параметром, принима ют в расчет дополнительный векторный мешающий параметр, называе мый параметром обстановки. Этот параметр включает в себя неизвестные величины, учет которых в условиях выбранной модели позволил бы опре делить функцию правдоподобия. Конкретизируем в этой связи введенные ранее модели сигнала и помехи (8.1).

p ( y 1 ) Схема выбора y максимума p ( y 2 ) = i p ( y n ) 9.1. Схема оптимального измерителя Пусть на фиксированном интервале наблюдения t (t1, t2) на вход из мерительной системы поступают колебания y(t ), состоящие из аддитивной () смеси помехи и внутренних шумов n t, 1, и принимаемого сигнала ( ) x t,, 2, являющегося некоторой функцией времени и информативного параметра, включающего в том числе и признак обнаружения цели. Ме шающие параметры 1, 2 учитывают априорную неопределенность:

параметр 2 – априорную неопределенность относительно неинформатив Глава 9. Обнаружение и измерение параметров РЛ сигналов … ных параметров сигнала, параметр 1 – априорную неопределенность отно сительно параметров внешних помех52.

Применительно к байесовской трактовке полагаем параметры () и случайными с законами распределения p ( ) и p. Требуется опре делить оператор оптимальной системы, обеспечивающий получение наи лучшей (в смысле минимума среднего риска) оценки параметра в ус ловиях существенной априорной неопределенности относительно пара метра, и рассчитать показатели качества полученной оценки (величину систематической и флюктуационной погрешностей измерения).

При этом под существенной априорной неопределенностью оценки ин формативного параметра относительно параметра будем понимать ситуа ( ) цию, при которой оценка по функции правдоподобия p y |, зависит от параметра обстановки и которой в общем случае нельзя пренебречь.

Такая ситуация возникает при измерении информативных (угловых, поляризационных и времячастотных) параметров сигнала на фоне коррели рованных помех с неизвестными характеристиками. Так, при измерении уг ловых координат нешумящей цели на фоне АП (помех, коррелированных по пространству) первоначально возникает необходимость преодоления суще ственной априорной неопределенности относительно угловых положений и интенсивности источников активных помех. Эта неопределенность снима ется в процессе адаптации обнаружителя-измерителя к внешним помехам.

Однако в дальнейшем возникает новая априорная неопределенность, которая становится существенной в процессе формирования провала на ИП: от поло жения этого провала относительно максимума основного лепестка ДНА (т. е. от углового расстояния между нешумящей целью и ИП) оказывается за висимым отношение сигнал/(шум + помеха), т. е. угловая координата нешу мящей цели становится энергетическим параметром. В этих условиях, что бы измерить угловую координату нешумящей цели с минимально возможны ми систематической и флюктуационной погрешностями, необходимо снять априорную неопределенность относительно неизвестной энергии сигнала. По добная ситуация складывается и в случае измерения доплеровской частоты сигнала на фоне ПП (помех, коррелированных во времени), а также в ряде других случаев статистического синтеза РЛ систем, рассматриваемых ниже.

Таким образом, задача теории РЛ системотехники применительно к обнаружению и измерению параметров сигнала на фоне помех заключа ется в выявлении и описании закономерностей снятия существенной ап Более подробно эти вопросы рассмотрены в работе: Репин В.Г., Тартаковский Г.П.

Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных сис тем. М. : Сов. радио, 1977. 432 с.

Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники риорной неопределенности сигнала относительно параметров внешних помех и неинформативных параметров сигналов, на основе которых мо жет быть сформулирована последовательная или параллельная процедура (оптимальное решающее правило, системотехнический метод и т. д.) оцен ки собственно информативных параметров сигнала опт (рис. 9.2).

y1 (t) y(t ) Оптимальное опт y2 (t) решающее правило ym (t) Рис. 9.2. Алгоритм принятия решения оценки информативного параметра Следует ожидать, что такая процедура (системотехнический метод статистического синтеза РЛ измерительных систем) в общем случае будет адаптивной, а процессы адаптивного обнаружения сигнала и измерения его параметров сведутся к оценке параметров обстановки и использования этих параметров при оценке информативных параметров сигнала, т. е.

процессы обнаружения и измерения параметров сигналов на фоне помех сольются в единый процесс, который в дальнейшем будем называть адап тивным измерением (оцениванием).

9.2. Общие закономерности обнаружения и измерения параметров радиолокационных сигналов в условиях априорной неопределенности Для выяснения общих закономерностей обнаружения РЛ сигналов и измерения их параметров в условиях априорной неопределенности обра тимся к введенному в главе 8 соотношению послеопытной плотности ве роятности p ( y ) = k0 p ( ) p ( y ), (9.1) которое с учетом наличия существенной априорной неопределенности функции правдоподобия относительно параметров обстановки примет следующий вид:

( ) ( ) p, | y = k0 p ( ) p y |,. (9.2) Глава 9. Обнаружение и измерение параметров РЛ сигналов … Общая процедура оценки информативного параметра сигнала в этом случае существенно усложняется. Она сводится к усреднению совместной ( ) функции правдоподобия p y, по параметру :

p( y |, ) d = p( y | ) (9.3) и определению оценки из условия максимума результирующей функции правдоподобия p ( y ), т. е.

() p y = max p ( y ). (9.4) При этом возможны три случая. В первом удается провести интегри ( ) ( ) рование функции p, | y = kp y |, по параметрам обстановки и получить распределение p ( y ), как это имеет место при выводе доста точных статистик для моделей сигналов со случайной начальной фазой или со случайной начальной фазой и амплитудой. Здесь ( ) k = p y, d d – нормирующий коэффициент. Во втором случае ( ) интегрирование функции p, | y по параметрам обстановки провес ти не удается, однако априорная неопределенность является несущест венной и ею можно пренебречь.

Подобная ситуация имеет место, напри мер, в случае оценки угловой координаты нешумящей (прикрываемой) цели при действии источника помех в области дальних боковых лепест ков ДНА, когда оцениваемая координата носит слабовыраженный энерге тический характер. Третий, более типичный случай в условиях внешних помех (в условиях существенной априорной неопределенности): подоб ное интегрирование в явном виде провести не удается, а пренебречь ап риорной неопределенностью невозможно. В этом случае, полагая измере ния регулярными (отношение сигнал/(шум + остаток компенсации поме ( ) хи) q 2, 1 ) и проводя интегрирование с помощью асимптотического метода Лапласа, приходят к следующей системе уравнений:

( ) d 1 dB ln p y, Sp B = 0, (9.5) d d ( ) d ln p y, = 0, (9.6) d Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники решение которой является оптимальной оценкой информативного пара метра в условиях существенной априорной неопределенности относи тельно параметра. Здесь ( ), 2 ln p y, В = Вij, Bij = (9.7) i j Sp (шпур) – след матрицы, т. е. сумма ее диагональных элементов.

В тех случаях, когда функция правдоподобия может быть аппрокси мирована гауссовой поверхностью по всем параметрам и, матрица (9.7) в (9.5) не зависит от параметра и правило синтеза (9.5), (9.6) пере ходит в правило совместного оценивания параметров и по максимуму функции правдоподобия:

( ) ( ) p y, = max p y,, (9.8), а система (9.5), (9.6) принимает следующий вид:

( ) d ln p y, = 0, (9.9) d ( ) d ln p y, = 0. (9.10) d Алгоритм преодоления существенной априорной неопределенности (9.5), (9.6) или ему эквивалентный (9.8) будем называть неадаптивным, поскольку в результате решения системы, в результате подстановки оцен ки (9.6) в (9.5), приходим к алгоритму оценки параметра, инвариантному к мешающим параметрам, т. е. не содержащему мешающий параметр в явном виде. Оценку параметра обстановки, осуществляемую на ин тервале обработки сигнала, будем называть однократной. Очевидно, что погрешности измерения параметра, помимо известных факторов, опре деляются также и дисперсией оценки параметра.

В общем виде измерение параметров и разрешение априорной неопределенности относительно параметров происходит на интервале наблюдения, который ограничивается видом сигнала, интервалом его ко герентности, а также сложностью помеховой обстановки. Если интервал стационарности параметра превышает интервал измерения, имеется возможность накопления оценок параметра и снижения результирующей дисперсии погрешностей его измерения. В таких случаях использование Глава 9. Обнаружение и измерение параметров РЛ сигналов … сглаженной оценки в алгоритме измерения параметра может привести к повышению его точности. Оценку параметра обстановки, являющуюся результатом накопления его n предыдущих и текущей однократных оце нок, будем называть многократной. По мере накопления однократных оце нок параметра его многократная оценка асимптотически сходится со своим истинным значением. Алгоритм измерения информативного пара метра приближается в этом случае к алгоритму измерения с известным параметром обстановки, т. е. к алгоритму, дисперсия погрешностей изме рения которого не зависит от дисперсии погрешностей измерения пара метра обстановки. С учетом сказанного неадаптивный алгоритм (9.5), (9.6) оценки информативного параметра в условиях априорной неопре деленности относительно параметра обстановки примет следующий вид:

) ( ( ) p y, = max p y,, (9.11) =T () ) ( p y, = max p y,, (9.12) t +T ( y, t ) dt, T = (9.13) T t где T – интервал стационарности параметра обстановки.

На практике, в ряде случаев, имеется также возможность накопления оценок информативных параметров. При этом целесообразно в алго ритме (9.12) вместо однократной оценки информативного параметра ис пользовать многократную оценку, определяемую в соответствии с алго ритмом t +Т Т Т = ( y, t )dt, (9.14) t где T – интервал стационарности параметра.

В общем случае оценка параметров сигнала T и Т может осуще ствляться с учетом моделей их изменения.

Алгоритм (9.11)–(9.14) измерения информативных параметров в усло виях существенной априорной неопределенности относительно мешающих параметров будем называть адаптивным. Адаптация состоит в том, что по мере накопления однократных оценок параметра обстановки повышается точность оценки информативного параметра. Одновременно алгоритм Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники предусматривает возможность накопления, сглаживания и использования результирующей оценки информативного параметра Т при формирова нии однократных оценок параметра обстановки, что повышает точность оценки последнего и, в свою очередь, обеспечивает дальнейшее снижение систематической и флюктуационной погрешностей результирующей оцен ки Т, приближая эти показатели к условиям обнаружения и измерения параметров сигналов при отсутствии коррелированных помех.

Таким образом, задача снятия априорной неопределенности сигнала относительно параметров обстановки может решаться двумя способами:

1. С помощью неадаптивных алгоритмов или решающих правил (9.5), (9.6), оказывающихся в конечном счете инвариантными к параметру за счет решения системы (9.5), (9.6) относительно этого параметра. Та кой алгоритм по показателям качества измерения (систематической и флюктуационной погрешностей измерения) соответствует однократной оценке мешающего параметра.

2. С помощью адаптивного алгоритма (9.11)–(9.12), в котором в про цессе решения системы (9.5), (9.6) используется не однократная, а сглажен ная оценка параметра. Такой алгоритм оказывается адаптивным как по па раметрам, так и по. При этом на первом шаге адаптации по параметрам точностные характеристики алгоритма (9.11)–(9.14) совпадают с точностны ми характеристиками неадаптивного алгоритма (9.5), (9.6). По мере адапта ции алгоритма (9.11)–(9.14) к параметрам обстановки его показатели каче ства приближаются к потенциально достижимым (к точности алгоритмов с известным параметром ). В дальнейшем будем полагать, что векторный параметр = {1, 2 }, где 1 – подвектор параметров помех;

2 – подвектор неинформативных (мешающих) параметров сигнала.

Таким образом, система уравнений (9.11)–(9.14) представляет собой упоминавшуюся в параграфе 1.1 фундаментальную теоретическую схему РЛ системотехники. В качестве научной гипотезы с соответствующими изменениями она заимствована из статистической теории решений и под лежит согласованию, с одной стороны, со статистической теорией радио локации, а с другой – с эмпирическим базисом собственно РЛ системотех ники. Покажем, что в процессе последовательного дедуктивного разверты вания этой фундаментальной схемы происходит формирование сети част ных теоретических и эмпирических схем, которые во взаимосвязи и во взаимозависимости с фундаментальной схемой образуют статистическую теорию РЛ системотехники. Покажем также, что на основе этой стати стической теории может быть сформулирован системотехнический метод (упомянутое ранее решающее правило), позволяющий, в свою очередь, Глава 9. Обнаружение и измерение параметров РЛ сигналов … сформулировать совокупность схем и методик инженерной (системотех нической) деятельности по разработке алгоритмов адаптивной обработки сигналов на фоне помех с последующим синтезом и анализом широкого класса измерительных РЛ систем. Для успешного решения поставленных задач предварительно введем понятие достаточной статистики основных моделей РЛ сигналов.

9.3. Достаточные статистики основных моделей радиолокационных сигналов Понятие достаточной статистики в теории статистических решений является фундаментальным. Оно связано с фактом существования полных классов решающих правил, для которых характерно то, что оптимальное правило решения оказывается зависящим не от всей совокупности наблю даемых данных непосредственно, которые могут иметь очень большую или даже неограниченную размерность, а от сравнительно небольшой со вокупности величин, являющихся функцией (функционалом) данных на блюдения.

В радиолокационной науке понятия достаточных статистик, как и сами статистические модели тех или иных объектов локации, разрабаты ваются в рамках статистической теории радиолокации и транслируются на уровень статистической теории системотехники в виде отношения правдо подобия или его логарифма, конкретизированного относительно выбран ной модели ЗС. Эти достаточные статистики могут быть полными, учиты вая всю совокупность входящих в них компонентов, или неполными, когда достаточная статистика сводится только лишь к модулю (квадрату модуля) корреляционного интеграла. Первый вариант способен охватить круг про блем статистического синтеза, связанных с полной априорной неопреде ленностью. Второй же вариант, нашедший широкое применение при по строении современных и даже перспективных РЛС, рассчитан на задачи с несущественной априорной неопределенностью.

Поставим в качестве самостоятельной задачу вычисления полных достаточных статистик (полных выражений логарифмов отношения прав доподобия) наиболее распространенных в радиолокации статистических моделей сигналов, включая те слагаемые упомянутых статистик, которые не зависят от принимаемого сигнала и измеряемых (информативных) па раметров. Не оказывая заметного влияния на показатели качества обнару жения сигналов и измерения их параметров в отсутствие внешних помех, эти слагаемые могут оказаться существенными в условиях адаптации РЛС к различным видам помеховых воздействий (в условиях существенной ап Раздел III. Теоретические основы радиолокационной системотехники риорной неопределенности задачи статистического синтеза обнаружите лей-измерителей относительно параметров внешних помех и неинформа тивных параметров сигнала).

Для решения поставленной задачи и распространения выявленных в предыдущем параграфе общих закономерностей преодоления априорной неопределенности информативного параметра относительно мешающе го 1 = {1 ;



Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 14 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.