авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ивановский государственный химико-технологический ...»

-- [ Страница 4 ] --

q ( t) q ( LuFo ) = q ( Fom ) =. (147) a ( tc - t0 ) Произведем анализ полученных решений аналогично тому, как это выполнено в [5]. При интенсивном теплообмене цилиндра с окружающей средой ( Bi ® ) по всей его боковой поверхности устанавливается постоянная температура, равная температуре среды tc. Гидродинамические условия среды в этом случае перестают влиять на теплоперенос в цилиндре. Изменение поля температур в нем определяется лишь теплофизическими свойствами высушиваемого тела и интенсивностью внешнего массообмена. При этом характеристическое уравнение (139) принимает вид I 0 ( m n ) = 0. Корни этого уравнения определяют нулевое значение функции Бесселя первого рода нулевого порядка и могут быть найдены с помощью таблиц [2-5].

Из выражения (139) следует, что в этом случае значения коэффициента An будут определяться по формуле:

An =. (148) m n I1 ( m n ) В случае малой интенсивности внешнего теплообмена ( Bi ® 0 ) из характеристического уравнения следует, что I1 ( m n ) ® 0. При этом, как показано в [6], все коэффициенты An стремятся к нулю, за исключением коэффициента A 1, который принимает значение, равное единице.

Наиболее значимым является только первый корень характеристического уравнения. Этот корень можно получить, разложив функции Бесселя в степенной ряд в окрестности точки 1 - 2 m1 + K I0 ( mn ) mn = =. (149) I1 ( m n ) Bi 1 m - 1 m3 + K 1 Ограничившись только первыми членами разложения, получим m1 = 2 Bi. С учетом этого выражение (145) принимает следующий вид:

( ) T ( r, Fo ) = 1 - q ( LuFo ) - I 0 2 Bir y, (150) где функция y определяется так:

Fo ( )( ) 1 + 2 Bi q LuFo* exp 2 BiFo* dFo* exp ( -2 BiFo ) - q ( LuFo ). (151) y= Таким образом, при малой интенсивности внешнего теплообмена теплоперенос внутри цилиндра во многом определяется интенсивностью внешней массоотдачи, т.е. скоростью отвода влаги с поверхности цилиндра в окружающую среду.

Второй случай: Fom 0,1;

Fo 0,1. В условиях, когда и массо- и s теплообменные числа Фурье не превышают 0,1, величина R стремится к a бесконечно большой величине. В этом случае функции Бесселя могут быть разложены в асимптотический ряд. Выражение (136) преобразуем к виду:

(t - t ) a s a R t t ( r, s ) - 0 = c 0 exp - ( R - r ) 1 + + sR 2 8r s a ss sq ( s ) a s R R a - HR ) + K - exp - ( R - r ) 1 + H- +- (152) sR as s a 8r r R - HR ) + K H.

r Первое слагаемое в правой части выражения (152), как и ранее, переводится из области изображений в оригиналы с помощью таблиц обратных преобразований. Поэтому, не останавливаясь на подробностях, приведем окончательный результат:

1- r R R L-1 {~} = ( tc - t0 ) 2 Bi +4 BiFoi Foierfc r r 2 Fo (153) 1- r R 3 + - Bi i 2erfc.

8r 8 2 Fo В выражении (153) приняты следующие обозначения:

() exp - x 2 - x erfc ( x ) ;

ierfc x = (154) p ( ) () 1 i 2erfc = 1 + 2 x 2 erfc x - exp - x 2. (155) p 4 Для возвращения в область оригиналов второго слагаемого правой части выражения (152) применим вновь теорему Дюамеля:

R Fo a q ( t ) - 2 r exp - s R - r L-1 ~ = ( ) L a Fo a ss 0 R a R 3 dFo* + 1 + + - HR + K (156) H 2 8r r t-t sR R a R q ( t ) -1 r s a R ( R - r ) 1 + exp - + - HR L H.

sR 2 8r a a r ss t= Из (153) непосредственно следует, что при Fo = 0 (т.е. при t = 0) оно принимает значение, равное нулю. Следовательно, последнее слагаемое в (156) также равно нулю. Обратное преобразование Лапласа от выражения, стоящего в круглых скобках (156), имеет вид зависимости, находящейся в фигурных скобках (153). Прежде чем выполнить дифференцирование этого выражения по Fo, примем следующие обозначения:

R R 3 R P = 2 Bi ;

Q=4 Bi + - Bi = 2 Pl, (157) r r 8r 8 R где: l = + - 2 Bi. (158) 4r В этом случае фигурная скобка (153) преобразуется к виду:

1- r 1- r {~} = PFoierfc + QFoi 2erfc. (159) 2 Fo 2 Fo Дифференцируя по Fo, получаем:

{ ~} 1- r 1- r = Pierfc + PFo + ierfc Fo Fo 2 Fo 2 Fo (160) 1- r 2 1- r + Qi 2erfc + QFo i erfc.

Fo 2 Fo 2 Fo Выполняя дифференцирование функционалов от интеграла ошибок, имеем:

(1 - r )2 exp - (1 - r )2 (161) 1- r 1- r 1- r = i erfc erfc Fo 2 Fo 4 pFo 4 Fo 2 Fo 2 Fo 1- r 1 (1 - r )2 3(1 - r )3 - 2 Fo (1 - r ) 2 = 4 exp - 4 Fo i erfc Fo 2 Fo 2 Fo pFo (162) (1 - r ) erfc 1 - r.

- 2 2 Fo Fo Подставив выражения (161) и (162) в (160) и выполнив ряд преобразований, запишем:

{ ~} 1- r 1- r 1- r = Qi 2erfc + Pierfc + Fo 2 Fo 2 Fo 2 Fo (1 - r ) Q (1 - r ) 1- r + (1 - r ) exp - erfc P - (163) 4 Fo 2 Fo 2 Fo (1 - r ) 2 P Fo3 + 3Q - 2QFo.

8 pFo Осуществляя переход из области изображений в область оригиналов в выражении (152) с учетом зависимостей (153), (156) и (163), после преобразований окончательно получаем:

1- r 1- r 2 Bi T ( r, Fo ) = + 1Fol i 2erfc Foierfc r 2 Fo 2 Fo Fo ( ) 1- r 1- r q LuFo* l i 2erfc - + ierfc + * * 2 Fo - Fo 2 Fo - Fo l (1 - r ) (164) 1- r 1- r + (1 - r ) + 1 erfc * * * 2 Fo - Fo 2 Fo - Fo 2 Fo - Fo (1 - r ) 1 - r + 3l (1 - r ) - 2 Fo - Fo* l dFo*.

( ) exp - ( ) 4 Fo - Fo* 4 p ( ) * 8 p Fo - Fo Таким образом, выражения (130) и (164) в совокупности описывают динамику изменения полей влагосодержаний и температур в цилиндре в процессе сушки при малом времени тепловой обработки материала.

Необходимо отметить, что при r = 0 безразмерные влагосодержание и температура принимают значения, равные бесконечности. Однако по условию задачи в силу физических представлений функции U ( r, Fo ) и T ( r, Fo ) ограничены и не могут быть бесконечно большими.

Влагосодержание на оси цилиндра может быть определено по формуле:

u ( 0, t ) - u0 U ( 0, Fo ) = = 1 - 4 Bim Fom exp -. (165) u p - u0 4 Fom Чтобы получить зависимость для расчета температуры на оси цилиндра, преобразуем выражение (136), предварительно разложив ( ) ( ) функции I 0 pR и I1 pR в асимптотический ряд, а функцию ( ) I0 pR - в степенной. Такой путь представления функций обусловлен тем, что аргумент pR бесселевых функций при малых значениях Fo стремится к большой величине. Поэтому разложение в асимптотический ряд позволяет ограничиться только первым членом ряда, поскольку он является наиболее значимым по сравнению с остальными. Разложение модифицированной функции Бесселя первого рода n-го порядка в асимптотический ряд имеет вид:

( )( ) 4n 2 - 12 4n 2 - 1 3 4n - K.

I0 ( z ) = l 1- + (166) 2pz 2!( 8 z ) 1!8 z В соответствии с этим для функций нулевого и первого порядка получаем:

( ) pR 1 1 I 0 pR = 1 + 8 pR + + K ;

l (167) ( ) 2p pR 128 pR ( ) 3 l pR 1 I1 pR = - - K. (168) ( ) 8 pR 128 pR 2p pR Отсюда при pR ® следует:

( ) ( ) 1 e pR ;

I1 e pR.

pR » pR »

I0 (169) 2p pR 2p pR ( ) Разложение функции I 0 pr в степенной ряд имеет вид:

( ) ( ) 1 1 pr = 1 - + I0 pr pr K, (170) 22 22 2 отсюда, в частности, имеем:

lim I 0 ( pr ) = 1. (171) r ® Подставляя (169) и (171) в выражение (136), получаем:

( ) ( tc - t0 ) 2p pR exp - pR t t ( r, s ) - 0 = P s s 1 + H (172) ( ).

sq ( s ) 2p pR exp - pR p sa 1 + H Осуществив переход из области изображений в область оригиналов, для первого слагаемого правой части (172), запишем:

- L ~ = ( tc - t0 ) - 4 ( tc - t0 ) BiFo exp -. (173) 4 Fo Второе слагаемое правой части (172) переведем в область оригиналов, вновь применив теорему Дюамеля:

( ) Fo q ( t ) -1 2p pR exp - pR - * L ~ = dFo + L a Fo p s 1 + 0 H t-t (174) ( ) q ( t ) -1 2p pR exp - pR + L.

a p s 1 + H t= Анализируя выражение (173), можно отметить, что при Fo=0 второе слагаемое в нем обращается в нуль. Следовательно, обратное преобразование от квадратной скобки, стоящей во втором слагаемом (174), t= при принимает значение, равное единице. Выполнив дифференцирование под знаком интеграла и сделав соответствующие преобразования, окончательное выражение для определения температуры на оси цилиндра запишем в виде:

Fo q ( LuFo ) 1 * T ( 0, Fo ) = 1 - 4 BiFo exp - + Bi 4 Fo (175) 4 - 1 exp - * dFo - q ( LuFo ).

( ) * Fo - Fo* 4 Fo - Fo Для определения температуры на поверхности цилиндра преобразуем уравнение (136), полагая r = 1. В этом случае, поделив числитель и ( ) знаменатель на I 0 pR, можно записать, что:

( tc - t0 ) sq ( s ) t t ( R, s ) - 0 = -. (176) ( ) ( ) s p I1 pR p I1 pR s 1 + s 1 + ( ) ( ) H I 0 pR H I 0 pR Принимая во внимание выражения (167)–(168), для отношения бесселевых функций получим:

3 1- - -K ( )= ( ) 8 pR 128 pR I1 pR »1-. (177) I1 ( pR ) 1 9 2 pl 1+ + +K 8 pR При этом выражение (176) принимает следующий вид:

( tc - t0 ) sq ( s ) t t ( R, s ) - 0 = -. (178) s p p 1 s 1 + - as 1 + - H 2 HR H 2 HR Осуществляя по изложенной ранее процедуре переход от изображения функции к оригиналу с использованием теоремы Дюамеля, окончательно будем иметь:

Fo { } q ( LuFo ) Bi 1 - exp ( Bi - 0,5 ) erfc ( Bi - 0,5) Fo + Bi * T (1, Fo ) = Bi - 0, ( Fo - Fo* ){( Bi - 0,5) erfc ( Bi - 0,5) Fo - Fo* + exp ( Bi - 0,5 ) ( ) exp - ( Bi - 0,5) Fo - Fo* dFo*.

+ (179) ( ) * p Fo - Fo Легко видеть, что при отсутствии потока влаги с поверхности цилиндра (т.е. при отсутствии сушки), выражения (175) и (179) переходят в классические решения задачи теплопроводности для неограниченного цилиндра, достаточно хорошо исследованные в монографии А.В. Лыкова [5].

Обобщенные выражения для определения полей влагосодержаний и температур высушиваемого материала Анализируя выражения (60), (72) и (131), определяющие величину потока влаги с поверхности пластины, цилиндра и сферы, замечаем, что все эти зависимости могут быть представлены одной формулой вида ( ) b pr * u p - u { Bim 1 - exp LuFo ( Bim - 0,5 Г ) q ( LuFo ) = a ( tc - t0 ) Bim - 0,5 Г (180) } erfc ( Bim - 0,5 Г ) LuFo - 1, где Г=0, 1, 2 соответственно для пластины, цилиндра и сферы. Такое представление вносит определенные удобства, поскольку придает алгоритму расчета универсальность: для определения потока влаги с поверхности тел отмеченной геометрической формы необходимо всего лишь одно уравнение, а в каждом соответствующем случае надо лишь выбрать соответствующее данному случаю значение Г. Аналогичным образом выражения (42), (96) и (145) могут быть также обобщены одной универсальной зависимостью. Эта зависимость имеет вид:

B ( x) y (m, q, Fo ).

T ( r, Fo ) = 1 - q ( LuFo ) - (181) n n n = Здесь безразмерный поток влаги определяется выражением (180), а остальные функции, находящиеся под знаком суммы представляются следующим образом:

Fo ( ) 1 + m 2 q LuFo* exp m 2 Fo*dFo* y ( m n, q, Fo ) = n n (182) exp ( -m Fo ) - q ( LuFo ) ;

n 2 sin m n cos m n x Г = m + sin m cos m, n n n 2 BiI 0 ( m n x ) Bn ( x ) = Г =1. (183), ) ( I 0 ( m n ) m n Bi 2 ( sin m n m n cos m n sin m n ), Г = ( m n - sin m n cos m n ) m n x Таким образом, полученные выражения представляют собой компактную запись решения соответствующих краевых задач теплопроводности для неограниченной пластины, шара и неограниченного цилиндра при влагопереносе с поверхности тел в газовую среду.

В заключение еще раз подчеркнем, что процедура расчета по приведенным выражениям осуществляется быстро и с высокой степенью точности для случая Fo 0,1 Fom 0,1. Это ни в коей мере не означает, что для второго проанализированного случая ( Fom 0,1;

Fo 0,1) они перестают быть справедливыми. Дело лишь в том, что с уменьшением числа Фурье резко возрастает число членов бесконечного ряда, которые необходимо учитывать для обеспечения заданной точности расчетов. В области чисел Фурье 010-2 ряд вообще плохо сходится. В настоящее время известны методы улучшения сходимости рядов Фурье. Использовав эти методы, можно преобразовать ряд в (181) и применить это выражение к расчету полей температур в области малых чисел Фурье. Однако, на наш взгляд, более целесообразно в данном случае использовать соответствующие решения, полученные методом интегральных преобразований Лапласа. Эти выражения обладают существенным преимуществом: чем меньше число Фурье, тем выше точность расчетов и меньше время, затрачиваемое на осуществление вычислений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Лыков, А.В. Теоретические основы строительной теплофизики. – Минск: Издательство АН БССР, 1961. - 520 с.

2. Федосов, С.В. Применение методов теории теплопроводности для моделирования процессов конвективной сушки/ С.В. Федосов, В.Н.

Кисельников, Т.У Шертаев. – Алма-Ата: Гылым, 1992.- 168 с.

3. Рудобашта, С.П. Массоперенос в системах с твердой фазой. - М.:

Химия, 1980. - 248 с.

4. Сажин, Б.С. Основы техники сушки. – М.: Химия, 1984. - 320 с.

5. Лыков, А.В. Теория теплопроводности.-М.: Высшая школа, 1967.- 600 с.

6. Броунштейн, Б.И. Гидродинамика, массо- и теплообмен в дисперсных системах/Б.И. Броунштейн, Г.А. Фишбейн. – Л.: Химия, 1977.- 280 с.

СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРОФЕССОРА В.Н. КИСЕЛЬНИКОВА ………………………………………………… ПРЕДИСЛОВИЕ ………………………………………………………… Л.Н. Овчинников, С.В. Федосов. Грануляция минеральных удобрений в кипящем слое………………………………………………. В.Н. Исаев, Е.С. Сливченко, С.В. Федосов. Гидродинамика и процессы переноса в емкостных кристаллизаторах с механическим перемешиванием ………………………………………………………… А.Г. Липин, С.В. Федосов. Моделирование процессов тепломассопереноса в установке для получения гранулированных водорастворимых полимеров …………………………………………… Д.В. Кириллов, А.Г. Липин. Концентрирование и сушка трехкомпонентных систем полимер-неорганическая соль-вода …..…. А.С. Кувшинова, А.Г. Липин. Моделирование процесса агломерирования дисперсных материалов в тарельчатом грануляторе О.С. Каленова, А.Г. Липин, К.В. Почивалов. Моделирование процессов растворения полимера и удаления растворителя из системы полимер-растворитель-вода…………………………………… С.В. Федосов. Взаимосвязанный перенос теплоты и массы вещества в процессах сушки………………………………………………………... Научное издание Авторский коллектив: Исаев В.Н., Каленова О.С., Кириллов Д.В., Кувшинова А.С., Липин А.Г., Овчинников Л.Н., Почивалов К.В., Сливченко Е.С., Федосов С.В.

ИНТЕНСИФИКАЦИЯ ТЕПЛОВЫХ И МАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В ГЕТЕРОФАЗНЫХ СРЕДАХ Монография Ответственный за выпуск А.Г. Липин Подписано в печать 30.05.2009. Формат 6084 1/16. Бумага писчая.

Усл.печ. л. 9,53. Уч.-изд-л. 10,58. Тираж 100 экз. Заказ ГОУ ВПО Ивановский государственный химико-технологический университет Отпечатано на полиграфическом оборудовании кафедры Экономики и финансов 153000, г. Иваново, пр. Ф. Энгельса,

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.