авторефераты диссертаций БЕСПЛАТНАЯ БИБЛИОТЕКА РОССИИ

КОНФЕРЕНЦИИ, КНИГИ, ПОСОБИЯ, НАУЧНЫЕ ИЗДАНИЯ

<< ГЛАВНАЯ
АГРОИНЖЕНЕРИЯ
АСТРОНОМИЯ
БЕЗОПАСНОСТЬ
БИОЛОГИЯ
ЗЕМЛЯ
ИНФОРМАТИКА
ИСКУССТВОВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ
КУЛЬТУРОЛОГИЯ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
МЕДИЦИНА
МЕТАЛЛУРГИЯ
МЕХАНИКА
ПЕДАГОГИКА
ПОЛИТИКА
ПРИБОРОСТРОЕНИЕ
ПРОДОВОЛЬСТВИЕ
ПСИХОЛОГИЯ
РАДИОТЕХНИКА
СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО
СОЦИОЛОГИЯ
СТРОИТЕЛЬСТВО
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
ТРАНСПОРТ
ФАРМАЦЕВТИКА
ФИЗИКА
ФИЗИОЛОГИЯ
ФИЛОЛОГИЯ
ФИЛОСОФИЯ
ХИМИЯ
ЭКОНОМИКА
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА
ЭНЕРГЕТИКА
ЮРИСПРУДЕНЦИЯ
ЯЗЫКОЗНАНИЕ
РАЗНОЕ
КОНТАКТЫ


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А. Ю. Пирковский

Спектральная теория

и функциональные исчисления

для линейных операторов

Москва

Издательство МЦНМО

2010

УДК 517.98

ББК 22.162

П33

Научный редактор А. Я. Хелемский.

Пирковский А. Ю.

П33 Спектральная теория и функциональные исчисления для ли-

нейных операторов. | М: МЦНМО, 2010. | 176 c.

ISBN 978-5-94057-573-3 Книга представляет собой записки семестрового курса лекций по спек тральной теории, прочитанного автором в Независимом московском уни верситете в весеннем семестре 2003 г. Ее можно рассматривать как допол нение к стандартному университетскому курсу функционального анализа.

Особое внимание уделяется построению функциональных исчислений (от L голоморфного до -исчисления) и доказательству спектральной теоремы в ее различных формулировках. Включено также изложение теории кратно сти в терминах измеримых гильбертовых расслоений. Для книги характерен алгебраический подход, при котором линейные операторы трактуются как представления функциональных алгебр.

Для студентов и аспирантов математических и физических специаль ностей.

ББК 22. Алексей Юльевич Пирковский Спектральная теория и функциональные исчисления для линейных операторов 90 Подписано в печать 18.11.2009 г. Формат 60 /. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Печ. л. 11. Тираж 1000 экз. Заказ Ђ 189.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ООО «Принт Сервис Групп».

Москва, 2-й Лихачевский пер., д. 7.

c Пирковский А. Ю., ISBN 978-5-94057-573- Светлой памяти Дмитрия Петровича Желобенко | выдающегося математика и замечательного человека ОГЛАВЛЕНИЕ................................ Предисловие......... 1. Введение: задача о функциональном исчислении................. 2. Спектр и его простейшие свойства § 2.1.

Алгебры и спектры их элементов................ § 2.2.

Банаховы алгебры......................... § 2.3.

Спектры элементов банаховых алгебр.............. § 2.4.

Полиномиальное и рациональное исчисления.......... § 2.5.

Спектральный радиус....................... Литературные указания......................................... 3. Части спектра линейного оператора § 3.1. Точечный, непрерывный и остаточный спектры. Операторы умножения............................... § 3.2. Двойственность. Операторы сдвига............... § 3.3. Еще несколько частей спектра.................. Литературные указания................................................ 4. Голоморфное исчисление § 4.1.

Полинормированные пространства................ § 4.2.

Голоморфное исчисление: построение и свойства....... § 4.3.

О неаналитических функциональных исчислениях....... Литературные указания............................................... 5. Преобразование Гельфанда § 5.1.

Максимальные идеалы и характеры............... § 5.2.

Слабая и слабая* топологии.................... § 5.3.

Топология на спектре и преобразование Гельфанда...... § 5.4.

Преобразование Гельфанда: примеры.............. § 5.5.

Категорная интерпретация преобразования Гельфанда.... Литературные указания......................... C -алгебры и непрерывное исчисление............... 6.

Операторы в гильбертовом пространстве и g -алгебры... § 6.1.

Оглавление Спектры элементов g -алгебр. Первая теорема § 6.2. Гельфан да|Наймарка............................. § 6.3. Непрерывное исчисление: построение и свойства....... Литературные указания................................................. 7. Борелевское исчисление § 7.1.

Операторы и полуторалинейные формы............. § 7.2.

Комплексные меры......................... Слабо-мерная топология на f()........

§ 7.3......... § 7.4.

Слабо-операторная топология на B(r)............. § 7.5.

Борелевское исчисление: построение и свойства........ Литературные указания.................................................. 8. Спектральная теорема § 8.1. Спектральные меры........................ § 8.2. Регулярные спектральные меры и представления алгебры g(). Спектральная теорема.................... § 8.3. Спектральная теорема в терминах интеграла Римана|Стил тьеса.................................. Литературные указания.................................. 9. Функциональные модели нормальных операторов § 9.1.

Модули, банаховы модули, гильбертовы модули........ § 9.2.

Функциональная модель -циклического оператора...... § 9.3.

Функциональная модель: общий случай............. v -функциональное исчисление. Скалярная спектральная § 9.4.

мера................................... Литературные указания.................................................... 10. Теория кратности § 10.1.

Измеримые гильбертовы расслоения и прямые интегралы. Разложение гильбертова g()-модуля в прямой интеграл § 10.2.. § 10.3.

Теорема о классификации.................... Литературные указания......................................................... Литература.......................... Предметный указатель ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга представляет собой записки семестрового курса лекций по спектральной теории, прочитанного автором в Независимом московском университете в весеннем семестре 2003 г. Помимо материа ла, излагавшегося на лекциях, в текст включено доказательство теоре мы о классификации представлений коммутативных g -алгебр в сепа рабельных гильбертовых пространствах (на лекциях эта теорема была сформулирована без доказательства из-за недостатка времени).

Основной принцип, которого мы старались придерживаться в этих лекциях, состоит в том, чтобы рассматривать линейные операторы как представления различных алгебр, состоящих из функций, определен ных на подходящих подмножествах комплексной плоскости (или, что эквивалентно, как модули над этими алгебрами). Такой алгебраиче ский подход к теории операторов зачастую позволяет более наглядно представить себе геометрическую картину, стоящую за тем или иным оператором, делает формулировки и доказательства многих классиче ских результатов более прозрачными и компактными и, в конечном итоге, открывает широкие возможности для различных обобщений | в том числе на многомерный случай. В качестве примера эффективно сти указанного подхода отметим теорему Дж. Тэйлора (см. [45]) о голо морфном исчислении от набора коммутирующих операторов на их со вместном спектре (само определение которого далеко не очевидно и по требовало развития адекватной алгебраической техники). Другой не давний пример | уже из теории «одного оператора» | решение Ж. Пи зье (см. [44]) известной проблемы П. Халмоша о том, всякий ли поли номиально ограниченный оператор в банаховом пространстве подобен сжатию. При решении этой проблемы существенно использовался тот факт, что полиномиально ограниченные операторы | это то же самое, что представления дисковой алгебры A (D), в то время как операторы, подобные сжатию, | это в точности так называемые вполне ограни ченные представления этой алгебры.

Впрочем, все эти недавние результаты в книгу по понятным причи нам не вошли. Наша более скромная цель состоит в том, чтобы позна комить читателя с классическими результатами спектральной теории (полученными в первой половине XX в.), используя при этом современ ный язык и современную терминологию, и подготовить его тем самым к восприятию более специальной литературы по данному предмету.

Предисловие Главным инструментом, позволяющим смотреть на линейные опе раторы как на представления функциональных алгебр, являются все возможные теоремы о функциональных исчислениях | голоморфном, гладком, непрерывном, борелевском и т. п. Чем более богатым функ циональным исчислением обладает оператор, тем он «лучше» с точки зрения спектральной теории. В этих лекциях мы старались по возмож ности двигаться в направлении убывания общности | от теоремы о го ломорфном исчислении, справедливой для любого ограниченного опе ратора в банаховом пространстве, до теорем о борелевском и v -исчи слениях для нормального оператора в гильбертовом пространстве.

Последние три главы посвящены одному из основных результатов классической спектральной теории | спектральной теореме для нор мального оператора в ее различных формулировках. В частности, в по следней главе, посвященной теории кратности, мы обсуждаем геоме трическую модель нормального оператора (или, более общим образом, гильбертова модуля над коммутативной g -алгеброй), определяемую в терминах измеримых гильбертовых расслоений (т. е. измеримых по лей гильбертовых пространств) и их прямых интегралов, и даем пол ную классификацию таких операторов с точностью до унитарной экви валентности.

Помимо теорем о функциональных исчислениях и спектральной те оремы, составляющих ядро курса, мы также включили в лекции разно образный материал, необходимый (а иногда формально не являющийся необходимым, но полезный) для понимания этих теорем. К такому ма териалу относятся базовые сведения о банаховых и g -алгебрах и спек трах их элементов, полинормированных (т. е. локально выпуклых) про странствах и алгебрах, категориях и функторах и т. д. Принцип, кото рым мы руководствовались при отборе этого материала, состоял в том, чтобы не жалеть времени и места на общематематические концепции, используемые по ходу дела, поскольку они зачастую помогают видеть то общее, что есть в разных областях математики.

Автор выражает глубокую благодарность А. Я. Хелемскому, научив шему его функциональному анализу и многим другим вещам и любезно предоставившему в распоряжение автора записки своих тогда еще не опубликованных лекций [30], которые были существенно использованы при подготовке данного курса. Автор также признателен всем своим слушателям за внимание, проявленный интерес, терпение и поддерж ку. Любые замечания и предложения по поводу содержания книги будут с благодарностью приняты по адресу pirkosha@yahoo.com.

1. ВВЕДЕНИЕ: ЗАДАЧА О ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ Во многих областях математики и математической физики прихо дится иметь дело с функциями от линейных операторов. Вот простей ший пример, знакомый вам со второго курса: чтобы решать системы линейных дифференциальных уравнений, полезно уметь брать экспо ненту от оператора. Другой источник таких задач | квантовая ме ханика. В математической модели квантовой механики, предложенной фон Нойманном в 30-х гг. прошлого века, линейные операторы играют роль наблюдаемых (т. е. тех или иных физических характеристик иссле дуемой системы, которые мы хотим измерить, таких как координата, импульс, энергия и т. п.) Часто бывает так, что одна наблюдаемая явля ется функцией от другой или нескольких других (например, энергия выражается через координату и импульс). Вот и приходится подста влять в качестве аргументов функции не числа, а операторы. Основная сложность в том, что операторов обычно несколько и они не коммути руют. Мы будем иметь дело с функциями от одного оператора;

но уже и в этом случае, как мы вскоре увидим, есть много интересных задач.

Говоря нестрого, задача о функциональном исчислении состоит в том, чтобы научиться придавать смысл выражению f( ), где : i i | линейный оператор в комплексном1 линейном пространстве i, а f | функция, заданная на каком-либо подмножестве комплексной плоскости.

Вы, конечно, хорошо знаете, что от любого линейного оператора можно «брать многочлены»: если p C[t] | многочлен, p(t) = n tn + X X X X X X + 1 t + 0, то p( ) | это оператор n n + X X X + 1 + 0 1E (здесь и далее 1E | тождественный оператор в i). Какие еще функции можно брать от ? Чтобы разобраться в этом вопросе, посмотрим на два простых, но важных примера.

Пусть i = Cn, и пусть оператор записывается в ка Пример 1.1.

ком-либо базисе диагональной матрицей:

!1...

= X !n 1 В дальнейшем все события будут разворачиваться над полем комплексных чисел.

1. Введение: задача о функциональном исчислении Легко проверить, что для любого многочлена p C[t] оператор p( ) записывается в том же базисе так:

p(!1 )...

p( ) = X p(!n ) Правая часть последнего равенства имеет смысл, если вместо много члена p в нее подставить любую функцию f, | лишь бы она была опре делена в !1 Y X X X Y !n. Поэтому для любого подмножества w C, содер жащего !1 Y X X X Y !n, и любой функции f : w C можно положить по определению f(!1 )...

f( ) := X f(!n ) Какими свойствами обладает построенное «функциональное исчи сление» от, имеет ли оно право так называться и что следует называть функциональным исчислением в общем случае (т. е. для произвольно го )? Общепринятый подход к понятию функционального исчисления выглядит следующим образом. Обозначим через L (i) пространство всех линейных операторов, действующих в i, и рассмотрим отображе ние p : C[t] L (i), сопоставляющее каждому многочлену p оператор p( ). Это отображение называется полиномиальным исчислением от.

Очевидно, отображение p обладает следующими свойствами:

1) p линейно;

2) p (fg) = p (f)p (g) для любых fY g C[t];

3) p (1) = 1E ;

4) p (t) = (где t C[t] | «независимая переменная»).

Условия 1)|3) означают в точности, что p | гомоморфизм алгебр, а условие 4) однозначно определяет этот гомоморфизм. Простейший, но весьма полезный принцип, лежащий в основе алгебраического подхода к теории операторов, состоит в следующем.

: i i | это все равно, что задать Задать линейный оператор гомоморфизм C[t] L (i).

В самом деле, каждый оператор задает гомоморфизм p : C[t]L (i), и обратно, любой гомоморфизм 9: C[t] L (i) является полиномиаль ным исчислением от оператора = 9(t).

Теперь мы можем сформулировать задачу о функциональном ис числении более строго. Пусть w C, и пусть e | какая-либо алгебра 10 1. Введение: задача о функциональном исчислении функций на w (относительно поточечных операций), содержащая огра ничения на w всех многочленов. Обозначим через r : C[t] e гомомор физм ограничения: r(p) = p|M. Задача о функциональном исчислении ставится так.

Существует ли гомоморфизм A : e L (i), делающий диаграмму p G L (i) (1.1) C[t] wY w r w w A w e коммутативной?

Обозначим через p (w) алгебру всех комплекснозначных функций на множестве w C. Результат, полученный в примере 1.1, теперь можно переформулировать следующим образом.

Предложение 1.1. Пусть i = Cn. Предположим, что оператор L (i) в некотором базисе записывается диагональной матрицей с числами !1 Y X X X Y !n на диагонали. Тогда для любого множества w C, содержащего !1 Y X X X Y !n, задача (1.1) разрешима для e = p (w).

Упражнение 1.1. Покажите, что условие w {!1 Y X X X Y !n } не только достаточно, но и необходимо для разрешимости задачи (1.1) с e=p (w).

Множество {!1 Y X X X Y !n }, фигурирующее выше, | это не что иное, как спектр '( ) оператора. Напомним, что спектром линейного оператора L (i), действующего в конечномерном векторном про странстве i, называется множество его собственных значений, т. е. та ких чисел ! C, что x = !x для некоторого ненулевого вектора x i.

(Для произвольного векторного пространства i спектр определяется по-другому;

об этом | чуть позже.) Ситуация, описанная в предложе нии 1.1 и упражнении 1.1, совершенно типична для теории операторов;

она указывает на взаимосвязь понятий спектра и функционального ис числения. Утверждения типа «такой-то оператор обладает функ e w циональным исчислением для такой-то алгебры на множестве w '( )», встретятся нам на тогда и только тогда, когда содержит протяжении курса неоднократно.

Итак, нам предстоит иметь дело с задачами типа (1.1). В качестве i у нас будет выступать бесконечномерное банахово (или даже гильбер тово) пространство, а операторы будут ограниченными (так что вме сто L (i) в диаграмме (1.1) будет стоять алгебра B(i) ограниченных операторов в i). Алгебры e и B(i), как правило, будут снабжаться 1. Введение: задача о функциональном исчислении какими-либо топологиями;

при этом мы будем требовать, чтобы гомо морфизм A был непрерывным.

По сравнению с ситуацией, рассмотренной в примере 1.1, в беско нечномерном случае возникает целая серия вопросов. Во-первых, на до дать «правильное» определение спектра оператора: дело в том, что собственных значений у оператора в бесконечномерном пространстве может попросту не оказаться. Далее, если мы решим строить функ циональное исчисление по аналогии с примером 1.1, то надо выяснить, какие операторы приводятся к «диагональному виду», и вообще, что такое «диагональный вид» оператора.

Один из центральных результатов классической спектральной тео рии | спектральная теорема | как раз и позволяет приводить самосо пряженные операторы в гильбертовом пространстве к «диагональному виду», придает точный смысл последнему понятию и заодно дает воз можность строить функциональные исчисления для таких операторов.

Чтобы приблизительно представить себе ее формулировку, полезно за писать оператор из примера 1.1 в бескоординатной форме.

Итак, пусть r = Cn, и пусть | оператор в r, про который дополнительно известно, что в некотором ортонормированном бази се он записывается диагональной матрицей с действительными чи слами на диагонали. (Это означает в точности, что оператор само сопряжен.) Пусть !1 Y X X X Y !k | его различные собственные значения.

Упорядочим их по возрастанию: !1 ` X X X ` !k. Для каждого ! R пусть r(!) = {x i : x = !x} | соответствующее собственное под пространство. Далее, положим r = r(") и обозначим через i ор  тогональный проектор на r. Мы получаем цепочку подпространств {r }R, вложенных друг в друга: r r при ! ". Кроме того, r = 0 при ! ` !1 и r = r при ! !k. Отметим, что простран ство r не меняется на полуинтервале [!i Y !i+1 ) (там оно совпадает с r ), а в каждом собственном значении !i оно делает «скачок»: к нему i добавляется прямое слагаемое r(!i ). Тогда тот факт, что оператор диагонализируется, означает в точности, что k = !j (i ij1 ) (1.2) j j= (здесь мы полагаем i0 = 0). Функциональное исчисление, построенное в примере 1.1, задается формулой k f( ) = f(!j )(i ij1 )X j j= 12 1. Введение: задача о функциональном исчислении Спектральная теорема представляет собой обобщение двух по следних формул на случай бесконечномерного гильбертова простран ства r. В гл. 8 мы ее сформулируем и докажем, а сейчас ограни чимся несколькими нестрогими заявлениями рекламного характера.

Для любого самосопряженного оператора в гильбертовом простран стве r будет построено некое неубывающее семейство подпространств {r }R (возрастающее, однако, уже не «скачкообразно», а более или менее произвольным образом), такое, что оператор представляется в виде = ! di Y R где интеграл можно понимать как предел интегральных сумм ви да (1.2). Функциональное исчисление от задается формулой f( ) = f(!) di X R В отличие от конечномерного случая, последний интеграл существует не для всех функций, определенных на спектре оператора (что и по нятно | не любую же функцию можно интегрировать!), но все же для весьма широкого их класса.

Как и многие другие важные утверждения в математике, спек тральная теорема имеет несколько формулировок, по сути эквивалент ных друг другу. Упомянем (опять-таки в рекламных целях) еще об одной. Снова вернемся к конечномерному случаю r = Cn. Тот факт, что оператор L (r) диагонализируется, означает в точности, что r = r(!). Сам оператор при этом разлагается в прямую сумму R скалярных (т. е. кратных тождественному) операторов = !1H() Y R а функциональное исчисление приобретает вид f( ) = f(!)1H() X R Оказывается, и эти формулы обобщаются на бесконечномерный слу чай, только в них вместо прямой суммы будет стоять так называемый 1. Введение: задача о функциональном исчислении «прямой интеграл»:

= !1H() d"(!)Y R f( ) = f(!)1H() d"(!)X R Конечно, пространства r(!) уже больше не обязаны быть собственны ми подпространствами оператора (напомним | собственных подпро странств вообще может не быть);

более того, они не являются, строго говоря, подпространствами в r. Одна из целей нашего курса | при дать смысл всем этим пока что весьма туманным заявлениям.

Итак, от самосопряженных операторов в Cn можно брать любые функции, определенные на спектре. Что можно сказать про несамосо пряженные операторы | опять-таки, для начала, в Cn ? Посмотрим на следующий пример.

Пример 1.2. Пусть оператор L (C2 ) записывается в каком-либо базисе матрицей = 0 1 X Ясно, что '( ) = {0}. По аналогии с примером 1.1 хотелось бы научить ся брать от нашего оператора функции, определенные в нуле, | хотя бы непрерывные. Но, как видно из следующего упражнения, проблемы возникают уже с простейшей функцией f(t) = t.

Упражнение 1.2. Пусть | оператор из примера 1.2. Докажите, что 1) не существует такого оператора L (C2 ), что 2 = ;

2) более общим образом, при n 2 не существует такого оператора L (C2 ), что n = ;

3) для оператора задача (1.1) неразрешима (даже) для e = g(R).

Оказывается, единственное препятствие состоит в том, что функ ция t не дифференцируема в нуле. Чтобы в этом убедиться, сделайте n следующее упражнение.

Упражнение 1.3. 1) Докажите, что для оператора из примера 1. задача (1.1) разрешима для e = g 1 (), где R | любая окрестность нуля.

2) Пусть L (Cn ). Предположим, что '( ) R. Докажите, что для любого открытого множества R, содержащего '( ), зада ча (1.1) разрешима для e = g n1 ().

14 1. Введение: задача о функциональном исчислении Пример 1.2 показывает, что от операторов в Cn можно брать лишь достаточно гладкие функции. Забегая вперед, скажем, что от огра ниченных операторов в банаховом пространстве можно брать, вообще говоря, только аналитические функции. Чем оператор «лучше» (c точ ки зрения спектральной теории), тем больше запас функций, которые можно к нему применять.

2. СПЕКТР И ЕГО ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА § 2.1. Алгебры и спектры их элементов Само понятие спектра носит чисто алгебраический характер и име ет смысл не только для линейных операторов, но и для элементов про извольных ассоциативных алгебр. Напомним следующее определение.

Определение 2.1. Алгеброй (точнее, комплексной ассоциативной ал e геброй) называется векторное пространство над полем C, снабженное билинейным оператором e e e, (Y ), удовлетворяющим то ждеству () = () для всех Y Y e. Если = для всех Y e, то алгебра e называется коммутативной. Элемент 1 e называется единицей, если 1 · = · 1 = для всех e. Алгебра, обладающая единицей, называется унитальной.

Как всегда, когда мы имеем дело с неким классом множеств с допол нительной структурой, нужно ввести отображения, которые эту струк туру «уважают».

Определение 2.2. Пусть eY f | алгебры. Отображение 9: e f на зывается гомоморфизмом, если оно линейно, и 9() = 9()9() для всех Y e. В случае, когда алгебры e и f унитальны, а 1A и 1B | их еди ницы, гомоморфизм 9 называется унитальным, если 9(1A ) = 1B.

Алгебры, с которыми нам в дальнейшем предстоит иметь дело, мож но условно разделить на два класса: алгебры функций и операторные алгебры. По сути дела, функциональные исчисления от операторов | это гомоморфизмы из первых во вторые. Вот несколько базовых при меров.

1. Алгебра многочленов1 C[t].

Пример 2.1 (алгебры «функций»).

2. Алгебра p () (обозначаемая также через CS ), состоящая из всех функций на множестве, снабженная поточечным умножением.

3. Ее подалгебра (), состоящая из ограниченных функций.

Если на множестве введена какая-либо дополнительная структу ра, то в p () появляется подалгебра, состоящая из функций, которые 1 Как учат в курсе алгебры, многочлен | это не функция, а некое «формальное выражение». Но поскольку наше основное поле C бесконечно, мы всегда будем ото ждествлять многочлен с соответствующей функцией на C.

16 2. Спектр и его простейшие свойства с этой структурой согласованы. Приведем три типичных примера та ких алгебр.

4. Алгебра g() непрерывных функций на топологическом про странстве.

5. Алгебра g (w) гладких функций на гладком многообразии w.

6. Алгебра O( ) голоморфных функций на комплексном многообра зии.

Следующие две алгебры состоят, строго говоря, не из функций, но имеют с алгебрами функций много общего.

7. Алгебра C(t) рациональных функций.

8. Алгебра C[[t]] формальных степенных рядов. Напомним, что она n tn (где n C | любые состоит из формальных выражений вида n= n tn n tn = n tn, числа), а умножение задается формулой n n n где n = i j (так что C[t] является подалгеброй в C[[t]]).

i+j=n Пример 2.2 (алгебры операторов). На первых порах нам хватит сле дующих двух примеров.

1. Алгебра L (i) всех линейных операторов в линейном простран стве i.

2. Алгебра B(i) всех ограниченных линейных операторов в норми рованном линейном пространстве i.

Определение 2.3. Пусть e | унитальная алгебра. Элемент e на зывается обратимым, если существует такой элемент 1 e, что 1 = 1 = 1. Элемент 1 называется обратным к.

Упражнение 2.1. Докажите, что если элемент обратим, то у него есть только один обратный элемент.

Множество всех обратимых элементов алгебры e образует группу по умножению. В самом деле, если элементы Y обратимы, то элемент 1 1 является обратным к. Группа обратимых элементов алге бры e обозначается через Inv(e).

Иногда приходится иметь дело со следующим свойством «односто ронней обратимости».

Определение 2.4. Пусть e | унитальная алгебра. Элемент e на зывается обратимым слева (соответственно обратимым справа), ес ли существует такой элемент 1 e (соответственно 1 e), что r ` 1 = 1 (соответственно r = 1).

` § 2.1. Алгебры и спектры их элементов Упражнение 2.2. 1. Пусть элемент обратим слева. Обязательно ли элемент 1 единственный?

` 2. Докажите, что если элемент обратим и слева, и справа, то он обратим и 1 = 1 = 1.

r ` 3. Докажите, что если алгебра e конечномерна и элемент e обра тим слева (или справа), то он обратим.

4. Верно ли предыдущее утверждение для произвольной алгебры e?

Посмотрим, как выглядят обратимые элементы в рассмотренных выше примерах.

Пример 2.3. 1. В алгебрах C и C(t) любой ненулевой элемент обра тим.

2. Многочлен p C[t] обратим deg p = 0 (т. е. p | постоянная функция).

3. Формальный степенной ряд = n tn C[[t]] обратим 0 = n= (проверьте!).

4. Элемент f p () обратим f(x) = 0 ни для какого x. То же самое верно и в алгебрах g(), g (w) и O( ).

5. Элемент f () обратим существует такое 4 b 0, что |f (x)| b 4 для всех x.

6. Оператор L (i) обратим он биективен.

7. Пусть i | банахово пространство. Оператор B(i) обра тим он биективен.

Замечание 2.1. В отличие от п. 6, который тривиален, п. 7 | это следствие (на самом деле эквивалентная формулировка) теоремы Ба наха об обратном операторе: если линейный ограниченный оператор между банаховыми пространствами биективен, то обратный оператор тоже ограничен.

Упражнение 2.3. Верно ли утверждение из п. 7, если i | (всего лишь) нормированное пространство?

Вот, наконец, основное определение.

Пусть e | унитальная алгебра, и пусть e.

Определение 2.5.

называется множество Спектром элемента 'A () = {! C : элемент !1 необратим}X 18 2. Спектр и его простейшие свойства Пример 2.4. Пусть e = p (), и пусть f e. С учетом примера 2.3 (4) мы видим, что ! '(f) f !1 необратим x : (f !1)(x) = x : f(x) = ! ! f()X Таким образом, '(f) = f() (спектр функции совпадает с множеством ее значений). Очевидно, аналогичная ситуация имеет место в алгебрах g(), g (w) и O( ).

Замечание 2.2. Из предыдущего примера видно, что спектр элемен та алгебры может быть любым непустым подмножеством в C. В самом деле, если дано подмножество C, =, то = 'A () для e = p () и функции (t) = t.

Упражнение 2.4. Пусть f (). Докажите, что '` (S) (f) = f() (замыкание множества f()).

Упражнение 2.5. 1. Опишите спектры элементов алгебр C[t], C(t) и C[[t]].

2. Придумайте алгебру e и элемент e, спектр которого пуст.

Пример 2.5. Пусть e = L (i), где i | конечномерное векторное пространство, и пусть L (i). Тогда '( ) = {! C : Ker( !1E ) = {0}} | множество собственных значений оператора. Это сразу следует из того факта, что инъективный оператор в конечномерном пространстве обратим.

Упражнение 2.6. Покажите, что в случае бесконечномерного про странства i это, вообще говоря, не так.

Замечание 2.3. Конечно, собственные значения оператора всегда принадлежат его спектру, вне зависимости от того, конечномерно про странство i или нет (неинъективный оператор не может быть обрати мым).

Посмотрим, как ведут себя спектры под действием гомоморфизмов.

9: e f | унитальный гомоморфизм.

Предложение 2.1. Пусть (1) Если элемент e обратим, то и элемент 9() f обратим и 9()1 = 9(1 ).

(2) Для любого e справедливо включение 'B (9()) 'A ().

Доказательство (набросок). Утверждение (1) тривиально, а для до казательства (2) достаточно применить (1) к элементу !1.

§ 2.1. Алгебры и спектры их элементов Как следствие из предыдущего предложения, если Замечание 2.4.

e | унитальная алгебра, а f e | подалгебра, содержащая единицу алгебры e, то 'A () 'B () для любого f. При этом может ока заться, что 'A () = 'B () (ср. упражнение 2.4 и пример 2.4).

Определение 2.6. Пусть e | унитальная алгебра, а f e | подал гебра, содержащая единицу e. Тогда подалгебра f называется напол ненной, если каждый ее элемент, обратимый в e, обратим и в f.

Предложение 2.2. Пусть e | унитальная алгебра, f | ее наполнен ная подалгебра. Тогда 'A () = 'B () для любого f.

Например, если | топологическое пространство, то g() | на полненная подалгебра в p (). С другой стороны, для любого бесконеч ного множества подалгебра () p () наполненной не является (см. пример 2.4 и упражнение 2.4).

Еще одно любопытное свойство спектра состоит в том, что спектр произведения «почти» не зависит от порядка сомножителей. Пусть, по-прежнему, e | унитальная алгебра.

Лемма 2.1. Элемент 1 обратим элемент 1 обратим.

Наводящее соображение. Предположим, что e = C, и забудем, что умножение в C коммутативно. Предположим также, что || ` 1 и || ` 1, и положим = (1 )1. Тогда = ()n. С другой стороны, n= ()n = 1 + (1 + + ()2 + X X X) = 1 + X (1 )1 = n= Пусть элемент 1 обратим и = (1 )1.

Доказательство.

Положим d = 1 +. Прямая проверка показывает, что d(1 ) = = (1 )d = 1, т. е. d = (1 )1.

Y e справедливо равенство '() Предложение 2.3. Для любых {0} = '() {0}.

Доказательство. Пусть ! '() и ! = 0. Тогда элемент 1 ! a обратим. По лемме 2.1 элемент 1 !1 обратим. Поэтому и элемент !1 обратим, т. е. ! '().

a Упражнение 2.7. 1. Постройте пример такой алгебры e и таких эле ментов Y e, что '() = '().

2) Докажите, что если алгебра e конечномерна, то '() = '() для любых Y e.

20 2. Спектр и его простейшие свойства § 2.2. Банаховы алгебры Итак, в чисто алгебраической ситуации спектр элемента алгебры может быть любым непустым подмножеством комплексной плоскости (замечание 2.2), а может быть и пустым (упражнение 2.5). С другой стороны, мы видели, что спектр любого элемента алгебры () ком пактен и непуст (упражнение 2.4). Наша ближайшая цель | показать, что последнее свойство имеет место в любой банаховой алгебре.

Определение 2.7. Нормированная алгебра | это нормированное про странство e над C, снабженное структурой алгебры так, что для всех Y e. Если алгебра e унитальна, то дополнительно требуется, чтобы выполнялось условие 1 = 1. Банахова алгебра | это полная нормированная алгебра.

Условие (называемое субмультипликативностью, а иногда просто мультипликативностью нормы) может показаться на первый взгляд довольно неестественным, не говоря уже об условии 1 = 1. (Иногда бывает так, что сразу и не скажешь | есть в алге бре единица или нет...) Оказывается, можно добиться выполнения этих двух условий, заменив норму на эквивалентную, | лишь бы умножение в алгебре e было непрерывно.

Напоминание 2.1. Пусть iY p | нормированные пространства. Ли нейный оператор : i p непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен, т. е. существует такое g b 0, что x g x для всех x i. Наименьшее g с таким свойством называется нормой операто ра.

Упражнение 2.8. Пусть iY pY q | нормированные пространства. До кажите, что билинейный оператор : i p q непрерывен он ограничен, т. е. существует такое g b 0, что (xY y) g x y для всех x i, y p.

Как следствие, умножение в нормированной алгебре непрерывно.

Напоминание 2.2. Пусть · 1 и · 2 | две нормы на векторном пространстве i. Говорят, что норма · 1 мажорирует норму · (и пишут · 1 · 2 или · 2 · 1 ), если существует такая кон станта g b 0, что x 2 g x 1 для каждого x i. Нормы · 1 и · эквивалентны ( · 1 · 2 ), если · 1 · 2и · 2 · 1.

Пусть Ti | топология на векторном пространстве i, порожденная нормой · i (i = 1Y 2). Тогда топология T1 не слабее, чем T2.

·1 · § 2.2. Банаховы алгебры Как следствие, нормы эквивалентны они задают одну и ту же топо логию.

e Предложение 2.4. Пусть | алгебра, снабженная нормой, причем eee e оператор умножения непрерывен. Тогда на существу ет субмультипликативная норма ·, эквивалентная исходной. Если e алгебра унитальна, то эту норму можно выбрать так, чтобы вы полнялось равенство 1 = 1.

Доказательство. Ввиду упражнения 2.8 существует такое g b 0, что g для всех Y e. Тогда, как легко проверить, нор ма · = g · субмультипликативна. Предположим теперь, что ал гебра e унитальна. Для e рассмотрим оператор va : (eY · ) (eY · ), va () =, и положим = va. Непосредственная про верка показывает, что норма · обладает нужными свойствами.

Посмотрим теперь на несколько основных примеров банаховых ал гебр, с которыми нам предстоит работать.

Пример 2.6. Основной для нашего курса пример | это алгебра B(i) ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве i. Вви ду теоремы Банаха об обратном операторе B(i) | наполненная под алгебра в L (i).

Алгебра (), где | произвольное множество, яв Пример 2.7.

ляется банаховой относительно равномерной нормы f = sup |f (x)|.

xX Пример 2.8. Пусть | компактное топологическое пространство.

Тогда алгебра непрерывных функций g() | замкнутая подалгебра в () и, как следствие, банахова алгебра. Отметим, что g() | на полненная подалгебра в ().

Пусть g n [Y ] | алгебра n раз непрерывно дифферен Пример 2.9.

цируемых функций на отрезке [Y ]. Она наделяется нормой f = = max f (k), задающей равномерную сходимость со всеми (вплоть 0kn до n-й) производными. Следующее упражнение показывает, что если немного «подправить» норму, то g n [Y ] становится банаховой алге брой.

1. Докажите полноту алгебры g n [Y ] относитель Упражнение 2.9.

но введенной нормы, а также непрерывность умножения.

2. Укажите субмультипликативную норму на g n [Y ], эквивалент ную исходной.

22 2. Спектр и его простейшие свойства Пример 2.10 (алгебры измеримых функций). Пусть | произволь ное множество, 2X | семейство всех его подмножеств. Напомним, что семейство множеств A 2X называется '-алгеброй, если оно обладает следующими свойствами:

1) A ;

2) если A, то \ A ;

3) если {n } A, то n A.

n= n Пусть A | '-алгебра подмножеств. Напомним, что функция f :

C называется A -измеримой, если f 1 () A для любого открытого множества C. Обозначим через fA () множество всех A -измери мых ограниченных функций на. Из свойств измеримых функций, обычно доказываемых в курсе теории меры, следует, что fA () | за мкнутая наполненная подалгебра в () и, следовательно, банахова алгебра относительно равномерной нормы.

Выделим один важный частный случай. Пусть | топологическое пространство, а A | '-алгебра его борелевских подмножеств, т. е. наи меньшая '-алгебра, содержащая все открытые множества. В этом случае A -измеримые функции называются борелевскими, а алгебру fA () мы будем обозначать просто f().

Другой важный частный случай возникает, когда на A задана '-ад дитивная положительная мера, т. е. функция ": A [0Y +), облада ющая тем свойством, что " n = "(n ) для любой последо n=1 n= вательности {n } A попарно не пересекающихся множеств. Трой ка (Y A Y ") называется пространством с мерой. В этом случае суще ствует стандартный способ «расширить» (точнее, «пополнить») '-алге бру A, добавив к ней все "-измеримые множества. Полученная '-алге бра M содержит A, и мера " единственным образом продолжается до '-аддитивной меры на M. Функции на, измеримые относительно M, обычно называют "-измеримыми или просто измеримыми. Соответ ствующая банахова алгебра fM () ограниченных измеримых функций содержит алгебру fA (), но не совпадает с ней при M = A. В част ности, для отрезка [Y ], снабженного мерой Лебега, f[Y ] = fM [Y ] (поскольку измеримых по Лебегу множеств больше, чем борелевских).

L (X;

)). Пусть (Y ") = (Y A Y ") | про Пример 2.11 (алгебра странство с мерой. Напомним, что измеримые функции fY g : C называются "-эквивалентными (или просто эквивалентными), если они совпадают почти всюду, т. е. если "{x : f(x) = g(x)} = 0. Класс эквивалентности функции f временно обозначим через [f]. Измеримая функция f : C называется существенно ограниченной, если она § 2.2. Банаховы алгебры ограничена на некотором множестве i, удовлетворяющем условию "( \ i) = 0. (По-другому можно сказать и так: функция существен но ограничена, если она эквивалентна ограниченной.) Существенной верхней гранью функции f называется величина ess sup |f | = inf{ f|E : i Y "( \ i) = 0}X Очевидно, ни свойство быть существенно ограниченной, ни величина ess sup |f | не меняются при замене функции на эквивалентную. Про странство v (Y ") состоит по определению из классов эквивалентно сти существенно ограниченных измеримых функций на. При этом неважно, рассматривать ли M-измеримые или только A -измеримые функции: дело в том, что любая M-измеримая функция эквивалентна A -измеримой. Нетрудно проверить (проверьте, если никогда раньше этого не делали), что v (Y ") | банахово пространство относительно нормы, корректно определенной равенством [f] = ess sup |f | для лю бого представителя f [f]. Также легко проверяется, что v (Y ") | банахова алгебра относительно поточечного умножения. В дальнейшем мы, как обычно, будем допускать некую вольность речи и говорить о «функциях из v (Y ")», подразумевая при этом, конечно, что речь идет о классах эквивалентности.

Чтобы выяснить взаимосвязь алгебр из двух предыдущих примеров, нам понадобится понятие факторалгебры. Вначале напомним чисто ал гебраическое определение.

Определение 2.8. Пусть e | алгебра. Линейное подпространство s e называется левым идеалом (соответственно правым идеалом), если s для любых e и s (соответственно для любых s и e). Подпространство, являющееся одновременно и левым, и пра вым идеалом, называется двусторонним идеалом.

Если s e | двусторонний идеал, то факторпространство eas является алгеброй относительно умножения, корректно определенного формулой ( + s)( + s) = + s.

Пусть теперь i | банахово пространство, а i0 i | замкнутое ли нейное подпространство. На факторпространстве iai0 имеется нор ма, заданная формулой x + i0 = inf{ x + y : y i0 }. Иными сло вами, норма класса эквивалентности x + i0 равна расстоянию от не го до нуля. Топология, задаваемая этой нормой, | это фактортополо гия, т. е. сильнейшая топология, в которой отображение i iai0, x x + i0, непрерывно. Относительно введенной нормы iai0 явля ется банаховым пространством (проверьте!).

24 2. Спектр и его простейшие свойства Наконец, пусть e | банахова алгебра, а s e | замкнутый дву сторонний идеал. Тогда eas | это алгебра и одновременно банахово пространство.

Упражнение 2.10. Докажите, что норма на eas субмультипликатив на. Кроме того, докажите, что если алгебра e унитальна и 1A = 1, то и 1A=I = 1.

Таким образом, факторалгебра eas банаховой алгебры e по любому замкнутому двустороннему идеалу s сама является банаховой алгеброй.

Упражнение 2.11. Пусть (Y ") | пространство с мерой. Положим s0 = {f fA (): f = 0 почти всюду}. Проверьте, что s0 | замкнутый идеал в fA () и что факторалгебра fA ()as0 изометрически изо морфна v (Y ").

Предложение 2.5. Существенно ограниченная функция f : C является обратимым элементом алгебры v (Y ") тогда и только тогда, когда "(f 1 ()) = 0 для некоторой окрестности нуля C.

Доказательство. Очевидно, f | обратимый элемент v (Y ") то гда и только тогда, когда функция 1af определена и ограничена на не котором подмножестве i, удовлетворяющем условию "( \ i) = 0.

Последнее условие эквивалентно тому, что для некоторого 4 b 0 всю ду на i справедливо неравенство |f (x)| 4. Следовательно, в качестве нужной окрестности подойдет 4-окрестность нуля в C. Обратно, если окрестность с указанным свойством существует, то можно положить i = \ f 1 ().

Определение 2.9. Пусть f : C | измеримая функция. Точка !C называется существенным значением функции f, если "(f 1 ()) b для любой окрестности !, C.

Следствие 2.1. Пусть f v (Y "). Тогда спектр этой функции '(f) совпадает с множеством ее существенных значений.

Упражнение 2.12. Убедитесь, что множество существенных значе ний существенно ограниченной измеримой функции | непустой ком пакт в C.

Из примеров, приведенных в этом и предыдущем параграфах, вид но, что для многих функциональных алгебр спектры их элементов или совпадают, или «почти совпадают» с множествами значений соответ ствующих функций. Скоро мы увидим, что это «почти» можно убрать, если надлежащим образом «подправить» область определения функции.

§ 2.3. Спектры элементов банаховых алгебр А сейчас посмотрим на пример алгебры, в которой, на первый взгляд, это совсем не так.

Пример 2.12 (две алгебры аналитических функций). Пусть u | компактное подмножество в C, Int u | его внутренность. Рассмотрим следующие замкнутые подалгебры в g(u):

p C[t]} (замыкание в g(u))Y P(u) = {p|K :

A (u) = {f g(u): функция f|Int K голоморфна}X Очевидно, P(u) A (u), и A (u) | наполненная подалгебра в g(u).

Положим D = {z C : |z| ` 1} и T = {z C : |z| = 1}. Алгебра A (D) называется дисковой алгеброй.

Упражнение 2.13. Проверьте, что 1) P(D) = A (D);

2) P(T) = A (T);

3) алгебры P(T) и A (D) изометрически изоморфны.

Упражнение 2.14. Покажите, что спектр 'P(T) (f) функции f P(T) не совпадает с множеством f(T), если только f не постоянна. Как следствие, подалгебра P(T) g(T) не является наполненной. Опишите множество 'P(T) (f).

§ 2.3. Спектры элементов банаховых алгебр Прежде чем говорить о спектрах, посмотрим на некоторые общие свойства группы обратимых элементов в банаховой алгебре.

e | унитальная банахова алгебра.

Теорема 2.1. Пусть (1) Если e, и ` 1, то элемент 1 обратим и (1 )1 = n.

= n= (2) Множество обратимых элементов Inv(e) открыто в e.

(3) Отображение Inv(e) Inv(e), 1, непрерывно.

n n k k, а алгебра e (1) Поскольку Доказательство.

k=0 k= полна, мы видим, что указанный в (1) ряд сходится в e при ` n k. Легко ви к некоторому e. Для каждого n положим n = k= деть, что (1 )n = n (1 ) = 1 n+1. При n получаем (1 ) = (1 ) = 1, т. е. = (1 )1, как и требовалось.

26 2. Спектр и его простейшие свойства (2) Для каждого Inv(e) отображение va : e e,, явля ется гомеоморфизмом алгебры e на себя и переводит Inv(e) в Inv(e).

Поэтому если множество Inv(e) открыто в e и содержит единицу (а такое множество существует в силу (1)), то va () открыто в e и содержит.

(3) Проверим, что отображение 1 непрерывно в единице. Для этого надо показать, что для любого 4 b 0 найдется такое  b 0, что при 1 ` , Inv(e) выполнено неравенство 1 1 ` 4.

Возьмем сперва произвольный элемент e, удовлетворяющий n, от условию ` 1. Тогда из (1) следует, что (1 )1 = 1 + n= куда получаем n= b (1 )1 1 X (2.1) b n= Пусть  b 0 таково, что  ` 1 и a(1 ) ` 4. Тогда если 1 ` , то, подставляя = 1 в неравенство (2.1), мы получаем 1 1 ` 4, как и требовалось. Таким образом, отображение 1 непрерывно в единице. Остается воспользоваться следующим общим фактом.

Упражнение 2.15. Пусть q | группа, снабженная топологией, при чем операция умножения q q q непрерывна, а операция взятия обратного элемента q q непрерывна в единице. Докажите, что опе рация взятия обратного элемента непрерывна на q.

В качестве забавного приложения установим один результат об «ав томатической непрерывности». Вначале напомним следующее опреде ление.

Определение 2.10. Пусть e | алгебра над C. Гомоморфизмы из e в C называются ее характерами.

Замечание 2.5. Заметим, что ненулевой характер унитальной алге бры унитален (поскольку он сюръективен).

Следствие 2.2. Любой характер унитальной банаховой алгебры не прерывен, и его норма не превосходит единицы.

Доказательство. Если характер 1: e C разрывен, или же если он непрерывен, но 1 b 1, то существует такой элемент e, ` 1, что 1() = 1. По теореме 2.1 элемент 1 обратим. Следовательно, таков же и элемент 1(1 ) C. Но последний элемент равен нулю.

Противоречие.

§ 2.3. Спектры элементов банаховых алгебр Замечание 2.6. Для сравнения напомним, что на любом бесконеч номерном нормированном пространстве существует разрывный линей ный функционал.

Упражнение 2.16. Какие утверждения из теоремы 2.1 сохраняют си лу для нормированных алгебр? Сохраняет ли силу следствие 2.2?

Теперь обратимся к спектрам.

e e | ее Теорема 2.2. Пусть | унитальная банахова алгебра, элемент. Тогда '() (1) | компактное подмножество в C;

! '(), (2) если то |!|.

Начнем с (2). Если |!| b, то !1 ` 1, поэто Доказательство.

му элемент 1 ! обратим по предыдущей теореме. Значит, и эле мент !1 обратим, т. е. ! '(). Это доказывает (2) и, как следствие, a ограниченность спектра '(). Осталось доказать его замкнутость. Для этого рассмотрим отображение 9: C e, 9(!) = !1, и заметим, что множество C \ '() = 91 (Inv(e)) открыто ввиду непрерывности отображения 9 и предыдущей теоремы. Следовательно, множество '() замкнуто, как и требовалось.

Итак, спектр любого элемента в банаховой алгебре компактен. По кажем теперь, что он непуст. Для этого введем следующее понятие.

Определение 2.11. Пусть e | унитальная банахова алгебра, e | ее элемент. Резольвентной функцией называется функция a : C \ '() eY a (!) = ( !1)1 X Лемма 2.2. Функция a непрерывна на C \ '(), и lim a (!) = 0.

 Доказательство. Непрерывность функции a сразу следует из не прерывности взятия обратного элемента в Inv(e) (теорема 2.1). Далее, a (!) = ( !1)1 = |!|1 (1 !1 )1 X Первый сомножитель в последнем выражении стремится к нулю при !, а второй | к единице в силу непрерывности взятия обратного элемента. Дальнейшее очевидно.

Оказывается, резольвентная функция не только непрерывна, но и голоморфна в следующем смысле.

Определение 2.12. Пусть i | банахово пространство, а C | от крытое множество. Функция 9: C называется голоморфной, если 28 2. Спектр и его простейшие свойства 9(z) 9(z0 ) для каждого z0 существует предел zz lim. Этот предел z z называется производной функции 9 в точке z0 и обозначается 9 (z0 ).

Замечание 2.7. Если 9: i | голоморфная функция, то для лю бого непрерывного линейного функционала f i функция f 9:

C голоморфна в обычном смысле и (f 9) (z) = f(9 (z)) для всех z. Верно и обратное утверждение (т. е. из голоморфности функции f 9 для всех f i следует голоморфность функции 9), но оно нам не понадобится.

Предложение 2.6 (тождество Гильберта). Резольвентная функция ") удовлетворяет тождеству a (!) a (") = (! a (!)a (").

Доказательство. Достаточно домножить обе части равенства слева на !1 и справа на "1.

Отсюда и из непрерывности резольвентной функции немедленно следует такой результат.

a голоморфна на допол Предложение 2.7. Резольвентная функция и a (z) = a (z)2 для любого '(), z C \ '().

нении C \ Напоминание 2.3. Прежде чем доказывать непустоту спектра, на помним одно важное следствие из теоремы Хана|Банаха: если i | нормированное пространство, то для любого x i, x = 0, найдется такой функционал f i, что f(x) = 0.

Теорема 2.3. Спектр любого элемента ненулевой унитальной бана ховой алгебры непуст.

Доказательство. Предположим противное;

пусть '() =. Зафик сируем функционал f e и положим 9f = f a : C C. Из пред ложения 2.7, замечания 2.7 и леммы 2.2 следует, что 9f | это целая функция, стремящаяся к нулю на бесконечности. По теореме Лиувил ля 9f 0. Поскольку функционал f произволен, вышеупомянутое след ствие из теоремы Хана|Банаха влечет за собой равенство a (!) = для всех ! C. С другой стороны, элемент a (!) обратим. Противо речие.


Вот одно любопытное приложение.

e Теорема 2.4 (Гельфанд, Мазур). Пусть | ненулевая банахова ал гебра с делением (т. е. унитальная банахова алгебра, в которой любой e ненулевой элемент обратим). Тогда алгебра изоморфна C.

§ 2.4. Полиномиальное и рациональное исчисления Доказательство. Возьмем произвольный элемент e. Поскольку '() =, элемент !1 необратим для некоторого ! C. Но e | алге бра с делением;

значит, !1 = 0, т. е. = !1. Ввиду произвольности элемента e получаем e = C1, как и требовалось.

Верна ли теорема Гельфанда|Мазура для норми Упражнение 2.17.

рованных алгебр?

§ 2.4. Полиномиальное и рациональное исчисления Вернемся ненадолго из функционального анализа в чистую алгебру.

Пусть e | унитальная алгебра, e | фиксированный элемент.

Следующее понятие уже упоминалось во введении в контексте ли нейных операторов.

от называется Определение 2.13. Полиномиальным исчислением унитальный гомоморфизм p : e, удовлетворяющий условию C[t] p (t) =.

e полиномиальное исчисление от Предложение 2.8. Для любого существует и единственно.

В дальнейшем для любого f вместо p (f) мы будем иногда C[t] писать f().

'() =, то '(f()) = Теорема 2.5 (об отображении спектра). Если = f('()) для любого f C[t].

Для доказательства теоремы понадобится следующая лемма.

YXXXY e n | коммутирующие элементы. То Лемма 2.3. Пусть XXX YXXXY n n обратимы.

гда элемент 1 обратим все элементы Докажите эту лемму.

Упражнение 2.18.

Упражнение 2.19. 1. Покажите, что для некоммутирующих элемен тов 1 Y X X X Y n утверждение леммы перестает быть верным.

2. Покажите, что при dim e ` лемма верна и для некоммутирую щих элементов 1 Y X X X Y n.

Доказательство теоремы. Случай deg f = 0 тривиален (почему?).

Пусть deg f b 0. Возьмем произвольное ! C и разложим многочлен f ! на множители: f(t) ! = (t !1 ) X X X (t !n ), где = 0. Очевидно, {!1 Y X X X Y !n } = f 1 (!). Поскольку f() !1 = ( !1 1) X X X ( !n 1), из 30 2. Спектр и его простейшие свойства леммы 2.3 следует, что ! '(f()) элемент f() !1 необратим i : элемент !i 1 необратим '() f 1 (!) = ! f('())Y как и требовалось.

Упражнение 2.20. Докажите следующие утверждения.

1. В унитальной банаховой алгебре не существует элементов Y, коммутатор которых [Y ] = равен 1.

2. Тем не менее, элементы с указанным свойством существуют в ал гебре L (i), где i | подходящее (а на самом деле | любое) бесконеч номерное векторное пространство.

Замечание 2.8. Во введении уже упоминалось, что наблюдаемые в квантовой механике интерпретируются как самосопряженные опера торы в гильбертовом пространстве. При этом оказывается, что коор дината частицы q и ее импульс p должны быть связаны соотношением [qY p] = i 1, где | постоянная Планка. Последнее соотношение назы вается коммутационным соотношением Гейзенберга и отражает тот факт, что координата и импульс не могут быть одновременно точно измерены («принцип неопределенности»). Из предыдущего упражнения следует, что ограниченных операторов с таким свойством не существу ет. Поэтому для нужд квантовой механики приходится использовать неограниченные операторы (причем, как правило, не всюду определен ные), а с ними намного сложнее работать...

Вот еще одно полезное свойство спектра.

Упражнение 2.21. 1. Пусть e | унитальная алгебра, e | обра тимый элемент. Докажите, что '(1 ) = {!1 : ! '()}. (Или, более коротко, '(1 ) = '()1.) 2. Пусть i | банахово пространство, B(i) | обратимый изо метрический оператор. Докажите, что '( ) T.

Перейдем теперь от полиномиального исчисления к рациональному.

Для произвольного подмножества w C обозначим через (w) подал гебру в C(t), состоящую из рациональных функций с полюсами вне w.

Иначе говоря, (w) = {f C(t) : pY q C[t]Y f = paqY q(z) = 0 z w}X Пусть, как и прежде, e | унитальная алгебра, e | фиксирован ный элемент.

§ 2.4. Полиномиальное и рациональное исчисления Определение 2.14. Рациональным исчислением от на w называет ся унитальный гомоморфизм r : (w) e, удовлетворяющий условию r (t) =.

Если рациональное исчисление от на w существует, то оно явля ется продолжением полиномиального в очевидном смысле. Поэтому для f (w) вместо r (f) обычно пишут просто f().

w Теорема 2.6. Рациональное исчисление от на существует то '() w;

гда и только тогда, когда при этом оно единственно.

Доказательство (набросок). Предположим, что '() w. Возьмем функцию f (w) и представим ее в виде f = paq, где p и q | полино мы и q не обращается в нуль на w. Из теоремы об отображении спектра следует, что элемент q() e обратим. Положим r (f) = p()q()1. Не посредственная проверка показывает, что r : (w) e | корректно определенный гомоморфизм. Единственность гомоморфизма r очевид на (см. предложение 2.1 (1)). Необходимость условия '() w проверь те сами в качестве упражнения.

Замечание 2.9 (для знакомых с основами коммутативной алгебры).

Заметим, что алгебра (w)|это в точности кольцо частных C[t] отно сительно мультипликативной системы = {q C[t] : q(z) = 0 z w}.

Поэтому существование и единственность рационального исчисления сразу следуют из универсального свойства колец частных с учетом то го, что элемент p (q) обратим в алгебре e для любого q.

Следующая теорема | это, по сути, тривиальная переформулиров ка теоремы 2.6. Польза от такой переформулировки в том, что она позволяет взглянуть на теорему о рациональном исчислении не с «ин дивидуальной», а с «коллективной» точки зрения.

e w Теорема 2.7. Пусть | унитальная алгебра, C | произволь ное подмножество. Существуют канонические биекции унитальные гомоморфизмы { e : '() w} X (w) e Здесь стрелка, действующая слева направо, сопоставляет элементу e w, его рациональное исчисление на а стрелка, действующая % (w) e :

справа налево, сопоставляет гомоморфизму элемент %(t), t(z) z z w.

= для любого где Каждой функции f (w) можно присвоить значение в произ вольной точке z w. Для этого представим f в виде f = paq, где pY q C[t] и q не обращается в нуль на w, и положим по определению 32 2. Спектр и его простейшие свойства ~ f(z) = p(z)aq(z). Получаем «настоящую» функцию f на w, заданную ~ ~ по правилу f(z) = f(z) для всех z w. Сопоставление f f является унитальным гомоморфизмом из (w) в CM. Отметим, что этот гомо морфизм инъективен тогда и только тогда, когда w бесконечно;

в этом случае (w) можно считать подалгеброй в CM.

Упражнение 2.22 (теорема об отображении спектра). Пусть = = '() w. Докажите, что '(f()) = f('()) для любой функции f (w).

Замечание 2.10. Очевидно, f является обратимым элементом алге бры (w) тогда и только тогда, когда f(z) = 0 ни в одной точке мно ~ жества w, т. е. когда f | обратимый элемент алгебры CM. Поэтому ~ 'R(M) (f) = 'C (f) = f(w)X M А теперь положим в предыдущем упражнении w = '(). С учетом ска занного выше равенство '(f()) = f('()) можно переписать так:

'A (r (f)) = 'R((a)) (f)X Иными словами, гомоморфизм r «сохраняет спектр» (напомним, что в общем случае гомоморфизм «не увеличивает спектр»;

ср. предложе ние 2.1 (2)). С явлениями такого рода мы встретимся еще неоднократно.

§ 2.5. Спектральный радиус Пусть e | унитальная банахова алгебра, e | фиксированный элемент.

r() = sup{|!|: ! '()} называется Определение 2.15. Число спек e.

тральным радиусом элемента Поскольку '() | непустой компакт в C, спектральный радиус лю бого элемента определен и конечен. Кроме того, из теоремы 2.2 (2) сразу следует, что r().

Легко видеть, что в алгебре e = () для любого Пример 2.13.

e справедливо равенство r() =. То же самое верно и в любой ее наполненной подалгебре | в частности в алгебрах g() и fA ().

Верно ли, что r() = в алгебре v (Y ")?

Упражнение 2.23.

g n [Y ]?

А в алгебре § 2.5. Спектральный радиус Упражнение 2.24. Пусть e = B(Cn ), где Cn снабжено евклидовой нормой. Предположим, что оператор B(Cn ) записывается в неко тором ортонормированном базисе диагональной матрицей. Докажите, что r( ) =.

Пример 2.14. Пусть e = B(C2 ), а оператор записывается матри цей = 0 1 (см. пример 1.2). Тогда '( ) = {0}, поэтому и r( ) = 0;

с другой стороны, = 0.

Кстати, как видно из следующего упражнения, примеров такого ро да можно построить довольно много.

Упражнение 2.25. Пусть e | произвольная унитальная алгебра, e | нильпотентный элемент (т. е. n = 0 для некоторого n). Докажи те, что '() = {0}.

Напоминание 2.4. Прежде чем доказывать следующую теорему, на помним одно следствие из теоремы Банаха|Штейнгауза.

i w i Пусть | нормированное пространство, | подмноже f i f(w) множество ство. Предположим, что для любого C w ограничено. Тогда и ограничено.

e | унитальная банахова Теорема 2.8 (формула Бёрлинга). Пусть e.

алгебра, и пусть Тогда r() = n n n 1=n = inf 1=n X lim n Достаточно установить, что r() inf n 1=n Доказательство.

n и r() lim n 1=n ;

отсюда будет следовать как существование ука n занного в формулировке предела, так и его совпадение с r().

Если ! '(), то !n '(n ) ввиду теоремы об отображении спектра.

Поэтому |!n | n и |!| n 1=n. Взяв inf по n N, а затем sup по ! '(), получаем неравенство r() inf n 1=n.

n Для доказательства второго неравенства возьмем круг h = {! C :

|!| ` 1ar()} (если r() = 0, то h = C), зафиксируем функционал f e и рассмотрим функцию 2f (!) = f((1 !)1 ), заданную на h.

Напомним, что функция ! (1 !)1 = !1 a (!1 ) голоморфна в h \ {0} и стремится к 1 при ! 0 (см. предложение 2.7 и теорему 2.1).

Следовательно, функция 2f голоморфна в h (по теореме об устрани мой особенности) и поэтому разлагается в ряд Тейлора: 2f (!) = n !n n для всех ! h.

34 2. Спектр и его простейшие свойства Если |!| ` 1a, то (1 !)1 = (!)n (см. теорему 2.1). Поэтому n 2f (!) = f(n )!n для всех таких !. Пользуясь единственностью ряда n Тейлора, заключаем, что n = f(n ) для всех n.


Зафиксируем произвольное ! h, ! = 0. Поскольку ряд f(n )!n n сходится, последовательность {f (n )!n } ограничена. Но это верно для любого f e, поэтому из теоремы Банаха|Штейнгауза следу ет, что последовательность {!n n } ограничена в e, т. е. !n n g для некоторого g b 0 и всех n. Переписывая полученное неравенство в виде n 1=n g 1=n a|!| и переходя к верхнему пределу, получаем lim n 1=n 1a|!|. Ввиду произвольности точки ! h \ {0} отсюда n следует, что lim n 1=n r(), как и требовалось.

n Итак, оба нужных неравенства установлены, и теорема доказана.

'() = {0} Следствие 2.3. (Ср. упражнение 2.25.) Равенство экви валентно тому, что lim n 1=n = 0.

n Элемент e называется квазинильпотентным, Определение 2.16.

если он удовлетворяет условию предыдущего следствия.

Упражнение 2.26. В каких банаховых алгебрах из приведенных ра нее примеров существуют квазинильпотентные элементы, не являющи еся нильпотентными?

Напомним, что спектр элемента может уменьшиться, если его рас сматривать как элемент некоторой большей алгебры. Тем не менее, из доказанной теоремы следует, что спектральный радиус уменьшиться не может.

e f e| Следствие 2.4. Пусть | унитальная банахова алгебра, f. r r f.

замкнутая подалгебра, 1A Тогда B () = A () для любого Следующее упражнение усиливает это следствие. В дальнейшем для каждого подмножества w C символом dw мы будем обозначать его границу.

Упражнение 2.27. В условиях предыдущего следствия докажите, что d'B () d'A () для любого f.

Определение 2.17. Пусть e | унитальная банахова алгебра, e.

Объединение спектра '() и всех ограниченных компонент связности его дополнения называется полным спектром элемента и обознача ется 'f ().

§ 2.5. Спектральный радиус С геометрической точки зрения, 'f () получается из '() «заклеи ванием дыр».

Упражнение 2.28. В условиях следствия 2.4 докажите, что 'f;

B () = = 'f;

A () для любого f.

Полезно посмотреть, во что превращается результат последнего упражнения при e = A (u) и f = P(u) (например, для u = T и функ ции (z) = z).

Литературные указания Бльшая часть материала этой главы содержится в книге А. Я. Хе о лемского [29];

см. также его недавний учебник [30]. Хорошее, крат кое и доступное введение в теорию банаховых алгебр | дополнение В. М. Тихомирова к книге [15]. Добротное (хотя и несколько педантич ное) изложение есть в книге Бурбаки [4]. Классическая монография по банаховым алгебрам, до сих пор не утратившая своего значения, | книга М. А. Наймарка [21]. Банаховы алгебры аналитических функ ций A (u) и P(u) (см. пример 2.12) подробно обсуждаются в книге Т. Гамелина [5]. По поводу основных понятий теории банаховых алгебр см. также [26, 20, 10].

3. ЧАСТИ СПЕКТРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА § 3.1. Точечный, непрерывный и остаточный спектры.

Операторы умножения От общих банаховых алгебр перейдем теперь к алгебре ограничен ных операторов B(i), где i | банахово пространство, и посмотрим, как устроены спектры некоторых «классических» операторов.

Пример 3.1 (диагональный оператор). Пусть i | это либо p (где 1 p ), либо 0 (напомним, что 0 | это пространство всех стре мящихся к нулю последовательностей, снабженное sup-нормой). Таким образом, элементы пространства i | это последовательности x = (xn ), удовлетворяющие тем или иным условиям. Каждой ограниченной по следовательности ! соответствует оператор w B(i), действу ющий по правилу w (x) = (!n xn ) для всех x = (xn ) i.

Упражнение 3.1. Докажите, что отображение 9: B(i), !

w, является изометрическим унитальным гомоморфизмом банахо вых алгебр. В частности, установите, что w = ! = sup |!n |.

n 9, Предложение 3.1. Гомоморфизм описанный в предыдущем уп ' ' ражнении, «сохраняет спектр»: B(E) (9(!)) = ` (!). Иными словами, '(w ) = {!n }nN.

Доказательство. Достаточно показать, что Im 9 | наполненная подалгебра в B(i), т. е. что для любого необратимого элемента !

оператор w необратим.

Для каждого n N обозначим через en i последовательность с единицей на n-м месте и нулем на остальных и заметим, что w en = !n en. Если элемент ! необратим, т. е. 0 {!n }nN, то воз можны следующие случаи.

1) Существует такое n, что !n = 0. В этом случае w en = 0, поэтому оператор w не инъективен, а значит, не обратим.

2) Для каждого n имеем !n = 0. В этом случае существует подпосле довательность {!n } {!n }, стремящаяся к нулю. Поэтому w (en ) = k k = !n en 0 при k. Но обратимый оператор, будучи гомеомор k k физмом, не может переводить последовательность векторов единич ной длины в последовательность, стремящуюся к нулю. Поэтому опе ратор w необратим.

§ 3.1. Точечный, непрерывный и остаточный спектры Пример 3.2 (оператор умножения на функцию). Пусть (Y ") | про странство с мерой, и пусть i = vp (Y ") (где 1 p ). Каждая изме римая существенно ограниченная функция f : C задает оператор wf B(i), действующий по правилу (wf g)(x) = f(x)g(x).

Докажите, что отображение 9: v (Y ") B(i), Упражнение 3.2.

f wf, является изометрическим унитальным гомоморфизмом бана ховых алгебр. В частности, установите, что wf = f = ess sup |f |.

Упражнение 3.3. Докажите, что гомоморфизм 9, описанный в пре дыдущем упражнении, «сохраняет спектр»: 'B(E) (9(f)) = 'L (X;

) (f).

Иными словами, установите, что '(wf ) | это множество существенных значений функции f.

Посмотрим еще раз на доказательство предложения 3.1. На этом примере хорошо видно, что спектр оператора естественно разбить на несколько частей в зависимости от того, по какой причине соответ ствующий оператор !1 необратим.

Вообще, пусть | произвольный ограниченный оператор в i. По чему он может оказаться необратимым? Во-первых, может оказать ся, что Ker = 0 (в конечномерном случае этим все и исчерпывает ся | инъективный оператор в конечномерном пространстве обратим).

Во-вторых, возможен случай, когда Ker = 0, но Im = i (приведите пример!). Его удобно разбить на два подслучая: либо образ Im пло тен в i, либо нет. В применении к оператору = !1 это приводит к следующему определению.

оператора B(i) называ Определение 3.1. Точечным спектром ется множество 'p ( ) = {! C : Ker( !1) = 0}X оператора называется множество Непрерывным спектром 'c ( ) = {! C \ 'p ( ): Im( !1) = iY Im( !1) = i}X Наконец, остаточным спектром оператора называется множество 'r ( ) = {! C \ 'p ( ): Im( !1) = i}X Очевидно, '( ) = 'p ( ) 'c ( ) 'r ( ). Заметим, что точечный спектр 'p ( ) | это в точности множество собственных значений опе ратора. Если пространство i конечномерно, то '( ) = 'p ( ), а 'c ( ) и 'r ( ) пусты. Посмотрим, что происходит в бесконечномерном случае.

38 3. Части спектра линейного оператора Предложение 3.2. Пусть i = p (где 1 p ` ) или i = 0, и пусть w B(i) | оператор умножения на ограниченную последователь ность ! (см. пример 3.1). Тогда 'p (w )={!n }, 'c (w )={!n }\{!n } и 'r (w ) =.

Доказательство. Поскольку w en = !n en, справедливо включение {!n } 'p (w ). С другой стороны, если " C и " = !n ни для ка кого n, то w "1 = w1 | это оператор умножения на последо вательность ! "1 = (!n ") ненулевых чисел. Поэтому, очевидно, Ker(w "1) = 0 и " 'p ( ). Наконец, пусть " '(w ) = {!n }, но a " = !n ни для какого n. Тогда вектор en = (!n ")1 (w "1)en лежит в Im(w "1) для всех n. Но линейная оболочка векторов en (n N) плотна в i;

значит, и образ Im(w "1) плотен в i, т. е. " 'c (w ).

Найдите 'p (w ), 'c (w ) и 'r (w ) в случае, когда Упражнение 3.4.

i =.

Пусть i = vp (Y ") (где 1 p ` ), и пусть wf Упражнение 3.5.

B(i) | оператор умножения на существенно ограниченную измери мую функцию f : C (см. пример 3.2). Докажите, что 'p (wf ) = = {! C : "(f 1 (!)) b 0}, 'c (wf ) = '(wf ) \ 'p (wf ) и 'r (wf ) =.

Замечание 3.1. Важный частный случай упражнения 3.5 | оператор умножения на «независимую переменную» wt, действующий в v2 [0Y 1] по правилу (wt g)(x) = xg(x). У него '(wt ) = 'c (wt ) = [0Y 1], а точечный и остаточный спектр пусты.

Кстати, полезно представлять себе, какова связь между понятиями значения и существенного значения функции. Чтобы в этом разобрать ся, сделайте следующее упражнение.

Упражнение 3.6. 1. Пусть f | непрерывная функция на отрезке. До кажите, что множество ее существенных значений | это в точности множество ее значений.

2. Пусть f v (Y ");

верно ли, что каждое значение функции f является ее существенным значением?

3. Обратно, верно ли, что каждое существенное значение функции f v (Y ") является ее значением?

Найдите 'p (wf ), 'c (wf ) и 'r (wf ) в случае, когда Упражнение 3.7.

i = v (Y ").

§ 3.2. Двойственность. Операторы сдвига § 3.2. Двойственность. Операторы сдвига Чтобы находить спектры ограниченных операторов, часто бывает удобно использовать соображения двойственности.

Напоминание 3.1. Пусть iY p | банаховы пространства, : i p | ограниченный оператор. Отображение : p i, действу ющее по правилу f = f, называется сопряженным оператором к. Этот оператор также линеен, ограничен и =.

Если вы не встречались раньше со следующим фактом, обязательно докажите его в качестве упражнения.

Упражнение 3.8. Докажите, что оператор B(iY p ) | топологи ческий изоморфизм тогда и только тогда, когда | топологический изоморфизм.

Замечание 3.2. Разумеется, импликация в предыдущем упражне нии тривиальна (почему?) и верна также для неполных нормированных пространств. А вот обратная импликация существенно использует пол ноту пространств i и p (постройте соответствующий контрпример).

Поскольку ( !1E ) = !1E для любого B(i), справед ливо следующее утверждение.

Следствие 3.1. Пусть B(i);

тогда '( ) = '( ).

Итак, спектры операторов и совпадают. А что можно сказать про части спектра | непрерывный, точечный и остаточный? Для этого нам понадобится следующий несложный факт.

Упражнение 3.9. Пусть B(iY p ) | ограниченный оператор меж ду банаховыми пространствами. Докажите, что 1) Im = p Ker = 0;

2) Im = i Ker = 0;

3) обратная импликация верна, если i рефлексивно, а в общем слу чае | нет.

Применяя результат этого упражнения к оператору !1 (где B(i)), получаем следующие соотношения.

B(i). Тогда Предложение 3.3. Пусть 1) 'p ( ) 'p ( ) 'r ( );

2) 'c ( ) 'c ( ) 'r ( );

3) 'r ( ) 'p ( );

4) 'p ( ) 'p ( ) 'r ( );

5) 'c ( ) 'c ( );

40 3. Части спектра линейного оператора 6) 'r ( ) 'p ( ) 'c ( ).

i Если же пространство рефлексивно, то 7) 'c ( ) = 'c ( );

8) 'r ( ) 'p ( ).

Посмотрим на несколько классических примеров.

Пусть i = p (где 1 p ) Пример 3.3 (левый и правый сдвиги).

либо i = 0. Оператор правого сдвига r B(i) действует по прави лу r (x) = (0Y x1 Y x2 Y X X X) для x = (x1 Y x2 Y X X X) i. Очевидно, он изоме тричен, поэтому r = 1. Оператор левого сдвига ` B(i) задается формулой r (x) = (x2 Y x3 Y X X X). Он, конечно, не изометричен (поскольку имеет ненулевое ядро), но все же ` = 1 (почему?).

p ` и q таково, что 1ap + 1aq = 1 (ес Напоминание 3.2. Пусть ли p = 1, то q = ). Тогда оператор q (p ) Y y fy Y fy (x) = xi yi Y i является изометрическим изоморфизмом. Аналогичным образом опре деляется изометрический изоморфизм 1 (0 ).

С другой стороны, важно помнить следующее.

Докажите, что пространства ( ) и 1 не явля Упражнение 3.10.

ются топологически изоморфными.

Докажите, что пространства p рефлексивны при Упражнение 3.11.

1 ` p `, а пространства 0, 1 и | нет.

Если отождествить (p ) и q при помощи описанного выше изо морфизма, то оператор, сопряженный к левому сдвигу, «превратится»

в правый сдвиг и наоборот. Чтобы сказать это более строго, надо дого вориться о том, какие операторы считать «одинаковыми». Тут есть два подхода: все зависит от того, какие банаховы пространства мы счита ем «одинаковыми» | топологически изоморфные или же изометрически изоморфные1.

Определение 3.2. Пусть B(i) и B(p ) | ограниченные опе раторы в банаховых пространствах. Они называются подобными (соот ветственно изометрически эквивалентными), если существует такой 1 Для ценителей общематематических концепций: все зависит от того, в какой категории банаховых пространств мы работаем.

§ 3.2. Двойственность. Операторы сдвига топологический изоморфизм (соответственно изометрический изомор физм) : i p, что диаграмма SG i i U U  T G p p коммутативна.

Докажите, что если операторы B(i) и Упражнение 3.12.

подобны, то '() = '( ) и то же самое верно для 'p, 'c, 'r.

B(p ) p ` и 1ap + 1aq = 1. Пусть r | пра Упражнение 3.13. Пусть вый сдвиг в p (соответственно в 0 ), а ` | левый сдвиг в q (соответ ственно в 1 ). Докажите, что (r ) и ` изометрически эквивалентны.

Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение об операторах (` ) и r.

Предложение 3.4. Пусть 1 ` p ` и r Y ` B(p ) | операторы правого и левого сдвига. Тогда 1) '(r ) = '(` ) = D;

2) 'p (r ) =, 'c (r ) = T, 'r (r ) = D;

3) 'p (` ) = D, 'c (` ) = T, 'r (` ) =.

Доказательство. Во-первых, заметим, что спектры наших опера торов лежат в D, поскольку их нормы равны 1. Найдем вначале их точечные спектры. Заметим, что r x = !x (0 = !x1 )&(xn = !xn+1 n) x = 0Y поэтому 'p (r ) =. С другой стороны, ` x = !x xn+1 = !xn n xn = x1 !n1 nY поэтому вектор x = 0 является собственным для ` с собственным зна чением ! тогда и только тогда, когда последовательность (!n1 ) лежит в p, т. е. когда |!| ` 1. Следовательно, 'p (` ) = D.

Обозначим временно наши операторы через r(p) и `(p) соответ ственно. Пусть 1ap + 1aq = 1;

тогда из предложения 3.3 следует, что (q) (q) (p) (p) (p) D = 'p (` ) 'p (r ) 'r (r ) = 'r (r ) 'p (` ) = DX Значит, 'r (r ) = D. С учетом замкнутости спектра отсюда сразу сле дует, что '(r ) = D и что 'c (r ) = T. Ясно, что это верно как в p, так и в q ;

поэтому из следствия 3.1 и предложения 3.3 мы заключаем, 42 3. Части спектра линейного оператора что '(` ) = D и 'c (` ) = T. Оставшееся равенство 'r (` ) = теперь очевидно.

Замечание 3.3. Полезное упражнение | доказать это предложение «в лоб», т. е. не используя соображений двойственности. Задача вполне решаемая, но, согласитесь, с двойственностью все выглядит куда проще и красивее.

Упражнение 3.14. Найдите спектры и его части (т. е. непрерывный, точечный, остаточный спектры) операторов левого и правого сдвига, действующих в 0, 1 и.

Пример 3.4 (сдвиги на группах). Операторы, о которых пойдет речь ниже, строятся по следующей общей схеме. Пусть q | группа, i | не которое пространство функций на q, g q | фиксированный элемент.

Оператор сдвига g : i i задается формулой (g f)(h) = f(g 1 h) для f i, h q. Разумеется, чтобы оператор был корректно определен, нужно, чтобы пространство i было «инвариантно относительно сдви гов». Нас будут интересовать следующие случаи.

Случай 1: q = Z, i = p (Z) (где 1 p ) или же i = 0 (Z). Опера тор двустороннего сдвига 1 b B(i) определяется формулой (b x)n = = xn1 для x = (xn )nZ i. Очевидно, он изометричен и обратим.

Случай 2: q = T | группа комплексных чисел, равных по моду лю 1, относительно операции умножения. Введем на T меру «длина дуги, деленная на 2%» и положим i = vp (T) (где 1 p ) или же i = g(T). Для каждого  T определим оператор  B(i) формулой ( f)(z) = f( 1 z) для f i, z T. Очевидно, он изометричен (вви ду инвариантности нашей меры относительно «поворотов») и обратим;

обратным оператором является . Случай 3: q = R, i = vp (R) (где 1 p ) или же i = g0 (R) (про странство непрерывных функций на R, стремящихся к нулю на беско нечности, снабженное sup-нормой). Для каждого s R определим опе ратор s B(i) формулой (s f)(t) = f(t s) для f i, s R. Очевид но, он также изометричен (ввиду инвариантности меры Лебега отно сительно сдвигов) и обратим;

обратным оператором является s.

Поскольку все три оператора изометричны и обратимы, их спектры содержатся в единичной окружности T (см. упражнение 2.21).

Чтобы найти спектры и части спектра операторов сдвига, обсудим один общий метод, который устанавливает взаимосвязь между опера 1 Не очень удачное название: на самом деле сдвигает этот оператор вправо, толь E ко последовательности (xn ) теперь, в отличие от предыдущего примера, «дву сторонние».

§ 3.2. Двойственность. Операторы сдвига торами сдвига и умножения на функцию (см. примеры 3.1 и 3.2). Этот метод лежит в основе целой науки | абстрактного гармонического анализа.

b 2 (Z) 1. Оператор двустороннего сдвига и Предложение 3.5.

оператор умножения wz B(v2 (T)), (wz f)(z) = zf(z), изометриче ски эквивалентны.

v2 (T) и диагональный  2. Оператор сдвига на окружности w w ( xn )nZ, изометрически ( n ) B( (Z)), ( n ) (x) = n оператор эквивалентны.

Доказательство. В обоих случаях нужную изометрическую экви валентность осуществляет оператор : v2 (T) 2 (Z), сопоставляю щий каждой функции f v2 (T) последовательность ее коэффициентов Фурье относительно тригонометрической системы: (f)n = fY z n = = T f(z)z n dz.

Z Поскольку спектры операторов умножения нам уже известны (см.

упражнение 3.5), для нахождения спектров операторов сдвига остается воспользоваться результатом упражнения 3.12.

Следствие 3.2. Пусть b B(2(Z)) | оператор двустороннего сдви га. Тогда '(b ) = 'c (b ) = T.

Следствие 3.3. Пусть  B(v2 (T)) | оператор сдвига на окруж ности. Тогда 'p ( ) = { n }nZ и 'r ( ) =. Кроме того, 1) если  | корень из единицы, то '( ) = { n }nZ ;

2) если  не является корнем из единицы, то '( ) = T.

Доказательство. Если  | корень из единицы, то множество { n }nZ конечно и потому замкнуто. Если же  не является корнем из единицы, то это множество всюду плотно на окружности. Остальное следует из предложений 3.1 и 3.2.

Упражнение 3.15. Докажите следующие утверждения:

1) оператор сдвига s B(v2 (R)) и оператор умножения we ist B(v2 (R)), заданный формулой (we f)(t) = eist f(t), изометриче ist ски эквивалентны.

2) '(s ) = 'c (s ) = T.

Указание. Воспользуйтесь преобразованием Фурье.

Упражнение 3.16. Найдите спектр и его части (непрерывный, точеч ный, остаточный) для операторов сдвига из примера 3.4, действующих в соответствующих p - или vp -пространствах при p = 2, а также в 0 (Z) или (смотря по смыслу) g0 (R), g(T).

44 3. Части спектра линейного оператора Предложение 3.5 и упражнение 3.15 показывают, что у операторов сдвига в пространствах 2 (Z), v2 (T) и v2 (R) есть функциональные мо дели | операторы умножения на функцию или последовательность. На личие у оператора функциональной модели | свойство весьма удобное, позволяющее глубже понять природу этого оператора, узнать, какие у него есть инвариантные подпространства и т. п. Мы еще вернемся к функциональным моделям, когда доберемся до спектральной тео ремы. А сейчас давайте убедимся, что функциональная модель есть и у оператора правого сдвига в 2.

Определение 3.3. Пространство Харди | это замкнутое подпро странство в v2 (T), определяемое следующим образом:

r 2 = {f v2 (T): fY z n = 0 n ` 0}X Иными словами, r 2 состоит в точности из тех функций f v2 (T), у которых коэффициенты Фурье с отрицательными номерами равны нулю.

Как показывает следующее упражнение, то же самое пространство можно определить как некое пространство аналитических функций.

Упражнение 3.17. Для каждой непрерывной функции f на открытом единичном круге D C и каждого 0 ` & ` 1 положим 1=  |f (&eit )|2 dt f = X 2  Докажите, что определение пространства r 2, данное выше, эквива лентно следующему:

r 2 = {f : D C : f голоморфна и f = 1 f  ` }X lim Указание. Установите взаимосвязь между тригонометрическими рядами Фурье и рядами Тейлора.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
 





 
© 2013 www.libed.ru - «Бесплатная библиотека научно-практических конференций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.